คู่มือครูคณิตม.4

บทที่ 3 | หลักการนับเบื้องตน 89
คมู ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4

3.5 การวเิ คราะหแ บบฝก หัดทายบท

หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 มีจุดมุงหมายวาเมื่อนักเรียนได
เรยี นจบบทท่ี 3 หลกั การนับเบื้องตน แลวนักเรยี นสามารถ

1. ใชหลกั การนบั เบ้ืองตน ในการแกป ญ หา
2. ใชวิธีเรยี งสับเปลยี่ นเชิงเสน กรณที ่ีสิ่งของแตกตา งกนั ท้งั หมดในการแกปญ หา
3. ใชว ิธจี ดั หมกู รณที ่ีสิง่ ของแตกตางกันท้งั หมดในการแกป ญหา
ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 ไดนําเสนอแบบฝกหัดทาย
บทที่ประกอบดวยโจทยเพื่อตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมีวัตถุประสงคเพื่อวัดความรูความ
เขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ซ่ึงประกอบดวยโจทยฝกทักษะท่ีมีความนาสนใจและโจทย
ทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย
ของบทเพ่อื ตรวจสอบวานกั เรยี นมคี วามสามารถตามจดุ มุงหมายเมื่อเรียนจบบทเรียนหรือไม

ทงั้ นี้ แบบฝก หัดทา ยบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 บทท่ี 3
หลักการนับเบือ้ งตน สอดคลองกบั จดุ มุงหมายของบทเรยี น ดังนี้

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบอื้ งตน
90 คูมอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4

จุดมุงหมาย

ขอ ขอ ใชห ลกั การนบั เบอื้ งตน ใชว ธิ ีเรยี งสบั เปลี่ยน ใชวิธจี ัดหมูกรณีท่ี
ยอย เชงิ เสน กรณที ่ีสิง่ ของ สงิ่ ของแตกตา งกัน
ในการแกป ญหา แตกตา งกันทั้งหมด
ทง้ั หมด
ในการแกปญหา ในการแกปญหา

1.   
2.  
3. 
4.  
5. 1) 

2) 
6. 
7. 
8. 
9. 1) 

2) 
10.
11. 
12.
13.

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลกั การนับเบ้อื งตน 91
คูมอื ครูรายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4

จุดมงุ หมาย

ขอ ขอ ใชห ลกั การนับเบอื้ งตน ใชว ิธเี รยี งสับเปลย่ี น ใชวิธจี ดั หมูกรณีที่
ยอย เชิงเสน กรณที สี่ ิง่ ของ สง่ิ ของแตกตา งกัน
ในการแกปญ หา แตกตา งกนั ทัง้ หมด
ทง้ั หมด
ในการแกป ญหา ในการแกปญ หา

14.   
15. 1) 
 
2)  
16. 
17.

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน
92 คมู อื ครูรายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4

3.6 ความรเู พมิ่ เติมสาํ หรบั ครู

• P ใน Pn, r มาจากคําวา Permutation ในภาษาอังกฤษ ซ่ึงมีความหมายวา “การเรียง
สบั เปลย่ี น” ในบางตาํ ราจะใชสัญลักษณ Prn, n Pr , nPr หรอื P(n, r)

• C ใน Cn, r มาจากคําวา Combination ในภาษาอังกฤษ ซ่ึงมีความหมายวา “การจัดหมู”
ซงึ่ ในบางตําราจะใชส ัญลักษณเ ปน Crn, nCr , nCr หรือ C (n, r)

3.7 ตวั อยางแบบทดสอบประจําบทและเฉลยตวั อยางแบบทดสอบประจําบท

ในสวนนี้จะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 3 หลักการนับเบ้ืองตน สําหรับรายวิชา
พื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 ซ่ึงครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรู
ที่ตองการวดั ผลประเมินผล

ตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท
1. ในการเดินทางจากเมือง A ไปเมือง B สามารถไปทางถนนสายตรงได 2 เสนทาง และ

สามารถไปทางถนนที่ผานเมือง C ได โดยมีถนนจากเมือง A ไปเมือง C จํานวน 2 เสนทาง
และมีถนนจากเมือง C ไปเมือง B จํานวน 3 เสนทาง จะมีวิธีเดินทางจากเมือง A ไป
เมอื ง B ไดท งั้ หมดกี่วธิ ี
2. ตึกเรียนหน่ึงมีประตู 3 ประตู ครูเลือกเดินเขาตึกเรียนดวยประตูหน่ึง ตอมานักเรียนสอง
คนตองการเดินเขาตึกเรียนโดยใชประตูที่ตางจากครู จะมีวิธีเขาตึกเรียนสําหรับครูและ
นกั เรียนไดทง้ั หมดก่ีวิธี

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลกั การนบั เบอื้ งตน 93
คูม ือครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4

3. นิภาตองการต้ังรหัสผานสําหรับบัตรเอทีเอ็ม เปนรหัส 4 หลัก ที่ประกอบดวยตัวอักษร
ภาษาอังกฤษตัวพิมพเล็กหน่ึงหลัก และอีกสามหลักท่ีเหลือประกอบดวยเลขโดดต้ังแต 0 ถึง 9
นิภาจะตงั้ รหัสทแี่ ตกตางกนั ไดทัง้ หมดก่ีรหสั

4. วิภูตองการต้ังรหัสกระเปาซ่ึงประกอบดวยเลขโดดต้ังแต 0 ถึง 9 จํานวน 3 ตัว จะมีรหัส
ทั้งหมดก่ีรหัสที่เลขโดดในหลักสุดทายเปนจํานวนคู และเลขโดดในตําแหนงที่อยูติดกัน
ตา งกนั

5. พรรณภามีแหวน 4 วง สรอยคอ 3 เสน พรรณภาตองการเลือกใสเครื่องประดับโดยใส
แหวนไมเ กนิ 1 วง และใสสรอยคอไมเกนิ 1 เสน พรรณภาจะเลอื กใสเครื่องประดับไดก่วี ิธี

6. จงหาวาจะมีวธิ แี จกของขวญั ท่ีแตกตางกนั 7 ชน้ิ ใหเด็ก 7 คน คนละ 1 ชน้ิ ไดก ่วี ธิ ี
7. จงหาวาจะมีวิธีแจกของขวัญท่ีแตกตางกัน 7 ชิ้น ใหเด็ก 8 คน โดยเด็กแตละคนได

ของขวญั ไมเกิน 1 ชน้ิ ไดก ี่วธิ ี
8. มจี ุด 10 จุดอยูบนระนาบ โดยไมมีสามจุดใดอยูบนเสนตรงเดียวกัน จะวาดรูปสามเหล่ียม

ท่มี จี ดุ เหลา นี้เปนจดุ ยอดไดท้งั หมดกี่รูป
9. เซต A มสี มาชิก 7 ตัว จะมีสบั เซตท่มี สี มาชิก 4 ตัว ไดท้ังหมดกี่สบั เซต
10. จงหาวาจะมีวิธีแบงคน 9 คน ใหไปเที่ยวภูเขา 3 คน ไปเท่ียวทะเล 3 คน และไปทําบุญ

ทวี่ ดั 3 คน ไดก ี่วิธี
11. ตอ งการสรา งรหสั ท่ปี ระกอบดวยเลขโดดตั้งแต 1 ถึง 9 จํานวนหาหลัก จะมีรหัสท่ีมีสามหลัก

เปนเลขโดดตัวเดียวกัน และอีกสองหลักที่เหลือเปนเลขโดดตัวเดียวกัน (เชน 25252)
ไดทั้งหมดกีร่ หสั

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลกั การนบั เบื้องตน
94 คูมอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4

ตัวอยา งแบบทดสอบประจําบท

1. พจิ ารณาการเดนิ ทางจากเมือง A ไปเมือง B ไดดงั น้ี
กรณที ี่ 1 เดนิ ทางโดยถนนสายตรง มีเสน ทาง 2 เสนทาง
กรณีท่ี 2 เดินทางโดยผา นเมอื ง C
ขนั้ ตอนที่ 1 เดินทางจากเมอื ง A ไปเมือง C มเี สนทาง 2 เสน ทาง
ข้นั ตอนท่ี 2 เดนิ ทางจากเมือง C ไปเมือง B มีเสนทาง 3 เสน ทาง
จากหลักการคูณ จึงไดวา จะเดินทางจากเมือง A ไปเมือง B โดยผาน
เมอื ง C ทําได 2×3 =6 วธิ ี
จากหลกั การบวก จึงไดว า จะมวี ธิ เี ดินทางจากเมือง A ไปเมอื ง B ไดทง้ั หมด 2 + 6 =8 วธิ ี

2. การเขาตกึ เรยี นสาํ หรบั ครแู ละนกั เรยี น ประกอบดว ย 2 ขนั้ ตอน ดงั นี้
ข้นั ตอนท่ี 1 ครเู ลอื กเดนิ เขา ตึกเรียนดว ยประตูหนงึ่ จากประตูทั้งหมด 3 ประตู
ทาํ ได 3 วิธี
ข้นั ตอนที่ 2 นกั เรยี นสองคนเลือกเดนิ เขาตกึ เรยี นโดยใชประตูทีต่ า งจากครู
ทาํ ได 2× 2 =4 วธิ ี
จากหลักการคูณ จึงไดวา จะมีวิธเี ขา ตึกเรยี นสําหรับครูและนักเรียนไดท ั้งหมด 3× 4 =12 วธิ ี

3. รหสั ผา นของนิภา ประกอบดวย 2 สวน ดังนี้
สว นท่ี 1 ตวั อักษรภาษาองั กฤษ 1 ตวั ประกอบดวย 2 ข้ันตอน ดงั น้ี
ขั้นตอนท่ี 1 เลือกหลักท่ีจะเปน ตัวอกั ษรภาษาอังกฤษ ได 4 วธิ ี
ข้นั ตอนท่ี 2 เลือกตัวอกั ษรภาษาอังกฤษเพ่ือเปนรหสั ในหลักนี้ ได 26 วิธี
จากหลกั การคูณ จึงไดว า จะมีวธิ ตี ัง้ รหัสดว ยตวั อกั ษรภาษาองั กฤษ เทากับ
4× 26 =104 วิธี

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลกั การนบั เบือ้ งตน 95
คูมอื ครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4

สว นที่ 2 รหัสอกี สามหลกั ทีเ่ หลือเปน เลขโดดตั้งแต 0 ถึง 9 ทาํ ได 10×10×10 =1,000 วิธี
จากหลักการคูณ จงึ ไดว า นิภาจะต้งั รหัสทแ่ี ตกตางกนั ไดทั้งหมด 104×1000 =104,000 รหัส
4. รหัสกระเปาของวภิ ปู ระกอบดว ยเลขโดดตงั้ แต 0 ถงึ 9 จาํ นวน 3 ตวั
ซ่ึงมีขัน้ ตอนการตัง้ รหสั กระเปา ดงั นี้

หลักที่ 1 หลักท่ี 2 หลักที่ 3

ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปนหลักที่ 3 จากเลขโดด 0, 2, 4, 6, 8 ได 5 วิธี
ข้ันตอนที่ 2 เลอื กเลขโดด 1 ตวั เปน หลกั ท่ี 2 จากเลขโดด 0, 1, 2, …, 9

ทีไ่ มซ ้ํากบั หลักสุดทา ย ได 9 วธิ ี
ขั้นตอนท่ี 3 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปน หลกั ท่ี 1 จากเลขโดด 0, 1, 2, …, 9

ท่ไี มซ ํา้ กับหลักที่ 2 ได 9 วธิ ี
จากหลักการคณู จึงไดว า จะมีรหัสท้ังหมด 5×9×9=405 รหัส
5. วิธที ่ี 1 การเลอื กใสเครอ่ื งประดับของพรรณภามไี ด 3 กรณี

กรณที ี่ 1 เลือกใสแ หวน 1 วง ทําได 4 วธิ ี
กรณที ่ี 2 เลือกใสส รอยคอ 1 เสน ทาํ ได 3 วธิ ี
กรณีที่ 3 เลอื กใสท้งั แหวนและสรอยคอ ทําได 4×3 =12 วธิ ี
จากหลักการบวก จึงไดว า พรรณภาจะเลือกใสเ คร่ืองประดับได 4 + 3 +12 =19 วิธี
วธิ ีท่ี 2 การเลอื กใสเคร่อื งประดบั ของพรรณภามี 2 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1 พรรณภาเลือกใสแหวน 1 วง จากแหวนที่มีอยู 4 วง หรือเลือก

ไมใ สแ หวน
น่ันคือ พรรณภาเลอื กใสแหวนไดท ้ังหมด 5 วธิ ี

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลกั การนบั เบือ้ งตน
96 คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

ขนั้ ตอนท่ี 2 พรรณภาเลือกใสสรอย 1 เสน จากสรอยท่ีมีอยู 3 วง หรือเลือก

ไมใสสรอย

นน่ั คอื พรรณภาเลือกใสส รอยไดทั้งหมด 4 วิธี

จากหลักการคูณ จึงไดว า พรรณภาจะเลือกใสเ ครื่องประดบั ได 5× 4 =20 วธิ ี

แตเ นือ่ งจากพรรณภาจะตอ งเลือกใสเ คร่ืองประดบั อยางใดอยา งหนง่ึ

นั่นคอื จะไมเกิดกรณที ีพ่ รรณภาไมใ สท ้ังแหวนและสรอย

ดงั น้ัน พรรณภาจะเลือกใสเคร่ืองประดบั ได 20 −1=19 วธิ ี

6. จํานวนวิธีแจกของขวญั ที่แตกตา งกัน 7 ช้นิ ใหเด็ก 7 คน คนละ 1 ชนิ้

เทากับ P77 = 5,040 วธิ ี
7. จํานวนวิธีแจกของขวัญท่ีแตกตางกัน 7 ชิ้น ใหเด็ก 8 คน โดยเด็กแตละคนไดของขวัญ

ไมเ กนิ 1 ชน้ิ เทา กบั P8,7 = 40,320 วธิ ี
8. เนือ่ งจากมจี ดุ 10 จดุ อยูบนระนาบ โดยไมม สี ามจุดใดอยบู นเสน ตรงเดียวกนั

ดงั นัน้ เม่ือลากสว นของเสน ตรงเชื่อมจดุ 3 จดุ จะไดร ปู สามเหลีย่ ม

จะไดวา จํานวนรูปสามเหลี่ยมทม่ี ีจุดยอดอยูท่ีจดุ ท่ีกาํ หนดใหม ี C10,3 =120 รูป
9. เซต A ซึ่งมีสมาชกิ 7 ตวั จะมสี ับเซตทมี่ สี มาชิก 4 ตวั ไดท้ังหมด C7,4 = 35 สบั เซต
10. การแบง คน 9 คน ใหไ ปเที่ยวภเู ขา ไปเทย่ี วทะเล และไปทาํ บุญที่วดั ทาํ ไดด ังนี้

ขนั้ ตอนที่ 1 เลือกคน 3 คน ไปเท่ยี วภูเขา จากคนท้งั หมด 9 คน

ทําได C9 , 3 = 9! วธิ ี
6!3!

ข้นั ตอนที่ 2 เลอื กคน 3 คน ไปเทย่ี วทะเล จากคน 6 คน ทีเ่ หลือจากขั้นตอนท่ี 1

ทําได C6 , 3 = 6! วิธี
3!3!

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลกั การนบั เบอื้ งตน 97
คมู อื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4

ขน้ั ตอนท่ี 3 เลือกคน 3 คน ไปทาํ บญุ ท่ีวดั จากคน 3 คน ทีเ่ หลอื จากขน้ั ตอนท่ี 2
ทาํ ได 1 วธิ ี

จากหลกั การคูณ จะไดว า จํานวนวธิ แี บง คน 9 คน ใหไปเทย่ี วภูเขา 3 คน ไปเท่ยี วทะเล 3 คน

และไปทาํ บญุ ท่วี ัด 3 คน เทา กบั 9! × 6! ×1 =1,680 วิธี

6!3! 3!3!

11. การสรางรหสั ที่ตอ งการประกอบดวยขน้ั ตอน ดงั น้ี
หลกั ที่ 1 หลกั ที่ 2 หลกั ท่ี 3 หลกั ที่ 4 หลกั ท่ี 5

ขนั้ ตอนที่ 1 เลือกหลกั 3 หลกั ท่ีจะมรี หัสเปนเลขโดดตวั เดียวกัน
ทาํ ได C5,3 =10 วิธี

ข้นั ตอนที่ 2 เลือกเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดด 1, 2, … , 9 เพื่อเปน รหัสในหลกั ทเี่ ลอื ก
ในขั้นตอนท่ี 1 ทาํ ได 9 วิธี

ขั้นตอนที่ 3 เลือกเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดด 1, 2, … , 9 ท่ไี มซํ้ากับขั้นตอนท่ี 2
เพอ่ื เปน รหสั ในสองหลักที่เหลอื ทําได 8 วธิ ี

จากหลักการคูณ จะไดวา มีรหัสที่ประกอบดวยเลขโดดตั้งแต 1 ถึง 9 จํานวน 5 หลัก
โดยมีสามหลักเปนเลขโดดตัวเดียวกัน และอีกสองหลักท่ีเหลือเปนเลขโดดตัวเดียวกัน
ท้ังหมด 10× 9×8 =720 รหสั

3.8 เฉลยแบบฝกหัด

คมู ือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 แบงการเฉลยแบบฝกหัดเปน 2 สวน
คือ สวนที่ 1 เฉลยคําตอบ และสวนที่ 2 เฉลยคําตอบพรอมวิธีทําอยางละเอียด ซ่ึงเฉลย

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลกั การนบั เบอ้ื งตน
98 คมู ือครูรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4

แบบฝกหัดที่อยูในสวนน้ีเปนการเฉลยคําตอบของแบบฝกหัด โดยไมไดนําเสนอวิธีทํา อยางไรก็
ตามครสู ามารถศกึ ษาวธิ ที ําโดยละเอียดของแบบฝกหดั ไดในสว นทา ยของคมู ือครเู ลมนี้

แบบฝก หัด 3.1 2) 30 วิธี
1. 25 วิธี 2) 810 จํานวน
2. 13 รูป 2) 360 วธิ ี
3. 90 วธิ ี
4. 1,738,283,976 ตวั 2) 90
5. 1) 6 วธิ ี 4) 1

3) 30 วธิ ี
6. 1) 900 จาํ นวน

3) 90 จาํ นวน
7. 676 คาํ
8. 1) 1,296 วธิ ี

แบบฝกหดั 3.2
1. 362,880 วธิ ี
2. 1) 1,680 จ

3) 120 จ
3. 24 จํานวน

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบ้อื งตน 99
คูมือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4

4. 15,120 วิธี
5. 120 วธิ ี

แบบฝกหดั 3.3

1. 56 วธิ ี

2. 15 วธิ ี

3. 21,162,960 วิธี

4. 1) 1,001 วิธี จ 2) 70 วธิ ี

3) 210 วธิ ี จ

5. 45 วธิ ี

6. 1) 676 วิธี จ 2) 12 วธิ ี

3) 0 วิธี นั่นคือ ไมสามารถหยิบไพ 2 โพดํา ท้ังสองใบจากไพหนึ่งสํารับ โดยหยิบไพ

ทีละใบและไมใสคนื กอนหยบิ ใบท่ีสองได

แบบฝกหดั ทา ยบท 2) 18,720 รหัส

1. 22 รปู สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
2. 6 วิธี
3. 15,600 ท่ีน่งั
4. 10,156,250 วธิ ี
5. 1) 25,974 รหัส จ
6. 109,879,011 หมายเลข

บทที่ 3 | หลกั การนบั เบือ้ งตน 2) 30 วิธี จ
100 คมู อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 2) 21 วิธี จ

7. 60 จาํ นวน
8. 1,024 วธิ ี
9. 1) 6 วิธี จ
10. 360 วิธี
11. 5,527,200 วธิ ี จ
12. 45 เสน
13. 300 ภาพ
14. 2,400 วธิ ี
15. 1) 45 วธิ ี จ
16. 399,000 วิธี
17. 34 วธิ ี

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 101
คมู อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4

บทที่ 4
ความนาจะเปน

การศึกษาเรื่องความนาจะเปนมีความสําคัญ เนื่องจากความนาจะเปนจะชวยใหนักเรียนรูจัก
การแกปญหาท่ีเกี่ยวของกับการคาดการณบางอยาง ดังนั้นการศึกษาเร่ืองน้ีจะเปนเคร่ืองมือ
ท่ีจะชวยใหนักเรียนนําความรูที่ไดไปชวยในการวางแผนและการตัดสินใจไดอยางมีหลักการ
มากขึ้น เนื้อหาเรื่องความนาจะเปนที่นําเสนอในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 น้ีมีตัวอยางที่เพียงพอสําหรับเปนพ้ืนฐานในการเรียนรูเกี่ยวกับ
ความนาจะเปน ท้งั ท่ีเปน ตวั อยางทสี่ ามารถพบเห็นไดในชีวิตประจําวัน และตัวอยางที่เก่ียวของ
กบั ปญ หาทางคณิตศาสตร โดยบทเรียนนีม้ ุงใหนกั เรียนบรรลุตวั ชีว้ ัดและจดุ มงุ หมายดงั ตอ ไปน้ี

ตวั ชี้วดั
หาความนา จะเปนและนําความรเู ก่ยี วกบั ความนา จะเปนไปใช

จดุ มุง หมาย

1. หาปรภิ มู ติ วั อยางและเหตกุ ารณ
2. ใชค วามรเู กี่ยวกับความนาจะเปน ในการแกปญหา

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน
102 คมู อื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4

ความรกู อ นหนา

• ความรูเกย่ี วกบั จาํ นวนในระดับมัธยมศึกษาตอนตน
• เซต
• หลกั การนบั เบอ้ื งตน

4.1 เนื้อหาสาระ

1. การทดลองสมุ คือ การทดลองซึง่ ทราบวาผลลัพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถ

บอกไดอยางแนนอนวาในแตละคร้ังท่ีทดลอง ผลท่ีเกิดข้ึนจะเปนอะไรในบรรดาผลลัพธ

ที่อาจเปน ไดเ หลา น้ัน

2. ปริภูมิตัวอยาง หรือ แซมเปลสเปซ คือ เซตที่มีสมาชิกเปนผลลัพธท่ีอาจจะเปนไปได

ทั้งหมดของการทดลองสมุ

3. เหตุการณ คอื สับเซตของปริภูมติ วั อยา ง

4. ให S แทนปรภิ มู ิตวั อยา งของการทดลองสุมซึ่งเปน เซตจํากัด

โดยสมาชิกทกุ ตวั ของ S มโี อกาสเกิดขึน้ ไดเทากัน

และให E เปนสบั เซตของ S ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณ E

เขียนแทนดว ย P(E) โดยท่ี P(E) = n(E)
n(S)

เม่ือ n(E) แทนจาํ นวนสมาชกิ ของเหตุการณ E

n(S ) แทนจํานวนสมาชิกของปริภูมติ ัวอยา ง S

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 103
คมู ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4

4.2 ขอเสนอแนะเกีย่ วกับการสอน

ครูอาจนาํ เขา สูบ ทเรยี นเรือ่ งความนาจะเปน โดยใชก จิ กรรมเก่ียวกับ Galton board ดังนี้

กิจกรรม : Galton board

ขน้ั ตอนการปฏิบัติ
1. ครแู นะนํา Galton board ใหน กั เรยี นรูจัก ซึง่ เปน กระดานทม่ี ลี กั ษณะดังรูป

2. ครูใหนักเรียนอภิปรายและคาดการณวา หากเทลูกแกวจํานวน 100 ลูก ลงไปในชอง
ดานบนของ Galton board ลูกแกวจะตกลงไปในชองใดมากที่สุด พรอมใหเหตุผล
ประกอบการคาดการณ

3. ครูอาจใหนักเรียนหาความรูเพิ่มเติม เชน คนหาวีดิทัศนเก่ียวกับการทดลองเทลูกแกว
ลงใน Galton board โดยใชคาํ คน หาวา Galton board จากนั้นครูและนักเรียนรวมกัน
สรปุ ผลการทดลอง

4. ครูสรุปวา ผลการทดลองดงั กลา วสามารถอธิบายไดโ ดยใชความรเู กี่ยวกบั ความนา จะเปน
ท่ีจะไดเรียนในบทน้ี

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ความนาจะเปน
104 คูม ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4

หมายเหตุ
• ครแู ละนักเรยี นอาจประดิษฐ Galton board โดยใชอปุ กรณอยางงา ย เชน ไม หลอด โฟม

หมุด และลูกปดทรงกลม ในลกั ษณะดงั รปู

• นักเรียนอาจยังไมสามารถตอบหรือคาดการณไดถูกตอง แตครูควรสงเสริมใหนักเรียน
ใหเ หตผุ ลประกอบคาํ ตอบ โดยแนวคําตอบของนักเรยี น อาจเปน ดงั น้ี
o ลูกแกว จะตกลงไปในชองกลางมากทีส่ ดุ เพราะเปนชองทีต่ รงกับตาํ แหนงที่ปลอยลูกแกว
o ลูกแกวจะตกลงไปแตละชองเทา ๆ กัน เพราะแตละชองกวางเทากันและลูกแกว
แตละลูกมขี นาดเทา กนั
o ไมสามารถระบุไดวาลูกแกวจะตกลงไปในชองใดมากที่สุด เน่ืองจากเมื่อลูกแกว
กระทบกบั หมุด ลกู แกว อาจตกลงไปทางซายหรือขวากไ็ ด ซึ่งไมส ามารถคาดเดาได

การทดลองสมุ และเหตกุ ารณ

ประเดน็ สาํ คญั เกี่ยวกับเน้ือหาและส่ิงทีค่ วรตระหนกั เกีย่ วกับการสอน
• ตัวอยางเกี่ยวกับการทดลองสุมที่นําเสนอในหนังสือเรียนเปนตัวอยางที่เพียงพอ

สาํ หรับเปน พ้ืนฐานในการเรยี นเก่ยี วกับปรภิ มู ิตัวอยาง เหตุการณ และความนา จะเปน

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 105
คมู อื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4

• ในการสอนเร่ืองการทดลองสุมในระดับน้ี ไมไดเนนใหนักเรียนจําแนกสถานการณ
ท่ีกําหนดใหวาเปนการทดลองสุมหรือไม แตตองการใหนักเรียนเขาใจความหมาย
ของการทดลองสุม

ความนาจะเปน

ครอู าจนําเขา สบู ทเรียน เรือ่ ง ความนาจะเปน โดยใหนกั เรยี นทาํ กิจกรรม The Last Banana

กจิ กรรม : The Last Banana

ขน้ั ตอนการปฏิบตั ิ
1. ครูแบงกลุมนกั เรียน 3 – 4 คน แบบคละความสามารถ จากนั้นครูใหนักเรียนศึกษาสถานการณ

ปญหา The Last Banana ซ่ึงในสถานการณปญหาน้ีผูเลน 2 คน จะทอดลูกเตา 2 ลูก
ผูเลนคนที่ 1 จะเปนผูชนะ ถาจํานวนที่มากท่ีสุดที่ไดจากการทอดลูกเตาแตละคร้ังเปน
1, 2, 3 หรือ 4 แตผูเลนคนท่ี 2 จะเปนผูชนะ ถาจํานวนที่มากท่ีสุดท่ีไดจากการทอดลูกเตา
แตละครั้งเปน 5 หรือ 6 ครูอาจใหนักเรียนหาแหลงความรูเพิ่มเติม เชน คนหาวีดิทัศน
เกีย่ วกับสถานการณป ญหา The Last Banana โดยใชคาํ คน หาวา The Last Banana
2. ครูใหนักเรียนแตละกลุมพิจารณาวาผูเลนคนใดในสถานการณปญหา The Last Banana
จะมโี อกาสเปน ผชู นะ พรอมใหเหตุผลประกอบ
3. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายสถานการณปญหา The Last Banana โดยเชื่อมโยงกับ
ความรู เรอ่ื ง ปรภิ ูมติ ัวอยางและเหตุการณ พรอมท้ังหาจํานวนสมาชิกของปริภูมิตัวอยาง
เหตกุ ารณทผี่ เู ลน คนที่ 1 จะเปนผชู นะ และเหตกุ ารณท่ผี ูเลนคนท่ี 2 จะเปนผูชนะ

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน
106 คูม ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4

4. ครใู หนักเรียนหา
o อัตราสว นระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่ผูเลนคนท่ี 1 จะเปนผูชนะตอจํานวน
สมาชิกของปริภมู ิตวั อยา ง
o อตั ราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่ผูเลนคนท่ี 2 จะเปนผูชนะตอจํานวน
สมาชกิ ของปรภิ ูมติ ัวอยาง

5. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายเก่ียวกับคําตอบที่ไดในขอ 4 โดยเช่ือมโยงกับบทนิยาม
เกยี่ วกบั ความนา จะเปน

หมายเหตุ
• ในการอภิปรายคําตอบครูอาจเปดคลิปวีดิทัศนเพ่ือประกอบการอธิบาย หรือเขียนแผนภาพ

แสดงผลลัพธท่ีเปนไปไดท้ังหมดของการทดลองสุมของการทอดลูกเตาที่เที่ยงตรงสองลูก
หน่งึ ครงั้ ดังแสดงในหนังสือเรียนรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4

ประเดน็ สําคัญเกยี่ วกับเน้อื หาและสิง่ ทคี่ วรตระหนกั เก่ยี วกบั การสอน

• ครูควรเนนย้ําวาปริภูมิตัวอยางที่ใชในการคํานวณ เรื่อง ความนาจะเปนในระดับน้ี
จะตองประกอบดวยสมาชิกทม่ี โี อกาสเกิดขึ้นไดเทากนั

• ในการหาความนาจะเปนของเหตุการณ อาจพิจารณาเพียงจํานวนสมาชิกของ
ปริภมู ติ วั อยางและเหตกุ ารณ ซงึ่ ไมจ ําเปนตองเขียนแจกแจงสมาชิกทุกตัว โดยเฉพาะเม่ือ
ปริภมู ิตวั อยางและเหตุการณเ ปน เซตทีม่ จี ํานวนสมาชิกมาก

• ในการแกปญหาเก่ียวกับความนาจะเปน อาจเช่ือมโยงความรูเรื่องหลักการนับเบ้ืองตน
มาใชใ นการแกป ญหา

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 107
คมู อื ครูรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4

ประเดน็ สําคญั เก่ียวกบั แบบฝก หัด

แบบฝก หัด 4.2
5. กลองใบหนงึ่ บรรจุหลอดไฟ 5 หลอด ในจํานวนน้ีมีหลอดดี 3 หลอด และหลอดเสีย
2 หลอด ถาสุมหยิบหลอดไฟ 2 หลอด จงหาความนาจะเปนท่ีจะไดหลอดดี 1 หลอด
และหลอดเสยี 1 หลอด

แบบฝกหดั น้ไี มไ ดร ะบุวาการหยบิ หลอดไฟเปน การหยิบพรอมกัน (ลําดับไมสําคัญ) หรือหยิบ
ไมพรอ มกนั (ลาํ ดบั สาํ คัญ) แตส ําหรบั ขอ นไี้ มวาจะหยิบอยางไร ความนา จะเปน ทไี่ ดจ ะเทากัน

4.3 แนวทางการจดั กิจกรรมในหนงั สือเรียน

กจิ กรรม : Monty Hall Problem

Monty Hall Problem เปนปญหาคณิตศาสตรซ่ึงมีที่มาจากเกมโชวทางโทรทัศนช่ือ Let’s
Make a Deal โดยออกอากาศในสหรัฐอเมริกาเมื่อ ค.ศ. 1984 – 1986 และ Monty Hall
เปนพิธีกรของรายการ กติกาของเกมโชวนี้มีอยูวา “มีประตูท่ีมีลักษณะเหมือนกันอยู
สามบาน คือ ประตูหมายเลข 1, 2 และ 3 โดยดานหลังประตูท้ังสามบานนี้จะมีประตูเพียง
บานเดียวที่มีรถยนตซึ่งเปนของรางวัลใหญอยู และอีกสองบานที่เหลือจะมีแพะอยู
ผูเขาแขง ขันสามารถเลือกประตูบานใดก็ได 1 บาน เม่ือผูเขาแขงขันเลือกประตูหมายเลขใด
หมายเลขหน่ึงแลวพิธีกรจะเลือกเปดประตูท่ีมีแพะ 1 บาน จากประตูสองบานท่ีผูเขาแขงขัน
ไมไดเลือก ดังน้ัน ตอนนี้จะมีประตูที่ยังปดอยูสองบาน ประตูบานหนึ่งคือประตูท่ี
ผูเขาแขงขันเลือก และประตูอีกบานหน่ึงคือประตูท่ีผูเขาแขงขันไมไดเลือก จากน้ันพิธีกร
บอกผเู ขา แขงขนั วา ใหโ อกาสผูเ ขา แขง ขนั สามารถเปลีย่ นใจมาเลือกประตูอีกบานหนึง่ ได”

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน
108 คมู ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

ข้ันตอนการปฏบิ ตั ิ
1. จากสถานการณที่กําหนดให ถานักเรียนเปนผูเขาแขงขัน ควรจะเลือกเปล่ียนประตู

หรือไม เพราะเหตุใด
2. เปด เว็บไซต goo.gl/9c2kWZ
3. ทดลองเลนเกม โดยคลิกเลือกประตูหมายเลข 1, 2 หรือ 3 จากนั้นโปรแกรมจะเปด

ประตูบานที่เหลือที่มีแพะอยู 1 บาน คลิกเลือกวาจะเปล่ียนหรือไมเปลี่ยนประตู
ตามทต่ี ดั สนิ ใจในขอ 1

4. ทดลองเลนเกมอยางนอย 30 ครัง้ โดยเลอื กไมเปล่ยี นประตู
ใหนกั เรียนทําเคร่ืองหมาย X ลงในตารางตามผลลัพธท ่ีไดจากการเปดประตูท่ีนักเรียนเลือก

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ความนา จะเปน 109
คมู อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4

กรณีไมเปลย่ี นประตู ครัง้ ท่ี รถ แพะ ครง้ั ท่ี รถ แพะ
ครง้ั ที่ รถ แพะ
11 21
1 12 22
2 13 23
3 14 24
4 15 25
5 16 26
6 17 27
7 18 28
8 19 29
9 20 30
10

5. จากการทดลองในขอ 4 จงหาวาอัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณท่ีเปด
ประตแู ลวมรี ถยนตก ับจาํ นวนการทดลองเลน เกม 30 ครงั้ คิดเปน เทาใด

6. ทดลองเลน เกมอยางนอ ย 30 คร้งั โดยเลือกเปลี่ยนประตู
ใหน ักเรียนทําเคร่ืองหมาย X ลงในตารางตามผลลัพธท ่ีไดจ ากการเปดประตูทน่ี ักเรียนเลอื ก

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน
110 คูม อื ครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4

กรณีเปล่ียนประตู คร้งั ที่ รถ แพะ คร้งั ที่ รถ แพะ
ครั้งท่ี รถ แพะ
11 21
1 12 22
2 13 23
3 14 24
4 15 25
5 16 26
6 17 27
7 18 28
8 19 29
9 20 30
10

7. จากการทดลองในขอ 6 จงหาวาอัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่เปดประตู
แลวมีรถยนตกับจาํ นวนการทดลองเลน เกม 30 คร้งั คิดเปน เทา ใด

8. จากผลการทดลองขางตน นักเรียนคิดวาการเลือกเปลี่ยนหรือไมเปลี่ยนประตู มีผลตอ
การไดร างวลั หรอื ไม เพราะเหตใุ ด

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 111
คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

เฉลยกจิ กรรม : Monty Hall Problem

1. คําตอบของผูเรียนในขอน้ีอาจเปนเพียงการคาดเดาก็ได ข้ึนกับเหตุผลประกอบคําตอบ
ของผเู รียน

2. –
3. –
4. กรณีไมเ ปลี่ยนประตู

ครัง้ ท่ี รถ แพะ ครงั้ ที่ รถ แพะ ครง้ั ท่ี รถ แพะ

1X 11 X 21 X
2X 12 X 22 X
3X 13 X 23 X
4X 14 X 24 X
5X 15 X 25 X
6X 16 X 26 X

7X 17 X 27 X

8X 18 X 28 X
9X 19 X
10 X 20 X 29 X
30 X

หมายเหตุ คําตอบข้นึ อยูกับการทดลองของผเู รยี น
5. จากการทดลองในขอ 4 จะไดวา อัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณท่ีเปด

ประตแู ลวมีรถยนตก บั จาํ นวนการทดลองเลนเกม 30 คร้ัง คิดเปน 7 ≈ 0.23
30

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน
112 คูม อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4

6. กรณีเปลี่ยนประตู

ครัง้ ท่ี รถ แพะ คร้ังท่ี รถ แพะ ครั้งที่ รถ แพะ

1X 11 X 21 X
2X 12 X 22 X
3X 13 X 23 X
4X 14 X 24 X
5X 15 X 25 X

6 X 16 X 26 X

7X 17 X 27 X
8X 18 X 28 X
9X 19 X 29 X
10 X 20 X 30 X

หมายเหตุ คําตอบขึ้นอยกู ับการทดลองของผูเรียน

7. จากการทดลองในขอ 6 จะไดวา อัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่เปด

ประตแู ลวมรี ถยนตกบั จํานวนการทดลองเลนเกม 30 ครั้ง คิดเปน 20 ≈ 0.67
30

8. การเลือกเปล่ียนหรือไมเปล่ียนประตูมีผลตอการไดรางวัล โดยจะมีโอกาสไดรางวัล

มากกวาถาเลอื กเปลยี่ นประตู ซึง่ พจิ ารณาจากอัตราสว นในขอ 5 และ 7

หมายเหตุ

1) คําตอบขึ้นอยูกับผลลัพธที่ไดจากการทดลองของนักเรียนในขอ 5 และ 7 ในกรณีที่มี

นักเรียนไดคําตอบในขอ 8 แตกตางจากเฉลย ครูควรใหนักเรียนเปรียบเทียบคําตอบกับ

เพื่อน และควรสงเสริมใหนักเรียนอภิปรายรวมกันเพ่ือใหไดขอสรุปวา จากผลลัพธท่ีได
จากการทดลองของนักเรียนสวนใหญ จะเห็นวาการเลือกเปลี่ยนประตูทําใหมีโอกาสได

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 113
คูมือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4

รางวัลมากกวาไมเ ปลยี่ นประตู
2. การทดลองขางตนเปนตัวอยางหนึ่งในการหาความนาจะเปนเชิงการทดลอง

(experimental probability)

แนวทางการจัดกจิ กรรม : Monty Hall Problem

เวลาในการจัดกจิ กรรม 50 นาที
กจิ กรรมน้ีเสนอไวใหนักเรียนใชความรู เร่ือง ความนาจะเปน เพ่ือแกปญหาในสถานการณท่ี
กําหนด ในการทํากิจกรรมนี้นักเรียนแตละคูควรมีเคร่ืองคอมพิวเตอรอยางนอย 1 เครื่อง
โดยครูอาจเลือกจัดกิจกรรมน้ีในหองคอมพิวเตอรก็ได กิจกรรมนี้มีสื่อ/แหลงการเรียนรู
และขัน้ ตอนการดาํ เนนิ กจิ กรรม ดังนี้
ส่ือ/แหลง การเรยี นรู
1. ใบกิจกรรม “Monty Hall Problem”
2. ไฟลก จิ กรรม Monty Hall Problem จากเว็บไซต goo.gl/9c2kWZ
ขัน้ ตอนการดาํ เนนิ กิจกรรม
1. ครนู ําเขา สูก จิ กรรมโดยเปด สอื่ วดี ิทัศนหรอื เลา เรือ่ งราวสน้ั ๆ เกี่ยวกับ Monty Hall Problem
2. ครูแจกใบกิจกรรม “Monty Hall Problem” ใหกับนักเรียนทุกคนและใหนักเรียนทํากิจกรรม

น้เี ปนคู
3. ครแู ละนกั เรียนรว มกนั อภิปรายปญหาจากสถานการณที่กําหนดให
4. ครูใหน ักเรียนตอบคําถามที่ปรากฏในขน้ั ตอนการปฏบิ ตั ิกิจกรรมขอ 1 ในใบกิจกรรม

พรอ มใหเหตผุ ลประกอบ โดยไมต อ งคํานึงถึงความถูกตองของคําตอบ

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน
114 คูมือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4

5. ครูใหนักเรียนแตละคูเปดไฟลกิจกรรม Monty Hall Problem จากเว็บไซต goo.gl/9c2kWZ
จากนั้นครชู ้แี จงวิธีใชไ ฟลก ิจกรรมใหน ักเรียนเขา ใจกอนเร่ิมทาํ กจิ กรรมในไฟลกิจกรรม

6. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามที่ปรากฏในข้ันตอนการปฏิบัติกิจกรรมขอ 3 – 7
ในใบกิจกรรม ซึ่งในระหวางท่ีนักเรียนทํากิจกรรมครูควรเดินดูนักเรียนใหทั่วถึงทุกกลุม และ
คอยช้ีแนะเมอ่ื นักเรียนพบปญหา

7. ครูใหนักเรียนตอบคําถามท่ีปรากฏในข้ันตอนการปฏิบัติกิจกรรมขอ 8 ในใบกิจกรรม
โดยใหน ักเรยี นพิจารณาจากผลการทดลองที่ได และใหนักเรียนเปรียบเทียบผลการทดลองกับ
นักเรยี นคูอื่น ๆ

8. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายและสรุปคําตอบของคําถามที่ปรากฏในขั้นตอนการปฏิบัติ
กจิ กรรมขอ 8 ในใบกิจกรรม

9. ครูอาจเพิ่มเติมวาการทดลองดังกลาว เปนตัวอยางหนึ่งในการหาความนาจะเปนที่เรียกวา
ความนา จะเปน เชงิ ประจักษ (empirical probability)

4.4 การวดั ผลประเมนิ ผลระหวางเรียน

การวดั ผลระหวา งเรียนเปนการวดั ผลการเรยี นรเู พื่อปรับปรุงและพัฒนาการเรียนการสอน และ
ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเรื่องท่ีครูสอนมากนอยเพียงใด
การใหนักเรียนทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหน่ึงท่ีครูอาจใชเพ่ือประเมินผลดานความรู
ระหวางเรียนของนักเรียน ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4
ไดน าํ เสนอแบบฝก หัดทคี่ รอบคลุมเนอ้ื หาทีส่ ําคัญของแตละบทไว สาํ หรับในบทที่ 4 ความนาจะเปน
ครอู าจใชแบบฝกหดั เพ่ือวัดผลประเมินผลความรูในแตละเนื้อหาไดดังน้ี

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ความนา จะเปน 115
คมู ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4

เน้ือหา แบบฝกหัด

การทดลองสุม ปรภิ ูมิตวั อยาง และเหตกุ ารณ 4.1 ขอ 1 – 3
ความนาจะเปนของเหตกุ ารณ 4.2 ขอ 1 – 8

4.5 การวเิ คราะหแบบฝกหดั ทายบท

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 มีจุดมุงหมายวาเม่ือนักเรียน
ไดเ รยี นจบบทที่ 4 ความนาจะเปน แลว นักเรยี นสามารถ

1. หาปรภิ มู ติ วั อยางและเหตุการณ
2. ใชความรเู กยี่ วกบั ความนาจะเปน ในการแกป ญหา
ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 ไดนําเสนอแบบฝกหัดทายบท
ที่ประกอบดวยโจทยเพ่ือตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมีวัตถุประสงคเพื่อวัดความรูความเขาใจ
ของนักเรียนตามจุดมุง หมาย ซงึ่ ประกอบดวยโจทยฝ กทักษะท่ีมีความนาสนใจและโจทยทาทาย
ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรคู วามเขา ใจของนกั เรยี นตามจุดมุงหมายของบทเพ่ือ
ตรวจสอบวานักเรยี นมีความสามารถตามจดุ มุงหมายเมอ่ื เรยี นจบบทเรยี นหรอื ไม

ทั้งน้ี แบบฝกหัดทายบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4
บทที่ 4 ความนา จะเปน สอดคลอ งกบั จุดมงุ หมายของบทเรยี น ดังน้ี

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ความนาจะเปน
116 คมู อื ครูรายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

ขอ จุดมุงหมาย
ยอ ย
ขอ หาปรภิ ูมิตวั อยางและเหตุการณ ใชค วามรูเกย่ี วกบั ความนา จะเปน
ในการแกป ญหา

1. 1) 
2) 
3) 
4) 
5) 

2. 1) 
2) 

3. 1) 
2) 
3) 
4) 
5) 

4. 1) 
2) 
3)
4)
5)

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 117
คมู อื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4

ขอ จดุ มงุ หมาย
ยอ ย
ขอ หาปริภูมติ ัวอยางและเหตกุ ารณ ใชความรูเก่ียวกับความนา จะเปน
ในการแกปญหา

5. 1) 
2) 
3) 

6. 1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 

7. 
8. 
9. 1) 

2) 
3) 
10. 1)
2)
11.

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน
118 คูมอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4

ขอ จดุ มงุ หมาย
ยอ ย
ขอ หาปรภิ มู ิตวั อยา งและเหตกุ ารณ ใชความรเู กย่ี วกับความนาจะเปน
ในการแกปญหา

12. 
13. 
14. 1)

2) 
15. 
16. 
17. 
18. 1) 

2) 
3) 
19. 
20. 
21. 
22.
23. 1)  ก
2)
3) 


สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 119
คูมือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 4

ขอ จดุ มุง หมาย
ยอย
ขอ หาปรภิ มู ติ วั อยา งและเหตกุ ารณ ใชค วามรเู กีย่ วกบั ความนาจะเปน
ในการแกปญ หา

4) 
24. 
25. 

4.6 ตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บทและเฉลยตวั อยา งแบบทดสอบประจาํ บท

ในสวนนี้จะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 4 ความนาจะเปน สําหรับรายวิชาพื้นฐาน
คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 ซ่ึงครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรู
ที่ตองการวัดผลประเมินผล

ตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บท

1. คนสองคนเลือกเลขโดดจาก 1 ถึง 5 โดยท่ีไมซํ้ากัน จงหาเหตุการณที่คนที่สองไดเลขโดด
ท่ีมีคามากกวา เลขโดดของคนแรก

2. ในการโยนเหรียญ 4 เหรียญ 1 คร้ัง จงหาความนาจะเปนท่ีจะไดจํานวนเหรียญท่ีข้ึนหัว
เทากบั จาํ นวนเหรียญที่ขนึ้ กอย

3. จงหาความนาจะเปนท่ีคนสองคนมีวันเกิด (อาทิตย – เสาร) วันเดียวกัน แตหมูเลือด
( A, B, AB, O) ตางกัน

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ความนาจะเปน
120 คมู ือครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4

4. ในการสมุ จํานวนทีม่ ีสี่หลัก มา 1 จาํ นวน จงหาความนาจะเปน ทีเ่ ลขโดดที่อยใู นหลักพันกับ
เลขโดดที่อยูหลักหนวยเปนเลขโดดเดียวกัน และเลขโดดที่อยูในหลักรอยกับเลขโดดที่อยู
ในหลกั สบิ เปนเลขโดดเดยี วกัน

5. ในการสุมจํานวนท่ีมีหาหลัก มา 1 จํานวน จงหาความนาจะเปนที่จะไดจํานวนที่มีหาหลัก
ท่ีประกอบดวยเลขโดด 5 ตัว ที่เปนจํานวนท่ีเรียงติดกันซ่ึงเพิ่มข้ึนหรือลดลงทีละหน่ึง
(เชน 23456, 76543 )

6. ในหอ งเรยี นที่มีนักเรียน 40 คน มีนักเรยี นทชี่ อบออกกาํ ลังกาย 25 คน มีนักเรียนที่ชอบดู
สารคดี 20 คน มีนกั เรียนท่ชี อบทงั้ ออกกาํ ลังกายและดูสารคดี 12 คน จงหาความนาจะเปน
ท่ีสมุ นักเรยี นมาหนงึ่ คนแลวไดน กั เรียนที่ชอบออกกาํ ลังกายหรือดูสารคดี

7. กลองใบหน่ึงบรรจุลูกบอลสีแดง 1 ลูก และสีขาว 9 ลูก สุมหยิบลูกบอลออกจากกลอง 3 ลูก
โดยหยิบทีละหน่ึงลูกและไมใสคืนกอนหยิบลูกบอลลูกตอไป จงหาความนาจะเปนท่ีหยิบ
ไมไดลูกบอลสแี ดงเลย

8. กลองใบหนง่ึ บรรจุสลาก 10 ใบ โดยเขียนหมายเลข 1 ถงึ 10 กํากับไว จงหาความนา จะเปน
ทจ่ี ะหยบิ สลากพรอมกนั 3 ใบ ไดสลากทผี่ ลบวกของหมายเลขบนสลากทงั้ สามเปน 17 และ
ไมมีใบใดเลยที่มหี มายเลขท่นี อ ยกวา 3

9. ณชิ าเลอื กรหสั 4 หลัก ซงึ่ ประกอบดวยเลขโดด 0 ถึง 9 จงหา
1) ความนาจะเปน ท่ีณชั ชาจะทายรหัสของณิชาถกู ตองเพยี งสองหลักสดุ ทา ย
2) ความนาจะเปน ทณี่ ชั ชาจะทายรหสั ของณชิ าถกู เพยี งสองหลกั เทาน้ัน

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ความนา จะเปน 121
คูมือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท

1. ให S แทนปริภูมติ วั อยางของการทดลองสมุ น้ี
จะได
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}

ให E แทนเหตกุ ารณท่คี นท่สี องไดเลขโดดทมี่ ีคามากกวา เลขโดดของคนแรก

ดังน้นั E = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}
2. ให S แทนปริภูมติ วั อยา งของการทดลองสมุ นี้

จะได n(S=) 2=4 16

ให E แทนเหตกุ ารณทจ่ี ะไดจํานวนเหรยี ญที่ขน้ึ หัวเทากับจาํ นวนเหรียญทข่ี ้ึนกอย
เน่อื งจากเหตุการณท ่ีจะไดจ าํ นวนเหรยี ญทีข่ ึ้นหวั เทากบั จาํ นวนเหรยี ญท่ีข้ึนกอย

คือ ไดเหรียญทขี่ น้ึ หวั 2 เหรียญ และไดเ หรียญที่ข้นึ กอ ย 2 เหรียญ จากการโยนเหรยี ญ
ทง้ั หมด 4 ครง้ั

นนั่ คือ n(=E ) C=4, 2 =4! 6 วธิ ี
2!2!

จะได P(E=) 6= 3

16 8

ดังน้นั ความนา จะเปนทจ่ี ะไดจาํ นวนเหรียญท่ขี นึ้ หัวเทากบั จาํ นวนเหรียญที่ข้ึนกอย คือ 3

8

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน
122 คูมือครูรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4

3. ให S แทนปรภิ มู ติ ัวอยางของการทดลองสุมน้ี
ขัน้ ที่ 1 คนท่ีหนึ่งเกิดวนั ใดก็ได และมีหมเู ลือดใดกไ็ ด มไี ด 7× 4 วธิ ี
ขน้ั ท่ี 2 คนทส่ี องเกดิ วันใดก็ได และมีหมูเลือดใดกไ็ ด มไี ด 7× 4 วิธี
จะได n(S ) =(7 × 4)(7 × 4)
ให E แทนเหตุการณท ่คี นสองคนมีวันเกิดวันเดียวกนั แตมีหมูเลอื ดตางกนั
ข้ันท่ี 1 คนทห่ี น่งึ เกิดวนั ใดก็ได และมีหมูเลือดใดกไ็ ด มีได 7× 4 วธิ ี
ขัน้ ที่ 2 คนที่สองเกิดวันเดียวกับคนที่หน่งึ แตม หี มเู ลือดตา งจากคนท่หี น่งึ มีได 1×3 วธิ ี
จะได n(E) =(7 × 4)(1× 3)

น่ัน=คอื P(E) =7 × 4 × 3 3
7×4×7×4 28

ดงั นั้น ความนาจะเปนทีค่ นสองคนมีวันเกดิ วันเดียวกนั แตมีหมูเลอื ดตางกัน คือ 3

28

4. ให S แทนปริภูมิตัวอยา งของการทดลองสุม นี้

เนื่องจากจํานวนท่ีมีสีห่ ลกั มีทั้งหมด 9,000 ตัว

จะได n(S ) = 9,000
ให E แทนเหตุการณท ีส่ ุมไดจาํ นวนทมี่ สี ีห่ ลกั ทมี่ เี ลขโดดที่อยูในหลกั พนั กบั เลขโดดท่ีอยูใน

หลกั หนวยเปน เลขโดดเดียวกัน และเลขโดดท่ีอยใู นหลักรอยกับเลขโดดที่อยูในหลกั สิบ
เปน เลขโดดเดียวกนั
เนอื่ งจากจาํ นวนท่ีมสี ห่ี ลกั ที่มเี ลขโดดทอ่ี ยูในหลักพนั กับเลขโดดทีอ่ ยูใ นหลักหนว ยเปน เลขโดด
เดยี วกัน และเลขโดดที่อยูในหลกั รอยกับเลขโดดทอี่ ยูในหลกั สบิ เปนเลขโดดเดียวกัน มีอยู
9×10×1×1 =90 จาํ นวน นนั่ คอื n(E) = 90

จะได P=(E) =90 1

9000 100

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 123
คมู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4

ดังน้ัน ความนาจะเปน ทีส่ ุม จาํ นวนที่มีสห่ี ลัก มา 1 จาํ นวน ไดจาํ นวนทมี่ สี ี่หลกั ที่มเี ลขโดดท่ีอยู
ในหลกั พนั กบั เลขโดดที่อยใู นหลกั หนวยเปนเลขโดดเดยี วกนั และเลขโดดท่ีอยูในหลกั รอยกับ

เลขโดดที่อยใู นหลักสบิ เปนเลขโดดเดยี วกนั คือ 1

100

5. ให S แทนปรภิ ูมติ วั อยา งของการทดลองสุม น้ี
เนือ่ งจากจาํ นวนท่ีมีหาหลักมีท้ังหมด 90,000 ตวั
จะได n(S ) = 90,000
ให E แทนเหตุการณทสี่ ุมไดจํานวนท่มี หี า หลักที่ประกอบ ดวยเลขโดด 5 ตัว ท่เี ปน จาํ นวนท่ี
เรียงตดิ กนั ที่เพ่ิมข้นึ หรือลดลงทลี ะหนงึ่
เนอื่ งจาก จํานวนทม่ี หี าหลักท่ีประกอบดวยเลขโดด 5 ตวั ที่เปนจาํ นวนทีเ่ รียงติดกันท่ีเพมิ่ ข้ึน
ทลี ะหน่งึ มีอยู 5 จํานวน ไดแก 12345, 23456, 34567, 45678 และ 56789
และจํานวนท่ีมีหา หลักทปี่ ระกอบดว ยเลขโดด 5 ตวั ทีเ่ ปนจาํ นวนที่เรียงติดกันที่ลดลงทลี ะหนง่ึ
มอี ยู 6 จาํ นวน ไดแก 98765, 87654, 76543, 65432, 54321 และ 43210
นน่ั คอื n(E) = 5 + 6 =11

จะได P(E) = 11

90000

ดังนน้ั ความนาจะเปนท่ีสมุ จํานวนที่มหี าหลัก มา 1 จํานวน ไดจาํ นวนที่มหี า หลักที่ประกอบ

ดว ยเลขโดด 5 ตัวที่ เปน จาํ นวนท่ีเรียงติดกนั ซ่ึงเพิ่มขึน้ หรือลดลงทลี ะหนึง่ คือ 11

90000

6. ให A แทนเซตของนักเรียนทชี่ อบออกกาํ ลงั กาย
B แทนเซตของนักเรยี นท่ีชอบดูสารคดี

มนี ักเรียนทช่ี อบออกกาํ ลงั กาย 25 คน น่นั คือ n( A) = 25
มนี กั เรียนที่ชอบดสู ารคดี 20 คน น่ันคอื n(B) = 20
มนี ักเรยี นท่ีชอบท้งั ออกกาํ ลงั กายและดสู ารคดี 12 คน นน่ั คือ n( A ∩ B) =12

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน
124 คมู อื ครูรายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4

จาก n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B)

= 25 + 20 −12
= 33

ดงั นั้น มีนักเรยี นทชี่ อบออกกําลงั กายหรอื ดสู ารคดี 33 คน

ให S แทนปริภูมิตัวอยางของการทดลองสมุ นี้

เน่ืองจากในหองเรยี นนี้มนี ักเรียน 40 คน

จะได n(S ) = 40

ให E แทนเหตกุ ารณท่ีไดน กั เรียนที่ชอบออกกําลงั กายหรือดสู ารคดี

จะได n(E) = 33

จะได P(E) = 33

40

ดังนนั้ ความนา จะเปน ที่จะไดน กั เรียนชอบออกกําลังกายหรือดสู ารคดี คือ 33

40

7. ให S แทนปรภิ ูมิตัวอยา งของการทดลองสมุ นี้

เน่อื งจากกลอ งใบน้บี รรจลุ กู บอลทง้ั หมด 10 ลูก

จะได n(S ) = C10,3 = 10 × 9 × 8
ให E แทนเหตกุ ารณท่หี ยิบไมไ ดล กู บอลสแี ดงเลย

จะได n(E) = 9×8× 7

จะได= P(E) 9=× 8× 7 7
10 × 9 × 8 10

ดงั น้นั ความนา จะเปน ที่หยบิ ไมไดล กู บอลสีแดงเลย คอื 7

10

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 125
คูม ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4

8. ให S แทนปริภมู ิตัวอยางของการทดลองสมุ นี้

เนื่องจากกลองใบน้ีบรรจุสลาก 10 ใบ และตอ งการหยบิ สลาก 3 ใบพรอมกนั

จะได n(=S ) C=10,3 1=0! 10 × 9=× 8 120
7!3! 3× 2

ให E แทนเหตกุ ารณที่จะหยิบสลาก 3 ใบ ไดสลากทผ่ี ลบวกของหมายเลขบนสลาก

ทั้งสามเปน 17 และไมมีใบใดเลยทมี่ ีหมายเลขที่นอยกวา 3

เนอ่ื งจากสลาก 3 ใบ ทผี่ ลบวกของหมายเลขบนสลากทง้ั สามเปน 17 และไมมใี บใดเลยที่มี

หมายเลขนอยกวา 3 ไดแ ก (3, 4, 10), (3, 5, 9), (3, 6, 8), (4, 5, 8) และ (4, 6, 7)

จะได n(E) = 5

จะได P(=E) =5 1

120 24

ดังนัน้ ความนาจะเปนที่หยบิ สลาก 3 ใบ ไดส ลากท่ีผลบวกของหมายเลขบนสลากทง้ั สาม

เปน 17 และไมม ีใบใดเลยท่มี ีหมายเลขท่นี อ ยกวา 3 คือ 1

24

9. ให S แทนปริภมู ติ วั อยางของการทดลองสุม นี้

จะได n(=S ) 1=04 10000

1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ณี่ ัชชาจะทายรหัสของณิชาถูกเพยี งสองหลักสุดทาย
จะได n( E1=) C9,1 × C9,1 ×1×=1 81

จะได P ( E1 ) = 81
10000

ดังน้นั ความนาจะเปน ท่ีณชั ชาจะทายรหสั ของณชิ าถกู เพียงสองหลกั สุดทา ย

คอื 81

10000

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนาจะเปน
126 คูมือครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4

2) ให E2 แทนเหตุการณทณี่ ชั ชาจะทายรหสั ของณิชาถกู เพียงสองหลกั เทานัน้

เลอื กหลักสองหลกั ที่ณัชชาจะทายไดถกู มีได C=4,2 =4! 6 แบบ
2!2!

จะได n( E2 ) =6 × C9,1 × C9,1 ×1×1 =486

จะได P=(E2 ) =486 243
10000 5000

ดังนัน้ ความนา จะเปนท่ณี ัชชาจะทายรหสั ของณิชาถูกเพยี งสองหลกั เทานนั้

คือ 243

5000

4.7 เฉลยแบบฝก หัด

คูมือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 แบงการเฉลยแบบฝกหัดเปน 2 สวน
คอื สว นท่ี 1 เฉลยคําตอบ และสวนท่ี 2 เฉลยคาํ ตอบพรอมวิธีทําอยางละเอียด ซ่ึงเฉลยแบบฝกหัด
ท่อี ยูใ นสวนนเ้ี ปน การเฉลยคําตอบของแบบฝกหัด โดยไมไดนําเสนอวิธีทํา อยางไรก็ตามครูสามารถ
ศกึ ษาวธิ ที าํ โดยละเอียดของแบบฝก หดั ทกุ ขอไดในสวนทายของคูมือครเู ลม น้ี

แบบฝก หัด 4.1

1. 1) S1 = {รสสม , รสองนุ , รสมะนาว, รสกาแฟ}
2) S2 = {0, 1, 2, 3, …, 10}
3) S3 = {ชช, ชพ, พช, พพ}
4) S4 = {3, 4, 5, …, 18}
5) S5 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 127
คูมือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4

2. 1) S = {HH , HT , TH , TT} 2) E1 = {HH}

3) E2 = {HT , TH} ก 2) E2 = {H 2, H 4, H 6}
3. 1) E1 = {T1, T 3, T 5}ก 4) E4 = ∅

3) E3 = {H 3, H 6, T 3, T 6} ก
5) E5 = S ก

แบบฝกหัด 4.2

1. 1) 3 2) 2
2. 1) 5 5
1
3) 2 2) 1
3
0
4) 1
3. 1) 1 3

3) 1 2) 1
5 2
4. 1) 3
4 4) 4
3) 1 5
5. 3 10
2) 19
5 20
6. 1

3
7. 3

4

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน
128 คูมอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4

8. 1) 2 2) 2
3) 3 3
1
2

แบบฝก หัดทา ยบท

1. 1) S = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT}

2) E1 = {HTT , THT , TTH} ก

3) E2 = {HHH} ก

4) E3 = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH} ก

5) E4 = {TTT} ก

2. 1) S = { RR, RW , RG, WR, WW , WG, GR, GW , GG }

2) E2 = {RW , WR}

3. 1) 53 2) 389
250 1000

3) 31 4) 21
250 200

5) 17
100

4. 1) 7 2) 1
20 2

3) 43 4) 1
100 10

5) 0

5. 1) 1 2) 8
5 25

3) 1
5

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 129
คูมือครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4

6. 1) 1 2) 1
10 5

3) 3 4) 2
5 5

5) 1 6) 1
2
2) 1
7. 1 8
365
2) 5
8. 1 6
2
2) 2
9. 1) 1 9
8
2) 8
3) 1 15
4 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

10. 1) 11
12

11. 5
6

12. 4
5

13. นม นํา้ เกกฮวย และนา้ํ สม

14. 1) 1
15

15. 1
28

16. 3
11

17. 73
145

18. 1) 7
15

3) 14
15

บทท่ี 4 | ความนาจะเปน
130 คูมอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4

19. 1
5

20. 3
20

21. 2
11

22. 12
25

23. 1) 1 2) 4
5 5

3) 9 4) 13
25 25

24. 1
380

25. 1) 25 2) 13
102 102

3) 1
221

26. แหวนควรจะใสสลากคืนกอนจะหยิบสลากใบท่ีสอง เพราะความนาจะเปนเมื่อหยิบสลาก

แบบใสค นื มากกวา ความนาจะเปนเมอ่ื หยบิ สลากแบบไมใ สคนื

27. 9 14 2) 1
10 285 1140
23
28. 1) 57 4) 7
3) 18 95
5) 95

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 131

เฉลยแบบฝก หัดและวิธที าํ โดยละเอียด

บทท่ี 1 เซต

แบบฝก หดั 1.1ก

1. 1) { a, e, i, o, u } 2) { 2, 4, 6, 8}

3) {10, 11, 12,  , 99 } 4) {101, 102, 103,  }

5) { − 99, − 98, − 97,  , −1} 6) { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

7) ∅ 8) ∅

9) { −14, 14 }

10) {ชลบรุ ,ี ชยั นาท, ชัยภูมิ, ชุมพร, เชยี งราย, เชยี งใหม}

2. 1) ตวั อยา งคาํ ตอบ {x | x เปนจาํ นวนคบี่ วกทีน่ อยกวา 10}

หรือ {x∈ | x เปนจาํ นวนคต่ี ้ังแต 1 ถึง 9}

2) ตัวอยา งคาํ ตอบ {x | x เปนจํานวนเต็ม}

3) ตวั อยางคาํ ตอบ {x∈ | x มีรากทส่ี องเปนจาํ นวนเต็ม}

หรอื {x | x = n2 และ n เปนจํานวนนับ}

4) ตัวอยางคําตอบ {x∈ | x หารดว ยสิบลงตวั }

หรอื {x | x = 10n และ n เปนจํานวนนับ}

3. 1) A มสี มาชกิ 1 ตัว 2) B มีสมาชิก 5 ตวั

3) C มสี มาชิก 7 ตวั 4) D มสี มาชิก 9 ตวั

5) E มีสมาชกิ 0 ตวั

4. 1) เปนเทจ็ 2) เปนจริง

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

132 คมู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4

3) เปนเทจ็

5. 1) เปน เซตวาง

2) ไมเ ปน เซตวา ง (มี 5 และ 7 เปนสมาชกิ ของเซต)

3) ไมเ ปน เซตวาง (มี 1 เปนสมาชกิ ของเซต)

4) เปนเซตวา ง

5) ไมเ ปน เซตวา ง (มี −2 และ −1 เปน สมาชิกของเซต)

6. 1) เซตอนนั ต 2) เซตจํากดั

3) เซตอนนั ต 4) เซตจํากดั

5) เซตอนันต 6) เซตอนันต

7. 1) จากโจทย A = { 0, 1, 3, 7 }

และเขียน B แบบแจกแจงสมาชิกไดเปน B= { , − 2, −1, 0, 1, 2,  , 9}

ดงั นน้ั A ≠ B เพราะมสี มาชิกของ B ที่ไมเ ปนสมาชกิ ของ A เชน −1∈ B

แต −1∉ A

2) จากโจทย เขยี น A แบบแจกแจงสมาชิกไดเป=น A { , − 2, 0, 2, 4, 6, 8 }

และ B = { 2, 4, 6, 8 }

ดงั น้นั A ≠ B เพราะมสี มาชิกของ A ทีไ่ มเ ปนสมาชิกของ B เชน 0∈ A

แต 0∉ B

3) จากโจทย A = { 7, 14, 21,  , 343}

และเขยี น B แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเ ปน B = { 7, 14, 21,  , 343}

ดงั นั้น A = B เพราะสมาชกิ ทุกตวั ของ A เปน สมาชกิ ของ B และสมาชิกทกุ ตวั

ของ B เปน สมาชิกของ A

4) จากโจทย เขียน A แบบแจกแจงสมาชิกไดเปน A =  0, 1, 2, 3, 4 ,  
 2 3 4 5 
 

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 133

และ B =  0, 1, 2, 3, 4, 
 2 3 4 5 
 

ดังนน้ั A = B เพราะสมาชิกทุกตวั ของ A เปนสมาชิกของ B และสมาชกิ ทุกตวั

ของ B เปน สมาชิกของ A

5) จากโจทย เขียน A แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเ ปน A= {−6, 6}

และ B = { 6}

ดงั นนั้ A ≠ B เพราะมสี มาชิกของ A ท่ีไมเปนสมาชิกของ B คอื −6∈ A

แต −6∉ B

8. จากโจทย เขยี น A, B, C และ D แบบแจกแจงสมาชิก ไดดังน้ี

A = {ก, ร, ม}

B = {ม, ร, ค}

C = {ม, ก, ร, ค}

D = {ร, ก, ม}

ดงั นั้น A ≠ B เพราะมีสมาชกิ ของ A ที่ไมเ ปน สมาชิกของ B คือ ก∈ A แต ก∉ B

A ≠ C เพราะมสี มาชกิ ของ C ทีไ่ มเ ปน สมาชิกของ A คือ ค∈C แต ค∉ A

A = D เพราะสมาชกิ ทุกตวั ของ A เปนสมาชิกของ D และสมาชิกทุกตัว

ของ D เปนสมาชกิ ของ A

B ≠ C เพราะมสี มาชกิ ของ C ทไี่ มเปน สมาชกิ ของ B คือ ก∈C แต ก∉ B

B ≠ D เพราะมีสมาชิกของ D ที่ไมเปนสมาชกิ ของ B คือ ก∈ D แต ก∉ B

C ≠ D เพราะมสี มาชกิ ของ C ท่ไี มเปนสมาชกิ ของ D คือ ค∈C แต ค∉ D

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

134 คูมอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4

แบบฝกหัด 1.1ข

1. 1) ถกู 2) ผิด

3) ผดิ 4) ถูก

5) ถกู 6) ผดิ

2. เขยี น A และ B แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเปน

A = {2, 4, 6}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

และจากโจทย C = { 2, 4}
ดงั นัน้ A ⊂ B เพราะสมาชิกทุกตัวของ A เปน สมาชิกของ B

C ⊂ A เพราะสมาชิกทุกตัวของ C เปน สมาชิกของ A
C ⊂ B เพราะสมาชกิ ทุกตัวของ C เปนสมาชกิ ของ B
3. เขยี น Y แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเ ปน Y = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
1) เปน จริง เพราะสมาชกิ ทุกตวั ของ X เปน สมาชกิ ของ Y
2) เปนจริง เพราะสมาชิกทุกตัวของ Y เปนสมาชิกของ X
3) เปน จริง เพราะ X ⊂ Y และ Y ⊂ X
4. 1) ∅ และ {1}
2) ∅, {1}, { 2} และ {1, 2 }
3) ∅, { −1}, { 0 }, {1}, {−1, 0 }, {−1, 1}, { 0, 1} และ {−1, 0, 1}
4) ∅, { x }, { y } และ { x, y }
5) ∅, { a }, { b }, { c }, { a, b }, { a, c }, { b, c } และ { a, b, c }

6) ∅

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 135

แบบฝก หดั 1.1ค
1. จากสง่ิ ท่ีกาํ หนดให A และ B ไมมสี มาชกิ รว มกัน

เขียนแผนภาพเวนนแ สดง A และ B ไดด ังนี้

2. กําหนดให U เปนเซตของจํานวนนับ
1) จากสงิ่ ทก่ี าํ หนดให จะได B ⊂ A
เขยี นแผนภาพเวนนแสดง A และ B ไดดังนี้

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

136 คูมอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4

2) จากส่ิงทีก่ ําหนดให จะได C ⊂ B และ B ⊂ A
เขยี นแผนภาพเวนนแ สดง A, B และ C ไดด งั นี้

3) จากสิ่งทก่ี ําหนดให จะได B ⊂ A และ C ⊂ A โดยที่ B และ C มสี มาชิกรวมกัน คือ 5
เขยี นแผนภาพเวนนแ สดง A, B และ C ไดด งั น้ี

3. 1) สมาชิกทอ่ี ยูใน A แตไ มอ ยูใน B มี 1 ตัว (คือ a )
2) สมาชกิ ทไ่ี มอยใู น A และไมอยูใน B มี 2 ตวั (คือ d และ e )
3) สมาชกิ ที่อยูท้งั ใน A และ B มี 3 ตวั (คือ x, y และ z )

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 137

แบบฝก หดั 1.2

1. วธิ ีที่ 1 1) A มสี มาชิก คอื 0, 1, 2 และ 8
B มสี มาชกิ คือ 0, 2, 4, 7 และ 9
ดงั น้นั A ∪ B ={ 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 }

2) A และ B มีสมาชิกรวมกนั คือ 0 และ 2
ดงั นน้ั A ∩ B ={ 0, 2}

3) สมาชิกที่อยูใน A แตไมอยใู น B คอื 1 และ 8
ดังนั้น A − B ={1, 8}

4) สมาชิกท่อี ยูใน B แตไ มอยูใ น A คอื 4, 7 และ 9
ดงั น้นั B − A ={ 4, 7, 9}

5) สมาชิกทอี่ ยูใน U แตไมอ ยูใน A คือ 3, 4, 5, 6, 7 และ 9
ดงั นั้น A′ = { 3, 4, 5, 6, 7, 9 }

6) สมาชิกทอ่ี ยูใน U แตไ มอ ยใู น B คือ 1, 3, 5, 6 และ 8
ดงั นน้ั B′ = {1, 3, 5, 6, 8}

7) A มสี มาชิก คอื 0, 1, 2 และ 8
B′ มีสมาชิก คือ 1, 3, 5, 6 และ 8
ดงั นน้ั A ∪ B′ ={ 0, 1, 2, 3, 5, 6, 8}

8) A′ มสี มาชกิ คือ 3, 4, 5, 6, 7 และ 9
B มีสมาชกิ คือ 0, 2, 4, 7 และ 9
จะได A′ และ B มีสมาชกิ รวมกนั คอื 4, 7 และ 9
ดังนนั้ A′∩ B ={ 4, 7, 9}

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

138 คูม ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4

วธิ ีท่ี 2 A และ B มสี มาชิกรว มกนั คอื 0 และ 2
เขียนแผนภาพเวนนแ สดง A และ B ไดดงั นี้

จากแผนภาพ จะได

1) A ∪ B ={ 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 } 2) A ∩ B ={ 0, 2 }

3) A − B ={1, 8} 4) B − A ={ 4, 7, 9 }

5) A′ = { 3, 4, 5, 6, 7, 9 } 6) B′ = {1, 3, 5, 6, 8}

7) A ∪ B′ ={ 0, 1, 2, 3, 5, 6, 8} 8) A′∩ B ={ 4, 7, 9 }

=2. ให U { 0, 1, 2, 3, =4, 5, 6, 7, 8 } , A {=0, 2, 4, 6, 8} , B {1, 3, 5, 7 } และ

C ={3, 4, 5, 6}

วิธที ่ี 1 1) A และ B ไมม สี มาชิกรว มกัน
ดังนน้ั A ∩ B =∅

2) B มีสมาชกิ คือ 1, 3, 5 และ 7
C มสี มาชกิ คือ 3, 4, 5 และ 6
ดังน้ัน B ∪ C ={1, 3, 4, 5, 6, 7 }

3) B และ C มีสมาชิกรวมกนั คอื 3 และ 5
ดังนัน้ B ∩ C ={ 3, 5}

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี