แผนการสอนปี 2565/2

แผนการจัดการเรียนรูท้ ่ี 31

รหสั วิชา ค22202 รายวิชา คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เติม4 กลุ่มสาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์
หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 2
ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสอง เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนาม
ผสู้ อน หน่ึงฤทยั ชชู ยั
กรณีท่ี a ≠ 1

เวลาเรียน 1 ช่วั โมง

1. มาตรฐานการเรยี นร้/ู ตวั ช้วี ดั /ผลการเรยี นรู้
สาระที่ 1 จานวนและพีชคณิต
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะหแ์ บบรูป ความสัมพันธ์ ฟงกช์ นั ลาดบั และอนุกรม และนาไปใช้
ตัวชวี้ ัด ค 3.1 ม.2/1 เขา้ ใจและใช้การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์

2. จุดประสงค์การเรียนรู
ดา้ นความรู้ (K)
1. นักเรยี นสามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในรปู x2 + bx + c กรณีท่ี a≠1 ได้อยา่ งถูกตอ้ ง
ดา้ นทกั ษะ (P)
2. นักเรียนสามารถทาความเขา้ ใจปัญหาคดิ วเิ คราะห์ วางแผน แก้ปัญหาและเลือกใชว้ ิธีการท่เี หมาะสม

โดยคานงึ ถึงความสมเหตสุ มผลของคาตอบ พร้อมทั้งตรวจสอบความถกู ต้อง
ด้านคุณลกั ษณะ (A)
3. นกั เรยี นมคี วามม่งุ มนั่ ในการทางาน

3. สาระสาคัญ
1. การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามนั้นในรูปการคูณกันของพหุนามท่ีมีดีกรีต่ากว่า

พหนุ ามเดิมต้งั แตส่ องพหุนามขนึ้ ไป
2. เราสามารถใช้สมบตั กิ ารแจกแจงในการแยกตัวประกอบ โดยการหาตัวประกอบร่วมของพหุนาม
3. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีมีหลายพจน์ อาจต้องใช้สมบัติการแจกแจง สมบัติการสลับที่และ

สมบตั กิ ารเปลย่ี นหมู่ในการแกป้ ัญหา
3. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์ อาจต้องใช้สมบัติการแจกแจง สมบัติการสลับท่ีและ

สมบตั กิ ารเปลยี่ นหมใู่ นการแกป้ ญั หา
4. พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ

a ≠ 0 มี x เป็นตวั แปร
5. ในกรณีที่ c = 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวอยู่ในรูป ax2 + bx ซึ่งจะสามารถใช้สมบัติการแจกแจง

แยกตวั ประกอบของพหนุ ามได้

134

6. ในกรณีท่ี c ≠ 0 เพื่อความสะดวกในการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c จะเรียก ax2 ว่า
พจน์หน้า เรียก bx วา่ พจน์กลาง เรียก c วา่ พจน์หลัง

4. สาระการเรียนรู
สาระการเรียนรแู้ กนกลาง
- การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสอง

5. สมรรถนะสาคัญของผู้เรยี น
( ) ความสามารถในการส่ือสาร ( ) ความสามารถในการคิด ( ) ความสามารถในการแกป้ ัญหา
( ) ความสามารถในการใช้ทกั ษะชวี ิต (  ) ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี

6. คุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ ( ) ซื่อสัตย์สุจริต ( ) มีวนิ ยั ( ) ใฝเ่ รยี นรู้
( ) รักชาติ ศาสน์ กษัตริย์
( ) อยู่อย่างพอเพยี ง ( ) มงุ่ ม่นั ในการทางาน (  ) รกั ความเป็นไทย ( ) มีจติ สาธารณะ

7. คุณลักษณะของผเู้ รยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล

( ) เป็นเลศิ วิชาการ ( ) สอื่ สารสองภาษา ( ) ลา้ หนา้ ทางความคดิ

( ) ผลิตงานอยา่ งสรา้ งสรรค์ (  ) รว่ มกนั รับผดิ ชอบต่อสงั คมโลก

8. ช้ินงาน/ภาระงาน
แบบฝกึ หัด 5.2 ข เรอ่ื ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง ในหนงั สอื เรียน คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ช้ัน

มัธยมศกึ ษาปที ี่ 2

9. กจิ กรรมการเรียนรู้
 กจิ กรรมนาเขา้ สบู่ ทเรียน ( ขั้นนา )

ครทู บทวนการแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตวั แปรเดียว กรณีที่ a ≠ 1, b≠ 0 และ C ≠ 0 ทีเ่ รียนใน

ชัว่ โมงที่แล้ว

 กจิ กรรมพัฒนาการเรียนรู้ ( ขน้ั สอน )
1. ครูยกตวั อยา่ งของการแยกตวั ประกอบของพหนุ าม เพอ่ื ความเข้าใจของนักเรยี นมากยง่ิ ข้ึน ดังนี้

จงแยกตวั ประกอบของ 5y2 + y – 4
วธิ ที า 5y2 + y – 4 = (5y )(y )

ตอ่ ไปเราจะหาจานวนสองจานวนที่คูณกันแล้วได้พจน์หลัง คือ -4 ซ่ึงอาจเป็น -4 กับ 1 หรือ 4 กับ -1 เขียน

ใสใ่ นวงเล็บจะทาใหเ้ กดิ 4 กรณีท่ีจะตอ้ งพจิ ารณา นน่ั คอื

1) (5y – 1)(y + 4)

2) (5y + 4)(y – 1)

135

3) (5y + 1)(y – 4) และ
4) (5y – 4)(y + 1)
2. จากนน้ั ครถู ามนักเรียนวา่ กรณใี ดใช้ได้ นนั่ คือทาให้พจน์กลางของพหุนามเปน็ ผลคูณของ y

(ตอบ กรณที ี่ 4) -4y
x

(5y – 4)(y + 1)

5y
ดังนนั้ พจน์กลางคอื 5y +x (-4y) = y  ใช้ได้
ดงั นัน้ 5y2 + y – 4 = (5y – 4)(y + 1)
3. ครแู บ่งนักเรียนออกเป็น 2 กลมุ่ (อาจแบง่ เป็นกลุ่มจานวนคู่กบั จานวนคี่ หรือกลุม่ นักเรียนชายกับนกั เรียน
หญิง) จากนนั้ ครใู หต้ วั แทนแตล่ ะกล่มุ กลมุ่ ละ 2 คน ออกมาหนา้ ชน้ั เรียน ครูเขียนโจทย์ปญั หาบนกระดาน โดยแต่ละ
กลุ่มตอ้ งแกโ้ จทย์เดียวกัน กลุ่มใดแสดงการแยกตัวประกอบไดเ้ ร็วท่สี ดุ และถูกตอ้ งจะเป็นผชู้ นะ และให้นักเรียนบันทึก
ลงในสมดุ จดงาน
4. ครูสรุปให้นักเรียนฟังว่า การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c กรณีที่ a ≠ 1,
b≠0 และ c≠0 อาจทาได้อีกวธิ ตี ามข้ันตอน ดงั น้ี
จาก ax2 + bx + c
ขัน้ ที่ 1 หาผลคณู ของ a และ c จะได้ ac
ข้ันท่ี 2 หาจานวนสองจานวนทค่ี ูณกันได้ ac และบวกกนั ได้ b (ถ้าใหจ้ านวนสองจานวนคือ m และ n
จะได้ m  n = ac และ m + n = b
ขัน้ ที่ 3 เขยี นในรปู กระจาย ดงั น้ี
ax2 + bx + c = ax2 + mx + nx + c
ขน้ั ท่ี 4 แยกตวั ประกอบของพหุนามโดยวิธีการเปลีย่ นหมู่และการแจกแจง
5. ใหน้ กั เรียนทาแบบฝกึ หัด 5.2 ข เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง ในหนงั สอื เรียน
คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 2
 กิจกรรมความคิดรวบยอด ( ขัน้ สรปุ )
ครแู ละนักเรียนร่วมกันสรปุ การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองตวั แปรเดียว กรณที ่ี a ≠ 1, b≠ 0 และ C
≠0

10. สอ่ื การเรียนรู้/แหลง่ เรยี นรู้
1. หนงั สือเรยี น คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 2
(จดั ทาโดยสถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี)

136

11. การวัดและประเมนิ ผลการเรยี นรู้

วิธีวัด เครื่องมือ เกณฑ์การประเมิน

K - แบบฝกึ หัด 5.2 ข เร่อื ง การแยกตัว ร้อยละ 70 ข้ึนไป
ตรวจแบบฝกึ หัด 5.2 ข เร่อื ง การ ประกอบของพหุนามดกี รีสอง ไดร้ ะดบั 3 ดขี ้ึนไป
แยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง - แบบประเมนิ ด้านความรแู้ ละ
ความสามารถจากผลงานนกั เรียน

P แบบประเมินทกั ษะ/กระบวนการทาง ระดับคณุ ภาพ 3 ดีข้นึ ไป
ประเมินทักษะ/กระบวนการทาง คณติ ศาสตร์
คณิตศาสตร์

A
สังเกตพฤตกิ รรมการทางานรายบคุ คล แบบสังเกตพฤติกรรมการทางานรายบุคคล ระดับคุณภาพ 2 ดีขน้ึ ไป

137

บันทกึ ผลหลงั การจัดกิจกรรมการเรียนรู้
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 31

เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามกรณที ี่ a ≠ 1

1. ผลการจัดกิจกรรมการเรียนรู้
จานวนนักเรียน.........................คน
ดา้ นความรู้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นทกั ษะกระบวนการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นสมรรถนะสาคญั ของผู้เรียน
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นคณุ ลักษณะของผเู้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ปัญหา/อุปสรรค
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ขอ้ เสนอแนะ/แนวทางในการแก้ไข
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอื่ ………………………………………………………….
( นางสาวหน่ึงฤทยั ชชู ัย )
................/................./.................

138

แผนการจดั การเรียนร้ทู ี่ 32

รหัสวิชา ค22202 รายวชิ า คณิตศาสตร์เพิม่ เตมิ 4 กลุ่มสาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์
หน่วยการเรยี นรู้ที่ 2
ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี อง เรือ่ ง การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม
ผู้สอน หนึ่งฤทัย ชูชัย
กรณที ี่ a ≠ 1 b ≠ 0 และ c ≠ 0

เวลาเรยี น 1 ช่ัวโมง

1. มาตรฐานการเรยี นรู/้ ตัวชีว้ ดั /ผลการเรยี นรู้
สาระท่ี 1 จานวนและพีชคณิต
มาตรฐาน ค 1.2 เขา้ ใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ ฟงกช์ ัน ลาดับและอนุกรม และนาไปใช้
ตวั ช้ีวดั ค 3.1 ม.2/1 เข้าใจและใช้การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์

2. จุดประสงคก์ ารเรยี นรู
ด้านความรู้ (K)
1. นกั เรยี นสามารถอธิบายการแยกตัวประกอบของพหนุ ามในรปู ax2 + bx + c เมอื่ a = 1 b และ c เปน็

จานวนเต็ม และ c ≠ 0 ไดอ้ ย่างถูกตอ้ ง
ดา้ นทักษะ (P)
2. นกั เรียนสามารถทาความเขา้ ใจปญั หาคิดวเิ คราะห์ วางแผน แกป้ ัญหาและเลือกใช้วธิ กี ารที่เหมาะสม

โดยคานงึ ถงึ ความสมเหตุสมผลของคาตอบ พร้อมทง้ั ตรวจสอบความถูกต้อง
ดา้ นคุณลักษณะ (A)
3. นกั เรยี นมีความมงุ่ มน่ั ในการทางาน

3. สาระสาคญั
1. การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามน้ันในรูปการคูณกันของพหุนามท่ีมี ดีกรีต่ากว่า

พหุนามเดมิ ต้ัง แตส่ องพหุนามข้นึ ไป
2. เราสามารถใช้สมบตั ิการแจกแจงในการแยกตัวประกอบ โดยการหาตวั ประกอบร่วมของพหนุ าม
3. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีมีหลายพจน์ อาจต้องใช้สมบัติการแจกแจง สมบัติการสลับท่ีและ

สมบตั กิ ารเปลี่ยนหมู่ในการแกป้ ญั หา
3. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีมีหลายพจน์ อาจต้องใช้สมบัติการแจกแจง สมบัติการสลับที่และ

สมบัติการเปล่ยี นหมู่ในการแก้ปญั หา
4. พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ

a ≠ 0 มี x เปน็ ตวั แปร

139

5. ในกรณีท่ี c = 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวอยู่ในรูป ax2 + bx ซ่ึงจะสามารถใช้สมบัติการแจกแจง
แยกตวั ประกอบของพหนุ ามได้

6. ในกรณีท่ี c ≠ 0 เพื่อความสะดวกในการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c จะเรียก ax2 ว่า
พจนห์ นา้ เรียก bx วา่ พจนก์ ลาง เรียก c วา่ พจนห์ ลงั

4. สาระการเรยี นรู
สาระการเรยี นรู้แกนกลาง
- การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสอง

5. สมรรถนะสาคญั ของผเู้ รียน
(  ) ความสามารถในการส่อื สาร ( ) ความสามารถในการคดิ ( ) ความสามารถในการแกป้ ญั หา
( ) ความสามารถในการใช้ทักษะชวี ติ ( ) ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี

6. คุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ ( ) ซอ่ื สัตยส์ ุจรติ ( ) มวี ินยั ( ) ใฝ่เรียนรู้
( ) รกั ชาติ ศาสน์ กษัตริย์
( ) อย่อู ย่างพอเพียง ( ) มุ่งมั่นในการทางาน (  ) รักความเปน็ ไทย ( ) มีจติ สาธารณะ

7. คุณลกั ษณะของผู้เรียนตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล

( ) เป็นเลิศวิชาการ (  ) ส่อื สารสองภาษา ( ) ลา้ หน้าทางความคดิ

( ) ผลติ งานอย่างสรา้ งสรรค์ ( ) ร่วมกันรบั ผดิ ชอบต่อสังคมโลก

8. ชนิ้ งาน/ภาระงาน
ใบงานท่ี 6 เร่ือง การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องตวั แปรเดยี ว (4)

9. กิจกรรมการเรยี นรู้
 กจิ กรรมนาเขา้ สูบ่ ทเรียน ( ขน้ั นา )

ครูทบทวนการแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตวั แปรเดียว กรณที ี่ a ≠ 1, b≠ 0 และ C ≠ 0 ที่เรยี นใน

ชว่ั โมงทแ่ี ลว้

 กิจกรรมพัฒนาการเรยี นรู้ ( ขั้นสอน )
1. ครยู กตัวอย่างของการแยกตัวประกอบของพหนุ าม เพ่ือความเข้าใจของนักเรยี นมากย่ิงขึ้น ดังน้ี

จงแยกตวั ประกอบของ 5y2 + y – 4
วิธีทา 5y2 + y – 4 = (5y )(y )

ต่อไปเราจะหาจานวนสองจานวนที่คูณกันแล้วได้พจน์หลัง คือ -4 ซึ่งอาจเป็น -4 กับ 1 หรือ 4 กับ -1 เขียน

ใส่ในวงเลบ็ จะทาให้เกดิ 4 กรณีที่จะตอ้ งพจิ ารณา น่ันคอื

5) (5y – 1)(y + 4)

6) (5y + 4)(y – 1)

140

7) (5y + 1)(y – 4) และ

8) (5y – 4)(y + 1)

2. จากนั้นครูถามนักเรียนวา่ กรณใี ดใชไ้ ด้ น่ันคือทาให้พจนก์ ลางของพหุนามเป็นผลคณู ของ y

(ตอบ กรณีที่ 4) -4y

x
(5y – 4)(y + 1)

5y
ดังนั้น พจนก์ ลางคือ 5y +x (-4y) = y  ใช้ได้
ดังนั้น 5y2 + y – 4 = (5y – 4)(y + 1)

3. ครแู บ่งนักเรยี นออกเป็น 2 กลมุ่ (อาจแบ่งเปน็ กล่มุ จานวนค่กู ับจานวนค่ี หรอื กลุ่มนักเรียนชายกับนกั เรียน

หญิง) จากน้ันครูให้ตวั แทนแต่ละกลุม่ กลมุ่ ละ 2 คน ออกมาหน้าช้นั เรยี น ครูเขียนโจทยป์ ัญหาบนกระดาน โดยแต่ละ

กลุ่มตอ้ งแกโ้ จทยเ์ ดียวกัน กลุ่มใดแสดงการแยกตวั ประกอบไดเ้ รว็ ทส่ี ดุ และถกู ตอ้ งจะเป็นผชู้ นะ และให้นักเรียนบันทึก

ลงในสมดุ จดงาน
4. ครูสรุปให้นักเรียนฟังว่า การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c กรณีที่ a ≠ 1,

b≠0 และ c≠0 อาจทาไดอ้ กี วิธตี ามขั้นตอน ดังน้ี
จาก ax2 + bx + c
ขัน้ ท่ี 1 หาผลคูณของ a และ c จะได้ ac
ขนั้ ท่ี 2 หาจานวนสองจานวนท่ีคณู กันได้ ac และบวกกนั ได้ b (ถา้ ใหจ้ านวนสองจานวนคอื m และ n

จะได้ m  n = ac และ m + n = b
ข้ันที่ 3 เขยี นในรูปกระจาย ดงั น้ี

ax2 + bx + c = ax2 + mx + nx + c
ขนั้ ท่ี 4 แยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยวิธกี ารเปล่ียนหมู่และการแจกแจง
5. ให้นกั เรียนทา ใบงานที่ 6 เร่อื ง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องตวั แปรเดียว (4)

 กจิ กรรมความคิดรวบยอด ( ขน้ั สรปุ )
ครูและนกั เรยี นร่วมกันสรปุ การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องตวั แปรเดียว กรณที ี่ a ≠ 1, b≠ 0 และ
C≠0

10. ส่อื การเรียนรู้/แหล่งเรยี นรู้
1. หนงั สอื เรยี น คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2
(จดั ทาโดยสถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี)

141

11. การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้

วิธีวัด เคร่ืองมือ เกณฑ์การประเมิน

K - ใบงานท่ี 6 เรอื่ ง การแยกตวั ประกอบ รอ้ ยละ 70 ข้นึ ไป
ตรวจใบงานที่ 6 เรือ่ ง การแยกตัว ของพหุนามดกี รสี องตวั แปรเดียว (4) ไดร้ ะดับ 3 ดีขึ้นไป
ประกอบของพหุนามดกี รสี องตัวแปร - แบบประเมินดา้ นความรู้และ
เดียว (4) ความสามารถจากผลงานนักเรียน

P แบบประเมนิ ทกั ษะ/กระบวนการทาง ระดบั คุณภาพ 3 ดีขน้ึ ไป
ประเมนิ ทักษะ/กระบวนการทาง คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์

A
สงั เกตพฤตกิ รรมการทางานรายบคุ คล แบบสงั เกตพฤติกรรมการทางานรายบุคคล ระดับคุณภาพ 2 ดขี นึ้ ไป

142

บนั ทึกผลหลังการจดั กิจกรรมการเรียนรู้
แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี 32

เรอื่ ง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามกรณที ่ี a ≠ 1 b ≠ 0 และ c ≠ 0

1. ผลการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้
จานวนนักเรยี น.........................คน
ด้านความรู้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นทกั ษะกระบวนการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านสมรรถนะสาคัญของผ้เู รียน
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านคุณลกั ษณะของผู้เรยี นตามหลกั สตู รมาตรฐานสากล
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ปญั หา/อุปสรรค
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ขอ้ เสนอแนะ/แนวทางในการแก้ไข
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชื่อ………………………………………………………….
( นางสาวหนึ่งฤทยั ชชู ัย )
................/................./.................

143

แผนการจัดการเรยี นร้ทู ี่ 33

รหัสวชิ า ค22202 รายวชิ า คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 4 กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์
หนว่ ยการเรยี นร้ทู ี่ 2
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง เรอื่ ง การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม
ผู้สอน หนงึ่ ฤทัย ชชู ยั
ทเ่ี ปน็ กาลงั สองสมบูรณ์

เวลาเรยี น 1 ช่วั โมง

1. มาตรฐานการเรียนรู้/ตัวชีว้ ดั /ผลการเรยี นรู้
สาระท่ี 1 จานวนและพชี คณิต
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวเิ คราะหแ์ บบรูป ความสัมพันธ์ ฟงกช์ นั ลาดับและอนกุ รม และนาไปใช้
ตัวชี้วดั ค 3.1 ม.2/1 เข้าใจและใชก้ ารแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์

2. จุดประสงคก์ ารเรยี นรู
ดา้ นความรู้ (K)
1. นกั เรียนสามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องที่เป็นกาลังสองสมบูรณ์ได้
ดา้ นทักษะ (P)
2. นักเรียนสามารถทาความเขา้ ใจปัญหาคดิ วเิ คราะห์ วางแผน แก้ปัญหาและเลือกใช้วิธีการท่ีเหมาะสม

โดยคานึงถึงความสมเหตุสมผลของคาตอบ พรอ้ มทัง้ ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
ดา้ นคุณลักษณะ (A)
3. นักเรียนมคี วามมุ่งม่ันในการทางาน

3. สาระสาคญั
1. การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามนั้นในรูปการคูณกันของพหุนามท่ีมีดีกรีต่ากว่า

พหุนามเดมิ ตั้ง แตส่ องพหุนามขึน้ ไป
2. เราสามารถใช้สมบตั ิการแจกแจงในการแยกตัวประกอบ โดยการหาตัวประกอบรว่ มของพหนุ าม
3. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีมีหลายพจน์ อาจต้องใช้สมบัติการแจกแจง สมบัติการสลับท่ีและ

สมบัตกิ ารเปลยี่ นหมใู่ นการแกป้ ญั หา
3. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์ อาจต้องใช้สมบัติการแจกแจง สมบัติการสลับท่ีและ

สมบตั ิการเปล่ียนหมู่ในการแก้ปญั หา
4. พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ

a ≠ 0 มี x เปน็ ตวั แปร
5. ในกรณีท่ี c = 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวอยู่ในรูป ax2 + bx ซึ่งจะสามารถใช้สมบัติการแจกแจง

แยกตัวประกอบของพหุนามได้

144

6. ในกรณีท่ี c ≠ 0 เพ่ือความสะดวกในการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c จะเรียก ax2 ว่า
พจน์หนา้ เรียก bx วา่ พจนก์ ลาง เรยี ก c ว่า พจน์หลงั

4. สาระการเรียนรู

ถ้าเราให้ A แทน พจน์หนา้ และ B แทน พจน์หลัง

พหุนามดีกรีสองทเี่ ป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ แยกตัวประกอบไดด้ ังนี้
A2 + 2AB + B2 = (A + B)(A + B) = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)(A - B) = (A - B)2หรือ
(หนา้ )2 + 2(หน้า)(หลงั ) + (หลัง)2 = (หน้า + หลงั )2
(หน้า)2 - 2(หนา้ )(หลงั ) + (หลงั )2 = (หนา้ - หลงั )2

5. สมรรถนะสาคัญของผเู้ รียน
( ) ความสามารถในการส่ือสาร ( ) ความสามารถในการคดิ ( ) ความสามารถในการแกป้ ัญหา
(  ) ความสามารถในการใชท้ ักษะชวี ิต ( ) ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

6. คุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ ( ) ซ่ือสัตย์สุจรติ ( ) มวี ินยั ( ) ใฝเ่ รียนรู้
( ) รักชาติ ศาสน์ กษัตรยิ ์
( ) อยอู่ ย่างพอเพยี ง ( ) มงุ่ ม่นั ในการทางาน (  ) รักความเป็นไทย ( ) มีจิตสาธารณะ

7. คุณลกั ษณะของผเู้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล

( ) เปน็ เลศิ วิชาการ (  ) สอ่ื สารสองภาษา ( ) ล้าหนา้ ทางความคดิ

( ) ผลิตงานอยา่ งสร้างสรรค์ ( ) ร่วมกันรับผดิ ชอบต่อสงั คมโลก

8. ชิน้ งาน/ภาระงาน
ใบงานท่ี 7 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองทเ่ี ปน็ กาลังสองสมบรู ณ์(1)

9. กิจกรรมการเรียนรู้
 กจิ กรรมนาเขา้ สบู่ ทเรยี น ( ขนั้ นา )

ครนู าเขา้ ส่บู ทเรยี นโดยการซกั ถามนักเรยี นในชั้นเรียนว่า “นักเรียนทราบไหมว่าพหุนามดีกรีสองท่ีเป็นกาลัง

สองสมบูรณ์ น้ันคืออะไร (คือการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ถ้าได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหน่ึงสอง

พหุนามคณู กนั โดยท่ีพหุนามทีเ่ ป็นตัวประกอบมพี จนเ์ หมอื นกัน และเครอ่ื งหมายระหวา่ งพจน์เหมอื นกัน)

 กิจกรรมพัฒนาการเรยี นรู้ ( ข้ันสอน )
1. ให้นกั เรียนทากิจกรรม สารวจกาลังสองสมบรู ณ์ ในหนงั สอื เรียนสาระการเรยี นรู้พนื้ ฐานคณติ ศาสตร์ ม. 2
เลม่ 2 แล้วนกั เรยี นร่วมเฉลยไปพร้อมกบั ครู
2. ครูใหน้ ักเรยี นพจิ ารณาการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองต่อไปน้ี

1) x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)2

145

2) x2 – 12x + 36 = (x – 6)(x – 6) = (x – 6)2
3) 9x2 + 12x + 4 = (3x + 2)(3x + 2) = (3x + 2)2
4) 16x2 – 40x + 25 = (4x – 5)(4x – 5) = (4x – 5)2

จากตวั อยา่ งเราจะสังเกตเห็นวา่ การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี องข้างต้น จะได้ตัวประกอบเป็น พหุ
นามดกี รหี นง่ึ สองพหุนามคณู กัน โดยท่ีพหุนามท่เี ปน็ ตวั ประกอบมพี จนเ์ หมอื นกัน และเคร่อื งหมายระหวา่ งพจน์

เหมือนกัน เราจะเรยี กพหนุ ามดกี รีสองทมี่ ีลักษณะนี้ว่า พหนุ ามดีกรสี องท่ีเป็นกาลังสองสมบรู ณ์

ครชู ี้ต่อไปว่า จาก
1) x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)2

ถา้ เราให้ x แทน พจนห์ น้า และ 2 แทนพจน์หลัง เราจะได้ความสมั พนั ธอ์ ย่างไร
[ตอบ จะไดค้ วามสมั พนั ธ์ ดังนี้

(พจนห์ นา้ )2 + 2(พจนห์ นา้ )(พจน์หลงั ) + (พจน์หลงั )2 = (พจน์หนา้ + พจน์หลัง)2]

และในทานองเดียวกัน จาก
2) x2 – 12x + 36 = (x – 6)(x – 6) = (x – 6)2

ถา้ เราให้ x แทน พจน์หน้า และ 36 แทนพจน์หลัง เราจะได้ความสัมพันธ์อย่างไร
[ตอบ จะไดค้ วามสัมพันธ์ ดงั นี้

(พจนห์ นา้ )2 - 2(พจนห์ นา้ )(พจน์หลงั ) + (พจนห์ ลงั )2 = (พจนห์ นา้ - พจน์หลงั )2]

3. ครูสรปุ ใหน้ ักเรยี นฟงั อีกคร้งั จากตวั อยา่ งข้างต้น เราจะไดค้ วามสัมพันธ์ ดงั น้ี
(พจนห์ นา้ )2 +2(พจนห์ น้า)(พจน์หลงั ) + (พจนห์ ลัง)2 = (พจนห์ น้า + พจนห์ ลงั )2 และ
(พจนห์ นา้ )2 - 2(พจน์หนา้ )(พจนห์ ลงั ) + (พจนห์ ลัง)2 = (พจน์หนา้ - พจนห์ ลงั )2
ซึ่งสามารถเขยี นใหมไ่ ด้เป็น นนั่ คือ

ถา้ เราให้ A แทน พจน์หน้า และ B แทน พจนห์ ลงั

พหนุ ามดีกรสี องทีเ่ ปน็ กาลังสองสมบูรณ์ แยกตัวประกอบไดด้ ังนี้
A2 + 2AB + B2 = (A + B)(A + B) = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)(A - B) = (A - B)2
หรือ

(หน้า)2 + 2(หนา้ )(หลัง) + (หลัง)2 = (หนา้ + หลัง)2
(หนา้ )2 - 2(หนา้ )(หลัง) + (หลัง)2 = (หนา้ - หลงั )2

4. ครยู กตวั อยา่ งเพิ่มเติม ดังตัวอยา่ งตอ่ ไปนี้

ตัวอยา่ งที่ 1 จงแยกตวั ประกอบของ

1) x2 + 6x + 9

2) x2 – 50x + 625

3) 0.25x2 – 0.3x + 0.09

4) 36x2 – 60x +25

146

5) 45x2 + 120x + 80
6) 4 x2 – 2xy + 9 y2

94

วิธีทา
1) x2 + 6x + 9 = x2 + 2(x)(3) + (3)2 = (x + 3)

น2 น ล ล2
2) x2 – 50x + 625 = x2 – 2(x)(25) + (25)2 = (x – 25)2

น2 น ล ล2
3) 0.25x2 – 0.3x + 0.09 = (0.5x)2 – 0.3x + (0.3)2

= (0.5x)2 – 2(0.5x)(0.3) + (0.3)2 = (0.5x – 0.3)2
น2 น ล ล2

4) 36x2 – 60x +25 = (6x)2 – 2(6x)(5) + (5)2 = (6x – 5)2
5) 45x2 + 120x + 80 = 5(9x2 + 24x + 16)

5 เปน็ ตวั ประกอบร่วม

= 5[(3x)2 + 2(3x)(4) + (4)2] = 5(3x + 4)2

6) 4 x2 – 2xy + 9 y2 = ( 2 x)2 – 2( 2 x)( 3 y) + ( 3 y)2
9 43 32 2

= ( 2 x – 3 y)2
32

5. ใหน้ ักเรยี นทาใบงานที่ 7 เรอื่ ง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี องทเ่ี ป็นกาลังสองสมบูรณ์ (1)

 กิจกรรมความคิดรวบยอด ( ขั้นสรปุ )
ครแู ละนักเรยี นรว่ มกนั สรุปเร่อื ง พหนุ ามดีกรสี องท่ีเป็นกาลังสองสมบรู ณ์

10. สอื่ การเรียนรู้/แหล่งเรียนรู้
1. หนงั สือเรียน คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 2
(จดั ทาโดยสถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี)

147

11. การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้ เคร่ืองมือ เกณฑ์การประเมิน
รอ้ ยละ 70 ขึ้นไป
วธิ ีวัด - ใบงานท่ี 7 เรือ่ ง การแยกตวั ประกอบ ไดร้ ะดับ 3 ดีขนึ้ ไป
K ของพหนุ ามดกี รีสองทเ่ี ป็นกาลงั สอง
ตรวจใบงานท่ี 7 เรือ่ ง การแยกตัว สมบรู ณ์(1) ระดับคณุ ภาพ 3 ดีข้นึ ไป
ประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเปน็ - แบบประเมินด้านความรู้และ
กาลังสองสมบูรณ์(1) ความสามารถจากผลงานนักเรยี น

P แบบประเมินทักษะ/กระบวนการทาง
ประเมินทักษะ/กระบวนการทาง คณติ ศาสตร์
คณิตศาสตร์

A
สังเกตพฤติกรรมการทางานรายบุคคล แบบสังเกตพฤตกิ รรมการทางานรายบคุ คล ระดับคุณภาพ 2 ดีขน้ึ ไป

148

บนั ทึกผลหลังการจัดกิจกรรมการเรียนรู้
แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 33

เรอ่ื ง การแยกตวั ประกอบของพหุนามที่เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

1. ผลการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
จานวนนักเรียน.........................คน
ด้านความรู้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นทกั ษะกระบวนการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านสมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นคุณลกั ษณะของผูเ้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ปัญหา/อุปสรรค
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ข้อเสนอแนะ/แนวทางในการแกไ้ ข
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชื่อ………………………………………………………….
( นางสาวหน่งึ ฤทัย ชูชยั )
................/................./.................

149

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 34

รหัสวชิ า ค22202 รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ 4 กลุ่มสาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์
หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 2
ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี อง เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ าม
ผู้สอน หน่ึงฤทัย ชูชัย
ทีเ่ ป็นกาลังสองสมบรู ณ์

เวลาเรียน 1 ชั่วโมง

1. มาตรฐานการเรยี นรู้/ตัวชว้ี ัด/ผลการเรียนรู้
สาระท่ี 1 จานวนและพีชคณติ
มาตรฐาน ค 1.2 เขา้ ใจและวเิ คราะห์แบบรูป ความสมั พันธ์ ฟงก์ชัน ลาดบั และอนุกรม และนาไปใช้
ตัวชี้วดั ค 3.1 ม.2/1 เข้าใจและใช้การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองในการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์

2. จุดประสงคก์ ารเรยี นรู
ดา้ นความรู้ (K)
1. นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องทเ่ี ปน็ กาลงั สองสมบรู ณ์ได้
ดา้ นทักษะ (P)
2. นักเรียนสามารถทาความเขา้ ใจปัญหาคดิ วิเคราะห์ วางแผน แกป้ ญั หาและเลือกใช้วธิ กี ารทเ่ี หมาะสม

โดยคานงึ ถงึ ความสมเหตสุ มผลของคาตอบ พรอ้ มท้งั ตรวจสอบความถูกต้อง
ด้านคณุ ลักษณะ (A)
3. นักเรยี นมีความมุ่งมั่นในการทางาน

3. สาระสาคัญ
1. การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามน้ันในรูปการคูณกันของพหุนามท่ีมีดีกรีต่ากว่า

พหุนามเดิมตง้ั แต่สองพหนุ ามขึน้ ไป
2. เราสามารถใช้สมบตั กิ ารแจกแจงในการแยกตวั ประกอบ โดยการหาตวั ประกอบร่วมของพหนุ าม
3. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์ อาจต้องใช้สมบัติการแจกแจง สมบัติการสลับท่ีและ

สมบัตกิ ารเปลย่ี นหม่ใู นการแก้ปญั หา
3. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์ อาจต้องใช้สมบัติการแจกแจง สมบัติการสลับที่และ

สมบตั ิการเปล่ียนหมใู่ นการแก้ปัญหา
4. พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ

a ≠ 0 มี x เป็นตัวแปร
5. ในกรณีที่ c = 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวอยู่ในรูป ax2 + bx ซ่ึงจะสามารถใช้สมบัติการแจกแจง

แยกตัวประกอบของพหนุ ามได้

150

6. ในกรณีที่ c ≠ 0 เพื่อความสะดวกในการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c จะเรียก ax2 ว่า
พจนห์ น้า เรยี ก bx วา่ พจนก์ ลาง เรียก c วา่ พจนห์ ลงั

4. สาระการเรยี นรู

ถ้าเราให้ A แทน พจนห์ นา้ และ B แทน พจน์หลงั

พหุนามดีกรสี องท่เี ปน็ กาลังสองสมบรู ณ์ แยกตัวประกอบได้ดังนี้
A2 + 2AB + B2 = (A + B)(A + B) = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)(A - B) = (A - B)2หรือ
(หน้า)2 + 2(หน้า)(หลงั ) + (หลงั )2 = (หนา้ + หลงั )2
(หนา้ )2 - 2(หนา้ )(หลัง) + (หลัง)2 = (หนา้ - หลงั )2

5. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น
( ) ความสามารถในการสือ่ สาร ( ) ความสามารถในการคิด ( ) ความสามารถในการแก้ปญั หา
( ) ความสามารถในการใช้ทกั ษะชวี ิต (  ) ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

6. คุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ ( ) ซ่ือสัตย์สุจรติ ( ) มวี ินยั ( ) ใฝเ่ รยี นรู้
( ) รักชาติ ศาสน์ กษัตรยิ ์
( ) อย่อู ย่างพอเพียง ( ) มงุ่ ม่ันในการทางาน (  ) รักความเป็นไทย ( ) มีจิตสาธารณะ

7. คุณลักษณะของผเู้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล

( ) เปน็ เลิศวิชาการ ( ) ส่ือสารสองภาษา (  ) ลา้ หนา้ ทางความคิด

( ) ผลิตงานอย่างสรา้ งสรรค์ ( ) ร่วมกันรับผดิ ชอบต่อสังคมโลก

8. ชน้ิ งาน/ภาระงาน
ใบงานท่ี 8 เร่อื ง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปน็ กาลังสองสมบรู ณ์(2)

9. กิจกรรมการเรยี นรู้
 กิจกรรมนาเข้าสู่บทเรียน ( ข้ันนา )

ครทู บทวนว่าพหุนามดกี รสี องท่เี ป็นกาลงั สองสมบูรณ์ แยกตวั ประกอบได้ดังน้ี

A2 + 2AB + B2 = (A + B)(A + B) = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)(A - B) = (A - B)2 หรือ
(หน้า)2 + 2(หนา้ )(หลงั ) + (หลงั )2 = (หน้า + หลงั )2
(หน้า)2 - 2(หนา้ )(หลัง) + (หลงั )2 = (หน้า - หลัง)2

151

 กิจกรรมพฒั นาการเรียนรู้ ( ขั้นสอน )
1. ครูอธิบาย การแยกตัวประกอบของพหุนามบางพหุนาม อาจต้องใช้วิธีการแยกตัวประกอบมากกว่า 1 วิธี
กล่าวคือ อาจตอ้ งใชผ้ ลต่างของกาลงั สอง และกาลังสองสมบูรณใ์ นข้อเดียวกัน จากนั้นใหน้ ักเรียนพิจารณาการแยกตัว
ประกอบของพหุนามต่อไปนี้

ตวั อย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ a2 + 22ab + 121b2 – 100
วิธที า a2 + 22ab + 121b2 – 100 = (a2 + 22ab + 121b2) – 102
= [a2 + 2(a)(11b) + (11b)2] – 102
= (a + 11b)2 – 102
= [(a + 11b) + 10][ (a + 11b) – 10]
= (a + 11b + 10)(a + 11b – 10)

ตวั อย่างท่ี 3 จงแยกตวั ประกอบของ x2 – 6xy + 9y2 – 64
วธิ ีทา x2 – 6xy + 9y2 – 64 = (x2 – 6xy + 9y2) – 64

= [x2 – 2(x)(3y) + (3y)2] - 82
= (x – 3y)2- 82
= [(x – 3y) + 8][(x – 3y) – 8]
= (x – 3y + 8)( x – 3y – 8)
2. ใหน้ กั เรียนทาใบงานท่ี 8 เร่ือง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองทเี่ ป็นกาลงั สองสมบูรณ์ (2)
ในชว่ั โมง ครสู ุ่มนกั เรยี น 2 – 3 คนมาเฉลยใบงาน ครูคอยตรวจสอบความถูกต้อง
 กิจกรรมความคิดรวบยอด ( ข้นั สรุป )
ครแู ละนักเรยี นรว่ มกนั สรุปเร่อื ง พหุนามดกี รสี องทเ่ี ปน็ กาลงั สองสมบูรณ์

10. สื่อการเรียนรู้/แหลง่ เรียนรู้
1. หนงั สือเรยี น คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2
(จดั ทาโดยสถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี)

11. การวัดและประเมนิ ผลการเรียนรู้

วิธีวัด เคร่ืองมือ เกณฑ์การประเมิน

K - ใบงานท่ี 8 เรอ่ื ง การแยกตวั ประกอบ ร้อยละ 70 ขน้ึ ไป
ตรวจใบงานที่ 8 เรอื่ ง การแยกตวั ของพหุนามดกี รีสองท่ีเปน็ กาลังสอง ได้ระดับ 3 ดีขึน้ ไป
ประกอบของพหนุ ามดีกรสี องที่เป็น สมบูรณ์ (2)
กาลังสองสมบรู ณ์ (2) - แบบประเมนิ ดา้ นความรแู้ ละ
ความสามารถจากผลงานนกั เรยี น

152

วิธีวัด เครอื่ งมอื เกณฑ์การประเมิน
ระดบั คุณภาพ 3 ดขี น้ึ ไป
P แบบประเมนิ ทกั ษะ/กระบวนการทาง
ประเมนิ ทกั ษะ/กระบวนการทาง คณิตศาสตร์ ระดบั คณุ ภาพ 2 ดขี ึน้ ไป
คณิตศาสตร์
A แบบสังเกตพฤติกรรมการทางานรายบุคคล
สังเกตพฤติกรรมการทางานรายบคุ คล

153

บนั ทึกผลหลังการจัดกิจกรรมการเรียนรู้
แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 34

เรือ่ ง การแยกตวั ประกอบของพหุนามที่เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

1. ผลการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
จานวนนักเรียน.........................คน
ด้านความรู้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นทกั ษะกระบวนการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านสมรรถนะสาคัญของผู้เรยี น
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นคณุ ลกั ษณะของผูเ้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ปัญหา/อุปสรรค
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ข้อเสนอแนะ/แนวทางในการแก้ไข
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชื่อ………………………………………………………….
( นางสาวหน่งึ ฤทัย ชูชยั )
................/................./.................

154

แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 35

รหัสวชิ า ค22202 รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ 4 กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์
หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 2
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี อง เร่อื ง การแยกตัวประกอบของพหนุ าม
ผู้สอน หนง่ึ ฤทัย ชชู ัย
ทีเ่ ป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

เวลาเรียน 1 ชั่วโมง

1. มาตรฐานการเรยี นรู้/ตัวชว้ี ัด/ผลการเรียนรู้
สาระท่ี 1 จานวนและพีชคณติ
มาตรฐาน ค 1.2 เขา้ ใจและวเิ คราะห์แบบรูป ความสมั พนั ธ์ ฟงก์ชัน ลาดบั และอนกุ รม และนาไปใช้
ตัวชี้วดั ค 3.1 ม.2/1 เข้าใจและใช้การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองในการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์

2. จุดประสงคก์ ารเรยี นรู
ดา้ นความรู้ (K)
1. นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องทเ่ี ปน็ กาลงั สองสมบรู ณ์ได้
ดา้ นทักษะ (P)
2. นักเรียนสามารถทาความเขา้ ใจปัญหาคดิ วิเคราะห์ วางแผน แกป้ ญั หาและเลือกใช้วธิ กี ารท่ีเหมาะสม

โดยคานึงถึงความสมเหตสุ มผลของคาตอบ พรอ้ มทั้งตรวจสอบความถูกต้อง
ด้านคณุ ลักษณะ (A)
3. นักเรยี นมีความมุ่งมั่นในการทางาน

3. สาระสาคัญ
1. การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามน้ันในรูปการคูณกันของพหุนามที่มีดีกรีต่ากว่า

พหนุ ามเดมิ ตง้ั แต่สองพหนุ ามขนึ้ ไป
2. เราสามารถใช้สมบตั กิ ารแจกแจงในการแยกตัวประกอบ โดยการหาตัวประกอบรว่ มของพหุนาม
3. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีมีหลายพจน์ อาจต้องใช้สมบัติการแจกแจง สมบัติการสลับที่และ

สมบัตกิ ารเปลย่ี นหม่ใู นการแก้ปญั หา
3. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์ อาจต้องใช้สมบัติการแจกแจง สมบัติการสลับที่และ

สมบตั ิการเปล่ียนหมใู่ นการแก้ปัญหา
4. พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ

a ≠ 0 มี x เป็นตัวแปร
5. ในกรณีที่ c = 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวอยู่ในรูป ax2 + bx ซึ่งจะสามารถใช้สมบัติการแจกแจง

แยกตัวประกอบของพหนุ ามได้

155

6. ในกรณีท่ี c ≠ 0 เพื่อความสะดวกในการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c จะเรียก ax2 ว่า
พจนห์ น้า เรยี ก bx ว่า พจน์กลาง เรียก c ว่า พจน์หลงั

4. สาระการเรียนรู

ถา้ เราให้ A แทน พจนห์ น้า และ B แทน พจน์หลงั

พหุนามดกี รสี องท่ีเปน็ กาลังสองสมบูรณ์ แยกตัวประกอบไดด้ งั น้ี
A2 + 2AB + B2 = (A + B)(A + B) = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)(A - B) = (A - B)2หรือ
(หน้า)2 + 2(หน้า)(หลงั ) + (หลงั )2 = (หน้า + หลงั )2
(หน้า)2 - 2(หนา้ )(หลัง) + (หลัง)2 = (หนา้ - หลัง)2

5. สมรรถนะสาคัญของผเู้ รียน ( ) ความสามารถในการแก้ปญั หา
( ) ความสามารถในการสอ่ื สาร (  ) ความสามารถในการคดิ
( ) ความสามารถในการใช้ทักษะชีวติ ( ) ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

6. คุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ ( ) ซือ่ สัตยส์ ุจริต ( ) มีวินัย ( ) ใฝ่เรยี นรู้
( ) รักชาติ ศาสน์ กษัตริย์ ( ) มุ่งม่นั ในการทางาน ( ) รักความเป็นไทย (  ) มจี ติ สาธารณะ
( ) อยูอ่ ยา่ งพอเพยี ง

7. คณุ ลักษณะของผู้เรียนตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล

( ) เป็นเลิศวิชาการ (  ) ส่ือสารสองภาษา ( ) ล้าหน้าทางความคิด

( ) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์ ( ) รว่ มกันรับผิดชอบตอ่ สังคมโลก

8. ชิ้นงาน/ภาระงาน
แบบฝกึ หดั 5.3 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง ในหนงั สอื เรียน คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ช้นั

มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 ข้อที่ 1-2

9. กิจกรรมการเรียนรู้
 กจิ กรรมนาเขา้ สู่บทเรยี น ( ข้นั นา )

ครทู บทวนวา่ พหุนามดกี รีสองทเี่ ปน็ กาลังสองสมบูรณ์ แยกตวั ประกอบไดด้ งั น้ี

A2 + 2AB + B2 = (A + B)(A + B) = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)(A - B) = (A - B)2 หรือ
(หนา้ )2 + 2(หน้า)(หลัง) + (หลงั )2 = (หนา้ + หลัง)2
(หน้า)2 - 2(หน้า)(หลงั ) + (หลงั )2 = (หนา้ - หลงั )2

156

 กจิ กรรมพฒั นาการเรียนรู้ ( ขนั้ สอน )
1. ครูอธิบาย การแยกตัวประกอบของพหุนามบางพหุนาม อาจต้องใช้วิธีการแยกตัวประกอบมากกว่า 1 วิธี
กล่าวคอื อาจตอ้ งใชผ้ ลตา่ งของกาลงั สอง และกาลังสองสมบูรณ์ในขอ้ เดยี วกัน จากน้นั ใหน้ ักเรียนพิจารณาการแยกตัว
ประกอบของพหุนามต่อไปนี้

ตัวอย่างท่ี 2 จงแยกตัวประกอบของ a2 + 22ab + 121b2 – 100
วธิ ีทา a2 + 22ab + 121b2 – 100 = (a2 + 22ab + 121b2) – 102
= [a2 + 2(a)(11b) + (11b)2] – 102
= (a + 11b)2 – 102
= [(a + 11b) + 10][ (a + 11b) – 10]
= (a + 11b + 10)(a + 11b – 10)

ตวั อยา่ งที่ 3 จงแยกตวั ประกอบของ x2 – 6xy + 9y2 – 64
วธิ ีทา x2 – 6xy + 9y2 – 64 = (x2 – 6xy + 9y2) – 64

= [x2 – 2(x)(3y) + (3y)2] - 82
= (x – 3y)2- 82
= [(x – 3y) + 8][(x – 3y) – 8]
= (x – 3y + 8)( x – 3y – 8)
2. ให้นักเรียนแบบฝึกหัด 5.3 เร่ือง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ในหนังสือเรียน คณิตศาสตร์
เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ข้อที่ 1-2 ในช่ัวโมง ครูสุ่มนักเรียน 2 – 3 คนมาเฉลยใบงาน ครูคอยตรวจสอบความ
ถกู ต้อง
 กจิ กรรมความคดิ รวบยอด ( ขั้นสรปุ )
ครูและนกั เรียนรว่ มกันสรปุ เรอื่ ง พหุนามดกี รสี องท่เี ปน็ กาลงั สองสมบูรณ์

10. สอื่ การเรยี นรู้/แหล่งเรยี นรู้
1. หนังสือเรียน คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 2
(จดั ทาโดยสถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี)

11. การวัดและประเมนิ ผลการเรยี นรู้

วิธีวดั เคร่อื งมอื เกณฑ์การประเมนิ

K - แบบฝึกหัด 5.3 เร่อื ง การแยก รอ้ ยละ 70 ขนึ้ ไป
ตรวจแบบฝกึ หัด 5.3 เรื่อง การแยก
ตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง ตัวประกอบของพหุนามดีกรสี อง ข้อท่ี 1-2 ไดร้ ะดบั 3 ดขี นึ้ ไป
ข้อท่ี 1-2
- แบบประเมินดา้ นความรู้และ

ความสามารถจากผลงานนักเรียน

157

วิธีวัด เครอื่ งมอื เกณฑ์การประเมิน

P แบบประเมนิ ทกั ษะ/กระบวนการทาง ระดบั คุณภาพ 3 ดขี น้ึ ไป
ประเมนิ ทกั ษะ/กระบวนการทาง คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์

A
สังเกตพฤติกรรมการทางานรายบคุ คล แบบสังเกตพฤติกรรมการทางานรายบุคคล ระดบั คณุ ภาพ 2 ดขี ึน้ ไป

158

บนั ทึกผลหลังการจัดกิจกรรมการเรียนรู้
แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 35

เรอ่ื ง การแยกตวั ประกอบของพหุนามที่เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

1. ผลการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
จานวนนักเรียน.........................คน
ด้านความรู้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นทกั ษะกระบวนการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านสมรรถนะสาคัญของผู้เรยี น
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นคณุ ลักษณะของผูเ้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ปัญหา/อุปสรรค
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ข้อเสนอแนะ/แนวทางในการแกไ้ ข
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชื่อ………………………………………………………….
( นางสาวหน่งึ ฤทัย ชูชยั )
................/................./.................

159

แผนการจดั การเรียนรทู้ ่ี 36

รหัสวชิ า ค22202 รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ 4 กลุ่มสาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์
หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 2
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี อง เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ าม
ผู้สอน หน่งึ ฤทัย ชูชัย
ทีเ่ ป็นกาลังสองสมบรู ณ์

เวลาเรียน 1 ชั่วโมง

1. มาตรฐานการเรยี นรู้/ตัวชว้ี ัด/ผลการเรยี นรู้
สาระท่ี 1 จานวนและพีชคณติ
มาตรฐาน ค 1.2 เขา้ ใจและวเิ คราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ ฟงกช์ นั ลาดบั และอนุกรม และนาไปใช้
ตัวชี้วดั ค 3.1 ม.2/1 เข้าใจและใช้การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองในการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์

2. จุดประสงคก์ ารเรยี นรู
ด้านความรู้ (K)
1. นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองท่เี ปน็ กาลงั สองสมบรู ณ์ได้
ดา้ นทักษะ (P)
2. นักเรยี นสามารถทาความเขา้ ใจปัญหาคิดวเิ คราะห์ วางแผน แกป้ ญั หาและเลือกใช้วธิ กี ารทเี่ หมาะสม

โดยคานงึ ถึงความสมเหตสุ มผลของคาตอบ พรอ้ มทั้งตรวจสอบความถูกต้อง
ดา้ นคณุ ลักษณะ (A)
3. นักเรยี นมีความมุ่งมั่นในการทางาน

3. สาระสาคัญ
1. การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามน้ันในรูปการคูณกันของพหุนามท่ีมีดีกรีต่ากว่า

พหุนามเดิมตง้ั แต่สองพหนุ ามขึน้ ไป
2. เราสามารถใช้สมบตั กิ ารแจกแจงในการแยกตวั ประกอบ โดยการหาตวั ประกอบร่วมของพหนุ าม
3. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์ อาจต้องใช้สมบัติการแจกแจง สมบัติการสลับท่ีและ

สมบัตกิ ารเปลย่ี นหม่ใู นการแก้ปญั หา
3. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีมีหลายพจน์ อาจต้องใช้สมบัติการแจกแจง สมบัติการสลับที่และ

สมบตั ิการเปล่ียนหมใู่ นการแก้ปัญหา
4. พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามท่ีเขียนในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ

a ≠ 0 มี x เป็นตวั แปร
5. ในกรณีที่ c = 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวอยู่ในรูป ax2 + bx ซ่ึงจะสามารถใช้สมบัติการแจกแจง

แยกตัวประกอบของพหนุ ามได้

160

6. ในกรณีท่ี c ≠ 0 เพื่อความสะดวกในการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c จะเรียก ax2 ว่า
พจน์หนา้ เรยี ก bx วา่ พจนก์ ลาง เรียก c ว่า พจนห์ ลงั

4. สาระการเรียนรู

ถ้าเราให้ A แทน พจน์หน้า และ B แทน พจน์หลัง

พหนุ ามดีกรีสองท่ีเป็นกาลังสองสมบรู ณ์ แยกตวั ประกอบไดด้ งั นี้
A2 + 2AB + B2 = (A + B)(A + B) = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)(A - B) = (A - B)2หรือ
(หน้า)2 + 2(หนา้ )(หลงั ) + (หลัง)2 = (หน้า + หลัง)2
(หน้า)2 - 2(หน้า)(หลัง) + (หลงั )2 = (หน้า - หลัง)2

5. สมรรถนะสาคญั ของผเู้ รยี น
( ) ความสามารถในการสอ่ื สาร ( ) ความสามารถในการคดิ (  ) ความสามารถในการแกป้ ญั หา
( ) ความสามารถในการใช้ทักษะชีวิต ( ) ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

6. คณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์ ( ) ซือ่ สัตย์สุจริต ( ) มวี ินยั ( ) ใฝ่เรยี นรู้
( ) รักชาติ ศาสน์ กษตั ริย์
( ) อย่อู ย่างพอเพยี ง (  ) มงุ่ มน่ั ในการทางาน ( ) รักความเป็นไทย ( ) มีจิตสาธารณะ

7. คณุ ลกั ษณะของผู้เรียนตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล

( ) เปน็ เลศิ วิชาการ (  ) ส่อื สารสองภาษา ( ) ลา้ หนา้ ทางความคดิ

( ) ผลติ งานอยา่ งสร้างสรรค์ ( ) ร่วมกันรบั ผดิ ชอบต่อสงั คมโลก

8. ชน้ิ งาน/ภาระงาน
แบบฝกึ หดั 5.3 เรอ่ื ง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง ในหนังสอื เรยี น คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชนั้

มธั ยมศึกษาปที ่ี 2 ขอ้ ที่ 3-4

9. กิจกรรมการเรยี นรู้
 กจิ กรรมนาเขา้ ส่บู ทเรียน ( ข้นั นา )

ครูนาเข้าสู่บทเรียนโดยการทบทวนการแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองทเี่ ป็นกาลังสองสมบูรณ์ทเ่ี รียนเมื่อ
ชัว่ โมงทแ่ี ลว้

 กิจกรรมพัฒนาการเรียนรู้ ( ข้ันสอน )
1. ครูนาเสนอตัวอยา่ ง ดงั ตอ่ ไปนี้

จงหาจานวนมาบวกกับพหนุ ามตอ่ ไปนี้ เพอ่ื ทาให้เปน็ กาลังสองสมบรู ณ์
1) x2 + 8x
2) x2 – 6x
3) x2 + 5x

161

4) x2 + bx

วธิ ีทา
1) x2 + 8x

ครูซกั ถามนกั เรยี นวา่ เอาจานวนอะไรมาบวก จึงจะทาให้เป็นกาลังสองสมบูรณ์ นั่นคือ
x2 + 8x = x2 + 2(x)(4)

ดงั นั้น ตอ้ งเอา 42 บวกเขา้ ไปใน x2 + 8x จึงจะทาใหเ้ ปน็ กาลงั สองสมบูรณ์
นน่ั คอื x2 + 8x + 42 = x2 + 2(x)(4) + 42 = (x + 4)2
2) x2 – 6x

ครซู ักถามนักเรยี นว่า เอาจานวนอะไรมาบวก จึงจะทาให้เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์
นั่นคอื x2 – 6x = x2 – 2(x)(3)
ดังนน้ั ตอ้ งเอา 32 บวกเขา้ ไปใน x2 – 6x จึงจะทาใหเ้ ป็นกาลงั สองสมบรู ณ์
นน่ั คือ x2 – 6x + 32 = x2 – 2(x)(3) + 32 = (x – 3)2
3) x2 + 5x

ครซู ักถามนกั เรียนวา่ เอาจานวนอะไรมาบวก จงึ จะทาใหเ้ ป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

น่ันคอื x2 + 5x = x2 + 2(x)( 5 )
2

ดังน้นั ต้องเอา ( 5 )2 บวกเขา้ ไปใน x2 + 5x จงึ จะทาใหเ้ ปน็ กาลังสองสมบรู ณ์
2

นั่นคือ x2 + 5x + ( 5 )2 = x2 + 2(x)( 5 ) + ( 5 )2 = (x + 5 )2
4) x2 + bx 2 22 2

ครซู กั ถามนกั เรยี นวา่ เอาจานวนอะไรมาบวก จงึ จะทาให้เปน็ กาลงั สองสมบรู ณ์

นนั่ คือ x2 + bx = x2 + 2(x)( b )
2

ดงั น้นั ตอ้ งเอา ( b )2 บวกเข้าไปใน x2 + bx จงึ จะทาให้เปน็ กาลังสองสมบูรณ์
2

นน่ั คือ x2 + bx + ( b )2 = x2 + 2(x)( b ) + ( b )2 = (x + b )2
2 22 2
2. จากนั้นซักถามนักเรยี นตอ่ ไปวา่ จานวนท่ีนามาบวกกับพหุนามในตัวอย่างข้างต้น เพื่อทาให้เป็นกาลังสอง

สมบรู ณ์ มีลักษณะอยา่ งไร (น่นั คือ กาลงั สองของครง่ึ หนึง่ ของสัมประสิทธ์ิของ x)

3. ใหน้ กั เรยี นทาแบบฝกึ หัด 5.3 เร่อื ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง ในหนังสือเรียน คณิตศาสตร์ เล่ม 2

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 ขอ้ ที่ 3-4 เสร็จแลว้ ส่มุ นกั เรียนมา 2 – 3 คน เฉลยใบงาน โดยที่ครคู อยตรวจสอบความถูกต้อง

 กิจกรรมความคิดรวบยอด ( ขัน้ สรปุ )

ครูและนกั เรียนร่วมกนั สรปุ เรอ่ื ง พหนุ ามดีกรีสองทีเ่ ป็นกาลังสองสมบูรณ์

10. สอื่ การเรียนรู้/แหล่งเรียนรู้
1. หนังสือเรียน คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2
(จัดทาโดยสถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี)

162

11. การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้ เคร่อื งมือ เกณฑ์การประเมิน

วิธีวัด - แบบฝึกหัด 5.3 เรอื่ ง การแยก ร้อยละ 70 ข้นึ ไป
K
ตรวจแบบฝึกหัด 5.3 เรอื่ ง การแยก ตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ขอ้ ท่ี 3-4 ไดร้ ะดับ 3 ดขี ึน้ ไป
ตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง
ขอ้ ที่ 3-4 - แบบประเมนิ ดา้ นความรู้และ

P ความสามารถจากผลงานนักเรียน
ประเมินทักษะ/กระบวนการทาง
คณิตศาสตร์ แบบประเมินทกั ษะ/กระบวนการทาง ระดับคุณภาพ 3 ดีขน้ึ ไป
คณิตศาสตร์

A
สังเกตพฤตกิ รรมการทางานรายบุคคล แบบสงั เกตพฤติกรรมการทางานรายบุคคล ระดับคุณภาพ 2 ดขี นึ้ ไป

163

บนั ทึกผลหลังการจัดกิจกรรมการเรียนรู้
แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 36

เรือ่ ง การแยกตวั ประกอบของพหุนามที่เป็นกาลงั สองสมบูรณ์

1. ผลการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
จานวนนักเรียน.........................คน
ด้านความรู้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นทกั ษะกระบวนการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านสมรรถนะสาคัญของผู้เรยี น
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นคณุ ลกั ษณะของผูเ้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ปัญหา/อุปสรรค
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ข้อเสนอแนะ/แนวทางในการแก้ไข
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชื่อ………………………………………………………….
( นางสาวหน่งึ ฤทัย ชูชยั )
................/................./.................

164

แผนการจดั การเรยี นร้ทู ี่ 37

รหสั วชิ า ค22202 รายวิชา คณิตศาสตร์เพิม่ เติม4 กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์
หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 2
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี อง เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหุนาม
ผ้สู อน หนึ่งฤทัย ชชู ัย
ท่ีเป็นผลตา่ งกาลงั สอง

เวลาเรยี น 1 ชัว่ โมง

1. มาตรฐานการเรยี นร้/ู ตัวช้วี ัด/ผลการเรยี นรู้
สาระท่ี 1 จานวนและพชี คณติ
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะหแ์ บบรูป ความสมั พันธ์ ฟงก์ชนั ลาดับและอนกุ รม และนาไปใช้
ตัวชว้ี ัด ค 3.1 ม.2/1 เข้าใจและใชก้ ารแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องในการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์

2. จดุ ประสงค์การเรยี นรู
ด้านความรู้ (K)
1. นักเรยี นสามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี องที่เป็นผลต่างกาลงั สองได้
ดา้ นทกั ษะ (P)
2. นักเรียนสามารถทาความเขา้ ใจปัญหาคิดวเิ คราะห์ วางแผน แกป้ ญั หาและเลือกใชว้ ธิ ีการที่เหมาะสม

โดยคานงึ ถึงความสมเหตุสมผลของคาตอบ พรอ้ มทั้งตรวจสอบความถูกต้อง
ดา้ นคุณลกั ษณะ (A)
3. นกั เรียนมีความมงุ่ มน่ั ในการทางาน

3. สาระสาคญั

ถา้ เราให้ A แทน พจน์หน้า และ B แทน พจน์หลัง

เราจะได้วา่ พหุนามดีกรสี องท่ีเปน็ ผลต่างของกาลังสอง แยกตวั ประกอบได้ดงั น้ี
A2 – B2 = (A + B)(A – B) หรอื
(หนา้ )2 – (หลงั )2 = (หนา้ + หลงั )(หน้า – หลงั )

4. สาระการเรยี นรู
สาระการเรยี นรแู้ กนกลาง
- การแยกตวั ประกอบของพหุนามท่เี ปน็ ผลตา่ งกาลังสอง

5. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรียน ( ) ความสามารถในการแก้ปัญหา
( ) ความสามารถในการสอื่ สาร (  ) ความสามารถในการคิด
( ) ความสามารถในการใช้ทักษะชวี ติ ( ) ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี

165

6. คุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์ ( ) ซื่อสัตย์สุจรติ (  ) มีวินัย ( ) ใฝเ่ รยี นรู้
( ) รกั ชาติ ศาสน์ กษัตริย์ ( ) มงุ่ ม่นั ในการทางาน ( ) รกั ความเป็นไทย ( ) มีจิตสาธารณะ
( ) อยูอ่ ยา่ งพอเพียง

7. คุณลักษณะของผเู้ รียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล

( ) เป็นเลิศวิชาการ (  ) สอื่ สารสองภาษา ( ) ล้าหนา้ ทางความคดิ

( ) ผลิตงานอย่างสรา้ งสรรค์ ( ) รว่ มกนั รับผดิ ชอบตอ่ สังคมโลก

8. ชน้ิ งาน/ภาระงาน
ใบงานท่ี 10 เรอื่ ง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี องที่เปน็ ผลต่างกาลงั สอง (1)

9. กิจกรรมการเรยี นรู้

 กจิ กรรมนาเข้าสบู่ ทเรียน ( ข้ันนา )

ครูทบทวนนักเรยี นเร่ือง พหุนามดกี รีสองตัวแปรเดียวว่า คอื พหนุ ามที่เขียนไดใ้ นรปู ax2 + bx + c เม่อื a, b,

c เปน็ คา่ คงตัวที่ a≠0 และ การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องทเ่ี ปน็ กาลังสองสมบรู ณ์ท่ีเรยี นชว่ั โมงท่แี ล้ว

 กจิ กรรมพฒั นาการเรยี นรู้ ( ข้นั สอน )

1. ให้นกั เรียนทากจิ กรรม สารวจผลต่าง ในหนังสือเรยี นสาระการเรยี นรพู้ น้ื ฐานคณติ ศาสตร์ ม. 2 เลม่ 2

เสรจ็ แลว้ ใหน้ ักเรยี นชว่ ยกนั เฉลยพร้อมกนั กบั ครู

. 2. ใหน้ กั เรียนพจิ ารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตอ่ ไปนี้
1) x2 – 16 = x2 – 42 = (x + 4)(x – 4)
2) x2 – 49 = x2 – 72 = (x + 7)(x – 7)
3) 4x2 – 36 = (2x)2 – 62 = (2x + 6)(2x – 6)
4) 25x2 – 100 = (5x)2 – 102 = (5x + 10)(5x – 10)

3. จากน้นั ครถู ามนักเรยี นว่า สงั เกตเหน็ อะไรบา้ งจากผลคูณของพหนุ ามทางขวามอื จนได้ข้อสรุปวา่
จะสังเกตเห็นว่าการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง จะได้ตวั ประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนง่ึ สองพหุนามคูณกนั

โดยท่พี หนุ ามที่เป็นตวั ประกอบมพี จนเ์ หมือนกัน แต่เครือ่ งหมายระหวา่ งพจน์ต่างกัน เรียกพหุนามดีกรีสองนวี้ า่ พหุ

นามดีกรสี องทเี่ ปน็ ผลต่างของกาลังสอง
จากตวั อยา่ งท่ี 1) x2 – 16 = (x + 4)(x – 4)

ถา้ เราให้ x แทน พจน์หนา้ และ 4 แทน พจน์หลัง

เราจะได้ความสัมพันธอ์ ยา่ งไร
เราจะได้ความสัมพนั ธ์ ดงั น้ี
(พจนห์ น้า)2 – (พจนห์ ลัง)2 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง)(พจน์หน้า – พจน์หลงั )

หรอื ถ้าเราให้ A แทน พจนห์ น้า และ B แทน พจนห์ ลัง

เราจะได้ว่าพหุนามดีกรสี องทีเ่ ปน็ ผลต่างของกาลังสอง แยกตัวประกอบได้ดังน้ี

166

A2 – B2 = (A + B)(A – B)
หรอื

(หน้า)2 – (หลัง)2 = (หน้า + หลัง)(หนา้ – หลัง)
4. ครแู บง่ กลุ่มออกเปน็ 5 กลมุ่ กล่มุ ละเท่าๆ กนั ใหน้ ักเรยี นแต่ละกลมุ่ ชว่ ยกันคิดและวิเคราะห์การแก้โจทย์
ปญั หาในใบงานท่ี 1.8 โดยการสุม่ โดยให้เวลาประมาณ 20 นาที จากน้ันให้ตัวแทนแต่ละกลุ่มออกไปนาเสนอวิธีการ
แก้โจทย์ปัญหาของกลมุ่ ตน โดยครแู ละเพ่อื นนกั เรยี นช่วยกันพิจารณาความถูกตอ้ ง และใหน้ กั เรยี นบันทึกโจทย์และวิธี
ทาทกุ ข้อลงในสมดุ จดบนั ทึก
5. ใหน้ กั เรยี นทาใบงานท่ี 10 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองที่เปน็ ผลตา่ งกาลงั สอง (1)

 กจิ กรรมความคดิ รวบยอด ( ข้นั สรปุ )
ครูและนกั เรยี นรว่ มกนั สรปุ ตวั ประกอบเป็นพหนุ ามดกี รีหน่ึงสองพหุนามคณู กัน โดยทพ่ี หนุ ามท่ีเปน็ ตวั ประกอบ
มพี จน์เหมอื นกัน แต่เครอ่ื งหมายระหว่างพจนต์ ่างกันเรียกพหนุ ามดีกรสี องนว้ี ่าพหนุ ามดกี รสี องทีเ่ ป็นผลตา่ งของกาลัง
สอง

10. ส่ือการเรยี นรู้/แหลง่ เรยี นรู้
1. หนังสอื เรียน คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 2
(จัดทาโดยสถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี)

11. การวัดและประเมินผลการเรียนรู้

วิธีวัด เคร่อื งมอื เกณฑ์การประเมนิ

K - ใบงานท่ี 10 เรอื่ ง การแยกตวั ประกอบ ร้อยละ 70 ข้นึ ไป
ตรวจใบงานท่ี 10 เร่ือง การแยกตวั ของพหนุ ามดีกรสี องที่เปน็ ผลต่างกาลงั ได้ระดบั 3 ดขี ้นึ ไป
ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องท่ีเปน็ สอง (1)
ผลต่างกาลงั สอง (1) - แบบประเมนิ ด้านความรแู้ ละ
ความสามารถจากผลงานนักเรียน

P แบบประเมนิ ทกั ษะ/กระบวนการทาง ระดบั คณุ ภาพ 3 ดีขน้ึ ไป
ประเมนิ ทกั ษะ/กระบวนการทาง คณติ ศาสตร์
คณติ ศาสตร์

A
สังเกตพฤตกิ รรมการทางานรายบคุ คล แบบสังเกตพฤตกิ รรมการทางานรายบุคคล ระดับคณุ ภาพ 2 ดขี ึน้ ไป

167

บนั ทึกผลหลังการจดั กิจกรรมการเรียนรู้
แผนการจัดการเรียนรทู้ ่ี 37

เร่อื ง การแยกตัวประกอบของพหุนามท่ีเป็นผลตา่ งกาลงั สอง

1. ผลการจดั กิจกรรมการเรียนรู้
จานวนนกั เรียน.........................คน
ดา้ นความรู้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านทกั ษะกระบวนการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านสมรรถนะสาคญั ของผูเ้ รยี น
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านคุณลกั ษณะอันพึงประสงค์
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นคุณลักษณะของผเู้ รยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ปัญหา/อปุ สรรค
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ข้อเสนอแนะ/แนวทางในการแก้ไข
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชื่อ………………………………………………………….
( นางสาวหนงึ่ ฤทัย ชูชยั )
................/................./.................

168

แผนการจดั การเรยี นร้ทู ี่ 38

รหสั วชิ า ค22202 รายวิชา คณิตศาสตร์เพิม่ เติม4 กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์
หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 2
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี อง เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหุนาม
ผ้สู อน หนึ่งฤทัย ชชู ัย
ท่ีเป็นผลตา่ งกาลงั สอง

เวลาเรยี น 1 ชัว่ โมง

1. มาตรฐานการเรยี นร้/ู ตัวช้วี ัด/ผลการเรยี นรู้
สาระท่ี 1 จานวนและพชี คณติ
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะหแ์ บบรูป ความสมั พนั ธ์ ฟงก์ชนั ลาดับและอนกุ รม และนาไปใช้
ตัวชว้ี ัด ค 3.1 ม.2/1 เข้าใจและใชก้ ารแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รสี องในการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์

2. จดุ ประสงค์การเรยี นรู
ด้านความรู้ (K)
1. นักเรยี นสามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องที่เป็นผลต่างกาลงั สองได้
ดา้ นทกั ษะ (P)
2. นักเรียนสามารถทาความเขา้ ใจปัญหาคิดวิเคราะห์ วางแผน แกป้ ญั หาและเลือกใชว้ ธิ ีการที่เหมาะสม

โดยคานงึ ถึงความสมเหตุสมผลของคาตอบ พรอ้ มท้ังตรวจสอบความถูกต้อง
ดา้ นคุณลกั ษณะ (A)
3. นกั เรียนมีความมงุ่ มน่ั ในการทางาน

3. สาระสาคญั

ถา้ เราให้ A แทน พจน์หน้า และ B แทน พจน์หลัง

เราจะได้วา่ พหุนามดีกรสี องท่ีเปน็ ผลต่างของกาลังสอง แยกตวั ประกอบได้ดงั น้ี
A2 – B2 = (A + B)(A – B) หรอื
(หน้า)2 – (หลงั )2 = (หนา้ + หลงั )(หน้า – หลงั )

4. สาระการเรยี นรู
สาระการเรยี นรแู้ กนกลาง
- การแยกตวั ประกอบของพหุนามท่เี ป็นผลตา่ งกาลังสอง

5. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น ( ) ความสามารถในการแก้ปัญหา
( ) ความสามารถในการสอื่ สาร (  ) ความสามารถในการคิด
( ) ความสามารถในการใช้ทักษะชวี ติ ( ) ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี

169

6. คณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์ ( ) ซือ่ สัตย์สุจริต ( ) มวี นิ ัย (  ) ใฝ่เรยี นรู้
( ) รักชาติ ศาสน์ กษัตรยิ ์ ( ) มงุ่ มน่ั ในการทางาน ( ) รักความเป็นไทย ( ) มีจติ สาธารณะ
( ) อยู่อย่างพอเพียง

7. คุณลกั ษณะของผูเ้ รยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล

( ) เป็นเลศิ วิชาการ ( ) สือ่ สารสองภาษา ( ) ลา้ หน้าทางความคดิ

( ) ผลิตงานอยา่ งสร้างสรรค์ (  ) รว่ มกันรับผิดชอบตอ่ สังคมโลก

8. ชน้ิ งาน/ภาระงาน
แบบฝึกหัด 5.4 เร่อื ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง ในหนงั สอื เรียน คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ชน้ั

มัธยมศกึ ษาปีที่ 2 ขอ้ ท่ี 1

9. กิจกรรมการเรียนรู้

 กจิ กรรมนาเข้าสู่บทเรยี น ( ข้นั นา )

ครทู บทวนนกั เรียนเรื่อง พหุนามดีกรสี องตัวแปรเดียวว่า คอื พหนุ ามทเี่ ขียนได้ในรูป ax2 + bx + c เมือ่ a, b,
c เป็นค่าคงตัวที่ a≠0 และ การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสองทเี่ ป็นกาลังสองสมบรู ณ์ที่เรียนชั่วโมงทแ่ี ล้ว

 กจิ กรรมพฒั นาการเรียนรู้ ( ข้นั สอน )

1. ให้นักเรยี นทากิจกรรม สารวจผลต่าง ในหนงั สือเรียนสาระการเรียนรพู้ น้ื ฐานคณติ ศาสตร์ ม. 2 เลม่ 2

เสร็จแลว้ ให้นกั เรยี นชว่ ยกนั เฉลยพรอ้ มกนั กบั ครู
. 2. ใหน้ กั เรยี นพิจารณาการแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องตอ่ ไปน้ี

1) x2 – 16 = x2 – 42 = (x + 4)(x – 4)
2) x2 – 49 = x2 – 72 = (x + 7)(x – 7)
3) 4x2 – 36 = (2x)2 – 62 = (2x + 6)(2x – 6)
4) 25x2 – 100 = (5x)2 – 102 = (5x + 10)(5x – 10)
3. จากนนั้ ครถู ามนกั เรียนว่า สงั เกตเห็นอะไรบ้างจากผลคูณของพหนุ ามทางขวามือ จนได้ขอ้ สรุปวา่

จะสังเกตเหน็ วา่ การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสอง จะไดต้ วั ประกอบเปน็ พหนุ ามดีกรหี นง่ึ สองพหนุ ามคณู กัน

โดยที่พหนุ ามทีเ่ ปน็ ตัวประกอบมีพจน์เหมอื นกัน แต่เคร่อื งหมายระหว่างพจนต์ า่ งกนั เรยี กพหนุ ามดกี รสี องนี้วา่ พหุ

นามดกี รสี องท่ีเปน็ ผลตา่ งของกาลังสอง
จากตัวอย่างท่ี 1) x2 – 16 = (x + 4)(x – 4)

ถ้าเราให้ x แทน พจนห์ น้า และ 4 แทน พจนห์ ลัง
เราจะได้ความสัมพนั ธอ์ ย่างไร

เราจะได้ความสัมพนั ธ์ ดงั นี้
(พจน์หน้า)2 – (พจน์หลัง)2 = (พจน์หนา้ + พจน์หลงั )(พจนห์ นา้ – พจนห์ ลงั )

หรอื ถา้ เราให้ A แทน พจน์หนา้ และ B แทน พจนห์ ลัง

170

เราจะไดว้ า่ พหนุ ามดีกรีสองทเี่ ปน็ ผลต่างของกาลังสอง แยกตัวประกอบได้ดังน้ี
A2 – B2 = (A + B)(A – B)
หรือ

(หนา้ )2 – (หลัง)2 = (หนา้ + หลงั )(หน้า – หลัง)
4. ครูแบ่งกล่มุ ออกเป็น 5 กลุ่ม กลมุ่ ละเท่าๆ กัน ให้นักเรยี นแต่ละกลุ่มช่วยกันคิดและวิเคราะห์การแก้โจทย์
ปญั หาในใบงานท่ี 1.8 โดยการสุม่ โดยให้เวลาประมาณ 20 นาที จากน้ันให้ตัวแทนแต่ละกลุ่มออกไปนาเสนอวิธีการ
แกโ้ จทยป์ ัญหาของกลมุ่ ตน โดยครแู ละเพ่อื นนักเรยี นชว่ ยกันพิจารณาความถกู ตอ้ ง และให้นกั เรียนบนั ทึกโจทย์และวิธี
ทาทกุ ขอ้ ลงในสมดุ จดบนั ทึก
5. ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 5.4 เร่ือง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ในหนังสือเรียน
คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 2 ข้อท่ี 1

 กิจกรรมความคิดรวบยอด ( ขัน้ สรปุ )
ครูและนกั เรยี นรว่ มกันสรุปตวั ประกอบเป็นพหุนามดีกรหี นง่ึ สองพหุนามคณู กัน โดยที่พหนุ ามทีเ่ ปน็ ตวั ประกอบ
มีพจน์เหมอื นกัน แตเ่ ครื่องหมายระหว่างพจนต์ า่ งกนั เรียกพหุนามดีกรสี องนวี้ า่ พหุนามดกี รสี องท่เี ป็นผลตา่ งของกาลงั
สอง

10. ส่ือการเรยี นรู้/แหล่งเรียนรู้
1. หนังสอื เรยี น คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 2
(จดั ทาโดยสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี)

11. การวัดและประเมินผลการเรียนรู้

วิธีวดั เคร่อื งมือ เกณฑ์การประเมิน

K รอ้ ยละ 70 ขึ้นไป
ตรวจแบบฝึกหัด 5.4 เรอื่ ง การแยกตัว - แบบฝกึ หัด 5.4 เรือ่ ง การแยกตวั ได้ระดับ 3 ดีขึน้ ไป
ประกอบของพหุนามดีกรสี อง ขอ้ ท่ี 1 ประกอบของพหุนามดีกรีสอง ข้อท่ี 1

- แบบประเมนิ ดา้ นความรแู้ ละ
ความสามารถจากผลงานนักเรยี น

P แบบประเมินทกั ษะ/กระบวนการทาง ระดับคณุ ภาพ 3 ดีข้ึนไป
ประเมินทกั ษะ/กระบวนการทาง คณติ ศาสตร์
คณติ ศาสตร์

A
สงั เกตพฤตกิ รรมการทางานรายบุคคล แบบสังเกตพฤตกิ รรมการทางานรายบุคคล ระดบั คุณภาพ 2 ดขี ึ้นไป

171

บนั ทึกผลหลังการจดั กิจกรรมการเรียนรู้
แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 38

เร่ือง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามท่ีเป็นผลตา่ งกาลงั สอง

1. ผลการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
จานวนนักเรียน.........................คน
ด้านความรู้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นทกั ษะกระบวนการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นสมรรถนะสาคัญของผู้เรยี น
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านคุณลักษณะอนั พึงประสงค์
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นคณุ ลกั ษณะของผู้เรียนตามหลกั สตู รมาตรฐานสากล
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ปัญหา/อปุ สรรค
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ขอ้ เสนอแนะ/แนวทางในการแก้ไข
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ่ื ………………………………………………………….
( นางสาวหนงึ่ ฤทยั ชชู ัย )
................/................./.................

172

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 39

รหัสวชิ า ค22202 รายวิชา คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม4 กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์
หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 2
ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสอง เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ าม
ผ้สู อน หนึง่ ฤทัย ชชู ัย
ท่ีเปน็ ผลตา่ งกาลงั สอง

เวลาเรียน 1 ชัว่ โมง

1. มาตรฐานการเรียนร/ู้ ตัวชีว้ ัด/ผลการเรยี นรู้
สาระท่ี 1 จานวนและพชี คณิต
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวเิ คราะห์แบบรปู ความสมั พันธ์ ฟงก์ชนั ลาดบั และอนกุ รม และนาไปใช้
ตัวชว้ี ัด ค 3.1 ม.2/1 เขา้ ใจและใช้การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองในการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์

2. จดุ ประสงค์การเรยี นรู
ดา้ นความรู้ (K)
1. นักเรยี นสามารถแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องที่เป็นผลต่างกาลงั สองได้
ด้านทักษะ (P)
2. นกั เรียนสามารถทาความเขา้ ใจปัญหาคิดวเิ คราะห์ วางแผน แก้ปญั หาและเลอื กใชว้ ธิ กี ารท่ีเหมาะสม

โดยคานึงถึงความสมเหตสุ มผลของคาตอบ พร้อมทง้ั ตรวจสอบความถกู ต้อง
ด้านคุณลกั ษณะ (A)
3. นักเรยี นมีความมุ่งมน่ั ในการทางาน

3. สาระสาคัญ
ถา้ เราให้ A แทน พจนห์ นา้ และ B แทน พจนห์ ลัง
เราจะไดว้ ่าพหนุ ามดีกรีสองท่เี ปน็ ผลต่างของกาลังสอง แยกตวั ประกอบไดด้ งั นี้
A2 – B2 = (A + B)(A – B) หรือ
(หนา้ )2 – (หลัง)2 = (หนา้ + หลงั )(หนา้ – หลัง)

4. สาระการเรียนรู
สาระการเรียนรแู้ กนกลาง
- การแยกตวั ประกอบของพหุนามทเี่ ปน็ ผลตา่ งกาลังสอง

5. สมรรถนะสาคัญของผู้เรียน
( ) ความสามารถในการส่ือสาร ( ) ความสามารถในการคดิ ( ) ความสามารถในการแกป้ ัญหา
(  ) ความสามารถในการใช้ทกั ษะชีวิต ( ) ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

173

6. คุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ ( ) ซื่อสัตย์สุจริต ( ) มวี ินัย ( ) ใฝ่เรยี นรู้
( ) รักชาติ ศาสน์ กษัตริย์
( ) อยอู่ ยา่ งพอเพียง ( ) มงุ่ ม่นั ในการทางาน (  ) รกั ความเปน็ ไทย ( ) มีจิตสาธารณะ

7. คณุ ลกั ษณะของผู้เรียนตามหลักสูตรมาตรฐานสากล

( ) เป็นเลิศวิชาการ ( ) สือ่ สารสองภาษา ( ) ลา้ หน้าทางความคิด

(  ) ผลิตงานอย่างสร้างสรรค์ ( ) รว่ มกนั รับผดิ ชอบตอ่ สงั คมโลก

8. ชิ้นงาน/ภาระงาน
แบบฝึกหัด 5.4 เรือ่ ง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสอง ในหนงั สือเรียน คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ชนั้

มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 ขอ้ ที่ 2

9. กจิ กรรมการเรยี นรู้

 กจิ กรรมนาเข้าส่บู ทเรียน ( ขน้ั นา )

ครทู บทวนนกั เรียนเร่อื ง พหนุ ามดีกรสี องตัวแปรเดียวว่า คือพหนุ ามทีเ่ ขียนได้ในรูป ax2 + bx + c เมอ่ื a, b,
c เป็นคา่ คงตวั ที่ a≠0 และ การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องท่เี ปน็ กาลังสองสมบรู ณ์ทเี่ รียนช่ัวโมงทีแ่ ล้ว

 กิจกรรมพัฒนาการเรียนรู้ ( ขั้นสอน )

1. ให้นกั เรยี นทากจิ กรรม สารวจผลต่าง ในหนังสือเรียนสาระการเรียนรพู้ น้ื ฐานคณติ ศาสตร์ ม. 2 เล่ม 2

เสร็จแล้วให้นักเรียนช่วยกนั เฉลยพรอ้ มกนั กับครู
. 2. ใหน้ ักเรยี นพจิ ารณาการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตอ่ ไปนี้

1) x2 – 16 = x2 – 42 = (x + 4)(x – 4)
2) x2 – 49 = x2 – 72 = (x + 7)(x – 7)
3) 4x2 – 36 = (2x)2 – 62 = (2x + 6)(2x – 6)
4) 25x2 – 100 = (5x)2 – 102 = (5x + 10)(5x – 10)
3. จากน้ันครูถามนักเรยี นวา่ สังเกตเห็นอะไรบา้ งจากผลคูณของพหุนามทางขวามอื จนได้ขอ้ สรปุ ว่า

จะสงั เกตเหน็ วา่ การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง จะได้ตวั ประกอบเปน็ พหุนามดีกรีหนงึ่ สองพหนุ ามคูณกัน

โดยท่พี หนุ ามท่เี ปน็ ตัวประกอบมีพจน์เหมอื นกนั แตเ่ ครือ่ งหมายระหวา่ งพจนต์ า่ งกนั เรยี กพหนุ ามดกี รสี องนี้วา่ พหุ

นามดกี รสี องที่เปน็ ผลต่างของกาลังสอง
จากตวั อยา่ งที่ 1) x2 – 16 = (x + 4)(x – 4)

ถา้ เราให้ x แทน พจนห์ น้า และ 4 แทน พจนห์ ลัง
เราจะได้ความสัมพันธ์อยา่ งไร

เราจะไดค้ วามสมั พันธ์ ดังนี้
(พจน์หน้า)2 – (พจนห์ ลัง)2 = (พจน์หนา้ + พจน์หลงั )(พจนห์ นา้ – พจน์หลัง)

หรือ ถ้าเราให้ A แทน พจนห์ นา้ และ B แทน พจน์หลัง

174

เราจะไดว้ า่ พหนุ ามดีกรีสองท่เี ป็นผลต่างของกาลังสอง แยกตัวประกอบไดด้ ังน้ี
A2 – B2 = (A + B)(A – B)
หรอื

(หน้า)2 – (หลัง)2 = (หนา้ + หลงั )(หน้า – หลงั )
4. ครูแบ่งกลมุ่ ออกเปน็ 5 กลมุ่ กลุม่ ละเทา่ ๆ กนั ให้นักเรยี นแต่ละกลมุ่ ช่วยกันคิดและวิเคราะห์การแก้โจทย์
ปัญหาในใบงานท่ี 1.8 โดยการสุ่ม โดยให้เวลาประมาณ 20 นาที จากน้ันให้ตัวแทนแต่ละกลุ่มออกไปนาเสนอวิธีการ
แก้โจทยป์ ัญหาของกลุ่มตน โดยครแู ละเพอื่ นนักเรียนช่วยกนั พิจารณาความถูกต้อง และใหน้ ักเรียนบนั ทึกโจทย์และวิธี
ทาทุกขอ้ ลงในสมดุ จดบนั ทึก
5. ให้นักเรียนทาแบบฝึกหัด 5.4 เร่ือง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ในหนังสือเรียน
คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2 ข้อที่ 2

 กิจกรรมความคิดรวบยอด ( ข้ันสรุป )
ครูและนกั เรยี นรว่ มกันสรปุ ตัวประกอบเปน็ พหุนามดีกรีหนง่ึ สองพหุนามคูณกัน โดยทีพ่ หนุ ามทีเ่ ป็นตัวประกอบ
มีพจนเ์ หมือนกัน แตเ่ ครื่องหมายระหวา่ งพจน์ตา่ งกนั เรยี กพหุนามดีกรสี องนวี้ ่าพหนุ ามดกี รสี องทเี่ ป็นผลตา่ งของกาลัง
สอง

10. สอื่ การเรยี นรู้/แหล่งเรยี นรู้
1. หนงั สอื เรยี น คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 2
(จดั ทาโดยสถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี)

11. การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้

วิธีวดั เคร่อื งมือ เกณฑ์การประเมิน

K รอ้ ยละ 70 ขึน้ ไป
ตรวจแบบฝกึ หัด 5.4 เร่ือง การแยกตัว - แบบฝึกหัด 5.4 เรือ่ ง การแยกตัว ไดร้ ะดับ 3 ดีขึ้นไป
ประกอบของพหุนามดีกรสี อง ข้อที่ 2 ประกอบของพหนุ ามดีกรีสอง ขอ้ ที่ 2

- แบบประเมนิ ดา้ นความรแู้ ละ
ความสามารถจากผลงานนักเรยี น

P แบบประเมินทกั ษะ/กระบวนการทาง ระดบั คณุ ภาพ 3 ดขี ้ึนไป
ประเมนิ ทกั ษะ/กระบวนการทาง คณติ ศาสตร์
คณติ ศาสตร์

A
สงั เกตพฤติกรรมการทางานรายบคุ คล แบบสังเกตพฤติกรรมการทางานรายบุคคล ระดบั คุณภาพ 2 ดขี ึ้นไป

175

บนั ทึกผลหลงั การจดั กิจกรรมการเรยี นรู้
แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 39

เร่อื ง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามที่เป็นผลต่างกาลังสอง

1. ผลการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้
จานวนนกั เรียน.........................คน
ด้านความรู้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นทกั ษะกระบวนการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านสมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านคุณลกั ษณะอันพึงประสงค์
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านคณุ ลักษณะของผเู้ รยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ปัญหา/อปุ สรรค
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ข้อเสนอแนะ/แนวทางในการแกไ้ ข
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงช่ือ………………………………………………………….
( นางสาวหน่ึงฤทยั ชชู ัย )
................/................./.................

176

แผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี 40

รหัสวิชา ค22202 รายวชิ า คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม4 กลุ่มสาระการเรยี นรู้ คณติ ศาสตร์
หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 2
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนาม
ผู้สอน หน่ึงฤทัย ชูชัย
ดกี รสี อง

เวลาเรียน 1 ช่วั โมง

1. มาตรฐานการเรียนร้/ู ตัวช้วี ดั /ผลการเรียนรู้
สาระที่ 1 จานวนและพีชคณติ
มาตรฐาน ค 1.2 เขา้ ใจและวิเคราะห์แบบรปู ความสมั พนั ธ์ ฟงกช์ ัน ลาดับและอนุกรม และนาไปใช้
ตัวชวี้ ดั ค 3.1 ม.2/1 เขา้ ใจและใชก้ ารแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองในการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์

2. จดุ ประสงค์การเรยี นรู
ด้านความรู้ (K)
1. สามารถใช้การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองในการแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตรไ์ ด้
ด้านทกั ษะ (P)
2. นักเรยี นสามารถทาความเขา้ ใจปัญหาคิดวิเคราะห์ วางแผน แกป้ ญั หาและเลือกใช้วิธกี ารทีเ่ หมาะสม

โดยคานงึ ถึงความสมเหตุสมผลของคาตอบ พร้อมทง้ั ตรวจสอบความถูกต้อง
ดา้ นคุณลกั ษณะ (A)
3. นกั เรยี นมคี วามมงุ่ มน่ั ในการทางาน

3. สาระสาคัญ
การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามน้ันในรูปการคูณกันของพหุนามที่มีดีกรีต่ากว่าพหุนาม

เดิมตัง้ แตส่ องพหนุ ามขึ้นไป

4. สาระการเรยี นรู
สาระการเรียนรแู้ กนกลาง
- การแยกตวั ประกอบของพหุนามกาลงั สอง

5. สมรรถนะสาคัญของผ้เู รียน
( ) ความสามารถในการสอ่ื สาร ( ) ความสามารถในการคิด ( ) ความสามารถในการแก้ปัญหา
( ) ความสามารถในการใช้ทักษะชีวติ (  ) ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

6. คุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์ (  ) ซือ่ สัตยส์ ุจรติ ( ) มีวนิ ยั ( ) ใฝเ่ รยี นรู้
( ) รักชาติ ศาสน์ กษตั รยิ ์ ( ) มีจติ สาธารณะ
( ) อยอู่ ยา่ งพอเพยี ง ( ) มุ่งมั่นในการทางาน ( ) รกั ความเปน็ ไทย

177

7. คณุ ลักษณะของผู้เรยี นตามหลกั สูตรมาตรฐานสากล

( ) เปน็ เลศิ วิชาการ (  ) สอ่ื สารสองภาษา ( ) ลา้ หน้าทางความคิด

( ) ผลติ งานอย่างสร้างสรรค์ ( ) รว่ มกันรับผดิ ชอบต่อสงั คมโลก

8. ช้นิ งาน/ภาระงาน
ใบงานที่ 10 เรอื่ ง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรีสองทเี่ ป็นผลต่างกาลังสอง (1)

9. กจิ กรรมการเรยี นรู้
 กจิ กรรมนาเขา้ สู่บทเรียน ( ขั้นนา )

ครูทบทวนนกั เรียนเรือ่ ง พหุนามดีกรสี องตวั แปรเดยี วในทกุ ๆกรณี ดงั นี้
1. การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขยี นพหนุ ามนัน้ ในรปู การคูณกนั ของพหุนามที่มีดีกรีต่ากว่า

พหุนามเดิมตัง้ แต่สองพหุนามขึ้นไป
2. เราสามารถใช้สมบตั กิ ารแจกแจงในการแยกตัวประกอบ โดยการหาตวั ประกอบร่วมของพหนุ าม
3. ในการแยกตัวประกอบของพหนุ ามที่มีหลายพจน์ อาจต้องใช้สมบัติการแจกแจง สมบตั ิการสลับท่ีและ

สมบตั กิ ารเปลี่ยนหมใู่ นการแก้ปญั หา
3. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มหี ลายพจน์ อาจต้องใชส้ มบัติการแจกแจง สมบตั ิการสลับที่และ

สมบัตกิ ารเปลี่ยนหมูใ่ นการแก้ปญั หา
4. พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามท่ีเขียนในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว

และ a ≠ 0 มี x เป็นตวั แปร
5. ในกรณที ี่ c = 0 พหนุ ามดกี รีสองตัวแปรเดียวอยู่ในรปู ax2 + bx ซ่งึ จะสามารถใชส้ มบัติการแจกแจง

แยกตวั ประกอบของพหนุ ามได้
6. ในกรณีท่ี c ≠ 0 เพื่อความสะดวกในการแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c จะเรียก ax2

ว่า พจน์หนา้ เรียก bx วา่ พจน์กลาง เรียก c ว่า พจนห์ ลงั

 กจิ กรรมพัฒนาการเรียนรู้ ( ขนั้ สอน )

ให้นกั เรียนทาใบงานที่ 10 เร่อื ง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองทเี่ ป็นผลต่างกาลงั สอง (1) เมอื่ เสร็จ

แลว้ เฉลยร่วมกัน โดยการถามและตอบ

 กจิ กรรมความคิดรวบยอด ( ขั้นสรุป )
ครูและนกั เรียนร่วมกันสรุปการแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี อง

10. สื่อการเรยี นรู้/แหล่งเรยี นรู้
1. หนงั สอื เรียน คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 2
(จัดทาโดยสถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี)

178

11. การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้ เครื่องมือ เกณฑ์การประเมิน

วธิ ีวดั - ใบงานที่ 10 เรอื่ ง การแยกตัวประกอบ รอ้ ยละ 70 ขึ้นไป
K ของพหุนามดีกรีสองท่ีเป็นผลตา่ งกาลัง ได้ระดับ 3 ดขี นึ้ ไป
ตรวจใบงานที่ 10 เรอ่ื ง การแยกตัว สอง (1)
ประกอบของพหนุ ามดีกรสี องท่เี ปน็ - แบบประเมินด้านความรแู้ ละ
ผลต่างกาลังสอง (1) ความสามารถจากผลงานนกั เรียน

P แบบประเมนิ ทกั ษะ/กระบวนการทาง ระดบั คณุ ภาพ 3 ดีข้นึ ไป
ประเมนิ ทกั ษะ/กระบวนการทาง คณติ ศาสตร์
คณิตศาสตร์

A
สงั เกตพฤตกิ รรมการทางานรายบคุ คล แบบสงั เกตพฤติกรรมการทางานรายบุคคล ระดับคุณภาพ 2 ดีขน้ึ ไป

179

บันทกึ ผลหลังการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้
แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 40

เร่อื ง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง

1. ผลการจดั กิจกรรมการเรียนรู้
จานวนนักเรยี น.........................คน
ดา้ นความรู้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นทักษะกระบวนการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ดา้ นสมรรถนะสาคญั ของผูเ้ รยี น
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ด้านคุณลักษณะของผู้เรยี นตามหลักสูตรมาตรฐานสากล
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ปญั หา/อุปสรรค
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ข้อเสนอแนะ/แนวทางในการแกไ้ ข
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงช่ือ………………………………………………………….
( นางสาวหนึ่งฤทัย ชูชยั )
................/................./.................

180

ภาคผนวก

ฒ

ชือ่ …………………………………………………………….……………………………..…….…….. ช้ัน…………...……….. เลขที่ ………………….

ใบงานท่ี 1 เร่อื ง แผนภาพจดุ (1)
รายวชิ า คณิตศาสตร์เพิม่ เตมิ 4 รหสั วิชา ค22202 ภาคเรยี นท่ี 2 ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 2

จุดประสงค์ เขยี นแผนภาพจุดของข้อมูลได้

แผนภาพจุด

แผนภาพจดุ หรือ Dot Plot เป็นรปู แบบหนง่ึ ของการนาเสนอข้อมลู เชงิ ปรมิ าณที่ทาได้ไม่ยาก โดยจะ
เขยี นจดุ แทนขอ้ มูลแตล่ ะตวั ไวเ้ หนอื เส้นในแนวนอนทม่ี สี เกลให้ตรงกบั ตาแหนง่ ท่แี สดงคา่ ของขอ้ มูลน้ัน แผนภาพ
จดุ ช่วยให้เหน็ ภาพรวมของขอ้ มลู ไดร้ วดเร็วกวา่ การพจิ ารณาจากข้อมูลโดยตรงโดยเฉพาะอยา่ งย่งิ เม่ือสนใจจะ
พจิ ารณาลักษณะของขอ้ มูลว่ามีการกระจายมากนอ้ ยเพยี งใด

ข้อท่ี 1 จากผลการหยอ่ นลกู ปิงปองวันเกิดของนักเรยี นทุกคนในห้อง จงเขยี นแผนภาพจุดแทนวนั เกิดของ
ทกุ คนในหอ้ ง โดยให้เส้นจานวนแทนวันเกดิ และจดุ แทนลกู ปงิ ปองของแต่ละวัน
วธิ ีทา

ขอ้ ท่ี 2 คะแนนสอบรายวชิ าคณิตศาสตร์คะแนนเต็ม 100 คะแนน ของนักเรยี นชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 จานวน 19
คน เรียงลาดบั ตามคะแนนดังนี้ 70, 61, 74, 61, 81, 64, 67, 71, 80, 71, 74, 71, 72, 73, 75, 77, 79, 81, 83
จงเขียนแผนภาพจดุ แทนคะแนนสอบดังกล่าว
วิธที า ข้นั ตอนท่ี 1 เขยี นเส้นในแนวนอน กาหนดสเกลเปน็ ชว่ ง ชว่ งละเท่า ๆ กัน พร้อมทัง้ กาหนดช่ือ เพ่อื ให้
ทราบวา่ ข้อมลู เหล่านี้เกย่ี วขอ้ งกบั สิ่งใด

ขั้นตอนท่ี 2 เขียนจุดแทนขอ้ มูลแต่ละขอ้ มูลเหนือเสน้ ในแนวนอน จะได้แผนภาพจุดแสดงขอ้ มูลที่ต้องการ

ข้อท่ี 3 จานวนเงนิ ทนี่ กั เรียนแตล่ ะคนไดร้ บั มาโรงเรียนตอ่ หนงึ่ วันเปน็ ดงั นี้
5, 10, 10, 10, 15, 16, 17, 20, 20, 20, 20, 22, 25, 25, 25, 25, 25, 30, 30 30, 40, 40, 40, 40, 50,

50, 50, 50, 50, 50, 50, 80, 80, 90, 100
วธิ ที า