Иродов И.Е. - Механика. Основные законы - 2010

150 Глава 4

Реш е н и е. Этот вопрос наиболее целесообразно решать в систе­
ме отсчета, связанной со спиралью. Известно, что приращение ки­
нетической энергии тела равно алгебраической сумме работ всех
сил, действующих на тело. В нашем случае из всех сил работу бу­
дет совершать только центробежная сила инерции. Все остальные
силы (сила тяжести, сила реакции со стороны спирали и сила Ко­
риолиса) перпендикулярны скорости у' муфты, поэтому работы не

совершают.

Согласно уравнению (4.29),

Jm(v,2 _V ( 2 ) /2 = mro2 pdr,

где т - масса муфты, dr - ее элементарное перемещение относи­

тельно данной спирали. Так как скалярное произведение

pdr = p(dr)p = pdp, то интеграл равен mro2р2/ 2 , откуда

V , = ~V,o2 + ro2 р 2 .

4.9. Система частиц. Три одинаковые заряженные частицы, каждая

q,массы т и с зарядом поместили в вершины углов равносторон­

него треугольника со стороной а. Затем частицы одновременно

освободили и они стали симметрично разлетаться под действием

кулоновских сил отталкивания. Найти: 1) скорость каждой части­

цы в зависимости от расстояния r между ними; 2) работу А 1 , кото­

рую совершили кулоновские силы, действующие на каждую час­

тицу при разлете их на очень большое расстояние друг от друга.

Реш е н и е. 1. Данная система замкнутая, поэтому для нее при­

ращение кинетической энергии равно убыли потенциальной, т. е.

откуда

V = ~2kq2(r - а )/mra.

rВидно, что при ~ 00 скорость каждой частицы стремится к пре­

дельному значению

2. Работа всех сил взаимодействия при изменении конфигурации

этой системы равна убыли потенциальной энергии системы:

А = U 1 - И2 = 3kq 2/ а,

m

3акон сохранения энергии 151

где учтено, что в конечном положении и2 = о. Тогда искомая ра­

бота

А 1 = А / 3 = kq 2/ а . (*)

3 а м е ч а н и е. Следует обратить внимание на одну часто встре­

чающуюся ошибку при решении подобного рода задач. Рассуж­

дают так: в начальном положении потенциальная энергия каж­

дой частицы в поле других двух равна 2kq 2/ а, а в конечном -
нуль. Отсюда искомая работа А 1 = 2kq 2/ а. Как видно, получен­

ный результат отличается вдвое от (*). Почему?

Ошибка здесь в том, что поле, в котором перемещается каждая
частица, нестационарное (ведь другие две частицы тоже переме­
щаются друг относительно друга), поэтому работа сил такого
поля не может быть представлена как убыль потенциальной

энергии частицы в поле.

4.10. На гладкой горизонтальной плоскости находятся два бруска с

массами m 1 и m 2 , соединенные между собой пружинкой жестко­

сти х (рис. 4.27). Брусок 2 переместили

влево на небольшое расстояние х и отпус­
тили. Найти скорость V c центра масс сис­

темы после отрыва бруска 1 от стенки.

Рис. 4.27

Реш е н и е. При распрямлении пружинки на систему будет

действовать некоторая горизонтальная сила F со стороны стен­

ки. Импульс этой силы при водит К возникновению импульса си­

стемы. После отрыва бруска 1 от стенки импульс системы меня­

ться не будет, и мы можем записать:

(1)

где учтено, что в момент отрыва бруска 1 его скорость V 10 = о.

Поскольку точка приложения силы F неподвижна (в процессе ее

действия), эта сила работы не совершает. 3начит, механическая
энергия системы в процессе движения будет оставаться неизмен­
ной и равной своей первоначальной величине. В момент отрыва

бруска 1 потенциальная энергия первоначально сжатой пружи­
ны целиком переходит в кинетическую энергию бруска 2:

(2)

m

152 Глава 4

Исключив V20 из равенств (1) и (2), получим

Vc = x~xm2 /(m 1 + m2).

Заметим, что нечто подобное происходит при начале движения,
например, автомашины: импульс сил трения сообщает импульс

автомашине, а внутренний источник энергии (топливо) - кине­

тическую энергию.

4.11. Внутренняя механическая энергия системы. Система состоит из

m m2'двух шариков с массами
1и которые соединены между со­

бой невесомой пружинкой. Шарикам сообщили скорости v 1 И V 2

соответственно, после чего система начала двигаться в однород­

ном поле сил тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воз­
духа и считая, что в начальный момент пружинка не деформи­

рована и v 1 ..1 v2 , найти внутреннюю механическую энергию дан­

ной системы в процессе движения.

Реш е н и е. Внутренняя механическая энергия системы - это

ее энергия Е в Ц-системе. Здесь Ц-система движется с ускорени­

ем g, поэтому в этой системе отсчета на каждый шарик действу­

mig -mig.ют две внешние силы: сила тяжести
и сила инерции

Суммарная работа этих внешних сил равна нулю (в Ц-системе),

а следовательно, энергия Е изменяться не будет. Чтобы ее най­

ти, достаточно рассмотреть начальный момент, когда пружинка

еще не деформирована и энергия Е равна только суммарной ки­

нетической энергии К о вЦ-системе. Воспользовавшись форму­

лой (4.61), получим

4.12. Столкновение частиц. В К-системе отсчета частица 1 массы m 1
налетает на покоящуюся частицу 2 массы m2. Заряд каждой час­
тицы равен q. Найти минимальное расстояние, на которое они

сблизятся при лобовом ~ соударении», если кинетическая энер­

гия частицы 1 вдали от частицы 2 равна К1.

Реш е н и е. Рассмотрим процесс столкновения отдельно в К- и
Ц -системах отсчета.

1. В К -системе в момент наибольшего сближения обе частицы

будут двигаться как единое целое со скоростью V, которую мож­

но определить из закона сохранения импульса:

m

3акон сохранения энергии 153

где Рl - импульс налетающей частицы: Рl = ~2тlKl.

Из закона сохранения энергии следует, что

где приращение потенциальной энергии системы!1U = kq2 IrМИН.

Исключив v из этих двух уравнений, найдем

rМИН = (1 + т 1 1т 2 )kq 21К1 •

2. ВЦ-системе решение наиболее просто: здесь суммарная кине­

тическая энергия частиц идет целиком на приращение потенци­

альной энергии системы частиц в момент их наибольшего сбли­

жения:

к = !1U,

где, согласно (4.61), К- = fJ.v 2 /2 = К1т2 l(m1 + т2)' !1U = kq 2IrМИН.
1

Отсюда легко найти rМИН.

4.13. Частица массы т 1 с импульсом Рl испытала упругое столкнове­

ние с покоившейся частицей массы т 2 •

Найти импульс р{ первой частицы по­

сле столкновения, в результате которого

она рассеялась под углом Э к первонача­

льному направлению движения.

Реш е н и е. Из закона сохранения им­ Рис. 4.28

пульса (рис. 4.28) находим

(1)

-где Р2 импульс покоившейся частицы после столкновения.

= 2'Из закона сохранения энергии следует, что К1 К { + к где К {
2 -и К
кинетические энергии первой и второй частиц после

столкновения. Преобразуем это равенство с помощью соотноше­

ния К = р2 12т к виду

(2)

Исключив Р22 из (1) и (2), получим

, cos Э ± ~COS2 Э + (т: 1т: -1)
Рl = Рl 1 + т2 1т1
.

m

154 Глава 4

Если m 1 < m2' то физический смысл имеет только знак плюс пе­

ред корнем. Это следует из того, что при этом условии корень бу­

дет больше, чем cos Э, а так как Рl - это модуль вектора, то он

не может быть отрицательным.

Если m 1 > m2' то физический смысл имеют оба знака перед кор­
нем - ответ в этом случае неоднозначен: под углом Э импульс

рассеянной частицы может иметь одно из двух значений (это за­

висит от относительного расположения частиц в момент соударе­

ния). Последний случай соответствует векторной диаграмме, по­

казанной на рис. 4.14, 6.

4.14. Какую часть 11 своей кинетической энергии теряет частица мас­

mсы 1 при упругом рассеянии под предельным углом на покоя­

щейся частице массы m 2? Здесь m 1 > m 2•

Реш е н и е. Пусть Кl' Рl И К 1. 'Рl - кинетическая энергия и

импульс налетающей частицы до и после рассеяния. Тогда

(1)

А т. е. задача сводится к нахождению от­

Рис. 4.29 ношения Рl / Рl .

Воспользуемся векторной диаграммой
импульсов, соответствующей предельно­

му углу Э1пр (рис. 4.29). Из прямоуголь­

ного треугольника АСО следует, что

= =Рl,2 ( Рl - Р- )2 - Р- 2 Рl2 - 2 Р1Р-'

откуда

(2)

После подстановки (2) в (1) получим

4.15. Атом массы m 1 испытал неупругое столкновение с покоившейся

молекулой массы m 2 • После соударения обе частицы разлетелись

2под углом Э друг к другу с кинетическими энергиями К 1. и к

соответственно, причем молекула оказалась в возбужденном со­

-стоянии ее внутренняя энергия увеличил ась на определенную

величину Q. Найти Q, а также пороговую кинетическую энергию

атома, при которой возможен переход молекулы в данное воз­

бужденное состояние.

m

3акон сохранения энергии 155

Реш е н и е. Из законов сохранения энергии и импульса в этом

процессе следует:

K 1 =K{+K2 +Q,

Р12 = Р1,2 + Р2,2 + 2 Р1"Р2 cos ~(\,

где штрихами отмечены величины после соударения (второе со­

отношение сразу следует из треугольника импульсов согласно

теореме косинусов). Воспользовавшись формулой р2 = 2mК,

исключим К1 из этих уравнений. В результате получим

Q =(m2/m1 -1)K 2 +2~(m2/m1)К{К2СОSЭ,

К 1пор =IQ l(m1 + m 2 )/m 2 •

4.16. Распад частицы. Частица с импульсом РО (в К-системе) распа­

лась на лету на две частицы с массами m 1 и m 2 • При этом выде­
лилась энергия Q - энергия распада (она перешла в кинетиче­

скую энергию). Построить векторную диаграмму импульсов для
этого процесса и найти с помощью нее возможные импульсы Р1 и

Р2 возникших частиц.

Реш е н и е. Наиболее просто этот процесс выглядит в Ц-систе­

ме: здесь распадающаяся частица покоится, а частицы распада

разлетаются в противоположные стороны с одинаковыми по мо­

дулю импульсами Р1 = Р2 = р. Энергия расп~а Q целиком пере­

ходит в суммарную кинетическую энергию К возникающих час­
тиц. Поэтому

-где ~ приведенная масса системы возникших частиц.

Найдем импульсы возникших частиц в К-системе. Воспользо­
вавшись формулой преобразования скоростей при переходе от
Ц- к К-системе, запишем:

Р1 = m1 v 1 = m1 ( Vс + v1) = m1 Vс + 1)1'

Р2 = m 2v 2 = m 2 (VC + У2) = m 2 Vc + 1)2'

причем, согласно закону сохранения

+ =импульса, Р1 Р2 Ро·

С помощью этих формул построим

векторную диаграмму импульсов

(рис. 4.30). Изобразим сначала отре- А в

зок АВ, равный импульсу ро. Затем Рис. 4.30

m

156 Глава 4

радиусом р проведем окружность с центром в точке О, которая

делит отрезок АВ на две части в отношении m 1 : m2. Эта окруж­

ность и есть геометрическое место точек всех возможных поло­

жений вершины С треугольника импульсов АВС.

4.17. Открытый сверху цилиндрический сосуд высотой h заполнен до­

верху идеальной жидкостью. В дне сосуда открыли малое отвер­

11стие, площадь которого в раз меньше площади сечения сосуда.

»Считая 11 1, найти, через какое время вся жидкость вытечет из

сосуда.

Реш е н и е. Скорость v1 , с которой будет опускаться уровень

жидкости в сосуде, не постоянна. Поэтому сначала найдем время

dt, за которое убыль высоты уровня равна - dx:

dt = - dx/v1 • (1)

vТеперь найдем связь между 1 и высотой уровня х. Для этого
воспользуемся уравнением неразрывности струи (4.71) и уравне­
нием Бернулли (4.75). Запишем последнее для двух сечений:
1 - когда уровень находится на высоте х, и 2 - на выходе из

отверстия. Тогда оба уравнения будут иметь вид

11Vl = V2, v: /2 + gx = v: /2. (2)

Здесь учтено, что давление р в обоих сечениях одинаково (атмо­

»сферное). Из уравнений (2), имея в виду, что 11 1, получим

(3)

Подставив (3) в (1) и проинегрировав, найдем

t = о .Jd2xiX = 11~2h / g .

-11J
h 2gx

4.18. Вязкость. Вычислить силу трения, испытываемую прямой тру­

бой длины l = 100 м с радиусом круглого сечения R = 25 см при
стационарном течении воды, поток которой Q = 5,0 м3/с. Вяз­

кость воды 11 = 1,0 мПа·с.

Реш е н и е. Искомую силу трения найдем с помощью формулы

(4.78). Для этого надо сначала вычислить производную dv/dr вы­
ражения (4.81) при r = R. В результате получим

F = 11 dv 21tRl = 11 (Рl - Р2 )2R 21tRl,
тр dr 411l

или с учетом формулы (4.82)
Ртр = 811lQ/R 2 =64Н.

m

rllaBa 5

....Закон сохранения момента импульса

§ 5.1. Момент импульса частицы. Момент силы

Анализ поведения систем показывает, что кроме энергии и

импульса существует еще одна механическая величина, с кото-

-роиu также связан закон сохранения, *.это момент импульса

Что это за величина и каковы ее свойства?

Сначала возьмем одну частицу. Пусть r - радиус-вектор,

характеризующий ее положение относи-

тельно некоторой точки О выбранной м

-системы отсчета, а р ее импульс в

этой системе. р

Моментом импульса частицы А отно­

сительно точки О (рис. 5.1) называют

вектор М, равный векторному произве­ Рис. 5.1

rдению векторов и р:

1м = [гр] ·1 (5.1)

Из этого определения следует, что М является аксиальным
вектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг
точки О в направлении вектора р и вектор М образуют право­
винтовую систему. Модуль вектора М равен

м = rp sin а = lp, (5.2)

где а - угол между r и р, 1 = r sina - плечо вектора р относи­
тельно точки О (рис. 5.1).

Уравнение моментов

Выясним, какая механическая величина ответственна за из­
менение вектора М в данной системе отсчета. Для этого про­

дифференцируем (5.1) по времени:

dM/dt =[dr/dt,p]+[r,dp/dt].

* Используют также названия момент количества движения, механический

момент, угловой момент или просто момент.

m

158 Глава 5

Так как точка О неподвижна, то вектор dr/ dt равен скорости v

частицы, т. е. совпадает по направлению с вектором р, поэтому

[dr/dt, р] = о.

Согласно второму закону Ньютона, dp/dt = F, где F - равно­

действующая всех сил, приложенных к частице. Следовательно,

dM/dt = [rF] .

N Величину, стоящую в правой части

этого уравнения, называют моментом

силы F относительно точки О (рис.
5.2). Обозначив ее буквой N, запишем

Рис. 5.2 (5.3)

Вектор N, как и М, является аксиальным. Модуль этого век­
тора, аналогично (5.2), равен

N =lF, (5.4)

где 1 - плечо вектора F относительно точки О (рис. 5.2).

Итак, производная по времени от момента импульса М час­
тицы относительно некоторой точки О выбранной системы от­

счета равна моменту N равнодействующей силы F относитель­

но той же точки О:

IdM/dt =N·I (5.5)

Это уравnеnuе момеnтов. Заметим, что если система отсче­

та является неинерциальной, то момент силы N включает в

себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инер­
ции (относительно той же точки О).

Из уравнения моментов (5.5), в частности, следует, что
если N == о, то М = const. Другими словами, если относительно

некоторой точки О выбранной системы отсчета момент всех
сил, действующих на частицу, равен нулю в течение интересу­
ющего нас промежутка времени, то относительно этой точки

момент импульса частицы остается постоянным в течение это­

го времени.

m

3акон сохранения момента импульса 159

Пример 1. Некоторая планета А движется в поле тяготения Солнца С
(рис. 5.3). Относительно какой точки гелиоцентрической

системы отсчета момент импульса данной планеты будет
сохраняться во времени?

Для ответа на этот вопрос прежде

всего необходимо установить, ка­

кие силы действуют на планету А.

В данном случае это только сила

тяготения F со стороны Солнца.

Так как при движении планеты

направление этой силы все время

проходит через центр Солнца, то Рис. 5.3
последний и является той точкой,

относительно которой момент силы F все время равен

нулю, и момент импульса планеты будет оставаться посто­

янным. Импульс р планеты при этом будет меняться.

Пример 2. Шайба А, двигаясь по гладкой горизонтальной плоскости,

упруго отскакивает от гладкой вертикальной стенки

(рис. 5.4, вид сверху). Найдем точку, относительно которой

момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в

этом процессе.

На шайбу действуют сила тяжести,

сила реакции со стороны горизонта­

льной плоскости и сила реакции R

со стороны стенки в момент удара о

нее. Первые две силы уравновеши­

вают друг друга, остается сила R.

Ее момент равен нулю относительно

любой точки, лежащей на линии

действия вектора R, а значит, отно- Рис. 5.4

сительно любой из этих точек мо­

мент импульса шайбы будет оставаться постоянным в дан­

ном процессе.

Пример 3. На горизонтальной гладкой плоско­ (с) •

сти находятся неподвижный верти­ в
кальный цилиндр и шайба А, соеди­
ненная с цилиндром горизонтальной

нитью АВ (рис. 5.5, вид сверху).

Шайбе сообщили начальную ско­ Рис. 5.5

рость У, как показано на рисунке.

Есть ли здесь точка, относительно которой момент импульса

шайбы будет оставаться постоянным в процессе движения?

m

160 Глава 5

в данном случае единственная некомпенсированная сила,

действующая на шайбу А, - это сила натяжения F со сто­

роны нити. Нетрудно видеть, что точки, относительно ко­

торой момент силы F в процессе движения был бы все

время равен нулю, здесь пет. А следовательно, нет и точ­
ки, относительно которой момент импульса шайбы оста­
вался бы постоянным.
Этот пример показывает, что не всегда существует точка,
относительно которой момент импульса частицы оставался
бы постоянным.

'Уравнение моментов (5.5) позволяет получить ответ на два

вопроса:

1) найти момент силы N относительно интересующей нас
точки О в любой момент времени t, если известна зависимость

от времени момента импульса M(t) частицы, относительно той

же точки;

2) определить приращение момента импульса частицы отно­

сительно точки О за любой промежуток времени, если известна

зависимость от времени момента силы N(t), действующего на

эту частицу (относительно той же точки О).

Решение первого вопроса сводится к нахождению производ -

ной по времени от момента импульса; т. е. dM/dt, которая и

равна, согласно (5.5), искомому моменту силы N. Решение вто­
рого вопроса сводится к интегрированию уравнения (5.5). 'Ум­
ножив обе части этого уравнения на dt, получим dM = Ndt -

выражение, которое определяет элементарное приращение век­

тора М. Проинтегрировав это выражение по времени, найдем

t:приращение вектора М за конечный промежуток времени

(5.6)

Величину, стоящую в правой части этого уравнения, назы­
вают импульсом момента силы. Таким образом, приращение
момента импульса частицы за любой промежуток времени рав­

но импульсу момента силы за это же время.

Рассмотрим два примера.

m

3акон сохранения момента импульса 161

Пример 1. Момент импульса частицы относительно некоторой точки

меняется со временем t по закону M(t) = а + bt2 , где а и

Ь - некоторые постоянные векторы, причем а 1.. Ь. Найдем

момент силы N, действующий на частицу, когда угол меж­

ду векторами N и М окажется равным 450.

Согласно (5.5), N = dM/dt = 2bt, N
т. е. вектор N все время совпадает

по направлению с вектором Ь.

Изобразим векторы N и М в неко­
торый момент t (рис. 5.6).

Из этого рисунка видно, что угол Рис. 5.6

а = 450 в момент t o' когда а = ЫО2 •
Отсюдаtо = ~a/b и N = 2~a/b . Ь.

Пример 2. Камень А массы т бросили под уг-

лом к горизонту с начальной скоростью vo. Пренебрегая со­

противлением воздуха, найдем зависимость от времени мо­

мента импульса камня M(t) относительно точки бросания О

(рис. 5.7).

За промежуток времени dt момент импульса камня относи­

=тельно точки О получит приращение dM = Ndt [r, mg]dt.
Так как r = vot + gt 2 /2 (см. стр. 11), то dM = [vo,mg]tdt.

Проинтегрировав это выражение с учетом того, что в мо-

= =мент t О М(О) О, получим mg
M(t) = [v о' mg] t 2/2. Отсюда вид­

но, что направление вектора М

остается неизменным в процессе O%~~~~~~~~~~~'/

движения (вектор М направлен

за плоскость рис. 5. 7).

Рис. 5.7

Момент импульса и момент силы относительно оси

Возьмем в интересующей нас системе отсчета произвольную

z.неподвижную ось Пусть относительно некоторой точки О на

оси Z момент импульса частицы А равен М, а момент силы,

действующий на частицу, - N. Z

Моментом импульса относительно оси Z

называют проекцию на эту ось вектора М,

определенного относительно произвольной

точки О данной оси (рис. 5.8). Аналогично о

вводят понятие момента силы относительно Рис. 5.8

m

162 Глава 5

оси. Их обозначают соответственно M z и N z • Далее мы увидим,

z.что Мz и N z не зависят от выбора точки О на оси

Выясним свойства этих величин. Записав уравнение (5.5) в

проекциях на ось Z, получим

(5.7)

т. е. производная по времени от момента импульса частицы от­

носительно оси Z равна моменту силы относительно этой оси. В

частности, если N z == О, то M z = const. Другими словами, если

момент силы относительно некоторой неподвижной оси Z равен

нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси оста­
ется постоянным. При этом вектор М может и меняться.

Пример. Небольшое тело массы т, подвешенное на нити, равномерно

Z движется по горизонтальной окружности

(рис. 5.9) под действием силы тяжести mg

и силы натяжения Т со стороны нити. От­

носительно точки О момент импульса

тела -- вектор NI -- находится в одной

плоскости с осью Z и нитью, и при движе­

нии тела вектор NI под действием момента

т N силы тяжести все время поворачивает­

- --~-- -' mg ся, т. е. меняется. Проекция же Мг оста­

ется при этом постоянной, так как вектор

Рис. 5.9 N перпендикулярен оси Z и N z = о.

Найдем теперь аналитические выражения для M z и N z • Не­

трудно видеть, что эта задача сводится к нахождению проек­

ций на ось Z векторных произведений [rp] и [rF].

z Воспользуемся цилиндрической системой
координат р, <р, г, связав с частицей А
(рис. 5.10) орты ер, е<р, e z ' направленные в
eq> сторону возрастания соответствующих коор­
динат. В этой системе координат радиус-век­
rтор и импульс р частицы записывают так:

Pz -где Рр' Р<р' проекции вектора р на соот­

Рис. 5.10 ветствующие орты. Из векторной алгебры

m

3акон сохранения момента импульса 163

известно, что векторное произведение [rp] можно представить

определителем

ер eq> e z

М = [rp] = р о г,

Рр Pq> P z

откуда сразу видно, что момент импульса частицы относитель­

но оси Z

(5.8)

где р - расстояние частицы от оси Z. Преобразуем это выраже­

ние к виду, более удобному для практических применениЙ.

Имея ввиду, что Р q> = mv q> = mpO)z, получаем

M z = mр 2 O)z' (5.9)

где O)Z - проекция угловой скорости 0), С которой поворачива­

ется радиус-вектор частицы.

Аналогично (5.8) записывается и момент силы относительно
оси Z:

(5.10)

где F q> - проекция вектора силы F на орт eq>.
Обратим внимание, что проекции M z и N z действительно не

зависят от выбора точки О на оси Z, относительно которой
определены векторы М и N. Кроме того, видно, что Мz и N z -

величины алгебраические, их знаки соответствуют знакам про­

екций Р q> и F q> .

§ 5.2. Закон сохранения момента импульса

Выберем произвольную систему частиц. Введем понятие мо­
мента импульса данной системы как векторную сумму момен­

тов импульсов ее отдельных частиц:

(5.11)

где все векторы определены относительно одной и той же точки
О заданной системы отсчета. Заметим, что момент импульса

m

164 Глава 5

системы - величина аддитивная: момент импульса системы

равен сумме моментов импульсов ее отдельных частей незави­
симо от того, взаимодействуют они между собой или нет.

Выясним, какая величина определяет изменение момента

импульса системы. Для этого продифференцируем (5.11) по вре­
мени: dM/dt = LdM i /dt. в предыдущем параграфе было пока­
зано, что производная dM i /dt равна моменту всех сил, действу­

ющих на i-ю частицу. Представим этот момент в виде суммы мо­

ментов внутренних и внешних сил, т. е. N~ + N i. Тогда

Здесь первая сумма - это суммарный момент всех внутрен­
них сил относительно точки О, вторая сумма - суммарный мо­

мент всех внешних сил относительно той же точки О.
Покажем, что су,м,марный ,мо,мент всех внутренних сил от­

носительно любой точки равен нулю. Действительно, внутрен­

ние силы - это силы взаимодействия между частицами данной

системы. По третьему закону Ньютона, эти силы попарно оди­

наковы по модулю, противоположны по направлению и лежат

на одной прямой, т. е. имеют одинаковое плечо. Поэтому мо­
менты сил каждой пары взаимодействия равны по модулю и

противоположны по направлению, т. е. уравновешивают друг

друга, и значит, суммарный момент всех внутренних сил все­

гда равен нулю. (5.12)

В результате последнее уравнение принимает вид

I dM/dt = N виеш' I

LNгде Nвнеm - суммарный момент всех внешних сил, N виеш = i•

'Уравнение (5.12) утверждает: nроизводная ,мо,мента и,мnуль­

са систе,мы по вре,мени равна су,м,марно,му ,мо,менту всех внеш­

них сил. Разумеется, оба момента, М и N, здесь определены от­

носительно одной и той же точки О заданной системы отсчета.

Как и в случае одной частицы, из уравнения (5.12) следует,

что приращение момента импульса системы за конечный про­

tмежуток времени

t (5.13)

М2 -М1 = JN виешdt ,

О

m

Закон сохранения момента импульса 165

т. е. приращение момента импульса системы равно импульсу

суммарного момента всех внешних сил за соответствующий
промежуток времени. И здесь, конечно, оба момента, М и

Nвиеш , определены относительно одной и той же точки О вы­

бранной системы отсчета.

Уравнения (5.12) и (5.13) справедливы как в инерциальной,

так и в неинерциальной системах отсчета. Только в неинерциа­
льной системе отсчета нужно учитывать и действие сил инер­

ции, играющих роль внешних сил, т. е. под Nвиеm В этих урав­

+нениях следует понимать сумму Nвз Nии , где Nвз - суммар­

ный момент внешних сил взаимодействия, Nии - суммарный

момент сил инерции (относительно одной и той же точки О сис­
темы отсчета).

Итак, мы пришли к важному выводу: согласно уравнению

(5.12), момент импульса системы может изменяться под дей­

ствием только суммарного момента всех внешних сил. Отсюда

непосредственно вытекает и другой важный вывод - закон со­

хранения момента импульса: момент импульса замкнутой сис­

темы частиц остается постоянным, т. е. не меняется со вре­

менем, причем это справедливо для момента импульса, взятого

относительно любой точки инерциальной системы отсчета.
Таким образом, в инерциальной системе отсчета момент им­

пульса замкнутой системы частиц

(5.14)

При этом моменты импульса отдельных частей или частиц

замкнутой системы могут изменяться со временем, что и под­

черкнуто в последнем выражении. Однако эти изменения все­

гда происходят так, что приращение момента импульса одной

части системы равно убыли момента импульса ее другой части

(конечно, относительно одной и той же точки системы отсчета).

В этом смысле уравнения (5.12) и (5.13) можно рассматри­

вать как более общую формулировку закона сохранения момен­

та импульса, формулировку, в которой указана и причина из­

-менения момента импульса интересующей нас системы дей­

ствие других тел (через момент внешних сил взаимодействия).

Сказанное, разумеется, справедливо только по отношению к

инерциальным системам отсчета.

m

166 Глава 5

Подчеркнем еще раз: закон сохранения момента импульса

имеет место только по отношению к инерциальным системам

отсчета. Однако это не исключает случаев, когда момент импу­

льса системы сохраняется и в неинерциальных системах отсче­

та. Для этого достаточно, чтобы согласно уравнению (5.12) - а

-оно справедливо и в неинерциальных системах отсчета сум­

марный момент всех внешних сил (включая и силы инерции)

был равен нулю. Такие ситуации реализуются довольно редко

и соответствующие случаи имеют весьма частный характер.

Закон сохранения момента импульса играет такую же важ­

ную роль, как и законы сохранения энергии и импульса. Уже

сам по себе он позволяет сделать во многих случаях ряд суще­

ственных заключений о свойствах тех или иных процессов, со­

вершенно не вникая в их детальное рассмотрение. Проиллюст­

рируем сказанное на таком примере.

Пример. Два одинаковых шара насажены на гладкий горизонтальный

стержень, по которому они

могут скользить (рис. 5.11).

Шары сближают и соединяют
нитью. Затем всю установку

приводят во вращение вокруг

вертикальной оси, предостав­

Рис. 5.11 ляют ее самой себе и пережи-
гают нить. Шары, естествен­

но, разлетаются к концам стержня. Угловая скорость уста-

новки при этом резко уменьшается.

Наблюдаемый эффект является прямым следствием закона
сохранения момента импульса. Данная установка ведет себя,

по существу, как замкнутая: внешние силы компенсируют

друг друга, силы трения в оси предполагаются пренебрежимо
малыми. Для количественной оценки изменения угловой
скорости будем считать, что масса всей установки практиче­

ски сосредоточена в шарах, а их размеры достаточно малы.

Тогда из равенства моментов импульса шаров относительно
точки С в начальном и конечном состояниях системы, а

=именно 2т [r1 v 1] 2т [r2 v 2] , следует

Отсюда видно, что с увеличением расстояния r шаров от оси

вращения угловая скорость установки уменьшается (как

m

3акон сохранения момента импульса 167

l/r2). И наоборот, если бы расстояние между шарами умень-

шалось (под действием каких-либо внутренних сил), угловая
скорость установки увеличивалась бы. Этот эффект имеет об­
щий характер, и его широко используют, например, фигури­

сты и гимнасты.

Обратим внимание на тот факт, что конечный результат со­

вершенно не зависит от характера внутренних сил (здесь -

это силы трения между шарами и стержнем).

Особый интерес представляют случаи, когда момент импуль­
са М сохраняется для незамкнутых систем, у которых, как из­
вестно, импульс р меняется со временем. Если относительно не­
которой точки О выбранной системы отсчета суммарный мо­

мент внешних сил Nвнеш == О В течение интересующего нас
промежутка времени, то, согласно (5.12), момент импульса си­

стемы относительно точки О сохраняется за это время. В незам­
кнутых системах такой точки, вообще говоря, может и не
быть, что следует прежде всего выяснить для каждого конкрет­

ного случая.

Пример 1. Система Земля-Луна, движущаяся в поле тяготения Солн­

ца, является незамкнутоЙ. Ее импульс все время меняется
под действием сил тяготения со стороны Солнца. Здесь, од­
нако, имеется одна точка, относительно которой момент сил
тяготения, действующих на данную систему, все время ра­

вен нулю, - это центр Солнца. Поэтому можно сразу утвер­

ждать, что момент импульса системы Земля-Луна относите­
льно центра Солнца остается постоянным.

Пример 2. На гладкой горизонтальной плоскости лежит стержень ОВ,

который может свободно враща­
ться вокруг неподвижной верти­
кальной оси, проходящей через

его конец О (рис. 5.12). В конец В

стержня попадает, застревая,

шайба А, скользившая по плоско-

сти, И вся система начинает вра­

щаться как единое целое вокруг Рис. 5.12

точки о.

Ясно, что система шайба-стержень незамкнутая: кроме

сил, уравновешивающих друг друга в вертикальном на­

правлении, со стороны оси в процессе удара будет действо-

вать горизонтальная сила, а после того, как стержень нач-

m

168 Глава 5

нет вращаться, возникает еще одна сила со стороны оси,

благодаря которой центр масс системы будет двигаться по
окружности. Но обе силы проходят через точку О, а следо­
вательно, момент этих внешних сил относительно точки О
все время равен нулю. Отсюда вывод: момент импульса
данной системы будет оставаться постоянным относительно
точки о.

в более ограниченном случае у незамкнутых систем может

сохраняться не сам момент импульса М, а его проекция на не­

z.которую неподвижную ось Это бывает тогда, когда проекция

суммарного момента N виет всех внешних сил на эту ось Z равна

нулю. В самом деле, записав уравнение (5.12) в проекциях на

z,ось получим

dМz / dt = N виет z • (5.15)

Здесь M z и N виетz - момент импульса и суммарный момент

z:внешних сил относительно оси

N виет z = 'L"..J Nl"z, (5.16)

где M iz и N iz - момент импульса и момент внешних сил отно­
сительно оси Z для i- й частицы системы.

Из уравнения (5.15) следует, что если относительно некото­
рой неподвижной в данной системе отсчета оси Z проекция

Nвиет z == О, то момент импульса системы относительно этой оси

сохраняется:

(5.17)

При этом вектор М, определенный относительно произволь­
ной точки О на этой оси, может меняться. Например, если сис­
тема движется в однородном поле тяжести, то суммарный мо­
мент всех сил тяжести относительно любой неподвижной точ­
ки О перпендикулярен вертикали, а значит, относительно

любой вертикальной оси Nвиет z == О и M z = const, чего нельзя

сказать о векторе М.
Рассуждения, которые приводят к закону сохранения мо­

мента импульса, целиком опираются на справедливость зако­

нов Ньютона. А как обстоит дело в системах, не подчиняющих-

m

3акон сохранения момента импульса 169

ся этим законам, например в системах с электромагнитным из­

лучением, в атомах, ядрах и др.?
"У"читывая громадную роль, которую играет закон сохране­

ния момента импульса, в физике понятие момента импульса
расширяют на немеханические системы (которые не подчиня­
ются законам Ньютона) и постулируют закон сохранения мо­
мента импульса для всех физических процессов.

Такой расширенный закон сохранения момента импульса
уже не является следствием законов Ньютона, а представляет
собой самостоятельный общий nринциn, являющийся обобще­
нием опытных фактов. Наряду с законами сохранения энер­

гии и импульса закон сохранения момента импульса является

одним из фундаментальных законов природы.

§ 5.3. Собственный момент импульса

в § 5.2 было установлено, что момент импульса М системы
изменяется только под действием суммарного момента N всех
внешних сил; именно этот вектор N определяет поведение век­

тора М. Теперь рассмотрим некоторые наиболее существенные
свойства этих величин и те важные выводы, которые из них

вытекают.

Суммарный момент внешних сил

Как и момент каждой силы, суммарный момент сил зави-

сит, вообще говоря, от выбора точки, отно­

Nсительно которой его определяют. Пусть O~---.:~_ _

- суммарный момент сил относительно

точки О, а N' - относительно точки О', ра­

диус-вектор которой r o (рис. 5.13). Найдем

связь между N и N'.

r r;Радиусы-векторы i и точки прило­ Рис. 5.13

жения силы Fi связаны соотношением r i = r; + r o (рис. 5.13).

Поэтому выражение для N можно записать в виде

или

IN =N' + [roF] ,1 (5.18)

LFгде F =i- результирующая всех внешних сил.

m

170 Глава 5

Из формулы (5.18) видно, что если F = о, то суммарный мо­

мент внешних сил не зависит от выбора точки, относительно
которой его определяют. Таков, в частности, случай, когда к

системе приложена пара сил.

Пример. К телу в точках 1 и 2 приложены две одинаковые по модулю
и противоположно направленные силы F 1 И F 2' не действую­
щие вдоль одной прямой (пара сил). Пусть r 12 - радиус-век­
тор, проведенный из точки 1 в точку 2. Найдем суммарный
момент N этой пары сил.

+Здесь результирующая сила F = F 1 F 2 = О, поэтому согласно

(5.18) момент N этой пары сил не должен зависеть от выбора

точки О, относительно которой его определяют. Воспользо­

вавшись этим, выберем в качестве точки О точку 1 (относите­
льно нее момент силы F 1 равен нулю), тогда

N = [r12 F2 ].

Модуль вектора N равен, как нетрудно сообразить, N = lF,
где l - плечо пары, т. е. расстояние между прямыми, вдоль
которых действуют силы, а F - :модуль каждой силы.

Интересной и важной особенностью в этом отношении обла­
дает Ц-система (напомним, что эта система отсчета жестко свя­

зана с центром масс системы частиц и перемещается поступате­

льно по отношению к инерциальным системам). Так как в об­
щем случае Ц-система является неинерциальной, то
результирующая всех внешних сил должна включать в себя

кроме внешних сил взаимодействия F вз И силы инерции F ИН. С

другой стороны, вЦ-системе система частиц как целое покоит­

+ся, а это значит, согласно (3.11), что F = Fвз FИН = о. Имея в

виду (5.18), мы приходим к следующему важному выводу: в

Ц-систе,м,е су,м,,м,арный ,м,о,м,ент всех внешних сил, включая
силы инерции, не зависит от выбора точки о.

И другой важный вывод: в Ц-систе,м,е су,м,,м,арный ,м,о,м,ент
сил инерции относительно центра ,м,асс всегда равен нулю:

N ИН --о . (5.19)

с

в самом деле, сила инерции, действующая на каждую части­

цу системы, Fi = -m i ао, где ао - ускорение Ц-системы. Поэто­

му суммарный момент всех этих сил относительно центра масс С

m

3акон сохранения момента импульса 171

Согласно (3.8), Lmiri =mrc , а так как в нашем случае
r c =0, то и N~H =0.

Собственный момент импульса

Как и момент сил, момент импульса системы зависит, вооб­
ще говоря, от выбора точки О, относительно которой его опре­

деляют. При переносе этой точки на расстояние r o (рис. 5.13)
новые радиусы-векторы частиц r; связаны со старыми r i фор­
мулой r i = r; + r o . Поэтому момент импульса системы относи­

тельно точки О можно представить так:

или

I М = М' + [roр] , I (5.20)

где М' - момент импульса системы относительно точки О', а
Р = LPi - полный импульс системы.

Из формулы (5.20) следует, что если полный импульс систе­

мы Р = о, то ее момент импульса не зависит от выбора точки о.
А этим как раз и отличается Ц-система, в которой система час­
тиц как целое покоится. Отсюда мы приходим к третьему важ­
ному выводу: в Ц-системе момент импульса системы частиц
не зависит от выбора точки, относительно которой его опре­

деляют.

Этот момент называют собственным моментом импульса
системы и обозначают М.

-Связь между М и М

Пусть М - момент импульса системы частиц относительно

точки О К-системы отсчета. Так как собственный момент им­

пульса :м: вЦ-системе не зависит от выбора точки О', возьмем

точку О' совпадающей в данный момент с точкой О К-систе­
мы. Тогда радиусы-векторы каждой частицы в обеих системах

отсчета будут одинаковы в этот момент (r; = r i ), скорости час­

тиц связаны формулой

(5.21)

m

172 Глава 5

-где Vс скорость Ц -системы относительно К-системы. Поэто­

му

(5.22)

Первая сумма в правой части этого равенства есть собствен­

ный момент импульса М. Вторую сумму в соответствии с фор­

мулой (3.8) представим как m[rc Vс], или [rc р], где т - масса
всей системы, r c - радиус-вектор ее центра масс в К-системе,
р - суммарный импульс системы частиц. В результате

I M=M+[rcp], I (5.23)

т. е. момент импульса М системы частиц складывается из ее

собственного момента импульса М и момента [rc р], обуслов­

ленного движением системы частиц как целого.
Возьмем, например, однородный шар, скатывающийся по

наклонной плоскости. Его момент импульса относительно не­
которой точки этой плоскости складывается из момента импу­
льса, связанного с движением центра масс шара, и собственно­
го момента импульса, обусловленного вращением шара вокруг
собстенной оси.

Из формулы (5.23), в частности, следует, что если центр

масс системы покоится (импульс системы р = О), то ее момент

импульса М - это собственный момент импульса. С этим слу­

чаем мы уже знакомы. В другом крайнем случае, когда М = О,

момент импульса системы относительно некоторой точки опре­

деляется только моментом, связанным с движением системы

как целого, т. е. вторым слагаемым (5.23). Так, например, ве­

дет себя момент импульса любого твердого тела, совершающего

поступательное движение.

Уравнение моментов вЦ-системе

В § 5.2 было отмечено, что уравнение (5.12) справедливо в

любой сист_еме OTc~eTa. ~начит, оно справедливо и вЦ-системе.

Поэтому dM/dt =N, где N - суммарный момент внешних сил в

Ц -системе. _

Так как Ц-система в общем случае неинерциальная, то в N

входит помимо моментов внешних сил взаимодействия и мо-

m

3акон сохранения момента импульса 173

мент сил инерции. С другой стороны, в начале этого параграфа

(см. с. 175) было показано, что момент сил N в Ц-системе не за­

висит от выбора точки, относительно которой его определяют.

Обычно в качестве такой точки берут точку С - центр масс си­

стемы. Целесообразность выбора именно этой точки в том, что
относительно ее суммарный момент сил инерции равен нулю,
поэтому следует учитывать только суммарный момент внеш­

них сил взаимодействия N с. Итак,

I dM/dt =Nc , I (5.24)

т. е. производная по времени от собственного момента импуль­

са системы равна суммарному моменту всех внешних сил взаи­

MoдeйcTBия относительно центра масс данной системы.

В частности, если N с == О, то М = const, т. е. собственный мо­

мент импульса системы сохраняется. через центр масс

В проекциях на ось Z, проходящую

системы, уравнение (5.24) имеет вид

dМ z /dt = N Cz' (5.25)

где N Cz - суммарный момент внешних сил взаимодействия от­
носительно неподвижной вЦ-системе оси Z, проходящей через

центр масс. И здесь если N Cz == О, то М z = const.

§ 5.4. Динамика твердого тела

Движение твердого тела в общем случае определяется двумя

векторными уравнениями. Одно из них - уравнение движения
центра масс (3.11), другое - уравнение моментов вЦ-системе
(5.24):

mdVc/dt=F; dM/dt =Nc . (5.26)

Зная законы действующих внешних сил, точки их приложе­
ния и начальные условия, можно с помощью этих уравнений
найти как скорость, так и положение каждой точки твердого
тела в любой момент времени, т. е. полностью решить задачу о
движении тела. Однако несмотря на кажущуюся простоту

уравнений (5.26), решение их в общем случае представляет со-

m

174 Глава 5

бой весьма трудную задачу. И прежде всего это обусловлено
тем обстоятельством, что связь между собственным моментом
импульса М и скоростями отдельных точек твердого тела в
Ц-системе оказывается сложной, за исключением немногих ча­
стных случаев. Мы не будем рассматривать эту задачу в общем
виде (она решается в общей теории) и ограничимся в дальней­

шем только отдельными частными случаями.

Но прежде приведем некоторые соображения, прямо выте­

кающие из вида самих уравнений (5.26). Если мы будем пере­

носить силы вдоль направления их действия, то ясно, что не

изменяется ни их результирующая F, ни их суммарный мо­
мент Nc. При этом уравнения (5.26) тоже не изменятся, а сле­

довательно, не изменится и движение твердого тела. Поэтому

точки приложения внешних сил можно переносить вдоль на­

правления действия сил - прием, которым постоянно пользу­

ются.

Равнодействующая сила

В тех случаях, когда суммарный момент всех внешних сил

N оказывается перпендикулярным резуль­
Рис. 5.14
тирующей силе, т. е. N .1 F, все внешние

силы могут быть сведены к одной силе

F, действующей вдоль определенной

прямой. В самом деле, если относитель­
но некоторой точки О суммарный мо­

мент N .1 F, то всегда можно найти та­
кой вектор ro..l N (рис. 5.14), что при за­
данных N и F

N=[roF] .

При этом выбор r o неоднозначен: прибавление к нему любо­
го вектора r, параллельного F, не изменит последнего равенст­

ва. А это означает, что данное равенство определяет не точку

~приложения» силы F, а линию ее действия. Зная модули N и
F соответствующих векторов, можно найти плечо l силы F
(рис. 5.14): l = N /Р.

Таким образом, если N .1 F, систему сил, действующих на

отдельные точки твердого тела, можно заменить одной равно-

m

3акон сохранения момента импульса 175

действующей сuлой - силой, которая равна результирующей

F и создает момент, равный суммарному моменту N всех внеш­

них сил.

Таков, в частности, случай однородного силового поля, на­
пример поля тяжести, в котором действующая на каждую час­

тицу сила имеет вид Fi = т i g. в этом случае суммарный мо­

мент сил тяжести относительно любой точки О равен

Стоящая в круглых скобках сумма, согласно (3.8), равна

mrc' - r c -где т радиус-вектор его центра масс
масса тела,

относительно точки О. Поэтому

N = [mrс ,g] =[rс , mg] .

Это значит, что равнодействующая mg сил тяжести прохо­

дит через центр масс тела. Обычно говорят, что равнодействую­

щая сил тяжести ~приложена» к центру масс тела или к его

центру тяжести. Ясно, что момент этой силы относительно цен­

тра масс тела равен нулю.

Условия равновесия твердого тела

Тело будет оставаться в состоянии покоя, если нет причин,

вызывающих его движение. Согласно уравнениям (5.26), для

этого необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1) результирующая всех внешних сил, приложенных к телу,

должна быть равной нулю, т. е.

LFF = i виеш =0;

2) суммарный момент внешних сил относительно любой точ­

ки тоже должен быть равен нулю, т. е.

LNN = i виеш =0.

Эти условия должны быть выполнены в той системе отсчета,
где тело покоится. Если система отсчета неинерциальная, то
кроме внешних сил взаимодействия надо учитывать и силы
инерции. Это же относится и к моментам сил.

m

176 Глава 5

Теперь перейдем к рассмотрению четырех частных случаев

движения твердого тела: 1) вращение вокруг неподвижной оси,
2) плоское движение, 3) вращение вокруг свободных осей, 4)

особый случай движения тела с одной неподвижной точкой (ги­
роскопы).

1. Вращение вокруг неподвижной оси

Найдем сначала выражение для момента импульса твердого

тела относительно оси вращения 00' (рис. 5.15). Воспользовав­
шись формулой (5.9), запишем

m Pi -где
iи масса и расстояние от оси вра­

щения i-й частицы твердого тела, шг - его

угловая скорость. Обозначив величину, стоя­

щую в круглых скобках, через 1, получим

(5.27)

Рис. 5.15

где 1 - момент инерции твердого тела относительно оси 00':

(5.28)

Момент инерции твердого тела зависит, как нетрудно ви­
деть, от распределения масс относительно интересующей нас
оси и является величиной аддитивной.

Вычисление момента инерции тела проводится по формуле

где dm и dV - масса и объем элемента тела, находящегося на
расстоянии r от интересующей нас оси Z; Р - плотность тела в

данной точке.
Моменты инерции некоторых однородных твердых тел отно­

сительно оси Zc' проходящей через центр масс тела, приведены
в следующей таблице (здесь т - масса тела):

m

3акон сохранения момента импульса 177

Твердое тело Ось Zc Момент

Тонкий стержень Перпендикулярна стержню инерции

длины l 1/12 ml 2

Сплошной цилиндр Совпадает с осью цилиндра 1/2mR 2

радиуса R Совпадает с диаметром диска 1/2mR 2

Тонкий диск Проходит через центр шара 2/5mR 2

радиуса R

Шар радиуса R

Вычисление момента инерции твердого тела произвольной
формы относительно той или иной оси представляет собой, вооб­

ще говоря, довольно кропотливую в математическом отношении

задачу. Однако в некоторых случаях нахождение момента инер­
ции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой

Штейнера: момент инерции 1 относительно произвольной оси Z
равен моменту инерции 1с относительно оси Zc' nараллельной

данной и проходящей через центр масс С тела, плюс произведе­
ние массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

11 = 1 с + та 2 .1 (5.29)

Доказательство этой теоремы дано в приложении 3.
Таким образом, если известен момент инерции 1с' то нахож­
дение момента инерции 1 элементарно. Например, момент

инерции тонкого стержня (массы т и длины l) относительно

оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его ко­

нец, равен

( J2

1 =-1 ml 2 +т -l =1-ml2 .

12 2 3

Уравнение динамики вращения твердого тела (ось враще­
ния неподвижна). Это уравнение легко получить как следствие

(5.15), если продифференцировать (5.27) по времени, тогда

(5.30)

m

178 Глава 5

где N z суммарный момент всех внешних сил относительно

оси вращения. Из этого уравнения, в частности, видно, что мо­

1мент инерции определяет инерционные свойства твердого

тела при вращении: при одном и том же значении момента сил

N z тело с бульшим моментом инерции приобретает меньшее уг­

ловое ускорение р z •

Напомним, что моменты сил относительно оси - величины

алгебраические: их знаки зависят как от выбора

положительного направления оси Z (совпадающей

с осью вращения), так и от направления ~враще­

ния» соответствующего момента силы. Например,

выбрав положительное направление оси Z

Рис. 5.16 (рис. 5.16), мы задаем и положительное направле­

ние отсчета угла <р (оба эти направления связаны

правилом правого винта). Если некоторый момент N iz «враща-

ет» в положительном направлении угла <р, то этот момент счи­

тается положительным, и наоборот. А знак суммарного момен­

pz -та N z в свою очередь определяет знак проекции вектора

z.углового ускорения на ось

Интегрирование уравнения (5.30) с учетом начальных усло­

вий - значений ООО z и <ро в начальный момент времени - по­

зволяет полностью решить задачу о вращении твердого тела во­

круг неподвижной оси, т. е. найти зависимость от времени уг­

ловой скорости и угла поворота, ООz(t) и <p(t).
Заметим, что уравнение (5.30) справедливо в любой системе

отсчета, жестко связанной с осью вращения. Однако если сис­

тема отсчета неинерциальная, то момент сил N z включает в

себя не только моменты сил взаимодействия с другими телами,

но и моменты сил инерции.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела (ось

вращения неподвижна). Имея в виду, что скорость i-й частицы

v 00,=вращающегося твердого тела i
Рi запишем

К = Lmiv~ /2 = (LmiP~) 002/2,

или, короче,

К =-11002 , (5.31)

2

m

3акон сохранения момента импульса 179

где 1 - момент инерции тела относительно оси вращения, (о -

его угловая скорость.

Пример. Диск 1 (рис. 5.17) вращается вокруг гладкой вертикальной

оси с угловой скоростью (1)1. На него падает z

диск 2, вращающийся с угловой скоростью

(1)2. Вследствие трения между ними оба дис­

ка через некоторое время начинают враща­ 1

ться как единое целое. Найдем приращение
кинетической энергии вращения этой систе­

мы, если моменты инерции дисков относи­

тельно оси вращения равны соответственно Рис. 5.17

11 и 12.

Сначала найдем установившуюся угловую скорость вращения.
Из закона сохранения момента импульса системы относитель­

но оси z следует, что l 1 Юз.z + 1 2 oo2z =(11 + 1 2 )ooz, откуда

(1)

Заметим, что Юз.z' 002z И OOz - величины алгебраические. Если

окажется, что OOz > О, то это значит, что соответствующий

(1)вектор совпадает с положительным направлением оси Z, и

наоборот.

Приращение кинетической энергии вращения этой системы

Заменив OOz его выражением (1), получим

АХ - - 2 ( 1112 2) ( юз. _ 00 )2 (2)
- 11 + 1 2z •
z

Знак минус показывает, что кинетическая энергия системы

уменьшается.

Обратим внимание на то, что полученные результаты (1) и (2)

весьма похожи по форме и по смыслу на случай абсолютно

неупругого столкновения (см. с. 128).

Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг не­

подвижной оси. В соответствии с уравнением (4.49) работа всех

внешних сил, действующих на твердое тело, равна прираще­
нию только кинетической энергии тела, так как его собствен­
ная потенциальная энергия при этом не меняется. Таким обра-

m

180 Глава 5

зом, 8А = dK или, согласно (5.31), БА = d(Iro2 /2). Так как ось Z

2= 2
ro roсовпадает с осью вращения, то zи

Но согласно (5.30), Idroz = N z dt. Подставляя это выражение
в последнее уравнение для 8А и учитывая, что rozdt = d<p, полу­

чаем

БА = N z d<p. (5.32)

Работа БА - величина алгебраическая: если N z и d<p имеют
одинаковые знаки, то 8А > О; если же их знаки противополож­
ны, то БА < о.

Работа внешних сил при повороте твердого тела на конеч­

ный угол <р равна

(5.33)

в случае, если N z = const, выражение (5.33) упрощается:

А = N z <р.

Таким образом, работа внешних сил при вращении твердого

тела вокруг неподвижной оси определяется действием момента

N z этих сил относительно данной оси. Если силы таковы, что
их момент N z = О, то работы они не производят.

2. Плоское движение твердого тела

При плоском движении центр масс С твердого тела движет­

ся в определенной плоскости, неподвижной в данной К-системе

wотсчета, а вектор его угловой скорости все время остается

перпендикулярным этой плоскости. Последнее означает, что в

Ц-системе твердое тело совершает чисто вращательное движе­

ние вокруг неподвижной в этой системе оси, проходя щей через

центр масс тела. Вращательное же движение твердого тела

определяется уравнением (5.30), которое, как было отмечено,

справедливо в любой системе отсчета.

Таким образом, мы имеем следующие два уравнения, опи­

сывающие плоское движение твердого тела:

тас =F; 1 c~z = N Cz' (5.34)

m

3акон сохранения момента импульса 181

где т - масса тела, F - результирующая всех внешних сил, I c
и N Cz - момент инерции и суммарный момент всех внешних
сил - оба относительно оси, проходящей через центр масс

тела.

При этом следует помнить, что момент N Cz включает в себя

только внешние силы взаимодействия, несмотря на то что

Ц-система в общем случае является неинерциальноЙ. Это свя­

зaHo с тем, что суммарный момент сил инерции равен нулю как

относительно центра масс, так и относительно любой оси, про­

ходящей через эту точку. Поэтому его можно просто не учиты­

вать (см. с. 173).

Pz'Заметим также, что угловое ускорение а следовательно,

Шz и <р одинаковы в обеих системах отсчета, так как Ц-система

движется поступательно относительно инерциальной К-систе­

мы отсчета.

Интегрируя уравнения (5.34) с учетом начальных условий,
можно найти зависимости r c (t) и <p(t), определяющие положе­
ние твердого тела в любой момент t.

При решении задачи о движении несвободного твердого тела
необходимо использовать еще одно, дополнительное, условие,

определяющее ограничения движения имеющимися связями.

Оно дает кинематическую связь между линейным и угловым

ускорениями.

Пример. Однородный цилиндр массы т и радиуса r скатывается без

скольжения по наклонной плос­

кости, составляющей угол а с

горизонтом (рис. 5.18). Найдем сэ:
х
уравнения движения цилиндра.

Стандартный подход к реше­
нию подобных задач состоит в

следующем. Прежде всего уста­

навливают силы, действующие

на данное тело, и точки их при-

ложен ия (в нашем случае это Рис. 5.18

mg - сила тяжести, R - норма-

льная составляющая силы реакции со стороны наклонной

плоскости и F TP - сила трения покоя). Затем выбирают поло­

жительные направления оси х и угла поворота <р (лучше всего

эти направления взять сразу согласованными, так чтобы зна-

m

182 Глава 5

f3zки ускорений асх и были одинаковы), например, как пока­

зано на рис. 5.18 справа. И только после этого записывают
уравнения движения (5.34) в проекциях на выбранные таким

образом положительные направления х и <р:

тасх = mg sina - Ртр' 1 с f3z = rFтp.

Кроме того, условие отсутствия скольжения определяет еще

кинематическую связь между ускорениями:

Совместное решение этих трех уравнений дает возможность

13,найти ускорения ас и а также силу F тр.

Часто уравнение моментов записывают относительно .мгновенной

оси О (см. рис. 5.18). Правомерность такого подхода заранее не оче­

видна и требует доказательства в связи с особыми свойствами мгно­
венной оси. Доказательство основано на использовании соотношений

(5.12) и (5.23). С помощью них мы действительно приходим к уравне­

нию, которое формально можно было записать и сразу:

1 о f3 z = rmg sin а,

где 10 = 1 с + mr 2 , согласно теореме Штейнера.

Как это ни удивительно, приведенное уравнение справедливо не то­
лько относительно мгновенной оси, но и любой другой оси, параллель­
ной мгновенной и лежащей на наклонной плоскости. Причем во всех

случаях, т. е. независимо от положения оси, r - это и.менно радиус

(цилиндра, шара) и ничто другое.

:Кинетическая энергия при плоском движении

твердого тела

Пусть тело совершает плоское движение внекоторой инер­
циальной К-системе отсчета. Чтобы найти его кинетическую

энергию в этой системе, воспользуемся формулой (4.56). Вхо­

дящая в эту формулу величина К в данном случае представля­

eT собой кинетическую энергию вращения тела вЦ-системе во­

круг оси, проходящей через центр масс тела. Согласно (5.31),
К- = 1 е ro2/2, поэтому сразу можно записать

к +-т---У--е"2- (5.35)
2

m

3акон сохранения момента импульса 183

где I c - момент инерции тела относительно оси вращения,

проходя щей через его центр масс, (о - угловая скорость тела,

-т его масса, Vс - скорость центра масс тела в К-системе от­

счета. Таким образом, кинетическая энергия твердого тела
при плоско,м, движении складывается из энергии вращения в
Ц-систе,м,е и энергии, связанной с движение,м, центра ,м,асс.

3. Свободные оси. Главные оси тела

Если твердое тело привести во вращение и затем предоста­
вить самому себе, то направление оси вращения в пространст­
ве, вообще говоря, будет меняться. Для того чтобы произволь­

ная ось вращения тела сохраняла свое направление неизмен­

ным, К ней необходимо приложить определенные силы.

Рассмотрим этот вопрос более подроб­ ro
но на следующем примере. Пусть середи­

на С однородного стержня жестко скреп-

лена с осью вращения так, что угол меж­

ду стержнем и осью равен Э (рис. 5.19).

Найдем момент N внешних сил, которые

необходимо приложить к оси вращения,

чтобы при вращении стержня с угловой

wскоростью ее направление не менялось.

Согласно (5.12), этот момент N = dM/dt.

Таким образом, чтобы определить N, сна­ Рис. 5.19

чала надо найти момент импульса стерж-

ня М, а затем его производную по времени.

Момент импульса М проще всего определить относительно

точки с. Мысленно выделим элемент стержня массы от, нахо­

дящейся на расстоянии r от точки с. Его момент импульса от­

носительно этой точки оМ = [r, omv], где v - скорость элемен­

та. Легко видеть, что вектор оМ направлен перпендикулярно

стержню (рис. 5.19), причем его направление не зависит от вы­

бора элемента от. Поэтому суммарный момент импульса М

стержня совпадает по направлению с вектором оМ.

Заметим, что в данном случае вектор М не совпадает по на­

правлению с вектором w !

При вращении стержня вектор М будет также вращаться с

угловой скоростью ш. За промежуток времени dt вектор М по-

m

184 Глава 5

лучает приращение dM, модуль которого, как видно из
рис. 5.19, равен

IdMI = м sin (n/2 --9 )codt,

или в векторном виде dM = [шМ]dt. Поделив обе части послед­
него выражения на dt, получим

N = [шМ] .

Таким образом, действительно, для удержания оси враще­
ния в неизменном направлении к ней необходимо в данном слу­

чае приложить момент N некоторых внешних сил F (они пока­
заны на рис. 5.19). Однако нетрудно видеть, что если -9 = n/2,

то вектор М совпадает по направлению с вектором ш, и в этом

случае N == О, т. е. направление оси вращения будет оставаться

неизменным без внешнего воздействия.
Ось вращения, направление которой в пространстве остается

неизменным без действия на нее каких-либо сил извне, называ­
ют свободной осью тела.

В общей теории доказывается, что для любого твердого тела

существуют три взаимно перепендикулярные оси, проходящие

через его центр масс, которые могут служить свободными ося­
ми. Их называют главными осями тела.

Нахождение главных осей тела произвольной формы - В

математическом отношении сложная задача. Однако она очень
упрощается для тел, обладающих той или иной симметрией,
ибо положение центра масс и направление главных осей обла­
дают в этом случае той же симметрией.

Например, у однородного прямоугольного параллелепипеда
главные оси проходят через центры противоположных граней.
Если тело обладает осью симметрии (однородный цилиндр, ко­
нус и др.), одной из его главных осей является ось симметрии,
в качестве же остальных осей могут служить две любые взаим­

но перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела и

перпендикулярные его оси симметрии. Таким образом, у тела у

осевой симметрией фиксирована только одна из главных осей.

у тела же с центральной симметрией (например, у однородного

шара) главными осями являются три любые взаимно перпенди­

-кулярные оси, проходящие через центр тела, ни одна из

главных осей не фиксирована относительно тела.

m

3акон сохранения момента импульса 185

Важной особенностью главных осей является то, что при
вращении тела вокруг любой из них его момент импульса М

wсовпадает по направлению с угловой скоростью и определяет­

ся как

м =1ш, (5.36)

где 1 -- момент инерции тела относительно данной главной

оси*. Причем М не зависит от выбора точки, относительно ко­

торой его определяют (здесь предполагается, что ось вращения

неподвижна) .
Наиболее просто убедиться в справедливости (5.36) можно

для случая однородного тела с осевой симметрией. Действите­

льно, согласно (5.27), момент импульса твердого тела относите­

льно оси вращения М z = 1СОг (напомним, что М z -- это проек­

ция вектора М, определенного относительно любой точки на
этой оси). Но если тело симметрично относительно оси враще­
ния, то из соображения симметрии сразу следует, что вектор М

совпадает по направлению с вектором w и, значит, М = 1ш.

Еще раз отметим, что в общем случае (ось вращения не сов­
падает ни с одной из главных осей, хотя и проходит через
центр масс тела) направление вектора М не совпадает с векто­

wром и связь между этими векторами носит сложный харак­

тер. Это обстоятельство является причиной сложного поведе­

ния вращающихся твердых тел.

4. Гироскопы

Гироскопом называют массивное симметричное тело, враща­
ющееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симмет­
рии. Рассмотрим поведение гироскопа на примере волчка.
Опыт показывает, что если ось вращающегося волчка наклоне­

на к вертикали, то волчок не падает, а совершает так называе­

мое nрецессиО1l1l0е движение (nрецессuю) -- его ось описывает

конус вокруг вертикали с некоторой угловой скоростью ш',
причем оказывается: чем больше угловая скорость со вращения
волчка, тем меньше угловая скорость прецессии со'.

* 3аметим, что соотношение (5.36) справедливо и относительно осей, параллель­

ных главным осям тела и не проходящих через его центр масс.

m

186 Глава 5

Такое поведение волчка-гироскопа можно легко объяснить с

помощью уравнения моментов (5.12), если только принять, что

»со со' (это условие, кстати, поясняет, что имеется в виду под

большой угловой скоростью гироскопа). Действительно, момент
импульса М прецессирующего волчка относительно точки опо­

ры О (рис. 5.20) можно представить в виде суммы момента им­

пульса М@, обусловленного вращением волчка вокруг своей
оси, и некоторого добавочного момента импульса М', вызванно­
го прецессией волчка вокруг вертикальной оси, т. е.

Поскольку ось волчка совпадает с одной из его главных

осей, то, согласно (5.36), М@ = [(1), где [ - момент инерции вол­

чка относительно этой оси. Кроме того, ясно, что чем меньше
угловая скорость прецессии, тем меньше и соответствующий

»момент М'. При со со' во всех практически интересных случа­

ях М@» М', поэтому результирующий момент импульса М

почти совпадает с М@ как по модулю, так и по направлению, -

можно считать, что

М = [(1).

Зная поведение вектора М, мы найдем и характер движения

оси волчка-гироскопа.

Но поведением вектора М управляет уравнение моментов

(5.12). Согласно ему, момент импульса М относительно точки О
(рис. 5.20) получает за время dt приращение

dM=Ndt, (5.37)

Рис. 5.20 совпадающее по направлению с вектором

N - моментом внешних сил относительно

той же точки О (в данном случае это мо­

мент силы тяжести mg). Из рис. 5.20 вид­
но, что dM .1 М. В результате вектор М

(а следовательно, и ось волчка) будет пово­

рачиваться вместе с вектором N вокруг

вертикали, описывая круговой конус с уг­
лом полураствора э. Волчок-гироскоп бу­
дет прецессировать вокруг вертикальной

оси с некоторой угловой скоростью (1)'.

m

3акон сохранения момента импульса 187

Найдем связь между векторами N, М и ю'. Согласно рисун­

ку, модуль приращения вектора М за время dt есть

IdMI = м siпЭ·ш' dt, или в векторном виде dM = [w'M]dt. После

подстановки этого выражения в (5.37) получим

[ю'М] = N. (5.38)

NИз этого уравнения видно, что момент силы определяет

угловую скорость прецессии ю' (а не ускорение!). Поэтому

Nмгновенное устранение момента приводит к мгновенному ис­

чезновению и прецессии. В этом отношении можно сказать, что

прецессия не обладает инерцией.

Заметим, что момент сил N, действующий на гироскоп, мо­

жет иметь любую природу . Для обеспечения регулярной пре­

цессии (постоянной угловой скорости ю') важно только, чтобы

вектор N, не меняясь по модулю, поворачивался вместе с осью

гироскопа.

Пример. Найдем угловую скорость прецессии наклонного волчка мас­
сы т, вращающегося с большой угловой скоростью 00 вокруг
своей оси симметрии, относительно которой момент инерции

волчка равен [. Центр масс волчка находится на расстоянии l

от точки опоры.

Согласно (5.38), oo'[oosin Э = mgl sin Э, где Э - угол между

вертикалью и осью волчка (рис. 5.20). Отсюда

00' = mgl / [00.

Интересно, что величина 00' не зависит от угла наклона Э оси
волчка. Кроме того, полученный результат показывает, что 00'
обратно пропорциональна 00, т. е., действительно, чем больше

угловая скорость волчка, тем меньше угловая скорость его

прецессии.

Гироскопический момент. Рассмот­ F IF'
рим эффект, возникающий при вынуж-
денном вращении оси гироскопа. Пусть, I
I

например, ось гироскопа укреплена в F

U -образной подставке, которую мы бу­
дем поворачивать вокруг оси 00' (рис.
5.21). Если момент импульса М гироско­

па направлен вправо, то при таком пово­ Рис. 5.21

роте за время dt вектор М получит при-

m

188 Глава 5

ращение dM - вектор, направленный за плоскость рисунка.
Согласно (5.37), это означает, что на гироскоп действует мо­
мент сил N, совпадающий по направлению с вектором dM. Мо­
мент N обусловлен возникновением пары сил Р, действующих

на ось гироскопа со стороны подставки. Ось же гироскопа в со­
ответствии с третьим законом Ньютона будет действовать на

подставку с силами Р' (рис. 5.21). Эти силы называют гироско­
пическими; они создают гироскопический момент N' = - N. За­

метим, что в данном случае гироскоп не обладает способностью
противодействовать изменению направления его оси вращения.

Появление гироскопических сил называют гироскопическим
эффектом. Подобный гироскопический эффект, связанный с

возникновением гироскопического давления на ПОДIIIИПНИКИ,

наблюдается, например, у роторов турбин на кораблях при по­

воротах и качке, у винтовых самолетов при виражах и т. п.

Проследим действие гироско-

пического момента на примере

of
гироскопа, ось которого вместе с

рамкой (рис. 5.22) может свобод­

но поворачиваться вокруг гори­

uзонтальной оси 00' -образной

подставки. Если подставке сооб­

щить вынужденное вращение во­

круг вертикальной оси, как пока­

зано на рисунке вектором ш', то

момент импульса М гироскопа по­

лучит за время dt приращение

Рис. 5.22 dM 1 - вектор, направленный за

рисунок. Это приращение обу­

словлено моментом N 1 пары сил, действующих на ось гироско­

па со стороны рамки. Гироскопические силы, действующие со

стороны оси гироскопа на рамку, вызовут поворот последней

вокруг горизонтальной оси 00'. При этом вектор М получит

дополнительное приращение dM 2 , которое, в свою очередь,
обусловлено моментом N 2 пары сил, действующих на ось гиро­

скопа со стороны рамки. В результате ось гироскопа будет по­

ворачиваться так, что вектор М будет стремиться совпасть по

направлению с вектором ш'.

m

3акон сохранения момента импульса 189

Таким образом, за промежуток времени dt момент импульса М
гироскопа получает приращение dM = dM1 + dM2 = (N1 + N2 ) dt .

При этом на рамку действует гироскопический момент

Составляющая этого момента N~ = - N 1 вызывает поворот
рамки вокруг горизонтальной оси 00', другая составляющая
N~ = -N2 противодействует повороту всей системы вокруг

вертикальной оси (в отличие от предыдущего случая).
Гироскопический эффект лежит в основе разнообразных

применений гироскопов: гирокомпас, гироскопический успоко­
итель качки корабля, гироскопический стабилизатор и др.

Задачи

5.1. 3аконы сохранения момента импульса и энергии. Доказать, что

полная механическая энергия Е планеты, движущейся вокруг
Солнца по эллипсу, зависит только от его большой полуоси а.
Найти выражение для Е, если известны массы планеты и Солнца
(т и М), а также большая полуось а эллипса.

Реш е н и е. Воспользуемся законами со­

хранения момента импульса и энергии.

Точка, относительно которой момент им­

-пульса планеты сохраняется, это центр

Солнца. Поэтому для положений 1 и 2

планеты (рис. 5.23), в которых вектор ско­ 2а

рости перпендикулярен радиусу-вектору, Рис. 5.23

можно записать

(1)

Из закона сохранения полной механической энергии Е следует,
что для тех же положений планеты

mv: mМ mv~ mМ (2)

---у-- =---у--.

2 r1 2 r2

Решив совместно уравнения (1) и (2), выразим, например, v1 через
r1 и r2:

v12 = -2-у'-М-- r2

r 1 + r2 r 1

m

190 Глава 5

и наконец, находим формулу для полной энергии Е как

Е = K(v 1 ) + U(r1 ) = -уmМ /(r1 + r2 ).
=Учитывая, что r 1 + r2 2а, получим окончательно

=Е -уmМ /2а.

5.2. Частица 1 массы m 1 налетает на покоящуюся частицу 2 массы m 2 ,
имея вдали от частицы 2 кинетическую энергию Ко и при цельный
параметр l - плечо вектора импульса относительно частицы 2
(рис. 5.24). Заряд каждой частицы равен q. Найти наименьшее

расстояние, на которое сблизятся частицы, если:

«:Реш е н и е. 1. Условие m 1 m 2 означает, что частица 2 в про­

цессе взаимодействия будет практически оставаться в покое. Век­

тор силы, действующей на частицу 1 относительно покоящейся
частицы 2, сохраняется. Тогда

Рис. 5.24 где слева - момент импульса частицы 1
вдали от частицы 2, а справа - в мо­

мент наибольшего сближения, когда

r..lp (рис. 5.24).

Из закона сохранения энергии следует

К о = К + kq 2/ rмин ,

где К - кинетическая энергия частицы 1 в момент наибольшего

сближения. Решив эти два уравнения (с учетом связи р и К), по­

лучим

rмин =-k q2-[1+ (1)

2К о

2. В данном случае уже нельзя считать, что частица 2 покоится в

процессе взаимодействия. Решение наиболее целесообразно прове­
сти в Ц-системе, где картина .соударения» выглядит так, как по­

казано на рис. 5.25. Система из двух частиц предполагается зам­

кнутой, поэтому ее собственный момент импульса сохраняется:

(2)

m

3акон сохранения момента импульса 191

где учтено, что в момент наибольшего

.lp.сближения r12 Кроме того, на

основании закона сохранения энергии

К- О = К- + kq 2 / r мин , (3)

- -где К о и К - суммарные кинетиче-

ские энергии частиц вЦ-системе,

когда частицы находятся далеко друг Рис. 5.25

от друга и в момент наибольшего

сближения. Из уравнений (2) и (3) получим то же выражение (1),
только в нем вместо Ко будет стоять К о' причем в данном случае

(частица 2 первоначально покоилась), согласно (4.61),

-- - m2 ---- к о •

---'=

m1 +m2

Заметим, что при m 1 ~ m 2 величина К о ::: К О И выражение для
r мин будет полностью совпадать с (1).

5.3. Небольшой шарик подвесили к точке О на легкой нерастяжимой
нити длины l. Затем шарик отвели в сторону так, что нить откло­

нилась на угол Э от вертикали, и сообщили ему начальную ско­

рость V o перпендикулярно вертикальной плоскости, в которой
расположена нить. При каком значении V o максимальный угол
отклонения нити от вертикали окажется равным 900 ?

Реш е н и е. На шарик в процессе движения действуют две силы:
сила тяжести и сила натяжения нити. Нетрудно видеть, что отно­

сительно вертикальной оси Z, проходящей через точку О, момент
этих сил М z == о. Следовательно, относительно данной оси момент
импульса шарика L z = const, или

l sin Э· mv o = lmv, (1)

- v -где т
масса шарика, его скорость в положении, при кото­

ром нить составляет прямой угол с вертикалью.

Шарик движется в поле тяжести Земли под действием сторонней

силы - силы натяжения со стороны нити. Эта сила все время

перпендикулярна вектору скорости шарика и поэтому работы не

совершает. Отсюда следует, что, согласно уравнению (4.31), меха­

ническая энергия шарика в поле тяжести Земли сохраняется:

mv~/2 = mv 2 /2 + mg l соэ Э, (2)

m

192 Глава 5

где правая часть равенства соответствует горизонтальному поло­
жению нити.

Решив совместно уравнения (1) и (2), получим

Vo = ~2gl jcos э.

5.4. На жестком проволочном полукольце радиуса ro' которое может

свободно вращаться вокруг вертикаль­

ной оси АВ (рис. 5.26), находятся две

одинаковые небольшие муфточки. Их со­

единили нитью и установили в положе­

1 1 ние 1-1. Затем всей установке сообщили
0)0угловую скорость
и, предоставив ее

самой себе, пережгли нить в точке А.

Считая, что масса установки практиче­

ски сосредоточена в муфточках, найти ее

угловую скорость в момент, когда муф­

Рис. 5.26 точки соскользнут (без трения) в крайнее

нижнее положение 2-2.

Реш е н и е. Пусть в нижнем положении расстояние муфточек от

0).оси вращения r и угловая скорость установки Тогда из законов

сохранения энергии и момента импульса относительно оси враще­

ния следует, что

0)0 =rr 2г.,2 2gh ,
VJ -
о2 2

где h - разность высот верхнего и нижнего положений муфточек.

Здесь учтено, что в нижнем положении, как и в верхнем, скорость
муфточек относительно проволочного полукольца равна нулю.

Кроме того, из рис. 5.26 видно, что

r o2= 2r +2h .

Решив совместно эти три уравнения, получим

о) = 0)0 [1 + 1+ (~J2J.
2 roO)o

5.5. Гладкий стержень свободно вращается в горизонтальной плоско­
0)0сти с угловой скоростью
вокруг неподвижной вертикальной

оси О (рис. 5.27), относительно которой его момент инерции равен

1. На стержне около оси вращения находится небольшая муфта

m

3акон сохранения момента импульса 193

массы т, соединенная с этой осью mr
нитью. После пережигания нити m
муфта начинает скользить вдоль
О ~==~r=::::::m~=~=::!::]
стержня. Найти скорость v' муфты
Рис. 5.27
относительно стержня в зависимости

rот ее расстояния до оси вращения.

Реш е н и е. У данной системы в процессе движения сохраняют­

ся кинетическая энергия и момент импульса относительно оси

вращения. Отсюда следует, что

2 = 2 + mv 2 , 1000 = (1 + mr 2 ) 00 ,
1000 100

vгде 2 =v ,2 + oo2 r 2 (рис. 5.27). Из этих уравнений получим

v' = 000 r / ~1 + mr 2/1 •

5.6. Горизонтально летевшая пуля А попала, застряв, в вертикальный

однородный стержень массы т и длины lo,

верхний конец которого укреплен в шарнире

О (рис. 5.28). Пуля имела импульс р и попала

в стержень на расстоянии l от точки о. Прене-

брегая ее массой, найти: l

1) приращение импульса системы пуля - с

стержень за время движения пули в стержне; A-......I..---t-
Р
2) угловую скорость, которую приобретет стер-

жень, с учетом собственного момента импуль-

са пули, равного М и совпадающего по направ­ Рис. 5.28
лению с вектором р (пуля вращается вокруг
направления ее движения).

Реш е н и е. 1. Система пуля - стержень незамкнутая: помимо

сил, уравновешивающих друг друга, в процессе движения пули в
стержне возникает горизонтальная составляющая силы реакции в

точке О со стороны оси. Действие этой составляющей и вызовет

приращение импульса системы:

д.р = mvc - р,

где Vc - скорость центра стержня после застревания пули.

Так как все внешние силы проходят через точку О, то за время
движения пули в стержне момент импульса системы будет остава­
ться постоянным относительно любой оси, проходящей через эту
точку. Взяв ось перпендикулярной к плоскости рисунка, запишем

lp=100,

m

194 Глава 5

где 1 - момент инерции стержня относительно выбранной оси, а

ro - угловая скорость стержня непосредственно после остановки

пули в нем.

=Из этих уравнений с учетом того, что v с ror, r - расстояние от

точки О до центра стержня, получим

!lp = (3l/2l o -l)p.

Отсюда видно, что знак приращения !lp зависит от отношения

l/lo. В частности, при l/lo = 2/3 величина!lр = О, т. е. импульс си-

стемы не изменится за время движения пули в стержне. Это зна­

чит, что в данном случае горизонтальная составляющая реакции

в точке О отсутствует.

2. В этом случае момент импульса системы относительно точки О

также будет оставаться постоянным за время движения пули в

стержне, поэтому, согласно (5.23),

м: + [lp] = М.

Рис. 5.29 Слева записан момент импульса пули от­

носительно точки О, а справа - момент
lp импульса стержня (с пулей) непосредст­

венно после остановки пули в стержне

(на рис. 5.29 все три вектора расположе­

ны в горизонтальной плоскости).

Найдем вектор М, когда стержень (с пулей) приобретет угловую

скорость (О. Возьмем малый элемент стержня массы dm, находя­
щийся на расстоянии r от точки о. Его момент импульса относи­

тельно точки О равен

dM = [r, dmv] = dm . r 2(0 = (m(O/lo)r 2dr ,

где v - скорость данного элемента. Проинтегрировав это выраже­

ние по всем элементам, получим

М = mlo2(O/3.

Таким образом,

М- + [lp] = ml o2 (0/3.

Из этой формулы, согласно рис. 5.29, получим

ro = 3 ~М 2 + l 2р 2/ ml o2 .

С помощью того же рисунка можно найти и направление вектора
(о (угол а).

m

3акон сохранения момента импульса 195

5.7. Динамика вращательного движения. Однородный сплошной ци­

линдр массы то и радиуса R может без трения

враrцаться вокруг неподвижной горизонтальной

оси О (рис. 5.30). На цилиндр в один ряд плотно

намотан тонкий нерастяжимый шнур длины l и

массы т. Найти угловое ускорение цилиндра в

зависимости от длины х свешиваюrцейся части х
шнура. Считать, что скольжения нет и центр

масс намотанной части шнура находится на оси

цилиндра. Рис. 5.30

Реш е н и е. Воспользуемся уравнением момен­

тов (5.15) относительно оси о. Для этого найдем момент импульса

системы относительно данной оси Мz и соответствуюrций момент

сил N z • Момент импульса

М z = [О)г + Rmv = (т о /2 + m)R 2 О)г'

где учтено, что момент инерции цилиндра [ = moR 2/2 и v = O)zR

(отсутствие скольжения шнура). Момент внешних сил тяжести
относительно оси О

N z = Rmg хл.

Продифференцировав Мг по времени и подставив dM z /dt и N z в

уравнение моментов, получим

2mgx
lR (то + 2т)

5.8. На гладкой горизонтальной плоскости лежит однородный диск
радиуса ro• На него осторожно опустили другой такой же диск,

предварительно сообrцив ему угловую скорость 0)0. Через сколько
времени оба диска будут враrцаться с одной и той же угловой ско­

ростью, если коэффициент трения между дисками равен k?

Реш е н и е. Сначала найдем установившуюся угловую скорость
враrцения 0). Из закона сохранения момента импульса следует,

что

[0)0 = 2[0),

где [ - момент инерции каждого диска относительно обrцей оси

враrцения. Отсюда

О) = 0)0/2.

m

196 Глава 5

Теперь рассмотрим поведение одного из дисков, например нижне­

го. Его угловая скорость меняется под действием момента N сил
трения. Вычислим N. ДЛЯ этого выделим на верхней поверхности
диска элементарное кольцо с радиусами r, r + dr. Момент сил тре­

ния, действующих на данное кольцо, равен

где т - масса каждого диска. Проинтегрировав это выражение

по r от О до ro' получим

Согласно уравнению (5.30), приращение угловой скорости нижне­
го диска на величину doo происходит за время

dt = (1/ N) doo = (3ro/4kg )doo.

Интегрируя это уравнение по 00 от О до 000/2, находим, что иско­

мое время

t = 3roooo/8kg.

5.9. Плоское движение твердого тела. Однородный цилиндр находит­
ся на горизонтальной доске (рис. 5.31). Коэффициент трения
между ними равен k. Доске сообщили ускорение а в горизонталь­

ном направлении перпендикулярно оси цилиндра. Найти:

1) ускорение оси цилиндра в отсутствие скольжения;

2) предельное значение a IIp ' при котором

скольжение еще отсутствует.

Рис. 5.31 Реш е н и е. 1. Выбрав положительные

направления Х и <1', как показано на рис.
5.31, запишем уравнение движения оси

цилиндра и уравнение моментов в Ц -сис­
теме относительно этой оси:

где т и 1 - масса и момент инерции цилиндра относительно его
оси, r - радиус цилиндра. Кроме того, отсутствие скольжения

цилиндра дает кинематическую связь ускорений:

а - ас = JЗr.

=Из этих уравнений находим а с а /3.

m

Закон сохранения момента импульса 197

2. Определим из предыдущих уравнений значение силы трения

Ртр ' обеспечивающей качение цилиндра без скольжения:

= .Ртр mа/3 Максимально возможное значение этой силы равно

kmg. Отсюда

а пр = 3kg.

5.10. Однородный шар радиуса r начинает скатываться без скольже­
ния с вершины сферы радиуса R (рис. 5.32). Найти угловую ско­

рость 00 шара после отрыва от поверхности сферы.

Реш е н и е. Прежде всего заметим, что

угловая скорость шара после отрыва от

поверхности сферы изменяться не будет.
Поэтому задача сводится к нахождению

ее значения в момент отрыва.

Запишем уравнение движения центра Рис. 5.32

шара в момент отрыва:

mv 2/( R + r) = mg cos э,

где v - скорость центра шара в момент отрыва, Э - соответству­
ющий угол (рис. 5.32). Скорость v можно найти из закона сохра­

нения энергии:

mgh = mv 2/2 + [002/2,

где [ - момент инерции шара относительно оси, проходящей че­

рез его центр. Кроме того,

v = oor, h = (R + r)( 1 - cos Э ).

Из этих четырех уравнений получим

00 = ~10g (R + r)/17r 2 •

5.11. Конический маятник. Тонкий однородный стержень массы т и
длины l вращается с постоянной угловой скоростью 00 вокруг

вертикальной оси, проходящей через его точку подвеса О

(рис. 5.33). При этом стержень описывает коническую поверх­

ность с некоторым углом полураствора Э. Найти Э, а также мо­

дуль и направление силы реакции R в точке о.

Реш е н и е. Рассмотрим систему отсчета, вращающуюся вокруг
вертикальной оси вместе со стержнем. В этой системе отсчета на

стержень действует кроме силы тяжести mg и силы реакции R

m

198 Глава 5

mg Fцб еще центробежная сила инерции F цб.
Рис. 5.33
--~ Так как стержень покоится в данной си­

стеме отсчета, т. е. находится в состоя­

нии равновесия, то это значит, что резу­

льтирующий момент всех сил относите­
льно любой точки и результирующая

всех сил равны нулю.

Относительно точки О момент создают
только сила тяжести и центробежные
силы инерции. Из равенства моментов

этих сил следует

1/2mgl sin Э = N цб. (1)

Вычислим N цб. Элементарный момент сил инерции, который

действует на элемент стержня dx, находящийся на расстоянии х

от точки О, равен

Проинтегрировав это выражение по всей длине стержня, полу­

чим

(2)

Из (1) и (2) следует, что (3)

cos Э = 3g 12оо2 l.

Найдем модуль и направление вектора R. В системе отсчета, где

стержень вращается с угловой скоростью 00, его центр масс (точ­

ка С) движется по горизонтальной окружности. Поэтому из

уравнения движения центра масс (3.11) сразу следует, что верти­

=кальная составляющая вектора R есть R 11 mg, а горизонталь­
=ная составляющая R.l.. определяется уравнением тап R.l..' где

а n - нормальное ускорение центра масс С. Отсюда

R.l.. = 1/2mm2l sin э. (4)

Модуль вектора R есть

m

3акон сохранения момента импульса 199

а его направление - угол Э' между вектором R и вертикалью -

'*=определяется формулой cos Э' mg / R. Интересно, что Э' Э,

т. е. вектор R не совпадает по направлению со стержнем. В этом
легко убедиться, выразив cos Э' через cos Э:

Э' 4соsЭ

cos = ~9+7 cos 2 Э .

Отсюда видно, что cos Э' > COS Э, т. е. Э' < Э. Это и показано на
рис. 5.33.

Заметим, что равнодействующая сил инерции F цб проходит не

=через точку С, а ниже. Действительно Fцб R 1.. И определяется

формулой (4), а результирующий момент N цб - формулой (2).

Из этих формул следует, что плечо вектора Fцб относительно точ­

ки О равно 2/з l cos Э (рис. 5.33).

5.12. Гироскоп. Волчок массы т, ось которого составляет угол Э

с вертикалью, прецессирует вокруг верти­

кальной оси, проходящей через точку опо­
ры о. Момент импульса волчка равен М,
расстояние от его центра масс до точки О

есть l. Найти модуль и направление векто­

ра F - горизонтальной составляющей

силы реакции в точке о.

р е m е н и е. Согласно (5.38), угловая ско- F

рость прецессии о

00' = mg l/ М. Рис. 5.34

Центр масс волчка движется по окружности. Следовательно,

вектор F направлен так, как показано на рис. 5.34 (этот вектор

поворачивается вместе с осью волчка).

Из уравнения движения центра масс (3.11) получаем

moo,2l sin Э = Р.

в результате

Заметим, что если бы точка опоры волчка находилась на глад­
кой плоскости, то волчок прецессировал бы с той же угловой
скоростью, но вокруг вертикальной оси, проходящей через

центр масс волчка - точку С на рис. 5.34.

m