คู่มือครูคณิตม.4

ค�มู ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน



คมู ือครู

รายวชิ าพืน้ ฐาน
คณิตศาสตร

ชัน้

มัธยมศกึ ษาปที่ ๔

ตามมาตรฐานการเรียนรูแ ละตวั ช้วี ดั
กลมุ สาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร (ฉบบั ปรบั ปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐)
ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาขัน้ พ้นื ฐาน พทุ ธศักราช ๒๕๕๑

จัดทาํ โดย
สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี



คํานาํ

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) มีหนาที่ในการพัฒนา
หลักสูตร วิธีการเรียนรู การประเมินผล การจัดทําหนังสือเรียน คูมือครู แบบฝกทักษะ
กจิ กรรม และสื่อการเรยี นรเู พ่อื ใชป ระกอบการเรยี นรใู นกลมุ สาระการเรียนรูวิทยาศาสตรและ
คณติ ศาสตรข องการศกึ ษาขั้นพ้ืนฐาน

คูมือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ ๔ นี้ จัดทําตามมาตรฐาน
การเรียนรูและตัวชี้วัด กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐)
ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมีเน้ือหาสาระ
ขอเสนอแนะเก่ียวกับการสอน แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน การวัดผลประเมินผล
ระหวางเรียน การวิเคราะหความสอดคลองของแบบฝกหัดทายบทกับจุดมุงหมายประจําบท
ความรูเพ่ิมเติมสําหรับครูซ่ึงเปนความรูท่ีครูควรทราบนอกเหนือจากเนื้อหาในหนังสือเรียน
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทพรอมเฉลย รวมท้ังเฉลยแบบฝกหัด ซ่ึงสอดคลองกับหนังสือ
เรยี นรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ ๔ ทตี่ องใชค วบคูก ัน

สสวท. หวังเปนอยางยิ่งวา คูมือครูเลมนี้จะเปนประโยชนตอการจัดการเรียนรู และ
เปนสวนสําคญั ในการพฒั นาคุณภาพและมาตรฐานการศกึ ษากลุม สาระการเรียนรูคณิตศาสตร
ขอขอบคุณผูทรงคุณวุฒิ บุคลากรทางการศึกษาและหนวยงานตาง ๆ ที่มีสวนเกี่ยวของ
ในการจัดทาํ ไว ณ โอกาสนี้

(นางพรพรรณ ไวทยางกูร)
ผอู าํ นวยการสถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

กระทรวงศกึ ษาธิการ

คําชแี้ จง

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) ไดจ ดั ทําตัวชี้วัดและสาระ
การเรียนรูแกนกลาง กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐)
ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมีจุดเนนเพ่ือตองการพัฒนา
ผเู รียนใหมีความรคู วามสามารถท่ที ัดเทียมกับนานาชาติ ไดเรียนรูคณิตศาสตรที่เชื่อมโยงความรู
กับกระบวนการ ใชก ระบวนการสืบเสาะหาความรูและแกป ญหาท่ีหลากหลาย มีการทาํ กิจกรรม
ดวยการลงมือปฏิบัติเพ่ือใหผูเรียนไดใชทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตรและทักษะแหง
ศตวรรษท่ี ๒๑ สสวท. จงึ ไดจัดทําคูมือครูประกอบการใชหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร
ช้ันมัธยมศึกษาปที่ ๔ ที่เปนไปตามมาตรฐานหลักสูตร เพ่ือเปนแนวทางใหโรงเรียนนําไปจัดการเรียน
การสอนในชัน้ เรยี น

คูมือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๔ นี้ ประกอบดวยเนื้อหาสาระ
ขอเสนอแนะเก่ียวกับการสอน แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน การวัดผลประเมินผล
ระหวางเรียน การวิเคราะหความสอดคลองของแบบฝกหัดทายบทกับจุดมุงหมายประจําบท
ความรูเพ่ิมเติมสําหรับครูซึ่งเปนความรูที่ครูควรทราบนอกเหนือจากเน้ือหาในหนังสือเรียน
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทพรอมเฉลย รวมท้ังเฉลยแบบฝกหัด ซึ่งครูผูสอนสามารถนําไปใช
เปนแนวทางในการวางแผนการจัดการเรียนรูใหบรรลุจุดประสงคท่ีตั้งไว โดยสามารถนําไปจัด
กจิ กรรมการเรยี นรไู ดตามความเหมาะสมและความพรอมของโรงเรียน ในการจัดทําคูมือครูเลมนี้
ไดรับความรวมมือเปนอยางดีย่ิงจากผูทรงคุณวุฒิ คณาจารย นักวิชาการอิสระ รวมท้ังครูผูสอน
นกั วชิ าการ จากสถาบนั และสถานศึกษาทง้ั ภาครัฐและเอกชน จงึ ขอขอบคุณมา ณ ท่ีนี้

สสวท. หวังเปนอยางย่ิงวาคูมือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร เลมนี้ จะเปนประโยชน
แกผูสอน และผูท่ีเก่ียวของทุกฝาย ท่ีจะชวยใหจัดการศึกษาดานคณิตศาสตรไดอยางมี
ประสิทธิภาพ หากมีขอเสนอแนะใดที่จะทําใหคูมือครูเลมน้ีมีความสมบูรณย่ิงขึ้น โปรดแจง
สสวท. ทราบดวย จะขอบคุณยงิ่

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
กระทรวงศกึ ษาธิการ

แนะนําการใชคมู อื ครู

ในหนังสือเลมน้ีแบงเปน 4 บท ตามหนังสือเรียนหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร
ชั้นมธั ยมศึกษาปท ่ี 4 โดยแตละบทจะมีสวนประกอบ ดังน้ี

ตัวช้วี ดั

ตัวช้ีวัดระบุสิ่งท่ีนักเรียนพึงรูและปฏิบัติได รวมท้ังคุณลักษณะของผูเรียนในแตละ
ระดับช้ัน ซ่ึงสะทอนถึงมาตรฐานการเรียนรู มีความเฉพาะเจาะจงและมีความเปน
รูปธรรม นําไปใชในการกําหนดเนื้อหา จัดทําหนวยการเรียนรู จัดการเรียนการสอน
และเปนเกณฑส ําคญั สาํ หรบั การวดั ประเมนิ ผลเพ่ือตรวจสอบคณุ ภาพผเู รียน

จุดมุงหมาย

เปา หมายท่ีนักเรยี นควรไปถึงหลงั จากเรียนจบบทนี้

ความรกู อนหนา

ความรทู นี่ กั เรยี นจาํ เปน ตองมกี อนท่จี ะเรยี นบทนี้

ประเด็นสําคัญเกี่ยวกบั เน้ือหาและสิ่งที่ควรตระหนกั เกีย่ วกบั การสอน

ประเด็นเกี่ยวกับเน้ือหาที่ครูควรเนนยํ้ากับนักเรียน ประเด็นเก่ียวกับเนื้อหาที่ครูควร
ระมัดระวัง จุดประสงคของตัวอยางท่ีนําเสนอในหนังสือเรียน เน้ือหาที่ควรทบทวน
กอนสอนเนอ้ื หาใหม และประเด็นเก่ยี วกบั การสอนท่ีครูพึงระลึก

ความเขา ใจคลาดเคล่ือน

ประเดน็ ท่ีนักเรยี นมักเขา ใจผิดเกยี่ วกบั เน้ือหา

ประเดน็ สาํ คญั เก่ียวกบั แบบฝก หัด

ประเด็นที่ครูควรทราบเกี่ยวกับแบบฝกหัด เชน จุดมุงหมายของแบบฝกหัด
ประเด็นท่ีครูควรใหความสําคัญในการทําแบบฝกหัดของนักเรียน เนื้อหาท่ีควร
ทบทวนกอนทําแบบฝก หดั

กจิ กรรมในคูมอื ครู

กิจกรรมทค่ี ูมือครเู ลม น้ีเสนอแนะไวใ หค รูนําไปใชใ นชั้นเรียน ซึง่ มีทงั้ กจิ กรรมนําเขา
บทเรียน ท่ีใชเพื่อตรวจสอบความรูกอนหนาท่ีจําเปนสําหรับเนื้อหาใหมที่ครูจะสอน
และกิจกรรมท่ีใชสําหรับสรางความคิดรวบยอดในเน้ือหา โดยหลังจากทํากิจกรรม
แลว ครคู วรเช่อื มโยงความคดิ รวบยอดทีต่ องการเนน กบั ผลที่ไดจากการทํากิจกรรม
กจิ กรรมเหลานีค้ รูควรสง เสรมิ ใหน ักเรยี นไดล งมือปฏิบัตดิ ว ยตนเอง

กจิ กรรมในหนังสือเรียน

กิจกรรมท่ีนักเรียนสามารถศึกษาเพิ่มเติมไดดวยตนเอง เพ่ือชวยพัฒนาทักษะการ
เรียนรแู ละนวตั กรรม (learning and innovation skills) ท่ีจําเปนสําหรับศตวรรษที่ 21
อันไดแก การคิดสรางสรรคและนวัตกรรม (creative and innovation) การคิด
แบบมีวิจารณญาณและการแกปญหา (critical thinking and problem solving)
การสื่อสาร (communication) และการรวมมอื (collaboration)

เฉลยกิจกรรมในหนังสือเรียน

เฉลยคาํ ตอบหรือตัวอยางคาํ ตอบของกจิ กรรมในหนงั สือเรียน

แนวทางการจดั กิจกรรมในหนงั สอื เรียน

ตัวอยางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน ที่มีข้ันตอนการดําเนินกิจกรรม
ซึ่งเปด โอกาสใหน ักเรยี นไดใ ชแ ละพฒั นาทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร

สารบญั บทท่ี 1 – 2

บทที่ เนอื้ หา หนา

1 บทท่ี 1 เซต 1
1.1 เน้อื หาสาระ 2
เซต 1.2 ขอเสนอแนะเกย่ี วกบั การสอน 4
1.3 การวัดผลประเมินผลระหวา งเรยี น 15
d 1.4 การวิเคราะหแบบฝก หดั ทายบท 17
1.5 ความรเู พิม่ เติมสาํ หรับครู 22
2 1.6 ตวั อยา งแบบทดสอบประจาํ บทและ 23
เฉลยตวั อยา งแบบทดสอบประจําบท
ตรรกศาสตรเบอื้ งตน 1.7 เฉลยแบบฝกหดั 35

บทที่ 2 ตรรกศาสตรเบอ้ื งตน 46
2.1 เนือ้ หาสาระ 47
2.2 ขอ เสนอแนะเก่ียวกบั การสอน 48
2.3 การวัดผลประเมนิ ผลระหวางเรียน 57
2.4 การวเิ คราะหแบบฝก หัดทายบท 58
2.5 ความรเู พ่มิ เตมิ สาํ หรบั ครู 62
2.6 ตัวอยา งแบบทดสอบประจําบทและ 63
เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท
2.7 เฉลยแบบฝก หัด 67

สารบัญ บทที่ 3 – 4

บทท่ี เน้ือหา หนา

3 บทที่ 3 หลักการนบั เบอ้ื งตน 72
3.1 เนอื้ หาสาระ 73
หลักการนบั เบอ้ื งตน 3.2 ขอ เสนอแนะเก่ียวกับการสอน 74
3.3 แนวทางการจดั กจิ กรรมในหนังสอื เรยี น 85
d 3.4 การวดั ผลประเมนิ ผลระหวา งเรยี น 88
3.5 การวเิ คราะหแบบฝกหัดทายบท 89
4 3.6 ความรเู พ่ิมเตมิ สําหรบั ครู 92
3.7 ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทและ 92
ความนาจะเปน เฉลยตวั อยางแบบทดสอบประจําบท
3.8 เฉลยแบบฝก หดั 97

บทที่ 2 ความนา จะเปน 101
4.1 เนื้อหาสาระ 102
4.2 ขอ เสนอแนะเกี่ยวกับการสอน 103
4.3 แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสอื เรียน 107
4.4 การวดั ผลประเมินผลระหวา งเรยี น 114
4.5 การวิเคราะหแบบฝกหัดทายบท 115
4.6 ตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บทและ 119
เฉลยตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บท
4.7 เฉลยแบบฝก หัด 126

สารบญั เนอ้ื หา หนา

บทท่ี เฉลยแบบฝก หัดและวธิ ที าํ โดยละเอียด 131
บทท่ี 1 เซต 131
แหลงเรียนรู บทที่ 2 ตรรกศาสตรเบื้องตน 167
เพ่ิมเตมิ บทท่ี 3 หลกั การนับเบ้ืองตน 178
บทท่ี 4 ความนา จะเปน 198

บรรณานกุ รม 236

คณะผจู ดั ทํา 237

239

บทท่ี 1 | เซต 1
คูมอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4

บทที่ 1
เซต

การศึกษาเรื่องเซตมีความสําคัญตอวิชาคณิตศาสตรเพราะเปนรากฐานและเคร่ืองมือที่สําคัญ
ในการพัฒนาองคความรูในวิชาคณิตศาสตรสมัยใหมทุกสาขา เน้ือหาเรื่องเซตที่นําเสนอ
ในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 มีจุดมุงหมายเพื่อใหนักเรียน
เรียนรูเก่ียวกับสัญลักษณและภาษาทางคณิตศาสตร ซ่ึงเพียงพอท่ีจะใชในการส่ือสารและ
สื่อความหมายทางคณิตศาสตรเพื่อเปนเครื่องมือในการเรียนรูเน้ือหาคณิตศาสตรในหัวขอตอไป
ในบทเรียนน้ีมุง ใหนกั เรยี นบรรลุตวั ช้วี ดั และจดุ มงุ หมายดังตอไปน้ี

ตวั ชว้ี ดั

เขาใจและใชความรูเก่ียวกับเซตและตรรกศาสตรเบื้องตน ในการสื่อสารและส่ือความหมาย
ทางคณิตศาสตร

จดุ มุงหมาย

1. ใชส ญั ลักษณเกยี่ วกบั เซต
2. หาผลการดาํ เนนิ การของเซต
3. ใชแผนภาพเวนนแ สดงความสัมพนั ธร ะหวางเซต
4. ใชความรเู กยี่ วกับเซตในการแกป ญหา

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต
2 คูมือครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4

ความรกู อนหนา
• ความรเู กย่ี วกบั จาํ นวนและสมการในระดับมธั ยมศึกษาตอนตน

1.1 เนือ้ หาสาระ

1. ในวชิ าคณติ ศาสตร ใชคาํ วา “เซต” ในการกลาวถึงกลุมของส่ิงตาง ๆ และเม่ือกลาวถึงกลุม
ใด แลวสามารถทราบไดแนนอนวา ส่ิงใดอยูในกลุม และสิ่งใดไมอยูในกลุม เรียกส่ิงท่ีอยูใน
เซตวา “สมาชิก” คําวา “เปนสมาชิกของ” หรือ “อยูใน” เขียนแทนดวยสัญลักษณ “∈”
คําวา “ไมเปน สมาชิกของ” เขียนแทนดวยสญั ลักษณ “∉”

2. การเขยี นแสดงเซตเบอื้ งตนมสี องแบบ คือ แบบแจกแจงสมาชิก และแบบบอกเง่ือนไขของ
สมาชิก

3. เซตทไ่ี มมสี มาชิก เรียกวา “เซตวา ง” เขียนแทนดวยสัญลักษณ “{ }” หรือ “∅”
4. เซตทีม่ จี าํ นวนสมาชกิ เปนจํานวนเต็มบวกใด ๆ หรือศูนย เรียกวา “เซตจํากัด” เซตที่ไมใช

เซตจาํ กัด เรียกวา “เซตอนนั ต”
5. ในการเขยี นเซตจะตองกําหนดเซตท่ีบงบอกถึงขอบเขตของสิ่งที่จะพิจารณา เรียกเซตน้ีวา

“เอกภพสัมพทั ธ” ซึง่ มกั เขยี นแทนดว ย U เอกภพสัมพัทธทีพ่ บบอย ไดแ ก
 แทนเซตของจํานวนนบั
 แทนเซตของจํานวนเตม็
 แทนเซตของจํานวนตรรกยะ
' แทนเซตของจาํ นวนอตรรกยะ
 แทนเซตของจํานวนจรงิ

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 3

คมู อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4

6. เซต A เทากับ เซต B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B และ
สมาชิกทกุ ตัวของเซต B เปน สมาชิกของเซต A เขยี นแทนดว ย A = B
เซต A ไมเทา กับ เซต B หมายถึง มีสมาชิกอยางนอยหนึ่งตัวของเซต A ท่ีไมใชสมาชิก
ของเซต B หรือมีสมาชิกอยางนอยหนึ่งตัวของเซต B ท่ีไมใชสมาชิกของเซต A
เขยี นแทนดวย A ≠ B

7. เซต A เปนสับเซตของเซต B ก็ตอเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B
เขยี นแทนดวย A ⊂ B
เซต A ไมเปนสับเซตของเซต B ก็ตอเม่ือ มีสมาชิกอยางนอยหน่ึงตัวของเซต A ท่ีไม
เปนสมาชิกของเซต B เขียนแทนดว ย A ⊄ B

8. เรียกแผนภาพแสดงเซตวา “แผนภาพเวนน” การเขียนแผนภาพมักจะแทนเอกภพสัมพัทธ
U ดวยรปู สเ่ี หลยี่ มผนื ผา หรือรปู ปดใด ๆ สวนเซตอนื่ ๆ ซึ่งเปนสบั เซตของ U นน้ั
อาจเขียนแทนดว ยวงกลม วงรี หรอื รูปปดใด ๆ

9. การดําเนนิ การระหวา งเซต
1) อินเตอรเ ซกชันของเซต A และ B เขียนแทนดวย A ∩ B
โดยที่ A ∩ B= { x x ∈A และ x∈ B}
2) ยเู นียนของเซต A และ B เขียนแทนดว ย A ∪ B
โดยท่ี A ∪ B= { x x ∈A หรือ x∈ B}
3) คอมพลเี มนตของเซต A เม่ือเทียบกับ U หรือคอมพลีเมนตของเซต A เขียนแทน
ดว ย A′ โดยท่ี A′ = { x | x ∈U และ x∉ A}
4) ผลตา งระหวา งเซต A และ B หมายถึง เซตที่มีสมาชิกอยูในเซต A แตไมอยูในเซต B
เขยี นแทนดวย A− B
โดยท่ี A − B= { x x ∈A และ x∉ B}

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต
4 คูมอื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4

10. สมบตั ขิ องการดาํ เนนิ การของเซต
ให A, B และ C เปนสับเซตของเอกภพสมั พัทธ U จะได

1) A ∪ B = B ∪ A
A∩B = B∩ A

2) ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )
(A∩ B)∩C = A∩(B∩C)

3) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )
A∩(B∪C) = (A∩ B)∪(A∩C)

4) ( A ∪ B)′ =A′ ∩ B′
( A ∩ B)′ =A′ ∪ B′

5) A − B = A ∩ B′
6) A=′ U − A

11. ถาเซต A, B และ C เปนเซตจํากัดใด ๆ ที่มีจํานวนสมาชิกเปน n( A), n(B) และ n(C)
ตามลาํ ดบั แลว
n( A ∪ B)= n( A) + n(B) − n( A ∩ B)

n( A∪ B ∪C) = n( A) + n(B) + n(C) − n( A∩ B) − n( A ∩C) − n(B ∩C)
+ n(A∩B∩C)

1.2 ขอ เสนอแนะเกยี่ วกับการสอน

เซต

ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจแนวคิดเก่ียวกับเซตและสมาชิกของเซต โดยใช
กจิ กรรมการจดั กลมุ ดังนี้

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 5
คมู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4

กจิ กรรม : การจดั กลุม

ขั้นตอนการปฏบิ ตั ิ

1. ครูแบงกลุมนักเรียนกลุมละ 3 – 4 คน แบบคละความสามารถ จากน้ันครูเขียนคําตอไปนี้

บนกระดาน

หญิง จนั ทร A พุธ

อาทติ ย ชาย E อังคาร

ศุกร U I พฤหัสบดี

O เสาร

2. ครูใหน กั เรียนแตละกลมุ อภิปรายวาจะจัดกลมุ คาํ ท่ีเขียนบนกระดานอยางไร

3. ครูใหตัวแทนนักเรียนแตละกลุมนําเสนอการจัดกลุมคํา แลวรวมกันอภิปรายเกี่ยวกับ

กลมุ คําท่ีจัด ในประเด็นตอไปนี้

3.1 จดั กลมุ คาํ ไดกีก่ ลมุ พรอมใหเ หตผุ ลประกอบ

3.2 กลุมคําที่กลุมของตนเองจัดไดเหมือนหรือแตกตางจากกลุมคําของเพ่ือนกลุมอ่ืน

หรือไม อยา งไร

หมายเหตุ

• แนวคําตอบ เชน จัดเปน 3 กลุม ไดแก กลุมคําท่ีแสดงเพศ กลุมคําท่ีแสดงช่ือวัน

ในหนึ่งสัปดาห และกลุมคําที่แสดงสระในภาษาอังกฤษ คําตอบของนักเรียนอาจมีได

หลากหลาย ข้ึนกับเหตุผลประกอบคาํ ตอบ

• ครูอาจเปลี่ยนเปนคําอื่น ๆ หรือรูปภาพอ่ืน ๆ เพื่อใหนักเรียนสามารถจัดกลุม

ไดห ลายแบบ

• ครูอาจจดั กิจกรรมนอกหองเรยี น เชน ในสวนพฤกษศาสตร แลวใหนักเรยี นจัดกลุมพนั ธุพืช

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต
6 คูมอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4

ครูสามารถเชื่อมโยงการจัดกลุมในกิจกรรมน้ีกับเน้ือหาเรื่องเซต โดยแตละกลุมคําที่นักเรียนจัด
เปรียบไดกับเซต และคําที่อยูในแตละกลุมเปรียบไดกับสมาชิกของเซต เม่ือนักเรียนไดศึกษา
เกยี่ วกับการเขียนแสดงเซตแบบแจกแจงสมาชิก และแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกแลว ครูอาจให
นกั เรยี นเขียนกลุมของคาํ ในรปู ของเซต ทัง้ แบบแจกแจงสมาชิก และแบบบอกเง่อื นไขของสมาชกิ

ประเดน็ สําคัญเกย่ี วกบั เน้ือหาและส่งิ ที่ควรตระหนกั เกยี่ วกบั การสอน
สมาชิกของเซต

ตัวอยา งที่ 1
ให A = {0, 1, 2} จงพจิ ารณาวาขอความตอ ไปน้ีเปน จริงหรือเทจ็

1) 0 ∈ A

2) {0} ∈ A
3) {1, 2} ∉ A

ตัวอยางนี้มีไวเพ่ือสรางความเขาใจเกี่ยวกับการเปนสมาชิกของเซต และการใช
สญั ลกั ษณแ ทนการเปนสมาชกิ ของเซต โดยเฉพาะอยา งยิง่ ในขอ 1) และ 2) ครูควรให
นักเรียนรวมกันอภิปรายทีละขอเก่ียวกับการเปนสมาชิกหรือไมเปนสมาชิกของเซต
ทีก่ ําหนดให และอาจใหตวั อยา งเพิม่ เติมเพ่ือตรวจสอบความเขา ใจของนักเรียน

การเขียนแสดงเซต
ในการเร่ิมตนยกตัวอยางการเขียนแสดงเซตแบบแจกแจงสมาชิกน้ัน ครูควรเร่ิมตน
จากการยกตัวอยางเซตที่หาสมาชิกของเซตไดงาย เพื่อเปนการใหความสําคัญกับ

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 7
คูม อื ครูรายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

การเขียนแสดงเซตแบบแจกแจงสมาชิกมากกวาการคํานวณเพื่อหาสมาชิกของเซต
เชน เซตของพยัญชนะในภาษาไทย เซตของจํานวนคู เซตของจํานวนนับท่ีนอยกวา 5 เซตของ
จํานวนเต็มที่ยกกาํ ลังสองแลว ได 16

เอกภพสัมพัทธ
ในการเขยี นเซตจะตอ งกําหนดเซตทบี่ ง บอกถึงขอบเขตของสิ่งทีจ่ ะพิจารณา เรียกเซตน้ีวา
เอกภพสัมพัทธ โดยมีขอตกลงวา เมื่อกลาวถึงสมาชิกของเซตใด ๆ จะไมกลาวถึง
ส่ิงอื่นที่นอกเหนือจากสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ ดังน้ันเอกภพสัมพัทธจึงมีความสําคัญ
ในการพิจารณาสมาชิกของเซต โดยเซตที่มีเงื่อนไขเดียวกันแตมีเอกภพสัมพัทธตางกัน
อาจมสี มาชกิ ตา งกนั เชน

A ={x ∈ } x2 =4} และ B ={x ∈ }x2 =4

เขียน A และ B แบบแจกแจงสมาชิกไดเ ปน
A = { 2} และ B= { − 2, 2}

เซตวาง
• เซตวา งเปน สับเซตของเซตใด ๆ

สบั เซต
• เซตวา งเปนสบั เซตของเซตทกุ เซต
• เซตทุกเซตเปน สับเซตของตัวเอง
• ไมสามารถหาสบั เซตทเ่ี ปนไปไดทงั้ หมดของเซตอนนั ต

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
8 คมู อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4

ความเขาใจคลาดเคลือ่ น
เซตจาํ กัด

• นกั เรียนคดิ วาเซตวา งไมใ ชเซตจํากดั ซงึ่ ครคู วรช้ีใหนักเรียนเห็นวาเซตวางเปนเซต
ทไ่ี มมีสมาชกิ หรอื มีสมาชิก 0 ตัว ดังนนั้ เซตวา งจึงเปนเซตจาํ กัด

• นักเรียนเขาใจวา { x | x∈ , 0 ≤ x ≤ 1} เปนเซตจํากัด เนื่องจากเขาใจวา
มีสมาชิกตัวแรกคือ 0 และสมาชิกตัวสุดทายคือ 1 ซึ่งครูควรใหนักเรียนพิจารณา
เอกภพสัมพัทธข องเซตน้ี ซึง่ เปน เซตของจาํ นวนจริง จึงไดวา เซตนเี้ ปนเซตอนนั ต

เซตวาง
นักเรียนสับสนเกี่ยวกับการใชสัญลักษณแทนเซตวาง เชน ใช { ∅} แทนเซตวาง
ซึ่งเปนการใชสัญลักษณที่ไมถูกตอง ครูควรใหนักเรียนพิจารณาจํานวนสมาชิกของ
{ ∅} จะไดวาเซตน้ีมีสมาชิก 1 ตัว ดังน้ัน เซตน้ีจึงไมใชเซตวาง นอกจากนี้ครูอาจ
ยกตัวอยางเปรียบเทียบเซตวางกับกลองเปลา โดยเซตวางคือเซตท่ีไมมีสมาชิกและ
กลองเปลาคือกลองท่ีไมมีอะไรบรรจุอยูภายในเลย แตถานํากลองเปลาใบที่หนึ่ง
ใสลงไปในกลองเปลาใบที่สองแลว จะพบวากลองใบท่ีสองไมใชกลองเปลาอีกตอไป
เพราะมีกลอ งเปลา ใบแรกบรรจอุ ยภู ายใน

สับเซต
นักเรียนมีความสับสนเกี่ยวกับความหมายและสัญลักษณท่ีใชแทนการเปนสมาชิก
ของเซต (∈) และการเปน สับเซต (⊂)

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 9
คมู ือครูรายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4

ประเดน็ สําคญั เกย่ี วกับแบบฝกหดั

แบบฝก หดั 1.1ก
2. จงเขียนเซตตอไปนี้แบบบอกเงอื่ นไขของสมาชิก

1) {1, 3, 5, 7, 9}
2) {..., − 2, −1, 0, 1, 2, ...}
3) {1, 4, 9, 16, 25, 36, ...}
4) {10, 20, 30, ...}

แบบฝกหัดนี้มีคําตอบไดหลายแบบ เนื่องจากการเขียนแสดงเซตแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก
สามารถเขียนไดหลายแบบ ควรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียนเง่ือนไขของสมาชิกของเซต ซ่ึง
เงอ่ื นไขของนกั เรียนไมจ ําเปน ตอ งตรงกับทค่ี รคู ดิ ไว

การดําเนินการระหวางเซต

เม่ือนักเรียนมีความเขาใจเก่ียวกับการเขียนแผนภาพเวนนแสดงเซตแลว ครูใชกิจกรรมตอไปนี้
เพ่ือสรางความเขาใจเกี่ยวกับความหมายของอินเตอรเซกชัน ยูเนียน คอมพลีเมนต และผลตาง
ระหวางเซต

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต
10 คูมือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4

กิจกรรม : หาเพอื่ น
ขัน้ ตอนการปฏบิ ตั ิ
1. ครใู หนกั เรียนจบั คูกนั แลวครูเขยี นแผนภาพน้ลี งบนกระดาน

2. ครใู หน ักเรยี นแตละคูอภปิ รายในประเด็นตอไปนี้
2.1 สมาชิกตวั ใดบา งทเ่ี ปนสมาชกิ ของทัง้ เซต A และเซต B
2.2 สมาชกิ ตัวใดบา งทเ่ี ปน สมาชิกของเซต A หรือเซต B หรอื ทัง้ สองเซต
2.3 สมาชิกตวั ใดบางที่เปนสมาชกิ ของ U แตไ มเปนสมาชกิ ของเซต A
2.4 สมาชกิ ตัวใดบา งท่ีเปน สมาชกิ ของ U แตไมเ ปนสมาชกิ ของเซต B
2.5 สมาชกิ ตวั ใดบางท่ีเปนสมาชกิ ของเซต A แตไมเปนสมาชิกของเซต B
2.6 สมาชิกตัวใดบางทเ่ี ปนสมาชิกของเซต B แตไ มเปนสมาชกิ ของเซต A

3. ครูและนกั เรยี นรว มกนั อภิปรายเกีย่ วกับคําตอบท่ไี ดในขอ 2

ครูสามารถเช่ือมโยงคําตอบที่ไดในกิจกรรมนี้กับเนื้อหาเร่ืองการดําเนินการระหวางเซต ไดแก
อนิ เตอรเ ซกชัน ยูเนียน คอมพลเี มนต และผลตา งระหวา งเซต

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 11
คมู อื ครูรายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4

ประเดน็ สาํ คญั เกยี่ วกับเนอ้ื หาและสง่ิ ท่คี วรตระหนกั เก่ยี วกบั การสอน

ลาํ ดบั การดําเนนิ การระหวา งเซต
การเขียนวงเล็บมีความสําคัญกับลําดับการดําเนินการระหวางเซตในกรณีท่ีมีการ
ดําเนินการตางชนิดกัน เชน ( A∪ B) ∩ C มีลําดับการดําเนินการแตกตางกับ
A∪ (B ∩ C) เพื่อไมใหเกิดการสับสนเก่ียวกับลําดับในการดําเนินการ จึงจําเปนตองใส
วงเลบ็ เพ่ือบอกลําดบั การดาํ เนินการระหวา งเซตเสมอ

ประเด็นสาํ คญั เก่ียวกบั แบบฝกหัด

แบบฝก หดั 1.2

3.

จงแรเงาแผนภาพที่กาํ หนดใหเพ่อื แสดงเซตตอไปนี้

1) A′ 2) B′
3) A′ ∩ B′
4) ( A ∪ B)′

5) A′ ∪ B′ 6) ( A ∩ B)′
7) A − B
8) A ∩ B′

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต
12 คมู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4

แบบฝกหัดนี้มีไวเพ่ือเปนตัวอยางของการแสดงสมบัติของการดําเนินการระหวางเซต
จากการแรเงาแผนภาพนักเรียนจะสังเกตเห็นวา แผนภาพท่ีแรเงาไดในบางขอเปน
แผนภาพเดยี วกันซึ่งสอดคลอ งกับสมบัตขิ องการดําเนนิ การระหวา งเซต

4.

จงแรเงาแผนภาพทีก่ ําหนดใหเพื่อแสดงเซตตอไปนี้

1) ( A ∪ B) ∪ C 2) A ∪ ( B ∪ C )
3) ( A ∩ B) ∩ C 4) A ∩ ( B ∩ C )
5) ( A ∪ B) ∩ C 6) ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C )

แบบฝกหัดนี้มีไวเพ่ือเปนตัวอยางของการแสดงสมบัติของการดําเนินการของเซต จากการ
แรเงาแผนภาพนักเรียนจะสังเกตเห็นวา แผนภาพที่แรเงาไดในบางขอเปนแผนภาพ
เดยี วกนั ซ่งึ สอดคลอ งกับสมบัติของการดําเนินการของเซต

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 13
คมู อื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4

การแกป ญ หาโดยใชเ ซต

เม่ือนักเรียนมีความเขาใจเกี่ยวกับการเขียนแผนภาพเวนนแสดงเซตและการดําเนินการแลว
ครูอาจใชกิจกรรมตอไปน้ีเพ่ือสรางความเขาใจเก่ียวกับความหมายของอินเตอรเซกชัน ยูเนียน
คอมพลเี มนต และผลตางระหวางเซต

กจิ กรรม : แรเงา

ขน้ั ตอนการปฏิบัติ
1. ครูใหน ักเรียนจับคูกัน แลวครูเขียนแผนภาพนีล้ งบนกระดาน

2. ครูถามนักเรียนวาจํานวนสมาชิกของเซต A เปนเทาใด เม่ือนักเรียนตอบไดแลว
ใหค รแู นะนาํ วา จาํ นวนสมาชกิ ของเซต A เขียนแทนดว ย n( A)

3. ครใู หน ักเรยี นแตล ะคูหา

3.1 n( B)
3.2 n( A ∪ B)
3.3 n( A ∩ B)

4. ครูใหนักเรียนแตละคูพิจารณาวา n( A ∪ B) มีความสัมพันธกับ n( A), n(B) และ
n( A ∩ B) อยา งไร โดยครูอาจใหนกั เรยี นพิจารณาจากแผนภาพ

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
14 คูมอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

5. จากแผนภาพตอไปนี้

ครูใหนักเรียนแรเงาเซต A จากน้ันแรเงาเซต B โดยใชอีกสีหนึ่ง และใหนักเรียน
พจิ ารณาวา
5.1 สว นท่ีแรเงาท้ังหมดแทนเซตใด
5.2 สว นทแี่ รเงา 2 ครงั้ แทนเซตใด
5.3 จากการแรเงา n( A ∪ B) มีความสัมพันธกับ n( A), n(B) และ n( A ∩ B)

อยา งไร

ครูสามารถเชอ่ื มโยงคําตอบทไี่ ดในกจิ กรรมนี้กับเน้ือหาเรื่องการแกปญหาโดยใชเซต ในการหา
จํานวนสมาชิกของเซต A∪ B และครูยังสามารถทํากิจกรรมในทํานองเดียวกันนี้ในการหา
จํานวนสมาชิกของเซต A ∪ B ∪ C

ประเดน็ สาํ คัญเก่ียวกบั เนอื้ หาและส่ิงท่ีควรตระหนกั เกย่ี วกับการสอน
• ในการแกปญหาโดยใชเซตน้ัน ครูอาจเสนอแนะใหนักเรียนใชวิธีเขียนแผนภาพแสดง

เซตเพอ่ื ชวยในการหาคาํ ตอบ

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 15
คูมอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4

• ตัวเลขท่ีแสดงในแผนภาพแสดงเซตอาจหมายถึง สมาชิกของเซต หรือจํานวนสมาชิกของเซต
ดังนนั้ ครคู วรเนนใหน ักเรียนมคี วามเขาใจท่ชี ดั เจน

ประเด็นสําคญั เกย่ี วกบั แบบฝก หดั

แบบฝก หัดทา ยบท
2. จงเขียนเซตตอไปน้ีแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก

1) {1, 4, 7, 10, 13}
2) {−20, −19, −18,  , −10}
3) {5, 9, 13, 17, 21, 25, }
4) {1, 8, 27, 64, 125, 216, }

แบบฝกหัดน้ีมีคําตอบไดหลายแบบ เน่ืองจากการเขียนแสดงเซตแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก
สามารถเขียนไดหลายแบบ ควรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียนเงื่อนไขของสมาชิกของเซต ซึ่ง
เง่อื นไขของนักเรียนไมจ าํ เปน ตอ งตรงกับที่ครคู ดิ ไว

1.3 การวัดผลประเมนิ ผลระหวา งเรียน

การวัดผลระหวางเรียนเปนการวัดผลการเรียนรูเพ่ือปรับปรุงและพัฒนาการเรียนการสอน และ
ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเร่ืองท่ีครูสอนมากนอยเพียงใด การให
นักเรียนทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหนึ่งท่ีครูอาจใชเพื่อประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ
นกั เรยี น ซึง่ หนังสือเรยี นรายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 ไดนาํ เสนอแบบฝกหัด
ที่ครอบคลุมเนื้อหาที่สําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทท่ี 1 เซต ครูอาจใชแบบฝกหัดเพื่อ
วดั ผลประเมนิ ผลความรใู นแตละเน้ือหาไดดงั น้ี

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
16 คูม ือครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4

เน้อื หา แบบฝกหัด
1.1ก ขอ 3, 4, 5
ความหมายของเซต สมาชิกของเซต จํานวนสมาชิกของเซต
เซตวา ง เอกภพสัมพทั ธ 1.1ก ขอ 1, 2

การเขยี นแสดงเซตแบบแจกแจงสมาชิกและแบบบอกเงื่อนไข 1.1ก ขอ 6
ของสมาชกิ 1.1ก ขอ 7, 8
1.1ข ขอ 1 – 4
เซตจาํ กดั และเซตอนันต 1.1ค ขอ 1, 2, 3
เซตทเ่ี ทากัน 1.2ก ขอ 1 – 6
สบั เซต
การเขียนแผนภาพเวนนแสดงเซต 1.3ก ขอ 1 – 9
การดาํ เนินการระหวางเซต
(อนิ เตอรเซกชัน ยเู นยี น คอมพลีเมนต ผลตา งระหวางเซต)
การแกปญหาโดยใชเ ซต

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 17
คมู ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4

1.4 การวเิ คราะหแบบฝก หดั ทายบท

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 มีจุดมุงหมายวาเมื่อนักเรียน
ไดเ รียนจบบทที่ 1 เซต แลว นักเรียนสามารถ

1. ใชส ัญลักษณเก่ียวกบั เซต
2. หาผลการดาํ เนินการของเซต
3. ใชแผนภาพเวนนแ สดงความสัมพันธระหวางเซต
4. ใชค วามรูเ ก่ียวกับเซตในการแกปญหา
ซ่ึงหนังสอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 ไดนําเสนอแบบฝกหัดทายบท
ท่ปี ระกอบดวยโจทยเพ่ือตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมีวัตถุประสงคเพ่ือวัดความรูความเขาใจ
ของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ซึ่งประกอบดวยโจทยฝกทักษะท่ีมีความนาสนใจและโจทยทาทาย
ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมายของบทเพ่ือ
ตรวจสอบวานักเรียนมคี วามสามารถตามจดุ มงุ หมายเมือ่ เรียนจบบทเรียนหรอื ไม

ทั้งนี้ แบบฝกหัดทายบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4
บทท่ี 1 เซต สอดคลองกบั จุดมุงหมายของบทเรยี น ดงั นี้

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
18 คมู ือครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4

จุดมงุ หมาย

ขอ ขอ ใชส ญั ลักษณ หาผลการ ใชแ ผนภาพ ใชค วามรู
ยอ ย เกย่ี วกับเซต ดาํ เนนิ การ เวนนแสดง เกีย่ วกบั เซต
ของเซต ความสมั พันธ ในการแกป ญ หา
ระหวา งเซต

1. 1) 
2) 
3) 
4) 
5) 

2. 1) 
2) 
3) 
4) 

3. 1) 
2) 
3) 
4) 
5) 

4. 1)
2)

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 19
คูมือครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4

จดุ มุงหมาย

ขอ ขอ ใชสัญลกั ษณ หาผลการ ใชแผนภาพ ใชค วามรู
ยอย เกี่ยวกับเซต ดาํ เนินการ เวนนแ สดง เก่ียวกบั เซต
ของเซต ความสมั พันธ ในการแกป ญ หา
ระหวางเซต

3) 
4) 
5) 
6) 
5. 1)
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
6. 1) 
2) 
3) 
7. 1) 
2)
3) 



สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต
20 คูม ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4

จดุ มุงหมาย

ขอ ขอ ใชสัญลักษณ หาผลการ ใชแ ผนภาพ ใชค วามรู
ยอ ย เกย่ี วกับเซต ดําเนนิ การ เวนนแ สดง เกีย่ วกบั เซต
ของเซต ความสมั พนั ธ ในการแกปญหา
ระหวา งเซต

8. 1) 
2) 
3) 
4) 
5)
6) 
7) 

9. 1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 21
คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4

จดุ มุงหมาย

ขอ ขอ ใชส ัญลกั ษณ หาผลการ ใชแ ผนภาพ ใชความรู
ยอ ย เกย่ี วกับเซต ดาํ เนนิ การ เวนนแสดง เกยี่ วกับเซต
ของเซต ความสัมพันธ ในการแกป ญหา
ระหวา งเซต

10. 1)  
2)  
3)  
 
11. 1)  
2)  
3)  
4) 
5)

12.
13.
14.
15.
16.
17.
18. 1)

2)

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
22 คูมอื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4

จดุ มงุ หมาย

ขอ ขอ ใชส ัญลักษณ หาผลการ ใชแผนภาพ ใชความรู
ยอย เกีย่ วกับเซต ดําเนนิ การ เวนนแ สดง เก่ียวกับเซต
ของเซต ความสัมพนั ธ ในการแกปญหา
ระหวา งเซต

3) 
19.
20. แบบฝกหัดทาทาย

1.5 ความรูเพม่ิ เตมิ สาํ หรบั ครู

• เซตอนันต จาํ แนกไดเปน 2 แบบ คอื
แบบที่ 1 เปนเซตอนันตนบั ได (countable infinite) เชน เซตของจํานวนนับ

เซตของจาํ นวนเต็ม เซตของจํานวนตรรกยะ { x ∈ − x ≤ 1}

{x∈  x ≠ 0}
แบบท่ี 2 เปนเซตอนันตนับไมได (uncountable infinite) เชน เซตของจาํ นวนจริง

{ x ∈  1 < x < 2} ซ่ึงเซตเหลานี้ไมสามารถเขยี นแจกแจงสมาชิกท้ังหมดได
• สมบตั ขิ องการดาํ เนินการของเซต

สมบัติของการดําเนินการของเซตเทียบเคียงไดกับสมบัติบางขอในสัจพจนเชิงพีชคณิต
ของระบบจํานวนจริง ดงั น้ี

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 23
คมู ือครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

ให A, B และ C เปนสับเซตของเอกภพสมั พัทธ U จะได
1) สมบัติการสลับที่

A∪B = B∪ A

A∩B = B∩ A

2) สมบตั ิการเปลีย่ นหมู

(A∪ B)∪C = A∪(B∪C)
(A∩ B)∩C = A∩(B∩C)

3) สมบัติการแจกแจง

A∪(B∩C) = (A∪ B)∩(A∪C)
A∩(B∪C) = (A∩ B)∪(A∩C)

1.6 ตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บทและเฉลยตัวอยา งแบบทดสอบประจําบท

ในสวนนี้จะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 1 เซต สําหรับรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร
ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 ซ่ึงครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรูที่ตองการ
วัดผลประเมินผล

ตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท

1. จงเขียนเซตตอไปน้ีแบบแจกแจงสมาชิก
1) เซตของจํานวนเฉพาะท่ีอยูร ะหวาง 0 และ 20

{ }2) x ∈  2x2 − x − 3 =0

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
24 คมู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4

2. จงเขยี นเซตตอไปนี้แบบบอกเงื่อนไขของสมาชกิ

1)  1, 1, 1, 1, 2, 4
 8 4 2 

2) { 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, }

3. ให A = { a, b, c, {d}} จงพิจารณาวา ขอความตอไปนเี้ ปนจริงหรือเท็จ

1) a ∈ A 2) {d}∉ A
4) { a, b } ∈ A
3) {{d}} ⊂ A
4. จงหาจํานวนสมาชกิ ของเซตตอไปนี้

1) {{1, 2, 3, …}}

{ }2) x ∈ x2 < 150

5. กาํ หนดให A, B เปนเซตอนนั ต และ A ≠ B จงพิจารณาวาขอความตอไปน้เี ปน จรงิ
หรอื เท็จ ถาเปนเท็จจงยกตัวอยา งคาน
1) A ∩ B เปนเซตอนนั ต
2) A ∩ B เปนเซตจํากัด
3) A − B เปนเซตอนนั ต
4) A − B เปนเซตจาํ กดั

6. กาํ หนดให A = {a, b, c, d, e}
1) จงหาจํานวนสบั เซตของ A ท่ีมี a เปน สมาชิก
2) จงหาจํานวนสับเซตของ A ที่ไมมี a เปนสมาชกิ
3) จงหาจาํ นวนสับเซตของ A ทม่ี ี a หรือ b เปน สมาชกิ

7. ให A, B และ C เปนเซตใด ๆ ที่ไมใ ชเซตวา ง จงเขยี นแผนภาพแสดงเซตตอ ไปนี้

1) ( A ∪ C ) ∪ ( B − A)

2) (( A − B) − ( A − C )) ∪ ( B − ( A ∪ C ))
8. จงพิจารณาวา ( A − B) ∪ (B − A) และ ( A ∪ B) − ( A ∩ B) เทากันหรือไม

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 25
คูม ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4

9. ถา A มีจํานวนสมาชิกมากกวา B อยู 1 ตัว และ n( A ∪ B) + n( A ∩ B) =75
จงหาจํานวนสมาชิกของ A

10. กําหนดให U = {1, 2, , 100} จงหาจํานวนสมาชิกของ U ที่เปนจํานวนคูแตหารดวย 3
ไมลงตวั

11. กําหนดให U = {1, 2, , 60} จงหาจํานวนสมาชิกของ U ที่หารดวย 3 ลงตัว หรือหาร
ดว ย 4 ลงตวั หรือหารดวย 5 ลงตัว

12. ในหอ งเรยี นหนึ่งมนี กั เรียนที่เล้ียงสุนัข 32 คน มีนักเรียนที่เล้ียงแมว 25 คน และมีนักเรียนที่
เล้ียงสนุ ขั หรอื แมวเพยี งชนิดเดียว 47 คน จงหาจาํ นวนของนักเรยี นท่ีเลี้ยงท้งั สุนัขและแมว

13. ในการสํารวจงานอดิเรกของคน 140 คน พบวา
72 คน ชอบดูภาพยนตร
65 คน ชอบออกกําลงั กาย
58 คน ชอบอา นหนงั สือ
23 คน ชอบดูภาพยนตรและออกกําลงั กาย
18 คน ชอบดูภาพยนตรและอา นหนังสอื
40 คน ชอบออกกาํ ลงั กายและอา นหนงั สอื
10 คน ไมสนใจงานอดิเรกขา งตน

จงหาจาํ นวนคนที่ชอบท้งั ดภู าพยนตร ออกกาํ ลงั กาย และอา นหนังสอื
14. ในงานเล้ียงแหงหนงึ่ มผี ูเขารวมงาน 200 คน โดยท่ีทุกคนชอบรับประทานกุง ปลา หรือปู

จากการสํารวจปรากฏวามีคนท่ีชอบรับประทานกุง ปลา และปู 63% , 42% และ 55%
ตามลําดับ มีคนท่ีชอบรับประทานกุงและปลา 24% ชอบรับประทานปลาและปู 17%
และชอบรบั ประทานทัง้ สามอยา ง 9% จงหาจํานวนของคนทช่ี อบรบั ประทานท้ังกุงและปู
15. ในการสํารวจขอมูลเก่ียวกับการทองเท่ียวของนักทองเที่ยวชาวตางชาติจํานวน 500 คน
พบวานักทองเท่ียวทุกคนเคยไปเชียงใหม กระบี่ หรือชลบุรี โดยมีนักทองเที่ยวที่เคยไป

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
26 คมู อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4

ท้ังเชียงใหม กระบี่ และชลบุรี จํานวน 39 คน เคยไปเชียงใหมและกระบี่เทานั้น 78 คน
เคยไปเชียงใหมและชลบุรีเทาน้ัน 96 คน เคยไปกระบ่ีและชลบุรีเทานั้น 111 คน และมี
คนทไ่ี มเคยไปกระบ่ี 208 คน จงหาจาํ นวนคนท่เี คยไปกระบีเ่ พยี งจังหวดั เดยี ว

เฉลยตวั อยางแบบทดสอบประจําบท

1. 1) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

2) จาก 2x2 − x − 3 = 0

(2x − 3)( x +1) = 0

นน่ั คือ x=3 หรอื x= −1
2

เน่ืองจาก 3 ไมเปน จํานวนเต็ม จึงได −1 เปน คาํ ตอบของสมการ
2

ดงั นัน้ เขยี น {x∈ 2x2 − x − 3 =0} แบบแจกแจงสมาชิกไดเปน {−1}

{2. 1) x x = 2n−4 เมือ่ n ∈  และ n ≤ 6}

2) {x x = n เมื่อ n ∈ }} 2) เทจ็

10

3. 1) จรงิ

3) จริง 4) เทจ็

4. 1) เนือ่ งจาก {{1, 2, 3, …}} มีสมาชิก คือ {1, 2, 3, …}

ดังน้นั {{1, 2, 3, …}} มจี ํานวนสมาชิก 1 ตัว

{ }2) เนอ่ื งจาก x ∈ x2 < 150 ={−12, −11, … , 0, 1, … , 12}

นัน่ คือ {x ∈ x2 < 150} มีสมาชิก คือ −12, −11, … , 0, 1, … , 12

ดังนนั้ {−12, −11, … , 0, 1, … , 12} มจี ํานวนสมาชิก 25 ตัว

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 27
คมู ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4

5. 1) เปนเท็จ เชน เมอื่ A เปน เซตของจาํ นวนคู และ B เปน เซตของจํานวนคี่
จะได A ∩ B =∅ ซง่ึ ∅ เปน เซตจํากดั
ดงั นั้น A ∩ B ไมเ ปนเซตอนนั ต

2) เปนเทจ็ เชน เมอื่ A =  และ B = 
จะได A ∩ B = ซง่ึ  เปน เซตอนนั ต
ดงั นน้ั A ∩ B ไมเปน เซตจาํ กดั

3) เปนเทจ็ เชน เม่ือ A=  ∪{0} และ B = 
จะได A − B ={0} ซึง่ {0} เปนเซตจํากัด
ดังนัน้ A − B ไมเ ปนเซตอนนั ต

4) เปน เท็จ เชน เมอ่ื A =  และ B เปน เซตของจาํ นวนคี่
จะได A − B คือเซตของจาํ นวนคู ซ่งึ เซตของจํานวนคูเ ปนเซตอนันต
ดังน้นั A − B ไมเ ปนเซตจาํ กดั

6. จาก A = {a, b, c, d, e}
จะได สับเซตของ A ท่ีมสี มาชิก 0 ตัว ไดแก ∅
สบั เซตของ A ท่ีมสี มาชกิ 1 ตัว ไดแ ก {a}, {b}, {c}, {d}, {e}
สบั เซตของ A ที่มีสมาชกิ 2 ตวั ไดแก {a,b}, {a,c}, {a,d}, {a,e}, {b,c},
{b,d}, {b,e}, {c,d}, {c,e} และ {d,e}
สับเซตของ A ทีม่ ีสมาชกิ 3 ตัว ไดแก {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d},

{a,c,e},{a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e},

{b,d,e} และ {c,d,e}
สบั เซตของ A ทม่ี สี มาชกิ 4 ตวั ไดแ ก {a,b,c,d}, {a,b,c,e}, {a,b,d,e},

{a,c, d,e} และ {b,c,d,e}
สับเซตของ A ทีม่ สี มาชิก 5 ตัว ไดแก {a,b,c,d,e}

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
28 คมู อื ครูรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4

1) สบั เซตของ A ที่มี a เปนสมาชิก มอี ยู 16 สับเซต
2) สับเซตของ A ทไ่ี มมี a เปนสมาชกิ มีอยู 32 −16 =16 สบั เซต
3) ให S เปน เซตของสบั เซตของ A ที่มี a เปนสมาชิก

T เปน เซตของสบั เซตของ A ทม่ี ี b เปนสมาชิก
จะไ=ด n(S ) 1=6, n(T ) 16 และ n(S ∩T ) =8
จาก n(S ∪T ) = n(S ) + n(T ) − n(S ∩T )

= 16 +16 − 8
= 24

ดงั นน้ั สับเซตของ A ที่มี a หรือ b เปน สมาชิก มีอยู 24 สบั เซต
7. 1) เขียนแผนภาพแสดง ( A − B) ∪ (B − A) ไดดังนี้

2) เขยี นแผนภาพแสดง (( A − B) − ( A − C )) ∪ (B − ( A ∪ C ))

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 29
คูม ือครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

8. เขียนแผนภาพแสดง ( A − B) ∪ (B − A) และ ( A ∪ B) − ( A ∩ B) ไดดงั นี้

( A − B) ∪ (B − A) (A∪ B)−(A∩ B)

จากแผนภาพ จะไดว า ( A − B) ∪ (B − A) = ( A ∪ B) − ( A ∩ B)

ดังนน้ั ( A − B) ∪ (B − A) และ ( A ∪ B) − ( A ∩ B) เทา กนั

9. จาก n( A∪ B) = n( A) + n(B) − n( A∩ B)

จะได n( A ∪ B) + n( A ∩ B) = n( A) + n(B)

เนือ่ งจาก n( A ∪ B) + n( A ∩ B) =75 และ n=(B) n( A) −1

นนั่ คือ 75 = n( A) + n( A) −1

2 n( A) = 76

จะได n( A) = 38

ดังนน้ั จํานวนสมาชกิ ของ A คือ 38

10. ให A แทนเซตของจํานวนทเ่ี ปน สมาชกิ ของ U ซึง่ เปน จาํ นวนคู จะได n( A) = 50

B แทนเซตของจาํ นวนท่ีเปนสมาชกิ ของ U ซ่ึงหารดวย 3 ลงตวั จะได n(B) = 33

A ∩ B แทนเซตของจํานวนท่เี ปน สมาชกิ ของ U ซึ่งเปนจาํ นวนคแู ละหารดว ย 3 ลงตวั

เน่ืองจาก จํานวนคูที่หารดว ย 3 ลงตัว คือ จํานวนทห่ี ารดว ย 6 ลงตวั

จะได n( A ∩ B) =16

ดังน้ัน จาํ นวนสมาชกิ ของ U ซง่ึ เปน จํานวนคูทห่ี ารดว ย 3 ไมลงตัว มีอยู

n( A) − n( A ∩ B) = 50 −16 = 34 ตัว

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
30 คูม ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4

11. ให A แทนเซตของจํานวนท่ีเปน สมาชกิ ของ U ซึง่ หารดว ย 3 ลงตัว

B แทนเซตของจํานวนที่เปนสมาชิกของ U ซง่ึ หารดวย 4 ลงตัว

C แทนเซตของจาํ นวนท่ีเปน สมาชิกของ U ซงึ่ หารดวย 5 ลงตัว

จะได A = { 3, 6,  , 60} น่ันคือ n( A) = 20

B = { 4, 8,  , 60} นนั่ คือ n(B) =15

C = { 5, 10,  , 60} นนั่ คอื n(C ) =12

ให A ∩ B แทนเซตของจํานวนที่เปนสมาชกิ ของ U ซึง่ หารดวย 3 และ 4 ลงตัว

A ∩ C แทนเซตของจาํ นวนทีเ่ ปน สมาชกิ ของ U ซึ่งหารดวย 3 และ 5 ลงตวั

B ∩ C แทนเซตของจํานวนท่เี ปน สมาชกิ ของ U ซึ่งหารดว ย 4 และ 5 ลงตวั

A ∩ B ∩ C แทนเซตของจํานวนทีเ่ ปนสมาชิกของ U ซึง่ หารดวย 3 และ 4 และ 5 ลงตวั

จะได A ∩ B ={12, 24, 36, 48, 60} นัน่ คอื n( A ∩ B) =5

A ∩ C ={15, 30, 45, 60} น่นั คอื n( A ∩ C ) =4

B ∩ C ={ 20, 40, 60 } นน่ั คอื n(B ∩ C) =3

A ∩ B ∩ C ={ 60 } นน่ั คอื n( A ∩ B ∩ C) =1

วิธที ี่ 1 เขียนแผนภาพแสดงจาํ นวนสมาชกิ ของ A, B และ C ไดดังนี้

จากแผนภาพ จะได n( A ∪ B ∪ C ) = 12 + 8 + 6 + 4 + 3 + 2 +1 = 36

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 31
คมู อื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4

ดงั นน้ั จํานวนสมาชิกของ U ทีห่ ารดวย 3 ลงตวั หรือหารดว ย 4 ลงตวั หรือหาร
ดว ย 5 ลงตัว มอี ยู 36 ตัว
วธิ ีที่ 2 จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C )

−n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C)

จะได n( A ∪ B ∪ C ) = 20 +15 +12 − 5 − 4 − 3 +1

= 36

ดังน้ัน จํานวนสมาชิกของ U ที่หารดวย 3 ลงตัว หรือหารดวย 4 ลงตัว หรือหาร
ดว ย 5 ลงตัว มีอยู 36 ตัว
12. ให A แทนเซตของนักเรยี นท่ีเลี้ยงสุนัข จะได n( A) = 32
B แทนเซตของนักเรยี นท่ีเลย้ี งแมว จะได n(B) = 25
x แทนจํานวนนักเรยี นท่ีเลยี้ งทัง้ สนุ ขั และแมว
เขยี นแผนภาพแสดงจาํ นวนสมาชิกของ A และ B ไดด ังนี้

เนอื่ งจาก มีนกั เรียนทเ่ี ลยี้ งสนุ ัขหรอื แมวเพยี งชนดิ เดียว 47 คน
จะได (32 − x) + (25 − x) = 47

57 − 2x = 47
2x = 10
x =5

ดังนนั้ จาํ นวนของนกั เรียนท่เี ลยี้ งทง้ั สนุ ัขและแมว เทากบั 5 คน

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต
32 คูมอื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4

13. ให A แทนเซตของคนทีช่ อบดูภาพยนตร จะได n( A) = 72
B แทนเซตของคนท่ชี อบออกกําลังกาย จะได n(B) = 65
C แทนเซตของคนทช่ี อบอานหนังสือ จะได n(C) = 58
A ∩ B แทนเซตของคนที่ชอบดภู าพยนตรและออกกําลังกาย จะได n( A ∩ B) =23
A ∩ C แทนเซตของคนทชี่ อบดูภาพยนตรและอา นหนังสอื จะได n( A ∩ C) =18
B ∩ C แทนเซตของคนทชี่ อบออกกําลังกายและอา นหนงั สือ จะได n(B ∩ C) =40
( A ∪ B ∪ C)′ แทนเซตของคนที่ไมช อบงานอดิเรกขา งตน เลย
จะได n( A ∪ B ∪ C )′ =10 นนั่ คอื n( A ∪ B ∪ C )= 140 −10= 130

วธิ ที ี่ 1 ให x แทนจํานวนคนท่ชี อบท้ังดภู าพยนตร ออกกําลงั กาย และอา นหนังสือ
เขียนแผนภาพแสดงจาํ นวนสมาชกิ ของ A, B และ C ไดด ังนี้

จากแผนภาพ จะได

(31+ x) + (23 − x) + (2 + x) + (18 − x) + x + (40 − x) + x = 130

x +114 = 130
x = 16

ดงั นน้ั มคี นที่ชอบท้ังดูภาพยนตร ออกกาํ ลังกาย และอานหนังสอื 16 คน

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 33
คูม ือครูรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4

วธิ ที ี่ 2 จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C )

−n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C)

จะได 130 = 72 + 65 + 58 − 23 −18 − 40 + n( A ∩ B ∩ C )
นนั่ คอื n( A ∩ B ∩ C ) = 16
ดงั นนั้ มีคนท่ชี อบทง้ั ดูภาพยนตร ออกกําลังกาย และอา นหนังสือ 16 คน
14. ให A แทนเซตของคนทช่ี อบรับประทานกงุ
B แทนเซตของคนที่ชอบรบั ประทานปลา
C แทนเซตของคนที่ชอบรบั ประทานปู
A ∩ B แทนเซตของคนที่ชอบรับประทานกงุ และปลา
B ∩ C แทนเซตของคนท่ีชอบรับประทานปลาและปู
A ∩ B ∩ C แทนเซตของคนท่ีชอบรบั ประทานทั้งสามอยาง

จะได n( A) = 63 × 200 = 126

100

n( B) = 42 × 200 = 84

100

n(C ) = 55 × 200 = 110

100

n( A ∩ B) = 24 × 200 = 48

100

n( B ∩ C ) = 17 × 200 = 34

100

n( A ∩ B ∩ C )= 9 × 200= 18

100

A ∪ B ∪ C แทนเซตของคนท่ีชอบรบั ประทานกุง ปลา หรอื ปู
เนอ่ื งจาก มีคนมารวมงานทั้งหมด 200 คน โดยแตละคนชอบรบั ประทานกุง ปลา หรือปู
จะได n( A ∪ B ∪ C ) =200
จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n( B) + n(C ) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C )

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
34 คมู อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4

−n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C)

จะได 200 = 126 + 84 +110 − 48 − n( A ∩ C ) − 34 +18
นัน่ คอื n( A ∩ C) = 56
ดงั นั้น มีคนทช่ี อบรบั ประทานทัง้ กุงและปู 56 คน
15. ให A แทนเซตของนักทองเที่ยวท่เี คยไปเชียงใหม

B แทนเซตของนักทองเที่ยวท่ีเคยไปกระบี่
C แทนเซตของนักทองเที่ยวทเ่ี คยไปชลบรุ ี
ให a แทนจาํ นวนนกั ทองเทยี่ วท่เี คยไปเชยี งใหมเพยี งจังหวัดเดยี ว
b แทนจํานวนนักทองเทย่ี วท่เี คยไปกระบี่เพียงจังหวดั เดยี ว
c แทนจํานวนนกั ทองเทย่ี วที่เคยไปชลบรุ ีเพยี งจงั หวัดเดยี ว
เขยี นแผนภาพแสดงไดดงั นี้

เน่อื งจากมนี ักทองเทีย่ วทีไ่ มเ คยไปกระบ่ี 208 คน
จากแผนภาพ จะไดว า a + c + 96 =208 นัน่ คอื a + c =112
จะได b = 500 − (112 + 78 + 96 +111+ 39) = 64
ดงั นัน้ จาํ นวนคนท่เี คยไปกระบ่ีเพยี งจังหวดั เดยี วมี 64 คน

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 35
คมู อื ครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4

1.7 เฉลยแบบฝก หดั

คูมือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 แบงการเฉลยแบบฝกหัดเปน 2 สวน
คือ สวนที่ 1 เฉลยคําตอบ และสวนที่ 2 เฉลยคําตอบพรอมวิธีทําอยางละเอียด ซึ่งเฉลย
แบบฝก หัดทีอ่ ยูในสวนนี้เปนการเฉลยคําตอบของแบบฝกหัด โดยไมไดนําเสนอวิธีทํา อยางไรก็ตาม
ครูสามารถศกึ ษาวธิ ีทาํ โดยละเอยี ดของแบบฝก หัดไดใ นสว นทายของคูม ือครเู ลม น้ี

แบบฝก หัด 1.1ก

1. 1) { a, e, i, o, u } 2) { 2, 4, 6, 8}

3) {10, 11, 12,  , 99 } 4) {101, 102, 103,  }

5) { − 99, − 98, − 97,  , −1} 6) { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

7) ∅ 8) ∅

9) { −14, 14 }

10) {ชลบรุ ,ี ชัยนาท, ชัยภมู ิ, ชมุ พร, เชยี งราย, เชียงใหม}

2. 1) ตัวอยา งคาํ ตอบ {x | x เปนจํานวนค่บี วกทีน่ อยกวา 10}

หรอื {x∈ | x เปน จาํ นวนคต่ี ้ังแต 1 ถงึ 9}

2) ตวั อยา งคําตอบ {x | x เปน จาํ นวนเตม็ }

3) ตัวอยา งคาํ ตอบ {x∈ | x มรี ากที่สองเปน จาํ นวนเต็ม}

หรือ {x | x = n2 และ n เปน จํานวนนับ}

4) ตัวอยา งคําตอบ {x∈ | x หารดว ยสบิ ลงตัว}

หรอื {x | x = 10n และ n เปนจาํ นวนนบั }

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 2) 5 ตวั
36 คมู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 4) 9 ตัว

3. 1) 1 ตวั 2) เปน จรงิ
3) 7 ตวั
5) 0 ตัว 2) ไมเปนเซตวา ง
4) เปนเซตวา ง
4. 1) เปน เท็จ
3) เปน เท็จ 2) เซตจาํ กดั
4) เซตจํากดั
5. 1) เปน เซตวาง 6) เซตอนนั ต
3) ไมเปน เซตวา ง
5) ไมเปนเซตวาง 2) A ≠ B
4) A = B
6. 1) เซตอนนั ต
3) เซตอนนั ต
5) เซตอนันต

7. 1) A ≠ B จ
3) A = B จ
5) A ≠ B จ

8. A = D จ

แบบฝก หดั 1.1ข 2) ผดิ
4) ถูก
1. 1) ถกู 6) ผิด
3) ผดิ
5) ถูก

2. A ⊂ B, C ⊂ A, C ⊂ B จ

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต 37
คูมือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4

3. 1) เปนจรงิ 2) เปนจรงิ

3) เปนจรงิ

4. 1) ∅ และ {1}

2) ∅, {1}, { 2} และ {1, 2}

3) ∅, { −1}, { 0 }, {1}, {−1, 0 }, {−1, 1}, { 0, 1} และ {−1, 0, 1}

4) ∅, { x }, { y } และ { x, y }

5) ∅, { a }, { b }, { c }, { a, b }, { a, c }, { b, c } และ { a, b, c }

6) ∅

แบบฝกหดั 1.1ค

1.

2. 1) 2)

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | เซต
38 คมู อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4

3)

3. 1) 1 ตัว (คอื a )
2) 2 ตวั (คอื d และ e )
3) 3 ตวั (คอื x, y และ z )

แบบฝกหัด 1.2 2) A ∩ B ={ 0, 2 }
4) B − A ={ 4, 7, 9 }
1. 1) A ∪ B ={ 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 } ก 6) B′ = {1, 3, 5, 6, 8}
3) A − B ={1, 8} ก 8) A′∩ B ={ 4, 7, 9 }
5) A′ = { 3, 4, 5, 6, 7, 9 } ก 2) B ∪ C ={1, 3, 4, 5, 6, 7 }
7) A ∪ B′ ={ 0, 1, 2, 3, 5, 6, 8} ก 4) A ∩ C ={ 4, 6 }
6) C′∩ A ={ 0, 2, 8}
2. 1) A ∩ B =∅ ก 8) ( A ∩ B) ∪ B ={1, 3, 5, 7 }

3) B ∩ C ={ 3, 5}
5) C′ = { 0, 1, 2, 7, 8}
7) C′∩ B ={1, 7 }

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี