Hayt. Buck. teoria electromagnetica

516 CAPÍTULO 14 Ondas guiadas y radiación

Sin tomar en cuenta las diferencias en las estructuras de los campos, la guía de onda de

placa dieléctrica opera de una manera cualitativamente similar a la guía de placas paralelas.

De nuevo, un número finito de modos discretos estará permitido a una determinada frecuen-

cia, y aumentará a medida que se incremente la frecuencia. Los modos de orden más eleva-
do se caracterizan porque tienen valores sucesivos menores de θ1.

Una diferencia importante en la guía de placas ocurre a la frecuencia de corte en cual-
quier modo. Se sabe que θ = 0 a la frecuencia de corte en las guías de onda metálicas. En la
guía de onda dieléctrica, a la frecuencia de corte, el ángulo de la onda, θ1, es igual al ángulo
crítico, θc. Entonces, a medida que se eleva la frecuencia de un determinado modo de propa-
gación, su valor θ1 aumenta más allá de θc, con el fin de conservar la resonancia transversal,
y a la vez mantener el mismo número de oscilaciones del campo en el campo transversal.

Sin embargo, a medida que el ángulo de la onda aumenta el carácter de los campos eva-

nescentes cambia significativamente. Esto puede comprenderse mejor si se considera la de-
pendencia angular de la onda en el coeficiente de decaimiento de la onda evanescente, γ2,
dada en (103). En esa ecuación, nótese que a medida que aumenta θ1 (conforme aumenta la
frecuencia), γ2 también aumenta, lo que conduce a una caída más rápida de los campos al
aumentar la distancia arriba y debajo de la placa. El modo, por lo tanto, se confina más drás-

ticamente a la placa conforme aumenta la frecuencia. Asimismo, a una frecuencia determi-

nada, los modos de orden más bajo, que tengan menores ángulos de onda, tendrán valores
menores de γ2, como lo indica la ecuación (103). En consecuencia, cuando se consideran
varios modos juntos propagándose a una sola frecuencia, los modos de mayor orden tendrán

un mayor porcentaje de su potencia, en las regiones superior e inferior alrededor de la pla-

ca, que los modos de menor orden.

Uno puede determinar las condiciones en las cuales los modos se propagarán utilizan-

do la condición de resonancia transversal, de la misma forma como se determinaron en el

caso de la guía de placas paralelas. Se llevó a cabo el análisis transversal de ida y vuelta en

la región de la placa, de la misma manera que se hizo en la sección 14.3 y se obtuvo una

ecuación similar a la ecuación (37):

κ1d + φTE + κ1d + φTE = 2mπ (109)

para las ondas TE y

κ1d + φTM + κ1d + φTM = 2mπ (110)

para el caso de ondas TM. Las ecuaciones (109) y (110) se conocen como ecuaciones de ei-

genvalores para la guía de onda de placas dieléctricas simétricas. Los corrimientos de fase
en la reflexión, φTE y φTM, son las fases de los coeficientes de reflexión, s y p, dadas en
(89) y (90). Éstos se calculan fácilmente, pero resulta que son funciones de θ1. Como se sa-
be, κ1 también depende de θ1, pero de una forma diferente a φTE y φTM. En consecuencia,
(109) y (110) son trascendentales en θ1, y no pueden resolverse en forma cerrada. En lugar
de eso, se deben utilizar métodos gráficos y numéricos (véanse las lecturas complementa-

rias 4 o 5). Sin embargo, a partir de esta solución se encuentra una muy simple condición a

la frecuencia de corte para cualquier modo TE o TM:

k0d n21 − n22 ≥ (m − 1)π (m = 1, 2, 3, . . .) (111)

Para que un modo m se propague, (111) debe ser válida. La interpretación física del nú-
mero de modo m es, de nuevo, el número de medios ciclos del campo eléctrico (para los mo-

1 4 . 7 Fibra óptica 517

dos TE) o del campo magnético (para los modos TM) que ocurren en la dimensión trans-
versal. Se puede ver que el modo de orden menor (m = 1) no tiene frecuencia de corte; es
decir, se propagará de la frecuencia cero en adelante. Así, se alcanzaría la operación en un
solo modo (en realidad, un solo par de modos TE y TM), si fuera posible asegurarse que los
modos m = 2 estuvieran por debajo de la frecuencia de corte. Utilizando (111) la condición
de propagación en un solo modo será, por lo tanto,

k0d n 2 − n 2 < π (112)
1 2

Utilizando k0 = 2π/λ, el rango de longitudes de onda en el que se presenta la operación en
una sola frecuencia es

λ > 2d n21 − n22 (113)

EJEMPLO 14.5

Una guía de onda de placa dieléctrica simétrica guía luz a una longitud de onda λ = 1.30 µm.

El grosor de la placa es d = 5.00 µm, y el índice de refracción del material que la rodea es

n2 = 1.450. Determínese el índice de refracción máximo permitido del material de la placa
que le permitirá operar en un solo modo TE y TM.

Solución. La ecuación (113) puede rescribirse en la forma

n1 < λ 2
2d
+ n22

De tal forma que

n1 < 1.30 2
2(5.00)
+ (1.450)2 = 1.456

¡Se puede ver claramente que las tolerancias de fabricación son muy exactas cuando se
construyen guías dieléctricas para operarse en un solo modo!

D14.11 Una placa delgada de 0.5 mm fabricada con vidrio (n1 = 1.45) está rodea-
da por aire (n2 = 1). La placa conduce luz infrarroja a una longitud de onda λ = 1.0 µm.
¿Cuántos modos TE y TM podrán propagarse?

Respuesta: 2102

14.7 Fibra óptica

La fibra óptica trabaja según el mismo principio que la guía de onda de placa dieléctrica,
excepto, desde luego, por la sección transversal circular. En la figura 14.10 se muestra una
fibra óptica de índice escalonado en la que un núcleo de alto índice de refracción, de radio
a, está rodeado por una revestimiento con menor índice de refracción, de radio b. La luz se
confina en el núcleo de la fibra por medio del mecanismo de reflexión total, pero de nuevo,
alguna fracción de la potencia también reside en el recubrimiento. Como se observó en la
guía de placas, la potencia en el revestimiento se transfiere de nuevo hacia el núcleo a me-

518 CAPÍTULO 14 Ondas guiadas y radiación

dida que aumenta la frecuencia. Además, de la misma forma que en la guía de onda de pla-
cas, la fibra soporta un modo que no tiene frecuencia de corte.

El análisis de la fibra óptica es complicado. Esto se debe, sobre todo, a la sección trans-
versal circular, aunado al hecho de que, por lo general, es un problema en tres dimensiones;
en la guía de ondas de placas sólo eran dos dimensiones las que interesaban. Es posible ana-
lizar la fibra utilizando rayos dentro del núcleo que se reflejen en la frontera del revestimien-
to a medida que la luz se propaga por la fibra. Esto se hizo con la guía de placas y se
obtuvieron resultados de manera muy rápida. Sin embargo, este método es difícil de aplicar
en la fibra debido a que las trayectorias de los rayos son complicadas. Existen dos tipos de
rayos en el núcleo: (1) los que pasan a través del eje de la fibra (eje z), conocidos como ra-
yos meridionales, y (2) aquellos que evitan pasar por el eje pero se propagan en una trayec-
toria en espiral. Éstos se conocen como rayos oblicuos; su análisis, aunque es posible, es muy
tedioso. Se han desarrollado modos de la fibra que puedan asociarse con los tipos de rayos
individuales, o con combinaciones de éstos, pero es más fácil obtenerlos resolviendo de ma-
nera directa la ecuación de onda. El propósito de esta sección es ofrecer una primera exposi-
ción acerca del problema de las fibras ópticas (y evitar un tratamiento excesivamente largo).
Esto se logrará resolviendo los casos más sencillos de la forma más rápida posible.

La configuración más simple es la de índice escalonado, pero con índices de refracción
del núcleo y revestimiento muy parecidos, esto es, n1 =˙ n2. Ésta es la condición de guiado
débil, cuyo efecto en la simplificación del análisis es muy significativo. Ya se estudió cómo
los índices de refracción del núcleo y del revestimiento en la guía de onda de placas nece-
sitan ser muy parecidos en valor con el fin de lograr la operación en un solo modo o en unos
cuantos modos. Los fabricantes de fibras ópticas han tomado muy en serio este resultado,
de tal manera que la condición de guiado débil es, de hecho, cumplida en la mayoría de las
fibras ópticas disponibles en el mercado actualmente. Las dimensiones típicas de una fibra
óptica monomodo es entre 5 y 10 µm de diámetro del núcleo, y un diámetro del revesti-
miento por lo general de 125 µm. La diferencia de índice de refracción entre el núcleo y el
revestimiento es, típicamente, de una pequeña fracción del 1 por ciento.

El resultado principal de la condición de guiado débil es que aparece un conjunto de
modos, en el cual cada modo está polarizado linealmente. Esto significa que la luz con po-
larización x, por ejemplo, ingresará a la fibra y se establecerá como un modo o como un con-
junto de modos que conserven la polarización x. El campo magnético es esencialmente
ortogonal a E y, en este caso, estará en la dirección de y. Las componentes de z de ambos
campos, aunque están presentes, son muy débiles para ser muy significativos; los casi idén-
ticos índices de refracción del núcleo y del revestimiento generan trayectorias en los rayos
que son esencialmente paralelos al eje de la guía, desviándose sólo muy ligeramente. De he-
cho, se puede escribir para un determinado modo, Ex =˙ ηHy, cuando η se aproxima a la im-
pedancia intrínseca del revestimiento. Por lo tanto, en la aproximación del guiado débil, los
campos modales de la fibra se tratan como ondas planas (no uniformes, por supuesto). La
designación de estos modos es LP m, que quiere decir polarizado linealmente con paráme-
tros de orden enteros y m. Este último expresa los números de variaciones en las dos di-
mensiones en el plano transversal circular. Específicamente, , el número de modo azimutal,
es la mitad del número de densidad de potencia máxima (o mínima) que ocurre en un radio
determinado, a medida que φ varía de 0 a 2π. m, el número de modos radiales, expresa el
número de máximos que se presentan a lo largo de una línea radial (a una φ constante) que
se extiende desde cero hasta el infinito.

Aunque se puede suponer un campo polarizado linealmente en un sistema de coorde-
nadas cartesiano, por razones obvias se está obligado a trabajar en coordenadas cilíndricas.

1 4 . 7 Fibra óptica 519

De una forma que hace recordar el capítulo 7, es posible escribir el campo eléctrico fasorial
polarizado en x dentro de una fibra óptica cilíndrica de guiado débil como un producto de
tres funciones, cada una de las cuales varía con una de las coordenadas variables, ρ, φ y z:

Exs(ρ, φ, z) = Ri (ρ) i (φ) exp(− jβi z) (114)

i

Cada término de la suma es un modo independiente en la fibra. Nótese que la función z es
justamente el término de propagación, e−jβz, puesto que se está suponiendo una fibra sin pér-
didas infinitamente larga.

La ecuación de onda es la ecuación (58), la cual puede escribirse para la supuesta com-
ponente x de Es, pero en la que el operador laplaciano está escrito en coordenadas cilíndricas:

1∂ ρ ∂ 2 Exs + 1 ∂2 Exs + (k2 − β2)Exs = 0 (115)
ρ ∂ρ ∂ρ ρ2 ∂φ2

donde se reconoce que la operación ∂2/∂z2, cuando se aplica a (114), se obtiene un factor de
−β2. Ahora se sustituye un solo término de (114) en (115) [puesto que cada término en
(114) debe satisfacer por sí mismo la ecuación de onda]. Eliminando el subíndice i, expan-

diendo la derivada radial y reordenando términos, se obtiene:

ρ2 d2R + ρ dR + ρ2(k2 − β2) = − 1 d2 (116)
R dρ2 R dρ dφ2

22

Nótese que el lado izquierdo de (116) varía solamente con ρ, mientras que el lado derecho
lo hace sólo con φ. Puesto que las dos variables son independientes, se deduce que cada la-
do de la ecuación debe ser igual a una constante. Llamando a esta constante 2, como se
muestra, se pueden escribir ecuaciones independientes para cada lado de la ecuación; las va-
riables están ahora separadas:

d2 2 =0 (117a)
dφ2 +

d2R 1 dR 2 R=0 (117b)
dρ2 + ρ dρ +
k2 − β2 − ρ2

La solución de (117a) es de la forma de seno o coseno de φ:

(φ) = cos( φ + α) (118)
sen( φ + α)

donde α es una constante. La forma de (118) hace que debe ser entero, puesto que el mis-
mo campo modal deberá presentarse en el plano transversal, ya que φ cambia en 2π radia-
nes. Puesto que la fibra óptica es redonda, la orientación de los ejes x y y en el plano
transversal es inmaterial, por lo que se puede seleccionar la función coseno y fijar el valor
de α = 0. Por lo tanto, se utilizará (φ) = cos( φ).

La solución de la ecuación (117b) con el fin de obtener la función radial es más com-
plicada. La ecuación (117b) es una forma de la ecuación de Bessel, cuyas soluciones son

520 CAPÍTULO 14 Ondas guiadas y radiación

funciones de Bessel de varias formas. El parámetro clave es la función βt ≡ (k2 − β2)1/2, cu-
yo cuadrado aparece en (117b). Nótese que βt será diferente en las dos regiones: Dentro del
núcleo (ρ < a), βt = βt1 = 2 k21 − β2)1/2; (ρ > a), se tiene βt = βt2
(n 1 dentro del revestimiento

= (n22 k 2 − β2)1/2. Dependiendo de las magnitudes relativas de k y β, βt puede ser real o ima-
2

ginario. Estas posibilidades conducen a las dos formas de solución de (117b):

R(ρ) = A J (βt ρ) βt real (119)
B K (|βt |ρ) βt imaginario

donde A y B son constantes. J (βtρ) es la función Bessel ordinaria de primer tipo, de orden
y de argumento βtρ. K (|βt|ρ) es la función Bessel modificada del segundo tipo, de orden y
tiene un argumento |βt|ρ. Los dos primeros órdenes de cada una de estas funciones se ilus-
tran en las figuras 14.22a y b. En este estudio es necesario conocer con precisión los cruces

1
0.8

0.6

0.4

0.2

0

2 46 8 10 12 14

–0.2

–0.4

a)

4

3

2

1

0
0 123

b)

Figura 14.22 a) Funciones de Bessel
ordinarias del primer tipo, de órdenes 0 y 1, y
de argumento βtρ, donde βt es real. b)
Funciones de Bessel modificadas del segundo
tipo, de órdenes 0 y 1 y de argumento |βt|ρ,
donde βt es imaginario.

1 4 . 7 Fibra óptica 521

por cero de las funciones J0 y J1. Las que se muestran en la figura 14.22a son las siguien-
tes: para J0, los ceros son 2.405, 5.520, 8.654, 11.792 y 14.931. Para J1, los ceros son 0,
3.832, 7.016, 10.173 y 13.324. Otros tipos de funciones de Bessel podrían ayudar a obtener
las soluciones de la ecuación (119), sin embargo, exhibirían un comportamiento no físico
con el radio, por lo que no se incluyen aquí.

Después es necesario determinar cuál de las soluciones es adecuada para cada región.
Dentro del núcleo (ρ < a) se espera obtener una solución oscilatoria para el campo, de ma-
nera muy parecida a la que se encontró en la guía de onda conductora. Por lo tanto, se asig-
nan las soluciones de las funciones ordinarias de Bessel a esa región, requiriendo que
βt1 = (n21k02 − β2)1/2 sea real. En el revestimiento (ρ > a) se espera que las ondas de superficie
disminuyan en amplitud al aumentar el radio con respecto a la frontera núcleo/revestimiento.
Las funciones K de Bessel proporcionan este comportamiento y se aplicarán si βt2 es ima-
ginaria. Una vez requerido lo anterior, se puede escribir, por lo tanto |βt2| = (β2 − n22k02)1/2. La
disminución de la amplitud del campo al aumentar el radio dentro del revestimiento permite des-
preciar el efecto de la frontera exterior del revestimiento (en ρ = b), ya que los campos ahí
se consideran muy débiles para que esta frontera tenga algún efecto sobre el campo modal.

Puesto que βt1 y βt2 están en unidades de m−1, es conveniente normalizar estas cantida-
des (a la vez que considerarlas sin dimensiones) multiplicando ambas por el radio, a, del nú-
cleo. Los nuevos parámetros normalizados se transforman en

u ≡ aβt1 = a n12k02 − β2 (120a)

w ≡ a|βt2| = a β2 − n22k02 (120b)

u y w son análogos a las cantidades κ1d y κ2d en la guía de onda de placa. Como con esos
parámetros β es la componente en z de tanto n1k0 como de n2k0 y es la constante de fase del
modo guiado. β debe ser igual en ambas regiones, de tal forma que las condiciones de fron-

tera del campo se habrán satisfecho en ρ = a para todo z y t.

Ahora se puede construir la solución total de Exs para un solo modo guiado, utilizando
(114) junto con (118), (119), (120a) y (120b):

Exs = E0 J (uρ/a) cos( φ)e− jβz ρ≤a (121)
E0[J (u)/K (w )]K (wρ/a) cos( φ)e− jβz ρ≥a

Nótese que el valor del coeficiente A en (119) se ha hecho igual a E0, y B = E0 [J
(u)/K (w)]. Estas elecciones aseguran que las expresiones de Exs en las dos regiones sean
iguales a ρ = a, una condición que es casi válida siempre y cuando n1 =˙ n2 (la aproxima-
ción del guiado débil).

De nuevo, la condición del guiado débil también permite la aproximación H =˙ E/η,

donde η es la impedancia intrínseca del revestimiento. Habiendo calculado Es y Hs se
puede encontrar la densidad de potencia promedio modal LP m (o intensidad luminosa), a
través de,

| S |= 1 Re{Es × Hs∗} = 1 Re{ Ex s Hy∗s } = 1 | E xs |2 (122)
2 2 2η

522 CAPÍTULO 14 Ondas guiadas y radiación

Sustituyendo (121) en (122), se obtiene la intensidad modal en W/m2

I m = I0 J 2 uρ cos2( φ) ρ≤a (123a)
a

I m = I0 J (u) 2 wρ cos2( φ) ρ≥a (123b)
a
K (w) K2

donde I0 es el valor de intensidad pico. La finalidad del número modal azimutal , como es
evidente en (123a) y (123b), es determinar el número de variaciones de intensidad alrede-
dor del círculo, 0 < φ < 2π; también determina el orden de las funciones de Bessel que se
utilizarán. La influencia del número modal radial, m, no es aparente de forma inmediata en

las ecuaciones (123a) y (123b). En pocas palabras, m determina el rango de los valores per-
mitidos de u en la función de Bessel, J(uρ/a). A un valor mayor de m, mayores serán los va-
lores permitidos de u; con un valor grande de u la función de Bessel efectúa un mayor
número de oscilaciones en el rango 0 < ρ < a, y, por lo tanto, más variaciones de intensidad
radial se presentan al aumentar m. En la guía de ondas de placa el número de modo (tam-
bién llamado m) determina los rangos permitidos de κ1. Como se vio en la sección 14.6, au-
mentar κ1 a una frecuencia determinada significa que el rayo en la placa se propaga más
cerca de la perpendicular (θ1 muy pequeño) y, por lo tanto, más oscilaciones espaciales del
campo se presentan en la dirección transversal (m más grande).

La etapa final en el análisis consiste en obtener una ecuación a partir de la cual puedan
determinarse los valores de los parámetros modales (u, w y β, por ejemplo) para una frecuen-
cia de operación y construcción de fibra determinados. En la guía de ondas de placa se en-

contraron dos ecuaciones, (109) y (110), que usaban argumentos de resonancia transversal

y éstos estaban asociados con las ondas TE y TM en la placa. En la fibra óptica no se apli-

ca la resonancia transversal directamente, sino implícitamente, haciendo que todos los cam-
pos satisfagan las condiciones de frontera en la interfase núcleo/revestimiento, ρ = a.7 Se
han aplicado las condiciones en los campos transversales para obtener la ecuación (121). La

condición que falta es la continuidad de las componentes en z de E y H. En la aproxima-

ción del guiado débil se han despreciado todas las componentes en z; sin embargo, se con-

siderarán ahora en este último ejercicio. Utilizando la ley de Faraday en su forma escalar, la
continuidad de Hzs en ρ = a es la misma que la continuidad de la componente en z de ∇ × Es,
siempre y cuando µ = µ0 (o tiene el mismo valor) en ambas regiones. Específicamente

(∇ × Es1)z ρ=a = (∇ × Es2)z ρ=a (124)

El procedimiento comienza expresando el campo eléctrico en (121) en términos de las com-
ponentes ρ y φ y, después, aplicando (124). Éste es un procedimiento muy largo y se deja
como ejercicio (o, también, puede encontrarse en la lectura complementaria 5). El resultado

7 Recuérdese que las ecuaciones del coeficiente de reflexión (89) y (90), a partir de la cual se determina el corri-
miento de fase de la reflexión utilizada en la resonancia transversal, originalmente proviene de la aplicación de las
condiciones de frontera del campo.

1 4 . 7 Fibra óptica 523

es la ecuación del eigenvalor para los modos LP en la fibra óptica de índice escalonado de
guiado débil:

J −1(u) = − w K −1(w ) (125)
J (u) u K (w)

Esta ecuación, así como la (109) y (110) son trascendentales y deben resolverse, numérica
o gráficamente, para u y w. Este ejercicio, desde cualquier punto de vista, está más allá del
alcance del presente tratamiento. En lugar de ello, de la ecuación (125) se obtendrán las con-
diciones de corte para un modo determinado, así como algunas propiedades del modo más
importante: para el que no tiene frecuencia de corte, y que, por lo tanto, es el modo presen-
te en las fibras ópticas tipo monomodo.

La solución de (125) se facilita observando que u y w pueden combinarse para dar un
nuevo parámetro independiente de β y que sólo depende de la construcción de la fibra óp-
tica y de la frecuencia de operación. Este nuevo parámetro, llamado frecuencia normaliza-
da, o número V, se encuentra utilizando las ecuaciones (120a) y (120b):

V≡ u2 + w2 = ak0 n 2 − n 2 (126)
1 2

Se puede observar que es factible lograr un incremento en V a través de un incremento en
el radio del núcleo, en la frecuencia o en la diferencia de índices de refracción.

La condición de corte para un determinado modo puede encontrarse a partir de la ecua-
ción (125) en conjunto con la (126). Para hacer esto se advierte que el corte en una guía die-
léctrica significa que cesa la reflexión total en la frontera núcleo/revestimiento, y la potencia
comienza en ese momento a propagarse radialmente hacia fuera del núcleo. El efecto sobre
el campo eléctrico de la ecuación (121) es generar un campo en el revestimiento que no dis-
minuye al incrementarse el radio. Esto ocurre en la función de Bessel modificada, K(wρ /a),
cuando w = 0. Ésta es la condición general de corte, la cual se aplica ahora a (125), y cuyo
lado derecho se hace cero cuando w = 0. Esto lleva a obtener valores de corte de u y V (uc
y Vc) y, por (126), uc = Vc. La ecuación (125) a la frecuencia de corte se transforma en:

J −1(Vc) = 0 (127)

Encontrar la condición de corte para un modo determinado es cuestión de encontrar el cero

adecuado en la función de Bessel ordinaria relevante, como está determinada en la ecuación

(127). Ésta da el valor de V en el corte para ese modo.

Por ejemplo, el modo de orden más bajo es el más sencillo de la estructura; por lo tan-
to, no tiene variaciones en φ y una variación (un mínimo) en ρ. La designación de este mo-
do es, por lo tanto, LP01 y con = 0, (127) da la condición de corte conforme J−1(Vc) = 0.
Puesto que J−1 = J1 (lo que es válido solamente para la función de Bessel J1), se toma el
primer cero de J1, el cual es Vc(01) = 0. Por lo tanto, el modo LP01 no tiene frecuencia de
corte y se propagará a excepción de los demás modos, siempre y cuando el valor de V de la

fibra sea mayor a cero pero menor a Vc para el modo de mayor orden siguiente. Al revisar
la figura 14.22a se advierte que la siguiente función cero de Bessel es 2.405 (para la fun-
ción J0). Por lo tanto, − 1 = 0 en (126) y = 1 para el modo de mayor orden siguiente.
Asimismo, se utiliza el valor más bajo de m (m = 1), y el modo es, por lo tanto, idéntico a
LP11. Su frecuencia de corte V es Vc(11) = 2.405. Si se seleccionara m = 2, se obtendría el

524 CAPÍTULO 14 Ondas guiadas y radiación

número V a la frecuencia de corte para el modo LP12. Se utiliza el siguiente cero de la fun-
ción J0, el cual es 5.520 o Vc(12) = 5.520. De esta forma, el número de modo radial, m,
numeraría los ceros de la función de Bessel de orden −1, tomados en orden creciente
en su valor.

Cuando se sigue el razonamiento que se acaba de describir, la condición de operación
monomodo en una fibra óptica de índice escalonado se encuentra que es

V < Vc(11) = 2.405 (128)
Entonces, utilizando (126) junto con k 0 = 2π/λ, se encuentra que

2π a n12 − n22 (129)
λ > λc = 2.405

el cual es el requerimiento en cuanto a la longitud de onda en el espacio libre para lograr la

operación en un monomodo en una fibra de índice escalonado. El parecido con la condición

monomodo en guías de onda de placas [ec. (113)] es aparente. La longitud de onda de cor-
te, λc, es la del modo LP11. Su valor es considerado como una especificación para la mayo-
ría de las fibras ópticas monomodo en el mercado.

EJEMPLO 14.6

La longitud de onda de onda de corte en una fibra óptica de índice escalonado es λc = 1.20 µm.
Si la fibra opera a una longitud de onda λ = 1.55 µm, ¿cuál es el valor de V?

Solución. Utilizando (126) y (129), se encuentra que

V = 2.405 λc = 2.405 1.20 = 1.86
λ 1.55

Los perfiles de intensidad de los primeros dos modos pueden encontrarse utilizando

(123a) y (123b), una vez determinados los valores de u y w para cada modo a partir de

(125). Para el modo LP01, se tiene

⎧
⎨I0 J02(u01ρ/a) ρ≤a
I01 = ⎩I0 ρ≥a (130)
J0 (u 01 ) 2
K 0 (w 01 )
K 02 (w 01 ρ /a )

y para el modo LP11, se tiene,

⎧
⎨I0 J12(u11ρ/a) cos2 φ ρ≤a
I11 = ⎩I0 ρ≥a (131)
J1 (u 11 ) 2
K 1 (w 11 )
K12(w11ρ/a) cos2 φ

Las dos intensidades están graficadas en la figura 14.23, para un solo valor de V, en función
del radio en φ = 0. Se puede observar, de nuevo, el confinamiento menor del modo de or-
den mayor, en el núcleo, como también sucedió en el caso de la guía de ondas de placa.

A medida que V aumenta (esto se logra aumentando la frecuencia, por ejemplo), los
modos existentes se confinan más severamente en el núcleo, mientras que los nuevos mo-
dos de orden superior se comienzan a propagar. El comportamiento del modo de orden más

1 4 . 7 Fibra óptica 525

Figura 14.23 Gráficas de intensidad de las ecuaciones (130) y (131) de los

dos primeros modos LP en una fibra de índice escalonado de guiado débil, en

función del radio normalizado, ρ/ a. Ambas funciones se evaluaron a la misma
frecuencia de operación; el confinamiento relativamente débil del modo LP11
comparado con el del modo LP01 es evidente.

bajo al cambiar V se muestra en la figura 14.24, donde se observa de nuevo que el modo queda

confinado más severamente a medida que se incrementa V. En la determinación de las intensi-

dades, la ecuación (125) debe, en general, resolverse numéricamente para obtener u y w. Exis-

ten varias aproximaciones analíticas a la solución numérica exacta; la mejor es la fórmula

de Rudolf-Neumann para el modo LP01, la cual es válida en el rango de 1.3 < V < 3.5:

w01 =. 1.1428V − 0.9960 (132)

Una vez obteniéndose w01, se puede encontrar u01 a partir de (126) si se conoce V.
Otra simplificación importante del modo LP01 es la aproximación de su perfil de intensi-

dad a una función gaussiana. Una inspección a cualquiera de las gráficas de intensidad de la fi-

gura 14.24 muestra un gran parecido a una función gaussiana, la cual puede expresarse como

I01 ≈ I0e−2ρ2/ρ02 (133)

donde ρ 0, llamado radio del campo modal, se define como el radio a partir del eje de la fi-
bra, en el que la intensidad modal cae 1/e2 veces de su valor sobre el eje. Este radio depen-
de de la frecuencia y, de manera más general, de V. Una aproximación similar puede hacerse
para la intensidad modal de la guía de placas simétrica fundamental. En el caso de las fibras
de índice escalonado, el mejor ajuste entre la aproximación gaussiana y la intensidad modal
real dada en (130) está dado por la fórmula de Marcuse:

ρ0 ≈ 0.65 + 1.619 + 2.879 (134)
a V 3/2 V6

El radio de campo modal (a la longitud de onda citada) es otra especificación importante
(junto con la longitud de onda de corte) de las fibras ópticas comerciales tipo monomodo.

526 CAPÍTULO 14 Ondas guiadas y radiación

Figura 14.24 Gráficas de intensidad del modo LP01 en una fibra
de índice escalonado de guiado débil. Se muestran los trazos para
V = 1.0 (línea continua), V = 1.2 (línea discontinua) y V = 1.5 (línea
punteada), correspondientes a los incrementos de frecuencia en
esas proporciones. Las líneas verticales punteadas indican la
frontera del núcleo/revestimiento, a la que, en todos los casos,
la dependencia radial de J0 en el núcleo se conecta con la
dependencia radial de K0 en el revestimiento, como lo demuestra
la ecuación (130). La migración de la potencia del modo hacia el
eje de la fibra a medida que la frecuencia aumenta es evidente.

Es importante conocerla por diferentes razones: primera, en el empalme o conexión de dos
fibras ópticas monomodo se obtendrá la menor pérdida de conexión si ambas fibras tienen
el mismo radio de campo modal y si ambos ejes de las fibras están exactamente alineados.
Como consecuencia de una diferencia de radios o de un desplazamiento entre los ejes se
puede tener una pérdida considerable, que puede calcularse y compararse con la ayuda de
mediciones. La tolerancia de alineación (desviación permitida con respecto a una alineación
de ejes muy precisa) no es tan estricta si las fibras tienen radios de campo modal más gran-
des. Segunda, un radio de campo más pequeño significa que existe menos probabilidad de
que la fibra sufra de pérdidas como resultado de dobleces. Un modo confinado con pérdi-
das tiende a radiar más energía hacia fuera a medida que la fibra se dobla. Por último, el
radio de campo modal está directamente relacionado con la constante de fase del modo, β,
puesto que si u y w son conocidos (si se obtuvieron a partir de ρ 0), el valor de β puede en-
contrarse a partir de (120a) y (120b). Por lo tanto, un conocimiento de cómo cambia β con
la frecuencia (lo que conduce a la cuantificación de la dispersión) puede encontrarse a tra-
vés de la medición del cambio con respecto a la frecuencia del radio del campo modal. De
nuevo, las lecturas complementarias 4 y 5 (y las referencias ahí citadas) ofrecen un trata-
miento más detallado.

D14.12 Para la fibra del ejemplo 14.6, el radio del núcleo está dado como a = 5
µm. Encuéntrese el radio de campo modal a las longitudes de onda a) 1.55 µm;
b) 1.30 µm;

Respuesta: 6.78 µm; 5.82 µm