Иродов И.Е. - Механика. Основные законы - 2010

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

И.Е.Иродов

МЕХАНИКА

основные
законы

10-Е ИЗДАНИЕ

Рекомендовано
учебно-методическимобъединением
в области «Ядерные физика и технологии»

в качестве учебного пособия
для студентов физических специальностей

высших учебных заведений

Москва

БИНОМ. Лаборатория знаний

2010

m

"УДК 531
ББК 22.2

И83

И83 Иродов и. Е.

Механика. Основные законы / И. Е. Иродов - 10-е
изд. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. -
309 с.: ил. - (Технический университет. Общая физика).

ISBN 978-5-9963-0063-1

в книге рассмотрены основные законы как нерелятивистской

(ньютоновской), так и релятивистской механики - законы движения

и законы сохранения импульса, энергии и момента импульса. На
большом количестве примеров и задач показано, как следует приме­

нять эти законы при решении различных конкретных вопросов.

Для студентов физических специальностей вузов.

УДК 531
ББК 22.2

По вопросам приобретения обращаться:

«ВИНОМ. Лаборатория знаний.

(499) 157-52-72, e-таН: [email protected]
http://www.Lbz.ru

ISBN 978-5-9963-0063-1 © БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010

m

Содержание

Предисловие. 5
6
Система обозначений 7

Введение . 9

Глава 1. ОСНОВЫ кинематики. 9
16
§ 1.1. Кинематика точки .
§ 1.2. Кинематика твердого тела. 24
§ 1.3. Преобразование скорости и ускорения 28

при переходе к другой системе отсчета. 36
Задачи.
36
Глава 2. Основное уравнение динамики 40
45
§ 2.1. Инерциальные системы отсчета . 48
§ 2.2. Основные законы ньютоновской динамики. 51
§ 2.3. Силы. 57
§ 2.4. Основное уравнение динамики .
§ 2.5. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции. 68

Задачи. 68
70
Глава 3. Закон сохранения импульса 73
77
§ 3.1. О законах сохранения 82
§ 3.2. Импульс системы . 85
§ 3.3. Закон сохранения импульса .
§ 3.4. Центр масс. Ц-система . 93
§ 3.5. Движение тела переменной массы.
93
Задачи. 98
108
Глава 4. Закон сохранения энергии . 112
117
§ 4.1. Работа и мощность 126
§ 4.2. Консервативные силы. Потенциальная энергия. 136
§ 4.3. Механическая энергия частицы в поле 143
§ 4.4. Потенциальная энергия системы.
§ 4.5. Закон сохранения механической энергии системы 157
§ 4.6. Столкновение двух частиц .
§ 4.7. Механика несжимаемой жидкости 157
Задачи . 163
169
Глава 5. Закон сохранения момента импульса 173
189
§ 5.1. Момент импульса частицы. Момент силы
§ 5.2. Закон сохранения момента импульса .
§ 5.3. Собственный момент импульса.
§ 5.4. Динамика твердого тела .
Задачи .

m

4 Содержание

Глава 6. Колебания. 200

§ 6.1. Гармонические колебания 200
§ 6.2. Сложение гармонических колебаний 207
§ 6.3. Затухающие колебания 211
§ 6.4. Вынужденные колебания . 214
Задачи . 218

Глава 7. Кинематика специальной теории 224

относительности . 224
229
§ 7.1. Трудности дорелятивистской физики 233
§ 7.2. Постулаты Эйнштейна. 243
§ 7.3. Замедление времени и сокращение длины 247
§ 7.4. Преобразования Лоренца. 255
§ 7.5. Следствия из преобразований Лоренца.
Задачи . 262

Глава 8. Релятивистская динамика. 262
266
§ 8.1. Релятивистский импульс. 269
§ 8.2. Основное уравнение релятивистской динамики. 273
§ 8.3. Закон взаимосвязи массы и энергии 277
§ 8.4. Связь между энергией и импульсом частицы . 285
§ 8.5. Система релятивистских частиц .
Задачи . 293

Приложения 293
295
1. Движение точки в полярных координатах. 297
2. О задаче Кеплера . 298
3. Доказательство теоремы Штейнера. 298
4. Греческий алфавит 299
5. Основные единицы СИ в механике 299
6. Формулы алгебры и тригонометрии . 300
7. Таблица производных и интегралов .
8. Некоторые сведения о векторах. 301
9. Единицы механических величин в системах СИ 302
302
и СГС 303
303
10. Десятичные приставки к названиям единиц.
11. Некоторые внесистемные единицы . 304
12. Астрономические величины.
13. Физические постоянные .

Предметный указатель.

m

ПреДИСlIовие

....

Цель этой книги - сосредоточить внимание на основных законах

механики (законах движения и законах сохранения импульса, энер­
гии и момента импульса), а также показать, как следует применять
эти законы при решении различных конкретных задач. При этом ав­
тор стремился помочь студентам, приступившим к изучению физики,
начать вырабатывать в себе необходимую для будущего специалиста
культуру физического мышления, а также определенную смелость в
самостоятельном подходе к решению проблемных задач.

Книга содержит две части: ньютоновская механика (1-6 главы);

релятивистская механика (7-8 главы). В первой части законы механи­

ки рассматриваются в ньютоновском приближении, т. е. при скоро­

стях движения, значительно меньших скорости света, во второй -

при скоростях, сравнимых со скоростью света.

В каждой главе сначала излагается теория соответствующего во­
проса, а затем на ряде наиболее поучительных и интересных в физиче­

ском отношении примеров и задач показывается, как следует подхо­

дить к их решению. Задачи (их около 90) тесно связаны с основным

текстом, часто являются его развитием и дополнением, поэтому работа

над ними не менее важна, чем изучение основного текста.

Курсивом выделены важнейшие положения и термины. Петит ис­
пользуется для примеров и задач, а также для материала повышенной
трудности (этот материал при первом чтении можно безболезненно
опустить).

В настоящем издании сделаны некоторые изменения чисто техни­
ческого характера, внесены небольшие дополнения и уточнения, а

также исправлены замеченные опечатки.

Книга как учебное пособие рассчитана в основном на студентов
первых курсов вузов с расширенной программой по курсу общей фи­
зиKи. Она может быть полезной и студентам старших курсов, а также

преподавателям вузов.

и. Иродов

m

Система обозначений

Векторы обозначены жирным прямым шрифтом (например г, F); та

же буква светлым шрифтом (r, F) означает модуль вектора.

Орты - единичные векторы:

i, j, k - орты декартовых координат х, у, г;

eер, е<р, z - орты цилиндрических координат р, <р, г;

п, "t - орты нормали и касательной к траектории.

Средние величины заключены в угловые скобки ( ), например (V),

<Н).

Символы А, d, 8 перед величинами означают:

А - приращение величины, т. е. разность между ее конечным и на­

= =чальным значениями, например Аг Г2 - г1 , АU И 2 - U 1 ;

- А - убыль величины, т. е. разность между ее начальным и конеч­

= =ным значениями, например -Аг гl - Г2' -АU U 1 - U 2 ;

d - дифференциал, например dr, dU;

8 - элементарное значение величины, например 8А - элементар-

ная работа;

00 - знак пропорциональности, например Е 00 а2 ;
- - величина порядка ... , например l - 10-4 м.

Производная по времени от произвольной функции обозначена

df/dt или точкой над функцией (i).

Системы отсчета обозначены курсивными буквами К, К', ц.

Ц-система - это система отсчета, связанная с центром масс и дви­

жущаяся поступательно по отношению к инерциальным системам

(ее же называют системой центра инерции). Все величины в Ц -систе­

ме отмечены сверху значком - (тильда), например р, Е.

m

Введение

Механика - это раздел физики, в котором изучается движение

тел в пространстве и времени. Тот факт, что механические явле­

ния протекают в пространстве и времени, находит свое отражение

в любом механическом законе, содержащем явно или неявно про­

-странственно-временные соотношения расстояния и промежут­

ки времени.

Положение тела в пространстве может быть определено только
по отношению к каким-либо другим телам. Это же относится и к

движению тела, т. е. к изменению его положения с течением вре­

мени. Тело (или система неподвижных друг относительно друга
тел), которое служит для определения положения интересующего

нас тела, называют телом отсчета.

Практически для описания движения с телом отсчета связыва­
ют какую-нибудь систему координат, например декартову. Коор­

динаты тела позволяют установить его положение в пространстве.

Так как движение происходит не только в пространстве, но и во
времени, то для описания движения необходимо отсчитывать так­
же и время. Это делается с помощью часов того или иного типа.

Совокупность тела отсчета и связанных с ним координат и син­
хронизированных между собой часов образует систему отсчета.
Понятие системы отсчета является фундаментальным в физике.
Пространственно-временное описание движения при помощи рас­
стояний и промежутков времени возможно только тогда, когда вы­
брана определенная система отсчета.

Пространство и время сами являются физическими объектами,
как и любые другие, однако неизмеримо более важными и сущест­
венными. Чтобы изучить свойства пространства и времени, нужно
наблюдать движение тел, которые в них находятся. Исследуя ха­
рактер движения тел, мы тем самым познаем и свойства простран­

ства и времени.

Опыт показывает, что, пока скорости тел малы по сравнению со
скоростью света, линейные масштабы и промежутки времени оста­
ются неизменными при переходе от одной системы отсчета к дру­
гой, т. е. не зависят от выбора системы отсчета. Это нашло свое вы­
ражение в ньютоновской концепции абсолютности пространства и
времени. Механику, изучающую движения тел именно в этих слу­
чаях, называют ньютоновской.

m

8 Введение

При переходе же к скоростям, сравнимым со скоростью света,
обнаруживается, что характер движения тел радикально меняет­
ся. При этом линейные масштабы и промежутки времени уже за­
висят от выбора системы отсчета и в разных системах отсчета бу­
дут разными. Механику, основанную на этих представлениях, на­
зывают релятивистской. Естественно, что релятивистская
механика является более общей и в частном случае малых скоро­
стей переходит в ньютоновскую.

Реальные движения тел настолько сложны, что, изучая их, не­
обходимо отвлечься от несущественных для рассматриваемого дви­
жения деталей (в противном случае задача так усложнилась бы,
что решить ее практически было бы невозможно). С этой целью ис­
пользуют понятия (абстракции, идеализации), применимость ко­
торых зависит от конкретного характера интересующей нас зада­
чи, а также от той степени точности, с которой мы хотим получить
результат. Среди этих понятий большую роль играют понятия ма­
териальной точки и абсолютно твердого тела.

Материальная точка - это тело, размерами которого в усло­

виях данной задачи можно пренебречь. Ясно, что одно и то же тело

в одних случаях можно рассматривать как материальную точку, в

-других же как протяженное тело.

Абсолютно твердое тело, или, короче, твердое тело, - это си­

стема материальных точек, расстояния между которыми не меня­

ются в процессе движения. Реальное тело можно считать абсолют­

но твердым, если в условиях рассматриваемой задачи его деформа­

ции пренебрежимо малы.

Механика ставит перед собой две основные задачи:

1. Изучение различных движений и обобщение полученных ре­

-зультатов в виде законов движения законов, с помощью кото­

рых может быть предсказан характер движения в каждом конк­

ретном случае.

2. Отыскание общих механических свойств, т. е. общих теорем

или принципов, присущих любой системе, независимо от конкрет­
ного рода взаимодействий между телами системы.

Решение первой задачи привело к установлению Ньютоном и
Эйнштейном так называемых динамических законов, решение же

второй задачи - к обнаружению законов сохранения таких фунда­

ментальных величин, как энергия, импульс и момент импульса.

Динамические законы и законы сохранения энергии, импульса
и момента импульса представляют собой основные законы механи­
ки. Изучение их и составляет содержание этой книги.

m

rllaBa 1

....ОСНОВЫ кинематики

Кинематика - это раздел механики, где изучаются способы

описания движений независимо от причин, обусловливающих
эти движения. В этой главе рассмотрены три вопроса: кинемати­
ка точки, кинематика твердого тела, преобразование скорости и
ускорения при переходе от одной системы отсчета к другой.

§ 1.1. Кинематика точки

Существует три способа описания движения точки: вектор­
ный, координатный и естественный. Рассмотрим их последова­

тельно.

Векторный способ

В этом способе положение интересующей нас точки А задают

радиусом-вектором r, проведенным из некоторой неподвижной

точки О выбранной системы отсчета в точку А. При движении

точки А ее радиус-вектор меняется в общем случае как по мо-

rдулю, так и по направлению, т. е. радиус-вектор зависит от

t.времени Геометрическое место концов радиуса-вектора r на­

зывают траекторией точки А.

Введем понятие скорости точки. 1

Пусть за промежуток времени I1t точка

А переместилась из точки 1 в точку 2

(рис. 1.1). Из рисунка видно, что век­

тор nеремещения I1r точки А представ­ О

ляет собой приращение радиуса-векто­ Рис. 1.1

ра r за время I1t: I1r = r2 - rl. Отноше­

ние I1r/ I1t называют средним вектором скорости <v> за время

I1t. Вектор <v> совпадает по направлению с I1r.

Определим вектор скорости v точки в данный момент време­

ни как предел отношения I1r/ I1t при I1t ~ О, т. е.

. I1r dr (1.1)
v=llffi-=-.

Ы~O I1t dt

m

10 Глава 1

Это значит, что вектор скорости v точки в данный момент вре­
rмени равен производной от радиуса-вектора по времени и на­

правлен по касательной к траектории в данной точке в сторону

движения точки А (как и вектор dr). Модуль вектора v равен*

v =Ivl =Idr/dtl .

Движение точки характеризуется также ускорением. Вектор

ускорения а определяет скорость изменения вектора скорости
точки со временем:

а = dv/dt, (1.2)

т. е. равен производной от вектора скорости по времени. На­

правление вектора а совпадает с направлением вектора dv -
приращением вектора v за время dt. Модуль вектора а опреде­

ляется аналогично модулю вектора у.

Пример. Радиус-вектор точки зависит от времени t по закону

где А и В - постоянные векторы. Найдем скорость v и уско­

рение а точки:

v = dr/ dt = А + Bt, а = dv/ dt = В = const.

]dодуль вектора скорости

V = -vгv2- = .JА2 + 2 ABt + В2t2 .

Таким образом, зная зависимость r(t), можно найти ско­

рость v и ускорение а точки в каждый момент времени.

Возникает и обратная задача: можно ли найти v(t) и r(t),
зная зависимость от времени ускорения a(t)?

Оказывается, для получения однозначного решения этой за­

дачи одной зависимости a(t) недостаточно, необходимо еще

vзнать начальные условuя, а именно скорость о и радиус-век­
тор r o точки в некоторый начальный момент t = о. Чтобы в

* Заметим, что в общем случае Idrl '* dr, где r - модуль радиуса-вектора r и

'* dr /V dt. Например, если r меняется только по направлению (точка движет­
ся по окружности), то r = const, dr = О, но Idrl '* о.

m

Основы кинематики 11

этом убедиться, рассмотрим простейший случай, когда в про­

цессе движения ускорение точки а = const.
Сначала определим скорость точки v(t). Согласно (1.2), за

промежуток времени dt элементарное приращение скорости
dv = adt. Проинтегрировав это выражение по времени от t = О
t,до найдем приращение вектора скорости за это время:

ft

Дv = adt =at.

о

Но величина дv - это еще не искомая скорость v. Чтобы

найти v, необходимо знать скорость v о в начальный момент
времени. Тогда v = Vo + дv, или

v = Vo + at.

Аналогично решается вопрос и о радиусе-векторе r (t) точки.
Согласно (1.1), за промежуток времени dt элементарное прира­
щение радиуса-вектора dr = vdt. Интегрируя это выражение с
учетом найденной зависимости v(t), определим приращение ра­
диуса-вектора за время от t = О до t:

ft

дr = v(t )dt = v о t + at 2/2 .

о

Для нахождения самого радиуса-вектора r (t) необходимо
знать еще положение точки r o в начальный момент времени.
Тогда r = ro + дr, или

r=ro +vot+at 2/2.

Рассмотрим, например, движение камня, брошенного под

некоторым углом к горизонту с нача-

льной скоростью v o . Если считать, что gtj2

камень движется с постоянным уско­ --

g,рением а = то его положение отно­

сительно точки бросания (ro = О) опре­

деляется радиусом-вектором

r=vot+gt 2/2, о

Рис. 1.2

т. е. в данном случае r представляет собой сумму двух векто-

ров, что показано на рис. 1.2.

m

12 Глава 1

Итак, для полного решения задачи о движении точки -

v rопределения ее скорости
и положения в зависимости от вре­

мени - недостаточно знать зависимость a(t), но еще необходи­

Voмо знать и начальные условия, т. е. скорость и положение

r o точки в начальный момент времени.

В заключение напомним, что в СИ единицами длины, скоро­

сти и ускорения являются соответственно .метр (м), .метр на

секунду (м/с) и .метр на секунду в квадрате (м/с2 ).

Координатный способ

В этом способе с выбранным телом отсчета жестко связыва­
ют определенную систему координат (декартову, косоугольную
или криволинейную). Выбор той или иной системы координат
определяется рядом соображений: характером или симметрией
задачи, постановкой вопроса, а также стремлением упростить

само решение. Ограничимся здесь* декартовой системой коор­

динат х, у, г.

Запишем проекции на оси Х, У, Z радиуса-вектора r (t), ха­

рактеризующего положение интересующей нас точки относите­

льно начала координат О в момент t:

х = x(t); У = y(t); z = z (t).

Зная зависимость этих координат от времени - закон дви­

жения точки, можно найти положение точки в каждый момент
времени, ее скорость и ускорение. Действительно, спроециро­

вав (1.1) и (1.2), например, на ось Х, получим формулы, опре­

деляющие проекции векторов скорости и ускорения на эту ось:

v х = dx/dt, (1.3)

где dx - проекция вектора перемещения dr на ось Х;

(1.4)

где dv х - проекция вектора приращения скорости dv на ось х.

Аналогичные соотношения получаются для у- и z-проекций со-

* в приложении 1 рассмотрено движение точки в полярных координатах.

m

Основы кинематики 13

ответствующих векторов. Из этих формул видно, что проекции
векторов скорости и ускорения равны соответственно первой и
второй производным координат по времени.

Таким образом, зависимости x(t), y(t), z(t), по существу,

полностью определяют движение точки. Зная их, можно найти

не только положение точки, но и проекции ее скорости и уско­

vрения, а следовательно, модуль и направление векторов иав

любой момент времени. Например, модуль вектора скорости

V I2 + V 2 2
y
='\jV x +V z '

vнаправление же вектора задается направляющими косинуса­

ми по формулам

cos а =V X /V, cos у = Vz /V,

где а, р, у - углы меду вектором v и осями Х, У, Z соответст­

венно. Аналогичными формулами определяются модуль и на­

правление вектора ускорения.

Кроме того, можно решить и ряд других вопросов: найти
траекторию точки, зависимость пройденного ею пути от време­

ни, зависимость скорости от положения точки и пр.

Решение обратной задачи - нахождение скорости и закона

-движения точки по заданному ускорению проводится, как и

в векторном способе, путем интегрирования (в данном случае

проекций ускорения по времени), причем задача и здесь имеет

однозначное решение, если кроме ускорения заданы еще и на­

чальные условия: проекции скорости и координаты точки в на­

чальный момент.

«( Естественный» способ

Этот способ при меняют тогда, когда траектория точки изве­
стна заранее. Положение точки А определяют дуговой коорди­

натой 1 - расстоянием вдоль траектории от выбранного нача­
ла отсчета О (рис. 1.3). При этом произвольно устанавливают
положительное направление отсчета координаты 1 (например,

так, как показано стрелкой на рисунке).
Движение точки определено, если известны ее траектория,

начало отсчета О, положительное направление отсчета дуговой

координаты 1 и закон движения точки, т. е. зависимость l(t).

m

14 Глава 1

С1(,орость то"ч'1(,U. Введем единичный вектор 't', связанный с

движущейся точкой А и направленный по касательной к траек­

тории в сторону возрастания дуговой координаты l (рис. 1.3).

о
о

Рис. 1.3 Рис. 1.4

Очевидно, ЧТО't' - переменный вектор: он зависит от l. Век­
тор скорости v точки А направлен по касательной к траекто­

рии, поэтому его можно представить так:

I v =и,~, I (1.5)

где v't = dl/dt - проекция вектора v на направление вектора 't',

причем V't - величина алгебраическая. Кроме того,

IV'tI=lvl=v.

УС1(,ореnие то"ч'1(,U. Продифференцируем (1.5) по времени:

dv dv't d't' (1.6)
a=-=--'t'+V -.
dt dt 't dt

Затем преобразуем второе слагаемое этого выражения:

d't' d't' dl 2 d't' 2 d't' (1.7)
V - =и - - =и - =и - .
't dt 't dt dt 't dl dl

Определим приращение вектора 't' на участке dl (рис. 1.4).
Можно строго показать, что при стремлении точки 2 к точке 1

отрезок траектории между ними стремится к дуге окружности с

центром в некоторой точке о. Эту точку называют центром кри­
визны траектории в данной точке, а радиус р соответствующей

окружности - радиусом кривизны траектории в той же точке.

m

Основы кинематики 15

Как видно из рис. 1.4, угол Ба = Idll/p = 1&'(1/1, откуда

1&t/dll = 1/р,

причем при dl ~ О d't'..l 't'. Введя единичный вектор и нормали
к траектории в точке 1, направленный к центру кривизны, за­

пишем последнее равенство в векторном виде:

d't'/dl = и/р. (1.8)

Подставим (1.8) в (1.7) и полученное выражение в (1.6).

В результате найдем

dv't v 2 (1.9)

а = - - ' t ' +-и.

dt р

Здесь первое слагаемое называют тангенциальны,м ускоре­

ние,м, второе - нор,мальны,м ускорение,м. Таким образом, пол­

ное ускорение а точки может быть представлено как векторная
сумма тангенциального и нормального ускорений.

Проекции вектора а на орты 't' и И, как видно из (1.9), равны

а. = dV't/dt, (1.10)

]dодуль полного ускорения точки

. производная модуля скорости по времени.

где V -

Пример. Точка А движется по дуге радиу­ А a-r V

сом р (рис. 1.5). Ее скорость за­ ,,,,
висит от дуговой координаты l р,
1
по закону v = k.Jl, где k - по­ ',1
~O
стоянная. Найдем угол а между

векторами полного ускорения и

скорости точки как функцию

координаты l.

Рис. 1.5

m

16 Глава 1

Из рис. 1.5 видно, что угол а можно определить по формуле
tg а = а n / а 't. Найдем а n И a't. Нормальное ускорение

аn = V 2 р = k 2l / р.
/

=в нашем случае v't v, поэтому тангенциальное ускорение

а =dv- =d-v -d=l -dvv .
't dt dl dt dl

Учитывая зависимость v от l, получим

а = k k2
hk.Jl =-.
't 2 v l 2

в результате tg а = 2l / р.

§ 1.2. Кинематика твердого тела

Теория движения твердого тела помимо самостоятельного
значения играет важную роль еще и в другом отношении. С
твердым телом, как известно, может быть связана система от­

счета, служащая для пространственно-временного описания

различных движений. Поэтому изучение характера движения
твердых тел равносильно, по существу, изучению движений со­
ответствующих систем отсчета. Результаты, которые мы полу­
чим в этом параграфе, будут неоднократно использоваться в да­
льнейшем.

Различают пять видов движения твердого тела: 1) поступате­
льное, 2) вращение вокруг неподвижной оси, 3) плоское движе­
ние, 4) движение вокруг неподвижной точки и 5) свободное дви­

жение. Первые два движения (поступательное и вращение вокруг
неподвижной оси) являются основными движениями твердого
тела. Остальные виды движения твердого тела, оказывается,
можно свести к одному из основных движений или к их совокуп­
ности (это будет показано на примере плоского движения).

В данном параграфе рассмотрены первые три вида движе­
ния и вопрос сложения угловых скоростей.

Поступательное движение

Это такое движение твердого тела, при котором любая пря­
мая, связанная с телом, все время остается параллельной свое-

m

Основы кинематики 17

му начальному положению, например вагон, движущийся по
прямому участку пути; кабина колеса обозрения и др.

При поступательном движении все точки твердого тела со­

вершают за один и тот же промежуток времени равные переме­

щения. Поэтому скорости и ускорения всех точек тела в дан­
ный момент времени одинаковы. Это обстоятельство позволяет

свести изучение поступательного движения твердого тела к

изучению движения отдельной точки тела, т. е. к задаче кине­

матики точки.

Таким образом, поступательное движение твердого тела мо­
жет быть полностью описано, если известны зависимость от

времени радиуса-вектора r(t) любой точки этого тела и положе­

ние последнего в начальный момент.

Вращение вокруг неподвижной оси

Пусть твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной в данной

системе отсчета оси 00', совершило за время dt бесконечно ма­

лый поворот. Соответствующий угол поворота будем характе­

ризовать вектором d(f), модуль которого равен углу поворота, а

направление совпадает с осью 00', о'

причем так, что направление поворота

отвечает nравuлу правого винта по dq>

отношению к направлению вектора d(f) ~ __r"d<p

(рис. 1.6). --... <"-
...... ...... ......
Теперь найдем элементарное пере­
о
мещение любой точки А твердого тела
Рис. 1.6
при таком повороте. Положение точ­

ки А зададим радиусом-вектором r,

проведенным из некоторой точки О на

оси вращения. Тогда линейное пере­

мещение конца радиуса-вектора r

(рис. 1.6) связано с углом поворота d<p

соотношением

Idrl = r sin Э d<p ,

или в векторном виде

dr = [d(f), r]. (1.11)

m

18 Глава 1

Отметим, что это равенство справедливо лишь для бесконеч­

но малого поворота dcp. Другими словами, только бесконечно

*малые повороты можно рассматривать как векторы.

Кроме того, введенный нами вектор dcp удовлетворяет основ­

-ному свойству векторов векторному сложению. В самом

деле, пусть твердое тело совершает два элементарных поворота

dCPl и dCP2 вокруг разных осей, проходящих через неподвижную

точку о. Тогда результирующее перемещение dr произвольной

точки А тела, радиус-вектор которой относительно точки О ра­

r ,вен можно представить так:

где

(1.12)

т. е. два данных поворота (dCPl и dCP2) эквивалентны одному по­

+вороту на угол dcp = dCPl dCP2 вокруг оси, совпадающей с век­

тором dcp и проходящей через точку о.

Заметим, что при рассмотрении таких величин, как ради­

ус-вектор r, скорость v, ускорение а, не возникал вопрос о выбо­

ре их направления: оно вытекало естественным образом из при­

роды самих величин. Подобные векторы называют полярными.

В отличие от них векторы типа dcp, направление которых связы­

вают с направлением вращения, называют аксиальными.

Введем векторы угловой скорости и углового ускорения.

wВектор угловой скорости определяют как

I fI) = dq>/dt, (1.13)

где dt - промежуток времени, за который тело совершает по­
ворот dcp. Вектор w совпадает по направлению с вектором dcp и

представляет собой аксиальный вектор.

* Как следует из рис. 1.6, для конечного поворота на угол ~<p линейное переме­

щение точки А

I ~r I = r sin~ . 2 sin (~<p/2).

Отсюда сразу видно, что перемещение ~r нельзя представить как векторное

произведение векторов ~<p и r. Это возможно лишь в случае бесконечно малого
поворота d<p, в пределах которого радиус-вектор r можно считать неизменным.

m

Основы кинематики 19

wИзменение вектора со временем характеризуют вектором

углового ускорения р:

I f3 = dЮ/dt·1 (1.14)

Направление вектора р совпадает с направлением dw - при­

ращения вектора ш. Вектор р, как и ш, является аксиальным.
Единицей угловой скорости в СИ является радиан в секунду

(рад/с), а единицей углового ускорения - радиан на секунду в

квадрате (рад/с2 ).

Представление угловой скорости и углового ускорения в
виде векторов оказывается чрезвычайно плодотворным, особен­
но при изучении более сложных движений твердого тела. Это
дает возможность во многих случаях получить большую на­

глядность, а также резко упростить как анализ движения, так

и соответствующие расчеты.

Запишем выражения для угловой скорости И углового уско­

рения и проекциях на ось вращения Z, положительное направ­

ление которой свяжем с положительным направлением отсчета

-координаты <р -угла поворота правилом правого винта

f3z(рис. 1.7). Тогда проекции ООz и векторов w и р на ось Z опре­

деляются формулами

ООz = d<p/dt, (1.15)

(1.16)

f3z -Здесь ООz и величины алгебраические. Их знак характе­

ризует направление соответствующего вектора. Например, если

ООz > О, то направление вектора w совпадает с положительным

направлением оси Z; если же ООz < О, то направление вектора w

противоположно. Аналогично и для углового ускорения.

Таким образом, зная зависимость <р (t) - закон

вращения тела, по формулам (1.15) и (1.16) можно

найти угловую скорость И угловое ускорение в

каждый момент времени. И наоборот, если извест-

ны зависимость углового ускорения от времени и

начальные условия, т. е. угловая скорость 000 и Рис. 1.7
угол <Ро в начальный момент времени, то можно

найти w(t) и <р (t).

m

20 Глава 1

Пример. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону

=<р at - bt 2 /2, где а и Ь - некоторые положительные посто-

янные. Найдем характер движения этого тела.

Согласно (1.15) и (1.16),

Шz = а - bt; f3z = -Ь = const.

Отсюда видно, что тело, вращаясь равнозамедленно (f3z < О) ,

=останавливается в момент t o а/Ь, а затем направление вра­

щения (знак Шz ) изменяется на противоположное.

Отметим, что решение всех задач на вращение твердого тела
вокруг неподвижной оси аналогично по форме задачам на пря­
молинейное движение точки. Достаточно заменить линейные

величины Х, V х И ах на соответствующие угловые <р, roz и Pz' и

мы получим все закономерности и соотношения для вращаю­

щегося тела.

Связь между линейными и угловыми величинами

Найдем скорость v произвольной точки А твердого тела, вра­
щающегося вокруг неподвижной оси 00' с угловой скоростью (О.

Пусть положение точки А относительно некоторой точки О оси

вращения характеризуется радиусом-вектором r (рис. 1.8). Вос­
пользуемся формулой (1.11), поделив ее на соответствующий
промежуток времени dt. Так как dr/dt = v и d<p/dt = (о, то

I v ~ [юr], I (1.17)

о' т. е. скорость v любой точки А твердого

ш тела, вращающегося вокруг некоторой оси

с угловой скоростью (о, равна векторному

rпроизведению (о на радиус-вектор точки

А относительно произвольной точки О оси

вращения (рис. 1.8).

=Модуль вектора (1.1 7) v шг sin Э, или

о v = шр,

Рис. 1.8 где р - радиус окружности, по которой

движется точка А.

m

Основы кинематики 21

Продифференцировав (1.17) по времени, найдем полное

+ускорение а точки А: а = [dwjdt, r] [ш, drjdt], или

а = [(3r] = [w[wr]]. (1.18)

В данном случае (ось вращения неподвижна) (311 ш, поэтому

вектор [(3r] представляет собой тангенциальное ускорение а,.

Вектор же [w[wr]] - это нормальное ускорение а n • Проекции

nвектора а на орты "t' и равны:

аn = 2

(о р.

Отсюда модуль полного ускорения

а = ~a: + а ~ = p~p2 + (04 •

Плоское движение твердого тела

Это такое движение, при котором каждая точка твердого

тела движется в плоскости, параллельной некоторой непо­

движной (в данной системе отсчета) плоско­

сти. При этом плоская фигура Ф, образован­

ная сечением тела этой неподвижной плос­

костью Р (рис. 1.9), в процессе движения все

время остается в этой плоскости, например

цилиндр, катящийся по плоскости без ско­

льжения (но конус в подобном случае совер­

шает уже более сложное движение). Рис. 1.9

Положение твердого тела при плоском движении однознач­

но определяется положением плоской фигуры Ф в неподвиж­

ной плоскости Р. Это позволяет свести

изучение плоского движения твердого

тела к изучению движения плоской фи- у К

гуры в ее плоскости. О х

Пусть плоская фигура Ф движется в Рис. 1.10

своей плоскости Р, неподвижной в

К-системе отсчета (рис. 1.10). Положе­

ние фигуры Ф на плоскости можно

определить, задав радиус-вектор r o про-

извольной точки О' фигуры и угол <р

m

22 Глава 1

между радиусом-вектором r', жестко связанным с фигурой, и

некоторым фиксированным направлением в К-системе отсчета.
Тогда плоское движение твердого тела будет описываться дву­

мя уравнениями:

q> = q>(t).

Если за промежуток времени dt радиус-вектор r' точки А
(рис. 1.10) повернется на угол d(f), то на такой же угол повер­

нется и любой отрезок, связанный с фигурой. Другими слова­

ми, поворот фигуры на угол d(f) не зависит от выбора точки О'.
wА это значит, что и угловая скорость фигуры тоже не зависит

от выбора точки О', и мы имеем право называть w угловой ско­

ростью твердого тела как такового.

Найдем скорость v произвольной точки А тела при плоском

движении. Введем вспомогательную К' -систему отсчета, кото­
рая жестко связана с точкой О' тела и перемещается поступате­

льно относительно К-системы (рис. 1.10). Тогда элементарное
перемещение dr точки А в К-системе можно записать в виде

dr = dro + dr',

где dro - перемещение К'-системы (точки О'), а dr' - переме­
щение точки А относительно К' -системы. Перемещение dr'

обусловлено вращением тела вокруг неподвижной в К' -системе

оси, проходящей через точку О'; согласно (1.11), dr' = [d(f), r'].

Подставив это выражение в предыдущее и разделив обе части

полученного равенства на dt, найдем

v = Vo + [wr'], (1.19)

т. е. скорость любой точки А твердого тела при плоском движе­

нии* складывается из скорости v о произвольной точки О' этого
тела и скорости v' = [wr'], обусловленной вращением тела во­

круг оси, проходящей через точку О'. Подчеркнем еще раз, что

v' - это скорость точки А относительно поступательно движу­

щейся К' -системы отсчета, жестко связанной с точкой О'.

* Заметим, что формула (1.19) оказывается справедливой и для любого сложно­

го движения твердого тела.

m

Основы кинематики 23

Иначе говоря, плоское движение твердого тела можно пред-

-ставить как совокупность двух основных видов движения

поступательного (вместе с произвольной точкой О' тела) и вра­

щательного (вокруг оси, проходящей через точку О').

Покажем, что плоское движение можно свести к чисто вра­

щательному. Действительно, при плос-

ком движении скорость v о произвольной У К

точки О' тела перпендикулярна вектору

(1), а это значит, что всегда найдется та-

*кая точка М, жестко связанная с телом ,

скорость которой v = О в данный момент.

Из условия О = v о = [(I)r~] можно найти

положение точки М, т. е. ее радиус-век- х

тор r~ относительно точки О' (рис. 1.11). О

Этот вектор перпендикулярен векторам Рис. 1.11

v(1) и о' его направление соответствует

векторному произведению v о = [ (l)r~] , а модуль rм = v о / m.

Точка М определяет и положение соответствующей оси (она

совпадает по направлению с вектором (1). Движение твердого

тела в данный момент времени представляет собой чистое вра­

щение вокруг этой оси. Такую ось называют .мгновенной осью

вращения.

Положение мгновенной оси, вообще говоря, меняется со вре­
менем. Например, в случае катящегося по плоскости цилиндра
мгновенная ось в каждый момент совпадает с линией касания

цилиндра и плоскости.

Сложение угловых скоростей

Рассмотрим движение твердого тела, вра- В

щающегося одновременно вокруг двух пересе­ СОО

кающихся осей. Сообщим некоторому телу о
вращение с угловой скоростью (1)' вокруг оси
Рис. 1.12
ОА (рис. 1.12) и затем эту ось приведем во

вращение с угловой скоростью (1)0 вокруг оси
ОБ, неподвижной в К-системе отсчета. Най­
дем результирующее движение тела в К-сис­

теме.

* Точка М может оказаться и вне тела.

m

24 Глава 1

Введем вспомогательную К'-систему отсчета, жестко связан­
ную с осями ОА и ОВ. Ясно, что эта система вращается с угло­

вой скоростью (00' И тело вращается относительно нее с угловой

скоростью (О'.

За промежуток времени dt тело совершит поворот d'P' вокруг
оси АО в К' -системе и одновременно поворот d'Po вокруг оси ОВ
вместе с K'-системоЙ. Суммарный поворот, согласно (1.12),

есть d'P = d'Po + d'P'. Разделив обе части этого равенства на dt,

получим

+(о = (00 (О'. (1.20)

Таким образом, результирующее движение твердого тела в

К-системе представляет собой чистое вращение с угловой ско­

ростью (О вокруг оси, совпадающей в каждый момент с векто­

ром (О и проходящей через точку О (рис. 1.12). Эта ось переме­

щается относительно К-системы - она поворачивается с угло­

вой скоростью (00 вместе с осью ОА вокруг оси ОВ.

Нетрудно сообразить, что даже в том случае, когда угловые

скорости (О' и (00 не меняются по модулю, тело будет обладать в

К-системе угловым ускорением (3, направленным, согласно

(1.14), за плоскость (рис. 1.12). Вопрос об угловом ускорении

твердого тела более подробно рассмотрен в задаче 1.10.

И последнее замечание. Поскольку вектор угловой скорости

-(О удовлетворяет основному свойству векторов векторному

сложению, (О можно представить как векторную сумму состав­

+ + ... ,ляющих на определенные направления, т. е. (О = (01 (02

где все векторы относятся к одной и той же системе отсчета.

Этим удобным и полезным приемом часто пользуются при ана­

лизе сложного движения твердого тела.

§ 1.3. Преобразование скорости и ускорения

при переходе к друrой системе отсчета

Приступая к изучению этого вопроса, напомним, что в рам­
ках ньютоновской механики длина масштабов и время счита­
ются абсолютными. Любой масштаб одинаков в разных систе­
мах отсчета, т. е. не зависит от движения. Это же касается и те­

чения времени, которое также одинаково во всех системах.

m

Основы кинематики 25

Постановка вопроса. Имеются две произвольные системы

отсчета К и К/, движущиеся определенным образом относите­

льно друг друга. Известны скорость V и ускорение анекоторой

точки А в К-системе. Каковы соответствующие значения V/ и а/
этой точки в К/-системе?

Рассмотрим последовательно три наиболее важных случая

движения одной системы отсчета относительно другой.

1. К/ -система движется поступательно по отношению к

К-системе. Пусть в К-системе начало отсчета К/-системы ха­

r o'рактеризуется радиусом-вектором а ее скорость и ускоре­

ние - векторами V o и ао . Если положе­ к IK'

ние точки А в К-системе определяется I

радиусом-вектором r, то r = r o + r/ (рис. I
1.13). Пусть далее за промежуток вре­
IА
I

мени dt точка А совершит в К-системе

элементарное перемещение dr. Это пере-

мещение складывается из перемещения О

dro вместе с К/-системой и перемещения Рис. 1.13
dr' относительно К/-системы, т. е.

+dr = dro dr/. Разделив данное выраже­

ние на dt, получим следующую формулу

преобразования скорости:

IV = Vo + v/·I (1.21)

Продифференцировав (1.21) по времени, найдем формулу

преобразования ускорения:

Iа = ао + a/·I (1.22)

=Отсюда видно, в частности, что при ао О а = а/, т. е. при

движении К/-системы без ускорения относительно К-систе­
мы, ускорения точки А в обеих системах отсчета будут одина­

ковы.

2. К/-система вращается с постоянной угловой скоростью w

вокруг оси, неподвижной в К -системе. Возьмем начала отсчета

К- и К/-систем в произвольной точке О на оси вращения

(рис. 1.14, а). Тогда радиус-вектор точки А в обеих системах от­
счета будет один и тот же: r == r/.

m

26 Глава 1

а) б)

ro ro

о

Рис. 1.14

Если точка А неподвижна в К'-системе, то это значит, что ее

перемещение dr в К-системе за время dt обусловлено только по­
воротом радиуса-вектора r на угол d<p (вместе с К' -системой) и
равно, согласно (1.11), векторному произведению [d'P, r].

Если же точка А движется относительно К' -системы со ско­

ростью у', то за время dt она совершит дополнительное переме­
щение v'dt (рис. 1.14, а) и тогда

dr = v'dt + [d'P, r] . (1.23)

Разделив это выражение на dt, получим следующую форму­

лу преобразования скорости:

Iv = у' + [юг] , I (1.24)

где v и у' - скорости точки А в К- и К'-системах отсчета соот­

ветственно.

Теперь перейдем к ускорениям. В соответствии с (1.24) при­
ращение dv вектора v за время dt в К-системе должно склады­

ваться из суммы приращений векторов у' и [юг], т. е.

dv = dv' + [ю, dr] . (1.25)

Найдем dv'. Если точка А движется в К'-системе с
у' = const, то приращение этого вектора в К-системе обусловле­
но только его поворотом на угол d'P (вместе с К'-системой) и
равно, как и в случае с r, векторному произведению [d'P, у'].

В этом нетрудно убедиться, совместив начало вектора у' с осью

вращения (рис. 1.14, б). Если же точка А имеет ускорение а'

m

Основы кинематики 27

в К' -системе, то за время dt вектор v' получит еще дополните­
льное приращение a'dt и тогда

dv' = a'dt + [dcp, v'] . (1.26)

Подставим (1.26) и (1.23) в равенство (1.25) и полученное
выражение разделим на dt. В результате найдем следующую

формулу преобразования ускорения:

а = а' + 2[wv'] + [w[wr]] , (1.27)

где а и а' - ускорения точки А в К- и К'-системах отсчета. Вто­

рое слагаемое в правой части этой формулы называют "орuо.лu­

совы.м. (или поворотным) ускорением акор , а третье слагаемое -
*осесmре.м.umе.льuы.м. ус"ореиие.м. аос :

акор = 2[wv'] , аос = [w[wr]] • (1.28)

Таким образом, ускорение а точки относительно К-системы
равно сумме трех ускорений: ускорения а' относительно К'-си­

стемы, кориолисова ускорения акор и осестремительного уско­

рения аос •
Осестремительное ускорение можно представить в виде

аос = - со2р, где р - радиус-вектор, перепендикулярный оси

вращения и характеризующий положение точки А относитель­

но этой оси. Тогда формулу (1.27) можно записать так:

1а = а' + 2[wv'] - со2р .1 (1.29)

3. К'-система вращается с постоянной угловой скоростью w

вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью vo и

ускорением ао по отношению к К -системе. Этот случай объеди­

HяeT два предыдущих. Введем вспомогательную S-систему от­

счета, которая жестко связана с осью вращения К' -системы и

s -перемещается поступательно в К-системе. Пусть v и v ско­

рости точки А в К- и S-системах отсчета, тогда в соответствии с

(1.21) v = vo + vs. Заменив vs, согласно (1.24), выражением

+vs = v' [wr], где r - радиус-вектор точки А относительно про-

* Осестремительное ускорение не следует путать с нормальным ускорением.

m

28 Глава 1

извольной точки на оси вращения К/-системы, получим следу­
ющую формулу преобразования скорости:

1v = у/ + уо + [шг] ·1 (1.30)

Аналогичным образом, используя (1.22) и (1.29), найдем

формулу преобразования ускорения:

1а = а/ + ао + 2[шv/] - ш2р .1 (1.31)

Напомним, что в последних двух формулах у, у/ и а, а/ -

скорости и ускорения точки А соответственно в К-и К/ -систе­

v -мах отсчета,
о и ао скорость и ускорение оси вращения

К/-системы в К-системе, r - радиус-вектор точки А относите­

-льно произвольной точки на оси вращения системы, р ради­

ус-вектор, перпендикулярный оси вращения и характеризую­

щий положение точки А относительно этой оси.

Пример. Диск вращается с постоянной угловой скоростью (а) вокруг
собственной оси, укрепленной на столе. По диску движется
точка А с постоянной относительно стола скоростью V. Най­

дем скорость V / И ускорение а / точки А относительно диска в

момент, когда радиус-вектор, характеризующий ее положе­

ние по отношению к оси вращения, равен р.

Скорость V/ точки А, согласно (1.24),

v' = v - [(а) р] .

Ускорение же а' найдем с помощью (1.29), учтя, что в данном

случае а = О, ибо v = const. Тогда а' = -2[(a)v'] + oip. После

подстановки в эту формулу выражения для v' получим

а' = 2[V(a)] _ ro2p .

Задачи

1.1. Радиус-вектор, характеризующий положение частицы М относи­

тельно неподвижной точки о, меняется со временем по закону

r = Asinrot + Bcosrot, А и В - постоянные векторы, причем

A..l В; ro - положительная постоянная. Найти ускорение а части­

цы и уравнение ее траектории у(х), взяв оси Х и У совпадающими
по направлению с векторами А и В соответственно и имеющими
начало в точке о.

m

Основы RинемаТИRИ 29

р е m е н и е. Продифференцировав r по времени дважды, полу­

чим

т. е. вектор а все время направлен к точке О, а его модуль пропор­
ционален расстоянию частицы до этой точки.

Теперь найдем уравнение траектории. Спроецировав r на оси Х и

У, получим

х = Asinrot, у = Bcosrot.

Исключив rot из этих двух уравнений, найдем

у

Это уравнение эллипса, А и В - его полу­

оси (рис. 1.15, где стрелкой показано на­

правление движения частицы М).

х

Рис. 1.15

1.2. Перемещение и путь. Частице в момент t = О сообщили скорость
vo' после чего ее скорость стала меняться со временем t по закону
v =vo(1 -t/т:), где т: - положительная постоянная. Найти за пер­
вые t секунд движения: 1) вектор перемещения ~r частицы;
2) пройденный ею путь В.

Ре m е н и е. 1. Согласно (1.1), dr = vdt = v o(l -t/т:)dt. Проинтег­

рировав это уравнение по времени от О до t, получим

~r = v o t(l -t/2т:).

2. Путь в, пройденный частицей за время t, равен

Jt

S = v dt,

о

где v - модуль вектора v. В данном случае

_ 1 1-v-v о 1-t/т:- {v o(1 - t/т:), если t ~ т:,
vо(t/т: -1), если t ~ т:.

m

30 Глава 1

Отсюда следует, что при t > 't интеграл для вычисления пути необ­
ходимо разбить на две части: от О до 't И от 't до t. Проведя интег­

рирование для обоих случаев, получим

_ { Vot( 1 - t/2't), если t ~ 't,

В- 1 + (1 2 ], если t ~

2vo't[1 -t/'t) 't.

s На рис. 1.16 показаны графики зависи­
мостей v (t) и в (t). Здесь же штриховыми

линиями показаны графики зависимо­

vстей от t проекций х И ~x векторов V и

~r на ось Х, направленную вдоль вектора

VO·

Рис. 1.16

1.3. Трамвай движется прямолинейно от остановки А до следующей

=остановки В с ускорением, изменяющимся по закону а а о -ЬВ,

-где ао и Ь - положительные постоянные, в расстояние от оста­

новки А до трамвая. Найти расстояние между этими остановками

и максимальную скорость трамвая.

Реш е н и е. Сначала найдем зависимость скорости от расстояния

В. За промежуток времени dt приращение скорости dv = adt. При­

ведем это выражение к виду, удобному для интегрирования, вос­

пользовавшись тем, что dt = dB/V. Тогда

v dv = (а о -Ьв)ds.

Проинтегрировав это уравнение (левую часть - от О до v, пра­
вую - от нуля дО В), получим

Отсюда видно, что расстояние между остановками, т. е. значение

=Во' при котором v = О, есть Во 2а о /Ь. Максимальную скорость
=найдем из условия dv/dB О или, проще, из условия максимума

подкоренного выражения. Отсюда значение Вт' соответствующее

vMaкc' определяется как Вт = ао/Ь и VMaKC = ао/Гь.

1.4. Частица движется в плоскости Х, у из точки с координатами х =

== у = о со скоростью V ai + bxj, где а и Ь - некоторые постоян-

ные, i и j - орты осей Х и У. Найти уравнение ее траектории у(х).

m

Основы кинематики 31

Реш е н и е. Запишем приращения у- и х-координат частицы за

промежуток времени dt:

= =где V y Ьх, V x а. Взяв их отношение, получим

dy = (b/a)xdx.

Интегрируем это уравнение:

х

у = J(b/a)xdx =(Ь/2а)х 2 ,

о

т. е. траекторией точки является парабола.

1.5. Закон движения точки А обода колеса, катящегося равномерно по

горизонтальному пути (ось х), имеет вид

х = Ь (rot - sin rot); у = Ь (1 - cos rot ),

где Ь и ro - положительные постоянные. Найти скорость V точки

А, путь в, пройденный ею между двумя последовательными каса­

ниями полотна дороги, а также модуль и направление вектора

ускорения точки А.

Реш е н и е. Скорость V точки А и пройденный ею путь s опреде­

ляются следующими формулами:

V V:= ~v~ + = bro.J2(1 - cosrot) = 2brolsin (rot/2)1,

Jt 1

S V dt = 4Ь [1 - cos(rot 1 /2)] ,

о

где t 1 - промежуток времени между двумя последовательными

касаниями. Из уравнения у = y(t) находим, что y(t 1) = О при

=rot1 2п. Поэтому s = 8Ь.

]dодуль ускорения точки А

а = ~a~ + а: = Ьro2 •

Покажем, что вектор 3, постоянный по модулю, все время направ­

лен к центру колеса - точке с. Действительно, в К '-системе от­

счета, связанной с точкой С и перемещающейся поступательно и
равномерно относительно полотна дороги, точка А движется рав-

m

32 Глава 1

номерно по окружности с центром в точке с. Поэтому ускорение
точки А в К/-системе направлено к центру колеса. А так как
К/-система движется равномерно, то вектор а будет таким же и

относительно полотна дороги.

1.6. Тангенциальное и нормальное ускорения. Точка движется замед­

rленно по окружности радиуса так, что ее тангенциальное и нор­

мальное ускорения в каждый момент равны друг другу по моду­

лю. В начальный момент точке была сообщена скорость vo. Найти

vскорость и модуль полного ускорения а точки в зависимости от

пройденного пути в.

Ре m е н и е. По условию, dv/dt = _v 2 /r. Представив dt как ds/v,

преобразуем исходное уравнение к виду

dv / v = - ds / r .

Интегрирование этого уравнения с учетом начальной скорости

приводит к следующему результату:

V =Vo е-8/ r .

в данном случае Ia't" I== а n' поэтому модуль полного ускорения
а = г2 а n = г2 V 2/ r, или

"'16=а Г2n ( V o2 / r ) е-28/ r .

1.7. Точка движется по плоской траектории так, что ее тангенциаль­

ное ускорение a't" = ао, а нормальное ускорение а n = ы 4 , где ао и

Ь - положительные постоянные, t - время. В момент t = О точка

начала двигаться с нулевой начальной скоростью. Найти радиус

кривизны р траектории точки и модуль ее полного ускорения в

зависимости от пройденного пути в.

Р е m е н и е. Элементарное приращение скорости точки

dv = a't"dt. Проинтегрировав это уравнение, получим v = aot.
Пройденный путь s = a ot 2 /2.

Радиус кривизны траектории, согласно (1.10), можно представить

,как р = v 2/ а n 2= а о2/ ы или

Р = а 3о /2Ьв.

Модуль полного ускорения

а = ~a2't" + а n2 = а о ~1 + (4Ьв 2/ 3а о2) •

m

Основы кинематики 33

1.8. Частица движется равномерно со скоростью v по параболической
траектории у = kx2 , где k - положительная постоянная. Найти

модуль ускорения частицы в точке х = о.

Реш е н и е. Продифференцируем дважды уравнение траектории

по времени:

у = 2kxi, У = 2k(i 2 + хх).

Так как частица движется равномерно, то это значит, что ее уско­

рение во всех точках траектории чисто нормальное и в точке х = О

совпадает с производной У в этой точке. Имея ввиду, что в точке

х = О величина Ii I= V, получим

а = (У)х=о = 2kv 2 •

Заметим, что в приведенном способе решения мы обошли вычис­

ление радиуса кривизны траектории в точке х = о, который обыч­

но бывает необходимо знать для определения нормального ускоре-

ния (а n = v 2/p).

1.9. Вращение твердого тела. Твердое тело вращается вокруг непо­

движной оси с угловым ускорением 13 = 130 cos<p, где 130 - постоян­

ный вектор, <р - угол поворота тела из начального положения.

Найти угловую скорость roz тела в зависимости от угла <р, если

при <р = о она была равна нулю.

zРеш е н и е. Выберем положительное направление оси вдоль
вектора 130. Согласно (1.16), droz = f3 z dt. Представив dt по формуле

(1.15) как d<p/roz , преобразуем предыдущее уравнение к виду

rozdroz = f3ocos<pd<p.

Интегрирование этого уравнения с учетом начального условия

(roz = О при <р = о) дает ro~ /2 = f30sin <р.

Отсюда z

График зависимости roz ( <р) показан на O~----~~----~1-t
рис. 1.17. Из него видно, что с ростом
<р
угла <р вектор (i) сначала увеличивается,
Рис. 1.17
совпадая по направлению с вектором

130 (roz > о), достигает максимума при

m

34 Глава 1

=<р п/2 и затем начинает уменьшаться, обращаясь в нуль при
=<р п. После этого тело подобным же образом начинает вращаться

в противоположном направлении (ooz < О). В результате тело будет

=совершать колебания около положения <р п/2 с амплитудой,

равной п/2.

1.10. Круглый конус с радиусом основания r и высотой h катится без

о) о' скольжения по поверхности стола,

I как показано на рис. 1.18. Верши­

v на конуса закреплена шарнирно в

===============:::::::::::::::/ точке О на уровне точки С - цент­

Рис. 1.18 ра основания конуса. Точка С дви­

жeTcя с постоянной скоростью v.

Найти относительно стола:

1) угловую скорость (1) конуса;
2) его угловое ускорение р.

= +Реш е н и е. 1. Согласно (1.20), (1) (1)0 (1)', где (1)0 и (1)' - угло­

вые скорости вращения вокруг осей 00' и ОС соответственно.
Модули векторов (1)0 и (1)' легко найти с помощью рис. 1.18:

000 = v /h , 00' = v /r .

= /h.Их отношение 000/00' r Отсюда следует, что вектор (1) совпа­

дает в каждый момент с образующей конуса, которая проходит

через точку касания А.

Модуль вектора (1)

00 = ~oo~ + 00,2 = (v/r)~1 + (r/h)2.

2. Угловое ускорение р конуса, согласно (1.14), есть производная

=вектора (1) по времени. Так как (1)0 const, то

р = d(l)/dt = d(l)' /dt.

Вектор (1)', оставаясь постоянным по модулю, поворачивается во­

круг оси 00' с угловой скоростью (1)0. Его приращение за проме­

жуток времени dt равно по модулю Id(l)'1 = oo'ooodt, или в вектор­
ном виде d(l)' = [(I)o(l)']dt. Таким образом,

=р [(1)0(1)'] •

Модуль этого вектора f3 = v 2 /rh.

1.11. Преобразования скорости и ускорения. Горизонтально располо­

женный стержень вращается с постоянной угловой скоростью (1)

m

Основы кинематики 35

вокруг вертикальной оси, укрепленной на столе и проходящей
через один из концов стержня. По стержню движется небольшая
муфта. Ее скорость относительно стержня меняется по закону

=у' br, где Ь - постоянная, r - радиус-вектор, характеризую­

щий расстояние муфты от оси вращения. Найти: 1) скорость v и
r;ускорение а муфты относительно стола в зависимости от
2) угол между векторами v и а в процессе движения.

Реш е н и е. 1. Согласно (1.24),

v = br + [cor] .
Модуль этого вектора v = r~b 2 + 002.

Ускорение а находим по формуле (1.29), где в нашем случае

а' = dv'/dt = Ь 2 r .

Тогда

а = (ь2 - (02)r + 2b[cor] •

Модуль этого вектора а = (Ь 2 + (02) r .

2. Для определения угла а между векторами v и а воспользуемся

их скалярным произведением, из которого следует, что

= /va.cos а уа После соответствующих преобразований получим

cos а = 1 / ~1 + (0о/ь)2.

Отсюда видно, что в данном случае угол а остается постоянным

при движении.

m

r.naBa 2

Основное уравнение динамики

т

§ 2.1. Инерциалъные системы отсчета

Закон инерции

В кинематике, где речь идет лишь об описании движений и

не затрагивается вопрос о причинах, вызывающих эти движе­

ния, никакой принципиальной разницы между различными

системами отсчета нет, и все они в этом отношении равноправ­

ны. Совершенно иначе обстоит дело в динамике - при изуче­

нии законов движения. Здесь обнаруживается существенное

различие между разными системами отсчета и преимущества
одного класса систем отсчета по сравнению с другими.

В принципе можно взять любую из бесчисленного множест­
ва систем отсчета. Однако законы механики в разных системах
отсчета имеют, вообще говоря, различный вид и может оказа­
ться, что в произвольной системе отсчета законы даже совсем
простых явлений будут весьма сложными. Естественно, возни­
кает задача отыскания такой системы отсчета, в которой зако­
ны механики были бы возможно более простыми. Такая систе­
ма отсчета, очевидно, наиболее удобна для описания механиче­
ских явлений.

Для решения этой задачи рассмотрим ускорение материаль­
ной точки относительно некоторой произвольной системы от­
счета. Какова причина этого ускорения? Опыт показывает, что
этой причиной могут быть как действие на данную точку ка­
Kиx-To определенных тел, так и свойства самой системы отсче­
та (действительно, относительно разных систем отсчета ускоре­
ние в общем случае будет различным).

Можно, однако, предположить, что существует такая систе­
ма отсчета, в которой ускорение материальной точки целиком
обусловлено только взаимодействием ее с другими телами. Сво­
бодная материальная точка, не подверженная действию ника­
ких других тел, движется относительно такой системы отсчета
прямолинейно и равномерно, или, как говорят, по инерции.
Такую систему отсчета называют инерциальноЙ.

m

Основное уравнение динамики 37

Утверждение, что инерциальные системы отсчета существу­

-ют, составляет содержание первого закона механики закона

инерции Галиле,я-Ньютона.

Существование инерциальных систем отсчета подтверждает­

ся опытом. Первоначальными опытами было установлено, что

такой системой отсчета является Земля. Последующие более

точные опыты (опыт Фуко и все аналогичные ему) показали,

*,что эта система отсчета не совсем инерциальная а именно:

были обнаружены ускорения, существование которых нельзя

объяснить действием каких-либо определенных тел. В то же

время наблюдения над ускорениями планет показали инерциа­

льность гелиоцентрической системы отсчета, связанной с

центром Солнца и «неподвижными» звездами. В настоящее

время инерциальность гелиоцентрической системы отсчета

подтверждается всей совокупностью опытов.

Любая другая система отсчета, движущаяся равномерно и

прямолинейно относительно гелиоцентрической системы, яв­

ляется также инерциальноЙ. Действительно, если в гелиоцент­

рической системе отсчета ускорение тела равно нулю, то оно

равно нулю и в любой другой из этих систем отсчета.

Таким образом, существует не одна, а бесчисленное множе­

ство инерциальных систем отсчета, движущихся относительно

друг друга прямолинейно и равномерно. Системы отсчета, дви­

жущиеся с ускорением относительно инерциальных систем, на­

зывают неинерциальными.

О свойствах симметрии пространства и времени. Важной
особенностью инерциальных систем отсчета является то, что по
отношению к ним пространство и время обладают определен­
ными свойствами симметрии. А именно: опыт убеждает, что в
этих системах отсчета пространство однородно и изотропно, а
время однородно.

Однородность и изотроnность пространства заключаются
в том, что свойства пространства одинаковы в различных точ­
ках (однородность), а в каждой точке одинаковы во всех на­
правлениях (изотропность).

* Заметим, что во многих случаях систему отсчета, связанную с Землей, можно

считать практически инерциальноЙ.

m

38 Глава 2

Однородность вре,м,ени заключается в том, что протекание фи­
зических явлений (в одних и тех же условиях) в разное время их
наблюдения одинаково. Иначе говоря, различные моменты вре­
мени эквивалентны друг другу по своим физическим свойствам.

Заметим, что по отношению к неинерциальным системам от­

счета пространство является неоднородным инеизотропным.

Это значит, что если какое-либо тело не взаимодействует ни с

какими другими телами, то тем не менее его различные поло­

жения в пространстве и его различные ориентации в механиче­

ском отношении не эквивалентны. То же самое относится в об­
щем случае и ко времени, которое будет неоднородным (в неи­
нерциальных системах), т. е. его различные моменты не
эквивалентны. Ясно, что такие свойства пространства и време­
ни вносили бы большие усложнения в описание механических
явлений. Так, например, тело, не подверженное действию со
стороны других тел, не могло бы покоиться: если его скорость в
некоторый момент времени и равна нулю, то уже в следующий
момент тело начало бы двигаться в определенном направлении.

Принцип относительности Галилея

Для инерциальных систем отсчета справедлив принцип от­

носительности, согласно которому все инерциальные систе,м,ы

по свои,м, ,м,еханически,м, свойства,м, эквивалентны друг другу.
Это значит, что никакими механическими опытами, проводи­
мыми «внутри» данной инерциальной системы, нельзя устано­
вить, покоится эта система отсчета или движется. Во всех
инерциальных системах отсчета свойства пространства и вре­

мени одинаковы, одинаковы также и все законы механики.

Данное утверждение составляет содержание nрин,циnа от­

-н,осuтельн,остu Галuлея одного из важнейших принципов

ньютоновской механики. Этот принцип является обобщением

опыта и подтверждается всем многообразием приложений нью­

тоновской механики к движению тел, скорости которых значи­

тельно меньше скорости света.

Все сказанное достаточно ясно свидетельствует об исключи­
тельности свойств инерциальных систем отсчета, в силу кото­

рых именно эти системы должны, как правило, использоваться

при изучении механических явлений.

m

Основное уравнение динамики 39

Преобразоваиия Галилея

Найдем формулы преобразования координат при переходе

от одной инерциальной системы отсчета к другой. Пусть инер­

циальная система К' движется со уК А

скоростью V относительно другой

инерциальной системы К. Выберем

оси координат Х', У', Z' К' -системы

параллельно соответствующим осям

Х, У, Z К-системы так, чтобы оси

Х' и Х совпадали между собой и / - - -~---'...;......,..=~Х~--
z Z/' ' / х'
были направлены вдоль вектора V
(рис. 2.1). Взяв за начало отсчета Рис. 2.1

времени момент, когда начала коор-

динат О' и О совпадали, запишем соотношение между радиуса­

ми-векторами r' и r одной и той же точки А в К'- и К-системах:

r' = r - vt (2.1)

и, кроме того,

t' = t. (2.2)

Здесь подразумевается, что длина отрезков и ход времени не

зависят от состояния движения и, следовательно, одинаковы в

обеих системах отсчета. Предположение об абсолютности про­
странства и времени лежит в самой основе представлений нью­
тоновской механики, представлений, основанных на обширном

экспериментальном материале, относящемся к изучению дви­

жений со скоростями, значительно меньшими скорости света.

Соотношения (2.1) и (2.2) представляют собой nреобрааова­

пия Галилея.

В координатах эти преобразования имеют вид

,

у = у,
t' t.1Iх' = х - Vt, = (2.3)

Продифференцировав (2.1) по времени, найдем классиче­

ский закон преобразования скорости точки при переходе от од­
ной инерциальной системы отсчета к другой:

(2.4)

m

40 Глава 2

Дифференцируя это выражение по времени с учетом того,

что V = const, получаем а' = а, т. е. ускорение точки одинаково

во всех инерциальных системах отсчета.

§ 2.2. Основные законы ньютоновской динамики

Изучая на опыте различные движения, мы обнаруживаем,

что в инерциальных системах отсчета всякое ускорение тела

вызывается действием на него каких-либо других тел. При
этом степень влияния (действия) каждого из окружающих тел

на состояние движения интересующего нас тела А - это во­

прос, на который в каждом конкретном случае может дать от­

вет только опыт.

Влияние другого тела (или тел), вызывающее ускорение
тела А, называют сuлой. Итак, причиной ускорения тела явля­
ется действующая на него сила.

Одной из важнейших характеристик силы является ее мате­
риальное происхождение. Говоря о силе, мы всегда неявно
предполагаем, что в отсутствие посторонних тел сила, действу­
ющая на интересующее нас тело, равна нулю. Если же обнару­
живается, что сила действует, мы ищем источник в виде того

или иного конкретного тела или других тел.

Все силы, с которыми имеет дело механика, обычно подраз­

деляют на силы, возникающие при непосредственном контакте

тел (силы давления, трения), и силы, возникающие через по­
средство создаваемых взаимодействующими телами полей
(силы гравитационные, электромагнитные). Заметим, однако,
что такое подразделение сил имеет условный характер: в сущ­
ности и при непосредственном контакте силы взаимодействия
обусловлены также наличием тех или иных полей, создавае­
мых молекулами или атомами тел. Таким образом, все силы
взаимодействия между телами обусловлены в конечном счете
полями. Вопрос о природе сил взаимодействия выходит за рам­
ки механики и рассматривается в других разделах физики.

Масса. Опыт показывает, что всякое тело ~оказывает сопро­

тивление» при любых попытках изменить его скорость - как по

модулю, так и по направлению. Это свойство, выражающее сте­

пень неподатливости тела к изменению его скорости, называют

инертностью. У различных тел оно проявляется в разной степе-

m

Основное уравнение динамики 41

ни. Мерой инертности служит величина, называемая массой.
Тело с большей массой является более инертным, и наоборот.

Введем понятие массы т, определив отношение масс двух
различных тел по обратному отношению ускорений, сообщае­

мых им равными силами:

(2.5)

Отметим, что такое определение не требует предварительно­
го измерения самих сил. Достаточно лишь располагать крите­
рием равенства сил. Например, если на два различных тела,
лежащих на гладкой горизонтальной плоскости, последовате­
льно подействовать одной и той же пружиной, ориентировав ее

горизонтально и растянув на одну и ту же длину, то можно

утверждать, что в обоих случаях влияние пружины на каждое

тело одинаково, другими словами, одинакова и сила.

Таким образом, сравнение масс двух тел, на которые дейст­
вует одна и та же сила, сводится к сравнению ускорений этих
тел. Взяв некоторое тело за эталон массы, мы имеем возмож­
ность сравнить массу любого тела с этим эталоном.

Единицей массы в СИ является, как известно, килограмм (кг).
Как показывает опыт, в рамках ньютоновской механики
масса обладает следующими двумя важнейшими свойствами:

1) масса - величина аддитивная, т. е. масса составного

тела равна сумме масс его частей;

2) масса тела как такового - величина постоянная, не из­

меняющаяся при его движении.

Сила. Вернемся к опыту по сравнению ускорений двух раз­
личных тел под действием одинаково растянутой пружины.
Тот факт, что в обоих случаях пружина была растянута одина­
ково, позволил нам высказать утверждение об одинаковости
действия пружины, или силы со стороны пружины.

С другой стороны, сила является причиной ускорения тела.
'Ускорения же различных тел под действием одной и той же оди­
наково растянутой пружины разные. Наша задача так опреде­
лить силу, чтобы, несмотря на различие ускорений разных тел в
рассматриваемом опыте, сила была бы одной и той же.

Для этого прежде всего надо выяснить: что является одина­
ковым в данных опытах? Ответ очевиден: произведение та.

m

42 Глава 2

Эту величину и естественно взять за определение силы. "У"читы­

вая, что ускорение - вектор, будем считать и силу вектором,

совпадающим по направлению с вектором ускорения а.

Итак, в ньютоновской механике сила, действующая на тело
массы т, определяется как произведение та. Оправданием
именно такого определения силы, кроме соображений наиболь­
шей простоты и удобства, послужила дальнейшая проверка
всех вытекающих из него следствий.

Второй закон Ньютона

Изучая на опыте взаимодействие различных материальных

точек с окружающими телами, мы обнаруживаем, что та зави­

сит от величин, характеризующих как состояние самой мате­

риальной точки, так и состояние окружающих тел.

Это является весьма существенным физическим фактом, ле­

жащим в основе одного из наиболее фундаментальных обобще­

ний ньютоновской механики: произведение массы материаль­

ной точки на ее ускорение является функцией положения

этой точки относительно окружающих тел, а иногда также

и функцией ее скорости. Эту функцию обозначают F и называ­

ют силой. Именно в этом и состоит фактическое содержание

второго закона Ньютона, который кратко формулируют обыч­

но так: произведение массы материальной точки на ее ускоре­

ние равно действующей на нее силе:

Iта = F·I (2.6)

Это уравнение называют уравнением движения материаль­
ной точки.

Сразу же подчеркнем, что второй закон Ньютона и уравне­

ние (2.6) получают конкретное содержание только после того,
как установлен вид функции F - зависимость от определяю­

щих ее величин, или, как говорят, закон силы. "У"становление
вида этой зависимости в каждом конкретном случае является
одной из основных задач физической механики.

Определение силы как та, лежащее в основе уравнения (2.6), обла­

дает тем исключительным достоинством, что законы сил при этом ока­

зываются очень простыми. Правда, переход к изучению движений с
релятивистскими скоростями показал, что законы сил потребовалось

m

Основное уравнение динамики 43

бы модифицировать, сделав их сложным образом зависящими от ско­
рости материальной точки. Теория стала бы громоздкой и запутанной.

Существует, однако, простой выход из этого затруднения, если
дать несколько иное определение силы, а именно: сила есть про извод­

ная импульса р материальной точ,ки по времени, т. е. dp/dt, и урав­
нение (2.6) записывать в виде

dp/dt = F.

в ньютоновской механике это определение силы тождественно та,

так как р = ту, т = const и dp/dt = та. В релятивистской же механи­

ке импульс, как мы увидим, зависит от скорости материальной точки
более сложным образом. Но важно другое. При таком определении

силы (как dp/dt) законы сил, оказывается, остаются теми же и в реля­

тивистской области. Так что простое выражение данной силы через
физическое окружение изменять не потребуется при переходе к реля­
тивистской механике. Это обстоятельство мы учтем в дальнейшем.

Единицей силы в СИ является ньютон (Н). Ньютон - это
сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м!с2 •

О сложении сил. На всякую материальную точку в данных
конкретных условиях действует, строго говоря, всего только

одна сила F, модуль и направление которой определяются рас­

положением этой точки относительно всех окружающих тел, а
иногда также и ее скоростью. И тем не менее часто бывает

удобно эту силу F представлять как суммарный результат дей­
ствия отдельных тел, или сил F l' F 2 ••• Опыт показывает, что

если тела, являющиеся источниками сил, не влияют друг на

друга и поэтому не меняют своего состояния от присутствия

других тел, то сила

F=F1 +F2 +···,

где F i - сила, с которой действовало бы на данную материаль­

ную точку i-e тело в отсутствие других тел.

Если это так, то говорят, что силы F l' F 2 ••• подчиняются

nринциnу суnерnозиции. Такое утверждение надо рассматри­
вать как обобщение опытных фактов.

Третий закон Ньютона

Во всех случаях, когда в опыте участвуют только два тела А
и В и тело А сообщает ускорение телу В, обнаруживается, что и

m

44 Глава 2

тело В сообщает ускорение телу А. Отсюда мы заключаем, что
действия тел друг на друга имеют характер взаи,м,одеЙствия.

Ньютон постулировал следующее общее свойство всех сил

взаимодействия - третий закон Ньютона: силы, с которы,м,и

две ,м,атериальные точки действуют друг на друга, всегда рав­
ны по ,м,одулю и направлены в противоположные стороны
вдоль nря,м,ой, соединяющей эти точки:

(2.7)

Это значит, что силы взаимодействия всегда появляются nа­

ра,м,и. Обе силы приложены к разны,м, материальным точкам и,

кроме того, являются силами одной природы.

Закон (2.7) распространяется на системы из произвольного

числа материальных точек. Мы исходим из представления, что

и в этом случае взаимодействие сводится к силам попарного

взаимодействия между материальными точками.

В третьем законе Ньютона предполагается, что обе силы

равны по модулю в любой момент времени независи,м,о от дви­

жения точек. Это утверждение соответствует ньютоновскому

представлению о мгновенном распространении взаимодейст­

вий - предположению, которое носит название nринциnа даль­

нодействия ньютоновской механики. Согласно этому принци­

пу, взаимодействие между телами распространяется в простра­

нстве с бесконечно большой скоростью. Иначе говоря, если

изменить положение (состояние) одного тела, то сразу же мож­

но обнаружить хотя бы очень слабое изменение во взаимодей­

ствующих с ним телах, как бы далеко они ни находились.

-В действительности это не так существует конечная мак­

симальная скорость распространения взаимодействий, которая

равна скорости света в вакууме. Поэтому третий закон Ньюто­

на (а также и второй) имеет определенные пределы применимо­

сти. Однако при скоростях тел, значительно меньших скорости

света, с которыми имеет дело ньютоновская механика, оба за­

кона выполняются с очень большой точностью. Свидетельством

этому являются хотя бы расчеты траекторий планет и искусст­

венных спутников, которые проводятся с «астрономической»

точностью именно с помощью законов Ньютона.

m

Основное уравнение динамики 45

Законы Ньютона являются основными законами механики.
Они позволяют, по крайней мере в принципе, решить любую
механическую задачу; кроме того, из них могут быть выведены

и все остальные законы механики.

В соответствии с принципом относительности Галилея зако­

ны механики одинаковы во всех инерциальных системах отсче­

та. Это значит, в частности, что уравнение (2.6) будет иметь

один и тот же вид в любой инерциальной системе отсчета. Дей­
ствительно, масса т материальной точки как таковой не зави­
сит от скорости, т. е. одинакова во всех системах отсчета. Кро­

ме того, для инерциальных систем отсчета одинаковым являет­

ся и ускорение а точки. Сила F тоже не зависит от выбора

системы отсчета, поскольку она определяется только взаимным

расположением и скоростью материальной точки относительно
окружающих тел, а эти величины, согласно нерелятивистской

кинематике, в разных инерциальных системах отсчета одина­

ковы.

Таким образом, все три величины, т, а и F, входящие в
уравнение (2.6), не меняются при переходе от одной инерциа­

льной системы отсчета к другой, а следовательно, не меняется

и само уравнение (2.6). Другими словами, уравнение та = F

uнварuантно относительно преобразований Галилея.

§ 2.3. Силы

Чтобы свести нахождение закона движения частицы к чисто

математической задаче, необходимо прежде всего - в соответ­
ствии с уравнением (2.6) - знать действующую на частицу

силу, т. е. зависимость силы от определяющих ее величин.

Каждая такая зависимость получена в конечном счете на осно­
вании обработки результатов опыта и, по существу, всегда опи­

рается на уравнение (2.6), как на определение силы.

Наиболее фундаментальные силы, лежащие в основе всех
механических явлений,- это силы гравитационные и электри­
ческие. При ведем выражение для этих сил в самом простом
виде, когда взаимодействующие массы (заряды) покоятся или
движутся С малой (нерелятивистской) скоростью.

Сила гравитационного притяжения, действующая между

двумя материальными точками, в соответствии с законом все-

m

46 Глава 2

мирного тяготения пропорциональна произведению масс то­

rчек т 1 и т2 , обратно пропорциональна квадрату расстояния

между ними и направлена по прямой, соединяющей эти точки:

(2.8)

-где у гравитационная постоянная.

Фигурирующие в этом законе массы называют гравитаци­

онными в отличие от инертной массы, входящей во второй за­

кон Ньютона. Из опыта, однако, установлено, что гравитацион­

ная и инертная массы любого тела строго пропорциональны

друг другу. Поэтому можно считать их равными (т. е. выбрать

один и тот же эталон для измерения обеих масс) и говорить

просто о массе, которая выступает как мера инертности тела

или как мера гравитационного действия.
Кулоиовская сила, действующая между двумя точечными

зарядами ql и q2'

(2.9)

где r - расстояние между зарядами, k - коэффициент пропор­

циональности, зависящий от выбора системы единиц. В отли­
чие от гравитационной силы кулоновская сила может быть как
силой притяжения, так и силой отталкивания.

Заметим, что закон Кулона (2.9) перестает выполняться точ­

но, если заряды движутся. Электрическое взаимодействие дви­
жущихся зарядов оказывается сложным образом зависящим от
их движения. Одну из частей этого взаимодействия, обусловлен­
ную движением, называют магнитной силой (отсюда и другое

название данного взаимодействия - электромагнитное). При

малых (нерелятивистских) скоростях магнитная сила составляет
пренебрежимо малую часть электрического взаимодействия и

оно с высокой степенью точности описывается законом (2.9).

Несмотря на то, что гравитационные и электрические взаи­
модействия лежат в основе всего бесчисленного разнообразия
механических явлений, анализ явлений, особенно макроскопи­
ческих, оказался бы весьма сложным, если бы во всех случаях

m

Основное уравнение динамики 47

мы исходили из этих фундаментальных взаимодействий. Поэ­
тому удобно ввести другие, приближенные, силы (которые в
принципе могут быть получены из фундаментальных сил). Это
необходимо для того, чтобы упростить математически задачу
настолько, чтобы ее можно было практически решить.

С этой целью вводят, например, следующие силы.
Однородная сила тяжести:

F = mg, (2.10)

где т - масса тела, g - ускорение свободного падения*.
Упругая сила - сила, пропорциональная смещению мате­

риальной точки из положения равновесия и направленная к

положению равновесия:

F = -хг, (2.11)

где r - радиус-вектор, характеризующий смещение частицы
из положения равновесия; х - положительный коэффициент,

зависящий от ~ упругих» свойств той или иной конкретной
силы. Примером такой силы является сила упругой деформа­
ции при растяжении (сжатии) пружины или стержня; в соот­

ветствии с законом Гука F = 'ИАl, где д.l - величина упругой де­

формации.
Сила трения скольжения, возникающая при скольжении

данного тела по поверхности другого тела,

(2.12)

где k - коэффициент трения скольжения, зависящий от при­

роды и состояния соприкасающихся поверхностей (в частно­

сти, от их шероховатости); R n - сила нормального давления,
прижимающая трущиеся поверхности друг к другу. Сила F на­

правлена в сторону, противоположную направлению движения
данного тела относительно другого.

* Заметим, что в отличие от силы тяжести вес Р - это сила, с которой тело дей­

ствует на опору (или подвес), nеnодвuжnую относительно данного тела. На­

пример, если тело с опорой (подвесом) неподвижны относительно Земли, то вес

=р совпадает с силой тяжести. В противном случае вес Р m(g - а), где а­

ускорение тела (с опорой) относительно Земли.

m

48 Глава 2

Сила сопротивления, действующая на тело при его поступа­

тельном движении в газе или жидкости. Эта сила зависит от

vскорости тела относительно среды, причем направлена проти­

воположно вектору у:

F = -kv, (2.13)

где k - положительный коэффициент, характерный для дан­

ного тела и данной среды. Этот коэффициент зависит, вообще

говоря, от скорости и, однако при малых скоростях во многих

случаях его можно практически считать постоянным.

§ 2.4. Основное уравнение динамики

Основное уравнение динамики материальной точки пред­
ставляет собой не что иное, как математическое выражение
второго закона Ньютона:

(2.14)

Уравнение (2.14) есть, по существу, дифференциальное
уравнение движения точки в векторном виде. Его решение -

основная задача динамики материальной точки. При этом воз­

можны две противоположные постановки задачи.

1. Найти действующую на точку силу F, если известны мас­
са т точки и зависимость от времени ее радиуса-вектора r(t).

2. Найти закон движения точки, т. е. зависимость от времени
ее радиуса-вектора r(t), если известны масса т точки, действую­
щая на нее сила F (или силы Fд и начальные условия - ско­
рость уо и положение r o точки в начальный момент времени.

В первом случае задача сводится к дифференцированию r(t)
по времени, во втором - к интегрированию уравнения (2.14).

Математическая сторона этого вопроса достаточно подробно
была рассмотрена в кинематике точки.

В зависимости от характера и постановки конкретной зада­

чи решение уравнения (2.14) проводят или в векторной форме,

или в координатах, или в проекциях на касательную и нормаль

к траектории в данной точке. Выясним, как записывают урав­

нение (2.14) в последних двух случаях.

m

Основное уравнение динамики 49

в проекциях на оси декартовых координат

Записывая обе части уравнения (2.14) в проекциях на оси Х,

z,У, получим три дифференциальных уравнения вида

dv y т-ddv-tz --рz , (2.15)
т-d-t =Р,у

z.где Рх ' Ру ' F z - проекции вектора F на оси Х, У, Необходимо

помнить, что эти проекции - величины алгебраические: в зави­

симости от ориентации вектора F они могут быть как положите­

льными, так и отрицательными. Знак проекции результирую­

щей силы F определяет и знак проекции вектора ускорения.

Проследим на конкретном примере, в чем заключается стан­

дартный подход к решению задач с помощью уравнений (2.15).

Пример. Небольшой брусок массы т скользит вниз по наклонной
плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Коэффициент

трения равен k. Найдем ускорение бруска относительно плос­

кости (эта система отсчета предполагается инерциальноЙ).

Прежде всего следует изобразить силы, действующие на бру-

сок. Это сила тяжести mg, нормаль­ 11
ная сила реакции R со стороны
плоскости и сила трения Fтр (рис. /
2.2), направленная в сторону, про­
,/
тивоположную движению бруска.
/
После этого свяжем с системой от­
...... ...... ...... ...... ......
.."."".
Х

счета ~ наклонная плоскость» систе­

z.му координат Х, У, Вообще гово­

ря, систему координат можно ори- Рис. 2.2
ентировать как угодно, однако во

многих случаях выбор направления осей диктуется характе-

ром движения. В нашем случае, например, заранее известно

направление движения бруска, поэтому наиболее целесооб­

разно оси координат расположить так, чтобы одна из них сов­

падала с направлением движения. Тогда задача сведется к ре­

шению только одного уравнения (2.15). Итак, выберем ось Х,

как показано на рис. 2.2, обязательно указав при этом ее по­

ложительное направление (стрелкой).

И только теперь приступим к составлению уравнений (2.15):
слева - произведение массы т бруска на проекцию его уско­
рения ах и справа - проекции всех сил на ось х.

m