1 SMK TENGKU MENTERI34850 CHANGKAT JERING,PERAKTEL: 05 855 4019 / FAX: 05 855 2996 Email :[email protected] Dwibahasa‘Sangat perlu kepada bakal calon-calon SPM’NAMA :………………………………………………………TINGKATAN :………………………….…………..…………….NAMA GURU :…………………………………….……………….Setiap insan punyai kecenderungan yang unik, dengan keunikan itu ciptalah keunggulan Every person has a unique tendency, with that uniqueness create an excellence. ✓ Soalan berformat UASA & SPM terkini ✓ Petua-petua menjawab dengan berkesan ✓ Kaedah alternatif (cth: kaedah acuan) ✓ Kaedah Inovasi dari Guru Cemerlang ✓ Panduan kalkulator biasa & classwize ✓ KBAT ✓ Analisa ✓ Miskonsepsi ✓ Ithink ✓ PAK 21 ✓ TIMSS ✓ BONUS ( Set soalan PPSA 1 set) ✓ BONUS (Set soalan TRIAL 3 set)✓ BONUS (SPM Sebenar (2022)Takwim aktiviti 2026Perkara TarikhpPSAMinggu STEMBengkel teknik menjawabBengkel KalkulatorPercubaan SPMEmail : [email protected] : matematikdimercu2u.blogspot.myMODUL MDI MDr. Pahwazull Khair Bin Shafie Guru Kanan Sains dan MatematikJilid 4TEACHER’S COPY
2Pengkelasan tajuk mengikut bidang Matematik KSSM T1-T5 Bil. Bidang Tajuk Tingkatan11. Nombor dan operasi / Numbers and OperationsNombor nisbah / Rational NumbersT1 2 Faktor dan gandaan / Factors and Multiples3Kuasa dua, punca kuasa dua, kuasa tiga dan punca kuasa tiga / Squares, Square Roots, Cubes and Cube Roots4 Pola dan jujukan / Patterns and Sequences T25 Indeks / IndicesT36 Bentuk piawai / Standard Form7Matematik pengguna : simpanan dan pelaburan, kredit dan hutang / Consumer Mathematics: Savings and Investments, Credit and Debt8 Asas nombor / Number BasesT49Matematik pengguna : pengurusan kewangan / Consumer Mathematics: Financial Management10 Matematik pengguna : insurans / Consumer Mathematics: Insurance T511 Matematik pengguna : percukaian / Consumer Mathematics: Taxation122. Perkaitan dan algebra / Relationship and AlgebraNisbah, kadar dan kadaran / Ratios, Rates and ProportionsT113 Ungkapan algebra / Algebraic Expressions14 Persamaan linear / Linear Equations15 Ketaksamaan linear / Linear Inequalities16 Pemfaktoran dan pecahan algebra / Factorisation and Algebraic FractionsT217 Rumus algebra / Algebraic Formulae18 Koordinat / Coordinates19 Graf fungsi / Graphs of Functions20 Laju dan pecutan / Speed and Acceleration21 Kecerunan garis lurus / Gradient of a Straight Line22 Garis lurus / Straight Lines T323Fungsi dan persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah / Quadratic Functions and Equations in One VariableT424 Ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah / Linear Inequalities in Two Variables25 Graf Gerakan / Graphs of Motion26 Ubahan / VariationT527 Matriks / Matrices28Pemodelan matematik / Mathematical Modeling
3293. Sukatan dan geometri / Measurement and GeometryGaris dan sudut / Lines and AnglesT130 Polygon asas / Basic Polygons31 Perimeter dan luas / Perimeter and Area32 Teorem Pythagoras / The Pythagoras Theorem33 Poligon / PolygonsT234 Bulatan / Circles35 Bentuk geometri tiga dimensi / Three-Dimensional Geometrical Shapes36 Transformasi isometric / Isometric Transformations37 Lukisan berskala / Scale DrawingsT338 Nisbah trigonometri / Trigonometric Ratios39 Sudut dan tangen bagi bulatan / Angles and Tangents of Circles40 Pelan dan dongakan / Plans and Elevations41 Lokus dalam dua dimensi / Loci in Two Dimensions42Kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasi / Congruency, Enlargement and Combined Transformations T543 Nisbah dan graf fungsi trigonometri / Ratio and Graphs of Trigonometric Functions444. Matematik diskret / Discrete MathematicsPengenalan set / Introduction to Set T145 Penaakulan logic / Logical Reasoning46 Operasi set / Operations on Sets T447 Rangkaian dalam teori graf / Network in Graph Theory485. Statistik dan kebarangkalian / Statistics and ProbabilityPengendalian data / Data Handling T149 Sukatan kecenderungan memusat / Measures of Central Tendencies T250 Kebarangkalian mudah / Simple Probability51 Sukatan serakan data tak terkumul / Measures of Dispersion for Ungrouped Data T452 Kebarangkalian peristiwa bergabung / Probability of Combined Events53 Sukatan serakan data terkumpul / Measures of Dispersion of Grouped Data T5dR.IQ dR.KBATdR. Tips dR. Kalkulator
4Panduan penggunaan / User guide 1. Kelengkapan yang perlu dimiliki pelajar ialah, kalkulator, kertas graf, set geometri dan alat tulis.The equipment students need to have is a calculator, graph paper, geometry set and stationery.2. Pembaris yang ideal untuk matematik ialah pembaris 20 cmThe ideal ruler for mathematics is a 20 cm ruler3. Semua jawapan hendaklah dibuat pada buku latihan.All answers must be made in the exercise book4. Siapkan modul ini mengikut arahan guru, dicadangkan dibuat pada masa 1 waktu.Prepare this module according to the teacher's instructions, it is recommended to do it in 1 hour.5. Pelajar hendaklah menyiapkan modul ini sebelum menduduki peperiksaan percubaan SPM.Students must complete this module before sitting for the SPM mock examination.6. Modul ini bukanlah pengganti buku teks.This module is not a substitute for a textbook.7. Jawapan akhir disediakan namun murid-murid hendaklah menunjukkan jalan kerja.Final answers are provided but students must show their work.Dedikasi teristimewa untuk / Special dedication to Muhamad Alif Fitri Alifa Sofea Aufa Hana Semua Murid-muridku Tahukah Anda?Nombor perdana terbesar yang diketahui setakat ini ialah 274,207,281 − 1. Bilangan ini mempunyai 22,338,618 digit dan merupakan nombor perdana Mersenne. Ditemui oleh Great Internet Mersenne Prime Search pada 7 Januari 2016.Bagi kalkulator biasa cara resetnya ialah : SHIFT → MODE → 3 → = → ON
5Simbol Matematik dan Tatanama / Mathematical Symbols and Notations+ Add / tambah ?1? A to the power of 1?(equal to √??)- Substract / tolak s.f Significant figure / angka beerti× Multiply / darab (x,y) Coordinate of a point on cartesan plane÷ Divide / bahagi (??)Translation of x units horizontally followed by y units vertically= Is equal to / sama dengan a : b Ratio of a to b / Nisbah a:b≠ Is not equal to / tidak sama dengan ? Pi (equal to 227) atau 3.142> Is greater than / lebih besar daripada ( ) Brackets or multiply / kurungan atau Darab< Is less than / lebih kecil daripada { },∅ Empty set / set kosong≥Is greater than or equal to / lebih besar atau sama dengan Universal set / Set semesta≤Is less than or equal to / lebih kecil atau sama dengan Is an element of / adalah elemen kepada% Percentage / peratus Subset / subset Angle / sudut n(A) The number of elements in set A / Bilangan elemen dalam set A∟ Right-angled / sudut tepat A’ Complement of set A (read as A prime)⊥ Perpendicular / serenjang Intersection of sets / persilangan set Triangle / segitiga Union of sets / kesatuan set Quadrilateral / segiempat AB Transformation B followed by transformation A√2Square root / punca kuasa dua I Identity matrix√3 Cube root / punca kuasa tiga M−1Inverse matrix of matrix MLCM Lowest common factor / Faktor sepunya terkecil P(X) Probability of event XHCF Highest common factor / Faktor sepunya terbesar Variation / Ubahand.p. Decimal place / Tempat perpuluhan Undefined / Infinitisin Sine / Sin Nm Nautical mile / Batu nautikacos Cosine / Cos kmh−1 Kilometre per hourtan Tangent / Tan ms−1 Metre per seconda−n A to the power of –n / 1an/ A kuasa -n ms−2 Metre per second per secondParallel lines / Garis selari
6FORMAT INSTRUMEN PEPERIKSAAN SPM MULAI TAHUN 2021 MATA PELAJARAN MATEMATIK (1449) Bil. Perkara Kertas 1 (1449/1) Kertas 2 (1449/2) 1 Jenis instrumen Ujian Bertulis 2 Jenis item Objektif Aneka Pilihan • Subjektif Respons Terhad• Subjektif Berstruktur3 Bilangan soalan 40 soalan (40 markah) (Jawab semua soalan) Bahagian A: 10 soalan (40 markah) (Jawab semua soalan) Bahagian B: 5 soalan (45 markah) (Jawab semua soalan) Bahagian C: 2 soalan (15 markah) (Jawab satu soalan) 4 Jumlah Markah 40 100 5 Konstruk • Mengingat dan Memahami• Mengaplikasi• Menganalisis• Mengingat dan Memahami• Mengaplikasi• Menganalisis• Menilai• MenciptaTempoh 1 jam 30 minit 2 jam 30 minit 6 Ujian 7 Cakupan Konstruk Standard kandungan dan standard pembelajaran dalam Dokumen Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) KSSM (Tingkatan 1 hingga Tingkatan 5)8 Aras Kesukaran Rendah : Sederhana : Tinggi 5 : 3 : 2 9 Kaedah Penskoran Dikotomus Analitik 10 Alatan Tambahan Kalkulator saintifik yang tidak boleh diprogram • Kalkulator saintifik yang tidak boleh diprogram• Alatan geometri
7Modul matematik di mercu SPM 2026 “Matematik di Mercu” Kertas 1 ( 40 soalan objektif) jawab semua ( 40 markah) 1 jam 30 minit Paper 1 ( 40 objective questions) Answer all (40 marks) 1 hour 30 minutes Kertas 2 ( 2 jam 30 minit Bahagian A = 10 soalan) jawab semua- (40 markah)(Bahagian B = 5 soalan) jawab semua (45 markah) (Bahagian C = 2 soalan) jawab satu (15 markah) 2 Jam 30 minit Paper 2 ( Section A = 10 Questions) Answer all (40 marks) (Section B = 5 Questions) Answer All (45 marks) (Section C = 2 Questions) Answer 1 (15 marks) 2 hours 30 minutes (Pengiraan markah = 1 2 100 @ 1(40 ) 2 60140 100paper paper x paper marks paper + + )p/s : sekiranya pelajar menjawab kesemua 2 soalan untuk bahagian C maka hanya 1 soalan yang tertinggi markah akan dikira.Analisa Berdasarkan soalan SPM sebenar KSSM 2021Kertas 1 / Paper 1 (40 soalan)Paper 2 section A (40 marks) 10 soalan jawab semuaPaper 2 section B (45 marks) 5 soalan jawab semuaPaper 2 section C (15 marks) 2 soalan jawab 1 (Soalan merentas topik berdasarkan tema)
8Gred SPM terkini Tahukah andaJisim Bumi (M ) adalah unit jisim bersama dengan Bumi. 1 M = 5.9722 × 1024 kg. jisim Bumi biasanya digunakan untuk menerangkan jisim planet bumian berbatu.Gred Markah % PNG GPK TAHAP CATATANA+90 – l004.00 0 CEMERLANG TERTINGGIAT LEAST SKOR 126/140A 80 – 89 3.75 1 CEMERLANG TINGGIAT LEAST SKOR 112/140A-70 - 79 3.50 2 CEMERLANGAT LEAST SKOR 98/140B+65 - 69 3.25 3 KEPUJIAN TERTINGGIAT LEAST SKOR 91/140B 60 – 64 3.00 4 KEPUJIAN TINGGIAT LEAST SKOR 84/140C+55 – 59 2.75 5 KEPUJIAN ATASAT LEAST SKOR 77/140C 50 – 54 2.50 6 KEPUJIAN AT LEAST SKOR 70/140D 45 – 49 2.25 7 LULUS ATASAT LEAST SKOR 63/140E 40 – 44 2.00 8 LULUS AT LEAST SKOR 56/140G 0 – 39 1.75 9 BELUM LULUS -
9Langkah ke Mercu Set Soalan Kertas Tarikh Markah Peratus % Gred PBD/TP CatatanPPP1 1F4 2(TOV) 1PPSA F4 2AR 1 /OTI 1 1PASA F4 2AR 2/OTI 2 1PPP1 F5 2AR3/OTI 3 1PPSA F5 2AR4/OTI 4 1PERCUBAAN F5 2SPM/ETR 1Target 212Tahukah andaKeluasan bumi Keseluruhan: 510.073 juta km.Daratan: 148.94 juta km2(29.2%)Lautan: 361.132 juta km2(70.8%)
10Tips menjawab soalan SPM Tip dan Teknik MenjawabSoalan Peperiksaan SPM Matematik (1449)KERTAS 1 (1449/1)1. Kertas 1 mengandungi 40 soalan objektif aneka pilihan. Calon dikehendaki menjawab kesemua soalan dalam tempoh 1 jam 30 minit.2. Jumlah markah yang diperuntukkan ialah 40 markah.3. Semua soalan dalam kertas 1 ini adalah berdasarkan konstruk kognitif, iaitu mengingat, memahami, mengaplikasi dan menganalisis serta berpandukan aras kesukaran berikut: Rendah : Sederhana : Tinggi (5:3:2)4. Calon boleh menggunakan kalkulator saintifik yang tidak diprogram untuk tujuan pengiraan (Rekemen : casio Fx-570MS) @ Casio Classwiz Fx 570 Ex. Calon perlu menguasai topik-topik Tingkatan 1 hingga 3 selain daripada topik-topik tingkatan 4 dan 5.6. Jawab soalan yang mudah terlebih dahulu, kemudian kembali semula untuk menjawab soalan yang susah.7. Calon dikehendaki membaca dan memahami sctiap soalan dalam kertas 1 dengan teliti, senaraikan semua maklumat yang diberi dalam soalan dan jawab soalan berdasarkan arahan yang diberi.8. Calon boleh merujuk rumus pada helaian rumus yang disediakan.9. Lazimnya kertas 1 adalah tricky, murid hendaklah gunakan jawapan sebagai klu untuk tackle soalanKERTAS 2 (1449/2)1. Kertas 2 terdiri daripada tiga bahagian, A, B dan C. Calon dikehendaki menjawab soalan-soalan dalam kertas 2 dalam tempoh 2 jam 30 minit.2. Jumlah markah yang diperuntukkan ialah 100 markah.3. Bahagian A terdiri daripada 10 soalan yang memperuntukkan jumlah markah sebanyak 40 markah. Calon dikehendaki menjawab kesemua soalan dalam bahagian ini.4. Bahagian B terdiri daripada 5 soalan yang memperuntukkan jumlah markah sebanyak 45 markah. Calon dikehendaki menjawab kesemua soalan dalam bahagian ini.5. Bahagian C terdiri daripada 2 soalan yang memperuntukkan jumlah markah sebanyak 15 markah. Calon dikehendaki menjawab mana-mana 1 soalan dalam bahagian ini. Rendah : Sederhana : Tinggi (5:3:2)6. Semua soalan dalam kertas 2 adalah berdasarkan konstruk kognitif, iaitu mengingat, memahami, mengaplikasi, menganalisis, menilai dan mencipta serta berpandukan aras kesukaran berikut:7. Semua jawapan hendaklah ditulis pada ruang jawapan yang disediakan dalam kertas peperiksaan.8. Calon dikehendaki menulis semua kerja mengira anda di ruang jawapan bagi membantu anda untuk mendapatkan markah.9. Calon boleh menggunakan kalkulator saintifik yang tidak diprogram untuk tujuan pengiraan dan menggunakan alatan geometri untuk mengukur.10. Kebanyakan soalan dalam kertas 2 merangkumi topik-topik tingkatan 4 dan 5. Walau bagaimanapun, calon juga perlu menguasai topik-topik tingkatan 1 hingga 3.11. Terdapat beberapa tip untuk menjawab soalan dalam kertas 2. Antaranya adalah seperti berikut: (a) Baca dan fahamkan soalan dengan teliti. (b) Senaraikan semua maklumat yang diberi. (c) Jawab soalan berdasarkan arahan yang diberi. (d) Bina persamaan dan buat pengiraan dengan betul (e) Gantikan nilai-nilai pemboleh ubah dengan betul. (f) Lukis graf: -Lukis paksi mengikut skala yang diberi-Plot graf mengikut jadual yang diberi
11-Sambungkan setiap titik untuk mendapatkan graf yang licinJika soalan menyatakan untuk mencari nilai x atau y berpandukan graf, calon dikehendaki untuk:-Melukis garis lurus mencancang pada paksi- atau garis mengufuk pada paksi.-y. Garis-garis itu dilukis sehingga bertemu dengan garis graf yang telah dilukis terlebih dahulu.-Kemudian, calon akan dapat nilai yang dicari sama ada x atau y.(g) Untuk mendapat markah penuh dalam soalan yang melibatkan pelan dan dongakan, calon perlumemastikan bentuk dan ukurannya adalah betul serta perlu menitikberatkan tentang kekemasan lukisantersebut.(h) Translasi 62 −bermaksud gerak objek 6 langkah ke kanan dan 2 langkah ke bawah.(i) Jika terdapat gabungan transformasi seperti transformasi PQ. maka hendaklah melakukan transformasi Q terlebih dahulu, kemudian transformasi P.(j) Jika soalan yarg diberi meminta calon untuk menghitung cukai pendapatan yang perlu dibayar oleh Encik X maka calon perlu mencarl rumus cukai pendepatan yang perlu dibayar terlebih dahulu. Calon boleh mengikut langkah-langkah seperti berikut:(k) Bagi soalan yang melibatkan rangkaian, calon perlu mengambil tahu tentang graf mudah, graf terarah dan graf tak terarah, perbezaan antara graf berpemberat dengan graf tak berpemberat, subgraf dan pokok.(l) Jangan tinggalkan ruang jawapan kosong, malah cuba menjawab walaupun sedikit.Belajar semua topik tetapi fokus kepada 26 topik berikut:1.Fungsi dan persamaan kuadratik 14.Percukaian2.Asas nombor 15.Penjelmaan3.Penaakulan logik 16.Trigonometri4.Set 17.Pemodelan Matematik5.Rangkaian dalam Teori Graf 18.Garis lurus6.Ketaksamaan linear 19.Perimeter,luas dan isipadu7.Graf Gerakan 20.Bulatan8.Sukatan Serakan 21.Lokus9.Kebarangkalian 22.Pelan dan Dongakan10.Pelan Kewangan 23.Simpanan dan Pelaburan , Kredit dan hutang11.Ubahan 24.Graf Fungsi12.Matriks 25.Persamaan Serentak13.Insurans 26.Nisbah dan PerkadaranCadangan tajuk-tajuk minimum Adequate Syllabus (MAS)1. Matriks 6. Graf Fungsi2. Operasi Set 7. Rangkaian dalam Teori Graf3. Sukatan Serakan 8. Graf Gerakan4. Penaakulan Logik 9. Pelan dan Dongakan5. Ketaksamaan Linear 10. Transformasi
12Mathematical Formulae SPM Rumus Matematik SPM Rumus-rumus berikut boleh membantu anda menjawab soalan. Simbol-simbol yang diberi adalah yang biasa digunakan.The following formulae may be helpful in answering the questions. The symbols given are the ones commonly used.Penyelesaian operasi matematik (hukum BODMAS)B Brackets O Orders (Powers)D DivisionM MultiplicationA AdditionS SubtractionNOMBOR DAN OPERASI / NUMBER AND OPERATIONS1. am an = am + n2. am an = am - n3. (am)n = am n4.1n na a =5. 1 1mmn n m n a a a 6.( )m mn n m na a a = =7. Faedah Mudah / Simple interest,I =Prt8. Nilai matang / maturity value,( ) 1ntMV P rn= +9. Jumlah bayaran balik / Total repayment,A P t = + Pr10. Premium( )Nilai muka polisiRMxKadar premium per RMx= 11. Jumlah insurans yang harus dibeli Peratusan Nilai bolehko insurans insurans harta = − PERKAITAN DAN ALGEBRA /RELATIONSHIP AND ALGEBRA1. Jarak / Distance = ( )22 122 1(x − x ) + y − y2. Titik tengah / Midpoint, (x, y) = + +21 2,21 2x x y y3. Laju purata / Average speedJumlah jarakJumlah masa=4. Kecerunan / Gradient, 2 12 1x xy ym−−=5.−−−=−c ad bad bcA1 16. Kecerunan / Gradient, intinty erceptmx ercept−= −−
13SUKATAN GEOMETRI /MEASUREMENT AND GEOMETRY1. Teorem Pythagoras / Pythagoras Theorem c2 = a2 + b22. Hasil tambah sudut pedalaman polygon / Sum of interior angles of a polygon = (n – 2) 18003. Lilitan bulatan / Circumference of circle = d = 2r4. Luas bulatan / Area of circle = r25. 2 360Panjang lengkokj=6. 2 360Luas sektorj=7. Luas lelayang = 12hasil darab Panjang dua Pepenjuru8. Luas trapezium = 12hasil tambah dua sisi selari tinggi9. Luas permukaan silinder 2j jt 210. Luas permukaan kon 2j js11. Luas permukaan sfera 2 4 j12. Isi padu prisma = luas keratan rentas tinggi13. Isi padu silinder 2= j t14. Isi padu kon = 31j2h15. Isi padu sfera = 34j16. Isi padu piramid= 31 luas tapak tinggi 17. Faktor skala, k = PAPA'18. Luas Imej = k2 luas objekSTATISTIK DAN KEBARANGKALIAN /STATISTICS AND PROBABIILITY1. Min / Mean, _xxN2. Min / Mean, _fxxf3. Varians / variance,2_2 2 _2x xxxN N 4. Varians / variance, 2_2 2 _2f x xfxxf f 5. Sisihan piawai / standard deviation,2_2 2 _x xxxN N 6. Sisihan piawai / standard deviation,2_2 2 _f x xfxxf f 7. ( ) ( )( )n A P An S8.P A P A ( ') 1 ( )
14Contoh Kulit depan soalan SPM kertas 1SULIT1. Kertas Peperiksaan ini mengandungi 40 soalan.2. Jawab semua soalan3. Bagi setiap soalan, pilih satu jawapan sahaja. Hitamkan jawapan anda pada kertas jawapan objektif yang disediakan4. Kertas peperiksaan ini adalah dalam dwibahasa5. Rajah yang mengiringi soalan tidak dilukis mengikut skala kecuali dinyatakan6. Kertas Jawapan objektif hendaklah diserahkan kepada pengawas pepriksaan pada akhir peperiksaan.Kertas peperiksaan ini mengandungi 00 halaman bercetak dan 0 halaman tidak bercetak[Lihat halaman sebelahSULIT1449/1 @ 2026 Hak Cipta Kerajaan MalaysiaKEMENTERAN PENDIDIKAN MALAYSIAMATEMATIK DI MERCUSIJIL PELAJARAN MALAYSIA 2026MATEMATIKKertas 11 jam 30 minit1449/1JANGAN BUKA KERTAS PEPERIKSAAN INI SEHINGGA DIBERITAHU
15Contoh Kulit depan soalan SPM kertas 2SULITKertas peperiksaan ini mengandungi 00 halaman bercetak dan 0 halaman tidak bercetak[Lihat halaman sebelahSULIT1449/2 @ 2026 Hak Cipta Kerajaan MalaysiaKEMENTERAN PENDIDIKAN MALAYSIAMATEMATIK DI MERCUSIJIL PELAJARAN MALAYSIA 2026MATEMATIKKertas 22 jam 30 minit1449/2JANGAN BUKA KERTAS PEPERIKSAAN INI SEHINGGA DIBERITAHUNO. PENGENALAN DIRI ANGKA GILIRAN PemeriksaBahagian Soalan Markah PenuhMarkah diperolehA1 42 43 44 45 46 37 58 49 410 4B11 912 913 914 915 9C16 1517 15JUMLAH1. Tulis nombor kad pengenalan diri dan angka giliran anda pada ruang yang disediakan2. Kertas peperiksaan ini mengandungi tiga bahagian: bahagian A, bahagian B dan bahagian C3. Jawapan hendaklah ditulis pada ruang jawapan yang disediakan di dalam kertas peperiksaan ini4. Kertas peperiksaan ini adalah dalam dwibahasa5. Jawapan boleh ditulis dalam Bahasa melayu atau Bahasa inggeris6.Rajah yang mengiringi soalan tidak dilukis mengikut skala kecuali dinyatakan7. Kerja mengira anda mesti ditunjukkan8. Kertas peperiksaan ini hendaklah diserahkan kepada pengawas peperiksaan pada akhir peperiksaanAG0000000000000AG00000001449/2MATEMATIK 2
16
17Tingkatan 5Bil. Tajuk Muka Surat1. Ubahanvariation182. MatriksMatrices313. Matematik pengguna : insuransConsumer Mathematics: Insurance574. Matematik pengguna : percukaianconsumer mathematics : taxation745. Kekongruenan, pembesaran dan gabungan transformasiCongruency, Enlargement and Combined Transformations876. Nisbah dan graf fungsi trigonometriRatio and Graphs of Trigonometric Functions1257. Sukatan serakan data terkumpulMeasures of Dispersion of Grouped Data1408. Pemodelan matematikMathematical Modeling1539. Set Pertengahan Tahun (PPSA) 16310. Set Percubaan SPM 1 (Selangkah ke mercu) 18511. Set Percubaan SPM 2 (Selangkah ke mercu) 20912. Set Percubaan SPM 3 (Selangkah ke mercu) 23513. Soalan sebenar SPM 2022 26114. Lampiran (Nota kalkulator Classwize) 30015. Taqwim 2026 30216. Hadiah Nobel 315Jumlah muka surat: 318
18Bab 1UbahanVariationWilliam Emerson (1701-1782)Simbol ∝ diperkenalkan oleh William Emerson (1701-1782), seorang ahli matematik Inggeris, pada tahun 1768 dalam karyanya The Doctrine of Fluxions.
19Tips:1. 2r s f ialah cantuman dan hubungan 2r s dan r f 2. Bagi satu ubahan songsang, q berubah secara songsang dengan punca kuasa dua p boleh ditulis sebagai 1qp3. Bagi suatu ubahan bergabung, y berubah secara langsung dengan mxdan secara songsang dengan nzboleh ditulis sebagai mnxyzUbahan / VariationsUbahan langsung / direct variationsUbahan langsung menerangkan perkaitan antara dua pemboleh ubah, dengan keadaan apabila satu pemboleh ubah y bertambah maka pemboleh ubah x juga bertambah pada kadar yang sama dan sebaliknya. Hubungan ini juga ditulis sebagai y berubah secara langsung dengan x.Graf garis lurus melalui asalanUbahan tercantum ialah ubahan langsung dengan keadaan satu pemboleh ubah berubah sebagai hasil darab dua atau lebih pemboleh ubah yang lain.y berubah secara langsung dengan x, dan y berubah secara langsung dengan z. Maka, y berubah secara tercantum dengan x dan z, iaitu y ∝ xz.Ubahan songsang / inverse variationsUbahan songsang, pemboleh ubah y bertambah apabila pemboleh ubah x berkurang pada kadar yang sama dan sebaliknya. Hubungan ini juga ditulis sebagai y berubah secara songsang dengan x.(a)(b)Ubahan gabung / combinedvariations ( ada dua jenis)Langsung dan songsangyxzkyxz=Cantum & songsangwxyzkwxyz=x yx ky=1xykxy=
20Apa yang penting dalam tajuk ini ialah pelajar mestilah mencari nilai k terlebih dahulu melalui persamaan ubahan.GERBANG ISTILAHpemalar constantpemboleh ubah variableubahan bergabung combined variationubahan langsung direct variationubahan songsang inverse variationubahan tercantum joint variationKertas 1Ubahan langsung /Direct variations1. Diberi bahawa y berubah secara langsung dengan x kuasa tiga dan y= 16 apabila x= 2. Hitungkan nilai x apabila y =54.It is given that y varies directly as the cube of x and y =16 when x =2. Calculate the value of x when y =54. TP4, Aras : SA. 2.5 C. 25B. 3 D. 302. Jadual menunjukkan beberapa nilai bagi pembolehubah M dan N.Table shows some values of the variables M and N.M 12 PN 4 7Table/ jadual Diberi bahawa M berubah secara langsung dengan N. Hitungkan nilai p apabila N =7.It is given that M varies directly as N. Calculate the value of p when N = 7. TP4, Aras : SA. 21 C. 48B. 28 D. 843. Diberi bahawa y berubah secara langsung dengan kuasa dua x dan y = 18 apabila x= 3. Hitungkan nilai y apabila x =16It is given that y varies directly as the square of x and y = 18 when x = 3. Calculate the value of y when x = 16.TP4, Aras : S A. 19C.118 B. 918D.1724. Diberi p berubah secara langsung dengan xn dan p= 4 apabila x= 1. Hitungkan nilai n jika p= 500 apabila x= 5Given that p various directly with xn and p = 4 when x = 1. Calculate the value of n if p = 500 when x = 5. TP4, Aras : SA.13C. 2B. 12D. 3(1 kuasa apapun adalah 1). Guna jawapan untuk selesaikan
215. Diberi bahawa y berubah secara langsung dengan x danx = 3m + 2. y= 4 apabila m= 2.Cari nilai m apabila y= -5It is given that y varies directly as x, and x = 3m + 2. y=4 when m=2. Find the value of m when y = −5 . TP4, Aras : SA. -5 B. -3C. -4 D. -26. Jisim pepejal berubah secara langsung dengan isipadunya. En. Aziz membuat pepejal dengan jisim 20 g dan isipadu 12 cm3. En. Azmi membuat pepejal dengan jisim 45 g. Apakah perbezaan isipadu dalam cm3 pepejal yang dibuat oleh mereka?The mass of a solid varies directly as it volume. En. Aziz makes a solid with a mass of 20 g and a volume of 12 cm3. En. Azmi makes a solid with a mass of 45 g. What is the difference in volume in cm3 of solids made by them? TP4, Aras : SA. 7 C.27B. 15 D.637.Berat W kg, bagi sfera pendek meletakkan bola berubah secara langsung dengan kuasa tiga jejari. Memandangkan radius itu 2 cm apabila berat badan adalah 1.5kg. Cari berat bola jika jejari adalah 3 cmThe weight W kg, of a spherical short put ball varies directly as the cube of its radius. Given the radius is 2cm when the weight is 1.5kg. Find the weight of the ball if the radius is 3 cm. TP:4, Aras MA. 1.69 kg C.5.06 kgB. 3.38 kg D.6.75 kg8.Jadual manakah yang mewakili hubungan 12 y x Which table represents the relation of 12 y x . TP:4 Aras : STips:Untuk persamaan ubahan langsung di atas nilai k (pemalar ) untuk yxmestilah sama9. M berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga N. Nyatakan hubungan antara M dan N. M varies directly as the cube root of N. State the relationship between M and N. TP:3 Aras : MA.1M N 3C.131 MNB.3 M ND.31 MN
22Ubahan songsang / inverse variations10. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi pembolehubah x dan y sepertimana y berubah secara songsang dengan x kuasa duaThe table below shows some values of the variables x and y such that y varies inversely as the square of x.x 1 0.5y 3 12Find the relation between y and x.Cari hubungan antara y dan x.A. y = xC.23xy =B.xy3=D.2y = 5x11. M berubah secara songsang dengan L punca kuasa dua. Diberi k ialah pemalar, cari hubungan antara M dan N.M varies inversely as square roots of L. Given that the constant is k, find the relation between M and N.. A. 21M = k LC. 2 M = k L B. 21LkM =D. 2LkM =12. Diberi bahawa p berubah secara songsang dengan kuasa dua q. Cari hubungan antara p dan q. It is given that p varies inversely as the square of q. Find the relationship between p and q.A.p q C.2p q B.13 D.21pq13. Diberi bahawa 13 PQ= k, dengan k ialah pemalar. Penyataan manakah yang benar? It is given that 13 PQ= k, where k is a constant. Which statement is true? A. P berubah secara langsung dengan kuasa tiga Q. P varies directly as the cube of Q. B. P berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga Q. P varies directly as the cube root of Q. C. P berubah secara songsang dengan kuasa tiga Q. P varies inversely as the cube of Q. D. P berubah secara songsang dengan punca kuasa tiga Q. P varies inversely as the cube root of Q.
2314. Diberi m berubah secara songsang dengan n punca kuasa tiga dan m= 2 apabila n =18, ungkapkan m dalam sebutan n.Given that m various inversely with the cube root of n and m = 2 when n =18. Express m in term of n.A m = 4 √?3 C m = 4√?3B m = 1√?3 D m = 14 √?315.Jadual manakah yang mewakili hubungan 21yxWhich table represents the relation of 21yxTips:Untuk persamaan ubahan songsang di atas nilai k (pemalar ) untuk y x x2 mestilah sama16. 50 helai kain sutera ditenun oleh 3 orang pekerja. Masa yang diperlukan untukmenyiapkan tenunan itu ialah 3 jam 30 minit. Diberi masa, t, berubah secara songsang dengan bilangan pekerja, y. Hitung masa, dalam minit, yang diperlukan jika 7 orang pekerja menenun 50 helai kain sutera itu.50 silk fabrics are woven by 3 workers. The timerequired to complete the weaving is 3 hours 30minutes. Given the time, t varies inversely asthe number of Workers, y. Calculate the time, inminutes, required if 7 workers weave 50 silk fabrics.A 30 C 90B 60 D 120Ubahan tercantum / Joint variations17. Jadual, menunjukkan hubungan antara pembolehubah a , b dan c. Diberi bahawa a b c,hitung nilai x.Table , shows the relation between the variables a, b and c. Given that a bc , calculate the value of x. a 20 48b 2 Xc 25 36Table / Jadual A. 4 C. 8 B. 6 D. 16
2418. Diberi bahawa y berubah secara langsung dengan x dan y = 36 apabila x = 4. Ungkapkan y dalam sebutan x. It is given that y varies directly as x and y = 36 when x = 4. Express y in terms of x. A. y = 9x C. y = 144xB. y = 9x D. y = 144x19. Diberi n berubah secara langsung dengan punca kuasa dua m dan n = 9 apabila m = 64. Hitung nilai m apabila n = 18. It is given that n varies directly as the square root of m and n = 9 when m = 64. Calculate the value of m when n = 18. A. 125 C. 256B. 225 D. 400Ubahan gabung / Combined variationsLangsung dan songsang / direct and inverse20. Jadual di bawah menunjukkan beberapa nilai bagi pembolehubah x, y dan z. Dinyatakan z berubah secara langsung dengan y dan secara songsang dengan x punca kuasa dua.The table below shows some values of the variables x, y and z such that z varies directly as y and inversely as the square root of x.x 4 9y 4 5z 6 pKirakan nilai p / Calculate the value of pA. 3 C. 5B. 4 D. 621. F berubah secara langsung dengan m punca kuasa dua dan secara songsang dengan n kuasa dua. Diberi F= 45apabila m=64 dan n= 5, nyatakan F dalam sebutan m dan n.F varies directly as the square root of m and inversely as the square of n . Given that F = 45 when m = 64 and n = 5, express F in terms of m and n. A. F = 232mnC. F = 223nm B. F = 252mnD.F =234nm22. Diberiyxm2dan m = 12 apabila x= 2 dan y= 3.Hitungkan nilai x apabila m=32 Dan y=18.Given that yxm2and m=12 when x=2 and y=3. Calculate the value of x when m=32 and y=18.A. 8 C. 32B. 16 D. 64
25TABLE / Jadual23. Jadual menunjukkan nilai-nilai bagi pembolehubah p, q dan r itu bahawa p berubah secara langsung dengan r dan secara songsang dengan q punca kuasa dua.Table shows the values of the variables p, q and r such that p varies directly as r and inversely as the square root of q.p q r3 16 218 n 1Carikan nilai nCalculate the value of n.A.61B.91C.121D.18124. Q berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga R dan secara songsang dengan T. Diberi k ialah pemalar, cari hubungan antara Q, R dan T. Q varies directly as the cube root of R and inversely as T. Given that the constant is k, find the relationship between Q, R and TA.3kR QT= C.3kT QR=B.3k R QT= D.3kT QR=25. Diberi bahawa E FmGn dengan keadaan E berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga F dan secara songsang dengan kuasa dua G. Nyatakan nilai m dan nilai n. It is given that E F mGnsuch that E varies directly as the cube root of F and inversely as the square of G. State the values of m and n. A. m = 3, n = 2 C. m = 13, n = 2B. m = 3, n = –2 D. m = 13, n = -226.Hubungan antara pemboleh ubah, p, q dan rditunjukkan dalam persamaan 232 prq= .Nyatakan hubungan antara p, q dan r dalamperkataan.The relation between variables, p, q and r is shownin the equation 232 prq= . State the relation of p, qand r in words.A.P berubah secara songsang dengan kuasa dua r dan secara langsung dengan q P varies inversely as the square of r and directly as qB.P berubah secara songsang dengan punca kuasa dua r dan secara langsung dengan q P varies inversely as the square root of r and directly as qC.P berubah secara langsung dengan kuasa dua r dan secara songsang dengan q P varies directly as the square of r and inversely as qD.P berubah secara langsung dengan punca kuasa dua r dan secara songsang dengan q P varies directly as the square root of r and inversely as q
263f2.pqmn2pqmn1M N 327.M berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga N. Nyatakan hubungan antara M dan N. M varies directly as the cube root of N. State the relationship between M and N.A 1M N 3 B 3 M NC 131 MN D 31 MN28. Diberi bahawa p berubah secara songsang dengan kuasa dua q. Cari hubungan antara p dan q. It is given that p varies inversely as the square of q. Find the relationship between p and q.A p q B1pqC 2p q D21pq29. Diberi bahawa 13 PQ= k, dengan k ialah pemalar. Penyataan manakah yang benar? It is given that 13 PQ= k, where k is a constant. Which statement is true A P berubah secara langsung dengan kuasa tiga Q. P varies directly as the cube of Q. B P berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga Q. P varies directly as the cube root of Q.C P berubah secara songsang dengan kuasa tiga Q. P varies inversely as the cube of Q. D P berubah secara songsang dengan punca kuasa tiga Q. P varies inversely as the cube root of Q30. Q berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga R dan secara songsang dengan T. Diberi k ialah pemalar, cari hubungan antara Q, R dan T. Q varies directly as the cube root of R and inversely as T. Given that the constant is k, find the relationship between Q, R and T. A 3kR QT= B 3k R QT= C 3kT QR= D 3kT QR=Ubahan gabung / Combined variationsCantum dan songsang / joint and inverse31. Diberi d berubah secara songsang dengan e3 dan secara tercantum dengan dan g.It is given that d varies inversely as e3 and jointly as and g. xd e f g14 2 64 724 m 27 250Cari nilai m.Find the value of m.A. 8 C. 9B. 5 D. 732. Diberi bahawa It is given that m p q n5 8 3 420 15 10 aCari nilai a.Find the value of a.A. 20 C. 25B. 4 D. 53f
27Kertas 2 (Bahagian A)1. Tulis hubungan dengan menggunakan symbol bagi setiap yang berikut.Write the relation by using the symbol x for each of the following.(a) T berubah secara langsung dengan kuasa tiga m dan kuasa dua n. T varies directly as the cube of m and the square of n.(b) P berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga q dan secara songsang dengan kuasa dua r. P varies directly as the cube root of q and inversely as the square of r.(c) S berubah secara songsang dengan t dan punca kuasa dua u. S varies inversely as t and the square root of u.(d) V berubah secara langsung dengan w dan kuasa dua x dan secara songsang dengan punca kuasa tiga y. V varies directly as w and square of x and inversely as the cube root of y.[4 markah]Jawapan:2.(a) Tentukan sama aday berubah secara langsung dengan x², Kemudian, tulis hubungan tersebut dalam bentuk ubahan.Determine whether y varies directly asx. Then, write the relation in the form of variation.x 2 4 6 8 10y 20 80 180 320 500(b) Tentukan sama ada y berubah secara songsang dengan x. Kemudian, tulis hubungan tersebutdalam bentuk ubahan.Determine whether y varies inversely as x. Then, write the relation in the form of variation.x 4 9 16 25 36y 9 6 4.4 3.2 3[4 markah]Jawapan:3. Y berubah secara langsung dengan x - 1 dan y = 21 apabila x = 4.Y varies directly as x - 1 andy = 21 when x= 4.(a) Tentukan pemalar k.Determine the constant, k.[3 markah](b) Ungkapkan y dalam sebutan x. Express y in terms of x[1 markah]Jawapan:4. Tekanan, p N m² pada roda kereta sorong berubah secara langsung dengan jisim kereta sorong, m kgdan secara songsang dengan luas permukaan sentuhan roda dengan tanah, l m². Diberi bahawa tekanan roda ialah 36 000 N m² apabila jisim kereta sorong ialah 80 kg dan luas permukaan sentuhan rodadengan tanah ialah 0.04 m². Ungkapkan p dalam sebutan m dan l .The pressure, p N m², on the tyre of a wheelbarrow varies directly as the mass of the wheelbarrow, m kg, and inversely as the surface area of the tyre touching the ground, l m. It is given that the pressure on the tyre is 36 000 N m² when the mass of the wheelbarrow is 80 kg and the surface area of the tyre touching the ground is 0.04 m². Express p in terms of m and l .[4 markah]Jawapan:
28zz5. Y berubah secara Songsang dengan x-5 dan y =7 apabila x=8. Cari nilai x apabila y=3.Y varies inversely as x- 5 and y = 7 when x= 8. Find the value of x when y = 3.[4 markah]Jawapan:6. Diberi w berubah secara tercantum dengan x dan y2tetapi secara songsang dengan . w=6 apabila x=4, y=5 dan z=25.Given w varies jointly as x and y2 but inversely as . w=6 when x=4, y=5 and z=25.(a)Ungkapkan w dalam sebutan x, y dan z Express w in terms of x, y and z.[1 markah]Jawapan:(b)Hitung nilai w jika x=2, y=6 dan z=16.Calculate the value of w if x=2, y=6 and z=16.[3 markah]Jawapan:Bahagian B1.(a) Jadual berikut menunjukkan perubahan tiga kuantiti, s, q dan r.The following table shows the changes in three quantities, s, q and r.s 18 27 3q 8 m 12r 2 8 nDiberi s berubah secara langsung dengan q dan secara songsang dengan kuasa dua r.Given s varies directly as g and inversely as the square of r.(i)Ungkapkan s dalam sebutan q dan rExpress s in term of q and r(ii)Hitung nilai m dan nCalculate the value of mand of n[6 markah]Jawapan:(b) Puan Nazirah membakar beberapa biji kek untuk dijual. Dia membakar 15 biji kek dengan bet menggunakan 5 paket tepung gandum. Diberi bilangan kek, n, berubah secara langsung denganbilangan paket tepung gandum, p. Hitung bilangan kek yang dibakar oleh Puan Nazirah jika diamenggunakan 9 paket tepung gandum.Puan Nazirah baked a few of cakes for sale. She baked 15 cakes and used 5 packets of flour. Given that the number of cakes, n, varies directly with the number of packets of flour, p. Calculate the number of cakes baked by Puan Nazirah if she uses 9 packetsof flour.[3 markah]Jawapan:
292. (a) Diberi p berubah secara langsung dengan punca kuasa dua x dan berubah secara songsangdengan y. Diberi p= 8 apabila x = 9 dan y = 6.Given p varies directly as the square root of x and inversely as y. Given p = 8 when x =9 and y= 6.(i)Cari persamaan yang mengaitkan x dan y.Find the equation that relates x and y.(ii) Hitung nilai x apabila p =3 dan y =4.Calculate the value of x when p= 3 andy = 4.[5 markah]Jawapan:(b) Masa yang diambil untuk membina bangunan berubah secara langsung dengan bilangan tingkatbangunan dan secara songsang dengan bilangan pekerja. Diberi 10 orang pekerja mengambil masa8 hari untuk membina 4 tingkat bangunan. Hitung bilangan pekerja yang terlibat untuk membina9 tingkat bangunan dalam masa 12 hari.The time taken to build a building varies directly as the number of floors of the building and inversely as the number of workers. Given that 10 workers took 8 days to build 4 floors of the building. Calculate the number of workers involved to build 9 floors of the building in 12 days.[4 markah]Jawapan:3.(a) Voltan, V (Volt) bagi suatu peralatan elektrik berubah secara langsung dengan kuasa, P (Watt)dan secara songsang dengan arus, I (Ampere). Diberi bahawa sebuah cerek elektrik berkuasalebwan bervoltan 240 V menggunakan arus elektrik 5 A. Hitung arus elektrik yang digunakanoleh sebuah periuk nasi berkuasa 700 W dan bervoltan 240 V.The voltage, V (Volt) for an electrical appliance varies directly as the power, P (Watt) and inversely as the electric Curent, I (Ampere). It is qiven that an electric kettle with a power of 2 000 W and voltage of 240 V uses an electric current of 5 A. Calculate the electric Current used by a rice cooker with 700 W of power and 240 V of voltage.[4 markah](b) Encik Ikmal ingin memasang jubin berbentuk segi empat tepat di bilik tetamunya. Bilanganjubin yang diperlukan, J berubah secara songsang dengan panjang, p m dan lebar, l m, jubin yangdigunakan. Encik Ikmal memerlukan 240 keping jubin jika dia menggunakan jubin berukuranpanjang 0.6 m dan lebar 0.5 m.Encik Ikmal wants to install rectangular tiles in his guest room. The number of tiles needed, J varies inversely as the length, p m, and width, l m, of the tiles used. Encik Ikmal needs 240 pieces of tiles if he uses a tile with length of 0.6 m and width of 0.5 m.(i) Hitung bilangan jubin yang diperlukan oleh Encik Ikmal jika jubin yang digunakan mempunyai panjang 0.9 m dan lebar 0.8 m.Calculate the number of tiles needed by Encik Ikmal if the tile used has a length of 0.9 m and width of 0.8 m.(ii) Apakah perubahan yang akan berlaku pada bilangan jubin yang diperlukan jika luas jubinberkurang?What is the change in the number of tiles needed if the area of the tile decreases?Jawapan:Kertas 11.B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B 7.C 8.C 9.A 10.C11.B 12. D 13.D 14.B 15.D 16.C 17.A 18.A 19.C 20.C21.B 22.A 23.B 24.B 25. D 26..A 27.A 28.D 29.D 30.B31.B 32.D
30 2310xywz=275w =Kertas 2 (Bahagian A)1.(a)3 2 l m n (b)32qpr(c) 1tsu(d) 23wxvy2.(a)Nilai 2yxialah pemalar, maka 2y x (b)Nilai xybukan pemalar, maka y tidak berubah secara songsang dengan x3.(a)k=7(b)y=7(x-1)4.18mpl =5.x=12 6.(a) (b)Kertas 2 (Bahagian B)1.(a)(i)29qsr =(ii)m=192n=6(b)n=272.(a)(i)16 xpy =(ii) 916(b)15 pekerja diperlukan untuk membina 9 tingkat bangunan3.(a) l A =1.75(b)(i)100 keping(ii)bilangan jubin yang diperlukan bertambahSantai Matematik2=6 ÷ Jawapan: (9+3)
31Bab 2MatriksMatricesArthur Cayley (1821-1895)Arthur Cayley (1821-1895) seorang ahli matematik Inggeris yang membangunkan teori matriks dari aspek algebra dalam karyanya A Memoir on the Theory of Matrices. Cayley mencipta matriks semasa membuat kajian tentang teori transformasi. Dua orang ahli matematik Amerika Syarikat, Benjamin Peirce (1809-1880) dan Charles S. Peirce (1839-1914) turut bersama-sama Cayley dalam pembangunan matriks algebra.
32Tips1. Matriks ialah nombor-nombor yang disusun dalam baris atau lajur untuk membentuk satu tatasusun segi empat tepat atau segiempat sama2. Peringkat matriks boleh ditentukan dengan menghitung bilangan baris diikuti dengan bilangan lajur matriks Tersebut. *[baris (row) garis melintang] [lajur (column) garis menegak]3. P=Q jika dan hanya jika kedua-dua matriks mempunyai peringkat yang sama dan setiap unsur sepadannya sama4. Penambahan dan penolakan matriks hanya boleh dilaksanakan pada matriks yang sama peringkat5. Jika matriks A mempunyai peringkat m x n dan matriks B mempunyai peringkat n x p, maka pendaraban AB boleh dilakukan dan peringkat AB ialah m x p6. Matriks identity I, apabila didarabkan dengan suatu matiks A, akan menghasilkan matriks A AI IA A = =• Jika kertas 1 menggunakan kalkulator adalah digalakkan manakala kertas 2 hanya untuk mengesahkan jawapan, jalan kira mesti juga ditunjukkan yang melibatkan markah sahaja.• Untuk kertas 2 soalan terbahagi kepada 2 pecahan a dan b, a akan menguji inverse matrix / matriks sonsang dan b akan menguji simultaneous linear equations with matrix method. Untuk b sebenarnya pelajar tidak perlu membuat pendaraban matriks semasa menyelesaikan soalan tersebut caranya seperti contoh di kertas 2.Kertas 2• Simultaneous linear equations using matrix method ( jawapan boleh disemak menggunakan kalkulator seperti tajuk simultaneous linear equations) tetapi penyelesaian hanyalah dengan kaedah matrik sahaja. Kaedah lain tidak diterima. • Hanya penguasaan kemahiran matriks sonsangan sahaja diperlukanPanduan kalkulatorContoh pendaraban matrik sebelum menggunakan kalkulator pelajar tetap perlu mahir menggunakan method biasa kalkulator hanya method alternativeA=[1 24 0−2 5] darab B= [−1 0 32 −4 1]1. Press Mode 3 kali2. Press 2 (MAT)3. Press shift MAT then press 1 (dim)4. Press 1 (A) then press 3=2=5. Input elemen 1=2=4=0=-2=5= then press AC6. Press shift MAT then press 1 (dim)7. Press 2 (B) then 2=3=8. Input elemen -1=0=3=2=-4=1= then press AC9. Press shift MAT then 3 then 1 (A) then press X shift MAT 3 then 2(B) then =
33Kemudian jawapan yang diberi susunlah ikut order dalam kes ini matrik 3 x 2 dan matrik 2x3 maka jawapannya ialah matrik 3 x 3 susunlah dengan menekan arrow kebawah ke atas kekiri dan kanan untuk elemen seterusnya:[3 −8 5−4 0 1212 −20 −1]Begitulah sesuai untuk semua matrik yang boleh darabUntuk menyelesaikan persamaan linear serentak menggunakan kaedah matrik ianya sebegini sahajaAndaikan kita diberi soalan Dengan menggunakan kaedah matriks, hitungkan nilai x dan nilai y yang memuaskan pesamaan linear serentak berikut :Using matrices, calculate the value of x and of y that satisfy the following simultaneous liner equation :Equations asal−2x + 5y = 12−x + 4y = 31. Susun kedalam acuan matrik seperti berikut iaitu kurungan untuk nombor pembolehubah dan jawapan:[ ][ ] = [ ]2. masukkan elemen kedalam acuan[−2 5−1 4][??] = [123]3. Inverse matrik itu selalunya telah dibuat pada soalan A Cuma susun semula seperti berikut:[??] = −13[4 −51 −2][123]4. Bila sampai step ini tiada apa yang perlu dibuat lagi gunakan kalkulator untuk mengira simultaneous menggunakan equations asal maka jawapannya ialah x=-11 manakala y=2 kemudian masukkan jawapan seperti berikut:5. [??] = [−112] dan kemudian keluarkan jawapan itu sahaja x= -11, y=2• Tiada kemahiran darab yang perlu ditonjol disini inilah taktikal untuk mendapat markah penuh.
34Teknik alternatif (Teknik ROCO :Inovasi Oleh Pn.Noraini Kassim)Contoh : 1 4 3 15 2 2 6 − − − −Step 1: Susun1 45 2 − − 3 12 6 − − Step 2 :1 45 2 − − 3 12 6 − − Pada persilangan ( yang dibulatkan itu ialah ditulis hasil darabStep 3:1 45 2 − − 3 12 6 − − Pelajar akan tahu hasil darab matrik ialah matrik 2 X 2Step 4 :Pada setiap persilangan itu ditulis hasil darab(1 3) ( 4 2) − + − (1 1) ( 4 6) − + − (5 3) ( 2 2) − + − (5 1) ( 2 6) − + − Jawapan :11 2519 17 − − − −GERBANG ISTILAHmatriks matrixmatriks baris row matrixmatriks identiti identity matrixmatriks lajur column matrixmatriks segi empat sama square matrixmatriks segi empat tepat rectangular matrixmatriks sifar zero matrixmatriks songsang inverse matrixpendaraban skalar scalar multiplicationpenentu determinantperingkat orderunsur elementPanduan kalkulator ClasswizeAddition and subtraction of matricesExample: Solve each of the following.
35 1 2 5 0( ) 53 4 5 2a − = −0 1020 18A 0 1010 18B 4 28 2C − 10 1010 22D ( ) ( ) ( ) 1( ) 7 4 2 6 12 4 4 b − − + = A (8 2) B (13 1) C (12 1− ) D (8 2)1 2 5 0( ) 53 4 5 2a − = −Answer: B
36 ( ) ( ) ( )1( ) 7 4 2 6 12 44b − − + =Answer: C
37Multiplication of two matricesExample:2 1 2( )4 3 5a − = 17A 923B 4 28 15C − − − 4 81 15D − − ( )1( ) 2 13b − = A (−1) B (2 3− )23C − 2 16 3D − −2 1 2( )4 3 5a − = Answer: A
38 ( )1( ) 2 13b − = Answer: DInverse matricesExample: (a) Given that 2 1 1 07 4 0 1P − = −, find the matrix P.4 17 4A − − − − 2 17 4B − −2 17 4C 112722D −− − −
39 12 1( )7 4a P− −= −Answer: AExample:(b) (i) Find the inverse matrix of 2 14 3 . (ii) Hence, calculate the values of x and y that satisfies the following matrix equation:2 1 34 3 5xy =
40Define 2 14 3 as ‘MatA’ and 35 as ‘MatB’.(i) Find12 14 3− Answer:3 11 3 12 22 4 2 2 1or − − − −
41 957 156 2450957 2450 1561562450957 9571562450 62 64 7585 60 68 68 7560 6485 62 85 60 6862 64 75 85 7560 6468 62 (ii) 12 1 34 3 5xy− = Answer: 21xy = −. Thus, x = 2 and y = −1.Kertas 12.1 Koordinate elemen / Element coordinate1. Diberi K = , jika k22 mewakili satu unsur dalam K, apakah k?Given K = if k22 denotes an element in K, what is k?A. 0 B. 1C. -2 D. 52. Sebuah muzium arkeologi telah dikunjungi oleh 957 orang remaja, 2 450 orang dewasa dan 156 orang warga emas. Antara yang berikut, yang manakah mewakili maklumat di atas?An archeology museum is attended by 957 teenagers, 2 450 adults and 156 senior citizens. Which of the following represents the above information?A. B.C,D.3. Dalam peperiksaan akhir tahun, Rosminah telah mendapat 85 markah untuk matematik, 60 markah untuk Sains dan 68 markah untuk Kimia. Tarvind pula telah mendapat 75 markah untuk matematik, 64 markah untuk sains dan 62 markah untuk kimia. Antara maklumat berikut, yang manakah diwakilkan dengan betul dalam bentuk matriks?In the final year Examination, Rosminah scores 85 marks for mathematics, 60 marks for science and 68 marks for chemistry. Tarvind scores 75 marks for mathematics, 64 marks for science and 62 marks for chemistry. Which of the following information is represented in the form of matrices correctly?A. B.C. D. \\1 30 52 7 −1 30 52 7 −
42 2 7 156 13 8 − 2 7 156 13 8 − 8 3 1219 25 6P −= −8 3 1219 25 6P −= −4 5 136 8 69 17 2Q − = − −4 5 136 8 69 17 2Q − = − −3058 − 2135 1 7 − −15 7 1312 7 46 5 2 − − −(13 8− )6 4 2 41 3 1 3 x y = 6 4 2 41 3 1 3 x y = 2.2 Peringkat matriksOrder of matrix4. ialah satu matriks peringkat m × n. Apakah nilai m dan n? is a m× n matrix. What are the value of m and of n? A m = 2, n = 3 C m = 2, n = 1 B m = 3, n = 2 D m = 3, n = 35. Antara yang berikut, manakah matriks peringkat 3 × 1?Which of the following is a matrix of order 3 × 1? A C B D 6. Diberi , apakah nilai x dan nilai y?Given , what are the value of x and of y?A x = 1, y = 2 C x = 4, y = 3 B x = 1, y = 3 D x = 2, y = 2 7. Diberi matriks . Antara yang berikut, yang manakah peringkat yang betul bagi matriks P? It is given the matrix . Which of the following is the correct rank of the matrix P?A 2 x 2 B 2 x 3C 3 x 2 D 3 x 38. Diberi matriks . Apakah unsur yang berada di baris 3 dan lajur 2?It is given the matrix . What is the elements are in row 3 and column 2?A 8 B 2C -6 D -17
43 12 45 278 32R − = −12 45 278 32R − = −34 2618 45S − −= 34 2618 45S − −= 9. Diberi matriks .Antara yang berikut, yang manakah unsur r21? It is given that matrix .Which of the following is an element of r21?A -8 B -4C 5 D 2710. Diberi matriks .Hitung nilai S11 + S22. It is given that matrix .Calculate the value of S11 + S22. A -60 B -8C 11 D 632.3 Penambahan matriksMatrix addition11. Diberi 2 85 3 − − −+ H =0 163 11 , cari matriks H. Given2 85 3 − − −+H=0 163 11 , find the matrix H.A2 87 8 − C2 2417 8 − B2 248 8 D 0 60 4 12. 2 34 09 6 − −+1 32 85 7 − −=A3 66 814 1 − C 3 06 84 1 − B3 66 84 1 − D 3 66 84 13 − 13. Diberi J +273 − −= 610 , apakah matriks J?Given J+273 − − =610 , what is the matrix J?A 863 − C883 B863 − − D 863 −
442.4 Penolakan matriksMatrix substraction14. 31 40 2 − –2 53 4 − − =A5 73 2 − −C5 13 2 − − −B5 93 2 − − −D5 13 2 −1. Lihat kombinasi jawapan yang paling berbeza, lakukan itu sahaja2. Elemen 1,2 paling berbeza jadi hanya buat itu3. 3(-4)-(-5) maka jawapan -7.4. Oleh itu A lah jawapan15. Diberi 3 0 64 5 8 − − −– P=6 0 91 6 1 − −apakah matriks P?Given 3 0 64 5 8 − − −–P=6 0 91 6 1 − −, what is the matrix P?A9 0 153 1 9 − − C 9 0 33 1 9 − − B_ 9 0 153 1 7 − D_ 9 0 153 11 9 − 2.5 Pendaraban matrikMatrix multiplication16. Antara matriks yang berikut, manakah boleh didarab?Which of the following matrices can be multiplied?A 13 4 90 5 C 25 −17 B (3 3)43 − − D 2 56 1 − −(6 1− )17. Diberi 53 (2 4)= X, cari matriks X.Given53 (2 4)= X, find the matrix X..A.106 − −C. (30 18) B.3018 D. 10 206 12 18. Cari nilai bagi 23 − (7 0) .Find the value of 23 − (7 0).A(−14) C (−14 0) B14 021 0 − D 140 − 19. Jika (5 4− )2kk = (12), cari nilai k.If (5 4− )2kk =(12), find the value of k.A 2 C 4 B 3 D 6
4520.3 21 3 − 42 −=A162 − −C 82 − B162 − D 162 21. 2 2 50 3 103 9 0 − − = K8 8 200 12 4012 36 0 − − . Cari nilai K.2 2 50 3 103 9 0 − − =K8 8 200 12 4012 36 0 − − . Find the value of K.A –14C 4 B14 D –422. Diberi 2 01 1 − − 2 p = 132 − , cari nilai p.Given2 01 1 − − 2 p =132 − , find the value of p.A –12C 1B12D 223. Diberi 1 1a 6 ab = 1581, cari nilai bagi a + b Given 1 1a 6 ab = 1581, find the value of a+b..A 6 C 15 B 8 D 1224.2 3m 0 − −225 0 m =A21122mmm − − − C21122mmm − − B21122mmm − D21122mmm − − 25. Diberi 2 13 2 − −p qr s =2 13 2 − −, maka p + q + r + s =Given2 13 2 − −p qr s =2 13 2 − −,then p+q+r+s=A 0 C 2 B 1 D 426. Cari nilai g dan h, jikaFind the values of g and h such that (4 2− g )1 427 8h − = (1 28) . A g = 1, h = –2 C g = 2, h = 1B g = 1, h = 5 D g = 5, h = 1
46 2 5 1 4 8 18 (m n ) + = ( ) ( )2 5 1 4 8 18 (m n ) + = ( ) ( )27. Diberi 25 4mn − 13 =188n , cari nilai bagi m – n. Given25 4mn − 13 =188n , find the value of m–n. A –54C 24B 2514D –3028. 4 0 21 8 6 − − 459 − =A290 − −C(−2 90)B290 D290 − 29. Diberi 2 45 2 − −ab =1411 −, cari nilai bagi b – a .Given2 45 2 − −ab =1411 −, find the value of b–a..A –1 C 3 B 2 D 430. Diberi (3 2− )4x = (6), apakah nilai x?.Given (3 2− )4x =(6), what is the value of x?A 3 C 5B 4 D 6 2.6 Operasi gabungan matriks31. Ungkapan 221 –239 +125 sebagai satu matriks tunggal. Express 221 –239 +125 as a single matrix.A142 −C821 − B1020 − D 2234 32. Diberi , cari nilai bagi m + n.Given , find the value of m+n.A m= 2, n= 2 C m= 2, n= 3B m= 3, n= 2 D m= 3, n= 1 33.2 8 46 10 − –9 51 4 −=A17 2725 36 − C17 277 36 − B17 2723 36 − D11 37 6 − 34.4 0 20 1 –1 8 42 10 6 − −–1 00 1 =A1 410 5 − − C3 25 4 −B3 25 0 − − D1 25 4 −
4735.2 86 10 − +1 16 62 12 4 –1 24 3 −=A13 1222 11 C5 916 9 B9 916 9 D5 98 9 36. 5 230 4 − –0 43 4 − −=A15 23 8 − −C5 23 8 −B15 103 16 − −D15 23 16 − −37. Diberi persamaan matriks 3 4 4 2 4 7 , ( p q ) + − = ( ) ( )cari nilai bagi p – q. Given the matrix equation 3 4 4 2 4 7 , ( p q ) + − = ( ) ( )find the value of p–q. A 1 C 3 B 2 D 538. Diberi 3 0 4 2 5 125 1 14 8 2 5h − − −− = − −cari nilai h.Given3 0 4 2 5 125 1 14 8 2 5h − − −− = − −find the value of h.A 12C 14B –12D –142.6 Matriks Identiti / Identity matrix39.2 3 1 0 1 0 3 13 4 0 1 0 1 5 3 −− = −A1 42 6 C1 22 2 − − B1 22 6 − − D1 42 7 − −40. Jika K =2 13 5 − −dan L =1 00 1 , cari matriks KL If K=2 13 5 − −and L=1 00 1 , find the matrix KL.A2 13 5 − −C 2 31 5 − − B 2 13 5 − − D 2 13 5 − − − −2.7 Matriks songsang / Inverse matrix41. Diberi 24mn ialah matriks songsang bagi 4 17 2 , cari nilai bagi m + n. Given24mn is the inverse matrix of4 17 2 , find the value of m+n.A –1 C –8B –7 D 842. Diberi bahawa matriks 2 43 k − tidak mempunyai matriks songsang, cari nilai k.Given that matrix2 43 k − has no inverse matrix, find the value of k.A –2 C 6 B –6 D 12
4843. Cari matriks songsang bagi 2 31 2 − −Find the inverse matrix of2 31 2 − −..A2 13 2 − −C2 13 2 − − − B2 13 2 − − D2 31 2 − − − −44. Diberi G = 5 11 3 − −dan G–1 = 3 11 5h , cari nilai h.Given G =5 11 3 − −and G–1 =3 11 5h ,find the value of h.A114C 14 B116 D 1645. Diberi P2 13 4 − −= 1 00 1 , cari matriks P.Given P2 13 4 − −= 1 00 1 , find the matrix P.A 1 4 13 2 5C4 1 53 2 B 1 4 13 2 5 D 1 4 15 3 2 − − −46. Diberi matriks songsang bagi 1 1a b ialah 1 6 1x 9 1 − −, cari nilai x.Given the inverse matrix of 1 1a b is1 6 1x 9 1 − − , find the value of x.A –3 C 15B 3 D –1547. Diberi matriks P = 32 4 k − dengan keadaan P tidak mempunyai matriks songsang, cari nilai kGiven that matrix P = 32 4 k −where P does not have inverse matrix, find the value of kA. -6 C.4B. -4 D.648. Jika serentak persamaan linear ax + 2y = 4 dan bx-y = 3 tiada penyelesaian, nyatakan hubungan antara a dan bIf the simultaneous linear equations ax+2y=4 and bx-y=3 have no solutions, express the relation between a and b.A. 2a-b = 0 C. -a-2b=0B. 2a +b =0 D. a+2b=0
49Kertas 2 (Bahagian A)1.Permudahkan setiap yang berikut.Simplify each of the following.(a) 5 7 4 2 5 76 8 13 8 8 10 − −+ − − −(b) 6 8 4 5 2 315 5 7 14 6 4 + −+ − − −[4 markah]Jawapan:2. Diberi matriks L =2 126 5 , matriks M=4 37 2 − dan matriks N= 6 48 9 − −. Tunjukkan bahawa (L+M)+N=L+(M+N).It is given that matrix L =2 126 5 , matrix M=4 37 2 − and matrix N= 6 48 9 − −. prove that (L+M)+N=L+(M+N).[4 markah]Jawapan:3. Diberi matriks 2 34 1T −= dan matriks 3 54 2U −= −. HitungIt is given that matrix 2 34 1T −= and matrix 3 54 2U −= −. Calculate(a) 2T (b) 2 UT[4 markah]Jawapan:4. Diberi matriks 32 5pW −= dan matriks 4 23 1X −= −. Hitung nilai p,q dan r jika 24 5.523 144qXW p r − = + − .It is given that matrix 32 5pW −= and matrix 4 23 1X −= −. Calculate the values of p,q and r if 24 5.523 144qXW p r − = + − .[4 markah]Jawapan:Bahagian B1.(a) Diberi bahawa matriks5 42 1P −= dan matriks12 5hQ k = −dengan keadaan1 00 1PQ = . Hitung nilai k dan hIt is given that matrix5 42 1P −= and matrix12 5hQ k = −such that 1 00 1PQ = . Calculate the values of[4 markah]Jawapan: (b) Puan Naemah telah membeli x biji kek cawan dan y biji kek pisang untuk 40 orang murid. Harga bagi sebiji kek cawan ialah RM5 dan harga bagi sebiji kek pisang ialah RM4. Jumlah harga bagi kek itu ialah RM179. Dengan menggunakan kaedah matriks, hitung bilangan kek cawan dan kek pisangyang dibeli oleh Puan Naemah.Puan Naemah bought x cupcakes and y banana cakes for 40 students. The price for a cupcake is RM5 and the price for a banana cake is RM4. The total price for the cakes is RM179. By using matrix method, calculate the number of cupcakes and banana cakes bought by Puan Naemah.[5 markah]Jawapan: