199 Memurnikan model matematik Refining the mathematical modeling Dalam masalah ini, kita tidak dapat memurnikan model memandangkan maklumat yang diberi adalah terhad. In this problem, we are not able to refine the model due to limited information given. Melaporkan dapatan Report the findings Laporan dapatan dalam bentuk penyelesaian masalah berdasarkan tafsiran penyelesaian yang telah dilaksanakan di atas. Report the findings of the problem solving based on the interpretation of solutions as shown in the preceding sections. 2 Mengenal pasti dan mendefinisikan masalah Identifying and defining the problem • Mikrob tumbuh pada kadar eksponen sebanyak 5% sehari. The microbes grow at an exponential rate by 5% per day. • Bilangan mikrob pada awalnya ialah 100. The initial microbes’ number is 100. • Terbitkan model matematik untuk pertumbuhan mikrob selepas 10 hari. Derive a mathematical model for the microbes’ growth after 10 days. Membuat andaian dan mengenal pasti pemboleh ubah Making assumptions and identifying the variables • Andaikan semua mikrob hidup sepanjang tempoh pengeraman Assume all the microbes survive throughout the incubation period • Pemboleh ubah ialah bilangan awal, A, kadar pertumbuhan, b, dan masa, t hari. The variables are the initial number, A, growth rate, b, and time, t days. Mengaplikasi matematik untuk menyelesaikan masalah Applying mathematics to solve problems Setiap hari, kita mempunyai 100% bilangan mikrob yang ada, ditambah 5% daripada jumlah mikrob sebelumnya. Each day, we have 100% of the existing number of microbes, plus 5% of the previous number of microbes. t Bilangan mikrob baharu Number of new microbes Mikrob sedia ada + Mikrob baharu Existing microbes + New microbes Jumlah bilangan Total number 1 100 × 0.05 100 + 100 × 0.05 = 100(1 + 0.05) 100 × (1.05)1 2 100(1.05) × 0.05 100(1.05) + 100(1.05) × 0.05 = 100(1.05)(1 + 0.05) 100 × (1.05)2 3 100(1.05)2 × 0.05 100(1.05)2 + 100(1.05)2 × 0.05 = 100(1.05)2 (1 + 0.05) 100 × (1.05)3 4 100(1.05)3 × 0.05 100(1.05)3 + 100(1.05)3 × 0.05 = 100(1.05)3 (1 + 0.05) 100 × (1.05)4 5 100(1.05)4 × 0.05 100(1.05)4 + 100(1.05)4 × 0.05 = 100(1.05)4 (1 + 0.05) 100 × (1.05)5 Menentusahkan dan mentafsir penyelesaian dalam konteks masalah Berdasarkan jadual di atas, pada akhir setiap hari, jumlah mikroba ialah 1.05 kali ganda dari bilangan asalnya, 100, dan berganda dengan jumlah hari. Based on the table above, at the end of every day, the total number of microbes is a power of 1.05 times the original number, 100, and the power corresponds to the number of days. Verifying and interpreting solutions in the context of the problem Kita dapat mengeneralisasikan pola ke dalam model matematik dengan mengandaikan A mewakili bilangan mikrob yang asal, t mewakili bilangan hari, dan b mewakili kadar pertumbuhan. Oleh itu, model matematik ialah We can generalise this pattern to a mathematical model by letting A represents the original microbe’s number, t represents the number of days, and b represents the growth rate. Hence, the mathematical model is y(t) = A × (1 + b) t dengan keadaan y(t) ialah bilangan mikrob selepas t hari. where y(t) is the number of microbes after t days. Model matematik ini ialah suatu fungsi eksponen yang membolehkan kita menghitung bilangan mikrob selepas t hari. This mathematical model is an exponential function that allows us to calculate the number of microbes after t days. 90 590 1090 1590 0 1 2 3 4 y(t), bilangan mikrob number of microbes t, bilangan hari / number of days Graf di atas menunjukkan fungsi eksponen y(t) = 100 × (1 + 0.5)t . Grafik jumlah mikrob selepas t hari, y(t), menunjukkan pertumbuhan eksponen ke atas waktu, t, meningkat. The graph on the right shows an exponential function y(t) = 100 × (1 + 0.5)t . The graph of the total number of microbes after t days, y(t), shows an exponential growth as time, t, increases. Memurnikan model matematik Refining the mathematical modeling Model matematik y(t) = A × (1 + b)t digunakan untuk pertumbuhan harian. Di dunia sebenar, tidak semua mikrob dapat bertahan sepanjang tempoh pengeraman. The mathematical model y(t) = A × (1 + b)t is used for daily growth. In reality, not all microbes can survive throughout the incubation period. Melaporkan dapatan Reporting the findings Laporan penuh dibuat berdasarkan struktur rangka kerja pemodelan di atas. Write a full report following the above modeling framework structure. Kertas 1 1 B 2 C 3 A 4 C Kertas 2 A 1 (a) Dalam masalah ini, kita mengetahui prinsipal dan kadar faedah. Feadah simpanan adalah jumlah yang diperlukan oleh Puan Washida selain dari prinsipal RM3 500 untuk membeli set dapur tersebut. Kita perlu menentukan berapa lama Puan Washida perlu mengekalkan pelaburannya. In this problem, we know the principal and the interest rate. The interest from the saving is the amount that Puan Washida needs besides from the RM3 500 to purchase the kitchen set. We 09_Strategi A+ Math Tg5.indd 199 23/10/2023 2:05 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
200 need to determine how long Puan Washida needs to keep her investment. (b) Andaian/ Assumptions: • Kita harus menganggap bahawa kadar faedah tidak berubah dalam jangka masa pengiraan faedah. Jika tidak, formula I = Prt tidak akan sesuai. We need to assume that the interest rate does not change during the period of our interest calculation. Otherwise, the formula I = Prt will not be appropriate. • Kita juga harus menganggap bahawa harga set dapur tidak berubah apabila Puan Washida telah mencapai jumlah wang yang diperlukan. We also need to assume that the price of the kitchen set does not change when Puan Washida has raised the required amount of money. Pemboleh ubah/ Variables: Pemboleh ubah yang terlibat adalah I untuk faedah, P untuk prinsipal, r untuk kadar faedah dan t untuk masa dalam tahun. The variables involved are I for interest, P for principal, r for interest rate and t for time in years. C 2 Mengenal pasti dan mendefinisikan masalah Identifying and defining the problem Cara menentukan ketinggian roket dari tanah. How to determine the height of the rocket above the ground. Membuat andaian dan mengenal pasti pemboleh ubah Making assumptions and identifying the variables • Andaikan bahawa jalan yang dilalui roket ialah parabola Assume that the path that the rocket takes through the air is a parabola • Pemboleh ubah yang terlibat dalam kajian ini ialah masa, t s, dan ketinggian dari tanah, h m The variables involved in this study are the time, t s, and the height, h m, above the ground. Mengaplikasi matematik untuk menyelesaikan masalah Applying mathematics to solve problems • Tulis ketinggian roket dari tanah dan masa sebagai satu set pasangan tertib (x, y) dan lukis satu graf bagi data tersebut. Write the height from the ground of the rocket and the time as a set of ordered pairs (x, y) and draw a graph for the data. • Data kelihatan menaik dan kemudian menurun yang menyerupai suatu fungsi kuadratik. The data seem to rise and fall in a manner similar to a quadratic function. • Graf yang dilukis menunjukkan lengkung penyuaian terbaik dan menyerupai graf fungsi kuadratik. The graph drawn shown the curve of best fit and resembles the graph of a quadratic function. • Dalam pemodelan matematik untuk mewakili situasi sebenar, nilai anggaran digunakan. In mathematical modelling to represent the actual situation, the approximate value is used. • Berdasarkan graf, didapati roket akan mencapai tanah antara 4 s hingga 5 s. Based on the graph, the rocket will reach the ground between 4 s to 5 s. 35 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 Masa/Time, t (s) Ketinggian di atas tanah, h (m) Height above the ground, h (m) Mengesahkan dan mentafsirkan penyelesaian dalam konteks masalah Verifying and interpreting solutions in the context of the problem Tentukan fungsi kuadratik berkenaan yang mempunyai bentuk y = ax2 + bx + c. Tentukan pemalar a, b dan c dengan menggantikan mana-mana tiga data, misalnya (0, 15), (2, 29) dan (4, 11) ke dalam persamaan. Determine the related quadratic function of the form y = ax2 + bx + c. Determine the constants a, b and c substituting any three data, for example (0, 15), (2, 29) and (4, 11) into the equation. 15 = a(0)2 + b(0) + c , 15 = c 29 = a(2)2 + b(2) + c , 29 = 4a + 2b + c 11 = a(4)2 + b(4) + c , 11 = 16a + 4b + c Oleh sebab c = 15, sistem bagi dua persamaan linear dalam dua pemboleh ubah: Since c = 15, the system of two linear equations in two variables: 29 = 4a + 2b + 15 ..................................① 11 = 16a + 4b + 15 ................................② From ①, 58 = 8a + 4b + 30 .................③ ② – ③, –47 = 8a – 15 8a = –32 a = –4 Ganti/Substitute a = –4 ke dalam / into ②, 11 = 16(–4) + 4b + 15 4b = 60 b = 15 Maka, fungsi kuadratik yang mungkin ialah / Hence, the possible quadratic function is y = –4x2 + 15x + 15 Gantikan / Substitute y = 0, x1 = –0.82 dan / and x2 = 4.57. Oleh kerana numbor negatif tidak boleh digunakan bagi mewakili waktu, masa untuk roket untuk mencapai tanah ialah kira-kira 4.57 s. Since the time to reach the ground cannot be negative, it will take approximately 4.57 s for the rocket to reach the ground. Memurnikan model matematik Refining the mathematical modeling • Untuk model ini, kami menganggap roket itu bergerak di sepanjang lekukan parabola yang lancar. Hal ini mungkin tidak benar apabila terdapat faktor persekitaran yang lain seperti tiupan angin yang mungkin mengubah arah roket. For this model, we assume the rocket travels along a smooth parabola curve. This may not be true when there is other environmental factors that present like wind blow which might change the direction of the rocket. Melaporkan dapatan Report the findings Laporan penuh dibuat berdasarkan struktur rangka kerja pemodelan di atas. Write a full report following the above modeling framework structure. 09_Strategi A+ Math Tg5.indd 200 23/10/2023 2:05 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B