Hayt. Buck. teoria electromagnetica

8.3 El rotacional 227

Después de empezar con la ley circuital de Ampère, igualando la integral de línea ce-
rrada de H con la corriente encerrada, se ha llegado a una relación que involucra tanto la in-
tegral de línea cerrada de H por unidad de área encerrada como la corriente por unidad de
área encerrada, o densidad de corriente. Un análisis similar se realizó al pasar de la forma
integral de Gauss, que involucra el flujo a través de una superficie cerrada y la carga ence-
rrada, a la forma puntual, relacionando el flujo a través de una superficie cerrada por uni-
dad de volumen encerrada y la carga encerrada por unidad de volumen o densidad de carga
volumétrica. En cada caso es necesario un límite para producir una igualdad.

Si se eligen trayectorias cerradas, las cuales se orienten perpendicularmente a cada uno
de los dos ejes coordenados restantes, procedimientos análogos conducen a expresiones pa-
ra las componentes x y y de la densidad de corriente,

lím H · dL = ∂ Hz − ∂ Hy = Jx (19)
yz ∂y ∂z
y, z→0

y

lím H · dL = ∂ Hx − ∂ Hz = Jy (20)
zx ∂z ∂x
z, x→0

Al comparar (18), (19) y (20) se observa que cada una de las componentes de la densi-
dad de corriente está dada por el límite del cociente de la integral de línea cerrada de H, al-
rededor de una pequeña trayectoria en un plano normal a esa componente entre el área
encerrada, conforme la trayectoria se reduce a cero. Este límite tiene su contraparte en otros
campos de la ciencia y desde hace mucho tiempo recibió el nombre de rotacional. El rota-
cional de cualquier vector es un vector, y cualquier componente del rotacional está dada por
el límite del cociente de la integral cerrada de línea del vector alrededor de una pequeña tra-
yectoria en un plano normal a la componente deseada entre el área encerrada, conforme la
trayectoria se reduce a cero. Debe notarse que la definición de rotacional dada antes no se
refiere en forma específica a un sistema de coordenadas particular. La forma matemática pa-
ra la definición es

(rotacional H)N = lím H · dL (21)

SN →0 SN

donde ∆SN es el área plana encerrada por la integral cerrada de línea. El subíndice N indica
que la componente del rotacional es aquella componente normal a la superficie encerrada

por la trayectoria cerrada. Esta expresión puede representar cualquier componente en cual-

quier sistema de coordenadas.

En coordenadas cartesianas la definición (21) muestra que las componentes x, y y z del

rotacional de H están dadas por (18), (19) y (20), y por lo tanto,

rotacional H = ∂ Hz − ∂ Hy ax + ∂ Hx − ∂ Hz ay + ∂ Hy − ∂ Hx az (22)
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

228 CAPÍTULO 8 El campo magnético estable

Este resultado puede escribirse en forma de un determinante

ax ay az (23)
∂∂∂
rotacional H = ∂ x ∂ y ∂z

Hx Hy Hz

y también en términos del operador vectorial,

rotacional H = ∇ × H (24)

La ecuación (22) resulta de aplicar la definición (21) al sistema de coordenadas carte-
sianas. Se obtuvo la componente z de esta expresión al evaluar la ley circuital de Ampère
respecto de una trayectoria incremental de lados ∆x y ∆y, y se pudieron haber obtenido las
otras dos componentes tan fácilmente con sólo elegir las trayectorias apropiadas. La ecua-
ción (23) es un método preciso para mantener en la memoria la expresión en coordenadas
cartesianas del rotacional; la forma es simétrica y fácil de recordar. La ecuación (24) es aún
más concisa y conduce a (22) si se aplican las definiciones del producto cruz y del opera-
dor vectorial.

Las expresiones para el rotacional H en coordenadas cilíndricas y esféricas se derivan
en el apéndice A aplicando la definición (21). Aunque pueden escribirse en forma de deter-
minante, como se explica ahí, éste no tiene vectores unitarios en el primer renglón ni tam-
poco componentes en el último, y no son fácilmente memorizadas. Por esta razón, el
desarrollo del rotacional en coordenadas cilíndricas y esféricas que aparece a continuación,
y en las páginas finales del libro, servirán de referencia siempre que sea necesario.

∇ ×H = 1 ∂Hz − ∂Hφ aρ + ∂Hρ − ∂Hz aφ
ρ ∂φ ∂z ∂z ∂ρ

1 ∂(ρ Hφ) 1 ∂Hρ (25)
ρ ∂ρ ρ ∂φ
+ − az (cilíndrica)

1 ∂(Hφ sen θ ) − ∂Hθ ar + 1 1 ∂Hr − ∂(rHφ) aθ
∇ × H = r sen θ ∂θ ∂φ r sen θ ∂φ ∂r
(esférica) (26)
+1 ∂(rHθ ) − ∂Hr
r ∂r ∂θ aφ

Aunque el rotacional se describió como una integral de línea por unidad de área, a mu-
cha gente no le proporciona una imagen física satisfactoria de su naturaleza, puesto que la
misma integral cerrada de línea requiere una interpretación física. Esta integral se presentó
por primera vez en el campo electrostático, donde se vio que E · dL = 0. Como la inte-
gral fue cero, no se apeló a la imagen física. Más recientemente se estudió la integral de lí-
nea cerrada de H, H · dL = I. Cualquiera de estas integrales de línea cerrada se conoce
también con el nombre de circulación, un término que obviamente se tomó prestado del
campo de la dinámica de fluidos.

8.3 El rotacional 229

Velocidad Corriente que penetra
Lecho del río perpendicularmente
al plano de la página

Figura 8.14 a) El medidor de rotacional muestra una componente del rotacional de la
velocidad del agua hacia adentro de la página. b) Se muestra el rotacional de la intensidad
de campo magnético alrededor del filamento de longitud infinita.

Esta circulación de H, o H · dL, se obtiene multiplicando la componente de H tan-
gente en cada punto a la trayectoria cerrada específica a lo largo de ésta por la diferencial
de longitud de la trayectoria y sumando los resultados conforme las diferenciales de longi-
tud se aproximan a cero y a medida que su número se hace infinito. No se requiere una tra-
yectoria que tienda a cero. La ley circuital de Ampère dice que si H posee circulación
alrededor de una trayectoria dada, la corriente atraviesa esta trayectoria. En electrostática se
vio que la circulación de E es cero alrededor de todas las trayectorias, una consecuencia di-
recta del hecho de que el trabajo requerido para llevar una carga alrededor de una trayecto-
ria cerrada sea cero.

Ahora se puede describir el rotacional como la circulación por unidad de área. La tra-
yectoria cerrada se va reduciendo a cero y el rotacional queda definido en un punto. El ro-
tacional de E debe ser cero, porque la circulación es cero. Sin embargo, el rotacional de H
no es cero; la circulación de H por unidad de área es la densidad de corriente de acuerdo
con la ley circuital de Ampère [o (18), (19) y (20)].

Skilling5 sugiere la utilización de una pequeña rueda con paletas como un “medidor de
rotacional”. La cantidad vectorial, entonces, debe considerarse como una capacidad de apli-
cación de una fuerza a cada paleta de la rueda, mientras la fuerza es proporcional a la com-
ponente del campo normal a la superficie de la paleta. Probar si un campo tiene rotacional
requiere sumergir la rueda con paletas dentro del campo, con el eje de la rueda de paletas
alineado en la dirección de la componente del rotacional deseada y observando la acción del
campo sobre las paletas. Si no hay rotación significa que no hay rotacional; velocidades an-
gulares mayores significan valores superiores del rotacional; una inversión en la dirección
de giro significa una inversión en el signo del rotacional. Encontrar la dirección del vector
rotacional y no simplemente establecer la presencia de cualquier componente particular re-
quiere poner la rueda con paletas en el campo y buscar la orientación que produce la torca
más grande. La dirección del rotacional será entonces la del eje de la rueda de paletas de
acuerdo con la regla de la mano derecha.

Como ejemplo, considérese el flujo de agua en un río. La figura 8.14a muestra la sec-
ción longitudinal de un río ancho tomada a la mitad de éste. La velocidad del agua es cero
en el fondo y se incrementa linealmente conforme se acerca a la superficie. Una rueda de
paletas puesta en la posición mostrada, con su eje perpendicular al papel, girará en direc-
ción de las manecillas del reloj, mostrando la presencia de una componente del rotacional

5 Véanse las lecturas complementarias al final del capítulo.

230 CAPÍTULO 8 El campo magnético estable

en la dirección de la normal hacia adentro de la superficie de la página. Si la velocidad del
agua no cambia conforme va corriente arriba o corriente abajo y si además muestra que no
hay variaciones conforme se cruza el río (o aun si decrece de la misma manera hacia cual-
quiera de las dos orillas), entonces esta componente es la única presente en el centro de la
corriente, y el rotacional de la velocidad del agua tiene una dirección hacia el interior de
la página.

La figura 8.14b muestra las líneas de intensidad del campo magnético alrededor de un
filamento conductor de longitud infinita. El medidor de rotacional situado en este campo de
líneas curvas muestra que un número mayor de paletas sienten una fuerza ejercida sobre
ellas en la dirección de rotación de las manecillas del reloj, pero esta fuerza es en general
mucho menor a la ejercida sobre un número menor de paletas cercanas al alambre en senti-
do contrario a las manecillas del reloj. Parece posible, entonces, que si la curvatura de las
líneas de campo es la correcta, y también si la variación de la intensidad del campo es jus-
to la adecuada, la torca neta sobre la rueda de paletas puede ser cero. En realidad, la rueda
de paletas, que no está rota en este caso puesto que H = (I/2πρ)aφ, se puede sustituir den-
tro de (25), con lo que se obtiene

rotacional H = − ∂Hφ aρ + 1 ∂ (ρ Hφ ) az = 0
∂z ρ ∂ρ

EJEMPLO 8.2

Como un ejemplo de la evaluación del rotacional H a partir de la definición y de la evalua-
ción de otra integral de línea, supóngase que H = 0.2z2ax para z > 0, y H = 0 en cualquier
otra parte, como lo muestra la figura 8.15. Calcular H · dL para una trayectoria cuadra-
da con lados iguales a d, centrada en (0, 0, z1) en el plano y = 0, donde z1 > d/2.

Figura 8.15 Una trayectoria cuadrada de lado d con su centro sobre el eje z en z = z1 es
utilizada para evaluar H · dL y encontrar el rotacional H.

8.3 El rotacional 231

Solución. Se evalúa la integral de línea de H a lo largo de cuatro segmentos, empezando
por el superior:

H · dL = 0.2 z1 + 1 d 2 d + 0 − 0.2 z1 − 1 d 2d +0
2 2

= 0.4z1d2

En el límite, conforme el área se aproxima a cero, se encuentra

(∇ × H)y = lím H · dL = lím 0.4z 1 d 2 = 0.4z1
d2 d2
d →0 d →0

Las otras componentes son cero, así ∇ × H = 0.4z1ay.
Para evaluar el rotacional sin que se intente ilustrar la definición o la evaluación de una

integral de línea, simplemente se toma la derivada parcial indicada en (23):

ax ay az

∂ ∂ ∂ = ∂ (0.2z2 )ay = 0.4zay
∇ × H = ∂x ∂y ∂z ∂z

0.2z2 0 0

lo cual concuerda con el resultado de arriba cuando z = z1.

Si se regresa ahora a completar el análisis original de la aplicación de la ley circuital de
Ampère para una trayectoria de tamaño diferencial, combinando (18), (19), (20), (22) y (24),

rotacional H = ∇ × H = ∂Hz − ∂Hy ax + ∂Hx − ∂Hz ay
∂y ∂z ∂z ∂x

+ ∂Hy − ∂Hx az = J (27)
∂x ∂y

se llega a la forma puntual de la ley circuital de Ampère,

∇×H = J (28)

Ésta es la segunda de las cuatro ecuaciones de Maxwell cuando se aplican a condicio-
nes que no varían con el tiempo. También se puede escribir la tercera de ellas en este mo-
mento; se trata de la forma puntual de E · dL = 0, o

∇×E = 0 (29)

La cuarta ecuación aparece en la sección 8.5.

232 CAPÍTULO 8 El campo magnético estable

D8.4 a) Evaluar la integral de línea cerrada de H alrededor de la trayectoria rectan-
gular P1(2, 3, 4) a P2(4, 3, 4) a P3(4, 3, 1) a P4(2, 3, 1) a P1, dado H = 3zax − 2x3az
A/m. b) Determinar el cociente de la integral de línea cerrada y el área encerrada por
la trayectoria como una aproximación a (∇ × H)y. c) Determinar (∇ × H)y en el cen-
tro del rectángulo.

Respuesta: 354 A; 59 A/m2; 57 A/m2

D8.5 Calcular el valor del vector densidad de corriente: a) en coordenadas cartesianas
en PA(2, 3, 4) si H = x2zay − y2xaz; b) en coordenadas cilíndricas en PB(1.5, 90°, 0.5) si
H = ᎏρ2 (cos 0.2φ)aρ; c) en coordenadas esféricas en PC(2, 30°, 20°) si H = ᎏse1n θ aθ .

Respuesta: −16ax + 9ay + 16az A/m2; 0.055az A/m2; aφ A/m2

8.4 Teorema de Stokes

Aunque en la sección 8.3 se estudió sobre todo el operador rotacional, su contribución al te-
ma de los campos magnéticos no se debe soslayar. De la ley circuital de Ampère se deriva
una de las ecuaciones de Maxwell, ∇ × H = J. Esta última ecuación se debe considerar co-
mo la forma puntual de la ley circuital de Ampère aplicada basándose en el criterio de “por
unidad de área”. La presente sección se dedicará de nuevo en gran parte al teorema mate-
mático conocido como teorema de Stokes, y en el proceso se mostrará que la ley circuital
de Ampère se puede obtener de ∇ × H = J. En otras palabras, se estará preparado para
obtener la forma integral a partir de la forma puntual, o de la forma puntual a partir de la
forma integral.

Considérese la superficie S de la figura 8.16 que está dividida en pequeños incremen-
tos de superficie de área ∆S. Si se aplica la definición de rotacional a uno de esos incremen-
tos de superficie, entonces

H · dL S =. (∇ × H)N
S

donde el subíndice N indica de nuevo la dirección normal a la superficie, con la regla de la
mano derecha. El subíndice sobre dL∆S indica que la trayectoria cerrada es el perímetro de
un incremento de área ∆S. Este resultado también puede escribirse

H · dL S =. (∇ × H) · aN
S

o

H · dL S =. (∇ × H) · aN S = (∇ × H) · S

donde aN es un vector unitario en la dirección normal a ∆S de la mano derecha.
Ahora se determinará esta circulación para cada ∆S, incluyendo S y sumando los resulta-

dos. Conforme se evalúe la integral cerrada de línea para ∆S, ocurrirán algunas cancelaciones

8.4 Teorema de Stokes 233

Superficie S

Figura 8.16 La suma de las integrales de línea cerradas alrededor del perímetro de cada
∆S es la misma que la integral de línea cerrada alrededor del perímetro de S, debido a la
cancelación sobre cada trayectoria interior.

porque cada pared interior se recorre dos veces, una vez en una dirección, y la otra en la di-
rección contraria. Las únicas fronteras sobre las cuales la cancelación no puede ocurrir for-
man la frontera exterior, que es la trayectoria que encierra a S. Por lo tanto, se tiene

H · dL ≡ (∇ × H) · dS (30)

S

donde dL se toma sólo sobre el perímetro de S.
La ecuación (30) es una identidad válida para cualquier campo vectorial y se conoce

como teorema de Stokes.

EJEMPLO 8.3

Un ejemplo numérico ayuda a ilustrar la geometría involucrada en el teorema de Stokes.
Considérese la porción de esfera mostrada en la figura 8.17. La superficie está especificada
por r = 4, 0 ≤ θ ≤ 0.1π, 0 ≤ φ ≤ 0.3π, y la trayectoria cerrada que forma su perímetro es-
tá compuesta de tres arcos circulares. Dado el campo H = 6r sen φar + 18r sen θ cos φaφ,
se pide evaluar cada lado de la identidad del teorema de Stokes.

Solución. El primer segmento de trayectoria se describe en coordenadas esféricas por
r = 4, 0 ≤ θ ≤ 0.1π, φ = 0; el segundo por r = 4, θ = 0.1π, 0 ≤ φ ≤ 0.3π; y el tercero
por r = 4, 0 ≤ θ ≤ 0.1π, φ = 0.3π. El elemento diferencial de trayectoria dL es la suma
vectorial de las tres diferenciales de longitud del sistema de coordenadas esféricas tratadas
por vez primera en la sección 1.9,

dL = dr ar + r dθ aθ + r sen θ dφ aφ

234 CAPÍTULO 8 El campo magnético estable

Figura 8.17 Una porción de una capa esférica se utiliza como una
superficie y trayectoria cerrada para ilustrar el teorema de Stokes.

El primer término es cero sobre cada uno de los tres segmentos de la trayectoria, dado que
r = 4 y dr = 0, el segundo es cero sobre el segmento 2, dado que θ es constante, y el tercer
término es cero sobre los segmentos 1 y 3. Así

H · dL = Hθ r dθ + Hφr sen θ dφ + Hθ r dθ

12 3

Dado que Hθ = 0, únicamente se tiene que evaluar la segunda integral,

0.3π

H·dL = [18(4) sen 0.1π cos φ]4 sen 0.1πdφ

0

= 288 sen2 0.1π sen 0.3π = 22.2 A

Lo siguiente es enfrentarse a la integral de superficie. Primero se utiliza (26) para encontrar

∇ ×H = r 1 sen θ cos θ cos φ)ar + 1 1 6r cos φ − 36r sen θ cos φ aθ
sen θ (36r r sen θ

Dado que dS = r2 sen θ dθ dφ ar, la integral es

0.3π 0.1π

(∇ × H) · dS = (36 cos θ cos φ)16 sen θ dθ dφ

S 00

0.3π 0.1π
= 1 sen2 θ cos φ dφ
576 2 0
0

= 288 sen2 0.1π sen 0.3π = 22.2 A

8.4 Teorema de Stokes 235

Así, el resultado comprueba el teorema de Stokes, y se puede notar el paso de una co-
rriente de 22.2 A que fluye hacia arriba a través de esta sección de la capa esférica.

Ahora se verá lo fácil que es obtener la ley circuital de Ampère a partir de ∇ × H = J.
Sencillamente se tiene que hacer el producto punto de cada lado con dS, integrar cada lado
sobre la misma superficie S (abierta), y aplicar el teorema de Stokes:

(∇ × H) · dS = J · dS = H · dL

SS

La integral de la densidad de corriente sobre la superficie S es la corriente total I que pasa
a través de la superficie, y por lo tanto

H·dL = I

Esta breve derivación muestra claramente que la corriente I, descrita como “encerrada
por la trayectoria cerrada”, también es la corriente que pasa a través de un número infinito
de superficies que tienen la trayectoria cerrada como perímetro.

El teorema de Stokes relaciona la integral de superficie con una integral de línea cerrada.
Debe recordarse que el teorema de la divergencia relaciona una integral de volumen con una
integral cerrada de superficie. Ambos teoremas encuentran su mayor utilidad en demostracio-
nes vectoriales generales. Como un ejemplo, se encontrará otra expresión para ∇ · ∇ × A,
donde A representa cualquier campo vectorial. El resultado debe ser un escalar (¿por qué?), y
sea T este escalar, o

∇·∇×A = T
Al multiplicar por dν e integrar sobre cualquier volumen ν,

(∇ · ∇ × A) dν = T dν

vol vol

se aplica primero el teorema de la divergencia al lado izquierdo; se obtiene

(∇ × A) · dS = T dν

S vol

El lado izquierdo es la integral de superficie del rotacional de A sobre la superficie ce-
rrada que rodea el volumen ν. El teorema de Stokes relaciona la integral de superficie del
rotacional de A sobre la superficie abierta encerrada por una trayectoria cerrada. Si se con-
sidera la trayectoria como una bolsa de lavandería abierta y la superficie abierta como su
superficie, se observa que conforme se aproxima gradualmente a la superficie cerrada, ja-
lando las agujetas, la trayectoria cerrada se hace más y más pequeña, y finalmente desapa-
rece a la vez que la superficie se hace cerrada. De aquí que la aplicación del teorema de
Stokes a una superficie cerrada produzca un resultado igual a cero, y se tiene

T dν = 0

vol

236 CAPÍTULO 8 El campo magnético estable

Dado que esto es verdad para cualquier volumen, es cierto para la diferencial de volumen dν,

T dν = 0

y por lo tanto

T =0
o

∇·∇×A ≡ 0 (31)

La ecuación (31) es una identidad útil del cálculo vectorial.6 Por supuesto, también pue-
den comprobarse fácilmente mediante un desarrollo directo en coordenadas cartesianas.

Se aplicará la identidad al campo magnético, no variable en el tiempo, para el cual

∇×H = J

Entonces se demuestra que

∇·J = 0

que es el mismo resultado obtenido al principio del capítulo utilizando la ecuación de
continuidad.

Antes de presentar varias cantidades nuevas del campo magnético en la siguiente sec-
ción, se deben revisar los avances en este punto. Inicialmente se aceptó la ley de Biot-Sa-
vart como un resultado experimental

H= I dL × aR
4π R 2

y se aceptó en forma tentativa la ley circuital de Ampère, sujeta a una demostración posterior,

H·dL = I

Con base en la ley circuital de Ampère, la definición del rotacional conduce a la forma pun-
tual de esta misma ley,

∇×H = J

Ahora se observa que el teorema de Stokes lo habilita para obtener la forma integral de la
ley circuital de Ampère a partir de la forma puntual.

D8.6 Evalúe ambos lados del teorema de Stokes para el campo H = 6xyax − 3y2ay
A/m y la trayectoria rectangular alrededor de la región, 2 ≤ x ≤ 5, −1 ≤ y ≤ 1, z = 0.
Sea az la dirección positiva de dS.

Respuesta: −126 A; −126 A

6 Ésta y otras identidades vectoriales están tabuladas en el apéndice A.3.

8.5 Flujo magnético y densidad de flujo magnético 237

8.5 Flujo magnético y densidad
de flujo magnético

En el espacio libre, la densidad de flujo magnético B se define como

B = µ0H (sólo espacio libre) (32)

donde B se mide en webers por metro cuadrado (Wb/m2) o en una nueva unidad adoptada

en el Sistema Internacional de Unidades, el tesla (T). Una unidad más antigua que con fre-
cuencia se utiliza para la densidad de flujo magnético es el gauss (G), donde 1 T o 1 Wb/m2

es lo mismo que 10 000 G. La constante µ0 no es adimensional y tiene un valor específico
para el espacio libre, dado en henrys por metro (H/m), de

µ0 = 4π × 10−7 H/m (33)

El nombre dado a µ0 es el de permeabilidad del espacio libre.
Se debe notar que debido a que H se mide en amperes por metro, el weber es dimen-

sionalmente igual al producto de henrys y amperes. Considerando el henry como una nue-

va unidad, el weber es simplemente una abreviatura conveniente para el producto de henrys

y amperes. Cuando se introduzcan los campos variantes con el tiempo, se mostrará que un

weber también equivale al producto de volts y segundos.

El vector de densidad de flujo magnético B es un miembro de la familia de densidad

de flujo de campos vectoriales, como el nombre weber por metro cuadrado lo implica. Una de
las posibles analogías entre los campos eléctrico y magnético7 resulta al comparar las le-

yes de Biot-Savart y de Coulomb. Así se establece una analogía entre H y E. Las relacio-
nes B = µ0H y D = 0E conducen a una analogía entre B y D. Si B se mide en teslas o
webers por metro cuadrado, entonces el flujo magnético se debe medir en webers. Se re-

presentará el flujo magnético por y se definirá como el flujo que pasa a través de cual-

quier área escogida,

= B · dS Wb (34)

S

La analogía debe ahora traer a la memoria la densidad de flujo eléctrico , medida en
coulombs, y la ley de Gauss, la cual establece que el flujo total que pasa a través de cual-
quier superficie cerrada es igual a la carga encerrada,

= D·dS = Q

S

La carga Q es la fuente de las líneas de flujo eléctrico y esas líneas comienzan y terminan
en cargas positivas y negativas, respectivamente.

Ninguna fuente así ha sido descubierta para las líneas de flujo magnético. En el ejem-
plo del filamento recto infinitamente largo que transporta una corriente I, el campo H forma

7 Una analogía alterna se presenta en la sección 10.2.