FÍSICA I Mecánica Clásica para Estudiantes de Educación e Ingenierías

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 50 48) Rehacer completo el problema número 42 considerando que en el segundo vuelo la gaviota gira y vuela 225 pies a 70° al este del norte. R: 31,7 m. A 22,05° N- E. Área: 730 m2 . 49) Dados los vectores A = 4j – 5k y B = 6i – 7j. Calcular el ángulo mínimo que existe entre ellos y el área del paralelogramo que forman. R: 118,31°; 47,54 Unid2 . 50) Un vector de 40 metros se suma a otro vector de 50 metros de tal forma que el módulo del resultado es de 30 metros, en el triángulo que se forma. Calcule los ángulos internos de este triángulo. R: 36,87°. 53,13°. 90°. 51) Del problema anterior, encuentre el ángulo mínimo entre los vectores que se suman. R: 143,13°. 52) Un vector tiene módulo 50m y otro tiene 70m y está a 35° de inclinación de la prolongación del primero. Hallar el módulo de la suma y de la resta. R:114,60 m. 40,82 m. 53) Dados los vectores . Hallar la proyección vectorial y escalar de A sobre B. R: 1,59 unidades. Proyección: -1,35j + 0,84k 54) ¿Qué ángulo existe entre un vector de 100 pies y otro de 80 pies, si la suma vectorial de ambos es igual a 140 pies? Calcule el ángulo para los resultados de: 179,9 pies y 180 pies. R: 78,46°. 3,84°. 0° 55) Como el plano coordenado tiene 0º en el este, 90º al norte, 180º al este y 270º al sur ¿Cuál es el desplazamiento total, módulo y dirección? De los movimientos: 120 km a 95°, 500 km a 150° y 200 km a 300°. R: -343,47i - 196,34j. Son 395,6 Km. A 29,75º al N -O 56) Dados dos vectores, el módulo del vector A es de 10 metros y tiene un ángulo de 30° con la horizontal positiva, y el módulo del vector B es de 7 metros con un ángulo de 40° con la vertical positiva; calcular el módulo del vector suma y ángulo entre los vectores. R: 11,17 m. 100°. 57) Del problema anterior, número 56, calcule el módulo de la resta vectorial A – B y el área del paralelogramo que se forma. R: 13,165 metros. 68,92 m2 . d) Expresión vectorial y suma analítica en 58) Dados los vectores hallar los módulos del vector suma y del vector resta. R: 20,54 unidades; 11,75 unidades 59) Sea ¿Cuál de ellos es de mayor módulo? R: El vector 60) Si un vector de módulo 25 m tiene 30°, 40° y 130° con los ejes coordenados X, Y, Z; y otro une los puntos (3,4,-5) y (-2,1,1) ¿Cuál es el vector suma? R:16,65i + 16,15j – 10,07k

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 51 61) Encuentre un vector unitario de un vector origen que llega hasta el punto (10,-30,20). Determine que ángulo forma con cada eje coordenado. R: 0,267i - 0,802j + 0,534k (74,51°; 143,32°; 57,72°). 62) En la figura siguiente, hallar la suma entre el vector que inicia en el punto (-3, 4) y termina en el punto (4, - 4, 4) con el vector , de módulo 14 unidades y que se encuentra en el segundo octante (- , +, + ). 63) Del problema anterior, número 62, encuentre el módulo de la suma por la ley del coseno y sus ángulos directores. R: 18,627 u. (51,17°; 128,6°; 117,81°). 64) Dados los vectores ; hallar módulo y dirección de un vector ; tal que R:37,22 unidades a (67,9°; 117,2°; 36,3°) 65) Exprese analíticamente un vector que pasa por los puntos (-3,-2,5) y (2,-10,2) y tiene módulo de 100 unidades. R: 50,5i – 80,8j – 30,3k. 66) El vector origen , está en el plano XY con 10 unidades y 20° con el eje Y+ primer cuadrante, el vector está en el plano XZ con un módulo de 20 u. y 35° con el eje Z- ; y el vector . Encuentre el vector suma . R: - 8,05i + 7,4j + 24,38k 67) Del problema anterior, número 66, hallar el módulo y la dirección del vector equilibrio. R:26,72 U. (72,46°; 106,08°; 155,84°) 68) Encuentre el módulo de un vector en el espacio de proyecciones: 15 km en el eje X+ , 18 km en el eje Z- y un ángulo de 20° con el eje Y+ . R: 68,507 Km. 69) Un vector de módulo 45 unidades está en el espacio y tiene 20° con el eje X +; su proyección en el eje Y es de 10 unidades. Hallar sus posibles expresiones analíticas. R: 42,29i ± 10j ± 11,7k. 70) Hallar una de las expresiones del vector , de módulo 25 pulgadas con proyección sobre el eje X+ de -10 pulgadas y con un ángulo con el eje Z+ de 33°; diga si el vector está en el espacio. R: -10i + 9,241j + 20,97k. El vector es espacial porque tiene las tres componentes. 71) Un vector de modulo 20 metros tiene el mismo ángulo director con los tres ejes coordenados positivos en el espacio; encuentre su expresión analítica. R: 11,551 + 11,55j + 11,55k. 72) El vector espacial tiene por proyección en el eje X+ unos 15 km. Si sus ángulos con el eje Y+ es de 45° y con el eje Z+ es de 125° ¿Cuál es su expresión? 73) El vector Q tiene un ángulo de 60° con el eje Z- y con el eje X- . Su proyección es de 22 pulg. en el eje Y+ . Halle su expresión y su módulo. R: -15,56i + 22j – 15,56k; 31,113”.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 52 74) En la figura del problema número 62 considere que los ejes espaciales X y Z se intercambian; es decir el vector C queda en el (+, +, -); y calcule la suma AB + C. R: 8,69i – 4,38j +2,32k. 75) De la siguiente situación espacial, donde el módulo del vector P es de 6 pies y el módulo del vector Q es de 8 pies, calcule el módulo y la dirección de un vector M = P + Q. 76) Si A es un vector espacial con el mismo ángulo con los ejes coordenados negativos y positivos calcule cuál es este ángulo común. R: 125,264° y 54,736° respectivamente. 77) De la siguiente situación espacial, donde el vector A tiene por modulo 20 metros ubicado en el primer octante: (+, +, +) y el vector B tiene módulo de 30 metros y está ubicado en el segundo octante: (-, +, +). Calcule el vector suma A + B, su modulo y dirección. 78) Del problema anterior, número 77, calcule el vector resta: C = B – A, su modulo y dirección. R: C = - 26,26i + 15,98j + 2,18k. 30,817 M. (148,44°. 58,77°. 85,94°). 79) Dados los vectores: C de modulo 40 pies en el plano YZ y el vector D de 50 pies en el espacio, como indica el dibujo. Calcule el vector resta C – D, su modulo y dirección. 80) Del problema anterior, número 79, calcule el vector suma: E = D + C, su modulo y dirección. R: E = 21,65i + 73,94j + 38,21k. 86 pies. (75,42°; 30,71°; 63,62°).

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 53 81) En la siguiente situación espacial de tres vectores, en donde los módulos de los vectores son en centímetros: A = 10, B = 20 y C = 15 respectivamente. Calcular el vector D = A + B + C. 82) Del problema anterior, número 81. Calcule el módulo en centímetros y la dirección del vector espacial E = A + B - C. R: 36,92 Cm. (45,95°; 118,29°; 122,71°). 83) De un paralelepípedo ubicado en el sexto octante con x = 6, y = 2 y z = 7 metros. Encuentre todos los vértices. R: a) (0, 0, -7) b) (0, 2, -7) c) (0, 2, 0) d) (-6, 0, 0) e) (-6, 0, -7)f) (-6, 2, -7) g) (-6, 2, 0). e) Producto entre vectores en 84) Sean hallar: Ángulo entre los vectores; proyección escalar y vectorial de sobre y el área del paralelogramo formado por los vectores . R: 120,8°. 5,37 hacia el negativo de . 2,74i + 3,09j – 3,43k; 141,05 m2 . 85) Si el vector origen es de módulo 30 Nw y tiene 60° con el X- ; 40° con el Y– y se proyecta sobre el Z+ . Y dado el vector . Encuentre un vector perpendicular a los vectores . R: = - 449,22 i + 304,68j + 21,72k. 86) Del problema anterior, número 85, demuestre que el vector obtenido es perpendicular a los vectores 87) Demuestre que el vector: es paralelo al vector: R: A x B = 0 Son paralelos. 88) Del problema número 74, encuentre el módulo de la suma por la ley del coseno. R: 10 Unidades. 89) Por ensayo encuentre al menos un vector espacial perpendicular a R: 90) Dados los vectores ; calcule los vectores de las siguientes operaciones a realizar: R: a) 63i. b) 105i + 105j – 105k. c) - 9 unidades. 91) Del problema número 75 encuentre el ángulo entre los vectores P y Q, y el área del triángulo que se forma al unir los vectores en sus puntas. R: 99,93°. 18,626 pies2 .

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 54 92) Del problema número 83. Calcule el ángulo entre los vectores ed y df, un vector unitario en la dirección df y realice el producto ac x db. R: 132,1°. Udf = (-0,636i – 0,21j – 0,74k). -28i. 93) Del problema número 83, calcule la proyección escalar de sobre y la proyección vectorial de AG sobre AC . R: 0,633 u; 2j – 7k. 94) De la figura siguiente: Vector. Hallar el ángulo entre los vectores y el módulo de su suma 95) Del problema anterior, número 94, obtenga el módulo por la ley del Coseno. R: 22,45. 96) Sea el vector m y un vector de módulo 22 metros en el plano Y+ Z- con 20° con el Z- . Hallar las siguientes proyecciones vectoriales entre los vectores: R : 97) De la figura, hallar la proyección escalar en pulgadas de 98) Hallar el desplazamiento de los siguientes 3 movimientos de un cuerpo en metros, el área de la figura que se forma con los vectores. R: Desplazamiento igual a cero, es un triángulo cualquiera espacial, de área = 126,6 m2 . 99) Hallar los ángulos internos del triángulo que se forma en el problema anterior, número 98. R:

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 55 100) Dado el cubo de 1 pie por lado, en el primer octante. Demostrar que es paralelo a y que es perpendicular a . R: 101) Del problema anterior, número 100, encuentre la proyección escalar de vector sobre el vector y del vector db sobre el vector . R: 102) Dado el vector A= (-7i – 8j +9k) m. Hallar su proyección en cada eje y su coordenada polar. R: 7 m con el x- . 8 m con él y- . 9 m con el z+ . (13,93 m. 120, 17º - 125,05º – 49,75º). 103) Hallar las proyecciones del vector (-12i + 8j – 10k) en pies, sobre los planos que forman el sexto octante. R: 14,42 pies sobre xy+ . 15,62 pies sobre el xz- . Y 12,81 pies sobre él y+ z– 104) Dados los vectores: Hallar: Ángulo entre los vectores . R: = 82,64° 105) Del problema anterior, número 104, hallar la proyección escalar y vectorial de sobre R: 106) Demuestre obtenido es paralelo a del problema anterior número 105. R: Nulo, son paralelos. 107) Dados los vectores ; hallar un vector unitario perpendicular a . R: -0,216i - 0,971j + 0,108k; y su vector opuesto. 108) Encuentre el ángulo entre los vectores y entre R: 180° y 0°, en ambos casos hay paralelismo entre los tres. 109) Demuestre que: forman un triángulo rectángulo espacial, y halle su área. R: 110) Los vectores forman un triángulo cualquiera espacial junto al vector ¿Cuál es la expresión analítica de , para que el desplazamiento del perímetro sea igual a cero y calcule su área. R: h = -7i – j – 9k. Área = 12,25 U2 . 111) Del triángulo formado en el problema anterior, número 110, hallar el módulo de por la ley del coseno. R:11,45 unidades. 112) Sea: ; encuentre dos vectores paralelos y dos vectores perpendiculares. R:i + j + 3k. Y 2i + 2j + 6k perpendiculares. -15i – 12j + 9k. Y5i + 4j – 3k paralelos. 113) Del triángulo del problema número 110, hallar el ángulo entre y , (por la ley del coseno). R: 139,81° 114) Una persona, camina 50 metros al oeste y luego 100 metros a 20° al norte del oeste; si regresa al punto de partida, halle, por la ley del seno, los ángulos internos del triángulo que se forma. R:13,36°; 6,64°; 160° 115) Los lados de un triángulo rectángulo son 10 m, 12 m y 15,62 m, respectivamente. Encuentre los ángulos internos y el área de este. R: 39,81°; 50,19° y 90°. Área 60 m2 .

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 56 116) Dados los vectores espaciales . Hallar: área del paralelogramo, ángulo entre ellos y PA/B. R: 88,104°. 602,4 u2 . PA/B = 0,842 u. 117) Dados los puntos (7,4); (1,-6) y (-3,4). Halle los ángulos internos del triángulo que se forma. R: 118) Si los puntos espaciales (2,-3,-3); (-1,-5,-6) y (4, 7,2) en pies, son los vértices de un triángulo cualquiera espacial, cuál es su área en P2 y m2 . R: 58,95 P2 . 5,48 m2 . 119) Determine el valor de “B” para que los vectores sean perpendiculares. R: B = 0. 120) Halle los posibles valores de “P” en los vectores para que sean perpendiculares. R: P1 = 5; P2 = 1. 121) Del problema número 117, confirme la magnitud de los lados del triángulo que se forma por la ley del coseno; y calcule su área. R: Por ley del coseno . Por la ley del coseno . Por la ley del coseno 10,768. Área 50 metros2 . 122) Dados los vectores Hacer los cálculos: .R:-272; -272; y 168i – 210j – 586k. 123) Un árbol se encuentra a 100 metros y otro a 150 metros; si desde el punto de vista de las distancias hay un ángulo de 32,5° qué distancia hay entre los árboles y que área contiene este triángulo. R: d = 84,843 metros. Área = 4.029,75 metros2 . 124) De la figura del problema número 77, calcule el ángulo entre los vectores A y B, y el área de un triángulo formado por los vectores y una recta que una sus puntas. R: 73,03°. 286,9 m2 . 125) Dados tres puntos en el espacio: (-3, 4, 2); (2, 1, 1); (5, 6, -4); en metros. Hallar un vector perpendicular al plano formado al unir los puntos con líneas. R:20i + 22j + 34k. 126) Del problema número 79, calcule el ángulo entre los vectores C y D y las proyecciones en pies entre ellos. R: 34,508°. PC/D = 32,962 Pies. PD/C = 41,202 Pies. 127) Del problema número 81, encuentre los ángulos entre los vectores A y B; A y C; y C y D. R: 90°. 120° y 144,46°. 128) Del problema número 75, calcular el ángulo entre los vectores Q y P, y el área del paralelogramo que forman estos vectores en su suma. R: 170°. Área = 8,39 Pies2 . 129) Del problema número 94, calcular el área del triángulo cualquiera espacial formado por los vectores P y Q, y una línea recta que una sus puntas. R: 130 U2 . 130) Del problema número 97, hallar el ángulo entre los vectores A y B y el área del paralelogramo que se forma con su suma. R: 142,78°. Área = 47,04 Pulg2 .

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 57 131) De la siguiente situación espacial de vectores, con los vectores M y N de módulos 20 y 30 pies respectivamente, calcular el ángulo entre ellos y el área del triángulo que se forma entre los vectores y una recta que une sus puntas. R: Ángulo = 118,35°. Área = 264,13 Pies2. 132) Del problema anterior, número 131, encuentre un vector de modulo 10 pies y perpendicular al plano formado por los vectores M y N. R: - 5,94i + 2,2j - 7,73k. 133) Dados los vectores O de modulo 12 metros, P de modulo 15 metros y Q de modulo 18 metros, indicados en la figura. Calcular el mínimo ángulo entre todos ellos. 134) Del problema anterior número 133, calcule el área de los triángulos que se forman entre los vectores O y P y una recte que une sus puntas y los vectores P y Q y una línea recta que une sus puntas. R: 65,81 metros2. 117,54 metros2. 135) Del problema número 83, hallar por producto vectorial el volumen del paralelepípedo. R: 84 m3.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 58 PROBLEMAS DE DESAFÍO 136) Una hormiga camina desde su cueva (origen) al punto P1 (-3, -1, 4) cm en línea recta, luego realiza un recorrido de 30 cm y se ubica a 26 cm de la cueva punto P2 . Hallar el ángulo que existe entre las líneas origen y el punto P1 y el origen y el punto P2 . R: = 138,31° 137) De la siguiente figura del problema, los vectores: están inscritos en un semicírculo. Demuestre que son perpendiculares ( = 90). 138) En una cancha de fútbol el balón guiado por jugadores de la selección venezolana, hacen los movimientos: 10 metros en paralelo a la línea central transversal, 30 metros a 40° del primer movimiento y 8 metros a 50° del movimiento anterior. Hallar el desplazamiento total. R:42,8M. 139) Encuentre los vectores posibles, cuyas proyecciones escalares sobre el vector: 10i-8k es de y sus módulos son de 15 unidades. R: 12,44i + 8,4j. Y - 5,46i – 13,97j. Ambos cumplen. 140) Grafique la operación suma de y la operación resta de , preferiblemente en papel milimétrico, y confirme que Qué puede decir al respecto sí y R: Son perpendiculares. 141) Un ave de rapiña está en el punto (-3, -2, 5) en metros, vuela desde allí a un punto ubicado a 12 m del origen de coordenadas con 40° con respecto a la línea origen-punto. Hallar la distancia mínima recorrida en el vuelo. R: 8,287 metros. 142) Un volador está suspendido en el aire por medio de un hilo de 80 metros sujetado por un niño; con la misma mano sujeta otro volador cuyo hilo está a 65° del primero. Si en el aire los voladores están separados 100 m entre sí ¿Cuánto mide el segundo hilo? R: 102,68 metros. 143) Dados los puntos del plano A(2,2) ; B(7, - 2) ; C(- 2, 5, - 3). Hallar el punto medio del segmento: A–B, y desde este punto la tercera parte hasta C.R: (4,5; 0). Y (2,17; 1). 144) El vector representa la velocidad de un ave en vuelo, sin embargo, el viento actúa a 3 m/s en dirección 70° en sentido antihorario de la dirección y sentido del vuelo. Hallar el vector velocidad resultante. R: - 5,29i + 6,92j m/s.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 59 145) Hallar un vector espacial A de 26 Yardas y con dos ángulos directores iguales con los ejes X+ y Z+ y con una proyección de 13 yardas con el eje faltante en sentido negativo. R: 15,92i – 13j + 15,92k. 146) Hallar los valores posibles de a y b en los vectores: para que estos sean paralelos. R: a = -5,039; b = -3,1748 147) Del problema número 125, calcule los ángulos internos y el área del triángulo que se forma. R: Ángulos internos: 96,32°. 48,48°. 35,20°. Área: 22,58 Metros2 . 148) Un gato realiza se mueve50 yardas a 35° al Este del Norte; 30 yardas a 20°al Oeste del Sur. Si se desea alcanzar el punto (20,- 100) yardas desde donde se movió con respecto al origen. Calcule el módulo y la dirección del tercer recorrido. R:112,78 yd. A 89,2° al S – E. 149) Un pelicano vuela desde playa cangrejo 100 metros al norte, luego vuela en recta y regresa al punto de partida en dirección a 120° del primer vuelo. Calcular el vector del segundo movimiento y el área del triángulo formado. R: 86,6i + 50j. Área = 4.330 Metros2 . 150) Si el vector tiene un ángulo de 50° con el plano X+ Z+ , un ángulo de 30° con el plano: Y– X+ . Encuentre un vector unitario en la dirección de . R: µ = 0,404i – 0,766j + 0,5k. 151) Dado el vector ; encuentre cuatro vectores perpendiculares de módulo igual a 8 unidades.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 60 CAPÍTULO III: CINEMÁTICA I Prerrequisitos del tema: análisis dimensional; conversiones, vectores en el plano XY; y álgebra básica. Motivación: ¿Cómo es la posición, la velocidad y la aceleración de un cuerpo móvil en cualquier tiempo de su trayectoria? ¿Qué es velocidad y aceleración promedio e instantáneas? ¿Cuántos segundos dura un cuerpo en el aire? ¿Qué aceleración tiene un cohete que parte al espacio? ¿Cómo estimar la altura de una fosa con un cronómetro? ¿Puede un cuerpo tener igual rapidez en diferentes puntos de su trayectoria? ¿Puede un cuerpo tener velocidad con aceleración nula? Desarrollo del tema: La mecánica es la rama de la física que estudia el movimiento de la materia considerando su masa y las causas. La cinemática es una parte de la mecánica que estudia el movimiento de un cuerpo, considerándolo como una partícula a-dimensional y de masa despreciable, es decir, la cinemática ofrece resultados sobre el movimiento de los cuerpos cercanos a la realidad. Cuando en la humanidad se usa el concepto de tiempo, surge el de velocidad o desplazamiento en unidad de tiempo. Si se considera un ente como una partícula en una posición r1 con respecto a un eje de referencia; y transcurrido un tiempo diferente de cero; el cuerpo se encuentra en un punto r2 ; entonces se habla de un desplazamiento en un tiempo dado, lo cual es la velocidad media. El recorrido no es necesariamente lineal rectilíneo, siendo éste independiente de la velocidad promedio, así como posibles variaciones de la velocidad en puntos intermedios del desplazamiento. Lo que induce a decir que existen velocidades puntuales o de un instante; y velocidad promedio de un recorrido, siendo la variación del vector velocidad por unidad de tiempo el concepto de aceleración promedio. Las velocidades instantáneas son tangentes puntuales al recorrido que es similar a la derivada de la función recorrido evaluada en dicho punto, ver siguiente figura; recordando que la velocidad es un vector, entonces la velocidad instantánea, según la derivada, puede ser creciente, nula o decreciente. En este sentido, resulta lógico decir que la aceleración puede ser variable en un período de tiempo determinado, lo que genera un estudio puntual o instantáneo de la velocidad. En cambio, cuando la aceleración es constante la velocidad será variable lineal, lo que permite el desarrollo de las relaciones cinemáticas en referencia a la posición, velocidad y aceleración de un cuerpo en un tiempo o período determinado; llamado periodo cinemático bajo una aceleración constante.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 61 Tema 1) Movimiento rectilíneo horizontal Para un movimiento con aceleración constante, la cual puede ser asumida o promediada, donde no afecte la gravedad terrestre por estar el cuerpo sobre la horizontal; se tiene que la velocidad promedio es Si la aceleración es constante diferente de cero, en un período de tiempo dado, entonces ocurre que la aceleración es: Que junto a la ecuación 3.5 ofrece Ecu 3.4 Llamada primera ecuación de la cinemática horizontal. Luego de las ecuaciones 3.3, 3.4 y 3.5 se obtiene: Ecu 3.6 Llamada segunda ecuación de la cinemática. Todas las ecuaciones desarrolladas son suma de vectores y se comportan como tal; en referencia a un eje coordenado preestablecido; en donde un incremento de la magnitud de la velocidad (rapidez), representa una aceleración; y una disminución de la rapidez representa una desaceleración. La desaceleración se considera como una frenada hasta que la velocidad final se hace cero (el cuerpo se detiene). De las ecuaciones 3.4 y 3.5 al sustituir el tiempo en un desarrollo escalar, se obtiene la relación vectorial Ecu. 3.7 Llamada tercera ecuación de la cinemática En la ecuación 3.7, hay que señalar que la potencia al cuadrado no afectará la condición vectorial de las velocidades y la aceleración, es decir, el cuadrado sólo afecta la magnitud del vector y no ocasiona el producto del vector por sí mismo o cambio en su dirección. Aunque suele ocurrir que dicha ecuación ha venido usándose de forma escalar donde los cuadrados son números positivos; adicionalmente se aclara que el factor (Δx) está referido a una distancia, un valor escalar. En el desarrollo de la cinemática toda, las ecuaciones a usar serán las 3.4, 3.6 y 3.7 de donde según la situación del problema se irán desprendiendo otras relaciones; en lo particular el formulismo generado debe evitarse, y tanto estudiantes como su docente deben siempre partir de estas tres ecuaciones elementales para toda resolución. Como la condición para el desarrollo de estas ecuaciones es que la aceleración sea constante, entonces se pueden considerar varios períodos cinemáticos con aceleraciones constantes diferentes, esto implica la observación que el cambio de la aceleración ocurre de forma instantánea. Se sabe que esto no es real, ya que el cambio en la aceleración se hará en una cantidad de tiempo determinado, pero es una idealización para resolver situaciones que serán cercanas a la realidad. Ejemplo 3.1: Un ratón huye en línea recta, de tal forma que, al estar a 4,5 metros de un punto referencial, su ecuación de posición-tiempo es: x = 4,5 + 0,2t + 1,2T2; en donde 0,2 es velocidad inicial en (m/s) y su aceleración es de 2,4 m/s2. Hallar: a) La posición en 1 segundo y 1,4 segundos. b) La velocidad en esos instantes. Y c) la velocidad media en ese período de tiempo.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 62 Respuesta: a) x1 = 4.,5 + 0,2(1) + 1,2(1)2 = 5,9 Metros. x1,4 = 4,5 + 0,2(1,4) + 1,2(1,4)2 = 7,132 metros b) Vf1 = 0,2 + 2,4(1) = 2,6 m/s. Vf1,4 = 0,2 + 2,4(1,4) = 3,56 m/s. c) Ejemplo 3.2: Un auto parte del reposo. Acelera a 3m/s2 por 20 m; luego mantiene la velocidad por 5 segundos; y finalmente frena hasta detenerse en 10 segundos. Calcular: a) ¿La distancia total recorrida? b) La velocidad media del recorrido. Respuesta: a) El recorrido del período 1 es de 20 metros. Para el cálculo del recorrido en el período siguiente a velocidad constante en cero ( = 0), se requiere de la velocidad final del período inicial, que será la velocidad inicial de este período. Vf1 2 = Vo1 2 + 2 a2 .d = 0 + 2(3).(20) → Vf1 =10,96 m/s. Igual a Vo2 . Luego el recorrido hasta el segundo período será: XF2 = 20 + 10,96(5) + 0. Xf2 = 74,8 m La aceleración del 3er período se obtiene con: Vf3 = Vf2 + a3 .T3 Es decir 0 = 10,96 + a3 (10). Esta frenada es de: a3 =-1,1 m/s2 . Finalmente, el recorrido total, o hasta: Xf3 = 74,8 + 10,96(10) + (½).(- 1,1)(10)2 = 129,53 metros. b) La velocidad media es: ; en donde t = t1 + t2+ t3. Vf1 = 10,96 m/s. Vf1 = 0 + 3t1 → t1 = 3,653s. Entonces el tiempo total es 3,653 + 5 + 10 = 18,653 Segundos. La velocidad media es Vm = 6,948 m/s. Ejemplo 3.3: Un camión pasa por un semáforo a 10 m/s en el momento que un auto parte con razón de 4 m/s2 . Encuentre el tiempo en que el auto alcanza al camión (tiempo de encuentro) y a qué distancia del semáforo, (distancia de encuentro). Respuesta: Xcamión = V.TC movimiento constante con aceleración en cero. Y Xauto = ½ (a).TA 2 . Entonces si hay encuentro sus posiciones son iguales, (existe alcance) XfC = XfA → 10.t = ½ (4).t2 → t = 0 y t= 5 Segundos. Donde tC = tA = t por ser simultaneo. Entonces el encuentro es: XE = 10(5) = ½ (4). (5)2 = 50 metros del semáforo.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 63 Ejemplo 3.4: Del ejemplo anterior 3.3 considere que el auto parte desde el semáforo para alcanzar al camión un segundo después, encuentre el nuevo tiempo y la distancia de encuentro desde el semáforo Respuesta: XC = V.TC y XA = ½ (a).TA 2 Con relación de tiempos TC = (T2 + 1). Luego si XfC = XfA → 10TC = ½ (4).(TC - 1)2 . Con solución lógica en un tiempo del camión de: 6,854 S. El encuentro es: XE = 10(6,854) = 68,54 metros. O con XE = 2.(5,854)2 = 68,541 metros. Tema 2) Análisis gráfico de la cinemática I Si consideramos las funciones: aceleración–tiempo, velocidad–tiempo y posición–tiempo; graficadas con el tiempo en el eje horizontal, referencialmente una debajo de la otra en consecuencia de estas relaciones del plano. Obtenemos: a) para la aceleración gráficas de valores constantes o rectangulares en cambios instantáneos, b) líneas rectas paralelas al eje “Tiempo” o inclinadas para las velocidades constantes, crecientes o decrecientes, y c) Líneas inclinadas o parábolas para los desplazamientos. Todas ellas por cada “Período cinemático” o tiempo caracterizado por una aceleración constante. 2.1) Como se grafica. Para el análisis respectivo o el llamado método gráfico Observe las siguientes figuras de la aceleración, la velocidad y el desplazamiento en función del tiempo y graficadas una debajo de la otra en exactitud; en donde la primera grafica expresa las aceleraciones en bloques o áreas rectangulares, la segunda grafica expresa la velocidad en bloques, triángulos o trapecios según sea la condición o datos del periodo cinemático respectivo. y los desplazamientos en líneas rectas inclinadas y parabólicas. Para la velocidad se grafican líneas rectas paralelas al eje “T” cuando la velocidad se mantiene constante a = 0, movimiento rectilíneo uniforme (MRU) y líneas rectas inclinadas según el cambio en la rapidez en un periodo dado, (MRA), ver siguiente esquema para aceleraciones. MRR: movimiento rectilíneo retardado cuando la línea de la velocidad se acerca a la línea del tiempo, (en la horizontal). MRA: movimiento rectilíneo acelerado cuando la línea de la velocidad se aleja de la línea del tiempo. (Esquema ejemplo para velocidades).

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 64 El movimiento es acelerado cuando la velocidad y la aceleración están en la misma dirección y sentido; y retardado cuando la velocidad y la aceleración tienen sentidos opuestos. En el caso de la posición en función del tiempo la gráfica es lineal creciente o decreciente cuando la velocidad es constante en un período dado, y es parabólica creciente o decreciente para una velocidad lineal creciente o decreciente respectivamente. Nota: los valores finales de posición y velocidad de un período cinemático serán los iniciales del período cinemático siguiente: Xf1 = Xo2 = 0. Ver siguiente tipología de esquema para posiciones. 2.2) El método gráfico de la cinemática a) El área contenida en un período cinemático entre aceleración y el tiempo, será igual al cambio en la velocidad del ente, en ese período de tiempo. . De donde se desprende o origina la ecuación 4 desarrollada. Llamada en sí primera ecuación de la cinemática. b) El área contenida en un período cinemático entre la línea velocidad y el tiempo, será igual al cambio en la posición del cuerpo en ese período. Área . Recordando que este punto las áreas generadas pueden ser rectángulos, triángulos o trapecios; es decir la ecuación 3.6 adaptada a la situación de cada periodo cinemático, llamada segunda ecuación de la cinemática. El estudiante descubrirá en la resolución de los problemas de la cinemática I y II, que solo se requieren de estas dos ecuaciones generales, adaptadas a cada situación problema. Ejemplo 3.5: De la siguiente gráfica de aceleración-tiempo, encuentre por el método de áreas, el recorrido total y el desplazamiento del cuerpo, el cual parte del origen con una velocidad inicial de 3 m/s

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 65 Notas sobre el método gráfico o de “áreas” En el método pueden existir las “áreas” negativas debido al hecho de que son magnitudes vectoriales, a pesar de que visualmente son gráficas de figuras geométricas conocidas. En el estudio de la cinemática vertical y cuando el cuerpo no posee aceleración propia (proyectil) se asume la aceleración omnipresente de la gravedad, la cual será siempre un “área negativa”, por actuar en la dirección vertical con sentido hacia abajo (- j), tema siguiente El método de áreas es la relación en orden de derivación ascendente; es decir, la derivada con respecto al tiempo del desplazamiento será la velocidad del cuerpo en ese punto y la derivada de la velocidad con respecto al tiempo será su aceleración. Interesante este importante hecho matemático que se puede visualizar en las gráficas de funciones en el plano con las gráficas de sus derivadas. En este sentido se puede también decir, que hay un orden descendiente de integración o antiderivada. El método de áreas es un instrumento valioso que puede ser usado más adelante por el estudiante de ingeniería, cuando exista la relación de derivación como, por ejemplo: La carga-longitud, fuerza cortante-longitud y momento flector-longitud, en el estudio de vigas horizontales en la ingeniería civil. Tema 3) Movimiento vertical libre El análisis vertical de una partícula que sube o que cae libremente, será afectada por la gravedad la cual actúa a 90º de la horizontal, (en la vertical), y siempre en sentido vectorial hacia abajo: . Siendo la magnitud de la gravedad del planeta tierra aceptada en 9,8 m/s2 y (32,16 p/s2 ) en su superficie. Valor que varía según la altura de la corteza terrestre y la disposición del planeta como distancia total al centro de la tierra; es decir en extremos como el volcán ecuatoriano del Chimborazo 6.268 metros, (punto más alto del planeta) a cualquiera de los polos, se habla de una variación máxima aproximada de 0,2 m/s2 . Entonces se toma para estudios de ciencias e ingeniería como un valor fijo en el S.I de magnitud 9,8 m/s2 . Cuando se habla de movimiento “Libre”, es cuando sólo actúa la gravedad terrestre, como aceleración y no se considera la fricción de la fuerza del aire en oposición al ente o cuerpo en cuestión, recordemos que la masa de aire en donde vivimos ofrece una resistencia al paso, la cual se incrementa con la rapidez del cuerpo penetrante. Si lanzamos un objeto verticalmente hacia arriba sería entonces (Subida libre), éste se verá afectado por la gravedad y su velocidad disminuye hasta ser igual a cero, el cuerpo se frena hasta detenerse al alcanzar la máxima distancia vertical para luego caer aceleradamente con vector velocidad negativa en el eje “Y”, (Caída libre). Entonces, las ecuaciones cinemáticas clásicas a usar, expresadas en el eje vertical en serán

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 66 Donde: La posición “Yo” es la posición inicial del cuerpo con respecto a un eje de referencia predeterminado “Yf ” es su posición final y “g” es referido al vector gravedad como: - 9,8j m/s2 o -32,2j p/s2 según sea el caso de estudio. Situaciones: a) Si el objeto se deja caer desde cierta altura, entonces la Voy = 0; b) Si el objeto se lanza hacia arriba desde cualquier altura, el vector velocidad inicial es Voy > 0; c) Si el objeto se lanza hacia abajo desde cualquier altura, la Voy < 0; d) En caso de que el cuerpo considerado partícula, posea una aceleración vertical propia, ésta se sumará vectorialmente al vector de la gravedad. Las ecuaciones, al igual que las relacionadas con el eje horizontal, tienen sus términos expresados en magnitudes vectoriales. Luego por la situación de subir y caer de un lanzamiento hacia arriba se derivan las siguientes ecuaciones en la cinemática vertical De la ecuación 3.9, el tiempo en alcanzar la altura máxima, con una Vy = 0. Llamado tiempo máximo, o tiempo en alcanzar la altura máxima, (tmáx) es: Ahora si el cuerpo en cuestión regresa, después de alcanzar la altura máxima, hasta el punto de donde fue lanzado, se dice que estuvo en el aire el doble del tiempo máximo llamado tiempo de vuelo exacto o simétrico, como el doble del tiempo máximo; que es diferente al tiempo de vuelo o tiempo de la partícula en el aire: En el sistema internacional. Ecu. 3.12 De la ecuación 3.10, con Yo = 0 (el eje de referencia en el lanzamiento), y que en la altura máxima la velocidad Vy = 0, con Voy > 0 se tiene Ejemplo 3.6: Una moneda de $1 se deja caer desde un edificio de altura desconocida, la cual golpea el piso en 4,5 segundos. Encuentre la velocidad y la posición en referencia al piso en los tiempos 2 y 3,5 segundos y la altura del edificio. Respuesta: Ecuación 3.8. Si el piso es el y = 0 por lo que la altura del edificio es: Yo = 99,23 metros Análogamente con la misma para las posiciones siguientes y con la ecuación 3,9 para las velocidades de la moneda que cae, partiendo desde el reposo.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 67 Ejemplo 3.7: Rehacer el ejemplo anterior 3.6 considerando que la moneda es lanzada hacia abajo a 2 m/s. Use la ecuación 3,10 para hallar el vector velocidad final, conociendo la distancia recorrida. Respuesta: Si el piso es el por lo que la altura del edificio ahora es de: Yo = 108,23 metros. Luego: ; es decir la moneda a recorrido una distancia de: 23,6 metros en caída de dos segundos. Con la ecuación: A los 3,5 segundos de tiempo de vuelo es: El vector velocidad es: Ejemplo 3.8: Un balín es disparado desde el suelo referencial verticalmente hacia arriba a 25 m/s. Encuentre la altura máxima alcanzada, el tiempo máximo, la posición y la velocidad a los 3 segundos. Respuesta: Posición a los 2 segundos: Y(2) Y la velocidad en ese momento es: Tema 4) Velocidad relativa en una dimensión Cuando usted lanza un objeto por la ventanilla de su auto se observa como si el mismo pareciera moverse hacia atrás; esto ocurre porque el observador se encuentra en movimiento en sentido contrario. Es decir, la velocidad que observa el conductor es “relativa” con respecto a la velocidad del objeto que es en el mismo sentido, pero frenado por la fricción del viento al no generar velocidad propia como el auto, es decir, la velocidad de un cuerpo “A” en referencia a otro cuerpo “B” se escribe = Vector velocidad A menos el vector velocidad B. Al ser magnitudes vectoriales se cumple que: Y si un ente tiene una velocidad I con respecto a otro II, y a su vez, éste con respecto a un tercer cuerpo III, entonces para velocidades independientes entre sí.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 68 Ejemplo 3.9: Si un auto va hacia el este a 16 m/s y adelanta un camión que va en el mismo sentido a 10 m/s. Encuentre la velocidad relativa del auto con respecto al camión y la del camión con respecto al auto. Respuesta: = (Velocidad del auto – Velocidad del camión). Esto es: (16i – 10i) m/s = 6 m/s. Y por la relación vectorial: . Desde el auto se ve al camión ir al Oeste a 6 m/s. Estrategia para resolver problemas de cinemática unidimensional REALIZAR UN DIBUJO ESQUEMÁTICO DE LA SITUACIÓN PLANTEADA, DE LOS ENTES O CUERPOS PARTICIPANTES, DE SUS PERÍODOS CINEMÁTICOS, DE SUS RECORRIDOS Y DEL TIEMPO DE ACTIVIDAD. ESTABLECER EL ORIGEN COORDENADO O IDENTIFICARLO SI ESTÁ PREESTABLECIDO. POR EL USO DE LAS ECUACIONES CINEMÁTICAS DE FORMA INDIVIDUAL O COMBINÁNDOLAS SEGÚN SEA LA SITUACIÓN. O CON EL MÉTODO GRÁFICO DE LA CINEMÁTICA. ENCONTRAR LAS INCÓGNITAS. RESOLVER LAS ECUACIONES Y DESCUBRIR LAS INCÓGNITAS CON ALGEBRA BÁSICA. Historia del movimiento rectilíneo Si bien el movimiento de los cuerpos en líneas rectas y del plano han sido estudiados y descritos desde la antigüedad por Egipcios y Griegos, es el científico italiano Galileo Galilei (1564–1642) el primero en establecer modelos idealizados con aceleración constante (la gravedad terrestre); él fue el primero en formular las ecuaciones básicas en el movimiento que denominó caída libre, al dejar caer diferentes objetos desde la torre de Pisa y contabilizar su tiempo de vuelo con los latidos de su corazón; el reloj no existía aún en la humanidad. También fue el primero conocido en calcular un valor de la aceleración de la gravedad por esta estrategia, mejorada luego con su péndulo simple. La cinemática como rama de la mecánica es una ciencia de la mano del surgimiento de las mediciones del tiempo a finales del siglo XVII y sus ecuaciones se deducen del estudio de las “áreas” al graficar las magnitudes de: aceleración constante, velocidad y posición con relación al tiempo, descritas en el denominado método gráfico o métodos de “áreas”. En 1971 el astronauta David Scout dejo caer un martillo y una pluma sobre la superficie lunar y ambos llegaron al suelo simultáneamente demostrando que están bajo la acción de una aceleración constante sin consideración de su masa, y con fricciones despreciables, en “caída libre” como lo propuso Galileo, más de trecientos años antes.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 69 PROBLEMAS PROPUESTOS Cinemática horizontal a) Un cuerpo, un período cinemático 1) Si la rapidez de la luz es continua en 2,97 x 108 m/s y la estrella alfa–centauro, se encuentra a una distancia de 4,1 x 1013Km ¿En qué tiempo nos llega la luz de esa estrella? R: 4,38 años 2) Una bala disparada a 1.000 millas/h penetra una madera de 15 cm y sale de ella con una rapidez 1000 km/h. Encuentre la magnitud de la aceleración de frenado, y el tiempo en contacto de la bala con la madera. R: 4,09 * 105 m/s2 ; t = 4,1 * 10-4S. 3) Un maratonista recorre la distancia de 42,19 Kms en un tiempo de 2 horas 5 min y 6 segundos ¿Cuál es su velocidad promedio en los sistemas de medición? R: 5,62 m/s y 18,44 p/s 4) Un avión de pasajeros despega en 480 m de pista partiendo desde el reposo en un tiempo de 14 s. Hallar la aceleración y la velocidad final. R: 4,9 m/s2 . 68,57 m/s 5) Una catapulta romana lanza una roca a 56 mill/h en una distancia de arco de ¼ de circunferencia, si el brazo de la catapulta es de 20 pies ¿Cuál es la aceleración que se le imprime a la roca si esta parte del reposo? R: 107,4 p/s2 6) ¿Cuál es la aceleración asumida como constante? De un atleta en los 100 metros planos, si su registro es de 9,79 segundos. Y parte desde el reposo R: 2,09 m/s2 . 7) En la novela: “La vuelta al mundo en 80 días” de Julio Verne, el capitán Philip realiza el recorrido, de aproximadamente 40.000 kms, en diversos transportes, en un tiempo de 79 días con 1 hora ¿Cuál es su velocidad promedio? R: 5,86 m/s 8) Un auto frena hasta detenerse en 70,4 metros (marca dejada en el pavimento), un oficial lo arresta por venir a una rapidez superior a lo establecido en la vía (50 milla/h), por considerar que un auto puede frenar a una magnitud máxima a la gravedad terrestre ¿Es correcto el análisis del oficial? R: correcto. Vo = 83,11 mill/h 9) Un avión F-16 aterriza sobre un portaaviones, hace contacto con el puente a 150 km/h y es detenido por un sistema de cuerdas elástica en 1,8 segundos. Hallar la aceleración inducida al avión y la distancia en aterrizar. R: a = 23,15 m/s2 d = 37,5 M. 10) El barco de pasajeros cambia su rapidez de 13 Km/H a 60 Km/H en 600 metros de aguas tranquilas del mar. Calcule la aceleración en ambos sistemas. R: 37,05 m/s2 . 121,54 p/s2 .

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 70 11) Del problema planteado número 6. Calcule la velocidad final del atleta y compararla con la velocidad promedio. R: 20,46 m/s. Vp = 10,21 m/s. 12) Un auto viene por la vía alterna a 100 Km/H cuando observa un puesto de control a 100 metros por delante, si desea pasar por allí a 10 m/s; calcule su aceleración de frenada y el tiempo. R: a = - 3,36 m/s2 . T = 5,3 S. 13) Rehacer el problema anterior, número 12, si usted decide detenerse en la distancia de 100 metros. R: a = - 3,86 m/s2 . T = 7,2 S. 14) Un estudiante corre en la universidad. A 13 m/s, disminuye su velocidad en una distancia de 13 metros y en 1,3 segundos. Calcule su velocidad final. R: Vf = 7 m/s. b) Un cuerpo, varios períodos cinemáticos X 0 4 15 22 22 45 50 70 t 0 2 6 8 14 20 22 25 15) Un perro camina en recta desarrollando la siguiente tabla de distancias en tiempos dados. Encuentre la rapidez promedio total hasta los 8 segundos y hasta los 22 segundos y la rapidez instantánea a los 3 segundos. R: 2,8 m/s. 2,75 m/s. 2,273 m/s. 2,125 m/s. 16) El tren de pasajeros “Metro de Caracas” viene a 70 Km/h, luego de 15 s en esta rapidez frena durante 6 s, alcanzando una velocidad de 32 Km/h. Finalmente, se detiene en10 segundos. Determine la distancia total recorrida y la velocidad promedio. R: 421,03M. Vp = 13,58m/s 17) Una pelota baja por una pendiente desde el reposo, cuando ha recorrido 5,5 metros, logra una rapidez de 12 pie/s. Luego sube por otro plano inclinado, al final del primero, hasta detenerse en 4,5 segundos. Hallar la aceleración que induce cada plano y la distancia que sube. R: a1 = 4 pies/s2 ; a2 = -2, 67 pies/s2 ; d= 26,97 pies. 18) Un avión DC-10 aterriza en dos tiempos en una pista de 1 km. Primero toca tierra a 120 m/s y frena con 6 m/s2 durante 4 segundos. Luego frena con 15 m/s2 hasta detenerse ¿Es la pista lo suficientemente amplia para su aterrizaje? R: Si, distancia total de frenado: 739,2M. 19) Dada la gráfica desplazamiento–tiempo. Calcule la velocidad promedio de 2 a 4 segundos, y de 3 a 6 segundos; la velocidad instantánea en los tiempos 2, 4 y 7 segundos.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 71 20) A partir de la gráfica aceleración–tiempo dada, construya las gráficas de velocidad– tiempo y posición–tiempo; y a partir de ellas calcular: recorrido total, desplazamiento, velocidad promedio, velocidad a los 5 y 10 segundos. Considerando que el cuerpo en cuestión tiene una velocidad inicial de 5 m/s y parte desde un punto a 3 metros, del origen. 21) A partir de la gráfica velocidad tiempo dada, construya las gráficas aceleración tiempo y posición tiempo y calcule el recorrido total, el desplazamiento total, velocidad promedio, velocidad a los 5 y a los 12 segundos la aceleración a los 8 y 14 segundos. 22) Un tren bala viaja linealmente de una estación a otra (3,5 km), en un tiempo de 1,111 min. En tres etapas de aceleración: parte del reposo y acelera durante 30 s, a razón de 2,8 m/s2 ; mantiene la velocidad adquirida durante un tiempo; finalmente frena hasta detenerse en 20 s. Hallar la distancia recorrida en cada etapa. R: X1 = 1.260 m. X2= 1.400 m. X3 = 840 m. 23) Un auto de juguete realiza los siguientes períodos de aceleraciones: a 3 m/s2 por 8 segundos, y a -6 m/s2 hasta detenerse; partiendo desde una posición de -5 m. Desde un origen dado y con una velocidad inicial de 3 m/s. Hallar el recorrido del juguete, y el tiempo total. R: 180,75 m. 12,5 s. 24) Una flecha lanzada desde un arco inicia con 45 m/s, siendo frenada por la fricción del viento a razón de 0,4 m/s2 por tres segundos y luego a 0,6 m/s2 por dos segundos hasta llegar a un blanco dado, calcule la distancia total y su rapidez final. R: 219,6 m. Vf = 42,6 m/s. 25) De la siguiente gráfica velocidad-tiempo obtener la gráfica posición-tiempo las distancias de cada período, si el cuerpo parte del origen.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 72 26) Un móvil viene a 10 m/s. Acelera en 3 m/s2 durante 10 s. Mantiene la velocidad durante medio minuto y finalmente frena a 8 m/s2 hasta detenerse. Hallar el tiempo total, velocidad a los 20 s y distancia total recorrida. R: T = 45 s V(20) = 40 m/s. D = 2.900 m. 27) Un auto viene a 95 km/h el conductor observa una roca en la vía a 150 m ¿Cuál es el cambio en la rapidez requerido? Para detenerse a 2 m de la roca, si su reacción para frenar es de 0,42 segundos. R: 2,54 m/s2 de frenado. 28) Un atleta hace los 100 metros en 9,9 segundos. Inicia a 3 m/s2 por 3 Segundos y remata hasta el final. Si parte del reposo calcule la segunda aceleración y su rapidez final. R: 2,08 m/s2 . 20,38 m/s. 29) Del problema planteado número 25 realice la gráfica (a – T), y calcule el desplazamiento total. 30) Del problema planteado número 27, considere que si el auto choca con la roca a una rapidez final de 3 m/s; cuál sería su relación de frenado. R: - 2,474 m/s2 . 31) Resolver el problema planteado número 28, por el método gráfico. R: Ver gráfica c) Dos cuerpos, un período cinemático 32) Un auto parte a 6 pies/s2 de un semáforo; en ese instante un camión pasa a 30 pies/s. Hallar posición, velocidad y tiempo en que el auto lo alcanza. R: 300 Pies. T = 10 S. Vf = 60 p/s.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 73 33) Resolver el problema anterior, número 34, por el método gráfico. R: Ver la gráfica. 34) Dos autos vienen de frente uno hacia el otro por la misma vía con velocidades de 50 m/s y 40 m/s respectivamente; si ambos frenan cuando están a 900 metros de separación y se detienen en 12 S. Hallar: la aceleración, la separación final y la distancia recorrida por cada auto. R: 360 M. A = - 4,17 m/s2 . B = 3,33 m/s2 . 300 y 240 M. 35) Resolver el problema anterior, anterior número 34, por el método gráfico. R: en la gráfica. 36) Una pareja de novios se descubre en un pasillo de la U.G, si ambos parten simultáneamente del reposo, él con aceleración de 3 m/s2 y ella con un cambio de velocidad de 2 m/s por cada segundo. Hallar el tiempo de encuentro y la distancia recorrida por cada uno si la separación inicial es de 70 pies. R: Te = 2,92 s. X1 = 12,8 m. X2 = 8,54 m. 37) Un auto en una recta a190 km/h observa a 328 pies por delante, a un camión que va a 54 Km/h ¿Cuál debe ser su frenada para alcanzar al camión justo antes de chocarlo, y seguir juntos, la distancia de encuentro y el tiempo de frenado? R: -7,14 m/s2 . 179,6 m. Vf = 5,3 s. 38) Un ciclista pasa por un punto señal a velocidad constante de 43,2 km/h; 15 min después pasa un segundo ciclista a velocidad constante. Si ambos llegan a la meta al mismo tiempo ubicada a 150 km. Hallar el tiempo de alcance y la velocidad del segundo ciclista por medio del método de su preferencia. R: t = 3,22 horas. V = 46,55 Km/h.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 74 39) Un auto pasa por un punto a 20 m/s con una aceleración de 1 m/s2, en el instante que otro auto parte del mismo punto con aceleración de 4 m/s2. Diga dónde y cuándo el segundo auto alcanza al primero. R: 355,56 m; t = 13,33 s. 40) Del problema número 36, calcular las aceleraciones de frenado de los autos, el lugar de encuentro y el tiempo, si estos se detienen justos antes de chocar, uno frente al otro. R: te = 20 S. aA = -2,5 m/s2 . AB = 2 m/s2 . Xe = 500 metros. 41) Un auto viene a 28 m/s cuando observa a una camioneta por delante a 50 metros que va a rapidez de 36 Km/H. Si el auto frena y choca a la camioneta a 12 m/s. Calcule la aceleración de frenado y la distancia del choque. R: a = - 3,2 m/s2. te = 5 S. Xe = 100 m. 42) Un veloz auto viene a 20 m/s cuando observa a un tráiler, (gandola), de 33 metros de largo que está a 37 metros por delante de él y viaja a 72 Km/H; si el auto la pasa y se coloca adelante en una distancia total de 200 metros. Calcular su aceleración y su velocidad final. R: a = 3,314 m/s2 . Vf = 41,54 m/s. 43) Rehacer el problema número 41, por el método gráfico. R: en la gráfica 44) Un estudiante viene corriendo a 5 m/s para alcanzar el autobús de su ruta 98. Si la puerta trasera está a 10 metros y el bus parte en ese momento a razón de 1 m/s2 . Calcule donde y cuando el estudiante alcanza al autobús si es que lo alcanza, los encuentros posibles y la rapidez del bus en cada uno. R: Xe1 = 13,82 m. Te1 = 2,76 S. Vf1 = 2,76 m/s. Xe2 = 36,15 m. Te2 = 7,23 s. Vf2 = 7,23 m/s 45) Rehacer el problema planteado número 42, por el método gráfico. R: ver la gráfica siguiente.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 75 d) Dos cuerpos, varios períodos cinemáticos de aceleración 46) Un ladrón huye en un auto, al pasar un punto de control lleva 30 m/s constantes. Una patrulla pasa por el punto a 18 km/h 3 segundos después a razón de 4 m/s2. Hallar el tiempo de encuentro, posición de encuentro y la velocidad de la patrulla en el encuentro. R: 18,42 s; 552,56 m; 66,68 m/s. 47) Un auto parte del reposo a razón de 2 m/s2 durante 8 s. Luego frena y se detienen en 60m. Otro auto viene en sentido contrario a 90 km/h desde un punto lejano y frena hasta detenerse en 3/5 de minuto. Si ambos vehículos quedan justo uno en frente del otro. Hallar la distancia inicial que separa a los autos y el tiempo en movimiento de cada uno. R: 574 m; TA = 15,5 s; TB = 36 s. 48) Un tren viaja al este a150 km/h; otro tren viaja al oeste con 220 Km/h en la misma vía. Cuando están separados 700 m ambos frenan a razón de 4 m/s2. Diga si chocan y de no ser así, calcule distancia que los separa cuando se detienen, tiempo de frenado y el recorrido de cada tren. R: No chocan. d = 16,18 m. t = 10,42 s. y 15,28 s. XA = 217,02 m. XB = 466,80 m. 49) Un auto escapa a 22 m/s, al pasar un letrero observa una patrulla y acelera a razón de 3m/s2 hasta alcanzar los 165,6 km/h. La patrulla parte del reposo en el instante que pasa el auto, con una aceleración de 5 m/s2 por 10 s; luego mantiene la velocidad. Hallar la distancia y el tiempo donde la patrulla alcanza al auto. R: 500 m. en 15 s. 50) Dos móviles a reacción parten desde un punto en común al mismo instante. El auto “A” con aceleración de 6 m/s2 en una distancia de 220 m y mantiene la velocidad constante. El auto “B” acelera a 0,5 m/s2 durante 1 min y a 4,5 m/s2 los siguientes 300 metros manteniendo la velocidad. Hallar la velocidad de ambos a los 70 s; y en qué tiempo el auto “B” alcanza al auto “A”. R: VA = 51,38 m/s. VB = 75 m/s. Lo alcanza en 145,3 s. 51) Un auto viaja a 30 m/s de rapidez constante y rebasa a una moto a rapidez constante, en ese instante el motociclista acelera a 1,5 m/s2 y alcanza al auto en 350 metros. Hallar la velocidad inicial de la moto y el tiempo en alcanzar al auto. R: Vo = 21,24 m/s; t = 11,67 s. 52) Rehacer el problema anterior, número 51, considerando que la moto acelera 2 segundos después que pasa el auto y el alcance se realiza a los 450 M. R: Vo = 24,87 m/s; t = 13 s. 53) Dos trenes del metro de Caracas parten de una misma estación con 2 min de diferencia en la misma dirección y sentido, alcanzando los 90 Km/h en 500 metros. Luego se mueven a velocidad constante. Hallar la distancia que los separa cuando el segundo tren parte; la aceleración de los trenes y la separación cuando ambos van a velocidad constante. R: d = 2.500 m. = 0,625 m/s2 . d = 3.500 m. 54) Rehacer el problema planteado número 36, considerando que el novio empieza su aceleración un segundo después. R: Te1 = 2,48 s. Xe = 9,23 m. R1 = 9,23 m. R2 = 14,17 m.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 76 55) Un ratón huye a 2,5 m/s hacia su cueva. Un gato viene a 1 m/s unos 3 m por detrás del ratón ¿Cuál debe ser la aceleración del gato para atrapar al ratón? En 8,5 metros si acelera un segundo después. R: = 10,14 m/s2 56) Un auto entra a una recta a 90 Km/h y observa por delante un autobús en la misma dirección y sentido a 50 metros y con una velocidad de 18 km/h, si el chofer del auto reacciona en 0,7 segundos y frena a razón de 2 m/s2 . Diga si puede evitar el choque; y de ocurrir calcule tiempo y distancia de este. R: No puede, choca a 79,5 metros. En 3,18 segundos. 57) Un lanzador de un equipo de Béisbol toma una pelota rastrera de un toque del bateador y la lanza hacia la primera base a 90 Mill/h desde una distancia de 25 metros; si el jugador corre a hacia esta base a 4 m/s y cuando le faltan 10 metros acelera a razón de 1,5 m/s2 . Diga si es quieto o fuera y por cuanto tiempo. R: Fuera por 0,25 s. 58) Del problema número 56 ¿Cuál debe ser la aceleración mínima del auto bajo las condiciones descritas para evitar el choque y seguir justo detrás del autobús a su velocidad? R: - 3,74 m/s2 . 59) Un ciclista está por detrás de un corredor, cuando ambos parten desde el reposo con aceleraciones de 3 m/s2 y 1,8 m/s2. Si el ciclista alcanza al atleta en 120 metros. Hallar el tiempo de alcance y la posición del ciclista por detrás del atleta; así como la velocidad de ambos en el encuentro. R: 8,94 Segundos. Posición 48 m. 16,09 m/s. Y 26,82 m/s. 60) La siguiente gráfica representa las velocidades con respecto al tiempo de dos cuerpos “A” y “B” que parten desde el origen. Construir la gráfica posición–tiempo y hallar la distancia que separa a los cuerpos a los 15 y 30 segundos

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 77 61) Un auto viene a 25 m/s 3 metros por detrás de tráiler de 24 metros de largo que lleva la misma velocidad ¿Qué tiempo y qué distancia recorre el auto para pasar la gandola y quedar 5 metros por delante, acelerando a 1,8 m/s2? Diga cuál es la velocidad del auto en ese instante. R: 5,963 s; 181,07 m; 35,73 m/s. 62) Dos autos de pique parten del reposo desde el mismo punto simultáneamente; el auto “X” con aceleración de 5,5 m/s2 que puede desarrollar por 10 s; y luego mantiene la velocidad. El auto “Z” acelera a razón de 6,2 m/s2 por 8,8 s y mantiene la velocidad ¿Quién gana el pique y por cuánto tiempo, para una pista de 500 m? R: el auto “Z” por 0,527 s. 63) Del problema anterior, número 64, a partir de que distancia el auto “X” gana el pique al auto “Z” y que tiempo. R: En una pista mayor de 4.091,25 m. En 69,39 s. 64) Un misil aire–aire es soltado desde el reposo y acelera a 150 m/s2 por 12 s. Luego al apagarse sus motores, frena por la fricción del aire a razón de 45 m/s2 ¿Cuál es la máxima distancia por detrás de un avión objetivo que huye de él a 800 m/s que debe ser soltado el misil? R: 39,68 Km. 65) Dos trenes parten de un mismo punto con aceleración de 10 pies/s2 en la misma dirección, hasta alcanzar la velocidad máxima de 220 pies/s. Si cada tren parte con 3 minutos de diferencia, hallar la distancia que los separa en millas cuando parte el segundo tren y la separación cuando éste alcanza su máxima velocidad. R: 7,042 millas. 7,5 millas. 66) Dos autos pasan por una esquina referencial a 90 km/h y a 75 Km/h respectivamente al mismo tiempo, diga ¿qué tiempo le saca el auto más rápido al otro en 30 Km? R: t = 4 minutos. 67) Rehacer el problema número 49, si la patrulla parte 1,5 segundos después que pasa el auto prófugo. R: 2537,5 m. en 57,25 s. 68) Un auto pasa por un punto “A” con 10 m/s y acelera 1 m/s2 . Otro auto parte simultáneamente desde un punto “B” ubicado a medio kilómetro de “A” en esa dirección, con una aceleración de 2 m/s2 . Diga dónde y cuándo los autos se cruzan y qué velocidad tienen en ese momento R: 268,17 m. de “A” en 15,226 s. VfA = 25,23 m/s. VfB = - 30,45 m/s. 69) Dos autos de pique parten desde el reposo a razones de aceleración de 4,2m/s2 y 4,3m/s2 respectivamente en una distancia de un cuarto de milla de pista que distancia le saca el ganador y que velocidades tienen en la meta. R: 9,25 m. Vf1 = 58,128 m/s. Vf2 = 58,82 m/s. 70) Del problema anterior número 69, si el auto de menor aceleración se roba la salida por 0,3 segundos, calcule si gana y que distancia le saca al otro. R: El auto gana por 8,09 Metros.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 78 Cinemática vertical libre a) Un cuerpo, un período cinemático 71) Se deja caer un objeto desde una altura desconocida, si el cuerpo tarda 2,5 segundos en caer ¿Cuál es el vector velocidad final y desde que altura fue lanzado? R: -24,5 m/s j; 30,63 m. 72) Se lanza hacia abajo una roca con rapidez de 5 m/s desde un edificio de 40 m. Si el eje de referencia se coloca a 20 m del suelo (mitad del edificio); calcular la velocidad y posición de la roca a los 2 segundos de ser lanzada. R: - 24,6 m/s; - 9,6 m. 73) Si se lanza una pelota a 15 m/s verticalmente hacia arriba desde una altura de 200 pies. Hallar: el tiempo máximo, la altura total alcanzada, el tiempo de vuelo exacto, el tiempo de vuelo al piso y la velocidad final. R: 1,53 s. 72,46 m. 3,06 s. Tv = 5,38 s. Vf = -37,69 m/s. 74) Del problema número 72, calcule el recorrido, el desplazamiento y la posición final de la roca si se coloca el eje referencial en el piso. R: Re = 40 metros. D = 40 metros. Yf = - 20 m. 75) Un objeto alcanza una altura máxima vertical de 85 metros al ser lanzado con una velocidad de 22 m/s desde una altura desconocida con respecto a un piso dado. Hallar la altura de lanzamiento, el tiempo del vuelo y la velocidad cuando ha recorrido 50 m. R: h = 60,3 m. t = 6,41 s. V = - 40,82 m/s. 76) Una roca se lanza hacia arriba desde unos 45 metros de un piso referencial, y tarda 5 sen regresar a esa altura. Calcular la velocidad inicial, el tiempo de vuelo total hasta regresar al piso y la velocidad promedio del recorrido. R: Vo = 24,5 m/s. t = 6,43S. Vp = -7 m/s. 77) De la siguiente gráfica de posición vertical y tiempo obtenga la gráfica de velocidadtiempo y la de aceleración-tiempo. Calcule la velocidad final del cuerpo dado.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 79 78) Si una piedra es lanzada a 35 m/s hacia arriba, en qué tiempos la misma tendrá una rapidez de 12 m/s y qué posición con respecto al lanzamiento. R: En 2,347 s. y 4,80 s. a 55,15 metros. 79) Un electricista montado en un poste a 4,2 metros de altura en referencia a un compañero en el piso, le solicita una llave de tuercas la cuál al ser lanzada vuela durante 2,1 segundos; calcular la velocidad inicial y la velocidad final. R: Vo = 12,29 m/s. Vf = - 8,29 m/s. 80) Del problema anterior confirme que la herramienta fue atrapada en caída. R: Ymax = 7,71 m. 81) Desde una azotea de 23 metros se lanza una canica de vidrio, (Metra), hacia arriba a 8 m/s calcule la velocidad cuando regresa a la altura de lanzamiento, la altura total que logra y la velocidad final en el piso. R: V1 = - 8 m/s. h = 26,27 M. Vf = - 22,69 m/s. 82) Rehacer el problema número 79 del electricista, por el método gráfico. R: en la gráfica. 83) Rehacer el problema número 81 de la metra, por el método gráfico. R: en la gráfica.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 80 84) Se lanza hacia abajo un objeto a 4 m/s desde una altura “L” si el tiempo de vuelo es de 6,5 segundos. Calcular la altura del lanzamiento y la velocidad final. R: L = 213,16 m. Vf = - 64,76 m/s. 85) Resuelva el problema anterior por el método gráfico. R: en la gráfica. 86) Del problema número 79. Calcule las velocidades: inicial y final, así como la altura máxima alcanzada por la herramienta si ahora el desplazamiento que realiza la llave es de 13 metros, (altura del electricista en el poste), en 2,5 segundos. R: V oy = 17,45 m/s. Vfy = - 7,05 m/s. Ymax = 15,54 m. 87) Una roca se deja caer desde una altura desconocida de tal forma que realiza la mitad de la caída en un segundo, si la roca golpea el piso a rapidez de 20 m/s; calcular la altura inicial. R: 30,2 metros. 88) Rehacer el problema anterior por el método gráfico. R: en la gráfica.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 81 b) Un cuerpo, varios periodos de aceleración 89) Un cohete de pruebas parte de su plataforma con aceleración relativa de (2.g) hacia arriba; si acelera durante un minuto y apaga sus motores; calcular la altura lograda en la aceleración, la altura total alcanzada y la velocidad a los 80 Segundos. R: 17.640 m. 35.280 m. Vf = 392 m/s. 90) Una caja de provisiones se lanza hacia abajo a 1 m/s desde un avión de carga a 150 metros de altura. Después de 3 sabre un sistema de paracaídas que inducen una frenada a la caja de 3,8 m/s2. Hallarla velocidad final de la caja al chocar con el piso, posición a los 5 S. Y tiempo total de la caída. R: Vf = -11,92 m/s; Y(5) = 49,7 m; t(Total) = 7,863 s. 91) Un coco cae desde el reposo de un cocotero de 5,8 m de alto; deja un hueco en la arena de 6 cm. De profundidad, hallar el tiempo total de caída, tiempo en contacto con la arena hasta detenerse y aceleración inducida por la arena. R: 1,09 s; 0,0113 s; 947,31 m/s2 . 92) Un excursionista deja caer una roca desde un acantilado, escucha el ruido de la roca contra el fondo 6,5 S. Después; si la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s ¿Cuál es la altura real del acantilado? Utilice la relación R: 175,44 Metros. 93) Del problema anterior número 92. Calcule los tiempos de: caída de la roca y del sonido. R: t1 = 5,984 s. t2 = 0,516 s. 94) Un globo de aire caliente sube a 3 m/s; cuando está a una altura “L” deja caer un plomo, el cual llega al piso en 12 segundos. Hallar la altura “L” y la velocidad de choque contra el suelo. R: 669,6 m. Vf = -114,6 m/s. 95) Rehacer el problema anterior número 94, considerando que el globo baja a velocidad constante de 3 m/s. R: 741,6 m; Vf = -120,6 m/s. 96) Un militar salta desde un helicóptero suspendido con velocidad inicial de - 1,5 m/s, cuando ha caído 122 m, abre su paracaídas el cual le induce una frenada de 4,8 m/s2; si llega al suelo con una velocidad de -2 m/s. Hallar la altura inicial de lanzamiento. R: Yo = 1.068,53 Metros. 97) Un atleta de salto ornamental sobre fosa, (Clavadista), salta a 2 m/s hacia arriba desde una plataforma de 10 M, entra al agua y se detiene a una profundidad de 3,4 metros. Hallar la aceleración que induce el agua y el tiempo total. R: : = 29,41 m/s2. t(Total) = 2,128 s.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 82 98) Rehacer el problema anterior número 97 por el método gráfico. R: en la gráfica. 99) Se deja caer una roca desde los 5 metros de alto sobre una piscina de 9 metros de profundidad, si la fricción con el agua induce una frenada de 3,5 m/s2; calcular la rapidez con que la roca golpea el fondo de la piscina. R: 5,92 m/s. 100) De la gráfica velocidad-tiempo; hallar el recorrido y desplazamiento de un cuerpo lanzado a 16,3 m/s hacia arriba desde la superficie lunar (gravedad = 1,63 m/s2). Recorrido: 123,1 m. Desplazamiento 41,6 m. 101) Un Cocodrilo en un fondo del Daule, de 3 metros de profundidad se impulsa con aceleración positiva y neta de 7 m/s2 e intenta atrapar un sapo que está en una rama a 2 metros por encima de la superficie; calcule si lo atrapa y que velocidad tiene en ese instante. R: Si lo atrapa. Vf = 1,67 m/s. 102) Demuestre que, en el problema anterior, número 103 que el cocodrilo supera la altura del sapo y estime por cuanto la sobrepasa. R: Sobrepasa la altura por 14 Centímetros.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 83 c) Dos cuerpos un periodo cinemático de aceleración 103) Una pelota se deja caer desde una altura “L”. Una segunda pelota se lanza hacia abajo con una velocidad de 22 m/s con 1,25 segundos después de la primera ¿Cuál es el valor se “L” si ambas pelotas llegan al mismo tiempo al piso referencial? R: L = 20,3 m. 104) Desde una altura de 30 metros se deja caer una roca, 2 segundos después se lanza una piedra con velocidad negativa; calcule esta velocidad si la piedra y la roca golpean el piso al mismo tiempo. R: V02 = - 61,48 m/s. 105) Si dos piedras se lanzan hacia abajo desde 170 metros de alto con una diferencia de 1,8 s; una a velocidad de 7,5 m/s. Hallar la velocidad de la otra piedra y el tiempo de ambas en caer si llegan al suelo al mismo tiempo. R: VoB = - 33,85 m/s. tA = 5,17 s. tB = 3,37 s. 106) Un estudiante en la popa de un barco de pasajeros desea conocer la velocidad de este y realiza el siguiente experimento: deja caer un objeto desde la altura en que se encuentra que estima en 12 metros. Si el objeto cae en el agua a una distancia del barco que forma un ángulo de 38º con la vertical; cuál es la velocidad del barco. R: VB = 6,0 m/s. 11,69 Nudos. 107) Desde un puente de altura desconocida se deja caer un objeto, en el momento que una gandola de 16 metros de largo comienza a pasar por debajo del puente a velocidad de 60 Km/h, si el objeto cae en la vía exactamente después que pasa la gandola ¿Cuál es la altura del puente? R: h = 4,52 m. 108) Se lanzan 2 pelotas hacia arriba con 2 segundos de diferencia a la misma velocidad inicial. Si la altura máxima de cada una es de 47 metros; diga a qué altura se cruzan las pelotas cuando una sube y la otra viene bajando, en qué tiempo y la velocidad de ambas en ese instante. R: Ye = 42,1M; T1 = 4,097 S; T2 = 2,097 S; V1 = - 9,8 m/s; V2 = 9,8 m/s. 109) Desde una altura de 100 metros se deja caer un objeto, en el momento que se lanza una pelota desde el piso a 30 m/s; calcular donde y cuando los cuerpos se cruzan y sus velocidades. R: Ye = 45,56 M. Te = 3,35 S. Vf1 = - 32,63 m/s. Vf2 = - 2,63 m/s. 110) Rehacer el problema anterior, número 111, considerando que la pelota se lanza un segundo después. R: Ye = 43,69 M. Te = 2,39 S. Vf1 = - 33,22 m/s. Vf2 = 6,57 m/s. 111) Un proyectil se dispara hacia arriba a 50 m/s en el momento que se deja caer una moneda desde una altura de 50 metros; calcule donde y cuando los objetos se cruzan y que velocidades tienen. R: Ye = 45,1 m. te = 1 s. Vf1 = 40,2 m/s. Vf2 = -9,8 m/s. 112) Rehacer el problema anterior, número 113 considerando que la moneda se deja caer ocho segundos después. R: Ye = 41,94 m. te = 1,282 s. Vf1 = - 40,96 m/s. Vf2 = - 12,56 m/s.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 84 113) Una bala se dispara verticalmente hacia arriba, desde un piso referencial, con una velocidad de 240 m/s. Si otra bala se dispara simultáneamente desde una altura de 60 metros con una velocidad de 180 m/s. Hallar el tiempo en que ambas balas se cruzan a una misma altura y el valor de dicha altura. R: te = 1 s; Ye = 235,1 m. (ambas subiendo) 114) Rehacer el problema anterior, número 115, considerando que la bala disparada desde los 60 metros lo hace 2 segundos antes. R: A 7,03 s. del primer lanzamiento a 1.083,23 m. 115) Demuestre, del problema número 115, que si la bala disparada de los 60 metros sale 2 segundos después; las balas no se cruzan. R: te = - 9,91 s. (No se cruzan). 116) Un cuerpo 1 es lanzado a -10 m/s desde una altura de 300 metros y un cuerpo 2 desde el piso referencial a 49 m/s dos segundos después, hallar la posición, tiempo y velocidad de los cuerpos cuando se cruzan. R: 108,55 m. te = 3,31 s. Vf1 = - 62,07 m/s. Vf2 = 18,3 m/s. 117) Un niño lanza desde el piso dos pelotas de goma hacia arriba con la misma rapidez de 14 m/s con 1,3 segundos de diferencia; calcule donde y cuando se cruzan. R: Ye = 7,93 m. te = 0,78 s. 118) Rehacer el problema anterior, número 119 considerando que los lanzamientos se realizan en la superficie Lunar, (gravedad =1,63 m/s2). R: Ye = 59,63 m. te = 7,918 s. d) Dos cuerpos, varios períodos cinemáticos 119) Dos cohetes parten desde el reposo desde una plataforma, el cohete I con aceleración de 18 m/s2yel cohete II con aceleración de 20 m/s2, si ambos aceleran durante 22 segundos y se apagan sus motores y el cohete I parte 13 segundos después. Diga cuándo y dónde los cohetes se cruzan en sus vuelos. R: a los 86,46 s. A una altura de 9.522,7 m. 120) Una cereza se deja caer desde un edificio de tal forma que de llegar al suelo lo haría con una rapidez de 58 m/s. Si un ave en vuelo lineal recto alcanza la fruta a 11 metros del suelo; ¿cuál debe ser su velocidad inicial si acelera a 2 m/s2 y se encuentra a 40 metros horizontales del edificio? R: debe arrancar a 1,52 m/s. 121) Si el héroe Superhombre, observa cuando una mujer cae desde una altura de 50 m por encima de él; ¿cuál debe ser su aceleración verticalmente hacia arriba, si parte del reposo con un segundo de atraso y debe atrapar a la mujer justo antes de alcanzar los 20 m/s en caída libre? R: = 54,61 m/s2. 122) Del problema anterior, número 121 considere que el héroe volador parte con rapidez inicial de 10 m/s con ½ segundo de reacción. R: = 11,975 m/s2. 123) Un globo de Helio se libera y sube a razón de 1,3 m/s2, si a los 4 segundos se le dispara una flecha vertical a 40 m/s; calcule donde la flecha lo impacta. R: Ye = 12,1 metros.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 85 Velocidad relativa en una dimensión 124) Una escalera mecánica de un centro comercial se mueve hacia arriba a 5 km/h. Si una persona apurada sube los escalones a 3,6 km/h ¿Cuál será la velocidad relativa del usuario con respecto a un observador fijo? R: 2,39 m/s 125) De la situación planteada en el problema anterior, número 124, considere que un usuario II baja por la escalera mecánica que esta paralela a la que sube, dejándose llevar por ésta, de pie en uno de los escalones, encuentre la rapidez relativa del usuario I con respecto al usuario II. R: 3,78 m/s. 126) Un auto viene a 10 m/s cuando acelera a 2 m/s2 para pasar a un camión que viaja a 20m/s y se encuentra a 40 metros lineales por delante del auto; calcule la velocidad relativa del auto con respecto al camión y viceversa. R: Va/c = 16,13 m/s. Vc/a = - 16,13 m/s. 127) Un tren subterráneo de pasajeros va al Este a 30 Km/h, cuando un pasajero en su interior camina al Oeste a 3 m/s; calcule la rapidez y dirección del pasajero desde la vista de un observador externo en la estación. R: V p = 5,33 m/s al Este. 128) Un autobús de pasajeros de la perimetral viene a 15 m/s cuando frena hasta detenerse en una parada a razón de 3 m/s2 , si un estudiante dentro del autobús camina a 1 m/s hacia atrás, hasta la puerta de salida, en el tiempo de frenado. Calcular el recorrido total del estudiante, y su rapidez a los 2 segundos, visto por un observador externo. R: 42,5 Metros. V(2) = 8 m/s. 129) Una piedra 1 tiene 2,2 segundos que cae de una altura “L” desde el reposo, cuando se cruza con una piedra 2, que tiene 3 segundos subiendo después de ser lanzada a 45 m/s desde el piso. Hallar los vectores velocidad relativa de la piedra 1 con respecto a la piedra 2 y viceversa, así como el valor de “L”. R: V1/2 = -37,16 m/s; V2/1 = 37,16 m/s; 114,62 m. 130) Una manzana se lanza verticalmente hacia arriba a 10 m/s. Un segundo después se dispara una flecha a velocidad de 50 m/s. Calcule donde la flecha atraviesa la manzana y ¿Si esta viene cayendo a bajando? R: 5,06 Metros; Viene cayendo a rapidez de 0,8 m/s.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 86 PROBLEMAS DE DESAFIO 131) Un tren va hacia el Oeste a 36 km/h y otro en la misma vía hacia el Este a 80 km/h. Si sólo el primero frena a razón de 2 m/s2. Hallar el tiempo de impacto y posición del choque si ambos trenes se encuentran separados 500 metros. R: T = 21,38 S. 475 m. 132) Un atleta de los 100 metros planos parte del reposo y cubre la distancia en 9,4 s. Si acelera durante 5 segundos y luego mantiene la velocidad; hallar la aceleración, la velocidad final y la distancia recorrida en cada período. R: = 2, 9 m/s2. Vf = 14,5 m/s. X1 = 36,23 m. X2 = 63,77 m. 133) Dos trenes se dirigen uno hacia el otro por la misma vía con velocidades de 35 Km/h y 50 Km/h respectivamente; si cuando están separados 150 metros ambos frenan hasta detenerse al mismo tiempo, quedando entre ellos una separación de 15 metros. Hallar la aceleración de cada tren, su recorrido y el tiempo común de frenado. R: = - 0, 85 m/s2 .a2 = 1,215 m/s2 . X1 = 55, 58 m. X2 = 79, 41 m. T = 11, 44 s. 134) Del problema anterior, número 132, considere que el tiempo de frenado de cada tren es diferente y el más rápido se detiene en 6,94 s. Hallar el recorrido de cada tren y las aceleraciones de cada uno. R: X1 = 86,77 m. X2 = 48,23 m. a1 = -0,544 m/s2. a2 = 2 m/s2. 135) Un futbolista corre hacia el balón a 3 m/s; cuando está a 30 m acelera a 0,8 m/s2 . Un jugador del equipo contrario parte del reposo cuando está a 14 m del balón ¿Cuál debe ser su aceleración para ganar el balón, si parte 1,5 segundos después que el otro jugador acelera? R: a = 1,6 m/s2 . 136) Dos vehículos viajan en la misma vía y dirección a 50 m/s y 70 m/s. Cuando están separados 75 metros, el auto delantero y más veloz frena hasta detenerse a 3 m/s2 ; si el auto de atrás reacciona en 2 segundos y frena hasta detenerse justo detrás del primero. Hallar la aceleración del auto trasero y la posición final. R: - 1,208 m/s2. Xe = 791,67 m. 137) Un auto parte del reposo con aceleración de 2 m/s2 durante un tiempo dado, luego frena a razón de 3,5 m/s2 hasta detenerse, si el recorrido total es de 600 m. Calcule cada uno de los tiempos de aceleración. R: aceleración 19,54 s; Frenado: 11,17 s. 138) Dos autos de piques parten del reposo con aceleración constante. El auto A acelera durante 8scon 5 m/s2 y mantiene la velocidad. El auto B parte 0,5 segundos antes y acelera durante 10 Segundos y luego mantiene la velocidad adquirida, si ambos coches llegan a la meta de 700 metros al mismo tiempo ¿Cuál es la aceleración del auto B y el tiempo de carrera de cada uno de ellos? R: aB = 4,12 m/s2 .TA = 21,5 S. TB = 22 s.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 87 139) Un auto viaja a 20 m/s cuando pasa por un poste referencial a 10 metros por detrás de una moto que va a 10 m/s y con una aceleración de 3 m/s2. Hallar la posición y el tiempo de los encuentros entre los vehículos. R: Xe1 = 24,5 m. en 1,225 s. Xe2 = 108,8 m. en 5,44 s. 140) Un auto parte con aceleración desde un semáforo, en el momento que un camión pasa por allí a rapidez de 30 m/s constante. 4 segundos después pasa una moto con velocidad de 162 km/h ¿Cuál es la aceleración del auto para que ocurra el triple encuentro y a qué distancia y tiempo del semáforo? R: 5 m/s2. Durante 12 s; Xe = 360 m. 141) Un estudiante corre a rapidez constante de 6,5 m/s para alcanzar el autobús de su universidad el cual parte desde el reposo con aceleración de 0,3 m/s2 a 25 metros por delante del estudiante. Hallar el tiempo y la distancia que debe correr el estudiante para que el autobús lo alcance en el segundo encuentro y la rapidez del bus en ese momento. R: 46,89 s. 304,8 m. Vfb = 14,06 m/s. 142) El avión espía SR-71 desarrolla su velocidad máxima de 1,5 km/s en 5 minutos, para cargar combustible en el aire debe disminuir su velocidad a 130 m/s en 3 minutos; la carga dura 15 min y requiere de otros 3 minutos para volver a su máxima velocidad ¿En qué tiempo recorre los 40.000 km (perímetro terrestre) si su autonomía le exige hacer seis cargas de combustibles y parte desde el reposo? R ≈ 553,8 Minutos. 9,23 horas. 143) Un Tren bala parte acelerando durante 5 segundos, luego frena a razón de 4 m/s2 hasta detenerse, si su recorrido es de 50 metros. Calcule la aceleración inicial y el tiempo tota R: a = 2,47 m/s2 . t = 11,18 s. 144) Dos motos de pique parten con aceleraciones de 4 y 3,8 m/s2 respectivamente si el segundo auto gana por 120 centímetros en una pista de 402 metros; calcule por cuanto tiempo se debe robar la salida. R: Por 0,39 Segundos. 145) Dos piedras son disparadas verticalmente hacia arriba desde un piso dado, una a 50 m/s y la otra a 20 m/s 4 segundos después ¿Cuál será la altura de lanzamiento para que en caída libre ambas piedras lleguen al mismo tiempo al suelo? R: 591,97 m. 146) Desde un helicóptero se deja caer un paracaidista, abre su paracaídas después de caer 50 metros y llega al piso a una velocidad de -2 m/s, al mismo instante que una caja que se dejó caer desde la misma altura en el momento que se abre el paracaídas. Hallar la altura del helicóptero, la aceleración del paracaídas y su tiempo total. R: 136,6 m. 5,55m/s2 . 8,47 s. 147) Un auto viaja a 50 km/h con una aceleración de 7 m/s2 ; cuando está a 30 metros de un puente de 7 metros de alto, un joven en el puente lanza un objeto con velocidad inicial hacia arriba, el cual impacta al auto al pasar. Hallar la velocidad inicial del objeto y el tiempo de vuelo de este. R: Vo = 3,1 m/s; t = 1,55 s. 148) Se deja caer un objeto desde una altura “H” el cuál recorre la segunda mitad de esta distancia dos segundos. Calcular la altura y el tiempo de caída. R: 228,47 m. t = 6,828 s.

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 88 149) Se observa que un objeto se lanza hacia abajo a 2 m/s desde una altura “L”, si el objeto recorre el último tercio en 1,2 s; ¿Cuál es la altura “L” de lanzamiento y el tiempo total? R: 209,7 m. 6,342 s. 150) Se deja caer un cuerpo desde una altura “h”, considerando una resistencia del aire que induce una aceleración de 2 m/s2 positiva y el cuerpo recorre los últimos 3 metros en un tiempo de 0,56 segundos. Hallar la altura “h”, el tiempo total de vuelo y la velocidad final de impacto. R: h = 6,65 m; t = 0,967 s; Vf = -7,54 m/s. 151) En una situación similar al ejercicio 130 de la manzana, si la flecha se lanza verticalmente hacia arriba a 50 m/s. En qué tiempo después se debe lanzar la manzana a 10 m/s. Para que la flecha la atraviese en una altura de 4 metros del punto de lanzamiento, ambas en bajada. R: T2 = 8,629 s.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 89 CAPÍTULO IV: CINEMÁTICA II Prerrequisitos del tema: Vectores en el plano y cinemática en una dimensión. Motivación: ¿Cuánto es el alcance de un lanzamiento parabólico? ¿Existe un alcance máximo? ¿Se modifica el alcance al mover el plano de caída? ¿Cuántas vueltas dan las aspas de un ventilador después de apagarse? ¿Puede un ente moverse a rapidez constante con aceleración? Desarrollo del tema: Las situaciones planteadas en la motivación no se pueden contestar utilizando las técnicas del capítulo anterior referido a la cinemática en una dimensión; es más probable que una roca lanzada verticalmente hacia arriba en el aire no regrese por la misma línea de lanzamiento, en vista de la fricción del viento o que el ángulo no necesariamente fue vertical; entonces es necesario aceptar que vivimos en un espacio tridimensional; es decir, un cuerpo lanzado entre 0º y los 90º del primer cuadrante describe un desplazamiento entre los ejes coordenados, con desplazamiento en la horizontal. O un objeto que describe un movimiento circular o parte de este, en el perímetro de una circunferencia dada, por lo menos se desplaza en dos dimensiones. En este capítulo se estudia el movimiento en dos dimensiones, considerando el uso de los vectores: posición, velocidad y aceleración, analizados paramétricamente por eje coordenado en función del tiempo. En este sentido, estudiaremos los movimientos en el plano de gran utilidad para el ingeniero como lo son: el movimiento parabólico y el movimiento circular. Tema 1) Variables de la cinemática II Si un ente se mueve en el plano en un tiempo t conocido, y sean los vectores posiciones de él, en el punto 1 inicio y en el punto 2 final, entonces: El vector desplazamiento será: La velocidad promedio: Por analogía al capítulo 3, la velocidad instantánea será el límite de la velocidad promedio cuando t → 0, en un punto dado, ver siguiente ilustración

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 90 En ese sentido, se deriva la aceleración instantánea como para un punto “A” y la aceleración media, que identifique un período cinemático, como la velocidad promedio sobre el tiempo Vp/t. La aceleración de un cuerpo en un punto de una curva puede representarse en función de la referencia tangencial y normal de una parte de perímetro de circunferencia, ver siguiente figura Si el módulo de la velocidad (rapidez) varía desde el punto “A” hasta el punto “B”, entonces existe una aceleración “Tangencial”, es decir, tangente a la curva en los puntos dados y que acompaña al ente desde el punto “A” al punto “B”, y modifica su rapidez. Ahora resulta lógico decir que de ser módulos iguales (rapidez constante) el vector es diferente al vector en dirección y sentido. Cuando sobreponemos este triángulo sobre el dibujo anterior descubrimos que está dirigido al centro de curvatura, por lo que este vector será conocido como “aceleración radial” o normal. Es decir, el vector aceleración total de un punto de una trayectoria curva será igual a: El movimiento de una partícula en el plano es la situación en donde un ente hace un recorrido curvo y descrita, según la teoría vectorial, como la suma de dos movimientos lineales que ocurren de forma simultánea en cada eje coordenado y con la condición cinemática de que la aceleración será constante en períodos cinemáticos, de tal forma que se pueda hacer uso de las ecuaciones generales del movimiento, que como se dijo, son funciones que explican el movimiento de un ente caracterizado como adimensional; este estudio está cercano a la realidad del movimiento, y es suficiente para la toma de decisiones en el mundo de la ciencias y la ingeniería. Ecuaciones cinemáticas generales del movimiento en el plano Tema 2) Movimiento en el plano del tipo parabólico Cuando en el movimiento curvo de un plano ocurre que: El ángulo de lanzamiento es diferente a 90º y 270º, la aceleración en el eje “X” es igual a cero (movimiento horizontal uniforme), la aceleración en el eje “Y” es la gravedad terrestre, vector negativo en la vertical o hacia

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 91 abajo siempre. Y no se considera la fricción del aire (movimiento vertical libre). Entonces se dice que es un movimiento parabólico de un “proyectil”. Considerando por proyectil todo cuerpo lanzado con velocidad inicial sin autopropulsión y su trayectoria no es de un alcance tal que se vea afectado por la curvatura terrestre. El movimiento parabólico es la mezcla de un movimiento rectilíneo uniforme en el eje horizontal con un movimiento acelerado en el eje vertical, o cinemática vertical libre. Ecuaciones del movimiento parabólico Ecu. 4.7 Como ecuación inicial, al expresar las componentes de la velocidad inicial. Ecu. 4.8 Ecu. 4.9 Ecu. 4.10 Ecu. 4.11 De donde se obtiene el tiempo de vuelo, o tiempo de la particula en el aire. Ecu. 4.12 Recordando que, para el estudio vertical, hay tres ecuaciones nacidas de la ecuación 10 y 12. Expresadas para el sistema internacional como T(max) = Voy / 9,8. Tiempo en alcanzar la altura máxima. tve = 2.t(max). Tiempo simétrico, en que el cuerpo regresa al punto de lanzamiento. Ymax = (Voy)2 / 19,6. (Todas, solo para velocidad inicial positiva en la vertical o hacia arriba). Cuando el lanzamiento se hace desde una altura dada, con un ángulo por debajo de la horizontal, (declinación), o de valor cero (0º), horizontalmente. No existirá altura máxima, ni tiempo máximo. La Xf se llama alcance de todo lanzamiento, o distancia horizontal; luego cuando el lanzamiento parabólico es en vuelo simétrico o exacto; Por la relación trigonométrica Sen( + ); con Sen( + ) = 2cos .sen Este alcance es: Ecu. 4.13 Al sustituir el tiempo en la ecuación 4.9 como despeje escalar, en la ecuación 4.11 sobre posición en la vertical, se obtiene de estas dos ecuaciones paramétricas, la ecuación general de las posiciones de una partícula en un movimiento parabólico, en función del ángulo y la rapidez inicial. Expresada con el origen en el lanzamiento, para el sistema internacional como

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 92 La siguiente gráfica muestra un típico lanzamiento de proyectiles con una velocidad inicial de componente en “Y” positiva y un ángulo con la horizontal. Ejemplo 4.1: Una pelota se lanza por un borde horizontal de un mesón, a velocidad de 6 m/s ¿Cuál será su posición y vector velocidad al cabo de 1,5 segundos de dejar el borde? Respuesta: Considerando el borde y esquina con el piso como el origen coordenado Ejemplo 4.2: Si se lanza una piedra a 20 m/s con una inclinación de 70º con la horizontal, ¿Cuál será la posición y la rapidez de la piedra a los 2 segundos de ser lanzada? Respuesta: Ejemplo 4.3: Desde 50 metros de alto, se lanza una piedra a Vo, y con ángulo, si la piedra golpea el piso a 40 metros horizontales en 5 segundos, Calcular el vector velocidad inicial y su ángulo. Respuesta: Análisis en la horizontal, Luego: Análisis vertical, La velocidad inicial es: Y el ángulo inicial de lanzamiento es:

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 93 Ejemplo 4.4: Un niño en patineta viene a una rapidez horizontal de 9 m/s; salta sobre una inclinación de 30º como se indica ¿Cuál será la distancia desplazada por el niño sobre la inclinación? Respuesta: Colocando el origen en el punto del salto Ejemplo 4.5: Del ejemplo anterior considera que el niño salta hacia la inclinación de 30°, con un ángulo de 20° por encima de la horizontal, cayendo sobre la inclinación a 15 metros lineales. Calcule su vector velocidad inicial. Respuesta: Por trigonometría básica, X = 13 metros e Y = 7,5 metros. Con la ecuación 14, que relaciona la posición vertical con respecto a la horizontal, sin considerar el tiempo de vuelo, se tiene De donde se obtiene que la rapidez con el niño debe saltar es de: Vo = 8,7562 m/s. Entonces el vector velocidad inicial es: = (8,23i + 3j) m/s. TEMA 3) Rebote parabólico: Esta concepción está referida al hecho lógico de que toda partícula con cualidades elásticas al chocar con cualquier superficie o piso debe rebotar hacia otro movimiento parabólico, bajo las condiciones de perdida de rapidez y de elevación que ocurren por las posibles deformaciones y las energías liberadas por el choque. Sin embargo, a este nivel básico de la mecánica y del movimiento bidimensional existirá el rebote sobre una recta horizontal o sobre una recta vertical con la idealización de la conservación del ángulo de incidencia como igual al ángulo de rebote con respecto a la superficie y solo se establecerán perdidas de rapidez porcentuales por concepto de la colisión. En los ejercicios que se realizan sobre este tópico y de forma introductoria a los conceptos de coeficiente de restitución y estudio cinético de los cuerpos, se establece como simbología en este texto que el ángulo de incidencia se denomina alfa y el ángulo de rebote beta . Donde en un rebote sobre una recta horizontal o vertical, para la Física I, es que

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 94 Para el rebote sobre una inclinación existen dos ecuaciones básicas, desarrolladas, fundamentadas en la idealización de la conservación del ángulo de impacto en el rebote de la partícula para situaciones de rebote parabólico sobre una superficie recta inclinada en un ángulo como: Ecu. 4.15 Rebote “hacia arriba” y Ecu. 4.16 Rebote “hacia debajo”, de la inclinación. Con la simbología de que teta es el ángulo de la inclinación de la superficie donde ocurre el contacto y rebote. Ver la publicación del autor, sobre los tipos de rebote (Tirado A. 2020) Ejemplo 4.6: Una pelotica de goma se deja caer desde los 50 centímetros sobre un plano inclinado en 25°, si el cuerpo al rebotar pierde el 50% de su rapidez, calcule la distancia lineal que avanza por la inclinación, para un rebote parabólico sobre esta. Respuesta: La rapidez de contacto con la superficie es de: Vf1 2 = 2.(0,5)(9,8). Implica Vf1 = 3,13 m/s. Y rebota a: Vr = 1,565 m/s. Por la ecuación del rebote sobre una recta inclinada “Hacia abajo”, para una incidencia en caída libre de 90°, se tiene que el ángulo del rebote es de: = 90 – 2(25) = 40°. Es decir, es un cuerpo con velocidad inicial de Vo = (1,2i + 1,01j) m/s. Sobre una inclinación de 25°. Análisis de la X: d.Cos25 = 1,2.t Análisis de la Y: -d.Sen25 = 1,01.t – 4,9.(t)2 . Colocando el eje coordenado en el lanzamiento. De estas ecuaciones se obtiene que la pelotica desplaza 0,424 metros, (42,4 centímetros), en un tiempo de vuelo de 0,32 segundos. Estrategia para resolver problemas de lanzamiento de proyectiles REALIZAR UN DIBUJO ESQUEMÁTICO, CON LOS ENTES INVOLUCRADOS Y SUS RECORRIDOS. ESTABLECER EL EJE COORDENADO (PREFERENCIA CON EL ORIGEN EN EL LANZAMIENTO). HACER EL ANÁLISIS CINEMÁTICO POR EJE. RESOLUCIÓN DEL SISTEMA O SISTEMAS DE ECUACIONES.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 95 TEMA 4: MOVIMIENTO DEL TIPO CIRCULAR 4.1) Movimiento circular uniforme De esta forma el vector aceleración radial cambia puntualmente de dirección y sentido en cualquier punto de un movimiento del tipo circular, que viene a ser su característica que la diferencia con la aceleración tangencial o cinemática, que “acompaña” al ente en un periodo de tiempo o distancia. Ejemplo 4.7: Un auto toma una curva a 110 km/h; y la aceleración radial del auto en contacto con el pavimento es 7,7 m/s2 . Cuál será el radio mínimo de la curva. 4.2) Movimiento circular variado Si el módulo de la velocidad (rapidez) varía de un punto de la curva a otro, implica la existencia de la aceleración tangencial diferente de cero, como la variación de la rapidez en función del tiempo. Aceleración cinemática vista hasta. Entonces se habla de la aceleración “Total” como la suma de las aceleraciones radial y tangencial en cada punto de la trayectoria. Este vector tendrá, como es lógico, módulo y dirección, referido a la aceleración radial en el punto y a la aceleración tangencial del periodo en donde este este punto de estudio. Esta condición “puntual” genera que la circunferencia o parte de ella, posea vectores unitarios implícitos en él como facilidad en las expresiones, los cuales son del tipo móviles, denominados: unitario en dirección al radio de curvatura desde el centro en sentido hacia fuera, y el unitario en el perímetro del recorrido circular en sentido antihorario. Entonces, las expresiones vectoriales de estas aceleraciones son

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 96 El movimiento circular puede ser por su orientación: horizontal, (circular uniforme para un cuerpo no propulsado), vertical u oblicuo. En los dos últimos el cuerpo en giro se verá afectado por la gravedad terrestre en los componentes de la aceleración total. Un ejemplo del movimiento circular horizontal es el del péndulo cónico, (figura del lado). Como una masa “M” que gira en un círculo horizontal alrededor de una vertical por medio de una cuerda que la sostiene; el radio de giro es: L.Sen y este ángulo será proporcional a la rapidez de giro. El péndulo simple, siguiente figura, es el clásico ejemplo del movimiento circular variado. La masa “M” oscila en una parte del perímetro circunferencial de radio “L” (largo del elemento de conexión o cuerda), y a un ángulo θ de desplazamiento; en esa posición, la masa tiene una aceleración radial calculada como la rapidez puntual al cuadrado entre el radio de curvatura y una aceleración tangencial de módulo: g.senθ. En el punto de equilibrio (punto más debajo de la vertical) la velocidad será máxima (punto crítico del péndulo simple) y en el ángulo máximo de desplazamiento la velocidad será igual a cero. Estos valores cambian simultáneamente en una perfecta armonía, razón de este tipo de movimientos llamados “Armónicos Simple”, que se estudian puntualmente con las herramientas de la derivación de la función posición puntual, (estudio a desarrollarse en la Física II. Es notable considerar que un péndulo simple posee aceleración variable puntual de tal forma que las ecuaciones cinemáticas para períodos de aceleración constante no son aplicables, solo con estudios de conservación de la energía mecánica, se podría conocer velocidades puntuales. Ejemplo 4.8: En el péndulo simple una masa oscila como se indica, en la figura del problema, por medio de una cuerda de 1,2 metros en un círculo vertical, cuando la cuerda forma un ángulo de 32º la masa tiene una velocidad de 2,1 m/s. Hallar la magnitud y dirección de la aceleración total en ese instante.

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 97 Tema 5) Desplazamiento angular Si un cuerpo compacto, gira alrededor de un eje, entonces diferentes partes o puntos dentro de él, tendrán aceleraciones totales diferentes para un tiempo común, dependiendo del radio de giro y del ángulo en que se encuentre dichos puntos. Esto implica que se debe estudiar el cuerpo que gira como un cuerpo rígido y no como partícula; cuando un cuerpo gira en una circunferencia, como las aspas de un ventilador, su movimiento se mide en longitud por el número de vueltas o en radianes como desplazamiento angular. siendo este último una magnitud adimensional de ángulo, expresado por la longitud de arco “S”, entre el radio del círculo. En ese sentido si una partícula o un punto extremo en un cuerpo rígido, realiza un movimiento circular de varias vueltas, medido en longitud, entonces el Número de Vueltas será igual al arco total entre el perímetro de la circunferencia de giro: N° = S / 2. .r. Ecu. 4.19 Luego las tres ecuaciones cinemáticas principales, (velocidad final, velocidad final al cuadrado, y posición), expresadas en el aspecto lineal o longitudinal para un movimiento circular serán Proveniente de la ecuación 3.4 Como adaptación de la ecuación deducida como 3.6 en el capítulo tres. de la ecuación 3.7 En el sentido angular luego de dividir todas ellas y sus componentes entre el radio de curvatura, nos quedan las fórmulas angulares para cualquier punto de estudio; con aceleración constante. A saber, son: Donde “w” es el vector velocidad angular como: como el vector de la aceleración angular obtenida de: . En rad/s2 . Ambas en el sentido ± . Dependiendo si el giro es en horario negativo, o en antihorario positivo. Otra forma escalar, de expresar la velocidad lineal y angular es la de revoluciones por minutos o RPM, donde una revolución o vuelta es de 2 radianes, 360° para la angular y este valor por el radio del llamado ARBOL de giro o circulo de estudio para la velocidad lineal; entonces para este valor dado y usado comúnmente en la ingeniería, su cálculo a radianes por segundos

FÍSICA I : MECÁNICA CLÁSICA PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN E INGENIERÍAS 98 queda como: y para longitud entre segundos: Donde “A” es el dato de las revoluciones dadas. Ejemplo 4.9: Una rueda gira inicialmente en sentido horario a 100 rpm, cuando es frenada hasta detenerse en un tiempo de 5 segundos. Hallar el vector velocidad angular inicial y el vector aceleración angular que la detiene. Respuesta: Con la relación de: w = (RPM).2π / 60 w = 200.π/60 = 10,47 rad/s. El vector velocidad angular inicial es por su sentido horario. La aceleración angular, es el cambio de la velocidad angular por unidad de tiempo es decir se obtiene como: En sentido antihorario, (frenada). Ejemplo 4.10: Un engranaje de 0,4 metros de radio gira a 70 Rpm en sentido antihorario; si frena a razón de 3 rad/s hasta detenerse. Hallar: a) El tiempo de frenado. b) El número de vueltas para detenerse y c) El vector aceleración total al primer segundo de estar frenando. Respuesta: Tema 6) Velocidad relativa bidimensional La velocidad relativa de un movimiento en el plano supone el uso de las velocidades relativas por cada eje coordenado por ser magnitudes vectoriales, donde el resultado se obtiene usando la “Resta” vectorial, o suma por el opuesto; en términos analíticos Ejemplo 4.11: Un atleta corre a (5i + 4j) m/s y observa un ciclista que va al norte con 10 m/s de rapidez. Cuál es la velocidad del atleta visto desde el ciclista, y viceversa. Respuesta: Velocidad del ciclista Velocidad del atleta . Luego, velocidad del atleta relativo al ciclista

Alberto Tirado Sanabria · Jorge Encalada Noboa 99 Estrategia para resolver un problema de movimiento circular REALIZAR UN DIBUJO ESQUEMÁTICO DE LA CIRCUFERENCIA Y LOS PUNTOS DE INTERÉS. ESTABLECER EL EJE COORDENADO A CONVENIENCIA. RECONOCIENDO LOS DATOS Y PREGUNTAS, SI SON LINEALES O ANGULARES. HACER EL ANÁLISIS CINEMÁTICO POR COORDENADA RADIAL O PERIMETRAL. RESOLUCIÓN DE LAS SITUACIONES QUE SE PLANTEAN. Historia del movimiento en el plano El movimiento de los cuerpos en el plano de los tipos circular y parabólico ha sido estudiado desde la antigüedad, los pueblos calculaban las trayectorias de los proyectiles en sus batallas, y con el movimiento circular del péndulo simple desde su Dinámica, nace el primer reloj. Pero nuevamente es el científico italiano Galileo Galilei (1564–1642) el primero en establecer modelos idealizados con aceleración constante (la gravedad terrestre), él fue el primero en formular una teoría completa sobre el disparo de proyectiles, en similar con el científico, Evangelista Torricelli (1608–1647).