Иродов И.Е. - Механика. Основные законы - 2010

100 Глава 4

Полученное выражение зависит только от вида функции

{(г), т. е. от характера взаимодействия и от значений Г1 и Г2 -

начального и конечного расстояний между частицами М и О.
От пути оно никак не зависит.

Обобщим полученный результат на стационарное силовое

поле, вызванное наличием совокупности неподвижных частиц,

действующих на частицу М с силами F l' F 2' ••• ' каждая из кото­

рых является центральной. В этом случае работа результирую­
щей силы при перемещении частицы М из одной точки в дру­
гую равна алгебраической сумме работ отдельных сил. А так
как работа каждой из этих сил не зависит от пути, то и работа
результирующей силы также не зависит от пути.

Вывод: поскольку центральные силы обладают таким свой­

ством, они являются консервативными.

Потенциальная энергия частицы в поле

То обстоятельство, что работа консервативных сил в случае

стационарного поля зависит только от начального и конечного

положений частицы, дает возможность ввести чрезвычайно
важное понятие потенциальной энергии.

Представим себе стационарное поле консервативных сил, в
котором мы перемещаем частицу из разных точек Рi В некото­
рую фиксированную точку о. Так как работа сил поля не зави­

сит от пути, то остается зависимость ее только от положения

точки Р (при фиксированной точке О). А это значит, что дан­

ная работа будет некоторой функцией радиуса-вектора r точки

Р. Обозначив эту функцию U(r), запишем

о (4.9)

А ро = JFdr = U(r).

р

1 Функцию U(r) называют потенциальной

О 2 энергией частицы в данном поле.

Рис. 4.7 Найдем работу сил поля при перемеще­

нии частицы из точки 1 в точку 2
(рис. 4.7). Так как работа не зависит от

пути, выберем путь, проходящий через
точку о.

m

3акон сохранения энергии 101

Тогда работа на пути 102 может быть представлена в виде

или с учетом (4.9)

J2 ( 4.1 О)

А12 = F dr = И1 - И2 •

1

*Выражение, стоящее справа, есть убыль потенциальной

энергии, т. е. разность значений потенциальной энергии части­
цы в начальной и конечной точках пути.

Таким образом, работа сил поля на пути 1 - 2 равна убы­

ли потенциальной энергии частицы в данно,м поле.
Очевидно, частице, находящейся в точке О поля, всегда

можно приписать любое наперед выбранное значение потенциа­
льной энергии. Это соответствует тому обстоятельству, что ра­
бота сил поля определяет лишь разность потенциальных энер­
гий в двух точках, но не их абсолютное значение. Однако как
только фиксирована потенциальная энергия в какой-либо точ­

ке, значения ее во всех остальных точках поля однозначно

определяются формулой (4.10).
Формула (4.10) позволяет найти выражение U(r) для любого

стационарного поля консервативных сил. Для этого достаточно
вычислить работу, совершаемую силами поля на любом пути
между двумя точками, и представить ее в виде убыли некото­

рой функции, которая и есть потенциальная энергия U(r).

* Изменение какой-либо величины Х можно характеризовать либо ее прираще­

нием, либо убылью. Приращением величины Х называют разность конечного

(Х2) и начального (Х1 ) значений этой величины:

приращение /1Х = Х 2 - Х 1 •

Убылью величины Х называют разность ее начального (Х1 ) и конечного (Х2)

значений:

=убыль Х 1 - Х 2 -/1Х,

т. е. убыль величины Х равна ее приращению, взятому с обратным знаком.

Приращение и убыль - величины алгебраические: если, например, Х 2 < Х 1 ,

то приращение отрицательно, а убыль положительна.

m

102 Глава 4

Именно так и было сделано при вычислении работы в полях
упругой и гравитационной (кулоновской) сил, а такдже в одно­

родном поле сил тяжести [см. формулы (4.3)-(4.5)]. Из этих

формул сразу видно, что потенциальная энергия частицы в
данных силовых полях имеет следующий вид:

1) в поле упругой силы

и(г) = хг2/2; (4.11)

2) в гравитационном (кулоновском) поле материальной точки

=и(г) а/г; (4.12)

3) в однородном поле сил тяжести

И(г) = mgz. (4.13)

Еще раз отметим, что потенциальная энергия U - функция,

которая определяется с точностью до прибавления некоторой
произвольной постоянной. Это обстоятельство, однако, совер­
шенно несущественно, так как в формулы входит только раз­

ность значений U в двух положениях частицы. Поэтому произ­

вольная постоянная, одинаковая для всех точек поля, выпада­

ет. В связи с этим ее обычно опускают, что и сделано в трех

предыдущих выражениях.

И еще одно важное обстоятельство. Потенциальную энергию
следует относить не к частице, а к системе взаимодействующих
между собой частицы и тел, вызывающих силовое поле. При
данном характере взаимодействия потенциальная энергия
взаимодействия частицы с данными телами зависит только от

положения частицы относительно этих тел.

Потенциальная энергия и сила поля

Взаимодействие частицы с окружающими телами можно
описывать двумя способами: с помощью сил или с помощью по­
тенциальной энергии. В ньютоновской механике оба способа
используют одинаково широко. Однако первый способ обладает
несколько большей общностью, так как он применим и к таким
силам, для которых нельзя ввести потенциальную энергию (на­
пример, к силам трения). Второй способ применим только в

случае консервативных сил.

m

3акон сохранения энергии 103

Наша задача - установить связь между потенциальной
энергией и силой поля, точнее, определить поле сил F(r) по за­

данной потенциальной энергии U(r) как функции положения

частицы в поле.

Мы уже знаем, что при перемещении частицы из одной точ­
ки стационарного поля консервативных сил в другую работа,
которую производят силы поля, может быть представлена как
убыль потенциальной энергии частицы в данном поле, т. е.

= =А 12 U 1 - U 2 -I1и. Это относится и к элементарному переме­

щению dr, а именно: БА = -dU, или

Fdr =-dU. (4.14)

IИмея ввиду, что Fdr = F s ds, где ds = drl элементарный

путь, РВ - проекция вектора F на перемещение dr, перепишем
уравнение (4.14) в форме

Fsds =-dU,

где -dU - убыль потенциальной энергии в направлении nере­
мещения dr. Отсюда

(4.15)

т. е. проекция силы поля - вектора F - в данной точке на на­

правление перемещения dr равна с обратным знаком производ­

ной потенциальной энергии U по данному направлению. Сим­

вол д/ Bs - частной производной - подчеркивает, что произ­

водная берется по определенному направлению.

Перемещение dr можно взять в любом направлении, в част­
z.ности вдоль координатных осей Х, У,
Если перемещение dr,

например, параллельно оси Х, то его можно представить так:

dr = idx, где i - орт оси Х, dx - приращение координаты х.

Тогда работа силы F на перемещении dr, параллельном оси Х,

где РХ - проекция вектора F на орт i (а не на перемещение dr,

как в случае РВ). Подставив последнее выражение в уравнение

(4.14), получим

РХ =-дИ/дх,

m

104 Глава 4

где символ частной производной означает, что и(х, у, г) при
дифференцировании должна рассматриваться как функция од­

ного аргумента х, остальные же аргументы должны оставаться

при этом постоянными. Ясно, что для проекций Ру и F z уравне­
ния будут аналогичны уравнению для F х.

Итак, взяв с обратными знаками частные производные фун­

кции U по х, у и г, мы найдем проекции Рх ' Ру и Fz вектора F
на орты i, j и k. Отсюда легко найти и сам вектор:
F = F х i + F у j + F z k, или

F kJ .= - (ди i + ди j + ди (4.16)
дх ду дг

Величину, стоящую в скобках, называют градиенто.м ска­

vu.лярной фукнции U и обозначают grad U или Мы будем по­

льзоваться вторым, более удобным, обозначением, где V (~Ha­

бла») означает символический вектор или оператор

t7 =•1д-+J. д-+ k -д . (4.17)
дх ду дг
v

Поэтому VU формально можно рассматривать как произве­

дение символического вектора V на скаляр и.

Таким образом, связь между силой поля и потенциальной
энергией как функцией координат можно представить в следу­

ющем компактном виде:

(4.18)

т. е. сила поля F равна со знако.м .минус градиенту потенциа­

льной энергии частицы в данной точке поля. Формула (4.18)
позволяет, зная функцию U(r), восстановить поле сил F(r).

Пример. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид:

=а) U(х, у) -аху, где а - постоянная; радиус-вектор
б) U(r) = ar, где а - постоянный вектор, r -

точки поля.

Найдем соответствующее каждому случаю поле сил:

( (. .)а) F = - -дU.1 + -дU).) = а Yl + Х) ;
дх ду

m

3акон сохранения энергии 105

=б) представим функцию U в виде U ахх + ауу + azz; тогда

(F =- -ди1. +д-и.) +ди- kJ =- (a x.l+a y ). +a z k) =-а.

дх ду дг

Смысл градиента станет нагляднее и яснее, если ввести по­

-нятие эквипотенциальной поверхности поверхности, во

всех точках которой потенциальная энергия U имеет одно и то

же значение. Ясно, что каждому значению U соответствует

своя эквипотенциальная поверхность.

Из формулы (4.15) следует, что проекция вектора F на лю­

бое направление, касательное к эквипотенциальной поверхно­

сти в данной точке, равна нулю. Это значит, что вектор F нор­

мален эквипотенциальной поверхности в данной точке. Далее,

возьмем перемещение дв по нормали к эквипотенциальной по­

верхности в сторону уменьшения и, тогда ди < О и, согласно

(4.15), F s >0, т. е. вектор F направлен в сторону уменьшения
и. А так как F противоположен по направлению вектору VU,

то мы приходим К выводу, что градиент U - это вектор, на­

правленный по нормали к эквипотенциальной поверхности в

сторону возрастанаи,я потенциальной энергии и.

Сказанное поясняет рис. 4.8, отно- Иt и2 из Ц,

сящийся к двумерному случаю. На

нем изображены система эквипотенци­ /'vu

алей (и1 < U 2 < U 3 < U 4)' а также гра­

диент потенциальной энергии VU и со­

ответствующий вектор силы F в точке

А поля. Полезно подумать, какими бу­

дут векторы этих двух величин, на­

пример в точке В данного поля. Рис. 4.8
в заключение заметим, что можно

говорить о градиенте не только функции и, но и любой другой

скалярной функции координат. Понятие градиента широко ис­

пользуется в самых различных разделах физики.

Поиятие поля

Опыт показывает, что в случае гравитационных и электро­

статических взаимодействий сила F, действующая на интересу­

ющую нас частицу со стороны окружающих тел, пропорциона-

m

106 Глава 4

льна массе (или заряду) частицы, причем сила F может быть

представлена в виде произведения двух величин, например в

случае тяготения

F=mG, (4.19)

-где т масса частицы, G - некоторый вектор, зависящий

как от положения частицы, так и от свойств окружающих тел.

Это открывает возможность иной физической интерпрета­

ции взаимодействия, связанной с понятием поля. А именно: го­

ворят, что интересующая нас частица находится в поле, созда­

ваемом окружающими ее телами и характеризуемом вектором

G (r). Или, иначе, считают, что в каждой точке пространства

вокруг этих тел (источников поля) создаются такие условия

(вектор G), при которых частица, помещенная в эти точки, ис­
пытывает действие силы (4.19), причем считают, что поле, ха­
рактеризуемое G(r), существует безотносительно к тому, есть в
*.нем частица или нет

Вектор G называют напряженностью поля. Напряженность
электрического поля обозначают Е. Сила F, действующая на
qточечный заряд в электростатическом поле, имеет вид, анало­
гичный (4.19), т. е. F = qE.

Далее в этом параграфе мы будем пользоваться величинами

т и G, т. е. рассматривать гравитационное поле. Чтобы полу­

чить соответствующие соотношения для электростатического

поля, достаточно заменить в формулах т и G на q и Е.

Одно из важнейших свойств полей заключается в том, что
поле, образованное несколькими источниками, равно сумме по­

лей, созданных каждым из них. Точнее, напряженность G ре­

зультирующего поля в произвольной точке

(4.20)

где Gi - напряженность поля i-ro источника в этой же точке.

Эта формула выражает nринциn суnерnозuцuu (или наложения)
полей.

* Пока мы остаемся в рамках статики, понятие поля может рассматриваться

как чисто условное (формальное), введенное лишь для удобства описания яв­
лений. Однако при переходе к переменным полям выясняется, что понятие
поля имеет глубокий физический смысл: поле есть физическая реальность.

m

3акон сохранения энергии 107

Обратимся к потенциальной эрегргии частицы. Согласно

(4.19), формулу (4.14) можно записать так: mGdr = ~U. Разде­
лив обе части на т и обозначив отношение U lm через <р, полу­

чим

Gdr = -d<p, (4.21)

или

J2 (4.22)
Gdr =<Р1 -<Р2·

1

Функцию <р (r) называют потенциалом поля в точке с радиу­

r .сом-вектором

Формула (4.22) позволяет найти потенциал любого гравита­

Jционного и электростатического поля. Для этого достаточно

вычислить интеграл G dr по произвольному пути между точ­

KaMи 1 и 2 и представить полученное выражение в виде убыли

некоторой функции, которая и есть потенциал <р (r). Так, по­

тенциалы гравитационного поля точечной массы т и кулонов­

ского поля точечного заряда q определяются, согласно (4.12),

формулами

<ргр = ---rymlr, <р КУЛ = kq I r . (4.23)

Заметим, что потенциал <р, как и потенциальная энергия,
может быть определен только с точностью до некоторой произ­
вольной постоянной, также совершенно несущественноЙ. Поэ­
тому ее обычно опускают.

Итак, поле можно описывать или в векторном виде G(r), или
в скалярном <р (r). Оба способа адекватны. Практически же ока­

зывается, что второй способ описания поля (с помощью потен­
циала <р) в большинстве случаев значительно удобнее, и вот по­

чему.

1. Зная <р (r), можно немедленно вычислить потенциальную
энергию U и работу сил поля А:

U = т<р, (4.24)

2. Вместо трех компонент векторной фукнции G(r) проще за­

давать скалярную функцию <Р(r).

3. Когда поле создается многими источниками, потенциал <р

рассчитывать легче, чем вектор G: потенциалы - скаляры, их

m

108 Глава 4

можно просто складывать, не заботясь о направлении сил. Дей­

ствительно, согласно (4.20) и (4.21),

Таким образом

Lq>(r) = q>i (r), (4.25)

где q>i - потенциал, создаваемый i-й частицей в данной точке

поля.

4. И наконец, зная функцию q> (r), можно легко восстановить
поле G(r) как

G = -Vq>. (4.26)

Эта формула непосредственно следует из (4.18)

§ 4.3. Механическая энергия частицы в поле

Кинетическая энергия

Пусть частица массы т движется под действием некоторой

силы F (в общем случае сила F может быть результирующей

нескольких сил). Найдем элементарную работу, которую совер­

шает эта сила F на элементарном перемещении dr. Имея в ви­

ду, что F = т dvjdt и dr = vdt, запишем

БА =Fdr =mvdv.

Скалярное произведение vdv = v(dv)v, где (dv)v - проекция
вектора dv на направление вектора у. Эта проекция равна dv -
приращению модуля вектора скорости. Поэтому vdv = v dv и

элементарная работа

БА =mvdv =d(mv 2 j2).

Отсюда видно, что работа результирующей силы F идет на

приращение некоторой величины (стоящей в скобках), кото­
рую называют кинетической энергией:

(4.27)

m

3акон сохранения энергии 109

Таким образом, приращение кинетической энергии частицы

при элементарном перемещении равно

dК = БА, (4.28)

а при конечном перемещении из точки 1 в точку 2 (4.29)

I К2 -К1 =А12 , I

т. е. приращение кинетической энергии частицы на некотором
nеремещении равно алгебраической сумме работ всех сил, дей­

ствующих на частицу на том же nеремещении. Если А 12 > О,
то К 2 > К l ' т. е. кинетическая энергия частицы увеличивается;
если А 12 < О, то кинетическая энергия уменьшается.

Уравнения (4.28) и (4.29) справедливы в инерциальных и

неинерциальных системах отсчета. В последних кроме сил,
действующих на рассматриваемую частицу со стороны ка­
ких-то тел (сил взаимодействия), необходимо учитывать и
силы инерции. Поэтому под работой в этих уравнениях надо
понимать алгебраическую сумму работ как сил взаимодейст-

вия, так и сил инерции.

Полная механическая энергия частицы

Согласно (4.28), приращение кинетической энергии частицы
равно элементарной работе результирующей F всех сил, дейст­

вующих на частицу. Что это за силы? Если частица находится

в интересующем нас стационарном поле консервативных сил,

то на нее действует консервативная сила Fп со стороны этого

поля. Кроме того, на частицу могут действовать и другие силы,
не имеющие отношения к данному силовому полю. Назовем их

стороnnими силами F стор. Отметим, что сторонние силы могут

быть и консервативными, и неконсервативными. Существенно,

повторяем, только одно - чтобы они не являлись силами инте­

ресующего нас силового поля.

Таким образом, результирующая F всех сил, действующих
на частицу, может быть представлена как сумма F = Fп + Fстор •

Работа этих сил идет на приращение кинетической энергии ча­

стицы:

I1К = А сп + А стор '

m

110 Глава 4

где Асп - работа сил поля, Астор - работа сторонних сил. Со­

гласно (4.10), работа сил поля равна убыли потенциальной

энергии частицы: А сп = -/1и. Подставив это выражение в пре­

дыдущее и перенеся /1и влево, получим

/1К + /1и = /1( К + И) = А стор •

Отсюда видно, что работа сторонних сил идет на прираще­

+ние К и. Эту величину - сумму кинетической и потенциаль­

ной энергий - называют полной механической энергией час­

тицы в поле и обозначают Е:

(4.30)

Заметим, что полная механическая энергия Е, как и потен­

циальная и, определяется с точностью до произвольной

постоянной.

Итак, из предыдущих двух уравнений следует, что прира­

щение полной механической энергии частицы в стационарном

поле консервативных сил при перемещении ее из точки 1 в точ­

ку 2 можно записать в виде

I Е2 -Е1 = А стор ' I (4.31)

т. е. приращение полной механической энергии частицы на не­
котором пути равно алгебраической сумме работ всех сторон­
них сил, действующих на частицу на том же пути. Если

А стор > О, то полная механическая энергия частицы увеличива­
ется, если А стор < О, то уменьшается.

Пример. Тело массы т бросили со скоростью vo с обрыва высотой h над

поверхностью воды. Найдем работу, которую совершила сила

сопротивления со стороны воздуха, при условии, что тело

v.упало на поверхность воды со скоростью

Если рассматривать движение тела в поле сил тяжести, то
сила сопротивления со стороны воздуха будет сторонней и,

= =согласно уравнению (4.31), искомая работа А стор Е 2 - Е1

= mv 2 /2 - (mvg /2 + mgh) или

Астор = m(v 2 - V o2 )/2 - mgh.

Интересно, что полученная величина может оказаться не то­
лько отрицательной, но и положительной (это зависит, на­
пример, от характера ветра в процессе падения тела).

m

3акон сохранения энергии 111

Итак, полная механическая энергия частицы может измени­
ться под действием только сторонних сил. Отсюда непосредст­
венно вытекает закон сохранения механической энергии час­

тицы: если сторонние силы отсутствуют или таковы, что не

совершают работы в течение интересующего нас вре,м,ени, то

полная ,м,еханическая энергия частицы в стационарно,м, поле

консервативных сил остается постоянной за это вре,м,я:

1Е = К + и = const .1 (4.32)

уже в такой простейmей форме закон сохранения энергии

позволяет достаточно легко получать ответы на ряд важных во­

просов без при влечения уравнений движения, что часто сопря­

жено с проведением громоздких и утомительных расчетов.

Именно это обстоятельство и превращает законы сохранения в
весьма действенный инструмент исследования.

Проиллюстрируем возможности и преимущества, которые дает

применение закона сохранения (4.32), на следующем примере.

Пример. Пусть частица движется в одномерном стационарном поле,
где ее потенциальная энергия И(х) и

имеет вид, как на рис. 4.9. Если
сторонние силы отсутствуют, то Е2

полная механическая энергия час­ Е1 Ха х

тицы в данном поле, т. е. Е, не из- О ХО Х1

меняется в процессе движения и
можно просто ответить, например,
на следующие вопросы.

1. Определить, не решая основного Рис. 4.9

уравнения динамики, скорость ча-

стицы в зависимости от ее координаты.

Для этого достаточно знать, согласно уравнению (4.32), конк­

ретный вид потенциальной кривой И(х) и значение полной
энергии Е.

2. Установить область изменения координаты х частицы, в

которой она может находиться при данном значении полной
энергии Е.

Ясно, что в область, где и>Е, частица попасть не может, по­

скольку потенциальная энергия U частицы не должна превы­

шать ее полную энергию. Отсюда сразу следует, что при Е = Е 1
(рис. 4.9) частица будет двигаться или в области между коор-

m

112 Глава 4

динатами Х 1 и Х2 (совершает колебания), или правее координа­
ты ХЗ • Перейти из первой области во вторую (или обратно) час­

тица не может: этому препятствует nотенцuальный барьер,
разделяющий обе области. Заметим, что когда частица дви­
жется в ограниченной области поля, то говорят, что она запер­

та в nотенцuальной яме (в нашем случае - между Х 1 и Х2 ).

Иначе ведет себя частица при Е = Е 2 (рис. 4.9): для нее до­

ступна вся область правее координаты ХО • Если в начальный
момент частица находилась в точке ХО ' то в дальнейшем она

будет двигаться вправо. Полезно самостоятельно проследить,
как будет меняться при этом кинетическая энергия частицы

в зависимости от ее координаты Х.

§ 4.4. Потенциальная энергия системы

Собственная потенциальная энергия системы

До сих пор мы ограничивались рассмотрением поведения од­
ной частицы с энергетической точки зрения. Теперь перейдем к
системе частиц. Это может быть любое тело, газ, какой-то ме­
ханизм, Солнечная система и т. д. Рассмотрим систему, между
частицами которой действуют одни лишь центральные силы,
т. е. силы, зависящие при данном характере взаимодействия

только от расстояния между частицами и направленные по

прямой, проходя щей через эти частицы.
Покажем, что независимо от системы отсчета работа всех

этих внутренних сил при переход е системы частиц из одного

положения в другое может быть представлена как убыль неко­
торой функции, зависящей при данном характере взаимодейст­

вия только от относительного расположения частиц системы,

т. е. от ее конфигурации. Эту функцию называют собственной
потенциальной энергией системы (в отличие от внешней потен­
циальной энергии, характеризующей взаимодействие данной
системы с другими телами).

Сначала возьмем систему из двух частиц 1 и 2. Определим
алгебраическую сумму элементарных работ сил F 1 И F 2' С кото­

рыми эти частицы взаимодействуют. Пусть в произвольной

К-системе отсчета за время dt частицы совершили перемеще­
ния dr1 и dr2 • Тогда соответствующая сумма работ этих сил

m

3акон сохранения энергии 113

"У"читывая, что F2 = -F1 (согласно третьему закону Ньютона),

перепишем предыдущее уравнение:

Величина, стоящая в скобках, представляет собой не что

иное, как перемещение частицы 1 относительно частицы 2, точ­
нее, перемещение частицы 1 в К/-системе отсчета, жестко свя­
занной с частицей 2 и перемещающейся вместе с ней поступате­

льно относительно исходной К-системы отсчета. Действительно,

перемещение dr1 частицы 1 в К-системе отсчета может быть
представлено как перемещение dr2 К/-системы отсчета (связан­
ной с частицей 2) плюс перемещение drl частицы 1 относитель­

но этой К/-системы, т. е. dr1 = dr2 + drl. Отсюдаdr1 -dr2 = drl и

Полученный таким образом результат весьма замечателен:
алгебраическая сумма элементарных работ пары сил взаимо­
действия в произольной К-системе отсчета оказывается всегда
равной элементарной работе, которую совершает сила, действу­

ющая на одну частицу, в системе отсчета, где другая частица

покоится. Иначе говоря, работа БА1 ,2 не зависит от выбора ис-

ходной К-системы отсчета.

Сила F l' действующая на частицу 1 со стороны частицы 2,

является центральной, а значит и консервативной. Поэтому ра­

1бота данной силы на перемещении dr может быть представле­

на, согласно (4.10), как убыль потенциальной энергии частицы
1 в поле частицы 2 или как убыль потенциальной энергии взаи­

модействия рассматриваемой пары частиц:

где и12 - функция, зависящая только от расстояния между
этими частицами. При конечном же перемещении

Рассмотрим теперь систему из трех частиц. (Полученный в
этом случае результат легко обобщить и на систему из произво­
льного числа частиц.) Работа, которую совершают все силы

m

114 Глава 4

взаимодействия при перемещении всех частиц, может быть
представлена как алгебраическая сумма работ всех трех пар

сил взаимодействий: А = А 1 ,2 + А 1 ,з + А 2 ,з. Но для каждой

пары этих сил А ik = - д.и ik' поэтому

где Uсоб - собственная потенциальная энергия данной систе­

мы частиц:

Так как каждое слагаемое этой суммы зависит от расстоя-

ния между соответствующими частицами, то очевидно, что соб­
ственная потенциальная энергия данной системы зависит от от­
носительного расположения частиц (в один и тот же момент),
или, другими словами, от конфигурации системы.

Подобные рассуждения справедливы и для системы из любо­
го числа частиц. Поэтому каждой конфигурации систе,мы час­
тиц nрисуще свое значение собственной потенциальной энер­
гии и работа всех внутренних центральных (консервативных)
сил при из,менении этой конфигурации равна убыли собствен­
ной потенциальной энергии систе,мы:

I Авнутр = U 1 соб -и2 соб = -д.и соб' I (4.33)

где U 1 соб И U 2 соб - собственная потенциальная энергия систе­

мы в начальном и конечном состояниях.

Таким образом, суммарная работа внутренних центральных

сил не зависит от того, как конкретно система переходит от

конфигурации 1 к конфигурации 2. Данная работа определяет­

ся исключительно самими конфигурациями системы. Все это
позволяет дать более общее определение консервативных сил:

консервативны,ми называют силы, зависящие только от кон­

фигурации систе,мы и су,м,марная работа которых не зависит
от «пути» перехода, а определяется только начальной и ко­
нечной конфигурация,ми систе,мы.

Собственная потенциальная энергия системы - величина не

аддитивная, т. е. она не равна в общем случае сумме собствен­
ных потенциальных энергий ее частей. Необходимо учесть еще

m

3акон сохранения энергии 115

потенциальную энергию взаимодействия U БЗ отдельных частей

системы:

U соб = LU n +и вз' (4.34)

где иn - собственная потенциальная энергия n-й части систе­

мы.

Следует также иметь ввиду, что собственная потенциальная
энергия системы, как и потенциальная энергия взаимодейст­
вия каждой пары частиц, определяется с точностью до произ­
вольной постоянной.

В заключение приведем полезные формулы для расчета собствен­
ной потенциальной энергии системы. Прежде всего покажем, что эта
энергия может быть представлена в виде

(4.35)

где U i - потенциальная энергия взаимодействия i-й частицы со всеми

остальными частицами системы. Здесь сумма берется по всем части­

цам системы.

Убедимся в справедливости этой формулы сначала для системы из
трех частиц. Выше было показано, что собственная потенциальная

=энергия данной системы U соб U 1 2 + U 13 + U 23. Преобразуем эту сум­

My следующим образом. Представим каждое слагаемое U ik в симмет­

= =ричном виде: U ik (U ik + U ki )/2, так как ясно, что U ik U ki. Тогда

Сгруппируем члены с одинаковым первым индексом:

Каждая сумма в круглых скобках представляет собой потенциаль­

ную энергию U i взаимодействия i-й частицы с остальными двумя. Поэ­

тому последнее выражение можно переписать так:

3

Uсоб =1/2 (и1 +и2 +U З ) =1/2 LU p

i =1

что полностью соответствует формуле (4.35).

Обобщение полученного результата на произвольную систему оче­
видно, так как подобные рассуждения не зависят от числа частиц, со­

ставляющих систему.

m

116 Глава 4

Для системы, взаимодействие между частицами которой имеет гра­

витационный или кулоновский характер, формулу (4.35) можно пре­

образовать и к другому виду, воспользовавшись понятием потенциала.

Заменим в (4.35) потенциальную энергию i-й частицы выражением

=U i m i <i>i' где m i - масса (заряд) i-й частицы, а <i>i - потенциал, со­

здаваемый всеми остальными частицами системы в точке нахождения
i-й частицы. Тогда

(4.36)

Если массы (заряды) распределены в системе непрерывно, то сум­

мирование сводится к интегрированию:

(4.37)

где р - объемная плотность массы (заряда), dV - элемент объема.

Здесь интегрирование проводится по всему объему, занимаемому мас­
сами (зарядами).

«(Внешняя» потенциальная энергия системы

Рассмотрим случай, когда система находится во внешнем

стационарном поле консервативных сил. В этом случае каждая

частица системы будет характеризоваться своим значением по­

тенциальной энергии U i в данном поле, а вся система - вели­

чиной

LuU виеш = i• (4.38)

Эту величину мы и будем называть «внешней» потенциаль­

ной энергией системы в отличие от Uсоб - собственной потенци­

альной энергии, зависящей только от взаимодействия частиц

системы между собой.

Согласно (4.10), убыль потенциальной энергии каждой час­

тицы во внешнем поле равна работе силы данного поля на соот­

ветствующем перемещении, поэтому убыль Uвнеш всей системы
равна Авнеш - алгебраической сумме работ всех сил внешнего

поля, действующих на все частицы системы:

А виеш = -/).и виеш • (4.39)

m

3акон сохранения энергии 117

Получим полезную формулу для вычисления внешней потен­
циальной энергии системы, находящейся в однородном силовом
поле. Пусть, например, это поле тяжести, где на i-ю частицу си­

стемы действует сила mig. В этом случае потенциальная энергия

данной частицы, согласно (4.13), есть migzi, где Zi - вертикаль­

ная координата частицы, отсчитанная от не которого произволь­

ного уровня о. Тогда потенциальная энергия всей системы во
внешнем однородном поле (собственная потенциальная энергия
нас сейчас не интересует) может быть записана так:

Сумма, стоящая в скобках, в соответствии с (3.8) есть не что

иное, как произведение массы т всей системы на вертикаль­
ную координату гс центра масс данной системы, т. е.

L т i Z i = тг с· Поэтому выражение для Uвиет можно перепи­

сать в окончательном виде:

u виет = mgzc, (4.40)

т. е. потенциальная энергия системы во внешнем однородном

gполе тяжести равна произведению массы т системы на и на

вертикальную координату гс ее центра масс.

Приращение величины U виет при перемещении системы рав-

но

11и виет = mgl1z с , (4.41)

где 11г с - приращение вертикальной координаты центра масс

данной системы частиц.

§ 4.5. Закон сохранения механической энергии

системы

Диссипативиые силы
Помимо разделения всех сил на внешние и внутренние (в за­
висимости от выбора системы частиц), силы, как мы уже зна­

ем, принято подразделять на консервативные и неконсерва­

тивные (в зависимости от их природы).

m

118 Глава 4

к неконсервативным силам относятся диссиnативные

силы - это силы трения и сопротивления. Любая диссипатив­

ная сила может быть представлена в виде

F = -k (v)v, (4.42)

где v - скорость данного тела относительно другого тела (или

среды), с которым оно взаимодействует; k(v) - положительный

коэффициент, зависящий в общем случае от скорости и. Сила F
v .всегда направлена противоположно вектору

В зависимости от выбора системы отсчета работа этой силы
может быть как положительной, так и отрицательной. Однако,
как мы сейчас покажем и что будет важно для дальнейшего,
суммарная работа всех внутренних диссиnативных сил в сис­

теме - величина всегда отрицательная независимо от систе­

мы отсчета:

А ВДНИУСТР < О . (4.43)

Переходя к доказательству, отметим прежде всего, что внут­
ренние диссипативные силы в данной системе встречаются по­
парно, причем в каждой паре, согласно третьему закону Ньюто­

на, они одинаковы по модулю и противоположны по направле­

нию. Найдем элементарную работу произвольной пары

диссипативных сил взаимодействия между телами 1 и 2 в систе­
ме отсчета, где скорости этих тел в данный момент равны v 1 и V 2:

= - =Учтем, что F2
F1 , V 1 - V 2 V - скорость тела 1 относите­

льно тела 2, а также то, что F1 = -kv. Тогда выражение для ра­

боты преобразуется:

Отсюда видно, что работа произвольной пары внутренних
диссипативных сил взаимодействия всегда отрицательна, а
значит, и суммарная работа всех пар внутренних диссипатив­
ных сил также всегда отрицательна, причем в любой системе

отсчета.

m

3акон сохранения энергии 119

Кинетическая энергия системы

Согласно (4.28), приращение кинетической энергии каждой

частицы равно работе всех сил, действующих на частицу:

I1K i = A i • Поэтому работу А, которую совершают все силы,

действующие на все частицы системы, при изменении ее состо­
LMяния, можно записать так: А = LA i =
i = I1LK i' или

(4.44)

где К - суммарная кинетическая энергия системы.

Итак, приращение кинетической энергии системы равно ра­
боте, которую совершают все силы, действующие на все час­

тицы системы:

(4.45)

Заметим, что кинетическая энергия системы - величина ад­

дитивная: она равна сумме кинетических энергий отдельных
частей системы независимо от того, взаимодействуют они меж­
ду собой или нет.

Уравнение (4.45) справедливо как в инерциальных, так и в

неинерциальных системах отсчета. Следует только помнить,
что в неинерциальных системах отсчета кроме работ сил взаи­
модействия необходимо учитывать и работу сил инерции.

Собственная механическая энергия системы

Только что было показано, что приращение М кинетиче­
ской энергии системы равно работе, которую совершают все
силы, действующие на все частицы системы. Разделим эти

силы на внешние и внутренние, а внутренние, в свою очередь,

на консервативные и диссипативные. Тогда предыдущее утвер­

ждение можно записать так:

А внеш А внутр А внеш А вкноунтер А вдннуетр •
= + = + +А 17"

L.ll}.

Учтем, что работа внутренних консервативных сил равна,

согласно (4.33), убыли собственной потенциальной энергии сис­

темы: A:;~p = -I1U еоб. Тогда

I1K + I1U еоб = I1K(K + U еоб) = А внеш + А::;тр . (4.46)

m

120 Глава 4

Введем понятие собственной ,м,еханической энергии систе-

*,м,ы, или, короче, ,м,еханическоиv энергии, как суммы кинетиче-

ской и собственной потенциальной энергии системы:

(4.47)

Очевидно, энергия Есоб зависит от скоростей частиц систе­

мы, характера взаимодействия между ними и конфигурации

системы. Кроме того, энергия Есоб , как и потенциальная энер­

гия Исоб' определяется с точностью до прибавления несущест­

венной произвольной постоянной и является величиной неад­

дитивной, т. е. энергия Есоб не равна в общем случае сумме

энергий ее отдельных частей. В соответствии с (4.47)

LEЕ соб = n +U вз ' (4.48)

где Еn - собственная механическая энергия n-й части систе­

мы, Ивз - потенциальная энергия взаимодействия ее отдель­
ных частей.

Вернемся к уравнению (4.46). Перепишем его с учетом
(4.47) в виде

I д.Е соб = А внеш + А ::;тр (4.49)

- приращение собственной ,м,еханической энергии систе,м,ы

равно алгебраической су,м,,м,е работ всех внешних сил и всех
внутренних диссиnативных сил.

Уравнение (4.49) справедливо как в инерциальной, так и в

неинерциальной системах отсчета. Следует только иметь в
виду, что в неинерциальной системе отсчета необходимо учи­
тывать и работу сил инерции, играющих роль внешних сил,

т. е. под Авнеш надо понимать алгебраическую сумму работ

внешних сил взаимодействия и работу сил инерции.

Закон сохранения механической энергии

Этот закон непосредственно вытекает из уравнения (4.49) и

формулируется так: ,м,еханическая энергия за,м,кнутой систе-

* в отличие от полной механической энергии, о которой речь пойдет ниже.

m

3акон сохранения энергии 121

мы частиц, в которой нет диссиnативных сил, сохраняется в

nроцессе движения, т. е.

IЕсоб =К +Исоб =const·1 (4.50)

Такую систему называют консервативной*. При движении

замкнутой консервативной системы сохраняется именно меха­
ническая энергия Есоб' кинетическая же и потенциальная в об­
щем случае изменяются. Однако эти изменения происходят
всегда так, что приращение одной из них в точности равно убы­

ли другой: дК = -дИ соб. Это положение справедливо только в

инерциальных системах отсчета.

Из уравнения (4.49) следует, что если замкнутая система не

консервативна, т. е. в ней имеются диссипативные силы, то ме­

ханическая энергия такой системы, согласно (4.43), убывает:

(4.51)

"У"меньшение механической энергии обусловлено тем, что
она расходуется на работу против диссипативных сил, действу­
ющих в системе. Однако такое объяснение является формаль­
ным, поскольку оно не раскрывает физической природы дисси­

пативных сил.

Более глубокое осмысливание этого вопроса привело к фун­

даментальному выводу о существовании в природе универсаль­

ного закона сохранения энергии: энергия никогда не создается
и не уничтожается, она может только переходить из одной
формы в другую или обмениваться между отдельными частя­
ми материи. При этом понятие энергии пришлось расширить
введением понятий о новых формах ее (помимо механиче­

ской) - энергия электромагнитного поля, химическая энер­

гия, ядерная и др.

"У"ниверсальный закон сохранения энергии охватывает, та­
ким образом, и те физические явления, на которые законы
Ньютона не распространяются. Поэтому он не может быть вы­

веден из этих законов, а должен рассматриваться как самостоя-

* С достаточно хорошим приближением замкнутой консервативной системой

можно считать Солнечную систему.

m

122 Глава 4

тельный закон, представляющий собой одно из наиболее широ­
ких обобщений опытных фактов.

При уменьшении механической энергии замкнутой системы

всегда возникает эквивалентное количество энергии других ви­

дов, не связанных с видимым движением. В этом смысле урав­

нение (4.49) можно рассматривать как более общую формули­

ровку закона сохранения энергии, в которой указана причина
изменения механической энергии системы.

В частности, механическая энергия может сохраняться у не­

замкнутых систем, но это происходит лишь в тех случаях, ког­

да, согласно уравнению (4.49), уменьшение этой энергии за

счет работы против внутренних диссипативных сил компенси­
руется поступлением энергии за счет работы внешних сил.

Полная механическая энергия системы

во внешнем поле

Если интересующая нас система частиц находится во внеш­
нем стационарном поле консервативных сил, то часто бывает
удобно пользоваться другим выражением для механической

энергии этой системы, отличным от (4.47).

В данном случае внешние силы, действующие на частицы

системы, можно разделить на силы со стороны внешнего поля

(внешние силы поля) и все остальные внешние силы, не относя­
щиеся к данному внешнему полю (внешние сторонние силы).

Соответственно работа Авиет внешних сил может быть представ­

лена как алгебраическая сумма работ внешних сил поля и

внешних сторонних сил:

+А виет = А вСПиет АСвТиОеРт·

Но работа внешних сил поля, в свою очередь, может быть

представлена, согласно (4.39), как убыль внешней потенциаль­

ной энергии, а именно A~:eт = -I1и виет. Тогда

А виет = -I1и виет + А ~:~~ .

Подставив это выражение в формулу (4.49), получим

(4.52)

m

3акон сохранения энергии 123

Величину, стоящую слева в скобках, называют полной ,м,еха­
нической энергией Е систе,м,ы во внешнем стационарном поле

консервативных сил:

(4.53)

В отличие от собственной механической энергии (4.47) пол­

Haя механическая энергия включает в себя помимо суммарной
кинетической и собственной потенциальной энергии еще и по­

тенциальную энергию системы во внешнем поле U виеш.

С учетом (4.53) уравнение (4.52) можно переписать так:

+АЕ А вДиИуСтр •

L.l
= А встиоерт (4.54)

Из уравнения (4.54) вытекает закон сохранения полной ме­

ханической энергии системы, находящейся во внешнем стаци­

онарном поле консервативных сил: если на систе,м,у частиц не

действуют внешние сторонние силы и нет внутренних дисси­

nативных сил, то полная ,м,еханическая энергия систе,м,ы

остается постоянной:

I Е = Е соб + U виет = const. (4.55)

Простейшим примером подобной системы могут служить
два небольших тела, соединенные друг с другом пружинкой
(упругая гантель). Если эта система движется в поле тяжести в
отсутствие сопротивления воздуха (т. е. нет внешних сторон­
них сил), то меняются ее кинетическая энергия К, собственная

потенциальная энергия U соб И внешняя потенциальная энергия

Uвиет ' однако алгебраическая сумма этих трех величин будет

оставаться постоянной.

Другой при мер - это система Земля-Луна в поле тяготения

Солнца. В процессе движения этой системы также изменяются

К, Uсоб И Uвиеш' но их алгебраическая сумма сохраняется посто­

янной.

В заключение остается отметить, что уравнение (4.54) вы­

полняется как в инерциальной, так и в неинерциальной систе­
мах отсчета, закон же сохранения полной механической энер­

гии (4.55) - только в инерциальноЙ.

m

124 Глава 4

Еще о роли новых понятий

Для правильного понимания вопросов, связанных с измене­
нием и сохранением механической энергии, необходимо еще раз
обратить внимание на особую роль таких новых понятий как
сторонние силы и собственная ,механическая энергия систе,мы.

1. Во многих случаях без введения понятия сторонних сил в

nринциnе невозможно рассмотрение поведения частицы или

системы с энергетической точки зрения. В каждой конкретной
задаче следует четко уяснить себе какие силы являются сто­
ронними, ибо работа именно сторонних сил определяет прира­

щение механической энергии частицы в поле (4.31) и прираще­
ние полной механической энергии системы в поле (4.54), со­

вмстно с работой внутренних диссипативных сил.

2. Говоря о механической энергии системы, необходимо в
каждом конкретном случае четко различать - о какой именно

энергии идет речь: о собственной ,механической энергии Есоб

или О полной ,механической энергии Е во внешнем поле. Их

приращения определяются разными формулами: (4.49) и (4.54)

соответственно. Это разные энергии. Во втором случае (система
во внешнем поле) энергия Е включает в себя внешнюю потен­

циальную энергию в интересующем нас поле (4.53).

К сожалению, собственную и полную энергию обычно не

различают или путают, что, естественно, приводит к досадным

недоразумениям и грубым ошибкам (даже в формулировке за­
конов изменения и сохранения механической энергии). Приняв

во внимание указанные предостережения, мы тем самым уже

гарантируем себе корректный подход к решению соответствую­

щих вопросов.

Связь между энергиями в К- и Ц-системах отсчета

Прежде всего установим эту связь для кинетических энергий

системы. Пусть в К-системе отсчета кинетическая энергия инте­

ресующей нас системы частиц равна К. Скорость i-й частицы

можно представить как V i = Vi + V С , где Vi - скорость этой ча­

стицы вЦ-системе, а V С - скорость Ц-системы относительно

К-системы отсчета. Тогда кинетическая энергия системы

K _"miV 2i _"mi (- + vС)2 _ " m i V- 2i + V" - " m i уС2
-L..J 2 -L..J 2
Vi CL..Jmivi +L..J 2
-L..J 2 .

m

3акон сохранения энергии 125

Так как в Ц-системе центр масс покоится, значит, согласно

L(3.9), т i Vi = О И предыдущее выражение примет вид

va,I к =к + 1/2 т I (4.56)

где К = 1/2 LmiV~ - суммарная кинетическая энергия частиц

-в Ц-системе, т масса всей системы.

Равенство (4.56) выражает теорему Кёnuга: кинетическая

энергия систе,м,ы частиц складывается из су,м,,м,арной кинети­

ческой энергии К в Ц-систе,м,е и кинетической энергии, связан­

ной с движение,м, систе,м,ы частиц как целого. Это важный вы­

вод, и он неоднократно будет использоваться в дальнейrпем

(в частности, при изучении динамики твердого тела).

Из формулы (4.56) следует, что кинетическая энергия сис­

те,м,ы частиц ,м,ини,м,альна в Ц-систе,м,е. В этом еще одна осо­

бенность Ц-системы. Действите~ьно, вЦ-системе V с = О, поэ­

тому в (4.56) остается только К.

Перейдем к механической энергии Есоб системы. Так как

собственная потенциальная энергия системы U соб зависит толь­

ко от конфигурации системы, то значение U соб одинаково во

всех системах отсчета. Добавив Uсоб в левую и правую части ра­

венства (4.56), получим формулу преобразования собственной

механической энергии Есоб при переходе от К- к Ц-системе:

I Е соб = Е т+ 1/2 Vа, I (4.57)

- -где Е = К + U соб. Эту энергию называют внутренней ,м,еханиче-

ской энергией систе,м,ы.

Пример. На гладкой горизонтальной плоскости лежат
две небольшие шайбы, каждая массы т, ко­
торые соединены между собой невесомой пру­
жинкой. Одной из шайб сообщили начальную

скорость V o (рис. 4.10, вид сверху). _Найти

внутреннюю механическую энергию Е этой

системы в процессе движения.

Так как плоскость гладкая, то система в про­ Рис. 4.10
цессе движения будет вести себя как замкну-

тая. Поэтому ее механическая энергия Е соб и скорость Vc

центра масс будут сохраняться, оставаясь равными тем значе-

m

126 Глава 4

ниям, которые они имели в начальный момент: Есоб = mvg /2
и V c = v o/2. Подставив эти значения в формулу (4.57), полу­

чим

Е- = Есоб -2т Vc2 /2 = mv o2 /4,

где учтено, что масса системы равна 2т. Внутренняя энергия

]Е связана с вращением и колебанием данной системы,
причем в начальный момент ]Е была равна только энергии

вращательного движения.

Если система частиц замкнута и в ней происходят процес­
сы, связанные с изменением механической энергии, то из

(4.57) следует, что д.Е СОб = д.Е, т. е. приращение собственной

механической энергии относительно произвольной инерциаль­
ной системы отсчета равно приращению внутренней механиче­
ской энергии. При этом кинетическая энергия, обусловленная

движением системы частиц как целого, не меняется, так как

для замкнутой системы Vс = const.

В частности, если замкнутая система консервативна, то ее

механическая энергия сохраняется во всех инерциальных сис­

темах отсчета. Этот вывод находится в полном соответствии с
принципом относительности Галилея.

§ 4.6. Столкновение двух частиц

Предварительные сведения

Рассмотрим различные случаи столкновения двух частиц, ис­

пользуя в качестве инструмента исследования только законы со­

хранения импульса и энергии. При этом мы увидим, что законы
сохранения позволяют сделать ряд весьма общих и существен­
ных заключений о свойствах данного процесса вне какой-либо
зависимости от конкретного закона взаимодействия частиц.

Попутно покажем, какие преимущества дает Ц -система, ис­
пользование которой, как будет видно, значительно упрощает

анализ процесса и многие расчеты.

Хотя мы будем говорить о столкновении частuц, необходи­

мо сразу же оговорить, что все последующие рассуждения и

выводы в равной степени относятся и к столкновению любых
тел. Надо только иметь в виду, что вместо скорости частицы
следует брать скорость центра масс каждого тела, а вместо ки-

m

3акон сохранения энергии 127

нетической энергии частицы - ту часть кинетической энергии

каждого тела, которая характеризует его движение как целого.

Прежде чем перейти к рассмотрению теории столкновений,
приведем несколько важных и полезных соотношений для сис­
темы из двух частиц в ее Ц-системе отсчета.

В конце § 3.4 были получены выражения (3.12) для импуль­

са каждой частицы в Ц-системе. Запишем эти выражения в та­
кой форме:

(4.58)

где V 1 и V 2 - скорости частиц в исходной системе отсчета, Jl -

nриведенна,я масса системы,

Jl = --т-=-1-т--2=-- (4.59)

т1 +т2

где т 1 и т 2 - массы частиц.

Из формул (4.58) видно, что импульсы обеих частиц в Ц-си­

стеме одинаковы по модулю и противоположны по направле­

нию, причем модуль импульса каждой частицы

(4.60)

где v ОТН = 1v 1 - V 21 - скорость одной частицы ~относительно

другой».
Теперь обратимся к кинетической энергии. Суммарная ки­

нетическая энергия обеих частиц вЦ-системе

Ta~ как, согласно (4.59), 11т 1 + 11т 2 = 11Jl, то выражение

для К примет следующий вид:

(4.61)

Если частицы взаимодействуют друг с другом, то механиче­
ская энергия частиц вЦ-системе

- -Е =К +и,

m

128 Глава 4

-где и потенциальная энергия взаимодействия данных час­

тиц.

В дальнейшем при рассмотрении столкновений частиц бу-

дем считать:

1) исходная К-система отсчета инерциальная,
2) система из двух частиц замкнутая,
3) импульсы (и скорости) частиц до и после столкновения

соответствуют достаточно большим расстояниям между ними;
при этом потенциальной энергией взаимодействия можно про­
сто пренебречь.

Кроме того, величины, относящиеся к системе после столк­

новения, будем отмечать штрихом, а величины вЦ-системе -

значком,... (тильда) сверху.
Перейдем к существу вопроса. Различают три типа столкно­

вения частиц: абсолютно неупругое, абсолютно упругое и про­

межуточный случай - неупругое.

Абсолютно неупругое столкновение

Это такое столкновение, в результате которого обе частицы

~слипаются» и далее движутся как единое целое. Пусть две ча­

m mстицы, массы которых 2 , имеют до столкновения скоро­
1и

сти V 1 И V 2 (в К-системе). После столкновения образуется части­

ца с массой m 1+m2 , что следует из аддитивности массы в нью­

тоновской механике. Скорость v' образовавшейся частицы

можно найти из закона сохранения импульса:

Ясно, что скорость v' равна скорости центра масс системы.

В Ц-системе этот процесс выглядит наиболее просто: до
столкновения обе частицы движутся навстречу друг другу с
одинаковыми импульсами р, а после столкновения образовав­
шаяся частица оказывается неподвижноЙ. При этом суммарная
кинетическая энергия К частиц целиком переходит во внут­

=реннюю энергию Q образовавшейся частицы, т. е. К Q. Отсю­

да с учетом формулы (4.61) найдем

2 (4.62)

Q = JlV ОТН
2

m

3акон сохранения энергии 129

Таким образом, величина Q для данной пары частиц зависит

только от их относительной скорости.

Абсолютно упругое столкновение

Это такое столкновение, в результате которого внутренняя

энергия частиц не меняется, а поэтому не меняется и кинетиче­

ская энергия системы. Рассмотрим два частных случая: лобо­

вое и нелобовое упругие столкновения.

1. Лобовое столкновение - обе частицы до и после столкно­

вения движутся по одной и той же прямой. Пусть до столкно­

вения скорости частиц в К-системе отсчета равны V 1 и V 2 (час­

тицы движутся или навстречу друг другу, или одна частица до­

гоняет другую). Каковы скорости этих частиц после

столкновения?

Рассмотрим этот процесс сна­ ..Р'"l Р'"2 до
чала вЦ-системе, где до и после
столкновения обе частицы име- ..........- - - - • .. после
Р""2
ют одинаковые по модулю и про­ Р""l

тивоположные по направлению Рис. 4.11

импульсы (рис. 4.11). Более

того, так как суммарная кинетическая энергия частиц до и

после столкновения одинакова, как и их приведенная масса,

то, согласно (4.61), импульс каждой частицы в результате стол­

кновения изменит только направление на противоположное, не

-Pi ,меняясь при этом по модулю, т. е. P~ = где i = 1,2. Послед­

нее относится и к скорости каждой частицы вЦ-системе:

Теперь найдем скорость каждой частицы после столкнове­
ния в К-системе отсчета. Для этого используем формулы преоб­
разования скоростей при переходе от Ц- к К-системе, а также
предыдущее равенство. Тогда

V ,i = VС +V-,i = V С -V- i = VС - ( V i - VС) = 2VС -V i ,

где Vc - скорость центра масс (Ц-системы) в К-системе отсче­
та; эта скорость определяется формулой (3.9). Итак, скорость

i-й частицы в К-системе после столкновения

(4.63)

m

130 Глава 4

где i = 1, 2. В проекциях на произвольную ось х это равенство

имеет вид

и;х = 2 V Сх - V ix • (4.64)

в частности, если массы частиц одинаковы, то легко убеди­

, ,ться, что частицы в результате столкновения просто обменива-

ются скоростями, т. е. Vl = V2 И V2 = v l .

2. Нелобовое столкновение. Ограничимся случаем, когда

одна из частиц nох;оumся до столкновения. Пусть в К-системе

mотсчета частица массы 1 с импульсом Рl испытала упругое не­

mлобовое столкновение с покоивmейся частицей массы 2 • Како­

вы возможные импульсы этих частиц после столкновения?

Рассмотрим этот процесс также сначала вЦ-системе. Здесь,

как и в предыдущем случае, обе частицы в любой момент вре­

мени до и после столкновения имеют одинаковые по модулю и

противоположные по направлению импульсы. Кроме того, им­
пульс каждой частицы не изменится по модулю в результате

столкновения:

-, -

р =р.

Однако направление разлета ча­
стиц теперь будет иным. Оно будет

составлять с первоначальным на­

правлением движения некоторый

угол Э (рис. 4.12), зависящий от

закона взаимодействия частиц и

их взаимного расположения в про­

Рис. 4.12 цессе столкновения.

Найдем импульс каждой части­

цы в К-системе отсчета после столкновения. С помощью фор­

мул преобразования скоростей при переходе от Ц- к К-системе

получим:

p~ =mlv~ =m 1(VC +Y~) =m 1Vc +p~, (4.65)
p~ =m2v~ =m 2 (VC +Y~) =m2 Vc +p~,

где V с - скорость Ц-системы относительно К-системы отсчета.

m

3акон сохранения энергии 131

-, -,Сложив отдельно левые и правые части этих равенств с уче-

том того, что Рl = - Р2' получим

как и должно быть в соответствии с законом сохранения импульса.
Построим теперь векторную диаграмму импульсов. Сначала

изобразим вектор Рl отрезком АВ (рис. 4.13), затем векторы p~
и р;, каждый из которых представляет собой, согласно (4.65),

сумму двух векторов.

Заметим, что это построение спра­
ведливо вне зависимости от угла э.
Отсюда следует, что точка С (рис.

4.13) может находиться только на

окружности радиуса р с центром в

точке О, которая делит отрезок АВ A~==~~==p,==~~B

на две части в отношении 1

АО: ОВ = тl : т2. Более того, в рас- Рис. 4.13

сматриваемом случае (частица массы

т2 покоится до столкновения) эта окружность проходит через

точку В - конец вектора Рl' так как ОВ = р. Действительно,

где и 1 - скорость налетающей частицы. А так как в нашем

случае и 1 = иотн ' то, согласно (4.59) и (4.60),

ОВ = f.lV ОТН = Р .

Таким образом, для построения векторной диаграммы импу­
льсов, соответствующей упругому столкновению двух частиц
(одна из которых первоначально покоилась), необходимо:

1) изобразить отрезок АВ, равный импульсу Рl налетающей

частицы;

2) через точку В - конец вектора Рl - провести окружность

радиуса

р = f.lV ОТН т2 (4.66)
--"':::""--Рl'
тl +т2

m

132 Глава 4

центр которой - точка О - делит отрезок АВ на две части в

отношении АО : ОВ = m 1 : m 2 •

Эта окружность есть геометрическое место точек всех воз­

можных положений вершины С треугольника импульсов АВС,

стороны АС и СВ которого и представляют собой возможные

импульсы частиц после столкновения (в К-системе отсчета).

В зависимости от соотношения масс частиц точка А - нача­

ло вектора Р1 - может находиться внутри данной окружности,

на ней или снаружи (рис. 4.14, а, б, в). При этом во всех трех

случаях угол -9 может принимать все значения от О до п. Воз­

можные значения угла рассеяния налетающей частицы Э 1 и

угла разлета частиц е будут такими:

а) m 1 < m 2 О < -91 :::;; 1t е > п/2,

б) m 1 = m 2 О < -91 :::;; п/2 е = п/2,

в) m 1 > m 2 О < -91 :::;; Э 1макс е < п/2,

где Э 1 макс - предельный угол. Он определяется формулой

sin Э 1макс = т 2 / т 1 , (4.67)

так как (см. рис. 4.14, в)

sin Э 1макс = ОС' / АО = ОВ / АО = т 2 / т 1 •

Кроме того, обнаруживается еще один интересный факт. В

последнем случае (т 1 > т 2) под одним и тем же углом -91 воз­
можно рассеяние частицы m 1 как с импульсом АС, так и с им­
пульсом AD (рис. 4.14, в), т. е. в этом случае решение неодно­
значно. Аналогично обстоит дело и с частицей m 2 •

И наконец, из той же векторной диаграммы импульсов мож­
но найти связь между углами -91 И э.

Этим исчерпываются сведения, которые можно получить о

данном процессе, исходя из одних только законов сохранения

импульса и энергии. б) в)

а)

Рис. 4.14

m

3акон сохранения энергии 133

Мы видим, таким образом, что уже сами по себе законы со­
хранения импульса и энергии действительно позволяют сде­
лать ряд важных заключений о свойствах рассматриваемого
процесса. При этом особенно существен тот факт, что эти свой­
ства имеют общий характер, т. е. не зависят от рода взаимодей­

ствия частиц.

Следует, однако, обратить внимание на одно принципиаль­
ное обстоятельство. Векторная диаграмма импульсов, в основе
которой лежат законы сохранения импульса и энергии, давая

нам полную картину всех возможных случаев разлета частиц

после столкновения - результат сам по себе весьма существен­

ный, - совершенно не говорит о том, какой из этих возмож­

ных случаев реализуется конкретно. Для установления этого

необходимо обратиться к более детальному рассмотрению про­

цесса столкновения с помощью уравнений движения. При этом

выясняется, например, что угол рассеяния Э 1 налетающей час­

тицы зависит от характера взаимодействия сталкивающихся

*,частиц и от nрицелъного nара,м,етра неоднозначность же ре-

шения в случае т 1 > т 2 объясняется тем, что один и тот же

угол рассеяния Э 1 может реализоваться при двух значениях

прицельного параметра, причем независимо от закона взаимо­

действия частиц.
Указанное обстоятельство представляет собой очень харак­

терную и принципиальную черту законов сохранения вообще.
Законы сохранения никогда не дают и не могут дать однознач­
ного ответа на вопрос о том, что произойдет. Но если, исходя
из каких-либо других соображений, можно указать, что и,м,ен­
но должно произойти, то законы сохранения дают ответ на во­
прос, как это должно произойти.

Неупругое столкновение

Это такое столкновение, в результате которого внутренняя энергия
разлетающихся частиц (или одной из них) изменяется, а следователь­
но, изменяется и суммарная кинетическая энергия системы. Соответ­
ствующее приращение кинетической энергии системы принято обо­

значать Q. в зависимости от знака Q неупругое столкновение называ-

* Прицельный параметр - это расстояние между прямой, вдоль которой на­

правлен импульс налетающей частицы, и частицей, с которой происходит

« •.столкновение

m

134 Глава 4

ют ЭКЗ0энергеmuческuм (Q > О) или эндоэнергеmuческuм (Q < О).

В первом случае кинетическая энергия системы увеличивается, во вто­

=ром - уменьшается. При упругом столкновении, разумеется, Q о.

Наша задача: найти возможные импульсы частиц после неупругого

столкновения.

Этот вопрос наиболее просто решается вЦ-системе. Согласно усло­
вию, приращение суммарной кинетической энергии системы в данном

процессе

К'-К =Q. (4.68)

Так как К'"* К, то, согласно (4.61), импульсы частиц после столк­

новения изменятся по модулю. Импульс каждой частицы после столк­

новения р' легко найти, заменив К' в (4.68) его выражением

К' = р,2 /2fJ.. В результате получим

(4.69)

Теперь рассмотрим тот же вопрос в

с К-системе отсчета, где частица массы m 1 с

импульсом Рl испытывает столкновение с

nокоящейся частицей массы m2. Для опре­

деления возможных случаев разлета час­

тиц после столкновения здесь также по­

лезно воспользоваться векторной диаграм-

Рис. 4.15 мой импульсов. Ее построение аналогично

тому, как это было сделано для упругого

столкновения. Импульс налетающей чаСТИЦЫРl =АВ (рис. 4.15) делят

точкой О на две части, пропорциональные массам частиц (АО: ОВ =

m 1 : m 2 ). Затем из точки О проводят окружность радиуса р' [см.

(4.69)]. Эта окружность является геометрическим местом точек воз­

можных положений вершины С треугольника импульсов АВС, сторо­

ны АС и СВ которого равны импульсам соответствующих частиц после

столкновения.

Отметим, что теперь в отличие от упругого столкновения точка В (ко­

нец вектора Рl) не лежит на окружности, а именно: при Q > О эта точка

находится внутри окружности, а при Q < О - вне ее. Рис. 4.15 соответст­

-вует последнему случаю эндоэнергетическому столкновению.

Порог. Есть много неупругих столкновений, в которых внутренняя

энергия частиц способна изменяться только на совершенно определен­

ную величину, зависящую от свойств самих частиц (таковы, напри­

мер, неупругие столкновения атомов и молекул). Несмотря на это, эк­

>зоэнергетические столкновения (Q О) могут происходить при сколь

m

3акон сохранения энергии 135

угодно малой кинетической энергии налетающей частицы. Эндоэнер­

гетические же процессы (Q < О) в таких случаях обладают порогом.

Порогом называют минимальную кинетическую энергию налетающей

частицы, начиная с которой данный процесс становится энергетиче­

ски возможным.

Итак, пусть нам необходимо осуществить такое эндоэнергетическое
столкновение, в котором внутренняя энергия частиц способна полу­

QI.чить приращение не меньше некоторого значения 1 При каком усло­

вии такой процесс возможен?
Этот вопрос наиболее просто решается также вЦ-системе, где ясно,

что суммарная кинетическая энергия К частиц до столкновения во

всяком случае должна быть не меньше IQI, т. е. К ~ 1Q 1. Отсюда следу­

ет, что существует минимальное значение К мин = 1Q 1, при котором

кинетическая энергия системы целиком пойдет на увеличение внут­

ренней энергии частиц, и частицы после столкновения остановятся в

Ц-системе.

Рассмотрим этот же процесс в К -системе отсчета, где частица мас­

сы т 1 H~eTaeT на покоящуюся частицу массы т2. Так как в Ц -систе­

ме при К мин частицы после столкновения останавливаются, то это зна­
чит, что в К-системе при соответствующей пороговой кинетической
энергии К 1пор налетающей частицы обе частицы после столкновения
будут двигаться как единое целое, причем с суммарным импульсом,

равным импульсу Р1 налетающей частицы, и кинетической энергией

p~ /2 (т1 + т2). Поэтому

А так как К1 пор =p~ /2т1 , то, исключив p~ из этих двух уравне­

ний, получим

К 1пор IQ 1. (4.70)

Это и есть та пороговая кинетическая энергия налетающей части­
цы, начиная с которой данный эндоэнергетический процесс становит­

ся энергетически возможным.

Заметим, что формула (4.70) играет большую роль особенно в атом­

ной и ядерной физике. С ее помощью определяют как порог различ­

ных эндоэнергетических процессов, так и соответствующую им энер­

гию IQI.

m

136 Глава 4

§ 4.7. Механика несжимаемой жидкости

в этом разделе механики изучают законы движения жидкости
как сплошной (непрерывной) среды. Плотность жидкости прак­
тически не зависит от давления, поэтому жидкость будем считать
несжимаемой средой, плотность которой везде одинакова.

Для кинематического описания движения (течения) жидко­
сти обычно используют метод Эйлера: в интересующей нас сис­
теме отсчета задается поле скоростей жидкости, т. е. зависи­

мость скорости v каждой точки жидкости от ее радиуса-векто­
t.rра и времени

Во многих случаях, когда сила трения между отдельными
слоями текущей жидкости пренебрежимо мала, жидкость мож­
но считать идеальной (без внутреннего трения).

Линии и трубки тока

Мысленно проведем в движущейся жидкости линии так,
чтобы касательные к ним в каждой точке совпадали по направ­

лению с вектором v. Эти линии называют линиями тока. Их

проводят так, чтобы густота, т. е. число линий, пронизываю­

щих единичную площадку, перпендикулярную линиям в дан­

ной точке, была пропорциональна модулю вектора v. Кроме

того, этим линиям приписывают направление, совпадающее с

направлением вектора v. Полученная картина дает наглядное

vпредставление о направлении и модуле вектора в разных точ­

ках жидкости, т. е. о характере ее движения. Там, где скорость

больше, линии тока гуще, и наоборот (это доказывается ниже).

При стационарном течении, когда v не зависит от t, картина

линий тока остается неизменной и линии тока совпадают с тра­

екториями частиц жидкости.

Поверхность, образованная линиями тока, которые проведе­
ны через все точки замкнутого контура, называют трубкой
тока. При стационарном течении жидкости ее частицы при
своем движении не пересекают трубку тока.

Уравнение неразрывности струи

Рассмотрим жидкость, текущую внутри некоторой трубки

тока - такой, что скорость движения частиц жидкости одина­

кова во всех точках произвольного сечения данной трубки. Тог-

m

3акон сохранения энергии 137

да за промежуток времени дt сквозь

сечение площади 8 пройдет объем

жидкости 8vДt. Поскольку жидкость

несжимаема, масса жидкости между

сечениями 81 И 82 трубки тока

(рис. 4.16) будет оставаться неизмен­

ной. Значит, объем жидкости, проте­

кающей сквозь сечения 81 и 82 за Рис. 4.16

время дt, должен быть одинаковым.

Отсюда следует, что 8 1 и 1 = 8 2 и 2 • Другими словами, для не­

сжимаемой жидкости величина 8и в любом сечении одной и

той же трубки тока одинакова:

I8и =const·1 (4.71)

Это соотношение называют уравнением неразрывности струи.

Уравнение Бернулли

Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости в од­
нородном поле сил тяжести. Покажем, что с помощью энерге-

тического подхода можно получить весьма важное соотноше­

ние между некоторыми параметрами текущей жидкости.
С этой целью выделим мысленно часть жидкости, которая в

момент t заполняет объем узкой

трубки тока между нормальны­

ми сечениями 1 и 2 (рис. 4.17).

+К моменту t дt эта часть жид­

кости переместится вдоль труб-

ки тока в направлении сечения,

показанном на рисунке двойной

стрелкой, и окажется между се- Рис. 4.17

чениями l' и 2'.

Согласно уравнению (4.54), приращение полной механиче­

ской энергии этой части жидкости за время дt

,дЕ - A~:~~ (4.72)

-где A~:~~ работа, которую совершают силы давления (они и

есть в данном случае сторонние). При этом силы давления, пер-

m

138 Глава 4

пендикулярные выделенной трубке, работы не совершают. Ра­
боту будут совершать только силы давления, действующие в се­

чениях 1 и 2. Эта работа равна

в силу неразрывности струи S 1 I1Z 1 = S 2 I1Z 2 = I1V, т. е. объе­
мы между сечениями 1-1' и 2-2' одинаковы и

(4.73)

Течение жидкости стационарно, поэтому полная механиче­
ская энергия части жидкости трубки тока между сечениями

l ' и 2 не меняется. Значит, приращение энергии Д.Е рассматри­

ваемой части жидкости можно представить как разность энер­

гий элементов 2-2' и 1-1':

-где р плотность жидкости.

Приравняв, согласно (4.72), выражения (4.73) и (4.74), по­

лучим после сокращения на 11V и перегруппировки слагаемых

следующее уравнение:

Так как сечения 1 и 2 взяты произвольно, то (4.75)

РI pv 2 /2 + + pgh = const , I

где все величины относятся, по существу, к одной и той же ли­
нии тока. Для разных линий тока эта константа, вообще гово­
ря, будет своей.

'Уравнение (4.75) называют уравnеnием Берnул,л,u. Несмот­

ря на то, что это уравнение получено для идеальной жидкости,

оно достаточно хорошо выполняется и для реальных жидко­

стей, внутреннее трение которых (вязкость) сравнительно

мало.

Рассмотрим два при мера на применение уравнения Бернул­

ли.

m

3акон сохранения энергии 139

Пример 1. В случае горизонтальной линии тока величина h одинакова

и уравнение Бернулли примет вид

pv 2 /2 + Р = const, (4.76)

т. е. давление больше в тех точках, где скорость меньше.
Скажем, в горизонтальной трубке с изменяющимся вдоль

оси сечением (рис. 4.18) скорость v течения, согласно
(4.71), в сечении 82' будет больше, чем в сечении 81' а зна­

чит, давление р слева больше. Именно перепад давления и
будет создавать ускорение а жидкости, которое направлено

вправо. Заметим, что ход графиков v, р и направление век­

тора а не зависят от направления движения жидкости.

v,p

h

(")t-I----1--1) l Рис. 4.19

81
Рис. 4.18

Пример 2. Рассмотрим истечение идеальной жидкости через малое от­
верстие 2 в боковой стенке или дне широкого открытого со­
суда (рис. 4.19). Все линии тока проходят через отверстие,

начинаясь у свободной поверхности жидкости, где ско­
рость пренебережимо мала (сосуд широкий). Поэтому по­
стоянная в законе Бернулли будет одна и та же у всех ли­

ний тока. Применим уравнение (4.75), например, к линии
тока 1-2 и будем отсчитывать h от уровня, на котором на­
ходится малое отверстие 2. Тогда

pgh + ро = pv 2 /2 + ро,

- v -где ро
атмосферное давление, скорость течения в

точке 2. Отсюда

v = .J2gh. (4.77)

Это формула Торричелли. Видно, что при истечении через
малое отверстие жидкость имеет скорость, которую приоб­

ретает тело, свободно падающее с высоты h. Для реальных

жидкостей скорость истечения будет меньше из-за вязко­

сти жидкости.

m

140 Глава 4

Вязкость

Всем реальным жидкостям в той или иной степени присуще
внутреннее трение, или вязкость. Рассмотрим движение жид­

кости, скорость v отдельных слоев которой зависит только от

zпоперечной координаты (рис. 4.20). Обобщение результатов

опыта приводит к выводу, что сила трения F тр' действующая

между слоями движущейся жидкости, может быть представле­
на следующей формулой:

F тр = 111 ди / дг 1s, (4.78)

11 -где -коэффициент внутреннего трения, или вязкость, ве­

личина, зависящая от природы и состояния жидкости (напри­

мер, от температуры); ди / дг - градиент модуля скорости (он

характеризует крутизну графика зависимости v от г); S - пло­

щадь интересующей нас поверхности раздела между слоями

(эта поверхность перпендикулярна оси Z).

Формула (4.78) означает, что жидкость, находящаяся над

z поверхностью S (рис. 4.20), действу-
_. ет на жидкость под поверхностью S с

I силой Ртр (вправо), а нижняя часть
1 и1 i F'тp-
S---г---l-~~ жидкости действует на верхнюю
2У РП
часть с той же по модулю силой Ртр '

но влево.

Из рис. 4.20 видно, что сила вяз­

Рис. 4.20 кости вдоль поверхности S, прове-
денной через точку 1, будет меньше,

чем через точку 2, поскольку крутизна графика и(г), а значит,

и градиент ди / дг в точке 2 больше.

Приведем значения вязкости 11 для некоторых жидкостей при ком­

натной температуре (20 ОС), мПа·с:

вода . . . . . . . .1,0 масло касторовое. . . . 1,0·103

глицерин . . .8,5·102 ртуть . . . . . . . . . . 1,6

Ламинарное и турбулентное течения. Особенностью лами­

нарного (слоистого) течения является его регулярность. Напри­

мер, при ламинарном течении в прямолинейной трубе частицы

жидкости движутся вдоль прямолинейных траекторий, парал­

лельных оси трубы. Однако при достаточно больших скоростях

ламинарное течение становится неустойчивым и переходит в

m

3акон сохранения энергии 141

турбулентное, при котором частицы жидкости совершают нере­
гулярные беспорядочные движения, что приводит к интенсив­
ному перемешиванию между слоями движущейся жидкости.

Такие быстрые и нерегулярные изменения происходят
вследствие неустойчивости ламинарных течений при опреде­
ленных условиях. Характер течения зависит от значения без­

размерной величины - чиС/l,а РеЙnО/l,ьдса:

Re = pvl/11 , (4.79)

-где р v -плотность жидкости, характерная скорость пото­

ка, l - характерный размер, 11 - вязкость.

При малых значениях числа Re наблюдается ламинарное те­

чение. Но, начиная с некоторого критического значения Re,

ламинарное течение переходит в турбулентное. Если в качестве

характерного размера, например для круглой трубы, взять ее

радиус, то критическое значение Re ~ 1000 (для воды).

Течение жидкости в трубе круглого сечения

Пусть вязкая жидкость течет в прямой трубе радиуса R. Те­

чение стационарное, линии тока параллельны оси трубы. Ско­
рость жидкости равна нулю у стенок трубы и максимальна на
ее оси. Найдем сначала зависимость скорости жидкости от рас­

стояния до оси, т. е. v (г).

Выделим мысленно цилиндриче­

ский объем жидкости радиуса r и

длины l (рис. 4.21). Поскольку все

элементы жидкости движутся без

ускорения, сумма всех внешних сил, Рис. 4.21

приложенных к любому объему жид-
кости, равна нулю. На боковую по-

верхность выделенного цилиндра

действует сила трения, равная 111 dv /dr 1 21trl. На основания

этого цилиндра - силы давления, алгебраическая сумма кото-

рых равна (Рl - Р2 )пг 2 •

Течение стационарное, поэтому эти две взаимно противопо­

ложные силы должны быть равны по модулю друг другу:

(4.80)

m

142 Глава 4

Скорость v уменьшается с ростом расстояния r от оси трубы,
поэтому dv/dr <О и Idv/drl =-dv/dr. Тогда уравнение (4.80)

можно переписать так:

-dv = Рl - Р2 rdr.
2ytl

= =Интегрируем его с учетом того, что у стенок (г R) v О :

- J Jо R
dv Рl - Р2 rdr.
2ytl
v r

в результате получим:

(4.81)

График этой зависимости и(г) показан на рис. 4.22, где

Теперь найдем поток Q жид­

кости, т. е. объем жидкости,

протекающей через поперечное
сечение трубы за единицу вре­

мени (м3/с). Объем жидкости,

ежесекундно протекающей че­

Рис. 4.22 рез элементарное кольцо ради­

уса (г, r + dr), dQ =и·2пг dr.

Подставив сюда выражение и(г)

из формулы (4.81) и проинтегрировав по т, найдем

Q -_ Рl - Р2 R4 (4.82)

2ytl п.

Это формула ПуааеЙля. Видно, что поток Q особенно силь­
но зависит от радиуса трубы - в четвертой степени. На этой

формуле, в частности, основан один из экспериментальных ме­

тодов определения вязкости yt жидкостей.

m

3акон сохранения энергии 143

В заключение определим мощность сил вязкости при стаци­
онарном течении жидкости в данной трубе. Воспользуемся сле­
дующими соображениями. Кинетическая энергия текущей в
трубе жидкости остается неизменной, поэтому алгебраическая
сумма мощностей сил давления и сил вязкости должна быть

Jравна нулю: Рдавл + Рвя.зк = о. Отсюда Рвя.зк = -Рдавл И задача

сводится к вычислению Рдавл = v dF, где dF - сила, создавае­

мая перепадом давлений на торцах цилиндрического слоя сече­

нием 2пг dr. Значит,

JR

Рдавл = v (Рl - Р2 )2пг dr.

о

После подстановки выражения (4.81) и интегрирования с
учетом (4.82) получим

Таким образом, искомая мощность сил вязкости

(4.83)

> .где, напомним, Рl Р2
Пример. При перепаде давлений Рl - Р2 = 10атм = 106 Па и потоке

жидкости Q = 1,0 м3 jc модуль мощности сил вязкости, со­
гласно (4.83), равен 106 ·1,0 = 1 МВт. Это дает представление

о той мощности, которую приходится затрачивать при созда­
нии в трубопроводах стационарного течения жидкости.

Задачи

4.1. Работа и мощность. Камень массы т бросили с поверхности земли
под углом а к горизонту с начальной скоростью V o. Пренебрегая

сопротивлением воздуха, найти мощность силы тяжести через t

секунд после начала движения, а также работу этой силы за пер­

вые t секунд движения.

р е m е н и е. Скорость камня через t секунд после начала движе­

+ния V = Vo gt. Мощность, развиваемая силой тяжести в этот мо­

мент,

Р = mgv = m( gvо + g 2t).

m

144 Глава 4

в нашем случае gv о = gv o cos ( n/2 + а) = -gv o sin а, поэтому

Р = mg (gt -vo sina).

=Отсюда видно, что при t < t o (v o/ g ) sina мощность Р < О, а при

t >to , наоборот, Р > о.

Работа силы тяжести за первые t се­

кунд

Jt

А = Р dt = mgt(gt/2 -vo sina).

о

Рис. 4.23 Графики зависимостей Р( t) и А(t)
показаны на рис. 4.23.

4.2. Консервативность сил поля. Имеются два стационарных силовых

поля: 1) F = ayi; 2) F = axi + byj, где i, j - орты осей Х и У; а и Ь

- постоянные.

Консервативны ли силы этих полей?

Реш е н и е. Найдем работу силы каждого поля на пути от неко­

торой точки 1(х 1 , Уl) до некоторой точки 2(х2 , У2):

1) 8А = Fdr = ayidr = ау dx,

2) 8А = (axi + ЬуН dr = ах dx + Ьу dy, J JХ2 У2

А = а х dx + Ь у dy.

Хl Уl

в первом случае интеграл зависит от вида функции у(х), т. е. от
пути, поэтому первая сила неконсервативная. Во втором случае
оба интеграла не зависят от пути, они зависят только от коорди­
нат начальной и конечной точек пути. Следовательно, вторая

сила консервативная.

4.3. Потенциальная энергия частицы в поле. Сила, действующая на

частицу в некотором поле консервативных сил, имеет вид

=F a(yi + хН, где а - постоянная, i и j - орты осей Х и У. Найти

потенциальную энергию И (х,у) частицы в этом поле.

Реш е н и е. Вычислим элементарную работу силы F на переме­

щении dr и представим ее, согласно (4.14), в виде убыли некото­

u.рой функции Эта функция и есть, по определению, потенциа­

льная энергия частицы в данном поле. Итак,

8А = F dr = а ( у dx + х dy) = - d (- аху ).

Отсюда U(х, у) = -аху + const.

m

3акон сохранения энергии 145

4.4. О разных подходах к решению. Шарик массы т подвесили на

упругой невесомой нити, жесткость которой х. Затем шарик под­
няли так, чтобы нить оказалась в недеформированном состоянии,

и без толчка отпустили. Найти максимальное удлинение Хm нити

В процессе движения шарика.

Реш е н и е. Рассмотрим три эквивалентных способа решения,
основанных на энергетических соображениях.

1. Исходим из уравнения (4.29): приращение кинетической энер­

гии шарика должно быть равно алгебраической сумме работ всех

сил, действующих на него. В нашем случае это сила тяжести mg и

упругая сила со стороны нити Fупр = хх, где Х - удлинение нити.

В начальном и конечном положениях шарика его кинетическая
энергия равна нулю (ясно, что при максимальном растяжении

нити шарик остановится), поэтому, согласно (4.29), сумма работ

+Ат.яж Аупр = о, или

JХ m

mgX m + (-xx)dx = mgx m - xx~ /2 = о.

о

Отсюда Хm = 2mg/x.

2. Можно рассматривать шарик в поле тяжести Земли. При таком

подходе следует говорить о полной механической энергии шарика

в поле тяжести Земли. Приращение этой энергии, согласно (4.31),

равно работе сторонних сил. В данном случае сторонней силой
надо считать силу упругости, приращение же полной механиче­
ской энергии шарика равно приращению только его потенциаль­
ной энергии в поле тяжести Земли. Поэтому

JХ m
(-xx)dx = -xx~ /2.

о

Отсюда тот же результат для хm •

Заметим, что можно было бы поступить и наоборот, т. е. рассмат­
ривать шарик в поле упругой силы. Тогда роль сторонней силы
играла бы сила тяжести. Полезно убедиться, что и в этом случае
результат будет тем же.

3. И наконец, можно рассматривать шарик в поле, образованном

совместным действием и силы тяжести, и упругой силы. Тогда

сторонние силы отсутствуют и полная механическая энергия ша­

рика в таком поле остается постоянной в процессе движения, т. е.

= =д.Е М + д.и о. При переходе шарика из начального положе-

m

146 Глава 4

=ния В конечное (нижнее) М о, а следовательно, и
д.и = д.итяж + д.иупр = О, или

-mgx m + ХХ m2 /2 = о.

Результат опять тот же.

4.5. Небольшое тело массы т поднимается с нулевой начальной скоро­

стью с поверхности земли под действием двух сил: силы F, меня­

= -ющейся с высотой подъема у по закону F 2mg( 1 - ау), где а -

mg.положительная постоянная, и силы тяжести Найти работу

силы F на первой половине пути подъема и соответствующее при­

ращение потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли. Поле

тяжести предполагается однородным.

Реш е н и е. Сначала найдем весь путь подъема. В начале и кон­

це пути скорость тела равна нулю, поэтому равно нулю и прира­

щение кинетической энергии тела. Согласно (4.29), М равно ал­
гебраической сумме работ А силы F и силы тяжести. А так как

=д.К о, то и А = о. Учитывая, что положительное направление

оси У взято вверх, запишем

hh

А = J(Fy -mg)dy =mgJ(1-2ау)dу =mgh(1-ah) =0.

оо

Отсюда h = 1/а.
Работа силы F на первой половине пути подъема

J Jh/2 h/2

A F Fydy = 2mg (1 - ау) dy = 3mg /4а.

оо

Соответствующее приращение потенциальной энергии

д.и = mgh/2 = mg /2а.

4.6. Потенциал и напряженность поля. Найти потенциал и напряжен­

ность гравитационного поля, созданного однородным шаром мас­

сы М и радиуса R, в зависимости от расстояния r до его центра.

Реш е н и е. Сначала определим потенциал поля, создаваемого
тонким однородным сферическим слоем вещества массы т и ра­

диуса а. Для этого найдем потенциал d<p в точке Р (r > а), кото­
рый создает элементарный пояс dS данного слоя (рис. 4.24, а).

Если масса этого пояса dm и его точки находятся на расстоянии х

m

3акон сохранения энергии 147
а)
б)

~м---+---~--~P O~----~-------r~

Рис. 4.24

от точки Р, то d<p = -ydm/ х. Учитывая, что dm = 1/2т sinЭdЭ, по­

лучаем

d<p = - ут sinЭ dЭ. (1)
2х

Далее, из теоремы косинусов (для А ОАР) следует, что

х 2 = а 2 + r 2 - 2 ar соsЭ. Взяв дифференциал этого выражения,

найдем

х dx = ar sinЭ dЭ. (2)

Преобразуем (1) с помощью (2) к видуd<р = 1/2 (ут/ ar)dx и проин­

тегрируем это уравнение по всему слою. Тогда

Jr+a (3)

<Рвне = - ут dx = _ ут •
2ar r-a r

Таким образом, потенциал в точке Р вне тонкого однородного
сферического слоя таков, как если бы вся .масса этого слоя была
сосредоточена в его центре. Если же точка Р находится внутри

слоя (r < а), то предыдущие расчеты остаются в силе вплоть до

интегрирования. Теперь пределы интегрирования по х будут от

+а - r до а r. В результате

<Рвнyrpи = - ут / а, (4)

т. е. потенциал внутри слоя не зависит от положения точки Р,
а следовательно, он одинаков во всех точках внутри слоя.

Напряженность поля в точке Р, согласно (4.26),

Gr д<р = {-ymО /r 2 вне ссллоояя,.
= - Br
внyrpи

m

148 Глава 4

Графики зависимостей </> (r) и G (r) для тонкого однородного сфе­
рического слоя показаны на рис. 4.24, б.

Обобщим полученные результаты на однородный шар массы М и

радиуса R. Если точка Р находится вне шара (r >R), то из форму­
лы (3) следует

</>вне = -уМ /r. (5)

Если точка Р находится внутри шара (r < R), то потенциал в этой

точке

r,</>1 -где </>2 -
потенциал от шара радиуса потенциал от слоя с

радиусами от r до R. Согласно (5),

</>1 = -у M(r/R)3 = - М r 2
y-
r R3

Потенциал </> 2' создаваемый слоем, одинаков во всех точках внут­
ри этого слоя. Проще всего </>2 вычислить для точки, находящейся

в центре слоя:

где dM = 3 (М / R 3 ) r 2dr - масса тонкого слоя между радиусами r
+и r dr. В результате

(6)

Напряженность поля в точке Р, как следует из (5) и (6),

/ R,G = _ д</> = {-УМ r 2 при r ~
r Br -уМ/R 3 Rrпри ."=/::: •
УМ

7

Графики зависимостей </> (r) и G (r) для

r однородного шара радиуса R показаны
на рис. 4.25.

Рис. 4.25

m

Закон сохранения энергии 149

4.7. Космические скорости. Показать, что кинетическая энергия К2 ,

которую необходимо сообщить телу для удаления его за пределы

земного тяготения, в два раза превыmает кинетическую энергию

К 1 , необходимую для выведения этого тела на круговую орбиту

искусственного спутника Земли (вблизи ее поверхности). Сопро­
тивлением воздуха и вращением Земли пренебречь.

Ре m е н и е. Найдем скорость V 1 тела, движущегося по круговой

орбите. Согласно основному уравнению динамики,

mv12 /R = mg,

где т - масса тела, R - радиус орбиты, приблизительно равный

радиусу Земли. Отсюда

V 1 = .JgR = 7,9 км/с.

Это первая космuческая скорость.

Для того чтобы тело могло преодолеть поле тяготения Земли, ему
необходимо сообщить вторую космuческую скорость V 2• Ее можно
найти из закона сохранения энергии: кинетическая энергия тела
вблизи поверхности Земли должна быть равна глубине потенциа­
льной ямы в этом месте. Последняя равна приращению потенциа­

льной энергии тела в поле тяготения Земли между точками r 1 = R
и r2 = 00. Таким образом,

mv:/2 = утМ /R,

где М - масса Земли. Отсюда

V2 = ~2yM / R = .J2gR = 11 км/с.

Следовательно, V 2 = v1 .J2 и К2 = 2К1 •

4.8. Решение в неинерциальной системе отсчета. Плоскую жесткую

спираль из гладкой проволоки, расположенную в горизонтальной

плоскости, вращают с постоянной угловой

скоростью ro вокруг неподвижной вертикаль­

ной оси О (рис. 4.26). По спирали скользит

небольmая муфта М. Найти ее скорость v' от­

носительно спирали как функцию расстоя­

ния р от оси вращения О, если муфта начала Рис. 4.26
двигаться от этой оси со скоростью v~.

m