FÍSICA I Mecánica Clásica para Estudiantes de Educación e Ingenierías

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 100 PROBLEMAS PROPUESTOS a) Lanzamiento de proyectiles 1) Un jugador de golf golpea una pelota imprimiéndole una velocidad inicial de 162 Km/h con un ángulo de 50º con la horizontal. Hallar: Los vectores posición y velocidad a los 3 segundos. R: (86,78i + 59,32j) metros. (28,92i + 5,07j) m/s 2) Del problema anterior, número 1. Calcule el alcance de la pelota, la altura máxima y el tiempo en que tiene50 metros de altura. R: 203,44 m. Ymáx = 60,62 m. A 2,05 y 5 Segundos. 3) Un balón de fútbol sale del piso con un componente en la horizontal de la velocidad de 12,124 m/s con un ángulo de 30º. Hallar: la posición del balón en la altura máxima y el módulo y la dirección de la velocidad al volver al piso. R: (8,66i + 2,5j) m. 14 m/s. A - 30º. 4) De la situación planteada en el problema número 3, calcule módulo y dirección de la velocidad a los 15metros horizontales y su altura allí. R: 13,16 m/s. A–22,91º. 1,16 m. 5) Un beisbolista golpea una pelota a 50 cm sobre el piso con una velocidad de 46 m/s; si el ángulo es de 20º de elevación, diga si la pelota sale por la línea del campo central del estadio Chico Carrasquel, (400 pies de largo), cuya pared tiene una altura de 5 metros y la velocidad en ese momento. R: la saca por 86 Cms. (43,23i-11,9j) m/s. 6) Si el chute del balón en el problema número 3, es un tiro al arco, el cual se encuentra a una distancia horizontal de 11 metros (tipo penal); diga si hace el gol, considerando una altura del arco de 2,44 metros y la rapidez del balón allí. R: Es gol por 12,46 Cms. 12,27 m/s 7) Desde una altura de 68 metros se lanza una piedra con velocidad de 22 m/s a un ángulo de 30º por encima de la horizontal. Hallar el tiempo de vuelo, el vector velocidad final y su módulo, cuando la piedra llegue al suelo. R: 5,01 s. (19,05i-38,13j) m/s. | Vf | = 42,62 m. 8) Rehacer el problema anterior, para los ángulos de lanzamiento de: a) 0º, b) 40º y c) 30°. R: (22i- 36,51j) m/s. | Vf | = 42,62 m. en 3,73 s. (16,85i- 39,15j) m/s. | Vf | = 42,62 m. en 5,44 s. Y (19,05i- 38,13j) m/s. | Vf | = 42,62 m. en 2,77 s. 9) Un arquero lanza una flecha en llamas a 25 m/s con una inclinación de 76º, la flecha alcanza un pebetero que está a una altura “h” y a 15 metros horizontales, (juegos olímpicos España 92). Hallarla velocidad de la flecha al encender el pebetero y altura “h”. R: (6,05i – 0,44j) m/s. 30 metros. 10) Una pelota baja por un tejado de 16º de inclinación de un edificio de 35 metros de altura. Si la pelota deja el techo con una velocidad de 8 m/s encuentre la distancia horizontal desde el edificio en donde cae la pelota y su vector velocidad final. R:18.89 m. = 7,69i – 26,32j 11) Se lanza un balón de básquet desde la línea de los 3 puntos (6,5 metros) con rapidez de 10 m/s y a una inclinación de 38º desde una altura se 2metros. Diga si hace la cesta, (altura del aro 10’ ) y la altura máxima que alcanzada el balón. R: Falla por 69,7 Cms por encima. 3,94 m.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 101 12) Un famoso pitcher de las ligas mayores lanza la pelota a 92 millas/h con un ángulo de 356º (4º por debajo de la horizontal) hacia el receptor que está a 60 pies. El lanzamiento se hace desde una altura de 2,9 metros (incluye la altura de la lomita) y la zona de “línea recta”, está entre 2 y 3 pies de alto desde el piso. Encuentre el tiempo de vuelo, la rapidez final de la pelota y si ésta hace el (Straight). R: 0,446 s. 41,65 pies/s. Es “línea recta”. 13) Del problema número 11, calcule cuál debe ser la rapidez inicial del balón para hacer la cesta y que velocidad tiene en ese momento. R: 9,1 m/s. Vf = (71,7i – 3,29j) m/s. 14) Calcule cuál será la rapidez de la pelota de golf del problema número 1, si se desea alcanzar un hoyo a 200 metros horizontales y a una altura de 30 metros. R: 47,72 m/s. 15) Un cañón dispara una bala a 250 m/s y se requiere que alcance un blanco a 6 Km horizontales, calcule los ángulos posibles. R: 54,91° y 35,09°; ángulos complementarios. 16) Cuál será el o los ángulos de inclinación de la pelota de golf del problema número 1; si se desea alcanzar un hoyo que está a 100 metros horizontales y a una altura de 60 metros. R: 49,7º y 71,3º. 17) Del problema número 15, considere que el cañón dispara su bala desde una altura de 58 metros, cuáles serán los ángulos de disparo que permitan hacer blanco. R: 55,42º y 34,02º 18) Si una joven lanza una roca a 15m/s y con un ángulo de 330º, (-30º) desde una altura de 40 metros de alto. Encuentre la distancia horizontal que alcanza la roca desde el acantilado y el ángulo de impacto al pie de este. R: 28,5 m. A - 65,9º 19) Con qué ángulo de lanzamiento se logra que un proyectil tenga un alcance horizontal de 5 veces su altura máxima; y con qué ángulo se logra que su altura máxima sea el triple de su alcance. R: 38,66º. 85,24º 20) Un jugador de Fútbol chuta el balón desde los 46 metros horizontales con un ángulo de 38º de inclinación, en un largo tiro libre; sorprendiendo al arquero que estaba adelantado, haciendo el gol a 2,4 metros de alto. Cuál es la velocidad inicial que se le induce al balón y la altura máxima alcanzada. R: 22,31 m/s; Ymáx = 9,63 m. 21) Qué velocidad inicial le da un lanzador juvenil a una pelota, lanzada desde los 2 metros de alto hacia el receptor, con un ángulo de 358º, si la misma llega en la zona de línea recta, a 40 Cms de alto, después de recorrer los 60 pies que hay desde la lomita al plato y en cuánto tiempo. R: 41,35 m/s. 22) Cuál será la velocidad de una jabalina lanzada a 43º de inclinación desde una altura de 1,7 metros si alcanza los 90 metros horizontales, cuál es la altura máxima alcanzada y el vector velocidad final. R: 29.44 m/s. Ymáx = 20,57 M. = (21,53i – 20,8j) m/s. 23) Un francotirador dispara un proyectil sin inclinación del arma, desde una altura de 1,1 metros. Alcanza un blanco que está a 650 metros horizontales, a una altura de 0,6 m ¿Cuál es la velocidad inicial del proyectil y el tiempo de vuelo? R: 2.034,8 m/s en 0,32 Segundos.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 102 24) Un filtro de agua de un pasillo de la Universidad de Guayaquil dispara un chorro desde una altura de 5 Cms con respecto al plato de desagüe y alcanza una distancia horizontal de 23 Cms. Si el agua sale a un ángulo de 56º; encuentre la velocidad inicial de la misma y su altura máxima. R: 1,69 m/s. 15Cms. 25) Un arquero dispara una flecha y desea alcanzar una longitud máxima de 50 metros horizontales a la misma altura del lanzamiento; cuál será la velocidad inicial del proyectil, el ángulo de inclinación y la altura máxima que alcanza si el tiempo de vuelo es de 1 segundo. R: 50,24 m/s. = 5,6º. 1,23 m. 26) Un jugador de voleibol saca el balón golpeándolo desde los 2,6 m de alto, con un ángulo de 10º de inclinación 1mpor detrás de la línea de saque ¿Cuál será el rango de velocidad que le permita alcanzar la cancha del equipo contrario después de pasar la red a 2,43 m de alto que se encuentra en el centro de la cancha de 18 m de largo? 27) Un jugador de golf desea colocar la pelota en una meseta plana que está a 14 metros de distancia la cual tiene 12 metros de largo y está a una altura de 4 metros. Si el jugador debe colocar la pelota encima de la meseta, para salvar el juego. Cuál será el rango de velocidad inicial inducida para un ángulo de lanzamiento de 60º. 28) Una niña lanza horizontalmente una piedra a 12 m/s desde lo alto de una inclinación lineal de 65º. Qué distancia recorre la piedra por el lado inclinado, y con qué velocidad y rapidez impacta a dicho plano. R: d = 149,12 m. Vf = (12i – 51,45j) m/s. 52,85 m/s 29) Un bombardero B-17 de la Segunda Guerra Mundial vuela horizontalmente a una rapidez de 880 km/h a una altura de 0,5 Km. Cuánto tiempo y distancia antes de sobrevolar el blanco, deben soltar las bombas y cuál es el ángulo de incidencia de éstas en el blanco. R: 10,1 s. 2.469,2 m. A -22,04º 30) Un cañón dispara una bala a 25 m/s al pie de una colina de inclinación promedio de 25º; si el disparo se realiza con un ángulo de 23º sobre la línea de la colina ¿A qué distancia del cañón colina arriba cae la bala y qué tiempo está en el aire? R: 40,61 m. en 2,2 s. 31) Se lanza una roca desde los 1,7 metros de altura, con velocidad inicial de (12i + 12j) m/s. Si a 12 metros horizontales del lanzamiento se encuentra una pared de 28,21 pies de alto. Diga si la roca pasa la pared y halle el vector velocidad de la roca cuando ésta se encuentra en su altura máxima. R: Pasa por 20 Cms; = 12i m/s. 32) Una pelota de béisbol bateada desde una altura despreciable sale disparada hasta salir del parque a 380 pies horizontales y 8 metros verticales. Si el tiempo de vuelo de la pelota es de 5 segundos; cuál es su rapidez inicial y su ángulo. R: 34.9 m/s. = 48,4º. 33) Una catapulta romana lanza una roca desde los 6 m de alto con una velocidad inicial de (36i + 14j) m/s. Encuentre el vector posición de la roca a los 2 segundos de ser lanzada y cuando ha recorrido los 90 meros horizontales. R: (72i + 14,4j) m. (90i + 10,375j) m.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 103 34) Un balón de futbol chutado golpea el palo superior del arco a 2,44 metros de alto en una distancia horizontal de 30 metros, si el tiempo de vuelo es de 3,2 segundos calcule la velocidad inicial, su rapidez y ángulo de chute. R: (9,375i + 16,44j) m/s. 18,93 m/s. 60,31°. 35) Desde una altura de 70 metros se lanza una roca con rapidez e inclinación por encima de la horizontal, si la roca golpea el piso a 80 metros horizontales en un tiempo de vuelo de 7 segundos calcular su rapidez y ángulo de lanzamiento. R: 26,85 m/s. 64,81°. 36) Si se dispara un balín desde una azotea de 50 metros de alto con leve inclinación positiva del arma, si la bala choca con una pared a 40 metros de alto y a 100 metros horizontales en un tiempo de 2 segundos; calcular rapidez y ángulo del disparo. R: 50,23 m/s. 5,48°. 37) Rehacer el problema anterior, número 36 si el balín se dispara con un leve ángulo por debajo de la inclinación. R: 50,23 m/s. 354,51°. 38) Un proyectil es disparado con un ángulo sobre la horizontal, de tal forma que cuando lleva 6 segundos de vuelo su vector velocidad es de (15i – 7j). Cuál es la altura máxima alcanzada y el alcance total para cuando el proyectil regresa a la misma línea horizontal de lanzamiento. R: Ymáx = 136,9 m. r = 158,59 m. 39) Un avión de combate alemán, de la Segunda Guerra Mundial, realiza un bombardeo en picada a 30º con la vertical, suelta sus bombas a 80metros de altura del blanco, las cuales impactan 1,5segundos después. Cuál es el vector velocidad inicial del avión cuando realiza su ataque, con qué rapidez golpean sus bombas y qué distancia horizontal recorren éstas en su vuelo. R: (76,65i – 45,98j) m/s. A 97,76 m/s. X = 114,98 m. 40) Un buque de combate dispara sus cañones sobre una isla enemiga, sus proyectiles salen a 450 m/s desde una altura de proa de 6 metros con un ángulo de 20º de inclinación. Si la isla está a 10 Km y su costa de playa tiene una inclinación continua de 15º. Hallar la distancia de impacto del proyectil sobre la playa y el tiempo de vuelo. R: 1.869,3 m. En 27,92 s. 41) Del problema anterior, número 40,considere que, desde la playa en la isla, y a una distancia de 2.000 metros por la inclinación se dispara un proyectil a 400 m/s con un ángulo de 35º sobre la horizontal. Diga si el proyectil hace impacto en el barco y determine el tiempo de vuelo de este. R: Falla por 4.076,54 metros. en 48,96 segundos. 42) En las olimpiadas de invierno del 2014, un atleta baja por la rampa de 120 metros, en el salto de longitud con esquíes, como indica el dibujo del problema; si el salto se hace con un ángulo de 5º sobre la horizontal. Cuál será la rapidez inicial con la que el esquiador se impulsa si cae a 100 metros por el lado de la pendiente de 30º de inclinación y cuál será la esta rapidez si el esquiador salta sin inclinación. R: 25,36 m/s. 27,11 m/s

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 104 43) De la situación planteada en el problema anterior, número 42, se sabe por el recorrido sobre la rampa que el esquiador salta con una velocidad promedio de 24 m/s; de ser así, cuál será el menor ángulo de inclinación para lograr los 100 metros de salto. R: 10,45º. b) Rebote parabólico sobre rectas 44) Un niño lanza una pelota de goma desde 1,5 metros de alto contra una pared que está a 3 metros horizontales, a 12 m/s con un ángulo de 30º, la pelota vuela por encima del niño. Después de rebotar de la pared en donde conserva la rapidez y ángulo de impacto y se invierte sólo la componente horizontal de la velocidad. Hallar la distancia horizontal del rebote y la velocidad final de la pelota. 45) Un jugador de fútbol de la selección tricolor patea un balón a 20 m/s con una elevación de 40º, cuando éste está bajando es golpeado por la frente de un jugador a una altura de 2,3 metros; rebotando con la mitad de su rapidez, con el mismo ángulo de incidencia, invirtiendo sólo la componente vertical de la velocidad. Encuentre la distancia total horizontal cuando el balón regresa al piso y el tiempo total. R: 48,3 m. 3,87 S. 46) Del problema número 10, hallar la distancia horizontal de la pelota de un rebote desde el piso en donde la pelota conserva la rapidez de incidencia y rebota con una pérdida de elevación de 20º con respecto al ángulo de incidencia de la velocidad de choque con el piso. R: 73,20 m. 47) Un jardinero central lanza una pelota a 25 m/s desde una altura de un metro y con 40° de inclinación, la pelota rebota del piso y pierde un 50% de su rapidez e inclinación. Calcule el alcance total si la misma es capturada justo en el piso. R: 74,78 m. 48) Una pelota de Golf es golpeada a velocidad: (20i + 30j) m/s. Rebota de un piso de grama en donde pierde el 30% de su rapidez de impacto y el 20% de su ángulo de incidencia para rebotar sobre una loma de 10 metros de alto. Calcular la distancia horizontal total alcanzada. R: 175,12 m. 49) Rehacer el problema anterior, número 48 considerando que el rebote lo realiza sobre una vía de asfalto y tanto la rapidez como el ángulo de rebote se incrementan en un 10%. R: 250,17 m. 50) Un futbolista astuto golpea un balón con su cabeza desde los 2 metros de alto con rapidez de 10 m/s y una inclinación negativa de 40°, si el balón rebota del piso en donde pierde el 50% de su rapidez y conserva la inclinación de incidencia en el rebote; calcule la distancia horizontal total que recorre después de hacer una “campanita”. R: 5,48 m. 51) Un niño lanza una piedra contra una tabla inclinada en 30°, esta golpea a 7 m/s y a un ángulo de –10°, rebota a 4,9 m/s; si se asume que el ángulo con respecto a la tabla se conserva. Calcule el ángulo del rebote, y la distancia que avanza la piedra por el cuartón al rebotar. (Use ecuación 4.15 Rebote inclinado hacia arriba). R: = 50°; d = 1,44 m.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 105 c) Dos cuerpos que se cruzan o interceptan 52) Un arquero apunta su arco desde 1,7 metros de alto a una naranja suspendida a 23 metros de alto y a 20 metros horizontales. Si la naranja cae del árbol en el momento que el arquero suelta la flecha. Cuál será la rapidez inicial de la flecha para que ésta atraviese la naranja en los 1,7 metros del piso (altura del arco) y a los 5 metros de altura. R: 14,014 m/s. 15,25 m/s 53) Un futbolista de un club en Guayaquil chuta un balón a 35 m/s con 15º de elevación, otro jugador ubicado a 55 metros del que chuta parte con una aceleración constante para cabecear el balón a 2,5 metros del suelo. Cuál debe ser su aceleración para alcanzar el balón, si parte en el instante que sale el balón; y si parte ½ segundos después. R: 3,43 m/s2 . 7,67 m/s2 . 54) Del problema número 52, considere que la flecha se dispara con una rapidez de 60 m/s; encuentre donde y cuando ocurre la intercepción. R: a 21,84 m. en 0,487 s. 55) Un jugador de básquet realiza un pase desde los 1,8 metros de alto con 40º de elevación hacia otro jugador que está a 8 metros horizontales y se aleja a rapidez constante de 1,6 m/s. Cuál será la rapidez inicial del balón para ser tomada a 50 Cms del piso y la velocidad final de balón. R: 9,43 m/s. Vf = (7,22i – 7,88j) m/s. 56) Un campo corto está adelantado, a 80 pies del plato de bateo, cuando un jugador batea un “globito” con velocidad de (30i + 70j) pies/s desde 1 pie de alto. Si el jugador reacciona 1,5 segundos después. Cuál debe ser su aceleración promedio para atrapar la pelota justo en el suelo y la velocidad final de la pelota. R: 12,43 P/s2 . Vf = (30i – 70,54j ) pies/s. 57) Un arquero corre a 3 m/s para atrapar un balón que es chutado a 20 m/s con 60º de inclinación. Si el jugador se encuentra a 40 metros lineales y acelera a razón de 1,6 m/s2 . Cuál debe ser el tiempo perdido en la reacción del jugador para atrapar el balón a 50 Cms del suelo, y qué rapidez tiene cuando lo atrapa. R: 2,28 s. Vfy = 4,9 m/s. 58) Un joven arroja un plato a 12m/s verticales hacia arriba. Instantáneamente un francotirador ubicado a 45 metros horizontales y a la misma altura dispara una bala a 50m/. Diga cuál será la inclinación del arma y el tiempo de vuelo para impactar al plato. R: 13,89º. 0,927 s. 59) Una roca se lanza verticalmente hacia arriba con 20 m/s. Si un joven ubicado a una altura “H” y a 12 metros horizontales de donde se lanza la roca, dispara una piedra con una honda a 6m/s sin inclinación en ese instante. Diga cuál es la altura “H” para que la roca intercepte al objeto y la velocidad de éstos en el encuentro. R: 40 metros. Vf1 = (0,4j ) m/s. Vf2 = (6i – 19,6j) m/s. 60) Rehacer el problema anterior, número 59, considerando que el disparo del joven desde la azotea lo realiza con un ángulo de 8º de inclinación con la horizontal, y en un segundo después. R: 34,01 m. Vf1 = (-9,6j) m/s. Vf2 =(5,94i – 18,96j) m/s.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 106 61) Un acróbata salta con su moto a 80 km/h desde una plataforma de 50º de inclinación a 7 metros por encima de una pista por donde un tren de la misma altura de la plataforma viene hacia él a 100 Km/H. Si el tren destruye la plataforma y continúa avanzando en el momento que el acróbvata salta. Cuál es el largo máximo del tren para que el motociclista lo salte. R: 161,87 m. 62) Rehacer el problema anterior, número 61, si el tren choca con la plataforma un segundo después que el motociclista salta y disminuye su velocidad a 75 Km/H. R: 114,31 m. 63) Un bateador batea una pelota a (15i + 30j) m/s desde una altura de 50 Cms, si un campo izquierdo está a 100 metros y corre a rapidez constante un segundo después; calcule su rapidez para atrapar la bola a 2 metros de alto. R: Vo = 1,77 m/s. 64) Del problema anterior, número 63, diga a que distancia horizontal y a que altura el jugador atrapa la pelota si reacciona 4 segundos después del batazo y adicionalmente acelera a razón 2 m/s2 . R: 91,8 metros. A 0,7 metros de alto. 65) Una niña lanza una pelota a 10 m/s y con inclinación de 80°, un segundo después corre y captura su pelota a la misma altura del lanzamiento; calcule a que rapidez constante se mueve y a que distancia horizontal atrapa la pelota. R: 3,44 m/s. A 3,47 m. 66) Un joven lanza una pelota a (3i + 21j) m/s y acelera a 2,5 m/s2 un segundo después para recapturarla; calcule la posición y el tiempo para atraparla. R: (12,48. 2,56) m. En 4,16 s. d) Movimiento circular uniforme 67) Un reloj de pulsera tiene un radio de 2 Cms en su segundero. Cuál es la aceleración radial de la punta de esta manecilla que hace una vuelta en un minuto. R: 2,19 x10 -4m/s2 . 68) En una hélice de diámetro 2 metros que rota a 60 Rpm qué puntos tienen mayor velocidad angular, mayor velocidad lineal y mayor aceleración radial, los ubicados en la punta de la hélice o en la mitad de la distancia al eje de rotación. R: W2 = W1 = 3,28 rad/s. V2 = 6,28 m/s. V1 = 3,14 m/s. Y ar1 = 19,74 m/s2 . Ar2 = 39,44 m/s2 . 69) El planeta Tierra realiza una órbita solar en 365,25 días, si el radio promedio de la elíptica se establece en 1,5x108 Km. Hallar la velocidad lineal de la tierra y la gravedad solar (aceleración radial) que la mantiene en órbita. R: 29,865 Km/s. 0,006 m/s2 . 70) La rueda de un automóvil gira a velocidad angular constante de 4 rad/s. Si su diámetro es de un metro. Cuál es la velocidad lineal de la periferia del caucho y cuántas vueltas gira en 8 segundos. R: 2m/s. 5,09 vueltas. 71) Un ventilador industrial de 6 metros de diámetro gira a velocidad constante. Si la aceleración radial en el extremo de un aspa es de 40 m/s2 . En qué tiempo da una vuelta y a cuántas revoluciones por minuto gira. R: 1,72 s. 34,855 RPM.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 107 72) Un ciclista recorre una pista circular de 60 metros de radio en un tiempo de 20 segundos; si el diámetro de la rueda delantera es de 1 metro. Calcular la velocidad lineal del ciclista, aceleración del ciclista y número de vueltas de la rueda delantera por cada vuelta de la pista. R: 18,85 m/s. 5,92 m/s2 . 120 vueltas. 73) Un auto toma una curva en pista plana a 86 km/h, si la curva tiene un radio de 60 metros. Cuál es aceleración radial necesaria para que permanezca en la curva; y si la aceleración radial máxima para dicho auto es de 0,75g. Cuál debe ser el radio de la curva para que el auto la tome a esa velocidad. R: 9,51 m/s2 . 77,65 m. 74) Una rueda vertical giratoria, en un parque de diversiones, de 26 m de diámetro gira a 0,6rad/s. Si se coloca un eje (x, y) en el centro de la rueda, hallar: el vector aceleración radial en el punto más alto de la rueda, cuál es el tiempo que tarda en dar una vuelta, y qué ángulo barre en cada segundo. R: - 4,68j m/s2 . 10,47 s. 34,38º. 75) Una piedra al extremo de una cuerda de 135 Cms de largo, gira horizontalmente a una altura de 1,6 metros de un piso referencial, en un péndulo cónico; si la cuerda se rompe y la piedra cae al piso a 2 metros horizontales. Cuál es la aceleración de la piedra y a cuántos Rpm gira. R: 9,07 m/s2 . a 24,76 RPM. 76) Un ventilador gira a 230 Rpm. En qué tiempo ha realizado 50 vueltas y 123º, qué distancia lineal recorre un punto en el perímetro de su aspa de radio 20 Cms. R: 13,133 s. 63,3 m. 77) En el sistema Plato–Piña, (Plato de fuerza y piñón o casete de cambios), de una bicicleta, ambas piezas giran con la misma velocidad lineal al estar conectadas por la cadena. El plato es de 30 Cms de diámetro y gira a 3rad/s, la piña es de radio 5 Cms. Hallar la velocidad lineal y angular de ambas y la relación entre el número de vueltas del plato y la piña. R: 9 rad/s. 0,45 m/s. Relación 3:1. 78) Una partícula se mueve con rapidez constante en un círculo de diámetro 3 metros a razón de 1,8 m/s. Si en el centro del círculo se establece un eje coordenado, como se indica en la figura del problema. Hallar el vector de desplazamiento desde el punto “A” hasta el punto “B”, si se realiza en un tiempo de 3 segundos. R: (2,85i – 0,66j) metros. 79) Del problema anterior, número 78, calcule el vector desplazamiento y el tiempo si la partícula realiza 3,66 vueltas. R: (2,3i – 1,267j) m. En 19,17 s. 80) De la siguiente figura del problema, un ente gira en sentido antihorario desde el punto “A” hasta el punto “B”, cuál es su velocidad constante si el recorrido se realiza en 4 segundos y el circulo es de radio 10 metros. R:V p = (11,344) m/s.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 108 81) Del problema anterior, número 80, calcule el vector desplazamiento de “B” hasta “A” y cuantas vueltas a realizado en 20 segundos. R: (15,09i + 2,66j) m. 3,61 vueltas. 82) Un cigüeñal de automóvil gira a 2.500 Rpm. Cuál es la velocidad lineal de un punto ubicado a 15 Cms del centro de giro y la aceleración total allí. R: 39,27 m/s. 10,28Km/s2. 83) Si la tierra rotará a tal velocidad lineal en su ecuador (6,4x106 metros de radio) que la aceleración radial sea igual a la gravedad terrestre. Cuál sería esta velocidad angular de giro y qué tiempo duraría un día. R: 1,24x10 -3 rad/s. 84,62 minutos. 84) En el ciclo de exprimido de una lavadora automática de 0,7metros de diámetro, el tambor gira a 11 revoluciones por segundo. Cuál es la velocidad angular del tambor y la velocidad lineal de salida del agua. R: 69,12 Rad/s. 24,2 m/s. 85) Si una roca atada al extremo de una cuerda de 2 metros de longitud gira 30 vueltas por minuto como indica la siguiente figura del problema, si la roca inicia en el punto “p”. Diga en qué tiempo pasa por el origen coordenado, y cuál es el vector aceleración en dicho punto. 86) Del problema anterior, número 85, encuentre el vector desplazamiento realizado y su módulo. R: 87) Del problema, número 84. Calcular el vector desplazamiento y su módulo cuando la roca ha girado por 5,4 segundos. e) Movimiento circular variable o con aceleración tangencial 88) Un autobús entra a la redoma del ejército (diámetro estimado en 85 metros) a una rapidez de 60 Km/H, 8 segundos después sale de la redoma a 40 Km/H. Hallar módulo de la aceleración total del autobús al entrar y al salir de la redoma. R: 89) Un engranaje, de radio 30 Cms gira a 5 revoluciones por segundo, (RPS). Frena hasta detenerse a razón de 0,8 m/s2. hallar el tiempo en detenerse, el recorrido y las vueltas. R: 11,78 s. 55,5 m. N° = 29,45. 90) Del problema anterior, número 88, calcular el vector aceleración total a los 4 y 10 segundos de estar frenando. R: a4 = (- 129,17r – 0,8 ) m/s2. a10 = (- 6,67r – 0,8 ) m/s2. 91) Si en un movimiento circular antihorario de diámetro 6 metros la aceleración total es igual a 25 m/s2. Hallar la rapidez, aceleración radial y la aceleración tangencial del cuerpo que gira, si en ese instante la aceleración total tiene 35º con la línea del radio. .

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 109 92) Un ventilador parte desde el reposo y alcanza una velocidad angular de 20 Rpm en un tiempo de 3 segundos. Hallar la aceleración angular del ventilador, el número de vueltas para alcanzar esta velocidad y la rapidez angular a los 2segundos. R: 0,7 rad/s. 0,501 vueltas. Wf = 1,4 rad/s. 93) Si un ventilador de radio de aspa 50 Cms gira a 40 Rpm en sentido horario, se detiene al ser apagado en 20 vueltas. Hallar el tiempo en detenerse y vector aceleración total a 30 segundos antes de detenerse. 94) Un engranaje (radio 20 Cms) pasa de 20 RPM a 10 RPS en un tiempo de 5 segundos. Calcular la aceleración angular que ocasiona este cambio de rapidez y el vector aceleración total final. R: 95) El aspa de una licuadora de radio 4 Cms gira en sentido antihorario a 30 RPS, cuando se apaga se detiene en 13 vueltas. Hallar el tiempo en detenerse, la aceleración angular y tangencial y la rapidez inicial. R: T = 0,87S. = 217,5 rad/s2 . 8,7 m/s2 . 7,54 m/s. 96) Un péndulo simple de 60 Cms de cuerda se suelta desde los 60º de abertura izquierda con la vertical, si la rapidez en el punto más bajo es de 2 m/s y en un punto ubicado a 30º a la derecha de la vertical es de 1 m/s. Hallar el vector aceleración total en cada uno de estos puntos. R: a60º = 8,49 m/s2 .a0º = (- 6,67 ) m/s2 . a30º = (- 1,667 - 4,9 ) m/s2 . 97) Del problema anterior, número 96 encuentre el módulo y la dirección de las aceleraciones totales en los puntos indicados. 98) Un peso oscila en un círculo vertical cóncavo, (péndulo simple), con una cuerda de 1,3 metros, cuando tiene 59º con la vertical su aceleración total es de (16,31) m/s2 . Encuentre la magnitud de la aceleración radial, de la aceleración tangencial y de la velocidad en ese instante. R: ar = 13,98 m/s2 . aT = 8,4 m/s2 . 4,26 m/s. 99) Se toma una curva de radio 21 pies, a 10 m/s frena por 3 segundos hasta los 3 m/s; luego sale de la curva a 4 m/s2 en un arco de10 metros. Hallar el vector aceleración total en cada punto. 100) Una partícula describe una trayectoria de 40 metros de diámetro, como se indica en la figura, si VA = 22 m/s; luego de recorrer 50 metros de arco de curva llega a un punto “B” a 8 m/s. Hallar: Vector aceleración total en “B”, tiempo en ir a “B”, y tiempo y grados barridos hasta que la partícula se detiene.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 110 101) Del problema número 99, encuentre el módulo y la dirección de los vectores de la aceleración total en los puntos indicados en la curva. 102) Del problema, número 99, con el eje coordenado en el centro del círculo. Hallar el vector desplazamiento desde el punto “A” hasta el punto “B” y el vector desplazamiento, hasta que la partícula se detiene. 103) Exprese el vector aceleración total del punto “B” obtenido en el problema número 99, en función del plano establecido en el centro de la curvatura. 104) Una rueda de radio 2 metros gira a 33 Rpm se detiene por medio de una frenada en 2 vueltas. Hallar la aceleración radial a los 300º y 500º de estar frenando y aceleración angular que lo detiene. 105) Del problema anterior, número 103, calcule los tiempos en que la rueda se detiene, llega a los 300° y 500° respectivamente. 106) Un punto “E” al extremo de una rueda de 3 metros de radio está en la posición que se indica, en la figura del problema, con rapidez de 2 m/s. Al realizar un desplazamiento angular de 270º tiene una rapidez de 3,5 m/s. Calcular para este instante: El vector aceleración total, su módulo y dirección. b) Vector desplazamiento en función del plano. = 4,094 m/s2 a 4,2º en sentido horario a partir del radio. 107) Del problema anterior, número 105, encuentre el vector desplazamiento desde “E” hasta los 270°, su módulo y dirección. 108) Un cuerpo se mueve en sentido horario en un círculo de radio 3 metros, como se indica en la figura; el tiempo que tarda en moverse del punto “P” al punto “M” es 2 segundos. Encuentre los vectores posición de cada uno de los puntos y el vector desplazamiento para el eje dado, si VP=3 m/s; VM= 4 m/s. (1,5i + 2,6j) m. 109) De la situación planteada en el problema anterior, número 107, encuentre la aceleración angular del cuerpo, el tiempo en dar la primera vuelta (regresar al punto “P”) y la aceleración total en ese instante.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 111 110) Un engranaje de radio 25 Cms gira en horario a una velocidad angular de 65 rad/s. Si frena a razón de 0,8 m/s2 . Hallar el vector aceleración total a los 12 segundos y el número de vueltas hasta que se detiene. 111) Un ventilador industrial gira a 12 RPS, un aspa mide 250 Cms; al apagarse, en el motor se genera una frenada 2 rad/s2 . Calcular el tiempo en detenerse, rapidez lineal del aspa a los 25 S. De estar frenando, vector aceleración total en ese instante y cuántos radianes gira hasta detenerse. R: 112) Un auto de juguete describe su trayectoria circular de radio 5 metros, (figura del problema); en el punto “A” con 2 m/s y 2 segundos después está en la posición “B” a 8 m/s. Calcular: vector posición de los puntos “A” y “B” y desplazamiento de “A” hasta “B”. R: (0,67i + 2,5j) 113) Del problema anterior, número 112, calcular el recorrido hecho por el juguete desde “A” hasta el origen y módulo y dirección de la aceleración total en el origen coordenado. 114) En la situación planteada en el problema, número 111, encuentre el tiempo necesario en que el auto de juguete desarrolle una velocidad angular de 30 rad/s; y qué distancia ha recorrido en ese tiempo desde el punto “A”. 115) Un disco comienza a girar en horario desde el reposo a razón de 5 rad/s2 . Si un punto “Q” ubicado a 15 Cms del centro está a 57,3º de la horizontal en el primer cuadrante. Hallar para un tiempo de 2 segundos, el desplazamiento angular con respecto a la X+ , la velocidad lineal y el módulo de la aceleración total. R: 9 Rad con el x+ . V = 1,5 m/s. a = 15,02 m/s2 . 116) Un lanzador de disco olímpico lo acelera desde el reposo hasta una velocidad de 22 m/s en 1,6 vueltas; si el radio de giro es de 80cm. Hallar el tiempo de aceleración, aceleración tangencial y distancia total recorrida por el disco, si sale de 1,4 m de alto y a un ángulo de 50º con la horizontal. R: t = 0,73 s. aT = 30,09 m/s2 . D = 49,78 m. 117) Una sierra circular para corte de madera de 0,5 metros de diámetro parte del reposo acelerándose hasta alcanzar una rapidez angular de 145 rad/sen un tiempo de 0,15 minutos. Calcularlos grados que gira, el número de vueltas en ese tiempo y la aceleración tangencial. R: 37.385,67°. 103,85 vueltas. at = 8,06 m/s2 . 118) La rueda de una bicicleta pasa de 3 rad/s a 20 rad/sen un giro de 4,4 vueltas. Hallar el tiempo en cambiar su velocidad, aceleración y velocidad angulares final al cabo de 1/6 minuto. R: 2,4 s. 7,07 rad/s2 . 73,7 rad/s.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 112 119) De la siguiente figura, un cuerpo inicia “A” a 2 m/s y luego de girar por 20 segundos llega a un punto “B” con 25 m/s. Calcular el vector aceleración en “B”, el número de vueltas y el vector desplazamiento. f) Velocidad relativa bidimensional 120) Un joven cruza el río Cuenca (40 metros), a una velocidad de nado de 2,5 m/s. Si las aguas tienen una corriente transversal de 4 m/s. ¿Cuál es su rapidez relativa a un observador fijo, en qué tiempo cruza el río y qué distancia recorre? R: 4,72 m/s. en 16 s. 75,47 m. 121) Una avioneta vuela al sur a 150 Km/H; un fuerte viento de 40 Km/H a 30º al sur del este, afecta su vuelo. Cuál es la rapidez y dirección real de la avioneta y en qué dirección debe ir el piloto para realmente ir al sur. R: 48,2 m/s a 78,5º S-E. 37,4 m/s2 a 75,1º S-O. 122) Las gotas de lluvia que caen verticalmente sobre el parabrisa lateral de un auto que va con rapidez de 80 km/h, forman un ángulo de 35º por debajo de la horizontal. Cuál será la rapidez de la lluvia y qué rapidez tiene con respecto al auto. R: 15,55 m/s. 27,12 m/s. 123) Un gavilán de costa en Santa Elena vuela 40º por debajo de la horizontal a rapidez constante. Si el sol sobre él proyecta una sombra sobre la playa que va a 4 m/s. Cuál es la rapidez real del gavilán y su vector. R: 5,22 m/s. V = (4i – 3,36j) m/s. 124) Un bote de pasajeros que hace la ruta marítima entre las Santa Elena y playa yanque, va a una velocidad de 12 m/s en dirección 20º al Oeste del Norte; si una corriente marina fluye a 2 m/s en dirección al sur ¿Cuál es la magnitud y dirección de la velocidad del bote relativa al mar? R: 10,14 m/s a 66,14º al Norte del Oeste. 125) Una lancha viaja a 8 m/s a 33º al este del norte. Si un viento sopla a 8 km/h al sur y una corriente de 5 km/h al sur del este que afectan su movimiento ¿Cuál es la rapidez y dirección del motor de la lancha? R: 10,47 m/s. a 71,17º al Norte del Este. 126) Un auto acelera a (5i + 4j) m/s2 y un camión acelera a (2i – 2j) m/s2 . Si ambos parten desde el reposo desde un punto en común. Cuál es la velocidad relativa del camión con respecto al auto en 10 segundos y qué distancia los separa. R: (-30i – 60j) m/s. 335,41 m.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 113 PROBLEMAS DE DESAFÍO 127) Se lanza una flecha con inclinación, de tal forma que cuando está a una altura de 60 m su vector velocidad es de (50i – 8j) m/s. Hallar la rapidez inicial y el ángulo de lanzamiento de la flecha, así como la altura máxima alcanzada. R: 61,16 m/s. A 35,15º. Ymáx = 63,27 m. 128) Del problema anterior, número 127, encuentre la posición, con respecto al lanzamiento de la flecha a los 3,1 segundos de lanzada y el vector aceleración total en dicho punto de la trayectoria. R: (155; 62,07). (-9,75 + 0,94 ) m/s2 129) Desde un acantilado de altura “h” se lanza una piedra con un ángulo de 60º con la vertical, a los 6 segundos de vuelo la piedra alcanza una distancia horizontal de “2h” en el piso. Hallar la rapidez inicial de la piedra y la altura del acantilado. R: 31,51 m/s. h = 81,86 m. 130) Encuentre el ángulo menor de lanzamiento y la altura “h” de la situación planteada en el problema anterior, número 128. Si la piedra es lanzada a 25 m/s por encima de la horizontal y su tiempo de vuelo es de 5 segundos. R: 34,92º; h = 51,25 m. 131) Un niño astuto quiere golpear a otro niño con bolas de arena, lanza una primera bola a 18 m/s con 73º de elevación, luego lanza otra a menor ángulo e igual velocidad inicial, de tal forma que ambas lleguen al blanco propuesto, al mismo tiempo. Si el blanco está a un metro por encima del lanzamiento. Encuentre el ángulo del segundo lanzamiento y el tiempo entre los lanzamientos, así como la distancia horizontal. R: 20,18º. T = 2,38 s. 18,17 m. 132) Un balón es pateado horizontalmente desde una altura de 50 m. Si se escucha cuando éste golpea al piso en 3,5 segundos. Cuál es la velocidad inicial, y la distancia horizontal alcanzada si la velocidad del sonido se estima en 340 m/s. R: 27,78 m/s. 88,9 m. 133) Una iguana desde una azotea de 6,5 metros de alto, en FFLCE, salta para alcanzar una rama que está en posición (0,9 ; 7,2) metros de un piso referencial, si la iguana vuela 0,8 segundos, calcular la rapidez inicial del salto y el ángulo para alcanzar la rama. R: V= 4,93 m/s. 76,81º. 134) Una pelota de béisbol es lanzada a 15m/s con una elevación de 50º, si en cada rebote sobre la horizontal pierde a mitad de la velocidad y conserva el ángulo de incidencia al rebotar, cuántos botes dará la pelota para alcanzar una distancia de 30 metros. R: 3 botes 135) Un proyectil tiene en su máxima altura una rapidez que es la tercera parte de la rapidez que tiene cuando está a ¾ de la altura máxima. Cuál es el ángulo inicial de lanzamiento. R: 75,964º. 136) En la Batalla del Valle de Waterloo los cañones del emperador Napoleón disparaban balas desde una colina inclinada en 25º hacia otra con elevación de 33º, justo al frente de la primera colina, con velocidad de 50 m/s y una inclinación de 35º sobre la horizontal. Si la distancia de la bajada es de 120 metros a qué distancia del fondo del Valle caen las balas colina arriba y en qué tiempo. R: 123,94 Metros en 5,2 Segundos.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 114 137) Cuál será el rango de ángulos de inclinación de un balón de voleibol que sale de la línea de saque a 14 m/s desde una altura de un metro, si debe superar la malla de 2,42metros de alto, ubicada a 9 metros horizontales de la línea de saque y el balón debe caer a un máximo de 18 m horizontales (línea final del campo contrario). 138) Un halcón baja en picada a 70º con la vertical a rapidez constante de 12 m/s, cuando su presa se suelta de sus garras y cae al vacío desde unos 250 metros de alto, si 2 segundos después el halcón cambia su curso y vuela en línea recta para atrapar a su presa a 100metros del suelo. Cuál será su aceleración y dirección. R: 29,77 m/s2 . 13,8º con la vertical. 139) Un misil se lanza a 10 m/scon una inclinación positiva de 20° desde una altura de 22 metros, acelera a 8 m/s2 con 10° de inclinación. Cuál será la distancia total horizontal recorrida por el misil cuando impacta al suelo, su rapidez de impacto y el ángulo de incidencia en el suelo. R: 55,02 m. 37,27 m/s. a 34,9º. 140) Un plato es lanzado a velocidad de (15i + 30j) m/s. 2 segundos después se dispara una bala desde la misma posición. Hallar el módulo y la dirección del vector velocidad inicial de la bala, para impactar al plato en el aire en 0,2 segundos. R: 268,96 m/s. 52,16°. 141) Del problema número 28, la niña que chuta el balón, y coloque el eje de referencia por la inclinación a lo largo de la pendiente, establezca las ecuaciones cinemáticas por eje y encuentre la distancia “d”. R: X = 5,07t + 4,44 t2 . y = 10,88t – 2,07t2 . d = 149,10 m. 142) Un pelotero en el jardín central lanza una pelota desde un punto a 250,5 pies del plato de bateo. Si el lanzamiento se realiza con un ángulo de 50º en un solo vuelo. Hallar el valor de un ángulo menor de lanzamiento de tal forma que la pelota realice un rebote a 70 pies del plato, en donde pierde la velocidad y conserva la inclinación de incidencia, y diga cuál es la diferencia de tiempo entre los vuelos. R: 22,6º. t50º = 4.31 s. t22,6º = 3,507 s. 143) Una pelota de golf es golpeada desde el suelo a rapidez Vo y un ángulo de 60º para cubrir una distancia “D” horizontal. Qué ángulo menor será requerido para que la pelota alcance la distancia “D” en dos partes con un rebote, en donde la pelota pierde la mitad de su rapidez y calcule la diferencia de cada vuelo en función de la rapidez de lanzamiento. R: 21,93º. t1 = 0,177(Vo ) > t2 = 0,114(Vo). Diferencia = 0,062(Vo). 144) De la situación planteada en el problema número 51, encuentre la relación de la velocidad inicial y de la altura máxima alcanzada por la flecha en relación con la altura “d” inicial de la naranja para que el encuentro ocurra a la misma altura del lanzamiento de la flecha. 145) Un estudiante en la cima de una vía de semiesfera (diámetro 40 metros), chuta un balón horizontalmente como se indica. Cuál debe ser la velocidad inicial mínima del balón, para que en su trayectoria no toque la semiesfera y qué distancia horizontal “x” obtiene el balón desde la base. R: 14 m/s. 8,284 m.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 115 146) Una roca atada a una cuerda de longitud 1,1 metros se hace girar en un círculo vertical como se indica en la figura, cuando el ángulo con la horizontal es de 60º la cuerda se rompe y la roca se libera a rapidez. Cuál es el alcance de la roca si el centro de giro se encuentra a 1,6 metros de altura. R: 2,36 m. 147) Una niña de seis años se balancea en un columpio de 3 metros de alto y sus cadenas tienen un largo de 2,5 metros, si ella salta a un ángulo de 40º con la vertical. Hallar el alcance total horizontal de la niña con respecto al columpio. R: 4,373 m. 148) Un acróbata se columpia con una cuerda de 4 metros y se suelta a 55º con la vertical, debe alcanzar a su compañero que está fijo en la posición: (9i, 7j)metros. Hallar el vector aceleración total justo antes de saltar. 149) Un helicóptero vuela a 40m/s al norte; si una brújulaño muestra que su vuelo es levemente al Oeste del Norte, y se escucha de la torre de control que hay un viento de 10 m/s. Cuál será la velocidad y dirección del viento. R:(-9,92i - 1,25j) m/s. a 7,18º al Sur del Oeste. 150) La Tierra gira alrededor del Sol en un radio de 1,5 x1011 metros en un tiempo de 365,25 días. La luna gira alrededor de la tierra en un radio de 3,84x108 metros en un tiempo de 28 días. Hallar la magnitud y dirección de la rapidez de la luna relativa al sol, cuando la línea: Tierra-Luna es normal con la línea Tierra-Sol. R: 29,88 Km/s a 1,92º. 151) Un balón se chuta en la base de una inclinación de 10° a (10i + 10j) m/s, luego de rebotar en donde solo pierde un 50% de su rapidez. Calcule la distancia total que sube por la inclinación en sus dos vuelos; (use la ecuación 4.15 del autor). R: 16,11 metros. 152) Una metra se deja caer desde 40 Cms de alto sobre un plano de acero inclinado en 30°, si la metra rebota y pierde un 30% de rapidez. Calcule la distancia que avanza por el plano y su velocidad final; (use la ecuación 4.16 del autor). R: 0,786 M. Vf = (1,7i – 2,94j) m/s. 153) Calcule la rapidez inicial de un proyectil que se lanza desde los 3 metros de alto a 30° de inclinación con la vertical, luego de su vuelo parabólico llega al piso referencial con una inclinación de 15° con la vertical. R: V0 = 4,64 m/s. 154) En un doble movimiento parabólico, un auto sube por una pista inclinada en 30° y salta a 22 m/s desde una altura de 20 metros, al cabo de 2 segundos de vuelo el conductor lanza una piedra desde el auto a 45° y rapidez de 8 m/s. Calcule la distancia horizontal total con respecto a la base de la pista en donde cae la piedra. R: 84,04 metros. 155) Dentro de una habitación con tres metros de alto se lanza una pelota con rapidez a 30° de inclinación, desde una altura de 75 centímetros: si la pelota pasa rozando el techo y golpea una pared frontal que está a cinco metros horizontales. Calcule a que altura de esta pared ocurre el golpe. R: 2,71 metros.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 116 CAPÍTULO V: DINÁMICA EN PARTÍCULAS Prerrequisitos del tema: Vectores en el plano y cinemática bidimensional. Motivación:¿Por qué un cuerpo se acelera? ¿Por qué permanece en reposo? ¿Cómo interactúa con otros cuerpos y con superficies en contacto con él? ¿Qué es la fricción? ¿Por qué un auto disminuye su rapidez en una curva?¿Qué es el centro de masas?¿Cómo orbitan los planetas? Desarrollo del tema: Hasta ahora hemos considerado el movimiento de un cuerpo sin investigar qué ocasiona acelera o frena dicho movimiento, con el hecho de que el cuerpo es un punto sin tamaño ni masa. Sin embargo, esto no es real, todo cuerpo tiene: tamaño, forma y masa, que lógicamente afectan el movimiento y sus causas, entonces surge el concepto de fuerza y de masa para describir el cambio en el movimiento de las partículas, considerando al cuerpo o sistema de cuerpos como entes aún sin dimensión y de masa “M”. Desde Galileo al científico Isaac Newton, establecieron el concepto de fuerza como el cambio en el vector velocidad de un cuerpo o ente en estudio adimensional; siendo una magnitud vectorial. Lo que implica que un cuerpo permanece en movimiento rectilíneo uniforme o en reposo si no se aplican fuerzas sobre él, o si la suma vectorial de las fuerzas aplicadas es igual a cero. Entre las fuerzas de la naturaleza se encuentran las fuerzas de contacto, cuando hay contacto físico entre dos objetos; y las fuerzas de campo, que actúan a través del espacio, la fuerza magnética, la fuerza interatómica y la atracción gravitacional que genera el peso de un cuerpo. En este texto y en adaptación a la Física I, sólo se estudiarán situaciones con fuerzas de contacto y con la acción de la gravedad como fuerza de campo; ambas desde el punto de vista externo, es decir, ejercidas sobre un cuerpo o sistema. El análisis dinámico de una masa se realiza desde dos puntos de vista: lineal y circular, al igual que la cinemática bidimensional, las ecuaciones surgen del estudio individual de los ejes coordenados preestablecidos y del hecho de la existencia, o no existencia, de la aceleración radial. Por último y de igual importancia es el señalar que la fuerza pertenece al conjunto de los vectores con las características propias de esta condición. TEMA 1) Dinámica del movimiento rectilíneo 1.1) Primera ley de Newton: Basada en que el estado natural de la materia es el reposo y al oponerse a cambios en su movimiento lineal, entonces: “Todo cuerpo permanece en reposo o a velocidad rectilínea constante si no existen fuerzas externas aplicadas, o la fuerza neta aplicada es igual a cero”. Esto implica que un cuerpo tiene como propiedad el de oponerse a cambiar su velocidad ante una fuerza externa debido a que no es necesaria otra fuerza externa, para mantener una velocidad rectilínea obtenida. Esta ley se conoce como ley de inercia debido a que la inercia es una propiedad de la masa de permanecer en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. La inercia es proporcional a la masa, la cual es una propiedad intrínseca de todo cuerpo y su medición es independiente de la ubicación del objeto, relación de proporcionalidad desarrollada por Galileo Galilei.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 117 1.2) Segunda ley de Newton: Si la fuerza neta aplicada a un cuerpo es diferente de cero, implica que el cuerpo cambia su rapidez, por lo que existe una aceleración en la masa del cuerpo, tal que, la aceleración se incrementa al aumentar la fuerza neta; dicha aceleración será inversamente proporcional a la masa del cuerpo. De estas proporciones se obtiene la relación del vector fuerza: . Es decir, si una masa que por medio de una fuerza neta adquiera una aceleración, entonces dicha fuerza será igual a este valor de masa por la aceleración. Las unidades correspondientes son: Kg.m./s2 llamado Newton (N) para el sistema internacional; y Slug.pies/s2 denominado Libra (lb), para el sistema inglés. Un ejemplo de esta relación resulta de la fuerza de campo gravitacional, la cual está dirigida al centro del planeta, o a sus efectos desde cualquier punto de referencia “Hacia Abajo”, con la aceleración de la gravedad terrestre que en promedio en la superficie del planeta es de 9,8 m/s2 o de 32,16 pies/s2 . Entonces, la fuerza denominada “Peso” de todo cuerpo es, Ecu. 5.2: Ejemplo 5.1: Un balón de fútbol de 220 gramos, es golpeado con una fuerza de 1,8 N. a un ángulo de 35º con el eje X. Hallar la magnitud y dirección de la aceleración Respuesta: Con la ecuación 5.1, la fuerza: El vector aceleración adquirido es: 1.3) Tercera ley de Newton: En nuestro planeta, todos los cuerpos tienen una interacción, y es precisamente con la fuerza de campo: “Peso” hacia abajo; pero los cuerpos no “caen” indefinidamente, lo que obliga a interactuar con otros cuerpos y/o superficies. Entonces, según la tercera ley de Newton: “Cuando dos cuerpos interactúan en contacto, la fuerza que ejerce un cuerpo (A) sobre un cuerpo (B), genera una fuerza de reacción igual y de sentido opuesto del cuerpo (B) sobre el cuerpo (A)”.Esto significa que las fuerzas existen por pares, de tal forma que toda “acción” genera una “reacción” en dos cuerpos en contacto o en campos de acción. Estas fuerzas no se anulan entre sí por actuar en cuerpos distintos: . TEMA 2) Tipologías de las fuerzas actuantes 2.1) Peso: Es una fuerza de campo debida a la acción de nuestro planeta sobre todo cuerpo que esté de su campo gravitacional. Es variable, pero en la superficie terrestre la gravedad se promedia en 9,8 m/s2 o 32,16p/s2 . El peso es un vector resultado del producto de la masa del cuerpo por la gravedad del planeta (Ver figura). Y su dirección será siempre vertical en sentido hacia abajo.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 118 2.2) Normal: Es la fuerza de acción de toda superficie sobre un cuerpo en contacto con ella, se denomina normal por ser en dirección perpendicular a la superficie de contacto; y esta fuerza no permite que el cuerpo en contacto deforme o atraviese la superficie. Se representa con la letra N. Ejemplo 5.2: Un cuerpo de 5 Kg se suelta desde el reposo sobre una superficie inclinada en 33º sin fricción; si baja una distancia de 2 metros. Hallar la rapidez final del cuerpo. Respuesta: En la resolución de estos ejemplos se usó la estrategia empleada en los problemas de cinemática y vectores, consistente en: dibujo esquemático de la situación y establecimiento del plano coordenado de referencia; con la adición de que se ilustran en la figura todas las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo, expresadas en sus componentes por eje coordenado. Tal esquema se denomina: Diagrama del Cuerpo Libre (D.C.L), y resulta necesario para la resolución de problemas de dinámica en general. La palabra libre explica que el cuerpo se gráfica, para su estudio, libre de otros cuerpos y superficies. 2.3) Fuerzas de contacto por fricción: Cuando un cuerpo se mueve o se intenta que se mueva por deslizamiento o rodamiento, en contacto con una superficie rígida o dentro de un fluido de viscosidad apreciable, existirá una fuerza de reacción que se opone a dicho movimiento, denominada “Fricción”, y que actúa paralela a la superficie; la fricción ocasiona que exista el agarre entre un cuerpo y una superficie, permitiendo el movimiento por rodamiento y el caminar o correr de los seres vivos con esta capacidad, ver en la figura siguiente, que si una fuerza actúa a la derecha la fricción estática actuará, hacia la izquierda. Si se aplica o se induce una fuerza “F” sobre un cuerpo, en una dirección paralela a la superficie de contacto, el cuerpo permanecerá en reposo por la acción de la fuerza de fricción estática (Fe); la cual será igual en magnitud a la fuerza F, esta fricción estática no es constante y será máxima justo antes de que el cuerpo comience a moverse por deslizamiento o rodamiento, según sea el caso y forma del cuerpo. De ocurrir el deslizamiento, la fuerza de fricción se denomina cinética (Fc) y es menor que la fuerza estática máxima (Fe), con una magnitud relativamente constante con relación a la velocidad adquirida por el cuerpo. De ocurrir el rodamiento esta se denomina fricción estática por rodamiento (FR). Y es mucho menor a la estática. Véase gráfica siguiente.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 119 Las fuerzas de fricción, estática y cinética son proporcionales a la fuerza normal que actúa sobre el cuerpo, y asumidas como independientes del tamaño de la superficie de contacto de este; y su valor modular dependerá del material y la textura de las superficies en contacto. El intervalo de la fuerza de fricción estática será igual a: 0 < fe ≤ Nµe y su valor máximo será, según la ecuación Ecu. 5.4: Fe = N.µe el valor de la fuerza de fricción cinética será igual según la ecuación siguiente Ecu. 5.5: Fc = N.µc Donde “N” es la fuerza normal µe y µc son valores constantes adimensionales que dependen del material formas y/o elementos de las superficies en contacto. “µe” y “µc” son denominados coeficientes de fricción estática y coeficiente de fricción cinética respectivamente; existiendo también el coeficiente estático por rodamiento “µR”. Existirán también fuerzas de fricción cuando el movimiento o posible movimiento ocurra de forma relativa con respecto al cuerpo; es decir, cuando sea la superficie, de contacto y no el cuerpo, quien se mueva o intente hacerlo por medio de fuerzas externas que actúen sobre la misma. Notas: a) Se considera que los coeficientes de fricción son independientes del área de contacto entre el cuerpo y la superficie y se considera que el coeficiente de fricción cinético no varía en relación con la velocidad adquirida por el cuerpo. b) Las fuerzas de fricción actúan paralelas a la superficie de contacto y por ende son perpendiculares a la fuerza normal; siendo ésta la forma de representarlas en el diagrama de cuerpo libre (D.C.L). Y las ecuaciones 5.4 y 5.5 son magnitudes vectoriales y la dirección de estas fuerzas dependerá de la dirección hacia donde el cuerpo se mueva o se le intente moverse. c) La fuerza de fricción estática por rodamiento (el cuerpo rueda, no desliza) tiene un comportamiento igual al estudiado, pero el coeficiente de roce por rodamiento (µR) es mucho menor que su similar estático que evita el deslizamiento cuando no hay deformación en los cuerpos (rueda rígida). Ejemplo 5.3: Un niño empuja horizontalmente una caja de juguetes por el piso, la cual tiene unos 5 Kg. Ver figura del problema, para empezar a moverla requiere de 18 N y para mantener la velocidad adquirida requiere de sólo 15 N. Hallar los coeficientes de fricción cinética y estática. ΣFy = 0. N – M.g = 0. N = M.g = 49 N. ΣFx = 0, (Antes de moverse existe inercia). F - Fe = 0 18 - Fe = 0 Fe(máx.) = 18 N. Entonces N.µe = 49µe. de donde µe = 0,37. De forma similar µc = 0,31 Considerando que la caja se mueve con F = 15 N.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 120 Ejemplo 5.4: Un bloque de masa “M” sobre un plano rugoso, el cual se inclina en , ver el esquema del problema, hasta que el bloque se mueva. Hallar el valor de µe. Respuesta: ΣFy = 0. Implica que N = M.g.Cos → Fe = µe .M.g.Cos . Luego con ΣFx = 0. M.g.Sen = Fe . De donde se despeja el coeficiente de roce estático como: 2.4) Tensión: Cuando una fuerza actúa a través de un elemento de conexión que puede ser rígido: una barra, o elemento recto, o de naturaleza flexible denominado en la Física “cuerda”, como: un hilo, una cadena, una piola, un cable entre otros. Ésta ejerce una fuerza sobre el cuerpo al que está unida, cuya magnitud se denomina Tensión de la cuerda o fuerza tractora, y se representa con la letra T. Notas: a) El elemento de conexión es de masa despreciable con respecto al cuerpo con el cual se conecta, se asume; b) Si el elemento de conexión es rígido, como una barra, ésta puede experimentar además de tensión, compresión, que es una fuerza equivalente a una tensión negativa; c) La tensión negativa no existe en elementos flexibles, es por ello, que algunos autores consideran a esta fuerza como una magnitud escalar; d) Las “cuerdas” se usan para conectar un cuerpo con otro, y suelen ser direccionadas por medio de un mecanismo llamado “Polea”. Ejemplo 5.5: Una masa de 8 Kg cuelga de dos cables que actúan con ángulos indicados en la figura del lado. Calcular la tensión en los cables, para que la masa este en equilibrio o reposo. Respuesta:

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 121 Tema 3) Cuerpos conectados Cuando dos cuerpos están conectados por medio de un material flexible (una cuerda) o están en contacto y se mueven o intentan moverse, cada uno de ellos producirá una fuerza de acción sobre el otro y a su vez, recibirá una fuerza de reacción; “Tercera Ley de Newton”. Si el sistema de masas siguiente se mueve a la derecha, la masa M1ejerce una tensión sobre la cuerda, que se transmite sobre la masa M2 , esta le transmite esta misma tensión a la masa M1, en sentido opuesto, al oponerse a su propio deslizamiento; acción y reacción. En la figura siguiente, la conexión de los cuerpos se realiza a través de una polea, la cual es una especie de rueda acanalada con fricción interna despreciable, que permite direccionar la tensión a la inclinación conveniente. (Simbolizada en una doble rueda). Las poleas al ser un cuerpo con masa y lógicamente al presentar una fricción al rodamiento ocasionarán una diferencia en la tensión de la cuerda que pase por ella, es por eso por lo que, en lo referente a las situaciones planteadas en la dinámica clásica, se asume la masa y la fricción interna de la polea como valores despreciables y la tensión en una misma cuerda se asume constante. En el capítulo 7, sobre Dinámica Angular, se considerará el tema de poleas “masivas”; es decir, poleas de masa apreciable con respecto a la masa total de sistema conectado, en donde se demostrará la diferencia de las tensiones. Ejemplo 5.6: Una masa “M” cuelga de una cuerda la cual pasa por una polea y está conectada a una masa “m” menor, que también cuelga, esquema de la clásica máquina de Atwood (Ver figura). Hallar la aceleración de las masas y la tensión de la cuerda, si el sistema parte del reposo. Respuesta:

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 122 Ejemplo 5.7: Una masa de 3 Kg está sobre una inclinación de 30º con coeficiente de fricción cinético de 0,13. Conectada a una masa de 3 Kg que cuelga verticalmente como se indica en la figura del problema. Hallar la aceleración del sistema de masas y la tensión en la cuerda. Respuesta: Estrategia para la resolución de problemas de dinámica lineal DIBUJE UN ESQUEMA GENERAL DEL SISTEMA, IDENTIFICANDO LOS CUERPOS Y SUS MASAS. REALICE LOS DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE, INDICANDO LAS FUERZAS QUE ACTÚAN, Y ESTABLEZCA EL PLANO COORDENADO PARA CADA CUERPO EN LA DIRECCIÓN DEL O POSIBLE MOVIMIENTO. EXPRESE LAS FUERZAS INVOLUCRADAS POR MEDIO DE LAS COMPONENTES EN REFERENCIA A LOS EJES COORDENADOS Y LA TERCERA LEY DE NEWTON. APLIQUE LA PRIMERA Y SEGUNDA LEY DE NEWTON POR CADA EJE COORDENADOR, RESOLVER LAS ECUACACIONES GENERADAS.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 123 Tema 4) Dinámica del Movimiento Circular Hasta ahora, el movimiento de los cuerpos sea sobre una superficie o colgando de una cuerda, es en dirección constante (Movimiento rectilíneo), sin embargo, si una masa “M” describe un movimiento circular, o parte de este movimiento (Arco de Curva “S”), entonces debe existir una fuerza dirigida al centro de curvatura que permita que la masa permanezca en el radio de curvatura relacionada con la deducida aceleración radial o central. Esta fuerza se denomina Fuerza Radial (Fr), y es el vector dirigido al centro de toda curva, Ecu. Notas: a) La fuerza radial es puntual en la trayectoria circular, y de magnitud constante cuando el movimiento es circular uniforme. Si la fuerza radial se anula en un instante, entonces la trayectoria circular deja de existir, el cuerpo se moverá en dirección rectilínea, tangente al círculo en ese o punto. b) La fuerza radial es perpendicular a él vector velocidad instantánea del cuerpo. c) La fuerza radial es única y resulta como la acción de una fuerza, o la sumatoria algebraica de una o varias fuerzas centrales (en dirección al centro de curvatura), que actúan sobre el cuerpo; es decir, dicha fuerza no se representa en el diagrama de cuerpo libre. d) La fuerza centrífuga neta es una fuerza ficticia, asumida por el cuerpo que toma la curva (referencia no inercial) en la ausencia de fuerzas, en dirección y sentido al centro de curva. Ejemplo 5.8: Una piedra de 220 gramos atada a una cuerda gira en un círculo horizontal de diámetro un metro a razón de 30 RPM. Calcular la tensión en la cuerda. Respuesta: En un círculo horizontal la = FR entonces: T = m.V2 / r. De esta relación con la rapidez de giro en: (30*2*3,14159*0,5)/60= 1,571 m/s. La tensión en la cuerda es: 1,086 Newton. Un cuerpo puede moverse en una trayectoria circular por medio de fuerzas conocidas como: la tensión, la normal, el peso, la fricción, entre otras; o por la combinación de algunas de ellas cuando tienen dirección central. Un ejemplo de esta situación resulta de la fuerza de fricción estática lateral entre el pavimento y los cauchos de un auto que toma una curva horizontalmente (Ver figura del lado). La fricción estática actúa lateralmente (perpendicular a la trayectoria) y es esta fuerza la que evita que el auto se deslice y se fugue rectilíneamente tangencial de la curva; la fricción estática lateral va a representar a la fuerza radial en este caso.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 124 Ejemplo 5.9: Un auto de 1.860 kilos toma una curva horizontal de 77 metros de radio a rapidez de 80 Km/h sin deslizar como se indica en la figura 5.8. Calcular el coeficiente de fricción estático que actúa lateralmente entre los cauchos y el pavimento Respuesta: En un círculo horizontal la (fuerza radial), entonces: De esta relación se obtiene que Fe = 11.928, N. Como: , entonces la fuerza normal es igual al peso. N = 18.228 Newton. Como Fe = N µe entonces: µe = 0,6544. 4.1) Dinámica del movimiento circular uniforme: Ocurre cuando la masa que toma una curva permanece en un movimiento circular a rapidez constante; tal es el cas o del círculo horizontal, en donde la acción de la gravedad terrestre no genera aceleración tangencial, por ser perpendicular. Péndulo Cónico: Una masa que gira a rapidez constante en un círculo horizontal, suspendida por una cuerda, recibe el nombre de péndulo cónico para un ángulo constante 0º < < 90º y radio de curvatura r, como se indica a continuación en la figura siguiente. Donde “L” es el largo de la cuerda por donde actúa la tensión, “R” es el radio de curvatura como: r = LSen . Ejemplo 5.10: Una masa de 650 gramos que gira a rapidez constante en un péndulo cónico por medio de una cuerda de 2 metros, a 30° con la vertical. Calcular la rapidez de giro y la tensión en la cuerda Respuesta: El diagrama de cuerpo libre para la masa en esa posición resulta Y la rapidez de giro se calcula con la segunda: V2 = (7,36).Sen30º(2.Sen30º) / (0,65). V = 2,379 m/s Del ejemplo anterior y sustituyendo la tensión de la ecuación del eje “Y” en la ecuación del eje “X” queda la relación entre el ángulo y la rapidez de giro para toda curva horizontal: Ecu. 5.7 Tan( ) = V2 / g.r Donde el tiempo en completar una vuelta de perímetro, (2π.r) es el llamado periodo “T”, al ser la rapidez constante, este tiempo es. T= perímetro / rapidez. de donde se deduce la ecuación del periodo, (tiempo de una vuelta o ciclo), de un péndulo cónico o curva horizontal como, la Ecu 5.8 T =

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 125 La curva peraltada sin y con fricción estática Una curva horizontal con una inclinación transversal se dice peraltada o inclinada donde el ángulo se le llama “Peralte”. Tal situación facilita a un automóvil tomar la curva; y el peralte se estima a partir del radio de la curva y de la rapidez del auto; r es el radio de la curva y el peralte (figura del lado). Ejemplo 5.11: Un auto de 1.450 kilogramos que toma una curva peraltada, como en la figura de arriba, la rapidez del auto es de 15 m/s y el radio de la curva es de 156 metros. Calcular a) El ángulo del peralte y la fuerza normal. Respuesta: El diagrama de cuerpo libre para el auto es De la relación en el eje vertical se sustituye la normal en la relación del eje horizontal y se obtiene la ecuación 5.7 anterior; y a partir de ella se obtiene el ángulo como: = 8,37º y la normal N = 14.362,98 N. Pero es obvio que existe una fricción estática entre las llantas, (Cauchos), y el pavimento que facilitan al auto tomar la curva, este agarre se expresa hacia abajo de la inclinación, por ser la tendencia del auto a “Fugar” rectilíneamente de la curva. En la situación con fricción, el diagrama de cuerpo libre queda Sustituyendo la normal, se deduce la ecuación de rapidez para una curva peraltada con fricción, una interesante relación usada en vialidad. Ecu. 5.9

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 126 Ejemplo 5.12: Considere el auto del ejemplo 5.10, pero ahora toma una curva de 116 metros de diámetro peraltada en 9º, con un coeficiente de roce estático entre las llantas y la pista de 0,7. Calcular la rapidez máxima de giro para que el auto no deslice, (información en el letrero de seguridad de la curva) Respuesta: Usando directamente la ecuación 5.9, se tiene que La rapidez máxima, justo para que el auto deslice es: V = 23,425 m/s siendo 84,331 Km/h. 4.2) Dinámica circular acelerada: Si el giro se hace a rapidez variable es porque existe una aceleración tangencial diferente de cero; ésta implica la existencia de una fuerza total expresada en función de sus componentes ortogonales: la fuerza radial y la fuerza tangencial. Las ecuaciones cinemáticas y dinámicas tendrán aplicación siempre que la aceleración tangencial sea constante en un período de tiempo dado. Un cuerpo que describe un círculo horizontal puede manifestar rapidez variable por la presencia de una aceleración tangencial inducida en el giro; por lo que no siempre el movimiento horizontal será uniforme. Ahora un cuerpo rígido no puede girar a rapidez constante describiendo un círculo vertical u oblicuo, por influencia de la gravedad terrestre, la cual en total o en fracción representará la aceleración tangencial sobre el cuerpo en cada punto de la trayectoria, por acción del peso puntual. (Ver figura). En los puntos a y c, la rapidez es mínima y máxima respectivamente y la aceleración tangencial es cero; en los puntos b y e, la rapidez es la misma y la aceleración tangencial es igual a la gravedad; por último, en un punto como el d, la aceleración tangencial es (g.Cos ) cuando el ángulo esté con la horizontal. El péndulo simple: Si una masa “M” se suspende de una cuerda con el extremo superior fijo, ésta oscila en un semicírculo vertical con radio de curvatura igual a la longitud de la cuerda “L”. Tal sistema se denomina Péndulo Simple como se muestra en la figura al lado. La oscilación ocurre cuando la masa se mueve hacia la vertical central con una aceleración tangencial variable puntual. La tensión de la cuerda será una cantidad variable, donde para un punto, como el indicado en la figura es Ecu. 5.10.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 127 Cuando la masa oscila “sin roce” para un ángulo inferior a los 20º se puede considerar el movimiento como armónico y continuo con un error estimado en el 0,4%. La palabra “Armónico” implica que la aceleración es variable en cada punto de la trayectoria y proporcional al desplazamiento angular. Con (g.Sen ) siempre en sentido tangencial, “Hacia” la vertical o línea de equilibrio; más adelante los estudiosos del movimiento encontraron que la segunda derivada de la distancia arco con respecto al tiempo es esta aceleración, entonces, la ecuación diferencial es: . Para Sen ≈ , en ángulos pequeños para evitar distorsiones, ( < 0,3 radianes, unos 20°). La relación se expresa como: Su resolución con respecto al tiempo, y con el arco: S = L. , define la rapidez angular como: Entonces, el periodo del péndulo simple es: Ecuación que vino a confirmar el cálculo y formula propuesto por Galileo Galilei mucho antes. Donde la relación del periodo es el inverso del producto con respecto a la frecuencia angular. T = 1 / F. Temática del estudio de los movimientos armónicos. Estrategia para la resolución de problemas de dinámica circular DIBUJE UN ESQUEMA DEL SISTEMA, IDENTIFICANDO EL CUERPO QUE GIRA. IDENTIFIQUE CUÁLES FUERZAS REPRESENTAN A LA FUERZA RADIAL Y ESTABLEZCA EL PLANO COORDENADO A CONVENIENCIA. CONTINUE CON EL RESUMEN PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE DINÁMICA LÍNEAL.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 128 Tema 5) El Momento lineal El momento lineal, también llamado “Ímpetu” o “Cantidad de movimiento”, es una magnitud vectorial producto de la masa del cuerpo y la velocidad de este en un momento dado. Cuando una pelota de béisbol o un balón de futbol son golpeados, se le induce una velocidad inicial alta, que cambia por lo general su dirección inicial, este cambio supone una súper aceleración en un espacio de tiempo ínfimo (aproximadamente 0,0n segundos), y por ende una fuerza promedio muy grande. Esta fuerza producto de la colisión, resulta desconocida hasta ahora por la posibilidad de ser variable (no constante en el ínfimo tiempo de acción). Entonces el mismo Newton ideó este nuevo vector con la intención de realizar mejor y en variable no tan grandes, el estudio de las colisiones. 5.1) Momento lineal, su conservación: El vector momento lineal queda establecido usando de símbolo la letra “P”, como: en Kg.m/s para el S.I, y Slug.p/s en el sistema inglés. Y al ser una magnitud vectorial, dependerá de dirección y sentido de la velocidad del cuerpo, en sus componentes por eje coordenado. Luego si dos o más cuerpos interaccionan por contacto entre sí, sin la presencia de fuerzas externas que actúen sobre ellos o que la influencia de éstas se asuma como nula por el escaso tiempo en su accionar, que sólo actúan las fuerzas de acción y reacción de un cuerpo sobre otro, y siempre que estas fuerzas no ocasionen deformaciones apreciables en los cuerpos, entonces el sistema se considera aislado y el momento lineal será constante. Por la tercera ley de Newton, la acción genera una reacción igual y opuesta; por lo que los impulsos actuantes individuales sobre cada cuerpo serán iguales y opuestos. Lo que genera una conservación en el momento lineal del sistema en el antes y después de la interacción. Pero un estudio individual de la mano de la tercera ley de Newton Después del contacto. Con la condición descrita, entonces: La conservación del momento lineal de un sistema es: Es decir, la suma vectorial de los momentos lineales iniciales y los momentos lineales finales de un sistema de cuerpos considerado aislado, será igual a cero en el llamado principio de la conservación del momento lineal (cantidad de movimiento) y como consecuencia directa de la tercera ley de Newton. Al considerar un estudio del “antes” y “después” de una interacción o choque en un sistema de cuerpos; se abre paso al análisis de las colisiones entre cuerpos las cuales por lo general ocurren en espacios de tiempo de decimales de segundos. El tema de colisiones; su tipología (elástica o inelástica), y su dimensión (rectilínea o bidimensional) será tratado en la unidad sexta siguiente. 5.2) El Impulso: Si una Fuerza Neta diferente de cero, y no necesariamente constante, actúa sobre un cuerpo en un espacio de tiempo Δt ocurrirá un cambio en la velocidad de este y por ende un cambio en su cantidad de movimiento. A tal cambio en el momento lineal en un estudio individual de cada cuerpo, se denomina vector impulso, denotado con la letra:

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 129 Si la fuerza neta media actuante en un tiempo dado son conocidos, entonces el cambio en la cantidad de movimiento individual d cada cuerpo o impulso recibido es: Ejemplo 5.13: Una pelota de goma de 130 gramos se deja caer desde una altura de 1,7 metros, rebota del piso con una velocidad tal, que alcanza los 1,5 metros de altura asumida en la misma línea vertical. Si el contacto con el piso se realiza en 0,04 segundos. Hallar el vector de Fuerza del piso sobre la pelota. Respuesta: La pelota llega al piso con una rapidez: . Siendo el vector de contacto o inicial de: . Rebota en 0,04 segundos y sale con rapidez final o de rebote de: vector velocidad: El impulso que le otorga el piso a la pelota es: Luego la fuerza media en ese instante de tiempo, que el piso ejerce sobre la pelota de goma se calcula como: 6) Centro de masa, (CM) El estudio físico del movimiento de los cuerpos ha considerado a éstos como partículas adimensionales, como un punto que representan toda la masa del cuerpo; de tal forma que cuando una fuerza resultante actúa sobre un cuerpo, éste se mueve como si toda la masa estuviera concentrada en un solo punto, (Dinámica). Tal coordenada puntual se denomina centro de masa. Es decir, todo cuerpo o sistema de cuerpos tendrá un punto coordenado cuyo movimiento definirá la trayectoria del sistema, y será representativo de toda la masa del cuerpo y/o del sistema de cuerpos. Los movimientos de rotación y vibración son independientes de la trayectoria cinemática seguida por el centro de masas. Un excelente ejemplo de esta situación es el de la traslación del centro de masa del planeta Tierra alrededor del sol en una trayectoria elíptica e independiente de su rotación y de la vibración generada por la cercanía de la masa lunar. Para hacer el cálculo del centro de masa de un sistema de masas, se establece un plano y/o espacio coordenado, en un estudio individual por eje coordenado de referencia se calcula el promedio ponderado Masa–Distancia para obtener un valor específico de ubicación. Esto es en cada eje coordenado: Desarrollándose en ejemplo a la horizontal como: La ecuación 17 será el centro de masa del sistema de m1 + m2 +…+ mn , masas. El cálculo del centro de masas de un cuerpo es de gran importancia en el mundo de la ingeniería en el diseño mecánico en mecanismos y perfilados, pero es tema de la mecánica avanzada al requerir de la herramienta matemática de la integral definida, por supuestos existe este cálculo en el conocimiento de la posición del centro de masas en las figuras geométricas básicas, llamado centro de área.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 130 6.1) Centro de masa y su movimiento: El movimiento del centro de masas con una o todas las masas de un sistema de cuerpos se mueven debido a velocidades iniciales individuales de existir, y con aceleraciones individuales, producidas por fuerzas externas actuantes; entonces, en un tiempo dado, el centro de masas se moverá en una trayectoria hacia una nueva posición representativa de la masa total del sistema, cuyas masas estarán ahora en una nueva posición, por supuesto. La velocidad del centro de masas será la velocidad promedio ponderada de las velocidades individuales de cada masa por eje de referencia, y para el eje horizontal será: Análogamente, para los demás ejes; es decir la velocidad inicial del centro de masas es la sumatoria de las cantidades de movimientos, de cada masa del sistema, entre la masa total. Ahora el movimiento de uno o varios cuerpos, no sólo puede ocurrir, como se dijo, por efecto de una velocidad inicial; al existir fuerza neta o resultante aplicada sobre todos o uno de los miembros de un sistema de masas, se genera una aceleración que también incide en el desplazamiento. En este sentido, la fuerza neta sobre el centro de masa de un sistema de cuerpos es la sumatoria de las fuerzas individuales sobre cada cuerpo del sistema, donde la aceleración del centro de masas es: aCM = FCM / MT Ecu. 5.19. Ejemplo 5.14: En un sistema de masas en el plano, donde m1 = 2 kg. Ubicada en el punto (2, 2) y otra masa m2 = 3 kg. En el punto (3, – 1). Si existe una fuerza externa neta de (3i + 4j) N. Hallar la posición inicial del centro de masas, la aceleración del sistema, la posición del centro de masas y la cantidad de movimiento a los 3 segundos, si el sistema parte del reposo. Respuesta: El vector Posición inicial del centro de masas es: El vector posición es: El Centro de Masa inicial, es el punto, La fuerza neta es: La aceleración, entre la masa total es: La posición a los 3 segundos, bajo la ecuación general de la cinemática es 6.2) El centro de área: La lógica nos dice que, en un sistema de cuerpos, se supone que cada punto dado representante el Centro de Masa de cada cuerpo individual; luego en una masa dimensionada se podría obtener su centro de masa donde sus diferentes partes y dimensiones se asumen como un sistema y lo que se hace es calcular el centro de masa de cuerpo por sumatoria de las masas-distancias de sus partes.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 131 Partes que al ser consideradas planas o frontales, viene a dar surgimiento del concepto de Centro de Área, (C.A), más común y usado en la ingeniería en general que el centro de masa. Este concepto se aplica bajo las consideraciones de que el cuerpo sea de espesor común o similar en toda su área frontal y que tenga densidad relativa uniforme. Como la densidad es masa sobre volumen: entonces la masa es igual al volumen por la densidad; aceptando lo dicho, donde en cuerpos homogéneos y de espesor asumido constante, se tiene que el área frontal, es directamente proporcional a la masa del cuerpo, entonces por esta lógica el Centro de Área es proporcional al Centro de Masa. Estrategia para buscar el punto de equilibrio dinámico de piezas, mecanismos y partes de las estructuras, muy usado en el mundo de la ingeniería en general, por la ventaja de solo ubicar este punto en el plano XY o plano frontal del cuerpo a estudiar. El Centro de Área es un punto representativo de toda el área de un cuerpo o sistema de cuerpos, en referencia a un eje coordenado preestablecido, como punto importante de estudio a la hora de establecer su equilibrio total. Esto es, por eje coordenado la Ecu. 5.20 Con el conocimiento de los centros de áreas de algunas figuras conocidas, partiendo de la obviedad de que un cuadrado tiene su centro de área en la mitad de su lado para ambas coordenadas, un rectángulo la mitad de sus lados diferentes dependiendo de su disposición, y un círculo en su centro de curvatura; todos ellos y siempre a una coordenada origen preestablecido. En los triángulos rectángulos el centro de área está a un tercio de la distancia sea de base o altura desde el ángulo recto; en un triángulo cualquiera el centro de área se llama “Baricentro” como la intercepción de sus tres medianas o rectas en ángulos medios que salen de cada uno de sus vértices. Y para un semicírculo el Centro de área o también llamado “Centroide”, se calcula por integración como (4/3.π) de su radio, valor que se puede asumir como: 0,424.r. Ver los siguientes esquemas.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 132 Ejemplo 5.15: Del siguiente sistema de masas representadas en figuras con dimensiones en pulgadas, encuentre su Centro de Área con respecto al primer cuadrante o eje referencial mostrado. Tema 7) Gravitación y órbitas 7.1) Ley de gravitación universal: durante siglos los observadores del cosmos describieron y anotaron datos acerca del movimiento planetario y desarrollaron hipótesis sobre nuestro sistema solar, sin comprender las fuerzas existentes. En 1686 Newton sabía que debía existir una fuerza radial neta sobre la luna que la moviera en su órbita casi circular alrededor de la tierra, dicha fuerza la denominó atracción gravitacional y concluyó que la misma es universal, aplicable a todos los planetas que se encuentren dentro del campo de atracción de un cuerpo de masa mucho mayor como una estrella. Esta fuerza sería proporcional al producto de las masas en atracción e inversamente proporcional con la distancia al cuadrado existente entre los centros de masa de los cuerpos. Al hombre, en un decir aceptado, cuya cabeza fue golpeada por una manzana cuando dormitaba bajo un árbol de este fruto, publicó la ley de la gravedad como: “Todo par de cuerpos en el espacio se atraen con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros de masa”, todo ello por un valor constante denominado “Gravitación Universal”, (G). Con Como constante de gravitación universal, estimada en 1798 por el científico inglés Henry Cavendish, con el dispositivo denominado “Aparato de Cavendish”. La fuerza gravitacional fue la que permitió obtener un valor más exacto de la aceleración de la gravedad hasta ese momento estimada con ensayos de péndulo simple en valores cercanos a 11 m/s2 . Cuando un cuerpo de masa “m” es atraído en caída libre en una distancia cercana a la superficie del planeta Tierra, se tiene que su peso es igual a la fuerza gravitacional universal, esto es: este cálculo da el valor conocido de nuestra gravedad a la superficie o corteza terrestre de: 9,806578, usada generalmente como el famoso valor de 9,8 m/s2 . 7.2) Leyes de Kepler: Los planetas y las estrellas han sido observados por el hombre desde la antigüedad, y en un principio se creía que todos estos cuerpos giraban alrededor de la tierra, modelo “Geocéntrico”. Para el siglo XVII ya los científicos de la época sugerían el modelo “Heliocéntrico” donde los planetas giran en órbitas circulares alrededor del Sol el cual es un sistema dentro de un universo de sistemas representado en cada estrella.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 133 El filósofo Platón en una oportunidad dijo: “Hoy Mercurio y Venus salieron a la derecha de la línea del ocaso solar, hace días salían a su izquierda, es obvio que giran a su alrededor” y no de la tierra. El astrónomo danés Tycho Brahe hizo mediciones precisas sobre el movimiento planetario con el uso del sextante y el compás por un tiempo de 20 años. Estas anotaciones sobre las posiciones planetarias en función del tiempo fueron utilizadas por el astrónomo alemán Johannes Kepler para desarrollar un modelo empírico para el movimiento de los planetas, constituido y aceptado hoy en día como sus tres leyes. Primera ley: Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, con este astro en uno de los focos, estimación realizada cunado dibujo las posiciones polares del planeta marte sobre un círculo representativo de la órbita circular.(Ver figura siguiente). Segunda ley: Cuando un planeta gira en su órbita en un espacio de tiempo dado, las líneas radiales hasta el Sol en ese tiempo describen un área (parte rayada de la siguiente figura) al desplazarse del punto “a” al punto “b” o del punto “d” al “c”; esta área tendrá una magnitud para un desplazamiento angular en el estudio de la relación diferencial: de donde se obtiene el área: A = (r2 . ) / 2. Ecu. 5.22. Con tita med,ido en radianes. Luego Kepler descubrió que dichas áreas son iguales. Entonces se habla de rapidez del sector de giro, en su segunda ley: “Una línea recta desde el Sol a un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales”, A1 = A2 . Entonces la velocidad de giro no es constante y los planetas frenan cuando están alejados de su estrella y se aceleran cuando están cerca, o en giro por el foco donde este el Sol. Tercera ley: “El cuadrado del tiempo orbital, asumiendo una rapidez de giro promedio, es proporcional al cubo de la distancia del centro al extremo longitudinal de la elipse. Esta ley puede deducirse considerando que la fuerza gravitacional es igual a la fuerza radial de una órbita circular en puntos específicos de la órbita o en diferenciales de arco de esta. La deducción se obtiene al igualar la fuerza de gravitación con la fuerza radial, (desarrollo de Isaac Newton. Basado en los resultados empíricos de Johannes Kepler). con “T” como el Periodo orbital, entonces este variable en relación con los datos planetarios, queda como: Ecu. 5.23

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 134 Donde Es un valor denominado “Constante Solar” aceptado como: (2,97 x 10-19 S2 /m3 ). Esta ecuación es válida para órbitas elípticas de todo planeta que gira alrededor de una estrella. Ejemplo 5.16: Calcule la distancia promedio del centro de la órbita terrestre hasta el perímetro de esta, si su período orbital es de 365,25 días. Respuesta: La expresión matemática desarrollada por Newton de la tercera ley de Kepler, es , con el valor de la constante solar como: 2,97 x 10-19 S2 /m3 . A un tiempo de: 365,25 x 24 x 3.600 segundos de: 3,156 x 107 Segundos → 9,96 x 1014 = 2,97 x 10-19.(r)3 De donde se obtiene que la distancia de giro de nuestro planeta alrededor del Sol es: 1,496 x 1011 metros. Radio de giro de la tierra es de: 1,5 x 108 Kilómetros. Historia de la dinámica Es nuevamente el italiano Galileo Galilei (1564 – 1642), quien por medio del empirismo y la observación planetaria marca un punto de inflexión en las creencias y conocimientos de la época, los cuales permanecían blindados por la iglesia católica en los inicios del siglo XVII, Galileo es el primero en manifestar que la aceleración gravitacional es idéntica sobre cuerpos de diferente masa y forma cercanos a la superficie terrestre y que deben existir leyes concretas que expliquen el movimiento de los cuerpos de nuestro devenir diario como de los planetas. La edición de sus postulados en 1638 en donde se presentan los temas de: El principio de inercia, el estudio de la caída libre, la composición de las velocidades, el estudio del péndulo simple, entre otros y con los resultados de las investigaciones del astrónomo alemán Johannes Kepler (1571 – 1630), en sus leyes del movimiento planetario, son el fundamento para que el científico Isaac Newton (1643 – 1727), publicase su libro “Gravitación Universal” en 1679. Unos 50 años después de la publicación de las leyes de Kepler, Newton las demostró mediante las leyes de la dinámica y de la gravitación universal, lo cual dio origen al cálculo matemático de las masas planetarias, la existencia de nuevos planetas y cuerpos celestes, así como las distancias de los planetas al Sol, con el uso de resoluciones de ecuaciones diferenciales. El éxito obtenido por Newton apertura el mundo de la física moderna y de la astronomía, originando la existencia de la dinámica como ciencia, parte fundamental de la mecánica y madre de la astronomía moderna, en los cálculos actuales sobre nuestro sistema solar y los llamados exoplanetas.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 135 PROBLEMAS PROPUESTOS a) Dinámica lineal de un cuerpo 1) Una dama pesa 600 N en la tierra ¿Cuál es su peso en la Luna a 1/6 de la gravedad terrestre; y en Marte a 1/24 de la gravedad terrestre? R: 100 N. Y 25 N. 2) Se aplica una fuerza de 30 N a 25º por encima de la horizontal a un bloque sobre esta superficie de 3 kilos. Hallar el vector fuerza que se aplica, y la aceleración de la masa. 3) Sobre un plano horizontal está una masa de 3,4 kilos y se le aplica una fuerza horizontal de 12 N, en una distancia de 2 metros. Considere un coeficiente de fricción de 0,25 y encuentre la rapidez en esa distancia. R: 2,08 m/s 4) Un bloque de 800 gramos se suelta desde el reposo de una distancia de 1,2 metros sobre una inclinación de 30º ¿Cuál es su rapidez cuando ha recorrido toda la inclinación, si la misma tiene un coeficiente de fricción cinética de 0,33? R: 2,01 m/s 5) Si a un cuerpo de masa “M” se le imprime una rapidez inicial de 6,6 m/s desde la parte baja de una inclinación sin fricción de 25º con la horizontal. Hallar la distancia máxima que el cuerpo sube por la inclinación. R: 5,26 m. 6) De la situación planteada en el problema anterior, número 5, considere que el cuerpo sólo sube 3metros por la inclinación. Hallar la fuerza de fricción entre el cuerpo y la superficie, y el coeficiente cinético. R: 3,12 N; µc = 0,351 7) Si un bloque de 2,2 kg resbala por una superficie inclinada en 34º de tal forma que con su aceleración realiza un recorrido de 1,8 metros, en un tiempo de 1segundo. Hallarla fuerza de fricción y la rapidez cuando ha bajado un total de 2 metros. R: 4,14 N; 3,8 m/s 8) Del problema número 2, calcular la aceleración si entre el bloque y la superficie hay un coeficiente de roce cinético de 0,66. R: a = 3,49 m/s2 . 9) Un niño hala horizontalmente una caja de 2 Kg con una cuerda que forma un ángulo de 58º con la vertical a rapidez constante. Hallar la tensión de la cuerda, la fuerza de acción de la superficie sobre la caja y la fricción cinética, si el µc = 0,35. R: 6,64 N. N = 16, 08 N. Fc = 5,628 N. 10) Se aplica una fuerza “F” sobre una masa de 400 gramos, apoyada en una superficie vertical, como se indica. Si entre la superficie y la masa hay un coeficiente µE = 0,52. Hallar el valor mínimo de la fuerza para que la masa no deslice. R: F ≥ 7,54 N. 11) Un carro de madera de 32 N de peso es llevado por un niño a rapidez constante por medio de una cuerda, la cual está inclinada; si la fuerza de fricción es de 4,22 Newton. Hallar la tensión de la cuerda y el ángulo de inclinación, si μc = 0,32. R: 19,28 N. A 77,36º.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 136 12) Una pieza metálica de 1,53 Kg está en contacto de una superficie inclinada en 23º como indica la figura del problema ¿Cuál es la fuerza “F” mínima para que la pieza no caiga ni deslice? Si entre las superficies existe coeficiente de fricción estático de 0,44 y cinético de 0,33. R: 27,12 N. 13) Del problema anterior, número 12. Si la fuerza actúa vertical hacia arriba; calcúlela. R: F = 15 N. 14) Un carro de metal se mueve a la izquierda a razón de 0,8 m/s2. El bloque de encima es de 2 Kg. Ver la figura, hallar La tensión de la cuerda y la normal sobre el bloque. Rehágalo si el carro está en reposo. R: N = 17,87 N. T = 8,21 N. N = 18,42 N. T = 6,7 N. 15) Del problema número 10, considere que la fuerza “F” actúa a 70° con la vertical positiva hacia abajo, y calcúlela. R: F = 26,74 N. 16) Una persona está suspendida y en reposo por medio de dos cables como indica la figura del problema; si la persona tiene una masa de 65 kilos. Hallar las tensiones de los cables. R: T1 = 681,16 N. T2 = 803,21 N. 17) Una caja de 6,3 Kg es subida verticalmente arriba por medio de una cuerda ligera y una polea, si la de tensión máxima es de 80 N. Hallar la aceleración de subida que puede aplicarse sin romper la cuerda. R: ≤ 2,9 m/s2. 18) Un yunque de 130 Kg. Está suspendido como indica la figura. Hallar las tensiones de las barras. R: T1 = 1.801,7 N. T2 = 1.274 N. T3 = 1.274 N. 19) Un atleta de 743 N de peso, se impulsa desde el piso hasta una altura máxima de 1metro. Si el esfuerzo del salto dura 0,27 segundos; encuentre: la rapidez inicial del salto y la fuerza promedio que el atleta aplica sobre el piso. R: 4,427 m/s. F = 1.243,11 N. 20) Un poste tiene un balón de terapia de 1,8 Kg colgante de una cuerda, como se indica en la figura del problema. Hallar la tensión de la cuerda y la normal que ejerce el poste si la masa misma está en reposo. R: T = 17,255 N. = 3,668 N. 21) Un obrero sube una caja de 20 Kg a rapidez constante por una tabla inclinada en 23º mediante una cuerda que tiene 20º con respecto a la inclinación de la tabla, como se muestra en la figura. Si el obrero aplica una fuerza de 120 N; hallar el coeficiente de fricción cinética que actúa. R: 0,26

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 137 22) Del problema anterior, número 21, calcule cuál sería el coeficiente de roce si la masa es subida por el obrero a razón de 1,3 m/s2 . R: µc = 0,07 23) Un bloque de 5,8 Kg es subido por una inclinación de 35º por medio de una fuerza “F” que actúa a 20º con respecto a la horizontal, como se indica en la figura del problema; si el valor del coeficiente cinético es 0,34. ¿Cuál es la fuerza para que el bloque suba a razón de 0,5m/s2 ? R: 62,32 N. 24) Del problema anterior, número 23, calcule el valor de la fuerza “F” si el bloque de 5,8 Kg. Baja a velocidad constante. R: F = 15,89 N. 25) Un bloque de masa “M” baja por una inclinación de 30º por medio de una fuerza horizontal de 25 N. Ver la figura. Si el coeficiente cinético de fricción es de 0,22. Hallar el valor de “M” de tal forma que el bloque baje 5 m/s2 . R: M = 12,38 Kg. 26) Un martillo de masa 600 gramos parte con una rapidez inicial de 1,5 m/s y recorre una distancia de 10 Cms antes de golpear un clavo de 20 gramos que está en una tabla de construcción a 4 m/s. Si se le aplica una fuerza adicional a su peso en su recorrido hasta el clavo. Hallar la fuerza neta del martillo al golpear el clavo y la fuerza promedio en contacto con éste, si sólo se hunde en la tabla 1 Cm. R: 27) Calcular el valor de una fuerza “F” horizontal aplicada a una cuña de 15 kilos e inclinación 32º con la horizontal, de tal forma que una masa de 1,5 kilos sobre la cuña no resbale si no hay fricciones. 28) Rehacer el problema anterior, número 27, si entre las masas existe un coeficiente de roce cinético con valor µC = 0,1. R: 29) Una cadena de 2 metros está colgada y en reposo, atada a un techo referencial, la masa de la cadena es de 100 gramos por cada eslabón de 5 Cms. Hallar la tensión de la cadena en el extremo superior y en un punto medio de la misma. R: 39,20 N. 19,60 N. 30) Si el coeficiente de fricción estática entre una cadena de 5 metros de largo y un mesón de madera es de µe = 0,62 ¿Qué fracción de la cadena, en longitud, puede colgar del borde del mesón sin que deslice y caiga? R: 1,914 m, colgando un 38,2%. 31) Un auto de 1.150 kilogramos baja por un camino recto cuya elevación se estima en 3 metros por cada 40 metros horizontales; si la fuerza de fricción entre los cauchos y el pavimento es de 700 N; calcule la fuerza ejercida por la resistencia del aire para baje a rapidez constante si ésta actúa horizontalmente y encuentre el coeficiente de fricción estático por rodamiento.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 138 32) Se limpia una pared con un cepillo de masa 700 gramos, aplicando una fuerza constante en la dirección del palo del cepillo, como se indica. Si el cepillo sube y baja a rapidez constante y el μC = 0,434; halle para cada situación la fuerza “F” requerida y la fuerza normal. 33) A una pieza de aluminio se le imprime una rapidez inicial de 3 m/s sobre una superficie horizontal de acero (μC = 0,47) ¿En qué distancia se detiene la pieza? y ¿Cuánto más recorrería una pieza similar de cobre (μC = 0,36)? R: 0,98 m. 1,28 m. 34) Si dentro de un ascensor que sube a razón de 1,77 m/s2 se intenta mover una caja de 34 kilogramos horizontalmente, si el coeficiente de fricción cinético entre la caja y el piso del ascensor es de 0,234; ¿cuál es la magnitud de la fuerza que se debe aplicar? R: F = 92,051 N. 35) Del problema anterior, número 34, considere que el ascensor baja a 1,77 m/s2 y calcule la fuerza necesaria para mover la caja, si esta actúa a 20° por debajo de la horizontal. R: F = 64,32 N. b) Dinámica lineal en cuerpos conectados o en contacto 36) Una masa de 1,5 Kg se conecta a otra de 1,8 Kg por medio de una cuerda ligera y una polea (Máquina de Atwood), de tal forma que ambas queden colgantes. Si el sistema parte del reposo; hallar la tensión de la cuerda y la aceleración de las masas. R: 0,891 m/s2 . T = 16,04 N. 37) Del sistema mostrado en la figura, una masa de 200 gramos está a una altura de 1,7 metros conectada a otra de 100 gramos. Si se sueltan y la masa mayor tarda 1,05 segundos en llegar al piso ¿Cuál es el valor estimado de la gravedad terrestre y porque la diferencia al valor de 9,8 m/s2 ? R: 9,252 m/s2 . No se considera la masa y la fricción de la polea. 38) Una masa de 5 kilogramos está sobre una superficie horizontal de coeficientes de fricción de 0,4 y 0,6 respectivamente y conectada a otra masa colgante de 30 kilos por medio de una cuerda que pasa por una polea. Hallar la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda. R: a = 7,84 m/s2 . T = 58,8 N. 39) Del problema anterior, número 38, ¿Qué fuerza mínima se le debe aplicar al bloque de 5 kg para que el sistema quede en reposo, si la misma se aplica horizontalmente? R: 264,6 N. 40) Se suspenden 3 cuerpos de 5, 7 y 9 kilogramos respectivamente, de tal forma que quedan colgando mediante 3 cuerdas de un techo de referencia, ver figura del problema. Hallar las tensiones en cada cuerda. R: T1 = 88,2 N. T2 =156,8 N. T3 = 205,8 N.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 139 41) Dos bloques de 3,4 y 2,3 kilogramos están conectados por medio de una cuerda sobre una superficie horizontal y sus coeficientes cinéticos son 0,3 y 0,4 respectivamente ¿Cuál será el valor de una fuerza “F” que se aplica horizontalmente sobre el bloque mayor y la tensión de la cuerda, si el sistema se mueve a 0,9 m/s2 ? R: 24,15 N. T = 13,06 N. 42) Del problema anterior, número 41, estime la tensión de la cuerda y la aceleración del sistema, si la fuerza aplicada es de 30 N de inclinación 28º con la horizontal. R: a = 2,3 m/s2 . T = 17,82 N. 43) Una masa de 500 gramos cuelga de una cuerda que al pasar por una polea sin fricción se conecta a otra masa de 0,8 kilos la cual está sobre una inclinación de 60º y µC= 0,4. Como indica la figura del problema. Hallar la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda. R: 0,246 m/s2 a la izquierda. T = 5,02 N. 44) Del sistema en el problema anterior, número 43, si la aceleración es de 0,5 m/s2 a la izquierda ¿Cuál será la tensión de la cuerda y el coeficiente de roce cinético? R: T = 5,15 N. μC = 0,316. 45) Del problema número 41, calcule la tensión de la cuerda y la fuerza aplicada, si el sistema de masas sube por una inclinación de 40° a 0,9 m/s2 . R: T = 32,14 N. F = 55,61 N. 46) Una masa “M” está sobre una superficie inclinada en 32º y su contacto genera coeficientes de fricción de 0,23 y 0,29 respectivamente. Si la masa está conectada a otra masa de 3 kilos, que se mueve como se indica en la figura del problema. ¿Cuál será el valor de “M” y la aceleración del sistema si la tensión en la cuerda es de 35 Newton? 47) Del problema 43. Calcule un el valor de la masa colgante y la tensión de la cuerda, de tal forma que el sistema se mueva a la derecha a razón de 2 m/s2. R: T = 9,96 N. M = 1,28 Kg. 48) Una masa de 4 kilogramos está sobre una superficie inclinada en 20º, y unida a otra masa de 1,5 kilos por medio de una cuerda a través de una polea. Ver la figura; Hallar la tensión de la cuerda y el coeficiente de fricción estática para que el sistema permanezca en reposo. R: T = 14,7 N. μE = 0,763. 49) Del problema anterior, número 48, considere que el coeficiente de roce cinético es de 0,3 y calcule la tensión en la cuerda y la aceleración. R: T = 10,05 N. a = 3,1 m/s2 . 50) Una masa de 1,5 Kg. Está sobre una inclinación de 63º y conectada a otra masa de 2,5 kilos por medio de una cuerda y una polea como se indica en la figura. Si el sistema se mueve a la derecha a rapidez constante; hallar el valor de la fuerza “F” que actúa a 37º con la horizontal, si todas las superficies en contacto tienen un coeficiente de roce cinético de 0,30. R: F = 22,93 N. T = 15,1 N.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 140 51) Del problema anterior, número 50, si la fuerza es de solo 20 N. Calcule la tensión en la cuerda y la aceleración a la izquierda del sistema. R: T = 14,02 N. a = 0,72 m/s2. 52) Un bloque de 2 Kg. Está sobre una superficie inclinada en 30 º, y de coeficiente de fricción de 0,45conectada a otra masa de 5 kilos, la cual está sobre una superficie inclinada en 60º y de coeficiente de fricción cinético de 0,38. Como se muestra en la figura. Hallar la tensión de la cuerda y la aceleración del sistema. 53) En la figura se muestra dos masas sobre dos inclinaciones de 30º, conectadas por medio de una cuerda que pasa por una polea; si el µC en ambas superficies es de 0,10. Diga si el sistema se mueve, y encuentre la tensión en la cuerda. R: Se mueve a la derecha a 1,6 m/s2. T = 73,5 N. 54) Del problema anterior, número 53, considere que a la masa de 30 kilogramos se le aplica una fuerza horizontal de tal forma que la tensión en la cuerda es de 100 N. Encuentre la fuerza “F” aplicada y la aceleración del sistema de masas. R: F = 115,67 N. a = 4,25 m/s2. 55) Una masa de 5 Kg. Está sobre una inclinación de 40º conectada a otra masa de 20 kilos sobre una inclinación de 30º, como se indica. Si el µces igual para las superficies; ¿Cuál será su valor mínimo para que el sistema no se mueva y que tensión tendrá la cuerda? R: μE = 0,32. T = 43,54 N. 56) Un bloque de 3 kilos está sobre otro bloque de 6 Kg, el cual está sobre un piso horizontal; si el coeficiente de fricción estática entre los bloques es de 0,34 y el coeficiente de fricción cinética con el piso es 0,28 ¿Cuál será el valor máximo de una fuerza “F” horizontal? Aplicada sobre el bloque de 6 kilos para que se muevan juntos y cuál es la aceleración R: F = 54,7 N. 57) Una masa de 2,8 Kg. Está sobre otra de 4 Kg, que se encuentra sobre una superficie horizontal; si los coeficientes de fricción entre las masas son de 0,45 y 0,50. Y entre la masa de 4 kilos y la superficie son 0,11 y 0,30 respectivamente. Hallar el rango en Newton de una fuerza “F” horizontal aplicada sobre la masa de 2,8 kilos, para que el sistema se mueva en conjunto. R: 7,33 N ≤ F ≤ 13,72 N. 58) Dos cuerpos de 7 y 3 kilogramos están juntos sobre una superficie horizontal de fricción despreciable; si al sistema se le aplica una fuerza de 10 N, como se indica; determine la aceleración del sistema y la fuerza de contacto entre ellas. R: a = 1,5 m/s2. N = 10,5 N.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 141 59) Del problema anterior, número 58, considere un coeficiente de fricción cinético de 0,1 entre la masa mayor y la superficie y de 0,2 entre la masa menor y la superficie. Calcule la aceleración de las masas y la fuerza de contacto, con “F” aplicada sobre la masa menor. R: a = 0,226 m/s2. N = 8,44 N. 60) Al sistema mostrado en la siguiente figura, se le aplica una fuerza de 35 N con un ángulo de 35º con la vertical. Si los coeficientes de fricción entre las masas son: 0,32 y 0,17. Y con el piso de 0,17 y 0,15 respectivamente. Diga si el sistema se mueve junto y halle su aceleración. R: juntas a razón de 0,283 m/s2 . 61) Una masa de 200 gramos está sobre otra de 600 gramos y conectadas como se indica en la figura del problema; si la masa mayor se le aplica una fuerza horizontal de 3,5 N; hallar la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda, si el µC de todas las superficies es de 0,23. R: a = 0,998 m/s2 . T = 0,65 N. 62) Una masa de 2,3 kilogramos está atada a una pared y encima de otra masa de 3,4kilos como se muestra en la figura. Si el coeficiente de fricción cinético entre las masas es de 0,40 y entre la masa mayor y el piso es de 0,52 y a ésta se le aplica una fuerza horizontal de 40 N. Hallar la aceleración de la masa mayor y la tensión de la cuerda. R: a = 0,57 m/s2 . T = 9,02 N. 63) Del problema anterior, número 62, considere que la fuerza “F” actúa a 32º de inclinación; calcule su magnitud para que la masa mayor acelere en 1,5 m/s2 . R: F = 38,42 N. 64) En el sistema mostrado a continuación, la masa atada es de un kilogramo, y la masa de abajo es de 8 kilos; diga si la masa mayor se mueve y a que razón y encuentre la tensión en la cuerda si el µC = 0,2 en todos los contactos. R: Se mueve a 4,423 m/s2 . T = 7,8 N. 65) Dos masas de 2,0 y 9,0 kilogramos se conectan por medio de una cuerda y una polea como indica la figura del problema; si todas las superficies en contacto tienen un coeficiente de fricción cinético de 0,345; hallar la aceleración del sistema y la tensión. R: T = 17,34 N. 66) Una masa de 5 kilogramos está sobre una inclinación de 30º, sin fricción. Si encima de ésta se encuentra otra masa de 850 gramos, encuentre la aceleración en el sistema; y el coeficiente de fricción estático mínimo entre las masas para que se muevan juntas. R: a = 4,9 m/s2 . μe ≈ 0. 67) En el sistema que se presenta a continuación en la siguiente figura, encuentre la aceleración que adquiere el mismo y la fuerza de contacto entre las masas, si el coeficiente de fricción cinético con la superficie inclinada es para la masa mayor de 0,22 y para la masa menor de 0,45. R: 6,9 m/s2 . N3 = 1,9 N.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 142 68) Tres cuerpos están conectados como indica la figura siguiente; en donde m1 = 3 Kg, m2 = 5 Kg y m3 = 10 Kg; si los coeficientes de fricción entre todas las superficies y las masas son de 0,32 y 0,42 respectivamente; hallar la aceleración en el sistema y las tensiones en las cuerdas. R: a = 0,025 m/s2 . T1 = 22,93 N. T2 = 38,73 N. 69) Una masa de 2 kilogramos está encima y conectada a otra de 6 kilos, la cual a su vez está conectada a una tercera masa colgante de 6 kilos, como se muestra en la figura del problema. Si entre todas las superficies en contacto existe un coeficiente cinético de 0,48. Hallar la aceleración en el sistema de masas y las tensiones en las cuerdas. R: a = 0,17 m/s2 . T1 = 9,75 N. T2 = 57,78 N. 70) Observe el sistema de masas mostrada en la figura y determine el valor máximo y mínimo de la masa “M” para que la masa m1 = 0,5 Kg no deslice sobre la masa m2 = 4 Kg; y para que el sistema se mueva. R: Mmáx = 10,9kg. Mmin= 1,145 Kg. 71) En el sistema de masas dado, en la figura del problema, m1 = 1 Kg, m2 = 2 Kg y m3 = 7 Kg. Encuentre la tensión de la cuerda, la aceleración del sistema y el coeficiente de fricción estática mínimo entre m1 y m2 para que esta última no deslice, si el µC entre las masas y las inclinaciones es de 0,21. R: . T = 29,7 N. μE (min) = 0,957. 72) En el sistema mostrado estime los valores posibles de “M” para que el mismo permanezca en equilibrio estático, con μe= 0,38. R: 0,3 Kg < M < 2,91 Kg. 73) Una camioneta viene con rapidez de 23 m/s y en la parte de carga lleva una caja de 30 kilogramos, que ofrece una fricción estática de coeficiente igual a 0,656. Encuentre la distancia mínima en que la camioneta frene hasta detenerse, sin que la caja se mueva. R: 41,143 m. 74) Una masa de 1,5 kilos cuelga conectada a otra de 2,5 Kg, como se indica en la figura ¿Cuál es el valor de la fuerza “F”? Para que la tensión en la cuerda se anule, siendo μc = 0,183 R: 30,413 N. En sentido opuesto. 75) Hallar el valor de una fuerza “F” mínima para que la masa de 2,3kilos no resbale por el lado de la masa M de 22 kilogramos; si los coeficientes de las superficies en contacto están expresados en la figura. R: F min = 493,14 N.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 143 76) Del sistema mostrado a continuación calcule la aceleración de las masas y la tensión en la cuerda, si “F” es de 36 Newton a 20° de inclinación y el coeficiente de fricción cinética de las superficies es de 0,12. R: a = 1,24 m/s2 . T = 20,82 N. 77) Rehacer el problema anterior, número 76, considerando que todo el sistema esta inclinado en 20° de tal forma que la fuerza “F” se observa horizontalmente. R: a = 2,07 m/s2 . T = 36,38 N. 78) Un autobús baja por una pendiente inclinada con aceleración constante de 4,5 m/s2 . Si un pasajero sostiene una masa de 200 gramos por medio de una cuerda ligera, y observa que la cuerda permanece ortogonal al piso del autobús. Encuentre el ángulo de inclinación de la pendiente y la tensión en la cuerda. R: = 27,73º. T = 1,34 N. 79) Del problema anterior, número 78, considere que la inclinación por donde baja el autobús es de 30°. Calcule la tensión en la cuerda y la aceleración del autobús. R: T = 1,69 N. a = 4,9 m/s2 . 80) Un bloque de 500 gramos descansa sobre otro de 1.250 gramos, el cual está conectado a un tercer cuerpo de masa un kilogramo, como se muestra en la figura. Si los coeficientes de fricción cinético y estático son los indicados; calcule la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda. 81) Dos bloques de 3 kilos y 5 kilos están conectados por medio de un hilo, y sobre un plano inclinado de 45º. Ver figura. Si los coeficientes de fricción cinética para cada bloque son 0,12 y 0,22 respectivamente; hallar la aceleración del sistema y la tensión. R: = . T = 1,3 N. 82) Una esfera de metal de 27 kilos descansa en reposo rotacional sobre una especie de canal o superficies inclinadas lisas, como se indica en la figura del problema. Calcule las magnitudes de las normales actuantes señaladas. R: NA = 180,9. N. NB = 264,7 N. c) Dinámica del movimiento circular 83) Una piedra de 280 gramos gira a una rapidez constante de 2,3 m/s en un círculo horizontal de 1,9 metros de diámetro ¿Hallar la tensión en la cuerda y la aceleración radial que la mantiene en el círculo? R: T = 1,56 N .a = 5,57 m/s2 . 84) Un automóvil toma una curva horizontal de diámetro 160 m; si el coeficiente de fricción estático lateral entre los cauchos y el pavimento es de 0,665 en pista seca y 0,538 en pista húmeda ¿Cuál será el valor máximo de la rapidez en cada caso? R: 82,2 Km/h. 73,94 Km/h.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 144 85) Si un auto toma una curva peraltada de radio 65 m, a una rapidez de 75 km/h ¿Cuál será el valor del ángulo de inclinación para que el auto no deslice, si las fricciones son despreciables? R: 34,27º. 86) Un pasajero en un auto observa como el chofer toma una curva horizontal de diámetro80 metros a 15 m/s. Si el pasajero no desliza sentado. Calcule el µE que actúa en el asiento. R: μe ≥ 0,574 87) Un patinador, toma una curva horizontal a una rapidez de 22 m/s, inclinando su cuerpo hasta formar un ángulo de 50º con la vertical. Si la fricción estática entre la patineta y el piso de pista es despreciable ¿Cuál debe ser el radio mínimo de la curva? R: 41,44 m. 88) Del problema anterior, número 86, considere que el patinador toma otra curva de coeficiente estático de fricción de 0,25. Hallar el radio mínimo para una rapidez de 42 Km/h. R: 55,56 m. 89) Un tambor giratorio hueco de diámetro 280 Cms ver figura, gira a rapidez constante de 35RPM ¿Cuál debe ser el mínimo valor del coeficiente de fricción estática para que un cuerpo de 650 gramos no deslice por la pared interna del tambor? R: μe = 0,521 90) Una masa de 200 gramos gira en un círculo horizontal de radio 1,3metros sobre una mesa de hierro y atada al centro por medio de una cuerda conectada a un pivote fijo. Si la fuerza de fricción lateral es de 1,4 N. Hallar la rapidez de giro que ocasiona una tensión en la cuerda de 4 N y el coeficiente de fricción lateral. R: V = 5,925 m/s. μe = 0,714. 91) Del problema, número 88, considere que el tambor está inclinado en 20° con la vertical. Calcule el nuevo coeficiente de roce estático en el punto más bajo del giro. R: 0,416. 92) Tarzán de la selva (M = 85 Kg), se balancea por medio de una liana de 7,5 metros de largo; si su velocidad máxima, en la parte más baja del semicírculo es de 7,6 m/s ¿Cuál es la tensión que experimenta la liana en ese punto? R: T = 1.487,61 N. 93) Del problema anterior, número 91, calcule la tensión en la liana para las situaciones: a) A un ángulo de 34º con la vertical Tarzán tiene una rapidez de 3,2 m/s. Y b) Si el ángulo máximo del balanceo es de 46º con la vertical. R: Ta = 806,64 N. Tb = 578,65 N. 94) Un joven ata una piedra de 300 gramos a una cuerda de 90 Cms y la hace girar en un círculo vertical, suponga una rapidez de 3 m/s en el punto más alto; 3,4 m/s en un punto medio, y 4 m/s en el punto más bajo del giro. Hallar la tensión de la cuerda en dichos puntos: a) Más alto, b) medio c) Más bajo, de la trayectoria. R: Ta = 0,06 N. Tb = 3,85 N. Tc = 8,27 N. 95) Un tren con pasajeros de una montaña rusa pesa 4.750 N; si el mismo realiza una vuelta vertical invertida de diámetro 10 metros; calcule la fuerza de acción de los rieles sobre el tren en el punto más alto, siendo su rapidez en dicho punto de 8 m/s. R: N = 1.454,08 N.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 145 96) Un auto de pasajeros viaja por la vía ondulada hacía, como se indica en la figura. Si en el punto “A” el auto no toca la vía y en el punto “B” la vía ejerce una fuerza de 3/2 veces el peso del auto. Hallar su rapidez en ambos puntos. R: Va = 52,86 km/h; Vb = 40,634 Km/h. 97) Una cubeta llena de agua (m = 22 kilos) se hace girar en un círculo vertical de 1,3 metros de radio. Hallar la rapidez mínima de la cubeta en el punto más alto para que el agua no caiga y la rapidez si la fuerza que ejerce el fondo de la cubeta en ese punto es 26 N. R: Vmín = 3,57 m/s. V = 3,78 m/s. 98) Calcule la velocidad máxima que identifique a una curva de 180metros de radio y peraltada en 9º, si no se considera la fricción lateral en la misma. R: Vmáx = 16,715 m/s. (≈ 60 Km/H). 99) Del problema anterior, número 97, considere que existe una fricción estática lateral de coeficiente 0,47 y calcule la rapidez máxima posible. R: Vmáx = 34,61 m/s. (≈ 124,6 Km/H). 100) Una masa de 880 gramos gira en un círculo horizontal, atada a un poste con un cabezal giratorio con una cuerda de 1,7metros de largo, la cual forma un ángulo de 29º con la vertical. Hallar la tensión de la cuerda y la velocidad de giro. R: V = 2,12 m/s. T = 9,86 N. 101) Del siguiente dibujo, una masa de 2 Kg. Gira a 15 M/s en un círculo horizontal por medio de dos guayas: una inclinada que sale del tope giratorio T1, y la otra horizontal atada al poste T2 . Calcule estas tensiones. R: T1 = 29,4 N. T2 = 179,34 N. 102) Del problema anterior, número 100. Calcule los R.P.M de giro de la masa de 2 Kg si el largo de la guaya superior es de 4 metros y la tensión inferior es de 200 N. Adicionalmente encuentre la tensión en la guaya superior. R: 55,5 R.P.M. T1 = 39,2 N. 103) En un parque infantil, un elevador giratorio sostiene un contenedor para niños, como el esquema que se dibuja, si su masa total con pasajeros es de 60 kilogramos y el sistema gira a 5 m/s. Hallar las tensiones en las barras inclinadas que se muestran en la figura. R: T1 = 863,98 N. T2 = 29,43 N. 104) Sistema mostrado a continuación, en la figura, es de una masa de 500 gramos que gira en un círculo horizontal a 0,5 R.P.S, sostenida por dos cuerdas que están sujetas a un poste giratorio ¿Calcular la tensión en cada una de las cuerdas? R: T1 = 7 N. T2 = 9,83 N.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 146 105) Una masa de 1,5 Kg gira en un círculo vertical, sostenido por dos cuerdas conectadas a una barra horizontal giratoria como se indica, en la figura del problema. Calcular las tensiones en las cuerdas si en el punto más alto su rapidez es de 5 m/s. R: T1 = 3,06 N. T2 = 7,565 N. 106) Del problema anterior, número 104. Calcule las tensiones en las cuerdas cuando la masa de 1,5 kilogramos está en su punto más bajo a 7 m/s. R: T1 = 21,207 N. T2 = 52,50 N. 107) Un cuerpo de 30 Newton. De peso está sujeto a una barra horizontal giratoria, por medio de una cuerda de 1,2 metros e inclinada en 34º, como indica la figura del problema. Si la tensión en la cuerda es de 15 N, en el punto más alto, ¿Cuál es la rapidez lineal y angular de la masa en este punto? R: V = 2,9 m/s. w = 4,32 rad/s. 108) Dos masas, m1 y m2 de 200 gramos y 300 gramos, respectivamente, están conectadas entre sí y unidas por hilos a un centro de giro sobre una superficie horizontal sin fricción, como se indica en la figura; si giran a razón de 4 rad/s. Hallar la tensión en cada hilo. R: T1 = 2,32 N. T2 = 1,68 N. 109) Una bola de 750 gramos rueda hacia abajo por una superficie esférica lisa. Ver figura. Encuentre la rapidez de la bola si a 30º con la vertical abandona la superficie y a 25º con la vertical la normal es de 3 Newton. R: V(30º) = 4,12 m/s. V(25º) = 3,12 m/s. 110) Un acróbata conduce una moto, (masa total 120 Kg. A través de una pista circular invertida de 30 metros de diámetro. Calcule la mínima velocidad en el punto más alto y la normal en el punto más bajo si su rapidez allí es de 3/2 veces la velocidad mínima. R: V ≥ 12,124 m/s. N = 3.821,84 N. 111) Una masa agujereada (cuenta), desliza sin fricción por un aro circular vertical de radio 30Cms ¿Calcule la fuerza normal que ejerce el aro sobre la masa de 500 gramos en los puntos A, B y C, indicados en la figura; si la rapidez de la masa es 1,5 m/s en A, 3 m/s en B, y 2,5 m/s en C? R: NA = 1,15 N. NB = 19,9 N. Nc = 13, 57 N. 112) Un cono hueco invertido, con 32º con la vertical, se hace girar, si el coeficiente de fricción estática entre una masa de 1kg y las paredes internas del cono es de 0,40. Hallar en R.P.M la rapidez máxima del cono para que la masa permanezca en la distancia de 2 metros y no suba, indicada en la siguiente figura del problema. R: Vmax = 63,05 RPM.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 147 113) Del problema anterior, número 111, calcule en R.P.M la rapidez mínima para que la masa de un kilo no deslice hacia abajo por la pared interna del cono desde los dos metros. R: 22,88 RPM. 114) Un tren de una montaña rusa tiene una masa total con pasajeros de 720 kilogramos, realiza una vuelta por un riel invertido de diámetro 10 metros. Encuentre la rapidez de este en el punto más alto, si por medidas de seguridad el riel ejerce una fuerza de 600 N, en dicho punto. Calcule esta fuerza en un punto ubicado a 65º con la vertical, antes del punto más alto, en donde la rapidez es del doble de la calculada. R: Vmín = 7,30 m/s. N = 27.713 N. 115) El auto de “Batman”, posee un gancho con una guaya lateral que le permite tomar curvas cerradas. El auto pesa 19.600 N. Y la tensión máxima de la guaya es de 6.500 N. En la curva hay un coeficiente de fricción estática con los cauchos de 0,685. Calcule la rapidez máxima en una curva cerrada de 35 metros de radio. R: Vmáx = 18,67 m/s. (67,21 Km/h). 116) Una superficie cónica de 35º con la vertical tiene un µC = 0,3. Con una masa de 2 Kg atada con un hilo de 2 metros, gira alrededor a razón de 18 R.P.M. Calcular la Normal que ejerce la superficie y la Tensión en el hilo. R: N = 17,91 N. T = 11,39 N. 117) Del problema número 113, considere que la rapidez del tren de masa 720 kilogramos es de 6,9 m/s en el punto más alto. Calcule la fuerza que ejerce el riel sobre el tren en ese punto, y explique su respuesta. R: N = - 200,16 N. El tren debe poseer ganchos de seguridad. 118) Una esfera de 600 Gramos rueda desde el reposo desde la cima de una superficie circular de diámetro 15 metros, calcule el ángulo con la vertical donde la esfera pierde contacto con la superficie si en ese momento su rapidez es de 10 R.P.M. R: θ = 32,94°. 119) Un niño de 43 kilogramos se mece sentado en un asiento de madera de 2,5 Kg. Es soportado por dos cadenas similares de 3,75 metros de largo. Si la fuerza normal del asiento es de 250 N. Con una rapidez de 1,5 m/s a 30º con la vertical en el balanceo; calcule la tensión en cada cadena. R: T = 81,73 N. 120) El sistema mostrado gira 3,4 m/s y la masa “M” está a una distancia de L = 2 metros. Como se indica en la figura. Calcule el ángulo de la inclinación para que la masa permanezca en esa distancia, si no hay fricción. R: θ = 36,143º 121) Un avión de control remoto de 2,75 kilogramos vuela en un círculo horizontal de diámetro desconocido a 18 m/s e inclinado en 25º con la horizontal. Si la fuerza de sustentación es perpendicular al vuelo, calcúlela; así como el diámetro de curvatura. R: F = 29,736 N. = 141,8 m. 122) Una masa de 20 gramos está sobre otra masa de 50 gramos la cual a su vez está sobre un disco giratorio, ver figura. Si los coeficientes de fricción entre las masas son de 0,46 y 0,53.Y entre la masa mayor y el disco 0,78 y 0,65 respectivamente. Calcular la velocidad máxima de giro sin que las masas deslicen. R: V = 1,02 m/s.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 148 123) Del problema número 118 considere que el niño que se columpia logra un balanceo de 40° con la vertical, y cada cadena soporta en ese punto 100 N. Calcule la su rapidez si en el asiento se experimenta una fuerza normal de 150 Newton. R: V = 0,83 m/s. d) Cantidad de movimiento y su conservación 124) Un camión de 4.500 Kg viene a velocidad de (6i –4j) m/s ¿Cuál es la magnitud de su ímpetu? ¿Qué rapidez debe tener una pick-up de 1.700 Kg para igualarlo? R: 32.450 kg.m/s. 19,09 m/s. 125) Una pelota de béisbol (M = 150 gramos) es bateada a 35 m/s, con un ángulo de 35° con la horizontal. Hallar el vector cantidad de movimiento. R: (4,30i +3,01j) kg.m/s 126) Del problema anterior, número 124, considere que la pelota viene a 31 m/s, con un ángulo de 15° por debajo de la horizontal. Si el tiempo de contacto es de 0,02 segundos. Hallar el vector Impulso sobre la pelota y la magnitud de la fuerza. 127) Una pelota de billar de masa 0,35 kilogramos viene a 1,42 m/s y choca con una canica de 40 gramos en reposo. Si la canica sale a 8 m/s. Calcule la rapidez final de la bola de billar. R: 0,506 m/s. 128) Un arquero de 90 kilogramos está en reposo cuando atrapa un balón de 400 gramos que viene hacia él a 25 m/s. Calcular la rapidez final de ambos; y si el balón rebota del pecho del arquero a 4 m/s, encuentre la rapidez final de este. R: Vf = 0,111 m/s. Vf = 0,0933i m/s. 129) Una masa explosiva de 3 kilogramos está cayendo a rapidez de 6 m/s cuando estalla y se divide en 3 fragmentos de 1,5 kilos, un kilo y 0,5 Kg. Respectivamente, si las velocidades finales de los dos primeros fragmentos son de (3i – 2j) m/s y (5i + 2j) m/s. Calcule la velocidad final de la masa menor y la cantidad de movimiento final de todas. 130) Una bola de billar de 350 gramos tiene una rapidez de 2 m/s cuando golpea a otras dos bolas en reposo; si las bolas salen a 1 m/s, con los ángulos indicados en la figura del problema. Hallar la rapidez final de la bola que golpea y el vector impulso que ocasiona. 131) Una pelota de hierro de 300 gramos cae desde una altura de 6 metros y rebota de un piso metálico, alcanzando una altura máxima de 5,3 metros. Si el contacto dura 0,0036 segundos. Calcular la fuerza media que se ejerce sobre la esfera en el contacto. R: F = 1.753,04 N. 132) Un vagón sobre rieles lleno de carbón tiene una masa de 2.500 kilogramos y viene a 3 m/s, cuando se acopla a otro vagón en reposo de 2.800 Kg. Ambos continúan en movimiento sin fricciones, cuando se acoplan con un tercer vagón. Si la rapidez final de los tres vagones es de 0,95 m/s ¿Cuál es la masa del tercer vagón? R: 2.594,74 kilogramos.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 149 133) Un cubo metálico contentivo de arena con masa total de 1,6 kilogramos desliza desde el reposo por una inclinación de 30° y coeficiente de fricción cinético de 0,3. Si el cubo tiene una fisura por donde sale la arena ¿Calcule la cantidad de arena perdida por el cubo si la rapidez es de 6,7 m/s, cuando ha recorrido 5 metros? R: 89,35 Gramos 134) Un fusil de asalto del ejército puede disparar ráfagas de 20 balas a razón de 900 balas por minuto (BPM). Si cada bala tiene una masa de 8 gramos y rapidez de 900 m/s. Calcular la fuerza media de retroceso del arma durante la ráfaga. R: 108 N. 135) Una bala de 6 gramos es disparada a velocidad de: 650i m/s contra un bloque de cemento de 5,8 kilogramos en reposo sobre una superficie horizontal; si la bala atraviesa el bloque perdiendo 83% de su velocidad. Calcule el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie que lo sostiene, si éste se mueve una distancia total de 8 Cms. R: 0,199. 136) Del problema anterior, número 134, considere que la bala queda incrustada en el bloque, si el coeficiente es el calculado; halle la distancia que el bloque con la bala desliza por la superficie horizontal. R: 11,57 Cms. 137) Un joven de 50 kilos que está sobre un cajón de 25 kilos el cual está sobre una superficie horizontal de µc = 0,25. Salta rapidez horizontal de 3m/s relativa a la rapidez que adquiere el cajón en sentido opuesto; hallar esta la rapidez y la distancia en que se detiene. R: Vf = 2 m/s. d = 0,816 m. 138) Un hombre de 80 kilogramos está en reposo en un extremo de un pequeño bote de 4metros de largo y de 980 N de peso. Si él corre al otro extremo del bote en un tiempo de 1,8 segundos y salta; hallar la rapidez que adquiere el bote si las fricciones son despreciables. R: Vf = 3,56 m/s 139) Un niño de 50 kilos corre a 3 m/s y salta sobre una patineta de 3,6 Kg, que está en reposo, si el coeficiente estático por rodamiento entre las ruedas y el piso es 0,82. Calcule la rapidez del niño sobre la patineta, el impulso que el niño le da y la distancia máxima que recorre. 140) Un bombero sostiene una manguera que descarga agua a razón de 4lts/s y el agua sale a 18 m/s. Calcule la fuerza necesaria para sostener la manguera y el impulso que el agua le ocasiona a la manguera en un tiempo de 2segundos. (considere la densidad de esta agua en 0,98 g/cm3 ). R: 70,56 N. 141.12 kg.m/s 141) Un auto que viene a 20 Km/h y se detiene en 1,4 segundos en un semáforo. Calcule el impulso lineal y la fuerza promedio sobre un pasajero de 66 kilos. 142) Un balón de futbol de 450 gramos viene horizontalmente a 6 m/s, es pateado en un contacto de 0,3 segundos y sale a 13 m/s con una inclinación de 30°. Hallar el módulo y la dirección de la fuerza promedio ejercida sobre el balón. R: F = 27,66 N. 20,636° con la horizontal