Hayt. Buck. teoria electromagnetica

208 CAPÍTULO 7 Ecuaciones de Poisson y de Laplace
Separación
Separación

Figura 7.16 Véase el problema 7.32.

figura 7.17a ilustra la situación donde el potencial en V0 se va a calcular en términos
de V1, V2, V3 y V4 y las distancias desiguales h1, h2, h3 y h4. a) Demostrar que

V0 =˙ V1 + V2
1 + h1 1 + h1h3 1 + h2 1 + h2h4
h3 h4h2 h4 h1h3

+ V3 + V4
1 + h3 1 + h1h3 1 + h4 1 + h4h2
h1 h4h2 h2 h3h1

b) determinar V0 en la figura 7.17b.
7.34 Considere la configuración de conductores y potenciales mostrada en la figura 7.18.

Utilizando el método descrito en el problema 7.33, calcular los potenciales en los
puntos x, y y z.

Centro

Radio

Figura 7.17 Véase el problema 7.33.

Problemas 209

Separación

Separación

Figura 7.18 Véase el problema 7.34.

Separación Separación Separación

Figura 7.19 Véase el problema 7.35.

7.35 a) Después de calcular los potenciales de la configuración mostrada en la figura
7.19, utilizar el método de iteración con un enrejado cuadrado de 1 cm de lado pa-
ra encontrar mejores cálculos en los siete puntos. Trabajar en el volt más cercano.
b) Construir un enrejado de 0.5 cm, establecer cálculos generales y después utilizar
el método de iteración en el enrejado de 0.5 cm. De nuevo, trabajar con el volt más
cercano. c) Utilice una computadora para obtener los valores de un enrejado de 0.25 cm.
Trabaje en el 0.1 V más cercano.

8 CAPÍTULO

El campo magnético estable

En este momento el concepto de campo debe sonarnos familiar. Desde que se aceptó
por vez primera la ley experimental de las fuerzas existentes entre dos cargas pun-
tuales y se definió la intensidad de campo eléctrico como la fuerza por unidad de car-
ga sobre una carga de prueba en presencia de una segunda carga, han aparecido numerosos
campos. Estos campos no poseen bases físicas reales; las mediciones físicas deben estar
siempre en términos de las fuerzas sobre las cargas en el equipo de detección. Aquellas car-
gas que son la fuente producen fuerzas medibles que se ejercen sobre otras cargas, las cua-
les pueden considerarse como cargas de detección. El hecho de que se le atribuya un campo
a las cargas fuente y se determine entonces el efecto de este campo sobre las cargas de de-
tección, simplemente divide, por conveniencia, el problema básico en dos partes.

El estudio del campo magnético se iniciará definiéndolo en sí mismo, y se mostrará
cómo se produce de una distribución de corriente. El efecto de este campo sobre otras co-
rrientes, que resulta la segunda parte del problema físico, se estudiará en el siguiente capí-
tulo. Tal y como se hizo para el campo eléctrico, el análisis inicial estará confinado a las
condiciones del espacio libre, y el estudio de los efectos de medios materiales se reservará
para el capítulo siguiente.

La relación del campo magnético estable con su fuente es más complicada que la del
campo eléctrico con su fuente. Será necesario aceptar temporalmente varias leyes tan sólo
como un acto de fe, relegando su demostración (bastante más difícil) a la última sección de
este capítulo. Esta sección puede omitirse cuando los campos magnéticos se traten por pri-
mera vez. Se incluye para que la aceptación de las leyes resulte un poco más sencilla; la de-
mostración de las leyes existe y está disponible para los estudiantes incrédulos y los más
avanzados. ■

8.1 Ley de Biot-Savart

La fuente de un campo magnético estable puede ser un imán permanente, un campo eléctri-
co que cambia linealmente con el tiempo, o una corriente directa. No se tomará en cuenta
el imán permanente y se excluirá el campo eléctrico variable con el tiempo, por el momento,

210

8.1 Ley de Biot-Savart 211
Punto 2
Espacio libre
Punto 1

Figura 8.1 a) La ley de Biot-Savart expresa la
intensidad de campo magnético dH2 producida
por un elemento diferencial de corriente I1dL1. La
dirección de dH2 es hacia adentro de la página.

para estudiarlo después. Las relaciones que se presentan se refieren al campo magnético que
produce un elemento diferencial de corriente directa en el espacio libre.

Estos elementos diferenciales de corriente se pueden considerar como pequeñas seccio-
nes de un filamento conductor portador de corriente, donde el filamento es el caso límite de
un conductor cilíndrico de sección transversal circular conforme el radio se aproxima a cero.
Se supone una corriente I que fluye en un diferencial de longitud vectorial dL del filamen-
to. La ley de Biot-Savart1 establece que en cualquier punto P la magnitud de la intensidad
de campo magnético que produce el elemento diferencial es proporcional al producto de la
corriente, la magnitud del diferencial de longitud y el seno del ángulo formado entre el fi-
lamento y la línea que lo conecta con el punto P en donde se busca el campo. La magnitud
de la intensidad de campo magnético es inversamente proporcional al cuadrado de la distan-
cia desde el elemento diferencial al punto P. La dirección de la intensidad de campo mag-
nético es normal al plano que contiene el filamento diferencial y a la línea dibujada desde
el filamento hasta el punto P. De las dos normales posibles, se elige aquella que está en la
dirección de avance de un tornillo derecho girado desde dL a través del ángulo más peque-
ño que forma con la línea desde el filamento hasta P. Utilizando unidades mks racionaliza-
das la constante de proporcionalidad es 1/4π.

La ley de Biot-Savart recién descrita utilizando alrededor de 150 palabras puede escri-
birse en forma concisa con notación vectorial como

dH = IdL × aR = I dL × R (1)
4π R 2 4π R 3

Las unidades de la intensidad de campo magnético H son, evidentemente, amperes por me-
tro (A/m). La geometría se ilustra en la figura 8.1. Los subíndices pueden utilizarse para
indicar el punto al cual una de las cantidades en (1) se refiere. Si se localiza el elemento

1 Biot y Savart fueron colegas de Ampère y los tres fueron profesores de física en el Colegio de Francia en uno u
otro tiempo. La ley de Biot-Savart fue propuesta en 1820.

212 CAPÍTULO 8 El campo magnético estable

de corriente en el punto 1 y se describe el punto P en el cual se va a determinar el campo
como 2, entonces

d H2 = I1dL1 × aR12 (2)
4π R122

La ley de Biot-Savart es algunas veces llamada ley de Ampère para el elemento de co-
rriente, pero se retendrá el primer nombre para evitar una posible confusión con la ley cir-
cuital de Ampère, la cual se estudiará luego.

En algunos aspectos, la ley de Biot-Savart es una reminiscencia de la ley de Coulomb
cuando ésta se escribe para un elemento diferencial de carga,

d E2 = dQ1aR12
4π 0 R122

Ambas muestran una dependencia de la ley del inverso al cuadrado de la distancia, así co-

mo una relación lineal entre la fuente y el campo. La principal diferencia aparece en la di-

rección del campo.

Es imposible verificar experimentalmente la ley de Biot-Savart tal como está expresa-

da en (1) y (2) debido a que el elemento diferencial de corriente no se puede aislar. La aten-

ción se tiene que restringir sólo a corrientes directas, por lo que la densidad de carga no está

en función del tiempo. La ecuación de continuidad de la sección 5.2, ecuación (5),

∇ · J = − ∂ρν
∂t

por lo tanto, muestra que

V·J = 0

o después de aplicar el teorema de la divergencia,

J·dS = 0

s

La corriente total que cruza cualquier superficie cerrada es cero, y esta condición sólo pue-
de satisfacerse si se supone un flujo de corriente alrededor de una trayectoria cerrada. Esta
corriente que fluye dentro de un circuito cerrado debe ser la fuente experimental del cam-
po, y no el elemento diferencial.

De esto se deduce que sólo la forma integral de la ley de Biot-Savart sea la que puede
verificarse en forma experimental.

H= IdL × aR (3)
4π R 2

La ecuación (1) o (2) conduce directamente a la forma integral (3); sin embargo, otras
expresiones diferenciales producen la misma formulación integral. Cualquier término cuya
integral alrededor de una trayectoria cerrada sea cero puede sumarse a (1). El gradiente de
cualquier campo escalar siempre produce un campo conservativo, y por lo tanto se podría
sumar un término ∇G a (1), donde G es un campo escalar general, sin cambiar (3) en lo más
mínimo. Esta característica de (1) y (2) se menciona para mostrar que si después se hacen
algunas preguntas tontas que no pueden someterse a cualquier verificación experimental,

8.1 Ley de Biot-Savart 213

Figura 8.2 La corriente total I dentro de
una anchura transversal b en la que existe
una densidad de corriente superficial
uniforme K es igual a Kb.

concernientes a la fuerza que ejerce un elemento diferencial de corriente sobre otro, se es-
peren respuestas análogas.

La ley de Biot-Savart puede expresarse también en términos de fuentes distribuidas, ta-
les como la densidad de corriente J y la densidad superficial de corriente K. La corriente
superficial fluye en una hoja cuyo espesor tiende a cero, y la densidad de corriente J, medi-
da en amperes por metro cuadrado, resulta, por lo tanto, infinita. La densidad superficial de
corriente se mide, sin embargo, en amperes por metro de ancho y se designa por K. Si la
densidad superficial de corriente es uniforme, la corriente total I en cualquier ancho b es

I = Kb

donde se ha supuesto que el ancho b se mide perpendicularmente a la dirección en la cual
fluye la corriente. La geometría la muestra la figura 8.2. La integración es necesaria para
una densidad superficial de corriente no uniforme:

I = KdN (4)

donde dN es un elemento diferencial de la trayectoria transversal al flujo de corriente. De
manera que el elemento diferencial de corriente I dL, donde dL está en la dirección de la
corriente, puede expresarse en términos de una densidad superficial de corriente K o densi-
dad de corriente J,

I dL = KdS = Jdν (5)

y formas alternas de la ley de Biot-Savart se obtienen,

H= K × aRdS (6)
s 4πR2

y

H= J × aRdν (7)
vol 4πR2

214 CAPÍTULO 8 El campo magnético estable

Punto 1 Espacio libre

Punto 2

Figura 8.3 Un filamento recto de longitud
infinita portador de una corriente directa I. El
campo en el punto 2 es H = (I/2πρ)aφ.

Se puede ejemplificar una aplicación de la ley de Biot-Savart considerando un filamen-
to recto de longitud infinita. Se aplicará primero (2) para después integrarla. Por supuesto
que esto es lo mismo que utilizar la forma integral (3) desde un principio.2

La simetría de este campo se reconocerá en la figura 8.3. No pueden existir variaciones
con z o φ. El punto 2, en el cual se determinará el campo, se escoge, por lo tanto, en el plano
z = 0. El punto de campo r es, por lo tanto, r = ρaρ. La fuente se localiza en rЈ = zЈaz. Así,

R12 = r − r = ρaρ − z az

de manera que

a R 12 = ρaρ − z az
ρ2 + z 2

Tomando dL = dzЈaz, (2) se convierte en

d H2 = I dz az × (ρaρ − z az)
4π (ρ2 + z 2)3/2

Dado que la corriente se dirige hacia los valores crecientes de zЈ, los límites son −∞ y ∞
sobre la integral, y se tiene

H2 = ∞ I d z az × (ρaρ − z az)
−∞ 4π (ρ2 + z 2)3/2

= I ∞ ρd z aφ
4π −∞ (ρ2 + z 2)3/2

2 La trayectoria cerrada para la corriente puede considerarse como que incluye un filamento, que trae de regreso a la
corriente, paralelo al primer filamento y a una distancia infinita. Un conductor coaxial exterior de radio infinito es otra
posibilidad teórica. Prácticamente, el problema es imposible, pero nótese que la respuesta será muy exacta cerca de
un alambre recto muy largo, que tiene una trayectoria de regreso para la corriente muy alejada.

8.1 Ley de Biot-Savart 215

Figura 8.4 Líneas de campo de la
intensidad de campo magnético alrededor
de un filamento recto de longitud infinita
portador de una corriente directa I. La
dirección de I está hacia adentro de la
página.

En este momento el vector unitario aφ bajo el símbolo de integral se debe investigar, ya que Ilustraciones
no siempre es constante, como lo son los vectores unitarios del sistema de coordenadas car-
tesianas. Un vector es constante cuando su magnitud y dirección son constantes. El vector
unitario ciertamente tiene magnitud constante, pero su dirección puede cambiar. Aquí aφ
cambia con la coordenada φ pero no con ρ o z. Afortunadamente, la integración aquí es con
respecto a zЈ, y aφ es constante y puede sacarse del símbolo de la integral,

H2 = Iρaφ ∞ dz
4π −∞ (ρ2 + z 2)3/2

Iρaφ ∞
4π z
= ρ2 ρ2 + z 2 −∞

y

I (8)
H2 = 2πρ aφ

La magnitud del campo no es una función de φ o z, y varía inversamente con la distan-
cia desde el filamento. La dirección del vector intensidad de campo magnético es circunfe-
rencial. Las líneas de flujo son, por lo tanto, círculos alrededor del filamento, y el campo
puede trazarse en secciones transversales como en la figura 8.4.

La separación de las líneas de flujo es proporcional al radio, o inversamente proporcio-
nal a la magnitud de H. De manera específica, las líneas de flujo se han dibujado pensando
en cuadriláteros curvos. Todavía no se tiene un nombre para la familia de líneas3 perpendicu-
lares a esas líneas de campo circulares, pero el espaciamiento de las líneas de campo se ha

3 Si no puede esperar, vea la sección 8.6.

216 CAPÍTULO 8 El campo magnético estable

ajustado de manera que, al añadir este segundo conjunto de líneas, se produzca un arreglo
de cuadriláteros curvos.

Una comparación de la figura 8.4 con el mapa del campo eléctrico alrededor de una lí-
nea de carga infinita muestra que las líneas del campo magnético corresponden exactamen-
te a las equipotenciales del campo eléctrico, así como la familia de líneas perpendiculares
“sin nombre” (y sin dibujar) en el campo magnético corresponde a las líneas del campo
eléctrico. Esta correspondencia no es un accidente, pero hay otros conceptos que deben do-
minarse antes de que la analogía entre los campos eléctricos y magnéticos se pueda explo-
rar a fondo.

La utilización de la ley de Biot-Savart para encontrar H es similar en muchos aspectos
a la utilización de la ley de Coulomb para encontrar E. Cada una requiere la determinación
de un integrando moderadamente complicado que contiene cantidades vectoriales, seguidas
por una integración. Cuando el objeto de interés fue la ley de Coulomb se resolvieron mu-
chos ejemplos, incluyendo los campos de una carga puntual, línea de carga y lámina de car-
ga. La ley de Biot-Savart puede utilizarse para resolver problemas análogos en campos
magnéticos, y algunos de estos problemas no aparecen como ejercicios a final del capítulo,
sino como ejemplos en esta parte del libro.

Un resultado útil es el del campo de un elemento de corriente de longitud finita como
el que muestra la figura 8.5. Se obtiene como consecuencia (véase el problema 8.8 al final
del capítulo) que H se expresa con mayor facilidad en términos de los ángulos α1 y α2, co-
mo se identifican en la figura. El resultado es

I (9)
H = 4πρ (sen α2 − sen α1)aφ

Si uno o ambos extremos están debajo del punto 2, entonces α1, o α1 y α2, son negativos.

Punto 2

Figura 8.5 La intensidad de campo
magnético producida por un filamento de
corriente de longitud finita sobre el eje z es
(I/4πρ)(sen α2 − sen α1)aφ.

8.1 Ley de Biot-Savart 217

La ecuación (9) es útil para encontrar la intensidad de campo magnético que causan los
filamentos de corriente dispuestos como una secuencia de segmentos de línea recta.

EJEMPLO 8.1

Como un ejemplo numérico para ilustrar el uso de (9) se determinará H en P2(0.4, 0.3, 0)
en el campo de una corriente filamentaria de 8 A que viene desde el infinito, acercándose

hacia el origen, sobre el eje x positivo y después alejándose hacia el infinito, a lo largo del

eje y. Este arreglo se muestra en la figura 8.6.

Solución. Se considera primero la corriente semiinfinita sobre el eje x, identificando los
dos ángulos, α1x = −90° y α2x = tan−1(0.4/0.3) = 53.1°. La distancia radial ρ es medida
desde el eje x, y se tiene ρx = 0.3. Por lo tanto, esta contribución a H2 es

H2(x ) = 4π 8 (sen 53.1◦ + 1)aφ 2 = 12
(0.3) = 0.3π (1.8)aφ π aφ

El vector unitario aφ se puede referir también al eje x. Se convierte en −az. Por lo tanto,

H2(x ) = − 12 az A/m
π

Para la corriente sobre el eje y se tiene α1y = −tan−1(0.3/0.4) = −36.9°, α2y = 90°, y ρy =
0.4. Esto lleva a que

H2(y) = 8 + sen 36.9◦)(−az) = − 8 az A/m
(1 π

4π (0.4)

Figura 8.6 Los campos individuales de dos
segmentos semiinfinitos de corriente se determinan por
medio de (9) y luego se suman para obtener H2 en P2.

218 CAPÍTULO 8 El campo magnético estable

Al sumar los resultados se tiene,
20

H2 = H2(x) + H2(y) = − π az = −6.37az A/m

D8.1 Dados los valores de P1, P2 y I1∆L1, calcular ∆H2: a) P1(0, 0, 2), P2(4, 2, 0),
2πazµA · m; b) P1(0, 2, 0), P2(4, 2, 3), 2πazµA · m; c) P1(1, 2, 3), P2(−3, −1, 2),
2π(−ax + ay + 2az)µA · m.
Respuesta: −8.51ax + 17.01ay nA/m; 16ay nA/m; 18.9ax − 33.9ay + 26.4az nA/m

D8.2 Un filamento de corriente que transporta 15 A en la dirección az está ubicado

totalmente sobre el eje z. Encontrar H en coordenadas cartesianas en: a) PA(͙ෆ2ෆ0, 0, 4);

b) PB(2, −4, 4).
Respuesta: 0.534ay A/m; 0.477ax + 0.239ay A/m

8.2 Ley circuital de Ampère

Después de haber resuelto cierto número de problemas sencillos de electrostática con la ley
de Coulomb, se encontró que los mismos problemas pueden resolverse mucho más fácil-
mente utilizando la ley de Gauss, siempre que hubiera un alto grado de simetría. De nuevo,
existe un procedimiento análogo en los campos magnéticos. Aquí, la ley que ayuda a resol-
ver los problemas con mayor facilidad se conoce como la ley circuital de Ampère,4 algunas
veces llamada ley de trabajo de Ampère. Es factible derivar esta ley de la de Biot-Savart, y
la derivación se realiza en la sección 8.7. Por el momento, conviene aceptar temporalmente la
ley circuital de Ampère como otra ley susceptible a pruebas experimentales. Su utilización
requerirá también de cuidadosas consideraciones de la simetría del problema para determi-
nar cuáles de las variables y componentes están presentes.

La ley circuital de Ampère establece que la integral de línea de H sobre cualquier tra-
yectoria cerrada es exactamente igual a la corriente encerrada por dicha trayectoria,

H·dL = I (10)

La corriente positiva se define como aquella que fluye en la dirección de avance de un tor-
nillo derecho que se gira en la dirección en la cual recorre la trayectoria cerrada.

En la figura 8.7, que muestra un alambre circular que transporta una corriente directa I,
la integral de línea de H alrededor de las trayectorias cerradas marcadas con las letras a y b
conduce a una respuesta igual a I. La integral alrededor de la trayectoria cerrada c, que pa-
sa a través del conductor, da un resultado menor que I y es exactamente igual a la porción
de la corriente total que queda encerrada por la trayectoria c. Aunque las trayectorias a y b
dan el mismo resultado, los integrandos son, por supuesto, diferentes. La integral de línea

4 La pronunciación más aceptada coloca el acento en “circ-”.

8.2 Ley circuital de Ampère 219

Figura 8.7 Un conductor tiene una corriente total I. La integral de línea en H
alrededor de las trayectorias cerradas a y b son iguales a I, y la integral alrededor
de la trayectoria c es menor que I, dado que no toda la corriente está encerrada
por la trayectoria.

indica que se debe multiplicar la componente de H en la dirección de la trayectoria por un
pequeño incremento de la longitud de la trayectoria localizado en cierto punto de la trayec-
toria, luego moverse a lo largo de la trayectoria al siguiente incremento de longitud y repe-
tir el proceso, continuando así hasta no recorrer la trayectoria por completo. Dado que H
variará generalmente de punto a punto y dado que las trayectorias a y b no son semejantes,
la contribución a la integral hecha por, digamos, cada milímetro de longitud de cada trayec-
toria será diferente por completo. Sólo los resultados finales son los mismos.

Se considerará también qué es lo que exactamente se quiere decir mediante la expre-
sión “corriente encerrada por la trayectoria”. Supóngase que se suelda un circuito después
de pasar una vez el conductor a través de una liga, con la cual se representará la trayectoria
cerrada. Algunas trayectorias enormes y extrañas pueden construirse mediante el estira-
miento, retorcimiento y el anudamiento de la liga, sin que ella ni el circuito conductor se
rompan; la corriente encerrada por la trayectoria es aquella que transporta el conductor.
Ahora se reemplaza la liga por un anillo circular de acero flexible en cuyo contorno se aco-
pla una hoja de hule estirada. El lazo de acero forma la trayectoria cerrada y el conductor
portador de corriente debe traspasar la hoja de hule, si es que la corriente debe quedar en-
cerrada por la trayectoria. Otra vez, se puede retorcer el lazo de acero, y también se puede
deformar la hoja de hule empujándola con el puño o doblándola de cualquier manera que se
desee. Un conductor portador de corriente continuará traspasando la hoja una vez, y ésta es
la medida real de la corriente encerrada por la trayectoria. Si se ensarta una vez el conduc-
tor a través de la hoja desde el anverso hacia el reverso y otra vez desde el reverso hasta el
anverso, la carga total encerrada por la trayectoria es la suma algebraica, que es cero.

En un lenguaje más general, dada una trayectoria cerrada, se reconoce esta trayectoria
como el perímetro de un número infinito de superficies (superficies no cerradas). Cualquier
conductor portador de corriente encerrado por la trayectoria deberá pasar una vez a través
de cualquiera de esas superficies. Ciertamente, algunas de las superficies pueden elegirse de
tal modo que el conductor las traspase dos veces en una dirección y una vez en la otra, pe-
ro la corriente total algebraica sigue siendo la misma.

Se encontrará que la trayectoria cerrada es normalmente de una naturaleza simple en
extremo y se puede dibujar sobre un plano. La superficie más simple es entonces aquella
porción del plano encerrada por la trayectoria. Tan sólo se necesita encontrar la corriente to-
tal que pasa a través de esta región del plano.

220 CAPÍTULO 8 El campo magnético estable

La aplicación de la ley de Gauss implica encontrar la carga total encerrada por una su-
perficie cerrada; la aplicación de la ley circuital de Ampère involucra encontrar la corriente
total encerrada por una trayectoria cerrada.

Se encontrará de nuevo la intensidad de campo magnético producida por un filamento
largo llevando una corriente I. El filamento está situado sobre el eje z en el espacio libre (co-
mo en la figura 8.3), y la corriente fluye en la dirección dada por az. La inspección de la si-
metría viene primero, lo que muestra que no hay variación con z o φ. Después se determina
cuáles componentes de H están presentes por medio de la ley de Biot-Savart. Sin la utiliza-
ción específica del producto cruz, se puede decir que la dirección de dH es perpendicular al
plano que contiene dL y R y, por lo tanto, está en la dirección de aφ. De aquí que la única
componente de H es Hφ, y está en función únicamente de ρ.

Por lo tanto, se elige una trayectoria para la cual H sea perpendicular a algunas de sus
secciones, o tangencial, o mantenga su magnitud H constante. El primer requisito (perpen-
dicularidad o tangencialidad) permite sustituir el producto punto de la ley circuital de Am-
père con el producto de magnitudes escalares, excepto a lo largo de aquellas porciones de
la trayectoria donde H sea normal a la trayectoria, en cuyo caso el producto punto es cero;
el segundo requisito (constancia) permite sacar la intensidad de campo magnético del sím-
bolo de integral. La integral resultante es comúnmente trivial y se reduce a encontrar la lon-
gitud de la porción de la trayectoria con respecto a la cual H es paralela.

En el ejemplo, la trayectoria debe ser un círculo de radio ρ y la ley circuital de Ampè-
re se convierte en

2π 2π

H·dL = Hφρdφ = Hφρ dφ = Hφ2πρ = I

00

o

I
Hφ = 2πρ

como antes.
Como un segundo ejemplo de la aplicación de la ley circuital de Ampère, considérese

una línea de transmisión coaxial de longitud infinita, llevando una corriente total I unifor-
memente distribuida en el conductor central y −I en el conductor exterior. La línea la mues-
tra la figura 8.8a. La simetría muestra que H no es una función de φ ni de z. En la
determinación de las componentes presentes se pueden usar los resultados del capítulo pre-
vio si se consideran los conductores sólidos como si estuvieran compuestos de un gran nú-
mero de filamentos. Ningún filamento tiene componente z de H. Además, la componente Hρ
en φ = 0°, producida por un filamento localizado en ρ = ρ1, φ = φ1, se cancela por la com-
ponente Hρ producida por un filamento localizado simétricamente en ρ = ρ1, φ = −φ1. Es-
ta simetría la ilustra la figura 8.8b. De nuevo se encuentra una sola componente Hφ, la cual
varía con ρ.

Una trayectoria circular de radio ρ, donde ρ es mayor que el radio del conductor inte-
rior, pero menor que el radio interior del conductor exterior, lleva inmediatamente a

I
Hφ = 2πρ (a < ρ < b)

8.2 Ley circuital de Ampère 221

solamente

Figura 8.8 a) Sección transversal de un cable coaxial portador de una corriente Ilustraciones
uniformemente distribuida I en el conductor interior y −I en el conductor exterior. El campo
magnético en cualquier punto se determina más fácilmente por medio de la aplicación de la
ley circuital de Ampère alrededor de una trayectoria cerrada. b) Filamentos de corriente en
ρ = ρ1, φ = ±φ1 producen componentes Hρ que se cancelan. Para el campo total, H = Hφaφ.

Si se elige ρ más pequeña que el radio del conductor interior, la corriente encerrada es

ρ2
I encerrada = I a2

y

ρ2
2πρHφ = I a2
o

Iρ
Hφ = 2πa2 (ρ < a)

Si el radio ρ es mayor que el radio exterior del conductor exterior, no se encierra nin-
guna corriente y

Hφ = 0 (ρ > c)

Por último, si la trayectoria queda dentro del conductor exterior, se tiene

ρ2 − b2
2πρHφ = I − I c2 − b2

I c2 − ρ2
Hφ = 2πρ c2 − b2 (b < ρ < c)

Las variaciones de la intensidad del campo magnético con respecto al radio se mues-
tran en la figura 8.9 para un cable coaxial en el cual b = 3a, c = 4a. Debe notarse que la in-
tensidad de campo magnético H es continua en todos los bordes conductores. En otras
palabras, un ligero incremento en el radio de la trayectoria cerrada no resulta en el confina-
miento de una corriente sustancialmente diferente. El valor de Hφ no muestra ningún salto
repentino.

222 CAPÍTULO 8 El campo magnético estable

Figura 8.9 La intensidad de campo magnético como
función del radio, en una línea coaxial de transmisión de
longitud infinita con las dimensiones mostradas.

El campo externo es cero. Esto se deduce de las corrientes positivas y negativas igua-
les que encierra la trayectoria. Cada una produce un campo externo de magnitud I/2πρ, pe-
ro éstos se cancelan. Este es otro ejemplo de “blindaje”; como un cable coaxial portador de
grandes corrientes que no producirían ningún efecto notable sobre un circuito adyacente.

Como ejemplo final, considérese una lámina de corriente que fluya en la dirección po-
sitiva de y y se localice en el plano z = 0. Se puede pensar de la corriente de retorno como
igualmente dividida entre dos láminas distantes sobre cada uno de los lados de la lámina que
se está considerando. Una lámina con densidad superficial de corriente uniforme K = Kyay se
muestra en la figura 8.10. H no puede variar con x o y. Si la lámina está subdividida en un
cierto número de filamentos, es evidente que ningún filamento puede producir una compo-
nente Hy. Más aún, la ley de Biot-Savart muestra que se cancela la contribución a Hz pro-
ducida por un par de filamentos simétricamente situados. De aquí que Hz también es cero;
sólo está presente la componente Hx. Por lo tanto, se elige la trayectoria 1-1Ј-2Ј-2-1

Figura 8.10 Una lámina uniforme de corriente
superficial K = Kyay en el plano z = 0. Se puede
encontrar H aplicando la ley circuital de Ampère
alrededor de las trayectorias 1-1Ј-2Ј-2-1 y 3-3Ј-2Ј-2-3.

8.2 Ley circuital de Ampère 223

compuesta de segmentos de línea recta en donde son paralelos o perpendiculares a Hx. La
ley circuital de Ampère da

Hx1 L + Hx2(−L) = K y L
o

Hx1 − Hx2 = K y

Si ahora se elige la trayectoria 3-3Ј-2Ј-2-3 se encierra la misma corriente, y
Hx3 − Hx2 = K y

y, por lo tanto,

Hx3 = Hx1

Se sigue que Hx es el mismo para todo z positivo. Del mismo modo, Hx es igual para todo z
negativo. Debido a la simetría, entonces la intensidad de campo magnético sobre un lado de

la lámina de corriente es el negativo de la del otro lado. Sobre la lámina,

Hx = 1 K y (z > 0)
2

mientras que debajo de ella

Hx = − 1 K y (z < 0)
2

Por medio de un vector unitario aN normal (hacia afuera) a la lámina de corriente, el resul-
tado puede escribirse en forma correcta para todo z como

H = 1 K × aN (11)
2

Si una segunda lámina en la que la corriente fluye en la dirección opuesta K = −Kyay
se coloca en z = h, (11) muestra que el campo en la región entre las láminas de corriente es

H = K × aN (0 < z < h) (12)

y es cero en cualquier otro lugar (13)
H = 0 (z < 0, z > h)

La parte más difícil de la ley circuital de Ampère es la determinación de las componen-
tes del campo presentes. El método más seguro es la aplicación lógica de la ley de Biot-Sa-
vart y un conocimiento de los campos magnéticos de forma simple.

El problema 8.13 al final de este capítulo delinea los pasos involucrados en la aplicación
de la ley circuital de Ampère a un solenoide infinitamente largo de radio a y densidad de co-
rriente uniforme Kaaφ, como lo muestra la figura 8.11a . Como referencia, el resultado es

H = Kaaz (ρ < a) (14a)
H = 0 (ρ > a) (14b)

224 CAPÍTULO 8 El campo magnético estable

N vueltas

(dentro de la bobina)

Figura 8.11 a) Un solenoide ideal de longitud infinita con una lámina de corriente
circular K = Kaaφ. b) Un solenoide de N vueltas de longitud finita d.

Si el solenoide tiene una longitud finita d y consiste en N espiras estrechamente enro-
lladas, de un filamento que lleva una corriente I, entonces el campo en los puntos muy den-
tro del solenoide es en forma aproximada

H = NI a·z (muy dentro del solenoide) (15)
d

La aproximación es útil si no se aplica a distancias menores de dos radios de los extremos
abiertos, ni a distancias de la superficie del solenoide menores que dos veces la separación
entre las espiras.

Para los toroides que muestra la figura 8.12 se puede mostrar que la intensidad de cam-
po magnético para el caso ideal (figura 8.12a) es

H = Ka ρ0 − a (toroide interior) (16a)
ρ aφ

H=0 (exterior) (16b)

Para el toroide de N espiras de la figura 8.12b se obtiene una buena aproximación con

NI (17a)
H = 2πρ aφ (toroide interior)

H=0 (exterior) (17b)

mientras que se consideren los puntos alejados de la superficie del toroide varias veces la
separación entre espiras.

Los toroides con secciones transversales rectangulares no presentan mucha complica-
ción, como puede verse al intentar resolver el problema 8.14.

Las fórmulas exactas para solenoides, toroides y bobinas de otras formas están dispo-
nibles en la sección 2 del Standard Handbook for Electrical Engineers (véanse las lecturas
complementarias en el capítulo 5).

8.3 El rotacional 225

Eje z Eje z

N vueltas
(muy adentro del toroide)

(en el interior del toroide)
(en el exterior)

Figura 8.12 a) Un toroide ideal portador de una corriente superficial K en la
dirección mostrada. b) Un toroide de N vueltas portador de una corriente
filamentaria I.

D8.3 Exprese el valor de H en coordenadas cartesianas en P(0, 0.2, 0) en el campo
de: a) un filamento de corriente, 2.5 A en la dirección az en x = 0.1, y = 0.3; b) un
coaxial centrado en el eje z, con a = 0.3, b = 0.5, c = 0.6, I = 2.5 A en la dirección
az en el centro del conductor; c) tres placas de corriente, 2.7ax A/m en y = 0.1, −1.4ax
A/m en y = 0.15 y −1.3ax A/m en y = 0.25.

Respuesta: 1.989ax − 1.989ay A/m; −0.884ax A/m; 1.300az A/m

8.3 El rotacional

El estudio de la ley de Gauss se completó aplicándola en un elemento diferencial de volu-
men, lo cual condujo al concepto de divergencia. Ahora se aplicará la ley circuital de Am-
père al perímetro de un elemento diferencial de superficie y hará su aparición la tercera y
última de las derivadas especiales del análisis vectorial, el rotacional. El objetivo inmedia-
to es obtener la forma puntual de la ley circuital de Ampère.

Se eligen otra vez coordenadas cartesianas y una trayectoria cerrada incremental de la-
dos ∆x y ∆y (figura 8.13). Se supone que alguna corriente, hasta ahora no especificada, pro-
duce un valor de referencia de H en el centro de este pequeño rectángulo,

H0 = Hx0ax + Hy0ay + Hz0az

La integral cerrada de línea de H alrededor de esta trayectoria es, entonces, aproximada-
mente la suma de los cuatro valores de H ·∆L sobre cada lado. Se elige la dirección de tra-
vesía como 1-2-3-4-1, que corresponde a una corriente en la dirección de az, y la primera
contribución es, por lo tanto,

(H · L)1−2 = Hy,1−2 y

El valor de Hy sobre esta sección de la trayectoria se puede dar en términos del valor de re-
ferencia Hy0 en el centro del rectángulo, de la razón de cambio de Hy con x, y de la distan-
cia ∆x/2 desde el centro hasta el punto medio del lado 1−2:

226 CAPÍTULO 8 El campo magnético estable

Figura 8.13 Una trayectoria incremental
cerrada en coordenadas cartesianas se
selecciona para la aplicación de la ley circuital
de Ampère con la intención de determinar la
razón de cambio espacial de H.

Hy,1−2 =. Hy0 + ∂ Hy 1 x
∂x 2

Así,

(H · L)1−2 =. Hy0 + 1 ∂ Hy x y
2 ∂x

A lo largo de la siguiente sección de la trayectoria se tiene

(H · L)2−3 =. Hx,2−3(− x) =. − Hx 0 + 1 ∂ Hx y x
2 ∂y

Si se continúa con los dos segmentos restantes y la suma de los resultados,

H · dL =. ∂ Hy − ∂ Hx xy
∂x ∂y

Con base en la ley circuital de Ampère, este resultado debe ser igual a la corriente encerra-

da por la trayectoria, o la corriente que atraviesa cualquier superficie que haya limitado la

ttroanyceecst,o∆riIa.=S. i se supone una densidad de corriente general J, la corriente encerrada es, en-
Jz∆x∆y, y

H · dL =. ∂ Hy − ∂ Hx x y =. Jz x y
∂x ∂y

o

H · dL =. ∂ Hy − ∂ Hx =. Jz
xy ∂x ∂y

A medida que la trayectoria cerrada se contrae, la expresión se hace más exacta, y en el lí-
mite se tiene la igualdad

lím H · dL = ∂ Hy − ∂ Hx = Jz (18)
xy ∂x ∂y
x, y→0