Latihan 12 Cari koordinat imej bagi suatu titik di bawah satu gabungan transformasi. TP 3 State the coordinates of the image of a point under a combined transformation. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi untuk melaksanakan tugasan mudah. Diberi bahawa P ialah putaran pada paksi-x, T ialah translasi 2 –3 dan R ialah putaran 90° ikut arah jam pada titik (0, 2). Cari koordinat imej A(1, 4) di bawah setiap gabungan transformasi yang berikut. Given that P is a reflection in x-axis, T is a translation 2 –3 and R is a rotation of 90° clockwise about (0, 2). Find the coordinates of the image of the point A(1, 4) for each of the following combined transformations. (a) PT (b) TR (c) PR A(1, 4) T Aʹ(3, 1) P Aʹʹ(3, –1) ∴ Imejnya ialah (3, –1). The image is (3, –1). 1 Diberi bahawa T ialah translasi 3 2 dan M ialah pantulan pada garis yang melalui titik (0, 0) dan (5, 5). Cari koordinat imej B(2, 0) bagi setiap gabungan transformasi yang berikut. Given that T is a translation 3 2 and M is a reflection in the line passes the points (0, 0) and (5, 5). Find the coordinates of the image of B(2, 0) for each of the following combined transformations. (a) T2 (b) MT (c) TM (d) M2 B(2, 0) T Bʹ(5, 2) T Bʹʹ(8, 4) B(2, 0) T Bʹ(5, 2) M Bʹʹ(2, 5) B(2, 0) M Bʹ(0, 2) T Bʹʹ(3, 4) B(2, 0) M Bʹ(0, 2) M Bʹʹ(2, 0) Bʹʹ Bʹ B y 6 4 2 0 –2 x 2 4 6 8 B y 6 4 2 0 –2 x 2 4 6 8 Bʹ Bʹʹ B y 6 4 2 0 –2 x 2 4 6 8 Bʹ Bʹʹ B y 6 4 2 0 –2 x 2 4 6 8 Bʹ Bʹʹ x Aʹ Aʹʹ A y T P 4 2 0 –2 2 4 2 ➤ 3 ➤ x Aʹʹ Aʹ A y R T 4 2 0 –2 2 4 2 3 ➤ ➤ x Aʹʹ Aʹ A y R P 4 2 0 –2 2 4 A(1, 4) R Aʹ(2, 1) R Aʹʹ(2, –1) ∴ Imejnya ialah (2, –1). The image is (2, –1). A(1, 4) R Aʹ(2, 1) T Aʹʹ(4, –2) ∴ Imejnya ialah (4, –2). The image is (4, –2). Contoh 12 99 05_Strategi A+ Math Tg5.indd 99 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
2 Transformasi S mewakili translasi 3 –1 dan transformasi R mewakili putaran 90° lawan arah jam pada (1, 2). Cari koordinat imej C(2, 4) di bawah transformasi yang berikut. Transformation S represents a translation 3 –1 and transformation R represents a rotation of 90° anticlockwise about (1, 2). Find the coordinates of the image of C(2, 4) under the following transformation. (a) R, (b) SR, (c) RS. (a) C(2, 4) R Cʹ(–1, 3) (b) C(2, 4) R Cʹ(–1, 3) S Cʹʹ(2, 2) (c) C(2, 4) S Cʹ(5, 3) R Cʹʹ(0, 6) (–1 + 3, 3 + (–1)) = (2, 2) 3 Diberi bahawa U ialah pembesaran dengan faktor skala 2 pada asalan, V ialah putaran 90° ikut arah jam pada (1, 2) dan W ialah translasi 4 –2 . Cari koordinat imej D(2, 3) di bawah setiap gabungan transformasi yang berikut. Given that U is an enlargement of scale factor 2 about the origin, V is a rotation of 90° clockwise about (1, 2) and W is translation 4 –2 . Find the coordinates of the image of D(2, 3) under each of the following combined transformations. (a) VU (b) WU D U Dʹ(4, 6) V Dʹʹ(5, –1) D U Dʹ(4, 6) W Dʹʹ(8, 4) (c) UV (d) VW D V Dʹ(2, 1) U Dʹʹ(4, 2) D W Dʹ(6, 1) V Dʹʹ(0, –3) y 4 2 0 –2 2 C Cʹ y x 6 4 2 0 2 4 C R (5, 3) Dʹ V D y 6 4 2 0 –2 –4 x 2 4 6 8 Dʹʹ Dʹ Dʹʹ D y 6 4 2 0 –2 –4 x 2 4 6 8 Dʹʹ D y 6 4 2 0 –2 –4 x 2 4 6 8 Dʹ Dʹ Dʹʹ D y 6 4 2 0 –2 –4 x 2 4 6 8 100 05_Strategi A+ Math Tg5.indd 100 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
4 Transformasi P mewakili pantulan pada garis y = x dan transformasi Q mewakili translasi –1 2 . Cari koordinat imej E(3, 1) di bawah transformasi yang berikut. Transformation P represents a reflection in the line y = x and transformation Q represents a translation –1 2 . Find the coordinates of the image of the point E(3, 1) under the following transformations. (a) P, (b) QP, (c) PQ. (a) E(3, 1) P Eʹ(1, 3) (b) E(3, 1) P Eʹ(1, 3) Q Eʹʹ(0, 5) (c) E(3, 1) Q Eʹ(2, 3) P Eʹʹ(3, 2) Latihan 13 Lukis imej suatu objek di bawah gabungan dua transformasi. TP 4 Draw the image of an object under a combination of two transformations. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 2 3 3 2 1 0 y x Eʹ (1, 3) y = x E Diberi bahawa P ialah pembesaran dengan faktor skala 2 pada asalan, Q ialah pantulan pada paksi-x dan S ialah translasi 3 2 . Given that P is an enlargement of scale factor 2 about the origin, Q is the reflection in x-axis and S is a translation 3 2 . Lukis imej bagi objek A di bawah setiap gabungan transformasi yang berikut. Draw the image of object A under each of the following combined transformations. (a) SQ, (b) SP. Seterusnya, nyatakan suatu transformasi tunggal yang setara dengan gabungan transformasi SP. Hence, state a single transformation equivalent to a combined transformation SP. Penyelesaian (a) (b) A x y 6 4 2 –2 –4 –4 –2 0 2 4 6 A Q S x y 6 4 2 –2 –4 –4 –2 0 2 4 –6 Aʹ Aʹʹ A P S x y 6 4 2 –2 –4 –2 0 2 4 6 8 10 Aʹ Aʹʹ M Aʹʹ Transformasi tunggal: Pembesaran dengan faktor skala 2 pada titik M(–3, –2). Enlargement of scale factor 2 about point M(–3, –2). Contoh 13 101 05_Strategi A+ Math Tg5.indd 101 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Diberi bahawa P ialah putaran 90° lawan arah jam pada asalan, Q ialah pantulan pada garis y = x dan R ialah translasi –4 7 . Given that P is a rotation of 90° anticlockwise about the origin, Q is a reflection in the line y = x and R is a translation –4 7 . (a) PQ, 2 Diberi bahawa S ialah pembesaran dengan faktor skala 2 pada asalan, T ialah pantulan pada garis y = 2 dan U ialah translasi 2 –3 . Lukis imej segi tiga C di bawah setiap gabungan transformasi yang berikut. Given that S is an enlargement of scale factor 2 about the origin, T is a reflection in the line y = 2 and U is translation 2 –3 . Draw the image of triangle C for each of the following combined transformations. (a) ST, (b) QR, Q x y 6 4 2 –2 –4 –6 –4 –2 0 2 4 –6 Bʹ Bʹʹ B y = x P Q x y 6 4 2 –2 –4 –6 –4 –2 0 2 4 6 Bʹ B Bʹʹ y = x R (c) PR. R x y 6 4 2 –2 –4 –6 –4 –2 0 2 4 6 Bʹ Bʹʹ B P x y 6 4 2 –2 –4 –4 –2 0 2 4 6 y = 2 Cʹʹ T S C C (b) TU, x y 6 4 2 –2 –4 –2 0 2 4 6 y = 2 Cʹʹ Cʹ T U C (c) US. x y 6 4 2 –2 –4 –2 0 2 6 M Cʹ Cʹʹ S U C 4 Seterusnya, nyatakan transformasi tunggal bagi gabungan transformasi PQ. Hence, state a single transformation of combined tranformation PQ. Pantulan pada paksi –y atau x = 0 Reflection on the y–axis or x = 0 Seterusnya, nyatakan transformasi tunggal bagi gabungan transformasi di (c). Hence, state a single transformation of combined transformation in (c). Pembesaran dengan faktor skala 2 pada titik M(–2, 3). Enlargement with a scale factor of 2 at centre M (–2, 3). 102 05_Strategi A+ Math Tg5.indd 102 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 14 Huraikan gabungan dua transformasi. TP 4 KBAT Menganalisis Describe the combination of two transformations. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. X: Pantulan pada paksi-y Reflection in y-axis Y: Pembesaran dengan faktor skala 2 pada pusat (2, 2). Enlargement of scale factor 2 at centre (2, 2). 1 Dalam setiap rajah di bawah, segi empat PʹQʹRʹSʹ ialah imej bagi empat PQRS di bawah transformasi X diikuti dengan transformasi Y. Huraikan selengkapnya transformasi X dan transformasi Y. In each diagram below, quadrilateral PʹQʹRʹSʹ is the image of quadrilateral PQRS for transformation X followed by transformation Y. Describe in full, the transformation X and transformation Y. (a) X : Pantulan pada garis x = 1. Reflection on the line x = 1. Y : Pembesaran dengan faktor skala 3 pada pusat 3 1 2, 1. Enlargement with a scale factor of 3 at centre 3 1 2, 1. (b) X : Pantulan pada garis x = 0 atau paksi-y Reflection on the line x = 0 or the y-axis. Y : Pembesaran dengan faktor skala 2 pada pusat (2, 7). Enlargement with a scale factor of 2 at centre (2, 7). (c) X : Putaran 90° mengikut arah jam pada asalan. A rotation of 90° clockwise at the origin. Y : Translasi 8 0 / Translation 8 0 . (d) X : Translasi/ Translation 4 6 . Y : Pembesaran dengan faktor skala 2 pada pusat (–1, 3). Enlargement with a scale factor of 2 at centre (-1, 3). x y Qʹ Pʹ Rʹ Sʹ P Q RS 6 4 2 –4 –2 0 2 4 6 Penyelesaian x y Qʹ Pʹ Rʹ Sʹ P Q RS 6 4 2 –4 –2 0 2 4 6 x y 6 4 2 –2 –4 –4 –2 2 0 4 6 Q P R S Qʹ Rʹ Sʹ Pʹ x y 6 4 2 –2 –4 –4 –2 2 0 4 6 Q P R S Qʹ Pʹ Sʹ Rʹ x y 6 4 2 –2 –4 –4 –2 2 0 4 6 Q P R S Qʹ Pʹ Sʹ Rʹ x y 6 4 2 –2 –4 –4 –2 2 0 4 6 Pʹ Qʹ Rʹ Sʹ x = 1 Q P R S Contoh 14 103 05_Strategi A+ Math Tg5.indd 103 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
2 Dalam setiap rajah di bawah, ΔPQR ialah imej bagi ΔABC bagi suatu transformasi X diikuti dengan transformasi Y. Huraikan selengkapnya, transformasi X dan transformasi Y. In each diagram below, ΔPQR is the image of ΔABC for transformation X followed by transformation Y. Describe in full, the transformation X and transformation Y. (a) X : Pembesaran dengan faktor skala 1 2 pada pusat (–1, 2). Enlargement with a scale factor of —1 2 at centre (–1, 2). Y : Pantulan pada garis x = 1. Reflection on the line x = 1. (b) X : Putaran 180° pada pusat C. A rotation of 180° at centre C. Y : Translasi/ Translation –5 –2. (c) X : Putaran 90° lawan arah jam pada asalan. A rotation of 90° anticlockwise at the origin. Y : Pantulan pada garis x = –3. Reflection on the line x = −3. (d) X : Putaran 90° lawan arah jam pada asalan A rotation of 90° anticlockwise at the origin. Y : Pembesaran dengan faktor skala 1 3 pada pusat (–3, 2). / Enlargement with a scale factor of —1 3 at centre (−3, 2). B C y 6 4 2 0 x –4 –2 2 4 6 A P R Q x = 1 y 8 6 4 2 0 x –6 –4 –2 2 4 6 Q R P C B A y x = –3 8 6 4 2 0 x –6 –4 –2 2 4 6 8 Q R B C A P y 8 6 4 2 0 x –6 –4 –2 2 4 6 8 R P C ʹ B Q B C A Tutorial Video Murid sering meletakkan jawapan dalam huraian yang tidak lengkap. Students tend to leave the answer in incomplete description. Example / Contoh: Putaran 90° ikut arah jam. Rotation 90° clockwise. Pembesaran dengan faktor skala 3. Enlargement with scale factor 3. Kesilapan Umum Faktor skala 3 tidak boleh ditulis sebagai "skala 3" atau "faktor 3" atau "3 kali". A scale factor of 3 cannot be written as "scale of 3" or "factor of 3" or "3 times". Kesilapan Umum Untuk tujuan pembelajaran Imbas atau layari http://www.youtube. com/watch?v=h_5va9dAzqg untuk menonton video tentang gabungan dua transformasi Video Tutorial 104 05_Strategi A+ Math Tg5.indd 104 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
5.4 Teselasi/ Tessellation Latihan 15 Ikuti langkah-langkah berikut dan bentukkan suatu teselasi. TP 5 TP 6 KBAT Mencipta Follow the following steps and form a tessellation. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. TP 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. STEM P R A T P R A T T R A P P R A T P R A T Langkah 1 Step 1 Langkah 2 Step 2 Langkah 3 Step 3 Langkah 4 Step 4 Langkah 5 Step 5 Penyelesaian T R A P T R A P T R A P T R A P T R A P T R A P Contoh 15 105 05_Strategi A+ Math Tg5.indd 105 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Langkah/Step 1 Langkah/Step 4 Langkah/Step 2 Langkah/Step 5 Langkah/Step 3 106 05_Strategi A+ Math Tg5.indd 106 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
2 Latihan 16 Reka bentuk teselasi yang melibatkan dua transformasi isometri yang berkait daripada (a) kepada (b). TP 6 KBAT Mencipta STEM Design a tessellation involving two combined isometric transformations from (a) to (b). TP 6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. Penyelesaian (a) (b) (a) Translasi D → C dua kali Translation D → C twice (b) Pantulan pada garis DC Reflection in the line DC A D B C A D B C A D B C Langkah/Step 1 Langkah/Step 2 Langkah/Step 3 Langkah/Step 4 A D B C A D B C A D B C A D B C A D B C A D B C Contoh 16 107 05_Strategi A+ Math Tg5.indd 107 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 2 (a) Putaran 60° ikut arah jam dua kali pada titik C Rotation 60° clockwise twice about point C (b) Pantulan berulang Repeated reflections (b) Pantulan pada garis BC Reflection in the line BC A B C A B C A B C A B E D F C A B E D F C A B E D F C (a) Pantulan pada garis BC dan pantulan pada garis CD. Reflection in the line BC and reflection in the line CD. 108 05_Strategi A+ Math Tg5.indd 108 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Rajah 1 menunjukkan lima buah pentagon. Antara pentagon A, B, C atau D yang manakah tidak kongruen dengan pentagon X? Diagram 1 shows five pentagons. Which pentagon, A, B, C or D, is not congruent with pentagon X? X A B C D Rajah 1/Diagram 1 2 Dalam Rajah 2, sisi empat PʹQʹRʹSʹ ialah imej sisi empat PQRS di bawah suatu pembesaran. In Diagram 2, quadrilateral PʹQʹRʹSʹ is the image of quadrilateral PQRS under an enlargement. y x 0 2 4 6 8 2 4 6 8 10 P ′ S ′ R ′ Q ′ P Q R S Rajah 2/Diagram 2 Cari faktor skala bagi pembesaran itu. Find the scale factor of the enlargement. A –0.5 B –2 C 0.5 D 2 3 Dalam Rajah 3, segi tiga I, II, III , IV dan segi tiga berlorek dilukis pada satah Cartes. In Diagram 3, triangles I, II, III , IV and shaded triangle are drawn on a Cartesian plane. y x 8 6 4 2 0 –2 –2–4 2 4 6 III IV II I Rajah 3/Diagram 3 Diberi bahawa R ialah pantulan pada paksi-y dan T ialah translasi 2 5 . Tentukan imej bagi segi tiga berlorek di bawah gabungan transformasi TR. Given that R is a reflection in the y-axis and T is a translation 2 5 . Determine the image of the shaded object under the combined transformation TR. A I C III B II D IV 4 Dalam Rajah 4, segi tiga I, II, III , IV dan segi tiga berlorek dilukis pada satah Cartes. In Diagram 4, triangles I, II, III, IV and shaded triangle are drawn on a Cartesian plane. y x 8 6 4 2 0 –2 –4 –8 –2–4–6 2 4 6 10 III II P IV I Rajah 4/Diagram 4 Praktis Berformat SPM Kertas 1 109 05_Strategi A+ Math Tg5.indd 109 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Tentukan imej bagi segi tiga berlorek di bawah pantulan pada garis y = 3 diikuti dengan pembesaran dengan faktor skala 2 pada titik (1, 1). Determine the image of the shaded triangle under the reflection in y = 3 followed by enlargement of scale factor 2 at the point (1, 1). A I C III B II D IV 5 Pantulan pada garis y = 2 diikuti satu lagi pantulan pada garis x = 3 adalah setara dengan A reflection in the line y = 2 followed by a reflection in the line x = 3 is equivalent to A putaran 180° pada titik (3, 2) a 180° rotation at the point (3, 2) B translasi 3 2 / a translation 3 2 C pantulan pada garis y = 2x + 3 a reflection in the line y = 2x + 3 D pembesaran dengan faktor skala –2 pada titik (3, 2) an enlargement of scale factor –2 at the point (3, 2) 6 Diberi bahawa/ It is given that R = putaran 180° pada titik (0, 3) E = pembesaran dengan faktor skala 2 pada titik (0, 3) R = 180° rotation about the point (0, 3) E = enlargement of scale factor 2 at the point (0, 3) Antara transformasi tunggal berikut, yang manakah adalah setara dengan gabungan transformasi ER? Which of the following single transformations that is equivalent to the combined transformation ER? A Pembesaran dengan faktor skala 2 pada asalan Enlargement of scale factor 2 about the origin B Pembesaran dengan faktor skala –2 pada asalan Enlargement of scale factor –2 about the origin C Pembesaran dengan faktor skala 2 pada pusat (0, 3) Enlargement of scale factor 2 about centre (0, 3) D Pembesaran dengan faktor skala –2 pada pusat (0, 3) Enlargement of scale factor –2 about centre (0, 3) 7 Dalam Rajah 5, sisi empat ABʹCʹDʹ ialah imej bagi sisi empat ABCD di bawah satu gabungan transformasi VU. In Diagram 5, quadrilateral ABʹCʹD is the image of quadrilateral ABCD under a combined transformation VU. C ′ B ′ D ′ A B CD Rajah 5/Diagram 5 Antara berikut, yang manakah ialah transformasi U dan V? Which of the following is transformations of U and V? U V A Putaran Rotation Pantulan Reflection B Putaran Rotation Pembesaran Enlargement C Pembesaran Enlargement Translasi Translation D Pembesaran Enlargement Pantulan Reflection 1 Rajah 1 menunjukkan dua titik M dan N pada satah Cartes. Transformasi R ialah putaran 90° ikut arah jam pada pusat (–1, 0). Transformasi S ialah pantulan pada garis y = x. Diagram 1 shows two points M and N on a Cartesian plane. Transformation R is a rotation of 90° clockwise about the centre (–1, 0). Transformation S is a reflection in the line y = x. (a) Nyatakan koordinat bagi imej titik M di bawah transformasi R. State the coordinates of the image of the point M under the transformation R. (b) Nyatakan koordinat bagi imej titik N di bawah transformasi berikut: aState the coordinates of the image of the point N under the following transformations: (i) R2 , (ii) RS. [4 markah/marks] R (a) M(4, 3) Mʹ(2, –5) R2 (b) (i) N(–3, –2) Nʹʹ(1, 2) S R (ii) N(–3, –2) Nʹ(–2, –3) Nʹʹ(–4, 1) y M N x 6 4 2 0 –2 –4 –2–4 2 4 6 Rajah 1/Diagram 1 Kertas 2 110 05_Strategi A+ Math Tg5.indd 110 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
2 Rajah 2 menunjukkan trapezium ABCD, EFGH dan KLMN pada satah Cartes. Diagram 2 shows trapeziums ABCD, EFGH and KLMN on a Cartesian plane. (a) Transformasi T ialah translasi 4 –2 . Transformasi R ialah pantulan pada garis y = 3. Nyatakan koordinat imej bagi titik N di bawah setiap transformasi berikut: Transformation T is a translation 4 –2 . Transformation R is a reflection in the line y = 3. State the coordinates of the image of point N under each of the following transformations: (i) Transformasi /Transformation T, (ii) Transformasi gabungan /Combined transformation RT. y x 8 6 4 2 –2–4 0 2 4 6 L F E G H K A B CD M N (b) (i) KLMN ialah imej bagi ABCD di bawah transformasi gabungan XY. Huraikan selengkapnya transformasi Y dan transformasi X. KLMN is the image of ABCD under the combined transformation XY. Describe in full, the transformation Y and transformation X. (ii) Diberi bahawa luas rantau berlorek KEHGFLMN ialah 104 m2 , hitung luas, dalam m2 , rantau ABCD. Given that the area of the shaded region KEHGFLMN is 104 m2 , calculate the area, in m2 , of the region ABCD. [9 markah/marks] (a) (i) N(–2, 2) 4 –2 Nʹ(–2 + 4, 2 + –2 ) = Nʹ(2, 0) (ii) N(–2, 2) 4 –2 Nʹ(2, 0) y = 3 Nʹʹ(2, 6) (b) (i) Y: Pantulan pada garis x = 2 Reflection on the line x = 2 X: Pembesaran dengan faktor skala 3 pada pusat (–2, 8) Enlargement with a scale factor of 3 at centre (–2, 8). (ii) Katakan luas EFGH/ Assume that the area of EFGH = x m2 Luas/ Area of KLMN = k2 (luas/ area of EFGH) 104 + x = 32 (x) 104 = 8x x = 13 m2 Luas/ Area of ABCD = Luas/ Area of EFGH = 13 m2 3 Rajah 3 menunjukkan sisi empat PQRS, PTVU, KLMN dan EFGH pada satah Cartes. Diagram 3 shows quadrilaterals PQRS, PTVU, KLMN and EFGH on a Cartesian plane. (a) Transformasi X ialah pantulan pada garis x = 4. Transformasi Y ialah translasi 3 –4 . Nyatakan koordinat imej bagi titik V di bawah setiap transformasi berikut: Transformation X is a reflection in the line x = 4. Transformation Y is a translation 3 –4 . State the coordinates of the image of the point V under the following transformations: (i) XY, (ii) YX. (b) PTVU ialah imej bagi KLMN di bawah transformasi D dan PQRS ialah imej bagi PTVU di bawah transformasi E. Huraikan selengkapnya PTVU is the image of KLMN under transformation D and PQRS is the image of PTVU under transformation E. Describe in full. (i) transformasi /transformation E, (ii) transformasi tunggal yang setara dengan transformasi ED. a single transformation which is equivalent to transformation ED. x 10 8 6 4 2 –8 –6 –2–4 0 2 4 6 8 y E F H G R Q S P T V U N K M L Rajah 2/Diagram 2 Rajah 3/Diagram 3 111 05_Strategi A+ Math Tg5.indd 111 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
(c) EFGH ialah imej bagi PQRS di bawah suatu pembesaran. EFGH is the image of PQRS under an enlargement. (i) Nyatakan koordinat pusat pembesaran itu dan faktor skalanya. State the coordinates of the centre of the enlargement and its scale factor. (ii) Diberi bahawa luas EFGH ialah 316.8 m2 , hitungkan luas PQRS. Given that the area of EFGH is 316.8 m2 , calculate the area of PQRS. [9 markah/marks] (a) (i) V(2, 4) 3 –4 Vʹ(2 + 3, 4 + (–4)) = Vʹ(5, 0) x = 4 Vʹʹ(3, 0) (ii) V(2, 4) x = 4 Vʹ(6, 4) 3 –4 Vʹʹ(6 + 3, 4 + –4) = Vʹʹ(9, 0) (b) (i) Pantulan pada garis y = 6 Reflection on the line y = 6. (ii) Putaran 90° ikut arah jam pada pusat (7, 6) A rotation of 90° clockwise at centre (7, 6). (c) (i) Pusat pembesaran/ Centre of enlargement = (1, 7) Faktor skala/ Scale factor = –3 (ii) Luas/ Area of EFGH = k2 (luas/ area of PQRS) 316.8 = (–3)2 A 9A = 316.8 A = 35.2 m2 4 Rajah 4 menunjukkan sisi empat ABCD, PQRS dan PLMN, dilukis pada satah Cartes. Diagram 4 shows quadrilaterals ABCD, PQRS and PLMN, drawn on a Cartesian plane. (a) Transformasi T ialah translasi –7 3 . Transformasi R ialah putaran 90° lawan arah jam pada titik (0, 2). Transformation T is a translation –7 3 . Transformation R is a 90° anticlockwise rotation at the point (0, 2). Nyatakan koordinat bagi imej titik D di bawah setiap transformasi berikut: State the coordinates of the image of point D under each of the following transformations: (i) Transformasi /Transformation T, (ii) Transformasi gabungan /Combined transformation TR. (b) (i) PLMN ialah imej bagi ABCD di bawah transformasi gabungan XY. Huraikan selengkapnya transformasi Y dan transformasi X. PLMN is the image of ABCD under the combined transformation XY. Describe in full, the transformation Y and transformation X. (ii) Diberi luas rantau berlorek LMNSRQ ialah 165 m2 , hitung luas, dalam m2 , bagi rantau PQRS. Given that the area of the shaded region LMNSRQ is 165 m2 , calculate the area, in m2 , of the region PQRS. [9 markah/marks] (a) (i) D(3, 3) –7 3 Dʹ(3 + –7, 3 + 3) = Dʹ(–4, 6) (ii) D(3, 3) R Dʹ(–1, 5) –7 3 Dʹʹ(–1 + –7 , 5 + 3) = Dʹʹ(–8, 8) (b) (i) Y: Putaran 90º lawan arah jam pada asalan A rotation of 90° anticlockwise at the origin X: Pembesaran dengan faktor skala 2 pada pusat P Enlargement with a scale factor of 2 at centre P (ii) Katakan luas PQRS/ Assume that the area of PQRS = x m2 Luas/ Area of LMNP = k2 (luas/ area of PQRS) 165 + x = 22 (x) 4x – x = 165 3x = 165 x = 55 m2 x 8 6 4 2 –6 –2–4 0 2 4 6 y C B A D M L Q R N S P Rajah 4/Diagram 4 112 05_Strategi A+ Math Tg5.indd 112 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
90° 270° 0°, 360° 1 O θ Sukuan II Quadrant II Sukuan I Quadrant I Sukuan III Quadrant III Sukuan IV Quadrant IV 1 –1 –1 180° 6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut θ, 0° θ 360° The Value of Sine, Cosine and Tangent for Angle θ, 0° θ 360° 1 Bulatan unit Unit circle (a) (b) Sukuan I: 0° , , 90° Quadrant I Sukuan II: 90° , , 180° Quadrant II Sukuan III: 180° , , 270° Quadrant III Sukuan IV: 270° , , 360° Quadrant IV Nilai sudut Values of the angles √ 1 3 √2 1 1 2 30° 60° 45° 45° 30° 45° 60° sin 1 2 1 2 3 2 kos cos 3 2 1 2 1 2 tan 1 3 1 3 0 (1, 0) y x (0, –1) (0, 1) (–1, 0) 90° 270° 180° 0°, 360° 0° 90° 180° 270° 360° sin 0 1 0 –1 0 kos cos 1 0 –1 0 1 tan 0 tidak tertakrif undefined 0 tidak tertakrif undefined 0 2 Nisbah fungsi trigonometri: The ratio of trigonometric function: 90° 270° 0°, 360° O θ 1 1 1 B A(x, y) y x y x –1 –1 180° sin = AB OA = y 1 = koordinat-y y-coordinate kos/cos = OB OA = x 1 = koordinat-x x-coordinate tan = AB OB = y x = koordinat-y y-coordinate koordinat-x x-coordinate Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri Ratios and Graphs of Trigonometric Functions Bidang Pembelajaran: Sukatan dan Geometri Revisi Pantas Tip Bestari Ingat/Remember Saya Suka Tukar Kasut Add Sugar To Coffee y x 0 Sukuan II Quadrant II Sinus positif Sine positive Tangen positif Tangent positive Semua positif All positive Kosinus positif Cosine positive Sukuan I Quadrant I Sukuan III Quadrant III Sukuan IV Quadrant IV 113 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 113 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
θ θ Sukuan II Quadrant II 90° fi fi 180° 180° – θ y x θ θ Sukuan III Quadrant III 180° fi fi 270° θ Sukuan IV Quadrant IV 270° fi fi 360° θ – 180° y x θ 360° – θ y x θ θ Sukuan II Quadrant II 90° fi fi 180° 180° – θ y x θ θ Sukuan III Quadrant III 180° fi fi 270° θ Sukuan IV Quadrant IV 270° fi fi 360° θ – 180° y x θ 360° – θ y x θ θ Sukuan II Quadrant II 90° fi fi 180° 180° – θ y x θ θ Sukuan III Quadrant III 180° fi fi 270° θ Sukuan IV Quadrant IV 270° fi fi 360° θ – 180° y x θ 360° – θ y x Sudut dalam sukuan pertama yang sepadan dengan sudut dalam sukuan II Angle in the first quadrant correspond to angle in quadrant II = 180° – Sudut dalam sukuan pertama yang sepadan dengan sudut dalam sukuan IV Angle in the first quadrant correspond to angle in quadrant IV = 360° – Sudut dalam sukuan pertama yang sepadan dengan sudut dalam sukuan III Angle in the first quadrant correspond to angle in quadrant III = – 180° Sudut Angle 3 6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen The Graph of Functions of Sine, Cosine and Tangent 1 2 Graf fungsi trigonometri Graph of trigonometric functions 90° 270° 360° 0 1 y y = sin x x –1 180° y = cos x 90° 270° 360° 0 1 y x –1 180° y = tan x 90° 270° 360° 0 y x 180° Sinus/Sine Kosinus/Cosine Tangen/Tangent Graf Graph 0° x 360° y a –a 1 2 3 b x y = a sin bx i-THINK Peta Pokok i-THINK Peta Pokok 114 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 114 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
3 Graf tangen / Graph of tangents (a) y = a tan x bagi/for 0° x 360° (b) y = a tan bx (c) y = a tan bx + c 0 y y = a sin bx + c a + c c c 2 3 b x c – a y = a kos bx y y = a cos bx 1 2 3 b x a –a a + c c – a c y = a kos bx + c y = a cos bx + c y 1 2 3 b x 0 45° 360° y x a 0 0 1 2 c y x 0 1 2 c y x 115 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 115 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 312° Sukuan IV/ Quadrant IV 2 195° Sukuan III/ Quadrant III 3 100° Sukuan II/ Quadrant II 4 120° 50ʹ Sukuan II/ Quadrant II 5 331.6° Sukuan IV/ Quadrant IV 6 235.9° Sukuan III/ Quadrant III 7 266° 47ʹ Sukuan III/ Quadrant III 8 82° 45ʹ Sukuan I/ Quadrant I 9 145.8° Sukuan II/ Quadrant II (a) 209° (b) 161° Penyelesaian (a) 209° (b) 161° Sukuan III/ Quadrant III Sukuan II/ Quadrant II 6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut θ, 0° θ 360° The Value of Sine, Cosine and Tangent for Angle θ, 0° θ 360° Latihan 1 Tentukan sukuan bagi setiap kedudukan sudut. TP 1 Determine the quadrant in which each of the angles lies. TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri. Sukuan I: 0° , , 90° Quadrant I Sukuan II: 90° , , 180° Quadrant II Sukuan III: 180° , , 270° Quadrant III Sukuan IV: 270° , , 360° Quadrant IV Praktis PBD Contoh 1 Tip Bestari y x 209° y x 161° y x 100° y x 312° y x 195° y x 120° 50ʹ y x 331.6° y x 235.9° y x 266° 47ʹ y x 82° 45ʹ y x 145.8° 116 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 116 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 2 Dalam rajah di bawah, O ialah asalan dan pusat bulatan unit. Berdasarkan rajah tersebut, cari nilai bagi setiap yang berikut. TP 3 In the diagram below, O is the origin and the centre of the unit circle. Based on the digram, find the value of each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah 0.5 0.5 1 1 B A P C D O y x (a) kos ∠AOP cos ∠AOP Pada titik A, At the point A, koordinat-x = 0.975 x-coordinate koordinat-y = 0.25 y-coordinate ∴ kos ∠AOP = koordinat-x cos ∠AOP x-coordinate = 0.975 1 sin ∠AOP sin ∠AOP = koordinat-y/ y-coordinate = 0.25 2 kos ∠BOP cos ∠BOP kos ∠BOP/ cos ∠BOP = koordinat-x/ x-coordinate = 0.75 3 sin ∠BOP sin ∠BOP = koordinat-y/ y-coordinate = 0.65 4 tan ∠COP tan ∠COP = koordinat-y y-coordinate koordinat-x x-coordinate = 0.875 0.5 = 1.75 5 kos ∠COP cos ∠COP kos ∠COP/ cos ∠COP = koordinat-x/ x-coordinate = 0.5 6 kos ∠DOP cos ∠DOP kos ∠DOP/ cos ∠DOP = koordinat-x/ x-coordinate = 0.25 (b) tan ∠AOP tan ∠AOP = koordinat-y y-coordinate koordinat-x x-coordinate = 0.25 ––––– 0.975 = 0.2564 Contoh 2 117 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 117 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 (a) sin = koordinat-y/ y-coordinate = 0.8 (b) kos = koordinat-x/ x-coordinate = 0.6 cos (c) tan = koordinat-y y-coordinate koordinat-x x-coordinate = 0.8 0.6 = 4 3 2 (a) sin = koordinat-y/ y-coordinate = 0.41 (b) kos = koordinat-x/ x-coordinate = 0.91 cos (c) tan = koordinat-y y-coordinate koordinat-x x-coordinate = 0.41 0.91 = 0.4505 Latihan 3 Berdasarkan bulatan unit yang ditunjukkan di bawah, cari nilai bagi sinus, kosinus dan tangen sudut itu. TP 3 Based on unit circles as shown below, find the values of sine, cosine and tangent for the angles. TP3 Mengaplikasikan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. Penyelesaian (a) sin = koordinat-y y-coordinate = 0.94 (b) kos = koordinat-x cos x-coordinate = 0.34 0 1 B(0.34, 0.94) y x θ –1 –1 1 0 1 1 y A(0.6, 0.8) x θ –1 –1 0 1 1 y C(0.91, 0.41) x θ –1 –1 Latihan 4 Tentukan sama ada nilai bagi setiap yang berikut positif atau negatif. TP 2 Determine whether the value of each of the following is positive or negative. TP2 Mempamerkan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri. (a) kos 227° cos 227° Penyelesaian (a) 227° terletak dalam Sukuan III. 227° is in Quadrant III. ∴ kos 227° adalah negatif. cos 227° is negative. (b) sin 156° (c) tan = koordinat-y y-coordinate koordinat-x x-coordinate = 0.94 ––––– 0.34 = 2.76 (b) 156° terletak dalam Sukuan II. 156° is in Quadrant II. ∴ sin 156° adalah positif. sin 156° is positive. Contoh 3 Contoh 4 118 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 118 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 5 Dalam setiap rajah, cari nilai bagi sin , kos dan tan . TP 3 In each diagram, find the values of sin , cos and tan . TP3 Mengaplikasikan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 sin 250° 250° → Sukuan/ Quadrant III. ∴ sin 250° adalah negatif. ∴ sin 250°is negative. 2 tan 23° 23° → Sukuan/ Quadrant I. ∴ tan 23° adalah positif. ∴ tan 23° is positive. 3 kos 275° cos 275° 275° → Sukuan/ Quadrant IV. ∴ kos 275° adalah positif. ∴ cos 275°is positive. 4 sin 98° 98° → Sukuan/ Quadrant II. ∴ sin 98° adalah positif. ∴ sin 98°is positive. 5 kos 114° cos 114° 114° → Sukuan/ Quadrant II. ∴ kos 114° adalah negatif. ∴ cos 114°is negative. 6 tan 256° 256° → Sukuan/ Quadrant III. ∴ tan 256° adalah positif. ∴ tan 256°is positive. 0 1 1 y A(–0.87, 0.5) x θ –1 –1 Penyelesaian (a) sin = koordinat-y y-coordinate = 0.5 (b) kos = koordinat-x cos x-coordinate = –0.87 1 (a) sin = koordinat-y/ y-coordinate = –0.6 (b) kos = koordinat-x/ x-coordinate = –0.8 cos (c) tan = koordinat-y y-coordinate koordinat-x x-coordinate = –0.6 –0.8 = 3 4 2 (a) sin = koordinat-y/ y-coordinate = –0.71 (b) kos = koordinat-x/ x-coordinate = 0.71 cos (c) tan = koordinat-y y-coordinate koordinat-x x-coordinate = –0.71 0.71 = –1 0 1 1 y B(–0.8, –0.6) x θ –1 –1 0 1 1 y C(0.71, –0.71) x θ –1 –1 (c) tan = koordinat-y y-coordinate koordinat-x x-coordinate = 0.5 —––– –0.87 = –0.5747 Contoh 5 119 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 119 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 6 Cari nilai bagi setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator. TP 3 Find the values of the following without using calculator. TP3 Mengaplikasikan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. (a) 2 kos 360° – sin 270° 2 cos 360° – sin 270° Penyelesaian (a) 2 kos 360° – sin 270° 2 cos 360º – sin 270º = 2(1) – (–1) = 3 (b) 3 tan 45° + 4 sin 30° 3 tan 45° + 4 sin 30° Penyelesaian (b) 3 tan 45° + 4 sin 30° 3 tan 45° + 4 sin 30° = 3(1) + 41 1 — 2 2 = 5 3 (a) sin = koordinat-y/ y-coordinate = 0.97 (b) kos = koordinat-x/ x-coordinate = –0.25 cos (c) tan = koordinat-y y-coordinate koordinat-x x-coordinate = 0.97 –0.25 = –3.88 4 (a) sin = koordinat-y/ y-coordinate = –0.89 (b) kos = koordinat-x/ x-coordinate = –0.45 cos (c) tan = koordinat-y y-coordinate koordinat-x x-coordinate = –0.89 –0.45 = 1.978 0 1 1 y E(–0.45, –0.89) x θ –1 –1 0 1 1 y D(–0.25, 0.97) x θ –1 –1 1 tan 180° + sin 30° 0 + 1 2 = 1 2 2 kos 45° – sin 45° cos 45° – sin 45° 1 2 – 1 2 = 0 3 3 kos 270° – 2 sin 180° 3 cos 270° – 2 sin 180° 3(0) – 2(0) = 0 4 tan 360° + kos 180° tan 360° + cos 180° 0 + (–1) = –1 5 sin 60° + kos 30° sin 60° + cos 30° 3 2 + 3 2 = 21 3 2 2 = 3 6 8 kos 60° – 3 tan 45° 8 cos 60° – 3 tan 45° 81 1 2 2 – 3(1) = 4 – 3 = 1 Contoh 6 120 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 120 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 7 Tentukan sudut dalam sukuan pertama yang sepadan dengan setiap yang berikut. TP 3 Determine the angle in the first quadrant that corresponds to each of the following angles. TP3 Mengaplikasikan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. (a) 145° Penyelesaian (a) 145° terletak dalam sukuan II 145° lies in quadrant II ∴ sudut sepadan corresponding angle = 180°– 145° = 35° (b) 288°23’ Penyelesaian (b) 288°23’ terletak dalam sukuan IV 288°23’ lies in quadrant IV ∴ sudut sepadan corresponding angle = 360° – 288°23’ = 71°37’ 1 130° 130° → Sukuan/ Quadrant II ∴ Sudut sepadan Corresponding angle = 180° – 130° = 50° 2 245.8° 245.8° → Sukuan/ Quadrant III ∴ Sudut sepadan Corresponding angle = 245.8° – 180° = 65.8° 3 320°15’ 320°15’ → Sukuan/ Quadrant IV ∴ Sudut sepadan Corresponding angle = 360° – 320°15’ = 39°45’ 4 95°40’ 95°40’ → Sukuan/ Quadrant II ∴ Sudut sepadan Corresponding angle = 180° – 95°40’ = 84°20’ 5 194.3° 194.3° → Sukuan/ Quadrant III ∴ Sudut sepadan Corresponding angle = 194.3° – 180° = 14.3° 6 336.2° 336.2° → Sukuan/ Quadrant IV ∴ Sudut sepadan Corresponding angle = 360° – 336.2° = 23.8° Latihan 8 Isi tempat kosong dengan tanda yang betul dan sudut sepadan dalam sukuan pertama bagi setiap yang berikut. Seterusnya, cari nilainya. TP 3 Fill in the blanks with the correct sign and corresponding angle in the first quadrant for each of the following. Hence, find its value. TP3 Mengaplikasikan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 sin 120° = ( ) sin ( ) sin 120° = + sin (180° – 120°) = 0.8660 2 kos 250° = ( ) kos ( ) cos 250º = ( ) cos ( ) kos 250°/ cos 250° = –kos (250° – 180°)/ –cos (250° – 180°) = –0.3420 3 sin 206°19’ = ( ) sin ( ) sin 206°19 = – sin (206°19’ – 180°) = –0.4433 4 kos 128.5° = ( ) kos ( ) cos 128.5º = ( ) cos ( ) kos 128.5°/ cos 128.5° = –kos (180° – 128.5°)/ –cos (180° – 128.5°) = –0.6225 5 tan 98° = ( ) tan ( ) tan 98° = – tan (180° – 98°) = –7.1154 6 tan 185° = ( ) tan ( ) tan 185° = + tan (185° – 180°) = 0.08749 (a) kos 155° = ( ) kos ( ) cos 155° = ( ) cos ( ) Penyelesaian (a) kos/cos 155° = ( – ) kos/cos (180° – 155°) = – kos/cos 25° = –0.9063 (b) tan 200°42’ = ( ) tan ( ) Penyelesaian (b) tan 200°42’ = ( + ) tan (200°42’ – 180°) = tan 20°42’ = 0.3779 Contoh 7 Contoh 8 121 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 121 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 9 Hitung nilai bagi setiap yang berikut dengan menggunakan kalkulator. TP 2 Calculate the value for each of the following using calculator. TP2 Mempamerkan kefahaman tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri. tan 263°20’ Penyelesaian tan 263°20’= 8.556 1 sin 122° = 0.8480 2 sin 90.75° = 0.9999 3 tan 92°24’ = –23.86 4 kos 200°35’ cos 200°35’ = –0.9362 5 sin 225° = –0.7071 6 tan 323.7° = –0.7346 7 kos 279.3° cos 279.3º = 0.1616 8 kos 351°10’ cos 351º10’ = 0.9881 Latihan 10 Cari sudut (0º < < 360º) bagi setiap yang berikut. TP 4 Find the angles (0° < < 360°) for each of the following. TP4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 kos = 0.8660 cos = 0.8660 kos–1 (0.8660) = 30° = 30°, (360° – 30°) = 30°, 330° 2 tan = 1.192 tan–1 (1.192) = 50° = 50°, (180° + 50°) = 50°, 230° 3 sin = 0.5 sin–1 (0.5) = 30° = 30°, (180° – 30°) = 30°, 150° 4 kos = –0.7547 cos = –0.7547 kos–1 (0.7547) = 41° = (180° – 41°), (180° + 41°) = 139°, 221° 5 sin = –0.9397 sin–1 (0.9397) = 70° = (180° + 70°), (360° – 70°) = 250°, 290° 6 tan = –1 tan–1 (1) = 45° = (180° – 45°), (360° – 45°) = 135°, 315° (a) sin = 0.7660 Penyelesaian (a) sin–1 (0.7660) = 50° (Guna kalkulator) = 50°, 180° – 50° (Sukuan I & II) = 50°, 130° sin-1 (0.7660) = 50° (Using calculator) = 50º, 180º – 50º (Quadrant I & II) = 50o , 130o (b) kos = –0.9659 cos = –0.9659 Penyelesaian (b) kos–1 (0.9659) = 15° (Guna kalkulator) = 180° – 15°, 180° + 15° (Sukuan II & III) = 165°, 195° cos-1 (0.9659) = 15° (Using calculator) = 180º – 15°, 180° + 15° (Quadrant II & III) = 165o , 195o Contoh 9 tan 263 °’ ” 20 °’ ” = Bundarkan jawapan betul kepada 4 angka bererti. Round off the answer correct to 4 significant figures. Sudut Kalkulator Contoh 10 122 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 122 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 11 Cari sudut bagi setiap yang berikut. TP 4 Find the angle for each of the following. TP4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. kos = –0.9063, 180° , , 360° cos = –0.9063, 180° < < 360° Penyelesaian kos–1 (0.9063) = 25° = 180° + 25° (Sukuan III) = 205° cos-1 (0.9063) = 25° = 180° + 25° (Quadrant III) = 205° 90o 0o , 360o 180o 270o 1 sin = 0.8660, 90° , , 180° sin–1 (0.8660) = 60° = 180° – 60° = 120° 2 kos = 0.6018, 180° , , 360° cos = 0.6018, 180° , , 360° kos–1 (0.6018) = 53° = 360° – 53° = 307° 3 tan = 1.732, 180° , , 360° tan–1 (1.732) = 60° = 180° + 60° = 240° 4 sin = –0.5, 90° , , 270° sin–1 (0.5) = 30° = 180° + 30° = 210° 5 kos = –0.1736, 180° , , 360° cos = –0.1736, 180° , , 360° kos–1 (0.1736) = 80° = 180° + 80° = 260° 6 tan = –1.921, 90° , , 270° tan–1 (1.921) = 62.5° = 180° – 62.5° = 117.5° Dalam rajah, PQR ialah garis lurus. Cari nilai In the diagram, PQR is a straight line. Find the value of (a) sin , (b) tan . Latihan 12 Selesaikan setiap yang berikut. TP 5 Solve each of the following. TP5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.. θ S P 6 cm 10 cm Q R Penyelesaian (a) sin = + sin ∠PQS = 6 ––– 10 = 0.6 (b) PQ = 102 – 62 = 8 cm tan = – tan ∠PQS = – 6 — 8 = – 0.75 Contoh 11 = 270° – 25° = 245° Kesilapan Umum Contoh 12 Kesilapan Umum tan = 6 — 8 = 0.75 Tiada tanda negatif No negative sign 123 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 123 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Dalam rajah di atas, PQR ialah garis lurus dan sin QSR = 7 ––– 25 . Cari nilai In the above diagram, PQR is a straight line and sin QSR = 7 ––– 25 . Find the value of 2 Dalam rajah di atas, ABC dan BED ialah garis lurus. E ialah titik tengah bagi BD. Cari In the above diagram, ABC and BED are straight lines. E is the midpoint of BD. Find (a) panjang, dalam m, BE,/the length, in m, of BE, (b) nilai sin x,/the value of sin x, (c) nilai kos ./the value of cos . 3 Dalam rajah di atas, PQR ialah garis lurus. tan SRP = 1 — 2 dan PQ = 2QR. Cari In the above diagram, PQR is a straight line. tan SRP = 1 —–2 and PQ = 2QR. Find (a) panjang, dalam cm, SQ,/the length, in cm, of SQ, (b) nilai kos SQP,/the value of cos SQP, (c) nilai sin x./the value of sin x. S P y° Q R (a) RS2 = 252 – 72 RS = 24 cm sin y = + sin ∠SQR = 24 25 (b) tan y = – tan ∠SQR = – 24 7 (a) DB = 202 – 162 DB = 12 m ∴ BE = 1 2 × 12 = 6 m (b) sin x = 12 20 = 3 5 (c) EC2 = 62 + 82 EC = 10 m kos = – kos ∠BEC = – 6 10 = – 3 5 cos = – cos ∠BEC (a) tan ∠SRP = 1 2 6 PR = 1 2 ; PR = 12 cm ∴ PQ = 2 3 × 12 = 8 cm SQ2 = 62 + 82 SQ = 10 cm (b) kos ∠SQP = 8 10 = 4 5 cos ∠SQP (c) sin x = + sin ∠SQP = 6 10 = 3 5 D A x° 16 m 20 m B 8 m E C θ S x° P 6 cm Q R (a) sin y, (b) tan y. (a) y = sin x Latihan 13 Tentukan sama ada setiap graf yang berikut ialah graf fungsi bagi sinus, kosinus atau tangen. Determine whether each of the following graphs is a graph function of sine, cosine or tangent. TP1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri. TP 1 90° 270° 0 1 y x –1 (b) y = tan x 90° 270° 0 y x 6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen The Graph of Functions of Sine, Cosine and Tangent Contoh 13 Untuk tujuan pembelajaran Imbas atau layari https://www. youtube.com/watch?v=t9nzfwftFMc bagi menunjukkan kaedah melukis graf sinus dan kosinus Video Tutorial Video Tutorial 124 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 124 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 90° 0 y x 180° y = tan x 2 90° 0 1 y x –1 180° y = kos x/ cos x 3 90° 0 1 y x 180° y = sin x 4 90° 0 1 y x –1 270° y = kos x/ cos x Latihan 14 Lengkapkan jadual yang berikut dan lukis graf bagi setiap fungsi. TP 4 Complete the following tables and draw the graph of each function. TP4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 x 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360° y = sin x 0 0.5 0.87 1 0.87 0.5 0 –0.5 –0.87 –1 –0.87 –0.5 0 Nilai maksimum y = 1 Maximum value of y Nilai minimum y = –1 Minimum value of y 60° 0° 1 y x –1 120° 180° 240° 300° 360° x x x x x x x x x x x x 125 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 125 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
2 x 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360° y = kos x y = cos x 1 0.87 0.5 0 –0.5 –0.87 –1 –0.87 –0.5 0 0.5 0.87 1 Nilai maksimum y = 1 Maximum value of y Nilai minimum y = –1 Minimum value of y 3 x 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360° y = tan x 0 0.58 1.73 ∞ –1.73 –0.58 0 0.58 1.73 ∞ –1.73 –0.58 0 60° 0° 1 y x –1 120° 180° 240° 300° 360° x x x x x x x x x x 90° 0° 2 1 y x –2 –1 180° 270° 360° x x 126 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 126 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 15 Lakarkan graf setiap fungsi trigonometri berikut. TP 4 Sketch the graph of each of the following trigonometric functions. TP4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. (a) y = 4 sin x bagi 0° x 360° y = 4 sin x for 0° x 360° Penyelesaian (b) y = 2 kos 2x bagi 0° x 360° y = 2 cos 2x for 0° x 360° Penyelesaian y x 2 0 –2 360° 1 y = 5 kos x bagi 0° x 360° y = 5 cos x for 0° x 360° 2 y = 3 sin 2x bagi 0° x 360° y = 3 sin 2x for 0° x 360° 3 y = 2 sin 3x bagi 0° x 360° y = 2 sin 3x for 0° x 360° 4 y = 4 kos 1.5x bagi 0° x 360° y = 4 cos 1.5x for 0° x 360° y x 2 0 –2 360° y x 4 0 –4 360° x 360° y x 3 0 –3 360° y x 4 0 –4 360° Contoh 15 127 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 127 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 16 Lakarkan graf setiap fungsi trigonometri berikut. TP 4 Sketch the graph of each of the following trigonometric functions. TP4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 2 y = 2 sin 2x – 2 bagi 0° x 360° y = 2 sin 2x – 2 for 0° x 360° 3 y = 3 kos x + 1 bagi 0° x 360° y = 3 cos x + 1 for 0° x 360° 1 y = kos 2x – 2 bagi 0° x 360° y = 2 sin x + 3 bagi 0° x 360° y = cos 2x – 2 for 0° x 360° y = 2 sin x + 3 for 0° x 360° Penyelesaian y x 5 4 3 2 0 –2 –1 1 180° 360° y = 2 sin x + 3 y x 1 0 –1 –2 –3 360° y = kos 2x – 2 y x 4 0 –2 –3 3 360° y = 3 kos x + 1 y x 2 0 –2 –4 180° 360° y = 2 sin 2x – 2 Contoh 16 128 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 128 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 17 Lakarkan graf setiap fungsi trigonometri berikut. TP 4 Sketch the graph of each of the following trigonometric functions. TP4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 y = 10 tan 2x bagi/for 0° x 360° 2 y = 12 tan 1 2 x bagi/for 0° x 360° 3 y = 5 tan x – 10 bagi/for 0° x 360° y = 2 tan x bagi/for 0° x 360° Penyelesaian y x 2 0 45° 360° y 0 x 1 2 10 –10 360° y x –5 –10 0 360° y –12 12 0 360° Latihan 18 Selesaikan masalah-masalah berikut. TP 5 Solve the following problems. TP5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nisbah dan graf fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. Rajah di bawah menunjukkan graf y = sin x dan y = kos x untuk 0° x 360°. The diagram below shows the graphs of y = sin x and y = cos x for 0° x 360°. 2 1.5 1 0.5 –0.5 –1 –1.5 0 y = sin x 90° 180° 270° 360° A(p, 0.5) y = kos x/cos x B(240°, q) 45° 135° 225° 315° y Cari nilai bagi Find the values of (a) x jika sin x = kos x, x if sin x = cos x, (b) p dan q. p and q. Contoh 17 Contoh 18 129 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 129 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Rajah di bawah ialah graf sesaran lawan masa yang menunjukkan ayunan beban pada spring antara P dengan Q pada titik keseimbangan O. The diagram below is the displacement versus time graph showing the oscillation of a load on a spring between P and Q about the equilibrium point O. spring spring beban load Sesaran (cm) Displacement (cm) 3 –3 0 0.4 0.8 Masa (s) Time (s) P O Q (a) Nyatakan fungsi trigonometri yang diwakili oleh graf. State the trigonometric function which is represented by the graph. (b) Berapa lamakah yang diambil oleh beban itu untuk berayun dari P ke Q? How long does it take to oscillate from P to Q? (c) Bilakah beban itu kembali ke titik O buat kali pertama? When does the load return to point O for the first time? (a) Graf sinus/ Sine graph (b) Sesaran (cm) Displacement (cm) 3 –3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Masa (s) Time (s) P O Q Di P, t = 0.2 s dan di Q, t = 0.6 s At P, t = 0.2 s and at Q, t = 0.6 s Maka, masa yang diambil dari P ke Q Thus, the time taken from P to Q = (0.6 – 0.2) s = 0.4 s Penyelesaian (a) sin x = kos x/cos x Dari titik persilangan, From the points of intersection, x = 45°, 225° (b) A(p , 0.5) pada/on y = sin x 0.5 = sin p, 90° p 180°. Sudut tirus yang sepadan ialah sin–1 0.5 = 30° The corresponding acute angle is sin–1 0.5 = 30° p = 180° - 30° = 150° B(240°, q) pada/on y = kos x/cos x q = kos 240°/cos 240° = –kos (240° – 180°) = –kos 60° = –0.5 240° 60° 0 y x Sukuan III Quadrant III (c) Sesaran = 0 cm apabila beban itu kembali ke titik O. Displacement = 0 cm when the load returns to point O. ∴ Beban itu kembali ke titik O buat pertama kali pada 0.4 s. The load returns to point O for the first time at 0.4 s. 130 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 130 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Rajah 1 menunjukkan sebuah bulatan unit. Diagram 1 shows a unit circle. y x −1 −1 1 1 θ (−0.8, q) Rajah 1/Diagram 1 Cari nilai tan θ. Find the value of tan θ. A 0.75 C –0.8 B 0.8 D –0.75 2 Rajah 2 menunjukkan sebuah segi empat tepat PQRS. Diagram 2 shows a rectangle PQRS. TP Q R S Rajah 2/Diagram 2 Diberi bahawa PQ = 1 — 2 QR dan PT : TS = 1 : 3, cari nilai tan ∠PTR. Given that PQ = 1 ––2 QR and PT : TS = 1 : 3, find the value of tan ∠PTR. A 2 — 3 C – 2 — 3 B 3 — 2 D – 3 — 2 3 Dalam Rajah 3, QRST ialah suatu garis lurus. In Diagram 3, QRST is a straight line. x° P Q R S T 24 cm 7 cm Rajah 3/Diagram 3 Diberi PR = RS, cari nilai kos x°. Given PR=RS, find the value of cos x°. A – 7 —– 25 C 24 —– 25 B – 4 — 5 D 3 — 5 4 Diberi sin x + kos x = 0. Cari nilai x. Given sin x + cos x = 0. Find the value of x. A 45° dan/ and 135° B 45° dan/ and 225° C 135° dan/ and 315° D 225° dan/ and 315° 5 Rajah 4 menunjukkan sebuah bulatan unit. Diagram 4 shows a unit circle. y x O M(–0.866, 0.5) N(0.707, –0.707) Rajah 4/Diagram 4 Cari nilai sudut bagi sektor minor MON. Find the value of the angle of the minor sector MON. A 150o C 155o B 165o D 195o 6 Dalam Rajah 5, PQR ialah garis lurus dan PQ = QR. In Diagram 5, PQR is a straight line and PQ = QR. S P Q R k° Rajah 5/Diagram 5 Diberi bahawa PR = 16 cm dan SQ = 10 cm. Nilai bagi tan k° ialah Given that PR = 16 cm and SQ = 10 cm. The value of tan k° is A – 4 — 3 C – 3 — 5 B – 3 — 4 D – 4 — 5 7 Dalam Rajah 6, GKLM dan FGH ialah garis lurus. In Diagram 6, GKLM and FGH are straight lines. L M J K F G H q° p° Rajah 6/Diagram 6 Diberi bahawa GK = 18 cm, JL = 10 cm, GH = 14 cm dan kos p° = – 7 ––– 12 . Cari nilai bagi sin q°. Given that GK = 18 cm, JL = 10 cm, GH = 14 cm and cos p° = – 7 ––12 . Find the value of sin q°. A 4 — 5 C – 4 — 5 B 3 — 5 D – 3 — 5 8 Graf manakah yang mewakili graf y = sin x bagi 90º , x , 270°? Which graph represents the graph of y = sin x for 90° , x , 270°? A 90° 270° 1 –1 0 y x B 90° 270° 1 –1 0 y x C 90° 270° 1 –1 0 y x Praktis Berformat SPM Kertas 1 131 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 131 23/10/2023 2:03 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
D 90° 270° 1 –1 0 y x 9 Rajah 7 menunjukkan titik Q diplot pada suatu satah Cartes. Diagram 7 shows point Q plotted on a Cartesian plane. y x O θ Q(0.68, –0.73) Rajah 7/Diagram 7 Cari nilai θ. Find the value of θ. A 286o C 317o B 313o D 330o 10 Graf manakah yang mewakili y = –sin x bagi 0° x 180°? Which graph represents y = –sin x for 0° < x < 180°? A 90° 180° 1 –1 0 y x B 90° 180° 1 –1 0 y x C 90° 180° 1 0 y x D 90° 180° –1 0 y x 11 Graf manakah yang mewakili y = –tan x? Which graph represents y = –tan x? A 0 90° 270° y x B 0 90° 270° y x C 0 90° 270° y x D 0 90° 270° y x 12 Dalam Rajah 8, JKL ialah garis lurus dan JKMN ialah sebuah rombus. In Diagram 8, JKL is a straight line and JKMN is a rhombus. 8 cm 10 cm N M J K L Rajah 8/Diagram 8 Cari nilai bagi tan ∠JNM. Find the value of tan ∠JNM. A –0.8 B –0.75 C 0.75 D 0.8 13 Graf manakah yang mewakili y = kos x bagi 0° < x < 270°? Which graph represents y = cos x for 0° < x < 270°? A 0 270° y x B 0 270° y x C 0 270° y x D 270° 0 y x 14 Rajah 9 menunjukkan graf y = tan θ. Diagram 9 shows the graph of y = tan θ. 0 m n y θ Rajah 9/Diagram 9 Nilai bagi n – m ialah The value of n – m is A 45° B 90° C 135° D 180° 15 Dalam Rajah 10, O ialah asalan dan POQ ialah garis lurus pada satu satah Cartes. In Diagram 10, O is the origin and POQ is a straight line on a Cartesian plane. y x O Q β P(5, 12) Rajah 10/Diagram 10 Nilai bagi kos β ialah The value of cos β is A 5 — 13 B 12 — 13 C – 5 — 13 D – 12 — 13 132 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 132 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Kamsiah mempunyai sekeping bongkah kayu berbentuk segi empat tepat seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1. Dia ingin memotong blok itu kepada dua bahagian sepanjang QT dengan keadaan tan θ = –2.5 dan PT : TS = 2 : 1. Hitung panjang, dalam cm, TS. Kamsiah has a piece of rectangular wooden block as shown in Diagram 1. She wants to cut the block into two pieces along QT such that tan θ = -2.5 and PT : TS = 2 : 1. Calculate the length, in cm, of TS. [5 markah/marks] tan θ = -2.5 tan θ = –tan PTQ ∴ tan PTQ = 2.5 20 PT = 2.5 ∴ PT = 20 2.5 = 8 cm PT : TS = 2 : 1 PT TS = 2 1 8 TS = 2 TS = 4 cm 2 X(0.71, –0.71) ialah titik pada lilitan sebuah bulatan unit berpusat O. Sudut OX dari paksi-x positif ialah θ. Cari nilai sin θ, kos θ dan tan θ. X(0.71 , –0.71) is a point on the circumference of a unit circle with center O. The angle OX from the positive x-axis is θ. Find the values of sin θ, cos θ and tan θ. [4 markah/marks] y x 1 1 –1 –1 0 θ X(0.71, –0.71) sin θ = koordinat-y/ y-coordinate = –0.71 kos θ = koordinat-x/ x-coordinate = 0.71 tan θ = koordinat-y y-coordinate koordinat-x x-coordinate = –0.71 0.71 = –1.0 Rajah 1/Diagram 1 P T S Q R 20 cm θ Kertas 2 133 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 133 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
3 Dalam Rajah 2, PQR ialah segi tiga bersudut tegak dan PQS ialah garis lurus. Diberi bahawa PQ = 8 cm dan PR = 6 cm, cari nilai kos x. In Diagram 2, PQR is a right-angled triangle and PQS is a straight line. Given that PQ = 8 cm and PR = 6 cm, find the value of cos x. [3 markah/marks] Rajah 2/Diagram 2 R x P Q S 6 cm 8 cm Menggunakan Teorem Pythagoras, Using Pythagoras’ theorem QR = 62 + 82 = 10 m kos x = –kos PQR cos x = –cos PQR = – 8 10 = –0.8 4 Dalam Rajah 3, AEC ialah suatu garis lurus. In Diagram 3, AEC is a straight line. B C D A E q p 7 cm 24 cm 5 cm Rajah 3/Diagram 3 Diberi bahawa AE = EC, AB = 7 cm, BC = 24 cm dan CD = 5 cm. Cari nilai bagi Given that AE = EC, AB = 7 cm, BC = 24 cm and CD = 5 cm. Find the values of (a) sin p, (b) tan q. [5 markah/marks] (a) B A C p 7 cm 24 cm Menggunakan Teorem Pythagoras, Using Pythagoras’ theorem AC = 72 + 242 = 25 cm ∴ sin p = AB AC = 7 25 (b) A E C D q 12.5 cm 5 cm ∴ tan q = –tan DEC = – 5 12.5 = –0.4 134 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 134 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
5 Dalam setiap rajah berikut, cari nilai sin θ, kos θ dan tan θ. In each of the following diagrams, find the values of sin θ, cos θ and tan θ. (a) y (b) (c) x 1 1 –1 –1 0 θ P(–0.97, 0.26) y x 1 1 –1 –1 0 θ R(0.93, –0.37) y x 1 1 –1 –1 0 θ Q(–0.86, –0.52) [9 markah/marks] (a) sin θ = koordinat-y/ y-coordinate = 0.26 kos θ = koordinat-x/ x-coordinate cos θ = -0.97 tan θ = koordinat-y y-coordinate koordinat-x x-coordinate = 0.26 –0.97 = –0.27 (b) sin θ = koordinat-y/ y-coordinate = -0.52 kos θ = koordinat-x/ x-coordinate cos θ = -0.86 tan θ = koordinat-y y-coordinate koordinat-x x-coordinate = –0.52 –0.85 = 0.60 6 Cari nilai-nilai θ bagi setiap fungsi trigonometri berikut dengan keadaan 0° θ 360°. Find the values of θ for each of the following trigonometric functions such that 0° θ 360°. (a) sin θ = –0.6428 (b) kos/cos θ = 0.6820 (c) tan θ = –1.732 [9 markah/marks] (a) sin θ = –0.6428 = –sin 40° y x S A T C 320° 220° 40° 40° Sukuan/ Quadrant III 180° < θ < 270° Sukuan/ Quadrant IV 270° < θ < 360° θ = 180° + 40° atau/or θ = 360° – 40° = 220° = 320° θ = 220°, 320° (b) kos θ/ cos θ = 0.6820 = kos 47°/ cos 47° y x S A T C 313° 47° 47° Sukuan/ Quadrant I 0° < θ < 90° Sukuan/ Quadrant IV 270° < θ < 360° ∴ θ = 47° atau/ or 360° – 47° = 313° (c) tan θ = –1.732 = –tan 60° y x S A T C 120° 300° 60° 60° Sukuan/ Quadrant II 90° < q < 180° Sukuan/ Quadrant IV 270° < θ < 360° (c) sin θ = koordinat-y/ y-coordinate = -0.37 kos θ = koordinat-x/ x-coordinate cos θ = 0.93 tan θ = koordinat-y y-coordinate koordinat-x x-coordinate = –0.37 0.93 = –0.40 ∴ θ = 180° – 60° atau/ or θ = 360° – 60° = 120° = 300° θ = 120°, 300° 135 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 135 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
7 (a) Diberi bahawa tan x = 1.428 dan 90° x 270°, cari nilai x. Given that tan x = 1.428 and 90° x 270°, find the value of x. (b) Diberi bahawa kos y = -0.9511 dan 180° y 360°, cari nilai y. Given that cos y = -0.9511 and 180° y 360°, find the value of y. [8 markah/marks] (a) tan x = 1.428, 90° x 270° (b) kos y = –0.9511, 180° y 360° = tan 55° = –kos 18° ∴ x = 180° + 55° ∴ x = 180° + 18° = 235° = 198° y x S A T C 235° 55° Sukuan/ Quadrant III 180° < q < 270° y x S A T C 198° 18° Sukuan/ Quadrant III 180° < q < 270° 8 Dalam Rajah 4, PQR ialah tiang lampu menegak di tepi jalan. PA dan QB ialah dua kabel yang menahan tiang itu supaya kekal tegak. Q ialah titik tengah PR. Diberi bahawa PA = 10 m, AR = 8 m dan RB = 4 m, cari In Diagram 4, PQR is a vertical lamp post on the road side. PA and QB are two cables that keep the pole erect vertically. Q is a midpoint of PR. Given that PA = 10 m, AR = 8 m and RB = 4 m, find (a) tan x, (b) sin y. [8 markah/marks] Rajah 4/Diagram 4 10 m A 8 m R 4 m B P Q y x (a) Menggunakan Teorem Pythagoras, Using Pythagoras’ theorem PR = AP2 – AR2 = 102 – 82 = 6 m ∴ tan x = Sisi bertentangan/ opposite side Sisi bersebelahan/ adjacent side = 6 8 = 3 4 (b) Q ialah titik tengah PR/ Q is the midpoint of PR Maka/ Thus, PQ = QR = 3 m Menggunakan Teorem Pythagoras, Using Pythagoras Theorem, BQ = 32 + 42 = 5 m y ialah sudut cakah yang terletak pada sukuan II dengan keadaan nilai sin sahaja yang positif. y is an obtuse angle that lies on quadrant II where the sine is the positive value. sin y = sin BQR = 4 5 P Q R B y 3 m 5 m 4 m P A R x 10 m 8 m Sisi bersebelahan Adjacent side Sisi bertentangan Opposite side 136 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 136 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Rajah di sebelah menunjukkan segi empat tepat PQRS dengan panjangnya ialah dua kali lebarnya. M ialah titik tengah bagi PS. Cari nilai kos xo . KBAT Menilai The diagram on the right shows a rectangle PQRS with its length is twice its width. M is the midpoint of PS. Find the value of cos xo . MQ = (2a) 2 + (1 2 a) 2 = 17 4 a2 = 17 2 a kos/ cos ∠QMP = 17 2 a 1 2 a = 17 17 ∴ kos/ cos xo = –kos/ –cos ∠QMP = – 17 17 2 Dalam rajah, ∆JKL dan ∆KLM ialah segi tiga bersudut tegak. KJM dan LMN ialah garis lurus. In the diagram, ∆JKL and ∆KLM are right-angled triangles. KJM and LMN are straight lines. Diberi bahawa kos ∠JKL = 24 25 . Cari nilai tan x°. KBAT Menilai It is given that cos ∠JKL = 24 25 . Find the value of tan xo . kos/ cos ∠JKL = 24 25 = 48 50 LJ = 502 – 482 = 14 cm ∠LMJ = ∠KLJ tan ∠LMJ = tan ∠KLJ = 48 14 = 24 7 ∴ tan x = –tan ∠LMJ = – 24 7 3 Rajah berikut menunjukkan graf y = sin x dan y = kos x. The following diagram shows the graphs of y = sin x and y = cos x. Cari nilai p + q. KBAT Mengaplikasi Find the value of p + q. p = 45o dan/ and q = 225o p + q = 45 + 225 = 270o L M N x J o K 50 cm P S M Q R xo y p x q O L M N x J o K 50 cm 48 cm 14 cm P S M Q R xo a 1 2 a 2a Zon KBAT 137 06_Strategi A+ Math Tg5.indd 137 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
7.1 Serakan/ Dispersion 1 Bagi selang kelas 20 – 24, 20 ialah had bawah dan 24 ialah had atas. For the class interval 20 – 24, 20 is the lower limit and 24 is the upper limit. 2 Sempadan bawah suatu kelas = 1 — 2 (had atas kelas sebelumnya + had bawahnya) Lower boundary of the class = 1 — 2 (upper limit of the class before it + its lower limit) 3 Sempadan atas suatu kelas = 1 — 2 (had atasnya + had bawah kelas berikutnya) Upper boundary of the class = 1 — 2 (its upper limit + lower limit of the class after it) 4 Saiz selang kelas = sempadan atas – sempadan bawah kelas itu Size of a class interval = upper boundary – lower boundary of the class 5 Cara melukis histogram Ways of drawing histogram Kekerapan Frequency Kekerapan Frequency Kekerapan Frequency Markah Marks 12 10 8 6 4 2 0 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 Markah Marks 12 10 8 6 4 2 0 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 Markah Marks 12 10 8 6 4 2 0 22 27 32 37 42 Selang kelas Class interval Sempadan Boundary Titik tengah Midpoint 1 Julat = titik tengah selang kelas terakhir - titik tengah selang kelas pertama Range = midpoint of the last class interval – midpoint of the first class interval 2 Varians/ Variance, σ2 = ∑fx2 ∑f – (x –)2 atau/ or ∑fx2 ∑f – ∑fx ∑f 2 2 x = titik tengah selang kelas / midpoint of class interval 3 Sisihan piawai / Standard deviation, σ= ∑fx2 ∑f – ∑fx ∑f 2 2 Varians/Variance 4 Plot kotak/ Box plot Q1 = Kuartil pertama/ First quartile Q2 = Median/ Median Q3 = Kuartil ketiga/ Third quartile Q1 Q2 Q3 Nilai minimum Minimum value Nilai maksimum Maximum value Selang kelas Class interval 20 – 24 Had bawah Lower limit 20 Had atas Upper limit 24 Sempadan bawah Lower boundary 19.5 Sempadan atas Upper boundary 24.5 Saiz selang kelas Size of class interval 24.5 – 19.5 = 5 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul Measures of Dispersion for Grouped Data Bidang Pembelajaran: Statistik dan Kebarangkalian Revisi Pantas 7.2 Sukatan Serakan/ Measures of Dispersion i-THINK Peta Pokok 138 07A_Strategi A+ Math Tg5.indd 138 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Markah Marks 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 2 Umur Age 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 3 Masa (s) Time (s) 5.1 – 5.3 5.4 – 5.6 5.7 – 5.9 6.0 – 6.2 7.1 Serakan/ Dispersion Latihan 1 Lengkapkan jadual yang berikut dengan selang kelas yang seragam. TP 1 Complete the following tables with uniform class intervals. TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul Tinggi (cm) Height (cm) 1.0 – 1.4 Penyelesaian Tinggi (cm) Height (cm) 1.0 – 1.4 1.5 – 1.9 2.0 – 2.4 2.5 – 2.9 Selang kelas yang seragam bermakna kelas dengan julat yang sama. Uniform class interval means classes with the same range. Julat/ Range = 1.4 – 1.0 = 0.4 Latihan 2 Lengkapkan setiap jadual yang berikut. TP 2 Complete each of the following tables. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul Selang kelas/Class interval 45 – 49 90 – 99 3.1 – 3.4 Had bawah/Lower limit Had atas/Upper limit Sempadan bawah/Lower boundary Sempadan atas/Upper boundary Penyelesaian Selang kelas Class interval 45 – 49 90 – 99 3.1 – 3.4 Had bawah Lower limit 45 90 3.1 Had atas Upper limit 49 99 3.4 Sempadan bawah Lower boundary 44.5 89.5 3.05 Sempadan atas Upper boundary 49.5 99.5 3.45 Praktis PBD Contoh 1 Contoh 2 139 07A_Strategi A+ Math Tg5.indd 139 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 2 Skor/Score 40 – 44 45 – 49 50 – 54 Had bawah/Lower limit 40 45 50 Had atas/Upper limit 44 49 54 Sempadan bawah/Lower boundary 39.5 44.5 49.5 Sempadan atas/Upper boundary 44.5 49.5 54.5 Diameter/Diameter (cm) 3.1 – 3.4 3.5 – 3.8 3.9 – 4.2 Had bawah/Lower limit 3.1 3.5 3.9 Had atas/Upper limit 3.4 3.8 4.2 Sempadan bawah/Lower boundary 3.05 3.45 3.85 Sempadan atas/Upper boundary 3.45 3.85 4.25 Latihan 3 Tentukan sempadan bawah, sempadan atas dan saiz setiap selang kelas. TP 2 Determine the lower boundary, the upper boundary and the size of each class interval. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul Jisim (kg) Mass (kg) Sempadan bawah Lower boundary Sempadan atas Upper boundary Saiz selang kelas Size of class interval 55 – 59 54.5 59.5 5 60 – 64 59.5 64.5 5 65 – 69 64.5 69.5 5 70 – 74 69.5 74.5 5 Penyelesaian Jisim (kg) Mass (kg) Sempadan bawah Lower boundary Sempadan atas Upper boundary Saiz selang kelas Size of class interval 55 – 59 54.5 59.5 59.5 – 54.5 = 5 60 – 64 59.5 64.5 64.5 – 59.5 = 5 65 – 69 64.5 69.5 69.5 – 64.5 = 5 70 – 74 69.5 74.5 74 .5 – 69.5 = 5 1 Panjang (cm) Length (cm) Sempadan bawah Lower boundary Sempadan atas Upper boundary Saiz selang kelas Size of class interval 3.0 – 3.3 2.95 3.35 0.4 3.4 – 3.7 3.35 3.75 0.4 3.8 – 4.1 3.75 4.15 0.4 4.2 – 4.5 4.15 4.55 0.4 Contoh 3 Diberi selang kelas/Given class interval: 5 – 9 Saiz selang kelas/Size of class interval: 9 – 5 = 4 Kesilapan Umum 140 07A_Strategi A+ Math Tg5.indd 140 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Diameter (cm) Diameter (cm) Sempadan bawah Lower boundary Sempadan atas Upper boundary Saiz selang kelas Size of class interval 1.1 – 1.3 1.05 1.35 0.3 1.4 – 1.6 1.35 1.65 0.3 1.7 – 1.9 1.65 1.95 0.3 2.0 – 2.2 1.95 2.25 0.3 Latihan 4 Hitung titik tengah bagi setiap selang kelas yang berikut. TP 2 Calculate the midpoint of each of the following class intervals. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul (a) 35 – 39 Penyelesaian Titik tengah kelas Class midpoint = 35 + 39 2 = 37 (b) 0.4 – 0.8 Penyelesaian Titik tengah kelas Class midpoint = 0.4 + 0.8 2 = 0.6 1 21 – 29 21 + 29 2 = 25 2 80 – 89 80 + 89 2 = 84.5 3 5.5 – 5.9 5.5 + 5.9 2 = 5.7 4 120 – 124 120 + 124 2 = 122 5 0.6 – 0.8 0.6 + 0.8 2 = 0.7 6 27 – 32 27 + 32 2 = 29.5 7 90 – 94 90 + 94 2 = 92 8 170 – 179 170 + 179 2 = 174.5 9 0.05 – 0.09 0.05 + 0.09 2 = 0.07 2 Latihan 5 Lukis histogram berdasarkan jadual kekerapan yang berikut. TP 3 Draw a histogram based on each of the following frequency tables. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul untuk melaksanakan tugasan mudah Jisim (kg) Mass (kg) 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50 Kekerapan Frequency 4 8 12 6 4 Contoh 4 Titik tengah kelas = had bawah + had atas 2 Midpoint of a class = lower limit + upper limit 2 Tip Bestari Contoh 5 141 07A_Strategi A+ Math Tg5.indd 141 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Panjang (cm) Length (cm) Kekerapan Frequency 0.5 – 0.9 6 1.0 – 1.4 7 1.5 – 1.9 14 2.0 – 2.4 10 2.5 – 2.9 8 3.0 – 3.4 4 2 Tinggi (cm) Height (cm) Kekerapan Frequency 152 – 156 5 157 – 161 9 162 – 166 11 167 – 171 16 172 – 176 7 177 – 181 3 0 0.45 0.95 1.45 1.95 2.45 2.95 3.45 Panjang (cm) Length (cm) 14 12 10 8 6 4 2 Kekerapan Frequency 0 151.5 156.5 161.5 166.5 171.5 176.5 181.5 Tinggi (cm) Height (cm) 16 14 12 10 8 6 4 2 Kekerapan Frequency Penyelesaian Jisim (kg) Mass (kg) Kekerapan Frequency Sempadan bawah Lower boundary Sempadan atas Upper boundary 26 – 30 4 25.5 30.5 31 – 35 8 30.5 35.5 36 – 40 12 35.5 40.5 41 – 45 6 40.5 45.5 46 – 50 4 45.5 50.5 Kekerapan Frequency Jisim (kg) Mass (kg) 12 10 8 6 4 2 0 25.5 30.5 35.5 40.5 45.5 50.5 Jika selang skala bagi x yang pertama tidak bermula dengan 0, simbol pecah dilukis untuk menunjukkan ruang pada skala. If the first x-scale interval does not start at 0, a break symbol is drawn to show a gap in the scale. Laman Web Untuk tujuan pembelajaran Imbas atau layari http://www. matematik45.cikgunaza.com/2012/02/ histogram.html tentang langkah-langkah melukis histogram Laman Web 142 07A_Strategi A+ Math Tg5.indd 142 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Contoh 7 Latihan 6 Lengkapkan setiap jadual kekerapan longgokan yang berikut. TP 2 Complete each of the following cumulative frequency tables. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul Markah/Marks 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 Kekerapan/Frequency 3 11 15 17 4 Kekerapan longgokan Cumulative frequency Penyelesaian Markah/Marks 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 Kekerapan/Frequency 3 11 15 17 4 Kekerapan longgokan Cumulative frequency 3 3 + 11 = 14 14 + 15 = 29 29 + 17 = 46 46 + 4 = 50 1 Panjang (cm) Length (cm) Kekerapan Frequency Kekerapan longgokan Cumulative frequency 70 – 79 8 8 80 – 89 11 19 90 – 99 12 31 100 – 109 5 36 110 – 119 8 44 120 – 129 6 50 2 Skor Score Kekerapan Frequency Kekerapan longgokan Cumulative frequency 0 – 9 5 5 10 – 19 12 17 20 – 29 14 31 30 – 39 21 52 40 – 49 9 61 50 – 59 3 64 Markah Marks Kekerapan Frequency Kekerapan longgokan Cumulative frequency 65 – 69 3 3 70 – 74 5 8 75 – 79 9 17 80 – 84 12 29 85 – 89 6 35 90 – 94 5 40 Latihan 7 Lukis histogram longgokan berdasarkan data berikut. TP 3 Draw a cumulative histogram based on the data below. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul untuk melaksanakan tugasan mudah Penyelesaian 40 30 20 10 0 64.6 74.5 79.5 84.5 89.5 94.6 69.5 Markah Marks Kekerapan longgokan Cumulative frequency Contoh 6 Kekerapan longgokan bagi suatu data ialah hasil tambah kekerapan data itu dengan kekerapan-kekerapan sebelum selang kelas. Cumulative frequency of a class interval is the sum of its frequency and the frequencies before the class interval. Tip Bestari 143 07A_Strategi A+ Math Tg5.indd 143 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 2 Markah Marks Kekerapan Frequency Kekerapan longgokan Cumulative frequency 25 – 27 5 5 28 – 30 12 17 31 – 33 8 25 34 – 36 15 40 37 – 39 7 47 40 – 42 3 50 Masa (s) Time (s) Kekerapan Frequency Kekerapan longgokan Cumulative frequency 15.1 – 15.5 4 4 15.6 – 16.0 5 9 16.1 – 16.5 6 15 16.6 – 17.0 8 23 17.1 – 17.5 5 28 17.6 – 18.0 4 32 40 30 20 10 0 24.5 30.5 33.5 36.5 39.5 42.5 27.5 50 Markah Marks Kekerapan longgokan/ Cumulative frequency 20 15 10 5 0 15.05 16.05 16.55 17.05 17.55 18.05 15.55 25 30 35 Masa (s) Time (s) Kekerapan longgokan/ Cumulative frequency Penyelesaian 30 25 20 15 10 5 0 9.56.5 12.5 15.5 18.5 21.5 24.5 27.5 Kekerapan Frequency Jarak (km) Distance (km) Sambungkan titik–titik tengah dengan garis lurus. Join midpoints with straight lines. Tandakan titik tengah pada bahagian atas palang segi empat tepat. Mark midpoints at the tops of rectangular bars. Tandakan dua titik tengah pada dua selang kelas dengan kekerapan sifar. Mark midpoints at two class intervals with zero frequency. Kekerapan Frequency Jarak (km) Distance (km) 30 25 20 15 10 5 0 9.5 12.5 15.5 18.5 21.5 24.5 Latihan 8 Lukis poligon kekerapan daripada setiap histogram yang berikut. TP 3 Draw a frequency polygon from each of the following histograms. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang serakan dan sukatan serakan data terkumpul untuk melaksanakan tugasan mudah Contoh 8 Kekerapan Frequency Tidak ditutup Not enclosed Jarak (km) Distance (km) Kesilapan Umum 144 07A_Strategi A+ Math Tg5.indd 144 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 2 12 10 8 6 4 2 0 5.5 10.5 15.5 20.5 25.5 30.5 Jisim (kg) Mass (kg) Kekerapan Frequency 30 25 20 15 10 5 0 25.5 30.5 35.5 40.5 45.5 50.5 Jisim (kg) Mass (kg) Kekerapan Frequency Skor/Score 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 Kekerapan/ Frequency 1 5 10 8 4 2 Penyelesaian Skor Score Titik tengah Midpoint Kekerapan Frequency 20 – 29 24.5 1 30 – 39 34.5 5 40 – 49 44.5 10 50 – 59 54.5 8 60 – 69 64.5 4 70 – 79 74.5 2 Kekerapan Frequency Skor Score 10 8 6 4 2 0 24.514.5 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 Latihan 9 Lukis poligon kekerapan bagi setiap jadual kekerapan yang berikut. TP 4 Draw a frequency polygon from each of the following frequency tables. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan data terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah Tip Bestari Poligon kekerapan boleh juga dilukis daripada jadual kekerapan. Frequency polygon can also be drawn from frequency table. Kekerapan Frequency Markah Marks 20 15 10 5 0 59.5 64.5 69.5 74.5 79.5 84.5 89.5 Kekerapan Frequency Markah Marks 20 15 10 5 0 57 62 67 72 77 82 87 92 Poligon kekerapan menggunakan titik tengah Frequency polygon using midpoints Contoh 9 145 07A_Strategi A+ Math Tg5.indd 145 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Diameter (mm) Diameter (mm) Kekerapan Frequency 20.1 – 20.5 5 20.6 – 21.0 15 21.1 – 21.5 20 21.6 – 22.0 30 22.1 – 22.5 25 22.6 – 23.0 10 2 Panjang (cm) Length (cm) Kekerapan Frequency 70 – 72 10 73 – 75 25 76 – 78 18 79 – 81 35 82 – 84 20 85 – 87 15 88 – 90 5 Kekerapan/ Frequency 30 25 20 15 10 5 0 Diameter (mm) 19.8 20.3 20.8 21.3 21.8 22.3 22.8 23.3 Kekerapan/ Frequency 35 30 25 20 15 10 5 0 Panjang (cm) Length (cm) 68 71 74 77 80 83 86 89 92 146 07A_Strategi A+ Math Tg5.indd 146 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Contoh 10 Latihan 10 Bina jadual kekerapan longgokan dan lukis ogif yang mewakili maklumat itu. TP 4 Construct a cumulative frequency table and draw an ogive to represent the information. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan data terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah Masa yang diambil oleh 100 orang murid dari rumah mereka ke sekolah yang sama dicatatkan dalam jadual seperti yang ditunjukkan di bawah. Time taken by 100 students from their house to the same school were recorded in the table as shown below. Masa (minit) Time (minutes) 5 – 9 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 Kekerapan Frequency 7 18 19 21 17 12 6 Kekerapan longgokan Cumulative frequency Masa (minit) Time (minutes) 40 50 30 20 10 90 100 80 70 60 0 4.5 9.5 14.5 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 Penyelesaian (a) Masa (minit) Time (minutes) Kekerapan Frequency Sempadan atas Upper boundary Kekerapan longgokan Cumulative frequency 0 – 4 0 4.5 0 5 – 9 7 9.5 7 10 – 14 18 14.5 25 15 – 19 19 19.5 44 20 – 24 21 24.5 65 25 – 29 17 29.5 82 30 – 34 12 34.5 94 35 – 39 6 39.5 100 (b) Ogif perlu dilukis menggunakan lengkung licin. An ogive must be drawn using a smooth curve. Kekerapan longgokan Cumulative frequency 0 Markah/Marks Kesilapan Umum Ogif ialah graf kekerapan longgokan (kekerapan longgokan melawan sempadan atas). An ogive is a cumulative frequency graph (cumulative frequency against upper boundaries). Tip Bestari 147 07A_Strategi A+ Math Tg5.indd 147 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Jadual di bawah menunjukkan taburan panjang 160 batang pensel yang digunakan oleh murid. The table below shows the distribution of lengths of 160 pencils used by students. Panjang/ Length (mm) 90 – 99 100 – 109 110 – 119 120 – 129 130 – 139 140 – 149 150 – 159 Kekerapan/ Frequency 8 16 28 35 42 21 10 2 Jadual berikut menunjukkan jarak yang dilalui oleh 100 orang pelari dalam masa tertentu yang diperuntukkan. The following table shows the distances covered by 100 runners in a specific time allocated. Jarak/ Distance (km) 3.1 – 4.0 4.1 – 5.0 5.1 – 6.0 6.1 – 7.0 7.1 – 8.0 8.1 – 9.0 Kekerapan/ Frequency 11 29 34 16 7 3 Kekerapan longgokan/ Cumulative frequency 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Jarak (km) Distance (km) 3.05 4.05 5.05 6.05 7.05 8.05 9.05 x x x x x x x Sempadan atas Upper boundary Kekerapan longgokan Cumulative frequency 99.5 8 109.5 24 119.5 52 129.5 87 139.5 129 149.5 150 159.5 160 Jarak (km) Distance (km) Kekerapan longgokan Cumulative frequency 4.05 11 5.05 40 6.05 74 7.05 90 8.05 97 9.05 100 89.5 99.5 109.5 119.5 129.5 139.5 149.5 159.5 Kekerapan longgokan/ Cumulative frequency 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Panjang (mm) Length (mm) 148 07A_Strategi A+ Math Tg5.indd 148 23/10/2023 2:04 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B