250 Глава 7
Из определения длины следует, что относительность длины
данного стерjКНЯ является следствием относительности поня
тия одновременности. Это jКe относится и к форме любого
-тела его размеры в направлении ДВИjКения TaKjКe различны
в разных инерциальных системах отсчета.
Длительность процессов
Пусть в точке с координатой х/ К/-системы отсчета протека
ет некоторый процесс, длительность которого в этой системе
/).t о = t ~ - t 1. (собственное время процесса). Найдем длитель
ность данного процесса /).t = t 2 - t 1 В К-системе, относительно
которой К/-система ДВИjКется.
Воспользуемся с этой целью преобразованиями Лоренца для
времени. Так как процесс происходит в точке с фиксированной
координатой х/ К/-системы, то наиболее удобно использовать
формулы (7.9):
или
(7.12)
Отсюда видно, что длительность одного и того jКe процесса
различна в разных инерциальных системах отсчета. В К-систе
ме его длительность больше (/).t > /).t о), а следовательно, в этой
системе отсчета он протекает медленнее, чем в К/-системе. Это
вполне согласуется с результатом, относящимся к ходу одних и
-тех jКe часов в разных инерциальных системах отсчета, фор
мулой (7.4).
Интервал
Относительный характер пространственных и BpeMeHHbIx
промеjКУТКОВ отнюдь не означает, что теория относительности
вообще отрицает существование каких бы то ни было абсолют
ных величин. В действительности дело обстоит как раз наобо
рот. Задача, которую ставит перед собой теория относительно
сти, заключается в наХОjКдении таких величин (и законов), ко
торые не зависели бы от выбора инерциальной системы
отсчета.
m
Кинематика специальной теории относительности 251
Первой из этих величин является универсальная скорость
распространения взаимодействий, равная скорости света в ва
кууме. Другой, также весьма важной инвариантной величиной
является интервал S12 между событиями 1 и 2, квадрат которо
го определяется как
I B~2 = c2t~2 -1~2 = шv, (7.13)
где t 12 - промежуток времени между событиями, l12 - рассто
яние между двумя точками, в которых происходят данные со-
бытия 2 = Х122 + У122 + г122)·
(l12
В инвариантности интервала можно легко убедиться, вычис
лив его непосредственно в К' - и К-системах отсчета. Воспользо
вавшись преобразованиями Лоренца (7.8) и учитывая, что
, = , =У12 У12 И г12 г12' запишем:
= С 2t 2 - Х122.
12
Таким образом, действительно, интервал является величи
ной инвариантной. Иначе говоря, утверждение «два события
разделены таким-то интервалом S» имеет абсолютный харак
-тер оно справедливо во всех инерциальных системах отсче
та. Инвариантность интервала играет фундаментальную роль в
теории относительности и служит весьма эффективным инстру
ментом при анализе и решении многих вопросов (см., напри
мер, задачу 7.4).
Типы интервалов. В зависимости от того, какая составляю
щая в интервале преобладает, пространственная или вре
менюiя, соответствующие интервалы называют: nространст
венноnодобными (l12 > ct 12)' времениподобными ( ct 12 > l12 ).
Кроме этих двух типов интервалов существует еще третий -
светоnодобный (ct 12 = l12 ).
Если интервал между двумя событиями пространственнопо
добный, то всегда можно найти такую К' -систему отсчета, в ко
торой оба события происходят одновременно (t~2 = О):
m
252 Глава 7
Если же интервал времениподобный, то всегда можно найти
такую К' -систему отсчета, в которой оба события происходят в
одной точке (Ц2 = О):
С 2 t 2 2 =с 2t,122 •
12 -l12
в случае пространственноподобных интервалов l12 > ct 12 ,
т. е. ни в одной системе отсчета события не могут оказать влия
ния друг на друга, даже если бы связь между событиями осу
ществлялась с предельной скоростью с. Иначе обстоит дело в
случае времениподобных или светоподобных интервалов, для
которых l12 ~ ct12 • Следовательно, события, разделенные време
ниподобными или светоподобными интервалами, могут быть
причинно-связанными друг с другом.
Преобразование скорости
Пусть в К-системе в плоскости Х, у движется частица со
скоростью v, проекции которой их и иу • Найдем с помощью пре
образований Лоренца (7.8) проекции скорости этой частицы и ~
и и~ в К'-системе, движущейся со скоростью V, как показано
на рис. 7.11.
Для этого проведем расчет по следующей схеме:
и' dx' dx'/dt и' dy' dy'/dt
х dt' dt'/dt у dt' dt'/dt
Продифференцируем выражения (7.8) для х', у' и t' по вре
мени t и результаты подставим в предыдущие формулы для и~
и и ~. После несложных преобразований получим
и' и -V иy~1-B2 (7.14)
х
и'
х
у 1-V х V/с 2
где В = V /с. Отсюда скорость частицы в К'-системе (7.15)
~(иx _V)2 +и~(1-B2)
1-V х V/с 2
m
Кинематика специальной теории относительности 253
Эти формулы выражают релятивистский закон nреобразо
«вания скорости. При малых скоростях (V« с и v с) они пе
реходят, как нетрудно убедиться, в формулы преобразования
скорости ньютоновской механики:
и 'х = v х -V,· и у' = v у'
или в векторном виде
v' =v- v.
Обратим внимание на то, что последняя формула оказывает-
ся справедливой только в ньютонов- К ~K'
ском приближении; в релятивистской у y'1
же области она не имеет смысла - : V.
здесь нет простого закона сложения 1
скоростей. В этом можно легко убеди 1
ться хотя бы на таком примере. Пусть
v1
вектор скорости v частицы в К-системе v'1 у
перпендикулярен оси Х, т. е. имеет 1
проекции v х = О и и у = и. Тогда, соглас 1
1
10' _ _,-----,,-L=_~_~_=_=_~_~_=_~_~_=-
о х х'
но (7.14), проекции скорости этой час Рис. 7.14
тицы в К'-системе:
и~ = - V; (7.16)
Это значит, что в данном случае (v..l оси Х) v ~ -проекция
скорости уменьшается при переходе к К' -системе, и ясно, что
v' "* v - V (рис. 7.14).
Рассмотрим еще один пример использования формул преоб
разования скорости (7.14) - при движении двух частиц (см.
также задачу 7.7).
Пример. Пусть две релятивистские частицы движутся в К -системе от
счета навстречу друг другу по одной прямой с одинаковой
скоростью v. Найдем: 1) скорость сближения частиц в этой
системе отсчета; 2) их относительную скорость.
Прежде всего необходимо уточнить, что понимается под каж
дой из этих скоростей.
1. Скорость сближения - это скорость, с которой изменяется
(уменьшается) расстояние между частицами в данной системе
m
254 Глава 7
отсчета. В нашем случае она просто равна 2v, причем эта ско
рость может быть и больше скорости света - это ничему не
противоречит.
2. Под относительной скоростью имеется в виду скорость, с
к IK' которой одна из частиц движет
ся в системе отсчета, связанной с
I
I другой частицей и перемещаю
щейся поступательно по отноше
--..I V .- нию к исходной К-системе. Что
J и ..
12
Рис. 7.15 х бы найти эту скорость, выберем
ось Х вдоль направления движе
ния частиц. Свяжем с одной из
частиц, например частицей 1, которая движется в положите
льном направлении оси Х, К'-систему отсчета (рис. 7.15).
Тогда задача сводится к нахождению скорости частицы 2 в
этой системе отсчета. Подставив в формулу (7.14) для vх-про
екции скорости v х = - v, V = v, получим
v , =- 2v .
х 1+(v/c)2
Знак минус означает, что в данном случае частица 2 движет
ся в отрицательном направлении оси Х' К '-системы отсчета.
Следует отметить, что даже в том случае, когда обе частицы
vдвижутся с максимально возможной скоростью ~ с, ско
рость v~ не может превзойти с - это сразу видно из послед
ней формулы.
И наконец, проверим непосредственно, что релятивистские
формулы преобразования скоростей соответствуют утвержде
нию второго постулата Эйнmтнейна относительно неизменно
сти скорости света С во всех инерциальных системах отсчета.
Пусть вектор с имеет в К-системе проекции сх и Су' т. е.
С 2 = С ~ + С ~. Воспользуемся формулой (7.15), преобразовав в
ней подкоренное выражение следующим образом:
После этого нетрудно получить, что и' = с. При этом, конеч
но, вектор с' в К'-системе будет иметь в общем случае другое
направление.
m
Кинематика специальной теории относительности 255
Задачи
7.1. Преобразование длины. В К-системе отсчета находится непо
движный стержень длины l = 100 см, ориентированный под углом
Э = 450 к оси ох (рис. 7.16). Найти его длину l' и соответствую
щий угол Э' в К '-системе, движущейся относительно К -системы
со скоростью V = с/2 вдоль оси ох.
р е m е н и е. Длина стержня в К'-системе
= = =где 13 V / с. Имея в виду, что ~x l соэ Э и ~y l sin Э, получим
l' = l ~1 - 132 соэ 2 Э = 94 СМ.
Угол Э' в К '-системе найдем через тангенс:
tgЭ' = ~y' = ~y = tgЭ = 1,155.
~x' ~x~1 - 132 ~1- 132
Отсюда Э' = 490. Следует обратить внимание на то, что получен
ные результаты не зависят от направления скорости К '-системы:
она может двигаться или в положительном направлении оси х,
или в противоположном.
7.2. Собственная длина. Стержень движется вдоль линейки с некото
рой постоянной скоростью. Если зафиксировать положение обоих
y,tткеомнецоовтссчтеетар,жнсявяозданнонворйемселнинноевйксоийс,- у К к'
то разность отсчетов по линейке I V.,
I
~Xl = 4,0 м. Если же положение обо-
I
их концов зафиксировать одновре-
менно в системе отсчета, связанной I
со стержнем, то разность отсчетов по I
той же линейке ~X2 = 9,0 м. Опреде '-----I-'"I=_~_~_~-=--"~"'""-=~~_.х- '___
лить собственную длину lo стержня и
его скорость v относительно линейки. О о' х
Рис. 7.16
р е m е н и е. В первом случае
13 -где скорость стержня (в единицах скорости света).
m
256 Глава 7
Во втором же случае lo - это измеренная в системе отсчета, свя
занной со стержнем, длина участка движущейся линейки, собст
венный размер которого (участка) равен Ах 2 • Поэтому
Из этих формул легко найти, что
lo = ~AXl . АХ2 = 6,0 м,
или v ::: 0,75с.
7.3. Преобразование времени. Две нестабильные частицы движутся в
К-системе отсчета по некоторой прямой в одном направлении с
одинаковой скоростью v = 0,990с. Расстояние между частицами в
этой системе отсчета l = 12 м. В некоторый момент обе частицы
распались одновременно в К '-системе отсчета, связанной с ними.
Найти: 1) промежуток времени между моментами распада обеих
частиц в исходной К-системе отсчета; 2) какая частица распалась
позже в К -системе.
Реш е н и е. 1. Пусть распад частицы, двигавшейся впереди, -
событие 1, а распад частицы, двигавшейся сзади, - событие 2.
Тогда, согласно преобразованиям Лоренца (7.9) для времени,
(х{ - X 2)V/C 2
t1 -t2 = ~1 _(V/C)2
= 2 -где учтено, что t{ t (по условию). Разность (х{ - х 2 ) это соб
ственное расстояние lo между частицами. Согласно (7.5), оно рав-
но lo = l/ ~1 _(v/c)2. Поэтому
lv/ с 2 = 2,0 мкс.
-----=---=-2
1 -(v/c)
2. Так как (t1 - t 2) > О, то t 1 > t 2; другими словами, частица, дви
гавшаяся впереди, распалась позже.
3 а м е ч а н и е. Нередко эту задачу решают так: согласно (7.8),
, t 2 ) - ( х1 - Х2)V/ с2
t2 2
1 _ (v /
~ с),
t1 -
(t1 - = О,
=
откуда
m
Кинематика специальной теории относительности 257
Полученный результат отличается от приведенного выше и являет
ся неверным. Дело в том, что мы не имеем права разность Х 1 - Х 2
заменить на l, ибо Х 1 и Х2 - это координаты событий (распадов),
происшедших в К-системе в разные моменты времени. Расстояние
же l между частицами в К-системе равно, по определению, разно
сти координат частиц, зафиксированных одновременно.
7.4. Найти расстояние, которое пролетела в К-системе отсчета неста
бильная частица от момента ее рождения до распада, если ее
время жизни в этой системе отсчета д.t = 3,0 мкс, а собственное
время жизни д.tо = 2,2 мкс.
Реш е н и е. Воспользовавшись формулой (7.12), найдем ско
рость V частицы и затем искомое расстояние как
Другой способ решения основан на использовании инвариантно
сти интервала:
где квадрат интервала записан слева в системе отсчета, связанной
с самой частицей, а справа - в К -системе отсчета. Отсюда получа
ется тот же результат для l.
7.5. Эффект Доплера. В К -системе отсчета находится неподвижный
приемник Р (рис. 7.17). К нему со
скоростью V приближается источник
S световых сигналов. В системе от р
счета, связанной с источником, сиг
налы испускаются периодически с '--_-=-=-=-=-'-=-=-=-'-=-=-=-:....:-=-:::t=-=~- __
частотой УО (собственная частота). С О о' х х'
какой частотой V будет воспринимать Рис. 7.17
эти сигналы приемник Р?
Реш е н и е. Промежуток времени между двумя последователь
ными сигналами (импульсами) в К '-системе, связанной с источни
=ком, равен То 1/у о . Так как эта система движется со скоростью
V, то соответствующий промежуток времени в К -системе, соглас
но (7.12), будет больше:
m
258 Глава 7
Расстояние между соседними импульсами в К-системе
л = сТ - VT = (с - V)T = (с - V) ~1 То . (1)
- [32
=Поэтому воспринимаемая приемником частота V с / л, или
V = Vo ~1 - [32 • (2)
- [3
1
Если источник приближается (как в нашем случае), то V > v o' если
же удаляется, то V < V o (в этом слу-
чае знак [3 меняется на противопо
2,5 I ложный). Зависимость v/v o от [3
2,0 I показана на рис. 7.18. Полученная
формула (2) для частоты V соответст
j
вует продольному эффекту Доплера.
1,5 I
Как видно из приведенного вывода,
1/ эффект Доплера является следстви
ем двух явлений: замедления хода
1,0 v / движущихся часов [корень в числи
v0,5 ,/ теле формулы (2)] и ~уплотнения»
v' (или разрежения) импульсов, свя
-0,8 -0,4 о 0,4 J3=V/c занного с изменением расстояния
Удаление Сближение
Рис. 7.18 между источником и приемником
[это учтено в первом равенстве фор
мулы (1)].
Заметим, что в нерелятивистском случае Т = ТО, поэтому формула
для эффекта Доплера не содержит корня ~1 - [32 (вместо него сто
ит единица):
V = vo/(l -[3)::::: vo(l + V /с).
::iJ Рассмотрим попутно более общий слу-
S ",~::-::---,----,--------=P=-,. чай: в К-системе вектор скорости V ис-
Vcosa точника составляет угол а с линией на
Рис. 7.19
блюдения, как показано на рис. 7.19.
В этом случае в формуле (1) достаточно
заменить V на V cos а. Тогда
v = V o 1 ~1 - [32 а •
- [3cos
m
Кинематика специальной теории относительности 259
=В частности, при а п/2 наблюдается поперечный эффект Допле
ра
при котором воспринимаемая приемником частота V оказывается
всегда меньше собственной частоты V O•
7.6. Соотношения между событиями. На рис. 7.20 изображена диа-
-грамма пространства времени. ~=сt,м
Каждая точка этой диаграммы (ми- б в
ровая точка) характеризует некото- 5
рое событие - его координату и мо- 4
мент времени, когда оно произош с
ло. Рассмотрим три события, 3
2
соответствующие мировым точкам 1А
А, В и с. Убедиться, что между эти о 1 2 3 4 5 б 7 Х,М
ми событиями имеют место следую
щие соотношения: Рис. 7.20
Собственное Возможность
Пара Тип интервала время расстоя- причинно-
событий ние
c/).to , м следственной
АВ Времениподобный /).х о' м
АС 4 связи
ВС П ространственно- -
подобный A~B
Светоподобный -4 Нет
ОО C~B
У к а з а н и е: воспользоваться инвариантностью интервала.
7.7. Две частицы движутся в К-системе отсчета под прямым углом
-друг к другу, причем первая частица со скоростью V 1 , а вторая
со скоростью V 2 • Найти скорость одной частицы относительно дру
гой.
Реш е н и е. Возьмем оси координат К-системы, как показано на
рис. 7.21. Свяжем с частицей 1 К'-систему, тогда скорость части
цы 2 в этой системе отсчета и есть искомая скорость. С помощью
= =формулы (7.15), положив V V 1 И V x О, получим
m
260 Глава 7
к к'. Заметим, что по классическому закону
сложения скоростей,
I
I V2
I
I ---2 ----х-'--
I
Х
•1 V1
1
О
Рис. 7.21
7.8. Преобразование направления скорости. Частица движется в
к +К' К -системе со скоростью v под углом Э к
I оси х. Найти соответствующий угол Э' в
I К '-системе, движущейся со скоростью У,
--,--~_..-..",,--~~-- как показано на рис. 7.22.
о о' х х'
Реш е н и е. Пусть в К-системе проекции
Рис. 7.22
вектора v равны V x и vY• Тогда для угла Э
можно записать следующее соотношение:
tgЭ = Vy/V x •
В К '-системе с учетом формул (7.14) получим
tgЭ'=v~/v~ =Vy~1-(32/(vx -V).
После подстановки Vх = V cos Э и Vy = V sin Э найдем
tg"(,\, = sin Э~l - (32 .
cos Э - V /V
Как видно из этой формулы, закон преобразования углов для ско
рости иной, нежели для отрезков (см. задачу 7.1).
7.9. Стержень, ориентированный параллельно оси Х К-системы отсче
та, движется в этой системе со скоростью V в положительном на
правлении оси У. Найти угол Э' между стержнем и осью х' К '-си
стемы, перемещающейся со скоростью V относительно К -системы
в положительном направлении ее оси х. Оси Х их' совпадают,
оси У и У' параллельны друг другу.
Реш е н и е. Пусть в некоторый момент концы стержня совпада
ют с осью Х в К-системе. Эти два события, одновременные в К-си
стеме, будут неодновременными в К '-системе. Согласно (7.10),
они произойдут через промежуток времени
m
Кинематика специальной теории относительности 261
где Ах - собственная длина стержня. 3а это время правый ко
нец стержня окажется «выше» левого на Ау' = v~At', где
v~ = v~l - f32 [см. (7.16)]. Таким образом, в К '-системе данный
стержень будет повернут против часовой стрелки на некоторый
угол 3', который можно определить по формуле
где Ах' = Ах ~1 - f3 2 - проекция стержня на ось Х' в К '-системе,
f3=V/c.
7.10. Релятивистское преобразование ускорения. В К-системе дви
жется частица со скоростью v и ускорением а. Найти ускорение
этой частицы в К '-системе, которая перемещается со скоростью
V в положительном направлении оси Х К -системы. Рассмотреть
случаи, когда частица движется вдоль следующих осей К-систе
мы: 1) Х; 2) У.
Реш е н и е. 1. 3апишем каждую проекцию ускорения частицы
в К '-системе таким образом:
, dv~ =ddv-t~-d-t~1-d-t
=--
аХ
dt'
Воспользовавшись первой из формул (7.14) и последней из (7.8),
получим после дифференцирования
=а'у о.
2. Аналогичные расчеты приводят к следующим результатам:
a~ = о,
f3 =в этих формулах V / с.
m
rllaBa 8
....Релятивистская динамика
§ 8.1. Релятивистский импульс
Напомним сначала два основных положения ньютоновской
механики об импульсе:
1) импульс частицы определяется как р = mv, где масса т
частицы считается не зависящей от ее скорости;
2) импульс замкнутой системы частиц сохраняется во време
ни в любой инерциальной системе отсчета.
Теперь обратимся к релятивистской динамике. Оказывается
(это будет видно уже из простого примера, который мы сейчас
рассмотрим), для замкнутой системы из релятивистских час
тиц закон сохранения ньютоновского импульса не выполняет
ся. Возникает альтернатива: отказаться или от ньютоновского
определения импульса, или от закона сохранения этой вели
чины.
Учитывая громадную роль, которую играют законы сохра
нения, в теории относительности за фундаментальный прини
мают именно закон сохранения импульса и уже отсюда нахо
*.дят выражение для самого импульса
* Возникает естественный вопрос: как же закон сохранения импульса может
представлять какую-либо ценность, если импульс определяют именно так,
чтобы он сохранялся? Для ответа на этот вопрос представим себе частицу, ко
торая при своем движении сталкивается с другими частицами. Рассмотрев
первое столкновение, определим импульс так, чтобы выполнялся его закон со
хранения в данном столкновении. Но при последующих столкновениях поло
жение изменится: мы уже будем знать импульсы частиц, участвующих в этих
столкновениях, и теперь закон сохранения импульса (если он действительно
есть) будет выполняться уже не по определению, а в силу глубинных законов
природы.
Опыт показывает, что так определенный импульс действительно подчиняется
закону сохранения. По крайней мере до сих пор не обнаружено ни одного явле
ния, где бы этот закон нарушался.
m
Релятивистская динамика 263
Покажем прежде всего, что требование, чтобы закон сохра
нения импульса выполнялся в любой инерциальной системе от
счета, и учет релятивистского преобразования скоростей при
переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой при
водят к выводу, что масса частицы должна зависеть от ее ско
рости (в отличие от ньютоновской механики). Для этого рас
смотрим абсолютно неупругое столкновение двух частиц - си
стема предполагается замкнутой.
а) в К-системе б)
в К1 -системе
у
~иv '2
х
-- ----
Рис. 8.1
Пусть внекоторой инерциальной К-системе отсчета навстре
чу друг другу движутся две одинаковые частицы 1 и 2 с одина
ковой скоростью V O' но под углом а к оси Х (рис. 8.1, а). В этой
системе отсчета суммарный импульс обеих частиц, очевидно,
сохраняется: до и после столкновения он равен нулю (образо
вавmаяся частица, как следует из соображений симметрии,
оказывается неподвижноЙ).
Выясним, как будет обстоять дело в другой инерциальной
системе отсчета. Для этого выберем сначала две системы отсче
та: Кl-систему, движущуюся вправо со скоростью V 1x' И К2-СИС
тему, движущуюся влево со скоростью v2x (рис. 8.1, а). Ясно,
что частица 1 в Кl-системе и частица 2 в К2-системе движутся
только вдоль оси У, причем с одинаковыми по модулю скоро
стями, которые мы обозначим и.
Рассмотрим картину столкновения в Кl-системе (рис. 8.1,
б), где частица 1 имеет скорость и. Найдем у-составляющую
скорости частицы 2 в этой системе отсчета, обозначив ее и'. Эта
частица, как было сказано, движется со скоростью и вдоль оси
у в К2-системе и, кроме того, вместе с К2-системой перемеща
ется влево со скоростью V относительно К l-системы. Поэтому,
m
264 Глава 8
согласно (7.16), у-составляющая скорости частицы 2 в Кl-сис
теме равна
(8.1)
Запишем у-составляющие импульсов обеих частиц в К l-сис
теме: т 1 и и т 2 и'. Согласно (8.1), и' <и, поэтому легко видеть,
что закон сохранения импульса в его обычной (ньютоновской)
формулировке не выполняется. Действительно, в нашем случае
т 1 = т 2 (частицы одинаковые) и, следовательно, у-составляю
щая суммарного импульса частиц до столкновения отлична от
нуля, а после столкновения равна нулю (образовавшаяся части
ца будет двигаться только вдоль оси Х).
Потребуем, однако, чтобы закон сохранения импульса вы
=полнялся и В К1 -системе, т. е. положим, что т 1 и т 2 и'. Отсю
да с учетом (8.1) получим
т2 =ml/~1-(v/c)2.
При а ~ О (рис. 8.1) и ~ О и т 1 представляет собой массу
покоящейся частицы; ее обозначают то и называют массой по
коя. Скорость же V при этом условии оказывается равной ско
рости v частицы 2 относительно частицы 1. Поэтому послед
Hюю формулу можно переписать так:
(8.2)
-где т ~Macca» движущейся частицы
(напомним, обе частицы одинаковые). Ве
личину т называют релятивистской
массой. Она, как видно из формулы (8.2),
больше массы покоя и зависит от скоро
сти частицы (рис. 8.2). Другими словами,
релятивистская масса одной и той же
о сv
частицы различна в разных инерциалъ
Рис. 8.2 ных системах отсчета.
В отличие от релятивистской массы масса покоя то части
цы - величина инвариантная, т. е. одинаковая во всех систе
мах отсчета. По этой причине именно масса покоя является
m
Релятивистская динамика 265
характеристикой частицы. В дальнейшем, однако, мы будем
использовать и релятивистскую массу т, имея в виду при этом,
что т представляет собой просто сокращенное обозначение от-
ношения т о / ~1 - (v / с) 2, И не более. Использование реляти
BиcTcKoй массы продиктовано только стремлением упростить
ряд выводов, рассуждений и расчетов.
Массу же покоя то будем называть в дальнейшем просто
массой.
Теперь сделаем последний шаг -- напишем выражение для
импульса релятивистской частицы. С учетом (8.2) этот импульс
записывают в виде
г-------------------------,
р =mv = mov . (8.3)
~1-(v/c)2
Это и есть релятивистский импульс частицы. Опыт под
тверждает, что так определенный импульс действительно под
чиHяeTcя закону сохранения независимо от выбора инерциаль
ной системы отсчета.
«Отметим, что при v с из (8.3)
следует ньютоновское определение
v,=импульса: р то где то не зави
сит от скорости v. На рис. 8.3 по 2
казаны для сравнения графики за 1
висимостей релятивистского Ррел И о
ньютоновского Р Н импульсов час
тицы от ее скорости. Различие
между обоими импульсами стано
вится весьма значительным по Рис. 8.3
мере приближения скорости части
цы к скорости света.
Пример 1. В современных гигантских ускорителях протоны ускоря
ются до скоростей, отличающихся от скорости света на
0,0003 %. Найдем, во сколько раз релятивистская масса
таких протонов превышает их массу (покоя).
Согласно (8.2), т/то = 1/~1 - (32, где (3 = v / с. Так как (3
мало отличается от единицы в данном случае, то подкорен-
m
266 Глава 8
ное выражение следует представить в виде
1 - f32 = (1 + f3)( 1 - f3) ~ 2 (1 - f3).
Тогда искомое отношение
Пример 2. Выясним, при каких значениях скорости частицы ее нью
тоновский импульс отличается от релятивистского на 1%;
на 10%.
Из условия 11 = (р - р н ) / р = 1 - ~1 - (v / с )2 получим
v/ с = vI11 (2 - 11) ={0,14 при 11 = 0,01,
11 = 0,10.
0,45 при
Использование нерелятивистской формулы для импульса
гарантирует точность не хуже 1% при v/c ~ 0,14 и не хуже
10% при v/c ~ 0,45.
§ 8.2. Основное уравнение релятивистской
динамики
Согласно принципу относительности Эйнштейна, все законы
природы должны быть инвариантны по отношению к инерциа
льным системам отсчета. Другими словами, математические
формулировки законов должны иметь один и тот же вид во
всех этих системах отсчета. В частности, это относится и к за
конам динамики.
Однако, как показывает более детальное рассмотрение, уже
Fосновное уравнение динамики Ньютона та = не удовлетворя
ет принципу относительности Эйнштейна. Преобразования Ло
ренца при переходе к другой инерциальной системе придают
ему совершенно иную форму.
Чтобы удовлетворить требованиям принципа относительно
сти, основное уравнение динамики должно иметь другой вид и
«лишь при v с переходить в ньютоновское уравнение. Этим
требованиям, как доказывается в теории относительности,
удовлетворяет уравнение
dp/dt = F, (8.4)
m
Релятивистская динамика 267
где F - сила, действующая на частицу. Данное уравнение по
виду полностью совпадает с основным уравнением ньютоновской
динамики (3.1). Однако физический смысл здесь уже другой:
слева стоит производная по времени от релятивистского импу
льса, определяемого формулой (8.3). Подставив (8.3) в (8.4), по
лучим
~[ J-Fdt ~1-m(vojvc)2 - . (8.5)
Это и есть осnовnое уравnеnие релятивистской диnамики.
В таком виде уравнение динамики при водит к сохранению
импульса для свободной частицы и при малых скоростях
«(и с) принимает форму основного уравнения ньютоновской
динамики (та = F).
Кроме того, именно в таком виде основное уравнение дина
мики оказывается инвариантным по отношению к преобразова
ни ям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу отно
сительности Эйнштейна. Не останавливаясь на способе доказа
тельства этого, отметим только, что при переходе от одной
инерциальной системы отсчета к другой необходимо принять,
что сила F преобразуется по определенным законам. Другими
словами, сила F в теории относительности - величина неинва
риантная, в разных системах отсчета ее числовое значение и
*направление будут различны.
Из основного уравнения релятивистской динамики следует
неожиданный вывод: вектор ускорения а частицы в общем слу
чае не совпадает по направлению с вектором силы F. Чтобы это
показать, запишем (8.5) в такой форме:
d(mv)jdt = F,
* в отличие от ньютоновской механики, где силы абсолютны, в теории относи
тельности проекции силы, перпендикулярные направлению вектора относите
льной скорости систем отсчета, различны в разных системах. Эти проекции
имеют максимальные значения в той системе отсчета, где частица в данный
момент покоится:
х ~ у ~1 сF; = F , F = F
- (v / ) 2 •
m
268 Глава 8
-где т релятивистская масса частицы. Выполнив дифферен
цирование по времени, получим
(dm/dt)v + m(dv/dt) = F. (8.6)
Это выражение графически представ
лено на рис. 8.4. Таким образом, действи
тельно, вектор ускорения а в общем слу
чае не коллинеарен вектору силы F.
Вектор ускорения а совпадает по направле
нию с вектором F только в двух случаях:
Рис. 8.4 1) если F.lv (поперечная сила). При этом
vвектор скорости по модулю не меняется, т. е.
v = const, и уравнение (8.5) принимает вид
moa/~1-(v/c)2 =F,
откуда ускорение
2) если F 11 v (продольная сила). В данном случае уравнение (8.5)
можно записать в скалярном виде. Выполнив в его левой части диффе
ренцирование по времени, получим
J[ ~1
то + (1 moV 2/ с 2 dv _ F
_(V/C)2)3/2
_(V/C)2 dt - ,
откуда ускорение (в векторном виде) есть
Нетрудно заметить, что при одинаковых в обоих случаях значени
ях силы F и скорости v поперечная сила сообщает частице большее
ускорение, чем продольная сила.
Основное уравнение релятивистской динамики позволяет
найти закон действующей на частицу силы F, если известна за
висимость от времени релятивистского импульса p(t), а с дру
гой стороны, найти уравнение движения частицы r(t), если из
вестны действующая сила и начальные условия - скорость v о
и положение r o частицы в начальный момент времени.
В качестве примеров на применение уравнения (8.5) могут
служить задачи 8.1-8.3.
m
Релятивистская динамика 269
§ 8.3. Закон взаимосвязи массы и энергии
Кинетическая энергия релятивистской частицы
Определим эту величину таким же путем, как и в ньютонов
ской механике, т. е. как величину, приращение которой равно
работе действующей на частицу силы. Сначала найдем прира
щение кинетической энергии dK частицы под действием силы
F на элементарном пути dr = v dt:
dK =Fvdt.
Согласно основному уравнению релятивистской динамики
(8.4), Fdt = d(mv) = dm . v + mdv, где т - релятивистская мас
са. Поэтому
dK =v(dm·v+mdv) =и 2 dm +mvdv,
где vdv = v dv (см. с. 112). Это выражение можно упростить, ис
пользуя формулу (8.2). Возведем эту формулу в квадрат и при
ведем ее к виду
т 2с 2 =т 2 v 2 +то2с 2
Найдем дифференциал этого выражения, имея в виду, что т
ис- постоянные величины:
Если разделить это равенство на 2т, то его правая часть сов
падет с выражением для dK, отсюда следует
(8.7)
Таким образом, приращение кинетической энергии частицы
пропорционально приращению ее релятивистской массы. Ки
нетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее ре
лятивистская масса т = то. Поэтому, проинтегрировав (8.7),
получим
К =(т -то)с 2 , (8.8)
m
270 Глава 8
или (8.9)
13где = v / с. Это и есть выражение для релятивистской кинети
ческой энергии частицы. Оно сильно отличается от ньютонов
ского тои 2 /2. "У"бедимся, что при малых скоростях (13 « 1) вы
ражение (8.9) переходит в ньютоновское. Для этого воспользу
емся формулой бинома Ньютона, согласно которой
1 =(1_ А2 )-1/2 = 1 + -1 132 + -3 134 +... .
~1-J32 1-' 28
13«При 1 можно ограничиться первыми двумя членами
этого ряда и тогда
К =тос 2 132 /2 =тои 2 /2.
Таким образом, при больших скоро
КреJI стях кинетическая энергия частицы
1,0 определяется релятивистской форму
I лой (8.9), отличной от тои 2/2 . Заме
V
тим, что (8.9) нельзя представить и в
..- / KB~ ",
виде ти 2/2 , где т - релятивистская
V ...... ~
IF"'"
о масса.
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
На рис. 8.5 показаны для сравне
P=V/c
Рис. 8.5 ния графики зависимостей от 13 реля-
тивистской Крел И ньютоновской Кн
кинетических энергий. Их различие особенно сильно проявля
ется в области скоростей, сравнимых со скоростью света.
Пример. Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить ско
рость частицы с массой то от 0,6 до 0,8с? Сравним получен
ный результат со значением, вычисленным по нерелятивист
ской формуле.
Искомая работа в соответствии с формулой (8.9) равна
m
Релятивистская динамика 271
Соответствующая же работа, по нерелятивистской формуле,
Различие между обоими результатами весьма значительное.
Закон взаимосвязи массы и энергии
Прежде всего перепишем полученное выше соотношение
(8.8) в такой форме:
тс 2 =тос 2 + К, (8.8 ')
-где т релятивистская масса частицы (тела). Мы уже знаем,
что К - это кинетическая энергия частицы. Две остальные ве
личины - тоже энергии. Но каков их физический смысл?
Глубокий анализ этого вопроса привел Эйнштейна к весьма
важному выводу: тос2 - это общая внутренняя энергия тела, из
каких бы видов она ни состояла (кинетическая, электрическая,
химическая и др.). Эту энергию назвали энергией покоя Ео :
IE o =m oc 2 ·1 (8.10)
Величину же тс2 , равную сумме тос2 + К, назвали полной
энергией Е тела (частицы):
I Е = тс 2 = т о с 2 + К. (8.11)
Во избежание недоразумений обратим внимание на то, что в
полную энергию Е не включена потенциальная энергия тела во
внешнем силовом поле, если таковое действует на тело.
Вернемся, однако, к соотношению (8.10). Как выяснилось,
оно выражает один из наиболее фундаментальных законов при
роды - закон взаимосвязи (пропорциональности) массы то и
энергии покоя Ео тела.
Мы видели, что масса тела, которая в нерелятивистской ме
ханике выступала как мера инертности (во втором законе Нью
тона) или как мера гравитационного действия (в законе все
мирного тяготения), теперь выступает в новой функции - как
мера энергосодержания тела.
m
272 Глава 8
Изменение энергии покоя тела сопровождается эквивалент
ным изменением его массы 11т о = I1Е о / с 2, и наоборот. При
обычных макроскопических процессах изменение массы тел ока
зывается чрезвычайно малым, недоступным для измерений. Это
можно проиллюстрировать на следующих примерах.
Пример 1. Пружину жесткости х = 1,0 кН/см сжали на !1l = 1,0 см.
При этом пружина приобрела энергию и = x(!1l)2/ 2• Эквива
лентное приращение ее массы
Пример 2. При нагревании 1 л воды от О до 100 ос ей сообщают энер
= =гию Q те p!1t, где ер 4,2 Дж/(г -Х) - удельная тепло
емкость воды, !1t - разность температур. Соответствующее
увеличение массы воды
!1т о = Q/e 2 = 0,47 _10-10 кг.
Обычно - и это нетрудно видеть из этих двух примеров
изменение массы тела лежит далеко за пределами точности эк
сперимента. Однако уже в астрономических явлениях, связан
ных, например, с излучением звезд, изменение массы пред
ставляет собой весьма внушительную величину. В этом можно
убедиться на примере излучения Солнца.
Пример. Из астрономических наблюдений установлено, что количест
во энергии, которое приносит на Землю солнечное излучение
за 1 с на площадку 1 м2 , перпендикулярную солнечным лу-
чам, составляет около 1,4 кДж/(с-м2). Это позволяет вычис-
лить суммарную энергию, излучаемую Солнцем за 1 с:
где R - расстояние от Земли до Солнца. Следовательно,
Солнце ежесекундно теряет массу
!1т о = Р / е 2 = 4,4 -10 9 кг / с.
Величина грандиозная с точки зрения земных масштабов, од
нако по сравнению с массой Солнца эта потеря ничтожно
мала: !1т о /т о = 2 _10-21 с- 1 .
Совершенно иначе обстоит дело в ядерной физике. Именно
здесь впервые оказалось возможным экспериментально прове-
m
Релятивистская динамика 273
рить И подтвердить закон взаимосвязи массы и энергии. Это
обусловлено тем, что ядерные процессы и процессы взаимного
превращения элементарных частиц сопровождаются весьма бо
льшими изменениями энергии, сравнимыми с энергией покоя
самих частиц. Но к этому вопросу мы еще вернемся в § 8.5.
§ 8.4. Связь между энергией и импульсом частицы
Ясно, что полная энергия Е и импульс Р частицы имеют раз
ные значения в разных системах отсчета. Оказывается, однако,
что существует величина - некоторая комбинация Е ир, кото
рая является инвариантной, т. е. имеет одно и то же значение в
разных системах отсчета. Эта величина есть Е 2 - Р 2 е 2. 'Убе
димся, что это так.
Воспользовавшись формулами Е = те 2 и р = mv, запишем
Е 2 - Р 2 е 2 = т 2 е 2 v-т 2 2 е 2 = 24 [1 - (v / е)2] ,
тое
1-(v/e)2
или после сокращения (8.12)
22
-р е
vТот факт, что скорость в правой части сократилась, озна-
чает независимость величины Е 2 - Р 2 е 2 от скорости частицы,
а следовательно, и от системы отсчета. Другими словами, вели-
-чина Е 2 22 u
ре деиствительно является инвариантом и имеет
одно и то же значение т ~ е 4 во всех инерциальных системах
отсчета:
(8.13)
Этот вывод чрезвычайно важен: он позволяет, как будет
видно из дальнейшего, во многих случаях резко упростить ана
лиз и решение различных вопросов.
Приведем еще два полезных соотношения, с которыми при
ходится часто встречаться. Первое:
Iр = mv = Ev/e 2 , I (8.14)
m
274 Глава 8
-второе связь между импульсом и кинетической энергией К
частицы; его легко получить, подставив в (8.12) Е = тос 2 + К,
тогда
(8.15)
Последнее соотношение при К « тос2 переходит в ньюто
новское: р = ~2т о К , а при К » тос2 приобретает вид р = К/с.
Пример. Считая, что энергия покоя электрона равна 0,51 МэБ, вычис
лим:
1) импульс* электрона с кинетической энергией, равной его
энергии покоя;
2) кинетическую энергию электрона с импульсом 0,51 МэБ/с,
--где с скорость света.
.J31. Согласно (8.15), при К = т о с 2 получим Р = тос =
= 0,9 МэБ/с.
2. Этот вопрос можно решить также с помощью (8.15). Но
можно и проще, воспользовавшись (8.12):
К = Е -тос 2 = 'J/P2с 2+2то4с -тос 2 = 0,21 МэБ.
Рассмотрим весьма интересный вопрос о возможности суще
ствования частиц с нулевой массой покоя (то = О). Из формул
Е = тос 2 р = -~-1-;-:т(::ио:=/и=c)=2=
,
~1-(и/c)2
следует, что частица с массой то = О может иметь энергию и
импульс в том и только в том случае, если она движется со ско
ростью света с. При этом обе последние формулы принимают
вид о/о. Однако это не означает неопределенности энергии и
импульса такой частицы. Дело в том, что обе эти величины,
оказывается, не зависят от скорости, причем связь между им
пульсом р и энергией Е дается формулой (8.14), где и = с, т. е.
р = Е/с. (8.16)
* Заметим, что в настоящее время импульсы релятивистских частиц выражают
в единицах энергия/с (с - скорость света). Например, если энергия выражает
ся в МэБ (1 МэБ=1,6·10-13 Дж), то импульс - в МэБ/с. Использование такой
единицы импульса заметно упрощает многие расчеты.
m
Релятивистская динамика 275
Таким образом, согласно теории относительности, существо
вание частиц с нулевой массой возможно, причем эти частицы
могут двигаться только со скоростью с. Это движение не есть
результат предшествующего ускорения, а вообще единственное
состояние, в котором такие частицы могут существовать. Оста
новка подобной частицы равносильна ее поглощению (исчезно
вению). Как сейчас известно, такими частицами являются фо
тон и, по-видимому, нейтрино.
Преобразования импульса и энергии
=Пусть частица движется со скоростью v dl/dt в К-системе отсче
та. Из формулы (7.13) следует, что элементарный интервал между дву
мя событиями, которые происходят с частицей, есть
Имея в виду это выражение, представим проекции импульса и
энергию частицы в следующем виде
_ то cdx _ dx . = dy
Р х - ~1 _ (v / с ) 2 cdt - т о с ds ' Ру тос-;
ds
Е = т о с 2 cdt = тос c 2 dt .
~1 - (v/ с )2 cdt
ds
Из инвариантности то, с и интервала ds сразу следует, что при пе
реходе к другой инерциальной системе отсчета РХ и Ру преобразуются
подобно dx и dy, т. е. подобно координатам х и у, а энергия Е - подоб
t.но времени
Поскольку координаты и время входят в преобразования Лоренца
(7.8) линейно, мы выделили в предыдущих выражениях для Р и Е
одинаковую часть (тос). Тогда можно сделать следующее сопоставле
ние:
Р Х ~x, Ру ~y, Е/с 2 ~t.
Делая эту замену в преобразованиях Лоренца (7.8), получим сразу
искомые преобразования импульса и энергии:
Р~ _ Рх - EV / с 2 , Е' _ Е - Р Х V (8.17)
- ~1 -(V /с)2' Ру = Ру'
- ~1-(V/C)2 '
m
276 Глава 8
где V - скорость К/-системы относительно К-системы.
Эти формулы выражают закон преобразования проекций импульса
и энергии частицы при переходе от К-к К/-системе.
Запись формул в более компактном виде
в настоящее время все формулы релятивистской механики приня
то записывать в более компактном виде с помощью использования сле
дующих сокращенных обозначений:
1) величины те2 и ре обозначают просто т и р, их соответственно
выражают в энергетических единицах (например, в МэВ);
2) все скорости выражают в единицах скорости света и обознача -
ют 13:
JЗ=v/е; (8.18)
3) часто встречающийся множитель 1/~1 - 132 обозначают у - ло
ренц-фактор:
(8.19)
Эти обозначения резко упрощают как вид самих формул, так и все
преобразования и расчеты. Приведем основные формулы релятивист
ской динамики в этих обозначениях:
релятивистский импульс (8.3)
(8.20)
кинетическая (8.9) и полная (8.11) энергии:
(8.21)
связь между энергией и импульсом (8.12)-(8.15): (8.22)
2 2. (8.23)
-= =Е 2 (8.24)
Р то lПV, (8.25)
р = ЕР,
р = ~K(K + 2т о )
m
Релятивистская динамика 277
(8.26)
преобразования импульса и энергии (8.1 7):
р~ = ~x - fЗ~ = у( рх - fЗЕ) ,
1 - f3
Е' = Е - fЗРх = у(Е - fЗРх ) •
~1 - fЗ2
§ 8.5. Система релятивистских частиц
Об энергии и импульсе системы
До сих пор мы ограничивались рассмотрением поведения од
ной частицы. В отличие от динамики одной частицы построе
ние динамики системы частиц в теории относительности явля
ется гораздо более сложной задачей. Тем не менее и в этом слу
чае можно установить ряд важных общих законов.
Если нас интересует движение системы как целого, то, от
влекаясь от внутренних процессов в системе и пренебрегая ее
пространственной протяженностью, систему можно считать од
-ной материальной точкой частицей. Поскольку это так, сис
тему релятивистских частиц как целое можно характеризовать
полной энергией Е, импульсом р, массой покоя Мо и утверж
дать, что полученные ранее выражения справедливы и для сис
темы частиц как целого.
Остается выяснить, что следует понимать под полной энер
гией Е, импульсом р, массой покоя Мо системы как целого.
В общем случае, если система состоит из взаимодействующих
релятивистских частиц, ее полная энергия
(8.27)
где mic2 - полная энергия i-й частицы (напомним, что в эту ве
личину не включается энергия взаимодействия с другими части
цами); W - суммарная энергия взаимодействия всех частиц сис
темы.
В ньютоновской механике W представляет собой потен
циальную энергию взаимодействия частиц системы - величи
ну, зависящую при данном характере взаимодействий только
m
278 Глава 8
от конфигурации системы. В релятивистской же динамике,
оказывается, не существует понятия потенциальной энергии
взаимодействия частиц. Это обусловлено тем обстоятельством,
что само понятие потенциальной энергии тесно связано с пред
ставлением о дальнодействии (мгновенной передаче взаимодей
ствий). Являясь функцией конфигурации системы, потенци
альная энергия в каждый момент времени определяется отно
сительным расположением частиц системы в этот момент.
Изменение конфигурации системы должно мгновенно вызвать
изменение и потенциальной энергии. Так как в действитель
ности этого нет (взаимодействия передаются с конечной скорос
тью), то для системы релятивистских частиц понятие потенци
альной энергии взаимодействия не может быть введено.
В общем случае написать выражение для энергии взаимо
действия W, а следовательно, и для полной энергии Е системы
взаимодействующих релятивистских частиц не представляется
возможным. Это же относится и к импульсу системы, так как в
релятивистской динамике импульс не является величиной, не
зависимой от энергии Е. Так же сложно обстоит дело и с мас
сой МО системы, о которой в общем случае можно сказать толь
ко одно: это масса в системе отсчета, где данная механическая
система как целое покоится (т. е. вЦ-системе).
Вследствие указанных трудностей построение динамики си
стемы релятивистских частиц ограничено сравнительно немно
гими простейшими случаями, на двух из которых мы и остано
вимся. Это система из невзаuмодействующuх релятивистских
частиц и важный в практическом отношении случай столкно
вения двух частиц.
Система иевзаимодействующих частиц
В данном случае полная энергия Е и импульс Р обладают ад
диTиBHыMи свойствами и для системы их можно представить в
виде
(8.28)
где mi и Pi - релятивистская масса и импульс i-й частицы сис
темы. Так как взаимодействий в данном случае нет, то скоро-
m
Релятивистская динамика 279
сти всех частиц постоянны, а следовательно, постоянны во вре
мени полная энергия и импульс всей системы.
Введем понятие энергии покоя ЕО системы частиц как полную
Lэнергию ее вЦ-системе, где суммарный импульс Р = Р i = О И
система как целое покоится. Таким образом,
(8.29)
где E i - полная энергия i-й частицы в Ц-системе. Это значит,
что в энергию покоя входит кроме энергии покоя каждой час
тицы и их кинетическая энергия К i вЦ-системе:
- 2-
E i =moic +Ki ·
Это же относится, очевидно, и к массе покоя системы:
МО =Ео/с 2 . (8.30)
Отсюда, в частности, следует, что масса покоя системы не
равна сумме масс покоя отдельных частиц, а именно:
Мо > Lm oi ·
Введение энергии и массы покоя системы (Ео и МО ) позволя
ет рассматривать систему невзаимодействующих релятивист-
L..J ,=ских частиц как одну частицу с полноиu энергиеиu Е" т i с 2
Lимпульсом Р = Pi' массой покоя М О = Е О / с 2 И утверждать,
что выражения (8.12) и (8.14) справедливы и для системы час
тиц:
= =-Е 2
р 22м2 С 4 • (8.31)
сО lllV,
Р = EV/c 2 , (8.32)
где V - скорость системы частиц как целого, т. е. скорость
Ц-системы. Эту скорость, согласно (8.32), можно представить в
таком виде:
(8.33)
m
280 Глава 8
mгде i - релятивистская масса l-И частицы системы. Заметим,
что (8.33) по форме совпадает с соответствующим нерелятивист
ским выражением (3.9) для скорости центра масс системы.
Столкновение двух частиц
Рассмотрим процесс столкновения происходящим в два эта
па: сначала образование некоторой составной частицы А * и за
тем ее распад на какие-то в общем случае другие частицы:
в процессе сближения частиц А1 и А2 взаимодействие между
ними может становиться не малым, и формулы (8.28) теряют
свою применимость. Однако после того, как возникшие части
цы разойдутся на большое расстояние друг от друга, эти фор
мулы опять применимы.
В данном случае можно показать, что сумма полных энер
гий двух исходных частиц (когда они находятся настолько да
леко друг от друга, что их взаимодействие пренебрежимо мало)
равна полной энергии составной частицы. Это же относится и
ко второй стадии процесса - распаду. Другими словами, мож
но показать, что для этого процесс а оказывается справедливым
закон сохранения полной энергии в таком виде:
(8.34)
"У"бедимся, что это именно так, на следующем простом при
мере.
Представим себе столкновение двух одинаковых частиц 1 и 2,
к к' в результате которого образуется некото-
рая составная частица. Пусть частицы до
} 1~,
столкновения движутся навстречу друг
другу в К-системе с одинаковыми скоро
J•X •V• х' стями v, как показано на рис. 8.6. Рас
2/' смотрим теперь этот процесс в К' -систе
ме, движущейся влево со скоростью V
относительно К-системы. Так как в К-си
стеме скорость каждой частицы перпен
Рис. 8.6 дикулярна вектору V, то, согласно
m
Релятивистская динамика 281
(7.14), обе частицы в К/-системе имеют х-компоненту скорости,
v.равную Такую же скорость в К/-системе будет иметь и образо
вавшаяся частица, релятивистскую массу которой обозначим
m*. Из закона сохранения импульса до и после столкновения
получим для х-составляющей импульса 2m(v')V =m* V, где
и/ - скорость каждой частицы в К/-системе. Отсюда
2m(и/) =m* ,
т. е. сумма релятивистских масс исходных частиц равна реля
тивистской массе образовавшейся частицы. Аналогично дело
обстоит и в К-системе. Действительно, при очень малом значе
нии скорости V скорость v / практически равна и, а релятивист
ская масса т* - массе покоя т ~ образовавшейся частицы, так
что в К-системе
2m(и)=m~.
Отсюда видно, что масса покоя образовавшейся частицы бо
льше суммы масс покоя исходных частиц. Кинетическая энер
гия исходных частиц претерпела превращение, в результате
которого масса образовавшейся частицы превысила суму масс
исходных частиц.
Итак, мы показали, что вследствие сохранения импульса си
стемы сумма релятивистских масс исходных частиц равна ре
лятивистской массе образовавшейся частицы. Это же, очевид
но, относится и к полной энергии. Поэтому можно утверждать,
что сохранение полной энергии в форме (8.34) действительно
имеет место для рассматриваемых стадий этого процесса.
Применение закона сохранения энергии к ядерным процес
сам позволило, как уже говорилось в § 8.3, экспериментально
проверить справедливость одного из фундаментальных законов
-теории относительности закона взаимосвязи массы и энер
гии. Рассмотрим примеры.
Пример 1. Энергетический выход ядерных реакций. Возьмем ядер
ную реакцию типа
m
282 Глава 8
- - -где слева
исходные ядра, справа ядра продукты ре
акции. Применим к этой реакции закон сохранения пол
ной энергии:
Имея ввиду, что полная энергия каждой частицы может
быть представлена как Е = т о с 2 + К, где то - масса по
коя соответствующего ядра, К - его кинетическая энер
гия, перепишем предыдущее равенство так:
где К12 И К34 - суммарные кинетические энергии ядер до
и после реакции. Отсюда
Левая часть этого равенства есть приращение суммарной
кинетической энергии ядер данной системы - то, что на
зывают энергетически,м выходо,м ядерной реакции и обо
значают Q. Итак,
Эта величина может иметь любой знак - в зависимости от
характера той или иной ядерной реакции. Таким образом,
энергетический выход ядерной реакции определяется раз
ностью суммарных масс покоя ядер до и после реакции.
Бсе величины, входящие в это соотношение, могут быть эк
спериментально измерены с достаточно высокой точно
стью, тем самым можно проверить и само равенство.
Рассмотрим конкретную ядерную реакцию:
Измеренные массы покоя этих ядер (в атомных единицах
массы а. е. м.) равны соответственно 7,0160, 1,0078 и
4,0024 а. е. м. Отсюда нетрудно подсчитать, что сумма масс
покоя ядер в результате ядерной реакции уменьшилась на
0,019 а. е. м. Учитывая, что 1 а. е. м. соответствует энергия
931,4 МэБ, найдем Q = 0,019·931,4 МэБ = 17,7 МэБ. Этот
результат с большой точностью совпадает с данными экспе
римента.
m
Релятивистская динамика 283
Пример 2. Распад частицы. Пусть покоящаяся частица А 1 самопроиз
вольно распадается на частицы А2 и Аз. Согласно закону со
хранения полной энергии,
Е1 = Е 2 + Ез •
Так как полная энергия каждой частицы Е = тос2 + К, то
т 1 с 2 = (т 2 + тз) с 2 + К 2З'
где К2з - суммарная кинетическая энергия образовавших
ся частиц. Эту энергию называют энергией распада Q. Та
ким образом,
Q=[т 1 -(т 2 +тз )]с2.
Поскольку Q - величина существенно положительная, са
мопроизвольный распад частицы возможен только при
условии
т. е. если масса покоя первичной частицы больше суммы
масс возникающих частиц. В противном случае самопроиз
вольный распад невозможен. Эксперимент полностью под
тверждает этот вывод.
Рассмотрим, например, распад 7t-мезона. Эксперименталь
но установлено, что заряженные 7t-мезоны распадаются на
мюон и нейтрино: 7t ~ J.l + v. Согласно табличным данным,
массы покоя этих частиц (в единицах массы электрона)
равны соответственно 273,2, 206,8 и о. Отсюда следует,
что масса покоя в результате распада уменьшается на 66,4
электронной массы. Так как массе покоя электрона соот
ветствует энергия 0,51 МэВ, то энергия данного распада
Q = 66,4·0,51 МэВ = 34 МэВ, что находится в точном соот
ветствии с результатами эксперимента.
Тот факт, что в результате столкновения частиц и последую
щего затем распада составной частицы полная энергия системы
(а значит, и ее импульс) не меняется, приводит к другому важ
ному выводу: величина Е 2 - р2 с 2 для системы будет инвариан
тной не только по отношению к разным инерциальным систе
мам отсчета, но и для указанных выше стадий процесс а столк
новения.
m
284 Глава 8
Пусть, например, две релятивистские частицы испытали
столкновение, в результате которого образовалась новая части
ца с массой покоя МО • Если в К-системе отсчета полные энер
гии частиц до столкновения равны Е 1 и Е 2 , а их импульсы -
соответственно Рl и Р2' то мы сразу можем записать, что при
переходе от К-системы (до столкновения) к Ц-системе (после
столкновения) будет выполняться следующее равенство:
(Е 1 +Е 2 )2 -(Рl +Р2)2 = M~c4 , (8.35)
\, v I "-.r-------'
К - система Ц - система
где учтено, что вЦ-системе образовавmаяся частица покоится.
-И Енвариантность величины 2 22 ...
р с дает нам незаменимыи
инструмент при изучении различных процессов распада и стол
KHoBeHия релятивистских частиц, с помощью которого чрезвы
чайно упрощается как анализ самих процессов, так и соответ
ствующие расчеты.
Пример. В К-системе отсчета частица массы то с кинетической энер
гией К налетает на другую, покоящуюся, частицу той же
массы. Найдем массу Мо и скорость V составной частицы, 06-
разовавшейся в результате столкновения.
Воспользовавшись инвариантностью величины Е 2 - р2 с 2, за
пишем
=Е 2 - Р 2 С 2 М о2С 4 ,
где левая часть равенства относится к К-системе отсчета (до
столкновения), а правая - к Ц -системе (после столкнове
ния). В данном случае Е = К + 2m о с 2 • Кроме того, согласно
(8.15), р2 с 2 = К(К + 2m о с 2 ). Поэтому
=(К + 2m о с 2 ) 2 - К(К + 2m о с 2 ) м о2С 4 •
Отсюда
Скорость 06разовавшейся частицы - это скорость Ц -систе
мы. Согласно (8.32),
V = рс 2/ Е = С ~К j( К + 2т о С 2 ).
m
Релятивистская динамика 285
Задачи
Внимание! В задачах 8.4-8.11 использованы сокращенные обо
значения, приведенные в конце § 8.4 (например, р и т - это со-
кращенные записи величин ре и те2).
8.1. Движение под действием продольной силы. Частица массы т на
чала двигаться под действием постоянной силы F. Найти зависи
мость скорости частицы от времени.
Ре m е н и е. Умножим обе части уравнения (8.5) на dt, тогда
l Jd(~1-(mvo/Ve)2 = Fdt.
Проинтегрировав это выражение с учетом того, что в начальный
момент V = О, получим mov/~1 -(v/e)2 = Ft. Отсюда
v (t) = Ft/m o .
~1 + (Ft/m oe)2
Сравним полученное выражение с ньютоновским. Согласно второ
= =му закону Ньютона, а F /т и скорость V H Ft/m o. Поэтому
предыдущее выражение для скорости v(t) можно представить так:
Отсюда видно, что v < V H ' т. е. дей- v
ствительная скорость V частицы с
растет со временем медленнее, чем
VH' причем при t ~ 00 скорость
V ~ е (рис. 8.7).
Интересно, что импульс частицы t
при этом будет расти линейно со
Рис. 8.7
=временем: из уравнения dp/dt F
=следует, что р Ft. В этом харак
терная особенность релятивистско-
го движения: в то время как ско-
рость частицы стремится к опреде-
ленному пределу (т. е. практически устанавливается), импульс
частицы продолжает расти.
m
286 Глава 8
8.2. Движение под действием поперечной силы. Релятивистская час
qтица массы то с зарядом движется в постоянном однородном
магнитном поле, индукция которого В. Движение происходит по
окружности радиуса р в плоскости, перпендикулярной вектору В.
Найти импульс и круговую частоту обращения частицы по
окружности.
Реш е н и е. В данном случае частица движется под действием
=силы Лоренца F q [vB] , где v - скорость частицы. Так как
F ..1 v, то модуль скорости частицы v = const и уравнение (8.5)
принимает вид
та = q[vB] ,
где т - релятивистская масса частицы. Имея в виду, что а пред
ставляет собой нормальное ускорение, равное по модулю v 2 / р, пе-
=репишем предыдущее уравнение так: mv 2/ р qvB. Отсюда им-
пульс частицы
р = mv = qpB. (1)
Видно, что произведение рВ может служить мерой релятивистско
го импульса частицы.
=Период обращения частицы по окружности Т 2np/v, откуда
= =круговая частота обращения о) 2n/Т v/p. Учитывая (1), полу
чим
о) = qB/m.
Значит, круговая частота о) зависит от скорости частицы: чем бо
льше скорость частицы, а следовательно, и ее релятивистская
масса т, тем меньше частота 0). Однако при малых скоростях
«(v с) т ~ то и
о) = qB /т о = const,
т. е. при нерелятивистских скоростях частота о) практически не
зависит от скорости частицы.
8.3. Релятивистский протон с импульсом ро влетел в момент t = О в об
ласть, где имеется поперечное однородное электрическое поле с
напряженностью Е, причем Po.lE. Найти зависимость от времени
угла э., на который протон будет отклоняться от первоначального
направления движения.
m
Релятивистская динамика 287
Реш е н и е. Выбрав оси координат (Х - вдоль вектора ро' У -
вдоль вектора Е), запишем уравнение (8.4) в проекциях на эти
оси:
dpx / dt = о,
=где е - заряд протона. Из этих уравнений следует, что рх ро'
ру = eEt, или
~1 _ (v / с )2 = еЕt . (1)
Взяв отношение последних двух равенств, найдем
Интересно отметить, что в отличие от нерелятивистского случая
здесь V x уменьшается со временем. Чтобы в этом убедиться, возве
дем оба равенства (1) в квадрат и затем сложим отдельно их левые
и правые части:
mo2(v2x +2v y ) = р 2 + (eEt )2 .
о
--------::2-
l-(v/c)
Заметив, что v~ + v: = v 2 , получим
(~) p~ J-V 2 _ ( 1 1
-+
то2с 2
+ (eEt)2 .
Подставив это выражение в первое из (1), найдем
с
,,1I + (тос/ ро) 2 + (eEt/ ро) 2 '
т. е. действительно, V x уменьшается с ростом t.
8.4. Симметричное упругое рассеяние. Релятивистский протон с кине
тической энергией К испытал упругое столкновение с покоив
шимся протоном, В результате чего оба протона разлетелись сим
метрично относительно первоначального направления движения.
Найти угол между направлениями разлета протонов после столк
новения.
m
288 Глава 8
р Реш е н и е. При симметричном раз
Рис. 8.8 лете протонов их импульсы и энергии
должны быть одинаковы (импульсы
- по модулю). Это сразу видно из тре
угольника импульсов (рис. 8.8), выра
жающего закон сохранения импульса.
Из этого треугольника, согласно тео
реме косинусов, следует, что
р2 = 2р,2 + 2р,2 COS 8, откуда
=Воспользовавшись формулой (8.25) и учитывая, что К 2К', где
К' - кинетическая энергия каждого протона после столкнове
ния, найдем
р2 = К(К + 2т о ) = 4 К + 2т о .
р,2 К'(К' + 2т о ) К + 4т о
Здесь то - масса протона. После подстановки этого выражения в
формулу для cos 8 получим
cos 8 = К j(K + 4т о ).
Заметим, что в отличие от нерелятивистского случая, когда
8 = 900, здесь 8 < 900.
8.5. Рассеяние фотона на электроне. Фотон с энергией Е испытал рас
сеяние на покоившемся свободном электроне. Найти энергию Е'
рассеянного фотона, если угол между направлениями движения
рассеянного и налетающего фотонов равен э.
Реш е н и е. Воспользуемся законами сохранения энергии и им
пульса. В данном процессе
=К е Е - Е', ре = Р - р',
~ где Ке и Ре - кинетическая энергия и
р импульс электрона отдачи, р и р' -
Рис. 8.9
импульсы налетающего и рассеянного
фотонов. Из треугольника импульсов
(рис. 8.9), согласно теореме косинусов,
следует, что
m
Релятивистская динамика 289
'В, Р в, и
= =Так как р
где те масса электрона, то после несложных преобразований
получим =, в
в --------=:----
1 + 2(в/т е ) sin 2( 3/2)
8.6. К методу встречных пучков. Два протона движутся навстречу
друг другу с одинаковыми кинетическими энергиями К (в К -сис
теме отсчета). Найти кинетическую энергию К' одного протона в
К '-системе отсчета, где другой протон покоится.
Реш е н и е. Воспользуемся инвариантностью величины Е 2 _ Р 2 ,
записав ее в К-системе (она здесь является одновременно и Ц -сис
темой), а также в К '-системе:
где то масса покоя протона. Отсюда
=К' 2К(К + 2т о )/т о .
Например, для протонов (то ~ 1 ГэВ) при К = 50 ГэВ величина
К' = 5· 10З ГэВ. Возможность получения такого большого «выиг
рыша» в энергии лежит в основе метода встречных пучков.
8.7. Энергетическая схема ядерной реакции. Частица А1 с кинетиче
ской энергией К1 налетает на покоящееся ядро А2 (в К-системе от
счета). В результате реакции образуются ядра Аз и А4 :
Массы частиц равны соответственно т 1 , т 2 , тз, т4 • Изобразить
энергетическую схему ядерной реакции для случаев:
а) (т1 + т2) > (тз + т 4 ), б) (т 1 + т2) < (тз + т 4 ).
Найти для второго случая пороговую кинетическую энергию К lпор
налетающей частицы в К -системе отсчета.
Реш е н и е. Из закона сохранения полной энергии следует, что в
Ц-системе
m
290 Глава 8
а) б)
Е Е
- -где К 12 и КЗ4 - Рис. 8.10
суммарные кинетические энергии частиц до и по-
сле реакции. Обозначив приращение кинетической энергии
КЗ4 - К 12 через Q, запишем предыдущее выражение так:
Величину Q называют энергетическим выходом ядерной реакции
или, короче, энергией реакции.
Энергетическая схема ядерной реакции показана на рис. 8.10.
В случае а эффект будет положительным, Q > О: суммарная кине
тическая энергия увеличивается за счет уменьшения суммы масс
покоя частиц системы. В случае б - наоборот.
В последнем случае, как видно из рис. 8.10, б, ядерная реакция
возможна лишь при условии К12 ~ IQI, где знак равенства соот-
ветствует пороговому значению энергии К 12. При нерелятивист-
2
J.lV OTH
12 = /2,(4.16), Кских скоростях, согласно или
К 12 т2 m 1V 2 т2 К1 •
1
т 1 +т 2
2т 1 +т 2
Отсюда, имея ввиду, что К12 ~ Q1 1 и к1 = К1 пор' получим
К 1пор IQ 1.
8.8. Пороговая энергия. Релятивистская частица массы т налетает на
покоящуюся частицу массы М. В результате столкновения возни
кают частицы с массами т 1 , т 2 , ••• по схеме
m
Релятивистская динамика 291
Найти пороговую (минимальную) кинетическую энергию Кпор на
летающей частицы, необходимую для осуществления данного
процесса.
Реш е н и е. Прежде всего ясно, что о пороговой энергии может
идти речь только в том случае, когда сумма масс возникших частиц
превышает сумму масс первичных частиц. Чтобы найти Кпор ' воспо
льзуемся инвариантностью величины Е 2 - Р 2 • Запишем эту величи-
ну до столкновения при К = Кпор в системе отсчета, где частица М
=покоилась, и после столкновения - вЦ-системе: Е 2 - Р 2 Е- 2 ,или
Здесь учтено, что вЦ-системе кинетическая энергия возникших
частиц равна нулю на пороге реакции, поэтому их полная энергия
равна просто сумме масс отдельных частиц. Из последнего урав
нения находим
К пор (т 1 + т 2 + ... ) 2 - (т + М) 2
2М
8.9. Найти пороговую энергию фотона для рождения пары электрон -
позитрон в поле покоящегося протона, если массы покоя электро
на и позитрона равны то, а протона - МО •
Реш е н и е. Воспользуемся инвариантностью величины Е 2 - Р 2
и запишем ее до взаимодействия в системе отсчета, где протон по
коится, а после взаимодействия - в Ц-системе. При пороговом
значении энергии Е налетающего фотона
(Еиор + М о) 2 - Еи2ор = (М О + 2т о ) 2 •
Отсюда
Еиор = 2т о (1 + т о / М о).
Видно, что для рождения пары необходимо, чтобы энергия фото
на была больше 2то (этого требует закон сохранения импульса).
8.10. Энергия частиц в Ц-системе. Фотон с энергией Е в лабораторной
системе отсчета налетает на неподвижную частицу А, масса ко
торой равна то. Найти: 1) скорость Ц-системы этих двух частиц;
2) энергию фотона и частицы А в данной Ц-системе.
Реш е н и е. 1. Согласно формуле (8.32), скорость Ц-системы
JЗс = р/Е = Е/(т о + Е).
m
292 Глава 8
2. Из преобразования (8.26) для энергии следует, что в Ц-систе
ме энергия фотона
f3c -где скорость Ц-системы (в единицах с). Подставив сюда
= f3cр Е И выражение для из предыдущего пункта, получим
_Е
Е = ~1 + 2Е/т о .
f3 = f3Частица А движется вЦ-системе со скоростью c , поэтому ее
полная энергия вЦ-системе
~1 + 2Е/т о
в правильности полученных формул можно убедиться, восполь
зовавшись инвариантностью величины Е 2 - Р 2 при переходе от
лабораторной к Ц -системе отсчета:
8.11. Распад движущейся частицы. Релятивистский 7t-мезон массы то
распался на лету на два у-фотона с энергиями Е 1 и Е2 (в К-системе
отсчета). Найти угол е между направлениями разлета этих фото
нов.
Реш е н и е. Исходя из инвариантности величины Е 2 - р2, за
пишем ее до распада в Ц-системе, а после распада - в К-систе-
ме:
где Рl И Р2 - импульсы фотонов. Преобразуем правую часть это
го уравнения, учитывая, что Рl = ~ И Р2 = Е2. Тогда
откуда
.е то •
Sln-=
2~~E2
2
m
Приnожения
т
1. Движение точки в полярных координатах
в полярных координатах р, <р положение точки А на плоско
сти определено, если заданы ее расстояние р от начала отсчета
О и угол <р между радиусом-вектором р точки и выбранным на
правлением 00' - началом отсчета угловой координаты <р
(рис. 1, а).
а) б)
А
Рис. 1
Введем единичные векторы - орты ер и е<р, связанные с
движущейся точкой А и направленные в сторону возрастания
соответствующих координат р и <р, как показано на рис. 1, а.
В отличие от ортов декартовой системы координат орты ер и
е<р - подвижные (при движении точки А они меняют свое на
правление). Найдем сразу же их производные по времени -
они понадобятся ниже. При движении точки А за промежуток
времени dt оба орта повернутся в одну сторону на один и тот же
угол d<p (рис. 1, б) и получат приращения:
Разделив оба выражения на dt, получим (1)
.. . .
ер = <ре <р , е <р = - <ре р ,
где точка сверху над буквой означает дифференцирование по
времени.
Теперь найдем скорость и ускорение точки А, записав ее ра
диус-вектор р в виде
(2)
m
294 Приложения
Скорость точки v. Продифференцируем (2) по времени с уче
том (1):
v =р" е р +p<p" eq>. (3)
Отсюда видно, что проекции вектора v на подвижные орты
ер и eq> равны
v р = р, v q> = р <р, (4)
-v +1"vа модуль вектора скорости
= р2 р 2 <"р2 •
Ускорение точки а. Продифференцировав (3) по времени
еще раз, получим
Учитывая (1), после несложных преобразований найдем
(5)
eq>т. е. проекции вектора а на орты ер и имеют вид
ар =Р"-Р<Р" 2 , aq> = 2 Р"<"Р+Р<Р"" =1-d-(2Р "<)р. (6)
Р dt
Основное уравнение динамики в полярных координатах.
Основное уравнение динамики та = F в проекциях на подвиж
ные орты ер и eq> легко получить сразу, воспользовавшись фор
мулами (6):
(7)
где F р и F q> - проекции вектора F на
орты ер и eq> (рис. 2). На этом рисунке
Рр <о, а Fq> >0.
~_.L.....-_.L--_--o'
Рис. 2
m
Приложения 295
2. О задаче Кеплера
в задаче Кеплера рассматривается вопрос о движении части
цы в центральном поле сил, убывающих обратно пропорциона
льно квадрату расстояния от центра поля. Этому закону подчи
няются силы гравитационного притяжения между материаль
ными точками (или телами, обладающими сферической
симметрией), а также кулоновские силы между точечными за
рядами.
В таком поле потенциальная энергия частицы и = - аl р, где
а- -постоянная, р расстояние от
центра поля. Рассмотрим случай,
когда а > О, т. е. сила, действующая
на частицу массы т, направлена к
центру поля (притяжение). Какой
вид будет иметь траектория частицы
в полярных координатах р (<р), если OL---.L...-------4m----O'
при <р = о р(О) = Ро, а скорость части Рис. 3
цы перпендикулярна радиусу-векто
ру и равна ио (рис. 3)?
Для решения этой задачи обычно используют законы сохра
нения энергии и момента импульса. В полярных координатах р
и <р из этих законов следует:
112т (р.2 +р 2<.р2) -аlр=Е, тр 2<·р =М,
где Е и М - полная механическая энергия и момент импульса
частицы относительно точки О - центра поля. Обе эти величи
ны легко найти из начальных условий.
Решение данных уравнений проводят следующим образом.
Сначала в первом уравнении переходят от дифференцирования
по времени к дифференцированию по <р - это можно сделать с
помощью второго уравнения: dt = ( тр 21М) d<p. Затем разделя
ют переменные р и <р, т. е. приводят полученное выражение к
виду d<p = f (р) dp. И наконец, интегрируют это уравнение с уче
том начальных условий. Результат интегрирования и дает ис
комое решение р (<р).
Мы не будем здесь воспроизводить довольно громоздкий ход
решения этих уравнений (при желании его можно найти почти в
m
296 Приложения
любом курсе теоретической физики или механики). Ограничим
ся лишь анализом полученного решения, которое имеет вид
р( <р) = Ро , (1)
а + (1 - а) cos <р
где а = a/mpovo2 .
Из математики известно, что уравнение (1) определяет кри
вую второго порядка. В зависимости от значения параметра а
это может быть эллипс (окружность), парабола или гипербола.
1. Сразу видно, что при а = 1 величина р не зависит от <р,
т. е. траекторией является окружность. Такую траекторию час
тица будет иметь при скорости vo' равной
(2)
2. Для всех значений параметра а, при которых р конечно
=вплоть до <р п, траектория будет иметь форму эллипса. Как
=следует из (1), при <р 7t
р( п) = ро /(2а -1) .
Отсюда видно, что р( п) будет конечным лишь при 2а > 1,
<т. е. при скорости Vo v н' где
VH = ~2a/mpo . (3)
Рис. 4 3. Если же 2а = 1, т. е. Vo =VH' то
эллипс вырождается в параболу - час
тица обратно не вернется.
4. При V о > V н траектория будет
иметь форму гиперболы.
Все эти случаи показаны на рис. 4.
Следует обратить внимание на то, что
для эллиптических орбит центр поля
совпадает с одним из фокусов эллипса:
<при V о V 1 - С задним фокусом, а при
>Vo VI - С передним.
Заметим, что уравнение (1) описыва
ет, например, траектории планет Сол-
m
Приложения 297
нечной системы (при этом а = уmМ, где М - масса Солнца).
Применительно к движению космических аппаратов скорости
v 1 И V II являются соответственно первой и второй космически
ми скоростями. Ясно, что их значения зависят от массы тела,
являющегося источником поля.
3. Доказательство теоремы Штейнера
т е о р е м а: момент инерции 1 твердого тела относительно
произвольной оси О равен моменту инерции 1с этого тела отно
сительно оси С, параллельной данной и проходящей через
центр масс тела, плюс произведение массы т тела на квадрат
расстояния а между осями:
1 = 1 с +mа 2 .
д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть положе О
ние i-ro элемента твердого тела относи-
тельно осей О и С характеризуется векто-
рами Pi и P~, а положение оси С относи
тельно оси О - вектором а (рис. 5,
плоскость которого перпендикулярна
осям О и С). Воспользовавшись связью
между этими векторами (Pi = P~ + а), пре Рис. 5
образуем выражение для момента инер-
ции тела относительно оси О следующим образом:
или
в правой части этого равенства первая сумма представляет
собой момент инерции тела 1с относительно оси С, а последняя
сумма просто равна mа2 • Остается показать, что средняя сумма
равна нулю.
Пусть r; - радус-вектор i-ro элемента тела относительно цент
ра масс, тогда относительно последнего суммарный вектор, со-
m
298 Приложения
Lmir;гласно (3.8), =0. Но P~ - это составляющая вектора r;,
перпендикулярная осям О и с. Отсюда ясно, что если суммарный
вектор равен нулю, то сумма его составляющих в плоскости, пер
пендикулярной осям О и С, также равна нулю, т. е. LmiP~ =0.
Теорема, таким образом, доказана.
4. Греческий алфавит
А, а - альфа 1, t - йота Р, р - ро
К, х - каппа L, о' - сигма
в, f3 - бета Л, А - ламбда
Т, 't - тау
Г, у - гамма М, J.l - мю
L\, 8 - дельта У, u - ипсилон
N, V - ню
Е, Е - эпсилон 8, ~ - кси Ф, <р - фи
О, о - омикрон
Z, ~ - дзета П,1t - пи Х, Х - хи
Н, 11 - эта
8,8, Э - тета 'Р, У - пси
О, ro - омега
5. Основные единицы СИ в механике
Секунда - это промежуток времени, в течение которого со
вершается 9 192 631 770 колебаний электромагнитного излуче
ния, соответствующего переходу между двумя определенными
сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.
Эталон времени и частоты состоит из атомно-лучевой трубки с
пучком атомов цезия и радиотехнического устройства, которое
дает набор электрических сигналов фиксированной частоты. Се
кунда приблизителъно равна 1/86400 средних солнечных суток.
Метр - это длина, равная 1 650 763,73 длин волн в вакууме
оранжевой линии атома криптона-86 (линии, соответствующей
переходу между уровнями 2РI0 и 5d5 данного атома). Эталон
для воспроизведения метра представляет собой комплекс аппа
ратуры, включающей интерферометры для точного измерения
длин. Метр приблизителъно равен 1/40 000 000 доле длины
земного меридиана.
Килограмм - это масса платино-иридиевого эталона, храня
щегося в Международном бюро мер и весов (в Севре, близ Пари
жа). Масса эталона близка к массе 1 дм3 чистой воды при 4 ОС.
m
Приложения 299
6. Формулы алгебры и тригонометрии
Корни квадратного уравнения ах 2 + Ьх + с = О :
-Ь ± ~b2 -4ас
2а
Некоторые приближенные формулы. Если а ~ 1, то
(1 + а) n ~ 1 + па; sin а ~ а;
еа ~ 1 + а; cos а ~ 1 - а 2/2;
ln(1 + а) ~ а;
tga ~ а.
Основные тригонометрические формулы:
S.ln 2 а + cos 2 а = 1; tg2a = 2tg~ ;
sin а = 1/~1 + ctg 2a;
1 -tg а
sin 2 а = 2 sin а cos а; S.ln 2(-а)= 1 - cos а .
cos 2 а = cos 2 а - S•ln 2 а;
22'
cos 2(~) = 1 + cos а .
2 2'
sin( а ± fЗ) = sin а cos f3 ± cos а sin f3 ;
cos( а ± fЗ) = cos а cos f3 =+= sin а sin f3 •
7. Таблица производных и интегралов
Функция Производная Функция Производная
l/х
-1/х 2 sin х cos х
# 1/(2#) cos х -sin х
tgx l/cos 2 Х
хn n-l ctgx -1/sin 2 х
е nХ arcsin х
Х 1/~I-x2
аХ arccos х
nе nХ arctgx -1/~1 - х 2
lnx arcctgx
aXlna 1/(I+х 2 )
u(х) -1/(I+х 2 )
-- l/х
v(x) vuХ' -v'Х и
v2
m
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Иродов И.Е. - Механика. Основные законы - 2010
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search