คู่มือครูคณิตม.4

คูม อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 4 139

4) A และ C มีสมาชิกรว มกัน คอื 4 และ 6
ดังนัน้ A ∩ C ={ 4, 6}

5) สมาชกิ ท่ีอยูใน U แตไมอยูใน C คอื 0, 1, 2, 7 และ 8
ดงั นั้น C′ = { 0, 1, 2, 7, 8}

6) C′ และ A มสี มาชกิ รว มกนั คอื 0, 2 และ 8
ดงั นั้น C′∩ A ={ 0, 2, 8}

7) C′ และ B มีสมาชิกรวมกัน คือ 1 และ 7
ดงั น้นั C′∩ B ={1, 7 }

8) A ∩ B เปนเซตวาง
B มีสมาชกิ คือ 1, 3, 5 และ 7
ดงั นั้น ( A ∩ B) ∪ B ={1, 3, 5, 7 }

วธิ ที ่ี 2 A และ B ไมมสี มาชิกรว มกนั
A และ C มีสมาชกิ รวมกนั คือ 4 และ 6
B และ C มสี มาชกิ รวมกนั คือ 3 และ 5
เขียนแผนภาพเวนนแ สดง A, B และ C ไดดงั น้ี

จากแผนภาพ จะได 2) B ∪ C ={1, 3, 4, 5, 6, 7 }

1) A ∩ B =∅ สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

140 คมู อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 4) A ∩ C ={ 4, 6 }
6) C′∩ A ={ 0, 2, 8}
3) B ∩ C ={ 3, 5} 8) ( A ∩ B) ∪ B ={1, 3, 5, 7 }
5) C′ = { 0, 1, 2, 7, 8}
7) C′∩ B ={1, 7 } 2) B′ d

3. 1) A′

3) A′∩ B′ 4) ( A ∪ B)′ s

5) A′∪ B′ 6) ( A ∩ B)′ s

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

7) A − B คมู อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 141

4. 1) ( A ∪ B) ∪ C 8) A ∩ B′ d

2) A ∪ ( B ∪ C ) d

3) ( A ∩ B) ∩ C 4) A ∩ ( B ∩ C ) s

5) ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) 6) ( A ∪ B) ∩ C s

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

142 คูมือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 2) C ∪ B′

5. 1) A ∩ C ก 2) A
3) B − A ก
4) U
6. 1) ∅ ก 6) ∅
3) ∅ ก 8) ∅
5) U ก
7) A′ ก

แบบฝกหดั 1.3
1. เขยี นแผนภาพเพอ่ื แสดงจาํ นวนสมาชิกของเซตไดด งั น้ี

จากแผนภาพ จะไดจ าํ นวนสมาชิกของเซตตาง ๆ ดังตอไปนี้

เซต A−B B− A A∪B A′ B′ ( A ∪ B)′

จาํ นวนสมาชกิ 34 19 59 60 75 41

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 143

2. เขยี นแผนภาพเพอ่ื แสดงจาํ นวนสมาชกิ ของเซตไดดงั นี้

จากแผนภาพ จะได

1) n( A ∪ B) = 12 +13 +17 = 42 2) n( A − B) =12 ก

3) n( A′∩ B′) =8 ป

3. เขยี นแผนภาพเพือ่ แสดงจํานวนสมาชิกของเซตไดดงั น้ี

จากแผนภาพ จะได

1) n( A ∪ C ) =3 + 7 +10 + 5 +10 + 5 =40

2) n( A ∪ B ∪ C ) = 3 + 7 +10 + 5 +10 + 5 + 3 = 43 ก
3) n( A ∪ B ∪ C )′ =7 ก

4) n(B − ( A ∪ C )) =3 ก
5) n(( A ∩ B) − C ) =7 ก

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

144 คมู อื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4

4. ให A และ B เปนเซตจํากัด โดย=ที่ n( A) 1=8, n(B) 25 และ n( A ∪ B) =37

จาก n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B)

จะได 37 = 18 + 25 − n( A ∩ B)

n( A ∩ B) = 18 + 25 − 37

=6

ดงั น้ัน n( A ∩ B) =6

5. จาก n( A − B) =20 และ n( A ∪ B) =80

เขยี นแผนภาพเพอ่ื แสดงจาํ นวนสมาชิกของเซตไดดังนี้

จากแผนภาพ จะได n(B) = n(A∪ B)−n(A− B)

= 80 − 20
= 60

ดังนัน้ n(B) = 60

6. ให U แทนเซตของพนักงานบริษทั แหงหน่งึ ท่ีไดร ับการสอบถาม

A แทนเซตของพนกั งานทช่ี อบด่ืมชา

B แทนเซตของพนกั งานที่ชอบดื่มกาแฟ

A ∪ B แทนเซตของพนักงานที่ชอบด่ืมชาหรอื กาแฟ

A ∩ B แทนเซตของพนกั งานทช่ี อบด่ืมท้งั ชาและกาแฟ

จะได n( A ∪ B) = 120

n( A) = 60

n( B) = 70

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 145

จาก n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B)

จะได 120 = 60 + 70 − n( A ∩ B)

นั่นคือ n( A ∩ B) = 60 + 70 – 120
n( A ∩ B) = 10

ดงั น้ัน มีพนักงานท่ชี อบดืม่ ทั้งชาและกาแฟ 10 คน

7. ให U แทนเซตของผปู ว ยทเ่ี ขา รว มการสาํ รวจ

A แทนเซตของผปู วยที่สบู บหุ ร่ี

B แทนเซตของผปู วยที่เปนมะเร็งปอด

A′∩ B′ แทนเซตของผปู ว ยท่ีไมส บู บุหรแ่ี ละไมเปนมะเร็งปอด

A ∩ B แทนเซตของผูปวยท่สี บู บุหรแี่ ละเปน มะเร็งปอด

จะได n(U ) = 1,000

n( A) = 312

n( B) = 180

n( A′∩ B′) = 660

วธิ ที ี่ 1 เนื่องจาก A′∩ B′ = ( A ∪ B)′

ดังน้นั n( A′∩ B′) = n( A ∪ B)′

จะได n( A ∪ B) = n(U ) − n( A ∪ B)′

= n(U ) − n( A′∩ B′)

= 1,000 − 660

= 340

จาก n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B)

จะได 340 = 312 +180 − n( A ∩ B)

นัน่ คอื n( A ∩ B) = 312 + 180 – 340
n( A ∩ B) = 152

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

146 คมู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

ดงั นัน้ มีผูป วยท่ีสบู บุหร่แี ละเปน มะเร็งปอด 152 คน
คิดเปน รอยละ 152 ×100 ≈ 48.72 ของจํานวนผูส ูบบุหรท่ี ัง้ หมด

312

วธิ ีที่ 2 ให x แทนจาํ นวนผูป ว ยทีส่ บู บุหรีแ่ ละเปนมะเรง็ ปอด นัน่ คือ=x n( A ∩ B)
เขียนแผนภาพเพอื่ แสดงจาํ นวนสมาชิกของเซตไดดังนี้

เนื่องจาก โรงพยาบาลแหงนท้ี ําการสํารวจขอมลู จากผูปวยทั้งหมด 1,000 คน

จะได 1,000 = (312 − x) + x + (180 − x) + 660
นน่ั คือ 1,000 = (492 − x) + 660

x = 492 + 660 −1, 000

x = 152

ดงั นน้ั มผี ูปว ยทีส่ ูบบุหร่แี ละเปน มะเร็งปอด 152 คน

8. ให คดิ เปนรอ ยละ 152 ×100 ≈ 48.72 ของจํานวนผูส บู บหุ รที่ งั้ หมด

312

U แทนเซตของนักเรียนชัน้ มธั ยมศึกษาตอนปลายหอ งหน่งึ

A แทนเซตของนักเรยี นทส่ี อบผา นวชิ าคณติ ศาสตร

B แทนเซตของนักเรียนทส่ี อบผา นวิชาสงั คมศึกษา
C แทนเซตของนักเรียนที่สอบผา นวิชาภาษาไทย
A∩ B แทนเซตของนักเรยี นท่ีสอบผา นวชิ าคณิตศาสตรและสงั คมศึกษา

B ∩C แทนเซตของนักเรียนที่สอบผานวิชาสงั คมศึกษาและภาษาไทย

A∩C แทนเซตของนักเรียนทสี่ อบผา นวิชาคณิตศาสตรและภาษาไทย

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 147

A ∩ B ∩ C แทนเซตของนักเรียนทีส่ อบผา นทงั้ สามวชิ า
จะได n( A) = 37

n( B) = 48
n(C ) = 45
n( A ∩ B) = 15
n( B ∩ C ) = 13
n(A∩C) = 7
n(A∩ B∩C) = 5

วธิ ีท่ี 1 เขยี นแผนภาพเพื่อแสดงจํานวนสมาชกิ ของเซตไดด ังน้ี

วิธีที่ 2 จากแผนภาพ จะไดว ามนี ักเรียนท่สี อบผานอยางนอยหนึง่ วิชา เทา กบั
20 +10 + 25 + 2 + 5 + 8 + 30 =100 คน
เนอื่ งจากนักเรยี นท่สี อบผานอยางนอ ยหนึ่งวิชา คือ นักเรียนท่ีสอบผา น
วชิ าคณติ ศาสตร หรอื สอบผา นวิชาสงั คมศกึ ษา หรือสอบผานวชิ าภาษาไทย
ซ่งึ คอื A ∪ B ∪ C
จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B)

−n( A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C)

= 37 + 48 + 45 −15 − 7 −13 + 5
= 100

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

148 คูมือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4

ดังน้นั มนี ักเรยี นที่สอบผานอยา งนอ ยหนงึ่ วิชา 100 คน

9. ให U แทนเซตของผถู ือหนุ ในตลาดหลักทรัพยแ หงประเทศไทยท่ีรว มการสาํ รวจ

A แทนเซตของผูถือหนุ บริษัท ก

B แทนเซตของผูถือหนุ บรษิ ัท ข

C แทนเซตของผถู ือหนุ บริษัท ค

A∩ B แทนเซตของผูถือหนุ บรษิ ัท ก และ ข

B ∩ C แทนเซตของผถู ือหุนบรษิ ัท ข และ ค

A∩ C แทนเซตของผถู ือหุนบรษิ ัท ก และ ค

A ∩ B ∩ C แทนเซตของผถู ือหนุ ทั้งสามบรษิ ทั

จะได n(U ) = 3,000

n( A) = 200

n( B) = 250

n(C ) = 300

n( A ∩ B) = 50

n( B ∩ C ) = 40

n( A ∩ C ) = 30

n(A∩ B∩C) = 0

วธิ ีที่ 1 เขยี นแผนภาพเพ่อื แสดงจํานวนสมาชิกของเซตไดด งั น้ี

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 149

จากแผนภาพ จะไดวามีผูท ่ีถือหนุ บริษัทอ่ืน ๆ ที่ไมใชหุนของสามบริษทั น้ี
2,370 คน
วิธที ่ี 2 ให A ∪ B ∪ C แทนเซตของผถู ือหุน บรษิ ัท ก หรือ ข หรอื ค
( A ∪ B ∪ C)′ แทนเซตของผถู ือหุนบริษัทอ่ืน ๆ ทไี่ มใชหุนของสามบริษทั น้ี
จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B)

−n( A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C)

= 200 + 250 + 300 − 50 − 30 − 40 + 0
= 630

จะได n( A ∪ B ∪ C )′ = n(U ) − n( A ∪ B ∪ C )

= 3,000 – 630

น่ันคือ n( A ∪ B ∪ C )′ = 2,370
ดงั นัน้ มีผูที่ถือหนุ บริษัทอื่น ๆ ท่ไี มใชห ุนของสามบริษัทน้ี 2,370 คน

แบบฝก หดั ทายบท

1. 1) { 48} ด 2) ∅

3) { 5, 10, 15, } ด 4) { − 2, 0, 2 }

5) {1, 2, 3,  , 10 } ด

2. 1) ตวั อยา งคาํ ตอบ { x | =x 3n − 2 เมื่อ n∈ และ 1 ≤ n≤ 5}

2) ตวั อยา งคาํ ตอบ { x∈ | − 20 ≤ x ≤ −10 }

3) ตัวอยา งคําตอบ { x |=x 4n +1 เมอื่ n∈} }

4) ตวั อยางคําตอบ { x | x = n3 เม่อื n∈} }

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

150 คูมอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4

3. 1) เซตจํากดั 2) เซตอนันต

3) เซตจํากัด 4) เซตจาํ กัด

5) เซตอนันต

4. 1) เปน จริง 2) เปนจริง

3) เปน เทจ็ 4) เปนจรงิ

5) เปนจริง 6) เปน เท็จ

5. 1) A จ 2) ∅

3) U จ 4) A

5) A จ 6) U

6. 1) เนอ่ื งจาก A ∪ ( B − A) = A ∪ ( B ∩ A′ )

= ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ A′ )

= (A∪ B)∩U

= A∪B

ดงั นั้น A ∪ B = A ∪ (B − A)

2) เนื่องจาก A − ( A ∩ B) = A ∩ ( A ∩ B)′

= A ∩ ( A′ ∪ B′ )

= ( A ∩ A′ ) ∪ ( A ∩ B′ )

= ∅ ∪ ( A ∩ B′ )

= A ∩ B′

ดงั น้ัน A ∩ B′ = A − ( A ∩ B)

3) เน่อื งจาก U − ( A ∪ B) = U ∩ ( A ∪ B)′

= U ∩ ( A′∩ B′ )

= A′∩ B′

ดังน้นั A′∩ B′ = U − ( A ∪ B)

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

7. 1) A′∩ B ก คูมอื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 151

จ 2) ( A ∩ B′ )′

3) ( A ∪ B′ )′ ก

8. 1) A ∪ ( A − B) ก 2) ( A′∩ B) ∩ C

3) ( A − B)′ ∩ C ก 4) A ∪ (C′− B)

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

152 คูมือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 6) A′∩ (C′∩ B)

5) ( A∩ B′) ∪ C ก

7) A ∪ (C′∩ B)′ ก

9. 1) { 0, 2, 4, 7, 9, 12, 14 } จ 2) {1, 4, 6, 9, 12, 15}
3) {1, 4, 5, 7, 11, 12 } จ 4) { 4, 9, 12 }
5) {1, 4, 12 } จ 6) { 4, 7, 12 }
7) { 0, 2, 7, 14 } จ 8) {1, 5, 6, 11, 15}

10. เนอ่ื งจาก A ∩ B =∅
ดงั นัน้ เขยี นแผนภาพแสดงเซตไดดงั นี้

1)

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 153

จากแผนภาพ จะเห็นวา A ⊂ B′
ดงั นน้ั ขอความ “ A ⊂ B′ ” เปน จรงิ

2)

จากแผนภาพ จะเห็นวา B ⊂ A′
ดงั นน้ั ขอความ “ B ⊂ A′ ” เปน จริง

3)

จากแผนภาพ จะเหน็ วา A′∪ B′ =U
ดังนนั้ ขอความ “ A′∪ B′ =U ” เปนจริง
11. เนื่องจาก A ⊂ B
ดังนน้ั เขียนแผนภาพแสดงเซตไดด งั นี้
1) จากแผนภาพ จะเหน็ วา A ∪ B =B

ดังนัน้ ขอความ “ A ∪ B =B ” เปน จริง

A∪B

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

154 คูมือครูรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4

2) จากแผนภาพ จะเห็นวา A ∩ B =A
ดังน้ัน ขอความ “ A ∩ B =A ” เปนจรงิ

A∩B
3)

B′ A′

จากแผนภาพ จะเหน็ วา B′ ⊂ A′

ดังน้นั ขอความ “ B′ ⊂ A′ ” เปน จริง

4) จากแผนภาพ จะเหน็ วา A ∩ B′=∅
ดังนั้น ขอ ความ “ A ∩ B′=∅ ” เปน จริง

A ∩ B′

5) จากแผนภาพ จะเหน็ วา A′∪ B =U
ดงั นนั้ ขอความ “ A′∪ B =U ” เปนจริง

A′ ∪ B

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 155

12. ให A และ B เปน เซตที่มจี ํานวนสมาชกิ เทากัน คอื x ตัว

นัน่ คอื n=( A) n=(B) x

จากโจทย n( A ∩ B) =101 และ n( A ∪ B) =233

จาก n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B)

จะได 233 = x + x −101

นั่นคอื 2x = 233 + 101
x = 167

ดังน้นั n( A) = 167

13.ดให U แทนเซตของผูปวยทเี่ ขารวมการสาํ รวจ

A แทนเซตของผปู วยทเ่ี ปนโรคตา

B แทนเซตของผูปว ยที่เปนโรคฟน

A∩ B แทนเซตของผูปวยท่เี ปนท้ังสองโรค

A′ ∩ B′ แทนเซตของผปู ว ยท่ีไมเ ปนโรคตาและไมเปน โรคฟน

จะได n(U ) = 100

n( A) = 40

n( B) = 20

n(A∩ B) = 5

วธิ ที ่ี 1 นาํ ขอ มูลท้ังหมดไปเขียนแผนภาพไดดังนี้

จากแผนภาพ จะไดวามีผูปว ยท่ีไมเ ปน โรคตาและไมเ ปนโรคฟน 45%

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

156 คมู ือครูรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4

วธิ ที ่ี 2 เนื่องจาก A′∩ B′ = ( A ∪ B)′

น่นั คอื เซตของผูปว ยที่ไมเปน โรคตาและไมเปน โรคฟน คอื ( A∪ B)′
จาก n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B)
จะได n( A ∪ B) = 40 + 20 − 5

= 55

จาก n( A ∪ B)′ = n(U ) − n( A ∪ B)

จะได = 100 − 55

14. ให = 45
จะได
ดังนัน้ มีผปู วยทไี่ มเ ปนโรคตาและไมเ ปนโรคฟน 45%
U แทนเซตของลกู คาทเ่ี ขารวมการสาํ รวจ
A แทนเซตของลูกคาที่ใชพ ดั ลมชนิดตั้งโตะ
B แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดแขวนเพดาน

A∩ B แทนเซตของลกู คา ที่ใชพ ดั ลมท้ังสองชนิด

n(U ) = 100

n( A) = 60
n( B) = 45
n( A ∩ B) = 15

วธิ ที ี่ 1 นําขอ มูลทั้งหมดไปเขยี นแผนภาพไดด ังนี้

จากแผนภาพ จะไดว า

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 157

1) มีลูกคา ที่ไมใชพดั ลมทงั้ สองชนิดนี้ 10%

2) มีลกู คา ท่ีใชพัดลมเพยี งชนดิ เดียวเทากบั 45% + 30% = 75%

วธิ ที ่ี 2 จาก n( A∪ B) = n( A) + n(B) − n( A∩ B)

จะได n( A ∪ B) = 60 + 45 −15

= 90

1) มลี กู คา ที่ไมใชพดั ลมทั้งสองชนิดนเ้ี ทากับ 100% – 90% = 10%

2) มลี ูกคาท่ีใชพัดลมชนดิ เดียวเทากบั 90% – 15% = 75%

15. ให U แทนเซตของรถที่เขามาซอมท่ีอขู องแดน

A แทนเซตของรถที่ตองซอมเบรก

B แทนเซตของรถทตี่ องซอมระบบทอไอเสีย

A∪ B แทนเซตของรถทต่ี องซอมเบรกหรือระบบทอไอเสีย

( A ∪ B)′ แทนเซตของรถท่มี สี ภาพปกติ

A∩ B แทนเซตของรถทีต่ องซอมท้ังเบรกและระบบทอไอเสีย

จะได n(U ) = 50

n( A) = 23

n( B) = 34

n( A ∪ B)′ = 6

น่ันคือ n( A ∪ B) = 50 − 6 = 44

วธิ ที ี่ 1 ให x แทนจาํ นวนรถทต่ี อ งซอมทั้งเบรกและระบบทอ ไอเสีย

นัน่ คอื n( A ∩ B) =x

นาํ ขอ มูลทั้งหมดไปเขียนแผนภาพไดดังนี้

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

158 คูมือครูรายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4

1) จากแผนภาพ จะไดว า

44 = (23 − x) + x + (34 − x)

44 = 57 − x

จะได x = 13

ดังน้ัน มีรถที่ตองซอมท้ังเบรกและระบบทอไอเสีย 13 คัน

2) จากแผนภาพ จะไดว ามรี ถท่ตี องซอมเบรกแตไมตองซอมระบบทอไอเสีย

เทากบั 23 – 13 = 10 คัน

วธิ ีท่ี 2 1) จาก n( A∪ B) = n( A) + n(B) − n( A∩ B)

จะได 44 = 23 + 34 − n( A ∩ B)

น่ันคือ n( A ∩ B) = 23 + 34 − 44
n( A ∩ B) = 13

ดังนัน้ มีรถทต่ี องซอมท้ังเบรกและระบบทอ ไอเสีย 13 คนั

2) มรี ถท่ตี องซอมเบรกแตไมต องซอ มระบบทอไอเสยี เทา กบั 23 – 13 = 10 คนั

16. ให U แทนเซตของผใู ชบริการขนสง ทเี่ ขารว มการสํารวจ

A แทนเซตของผูใชบ รกิ ารขนสงทางรถไฟ

B แทนเซตของผใู ชบ ริการขนสงทางรถยนต

C แทนเซตของผใู ชบ รกิ ารขนสงทางเรอื

A∩ B แทนเซตของผูใชบรกิ ารขนสง ทางรถไฟและรถยนต

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 159

B ∩C แทนเซตของผใู ชบรกิ ารขนสงทางรถยนตและเรอื
A∩C แทนเซตของผูใ ชบ ริการขนสง ทางรถไฟและเรอื
A ∩ B ∩ C แทนเซตของผใู ชบริการขนสง ทัง้ ทางรถไฟ รถยนต และเรือ
( A ∪ B ∪ C)′ แทนเซตของผูใชบ ริการขนสง อ่นื ๆ ทไี่ มใ ชท างรถไฟ รถยนต หรอื เรือ
A ∪ B ∪ C แทนเซตของผูใ ชบริการขนสงทางรถไฟ รถยนต หรือเรอื
จะได n( A) = 100

n( B) = 150
n(C ) = 200
n( A ∩ B) = 50
n( B ∩ C ) = 25
n(A∩C) = 0
n(A∩ B∩C) = 0
n( A ∪ B ∪ C )′ = 30

วิธีท่ี 1 นาํ ขอมูลท้ังหมดไปเขียนแผนภาพไดด ังน้ี

จากแผนภาพ จะไดว า มผี ูใชบ ริการขนสง ท่ีเขารว มการสํารวจทั้งหมด เทากบั

50 + 50 + 75 + 25 +175 + 30 =405 คน

วธิ ีท่ี 2 จาก n( A∪ B ∪C) = n( A) + n(B) + n(C) − n( A∩ B)

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

160 คูมอื ครูรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4

−n( A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C)

จะได n( A ∪ B ∪ C ) = 100 +150 + 200 − 50 − 0 − 25 + 0

= 375

จาก n( A ∪ B ∪ C )′ = 30

จะได n(U ) = n( A ∪ B ∪ C ) + n( A ∪ B ∪ C )′

= 375 + 30

= 405

ดังนัน้ มผี ใู ชบ ริการขนสงที่เขารวมการสาํ รวจท้ังหมด 405 คน

17. ให U แทนเซตของคนทาํ งานทเ่ี ขารวมการสํารวจ

A แทนเซตของคนทาํ งานที่ชอบการเดินปา

B แทนเซตของคนทํางานทช่ี อบการไปทะเล

C แทนเซตของคนทาํ งานทีช่ อบการเลนสวนนํ้า

A∩ B แทนเซตของคนทํางานที่ชอบการเดนิ ปา และการไปทะเล

A∩C แทนเซตของคนทํางานทชี่ อบการเดินปาและการเลน สวนนํ้า

B ∩C แทนเซตของคนทํางานท่ีชอบการไปทะเลและการเลนสวนนํา้

A ∩ B ∩ C แทนเซตของคนทาํ งานท่ชี อบท้งั การเดินปา การไปทะเล

และการเลน สวนน้าํ

จะได n( A) = 35

n( B) = 57

n(C ) = 20

n(A∩ B) = 8

n( A ∩ C ) = 15

n(B∩C) = 5

n(A∩ B∩C) = 3

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 161

นาํ ขอ มลู ท้งั หมดไปเขยี นแผนภาพไดด งั นี้

จากแผนภาพ จะไดว า

1) มีคนทีช่ อบการไปทะเลหรอื ชอบการเลน สวนนํา้ เทา กบั

5% + 47% +12% + 3% + 2% + 3% =72%

2) มีคนที่ชอบการเดินปา หรือชอบการไปทะเล เทา กับ

15% + 5% + 47% +12% + 3% + 2% =84%

3) มคี นท่ชี อบทํากจิ กรรมเพียงอยา งเดยี ว เทา กบั 15% + 47% + 3% =65%

4) มีคนที่ไมชอบการเดนิ ปา หรือไปทะเล หรอื เลน สวนนาํ้ 13%

18. ให U แทนเซตของประชาชนท่ีเขา รวมการสํารวจ

A แทนเซตของคนท่ชี อบทเุ รยี น

B แทนเซตของคนทชี่ อบมงั คดุ

C แทนเซตของคนทีช่ อบมะมว ง

A∩ B แทนเซตของคนทชี่ อบทุเรยี นและมังคดุ

B ∩ C แทนเซตของคนทีช่ อบมงั คุดและมะมว ง

A∩C แทนเซตของคนท่ีชอบทุเรียนและมะมวง

A ∩ B ∩ C แทนเซตของคนทชี่ อบผลไมท ้ังสามชนดิ น้ี

จะได n( A) = 720

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

162 คูม ือครูรายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4

n( B) = 605
n(C ) = 586
n( A ∩ B) = 483
n( B ∩ C ) = 470
n( A ∩ C ) = 494
n( A ∩ B ∩ C ) = 400

นาํ ขอมลู ทงั้ หมดไปเขียนแผนภาพไดดงั นี้

จากแผนภาพ จะไดวา

1) มคี นทชี่ อบมงั คุดอยางเดยี ว 52 คน

2) มคี นท่ีชอบผลไมอยางนอ ยหน่ึงชนิดในสามชนิดนี้ เทากับ

143 + 83 + 52 + 94 + 400 + 70 + 22 =864 คน

3) มคี นที่ไมชอบผลไมชนดิ ใดเลยในสามชนดิ น้ี 136 คน

19. ให U แทนเซตของนักเรียนท่ีเขา รว มการสาํ รวจ

A แทนเซตของนักเรียนท่ชี อบวิชาคณติ ศาสตร

B แทนเซตของนักเรียนท่ีชอบวิชาฟสกิ ส

C แทนเซตของนักเรียนทช่ี อบวิชาภาษาไทย

( A ∪ B ∪ C)′ แทนเซตของนักเรยี นท่ีไมช อบวิชาใดเลยในสามวชิ าน้ี

จะได n( A) = 56

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 163

n( B) = 47

n(C ) = 82

นั่นคือ n( A ∪ B ∪ C )′ = 4
n( A ∪ B ∪ C ) = 100 − 4 = 96

ให x แทนจาํ นวนนักเรียนทช่ี อบวชิ าคณิตศาสตรแ ละฟส กิ ส แตไมชอบวชิ าภาษาไทย

y แทนจํานวนนกั เรียนท่ีชอบวิชาคณติ ศาสตรและภาษาไทย แตไมช อบวิชาฟส ิกส

z แทนจํานวนนักเรยี นทช่ี อบวชิ าฟส ิกสแ ละภาษาไทย แตไมช อบวิชาคณติ ศาสตร

k แทนจํานวนนักเรยี นทีช่ อบทั้งสามวชิ า

วิธที ี่ 1 นาํ ขอ มลู ทั้งหมดไปเขยี นแผนภาพไดดังนี้

จากแผนภาพ จะไดวา

96 = (56 − x − y − k ) + (47 − x − z − k )
+ (82 − y − z − k ) + x + y + z + k

96 = 185 − x − y − z − 2k

89 = ( x + y + z) + 2k

เนื่องจาก มีนกั เรียนที่ชอบเพียง 2 วชิ าเทานั้น จํานวน 71%
นัน่ คอื x + y + z =71
จะได 89 = 71+ 2k

2k = 18

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

164 คมู อื ครูรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4

วิธีท่ี 2 ดงั นั้น k = 9
จะไดว า

(56 − x − y − k ) + (47 − x − z − k ) + (82 − y − z − k )

= 185 − 2x − 2 y − 2z − 3k

= 185 − 2( x + y + z) − 3k
= 185 − 2(71) − 3(9)

= 185 −142 − 27
= 16

ดงั น้นั มนี ักเรยี นทช่ี อบเพียงวชิ าเดียวเทาน้ัน จาํ นวน 16 %
นาํ ขอ มูลท้ังหมดไปเขียนแผนภาพไดดังนี้

เนื่องจาก มนี ักเรียนทชี่ อบเพียง 2 วิชาเทาน้ัน จาํ นวน 71%
น่นั คือ x + y + z =71
จาก n( A ∪ B ∪ C ) = n( A) + n(B) + n(C ) − n( A ∩ B)

−n( A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C)

จะได 96 = 56 + 47 + 82 − ( x + k ) − ( y + k ) − ( z + k ) + k

x + y + z + 2k = 89
71+ 2k = 89
2k = 18
k =9

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 165

ดงั นัน้ มีนกั เรยี นที่ชอบเพยี งวิชาเดยี วเทานนั้ เทากับ 96% – 9% – 71% = 16 %

20. ให U แทนเซตของคนกลุมนี้

A แทนเซตของคนทม่ี ีแอนตเิ จน A

B แทนเซตของคนทีม่ ีแอนติเจน B

Rh แทนเซตของคนทีม่ ีแอนตเิ จน Rh+

A ∩ B แทนเซตของคนทม่ี หี มเู ลือด AB

A − B แทนเซตของคนที่มีหมูเ ลอื ด A

B − A แทนเซตของคนท่มี ีหมูเลอื ด B

( A ∩ Rh) − B แทนเซตของคนที่มีหมเู ลือด A+

(B ∩ Rh) − A แทนเซตของคนที่มหี มเู ลอื ด B+

A ∩ B ∩ Rh แทนเซตของคนทมี่ ีหมเู ลือด AB+

จะได n( A) = n( A+ ) + n( A− ) + n( AB) = 29

n(B) = n(B+ ) + n(B− ) + n( AB) = 39

n( A ∩ B) = n( AB) = 9

n(( A ∩ Rh) − B) = n( A+ ) = 18

n(( B ∩ Rh) − A) = n(B+ ) = 29

n( A ∩ B ∩ Rh) = n( AB+ ) = 8

n(Rh − ( A ∪ B)) = n(O+ ) = 40

จากแผนภาพท่ีกําหนดให นาํ ขอ มูลทั้งหมดไปเขียนแผนภาพแสดงจํานวนสมาชิกของเซตไดด ังนี้

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

166 คูม ือครูรายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4

จากแผนภาพ จะไดวา มีคนกลุมน้ี 1% ท่มี ีเลอื ดหมู O−

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 167

บทท่ี 2 ตรรกศาสตรเบ้ืองตน

แบบฝก หัด 2.1

1. 1) เปนประพจน ทมี่ คี า ความจรงิ เปน เทจ็ 2) เปน ประพจน ท่มี ีคาความจริงเปน จริง

3) เปน ประพจน ที่มคี า ความจริงเปน เท็จ 4) ไมเ ปนประพจน

5) ไมเ ปนประพจน 6) เปน ประพจน ทม่ี คี าความจรงิ เปน จรงิ

7) เปน ประพจน ที่มีคา ความจรงิ เปน เท็จ 8) เปนประพจน ที่มีคา ความจริงเปนเท็จ

9) ไมเ ปน ประพจน 10) เปนประพจน ทม่ี ีคาความจรงิ เปนจรงิ

11) เปน ประพจน ทมี่ ีคา ความจริงเปน เทจ็ 12) เปน ประพจน ที่มคี า ความจรงิ เปน จรงิ

13) ไมเ ปน ประพจน 14) ไมเ ปนประพจน

15) เปนประพจน ที่มคี า ความจริงเปนเทจ็ 16) ไมเปนประพจน

17) ไมเปนประพจน 18) เปน ประพจน ที่มีคาความจริงเปน จริง

2. ตวั อยา งคําตอบ

2 > 3 เปน ประพจน ท่มี คี า ความจริงเปนเท็จ

∅ ∈ {1, 2, 3} เปนประพจน ท่ีมีคาความจริงเปน เท็จ

หน่งึ ปม ีสิบสองเดือน เปนประพจน ที่มีคาความจริงเปน จริง

4 เปนจาํ นวนอตรรกยะ เปน ประพจน ทีม่ ีคา ความจริงเปน เท็จ

เดือนมกราคม มี 31 วัน เปน ประพจน ท่ีมคี าความจรงิ เปนจริง

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

168 คูมอื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4

แบบฝก หัด 2.2

1. 1) นเิ สธของประพจน 4 + 9 = 10 + 3 คอื 4 + 9 ≠10 + 3 มีคาความจรงิ เปน เท็จ
2) นเิ สธของประพจน −6 </ 7 คอื −6 < 7 มคี าความจรงิ เปนจริง
3) นิเสธของประพจน 100 ไมเปน จํานวนเตม็ คอื 100 เปนจาํ นวนเต็ม
มคี า ความจรงิ เปนจริง
4) นเิ สธของประพจน 2 ⊄ {2} คอื 2 ⊂ {2} มีคาความจรงิ เปนเทจ็

2. 1) เนอ่ื งจาก p เปนจริง จะได  p เปน เท็จ
ดังนน้ั  p มคี าความจรงิ เปนเท็จ

2) เนอ่ื งจาก q เปนเทจ็ จะได  q เปนจรงิ
ดงั นน้ั  q มคี า ความจรงิ เปนจริง

3) เนื่องจาก p เปน จริง และ q เปนเท็จ จะได p ∧ q เปน เท็จ
ดังนน้ั p ∧ q มคี าความจริงเปนเท็จ

4) เนือ่ งจาก p เปนจรงิ และ q เปน เท็จ จะได p ∨ q เปนจริง
ดงั นั้น p ∨ q มคี า ความจริงเปนจริง

5) เนอ่ื งจาก p เปน จริง และ q เปน เท็จ จะได p → q เปนเทจ็
ดงั นั้น p → q มคี า ความจริงเปนเท็จ

6) เนื่องจาก p เปนจรงิ และ q เปนเท็จ จะได p ↔ q เปนเท็จ
ดังนน้ั p ↔ q มคี า ความจริงเปนเท็จ

7) เนอ่ื งจาก p เปน จรงิ และ  q เปน จรงิ จะได p∧  q เปน จริง
ดังนั้น p∧  q มคี า ความจริงเปนจรงิ

8) เน่ืองจาก  p เปนเท็จ และ q เปนเทจ็ จะได  p ∨ q เปนเท็จ

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 169

ดงั นั้น  p ∨ q มีคา ความจรงิ เปนเท็จ
9) เนอ่ื งจาก  p เปน เท็จ และ  q เปนจริง จะได  p∧  q เปนเท็จ

ดังนั้น  p∧  q มคี าความจริงเปนเท็จ
10) เน่อื งจาก p∧  q เปนจริง จะได  ( p∧  q) เปน เท็จ

ดงั นน้ั  ( p∧  q) มคี า ความจรงิ เปนเท็จ
11) เน่ืองจาก q เปนเท็จ และ p เปนจรงิ จะได q → p เปน จริง

จาก p เปนจรงิ และ q → p เปนจริง จะได p ↔ (q → p) เปนจริง
ดังนนั้ p ↔ (q → p) มคี าความจริงเปนจรงิ
12) เนือ่ งจาก  p ∨ q เปนเท็จ และ p∧  q เปน จรงิ
จะได ( p ∨ q) → ( p∧  q) เปนจรงิ
ดังนั้น ( p ∨ q) → ( p∧  q) มคี า ความจริงเปนจริง
3. 1) ให p แทน งูเหา เปน สตั วม พี ิษ

q แทน งูจงอางเปนสัตวม ีพิษ
ประพจนที่กําหนดใหอยใู นรปู p ∧ q
เนอื่ งจาก p เปน จรงิ และ q เปน จรงิ จะได p ∧ q เปน จรงิ
ดงั นน้ั ประพจน “งเู หา และงูจงอางเปนสัตวม ีพษิ ” มีคาความจรงิ เปนจรงิ
2) ให p แทน โลมาเปนสตั วเลย้ี งลูกดวยน้ํานม

q แทน คนเปนสตั วเ ล้ยี งลกู ดวยนํา้ นม
ประพจนท่ีกาํ หนดใหอยใู นรูป p ∨ q
เนอ่ื งจาก p เปนจริง และ q เปน จรงิ จะได p ∨ q เปน จริง
ดงั นัน้ ประพจน “โลมาหรือคนเปน สตั วเ ลี้ยงลูกดวยน้ํานม” มีคาความจรงิ เปน จริง

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

170 คมู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4

3) ให p แทน ดวงอาทิตยขน้ึ ทางทศิ ตะวนั ออก
ประพจนที่กําหนดใหอยูในรปู  p
เน่อื งจาก p เปน จรงิ จะได  p เปน เทจ็
ดงั นัน้ ประพจน “ดวงอาทติ ยไ มไดขึ้นทางทิศตะวนั ออก” มีคา ความจรงิ เปน เท็จ

4) ให p แทน มา มปี ก
q แทน คนบนิ ได

ประพจนท ี่กําหนดใหอยใู นรปู p ↔ q
เนอ่ื งจาก p เปนเท็จ และ q เปนเท็จ จะได p ↔ q เปนจรงิ
ดังนน้ั ประพจน “มา มปี ก ก็ตอเมื่อคนบนิ ได” มคี าความจริงเปนจรงิ
5) ให p แทน 13เปน จํานวนเฉพาะ

q แทน 13 มตี วั ประกอบคือ 1 กับ 13 เทา นัน้
ประพจนท ี่กําหนดใหอยใู นรูป p ↔ q
เนอ่ื งจาก p เปน จริง และ q เปนจริง จะได p ↔ q เปนจรงิ
ดังน้ัน ประพจน “13เปน จาํ นวนเฉพาะ ก็ตอเม่ือ 13 มีตวั ประกอบคือ 1 กับ 13
เทา น้นั ” มีคาความจริงเปนจริง
6) ให p แทน 3 เปนจาํ นวนคี่

q แทน 32 เปนจาํ นวนคี่
ประพจนท ี่กาํ หนดใหอยูในรปู p → q
เนอ่ื งจาก p เปน จรงิ และ q เปน จริง จะได p → q เปน จรงิ
ดงั น้นั ประพจน “ถา 3 เปนจาํ นวนคี่ แลว 32 เปน จาํ นวนคี่” มคี า ความจริงเปน จริง
7) ให p แทน 1∉{1, 2}

q แทน 1 ⊂ {1, 2}

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 171

ประพจนท่ีกาํ หนดใหอยูในรปู p ∧ q
เนอ่ื งจาก p เปนเท็จ และ q เปนเท็จ จะได p ∧ q เปน เท็จ
ดังนน้ั ประพจน “1∉{1,2} และ 1⊂ {1,2} ” มีคาความจริงเปน เท็จ
8) ให p แทน 9 ไมเทากับ 10

q แทน 10 ไมนอ ยกวา 9
ประพจนท่ีกําหนดใหอยูในรปู p ∨ q
เนือ่ งจาก p เปนจรงิ และ q เปนจรงิ จะได p ∨ q เปน จริง
ดงั นน้ั ประพจน “9 ไมเทา กับ 10 หรอื 10 ไมน อยกวา 9 ” มคี า ความจริงเปน จริง

แบบฝกหัดทายบท

1. 1) ไมเปนประพจน 2) เปนประพจน ที่มีคา ความจริงเปน จรงิ

3) เปน ประพจน ที่มคี า ความจรงิ เปน จริง 4) เปนประพจน ทีม่ ีคา ความจริงเปน เท็จ

5) ไมเ ปนประพจน 6) เปนประพจน ท่ีมีคาความจริงเปน เทจ็

7) ไมเ ปนประพจน 8) ไมเ ปนประพจน

9) เปน ประพจน ท่มี คี า ความจริงเปน จริง 10) เปน ประพจน ทม่ี ีคาความจริงเปนจริง

2. 1) ให p แทน นทไี ปโรงเรยี นโดยรถประจาํ ทาง

q แทน นทไี ปโรงเรียนโดยจกั รยานยนตร บั จาง

ดงั นั้น ขอความทก่ี าํ หนดใหอ ยใู นรูป p ∨ q

2) ให p แทน บุคคลตองรบั ผดิ ในทางอาญา

q แทน บคุ คลไดกระทําโดยเจตนา

ดังนั้น ขอความทก่ี ําหนดใหอ ยูใ นรปู p ↔ q

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

172 คูมอื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4

3) ให p แทน สาครมีเงิน
q แทน สาครมีเพ่ือนรายลอม
r แทน สาครมคี วามสุข

ดงั น้ัน ขอ ความทก่ี าํ หนดใหอยูในรูป p ∧ q∧  r
4) ให p แทน ออมสอบชงิ ทนุ ไปเรยี นตอ ตางประเทศได

q แทน ออมเรียนจบดวยคะแนนเกียรตนิ ิยม
r แทน พอ ของออมซ้ือรถยนตใหเ ปน รางวัล
ดังนั้น ขอ ความท่กี าํ หนดใหอยูในรปู ( p ∧ q) → r
5) ให p แทน จาํ เลยในคดีเปนผูวิกลจริต
q แทน จาํ เลยในคดีถกู สอบสวน
r แทน จาํ เลยในคดีรับโทษ
ดงั นน้ั ขอความทก่ี ําหนดใหอยใู นรูป p → ( q∨  r)
6) ให p แทน ตน ปลอมธนบัตร
q แทน ตน แปลงธนบตั ร
r แทน ตน ไดรับโทษจําคุก 20 ป
s แทน ตน ไดรับโทษปรับไมเกิน 40,000 บาท
ดงั น้นั ขอความท่ีกําหนดใหอ ยูในรปู ( p ∨ q) → (r ∨ s ∨ (r ∧ s))
3. 1) นเิ สธของประพจน −20 + 5 > −17 คอื −20 + 5 ≤ −17 มคี า ความจริงเปนเท็จ
2) นเิ สธของประพจน 37 ไมเ ปนจาํ นวนเฉพาะ คือ 37 เปน จาํ นวนเฉพาะ มีคาความจรงิ
เปน จริง
3) นเิ สธของประพจน 2 ∈ คอื 2 ∉ มคี าความจรงิ เปน จรงิ
4) นเิ สธของประพจน  ⊂  คอื  ⊄  มคี า ความจริงเปนเท็จ

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 173

4. ตัวอยา งคําตอบ
π ไมเปน จํานวนตรรกยะ
นิดาและนัดดาเปนนักเรียนช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4
รปู สเ่ี หลี่ยมอาจเปน รูปส่เี หลีย่ มมุมฉากหรือรูปสเ่ี หลี่ยมดานขนานก็ได
รูปสามเหล่ียม ABC เปนรูปสามเหล่ียมดานเทาก็ตอเมื่อรูปสามเหลี่ยม ABC

มดี า นยาวเทา กนั ทุกดา น
5. 1) จาก p เปนจริง และ q เปนจริง จะได p ∧ q เปนจริง

จาก p ∧ q เปน จรงิ และ r เปนเท็จ จะได ( p ∧ q) ∨ r เปน จรงิ
ดังนั้น ( p ∧ q) ∨ r มคี าความจริงเปน จริง
2) จาก q เปน จรงิ จะได  q เปนเทจ็
จาก  q เปน เทจ็ และ r เปนเท็จ จะได  q ∨ r เปน เท็จ
จาก  q ∨ r เปน เทจ็ และ p เปน จรงิ จะได ( q ∨ r) ∧ p เปน เท็จ
ดงั น้ัน ( q ∨ r) ∧ p มีคา ความจรงิ เปน เท็จ
3) จาก p เปนจรงิ จะได  p เปนเทจ็
และจาก r เปนเท็จ จะได r ↔  p เปน จริง
ดังนัน้ r ↔  p มีคา ความจรงิ เปนจริง
4) จาก p เปนจริง จะได  p เปนเท็จ
จาก r เปน เทจ็ จะได  r เปน จริง จะได  p∨  r เปน จรงิ
ดงั นน้ั  p∨  r มีคาความจริงเปนจริง
5) จาก p เปน จริง และ q เปนจรงิ จะได p ∧ q เปนจริง
จาก q เปนจรงิ และ r เปนเท็จ จะได q ∧ r เปน เทจ็
จาก p ∧ q เปน จริง และ q ∧ r เปน เท็จ จะได ( p ∧ q) → (q ∧ r) เปน เท็จ

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

174 คมู ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4

ดงั นน้ั ( p ∧ q) → (q ∧ r) มคี า ความจรงิ เปนเท็จ
6. 1) ให p แทนประพจน 4 เปน จํานวนเฉพาะ

q แทนประพจน 4 เปนจาํ นวนค่ี
ประพจนท ี่กาํ หนดใหอยใู นรูป p → q
เนือ่ งจาก p เปน เทจ็ จะได p → q เปนจรงิ
ดังน้ัน ประพจน “ถา 4 เปนจาํ นวนเฉพาะ แลว 4 เปน จาํ นวนค”ี่ มคี าความจริง
เปนจริง
2) ให p แทนประพจน 3 ≥ 2

q แทนประพจน −2 ≥ −3
ประพจนท ่ีกําหนดใหอยใู นรปู p ∧ q
เนอ่ื งจาก p เปนจริง และ q เปน จริง จะได p ∧ q เปนจรงิ
ดงั นัน้ ประพจน “ 3 ≥ 2 และ −2 ≥ −3” มคี า ความจรงิ เปนจรงิ
3) ให p แทนประพจน 100 กิโลกรัม เทา กับ 1 ตัน

q แทนประพจน 10 ขีด เทากับ 1 กโิ ลกรมั
ประพจนท ่ีกําหนดใหอยูในรปู p ∨ q
เนอื่ งจาก q เปนจริง จะได p ∨ q เปน จริง
ดงั นัน้ ประพจน “100 กโิ ลกรมั เทากบั 1 ตนั หรือ 10 ขีดเทากบั 1 กิโลกรมั ”
มคี า ความจริงเปน จรงิ
4) ให p แทนประพจน {x∈} | 3 < x < 4} เปน เซตวาง

q แทนประพจน {x∈} | x2 =1} ไมเ ปนเซตวา ง
ประพจนท่ีกาํ หนดใหอยใู นรปู p ∨ q
เนือ่ งจาก p เปนจรงิ จะได p ∨ q เปน จริง

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 175

ดังนนั้ ประพจน “{x∈} | 3 < x < 4} เปนเซตวาง หรอื {x∈} | x2 =1}
ไมเ ปนเซตวา ง” มีคาความจริงเปนจรงิ
5) ให p แทนประพจน A ∪ A =A

q แทนประพจน A − ∅ =U
ประพจนท่ีกําหนดใหอยใู นรูป p ∧ q
เน่ืองจาก q เปนเทจ็ จะได p ∧ q เปน เทจ็
ดังนนั้ ประพจน “ A ∪ A =A และ A − ∅ =U ” มีคาความจริงเปน เท็จ
7. 1) จาก q ∧ r มคี า ความจริงเปนจรงิ จะได ประพจน q มีคาความจริงเปน จริง
และประพจน r มีคาความจรงิ เปน จริง
2) จาก r → q มคี าความจรงิ เปนเทจ็ จะได ประพจน r มคี าความจริงเปนจริง
และประพจน q มคี าความจริงเปน เทจ็
3) จาก p ∨ q มีคาความจรงิ เปน เทจ็ จะได p เปน เท็จ และ q เปน เท็จ
หาคาความจริงของ ( p∧  q) → r
จาก p เปนเท็จ จะได p∧  q เปนเท็จ
จาก p∧  q เปน เท็จ จะได ( p∧  q) → r เปนจริง
ดังน้ัน ( p∧  q) → r มคี า ความจริงเปน จริง
4) จาก p → r มคี าความจรงิ เปนเท็จ จะได p เปน จรงิ และ r เปน เทจ็
หาคา ความจรงิ ของ ( p ∨ q) ∧ r
จาก r เปนเทจ็ จะได ( p ∨ q) ∧ r เปน เท็จ
ดังนั้น ( p ∨ q) ∧ r มคี า ความจรงิ เปน เท็จ

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

176 คูมอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4

8. แสดงคุณสมบัติของพนักงานกับเงอ่ื นไขของการเลื่อนตาํ แหนงดังตารางตอไปนี้

เงอ่ื นไข อายุไมตํ่ากวา จบปริญญา ทํางานบริษทั นี้อยางนอ ย 3 ป
โทข้นึ ไป หรอื ทาํ งานดานคอมพวิ เตอร
ช่ือพนกั งาน 30 ป
 อยา งนอย 7 ป
ฟาใส  
 
รงุ นภา 

ธนา 


จากตารางจะเห็นวา ฟาใส เปนพนักงานคนเดียวท่ีมีคุณสมบัตสิ อดคลองกบั เงือ่ นไข
ของการเลือ่ นตาํ แหนงทั้ง 3 ขอ
ดงั น้นั ฟา ใสมีสทิ ธิ์ไดเ ลอ่ื นตําแหนง
9. แสดงคุณสมบัตขิ องพนักงานกบั เงอ่ื นไขของการไดรับเงินรางวลั ดงั ตารางตอไปนี้

เงื่อนไข ทํายอดขายใน 1 ป ทาํ ยอดขายใน 1 ป ทาํ ยอดขายใน 1 ป
ไดเ กนิ 3,000,000 ไดเกิน 5,000,000 ไดเกนิ 10,000,000
ชอื่ พนักงาน บาท และไมล ากิจ บาท ไมลาพกั ผอน
สรุ ิยา บาท
เมฆา  และไมล ากจิ
กมล  
ทวิ า   
 
 





เน่ืองจากพนักงานแตละคนจะสามารถรบั เงินรางวลั ทีด่ ีท่สี ุดไดเพยี งรางวลั เดียว
ดงั นั้น สรุ ยิ าจะไดรบั เงินรางวัล 30,000 × 1.5 =45,000 บาท

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 177

เมฆาจะไมไดร บั เงนิ รางวัล
กมลจะไดรับเงินรางวลั 70,000 × 2 =140,000 บาท
และทวิ าจะไดร บั เงินรางวลั 200,000 × 4 =800,000 บาท
10. แสดงคณุ สมบัตขิ องผูก ูกับเงื่อนไขของการกูเ งนิ ดังตารางตอไปน้ี

เงือ่ นไข ผกู ูตอ งมี ถาผกู มู คี สู มรส ผูกตู อ งมีเงนิ เหลือ
ช่อื ผกู ู เงนิ เดอื น แลว ผูก ูและคูสมรส หลงั หักคา ใชจ ายใน
ไมนอ ยกวา ตองมเี งินเดือนรวมกนั
30,000 บาท ไมน อยกวา 70,000 บาท แตละเดือน
มากกวา 5,000 บาท

สัญญา   
กวิน  
มานแกว   

ไมมีคสู มรส

จากตารางจะเหน็ วา มานแกว เปน ผูก คู นเดยี วทม่ี ีคุณสมบตั ิสอดคลองกบั เงื่อนไขของ
การกเู งินท้งั 3 ขอ ดังนนั้ มานแกว จะสามารถกูเงินกับบรษิ ทั นไ้ี ด

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

178 คูม อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4

บทที่ 3 หลักการนบั เบอื้ งตน

แบบฝก หดั 3.1

1. จากหลกั การบวก จะมวี ธิ เี ลือกสั่งอาหารได 12 + 8 + 5 =25 วิธี

2. รูปสามเหลี่ยมดานเทาทีเ่ กดิ จากการจัดเรยี งกระเบื้องมี 3 แบบ ไดแ ก

แบบท่ี 1 มีรูปสามเหล่ียมดานเทาท่ีแตละดา นยาว 1 หนว ย อยู 9 รปู

แบบท่ี 2 มรี ปู สามเหล่ียมดานเทาทแ่ี ตละดานยาว 2 หนวย อยู 3 รูป

แบบท่ี 3 มีรูปสามเหล่ยี มดา นเทาท่ีแตละดานยาว 3 หนว ย อยู 1 รปู

จากหลกั การบวก จึงไดวา มรี ูปสามเหลย่ี มดานเทา ทั้งหมด 9 + 3 + 1 = 13 รูป

3. จากหลกั การคณู จะมวี ิธเี ลือกประตูเขาออกได 10×9 =90 วิธี

4. การจดั ระบบรหัสหนังสือของหอ งสมุดแหงนี้ มีองคป ระกอบ 4 สวน ดังนี้

สว นท่ี 1 ตัวอกั ษรภาษาองั กฤษ 2 ตวั มีได 26× 26 แบบ

สวนท่ี 2 เลขโดด 3 ตวั ท่ีไมเ ปนศนู ยพรอมกัน มีได 999 แบบ จาก 001 ถึง 999

สวนท่ี 3 ตวั อักษรภาษาองั กฤษ 1 ตัว มไี ด 26 แบบ

สวนท่ี 4 เลขโดด 2 ตวั ทไ่ี มเปน ศูนยพรอ มกนั มีได 99 แบบ จาก 01 ถงึ 99

จากหลักการคูณ จึงไดว า การจัดระบบรหสั หนังสือของหองสมดุ แหง น้จี ะมีจํานวนรหัส

ท่ีเปน ไปไดท ้งั หมด 26× 26× 999× 26× 99 =1,738,283,976 ตวั

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 179

5. เขียนตารางแสดงแตม ท่ีไดจ ากการทอดลกู เตาหน่ึงลูกสองครง้ั ไดด ังน้ี

คร้งั ที่ 2

12 3 4 5 6

ครั้งท่ี 1

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

1) วิธที ี่ 1 จากตาราง จะไดจาํ นวนวิธีท่แี ตม ที่ไดจากการทอดลูกเตาทง้ั สองคร้ัง
เทากนั เปน 6 วิธี

วธิ ที ่ี 2 ขั้นตอนที่ 1 แตม ที่ไดจ ากการทอดลูกเตาครัง้ ที่ 1 มไี ด 6 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 เนือ่ งจากแตม ที่ไดจ ากการทอดลูกเตา ทัง้ สองครั้งเทา กัน
จะไดวา แตมท่ีไดจากการทอดลกู เตา ครง้ั ที่ 2 มีได 1 วิธี
ดงั นนั้ จาํ นวนวธิ ีทแี่ ตมทีไ่ ดจ ากการทอดลกู เตา ทง้ั สองครั้งเทา กนั เปน
6×1 =6 วธิ ี

2) วธิ ีที่ 1 จากตาราง จะไดจ าํ นวนวธิ ีท่แี ตมทีไ่ ดจ ากการทอดลกู เตาทงั้ สองคร้งั
ตา งกันเปน 30 วธิ ี

วิธที ี่ 2 เนื่องจาก จาํ นวนวธิ ีทไ่ี ดแ ตม จากการทอดลกู เตา สองครงั้ มีได 36 วิธี
แตมจี าํ นวนวิธีทีแ่ ตมท่ีไดจากการทอดลูกเตาทง้ั สองคร้งั เทากัน 6 วธิ ี
ดังน้ัน จาํ นวนวธิ ที ่ีแตม ทไ่ี ดจากการทอดลกู เตาทง้ั สองครั้งตางกนั เปน
36 − 6 =30 วธิ ี

วธิ ที ี่ 3 ขน้ั ตอนท่ี 1 แตมที่ไดจากการทอดลกู เตาครง้ั ท่ี 1 มไี ด 6 วธิ ี

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

180 คมู อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4

ข้นั ตอนที่ 2 เนือ่ งจากแตมท่ีไดจ ากการทอดลกู เตา คร้ังท่ี 2 ตา งจาก

คร้งั แรก จะไดวา แตมท่ีไดจากการทอดลูกเตา ครงั้ ที่ 2

มไี ด 5 วิธี

ดงั นั้น จํานวนวธิ ที ่ีแตม ทีไ่ ดจ ากการทอดลูกเตาทั้งสองครง้ั ตางกันเปน

6× 5 =30 วิธี

3) จากตาราง จะไดจ ํานวนวิธที ี่ผลรวมของแตมที่ไดจ ากการทอดลูกเตาท้ังสองครง้ั

นอยกวา 10 เปน 30 วธิ ี

6. ปญ หาดงั กลาว สามารถแกไดโดยใชหลักการคณู ดงั น้ี

หลักรอย หลกั สบิ หลกั หนว ย

1) ขนั้ ตอนท่ี 1 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปน หลกั รอ ย จากเลขโดด 1, 2, 3, …, 9 ได 9 วิธี
ขน้ั ตอนที่ 2 เลอื กเลขโดด 1 ตัว เปน หลักสบิ จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, …, 9
ได 10 วธิ ี
ข้นั ตอนท่ี 3 เลอื กเลขโดด 1 ตวั เปนหลักหนวย จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, …, 9
ได 10 วิธี
ดงั น้ัน มจี ํานวนเต็มบวกท่ีมี 3 หลัก ท้งั หมด 9×10×10 =900 จํานวน

2) ข้นั ตอนท่ี 1 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปน หลกั รอ ย จากเลขโดด 1, 2, 3, …, 9 ได 9 วธิ ี
ข้ันตอนท่ี 2 เลอื กเลขโดด 1 ตัว เปน หลกั หนว ย จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, …, 9
ท่ไี มซ ํ้ากับเลขโดดในหลกั รอย ได 9 วิธี
ขน้ั ตอนท่ี 3 เลอื กเลขโดด 1 ตัว เปนหลกั สบิ จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, …, 9
ได 10 วิธี

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 181

ดังนัน้ มีจํานวนเต็มบวกที่มี 3 หลัก โดยเลขโดดในหลักแรกและหลกั สดุ ทา ย
ไมซา้ํ กนั ทั้งหมด 9×9×10 =810 จํานวน
3) ขน้ั ตอนที่ 1 เลอื กเลขโดด 1 ตวั เปน หลักรอ ย จากเลขโดด 1, 2, 3, …, 9 ได 9 วธิ ี
ขน้ั ตอนท่ี 2 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปน หลักหนว ย ทท่ี ําใหผลรวมของเลขโดดใน

หลกั รอยและหลักหนว ยเปน 10 ได 1 วธิ ี
ขั้นตอนที่ 3 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปน หลักสิบ จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, …, 9

ได 10 วิธี
ดังน้ัน มจี ํานวนเต็มบวกท่ีมี 3 หลกั โดยเลขโดดในหลกั แรกและหลกั สดุ ทาย
รวมกันได 10 ท้งั หมด 9×1×10 =90 จาํ นวน
7. โดยความหมายของพาลินโดรม จะไดวาตวั อักษรภาษาอังกฤษตัวท่ี 1 กับตัวท่ี 4
และตัวที่ 2 กบั ตวั ที่ 3 ตองเปนตัวอกั ษรเดยี วกนั ดงั แผนภาพ
ตวั ที่ 1 ตวั ที่ 2 ตัวท่ี 3 ตวั ที่ 4

ขัน้ ตอนที่ 1 ตัวที่ 1 เลือกตัวอกั ษรภาษาอังกฤษได 26 วิธี
ขน้ั ตอนท่ี 2 ตวั ท่ี 2 เลอื กตัวอกั ษรภาษาอังกฤษได 26 วิธี
ข้ันตอนที่ 3 ตัวท่ี 3 เลือกตัวอักษรภาษาอังกฤษได 1 วิธี
ขั้นตอนท่ี 4 ตัวท่ี 4 เลือกตวั อกั ษรภาษาอังกฤษได 1 วิธี
ดังนนั้ พาลินโดรมที่ประกอบดว ยตวั อักษรภาษาองั กฤษ 4 ตวั โดยจะมคี วามหมายหรอื ไม
ก็ได มีทงั้ หมด 26× 26×1×1 =676 คาํ

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

182 คูมือครูรายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4

8. 1) การนําผลไมใสตะกราโดยไมม ีเง่ือนไข สามารถทาํ ไดด งั น้ี
ข้ันตอนท่ี 1 นําผลไมชนดิ ที่ 1 ไปใสต ะกรา ใดตะกราหนง่ึ ทาํ ได 6 วธิ ี
ขนั้ ตอนที่ 2 นาํ ผลไมชนิดที่ 2 ไปใสตะกรา ใดตะกราหน่ึง ทําได 6 วธิ ี
ขน้ั ตอนที่ 3 นาํ ผลไมช นดิ ที่ 3 ไปใสตะกราใดตะกราหนึ่ง ทาํ ได 6 วิธี
ขั้นตอนท่ี 4 นาํ ผลไมชนิดที่ 4 ไปใสตะกราใดตะกราหน่งึ ทาํ ได 6 วิธี
ดงั น้นั จํานวนวิธใี นการนําผลไมใ สต ะกราโดยไมมีเงื่อนไข มีทั้งหมด
6 × 6 × 6 × 6 =1,296 วิธี

2) การนําผลไมใสต ะกราโดยที่ตะกราแตล ะใบมีผลไมไมเกิน 1 ผล สามารถทาํ ไดดงั น้ี
ขน้ั ตอนท่ี 1 นําผลไมชนิดท่ี 1 ไปใสต ะกรา ใดตะกราหนง่ึ ทําได 6 วธิ ี
ข้นั ตอนที่ 2 นําผลไมชนดิ ที่ 2 ไปใสตะกรา ใดตะกรา หนง่ึ ท่เี หลืออยู ทาํ ได 5 วธิ ี
ขั้นตอนท่ี 3 นาํ ผลไมชนิดที่ 3 ไปใสตะกรา ใดตะกราหนึง่ ที่เหลืออยู ทําได 4 วิธี
ขน้ั ตอนท่ี 4 นาํ ผลไมชนิดที่ 4 ไปใสต ะกรา ใดตะกรา หนง่ึ ท่ีเหลืออยู ทําได 3 วิธี
ดังนั้น จาํ นวนวธิ ีทน่ี ําผลไมใ สต ะกราโดยท่ตี ะกรา แตล ะใบมีผลไมไ มเ กนิ 1 ผล
มีทง้ั หมด 6× 5× 4× 3 =360 วิธี

แบบฝก หดั 3.2

1. เน่อื งจากมีหนงั สอื คณติ ศาสตร 2 เลม หนังสือภาษาไทย 3 เลม หนงั สอื ภาษาอังกฤษ 4 เลม
นั่นคอื มีหนงั สือท้งั หมด 9 เลม ทแ่ี ตกตา งกนั ทั้งหมด
ดังนน้ั ถา นาํ หนังสอื ทงั้ 9 เลม มาวางเรยี งบนชนั้ วางหนังสอื ชัน้ หนง่ึ ทําได
9! = 9 × 8× 7 × 6 × 5× 4 × 3× 2 ×1 = 362,880 วิธี

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 183

2. 1) P8,4 = 8!
(8 − 4)!

2) P10, 2 = 8!
4!

= 8× 7 × 6× 5× 4!
4!

= 1,680

= 10!
(10 − 2)!

3) P5, 5 10!
=

8!
= 10 × 9 × 8!

8!
= 90

= 5!
(5 − 5)!

4) P7, 0 = 5!
0!

= 5× 4×3× 2×1
1

= 120

= 7!
(7 − 0)!

= 7!
7!

=1

3. วิธีท่ี 1 จากการเรียงสับเปลยี่ น จะได

P4, 3 = 4!
(4 − 3)!

= 4!
1!

= 24

ดงั นนั้ จะมวี ิธสี รา งจาํ นวนทีแ่ ตกตา งกนั ทง้ั หมด 24 จาํ นวน

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

184 คูมอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4

วิธีท่ี 2 การสรางจาํ นวน 3 หลัก จากเลขโดด 2, 3, 5 และ 9 ทาํ ไดดงั น้ี

หลักรอ ย หลักสบิ หลกั หนวย

ขนั้ ตอนที่ 1 เลือกเลขโดด 1 ตวั เปน หลักรอ ย จากเลขโดด 2, 3, 5, 9 ได 4 วิธี
ขน้ั ตอนท่ี 2 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปนหลักสบิ จากเลขโดด 2, 3, 5, 9 ท่ีไมซ า้ํ

กบั เลขโดดในหลกั รอย ได 3 วธิ ี
ขัน้ ตอนท่ี 3 เลอื กเลขโดด 1 ตัว เปนหลกั หนว ย จากเลขโดด 2, 3, 5, 9 ทไ่ี มซํ้า

กบั เลขโดดในหลักรอยและหลักสบิ ได 2 วิธี
จากหลกั การคูณ จึงไดวา จะมีวิธีสรา งจาํ นวนท่แี ตกตางกนั ท้ังหมด
4× 3× 2 =24 วธิ ี
4. วิธีที่ 1 จากการเรยี งสบั เปล่ียน จะได

P9,5 = 9!
(9 − 5)!

= 9!
4!

= 15,120

ดงั นน้ั มีจาํ นวนวธิ กี ารนั่งเกา อี้ โดยท่เี กาอีแ้ ตละตวั จะมีคนน่งั หนง่ึ คน

15,120 วธิ ี

วธิ ีที่ 2 การเลอื กเกา อ้ี 5 ตวั ท่ปี ายรถประจาํ ทางซง่ึ วางเรยี งกนั กนั เปน แถวยาวใหก บั

คน 9 คน ทม่ี ารอรถที่ปา ยรถประจาํ ทางน้ี ประกอบดว ย 5 ขน้ั ตอน ดังนี้

ขนั้ ตอนที่ 1 เกาอี้ตวั ที่ 1 มวี ิธีเลือกคนมาน่ังได 9 วธิ ี

ขนั้ ตอนที่ 2 เกาอี้ตวั ท่ี 2 มวี ธิ ีเลือกคนมาน่ังได 8 วธิ ี

ขนั้ ตอนที่ 3 เกา อี้ตัวที่ 3 มวี ิธเี ลือกคนมานั่งได 7 วธิ ี

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 185

ขน้ั ตอนท่ี 4 เกาอ้ีตวั ที่ 4 มวี ิธเี ลือกคนมานั่งได 6 วิธี
ขนั้ ตอนที่ 5 เกาอต้ี ัวที่ 5 มีวธิ เี ลอื กคนมานั่งได 5 วธิ ี
จากหลักการคูณ จึงไดว า มจี ํานวนวธิ ีการนง่ั เกา อี้ โดยที่เกาอี้แตละตัวจะมีคนนงั่
หนึง่ คน 9×8× 7 × 6× 5 =15,120 วิธี
5. นํารูปภาพที่แตกตางกนั 5 รปู มาจัดแสดงโดยเรียงตอกนั ในแนวเสนตรง ทาํ ไดท้ังหมด
5! = 5× 4 × 3× 2×1 = 120 วิธี

แบบฝก หดั 3.3

1. จาํ นวนวธิ ีในการเลือกนักเรยี น 5 คน จากนักเรยี นกลุมหนึ่งซ่งึ มี 8 คน มที ้ังหมด

C=8, 5 8!= =8! 8× 7 × 6=× 5! 56 วธิ ี
(8 − 5)! 5! 3! 5! (3× 2 ×1)5!

2. ขอ สอบอตั นัยชุดหนึง่ มี 6 ขอ ซงึ่ มีคาํ สัง่ ระบุวาใหเลือกทําเพียง 4 ขอ

จะมจี ํานวนวิธีในการเลือกทําขอ สอบทั้งหมด

C=6, 4 6!= =6! 6 × 5×=4! 15 วธิ ี
(6 − 4)! 4! 2! 4!
(2 ×1)× 4!

3. การเลอื กกรรมการนักเรยี น ประกอบดว ย 2 ข้ันตอน ดงั นี้

ข้นั ตอนที่ 1 เลือกกรรมการนักเรียนชาย 5 คน จากผูสมัครที่เปนนักเรยี นชาย 20 คน
ขั้นตอนท่ี 2 ทําได C20,5 วิธี
เลือกกรรมการนักเรยี นหญิง 4 คน จากผสู มัครที่เปนนักเรียนหญิง 15 คน

ทําได C15,4 วธิ ี
จากหลักการคณู จงึ ไดวา มจี ํานวนวิธใี นการเลอื กกรรมการนกั เรยี นทงั้ หมด

20! × 15! =
15! 5! 11! 4!
วิธีC20,5 × C15,4 =
21,162, 960

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

186 คูมือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4

4. 1) เน่อื งจากในตะกรา มีเงาะ 8 ผล สม 4 ผล และมังคุด 2 ผล

ดังนน้ั ตะกรา ใบน้ีมีผลไมร วมทง้ั สิน้ 14 ผล

การหยิบผลไม 4 ผล จะตอ งเลือกผลไม 4 ผล จากตะกรา ท่ีมผี ลไม 14 ผล

ดังนนั้ จะมีจาํ นวนวธิ ใี นการเลือกหยบิ ผลไมโดยทไี่ มมเี งื่อนไขเพมิ่ เติม

=C14, 4 14=! =14! 14 ×13×12 ×11=×10! 1,001 วธิ ี
(14 − 4)! 4! 10! 4!
10! (4 × 3× 2 ×1)

2) เน่ืองจากการหยบิ ผลไม 4 ผล โดยท่ีหยิบใหไ ดเงาะทง้ั 4 ผล จะตองเลือกหยิบ

เงาะ 4 ผล จากเงาะในตะกราทั้งหมด 8 ผล

ดังน้นั จะมีจํานวนวิธีในการเลือกหยบิ ไดเงาะทั้ง 4 ผล

=C8, 4 8!= =8! 8× 7 × 6 × 5=× 4! 70 วธิ ี
(8 − 4)! 4! 4! 4!
4! (4 × 3× 2 ×1)

3) เนอื่ งจากในตะกรามเี งาะ 8 ผล สม 4 ผล และมงั คดุ 2 ผล

ดงั นน้ั ตะกรา ใบนมี้ ผี ลไมอ่ืน ๆ ท่ีไมใ ชสมรวมทั้งสิ้น 10 ผล

การหยิบผลไม 4 ผล โดยทไ่ี มมสี ม จะตองเลอื กผลไม 4 ผล จากตะกรา ที่มีผลไมอน่ื ๆ

ท่ีไมใชส ม 10 ผล

ดังนัน้ จะมีจํานวนวิธีในการเลือกหยิบผลไมทไี่ มม ีสมเลย

C=10, 4 10!= =10! 10 × 9 × 8 × 7=× 6! 210 วิธี
(10 − 4)! 4! 6! 4! 6! (4 × 3× 2 ×1)

5. จาํ นวนวธิ กี ารหยิบลูกบอลสามารถทาํ ไดด ังน้ี

ขน้ั ตอนที่ 1 เลือกลกู บอลสีแดง 1 ลกู จากลกู บอลสแี ดง 5 ลูก ทําได C5,1 วธิ ี
ข้นั ตอนที่ 2 เลอื กลกู บอลสขี าว 1 ลูก จากลูกบอลสีขาว 3 ลูก ทําได C3,1 วธิ ี
ขนั้ ตอนที่ 3 เลือกลูกบอลสีนํา้ เงนิ 1 ลกู จากลูกบอลสนี ้ําเงนิ 3 ลกู ทําได C3,1 วธิ ี
จากหลักการคณู จงึ ไดว า มจี ํานวนวิธใี นการหยิบลกู บอล โดยท่ีไดลกู บอลครบทุกสี

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 187

ทงั้ หมด C5, 1 × C3, 1 × C3, 1 = 5! × 3! × 3! = 5× 3× 3 = 45 วิธี
4!1! 2!1! 2!1!

6. 1) การหยิบไพใบแรกไดไพส ีแดงและใบที่สองไดไ พส ีดาํ สามารถทําไดดังนี้

ขน้ั ตอนที่ 1 เลอื กไพส แี ดง 1 ใบ จากไพสีแดง 26 ใบ ทําได C26,1 วิธี

ขั้นตอนที่ 2 เลอื กไพสดี ํา 1 ใบ จากไพสีดํา 26 ใบ ทาํ ได C26,1 วิธี

จากหลักการคณู จึงไดวา มีจํานวนวิธที ่ีหยิบไพใบแรกไดไพสแี ดงและใบที่สองไดไพส ี

ดําทัง้ หมด C26, 1 × C26, 1 = 26! × 26! = 26 × 26 = 676 วิธี
25! 1! 25! 1!

2) เน่อื งจากไพห นง่ึ สาํ รบั มีไพ K 4 ใบ ดังนั้นการหยบิ ไดไพ K ท้งั สองใบ

สามารถทําไดด งั นี้

ขัน้ ตอนท่ี 1 เลอื กไพ K 1 ใบ จากไพ K 4 ใบ ทําได C4,1 วธิ ี

ขัน้ ตอนที่ 2 เลอื กไพ K 1 ใบ จากไพ K 3 ใบทเี่ หลือจากข้นั ตอนท่ี 1

ทาํ ได C3,1 วธิ ี

จากหลักการคูณ จึงไดวา มีจํานวนวธิ ที ่ีหยิบไดไ พ K ทงั้ สองใบทั้งหมด

C4, 1 × C3, 1 = 4! × 3! = 4 × 3 = 12 วิธี
3!1! 2!1!

3) เนื่องจากไพห นงึ่ สาํ รบั มีไพ 2 โพดาํ 1 ใบ ดงั นั้น การหยบิ ไดไ พ 2 โพดํา ท้ังสองใบ

สามารถทาํ ไดดังน้ี

ขนั้ ตอนท่ี 1 เลือกไพ 2 โพดําใบที่หนง่ึ ได 1 วธิ ี จากไพ 2 โพดาํ 1 ใบ

ขนั้ ตอนท่ี 2 เลือกไพ 2 โพดาํ ใบทส่ี อง ได 0 วธิ ี จากไพ 2 โพดําท่เี หลือ

จากหลักการคูณ จึงไดว า มจี ํานวนวิธีทีห่ ยิบไดไพ 2 โพดํา ทัง้ สองใบ ทั้งหมด

1× 0 =0 วธิ ี

น่นั คือ ไมส ามารถหยบิ ไพ 2 โพดาํ ท้งั สองใบจากไพหนึ่งสาํ รบั โดยหยิบไพทีละใบ

และไมใ สค นื กอนหยิบใบที่สองได

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

188 คมู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4

แบบฝก หดั ทายบท

1. รปู สเ่ี หล่ียมผนื ผาที่เกดิ ขึ้น มีทั้งหมด 3 แบบ ไดแก
แบบที่ 1 รปู ส่ีเหล่ยี มผืนผา ท่กี วา ง 1 หนว ย และยาว 2 หนว ย มี 12 รูป
แบบท่ี 2 รปู สเ่ี หลีย่ มผนื ผา ที่มกี วา ง 1 หนวย และยาว 3 หนวย มี 6 รูป
แบบท่ี 3 รปู สีเ่ หลย่ี มผืนผา ทกี่ วา ง 2 หนว ย และยาว 3 หนวย มี 4 รปู

จากหลักการบวก จะไดว า เกิดรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผาทั้งหมด 12 + 6 + 4 =22 รปู
2. เน่ืองจากทาขา มสองฝง แมน า้ํ มีเรอื ยนตขามฟากอยู 3 ลํา

ขั้นตอนที่ 1 เลอื กลงเรือยนตขามฟากในเที่ยวไป ได 3 วธิ ี จากเรือ 3 ลํา
ขน้ั ตอนท่ี 2 เลอื กลงเรือยนตขามฟากในเท่ียวกลบั ได 2 วิธี จากเรือทต่ี า งจากเทีย่ วไป
จากหลักการคูณ จงึ ไดวา มีจํานวนวธิ ีทผี่ ูโดยสารคนนีจ้ ะขามฟากโดยที่เที่ยวไปและเทีย่ ว
กลับลงเรอื ไมซา้ํ ลาํ กันทัง้ หมด 3× 2 =6 วิธี
3. เนอ่ื งจากสนามกีฬาแหง หน่ึงกําหนดหมายเลขทน่ี ่ังโดยใชตวั เลขแสดงโซนท่ีนงั่ ตง้ั แต 1
ถึง 20 อักษรแสดงแถวที่นั่งใช A ถงึ Z และตัวเลขแสดงตําแหนง ทนี่ ั่งตง้ั แต 1 ถึง 30
การหาจํานวนที่นง่ั ทัง้ หมดสนามกีฬาแหงน้ี ประกอบดวย 3 ขั้นตอน ดังน้ี
ขน้ั ตอนที่ 1 มโี ซนท่นี ัง่ ที่แตกตางกัน 20 โซน จาก ตัวเลขตง้ั แต 1 ถึง 20
ขน้ั ตอนที่ 2 มีแถวที่นงั่ ทแี่ ตกตางกนั 26 แถว จาก A ถึง Z
ข้นั ตอนท่ี 3 มที นี่ ง่ั ทแ่ี ตกตางกนั 30 ที่นง่ั จากตวั เลขตั้งแต 1 ถึง 30
จากหลักการคณู จงึ ไดว า สนามกีฬาแหง นี้มีท่ีน่ังทงั้ หมด 20× 26×30 =15,600 ทีน่ ั่ง
4. การสรางคําท่ีไมคํานึงความหมาย ซง่ึ ประกอบดว ยตวั อกั ษรภาษาองั กฤษ 5 ตัว
โดยที่ตวั อักษร 2 ตัว ท่ีติดกนั ตอ งแตกตางกัน สามารถทําได 5 ขั้นตอน ดงั นี้
ขน้ั ตอนท่ี 1 ตวั ท่ี 1 เลือกตัวอกั ษรภาษาอังกฤษได 26 วธิ ี

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี