Иродов И.Е. - Механика. Основные законы - 2010

rllaBa 6

....Колебания

§ 6.1. Гармонические колебания

Кинематика гармонических колебаний

Гармоническими называют колебания, в которых интересу­
ющая нас величина х (например, линейное или угловое смеще­

ние из положения равновесия) изменяется со временем t по за­

кону

х1 = а cos ( 0)0 t + а), 1 (6.1)

где а - амплитуда, (0)0 t + а) - фаза, а - начальная фаза,

0)0 - циклическая (круговая) частота колебаний. Эта частота

связана с периодом Т и линейной частотой v как

0)0 = 2n/Т = 2nv. (6.2)

Обратим внимание на различие наименований циклической

Г Ц герц.
v, ( )и линеиu ноиu частот: 0), с -1 ,а

Продифференцировав (6.1) по времени, найдем скорость х и

ускорение х"

х = -ао)о sin (0)0 t + а) = ао)о cos (0)0 t + а + n/2), (6.3)

х = -aO)~ cos (0)0 t + а) = aO)~ cos (0)0 t + а + n). (6.4)

Из этих выражений видно, что скорость х и ускорение х так­

же изменяются по гармоническому закону с амплитудами ао)о

и aO)~ соответственно. При этом скорость опережает смещение

х по фазе на n/2, а ускорение - на n, т. е. находится в противо­

фазе со смещением х. На рис. 6.1 приведены графики зависи­

мостей x(t), x(t) и x(t) для случая а = о.

Сопоставив (6.4) и (6.1), видим, что х.. = 2 х, или
-0)0

1х + O)~ х = О ·1 (6.5)

m

Колебания 201

Это дифференциальное уравнение -х•

называют уравnеnием гармоnuч,еСJ(,ого •• /

осцuллятора. Его решение (6.1)* со- ..х...

j ..

держит две произвольные постоянные: /

а и а. Для каждого конкретного коле­ t

бания они определяются начальными

-условиями смещением Х О и скоро­

стью ХО в начальный момент t = О: Рис. 6.1

хо =acos а, Х о = -асоо sin а. (6.6)

Отсюда находим искомые постоянные:

(6.7)

Обычно рассматривают только значения а в интервале

(--1t, + n). Уравнение для tga удовлетворяется двумя значениями

а в этом интервале. Из этих значений следует взять то, при ко­

тором получаются правильные знаки у cos а и sin а в (6.6).

Рассмотрим два примера на роль начальных условий.

Пример 1. Колебания совершаются по гармоническому закону, гра­
фик которых приведен на рис. 6.2 (два случая: 1 и 2). Вы­

ясним, каковы начальные условия в обоих случаях и как

они отражаются на характере ко- х

лебаний.

в случае 1 начальное смещение

=х о > О и скорость х о о (напом­

ним, что производная характери­ t

зует наклон графика х( t) в дан­

ной точке). При этом амплитуда

колебаний а = х о • Рис. 6.2

В случае же 2 х о > О и х о < о.

Амплитуда а, согласно (6.7), будет больше хо.

Пример 2. Частица совершает колебания по закону (6.1) и в момент
t = О х о < О и х о > о. Найдем интервал возможных значе­

ний начальной фазы а.

* Заметим, что решение (6.1) может быть представлено и в ином виде, например

х = А sin O)Dt + В cos O)ot, где А и В постоянные, или как
R { .I(Шоt+U)}

х= е ае

m

202 Глава 6

Из (6.7) следует, что в данном случае tg а > о. Значит, а

может находиться в первом или третьем квадрантах, т. е. в

интервалах (о, 1tj2) или (-п, - 1tj2). Сопоставив это со зна­
ками cosa и sina из (6.6), приходим к выводу, что возмо­
жен только второй интервал (-п, - 1tj2).

Динамика гармонических колебаний

Для определения характера движения механической систе­

мы нужно, исходя из законов динамики или закона сохране­

ния энергии, составить уравнение движения системы, и если

оно приводится к виду (6.5), то можно однозначно утверждать,

что данная система является гармоническим осциллятором, ча­

стота 000 которого равна корню квадратному из коэффициента
при х. Рассмотрим несколько примеров и затем обобщим полу-

ченные результаты.

Грузик на пружине. Пусть грузик массы т, подвешенный на

невесомой пружине жесткости х, совершает вер­

тикальные колебания (рис. 6.3). Возьмем нача­

ло О оси Х в положении равновесия, где

0х j--- mg -= хд,z, д,z растяжение пружины в этом по­

ложении. Тогда, согласно основному уравнению

+динамики, mх = mg - х(х д,z) = -хх, или

Х mg х + (xjm)x = о.

Рис. 6.3 Из сопоставления с (6.5) видим, что это урав­

нение гармонического осциллятора, колеблю-

щегося около положения равновесия с частотой 000 и периодом

Т, равными

(6.8)

Математический маятник. Материальная точка массы т,

подвешенная на нерастяжимой нити длиной Z, совершает коле­
бания в вертикальной плоскости (рис. 6.4). Здесь удобнее всего
использовать уравнение динамики (2.16) в проекции на орт "t',

направление которого совпадает с положительным направлени­

sем отсчета дуговой координаты (величина алгебраическая, на
s sрисунке изображен момент, когда > о). Начало отсчета возь­
мем в положении равновесия - в точке о.

m

Колебания 203

sИмея в виду, что s = l3, = l-9 и что про­

=екция силы натяжения F't о, запишем:

ms = ml3 = -mg sin3, или

00

3 + (g j l) sin 3 = о.

Из сопоставления с (6.5) видим, что это Рис. 604

уравнение, вообще говоря, не является

уравнением гармонического осциллятора,

поскольку в нем вместо смещения -9 стоит
sin-9. Однако при малых колебаниях, когда
sin -9 ~ 3, уравнение совпадает с (6.5):

00

-9 +(gjl)-9 =0,

откуда следует, что частота 000 и период Т математического ма­
ятника, совершающего малые колебания, равны

000 = ~g j l , Т = 2 nJiТi. (6.9)

Физический маятник. Это твердое тело, совершающее коле­
бания вокруг неподвижной оси, жестко свя­
занной с телом. Рассмотрим колебания под

действием силы тяжести (рис. 6.5). Выберем
положительное направление отсчета угла 3
против часовой стрелки (ось Z направлена к

нам). Тогда проекция момента силы тяже­

=сти на ось Z запишется как М z -mgl sin 3

и уравнение динамики вращательного дви­

жения твердого тела (5.30) примет вид

00 Рис. 6.5

13 = -mgl sin-9,

где 1 - момент инерции тела относительно оси О, l - расстоя­

ние между осью О и центром масс с. Ограничимся рассмотре­

нием малых колебаний, при которых sin 3 ~ -9. При этом усло­

вии предыдущее уравнение можно записать так:

00

3 +(mglj1)3 =0.

m

204 Глава 6

Колебания будут гармоническими с частотой (00 и периодом
Т, равными

(00 = ~mglj 1, Т = 2n.JI jmgl. (6.10)

Такую же частоту и период имеет математический маятник

длины

lпр = 1 jml, (6.11)

которую называют nриведенной длиной физического маятника.

Точку О' (рис. 6.5), которая находится на прямой, проходя­

щей через точку подвеса О и центр масс С, и отстоит от точки О
на расстоянии lпр' называют центром качания физического ма­
ятника. Центр качания О' обладает замечательным свойством:

если маятник перевернуть и заставить совершать малые коле­

бания вокруг оси О', то период колебаний не изменится. На
этом свойстве основано определение ускорения свободного па­
дения с помощью оборотного маятника: экспериментально
устанавливают положения двух ~сопряженных» точек (осей) О
и О', малые колебания вокруг которых происходят с одинако­

вой частотой. Это значит, что расстояние 00' = l пр. Определив
(00 и lпр' из формулы (00 = ~g jlпр находим g.

Общие выводы. Рассмотренные примеры относятся к сво­
бодным колебаниям без трения, которые происходят в системе,
предоставленной самой себе после того, как она была тем или
иным способом выведена из состояния равновесия. Можно
утверждать, что свободные колебания любого осциллятора в от­
сутствие трения будут гармоническими, если действующая в
нем сила (или момент силы) является квазиуnругой, т. е. си­
лой, направленной к положению равновесия и зависящей от
смещения из этого положения линейно.

Именно квазиупругий характер силы (или момента силы)
служит и критерием малых колебаний.

Кроме того, частота и период свободных колебаний без тре­
ния зависят только от свойств самого осциллятора в отличие от
амплитуды колебаний и начальной фазы, которые определяют­

ся начальными условиями.

Рассмотрим еще один пример на малые колебания.

m

Колебания 205

Пример. Частица массы т совершает колебания в силовом поле, где ее

потенциальная энергия зависит от координаты х как

=U Uo(l -cos ах) , где ио и а - постоянные. Найдем часто­

ту 000 малых колебаний частицы около положения равнове­

=сия х о.

Согласно основному уравнению динамики,

тх = Fх = - аи / ах = - а U о sin ах.

Так как колебания малые, то sin а х ~ а х и предыдущее

уравнение можно привести к виду

Отсюда следует, что 000 = a~ио/т.

Энергия гармонического осциллятора. Рассмотрим этот во­
прос на примере материальной точки массы т, колеблющейся

под действием квазиупругой силы F х = -их. Потенциальная и

кинетическая энергии частицы имеют в данном случае такой

вид:

(6.12)

Из этих соотношений видно, что значения И и К сдвинуты

друг относительно друга по фазе на n/2: когда И максимальна,

К минимальна, и наоборот. При этом полная энергия сохраня­

ется:

Е = И +К = ха 2 /2 = та 2 2 /2, (6.13)
000

где учтено, что oo~ = 'К/т. Принимая во внимание (6.13), фор­
мулы (6.12) можно переписать так:

И = Е cos 2 ( 000 t + а), к = Е sin 2 ( 000 t + а). (6.14)

Графики зависимостей U(t) и K(t) даны на рис. 6.6. Из ри­

сунка видно, что в процессе колебаний происходит переход по­
тенциальной энергии в кинетическую и обратно. Это иллюстри­

рует и рис. 6.7.

m

206 Глава 6

Рис. 6.6 Рис. 6.7

Средние (за период колебания) значения потенциальной и
кинетической энергий одинаковы, и каждое из них равно Е/2:

<И> = <К> = Е/2, (6.15)

поскольку известно*, что средние (за период) значения квадра­

тов синуса и косинуса равны 1/2.
Отметим в заключение, что, согласно (6.13), энергия колеба­

ний осциллятора Е 00 а2 • Это весьма существенный факт, и его

неоднократно придется учитывать в дальнейшем.

Энергия и уравнение движения

"У"равнение движения колебательной системы можно полу­
чить не только из уравнений динамики, но и из закона сохра­
нения энергии Е (иногда это бывает удобнее). Для этого нужно
составить выражение для энергии Е, продифференцировать его

по времени и потребовать, чтобы dE/dt = О, поскольку
Е = const. Это и приведет к искомому уравнению.

Важно отметить, что колебательная система будет гармони­

ческим осциллятором лишь при условии И 00 х2 , т. е. когда по­

тенциальная энергия пропорциональна квадрату смещения из
положения равновесия. Это условие, кстати, является и ~энер­
гетическим» критерием малых колебаний.

* Это сразу следует из тождества sin 2 <р + cos 2 <р =1, усредняя которое в преде­

лах периода 2п получим <sin2<p) + <cos2<p) = 1. Так как разница между sin<p и

cos<p заключается только в сдвиге фаз на 1t /2, мы находим, что

<sin2<p) = <cos2<p) = 1/2.

m

Колебания 207

= =Пример. Пусть в колебательной системе и ах 2 и К JЗ х• 2 , где х -

-смещение из положения равновесия, а и JЗ положительные

= =постоянные. Убедимся, что условие Е и + к const приво­

дит к уравнению гармонического осциллятора.

Продифференцировав Е по времени, получим

dE / dt = 2 а xi + 2 JЗii = О •

=Отсюда следует, что i + (а/JЗ)х о. Это и есть уравнение гар­
монического осциллятора с частотой 000 = ~а/JЗ.

§ 6.2. Сложение гармонических колебаний

Сложение колебаний одного направления

Векторная диаграмма. Решение ряда вопросов значительно

облегчается и становится наглядным, если изображать колеба­

ния графически с помощью вектора-амп-

литуды а, вращающегося с угловой скоро­

стью со против часовой стрелки. Если в мо­

мент t = О вектор а образует с осью Х угол хХ
а (рис. 6.8), то проекция вектора а на ось

Х изменяется со временем по гармониче­ Рис. 6.8

скому закону (6.1). Такой способ представ­

ления колебаний, называемый векторной диаграммой, удобно

использовать при сложении колебаний одного направления.

Сложение колебаний. Рассмотрим два случая, когда частоты

двух складываемых колебаний одинаковы или мало отличают­

ся друг от друга.

1. Случай, когда СО1 = ~ = со. В этом случае результирующее

смещение

х = Х1 + Х2 =а1 cos(cot + а1) +а2 cos(cot + а2). (6.16)

Каждое из складываемых колебаний можно представить с

помощью векторов а1 и а2 , сумма проекций которых на ось Х

+равна проекции суммы векторов а 1 а2 = а (рис. 6.9). Посколь­

ку векторы а 1 и а2 вращаются с одной и той же угловой скоро­

стью со, с той же угловой скоростью вращается и вектор а. Зна­

чит результирующее колебание является тоже гармоническим

и имеет вид

х = а cos (cot + а), (6.17)

m

208 Глава 6

где а и а находим из рис. 6.9:

(6.18)

tg а = -а-1-=s--i-n--а=1---+--а=2---s-i-n--=а2=- (6.19)
а1 cos а1 + а2 cos а2

Разность фаз 8 в данном случае не зависит от времени и рав-

на

(6.20)

Из рис. 6.9 и формулы (6.18) видно, что амплитуда а резуль­
тирующего колебания существенно зависит от разности фаз 8.

=При сложении синфазных колебаний (8 О) а максимально,

при сложении же «противофазных» колебаний (8 = п) а мини­

мально:

Поскольку энергия колебаний Е 00 а2 , то при сложении ко­

лебаний одного направления Е, как и амплитуда а, существен­

но зависит от разности фаз 8, достигая максимума при сложе­

нии синфазных колебаний и минимума при сложении ~проти­
вофазных» колебаний. Из-за наличия последнего слагаемого в

(6.18) энергия результирующего колебания не может быть

представлена как сумма энергий складываемых колебаний,

'*т. е. Е Е 1 + Е 2 (за исключением случая, когда 8 = п/2).

«2. Случай, когда IC01 - со21 СО1 и со2 • Здесь также результи­

рующее колебание записывается форму­

лой (6.18) и справедлив рис. 6.9. Но по­

скольку теперь векторы а 1 и а 2 вращают­

ся с немного отличающимися угловыми

скоростями, модуль результирующего

вектора а будет медленно изменяться от

ох амакс до амин, причем сам вектор а враща­

Рис. 6.9 ется с угловой скоростью, близкой к CO:t. и

~. Результирующее колебание уже не

является гармоническим, однако его все

же можно рассматривать как гармоническое, но с медленно и

m

Колебания 209

периодически меняющейся амплитудой. Такие колебания назы­

вают биениями. Они показаны на рис. 6.10 для случая а 1 = а2 •

х

Рис. 6.10

Амплитуда колебаний описывается той же формулой (6.18),
но в данном случае входящая в нее разность фаз 8 зависит от

времени:

Промежуток времени между соседними моментами, когда

амплитуда а максимальна, называют nериодо,м биений 1'6

(рис. 6.10). За это время разность фаз 8 изменяется на 2п (это

1 - 00111'6следует и из векторной диаграммы). Значит, ~ = 2п.

Отсюда период и частота биений:

2п 1

1'6 -1 ~ - ~ 1-1 V2 -v11 '

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Сначала рассмотрим случай, когда частоты складываемых
колебаний одинаковы. Пусть координаты х и у частицы изме­

няются по закону

х =acos oot, у =bcos(oot + 8). (6.23)

Можно показать, что траекторией час­ х

тицы при этом является эллипс (рис. 6.11), Рис. 6.11

вид которого определяется отношением ам­

плитуд а и Ь и разностью фаз 8.

Некоторые частные случаи:

а) 8 = О, тогда у = (bja)x, т. е. частица

движется по прямой в первом и третьем

квадрантах (рис. 6.12, а);

m

210 Глава 6

в) г)

х

Рис. 6.12

б) 8 = п, тогда у = -(Ь/а)х и частица движется тоже по пря­
мой, но во втором и четвертом квадрантах (рис. 6.12, б);

в) 8 = п/2. В этом случае х2 /а2+у2/ь2 =1, т. е. частица дви­

жется по эллипсу, полуоси которого а и Ь совпадают с осями
координат. При а = Ь эллипс превращается в окружность. Так
как колебания вдоль оси У происходят с опережением по фазе
на п/2 относительно колебаний по оси Х, то сначала у и лишь
затем х достигают максимальных значений. Это значит, что
движение частицы будет происходить по часовой стрелке

(рис. 6.12, в);
г) 8 = 3п/2. Это то же, что и 8 = -п/2, поскольку изменение

фазы на 2п несущественно (рис. 6.12, г).

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не оди-

yi наковы и относятся как целые числа, то тра­

---I-------I-----I-~x ектории результирующего движения имеют

Рис. 6.13 более сложные формы. Их называют фигура­
ми Лиссажу. Одна из этих фигур показана

на рис. 6.13, она соответствует отношению
частот Шу : шх = 3 : 2.

И последнее: при сложении взаимно пер­
пендикулярных колебаний полная энергия

[_Х-=-1х__2 Х 22у2 т Ех + Е у'
2
=JЕ + +2 ( х. 2 + у. 2) = (6.24)

т. е. складывается из энергий каждого колебания (в отличие от

сложения колебаний одного направления). Согласно (6.13), эта

энергия

(6.25)

m

Колебания 211

§ 6.3. Затухающие колебания

Уравнение затухающих колебаний

в любой реальной колебательной системе есть силы сопро­
тивления (трения), действие которых приводит к уменьшению
амплитуды и энергии колебаний. Такие свободные колебания

называют затухающими.

Будем исходить из основного уравнения динамики, полагая,

что на частицу массы т действует кроме квазиупругой силы

(-их) сила сопротивления, пропорциональная скорости части­

цы, F х = -гх, где r - коэффициент сопротивления (величина

размерная). Тогда уравнение движения будет иметь вид

- .-тх = -их
Т'Х, (6.26)

или

(6.27)

где 2В = r/т, co~ = 'К/т. Отметим, что СОо - это частота свобод­

ных колебаний без трения. Частоту СОо называют собственной

-частотой осциллятора, а В коэффициентом затухания.

Уравнение (6.27) при условии В < СОо описывает затухающие

колебания. Его решение имеет вид

Iх = а о е- ~t cos ( со' t + а), I (6.28)

-где ао и а постоянные, определяемые начальными условия­

ми х (О) = хо и х(О) = хо, со' - частота затухающих колебаний:

I oi =Jю~ - ~2. I (6.29)

График функции (6.28) показан на рис. 6.14 для случая ХО > О
и хо > о. Видно, что эта функция не периодическая. Тем не менее

величину Т = 2п/со' принято называть периодом затухающих

колебаний:

(6.30)

Множитель а = аое -~t перед косинусом в (6.28) называют
амплитудой затухающих колебаний (пунктир на рис. 6.14).

m

212 Глава 6

Е

t

Рис. 6.14 Рис. 6.15

Энергия затухающих колебаний

Эта энергия складывается из потенциальной и кинетической:

Е = хх2/2 + тх 2 /2. После подстановки сюда выражений х (t) и
x(t), соответствующих затухающими колебаниям (6.28), полу­
чим зависимость E(t), которая графически показана на рис. 6.15.

Уменьшение энергии колебаний обусловлено работой силы сопро­

тивления. Мощность этой силы равна -гх· х = -гх 2 , тогда

dE /dt = -гх 2 •

Таким образом, dE / dt < О, кроме тех моментов, когда х = О.

«При малом затухании (Р (00) зависимость E(t) становится

практически экспоненциальной:

Е --Е ое -2J3t • (6.31)

Отсюда убыль энергии в единицу времени

-dE/dt = 2РЕ. (6.31 *)

Характеристики затухания

Кроме коэффициента р затухание характеризуют и другими

величинами:

1. Вре,мя релаксации 't' - это время, за которое амплитуда
колебаний уменьшается в е раз. Из выражения а = аое -J3t вид­

но, что

't' = l/Р. (6.32)

2. Логариф,мический декре,мент затухания. Его определяют

как

m

Колебания 213

A=ln a(t) =~T, (6.33)
а (t + Т)

где Т - период затухающих колебаний. Из предыдущих двух

формул следует, что

(6.34)

где N e - число колебаний за время '[', в течение которого амп­

литуда уменьшается в е раз.

«При малом затухании (~ (00) А характеризует относитель­

ное уменьшение амплитуды колебаний за период. Это следует

из (6.33), поскольку в этом случае

JА = ln а + 8а = ln (1 + 8а ~ 8а . (6.35)

а аа

«Кроме того, при ~ (00 относительное уменьшение энергии

колебаний за период, согласно (6.31*), равно 8Е / Е = 2~T = 2А,

откуда

=А 8Е/2Е. (6.36)

3. Добротность осциллятора. По определению,

(6.37)

«При малом затухании (~ (00)' когда справедливо (6.36),

Q ~ 2пЕ/ 8Е. (6.38)

Пример. Найдем добротность осциллятора, у которого амплитуда сме­

щения уменьшается в 11 раз через каждые N колебаний.

= = f3Поскольку Q 1[/ л 1[ / fЗт, задача сводится к определению

и т. Пусть д.t - время, за которое амплитуда уменьшается в

11 раз, тогда 11 = е/ЗЫ и f3д.t = ln 11. Кроме того, Т = д.t/ N. После
f3подстановки выражений для и т в исходную формулу полу­
чим Q = nN /ln 11.

В заключение отметим, что при достаточно большом затуха­
нии (~ ~ (00) система совершает апериодическое движение: вы-

m

214 Глава 6

веденная из положения равновесия, она возвращается в это по­

ложение, не совершая колебаний.

§ 6.4. Вынужденные колебания

Уравнение вынужденных колебаний

Свободные колебания реальной колебательной системы яв­
ляются, как мы выяснили, затухающими. Чтобы возбудить в
такой системе незатухающие колебания, необходимо компен­
сировать потери энергии, обусловленные силами сопротивле­
ния (трения). Это можно осуществить, воздействуя на систему

переменной внешней силой Р, изменяющейся - в простейшем
и практически наиболее важном случае - по гармоническому
закону F х = F m cos oot. Возникающие при этом колебания и на­

зывают вынужденными.
Теперь на колеблющуюся частицу будут действовать одновре­

менно три силы: квазиупругая (-их), сила сопротивления (-гх) и

внешняя, вынуждающая (РХ). Согласно основному уравнению

динамики,

mх = -их -гх + F m cos oot, (6.39)

или в более удобной форме (6.40)

I х + 2 Р х + ш~ х = f m COS oot,

где 2Р=г/m, 2 =х/m, {т =Рт/m.
000

Опыт показывает, что по истечении некоторого времени (с

момента начала действия вынуждающей силы) в системе уста-

б *навливаются гармонические коле ания с частотоиu вынуждаю-

щей силы, но отстающие по фазе от последней на 'Р:

1х =а cos (oot - q»·1 (6.41)

* Решение уравнения (6.40), как доказывается в математике, представляет со­

бой сумму общего решения однородного уравнения (когда правая часть равна
нулю) и частного решения неоднородного:

х = aoe- f3t cos (ro't + а) + а cos (rot - <р).

Нас будет интересовать только частное решение, соответствующее установившим­
ся колебаниям. Общее решение однородного уравнения описывает затухающие ко­
лебания, которые по истечении некоторого времени практически исчезают.

m

Колебания 215

Наша задача - определить постоянные а и <р. Для этого про­
дифференцируем (6.41) дважды по времени:

х = -aoosin(oot -<р) =aoocos(oot -<р+ п/2), (6.42)
х = -аоо2 cos (oot - <р) = аоо2 cos (oot - <р + п)

. ..

и подставим выражения для х, х и х в исходное уравнение

(6.40). Сумма трех гармонических функций в левой части

(6.40) должна быть равной функ­ Щ3аоо

ции f т cos oot. Учит. ыва..я фазовые I
I
сдвиги между х, х и х, пред ста- I
I
вим это равенство с помощью (усн:орение) I
I (смещенuе)
векторной диагра,м,мы (рис. 6.16, аоо2
для случая 00 < (00). в скобках на аоо~
этой диаграмме указаны «проис­

хождения» (или соответствие)

векторов, модули которых имеют Рис. 6.16 что

размерность ускорения. Из этой следует,

диаграммы по теореме Пифагора

а 2 (оо~ - 002 ) 2 + 4 f32 002 а 2 = ' ; , откуда

а т ~(ro~I =f / - ro2 ) 2 + 4[32 ro2 • (6.43)

Из этой диаграммы видно, что отставание смещения по фазе
на <р от вынуждающей силы определяется как

(6.44)

Формулы (6.43) и (6.44) показывают, что амплитуда а коле­

баний и отставание смещения по фазе на <р от вынуждающей
силы определяются свойствами самого осциллятора (000' f3) и

вынуждающей силы (fт' (0), но не начальными условиями.

Резонанс

На рис. 6.17 приведены графики зависимости амплитуды вы­

нужденных колебаний от частоты вынуждающей силы а((0) для
трех коэффициентов затухания. Видно, что а(оо) имеет макси­

=мум при частоте, которую легко найти из условия da / doo О (до-

m

216 Глава 6

статочно найти экстремум подкоренно­
го выражения). Эту частоту называют
резонансной:

(6.45)

а существование максимума амплиту­

-ды а явление,м резонанса. Соответ­

Рис. 6.17 ственно приведенные на рис. 6.17 гра-

фики принято называть резонансны,ми кривы,ми.

Выражение для амплитуды при резонансе получим, подста­

вив (6.45) в (6.43):

{т (6.46)

а макс = ---;:::::::/2===2=
2В" шо -В

Чем меньше затухание системы, тем более ярко выражен ре­
зонанс. Явление резонанса играет огромную роль в физике и
технике. Его используют, если нужно усилить колебания, и,
наоборот, всячески избегают, если резонанс может привести к
нежелательным усилениям колебаний.

Зависимость фазового сдвига <р от частоты 00 показана на

рис. 6.18 (для двух коэффициентов затухания). При слабом за-

тухании оорез ~ 000' и значение <р при резонансе практически

равно п/2 (см. рис. 6.16).
На рис. 6.19 дан график зависимости средней (за период)

мощности вынуждающей силы от ее частоты <Р(ш». Заметим,

что <Р(ш» = тах при 00 = 000 независимо от коэффициента зату­

<р <Р>

1 -------

1

"2

о) о 0)0 о)

Рис. 6.18 Рис. 6.19

m

Колебания 217

хания р. Важным параметром резонансной кривой <Р(ш», ха­

рактеризующим «остроту» резонанса, является ее ширина Аш

на половине «высоты». Можно показать, что при малом затуха­

«нии (р (00) «острота» резонанса, т. е. отношение 000/ Аш, рав­

но добротности осциллятора:

шо/Аш=Q. (6.47)

Энергия вынужденных колебаний

Интересно проследить, как зависит энергия Е осциллятора,
совершающего установившиеся колебания, от времени. Так

+как Е = и К, то

Е = хх2/2 + тх 2 /2 = (6.48)

=та2[ш~ соs 2 (шt -q» + ш2 Siп 2 (шt -q»]/2,

где учтено, что х = тшо2. График зависимости E(t) для случая

00 > 000 показан на рис. 6.20.

Колебания энергии Е будут тем Е

меньше, чем ближе частота 00 к

000' и при 00 = 000 энергия Е не Ео
будет зависеть от времени t:

Ео = та 2 2 /2 =const.
000

В установившихся колеба­ /./'-'--,,x(t), <р=n/2 /
ниях при 00 =f:. 000 работа вынуж­
дающей силы за период будет -- -,о n', / 2n mt
./
компенсировать потери энер-

гии в системе за счет работы Рис. 6.20

сил сопротивления. Мощность

же вынуждающей силы в каждый момент будет равна модулю

мощности сил сопротивления только в случае 00 = 000 • В против­

ном случае эти мощности будут равны по модулю только в

среднем за период.

Пример. Найдем среднюю за период мощность <Р> вынуждающей
силы, необходимую для поддержания среднего значения ки­
нетической энергии на уровне <К> у осциллятора с коэффици­
ентом затухания ~.

m

218 Глава 6

Согласно закону сохранения энергии, <Р> должно быть равно

модулю среднего значения мощности силы сопротивления:

<Р>= I<-r х...х>I = <rx·2 >.

Так как х 2 = 2К 1т, то ri 2 = 2(r Im)K = 4fЗК и <Р> = 4fЗ<К>.

Задачи

6.1. Свободные колебания без трения. Идеальная жидкость объемом V
налита в U-образную трубку (рис. 6.21) с площадью поперечного
сечения канала S. Найти период малых колебаний

l жидкости.

О Реш е н и е. Эту задачу наиболее просто решать с

помощью дуговой координаты l. Проецируя все

силы, действующие на жидкость, на орт 'Т' полу­

.. ..чим, согласно основному уравнению динамики

т 1 = F't (2.16), m l = -рgS ·2l, где справа записана

проекция единственной некомпенсированной

Рис. 6.21 силы - силы тяжести, действующей справа на
элемент жидкости длины 2l. Отсюда, имея в виду,

что m I р = V, получаем

i" + (2gSIV)l = о.

Значит, oo~ = 2gS IV и т = 1t~2V I gS.

6.2. Крутильные колебания. Горизонтальный диск с моментом инер­

~

ции 1 относительно его оси укреплен в центре

тонкого упругого стержня (рис. 6.22). При пово­

роте диска на него действует момент упругих

=D сил М z -Dq>, где D - коэффициент кручения.

Найти частоту 000 и амплитуду <Рm крутильных
колебаний, если в начальный момент диск по-

Рис. 6.22 вернули на угол <Ро из положения равновесия и

сообщили ему угловую скорость Фо.

=Реш е н и е. Из уравнения движения Iф -пЧ' находим
000 = ~D I 1 . Амплитуду колебаний проще всего найти из того, что

+энергия колебаний (Е = и К) здесь будет сохраняться. Значит,

энергия в начальный момент будет равна энергии при максималь­

ном отклонении из положения равновесия:

m

Колебания 219

Отсюда <Рm = ~q>~ + (1/ п) <p~.

Заметим, что выражение для потенциальной энергии (и = Dq>2/ 2 )

следует из ее определения, а именно: убыль величины U равна ра­

боте упругой силы (в данном случае ее момента):

Jq>

И(О) - И( <р) = м zdq>.

о

в положении равновесия (q> = О) полагаем И(О) = о.
6.3. Физический маятник. На каком расстоянии х от центра С надо

подвесить тонкий однородный стержень длины l, чтобы период

его малых колебаний был наименьшим?

Реш е н и е. Согласно (6.10), период колебаний физического ма­

ятника Т = 2п~I /mgx, где 1 - момент инерции стержня относи-

тельно искомой точки подвеса. По теореме Штейнера,

=1 1 с + тх 2 ,где 1с - момент инерции относительно центра масс

с. Подставив это выражение в формулу для Т, получим

т = 21t~(l/12x + x/l)l/g.

Период Т будет наименьшим при условии dT/dx = О (или при ра­

венстве нулю производной от подкоренного выражения):

-l/12x 2 + l/l = О,

откуда х = l/J12.

6.4. Однородный стержень положили на два быстро вращающихся

блока (рис. 6.23). Известны расстоя­

ние l между осями блоков и коэффи­

циент трения k между стержнем и с

блоками. Показать, что стержень бу­ х

дет совершать гармонические коле­

бания. Найти их период.

Рис. 6.23

Реш е н и е. Согласно основному уравнению динамики,

(*)

m

220 Глава 6

Отсутствие вращения стержня означает, что алгебраическая сум­
ма моментов всех сил, действующих на стержень, равна нулю. От­
носительно точки О (начала отсчета координаты х)

(R 1 - R 2 )l/2 + mgx = о.

Найденное отсюда (R1- R 2) подставим в (*) и после сокращения на

т получим

х + (2kg л)х = о.

Это есть уравнение гармонического осциллятора с частотой

000 = ~2kg jl и периодом Т = 1t~2l / kg .

Заметим, что вращаться блоки должны достаточно быстро, чтобы
при всех положениях стержня было обеспечено трение скольже­

НUЯ.

6.5. Найти период малых колебаний системы (рис. 6.24), если радиус
блока R, его момент инерции относительно

оси вращения 1, масса грузика т и жест­

кость пружины х. Нить по блоку не сколь­

зит, трения в его оси нет.

Реш е н и е. Выбрав положительные на­

правления координаты х и угла <р (для бло­
ка), запишем уравнения движения грузика
и блока:

Рис. 6.24 mх = mg - F, l<р = RF - Rx(x + ~l),

где ~l - растяжение пружины в положении равновесия. Учтем

=также кинематическую связь ускорений: х R <р.

Исключив F из первых двух уравнений, получим

lx/R = R(mg - mх) - Rx(x + ~l).

=В положении равновесия mg ~l, и предыдущее уравнение при­
мет вид (l/R + Rm)x = -Rxx, или

Отсюда 000 = ~XR 2/( 1 + mR 2) И период колебаний

m

Колебания 221

6.6. В гладком горизонтальном желобе находятся два цилиндра масса­

ми m 1 и m 2 , соединенные пружиной же­

сткости х (рис. 6.25). Левому цилиндру

толчком сообщили вдоль желоба нача­

льную скорость V 1• Найти: 1) частоту ко­

лебаний системы в процессе движения;

2) энергию и амплитуду колебаний. Рис. 6.25

Реш е н и е. 1. Пусть в некоторый момент координаты центров

цилиндров Х 1 и х 2 • Тогда

(1)

где l - расстояние между центрами цилиндров при недеформиро­
ванной пружине, х - ее деформация. Запишем уравнения движе­

ния обоих цилиндров в момент, когда пружина растянута (х > О),

тогда

где справа записаны проекции упругой силы со стороны пружи­

ны, действующие на каждый цилиндр. Разделим первое уравне­

m -ние на mна 2 и вычтем из второго первое:
1 , второе

где fJ. - приведенная масса системы. Левая часть этого уравне­
ния, согласно (1), равна Х, поэтому

i + (x/fJ.)X = О,
откуда 0)0 = ~x/fJ..

2. Механическая энергия системы, согласно (4.57),

где Е - механическая энергия вЦ-системе, она и является иско­

мой энергией колебания системы: Е = Екол • Итак,

(2)

Остается найти Е и vC • В нашем случае (трения нет) энергия Е бу­

mv:дет сохраняться; значит, она равна кинетической энергии левого

цилиндра в начальный момент: Е = 1 /2.

m

222 Глава 6

Сохраняться будет и импульс системы по той же причине, т. е.

После подстановки выражений для Е и V c в (2) получим

Екол = J.lv 2 / 2 , J.l = m1m2/(m1 + m2)·
1

Из формулы Екол = ха 2/2 находим амплитуду колебаний:

6.7. Затухающие колебания. Найти добротность математического ма­
ятника длины l = 50 см, если за!1t = 5,2 мин его энергия колеба­

ний уменьшается в 11 = 4,0 ·104 раз.

Реш е н и е. Прежде всего выясним, можно ли в данном случае

пользоваться формулой (6.31), справедливой для малого затухания

(13 « 000). Если Е 00 e-2J3t, то из условия задачи следует, что 11 ~ e 2J3At

и 13 = ln 11/2!1t = 10,6/624 = 0,017 с -1, а 000 = ~g jl = 4,4 с -1, т. е.

«здесь действительно 13 000.

Добротность в данном случае

Q = n/JЗТ ~ 000/213 = (!1tjln 11)ji7l = 1,3 ·102.

6.8. В начальный момент t = О смещение осциллятора равно хо , при­
чем хо > о. Найти начальную скорость Х О , при которой данное

смещение окажется равным амплитуде, если время релаксации

't.осциллятора равно

Реш е н и е. Амплитуда смещения изменяется по закону

а = аое - J3t. Смещение в момент t = О равно амплитуде (хо = а)
=лишь в том случае, если начальная скорость Х О da/dt, т. е. на­

клоны графиков х( t) и а(t) в момент t = О одинаковы. Отсюда

хо =-JЗХо =-xo/'t·

6.9. Вынужденные колебания. Показать, что при малом затухании

«13 000 отношение амплитуды ат колебаний при резонансной час­

тоте к амплитуде ао при очень малых частотах равно добротности

осциллятора.

«Реш е н и е. При 13 000 амплитуда ат , согласно (6.46), равна

а т = fm /213000' а при 00 ~ о амплитуда а о = fm /oo~. Их отношение

а т / а о = 000/213 ~ 00/213 = 2n/2JЗТ = n/А = Q.

m

Колебания 223

Видно, что для систем с малым затуханием это отношение (а зна­

чит, и Q) может быть очень большим.

=6.10. Под действием вынуждающей силы F x F m СОВ O)t осциллятор со­
=вершает установившиеся колебания по закону х а СОВ (O)t - <р).

Найти работу вынуждающей силы за период.

Реш е н и е. При установившихся колебаниях работа вынужда­
ющей силы за период Т равна работе сил сопротивления с обрат­

ным знаком:

A F = -Асопр = -<Рсопр>Т = - <-rx . х>Т =
= ra2о)2<S.ln (o)2t - <р»Т =22nfЗmа 0).

Здесь <Рсопр> - средняя мощность сил сопротивления, а кроме
того, принято во внимание, что средний квадрат синуса за пери­

од равен 1/2. Из векторной диаграммы видно (см. рис. 6.16), что

=2fЗаО) 1т sin <р. Поэтому выражение дЛЯ A F примет вид

A F = naFm sin <р.

m

r"aBa 7

Кинематика специальной теории

относительности

......

§ 7.1. Трудности дорелятивистской физики

Специальная теория относительности, созданная Эйнштей­

ном в 1905 г., означала пересмотр всех представлений класси­

ческой физики и главным образом представлений о свойствах
пространства и времени. Поэтому данная теория по своему
основному содержанию может быть названа физическим учени­
ем о пространстве и времени. Физическим потому, что свойства
пространства и времени в этой теории рассматриваются в тес­
нейшей связи с законами совершающихся в них физических

явлений. Термин «специальная» подчеркивает то обстоятельст­

во, что эта теория рассматривает явления только в инерциаль­
ных системах отсчета.

Мы начнем этот раздел с краткого обзора дорелятивистской
физики и остановимся на истоках тех трудностей, которые

привели к появлению теории относительности.

Основные представления дорелятивистской физики

Напомним сначала те представления о пространстве и вре­
мени, которые связаны с законами Ньютона, т. е. лежат в осно­
ве ньютоновской механики.

1. Пространство, имеющее три измерения, подчиняется ев­

клидовой геометрии.

2. Наряду с трехмерным nространством существует не­

зависимое от него время (независимое в том смысле, в каком
три измерения пространства не зависят друг от друга). Но

вместе с тем время связано с пространством законами движе­

ния. Действительно, время измеряют часами, в принципе
представляющими собой любой прибор, в котором использует­
ся тот или иной периодический процесс, дающий масштаб
времени. Поэтому определить время безотносительно к како­
му-либо периодическому процессу, т. е. вне связи с движени­

ем, невозможно.

m

Кинематика специальной теории относительности 225

3. Размеры твердых тел (масштабы) и промежутки време­

ни между данными событиями одинаковы в разных системах

отсчета. Это соответствует ньютоновской концепции абсолют­

ности пространства и времени, согласно которой их свойства

-считаются не зависящими от системы отсчета пространство

и время одинаковы для всех систем отсчета.

4. Признается справедливость закона инерции Гали­

лея-Ньютона, согласно которому тело, не подверженное дей­

ствию со стороны других тел, движется прямолинейно и рав­

номерно. Этот закон утверждает существование инерциальных

систем отсчета, в которых выполняются законы Ньютона (а

также принцип относительности Галилея).

5. Из этих представлений вытекают преобразования Гали-

лея, выражающие пространствен- К +к'

но-временнэю связь любого события в 1 V .. .,А
1
разных инерциальных системах от- У - -У;1- - - - - -

счета. Если К'-система отсчета дви- 11
11
жется относительно К-системы со 11

скоростью V (рис. 7.1) и начало от- 1L _0'____ .....I. X_' _ _ __

счета времени соответствует мо­ ОХ

менту, когда начала координат О' и Рис. 7.1

О обеих систем совпадают, то*

х' = х - Vt; у' =у; t' =t. (7.1)

Отсюда следует, что координаты любого события относите­

льны, т. е. имеют разные значения в разных системах отсчета;

момент же времени, когда событие произошло, одинаков в раз­
ных системах. Последнее означает, что время течет одинако­
вым образом в разных системах отсчета. Это обстоятельство ка­

залось столь очевидным, что даже не оговаривалось как специ­

альный постулат.

Из (7.1) непосредственно вытекает закон преобразования

(сложения) скоростей:

у' = у- V, (7.2)

где у' и у - скорости точки (частицы) в К'- и К-системах отсче­

та.

* Здесь и в дальнейшем мы ограничимся только двумя пространственными ко­

ординатами: х и у. Координата z ведет себя во всех отношениях так же, как у.

m

226 Глава 7

6. Выполняется nринциn относительности Галилея: все

инерциальные системы отсчета эквиваленты друг другу в ме­
ханическом отношении, все законы механики одинаковы в

этих системах отсчета, или, другими словами, инвариант­

ны относительно nреобразований Галилея.

7. Соблюдается nринциn дальнодействия: взаимодействия

тел распространяются мгновенно, т. е. с бесконечно большой

скоростью.

Эти представления ньютоновской механики вполне соответ­
ствовали всей совокупности экспериментальных данных, имев­
шихся в то время (заметим, впрочем, что эти данные относи­

лись к изучению движения тел со скоростями, значительно ме­

ньшими скорости света). В их пользу говорило и весьма
успешное развитие самой механики. Поэтому представления
ньютоновской механики о свойствах пространства и времени
стали считаться настолько фундаментальными, что никаких
сомнений в их истинности ни у кого не возникало.

Первому испытанию подвергся принцип относительности

Галилея, который, как известно, касался только механики -

единственного раздела физики, достигшего к тому времени до­
статочного развития. По мере развития других разделов физи­

ки, в частности оптики и электродинамики, возник естествен­

ный вопрос: распространяется ли принцип относительности и
на другие явления? Если нет, то с помощью этих (немеханиче­
ских) явлений можно в принципе различить инерциальные си­

стемы отсчета и в свою очередь поставить вопрос о существова­

нии главной, или абсолютной, системы отсчета.

Одно из таких явлений, которое, как ожидали, по-разному

-протекает в разных системах отсчета, это распространение

света. Согласно господствовавшей в то время волновой теории,

световые волны должны распространяться с определенной ско­

ростью по отношению к некоторой гипотетической среде «< све­

тоносному эфиру»), о природе которой, правда, не было едино­

го мнения. Но какова бы ни была природа этой среды, она не

может покоиться во всех инерциальных системах сразу. Выде­

ляется одна из инерциальных систем - абсолютная - та са­

мая, которая неподвижна относительно «светоносного эфира».

Полагали, что в этой - и только этой - системе отсчета свет

распространяется с одинаковой скоростью с во всех направле-

m

Кинематика специальной теории относительности 227

ниях. Если некоторая инерциальная система отсчета движется
по отношению к эфиру со скоростью У, то в этой системе отсче­
та скорость света с' должна подчиняться обычному закону сло­

жения скоростей (7.2), т. е. с' = с - У.

Это предположение оказалось возможным проверить на
опыте, который и был осуществлен Майкельсоном (совместно с
Морли).

Опыт Майкелъсона

Цель этого эксперимента заключалась в том, чтобы обнару­
жить «истинное» движение Земли относительно эфира. Было
использовано движение Земли по ее орбите со скоростью

30 км/с. Идея эксперимента состояла в следующем.
Свет от источника S (рис. 7.2) посылался в двух взаимно

перпендикулярных направлениях, отра­

жался от зеркал А и В, находящихся на

одинаковом расстоянии 1 от источника S,
и возвращался в точку S. в этом опыте

сравнивалось время прохождения светом

путей SAS и SBS. S • c-v• /

Предположим, что установка вместе с c+v А

Землей движется так, что ее скорость V Рис. 7.2
относительно эфира направлена вдоль SA

(в момент проведения опыта). Если скорость света подчиняется

обычному закону сложения скоростей (7.2), то на пути SA ско­

рость света относительно установки (Земли) равна с - У, а на

+обратном пути с У. Тогда время прохождения пути SAS

- -1 + - -1 - 2l 1

с-У с+У с 1-(У /с)2

На пути же SBS скорость света относительно установки рав­

на с' = ~c2 - у 2 (рис. 7.2), и время прохождения этого пути

2l 2l 1

tl.. с ~1-(Y/с)2

Из сравнения выражений для t 11 и tl.. видно, что свет должен

проходить оба пути за разное время. Измерив разность времен

m

228 Глава 7

t 11 - t .1' можно определить скорость установки (Земли) относи­

тельно эфира.
Несмотря на то, что ожидаемая разность времен была чрез­

вычайно мала, установка была достаточно чувствительной, что­
бы эту разность надежно обнаружить (это достигалось с помо­
щью очень чувствительного интерференционного метода).

Тем не менее результат опыта оказался отрицательным: раз­
ность времен не была обнаружена. Конечно, случайно могло ока­
заться, что в момент проведения опыта Земля покоилась относи­
тельно эфира. Но тогда через полгода, например, скорость Земли

относительно эфира достигла бы 60 км/с. Однако повторение опы­

та через полгода по-прежнему не дало ожидаемого результата.

Более точные опыты того же рода, поставленные позднее,
также подтвердили первоначальный результат.

Отрицательный результат опыта Майкельсона противоречил
тому, что ожидалось на основании преобразований Галилея
(преобразования скоростей). Он показал также, что нельзя об­
наружить движение относительно эфира, что скорость света не
зависит от движения источника света (ведь источник движется
по-разному относительно эфира в разные времена года).

В пользу того, что скорость света не зависит от скорости ис­
точника, говорят и некоторые астрономические наблюдения (на­
пример, над двойными звездами), а также другие опыты, по­
ставленные позднее специально с целью проверки этого факта.

К началу ХХ в. в теоретической и экспериментальной физи­
ке сложилась своеобразная ситуация. С одной стороны, теоре­
тически были предсказаны различные эффекты, выделяющие
из множества инерциальных систем главную (абсолютную). С
другой стороны, настойчивые попытки обнаружить эти эффек­
ты на опыте неизменно оканчивались неудачей. Опыт неуклон­

но подтверждал справедливость принципа относительности для

всех явлений, включая и те, к которым теория считала его за­

ведомо неприемлемым.

Был сделан целый ряд попыток объяснения отрицательного
результата опыта Майкельсона и аналогичных ему в рамках нью­
тоновской механики. Однако все они оказались в конечном счете
неудовлетворительными. Кардинальное решение этой проблемы
было дано лишь в теории относительности Эйнштейна.

m

Кинематика специальной теории относительности 229

§ 7.2. Постулаты Эйнштейна

Глубокий анализ всего экспериментального и теоретическо­
го материала, имеющегося к началу ХХ в., привел Эйнштейна
к пересмотру исходных полжений классической физики, преж­
де всего представлений о свойствах пространства и времени.
В результате им была создана специальная теория относитель­
ности, явившаяся логическим завершением всей классической
физики.

Эта теория принимает без изменения такие положения нью­
тоновской механики, как евклидовость пространства и закон

инерции Галилея - Ньютона. Что касается утверждения о не­

изменности размеров твердых тел и промежутков времени в

разных системах отсчета, то Эйнштейн обратил внимание на

то, что эти представления возникли в результате изучения дви­

жений тел с малыми скоростями, поэтому их экстраполяция в
область больших скоростей ничем не оправдана, а следователь­
но, незаконна. Только опыт может дать ответ на вопрос, како­
вы их истинные свойства. Это же относится к преобразованиям
Галилея и к принципу дальнодеЙствия.

В качестве исходных позиций специальной теории относите­
льности Эйнштейн принял два постулата, или принципа, в по­
льзу которых говорит весь экспериментальный материал (и в
первую очередь опыт Майкельсона):

1) nринциn относительности,
2) независимость скорости света от скорости источника.

Первый постулат представляет собой обобщение принципа
относительности Галилея на любые физические процессы: все
физические явления протекают одинаковым образом во всех
инерциальных системах отсчета; все законы природы и урав­

нения, их описывающие, инвариантны, т. е. не меняются, при

переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Другими словами, все инерциальные системы отсчета эк­

вивалентны (неразличимы) по своим физическим свойствам;

никаким опытом нельзя в принципе выделить ни одну из них

как предпочтительную.

Второй постулат утверждает, что скорость света в вакуу­
ме не зависит от движения источника света и одинакова во

всех направлениях.

m

230 Глава 7

Это значит, что скорость света в вакууме одинакова во всех
инерциальных системах отсчета. Таким образом, скорость
света занимает особое положение в природе. В отличие от всех
других скоростей, меняющихся при переходе от одной системы
отсчета к другой, скорость света в пустоте является инвариант­
ной величиной. Как мы увидим, наличие такой скорости суще­

ственно изменяет представления о пространстве и времени.

Из постулатов Эйнштейна следует также, что скорость света
в вакууме является предельной: никакой сигнал, никакое воз­
действие одного тела на другое не могут распространяться со
скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Именно
предельный характер этой скорости и объясняет одинаковость
скорости света во всех системах отсчета. В самом деле, согласно
принципу относительности, законы природы должны быть оди­
наковы во всех инерциальных системах отсчета. Тот факт, что
скорость любого сигнала не может превышать предельное значе­
ние, есть также закон природы. Следовательно, значение пре­

дельной скорости - скорости света в вакууме - должно быть

одинаково во всех инерциальных системах отсчета: в против­
ном случае эти системы можно было бы отличить друг от друга.

В частности, наличие предельной скорости автоматически

предполагает ограничение скорости движения частиц величи­

ной с. Иначе эти частицы могли бы осуществлять передачу сиг­
налов (или взаимодействий между телами) со скоростью, пре­
вышающей предельную. Таким образом, согласно постулатам
Эйнштейна, значение всех возможных в природе скоростей
движения тел и распространения взаимодействий ограничено
величиной с. Этим отвергается принцип дальнодействия ньюто­
новской механики.

Все содержание специальной теории относительности выте­
кает из этих двух ее постулатов. В настоящее время оба посту­
лата Эйнштейна, как и все следствия из них, убедительно под­
тверждаются всей совокупностью накопленного эксперимента­

льного материала.

Синхронизация часов

Прежде чем делать какие-либо выводы из этих постулатов,
Эйнштейн тщательно проанализировал представления о спосо­
бах измерения пространства и времени. В первую очередь он

m

Кинематика специальной теории относительности 231

обратил внимание на то, что физической реальностью обладает
не точка пространства и не момент времени, когда что-либо
произошло, а только само событие. Для описания события в
данной системе отсчета нужно указать место, в котором оно

происходит, и момент времени, когда оно происходит.

Положение точки, в которой происходит событие, может
быть определено с помощью жестких масштабов методами евк­
лидовой геометрии и выражено в декартовых координатах.
Ньютоновская механика в этом отношении пользовалась впол­
не реальными приемами сравнения измеряемых величин с об­

разцовыми эталонами.

Соответствующий момент времени можно определить с по­

мощью часов, помещенных в ту точку системы отсчета, где

происходит данное событие. Однако такое определение уже не

является удовлетворительным, когда нам надо сопоставить

друг с другом события, происходящие в различных местах,
или, что то же самое, сравнить время для событий, происходя­

щих в местах, удаленных от часов.

Действительно, чтобы сравнить время (показания часов) в
различных точках системы отсчета, прежде всего необходимо
установить способ, как определить общее для всех точек сис­
темы отсчета время. Другими словами, надо обеспечить син­
хронный ход всех часов данной системы отсчета.

Синхронизировать часы, помещенные в различные точки си­
стемы отсчета, можно только с помощью каких-нибудь сигна­

лов. Наиболее быстрые сигналы, пригодные для этой цели, -

это световые или радиосигналы, распространяющиеся с извест­

ной скоростью с. Выбор именно этих сигналов обусловлен еще и

тем, что их скорость не зависит от направления в пространстве,

а также одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Далее можно поступить следующим образом. Наблюдатель,
находящийся, например, в начале координат О данной системы
отсчета, сообщает по радио: «Передаем сигнал точного времени.
Сейчас по моим часам время to~. В момент, когда этот сигнал до­

rстигнет часов, находящихся на известном расстоянии от точки

О, их устанавливают так, чтобы они показывали время

t = t о + r / с, т. е. с учетом времени запаздывания сигнала. По­

вторение сигнала через определенные промежутки времени даст

m

232 Глава 7

возможность каждому наблюдателю установить синхронный ход
его часов с часами в точке о. В результате такой операции мож­
но утверждать, что все часы данной системы отсчета показыва­
ют в каждый момент одно и то же общее время.

Существенно отметить, что определенное таким образом вре­
мя относится лишь к той системе отсчета, относительно кото­
рой синхронизированные часы покоятся.

Соотношения между событиями

Обратимся к вопросу о пространственных и BpeMeHHbIx соот­

ношениях между данными событиями в разных инерциальных

системах отсчета.

Уже в ньютоновской механике пространственные соотноше­
ния между различными событиями зависят от того, к какой си­
стеме отсчета они относятся. Например, две последовательные
вспышки лампочки в движущемся поезде происходят в одной и
той же точке системы отсчета, связанной с поездом, но в раз­
ных точках системы отсчета, связанной с полотном дороги.
Утверждение, что два разновременных события происходят в

одном и том же месте или на таком -то расстоянии друг от дру­

га, приобретает смысл только тогда, когда указано, к какой си­

стеме отсчета это утверждение относится.

В противоположность этому BpeMeHHbIe соотношения между

событиями в ньютоновской механике считаются не зависящи­
ми от системы отсчета. Это значит, что если какие-нибудь два
события происходят одновременно в одной системе отсчета, то

они являются одновременными и во всех других системах от­

счета. Вообще промежуток времени между двумя данными со­
бытиями считается одинаковым во всех системах отсчета.

Легко, однако, убедиться, что в действительности это не

так - одновре,менность (а следовательно, и течение времени)

является nонятие,м относительны,м, приобретающим смысл
только тогда, когда указано, к какой системе отсчета это поня­
тие относится. Покажем с помощью простого рассуждения, что
два события, одновременные в одной системе отсчета, в другой

системе отсчета оказываются неодновременными.

Представим себе стержень АВ, движущийся с постоянной

скоростью V относительно К-системы отсчета. В середине стер-

m

Кинематика специальной теории относительности 233

жня находится лампочка О, по кон­ А О ВV

цам - в точках А и В - фотоэлементы ~/,@$;мt///$///.&Y ..
(рис. 7.3). Пусть в некоторый момент К

лампочка О дала кратковременную Рис. 7.3
вспышку света. Так как скорость рас­

пространения света в системе отсчета, связанной со стержнем

(как и во всякой инерциальной системе отсчета), равна с в обо-

их направлениях, то световые импульсы достигнут равноуда­

ленных от О фотоэлементов А и В в один и тот же момент вре­
мени (в системе отсчета «стержень») и оба фотоэлемента срабо­

тают одновременно.

Иначе обстоит дело в К-системе. В этой системе отсчета ско­
рость световых импульсов в обоих направлениях равна также
с, однако проходимые ими пути различны. Действительно,
пока световые импульсы идут К точкам А и В, последние пере­

местятся вправо (рис. 7.3) и, следовательно, фотоэлемент А сра­

ботает раньше, чем фотоэлемент В.
Таким образом, события, одновременные в одной системе от­

счета, не являются одновременными в другой системе отсчета,
т. е. одновременность в отличие от представлений ньютонов­
ской механики является понятием относительным. А это в

свою очередь означает, что время в разных системах отсчета те­

чет неодинаково.

Если бы в нашем распоряжении имелись мгновенно распро­
страняющиеся сигналы, то события, одновременные в одной
системе отсчета, были бы одновременными и в любой другой
системе. Это непосредственно следует из только что рассмот­
ренного примера. В этом случае течение времени не зависело
бы от системы отсчета и можно было бы говорить об абсолют­
ном времени, которое фигурирует в преобразованиях Галилея.
Таким образом, преобразования Галилея, по существу, исходят

из предположения, что синхронизация часов осуществляется с

помощью мгновенно распространяющихся сигналов. Однако
таких сигналов в действительности нет.

§ 7.3. Замедление времени и сокращение длины

в этом параграфе мы рассмотрим три важнейших следствия,

которые вытекают из постулатов Эйнштейна, - это равенство

m

234 Глава 7

поперечных размеров движущихся тел в разных системах от­

счета, замедление хода движущихся часов и сокращение про­

дольных размеров движущихся тел, а затем (в § 7.4) обобщим

полученные результаты в виде соответствующих формул преоб­

разования координат и времени.

Приступая к решению этих вопросов, напомним прежде все­
го, что под системой отсчета подразумевается тело отсчета, с

которым связаны координатная сетка и ряд неподвижных оди­

наковых часов, синхронизированных между собой. Предпола­

гается, что во всех инерциальных системах отсчета координат­

ные сетки и часы проградуированы одинаковым образом. Это

можно осуществить только с помощью эталонов длины и вре­

мени, реализованных также одинаковым образом во всех систе­

мах отсчета.

Для этого достаточно использовать какой-либо природный
периодический процесс, дающий естественный масштаб как

длины, так и времени, например одну из монохроматических

волн, испускаемых определенными атомами, неподвижными в

данной системе отсчета. Тогда в этой системе отсчета эталоном

-длины можно взять длину волны, а эталоном времени соот­

ветствующий период колебания. С помощью этих эталонов

можно построить эталон один метр как определенное число

данных длин волн и эталон одна секунда как тоже определен­

ное число периодов данных колебаний (заметим, что в настоя­

щее время так и сделано).

Аналогичную операцию можно проделать в каждой инерци­

альной системе отсчета, используя одну и ту же монохромати­

ческую волну одних и тех же атомов, неподвижных в каждой

из этих систем отсчета. Основанием для этого служит то, что,

по принципу относительности, физические свойства покоящих­

ся атомов не зависят от того, в какой инерциальной системе от­

счета они покоятся.

Реализовав в каждой системе отсчета эталоны длины и вре­
мени, можно перейти к решению такого фундаментального во­

проса, как сравнение этих эталонов в разных системах отсчета,

или, другими словами, к сравнению размеров тел и течения

времени в этих системах.

m

Кинематика специальной теории относительности 235

Равенство поперечных размеров тел

Начнем с вопроса о сравнении поперечных размеров тел в

разных инерциальных системах отсчета.

Представим себе две инерциальные систе­
мы отсчета К и К', оси У и У' которых па­

раллельны друг другу и перпендикулярны

направлению движения одной системы от­

носительно другой (рис. 7.4), причем нача-

ло отсчета О' К' -системы движется по пря­

мой, проходящей через начало отсчета о' о Х,Х'

О К-системы. Установим вдоль осей У и У' Рис. 7.4
стержни ОА и О'А', являющиеся эталона-

ми метра в каждой из этих систем отсчета. Представим себе да­

лее, что в момент совпадения осей У' и У верхний конец левого

стержня сделает метку на оси У К-системы. Совпадет ли эта

метка с точкой А - верхним концом правого стержня?

Принцип относительности позволяет сразу ответить на этот

вопрос: да, совпадет. Если бы это было не так, то с точки зрения

обеих систем отсчета один из стержней оказался бы, например,

короче другого и, следовательно, имелась бы возможность экс­

периментально отличить одну из инерциальных систем отсчета

от другой по более коротким поперечным размерам. Однако это

противоречит принципу относительности.

Отсюда следует, что поперечные размеры тел одинаковы во
всех инерциальных системах отсчета. Это означает также, что

при указанном выборе начал отсчета К'- и К-систем координа­

ты у' и у любой точки или события совпадают, т. е.

у' = у. (7.3)

Это соотношение представляет собой одно из искомых преоб­
разований координат.

Замедление времени

Наша следующая задача - сравнить течение времени в раз­

ных инерциальных системах отсчета. Как уже говорилось, вре­

мя измеряется часами, причем под часами имеется в виду лю­

бой прибор, в котором используется тот или иной периодиче­
ский процесс. Поэтому в теории относительности принято

m

236 Глава 7

обычно говорить о сравнении хода идентичных часов в разных

инерциальных системах отсчета.

Наиболее просто этот вопрос можно решить с помощью сле­

дующего мысленного (т. е. в принципе возможного) экспери­

-мента. Возьмем световые часы стержень с зеркалами на обо­

их концах, между которыми «бегает» короткий световой им­

пульс. Период таких часов равен интервалу времени между

двумя последовательными моментами, когда световой импульс

достигает какого-то определенного конца стержня.

в v в' в" Далее, представим себе две инерциальные

' - / \' 'системы отсчета К' и К, движущиеся отно-
/\
сительно друг друга со скоростью У. Пусть
"~ / /
\ световые часы АВ неподвижны в К' -системе
'{J//
\ и ориентированы перпендикулярно направ-
//
\\ лению ее движения относительно К-системы
/
l \\ (рис. 7.5). Проследим за «ходом» этих часов
// Y~V_2 \
\ Л\ /Г/ В системах отсчета К' и К.
А в К' -системе часы неподвижны и их пе­

Рис. 7.5 риод

д,t о =2l/c,

где l - расстояние между зеркалами, с - скорость света.

В К-системе, относительно которой часы движутся, расстоя­

ние между зеркалами также l, так как поперечные размеры тел

одинаковы в разных инерциальных системах отсчета. Однако
путь светового импульса в этой системе отсчета будет уже

иным - зигзагообразным (рис. 7.5): пока световой импульс

распространяется от нижнего зеркала к верхнему, последнее

переместится на некоторое расстояние вправо и т. д. Поэтому
световой импульс, чтобы вернуться к нижнему зеркалу, прохо­
дит в К-системе больший путь, причем с той же скоростью с.

Значит, свету понадобится на это больше времени - больше,

чем когда часы неподвижны. Другими словами, период движу­

щихся часов удлинится - с точки зрения К-системы отсчета

они будут идти .медленее.
Обозначим период движущихся часов через д,t в К -системе.

Из прямоугольного треугольника АВ'А' (рис. 7.5) следует, что
l2 +(vд,t/2)2 = (сд,t/2)2 , откуда

д,t = (2l/c)/ ~1 -(У/с)2 .

m

Кинематика специальной теории относительности 237

А так как 2l/c = д,t о , то
~-----------------,

(7.4)

= v v --где В скорость часов в К-системе.
/с,

Отсюда видно, что д,t > д,t о' т. е. одни и те же часы в разных

инерциальных системах отсчета идут по-разному: в той системе

отсчета, относительно которой часы движутся, они идут мед­

леннее, чем в системе отсчета, где они покоятся. Другими сло­

вами, движущиеся часы идут медленнее, чем nох:оящиеся. Это

явление называют замедлением времени.

Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с те­

лом, в котором происходит какой-либо процесс, называют соб­

ственным временем этого тела. i1t

Его обозначают д,tо • Как следует Ato

из (7.4), собственное время са- 4,0

мое короткое. Время д,t того же 3,0 I
процесса в другой системе отсче­ 2,0
1,0 J
та зависит от скорости V этой си­
-- ~~
стемы относительно тела, в ко­ ~

тором происходит процесс.

Такая зависимость особенно си­

льно проявляется для значений о 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

скорости V, сравнимых со скоро­ J3=V/c

стью света (рис. 7.6).

Рис. 7.6

Пример. Часы движутся в К-системе отсчета прямолинейно и равно­

мерно со скоростью v. В начальный момент t = О их показания

совпадали с часами К-системы. На сколько секунд отстанут

движущиеся часы за время t = 60 мин (это время по часам
К-системы), если: 1) v = 1800 км/ч (реактивный самолет);
2) v = 4/5 С, где с - скорость света в вакууме?

Пусть в момент t по часам К-системы движущиеся часы по­

казывали to' причем, согласно (7.4), to = t~1 _(v/c)2, тогда

искомое время

t -to =t(I-~I-(v/c)2).

m

238 Глава 7

v«1. При с, согласно формуле бинома Ньютона

~1 - ( v / с )2 ~ 1 - 1/2 ( V / с )2 И t - t о = 1/2 ( V / с )2 t = 5 . 1 О -9 с.

2. t -to = 2/5 t = 24 мин.

Таким образом, в отличие от ньютоновской механики тече­
ние времени в действительности зависит от состояния движе­
ния. Не существует единого мирового времени, и понятие «про­
межуток времени между двумя данными событиями» оказыва­
ется относительным. 'Утверждение, что между двумя данными
событиями прошло столько-то секунд, приобретает смысл толь­
ко тогда, когда указано, к какой системе отсчета это утвержде­

ние относится.

Абсолютное время ньютоновской механики является в тео­
рии относительности приближенным понятием, справедливым
только при малых (по сравнению со скоростью света) относите­

льных скоростях систем отсчета. Это сразу следует из (7.4) и

«видно из рис. 7.6: при V с b.t ~ b.to.

Итак, мы пришли к фундаментальному выводу: время в сис­
теме отсчета, движущейся с часами, течет медленнее (для
наблюдателя, относительно которого данные часы движутся).
Это относится и ко всем процессам, протекающим в движущих­
ся относительно наблюдателя системах отсчета.

Естественно, возникает вопрос: заметит ли наблюдатель в
К'-системе, движущейся относительно К-системы, что его часы
идут медленнее, чем часы К-системы? Нет, не заметит. Это сра­
зу же следует из принципа относительности. Если бы К'-на­
блюдатель тоже обнаружил замедление времени в своей систе­

ме отсчета, то это означало бы, что для обоих наблюдателей -
К' и К - время течет медленнее в одной из инерциальных сис­

тем отсчета. Из этого они заключили бы, что одна из

инерциальных систем отсчета отличается от другой - в проти­

воречии с принципом относительности.

Отсюда следует, что эффект замедления времени является
взаимным, симметричным относительно обеих инерциальных
систем отсчета К и К'. Иначе говоря, если с точки зрения К-сис­

темы медленнее идут часы К' -системы, то с точки зрения К'- си­

стемы, наоборот, медленнее идут часы К-системы (причем в том
же отношении). Это обстоятельство указывает на то, что явление
замедления времени является чисто кинематическим. Оно

m

Кинематика специальной теории относительности 239

представляет собой обязательное следствие инвариантности ско­
рости света и никак не может быть приписано какому-либо из­
менению в свойствах часов, обусловленному их движением.

Формула (7.4) сразу же нашла экспериментальное подтверждение,

объяснив ~загадочное» на первый взгляд поведение мюонов при про­

хождении земной атмосферы. Мюоны - это нестабильные частицы,
которые самопроизвольно распадаются в среднем через 2·10-6 с (это

время измерено в условиях, когда они неподвижны или движутся с

малыми скоростями). Мюоны образуются в верхних слоях атмосферы

на высоте 20-30 км. Если бы время жизни мюонов не зависело от их

скорости, то, двигаясь даже со скоростью света, они не смогли бы про­
ходить путь больше чем

Однако наблюдения показывают, что значительное число мюонов
все-таки достигает земной поверхности.

Это объясняется тем, что время 2·10-6 с - это собственное время

(~to) жизни мюонов, т. е. время по часам, движущимся вместе с мюо­

нами. Время же по земным часам должно быть, согласно (7.4), гораздо

больше (скорость этих частиц близка к скорости света) и оказывается
достаточным, чтобы мюоны могли достигнуть поверхности Земли.

В заключение несколько слов о «парадоксе часов», или ~па­
радоксе близнецов». Пусть имеются двое одинаковых часов А и

В, из которых часы А неподвижны внекоторой инерциальной

системе отсчета, а часы В сначала удаляются от часов А и затем

возвращаются к ним. Предполагается, что в начальный мо­

мент, когда часы находились вместе, они показывали одно и то

же время.

С ~ точки зрения» часов А движущимися являются часы В,

поэтому они идут медленнее и по возвращении отстанут от ча­

сов А. С ~ точки же зрения» часов В, наоборот, движутся часы

А, поэтому по возвращении отстанут именно они. Явное проти­

-воречие в этом суть ~парадокса».

В действительности в этих рассуждениях допущена принци­

пиальная ошибка. Эта ошибка касается рассуждения с «точки

зрения» часов В, так как система отсчета, связанная с этими ча­

сами, является неинерциальной (она сначала удаляется с уско­

рением, а затем приближается), и мы не имеем права в данном

случае использовать результаты, относящиеся только к инерци­

альным системам отсчета. Детальный расчет, выходящий за

m

240 Глава 7

рамки специальной теории относительности, показывает, что
часы, движущиеся с ускорением (в нашем случае часы В), идут

медленнее, поэтому при возвращении отстанут именно они.

Лоренцево сокращение

Пусть стержень АВ движется относительно К-системы от­

счета с постоянной скоростью V

(рис. 7.7) и длина стержня равна lo в

системе отсчета К', связанной со стер­

х• жнем. Наша задача - определить дли-
ну l данного стержня в К-системе.

Рис. 7.7 Проделаем для этого следующий
мысленный эксперимент. Сделаем на

оси Х К-системы метку М и установим около нее часы. Зафик­

сируем по этим часам время пролета I1t о стержня мимо метки

М. Тогда можно утверждать, что искомая длина стержня в

К-системе

l = Vl1t o •

Для наблюдателя, связанного со стержнем, время пролета
будет иным. Действительно, для него часы, показавшие про­

летное время I1t о' движутся со скоростью V, а значит, показы­
вают «чужое» время. «Свое» время пролета I1t для этого наблю­

дателя будет, согласно (7.4), больше. Это время он может найти

из соотношения

lo = Vl1t.

Из этих двух уравнений, с учетом (7.4), получим

или

(7.5)

где В = V / с. Длину lo, измеренную в системе отсчета, где стер­

жень неподвижен, называют собственной длuноЙ.

m

Кинематика специальной теории относительности 241

Таким образом, продольный размер движущегося стержня

оказывается меньше его собственной длины, т. е. l < lo. Это яв­

ление называют лоренцевым сокращением. Заметим, что дан-

ное сокращение относится только l/lo i"""'- ~
1,0
к продольным размерам тел (раз­ 0,8 ........
мерам в направлении движения), 0,6
поперечные же размеры, как было 0,4 '" '\
установлено, не меняются. Срав­ 0,2
нительно с формой тела в системе \
отсчета, где оно покоится, его фор-
ма в движущейся системе отсчета \

может характеризоваться как \

сплющенная в направлении дви­ о 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

жения. J3=V/c

Из формулы (7.5) следует, что

степень сокращения зависит от Рис. 7.8

v.скорости Эта зависимость осо-

бенно существенно проявляется для значений скорости V, срав­

нимых со скоростью света (рис. 7.8).

Пример 1. Стержень, собственная длина ко­ 2, 3. 4 5м V
торого lo = 5,0 м, движется в про- , tI

дольном направлении со скоро­

Vстью относительно К -системы L - _ - - - ' - ,_ _...1.'- - - - ' , - - -

отсчета. При каком значении V О 123м

длина стержня в К -системе будет Рис. 7.9

l = 3, О м (эта ситуация показана
на рис. 7.9)?

Чтобы наблюдать такое сокращение длины, скорость стер­

жня, согласно (7.5), должна быть V = c~1 _(l/lO)2 = 4/5с •

Пример 2. Стержень А движется мимо неподвижного в К -системе от-

счета стержня В со скоростью v,
как показано на рис. Оба А =====l===::::Jo.....:v:..._
7.10. [:1
стержня имеют одинаковую соб- В ========::::;::======::::J
ственную длину lo. Найдем в [:1
lo

к-системе отсчета промежуток Рис. 7.10

времени At между моментами

совпадения левых и правых концов стержней.

m

242 Глава 7

Длина движущегося в К-системе стержня А равна

l = lo~1 _(v/c)2, и С помощью рис. 7.10 нетрудно сообра­

зить, что искомый промежуток времени

Пример 3. Две частицы, двигавшиеся в К-системе отсчета по одной

=прямой с одинаковой скоростью v 4/5 С, попали в непо­
движную мишень с промежутком времени !1t = 5 . 1О -9 С

(в данной системе отсчета). Каким было собственное рас­
стояние между частицами до попадания в мишень?

=Расстояние между частицами в К -системе отсчета l v !1t.

Поэтому искомое расстояние, согласно формуле (7.5),

lo = v!1t/ ~1 _(V/C)2 = 2 М.

итак, в разных инерциальных системах отсчета длина одно­
го и того же стержня оказывается различной. Иными словами,

длина - nонятие относительное, имеющее смысл только по

отношению той или иной системы отсчета. "У"тверждение, что

длина тела столько-то метров, не имеет смысла, пока не указа­

но, к какой именно системе отсчета отнесена эта величина.

«При малых же скоростях (У с), как следует из (7.5) и вид­

но из рис. 7.8, l ~ lo и длина тела приобретает практически аб­

солютный смысл.
Необходимо отметить, что лоренцево сокращение, как и за­

медление времени, должно быть взаимным. Это значит, что
если мы будем сравнивать два движущихся относительно друг
друга стержня, собственная длина которых одинакова, то с
«точки зрения» каждого из этих стержней длина другого стер­
жня будет короче, причем в одинаковом отношении. Если бы
это было не так, то имелась бы возможность экспериментально

отличить инерциальные системы отсчета, связанные с этими

стержнями, что, однако, противоречит принципу относитель­

ности.

Это говорит о том, что лоренцево сокращение является так­

-же чисто кинематическим эффектом в теле не возникает

каких-либо напряжений, вызывающих деформацию.

m

Кинематика специальной теории относительности 243

Подчеркнем, что лоренцев о сокращение тел в направлении

их движения, равно как и замедление времени, представляет

собой реальный и объективный факт, отнюдь не связанный с
какими-либо иллюзиями наблюдателя. Все значения размеров

данного тела или промежутков времени, полученные в разных

системах отсчета, являются равноправными (все они ~правиль­
ные»). Трудность понимания этих утверждений связана исклю­
чительно с нашей привычкой, основанной на повседневном
опыте, считать понятия длины и промежутков времени абсо­
лютными понятиями, когда в действительности это не так. По­

нятия длины и промежутка времени столь же относительны,

как понятия движения и покоя.

§ 7.4. Преобразования Лоренца

Теперь нам предстоит решить фундаментальный вопрос о
формулах преобразования координат и времени (имеются в
виду формулы, связывающие координаты и моменты времени
одного и того же события в разных инерциальных системах от­
счета).

Преобразования Галилея? Напомним, что эти преобразова­

ния основаны на предположениях, что длина тел не зависит от

движения и время течет одинаково в различных инерциальных

системах отсчета. Однако в предыдущем параграфе было пока­

зано, что в действительности это не так: течение времени и

-длина тел зависят от системы отсчета выводы, являющиеся

неизбежным следствием постулатов Эйнштейна. Поэтому мы

вынуждены отказаться от преобразований Галилея, или, гово­

-ря точнее, признать, что они лишь частный случай каких-то

более общих преобразованиЙ.

Возникает задача отыскания таких формул преобразования,

которые, во-первых, учитывали бы замедление времени и ло­

ренцево сокращение (т. е. были бы в конечном счете следствия­

ми постулатов Эйнштейна), и, во-вторых, переходили бы в пре­

дельном случае малых скоростей в преобразования Галилея.

Перейдем к решению этой задачи.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К'.

Пусть К' -система движется относительно К-системы со скоро­

v.стью Направим координатные оси обеих систем отсчета так,

m

244 Глава 7

к +к' как показано на рис. 7.11: оси Х и Х'

I совпадают и направлены параллельно

У -y~-----~A вектору V, а оси У и У' параллельны

IV I друг другу. Установим в разных точ­
I
I ..

II ках обеих систем отсчета одинаковые

LI _ _ _ _ _ I~ _ _ _ __

О о' р х х' -часы и синхронизируем их отдель­

но часы К -системы и отдельно часы

Рис. 7.11 К'-системы. И наконец, возьмем за

начало отсчета времени в обеих системах момент, когда начала

координат О и О' совпадают (t = t' = О).

Предположим теперь, что в момент времени t (в К-системе)

в точке с координатами х, у произошло некоторое событие А,

-например вспыхнула лампочка. Наша задача найти коорди­

наты х', у' и момент времени t' этого события в К'-системе.

Вопрос относительно координаты у' был уже решен в начале

предыдущего параграфа, где было показано [см. формулу

=(7.3)], что у' у. Поэтому сразу перейдем к нахождению коор­

динаты х' события. Координата х' характеризует собственную

длину отрезка О'Р, неподвижного в К'-системе (рис. 7.11).

Длина же этого отрезка в К-системе, где отсчет про изводится в

момент t, равна х - Vt. Связь между этими длинами дается

формулой (7.5), согласно которой х - Vt = х' ~1 - ~2 • Отсюда

х' =(х - Vt)/~1-~2. (7.6)

с другой стороны, координата х характеризует собствен­

ную длину отрезка ОР, неподвижного в К-системе. Длина же
этого отрезка в К' -системе, где измерение проводится в мо­

мент t', равна х' + Vt'. Учитывая опять (7.5), получим

х' + Vt' = x~1-~2, откуда

х =(х' + Vt')/~1-~2. (7.6')

Полученные формулы позволяют также установить и связь

между моментами времени t и t' события А в обеих системах
отсчета. Для этого достаточно исключить из (7.6) и (7.6') х' или

х, после чего найдем:

m

Кинематика специальной теории относительности 245

Формулы (7.3), (7.6), (7.6') и (7.7) называют nреобрааоваnu­

ямu Лореnца. Они играют фундаментальную роль в теории от­
носительности. По этим формулам осуществляется преобразо­
вание координат и времени любого события при переходе от од­
ной инерциальной системы отсчета к другой.

Итак, преобразования Лоренца при переходе от К-к К' -сис­

теме имеют вид:

х' = x-Vt у' = у ; t , = t-хV/с 2 (7.8)
-~--1-_;:p::=2=
--;~:1::_:=p=2=--

а при обратном переходе от К'- к К-системе -

х' +Vt' у = у'; t t' + х'У/с 2 (7.9)
х = -~--1-;_::=p=2=_ ~1_p2=-----;:::===_-

где р = V /с, V - скорость К'-системы относительно К-системы.

Следует сразу же обратить внимание на симметрию (одина­

ковый вид) формул (7.8) и (7.9), что является следствием пол­

ного равноправия обеих систем отсчета (различный знак при V

в этих формулах обусловлен лишь противоположным направ­
лением движения систем К и К' относительно друг друга).

Преобразования Лоренца сильно отличаются от преобразова­

ний Галилея (7.1), однако последние могут быть получены из
(7.8) и (7.9), если в них формально положить с = 00. Что это зна­

чит?
В конце предыдущего параграфа было отмечено, что в осно­

ве преобразований Галилея лежит допущение о синхронизации
часов с помощью мгновенно распространяющихся сигналов. Из
этого обстоятельства вытекает, что величина с в преобразовани­
ях Лоренца играет роль скорости тех сигналов, которые испо­
льзуют для синхронизации часов. Если эта скорость бесконечно
велика, то получаются преобразования Галилея; если же она

равна скорости света, то - преобразования Лоренца. Таким об­

разом, в основе преобразований Лоренца лежит допущение о

m

246 Глава 7

синхронизации часов с помощью световых сигналов, имеющих

предельную скорость.

Замечательной особенностью преобразований Лоренца явля-

*ется то, что при У« с они переходят в преобразования Гали-

«лея (7.1). Таким образом, в предельном случае V с законы

преобразования теории относительности и ньютоновской меха­

ники совпадают. Это означает, что теория относительности не

отвергает преобразований Галилея как неправильные, но вклю­

чает их в истинные законы преобразования как частный слу­

чай, справедливый при У« с. в дальнейшем мы увидим, что

это отражает общую взаимосвязь между теорией относительно­

-сти и ньютоновской механикой законы и соотношения тео­

рии относительности переходят в законы ньютоновской меха­

ники в предельном случае малых скоростей.

Далее, из преобразований Лоренца видно, что при У> с под­

коренные выражения становятся отрицательными и формулы

теряют физический смысл. Это соответствует тому факту, что

движение тел со скоростью, большей скорости света в вакууме,

невозможно. Нельзя даже пользоваться системой отсчета, дви­

жущейся со скоростью V = С; при этом подкоренные выраже­

ния обращаются в нуль и формулы также теряют физический

смысл. Это значит, что, например, с фотоном, движущимся со

скоростью с, принципиально не может быть связана система

отсчета. Или иначе: не существует такой систе,мы отсчета,

в которой фотон был бы неnодвижны,м.

И наконец, необходимо обратить внимание на то, что в фор­

мулы преобразования времени входит пространственная коор­

дината. Это важное обстоятельство указывает на неразрывную

связь между пространством и временем. Другими словами,

речь должна идти не отдельно о пространстве и времени, а о

-едином пространстве вре,мени, в котором протекают все фи­

зические явления.

* «Строго говоря, необходимо еще, чтобы xjc t, т. е. чтобы времена распро­

странения световых сигналов на расстояния, фигурирующие в рассматривае­

мых задачах (xjc), были малы по сравнению с интересующими нас промежут­

ками времени. При этом условии можно считать, что сигналы распространя­

ются практически мгновенно.

m

Кинематика специальной теории относительности 247

§ 7.5. Следствия из преобразований Лоренца

Понятие одновременности

Пусть в К-системе отсчета происходят два каких-то собы­

тия: А 1 (х 1 , Уl' t 1 ) И А 2 (х 2 , У2' t 2 ). Найдем интервал времени

между этими событиями в К/-системе, движущейся со скоро­

стью V вдоль оси Х, как показано на рис. 7.11. Согласно фор­
муле преобразования времени (7.8), искомый интервал времени

(7.10)

Отсюда следует, что события, одновременные в К-системе
2 1 "*(t 2 = t 1), не одновременны в К/-системе (t -t
О). Исключе­

нием является случай, когда оба события происходят в К-сис­

теме одновременно в точках с одинаковыми значениями коор­

динаты х (координата у может быть различной).

Итак, одновременность - nонятие относительное: то, что

одновременно в одной системе отсчета, в общем случае не одно­

временно в другой системе отсчета. Говоря об одновременности

событий, необходимо указывать систему отсчета, относительно

которой эта одновременность имеет место. В противном случае

понятие одновременности теряет смысл и могут возникнуть

разного рода недоразумения и «парадоксы».

Пример. «Парадокс) стержня и трубки. Сквозь неподвижную в К -сис-

теме отсчета трубку АВ а)

длины lo пролетает стер-.А в' А В
джлеинньа кАот'во/р, огсообрсатввнеанн2аl0я• ~'~:::l:=:lo:::_:rl'~y~ ;1,.==lo==~i..)1

..... - .

Скорость стержня тако­ б)

ва, что его длина в К -сис­

теме равна длине трубки,

l = lo (рис. 7.12, а), и в

некоторый момент стер- Рис. 7.12

жень, пролетая сквозь

трубку, целиком в ней уместится. Однако «с точки зрения

стержня» лоренцево сокращение вдвое претерпевает трубка

(рис. 7.12, б), поэтому стержень (длины 2lo) не поместится в

трубке (длины lo/2). Есть ли здесь противоречие?

m

248 Глава 7

Противоречия нет, и вот почему. ~ с точки зрения трубки»
концы пролетающего стержня совместятся с концами трубки
одновременно. ~C точки же зрения стержня» совпадения кон­
цОВ (А с А', В с В') произойдут не одновременно: сначала сов­

падут концы В и в' (рис. 7.12, б), а затем, через некоторый

промежуток времени, концы А и А'.

Из относительности понятия одновременности следует, что
часы К' -системы, расставленные вдоль оси Х' и синхронизиро­
ванные между собой в этой системе отсчета, в К-системе будут
показывать разное время. В самом деле, возьмем для простоты
момент, когда начала координат О и О' обеих систем отсчета

совпадают и часы в этих точках показывают одно время:

t = t' = о. Тогда в К-системе в точке с координатой х часы К-си­
cTeMы показывают в этот момент время t = О, часы же К' -систе­
мы в этой точке - иное время, t'. Действительно, согласно
формуле преобразования времени (7.8),

t' = -хV/с 2 ~1_p2 .

Отсюда видно, что в момент t = О

(в К-системе) часы К'-системы будут

показывать разное время, зависящее

от координаты х (местное время).

Это показано на рис. 7.13, а. Относи­

тельно К'-системы картина будет об­

ратной (рис. 7.13, б), как и должно

Рис. 7.13 быть в соответствии с равноправием
обеих инерциальных систем отсчета.

Из формулы (7.10) видно, что для одновременных в К-систе­

ме событий знак разности t ~ - t ~ определяется знаком выраже­

ния -(Х 2 - Х 1 )V. Следовательно, в разных системах отсчета

(при разных значениях скорости v) разность t ~ - t ~ будет раз­

личной не только по модулю, но и по знаку. Последнее означа­

ет, что порядок событий А1 и А2 может быть любым (как пря­

мым, так и обратным).

Сказанное, однако, не относится к причинно-связанным со­

бытиям. Порядок следования таких событий (причина ~ след­

ствие) будет одинаков во всех системах отсчета. В этом легко

убедиться из следующего рассуждения. Рассмотрим, например,

m

Кинематика специальной теории относительности 249

выстрел - событие А1 (хl' t 1 ) и попадание пули в мишень - со­

бытие А2(х2 , t 2 ), предполагая, что оба события происходят на

vоси Х. В К-системе отсчета t 2 > t 1 скорость пули и пусть для

определенности Х2 > Хl' причем ясно, что Х2 - Хl = V (t 2 - t 1 ).
После подстановки этого равенства в формулу (7.10) получим

Величина, стоящая во второй круглой скобке числителя,

всегда положительна в связи с тем, что V < с (даже при v = с ,

когда причинно-следственная связь обусловлена максимально
возможной скоростью передачи сигналов или взаимодействий).

Отсюда следует, что если t 2 > t l' то И t ~ > t ~, т. е. порядок сле­

дования причинно-следственных событий одинаков во всех

инерциальных системах отсчета.

Лоренцево сокращение
Расположим неподвижный в К'-системе стержень вдоль оси
Х', т. е. вдоль направления движения этой системы отсчета от­
носительно К-системы. Пусть длина стержня в К'-системе

l о = х ~ - х ~ (собственная длина).

В К-системе, относительно которой стержень движется, его

длину определяют как расстояние l между координатами Х2 и

Х 1 его концов, взятыми в один и тот же момент (t 2 = t 1 ). Вос­

пользовавшись преоборазованиями Лоренца (7.8) для коорди­

нат х' и х, запишем

откуда

(7.11)

Таким образом, длина l движущегося стержня оказывается

меньше его собственной длины lo' и в разных инерциальных

системах отсчета она будет иметь свое значение. Этот результат

полностью согласуется с полученным ранее (7.5).

m