การออกแบบเครื่องจักรกล (Machine Design)

80 การออกแบบเครืองจกั รกล

ทฤษฎกี ารเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 81

4.1.2 ทฤษฎีความเค้นเฉือนสูงสุด

ทฤษฎีนีเสนอโดยคูลอมป์ (Coulomb) แลว้ นาํ ไปประยุกตใ์ ชโ้ ดยเทรสคา (Tresca) ทฤษฎีนีให้ความสําคญั กบั ความ
เคน้ เฉือนทเี กดิ จากการเฉือนหรือการเลือนของระนาบผลกึ โดยกาํ หนดเงอื นไขของการเสียหายไวว้ า่ “ความเสียหาย
จะเกดิ ขึนเมอื คา่ ความเคน้ เฉือนสูงสุดของชินส่วนนนั มีค่าเทา่ กบั คา่ ความเคน้ เฉือนสูงสุดทีเกิดขนึ ณ จดุ เสียหายจาก
การทดสอบการดึง” ซึงสามารถเขยี นเป็นสมการไดว้ ่า

 max ในชิ นงาน =  max ทเี กดิ ในการทดลอง (4.4)

หากเราพิจารณาการทดสอบการดึงมาตรฐาน (Standard Tensile Test) จะเห็นว่าเนืองจากการทดสอบนีเป็ นความ
เคน้ ใน 1 มติ ิ (Uniaxial Stress) จงึ เขยี นวงกลมอห์รไดเ้ ป็นดงั รูปที 4.3

ดงั นนั จากสมการที (4.4) เราจงึ สามารถเขยี นเงอื นไขการเสียหายเมอื ใชท้ ฤษฎีความเคน้ เฉือนสูงสุด (MSS) ไดเ้ ป็น

 max  S yt (4.5)
2

อนึงขอทําความเข้าใจไว้ด้วยว่าในการคํานวณความเสียหายนันอาจใช้ค่าความแข็งแรงทีจุดคราก (Yield
Strength, S yt ) หรือค่าความแข็งแรงสูงสุด (Ultimate Strength, Sut ) ก็ได้ ทงั นีขึนกบั ชนิดวสั ดุและจุดประสงคก์ าร
ใชง้ าน โดยทวั ไปการใชค้ า่ S yt จะให้ความปลอดภยั ทีดกี ว่า

รูปที 4.3 แสดงวงกลมของมอห์รของการดึงมาตรฐานซึงเป็นความเคน้ 1 มิติ (Uniaxial Stress)
จากสมการที (4.5) สามารถแยกพจิ ารณาไดเ้ ป็น 2 กรณีคือ 1) เมอื  A และ  B มที ิศทางตรงขา้ มกนั ดงั รูปที 4.4

82 การออกแบบเครืองจกั รกล

รูปที 4.4 แสดงวงกลมของมอหร์ กรณีที  A และ  B อยู่คนละดา้ น
จากรูปที 4.4 จะเหน็ ว่าค่าความเคน้ เฉือนสูงสุดสามารถหาไดจ้ าก

 max  A B (4.6)
2 (4.7)
(4.8)
และจากสมการที (4.5) และ (4.6) จะไดว้ ่า

S yt   A   B
22

หรือ

S yt   A   B

2) ในกรณีที  A และ  B อยทู่ ศิ เดียวกนั ดงั รูปที 4.5

(ก) (ข)
รูปที 4.5 แสดงวงกลมของมอห์รในกรณีที  A และ  B อยใู่ นทิศเดยี วกนั

ทฤษฎกี ารเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 83

ในกรณีนีจะเหน็ ว่า ถา้  A และ  B มีทศิ เป็นบวก (+) ทงั คู่ (รูปที 4.5 (ก)) จะได้

 max  A (4.9)
2

และถา้  A และ  B มีทศิ เป็นลบ (-) ทงั คู่ (รูปที 4.5 (ข)) จะได้

 max  B (4.10)
2

ดงั นนั จากสมการที (4.8) และจากการแทนสมการที (4.9) และ (4.10) ลงในสมการที (4.5) จะได้

S yt   A   B สาํ หรับกรณีที (1) (4.11)
สาํ หรับกรณีที (2)
S yt   A หรือ S yt   B

และถา้ หากให้ N เป็ นค่าความปลอดภยั (Safety Factor) สมการที 4.11 จะเขียนใหม่ได้เป็ นสมการที (4.12) และ
(4.13) เมอื พิจารณาค่าความปลอดภยั ดว้ ย
1) เมือ  A และ  B มีทศิ ทางตรงขา้ มกนั

A B   1 (4.12)
S yt S yt N

2) ในกรณีที  A และ  B อยู่ทศิ เดยี วกนั

 A   1 หรือ  B   1 (4.13)
S yt N S yt N

สมการที (4.12) และ (4.13) เป็นสมการทีใช้ทาํ นายการเสียหายตามทฤษฎีความเคน้ เฉือนสูงสุด (MSS) และเขียน
เป็นกรอบความเสียหายไดด้ งั รูปที 4.6

จากรูปที 4.6 จะเห็นว่ากรอบความเสียหายตามทฤษฎีนีเหมือนกบั กรอบความเสียหายตามทฤษฎีความเคน้ หลัก
สูงสุดในควอทแรนต์ที 1 และ 3 ส่วนในควอทแรนตท์ ี 2 และ 4 นันกรอบความเสียหายของทฤษฎีนีจะแคบกว่า
เนืองจากผลของความเคน้ เฉือน ซึงทฤษฎนี ีใหค้ วามสนใจนาํ มาพิจารณาเป็นกรอบการเสียหาย

นอกจากนีทฤษฎีนียงั อธิบายปรากฏการณ์เกียวกับชินส่วนภายใตแ้ รงดันคงที (ซึงจะเรียกว่าปัญหา Hydrostatic
Stress Problem) ได้เป็นอย่างดี การทดลองเกียวกบั Hydrostatic Stress คือการทดลองเกียวกบั ความดนั ทกี ระทาํ กบั
ชินงาน โดยทีความดันนัน ๆ เป็ นความดนั ทีเท่ากนั ทุกทิศทางซึงจะก่อให้เกิดความเคน้ เท่ากันทุกทิศทาง จากการ
ทดลองพบว่าแมว้ ่าความดนั (และความเคน้ ) ทีเกิดขนึ จะสูงมาก ๆ แตช่ ินงานก็ไมเ่ สียหาย เช่นแผ่นเหลก็ ทีจมอยู่ใต้
นาํ ทะเลลึกหลายๆรอ้ ยเมตรก็จะไม่มีการเสียรูป ทงั ๆทีตามทฤษฎีความเคน้ หลกั สูงสุด (MNS) ทาํ นายไวว้ า่ ควรจะ
พงั เนืองจากความเคน้ ทเี กิดขนึ นนั สูงจนเกินคุณสมบตั ิของวสั ดุ เพือความเขา้ ใจตรงนีจะขออธิบายเพิมเตมิ เล็กนอ้ ย

84 การออกแบบเครืองจกั รกล

เกยี วกบั ปัญหา Hydrostatic Stress หากเรากาํ หนดให้ความเคน้ หลกั แต่ละตวั (Principal Stresses) ประกอบดว้ ยความ
เคน้ 2 ส่วนและสามารถเขยี นไดเ้ ป็น

1      

1 1

 2   2   2 (4.14)

3      3

3

โดยที   ,   ,   เป็ นส่วนของความเคน้ ทีเกิดจากความดันคงที (Hydrostatic Stress Components) ซึงมีค่า

1 2 3

เทา่ กนั หมดเพราะเป็นความดันทีเท่ากนั ในทกุ ทศิ ทาง ส่วน   ,  ,  เป็นความเคน้ อืน ๆ นอกเหนือจากความ

1 2 3

เค้นจากความดัน คงทีดังกล่าว ดังนันห ากมีเฉพาะความเค้น จากความดันอย่างเดียวห มายความว่า

         0 แลว้ จะไดว้ ่า

1 2 3

 12  1 2   13  1 3   23  2 3 0 (4.15)
2 2 2

B
S yt

A
O S yt

รูปที 4.6 แสดงกรอบความเสียหายตามทฤษฎีของ Tresca หรือทฤษฎีความเคน้ เฉือนสูงสุด (Maximum Shear Stress
Theory, MSS) เมือกาํ หนดให้ N = 1 เสน้ ประในควอทแรนตท์ ี 2 และ 4 แสดงกรอบความเสียหายตามทฤษฎีความ

เคน้ หลกั สูงสุด (MNS)

จากสมการ (4.15) จะเห็นได้ว่าความเคน้ เฉือนทงั 3 ตวั มีค่าเป็นศูนยท์ งั หมด ดงั นนั ภายใต้ความดันทีสมาํ เสมอทุก

ทิศทาง (Hydrostatic Stresses Problem) ชินงานจึงไมเ่ กิดการเสียหายตามทฤษฎีความเคน้ เฉือนสูงสุดของ Tresca

นอกจากนีเรายงั ทราบไดจ้ ากสมการที (4.15) อีกว่าความเคน้ จากความดนั (Hydrostatic Stress) ไมม่ ีผลตอ่ ขนาดของ

วงกลมมอห์ร (Mohr Circle) แต่มีผลต่อรูปแบบการเขียนกราฟของกรอบการเสียหายตามทฤษฎีของ Tresca

กล่าวคือเนืองจาก         ดงั นันกรอบการเสียหายตามทฤษฎนี ีจงึ เป็ นแท่งทีมีลกั ษณะเบนออกไปใน

1 2 3

แนว 45º กบั แกนทงั 3 แกน ดงั รูปที 4.7 โดยทีขนาดและรูปร่างของหนา้ ตดั จะยงั คงเหมอื นเดิมทกุ ประการ

ทฤษฎกี ารเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 85

รูปที 4.7 แสดงผลของ Hydrostatic Stress         จงึ ทาํ ให้แกนของกรอบความเสียหายของ Tresca

1 2 3

เอียงไป 45º กบั แกนทงั 3

4.1.3 ทฤษฎีความเครียดสูงสุด

ทฤษฎีนีจะให้ความสําคญั กับความเครียด (Strains) มากกว่าความเคน้ โดยกล่าววา่ “การเสียหายจะเกดิ ขึนเมือค่า
ความเครียดสูงสุดทีเกดิ ในชินส่วนมคี ่าเท่ากบั ความเครียดทเีกิดขนึ ทีจุดเสียหายจากการทดสอบมาตรฐาน”

พจิ ารณาความเครียดใน 2 มิติ (Biaxial Stress State) เมอื  3  0 จากกฏของฮคุ จะได้

A  1  A  B 
E

B  1  B  A  (4.16)
E

และในกรณีการทดสอบดงึ -กดมาตรฐานทจี ุดคราก (Yield Point)

 tensile  S yt
E

  SEcompressive yc (4.17)

ดงั นนั ตามทฤษฎีนีวสั ดจุ ะเสียหายเมอื  A  tensile หรือ  B   compressive แทนคา่ จากสมการ (4.16) ใน (4.17)
จะไดว้ ่า

 A   B  S yt หรือ  B   A  S yc (4.18)
จดั รูปใหมแ่ ละหากพจิ ารณาคา่ ความปลอดภยั ดว้ ยจะไดเ้ ป็น

86 การออกแบบเครืองจกั รกล

 A   B   1 หรือ  B   A   1 (4.19)
S yt S yt N S yc S yc N

ในกรณีที Syc  Syt จะเขียนกรอบความเสียหายไดเ้ ป็นดงั รูปที 4.8

รูปที 4.8 กรอบความเสียหายทีประมาณโดยทฤษฎีความเครียดสูงสุด
อย่างไรก็ตามทฤษฎีความเครียดสูงสุดนีไม่เป็ นทีนิยมใช้นัก เนืองจากมีทฤษฎีอืน ๆ ทีให้ผลการทาํ นายทีแม่นยาํ
มากกว่า

ตัวอย่างที 4.1 สมมุติอิลิเมนต์หนึง ๆ ถูกกระทาํ โดยความเคน้ เฉือนเพียงอย่าง (Pure Shear) จงเปรียบเทียบการ
ประมาณความเสียหายจากทฤษฎดี งั ต่อไปนี (เมอื กาํ หนดให้   0.3)

(1) ทฤษฎีความเคน้ หลกั สูงสุด
(2) ทฤษฎคี วามเคน้ เฉือนสูงสุด
(3) ทฤษฎีความเครียดสูงสุด
วิธที ํา
กรณีมีความเคน้ เฉือนเพยี งอย่างเดียวสามารถเขียนวงกลมมอหไ์ ดด้ งั รูป

ทฤษฎีการเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 87

(1) ทฤษฎคี วามเคน้ หลกั สูงสุด
จากสมการที (4.2) จะได้

 A  Sut ตอบ

แต่จากรูปวงกลมของมอห์ร  A   ดงั นนั การเสียหายจะเกดิ ขึนเมือ

   yp

(เมอื ให้ Sut   yp และใชจ้ ดุ คราก (Yield) เป็นจุดพจิ ารณา)
(2) ทฤษฎคี วามเคน้ เฉือนสูงสุด
จากสมการที (4.11) จะได้

 A   B  S yt

แตจ่ ากรูปวงกลมของมอหร์ จะเหน็ วา่  A   , B   ดงั นนั การเสียหายจะเกิดขึนเมอื

2   yp หรือ    yp ตอบ
2

(3) ทฤษฎคี วามเครียดสูงสุด

จากสมการที (4.18) จะได้

 A   B  S yt

แทนคา่  A   , B   จะไดว้ ่า

    S yt หรือ   yp
1

หากแทนคา่   0.3

ดงั นนั การเสียหายจะเกิดขนึ เมือ

   yp ตอบ
1.3

จากทงั สามคาํ ตอบจะเห็นว่าผลการทาํ นายโดยทฤษฎีต่าง ๆ ให้ผลทตี ่างกนั กล่าวคอื ตามทฤษฎีความเคน้ หลกั สูงสุด

ให้การประมาณจุดเสียหายทีสูงทสี ุดคือ    yp ในขณะทีทฤษฎีความเคน้ เฉือนสูงสุดให้การประมาณจุดเสียหาย

ทตี าํ ทสี ุดคือ   yp และทฤษฎีความเครียดสูงสุดใหก้ ารประมาณจุดเสียหาย    yp

2 1.3

ตวั อย่างที 4.2 เพลายาว 9 m ทาํ จากเหล็กเบอร์ AISI 1030 Annealed ปลายเพลารองรับดว้ ยแบริงทไี ม่มแี รงเสียดทาน
และไม่มแี รงตามแนวแกน (Thrust Load) ใชส้ ่งกาํ ลงั 75 kw ทีความเร็วรอบ 1,200 rpm จงใชท้ ฤษฎคี วามเคน้ เฉือน
สูงสุดหาขนาดของเพลาถา้ ตอ้ งการคา่ ความปลอดภยั 1.5 (เมือไม่คดิ นาํ หนกั ของเพลา)

88 การออกแบบเครืองจกั รกล

วิธที าํ
เมอื ไม่คดิ นาํ หนกั ของเพลาจะไม่เกิดแรงปฏิกริ ิยาทจี ดุ รองรับ ดงั นนั จงึ ไมม่ โี มเมนตด์ ดั (Bending Moment) และจะมี
เฉพาะความเคน้ เฉือน (Shearing Stress) ทีเกิดจากแรงบิด (Torque) เทา่ นัน โดยขนาดของความเคน้ เฉือนหาไดจ้ าก
สมการ

 xy  16T  16  60  Power
d2  d 3  2  N

แทนคา่ ตา่ ง ๆ ลงในสมการจะไดว้ ่า

  16  60 (75103 )
 d 3  2  200
xy

 xy  3.04 kPa (ส่วนค่า x  y 0 )
d3

ดงั นนั ไดค้ วามเคน้ หลกั เป็ น 1   xy   A และ  2   xy   B

จากตารางทา้ ยหนงั สือจะไดค้ ุณสมบตั ิของเหลก็ คือ S yt  317MPa และสามารถเขียนเส้นภาระ (Load Line) ใน

กรอบความเสียหายไดด้ งั นี

B
S yt  317MPa

A
S yt  317MPa

Load Line

จากรูปเส้นภาระอยใู่ นควอทแรนตท์ ี 4 ซึงจากทฤษฎคี วามเคน้ เฉือนสูงสุดจะไดส้ มการของเส้นกรอบความเสียหาย
วา่

A  B  S yt
N

แทนค่าต่าง ๆ ลงในสมการ

 3.04  3.04   10 3  317 106
 d3  1.5
 d3

d  0.0306 m หรือ 31mm ตอบ

ทฤษฎกี ารเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 89

1. สอนบรรยาย

วธิ ีสอนและกจิ กรรม 2. ยกตวั อยา่ งประกอบ
สือการสอน
งานทมี อบหมาย 3. ใหน้ กั ศึกษามสี ่วนร่วมในการเรียนการสอนดว้ ยวธิ กี ารถาม-ตอบ
การวัดผล
หนงั สือ -
อ้างองิ

เอกสาร 1. เอกสารคาํ สอนรายวิชาการออกแบบเครืองจกั รกล

ประกอบ 2. Powerpoint ประกอบการสอนในแตล่ ะหน่วยเรียน

วัสดุโสต 1. กระดานขาว-ปากกาเขยี นกระดานขาว

ทัศน์ 2. เครืองฉาย Projector

1. แบบฝึกหดั
2. คน้ ควา้ จากเอกสารทีเกยี วขอ้ ง

1. สงั เกตจากพฤตกิ รรมและความสนใจในห้องเรียน
2. การตอบคาํ ถาม
3. ประเมินงานทีนกั ศึกษาคน้ ควา้ มาได้
4. ตรวจแบบฝึกหัด/แบบทดสอบ

90 การออกแบบเครืองจกั รกล

ทฤษฎกี ารเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 91

สัปดาห์ที 6 ใบเตรียมการสอน รหสั วิชา 03-407-071-303

เวลา 3 ชัวโมง หน่วยที 4 ทฤษฎีความเสียหายภายใต้แรงกระทําคงที

ชือบทเรียน 4.1 ทฤษฎีความเสียหายสาํ หรับแรงกระทาํ คงที เวลา 180 นาที

จุดประสงค์การสอน

4.1 คาํ นวณทฤษฎคี วามเสียหายสําหรับแรงกระทาํ คงที

4.1.4 คาํ นวณทฤษฎพี ลงั งานความเครียดสูงสุด

4.1.5 คาํ นวณทฤษฎคี วามฝืดภายในหรือสมมตุ ฐิ านของคลู อมบ-์ มอหร์

ใบเตรียมการสอน บทเรียนที 4.1 ถึง 4.1 หนา้ 93 ถงึ 103

เนือหา 4.1 ทฤษฎีความเสียหายสําหรับแรงกระทําคงที

4.1.4 ทฤษฎพี ลงั งานความเครียดสูงสุด

4.1.5 ทฤษฎคี วามฝืดภายในหรือสมมตุ ฐิ านของคลู อมบ-์ มอห์ร

92 การออกแบบเครืองจกั รกล

ทฤษฎีการเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 93

4.1.4 ทฤษฎพี ลังงานความเครียดสูงสุด

ทฤษฎีต่อไปนีเป็ นทฤษฎีทีนิยมใชใ้ นการทาํ นายการเสียหายของวสั ดุเหนียว เป็ นทฤษฎีทีเสนอโดย Von Mises
บางครงั จงึ เรียกวา่ ทฤษฎกี ารเสียหายของ Von Mises ทฤษฎนี ีใหค้ วามสนใจกบั พลงั งานทีกอ่ ให้เกิดการเสียรูป โดย
กล่าวว่า “การเสียหายจะเกิดขึนเมือพลงั งานความเครียดต่อปริมาตรทีเกิดขึนในชินส่วนนันมีค่าเทา่ กับพลงั งาน
ความเครียดทีเกิดทีจุดเสียหายจากการทดสอบมาตรฐาน” หมายความว่าในทฤษฎีนีนันพลังงานจากการเสียรูป
(Strain Energy) จะเป็ นตวั ทาํ ให้เกดิ การเสียหาย กล่าวคือถา้ พลงั งานนีเท่ากบั พลงั งานทีเกิดขึนในการทดสอบแลว้
ชินส่วนนนั กจ็ ะเสียรูปหรือเขียนเป็นความสมั พนั ธไ์ ดว้ า่ การเสียหายจะเกดิ ขนึ เมอื

u  u yt (4.20)

แตก่ อ่ นทีจะกลา่ วลึกลงไปในทฤษฎีความเสียหายนี เราควรมาทาํ ความเขา้ ใจเสียกอ่ นวา่ พลงั งานความเครียด (Strain
Energy) หรือทีบางท่านเรียกว่าพลังงานการเสียรูป (Distortion Energy) นีคืออะไรและจะใช้ในการทํานายการ
เสียหายไดอ้ ย่างไร ขอใหพ้ ิจารณาจากรูปตอ่ ไปนี

P

U  A  1 P
2

รูปที 4.9 แสดงกราฟของภาระ (Load, P) และระยะยดื ตวั (Displacement, ) พนื ทใี ตก้ ราฟในชว่ ง
การยดื หยนุ่ ตวั (Elastic) คอื พลงั งานความเครียด

จากรูปที 4.9 เป็นกราฟของภาระและระยะยดื ตวั จะเหน็ วา่ พลงั งานทที าํ ใหโ้ ลหะเสียรูปในช่วงของการยืดหยุ่นแบบอี
ลาสติกนนั คอื พนื ทใี ตก้ ราฟในชว่ งนนั เอง หากกาํ หนดให้ตวั แปร U แทนพลงั งานความเครียดจะเขยี นความสัมพนั ธ์
ไดเ้ ป็น

U  1 P. (4.21)
2 (4.22)

จากความสมั พนั ธต์ ามกฎของฮคุ

  Pl
A.E

แทนคา่ จากสมการที (4.22) ลงในสมการที (4.21) จะได้

94 การออกแบบเครืองจกั รกล

U  1 P 2l หรือ U  AE 2 (4.23)
2 A.E 2l

จากสมการที (4.23) เป็ นพลงั งานความเครียดทงั หมด ดงั นันถา้ หารด้วยปริมาตรของวสั ดุ (V=A.l) จะได้พลงั งาน
ความเครียดตอ่ หนึงหน่วยปริมาตรดงั นี

AE 2 E 2 E 2 (4.24)
u  
2l.A.l 2l 2 2

หรือ

u  1  (4.25)
2

สมการที (4.25) เป็ นพลังงานความเครียดต่อหนึงหน่วยปริมาตร (Strain Energy/Unit Volume) ซึงแสดงในรูป
ความสัมพนั ธ์ของความเคน้ และความเครียดในแบบ 1 มิติ แตเ่ ราทราบมาแลว้ วา่ ในระบบความเครียด 3 มติ ินันยงั มี
ความเคน้ และความเครียดในระนาบอนื ๆ อกี ดงั นนั พลงั งานความเครียดทงั ระบบจะเขยี นไดด้ งั นี

u  1 1 1   2 2   3 3  (4.26)
2

และเราทราบมาแลว้ วา่ ในระบบ 3 มิตนิ นั ความเคน้ และความเครียดสมั พนั ธก์ นั ดงั นี

1  1  1  2   3 
E

2  1  2    1   3 
E

3  1  3    1 2  (4.27)
E

แทนคา่ จากสมการที (4.27) ลงใน (4.26) จะไดว้ า่

 u 1 (4.28)
 2E 12   22  32  2 1 2   2 3   1 3 

โดย u เป็นพลงั งานความเครียดทงั หมดต่อหนึงหน่วยปริมาตร (Total Strain Energy /Unit Volume) อนึงค่าพลงั งาน

ความเครียดทงั หมดต่อหนึงหน่วยปริมาตร (u) นีอาจพจิ ารณาให้ประกอบดว้ ยพลงั งาน 2 ชนิด คือ 1) พลงั งานทีทาํ
ให้ปริมาตรของอิลเิ มนตเ์ ปลยี นไปเทา่ ๆ กนั ทกุ ทศิ ทาง (Energy for Volume Changed, uv ) ซึงเป็นอิลเิ มนตด์ งั ในรูป
ที 4.10 (ข) 2) พลงั งานทีทาํ ใหอ้ ลิ ิเมนตบ์ ดิ เบียวเสียรูปทรง (Distortion Energy, ud ) ซึงเป็นอลิ เิ มนตด์ งั ในรูปที 4.10
(ค)

ทฤษฎกี ารเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 95

(ก) (ข) (ค)

รูปที 4.10 แสดงภาพอิลเิ มนตภ์ ายใตค้ วามเคน้ 2 ชุด

จากรูปที 4.10 (ก) ถา้ มีอิลิเมนต์หนึงอยู่ภายใต้ความเคน้ ขนาด 1, 2 , 3 โดยที 1   2   3 หากเราแยก
พจิ ารณาให้ความเคน้ ในรูปที 4.10 (ก) ประกอบดว้ ยความเคน้ 2 ชนิด ดงั รูปที . (ข) และรูปที 4.10 (ค) โดยให้รูป

ที . (ข) เป็ นอิลเิ มนต์ซึงถูกความเคน้ กระทาํ เท่ากนั ทุกทิศทางด้วยขนาดเป็น   1  2   3 และรูปที
3
ave

4.10 (ค) เป็นอิลเิ มนตท์ ถี ูกกระทาํ จากความเคน้ ทีเหลือ (หรือคอื ความเคน้ ในรูปที . (ก) ลบดว้ ยความเคน้ ในรูปที

. (ข)) ดงั นนั ความเคน้ ในรูปที . (ข) จะก่อให้เกิดการเปลยี นแปลงของปริมาตร (Volume Changed) แต่ไมเ่ กิด

การบิดเบียวเนืองจากความเคน้ เท่ากนั ทุกทิศทาง ส่วนรูปที . (ค) ก่อให้เกิดการเสียรูปแบบบิดเบียว (Distort)

เนืองจากความเคน้ ทเี หลอื ในแตล่ ะดา้ นไมเ่ ท่ากนั (เพราะ 1   2   3 ) สําหรับรูปที . (ข) จะเหน็ ว่าพลงั งาน
ทีใชใ้ นการเปลยี นแปลงปริมาตรนนั สามารถหาไดจ้ ากสมการที (4.28) โดยแทนคา่ ของ 1   2   3   ave จะ
ไดว้ า่

uv  3 ave 2 1 2  (4.29)
2E

เมือ uv คือพลงั งานความเครียดสําหรับการเปลียนแปลงปริมาตร (Strain Energy for Volume Change) แตเ่ ราทราบ
ว่า

 ave  1 2 3 (4.30)
2

แทนสมการที (4.30) ลงในสมการที (4.29) จะได้

 1  2
6E
 uv (4.31)
 2   22  32  2 1 2  2 2 3  2 3 1
1

และเนืองจาก

u  uv  ud (4.32)

โดยที u คือพลงั งานความเครียดทงั หมดต่อหนึงหน่วยปริมาตร (Total Strain Energy/Unit Volume) uv คอื พลงั งาน
ความเครียดในการเปลียนแปลงปริมาตร (Strain Energy for Volume Change) และ ud คือพลงั งานความเครียดทีทาํ
ให้เสียรูปทรง (Distortion Energy)

96 การออกแบบเครืองจกั รกล

แทนคา่ ของ u จากสมการ (4.28) และคา่ ของ uv จากสมการ (4.31) ลงในสมการ (4.32) จะไดพ้ ลงั งานความเครียดที
ทาํ ใหเ้ สียรูป (Distortion Energy, ud ) เป็น

ud  u  uv  1   1   2 2   2   3 2   3   1 2  (4.33)
3E  
 2 

สมการที (4.33) แสดงค่าของพลงั งานทีทาํ ให้ชินส่วนเสียรูปด้วยการบิดเบยี วไป จะเห็นว่าถา้ 1   2   3 ซึง
เป็ นปัญหา Hydrostatic Stress จะได้ค่าพลงั งาน Distortion energy (ud ) = 0 หมายความว่าจะไม่มีการเสียรูปของ
ชินงานเกดิ ขึน ซึงเหมือนกบั ทฤษฎคี วามเคน้ ฉือนสูงสุด

พิจารณากรณีการทดสอบดึงมาตรฐาน (Standard Tensile Test) จากสมการ (4.33) จะไดค้ า่ ของ  2   3  0 และ
ให้ 1    จะได้

ud  1   2 (4.34)
 3E 

สมการที (4.34) แสดงพลงั งานการเสียรูปของชินส่วนจากการทดสอบดึงมาตฐาน ดงั นนั ตามนิยามของทฤษฎีนีการ
เสียหายจะเกิดขึนเมอื สมการ (4.33) = (4.34) จะไดว้ ่า

  1 2   2   3 2   3 2  1 2
 
     2 2   1 (4.35)

 

คา่   นีเป็นผลรวมของความเคน้ ทงั หมดและมชี ือเรียกหลายชือเช่น Effective Stress, Equivalent Stress หรือ von
Misses’ Stress แต่ในทนี ีเราจะเรียกวา่ ความเคน้ ของไมส์ (Mises’ Stress)

จากสมการ (4.35) จะเห็นได้ว่าการเกิดความเสียหายในชิ นงานเมือเทียบกับการทดสอบดึงมาตรฐานจะเกิดการ
เสียหายขนึ เมอื

   S yt (4.36)

อนึงยงั มีอีกทฤษฎีหนึงทพี ยายามอธิบายในลกั ษณะเดยี วกนั นี เรียกวา่ “Octahedral Shear Stress Theory” โดยทฤษฎี
นีกล่าวว่า “การเสียหายจะเกดิ ขึนเมือความเคน้ เฉือนอ๊อกตระฮีดรอล (Octahedral Shear Stress, oct ) ของชินส่วน
ใด ๆ มีค่าเท่ากับความเคน้ เฉือนออ๊ กตระฮีดรอล ณ จุดเสียหายจากการทดสอบ” โดยคา่ ความเคน้ เฉือนออ๊ กตระฮี
ดรอล (Octahedral Shear Stress, oct ) หาไดจ้ าก

  oct1 1 (4.37)
3  1   2 2   2   3 2   3   1 2 2

แตภ่ าวะการทดสอบดงึ มาตรฐานนนั ค่าของ  2   3  0 และค่าของ 1    แทนคา่ ในสมการ (4.37) จะได้

 octtensile 2 (4.38)
3

ทฤษฎีการเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 97

จากสมการ (4.37) และ (4.38) จะไดว้ า่

  2   2   3 2   3 2  1 2

    1   2 2   1 (4.39)

 

จะเห็นว่าสมการ (4.35) และ (4.39) ให้ค่าของ   เท่ากนั ดงั นันบางครังทฤษฎีพลงั งานความเครียดสูงสุดจึงอาจ
เรียกว่าทฤษฎีความเคน้ เฉือนอ๊อกตระฮดี รอล (Octahedral Shear Stress Theory) ก็ได้ กลบั มาทีสมการที (4.35) ถา้
เป็ นปัญหาใน 2 มติ ิ (Biaxial Stress) ซึง 1   A, 2   B , 3  0 จะไดส้ มการวา่

    1 (4.40)
 A2   B 2   A B 2

ในกรณีของความเคน้ ในระนาบปกตแิ บบ 3 มิติ (Triaxial Plane Stress) ค่าของ von Misses’ Stress   จะเขียนได้
ว่า

        1x 2 2 2 2 2 2 1 (4.41)
2  y y z  z x  6  xy   yz   zx 2

ในกรณีของความเคน้ ในระนาบปกติแบบ 2 มติ ิ (Triaxial Plane Stress) คา่ ของ von Misses’ Stress   จะเขยี นได้
วา่

   1 2 2 2 2 (4.42)
 x  x  y  3 xy
y

การเขยี นกรอบความเสียหายตามทฤษฎีนีทาํ ไดโ้ ดยการพจิ ารณาให้สมการ (4.35) = (4.36) จะไดว้ า่

 2  S 2    1   2 2   2   3 2   3  1 2  (4.43)
yt  
 2 

และหากพจิ ารณาค่าความปลอดภยั ดว้ ยจะได้

  1 (4.44)
S yt N (4.45)

ดงั นนั ในกรณีของความเคน้ 2 มิติ  3  0 จะไดว้ ่า

S 2   2   A B   2
yt A B

หรือ

  A 2    B 2    A B    1 (4.46)
 S yt  S yt   N
   2 
  S yt
 

ซึงเขยี นเป็นกราฟวงรีไดด้ งั รูปที 4.11

98 การออกแบบเครืองจกั รกล B
S yt
-1
1

A
S yt

1

-1

รูปที 4.11 แสดงกรอบความเสียหายใน 2 มิตติ ามทฤษฎพี ลงั งานความเครียดสูงสุดของ von Mises

รูปที 4.12 แสดงกรอบความเสียหายใน 3 มติ ติ ามทฤษฎพี ลงั งานความเครียดสูงสุด von Mises

ในรูปที 4.11 นนั เป็นกรอบความเสียหายตามทฤษฎขี อง von Mises ทเี ขียนขึนใน 2 มิติตามสมการที (4.46) จะเห็น
ว่ากรอบความเสียหายนนั มลี กั ษณะเป็นวงรีและหากเป็นกรอบความเสียหายใน 3 มิติ แกนของมนั ก็จะเบนทาํ มมุ 45o
กบั ทกุ ระนาบดงั แสดงในรูปที 4.12 เนืองจากผลของ Hydrostatic Stresses เช่นเดยี วกบั กรอบความเสียหายใน 3 มิติ
ของทฤษฎีความเคน้ เฉือนสูงสุดดงั ไดก้ ล่าวมาแลว้

ทฤษฎีการเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 99

ตวั อย่างที 4.3 สลกั เกลียวดงั รูปดา้ นลา่ งถกู แรงดงึ จากการขนั สกรูดว้ ยแรงตามแนวแกน F1 = 10 kN และมแี รงเฉือน
จากนาํ หนกั ของแผ่นเหลก็ เป็น F2 = 5 kN ถา้ ให้สลกั เกลียวทาํ จากเหลก็ เบอร์ SAE 1035 Hot Rolled มี Poison’s
Ratio = 0.3 จงหาขนาดของสลกั เกลยี ว ถา้ ตอ้ งการคา่ ความปลอดภยั เทา่ กบั 3 เมอื ใช้

(1) ทฤษฎคี วามเคน้ หลกั สูงสุด
(2) ทฤษฎคี วามเคน้ เฉือนสูงสุด
(3) ทฤษฎคี วามเคน้ เฉือน Octahedral

วธิ ทิ าํ
กรณีนีจะเกิดความเคน้ ดึง (Tensile Stress, x ) จาก F1 และจะเกิดความเคน้ เฉือน (Shearing Stress, xy ) จากแรง
เฉือน F2 ดงั รูป

จากรูปของการกระจายความเคน้ จะเหน็ วา่ เกดิ ความเคน้ หลกั สูงสุดทจี ดุ บริเวณกึงกลางของสลกั จากเนือหาในหน่วย
เรียนทีผา่ นมาจะไดว้ า่ ทกี งึ กลางสลกั มคี วามเคน้ ดงั นี

1. ความเคน้ ดึงหาไดจ้ ากสมการ

x  F1


 x  10 103
( d2 )
4

 x  12.73 kPa
d2

2. ความเคน้ เฉือนหาไดจ้ ากสมการ

 xy  4 V
3 

  4  (5103 )
3 d2
xy

4

100 การออกแบบเครืองจกั รกล

 xy  8.5 kPa
d2

หาความเคน้ หลกั ไดจ้ ากสมการ

1, 2 x y  ( x  y )2   2
2 2 xy

แทนคา่ ตา่ ง ๆ ลงในสมการ

1,  (12.7 / d2 )  (12.7 / d2 )2  (8.5)2
2 2 d2
2

1  16.98 kPa  A และ 2  4.254 kPa  B
d2 d2

หาคุณสมบัติของเหล็ก SAE 1035 Hot Rolled โดยการเปิ ดตารางคุณสมบตั ิของเหล็กได้ Syt  270 MPa และ

Sut 500 MPa ซึงสามารถเขียนเสน้ ภาระและกรอบความเสียหายไดด้ งั นี

S yt  270MPa  B

A
S yt  270MPa

จะเห็นว่าเส้นภาระตดั เส้นกรอบความเสียหายต่าง ๆ ในควอแรนตท์ ี 4 โดยเลือกใช้ค่า Syt เพราะว่าสลกั เกลียวไม่
ตอ้ งการให้เสียรูปแมแ้ ตน่ อ้ ย ดงั นนั จะหาขนาดของสลกั เกลยี วไดด้ งั นี

(1) ใชท้ ฤษฎคี วามเคน้ หลกั สูงสุดจากสมการ

 A  S yt
N

แทนคา่ ตา่ ง ๆ ลงในสมการ

16.98103 270106

d2 3

d  0.0137 m หรือ d  14 mm ตอบ

(2) ใชท้ ฤษฎคี วามเคน้ เฉือนสูงสุด จากสมการ

A B  1
S yt S yt N

ทฤษฎีการเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 101

แทนคา่ ตา่ ง ๆ ลงในสมการ

16.98 103  4.254 103  1 ตอบ
d 2 (270 106 ) d 2 (270 106 ) 3 ตอบ

d  0.0154 m หรือ d  16 mm
(3) ใชท้ ฤษฎี Octahedral จากสมการ

1

  ( 1   2 )2  ( 2   3 )2  ( 3  1)2 2
 2 
 

แทนคา่ ตา่ ง ๆ ลงในสมการ

103 103 2  (4.254 103 2  (16.89103 )2  1 2
2d2 
    (16.89  4.254 ) ) 



   19.46 ka
d2

ทฤษฎนี ีใหน้ ิยามความเสียหายวา่    Syt เมือพิจารณาค่าความปลอดภยั จะไดส้ มการเป็น

 '  Syt
N

แทนคา่ ตา่ ง ๆ ลงในสมการจะได้

19.46103 270106
d3  3

d  0.0147 m หรือ d  15 mm

4.1.5 ทฤษฎคี วามฝื ดภายในหรือสมมตุ ิฐานของคูลอมบ์-มอห์ร

ทฤษฎีนีสร้างขึนโดยใช้การทดลองหลัก ๆ 3 อย่างคือการทดสอบดึง (Tensile Test), การทดสอบการกด
(Compressive Test) และการทดสอบการเฉือน (Shearing Test) แลว้ เอาผลทีไดม้ าเขียนเป็นวงกลมของมอหร์ จาํ นวน
3 วงดงั รูปดา้ นล่างแลว้ ลากเส้นตรงสัมผสั กบั ขอบของวงกลมทงั 3 เพือเป็ นขอบของทฤษฎีความเสียหายนี (เส้นที
ลากสมั ผสั กบั ขอบของวงกลมทงั สามนีอาจไม่เป็ นเส้นตรงก็ไดข้ ึนอยู่กบั ขนาดของวงกลมทงั หมด) โดยเส้น BCD
จะเป็ นเส้นของความเสียหายตามทฤษฎี กลา่ วคอื “ถา้ มีอิลิเมนตใ์ ด ๆ ซึงเมือนาํ ความเคน้ มาเขียนเป็ นวงกลมมอห์ร
ในรูปนีแลว้ เกดิ วงกลมทสี มั ผสั กบั เส้น BCD กแ็ สดงวา่ จะเกดิ การเสียหาย”

102 การออกแบบเครืองจกั รกล

ทฤษฎนี ีมชี ือเรียกอกี อยา่ งวา่ สมมุตฐิ านของคลู อมบ-์ มอหร์ (Coulomb – Mohr Hypothesis) โดยเมอื นาํ ค่าความเคน้ ที
มีไม่เป็ นศูนย์ (Non – Zero Stresses) ได้แก่  A, B มาเขียนกราฟในแกน 2 มิติ (Biaxial Stresses) จะได้กรอบ
ความเสียหายเป็นดงั รูปที 4.13

รูปที 4.13 แสดงกรอบความเสียหายตามทฤษฎคี วามฝืดภายในหรือสมมตุ ฐิ านของคลู อมบ-์ มอห์ร

จะเห็นว่าถ้าวสั ดุนัน ๆ มีขนาดของความแข็งแรงดึง (Tensile Strength) และความแข็งแรงอัด (Compressive
Strength) เทา่ กนั ทฤษฎีนีจะทาํ นายวา่ การเสียจะเกิดเมือ

A  B  S ut (4.47)
N

ซึงเหมือนกบั ทฤษฎคี วามเคน้ เฉือนสูงสุดและในกรณีทีสภาวะซึง  A และ  B มีเครืองหมายตรงขา้ มกนั (ควอท

แรนต์ ที 2 และ 4) จะทาํ นายการเสียหายวา่ จะเกดิ เมอื

A B  1 (4.48)
Sut Suc N (4.49a)

แตท่ สี ภาวะซึง  A และ  B มีเครืองหมายเหมอื นกนั ทฤษฎนี ีจะทาํ นายการเสียหายเมอื

A  S ut เมอื  A  0
N

ทฤษฎกี ารเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 103

B   Suc เมือ  B 0 (4.49b)
N

จะเห็นว่าทฤษฎีของคลู อมบ์-มอหร์ (Coulomb Mohr) นีมสี ่วนคลา้ ยทฤษฎคี วามเคน้ เฉือนสูงสุดของ Tresca แต่จะ
ใชไ้ ดด้ กี ว่าเมอื ขนาดของ Sut  Suc ซึงเป็นคณุ สมบตั ทิ วั ไปของวสั ดุเปราะ เชน่ เหล็กหล่อ (Cast Iron) นอกจากนี
ทฤษฎีของ Coulomb-Mohr ยงั ใชใ้ นการหาค่าความแข็งแรงต่อการเฉือน (Torsional Yield Strength หรือ Shearing
Strength, Ssy ) ไดเ้ มอื เรารูค้ ่าความแขง็ แรงดงึ ครากและค่าความแขง็ แรงอดั ครากโดย

S sy  S yt .S yc (4.50)
S yt  S yc

เมอื Syt คอื คา่ ความแขง็ แรงดงึ ครากและ Syc คอื คา่ ความแข็งแรงอดั คราก

104 การออกแบบเครืองจกั รกล

1. สอนบรรยาย

วธิ สี อนและกจิ กรรม 2. ยกตวั อยา่ งประกอบ
สือการสอน
งานทีมอบหมาย 3. ใหน้ กั ศึกษามสี ่วนร่วมในการเรียนการสอนดว้ ยวิธกี ารถาม-ตอบ
การวัดผล
หนงั สือ -
อ้างอิง

เอกสาร 1. เอกสารคาํ สอนรายวิชาการออกแบบเครืองจกั รกล

ประกอบ 2. Powerpoint ประกอบการสอนในแต่ละหน่วยเรียน

วสั ดุโสต 1. กระดานขาว-ปากกาเขยี นกระดานขาว

ทศั น์ 2. เครืองฉาย Projector

1. แบบฝึกหัด
2. คน้ ควา้ จากเอกสารทเี กียวขอ้ ง

1. สงั เกตจากพฤตกิ รรมและความสนใจในห้องเรียน
2. การตอบคาํ ถาม
3. ประเมินงานทนี กั ศกึ ษาคน้ ควา้ มาได้
4. ตรวจแบบฝึกหดั /แบบทดสอบ

ทฤษฎกี ารเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 105

สัปดาห์ที 7 ใบเตรียมการสอน รหัสวิชา 03-407-071-303

เวลา 1 ชัวโมง หน่วยที 4 ทฤษฎีความเสียหายภายใต้แรงกระทาํ คงที

ชือบทเรียน 4.2 การเปรียบเทียบทฤษฎคี วามเสียหายกบั ผลการทดลอง เวลา 60 นาที

จดุ ประสงค์การสอน

4.2 เขา้ ใจการเปรียบเทยี บทฤษฎคี วามเสียหายกบั ผลการทดลอง

4.2.1 อธิบายเปรียบเทียบทฤษฎตี า่ ง ๆ กบั ผลการทดลองกรณีวสั ดุเหนียว

4.2.2 อธิบายเปรียบเทียบทฤษฎีตา่ ง ๆ กบั ผลการทดลองกรณีวสั ดุเปราะ

ใบเตรียมการสอน บทเรียนที 4.2 ถึง 4.2 หนา้ 107 ถึง 113

เนือหา 4.2 การเปรียบเทยี บทฤษฎีความเสียหายกบั ผลการทดลอง

4.2.1 เปรียบเทียบทฤษฎตี า่ ง ๆ กบั ผลการทดลองกรณีวสั ดุเหนียว

4.2.2 เปรียบเทียบทฤษฎตี ่าง ๆ กบั ผลการทดลองกรณีวสั ดุเปราะ

106 การออกแบบเครืองจกั รกล

ทฤษฎกี ารเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 107

4.2 การเปรียบเทยี บทฤษฎีความเสียหายกบั ผลการทดลอง

4.2.1 เปรียบเทยี บทฤษฎีต่าง ๆ กบั ผลการทดลองกรณวี ัสดุเหนยี ว

จากรูปที 4.14 แสดงผลการทดลองของวสั ดุตา่ ง ๆ เมอื นาํ มาเปรียบเทยี บกบั กรอบความเสียหายตามทฤษฎี
ต่างๆ จะเหน็ วา่ ในกรณีของวสั ดุเหนียวซึงเสียหายจากการครากตวั (Yielding) ไดแ้ ก่ Ni-Cr-Mo Steel, AISI 1023
Steel, 2024-T4 Aluminum และ 3S H Aluminum นัน ทฤษฎีพลังงานความเครียดสูงสุด ของ von Mises จะ
ใหผ้ ลการประมาณใกลเ้ คยี งกบั การทดลองมากทสี ุด

แตอ่ ย่างไรกต็ ามในกรณีวสั ดุเหนียวทมี ีคา่ ความแข็งแรงจากการดงึ (Tensile Strength) และค่าความแขง็ แรงจาก
การอดั (Compressive Strength) ไม่เท่ากนั ก็ควรจะใช้ทฤษฎีของคูลอมบ์-มอห์รมากกว่า โดยทฤษฎีของของคู
ลอมบ-์ มอห์รนนั ไดก้ ลา่ วมาแลว้ ในหัวขอ้ ที 4.6 ซึงอาจเขยี นเป็นสมการไดใ้ หมว่ ่า

A  S yt เมือ 0   A  S yt ,0   B  S yt (อย่ใู น Quadrant ที 1) (4.51)
N (4.52)

A  B  1 เมอื 0  A  S yt ,S yc B 0 (อยู่ใน Quadrant ที 4)
S yt S yc N

Max. Normal B Yielding ( Sc  S y )

1 Sc Ni – Cr - Mo Steel
AISI 1023 Steel
Max Shear 2024–T4 Aluminum
-1 3S H Aluminum

A
Sc

1

Fracture ( S c  )Sut
Gray Cast iron

-1

รูปที 4.14 แสดงการเปรียบเทยี บผลการทดลองกบั กรอบความเสียหายตามทฤษฎีต่าง ๆ

108 การออกแบบเครืองจกั รกล

4.2.2 เปรียบเทียบทฤษฎตี ่าง ๆ กับผลการทดลองกรณวี ัสดุเปราะ

สําหรับวสั ดุเปราะ (Brittle Materials) ซึงมกั จะเสียหายจากการแตกหัก (Fracture) มากกว่าการครากตัว

(Yielding) นนั มกั ใช้ทฤษฎีหลกั ๆ ในประมาณจดุ เสียหายดงั นีโดยเริมตงั แต่ทฤษฎีแรกงา่ ย ๆ คือทฤษฎีความเคน้

หลกั สูงสุด (Maximum Normal Stress Theory) ซึงกลา่ วไวว้ ่า การเสียหายจะเกดิ เมือความเคน้ หลกั ทีมีคา่ มากทสี ุดมี

ขนาดเท่ากับค่าความแข็งแรงจากการดึง (Tensile Strength) หรือมีขนาดเท่ากับค่าความแข็งแรงจากการอัด

(Compressive Strength) ซึงเขียนสมการได้เป็ น  A  Sut และ  B  Suc แต่ทฤษฎีนีจะอธิบายการไม่เสียหาย
N N

ของชินงานภายใต้สภาวะความเคน้ Hydrostatic สูง ๆ ไม่ได้ (เช่น ท่อจมในนําลึก) นอกจากนีทีตาํ แหน่งซึง

 Suc   B  Sut ทฤษฎีนีจะประมาณค่าการเสียหายกวา้ งเกินไปซึงผิดจากผลการทดลอง (ดูรูปที 4.15) ด้วย
เหตุผลดงั กล่าวมาแลว้ จงึ เกิดมีการเสนอทฤษฎีใหมท่ ีน่าสนใจขึนมาโดยทฤษฎที งั หมดพฒั นามาจากแนวคิดของคู

ลอมบ์-มอห์ร เรียกว่าทฤษฎีของมอห์รดัดแปลงครังที 1 (Modified Mohr Hypothesis) หรือเรียกว่า Mod I–Mohr

และทฤษฎีของมอห์รดัดแปลงครังที 2 (Modified II – Mohr Hypothesis) หรือ Mod II – Mohr โดยทฤษฎีทงั หมด

ไดม้ าจากการเขียนกราฟของผลการทดลองเทียบกบั กรอบความเสียหายตามทฤษฎดี งั แสดงในรูปที 4.15

รูปที 4.15 แสดงภาพผลการทดลองการเสียหายของวสั ดุเปราะซึงในทนี ีใชเ้ หลก็ หลอ่ เทา (Gray cast iron)
กบั กรอบความเสียหายตา่ ง ๆ

จากรูปที 4.15 เป็นการนาํ เอาคา่  A และ  B มาเขียนกราฟจะไดจ้ ดุ ต่าง ๆ ดงั รูปเมอื เปรียบเทียบผลการทดลองกับ
กรอบความเสียหายแลว้ เราอาจสรุปเกียวกบั ทฤษฎขี อง Coulomb-Mohr และทฤษฎดี ดั แปลงตา่ ง ๆ ไดด้ งั นี
1) ทฤษฎขี อง Coulomb – Mohr เป็นทฤษฎีทเี ราเคยกล่าวถึงมาแลว้ ในหวั ขอ้ ที 4.5 และมีเงือนไขการใชง้ านดงั นี

ทฤษฎกี ารเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 109

A  S ut เมอื 0   A  Sut และ 0   B  Sut (4.53)
N

A B 1 เมือ 0   A  Sut และ  Suc   B 0 (4.54)
Sut Suc N

จากรูปที 4.15 จะเหน็ วา่ กรอบความเสียหายของทฤษฎีนีนนั จะตรงกบั ผลการทดลองในครอท-แรนตท์ ี 1 ( A  0
และ  B  0 ) แต่ในครอทแรนตท์ ี 4 ( A  0 และ  B  0 ) นนั ทฤษฎีนีประมาณการเสียหายไวแ้ คบเกนิ ไปทาํ
ใหใ้ ชว้ สั ดเุ กินความจาํ เป็น

2) ทฤษฎขี องมอหร์ ดดั แปลงครังที 1 (Modified Mohr Hypothesis, Mod I – Mohr) เป็นทฤษฎีทีพฒั นามาจากทฤษฏี

คูลอมบ-์ มอหร์ โดยมีแนวคดิ วา่ จากกราฟรูปที 4.15 นนั พบวา่ ผลการทดลองในครอทแรนตท์ ี 1 ตรงกบั ทฤษฏจี งึ ไม่มี

ปัญหาอะไร แต่ในครอทแรนตท์ ี 4 ( A  0 และ  B  0 ) จะเห็นว่าผลการทดลองยงั คงวิงเป็ นเส้นตรงตามเส้น
ของ  A  Sut มาจนกระทงั ถึงจุดที  B  Sut ผลการทดลองจึงเริมเบยี งเบนเป็นเส้นโคง้ ดงั ภาพ ดงั นนั ทฤษฏีนี

จึงขยายส่วนทีเป็ นเส้นตรง  A  S ut มาจนกระทงั ถงึ จุดที  B  Sut เพือใหค้ รอบคลมุ ผลการทดลองมากขึน
N

ดงั นนั จึงไดเ้ งอื นไขการใชง้ านใหมด่ งั นี

A  S ut เมือ 0   A  Sut และ  Sut   B  Sut (4.55)
N

 A   S Sut B   Suc Sut เมอื 0  A  Sut และ  Suc B  Sut (4.56)
 uc  S 
 ut  N Suc  Sut 

3) ทฤษฎีของมอห์รดัดแปลงครังที 2 (Modified II Mohr Hypothesis, Mod II – Mohr) ทฤษฎีนีมีแนวคิดคลา้ ยกับ
ทฤษฎขี องมอหร์ ดดั แปลงครังที 1 (Mod I – Mohr) แตท่ ฤษฎนี ีสรา้ งให้กรอบความเสียหายในชว่ งซึงผลการทดลอง
เบยี งเบนไปนนั ให้เป็นสมการเส้นโคง้ แบบพาราโบลา ทงั นีเพอื ใหไ้ ดผ้ ลครอบคลุมกบั ผลการทดลองมากทสี ุดจงึ ได้
สมการและเงือนไขการใชง้ านใหมด่ งั นี

A  S ut เมือ 0   A  Sut และ  Sut   B  Sut (4.57)
N (4.58)

N A  N B  S ut  2 เมือ 0   A  Sut และ  Suc
S ut  Suc  S ut
 1 B  Sut

ทฤษฎขี องมอหร์ ดดั แปลงครงั ที 2 (Mod II – Mohr) นีเป็นทฤษฎีทีใหผ้ ลการทาํ นายใกลเ้ คียงกบั ผลการทดลองทีสุด
แต่เนืองจากเป็ นสมการพาราโบลา ดังนันการแก้สมการจึงอาจยากขึนและหากมีคาํ ตอบมากกว่า 1 ค่าอาจตอ้ ง
ทดสอบคาํ ตอบนนั ดว้ ยการทดลองแทนค่ายอ้ นกลบั

สําหรับทฤษฎีของคูลอมบ์-มอห์รและทฤษฎีของมอห์รดัดแปลงครังที 1 (Mod I – Mohr) ก็นิยมใชส้ ําหรับวสั ดุ
เปราะโดยทวั ไปเนืองจากรูปแบบของสมการงา่ ยตอ่ การคาํ นวณ แมว้ ่าจะใหผ้ ลทีปลอดภยั เกินไป (ซึงสิ นเปลอื งวสั ดุ
กวา่ )

110 การออกแบบเครืองจกั รกล

ตัวอย่างที 4.4 อุปกรณ์ดงั รูปมีแรง F กระทาํ ทีจุด D ถา้ ชินงานสร้างมาจากเหล็กหล่อ (Cast Iron) เบอร์ ASTM 30
สมมติใหแ้ กน CD มคี วามแขง็ แรงพอและจะไม่เกดิ การเสียหายและไม่คดิ ผลของการลดรูปและรอยต่อต่าง ๆ จงหา
แรง F โดยใชท้ ฤษฎดี งั ต่อไปนี

(1) ทฤษฎขี องคลู อมบ-์ มอห์ร
(2) ทฤษฎขี องมอห์รดดั แปลงครังที 1
(3) ทฤษฎขี องมอห์รดดั แปลงครงั ที 2

วิธีทํา

วสั ดุเป็ นเหล็กหล่อ (Cast Iron) ASTM 30 มคี ุณสมบตั ิจากการเปิ ดตารางดงั นี Sut 31kpsi และ Suc 109kpsi ที
จดุ A เป็นจุดทเี สียงทสี ุดเพราะเป็นจดุ อยูป่ ลายดา้ นในและมีขนาดเลก็ กวา่ จุด O โดยทีจดุ A มโี มเมนตด์ ดั และแรงบดิ

(Torque) ซึงจะกอ่ ใหเ้ กดิ ความเคน้ ตงั ฉาก ( x ) และความเคน้ เฉือน ( xy ) ตามลาํ ดบั โดย

x  C  32  32(14F )  142.6F
 d 3  (1)3

และ

 xy  r  16  16(15F )  76.4F
J d 3  (1)3

ทตี าํ แหน่ง A จะมีอลิ ิเมนตด์ งั ภาพตอ่ ไปนี

จากสมการความเคน้ หลกั

1, 2 x y  ( x  y )2   2
2 2 xy

จะไดว้ ่า

1,  142.6F  0  (142.6F  0)2  (76.4F )2
2 2
2

1, 2  175.8F ,  33.2F (เมอื 1  A และ 2  B )

จะเห็นวา่  A และ B อยู่ใน Quadrant ที 4 และสามารถเขียนกรอบความเสียหายและเสน้ ภาระ (Load Line) ได้

ดงั นี

A ทฤษฎกี ารเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 111
Sut  31ksi
B
 Sut  31ksi Sut  31ksi

Load Line

 Suc  109ksi

จากภาพกรอบความเสียหายขา้ งตน้ เส้นภาระตดั เส้นความเสียหายของทฤษฎีคลู อมบ-์ มอห์รทีเสน้ ของสมการที
(4.54) และตดั เสน้ ความเสียหายของทฤษฎขี องมอห์รดดั แปลงครงั ที และ 2 ทีเส้นของสมการที (4.55) และของ
สมการที (4.57) ตามลาํ ดบั ดงั นนั
(1) ทฤษฎขี องคูลอมบ-์ มอหร์ จากสมการที (4.54)

A B  1
Sut Suc N

แทนคา่ ตา่ ง ๆ ลงในสมการ (กาํ หนดให้ N 1)

175.8F  (33.2F ) 1 ตอบ
31 109

F 167.34lb

(2) ทฤษฎี Mod I – Mohr Theory จากสมการที (4.55) แทนคา่

A  S ut
N

แทนค่าต่าง ๆ ลงในสมการ (กาํ หนดให้ N 1)

175.8F  31

F 176.33lb ตอบ

(3) ทฤษฎีของมอห์รดดั แปลงครงั ที 2 จากสมการที (4.55)

A  S ut
N

แทนคา่ ตา่ ง ๆ ลงในสมการ (กาํ หนดให้ N 1)

175.8F  31 ตอบ
F 176.33lb

112 การออกแบบเครืองจกั รกล

ตัวอย่างที 4.5 ชิ นงานหนึงสร้างมาจาก Gray Cast Iron เบอร์ ASTM 50 มีแรงกด แรงดึงและแรงบิดกระทําต่อ
ชินงานสมมุติว่าเมือพิจารณาจากจุดวิกฤติแลว้ จะได้อิลิเมนต์ของความเค้นดังรูปด้านล่าง ถา้ ต้องการค่าความ
ปลอดภยั มีคา่ เป็น 1.7 จงหาว่าชินงานนีจะสามารถรบั แรง F ไดเ้ ท่าไรเมือคาํ นวณโดยใชท้ ฤษฎดี งั ตอ่ ไปนี

(1) ทฤษฎขี องคลู อมบ-์ มอห์ร
(2) ทฤษฎขี องมอห์รดดั แปลงครงั ที 1
(3) ทฤษฎีของมอหร์ ดดั แปลงครังที 2

วิธที าํ

จากตารางจะไดค้ ณุ สมบตั ขิ อง ASTM 50 Gray Cast Iron ดงั นี Sut 52.5 kpsi และ Suc 164 kpsi
จากอิลิเมนตจ์ ะไดว้ า่  x 10F psi , y   45F psi ,  xy  5F psi
จากสมการความเคน้ หลกั จะไดว้ า่

1, 2 x y  ( x  y )2   2
2 2 xy

แทนคา่ ตา่ ง ๆ จะได้

 A , B  (10  45)F  (10  45)2 F 2  (5F 2 )
2 2

 A 10.5F psi

 B   45.5F psi

ซึงเขยี นเส้นภาระและกรอบความเสียหายไดด้ งั ภาพตอ่ ไปนี

ทฤษฎกี ารเสียหายภายใตแ้ รงกระทาํ คงที 113

B
Sut  52.5ksi

A
Sut  52.5ksi

 Sut  52.5ksi

 Suc  164ksi

จากภาพจะเหน็ ว่าเสน้ ภาระตดั กรอบความเสียหายของทฤษฎขี องคูลอมบ-์ มอหร์ ทจี ดุ A ตดั กรอบความเสียหายของ
ทฤษฎีของมอห์รดดั แปลงครังที 1 ทีจุด B และตดั กรอบความเสียหายของทฤษฎีของมอห์รดดั แปลงครังที 2 จุด C
ดงั นนั เราจะสามารถหาขนาดของแรง F ไดด้ งั นี
(1) เมอื ใชท้ ฤษฎคี ลู อมบ-์ มอห์รจากสมการที (4.54)

A B  1
Sut Suc N

แทนคา่ ตา่ ง ๆ จะได้

10.45F  45.45F  1 ตอบ
52.5 103 164 103 1.7

F  1.235klb

(2) เมอื ใชท้ ฤษฎีของมอห์รดดั แปลงครงั ที 1 จากสมการที (4.56)

 Sut B  Suc Sut
 uc  S  Suc  Sut
  A S   N

ut

แทนคา่ ตา่ ง ๆ จะได้

52.5103  45.45F 52.5164103 103
10.45F  (164  52.5) 103  1.7(164  52.5) 103

F  1.426klb ตอบ

(3) เมอื ใชท้ ฤษฎี Mod II - Mohr จากสมการที (4.58)

N A  (N B )  Sut  2
Sut 1 Suc  Sut 



แทนคา่ ตา่ ง ๆ จะได้

1.7 10.45F  1 (1.7  (45.45F)  52.5103 )2
52.5 103 164 103  52.5103

F 1.72 klb ตอบ

114 การออกแบบเครืองจกั รกล

1. สอนบรรยาย

วธิ สี อนและกจิ กรรม 2. ยกตวั อยา่ งประกอบ
สือการสอน
งานทีมอบหมาย 3. ใหน้ กั ศึกษามีส่วนร่วมในการเรียนการสอนดว้ ยวธิ กี ารถาม-ตอบ
การวัดผล
หนงั สือ -
อ้างอิง

เอกสาร 1. เอกสารคาํ สอนรายวิชาการออกแบบเครืองจกั รกล

ประกอบ 2. Powerpoint ประกอบการสอนในแต่ละหน่วยเรียน

วสั ดุโสต 1. กระดานขาว-ปากกาเขยี นกระดานขาว

ทศั น์ 2. เครืองฉาย Projector

1. แบบฝึกหัด
2. คน้ ควา้ จากเอกสารทเี กียวขอ้ ง

1. สงั เกตจากพฤติกรรมและความสนใจในห้องเรียน
2. การตอบคาํ ถาม
3. ประเมินงานทีนกั ศกึ ษาคน้ ควา้ มาได้
4. ตรวจแบบฝึกหัด/แบบทดสอบ

การออกแบบชินส่วนภายใตแ้ รงกระทาํ ซาํ ๆ 115

สัปดาห์ที 7 ใบเตรียมการสอน รหสั วชิ า 03-407-071-303

เวลา 2 ชัวโมง หน่วยที 5 การออกแบบชินส่วนภายใต้แรงกระทําซํา ๆ

ชือบทเรียน . ความเคน้ ความเครียดและอายกุ ารลา้ เวลา 120 นาที

จุดประสงค์การสอน

5.1 เขา้ ใจความเคน้ ความเครียดและอายกุ ารลา้

5.1.1 อธิบายความสมั พนั ธร์ ะหว่างความเครียดและอายกุ ารลา้

5.1.2 อธิบายความสมั พนั ธ์ระหว่างความเคน้ และอายกุ ารลา้

ใบเตรียมการสอน บทเรียนที 5.1 ถึง 5.1 หนา้ 117 ถงึ 124

เนือหา . ความเค้น ความเครียดและอายกุ ารล้า

5.1.1 ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งความเครียดและอายกุ ารลา้

5.1.2 ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งความเคน้ และอายุการลา้

116 การออกแบบเครืองจกั รกล

การออกแบบชินส่วนภายใตแ้ รงกระทาํ ซาํ ๆ 117

หน่วยที 5

การออกแบบชินสว่ นภายใตแ้ รงกระทาํ ซาํ ๆ

5.1 ความเค้น ความเครียดและอายกุ ารล้า

ในหน่วยเรียนที 4 เราไดศ้ กึ ษาเกียวกบั ชินส่วนภายใตแ้ รงกระทาํ แบบคงที (Static Loading) โดยทฤษฎีต่าง ๆ ทีใช้
ในการคาํ นวณนันมกั พิจารณาเปรียบเทียบกบั ความแข็งแรง (Strength) ของวสั ดุทีใชท้ าํ ชินส่วนนัน ๆ ซึงความ
แข็งแรงทีใช้อาจเป็ นความแข็งแรงทีจุดคราก (Yield Strength) หรือความแข็งแรงสูงสุด (Ultimate Strength) ก็ได้
โดยมรี ายละเอยี ดของทฤษฎตี ่าง ๆ ดงั ไดก้ ลา่ วมาแลว้

ในหน่วยเรียนนีเราจะมาศกึ ษาปัญหาทีใกลเ้ คียงความเป็นจริงมากขึนคอื กรณีเมอื ชินส่วนอยภู่ ายใตแ้ รงกระทาํ ทีไม่
คงที เป็ นแรงกระทาํ ซาํ ๆหรือแรงทีเป็นวฏั จกั ร (Variable Loading หรือ Cyclic Loading) โดยแรงกระทาํ ประเภทนี
จะเป็ นปัญหาทีพบได้บ่อย ๆ ในชิ นส่วนทีมีการเคลือนทีตลอดเวลาหรือชินส่วนทีทํางานร่วมกับชิ นส่วนอืนที
เคลือนที เช่น เพลาส่งกาํ ลงั ทีมกี ารหมนุ ตลอดเวลา สปริงหรือแหนบรถยนต์ เป็นตน้ โดยจากผลการทดลองพบว่า
ชินงานทรี ับแรงกระทาํ ซาํ ๆ นีมกั จะเลยี หายทีความเคน้ ทีตาํ กว่าค่าความแขง็ แรงทีเราเคยใชม้ าก ทงั นีเนืองจากเมือ
ชินส่วนถูกภาระกระทาํ ซาํ ๆ หรือแรงทเี ป็นวฏั จกั ร ชินส่วนนนั จะเกิดภาวะทเี รียกว่า ความลา้ (Fatigue) เกิดขนึ

โดยนิยามการเสียหายจากการลา้ (Fatigue) หมายถึงการเสียหายทเี กดิ จากแรงกระทาํ ซาํ ๆ เป็นระยะเวลาหนึงแลว้
เกิดการเสียหายขนึ โดยการเสียหายมกั จะเริมตน้ ดว้ ยรอยแตกหรือรอยร้าวเลก็ ๆทเี ล็กมาก ๆ แตเ่ มอื รอยร้าวนีเกิดขึน
แลว้ มนั จะขยายตวั อย่างรวดเร็วออกไปเรือย ๆ จนก่อให้เกิดการเสียหายในชินส่วนในทสี ุด การเสียหายเนืองจาก
การลา้ นีมีอนั ตรายมากเนืองจากกลไกการเสียหายของมนั จะค่อยๆเกดิ อย่างช้า ๆ ตรวจพบได้ยากแตเ่ มอื ถึงจุดทมี นั
ก่อตวั ไดแ้ ลว้ มนั จะขยายตวั อย่างทนั ทีทนั ใดจึงยากแก่การป้องกนั และตรวจสอบ

5.1.1 ความสัมพนั ธ์ระหว่างความเครียดและอายกุ ารล้า

กลไกของการเกิดการเสียหายจากการลา้ นันจริง ๆ แลว้ เป็ นสิงทียากแก่การทาํ ความเขา้ ใจ อยา่ งไรกต็ ามมี
ความพยายามหลากหลายในการทีจะอธิบายปรากฏการณ์ทีเกิดขึน หนึงในนันคือสมมุติฐานเกียวกับอายุใชง้ าน
(หรืออายุการลา้ ) และความเครียด (Strain-Life Hypothesis) สมมุติฐานนีตงั อยู่บนแนวคิดเรืองการเปลียนแปลง
ความเครียดของชินส่วนเมือรับภาระกลบั ไปกลบั มา
ปกตแิ ลว้ ความลา้ จะเกิดขนึ ทีบริเวณรอยตอ่ ลดรูป หรือตาํ แหน่งทีเปลยี นขนาดต่างๆ บริเวณเหล่านีเป็นบริเวณทเี กิด
ความเคน้ หนาแน่น (จะกล่าวถึงในรายละเอียดตอ่ ไป) โดยเมือความเคน้ ของจุดเหล่านีดาํ เนินไปถึงขอบจาํ กดั ของ

118 การออกแบบเครืองจกั รกล

ความยืดหยุ่น (Elastic Limit) กจ็ ะเกิดการเสียรูปอยา่ งถาวรขึน (Plastic Strain) การเสียหายจากการลา้ (Fatigue) นนั
มกั จะเกิดเป็ นปรากฏการณ์ในลักษณะความเครียดแบบกลบั ไปกลบั มา (Cyclic Plastic Strain) โดยจากผลการ
ทดลองพบว่าเมือโลหะถูกกระทาํ โดยภาระกลบั ไปกลบั มานัน ความเคน้ จริงและความเครียดจริง (True Stress and
True Strain) ของมนั จะเกิดขนึ ในลกั ษณะวนไปวนมา ซึงเราเรียกว่าปรากฏการณ์นีว่า Hysteresis ดงั แสดงในรูปที
5.1 ซึงเป็นรูปจากการทดลองของเหล็กแข็งแรงสูง (Very High Strength Steel) ภายใต้แรงกระทาํ 5 รอบ จากกราฟ
จะเห็นว่าเราสามารถแบ่งความเครียดจริงออกเป็ น 2 ส่วน ได้แก่ความเครียดจริงแบบยืดหยุ่น (Elastic True
Strain,e ) และ ความเครียดจริงแบบถาวร (Plastic True Strain, p ) และผลรวมของทงั สองจะเป็นความเครียดจริง
รวม (Total Strain,  ) จะเห็นวา่ ทรี อบตอ่ ๆมาของแรงกระทาํ ความแขง็ แรงของโลหะจะคอ่ ยๆลดลง

1st
 3rd

5th

 

4th

2nd  p  e



รูปที 5.1 แสดงกราฟของความเคน้ -ความเครียดจริงซึงแสดงปรากฏการณ์เกดิ Hysteresis จาํ นวน 5 รอบ
หากพิจารณาในแง่ของจาํ นวนรอบเปรียบเทียบกบั ขนาดของความเครียดจริง (True Strain) ทีเกิดขนึ เราจะเขียน
เป็นกราฟไดด้ ังรูปที 5.2 ซึงแสดงเป็นเสน้ กราฟ 2 เส้น ไดแ้ กเ่ สน้ ของความเครียดยืดหยุ่น (Elastic Strain Line) และ
เส้นของความเครียดถาวร (Plastic Strain Line) ในกราฟนีมีตวั แปรบางตวั ทีเราควรทาํ ความรู้จกั ดงั นี (จะขอใช้ทบั
ศพั ทเ์ พือป้องกนั การสบั สน)

 Fatigue Ductility Coefficient ( F ) หมายถึงความเครียดจริงทีจุดเสียหาย (Fracture) ของชิ นส่วน
จากการรับภาระกระทํา 1 รอบ หรือหมายถึงจุด A ในรูปที 5.1 จุดนีเป็ นจุดเริ มต้นของเส้น
ความเครียดถาวร (Plastic Strain Line)

 Fatigue Strength Coefficient ( F ) หมายถึงความเคน้ จริงทีจุดเสียหาย (Fracture) ของชินส่วนจาก
การรบั ภาระกระทาํ 1 รอบ หรือหมายถึงจุด A ในรูปที 5.1 จุดนีเมือหารดว้ ยค่าโมดลู สั ความยดื หยุ่น
(E) ก็จะเป็นจุดเริมตน้ ของเส้นความเครียดยืดหยนุ่ (Elastic Strain Line)

การออกแบบชินส่วนภายใตแ้ รงกระทาํ ซาํ ๆ 119

 Fatigue Ductility Exponent (c) เป็นความชันของเสน้ ความเครียดถาวร ค่า C นีเมือนาํ ไปเป็นเลขยก
กําลังของอายุใช้งาน (2N) จะได้ค่าทีเป็ นความสัมพันธ์เชิงเส้นกับแอมปลิจูด (ขนาด) ของ
ความเครียดถาวร

 Fatigue Strength Exponent (b) เป็ นความชันของเส้นความเครียดยืดหยุ่น ค่า b นีเมือนาํ ไปเป็ นเลข
ยกกําลังของอายุใช้งาน (2N) จะได้ค่าทีเป็ นความสัมพันธ์เชิงเส้นกับแอมปลิจูด (ขนาด) ของ
ความเครียดยดื หยุน่

 F
100

(  ) 10 1
2

102  F
E

103

104
100 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6

รูปที 5.2 กราฟ Log-Log แสดงความสมั พนั ธข์ องอายกุ ารลา้ (Fatigue Life) และแอมปลิจูดของความเครียดจริง
(True Strain Amplitude)

จากรูปที 5.1 จะเห็นว่าแอมปลิจูดของความเครียดรวม (Total Strain) นันเป็ นผลรวมของความเครียดยืดหยุ่น
(Elastic Strain) และความเครียดถาวร (Plastic Strain) ซึงเขียนเป็นสมการไดว้ ่า

   e   p (5.1)
22 2

แตแ่ อมปลิจูดของความเครียดถาวรสามารถหาไดจ้ าก

 p   F (2N )c (5.2)
2 (5.3)

และแอมปลิจูดของความเครียดยืดหย่นุ สามารถหาไดจ้ าก

 e   F (2N )b
2E

ดงั นนั ความเครียดรวมจงึ หาไดจ้ าก

120 การออกแบบเครืองจกั รกล

   F (2N )b   F (2N )c (5.4)
2 E

สมการที 5.4 เป็ นสมการทีแสดงความสัมพันธ์ระหว่างอายุของชิ นงาน (Fatigue Life, N) กับความเคน้ จริงรวม
(Total True Strain) ทีเกิดขนึ ดงั นนั เราอาจสามารถประมาณคา่ ของอายุใชง้ านของชินส่วนทรี ะยะความเครียดต่างๆ
ได1้ โดยค่าคงทที ีใชใ้ นสมการนนั เป็นคณุ สมบตั เิ ฉพาะตวั ของวสั ดุ ซึงสําหรบั เหลก็ แข็งแรงสูงบางเบอร์นนั ไดแ้ สดง
คณุ สมบตั เิ หล่านีไวใ้ นตารางที 5.1

ตารางที 5.1 แสดงคุณสมบตั ิบางประการของเหล็กแข็งแรงสูง (High-Strength Steel) ภายใตภ้ าระสลบั

AISI Processing Cyclic Fatigue Fatigue Fatigue Fatigue Fatigue
No. Yield Strength Ductility Strength Ductility Strain
Strength Coefficient Coefficient Exponential Exponential Hardening
( S y , ( F , ksi) ( F , ksi) Exponent
ksi) (b) (c) (m)

1045 Q&T 80o F 705 310 - -0.065 -1.0 0.10

1045 Q&T 360o F 595 395 0.07 -0.055 -0.60 0.13

1045 Q&T 500o F 500 330 0.25 -0.08 -0.68 0.12

1045 Q&T 600o F 450 260 0.35 -0.07 -0.69 0.12

1045 Q&T 720o F 390 230 0.45 -0.074 -0.68 0.14

4142 Q&T 80o F 670 375 - -0.075 -1.0 0.05

4142 Q&T 400o F 560 385 0.07 -0.076 -0.76 0.11

4142 Q&T 600o F 475 315 0.09 -0.081 -0.66 0.14

4142 Q&T 700o F 450 290 0.40 -0.080 -0.73 0.12

4142 Q&T 840o F 380 265 0.45 -0.080 -0.75 0.14

4142 Q&D 550o F 475 300 0.20 -0.082 -0.77 0.12

4142 Q&D 650o F 450 305 0.60 -0.090 -0.76 0.13

4142 Q&D 800o F 400 275 0.50 -0.090 -0.75 0.14

เราจะลองหาความสมั พนั ธ์ของอายกุ ารทาํ งานและความเครียดของเหล็กโดยใช้สมการที (5.4) สําหรบั เหลก็ ทีมีค่า
โมดูลสั ความยืดหยุ่น E = 29,000 Mpsi ได้ดงั นี จากสมการที (5.3) หากเราพจิ ารณาทตี าํ แหน่งหนึง ๆ เราอาจเขียน
สมการใหม่ไดว้ ่า

 a   F (2N f )b (5.5a)

1 อยา่ งไรกต็ ามในทางปฏบิ ตั นิ นั การวดั ความเครียดจริงทาํ ไดย้ าก โดยเฉพาะตาํ แหน่งทีมกั เกิดความลา้

การออกแบบชินส่วนภายใตแ้ รงกระทาํ ซาํ ๆ 121

เมอื  a และ N f เป็นความเคน้ และอายุใชง้ านของชินส่วนทตี าํ แหน่งทสี นใจ สมการที (5.5 a) สามารถเขยี นใหม่
ไดเ้ ป็น

ln  F  b ln(2N f ) (5.5b)

สมการที (5.5 b) สามารถแก้ได้โดยใช้หลักการของ Linear Regression ซึงจะได้ค่าของ  F  126.5ksi และ
b  0.0551 จากสมการที (5.2) หากเราพิจารณาทีตาํ แหน่งหนึง ๆ เราอาจเขยี นสมการใหมไ่ ดว้ ่า

 pa   F (2N f )c (5.6a)

เมอื  pa และ N f เป็นความเครียดและอายใุ ชง้ านของชินส่วนทีตาํ แหน่งทีสนใจ สมการที (5.6 a) สามารถเขยี นใหม่
ไดเ้ ป็น

ln  pa  ln  F  c ln(2N f ) (5.6b)

สมการที (5.6 b) สามารถแกไ้ ด้โดยใช้หลกั ารของ Linear Regression เช่นเดียวกนั ซึงจะได้ค่าของ  F  3.284
และ c  0.818 ดงั นนั เราจะไดค้ วามเครียดยืดหยุ่นทีจุดสนใจเป็น

 ea   F (2N f )b  126.5 (2 N f ) 0.0551 หรือ  ea  0.004362(2N f ) 0.0551 (5.7a)
E 29000 (5.7b)

และเราจะไดค้ วามเครียดถาวรทีจดุ สนใจเป็น

 pa   F (2N f )c  3.284(2N f ) 0.818

ดงั นนั ในทีสุดเราจะไดค้ วามสัมพนั ธ์ทชี ดั เจนขึนของความเครียดรวมกบั อายกุ ารใชง้ านเป็น (5.8)

 a   ea   pa  0.004362(2N f ) 0.0551  3.284(2N f )0.818

สมการที (5.8) สามารถให้คาํ ตอบเป็นความเครียดรวม ( a ) หรืออายใุ ชง้ าน (Nf ) ไดเ้ มอื เราแทนคา่ ตวั ใดตวั หนึงลง
ไป นอกจากนีหากเรากาํ หนดให้คา่ ของความเครียดยดื หยนุ่ รวมเทา่ กบั คา่ ความเครียดถาวรรวม หรือ

 pa   ea หรือสมการที (5.5 a) = (5.6 a) (5.9)
จะได้

1

Nf  1   F  (cb) (5.10)
2 E F 


สมการที (5.10) เป็ นขอบเขตของการเสียหายจากอิทธิพลของการลา้ แบบความเครียดยืดหยุ่น (Elastic Strain หรือ
High Cycle Fatigue) หรือจากอิทธิพลของการลา้ แบบความเครียดถาวร (Plastic Strain หรือ Low Cycle Fatigue)
หากเราแทนค่าสมการที (5.10) ดว้ ยค่าทีเราเคยคาํ นวณไดค้ ือ

122 การออกแบบเครืองจกั รกล

 F  126.5, b  0.0551, F  3.284, c  0.818 และE=29,000 จะได้

1

Nf  1  126.5  (0.818(0.0551))
2 29000(3.284) 


N f  2954 รอบ

นนั หมายความวา่ สําหรบั เหล็กแข็งแรงสูงตวั นีจะมขี อบเขตของการเสียหายจากการลา้ แบบความเครียดยืดหยนุ่ และ

ความเครียดถาวรที N f  2954 รอบ ดังนันเราก็จะสามารถเลือกใช้ทฤษฎีในการวิเคราะห์ปัญหาได้ถูกตอ้ งขึน
เช่น หากเราต้องการ N f  2954 ก็ควรคาํ นวณการเสียหายจากการล้าแบบความเครียดยืดหยุ่ และหากเรา
ตอ้ งการ N f  2954 ก็ควรคาํ นวณการเสียหายจากการลา้ แบบความเครียดถาวร เป็นตน้ อนึงสําหรบั ตวั แปรบางตวั
นนั อาจวดั ไดย้ าก จงึ อาจใชก้ ารประมาณไดด้ งั นี

  F   f หรือความเคน้ จริงทจี ดุ เสียหาย (True Stress at Fracture)
  F   f หรือค่าความเหนียวจริงทีจดุ เสียหาย (True Fracture Ductility)

 c  0.6

 b  0.16 log(2m m exp(m))

5.1.2 ความสัมพนั ธ์ระหว่างความเค้นและอายุการล้า

ในการหาความแขง็ แรงของชินส่วนภายใตแ้ รงกระทาํ สลบั ไปสลบั มานนั จะใชช้ ินงานทีมลี กั ษณะดงั รูปที 5.3
คอื มีหนา้ ตดั กลมและผวิ ขดั มนั อยา่ งดี ชินงานนีจะถูกนาํ ไปทดสอบภายใตค้ วามเคน้ สลบั โดยเครืองมอื ทดสอบทใี ช้
ส่วนใหญ่เป็ นเครืองทดสอบแบบทเี รียกวา่ R.R.Moore High Speed Rotating Beam Type ซึงเครืองนีจะให้โมเมนต์
ดดั (Pure Bending) โดยการใส่ตมุ้ นาํ หนกั ไวท้ ีปลายของแขนหมุน

3 7
16

0.30

9 7 R
8

รูปที 5.3 ชินงานสําหรบั การทดสอบหาความแขง็ แรงและอายใุ ชง้ านภายใตค้ วามลา้ ตามแบบของ Moore

เครืองมือนีจะหมุนชินงานทถี ูกถ่วงดว้ ยตุม้ นาํ หนักทีปลายขา้ งหนึงจนกระทงั ชินงานเสียหาย จากนนั เปลียนขนาด

ของตมุ้ นาํ หนกั ไปเรือย ๆ บนั ทึกผลเป็ นความเคน้ ดดั และอายุการใชง้ าน (จาํ นวนรอบของการหมุน) ผลทไี ดอ้ าจจะ

นาํ มาเขียนลงในกราฟ Semi Log-Log หรือกราฟ Log-Log โดยให้แกนตงั เป็ นแกนของความเคน้ ซึงเราจะเรียกว่า

พิกดั ความล้า (Fatigue Strength, Sf) และแกนนอนเป็ นอายุของชิ นงาน ซึงวดั เป็ นจาํ นวนรอบทชี ินงานทาํ งานได้
(Number of cycles, N) กราฟดังกล่าวแสดงในรูปที 5.4 เราเรียกกราฟนีว่ากราฟของพิกัดความล้าและอายุใชง้ าน

(S–N Curve)

การออกแบบชินส่วนภายใตแ้ รงกระทาํ ซาํ ๆ 123

Low Cycle High Cycle
Infinite Life
Finite Life

Fatigue Strength (Sf ) S ut

Ferrous

Se

Non-Ferrous

100 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8

Number of Cycles (N)

รูปที 5.4 แสดงตวั อยา่ ง S-N Curve ของโลหะพวกเหลก็ (ในทนี ีคือเหล็กเบอร์ UNS G41300) และโลหะพวก
ทไี มเ่ หลก็ (Non-Ferrous) ซึงไดแ้ ก่ Aluminum Alloys หรือ Copper Alloys เป็นตน้

จากรูปที 5.4 แสดงความสัมพนั ธ์ของความเคน้ (พิกัดความลา้ ) และอายุการใช้งาน (S-N Curve) ของโลหะทีเป็ น
พวกเหล็ก (Ferrous) ซึงเป็นกราฟเส้นทบึ และกรณีของพวกทีไมเ่ ป็นเหลก็ ซึงแสดงเป็นเส้นประ จะเหน็ ว่าในกรณี
ของพวกเหล็กนันชินงานทีใช้ในการรับความเคน้ เพียงรอบเดียวหรือครังเดียว (N = 10o = 1 ) จะสามารถทนต่อ
ขนาดของความเคน้ ไดส้ ูงถึงความแข็งแรงสูงสุด (Tension Strength, Sut) แต่เมอื ชินงานนนั ถกู นาํ ไปรบั ความเคน้ ที
กระทาํ ซาํ ๆกนั มนั จะมีคา่ พกิ ดั ความลา้ ลดลง (กล่าวคอื มนั จะเสียหายภายใตค้ วามเคน้ ทขี นาดตาํ ลง) โดยจากผลการ
ทดลองในกรณีทีเป็นโลหะจาํ พวกเหลก็ นนั ผลจะเรียงตวั ในลกั ษณะเป็นเสน้ ตรงทมี รี ะดบั ความชนั ตา่ ง ๆ กนั 3 ชว่ ง
ดงั รูป โดยในช่วงแรกซึงเป็ นช่วงรอบตาํ นนั ค่าพกิ ัดความลา้ ของชินงานจะคอ่ ยๆลดลง แต่หลงั จากรอบการใช้งาน
ประมาณ 103 รอบ ค่าพิกัดความลา้ ของชินส่วนจะลดลงอย่างรวดเร็วขึนและในช่วงสุดทา้ ยค่าพิกัดความลา้ ของ
ชินส่วนจะมีค่าค่อนขา้ งคงที ดงั จะเห็นได้จากกราฟทีเป็นเสน้ นอนราบโดยช่วงนีจะเริมตน้ ทปี ระมาณ 106 รอบและ
จากจุดนีจะพบว่าค่าพิกัดความล้าจะมีค่าเป็ นเส้นราบคงทีไม่ว่ารอบของความเค้นจะสูงขึนอีกเท่าใดก็ตาม
หมายความวา่ ตงั แต่จุดนีเป็นตน้ ไปชินส่วนจะมอี ายุการใชง้ านทีไม่จาํ กดั หรือเป็นอนนั ตแ์ ละมคี ่าพกิ ดั ความลา้ เทา่ กบั
Se ซึงเราจะเรียกว่า ขีดจาํ กัดความลา้ หรือค่าความต้านทานการลา้ (Endurance Limit) โดยเส้นขดี จาํ กดั ความลา้ นี
จะเกิดขึนตงั แต่อายุการใช้งาน (N) ประมาณ 106 รอบ (หรือ 1 ลา้ นรอบ) ขึนไป ทงั นีขึนอยกู่ ับชนิดของโลหะด้วย
ในกรณีของวสั ดทุ ไี ม่ใช่เหลก็ นนั ค่าพกิ ดั ความลา้ จะอยทู่ ีอายใุ ชง้ านมากกว่านี

จากรูปที 5.4 เราสามารถแบ่งอายุการใชง้ านของชินงานภายใตแ้ รงกระทาํ ซาํ ๆ ออกเป็นไดด้ งั นี
1) แบง่ ตามรอบของภาระทีกระทาํ จะแบง่ ไดเ้ ป็น 2 ช่วงคอื

124 การออกแบบเครืองจกั รกล

 ช่วงรอบตาํ (Low Cycle) คือชินงานทถี ูกความเคน้ กระทาํ สูงๆจนเกือบถึงค่าความแข็งแรงสูงสุด (Tensile
Strength, Sut) ช่วงนีชินส่วนจะมีรอบการใชง้ านตาํ มากกลา่ วคอื มรี อบการใชง้ านตาํ กว่า 103 รอบ

 ชว่ งรอบสูง (High Cycle) คือชินงานทีถูกความเคน้ กระทาํ ตาํ ๆ จึงมรี อบการทาํ งานทีสูงได้ โดยทวั ไปจะ
ทาํ งานไดม้ ากกวา่ 103 รอบขึนไป

2) ถา้ แบ่งตามอายุการใชง้ านของชินงานก็จะได้ 2 ชว่ งเชน่ กนั คอื
 ชินงานทีมีอายุจาํ กดั (Finite Life) คอื ชินงานทีถูกออกแบบมาใหม้ ีอายุจาํ กดั โดยส่วนใหญ่จะมีอายใุ ชง้ าน
ไม่เกิน 106-107 รอบ (1-10 ลา้ นรอบ)
 ชิ นงานทีมีอายุไมจ่ ํากัด (Infinite Life) หมายถึงชิ นงานทีถูกออกแบบให้มีอายุการใช้งานเป็ นอนันต์
โดยทวั ไปจะรบั แรงไดน้ อ้ ย คอื ไม่เกนิ ขดี จาํ กดั ความลา้ (Endurance Limit, Se ) โดยอายุอนนั ตน์ ีจะเริมนับ
จาก 106 รอบขนึ ไป ขีดจาํ กัดความลา้ นีเป็ นคุณสมบตั ิทีสาํ คญั ของวสั ดุ เนืองจากภายใต้ขีดจาํ กดั ความลา้ นี
ชินส่วนนนั ๆจะมีอายทุ อี นนั ต์ ดงั นนั เราจงึ ควรมาทาํ ความเขา้ ใจกบั ขีดจาํ กดั ความลา้ กนั ให้มากกว่านี

การออกแบบชินส่วนภายใตแ้ รงกระทาํ ซาํ ๆ 125

1. สอนบรรยาย

วิธสี อนและกจิ กรรม 2. ยกตวั อยา่ งประกอบ
สือการสอน
งานทีมอบหมาย 3. ให้นกั ศกึ ษามสี ่วนร่วมในการเรียนการสอนดว้ ยวิธีการถาม-ตอบ
การวัดผล
หนังสือ -
อ้างองิ

เอกสาร 1. เอกสารคาํ สอนรายวิชาการออกแบบเครืองจกั รกล

ประกอบ 2. Powerpoint ประกอบการสอนในแต่ละหน่วยเรียน

วัสดุโสต 1. กระดานขาว-ปากกาเขยี นกระดานขาว

ทศั น์ 2. เครืองฉาย Projector

1. แบบฝึกหัด
2. คน้ ควา้ จากเอกสารทเี กยี วขอ้ ง

1. สังเกตจากพฤติกรรมและความสนใจในหอ้ งเรียน
2. การตอบคาํ ถาม
3. ประเมินงานทนี กั ศกึ ษาคน้ ควา้ มาได้
4. ตรวจแบบฝึกหดั /แบบทดสอบ

126 การออกแบบเครืองจกั รกล

การออกแบบชินส่วนภายใตแ้ รงกระทาํ ซาํ ๆ 127

สัปดาห์ที 8 ใบเตรียมการสอน รหัสวิชา 03-407-071
เวลา 3 ชัวโมง

สอบกลางภาค

128 การออกแบบเครืองจกั รกล

การออกแบบชินส่วนภายใตแ้ รงกระทาํ ซาํ ๆ 129

สัปดาห์ที 9 ใบเตรียมการสอน รหสั วชิ า 03-407-071-303

เวลา 3 ชัวโมง หน่วยที 5 การออกแบบชินส่วนภายใต้แรงกระทําซํา ๆ

ชือบทเรียน . คา่ ขดี จาํ กดั ความลา้ คา่ พกิ ดั ความลา้ และตวั คูณปรบั แกค้ ่า เวลา 180 นาที

จุดประสงค์การสอน

. คาํ นวณคา่ ขดี จาํ กดั ความลา้ คา่ พิกดั ความลา้ และตวั คณู ปรบั แกค้ า่

. . บอกคา่ ขดี จาํ กดั ความลา้

. . คาํ นวณคา่ พกิ ดั ความลา้

. . คาํ นวณคา่ ขีดจาํ กดั ความลา้ ใชง้ านและตวั คณู ปรับแกค้ า่ ตา่ ง ๆ

ใบเตรียมการสอน บทเรียนที 5.2 ถงึ 5.2 หนา้ 129 ถงึ 154

เนือหา 5.2 ค่าขีดจาํ กดั ความล้า ค่าพิกดั ความล้าและตวั คูณปรบั แก้ค่า

. . ค่าขดี จาํ กดั ความลา้

. . ค่าพกิ ดั ความลา้

. . ค่าขีดจาํ กดั ความลา้ ใชง้ านและตวั คณู ปรับแกค้ า่ ตา่ ง ๆ