คู่มือครูคณิตม.4

คมู ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 189

ข้นั ตอนท่ี 2 ตวั ที่ 2 เลอื กตวั อกั ษรภาษาอังกฤษได 25 วธิ ี จากตวั อกั ษรท้งั หมด
ที่ไมซ ้ํากับตวั ท่ี 1

ขน้ั ตอนที่ 3 ตัวท่ี 3 เลอื กตัวอกั ษรภาษาอังกฤษได 25 วธิ ี จากตวั อกั ษรทั้งหมดที่
ไมซาํ้ กบั ตวั ที่ 2

ข้นั ตอนที่ 4 ตวั ที่ 4 เลอื กตัวอกั ษรภาษาอังกฤษได 25 วธิ ี จากตวั อักษรท้ังหมดที่
ไมซ ํา้ กบั ตัวท่ี 3

ข้ันตอนท่ี 5 ตัวที่ 5 เลอื กตวั อกั ษรภาษาอังกฤษได 25 วิธี จากตวั อักษรทั้งหมดที่
ไมซํา้ กบั ตัวท่ี 4

จากหลกั การคูณ จึงไดว า มวี ิธสี รา งคาํ ทไ่ี มคาํ นึงความหมาย ซึง่ ประกอบดว ยตัวอักษร
ภาษาองั กฤษ 5 ตวั โดยท่ตี ัวอกั ษร 2 ตัว ทีต่ ดิ กนั ตองแตกตางกันท้งั หมด
26 × 25× 25× 25× 25 =10,156, 250 วิธี
5. 1) รหสั ประจาํ ตวั พนักงานในบริษทั แหง น้ี ที่มเี ลขโดดซํา้ กันได ประกอบดว ย 2 สวน ดังนี้

สว นท่ี 1 ตวั อักษรภาษาอังกฤษ 1 ตัว มไี ด 26 แบบ
สว นท่ี 2 เลขโดด 3 ตวั ทีไ่ มเ ปนศูนยพรอมกนั มีได 999 แบบ

จาก 001 ถงึ 999
จากหลักการคณู จึงไดว า รหัสประจาํ ตัวพนักงานในบรษิ ัทแหงนี้ ทมี่ เี ลขโดดซาํ้ กันได
มีท้งั หมด 26× 999=25,974 รหสั

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

190 คูมอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4

2) รหัสประจําตัวพนกั งานในบริษัทแหง นี้ ที่ไมม ีเลขโดดซํ้ากนั ประกอบดวย 2 สวน ดงั นี้

สว นท่ี 1 ตวั อักษรภาษาอังกฤษ 1 ตวั มไี ด 26 แบบ

สวนที่ 2 เลขโดด 3 ตัว มี 3 ขน้ั ตอน ดังน้ี

หลักที่ 1 หลักท่ี 2 หลักท่ี 3

ขน้ั ตอนท่ี 1 เลอื กเลขโดด 1 ตัว เปนหลกั ที่ 1 จากเลขโดด
0, 1, 2, 3, …, 9 ได 10 วิธี

ข้ันตอนท่ี 2 เลือกเลขโดด 1 ตวั เปนหลกั ท่ี 2 จากเลขโดด
0, 1, 2, 3, …, 9 ทีไ่ มซ ้าํ กับเลขโดดในหลกั ท่ี 1 ได 9 วิธี

ขน้ั ตอนที่ 3 เลอื กเลขโดด 1 ตัว เปน หลักท่ี 3 จากเลขโดด
0, 1, 2, 3, …, 9 ทไี่ มซาํ้ กบั เลขโดดในหลกั ท่ี 1 และ
หลักท่ี 2 ได 8 วธิ ี

จากหลกั การคณู จงึ ไดว า รหสั ประจําตวั พนกั งานในบริษัทแหง นี้ ทไ่ี มมเี ลขโดดซ้ํากนั
มีทงั้ หมด 26×10× 9×8=18,720 รหัส
6. เน่อื งจากหมายเลขทะเบยี นรถยนตน ่งั สวนบคุ คลในกรุงเทพมหานคร มีองคป ระกอบ
3 สว น ไดแ ก
สวนท่ี 1 เลขโดดที่ไมใช 0 มีได 9 ตวั ไดแก 1, 2, 3,  , 9
สว นที่ 2 พยญั ชนะ 2 ตัว ทมี่ ีเง่ือนไขตามที่โจทยกาํ หนด มีได (35×35) − 4 แบบ
สวนท่ี 3 จํานวนเต็มบวกท่ไี มเกิน 4 หลัก มไี ด 9,999 ตวั
จากหลกั การคณู จึงไดว า หมายเลขทะเบยี นรถยนตน ัง่ สว นบุคคลในกรุงเทพมหานคร
มไี ดไมเ กนิ 9×[(35× 35) − 4]× 9,999 =109,879,011 หมายเลข

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 191

7. สรางจํานวนสามหลักทม่ี ากกวา 300 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยเลขโดด
ในแตล ะหลกั ไมซ ้ํากัน สามารถทาํ ได 3 ข้นั ตอน ดังน้ี
ข้นั ตอนท่ี 1 หลักรอย เลอื กเลขโดดได 3 วธิ ี จากเลขโดด 3, 4, 5
ข้ันตอนท่ี 2 หลักสิบ เลือกเลขโดดได 5 วธิ ี จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5
ทไ่ี มซ ํ้ากับเลขโดดในหลกั รอย
ขัน้ ตอนที่ 3 หลกั หนว ย เลอื กเลขโดดได 4 วิธี จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5
ที่ไมซํ้ากบั เลขโดดในหลกั รอ ย
และหลักสิบ
จากหลักการคูณ จึงไดว า จํานวนสามหลักท่มี ากกวา 300 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5
โดยเลขโดดในแตล ะหลักไมซํ้ากนั ทงั้ หมด 3× 4×5 =60 จาํ นวน

8. วธิ ีท่นี กั เรียนจะทาํ ขอสอบประเภทใหเ ลือกตอบวาจริงหรือเทจ็ ซ่ึงมี 10 ขอ โดยจะตอง
ตอบคาํ ถามทกุ ขอ สามารถทําได 10 ขน้ั ตอน ดังนี้
ขน้ั ตอนท่ี 1 ขอ ที่ 1 เลือกตอบได 2 วิธี คือ จริงหรือเทจ็
ขน้ั ตอนที่ 2 ขอที่ 2 เลอื กตอบได 2 วิธี คอื จรงิ หรือเทจ็
ข้ันตอนที่ 3 ขอ ที่ 3 เลอื กตอบได 2 วิธี คือ จรงิ หรือเท็จ

 

ขั้นตอนท่ี 10 ขอที่ 10 เลือกตอบได 2 วธิ ี คอื จริงหรอื เท็จ

จากหลกั การคูณ จงึ ไดวา มีวธิ ีทีน่ กั เรยี นจะทาํ ขอสอบประเภทใหเ ลือกตอบวา จริงหรือเท็จ

ซ่งึ มี 10 ขอ โดยจะตองตอบคําถามทกุ ขอ ท้ังหมด

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2= 210= 1,024 วธิ ี

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

192 คมู ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4

9. เขียนตารางแสดงแตม ท่ไี ดจากการทอดลกู เตา หนง่ึ ลูก สองครง้ั ไดดังนี้

ครัง้ ที่ 2

123456

คร้งั ท่ี 1

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

1) วิธที ี่ 1 จากตาราง จะไดจ าํ นวนวิธีทีผ่ ลรวมของแตมเทา กับ 7 เปน 6 วิธี
วธิ ีท่ี 2 ขั้นตอนท่ี 1 แตม ที่ไดจ ากการทอดลูกเตาครง้ั ที่ 1 มไี ด 6 วิธี
ขัน้ ตอนที่ 2 เนอ่ื งจากผลรวมของแตมท่ีไดจากการทอดลกู เตา เทากับ 7
จะไดวา แตมที่ไดจากการทอดลูกเตา ครง้ั ที่ 2 มไี ด 1 วธิ ี
จากหลักการคูณ จะไดจ าํ นวนวธิ ีท่ีผลรวมของแตมเทากับ 7 เปน
6×1 =6 วธิ ี

2) วธิ ที ่ี 1 จากตาราง จะไดจ ํานวนวธิ ีที่ผลรวมของแตมไมเทากบั 7 เปน 30 วธิ ี
วธิ ที ี่ 2 เน่อื งจากจํานวนวิธที ่ีแตมท่ไี ดจากการทอดลกู เตา หนึ่งลูก สองคร้งั
ทาํ ได 6× 6 =36 วธิ ี
แตจํานวนวธิ ที ี่ผลรวมของแตมท่ไี ดจ ากการทอดลกู เตา เทา กบั 7 ทําได 6 วธิ ี
ดังน้นั จาํ นวนวิธีที่ผลรวมของแตมไมเ ทากบั 7 เปน 36 – 6 = 30 วิธี
วธิ ีท่ี 3 ขนั้ ตอนท่ี 1 แตมท่ีไดจากการทอดลูกเตาครง้ั ที่ 1 มีได 6 วิธี
ขั้นตอนท่ี 2 เนอื่ งจากผลรวมของแตมท่ีไดจากการทอดลูกเตา
ไมเทากบั 7
จะไดว าแตมท่ีไดจากการทอดลูกเตาคร้งั ที่ 2 มีได 6 – 1 = 5 วธิ ี

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 193

จากหลกั การคูณ จะไดจาํ นวนวิธีท่ผี ลรวมของแตม ไมเ ทากับ 7 เปน

6× 5 =30 วิธี

10. วิธที ี่ 1 จาํ นวนวิธีในการจดั เรียงหนงั สอื 4 เลม จากหนงั สอื ที่แตกตางกนั 6 เลม
วิธที ี่ 2
เปน แถวบนชั้น คอื
11. วธิ ีที่ 1
P6,4 = 6!
(6 − 4)!

= 6!
2!

= 360

ดงั นั้น จาํ นวนวิธีในการจดั เรยี งหนังสือ เทากบั 360 วิธี

เน่ืองจากการจัดหนังสือ 4 เลม จากหนังสือทแี่ ตกตา งกัน 6 เลม เปน แถวบนชัน้

ประกอบดว ย 4 ขัน้ ตอน ดงั น้ี

ขั้นตอนท่ี 1 ตําแหนง ที่ 1 เลอื กหนงั สอื ได 6 วธิ ี จากหนังสอื ทั้งหมด 6 เลม
ขัน้ ตอนที่ 2 ตําแหนงท่ี 2 เลอื กหนงั สอื ได 5 วิธี จากหนงั สอื ทเี่ หลอื
ขน้ั ตอนท่ี 3 ตาํ แหนง ท่ี 3 เลือกหนังสือได 4 วิธี จากหนงั สอื ทเี่ หลือ

ขัน้ ตอนท่ี 4 ตาํ แหนงที่ 4 เลอื กหนังสือได 3 วิธี จากหนังสือที่เหลือ
จากหลกั การคูณ จงึ ไดว า จาํ นวนวธิ ีในการจัดเรยี งหนังสอื เทากบั

6 × 5× 4 × 3 =360 วธิ ี

จาํ นวนวิธีในการเลอื กคณะกรรมการชุดน้ี ซงึ่ มี 4 ตาํ แหนง คอื นายกสมาคม

อุปนายกสมาคม เลขานุการ และเหรัญญกิ ทําได

P50, 4 = 50! = 5,527, 200 วิธี
(50 − 4)!

ดงั นั้น มีวิธใี นเลอื กคณะกรรมการได 5,527,200 วิธี

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

194 คูมอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4

วธิ ีที่ 2 เนอื่ งจากคณะกรรมการชดุ น้ีมี 4 ตาํ แหนง คือ นายกสมาคม อุปนายก
สมาคม เลขานุการ และเหรัญญิก การเลือกคณะกรรมการชดุ นี้จากผสู มคั ร

50 คน ประกอบดวย 4 ขัน้ ตอน ดงั น้ี

ขั้นตอนท่ี 1 ตาํ แหนงนายกสมาคม เลอื กได 50 วิธี จากผูสมคั ร 50 คน
ข้นั ตอนท่ี 2 ตําแหนง อปุ นายกสมาคม เลือกได 49 วธิ ี จากผสู มคั รท่เี หลือ 49 คน
ข้ันตอนที่ 3 ตําแหนง เลขานุการ เลือกได 48 วธิ ี จากผูสมัครทเี่ หลอื 48 คน
ขั้นตอนท่ี 4 ตําแหนง เหรญั ญิก เลอื กได 47 วธิ ี จากผสู มคั รทเ่ี หลือ 47 คน
จากหลกั การคณู จงึ ไดว า มวี ธิ ีเลอื กคณะกรรมการได

50 × 49 × 48× 47 =5,527, 200 วิธี

12. จะมีสว นของเสน ตรงทีเ่ กิดจากการเช่ือมจดุ 2 จดุ จากจุด 10 จุด บนเสนรอบวงของ

วงกลมวงหนึ่ง ทง้ั หมด C=10,2 =10! 45 เสน
8! 2!

13. วิธที ี่ 1 การจดั คน 5 คน ยืนเปน แถวเพือ่ ถายรูป โดยแตละคร้ังท่ถี ายรปู จะมี

อยา งนอย 3 คน สามารถทาํ ได 3 กรณี ดงั น้ี

กรณีท่ี 1 มีคน 3 คน ยืนเปนแถวเพ่ือถายรูป จะไดภาพทแ่ี ตกตา งกัน P5,3 ภาพ

กรณีที่ 2 มีคน 4 คน ยนื เปน แถวเพื่อถายรปู จะไดภ าพทแี่ ตกตา งกนั P5,4 ภาพ

กรณีที่ 3 มคี น 5 คน ยืนเปน แถวเพอ่ื ถายรปู จะไดภาพทีแ่ ตกตางกนั P5,5 ภาพ

จากหลักการบวก จึงไดว า มีภาพทแี่ ตกตางกันทง้ั หมดจากการจัดคน 5 คน

ยนื เปนแถวเพื่อถายรปู โดยแตล ะคร้งั ที่ถายรปู จะมีอยางนอย 3 คน เทากบั

= 5! + 5! + 5!
(5 − 3)! (5 − 4)! (5 − 5)!
+ภาพP5,3 +
P5, 4 P5,5 =60 +120 +120 =300

วธิ ที ่ี 2 การจัดคน 5 คน ยนื เปนแถวเพอ่ื ถายรปู โดยแตละคร้ังทถี่ ายรปู จะมี

อยา งนอย 3 คน สามารถทําได 3 กรณี ดังน้ี

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 195

กรณที ี่ 1 มีคน 3 คน ยนื เปนแถวเพือ่ ถายรูป ประกอบดวย 3 ข้ันตอน ดังน้ี
ข้ันตอนที่ 1 เลอื กคนที่หน่ึง ได 5 วิธี
ขน้ั ตอนที่ 2 เลอื กคนที่สอง ได 4 วธิ ี จากคนที่เหลือ
ข้นั ตอนท่ี 3 เลือกคนที่สาม ได 3 วิธี จากคนที่เหลือ
จากหลักการคูณ จงึ ไดวา มีภาพทีแ่ ตกตางกนั จากการถายรูปคน
3 คน ทงั้ หมด 5× 4× 3 =60 ภาพ

กรณีท่ี 2 มีคน 4 คน ยนื เปนแถวเพื่อถายรูป ประกอบดว ย 4 ขั้นตอน ดงั นี้
ขั้นตอนที่ 1 เลือกคนที่หนงึ่ ได 5 วธิ ี
ขั้นตอนที่ 2 เลือกคนที่สอง ได 4 วิธี จากคนที่เหลือ
ขั้นตอนท่ี 3 เลอื กคนที่สาม ได 3 วิธี จากคนที่เหลือ
ข้นั ตอนที่ 4 เลอื กคนท่สี ี่ ได 2 วธิ ี จากคนทีเ่ หลอื
จากหลักการคณู จงึ ไดวา มภี าพที่แตกตา งกันจากการถายรูปคน
4 คน ทง้ั หมด 5× 4× 3× 2 =120 ภาพ

กรณที ่ี 3 มีคน 5 คน ยนื เปนแถวเพ่ือถายรปู ประกอบดว ย 5 ขัน้ ตอน ดังนี้
ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกคนทีห่ นึง่ ได 5 วิธี
ขนั้ ตอนท่ี 2 เลือกคนที่สอง ได 4 วธิ ี จากคนทเ่ี หลอื
ขนั้ ตอนที่ 3 เลอื กคนที่สาม ได 3 วิธี จากคนที่เหลือ
ขน้ั ตอนที่ 4 เลือกคนทส่ี ่ี ได 2 วิธี จากคนที่เหลือ
ขนั้ ตอนท่ี 5 เลอื กคนทห่ี า ได 1 วิธี จากคนท่เี หลอื
จากหลกั การคูณ จึงไดว า มภี าพทีแ่ ตกตางกนั จากการถายรปู คน
5 คน ทั้งหมด 5× 4× 3× 2 ×1=120 ภาพ

จากหลกั การบวก จงึ ไดว า มีภาพท่แี ตกตา งกันท้ังหมดจากการจัดคน 5 คน

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

196 คมู อื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4

ยืนเปนแถวเพ่ือถายรูป โดยแตละครงั้ ที่ถา ยรปู จะมอี ยางนอย 3 คน เทากับ

60 +120 +120 =300 ภาพ

14. จํานวนวธิ ใี นการจัดคนทีม่ าสมัครเขา ทํางานในทที่ ํางานแหงนี้ ประกอบดว ย 2 ขนั้ ตอน

ดังน้ี

ข้ันตอนที่ 1 เลือกตําแหนงสําหรับผูชาย 3 ตาํ แหนง จากผสู มคั รเขา ทํางานเปน
ผชู าย 6 คน ได P6,3 วิธี

ขน้ั ตอนท่ี 2 เลือกตาํ แหนงสาํ หรบั ผูหญิง 2 ตาํ แหนง จากผูสมัครเขา ทํางานเปน
ผหู ญงิ 5 คน ได P5,2 วธิ ี

จากหลักการคูณ จงึ ไดวา มจี ํานวนวิธีจัดคนท่ีมาสมัครเขาทาํ งานไดทั้งหมด

P6,3 × P5,2 = (6 6! × (5 5! = 120 × 20 = 2,400 วธิ ี

− 3)! − 2)!

15. 1) ชมรมเลนหมากรกุ มสี มาชกิ ท่เี ปน ชาย 6 คน และหญงิ 4 คน

นนั่ คือ ชมรมน้มี สี มาชิกทั้งหมด 10 คน

เนือ่ งจากการจับคูเ ลน หมากรุกจะตองเลือกคน 2 คน จากสมาชกิ ของชมรม 10 คน

ดงั น้ัน จะมีจํานวนวธิ ใี นการจับคเู ลนหมากรุกโดยทีไ่ มมีเง่ือนไข

=C10, 2 =10! 45 วธิ ี
(10 − 2)! 2!

2) การจับคูเ ลน หมากรุกโดยที่เพศตรงขา มกันหามจบั คูกนั สามารถเกดิ ขนึ้ ได

2 กรณี ดังน้ี

กรณีที่ 1 ผูเลนเปนผชู ายทั้งคู

ดงั นนั้ การจับคูเลนหมากรกุ จะตอ งเลือกคน 2 คน จากสมาชกิ ของชมรมที่

เปน ผูชาย 6 คน จะมีจํานวนวิธใี นการจับ=คูได C6, 2 =6! 15 วธิ ี
(6 − 2)! 2!

กรณีท่ี 2 ผเู ลน เปน ผหู ญิงทั้งคู

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 197

ดงั น้นั การจับคูเ ลน หมากรุกจะตอ งเลือกคน 2 คน จากสมาชกิ ของชมรมที่
เปนผูหญิง 4 คน จะมจี าํ นวนวธิ ใี นการจับคูได

=C4, 2 =4! 6 วิธี
(4 − 2)! 2!

จากหลักการบวก จึงไดว า มีจํานวนวธิ ีในการจับคเู ลน หมากรกุ โดยท่ี

เพศตรงขา มกันหามจบั คูกนั 15 + 6 =21 วิธี

16. การเลือกกรรมการชดุ น้ี ประกอบดวย 3 ขน้ั ตอน ดังนี้

ขั้นตอนท่ี 1 เลอื กนักเรียนชาย 2 คน จาก 20 คน ทาํ ได C20,2 วธิ ี

ขั้นตอนท่ี 2 เลือกนักเรียนหญงิ 2 คน จาก 25 คน ทาํ ได C25,2 วิธี

ขัน้ ตอนที่ 3 เลือกครู 1 คน จาก 7 คนทําได C7,1 วิธี

จากหลักการคณู จงึ ไดวา มีจํานวนวิธใี นการเลือกกรรมการท้งั หมด

20! × 25! × 7! =
18! 2! 23! 2! 6!1!
วิธีC20,2 × C25,2 × C7,1 =
399, 000

17. การเลอื กกรรมการ 3 คน จากคน 9 คน ซ่ึงเปน ผชู าย 4 คน และผูห ญงิ 5 คน

โดยตองมผี ชู ายอยา งนอ ย 2 คน สามารถทาํ ได 2 กรณี ดังนี้

กรณที ่ี 1 มีผูชาย 2 คน เปน กรรมการ ประกอบดว ย 2 ขน้ั ตอน ดงั น้ี

ขั้นตอนท่ี 1 เลือกผชู าย 2 คน จาก 4 คน ทาํ ได C4,2 วิธี

ขัน้ ตอนท่ี 2 เลอื กผหู ญงิ 1 คน จาก 5 คน ทาํ ได C5,1 วิธี

จากหลักการคูณ จึงไดว า มีวิธีเลือกกรรมการ 3 คน โดยมผี ูช าย 2 คน

ทําได C4,2 × C5,1 วิธี

กรณีท่ี 2 มีกรรมการเปนผชู ายท้ังสามคน ทาํ ได C4,3 วิธี

จากหลักการบวก จึงไดว า มวี ิธใี นการเลอื กกรรมการชดุ นี้

( ) วธิ ีC4,2 × C5,1 + C4,3 =4!×5!+4! =
 2!2! 1!4!  1!3! 30 + 4 = 34

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

198 คูมอื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4

บทท่ี 4 ความนาจะเปน

แบบฝก หดั 4.1
1. ให S1 , S2 , S3 , S4 และ S5 เปน ปรภิ ูมติ วั อยา งของการทดลองสุมในขอ 1), 2), 3), 4)

และ 5) ตามลาํ ดับ
1) เนอ่ื งจากในการหยบิ ลูกอม 1 เม็ด จากถุงท่กี ําหนดให จะหยบิ ไดล ูกอมรสสม

รสองุน รสมะนาว หรือรสกาแฟ
ดังน้ัน S1 = {รสสม , รสองุน, รสมะนาว, รสกาแฟ}
2) เนอ่ื งจากในการทําขอสอบแบบถกู ผิด 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน คะแนนสอบที่
เปน ไปได คอื 0, 1, 2, 3, …, 10
ดังน้ัน S2 = {0, 1, 2, 3, …, 10}
3) เนือ่ งจากในการแขง ขันวอลเลยบอลแตละครง้ั ผลการแขงขันทอ่ี าจเปน ได คือ
ชนะ หรอื แพ
ใหผลการแขงขันที่ชนะแทนดวย “ช” และผลการแขง ขันที่แพแ ทนดว ย “พ”
จะได ผลลัพธของการแขงขันของทมี วอลเลยบ อลหญงิ ไทย 2 นัด ทอ่ี าจเปน ได คือ
ชช, ชพ, พช หรือ พพ
ดังน้ัน S3 = {ชช, ชพ, พช, พพ}
4) เน่ืองจากการทอดลูกเตา หนงึ่ ลูกหนงึ่ ครงั้ ผลลพั ธที่อาจเกิดข้นึ คือ แตม 1, 2, 3,
4, 5 หรอื 6
จะได ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตา ท่ีอาจเกดิ ขึน้ ในการทอดลูกเตาสามลกู หน่งึ คร้ัง
คอื 3, 4, 5, …, 18

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 199

ดังนัน้ S4 = {3, 4, 5, …, 18}
5) เนอื่ งจากในการขายพัดลม 5 เครอื่ ง จาํ นวนพดั ลมที่ขายไดอาจเปน 0, 1, 2, 3, 4

หรอื 5 เครอื่ ง
ดงั น้นั S5 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
2. ให H แทนเหรยี ญข้นึ หัว
T แทนเหรยี ญข้นึ กอย
จะได ผลลัพธท ี่ไดจากการโยนเหรียญหนึ่งเหรยี ญสองครั้งท่เี ปนไปได คือ HH, HT, TH, TT
1) ให S เปนปริภูมติ ัวอยางของการทดลองสมุ
จะได S = {HH , HT ,TH ,TT}
2) ให E1 เปน เหตกุ ารณท่ีเหรียญข้ึนหวั ท้ังสองคร้งั
จะได E1 = {HH}
3) ให E2 เปน เหตุการณท ่ีเหรยี ญขึ้นหนาตา งกัน
จะได E2 = {HT,TH}
3. ให S แทนปรภิ ูมิตัวอยา งของการทดลองสมุ น้ี
H แทนเหรยี ญขึน้ หวั
T แทนเหรยี ญขน้ึ กอย
ใหเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 แทนลูกเตา ขึ้นหนา 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ตามลาํ ดับ
สามารถเขียนแผนภาพแสดงผลลัพธข องการทดลองสุม ไดดงั นี้

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

200 คูมือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4

H1

H2
H3
H
H4

H5

H6

T1

T2

T3
T

T4

T5
T6

โดยท่สี ัญลกั ษณ Hi หมายถึง เหรยี ญขึ้นหวั และลูกเตาขึน้ หนา i
และสญั ลกั ษณ Ti หมายถึง เหรียญข้นึ กอยและลูกเตาขน้ึ หนา i
เมื่อ i ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}
1) ให E1 เปน เหตกุ ารณท ่ีเหรียญข้ึนกอยและแตมบนหนา ลกู เตา เปน จาํ นวนค่ี

จะได E1 = {T1, T 3, T 5}
2) ให E2 เปน เหตุการณที่เหรียญขึ้นหวั และแตม บนหนาลูกเตาเปน จาํ นวนคู

จะได E2 = {H 2, H 4, H 6}
3) ให E3 เปนเหตกุ ารณท ่ีแตม บนหนาลกู เตาเปน จาํ นวนทห่ี ารดว ย 3 ลงตัว

จะได E3 = {H 3, H 6, T 3, T 6}

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 201

4) ให E4 เปนเหตกุ ารณที่เหรียญขึ้นกอ ยและแตมบนหนา ลกู เตาเปน จาํ นวนท่ี
หารดว ย 7 ลงตัว
เนอื่ งจากไมมแี ตมใดบนหนา ลูกเตาทเี่ ปนจาํ นวนท่หี ารดว ย 7 ลงตวั
จะได E4 = ∅

5) ให E5 เปนเหตกุ ารณท ่ีแตมบนหนาลกู เตา เปนจํานวนท่ีหารดวย 7 ไมล งตัว
เนอ่ื งจากแตม บนหนาลูกเตาเปน จํานวนทห่ี ารดว ย 7 ไมลงตัว
จะได E5 = {H1, H 2, H 3, H 4, H 5, H 6, T1, T 2, T 3, T 4, T 5, T 6}
น่นั คอื E5 = S

แบบฝกหัด 4.2

1. ให S แทนปรภิ ูมติ ัวอยางของการทดลองสุมน้ี

จะได n(S ) = 30

1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ี่จบั สลากไดเ ปนชอื่ ของนักเรยี นชาย
จะมีวธิ ีเลือกนักเรียนชาย 1 คน จากนกั เรยี นชาย 18 คน ได 18 วิธี

น่ันคือ n(E1 ) =18

จะได P(E=1 ) 1=8 3
30 5

ดงั นัน้ ความนา จะเปนของเหตกุ ารณที่จบั สลากชอ่ื ของนักเรยี นหน่ึงคนไดเ ปน

ชือ่ ของนักเรยี นชาย เทา กับ 3

5

2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท ีจ่ ับสลากไดเ ปนชอ่ื ของนักเรียนหญิง
จะมีวิธีเลือกนักเรียนหญงิ 1 คน จากนักเรยี นหญิง 12 คน ได 12 วิธี

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

202 คูม ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4

นน่ั คือ n(E2 ) =12

จะได P(E=2 ) 1=2 2
30 5

ดังนัน้ ความนาจะเปน ของเหตุการณท ่ีจับสลากชอื่ ของนักเรียนหนง่ึ คนไดเ ปน

ช่อื ของนักเรยี นหญงิ เทากบั 2

5

2. ให S แทนปรภิ มู ิตัวอยางของการทดลองสมุ นี้

จะได n(S ) = 6

1) ให E1 แทนเหตุการณท ี่จะไดเ บีย้ ทม่ี ีหมายเลขเปนจาํ นวนเฉพาะ
เน่ืองจากเบีย้ ทมี่ ีหมายเลขเปนจํานวนเฉพาะมี 3 อัน คือเบ้ียหมายเลข 3, 7 และ 11

ดังนน้ั จะมีวธิ หี ยิบเบ้ียทีม่ ีหมายเลขเปนจํานวนเฉพาะได 3 วธิ ี นั่นคอื n(E1) = 3

จะได P(E1 )= 3= 1
6 2

ดังนน้ั ความนา จะเปนที่จะไดเบ้ยี ทม่ี หี มายเลขเปน จํานวนเฉพาะ เทากับ 1

2

2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท ่ีจะไดเ บ้ยี ทีม่ หี มายเลขเปนจํานวนทห่ี ารดวย 3 ลงตวั

เนื่องจากเบี้ยท่มี ีหมายเลขเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัวมี 2 อัน คือเบ้ีย

หมายเลข 3 และ 9

ดังนน้ั จะมวี ิธหี ยิบเบ้ียทม่ี หี มายเลขเปน จาํ นวนทีห่ ารดวย 3 ลงตวั ได 2 วิธี

นัน่ คอื n(E2 ) = 2

จะได P(E2 =) 2= 1
6 3

ดงั นน้ั ความนา จะเปน ทีจ่ ะไดเบีย้ ทม่ี ีหมายเลขเปนจาํ นวนท่ีหารดว ย 3 ลงตัว

เทากบั 1

3

3) ให E3 แทนเหตุการณท จ่ี ะไดเบ้ยี ท่ีมีหมายเลขเปนจาํ นวนท่ีหารดว ย 6 ลงตวั

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 203

เนอ่ื งจากไมมีเบ้ยี ที่มีหมายเลขเปนจํานวนทหี่ ารดว ย 6 ลงตวั

ดงั นน้ั จะมีวธิ ีหยิบเบ้ยี ที่มีหมายเลขเปน จาํ นวนทีห่ ารดว ย 6 ลงตัวได 0 วิธี

นั่นคอื n(E3 ) = 0

จะได P(E3 )= 0= 0
6

ดังน้ัน ความนา จะเปน ท่ีจะไดเบ้ยี ท่ีมีหมายเลขเปน จํานวนที่หารดว ย 6 ลงตัว เทากบั 0

4) ให E4 แทนเหตุการณท จ่ี ะไดเบ้ยี ท่มี หี มายเลขเปนจาํ นวนทเี่ ปนกําลังสองสมบรู ณ
เนือ่ งจากเบ้ยี ทมี่ หี มายเลขเปนจํานวนทเี่ ปน กําลังสองสมบูรณม ี 2 อนั คือ

เบ้ยี หมายเลข 4 และ 9

ดังนน้ั จะมีวธิ ีหยิบเบย้ี ทีม่ หี มายเลขเปนจํานวนทีเ่ ปน กําลงั สองสมบรู ณได 2 วธิ ี

น่ันคอื n(E4 ) = 2

จะได P(E4 =) 2= 1
6 3

ดงั นั้น ความนา จะเปนทจ่ี ะไดเบ้ยี ทมี่ ีหมายเลขเปน จํานวนท่ีเปน กําลงั สองสมบูรณ

เทากบั 1

3

3. ให S แทนปรภิ มู ิตวั อยางของการทดลองสมุ น้ี

จะได n(S) =100

1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ีจ่ ะไดเ หรียญทีม่ หี มายเลขเปนจาํ นวนเตม็ บวก
ดังนัน้ จะมวี ิธีหยิบเหรยี ญท่ีมีหมายเลขเปน จํานวนเตม็ บวกได 100 วิธี

นั่นคือ n(E1 ) =100

จะได P(E=1 ) 1=00 1
100

ดังนน้ั ความนา จะเปน ทจ่ี ะไดเหรียญทีม่ ีหมายเลขเปนจาํ นวนเต็มบวก เทากบั 1

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

204 คมู ือครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4

2) ให E2 แทนเหตุการณท่ีจะไดเ หรียญทีม่ หี มายเลขเปน จํานวนคู
เนอ่ื งจากเหรียญที่มหี มายเลขเปน จาํ นวนคูมี 50 เหรยี ญ ไดแก เหรียญหมายเลข

2, 4, 6, …, 100

ดังนน้ั จะมีวธิ หี ยบิ เหรยี ญทม่ี ีหมายเลขเปนจํานวนคูได 50 วิธี

นนั่ คอื n(E2 ) = 50

จะได P(E=2 ) 5=0 1
100 2

ดงั นนั้ ความนา จะเปนทีจ่ ะไดเหรียญที่มหี มายเลขเปนจํานวนคู เทา กบั 1

2

3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท ี่จะไดเ หรียญทม่ี หี มายเลขเปนจาํ นวนท่ีหารดวย 5 ลงตัว

เนอื่ งจากเหรียญทม่ี หี มายเลขเปน จํานวนทห่ี ารดว ย 5 ลงตวั มี 20 เหรยี ญ ไดแ ก

เหรียญหมายเลข 5, 10, 15, …, 100

จะมวี ิธหี ยิบเหรยี ญทม่ี หี มายเลขเปนจาํ นวนทหี่ ารดวย 5 ลงตัว ได 20 วิธี

นั่นคอื n(E3) = 20

จะได P(E=3) 2=0 1
100 5

ดังนั้น ความนาจะเปนทจ่ี ะไดเหรยี ญทม่ี ีหมายเลขเปนจาํ นวนท่ีหารดวย 5 ลงตัว

เทา กับ 1

5

4) วิธที ี่ 1 ให E4 แทนเหตกุ ารณท ี่จะไดเหรียญทม่ี ีหมายเลขเปนจาํ นวนที่
หารดว ย 5 ไมล งตัว

จากขอ 3) มีเหรยี ญทม่ี หี มายเลขเปน จาํ นวนที่หารดวย 5 ลงตัว 20 เหรยี ญ

ดงั นั้น มีเหรียญที่มีหมายเลขเปนจํานวนท่หี ารดว ย 5 ไมลงตัว 80 เหรยี ญ

จะมวี ธิ หี ยิบเหรียญทม่ี ีหมายเลขเปนจาํ นวนที่หารดวย 5 ไมลงตัว ได 80 วธิ ี

น่ันคือ n(E4 ) = 80

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 205

จะได P(E=4 ) 8=0 4
100 5

ดังน้นั ความนา จะเปน ทจ่ี ะไดเหรยี ญทมี่ ีหมายเลขเปน จํานวนที่

หารดว ย 5 ไมลงตวั เทากับ 4

5

วิธีที่ 2 ให E4 แทนเหตกุ ารณทจี่ ะไดเ หรียญท่ีมีหมายเลขเปนจํานวนท่ี
หารดว ย 5 ไมล งตวั

เน่อื งจาก ความนา จะเปน ท่ีจะไดเหรยี ญท่มี ีหมายเลขเปน จํานวนท่ี

หารดวย 5 ลงตัว เทา กับ 1

5

จะได P ( E4 ) =1 − 1 =4
5 5

ดงั นน้ั ความนา จะเปน ทจี่ ะไดเหรยี ญทม่ี หี มายเลขเปน จาํ นวนที่

หารดวย 5 ไมลงตัว เทากบั 4

5

4. ให S แทนปริภูมติ วั อยา งของการทดลองสมุ นี้

จะได n(S) = 20

1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ี่หยบิ ไดลูกปงปองสีแดง
เน่อื งจากมีลกู ปง ปองสแี ดงอยู 15 ลูก

ดังน้ัน จะมวี ธิ ีหยบิ ลูกปงปองสีแดงได 15 วิธี

นั่นคอื n(E1) =15

จะได P(E=1 ) 1=5 3
20 4

ดงั นน้ั ความนา จะเปนทีจ่ ะหยิบไดลกู ปง ปองสแี ดง เทากบั 3

4

2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท ีห่ ยิบไมไดล ูกปงปองสดี ํา

เนอ่ื งจากมีลูกปง ปองสีอื่นทไี่ มใชส ดี าํ อยู 19 ลูก

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

206 คูม อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

ดงั นั้น จะมวี ิธีหยิบไมไดลกู ปง ปองสีดาํ 19 วิธี

น่นั คือ n(E2 ) =19

จะได P ( E2 ) = 19
20

ดงั นั้น ความนา จะเปนทจ่ี ะหยิบไมไ ดล ูกปง ปองสดี าํ เทา กับ 19

20

3) ให E3 แทนเหตกุ ารณที่หยิบไดลกู ปง ปองสดี าํ หรือสขี าว

กรณที ี่ 1 หยบิ ไดลกู ปงปองสีดํา

เนอ่ื งจากมีลูกปงปองสีดาํ อยู 1 ลกู จะมีวธิ ีหยบิ ลูกปงปองสีดาํ ได 1 วธิ ี

กรณที ี่ 2 หยบิ ไดลูกปง ปองสขี าว
เน่ืองจากมลี กู ปง ปองสขี าวอยู 1 ลกู จะมีวิธหี ยบิ ลูกปงปองสขี าวได 1 วิธี

โดยหลกั การบวก จะมีวธิ ีหยิบไดลูกปงปองสดี าํ หรือสขี าว 1 + 1 = 2 วธิ ี

นนั่ คอื n(E3 ) = 2

จะได P(E=3 ) =2 1
20 10

ดังนั้น ความนาจะเปน ท่จี ะหยิบไดล ูกปง ปองสดี าํ หรือสีขาว เทากับ 1

10

5. ให S แทนปริภมู ิตัวอยา งของการทดลองสุมนี้

จะได n(=S ) C=5,2 10
ให E แทนเหตุการณทจี่ ะไดหลอดดี 1 หลอด และหลอดเสยี 1 หลอด
ขัน้ ที่ 1 หยบิ หลอดไฟดี 1 หลอด จากหลอดดีทั้งหมด 3 หลอด จะได 3 วิธี
ขั้นที่ 2 หยบิ หลอดไฟเสยี 1 หลอด จากหลอดเสยี ทั้งหมด 2 หลอด จะได 2 วธิ ี

ดังนน้ั n(E) =3× 2 =6

จะได P(E=) 6= 3

10 5

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 207

ดงั นนั้ ความนาจะเปน ท่จี ะไดหลอดดี 1 หลอด และหลอดเสยี 1 หลอด เทากบั 3

5

6. ให S แทนปริภูมิตัวอยางของการทดลองสุม นี้
จะได n(=S ) C=4,2 6
ให E แทนเหตกุ ารณที่จะไดถงุ เทา ทั้งสองคเู ปน สเี ดยี วกัน
กรณีท่ี 1 หยบิ ไดถงุ เทาท้ังสองคูเ ปนสขี าว มไี ด 1 วธิ ี
กรณีท่ี 2 หยบิ ไดถ งุ เทา ทงั้ สองคเู ปน สีดํา มไี ด 1 วิธี
น่นั คือ n(E) =1+1 = 2

จะได P(E)= 2= 1

63

ดังนน้ั ความนาจะเปนทจ่ี ะไดถุงเทา ท้ังสองคเู ปนสเี ดียวกัน เทากบั 1

3

7. ให S แทนปริภูมติ วั อยา งของการทดลองสุมน้ี
จะได n(S ) = 6× 6 = 36
ให E แทนเหตุการณที่ผลคูณของแตม ที่ไดเปน จํานวนคู
วธิ ีท่ี 1 ในการทอดลกู เตาทีเ่ ทยี่ งตรงสองลูกหนึง่ คร้ัง ผลคูณของแตม ทไี่ ดจะเปน
จาํ นวนคเู ปน ได 3 กรณี
กรณที ี่ 1 ทอดลกู เตา ท้ังสองลูกไดแ ตมเปนจาํ นวนคู

จาํ นวนคู จาํ นวนคู
ลูกที่ 1 ลกู ที่ 2

แตมท่ีไดในการทอดลูกเตาลูกที่ 1 เปนได 3 วธิ ี คือ 2, 4 หรอื 6
แตม ที่ไดในการทอดลูกเตาลูกท่ี 2 เปนได 3 วธิ ี คอื 2, 4 หรือ 6
จะมีจาํ นวนวิธีที่ผลคูณของแตมท่ไี ดเ ปนจํานวนคู 3×3 =9วิธี

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

208 คูม อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4

กรณที ี่ 2 ทอดลกู เตา ลูกที่ 1 ไดแ ตมเปนจาํ นวนคเู พียงลูกเดียว

จํานวนคู จาํ นวนคี่
ลกู ที่ 1 ลกู ที่ 2

แตม ท่ีไดในการทอดลกู เตา ลูกที่ 1 เปน ได 3 วิธี คอื 2, 4 หรอื 6
แตม ท่ีไดใ นการทอดลูกเตาลูกท่ี 2 เปน ได 3 วิธี คอื 1, 3 หรือ 5
จะมีจาํ นวนวิธีท่ีผลคูณของแตมที่ไดเ ปน จํานวนคู 3×3 =9วิธี
กรณีที่ 3 ทอดลูกเตาลกู ท่ี 2 ไดแตมเปนจํานวนคเู พียงลูกเดียว

จาํ นวนค่ี จํานวนคู
ลกู ที่ 1 ลกู ที่ 2

แตม ท่ีไดในการทอดลกู เตาลูกที่ 1 เปนได 3 วิธี คือ 1, 3 หรือ 5
แตม ท่ีไดในการทอดลกู เตาลูกท่ี 2 เปน ได 3 วิธี คือ 2, 4 หรอื 6
จะมจี ํานวนวธิ ีท่ีผลคณู ของแตมท่ีไดเ ปน จํานวนคู 3×3 =9วิธี
โดยหลกั การบวก จะมีวิธีทอดลกู เตา ทีผ่ ลคณู ของแตมท่ีไดเ ปน จาํ นวนคู
9 + 9 + 9 = 27 วิธี
นนั่ คือ n(E) = 27

จะได P(E=) 2=7 3

36 4

ดงั นน้ั ความนา จะเปนทีผ่ ลคูณของแตม ท่ไี ดเ ปน จาํ นวนคู เทา กบั 3

4

วธิ ีที่ 2 ในการทอดลูกเตา ท่ีเทยี่ งตรงสองลูกหน่ึงคร้ัง ผลคูณของแตมทไ่ี ดจะเปน
จาํ นวนค่เี มอ่ื แตมท่ีไดจ ากการทอดลูกเตา ทั้งสองลูกเปนจาํ นวนคี่
จะไดจาํ นวนวิธที ีไ่ ดผลคูณของแตมเปน จํานวนคี่ C3,1 ×C3,1 = 3×3 = 9 วิธี

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 209

ดังน้ันจาํ นวนวิธีท่ไี ดผ ลคณู ของแตม เปนจํานวนคู 36 – 9 = 27 วิธี

น่นั คือ n(E) = 27

จะได P(E=) 2=7 3

36 4

ดังนัน้ ความนา จะเปนทผี่ ลคูณของแตมท่ไี ดเปนจํานวนคู เทากับ 3

4

8. 1) ให S1 แทนปรภิ มู ิตวั อยา งของการทดลองสมุ น้ี
จะได n(=S1 ) C=4,2 6
ให E1 แทนเหตุการณที่หยิบไดลกู บอลสแี ดงและสเี ขยี วอยา งละ 1 ลูก
นั่นคอื ( )n E1 = C2,1 × C2,1 = 2 × 2 = 4

จะได P ( E1 =) 4= 2
6 3

ดงั นนั้ ความนาจะเปน ทีห่ ยิบไดล ูกบอลสีแดงและสเี ขยี วอยา งละ 1 ลกู เม่อื หยิบ

ลูกบอลสองลูกพรอมกนั เทา กับ 2

3

2) ให S2 แทนปริภมู ติ ัวอยางของการทดลองสุมนี้
จะได ( )n S2 = C4, 1 × C3, 1 = 12
ให E2 แทนเหตุการณทหี่ ยิบไดลกู บอลสแี ดงและสีเขยี วอยา งละ 1 ลกู
กรณีที่ 1 หยิบลูกบอลลกู แรกไดส ีแดง
มีวิธีหยิบลกู บอลลูกแรกไดสีแดง C2,1 = 2 วิธี
มวี ธิ ีหยบิ ลกู บอลลูกที่สองไดสีเขยี ว C2,1 = 2 วิธี
ดงั นัน้ มีวิธหี ยิบลกู บอลลูกแรกไดสีแดง และลูกบอลลกู ท่สี องได

สีเขียว 2× 2 =4 วธิ ี

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

210 คูมือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4

กรณีท่ี 2 หยิบลูกบอลลูกแรกไดสีเขยี ว
มีวธิ หี ยิบลูกบอลลูกแรกไดส เี ขยี ว C2,1 = 2 วธิ ี
มวี ิธหี ยิบลูกบอลลูกทีส่ องไดสีแดง C2,1 = 2 วิธี
ดังน้นั มีวธิ ีหยบิ ลูกบอลลูกแรกไดส เี ขยี ว และลูกบอลลูกทส่ี องได

สแี ดง 2× 2 =4 วิธี
โดยหลักการบวก จะไดจํานวนวิธหี ยิบไดลกู บอลสีแดงและสีเขียวอยา งละ 1 ลกู

อยู 4 + 4 = 8 วธิ ี
นนั่ คือ n(E2 ) = 8

จะได P ( E2=) 8= 2
12 3

ดังนั้น ความนาจะเปนทีห่ ยบิ ไดลกู บอลสีแดงและสีเขียวอยางละ 1 ลูก เมื่อหยิบ

ลกู บอลทีละลูกโดยไมใสค ืนกอนจะหยบิ ลกู บอลลูกทีส่ อง เทากับ 2

3

3) ให S3 แทนปรภิ ูมิตวั อยา งของการทดลองสมุ น้ี
จะได n( S3 ) = C4,1 × C4,1 = 4 × 4 =16
ให E3 แทนเหตกุ ารณท่ีหยบิ ไดล กู บอลสแี ดงและสีเขียวอยา งละ 1 ลกู
กรณีที่ 1 หยบิ ลกู บอลลกู แรกไดส แี ดง
มวี ธิ ีหยบิ ลกู บอลลกู แรกไดสแี ดง C2,1 = 2 วธิ ี
มีวธิ ีหยิบลูกบอลลูกทส่ี องไดส ีเขยี ว C2,1 = 2 วิธี
ดังน้ัน มวี ธิ ีหยบิ ลกู บอลลูกแรกไดส แี ดง และลกู บอลลกู ท่สี องได
สีเขยี ว 2× 2 =4 วิธี
กรณที ่ี 2 หยบิ ลูกบอลลกู แรกไดสเี ขยี ว
มีวธิ ีหยบิ ลกู บอลลกู แรกไดสีเขยี ว C2,1 = 2 วธิ ี

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 211

มีวธิ ีหยบิ ลูกบอลลูกท่สี องไดส ีแดง C2,1 = 2 วธิ ี
ดังนนั้ มวี ิธหี ยิบลกู บอลลกู แรกไดสีเขยี ว และลูกบอลลกู ทส่ี องได

สแี ดง 2× 2 =4 วิธี

โดยหลกั การบวก จะไดจ าํ นวนวิธีหยิบไดลกู บอลสีแดงและสเี ขียวอยา งละ 1 ลูก

อยู 4 + 4 = 8 วธิ ี

น่นั คือ n(E3 ) = 8

จะได P(E3=) 8= 1
16 2

ดงั น้ัน ความนา จะเปนท่หี ยบิ ไดล กู บอลสแี ดงและสเี ขยี วอยา งละ 1 ลกู เม่ือหยิบ

ลูกบอลทลี ะลูกโดยใสคนื กอนจะหยบิ ลูกบอลลูกทส่ี อง เทากับ 1

2

แบบฝก หัดทา ยบท

1. ให H แทนเหรยี ญข้ึนหวั
T แทนเหรยี ญขนึ้ กอ ย

1) ให S แทนปรภิ ูมิตวั อยา งของการทดลองสุมน้ี
เนื่องจากผลลพั ธท ี่เปน ไปไดจ ากการโยนเหรยี ญหน่ึงเหรยี ญสามครงั้ คือ HHH,
HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH และ TTT
ดังนั้น S = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT}

2) ให E1 แทนเหตุการณท ีเ่ หรยี ญขึ้นหัวเพยี งหน่ึงครั้ง
เน่อื งจากเหตกุ ารณท ่ีเหรยี ญขึ้นหวั เพยี งหนึ่งครง้ั ไดแ ก HTT, THT และ TTH
ดงั นน้ั E1 = {HTT , THT, TTH}

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

212 คูม ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4

3) ให E2 แทนเหตุการณท เ่ี หรยี ญข้ึนหวั สามคร้งั
เน่อื งจากเหตกุ ารณท ี่เหรยี ญขึ้นหวั สามครง้ั คอื HHH
ดังนน้ั E2 = {HHH}

4) ให E3 แทนเหตกุ ารณท ีเ่ หรียญขน้ึ หัวอยา งนอยหนึ่งคร้ัง
เนอ่ื งจากเหตกุ ารณที่เหรยี ญข้ึนหวั อยา งนอยหนึ่งคร้งั ไดแก HHH, HHT, HTH,
HTT, THH, THT และ TTH
ดงั นน้ั E3 = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH}

5) ให E4 แทนเหตกุ ารณทเี่ หรยี ญไมขึ้นหัวเลย
เน่ืองจากเหตุการณทเี่ หรียญไมข้นึ หวั เลย คอื TTT
ดังนน้ั E4 = {TTT}

2. ให R แทนลูกบอลสแี ดง
W แทนลกู บอลสีขาว
G แทนลกู บอลสีเขยี ว

1) ให S แทนปรภิ ูมติ ัวอยา งของการทดลองสุมนี้
เนือ่ งจากผลลัพธท ่ีเปนไปไดจากการหยิบลูกบอลทลี ะลูกแลวใสค ืนกอนหยิบ
ลูกบอลลกู ทส่ี อง จากกลอ งท่ีบรรจุลกู บอลสแี ดง 1 ลูก สขี าว 1 ลกู และสีเขยี ว 1 ลกู
คือ RR, RW , RG, WR, WW , WG, GR, GW และ GG
ดงั นน้ั S = { RR, RW , RG, WR, WW , WG, GR, GW , GG }

2) ให E แทนเหตุการณทไ่ี ดล ูกบอลสีขาวและสแี ดงอยางละหนง่ึ ลูก
เน่อื งจากเหตกุ ารณทไ่ี ดลูกบอลสขี าวและสแี ดงอยางละ 1 ลูก ไดแ ก RW และ WR
ดังน้ัน E = {RW , WR}

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 213

3. ให S เปนปรภิ มู ิตวั อยา งของการทดลองสมุ
จากตาราง มีใบสัง่ ซ้ือสนิ คา ทัง้ หมด 212 + 389 +124 +105 +170 =1000 ใบ
จะได n(S ) = 1000

1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท่ีใบสัง่ ซื้อสนิ คาทส่ี มุ มาจะเปน ใบสั่งซ้ือสินคาจากภาคเหนือ
จากตาราง มใี บส่ังซอื้ สนิ คาจากภาคเหนอื 212 ใบ น่ันคอื n(E1) = 212

จะได P(=E1 ) 2=12 53
1000 250

ดังน้นั ความนาจะเปนทีใ่ บสั่งซือ้ สินคาทส่ี ุมมาจะเปนใบส่ังซ้อื สนิ คาจากภาคเหนือ

เทา กับ 53

250

2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท ่ีใบสง่ั ซ้ือสินคา ท่สี ุมมาจะเปน ใบสงั่ ซื้อสนิ คา จากภาคกลาง
จากตาราง มีใบสงั่ ซื้อสินคาจากภาคกลาง 389 ใบ นั่นคือ n(E2) = 389

จะได P ( E2 ) = 389
1000

ดงั นั้น ความนาจะเปนทีใ่ บสงั่ ซ้ือสินคาทีส่ ุมมาจะเปน ใบสง่ั ซอ้ื สนิ คา จากภาคกลาง

เทากบั 389

1000

3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท่ีใบสัง่ ซื้อสนิ คา ทีส่ ุมมาจะเปนใบสั่งซื้อสินคา จากภาคตะวนั ออก
จากตาราง มใี บสงั่ ซอ้ื สินคาจากภาคตะวนั ออก 124 ใบ น่นั คือ n(E3) =124

จะได P(=E3 ) 1=24 31
1000 250

ดังนัน้ ความนาจะเปน ที่ใบสั่งซือ้ สินคา ที่สุมมาจะเปน ใบสั่งซ้ือสนิ คาจากภาคตะวันออก

เทา กบั 31

250

4) ให E4 แทนเหตุการณที่ใบสง่ั ซ้ือสนิ คาทสี่ มุ มาจะเปนใบส่งั ซื้อสนิ คาจากภาค
ตะวนั ออกเฉยี งเหนือ

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

214 คูมือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4

จากตาราง มีใบส่งั ซอื้ สนิ คา จากภาคตะวันออกเฉยี งเหนือ 105 ใบ
นัน่ คือ n(E4 ) =105

จะได P(=E4 ) 1=05 21
1000 200

ดงั น้นั ความนา จะเปน ท่ีใบสง่ั ซือ้ สนิ คา ที่สุมมาจะเปนใบสัง่ ซอื้ สินคาจากภาค

ตะวนั ออกเฉยี งเหนอื เทากบั 21

200

5) ให E5 แทนเหตุการณที่ใบส่ังซื้อสินคา ทีส่ ุมมาจะเปน ใบสงั่ ซื้อสนิ คาจากภาค ใต
จากตาราง มีใบสง่ั ซื้อสินคาจากภาคใต 170 ใบ นนั่ คอื n(E5) =170

จะได P (=E5 ) 1=70 17
1000 100

ดังนน้ั ความนา จะเปนทใ่ี บสัง่ ซอ้ื สินคาที่สุมมาจะเปนใบสั่งซ้อื สินคาจากภาคใต

เทา กับ 17

100

4. ให S แทนปริภูมติ วั อยางของการทดลองสมุ น้ี
จะได n(S ) =100
1) ให E1 แทนเหตุการณท น่ี กั เรยี นคนหนงึ่ จะสวมรองเทา เบอร 7
จากตาราง มนี ักเรียนที่สวมรองเทาเบอร 7 อยู 35 คน นน่ั คือ n(E1) = 35

จะได P(E=1 ) 3=5 7
100 20

ดังนน้ั ความนา จะเปนทีน่ กั เรียนคนหนง่ึ จะสวมรองเทาเบอร 7 เทากับ 7

20

2) ให E2 แทนเหตกุ ารณทนี่ กั เรียนคนหน่ึงจะสวมรองเทาเล็กกวาเบอร 8

จากตาราง มีนักเรียนทส่ี วมรองเทา ขนาดเลก็ กวาเบอร 8 อยู 3 + 12 + 35 = 50 คน

นนั่ คอื n(E2 ) = 50

จะได P(E=2 ) 5=0 1
100 2

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 4 215

ดงั นั้น ความนาจะเปน ท่ีนักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทา เล็กกวา เบอร 8 เทา กบั 1

2

3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท่นี ักเรียนคนหนง่ึ จะสวมรองเทาเบอร 8 หรือ 9
จากตาราง มีนักเรยี นท่สี วมรองเทาขนาดเบอร 8 หรอื 9 อยู 27 + 16 = 43 คน

นัน่ คอื n(E3 ) = 43

จะได P ( E3 ) = 43
100

ดงั นัน้ ความนา จะเปน ทนี่ กั เรียนคนหน่ึงจะสวมรองเทาเบอร 8 หรอื 9 เทากับ 43

100

4) ให E4 แทนเหตุการณท ่นี ักเรยี นคนหนึ่งจะสวมรองเทาเบอร 5 หรือ 10

จากตาราง มีนักเรยี นทส่ี วมรองเทา ขนาดเบอร 5 หรือ 10 อยู 3 + 7 = 10 คน

นนั่ คือ n(E4 ) =10

จะได P(E=4 ) 1=0 1
100 10

ดังน้ัน ความนา จะเปนท่ีนกั เรียนคนหน่งึ จะสวมรองเทาเบอร 5 หรือ 10 เทากบั 1

10

5) ให E5 แทนเหตกุ ารณท ี่นกั เรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทา ใหญกวาเบอร 10

จากตาราง ไมมนี ักเรียนทส่ี วมรองเทาใหญก วา เบอร 10

น่ันคอื n(E5 ) = 0

จะได P(E5 ) = 0

ดังนั้น ความนาจะเปนที่นกั เรียนคนหนง่ึ จะสวมรองเทา ใหญก วาเบอร 10 เทากบั 0

5. ให S เปน ปริภมู ิตัวอยางของการทดลองสมุ

จากตาราง มีจํานวนพนกั งานขายทงั้ หมด 30 + 50 + 80 + 70 + 20 =250 คน

จะได n(S ) = 250

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

216 คูม อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

1) ให E1 แทนเหตุการณท ่ีพนักงานคนหน่งึ จะขายสินคาไดต งั้ แต 10,000 ถึง
19,999 บาท
จากตาราง จํานวนพนักงานขายท่ขี ายสินคาไดตัง้ แต 10,000 ถงึ 19,999 บาท

เทากับ 50 คน

นัน่ คือ n(E1) = 50

จะได P(=E1 ) 5=0 1
250 5

ดังนัน้ ความนาจะเปนทพ่ี นักงานขายคนหนงึ่ จะขายสินคา ไดต ัง้ แต 10,000 ถงึ

19,999 บาท เทา กับ 1

5

2) ให E2 แทนเหตุการณท ่ีพนักงานคนหนึ่งจะขายสนิ คา ไดน อ ยกวา 20,000 บาท
จากตาราง จาํ นวนพนักงานขายทขี่ ายสินคาไดน อยกวา 20,000 บาท
เทา กบั 30 + 50 =80 คน
นัน่ คอื n(E2 ) = 80

จะได P(E=2 ) 8=0 8
250 25

ดังนั้น ความนาจะเปน ทพ่ี นักงานขายคนหน่งึ จะขายสินคาไดน อยกวา 20,000 บาท

เทากบั 8

25

3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท่ีพนักงานคนหนงึ่ จะขายสนิ คา ไดต่าํ กวา 10,000 บาท
หรอื อยางนอย 40,000 บาท

จากตาราง จํานวนพนักงานขายทข่ี ายสินคา ไดตาํ่ กวา 10,000 บาท เทากับ 30 คน

และจํานวนพนักงานที่ขายสนิ คา ไดอยางนอย 40,000 บาท เทา กับ 20 คน

จะไดวา จํานวนพนักงานท่ีขายสินคา ไดต่ํากวา 10,000 บาท หรืออยางนอย
40,000 บาท เทา กบั 30 + 20 =50 คน

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 217

น่ันคอื n(E3) = 50

จะได P(E=3 ) 5=0 1
250 5

ดังนัน้ ความนา จะเปน ท่ีพนักงานขายคนหน่ึงจะขายสนิ คาไดต ่าํ กวา 10,000 บาท

หรอื อยา งนอย 40,000 บาท เทากับ 1

5

6. ให S แทนปริภูมติ วั อยา งของการทดลองสุม น้ี

จะได n(S) =10

1) ให E1 แทนเหตกุ ารณทลี่ กู ศรจะชีท้ ชี่ องทม่ี ีเลขโดดเปน 1
จากรปู มีชอ งที่มีเลขโดดเปน 1 อยู 1 ชอ ง น่ันคอื n(E1) =1

จะได P ( E1 ) = 1
10

ดงั นนั้ ความนา จะเปน ท่ีลูกศรจะชท้ี ช่ี อ งท่ีมเี ลขโดดเปน 1 เทา กับ 1

10

2) ให E2 แทนเหตุการณท่ีลูกศรจะชท้ี ่ีชองที่มเี ลขโดดเปน 6

จากรูปมชี องที่มีเลขโดดเปน 6 อยู 2 ชอง นั่นคือ n(E2 ) = 2

จะได P(E2=) 2= 1
10 5

ดงั น้นั ความนาจะเปน ท่ลี กู ศรจะชที้ ี่ชองที่มเี ลขโดดเปน 6 เทากบั 1

5

3) ให E3 แทนเหตกุ ารณที่ลกู ศรจะชีท้ ี่ชองที่มเี ลขโดดเปน จํานวนคู

จากรปู มีชอ งท่มี ีเลขโดดเปน จํานวนคู คือ 2, 4 หรือ 6 อยทู ั้งหมด 6 ชอ ง

นนั่ คือ n(E3 ) = 6

จะได P(E3=) 6= 3
10 5

ดงั นั้น ความนา จะเปนท่ลี ูกศรจะชท้ี ี่ชองท่ีมีเลขโดดเปน จํานวนคู เทา กับ 3

5

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

218 คมู อื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4

4) ให E4 แทนเหตุการณท ่ลี ูกศรจะชท้ี ่ชี อ งท่มี เี ลขโดดเปน จํานวนค่ี
จากรปู มชี องทม่ี เี ลขโดดเปนจํานวนคี่ คือ 1, 3, 5 หรือ 7 อยทู ้งั หมด 4 ชอ ง

น่นั คือ n(E4 ) = 4

จะได P(E4=) 4= 2
10 5

ดงั นน้ั ความนาจะเปนทีล่ ูกศรจะชท้ี ีช่ อ งที่มีเลขโดดเปน จํานวนค่ี เทากับ 2

5

5) ให E5 แทนเหตุการณท่ลี ูกศรจะช้ีทชี่ องท่มี เี ลขโดดเปน จํานวนเฉพาะ
จากรูปมีชองที่มีเลขโดดเปน จํานวนเฉพาะ คอื 2, 3, 5 หรือ 7 อยทู ัง้ หมด 5 ชอ ง

นั่นคอื n(E5 ) = 5

จะได P(E5=) 5= 1
10 2

ดังนั้น ความนา จะเปนทล่ี ูกศรจะช้ที ี่ชอ งท่ีมีเลขโดดเปน จํานวนเฉพาะ เทากับ 1

2

6) ให E6 แทนเหตุการณที่ลกู ศรจะชีท้ ช่ี องทีม่ เี ลขโดดเปนจํานวนท่ีนอ ยกวา 8
จากรปู มชี อ งท่ีมเี ลขโดดเปนจํานวนทนี่ อยกวา 8 คอื 1, 2, 3, 4, 5, 6 หรือ 7

อยูท ้ังหมด 10 ชอ ง

น่ันคอื n(E6 ) =10

จะได P ( E6=) 1=0 1
10

ดังนั้น ความนาจะเปนทีล่ กู ศรจะชท้ี ช่ี อ งที่มีเลขโดดเปนจํานวนทนี่ อยกวา 8 เทา กบั 1

7. ให S แทนปรภิ ูมิตัวอยางของการทดลองนี้

เน่ืองจากใน 1 ป มี 365 วนั

ดังนนั้ วันเกิดท่ีเปน ไปไดของคนหน่ึงคนมีได 365 วธิ ี

จะไดว าวันเกิดทเี่ ปน ไปไดของคน 2 คน มไี ด 365×365 วิธี

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 219

นน่ั คอื n(=S) 365× 365

ให E แทนเหตกุ ารณทคี่ น 2 คน เกิดในวันท่แี ละเดอื นเดยี วกัน

ข้ันที่ 1 วันเกดิ ของคนท่ี 1 มีได 365 วิธี
ขน้ั ที่ 2 เน่อื งจากทัง้ สองคนเกดิ ในวนั ทแ่ี ละเดือนเดยี วกนั

นัน่ คือวันเกดิ ของคนที่ 2 มไี ด 1 วิธี

โดยหลกั การคณู เหตุการณที่คน 2 คน จะเกดิ ในวนั และเดือนเดียวกนั มีได 365×1=365 วธิ ี

นนั่ คอื n(E) = 365

จะได= P(E) =365 1
365× 365 365

ดงั นัน้ ความนาจะเปน ท่ีคน 2 คน จะเกดิ ในวันที่และเดือนเดยี วกนั เทากบั 1

365

8. ให S แทนปรภิ มู ติ ัวอยา งของการทดลองสุมนี้

E แทนเหตุการณท่เี หรยี ญข้นึ หัวในการโยนเหรียญครัง้ แรก

น่ันคอื n(S=) 2=5 32

เนื่องจากจํานวนวธิ ีทเ่ี หรยี ญขึ้นหวั ในการโยนเหรยี ญครั้งแรก ในการโยนเหรียญหนึง่ เหรียญ

หา คร้งั มี 1× 2× 2× 2× 2 =16 วธิ ี

น่นั คือ n(E) =16

จะได P(E=) 1=6 1

32 2

ดังนั้น ความนา จะเปน ทีเ่ หรยี ญแรกขึ้นหัว ในการโยนเหรยี ญคร้งั แรก เทา กับ 1

2

9. ให S แทนปริภมู ติ ัวอยา งของการทดลองสุม น้ี

เนื่องจากบุตรแตล ะคนเปน เพศชายหรือเพศหญิง

จะได n(S ) = 2× 2× 2 = 8

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

220 คมู อื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4

1) ให E1 แทนเหตกุ ารณที่บตุ รทั้งสามเปนผูหญงิ
ขน้ั ท่ี 1 เหตุการณทบ่ี ุตรคนท่ี 1 เปน ผูหญงิ มีได 1 วิธี

ขัน้ ที่ 2 เหตุการณทบ่ี ุตรคนที่ 2 เปน ผหู ญงิ มีได 1 วิธี

ขน้ั ที่ 3 เหตกุ ารณท่บี ุตรคนท่ี 3 เปน ผหู ญงิ มไี ด 1 วิธี

โดยหลกั การคณู เหตุการณท่ีบตุ รทง้ั สามเปน ผูหญิง มีได 1×1×1=1 วธิ ี

น่ันคอื n(E1 ) =1

จะได P ( E1 ) = 1
8

ดงั น้นั ความนาจะเปนทบ่ี ตุ รทั้งสามเปนผหู ญิง เทา กบั 1

8

2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท่ีมีบตุ รชายอยา งนอย 3 คน
เนือ่ งจากครอบครัวน้ีมีบุตร 3 คน

ดังนัน้ เหตกุ ารณทมี่ ีบตุ รชายอยา งนอย 3 คน คอื เหตุการณท บ่ี ตุ รทั้งสามคนเปนผชู าย

ขัน้ ท่ี 1 เหตุการณทบ่ี ุตรคนท่ี 1 เปนผชู าย มีได 1 วิธี

ข้ันท่ี 2 เหตกุ ารณท ี่บุตรคนท่ี 2 เปนผชู าย มีได 1 วธิ ี

ขั้นท่ี 3 เหตกุ ารณทีบ่ ุตรคนท่ี 3 เปน ผชู าย มีได 1 วิธี

โดยหลกั การคณู เหตุการณท่ีมบี ตุ รชายอยา งนอย 3 คน มไี ด 1×1×1=1 วธิ ี

น่ันคือ n(E2 ) =1

จะได P ( E2 ) = 1
8

ดงั นน้ั ความนาจะเปน ท่มี บี ุตรชายอยางนอย 3 คน เทา กับ 1

8

3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท่ีบตุ รคนแรกและคนสุดทา ยเปน ผชู าย
ข้ันที่ 1 เหตกุ ารณท่ีบุตรคนแรกเปนผูชาย มไี ด 1 วิธี

ข้ันที่ 2 เหตกุ ารณท ่ีบุตรคนสุดทายเปนผูชาย มไี ด 1 วธิ ี

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 221

ข้ันท่ี 3 เหตุการณท ่ีบุตรคนที่ 2 เปน ผูชายหรือผูห ญงิ มไี ด 2 วธิ ี

โดยหลกั การคณู เหตุการณท่ีมีบตุ รคนแรกและคนสุดทา ยเปนผชู าย มีได 1×1× 2 =2 วิธี

นั่นคอื n(E3 ) = 2

จะได P ( E3 =) 2= 1
8 4

ดังน้นั ความนาจะเปน ทมี่ ีบุตรคนแรกและคนสดุ ทายเปน ผูชาย เทากบั 1

4

10. ให S แทนปริภูมิตัวอยา งของการทดลองสุม นี้

จะได n(S) = 6× 6 = 36

1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ีผ่ ลบวกของแตมบนหนา ลูกเตาทง้ั สองมากกวา 3

เนอ่ื งจากเหตกุ ารณท ี่ผลบวกของแตมบนหนาลกู เตา ทัง้ สองไมมากกวา 3 ไดแก

(1, 1), (1, 2) และ (2, 1)

น่ันคอื จํานวนวิธีท่ีผลบวกของแตมบนหนา ลกู เตาทงั้ สองไมมากกวา 3 มี 3 วธิ ี

จะได จาํ นวนวธิ ที ่ีผลบวกของแตม บนหนา ลูกเตามากกวา 3 มี 36 – 3 = 33 วิธี

นน่ั คือ n(E1 ) = 33

จะได P ( E=1 ) 3=3 11
36 12

ดังน้นั ความนา จะเปน ท่ผี ลบวกของแตมบนหนาลูกเตา มากกวา 3 เทากบั 11

12

2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท แ่ี ตมบนหนาลกู เตาท้งั สองไมซ้ํากนั
เน่ืองจากเหตุการณทแ่ี ตมบนหนาลูกเตาทั้งสองซํ้ากัน มี 6 วธิ ี ไดแก (1, 1), (2,2),

(3,3), (4,4), (5,5) และ (6,6)

จะได เหตุการณที่แตม บนหนาลกู เตา ทง้ั สองไมซ้ํากัน มี 36 – 6 = 30 วิธี

น่นั คือ n(E2 ) = 30

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

222 คมู ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4

จะได P ( E=2 ) 3=0 5
36 6

ดังนั้น ความนาจะเปน ทแ่ี ตมบนหนา ลกู เตาทง้ั สองไมซ ํา้ กัน เทา กับ 5

6

11. ให S แทนปรภิ ูมติ วั อยา งของการทดลองสุม น้ี

จะได n(S) = 6× 6 = 36

ให E แทนเหตกุ ารณท ี่ผูประชมุ เขา และออกประตทู ่ีตา งกัน

ขัน้ ท่ี 1 เลอื กประตเู ขา ได 6 วิธี
ขั้นท่ี 2 เลอื กประตอู อกทีไ่ มซ ํ้ากับประตเู ขา ได 5 วิธี

โดยหลักการคูณ จาํ นวนวธิ ที ี่ผูประชมุ เขา และออกประตูท่ีตางกนั ได 6×5 =30 วธิ ี

น่ันคือ n(E) = 30

จะได P(E=) 3=0 5

36 6

ดังนนั้ ความนา จะเปน ท่ผี ูเขาประชมุ คนหนึ่งจะเขาและออกประตูท่ตี า งกนั เทา กบั 5

6

12. ให S แทนปริภูมติ ัวอยางของการทดลองสุมนี้

จะได n(S) = 5

ให E แทนเหตุการณท ่นี ักเรยี นคนนจ้ี ะตอบผิด

เนือ่ งจากจาํ นวนวธิ ที ่ีนกั เรยี นคนนี้จะตอบถูก มีได 1 วิธี

ดังนัน้ จํานวนวิธที น่ี กั เรียนคนนจ้ี ะตอบผดิ มีได 5 – 1 = 4 วธิ ี นนั่ คอื n(E) = 4

จะได P(E) = 4

5

ดังน้นั ความนาจะเปน ท่นี ักเรียนคนนีจ้ ะตอบผิด เทากับ 4

5

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 223

13. ให E1 เปน เหตุการณทีน่ ักเรียนจะด่ืมนํ้าสม ซ่งึ P(E1)= 1 ≈ 0.17
6

E2 เปนเหตุการณท่นี กั เรียนจะด่ืมน้ําเกกฮวย ซึ่ง P ( E2=) 3= 0.30
10

E3 เปน เหตกุ ารณที่นักเรียนจะด่ืมนม ซ่ึง P(E3 =) 2= 0.40
5

E4 เปนเหตกุ ารณที่นักเรยี นจะดื่มนาํ้ อัดลม ซ่ึง P ( E4=) 2 ≈ 0.13
15

นนั่ คอื P(E3 ) > P(E2 ) > P( E1 ) > P( E4 )

ดังนนั้ ถา รานคาตองการนาํ เครอ่ื งดื่มมาขายเพียง 3 ชนิด รานคาควรนํานม นา้ํ เกก ฮวย

และน้ําสมมาขาย

14. ให S แทนปรภิ ูมิตวั อยางของการทดลองสมุ นี้

จะได n( S ) = C10, 1 × C9, 1 = 90
1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ่จี ะไดล กู บอลสแี ดงท้ังสองลกู

ขัน้ ที่ 1 มวี ิธที ่ีจะหยิบลกู บอลลกู แรกไดลกู บอลสแี ดง C3,1 = 3 วธิ ี
ขั้นท่ี 2 มีวิธที จ่ี ะหยบิ ลกู บอลลกู ท่ีสองไดล กู บอลสแี ดง C2,1 = 2 วิธี
โดยหลกั การคูณ มวี ิธีที่จะหยิบไดล ูกบอลสแี ดงทัง้ สองลูก 3× 2 =6 วธิ ี

น่นั คือ n(E1 ) = 6

จะได P( E=1 ) 6= 1
90 15

ดงั น้นั ความนาจะเปนทีจ่ ะไดลกู บอลสแี ดงท้ังสองลูก เทากับ 1

15

2) ให E2 แทนเหตุการณท ีจ่ ะหยิบไดล ูกบอลสขี าวและสดี ํา
กรณีที่ 1 มวี ิธีท่จี ะหยิบลกู บอลลูกแรกไดเ ปน สีขาว C2,1 = 2 วิธี

มวี ธิ ที ่จี ะหยิบลกู บอลลูกทีส่ องไดเปนสดี าํ C5,1 = 5 วิธี

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

224 คูม ือครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4

โดยหลกั การคูณ มีวธิ ีทีจ่ ะหยิบลูกบอลลกู แรกไดเปน สขี าว และหยบิ ลกู บอล

ลูกท่ีสองไดเปน สีดํา 2×5 =10 วธิ ี
กรณีที่ 2 มีวธิ ที ี่จะหยบิ ลูกบอลลกู แรกไดเปนสีดาํ C5,1 = 5 วิธี

มีวธิ ีที่จะหยิบลกู บอลลูกทส่ี องไดเ ปน สีขาว C2,1 = 2 วธิ ี
โดยหลกั การคณู มีวธิ ีที่จะหยิบลูกบอลลกู แรกไดเปน สีดํา และหยิบลูกบอล

ลูกทส่ี องไดเปนสีขาว 5× 2 =10 วิธี

โดยหลกั การบวก มีวธิ ีท่จี ะหยิบไดล ูกบอลสีขาวและสดี าํ 10 +10 =20 วธิ ี

นน่ั คือ n(E2 ) = 20

จะได P ( E=2 ) 2=0 2
90 9

ดังนั้น ความนา จะเปนทจี่ ะไดลูกบอลสีขาวและสดี ํา เทากบั 2

9

15. ให S แทนปริภูมติ ัวอยางของการทดลองสุมนี้

จะได ( )n S = C8, 1 × C7, 1 × C6, 1 = 336
ให E แทนเหตกุ ารณทีจ่ ะหยิบลกู บอลครัง้ ท่ี 1 ไดล กู บอลสแี ดง และครัง้ ท่ี 2 และ 3 ได

ลกู บอลสีเหลือง
ข้ันที่ 1 มวี ิธีที่จะหยิบลูกบอลลกู แรกไดเปน สีแดง C2,1 = 2 วธิ ี
ขัน้ ท่ี 2 มีวิธที ีจ่ ะหยิบลูกบอลลกู ทส่ี องไดเปน สีเหลือง C3,1 = 3 วิธี
ขัน้ ที่ 3 มวี ิธีที่จะหยบิ ลูกบอลลูกท่ีสามไดเปน สีเหลือง C2,1 = 2 วิธี
โดยหลักการคณู มีวิธีที่จะหยิบไดลกู บอลสแี ดง 1 ลูก และสีเหลือง 2 ลกู ตามลาํ ดับ

2 × 3× 2 =12 วิธี

นนั่ คือ n(E) =12

จะได P(=E) 1=2 1

336 28

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 225

ดงั น้ัน ความนาจะเปนท่จี ะหยิบลกู บอลครั้งที่ 1 ไดล กู บอลสีแดง และคร้ังท่ี 2 และ 3 ได

ลูกบอลสีเหลอื ง เทากับ 1

28

16. ให S แทนปริภมู ิตัวอยา งของการทดลองสุมนี้

จะได n=(S ) C=12, 3 12 ×11×10
3× 2

ให E แทนเหตุการณท่จี ะไดลูกแกว สีตา งกนั ทง้ั สามลูก

นน่ั คอื ไดล กู แกว สเี ขยี ว 1 ลกู สชี มพู 1 ลูก และสฟี า 1 ลกู

ขน้ั ท่ี 1 มีวิธีท่ีจะหยิบลูกแกวไดเปน สีเขียว C4,1 = 4 วิธี
ขัน้ ที่ 2 มีวิธที ่ีจะหยบิ ลกู แกวไดเปน สีชมพู C3,1 = 3 วธิ ี
ขน้ั ท่ี 3 มีวธิ ที ่จี ะหยบิ ลูกแกว ไดเปน สีฟา C5,1 = 5 วิธี
โดยหลกั การคูณ มีวธิ ีท่ีจะหยิบลูกแกว 3 ลกู พรอมกัน ไดล กู แกวสีตางกนั ทงั้ สามลูก

4× 3× 5 วธิ ี

น่นั คอื n(E) = 4× 3× 5

จะได P(E) = 4×3×5× 3×2 = 3
12 ×11×10 11

ดงั น้ัน ความนาจะเปน ที่ไดลกู แกวสตี างกันทั้งสามลกู เทากับ 3

11

17. ให S แทนปริภมู ติ วั อยางของการทดลองสุมน้ี

จะได n=(S ) C=30, 2 435
ให E แทนเหตกุ ารณทเ่ี ลอื กนักเรยี นท้ังสองคนไดเปน เพศเดียวกัน
กรณีท่ี 1 มวี ิธที ่ีจะเลือกไดน ักเรียนทงั้ สองคนเปน นักเรียนหญิง C18, 2 =153 วิธี
กรณีท่ี 2 มีวิธที ่ีจะเลือกไดนักเรยี นทัง้ สองคนเปนนักเรียนชาย C12, 2 = 66 วิธี
โดยหลกั การบวก มีวิธีทจี่ ะเลือกไดน ักเรียนทัง้ สองคนไดเปนเพศเดยี วกนั 153 + 66 =219 วธิ ี

นนั่ คอื n(E) = 219

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

226 คูม ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4

จะได P(=E) 2=19 73

435 145

ดงั นน้ั ความนาจะเปนท่จี ะเลือกไดนักเรยี นทง้ั สองคนเปน เพศเดียวกนั เทากบั 73

145

18. ให S แทนปริภมู ติ วั อยางของการทดลองสุม นี้
จะได n=(S ) C=10, 2 45
1) ให E1 แทนเหตกุ ารณที่พนักงานท่ีถกู เลือกเปนกรรมการเปนชายหนึ่งคนและหญิงหนึ่งคน
ขัน้ ที่ 1 มีวธิ ที ีจ่ ะเลอื กพนักงานชายเปนกรรมการ 1 คน ได C7,1 = 7 วธิ ี
ข้ันที่ 2 มวี ธิ ที ่จี ะเลือกพนักงานหญิงเปน กรรมการ 1 คน ได C3,1 = 3 วิธี
โดยหลกั การคณู มวี ิธที ่จี ะเลือกกรรมการเปน ชายหนงึ่ คนและหญงิ หนงึ่ คนได
7 × 3 =21 วธิ ี
นนั่ คือ n(E1 ) = 21

จะได P ( E=1 ) 2=1 7
45 15

ดงั นั้น ความนา จะเปนท่ีพนักงานทถี่ ูกเลือกเปนกรรมการเปนชายหนงึ่ คนและหญงิ หนึ่งคน

เทากับ 7

15

2) ให E2 แทนเหตุการณทพี่ นักงานท่ีถูกเลือกเปน กรรมการเปน หญงิ อยา งนอยหนึง่ คน
กรณที ่ี 1 กรรมการเปนผูหญิงหน่ึงคน มวี ิธีเลือกได C3,1 ×C7,1 =3× 7 = 21 วิธี
กรณที ี่ 2 กรรมการเปนผูหญิงทั้งสองคน มีวิธีเลือกได C3, 2 = 3 วิธี
โดยหลกั การบวก มวี ธิ ีทจี่ ะเลือกกรรมการเปน หญิงอยางนอยหนึง่ คนได
21+ 3 =24 วิธี
น่นั คือ n(E2 ) = 24

จะได P ( E=2 ) 2=4 8
45 15

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 227

ดังนัน้ ความนา จะเปนทพี่ นักงานที่ถกู เลือกเปนกรรมการเปนหญงิ อยางนอยหน่ึงคน

เทากบั 8

15

3) ให E3 แทนเหตกุ ารณที่พนักงานทถี่ ูกเลือกเปน กรรมการเปนชายอยา งนอ ยหน่ึงคน
กรณที ี่ 1 มวี ธิ ีที่จะเลือกพนกั งานชาย 1 คน เปนกรรมการได
C7, 1 × C3, 1 = 7 × 3 = 21 วิธี
กรณที ี่ 2 มวี ธิ ที จ่ี ะเลอื กพนักงานชาย 2 คน เปนกรรมการได C7, 2 = 21 วิธี
โดยหลักการบวก มีวธิ ที ่ีจะเลือกกรรมการเปน ชายอยางนอยหนงึ่ คนได
21+ 21 =42 วิธี

นน่ั คือ n(E3 ) = 42

จะได P ( E=3 ) 4=2 14
45 15

ดงั นั้น ความนาจะเปน ทีพ่ นักงานทถี่ ูกเลือกเปนกรรมการเปนชายอยา งนอ ยหนึ่งคน

เทากบั 14

15

19. ให S แทนปริภมู ิตัวอยา งของการทดลองสมุ น้ี
จะได n(=S ) C=5, 3 10
ให E แทนเหตุการณทไี่ ดผ ลรวมของหมายเลขบนบัตรมากกวา 10
เนอ่ื งจากเหตุการณทผ่ี ลรวมของหมายเลขบนบัตรเปน 11 มี 1 วธิ ี คือ หยบิ ไดบตั รซึ่งมี

หมายเลข 2, 4 และ 5

และเหตุการณท ผ่ี ลรวมของหมายเลขบนบตั รเปน 12 มี 1 วธิ ี คอื หยิบไดบัตรซ่ึงมี

หมายเลข 3, 4 และ 5

ดงั นั้น มวี ิธีทีจ่ ะหยิบไดบ ัตรไดผลรวมของหมายเลขบนบตั รมากกวา 10 อยู 1+1=2 วิธี

น่นั คอื n(E) = 2

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

228 คมู ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4

จะได P(E=) 2= 1

10 5

ดงั นั้น ความนาจะเปน ที่จะหยิบบัตรไดผลรวมของแตม บนบัตรมากกวา 10 เทากับ 1

5

20. ให S แทนปริภมู ติ ัวอยางของการทดลองสุมน้ี
จะได n(S ) = 40
ให E แทนเหตุการณทไ่ี ดน ักกีฬาท่ีมีฝาแฝด
เนื่องจากมีนักกีฬาทีม่ ีฝาแฝด 3 คู ซ่ึงหมายถึงมีนักกีฬา 6 คนท่มี ีฝาแฝด
นั่นคือ n(E) = 6

จะได P(E=) 6= 3

40 20

ดงั นัน้ ความนาจะเปน ทจี่ ะสุมไดนกั กฬี าทีม่ ฝี าแฝด เทากบั 3

20

21. ให S แทนปรภิ ูมติ ัวอยา งของการทดลองสมุ น้ี

จะได n=(S ) C=12, 4 12 ×11×10 × 9
4× 3× 2

ให E แทนเหตุการณทีไ่ ดเ งาะ 2 ผล และสม กับชมพูอยา งละ 1 ผล

ขนั้ ท่ี 1 มวี ิธที ่จี ะหยบิ ไดเงาะ 2 ผล จะได C4, 2 = 4×3 วธิ ี
2

ข้ันที่ 2 มีวิธที ี่จะหยบิ ไดสม 1 ผล จะได C3,1 = 3 วธิ ี

ข้นั ที่ 3 มวี ิธีที่จะหยิบไดช มพู 1 ผล จะได C5,1 = 5 วิธี

โดยหลกั การคูณ มีวิธที ี่จะหยิบผลไมจ ากตะกรา 4 ผล พรอมกัน โดยไดเงาะ 2 ผล

และสมกับชมพูอยางละ 1 ผล 4×3 ×3×5 วธิ ี

2

นน่ั คือ n(E=) 4× 3 × 3× 5

2

จะได P( E=) 4×3×3×5× 4×3×2
2 12 ×11×10 × 9

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 229

ดังน้ัน ความนา จะเปนที่จะหยิบผลไมจากตะกรา 4 ผล พรอมกัน โดยไดเ งาะ 2 ผล

และสม กับชมพูอยา งละ 1 ผล เทา กบั 2

11

22. ให S แทนปรภิ ูมิตัวอยา งของการทดลองสมุ น้ี

จะได n(S ) = 5× 5× 5

ให E แทนเหตกุ ารณทีช่ ายคนน้ใี สจ ดหมายในตูไมซ ้าํ กันเลย

น่นั คือ n(E) = 5× 4× 3

จะได =P(E) 5=× 4 × 3 12
5×5×5 25

ดังนัน้ ความนา จะเปนท่ีชายคนน้ีจะใสจ ดหมายในตูท ีไ่ มซ ้าํ กนั เลย เทากับ 12

25

23. ให S แทนปริภมู ติ วั อยา งของการทดลองสุมนี้

จะได ( )n S = C5, 1 × C5, 1 = 25
1) ให E1 แทนเหตุการณที่ไดบัตรท้งั สองใบมหี มายเลขเดยี วกัน

มวี ธิ ีไดบตั รสองใบทีม่ หี มายเลขเดียวกัน 5 วิธี คอื (2, 2), (5, 5), (6, 6), (7, 7)

และ (8, 8)

นั่นคอื n(E1 ) = 5

จะได P ( E=1 ) 5= 1
25 5

ดังนนั้ ความนาจะเปน ทีไ่ ดบ ัตรทงั้ สองใบมหี มายเลขเดยี วกัน เทากบั 1

5

2) ให E2 แทนเหตกุ ารณทไ่ี ดบ ัตรทัง้ สองใบมีหมายเลขไมซา้ํ กนั

เนือ่ งจาก มีวธิ หี ยบิ ไดบัตรสองใบท่มี ีหมายเลขซํา้ กัน 5 วธิ ี

ดังน้ัน มวี ิธหี ยบิ บตั รไดบัตรสองใบที่มหี มายเลขไมซ้าํ กัน 25 − 5 =20 วธิ ี

นน่ั คือ n(E2 ) = 20

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

230 คูม อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4

จะได P ( E=2 ) 2=0 4
25 5

ดงั นั้น ความนาจะเปน ที่ไดบตั รทง้ั สองใบมหี มายเลขไมซาํ้ กัน เทา กับ 4

5

3) ให E3 แทนเหตกุ ารณทไ่ี ดบัตรท้ังสองใบมหี มายเลขเปน จาํ นวนคู
เนื่องจาก บตั รทีม่ หี มายเลขเปนจํานวนคมู ี 3 ใบ คือ 2, 6 และ 8

นน่ั คอื ( )n E3 = C3, 1 × C3, 1 = 9

จะได P ( E3 ) = 9
25

ดังนั้น ความนาจะเปน ทไี่ ดบตั รทัง้ สองใบมีหมายเลขเปนจาํ นวนคู เทา กบั 9

25

4) ให E4 แทนเหตกุ ารณทไ่ี ดบัตรทมี่ ผี ลบวกของหมายเลขบนหนา บัตรท้ังสองเปน จํานวนคู
ในการหยิบใหไดบตั รท่ีมีผลบวกของหมายเลขบนหนา บัตรทัง้ สองเปนจํานวนคู

เปน ได 2 กรณี

กรณีท่ี 1 หมายเลขบนหนา บัตรท้ังสองเปน จํานวนคู

จาํ นวนคู จาํ นวนคู
ใบที่ 1 ใบที่ 2

มวี ิธหี ยบิ ไดบ ัตรสองใบมีหมายเลขเปน จํานวนคู C3,1 ×C3,1 =9 วธิ ี
กรณที ี่ 2 หมายเลขบนหนาบตั รท้ังสองเปน จาํ นวนค่ี

จํานวนค่ี จํานวนคี่
ใบท่ี 1 ใบท่ี 2

มวี ธิ ีหยบิ ไดบตั รสองใบมหี มายเลขเปนจํานวนคี่ C2,1 ×C2,1 =4 วธิ ี
โดยหลกั การบวก จะมวี ธิ ีหยิบไดบ ตั รทีม่ ีผลบวกของหมายเลขบนบัตรท้งั สองเปน
จํานวนคู 9 + 4 =13 วธิ ี

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 231

นน่ั คือ n(E4 ) =13

จะได P ( E4 ) = 13
25

ดงั นัน้ ความนาจะเปน ทหี่ ยบิ ไดบ ตั รทีม่ ีผลบวกของหมายเลขบนหนา บตั รท้ังสอง

เปนจาํ นวนคู เทา กับ 13

25

24. ให S แทนปรภิ มู ติ ัวอยางของการทดลองสุม น้ี

จะได n(S ) = P20, 4 = 20 ×19 ×18×17
ให E แทนเหตุการณทีส่ มศรีไดเปนนายกชมรมและสมปองไดเปน อุปนายกชมรม

ขัน้ ท่ี 1 มีวิธีที่สมศรีไดเ ปนนายกชมรม 1 วิธี
ขัน้ ท่ี 2 มวี ิธที ่ีสมปองไดเปนอุปนายกชมรม 1 วิธี
ขั้นที่ 3 มวี ิธเี ลือกเลขานุการจากสมาชิก 18 คนที่เหลอื 18 วธิ ี
ขัน้ ที่ 4 มวี ิธีเลือกเหรัญญกิ จากสมาชิก 17 คนที่เหลอื 17 วิธี
โดยหลกั การคูณ มีวิธีเลือกคณะกรรมการทีส่ มศรีไดเปน นายกชมรมและสมปองไดเปน

อปุ นายกชมรม 1×1×18×17 วิธี

นน่ั คือ n(E=) 18×17

=จะได P(E) =18 ×17 1
20 ×19 ×18×17 380

ดังนน้ั ความนา จะเปนทส่ี มศรีไดเปนนายกชมรมและสมปองไดเ ปน อุปนายกชมรม

เทากับ 1

380

25. ให S แทนปรภิ มู ติ ัวอยางของการทดลองสุมนี้

จะได n(S=) C52,=2 26 × 51
1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท่ไี ดไพสีแดงท้งั สองใบ

นัน่ คือ n( E1=) C26, =2 13× 25

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

232 คูม อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4

จะได =P ( E1 ) 1=3× 25 25
26 × 51 102

ดงั น้นั ความนา จะเปน ท่จี ะไดไพสแี ดงทัง้ สองใบ เทากบั 25

102

2) ให E2 แทนเหตุการณท่ไี ดไพโพดาํ และโพแดง

นน่ั คอื ( )n E2 =C13, 1 × C13, 1 =13×13

จะได P=( E2 ) 1=3 × 13 13
26 × 51 102

ดังน้นั ความนาจะเปน ท่ีจะไดไพโพดําและโพแดง เทากบั 13

102

3) ให E3 แทนเหตุการณทไ่ี ดไพ J ทง้ั สองใบ

นัน่ คือ n( E=3 ) C=4, 2 6

จะได =P ( E3 ) =6 1
26 × 51 221

ดงั นัน้ ความนา จะเปน ทจี่ ะไดไพ J ท้ังสองใบ เทากับ 1

221

26. ให S1 แทนปรภิ ูมติ วั อยา งของการทดลองสุมหยบิ สลาก 2 ใบ โดยใสส ลากคืนกอนจะ

หยิบสลากใบท่ีสอง

จะได ( )n S1 = C10, 1 × C10, 1 =100
ให E1 แทนเหตุการณที่ผลบวกของหมายเลขบนสลากทั้งสองเทา กบั 10 เมอ่ื
ใสส ลากคืนกอนหยบิ สลากใบทีส่ อง

จะได E1 = {(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1)}
นั่นคือ n(E1 ) = 9

จะได P ( E=1 ) =9 0.09
100

ให S2 แทนปริภมู ติ วั อยางของการทดลองสมุ หยิบสลาก 2 ใบ โดยไมใ สส ลากคนื กอนจะ

หยิบสลากใบที่สอง

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 233

จะได ( )n S2 = C10, 1 × C9, 1 = 90
ให E2 แทนเหตุการณท ผ่ี ลบวกของหมายเลขบนสลากทงั้ สองเทากบั 10 เม่อื ไมใ สสลากคนื
กอนหยบิ สลากใบท่ีสอง

จะได E2 = {(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1)}
นั่นคอื n(E2 ) = 8

จะได P ( E=2 ) 8 ≈ 0.089
90

เนอ่ื งจาก P(E1 ) > P(E2 )

นั่นคือ ความนาจะเปนที่ผลบวกของหมายเลขบนสลากทั้งสองเทากับ 10 เมื่อหยิบสลาก

แบบใสคืนมากกวาความนา จะเปนทีผ่ ลบวกของหมายเลขบนสลากท้ังสองเทา กับ 10

เมอื่ หยบิ สลากแบบไมใ สค ืน

ดงั น้ัน แหวนควรจะใสสลากคืนกอนจะหยบิ สลากใบท่ีสอง

27. ให S แทนปริภูมติ ัวอยา งของการทดลองสุม น้ี

จะได ( )n S = C5, 1 × C4, 1 = 20
ให E แทนเหตกุ ารณท ช่ี ายคนน้ีจะสวมเส้อื และกางเกงสีตางกัน

เน่ืองจาก มวี ธิ ีแตงตัวโดยสวมเสอ้ื และกางเกงสีเดียวกัน (เสอ้ื สีดาํ และกางเกงสีดํา)

C1, 1 × C2, 1 =2

ดงั น้นั เหตุการณทช่ี ายคนน้จี ะสวมเสือ้ และกางเกงสีตา งกนั มีได 20 – 2 = 18 วธิ ี
น่ันคือ n(E) =18

จะได P(E=) 1=8 9

20 10

ดังนั้น ความนา จะเปนที่ชายคนน้ีจะสวมเสอ้ื และกางเกงสีตางกนั เทากับ 9

10

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

234 คูมอื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 4

28. ให S แทนปริภูมติ วั อยา งของการทดลองสมุ นี้

จะได n(=S ) C=20 , 3 20 ×19 ×18
3× 2

1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ี่จะไดพัดลมท่ีมีคุณภาพดีมากท้งั สามเครือ่ ง

นั่นคือ n( E=1 ) C=8,3 8×7×6
3× 2

จะได P ( E1 ) =8× 7 × 6 × 3× 2 =14
3× 2 ×19 ×18 285
20

ดังนน้ั ความนา จะเปนที่จะไดพัดลมท่ีมีคุณภาพดมี ากทงั้ สามเครอ่ื ง เทา กบั 14

285

2) ให E2 แทนเหตุการณที่จะไดพ ัดลมทมี่ ีคุณภาพปานกลางท้ังสามเคร่ือง

น่ันคอื n( E=2 ) C=3,3 1

จะได P ( E2 ) =1× 3× 2 =1
20 ×19 ×18 1140

ดงั นั้น ความนาจะเปน ทีจ่ ะไดพดั ลมท่ีมคี ณุ ภาพปานกลางท้ังสามเครอ่ื ง เทากับ 1

1140

3) วิธที ่ี 1 ให E3 แทนเหตกุ ารณท จ่ี ะไดพัดลมทม่ี ีคุณภาพปานกลางอยางนอ ยหนึ่งเคร่ือง

ซงึ่ แบง เปน 3 กรณี ดังน้ี

กรณีท่ี 1 มีวธิ ที ่ีจะไดพัดลมท่ีมีคุณภาพปานกลางเพยี งเครื่องเดียว

วธิ ีC3,1 × C17,2 =408
กรณีท่ี 2 มวี ิธีทจ่ี ะไดพดั ลมท่ีมคี ุณภาพปานกลางสองเครื่อง C3,2 ×C17,1 =51 วธิ ี
กรณีท่ี 3 มีวธิ ที ่ีจะไดพัดลมท่ีมีคุณภาพปานกลางทัง้ สามเคร่ือง C3,3 =1 วิธี
โดยหลักการบวก จะมีวธิ ที จ่ี ะไดพ ัดลมคณุ ภาพปานกลางอยางนอ ยหน่ึงเครือ่ ง

เทากับ 408 + 51+1 =460 วธิ ี

น่นั คอื n(E3 ) = 460

จะได P ( E3 ) =460 × 3× 2 =23
20 ×19 ×18 57

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 235

ดังน้นั ความนาจะเปนท่จี ะไดพดั ลมท่ีมคี ุณภาพปานกลางอยางนอ ยหน่งึ เครอื่ ง

เทากับ 23

57

วิธที ่ี 2 ให E3 แทนเหตกุ ารณท ี่ไมไดพัดลมทมี่ คี ุณภาพปานกลางเลย

นั่นคือ n( E3 ) = C17, 3 = 17! = 17 ×16 ×15 = 17 ×8× 5 วธิ ี
14!3! 3× 2

จะได P ( E3 ) = 17 × 8× 5× 3× 2 = 34
20 ×19 ×18 57

ดงั นนั้ ความนาจะเปนทจ่ี ะไดพัดลมที่มีคณุ ภาพปานกลางอยางนอ ยหนง่ึ เครื่อง

เทา กบั 1− P ( E3 ) =1 − 34 =23
57 57

4) ให E4 แทนเหตกุ ารณทีจ่ ะไดพ ัดลมท่มี คี ุณภาพดีมากสองเครื่องและปานกลาง

หนึง่ เคร่ือง

น่นั คอื ( )nE4 = C8, 2 × C3,1 = 8×7×3
2

จะได P ( E4 ) =8 × 7 × 3 × 3× 2 =7
2 ×19 ×18 95
20

ดังนนั้ ความนาจะเปนทจ่ี ะไดพดั ลมท่ีมีคณุ ภาพดีมากสองเครอื่ งและปานกลาง

หนงึ่ เครือ่ ง เทา กับ 7

95

5) ให E5 แทนเหตกุ ารณทีจ่ ะไดพ ัดลมท่ีมีคุณภาพดีมาก ดี และปานกลางอยางละเครือ่ ง

นน่ั คือ ( )n E5 = C8,1 × C9,1 × C3,1 = 8 × 9 × 3

จะได P ( E5 ) = 8 × 9 × 3× 20 3× 2 = 18
×19 ×18 95

ดังน้นั ความนา จะเปน ทจ่ี ะไดพดั ลมที่มคี ณุ ภาพดีมาก ดี และปานกลางอยา งละเคร่ือง

เทา กับ 18

95

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

236 คมู อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4

แหลงเรยี นรเู พม่ิ เตมิ

forvo.com เปนเว็บไซตท่ีรวบรวมการออกเสียงคําในภาษาตาง ๆ กอต้ังข้ึนเม่ือ ค.ศ. 2008
โดยมีจุดมุงหมายเพอื่ พฒั นาการส่ือสารทางการพูด ผานการแลกเปล่ียนการออกเสียงคําในภาษา
ตาง ๆ ท้ังจากบุคคลท่ีเปนเจาของภาษาและบุคคลท่ีไมใชเจาของภาษา forvo.com ไดรับคัดเลือก
จากนติ ยสาร Times ใหเปน 50 เว็บไซตที่ดีท่ีสุดใน ค.ศ. 2013 (50 best websites of 2013) ปจจุบัน
เว็บไซตน้ีเปนฐานขอมูลท่ีรวบรวมการออกเสียงที่ใหญท่ีสุด มีคลิปเสียงที่แสดงการออกเสียง
คําศัพทป ระมาณสล่ี า นคาํ ในภาษาตา ง ๆ มากกวา 330 ภาษา

ครูอาจใชเว็บไซต forvo.com เพื่อศึกษาเพ่ิมเติมเก่ียวกับการออกเสียงคําศัพทคณิตศาสตร
หรอื ชอ่ื นกั คณิตศาสตรในภาษาอังกฤษหรือภาษาอื่น ๆ ที่ปรากฏในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม
คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 ได เชน finite set และ infinite set ซ่ึงเปนคําศัพท
คณติ ศาสตรใ นภาษาอังกฤษ หรอื Georg Cantor ซง่ึ เปนชอื่ นกั คณิตศาสตรชาวเยอรมัน

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 237

บรรณานุกรม

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลย.ี (2524). คูมือครูวิชาคณิตศาสตร ค 012 ตาม
หลักสูตรมธั ยมศกึ ษาตอนปลาย พุทธศักราช 2524 ของกระทรวงศกึ ษาธิการ. กรงุ เทพฯ:
โรงพมิ พคุรุสภาลาดพรา ว.

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี. (2558). คูมือครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร
เลม 1 ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 – 6 กลมุ สาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสตู รแกนกลาง
การศกึ ษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพราว.

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลย.ี (2556). คมู ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร
เลม 2 ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 – 6 กลมุ สาระการเรียนรูคณติ ศาสตร ตามหลกั สตู รแกนกลาง
การศกึ ษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ สกสค. ลาดพรา ว.

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลย.ี (2554). คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร
เลม 4 ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลกั สูตรแกนกลาง
การศึกษาขน้ั พ้นื ฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพรา ว.

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี. (2557). คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร
เลม 1 ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 – 6 กลมุ สาระการเรียนรูคณติ ศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลาง
การศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ สกสค. ลาดพราว.

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2561). หนังสือเรียนรายวิชาพ้นื ฐาน
คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 ตามผลการเรยี นรูกลมุ สาระการเรยี นรูคณติ ศาสตร
(ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช
2551. กรงุ เทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพรา ว.

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

238 คูมอื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลย.ี (2557). หนังสือเรยี นรูเพ่ิมเตมิ เพ่ือเสริม
ศกั ยภาพคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 – 6 ระบบจาํ นวนจริง. กรุงเทพฯ: พฒั นา
คุณภาพวิชาการ.

สํานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พื้นฐาน. (2552). หลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้นั พนื้ ฐาน
พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพช มุ นุมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย.

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี