Hayt. Buck. teoria electromagnetica

5 . 6 Semiconductores 131

y han recibido suficiente energía (por lo general térmica) para atravesar la relativamente an-
gosta banda prohibida y llegar a la banda de conducción. La banda prohibida del espacio de
energía en los semiconductores comunes es más o menos de un electrón-volt. Las vacantes
dejadas por estos electrones son estados de energía no ocupados en la banda de valencia, los
cuales pueden moverse de un átomo a otro dentro del cristal. La vacante es llamada hueco,
y muchas propiedades de los semiconductores se describen tratando el hueco como si tuvie-
ra una carga positiva de e, una movilidad µh y una masa efectiva comparable a la del elec-
trón. Ambos portadores se mueven en un campo eléctrico en direcciones opuestas; así, cada
forma contribuye a una corriente total, la cual es en la misma dirección para ambas. La con-
ductividad entonces es una función de las concentraciones y movilidades tanto de huecos
como de electrones,

σ = −ρeµe + ρhµh (17)

Para el silicio puro, o intrínseco, las movilidades de los huecos y de los electrones son
0.12 y 0.025, respectivamente, mientras que para el germanio éstas son 0.36 y 0.17, respec-
tivamente. Estos valores están dados en metros cuadrados por volt-segundo y están en un in-
tervalo de 10 a 100 veces la del aluminio, cobre, plata y otros conductores metálicos.6 Las
movilidades citadas son válidas a una temperatura de 300°K.

La concentración de electrones y huecos depende significativamente de la temperatu-
ra. A 300°K la densidad volumétrica, tanto de electrones como de huecos, es de 0.0024
C/m3 en silicio intrínseco y de 3.0 C/m3 en germanio puro. Estos valores dan una conduc-
tividad de 0.00035 S/m en el silicio y de 1.6 S/m en el germanio. Conforme la tempera-
tura aumenta, las movilidades disminuyen, pero las densidades aumentan muy
rápidamente. Como resultado, la conductividad del silicio aumenta por un factor de 10
cuando la temperatura se incrementa desde 300°K hasta aproximadamente 330°K, y decre-
ce por un factor de 10 cuando la temperatura disminuye de 300°K hasta aproximadamente
275°K. Obsérvese que la conductividad de un semiconductor intrínseco aumenta con la
temperatura; ésta es una de las diferencias características que distingue a los semiconduc-
tores de los conductores metálicos.

Los semiconductores intrínsecos también satisfacen la forma puntual de la ley de Ohm,
esto es, la conductividad es razonablemente constante con la densidad de corriente y con la
dirección de la densidad de corriente.

El número de portadores de carga y la conductividad pueden aumentarse drásticamen-
te si se añaden pequeñas cantidades de impurezas. Materiales donadores suministran elec-
trones adicionales y forman el semiconductor tipo n, mientras que materiales aceptores
proveen de huecos extra y forman los materiales tipo p. El proceso es conocido como con-
taminación, y una concentración de donadores de una parte en 107 en el silicio produce un
aumento en la conductividad con un factor de 105.

El intervalo de valores de la conductividad es muy amplio, desde los materiales aislantes
hasta los semiconductores y los mejores conductores. En siemens por metro, intervalos pa-
ra s van desde 10−17 para cuarzo fundido, 10−7 para aislantes de plásticos malos, y casi 1
para semiconductores hasta casi 108 para metales conductores a la temperatura ambiente.
Estos valores cubren un intervalo de unos 25 órdenes de magnitud.

6 Los valores para la movilidad en los semiconductores están en las referencias 2, 3 y 5, enumeradas al final de
este capítulo.

132 CAPÍTULO 5 Corriente y conductores

Exámenes D5.7 Utilizando los valores de movilidad de electrones y huecos en el silicio a
300°K dados en esta sección y suponiendo densidades de carga de huecos y electro-
nes de 0.0029 C/m3 y −0.0029 C/m3, respectivamente, encontrar: a) la componente
de la conductividad que producen los huecos; b) la componente de la conductividad
que producen los electrones; c) la conductividad.

Respuesta: 7.25 µS/m; 348 µS/m; 421 µS/m

Lecturas complementarias

1. Adler, K. H., A. C. Smith y R. L. Longini, Introduction to Semiconductor Physics, Nueva York,
John Wiley & Sons, 1964. La teoría de los semiconductores se trata a nivel universitario.

2. Dekker, A. J., Electrical Engineering Materials, Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, 1959. Es-
te libro admirable cubre temas acerca de dieléctricos, conductores, semiconductores y materiales
magnéticos.

3. Fink, D. G. y H. W. Beaty, Standard Handbook for Electrical Engineers, 12a. ed., Nueva York,
McGraw-Hill, 1987.

4. Maxwell, J. C., A Treatise on Electricity and Magnetism, 3a. ed., Nueva York, Oxford University
Press, 1904, o una edición rústica, Dover Publications, Nueva York, 1954.

5. Wert, C. A., y R. M. Thomson, Physics of Solids, 2a. ed., Nueva York, McGraw-Hill, 1970. Éste
es un texto avanzado para nivel universitario y cubre temas como metales, semiconductores y die-
léctricos.

Problemas

5.1 Dada la densidad de corriente J = −104[sen(2x)e−2yax + cos(2x)e−2yay] kA/m2: a)
Encontrar la corriente total que cruza el plano y = 1 en la dirección de ay en la re-
gión 0 < x < 1, 0 < z < 2. b) Encontrar la corriente total que abandona la región 0 < x,
y < 1, 2 < z < 3 integrando J · dS sobre la superficie del cubo. c) Repetir el inciso
b) utilizando el teorema de la divergencia.

5.2 Una cierta densidad de corriente está dada por J = 100e−2z (ρaρ + az) A/m2. Encon-
trar la corriente total que pasa a través de las superficies: a) z = 0, 0 ≤ ρ ≤ 1, en la
dirección az; b) z = 1, 0 ≤ ρ ≤ 1, en la dirección de az; c) cilindro cerrado definido
por 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ ρ ≤ 1, en la dirección saliente.

5.3 Sea J = 400 sen θ /(r2 + 4)ar A/m2. a) Encontrar la corriente total que fluye a través
de la porción de la superficie esférica r = 0.8, limitada por 0.1 π < θ < 0.3 π, 0 < φ
< 2π. b) Encontrar el valor promedio de J en el área en cuestión.

5.4 Suponer que un rayo electrónico uniforme de sección circular de radio 0.2 mm lo ge-
nera un cátodo en x = 0 y lo recibe un ánodo en x = 20 cm. La velocidad de electro-
nes varía en función a x en la forma νx = 108x0.5 m/s, dado x en metros. Si la densidad
de corriente en el ánodo es de 104 A/m2, encontrar la densidad volumétrica de carga
y la densidad de corriente como función de x.

5.5 Sea J = 25/ρaρ − 20/(ρ2 + 0.01)az A/m2. a) Encontrar la corriente total que cruza el
plano z = 0.2 en la dirección az para ρ < 0.4. b) Calcular ∂ρν /∂t. c) Encontrar la co-
rriente saliente que cruza a la superficie cerrada definida por ρ = 0.01, ρ = 0.4,

Problemas 133

z = 0 y z = 0.2. d) Demostrar que J y la superficie definida en el inciso c) satisfa-
cen el teorema de la divergencia.

5.6 La densidad de corriente en una cierta región es de aproximadamente J = (0.1/r) exp
(−106t)ar A/m2 en coordenadas esféricas. a) En t = 1µs, ¿qué cantidad de corriente
atraviesa la superficie r = 5? b) Repetir lo anterior para r = 6. c) Utilizar la ecuación
de continuidad para encontrar ρν(r, t) suponiendo que ρν → 0 a medida que t → ∞.
d) Encontrar una expresión para la velocidad de la densidad de carga.

5.7 Suponiendo que no hay transformación de masa a energía y viceversa, se puede es-
cribir una ecuación de continuidad para la masa. a) Si se utiliza la ecuación de con-
tinuidad para la carga como en nuestro modelo, ¿qué cantidades corresponden a J y
a ρν? b) Dado un cubo de 1 cm de lado, algunos datos empíricos demuestran que las
velocidades a las que la masa abandona las caras son 10.25, −9.85, 1.75, −2.00,
−4.05 y 4.45 mg/s. Si se supone que el cubo es un elemento de volumen incremen-
tal, determínese un valor aproximado de la rapidez de cambio de la densidad en su
centro.

5.8 La conductividad del carbón es de 3 × 104 S/m. a) ¿Qué forma y tamaño de una
muestra de carbón tiene una conductancia de 3 × 104 S? b) ¿Cuál es la conductan-
cia si todas las dimensiones de la muestra encontrada en el inciso a) se redujeran a
la mitad?

5.9 a) Utilizando los datos tabulados en el Apéndice C, calcular el diámetro que se re-
quiere para que un alambre de nicromo de 2 m de longitud disipe una potencia pro-
medio de 450 W cuando se le aplique un voltaje de 120 V rms a 60 Hz. b) Calcular
el valor rms de la densidad de corriente en el alambre.

5.10 Un alambre sólido con una conductividad a1 y un radio a tiene una cubierta de un
material que tiene una conductividad σ2, su radio interior es a y su radio exterior es b.
Demostrar que la relación de las densidades de corriente de los dos materiales es in-
dependiente de a y b.

5.11 Dos superficies cilíndricas conductoras de longitud están ubicadas en ρ = 3
y ρ = 5 cm. La corriente total que fluye radialmente hacia fuera a través del medio
entre los dos cilindros es de 3 A de cd. a) Encontrar el voltaje y la resistencia entre
los cilindros y E en la región entre los cilindros si un material conductor que tiene
una σ = 0.05 S/m está presente en 3 < ρ < 5 cm. b) Demostrar que integrando la po-
tencia disipada por unidad de volumen a través de todo el volumen se obtiene la poten-
cia disipada total.

5.12 Dos placas conductoras idénticas que tienen un área A se ubican en z = 0 y z = d.
La región entre las placas está llena de un material cuya conductividad σ(z) = σ0e−z/d
depende de z, donde σ0 es una constante. Un voltaje V0 se aplica a la placa en z = d;
en z = 0, la placa está a cero potencial. Encontrar en términos de los parámetros da-
dos: a) la resistencia del material; b) la corriente total que fluye a través de las pla-
cas; c) la intensidad de campo eléctrico E dentro del material.

5.13 Un tubo cilíndrico hueco con una sección rectangular mide externamente 0.5 pulg
por 1 pulg y un grosor de pared de 0.05 pulg. Suponer que el material es latón y tie-
ne una σ = 1.5 × 107 S/m. Por el tubo fluye una corriente de 200 A de cd. a) ¿Qué
caída de voltaje se presenta en un metro de tubo? b) Encontrar la caída de voltaje si
el interior del tubo se llena con material conductor cuyo valor de σ = 1.5 × 105 S/m.