Hayt. Buck. teoria electromagnetica

1 2 . 5 Polarización de onda 427
Rotación del campo

Figura 12.6 Campo eléctrico en el plano xy
de una onda plana polarizada circularmente a
la derecha, como se describe en (98).
Conforme la onda se propaga en la dirección
de z hacia delante, el campo vectorial gira en
contrasentido al de las manecillas del reloj en
el plano xy.

Seleccionando +π/2 se llega a (97), cuyo vector campo gira en el sentido de las manecillas
del reloj. El sentido (derecha o izquierda) de la polarización circular está asociado con las
direcciones de rotación y propagación de la manera siguiente: la onda muestra polarización
circular izquierda (l.c.p., left circular polarization) si, cuando se dirige la mano izquierda
con el dedo pulgar en la dirección de propagación, los dedos se doblan en la dirección de
giro del campo con el tiempo. La onda muestra polarización circular derecha (r.c.p., right
circular polarization) si, cuando con el dedo pulgar de la mano derecha en la dirección de
propagación, los dedos se doblan en la dirección del giro del campo.7 Por lo tanto, en la pro-
pagación hacia delante en el eje z, la ecuación (97) describe una onda polarizada circular-
mente hacia la izquierda, y (98), una onda polarizada circularmente hacia la derecha. La
misma convención se aplica a la polarización elíptica, en la que se utilizan las descripcio-
nes polarización elíptica izquierda y polarización elíptica derecha.

La aplicación de (96) permite obtener el ángulo instantáneo del campo con respecto a
la dirección x, para cualquier posición sobre el eje z, a través de,

θ (z, t) = tan−1 Ey = tan−1 ∓sen(ωt − βz) = ∓(ωt − βz) (99)
Ex cos(ωt − βz)

donde, de nuevo, el signo de menos (obteniéndose l.c.p. para la propagación positiva sobre
z) se aplica en la selección de φ = +π/2 en (96); el signo de más (obteniéndose r.c.p. para

7 Algunas personas invierten esta convención (particularmente, en óptica) para destacar la importancia de la con-
figuración espacial del campo. Nótese que el r.c.p. por definición se forma mediante la propagación de un campo
espacial que tiene la forma de un sacacorchos de mano izquierda y, por esa razón, se le conoce como polarización
circular hacia la izquierda (véase figura 12.7). La polarización circular hacia la izquierda, como se definió, resul-
ta de la propagación espacial de un campo en forma de un sacacorchos de mano derecha, y es llamada polarización
circular hacia la derecha por los partidarios del espacio. Obviamente, es necesario ser precavido en la interpretación
de lo que se quiere decir cuando se utiliza el término, dirección de la polarización, en un texto con el cual el lec-
tor no está familiarizado.

428 CAPÍTULO 12 La onda plana uniforme

la propagación positiva sobre z) se utiliza si φ = −π/2. Si se selecciona z = 0, el ángulo se
convierte simplemente en ωt, el cual alcanza un valor de 2π (una vuelta completa) en el
tiempo t = 2π/ω. Si se selecciona t = 0 y se permite que z varíe, se presenta un patrón de
campo en forma de “sacacorchos”. Una forma de visualizar consiste en considerar un pa-
trón en forma de escalera en espiral, en el que las líneas de campo (los escalones) sean per-
pendiculares al eje z (o escalera). La relación entre este patrón de campo en el espacio y el
comportamiento resultante en el tiempo para un valor fijo de z, a medida que la onda se pro-
paga, se muestra, en la concepción de un artista, en la figura 12.7.

El sentido de la polarización (izquierda o derecha) se cambia invirtiendo el sentido del
patrón del sacacorchos. El modelo de la escalera en espiral sólo es una ayuda para la visua-
lización. Se debe recordar que la onda todavía es una onda plana uniforme cuyos campos
en cualquier posición sobre el eje z son infinitos en alcance sobre el plano transversal.

Existen muchas aplicaciones de las ondas polarizadas circularmente. Quizás la ventaja
más evidente es que la recepción de una onda con polarización circular no depende de la
orientación de la antena en el plano normal a la dirección de propagación. Por ejemplo, las
antenas de dipolo requieren orientarlas a lo largo de la dirección del campo eléctrico de la
señal que reciban. Si se desean transmitir señales polarizadas circularmente, los requisitos
de orientación de la antena receptora se facilitan en forma considerable. En óptica, la luz

Figura 12.7 Representación de una onda polarizada circularmente a la
derecha. El vector del campo eléctrico (en color blanco) girará hacia el eje y
conforme la onda se mueva en el plano xy en la dirección de k. Este giro en
contrasentido al de las manecillas del reloj (cuando se observa hacia la fuente de
la onda), satisface la convención de rotación temporal de mano derecha como se
describió en el texto. Sin embargo, la onda parece como si fuera un sacacorchos
de mano izquierda y, por esta razón, se le llama polarización circular izquierda en
la otra convención.

1 2 . 5 Polarización de onda 429

polarizada circularmente puede pasarse a través de un polarizador de cualquier orientación
(aunque, de esta forma, uno pierde la mitad de la potencia). Otros usos incluyen el trata-
miento de luz polarizada linealmente como una superposición de ondas polarizadas circu-
larmente, las cuales se describirán a continuación.

Es posible generar luz polarizada circularmente utilizando un medio anisotrópico, un
material cuya permitividad esté en función de la dirección del campo eléctrico. Muchos cris-
tales poseen esta propiedad. La orientación de un cristal puede encontrarse de tal forma que
a lo largo de una dirección (digamos, el eje x) la permitividad es menor, mientras que a lo
largo de una dirección ortogonal (el eje y) la permitividad es mayor. La estrategia consiste
en inyectar una onda polarizada linealmente con su vector campo a 45 grados con respecto
a los ejes x y y del cristal. Por lo tanto, la onda tendrá componentes x y y con igual ampli-
tud en el cristal y que se propagarán en la dirección z a velocidades diferentes. A medida
que se propagan, entre las componentes se acumula una diferencia de fase (o retardo), la
cual puede alcanzar un valor de π/2 si el cristal es lo suficientemente grande. Por lo tanto,
la onda a la salida está polarizada circularmente. Dicho cristal, cortado a la medida correc-
ta y utilizado de esta forma, se llama placa de un cuarto de onda, puesto que introduce un
corrimiento de fase relativo de π/2 entre Ex y Ey, el cual equivale a λ/4.

Es útil expresar ondas polarizadas circularmente en forma fasorial. Para llevar a cabo
esto, nótese que (96) puede expresarse como,

E(z, t ) = Re E0e jωt e− jβz ax + e± jπ/2ay

Utilizando el hecho de que e±jδ/2 = ± j, se identifica la forma fasorial como:

Es = E0(ax ± j ay)e− jβz (100)

en donde el signo más se utiliza para la polarización circular izquierda, y el signo menos, para
la polarización circular derecha. Si la onda se propaga en la dirección negativa de z, se tiene,

Es = E0(ax ± j ay)e+ jβz (101)

en donde, en este caso, el signo positivo se aplica a la polarización circular derecha, y el sig-
no menos, a la polarización circular izquierda. Se invita al lector a comprobarlo.

EJEMPLO 12.7

Considérese el resultado de sobreponer dos campos con la misma amplitud, frecuencia y di-
rección de propagación, polarizados circularmente a la izquierda y a la derecha, pero con un
corrimiento de fase de δ radianes entre ambos.

Solución. Considerando que ambas ondas se propagan en la dirección +z e introducien-
do una fase relativa, δ, se calcula el campo fasorial total utilizando (100):

EsT = Es R + EsL = E0[ax − j ay ]e− jβz + E0[ax + j ay ]e− jβze jδ

Agrupando las componentes similares, se obtiene
EsT = E0[(1 + e jδ)ax − j (1 − e jδ)ay]e− jβz

Factorizando el término fasorial, ejδ/2, se obtiene

EsT = E0e jδ/2 (e− jδ/2 + e jδ/2)ax − j (e− jδ/2 − e jδ/2)ay e− jβz

430 CAPÍTULO 12 La onda plana uniforme

Aplicando la identidad de Euler, se puede ver que e jδ / 2 + e− jδ / 2 = 2 cos δ / 2 y e jδ / 2 − e−jδ / 2
= 2j sen δ/2. Utilizando estas relaciones se obtiene,

EsT = 2E0[cos(δ/2)ax + sen(δ/2)ay]e− j(βz−δ/2) (102)

Se puede reconocer la ecuación (102) como el campo eléctrico de una onda polarizada li-
nealmente, cuyo vector de campo está orientado a un ángulo δ /2 con respecto al eje x.

El ejemplo 12.7 muestra que cualquier onda polarizada linealmente puede expresarse
como la suma de dos ondas polarizadas circularmente en sentido opuesto, donde la direc-
ción de polarización lineal la determina la diferencia de fase relativa entre ambas ondas. Dicha
representación es conveniente (y necesaria) cuando se considera, por ejemplo, la propaga-
ción de luz polarizada linealmente a través de un medio que contiene moléculas orgánicas. A
menudo, éstas presentan estructuras en espiral que tiene una inclinación en sentido izquier-
do o derecho y que, por lo tanto, interactúan de manera diferente con polarización circular
derecha o izquierda. Como resultado, la componente circular izquierda puede propagarse a
una velocidad diferente que la componente circular derecha, por lo que las dos ondas acu-
mularán una diferencia en fase a medida que se propaguen. En consecuencia, la dirección
de un vector campo polarizado linealmente a la salida del material será diferente con res-
pecto a la dirección que tenía a la entrada. El grado de esta rotación puede utilizarse como
una herramienta de medida en el estudio de diferentes materiales.

Los asuntos relacionados con la polarización serán de gran importancia cuando se con-
sidere la reflexión de ondas en el capítulo 13.

Lecturas complementarias

1. Balanis, C. A., Advanced Engineering Electromagnetics, Nueva York, John Wiley & Sons, 1989.
2. International Telephone and Telegraph Co., Inc., Reference Data for Radio Engineers, 7a. ed., In-

dianapolis, Ind., Howard W. Sams & Co., 1985. Este manual contiene algunos datos excelentes
acerca de las propiedades de los materiales dieléctricos y aislantes.
3. Jackson, J. D., Classical Electrodynamics, 3a. ed., Nueva York, John Wiley & Sons, 1999.
4. Ramo, S. , J. R. Whinnery y T. Van Duzer, Fields and Waves in Communication Electronics, 3a.
ed., Nueva York, John Wiley & Sons, 1994.

Exámenes Problemas

12.1 Demuestre que Exs = Aej(k0z+φ) es una solución de la ecuación vectorial de Helm-
holtz, ecuación (30), para k 0 = ωµ0 0 y cualquier valor de φ y A.

12.2 Una onda plana uniforme de 100 MHz se propaga en un medio sin pérdidas para el
cual r = 5 y µr = 1. Encuentre: a) νp; b) β; c) λ; d) Es; e) Hs; f) S .

12.3 Un campo H en el espacio libre está dado por H(x, t) = 10 cos (108t − βx)ay A/m.
Encuentre: a) β; b) λ; c) (x, t) en P(0.1, 0.2, 0.3) en t = 1 ns.

12.4 Dados E (z, t) = E 0e−αz sen(ωt − βz)ax y η = |η| ejφ, encuentre: a) Es; b) Hs; c) S .

Problemas 431

12.5 Una onda plana uniforme de 150 MHz en el espacio libre está descrita por Hs = (4
+ j10)(2ax + jay) e−jβz A/m. a) Encuentre los valores numéricos de ω, λ y β. b) En-
cuentre H (z, t) en t = 1.5 ns, z = 20 cm. c) ¿Qué es |E|máx?

12.6 Una onda plana polarizada linealmente en el espacio libre tiene un campo eléctrico
dado por E (z, t) = (25ax − 30az) cos(ωt − 50y) V/m. Encuentre: a) ω; b) Es; c) Hs;
d) S .

12.7 La intensidad del campo magnético fasorial de una onda plana uniforme de 400 MHz
que se propaga en un cierto material sin pérdidas es (2ay − j5az) e−j25x A/m. Sabien-
do que la amplitud máxima de E es 1500 V/m, encuentre β, η, λ, νp, r, µr, y H(x, y,
z, t).

12.8 Permita que los campos E (z, t) = 1800 cos(107πt − βz)ax V/m y H (z, t) = 3.8
cos(107πt − βz)ay A/m representen una onda plana uniforme que se propaga a una
velocidad de 1.4 × 108 m/s en un dieléctrico perfecto. Encuentre: a) β; b) λ; c) η;
d) µr; (e) r.

12.9 Un cierto material sin pérdidas tiene una µr = 4 y r = 9. Una onda plana uniforme
de 10 MHz se propaga en la dirección ay con Ex0 = 400 V/m y Ey0 = Ez0 = 0 en
P(0.6, 0.6, 0.6) en t = 60 ns. a) Encuentre β, λ, νp y η. b) Encuentre E(t). c) Encuen-
tre H(t).

12.10 En un medio caracterizado por una impedancia intrínseca η = |η| ejf, se propaga una
onda plana polarizada linealmente con un campo magnético dado por Hs = (H0yay +
H0zaz) e−αx e−jβx. Encuentre: a) Es; b) (x, t); c) H(x, t); d) S .

12.11 Una onda plana uniforme de 2 GHz tiene una amplitud Ey0 = 1.4 kV/m en (0, 0, 0,
t = 0) y se propaga en la dirección az en un medio en el que ЈЈ = 1.6 × 10−11 F/m,
Ј = 3.0 × 10−11 F/m y µ = 2.5 µH/m. Encuentre: a) Ey en P(0, 0, 1.8 cm) en 0.2
ns; b) Hx en P en 0.2 ns.

12.12 La onda plana Es = 300 e−jkx ay V/m se propaga en un material cuyo µ = 2.25 µH/m,
Ј = 9 pF/m y ЈЈ = 7.8 pF/m. Si ω = 64 Mrad/s, encuentre: a) α; b) β; c) νp; d) λ;
e) η; f) Hs; g) E (3, 2, 4, 10 ns).

12.13 Una onda plana uniforme que se propaga en la dirección az tiene jk = 0.2 + j1.5 m−1
y η = 450 + j60 Ω. Si ω = 300 Mrad/s, encuentre µ, Ј y ЈЈ para el medio.

12.14 Un cierto material no magnético tiene como constantes rЈ = 2 y ЈЈ/ Ј = 4 × 10−4 a
una ω = 1.5 Grad/s. Encuentre la distancia a la que una onda plana uniforme pueda
propagarse a través de este material antes de que: a) sea atenuada 1 Np; b) el nivel
de su potencia se reduzca a la mitad; c) la fase se corra 360°.

12.15 Una señal de radar de 10 GHz puede representarse como una onda plana uniforme en
una región lo suficientemente pequeña. Calcule la longitud de onda en centímetros y
la atenuación en nepers por metro si la onda se propaga en un material no magnéti-
co cuyos valores son: a) rЈ = 1 y ЈrЈ = 0; b) rЈ = 1.04 y ЈrЈ = 9.00 × 10−4; c) rЈ =
2.5 y ЈrЈ = 7.2.

12.16 El factor de potencia de un capacitor está definido como el coseno del ángulo de fa-
se de la impedancia y su Q es ωCR, donde R es la resistencia en paralelo. Suponga
un capacitor ideal de placas paralelas que tiene un dieléctrico caracterizado por σ, Ј
y µr. Encuentre el factor de potencia y Q en términos de la tangente de pérdidas.

432 CAPÍTULO 12 La onda plana uniforme

12.17 Una onda plana uniforme que se propaga en la dirección az en un dieléctrico que tie-
ne una conductividad finita tiene los valores η = 250 + j30 Ω y jk = 0.2 + j2m−1.
Si |Es| = 400 V/m en z = 0, encuentre: a) S en z = 0 y z = 60 cm; b) la disipación
de potencia óhmica promedio en watts por metro cúbico en z = 60 cm.

12.18 Dados: una onda plana uniforme de 100 MHz en un medio del que se sabe que es un
buen dieléctrico. El campo eléctrico fasorial es s = 4 e−0.5z e−j20zax V/m. Determi-
ne: a) ; b) ; c) η; d) Hs; e) S ; f) la potencia en watts que incide en una superficie
rectangular que mide 20 × 30 m en z = 1 km.

12.19 Dos cilindros perfectamente conductores de radios 8 y 20 mm son coaxiales. La re-
gión entre los cilindros está llena de un dieléctrico perfecto para el que = 10−9/4π
F/m y µr = 1. Si el valor de en la región es de (500/ρ) cos(ωt − 4z)aρ V/m, encuen-
tre: a) ω, en coordenadas cilíndricas, con la ayuda de las ecuaciones de Maxwell; b)
H(ρ, z, t); c) S(ρ, z, t) ; d) la potencia promedio que pasa a través de la sección
transversal 8 < ρ < 20 mm, 0 < φ < 2π.

12.20 Si Es = 60 ᎏsen θ e−j2r aθ V/m y Hs = ᎏs4eπnrθ e−j2raφ A/m en el espacio libre, encuen-
r

tre la potencia promedio que pasa hacia fuera a través de la superficie r = 106, 0 < θ

< π/3, 0 < φ < 2π.

12.21 Un cascarón cilíndrico de 1 cm < ρ < 1.2 cm está compuesto de un material conduc-
tor para el que σ = 106 S/m. Las regiones internas y externas no son conductoras. Sea
Hφ = 2000 A/m en ρ = 1.2 cm. a) Encuentre H en cualquier punto. b) Encuentre E
en cualquier punto. c) Encuentre S en cualquier punto.

12.22 Las dimensiones interiores y exteriores de una línea de transmisión coaxial de cobre
son 2 y 7 mm, respectivamente. Ambos conductores tienen un grosor mucho mayor
que δ. El dieléctrico no tiene pérdidas y la frecuencia de operación es de 400 MHz.
Calcule la resistencia por metro de largo del: a) conductor interior; b) el conductor
exterior; c) la línea de transmisión.

12.23 Un conductor tubular hueco está construido de latón y tiene una conductividad de 1.2
× 107 S/m. Los radios interior y exterior son de 9 y 10 mm, respectivamente. Calcule
la resistencia por metro de longitud a una frecuencia de: a) cd; b) 20 MHz; c) 2 GHz.

12.24 a) La mayoría de los hornos de microondas trabaja a 2.45 GHz. Suponga que σ = 1.2
× 106 S/m y µr = 500 para el acero inoxidable del interior del horno y encuentre la
profundidad de penetración. b) En la superficie del conductor, Es = 50∠0° V/m; gra-
fique una curva de la amplitud de Es versus el ángulo de Es a medida que el campo
se propaga a través del acero inoxidable.

12.25 Un buen conductor tiene forma plana y transporta una onda plana uniforme que tie-
ne una longitud de onda de 0.3 mm y una velocidad de 3 × 105 m/s. Suponiendo que
el conductor no es magnético, determine su frecuencia y conductividad.

12.26 Las dimensiones de una cierta línea de transmisión coaxial son a = 0.8 mm y
b = 4 mm. El grosor del conductor exterior es de 0.6 mm, y todos los conductores
tienen σ = 1.6 × 107 S/m. a) Encuentre R, la resistencia por unidad de longitud a
una frecuencia de operación de 2.4 GHz. b) Utilice la información de las secciones
6.4 y 9.10 para encontrar C y L, la capacitancia e inductancia por unidad de longi-
tud, respectivamente. El coaxial está lleno de aire. c) Encuentre α y β si α + jβ =

͙jෆωCෆ(ෆRෆ+ෆjෆωLෆ)ෆ.

Problemas 433

12.27 La superficie plana z = 0 forma una interfase de latón y teflón. Utilice los datos dis-
ponibles en el apéndice C para evaluar las relaciones siguientes para una onda plana
uniforme que tiene una ω = 4 × 1010 rad/s; (a) αtef /αlat; (b) λtef / λlat; (c) νtef /νlat.

12.28 Una onda plana uniforme en el espacio libre tiene el vector de campo eléctrico dado
por Es = 10e−jβxaz + 15e−jβxay V/m. a) Describa la polarización de la onda; b) en-
cuentre Hs; c) determine la densidad de potencia promedio en la onda en W/m2.

12.29 Considere una onda con polarización circular izquierda en el espacio libre que se pro-
paga en la dirección z hacia delante. El campo eléctrico lo da la ecuación (100). a)
Determine el fasor de campo magnético, Hs; b) determine una expresión para la den-
sidad de potencia promedio en la onda en W/m2 a través de la aplicación directa de
(77).

12.30 El campo eléctrico de una onda plana uniforme en el espacio libre está dado por
Es = 100(az + jax)e−j50y. Determine: a) f; b) Hs; c) S . d) Describa la polarización
de la onda.

12.31 Una onda plana uniforme polarizada linealmente que se propaga en la dirección z ha-
cia delante, ingresa en un material anisotrópico sin pérdidas, en el que la constante
dieléctrica que las ondas polarizadas encuentran a lo largo de y( ry) difiere de las on-
das polarizadas que se ven a lo largo de x( rx). Suponga rx = 2.15, ry = 2.10 y el
campo eléctrico de la onda a la entrada está polarizado a 45° con respecto a los ejes
x y y positivos. a) Determine, en términos de la longitud de onda en el espacio libre,
λ, la longitud más corta del material tal que la onda, a medida que aparece en la sa-
lida, esté polarizada circularmente. b) ¿La onda de salida estará polarizada a la dere-
cha o a la izquierda?

12.32 Suponga que la longitud del medio del problema 12.31 es del doble de la que se de-
termina en él. Describa la polarización de la onda de salida en este caso.

12.33 Dada una onda para la cual Es = 15e−jβzax + 18e−jβz ejφay V/m en un medio carac-
terizado por una impedancia intrínseca compleja, η: a) Encuentre Hs; b) determine la
densidad de potencia promedio en W/m2.

12.34 Dada la onda general polarizada elípticamente de la ecuación (93):

Es = [Ex0ax + E y0e jφ ay ]e− jβz

a) Demuestre, utilizando métodos similares a los del ejemplo 12.7, que una onda po-
larizada linealmente resulta de sobreponer el campo dado y un campo con fase corri-
da de la forma:

Es = [Ex0ax + E y0e− jφ ay ]e− jβz e jδ

en donde δ es una constante. b) Encuentre δ en términos de φ tal que la onda resul-
tante esté polarizada linealmente a lo largo del eje x.

13 C A P Í T U L O

Reflexión de ondas planas
y dispersión

En el capítulo 12 se aprendió cómo representar matemáticamente ondas planas uni-
formes en función de la frecuencia, las propiedades del medio y la orientación del
campo eléctrico. Asimismo, se aprendió a calcular la velocidad de la onda, atenua-
ción y potencia. En este capítulo se estudia la reflexión de ondas y la transmisión en las
fronteras planas entre diferentes medios. Este estudio permitirá cualquier orientación entre
la onda y la frontera e incluirá los casos importantes donde existan múltiples fronteras. Ade-
más se estudiarán los casos prácticos de ondas que transfieren potencia por medio de una
banda finita de frecuencias, como podría ocurrir, por ejemplo, en una portadora modulada.
Se considerarán dichas ondas en medios dispersivos, en los que algún parámetro que afec-
ta la propagación (la permitividad, por ejemplo) varía con la frecuencia. Los efectos de un
medio dispersivo en una señal son de gran importancia, pues la envolvente de la señal cam-
biará su forma a medida que se propague. En consecuencia, resultan problemáticas la detec-
ción y representación fidedigna de la señal original en el extremo receptor. Como resultado,
tanto la dispersión como la atenuación deben evaluarse cuando se establezcan las distancias
máximas de transmisión permisibles. ■

13.1 Reflexión de ondas planas uniformes
que inciden perpendicularmente

Se considera, en primera instancia, el fenómeno de reflexión que se presenta cuando una on-
da plana uniforme incide en la frontera entre las regiones que se componen de dos materia-
les diferentes. El tratamiento se enfoca en el caso de la incidencia perpendicular, en la que
la dirección de propagación de la onda es perpendicular a la frontera. En secciones poste-
riores esta restricción se elimina. Se buscarán expresiones para la onda que se refleja en la
interfase y para aquella que se transmite de una región a otra. Estos resultados se relacio-
nan directamente con problemas de acoplamiento de impedancias en líneas de transmisión
ordinarias, como se estudió en el capítulo 11. También son aplicables a guías de ondas, las
cuales se estudiarán en el capítulo 14.

434

13.1 Reflexión de ondas planas uniformes que inciden perpendicularmente 435

Región 1 Región 2

Onda incidente Onda transmitida
Onda reflejada

Figura 13.1 Dos vectores pueden sumarse gráficamente
dibujándolos desde un origen común y completando el
paralelogramo o haciendo que el segundo vector comience en la
punta del primero y completando el triángulo; cada uno de estos
métodos es fácilmente generalizado para el caso de tres o más
vectores.

De nuevo se supondrá que sólo se tiene una componente vectorial de la intensidad de
campo eléctrico. En la figura 13.1 se define la región 1 ( 1, µ1) como la mitad del espacio
para la cual z < 0; la región 2 ( 2, µ2) es la mitad del espacio para la cual z > 0. Desde el
principio se definió una onda en la región 1, viajando en la dirección +z y polarizada lineal-
mente a lo largo de x.

Ex+1(z, t ) = E + e−α1 z cos(ωt − β1 z )
x 10

En forma fasorial, esto es

Ex+s1(z) = E + e− j k z (1)
x 10

en donde se considera Ex+10 real. El subíndice 1 identifica la región y el supraíndice + indi-
ca una onda que se propaga positivamente. Asociado con Ex+s1 (z) está un campo magnético
en la dirección de y,

Hy+s1(z) = 1 Ex+10 e− jk1z (2)
η1

donde k1 y η1 son complejos al menos que Ј1Ј sea cero. A esta onda plana uniforme en la re-
gión 1 y que viaja hacia la superficie en la frontera en z = 0 se le llama onda incidente. Pues-
to que la dirección de propagación de la onda incidente es perpendicular al plano de la
frontera, se le identifica como incidencia normal.

Ahora se reconoce que la energía puede transmitirse a través de la superficie de la fron-
tera en z = 0 hacia la región 2, por medio de una onda que se mueva en la dirección +z en
ese medio. Los campos fasoriales eléctrico y magnético para esta onda son

E + 2(z ) = E x+20 e− jk2z (3)
xs (4)

Hy+s2(z) = 1 E x+20 e− j k2 z
η2

436 CAPÍTULO 13 Reflexión de ondas planas y dispersión

Esta onda que se mueve alejándose de la superficie de la frontera hacia la región 2 se cono-

ce como onda transmitida. Nótese el uso de las diferentes constantes de propagación, k2, y
la impedancia intrínseca η2.

Ahora se deberán satisfacer las condiciones de frontera en z = 0 con estos campos su-

puestos. Con E polarizado a lo largo de x, el campo es tangente a la interfase y, por lo tan-

to, los campos E en las regiones 1 y 2 deben ser iguales en z = 0. Establecer z = 0 en (1) y
(3) requiere que Ex+10 = Ex−20. Sin embargo, Hy también es un campo tangencial y debe ser
continuo a lo largo de la frontera (no existen corrientes laminares en medios reales). Sin em-
bargo, cuando se hace z = 0 en (2) y (4), se encuentra que debe tenerse Ex+10 /η1 = Ex+20/η2.
Dado que Ex+10 = Ex+20, entonces, η1 = η2. Pero ésta es una condición muy especial que no
concuerda con los hechos en general, y, por lo tanto, no se pueden satisfacer las condicio-

nes de frontera con sólo una onda incidente y una onda transmitida. Se requiere una onda

que viaje alejándose de la frontera en la región 1, como se muestra en la figura 13.1; ésta se

llama una onda reflejada,

Ex−s1(z) = E − e jk1z (5)
x 10

Hx−s1(z) = − E − e jk1z (6)
x 10

η1

donde Ex−10 puede ser una cantidad compleja. Como este campo está viajando en la dirección
−z, − = −η1 Hy−s1 E−1 × H−1
E xs1 puesto que el vector Poynting muestra que debe estar en la

dirección −az.

Las condiciones de frontera se pueden satisfacer ahora con facilidad, y en el proceso las

amplitudes de las ondas transmitida y reflejada pueden encontrarse en términos de E + . La
x10
intensidad total del campo eléctrico es continua en z = 0,

Exs1 = Exs2 (z = 0)

o E + + E − = E + 2 (z = 0)
Por lo tanto, xs1 xs1 xs

E x+10 + E − = E + (7)
x 10 x 20 (8)

Además, Hys1 = Hys2 (z = 0)
o

Hy+s1 + Hy−s1 = Hy+s2 (z = 0)

y, por lo tanto,

E + − E − = E +
x 10 x 10 x 20

η1 η1 η2

Despejando Ex+20 en (8) y sustituyendo en (7), se encuentra que

E + + E − = η2 E x+10 − η2 E x−10
x 10 x 10 η1 η1

13.1 Reflexión de ondas planas uniformes que inciden perpendicularmente 437

o

E − = E x+10 η2 − η1
x 10 η2 + η1

La razón de amplitudes de los campos eléctricos reflejado e incidente se conoce con el nom-
bre de coeficiente de reflexión y se representa con ,

= E x−10 = η2 − η1 = | |e jφ (9)
E x+10 η2 + η1

Es evidente que debido a que η1 y η2 pueden ser complejos, también lo será, por lo que
se incluye un corrimiento de fase de reflexión, φ. La interpretación de la ecuación (9) es
idéntica a la que se utilizó en las líneas de transmisión [ecuación (73), capítulo11].

La amplitud relativa de la intensidad de campo eléctrico transmitido se encuentra com-
binando (9) y (7) para obtener el coeficiente de transmisión, τ,

τ = E x+20 = 2η2 =1+ = |τ |e jφi (10)
E x+10 η1 + η2

cuya forma e interpretación son consistentes con su uso en las líneas de transmisión [ec.
(75), capítulo 11].

Obsérvese cómo estos resultados pueden aplicarse a algunos casos especiales. Primero
se deja que la región 1 sea un dieléctrico perfecto, y la región 2, un conductor perfecto. Des-
pués, se aplica la ecuación (48) del capítulo 12, con Ј2Ј = α2 /ω, obteniendo,

η2 = j ωµ2 = 0
σ2 + j ω 2

en la que se obtiene cero debido a que σ2 → ∞. Por lo tanto, de (10),

E + = 0
x 20

No pueden existir campos que varíen en el tiempo en un conductor perfecto. Una manera
alterna de ver esto es notar que la profundidad de piel es cero.

Puesto que η2 = 0, la ecuación (9) muestra que,

= −1

y

E x+10 = − E −
x 10

Los campos incidente y reflejado son de igual magnitud, por lo que toda la energía in-
cidente la refleja el conductor perfecto. El hecho de que dos campos sean de signo contra-
rio indica que en la frontera (o en el momento de la reflexión) se presenta un corrimiento de
fase de 180° en el campo reflejado en relación con el campo incidente. El campo total E en
la región 1 es,

Exs1 = Ex+s1 + Ex−s1

= E x+10 e− jβ1z − E + e jβ1 z
x 10

438 CAPÍTULO 13 Reflexión de ondas planas y dispersión

donde se considera que jk1 = 0 + jβ1 en un dieléctrico perfecto. Estos términos pueden
combinarse y simplificarse,

Exs1 = (e− jβ1z − e jβ1z ) Ex+10

= − j2 sen(β1 z ) E + (11)
x 10

Animaciones Multiplicando (11) por ejωt y considerando la parte real, se obtiene la forma instantánea real:

Ex1(z, t) = 2 E + sen(β1 z ) sen(ωt ) (12)
x 10

Se reconoce este campo total en la región 1 como una onda estacionaria, la cual se obtuvo
combinando dos ondas de igual amplitud viajando en direcciones opuestas. Primero se en-
contraron ondas estacionarias en las líneas de transmisión; sin embargo, estaban en la for-
ma de ondas de voltaje que se propagaban en el sentido opuesto (véase ejemplo 11.1).

De nuevo, se compara la forma de (12) con la de la onda incidente,

Ex1(z, t) = E + cos(ωt − β1 z ) (13)
x 10

En esta última ecuación se observa que el término ωt − β1z o ω(t − z/νp1), que caracteriza
una onda viajando en la dirección +z a una velocidad νp1 = ω/β1. Sin embargo, en (12) los
factores que involucran tiempo y distancia son términos trigonométricos independientes.

Siempre que ωt = mπ, E x1 será cero en cualquier posición. Por otro lado, se presentan ce-
ros espaciales en el patrón de la onda estacionaria en todo momento donde β1z = mπ, lo
cual, a su vez, ocurre cuando m = (0, ±1, ±2,…). En dichos casos,

2π z = mπ
λ1

y la ubicación de los valles se presentan en

z = m λ1
2

Por lo tanto, Ex1 = 0 en la frontera z = 0 y en cada media longitud de onda a partir de la
frontera en la región 1, z < 0, como se puede observar en la figura 13.2.

Puesto que Ey+s1 = η1 y Hy+s1 = Ex−s1 −η1 Hy−s1, el campo magnético es

Hys1 = E + (e− jβ1z +e jβ1z )
x 10

η1

o

Hy1(z, t) = 2 E x+10 cos(β1z) cos(ωt) (14)
η1

Esto también es una onda estacionaria, pero con una amplitud máxima en los puntos donde

Ex1 = 0. También está 90° fuera de fase con respecto a Ex1 en cualquier punto. Como resul-
tado, la potencia promedio como está determinada por el vector Poynting [ecuación (77),

capítulo 12] es cero en las direcciones hacia delante y hacia atrás.

Ahora, considérense dieléctricos perfectos en ambas regiones, 1 y 2; η1 y η2 son canti-
dades reales positivas y α1 = α2 = 0. La ecuación (9) permite el cálculo del coeficiente de

13.1 Reflexión de ondas planas uniformes que inciden perpendicularmente 439
Región 1

Conductor
perfecto

Figura 13.2 Los valores instantáneos del campo total Ex1 se muestran en
t = π/2. Ex1 = 0 para todo tiempo que sea múltiplo de la mitad de la
longitud de onda desde la superficie conductora.

reflexión y encontrar Ex−1 en términos del campo incidente Ex+1. Conociendo Ex+1 y Ex−1, en-
+ E y−1. +
tonces se calcula E y1 y En la región 2, E x2 se obtiene de (10) y éste, entonces, deter-

mina Hy+2.

EJEMPLO 13.1

Se selecciona como ejemplo numérico,

η1 = 100

η2 = 300

E + = 100 V/m
x 10

y se calculan los valores de la ondas incidente, reflejada y transmitida.
Solución. El coeficiente de reflexión es

= 300 − 100 = 0.5
300 + 100

y, por lo tanto,

E − = 50 V/m
x 10

440 CAPÍTULO 13 Reflexión de ondas planas y dispersión

Las intensidades de campo magnético son,

Hy+10 = 100 = 1.00 A/m
100

Hy−10 = − 50 = −0.50 A/m
100

Aplicando la ecuación (77) del capítulo 12 se observa que la magnitud de la densidad de po-
tencia incidente promedio es

S1i = 1 Re{Es × Hs∗} = 1 E + Hy+10 = 50 W/m2
2 2 x 10

La densidad de potencia reflejada promedio es,

S1r = − 1 E − Hy−10 = 12.5 W/m2
2 x 10

En la región 2, aplicando (10),

E + = τ E + = 150 V/m
x 20 x 10

y

Hy+20 = 150 = 0.500 A/m
300

Por lo tanto, la densidad de potencia promedio que se transmite de la frontera a la región 2, es,

S2 = 1 E + Hy+20 = 37.5 W/m2
2 x 20

Se puede comprobar y confirmar el requisito para la conservación de potencia:

S1i = S1r + S2

Es posible formular una regla general sobre la transferencia de potencia por medio de
la reflexión y la transmisión. Considérese, como se hizo antes, los mismos campos vecto-
riales y orientaciones de la interfase, pero permítase que se consideren impedancias com-
plejas. Para el cálculo de la densidad de la potencia incidente se tiene,

S1i = 1 E + Hy+s∗1 = 1 E + 1 E x+1∗0 = 1 1 E + 2
Re xs Re x 10 η1∗ Re η1∗ x 10
1 2 2
2

Por lo tanto, la densidad de potencia reflejada es,

= − 1 Re − Hy−s∗1 1 + 1 ∗ Ex+1∗0 11 + 2| |2
S1r 2 E xs = Re E x 10 η1∗ = Re E x 10
1 2 2 η1∗

Por lo tanto, se encuentra la relación general entre la potencia reflejada e incidente:

S1r = | |2 S1i (15)

De manera similar, se encuentra la densidad de potencia transmitida:

1 + Hy+s∗2 1 + 1 ∗ +∗ 11 + 2|τ |2
S2 = Re E xs2 = Re τ E x 10 η2∗ τ E x 10 = Re E x 10
2 2 2 η2∗

13.2 Razón de onda estacionaria 441

por lo que se ve que las densidades de potencia incidente y transmitida se relacionan por
medio de

S2 = Re 1/η2∗ |τ |2 S1i = η1 2 η2 + η2∗ |τ |2 S1i (16)
Re 1/η1∗ η2 η1 + η1∗

La ecuación (16) es una forma relativamente complicada para calcular la potencia transmi-
tida, a menos que las impedancias sean reales. Es más fácil aprovechar la conservación de
energía observando que cualquier cantidad de potencia que no se refleje se transmite. La
ecuación (15) puede utilizarse para encontrar,

S2 = (1 − | |2) S1i (17)

Como se esperaba (y lo cual debe ser válido), la ecuación (17) puede también deducirse de
la ecuación (16).

D13.1 Una onda plana uniforme de 1 MHz incide perpendicularmente en un lago
con agua dulce ( rЈ = 78, ЈrЈ= 0, µr = 1). Determínese la fracción de la onda inciden-
te que es a) reflejada y b) transmitida. c) Determínese ЈЈ la amplitud del campo eléc-
trico que se transmite hacia el lago.

Respuesta: 0.63; 0.37; 0.20 V/m.

13.2 Razón de onda estacionaria

En los casos donde | | < 1, cierta energía se transmite hacia la segunda región y otra parte
se refleja. Por lo tanto, la región 1 soporta un campo compuesto tanto por una onda viajera
como por una estacionaria. Esta situación se encontró antes en las líneas de transmisión, en
las cuales se presentaba una reflexión parcial en la carga. Las mediciones de la razón de la
onda estacionaria de voltaje y de los puntos de máximo y mínimo voltaje permitieron deter-
minar una impedancia de carga desconocida o establecieron el grado hasta el cual la impe-
dancia de carga estaba acoplada a la de la línea (sección 11.10). Se pueden llevar a cabo
mediciones similares de las amplitudes del campo en la reflexión de ondas planas.

La utilización de los mismos campos que se investigaron en la sección anterior permi-
te combinar las intensidades de los campos incidente y reflejado. Se supone que el medio 1
es un dieléctrico perfecto (α1 = 0), mientras que la región 2 puede ser de cualquier mate-
rial. El fasor de campo eléctrico total en la región 1 será,

Ex1T = E + + E − = E + e− jβ1 z + E + e jβ1 z (18)
x1 x1 x 10 x 10

en donde el coeficiente de reflexión es, como se expresó en (9):

= η2 − η1 = | |e jφ
η2 + η1

Se admite la posibilidad de que el coeficiente de reflexión sea un número complejo, inclu-
yendo su fase φ. Esto es necesario debido a pesar de que η1 es real y positivo para un medio

442 CAPÍTULO 13 Reflexión de ondas planas y dispersión

sin pérdidas; η2 será, generalmente, complejo. Además, si la región 2 es un conductor per-
fecto, η2 es igual a cero, por lo que φ será igual a π; si η2 es real y menor a η1, φ será tam-
bién igual a π; y si η2 es real y mayor que η1, φ será igual a cero.

Incorporando la fase de en (18), el campo total en la región 1 será,

Ex1T = e− jβ1z + | |e j(β1z+φ) E + (19)
x 10

Las amplitudes de campo máxima y mínima en (19) dependen de z y están sujetas a medi-
ción. Su razón, como se encontró en el caso de las amplitudes de voltaje en las líneas de
transmisión (sección 11.10), es la razón de onda estacionaria, la cual se denota con s. Se
tiene un máximo cuando cada término en los corchetes de (19) tiene el mismo ángulo de fa-
se; así que para un valor de positivo y real,

|Ex1T |máx = (1 + | |) E + (20)
x 10

y esto ocurre donde

−β1z = β1z + φ + 2mπ (m = 0, ±1, ±2, . . .) (21)

Por lo tanto,

zmáx = − 1 (φ + 2mπ ) (22)
2β1

Nótese que un valor máximo del campo eléctrico está en el plano de frontera (z = 0) si φ = 0;

además, φ = 0 cuando es real y positivo. Esto ocurre para valores de η1 y η2 reales cuando
η2 > η1. Por lo tanto, existe un valor máximo del campo en la superficie de la frontera cuan-
do la impedancia intrínseca de la región 2 es mayor que la de la región 1 y ambas impedan-

cias son reales. Cuando φ = 0, también ocurre un máximo en zmáx = −mπ/β1 = −mλ1/2.
Para un conductor perfecto, φ = π, y éste máximo se encuentra en zmáx = −π/(2β1),

−3π/(2β1) o zmáx = −λ1/4, −3λ1/4, y así sucesivamente.
El valor mínimo debe ocurrir donde los ángulos de fase de los dos términos en los cor-

chetes de la ecuación (19) difieren en 180°, por lo tanto,

|Ex1T |mín = (1 − | |)Ex+10 (23)

y esto ocurre donde,

−β1z = β1z + φ + π + 2mπ (m = 0, ±1, ±2, . . .) (24)

o

1 (φ + 1)π )
zmín = − + (2m (25)
2β1

Los valores mínimos están separados entre sí por múltiplos de media longitud de onda (así

como los valores máximos), y para el conductor perfecto, el primer mínimo ocurre cuando
−β1z = 0 o en la superficie conductora. En general, un valor mínimo de campo eléctrico se
encuentra en z = 0 siempre que φ = π; esto ocurre si η2 < η1 y ambos son reales. Los re-
sultados son matemáticamente iguales a los que se encontraron en el estudio de las líneas

de transmisión de la sección 11.10. La figura 11.6 muestra una visualización.