คู่มือครูคณิตม.4

บทที่ 1 | เซต 39
คูมือครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4

3. 1) A′ 2) B′ d
3) A′∩ B′
5) A′∪ B′ 4) ( A ∪ B)′ s
7) A − B 6) ( A ∩ B)′ s
8) A ∩ B′ d

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 2) A ∪ ( B ∪ C ) d
40 คมู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4

4. 1) ( A ∪ B) ∪ C

3) ( A ∩ B) ∩ C 4) A ∩ ( B ∩ C ) s

5) ( A ∩ C ) ∪ (B ∩ C ) 6) ( A ∪ B) ∩ C s

5. 1) A ∩ C ก 2) C ∪ B′
3) B − A ก

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 41
คูมอื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4

6. 1) ∅ ก 2) A
3) ∅ ก 4) U
5) U ก 6) ∅
7) A′ ก 8) ∅

แบบฝกหดั 1.3

1. ก

เซต A−B B− A A∪B A′ B′ ( A ∪ B)′

จํานวนสมาชิก 34 19 59 60 75 41

2. 1) n( A ∪ B) =42 2) n( A − B) =12 ก

3) n( A′∩ B′) =8 ป

3. 1) n( A ∪ C ) =40 2) n( A ∪ B ∪ C ) =43 ก

3) n( A ∪ B ∪ C )′ =7 ก 4) n(B − ( A ∪ C )) =3 ก

5) n(( A ∩ B) − C ) =7 ก

4. n( A ∩ B) =6 ก

5. n( B) = 60 ก

6. 10 คน

7. 152 คน คดิ เปน รอยละ 48.72 ของจาํ นวนผูสูบบุหรท่ี ้ังหมด

8. 100 คน

9. 2,370 คน

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต
42 คมู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4

แบบฝก หัดทายบท

1. 1) { 48} ด 2) ∅

3) { 5, 10, 15, } ด 4) { − 2, 0, 2 }

5) {1, 2, 3,  , 10 } ด

2. 1) ตวั อยางคําตอบ { x | =x 3n − 2 เมื่อ n∈ และ 1 ≤ n≤ 5}

2) ตัวอยางคาํ ตอบ { x∈ | − 20 ≤ x ≤ −10 }

3) ตวั อยางคาํ ตอบ { x |=x 4n +1 เมอ่ื n∈} }

4) ตัวอยางคาํ ตอบ { x | x = n3 เมื่อ n∈} }

3. 1) เซตจํากดั 2) เซตอนนั ต

3) เซตจํากัด 4) เซตจํากัด

5) เซตอนนั ต

4. 1) เปน จริง 2) เปน จริง

3) เปนเท็จ 4) เปนจรงิ

5) เปนจริง 6) เปน เทจ็

5. 1) A จ 2) ∅

3) U จ 4) A

5) A จ 6) U

6. 1) A ∪ B = A ∪ ( B − A) จ 2) A ∩ B′ = A − ( A ∩ B)

3) A′∩ B′ = U − ( A ∪ B) จ

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 43
คูมอื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4

7. 1) A′∩ B ก จ 2) ( A ∩ B′ )′

3) ( A ∪ B′ )′ ก

8. 1) A ∪ ( A − B) ก 2) ( A′∩ B) ∩ C

3) ( A − B)′ ∩ C ก 4) A ∪ (C′− B)

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 6) A′∩ (C′∩ B)
44 คูม อื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4

5) ( A∩ B′) ∪ C ก

7) A ∪ (C′∩ B)′ ก

9. 1) { 0, 2, 4, 7, 9, 12, 14 } จ 2) {1, 4, 6, 9, 12, 15 }
3) {1, 4, 5, 7, 11, 12 } จ 4) { 4, 9, 12 }
5) {1, 4, 12 } จ 6) { 4, 7, 12 }
7) { 0, 2, 7, 14 } จ 8) {1, 5, 6, 11, 15 }

10. 1) เปนจริงจ 2) เปนจรงิ
3) เปนจรงิ
2) เปน จรงิ
11. 1) เปนจรงิ 4) เปน จริง
3) เปนจรงิ จ
5) เปนจรงิ จ

12. n( A) = 167 ก
13. 45% ด

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | เซต 45
คมู ือครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4

14. 1) 10% ด 2) 75% ด
15. 1) 13 คัน 2) 10 คนั
16. 405 คน
17. 1) 72% ก 2) 84% ก
4) 13%ก
3) 65% ก 2) 864 คน
18. 1) 52 คน

3) 136 คน
19. 16%ก
20. 1% ก

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเ บอ้ื งตน
46 คมู อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4

บทท่ี 2
ตรรกศาสตรเ บื้องตน

การศึกษาเร่ืองตรรกศาสตรมีความสําคัญตอการศึกษาคณิตศาสตรเพราะคณิตศาสตรเปนวิชา
ที่มีเหตุมีผล และตรรกศาสตรเปนศาสตรที่วาดวยเร่ืองของการใชเหตุและผลในชีวิตประจําวัน
ซ่งึ ความสามารถในการคิดและใหเ หตุผลเปนสงิ่ มีคณุ คามากทส่ี ดุ ของมนุษย เน้ือหาเรื่องตรรกศาสตร
ทนี่ าํ เสนอในหนังสอื เรยี นรายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 น้ี มีเปาหมายเพื่อให
นักเรียนเรียนรูเก่ียวกับตรรกศาสตรเบ้ืองตน ในการสื่อสารและส่ือความหมายทางคณิตศาสตร
ในบทเรียนน้มี ุงใหน ักเรียนบรรลตุ ัวชีว้ ดั และจุดมงุ หมายดงั ตอไปน้ี

ตัวชว้ี ดั
เขาใจและใชความรูเก่ยี วกบั เซตและตรรกศาสตรเ บื้องตน ในการสื่อสารและส่ือความหมาย
ทางคณิตศาสตร

จดุ มงุ หมาย
1. จาํ แนกขอความวาเปนประพจนห รอื ไมเปน ประพจน
2. หาคาความจรงิ ของประพจนท่มี ีตัวเช่อื ม
3. ใชค วามรูเกี่ยวกับตรรกศาสตรเ บอื้ งตน ในการสอ่ื สารและส่ือความหมายทางคณิตศาสตร

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบือ้ งตน 47
คูมอื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4

ความรูกอนหนา

• ความรูเ กี่ยวกับจาํ นวนและสมการในระดับมัธยมศึกษาตอนตน
• เซต

2.1 เนอ้ื หาสาระ

1. ประพจน คือ ประโยคหรือขอความท่ีเปนจริงหรือเท็จอยางใดอยางหน่ึงเทาน้ัน
ซึ่งประโยคหรือขอความดงั กลาวจะอยูในรูปบอกเลาหรือปฏิเสธก็ได ในตรรกศาสตรเรียก
การเปน “จริง” หรือ “เท็จ” ของแตล ะประพจนวา “คา ความจริงของประพจน”

2. ให p และ q เปนประพจนใด ๆ เมื่อเช่ือมดวยตัวเชื่อม “และ” ( ∧ ) “หรือ” ( ∨ )
“ถา...แลว...” ( → ) และ “ก็ตอเม่ือ” ( ↔ ) จะมีขอตกลงเกี่ยวกับคาความจริงของ
ประพจนท่ีไดจากการเชื่อมประพจน p และ q โดยให T และ F แทนจริงและเท็จ
ตามลําดบั ดงั น้ี

p q p∧q p∨q p→q p↔q

TTTTTT

T FFT FF
FT FT T F

FFFFT T

ถา p เปนประพจนใด ๆ แลว นิเสธของ p เขียนแทนดวยสัญลักษณ  p และเขียน
ตารางคา ความจริงของ  p ไดดังนี้

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบอื้ งตน
48 คมู อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

p p
TF
FT

3. ให p, q และ r เปน ประพจนซงึ่ ยังไมกาํ หนดคาความจรงิ จะเรียก p, q และ r วา เปน
ตัวแปรแทนประพจนใด ๆ และเรียกประพจนท ี่มตี ัวเชอื่ ม เชน  p, p ∧ q, p ∨ q, p → q,
p ↔ q วา “รปู แบบของประพจน”

2.2 ขอเสนอแนะเกย่ี วกับการสอน

ประพจน

ประเด็นสาํ คญั เกีย่ วกับเน้ือหาและสิง่ ทค่ี วรตระหนักเกย่ี วกับการสอน
• การจําแนกขอความวาเปนประพจนหรือไมเปนประพจน อาจไมจําเปนตองทราบ

คา ความจริงที่แนนอนของประพจนน ้นั เชน มีสงิ่ มีชวี ติ อยบู นดาวอังคาร
• การเลือกตัวอยางในชั้นเรียนหรือแบบทดสอบระหวางเรียนท่ีจะใหนักเรียนบอก

คา ความจริงของประพจนท่ีไมใชขอความทางคณิตศาสตร ครูควรเลือกใหเหมาะสมกับ
ความรูและประสบการณของนักเรียน เชน ยุงลายเปนพาหะของโรคไขเลือดออก
โรคเลือดออกตามไรฟนเปนโรคที่เกิดจากการขาดวิตามินซี และหลีกเล่ียงตัวอยางขอความ
ทใี่ ชความรูสกึ ในการตดั สินวาขอความนัน้ เปนจรงิ หรือเท็จ เชน นารสี วย ปกรณเ ปน คนดี

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบื้องตน 49
คูมอื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4

• ในการสอนเก่ียวกับประพจน ครูไมควรยกตัวอยางขอความที่ใชสรรพนามบุรุษที่ 2 และ 3
เชน เขาซื้อขนม ลุงกับปาไปเที่ยวตางประเทศ ซึ่งอาจทําใหนักเรียนเกิดความสับสนวา
ขอ ความดังกลาวเปนประพจนหรือไม เนื่องจากนักเรียนจะตองทราบบริบทของขอความ
ดังกลาวจึงจะสามารถสรุปคาความจริงของขอความดังกลาวได เชน “เขา” “ลุง” “ปา”
หมายถึงใคร

ประเด็นสาํ คัญเก่ียวกบั แบบฝกหัด

แบบฝก หดั 2.1
2. จงเขียนประโยคหรือขอความที่เปนประพจนมา 5 ประพจน พรอมท้ังบอก
คา ความจรงิ ของประพจนน นั้ ๆ
แบบฝกหัดน้ีมีคําตอบไดหลายแบบ โดยอาจเปนไดท้ังขอความทางคณิตศาสตร เชน
∅∈{1, 2, 3} และไมใชขอความทางคณิตศาสตร เชน หน่ึงปมีสิบสองเดือน ควรให
นกั เรยี นมีอิสระในการเขียนประโยคหรอื ขอ ความท่ีเปน ป ร ะ พ จ น ซึ่ ง คํ า ต อ บ ข อ ง
นักเรียนไมจาํ เปน ตอ งตรงกับทค่ี รคู ดิ ไว

การเชอื่ มประพจน

การเชอื่ มประพจนด วยตวั เชอื่ ม “และ”
ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจการเช่ือมประพจนดวยตัวเชื่อม “และ” โดยให
นกั เรยี นทาํ กิจกรรมตอไปนี้

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบ้ืองตน
50 คมู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4

กจิ กรรม : การแตงกายของลกู ปด

ให p แทนขอความ “ลูกปด ใสเส้ือสีขาว”
และ q แทนขอความ “ลกู ปด ใสกางเกงสีฟา ”
จะไดว า p ∧ q แทนขอ ความ “ลกู ปดใสเ สื้อสขี าวและลูกปดใสก างเกงสฟี า”
หรือเขียนโดยยอ เปน “ลูกปดใสเ สื้อสีขาวและกางเกงสฟี า”
ขน้ั ตอนการปฏบิ ตั ิ
1. ครใู หน กั เรยี นเติมตารางคาความจรงิ ตอ ไปนี้

ลกู ปดใสเ สอ้ื สีขาว ลกู ปด ใสกางเกงสีฟา ลูกปด ใสเสอื้ สีขาวและกางเกงสีฟา

( p) (q) ( p ∧q)

การ

2. ครใู หนกั เรียนรว มกนั อภปิ รายเกย่ี วกับตารางคาความจรงิ ท่ไี ดจากขอ 1
เม่ือจบกจิ กรรมนแ้ี ลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาในการเชื่อมประพจนดวย “และ” มีขอตกลง
วาประพจนใหมจะเปนจริงในกรณีที่ประพจนท่ีนํามาเช่ือมกันน้ันเปนจริงทั้งคู กรณีอื่น ๆ เปน
เท็จทกุ กรณี จากน้ันครสู รุปการเขียนตารางคาความจรงิ ของ p ∧ q

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบ้ืองตน 51
คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4

ประเด็นสําคัญเกย่ี วกับเนอ้ื หาและส่ิงทีค่ วรตระหนกั เกย่ี วกบั การสอน

สําหรับภาษาที่ใชในชีวิตประจําวัน อาจแทนตัวเช่ือม “และ” ดวยคําอื่นซ่ึงใหความหมาย
อยางเดียวกัน เชน “แต” “นอกจากนั้นแลว” “ถึงแมวา” “ในขณะที่” ตัวอยางประโยค
ที่พบไดในชีวิตประจําวัน เชน วรรณชอบวิชาคณิตศาสตรแตนุชชอบวิชาภาษาอังกฤษ
สมศักด์ิเปนหัวหนาหองนอกจากน้ันแลวเขายังเปนประธานนักเรียนดวย วิชัยทํางานหนัก
ถึงแมว า เขาปวย นํา้ ผึ้งอานหนังสือในขณะท่นี า้ํ ฝนดโู ทรทัศน

การเช่อื มประพจนด วยตวั เช่อื ม “หรอื ”
ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจการเช่ือมประพจนดวยตัวเชื่อม “หรือ” โดยให
นกั เรียนทาํ กจิ กรรมตอ ไปน้ี

กจิ กรรม : สัตวเ ลย้ี งของตน น้าํ

ให p แทนขอ ความ “ตนนา้ํ เลย้ี งแมว”
และ q แทนขอความ “ตน นํา้ เลย้ี งนก”
จะไดว า p ∨ q แทนขอ ความ “ตน น้ําเล้ียงแมวหรอื ตนน้าํ เลีย้ งนก”
หรือเขยี นโดยยอ เปน “ตนนํ้าเล้ียงแมวหรอื นก”
ขน้ั ตอนการปฏบิ ัติ
1. ครใู หนกั เรยี นเติมตารางคา ความจรงิ ตอ ไปนี้

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบอ้ื งตน
52 คมู ือครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4

ตนนํา้ เลยี้ งแมว ตน นํา้ เล้ียงนก ตนนา้ํ เลี้ยงแมวหรอื นก
( p) (q) ( p∨ q)

การ

2. ครใู หน กั เรียนรวมกนั อภปิ รายเกี่ยวกับตารางคา ความจริงท่ีไดจากขอ 1

เม่ือจบกจิ กรรมนแ้ี ลว ครูควรใหนกั เรยี นสรุปไดว าในการเช่ือมประพจนดว ย “หรือ” มขี อตกลงวา
ประพจนใ หมจ ะเปน เทจ็ ในกรณที ีป่ ระพจนท ีน่ าํ มาเช่ือมกันเปนเท็จทัง้ คู กรณีอนื่ ๆ เปนจรงิ
ทกุ กรณี จากนั้นครูสรปุ การเขียนตารางคา ความจริงของ p ∨ q

ประเด็นสําคญั เกยี่ วกบั เน้ือหาและสงิ่ ทค่ี วรตระหนักเก่ียวกบั การสอน
การใชตัวเชื่อม “หรือ” ในทางตรรกศาสตรจะหมายถึงการเลือกอยางใดอยางหน่ึงหรือ
ทง้ั สองอยาง

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบ้อื งตน 53
คูมือครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4

การเชือ่ มประพจนด ว ยตัวเช่ือม “ถา...แลว ...”
ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจการเชื่อมประพจนดวยตัวเชื่อม “ถา...แลว...”
โดยใหน ักเรยี นทาํ กิจกรรมตอไปน้ี

กิจกรรม : สัญญาระหวางพอกับจิ๋ว

ให p แทนขอ ความ “จิ๋วกวาดบาน”
และ q แทนขอความ “พอ ใหขนม”
จะไดว า p → q แทนขอ ความ “ถาจ๋ิวกวาดบา นแลวพอ จะใหขนม”
การรักษาสัญญาของพอจะเทียบกบั คา ความจริงของ p → q
ซึ่งในกรณีท่ี p → q เปนจริง หมายถงึ พอรกั ษาสัญญา
ในกรณที ่ี p → q เปน เทจ็ หมายถึง พอไมร ักษาสญั ญา
ขัน้ ตอนการปฏบิ ตั ิ
1. ครูใหน กั เรียนเติมคาความจรงิ ลงในตารางตอไปนี้

จว๋ิ กวาดบา น พอ ใหขนม พอรักษาสัญญา

( p) (q) ( p → q)

2. ครใู หน กั เรียนรวมกนั อภิปรายเกี่ยวกบั ตารางคา ความจรงิ ท่ไี ดจากขอ 1

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบ้ืองตน
54 คูมือครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

เม่ือจบกิจกรรมน้ีแลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาในการเช่ือมประพจนดวย “ถา...แลว...”
มีขอตกลงวา ประพจนใหมจะเปนเท็จในกรณีที่เหตุเปนจริงและผลเปนเท็จเทาน้ัน กรณีอ่ืน ๆ เปน
จริงทุกกรณี ครคู วรช้ีแจงเพิ่มเติมวาประพจนซ ึง่ ตามหลังคําวา ถา เรียกวา “เหตุ” สวนประพจน
ซ่งึ ตามหลังคาํ วา แลว เรยี กวา “ผล” จากนน้ั ครสู รปุ การเขียนตารางคาความจรงิ ของ p → q

การเชื่อมประพจนดวยตัวเช่ือม “กต็ อเม่ือ”
ครูอาจนําเขาสูบ ทเรยี นเพ่อื ใหน ักเรยี นเขาใจการเชื่อมประพจนดวยตัวเชื่อม “ก็ตอเมื่อ” โดยให
นักเรยี นทํากจิ กรรมตอไปนี้

กจิ กรรม : เกรดวิชาคณิตศาสตรข องปุยนุน

คาความจริงของประพจนที่มีตัวเช่ือม “ก็ตอเม่ือ” อาจพิจารณาจากสถานการณในชีวิตจริงได
เชน โรงเรียนแหงหน่ึงกําหนดวา “นักเรียนไดเกรด 4 วิชาคณิตศาสตรก็ตอเม่ือนักเรียนได
คะแนนต้ังแต 80% ของคะแนนเต็มวิชาคณิตศาสตร” สมมติวาปุยนุนเปนนักเรียนของ
โรงเรียนแหงน้ี

ให p แทนขอความ “ปยุ นุนไดเกรด 4 วิชาคณิตศาสตร”
และ q แทนขอความ “ปุยนุนไดคะแนนต้ังแต 80% ของคะแนนเต็มวิชาคณิตศาสตร”
จะไดวา p ↔ q แทนขอความ “ปุยนุนไดเกรด 4 วิชาคณิตศาสตรก็ตอเม่ือปุยนุน
ไดค ะแนนต้ังแต 80% ของคะแนนเตม็ วชิ าคณิตศาสตร”
การเกดิ ขน้ึ ไดของสถานการณนจ้ี ะเทียบไดกับคาความจริงของ p ↔ q
ในกรณีท่ีสถานการณนี้เกดิ ข้ึนไดจริง จะไดวา p ↔ q เปน จรงิ
ในกรณีทส่ี ถานการณนไ้ี มส ามารถเกิดขึน้ ได จะไดว า p ↔ q เปน เทจ็

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบอ้ื งตน 55
คูม ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4

ขนั้ ตอนการปฏบิ ัติ

1. ครใู หน กั เรยี นเติมตารางคา ความจริง ตอ ไปนี้

ปยุ นนุ ไดเกรด 4 วชิ า ปยุ นนุ ไดคะแนนตั้งแต การเกิดขึ้นไดของ
คณิตศาสตร 80% ของคะแนนท้งั หมด สถานการณนี้

( p) (q) ( p ↔ q)

2. ครูใหนักเรียนรวมกนั อภิปรายเกย่ี วกบั ตารางคาความจรงิ ทีไ่ ดจ ากขอ 1

การ

เมื่อจบกิจกรรมน้ีแลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาในการเช่ือมประพจนดวย “ก็ตอเม่ือ”
มีขอตกลงวาประพจนใหมจะเปนจริงในกรณีท่ีประพจนที่นํามาเช่ือมกันนั้นเปนจริงทั้งคูหรือ
เปนเท็จทั้งคูเทาน้ัน กรณีอื่น ๆ เปนเท็จเสมอ จากน้ันครูสรุปการเขียนตารางคาความจริง
ของ p ↔ q

ประเดน็ สําคัญเกี่ยวกับเน้ือหาและสิ่งทค่ี วรตระหนักเก่ยี วกบั การสอน
ตัวเช่ือม “ก็ตอเมื่อ” พบไดบอยในการศึกษาคณิตศาสตร เชน บทนิยามเก่ียวกับ
รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ซ่ึงกลาววา “รูปสามเหล่ียมหนาจ่ัว คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีดานยาว
เทากันสองดาน” หมายความวา “รูปสามเหล่ียมใดจะเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วก็ตอเมื่อ

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบ้ืองตน
56 คมู อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4

รูปสามเหลี่ยมน้ันมีดานยาวเทากันสองดาน” ซ่ึงมีความหมายเดียวกับ “ถารูปสามเหล่ียมใด
เปนรูปสามเหล่ียมหนาจั่วแลวรูปสามเหล่ียมน้ันจะมีดานยาวเทากันสองดาน และถา
รปู สามเหล่ียมใดมีดา นยาวเทา กนั สองดา นแลวรูปสามเหลี่ยมน้ันจะเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจ่ัว”

นเิ สธของประพจน
ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจเกี่ยวกับนิเสธของประพจน โดยใหนักเรียน
ทาํ กิจกรรมตอไปนี้

กิจกรรม : งานอดเิ รกของหนูดี

ให p แทนขอความ “หนดู อี านหนังสือ”
จะไดว า  p แทนขอความ “หนูดีไมไดอ า นหนงั สือ”
จะไดตารางคา ความจริง ดังน้ี

ขัน้ ตอนการปฏิบัติ
1. ครใู หน ักเรียนเติมคาความจรงิ ลงในตารางตอไปนี้

หนูดีอานหนังสือ หนูดีไมไดอ านหนงั สือ
( p)
p

2. ครใู หน ักเรียนรวมกันอภิปรายเกี่ยวกับตารางคาความจริงทีไ่ ดจ ากขอ 1

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบ้อื งตน 57
คูม อื ครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4

เมื่อจบกิจกรรมน้ีแลว ครูควรใหนักเรียนสรุปไดวาคาความจริงของนิเสธจะตรงขามกับคาความจริง
ของประพจนเ ดมิ เสมอ จากน้ันครสู รุปการเขยี นตารางคา ความจริงของ  p

การหาคา ความจรงิ ของประพจน

ประเดน็ สําคัญเกยี่ วกับเน้ือหาและสิ่งท่คี วรตระหนักเกีย่ วกบั การสอน

• ครูควรเขียนวงเล็บในตัวอยางท่ีตองการใหนักเรียนพิจารณาคาความจริงทุกครั้ง
ไมควรละวงเล็บไวใหนักเรียนตัดสินใจเอง ยกเวนตัวเช่ือม “  ” ซึ่งในหนังสือเรียน
ของ สสวท. ไมไดใสวงเล็บไวเชนกัน เน่ืองจากถือวาเปนตัวเช่ือมที่ตองหาคาความจริง
กอ น เชน สําหรบั ประพจน p∨  p นนั้ ตองหาคา ความจริงของ  p กอน แลวจึงหา
คาความจรงิ ของ p∨  p ซ่งึ มีความหมายเชนเดยี วกบั p ∨ ( p)

• การหาคาความจริงของประพจนท่ีมีตัวเช่ือมสามารถทําไดหลายวิธี ทั้งนี้ครูควรให
นกั เรียนฝกฝนการหาคาความจริงของประพจนท่ีมีตัวเชื่อมโดยใชแผนภาพ ซ่ึงสามารถ
เขียนแสดงไดหลายแบบ ควรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียนแผนภาพโดยไมจําเปน
จะตอ งตรงกับทคี่ รูคดิ ไว จะเปน ประโยชนใ นการศกึ ษาหัวขอตอ ๆ ไป

2.3 การวัดผลประเมินผลระหวา งเรยี น

การวดั ผลระหวา งเรยี นเปน การวัดผลการเรยี นรูเ พ่ือปรับปรุงและพัฒนาการเรียนการสอน และ
ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเร่ืองที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การให
นักเรียนทาํ แบบฝก หัดเปนแนวทางหนงึ่ ท่ีครอู าจใชเ พ่อื ประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเ บือ้ งตน
58 คูมือครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4

นกั เรยี น ซง่ึ หนังสือเรยี นรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 ไดนําเสนอแบบฝกหัด
ที่ครอบคลุมเนื้อหาท่ีสําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทท่ี 2 ตรรกศาสตรเบื้องตน ครูอาจใช
แบบฝกหัดเพ่ือวดั ผลประเมินผลความรูในแตละเนอ้ื หาไดด งั นี้

เน้ือหา แบบฝก หดั

ประพจนแ ละคาความจริงของประพจน 2.1ก ขอ 1, 2
การเชอื่ มประพจนแ ละคาความจรงิ ของประพจนที่มีตัวเชือ่ ม 2.2ก ขอ 1, 2, 3

2.4 การวิเคราะหแ บบฝก หัดทายบท

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 มีจุดมุงหมายวาเม่ือนักเรียน
ไดเ รียนจบบทที่ 2 ตรรกศาสตรเ บือ้ งตน แลว นักเรียนสามารถ

1. จาํ แนกขอ ความวา เปน ประพจนห รือไมเปน ประพจน
2. หาคา ความจริงของประพจนท ีม่ ตี วั เชอื่ ม
3. ใชความรเู กยี่ วกับตรรกศาสตรเ บ้ืองตนในการสื่อสารและส่ือความหมายทางคณิตศาสตร
ซง่ึ หนังสอื เรียนรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 ไดนาํ เสนอแบบฝก หัดทายบท
ที่ประกอบดวยโจทยเพื่อตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมีวัตถุประสงคเพ่ือวัดความรูความเขาใจ
ของนักเรียนตามจดุ มุง หมาย ซึง่ ประกอบดวยโจทยฝกทักษะท่ีมีความนาสนใจและโจทยทาทาย
ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมายของบท
เพือ่ ตรวจสอบวา นกั เรียนมีความสามารถตามจดุ มงุ หมายเมื่อเรียนจบบทเรียนหรือไม

ท้ังนี้ แบบฝกหัดทายบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4
บทท่ี 2 ตรรกศาสตรเ บือ้ งตน สอดคลอ งกบั จดุ มุงหมายของบทเรียน ดงั น้ี

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบื้องตน 59
คูม อื ครูรายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4

ขอ ขอ จําแนกขอ ความ จดุ มุงหมาย ใชค วามรเู ก่ียวกบั
ยอย หาคา ความจรงิ ของ ตรรกศาสตรเ บ้ืองตน
วา เปน ประพจน ประพจนที่มีตัวเช่ือม ในการสอ่ื สารและ
หรอื ไมเ ปน ประพจน สื่อความหมายทาง
โจทยฝ ก ทกั ษะ
โจทยฝก ทักษะ คณิตศาสตร
โจทยฝ กทกั ษะ
1. 1)  โจทยฝ กทกั ษะ
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 

2. 1)
2)
3)
4)

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบื้องตน
60 คูม ือครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4

ขอ ขอ จาํ แนกขอความ จดุ มุงหมาย ใชค วามรูเกี่ยวกับ
ยอ ย ตรรกศาสตรเบ้ืองตน
วาเปนประพจน หาคา ความจรงิ ของ ในการสอื่ สารและ
หรอื ไมเ ปน ประพจน ประพจนท่ีมีตัวเชื่อม ส่ือความหมายทาง

โจทยฝก ทักษะ คณติ ศาสตร
โจทยฝ ก ทกั ษะ
5)
6) 
3. 1) 
2) 
3) 
4)
4. โจทยฝ ก ทักษะ
5. 1)
2) 
3) 
4) 
5) 
6. 1) 
2) 
3) 


สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบ้ืองตน 61
คมู ือครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4

ขอ ขอ จาํ แนกขอ ความ จดุ มงุ หมาย ใชความรเู กย่ี วกบั
ยอ ย ตรรกศาสตรเ บอื้ งตน
วา เปนประพจน หาคาความจรงิ ของ ในการส่ือสารและ
หรอื ไมเปน ประพจน ประพจนที่มตี วั เช่ือม สอ่ื ความหมายทาง

4)  คณิตศาสตร
7. 1)

2) 
3) 
4) 
8. 
9. 
10. 

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบ้อื งตน

62 คูมอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4

2.5 ความรูเพ่ิมเติมสาํ หรับครู

• เปาหมายประการหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร คือ การศึกษาทําความเขาใจธรรมชาติ หรือ
ปรากฏการณตาง ๆ โดยใช “ระบบเชิงคณิตศาสตร” (mathematical system) ซึ่งระบบ
เชิงคณิตศาสตรเปนแนวคิดเชิงนามธรรมที่ใชแทนธรรมชาติ หรือปรากฏการณอยางใด
อยางหนึ่ง เชน “ระบบจํานวนจริง” (real number system) เปนแนวคิดท่ีใชแทนจํานวนหรือ
ขนาดของส่ิงตาง ๆ หรือ “เรขาคณิตแบบยุคลิด” (Euclidean geometry) เปนแนวคิดหน่ึงที่ใช
แทนวัตถตุ าง ๆ ในปริภูมิ

• ระบบเชิงคณติ ศาสตรแ ตล ะระบบ มีองคประกอบดงั ตอไปน้ี
1. เอกภพสัมพัทธ (universe) คือ เซตของส่ิงท่ีจะศึกษาในระบบน้ัน เชน เซตของ
จาํ นวนนับ เซตของจํานวนเตม็ เซตของจาํ นวนจริง
2. คําอนิยาม (undefined term) ไดแก คําซ่ึงเปนที่เขาใจความหมายกันโดยทั่วไป
โดยไมตองอธิบาย เชน คําวา “เหมือนกัน” หรือคําวา “จุด” และ “เสน” ใน
เรขาคณติ แบบยคุ ลดิ
3. คํานิยาม (defined term) คือ คําท่ีสามารถใหความหมายโดยใชคําอนิยาม หรือคํานิยาม
อน่ื ท่มี มี ากอ นแลวได เชน คําวา “จาํ นวนคู” หรอื คาํ วา “รปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก”
4. สัจพจน (axiom) คือ ขอความที่กําหนดใหเปนจริงในระบบเชิงคณิตศาสตรนั้น
โดยไมตองพิสูจน เชน สัจพจนเชิงพีชคณิตของระบบจํานวนจริง สัจพจนเชิงอันดับ
ของระบบจํานวนจริง สจั พจนความบรบิ รู ณของระบบจํานวนจรงิ
5. ทฤษฎีบท (theorem) คือ ขอความที่พิสูจนแลววาเปนจริงในระบบเชิงคณิตศาสตร
ที่กาํ หนด โดยการพิสูจน (proof) คือ กระบวนการอางเหตุผลตามหลักตรรกศาสตร
เพือ่ นําไปสขู อสรุปที่ตองการ ซึ่งมักตองนําคําอนิยาม คํานิยาม รวมทั้งสัจพจน หรือ
ทฤษฎบี ททีม่ อี ยูกอนแลว มาใชในการพสิ ูจน เชน ทฤษฎีบทของพที าโกรัส

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบือ้ งตน 63
คมู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4

ในบางกรณี ขอความที่พิสูจนแลววาเปนจริง อาจไมเรียกวาทฤษฎีบทเสมอไป โดย
มีคําเฉพาะที่ใชเรียกทฤษฎีบทบางประเภท เชน “บทต้ัง” (lemma) ที่ใชเรียกทฤษฎี
บทซ่ึงจะนําไปใชพิสูจน ทฤษฎีบทถัดไปที่เปนทฤษฎีบทหลัก หรือทฤษฎีบทที่มี
ความสาํ คัญมากกวา และ “บทแทรก” (corollary) ที่ใชเรียกทฤษฎีบทซ่ึงเปนผลอยาง
งายจากทฤษฎีบทที่มีมากอนหนา
นอกจากน้ี ในบางกรณี จะใชคําวา “สมบัติ” (property) แทนขอความที่เปนจริงใด ๆ
ในระบบเชิงคณิตศาสตรระบบหน่ึง โดยสมบัติอาจเปนความจริงเก่ียวกับคํานิยาม
สัจพจน หรือทฤษฎีบทก็ได และอาจใชคําวา “กฎ” (law) สําหรับความจริงท่ีเปน
สจั พจนห รอื ทฤษฎบี ทอีกดวย
ครูควรระลึกอยูเสมอวา ความรูทางคณิตศาสตรที่กําลังพิจารณาเปนองคประกอบใด
ของระบบเชิงคณิตศาสตร นั่นคือ ควรทราบวาสิ่งใดเปนสัจพจน สิ่งใดเปนทฤษฎีบท
เชน ไมค วรพยายามพิสจู นส จั พจนเ กีย่ วกบั จาํ นวนจรงิ ในระบบจาํ นวนจริง

2.6 ตวั อยางแบบทดสอบประจําบทและเฉลยตัวอยา งแบบทดสอบประจําบท

ในสวนน้จี ะนาํ เสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 2 ตรรกศาสตรเบ้ืองตน สําหรับรายวิชาพื้นฐาน
คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 ซ่ึงครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรู
ท่ีตอ งการวดั ผลประเมนิ ผล

ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท

1. จงพิจารณาประโยคหรอื ขอความตอไปนีว้ าเปน ประพจนหรือไม ถาเปนประพจน
จงหาคาความจริงของประพจนน น้ั

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเ บอื้ งตน
64 คูม ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4

1) งวงนอนจัง
2) เธอตอ งไปเดี๋ยวน้ี

3) π = 22
7

4) 1∉{2, 3}

5) 2 ไมใชจํานวนจริง

6) 1, 2, 3, 

7) ทาํ ไม a + b = b + a
2. กําหนดให p, q และ r เปนประพจน ซ่ึง p และ q มีคาความจริงเปนจริงและเท็จ

ตามลาํ ดับ จงหาคาความจริงของประพจนต อไปน้ี

1) ( p ↔ q) → r

2) ( p∧  q) ∨ r
3. กําหนดให p และ q เปนประพจนใด ๆ ถา r เปนประพจนเชิงประกอบท่ีเกิดจาก

การเชอื่ มประพจน p กับ q ซ่ึงมคี าความจริงดงั ตารางตอไปน้ี

pq r

TT F

TFT

FT T

FF F

จงเขียนประพจน r ในรูปประพจน p กบั q

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบอ้ื งตน 65
คูมอื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4

4. กําหนดให p, q และ r เปนประพจน ซ่ึง p → q, q → r และ r → p มีคาความจริง
เปนจริง จงหาคาความจรงิ ของประพจน p ↔ r

5. จงหานิเสธของขอความ “ถา x เปน จาํ นวนนบั แลว x เปน จาํ นวนคู หรือ x เปนจาํ นวนคี่”

เฉลยตวั อยางแบบทดสอบประจําบท

1. 1) ไมเปนประพจน 2) ไมเ ปน ประพจน

3) เปน ประพจน มีคาความจริงเปน เท็จ 4) เปนประพจน มีคา ความจริงเปนจรงิ

5) เปน ประพจน มีคา ความจริงเปน เท็จ 6) ไมเ ปนประพจน

7) ไมเ ปน ประพจน

2. 1) จาก p เปน จริง และ q เปน เท็จ จะได p ↔ q เปน เทจ็

ดังน้นั ( p ↔ q) → r มีคา ความจรงิ เปนจริง

2) จาก q เปน เท็จ จะได  q เปนจริง

จาก p เปน จริง และ  q เปน จริง จะได p∧  q เปน จรงิ

ดังนั้น ( p∧  q) ∨ r มคี า ความจริงเปนจริง

3. ตัวอยางคาํ ตอบ

 ( p ↔ q)

 ( p → q) ∧ (q → p)

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | ตรรกศาสตรเบือ้ งตน
66 คมู อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4

4. พิจารณาตารางคา ความจริงดังนี้ p→q q→r r→ p

pq r

TTT T T T

TTF T F T

T FT F T T

T FF F T T

FTT T T F

FT F T F T

F FT T T F

FFF T T T

สังเกตวาถา p → q, q → r และ r → p มคี าความจรงิ เปนจริง

จะได p, q และ r ตองมีคา ความจริงเปน จรงิ ทั้งหมด หรอื เปน เทจ็ ท้ังหมด

ดงั นั้น p ↔ r มคี าความจรงิ เปนจริง

5. ให p แทนประพจน “ x เปนจํานวนนบั ”

q แทนประพจน “ x เปนจํานวนคู”

r แทนประพจน “ x เปนจาํ นวนค่ี”

จะไดวา ขอ ความ “ถา x เปน จาํ นวนนับ แลว x เปน จาํ นวนคู หรือ x เปน จํานวนคี่” เขียน

แทนดวยรปู แบบของประพจน p → (q ∨ r)

นเิ สธของ p → (q ∨ r) คือ   p → (q ∨ r )

เน่ืองจาก   p → (q ∨ r ) ≡   p ∨ (q ∨ r )

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบื้องตน 67
คูมือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4

≡ p∧  (q ∨ r)

≡ p∧  q∧  r

โดยท่ีรูปแบบของประพจน p∧  q∧  r แทนขอความ “ถา x เปนจํานวนนับ และ x ไม
เปน จํานวนคู และ x ไมเ ปน จํานวนค่ี”
ดังนน้ั นิเสธของขอ ความ “ถา x เปนจํานวนนับ แลว x เปนจํานวนคู หรือ x เปนจํานวนคี่”
คอื “ถา x เปน จาํ นวนนับ และ x ไมเ ปนจาํ นวนคู และ x ไมเ ปน จํานวนคี่”

2.7 เฉลยแบบฝก หดั

คูมือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 แบงการเฉลยแบบฝกหัดเปน 2 สวน
คือ สวนที่ 1 เฉลยคําตอบ และสวนท่ี 2 เฉลยคําตอบพรอ มวิธีทําอยางละเอียด ซ่ึงเฉลยแบบฝกหัดที่
อยใู นสวนน้เี ปนการเฉลยคําตอบของแบบฝกหัด โดยไมไ ดน าํ เสนอวิธีทาํ อยา งไรก็ตามครูสามารถ
ศึกษาวธิ ที ําโดยละเอยี ดของแบบฝกหดั ไดใ นสว นทา ยของคูมือครเู ลม น้ี

แบบฝกหัด 2.1

1. 1) เปน ประพจน ทีม่ คี าความจริงเปน เท็จ 2) เปนประพจน ที่มคี าความจรงิ เปน จริง

3) เปนประพจน ท่ีมีคา ความจรงิ เปน เทจ็ 4) ไมเ ปน ประพจน

5) ไมเ ปน ประพจน 6) เปน ประพจน ที่มีคาความจรงิ เปนจรงิ

7) เปน ประพจน ทมี่ ีคา ความจรงิ เปนเท็จ 8) เปนประพจน ทม่ี ีคา ความจรงิ เปน เท็จ

9) ไมเปนประพจน 10) เปนประพจน ที่มคี าความจริงเปน จริง

11) เปน ประพจน ทม่ี คี าความจริงเปนเทจ็ 12) เปน ประพจน ท่มี คี าความจรงิ เปน จรงิ

13) ไมเ ปน ประพจน 14) ไมเ ปน ประพจน

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเ บ้อื งตน
68 คมู อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4

15) เปน ประพจน ทมี่ คี าความจรงิ เปนเทจ็ 16) ไมเปนประพจน

17) ไมเ ปนประพจน 18) เปน ประพจน ทีม่ ีคาความจรงิ เปนจรงิ

2. ตวั อยางคําตอบ

2 > 3 เปนประพจน ทม่ี คี าความจริงเปนเทจ็

∅ ∈ {1, 2, 3} เปน ประพจน ทม่ี ีคาความจริงเปน เท็จ

หนง่ึ ปมสี ิบสองเดือน เปนประพจน ท่มี ีคาความจริงเปน จริง

4 เปนจาํ นวนอตรรกยะ เปนประพจน ท่ีมคี าความจรงิ เปน เท็จ

เดือนมกราคม มี 31 วนั เปน ประพจน ท่ีมคี า ความจรงิ เปน จริง

แบบฝก หดั 2.2

1. 1) นิเสธของประพจน 4 + 9 = 10 + 3 คือ 4 + 9 ≠ 10 + 3 มีคา ความจรงิ เปน เท็จ

2) นเิ สธของประพจน −6 </ 7 คอื −6 < 7 มีคา ความจรงิ เปน จรงิ

3) นิเสธของประพจน 100 ไมเปนจาํ นวนเตม็ คอื 100 เปน จํานวนเต็ม

มคี าความจริงเปนจรงิ

4) นเิ สธของประพจน 2 ⊄ {2} คือ 2 ⊂ {2} มีคาความจรงิ เปน เท็จ

2. 1) มีคา ความจริงเปนเท็จ 2) มคี าความจรงิ เปน จริง

3) มคี าความจริงเปน เท็จ 4) มคี าความจรงิ เปน จริง

5) มคี า ความจริงเปน เท็จ 6) มคี าความจริงเปน เท็จ

7) มคี า ความจริงเปนจริง 8) มคี าความจริงเปน เทจ็

9) มีคา ความจริงเปน เท็จ 10) มคี า ความจรงิ เปน เท็จ

11) มคี าความจริงเปนจรงิ 12) มีคา ความจริงเปน จรงิ

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบอื้ งตน 69
คูมอื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

3. 1) ประพจนท่ีกําหนดใหอยใู นรูป p ∧ q และมคี า ความจริงเปน จรงิ
2) ประพจนที่กําหนดใหอยูในรูป p ∨ q และมคี าความจรงิ เปน จริง
3) ประพจนที่กาํ หนดใหอยูในรปู  p และมีคา ความจริงเปนเทจ็
4) ประพจนท่ีกาํ หนดใหอยใู นรปู p ↔ q และมคี าความจรงิ เปน จรงิ
5) ประพจนท่ีกําหนดใหอยูในรปู p ↔ q และมีคาความจรงิ เปนจรงิ
6) ประพจนที่กาํ หนดใหอยใู นรูป p → q และมคี า ความจริงเปนจริง
7) ประพจนที่กาํ หนดใหอยใู นรปู p ∧ q และมคี า ความจรงิ เปน เทจ็
8) ประพจนท่ีกําหนดใหอยูในรปู p ∨ q และมีคาความจรงิ เปน จริง

แบบฝก หัดทายบท

1. 1) ไมเปน ประพจน 2) เปน ประพจน ทมี่ ีคา ความจริงเปนจรงิ

3) เปน ประพจน ที่มคี าความจริงเปน จริง 4) เปนประพจน ทมี่ ีคาความจรงิ เปน เท็จ

5) ไมเ ปนประพจน 6) เปนประพจน ที่มคี าความจริงเปน เท็จ

7) ไมเ ปนประพจน 8) ไมเปนประพจน

9) เปนประพจน ทมี่ ีคา ความจริงเปนจริง 10) เปน ประพจน ท่ีมคี าความจริงเปน จริง

2. 1) ขอความท่ีกําหนดใหอยูในรูป p ∨ q

2) ขอความทีก่ ําหนดใหอยูในรูป p ↔ q

3) ขอ ความทกี่ าํ หนดใหอ ยูในรปู p ∧ q  r

4) ขอความท่ีกาํ หนดใหอ ยูในรปู ( p ∧ q) → r

5) ขอ ความทก่ี ําหนดใหอ ยูในรูป p → ( q∨  r)

6) ขอความทก่ี ําหนดใหอ ยูในรูป ( p ∨ q) → (r ∨ s ∨ (r ∧ s))

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเ บอ้ื งตน
70 คูมือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4

3. 1) นิเสธของประพจน −20 + 5 > −17 คอื −20 + 5 ≤ −17 มีคา ความจริงเปน เท็จ

2) นิเสธของประพจน 37 ไมเ ปนจาํ นวนเฉพาะ คือ 37 เปน จํานวนเฉพาะ

มีคาความจริงเปน จริง

3) นิเสธของประพจน 2 ∈ คือ 2 ∉ มคี า ความจริงเปน จริง

4) นิเสธของประพจน  ⊂  คอื  ⊄  มีคาความจริงเปน เทจ็

4. ตัวอยางคาํ ตอบ

• π ไมเปน จํานวนตรรกยะ

• นิดาและนัดดาเปน นกั เรียนชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4

• รูปสเ่ี หล่ียมอาจเปน รูปส่ีเหล่ยี มมุมฉากหรือรูปส่ีเหลย่ี มดานขนานก็ได

• รูปสามเหล่ียม ABC เปน รูปสามเหลย่ี มดานเทา กต็ อเมื่อรปู สามเหลยี่ ม ABC มดี าน

ยาวเทากันทุกดา น

5. 1) มคี า ความจริงเปนจรงิ 2) มีคา ความจรงิ เปน เทจ็

3) มีคา ความจริงเปนจริง 4) มีคาความจรงิ เปน จรงิ

5) มีคา ความจรงิ เปน เทจ็

6. 1) ประพจนท ี่กําหนดใหอยใู นรูป p → q และมคี า ความจริงเปน จรงิ

2) ประพจนท่ีกําหนดใหอยใู นรูป p ∧ q และมีคาความจริงเปนจริง

3) ประพจนท ่ีกําหนดใหอยูในรูป p ∨ q และมีคาความจริงเปนจริง

4) ประพจนท่ีกําหนดใหอยใู นรปู p ∨ q และมคี า ความจริงเปน จริง

5) ประพจนท ี่กาํ หนดใหอยูในรูป p ∧ q และมีคา ความจริงเปนเทจ็

7. 1) ประพจน q มีคาความจริงเปน จรงิ และประพจน r มีคา ความจริงเปน จริง

2) ประพจน r มคี า ความจริงเปน จริง และประพจน q มีคา ความจริงเปนเท็จ

3) ประพจน ( p∧  q) → r มีคาความจรงิ เปน จริง

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | ตรรกศาสตรเบื้องตน 71
คูม อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4

4) ประพจน ( p ∨ q) ∧ r มีคาความจริงเปน เทจ็
8. ฟา ใสมีสทิ ธ์ไิ ดเ ลือ่ นตําแหนง
9. สุริยาจะไดร ับเงนิ รางวลั 45,000 บาท

เมฆาจะไมไดร บั เงนิ รางวลั
กมลจะไดรบั เงนิ รางวลั 140,000 บาท
และทิวาจะไดร ับเงนิ รางวัล 800,000 บาท
10. มานแกวจะสามารถกูเงนิ กับบริษัทนีไ้ ด

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลกั การนบั เบ้อื งตน
72 คูมอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4

บทท่ี 3
หลกั การนบั เบ้ืองตน

การศึกษาเรื่องหลักการนับเบื้องตนมีความสําคัญตอการแกปญหาในชีวิตประจําวัน ซ่ึงใน
ชีวิตประจําวันจะพบปญหาท่ีใชความรูเกี่ยวกับการนับอยูเสมอ เชน การวางแผนการจัดการ
แขงขันกีฬา การกําหนดปายทะเบียนรถยนตน่ังสวนบุคคล การบริหารจัดการเกี่ยวกับการออกต๋ัว
ชมการแสดง ซึ่งความรูเก่ียวกับหลักการนับ เชน หลักการบวก หลักการคูณ การเรียงสับเปลี่ยน
และการจัดหมู จะชวยใหสามารถนับจํานวนส่ิงของตาง ๆ ไดสะดวกขึ้น โดยเฉพาะเมื่อสิ่งของน้ัน
มีจํานวนมาก และมีองคประกอบที่ซับซอน เนื้อหาเรื่องหลักการนับเบ้ืองตนที่นําเสนอใน
หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 นี้มีเปาหมายเพ่ือใหนักเรียน
เรียนรูเกี่ยวกับหลักการนับเบื้องตนและนําไปใชในการแกปญหา สําหรับในบทเรียนน้ีมุงให
นักเรยี นบรรลุตัวชว้ี ดั และจุดมงุ หมายดงั ตอไปน้ี

ตัวชว้ี ดั
เขาใจและใชหลกั การบวกและการคณู การเรยี งสบั เปลยี่ น และการจัดหมูในการแกป ญหา

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลกั การนับเบ้อื งตน 73
คูมือครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4

จดุ มงุ หมาย

1. ใชหลักการนับเบ้ืองตน ในการแกปญหา
2. ใชว ธิ ีเรียงสบั เปลย่ี นเชงิ เสน กรณที ี่สิ่งของแตกตา งกันทั้งหมดในการแกปญ หา
3. ใชวิธจี ดั หมกู รณที ีส่ ่งิ ของแตกตางกนั ท้ังหมดในการแกปญ หา

ความรูก อนหนา

• ความรเู กี่ยวกบั จาํ นวนและหลักการนับเบ้อื งตน ในระดับมัธยมศึกษาตอนตน

3.1 เนอื้ หาสาระ

1. หลกั การบวก
ในการทํางานอยา งหน่ึง ถาสามารถแบง วิธที ํางานออกเปน k กรณี โดยที่
กรณที ่ี 1 สามารถทําได n1 วธิ ี
กรณที ี่ 2 สามารถทาํ ได n2 วธิ ี



กรณีท่ี k สามารถทาํ ได nk วธิ ี
ซ่ึงวิธีการทํางานในท้ัง k กรณีไมซํ้าซอนกันและการทํางานในแตละกรณีทําใหงานเสร็จ
สมบรู ณ แลวจะสามารถทํางานนี้ไดท้งั หมด n1 + n2 ++ nk วธิ ี
2. หลักการคูณ
ในการทํางานอยางหนึ่ง ถาสามารถแบงขั้นตอนการทํางานออกเปน k ขั้นตอน ซึ่งตอง
ทาํ ตอเน่ืองกัน โดยที่

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบอื้ งตน
74 คูม อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4

ข้ันตอนที่ 1 มีวิธีเลือกทําได n1 วิธี
ในแตละวิธีของข้ันตอนท่ี 1 สามารถทาํ ข้ันตอนท่ี 2 ได n2 วิธี
ในแตละวิธีของข้ันตอนท่ี 1 และขั้นตอนท่ี 2 สามารถทําขั้นตอนท่ี 3 ได n3 วิธี



ในแตล ะวิธขี องขั้นตอนท่ี 1 ถึงขน้ั ตอนท่ี k −1 สามารถทําขนั้ ตอนท่ี k ตอ ไปได nk วิธี
แลวจะทาํ งาน k ข้ันตอน ได n1 × n2 ×× nk วิธี
3. ให n เปนจํานวนเตม็ บวก แฟกทอเรียล n คือ การคูณของจํานวนเต็มบวกตั้งแต 1 ถึง n
เขียนแทนดวย n!
4. การเรยี งสบั เปลี่ยนเชิงเสนของสงิ่ ของท่แี ตกตา งกนั ทัง้ หมด
จํานวนวิธีในการนําส่ิงของ r ช้ิน จากส่ิงของท่ีแตกตางกัน n ช้ิน มาเรียงสับเปลี่ยน

เชิงเสน คือ Pn, r = n! วธิ ี
(n − r)!

5. การจดั หมขู องสงิ่ ของท่แี ตกตางกนั ทง้ั หมด

จาํ นวนวธิ จี ดั หมขู องส่ิงของทแ่ี ตกตางกนั n ชิน้ โดยเลอื กคราวละ r ชนิ้ คอื

Cn, r = n! วธิ ี
(n − r)!r!

3.2 ขอ เสนอแนะเก่ยี วกบั การสอน

ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเห็นความสําคัญของหลักการนับ โดยใชกิจกรรม
การนบั จํานวนหมายเลขทะเบียนรถยนต ดังน้ี

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลกั การนบั เบือ้ งตน 75
คมู ือครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4

กิจกรรม : หมายเลขรถยนต

ขน้ั ตอนการปฏบิ ัติ

1. ครูยกตัวอยางรูปปายทะเบียนรถยนตนั่งสวนบุคคลในกรุงเทพมหานครในปจจุบัน
ซงึ่ ประกอบดวยเลขโดด 1 ตวั ทไี่ มใช 0 ตามดวยพยัญชนะไทย 2 ตวั และจํานวนเต็มบวกท่ี
ไมเกนิ 4 หลัก 1 จาํ นวน ซึ่งมีลักษณะดังรปู

2. ครูใหนักเรียนบอกลักษณะท่ีสังเกตไดจากปายทะเบียน และเปรียบเทียบวามีความแตกตาง
กับจังหวัดท่นี กั เรยี นอาศัยอยอู ยางไร เพราะเหตใุ ดจึงมีความแตกตางเชน นั้น

3. ครูใหนักเรียนรวมกันอภิปรายวา ถาตองการทราบจํานวนหมายเลขทะเบียนรถยนต
ในรปู แบบนี้ จะมไี ดทงั้ หมดก่ีหมายเลขและมวี ิธกี ารนับอยางไร

ในการจัดกิจกรรมนี้ ครูควรเนนใหนักเรียนเห็นวา ในการนับจํานวนหมายเลขทะเบียนรถยนต
ขางตน อาจไมส ะดวกท่จี ะนับโดยตรง เหมอื นกับการนับจาํ นวนสิง่ ของท่มี ีไมมากและไมซับซอน
เชน การนับจํานวนนักเรียนในหอง จํานวนไมยืนตนในบริเวณบาน หรือจํานวนหนังสือใน
กระเปานักเรยี น ดังนั้น การใชความรูเกี่ยวกับหลักการนับจะชวยใหสามารถนับจํานวนสิ่งของ
ตาง ๆ ไดส ะดวกขึ้น โดยเฉพาะเมื่อสง่ิ ของที่นับมจี ํานวนมาก และมอี งคประกอบที่ซบั ซอน

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน
76 คูมอื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4

หลกั การบวกและหลักการคณู

ครูอาจนําเขาสูหลักการบวก โดยยกตัวอยางการเลือกบริษัทผูใหบริการสําหรับเดินทางกลับ

เชยี งใหมข องบัวตองจากหนงั สือเรียน ดังนี้

ถาบัวตองจะเดนิ ทางจากกรุงเทพฯ กลบั ไปเยยี่ มบานทีเ่ ชียงใหม โดยจะเลือกเดินทาง

โดยเคร่ืองบินหรือรถประจําทาง และสมมติวามีสายการบินและบริษัทรถประจําทาง

ใหเลือกดงั ตาราง แลวบวั ตองจะเลือกบริษทั ผใู หบ ริการไดท ง้ั หมดก่วี ิธี

วธิ ีเดินทาง บรษิ ัทผใู หบ รกิ าร

เคร่อื งบนิ 1. ยม้ิ สยาม
2. การบนิ เอเชยี
3. วหิ คเหนิ ฟา
4. กรงุ เทพการบนิ
5. เชยี งใหมแอรเวย
6. ไทยการบนิ

รถประจาํ ทาง 1. กรงุ เทพทวั ร
2. มาลีทัวร
3. สบายทวั ร
4. สยามทวั ร
5. ทวั รท่ัวไทย

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนับเบ้ืองตน 77
คูมอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4

ครูใหนักเรียนรวมกันอภิปราย และเปดโอกาสใหนักเรียนใชวิธีที่หลากหลายในการหาคําตอบ
ซ่งึ นกั เรียนอาจเขยี นแสดงโดยใชแผนภาพตน ไม หรอื เขยี นแสดงในตาราง ดังตัวอยางตอไปน้ี

ตวั อยางคาํ ตอบที่ 1 แสดงโดยใชแ ผนภาพตน ไมไดดังนี้ ย้มิ สยาม
เครือ่ งบิน การบินเอเชยี
วหิ คเหินฟา
การเดนิ ทาง กรงุ เทพการบิน
เชียงใหมแอรเ วย
รถประจาํ ทาง ไทยการบนิ

กรงุ เทพทวั ร
มาลีทวั ร
สบายทวั ร
สยามทวั ร
ทัวรทั่วไทย

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน
78 คูมอื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4

ตวั อยางคําตอบที่ 2 แสดงโดยแจกแจงกรณีในรูปตารางไดดงั นี้

วิธีที่ วิธีเดินทาง บรษิ ทั ผูใหบ ริการ บริษทั ผูใหบ ริการ
เครือ่ งบิน รถประจําทาง

เครื่องบิน รถประจําทาง 1 2 3 4 5 6 12345

1 
2
3 
4 
5 
6
7 
8 
9
10 
11 




ครูและนักเรียนรวมกันสรุปจากตัวอยาง ซ่ึงจะพบวาในการแกปญหาขางตนไดใชการนับ
โดยแบงวิธีที่เปนไปไดออกเปน 2 กรณี ไดแก กรณีท่ีเดินทางโดยเครื่องบิน และกรณีเดินทาง
โดยรถประจําทาง ซึ่งบริษัทผูใหบริการในท้ังสองกรณีไมซ้ําซอนกัน จากน้ันจึงนําจํานวนบริษัท
ผใู หบรกิ ารทัง้ สองกรณีมาบวกกัน

ครูอาจใชตัวอยางนําเขาสูหลักการคูณ โดยยกตัวอยางการเลือกเสนทางขับรถยนตของบัวตอง
เพื่อเดินทางไปเย่ียมบานที่เชียงใหมของบัวตองโดยระหวางทางจะตองแวะเยี่ยมญาติท่ี
นครสวรรค จากหนังสอื เรียน ดังนี้

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนบั เบอื้ งตน 79
คูม ือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4

สมมติวาบัวตองจะขับรถยนตจากกรุงเทพฯ กลับไปเยี่ยมบานที่เชียงใหม โดยระหวาง
ทางจะตองแวะเย่ียมญาติท่ีนครสวรรคดวย ถาเสนทางจากกรุงเทพฯ ไปนครสวรรค
มี 2 เสนทาง และเสนทางจากนครสวรรคไปเชียงใหม มี 3 เสนทาง แลวบัวตอง
จะขับรถจากกรุงเทพฯ ไปเชียงใหมไ ดทงั้ หมดกี่เสน ทาง
โดยใหนักเรียนรวมกันอภิปราย และเปดโอกาสใหนักเรียนใชวิธีท่ีหลากหลายในการหาคําตอบ
ซึ่งนกั เรยี นอาจเขยี นแสดงโดยใชแผนภาพ หรือเขียนแสดงในตาราง ดังตวั อยางตอไปนี้

ตัวอยา งคําตอบท่ี 1 แสดงโดยใชแ ผนภาพ

กรุงเทพฯ นครสวรรค เชียงใหม

ตัวอยา งคาํ ตอบที่ 2 แสดงโดยใชแผนภาพตน ไม ขนั้ ตอนที่ 2
นครสวรรค – เชียงใหม
ขั้นตอนที่ 1
กรงุ เทพฯ – นครสวรรค เสนทางท่ี 1
เสนทางท่ี 2
เสน ทางที่ 1 เสนทางที่ 3

การเดนิ ทาง เสน ทางท่ี 1
เสน ทางท่ี 2
เสนทางท่ี 2 เสน ทางที่ 3

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบ้อื งตน
80 คมู ือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4

ตวั อยางคาํ ตอบที่ 3 แสดงโดยแจกแจงกรณใี นรปู ตารางไดด ังน้ี

กรุงเทพฯ – นครสวรรค นครสวรรค – เชียงใหม
วิธีที่ เสนทางท่ี 1 เสน ทางท่ี 2 เสนทางท่ี 3

เสนทางที่ 1 เสนทางท่ี 2

1 
2 
3 
4

5 
6 

ประเด็นสําคัญเกี่ยวกับเน้ือหาและสงิ่ ท่ีควรตระหนักเกีย่ วกบั การสอน

• จากสถานการณเก่ียวกับการเดินทางของบัวตองท้ังสองปญหาขางตน จะเห็นวามี
ความแตกตางกัน โดยสถานการณแรกใชหลักการบวกในการหาจํานวนวิธีเดินทาง
ของบัวตองน้ัน ซึ่งจะเห็นวาการเดินทางแตละวิธี ไมวาจะโดยเครื่องบินหรือ
โดยรถประจําทางสามารถทําใหการเดินทางนั้นสมบูรณได แตในสถานการณท่ี 2
ใชหลักการคูณในการหาจํานวนเสนทางในการเดินทาง ซึ่งจะเห็นวาการเดินทาง
ตองมี 2 ข้ันตอน นั่นคือ ขั้นตอนที่ 1 เปนการเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปนครสวรรค
ซ่ึงมี 2 เสนทาง และขั้นตอนที่ 2 เปนการเดินทางจากนครสวรรคไปเชียงใหม
ซง่ึ มี 3 เสนทาง โดยการเดินทางจะสมบูรณเมอ่ื มคี รบท้ัง 2 ข้ันตอน

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบอื้ งตน 81
คูมือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4

• ตัวอยางที่ 5
รานอาหารแหงหนึ่งมีอาหารคาว 4 อยาง และขนม 3 อยาง ถาลูกคาตองการ
อาหารคาวหน่งึ อยา งและขนมหนึง่ อยาง เขาจะมวี ิธเี ลือกส่ังอาหารไดกว่ี ิธี

ตัวอยางนี้ นําเสนอขั้นตอนการเลือกส่ังอาหารคาวกอนการเลือกส่ังขนม อยางไรก็ตาม
อาจจะพิจารณาข้ันตอนการเลือกส่ังขนมกอนการเลือกสั่งอาหารคาวก็ได เพียงแต
ตอ งพิจารณาใหครบทุกขั้นตอนเทาน้ัน นั่นคือ ในบางสถานการณที่ใชหลักการคูณใน
การแกปญหา อาจสลบั ขนั้ ตอนได
• ในการสอนเน้อื หาเรือ่ งนี้ ครูควรเรม่ิ จากการพิจารณาโจทยวาโจทยกําหนดสิ่งใด ตองการให
หาสิ่งใด จะหาส่ิงน้ันตองทราบอะไรบาง จําเปนตองมีขั้นตอนใดบาง ข้ันตอนเหลาน้ันเปน
อสิ ระตอกันหรือไม การทํางานตามข้ันตอนเหลา นั้นตองใชหลกั การบวกหรือหลักการคูณ
• การแกป ญหาเกีย่ วกบั หลักการนบั สามารถทําไดหลายวิธี ครูควรเปดโอกาสใหนักเรียน
ไดล องคิดหาคําตอบดวยตนเอง

ประเด็นสําคญั เกีย่ วกับแบบฝก หัด

แบบฝกหัด 3.1
5. ลูกเตาแตละลูกประกอบดวยหนา 6 หนา โดยมีแตม 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ปรากฏอยู
แตมละหนึ่งหนา

ถาทอดลูกเตาหนึ่งลกู สองครั้ง จงหา

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน
82 คูมอื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4

1) จํานวนวิธที ีแ่ ตมทไี่ ดจากการทอดลูกเตาท้งั สองครัง้ เทา กนั
2) จาํ นวนวิธที ี่แตม ทไ่ี ดจากการทอดลกู เตา ทัง้ สองครั้งตา งกนั
3) จาํ นวนวธิ ที ่ผี ลรวมของแตมทไ่ี ดจากการทอดลกู เตาท้งั สองคร้งั นอยกวา 10
แบบฝกหัดนี้สามารถหาคําตอบไดโดยการเขียนแจกแจงกรณีในรูปตาราง ซ่ึงเปนวิธีที่นักเรียน
คุนเคยในระดับมัธยมศึกษาตอนตน ครูควรกระตุนใหนักเรียนเช่ือมโยงการเขียนแจกแจงกรณี
ไปสกู ารใชห ลักการนบั เบ้อื งตน

การเรยี งสับเปล่ียนเชงิ เสน ของส่ิงของทีแ่ ตกตา งกนั ทง้ั หมด
ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพื่อใหนักเรียนเขาใจแนวคิดเกี่ยวกับการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนของ
สงิ่ ของทแ่ี ตกตางกนั ทง้ั หมด โดยใชกิจกรรมการถายรปู ดังน้ี

กจิ กรรม : การถา ยรูป
ขั้นตอนการปฏบิ ตั ิ
1. ครูเลือกตัวแทนนักเรียน 3 คน ออกมาหนาช้ันโดยกําหนดตําแหนงที่ 1, 2 และ 3 เรียงกัน

เพ่ือถายรปู
2. ครูใหนักเรียนรวมกันอภิปรายและรวมกันเขียนแจงกรณีเพ่ือแสดงการยืนเรียงสลับที่กัน

ของตัวแทนทงั้ สาม เพ่อื พจิ ารณาวาจะไดวิธีการยืนเรยี งทแี่ ตกตางกนั ท้งั หมดก่ีวิธี
3. ครูใหนักเรียนใชหลักการคูณที่ไดศึกษามาแลวในการหาจํานวนวิธีการยืนเรียงกัน

เพื่อถา ยรูปท่แี ตกตางกันของตัวแทนนกั เรียนท้ังสามคน

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน 83
คูมือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4

ครูสามารถเชื่อมโยงวิธีการหาจํานวนวิธีการยืนเรียงกันเพ่ือถายรูปในกิจกรรมน้ีกับเรื่อง
การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนของสิ่งของท่ีแตกตางกันทั้งหมด โดยเช่ือมโยงกับหลักการคูณ และ
สตู ร Pn, r

ประเด็นสําคญั เก่ียวกับเน้ือหาและสิ่งทีค่ วรตระหนักเกย่ี วกับการสอน
ให n เปนจํานวนเต็มบวก จะไดวา n! = n×(n −1)×(n − 2)×...×1 และกําหนดให

0! = 1

การจัดหมสู ่ิงของท่แี ตกตา งกันทง้ั หมด

ครูอาจนําเขาสูบทเรียนเพ่ือใหนักเรียนเขาใจแนวคิดเกี่ยวกับการจัดหมูสิ่งของท่ีแตกตางกัน
ท้ังหมด โดยใชก จิ กรรมเลือกตัวแทนนักเรยี น ดงั นี้

กิจกรรม : เลอื กตวั แทนนักเรียน

ข้นั ตอนการปฏบิ ัติ
1. ครเู ลือกตัวแทนนักเรียน 4 คน ออกมาหนา ชนั้ เรยี น
2. ครูใหน กั เรียนรว มกันอภิปรายและรว มกันเขยี นแจงกรณีเพ่ือแสดงการเลือกนักเรียน 2 คน

จากตัวแทนนักเรียนทง้ั 4 คนน้ี เพ่ือพิจารณาวาจะไดวิธกี ารเลอื กนักเรียนที่แตกตางกัน
ทง้ั หมดกว่ี ธิ ี

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน
84 คูมือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

3. ครูใหนักเรียนพิจารณาจากการเขียนแจงกรณีที่ไดในขอ 2 โดยสังเกตวาในการเลือก
ตัวแทนนักเรียนสองคนออกมาโดยไมสนใจลําดับนั้น จะถือวาการเรียงสับเปล่ียนของ
นักเรียนสองคนนี้เปน แบบเดยี วกัน

4. ครูใหน กั เรยี นหาวิธีการเลอื กตัวแทนนักเรียนจากขอสงั เกตในขอ 3

ครสู ามารถเช่อื มโยงวิธกี ารหาจาํ นวนวิธีเลือกตัวแทนนักเรียนในกิจกรรมน้ีกับเร่ืองการจัดหมูของ
สงิ่ ของท่ีแตกตางกันท้งั หมด โดยเชื่อมโยงกับสตู ร Cn, r

ประเด็นสําคญั เกยี่ วกับแบบฝก หัด
แบบฝกหัดทายบท

9. ในการทอดลกู เตา หนึง่ ลกู สองคร้งั จงหา
1) จํานวนวิธีที่ผลรวมของแตมเทา กับเจ็ด
2) จํานวนวธิ ีท่ีผลรวมของแตม ไมเ ทากบั เจ็ด

แบบฝก หดั น้ีมวี ิธกี ารแกป ญหาทีห่ ลากหลาย โดยในบางวิธจี ะชวยลดความซบั ซอ นข อ ง ก า ร
แกปญหาได ครคู วรใหนักเรียนมีอิสระในการเขียนแสดงวิธีการแกปญหา โดยไมจําเปนตองตรง
กบั ทค่ี รคู ิดไว

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนบั เบื้องตน 85
คมู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4

3.3 แนวทางการจัดกจิ กรรมในหนงั สือเรยี น

กิจกรรม : บทพากยเอราวัณ

บทพากยเอราวัณ จากพระราชนิพนธเรื่องรามเกียรต์ิ ในพระบาทสมเด็จพระพุทธเลิศหลา

นภาลัย เปนกาพยฉบัง 16 ซึ่งบรรยายลักษณะของชางเอราวัณ พาหนะของพระอินทร

ซึ่งชางในบทพากยน้ีเกิดจากการเนรมิตของอินทรชิต เพ่ือหลอกลอกองทัพของพระราม

โดยสว นหน่ึงของบทพากยเ ปน ดังนี้

ชางนมิ ติ ฤทธแิ รงแขง็ ขนั เผอื กผองผิวพรรณ

สสี ังขสะอาดโอฬาร

สามสบิ สามเศยี รโสภา เศียรหนง่ึ เจ็ดงา

ดั่งเพชรรัตนรจู ี

งาหนง่ึ เจ็ดโบกขรณี สระหนึ่งยอ มมี

เจ็ดกออบุ ลบนั ดาล

กอหน่ึงเจด็ ดอกดวงมาลย ดอกหนึ่งเบงบาน

มกี ลีบไดเจด็ กลีบผกา

กลีบหน่ึงมีเทพธดิ า เจ็ดองคโ สภา

แนง นอ ยลาํ เพานงพาล

นางหน่ึงยอมมีบรวิ าร อกี เจด็ เยาวมาลย

ลวนรปู นริ มิตมายา

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลกั การนบั เบอื้ งตน
86 คมู อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 4

ใหนกั เรียนตอบคาํ ถามตอไปนี้ โดยใชข อ มูลจากบทพากยขางตน
1. ชา งเอราวณั มกี ีเ่ ศียร
2. เศยี รชางเอราวัณแตล ะเศียรมีงากี่กง่ิ และชา งเอราวณั มงี ารวมท้งั หมดกี่กง่ิ
3. งาแตล ะก่ิงมีสระบัวก่ีสระ และชา งเอราวัณมสี ระบวั รวมท้งั หมดก่สี ระ
4. สระบัวแตละสระมีกอบวั กีก่ อ และชางเอราวัณมกี อบวั รวมทง้ั หมดก่กี อ
5. กอบัวแตล ะกอมีดอกบวั กด่ี อก และชางเอราวัณมดี อกบวั รวมทงั้ หมดกด่ี อก
6. ดอกบัวแตล ะดอกมกี ีก่ ลบี และชา งเอราวณั มกี ลบี ดอกบวั รวมทัง้ หมดกก่ี ลีบ
7. กลบี ดอกบัวแตละกลีบมีเทพธดิ ากอี่ งค และชา งเอราวัณมเี ทพธดิ ารวมทงั้ หมดกี่องค
8. เทพธิดาแตละองคมีบริวารกี่นาง และชางเอราวณั มบี รวิ ารรวมทงั้ หมดกน่ี าง
9. ชางเอราวัณมีเทพธิดาและบรวิ ารรวมทง้ั หมดก่ีนาง

เฉลยกจิ กรรม : บทพากยเอราวณั

1. 33 เศียร
2. เศยี รชางแตล ะเศยี รมงี า 7 กิง่ และชางเอราวณั มีงารวมท้ังหมด 33× 7 กง่ิ
3. งาแตล ะกงิ่ มสี ระบัว 7 สระ และชางเอราวัณมสี ระบัวรวมทั้งหมด 33× 72 สระ
4. สระบวั แตล ะสระมกี อบัว 7 กอ และชา งเอราวณั มีกอบวั รวมทงั้ หมด 33× 73 กอ
5. กอบวั แตละกอมีดอกบัว 7 ดอก และชางเอราวณั มีดอกบัวรวมทั้งหมด 33× 74 ดอก
6. ดอกบวั แตล ะดอกมี 7 กลบี และชางเอราวัณมีกลีบบัวรวมทัง้ หมด 33× 75 กลบี
7. กลบี บัวแตละกลีบมีเทพธดิ า 7 องค และชา งเอราวัณมีเทพธิดารวมท้ังหมด 33× 76 องค
8. เทพธิดาแตล ะองคม บี รวิ าร 7 นาง และชางเอราวัณมีบรวิ ารรวมทง้ั หมด 33× 77 นาง
9. ชา งเอราวัณมีเทพธดิ าและบริวารรวมทั้งหมด 33× 76 + 33× 77 = 264× 76 นาง

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลักการนับเบื้องตน 87
คูม อื ครูรายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4

แนวทางการจัดกจิ กรรม : บทพากยเอราวัณ

เวลาในการจัดกจิ กรรม 30 นาที
กิจกรรมนี้เสนอไวใหนักเรียนฝกฝนการใชความรู เรื่อง หลักการบวกและหลักการคูณ
เพ่ือแกป ญ หา โดยกิจกรรมนี้มสี ่อื /แหลง การเรยี นรู และขน้ั ตอนการดําเนนิ กิจกรรม ดงั นี้
สื่อ/แหลง การเรยี นรู
1. ใบกิจกรรม “บทพากยเอราวัณ”
2. รูปชางเอราวณั จากสารานุกรมไทยสําหรบั เยาวชน
ขน้ั ตอนการดําเนนิ กจิ กรรม
1. ครูนาํ เขา สูกจิ กรรมโดยเปดสื่อวดี ิทัศนห รือเลา เรอื่ งราวสั้น ๆ เก่ยี วกับชางเอราวณั
2. ครูแจกใบกิจกรรม “บทพากยเอราวัณ” ใหกับนักเรียนทุกคนและแบงกลุมนักเรียน

แบบคละความสามารถ กลมุ ละ 3 – 4 คน
3. ครูใหนักเรียนแตละกลุมศึกษาใบกิจกรรมบทพากยเอราวัณ จากนั้นชวยกันตอบคําถาม

ขอ 1 – 9 ในใบกิจกรรม ครูควรเปดโอกาสใหนักเรียนใชแนวทางที่หลากหลายในการ
หาคําตอบ และอนุญาตใหนักเรียนเขียนแสดงคําตอบในรูปของเลขยกกําลังได โดยใน
ระหวางทีน่ ักเรียนทํากิจกรรมครูควรเดินดูนักเรียนใหท่ัวถึงทุกกลุม และคอยช้ีแนะเม่ือ
นักเรยี นพบปญหา
4. ครูสุมเลือกกลุมนักเรียนเพ่ือตอบคําถาม และใหนักเรียนกลุมอ่ืน ๆ รวมกันอภิปราย
เกย่ี วกบั คําตอบ รวมท้ังกระตนุ ใหนกั เรียนใหเ หตุผลประกอบคําตอบ
5. ครแู สดงภาพตวั อยา งของชางเอราวัณ จากนั้นครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายเพื่อสรุป
เก่ียวกับบทพากยเอราวัณที่นักเรียนไดอาน ซึ่งเปนบทประพันธที่แสดงถึงจินตนาการ
ของกวที ีพ่ รรณนาความยิ่งใหญของชางเอราวัณ โดยนกั เรียนสามารถใชความรูคณิตศาสตร

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลกั การนบั เบ้อื งตน
88 คมู ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

เรื่อง หลักการนับเบ้ืองตน เพ่ือทําความเขาใจเก่ียวกับความยิ่งใหญของชางเอราวัณ
ไดอ ีกดว ย

3.4 การวัดผลประเมินผลระหวางเรียน

การวดั ผลระหวา งเรียนเปนการวดั ผลการเรียนรูเ พ่ือปรับปรุงและพัฒนาการเรียนการสอน และ
ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเร่ืองที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การให
นกั เรยี นทาํ แบบฝก หัดเปน แนวทางหน่ึงทค่ี รอู าจใชเพอ่ื ประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ
นกั เรยี น ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 ไดนําเสนอแบบฝกหัด
ท่ีครอบคลุมเน้ือหาท่ีสําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทที่ 3 หลักการนับเบ้ืองตน ครูอาจใช
แบบฝก หัดเพื่อวดั ผลประเมนิ ผลความรูในแตล ะเนอื้ หาไดดังน้ี

เนื้อหา แบบฝก หัด

หลักการบวก 3.1 ขอ 1, 2
หลักการคณู 3.1 ขอ 4 – 8
การเรยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน ของส่ิงของทแี่ ตกตางกนั ทัง้ หมด 3.2 ขอ 1 – 5
การจัดหมูของสิ่งของทแี่ ตกตางกนั ทงั้ หมด 3.3 ขอ 1 – 6

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี