แผนการสอนคณิตศาสตร์ นาย ยศวรรธน์ แก้วช่วย

จากกิจกรรม สาํ รวจกราฟของ y = ax2 เม่อื a ≠ 0 จะเหน็ วา คําตอบท่ีไดเ ปนไปตามลักษณะท่ัวไปของ
กราฟของสมการ y = ax2 เมอื่ a ≠ 0 ดังน้ี
1) กราฟเปน พาราโบลาที่เปน รปู สมมาตร โดยมีแกน Y เปน แกนสมมาตร

• ถา a > 0 กราฟจะมีลักษณะเปนพาราโบลาหงาย ซ่ึงกราฟจะมจี ดุ ตาํ่ สดุ แตไมมีจุดสูงสดุ
• ถา a < 0 กราฟจะมีลักษณะเปน พาราโบลาควาํ่ ซงึ่ กราฟจะมีจดุ สูงสุด แตไมมจี ุดตํา่ สุด
2) กราฟจะบานนอยหรอื มากข้ึนอยกู ับคา a กลาวคือ
ถา |a| มคี านอ ยลงเรื่อย ๆ กราฟจะบานมากขึ้นเร่ือย ๆ
ในทางกลับกนั ถา |a| มคี า มากขน้ึ เร่ือย ๆ กราฟจะบานนอยลงเร่อื ย ๆ
3) จุดต่ําสดุ หรอื จุดสูงของกราฟอยูทจ่ี ุด (0,0) คา ตํา่ สดุ หรือคาสงู สดุ ของ y เทากับ 0
2. ครยู กตวั อยา งการเขยี นกราฟของสมการ y = 23a23xxx222+จkะได

ตวั อยา งท่ี 5 จงเขยี นกราฟของสมการ y =

วิธีทาํ พจิ ารณากราฟของสมการ y =

1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย ทีม่ ีแกน Y เปน แกนสมมาตร
2. จุดต่ําสดุ ของกราฟ คอื จุด (0,0)
3. คา ตํ่าสุดของ y คือ 0
4. หาพกิ ัดของจุดตาง ๆ ท่อี ยูบนขางเดียวกันของแกนสมมาตร
x3 0 31 2 237
y = 2 x 2 0 2 6 2

Y เจขะยี ไนดกเสรนาโฟคขงอเรงียสบมผกาานรจyุดท=่ีมี2พ3กิ xัด2ดดังใงั นนตี้ าราง แลว เขยี นเสนโคงเรียบทสี่ มมาตรกนั อีกขางหน่งึ ของแกน

ขัน้ การแลกเปล่ียนความรคู วามเขา ใจกบั กลุม
1. ครใู หนกั เรียนทําแบบฝก หัด ดังน้ี

จงเขียนกราฟของสมการตอไปนี้
1) y = 3x2
2) y = -5x2
2. ครูคอยดูแลชวยเหลือนักเรียนเปนรายบุคคล คอยกระตุนความคิดนักเรียนและใชวาจาเสริมแรงแก
นกั เรยี น
3. เมอื่ นกั เรยี นทําเสรจ็ แลว ใหนกั เรยี นรวมกันเฉลยคําตอบ โดยมีครคู อยตรวจสอบคําตอบ
ข้ันการสรุปและจัดระเบียบความรู
ครแู ละนักเรยี นรว มกันสรุปเกย่ี วกบั กราฟของ y = ax2 เมอ่ื a ≠ 0 ดงั นี้
1) กราฟเปน พาราโบลาทเ่ี ปน รปู สมมาตร โดยมแี กน Y เปน แกนสมมาตร

• ถา a > 0 กราฟจะมลี กั ษณะเปน พาราโบลาหงาย ซึ่งกราฟจะมจี ดุ ตาํ่ สุด แตไมมจี ุดสูงสุด
• ถา a < 0 กราฟจะมีลกั ษณะเปนพาราโบลาคว่ํา ซง่ึ กราฟจะมจี ุดสงู สดุ แตไมม จี ดุ ตํ่าสุด
2) กราฟจะบานนอยหรอื มากขน้ึ อยูกับคา a กลาวคอื

ถา |a| มคี า นอ ยลงเรื่อย ๆ กราฟจะบานมากข้ึนเร่ือย ๆ
ในทางกลบั กัน ถา |a| มคี า มากขน้ึ เร่ือย ๆ กราฟจะบานนอยลงเร่ือย ๆ
3) จดุ ตํ่าสดุ หรอื จดุ สงู ของกราฟอยูที่จุด (0,0) คาตา่ํ สุดหรือคา สงู สดุ ของ y เทากับ 0
ข้นั การปฏิบตั แิ ละประยุกตใชความรู
1. ครใู หน กั เรียนทุกคนทําแบบฝก หดั เพ่อื ตรวจสอบความเขา ใจเปน รายบคุ คล

จงเขียนกราฟของสมการ y = 4x2 และ y = -4x2 โดยใชแกนคูเดยี วกัน และตอบคําถามตอไปน้ี
1) กราฟท้ังสองมีเสนตรงใดเปนแกนสมมาตร
2) จดุ ตํ่าสดุ หรือจดุ สงู สุดของแตละกราฟเปนจุดใด
3) คาต่าํ สดุ หรือคา สูงสุดของ y ในแตละสมการเปน เทา ใด
2. ครูคอยดแู ลชวยเหลอื นักเรียนเปนรายบุคคล คอยกระตุนความคิดนักเรียนและใชวาจาเสรมิ แรงแก
นักเรียน
3. เม่อื นกั เรียนทําเสร็จแลว ครตู รวจสอบคาํ ตอบ
4. ครปู ระเมนิ ผลการเรยี นรู
คาบที่ 5-6
ขน้ั ทบทวนความรเู ดิม
1. ครูกลาวทักทายนักเรยี น
ครูใหนักเรียนน่ังสมาธิกอนเร่ิมเรียน 3 นาที จากนั้นครูทบทวนเกี่ยวกับกราฟของ y = ax2 เมื่อ a ≠ 0
ดงั น้ี
1) กราฟเปนพาราโบลาทเี่ ปนรปู สมมาตร โดยมีแกน Y เปน แกนสมมาตร

• ถา a > 0 กราฟจะมลี ักษณะเปน พาราโบลาหงาย ซง่ึ กราฟจะมจี ดุ ตํ่าสุด แตไมมจี ดุ สูงสดุ

• ถา a < 0 กราฟจะมลี กั ษณะเปน พาราโบลาคว่ํา ซ่ึงกราฟจะมจี ุดสูงสุด แตไมมีจดุ ต่ําสดุ
2) กราฟจะบานนอยหรือมากขึน้ อยกู ับคา a กลา วคอื
ถา |a| มคี านอ ยลงเรื่อย ๆ กราฟจะบานมากขนึ้ เรื่อย ๆ
ในทางกลับกัน ถา |a| มีคามากขนึ้ เร่ือย ๆ กราฟจะบานนอยลงเร่อื ย ๆ
3) จดุ ตํา่ สุดหรอื จดุ สูงของกราฟอยูท่จี ุด (0,0) คา ตาํ่ สดุ หรือคา สงู สุดของ y เทา กบั 0
ขนั้ การแสวงหาความรใู หม
1. ครใู หนักเรยี นทาํ กิจกรรมสํารวจกราฟของ y = ax2 + k เมอื่ a ≠ 0
2. ครใู หน ักเรยี นออกมานําเสนอผลการสาํ รวจ
ขั้นการศกึ ษาทําความเขา ใจขอ มูล
1. ครูและนักเรยี นรว มกนั สรุปความรทู ี่ไดจ ากการทาํ กจิ กรรม ดงั น้ี
จากกจิ กรรม สาํ รวจกราฟของ y = ax2 +k เมือ่ a ≠ 0 จะเห็นวา คําตอบท่ีไดเ ปน ไปตามลกั ษณะท่ัวไป

ของกราฟของสมการ y = ax2 + k เม่อื a ≠ 0 ดงั นี้
1) กราฟเปนพาราโบลาท่ีเปน รปู สมมาตร โดยมแี กน Y เปน แกนสมมาตร
• ถา a > 0 กราฟจะมีลกั ษณะเปนพาราโบลาหงาย ซึง่ กราฟจะมีจุดต่ําสุด แตไมมีจุดสงู สดุ

• ถา a < 0 กราฟจะมลี กั ษณะเปน พาราโบลาควาํ่ ซ่ึงกราฟจะมีจุดสูงสดุ แตไมมจี ุดตา่ํ สุด
2) จดุ ตํ่าสุดหรือจุดสูงของกราฟอยูทจี่ ดุ (0,k) คาตํ่าสุดหรือคาสูงสุดของ y เทากบั k

• ถา k > 0 จุดต่ําสุดหรือจุดสูงสดุ ของกราฟ จะอยเู หนือแกน X
• ถา k < 0 จุดตาํ่ สดุ หรือจุดสูงสดุ ของกราฟ จะอยูใตแกน X
3) กราฟของสมการ y = ax2 + k เปน ภาพท่ีไดจากการเล่ือนขนานกราฟของสมการ y = ax2 โดย
• ถา k > 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเล่อื นขนานตามแนวแกน Y ขนึ้ ไป เปนระยะ k หนว ย
• ถา k < 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลือ่ นขนานตามแนวแกน Y ลงมา เปน ระยะ |k| หนว ย
2. ครูยกตัวอยา งการเขยี นกราฟของสมการ y = ax2 + k

ตัวอยา งที่ 6 จงเขยี นกราฟของสมการ y = -2x2 + 3
วิธที าํ พิจารณากราฟของสมการ y = -2x2 + 3 จะได
1. กราฟเปนพาราโบลาควํา่ ที่มีแกน Y เปนแกนสมมาตร
2. จุดสงู สุดของกราฟ คือ จุด (0,3)
3. คาสูงสุดของ y คอื 3
4. หาพิกัดของจดุ ตาง ๆ ทอี่ ยูบนขางเดยี วกนั ของแกนสมมาตร
x0123
y = -2x2 + 3 3 1 -5 -15
เขียนเสนโคงเรียบผานจุดท่ีมีพิกัดดังในตาราง และเขียนเสนโคงเรียนท่ีสมมาตรกัน
อีกขา งหนึง่ ของแกน Y จะไดก ราฟของสมการ y = -2x2 + 3 ดังน้ี

ข้ันการแลกเปล่ียนความรูค วามเขาใจกับกลุม
1. ครใู หนักเรียนทาํ แบบฝกหัด ดงั นี้

จงเขียนกราฟของสมการตอไปน้ี
1) y = -3x2 -2
2) y = 5x2 + 4
2. ครูคอยดูแลชวยเหลือนักเรียนเปนรายบุคคล คอยกระตุนความคิดนักเรียนและใชวาจาเสริมแรงแก
นักเรยี น
3. เม่อื นกั เรียนทําเสรจ็ แลว ใหน กั เรยี นรว มกันเฉลยคําตอบ โดยมีครคู อยตรวจสอบคําตอบ
ข้นั การสรปุ และจดั ระเบยี บความรู
ครแู ละนกั เรยี นรวมกนั สรปุ เก่ยี วกับกราฟของ y = ax2 + k เม่อื a ≠ 0 ดังน้ี
1) กราฟเปนพาราโบลาทีเ่ ปน รปู สมมาตร โดยมีแกน Y เปนแกนสมมาตร

• ถา a > 0 กราฟจะมีลักษณะเปนพาราโบลาหงาย ซง่ึ กราฟจะมจี ดุ ตํ่าสุด แตไมมีจุดสูงสุด
• ถา a < 0 กราฟจะมลี ักษณะเปน พาราโบลาควํา่ ซงึ่ กราฟจะมจี ุดสงู สดุ แตไมม ีจุดตาํ่ สดุ
2) จุดต่ําสดุ หรือจดุ สูงของกราฟอยูทจ่ี ดุ (0,k) คา ตา่ํ สดุ หรือคาสงู สุดของ y เทา กับ k
• ถา k > 0 จดุ ตํา่ สุดหรอื จดุ สงู สุดของกราฟ จะอยูเ หนือแกน X
• ถา k < 0 จุดตาํ่ สดุ หรือจดุ สงู สุดของกราฟ จะอยูใตแ กน X
3) กราฟของสมการ y = ax2 + k เปนภาพทไ่ี ดจ ากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ y = ax2 โดย
• ถา k > 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเล่อื นขนานตามแนวแกน Y ข้นึ ไป เปนระยะ k หนว ย
• ถา k < 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลอ่ื นขนานตามแนวแกน Y ลงมา เปน ระยะ |k| หนวย

ขนั้ การปฏิบัตแิ ละประยุกตใชค วามรู
1. ครูใหน กั เรียนทุกคนทาํ แบบฝก หดั เพ่ือตรวจสอบความเขา ใจเปนรายบคุ คล

จงเขียนกราฟของสมการ y = 4x2 + 1 และ y = -4x2 + 1 โดยใชแ กนคเู ดียวกัน และตอบ
คําถามตอ ไปนี้

1) กราฟทงั้ สองมีเสนตรงใดเปนแกนสมมาตร
2) จุดตํ่าสุดหรอื จดุ สงู สดุ ของแตละกราฟเปน จุดใด
3) คาต่าํ สดุ หรือคา สูงสดุ ของ y ในแตล ะสมการเปน เทา ใด
2. ครูคอยดูแลชว ยเหลอื นักเรียนเปน รายบคุ คล คอยกระตุนความคดิ นักเรยี นและใชว าจาเสริมแรงแก
นกั เรยี น
3. เมอื่ นกั เรยี นทําเสร็จแลว ครตู รวจสอบคําตอบ
4. ครปู ระเมินผลการเรียนรู
คาบท่ี 7-8
ข้ันทบทวนความรเู ดมิ
1. ครูกลาวทกั ทายนกั เรียน
ครูใหนักเรียนนั่งสมาธิกอนเริ่มเรียน 3 นาที จากนั้นครูทบทวนเก่ียวกับกราฟของ y = ax2 + k เมื่อ a ≠
0 ดังน้ี
1) กราฟเปนพาราโบลาทเี่ ปนรปู สมมาตร โดยมแี กน Y เปนแกนสมมาตร

• ถา a > 0 กราฟจะมีลกั ษณะเปนพาราโบลาหงาย ซ่ึงกราฟจะมีจดุ ต่ําสดุ แตไมมีจดุ สงู สุด
• ถา a < 0 กราฟจะมีลักษณะเปนพาราโบลาควา่ํ ซงึ่ กราฟจะมจี ดุ สงู สดุ แตไมมจี ดุ ตํา่ สุด
2) จุดตํ่าสดุ หรอื จดุ สงู ของกราฟอยูทจ่ี ดุ (0,k) คาต่ําสุดหรือคาสงู สุดของ y เทากบั k
• ถา k > 0 จุดตํ่าสุดหรือจดุ สูงสดุ ของกราฟ จะอยูเหนือแกน X
• ถา k < 0 จดุ ต่าํ สดุ หรอื จดุ สงู สุดของกราฟ จะอยูใตแ กน X
3) กราฟของสมการ y = ax2 + k เปน ภาพทไ่ี ดจ ากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ y = ax2 โดย
• ถา k > 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลอ่ื นขนานตามแนวแกน Y ขนึ้ ไป เปน ระยะ k หนว ย
• ถา k < 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลอ่ื นขนานตามแนวแกน Y ลงมา เปน ระยะ |k| หนว ย
ขั้นการแสวงหาความรูใหม
1. ครใู หน ักเรยี นทํากจิ กรรมสํารวจกราฟของ y = a(x – h)2 เม่อื a ≠ 0
2. ครใู หนกั เรยี นออกมานาํ เสนอผลการสํารวจ
ข้ันการศึกษาทาํ ความเขา ใจขอมูล
1. ครแู ละนักเรยี นรวมกันสรปุ ความรูที่ไดจ ากการทํากิจกรรม ดงั นี้
จากกิจกรรม สาํ รวจกราฟของ y = a(x – h)2 เม่อื a ≠ 0 จะเห็นวา คําตอบที่ไดเปน ไปตามลกั ษณะ
ท่วั ไปของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 เมือ่ a ≠ 0 ดงั น้ี
1) กราฟเปนพาราโบลาท่เี ปน รปู สมมาตร โดยมีเสนตรง x = h เปน แกนสมมาตร

• ถา a > 0 กราฟจะมีลักษณะเปน พาราโบลาหงาย ซ่งึ กราฟจะมจี ดุ ตาํ่ สุด แตไมมจี ุดสูงสุด
• ถา a < 0 กราฟจะมีลักษณะเปน พาราโบลาควาํ่ ซง่ึ กราฟจะมีจดุ สงู สดุ แตไมมีจดุ ต่าํ สดุ
2) จุดต่ําสดุ หรอื จดุ สงู ของกราฟอยูทจี่ ดุ (h,0) คาตํา่ สุดหรือคา สงู สดุ ของ y เทา กบั 0
• ถา h > 0 จดุ ตาํ่ สดุ หรือจุดสงู สุดของกราฟ จะอยูทางขวาของแกน Y

• ถา h < 0 จุดตํ่าสดุ หรือจุดสงู สดุ ของกราฟ จะอยูทางซายของแกน Y
3) กราฟของสมการ y = a(x – h)2 เปนภาพท่ไี ดจากการเลอื่ นขนานกราฟของสมการ y = ax2 โดย
• ถา h > 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลอื่ นขนานตามแนวแกน X ไปทางขวา
เปนระยะ h หนวย
• ถา h < 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลอ่ื นขนานตามแนวแกน X ไปทางซาย
เปนระยะ |h| หนวย
2. ครูยกตวั อยา งการเขียนกราฟของสมการ y = a(x – h)2

ตวั อยางที่ 7 จงเขยี นกราฟของสมการ y = -2(x + 1)2
วธิ ที ํา พิจารณากราฟของสมการ y = -2(x + 1)2จะได
1. กราฟเปนพาราโบลาควํ่า ทีม่ เี สน ตรง x = -1 เปนแกนสมมาตร
2. จุดสูงสุดของกราฟ คือ จดุ (-1,0)
3. คาสูงสุดของ y คอื 0
4. หาพิกัดของจดุ ตาง ๆ ทอ่ี ยูบนขา งเดียวกันของแกนสมมาตร
x -1 0 1
y = -2(x + 1)2 0 -2 -8
เขียนเสนโคงเรียบผานจุดท่ีมีพิกัดดังในตาราง และเขียนเสนโคงเรียนที่สมมาตรกัน
อกี ขางหนง่ึ ของเสน ตรง x = -1 จะไดกราฟของสมการ y = -2(x + 1)2 ดงั นี้

ขัน้ การแลกเปลีย่ นความรคู วามเขาใจกับกลุม
1. ครูใหน ักเรียนทําแบบฝกหัด ดงั น้ี

จงเขียนกราฟของสมการตอ ไปนี้
1) y = (x + 1)2
2) y = -3(x - 1)2
2. ครูคอยดูแลชวยเหลือนักเรียนเปนรายบุคคล คอยกระตุนความคิดนักเรียนและใชวาจาเสริมแรงแก
นกั เรียน
3. เม่ือนกั เรียนทาํ เสร็จแลว ใหนกั เรยี นรวมกันเฉลยคําตอบ โดยมคี รูคอยตรวจสอบคาํ ตอบ
ขนั้ การสรุปและจัดระเบียบความรู
ครแู ละนกั เรียนรวมกนั สรปุ เก่ียวกบั กราฟของสมการ y = a(x – h)2 เมอื่ a ≠ 0 ดังน้ี
1) กราฟเปนพาราโบลาท่เี ปน รูปสมมาตร โดยมเี สนตรง x = h เปนแกนสมมาตร

• ถา a > 0 กราฟจะมลี ักษณะเปนพาราโบลาหงาย ซ่ึงกราฟจะมีจดุ ตา่ํ สุด แตไมมจี ดุ สูงสุด
• ถา a < 0 กราฟจะมลี กั ษณะเปน พาราโบลาควา่ํ ซงึ่ กราฟจะมีจดุ สงู สดุ แตไมม ีจุดตา่ํ สดุ
2) จุดตา่ํ สดุ หรอื จดุ สูงของกราฟอยูทจ่ี ุด (h,0) คาต่าํ สุดหรือคาสูงสุดของ y เทากบั 0
• ถา h > 0 จุดตํา่ สุดหรอื จุดสูงสดุ ของกราฟ จะอยูทางขวาของแกน Y
• ถา h < 0 จุดตํ่าสดุ หรอื จุดสูงสุดของกราฟ จะอยูทางซา ยของแกน Y
3) กราฟของสมการ y = a(x – h)2 เปน ภาพทไ่ี ดจ ากการเลือ่ นขนานกราฟของสมการ y = ax2 โดย
• ถา h > 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเล่ือนขนานตามแนวแกน X ไปทางขวา

เปนระยะ h หนวย
• ถา h < 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลอ่ื นขนานตามแนวแกน X ไปทางซา ย

เปนระยะ |h| หนว ย
ขัน้ การปฏบิ ัตแิ ละประยุกตใ ชความรู
1. ครใู หน กั เรยี นทุกคนทาํ แบบฝก หดั เพื่อตรวจสอบความเขาใจเปนรายบคุ คล

จงเขยี นกราฟของสมการ y = 4(x – 2)2 และ y = -4(x – 2)2 โดยใชแกนคเู ดียวกนั และตอบ
คําถามตอ ไปนี้

1) กราฟท้ังสองมีเสนตรงใดเปน แกนสมมาตร
2) จดุ ตาํ่ สดุ หรือจุดสูงสุดของแตละกราฟเปนจดุ ใด
3) คาตาํ่ สุดหรือคา สูงสุดของ y ในแตล ะสมการเปนเทาใด
2. ครคู อยดแู ลชวยเหลอื นกั เรียนเปนรายบุคคล คอยกระตุนความคดิ นักเรยี นและใชวาจาเสรมิ แรงแก
นกั เรียน
3. เม่อื นกั เรียนทําเสร็จแลว ครตู รวจสอบคาํ ตอบ
4. ครปู ระเมินผลการเรยี นรู

คาบที่ 9-10
ขัน้ ทบทวนความรูเ ดิม
1. ครกู ลา วทกั ทายนกั เรยี น
ครูใหน กั เรียนนง่ั สมาธกิ อ นเริ่มเรยี น 3 นาที จากนนั้ ครูทบทวนเกย่ี วกับกราฟของสมการ y = a(x – h)2
เม่ือ a ≠ 0 ดงั นี้

1) กราฟเปน พาราโบลาทเี่ ปน รปู สมมาตร โดยมีเสน ตรง x = h เปนแกนสมมาตร
• ถา a > 0 กราฟจะมลี กั ษณะเปน พาราโบลาหงาย ซ่ึงกราฟจะมีจุดตาํ่ สดุ แตไมมจี ุดสูงสุด
• ถา a < 0 กราฟจะมลี กั ษณะเปนพาราโบลาคว่าํ ซึง่ กราฟจะมีจุดสูงสดุ แตไมม ีจดุ ตาํ่ สุด

2) จุดตํา่ สุดหรอื จุดสูงของกราฟอยูท่จี ดุ (h,0) คา ตา่ํ สุดหรอื คาสงู สดุ ของ y เทากบั 0
• ถา h > 0 จุดตาํ่ สุดหรือจุดสูงสดุ ของกราฟ จะอยูทางขวาของแกน Y
• ถา h < 0 จุดตํ่าสุดหรือจุดสงู สดุ ของกราฟ จะอยูทางซายของแกน Y

3) กราฟของสมการ y = a(x – h)2 เปน ภาพท่ีไดจากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ y = ax2 โดย
• ถา h > 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเล่ือนขนานตามแนวแกน X ไปทางขวา
เปนระยะ h หนวย
• ถา h < 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลอื่ นขนานตามแนวแกน X ไปทางซาย
เปน ระยะ |h| หนว ย

ข้ันการแสวงหาความรูใหม
1. ครูใหน ักเรียนทาํ กิจกรรมสํารวจกราฟของ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0
2. ครใู หนักเรียนออกมานาํ เสนอผลการสาํ รวจ
ขน้ั การศึกษาทาํ ความเขาใจขอ มูล
1. ครแู ละนกั เรียนรวมกันสรปุ ความรทู ี่ไดจากการทํากจิ กรรม ดังนี้

จากกิจกรรม สาํ รวจกราฟของ y = a(x – h)2 + k เม่ือ a ≠ 0 จะเหน็ วา คําตอบทีไ่ ดเ ปนไปตาม
ลักษณะท่ัวไปของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ่ื a ≠ 0 ดงั น้ี

1) กราฟเปน พาราโบลาทเ่ี ปนรูปสมมาตร โดยมีเสน ตรง x = h เปน แกนสมมาตร
• ถา a > 0 กราฟจะมลี ักษณะเปน พาราโบลาหงาย ซ่งึ กราฟจะมีจดุ ต่ําสุด แตไมมีจุดสงู สุด
• ถา a < 0 กราฟจะมลี ักษณะเปน พาราโบลาควํา่ ซง่ึ กราฟจะมีจดุ สงู สดุ แตไมมจี ุดตํา่ สุด

2) จุดตํ่าสุดหรอื จุดสูงของกราฟอยูท่จี ุด (h,k) คาต่าํ สดุ หรอื คาสูงสดุ ของ y เทา กบั k
• ถา h > 0 และ k > 0 จดุ ตา่ํ สุดหรือจุดสูงสดุ ของกราฟ จะอยทู างขวาของแกน Y และอยูเหนอื
แกน X หรือกลาวไดว า จดุ ตํ่าสดุ หรือจุดสงู สดุ ของกราฟอยใู นจตุภาคท่ี 1
• ถา h < 0 และ k > 0 จุดต่ําสดุ หรอื จดุ สงู สดุ ของกราฟ จะอยทู างซายของแกน Y และอยเู หนอื
แกน X หรือกลา วไดวา จดุ ตํ่าสุดหรือจดุ สงู สดุ ของกราฟอยูในจตุภาคท่ี 2
• ถา h < 0 และ k < 0 จดุ ตาํ่ สดุ หรือจุดสูงสุดของกราฟ จะอยูทางซายของแกน Y และอยูใ ตแ กน
X หรือกลา วไดว า จดุ ตา่ํ สุดหรือจดุ สูงสดุ ของกราฟอยใู นจตุภาคที่ 3

• ถา h > 0 และ k < 0 จดุ ต่าํ สุดหรือจดุ สูงสุดของกราฟ จะอยทู างขวาของแกน Y และอยูใ ตแ กน
X หรอื กลาวไดว า จุดต่ําสดุ หรือจุดสูงสุดของกราฟอยใู นจตุภาคท่ี 4
3) กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เปน ภาพที่ไดจากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ y = ax2
โดย
• ถา h > 0 และ k > 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลอ่ื นขนานตามแนวแกน X ไปทางขวา
เปนระยะ h หนวย แลวเลอ่ื นขนานตามแนวแกน Y ขึ้นไป เปน ระยะ k หนวย
• ถา h < 0 และ k > 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเล่อื นขนานตามแนวแกน X ไปทางซาย
เปน ระยะ |h| หนวย แลว เลอ่ื นขนานตามแนวแกน Y ขึ้นไป เปน ระยะ k หนว ย
• ถา h < 0 และ k < 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลือ่ นขนานตามแนวแกน X ไปทางซา ย
เปนระยะ |h| หนวย แลว เลอื่ นขนานตามแนวแกน Y ลงมา เปนระยะ |k| หนวย
• ถา h > 0 และ k < 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเล่ือนขนานตามแนวแกน X ไปทางขวา
เปน ระยะ h หนวย แลว เลอื่ นขนานตามแนวแกน Y ลงมา เปน ระยะ |k| หนว ย
2. ครูยกตัวอยางการเขยี นกราฟของสมการ a(x – h)2 + k

ตัวอยางท่ี 8 จงเขยี นกราฟของสมการ y = -2(x +1)2 - 3
วธิ ที าํ พิจารณากราฟของสมการ y = -2(x +1)2 - 3จะได
1. กราฟเปน พาราโบลาหงาย ที่มเี สนตรง x = -1 เปน แกนสมมาตร
2. จดุ สงู สดุ ของกราฟ คือ จุด (-1,-3)
3. คา สูงสดุ ของ y คอื -3
4. หาพิกัดของจุดตาง ๆ ท่ีอยูบนขา งเดยี วกันของแกนสมมาตร
x -1 0 1
y = -2(x +1)2 - 3 -3 -5 -11
เขียนเสนโคงเรียบผานจุดที่มีพิกัดดังในตาราง และเขียนเสนโคงเรียนท่ีสมมาตรกัน
อกี ขางหนงึ่ ของเสนตรง x = -1 จะไดกราฟของสมการ y = -2(x +1)2 – 3 ดังนี้

ขัน้ การแลกเปลีย่ นความรคู วามเขาใจกับกลุม
1. ครูใหนกั เรยี นทาํ แบบฝก หัด ดังนี้

จงเขยี นกราฟของสมการตอ ไปน้ี
1) y = -(x + 1)2 – 3
2) y = 4(x - 1)2 – 2
2. ครูคอยดูแลชวยเหลือนักเรียนเปนรายบุคคล คอยกระตุนความคิดนักเรียนและใชวาจาเสริมแรงแก
นกั เรยี น
3. เมอื่ นกั เรยี นทําเสร็จแลว ใหนักเรียนรวมกันเฉลยคําตอบ โดยมีครูคอยตรวจสอบคําตอบ
ขน้ั การสรุปและจัดระเบยี บความรู
ครแู ละนกั เรียนรว มกันสรุปเกี่ยวกบั กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เม่อื a ≠ 0 ดงั นี้
1) กราฟเปนพาราโบลาทเ่ี ปนรูปสมมาตร โดยมีเสนตรง x = h เปน แกนสมมาตร

• ถา a > 0 กราฟจะมลี กั ษณะเปน พาราโบลาหงาย ซึ่งกราฟจะมีจดุ ตํา่ สุด แตไมมจี ุดสูงสุด
• ถา a < 0 กราฟจะมีลักษณะเปน พาราโบลาคว่ํา ซ่ึงกราฟจะมีจดุ สูงสุด แตไมม จี ุดตํ่าสุด
2) จดุ ต่าํ สุดหรอื จดุ สงู ของกราฟอยูท่ีจุด (h,k) คา ต่ําสุดหรอื คาสงู สดุ ของ y เทากับ k
• ถา h > 0 และ k > 0 จดุ ตํ่าสดุ หรือจุดสูงสดุ ของกราฟ จะอยูทางขวาของแกน Y และอยเู หนือ

แกน X หรือกลาวไดวา จุดตํ่าสุดหรอื จดุ สูงสดุ ของกราฟอยูในจตุภาคที่ 1
• ถา h < 0 และ k > 0 จุดต่ําสุดหรอื จุดสูงสดุ ของกราฟ จะอยทู างซายของแกน Y และอยูเ หนือ

แกน X หรอื กลา วไดวา จุดต่ําสุดหรือจุดสูงสดุ ของกราฟอยูในจตุภาคที่ 2
• ถา h < 0 และ k < 0 จุดต่ําสุดหรือจดุ สูงสุดของกราฟ จะอยทู างซา ยของแกน Y และอยใู ตแกน

X หรอื กลาวไดวา จดุ ตํ่าสุดหรอื จุดสงู สุดของกราฟอยูในจตุภาคท่ี 3
• ถา h > 0 และ k < 0 จุดตํ่าสุดหรือจุดสงู สดุ ของกราฟ จะอยทู างขวาของแกน Y และอยูใตแกน

X หรือกลาวไดว า จุดตํ่าสุดหรือจดุ สงู สดุ ของกราฟอยใู นจตุภาคที่ 4
3) กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เปน ภาพท่ีไดจากการเลือ่ นขนานกราฟของสมการ y = ax2

โดย
• ถา h > 0 และ k > 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลือ่ นขนานตามแนวแกน X ไปทางขวา

เปน ระยะ h หนว ย แลว เลื่อนขนานตามแนวแกน Y ขนึ้ ไป เปนระยะ k หนวย
• ถา h < 0 และ k > 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลอ่ื นขนานตามแนวแกน X ไปทางซาย

เปนระยะ |h| หนวย แลวเลอื่ นขนานตามแนวแกน Y ขึ้นไป เปนระยะ k หนวย
• ถา h < 0 และ k < 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลอ่ื นขนานตามแนวแกน X ไปทางซา ย

เปนระยะ |h| หนว ย แลว เลือ่ นขนานตามแนวแกน Y ลงมา เปน ระยะ |k| หนว ย
• ถา h > 0 และ k < 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลอ่ื นขนานตามแนวแกน X ไปทางขวา

เปน ระยะ h หนวย แลวเลื่อนขนานตามแนวแกน Y ลงมา เปนระยะ |k| หนว ย
ขั้นการปฏิบัติและประยุกตใ ชค วามรู
1. ครูใหน กั เรียนทุกคนทาํ แบบฝกหดั เพ่อื ตรวจสอบความเขา ใจเปนรายบุคคล

จงเขียนกราฟของสมการตอ ไปน้ี
1) y = -3(x + 1)2 + 3
2) y = (x + 2)2 +2
2. ครูคอยดแู ลชว ยเหลอื นักเรียนเปน รายบุคคล คอยกระตุนความคิดนักเรียนและใชว าจาเสริมแรงแก
นกั เรียน
3. เม่ือนกั เรยี นทําเสร็จแลว ครูตรวจสอบคาํ ตอบ
4. ครูประเมนิ ผลการเรียนรู
คาบท่ี 11-12
ขน้ั ทบทวนความรเู ดมิ
1. ครกู ลาวทกั ทายนักเรยี น
2. ครูใหน กั เรยี นนง่ั สมาธิกอนเริ่มเรยี น 3 นาที จากน้ันครูทบทวนเก่ียวกับกราฟของสมการ
y = a(x – h)2 + k เมอื่ a ≠ 0 ดงั น้ี
1) กราฟเปนพาราโบลาท่เี ปนรปู สมมาตร โดยมเี สน ตรง x = h เปนแกนสมมาตร
• ถา a > 0 กราฟจะมลี กั ษณะเปนพาราโบลาหงาย ซึง่ กราฟจะมจี ุดต่าํ สุด แตไมมจี ุดสงู สุด
• ถา a < 0 กราฟจะมีลกั ษณะเปนพาราโบลาควาํ่ ซง่ึ กราฟจะมีจดุ สงู สดุ แตไมม ีจุดตํ่าสุด
2) จุดตา่ํ สดุ หรือจุดสงู ของกราฟอยูท่จี ดุ (h,k) คาต่าํ สุดหรอื คา สงู สดุ ของ y เทา กบั k
• ถา h > 0 และ k > 0 จุดตํา่ สุดหรอื จุดสงู สดุ ของกราฟ จะอยูท างขวาของแกน Y และอยเู หนอื
แกน X หรอื กลาวไดวา จดุ ตํ่าสดุ หรอื จดุ สงู สุดของกราฟอยใู นจตภุ าคที่ 1
• ถา h < 0 และ k > 0 จุดตาํ่ สดุ หรอื จุดสงู สดุ ของกราฟ จะอยทู างซา ยของแกน Y และอยูเหนอื
แกน X หรอื กลา วไดวา จุดต่ําสดุ หรือจดุ สูงสดุ ของกราฟอยูในจตภุ าคท่ี 2
• ถา h < 0 และ k < 0 จดุ ตาํ่ สดุ หรือจดุ สูงสดุ ของกราฟ จะอยทู างซายของแกน Y และอยใู ตแกน
X หรือกลา วไดว า จุดต่าํ สุดหรอื จุดสูงสดุ ของกราฟอยใู นจตุภาคที่ 3
• ถา h > 0 และ k < 0 จุดตา่ํ สดุ หรอื จุดสงู สุดของกราฟ จะอยูทางขวาของแกน Y และอยูใตแ กน
X หรือกลา วไดวา จุดตํ่าสดุ หรอื จดุ สงู สดุ ของกราฟอยูในจตุภาคที่ 4
3) กราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เปนภาพทีไ่ ดจ ากการเล่ือนขนานกราฟของสมการ y = ax2
โดย
• ถา h > 0 และ k > 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเล่ือนขนานตามแนวแกน X ไปทางขวา
เปน ระยะ h หนว ย แลวเลื่อนขนานตามแนวแกน Y ข้นึ ไป เปน ระยะ k หนว ย
• ถา h < 0 และ k > 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลือ่ นขนานตามแนวแกน X ไปทางซาย
เปนระยะ |h| หนวย แลว เล่ือนขนานตามแนวแกน Y ขน้ึ ไป เปนระยะ k หนวย
• ถา h < 0 และ k < 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลือ่ นขนานตามแนวแกน X ไปทางซาย
เปน ระยะ |h| หนวย แลวเล่ือนขนานตามแนวแกน Y ลงมา เปน ระยะ |k| หนว ย
• ถา h > 0 และ k < 0 กราฟของสมการ y = ax2 จะเลื่อนขนานตามแนวแกน X ไปทางขวา
เปนระยะ h หนว ย แลว เล่อื นขนานตามแนวแกน Y ลงมา เปนระยะ |k| หนวย

ขัน้ การแสวงหาความรูใ หม
ครูเขียนสมการ y = 3x2 - 6x + 5 บนกระดาน แลวใหนักเรียนชวยกันเขียนสมการใหอยูในรูป
y = a(x – h)2 + k
ข้นั การศกึ ษาทําความเขาใจขอมูล
1. ครยู กตวั อยา งการเขยี นกราฟของสมการ y = ax2 +bx + c

ตัวอยา งที่ 9 จงเขียนกราฟของสมการ y = 3x2 - 6x + 5
วิธที ํา เขยี นสมการใหอยูในรปู y = a(x – h)2 + k ไดด ังน้ี
y = 3x2 - 6x + 5
= 3(x2 -2x) + 5
= 3{[x2- 2(x)(1) + 12] – 12} + 5
= 3[(x – 1)2 – 1] + 5
= 3(x – 1)2 - 3(1) + 5
= 3(x – 1)2 + 2
พจิ ารณากราฟของสมการ y = 3(x – 1)2 + 2 จะได
1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย ที่มีเสนตรง x = 1 เปนแกนสมมาตร
2. จุดสงู สดุ ของกราฟ คือ จุด (1,2)
3. คา สูงสุดของ y คือ 2
4. หาพกิ ัดของจดุ ตาง ๆ ท่ีอยูบนขา งเดียวกันของแกนสมมาตร
x -1 0 1
y = 3(x – 1)2 + 2 14 5 2
เขียนเสนโคงเรียบผานจุดท่ีมีพิกัดดังในตาราง และเขียนเสนโคงเรียนท่ีสมมาตรกัน
อีกขางหนึ่ง
ของเสนตรง
x = 1 จะได
กราฟของ
สมการ y =
3(x – 1)2 +
2 ดงั นี้

ตวั อยา งท่ี 10 จงเขียนกราฟของสมการ y = -2x2 - 12x – 17
วธิ ที ํา เขียนสมการใหอยใู นรปู y = a(x – h)2 + k ไดด ังนี้
y = -2x2 - 12x – 17
= -2(x2 + 6x) – 17
= -2{[x2 + 2(x)(3) + 32] – 32} – 17
= -2[(x + 3)2 – 9] – 17
= -2(x + 3)2 - (-2)(9) – 17
= -2(x + 3)2 + 1
พจิ ารณากราฟของสมการ y = -2x2 - 12x – 17 จะได
1. กราฟเปนพาราโบลาหงาย ทีม่ เี สนตรง x = -3 เปนแกนสมมาตร
2. จดุ สูงสดุ ของกราฟ คือ จดุ (-3,1)
3. คาสูงสุดของ y คือ 1
4. หาพิกดั ของจุดตาง ๆ ทอ่ี ยูบนขางเดยี วกันของแกนสมมาตร

x -3 -2 -1
y = -2x2 - 12x – 17 1 -1 -7
เขียนเสนโคงเรียบผานจุดท่ีมีพิกัดดังในตาราง และเขียนเสนโคงเรียนท่ีสมมาตรกัน
อีกขา งหนง่ึ ของเสน ตรง x = -3 จะไดก ราฟของสมการ y = -2x2 - 12x – 17 ดงั น้ี

ข้ันการแลกเปล่ยี นความรูความเขา ใจกบั กลุม
1. ครใู หนักเรยี นทาํ แบบฝก หัด ดงั นี้

จงเขยี นกราฟของสมการตอไปน้ี
1) y = x2 + 6x + 8
2) y = -x2 – 4x – 2
2. ครูคอยดูแลชวยเหลือนักเรียนเปนรายบุคคล คอยกระตุนความคิดนักเรียนและใชวาจาเสริมแรงแก
นกั เรียน
3. เม่อื นักเรียนทําเสรจ็ แลว ใหน กั เรยี นรว มกนั เฉลยคําตอบ โดยมีครคู อยตรวจสอบคาํ ตอบ
ขน้ั การสรุปและจัดระเบียบความรู
ครแู ละนักเรยี นรวมกนั สรปุ เกี่ยวกับพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 +bx + c เมอื่ a ≠ 0 ดงั น้ี
1) จดั รูปสมการ y = ax2 +bx + c ใหอ ยใู นรูป y = a(x – h)2 + k
2) พจิ ารณากราฟของพาราโบลา

- พจิ ารณาวา เปน พาราโบลาหงายหรือพาราโบลาคว่าํ โดยดจู ากคา a ในสมการ
- หาแกนสมมาตร
- หาจุดสงู สดุ หรือจดุ ต่ําสุดของกราฟ
- หาพิกดั ของจุดตา ง ๆ ทอ่ี ยบู นขางเดียวกันของแกนสมมาตร
3) เขียนเสน โคงเรียบผานจดุ ท่มี พี ิกดั ของจดุ ตา ง ๆ
ขั้นการปฏบิ ัตแิ ละประยุกตใชความรู
1. ครูใหน กั เรยี นทุกคนทําแบบฝกหดั เพ่อื ตรวจสอบความเขา ใจเปนรายบคุ คล
จงเขยี นกราฟของสมการตอ ไปนี้
1) y = x2 + 4x + 8
2) y = -22 + 12x – 6
2. ครคู อยดแู ลชวยเหลือนกั เรยี นเปน รายบุคคล คอยกระตุนความคดิ นักเรียนและใชวาจาเสริมแรงแก
นกั เรยี น
3. เม่ือนกั เรยี นทําเสร็จแลว ครูตรวจสอบคําตอบ
4. ครปู ระเมินผลการเรียนรู
6. ส่อื แหลง การเรยี นร/ู ส่ือการเรยี นการสอน
1. หนงั สอื เรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรพน้ื ฐาน ม.3 เลม 1 (พว.)
2. ใบกจิ กรรม

7. การวัดและประเมินผล เคร่ืองมอื วดั วิธีวดั ผล เกณฑการวดั ผล
จุดประสงค - ถูกตองรอยละ 60
ดา นความรู นกั เรยี นสามารถ
1.ระบุลักษณะพรอมท้ังเขียน - แบบฝกหัด - ตรวจแบบฝก หัด อยใู นชวงคะแนน
กราฟของฟงกชันกําลังสองท่ีอยู 4 คะแนนขึ้นไป
ในรูป y = ax2, y = ax2 + k, อยูในชวงคะแนน
y = a(x – h)2, y = a(x – 4 คะแนนข้ึนไป
h)2+k และ y = ax2 + bx + c อยูในชว งคะแนน
เม่ือ a, b, c, h และ k เปนคา 4 คะแนนข้ึนไป
คงตวั ที่ a ≠ 0 ได
2. นําความรูเกี่ยวกับกราฟของ
ฟงกชันกําลังสองไปใชในการ
แกป ญหาได
ดา นทกั ษะ นกั เรียนสามารถ
1. แกป ญ หาได - แ บ บ สั ง เ ก ต ก า ร - สงั เกตพฤติกรรม
2. สื่อความหมายทาง แ ก ป ญ ห า แ ล ะ ก า ร
คณติ ศาสตรได ถามตอบ

ดา นคณุ ลกั ษณะ นกั เรียน
1. มีวินัย - แบบสงั เกต - การสังเกตพฤตกิ รรม
2. ใฝเรยี นรู พฤติกรรม - การตอบคาํ ถามในช้นั
เรยี น
ดานสมรรถนะ นักเรียน
1. มีความสามารถในการคิด - แบบสงั เกต - การสงั เกตพฤติกรรม
2. มคี วามสามารถในการ พฤติกรรม
แกป ญหา

8. ขอ เสนอแนะของหัวหนาสถานศกึ ษา หรือผูท่ไี ดรับมอบหมาย (ตรวจสอบ/นเิ ทศ/เสนอแนะ/รบั รอง)
…………………………………………………………………………………………………………………….…………….………….....................
..................................................................................................…….…………………………………………………………………
…………………………………………………...……………………………………………………………….………….....................................
..................................................................................………………………………………………………………………...……………

ลงช่ือ………........……………………………………….
(......…………....………………...……………….)

ตําแหนง ….....………ค…ร…ูพ…เ่ี ล…้ยี …ง…………………...
วนั ที่………เดือน…….....……..พ.ศ…...…

9. บนั ทึกหลังการสอน
• ผลการสอน

..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

• ปญ หาและอปุ สรรค

..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................

• ขอ เสนอแนะ / แนวทางแกไข

..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

ลงช่ือ………........……………………………………….
( .)

ตําแหนง..น...ัก..ศ...ึก..ษ...า..ฝ..ก.…ป…ระ…ส…บ…ก…าร…ณ…ส…อ…น…วชิ …า…ช…ีพ…คร..ู
วันที่………เดอื น…….....……..พ.ศ…...…

แบบสัง

ลาํ ดบั ชอ่ื - สกลุ ดา นทกั ษะ
ท่ี สอ่ื ความ
การแกปญหา ทางคณติ

432143

งเกตพฤตกิ รรม

ดา นคณุ ลักษณะ ดา นสมรรถนะ
มหมาย ความสามารถ ความสามารถ
ตศาสตร มวี นิ ยั ใฝเรยี นรู ในการคดิ ในการแกปญ หา

214321432143214321

ลงชอื่ ................................................................ผูประเมิน

..................../....................../.................

เกณฑการใหค ะแนน ให 4 คะแนน
ปฏบิ ตั หิ รอื แสดงพฤติกรรมอยางสม่าํ เสมอ ให 3 คะแนน
ปฏบิ ตั หิ รือแสดงพฤตกิ รรมบอยครงั้ ให 2 คะแนน
ปฏบิ ัตหิ รอื แสดงพฤติกรรมบางครั้ง ให 1 คะแนน
ปฏบิ ัติหรอื แสดงพฤติกรรมนอยครั้ง

เกณฑการตัดสนิ คุณภาพดานทักษะ
ชว งคะแนน ระดับคณุ ภาพ
8 ดีมาก
6 - 7 ดี
4 - 5 พอใช
ต่ํากวา 3 ปรับปรุง

เกณฑการตดั สนิ คณุ ภาพดานคุณลกั ษณะ
ชว งคะแนน ระดบั คุณภาพ
8 ดมี าก
6 - 7 ดี
4 - 5 พอใช
ต่าํ กวา 3 ปรับปรงุ

เกณฑก ารตัดสนิ คุณภาพดา นสมรรถนะ
ชวงคะแนน ระดับคุณภาพ
8 ดีมาก
6 - 7 ดี
4 - 5 พอใช
ตา่ํ กวา 3 ปรบั ปรุง

กิจกรรมสาํ รวจกราฟของ y = ax2 เมอื่ a ≠ 0

ขัน้ ตอนการทํากิจกรรม
ตอนที่ 1 กราฟของ y = ax2 เม่อื a ≠ 0

1. ใหนักเรียนศึกษาการเขียนกราฟของพาราโบลาที่กาํ หนดดวยสมการ y = ax2 เม่อื a = 1 ดงั ตอไปนี้
จาก y = ax2 เมอื่ a = 1 จะได y = x2 เมือ่ กาํ หนดคา x และหาคา y จากสมการ y = x2 จะไดด งั ใน
ตาราง

x -2.5 -2 -1 0 0.5 0.8 1 1.2 1.5 2 2.5
y = x2 6.25 4 1 0 0.25 0.64 1 1.44 2.25 4 6.25
เมื่อนําคูอันดับจากตาราง คือ (-2.5, 6.25), (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (0.5, 0.25), (0.8, 0.64), (1, 1),
(1.2, 1.44), (1.5, 2.25), (2, 4) และ (2.5, 6.25) มาเขยี นกราฟ จะไดกราฟของคอู ันดบั เปน ดงั น้ี

นกั เรยี นจะเหน็ วา กราฟท่ีไดเปน เพียงจุดบางจุด ทง้ั นเี้ พราะวาคา x ทกี่ ําหนดในตารางเปนเพียงบางคา ทเ่ี ลือกมา
ดังน้ัน เม่ือแทน x ในสมการ y = x2 ดว ยจาํ นวนจรงิ ใด ๆ เพ่อื หาคา y จุดท้ังหมดท่เี กิดจากคูอนั ดับ (x, y) ที่
สอดคลอ งกบั สมการ จะเรยี งกันเปน โคงเรยี บซงึ่ เปนกราฟของพาราโบลาทีก่ ําหนดดว ยสมการ y = x2 ดงั รูป

2. ใหนกั เรยี นพจิ ารณาสมการของพาราโบลาและกราฟทีไ่ ดในขอ 1. แลว ตอบคาํ ถามตอ ไปนี้
1) กราฟของสมการ y = x2 มลี ักษณะเปนพาราโบลาหงายหรอื พาราโบลาควา่ํ
......................................................................................................................................................................
2) ถาให x = 3 แลวคา y เปน เทา ใด
......................................................................................................................................................................
3) ถา ให x = -3 แลว คา y เปนเทาใด
......................................................................................................................................................................
4) ถา ให y = 4 แลวคา x เปน เทา ใด
......................................................................................................................................................................
5) กราฟของสมการ y = x2 เปน รูปสมมาตรหรอื ไม ถา เปน มีเสนตรงใดเปนแกนสมมาตร
......................................................................................................................................................................
6) ถา x > 0 และมคี าเพ่มิ ขึน้ เรอ่ื ย ๆ แลวคา y จะเปลย่ี นแปลงอยา งไร
......................................................................................................................................................................
7) ถา x = 0 แลวคา y เปน เทาใด
......................................................................................................................................................................
8) ถา x < 0 และมีคา ลดลงเรื่อย ๆ แลว คา y จะเปลีย่ นแปลงอยา งไร
......................................................................................................................................................................

9) คา ตํา่ สุดของ y เปน เทาใด และไดมาจากคา x ใด
......................................................................................................................................................................
10) คา สงู สุดของ y มีหรอื ไม เพราะเหตุใด
......................................................................................................................................................................

ตอนที่ 2 กราฟของ y = ax2 เมื่อ a > 0

ใหนกั เรยี นพจิ ารณากราฟของสมการ y = 2x2 และ y = 1 x2 โดยผา นการทํากิจกรรมตามลาํ ดับ ดงั นี้
2

1. กาํ หนดคา x ดังในตาราง ใหนักเรียนเตมิ คา y ทีส่ อดคลองกับสมการท่ีกําหนดใหลงตารางใหถูกตอ ง

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = 2x2
1 x2
y = 2

2. นําคูอ นั ดบั (x, y) จากตารางในขอ 1. มาเขียนกราฟของแตละสมการ โดยใชแ กนคูเ ดียวกันกบั กราฟของสมการ
y = x2 ท่ีกาํ หนดให

3. ใหน กั เรียนพิจารณาสมการของพาราโบลาและกราฟทไี่ ดในขอ 2. แลว ตอบคําถามตอ ไปน้ี
1) กราฟทัง้ สามมีเสน ตรงใดเปน แกนสมมาตร
.....................................................................................................................................................................
2) จดุ ตา่ํ สดุ ของแตละกราฟคือจุดใด และคาต่าํ สดุ ของ y ในแตละสมการเปนเทา ใด
.....................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
3) กราฟท้งั สามจะบานนอยหรอื บานมากขึ้นอยูกบั คา ใด อยางไร
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

ตอนท่ี 3 กราฟของ y = ax2 เมอื่ a < 0

ใหนกั เรยี นพิจารณากราฟของสมการ y = -x2 , y = -2x2 และ y = - 1 x2 โดยผานการทํากจิ กรรมตามลําดบั
2
ดงั นี้

1. กาํ หนดคา x ดังในตาราง ใหน ักเรียนเตมิ คา y ทส่ี อดคลองกับสมการที่กาํ หนดใหล งในตารางใหถ ูกตอง

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = -x2
y = -2x2
1 x2
y = - 2

2. นาํ คอู ันดบั (x, y) จากตารางในขอ 1. มาเขยี นกราฟของแตละสมการ โดยใชแ กนคเู ดียวกันท่ีกําหนดให

3. ใหนักเรียนพจิ ารณาสมการของพาราโบลาและกราฟที่ไดในขอ 2. แลวตอบคําถามตอ ไปนี้
1) กราฟทัง้ สามมีลักษณะเปน พาราโบลาหงายหรอื พาราโบลาคว่าํ
......................................................................................................................................................................
2) กราฟท้ังสามเปน รปู สมมาตรหรือไม ถาเปน มเี สน ตรงใดเปนแกนสมมาตร
......................................................................................................................................................................
3) ถา x > 0 และมคี าเพ่มิ ขึน้ เรื่อย ๆ แลวคา y จะเปล่ยี นแปลงอยา งไร
......................................................................................................................................................................
4) ถา x = 0 แลว คา y เปน เทาใด
......................................................................................................................................................................
5) ถา x < 0 และมีคาลดลงเร่ือย ๆ แลว คา y จะเปลี่ยนแปลงอยางไร
......................................................................................................................................................................

6) จดุ สงู สุดของแตละกราฟคือจุดใด และคา สูงสุดของ y ในแตละสมการเปนเทาใด
.....................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
7) คา สูงสุดของ y ไดม าจากคา x ใด
......................................................................................................................................................................
8) คา ตํ่าสดุ ของ y มีหรือไม เพราะเหตุใด
......................................................................................................................................................................
9) กราฟท้ังสามจะบานนอยหรือบานมากข้ึนอยูก ับคาใด อยางไร
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

กจิ กรรมสาํ รวจกราฟของ y = ax2 + k เม่ือ a ≠ 0

อุปกรณ
 กระดาษลอกลาย

ขน้ั ตอนการทํากจิ กรรม
ตอนที่ 1 กราฟของ y = ax2 + k เมื่อ a > 0

1. ใหนักเรยี นพิจารณากราฟของพาราโบลาที่กําหนดดวยสมการ y = ax2 + k เมื่อ a > 0 ดงั ตอไปนี้
กําหนดสมการของพาราโบลา y = 2x2, y = 2x2 + 2 และ y = 2x2 – 3 เม่ือเขยี นกราฟของสมการทง้ั
สามโดยใชแกนคเู ดียวกัน จะไดด งั รปู

2. จากสมการของพาราโบลาและกราฟที่ไดใ นขอ 1. ใหนักเรียนทาํ กิจกรรม และตอบคาํ ถามตอไปน้ี
1) นักเรียนคิดวา กราฟท้ังสามเสนเทากันทุกประการหรือไม หลังจากนั้นใหนํากระดาษลอกลายลอก

กราฟเสนหนึ่งเสนใดก็ได แลวนําไปซอนกับกราฟอีกสองเสนท่ีเหลือ เพ่ือตรวจสอบวาตรงกับส่ิงที่นักเรียนคิด
หรือไม

......................................................................................................................................................................
2) กราฟท้ังสามมีเสน ตรงใดเปน แกนสมมาตร
......................................................................................................................................................................
3) จุดตา่ํ สดุ ของแตล ะกราฟคือจุดใด และคาต่าํ สุดของ y ในแตล ะสมการเปน เทาใด
.....................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

4) จดุ ตาํ่ สุดของกราฟของสมการใดอยูเหนอื แกน X และจุดตาํ่ สดุ ของกราฟของสมการใดอยูใ ตแ กน X
.....................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
5) ถา ใหกราฟของสมการ y = 2x2 เปนรปู ตน แบบแลว กราฟของสมการ y = 2x2 + 2 และ y = 2x2 – 3
เปน ภาพท่ไี ดจ ากการเลือ่ นขนานกราฟของสมการ y = 2x2 อยางไร จงอธบิ าย
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

ตอนที่ 2 กราฟของ y = ax2 + k เมอื่ a < 0
1. ใหน ักเรียนพิจารณากราฟของพาราโบลาทก่ี ําหนดดวยสมการ y = ax2 + k เม่อื a < 0 ดงั ตอไปน้ี
กาํ หนดสมการของพาราโบลา y = -2x2, y = -2x2 + 2 และ y = -2x2 – 3เม่ือเขียนกราฟของสมการท้งั สามโดยใช
แกนคูเดียวกนั จะไดดังรปู

2. จากสมการของพาราโบลาและกราฟที่ไดใ นขอ 1. ใหน ักเรียนทาํ กจิ กรรม และตอบคําถามตอไปน้ี
1) นักเรียนคิดวา กราฟท้ังสามเสนเทากันทุกประการหรือไม หลังจากนั้นใหนํากระดาษลอกลายลอก

กราฟเสนหน่ึงเสนใดก็ได แลวนําไปซอนกับกราฟอีกสองเสนท่ีเหลือ เพ่ือตรวจสอบวาตรงกับส่ิงที่นักเรียนคิด
หรือไม

......................................................................................................................................................................
2) กราฟทั้งสามมเี สนตรงใดเปนแกนสมมาตร
......................................................................................................................................................................

3) จุดสงู สุดของแตล ะกราฟคือจดุ ใด และคา สงู สุดของ y ในแตละสมการเปนเทาใด
.....................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
4) จุดสงู สดุ ของกราฟของสมการใดอยเู หนือแกน X และจุดสูงสดุ ของกราฟของสมการใดอยูใตแ กน X
.....................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
5) ถาใหกราฟของสมการ y = 2x2 เปนรูปตนแบบแลว กราฟของสมการ y = -2x2 + 2 และ
y = -2x2 – 3 เปนภาพที่ไดจ ากการเลอ่ื นขนานกราฟของสมการ y = -2x2 อยา งไร จงอธบิ าย
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

กจิ กรรมสํารวจกราฟของ y = a(x – h)2 เมอ่ื a ≠ 0

อปุ กรณ
 กระดาษลอกลาย

ขนั้ ตอนการทาํ กิจกรรม
1. ใหนักเรียนพิจารณากราฟของพาราโบลาทีก่ ําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 เมือ่ a > 0 ดงั ตอไปนี้
กําหนดสมการของพาราโบลา y = 2x2, y = 2(x – 3)2 และ y = 2(x + 4)2
เมอื่ เขยี นกราฟของสมการท้งั สามโดยใชแ กนคูเดียวกัน จะไดด งั รูป

2. จากสมการของพาราโบลาและกราฟท่ีไดใ นขอ 1. ใหนักเรียนทาํ กิจกรรม และตอบคําถามตอไปน้ี
1) นักเรียนคิดวา กราฟท้ังสามเสนเทากันทุกประการหรือไม หลังจากนั้นใหนํากระดาษลอกลายลอก

กราฟเสนหน่ึงเสนใดก็ได แลวนําไปซอนกับกราฟอีกสองเสนท่ีเหลือ เพ่ือตรวจสอบวาตรงกับส่ิงที่นักเรียนคิด
หรอื ไม

......................................................................................................................................................................
2) กราฟทัง้ สามมเี สน ตรงใดเปนแกนสมมาตร
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
3) จดุ ต่าํ สดุ ของแตละกราฟคือจุดใด และคา ตาํ่ สดุ ของ y ในแตละสมการเปนเทาใด
.....................................................................................................................................................................

4) จุดตํ่าสุดของกราฟของสมการใดอยูทางซายของแกน Y และจุดตํ่าสุดของกราฟของสมการใดอยู
ทางขวาของแกน Y

.....................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
5) ถาใหกราฟของสมการ y = 2x2 เปนรูปตนแบบแลว กราฟของสมการ y = 2(x – 3)2 และ
y = 2(x + 4)2 เปนภาพทไี่ ดจากการเลือ่ นขนานกราฟของสมการ y = 2x2 อยา งไร จงอธิบาย
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
6) นักเรียนคดิ วา กราฟของสมการ y = -2x2, y = -2(x – 3)2 และ y = -2(x + 4)2 มีจุดสูงสดุ ของแตละ
กราฟคอื จดุ ใด และคาสูงสดุ ของ y ในแตล ะสมการเปนเทาไร
.....................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
7) ถาใหกราฟของสมการ y = -2x2 เปนรูปตนแบบแลว กราฟของสมการ y = -2(x – 3)2 และ
y = -2(x + 4)2 เปนภาพทไี่ ดจ ากการเล่ือนขนานกราฟของสมการ y = -2x2 อยา งไร จงอธิบาย
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

กจิ กรรมสาํ รวจกราฟของ y = a(x – h)2 + k เม่อื a ≠ 0

อุปกรณ
 กระดาษลอกลาย

ขั้นตอนการทํากิจกรรม
1. ใหนกั เรยี นพจิ ารณากราฟของพาราโบลาท่ีกําหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมือ่ a > 0
ดังตอไปน้ี
กาํ หนดสมการของพาราโบลา y = 2(x – 1)2, y = 2(x – 1)2 + 2 และ y = 2(x – 1)2 – 3
เม่ือเขยี นกราฟของสมการทงั้ สามโดยใชแ กนคูเดยี วกนั จะไดด ังรปู

2. จาก สมการ
ของ
พาราโบลาและกราฟทไ่ี ดในขอ 1. ใหน กั เรยี นทาํ กจิ กรรม และตอบคําถามตอไปน้ี

1) นักเรียนคิดวา กราฟทั้งสามเสนเทากันทุกประการหรือไม หลังจากน้ันใหนํากระดาษลอกลายลอก
กราฟเสนหน่ึงเสนใดก็ได แลวนําไปซอนกับกราฟอีกสองเสนท่ีเหลือ เพ่ือตรวจสอบวาตรงกับส่ิงที่นักเรียนคิด
หรอื ไม

......................................................................................................................................................................
2) กราฟท้งั สามมีเสน ตรงใดเปนแกนสมมาตร
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

3) จดุ ตาํ่ สดุ ของแตละกราฟคือจดุ ใด และคา ตํา่ สดุ ของ y ในแตล ะสมการเปนเทาใด
.....................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
4) จุดตํา่ สุดของกราฟของสมการใดอยเู หนอื แกน X และจุดตาํ่ สุดของกราฟของสมการใดอยูใตแ กน X
.....................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
5) ถาใหกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 เปนรูปตนแบบแลว กราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 + 2 และ
y = 2(x – 1)2 – 3 เปนภาพทไ่ี ดจ ากการเลอื่ นขนานกราฟของสมการ y = 2(x – 1)2 อยา งไร จงอธิบาย
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
6) นักเรียนคิดวา กราฟของสมการ y = -2(x + 3)2, y = -2(x + 3)2 + 4 และ y = -2(x + 3)2 – 5
มีจุดสูงสดุ ของแตล ะกราฟคอื จุดใด และคาสูงสุดของ y ในแตละสมการเปนเทาไร
.....................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
7) ถาใหกราฟของสมการ y = -2(x + 3)2 เปนรูปตนแบบแลว กราฟของสมการ y = -2(x + 3)2 + 4
และ y = -2(x + 3)2 – 5 เปน ภาพทไี่ ดจ ากการเล่อื นขนานกราฟของสมการ y = -2(x + 3)2 อยา งไร จงอธบิ าย
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
8) ถาใหกราฟของสมการ y = a(x - h)2 เปนรูปตนแบบแลว กราฟของสมการ y = a(x - h)2 + k
เปนภาพที่ไดจากการเลอื่ นขนานกราฟของสมการ y = a(x - h)2 อยางไร จงอธบิ าย
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
9) ถาใหกราฟของสมการ y = ax2 เปนรูปตนแบบแลว กราฟของสมการ y = a(x - h)2 + k เปนภาพ
ทไี่ ดจากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ y = ax2 อยางไร จงอธบิ าย
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

กลุม สาระการเรยี นรูคณิตศาสตร แผนการจัดการเรียนรทู ่ี 3 รายวชิ า คณติ ศาสตร 5

ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 3 ภาคเรียนท่ี 1 ปการศึกษา 2564
หนว ยการเรยี นรู กราฟของฟงกชนั กําลังสอง เรอื่ ง โจทยปญหาของฟง กชนั กําลงั สอง
ครูผสู อน นาย ยศวรรธน แกว ชวย เวลา 1 คาบ

1. มาตรฐานการเรียนรูและตวั ชี้วดั
มาตรฐาน ค 1.2 เขาใจและวิเคราะหแบบรูป ความสัมพันธ ฟงกชัน ลําดับและอนุกรม และ

นําไปใช
ค 1.2 ม.3/2 เขา ใจและใชค วามรูเ กีย่ วกับฟงกชนั กาํ ลังสองในการแกปญหาคณติ ศาสตร

2. จดุ ประสงคก ารเรียนรู
• ดานความรู นักเรียนสามารถ
นําความรูเกยี่ วกบั กราฟของฟง กชันกาํ ลังสองไปใชใ นการแกปญหาได
• ดา นทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตร นักเรียนสามารถ
1. แกปญ หาได
2. สือ่ ความหมายทางคณติ ศาสตรได
• ดานคุณลักษณะ นกั เรยี น
1. มีวนิ ัย
2. ใฝเ รยี นรู
• ดานสมรรถนะ นักเรียน
1. มคี วามสามารถในการคดิ
2. มีความสามารถในการแกปญหา

3. สาระสาํ คัญ
จากความสัมพนั ธข องจุดยอด หรอื จุดต่ําสดุ หรอื จดุ สงู สุดของฟงกชันกําลังสอง สามารถนาํ ไปใช

ในการแกโ จทยปญหาเก่ยี วกับจํานวนได ซ่ึงข้นั ตอนการแกโ จทยป ญ หามีหลักการคลายกับการแกโ จทย
ปญหาทวั่ ไป คือ

1) วิเคราะหโ จทย
2) กาํ หนดคาตวั แปรท่โี จทยตองการ
3) เขยี นในรปู ความสัมพันธของฟงกชนั กําลังสอง
4) ดําเนินการแกปญหา
5) สรปุ ผลคาํ ตอบ

ฟงกชนั กําลังสองสามารถนําไปประยกุ ตใชแ กโ จทยปญ หาเกย่ี วกับพืน้ ท่ี ระยะทาง ความสงู หรอื

อน่ื ๆ ได

4. สาระการเรียนรู
กราฟของฟง กช นั กาํ ลงั สอง

5. กระบวนการจดั การเรียนรู ( 1 คาบ ) ( ใชแบบโมเดลซิปปา (CIPPA MODEL) )
ขั้นทบทวนความรูเดิม
1. ครูกลาวทักทายนกั เรยี น
2. ครูใหนักเรยี นนัง่ สมาธกิ อ นเริ่มเรียน 1 นาที จากนนั้ ครูทบทวนเกี่ยวกับการหาจุดยอด คาต่าํ สดุ หรอื
คา สงู สดุ ของฟงกช นั กําลังสองท่อี ยูในรูปท่ัวไป y = ax2 + bx + c โดยการจดั รูปกาํ ลังสองสมบูรณแ ละ

การใชส ตู ร (h, k) = �− b , 4ac4−ab2� และคาตา่ํ สดุ หรือคาสงู สุดของฟง กช ัน
2a
4ac−b2
คือ y = k = 4a

ขั้นการแสวงหาความรใู หม
ครยู กตวั อยา งโจทยส ถานการณป ญ หาใหนกั เรียนพิจารณา

1) ลงุ ไสวมที ดี่ นิ ตดิ รมิ คลองชลประทาน และตอ งการใชลวดหนามยาว 40 เมตร

ลอมรอบพน้ื ทรี่ ปู สเ่ี หลีย่ มมุมฉากสามดา น โดยดา นท่ีตดิ รมิ คลองชลประทานไมตอ งลอมร้ัว

ลุงไสวจะตองลอมอยางไรจึงจะไดพืน้ ที่มากที่สุด

คลองชลประทาน

ขนั้ การศึกษาทําความเขาใจขอ มูล
ครใู หนักเรยี นรว มกันพจิ ารณาโจทยสถานการณปญ หาโดยการนาํ ความรเู ก่ียวกบั ฟงกชนั กาํ ลังสองไป

เชอื่ มโยงใชในการแกป ญ หา พรอ มตอบคําถามกระตนุ ความคิด ดังนี้
• โจทยก ําหนดขอมูลใดมาให
(แนวคิดนักเรยี น ใชลวดหนามยาว 40 เมตร ลอมรอบพ้นื ท่รี ปู สี่เหลย่ี มมมุ ฉากสามดาน)
• โจทยตองการทราบสง่ิ ใด (แนวคิดนักเรยี น จะตองใชล วดหนามลอมอยางไรจึงจะไดพ้ืนท่ีมากทส่ี ดุ )

• กําหนดตัวแปรอยางไรจากขอมลู ทีโ่ จทยใหม า
(แนวคิดนักเรยี น ใหดานกวางของท่ดี นิ ที่จะลอมรว้ั ลวดหนามยาว x เมตร ดังนน้ั ดานยาวของทด่ี ิน
ทจ่ี ะลอมร้ัวลวดหนาม เปน 40 – 2x เมตร ใหพ้ืนท่ีของที่ดินทจ่ี ะลอมรั้วเทากบั y ตารางเมตร)
• เขียนในรูปความสมั พนั ธข องฟง กชันกําลงั สองอยางไร
(แนวคดิ นกั เรียน y = x(40 – 2x) นั่นคอื y = 40x – 2x2)
• ใชความรูใ ดในการหาพื้นท่ีท่มี ากทีส่ ุด
(แนวคิดนกั เรียน ใชความรูเก่ียวกับฟงกชนั กาํ ลงั สองในการหาคาสงู สดุ ของฟงกช นั )
• นักเรยี นสามารถหาคา สูงสุดของฟงกช ันไดอยางไร
วิธีทํา กาํ หนดใหด านกวางของทีด่ นิ ท่ีจะลอมรว้ั ลวดหนามยาว x เมตร
ดงั นน้ั ดา นยาวของทด่ี นิ ทีจ่ ะลอ มร้ัวลวดหนาม เปน 40 – 2x เมตร
ใหพ้นื ท่ีของท่ีดินท่ีจะลอมร้วั เทา กับ y ตารางเมตร
จะไดวา y = x(40 – 2x)
y = 40x – 2x2
จากสมการ y = 40x – 2x2 พบวา a = –2, b = =404แaลc4ะ–acb=2 0 ซงึ่ เปนพาราโบลาควาํ่
มจี ดุ ยอดที่ (h, k) ซง่ึ มคี าสูงสดุ ของฟง กชัน คือ k

จาก k = 4ac4–a b2
k = 4(–2)4(0(–) 2–) (40)2

k = –1–6800

k = 200
ดังนั้น จะไดพ้นื ท่ีของทด่ี ินมากท่สี ุด 200 ตารางเมตร
• จากสถานการณป ญหาขา งตน หากตองการทราบดานกวางของที่ดนิ สามารถหาไดอยางไร
(แนวคดิ นกั เรยี น เน่ืองจากความกวา งของที่ดิน คือ x สามารถหาไดจาก x = h = – 2ba = –2(4–02)
เทา กบั 10 เมตร)
ขัน้ การแลกเปลีย่ นความรคู วามเขา ใจกบั กลุม
1. ครใู หน ักเรียนจับสลากแบง กลมุ กลมุ ละ 4-5 คน (ภายใตห ลักการ Social Distancing)
2. ครูใหน ักเรยี นแตละกลมุ ทําใบกจิ กรรมท่ี 5.2 เรื่อง โจทยป ญหาของฟงกชนั กาํ ลงั สอง
3. ครูสุมนักเรียน 2-3 กลุม ออกมานําเสนอใบกิจกรรมที่ 5.2 โดยครูและนักเรียนท่ีเหลือในหองรวมกัน
ตรวจสอบความถกู ตอง

ขนั้ การสรปุ และจัดระเบยี บความรู
ครูและนักเรียนรวมกันสรุปเก่ียวกับการแกโจทยปญหาโดยใชฟงกชันกําลังสองในการหาคาตํ่าสุดและ

คาสูงสุดของปญหา สามารถหาไดจากการวิเคราะหสิ่งที่โจทยกําหนดใหและสิ่งที่โจทยตองการทราบเพ่ือ

สรางสมการพาราโบลาหรือฟงกชันกําลังสอง แลวใชความรูในการหาคาตํ่าสุดและสูงสุดของฟงกชันกําลังสองมา

ใชในการแกปญหา ดงั น้ี 4ac4−ab2�

จุดยอดหรอื จดุ ต่ําสดุ หรอื สงู สุด (h, k) คือ �− b ,
2a
4−ac2−bab2
แกนสมมาตรของพาราโบลา คือ เสน ตรง x = h =
และคา ต่าํ สุดหรือคา สงู สดุ ของฟงกชนั คือ y = k = 4a

ขั้นการปฏิบัตแิ ละประยุกตใ ชความรู
1. ครใู หน กั เรียนทกุ คนทาํ แบบฝกหัดที่ 3 ขอ2 หนา 167 ในหนงั สือเรยี นคณิตศาสตรพ้ืนฐาน เลม 1 (พว.)
เพ่ือตรวจสอบความเขาใจเปน รายบคุ คล
2. ครูคอยดแู ลชวยเหลอื นักเรยี นเปน รายบคุ คล คอยกระตุนความคดิ นักเรยี นและใชว าจาเสรมิ แรงแก
นักเรยี น
3. เมือ่ นกั เรยี นทําเสรจ็ แลว ครตู รวจสอบคําตอบ
4. ครูประเมินผลการเรยี นรู

6. ส่อื แหลง การเรียนรู/ สื่อการเรียนการสอน
1. หนังสือเรียนรายวชิ าคณิตศาสตรพ ้นื ฐาน ม.3 เลม 1 (พว.)
2. ใบกิจกรรมท่ี 5.2

7. การวดั และประเมนิ ผล เครือ่ งมอื วัด วธิ วี ดั ผล
จดุ ประสงค เกณฑการวัดผล
ดา นความรู นักเรียนสามารถ - ถกู ตอ งรอยละ 60
นําความรูเก่ียวกับกราฟของ - แบบฝกหัด - ตรวจแบบฝกหดั
ฟงกชันกําลังสองไปใชในการ อยูในชวงคะแนน
แกป ญหาได 4 คะแนนข้ึนไป
ดานทกั ษะ นักเรียนสามารถ อยูใ นชว งคะแนน
1. แกป ญ หาได - แ บ บ สั ง เ ก ต ก า ร - สังเกตพฤติกรรม 4 คะแนนข้นึ ไป
2. สือ่ ความหมายทาง แ ก ป ญ ห า แ ล ะ ก า ร อยูใ นชวงคะแนน
คณิตศาสตรได ถามตอบ 4 คะแนนขน้ึ ไป

ดา นคณุ ลกั ษณะ นักเรยี น - แบบสงั เกต
1. มวี นิ ยั - การสังเกตพฤติกรรม
2. ใฝเ รยี นรู พฤติกรรม - การตอบคาํ ถามในชน้ั
เรียน
ดา นสมรรถนะ นกั เรียน
1. มคี วามสามารถในการคดิ - แบบสงั เกต - การสังเกตพฤติกรรม
2. มีความสามารถในการ พฤติกรรม
แกป ญ หา

8. ขอ เสนอแนะของหัวหนาสถานศกึ ษา หรือผูท่ไี ดรับมอบหมาย (ตรวจสอบ/นิเทศ/เสนอแนะ/รบั รอง)
…………………………………………………………………………………………………………………….…………….………….....................
..................................................................................................…….…………………………………………………………………
…………………………………………………...……………………………………………………………….………….....................................
..................................................................................………………………………………………………………………...……………
………………………………………………………………………………………………………...…….…………...........................................
............................................................................……………………………………………………………….................................

ลงชือ่ ………........……………………………………….
(......…………....………………...……………….)

ตาํ แหนง….....………ค…ร…ูพ…เ่ี ล…ี้ย…ง…………………...
วนั ที่………เดอื น…….....……..พ.ศ…...…

9. บนั ทกึ หลังการสอน
• ผลการสอน

..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

• ปญ หาและอปุ สรรค

..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................

• ขอเสนอแนะ / แนวทางแกไ ข

..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

ลงชอ่ื ………........……………………………………….
( .)

ตาํ แหนง..น...กั..ศ...ึก..ษ...า..ฝ..ก.…ป…ระ…ส…บ…ก…าร…ณ…ส…อ…น…วชิ…า…ช…พี …คร..ู
วนั ท่…ี ……เดอื น…….....……..พ.ศ…...…

แบบสัง

ลาํ ดบั ชอ่ื - สกลุ ดา นทกั ษะ
ท่ี สอ่ื ความ
การแกปญหา ทางคณติ

432143

งเกตพฤตกิ รรม

ดา นคณุ ลักษณะ ดา นสมรรถนะ
มหมาย ความสามารถ ความสามารถ
ตศาสตร มวี นิ ยั ใฝเรยี นรู ในการคดิ ในการแกปญ หา

214321432143214321

ลงชอื่ ................................................................ผูประเมิน

..................../....................../.................

เกณฑการใหค ะแนน ให 4 คะแนน
ปฏบิ ตั หิ รอื แสดงพฤติกรรมอยางสม่าํ เสมอ ให 3 คะแนน
ปฏบิ ตั หิ รือแสดงพฤตกิ รรมบอยครงั้ ให 2 คะแนน
ปฏบิ ัตหิ รอื แสดงพฤติกรรมบางครั้ง ให 1 คะแนน
ปฏบิ ัติหรอื แสดงพฤติกรรมนอยครั้ง

เกณฑการตัดสนิ คุณภาพดานทักษะ
ชว งคะแนน ระดับคณุ ภาพ
8 ดีมาก
6 - 7 ดี
4 - 5 พอใช
ต่ํากวา 3 ปรับปรุง

เกณฑการตดั สนิ คณุ ภาพดานคุณลกั ษณะ
ชว งคะแนน ระดบั คุณภาพ
8 ดมี าก
6 - 7 ดี
4 - 5 พอใช
ต่าํ กวา 3 ปรับปรงุ

เกณฑก ารตัดสนิ คุณภาพดา นสมรรถนะ
ชวงคะแนน ระดับคุณภาพ
8 ดีมาก
6 - 7 ดี
4 - 5 พอใช
ตา่ํ กวา 3 ปรบั ปรุง

ใบกิจกรรมท่ี 5.2
เรื่อง โจทยปญหาของฟง กช ันกําลังสอง
คําสงั่ จงแสดงวธิ ีทาํ
รปู สี่เหลยี่ มมมุ ฉากที่มีความยาวรอบรปู เปน 80 เมตร จะมีพ้ืนทมี่ ากที่สุดเมอื่ มีความกวางและ
ความยาวเปนเทา ใด
วิธที ํา โจทยกําหนดขอมูลใดมาให
............................................................................................................................................................
โจทยตอ งการทราบส่ิงใด
............................................................................................................................................................
กําหนดตวั แปรอยางไรจากขอมลู ทโี่ จทยใ หม า
............................................................................................................................................................
เขยี นในรูปความสัมพันธของฟงกช ันกําลังสองอยางไร
............................................................................................................................................................

จะไดสมการเปน ................................................................................................................
จาก ...............................................................................................................................................................
จะได ...............................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................