FÍSICA I Mecánica Clásica para Estudiantes de Educación e Ingenierías

Alberto Tirado Sanabria Jorge Encalada Noboa FÍSICA I MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS Tercera Edición

Autores: Ing. Alberto Antonio Tirado Sanabria, Dr. Universidad de Guayaquil. FCMF Ing. Jorge Washington Encalada Noboa, Msc. Universidad de Guayaquil. FFLCE Revisores Pares: Fís. Segundo Rafael Medina Velasco, MSc. Universidad Estatal de Bolívar Arquímedes Xavier Haro Velasteguí, PhD Universidad Superior Politécnica de Chimborazo Diseño y diagramación: Editorial e Imprenta de la Universidad de Guayaquil Gestores de la publicación Decanato de Investigación, Posgrado e Internacionalización Coordinación de Investigación y Gestión del Conocimiento ISBN: 978-9978-59-169-7 Quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones en las leyes, la producción o almacenamiento total o parcial de la presente publicación, incluyendo el diseño de la portada, así como la transmisión de la misma por cualquiera de sus medios, tanto si es electrónico, como químico, mecánico, óptico, de grabación o bien de fotocopia, sin la autorización de los titulares del copyright. Guayaquil-Ecuador 2023 FÍSICA I MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS Tercera Edición adaptada al Ecuador, con el contenido completo de la Mecánica Clásica.

AGRADECIMIENTOS A la Universidad de Guayaquil, por permitirme continuar con mi carrera de profesor universitario, luego de 19 años de trabajar en la Universidad de Oriente, (Venezuela). Al profesor jubilado Aníbal Trujillo Naranjo, por sus aportes y observaciones realizadas en la segunda edición de esta obra. A. Tirado Gracias a Dios por dar luz a ideas, que me permiten plasmar mis pensamientos en el presente texto. Mi agradecimiento a la Universidad de Guayaquil por fomentar proyectos como el fondo competitivo de investigación que permiten al docente investigador profundizar en temas con abundante masa crítica. J. Encalada

DEDICATORIAS A todos los estudiantes que han compartido conmigo un aula de clases, y que esta obra les inspire en que si se puede lograr lo que nos proponemos. Cuando se trabaja con sentido lógico, pensamiento continuo e ingenio. A mis hijas Ariadna Cristal, Grecia Rubí y Bella Esmeralda. Que siempre han sido mi fortaleza en todo momento, para siempre seguir trabajando y dar lo mejor de mí. A. Tirado En recuerdo a Pilar Elena, mi amada esposa. J. Encalada

PREFACIO En la cátedra de Física I, el estudiante cuenta para complementar su aprendizaje fuera del salón de clases, con los muchos textos existentes sobre la materia los cuales sin necesidad de adquirirlos puede consultar en las salas de lecturas, internet y bibliotecas de su Universidad, o con la infinidad de guías de ejercicios preparadas por los profesores que dictaron y/o dictan esta materia; sin embargo a la mayoría de los jóvenes no les gusta leer y menos aun cuando el lenguaje de dichos textos científicos provienen de una traducción al idioma español y contienen ejemplos de situaciones fuera de nuestras fronteras, en adicional cuando en dichas guías por lo general, no traen respuesta de los ejercicios propuestos. Esto genera la necesidad de un texto especializado con las características específicas de: problemas resueltos a modo de ejemplos, problemas propuestos con su respectiva respuesta, adaptado en su contenido al programa amplio establecido en la cátedra de Física I, en varias universidades, como mecánica clásica, y todo en un marco de situaciones y problemas propios de la región con un lenguaje conocido y amigable, es decir, problemas inéditos de nuestro convivir diario con nuestro lenguaje. El lenguaje empleado en este libro tiene una simbología matemática ya conocida y propia desarrollada por los autores, ver tabla A1, con concepciones que tienden a la lógica en el aprendizaje sobre el movimiento de la materia, sus formas y causas; el texto presenta situaciones, regiones y lugares propios de Venezuela y el Ecuador, contando con las siguientes características en los problemas: a) los propuestos cuentan con un subtítulo que define su tipología, b) los dibujos en determinadas situaciones está al lado o inmediatamente siguiente al enunciado de tal forma que el lector no tiene que buscar información en otro parte ni en otra página o numeración, c) los problemas resueltos a manera de ejemplos se realizan en forma sencilla y directa, d) los problemas propuestos se presentan en un orden aceptable de dificultad con su respectiva respuesta al término del enunciado y e) se entrega al final la sección de “problemas de desafío” para el estudiante interesado en ir más allá. En este sentido, es nuestra intención ofrecer este texto bajo estas características a fin de intentar cubrir este vacío actualmente existente en la cátedra de Física I, en el aprendizaje personal y externo al salón de clases, que realiza el estudiante que acepta esta condición. LOS AUTORES

AL PROFESOR Este texto está adaptado al curso de Física I, en general del primer semestre, como principio y fundamento de la mecánica clásica para estudiantes de las ingenierías en general y la educación. Incluyendo las unidades: 1) Dimensiones y sistemas de medidas. 2) Vectores y escalares. 3) Cinemática unidimensional. 4) Cinemática bidimensional. 5) Dinámica lineal, circular, Momento lineal, leyes de Kepler y el centro de masa. 6) Trabajo físico y energías, potencia y colisiones. 7) Torsión y dinámica angular, y 8) Mecánica de los fluidos; además del tema preliminar de nociones matemáticas. El aprendizaje del estudiante en el salón de clases obedece a la calidad de la interacción con el profesor y con sus compañeros de estudios; para ello la metodología en la clase debe contar con una motivación al tema, un desarrollo del concepto con ejemplos didácticos y que el estudiante cuente con suficientes ejercicios de práctica; en este texto se ofrece esta metodología con las secciones de problemas propuestos con su solución y la de problemas de desafío, en apoyo siempre de las definiciones básicas. La motivación o inicio consiste en ilustrar situaciones y proponer preguntas sobre el tema específico a dictar generando en la clase un rápido debate que permite la apertura participativa del tema; en el desarrollo y la aplicación del concepto, se deducen las fórmulas y conceptos del tema así como técnicas específicas y/o generales para la resolución de problemas, empezando por resolver los expuestos en la parte motivacional al inicio de la clase; luego se continua con la transcendencia del concepto en su utilidad, actual o a futuro, para luego en lo posible hacer el cierre con la historia y los protagonistas así como anécdotas de los conceptos estudiados. La participación estudiantil enriquece el proceso de aprendizaje e incrementa la experiencia docente; pero ¿Cómo hacer que el estudiante participe? ¿Cómo motivarlo? Quizás no exista una respuesta directa a esta pregunta, pero la creatividad del docente es sin duda un buen inspirador y para ello sólo se requiere, el hecho de cambiar la información en un ejercicio conocido: un dato, un ángulo, una distancia, un tiempo; agregar otro ente o mover una coordenada para generar una “nueva” situación que al ser resuelta “invita” con cordialidad al grupo estudiantil a participar, a innovar y a cuestionar situaciones nuevas que abren la didáctica, acaban con la clase monótona, repetitiva y algorítmica y por supuesto demuestran la capacidad y dominio que debe tener el profesor. El conocimiento es intransferible, el docente debe divulgar su conocimiento sobre los temas de la materia en información fluida con ejemplos que el estudiante en su proceso de aprendizaje convierte en conocimiento propio, en fijación propia; entonces resulta ilógico pretender enseñar de inicio conceptualizaciones que fueron producto y conclusiones de largos procesos empíricos para luego usarlos en la resolución de situaciones y problemas. Al contrario, el concepto formal debe ser el resultado de la práctica en la resolución de problemas resueltos con la formulación que el profesor desarrolla en la motivación y en las deducciones iniciales de la clase; luego de concluir este proceso es que se manifiesta con ayuda del estudiante el o los conceptos definitivos o totales del tema.

AL ESTUDIANTE Este texto consta de 8 capítulos en el orden siguiente: 1) Dimensiones y sistemas de medidas. 2) Vectores y escalares. 3) Cinemática unidimensional. 4) Cinemática bidimensional. 5) Dinámica lineal y circular, Momento lineal, leyes de Kepler y centro de masa. 6) Trabajo físico, energías, potencia y colisiones. 7) Torsión y dinámica angular, 8) Mecánica de los fluidos; más un tema preliminar donde se exponen algunos de los conocimientos básicos requeridos. Para un mejor aprovechamiento de este texto se recomienda seguir el orden consecuente de los temas realizando: a) La lectura completa de cada tema observando los problemas resueltos. b) Interpretar las notas explicativas. c) Resolver la mayor cantidad posible de los problemas propuestos, revisando su respectiva respuesta. En la resolución de problemas recomendamos la estrategia de: dibujo o esquema de la situación planteada, establecimiento del eje coordenado, identificación del problema y sus variables, selección de las relaciones analíticas que contengan las incógnitas y por último resolver algebraicamente. La mejor forma de aprender es practicar y este texto en su tercera edición te proponen una variedad de problemas superior a los mil, tipificados por tema y en el mejor orden de dificultad posible. Ser estudiante implica que se ha adquirido el compromiso de aprender de las muchas cátedras que conforman nuestras carreras al menos una idea general, una actitud que nos lleva a la madurez necesaria para resolver o intentar resolver situaciones y problemas del campo laboral profesional o de la vida diaria, mediante el ingenio y el uso de estrategias y técnicas alguna vez discutidas. ¿Entonces como el estudiante, por lo general adolescente, se encamina en el proceso como estudiante para convertirse en un profesional? ¿Cómo el estudiante de Física I sabe que su actitud es la correcta? Cuando por encima de buscar sólo aprobar la materia se enfoca en vivir su contenido en ver su aplicación práctica inmediata sobre el movimiento de la materia, en discutir con compañeros y docente las situaciones y los problemas que se le plantean sacando de ellos el mayor provecho. Esta actitud es particular de cada ser humano y por supuesto depende de si verdaderamente se desea ser un estudiante de grado; son muchos los trabajos sociales que indican que una gran parte del estudiantado no sabe por qué está en la universidad, si realmente es lo que quiere en la vida o si su decisión le pertenece a él y no a su representante. Ahora bien, como puede el estudiante saber si realmente estudiar es lo que quiere, la respuesta sólo la sabrá cuando viva la experiencia y tome la decisión sobre el futuro de su vida; para eso manifestamos las siguientes recomendaciones: a) Bajo ningún concepto abandonar la materia a mitad de camino, pues en el peor de los casos el estudiante se convierte en repitiente y con ventaja para una próxima aprobación; abandonar implica verla de nuevo por primera vez. b) Exigir al docente la entrega y discusión de los resultados de las evaluaciones antes de presentar la siguiente evaluación. c) Ser participativo en las discusiones de la clase y en la consulta con el docente que son los momentos para aclarar dudas y lograr el aprendizaje requerido por los objetivos del tema. Y d) Tener siempre presente que estudiar nunca es una pérdida de tiempo.

AGRADECIMIENTOS ........................................................................................................................................2 DEDICATORIAS ...................................................................................................................................................3 PREFACIO ...............................................................................................................................................................4 AL PROFESOR ......................................................................................................................................................5 AL ESTUDIANTE ................................................................................................................................................6 CONTENIDO GENERAL PRERREQUISITOS PARA FÍSICA I ............................................................................................................9 ÁLGEBRA BÁSICA...............................................................................................................................................9 SISTEMAS DE REFERENCIAS.......................................................................................................................11 TRIGONOMETRÍA ELEMENTAL ................................................................................................................12 CIFRAS SIGNIFICATIVAS................................................................................................................................14 PROBLEMAS PROPUESTOS .........................................................................................................................15 CAPÍTULO I: DIMENSIONES ........................................................................................................................16 MAGNITUDES FUNDAMENTALES............................................................................................................16 ANÁLISIS DIMENSIONAL ..............................................................................................................................17 CONVERSIONES, MÉTODO TABULAR...................................................................................................17 PROBLEMAS PROPUESTOS .........................................................................................................................24 CAPÍTULO II: VECTORES Y ESCALARES ...............................................................................................32 TIPOLOGÍA EN LOS VECTORES ................................................................................................................32 VECTORES EN EL ESPACIO...........................................................................................................................36 OPERACIONES CON VECTORES ...............................................................................................................37 HISTORIA DE LOS VECTORIALES .............................................................................................................44 PROBLEMAS PROPUESTOS .........................................................................................................................45 CAPÍTULO III: CINEMÁTICA I......................................................................................................................60 MOVIMIENTO RECTILÍNEO HORIZONTAL ........................................................................................61 ANÁLISIS GRÁFICO DE LA CINEMÁTICA I...........................................................................................63 MOVIMIENTO VERTICAL LIBRE................................................................................................................65 VELOCIDAD RELATIVA EN UNA DIMENSIÓN...................................................................................67 HISTORIA DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO .......................................................................................68 PROBLEMAS PROPUESTOS .........................................................................................................................69 CAPÍTULO IV: CINEMÁTICA II.....................................................................................................................89 VARIABLES DE LA CINEMÁTICA II ...........................................................................................................89 MOVIMIENTO EN EL PLANO DEL TIPO PARABÓLICO.................................................................90 REBOTE PARABÓLICO: ..................................................................................................................................93 MOVIMIENTO DEL TIPO CIRCULAR.......................................................................................................95 DESPLAZAMIENTO ANGULAR...................................................................................................................97 INDICE

VELOCIDAD RELATIVA BIDIMENSIONAL............................................................................................98 HISTORIA DEL MOVIMIENTO EN EL PLANO.....................................................................................99 PROBLEMAS PROPUESTOS .........................................................................................................................100 CAPÍTULO V: DINÁMICA EN PARTÍCULAS .........................................................................................116 DINÁMICA DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO .....................................................................................116 TIPOLOGÍAS DE LAS FUERZAS ACTUANTES.....................................................................................117 CUERPOS CONECTADOS ..............................................................................................................................121 DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR..........................................................................................123 EL MOMENTO LINEAL.....................................................................................................................................128 CENTRO DE MASA.............................................................................................................................................129 GRAVITACIÓN Y ÓRBITAS.............................................................................................................................132 HISTORIA DE LA DINÁMICA .......................................................................................................................134 PROBLEMAS PROPUESTOS .........................................................................................................................135 CAPÍTULO VI: TRABAJO, ENERGÍA Y COLISIONES........................................................................158 TRABAJO FÍSICO POR FUERZAS...............................................................................................................158 ENERGÍAS RELACIONADAS A UN CUERPO.......................................................................................162 TRABAJO CONSERVATIVO Y NO CONSERVATIVO ........................................................................163 TRABAJO FÍSICO Y SU RELACIÓN CON LAS ENERGÍAS.............................................................165 POTENCIA ..............................................................................................................................................................167 COLISIONES ..........................................................................................................................................................168 HISTORIA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA. ............................................................................................170 PROBLEMAS PROPUESTOS .........................................................................................................................171 CAPÍTULO VII: DINÁMICA ROTACIONAL ............................................................................................193 CINEMÁTICA Y DINÁMICA ROTACIONAL ..........................................................................................193 MOMENTO DE INERCIA, SUS TEOREMAS ..........................................................................................199 MOMENTO ANGULAR Y SU CONSERVACIÓN. ........................................................................204 RODAMIENTO, ENERGÍA Y POTENCIA ROTACIONAL..................................................................207 HISTORIA DE LA DINAMICA ROTACIONAL........................................................................................211 PROBLEMAS PROPUESTOS .........................................................................................................................212 CAPÍTULO VIII: MECÁNICA DE LOS FLUIDOS...................................................................................233 DENSIDAD Y PRESIÓN....................................................................................................................................233 FLUIDOS EN REPOSO......................................................................................................................................235 DINÁMICA DE LOS FLUIDOS.......................................................................................................................237 HISTORIA EN EL ESTUDIO DE LOS FLUIDOS ....................................................................................240 PROBLEMAS PROPUESTOS .........................................................................................................................241 EPÍLOGO..................................................................................................................................................................251 REFERENCIAS CONSULTADAS...................................................................................................................252 REFERENCIAS CITADAS .................................................................................................................................252

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 9 PRERREQUISITOS PARA FÍSICA I 1. ÁLGEBRA BÁSICA 1.1 Despeje de incógnitas La incógnita es la o las variables que no específica valores numéricos conocidos, por lo que su despeje no es más que expresarlas en función de valores conocidos o de otras variables. Ejemplo 1: despeje “x” de la relación Respuesta: Eliminación del paréntesis Se reúnen los semejantes X = 21 / 8 = 2,625 Expresiones: fracción y numérica Ejemplo 2: despeje “X” de la relación Respuesta: Mínimo Común Múltiplo Resolver paréntesis Se reúnen semejantes X = 8 / 10 = 0,8. Nota: El signo de igualdad (=) hace el efecto de “Espejo”, es decir todo lo que pasa a través de él, cambia el signo y la operación algebraica que se realice. 1.2 Sistemas de ecuaciones lineales Es una serie de ecuaciones en donde cada una individual no tiene solución numérica para lo cual, si el número de ecuaciones es mayor o igual al número de incógnitas, se pueden obtener los valores numéricos de las variables. Ejemplo 3: obtener los valores de las variables de las ecuaciones: Ejemplo 4: sean las ecuaciones: De la primera se despeja “z” De donde se obtiene: “y” = 21,25 con “z” = - 14,375.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 10 Resultado que se puede obtener en cualquier orden en el despegue de incógnitas. 1.3 Potencias Se dice de la expresión (x)n que la variable “x” es la base que se multiplicará a sí misma “n” veces, es decir, el número de veces del exponente. Reglas de la potenciación Ejemplo 5: Ejemplo 6: 1.4 Ecuaciones de orden superior (Cuadrática) Expresión Canónica. Solución Ejemplo 8: 3x2 - 2x + 4x2 – 6 + 4x = 3x ⇒ 7x2 – x -6 = 0 Solución de valores de la variable “x” que anulan la relación canónica Cuando ; se dice que no tiene solución real. 1.5 Reglas para el desarrollo y la factorización de binomios Binomio: es la expresión suma de dos variables, potenciado en un número real; y trinomio es la de la suma de tres variables:(A + B)n, (A + B + C)n Desarrollo por él triángulo de Pascal de un binomio con potencia, del número cero a tres n = 0 1 (A+B)0 = 1 n = 1 1 1 (A+B)1 = A + B n = 2 1 2 1 (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 n = 3 1 3 3 1 (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3A B2 + B3 Factorizaciones de interés: A2 – B2 = (A + B).(A - B) YA3 - B3 = (A - B).(A2 + AB + B2)

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 11 2. SISTEMAS DE REFERENCIAS 2.1 Eje de referencia horizontal 2.2) Plano de referencia común 2.3 Espacio referencial: 2.4 Coordenada rectangular: Es la que define un punto en el plano y/o espacio por las coordenadas de los lados o distancias en los ejes: (x, y, z). Con valores numéricos o analíticos según su separación del origen coordenado, en el orden del paréntesis. 2.5 Coordenada polar: Es la coordenada determinada por el ángulo con respecto al eje horizontal positivo; medida en sentido horario, hacia el sur o antihorario hacia el norte; y la distancia al origen, ver siguientes esquemas Para ubicar un vector origen-punto en el espacio se requieren de tres ángulos directores, uno por eje coordenado, y la distancia al punto “M”; ver figura esquemática: Luego el módulo de un vector en el plano, que hace de distancia entre dos puntos, A y B, del plano como: También expresada como: )

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 12 Ejemplo 9: obtener la coordenada polar del punto (4; -5) en el plano. Respuesta: (4; -5) Módulo o distancia al origen coordenado Ángulo que indica que se mide en sentido horario. Ejemplo 10: obtener la coordenada polar del punto (4, 4, 5) en Ejemplo 11: obtener la coordenada rectangular de las coordenadas polares: (10; 25°) y (3; - 30°) Respuesta: Módulo 10 unidades a 25° con la horizontal 10Cos25° = 9,063 unidades. Con la vertical 10Sen25° = 4,226 unidades. Coordenada rectangular asignada es: (9,06; 4,23). Módulo 3 unidades a 30° con la horizontal en sentido horario 3Cos30° = 2,59 en el eje x. Luego para el eje Y, - 3Sen30° = -1,5. Coordenada rectangular es: (2,59; -1,5) Nota: Dos coordenadas rectangulares que pertenecen a una misma línea recta tendrán dos coordenadas polares, en ambos sentidos. Cuyo ángulo se le suma 180°. Es decir, para el dato rectangular (-2,59; 1,5), el opuesto del obtenido; a coordenada polar es: (3; 150°). 3. TRIGONOMETRÍA ELEMENTAL Si tenemos un triángulo rectángulo. a = Lado adyacente de = Lado opuesto de b = Lado opuesto de = Lado adyacente de

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 13 Ley del Coseno, para cada lado. “La ley del Coseno se deduce del producto punto entre un binomio o suma de vectores al cuadrado”, esta demostración se verá en el tema de vectores. Ejemplo 12: dado el triángulo cualquiera con un lado igual a 10 metros Calcular c y b por ambas leyes. Respuesta: Por la ley del Seno: Sen(100°) / b = Sen(60°) / 10 → b = 11,37 metros. Luego: Sen(20°) / c = Sen(60°) / 10 → c = 3,95 metros. Por la ley del Coseno: b2 = 102 + (3.95)2 – 2(10)(3.95)cos100° = 129,32 b = 11,372 metros Luego: c2 = 102 + (11.3716)2 –2 (10)(11.3716)cos20° = 15,636 c= 3,954metros Notas 1) Para un triángulo cualquiera, cuando un ángulo interno es superior a 90°, entonces la ley del Seno utiliza el ángulo suplementario por la condición de esta función trigonométrica. 2) Los resultados obtenidos con la calculadora para ángulos direccionales están en el rango de - 90° a 90°, con respecto al eje X positivo. El estudiante debe identificar en qué cuadrante se encuentra el vector.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 14 4. CIFRAS SIGNIFICATIVAS Es el número de dígitos con valor significativo que posee un número real consecuencia de alguna medición o resultado de una operación algebraica; en el conteo de las cifras no se consideran los dígitos cero (0) únicos a la izquierda de la coma o punto decimal. Ejemplo 13: las siguientes cantidades tienen las siguientes cifras significativas. 1,400 → 4 cifras. 1.400,00 → 6 cifras. 0,00545 → 5 cifras. 16,2 → 3 cifras En algunos números se puede emplear la expresión notación científica para correr la coma que separa enteros de decimales al fin de obtener una expresión de un entero y dos o tres decimales, o sea tres o cuatro cifras significativas por la potencia de 10 que lo exprese. Reglas de las cifras significativas En el álgebra de las cifras significativas se recomienda que el resultado de la operación deba tener la significancia que el operador preestablezca en el cálculo que se realiza y de los instrumentos de medición que se utilizan en mediciones directas. Ejemplo 14: se realizan las siguientes medidas y se operan en la expresión (2,5 + 30,45)3,01 = 99,1795 m2 . La expresión para el mínimo de dos cifras significativas sería: 99 m2 , de tres cifras significativas seria: 99,2 m2 , y para cuatro cifras significativas de: 99,18 m2 . Esta última es la más representativa al tener significancia en dos dígitos decimales. Pero recuerden que esto es a juicio del calculista o de la norma que se establezca en los cálculos específicos. Para ello se usa la inexacta técnica del redondeo: un dígito decimal mayor o igual que 5 se elimina sumando una unidad al dígito siguiente; si es menor a 5 no se suma la unidad; siempre juicio del operador que realice los cálculos. Para el caso de los valores decimales se toma la definición de significancia como los dígitos o cifras con significado decimal. Ejemplo 15: el número relación entre el diámetro y el perímetro de toda circunferencia es el llamado número Pi: π = 3,141592654…. un número irracional de infinitas cifras, si queremos modificar su expresión en 7, 6 y 5 cifras significativas serían 7 cifras: 3,141593. 6 cifras: 3,14159. Y 5 cifras: 3,1416 Notas 1) Una expresión común aceptada para la asignatura de Física I, es el de 2 dígitos decimales. 2) La notación científica quedará: E,DD x 10n (E: entero, D: decimales). 3) El redondeo en este texto será del tercer decimal al segundo o del segundo al primero, como norma.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 15 PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Despeje la incógnita “A” de: R: A = 5 2) Despeje la incógnita “X” de: (x-2)2 = 5x + 10. R: x = 9,624 y -0,624 3) Resolver: R: x = 9/8 4) Resolver la ecuación cuadrática: 15x2 - 8x = 4x + 18 –x. R: X = 1,52 y - 0,789 5) Resolver el siguiente sistema: T – 19,6 = 2a con T – 49 = -5a. R: a = 4,2 T = 28 6) Obtener los valores del sistema de ecuaciones 2x - 40z = 10z. z + 8y = 20. Y 6x + 4y – 20z = 15 R: z = 0,0386 x = 0,965 y = 2,495 7) Resolver y obtener el valor de “x” de la relación: R: x = 50/3 y - 16 8) Dado un triángulo con un ángulo interno de 60° y dos lados iguales de 40 metros que forman este ángulo, hallar los ángulos faltantes y el valor del otro lado. R: 60°. 60°. Y 40 m. 9) Obtener la coordenada polar del punto (- 3; 8). R: (8,54; - 69,4°). Que se interpreta como 69,4° al norte del Oeste, o en el segundo cuadrante. 10) Obtener las coordenadas rectangulares de la coordenada polar (8,5; -25°). R: (7,7; - 3,6). 11) Obtener las coordenadas rectangulares de la coordenada polar (8,5; 155°). R: (-7,7; 3,6). 12) Expresar en notación científica de 4 cifras significativas como máximo en los siguientes valores299.547,88 m/s y 12.840,83 metros. R: 2,996 x 105 m/s. R: 1,284 x 104 m. 13) En un triángulo rectángulo dado, el ángulo opuesto a un lado de 50 metros es de 48°; hallar el valor de su otro lado y su hipotenusa. R: 45,02 m. 67,28 m. 14) Un triángulo tiene dos ángulos internos de 60° y 100°, y un lado de 5 metros frente al primer ángulo; calcule sus otros dos lados. R: 5,69 m. Y 1,97 m. 15) Obtener la coordenada polar del punto (- 6; 7), con significancia de dos dígitos. R: (9,22; - 49,40°).

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 16 CAPÍTULO I: DIMENSIONES Prerrequisitos del tema: álgebra básica, notación científica y redondeo. Motivación: ¿Cuántos borradores llenan un salón despejado de clases? Un agricultor desea comprar 20 acres de terreno, sabiendo que el M2 cuesta 20.000 dólares ¿Cuánto debe pagar? ¿Qué volumen ocupa una pieza de hierro de 10 kilos con densidad de 7,83 Grs/Cm3 ? Desarrollo del tema: Medir es el resultado de comparar una magnitud obtenida con un instrumento de medición y compararla con un patrón o cantidad de referencia establecida. La historia de la medición humana comienza desde su necesidad de contar, medir distancias y calcular resultados provenientes de la observación de la naturaleza y el uso del medio y sus recursos. Las mediciones por lo general se basaban en medidas corporales promedio, establecidas por los líderes y monarcas de sus regiones y países; donde sus modificaciones obedecían a las evoluciones y cambios en las sociedades como las llamadas “Eras”, por ejemplo y en un lógico orden serían las eras del: maíz, cobre, bronce, hierro, concreto, carbón, caucho, combustible, electricidad, atómica y la del Internet de hoy día. Hammurabi, primer rey de Babilonia (1760 A.C.), establece un código de normas, medidas y pesos para su reino. La civilización griega unifica la longitud en el “Codo” (distancia desde el dedo medio al codo humano), y en este sentido establece: “La Caña” igual a 6 codos, “La Braza” 4 codos, “El Palmo” (distancia del dedo meñique al pulgar, mano extendida) medio codo y “El Estadio” en 400 codos; un ejemplo de esto lo encontramos en la obra Homérica “La Ilíada” VI-318 y XV-678. Y en la Biblia hebrea Génesis 6-15 entre otros. Los Romanos establecieron el “Pie” de su rey en la época republicana y la “Milla” como el millar de pasos, así como otras medidas menores. En el siglo XII el rey Luis de Francia establece en su reino el “Pie” como patrón de medición, modificándolo del pie romano; siendo 12 pulgadas un pie, una yarda igual a 3 pies y la milla real, modificada de la milla romana, (mil pasos de un soldado aproximadamente 800 metros actuales), y de la Legua Real de Castilla, en 5.280 pies; el sistema impuesto por este rey se conserva en la actualidad como el sistema “inglés” de medición. En 1889 el patrón establecido es el metro equivalente a 10-7 veces de un cuarto de meridiano terrestre, (distancia del ecuador al polo norte), con un sistema decimal de longitud, siendo el centímetro 10-2 metros, el milímetro 10-3 metros y el kilómetro 103 metros; sistema “M.K.S” de medición. A partir de 1960 y hasta 1.983, con la necesidad de unificar los patrones de mediciones usados en el mundo se decide establecer el sistema internacional, (S.I), a partir del M.K.S, que, junto al sistema inglés, son los más usados en la actualidad por la mayoría de los seres humanos y serán los sistemas usados en este texto. El sistema internacional de medición se espera sea el único sistema usado a partir del año 2050. Tema 1) Magnitudes fundamentales Las magnitudes son “Elementales” cuando están definidas como propiedad de la materia, y “Derivadas” cuando la magnitud se expresa en función de combinación de magnitudes elementales o de otras derivadas. Las magnitudes elementales relacionadas con la Física son:

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 17 a) Longitud o distancia por coordenada que ocupa un cuerpo, (L); b) Masa o cantidad de materia contenida en un cuerpo, (M); y c) el tiempo, que es la duración de un evento dado o realizado, (t). Anteriormente también se consideraban como elementales las siguientes 4 magnitudes: e) Intensidad de corriente eléctrica, medida en Amperios o carga entre tiempo, (A); f) La temperatura, medida en grados absolutos o Kelvin, (T); El Mol, como masa relacionada a los átomos en una sustancia, (Mol); Y la intensidad luminosa de la candela, como medida de intensidad energética asociada a su frecuencia, (Cd). Donde en todo caso la corriente es una magnitud derivada, y la magnitud elemental para la electricidad seria la carga, medida en Culombios que junto a la temperatura en sus diferentes escalas se corresponden a la Física II; seguidamente el Mol se relaciona a la masa por una conversión, y la luminosidad, relacionada con la energía trasmitida, como magnitud derivada asociada a la Química general. Las magnitudes elementales para la Física I, en las medidas oficiales actuales, son: 1) Longitud (L) : Medida en metros (m), para el S.I, y en pies (p) para el sistema inglés. 2) Tiempo (t): Medido en segundos, (s); con sus conversiones en ambos sistemas. 3) Masa (M): Medida en kilogramos, (Kg), para el S.I, y Slug (Sg) para el sistema inglés. Ver tabla de conversión interna por magnitud elemental, y algunas derivadas, para cada sistema, en la tabla B.1. Las magnitudes derivadas relacionadas con la Física I son: el área y el volumen, derivadas de la longitud. La velocidad y la aceleración, derivadas de la longitud y el tiempo. El momento lineal, derivado de la velocidad y la masa. La fuerza derivada de la aceleración y la masa. El trabajo físico, la constante de elasticidad y las energías, son magnitudes provenientes de la fuerza y la longitud. La densidad que es la masa entre el volumen, la presión que es la fuerza entre el área y finalmente la potencia que provienen del trabajo físico y el tiempo. Tema 2) Análisis dimensional La dimensión es el valor asignado a una magnitud que la caracteriza por elemental o derivada; por decir, si medimos una cantidad de Kilogramos o en Slug, decimos que la dimensión medida es la masa y su simbología será la letra “M” de este modo la simbología para el tiempo es la letra “T” y para la longitud la letra “L”, entonces, independientemente del sistema de medida usado, la dimensión de una magnitud es única y universal; un ejemplo de esto sería que la dimensión de la densidad es M/L3. El análisis dimensional permite la verificación de las relaciones utilizadas y de las magnitudes derivadas, éstas serán el resultado de operar por sólo multiplicación o división las magnitudes elementales. En la tabla A.1 esta una simbología general de este texto, y en la tabla A.2 se muestran las magnitudes de la Física I, con su análisis dimensional respectivo, por sistema. Tema 3) Conversiones, método tabular Como se ha dicho existen al menos dos sistemas de medición, el internacional y el inglés y dentro de cada uno existen diferentes patrones para un mismo análisis dimensional;

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 18 por ejemplo, el área sería en m2 y pies2 respectivamente, sin embargo y por costumbre para medir terrenos en los países latinos se utiliza la hectárea (10.000 m2 ) y en los países anglosajones el Acre (43.560 pies2 ); siendo éstas, conversiones internas dentro de estos sistemas. Es decir, la conversión de magnitudes dentro de un sistema o entre los sistemas de medición es de dominio necesario para el curso de Física I; sin embargo, resulta ilógico tabular todas las posibles conversiones dentro de un sistema o de un sistema a otro. Es por ello por lo que en la tabla B.1 en dos partes se tabula sólo la medida oficial, de cada sistema con sus conversiones internas, como se mencionó, y en la tabla B.2, también en dos partes las conversiones para transformar esta magnitud oficial entre los sistemas. Es decir, para otras o cualquier conversión requerida, se combinan las tablas B.1 y B.2. Ejemplo 1.1: ¿Cuál es la masa de un cubo de hierro (7,8 Grs/cm3 ) cuyo lado es de 1,5 metros Respuesta: Volumen 1,5 x 1,5 x 1,5 = 3,375 m3 . Densidad expresada en Kg / M3 se obtiene al convertir gramos en kilos se divide entre 1.000. Y m3 de Cms3 . Al dividir entre 1.000.000 por la relación: 1 Cm = 10-2 m. (1cm) 3 = (10-2) 3 m3 . Luego la masa es: (7,8 x 3,375) x 103 Kg = 26,33 Toneladas Ejemplo 1.2: Un salón de clases común tiene dimensiones aproximadas de: 5x3x15 m3 , si se llena de agua; ¿Cuántos litros podría contener, y cuantos galones? Respuesta: El salón tiene 225 m3 y cada metro cúbico contiene 1.000 litros, entonces el aula contiene 225.000 litros expresado: 2,25 x 105 Litros. Luego 225.(35,336) = 7.950,53 Pies3 → 7.950,53. (7,49) = 59.549,47 galones expresado como: 5,955 x 104 Galones. Ejemplo 1.3: ¿Cuántos segundos ha vivido un estudiante de 20 años, 3 meses y 22 días? Respuesta: Considerando que un día tiene 86.400 segundos, este estudiante ha vivido 365 x 20 x 86.400 + 3 x 30 x86.400 + 22 x 86.400 = 640.396.800 segundos expresado en notación científica como: 6,404 x 108 Segundos. Ejemplo 1.4: El Buque Titánic podía desarrollar los 32 nudos de velocidad, 1 nudo es igual a una milla náutica 6.068 pies por hora; ¿exprese esta velocidad en Km/h, m/s y pies/s? Respuesta: (32*6.068*0, 3048) / 3.600 = 16,44 m/s. Luego 16,44 x 3,28 = 53,92 p/s. Y finalmente 16,44 x 3,6 = 59,18 Km/h. Ejemplo 1.5: Un litro de agua potable tiene una masa de 0,987Kg ¿Cuál es su densidad en Kg/m3 y Grs/cm3 ? Respuesta: = 0,987 x 103 = 987 Kg/m3 → = 987 x 10-3 Kg/cm3 = 0,987 gr/cm3

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 19 Como cada autor, termina por sus años de estudio y trabajos, adaptando una especie de simbología usada; a continuación, se entrega la tabla A.1. Como la simbología usada en esta obra acordada por los autores Para entender el libro del movimiento de la materia, debemos aprender el lenguaje de símbolos de su escritura, éste es matemático y sin su ayuda sería imposible concebir una sola palabra sobre la Física, haciéndonos vagar por un laberinto de oscuridad”. Galileo Galilei

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 20 A continuación, la Tabla A.2 como la expresión de las magnitudes que se ven en Física I, con su análisis de dimensión respectivo y la medida representativa en los sistemas. TABLA A.2 (Magnitud oficial de ingeniería en los sistemas de medición) MAGNITUD SÍMBOLO ANÁLISIS DIMENSIONAL SISTEMA INTERNACIONAL SISTEMA INGLES Longitud L L Metro (m) Pie (p) Tiempo T T Segundo (s) Segundo (s) Masa M M Kilogramo (kg) Slug Área A L2 mts2 o m2 Pie2 Volumen V L3 mts3 o m3 Pie3 Velocidad V L/T m/s p/s Aceleración a L/T2 m/s2 p/s2 Momento lineal P M.L/T Kg.m/s Slug.p/s Fuerza F M.L/T2 Kg.m/s2 (Newton) Slug.p/s2 (Libra) Trabajo y energías W M.L2 /T2 Kg.m2 /s2 (Joules) Slug.p2 /s2 (Lb-pie) Ctte de Elasticidad K M/T2 Kg/s2 (N/m) Slug/s2 Potencia P M.L2 /T3 Kg.m2 /s3 (Watt) Slug.p2 /s3 Torsión o torque M M.L2 /T2 Kg.m2 /s2 (N-m) Slug.p2 /s2 (Lb-pie) Momento de inercia I M.L2 Kg.m2 Slug.p2 Momento angular L M.L2 /T Kg.m2 /s Slug.p2 /s Densidad M/L3 Kg/m3 Slug/p3 Presión Ps M/L.T2 Kg/m.t2 (Pascal) Libra/p2 (Psi) * El grado para medir ángulos se establece de: 0º a 360° por cada vuelta o revolución. ** El radián es una cantidad adimensional relacionada con los grados: 3,14159 Rad. = 180°. *** La medición del tiempo por ser una magnitud del renacimiento (siglo XVI), está unificada internacionalmente en el segundo, minuto y la hora; es decir, todos medimos el tiempo igual.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 21 TABLA B.1 (Conversiones internas) SISTEMA INTERNACIONAL SISTEMA INGLÉS SÍMBOLO UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL CONVERSIONES INTERNAS L 1 m 100. Cm 1000 mm 0,001 Km t 1 s. 1/60 minutos 1/3600 horas M 1 Kg 1000 gramos 0,001 toneladas A 1 m2 10.000 cm2 10-4 hectáreas V 1 m3 106 cm3 103 Litros V m/s 3,6 km/h a 1 m/s2 100 cm/s.2 ; 12.960 Km/h2 F 1 Kg.m/s2 Newton, (N). 105 dinas W 1 Kg.m2 /s2 (Joule) 107 ergios 0,24 Calorías K 1 N/m 103 dinas/Cm P 1 Kg.m/s 105 g.cm/s þ 1 kg.m2 /s3 (Watio) 0,001 kilowatts 1 Kg/m3 0,001 g/cms3 Ps 1 N /m2 (Pascal) 9,87 x 10-6 Atmosferas. 760 mm Hg SÍMBOLO UNIDADES DEL SISTEMA INGLÉS CONVERSIONES INTERNAS L 1 pie (p) 12 pulgadas 1/3 Yarda 1/5280 millas t 1 s. Igual al sistema internacional M 1 slug 3.427 kilates A 1 pie2 1/43.560 Acres 144 pulg2 V 1 pie3 1.728 pulg3 7,49 galones V 1 p/s 12 pulg/s.0,682 millas/h. 0,594 nudos a 1 pie/s2 12 pulg/s2. 2454,55 millas/h2. F 1 slug.pie/s2 (Libra) 16 onzas W 1 libra-pie 9,48 x10-4 BTU K 1 libra / pie 1,333 onzas / pulg. P 1 slug.pie/s 12 slug.Pulg/s þ 1 libra-pie/s 0,00182 hp 1 slug/pie3 0,000579 slug/pulg3 Ps 1 libra/pie2 0,0069 PSI

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 22 TABLA B.2 CONVERSIÓN DEL SISTEMA INGLES AL INTERNACIONAL, (MAGNITUD OFICIAL) MAGNITUD ANÁLISIS DIMENSIONAL SISTEMA INGLÉS *FACTOR DE CONVERSIÓN SISTEMA INTERNACIONAL LONGITUD L Pie 0,3048 Metro MASA M Slug 14,59 kg ÁREA L2 pie2 0,0929 m2 VOLUMEN L3 pie3 0,0283 m3 VELOCIDAD L/T pie/s 0,3048 m /s ACELERACIÓN L/T2 pie/s2 0,3048 M/s2 MOMENTO LINEAL M.L/T Slug.pie/s 4,447 kg.m/s FUERZA M.L/T2 Slug.pie/s2 4,447 kg.m/s2 TRABAJO FÍSICO M.L2/T2 Slug.pie2/s2 1,3562 kg.m2/s2 ELASTICIDAD M/T2 Slug/ s2 14,59 kg/s2 POTENCIA M.L2/T3 Slug.pie2/s3 1,3562 kg.m2/s3 TORSIÓN M.L2/T2 Slug.pie2/s2 1,3562 kg.m2/s2 MOMENTO INERCIA M.L2 Slug.pie2 1,3562 kg.m2 MOMENTO ANGULAR M.L2/T Slug.pie2/s 1,3562 kg.m2/s DENSIDAD M/L3 Slug/pie3 515,55 kg/m3 PRESIÓN M/L.T2 Slug/pie.s2 47,894 kg /m.s2 CONVERSIÓN DEL SISTEMA INTERNACIONAL AL INGLES, (MAGNITUD OFICIAL) MAGNITUD ANÁLISIS DIMENSIONAL SISTEMA INTERNACIONAL *FACTOR DE CONVERSIÓN SISTEMA INGLES LONGITUD L Metro 3,2808 Pie MASA M Kg 0,0685 Slug ÁREA L2 m2 10,764 pie2 VOLUMEN L3 m3 35,336 pie3 VELOCIDAD L/T m /s 3,2808 pie/s ACELERACIÓN L/T2 M/s2 3,2808 pie/s2 MOMENTO LINEAL M.L/T Kg.m/s 0,225 Slug.pie/s FUERZA M.L/T2 Kg.m/s2 0,225 Slug.pie/s2 TRABAJO FÍSICO M.L2/T2 Kg.m2/s2 0,7374 Slug.pie2/s2 ELASTICIDAD M/T2 Kg/s2 0,0685 Slug/ s2 POTENCIA M.L2/T3 Kg.m2/s3 0,7374 Slug.pie2/s3 TORSIÓN M.L2/T2 Slug.pie2/s2 0,7374 kg.m2/s2 MOMENTO INERCIA M.L2 Slug.pie2 0,7374 kg.m2 MOMENTO ANGULAR M.L2/T Slug.pie2/s 0,7374 kg.m2/s DENSIDAD M/L3 Kg/m3 0,0019 Slug/pie3 PRESIÓN M/L.T2 Kg /m.s2 0,0209 Slug/pie.s2

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 23 Estrategia general para resolver problemas de conversiones RECONOCER LAS MAGNITUDES EN LOS DATOS, Y EN LA PREGUNTA QUE SE REALIZA. REALIZAR LAS CONVERSIONES NECESARIAS EN EL SISTEMA DADO Y/O DEL SISTEMA REQUERIDO. UBICAR TODA LA SITUACIÓN EN EL SISTEMA DE MEDIDA Y LA MAGNITUD SOLICITADA. POR PRODUCTO Y DIVISIONES DE FACTORES RESOLVER, EXPRESAR EL RESULTADO Y CONFIRMAR.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 24 PROBLEMAS PROPUESTOS Use las tablas B.1 y B.2 para realizar los siguientes ejercicios 1. Según la Biblia. Génesis 6-15 Noé construye un arca de: 300 codos de largo, 50 codos de fondo y 30 codos de alto. Calcule: a) El volumen en el sistema internacional, b) el volumen en el sistema inglés; (Un codo ≈ 45 Cm). R: a) 4,1 x 104m3 b) 1,45 x 106 pies3 2. Calcule la densidad de una esfera de anime, de diámetro 53 centímetros y masa 1.220 g. Si la ecuación para calcular su volumen es V= 4/3 r3. R: 15,651 Kg/m3 3. La masa solar se estima en 2x1030 Kg y su radio en 6,96 x 108 m. Calcule su densidad y compare este resultado con la densidad terrestre (masa 5,98 x 1024 kg y radio 6,37x106 m). R: Densidad solar: 1.416,164 Kg/m3 < Densidad terrestre: 5.523,24 Kg/m3 4. El volumen de un cubo es 55 pulg3 . Calcule la longitud de las aristas en metros. R: 0,0966 m. 5. Cuántos pies y metros cuadrados, tiene un acre si es igual a milla2 /640. R: a) 43.560,00 pies2. b) 4.045,126 m2. 6. Una viga de doble “T” tiene 10 Centímetros de ancho y 20 centímetros de alto, si su espesor es de un centímetro, hallar: Área en pie2 y m2. Y para un largo de 3 metros. Calcular su volumen en m3 y pulg3. R: 0,0409 pie2. 3,8 x10-3 m2. 11,4 x 10-3 m3. 695,14 pulg3 7. Las murallas chinas tienen 2.400 Km de largo y una sección transversal de 25 m2. ¿Cuál sería la sección transversal si rodeara la tierra por el ecuador? (40.000 Km). R: 1,5 m2 8. La velocidad de la luz es de: 2,998 x 108 m/s. Si la luz solar recorre la distancia de1,496 x 1011 metros para llegar a la tierra ¿Está el sol donde lo vemos? R: No, siempre está a 499 segundos por delante. 9. ¿Cuántos litros tiene una caneca o cuñete, de 04 galones con pintura? R: 15,114 Litros. 10. Una pirámide egipcia tiene una base de 50.000 pies2 y una altura de 450 pies ¿Cuál es el volumen en m3 ?V = 1/3.(B).(h). R: 212.539,54 m3 11. Un boxeador peso completo tiene una masa media de 98 Kg. Exprese este valor en: Libras y Newtons. R: 215,97 libras. 960,4 Newton, (N). 12. ¿Qué pesa más, un kilogramo de algodón (r = 0,1538 gr/cm3 ) o un kilogramo de plomo (r = 11,3 gr/cm3 )? La respuesta es: si ambos deben tener masas de un kilogramo, pesan lo mismo. Halle la diferencia de volúmenes que ocuparán. R: 0,0065 m3 (6500 cm3 ) y 0,0000885 m3 (88,5 cm3 ) 13. Las aerolíneas comerciales usan la altitud en pies; un vuelo internacional de Barcelona a Guayaquil lleva una altura de 23.000 pies ¿Qué altura es en: metros, yardas, codos y millas? R: 7.010,1 m. 7.666,667 yardas. 15.578,667 codos. 4,356 millas.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 25 14. Un auto de velocidad va a 300 km/h y luego pasa a 162,2 nudos ¿Cuándo va más rápido? R: Igual el auto conserva la velocidad 15. ¿Cuál es la dimensión de “A” para que la expresión (Densidad x Aceleración) / Fuerza = A. (Trabajo / Presión). Sea homogénea en la magnitud. R: A = L- 6. 16. Un dado de casino tiene 2,2 Cms por lado ¿Cuál es su volumen en pulg3 ? R: 0,65 pulg3. 17. Un aro de baloncesto está a 10 pies de altura ¿Cuál es su altura en metros? R: 3,048 m. 18. La velocidad del sonido en el aire es de 320 m/s. Halle esta velocidad expresada en: Km/h; millas/h; yarda/s; pie/s. R: 1.152 km/h. 715,973 millas/h. 349,956 yardas/s. 1.049,869 p/s 19. El caudal de un río es el volumen formado por el área promedio de la sección transversal (representado en un trapecio) por el largo total de este; si la cuenca promedio del Orinoco es de 127,5m2 y su largo 2.150 Km ¿Cuál es su caudal? R: 2,74 x 108 m3 de agua. 20. ¿Cuánto mide un ciudadano de 5 pies 6 pulg? R: 1,676 m. 21. La publicidad de una marca de autos dice que la maleta de este tiene una capacidad de 483 litros ¿Cuánto es este volumen en m3 y en pies3 ? R: 0,483 m3. 17,057 pies3 22. Un tractor de orugas “D8” puede abrir una zanja de 5 metros de ancho por 40 Cms de profundidad, si recorre un Km en 20min ¿Cuál es el volumen de tierra desplazado por hora? R: 6.000 m3 /h. 23. Un cuñete o caneca de pintura tiene un volumen de 5 galones (18,90 litros). Si se expande este volumen sobre una superficie, dejando un espesor de 0,02 Cms ¿Cuál es el área total pintada? R: 94,5 m2 24. Un zapatero quiere guardar 1.200 cajas de zapatos de volumen: 20x15x40 Cms3 en un depósito de 15 m3 ¿Puede hacerlo? R: Volumen requerido 14,4 m3. Sí se puede. 25. ¿Qué dimensión en el sistema ingles tiene la constante de elasticidad de 25 N/m? R: K = 1,7125 Slug/s2. 1,713 Lb/pie. 26. Una legua terrestre, según la real de Castilla es de 5.572metros, en el cuento de Julio Verne “20.000 leguas de viaje submarino”, cuántas vueltas se le dio al planeta (perímetro máximo de 40.000 Kms). R: 2,786 vueltas al planeta. 27. El pelotero Barry Bonds igualó la marca de cuadrangulares en 70 por temporada con un vuela cerca, (carrera a casa), de 454 pies ¿Cuál es esta distancia en metros, pulgadas y yardas? R: 138,4 m. 5.448 pulg. 151,33 yardas 28. Un mach es la velocidad del sonido en el aire (1.152 Km/h). Un avión caza F-14 puede ir a 2,5 mach ¿Cuál es su velocidad en el sistema internacional? R: 800 m/s

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 26 29. Una lata de cerveza contiene 250 cm3 y una botella 222 cm3 ¿Cuántos litros contiene una caja de 24 latas y una caja de 36 botellas? Indique los resultados en pulg3. R: Caja de latas: 6 litros. 366,14 pulg3. Caja de botellas: 8 litros. 488,19 pulg3 30. Un sello postal (estampilla) mide 1 pulg por ½ pulg ¿Cuál es el área en pie2 y m2 ? R: 3,47 x 10-3 pie2. 3,23 x 10-4 m2 31. ¿Cuántos acres tiene una hacienda de 5,8 hectáreas? R: 14,3 Acres 32. Una célula humana tiene un volumen aproximado de 42 micras cúbicas; si una micra es 10-4 milímetros. ¿Cuántas células habrá en 1cm3 y en 1pulg3 de tejido humano? R: 2,38 x 1013 células en 1 cm3. 3,9 x 1014 células en 1pulg3 33. La medida: “Estadio”, usada en el imperio romano, era equivalente a 180 M. ¿Cuántos Estadios hay de Guayaquil a la ciudad de Manta si entre ellas hay 260 Km? R: 1.444,44 “Estadios” 34. En el estado de Siberia (Rusia), se encontró una piedra de diamante en bruto de 1.456 quilates. Si el valor de esta gema sin tallar es de 8.000 $ el gramo ¿Qué valor tiene la piedra? Si un quilate es equivalente a 0,2 gramos. R: 2,33 millones de dólares. 35. El barril de petróleo se ubica para el año 2010 en un promedio de 92 $/barril ¿Cuánto cuesta un litro de petróleo en centavos, si un barril son 180 Litros? R: 51,11 Cts / Lts. 36. La densidad del bronce es de 8,91 g/cm3 ¿Cuál será el peso de una pirámide de bronce de lado un metro y altura una yarda? Volumen de una pirámide: 1/3(base).(altura). R: 2.715,8 Kg. 37. El planeta tierra hace una órbita solar, distancia recorrida 9,5 x 108Kms en un tiempo de 365,26 días ¿Cuál es la rapidez de nuestro planeta? R ≈ 30,1 Km/s. 38. El nadador olímpico: Ian Torpe, tiene la marca mundial en los 400metros estilo libre, (año 2008), con un tiempo de 3 minutos, 41segundos y 33 centésimas de segundo; ¿Cuál es su velocidad promedio en el sistema inglés e internacional? R: 5,93 p/s. 1,807 m/s. 39. Se estima en el año 2015, 2,47 nacimientos de seres humanos por segundo y una mortandad de 1,28 seres por segundo; ¿Cuánto se incrementa la población mundial por año? R: ≈ 37,56 millones de seres humanos 40. El heraldo Filípedo del general Ateniense Milcíades, recorrió la distancia entre la ensenada de MARATHON y la ciudad de Atenas de 234,4 estadios (1 estadio = 400 Codos), para informar sobre la derrota del enemigo. Calcule la distancia en metros. R: 42.192 m. 41. Una onza como medida de peso es equivalente a 30 mililitros en volumen, de alimento para bebés. Si un tetero tiene 15 onzas, cuántos litros contiene y cuántas pulgadas cúbicas son. R: 0,45 litros. 27,46 pulg3 42. Un fluido de aceite en aerosol tiene una masa de 0,175 kilos, en un envase 235 centímetros cúbicos, calcular la densidad del fluido en ambos sistemas. R: 0,745 g/cm3. 1,44 Slug/pies3

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 27 43. Una resma de papel base 20 tiene una relación de masa de 75 gramos por metro cuadrado, si cada hoja mide 240 por 280 mm2.Calcular la masa total de una resma de papel. R: 2,52 Kg. 44. Un cilindro de madera tiene una densidad de 0,76 g/cm3 si su diámetro es de 2 pulgadas y su altura es de 0,45 metros. Calcular la masa del cilindro. R: 0,693 kilogramos. 45. Un bate de softball se comercializa por su longitud y su peso, si un modelo de aluminio (densidad 2,7 g/cm3 ) tiene 26 onzas. Calcule su masa en gramos y el volumen de material usado en su construcción. R: 737,4 Grs. 273,11cm3 46. Cuántas hojas de papel del problema número 43 se requieren para cubrir un área de 5 metros cuadrados. R: 74,4 hojas 47. Un neumático o llanta tiene una presión interna (Manométrica) de 35 PSI (libras sobre pulgada cuadrada). Calcule este valor en S.I. R: 2,41 x 105 N/m2 (Pascales) 48. Cuánta masa tiene un cilindro hueco de hierro (densidad 7,8 g/cm3 ) de altura 12 centímetros, diámetro interno de 2 centímetros y diámetro externo de 4 centímetros. R: 0,882 kilos 49. Un tanque de agua de 550 litros se llena por medio de una tubería que vierte 0,012 metros cúbicos por minuto de agua ¿En qué tiempo se llena el tanque? R: 45,83 minutos 50. Un envase de 40 gramos contiene cerveza tipo Pilsen de 5,5 grados de alcohol, ocupa un volumen 35 CC. Si la masa total del envase con la cerveza es de 73 gramos. Calcule la densidad de la cerveza. R: 0,943 g/cm3 51. Una metra o canica de vidrio tiene un diámetro de 1,45 centímetros y una densidad de 2,55 g/cm3 ¿Cuántas metras se requieren para completar una masa de un kilo? R: 245,7 metras 52. El río Daule vierte en el mar, unos 1,46 m3 de agua por segundo, en periodo lluvioso según estadísticas del Instituto de Canalizaciones. Calcular su caudal en litros por minuto. R: 87.600 Lts/min 53. Un estadio de beisbol tiene en su campo de juego representado en un cuadrado, (entre las líneas de primera y tercera base) con un lado de 30 Yardas. Calcular el área contenida en metros al cuadrado. R: 752,9 m2 54. Si usted consume en promedio seis vasos de agua potable, (0,987 Grs/Cm3 ), de 6 onzas cada uno por día ¿Cuántos litros del vital líquido consume en 365 días? R: 377,57 litros 55. El golfo de Cariaco en el estado Sucre de Venezuela, contiene según estudios del oceanográfico de Cumaná, 3,412 Km3 de agua salada, cuál es su masa si la densidad promedio de sus aguas es 1,032 Grs/cm3. R: 3,52 x 109 Kg. 56. Del problema anterior, número 55, estime cuantos galones de agua salada contiene ese golfo, y cuantos contenedores de 210 Lts. R: 9,03 x 1011 Gal. 1,62 x 1010 Contenedores. 57. La primera edición de este libro tiene una masa de 634 Gramos. Cuál es el peso en ambos sistemas de medidas de un bulto de 20 unidades. R: 27,94 Libras. 124,26 Newton.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 28 58. Una lancha de pasajeros cubre una ruta marítima de (112 Km), en una hora y 52 minutos de promedio. Cuál es su rapidez en Km/h y p/s. R: 57,92 Km/h. 52,8 p/s. 59. Las correas del motor de un vehículo se venden por el ancho, (números de canales), y por su largo; que volumen en Cm3 y en Pulg3 tiene una correa de 2.045 mm de largo, 3 mm de espesor y una pulgada de ancho. R: 155,83 CC. 9,51 Pulg3. 60. Una pizarra acrílica se vende en las medidas: 1,2 x 2,4 m2. Calcule su área en Cm2 y Pies2. R: 2,88 x 104 Cm2. 30,94 pies2. 61. Cuál es la masa y el peso de una roca de 432 pulg3 de volumen y una densidad promedio de 2,36 Grs/Cm3. R: 16,71 Kg. 163,73 N. 62. Un envase de jugo contiene 900 Cm3 , cuanto es este contenido en litros y en galones y cuantos envases se requieren para completar un galón. R: 0,9 Lts. 0,238 Gal. 4,2 envases. 63. Un rollo de plástico negro de 2 mm de espesor tiene un ancho de 2 metros y un largo total del rollo de 50 metros. Calcule su volumen en mts3 , pies3 y estime su masa si su densidad es de 0,3 Grs/Cm3. R: 0,2 mts3. 7,06 pies3. 60 kilos de masa. 64. Una caja de cerámicas para piso tiene un espesor de 15 mm y puede cubrir un área 1,125 mts2 ; si la densidad de este producto es de 3,32 Grs/Cm3. Calcule la masa total de 10 cajas. R: 557,76 Kg. 65. Un cabello humano femenino tiene un promedio de 0,07 milímetros de diámetro y un largo de 18 centímetros; cuantos se requieren para completar un litro. R: 1,44 x 106 cabellos. 66. Cuál es la masa total de una caja de 100 clavos de hierro para la construcción, (densidad de 7,83 Grs/Cm3 ), si son de 3 pulgadas de largo y 3 milímetros de espesor. R: 746,9 Gramos. 0,75 Kg. 67. Una adolescente en el 2014 tenía un peso de 147 Newton y un volumen aproximado de 18 litros. Calcule su densidad corporal promedio. R: 0,833 Grs/cm3. 68. Un gran tanque cilíndrico para almacenaje de químicos, tiene una capacidad de 60 millones de litros, si su altura es de 30 metros. Calcule el diámetro del tanque en ambos sistemas de medidas. R: 50,5 m. 165,5 pies. 69. El puerto marítimo de mercancía más grande del mundo está ubicado en la ciudad de Rotterdam en Holanda, puede atender en carga y descarga un total de 80.000 barcos al año. Estime esta capacidad en número de barcos por hora. R: 9,126 barcos por hora. 70. Cuál es el volumen, en ambos sistemas de medición, de una barrera de acero de 7.920 Kg/ m3 con una masa total de 600 toneladas. R: 75,758 m3. 2.67 x 103 pies3. 71. Un “Supervolcán” entra en fase de riesgo de erupción cuando se le estima un volumen de magma de alta densidad de 1,3 millas cúbicas. Calcule este volumen en mts3 , pies3 , galones y litros. R: 5,4 x109 mts3. 1,9 x1011 pies3. 1,4x1012 galones. 5,4 x1012 litros.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 29 72. Del problema anterior, número 71, estime la masa y el peso del magma saturado, si su densidad promedio es de 3 Gr/Cm3. R: 1,62x1010 Toneladas. 1,6 x1014 Newton. 73. El planeta tierra tiene un perímetro por cualquier línea de longitud de 40.000 kilómetros, si lo consideramos como una esfera perfecta, calcule su volumen en Pies3 y mts3. R: 3,81 x1022 Pies3. 1,08x1021 mts3. 74. El asteroide 2012DA14, paso “rozando” nuestro planeta el 15 de febrero del 2013 a una distancia de solo 27.860 kilómetros, su masa se estimó en 130.000 toneladas y su rapidez en 28.000 Km/h. Calcule el ímpetu del asteroide, (masa por rapidez), en ambos sistemas de medición. R: 1,011 x 1012 Kg.m/s. 2,26 x 1011 Slug.p/s. 75. En el cuento de Julio Verne, “La vuelta al mundo en 80 días”, un Lord ingles realiza un recorrido, que se estima por su trayectoria en cielos, tierras y mares, de 30.530 millas en un tiempo de 79 días y dos horas. Calcule su rapidez total en m/s y p/s. R: 0,02 m/s. 0,065 p/s. 76. Cuantas capas de metal tiene una espada “Samuray” de un espesor de 6/16 de pulgadas de grosor de la hoja, si cada capa tiene un espesor individual de 400 nanómetros, esto es de: (4 x 10-7 m). R: 23.812 capas. 77. El navegante ingles James Cook recorrió el pacífico meridional sur descubriendo el continente australiano y un centenar de archipiélagos, con un registro de 42.550 millas recorridas en un tiempo de 20 años de su vida; estime el ritmo de movimiento continuo de este notable explorador. R: 0,109 m/s. 78. En el siglo IX en los estados del sur de América del norte, se producían 10 millones de Libras de algodón en una extensión de tierra cultivable de 6.500 Acres por año; estime la producción en kilos por metro cuadrado. R: 0,173 Kg/m2. 79. En cuatro años de sangrienta guerra civil en los Estados Unidos de América murieron 600.000 ciudadanos entre civiles y soldados. Estime el número de muertes por día y por minuto de esta atroz confrontación. R: 410,67 muertes al día. 0,285 muertes por minuto. 80. En la segunda guerra mundial murieron 10 millones de soldados y 50 millones de civiles en todas sus batallas, ciudades y frentes involucrados; esto ocurrió en un espacio de tiempo de 5 años 11 meses y 10 días. Calcule la mortandad de esta guerra en minutos. R: 19,23 muertes por minuto. 81. La Luna gira alrededor de la tierra, en una relación de planetas binarios, en un tiempo de 27 días 7 horas y 43 minutos, considerando una órbita circular a una distancia del planeta de 384.000 kilómetros. Calcule su rapidez. R: 1.022,46 m/s. 82. Que distancia recorre un rayo de luz que se mueve a 2,998x105 Km/s en el tiempo de un año. R: 9,46x1015metros. 3,1x1016 pies. 83. El planeta Neptuno realiza una órbita solar 2,83 x 1010 kilómetros a una rapidez de 5.421 m/s. Calcule el tiempo en que realiza una órbita. R: 165,42 años.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 30 84. El planeta Mercurio, el más cercano al sol, gira a la increíble rapidez de 47,87 Km/s y realiza una órbita solar en 87,963 días. Calcule el radio promedio de su órbita. R: 5,8 x1010 metros. 85. El lago Ness en Escocia tiene unos 3,7 kilómetros de largo, unos 1.600 metros de ancho promedio y una profundidad promedio de 650 pies. Calcule su volumen en kilómetros y millas cúbicas. R: 1,17 Km3. 0,282 Mill3. 86. Un meteoro de 50 toneladas ingreso a la atmosfera terrestre en enero del 2013, el pedazo mayor de 10 toneladas impacto en la región rusa de los montes Urales a una rapidez de 54.000 Km/h. Calcule la cantidad de movimiento del meteorito. R: 1,5 x 108 Kg.m/s. 87. Calcule los metros cuadrados y las hectáreas de 5 acres. R: 20.241,64 m2. 2,024 Ha. 88. Una persona de 87,5 kilos de masa tiene una densidad estimada y promedio de 0,987 Grs/ Cm3. Calcule su volumen en litros, m3 y pies3. R: 88,65 Litros. 0,089 M3. 3,14 Pies3. 89. Un Pitcher profesional, lanzó una pelota recta en un juego de la liga americana en el 2013 a la rapidez de 96,4 millas por hora. Calcule el tiempo que tardo en alcanzar el “Home” si esta distancia es de 20 yardas. R: 0,424 Segundos. 90. Un árbol de “Neen” es trasplantado cuando tiene un tamaño de 33 Centímetros, al cabo de 272 días alcanza una altura de 3,45 metros. Calcule el crecimiento en milímetros por hora. R: 0,48 mm/Hora. 91. ¿De cuantas (1/16) de pulgadas se aproxima una llave de 17 mm? R: (10,7 / 16) ≈ 11/16. 92. La Tos y los estornudos humanos pueden viajar a la increíble velocidad de las 100 millas por hora. En qué tiempo una partícula liquida de una fuerte Tos, puede alcanzar una distancia de 40 Centímetros. R: 0,009 s. 93. Una llanta montada en un aro, (ring 16), tiene un alto total (diámetro) de una yarda, si se realiza un viaje de la ciudad de Cumaná a la población de Cumanacoa en un recorrido de 97,5 kilómetros. Calcule cuantas vueltas realizo cada caucho. R: 33.931,83 Vueltas. 94. Una llave de tuercas para vehículos tiene troquelada el tamaño de su utilidad como 9/16” . Calcule este tamaño en milímetros. R: 14,29 mm. 95. Cuál es la masa total del monte “Everest” y su volumen, si se considera como una gran pirámide de base estimada en 3,4 millas2 y de altura conocida en 8.878 metros, con una densidad promedio de 3,07 Grs/Cm3. R: 6,253 Km3. 1,92 x 1010 Kg. 96. El gran rio caudaloso, tiene un largo total, desde su nacimiento hasta su desembocadura de 2.151,23 kilómetros. Si su corriente promedio es de 0,63 p/s. Calcule en cuantos días un trozo de madera flotante haría todo el recorrido. R: (129,63 días). 97. Un espiral en el tren delantero de un automóvil tiene una elasticidad de 42.570 N/m. Exprese esta magnitud en: Kg/s2, Slug/s2 y Libra/p. R: 42.570 Kg/s2. 2.917,75 slug/s2. 2.917,17 libra/p.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 31 98. Un Gato domestico adulto puede llegar a pesar 240 Onzas. Calcule su masa y su peso en las medidas oficiales de cada sistema. R: 15 Libras. 0,47 slug. 6,8 kg. 66,69 N. 99. La atracción gravitacional terrestre sobre todo cuerpo en su superficie se ha calculado en: 127.083,17 Km/h2. Exprese esta magnitud en: M/s2 y pies/s2. R: 9,806 m/s2. 32,164 P/s2. 100.La presión atmosférica en la superficie es de 101.300 Nw/m2 llamados pascales o una atmósfera. Calcule este valor en: Libras/pies2 y en Libras/pulg2 (PSI). R: 2.113,12 Libras/p2. 14,674 PSI. 101.Cuantos envases de un (1/16) de galón, de una pintura brillante, se requieren para completar un litro de contenido. R: 4,235 envases. 102.Un motor de ocho cilindros de la marca Dodge se caracteriza como de 318 Cm3 en cada pistón, si estos tienen la altura igual a la mitad de su diámetro. Calcule el volumen del motor en litros y el diámetro de cada pistón. R: 2,544 Litros. 9,32 Cm. 103.Cual es la masa peso de una docena de varillas de metal, “cabillas aceradas”, densidad de 7,9 Grs/Cm3 , de diámetro (7/16)” y 12 metros de largo. R: 110,33 kilos. 1.081,26 N. 104.El “Mounir”, (Mjölnir). Arma en forma de maza del legendario dios Thor, tiene por dimensiones 20x20x30 Cm3. Calcule su masa si su densidad es de 30 veces la densidad del acero, (8,02 Grs/Cm3 ). R: 2,89 Toneladas. 105.Una varilla de 7 metros tiene un diámetro de 9/16 de pulgada. Si la densidad de su hierro acerado es de 8 Grs/cms3. Calcule su masa, considerándola como un cilindro alargado, de volumen: π/4.(h)(d)2. R: 8,983 kilogramos. 106.Calcule la densidad de una esfera hueca, (Cuenta), con diámetro de 8 pulgadas, traspasada por un agujero cilíndrico de radio 4 centímetros. Si su masa es de 30 kilogramos. R: 7,246 Grs/Cm3.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 32 CAPÍTULO II: VECTORES Y ESCALARES Prerrequisitos del tema: Plano y espacio coordenado, coordenada polar y rectangular, trigonometría y álgebra básica. Motivación: Un auto recorre 40 km, al este y otro 40 km, a 30º al Norte del Oeste ¿Cuál está más lejos del origen? ¿Cómo uno llega donde está el otro? ¿Qué área queda dentro del perímetro? ¿Qué ángulo hay entre los dos movimientos? Desarrollo del tema: La magnitud escalar es una cantidad real definida por una unidad, y su interpretación obedece a una escala lineal conocida: la masa, el área, la densidad y el tiempo son ejemplos de escalares, ya que estas magnitudes no poseen o no requieren definición de dirección y sentido (del llamado rumbo), para su estudio y entendimiento. Luego la magnitud vectorial es una magnitud definida por un módulo, una dirección y un sentido en la dirección; es decir “es un segmento de recta orientado” o “una magnitud orientada”, que expresa una magnitud o cantidad y dice su dirección y sentido con respecto a una coordenada preestablecida, por lo que su expresión debe arrojar esta información. El desplazamiento, la velocidad y la aceleración son ejemplos de magnitudes vectoriales. Todo vector posee una representación gráfica como el dibujo del segmento de recta orientado, que por medio de una escala representa una magnitud vectorial, ver siguientes esquemas o dibujos de vectores. Tema 1) Tipología en los vectores 1.1) Nulo: Es un mal llamado vector, cuyo módulo es igual al número real cero, es decir no existe como vector al no tener magnitud, su representación es la de un punto cualquiera. 1.2) Vector igualdad: Un vector es igual a otro cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentido; en el espacio puede existir infinitos vectores iguales. 1.3) Vector opuesto : Es un vector de módulo y dirección igual a otro vector dado, pero en sentido opuesto a ese vector denominado ; es decir, el signo (-) se interpreta como el sentido contrario de un mismo vector, todo vector sumado a su opuesto produce la nulidad. 1.4) Vector origen: Es aquel que está posicionado en el origen de coordenadas, es un vector fijo del plano y/o del espacio que inicia en el origen. También llamado “Posición”. 1.5) Vector unitario ( µA): Es un vector cuyo módulo es igual a la unidad, de la magnitud que representa. Sea un vector del plano cualquiera, entonces, es un vector unitario en la dirección de pero de módulo igual a la unidad =

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 33 1.6) Vector suma: Si las cantidades son de una misma magnitud física. El resultado de sumar los vectores es un vector que une el inicio con el final cuando los vectores se colocan uno en contingencia del otro. Toda suma vectorial con su resultado produce el llamado polígono cerrado, tema importante en los estudios “Nodales”, en las armaduras. Como expresión del equilibrio I dinámico. Ejemplo 2.1: Supongamos los vectores expresados gráficamente Entonces el vector D, resulta de unir en línea recta el inicio con el final; es decir, es el vector suma de vectores, como se indica, en el esquema siguiente. Ejemplo 2.2: Sea . El signo (-) de la resta se interpreta como la suma del vector opuesto; ver figura siguiente Donde: serán las sumas de los vectores resultados: Interesante resulta el hecho observable de que la suma resulto ser menor en magnitud a la resta, es decir el concepto escalar de incrementar al sumar o disminuir al restar no se aplica en las magnitudes vectoriales. Ley conmutativa: “El orden de los sumandos no afecta al resultado suma”. Es decir, serán los mismos vectores ya calculados, si solo se cambian el orden de los sumandos. De aquí es que surge al graficar la llamada “Ley del paralelogramo” en la suma de dos vectores en el plano, cuando se hace en los dos sentidos: A + B y B + A, cerrando la figura, con el resultado como la diagonal mayor; denominándose paralelogramo el área contenida por éstos al partir de un punto común y cerrar el área por la propiedad de igualdad. Esta condición permite la siguiente aplicación en el plano, sea vectores perpendiculares que parten del origen en el plano; y sí Como se indica a continuación Entonces, se dice que es el componente horizontal de es el componente vertical de y ambos componen o forman el vector . esta propiedad conduce a las siguientes tipologías.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 34 1.7) Vector componente rectangular: Sea un vector origen, entonces, tiene componentes en cada eje coordenado, que lo conforman por la propiedad suma; ver siguiente figura Si consideramos cada eje coordenado del plano, como vectores posiciones, (orígenes), tendríamos Cada vector tiene un unitario que lo identifica, entonces cada eje coordenado tiene los siguientes vectores unitarios, denominados Esto implica la existencia de la siguiente propiedad o expresión de un vector, que será la caracterización más importante en la utilidad y estudio de las magnitudes vectoriales. 1.8) Expresión o representación analítica de un vector: Es la representación de un vector por medio de sus componentes coordenados expresados en los unitarios del plano: Ejemplo 2.3: sean los vectores C y D del dibujo, obtener sus expresiones analíticas

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 35 Notas La representación vectorial se hace mediante la expresión de la suma de componentes por eje coordenado; suma que no se opera por representar direcciones diferentes. Se denomina representación analítica o rectangular por estar el vector contenido en un rectángulo, en el plano y en un paralelepípedo en el espacio. Las componentes de todo vector, puede obtenerse de la resta de los pares ordenados “Extremo-inicio” o “Punta-cola” del vector. Todo vector origen representa a infinitos vectores, del plano o del espacio, iguales a él. Los signos de los componentes varían según el cuadrante de ubicación del vector origen, indicación que se hace en el siguiente esquema Toda representación analítica de un vector tiene módulo, dirección y sentido; según la trigonometría de los Pitagóricos, el módulo es la hipotenusa del triángulo formado por sus componentes en el plano. La dirección es el ángulo del cuadrante con respecto a la orientación desde el eje X+, o con los cardenales: Este–Oeste y Norte-Sur. En el esquema del lado, se aprecian los llamados cuadrantes, que vienen a definir el “signo” o sentido en la dirección vectorial. Ejemplo 2.4: Obtener módulo y dirección de los vectores en el ejemplo anterior. Que se traduce en “Rumbo” o usando las cardinales como 33,7° al Norte del Este. Entonces es 26,6° al Sur del Oeste, por estar en el tercer cuadrante. Notas - En este manual se evita escribir la dirección cardinal en una sola palabra; es decir, la expresión Noreste se escribe como: Los grados al “Norte del Este”. - Las calculadoras científicas, por su programación interna emiten el ángulo resultado de un vector. Siempre con respecto al eje X+ en el sentido antihorario y en el sentido horario, cuando viene precedido del signo negativo.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 36 TEMA 2) Vectores en el espacio Son los vectores que poseen tres componentes, uno por eje de referencia, es decir, es un vector de expresión: Ai + Bj + Ck; donde A, B, y C son números reales diferente del cero. Si uno de estos valores es igual a cero, entonces, el vector pertenece a uno de los tres planos que conforman el espacio. A saber, XY, XZ y YZ, como se indica en la siguiente figura Supongamos un espacio conocido como el salón de clases, si el origen está en la esquina inferior cerca de la entrada, la pared de la puerta es el plano YZ la pared de los pizarrones es el plano XY y el piso es el plano XZ. Si queremos conocer diferentes desplazamientos, como se indica en la figura esquemática siguiente. Con el salón, como un cubo de (6 x 3 x 10) m3, entonces los puntos esquina son: A, B, C, D, E, F, G, y H, donde el punto “D” es el origen: (0, 0, 0). Ejemplo 2.5: Calcule el desplazamiento de D a B y de D a F. En la figura del salón de clase. La distancia es la hipotenusa del triángulo rectángulo DAB, con el ángulo recto en A. Entonces, Luego al considerar el triángulo rectángulo DBF, con el ángulo recto en el punto B, la hipotenusa DF como diagonal mayor del salón, es igual a: Donde ya DB es una hipotenusa como vimos: (DB)2 = (DA)2 + (AB)2 . Esto implica que la distancia entre puntos en el espacio es: Resultado que se obtiene por doble hipotenusa.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 37 El vector es espacial (3 dimensiones), su módulo es de 12,042 metros y su dirección requiere de 3 ángulos directores, uno para cada eje coordenado, a diferencia del plano en donde un ángulo es suficiente para determinar su dirección. En el siguiente esquema se muestra el vector espacial DF con los ángulos: con el eje X, con el eje Y he con el eje Z. En donde es el ángulo del triángulo recto DHF, entre la diagonal con el eje Y; del triángulo DFC, con el eje X, y del correspondiente triángulo recto DFA, con el eje Z. Es decir, los cosenos directores de los ángulos serán Si se efectúa la suma de los cuadrados de estos Cosenos, se obtiene Entonces el numerador es igual al denominador; lo que permite enunciar la llamada “Ley de los Cosenos directores”. Como la herramienta para direccionar los vectores en el espacio, al tener solo dos direcciones con los ejes coordenados. Cos2 + Cos2 + Cos2 = 1. Valioso instrumento para direccionar vectores en el espacio considerando que, con su utilidad, sólo se requiere de conocer dos ángulos directores del vector espacial, como se mencionó. Interesante resulta que dicha deducción proviene de la doble hipotenusa de todo vector espacial al ser la raíz cuadrada de la suma de sus componentes coordenados al cuadrado. Otro dato interesante es que la ley del Coseno viene a representar tanto para el plano como para el espacio, las llamadas coordenadas unitarias del vector. Como veremos seguidamente TEMA 3) Operaciones con vectores 3.1) Suma analítica: Es un vector que resulta de sumar algebraicamente los componentes de los vectores sumandos, por eje referencial.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 38 Es decir, la expresión analítica se conserva como expresión al sumar sólo componentes de un mismo eje, o del acompañante unitario. Ejemplo 2.6: dados los vectores y Calcule el módulo y dirección de la suma. Notas La resta como operación conocida en los escalares, no existe en las magnitudes vectoriales. Pues es la suma de un vector por el opuesto de otro: . Donde una “Resta” vectorial puede resultar de mayor magnitud que una suma, en vista precisamente que no solo se operan cantidades alineadas, sino que se operan magnitudes direccionadas. Ver siguiente esquema ilustrativo de esta afirmación 3.2) Escalar por vector: Es un vector que resulta de modificar su módulo las veces que el escalar lo indique, conservando su dirección. Si el escalar es menor que cero, el vector resultado será de sentido opuesto a la dirección dada; y si el escalar es igual a cero, el nulo llamado en algunas latitudes: “vector nulo”, será el resultado. Las operaciones de un escalar por un vector son mucha utilidad en la ingeniería y en conocimientos siguientes, cuando en el desarrollo de la cinemática y la dinámica existe el producto de la velocidad por el tiempo y de la masa por la aceleración, que son vectores, expresados como velocidad final y fuerza respectivamente. Ejemplo 2.7: Dado el vector obtener los vectores: ; a partir de él. Respuesta: a) 0,3i - 0,2j + 1,5k. b) 15i – 10j + 75k. c) -24i + 16j - 120k.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 39 Aplicaciones 1) Se obtiene el vector opuesto, cuando el escalar es el número: -1, y el “nulo” cuando el escalar es cero. 2) Se obtiene el vector unitario, cuando el escalar es el inverso del módulo del vector: 1/ . Veamos con el vector del ejemplo 2.6: Para obtener su unitario seria Es el unitario, y su modulo es la unidad. 3) Se puede modificar el módulo de cualquier vector si el escalar es igual al cociente del valor deseado entre el módulo del vector. Estos es el producto del unitario del vector por el escalar. Ejemplo 2.8: Si queremos un vector en la dirección y sentido de y de módulo igual a las 20 unidades. Vector que llamaremos . Confirmando En la dirección de . 3.3) Producto escalar entre vectores: Es un número real que resulta de multiplicar los módulos de vectores de igual dirección y sentido. Si los vectores, en el plano o en el espacio, se encuentran en direcciones diferentes, (ver siguiente esquema), separados por un ángulo . Entonces el producto escalar es el producto del módulo de uno de los vectores por la adyacencia o proyección del módulo del otro. Donde el ángulo es el ángulo entre los vectores cuando parten de un mismo punto. Luego desde el punto de vista de la expresión analítica de dos vectores en producto escalar, las operaciones entre los unitarios serán: i i = (1)2 (Cos0°) = 1. Donde la condición direccional se suprime porque toda adyacencia o proyección estará em la misma dirección. Como consecuencia el producto de los unitarios iguales serán todos igual a la unidad, esto es: (i i) = (j j) = (k k) = 1. Seguidamente como entre los ejes coordenados hay un ángulo recto, el producto de estos unitarios “diferentes” se anulan, por ejemplo: i j = (1)2 (Cos90°) = 0. Situación similar para: i k e j k.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 40 Ejemplo 2.9: Realice el producto escalar entre los vectores: Es decir, en el producto punto o escalar, sólo se realiza el producto de los valores con unitarios iguales, donde el unitario se anula; precisamente produce un escala y no un vector. A partir de ahora, se realizará de esa forma; o sea, sin incluir el producto en unitarios diferentes por cero. Aplicaciones a) Si dos vectores son paralelos Entonces b) La ley del coseno es consecuencia del producto escalar; estudie la siguiente figura El desarrollo de ese producto notable implica que el vector suma al cuadrado es Interesante que con la norma trigonométrica entre ángulos donde, si Ley del Coseno para los lados de un triángulo cualquiera, en expresión de sus ángulos internos que viene a ser la más conocida y utilizada (Ver página 5). c) Si es un vector perpendicular al vector . Entonces: . En consecuencia, todo producto punto o escalar que, de cero, implica que los vectores multiplican tés son normales entre ellos. Esto es: entonces d) Como por la definición del producto escalar o punto, se tiene que: Entonces se puede obtener el ángulo entre los vectores de la forma:

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 41 Ejemplo 2.10: Obtenga un posible vector perpendicular al vector Respuesta: Se debe supongamos que luego por ensayo y error, se obtiene al menos un vector perpendicular, con . Es perpendicular a. Ejemplo 2.11: Encuentre el ángulo entre los vectores: Respuesta: Significando que: El ángulo entre estos vectores espaciales es de: 58,34°. 3.4) Producto vectorial entre dos vectores: Es un vector con dirección perpendicular al plano que contiene a los vectores multiplican tés, y su módulo resulta como el módulo de uno de los vectores por el módulo perpendicular del otro vector, (definición). Entonces, el módulo del producto cruz es: Donde el número o magnitud: será el ángulo del paralelogramo contenido por los vectores A y B, en vista que la proyección normal del vector A sobre el módulo del vector B, representa la altura de un rectángulo de base B. Luego para expresiones analíticas, el producto vectorial entre unitarios arroja dos cosas, primero que los “Iguales” se anulen; es decir, Característica de este tipo de producto, donde vectores paraleleos producirán la nulidad. Segundo, como la dirección de la proyección del vector A en B es normal, entonces surge la ley de la mano derecha, que especifica que el producto entre unitarios diferentes debe producir una direccionalidad perpendicular al plano que contenga los vectores que se multiplican; conocida como la ley de la mano derecha, ver siguiente esquema:

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 42 En el producto cruz entre vectores solo se multiplican los componentes de los unitarios diferentes, produciendo un vector perpendicular al plano que contenga a los vectores producto, cuya dirección obedece la ley de la mano derecha. Ejemplo 2.12: Calcule el vector producto cruz entre los vectores dados a continuación, y demuestre que el resultado es perpendicular a cada factor producto. Respuesta: Luego con el producto punto se prueba O sea, el vector es perpendicular al vector Análogamente: . Demostrando que , también es norma a . El lector puede hacer el producto . Y demostrar una característica del producto cruz entre vectores: No es conmutativo; es decir el vector D resulta como el opuesto del vector C. Luego como, implica que el módulo del vector C, es igual al área del paralelogramo contenido por los vectores A y B; como se indica en la siguiente figura:

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 43 Aplicaciones del producto cruz entre vectores a) Área del paralelogramo, contenida b) Área del triángulo de la suma de dos vectores, al unir sus puntas partiendo de un punto común. O área de la mitad del paralelogramo, con una diagonal longitudinal. De esta aplicación es que sale la formula del área de cualquier triángulo como lado 1 por lado 2, por el Seno del ángulo de esos lados, entre dos: c) Si Que el vector A es paralelo al vector B, esto es: d) El producto cruz permite conocer una dirección perpendicular al plano formado por 2 vectores dados en cualquier plano dado u oblicuo del espacio. e) La ley de Seno es una aplicación de la definición modular del producto cruz, cuando en una suma de dos vectores y su resultado cerrando en un triángulo cualquiera. Se sabe que el producto cruz en la combinación de cada lado es igual. Veamos siguiente dibujo Ejemplo 2.13: Un terreno ubicado en el sector Salitre de la ciudad de Guayaquil, tiene la forma de un triángulo en donde un lado o cateto es de 56 metros en dirección Norte y el otro lado es de 70 metros en dirección 50º al Sur del Este. Calcule al área del triángulo Respuesta: Como los lados del triángulo parten de un punto común y están representados en los siguientes vectores Ambos en metros Entonces: Cuyo módulo o área del paralelogramo contenido es de: 2.520 m2 . Luego el área del triángulo que representa al terreno es de: 1.260 m2

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 44 Estrategia general para resolver problemas de vectores ESTABLECER EL ORIGEN COORDENADO O IDENTIFICARLO SI ESTÁ PREESTABLECIDO. REALIZAR UN DIBUJO ESQUEMÁTICO DE LA SITUACIÓN PLANTEADA, DE LOS VECTORES DADOS EN LAS COORDENADAS DADAS. APLICAR LAS PROPIEDADES Y/O OPERACIONES VECTORIALES REQUERIDAS PARA RESOLVER LA SITUACIÓN PLANTEADA DEL PROBLEMA. Historia de los vectoriales El estudio de magnitudes con dirección y sentido se remonta desde el antiguo Egipto, la alejada China y desde la Grecia clásica; en donde la referencia era pautada por un objeto fijo o un astro visto en determinado momento. El fundamento del conjunto de magnitudes denominadas vectoriales se encuentra en la geometría “Euclidiana” en donde con sumas y relaciones de segmentos orientados, más el uso del conocido entonces Teorema de “Pitágoras”, se llegó a un compendio de teoremas sobre magnitudes y direcciones que demostraban de forma empírica una serie de teoremas algebraicos modernos. No es sino en el siglo XVII cuando se evoluciona la Matemática, en un primer paso de intentar unificar el gráfico con el cálculo analítico al demostrar dichos teoremas, originando la geometría analítica moderna en el plano denominado cartesiano o plano de Descartes.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 45 PROBLEMAS PROPUESTOS a) Vectores en el plano, resuelva con regla y graduador 1) Usted camina 8 m al oeste, luego 7 m a 30° al norte del oeste. Calcule la magnitud y dirección del desplazamiento. 2) Para llegar a su salón de clases, un estudiante realiza el recorrido mostrado en la siguiente figura del problema. Hallar el ángulo y el módulo para llegar en línea recta. 3) En una mesa de fuerza en el laboratorio los vectores: cuelgan de las poleas, como indica la figura del problema. Hallar la suma de y por vector equilibrio. 4) Dados los vectores fuerzas partiendo del origen, de la siguiente figura del problema. Halle el vector resultante (Módulo y Dirección), y el vector equilibrio por suma de segmentos.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 46 5) Dados los vectores: . Hallar: Ángulo entre . Use regla y transportador. 6) Del problema anterior, número 5, estime el módulo y la dirección del vector equilibrio de gráficamente. R: Módulo 12,5 unidades a 15 º con el eje “x” b) Suma analítica o por componentes rectangulares 7) Del problema número 1, calcule el vector resultante de la suma entre y . 8) Del problema número 4. Calcule los componentes de las fuerzas y encuentre los vectores: resultado y equilibrio y compare los resultados. 9) Determine en la siguiente figura, de tal forma que la resultante sea igual a 15 Newton al norte. 10) De la siguiente figura del problema, encuentre la dirección a la que se moverá el objeto en el origen coordenado sometido a las fuerzas dadas. R: 26,81º al Oeste del Sur

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 47 11) La resultante de la suma de los vectores es igual a 50 Nw al sur, sí es (100; 50°) y es (80; 300°) ¿Cuál es el módulo y la dirección de ? R: (119 N; 208,8°). 12) Una paloma vuela desde su nido 50 metros a 20° al norte del este. Luego desde allí vuela 2.000 pulgadas a 30° al oeste del norte y llega a un árbol. Calcular el vector desplazamiento total, módulo y dirección para volver a su nido. R: 21,58i + 61,1j. 64,78 m. A 70,55° al S – O. 13) Una aerolínea comercial, realiza los siguientes vuelos para ciudades del país, saliendo de la ciudad de Cuenca. 190 km a 15° al Oeste del Norte hasta la ciudad de Guayaquil, 80 km a 200° hasta la ciudad de Santa Elena; y finalmente, 95 km al Sur hasta un extremo de la provincia del Guayas. ¿Cuántos kilómetros requiere volar para volver a Cuenca? R: 138,6 Km. 14) Se desea mover un bloque en la dirección Oeste . Si se le aplican las fuerzas: . La primera a 30° al Oeste del Norte y la segunda a 60° al Oeste del Sur ¿Cuál es la dirección y magnitud de una tercera fuerza para lograr este movimiento. 15) Un deportista sale de su casa y trota 6 km en dirección este, luego 12 km en dirección 60° al norte del este, finalmente trota 25 Km a 20° al sur del oeste. Calcular el recorrido total, desplazamiento total y dirección para volver a su casa. R: 43.000 m. 11.65 kilómetros A 9,14° al S-E 16) En una mesa de equilibrio, el vector “A” es de 250 Grs a 60° al Norte del este y el vector “B” de 100 Grs a 240° del X + ¿Cuál es el módulo y dirección del vector equilibrio? R:150 Grs a 60° al S–O. 17) Del problema número 12 confirme el módulo en metros que debe volar la paloma, por la ley del coseno y la dirección por la ley del seno. R: 64,802 M. a 70,56° al Sur del Oeste. 18) Un velero es afectado por un viento que genera una velocidad de (-5i – 8j) m/s; la corriente del agua por donde navega es de 5 m/s a 40° al oeste del norte. Hallar módulo y dirección de su desplazamiento. R:9,21 m/s a 26,96° al Sur del Oeste 19) Sean los puntos del plano A(-4,-2); B(2,3); C(-5,6) y D(8,-4). Hallar el vector: y el vector:. R:19i - 5j. 5i + j 20) Un estudiante camina (12i + 2j) m, luego 24 pies a 65° al sur – oeste ¿En qué dirección y cuántas pulgadas debe caminar para regresar? R: 395,2 pulgadas 27,47º al N-O 21) Una gaviota vuela desde una roca en la playa: al Este 10 pies, luego vuela 15 pies a 30° al norte del este. Calcular los pies necesarios para regresar a su roca y confirme este resultado por la ley del coseno. R: 24,2 pies. P.L.C 24,183 pies. 22) Un perro sale de su casa ubicada en el punto (2,-3) metros con respecto a un poste de referencia, y realiza tres movimientos en líneas rectas: 50M. al norte; 80 M. a 30° al sur del oeste; 40 metros a 20° al oeste del norte. Hallar el recorrido total, el desplazamiento total y la dirección del desplazamiento con respecto al poste. R: 170 m. 65,37 m. a 15,61° al norte del oeste.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 48 23) Del problema anterior, número 22, hallar el vector, su modulo y dirección para que el perro regrese a su poste de referencia. R: 62,96i – 17,59j. 63,57 m. a 15,61° al sur del este. 24) Una fuerza actúa sobre un objeto en el origen con 100 N a 45° con el X+; otra fuerza de 150 N a 200° con el X+. Hallar los vectores de la fuerza resultante y la fuerza equilibrio. R: -70,24i + 19,407j. y 70,24i - 19,40j 25) El vector módulo 10metros a 50° del eje X+ y el vector módulo 15metros a 20° del vector en sentido antihorario. Hallar la suma de ambos vectores gráfica y analíticamente. 26) Del problema número 20 confirme las pulgadas que debe caminar el estudiante por la ley del coseno y la dirección para regresar por la ley del seno. R: 395,17” . 27,46° al N – O. 27) Una paloma vuela desde su nido en un árbol de mango 40 metros al norte, desde allí vuela 40 metros a 40° al este del norte y llega aun paredón; calcule metros y dirección para volver a su nido por la ley del seno y la ley del coseno. R: 75,175 metros. 70° al sur del oeste. 28) Del problema anterior, número 27, encuentre los ángulos internos del triángulo que se forma con los tres vuelos de la paloma. R: 140°, 20° y 20°. 29) Del problema 27 encuentre el vector con que la paloma realiza el regreso. R: 25,71i + 70,642j. 30) Un auto se mueve desde un origen de referencia con el vector: (30i + 40j) metros, desde allí recorre 150 pies al oeste; calcule por el método de su preferencia la magnitud en metros y la dirección para que el auto regrese en línea recta a su origen. R: 42,982 Metros a 68,533| al S - E. 31) Un pelicano en playa Yanque, vuela 35 metros al Noreste, luego vuela 50 metros al sur y atrapa un pez; calcule el módulo y la dirección para volver a su playa. R: 35,358 metros a 45,57° al norte del este. 32) Confirme el módulo por la ley del coseno y la dirección por la ley del seno en el vuelo del pelicano del problema anterior. R: 35,357 metros a 45,55°. 33) Dados los vectores: C = 10i -20j y D = 6i + 10j. Hallar el módulo y la dirección del vector suma. R: 8,25 U. A 14,04° al norte del este.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 49 34) Del problema número 33 confirme el módulo por la ley del coseno y la dirección por la ley del seno. R: 8,246 U. A 14,03° al norte del este. 35) Dados los tres puntos vértices de un triángulo: A(3, 4). B((0,0). C(- 4, 5). Calcule las distancias de sus tres lados. R: 5. 7,07. 6,4 unidades. c) Producto entre vectores en 36) Dados los vectores: Hallar: ángulos entre y y 37) Del problema anterior, número 36, hallar la proyección escalar de sobre sobre . Proyección vectorial del vector sobre el vector y del vector sobre R: 38) Dados los vectores . Hallar: un vector unitario en la dirección de . Un vector de módulo igual a 50 en la dirección del vector . R: 39) Encuentre por calculo tres vectores unitarios perpendiculares: 40) Calcular: a) Área del paralelogramo formado por los vectores y b) Área del triángulo formado por el resultado de: c) Un vector de módulo 5 unidades y perpendicular, al plano formado por R: a) 40 u2 ; b) 20 u2. c) = 5k 41) Del vector 8j – 5k; hallar su proyección escalar en cada eje coordenado y que ángulos forma con estos. R: 8 unidades en el eje “y”; 5 unidades en el eje “z”; 32° con “y”; 58° con “z” 42) Una gaviota en una roca (origen) vuela 50 metros al sur del oeste y atrapa un pez, gira y vuela 225 pies a 70° al norte del este, llegando a una playa donde devora su presa. Halle: el desplazamiento y dirección para volver a la roca. Confirme este desplazamiento por la ley del coseno. Área del triángulo que se forma. R: 31,7 m. A 67,95° N-O. Área: 730 m2 . 43) Dados los puntos del plano (-3,4); (8,4) y (3,-6) en pies. Hallar el área del triángulo cualquiera que se forma al unir con rectas estos puntos. R: 55 pies3 44) Del problema anterior, número 43, encuentre los ángulos internos del triángulo cualquiera que se formó. R: 59,03°; 63,44°; 57,53°. 45) Dados los puntos vértices de un triángulo cualquiera: (4,-2); (1,7); (-3,-5). Hallar, los ángulos internos de dicho triángulo. R: 94,76°; 36,87°; 48,37° 46) Dado el vector Z = 3j – 5k, encuentre por ensayo y lógica cuatro vectores perpendiculares a él. R: ± i; 5j + 3k; 1,66j + k. 47) Del problema número 42, encuentre los ángulos internos del triángulo que se forma en los vuelos de la gaviota. R: Ángulos: 112,74°; 42,26° y 25°.