FÍSICA I Mecánica Clásica para Estudiantes de Educación e Ingenierías

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 200 En la mecánica clásica, el momento de inercia, sea para un cuerpo o sistema de cuerpos, es el valor mínimo requerido para que una fuerza aplicada a una distancia “r”, de un eje coordenado dado acelere la masa del sólido rígido o sistema de cuerpos, en un rad/s2 . El cálculo del momento de inercia de un cuerpo proviene de la integración definida de un diferencial de masa por una distancia paralela referencial con respecto al eje donde se quiere conocer la “Resistencia al giro”, para luego por sumatorias o traslado de ejes conocer el momento de inercia deseado, el cual es dependiente de la masa y forma del sólido rígido; sin considerar el sentido del giro. Es importante aclarar que, el momento de inercia de un cuerpo puede ocurrir con respecto a cualquier eje del plano o del espacio, partiendo desde su definición proveniente del vector momento de torsión donde fuerza y distancia pueden ocurrir en cualquier dirección; o sea, para la torsión vista hasta ahora en el plano XY, su momento de inercia calculable es con respecto al eje “Z”. 2.2) Momento de inercia en solidos regulares: Ante cálculos matemáticos requeridos, que el estudiante en su momento debe conocer y operar, en el mundo de la ingeniería existen una serie de tabulaciones que expresan el momento de inercia, por lo general con respecto al “Centro de Masa” del sólido rígido o a cualquier eje dado, en figuras uniformes conocidas, y masa dada. Para cuerpos macizos a este nivel educativo se tienen resultados de utilidad para la ingeniería en general, en vista que el equilibrio particular de cualquier sistema o sólido viene a ser un factor de importancia en su diseño y función, sea esta individual, como parte de un mecanismo o de alguna estructura. A continuación, algunos de ellos con sus respectivos momentos de inercia para una masa “M”, según el eje de giro Como dato interesante de las dos relaciones finales sobre un cilindro, considere la moneda de radio R mostrada en el esquema del lado, como un cilindro achatado o de espesor reducido, (disco); una cosa es hacerla girar con respecto a la vertical sobre un plano en vueltas por sus caras, típico juego de azar y otra cosa es hacerla rodar por la superficie horizontal, giro circular de su centro con respecto al eje “Z” frontal,

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 201 En adicional para el caso de una vista frontal de un paralelepípedo sólido, (primera figura cara de área a.c), el momento de inercia en su centro de pieza o masa, (con respecto a un eje paralelo a su base, (lado c), es de fórmula: 2.3) Teorema de los ejes paralelos: Una cosa es tener el momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje que pase por su centro de masa, (simbolizado como ICM ), de donde se maneja la definición del llamado “Radio de Giro, (R)”, como la distancia de su eje central y un borde de la pieza; y otro cálculo es para un eje diferente a este, en ambos casos por la integración definida posible o el dato tabular dado. Luego si el “Traslado” ocurre en ejes paralelos y es desde el eje central, entonces el nuevo momento de inercia puede calcularse por el llamado: Teorema de ejes paralelos, aplicable en el plano o espacio donde se encuentre la pieza o sistema de sólidos rígidos. Su fórmula resulta como la suma del momento de inercia, del cuerpo o sistema, en su centro de masa y la cantidad M.d2 . Donde “M” es la masa total del cuerpo o sistema, y “d” la distancia perpendicular entre los ejes, esto es: I = ICM + M.d2 . Ecu. 7.6. Momento de inercia al borde derecho del dibujo de la pieza. Siendo una estrategia para descubrir el momento de inercia de un cuerpo rígido o sistema de cuerpos con respecto a un eje dado o solicitado, siempre y cuando este sea paralelo al eje que pase por el centro de masa de la pieza o sistema de cuerpos en cualquier dirección; es decir es precisamente una especie de “traslación” de la referencia del cálculo del momento de inercia central, de la pieza o del sistema. El momento de inercia es un escalar muy usado en la ingeniería, al estar relacionado como parte de ecuaciones en la torsión de los cuerpos y en formulas derivadas de: La energía cinética, la potencia rotacional, y el momento angular; que veremos más adelante. Una de esas aplicaciones, y luego de estudios prácticos en laboratorio en cuerpos rectangulares, (área frontal “bxa”, base por altura), ha demostrado que la fricción estática mínima para que una pieza rote en vez de deslizar, está relacionada como: μe = b/a. Sobre una superficie inclinada. De donde se puede calcular con datos la aceleración angular del giro, y el ángulo mínimo en el caso de una pieza sobre una inclinación, para que rote o caiga en giro sin deslizar. Una versión del momento de inercia que cambia la masa del sólido rígido o sistema de partes de la pieza, por el área frontal de este, (concepto de Centro de Área), arroja el llamado momento de inercia “Polar” o simplemente “Momento Polar”, simbolizado con la letra jota (J), usado en la construcción civil al considerar este valor en el diseño de las caras frontales de los diferentes perfilados, vigas y columnas. El momento polar tiene por magnitud la unidad de longitud a la cuarta, por involucrar el área frontal del cuerpo por una relación de distancia al cuadrado, (según su geometría particular conocida). Es decir, en el sistema internacional se mide en metros a la cuarta, (M4 ), y en el sistema inglés en Pies4 .

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 202 Ejemplo 7.5: De la siguiente configuración de dos masas en el plano: 2 Kg en el punto (4, 3) metros, y 3 kilogramos en el punto (- 1, - 2) metros. Calcule el momento de inercia del sistema con respecto a: La horizontal, la vertical, y el eje “Z” frontal coordenado; adicionalmente calcule el momento de inercia para un eje frontal, paralelo a “Z”, que pase por el centro de masas del sistema. (Ver figura) Respuesta: Conocidas las distancias horizontales y verticales hacia los ejes coordenados, se calculan estos momentos de inercia como: IX = 2.(3)2 + 3.(2)2 = 30 Kg.m2 . IY = 2.(4)2 + 3.(1)2 = 35 Kg.m2 . Para el momento de inercia con respecto al eje “Z” es por la distancia inclinada o hipotenusa al cuadrado de las masas al origen coordenado, esto es: IZ = 2.(42 + 32 ) + 3.(12 + 22 ) = 65 Kg.m2 El centro de masas del sistema es el punto: = (1, 0) metros. Para este punto coordenado las distancias inclinadas o hipotenusas hasta las masas son: para la masa de dos kilos y , para la masa de 3 kilos. Entonces el momento de inercia para este eje central es: IZ(1, 0) = 2.(18) + 3.(8) = 60 Kg.m2 . Interesante resultado, cuando entre estos ejes se demuestra el teorema de los ejes paralelos, al ser que: IZ = IZ(1,0) + 5.(1)2 . Ejemplo 7.6: Un sólido rígido paralelepípedo representado por un rectángulo frontal de base 6 pies y altura 9 pies, se encuentra en el primer cuadrante, como indica el dibujo. Calcule el momento de inercia polar con respecto a un eje horizontal que pasa por su centro de masa, y con respecto a la recta horizontal en su borde inferior Respuesta: El área del rectángulo es: A = (b.a). Implica A = 54 Pie2 . El Momento Polar al eje horizontal mostrado en su centro de masa es: J = (A/12)(a)2 = b.(a)3 /12. Esto es: J = 364,5 Pies4 . Análogamente, el momento de inercia polar para el eje representado por la recta horizontal, se calcula por “Eje Paralelo” como: J = 364,5 + 54.(9/2)2 = 1.458 Pie4 . Nota: De este resultado se desprende la fórmula para el momento polar de un sólido rígido en relación con su área frontal, con respecto a un eje que pase por su base como: 2.4) Poleas masivas: En el caso de las ruedas, piñas, platos o engranajes, denominados “Poleas”, como elementos para direccionar tensiones requeridas en algún mecanismo, se hace evidente que su momento de inercia en función de su masa y radio de giro (R), va a presentar una resistencia que sin duda afectara la cuerda o elemento de conexión: hilo, cable, cabuya, cadena, alambre, entre otros.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 203 Entonces, avanzando en la realidad se debe considerar la masa y tamaño de la polea en una afección que viene a evolucionar el idealismo de que la tensión que entra es igual a la que sale, vista en la dinámica clásica para bloques conectados; Es decir, para una misma cuerda o elemento flexible las tensiones cambian en relación con la masa y tamaño de la polea; es decir, las tensiones son diferente en proporción al momento de inercia o resistencia al giro de esta. En el siguiente esquema se muestra una máquina de Atwood3 . 2 Dos masas colgantes diferentes direccionadas por una polea. El estudiante debe recordar que este dispositivo ideal ofrece el siguiente resultado, en un estudio de DCL en sus masas: T – M1 .g = M1 .a Con M1 acelerada hacia arriba, y T – M2 .g = - M2 .a Para M2 acelerada hacia abajo, para M2 > M1 . De estas dos relaciones se obtiene que la aceleración del sistema, para tensiones, T1 = T2 = T, es la ecuación: a = g.(M2 - M1 ) / (M1 + M2). Y en tensiones diferentes es un sistema de dos relaciones con tres incógnitas: T1 – M1 .g = M1 .a. Y T2 – M2 .g = - M2 .a. Un estudio rotacional de la polea, DCL de este elemento, en los puntos de contacto indicados con las cuerdas, (bordes tangentes en la horizontal), ofrece que las tensiones diferentes y su peso hacia abajo, es soportado todo por el pasador del llamado cojinete de la polea, de radio de giro “R”. Luego el estudio del torque en el centro de la polea es: ∑Mp = R.T2 – R.T1 = I. . Luego con el momento de inercia de la polea, (cilindro achatado frontal con respecto a su eje central “Z”, formulado como: IP = MP .R2 /2. Se tiene la tercera relación, expresada en función de la aceleración tangencial: R.T1 – R.T2 = M p .R2 .aT /2.R, que, al simplificar el radio, produce: T2 – T1 = MP.aT / 2. En el sentido positivo antihorario. Finalmente, al sustituir ambas tensiones de las primeras ecuaciones, en esta tercera relación, se puede expresar la aceleración del sistema, asumida como la aceleración tangencial en el borde o canal de la polea como: aT.(M1 + M2 + MP/2) = g.(M2 – M1 ). Esto es: Ecu. 7.7. Evidentemente menor a la calculada en la situación ideal en la dinámica clásica, al considerar la mitad masa de la polea como suma de un valor en el denominador, en su lógica exigencia rotacional sobre el sistema de masas conectadas; como aplicación del momento de inercia. Ejemplo 7.7: Resuelva una máquina de Atwood de masas colgantes 7 y 4 kilos respectivamente calculando la tensión y la aceleración del sistema, por la dinámica clásica y luego considerando que la polea sin fricciones internas es de 8 kilos, y la cuerda no desliza; compare los resultados de aceleración y diferencia en las tensiones. 3 Con esta máquina en poleas de masa conocida, este científico calculo la gravedad del planeta. Ensayo idealizado en la Física I en su parte de la dinámica Newtoniana, donde la polea se asume de masa y fricciones despreciables, las tensiones iguales y la masa 2 algo mayor a la masa 1.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 204 Respuesta: Análisis de dinámica clásica: T – 4g = 4.a. Con T – 7g = - 7.a. De donde se obtiene la relación de la aceleración: a = g.(7 - 4) / (7 + 4) = 2,6727 m/s2 . Con T = 49,891 N. Luego con las relaciones: T1 – 4g = 4.a. Con T2 – 7g = - 7.a. (Sistema indeterminado). Que requiere del estudio dinámico de la polea, con la T1 a la izquierda y el sistema girando en horario: T1 – T2 = - M p .a/2. Al sustituir las dos relaciones de las tensiones queda: 4.a + 4.g – (-7.a + 7.g) = - 4.a. La aceleración se calcula como: 15.a = 3.g. La aceleración que considera la masiva polea: a = 1,96 m/s2 . Luego las tensiones son: T1 = 47,04 N. T2 = 54,88 N. La tensión T2 mayor en la lógica hasta ahora, de que el sistema de mueve por su acción en la derecha de la máquina, (en horario). TEMA 3) Momento angular y su conservación. El momento angular, cuarto y final a nivel de la mecánica clásica, es un vector que relaciona el giro en un sólido rígido con la rapidez constante que tenga en un determinado espacio de tiempo o instante a un punto dado; partiendo del principio de que el vector momento lineal , o cantidad de movimiento se conserva en un sistema aislado de fuerzas externas y fricciones, consideradas por lo general despreciables. Entonces para un cuerpo rígido rotando con respecto a un eje referencial o punto de giro, el vector momento angular es igual al producto cruz entre los vectores: Radio de giro por el Momento lineal. Esto es: Luego para un ángulo de 90° entre estos vectores será: Ecu. 7.8. En unidades de Kg.m2 /s, (también nombrado cono Joules por segundo), para el sistema internacional y de Slug.Pie2 /s, para el sistema inglés. El vector momento angular, también es conocido como la “Cantidad de movimiento angular”, y en algunas literaturas es simbolizado con la letra jota: . Siendo un vector es lógico que puede existir el vector resultante en la suma de momento angulares individuales o actuando en diferentes ejes. Como la velocidad lineal es igual a la velocidad angular por el radio de giro, (velocidad considerada aquí tangente al punto del sólido rígido perpendicular al radio), entonces la ecuación 7.8 se puede expresar como: . Donde aparece nuevamente el concepto de momento de inercia, al quedar el vector momento angular expresado como: . Ecu. 7.9. Si y solo si se trata de un cuerpo rígido considerado en su centro de masa, como si fuese una partícula; es decir para la conservación del momento angular: L0 = Lf , basado en el tema clásico de choques como una “colisión angular” no puede usar su expresión base como general, (ecuación 7.8), en vista que la velocidad lineal del cuerpo tangente a su giro no es constante en toda su dimensión. O se relacionan con los momentos de inercia del sistema, o se toma la consideración de ser un antes-después en el centro de masas. De la ecuación 7.9. Se obtiene la relación de este vector y el momento de torsión como: . Por la relación entre la velocidad y la aceleración angular, de donde se extrae precisamente que la conservación del momento angular ocurre solo si no hay torsión en la dirección afectante; en adicional y como se denota antes, la condición vectorial del momento

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 205 angular en el giro del cuerpo o sistema, si es horario o antihorario, lo establece la velocidad lineal para el caso de una partícula y la velocidad angular para un cuerpo rígido dimensionado. 3.1) Momento angular en un sistema de cuerpos: En el análogo rotacional de existir varias fuerzas, donde se calcula el torque neto como la sumatorias de los torques posibles ocasionados al cuerpo rígido o sistema de cuerpos; entonces para igualmente partes del cuerpo o sistema en referencia a un punto, (eje en “Z”), u eje referencial dado, existirá el momento angular neto como la sumatoria de los momentos angulares existentes, esto es: LR = ∑(Li ). Ecu. 7.10. Entendiendo que para este cálculo debe existir o idealizarse, la conservación del momento angular para un tiempo o número de giros dados; porque la lógica nos dice que para que un cuerpo en reposo gire con respecto a un pivote o eje dado, requiere de un torque a una distancia radial que ocasione este hecho, igual si se requiere volver al reposo o por efecto de una dilatada fricción existente. Luego la conservación momento angular como el producto momento de inercia por la velocidad angular, puede asumirse en determinadas situaciones, especialmente en tiempos ínfimos. 3.2) Conservación del momento angular: La tendencia de un sólido rígido a mantener su movimiento rotacional, nos hace acuerdo de la inercia traslacional cuando el cuerpo entonces estudiado como partícula mantiene su velocidad rectilínea al menos que una fuerza modifique esta condición natural. Basado en la conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal, por la tercera ley de Newton que sirvió en el tema de las colisiones. Con la relación newtoniana de que la fuerza aplicada es igual al cambio del momento lineal entre el tiempo, y multiplicando ambos elementos por el radio de curvatura asumido, queda que el torque o momento de torsión es igual al cambio de momento de inercia por la velocidad angular entre el tiempo, esto es: De donde se deduce nuevamente y se confirma, la ecuación 7.9. Entonces se puede afirmar que: “Si el momento de torsión resultante que actúa sobre un sólido rígido o sistema es cero, el momento angular será constante”. Para un sólido rígido que conserva su momento angular; es decir, el sólido rígido o sistema de cuerpos tiene torque neto rotacional igual a cero, en su esquema inercial de rapidez angular por su momento de inercia constante. Entonces, es obvio que al aumentar el momento de inercia debe disminuir la velocidad angular y viceversa, en el tiempo o número de vueltas que se mantenga la inercia rotacional. Ejemplo 7.8: Un plato o disco de los pedales de una bicicleta de 850 gramos y radio 18 centímetros, es impulsada desde el reposo, de tal forma que logra 140 revoluciones por minuto (RPM), en 7 segundos; si conserva esta rapidez angular, calcule la torsión ejercida y la tensión en el borde tangencial del disco. Luego recalcule la rapidez angular si se cambia el disco por otro de 8 centímetros de radio.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 206 Respuesta: La aceleración angular para lograr las 140 R.P.M se obtiene de la relación = Δw / Δt = 2.π.140 / (60 x 7) = 2,094 Rad/s2 . El momento de inercia del disco que gira con respecto a su centro: I = ½.(0,85).(0,18)2 = 0,0138 Kg.m2 . Resistencia al giro con respecto al eje “Z” frontal que pasa por su centro. Entonces el módulo del torque requerido es de: M = I. = 2,89 x 10-2 N.m, (Joules). Este valor en el borde del disco sugiere una tensión de palanca de: T = 0,029 / 0,18 = 0,161 N. Asumiendo que lograda la rapidez de giro el momento angular se conserva, el cual se calcula como L = M/t = 0,029 / 7 = 4,14 x 10-3 Kg.m2 /s. Entonces al disminuir el tamaño del disco, su nuevo momento de inercia es: I = ½.(0,85).(0,08)2 = 2,72 x 10-3 Kg.m2 . Entonces la velocidad angular que desarrolla ahora será de: w = 1,52 rad/s. (181 RPM). 3.3) Giroscopios o giros combinados: Todo giro de un sólido rígido va a ocasionar una perturbación en el eje de giro del cuerpo denominada precesión como un giro adicional del eje por lo general en planos similares, razón por lo cual los inducidos en las máquinas y motores están acomodados justos en cojinetes diseñados para evitar esto; la precesión viene a cambiar la dirección del vector momento angular que por su definición, producto vectorial entre la velocidad tangencial y el radio de giro del cuerpo, está a lo largo del eje de rotación haciendo que éste gire en una distorsión sobre sí mismo. Un giroscopio o giróscopo es un ejemplo clásico de una rueda giratoria por efecto de un torque aplicado, donde su eje a una distancia X de un apoyo tipo rotula, tendrá un giro similar e inducido; es decir, se habla de un cambio direccional del momento angular por efecto del vector momento de torsión, lo que viene a confirmar la relación de estas magnitudes expresada luego de la ecuación 7.9. Como: De tal forma que el cambio ΔL ocurre en la dirección de , cuando estos vectores tienen un comportamiento no direccionado o perpendicular entre sí, sobre el sólido rígido que gira. Un ejemplo de esta situación es el giro de un trompo o juguete que al lanzarse con alta velocidad angular por su forma tiende a inclinarse, ocasionando a su vez que su eje de giro gire en un círculo menor similar, por el efecto de la conservación de la magnitud del momento angular del sistema que pasa a ser una suma de momentos angulares generados con una torsión no direccionada; La precesión es un giro en radianes sobre segundo inversamente proporcional a la velocidad angular en el cuerpo que la produce con su momento angular, y proporcional a la fuerza radial del pivote. De donde se deduce la precesión, (Ω), como: Ecu. 7.11 Un ejemplo de esto en consideración a su enorme masa tipo esfera, y a un gran giro rotacional, (una vuelta en casi 24 horas), se sabe que nuestro planeta tierra tiene un cambio direccional en su eje que atraviesa los polos cada 26.000 años. Una muy lenta precesión debido a un gran momento angular con poca torsión por la influencia gravitacional del Sol. Otro mecanismo común en nuestras vidas es la bicicleta, todos sabemos que para tomar una curva debemos inclinarnos o recargarnos en esa dirección, para modificar la dirección del

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 207 momento angular del eje de las ruedas en la dirección deseada; es decir, por efecto de un torque perpendicular a las ruedas con la inclinación en coordinación con el manubrio; situación de torsión adicional que demuestra que el momento angular otorga estabilidad rotacional. Un mecanismo denominado giroscopio es un sistema de una rueda o disco balanceado dentro de tres cojinetes concéntricos separados, con fricciones reducidas; de tal forma que el eje de rotación del disco mantenga independencia de la montura y los cojinetes, salvo que se ejerzan fuerzas en ellas que originen torsiones afectivas. Un giroscopio es usado como indicador de dirección o puntero espacial, superior a la brújula, al no estar afectado por cambios en el campo magnético terrestre. Ejemplo 7.9: Una varilla o eje liviano de masa despreciable apoyado en el pivote “A” de longitud L = 7,82 centímetros en vista superior, tiene un disco motorizado de masa “M” girando en el sentido indicado “w” con radio R = 12,7 Cm; ver figura donde se denota el peso del disco “M.g” hacia adentro. Calcule la rapidez angular del disco si la precesión inducida en el eje es de 2 Rad/s, para que este no caiga. Respuesta: Si el disco no girara se caería por su peso, luego al generar la precesión en la varilla este peso que ocasiona el torque en él, lo soporta el pivote “A”; donde el momento angular por el eje con el sentido de giro mostrado genera una precesión en sentido antihorario. Según la ecuación 7.11 la precesión es: De donde se despeja la velocidad angular del disco y simplificando su masa, como: La rapidez angular del disco w = 95 rad/s. TEMA 4) Rodamiento, Energía y Potencia rotacional Suele ocurrir que cuando un cuerpo “Redondo” baja por una inclinación o se le aplica una fuerza inicial, este ruede y deslice en un movimiento combinado complejo por la superficie dada, a este nivel solo se estudia la condición de rodamiento sin deslizamiento; entonces descubrir algunas relaciones de la torsión requerida o incluso el punto exacto de esta palanca para que el cuerpo comience a rodar sin deslizar es otro bonito tema en la mecánica clásica que el ingeniero debe tener como noción. 4.1) Rodamiento puro: Cuando un cuerpo con capacidad de rodar obtiene el impulso o la posición para lograr esto en la condición de rodamiento uno a uno sin deslizar; es decir se habla de fricción estática por rodamiento en el punto de contacto, por lo general ínfima, luego la velocidad lineal rectilínea del centro de masa del cuerpo se relaciona con la velocidad angular

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 208 del mismo por traslación de la primera sobre el borde superior, en una visión del instante del rodamiento, esto es la conocida: v = r.w, con “r” el radio del cuerpo rodante. Similarmente y por la segunda ley de Newton lo que sería: F = m.a rectilínea, se puede expresar como aceleración rotacional del centro de masas, como: a(CM) = De tal forma que lógicamente se encuentra relaciones entre la torsión del cuerpo o la torsión provocada por una fuerza dada y el cálculo de la aceleración del centro de masa adquirida, el punto o rango de acción de la torsión para lograr solo el rodamiento y por supuesto “Las energías cinéticas”, asociadas al cuerpo rígido rodante. Ejemplo 7.10: Considere una esfera la bola del juego de billar, donde por experiencia se sabe que dependiendo del punto de contacto del taco en el famoso golpe de este juego de mesa la, bola rodará o deslizará, este último preferido en los poderosos impactos que se buscan, em el llamado golpe al “Pecho” de la bola de billar, (su centro de masa). Determine el rango de puntos en función de radio “R” de la bola de billar por encima de su centro, para que esta ruede sin deslizar. Respuesta: Para un peso de la bola soportado totalmente por la normal en un punto de contacto por su centro de masa, y para una fricción estática por rodamiento despreciable se tiene que la torsión que genera el golpe del taco es: . Asumiendo la aceleración rectilínea del centro masa como la aceleración del borde superior en relación con la aceleración angular se tendrá que: M.a(CM).x = I(CM).a(CM).R Con el momento de inercia de una esfera como: I(CM) = (2/5).M.R2 . La expresión para el punto “x” de contacto o aplicación de la fuerza sobre la bola por el taco queda como: Entonces un golpe o impulso mayor o igual, de este valor de distancia en función del radio “R” de la bola, accionara que esta solo ruede; por supuesto suele ocurrir en la práctica real que la bola ruede y deslice a la vez para un valor diferente por encima del calculado. Incluso cuando el golpe del taco ocurre a esta distancia por debajo del centro de masa de la bola, esta rodará hacia atrás. (Según expertos del juego). La energía asociada a un cuerpo o sistema siempre es de interés en la ingeniería, así como la potencia que representa, como valores escalares asociados medido en Joules y Watios respectivamente, donde ambas magnitudes están asociadas a la rapidez, hasta ahora vista como desplazamiento; sin embargo, cuando el sólido rígido gira en solo rodamiento como se acaba de mostrar, tendrá energía cinética y potencia rotacional, donde lógicamente si gira y se desplaza rodando tendrá energía cinética y potencia resultante.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 209 4.2) Energía cinética rotacional, (ECR): El concepto de energía cinética como capacidad de un cuerpo de realizar un trabajo, en función de su rapidez, también se asocia si este movimiento ocurre por rodadura sin deslizamiento; es decir en presencia de fricción estática por rodamiento en un sólido circular o parte de arco suficiente para realizar rodaduras. Este sólido rígido desarrolla energía cinética rotacional según la rapidez de giro, luego cuando esta rapidez lineal del centro de masa se representa por la velocidad angular, la energía cinética rotacional queda como: ECR = ½.m.R2 .w2 , relación que al ser expresada en función del momento de inercia es: ECR = ½.I.w2 . Ecu. 7.12. Es decir, por observaciones cuando un cuerpo rodante baja por una inclinación partiendo desde una altura inicial “h”, se observa que su velocidad final y por ende su energía cinética, es inferior a un desplazamiento solo rectilíneo por deslizamiento. Entonces se deduce que su energía cinética total queda expresada en dos partes: Energía cinética lineal más energía cinética rotacional. Esto es que la energía cinética en cualquier momento dado, (generalmente en estudios inicial final), y solo para un cuerpo rodante sin deslizamiento se expresa como: EC = (½).M.V2 + (½).ICM.w2 . Ecu. 7. 13 4.3) Potencia de la rotación, (PR): El concepto visto de potencia como el escalar originado del producto punto entre la velocidad y la fuerza, retoma una nueva existencia no solo con el desplazamiento, sino con la rotación del sólido rígido; Es decir, al hacer girar un cuerpo se realiza trabajo físico sobre él, al estar la fuerza aplicada una distancia radial este trabajo produce un momento de torsión sobre el cuerpo, que en términos angulares es: Luego al dividir entre el tiempo, o sea al ritmo al que el momento de torsión realiza el trabajo, se obtiene la potencia rotacional como: PR = M.(Δ / t). O sea, las magnitudes del momento de torsión por la velocidad angular, PR = M.w. Ecu 7.14. La potencia rotacional según sea la situación, puede calcularse por el producto punto entre los vectores torsión y velocidad angular, . La potencia como se mencionó en el capítulo seis es de magnitud de Joules entre segundo, denominada Watios o Watts. Calculada en ese momento como el producto punto entre los vectores fuerza y velocidad lineal: Ejemplo 7.11: En el borde superior de un plano inclinado de altura “h” se sueltan desde el reposo en simultaneo una esfera maciza de masa ME y radio RE junto a un cilindro macizo de masa MC y radio RC. Si los cuerpos rígidos ruedan hacia abajo sin deslizamiento y con fricciones por rodamiento similares. Calcule que pieza llega primero a la base. Respuesta: La energía mecánica de los cuerpos en la altura del plano es igual para ambos de solo energía potencial gravitacional: M.g.h y en la base de energía cinética total, (traslacional más rotacional), como velocidades finales; luego con los datos de sus resistencias al giro respectivas y considerando la relación de rapidez angular como rapidez lineal entre el radio, se tiene

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 210 Quedando como ME .g.h = (7/10).ME .(VFE ) 2 Para la esfera maciza. Y MC.g.h = (3/4).MC.(VFC ) 2 Para el cilindro macizo. Resultando que sus rapideces combinadas finales son: Se concluye que la esfera de pronto llega primero al desarrollar más velocidad, aunque todo va a depender de la relación entre las velocidades traslacional y rotacional, y sobre todo del rozamiento estático por rodamiento en los cuerpos, que será menor en la esfera. (Ensayo de interés a desarrollar en el laboratorio). Ejemplo 7.12: Una varilla de poco masa y 50 centímetros de longitud está en horizontal sobre un pivote apoyado de fricción despreciable, en un mecanismo que permite mover masas colocadas en sus extremos hacia su centro; si se colocan masas iguales de 80 gramos, ambas se moverán 0,2 metros hacia el centro, y el sistema gira inicialmente a una vuelta por segundo. Calcule la energía cinética final e inicial del sistema; y la potencia asociada, sí para hacer girar el mecanismo a esa rapidez angular inicial se aplicó una torsión por un tiempo de 3 segundos. Respuesta: Por la conservación del momento angular, al no existir torques externos actuantes, dice que: Implica la relación: Luego los momentos de inercia inicial y final del sistema de masas son Inicial: Io = 2.(0,08).(0,25)2 = 0,01 Kg.m2 . Masas en los extremos Final: If = 2.(0,08).(0,10)2 = 0,0016 Kg.m2 . Masa a 10 centímetros del centro del mecanismo. Entonces la velocidad angular final, para una velocidad angular inicial de 6,283 Rad/s. (1 R.p.s). Se calcula como: wF = (6,25).(6,283) = 39,27 Rad/s. Las energías cinéticas rotacionales, EC = (½).m.V2 . Son ECO = 1/2.(0,01).(6,28)2 = 0,197 Joules. Y ECF = 1/2.(0,0016).(39,27)2 = 1,234 Joules. La energía cinética no se conserva, porque se realizó un trabajo físico en el mecanismo, cuando se aplica una fuerza central que mueve las masas al centro; esta fuerza al estar direccionada con la varilla no realiza torque, lo que explica la conservación del momento angular con variación de la energía cinética rotacional. Luego la torsión originaria para hacer girar el mecanismo se calcula como el momento de inercia del sistema inicial por la aceleración angular. La aceleración angular aplicada, para hacer girar el mecanismo es: = (6,283 – 0) / 3 = 2,094 Rad/s2 . La torsión requerida es de: M = I. = (0,01).(2,094) = 0,021 N-m. Joules. Entonces la potencia asociada al sistema se calcula constante como: P = M.w = (0,021).(6,283) = 0,1316 Watios.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 211 HISTORIA DE LA DINAMICA ROTACIONAL El concepto de Palanca, como estrategia de maximizar la fuerza sobre un cuerpo o sistema para lograr moverlo rotacionalmente, (máquina básica para transmitir fuerza con movimiento), fue estudiado por el genio de Arquímedes, junto al concepto de eje de giro o pivote en el plano en 200 A.C. De él es la famosa frese: “Dadme un punto de apoyo, y moveré al mundo”, casi dos milenios antes del concepto de fuerza y sus tipologías de Newton, que usamos hoy en día; entre otras cosas relativas como la histórica “Garra de Arquímedes” desarrollada como arma de defensa ante ataques anfibios. Con la geometría analítica del Renacimiento el torque es el producto vectorial, que define que solo la fuerza perpendicular al radio de giro lo realiza, igualmente conocido y aplicado el concepto de inercia, está se aplicó a las situaciones rotacionales; que dan cabida a la dinámica angular o rotacional, diferente a la dinámica circular vista, de donde se desprende el concepto de momento angular, cuando la humanidad ya contaba con máquinas y motores con inducidos o ejes rotacionales; además de estudios en sistemas de cuerpos en rotación. La conservación del momento angular en diferentes situaciones ha proporcionado estrategias tecnológicas para aplicaciones industriales y en el tema de las colisiones angulares conocer los momentos de inercia de algunos cuerpos, así como las energías involucradas. La dinámica rotacional nos proporciona el mecanismo actualmente electrónico, denominado giroscopio que ayudo a la navegación marítima y aérea por al menos 80 años, al ser un dispositivo espacial superior a la brújula, la cual es afectada por los campos magnéticos terrestres.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 212 PROBLEMAS PROPUESTOS a) Torsión de un sólido rígido de una dimensión 1) Una madera, (cuartón), horizontal uniforme de 7 metros y 7 kilogramos esta sostenida por dos cables verticales en sus extremos, si una dama de 650 Newton está a 2 metros del borde derecho, (T2 ). Calcule las tensiones en los cables. R: T1 = 220,01 N. T2 = 498,59 N. 2) Una gran roca en el piso es movida por una palanca clásica de un tubo macizo en su base apoyada en un pivote formado por una roca menor; si la fuerza aplicada en el extremo del tubo es: = (3i -15j + 4k) Newton. Y la distancia a la punta del tubo en contacto con la gran roca es de: = (5i – 2j -2k) m. Calcule el vector momento de torsión y su magnitud. R: = (-38i -26j -69k) N-m. 82,95 Joules. 3) Una viga de 15 metros de concreto tiene un peso de 1200 Newton en su centro apoyada en los extremos, como se indica en la figura, si soporta las cargas de: 5000 N. A 5 metros del borde izquierdo y 3000 N. a 3 metros del borde derecho. Calcular la magnitud de los apoyos. R: R1 = 4.533,33 N. R2 = 4.666,67 N. 4) Sobre un tubo de 3 kilos y 7 metros de longitud uniforme, que sirve como sube y baja para dos niños que se columpian en un parque infantil. Si el niño mayor sentado a la izquierda tiene una masa de 35 kg ubicado a 2.5 metros del punto de apoyo del balancín, (centro o pivote). Diga ¿A qué distancia del pivote se debe sentar el otro chico, de 25 kg de masa, para equilibrar el sube y baja, en posición horizontal? R: d = 3,5 metros. Este niño debe estar en el borde derecho. 5) Una viga de 10 metros es no uniforme, de tal forma que su peso de 100 Newton actúa a 6 metros de su borde izquierdo, si soporta cargas en sus extremos de 500 y 300 N. Respectivamente, y a 2 metros del borde derecho, está un apoyo vertical de 400 Newton. Calcular la magnitud y posición del otro apoyo, para que la viga este en equilibrio total. R: El apoyo es de 500 N. ubicado a 0,8 metros del borde izquierdo. 6) Un andamio de 50 Kg. Esta sostenido por tres cuerdas como se indica en la figura, dos en ejes y la T3 a 53,13 con la horizontal. Si un albañil está a ¼ de la longitud del borde derecho y su masa es de 100 Kg. Calcule la magnitud de las tensiones. R: T1 = 490 N. T2 = 735 N. T3 = 1.225 N.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 213 7) Una armadura elemental, tipo “Cartel” consta de un tubo o barra de hierro uniforme empotrado en la pared, de 3 metros de largo y 30 Newton de peso, con un tensor en su punta donde sostiene el anuncio con un peso de 100 Nw. Si el alambre es de masa despreciable a 60° con la horizontal. Calcular la reacción o normal de la pared, su ángulo, y la tensión en el alambre. R: N = 68,08 N. A 12,73°. T = 132,8 N. 8) Rehacer el ejercicio anterior número 7, para un alambre o viento inclinado en 30° en su función tensora de soportar la barra tipo cartel, y adicionalmente exprese el vector normal. R: = (199,19i + 15j) N. (199,74 N). 4,31°. T = 230 N. 9) Una tabla de trampolín no uniforme de 6 metros de longitud con un peso de 100 Kg, el cual se ubica a 2 metros desde su borde izquierdo, si tiene dos apoyos o reacciones: R1 en este borde y R2 a un metro y medio de ese punto. Calcule estas reacciones si un clavadista de 833 Newton está en el extremo derecho de la tabla, y el sistema está en equilibrio total. R: R1 = - 2.825,67 N. Hacia abajo. R2 = 4.638,67 N. 10) De la figura de un sólido rígido de longitud b = 3 metros, y las fuerzas señaladas de 20, 30 y 40 Newton respectivamente con sus direcciones indicadas. Calcule el momento de torsión con respecto al punto “A”, si la distancia a la fuerza F2 es de a = 2 metros. R: = 10,92 Joules en sentido antihorario. 11) Calcule la tensión del tensor horizontal, de la siguiente figura y el vector reacción en la esquina del apoyo articulado, para una barra de 15 kilogramos uniforme de longitud “L”, inclinada en 45°, con una masa en su extremo de 490 N. R: T = 563,5 N. = (-563,5i + 637j) N. 12) Una escalera de 20 metros y 15 Kg, está apoyada contra la pared y el piso, (puntos “a” y “b”, no empotrados), de tal forma que proyecta 16 metros sobre esta y 12 metros al piso, si un obrero de 70 Kg. Está 4/5 de su longitud, y el coeficiente estático de la escalera con la pared es de 0,8. Calcule las normales actuantes y el coeficiente estático entre la escalera y el piso; ver figura. R: Nb = 291,7 N. Na = 599,64 N. µea = 0,487. 13) Rehacer el problema anterior, número 12, para una escalera más corta de 10 metros de largo; comente los resultados. R: Nb = 339,43 N. Na = 663,28 N. µea = 0,512. La tendencia es a incrementar el apoyo en la pared (Nb ), así como el coeficiente de roce estático con el piso para mantener el equilibrio total; es decir, es una escalera más insegura. 30 N 100 N

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 214 14) Un “Cartel” de 33 kilogramos en el extremo de una barra de longitud 2 metros de masa despreciable la cual está articulada y unidad contra la pared, si el tensor de la cuerda que lo sostiene está en la dirección y ángulo de la figura. Calcule la tensión en la cuerda el vector reacción de la normal en la unión con la pared. R: T = 373,43 Newton. = (-186,72i) N. La tensión soporta todo el cartel. 15) Rehacer el ejercicio anterior, número 14, si el tensor o viento se ubica en la mitad de la barra horizontal. Calcule la tensión y el vector reacción en la pared con la unión articulada, para el sistema este en equilibrio total. R: T = 793,04 N. = (-264,35i – 343,4j) N. 16) Nuevamente del problema 14, rehacer considerando que el cable o cuerda parte desde la mitad de la barra que sostiene el cartel en dirección hacia el segundo cuadrante. Calcule la normal y el ángulo de la tensión si esta tiene una magnitud de 750 Newton. R: 66,31°. = (301,34i – 343,4) N. 17) Considere el siguiente puntal de 5 metros y peso despreciable, empotrado en el piso e inclinado en 37°. Calcular la tensión en la cuerda perpendicular a él en su extremo, la acción del piso sobre el puntal y su ángulo de acción; si este soporta un peso de 360 N, como se indica en la figura. R: T = 287,51 N. N = 287,67. A 53°; es decir la normal actúa superior al puntal. 18) Rehacer el problema anterior, número 17, si el peso que soporta el puntal se ubica a la mitad de este, comente si la normal o reacción en el empotramiento cambia su dirección. R: T = 143,754 N. = (86,514i + 114,81j) N. A 53°; la normal mantiene su dirección. 19) Del siguiente esquema, tipo “Grúa Pluma”. Calcule la magnitud de la tensión en la cuerda en la inclinación indicada con agarre al eje a ¾ de su longitud “L”, y el vector reacción en el pasador empotrado en la base vertical, para una carga en el extremo de 170 Kg; además diga si la reacción esta en dirección al eje “L”. R: T = 1.519,48 N. = (1.427,85i + 1.146,31j) N. 38,8° 20) Del problema anterior número 19, rehágalo considerando que el eje es uniforme de peso 510 Newton, actúa en (L/2). R: T = 1.984,63 N. = (1.864,94i + 1.497,22j) N. 38,78° 21) Una viga uniforme de masa 25 kilogramos esta articula en un extremo en la pared y sostenida por un alambre o tensor en el otro extremo como se indica en la figura. Cual, será el peso que sostiene en ese punto y la reacción en la pared si la tensión es de 550 N. R: W = 427,5 N. Ny = 245 N. 22) Rehacer el problema anterior, número 21, si el ángulo con la vertical de la viga de longitud “L”, es de 51°, y esta es no uniforme de tal forma que su peso de 245 Newton. Está ubicado a una cuarta parte de su distancia a la pared de apoyo. R: W = 488,75 N. Ny = 291,98 N.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 215 23) Una escalera de 5 metros apoyada contra un piso y una pared a un ángulo no recomendado de 50°, tiene una masa de 60 kilos uniforme, (588 N. En su centro); si el coeficiente de fricción estática con el piso es de 0,55 y el coeficiente con la pared se considera despreciable. Calcule a que distancia un obrero con su equipo de trabajo, (100 kilos en total), se puede subir sin que la escalera deslice en sentido antihorario, y las normales en la pared y el piso. R: x = 2,244 metros. NA = 862,4 N. NB = 1.568 N. 24) Que ángulo mínimo puede colocarse la escalera del ejercicio anterior, sin que deslice solo con su propio peso; es decir, sin ningún obrero usándola. R: > 42,274°. 25) Una barra uniforme de 20 kilogramos está apoyada en sus extremos contra paredes lisas separadas 3 metros, con dos metros de separación vertical entre los puntos: “A y B”, como se indica en la figura, si tiene una piola al techo que la soporta a un metro del lado izquierdo. Calcule las reacciones en las paredes y la tensión ella. R: T = 196 N. NA = NB = 49 N. b) Torsión de un sólido rígido del plano 26) Una mesa de 250 N. Uniforme de 2 metros de largo y 0,6 de alto, es halada a velocidad constante por una fuerza inclinada en 30°, ver la figura. Si el coeficiente de fricción cinético es de 0,27 entre el piso y los pares de patas. Calcule la fuerza “F” que mueve la mesa, y las normales en cada par de patas. R: F = 49,41 N. N2 = 112,16 N. N1 = 113,13 N. 27) Rehacer el problema anterior, número 26. Si la mesa es movida por el piso horizontal con aceleración de 3 m/s2 . R: F = 105,44 Newton. N2 = 99,67 Newton. N1 = 97,61 N. 28) Una silla de 5 Kg, altura del asiento de 70 y longitud de 50 centímetros respectivamente, es no uniforme pues su peso está ubicado a 20 centímetros del espaldar; la silla es movida hacia la derecha a rapidez constante, por medio de una fuerza horizontal aplicada a 0,2 metros del piso. Calcule la fuerza, y las reacciones en las patas 1 y 2. Para un μc = 0,4 común, ver figura. R: F = 19,7 N. N2 = 11,76 N. N1 = 37,24 N. 29) Del problema de la silla anterior, a que distancia del piso máxima se puede aplicar la fuerza “F” para que la silla no pierda su equilibrio II; es decir no gire en horario. R: A 0,498 metros, (0,5 Cms).

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 216 30) Una pesada puerta de hierro de los salones de la FCMF en la UG. Tiene 2 metros de alto y un metro de ancho, (2 mts2 ), con 30 Kg. (294 Newton de peso central “uniforme”); la cual es soportada por dos bisagras o goznes empotrados como se indica, ubicados a 25 centímetros de cada borde. Asumiendo que las reacciones en el eje vertical de estas son iguales. Calcule las magnitudes y ángulos de las reacciones en los goznes. R: R1 = R2 = 176,67 N. Inclinadas a 56,31°. En los sentidos señalados 31) De la puerta mostrada en el problema 30. Calcule los vectores en las reacciones de las bisagras, si su construcción y por deterioros, la puerta no es uniforme, de tal forma que su peso está en el punto (0,4; 1,2) metros desde su borde inferior izquierdo; y se conoce que la reacción vertical superior R1y es igual a 0,77R2y, en magnitud. R: = (78,4i + 127,90j) N. = (78,4i + 166,10j) N. 32) Una caja uniforme de 130 Kg. Apoyada en sus extremos de dimensiones 3 metros de largo por 1,5 metros de alto, está sobre una inclinación de 20° con coeficiente cinético de 0,51; la caja es subida por una fuerza “F” que actúa a 15° de inclinación como se indica. Calcule la fuerza y las normales si la caja sube a 0,5 m/s2 . R: F = 1.012,17 N. N1 = 218,68 N. N2 = 716,52 N. 33) Rehacer el ejercicio anterior número 32, si la fuerza actúa a 15° en declinación; por debajo de la inclinación o en el cuarto cuadrante. R: F = 1.332,61 N. N1 = 63,92 N. N2 = 1.478,16 N. 34) Una red en una cancha de tenis, de un metro de alto (poco más qu3e una Yarda), y 6 metros de largo, exige que se tense en su línea superior unos 200 Newton, en su lado izquierdo; si en este extremo hay un poste de 1,2 metros de alto, con el cable tensor a 23° con la vertical, como se indica en la figura. Calcule la tensión, y el vector reacción en la base del poste. R: T = 426,55 N. = (- 33,33i + 392,64j) N. 35) Una caja uniforme de 50 kilogramos esta sobre una plataforma a un cuarto de su longitud de un metro, sujeta por medio de un cable como se indica en la figura; si la caja de 50 centímetros de alto está a punto de caerse o girar con respecto al punto A. Calcule los módulos de la tensión en el tensor y la normal en el punto de apoyo para que la caja permanezca en equilibrio total. R: T = 240,7 N. NA = 693,8 N.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 217 36) Una carretilla con ruedas también llamada “Carrucha” tiene un ancho de 50 centímetros y una altura a las asideras de 1,3 metros; si soporta una carga de dos cajas uniformes de 40x60 Cms2 y de 50x50 Cms2 de masas de 39 y 51 Kg. Respectivamente, como se indica en la figura. Calcule la fuerza mínima aplicada a 20° en declinación y la normal en las ruedas posteriores, si estas son trabadas para hacer el giro de levante. R: F = 329,72 Newton. N = 994,77 N. 37) Una barra “L” de 20x20 centímetros, esta empotrada en un techo, siendo de 271 N. De peso, con su centro de gravedad especificado en el punto “A”, a 5 Cms del codo. Si se le aplica una fuerza de 190 N. En su extremo al ángulo indicado en la figura. Calcule el vector torsión que debe soportar el punto de empotramiento. R: = 15,72k Joules (N-m), en sentido antihorario. 38) Una barra de 270 N. Está apoyada en sus extremos contra paredes separadas en 2 metros y una diferencia de altura de 50 Cms de un lado al otro; con μA = 0,4 y μB = 0,2 respectivamente, como se indica en la figura, si hay una cuerda vertical a 0,2 m. Del lado derecho. Calcule las reacciones en las paredes y la tensión en la cuerda, si la barra tiende a rotar en sentido antihorario. R: T = 176,09 N. NA = NB = 469,57 N. 39) Rehacer el ejercicio anterior, número 38, considerando que la cuerda donde se ejerce la tensión parte desde el centro de la barra uniforme y está inclinada en 30° con la vertical, hacia el segundo cuadrante. R: T = 330,08 N. NA = 89,04 N. NB = 254,11 N. 40) Una caja de 100 kilogramos de un metro de largo y 50 centímetros de alto, área de (0,5 m2 ), es movida por una fuerza de empuje en declinación a través de una superficie horizontal de coeficiente cinético de roce de 0,082 de tal forma que se acelera a 0,5 m/s2 . Calcule la normal, la magnitud de la fuerza y su ángulo de acción, para que la caja en movimiento no rote. R: N = 1067,54 N. F = 163,04 N. = 32,48°. 41) Un bloque de 50 kilogramos de 2x1 m2 , (dos metros de largo por una de alto), es subida sobre una superficie inclinada y lisa de 30°, por medio de una fuerza de empuje declinada en ángulo con la horizontal, como indica el esquema. Si la caja se acelera a 2 m/s2 . Calcule la fuerza, su ángulo y la reacción de la superficie. R: F = 385,74 N. = 26,57°. N = 596,89 N.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 218 c) Momento de inercia 42) Las masa M1 de 300 gramos, M2 de 400 gramos y M3 de 500 gramos. Están ubicadas en los vértices de un triángulo isósceles de altura 2 metros y ángulo 40°, ver figura. Calcule el momento de inercia del sistema con respecto al eje, (“Eje Z”), en el punto central de la base y a una altura de 0,5 metros de esta línea horizontal, puntos “a” y “b” respectivamente. R: Ia = 1,68 Kg.m2 . Ib = 1,38 Kg.m2 . 43) Del esquema de masas del ejercicio anterior, número 42. Calcule el momento de inercia o resistencia al giro, con respecto a la recta horizontal base, a la vertical central, y con respecto a una recta horizontal que pase por la mitad de la altura de 2 metros. R: IX = 1,2 Kg.m2 . IY = 0,48 Kg.m2 . IXX = 1,2 Kg.m2 . 44) De la siguiente figura en cruz derecha de 1,5 metros por ala, considere la masa “M” de 3 kilogramos colocadas en los extremos de la cruz, en las cantidades mostradas. Calcule el momento de inercia del sistema de masas con respecto al eje inclinado AA´, que pasa por el origen a 27° con la vertical, como se indica en la figura. R: IAA = 37,72 Kg.m2 . 45) Del ejercicio anterior, calcule el momento de inercia del sistema de cuatro masas dado, con respecto a cada eje coordenado del espacio. R: IX = 20,25 Kg.m2 . IY = 40,50 Kg.m2 . IZ = 67,50 Kg.m2 . 46) Cuatro masas de 2,71 Kg, se ubican en las esquinas de un cuadrado de lado 70 centímetros. Calcule el momento de inercia del sistema con respecto: Un eje central paralelo a cualquier lado; un eje diagonal, y con un eje central perpendicular al plano. R: IC = 1,33 Kg.m2 . ID = 2,66 Kg.m2 . IZ = 1,33 Kg.m2 . 47) Con referencia a un rectángulo de base 4 metros y altura 2,5 metros; donde se colocan en sus esquinas cuatro masas de 1,17 kilogramos, más una masa en su centro de área de 2,6 Kg. Calcule el momento de inercia con respecto al eje vertical al lado izquierdo y con respecto a la diagonal indicada. R: IY = 47,84 Kg.m2 . ID = 10,52 Kg.m2 . 48) del ejercicio 47 anterior. Calcule el momento de inercia con respecto a la horizontal, y con respecto al eje perpendicular “Z” en el origen señalado. R: IX = 18,69 Kg.m2 . IZ = 81 Kg.m2 . 49) Sobre una figura hexagonal de lado 1,27 metros, se colocan masas en sus vértices de 0,82 kilogramos, ver figura. Calcule el momento de inercia en sentido horario con respecto a su centro, (eje Z perpendicular), y con cualquier eje que cruce vértices opuestos. R: IZ = 7,936 Kg.m2 . ID = 3,968 Kg.m2 .

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 219 50) Basándonos en el ejercicio anterior, cuál sería el momento de inercia en cualquier sentido de giro con respecto a un eje perpendicular “Z”, de una disposición de masas de 4,0 kilos en los vértices de un pentágono de lado un metro. R: IZ = 14,47 Kg.m2 . 51) Un ciclista se pregunta cuál debe ser el momento de inercia con respecto a su eje, de una de sus ruedas de 90 centímetros de diámetro; si la goma con su aro tiene una masa de 2 kilogramos y están sostenidos por 40 varillas o rayos uniformes de 50 gramos cada uno. I EJE = 0,506 Kg.m2 . 52) Un trompo formado por un cilindro de 15 centímetros de diámetro y 1,5 Kg, tiene una punta giratoria corta de masa despreciable. Si se le hace girar por medio de una cuerda enrollada. Calcule, que tensión se le debe aplicar linealmente a la cuerda, para que el trompo gire a 4 rad/s2 . En cuantas vueltas se logra está aceleración, y qué trabajo realiza la cuerda. R: 0,45 N. 7,96 vueltas. 3,38 Joules. 53) Una polea fija de “M” kilogramos de masa y diámetro 164 centímetros, está en su soporte fijo cuando se le aplica una fuerza de borde de 5 Newton. Si la polea parte del reposo y gira 82° en un segundo. Calcule el momento de inercia de la polea y la masa de esta. R: IP = 1,438 Kg.m2 . M = 4,26 Kg. 54) Un taco de madera del laboratorio de Física, de 20x15 Cms2 , con masa de 1,5 kilogramos; se coloca sobre una horizontal de μe = 0,3. Calcule la aceleración angular con que gira en vez de deslizar. Si en su borde superior se le aplica una fuerza “F”, de 3 Newton. R: = 71,17 rad/s2 . 55) Considere el taco de madera del ejercicio anterior, si este se coloca sobre una inclinación en orientación de tal forma que la base sea el lado menor. Calcule el ángulo mínimo para que el taco gire o caiga, si esté es el ángulo crítico, (el mayor justo antes de empezar a deslizar), y calcule su aceleración angular. R: 36,87°. = 110,25 rad/s2 . 56) Una barra uniforme de 80 centímetros de largo y 2 kilogramos, se fija en una pared vertical con una articulación; si se soporta el otro extremo con un hilo, y se libera justo en la posición horizontal. Calcule la aceleración tangencial del extremo que gira, y la aceleración angular de la barra en ese instante. R: aT = 14,7 m/s2 . = 18,38 rad/s2 . 57) Del ejercicio anterior, calcule la longitud de la barra horizontal, para que en ese instante su aceleración angular sea de 9,8 Rad/s2 y 4,9 Rad/s2 . Respectivamente, adicionalmente encuentre una relación estándar para el cálculo de “alfa”, en una barra uniforme horizontal. R: L1 = 1,5 m. L2 = 3 m. = (3.g / 2.L).

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 220 58) Calcule el momento de inercia polar de un sólido macizo con un vacío inferior, representado por dos rectángulos: El mayor de área 3x4 M2 y la parte vacía de 1x2 M2, como se indica en el dibujo. Con respecto al eje horizontal de base. R: JX = 15,33 m4. 59) Rehacer el problema anterior, con el apoyo del teorema del eje paralelo, para calcular los momentos de inercia polar con respecto a cada eje coordenado, si ahora el rectángulo vacío se encuentra en el centro de la figura. R: JX = 7,33 m4. JY = 4,33 m4. 60) Bajo la fórmula del momento de inercia de un triángulo equilátero con respecto a un eje horizontal que pase por su centro de masa: Con el valor de “a” como su altura. Calcule el momento polar de un triángulo equilátero de lado 8 metros; con respecto a su centro de masa y su base. R: JCM(X) = 73,90 m4 . J(EJE X) = 221,82 m4 . 61) Encuentre el momento de inercia polar de la siguiente figura mostrada, formada por un triángulo isósceles de lados comunes 3 metros y ángulo único de 40°, menos una puerta o vacío rectangular de base un metro y altura exacta, al centro de masa del triángulo. R: JCM = 1 m4 . 62) Cual es el momento de inercia de una esfera de cobre, ( = 8,9 Grs/Cms3 ). De 25,4 centímetros de diámetro. Si esta debe girar con respecto a un eje tangente a cualquier punto de su superficie. R: I = 1,724 Kg.m2 . 63) En una viga simétrica tipo “H” donde el “alma” es un rectángulo de 20 milímetros de ancho por 200 mm de alto, y las alas son de igual largo, pero con un ancho de 30 mm, ver siguiente figura. Calcule su momento de inercia polar con respecto a su centro de masa, y con respecto a la base horizontal, usando el teorema de los ejes paralelos de Steiner. R: J(CM) = 1,73 x 10-4 m4 . J(CM) = 4,43 x 10-4 m4 . 64) Del problema anterior, número 63, rehágalo para el momento de inercia polar con respecto a un eje vertical, ubicado en el borde derecho de la viga “H”, también llamada “Doble T”. R: JY = 2 x 10-4 m4. 65) Una varilla cilíndrica de largo 30 centímetros y masa 2 kilogramos esta soldada a una esfera de 3 kilogramos y radio 20 centímetros, como se indica en la figura. Calcule el momento de inercia con respecto a una recta horizontal al punto de unión entre la varilla y la esfera, (AA| ), y con respecto al eje horizontal “X” indicado. R: IAA = 0,23 Kg.m2 . IX = 0,8 Kg.m2 . 66) Del ejercicio anterior número 65. Calcule el momento de inercia con respecto a un eje vertical que pase por el centro de la combinación varilla esfera, si la varilla tiene un diámetro de 3 centímetros; y con respecto a un eje horizontal tangente a la esfera en su punto más bajo, (paralelo al eje AA| ). R: ICM(Y) = 0,051 Kg.m2 . I(HOR) = 0,788 Kg.m2 .

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 221 67) Considere tres cilindros acomodados juntos como se indica en la siguiente figura, en los lados cilindros iguales verticales de 4 pies de largo y 6 pulgadas de diámetro; en el centro un cilindro horizontal de 5 pies de largo y diámetro 2 pies. Calcule el momento de inercia polar con respecto al eje central X, y con respecto a un eje central Y, mostrados. R: JX = 10,33 m4. JY = 51,21 m4. 68) Del ejercicio anterior número 67. Calcule el momento de inercia del sistema formado por tres cilindros, con respecto a la recta horizontal, si estos tienen masas de 300 y 500 Slug. Respectivamente, y el llamado “Radio de giro de la pieza”, con la horizontal. R: I(HOR) = 1.050 Slug.P2 . R = 1,146 pies. 69) Un sólido rígido irregular tiene un peso de 250 Newton, y un “Radio de giro” de 0,82 metros. Que torsión se le debe aplicar durante 3 segundos, para que el mismo logre una velocidad angular de 21 Rad/S2 partiendo del reposo. R: = 120,07 N-m. (Joules). 70) Consideres dos cilindros de masa “m” y radio r, que están unidos o soldados entre sí por su línea longitudinal. Exprese el momento de inercia del sistema con respecto al eje línea que los une, y con respecto al eje central axial de uno de los cilindros. R: I(Unión) = 3.m.r2 . I(CM 1) = (11/2).m.r2 . 71) Una rueda de 8 kilogramos y diámetro 50 centímetros, funciona como una polea al tener una cuerda enrollada que la sujeta de un borde fijo del techo, como se indica en la figura. Si la rueda se suelta desde el reposo y rueda verticalmente hacia abajo. Calcule la aceleración angular en la rueda y la tensión en la cuerda. R: T = 26,13 N. = 26,13 rad/s2 . 72) El planeta “Marte” tiene un radio de 3,4 x 103 Kilómetros, y una masa estimada en 6,4 x 1023 Kg. Si se considera una esfera uniforme en forma y densidad. Calcule su momento de inercia central y su radio giro. R: I(Marte) = 2,96 x 1036 Kg.m2. R = 2,15 x 106 Metros. (63,24% de su radio). 73) Sobre un engranaje en reposo de una máquina, se aplica un torque de 30 N-m o Joules, de tal forma que su velocidad angular tenga un cambio de 100 R.P.M en 5 segundos, para luego ser detenido en 30 segundos. Calcule el momento de inercia del engranaje, el torque de frenado y el número de vueltas totales que giro esta pieza. R: I(Engranaje) = 14,32 Kg.m2 . = 5 Joules en magnitud. N° = 29,16 Vueltas. 74) Un balón de futbol de diámetro 32 centímetros y masa 120 gramos, puede considerarse como una esfera hueca de paredes delgadas. Calcule su momento de inercia con respecto a su diámetro, su versión polar para una vista frontal, y su radio de giro. R: I= 8,19 x 10-3 Kg.m2 . J = 0,022 m4. R = 0,26 Metros.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 222 75) Considere la siguiente distribución de 4 cuerpos considerados partículas, distribuidos como se indica en la figura del primer cuadrante del espacio clásico; para una distancia horizontal de 3 metros y vertical de 2 metros, con las masas indicadas. Calcule el momento de inercia del sistema, con respecto a los tres ejes coordenados. R: IX = 24 Kg.m2 . I Y = 63 Kg.m2 . Iz = 83 Kg.m2 76) Del ejercicio anterior número 75, ubique el centro de masa de la distribución de partículas mostradas y calcule el momento de inercia perpendicular al plano XY, (paralelo al eje Z). Luego confirme el resultado por el teorema de ejes paralelos. R: CM: (1,75; 0,833) m. I(CM).Z = 37,92 Kg.m2 . I(CM):Z = 83 – 12.(3,757). 77) Un par de cuerpos tipo esferas macizas de masa 600 gramos y diámetros de 16 centímetros, se colocan en horizontal unidas a una varilla de 35 gramos y 40 centímetros de longitud, como indica el esquema. Calcule el momento de inercia con respecto a un eje vertical que pasen por el centro de masa del sistema, considerando o no la varilla central41. R: IY = 0,098 Kg.m2 . IY = 0,097 Kg.m2 . Sin la varilla central0 78) Del ejercicio anterior, rehágalo con respecto a un eje horizontal que pase por el centro de masas del sistema, para un radio en la varilla 2 centímetros. I x = 0,015 Kg.m2 . Se puede despreciar la varilla. 79) Considere un rectángulo de 4x5 M2 , al cual se le sustrae un vacío central representado por un círculo de diámetro dos metros. Calcule el momento polar de la figura con respecto a una recta horizontal en su base, y con respecto a una recta vertical en cualquiera de sus lados. R: JX = 20,78 m4. JY = 12,844 m2 . 80) Calcule los momentos de inercia y polar, de una esfera maciza de masa “M” Radio “R”, con respecto a una recta tangente a su superficie. R: I(Tan) = (7/5).M.R2 . J(Tan) = (7/5).π.R4. d) Poleas masivas, (bloques y cuerdas). 81) Una máquina de Atwood formada por masas de 7,0 y 8,2 kilogramos, funciona con una polea de 2,7 Kg. Y radio de 10 centímetros. Calcule en que tiempo la masa mayor suspendida a 1,5 metros llega al piso, y las tensiones de cada cuerda. R: t = 2,06 s. T1 = 76,96 N. T2 = 74,53 N. 82) Una cuerda se enrolla en una polea de 2 kilogramos y 20 centímetros de radio fijada en una pared, si una masa colgante de 6 kilos se coloca en la cuerda, como indica el dibujo. Calcule la tensión única y la aceleración de la masa si esta se acelera hacia abajo sin deslizar. R: a = 8,4 m/s2 . T = 8,4 N. 4 Muy interesante resulta acotar que, si las esferas fueran huecas de pared delgada, pero de igual masa. El momento de inercia de ellas aumenta. Situación similar para un cilindro, entre macizo y hueco de pared delgada.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 223 83) Del ejercicio anterior encuentre las expresiones más cortas con los datos señalados, de la tensión en la cuerda y la aceleración de la masa. Para esas situaciones. R: a = M.g / (M + mP /2). T = MP .(a/2). 84) Una masa de 6 kilogramos esta sobre una superficie horizontal de coeficiente de roce de μC = 0,41, y conectada por medio de una cuerda que pasa por una polea de 3 Kg, a una masa colgante de 7 Kg, ver siguiente figura. Calcule la aceleración del sistema de masas y las tensiones diferentes que entran y salen de la rueda acanalada. R: a = 3,07 m/s2 . T1 = 42,50 N. T2 = 47,02 N. 85) Del problema anterior número 84, considere que la masa de la polea es desconocida. Calcule esta y las nuevas tensiones diferentes, si el sistema se mueve igualmente en horario a razón de 2,5 m/S2 . R: T1 = 39,11 Newton. T2 = 51,10 Newton. MP = 9,6 Kg. 86) Un bloque de 4 kilogramos esta sobre una inclinación de 40° de coeficiente cinético de roce de 0,4 y unido a una gran polea de 4 Kg, y diámetro “R”, por medio de una cuerda ligera que se puede desenrollar como se observa en el esquema. Calcule la tensión única en la cuerda y la aceleración del bloque si se libera desde el reposo. R: a = 2,2 m/s2 . T = 4,40 Newton. 87) Del ejercicio anterior número 86 y sus resultados, considere que el momento de inercia de la polea es de 0,5 Kg.m2 . Calcule su radio de giro “R” y su aceleración angular. R: R = 0,5 metros. = 4,4 rad/s2 . 88) De la siguiente máquina de Atwood con masas de 4 y 6 kilogramos respectivamente, y una polea super masiva. Calcule las tensiones diferentes de la cuerda y la masa de la polea, si el sistema gira a 0,9 m/s2 . R: T1 = 42,8 N. T2 = 53,4 N. mP = 23,56 Kg. 89) Del ejercicio anterior número 88, que fuerza vertical hacia arriba es la necesaria para soportar el sistema formado por esa máquina de Atwood, (indicada con la flecha). F = 327,09 Newton. 90) Considere el siguiente esquema con una masa de la polea de 6 Kg, en cuerpos conectados con uno de ellos en una inclinación de 30° de coeficiente de roce 0,3. Calcule la aceleración del sistema y las tensiones diferentes en la cuerda, donde la tensión “T2” se considera inclinada con respecto al punto de entrada en la polea en la vertical. R: a = 3,71 m/s2 . T1 = 18,55 N. T2 = 22,31 N.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 224 91) Rehacer el ejercicio anterior, considerando que la polea tiene un radio notable, o sea es más grande de lo allí dibujada, de tal forma que el punto de entrada de la tensión “T2 ” ocurre en la horizontal. Ver esquema de este punto. R: a = 4,62 m/s2 . T1 = 25,90 Newton. T2 = 24,13 Newton. 92) Las cuerdas de la siguiente polea de 4 Kilogramos salen y entran en los puntos indicados, como las tensiones “T1 ” y “T2 ” respectivamente, donde el esquema es de dos masas de también 4 kilogramos conectadas como se indica, con una de ellas sobre una inclinación de 60° y coeficiente de roce de 0,2. Calcule estas magnitudes y la rapidez del sistema cuando se ha movido en horario 0,4 metros. R: a = 0,676 m/s2 . T1 = 40,58 N. T2 = 36,50 N. VF = 0,7354 m/s. 93) Descubra la nueva masa que debe tener la polea del ejercicio anterior número 92, las tensiones en la cuerda que entran y salen de esta, y la rapidez cuando igual el sistema se ha movido en horario 40 centímetros. Si el sistema gira en horario a razón de 0,8 m/s2 . R: T1 = 41,07 N. T2 = 36 N. MP = 923,8 Gramos. VF = 0,8 m/s. 94) Rehacer el ejercicio 92 por el teorema fundamental de la mecánica, calculando el trabajo resultante y la rapidez del sistema cuando en su giro en horario se ha movido 0,4 metros, (importante considerar ahora el trabajo realizado por las tensiones). R: WR = 2,164 J. VF = 0,7355 m/s. 95) Calcule las tensiones en la cuerda que entran y salen de la polea masiva y la masa de esta. Si el sistema de dos masas de 3 y 5 kilogramos respectivamente, sobre inclinaciones mostradas en la figura siguiente se mueve en sentido horario a 2,0 m/s2 ; asuma un coeficiente de fricción común en ambas superficies de 0,1. Y que las tensiones se conectan con la polea en los puntos indicados. R: T1 = 18,82 N. T2 = 34,37 N. MP = 14,61 Kg. 96) Del ejercicio anterior número 95. Calcule la nueva aceleración del sistema de masas y las tensiones en la cuerda que entra y sale de la polea, si esta tiene una masa de 5 kilogramos. R: a = 2,96 m/s2 . T1 = 21,70 N. T2 = 29,57 N. e) Momento angular, (L). 97) Cual es el módulo del momento angular de un aspa de ventilador que gira a 100 RPM, tiene un diámetro de 50 centímetros y su masa se estima en 70 gramos. R: L = 0,023 Kg.m2 /s. 98) Un plato porta cadena donde están los pedales de una bicicleta, tiene una masa 1,5 kilogramos y radio de 12 centímetros, si partiendo del reposo logra una rapidez angular de 15 Rad/S, en 5 segundos. Calcule la tensión en la cadena y el momento angular en ese tiempo. R: T = 0,27 N. L = 0,162 Kg.m2 /s.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 225 99) Sobre una rueda de 82 centímetros de diámetro se considera un momento lineal en su borde, para un instante dado de: = (3i – 5k) Kg.m/s; si el radio a ese punto en un instante dado se expresa como el vector: = (3j + 2k) metros. Calcule el vector momento angular en ese momento, su módulo, y la torsión requerida si el giro del cuerpo se logró en un tiempo de 2 segundos. 100) Del ejercicio 95. Calcule el momento angular de la polea para un radio de 8,2 centímetros en una parte de giro horario ocurrida en 1,5 segundos, (llamado propio o de espín), y los momentos angulares de cada una de las masas conectadas, (llamados orbitales), con respecto al eje frontal positivo “Z”. R: L p = 0,147 Kg.m2 /s. L1 = 2,315 Kg.m2 /s. L2 = 4,228 Kg.m2 /s. 101) Un gran disco de 3 kilogramos y radio 27 centímetros gira horizontalmente acomodado en un eje vertical central a 20 Rad/s, si se coloca sobre este, otro disco menor con un momento de inercia a un cuarto del primer disco en reposo. Calcule la nueva rapidez angular del sistema, si los discos se acoplan sin resbalar. R: Wf = 16 rad/s. 102) Una rueda giratoria en un parque infantil de metal, (llamada Tiovivo), tiene un momento de inercia de 170 Kg.m2 con un radio de 2 metros, si está en reposo y una niña de 20 kilogramos salta sobre él en su borde a 3 m/s. Calcule el momento angular de la muchacha justo antes de hacer contacto con la rueda y la rapidez angular del sistema, (niña y tiovivo girando). R: Li = 120 Kg.m2 /s. w = 0,48 rad/s. 103) Del ejercicio anterior, número 102, qué rapidez angular tendrá la niña sobre la rueda en el parque infantil, si la joven se mueve al centro del Tiovivo ubicándose a 20 centímetros de su centro, y se sabe que el momento angular disminuye en un 5% por fricciones. R: w = 0,67 rad/s. 104) Una roca de 500 gramos atada a una cuerda en un diámetro de 70 centímetros, gira a 4 m/s; si se reduce el giro a un radio de 20 centímetros y se conserva el momento angular. Calcule el momento angular constante, la nueva rapidez de la roca y las tensiones en la cuerda en ambos casos. R: L = 0,7 Kg.m2 /s. Vf = 7 m/s. Ti = 22,86 N. Tf = 122,50 N. 105) Del planteamiento anterior ejercicio 104. Se puede expresar la tensión en la cuerda donde gira la roca, ¿En función del momento angular y el radio de giro? R: Si, T = L2 /(m.r0 3 ). 106) Una barra tipo varilla de masa 2,8 kilogramos uniforme y de longitud 30 centímetros, cuelga de un pivote cuando es impactada en su centro por una masa arcillosa tipo plastilina de 300 gramos, a 15 m/s que se adhiere, ver figura. Calcule el momento angular del sistema, el momento de inercia con respecto al pivote después del impacto, y la velocidad angular final de la varilla-masa. R: L = 0,675 Kg.m2 /s. I = 0,091 Kg.m2 . w = 7,44 rad/s.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 226 107) Del ejercicio anterior número 106, calcula la velocidad rectilínea final del sistema masa-varilla, si el impacto ocurre en el extremo inferior de barra. R: Vf = 3,65 m/s. 108) Una masiva pieza tipo cilindro chato de titanio, (60 kilogramos), tiene 20 centímetros de diámetro y 10 centímetros de espesor; si se le hace girar con respecto a un piso horizontal, como si fuese una moneda en un juego de azar a 4 vueltas por segundo. Calcule su momento angular. R: L = 5,027 Kg.m2 /s. 109) Del ejercicio 92: Las masas y polea de 4 kilos que se aceleran en horario. Calcule el momento angular del sistema con respecto al centro de la polea, al cabo de 0,82 y 2,7 segundos, si esta tiene un radio de 10 centímetros. R: L(0,82) = 0,665 Kg.m2 /s. L(2,7) = 2,19 Kg.m2 /s. 110) Una piedra de 70 gramos se lanza a 15 m/s con 60° de inclinación, cuando vuela a 2,5 segundos de ser lanzada. Calcule su momento angular con respecto al radio de giro asumido como el centro de curvatura de su aceleración radial para ese momento. R: L = 33,84 Kg.m2 /s. 111) Un niño sostiene dos masas en sus manos con los brazos extendidos, mientras gira a 1,5 Rev/s, sobre una plataforma giratoria con fricciones despreciables; si el momento de inercia del niño y las masas pasa de 40 a 23 Kg.m2 , cuando este recoge sus brazos. Calcule la velocidad angular final y el incremento de la energía cinética. R: wf = 16,39 rad/s. ΔEc = 1.312,66 Joules. 112) Sobre un eje fijo se colocan dos discos A y B, de 3 y 2 kilogramos respectivamente que giran en sentidos opuestos muy cercanos con A en giro antihorario, como se indica en la figura; si al tocarse se acoplan en un giro único. Calcule el momento angular resultante del sistema y la velocidad angular final, si los radios de cada disco son RA de 30 Cms. RB de 10 Cms. R: = (4,8) . Kg.m2 /s. Wf = 16,55 rad/s. 113) Del ejercicio anterior número 112, encuentre una relación para la velocidad angular final del sistema, si las masas de los discos son iguales como “M”, se mantiene la relación de RA = 3.RB, Y el giro inicial de cada disco en sentido opuesto es igual en magnitud a W0 . R: WF = (8/10).W0. 114) Una barra horizontal delgada de 6 kilogramos y 3 metros de largo, está apoyada en su centro de masa en equilibrio como se indica en el esquema; si se le deja caer una bola de arcilla de 700 gramos desde los 2 metros de alto a una distancia de un metro del punto pivote, la cual impacta y se queda unida a la barra. Calcule el momento angular del sistema después del choque perfecto inelástico y la velocidad lineal final en el punto del impacto. R: L = 4,38 Kg.m2 /s. Vf = 0,843 m/s.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 227 115) Una flecha de 120 gramos es lanzada desde una altura de 3,2 metros a 53 m/s con 19,4° de inclinación: Calcule su momento angular en su punto máximo, asumiendo esta posición con un radio de curvatura de la altura total. R: L = 114 Kg.m2 /s. 116) Nuestro planeta tiene una masa de 5,98 x 1024 kilogramos y un radio de 6,37 x 106 metros; gira en una órbita alrededor del sol de radio aceptado en 1,5 x 1011 metros. Calcule el módulo de su momento angular para la rotación y la traslación, si gira en su eje en 24 horas, alrededor del Sol en 365,25 días y se considera una esfera maciza. R: L(Orbital) = 7,36 x 1031 Kg.m2 /s. L(Rotacional) = 7,06 x 1033 Kg.m2 /s. 117) Calcule el vector momento angular del minutero de la catedral de la ciudad de Guayaquil, con respecto a un pivote central, si se asume como un cilindro de largo 2,7 metros y una masa de 27 kilogramos. R: = (- 0,34) . Kg.m2 /s. 118) En una máquina de Atwood con una polea de radio 60 Cm. Y momento de inercia de 0,84 Kg.m2 , se le colocan masas de 2 y 4 kilogramos respectivamente. Calcule el vector momento angular en el centro o eje de la polea, cuando el sistema que parte desde el reposo se mueve 5 metros; es decir, la masa mayor baja esta distancia, estando colocada a la izquierda. R: = (31,05) . Kg.m2 /s. 119) Del ejercicio anterior número 118 calcule las tensiones en las cuerdas, siendo T1 la que está atada al bloque mayor de 4 kilogramos, y la fuerza requerida para desde un gancho superior soportar el sistema completo de esta máquina de Atwood. R: T1 = 29,79 N. T2 = 24,3 N. F = 99,86 Newton. 120) En una situación hipotética sobre el colapso del Sol en una estrella supermasiva de neutrones, su giro rotacional con respecto a su eje polar se incrementará notablemente; considere que una estrella similar de radio inicial en 7,1 x 108 metros y rotación en 31 días, se colapsa hasta los 27 kilómetros de radio con una pérdida en su masa del 20%, donde la masa a considerar se ubica en la cuarta parte del radio original. Calcule su nueva velocidad angular en radianes y vueltas por segundo, si se consideran esferas macizas. R: w = 126,54 rad/s. (20,17 vueltas/s). 121) Una puerta de madera liviana de 26 kilogramos y ancho de 0,6 m. Está sujeta a la pared con bisagras sin fricción, se le dispara una bala de 4 gramos en su centro de masa a 800 m/s. Calcule la velocidad angular final si la bala: a) Queda incrustada, b) Penetra y sale a 100 m/s. Considere conservación del momento angular, en ambos casos. R: wfa = 0,308 rad/s. wfb = 0,269 rad/s. 122) Una atleta clavadista de 62 kilogramos salta desde su trampolín de 3 metros a 6 m/s con inclinación de 70° con todas sus extremidades extendidas, si ella en el punto de altura máxima reduce su momento de inercia juntando sus extremidades en una forma esferoide de tal forma que pasa de 19 a 4 Kg.m2 . Calcule el momento angular con respecto al punto de salto en su Ymax, la velocidad angular inicial y las revoluciones por segundo lograda después de juntar sus extremidades. R: L0 = 254,93 Kg.m2 /s. w0 = 13,42 rad/s. wf = 10,14 Rev/s.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 228 123) Una pieza cuartón de madera de largo 1,5 metros y 4 kilogramos está en reposo sobre una superficie horizontal con suficiente fricción estática; si una roca de 356 gramos lo golpea a 20 centímetros de su borde superior con rapidez horizontal de 5 m/s; ver figura. Calcule la velocidad angular de la tabla justo después del impacto, si la roca tan solo luego del golpe cae al piso, y rehacer el ejercicio si el impacto de la roca ocurre a 0,2 metros del piso. R: wf1 = 0,77 rad/s. wf2 = 0,12 rad/s. f) Rodamiento, Energía y Potencia rotacional. 124) Del ejercicio 106 encuentre por estudio de energía, el ángulo máximo para con la vertical, que abre la varilla pivoteada con la arcilla adherida. R: Max = 63,29° 125) Un juguete de una polea plástica liviana tiene un hilo enrollado, (Yo-yo), si se ubica en una posición de 60 centímetros de alto con respecto a un punto donde se desenrolla su hilo sin deslizar, su radio es de 0,05 metros y su masa de 80 gramos. Calcule la velocidad lineal del centro de masa y su velocidad angular finales, en el punto más bajo. R: Vf = 2,8 m/s. wf = 4,66 rad/s. 126) Del ejercicio anterior 125 y recordando la mecánica clásica. Calcule la tensión en el hilo que se desenrolla, la aceleración del centro de masa del Yo-yo y la potencia media asociada. R: T = 0,261 N. a = 6,53 m/s. P = 0,732 Watios. 127) 127) Una bola de boliche es una esfera de 8,2 kilogramos tiene velocidad lineal de 2,7 m/s rodando sobre una superficie horizontal sin deslizar, si sube por una inclinación de 17°. Calcule que distancia máxima por esta llega hasta detenerse para volver, y la magnitud de su energía cinética rotacional inicial. R: d = 1,78 m. ERi = 11,94 Joules. 128) 128) Del ejercicio 121. Calcule la pérdida de energía cinética de la colisión bala-puerta en ambas situaciones, colisión perfecta inelástica e inelástica. R: ΔECa = - 1279,85 J. ΔECb = - 1259,89 J. 129) 129) Del ejercicio 123 calcule la velocidad angular con que la pieza de madera, (Cuartón), golpea el piso luego de caer en una rotación propia en ambos casos; es decir para las situaciones diferentes del punto de impacto de la roca. R: Wpiso(1) = 4,5 rad/s. Wpiso(2) = 4,3 rad/s. 130) 130) Calcule la velocidad inicial de un proyectil de 80 gramos que se incrusta en un impacto horizontal, sobre una barra colgante pivoteada en su extremo superior de 3 kilogramos y longitud 2 metros. Para lograr que el sistema abra ángulos máximos de 27° y 90° con la vertical, si la colisión ocurre en el extremo inferior de la barra. R: V0.(27°) = 47,125 m/s. V0.(90°) = 142,73 m/s.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 229 131) Considere una esfera mediana de 26 centímetros de diámetro y 27 kilogramos de masa. Determine a que altura por encima del centro de masa de la esfera, se le puede golpear horizontalmente para que la bola ruede y no deslice por estudio de torque, ver figura. Calcule la aceleración del centro de masa y su velocidad tangencial y angular adquiridas, de esta esfera que rueda sobre una horizontal sin fricción, al ser golpeada en este punto con 82 N. R: 5,2 Cm. (X = 2.R/5). a = 3,04 m/s2 . Vf = 0,475 m/s. w = 3,65 rad/s. 132) Del ejercicio anterior considere ahora que el cuerpo rodante es un cilindro de 10 centímetros de diámetro, con una masa de 8,2 kilogramos y se le aplica una fuerza de 70 Newton. Determine el punto exacto donde se sabe que no debe deslizar y calcule la aceleración del centro de masa adquirida. R: 2,5 Cm. (R/2). a = 8,54 m/s2 . 133) Para una esfera de 7 kilogramos de masa y radio 16 Cm, sobre una inclinación de 24° donde existe suficiente fricción en el punto de contacto para que la esfera baje rodando. Calcule la aceleración de su centro de masa, la fricción estática por rodamiento y su coeficiente. R: a = 2,847 m/s2 . FR = 7,97 Newton. μR = 0,127. 134) Del ejercicio anterior número 133. Calcule la energía cinética total cuando la esfera a rodado por la inclinación 2,7 metros si parte desde el reposo, su velocidad angular, y que potencia asociada tiene en ese instante. R: EC = 75,36 Joules. Vf = 3,92 m/s. w = 24,5 rad/s. P = 31,24 Watios. 135) Rehacer los problemas 133 y 134, todas sus preguntas. Con la situación de que el cuerpo rígido rodante sobre la inclinación de 24°, es un cilindro de igual radio y masa. R: a = 2,66 m/s2 . FR = 9,3 N. μR = 0,15. EC = 75,36 J. Vf = 3,79 m/s. w = 23,69 Rad/s. P = 35,247 W. 136) Un disco hueco de 2,4 kilogramos con radios de 82 y 27 centímetros respectivamente, se viene desenrollando en la vertical por medio de un hilo previamente enrollado; si tiene una energía rotacional inicial de 4 Joules y aún baja 1,3 metros más. Calcule su velocidad lineal, considere el momento de inercia de un cilindro hueco con pared apreciable como: I CM = M/2.(R2 + r2 ). R: Vf = 4,31 m/s. 137) Un pedazo de varilla de construcción de 2,4 metros de largo y 4 kilogramos es uniforme, (centro de masa en su punto medio longitudinal), está suspendida y sujeta a un techo referencial por medio de un nylon corto, si se toma y se abre un ángulo de 52° con la vertical, ver figura. Calcule la velocidad final del extremo inferior y compare este resultado con el obtenido por una masa similar colocada en un péndulo simple al extremo de una cuerda de la misma longitud. R: Vf = 5,21 m/s. Para un péndulo simple será: Vf = 4,25 m/s.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 230 138) Un disco de 24 kilogramos y radio 0,24 metros tiene en su centro un eje tipo árbol de 1,8 Kg, y 7 centímetros de radio; si este está apoyado sobre un par de rieles inclinados en 40° como se indica en la figura, y el sistema gira sin fricciones. Calcule la aceleración del centro de masas que se adquiere. R: a = 1,252 m/s2 . 139) Un tambor irregular parecido a una polea o cilindro achatado, esta fijo sobre cojinetes sin fricción pudiendo girar; si se le ata una masa de 7 kilogramos por medio de una cuerda, como se indica en la figura. Calcule la masa del tambor y su momento de inercia para un radio aceptado en 52 centímetros, si la masa al “Caer” 2,6 metros tiene una energía cinética final de 82 Joules. R: M = 16,448 Kg. I = 2,224 Kg.m2 . 140) Un mecanismo o dispositivo para el cálculo de momento de inercia en cuerpos dados, con respecto a la vertical. Consiste en una plataforma giratoria con un hilo o piola como accionar mecánico enrollado en el eje de esta, y conectada por medio de una polea liviana a una masa colgante que cae desde el reposo una distancia dada en un tiempo medible; ver figura. Con estos datos se calcula el momento de inercia de la plataforma horizontal, para luego al colocar el objeto deseado encima de esta, medir el momento de inercia total, para calcular el deseado por diferencia. Luego si la plataforma tiene 52 centímetros de diámetro la masa colgante es de 28 Newton, la cual cae o recorre la distancia de un metro en 2 segundos con la plataforma vacía y en 3,15 segundos cuando se coloca encima una roca centrada. Calcule el momento de inercia de la plataforma y su eje, y el momento de inercia de la roca. R: IP = 3,6 Kg.m2 . IRoca = 5,68 Kg.m2 . PROBLEMAS DE DESAFIO 141) Del problema Número 3, con un tercer apoyo R3 ubicado en el centro de la viga de 15 metros. Calcule las tres reacciones verticales de apoyo. R: R1 = 4.533,33 N. R2 = 4.666,67 N. R3 = 0 N. 142) Del problema número 13; considere que la escalera está apoyada en la pared, pero empotrada en el piso; es decir, no habrá fricción estática allí sino componente horizontal de la normal. Calcule el vector normal en el piso y su ángulo de acción. R: = (291,7i + 599,64j) N. 64,06°. 143) Del problema número 26 de la mesa, rehágalo considerando que el coeficiente de roce cinético no es común en el par de patas; es decir para un μC1 = 0,25 y μC2 = 0,51 respectivamente. R: F = 1.012,17 N. N1 = 218,68 N. N2 = 716,52 N.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 231 144) Del ejercicio 32 rehacerlo, y calcule la nueva fuerza aplicada en declinación, de tal forma que la normal N1, se anule; es decir, por la tendencia a que la caja de girar en tendencia horario. R: F = 1.012,17 N. N1 = 218,68 N. N2 = 716,52 N. 145) Rehacer la situación de encontrar el ángulo mínimo de inclinación para apoyar la escalera contra piso y pared del ejercicio, número 24, si la misma tiene a un obrero de 90 kilos ubicado a 4,5 metros por la escalera, a medio metro de su borde superior. R: > 51,6°. 146) Del problema número 35, considere que todo el sistema: la plataforma y la caja de encima están sobre una inclinación de 20°. Calcule el módulo de la tensión en la cuerda que evita que la caja rote y caiga y el vector normal en el punto “A”. R: T = 143,85 N. = (258,13i + 572,24j) N. 147) Del ejercicio número 37, brazo “L” empotrado en el techo, estime el ángulo de acción con la vertical de una fuerza de 80 Newton. Para que el torque total en el empotramiento se anule. R: = 24,63°. 148) Del problema planteado y resuelto número 25, considere que la barra delgada no tiende a rotar, sino a deslizar hacia abajo por las paredes, donde hay un coeficiente de roce estático común de 0,27. Calcule la tensión en la cuerda y las normales horizontales. R: T = 172,69 N. NA = NB = 43,17 N. 149) Del ejercicio de la barra articulada número 56, considere que esta no es uniforme de tal forma que su centro de masa está a una distancia ¾(L) del pivote. Calcule su aceleración tangencial de punta y su aceleración angular, para el instante en que la misma se libera del hilo soporte, en una posición inclinada a 60° con la vertical. R: aT = 19,1 m/s2 . = 23,87 rad/s2 . 150) Del ejercicio número 41, la caja que sube aceleradamente a 2 m/s2 por la superficie inclinada en 30°. Rehágalo considerando que existe un coeficiente de fricción cinética de 0,27. Nota: importante escoger el punto idóneo de estudio de torsión. R: N = 886,10 N. = 38,32°. F = 744,69 N.52 151) Del ejercicio de momento de inercia número 44, calcule la resistencia al giro del sistema de masas dispuestas en la cruz con respecto a un eje BB´ paralelo al eje AA´ ubicado a 6 metros de este como se indica en la siguiente figura; adicionalmente explique porque no se puede aplicar aquí el teorema del eje paralelo. R: 1.262,98 Kg.m2 . Por el teorema del eje paralelo da como resultado 1.117,72 Kg.m2 ; no se aplica porque el eje AA´ no pasa por el centra de masa del sistema. 5 En un estudio de torque en el punto donde se aplique la fuerza, debe considerar que el bloque “sube”; de tal forma que se debe considerar 100 N. en la base del bloque en sentido hacia abajo por la inclinación.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 232 152) Considere una varilla horizontal de masa despreciable y longitud “d”, con las masas MA y MB, colocadas en sus extremos; encuentre una expresión en función de los datos, para los momentos de inercia posibles y diferente de cero, con respecto al centro de masa del sistema. R: d2 .(MA.MB) / (MA + MB). 153) Basado en el ejercicio 75, considere ahora cuatro masas adicionales e iguales de: 3, 4, 3 y 2 kilos respectivamente, colocadas de tal forma que completan un paralelepípedo en el primer octante del espacio, a una distancia en el eje “Z” de 4 metros; es decir, colocadas al frente de cada masa del ejercicio indicado. Calcule el momento de inercia con respecto a los tres ejes coordenados. R: IZ = 166 Kg.m2 . IX = 236 Kg.m2 . I y = 318 Kg.m2 . 154) Del ejercicio número 90, masas de 5 y 2 kilos conectadas por medio de una polea masiva, con una de ellas sobre una inclinación de 30° y μC = 0.3. Rehágalo si la cuerda inclinada entra a la polea en un ángulo de 53,13° con la horizontal, como se muestra en el siguiente esquema de la polea. R: a = 3,426 m/s2 . T1 = 31,87 N. T2 = 21,74 N. 155) Del ejercicio 106, considere que la masa de arcilla golpea la barra colgante a una distancia de 25 centímetros del pivote; es decir a 5 centímetros del borde extremo inferior. Calcule para este choque perfecto inelástico, la velocidad rectilínea final de la masa arcillosa y del borde de la barra. R: Vfm = 0,444 m/s. VfB = 0,533 m/s.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 233 CAPÍTULO VIII: MECÁNICA DE LOS FLUIDOS Prerrequisitos del tema: Cinemática, dinámica clásica y conservación de la energía. Motivación: ¿Puede un fluido comprimirse y cambiar su forma y volumen? ¿Qué presión experimenta un cuerpo sumergido en un fluido? ¿Por qué algunos cuerpos flotan? ¿Cómo funciona un gato hidráulico? ¿En qué tiempo se vacía un tanque de agua? ¿Se puede estimar la densidad de un sólido irregular? ¿Bajo qué presión atmosférica vivimos? Desarrollo del tema: Un sólido conserva su forma y volumen en un tiempo definido; no así los estados líquidos y gaseosos de la materia; un líquido mantiene el volumen del recipiente que lo contenga y en el caso de los gases, el volumen ni la forma están definidos. Los líquidos y los gases son considerados sustancias con capacidad de fluir “fluidos”, y los objetivos que se desarrollan en este capítulo son el de conocer y estudiar los conceptos de densidad y presión de un fluido, aplicar los principios de “Pascal y de “Arquímedes” para fluidos en reposo y resolver situaciones en fluidos de movimiento laminar con la ecuación de “Daniel Bernoulli” de 1738. El estudio del movimiento de los fluidos a través de la mecánica clásica una vez más ofrece resultados cercanos a la realidad de las cosas, debido principalmente porque un fluido se mueve en comportamiento turbulento y para su estudio se asume un movimiento continuo o laminar sin embargo los cálculos ofrecen una serie de ecuaciones con múltiples aplicaciones prácticas en el campo laboral del profesional de la ingeniería que le permiten la toma de decisiones lógicas y la construcción de tuberías en el control y manejo de los fluidos. TEMA 1) Densidad y presión Los conceptos básicos en el estudio de la mecánica de los fluidos comprenden la densidad de una sustancia como la masa de un cuerpo entre el volumen que ocupa, y la presión estimada como el esfuerzo por unidad de área que experimenta un cuerpo al ser sometido a una fuerza y/o al estar sumergido en un fluido. 1.1) Densidad: La densidad es un escalar que caracteriza a los elementos de la naturaleza y a combinaciones entre estos, llamadas aleaciones en condiciones ambientales de presión y temperatura estándares. La densidad es: = M / V Ecu. 8.1. Su dimensión en el sistema internacional es de Kg/m3 , aunque se ha generalizado el uso de Grs/Cm3 para evitar valores “en miles”. Y de Lb/Pies3 en el sistema inglés, aunque también se usa el peso entre las pulgadas cúbicas. La densidad tiene por simbología la letra griega “ro” ( ). En la siguiente tabla (8.1), se registran algunas densidades comunes y de uso general

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 234 Tabla 8.1 Densidades a Temperatura ambiente de 25 a 28º en presión atmosférica * Las densidades en mezclas y/o soluciones, como las aleaciones, varían por la proporción de sus componentes. Y toda sustancia o material dentro o en un fluido de densidad superior, flotara en éste. 1.2) Presión: Si aplicamos una fuerza en dirección normal sobre una superficie de un cuerpo, tal concepto se denomina el escalar “Presión”: P = F / A. Ecu. 8.2. Módulo de la fuerza sobre el área. En las ingenieras también se denomina para cuerpos sólidos “Esfuerzo”. La presión en el Sistema Internacional es: N / M2 , (llamado Pascales), y en el sistema Ingles: Libra / Pie2 en este sistema se usa comúnmente el PSI o Libras sobre pulgadas cuadradas; equivalente a 0,007 Libras sobre pies cuadrados. Debido a que los fluidos no soportan esfuerzos de corte, la fuerza que un fluido ejerce sobre un cuerpo sumergido en él siempre es perpendicular a cualquiera de sus caras superficiales, esto origina una tipología en el concepto de presión que será dependiente del dispositivo usado para su medición. Veamos Presión atmosférica: Es la presión de la superficie terrestre, es decir, en el fondo del aire en donde vivimos, es calculada a nivel del mar, como: PAT = 1,013 x 105 Pascales. Cantidad también llamada como una “atmósfera”. El Barómetro es el dispositivo para medir presiones atmosféricas en diferentes altitudes. SUSTANCIA DENSIDAD (Gr/Cm3 ) SUSTANCIA DENSIDAD (Gr/Cm3 ) Helio 0,00018 Concreto seco (2,18 al 2,8)* Aire 0,001029 Vidrios (2,40 al 2,7)* Anime ≈ 0,026 Aluminio 2,71 Gasolina 95 0,70 Zinc 7,13 Alcohol 0,787 Hierro 7,83 Maderas (0,50 al 0,90)* Acero Inoxidable (7,90 al 8,0)* Querosene 0,82 Bronce (8,4 al 8,50)* Hielo de H2 O 0,92 Latón (8,50 al 8,70)* Agua potable (0,97 al 0,99)* Cobre 8,96 Agua destilada 1,00 Plata 10,50 Agua de mar 1,03 Plomo 11,30 Refresco sin gas 1,04 Mercurio 13,60 Sangre humana 1,06 Oro 19,32 Vinil 1,15 Platino 21,40 Goma 1,26 Osmio 22,40

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 235 Presión manométrica: Es la presión que experimenta un fluido contenido en un espacio sellado o la presión ejercida por el fluido sobre un cuerpo a una determinada profundidad. Se calcula como el producto: PM = .g.h. Ecu. 8.3. Donde “ ” es la densidad del fluido y “h” es la profundidad o distancia vertical en la que se encuentra el cuerpo o punto dentro del fluido a estudiar. El Manómetro es el dispositivo para medir presiones en fluidos contenidos en espacios herméticos o en profundidades determinadas. Presión absoluta: Es la presión resultante al sumar la presión atmosférica con la presión manométrica. Esto se deduce de la lógica de que la presión real sobre un cuerpo dentro de un recipiente abierto a la atmósfera a profundidad es la presión absoluta. PA = PAT + PM Ecu 8.4. Es decir, la presión manométrica, medida con el manómetro, será igual a la diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica. Ejemplo 8.1: Un paralelepípedo de madera tiene dos lados conocidos: L1 de 22,5 cm y L2 de 16,6 cm, si su masa es 5,8 kilogramos y la densidad de 0,786 g/cm3 . Calcular la longitud del tercer lado Ejemplo 8.2: En un lugar de la cordillera Andina, un Barómetro indica una presión atmosférica de 41.160 Pascales. Calcule la altitud del pico con respecto al mar. Respuesta: La diferencia en las presiones barométricas, indica una notable altitud P = Patm – PA = 101.300 – 41.160 = 60.140 Pascales. Luego considerando la profundidad del aire en la base del pico en la cordillera, se tendrá que 60.140 = Aire.g.h → h = 60.140/12,74 = 4.720,6 metros. TEMA 2) Fluidos en reposo La presión varía con la profundidad del fluido en forma proporcional y siempre que el fluido se asuma como una masa sin movimiento, como si estuviese contenido en un recipiente.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 236 A continuación, se ilustra esta situación. Dónde: “A” es el área del cuerpo al ras de la superficie del fluido, “Fo ” es la Fuerza ejercida por la atmósfera: Fo = po *A, “F”, como la fuerza ejercida por el fluido como acción de su Presión Absoluta, y “h” es la profundidad sumergida del cuerpo. Luego la diferencia (F - Fo ), será la fuerza de flotación o fuerza Manométrica que otorga una perdida aparente en el peso del cuerpo. 2.1) Flotación y principio de Arquímedes: Hay cuerpΩción de volumen del cuerpo que queda por encima del del fluido: (Vc / Vf ) = ( f / c ). Con esta relación podemos calcular, por ejemplo: Que un cubo de hielo en un vaso de agua destilada tendrá 92% de su volumen sumergido en el líquido. Es de imaginar que una pieza de hierro flota en mercurio líquido con un 58% de su volumen sumergido. c) Si la densidad de un cuerpo macizo es mayor a la del fluido éste se hundirá, pero seguirá experimentando la fuerza de flotación como una pérdida de peso: Ecu. 8.7 Cuando una embarcación de latón o acero, flota en el mar es porque la forma de su volumen no macizo genera un grandísimo volumen de agua desplazada que compensa su peso total por flotación y por fuerza absoluta del fluido. Luego, e puede estimar la masa de un cuerpo dentro de un fluido (mcf) que al estar totalmente sumergido su volumen es igual al volumen del fluido desplazado, entonces de la ecuación 8.7 . Luego con: . Se obtiene la siguiente ecuación para calcular densidades de cuerpos irregulares. Ecu. 8.8. Ecuación desarrollada por Arquímedes en el año 222 A.C. Que permite conocer la densidad de un cuerpo de forma geométrica irregular y volumen desconocido, al medir la masa de un cuerpo dentro y fuera de un fluido de densidad conocida. Con ella pudo resolver el problema que le había solicitado el Rey “Hierón Siracusa”, de descubrir que su corona real, no era de oro puro. 2.2) Presión y profundidad: Cuando nos sumergimos en el agua la presión que actúa perpendicularmente al área de nuestra superficie se incrementa en proporción a la profundidad, así como disminuye la presión atmosférica con la altitud. La presión absoluta “p” a una profundidad “h” por debajo de la superficie de un líquido en un contenedor abierto a la atmósfera será mayor a la presión atmosférica en ese punto en una magnitud de Ahora la presión será igual en todo punto a la misma altitud o profundidad de un fluido. Si aumentamos la presión en la superficie de un fluido, la presión a cualquier profundidad aumenta en la misma cantidad por transmisión; ésta es la base del Principio de Pascal: “El cambio en la presión aplicada a un fluido contenido herméticamente se transmite sin cambios a cada punto del fluido y a las paredes del recipiente contenedor”.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 237 En un sistema de vasos conectados, como se ilustra en la figura. Los puntos 1 y 2 tendrán la misma presión; lo que significa que se puede incrementar la fuerza al relacionar las áreas sometidas a presión en los puntos indicados: P1 = P2 → (F1 / A1 ) = (F2 / A2 ). Este es el principio de utilidad de los sistemas hidráulicos, al relacionar la fuerza mayor en función de las áreas: F1 = (A1 / A2 ).F2 . Ecu. 8.9. Ejemplo 8.3: La masa de un cuerpo sumergido en etanol ( = 0,9 g/cm3 ) es de 185 gramos. Fuera del líquido su masa es de 222 gramos. Calcular la densidad del cuerpo y su volumen. Respuesta: La fórmula para densidad de Arquímedes, (7.8) → = (222*0,9) / (222 – 185). = 5,4 g/cm3 .Luego Vc = Mc / c = 222 / 5,4 → Vc = 41,11 cm3 . Ejemplo 8.4: Un gato hidráulico del tipo “Caimán” se comercializa por su capacidad de carga estimada en 2 toneladas, en un pistón de 9 Cms de diámetro. ¿Qué fuerza se debe aplicar sobre el pistón en vasos comunicados que tiene una sección transversal de 4 cm? Respuesta: La fuerza del pistón de 9 Cms de diámetro, es F1 = 19.600 Newton en un área de A1 = 0,0064 m2 , con un área de aplicación: A2 = 0,0013 m2 . → F2 = 3.981,25 N. (Según el principio). TEMA 3) Dinámica de los fluidos El flujo de fluidos resulta en un movimiento caótico y complejo, basta con apreciar las corrientes y las vorágines que se forman en el caudaloso río Guayas de nuestra ciudad; entonces se asumen situaciones ideales de análisis simples. Al considerar la tipología de: “Movimiento laminar”, como un fluido de movimiento donde todas sus partículas siguen una trayectoria uniforme y la rapidez de éstas es constante promedio al despreciarse la fricción interna. Un fluido en movimiento es turbulento cuando existen torbellinos y choques con obstrucciones, y se considera el grado de fricción interna del fluido (Viscosidad); la cual disipará parte de la energía cinética del fluido y el patrón del flujo cambiará continuamente. 3.1) Ecuación de continuidad: Si se asumen las condiciones ideales para el movimiento de un fluido como: Viscosidad despreciable, rapidez constante todos los puntos, densidad invariable, y el fluido es incompresible, no genera vórtices, es irrotacional con líneas de corrientes no interceptadas entre sí. Entonces cuando este se mueve a través de un tubo de área de sección transversal variable entonces el volumen del fluido circundante es constante en un intervalo de tiempo dado, ver figura.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 238 Esta afirmación se conoce como la ecuación de continuidad del fluido y dice que: “El caudal (área transversal por la rapidez del fluido), en todos los puntos a lo largo de un tubo de corriente laminar es un valor constante”, esto es: Constante. Ecu 8.10 Donde el caudal tiene como dimensión el volumen entre unidad de tiempo: m3 /s, o Lts/s, en el sistema internacional y de Pie3 /s. En el sistema inglés. 3.2) La ecuación de Daniel Bernoulli: Al considerar el movimiento de un fluido por un contenedor de área transversal no uniforme y en disposición de altura variable, se deduce la ecuación de Bernoulli a partir de la conservación de la energía mecánica desde el punto inicial (1) al punto final (2). O sea, este científico aplico y dedujo las ecuaciones de la hidráulica a partir de aplicar la cinemática, dinámica y el estudio de energías, a los fluidos. Ver siguiente Figura. La fuerza 1 es igual a la presión que se ejerce en este punto por el área 1, entonces el trabajo que efectúa esta fuerza es: . De forma similar en el punto 2 de salida del fluido el trabajo es: Entonces el trabajo neto realizado por estas fuerzas con: Luego: Finalmente, al dividir la relación anterior entre el volumen que se mueve por el contenedor se deduce la ecuación de Bernoulli como: Ecu. 8.11 Es decir, la sumatoria de la presión, las energías cinética y potencial por unidad de volumen, en cualquier punto de un fluido laminar o asumido como tal, es constante; es decir: Expresión definitiva de la ecuación de Daniel Bernoulli publicada en 1738 juntos a otros conceptos de la “Hidrodinámica”. 3.3) Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli a) Presión absoluta: Si un fluido está en reposo contenido en un recipiente abierto a la atmósfera, figura 7.5. Entonces la ecuación de Bernoulli entre los puntos de: la superficie del fluido y el fondo del recipiente se reduce a: queda la expresión de la presión absoluta como: . Siendo esta relación la ecuación 8.4 desarrollada en la sección 8.2.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 239 b) Ley de Torricelli: Un tanque contentivo de un fluido de fricciones internas despreciables, se vacía al emitir fluido por un orificio en el fondo de este, ver figura 7.6; entonces se puede conocer el tiempo de vaciado al relacionar el volumen inicial con la rapidez de emisión del fluido, usando la ecuación de Bernoulli entre el nivel superior del fluido y el punto de vaciado. Como el área 1 es mucho mayor al área 2, entonces por continuidad del fluido, la rapidez en el punto 2 es mucho mayor a la rapidez en el punto 1; de hecho, esta se puede considerar despreciable, esto es: (V1 0), lo que reduce la ecuación de Bernoulli a la nueva expresión: . Donde la rapidez de emisión del fluido es: Esta ecuación es conocida como la ley de Torricelli, en donde la rapidez de vaciado de un fluido en un tanque vertical es proporcional a la presión que exista en la superficie superior del fluido y a la altura del tanque, e inversamente proporcional a la densidad del fluido. Si el tanque está abierto a la atmósfera, entonces P1 es aproximadamente similar a P2 . Entonces la rapidez de emisión es aproximada a la de un cuerpo en caída libre desde una altura “h” partiendo desde el reposo: . c) El dispositivo de Venturi: Un tubo horizontal reductor con áreas transversales conocidas y con manómetros colocados en estas áreas, permite medir la rapidez en un caudal de fluido de densidad apreciable y constante. Tal dispositivo es llamado un tubo de Ventura, ver figura. Al tener una disposición horizontal, la ecuación de Bernoulli es: Luego al sustituir en la ecuación de continuidad para un fluido, (7.10), en función de la rapidez de entrada y la rapidez del fluido en el punto de área 2 queda como la expresión: Esta expresión permite conocer el caudal de un fluido al multiplicar la rapidez de él mismo, por el área de la sección transversal.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 240 Ejemplo 8.5: Un tubo de aguas blancas, de diámetro interno igual a 1,6 Cms conduce agua a 2,5 m/s a una casa con una presión de 45.000 pascales. Calcular la rapidez del fluido, la presión y el caudal del agua al salir por el fregadero a 1,5 metros de alto del tubo matriz y con un diámetro interno de 0,9 Cms. Respuesta: V1 = 2,5 m/s p1 = 45.000 pascales y1 = 0. Por la ecuación de continuidad Ejemplo 8.6: Un tanque vertical que almacena agua potable, tiene una altura de 6,7 metros con respecto a un dispositivo conectado a una tubería lateral de diámetro interno de 5 Cms. Si entre el techo del tanque hermético y la superficie del agua hay una presión de 120.000 pascales. Calcular el caudal del agua que sale por la tubería si allí la presión es de 101.000 pascales. Respuesta: La ecuación de Bernoulli con Resumen general para la resolución de problemas de fluidos IDENTIFIQUE SI EL FLUIDO ESTA EN REPOSO O EN MOVIMIENTO LAMINAR. USE LAS ECUACIONES RESPECTIVAS DE DENSIDAD, PRESIÓN O DE BERNOULLI. Historia en el estudio de los fluidos Arquímedes (287–212 a.c) un gran científico de la antigüedad a quien debemos el número π, y la formulación de volúmenes geométricos; el hombre que corrió desnudo las calles de la ciudad de Siracusa gritando: Lo conseguí (Eu-reka), cuando descubrió la naturaleza del empuje hidrostático, se convirtió sin dudas en el iniciador del estudio y manejo de los fluidos así como de la caracterización de las sustancias por medio de su densidad; en adicional trabajo sobre los volúmenes ocupados por fluidos líquidos y determino los volúmenes circulares: Cilindro, esfera, y el Cono, al desarrollar las ecuaciones derivadas de su famosa espiral. La ciencia esperó unos 2.000 años hasta que el científico Francés Blaise Pascal (1623–1662), con su principio de la transmisión de la presión y el físico Suizo Daniel Bernoulli (1700–1782) con el uso de las leyes de la dinámica clásica, así como de los conceptos de trabajo y energía aplicados al estudio en el movimiento asumido como laminar de los fluidos fundara las bases de lo que denominó: “hidrodinámica”. La ecuación de Bernoulli tiene infinidades de aplicaciones en la ingeniería actual y sus estudios dieron inicio al principio de la teoría cinética de los gases.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 241 PROBLEMAS PROPUESTOS a) Densidad y presión 1) Una barra de aluminio tiene 38,5 Cms de largo y 2,5 Cms de diámetro. Calcular la masa de la barra. R: M = 0,51 Kg. 2) Una pelota de softball tiene un diámetro de 8,6 Cms y una masa total de 295 g ¿Cuál es la densidad de la pelota? R: = 0,886 g/cm3 3) Usted tiene un cubo aurífero de 0,6 centímetros por lado, si el gramo de oro, (50 Kilates de oro 18), se cotiza para mediados del año 2020 a 43,20$ . Calcular su valor. R: 180,186 $. 4) Una tabla tiene 30 x 5 x 250 Cms3 de volumen. Si se supone que la madera es de pino es de densidad igual a: ( = 0,778 g/cm3 ). Calcule su masa y su peso. R: M = 29,175 Kg. W = 285,92 N. 5) ¿Cuál es la masa de una esfera de plomo de 4 Cms de diámetro? R: M = 378,67 gramos. 6) Rehacer el problema número 1, considerando que el cilindro es hueco con un diámetro interno de 5 mm. R: M = 0,492 Kg. 7) ¿Cuál es la densidad de nuestro planeta, si se estima una masa de 6x1024 Kg y tiene un radio de 6,37x106 m? R: = 5,542 g/cm3 . 8) ¿Cuál es la densidad de nuestro Luna, si se estima una masa en 82 veces menor a la de nuestro planeta y tiene un diámetro de 3,5x103 Kms? R: = 9,98 g/cm3 . 9) Una dama de 65 Kg se apoya sólo sobre sus dos tacones, los cuales tienen un área circular de radio igual a 0,6 Cms. Calcular la presión que ejercen sobre el piso ambos tacones en ambos sistemas de medición. R: P = 2,82 x 106 Pascales. P = 412 P.S.I 10) Un barril de aceite ( = 0,6 g/cm3 ) tiene una altura de 1,20 metros y un diámetro de 0,95 metros. Calcular la masa total de aceite y la presión manométrica en el fondo del barril de aceite. R: M = 510,35 Kg. PM = 7.056 pascales 11) ¿Qué presión manométrica mínima debe producir una bomba para elevar agua desde un tanque ubicado en el piso de un edificio de 10 pisos (33 m)? R: PM = 323.400 Pascales 12) Un tanque cilíndrico presurizado contiene18 metros de alto de Queroseno ( = 0,82 g/cm3 ). Si la presión en la superficie dentro del tanque es de 2 atmósferas. Calcular el diámetro del tanque, si en el fondo se ejerce una fuerza de 155.000 Newton. R: = 75,4 Cms.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 242 13) Rehacer el problema anterior, número 12, si el fluido de Queroseno está abierto a la atmosfera. R: = 1,09 m. 14) La fosa de “Las Marianas” en el océano Pacífico es la más profunda del mundo (11 Km). Calcular la presión manométrica y absoluta en ese punto del planeta. R: PM = 1,11x108 Pascales. PA = 1,111 x 108 Pascales. 15) Un tanque se llena con agua potable, ( = 990 Kg/m3 ) la cual alcanza una profundidad de 3,6 metros. Calcular la fuerza que el líquido ejerce sobre una moneda de un Bolívar en el fondo, la cual tiene un diámetro de 2Cms. R: F = 10,97 N. 16) Un tubo abierto a la atmósfera contiene mercurio líquido y agua destilada sin mezclar, en las alturas indicadas en la figura del problema. Calcular la presión absoluta en el fondo. R: P = 1,072 x 105 Pascales. 17) Una piscina circular para niños, de radio 1,2 m y de 50 Cms de profundidad se llena con agua potable y cloro disuelto, ( = 0,98 g/cm3 ). Calcular la fuerza neta sobre el fondo de la piscina y la fuerza promedio sobre toda la sección lateral. R: F = 21.723,74 N. F = 9.051,56 N. 18) Un barómetro es un dispositivo como el mostrado en la figura del problema, contentivo de mercurio líquido. Calcule la altura “h” de la columna de mercurio para una presión atmosférica a nivel del mar. R: h = 0,76 m. o 760 mm. 19) Del problema anterior, número 18, calcule la altura “h” si el fluido contenido en el barómetro es vino tinto ( = 0,9843 g/cm3 ), que fue el fluido empleado por “Blaise Pascal”. R: h = 10,50 m. 20) Un tubo en forma de “U” sellado, como se indica en la figura siguiente, con la sección transversal constante, se llena con agua destilada y queroseno ( = 0,82 g/cm3 ), sin mezclar. Si h1 es de 5 Cms, calcular h2 . R: h2 = 9 mm. 21) Un resorte constante de elasticidad de 550 N/m se deforma 4 centímetros cuando conforma un émbolo de radio 5 centímetros para medir presiones. Si el sistema está vertical y lleno con agua de tubería (980 Kg/m3 ). Calcule la altura de líquido que deforma el resorte. R: h = 28,6 cm. 22) Del problema número 20, considere que, en vez de agua destilada, el tubo contiene mercurio líquido ( = 13,6 g/cm3 ), y h1 es igual a 20 Cms, calcule h2 . R: h = 18,8 Cm. 23) Del problema número 21, considere que el fluido utilizado es aceite comestible ( = 0,915 g/cm3 ) y calcule la altura del líquido. R: h = 30,70 Cm.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 243 24) Se supone una densidad promedio del aire de 1.0286 Kg/m3 . Calcule la altura de la atmosfera donde vivimos que origina la presión atmosférica a nivel del mar. R: h = 10.049,3 m. 25) Un alpinista que está escalando un pico en la ciudad de Cuenca, observa en su barómetro una presión de 3 P.S.I. Calcule a que altura se encuentra sobre el nivel del mar. R: 2.036,5 Metros. b) Principio de pascal y flotación 26) Un gran globo de masa inicial 25 gramos, se infla en un volumen esférico de radio 60 Cms con helio ( = 0,18 Kg/m3 ). Si el globo se eleva en el aire ( = 1,029 kg/m3 ), calcule la masa que se debe atar al globo para que éste no ascienda. R: M = 71,02 Gramos. 27) Del problema anterior, número 26, calcule el volumen y el radio de un gran globo de 2 kilogramos, para que este levante una masa de 50 Kg. R: V = 61,25 m3 . r = 4,9 m. 28) Un paralelepípedo de madera ( = 0,72 g/cm3 ) y de 30x30x10 centímetros cúbicos, flota en agua destilada. Calcule el volumen de madera que queda por debajo del agua. R: 6.480 Cm3 . 29) ¿Qué volumen de hierro de = 783 Kg/m3 se pondría encima del paralelepípedo del problema anterior, número 28, para que este quede a nivel del agua? R: Vfe = 321,84 Cm3 30) Un cilindro de cobre ( = 8,96 g/cm3 ) de radio igual a 1,5 Cms y de 10 Cms de largo, se sumerge en agua destilada en disposición vertical en un recipiente de 6 Cms de profundidad. Calcular su peso en esta posición. R: Ws = 5,79 N. 31) Una semiesfera de plástico de radio 27 Cms, 2,35 Kg. Y con espesor despreciable, se sumerge en un líquido turbio ( = 1,27 g/cm3 ), ver figura del problema. Calcule la masa de un cuerpo dentro de la esfera de tal forma que el sistema permanezca en equilibrio al ras del líquido. R: M = 50 kilogramos. 32) Un globo, de masa despreciable, con helio (0,18 kg/m3 ) y de forma esférica con diámetro 170 Cms, se ata a una cadena horizontal sobre una mesa de 1,8 metros de largo con una masa total de 4 kilogramos cuando el globo se suelta, parte de la cadena queda suspendida hasta que el sistema se detiene. Calcular la distancia de cadena que queda suspendida. R: L = 0,983 m. 33) Una gran esfera maciza de plástico con un diámetro de 0,5 metros, flota en agua destilada con 0,3 metros de su diámetro por encima de la superficie. Calcular su densidad. R: = 0,30 g/cm3

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 244 34) Una pesa colgante de hierro de 350 gramos se sumerge en aceite ( = 0,915 g/cm3 ), atada a una balanza del laboratorio de Física. Calcular la lectura de la balanza. R: 309,1 grs. 35) Un Iceberg de densidad 917 Kg/m3 , flota en agua de mar: = 1.030 Kg/m3 . Calcule el porcentaje de volumen del iceberg que está sobre la superficie. R: 10,97 % 36) En un experimento de Arquímedes, una pesa colgante de metal tiene una masa de 420 gramos en seco y una masa de 370 gramos cuando está sumergida en agua mineral de densidad 0,98 g/cm3 . Calcular la densidad de la pesa de metal. R: C = 8.232 Kg/m3 . 37) Del problema anterior, número 36, calcule la densidad del fluido en donde se sumerge la pesa colgante, si esta es de cobre ( = 8,96 g/cm3 ). R: C = 1,07g/cm3 . 38) Una tabla ( = 0,72 g/cm3 ) de 6,5 m2 de área, flota en agua de mar ( = 1,03 g/cm3 ). Calcule el espesor de la tabla para que al ras con la superficie del agua pueda soportar el peso de una persona de 94 Kg. R: E = 4,67 Cm. 39) Rehacer el problema anterior, número 38, si la persona y la tabla están sobre el agua del rio manzanares en la ciudad de Cumaná, ( = 0,97 g/cm3 ). R: E = 5,78 Cm. 40) En un elevador hidráulico se aplica una fuerza de 2.000 Newton sobre un pistón circular de radio 4 Cms. Si éste contiene un fluido aceitoso comunicado con un émbolo circular de 10 Cms de radio, calcular la fuerza de elevación en el émbolo. R: F = 12.500 N. 41) Un cuerpo irregular de plástico flota en el agua destilada con 54% de su volumen sumergido y flota en un fluido químico con un 46% de su volumen sumergido. Calcular la densidad del cuerpo y la densidad del fluido. R: C = 540 kg/m3 . F = 1.173,9 Kg/m3 42) Una persona flota en el agua de una piscina = 986 kg/m3 con 2,7% de su volumen por encima de la superficie. Calcule la densidad promedio de esta persona. R: C = 0,96g/cm3 . 43) Del problema anterior, número 42, que porcentaje del cuerpo de esta persona queda fuera del agua salada del mar, = 1,03 g/cm3 , cuando flota en ella. R: 6,85 %. 44) Un balón de plástico de 27 centímetros de diámetro y densidad promedio de 95 kg/m3 , se hunde en agua destilada. Calcular la fuerza necesaria para mantenerlo sumergido. R: F = 91,41 N. 45) Cuánta fuerza se requiere, para separar cada uno de los dos cascos semiesféricos, que juntos forman una esfera de acero de diámetro igual a 12 centímetros, (área lateral 4.Π.r2 ). A la cual se le extrae aire por un dispositivo especial hasta que en su interior queden 0,17 atmósferas. R: F = 7.609,15 N.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 245 46) Un lanchón abierto de hierro, ( = 7,83 g/cm3 ), tiene un espesor de 4,5 Cms y las medidas indicadas en la figura. Calcule la masa máxima de carbón, ( = 1,51 g/cm3 ), que puede llevar sobre el caudaloso río Guayas, ( = 0,983 g/cm3 ). Y diga hay la capacidad para ella. R: Mmáx= 631,4 Ton. Si. 47) Del problema anterior, número 46, rehágalo para una carga de bauxita,( = 2,4 g/cm3 ), y el lanchón navega aguas marítimas, ( = 1,03 g/cm3 ). R: 668,97 Ton. Si. 48) Una caja irregular de 1.300 Kg cae en agua de mar (1,03 g/cm3 ). Si su volumen total es de 4,85 mts3 , calcule que fracción de la caja queda sumergida al flotar, y su densidad promedio si comprimida en un solo bloque ocupa 2 m3 . R: Un 58,46 %. = 650 Kg/m3 . 49) Un chaleco salvavidas de 3 Kg y un volumen de 0,0133 m3 sostiene una persona de 81 Kg en agua de mar con un 90% de él sumergido y el 20% del volumen de la persona por encima de la superficie. Calcule la densidad promedio de la persona. R: = 931,66 Kg/m3 . 50) Un dinamómetro se conecta a una pesa colgante con un volumen de 125 Cms3 , de un acero al carbono especial, ( = 7,98 g/cm3 ), la cual está sumergida en un envase contentivo de agua destilada. Si todo este experimento se realiza dentro de un ascensor que sube a 2 m/s2 . Calcular la lectura en el instrumento. R: L=10,3 Newton. c) Dinámica de fluidos 51) Una tubería horizontal tiene un caudal de agua de 1,4 m3 /min. Calcule la rapidez del líquido, si el radio interno del tubo es de 3 pulgadas. R: V = 1,28 m/s. 52) Rehacer el problema anterior, número 51, si la tubería tiene un diámetro interno por donde circula el agua de 40 mm. R: 18,57 m/s. 53) Una manguera de bombero tiene un diámetro de 7,25 Cms y se reduce en la boca a 2 Cms. Si el agua fluye a 24 Lts/s. Calcular la rapidez del agua en la manguera y en la salida de la boca. R: VM = 5,81 m/s. VS = 76,4 m/s. 54) En una tubería horizontal con una reducción en el diámetro interno de 12 a 5 Cms presenta las presiones manométricas de 90.000 y 55.000 pascales, respectivamente, calcular el caudal de agua destilada que circula por la tubería. R: Q = 4,08 m3 /min. 55) Rehacer el problema anterior, número 54, si el fluido que circula por la tubería horizontal es gasolina 95, ( = 0,7 g/cm3 ). R: 4,88 m3 /min.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 246 56) Un tanque vertical cilíndrico abierto contiene agua destilada. Si una manguera se conecta al tanque a 11 metros por debajo del nivel del agua y el flujo es de 0,2 m3 /s. Calcular la rapidez de salida del líquido y el diámetro de la manguera. R: V = 14,68 m/s. = 13,17 cm. 57) Rehaga el problema anterior, número 56, si el tanque es sellado con presión de 2 Atmosferas, y el fluido es aceite comestible, ( = 0,68 g/cm3 ). R: V = 22,66 m/s. = 10,6 cm. 58) Del problema anterior, número 57, rehágalo para una presión interna en el tanque sellado de 80.000 pascales. R: V = 12,37 m/s. = 14,35 cm. 59) La siguiente figura muestra una bomba en disposición horizontal, si las áreas de las secciones transversales son de 27 y 9 Cms2 , y la fuerza “F” aplicada es de 300 Nw. Calcular la rapidez de un gas de ( = 0,002 g/cm3 ), que sale al aire. R: V2 = 105,06 m/s. 60) Del problema número 59. Calcule la fuerza aplicada para que un fluido de alcohol, ( = 787 Kg/m3 ), salga a la décima parte de la rapidez calculada. R: F = 377,75 N. 61) Si la diferencia en las presiones en los puntos inicial y final en un tubo de Venturi es de 27.000 pascales. Calcule la rapidez en la salida (área de un π Cms2 ), si el área en la entrada del tubo es de 15 Cms2 y el fluido es de densidad 0,705 g/cm3 . R: V = 8,95 m/s. 62) Un tanque abierto a la atmósfera y en vertical, como se indica en la figura del problema, contiene agua potable. Si se le hace un agujero a 4 m del fondo, calcular la distancia “d” donde cae el fluido. R: d = 9,8 m. 63) Del problema anterior, núm ero 62, rehágalo considerando que el tanque es sellado con un vacío interno de 90.000 pascales y que el agujero tiene salida a 20° de inclinación por debajo de la horizontal. R: d = 5,73 m/s. 64) Una tubería de agua potable ( = 0,97 g/cm3 ) con un diámetro interno de 7 Cms, deposita el líquido a unos 3,2 metros de alto con una llave de 3 Cms de diámetro, donde puede llenar un tanque de 1.200 Lts en 20 minutos, con presión atmosférica de salida. Calcular la presión manométrica en la tubería de 7 Cms. R: P = 71.851,88 pascales. 65) Un extintor expulsa un chorro de fluido espumoso contra incendios, de densidad 0,73 g/ cm3 , a una rapidez de 2,7 m/s. A la atmósfera. Calcular la presión manométrica dentro del extintor, si el fluido expulsado está a 27 centímetros de promedio por debajo de la boquilla de salida. R: P = 105.892,43 pascales. 66) Rehacer el problema anterior, número 65, y calcular en atmosferas la presión interna del extintor, si este contiene agua salitrosa de = 1,03 g/cm3 . R: 1,064 Atmosferas.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 247 67) El caudal del río Neverí, en nuestro estado Anzoátegui y en temporada lluviosa( = 0,91 g/cm3 ) se estima en 27 m3 /s. Calcule la potencia que puede generar esta masa de agua si cayera desde una altura de 27 metros. R: p = 6,5 megavatios. 68) Un tanque sellado con agua destilada hasta una altura de 9 metros contiene aire por encima del líquido, a una presión manométrica de 0,62 atmosferas. Si por el fondo hay un orificio, calcular la rapidez de salida del agua. R: V2 = 9,97 m/s. 69) En una gran tubería horizontal en una empresa de la zona circula cerveza, = 0,94 g/ cm3 ,a razón de 86 Lts/s, donde el área transversal es de 0,126 m2 y la presión manométrica es de 57.000 pascales. Calcule el área transversal de la tubería que se reduce, si la presión manométrica disminuye a 27.000 pascales. R: A2 = 0,0107 m2 . 70) Rehacer el problema anterior, número 69, si el fluido es refresco de cola sin gas, = 1,04 g/cm3 y la presión en la salida se reduce a 0,237 atmosferas. R: A2 = 47,94 Cms2 . 71) Un recipiente metálico cilíndrico de diámetro 10 Cm y de altura 27 Cm está lleno de agua destilada. Si en su fondo se le hace un agujero de 1,5 Cm2 . Calcular la rapidez con que baja la superficie del líquido en el recipiente y la rapidez de emisión de fluido por el agujero si el recipiente está abierto a la atmósfera. R: V1 = 0,19 Cm/s. V2 = 10 Cms/s. 72) Si a una lata de Coca-Cola batida, presión interna de 1,1 atmosferas de diámetro 6 Cm y altura 10 cms se la abre un agujero por el fonde de 1 cms2 . Calcular la velocidad inicial de salida del refresco por el fondo. R: V2 = 4,63 m/s. 73) Del tanque abierto con las dimensiones señaladas en la figura del problema. Si el área transversal de la tubería de desagüe tiene un radio de 4,7 Cm. Calcular el tiempo en vaciarse, si se asume un caudal promedio de la mitad del caudal inicial. R: T= 8,35 minutos. 74) Del problema anterior, número 73. Calcule el tiempo de vaciado si el tanque contiene agua, = 0,97 g/cm3 . Y el mismo este sellado con una presión interna sobre el fluido de 1,6 Atms. R: T = 5,81 Min. 75) Una pieza cúbica de anime de lado 9,27 Centímetros y de densidad igual a 26,1 Kg/m3 , se mantiene totalmente sumergida en agua destilada atada a un hilo en el fondo del recipiente contentivo. Calcular la tensión en el hilo y la masa total del anime. R: T = 7,807 N. Mc = 20,79 gramos. 76) Un fluido espeso de densidad 1,6 g/cm3 circula por el dispositivo mostrado en la siguiente figura, a razón de 3,33 Lts/s. Si el fluido es laminar. Calcular la rapidez en los puntos 1 y 2, y la diferencia de presión manométrica entre esos puntos. R: V1 = 0,95 m/s. V2 =1,67 m/s. Δp = - 1.501,11pascales

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 248 77) Usted absorbe una bebida gaseosa de densidad 0,94 g/cm3 contenida en un vaso de diámetro 7 Cm y altura de 12 Cms, a través de un pitillo de sección transversal 0,4 Cms2 desde el fondo del vaso. Si la superficie del fluido baja a razón de 0,5 Cm/s. Calcular la rapidez del fluido en la salida del pitillo si este tiene una altura de 36 Cms. R: V2 = 0,481 m/s. 78) Del problema anterior, número 77. Calcule las presiones manométricas en el borde del pitillo, cuando el fluido en el vaso tiene las alturas de 10 y 5 Cm. R: P(10 Cms) = 99.013,61 P. P(5 Cms) = 98.553 P. 79) Se sostiene una pipeta de vidrio verticalmente, la cual contiene mercurio líquido. Si se tapa la parte superior con el dedo pulgar, de tal forma que una columna de 20 Cms del fluido no caiga por el fondo de la pipeta. Calcular la presión manométrica en el aire contenido por el instrumento, el dedo y sobre la superficie de mercurio. R: P1 = 0,737 Atmósferas. 80) Rehacer El problema anterior, número 79, si él fluido es ahora gasolina de = 700 Kg/m3 . Y la pipeta tiene una altura de 40 Cm. R: P1 = 0,973 Atmósferas. 81) Un delgado cilindro vertical de 23 centímetros de alto contiene un fluido de 0,83 g/cm3 a alta presión interna, si por su fondo sale el líquido a través de un orificio con rapidez de 23,4 m/s. Calcule la presión interna si el fluido baja de nivel en el vaciado a 4 cm/s. R: 3,27 x 105 Pascales. 82) Del ejercicio anterior número 81. Calcule su diámetro en centímetros, si el orificio por donde sale el fluido con esa alta rapidez es un cuadrado de lado 5 milímetros. R: 13,646 cm. PROBLEMAS DE DESAFIO 83) Un tubo de sección transversal uniforme y abierta a la atmósfera en la disposición mostrada en la figura del problema, contiene agua destilada y aceite ligero, = 750 Kg/m3 . Si “Y1 ” es igual a 26 Cms, calcular la distancia “d”. R: d = 22,52 Cms. 84) La presión manométrica a 0,2 metros de profundidad en un fluido es de 22.000 pascales. Si un cuerpo irregular pesa en el aire 36 N, y a esa profundidad experimenta una fuerza de flotación de 49 N. Calcular la densidad del fluido y la densidad del cuerpo. R: = 8,245 g/cm3 . = 11,224 g/cm3 . 85) Un cubo de madera pino de 12 Cms por lado, flota entre agua destilada y alcohol de densidad 0,77 g/cm3 . Como indica la figura. Calcular la presión manométrica en los bordes inferior y superior del cubo y su densidad. R: Ps = 301,84 pascales. PI = 1.387,68 pascales. = 9,23 Kg/m3 .

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 249 86) Si desde el fondo de un tanque lleno hasta los 4,5 metros de agua, se libera una pequeña esfera de 2,2 Cms de radio de plástico maciza, con densidad de 0,56 g/cm3 . Calcular la aceleración con que la esfera sube a la superficie y el tiempo en hacerlo, si se asume una fricción de 0,014 N. R: a = 3,216 m/s2 . t = 1,673 S. 87) Un tanque de almacenamiento de agua en disposición vertical de altura “h”, se le hace un pequeño agujero en uno de sus costados, como se indica en la figura del problema. Calcular la distancia “x” del fondo para que el fluido tenga un alcance máximo. R: x = h/2. 88) De la situación del problema anterior, número 87. Calcule la distancia optima de la altura “x” del agujero, si el tanque es sellado con una presión interna entre este y la superficie del agua de 2 atmosferas. R: x = 5,168 + h/2. 89) La figura muestra un tanque sellado con agua salada de = 1,03 g/cm3 .y con un dispositivo para la salida del fluido, como se indica. Calcule la altura “h” máxima del líquido al salir por la tubería. Considere el A1>>A2 y p1 = 0,8 atm. R: h = 1,75 m. 90) Un resorte de constante de elasticidad de 36 N/m, se dispone verticalmente. Si en el extremo superior se ata un globo de 120 gramos, el cual se llena con helio( = 0,18 Kg/ cm3 ). hasta lograr un volumen de 2,79 m3 , calcular la deformación vertical del resorte para que el sistema quede en equilibrio. R: 91) Usted está en un planeta desconocido y observa en su barómetro una diferencia en la presión atmosférica de 5.000 pascales, en una diferencia de altitud de 100 metros, y el aire, no respirable, del planeta tiene una densidad de 2 Kg/m3 , calcular la masa del planeta, si su radio es de 4,5x106 metros y su densidad. R: m = 7,591 x 1024 Kg. = 19.884,4 Kg/m3 . 92) Un mediano barril fabricado de hierro dulce( = 7.860 Kg/m3 ).Con una masa de 5,33 Kg y una capacidad de 18,9 litros, se llena con petróleo liviano de densidad 720 Kg/m3 , si se suelta en el mar de aguas profundas ( = 1,02 g/cm3 ) ¿Qué fracción del barril queda por encima del agua de mar? R: VB = 1,764% sobre la superficie. 93) Calcular el mínimo radio de una esfera hueca de acero( = 7,91 g/cm3 ). Con espesor de un milímetro, para que la misma flote en agua destilada. Considere el área superficial de una esfera como: 4.π.r. R: r ≥ 2,3 Cms. 94) Calcular el lado mínimo de un cubo hueco de cobre ( = 8,96 g/cm3 ), para que flote en un fluido de Querosene ( = 820 Kg/m3 ). Si su espesor es de 3 mm. R: r ≥ 19,67 Cm.