FÍSICA I Mecánica Clásica para Estudiantes de Educación e Ingenierías

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 150 143) Una bola de acero de 2 kilos se lanza horizontalmente a 5 m/s desde una altura de 3 m. Si rebota de un piso horizontal en donde pierde el 25% de su rapidez y conserva el ángulo de incidencia, en un tiempo de contacto de 0,18 segundos. Calcule la fuerza promedio ejercida por el piso y su dirección. R: F = (13,89i + 149,11j) N. a 84,68° con la horizontal 144) Un jugador de béisbol de 85 kilogramos extiende la mano con su guante cuando atrapa una pelota de masa 180 gramos que viene a velocidad de (15i–24j) m/s. Calcule la velocidad de retroceso del jugador en el instante que atrapa la pelota. R: V = (0,032i – 0,051j) m/s. e) El centro de masa y de áreas 145) Tres cuerpos de masas: m1 = 2 Kg, m2 = 6 Kg. Y m3 = 2 Kg. Están ubicadas en: p1 (3,3) metros, p2 (6,0)metros y p3 (0,-5)metros respectivamente. Hallar el centro de masas y su vector posición. 146) Un auto de 1.350 kilogramos tiene una rapidez de 10 m/s cuando su centro de masa está a 50 m del centro de masa de un camión de 6.000 Kg, que se le acerca a 18 m/s por una vía horizontal. Calcular la magnitud el centro de masas de ambos vehículos con respecto a un semáforo referencial que está a 10 metros por detrás del camión; y el centro de masas al cabo de 3 segundos, después que se cruzan. R: Cmo = 19,184 m. Cmf = 54,08 m. 147) De la situación planteada en el problema N° 144, estime la posición final del centro de masas al cabo de 5segundosde aplicada una fuerza neta sobre el centro de masas de (6i –8j) N; y calcule la cantidad de movimiento del sistema para ese tiempo. 148) En el sistema de masas mostrado en la figura de al lado, las masas son: m1 =700 gramos, m2 = 500 gramos y m3 = 1.200 gramos, respectivamente; y si el sistema parte del reposo; hallar la posición final del centro de masas al cabo de 7 segundos de aplicadas las fuerzas indicadas y el vector desplazamiento del centro de masas. R: r = (60,41i – 77,97j) m. d = (59,79i – 77,55j) m. 149) Considere al planeta Tierra como una esfera perfecta de masa 5,97 x 1024 Kg. y radio 6,38x106 metros, su planeta binario la Luna, otra esfera de radio 1,74x106 metros de masa 7,35x1022 Kg. Si la distancia entre las superficies de ambos cuerpos es de 3,84x108 metros. Calcule el centro de masas del sistema con respecto al centro y a la superficie de nuestro planeta. R: Cm = 4.768,9 Km, del centro y a 1.611,1 Km, de la superficie.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 151 150) Del sistema de 4 masas mostrado en la figura del problema, calcule el vector desplazamiento y el vector momento lineal a los 6 segundos de estar actuando las aceleraciones indicadas, si todo el sistema parte desde reposo. 151) Una mujer de 60 kilogramos está parada en un extremo de una tabla de Surf de 3,2 metros de largo en el origen coordenado y de 25 Kg. Si ella camina de un extremo al otro, y la fricción cinética entre la tabla y el agua es despreciable. Hallar el movimiento de la tabla de surf, de tal forma que se conserve la posición del centro de masas. R: Se mueve 2,54 m. 152) Una masa de 4 kilos está en la posición (2,3)metros con una rapidez inicial de 2 m/s a 40° al norte del este; otra masa de 7 kilos está en la posición (-5,2) metros con una rapidez inicial de 6 m/s al sur. Si ambas están afectadas por una fuerza neta de 8 N en dirección 300°. Calcular la posición final del centro de masa al cabo de 6 segundos y la cantidad de movimiento del sistema a los 4 segundos. 153) Dos masas de 5 kilogramos cada una, están en las posiciones (3, 0, -4) Cms y (-5,6,2) Cms, cuando se les aplica una fuerza neta sobre el centro de masas de: (3i + 8j + k) N. Hallar la posición final del centro de masas en un tiempo de 9 segundos y la rapidez final para ese tiempo. R: = ( 11,15i + 35,4j + 3,05k ) m. Vf = ( 2,7 i + 7,2j + 0,9k) m/s. 154) Encuentre el centro de masa de la siguiente pieza metálica uniforme, ver figura. De espesor 3 Cms y densidad 8 g/cm3 . R: Cm = (3,308; 2,77) Cms. 155) Del problema número 149, considere que el sistema de cuatro masas tiene una velocidad inicial de (0,4i – 0,5j) m/s y rehágalo. 156) La siguiente pieza de madera es uniforme y tiene una masa total de 7,8 Kg, conformada por un triángulo rectángulo y dos rectángulos, ver la figura del problema. Encuentre el centro de masa de la pieza de madera. R: Cm = (6,97;- 0,51) Cms. 157) Una cadena uniforme de 14 kilos y longitud 20metros, es suspendida verticalmente de tal forma que su extremo inferior toca un piso referencial, si se suelta desde el reposo; calcule la posición del centro de masas al cabo de 1segundoy el vector momento lineal para ese tiempo. 158) Una masa de 4 kilos de dimensiones despreciables se coloca en la parte superior de un bloque de 10 kilos, como indica la figura. Si la masa parte del reposo y no hay fricciones en ninguna de las superficies. Calcular qué distancia ha movido el bloque inclinado hacia la derecha cuando la masa ha bajado. Si se conserva el centro de masas R: d = 2,39 m.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 152 159) Calcule el centro de áreas de la siguiente combinación de figuras geométricas: Dos triángulos, el izquierdo de altura 7 pies y base 2 pies, el que está encima del rectángulo de base 8 pies y altura 3 pies. R: C.A = (5,05, 2,75) Pies. 160) Un rectángulo de 20 metros de alto por 14 de ancho está ubicado en el segundo cuadrante, como indica la figura; si tiene un círculo de agujero de radio 4 metros, ubicado en el punto: (- 6, 12) metros. Calcule el área total y su Centro de área. R: 229,73 M2 . C.A = (- 9,56; 7,22) metros f) Gravitación y órbitas 161) Dos esferas de plomo de 47 y 47,3 Kg. Respectivamente están en un piso horizontal una junto a la otra. Si cada esfera tiene un diámetro de 35 Cms; calcular la fuerza de atracción que existe entre ellas, si la constante de gravitación universal es de 6,67 x 10-11 m3 /Kg.S2 . R: FG = 1,21 x10-6 N. 162) Un vehículo espacial de peso terrestre igual a 45.080 N. Se encuentra a una distancia de 50 km de la superficie lunar (Masa 7,35x1022kilos). Si el radio de nuestro satélite es de 1,74x106 metros; calcular el peso del vehículo en ese punto, y la aceleración de atracción que lo mantiene en órbita lunar. R: 163) ¿Qué distancia hay del planeta Mercurio al Sol, si el mismo tiene un período orbital de 87,963 días terrestres? si su órbita es circular y la constante solar como 2,97 x 10-19 S2 /M3 . R: d = 5,8 x 1010 m. 164) La luna “Io” del planeta Júpiter realiza una órbita en 1,77 días terrestres en un radio orbital de 4,2x108 metros. Calcular la masa de Júpiter y compárela con la masa terrestre de 5,98x1024 Kg. R: MJ = 1.875 x 1024 Kg. (Equivale 313,55 veces la masa terrestre) 165) Se ha podido estimar que nuestro planeta en su órbita tiene su menor rapidez en un día del mes de enero a 29,539 km/s, y su mayor rapidez en un día del mes de Julio a 30,072 km/s. A partir de esta información, calcule la mayor y menor distancia entre el Sol y la Tierra, la distancia entre los focos de la elipse terrestre (use la masa Solar como 1,99x1030 Kg), y calcule nuestra excentricidad. Asume el año terrestre en 365,25 días. R: Distancia mayor: 1,510 x108 Km. Distancia menor: 1,484 x108 Km. Distancia entre los focos = 2,6 x106 Km. Excentricidad = 247 Metros. 166) Un satélite de 250 kilogramos orbita la tierra a una distancia total del centro del planeta de 107 metros. Hallar la velocidad orbital del satélite que lo mantiene a esa distancia, si la masa terrestre es de 5,97 x 1024 kilogramos y la constante gravitacional es de 6,67 x 10-11 m3 /kg.s2 . R: V = 6,31 Km/s.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 153 PROBLEMAS DE DESAFIO 167) Si una masa de 24 kilos está sobre una superficie inclinada de coeficiente de fricción estático de 0,32 y sobre ella actúa una fuerza horizontal de 100 N. Como indica la figura. Hallar el rango de valores del ángulo “ ”, de tal forma que la masa permanezca en reposo. R: 5,29° < < 40,78° 168) Una masa de 1,5 kilogramos está sobre un plano inclinado en 20° con respecto a la vertical, como se indica. Hallar el rango de valores de la fuerza “F” vertical, para que la masa no deslice en ninguna dirección, si µc = 0,48 y µe = 0,60. R: F ≈ 14,7 N. 169) Un móvil de masa “M” como el indicado en la figura viene a la izquierda a rapidez de 6,5 m/s. Cuando frena y se detiene en un tiempo de 3,2 segundos. Si la masa atada es de 2 Kg, y tiene un µe = 0,37. Hallar la tensión del hilo y la normal sobre la masa en la frenada. R: N = 13,83 N; T = 9,35 N. 170) Un hombre usa una paleta de madera para frisar una pared, la cual pesa 9 N. Si él sube y baja la paleta a rapidez constante, como indica el esquema del problema. Hallar la fuerza necesaria para ambos movimientos, si µc = 0,60, en el momento de la inclinación a 50°. R: 49,14 N (sube) y 8,16 N (baja). 171) Del sistema mostrado a continuación, figura del problema, encuentre el rango de valores de la fuerza “F”, que actúa a 75° con la vertical, para que el sistema permanezca en reposo, si µe = 0,47. R: Fmin = 150,32 N. Fmáx = 243,67 N. 172) Una masa de 7 kilogramos colgante está unida a otra masa de 5 kilogramos por medio de una polea, como se indica en la figura. Si el coeficiente de fricción cinético entre los 5 kilos y la superficie es de 0,2. Calcular el ángulo de la inclinación y la tensión del cable para que el sistema esté acelerado a: 2 m/s2 , a la derecha. R: T = 54,60 N. = 51,88°. 173) Resuelva el sistema mostrado en la figura del problema, una doble máquina de Atwood, expresando las ecuaciones derivadas con sus respectivas incógnitas, demuestre que el sistema tiene solución y encuentre las aceleraciones y las tensiones, si parte desde el reposo.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 154 174) Un acelerómetro se construye suspendiendo una masa de una cuerda, unida a la estructura de un automóvil; cuando éste acelera, la masa alcanza un ángulo máximo con la vertical (primera oscilación de un péndulo simple). Obtenga la expresión de la aceleración en función del ángulo máximo. R: a = 175) Calcule la tensión en la cuerda y las aceleraciones de las masas de 5 Kg. Y de 8 Kg. Del sistema dado en la siguiente figura del problema, si el coeficiente de fricción cinético es de 0,34. R: a1 = 3,22 m/s2 . a2 = 1,61 m/s2 . T = 32,76 N. 176) Dado el sistema de masas, ver la figura del problema. ¿Qué valor mínimo debe tener la fuerza “F”? a) Para que el mismo empiece a subir a rapidez constante. b) La tensión en la cuerda sea igual a cero; si los coeficientes de fricción cinéticos son 0,48 y 0,41. R: Fmin = 51,98 N. F(T =0) = - 29 N. 177) Un cuerpo de 2,8 Kg. Es acelerado horizontalmente por medio de una masa colgante de 2 kilos, como se muestra en la figura. Si la polea está a 150 Cms por encima del cuerpo y hay fricción. Calcule en qué distancia “x” la aceleración del cuerpo de 2,8 kilos se anula. R: X = 21,07 Cms. 178) Un cajón de peso es subido por una inclinación de con la horizontal y fricción. Por una fuerza “F” que actúa con un ángulo por debajo de la horizontal. Hallar la expresión de F mínima. R: F = 179) Un auto que viene a 10 m/s se detiene sin deslizarse en un semáforo; un camión que está por detrás del auto y viene a 18 m/s frena sin deslizarse, en un retardo de 0,25 segundos después que lo hace el auto. Si el coeficiente estático por rodamiento: µr = 0,5 entre los cauchos y el pavimento ¿Cuál es la distancia mínima inicial entre el camión y el auto, para que ambos se detengan sin chocar en el semáforo al mismo tiempo? R: d = 14,17 m. 180) Un bloque de 2 kilos está sobre el extremo derecho de otro bloque de 5 kilos a2 metros del borde izquierdo, como indica la figura. Si los coeficientes de fricción cinética en las superficies en contacto son los indicados, y la fuerza “F” es de 18 N. Hallar la distancia con que se mueve el bloque mayor cuando el bloque menor recorre toda la distancia de 2m Si ambos parten desde el reposo. R: d = 1,92 m. 181) ¿Qué fuerza horizontal debe aplicarse al sistema carrocuña mostrado en la figura, para que los bloques m1 = 4 Kg y m2 = 5 Kg permanezcan en reposo, ¿con respecto al carro de masa total de 20 Kg? ¿Qué rueda con fricción despreciable? Si los coeficientes de fricción entre ambas masas y el carro–cuña son de 0,14 y 0,11, respectivamente. R: F = 27,70 N.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 155 182) Se quiere subir con aceleración “a” una cocina de masa “M” por una superficie inclinada en ° y con un µc≠ 0, mediante una fuerza “F” horizontal. Hallar la fuerza en función de las constantes: m, y µc. 183) Dos masas de 2 y 8 kilogramos están en reposo en un piso horizontal, conectadas como se indica en la figura, del problema, por medio de una polea de masa despreciable y sin fricción. Si el sistema se sube por medio de una fuerza “F” vertical de 12 N. Hallar la aceleración real en cada una de las masas y la aceleración vertical en polea. 184) Una mujer intenta mover por un piso horizontal un televisor de 2,5 kilogramos por medio de una cuerda atada al mismo, la cual está inclinada en con la horizontal. Si el coeficiente de fricción estático entre el televisor y la superficie horizontal es de 0,28. Hallar el ángulo óptimo que minimice la tensión y su valor para que el televisor inicie el movimiento. 185) Una viga uniforme está apoyada en una pared y en su extremo tiene un alambre atado para sostener una masa de 22 Kg. Como indica el dibujo. Si la viga es ligera calcular la fuerza que está acciona contra la pared y la fuerza normal que la pared ejerce a la viga. 186) Del problema número 174, considere que el automóvil, arranca con una aceleración de 3,32 m/s2 y que la masa suspendida del acelerómetro es de 200 gramos. Calcule la tensión de la cuerda en ese instante. R: T = 2,07 N. 187) Un auto (M = 1.350 kilogramos) toma una curva de 60 metros de diámetro y peraltada en 10°. Si la fricción lateral entre los cauchos y el pavimento tiene un µE= 0,7. Hallar la rapidez máxima del auto y la acción de la vía sobre el auto. R: V = 17,144 m/s. (61,72 Km/h). N = 15.325,73 N. 188) Del problema anterior, número 187, calcule la inclinación mínima en el peralte, si la rapidez del auto es de 70 km/h. R: =17,14° 189) Un cuerpo atado a una cuerda ligera de 65 Cms de largo, gira en un círculo vertical, si la tensión máxima de ruptura de la cuerda es de 6 veces el peso del cuerpo. Hallar la velocidad angular máxima que puede soportar la cuerda. R: w = 8,68 rad/s. 190) Un bloque de masa 2 Kg es subido por medio de una fuerza de 20 N. Que actúa paralela a la inclinación de ° con la horizontal. Hallar el ángulo que permita que la masa adquiera una rapidez de 3 m/s en una distancia recorrida de 1m. Si la superficie tiene coeficientes de fricción de 0,45 y 0,37 respectivamente. R: ° = 11,46 ° 191) Una rueda de la fortuna de 25 metros de diámetro gira a 6 R.P.M en sentido antihorario, ¿Cuál es la fuerza que ejerce un pasajero de 65 kilogramos sobre el asiento en el punto más alto de la trayectoria, y en un punto ubicado a 72° con la horizontal positiva? Si este permanece en vertical. R: F p = 316,24 N. Fp(72°) = 299,73 N. (Opuestas a la normal).

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 156 192) El héroe hombre araña de 73 kilos, realiza un balanceo con su cuerda de tela de araña de 34 metros de largo, si lleva una velocidad de 9 m/s cuando está a 28° del punto de equilibrio de su balanceo que a la vez está inclinado a 24° con la vertical terrestre. Encuentre la tensión de la cuerda en este punto. R: T = 750,96 N. 193) Del problema N° 99. Calcule el ángulo con la vertical si la masa de 0,88 kilos atada al poste, gira a 3,5 m/s. R: = 45,75°. 194) Del problema número 104. Calcule las tensiones en las cuerdas, cuando la masa de 1,5 kilos se encuentra a 45° de la vertical, antes de llegar a su punto más alto, y con rapidez de 5,5 m/s. R: T1 = 6,28 N. T2 = 15,55 N. 195) Del problema número 110, considere que el aro gira a 60 RPM sobre su diámetro vertical, y calcule el ángulo con la vertical negativa de un punto D, en el tercer cuadrante, de tal forma que la masa de la cuenta no se mueva con respecto al aro. 196) Un joven de 60 kilos salta desde una caja de 22 kilogramos, a rapidez de 5 m/s, y elevación 40°. Si la caja está sobre una superficie horizontal de coeficiente de fricción cinético de 0,82. Calcular: la velocidad de la caja después del salto, la rapidez de retroceso de la caja y la distancia que se mueve hasta detenerse. R: V = (-10,45i – 8,75j). 10,45 m/s. d = 6,79 m. 197) Del sistema de masas mostrado a continuación, considere que al cabo de 6,5 segundos la posición final del centro de masas es de (10,15) metros. Calcule la aceleración neta sobre el centro de masas que permite este desplazamiento. 198) Si la masa terrestre es de 5,98 x 1024 Kg, la masa lunar es de 7,36x1022 Kg y la distancia entre sus centros de masas es de 3,84 x 108 metros. Calcule en qué punto entre la tierra y la luna, la gravedad se hace cero desde el centro terrestre. R: A 3,46 x 108 Metros del centro de la tierra. 199) F1 y F2 de igual magnitud se aplican sobre un cuerpo. Hallar el ángulo entre ellas para que la resultante sea: a) 0 N. b) 1,5(F1 ). c) 2(F1 ) y d) 1,414(F1 ). R: a) 180º. b) 7,18º. c) 0º. d) 90º. 200) Del problema número 81. Calcule la tensión en el hilo y la inclinación para que las masas de 3 y 5 kilogramos bajen a rapidez contante. R: = 10,343°. T = 1,808 N. 201) Del problema número 75, considere que la camioneta realiza el frenado por una leve subida de 12° y rehágalo. R: d = 26,74 Metros.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 157 202) Del problema número 76, encuentre el valor de la fuerza “F” aplicada sobre la masa de 6 kilogramos y la tensión en la cuerda que conecta con la masa de 4 Kg, si el sistema se mueve a razón de 2,2 m/s2 . R: F = 41,43 N. T = 36,95 N. 203) La publicidad es una marca de cauchos especiales para altas velocidades dice que un auto puede alcanzar desde el reposo las 90 Millas por horas en un tiempo de 4 segundos, por una inclinación de 10°. Calcule el coeficiente de roce estático entre estas llantas y el pavimento que permiten esto. R: µe = 0,866. 204) Del problema número 99. Calcule el ángulo con la vertical, la rapidez de giro y la tensión en la cuerda, si la masa de 0,88 kilos gira a 26 R.P.M. R: = 38,96°. V = 2,91 m/s. T = 11,09 N. 205) Considere un semicírculo ubicado en el origen coordenado de 40 metros de radio en la vertical positiva, si tiene una “puerta” o vació de 20 metros de ancho por 16 de alto en el segundo cuadrante exacto. Calcule su Centro de Área. R: C.A = (1,459; 18,286) metros.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 158 CAPÍTULO VI: TRABAJO, ENERGÍA Y COLISIONES Prerrequisitos del tema: producto escalar de vectores, cinemática y dinámica. Motivación: ¿Qué es trabajo bajo la óptica de la Física, se diferencia de cualquier trabajo? ¿Fuerza variable implica aceleración variable? ¿Puede aplicarse la cinemática con aceleración variable? ¿Qué es energía y cómo se transforma? ¿Qué ocurre en una colisión de dos cuerpos? Desarrollo del tema: Cuando la fuerza que se ejerce sobre un cuerpo no es constante, es variable en el tiempo o en la distancia, entonces se sabe que con los métodos dinámicos y cinemáticos no se puede estimar su rapidez en el tiempo por el hecho de que la aceleración no es constante; cuando la trayectoria que sigue un cuerpo no es una línea recta, la fricción cinética será una fuerza variable. Entonces la mecánica desarrolla los conceptos de trabajo y energía, y los aplica en este tipo de situaciones para poder obtener soluciones satisfactorias. En este tema se estudiará la aplicación de los conceptos de trabajo y energía a la dinámica clásica sin usar las leyes de Newton, con un enfoque más sencillo y poderoso en la solución de problemas, una vez se dibujan las fuerzas actuantes en el D.C.L, conocer el concepto de trabajo bajo el esquema de la física, su relación con el principio de la conservación de la energía y las aplicaciones de estos conceptos en la resolución de problemas de cinemática y dinámica, es una herramienta valiosa en la ingeniería en general y para el desarrollo de nuevos conceptos relativos o aplicaciones, como la apertura el mundo de las colisiones. Tema 1) Trabajo Físico por fuerzas 1.1) Trabajo de una fuerza constante: Es el producto entre la magnitud de una fuerza que actúa sobre un cuerpo por el módulo del desplazamiento de éste, cuando la fuerza constante o una parte de ella actúe en la dirección del movimiento; significando que puede ser la magnitud del desplazamiento por la proyección escalar de la fuerza sobre el desplazamiento; o en su definición física: El trabajo físico es el producto punto o producto escalar entre los vectores fuerza y desplazamiento. Ecu. 6.1 Donde “ ” es el ángulo entre los vectores desplazamiento y fuerza. El trabajo en el sistema internacional tiene por magnitud el Newton-metro (Kg.m2 /s2 ) Llamado Joule. Y en el sistema inglés la Libra-pie (Slug.pie2 /s2 ). Ejemplo 6.1: Una masa de 4 Kg está sobre una superficie horizontal de μC = 0,24. Se le aplica una fuerza de 20 Newton inclinada en 20°. Calcule el trabajo neto sobre la masa cuando se ha movido 6 metros.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 159 Respuesta: En el análisis del eje vertical Fy = 0 → N + 20.Sen20° = 39,2. N = 32,35 N. La fricción cinética es fc = 7,76 N. Al aplicarle al cuerpo una fuerza de 20.Cos20°. Fx = 18,79 – 7,76 = 11,03 N. Entonces, el trabajo neto al moverse 6 metros es de: 66,20 Joules. Ejemplo 6.2: Considere una fuerza de: N. Aplicada a un cuerpo de masa “M” la cual tiene un desplazamiento total de: = (5i + 6k) metros. Calcular el trabajo que realiza la fuerza sobre la masa, y a que ángulo actúa esta. Respuesta: Como el trabajo es el producto punto entre los vectores: Joules. Luego el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento es: = Cos-1( 85 / (11,57).(7,81)) = 19,92°. Consideraciones sobre la definición del trabajo físico a) El trabajo que realiza una fuerza puede ser: a) Positivo si la proyección de la fuerza está en el sentido del desplazamiento. b) Cero si la fuerza aplicada es perpendicular al desplazamiento y c) Negativo si la proyección de la fuerza está en sentido opuesto al desplazamiento. b) Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, entonces existe el concepto de trabajo total, neto o resultante, como la suma algebraica de los trabajos producidos por las fuerzas actuantes, (WR). c) La normal nunca realiza trabajo porque es perpendicular a la superficie. d) La fuerza de fricción cinética realiza siempre trabajo negativo porque se opone al movimiento. e) Si la fuerza está en la dirección del desplazamiento entonces el trabajo es igual al área contenida entre la línea de la fuerza y el eje horizontal, área del rectángulo, de donde se deduce la ecuación 6.1 para un ángulo de cero grados W = . f) El peso de un cuerpo sólo realiza trabajo cuando existe desplazamiento vertical. Será positivo cuando el cuerpo “baje” y negativo cuando el cuerpo “suba”, este trabajo se escribe como: “Wg”. 1.2) Trabajo debido a una fuerza variable: El concepto de trabajo desarrollado hasta ahora es para una fuerza constante durante el recorrido realizado por el cuerpo, pero en la práctica podemos encontrar fuerzas variables en el tiempo de aplicación o en la distancia desplazada, y más aún, esta variación puede ser lineal o exponencial como la fricción del viento que varía por la rapidez o variaciones de la fuerza por las temperaturas. A nivel de física I se hará el estudio de trabajo bajo la acción de una fuerza linealmente variable con respecto a la distancia. Como la variación de la fuerza es rectilínea, con respecto a la distancia desplazada y bajo la consideración “e”, el trabajo físico generado aquí, resulta como el área de un triángulo rectángulo, esto es la ecuación siguiente: Ecu. 6.2 .

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 160 Si bien surge la preguntan ¿Cuándo ocurre que una fuerza varía en proporción al desplazamiento de su accionar? Puede ocurrir en diferentes situaciones y circunstancias, aunque la más común y estudiada en la ingeniería es en el tema de la deformación de un cuerpo por medio de una fuerza deformante y según la ley del científico inglés Robert Hooke, se manifiesta como: “La deformación de un cuerpo es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza que lo deforma”. Ecuación: Ecu. 6.3 F = K.∆x. Donde la letra “K” representa a la llamada “Constante de Elasticidad” del cuerpo, de magnitud N/m y es una característica individual del cuerpo relacionada con la forma, tamaño y constitución de este. “∆x”: Es la distancia que se deforma el cuerpo, en cualquier dirección. Calculada en longitud por medio de la relación: Ecu. 6.4 ∆x = Con Lf como longitud final y Lo como longitud inicial o natural del cuerpo (sin deformación). El valor absoluto significa que toda deformación se asume como un escalar siempre positivo; es decir, sea por alargamiento o encogimiento, es un valor positivo en unidades de longitud. Todo cuerpo de la naturaleza es deformado en mayor o menor grado y cuando esta deformación ocurre dentro del llamado “Rango de Elasticidad” entonces, el cuerpo regresa a su longitud natural (Lo) cuando cese la fuerza deformante. En tal sentido, el trabajo realizado por una fuerza que deforme un cuerpo en la misma dirección, en una distancia Δx es, combinando las ecuaciones 6.2 y 6.3: Ecu. 6.5 Wf = K.∆x2 / 2. Se puede escribir “WK ” como el trabajo realizado por todo cuerpo deformable, sobre otro cuerpo en contacto, que al moverse lo deforme. Por la tercera ley de Newton, el trabajo que realiza un cuerpo al oponerse a su deformación será un valor escalar negativo de la ecuación 6.5. Y cuando el cuerpo deformado se recupera, (regresa a su longitud natural), el trabajo que este realiza sobre el sistema al que pertenece es positivo. Ejemplo 6.3: Una masa de 6 Kg está atada a un resorte sin deformar, de constante de elasticidad de 25 Kg/s2 . Sobre una inclinación de coeficiente de fricción cinético de 0,1 como indica la figura del ejemplo. Si la misma parte desde el reposo. Calcular el trabajo neto que actúa cuando la masa de ha desplazado 1,5 metros por la inclinación. Respuesta: El trabajo resultante o neto sobre la masa de 6 kilos, es: : WR = Wg + Wfc + WK. Bajo el principio que solo hacen trabajo físico las fuerzas direccionadas al desplazamiento. Luego Wg. Trabajo que realiza el peso, es: 6.g.(1,5.Sen30º). Llevando el desplazamiento por la inclinación a la vertical. Wg = 44,1 Joules. (Positivo, porque el cuerpo baja o está en el sentido del movimiento). Wfc. Trabajo que realiza la fricción, es: 6.g.(1,5.µc.Cos30º). Wfc = -7,638 Joules. (Siempre negativo por ser opuesto al movimiento).

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 161 WK. Trabajo que realiza el resorte: 1/2.(25).(1,5)2 . Wk = - 28,125 Joules. (Negativo por estar en sentido opuesto al movimiento y porque el resorte se está deformado). Entonces el trabajo resultante, cuando la masa de 6 kilos se mueve 1,5 metros es: WR = 8,337 Joules. 1.3) Teorema Fundamental de la Mecánica, (T.F.M): Es una interesante relación, clímax de la mecánica clásica, que permite conocer rapideces y posiciones puntuales en el movimiento de un sistema de cuerpos, aún en presencia de fuerzas variables y por ende de aceleraciones no constantes. Su deducción parte de las ecuaciones cinemáticas y dinámicas vistas; a continuación, su desarrollo Si sobre un cuerpo existe una fuerza neta diferente de cero, entonces el cuerpo adquiere una aceleración en la dirección y el sentido de esta fuerza la cual producirá un cambio en la rapidez del cuerpo en la distancia desplazada; este cambio del cuadrado de la velocidad es definido como: (Ecuación cinemática desarrollada en el texto como la 3.7). Entonces Multiplicando ambos lados por la masa total sistema: El trabajo neto o resultante en la distancia “d” es: Ecu. 6.6 Al definir la energía cinética de un cuerpo, (siguiente temática), como una magnitud escalar igual a un medio de la masa por la rapidez instantánea del cuerpo, Entonces el Teorema Fundamental de la mecánica, se puede expresar como: El trabajo neto es igual al cambio en la energía cinética de un cuerpo cuando se desplaza una distancia “d” desde un punto inicial a un punto final. Este teorema tiene las siguientes consideraciones a) Si el cuerpo o sistema de cuerpos se mueve a rapidez constante, entonces el cambio en la energía cinética es igual a cero, por lo que, el trabajo neto debe ser igual a cero y el cuerpo está en inercia, b) Si el cuerpo o sistema de cuerpos parte desde el reposo y su velocidad final se anula, el trabajo neto resultante en esa distancia es cero, y el sistema llegó a su punto máximo, y c) Si el trabajo neto es positivo la rapidez se incrementa y si es negativo la rapidez del cuerpo disminuye. Ejemplo 6.4: Del ejemplo 6.3. Calcule la rapidez de la masa cuando se mueve los 1,5 metros, cuando se mueve un metro y que distancia máxima se mueve o baja por la inclinación Respuesta: a) con el trabajo neto calculado en el ejemplo 6.3 a 1,5 metros, usando el T.F.M, y como se parte desde el reposo, se tiene 8,337 = (½).6.(Vf2 – 0). Esto es: 8,337 = 3.Vf2 . Luego su rapidez allí es de: Vf = 1,667 m/s. b) Para la distancia de un metro se rehace todo el trabajo resultante a esa distancia, cuyo resultado es: WR = 29,4 – 5,092 – 12,5 = 11,808 Joules. Luego la rapidez se calcula con: 11,81 = 3.Vf2 . resultando un valor de rapidez allí de: Vf = 1,984 m/s. Lógicamente mayor que a la distancia de 1,5 metros.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 162 c) El trabajo resultante a la distancia máxima desconocida es: WR = 29,4.dmax – 5,09.dmax – 12,5.dmax2 . En el punto máximo la velocidad final es cero, entonces el trabajo resultante se anula porque el sistema parte desde el reposo; es decir, este es igual a cero, entonces: 29,4.dmax – 5,09.dmax – 12,5.dmax2 = 0. (T.F.M). De donde se obtiene la distancia máxima como: dmax = 1,945 metros. Tema 2) Energías relacionadas a un cuerpo El concepto de trabajo se expresa en una cantidad escalar de “Joules” o de Libra-Pie, cuando un cuerpo se mueve a una distancia “d” diferente de cero; es decir, existe un trabajo resultante o neto sobre toda partícula que se mueve. Ahora si consideramos esta magnitud escalar de manera puntual o instantánea en cualquier cuerpo o sistema de cuerpos, y su variación de un punto coordenado a otro está en relación con el trabajo neto realizado sobre el sistema de masa “M”; entonces nos referimos al concepto de energía relacionado como: “La energía es la capacidad intrínseca que posee un cuerpo o sistema en un punto coordenado determinado, para realizar un trabajo”. La energía se convierte de una “forma a otra” y/o se transmite, sin destruirse cuando el sistema es o se considera aislado. Bajo esta concepción, existen cuatro tipologías de energía relacionadas con la posición y movimiento de un cuerpo dado, a este nivel de la Física y sin considerar su estructura interna. 2.1) Energía cinética (EC): Es la energía asociada a la rapidez de una partícula de masa “M”, en un instante dado, ya mencionada en el T.F.M; su valor es de un medio de la masa por la rapidez al cuadrado. Ecu. 6.7 EC = ½.(M).V2 . Es decir, si un cuerpo está en el reposo su energía cinética es igual a cero y si está en caída libre su energía es creciente de forma potencial. Una pesada bala de 15 gramos disparada a 700 m/s, tendrá una energía cinética asociada en ese instante de: Ec = (1/2).(0,015).(1200)2 . Esto es: Ec = 3.675 Joules. 2.2) Energía potencial gravitatoria (Ep): Es la energía que asocia el peso de un cuerpo con su posición vertical respecto a un eje coordenado preestablecido; su valor es el peso de cada cuerpo por la distancia vertical asignada. Ec u. 6.8 EP = M.g.h. Si un cuerpo de masa 2 Kg está en el punto coordenado (2, 3) metros, su energía potencial para ese instante será: Ep = 2.g.3 = 58,8 Joules. Ahora, si su posición es el punto coordenado (3, - 4); su energía potencial gravitacional es: Ep = M.g.h = 2.g.(-4) = -78,4 Joules. La energía potencial gravitacional es dependiente del eje coordenado preestablecido en la resolución de los problemas y todo cuerpo la incrementa al elevarse, por lo que su correcta ubicación puede facilitar la obtención de la respuesta. La ecuación de la energía potencial gravitatoria como: Ep = M.g.h se considera y acepta constante para cuerpos “relativamente cercanos a la superficie terrestre”, recuerde el hecho que por la ley de gravitación universal el valor de la gravedad disminuye al aumentar la distancia del cuerpo con la superficie terrestre.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 163 2.3) Energía potencial elástica (EK): Es la energía asociada con la deformación que experimenta un cuerpo con esta capacidad apreciable, siempre que esta deformación está dentro de su rango elástico; es decir, esta energía se almacena en la deformación que experimenta un cuerpo, y se recupera cuando el cuerpo regresa a su longitud natural. Ecu. 6.9 EK = ½.(K)(∆x)2 . Donde, K es la constante de elasticidad del cuerpo, y ∆x es la deformación que experimenta el mismo, medido en longitud. 2.4) Energía mecánica (Em): Se denomina Energía Mecánica, a la suma algebraica de todas las energías asociadas a un cuerpo o sistema de cuerpos en un punto o instante dado, a nivel de Física I serán las energías: Cinética, Potencial gravitacional y Potencial elástica; es decir, la energía mecánica es según la siguiente ecuación. Ecu. 6.10 Em1 = EC1 + EP1 + EK1. Ejemplo 6.5: Desde una altura de 30 metros se deja caer una piedra de 300 gramos. Calcular la energía mecánica de la piedra cuando ha caído 1,3 segundos Respuesta: La piedra se suelta desde el reposo y al transcurrir 1,3 segundos está a una distancia vertical del piso de: En este punto la rapidez de la piedra es de: La energía mecánica en ese instante es: Tema 3) Trabajo conservativo y no conservativo En el marco de las fuerzas vistas hasta ahora a nivel de la Física I, se puede por su accionar definirlas como conservativas y no conservativas en relación directa con la energía asociada al cuerpo o sistema de cuerpos, en donde actúan. 3.1) Fuerzas conservativas: Una fuerza es conservativa si el trabajo que genera sobre una partícula que se desplaza entre dos puntos cualesquiera es no dependiente de la trayectoria descrita por la partícula. Es decir, el trabajo que realiza una fuerza conservativa depende sólo de los puntos inicial y final de la posición del cuerpo y el trabajo total es igual a cero cuando la trayectoria es cerrada entre estos puntos. En resumen, si sobre un cuerpo actúan fuerzas conservativas entonces el trabajo neto es igual a cero cuando el cuerpo regresa al punto de partida. La energía cinética del cuerpo o sistema es igual cuando el mismo realiza una trayectoria cerrada. La fuerza gravitacional y la fuerza restauradora asociada a un resorte son fuerzas conservativas debido a que ambas pueden “almacenar” energía potenciada en energía cinética. Imaginemos la situación de un péndulo simple, sin fricciones, donde una masa “M” se suelta desde el reposo, desde una altura “h”, medida desde su punto más bajo o su posición de equilibrio, a continuación:

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 164 Cuando la masa llegue hasta un punto A, de altura igual “h”, su rapidez es cero y la trayectoria es cerrada en referencia a la dirección vertical de la fuerza gravitacional; cuando la masa pasa por el punto de equilibrio toda su energía potencial gravitacional se ha transformado en energía cinética, (mayor rapidez). Es decir, el peso de la masa realiza un trabajo positivo cuando esta baja hasta su posición de equilibrio y un trabajo exacto negativo cuando la masa sube hasta anular su rapidez en cada punto extremo o máximo. El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a los cambios de las energías potenciales gravitacional y elástica: WFC = -ΔEp -ΔEk. Ecu. 6.11. 3.2) Fuerzas no conservativas: Si un cuerpo realiza una trayectoria cerrada en referencia a la dirección de las fuerzas que originan trabajo sobre él y se produce un cambio en su energía mecánica, entonces al menos una de las fuerzas actuantes no es conservativa y es dependiente de la trayectoria que siga el cuerpo; es decir, toda fuerza que produzca un cambio en la energía mecánica de un cuerpo desde un punto a otro es una fuerza no conservativa. La fuerza de fricción cinética es una fuerza no conservativa y disipadora de energía mecánica debido que al ser opuesta al desplazamiento del cuerpo su trabajo siempre será negativo, donde adicionalmente este trabajo será dependiente de la trayectoria seguida por el cuerpo. Cualquier fuerza “F” dada y aplicada no almacena energía en el cuerpo o sistema, al igual que la tensión de la cuerda. Estas fuerzas no conservan la energía mecánica, y se denominan no conservativas. Ejemplo 6.6: Suponga una masa “M” que parte del reposo y sube una distancia de 2 metros por una inclinación de 20º sin fricción, a rapidez constante por medio de una fuerza “F”, paralela a la inclinación, como lo indica la figura del ejemplo. Si luego esta fuerza se aplica en sentido opuesto y regresa la masa a su punto de partida. Calcule: a) La energía mecánica inicial y final de la masa b) ¿Qué puede decir “F”? Respuesta: Si el cuerpo sube a rapidez constante, “F” se obtiene por la relación dinámica sobre la inclinación como: Ahora, si el bloque baja se acelera: Entonces, la rapidez al regresar al punto de partida es: Luego: Emo = 0 Joules. Y Emf = 13,42.(M) Joules. b) La fuerza “F” es no conservativa. 3.3) Principio o Ley sobre la energía mecánica: “La energía mecánica de una trayectoria cualquiera seguida por un cuerpo será constante, si sobre el cuerpo sólo actúan fuerzas

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 165 conservativas”; dicho diferente, si un cuerpo se desplaza de un punto “A” hasta un punto “B” por medio de fuerzas conservativas, entonces la energía mecánica en “A” será igual a la energía mecánica en “B” independiente de la trayectoria seguida. Ecu. 6.12 . También conocida como Ley de la conservación de la energía mecánica, donde la energía total en un sistema aislado de fuerzas no conservativas se transforma o cambia de expresión, sin destruirse ni crearse nueva. Es decir, en un movimiento determinado de un cuerpo las energías asociadas pueden variar desde el punto inicial al punto final pero la sumatoria de todos los cambios siempre será igual a cero si sólo intervienen fuerzas conservativas, esto es: . De donde se deduce que la energía mecánica final será igual a la inicial, ecuación 6.12 Luego como el trabajo neto o resultante será igual a los trabajos totales de las fuerzas conservativas y no conservativas que existan en un sistema dado y a la vez es igual por el (T.F.M) al cambio de la energía cinética, esto es: WR = WFC + WFNC = ΔEc. Entonces el trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a los cambios en las energías presentes: . De donde se deduce la ecuación del principio de la energía mecánica para todo sistema: EmF = Emo + WFNC. Ecu. 6.13. Notas a) Si no existe trabajo realizado por fuerzas no conservativas: O sea no hay fuerzas aplicadas, la tensión de la cuerda de existir se asume igual, y no hay fricciones. Entonces la ecuación 6.13 se convierte en la ley de la conservación de la energía mecánica. b) Si la única fuerza no conservativa es la fricción cinética, entonces la energía mecánica final será menor a la energía mecánica inicial. c) Si existe una fuerza no conservativa en el sentido del desplazamiento entonces la energía mecánica final será mayor a la energía mecánica inicial. Tema 4) Trabajo físico y su relación con las energías Como se ha mencionado tanto el trabajo físico como las energías se miden en la misma magnitud: Joules, y tanto el Teorema fundamental de la Mecánica, como el principio o ley sobre la energía mecánica son estrategias similares para la resolución de problemas que involucran movimiento y diferentes fuerzas. Ambos conceptos están relacionados como hemos visto en el trabajo neto o resultante y el cambio de la energía cinética. Ecuación 6.6. 4.1) Trabajo neto y la energía cinética: Si sobre un cuerpo existen fuerzas que produzcan trabajo físico, entonces el cuerpo o sistema tendrá un cambio en su energía cinética, sea que si el sistema parte del reposo o no. O que el trabajo neto sea positivo o negativo.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 166 Ejemplo 6.7: En una carrera de carros de madera, un niño y su carro tienen una masa de 44 Kg y es empujado con una fuerza de 10 N. En una distancia total de competencia de 10 metros como se indica en la siguiente figura del lado. Si otro competidor de masa total 65 Kg es empujado desde el reposo con la misma fuerza en la misma distancia. Calcular la energía cinética de ambos carros al término de la carrera, y la velocidad final de cada carro. Respuesta: Como no se mencionan fricciones entre las ruedas y la pista se asume despreciar este trabajo, entonces el trabajo neto sobre cada carro de madera es de: WR = 10*10 = 100 Joules. Luego la energía cinética del primer carro, si parte del reposo, (Lógica) es: EC1 = 100 J. Esto implica que su rapidez final se obtiene con 100 = (1/2).(M).Vf 2 . → Vf = (2*100 / 44)1/2 = 2,132 m/s. Análogamente: Vf(2) = (2*100/65)1/2 = 1,754 m/s. 4.2) Trabajo gravitacional y la energía potencial: Recordando que cuando un cuerpo “Sube” el trabajo que realiza el peso por medio de la gravedad es negativo, y cuando el cuerpo “Baja” es positivo, entonces considerando un eje coordenado en el punto más bajo, se hace evidente que el trabajo del peso será igual a la energía potencial gravitacional inicial menos la final, esto es: Ejemplo 6.8: Si un cuerpo de masa 3 kilogramos se mueve en inercia (rapidez constante) desde un punto “A” hasta un punto “B” como se indica en la figura siguiente del ejemplo, es decir, el cuerpo “Sube” 2 metros por la inclinación. Calcular el trabajo que realiza el peso, y sus energías final e inicial. Respuesta: El trabajo realizado por el peso es: Wg = -3g(2Sen25º) = -24,85 Joules. El signo indica que el peso está en sentido opuesto al desplazamiento por la inclinación en un valor vertical de: h = 2.Sen(25º). EMo = Cero, considerando que el cuerpo parte desde el reposo, no existe energía elástica asociada, ni fricciones, y el eje de referencia se coloca en este punto. EMf = M.g.h = 24,85 Joules. El ejemplo demuestra la ecuación 6.14. 4.3) Trabajo que realiza un cuerpo deformado, y la energía potencial elástica Si un resorte es deformado a una distancia X por medio de una fuerza “F” como indica la figura. El trabajo que realiza el resorte al ser deformado es . El signo negativo indica que la fuerza del resorte o fuerza restauradora está en sentido opuesto al desplazamiento “∆X”, o también opuesta a la deformación.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 167 Luego, si calculamos los valores de la energía potencial elástica en los puntos: “Lo” y “Lf”, obtenemos: Donde el cambio de la energía potencial será este valor final. Se concluye que el trabajo asociado a un resorte que es deformado es igual al negativo del cambio en la energía potencial elástica. También en la situación análoga de recuperación, o cuando el elemento deformado regresa a su longitud natura. Esto es: Ejemplo 6.9: Un bloque de 800 gramos está comprimiendo un resorte de 800 N/m, deformándolo en 40 Cms. Si él sale disparado por el resorte sobre una superficie horizontal rugosa de coeficiente cinético 0,3. Calcular la distancia máxima que el bloque se desplaza por la superficie. Respuesta: Energía mecánica inicial es: . Toda la energía fue disipada por el trabajo no conservativo de la fricción: Por la ecuación 6.13 Ley sobre la energía mecánica, se obtiene: Resumen general para la resolución de problemas de trabajo físico y energías IDENTIFIQUE EL CUERPO O SISTEMA DE CUERPOS QUE SE MUEVEN, CON SU O SUS DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE RESPECTIVOS. ESTABLEZCA EL EJE DE REFERENCIA PARA LAS ENERGIAS Y/O TRABAJOS. CALCULE EL TRABAJO NETO Y APLIQUE SU TEOREMA O LA ENERGÍA MECÁNICA EN LOS PUNTOS FINAL E INICIAL DE LA TRAYECTORIA Y APLIQUE SU LEY. Tema 5) Potencia El concepto de trabajo no considera el tiempo en que ocurre el desplazamiento; es decir, pueden existir situaciones de igual cambio de posiciones a iguales trabajos realizados, pero a diferentes tiempos. Si se quiere conocer con qué rapidez se efectúa un trabajo, entonces el concepto de Potencia Media se define como: El escalar del trabajo que se efectúa sobre un cuerpo entre el tiempo en que se realiza dicho trabajo. Pm = W / ∆T. Ecu. 6.16 Las unidades de potencia son: Kg.m2 /s3 denominado “Watt” o “Watios” en el Sistema Internacional y Lb.pie/s3 en el sistema inglés. En el mundo se usa mucho la denominación de Caballo de Poder (HP), equivalente a 550 Lb.pie/s3 y a 746 Watios. Luego la potencia instantánea se define como: “La rapidez con que se transfiere energía en el tiempo”.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 168 Esto es que, si sobre un cuerpo o sistema se aplica una fuerza “F” neta constante o promedio, el cual desarrolla una velocidad final , partiendo del reposo o no. Entonces la potencia instantánea queda definida como el producto punto de los vectores fuerza y velocidad, para un instante cualquiera dado, en virtud de que la fuerza neta no necesariamente este direccionada al movimiento: Consideraciones a) Si la fuerza es constante y tiene la misma dirección y sentido que la velocidad media alcanzada; la potencia media será el producto de los módulos de los vectores fuerza y velocidad. b) La potencia neta no necesariamente es igual al trabajo neto entre el tiempo. c) El concepto de potencia es muy usado en el tema de los circuitos eléctricos que se verán en la Física II, se habla de los Watios asociados a un tendido o circuito eléctrico, como el Voltaje consumido por los Amperes que circulan, P = V.I. Ejemplo 6.10: El motor de un auto entrega la potencia necesaria para que el mismo desarrolle una rapidez de 80 Km/h, partiendo desde el reposo en un tiempo de 8 segundos si el auto tiene una masa de 1.350 Kg. Calcular la potencia media que transmite el motor. Respuesta: El auto acelera a razón de: La fuerza requerida es de: . Para una rapidez promedio de: 11,11 m/s. La potencia que debe entregar el motor es de: Tema 6) Colisiones Si dos o más cuerpos interactúan entre sí por contacto1 y en un tiempo relativamente corto entonces se habla de “choque” entre ellos o colisión. En una colisión se producirán fuerzas impulsivas de un cuerpo sobre otro por la tercera ley de Newton y si el contacto se realiza bajo el esquema de Sistema Aislado (Fuerzas Externas Despreciables), entonces el vector momento lineal total se conserva. Recordemos este concepto también denominado “Cantidad de movimiento” visto en el capítulo V anterior sobre la dinámica de la partícula, tema 5 páginas 125-126; es decir, en toda colisión aislada de fuerzas externas y sin que ocurran deformaciones apreciables en los cuerpos la cantidad de movimiento lineal es igual antes y después del choque: . Esta ecuación para dos masas que colisionan se expresa como: Si las fuerzas impulsivas involucradas son conservativas, el choque se denominará “Elástico” y habrá conservación en la energía cinética, caso contrario al aparecer fuerzas no conservativas existirá energía disipada y no habrá conservación en la energía cinética. El choque se denominará “Inelástico”. 1 Dos o más cuerpos pueden realizar colisión de sus “Campos” sin llegar al contacto físico estructural. Noción usada en la astronomía.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 169 6.1) Colisiones Elásticas: Son aquellas en donde se conserva la energía cinética antes y después del choque. Generalmente este tipo de choques no existen en la naturaleza, solo que se asumen. Por ejemplo, un choque entre dos bolas de billar es casi elástico y se puede asumir como tal si despreciamos las fuerzas externas de fricción con respecto a las fuerzas impulsivas entre las bolas en contacto. En los choques elásticos se acepta que: , entonces para dos cuerpos que chocan de masas m1 y m2 con la consideración de que la energía relaciona rapideces, seria 6.2) Colisiones Inelásticas: Son las colisiones comunes en nuestra vida diaria, en donde las fuerzas externas de la fricción, el ruido producido y la deformación de los cuerpos, disipan energía, por lo que la energía cinética final será menor a la energía cinética inicial, a pesar de que se conserve el momento lineal en el choque. Bajo esas consideraciones, la relación masa-rapidez de los cuerpos involucrados en un choque inelástico es la expresión de la ecuación 6.18, Con la consideración siempre de que: . La cual debe por lo general calcularse, para demostrar este importante hecho. 6.3) Colisiones Perfectas Inelásticas: Una tipología particular del choque inelástico ocurre cuando los cuerpos quedan unidos o enganchados después del choque por contacto, en una masa común debido a las posibles deformaciones ocurridas entre ellos, tal choque se denomina “inelástico perfecto”. En los choques inelásticos perfectos la ecuación 6.19 se convierte en la relación para dos cuerpos de: . Donde “Vf” es la velocidad final del sistema de masas juntas (m1 + m2 ). En los choques inelásticos perfectos la energía cinética inicial del sistema es mucho mayor a la energía cinética final; a pesar de que se asume una conservación del momento lineal, es el tipo de choques donde ocurre la mayor pérdida de energía cinética. La ecuación 6.18 de magnitudes vectoriales con la ecuación 6.19 escalar. Nos permiten obtener al eliminar por despeje las masas involucradas y por desarrollo de la diferencia de cuadrados de la energía cinética, la siguiente relación que viene a describir el Coeficiente de Restitución “R”, o valor adimensional que caracteriza la tipología de cada colisión, muy usado en la mecánica en general. Esto es:

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 170 Notas a) Si las velocidades finales, son las mismas (cuerpos juntos) R = 0, el choque es perfectamente inelástico. b) Si la diferencia de las velocidades finales es igual a la diferencia de las velocidades iniciales entonces el coeficiente R = 1. El choque es elástico. c) Por lógica los vectores velocidades iniciales de los cuerpos no pueden ser iguales para que exista la colisión, sentidos opuestos. Es decir, nunca se anula el denominador de la ecuación. d) El coeficiente de restitución es un valor en el rango de (0, 1) y expresa el porcentaje de pérdida de energía de una colisión, al relacionar las velocidades relativas denominadas de aproximación y retroceso. Ejemplo 6.11: Dos autos de juguete de 1,2 y 1,6 kilogramos respectivamente, chocan cuando sus rapideces son iguales en 3,8 m/s con igual dirección y sentido opuesto. Si los juguetes quedan enganchados después del choque. Calcular la rapidez final de los cuerpos y el cambio en la energía cinética. Respuesta: El choque es inelástico perfecto, cuerpos juntos: Historia del Trabajo y la Energía. Cuando el ingeniero Henry Thomson concluyo al observar que el calor que disipaba el taladrado sobre una roca, en una excavación minera no estaba relacionado con el material si no con la fricción producida, determinó que esta energía no provenía del “calórico” de la roca, sino que era directamente proporcional a la energía mecánica que suministraba el taladro. En 1843 el Físico Ingles: James Joule (1818-1889) demostró esta transferencia de energía por medio de la fricción a través de un mecanismo ideado por él, en donde el calor para subir la temperatura de una porción de agua en un grado Fahrenheit es proporcional a una cantidad de fricción transmitida. Otros físicos fundamentados en los trabajos de James Joule establecieron para 1850 el principio de la conservación de la energía mecánica, en donde la energía se conserva y se transforma dentro de un sistema aislado, y que puede extraerse o añadirse bajo ciertas condiciones. Para inicios del siglo veinte el “Joule” fue denominado la unidad de trabajo y energía en: Kg.m2 /s2 o N-m. Sistema internacional o cantidad de trabajo requerido para que un mililitro de agua incremente su temperatura en un grado centígrado. Un Joule equivale a 0,239 Calorías.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 171 PROBLEMAS PROPUESTOS a) Trabajo bajo fuerzas constantes 1) Un niño hala una caja de 200 N de peso sobre un piso horizontal de coeficiente de roce cinético de 0,24; por medio de una cuerda sin inclinación a velocidad constante. Si el niño la mueve 4,8 metros. Calcular: trabajo realizado por la tensión, trabajo realizado por la fricción y el trabajo neto. R: WT = 230,4 Joules. WFC = -230,4 Joules. WR = 0 Joules 2) Del problema anterior, número 1, considere que la cuerda tiene una inclinación de 24º con la horizontal, rehágalo y calcule en adicional la tensión de la cuerda. R: T = 47,47 N. WT = 227,86 Joules. WFC = -227,86 Joules. WR = 0 Joules 3) Un auto de 1.380 kg es empujado en neutro desde el reposo, hasta lograr una rapidez de 6 m/s en una distancia de 11 metros. Si el coeficiente de fricción estático por rodamiento entre los cauchos y el pavimento es de 0,1. Calcular el trabajo neto o resultante sobre el auto y la aceleración de este. R: WR = 24.840,55 Joules. a = 1,64 m/s2 4) Si a un bloque de 5 Kg se le aplica una fuerza de 40 N como se indica en la figura. Calcular el coeficiente de roce cinético, y el trabajo que realiza la fuerza, cuando la masa se ha movido3 metros a rapidez constante. R: µc = 0,323. WF = 77,13 Joules 5) Del problema anterior, número 4, considere que el bloque se acelera a 2 m/s2 . Calcule el trabajo de la fuerza, el trabajo de la fricción cinética y el coeficiente de roce cinético. R: Wf = 77,13 Joules. WFC = - 47,13 Joules. µc = 0,197. 6) Si una fuerza de (2i + 2j + 6k) N actúa sobre una masa de 2 kg, la cual se mueve en el plano XY una distancia representada por el vector (3i + 3j) metros. Calcular el trabajo neto sobre la masa y la aceleración que adquiere. R: WF = 12 Joules. 7) Del problema anterior, número 6, considere un nuevo desplazamiento de (2i - 3j + k) metros y rehágalo. R: Wf = 4 Joules. a = 3,32 m/s2 . 8) Un bloque de 1,4 kg es subido verticalmente por medio de una fuerza vertical de 15 N. Calcular la aceleración del bloque y el trabajo neto sobre el mismo, cuando ha recorido 1,8 metros. R: . WR = 2,304 Joules. 9) Del problema anterior, número 8, asuma que el bloque sube por una inclinación de 30° y coeficiente cinético de 0,2; por donde es jalado y rehágalo. R: WR = 10,37 J. a = 4,11 m/s2 . 10) Una partícula se mueve con desplazamiento d = (-2i –3k) metros por medio de una fuerza neta de F = (-6i - k) N actuante. Calcular el trabajo que realiza la fuerza y el ángulo entre ésta y el desplazamiento. R: Wf = 15 Joules. = 46,848º

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 172 11) Una atleta mueve una mancuerna de 6,5 kg. Sostenida en su mano una distancia vertical total de 93 Cms al subir y bajar su antebrazo. Si el atleta sube y baje la pesa 20 veces a rapidez constante, calcular el trabajo total al subir y al bajar la mancuerna. R: WR = 2.369,64 Joules. 12) Un bloque de 2,3 Kg sube por una inclinación de 20º y coeficiente cinético 0,23 por medio de una fuerza de 14 N, la cual actúa paralela con la inclinación; calcular todos los trabajos involucrados si el bloque sube 200 Cms. R: WF = 28 J. W g = -15,42 J. WFC = - 9,74 Joules 13) Un bloque de 6 Kg está sobre un plano inclinado en 35º y el coeficiente cinético de fricción es 0,13. Si el bloque sube 3,8 metros por medio de una fuerza de 50 N que actúa como se indica en la figura del problema; calcular los trabajos de: la fuerza “F”, el peso, la fricción cinética y el neto. R: WF = 187,11 J. Wg =-128,17 J. WFC =-19,51 J. WR = 39,43 J. 14) Del problema anterior, número 13, rehágalo si la fuerza actúa a 10° por debajo de la inclinación. R: WF = 187,11 J. Wg =-128,17J. WFC = - 28,08J. WR = 30,86 J. 15) Un átomo desprendido de una superficie metálica se mueve en línea recta a rapidez constante de 6,56x 106 m/s. Calcular el trabajo realizado por las fuerzas actuantes, cuando el átomo se ha desplazado 54 Cms. R: WR = 0 J. Se mueve a rapidez constante 16) Una lancha tira de un esquiador por medio de una cuerda horizontal, la cual forma un ángulo de 22º con la línea de movimiento del esquiador; si éste tiene una masa de 77 kg y el coeficiente de fricción cinético es de 0,01. Calcular el trabajo que realiza la cuerda cuando mueve 42 metros al esquiador, a rapidez constante. R: WT = 341,82 Joules 17) Un joven sube una cubeta llena de herramientas (peso de 200 N) por medio de una cuerda, como indica la figura del problema, si se parte del reposo y alcanza una rapidez de 1,6 m/s cuando ha subido 2,8 metros. Calcular el trabajo que realizan: el peso, la tensión de la cuerda y el trabajo neto. R: W g = -560 J. WT = 586,12 J. WR = 26,12 J. 18) Una caja de 3 kg es lanzada a 3 m/s por una rampa deslizante e inclinada en 30º con fricción. Si la caja baja3metros y se detiene. Calcular el trabajo realizado por: el peso, por la fricción y el trabajo neto. R: W g = 44,1 J. Wfc = - 57,6J. WR = - 13,5 J. 19) Una caja de 60 Kg está sobre una superficie horizontal de coeficiente cinético de 0,75. Sobre ella actúan las fuerzas indicadas en la figura. Calcular el trabajo neto sobre la caja cuando se ha movido5,4 metros. R: WR = 424,52 J.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 173 20) En un péndulo simple de longitud 3 metros y masa de 1,3 Kg. Oscila desde el reposo desde un punto, a 70º con la vertical a otro punto a 40º con la vertical. Calcular el trabajo que realiza la tensión de la cuerda y el trabajo total realizado por el peso si en el movimiento se pasó por el punto de equilibrio. 21) Un objeto de 4 kg está en reposo en el origen del plano coordenado mostrado en la figura del problema; si se le aplican las fuerzas indicadas por un tiempo de 3,5 segundos. Calcular el trabajo neto sobre el cuerpo. R: WR = 335,35 Joules. 22) Del problema anterior, número 21, considere que actúa una fricción cinética de (- 3i – 5j) N. Y calcule el trabajo neto y el coeficiente de fricción con la superficie. R: WR = 98,07 J. µc = 0,149. 23) Una fuerza F = (3i+5j) N. Actúa sobre una pieza de cobre de masa 180 gramos. Si el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento de la piedra es de 26º, y la fuerza efectúa 95 Joules de trabajo sobre ella; calcular la magnitud del desplazamiento. R: d = 18,127 m. 24) Un atleta de 82 Kg cuelga del extremo libre de una cuerda de 11 metros atada a una viga en el techo de un gimnasio; si el atleta se balancea para alcanzar una altura de tal forma que la cuerda incline un ángulo de 63º con la vertical. Calcular el trabajo realizado por el atleta. R: WA = 4.826,51 Joules. 25) Un joven realiza un trabajo de 4.350 Joules al subir verticalmente un tobo con agua de 21 Kg, a razón de 0,4 m/s2 desde un pozo profundo. Calcular la distancia que es subido el tobo. R: d = 2,31 m. 26) Dos masas de 2 Kg y 2,5 Kg cuelgan de una polea formando una máquina de Atwood, si las masas parten del reposo. Calcular el trabajo que realizan: la gravedad, la tensión de la cuerda sobre cada masa y el trabajo resultante cuando la masa mayor ha bajado 27 Cms. R: Wg(2) = -5,29 J. Wg (2, 5) = 6,62J. WT = 5,88 J. WR = 1,323 J. 27) Una masa de 4 Kg se levanta un total de un metro a rapidez constante mediante el sistema de canales fijos (poleas de masas despreciables), mostrado en la figura del problema. Calcular el trabajo total que realiza la tensión “T” y la fricción promedio en cada polea. R: WT = 78,4 Joules. Fc = 26,133 N. b) Trabajo realizado por fuerzas variables 28) Una fuerza “F” que actúa sobre un cuerpo es variable, como muestra la siguiente gráfica; calcular el trabajo de “F” en el intervalo de tiempo de cero a ocho segundos. 0 ≤ x ≤ 8 M. R: W = 52 Joules.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 174 29) Una masa se ata a un resorte de constante de elasticidad 25 N/m verticalmente; si la masa de 2.000 gramos se libera desde el reposo en la longitud natural del resorte. Calcular el trabajo que realiza el resorte y el trabajo que realiza el peso de la masa cuando ha bajado 1,5 metros. R: Wk = -28,125 Joules. Wg = 29,4 Joules 30) Si F, es una fuerza variable con respecto a la posición de la partícula, según indica el siguiente gráfico. Calcular el trabajo total realizado sobre la misma. R: W = 16 Joules. 31) Una masa de 0,35 Kg es comprimida contra un resorte de k = 350 N/m en posición vertical; si el resorte se comprime 35 Cms; calcular el trabajo neto sobre la masa cuando esta al ser liberada para subir pasa por la posición de equilibrio del resorte. R: WR = 20,24 Joules. 32) La siguiente figura muestra una variación de la fuerza ejercida sobre un cuerpo en función de la distancia recorrida. Calcular el trabajo realizado para x = 3 metros y x = 6 metros. R: W(3 m) = 7,07 J. W(6 m) = 14,14 J. 33) Del problema número 31, calcule la altura máxima que alcanza la masa de 0,35 Kg. Después de que esta pierde contacto con el resorte que la impulsa. R: dMax = 5,9 Metros. 34) Un bloque de 3 Kg esta sobre un plano inclinado de 34º y coeficiente de fricción µc = 0,334 y atado a un resorte constante de elasticidad desconocida, ver figura. Si la masa parte del reposo y baja un máximo de 38 Cms por la superficie. Calcular la constante del del resorte. R: K = 43,7 N/m. 35) Del problema anterior, número 34, si la constante de elasticidad del resorte es de 60 Nw/m. Calcule el coeficiente de fricción cinético en la superficie inclinada; si el bloque llega al reposo en la misma distancia de 0,38 metros. R: µc = 0,206. 36) Del problema número 34, calcule la distancia máxima que baja la masa de 3 Kilos si ahora la constante de elasticidad del resorte es de 40 N/m. R: dMax = 41,5 Cms. 37) Se conectan dos bloques de 6 y 4 Kg respectivamente, de tal forma que la masa mayor se conecta a un resorte en longitud natural de: K=30 Nw/m; y está sobre una superficie de µc =0,56. Si los bloques parten desde el reposo calcular la distancia máxima que se mueve el sistema. R: d = 0,418 m. 38) Del problema anterior, número 37, calcule el coeficiente de roce cinético, si las masas se mueven una distancia máxima de 1,6 metros. R: µc = 0,259. 39) Del problema número 37, calcule la constante de elasticidad en el resorte que permita que el sistema se mueva un máximo de 50 Centímetros. R: 25,09 N/m.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 175 40) Una persona de 68 kg. Se deja caer desde una altura de 42 metros con un “Benji” atado a sus pies. Si su longitud natural es de 15 metros, y la persona se detiene en una distancia máxima de 7,5 metros del piso. Calcular la constante de elasticidad. R: K= 120,92 N/m. 41) Del problema anterior, número 40, calcule la longitud natural del Benji si la persona se detiene a los 7,5 metros del piso, pero su elasticidad es de 140 Nw/m. R: L0 = 16,38 m. 42) Se conecta dos masas de 7 y 18 Kg, como se indica en la figura del problema; si el plano inclinado es a 40º y se considera liso. Calcular la distancia máxima que baja la masa de 18 Kg, si la constante de elasticidad del resorte es de 120 Nw/m. R: d = 0,747 m. 43) Del problema anterior, número 42, considere un coeficiente de fricción cinético de 0,24 en la superficie inclinada en 40º y rehágalo. R: d = 0,206 m. 44) Una masa de 0,75 Kg gira sobre una superficie sin fricción a 1 m/s atada a una cuerda de 50 Cms que pasa por un agujero como se indica. Si la cuerda se jala reduciendo el radio de giro a 20 Cms, e incrementando la rapidez a 2 m/s. Calcular la tensión de la cuerda en cada caso y el trabajo efectuado, si la fuerza radial promedio es 3,75 Nw. R: T1 = 1,5 N. T2 = 15 N. W = 1,13 J. c) Energías 45) Una espiral de un automóvil tiene constante de elasticidad de 35.000 Nw/m. Si se comprime 6 Cms cuando el auto cae en una depresión y se estira 8 Cms cuando el auto pasa una cima. Calcular la energía almacenada en el resorte en ambos casos. R: Ek = 63 y 112 Joules. 46) Una masa de 2,5 Kg se cuelga a un resorte suspendido verticalmente, si el resorte tiene una constante de elasticidad de 100 Nw/m. Y se estira unos 66 Cms. Calcular la energía almacenada en el resorte y la longitud inicial del mismo. R: EK = 3 Joules. Lo = 41,5 Cms. 47) Una bola de Bowling (8,2 Kg) es lanzada sobre una pista horizontal, a 2,7 m/s. Calcular la energía entregada en el lanzamiento y a qué altura la bola para tener esa energía. R: 29,89 J. h = 37,2 Cms. 48) Desde una altura de 24 metros, se lanza una roca de 600 gramos a una rapidez de 7 m/s. Calcular la energía mecánica inicial de la roca. R: Emo = 155,82 Joules 49) Una bala de 8 gramos es disparada por un rifle de tal forma que alcanza una distancia horizontal de 800 metros y una altura de 80 metros subiendo en un tiempo de 0,8 segundos. Calcular la energía cinética inicial de la bala. R: Emo = 4.043,20Joules 50) Una piedra de un Kg se lanza a una velocidad de (8i + 6j) m/s desde una altitud de 6 metros. Calcular la energía mecánica de la piedra en el instante que alcanza su altura máxima. R: Em = 108,8 Joules.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 176 51) Del problema anterior, número 50, calcule la energía mecánica de la piedra al golpear el piso. R: Em = 108,8 Joules. 52) Una masa de 2 Kg gira en un círculo horizontal de radio 3 metros a rapidez de 50 RPM. Si la masa se mueve a una altura de 3 metros; calcular la energía mecánica asociada a la masa en su movimiento. R: Em = 305,54 Joules 53) Una gandola de 10 toneladas viene a una rapidez de 18 Km/h ¿Cuál debe ser la rapidez de una camioneta de 2.450 Kg para que ambos tengan igual energía? R: V = 36,37 Km/h. 54) Una espiral de un automóvil se diseña para amortiguar un peso promedio de 375 kg con una deformación máxima aceptada en 13 Cms y a una rapidez inicial del peso de 0,5 m/s. Calcular la constante de elasticidad del diseño de la espiral. R: K = 62.085,8 N/m. 55) Un bloque de 10 Kg viene con rapidez horizontal de 8 m/s, cuando choca con un resorte de constante de elasticidad 100 Nw/m colocado en forma horizontal, calcular la deformación máxima del resorte; y si ésta es de 40 Cms ¿Y qué valor tendrá la constante de elasticidad del resorte? R: dmáx = 2,53 m. K = 4.000 N/m. 56) Del problema anterior, número 55, considere que el bloque viene por una inclinación de 30° cuando choca con el resorte a 8 m/s y rehágalo. dmáx = 3,07 M. K = 5.878,44 N/m. 57) Desde una altura referencial se lanza una piedra de 300 gramos de masa con una rapidez inicial de 11 m/s y una inclinación de 20º con la vertical. Calcular la energía mecánica a los 4,5 metros de altura subiendo y cayendo. R: Em↑= 18,15 J. Em↓= 18,15 Joules. 58) Del problema anterior, número 57, considere una fricción vertical con el viento de un joule por cada metro que sube la piedra y rehágalo. R: Em↑ = 15,9 J. Em↓= 14,94 Joules. 59) Una masa colgante de 72 Kg cuelga de un cable de 6 metros. Si la masa es desplazada en un arco de circunferencia de tal forma que queda suspendida a 3,2 metros horizontales de la vertical; calcular la energía que gana. R: E = 652,38 Joules. 60) Una fuerza de 1.000 Newton comprime un resorte en 12,8 Cms. Como máximo; calcular la energía asociada a la deformación cuando el resorte se estira 150 Cms. R: E = 1.757,81 J. d) Trabajo, energía cinética, energías potenciales y fricciones 61) Un bloque de 6 Kg parte del reposo y se mueve 6 metros sobre una superficie horizontal lisa por medio de una fuerza de 6 N. Que actúa a 30º con la horizontal. Calcule la rapidez final del bloque. R: Vf = 3,224 m/s.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 177 62) Del problema anterior, número 61, considere un coeficiente cinético de fricción de 0,08. Y calcule la rapidez final del bloque. R: Vf = 1,21 m/s 63) Un bloque de 3 Kg sube por un plano inclinado en 35º por medio de una fuerza horizontal de 40 N. Si el bloque se desplaza 3 metros; calcular la rapidez final del mismo, si en la inclinación hay un coeficiente cinético de 0,2. R: Vf = 3,605 m/s. 64) Del problema anterior, número 63, considere que el bloque de 3 Kg baja por medio de la fuerza horizontal que actúa y rehágalo. R: Vf = 8,97 m/s. 65) Un auto compacto de 1.150 Kg se empuja desde el reposo hasta alcanzar una rapidez de 4 m/s por medio de una fuerza horizontal de 900 N. Calcular la distancia en la cual se logra tal rapidez, si el coeficiente por rodamiento estático entre los cauchos y el pavimento es de 0,06. R: d = 41,108 m. 66) Rehacer el problema anterior, número 65, si la fuerza actúa a 20° de inclinación positiva. R: d = 48,94 m. 67) Una caja de 9 Kg baja por una inclinación de 40º y coeficiente cinético de 0,4 por medio de su peso; si se le aplica una rapidez inicial de 1,5 m/s ¿Cuál es su rapidez cuando ha bajado 3,6 metros? R: Vf = 5,098 m/s 68) Del problema número 40. Calcule la rapidez de la persona cuando se encuentra a 20 metros del piso, con la constante de elasticidad del Benji obtenida. R: 18,55 m/s. 69) Una pistola de juguete tiene un resorte de 2,8 N/m y dispara balines de 4 gramos. Si la rapidez de salida es 1,6 m/s. Calcular la distancia que comprime el balín al resorte, si en el disparo existe una fuerza de roce constante de 0,3 Nw. R: ∆X = 23 Cms. 70) Del problema anterior, número 69, considere que el disparo se realiza a 40° de inclinación con la vertical positiva y calcule el largo del cañón de la pistolita. R: ∆X = 21,02 Cms. 71) Una masa de 1,2 Kg se conecta a un resorte de 40 N/m, el cual está suspendido en vertical y en longitud natural. Si la masa se suelta desde el reposo, calcular la rapidez de ésta cuando ha bajado 40 Cms. R: Vf = 1,583 m/s 72) Si una piñata de 6 Kg se levanta verticalmente desde el reposo, por medio de una cuerda que pasa por una polea, aplicándosele una fuerza de 75 N. Calcular el trabajo neto sobre la piñata y la rapidez final de la misma, cuando sube 1,6 metros, si en la polea existe una fricción promedio de 6 Newton. R: WR = 16,32 J. Vf = 2,33 m/s. 73) En el problema N° 47, calcule el coeficiente de roce estático por rodamiento, si la bola de Bowling golpea los pines a 1,9 m/s, después de recorrer una pista de 10 metros de largo. R: µR = 0,019.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 178 74) Una masa “M”, desliza hacia abajo desde el reposo por una inclinación lisa de 50º, después de recorrer 2 metros por la inclinación, llega a una superficie horizontal de coeficiente cinético de 0,6. Calcular la distancia horizontal máxima que recorre la masa, y en qué distancia horizontal su rapidez es de 3 m/s. R: dmáx = 2,55 m. d(3 m/s) = 1,787 m. 75) Un niño empieza a bajar por una pendiente de 5,37º con su patineta; si la masa total es de 18,6 Kg. Y la pendiente tiene un largo de 18 metros. Calcular la fuerza de rozamiento y el coeficiente de fricción por rodamiento estático en las ruedas, si el niño llega al pie de la pendiente a 4,8 m/s. R: Fe = 5,155 N. µR = 0,0284. 76) Una masa de 400 gramos está en reposo comprimiendo en 20 Cms. A un resorte de 300 Nw/m. Si la masa se libera desde la base de una inclinación de 40º y coeficiente cinético de fricción de 0,3. Calcular la distancia máxima que sube y qué rapidez tiene cuando ha subido 1,4 metros. R: dmáx = 1,754 m. Vf = 2,46 m/s. 77) ¿Qué trabajo realiza la fuerza normal sobre un bloque de 30 Kg que sube por un plano inclinado en 25º, una distancia de 5 metros? R: W = 0 Joules. 78) Se lanza un cuerpo de 3 Kg sobre un plano liso e inclinado en 9,4º; calcular la longitud máxima que sube el cuerpo, si su energía cinética inicial es de 60 Joules. R: 12,5 m. 79) Si una caja de 12 Kg se sube por una inclinación de 15º y de coeficiente de fricción cinético de 0,32 por medio de una fuerza de 80 Nw, que actúa a 30º con la horizontal. Calcular: todos los trabajos involucrados y la rapidez de la caja cuando ha subido 8 metros. R: Wf = 618, 2 J. Wg = -243, 5 J. WR = 0 J. WFC = -237, 8 J. Vf = 4,78 m/s 80) Una pila de 10 carritos de compras de un automercado, son empujados sobre una superficie horizontal de coeficiente estático por rodamiento con las ruedas de 0,06. Si cada carrito pesa 86 Nw y se les imprime una rapidez inicial de 2,85 m/s. Calcular la distancia total en que se detiene la pila. R: d = 6,907 m. 81) En el problema anterior, número 80, considere que la pila de carritos es conducida por una pendiente de 2,2º en bajada y con el mismo coeficiente de fricción, cuando estos chocan a 1,6 m/s con un sistema de 3 resortes. Calcule la constante de elasticidad de cada resorte si los carritos se detienen en 22 Cms. R: K = 1.482,8 N/m. 82) De la máquina de Atwood mostrada en la figura del problema, las masas parten desde el reposo. Calcular la rapidez de las masas cuando el sistema se ha movido 1,5 metros; y cuando la masa mayor llega al piso referencial. R: V = 2,43 m/s. Vf = 2,8 m/s. 83) Un martillo mecánico de 1.225 Kg se levanta 2,6 metros por encima de una gran columna vertical de concreto. El martillo se suelta y golpea la columna logrando que está se entierre en el suelo 20 Cms hasta detenerse; calcular el trabajo neto que el martillo realiza y la fuerza promedio de fricción del suelo. R: WR = 33.614 J. FP = 168.070 N.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 179 84) Considere el sistema mostrado a continuación, que parte desde el reposo, y calcule la constante de elasticidad del resorte; si el mismo tiene un desplazamiento máximo de 2,3 metros y la rapidez de las masas cuando se han movido 1,7 metros. R: K = 51,13 N/m. Vf = 1,93 m/s. 85) Del problema anterior, número 84, rehágalo considerando que la masa de 10 Kilos también posee un resorte vertical 2 hasta el piso de 20 Nw/m. R: K1 = 31,13 N/m. Vf = 1,93 m/s. 86) Dos esferas de hierro de 2 y 3 Kg se dejan caer por una canal de 6,6 metros de largo e inclinado en 30º. Si entre las esferas y la canal hay un coeficiente de roce estático por rodamiento de 0,08. Calcular la rapidez final de las esferas y la energía cinética de ambas al final de la canal. R: Vf = 7,464 m/s. Ec1 = 55,72 Joules. Ec2 = 83,58 Joules. 87) ¿Qué trabajo neto efectúa un lanzador sobre una pelota de softball de 300 gramos; la cual sale de su mano a 9,15 m/s? R: WL = 12,56 Joules. 88) Una piedra de 0,65 Kg es lanzada con una inclinación de 70º a 15 m/s desde una altura de 8 metros. Calcular el trabajo realizado por su peso, cuando alcanza su altura máxima, y a los 3 segundos de ser lanzada. R: Wg(Ymáx) = - 64,57 Joules. Wg(3 s) = 11,55 Joules 89) Un atleta y su bicicleta de masa total 93 Kg suben una loma curva cuya máxima altura es de 8,2 metros. Si la rapidez inicial de la bicicleta es de 8m/s. Al iniciar la loma y en la cima es de 1,6 m/s; calcular el trabajo neto sobre el ciclista y el trabajo del atleta, si actúa un trabajo por la fricción de -200 Joules. R: WR = - 2.856,96 Joules. WAtleta= 4.816,52 Joules 90) Un rifle de resorte lanza balines de 40 gramos por medio de un resorte de constante de elasticidad 222 N/m, comprimido en 17 Cms. Si en el cañón del existe una fuerza resistiva total de 5 N. Calcular la rapidez final de una ráfaga de 6 balines. R: Vf = 4,43 m/s. 91) Considere el sistema de la siguiente figura del problema, en donde la masa de 8 Kg está sobre una superficie horizontal de µC = 0,22 y conectada a un resorte de K = 85 N/m en longitud natural. Si la masa de 10 Kg parte desde el reposo calcule la rapidez del sistema cuando se mueve 50 Cms. R: Vf = 1,818 m/s. 92) Del problema anterior, número 91, considere que la masa de 8 Kg. Esta sobre una inclinación de 35° y calcule la distancia máxima que se mueve el sistema. R: dmax = 3,03 m. 93) Un artista de circo de masa 77 Kg, es disparado por un cañón de resortes de constante total de: 10.000 Nw/m. Inclinado en 60º. Si el cañón ofrece 60 Newton de fricción en los 5,5 metros que el artista se mueve dentro de él. Calcular la deformación en el resorte si el atleta alcanza una altura máxima de 6 metros por encima del cañón. R: ∆X = 1,822 m.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 180 94) Sobre una masa de 7,2 Kg actúa una fuerza de 200 N, siempre tangente a la superficie semicircular sin fricción, mostrada en la figura. Si la masa está unida a un resorte de constante K = 46 N/m; calcular la rapidez de la masa cuando llega a la cima de la superficie, si la masa parte desde el reposo y en el equilibrio del resorte. R: VA = 8,502 m/s 95) Una rampa de frenado en una autopista de bajada se diseña con una inclinación de 21º y una longitud de 100 metros. Si un vehículo descontrolado puede desarrollar los 220 Km/h. Calcular el coeficiente de fricción por rodamiento entre los cauchos y el material de arenisca de la rampa, si el auto sube un máximo de 85 metros por la misma. R: µr = 2,02 96) Un vagón de masa 4.800 Kilos viene a una rapidez Vo, cuando está a 2 metros de un sistema de resortes de constantes elásticas K1 = 15.000 N/m y K 2 = 37.000 N/m. Como indica la figura; si el vagón se detiene en 1,8 metros y los resortes del sistema están separados en 40 Cms. Calcular la rapidez inicial del vagón, si entre los rieles y las ruedas existe un coeficiente de roce por rodamiento de 0,12. R: Vo = 5,85 m/s 97) Un bloque de 1,5 Kg. Tiene una rapidez de 3 m/s, cuando inicia una subida por un plano inclinado en 22º y coeficiente µc = 0,25. Si en ese instante se le aplica una fuerza constante de 20 N, que actúa a 18º con la inclinación. Calcular la rapidez del bloque cuando ha subido 5 metros por el plano. R: Vf = 8,325 m/s 98) Una masa esférica de 0,7 Kg comprime a un resorte, deformándolo en 24 Cms desde una altura inicial de 1,4 metros se libera y recorre una inclinación de µc = 0,6 para luego pasar a un círculo de radio 0,8 metros, como se indica. Calcular la constante de elasticidad mínima para que la masa pase el punto “B”. R: K = 463,13 N/m 99) Una masa de 3 Kg se desliza y baja con una rapidez inicial Vo, unos 10 metros por un plano inclinado en 35º, cuando choca y se detiene por medio de un resorte de K = 850 N/m, que está sobre la inclinación y lo deforma en 65 Cms. Calcular la rapidez inicial de la masa, si en todo el movimiento actuó un coeficiente µc de 0,33. R: Vo = 7,51 m/s 100) Dos masas de 3 y 20 Kg parten desde el reposo conectadas como se indica en la figura. Si las superficies tienen un coeficiente µc de 0,40 y el resorte es de K= 100 N/m sin deformar. Calcular la distancia máxima que desplaza y la rapidez de las masas a los 20 centímetros. R: dmax = 0,70 metros. Vfs = 0,66 m/s.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 181 101) Un niño de 18 Kg se desliza por un tobogán plástico. Si desde la posición inicial, antes de lanzarse, el niño está a una altura de 4,3 metros y se impulsa con una rapidez inicial de 0,87 m/s. Calcular el trabajo que realiza la fuerza de fricción, si el niño sale de la rampa a 0,5 metros del piso, con una rapidez de 7,66 m/s. R: WfC = - 149,05 Joules. 102) Se lanza un cuerpo de 1,7 Kg a 9 m/s sobre una superficie horizontal de coeficiente de roce µC = 0,11, como se indica en la figura. Después de recorrer 4,5 metros, el cuerpo llega a una superficie semi–circular de radio igual a 3 metros sin fricciones. Calcular la normal en el punto “B” si = 41,36º. R: NB = 44,59 N. 103) Una masa circular de 14 kilos está conectada a un resorte sin deformar de constante de elasticidad de 2.015 N/m. Y sobre una inclinación de 40° con coeficiente de roce cinético de 0,4 como se indica; si se le aplica una fuerza horizontal de 140 N. Calcular la distancia máxima que la masa baja y su rapidez a la mitad de esta distancia. R: dmax = 18,8 Cms. Vf = 1,13 m/s. 104) Un bloque de 7 Kg se le imprime una rapidez inicial de 8 m/s en la base de una inclinación de 25º; si el bloque sube un total de4 metros. Calcular el cambio en la energía cinética, el cambio en la energía potencial y el coeficiente de roce cinético. R: ∆EC = - 224 J. ∆EP = 115,97 J. µc = 0,434 105) Una masa de 12 Kg esta sobre una inclinación de 40° y coeficiente de roce cinético 0,3. Conectada a un resorte sin deformar de constante de elasticidad de 2.000 N/m; si se le aplica una fuerza de 300 N. Que actúa a 10° por debajo de la inclinación. Calcular la distancia máxima que sube y su rapidez a un cuarto de esta distancia. R: dmax = 1,77 m. Vf(1/4) = 3,13 m/s. 106) Del problema número 102 calcule el ángulo máximo que sube la esfera de 1,7 Kg por la superficie circular antes de detenerse, si su rapidez inicial es de 7 m/s. R: max = 70,63°. 107) Una caja de 6,6 Kg baja por un sistema de rodillos planos inclinada en 14º. Con una rapidez inicial de 1,6 m/s desde una altura de 3,2 metros. Calcular la fuerza de fricción que actúa y el coeficiente de roce estático por rodamiento, si la rapidez final al salir de los rodillos es de 3 m/s. R: FC = 14,04 N. µR = 0,224 108) Una esfera de 300 gramos rueda por una superficie acanalada con fricción apreciable, como indica la figura del problema. Si la esfera parte desde el reposo en “A”; calcule el trabajo efectuado por la fricción, si la esfera llega a 2 m/s al punto “B”. R: WFC = - 5,28Joules.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 182 109) Un nadador de 78 Kg se lanza a 3 m/s desde el taco de una piscina olímpica de 50 metros de largo. Calcule su rapidez final si él se clava a los 4 metros, se impulsa con una fuerza promedio de 50 N. Y la fricción con el agua se promedia en 40 Nw. R: Vf = 6,36 m/s. 110) El sistema mostrado a continuación, se libera desde el reposo y el coeficiente de fricción cinético entre la masa de 4 Kg y la superficie es de 0,256. Calcule la rapidez del sistema cuando se mueve 2,7 metros. R: Vf = 3,865 m/s 111) Dos bloques en reposo de 16 y 24 Kg respectivamente se conectan por medio de una cuerda, como indica la figura del problema. Si la superficie inclinada en 35º es áspera, calcule el coeficiente de fricción cinético, si cuando las masas se han desplazado 13 meros su rapidez es de 8,8 m/s. R: µc = 0,203 112) Un bloque de 10 Kg se deja caer desde una altura de 2,6metros De un carril curvo, como indica la figura. Si el bloque choca con un resorte de constante de elasticidad: 1.550 N/m y lo deforma en 40 Cms. Calcular el coeficiente de fricción cinético del tramo horizontal de 3 m. Considerado áspero. R: µc = 0,445 113) Un ascensor de 1.340 Kg sin pasajeros cae desde el reposo, cuando el cable principal se parte. Si durante todo el recorrido actúa un freno de seguridad de fuerza promedio 12.000 Nw. Y el ascensor choca con un sistema de 3 resortes a 10 metros de iniciar su caída, deformándolos en: 222 Cms como máximo. Calcular la constante de elasticidad de cada resorte. R: K = 1.871,85 N/m. 114) Un niño y su patineta, (masa total 21 Kg), baja una rampa curva de radio 12 metros, como lo indica la figura. Si durante el trayecto existe una fuerza de fricción promedio de 20 N. Calcular la fuerza normal justo antes de terminar el movimiento circular, si el niño parte con una rapidez inicial de 1,3 m/s. R: N = 557,53 N. 115) Una pequeña piedra de 0,168 Kg se deja caer desde el borde de una porcelana semiesférica de diámetro 1,6 metros, como se indica. Si la fuerza de fricción promedio es de 0,3 N. Calcular la rapidez de la piedra en el fondo del recipiente. R: Vf = 4,73 m/s. 116) Una rampa está inclinada en 24º por donde se lanzan sacos de Cal de 21,5 Kg, otorgándoles una rapidez inicial de 2,2 m/s. Si los coeficientes de fricción son 0,43 y 0,65 respectivamente y los sacos se detienen al comprimir un resorte en la base de la rampa después de recorrer6 metros. Calcular la constante de elasticidad del resorte si la deformación es de 12 Cms, como máximo. R: K = 9.669,61 N/m.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 183 117) Una masa de 1,7 Kg resbala desde “A” sobre una superficie lisa con fricción sólo en el tramo B-C de 2,2 metros de longitud y coeficiente cinético de 0,63. Calcular cuántas veces pasa la masa por el punto “B”, y a qué distancia de éste se detiene. R: Nº = 3 veces. A 1,95 m. 118) Un bloque de 2 Kg se lanza a 2 m/s por una pendiente de 60º de inclinación y de 2 metros de largo, antes de hacer contacto con un resorte en longitud natural. Si sólo la pendiente tiene coeficientes de fricción de 0,3 y 0,23. Y el resorte se deforma un total de 14 centímetros. Sin fricciones. Calcular la constante de elasticidad del resorte y la distancia máxima que sube el bloque al salir del resorte. R: K = 3.412,45 N/m. d = 1,531 m. 119) Una masa de un Kg se lanza horizontalmente a 6 m/s contra un resorte horizontal en longitud natural. Si cuando la deformación es de:0,3 metros la rapidez de la masa es de 2 m/s. Calcular la deformación máxima y la constante K del resorte, si existe µc = 0,8 en todo el recorrido. R: dmáx = 37,04 Cms. K = 303,29 N/m. e) Conservación de la energía mecánica 120) En la siguiente máquina de Atwood con masas de 6 y 4 kilos. Calcular la rapidez con que la masa mayor llega al piso, por los métodos: a) Dinámica y cinemática; y b) Por la conservación de la energía mecánica. R: Vf(Dinámica) = 2,8 m/s. Vf(Energía) = 2,8 m/s 121) Una pelota de 0,6 Kg se lanza desde una altura inicial de 20 metros a rapidez de 20 m/s con inclinación de 20º. Calcular la energía cinética y la energía potencial de la pelota: en el lanzamiento y a los 2 segundos de ser lanzada. R: Eco = 120 J. Epo = 117,6 J. Ec2 = 154,87 J. Ep2 = 82,8 J. 122) Una esfera de hierro de 17 gramos desliza por una canal sin fricción desde “A”, como indica la figura. Calcular la rapidez inicial que se le debe imprimir a la esfera para que pase el punto “B” En un círculo de un metro de radio. Y si esta rapidez es del doble de la calculada, estimar la fuerza normal en este punto. R: Vo = 4,43 m/s. NB = 1,002 N. 123) Del problema anterior, número 122, calcule la fuerza normal que ejerce el canal en un punto ubicado a 40° con la vertical, antes de llegar al punto “B”; para ambas velocidades iniciales. R: N1 = 0,117 N. N2 = 1,11 N. 124) Una bola de cobre de 50 gramos comprime a un resorte de 200 N/m. Deformándolo en 30 Cms; si se libera desde el reposo y sube por un círculo sin fricción de radio 2 metros, como lo indica la figura. Calcular la aceleración en el punto “B”, y la normal en el punto “C”.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 184 125) Del problema anterior, número 124, considere que la bola pasa por un punto a 60º de la inclinación después de pasar el punto “B”. Calcule la fuerza normal en dicho punto y la aceleración total allí. 126) Un atleta de “Salto alto” con garrocha, de masa 68 Kg, deforma una pértiga de 4,6 metros en unos 2,4 metros, y adicionalmente él salta a 3 m/s verticalmente hacia arriba cuando la pértiga comienza a recuperar su longitud natural. Si él logra una altura máxima de 6,2 metros. Calcular la constante de elasticidad de la pértiga y la rapidez del atleta cuando ha subido 5 metros de altura. R: K = 819,31 N/m. Vf = 4,85 m/s 127) Una masa de 133 gramos atada a un hilo de 85 Cms, oscila con un ángulo máximo con la vertical de 65º, formando un péndulo simple. Calcular la rapidez de la masa y la tensión de la cuerda en el punto de equilibrio. R: V = 3,1 m/s. T = 2,81 N. 128) Del problema anterior, número 127, calcule la rapidez de la masa y la tensión en la cuerda cuando ésta forma un ángulo de 35º con la vertical, después del punto de equilibrio y la aceleración total allí. 129) Una masa de 3 Kg se ajusta a un resorte de 100 Nw/m deformándolo en 22 Cms y se libera desde el reposo y recorre una superficie circular sin fricciones, como se indica en la figura. Calcule el ángulo en donde la masa pierde contacto con la superficie y su rapidez en ese momento. 130) Una onda de dos bandas elásticas lanza una piedra de 0,05 Kg a 60º de inclinación de tal forma que al cabo de 2,2 segundos la altura de la piedra con respecto al punto de salida es de 8 metros. Calcular la energía que se almacena al estirar la onda con la piedra y la constante de elasticidad de cada banda, si se estiran 35 Cms. R: Emo = 6,93 Joules. K = 56,57 N/m. 131) Una pelota de 400 gramos es lanzada verticalmente de tal forma que alcanza 9,8 metros de altura como máximo y luego regresa a su posición original con la misma rapidez. Calcular el trabajo neto realizado por la fuerza gravitatoria en todo el recorrido. R: WR = 0 Joules. 132) Un resorte de constante de elasticidad de 440 Nw/m se coloca en una superficie horizontal y se conecta a una masa de 3 kilos. Si la masa se mueve desde p1 (- 3,0) Cms. hasta p2 (3,0) Cms. Calcular el trabajo que realiza el resorte. R: WK = 0 Joules 133) Un obrero sentado en una plataforma, masa total 83 Kg, sube a rapidez constante por medio de un sistema de poleas, como indica la figura del problema. Si la cuerda en sus manos recorre una distancia de 2,44 metros. Calcular el trabajo que el obrero realiza y compare con el cambio en la energía potencial. 134) Del problema número 129. Calcule la fuerza normal sobre la masa de 3 Kg y su rapidez en un punto ubicado a 30° con la vertical. R: N = 36,57 N. V30° = 2,356 m/s.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 185 135) Una esfera de aluminio de 3 Kg de masa, parte con una rapidez inicial de 2 m/s desde la cima de un semicírculo de radio 4 metros, sin fricción. Calcular el ángulo con la vertical en donde la esfera pierde contacto y su rapidez. R: = 45,52º. Vf = 5,24 m/s 136) Una masa de 250 gramos conectada y colgante en reposo a un resorte vertical, lo deforma en 24 Cms; si la misma masa se conecta al resorte en su posición no deformada y se suelta desde el reposo; calcular la deformación máxima del resorte. R: ∆d = 0,48 m. 137) Un bloque de hielo de 4 Kg comprime un resorte de constante 160 N/m, deformándolo en 1,3 metros colocado sobre una inclinación como muestra la figura siguiente. Calcular la rapidez con la cual el bloque golpea el piso indicado. 138) En la siguiente figura, un cuerpo de 2 Kg se lanza desde “A” con 2 m/s y recorre los puntos “B” y “C” de la curva. Calcular la rapidez en “B” y la altura de “C” donde se detiene. R: VB = 21,01 m/s. HC = 12,7 m. 139) Una masa de 2,6 Kg. Comprime a un resorte de 5.000 N/m en 60 Cms. Si la masa se libera desde el reposo y sube por un círculo sin fricciones. Calcular el radio del círculo si la normal en el punto máximo es de 30 N. Y la normal en el siguiente punto indicado en la figura del problema. 140) Una esfera de masa “m” se lanza a 4 m/s desdelos 4 metros, como indica la figura. Si la esfera rueda sin fricciones por tres círculos de radio un metro. Calcular la rapidez de la esfera en los puntos A, B y C y qué altura máxima “h” alcanza D. R: VA = VB = VC = 7,43 m/s. h = 4,82 m. 141) Del problema número 139, calcule el ángulo máximo con la horizontal en donde la masa de 2,6 Kg pierde contacto con la superficie circular de radio 11,436 metros, si la constante de elasticidad del resorte es de 3.000 N/m. f) Potencia 142) Una avioneta de 2 motores de hélice desarrolla una fuerza de empuje de 35.000 N. Por motor, si la avioneta vuela a 300 Km/h horizontalmente. Calcular la potencia total. R: P = 5,83 x 106 Watts.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 186 143) Un auto de 1.255 Kg se conduce por una vía plana a rapidez constante de 100 Km/h. Si el coeficiente de roce estático por rodamiento entre los cauchos y el pavimento es de 0,025. Y la fuerza de resistencia del aire a esa rapidez sobre un auto compacto es de 300 Nw. Calcular la potencia que debe entregar el motor en Hp. R: P = 22,62 Hp. 144) Rehacer el problema anterior, número 143, si el auto sube por una inclinación de 30° y el viento mantiene su resistencia en dirección horizontal. R: P = 248,431 HP . 145) Del problema número 143, considere ahora que el auto de 1.255 Kg baja por una leve inclinación de 5° a rapidez constante y el viento presenta una resistencia de 900 Nw. Paralela a la inclinación y calcule la potencia que debe entregar el motor. R: P = 6 HP . 146) Una ciudad consume 1,16x1011 Joules/año en energía eléctrica; calcular esta tasa en kilowatts; y si la población de la ciudad es de 2.640.370 habitantes, calcular el consumo promedio por ciudadano por cada hora. R: P = 3,68 Kilowatts. Consumo: 5,02 Watts/h. 147) Un ascensor vacío de masa 450 Kg puede subir 12 pisos (44 metros) en un tiempo de 35 segundos. Si el motor del ascensor suministra una potencia de 26 Hp ¿Cuántas personas con un promedio de masa de 62 kg pueden entrar en el ascensor? R: hasta 18 personas. 148) Un obrero levanta un saco de cemento de 42,5 Kg desde el suelo hasta una plataforma de 1,7 metros de alto en 4 segundos ¿Cuántos sacos puede subir a la plataforma si el obrero posee una potencia de 15 Hp en una hora de trabajo? R: 63,21 Sacos. 149) Un buque de pesca de 4x105 N. Se desplaza en un mar de aguas tranquilas a 26 Km/h; si sus motores entregan una potencia de 5.000 Hp, de la cual 82% es para la rapidez del barco. Calcular el coeficiente cinético de fricción con el agua. R: µc = 0,0658. 150) Nuestro corazón bombea unos 7.440 litros de sangre por día; si su trabajo se resume en levantar esa cantidad de sangre (densidad 1,05 g/cm3 ) una distancia vertical total, estimada en 16 metros a rapidez constante. Calcular su potencia en Hp. R: P = 0,02 Hp. o 14,18 Watts. 151) Una bomba de 1,5 Hp saca agua (densidad de 0,98 Grs/Cms3) de un gran tanque cilíndrico de tal forma que lo vacía en una hora, calcular el volumen de agua si esta es sacada a una rapidez promedio de 3 m/s. R: V = 139,82 m3. 152) Se requiere de una bomba para elevar 210 Lts de aceite (densidad 0,9 g/cm3) por minuto, a una altura de 4,3 metros. Calcular la potencia de la bomba en Vatios y Hp. R: P = 132,74 Watts. 0,18 Hp. 153) Del problema número 147, considere una fuerza de fricción promedio y constante sobre el ascensor de 3.500 N. Calcule: ¿Cuál es la capacidad máxima del ascensor? R: Hasta 12 personas 154) Un gimnasta de 76 Kg sube un total de 6 metros por una cuerda vertical a rapidez constante, en un tiempo de 6 segundos. Calcular la potencia aplicada. R: P = 744,8 Watts.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 187 155) Un pequeño elevador eléctrico de 36 Kg sube un a carga de 64 Kg desde el reposo; si al cabo de 4 segundos su rapidez es de 2 m/s. Calcular la potencia media del elevador y la potencia cuando sube a rapidez constante de 2,7 m/s. R: Pm = 1030 W. P = 2646 Watts 156) Una lancha se desplaza por el mar a 70 Nudos en rapidez constante; si el agua opone una resistencia al movimiento de 75 N. Calcular la potencia del motor. R: P = 3,15 Hp. 157) Una canal trapezoidal tiene un flujo de 1.200 Kg/s de agua de río; si esta masa cae desde una altura de 23 metros sobre un sistema de hélices generadoras de potencia al 70%. Calcular la potencia que pueden generar por minuto. R: P = 14.056,20 Hp. g) Colisiones 158) Si un enorme cometa de 100.000 toneladas impacta contra la tierra (mT = 5,98 x1024kg); a 3.000 Km/h. Calcular la rapidez del retroceso del sistema y la energía disipada en la colisión asumiendo la tierra en reposo. R: Vf = 1,4 x10-14 m/s. 3,47 x 1015 Joules. 159) Una bala de 7 gramos penetra un bloque de madera de 3 Kg, el cual está suspendido como un péndulo balístico por medio de una cuerda de 2 metros. Si la bala incrustada en el bloque logra un ángulo máximo de 20º con la vertical. Calcular la rapidez inicial de la bala y la pérdida de energía cinética en el sistema. R: Vo = 660,5 m/s. ∆Ec = -1.523,3 Joules 160) Un vagón de carga de bauxita de 1.550 Kg viene sobre un riel horizontal a 5 m/s, cuando choca con otro vagón cargado de 4.800 Kg en reposo. Si los vagones se acoplan. Calcular la rapidez final de ambos después del choque y la pérdida de energía cinética. R: Vf = 1,22 m/s.∆Ec = -14.649,3 J. 161) Del problema número 159, considere que la bala de 7 gramos atraviesa el bloque de 3 kilos y sale con un 5% de su rapidez de impacto. Calcule esta rapidez si igual el bloque penetrado abre un ángulo máximo de 20° con la vertical. R: V0B = 693,84 m/s. 162) Un deslizador de 0,48 Kg se mueve desde el reposo sobre un riela al aire sin fricción inclinado en 5º. Si al recorrer 122 Cms choca con otro deslizador de 0,35 Kg, mantenido en reposo. Calcular la rapidez de ambos deslizadores justo después del choque y la energía cinética final de ambos, si continúan juntos su recorrido. R: Vf = 0,835 m/s. ECF = 0,29J. 163) Del problema anterior, número 162, calcular ¿Qué distancia deben recorrer los deslizadores riel-abajo para obtener la misma energía cinética inicial antes del choque? R: d = 0,763 m. 164) Un camión de 6.300 Kg viaja hacia el norte a rapidez de 20 Km/h cuando choca con un auto de 1.460 kg que va hacia el este a rapidez de 46 Km/h. Si el auto rebota del camión con rapidez de 12 Km/h a 20º al norte del este. Calcular: Módulo y dirección de la velocidad final del camión, y la pérdida de energía cinética en el choque debida a las deformaciones en los vehículos. R: VfC= 5,74 m/s. = 67,2º Al N-E. ∆EC = - 8.000 Joules

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 188 165) Una bala de 9 gramos se dispara horizontalmente contra un gran taco de madera de 2,3 Kg, que está en reposo sobre una superficie horizontal de µc = 0,39; si la bala queda incrustada en el bloque, el cual desliza 0,19 metros hasta detenerse. Calcular la rapidez inicial de la bala antes del choque y la rapidez inicial del sistema bloque-bala después del choque. R: VB = 309,2 m/s. Vos = 1,205 m/s. 166) Rehacer el problema anterior, número 165, si el taco de madera de 3 kilogramos esta sobre una superficie inclinada en 12° y este sube los 19 centímetros como máximo cuando la bala lo impacta en paralelo con la inclinación. R: VB = 380,1 m/s. 167) Una bola de billar de 400 gramos se mueve sobre tela a 0,6 m/s, cuando choca con otra bola de billar que está en reposo. Si ambas bolas continúan moviéndose en línea recta, y la primera lo hace a 10 Cms/s. Calcular la rapidez final de la bola inicialmente en reposo y diga si es un choque elástico. R: Vf = 0,5 m/s. Es inelástico. ∆EC = - 0,02 Joules 168) De los problemas números 165 y 167, calcular el valor del coeficiente de restitución (R) de las colisiones. R: R165 = 0. Choque inelástico perfecto. R167 = 0,67 Choque inelástico 169) Un camión de 3.500 Kg viene a 54 Km/h, cuando choca y arrastra una roca en el camino que está en reposo. Si el sistema auto roca tiene una rapidez de 11 m/s después del impacto, y ruedan por la vía horizontal un total de 8metros hasta detenerse. Calcular la masa de la roca y el coeficiente de roce cinético en la vía. R: M = 1.272,73 Kg. µC = 0,772. 170) Suponga deslizadores 1 y 2 de masas 350 y 550 gramos que se mueven sobre un riel de aire sin fricción con velocidades de 2 y -3 m/s respectivamente. Si los deslizadores van el uno hacia el otro y chocan con unas defensas especiales (choque elástico); calcular la velocidad final en cada uno después del choque. R: Vf1 = - 4,11 m/s. Vf2 = 0,89 m/s. 171) Un auto compacto de 1.100 Kg viaja a 30 m/s cuando choca con la parte trasera de un camión de 4.400 Kg que viaja en la misma dirección y sentido a 12 m/s. Si la rapidez final del auto es de 19 m/s en el sentido inicial; calcular la velocidad final del camión y la pérdida en la energía cinética por el choque. R: VfC = 14,75 m/s. ∆EC = -134.612,5 Joules 172) Una masa de 2 Kg suspendida por una cuerda de 1,8 metros, desde los 55º con la vertical se suelta. Si la masa choca con otra masa idéntica en reposo, como se indica. Calcular el ángulo máximo que separa la segunda masa con la vertical, si la primera avanza después del choque a 0,6 m/s. R: = 45,95º 173) Una masa de 110 gramos baja desde el reposo por una pendiente rugosa de 30º de inclinación, a razón de 3,9 m/s2 ; cuando ha recorrido 1,3 metros, se le dispara una bala de 18 gramos paralela a la pendiente que la hace subir hasta su posición inicial. Calcular la rapidez de la bala antes del choque, si la misma queda incrustada. R: VoB = 42,09 m/s.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 189 174) Un joven de 43 Kg se lanza a 2,46 m/s desde el extremo de un bote de 123 Kg, en reposo. Si el bote se detiene después de recorrer 3,6 metros; calcular la rapidez de retroceso del bote y el coeficiente de fricción cinética entre el bote y el agua. R: VfB= 0,86 m/s. µC = 0,0105. 175) Un bloque de masa 3,6 Kg se suelta desde el punto “A” sobre una pista sin fricciones, como se indica en la figura, choca con un segundo bloque en “B” de 5 Kg en reposo y ambas continúan juntos. Calcular la rapidez después del choque de los bloques sobre la superficie. R: Vf = 3,707 m/s. 176) Del problema anterior, número 175. Si el choque entre las masas tiene un coeficiente de restitución de 0,9 y calcule sus rapideces finales. R: VfA = 8,34 m/s. VfB = 0,37 m/s. 177) Una bala de 14 gramos se dispara horizontalmente contra un bloque de cemento de 5,6 Kg que está sobre una superficie horizontal de µC = 0,65. La bala atraviesa el bloque y sale a 160 m/s. Si el bloque se mueve 30 Cms antes de detenerse; calcular la rapidez inicial de la bala y la energía cinética perdida en el choque. R: Vo = 942 m/s. ∆EC = - 6.021,6 Joules. 178) Una flecha de 150 gramos se dispara en horizontal contra una madera de 4 kilos suspendida por una cuerda de 3 metros, si la flecha se incrusta y el sistema abre un ángulo máximo de 12°. Calcule la rapidez inicial de la flecha y la perdida de la energía cinética. R: V0 = 31,37 m/s. ∆EC= - 71,2 J. 179) Del problema anterior, número 178, calcule el ángulo máximo con la vertical que abre la masa de 4 kilos con la flecha incrustada, si esta impacta a 50 m/s. R: max = 19,2°. PROBLEMAS DE DESAFIO 180) Sobre un plano inclinado en 29º y a 3 metros de distancia, se lanza un bloque de masa “m” hacia abajo a 3 m/s. Choca con un resorte deformándolo en 40 Cms. Ver figura. Calcule la distancia máxima que el bloque sube por la inclinación desde el del resorte sien la superficie existe un µC = 0,28. R: d = 1,35 m. 181) Una partícula de masa “m” se deja caer desde una altura “h” por una inclinación de ángulo con la horizontal. Si la masa sube por un semicírculo de radio “r”, como se indica en la figura del problema, y no hay fricciones; calcular la relación de la altura “h” en función del radio “r” para que la partícula llegue al punto “B” de máxima altura en el semicírculo. R: h ≥ 5/2 r.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 190 182) Un tren de 300 toneladas se eleva 700 metros cuando recorre 3 Km por una inclinación, desde el reposo, con aceleración constante; si la rapidez media es 16 Km/h y la fuerza de rozamiento igual a 4,5% del peso. Calcular la variación en la energía cinética, el coeficiente de fricción por rodamiento y la potencia media de la locomotora. R: ∆EC = 1,185 x 107 J. µR = 0, 046. P = 3,64 x 106 Watts. 183) Un cuerpo de 4 Kg es lanzado con una rapidez inicial cuyo valor al cuadrado es de 7 veces el radio, sobre una superficie circular, como la indicada en la figura. Calcular el ángulo en donde el cuerpo pierde contacto con la superficie. Si durante el recorrido horizontal actúa una fricción de 4,6 Nw. R: = 34,256º 184) Una masa “M” rueda desde el reposo desde la cima de un semicírculo. Calcular el ángulo con la vertical en donde la masa pierde el contacto con la superficie; si no existen fricciones. R: 48,19º. 185) Una roca de masa “M” atada a una cuerda ligera de longitud “L”, se hace girar en un círculo vertical, sin fricciones. Calcular la tensión de la cuerda en el punto más bajo, punto B, en relación con la tensión de la cuerda en el punto más alto, punto A. R: TB = TA + 6 M.g. 186) Un joven está en reposo sobre una plataforma apoyada en 5 resortes que se comprimen en0,33 metros cada uno con el peso del joven y la plataforma. Si él salta sobre la plataforma y la comprime un máximo de 0,97 metros. Calcular la altura máxima que alcanza luego de impulsarse verticalmente hacia arriba, en referencia a la posición de equilibrio. R: Ymáx = 45,6 Cms. 187) Del problema número 104, considere que al bloque de 7 Kg se le aplica una fuerza de 16 Nw paralela a la inclinación en sentido ascendente; calcule el cambio en la energía cinética a los 4 metros por la inclinación y el trabajo no conservativo cuando ha subido 5 metros. R: ∆EC = - 159,88 Joules. WNC = - 55 Joules. 188) Del problema número 124, calcule el trabajo no conservativo que realiza la fricción cinética en la semicircunferencia, considerada como áspera, si la bola de cobre sube un máximo de 65° con la horizontal en contacto, después de pasar el punto “B”. R: WNC = - 6,69 Joules. 189) Una masa de 5 Kg choca horizontalmente contra un resorte a una rapidez de 5 m/s, como lo indica la figura. Si la masa comprime al resorte y luego éste recupera su longitud natural y la masa sale del mismo con una rapidez de 4,2 m/s. Calcular el trabajo que realiza la fricción cinética, la constante de elasticidad del resorte y la deformación de este; si existe un coeficiente de roce cinético de 0,33. R: WNC = -18,4 J. ∆x = 0,57 M. K = 384,73 N/m.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 191 190) Del problema número 113, ¿Qué rapidez tiene el ascensor cuando ha deformado al sistema de tres resortes en 150 Cms?; y calcule su aceleración allí. 191) Del problema número 115, calcule la rapidez de la piedra cuando ésta alcanza 20º con la vertical, después de pasar el fondo de la porcelana. R: Vf = 4,52 m/s 192) Del problema número 116, calcular la deformación en el resorte y su constante de elasticidad; si los sacos de 21,5 Kg llegan al resorte a 2,54 m/s. Y no rebotan de él, permanecen estáticos deformando el resorte. R: ∆x = 0,677 M. K = 311,5 N/m. 193) Una caja de 2 Kg comprime a un resorte horizontal de constante680 N/m, deformándolo en 40 Cms. Si la caja se libera desde el reposo para luego subir por una inclinación con coeficiente cinético 0,32. Hasta detenerse en5 metros por esta. Calcular el ángulo de la inclinación. R: = 14,17º. 194) La siguiente figura muestra el choque elástico de dos discos de jockey de 0,3 Kg, sin fricciones. El disco 1 viene a 5 m/s cuando choca con el disco 2 que está en reposo. Si la Vf1 = 3 m/s. Calcular la rapidez final 2 y las direcciones y . R: Vf2 = 4 m/s. = 53,13º. = 36,87º 195) Un bloque de 1,7 Kg se mueve a 5 m/s sobre un plano horizontal sin fricción, cuando choca con un resorte que está unido a una masa de 2,5 Kg de constante K = 400 N/m que se mueve hacia la izquierda a 4 m/s. Ver figura. Calcular la velocidad de la masa de 2,5 Kg cuando la masa de 1,7 Kg en contacto con el resorte tiene una velocidad de 2i m/s. Y la deformación del resorte si la colisión disipa 15 Joules en ese momento. R: Vf2 = - 1,96 m/s. ∆X = 0,3 m. 196) Una bala de 0,012 Kg choca con un taco de madera de 0,3 Kg, suspendido por una cuerda de 0,7 metros, ver figura. Si al atravesar el taco, sale con una rapidez de 1/3 de su rapidez de impacto. Calcular el valor mínimo de ésta para que el taco realice una vuelta completa. R: Vo = 219,6 m/s. 197) Una bala de 9 gramos disparada a 150 m/s contra un bloque de madera de 1,2 Kg fijo por medio de una prensa de rosca, la bala lo penetra en 12 Cms. Si se quita la prensa y el bloque se coloca sobre una superficie horizontal con µC = 0,50 y se le dispara otra bala idéntica. Calcular la profundidad que penetra esta bala y la distancia que se mueve el bloque. R: P = 11,96 Cms. d = 0,212 m.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 192 198) En un juego de bolas criollas, una bola de 1,05 Kg tiene una rapidez de 1,7 m/s cuando golpea a otra bola de 0,954 Kg en reposo. Si las bolas salen en las direcciones dadas en la figura. Calcular sus rapideces finales y la pérdida de la energía cinética. R: Vf1 = 1,32 m/s. Vf2 = 0,95 m/s. ∆EM = - 0,17 J. 199) Un bloque de masa “M” se lanza hacia arriba, a lo largo de un plano inclinado en 36º con la horizontal, con rapidez de 17 m/s. Si el bloque vuelve al punto de partida con la mitad de su rapidez inicial. Calcular el coeficiente de roce cinético, y la distancia máxima que el bloque sube por la inclinación. R: µC = 0,436. dmax = 15,68 m. 200) Del problema número 102, calcule el radio de la superficie circular, por donde se lanza la masa de 1,7 Kg. Si la normal en el punto “B” es igual a 60 N. R: r = 2,172 m. 201) Del problema número 40, calcule a que distancia se detiene la persona que se lanza en el Benji, del piso, si la constante de elasticidad de este es de 150 N/m. R: d = 10,2 metros.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 193 CAPÍTULO VII: DINÁMICA ROTACIONAL Prerrequisitos del tema: Dinámica lineal y circular. Movimiento angular. Motivación: ¿Por qué un cuerpo gira? ¿Cuántos tipos de equilibrio estático existen? ¿Qué es el pivote del cuerpo? ¿Qué es un eje de giro? ¿Cuántos giros y sentidos habrá en un cuerpo espacial? ¿Qué es un sólido rígido? Desarrollo del tema: Hasta ahora hemos considerado los cuerpos como partículas con masa; cuerpos o sistemas que se mueven por fuerzas, que a su vez realizan trabajo físico, representando una energía almacenada. Luego si en el avance en la realidad del movimiento, ahora consideramos las dimensiones del cuerpo con un punto del plano o el espacio llamado y calculado como su Centro de Masa o de Área, es lógico pensar que cualquier fuerza no alineada con este punto, ocasionará un giro en él. Entonces se define el sólido rígido como aquel cuerpo evidentemente masivo con dimensiones y con la suficiente rigidez para que las fuerzas aplicadas, no lo deformen o lo quiebren, (consideración), de tal forma que ahora no solo puede desplazarse trasnacionalmente, sino que puede girar su punto pivote, por cada plano coordenado en sentido horario o antihorario. Nace así la dinámica rotacional de sólido rígido, contentiva de las temáticas en orden de: Velocidad y aceleración angular, el momento de inercia como escalar característico de los cuerpos o sistemas, en la idea de una “Resistencia” al giro, la torsión en una y dos dimensiones como vector momento de torque, el estudio dinámico sobre las poleas masivas, el vector momento angular y su conservación, y las energías asociadas a un cuerpo que gira. Todo ello con deducciones formularias que vienen a confirmar lo hasta ahora visto en la mecánica clásica, en una especie de mezcla de deducciones. TEMA 1) Cinemática y dinámica rotacional Si a un cuerpo rígido, trapecio azulado, al que se le aplica una fuerza tangencial en el punto “P”, ocasionándole, un giro en sentido positivo antihorario, vencidas las posibles fricciones, ver siguiente esquema de un cuerpo representado por una figura trapezoidal; donde la masa adquiere velocidad lineal y aceleración tangencial constante si la fuerza lo es, pero diferente según la distancia radial al centro de giro. En este caso asumido en el origen del plano coordenado, “O”, a distancias r1 y r2 , respectivamente. 1.1) Cinemática angular: Las velocidades y aceleraciones constantes tangenciales, al ser divididas entre el radio o la distancia al centro de giro de donde se consideren, producen valores constantes denominados: velocidad angular , y aceleración angular , vistas en la cinemática angular del movimiento circular capítulo IV. Con

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 194 Donde sus valores medios son: , con magnitudes de rad/s, y rad/s2 . Respectivamente. Estas magnitudes se consideran constantes porque el cuerpo es un sólido rígido; es decir, no puede ninguna de sus partes tener aceleración angular diferente en vista que entonces el cuerpo se estaría separando o rompiendo, donde de existir varias fuerzas actuantes se asumen como una fuerza neta o resultado. 1.2) Torsión: Entonces la fuerza aplicada a una distancia “R” del punto de giro, llamado “Pivote” ocasiona o tiende a ocasionar, un giro en el sólido rígido denominado “Torque o Torsión” del cuerpo. Tal magnitud es un vector, denominado con la letra griega “Tau” , aunque más reciente se ha estandarizado la letra “M” denominándose “Momento de Torsión” El Momento de Torsión es un vector, proveniente del producto cruz entre el vector distancia “R” desde el pivote a donde se aplica la fuerza, y el vector Fuerza accionada, en ese orden del producto, con el ángulo Tita entre las direcciones de estos vectores, ver siguiente esquema; es decir, el torque como magnitud ocurre solo con la componente perpendicular entre la fuerza y la distancia al centro de giro: Consideraciones a) Si el ángulo tita es cero o 180°, no hay torsión, porque la fuerza está alineada o direccionada con respecto a la distancia “R”, y no ocasionaría giro o tendencia a giro del cuerpo rígido con respecto al eje que se encuentra en el pivote “O”. b) Si el ángulo tita es 90°, el torque es el producto entre las magnitudes R y F. O sea, para un ángulo intermedio, existirá una parte de la fuerza que hace torsión y la otra parte no, por estar alineada. c) Si la fuerza se aplica sobre el pivote; es decir, no hay distancia de acción, entonces el torque o torsión es nulo al no existir la llamada PALANCA. d) El vector momento es perpendicular al plano que contenga a los vectores distancia “R” y fuerza “F”, en el sentido de giro, con respecto a cualquier eje coordenado: horario negativo o antihorario positivo. e) El torque o torsión es de magnitud “Joules” o Libra-Pie, al ser distancia por fuerza; sin embargo, en vista que es un vector, a diferencia del trabajo físico y las energías, se denomina Newton-Metro en el sistema internacional, quedando el Joule esas medidas escalares. f) A nivel de Física I, solo se verán torsiones con respecto al plano XY; es decir, fuerza y distancia pertenecen a este plano, entonces la torsión ocurre solo alrededor del eje “Z” en sus dos posibles sentidos, interpretado como antihorario o positivo que “Sale” y horario o negativo que “Entra” al plano. Ley de la mano derecha del producto cruz entre vectores y cinemática circular en el sentido del giro.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 195 g) Cada fuerza aplicada al cuerpo o sistema, puede producir un torque con su respectiva distancia de acción, al punto pivote escogido o dado; entonces se habla de la sumatoria de momentos a cualquier punto “a” dado con respecto al punto de giro como torque neto o resultante: . Ecu. 7.2. Donde es evidente que existen una serie de teoremas relacionados con el torque y la fuerza neta, y la posibilidad de las llamadas fuerzas pares, en acción de palanca o de equilibrio. 1.3) Dinámica o Estática del sólido rígido: Cuando un cuerpo o sistema de cuerpos se mueve en uno o ambos ejes coordenados, se habla de traslación acelerada o a velocidad constante, caso contrario solo para el reposo se denominada condición de Equilibrio I por eje referencial, visto en la dinámica clásica. Luego cuando un cuerpo rígido o sistema permanece sin girar con respecto a un punto o eje dado, se denomina condición de Equilibrio II, por eje referencial. Se habla entonces de variadas posibilidades de movimiento o reposo para un sólido rígido donde la existencia del equilibrio I y II, se denomina Estática del cuerpo o EQUILIBRIO TOTAL, que no debe confundirse con la inercia del cuerpo, pues esta condición abarca el movimiento a rapidez constante. Las expresiones en la dinámica completa de la Estática en el plano son: ∑Fx = 0, ∑Fy = 0, y ∑Mo = 0. Lo cual reabre todo un nuevo esquema en la resolución de problemas para un cuerpo dimensionado, en el sentido que ahora se cuenta con la relación dinámica de la torsión, pudiendo resolverse situaciones de hasta tres incógnitas.21 Que no era posible en la dinámica lineal o circular del plano. Entendiendo que la sumatoria de momentos de torsión con respecto al eje Z en el plano se hace con respecto a un punto escogido de estudio, el cual se denominada según la simbología en el cuerpo dado: o, a, b, 1, 2. Entre otros. Y que la búsqueda del equilibrio, a pesar de la omnipresente gravedad que ocasiona el peso de los cuerpos, será la idea general en la resolución de estos ejercicios, caracterizado por un D.C.L en donde ya no es un eje referencial en un punto de acción de todas las fuerzas aplicadas, sino que este evoluciona a un dibujo con las dimensiones del sólido rígido, con las fuerzas aplicadas en distancias dadas o por descubrir. Para cerrar se debe tener en cuenta la escogencia del punto de estudio de torsión, como decisión idónea, pues puede ocurrir que la ecuación obtenida no ofrezca solución a lo planteado, sea incongruente, o incluso sea la confirmación de alguna de las ecuaciones del equilibrio I, ya establecidas. Ejemplo 7.1: Una viga de 10 metros es no uniforme, de tal forma que su peso de 100 Newton actúa a 6 metros de su borde izquierdo, si soporta las cargas indicadas en los extremos de 500 y 300 N. Respectivamente. Y a 8 metros de este borde, (a 2 metros del borde derecho), está un apoyo vertical de 400 Newton. Calcular la magnitud y posición del otro apoyo, para que la viga este en equilibrio total. 2 más adelante el estudiante descubrirá el llamado equilibrio total en el espacio; donde existen seis ecuaciones posibles al agregar para el equilibrio I, la ∑Fz = 0, y para el equilibrio II, las ∑Mx = 0 y ∑My = 0. O sea traslación y torsión con respecto a los tres ejes coordenados.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 196 Respuesta: Al tratarse de un sólido rígido dimensionado, el primer paso de resolución para ejercicios de torsión consiste en identificar los puntos de acciones de las fuerzas y/o de interés, en una nueva tipología del DCL, como se mencionó; este caso se usa la simbología de letras mayúsculas en el orden común ∑Fy = 0. Implica: 400 + RB - 900 = 0. Implica que RB = 500 N. La ∑Fx. No es necesaria en vista que no hay fuerzas en la horizontal. Luego se “Escoge” el punto de estudio para la torsión o torque. En este caso nulo, por estar en equilibrio total; es decir, para cualquier punto seleccionado sobre la viga, la sumatoria de momento de torsión debe ser cero. Tomándose en el punto “A”, se tiene que ∑MA = 0. Es: 0.(500) + d.(500) - 6.(100) + 8.(400) - 10.(300) = 0. De donde se obtiene que: d = 0,8 metros. Se concluye que la distancia de acción del apoyo o reacción “B” calculada en 500 N. Actúa a 0,8 metros del borde izquierdo, para que la viga, este en equilibrio total. En este ejemplo es importante destacar que: La fuerza de 500 N. No hace torsión por estar sin distancia, al ser el punto escogido para el estudio, sobre el eje “Z”, los apoyos realizan torque en este eje positivos, (antihorarios), y el peso de la viga a 6 metros y la fuerza de 300 N. En el borde derecho realizan torques negativos, (sentido horario). Ejemplo 7.2: Un andamio de 50 Kg uniforme. Esta sostenido por tres cuerdas como se indica en la figura, si un albañil está a ¼ de la longitud del borde derecho y su masa es de 100 Kg. Calcule la magnitud de las tensiones para un equilibrio total, si se muestran los puntos indicados y la numeración de las tensiones. Respuesta ∑Fy = 0. Otorga la relación: T1 + T3 (0,8) = 1470. ∑Fx = 0. Implica que: T3 .(0,6) - T2 = 0. Sistema de tres incógnitas con solo dos ecuaciones dinámicas. Estudio de momento de torsión en el punto “d”. ∑M d = 0. Es: ¼.(L).980 + ½.(L).490 - (L).T1 = 0. De donde se elimina el valor de “L” longitud del andamio, por estar en todos los términos, y se obtiene, T1 = 490 N. En este estudio de momento en el extremo “d”, la tensión T2 , no realiza torque por esta direccionada o en la horizontal; es decir su acción no produce giro. Seguidamente se calculan las otras tensiones, como T2 = 735 N. Y T3 = 1.225 N.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 197 1.4) Torsión para sólidos inclinados y en dos dimensiones: Una inclinación en el movimiento traslacional en la dinámica clásica puntual, representa por lo general una división en las expresiones vectoriales de las fuerzas aplicadas al cuerpo; donde, precisamente y como estrategia de facilidad se usaba el llamado eje inclinado Y| X| . En el tema de la torsión del sólido rígido, en su dinámica o estática, la inclinación no afecta su estudio, en vista que el giro seguirá siendo en horario o antihorario con respecto al eje “Z”, e independiente de la inclinación donde se asume que inicia o pueda iniciar la torsión; es decir, por costumbre se puede relacionar el giro a los ejes referenciales naturales, con tan solo manejar con lógica, las distancias desde el pivote elegido a las fuerzas aplicadas perpendicularmente, que son las posibles a ocasionar el giro del sólido según el caso equilibrarlo. Seguidamente cuando el sólido pertenece al plano, de tal forma que su forma sea en dos dimensiones; o sea, no está solo representado en una dimensión o recta, como los ejemplos vistos hasta ahora. Entonces todo es cuestión de realizar un claro DCL, para ubicar en el plano tanto las fuerzas cada una con sus respectivas distancias al pivote del cuerpo o al punto elegido a estudiar el torque, en la dirección que corresponda: horizontal con fuerza o parte de fuerza vertical, y/o viceversa. Ejemplo 7.3: Una escalera de 20 metros de largo y 15 kilogramos, está apoyada contra la pared de tal forma que proyecta 16 metros sobre esta y 12 metros al piso, si un obrero de 70 Kg. Está a 4/5 de su longitud, y el coeficiente estático de la escalera con la pared es de μe1 = 0,8. Calcule las normales actuantes y el coeficiente estático entre la escalera y el piso, para que no caiga o deslice. Respuesta: En el dibujo de la escalera apoyada, la idea del ejemplo es que está no deslice o rote en sentido horario, que sería su única posibilidad; en ese sentido es que se colocan las direcciones de las fricciones estáticas en los extremos apoyados, donde las normales siempre son perpendiculares a la superficie de apoyo, por su definición. Estudio dinámico: ∑Fx = 0. Implica: N2 .(μe2 ) - N1 = 0. ∑Fy = 0. Aporta la relación: Na + N1 .(0,8) = 833. Con el hecho de que: Fe2 = Na .(μe2 ) Y Fe1 = N1 .(μe1 ). Dos relaciones y tres incógnitas. El sólido rígido está inclinado, y aunque su estudio de torsión se podría hacer por esta dirección, donde se deben expresar los pesos de la escalera y el obrero, así como las normales y fricciones en vectores divididos: Por la inclinación y perpendiculares con el ángulo a calcular; la lógica dice que el estudio del posible giro a evitar se haga en eje derechos, para lo cual se requiere reconocer las distancias a las fuerzas. En ese sentido se calcula que la escalera esta inclinada en 53,13° por Tan-1(16/12). Que la distancia al peso de la escalera desde su base es 6 metros, y que la distancia al peso del obrero es 4/5.(12) = 9,6 m.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 198 El estudio se realiza a convenir, en la base, porque se anula la acción de dos posibles torques, esto es ∑M2 = 0. Implica: - 147.(6) – 686.(9,6) + 16.N1 + 12.(N1 ).0,8 = 0. Tercera relación que permite conocer la normal en la pared, como N1 = 291,70 N. Seguidamente se calculan la normal del piso y el coeficiente allí. Con las ecuaciones dinámicas en el eje “Y” y en el eje “X” respectivamente. N2 = 599,64 N. μe2 = N1 / N2 = 0,4865. Ejemplo 7.4: Una gran mesa de 250 Newton. Uniforme de dos metros de largo y 60 centímetros de alto, es halada por una fuerza que actúa inclinada en 46°. Si el coeficiente de fricción cinético con las patas es de 0,3. Calcule la fuerza “F” que la mueve a 1,5 m/s2 . Y las normales en cada par de patas, (si la mesa no realiza torsional). Según el siguiente DCL dado. Respuesta: Estudio dinámico: ∑Fx = m.a. La mesa se traslada por la horizontal aceleradamente Implica: F.Cos(46) – Fc1 – Fc2 = 25,51.(1,5). Esto es: F.Cos (46) – 0,3.(N1 + N2 ) = 38,265. ∑Fy = 0. Aporta la relación: N1 + N2 + F.Sen46 = 250. Dos relaciones con tres incógnitas. Interesante es que al existir el factor: N1 + N2 . En ambas relaciones, se puede calcular la fuerza actuante. F.Cos(46) – 0,3.(250 – F.Sen46) = 38,265. De donde se calcula F = 124,40 N. Se requiere del estudio de torsión para descubrir las normales, el punto escogido es la base de la normal 2, en vista que allí se anulan: La acción de las fricciones, de la normal 2, y de la componente vertical de la fuerza. Esto es: ∑M2 = 0. (La mesa no gira), implica: - 2.(N1 ) + 1.(250) - 0,6.(124,4).Cos46 = 0. De donde se calcula N1 = 99,08 N. Luego con la relación vertical, se calcula N2 = 61,44 N. Estrategia para resolver problemas de torsión REALIZAR EL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DEL SÓLIDO RÍGIDO, DONDE APAREZCAN LAS FUERZAS ACTUANTES, SUS DISTANCIAS CON ESTOS PUNTOS SIMBOLIZADOS. RECONOCER SI EL CUERPO ESTÁ EN EQUILIBRIO I, II, Y/O AMBOS. O ES UNA DE ESTAS LA CONDICIÓN PARA SU RESOLUCIÓN. DONDE NO NECESARIAMENTE UN EQUILIBRIO SIGNIFICA EL OTRO.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 199 DESARROLLAR LAS ECUACIONES DINÁMICAS DEL EQUILIBRIO I DEL PLANO, EN LA HORIZONTAL Y VERTICAL, SEGÚN LOS DATOS DE TRASLACIÓN O REPOSO. ELEGIR UN PUNTO DE ESTUDIO O PIVOTE A CONVENIENCIA SEGÚN LA DEFINICIÓN DE TORQUE, Y DESARROLLAR LA ECUACIÓN RESPECTIVA SOBRE EL EJE “Z”, EN EL PUNTO SELECCIONADO. RESOLVER LA O LAS INCÓGNITAS REQUERIDAS DEL SISTEMA DE ECUACIONES. TEMA 2) Momento de inercia, sus teoremas El momento de inercia es una magnitud escalar que caracteriza al sólido rígido particular como una condición de “Resistencia al torque”, siendo este individual o calculable en un sistema de cuerpos dados. En sí, es un valor intrínseco de la forma y masa del cuerpo en especie de una magnitud tipo “Inercia a la rotación”, similar como la masa es una condición y proporción de la inercia rectilínea de los cuerpos o sistemas, en la famosa ecuación: F = M.a. 2.1) El Momento de Inercia, (I): Su definición surge con el estudio del momento de torsión neto ocasionado por fuerzas que actúan sobre un cuerpo dimensionado, a distancias “ri ”, del pivote o punto de estudio al giro dado; véase siguiente esquema. Con cada fuerza que realiza torsión, (parte vectorial perpendicular al vector distancia “ri ” expresada como resultante en función de la única aceleración angular del sólido rígido como: FR = MT .r. . Entonces el momento de torsión total o resultante sobre el cuerpo, viene a ser: M = M.r.r. = (M.r2 ). . De donde se estableció que la cantidad escalar masa por la distancia al cuadrado, se denomina, “Resistencia rotacional”, o “Momento de inercia”, como: I = M.r2 Ecu. 7.3. Luego se obtiene la relación fundamental entre la torsión neta de un sólido rígido, y el momento de inercia, como: M = I. . Donde la condición vectorial de esta relación está, en la aceleración angular del cuerpo, en los sentidos horario o antihorario del giro, conocidos como ± . Es decir, la relación correctamente expresada para un torque o momento neto sobre un cuerpo, al existir diferentes fuerzas actuantes a distancias todas ellas de un punto único es: Con la aceleración angular adquirida o equilibrada, como constante y única del cuerpo rígido, entonces para un cuerpo representado por diferentes partes conocidas o un sistema de cuerpos, el torque neto se expresa, como: MR = ∑(Mi.ri2 ). = ∑( Ii ). . De donde surge la ecuación para varios cuerpos o partes de un mismo sólido rígido, del momento de inercia total o resultante, igual a la sumatoria de los momentos de inercia individuales con respecto siempre a un eje referencial común: IR = ∑( Ii ). Ecu. 7.5.