L'incontournable en géométrie

Calcul vectoriel
et

barycentre de points pondérés

I) Barycentre de deux points pondérés

1°) Définition
Etant donnés deux points distincts A et B et deux réels α et β tels que α + β ≠ 0, on appelle barycentre de points
pondérés (A,α ) et (B,β) [ou des points A et B affectés des coefficients respectifs α et β], le point G vérifiant :
α.GA + β.GB = 0

Application 1
B étant le milieu de [AC], déterminer les coefficients :
a) α et β pour exprimer que A est le barycentre de (C,α ) et (B,β)
b) α’ et β’ pour exprimer que C est le barycentre de (B, α’ ) et (A, β’)

2°) Position du barycentre signifie ( )G ∈ (AB) et abs(G) = β selon le repère A, AB . Il en
G est le barycentre de (A,α ) et (B,β) α+β

découle que:

si 0 < α < 1 alors G ∈[AB] et il est plus près de B que de A
β

si α > 1 alors G ∈[AB] et il est plus près de A que de B
β

si −1 < α < 0 alors G ∈ [(AB)\ [AB]] et il est plus près de A que de B
β

si −1 < α < 0 alors G ∈ [(AB)\ [AB]] et il est plus près de B que de A
β

Cas particulier: si α = β ≠ 0 alors G = A * B et il est appelé l’isobarycentre de A et B

3°) Propriétés
P1 : G est le barycentre de (A,α ) et (B,β) signifie G est le barycentre de (A, kα ) et (B, kβ) ( k ∈ IR*)

Application 2
A et B étant deux points distincts donnés, localiser sans faire aucun calcul le barycentre G de (A, − 2 ) et (B, − 2 )

33
P2 : Réduction d’une somme de vecteurs
G est le barycentre de (A,α ) et (B,β) alors pour tout point M du plan, on a: α.MA + β.MB = (α + β).MG
Application 3
A, B et C sont trois points tels que B est le barycentre de (A,3 ) et (C,2).
Montrer de deux manières que pour tout point M du plan on a : 3.MA − 5.MB + 2.MC = 3.BA + 2.BC = 0

1

4°) Interactions avec d’autres notions

a) L’alignement
Trois points distincts A, B et C sont alignés signifie chacun d’eux est le barycentre de deux autres
b) Colinéarité de deux vecteurs (2ème alternative de l’alignement)

Deux vecteurs non nuls AB et AC sont colinéaires signifie chacun de trois points A, B et C est le barycentre de

deux autres

5°) Construction du barycentre de deux points pondé rés
Soit G le barycentre de (A,α ) et (B,β)

( )Méthode 1 (adoptée lorsque l’abscisse de G selon A , AB est une valeur entière)
( )On gradue la droite (AB) en considérant le repère A , AB puis on marque G selon son abscisse

Méthode 2 (on utilise le théorème de Thalès)
Application 4

Construire le point K barycentre de (A,2 ) et (B,3)

Méthode 3 (Méthode des parallèles)
Application 5
Construire le point G dans chacun des cas ci – dessous :
i) G est le barycentre de (A,2) et (B,3)
ii) G est le barycentre de (A,- 2) et (B,3)

II) Barycentre de trois points pondérés

1°) Définition
Etant donnés trois points distincts A, B et C et trois réels α, β et γ tels que α + β + γ ≠ 0, on appelle barycentre de
points pondérés (A,α ), (B,β) et (C,γ ) [ou des points A, B et C affectés des coefficients respectifs α, β et γ], le point
G vérifiant : α.GA + β.GB + γ.GC = 0

Application 6
ABCD est un parallélogramme, on désigne par K le milieu de [CD]. Montrer que K est le barycentre de points A, B et
C affectés respectivement de certains coefficients a, b et c qu’on déterminera.

2°) Propriétés
P31 : G est le barycentre de (A,α ), (B,β) et (C,γ )

signifie G est le barycentre de (A, kα ), (B, kβ) et (C,kγ ) ( k ∈ IR*)

P32 : Réduction d’une somme de vecteurs :
G est le barycentre de (A,α ), (B,β) et (C,γ ) alors pour tout point M du plan, on a:
α.MA + β.MB + γ.MC = (α + β + γ).MG

Application7
A, B et C étant trois points non alignés, définir autrement le point D vérifiant 2.DA − DB + 4.DC = 5.AB

2°) Méthodes de construction du barycentre de trois points pondérés

Méthode 1 : Coordonnées du barycentre (Cas où les trois points ne sont pas alignés)

2

G est le barycentre de (A,α ), (B,β) et (C,γ ), A, B et C n’étant pas alignés alors ils définissent un repère du plan :

( )ℜ =  β γ 
A, AB, AC et on a G  β , α+β+  selon ce repère.
 α + + γ γ 

Application 8
Construire le point K barycentre de (F,-2), (L,5) et (R,1 ) où F, L et R sont trois points non alignés.

Méthode 2 : (Barycentre partiel en se servant de l’associativité de l’addition des vecteurs)
On utilise l’associativité (et la commutativité – si c’est nécessaire -) de l’addition des vecteurs et la propriété P2 pour
exprimer une somme de deux vecteurs par un seul vecteur.

Application 9

Construire le point H barycentre de (I,-2), (J,5) et (K,5 ) où I, J et K sont trois points non alignés.

IV) Configurations qui laissent penser au barycentre de deux points pondérés

Si trois points sont alignés alors chacun d’eux peut être considéré comme étant le barycentre de deux autres

V) Situations où l’outil Barycentre peut être utile

1°) Simplification d’une expression vectorielle.

Si lors d’un calcul vectoriel, on est ramené à simplifier une expression (vectorielle), l’exploitation du barycentre partiel
pourra noue être utile.

Application 10
ABCD est un quadrilatère convexe. Soit I barycentre de (B, 4) et (A,-1 ) et J barycentre de (C,-2) et (D,-1 ).
1°) Construire les points I et J
2°) Soit K le point défini par: −3.KA + 6. KB + 2.KC + KD = 0 . Montrer que K est l’isobarycentre de I et J.

2°) Montrer que trois points ou plus sont alignés

Un point est le barycentre de deux autres alors ces trois points sont alignés.

Application 11

ABCD est un parallélogramme de centre O.

1°) Montrer que pour tout point M on a: MA + MB + MC + MD = 4.MO

2°) Soit G le centre de gravité du triangle ABC. Mo ntrer que les points O, G et D sont alignés.

3°) Montrer que deux droites sont sécantes

Si G est à la fois barycentre des points pondérés (A,a) et (B,b) et des points pondérés (C,c) et (D,d) et trois parmi ces
quatre points ne sont pas alignés alors les deux droites (AB) et (CD) sont sécantes en G.

Application 12 CS = CA ' + CB '
A,B et C sont trois points non alignés donnés.

1°) Construire les points A’, B’ et S tels que CA ' = 3.CA , CB ' = 2.CB et

2°) a) Construire le point G barycentre des poin ts pondérés (A,3) et (B,2).
b) Montrer que les deux droites (AB) et (CS) sont sécantes en G.

3

4°) Montrer que trois droites sont concourantes

Si G est à la fois barycentre des points pondérés :
• (A,a) et (B,b)
• (C,c) et (D,d) alors les trois droites (AB), (CD) et (EF) sont concourantes en G.
• (E,e) et (F,f)

Application 13
ABC est un triangle. On considère les points: J = SC(A), I barycentre des points (A,1) et (B,-3) et K tel que B est le
barycentre des points (K,5) et (C,-2). Montrer que les droites (AK), (BJ) et (CI) sont concourantes.

VI) Lieu d’un point

La notion de barycentre peut être utile lors de la détermination de certains lieux dont la caractérisation nécessite une
réduction d’une somme vectorielle (application des propriétés P2 et P32)
Application 14
ABC est un triangle équilatéral de côté 5. Déterminer puis représenter l’ensemble:

E = {M, M∈ P et MA − MB + MC = 3 }

4

Evaluation du degré d’assimilation du cours

Pour chacune des situations ci – dessous, relevez sur votre cahier les numéros des propositions qui vous semblent
vraies

Situation 1

A,B et C sont trois points tels que C ∉ (AB) alors on peut trouver deux réels α et β tels que α.CA + β.BC = 0

1°) c’est juste 2°) c’est faux

Situation 2

Dans ce cas de figure, G est le barycentre des points pondérés (A,a) et (B,b) où a et b sont deux réels positifs.

1°) c’est juste 2°) c’est faux

Situation 3

D’après la figure ci - dessus, G est le barycentre des points pondérés (A,-4) et (B,10).

1°) c’est juste 2°) c’est faux

Situation 4

ABCD est un parallélogramme signifie D est le barycentre des points pondérés (A,1), (B,-1) et (C,1).

1°) c’est juste 2°) c’est faux

Situation 5
A, B et C sont trois points non alignés et G est le barycentre de (A,1), (B,2). L’ensemble de points M vérifiants :

MA + 2.MB = 3.MC est : 2°) la droite (GC) 3°) l’ensemble vide
1°) {C}

Situation 6 AB = 3.AC alors B est le point de la droite (AC) d’abscisse 3 selon le

A , B et C sont trois points tels que: 2°) c’est faux

( )repère A, AC .

1) c’est juste

Situation 7

ABCD est un quadrilatère. M est un point du plan qui vérifie MA + 2.MB − 3MC + 4.MD = 0 alors M est situé sur

la demi - droite d’origine D et parallèle et de même sens que [CI). ( I étant le barycentre de (A,1) et (B,2).

1) c’est juste 2°) c’est faux

Situation 8

ABCD est un quadrilatère. M est un point du plan qui vérifie 2.MA + 2.MB − 3MC + 5.MD = 0 alors M est le centre

de gravité du triangle ABG où G le barycentre de (C,-3) et (D,5).

1°) c’est juste 2°) c’est faux

5

Situation 9

A, B, C et D sont quatre points tels que trois quelconques parmi eux ne sont pas alignés. Un point G est à la fois le

barycentre de (A,α) et (B,β) et de (C,α) et (D,β) alors les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

1°) c’est juste 2°) c’est faux

Situation 10

D’après la figure ci – contre, J est le barycentre des points pondérés :

1°) (A,1), (B,3) et (C,2). 2°) (A,1), (B,-1) et (C,2)

3°) (A,1), (B,3) et (C,-2)

Solutions des QCM

Situation 1
2°) α.CA + β.BC = 0 signifie C est le barycentre de (A,α) et (B,-β) donc A,B et C sont alignés: ce qui contredit les

hypothèses.

Situation 2

( )2°): et b sont deux réels positifs alors abs(G) = β < 1 selon le repère A, AB
α+β

Situation 3
1°): on a AG = 5 .AB

3

Situation 4
1°): D est le barycentre des points pondérés (A,1), (B,-1) et (C,1) signifie DA − DB + DC = 0
signifie DA + DC = DB

Situation 5
3°): MA + 2.MB = 3.MC signifie MG = MC signifie G = C

Situation 6 signifie B est un point du cercle (ζ) de centre A et de rayon 3.AC
2°) : AB = 3.AC signifie AB = 3.AC

Situation 7
1°): MA + 2.MB − 3MC + 4.MD = 0 signifie 3.MI − 3.MC + 4.MD = 0

signifie DM = 3 CI d’où la conclusion.
4

6

Situation 8
1°): 2.MA + 2.MB − 3MC + 5.MD = 0 signifie 2.MA + 2.MB + 2.MG = 0 d’où la conclusion.

Situation 9

( ) ( )1°): α.GA + β.GB = α.GC + β.GD signifie α. GA − GC = β. GD − GB signifie α.CA = β.BD d’où la

conclusion.

Situation 10 d’où 2.JC + JA + 3.JB = 0 donc J est le barycentre
1°): D’après la figure, on a :
IA + 3.IB = 0 alors JA + 3.JB = 4JI de (A,1), (B,3) et (C,2).
JC + 2.JI = 0 signifie 2.JC + 4.JI = 0

Solutions des applications

Application 1

a) B = A * C signifie CA − 2.CB = 0 signifie AC − 2.AB = 0 d’où α = 1 et β = -2

b) AC − 2.AB = 0 signifie AC − 2.AC − 2.CB = 0 signifie CA − 2.CB = 0 d’où α’ = -2 et β’ = 1

Application 2

on a : − 2=− 2 par suite G=A*B
x 1 alors G est lui – même le barycentre de (A, 1) et (B , 1)
33

Application 3
1ère méthode : en utilisant P2
On a : B est le barycentre de (A,3 ) et (C,2) signifie 3.MA + 2.MC = 5.MB

signifie 3.MA − 5.MB + 2.MC = 0

2ème méthode : Calcul vectoriel sans utiliser P2

( ) ( )3.MA − 5.MB + 2.MC = 3.MA − 3.MB − 2.MB + 2.MC = 3. MA − MB − 2. MB − 2.MC

= 3.BA + 2.BC = 0

7

Application 4

3( )5
K est le barycentre de (A,2 ) et (B,3) signifie abs(K) = selon A , AB

Application 5

i) Construction de G barycentre de (A,2) et (B,3)

ii)
Construction de G barycentre de (A,-2) et (B,3)

Application 6
ABCD est un parallélogramme
signifie AB = DC signifie AB = 2.KC
signifie AK + KB − 2.KC = 0
signifie KA − KB + 2.KC = 0

8

signifie K est le barycentre de points (A,1 ), (B,-1) et (C,2 )

Application 7
Soit G le barycentre des points pondérés (A,2 ), (B, -1) et (C,4)

alors 2.DA − DB + 4.DC = (2 − 1 + 4).DG

signifie 5.AB = 5.DG signifie AB = DG

signifie BA = GD signifie D = t (G)
BA

Application 8
On a : K le barycentre de (F,-2), (L,5) et (R,1 )

et F, L et R non alignés

( )alors selon le repère ℜ = F, FL, FR

abs(K) = 5 = 5
−2 + 5 − 1 2

et ord(K) = −1 = −1
−2 + 5 − 1 2

d’où K  5 , − 1 
 2 2 

Application 9

1ère méthode
H est le barycentre de (I,-2), (J,5) et (K,5 )

signifie −2.HI + 5.HJ + 5.HK = 0 (1)

Soit K’ le barycentre de (I,-2), (J,5) (2)

alors −2.HI + 5.HJ = 3.HK '

(1) et (2) donnent 3.HK ' + 5.HK = 0

signifie H est le barycentre de (K’,3) et (K, 5 )

ainsi le problème est ramené à la construction de deux barycentres de deux couples de deux points pondérés

2ème méthode (plus facile)
On aurait dû commencer par considérer le point I’ barycentre de
(J,5) et (K,5 ). Ce point est plus facile à construire que K’ vu que
c’est l’isobarycentre de J et K donc c’est le milieu de [JK]

Ainsi on aura : 5.HJ + 5.HK = 10.HI ' (3)
−2.HI + 5.HJ + 5.HK = 0 (1)

(1) et (3) donnent 2.KC + KD = 3.KJ −2.HI + 10.HI ' = 0
signifie HI − 5.HI ' = 0

9

5

H est le barycentre de (I,1) et (I’, - 5 ) signifie abs(H) =
( )signifie
4 selon le repère I, II'

Remarque: H est le barycentre de (I,1) et (I’, - 5 ) signifie H est le barycentre de (I,-1) et (I’, 5 ) ce deuxième

énoncé est plus facile à représenter graphiquement.

Application 10 abs(I) = 2 selon
1°) I est le barycentre de (B,6) et (A,-3 ) signifie

( )le repère A , AB

J est le barycentre de (C,-2) et (D,-1 ) signifie 1

( )le repère C, CD . abs(J) = selon

3

2°) On a :
I est le barycentre de (B,-2) et (A,1 )

alors −3.KA + 6.KB = 3.KI
J est le barycentre de (C,-2) et (D,-1 ) signifie J est le
barycentre de (C,2) et (D,1 )

alors 2.KC + KD = 3.KJ

( ) ( )−3.KA + 6. KB + 2.KC + KD = 0 signifie −3.KA + 6. KB + 2.KC + KD = 0

signifie 3.KI + 3.KJ = 0 signifie K est l’isobarycentre de I et J.

Application 11

1°) ABCD est un parallélogramme de centre O signif ie A * C = B * D = O

A * C = O alors pour tout point M, an a MA + MC = 2.MO
B * D = O alors pour tout point M, on a MB + MD = 2.MO

( ) ( )alors MA + MB + MC + MD = MA + MC + MB + MD

= 4.MO (1)

2°) G le centre de gravité du triangle ABC signifi e

GA + GB + GC = 0
alors pour tout point M, on a 0 = 3.OG + OD MA + MB + MC = 3.MG

alors MA + MB + MC + MD = 3.MG + MD (2)
(1) et (2) donnent 4.MO = 3.MG + MD signifie 4.MO = 3.MO + 3.OG + MO + OD
signifie 0 = 3.OG + OD signifie O est le barycentre de (G,3) et (D,1 )

donc O, G et D sont alignés

Application 12

( )1°) CA ' = 3.CA signifie abs(A’) = 3 selon le repère C , CA

10

( )CB ' = 2.CB signifie abs(B’) = 2 selon le repère C , CB

CS = CA ' + CB ' signifie CA’SB’ est un parallélogramme

2°) a) G est le barycentre des points pondérés (A, 3) et (B,2)

2( )5
signifie selon le repère A , AB (on peut utiliser
abs(G) =

Thalès pour la construction de G)

b) On a: CA ' = 3.CA

CB ' = 2.CB alors CS = 3.CA + 2.CB (1)

CS = CA ' + CB '

G est le barycentre des points pondérés (A,3) et (B,2)

alors 3.CA + 2.CB = 5.CG (2)

(1) et (2) donnent CS = 5.CG signifient CS − 5.CG = 0

signifie C est le barycentre des points pondérés (S,1) et (G,-5)
alors C, G et S sont alignés donc G ∈ (CS)

on a A, B et C non alignés alors (AB) ≠ (CS) alors les deux droites (AB) et (CS) sont sécantes en G
G ∈ (AB)

Application 13

On a:

J = SC(A) signifie AC = 1 .AJ
2

signifie 2.AC − AJ = 0
signifie −JA + 2.JC = 0

signifie J est le barycentre des points (A,- 1) et (C,2)

I barycentre des points (A,1) et (B,-3)
signifie I barycentre des points (A,-1) et (B,3)

signifie −IA + 3.IB = 0

B est le barycentre des points (K,5) et (C,-2)

signifie 5.BK − 2.BC = 0 signifie 5.BK − 2.BK − 2.KC = 0 signifie 3.KB + 2.KC = 0

d’où K est le barycentre de (B,3) et (C,2)

Soit O le barycentre de (A,-1), (B,3) et (C,2)
1ère étape

O le barycentre de (A,-1), (B,3) et (C,2) signifie −OA + 3.OB + 2.OC = 0 signifie 2.OI + 2.OC = 0

d’où O est l’isobarycentre de I et C donc O ∈ (CI) (I)

2ème étape

O le barycentre de (A,-1), (B,3) et (C,2) signifie −OA + 3.OB + 2.OC = 0 signifie −OA + 2.OC + 3.OB = 0
signifie OJ + 3.OB = 0 signifie O est le barycentre de (J,1) et (B,3) donc O ∈ (BJ) (II)

11

3ème étape

O le barycentre de (A,-1), (B,3) et (C,2) signifie −OA + 3.OB + 2.OC = 0 signifie −OA + 5.OK = 0

signifie O est le barycentre de (A,-1) et (K,5) donc O ∈ (AK) (III)

Parmi ces trois droites il n’ y a pas deux qui peuvent être parallèles (IV)

D’après (I), (II), (III) et (IV), on déduit que les droites (AK), (BJ) et (CI) sont concourantes en O

Application 14
On a : MA − MB + MC = MA + MC − MB = 2.MI − MB ( I = A * C)

= MJ ( J est le barycentre de (I,2) et (B, -1))
par suite: M∈ E signifie MA − MB + MC = 3 signifie MJ = 3 signifie MJ = 3

signifie l’ensemble E est le cercle de centre J et de rayon 3

Exercices intégratifs

Exercice 1

1°) Réduire les sommes vectorielles ci – dessous :

2u( ) ( )a) 1−1u  + 4 0. 3u 
8  4 

( ) ( ) ( )b) u − 4 u + v + 3 v − u + 2u − v + v − 2 v − 2u + 4u

2°) On donne u = x − 2.y et v = 3 x − 1 y . Exprimer à l’aide de u et v les vecteurs :
25
12

a) 5u − 2v ( )b) 7 u − 2 5u − 2v + v
35

Exercice 2
N.B: les parties I) et II) sont indépendantes.
I) B, C et D sont trois points non alignés et A est le

barycentre de (B,1), (C,1) et (D,-3 ). Montrer que D est le
centre de gravité du triangle ABC.

II) ABC est un triangle. I, J et K sont trois points disposés

comme l’indique la figure ci – contre. Montrer que les
droites (AJ), (BI) et (CK) sont concourantes.

Exercice 3

EFG est un triangle isocèle de sommet principal E et tel que EH = FG = 3.(H étant le pied de la hauteur issue de E)
1°) Construire en justifiant le point I barycentre de points pondérés (E,2), (F,1) et (G,1).

2°) Pour tout point M du plan, on considère le vect eur u = 2.ME − MF − MG . Montrer que la norme de u est

indépendante du point M considéré.

3°) Déterminer et construire l’ensemble de points M du plan qui vérifient : u = 2.ME + MF + MG .

4°) Pour tout entier naturel n, on considère les po ints pondérés (E,2), (F,n) et (G,n).
Montrer que pour toute valeur de n, le barycentre In de ces points pondérés existe et il appartient au segment [EH].

5°) Soit (C n) l’ensemble de points M du plan qui vérifient : n. u = 2.ME + n.MF + n.MG .

a) Vérifier que E est un point de (Cn) puis montrer que (Cn) est un cercle qu’on définira.
b) Exprimer la distance EIn en fonction de n.

Exercice 4

ABC est un triangle quelconque.
1°) a) Construire le point I barycentre de (A,1) e t (B,-4).
b) Montrer que B est le barycentre de (A,-1) et (I,-3)
2°) Soit J le barycentre de (A,1), (C,-2) et (I,3). Montrer que :
a) J appartient à la droite (BC)

( )b) abs(J) = -1 selon le repère B, BC . Construire J.

3°) a)Soit K le barycentre de (C,-2) et (I,3). Cons truire K.
b) Montrer que A,J et K sont alignés
4°) Soit E le barycentre de (C,-2) et (A,1). Montre r que les droites (CB), (AK) et (EI) sont concourantes.

5°) Déterminer ( Γ) l’ensemble des points M du plan qui vérifient: MA + 3.MI − 2.MC = 3.CI + CA

Exercice 5

On considère un quadrilatère convexe ABCD.
1°) Construire de deux manières différentes les poi nts:
a) I barycentre des points pondérés (A,2) et D,1).
b J barycentre des points pondérés (C,3) et (B,-1).

2°) Soit K le point défini par : 2.KA − KB + 3.KC + KD = 0 . Montrer que K,I et J sont alignés.

3°) Soit L le barycentre de (A,2), (C,3) et (B,-1).

13

a) Montrer que les points L,A et J sont alignés.
b) Montrer que les droites (HD) et (IJ) sont sécantes. En déduire une construction de K.
4°) Déterminer et construire l’ensemble ( ζ) des points M du plan qui

vérifient: 2.MA + 3.MC − MB = 3.MI + 2.MJ − MK

Exercice 6

Soit un triangle ABC et les deux points I et J les barycentres respectifs de points pondérés (A,2) et (B,-1) et de (I,1) et
(C,3). Les droites (AJ) et (BC) se coupent en K. On se propose de déterminer l’abscisse de K selon le repère

(B, BC) .

1°) Faire une figure.
2°) Montrer que J est le barycentre de (A,2), (B,-1 ) et (C,3).
3°) Soit H le barycentre de (B,-1) et (C,3).
a) Montrer que les droites (AJ) et (BC) sont sécantes en H.
b) En déduire que K = H puis conclure.

Exercice 7

ABC est un triangle équilatéral de côté 5. Soit A’ est le milieu de [BC]
1°) Construire le point I barycentre de (A,2), (B,1 ) et (C,1).

2°) Déterminer l’ensemble (E 1) des points M tels que 2.MA + MB + MC soit colinéaire à BC
3°) Déterminer l’ensemble (E 2) des points M tels que 2.MA + MB + MC = 2 MB + MC

4°) Déterminer l’ensemble (E 3) des points M tels que 2.MA + MB + MC est orthogonal à MB + MC
5°) Déterminer l’ensemble (E 4) des points M tels que 2.MA + MB + MC = 12

Solutions des exercices intégratifs

Exercice 1

( ) ( )1°) a)−  1  + 0.  = − + 0 =
1 2u 8  4 u  4 3u  2u 2u 0

( ) ( ) ( )b) 
u − 4 u+v +3 v−u + 2u − v + v − 2 v − 2u + 4u 

= u − 4.u + 4.v + 3v − 3.u + 2.u − v + v − 2v − 4u + 4u

= u − 3u + 6v + v − 2v

= u − 3u − 6v + v − 2v

= (1− 3) u + (−6 +1− 2) v

= −2u − 7v

( )2°) a)  3 − 1  = 5x −10y − + 2 = − 48
5u − 2v = 5 x − 2y − 2  2 x 5 y  3x 5 y 2x 5 y

14

b) 7 u − 2  5 u − 2v  + v = 7u−u+ 4v+v= 4u+ 4v+v= 4u+9v
3 5  2  35 3 5 35

( )= 4 + 9  3 − 1  = 4 − 8 + 27 − 9
3 5  2 5 y  3 3 10 25
x − 2y x x y x y

= 121 x − 227 y
30 75

Exercice 2
I) A est le barycentre de (B,1), (C,1) et (D,-3) signifie AB + AC − 3.AD = 0
signifie AD + DB + AD + DC − 3.AD = 0 signifie DB + DC − AD = 0 signifie DB + DC + DA = 0

signifie D est le centre de gravité du triangle ABC.

II) D’après la figure proposée, on a:

K est le barycentre de (B,1) et (A,2) (1)
I est le barycentre de (C,1) et (A,3) (2)
J est le barycentre de (B,3) et (C,2) (3)

(1) signifie K est le barycentre de (B,3) et (A,6)
et (2) signifie I est le barycentre de(C,2) et (A,6)

Soit Ω le barycentre de (A,6), (B,3) et (C,2) signifie 6.ΩA + 3.ΩB + 2.ΩC = 0 9.ΩK + 2.ΩC = 0

( )6.ΩA + 3.ΩB + 2.ΩC = 0 signifie 6.ΩA + 3.ΩB + 2.ΩC = 0 signifie

signifie Ω est le barycentre de (K,9) et (C,2) alors Ω ∈ (CK)

( )6.ΩA + 3.ΩB + 2.ΩC = 0 signifie 6.ΩA + 3.ΩB + 2.ΩC = 0 signifie 6.ΩA + 5.ΩJ = 0

signifie Ω est le barycentre de (A,6) et (J,5) alors Ω ∈ (AJ)

( )6.ΩA + 3.ΩB + 2.ΩC = 0 signifie 6.ΩA + 2.ΩC + 3.ΩB = 0 signifie 6.ΩA + 2.ΩC + 3.ΩB = 0

signifie 8.ΩI + 3.ΩB = 0 signifie Ω est le barycentre de (B,3) et (I,8) alors Ω ∈ (BI)

En résumé: les droites (AJ), (BI) et (CK) ne sont pas parallèles, Ω ∈ (CK), Ω ∈ (AJ) et Ω ∈ (BI)
alors les droites (AJ), (BI) et (CK) sont concourantes en Ω.

Exercice 3

1°) On a :
EFG est un triangle isocèle en E et H est le pied de la hauteur
issue de E alors H = F * G d’où pour tout point I, on a

IF + IG = 2.IH (I) (II)

I est le barycentre de points pondérés (E,2), (F,1) et (G,1)

( )signifie 2IE + IF + IG = 0 signifie 2IE + IF + IG = 0

(I) et (II) donnent 2.IE + 2.IH = 0 signifie I = E * H

d’où la construction de I.

15

2°) On a u = 2.ME − MF − MG = 2.ME − 2.MH = 2.EH
alors u = 2.EH = 2. EH = 2.EH = 2x3 = 6 = constante

ainsi u est indépendante du point M considéré.

3°) Soit ζ l’ensemble cherché. M ∈ ζ signifie u = 2.ME + MF + MG signifie 6 = 4.MI signifie MI = 1.5

d’où ζ est le cercle de centre I et de rayon 1.5
4°) Pour tout n ∈ IN, on a : 2 + n + n = 2 + 2n ≠ 0 et E, F et G sont des points distincts alors In existe.

D’autre part, In est le barycentre des points pondérés(E,2), (F,n) et (G,n) signifie 2.InE + n.InF + n.InG = 0

( )signifie 2.InE + n InF + InG = 0 signifie 2.InE + 2n.InH = 0 signifie In est le barycentre des points

n 0≤ n
sgnifie abs(In) = 1+ n 1+ n
( )pondérés(E,1) et (H,n) <1,
selon le repère E, EH et puisque In ∈ [EH].

5°) a) Pour M = E, n. u = 2.ME + n.MF + n.MG signifie 6n = n.EF + n.EG

signifie 6n = 2n.EH signifie EH = 3 6n = n.EF + n.EG ce qui est vrai pour tout n ∈ IN

donc E est toujours sur (Cn). 3n
signifie 6n = (2 + 2n).MIn signifie MIn = n +1 donc (Cn) est le
On a: n. u = 2.ME + n.MF + n.MG

3n
cercle de centre In et de rayon n +1

3n
b) E étant un point de (Cn) alors EIn = n +1

Remarque : ζ = (C1)

Exercice 4

4

1°) a) I barycentre de (A,1) et (B,-4) signifie abs(I) = selon le

3

( )repère A, AB . Pour la suite de la construction, on peut utiliser Thalès

b) I barycentre de (A,1) et (B,-4) signifie IA − 4.IB = 0

signifie IB + BA − 4.IB = 0 signifie BA + 3.BI = 0

signifie B est le barycentre de (A,1) et (I,3)
signifie B est le barycentre de (A,-1) et (I,-3)
2°) a) J le barycentre de (A,1), (C,-2) et (I,3)

( )signifie JA + 3.JI − 2JC = 0 signifie 4.JB − 2JC = 0 signifie J est le

barycentre de (C,-2) et (B,4) alors J appartient à la droite (BC)
b) J est le barycentre de (C,-2) et (B,4)

( )signifie abs(J) = −2 = −2 = −1 selon le repère B, BC .
4−2 2

3°) a) K est le barycentre de (C,-2) et (I,3)

16

signifie abs(K) = 3 = 3 = 3 selon le
−2 + 3 1

( )repère C, CI .

b) On a K est le barycentre de (C,-2) et (I,3)

signifie −2.KC + 3.KI = 0
signifie −2.KC + 3.KI + KA = KA

et en tenant compte du fait que J le barycentre

de (C,-2), (I,3) et (A,1), on aura 2.KJ = KA
signifie 2.KJ − KA = 0 d’où K est le barycentre

de (J,2) et (A,-1) donc A,J et K sont alignés
4°) On a J le barycentre de (A,1), (C,-2) et (I,3)

signifie JA − 2JC + 3.JI = 0 (1)

et E le barycentre de (C,-2) et (A,1) (2)

(1) et (2) donnent −JE + 3.JI = 0 donc J est le

barycentre de (I,3) et (E,-1) donc J ∈ (EI)
d’autre part, on a d’après:2°) a), J ∈ (BC) et d’après 3°) b), J ∈ (AK)
alors les trois droites (BC), (AK) et (EI) sont concourantes en J.

5°) M ∈ (Γ) signifie MA + 3.MI − 2.MC = 3.CI + CA signifie 2.MJ = 4.CB signifie MJ = 2.CB = JC

donc (Γ) est le cercle de centre J et de rayon JC

Exercice 5

1°) Sur la figure ci – contre, on a utilisé:
a) la méthode des parallèles pour la construction de I et on a
colorié en bleu et en rose tous les éléments qui interviennent
dans cette construction.

b) le théorème de Thalès, pour la construction de J et on a
colorié en vert tous les éléments qui interviennent dans cette
construction.

2°) On a : 2.KA − KB + 3.KC + KD = 0

( ) ( )signifie 2.KA + KD + −KB + 3.KC = 0

signifie 3.KI + 2.KJ = 0 d’où K est le barycentre de

(I,3) et (J,2) donc K,I et J sont alignés

3°) a) On a: L est le barycentre de (A,2), (C,3) et (B,-1)

signifie 4.ML = 4.MK 2.LA + 3.LC − LB = 0

( )signifie 2.LA + 3.LC − LB = 0 signifie

2.LA + 2.LJ = 0 signifie L = A * J par suite L, A et

J sont alignés.
b) On a

2.LA + 3.LC − LB = 0
signifie 2.LA + 3.LC − LB + LD = LD

signifie 2.LA − LB + 3.LC + LD = LD
17

signifie 5.LK − LD = 0

d’où L est le barycentre de (K,5) et (D,-1) par suite K ∈ (LD)

et d’après 2°) K ∈ (IJ) par suite (LD) et (IJ) sont sécantes en K

de plus , les deux droites (LD) et (IJ) sont distinctes

D’après ce qui précède {K} = (LD) ∩ (IJ) d’où la construction de K.

4°) Un pont M du plan appartient à ( ζ) signifie 2.MA + 3.MC − MB = 3.MI + 2.MJ − MK
signifie 4.ML = 4.MK signifie ML = MK signifie M est un point de la médiatrice de [LK]

donc (ζ) est la médiatrice de [LK].

Exercice 6

1°) On a:
I est le barycentre des points pondérés (A,2) et (B,-1)

( )signifie abs(I) = -1 selon le repère A, AB .

J est le barycentre des points pondérés (I,1) et (C,3)

3

signifie abs(J) = selon le repère
( )4
I, IC .

2°) On a 2.JA − JB + 3.JC
= JI + 3.JC

( 2.JA − JB = (2 − 1).JI = JI )

= 0 (J est le barycentre des points

pondérés (I,1) et (C,3))

ainsi 2.JA − JB + 3.JC = 0 signifie J est le barycentre de (A,2), (B,-1) et (C,3).

3°) a) On a:

H le barycentre de (B,-1) et (C,3) alors H est un point de la droite (BC) (I)

et −JB + 3.JC = 2.JH (1)

2.JA − JB + 3.JC = 0 (2)

De (1) et (2) on déduit : 2.JA + 2.JH = 0 signifie J = A * H d’où H ∈ (AJ) (II)
A ∉ (BC) (III)

D’après (I), (II) et (III), les droites (BC) et (AJ) sont sécantes en H

b)

Par hypothèse, (BC) ∩ (AJ) = {K} et d’après 3°) a) (BC) ∩ (AJ) = {H} alors H = K

H le barycentre de (B,-1) et (C,3) signifie K le barycentre de (B,-1) et (C,3)

3

abs(K) = selon
( )signifie
2 B, BC

18

Exercice 7

1°) 1ère méthode
A’ est le milieu de [BC] signifie A’ est l’isobarycentre de B et C

signifie IB + IC = 2.IA ' (1)

I barycentre de (A,2), (B,1) et (C,1) signifie 2.IA + IB + IC = 0 (2)

De (1) et (2) on déduit : 2.IA + 2.IA ' = 0 signifie I = A * A’

2ème méthode
ABC est un triangle alors A, B et C ne sont pas alignés

( )alors A , AB , AC est un repère du plan

I barycentre de (A,2), (B,1) et (C,1) alors I  1 , 1  selon
 4 4 
( )le repère A , AB , AC

2°) M ∈ (E1) signifie 2.MA + MB + MC = k.BC (k ∈ IR)
signifie 2.MA + 2.MA ' = k.BC
signifie 4.MI = k.BC signifie IM = − k .BC
4

signifie IM = k '.BC signifie M est un point de la droite

passant par I et de vecteur directeur BC

ainsi (E1) est la droite parallèle à (BC) passant par I.

3°) M ∈ (E2)

signifie 2.MA + MB + MC = 2 MB + MC

signifie 4.MI = 2 2.MA ' signifie MI = MA’

signifie M est un point de la médiatrice de [IA]
ainsi (E2) est la médiatrice du segment [IA]

4°) M ∈ (E3) signifie 2.MA + MB + MC est orthogonal à

MB + MC

d’autre part 2.MA + MB + MC = 4.MI

et MB + MC = 2.MA '

alors M ∈ (E3) signifie MI est orthogonal à MA '

signifie M est un point du cercle de diamètre [IA’]
ainsi (E3) est le cercle de diamètre [IA’].

5°) M ∈ (E4) signifie 2.MA + MB + MC = 12 signifie 4.MI = 12 signifie MI = 3

signifie M est un point du cercle de centre I et de rayon 3
ainsi (E4) est le cercle de centre I et de rayon 3

19

Translation

I) Définition

1°) Enoncé

u étant un vecteur donné, on appelle translation de vecteur u , l’application notée : t u définie par :

t :P→P t (M) = M’ signifie u = MM'
u u
M ֏ M'

tu (M) = M’

2°) Méthodes de définition d’une translation

Une translation sera parfaitement définie, si on connaît:
son vecteur
un point et son image

Application 1

Compléter le tableau ci – dessous en se servant de la figure ci - contre

Vecteur 1 .AB AD ?.A ? ? .C ? ? .C ? 2.EF
2

Antécédent F G

Image BE D D

II) Comment reconnaître si une application est une translation

1°) En appliquant la définition

Une application f définie dans le plan est une translation
si et seulement si

il existe un vecteur fixe u tel que:
pour tout point M du plan d’image M’ par f, on a u = MM'

Application 2

Dans un plan P, on considère deux points distincts et fixes A et B et l’application f définie par :

20

f:P→P
M ֏ M' tel que MM' = a.AM + b.BM

1°) Exprimer MM' en fonction des vecteurs MA et AB .

2°) Comment faut – il choisir a et b pour que f soi t une translation. Déterminer alors son vecteur.

2°) En appliquant la propriété caractéristique

Une application f définie dans le plan est une translation
si et seulement si

pour tout point M et tout point N d’images respectives M’ et N’ par f on a : M'N' = MN

Application 3

Dans un plan P, on considère deux points distincts et fixes A et B et l’application f définie par :

f : M ֏ M' signifie MM' = 2.MO - 2.MA + 3.OA (O étant le milieu de [AB])

1°) Montrer que f est une translation.
2°) Déterminer les images de B et O par f.

3°) A l’aide de ses expressions analytiques

( )Le plan étant rapporté à un repère O, i, j .

( ) ( )une application f définie dans le plan est une translation de vecteur u a i ,j
b selon la base

si et seulement si ce système est une définition analytique de f
x’ = x + a

à tout point M(x,y), f associe le point M’(x’,y’) tel que
y’ = y + b

Commentaires

La définition analytique d’une application définie dans le plan consiste à exprimer - selon un repère donné -
les coordonnées de l’image en fonction de celles de l’antécédent.
Ce théorème ne faisant pas partie du programme de la deuxième année, par suite la résolution des exercices
faisant intervenir les expressions analytiques offrent une occasion pour la maîtrise du calcul vectoriel et
l’application de la définition ou de la propriété caractéristique d’une translation.

Application 4

On considère dans le plan, l’application f qui à tout point M(x,y), associe le point M’(x’,y’) tel que :
x’ = x + 5
y’ = y - 2

1°) Déterminer les coordonnées du
a) point A’ image du point A(-5, 2)
b) point B antécédent du point C(3,1)

2°) Montrer que f est une translation qu’on caracté risera.

III) Interactions avec d’autres notions

Egalité de deux vecteurs

21

AB = CD

signifie t (C) = A
DB

signifie t (D) = C
BA
signifie t (B) = D
AC

signifie t (C) = A
DB

Application 5

Soit un triangle ABC et C’ le point défini par AC' = AC − 2.AB .

1°) Montrer que: C' = t (C)
−2.AB

2°) Soit I = C * C’. Montrer que: I = t (A)
BC

IV) Configurations qui laissent penser à une translation

1°) Un segment et son milieu

I=A*B

signifie t (I) = B = t21AB (I)

AI

signifie t (A) = I= t21AB (A)

AI

2°) Deux droites parallèles D et ∆ étant deux droites parallèles
3°) Deux segments parallèles et isométriques alors pour tout point A de D
et tout point B de ∆
on a : t (D) = ∆

AB

Cas particulier : si A et B sont deux
points de D alors t (D) = D. On dit que

AB

D est invariante par la translation t
AB

Dans chacun de ces deux cas de figure, on a:
(AB) // (CD) et AB = CD
alors
t (C) = D

AB

(on tient compte aussi de la disposition des points)

22

4°) Les milieux des côtés d’un triangle

D’après cette figure et à titre indicatif, on a :

t : B ֏ C'
A 'B'
C' ֏ A

et

t : A'֏ C
BA '
C' ֏ B'

5°) Un parallélogramme quelconque ( ou losange, car ré, rectangle)

t :B֏ A
BA

C֏ D

t :A֏D
AD

B ֏C

6°) Deux cercles isométriques

t : ζ ֏ζ'
OO'
V) Situations où l’outil TRANSLATION peut être utile

1°) Montrer que deux droites sont parallèles
a)

23

Si
tu : A ֏ A’
B ֏ B’

alors
(AB) // (A’B’)

b)

Si

tu : D1 ֏ D1’
D2 ֏ D2’
D1 // D2

alors
D’1 // D’2

Application 6 iii) F l’image de H par t
AC
1°) ABC étant un triangle donné, construire les po ints :
i) H : projeté orthogonal de A sur (BC) ii) E l’antécédent de H par t

BA

2°) Montrer que les droites (BE) et (CF) sont paral lèles

2°) Montrer que deux droites sont perpendiculaires

Si

D1 ⊥ D2
et tu : D1 ֏ D’1

D2 ֏ D’2

alors
D’1 ⊥ D’2

24

Application 7
ζ et ζ’ sont deux cercles isométriques de centres respectifs O et O’ et sécants en A et B. On désigne par A’ l’image

de A par la translation t de vecteur OO ' .
1°) Montrer que [A’B] est un diamètre de ζ’.
2°) En déduire que pour tout point M de ζ distinct de A, les droites (AM) et (BM’) sont perpendiculaires. (M’ = t(M))
3°) Que représente le point A pour le triangle BMM’ ?

3°) Montrer que trois points ou plus sont alignés
Si A, B et C sont trois points alignés d’images respectives A’, B’ et C’ par une translation t

u

alors
les points A’, B’ et C’ sont alignés

Application 8 ii) J = t (B) iii) P = I * J iv) K = t (A)
On considère trois points non alignés O, A et I. AI OJ
1°) Construire les points

( )i) B de la droite (OA) d’abscisse 3 selon le repère O , OA

2°) a) Déterminer les images des points A et B par la translation de vecteur OI .

b) Déduire l’alignement des points I, J et K.

4°) Montrer que deux droites sont sécantes

Si

tu(D1) = D'1

tu (D2 ) = D'2
D1 ∩ D2 = {I}

Alors:
D’1 et D’2 sont sécantes

et tu(D1) ∩ tu (D2) = tu ({I})

Application 9
ABC est un triangle. G est le barycentre de (A, - 2) et (B, 3).

1°) Construire la droite ∆ image de (AC) par t .
AG

2°) Montrer que ∆ et (BC) sont sécantes.

5°) Montrer que deux angles sont égaux

25

Si

tu : A ֏ A’

B ֏ B’
C ֏ C’

alors
BÂC = B’Â’C’

Application 10
Montrer que si deux angles uÔv et u’Ô’v’ sont tels que : leurs côtés [Ox) et [O’x’) d’une part et [Oy) et [O’y’) d’autre
part sont parallèles et situés dans le même demi – plan de frontière (OO’) alors ces deux angles sont égaux.

6°) Montrer qu’un point est le barycentre de 2 ou 3 points pondérés (y compris le
cas de milieu)

Si :

• G est le barycentre de (A,a) et
(B,b)

• tu : A ֏ A’

B ֏ B’
G ֏ G’
alors

G’ est le barycentre de (A’,a) et (B’,b)

Application 11
A, B et C sont trois points donnés non alignés.
1°) Construire le point I barycentre de (A,-2) et ( B,3)
2°) Soit A’ le point défini par : −2.A ' A + 3.A 'B + 2A 'C = 0
a) Montrer que les points A’, I et C sont alignés. Construire A’
b) Construire les points B’ et C’ images respectives de B et C par t

AA '

3°) La droite ∆ parallèle à (IC) et passant par C’ coupe la droite (A’B’) en J. Montrer que J est le barycentre des points
pondérés (A’,α) et (B’,β) où α et β sont deux réels à déterminer.

VI) Réaliser une construction

Application 12
1°) a) Tracer: un parallélogramme ABEF, une droite D passant par E
et une droite ∆ passant par F et sécante à D.
b) Montrer que le point E appartient à l’image de ∆ par une translation
qu’on définira.
2°) Dans cette question, on vous propose la figure ci – contre:
deux droites sécantes D1 et D2 et deux points distincts J et O
n’appartenant ni à D1 ni à D2.
On vous demande de construire un parallélogramme JOUE
où U appartient à D1 et E appartient à D2.
Inspirez – vous de la figure d’étude réalisée en 1°) pour construire le point O puis construire le point E.

26

VII) Lieu d’un point

Application 13
Dans un plan P, on considère :

• deux points fixes et distincts A et B
• un point variable C respectant l’égalité AC = AB.
1°) On désigne par I = B * C, Déterminer l’ensembl e de points I lorsque C varie
2°) On désigne par J le symétrique de B par rapport au milieu K de [AI], Déterminer l’ensemble de points J lorsque C
varie

Commentaires
La plupart des élèves ne trouve pas une grande difficulté pour assimiler une solution bien rédigée,
mais c’est qui est gênant c’est plutôt l’idée de départ:

• par quoi faut – il commencer ?
• les mêmes hypothèses peuvent être exploitées dans plusieurs sens et par suite mener à un blocage

dans certains cas!
• quel est l’indice d’un bon choix ?
c’est là - particulièrement - où réside la délicatesse d’une question de géométrie, il faut mobiliser toutes
ses compétences de:

lire un énoncé, le résumer – dans la mesure du possible – par une figure puis en dégager des
relations entre ses différents éléments.
traduire - mentalement ou sur une feuille de recherche – les hypothèses à l’aide des relations
mathématiques et des propriétés des configurations usuelles en faisant des analogies et des
comparaisons
énoncer une conjecture et la valider - ou s’apercevoir qu’elle est invalide - puis rédiger dans un
langage clair et précis une preuve justifiée.
Le fait qu’une translation est une bijection nous garantit le sens direct et la réciproque, par suite les
deux inclusions sont traitées en même temps.
Ne pas oublier que la pratique de cette espèce de problèmes nécessite un apprentissage continu
donc de la patience

27

Evaluation du degré d’assimilation du cours

Pour chacune des situations ci – dessous, relevez sur votre cahier les numéros des propositions qui vous semblent
vraies

Situation 1

Dans la figure ci – contre, le nombre de triangles
qui se déduisent du triangle ABC par une
translation – autre que l’identité – est :

1°) 3
2°) 1
3°) 2

Situation 2

Le nombre de points fixes par une translation autre que l’identité est :

1°) 1 2°) 0 3°) une infinité
3°) une infinité
Situation 3

Le nombre de translations qui fixent une droite D donnée est :

1°) 1 2°) 0

Situation 4

Dans la figure ci – contre, ABCD et CDEF sont deux parallélogrammes
isométriques et tel que A, D et E ne sont pas alignés

1°) il existe au moins une translation qui trans forme ABCD en CDEF
2°) il n’existe aucune translation qui transfor me ABCD en CDEF

Situation 5
On peut se servir de l’outil translation pour justifier l’égalité de deux

angles marqués de la figure ci – contre. (D1 est parallèle à D2)
1°) oui
2°) non

Situation 6 t (A) = A ' ) alors t (B) = B'
u u
( t ((AB)) = (A 'B ') et 28
u 2°) faux

1°) vrai

Situation 7 t (B) = B' ) alors t ((AB)) = (A 'B ')
( t (A) = A ' et u u
2°) faux
u

1°) vrai

Situation 8 alors ( t (A) = A ' et t (B) = B' )
uu
t ([AB]) =[A 'B '] 2°) faux
u
1°) vrai

Situation 9 signifie ( t (A) = A ' et t (B) = B' )
uu
t ([AB]) =[A 'B '] 2°) faux
u
1°) vrai

Situation 10

ABCD est un parallélogramme. Le nombre de translations qui transforment (AB) en (CD) et (AD) en (BC) est :

1°) 1 2°) 0 3°) une infinité

Solutions des QCM

Situation 1

1°) Il y a trois triangles: GFC, CED et IKJ
( un triangle et son image par une translation sont isométriques et………)

Situation 2

2°): toute translation de vecteur non nul ne possède aucun point fixe

Situation 3
3°): toute translation dont le vecteur est un vecteur directeur de D transforme tout point de D en un point de D: par

suite elle fixe D

Situation 4
2°): (AD) et (DE) ne sont pas parallèles (par exemple)

Situation 5
1°): il suffit de considérer la translation de vecteur O1O2

Situation 6

2°)

Situation 7
1°)

Situation 8
1°)

29

Situation 9
1°)

Situation 10
1°) Soit t une translation qui vérifient les hypothèses de l’exercice alors t((AB) ∩ (AD)) = (CD) ∩ (BC)
d’où t({A}) = {C} alors t(A) = C

Conclusion : il existe une seule translation qui transforme (AB) en (CD) et (AD) en (BC), elle a pour vecteur AC AC

Solutions des applications

Application 1

Vecteur 1 .AB AD 1 .CA 1 .CF 1 .CA 2.EF
2 2 2 2

Antécédent F D G G E B

Image E B E D D A

Application 2

1°) f(M) = M’

Signifie BB ' = BO + 2.OA − 2.BA + OA

( ) MM' = a.AM + b.BM = a.AM + b.BA + b.AM

M'N' = −2. AM + NA − 2.NA + 3.OA

Signifie MM' = (a + b).AM - b.AB

2°) i) f sera une translation, si (a + b).AM est nul pour tout point M du plan

ce qui se réalise pour (a + b) = 0
Signifie a = - b
ii) Si a = - b

MM' = a.AM + b.BM

Signifie MM' = a.AB c’est un vecteur fixe : c’est le vecteur de f.

Application 3

1°) Soient M et N deux points quelconques du plan d’images respectives M’ et N’ par f

signifie MM' = 2.MO − 2.MA + 3.OA et NN' = 2.NO − 2.NA + 3.OA

on a : M'N' = M'M + MN + NN' = 2.OM− 2.AM− 3.OA + MN + 2.NO − 2.NA + 3.OA

( ) ( )= 2. NO + OM −2. AM+NA + MN

d’où M'N' = MN par suite f est une translation.

2°) i) Posons B’ = f(B)

signifie BB ' = 2.BO − 2.BA + 3.OA

30

= 2.BO + 2.OA − 2.BA + OA

= OA = BO

ainsi f(B) = O
ii) Posons O’ = f(O)

signifie OO ' = 2.OO − 2.OA + 3.OA = OA

d’où f(O) = O’ = A

Application 4

1°) D’après les expressions analytique de f:

a) xA’ = (-1) + 5 = 0 et yA’ = 2 - 2= 0 ainsi A’( 0, 0) = O

b) 3 = xB + 5 signifie xB = -2

ainsi B( - 2, 3)

1 = yB - 2 signifie yB = 3

2°) 1ère méthode :
• Soit M(x1, y1) et N(x2,y2) deux points quelconques du plan d’images respectives M’ (x’1,y’1) et N’(x’2,y’2)

d’où x’1 = x1 + 5 x’2 = x2 + 5
y’1 = y1 – 2 et

y’2 = y2 - 2

d’autre part, on a M'N'yx''22 - yx11''  en continuant le calcul et en remplaçant : x’1, y’1, x’2 et y’2 par leurs
-

expressions respectives en fonction de x1, y1, x2 et y2 on aura : M'N' = MN

d’où f est une translation

• A(-5, 2) a pour image O(0,0) par la translation f

( )Conclusion: 5
f est la translation de vecteur AO −2

2ème méthode

Soit M(x, y) un point quelconque du plan d’image M’ (x’,y’) et N’(x’,y’) par f

on a MM 'xy ' − xy en remplaçant : x’ et y’ par leurs expressions respectives en fonction de x et y on aura :
' −

( )MM'5 c’est un vecteur fixe: ses coordonnées sont indépendantes de x et de y
−2

( )ainsi u 5
f est la translation de vecteur : −2

Commentaire : il est à noter que dans ce cas d’exercice, la deuxième méthode ( celle qui repose sur l’application de
la définition, nous garantit à l’aide d’un même calcul vectoriel deux résultats à la fois :

• prouver que f est une translation
• déterminer le vecteur de la translation

31

Application 5

1°) On a :
AC' = AC − 2.AB

signifie CA + AC' = − 2.AB

signifie CC' = − 2.AB

signifie C' = t (C)
−2.AB

2°) on a I = C * C' signifie CI = 1.CC'
2
( )signifie CI = 1. −2.AB
2

signifie CI = − AB = BA

signifie I = t (A)
BC

Application 6

1°)

2°) Une figure bien soignée peut être lue de

différentes manières donc c’est une source de

plusieurs idées parmi les quelles on cite les

suivantes :
1ère méthode

On a:

• t (B) = A et t (E) = H
BA BA

alors t ((BE)) = (AH)
BA

alors (BE) // (AH) (1)

• t (A) = C et t (H) = F
AC AC

alors t ((AH)) = (CF)
AC

alors (AH) // (CF) (2)

(1) et (2) entraînent que (BE) // (CF)

2ème méthode
on a :

• t (E) = H signifie BA = EH signifie BE = AH (3)
BA

• t (H) = F signifie AC = HF signifie CF = AH (4)
AC

(3) et (4) entraînent que BE = CF alors (BE) // (CF)

3ème méthode

On a : t (E) = H signifie BA = EH et t (H) = F signifie AC = HF
BA AC
alors BA + AC = EH + HF

signifie BC = EF signifie BE = CF alors (BE) // (CF)

32

Application 7

1°) On a:
• AO = AO’ donc A est sur la médiatrice de [OO’]
• BO = BO’ donc B est sur la médiatrice de [OO’]
• A≠B

alors (AB) est la médiatrice de [OO’]
alors (AB) ⊥ (OO’) (1)
d’autre part on a : t(A) = A’

donc AA ' = OO' donc (AA’) // (OO’) (2)

(1) et (2) donnent (AB) ⊥ (AA’) en A
de plus, on a A, A’ et B sont des points de ζ’

alors ζ’ est le cercle circonscrit au triangle ABA’
rectangle en A
alors [A’B] est un diamètre de ζ’

2°) on a :
• M ∈ ζ signifie t(M) ∈ t(ζ) signifie M’ ∈ ζ’
et on a [A’B] est un diamètre de ζ’

alors (BM’) ⊥ (A’M’) (3)
• t((AM)) = (A’M’)

alors (AM) // (A’M’) (4)
(3) et (4) donnent (BM’) ⊥ (AM)

3°) on a :
• (BM’) ⊥ (AM) alors (AM) est la hauteur issue de M
dans le triangle BMM’
• t(M) = M’ alors (MM’) // (OO’)
et (AB) ⊥ (OO’) alors (AB) ⊥ (MM’) alors (AB) est la hauteur issue de B dans le triangle BMM’
• ainsi les deux hauteurs (AB) et (AM) se coupent en A donc A est l’orthocentre du triangle BMM’

Application 8
1°)

2°) a) La lecture de la figure nous mène à conjecturer que: t (A) = P et t (B) = K

OI OI

Démontrons ces conjectures:

i) On a:

• t (B) = J signifie AI = BJ signifie AB = IJ signifie 1 .AB = 1 .IJ (I)
2 2
AI

• OB = 3.OA signifie OA + AB = OA + 2.OA signifie AB = 2.OA signifie 1 (II)
.AB = OA
2

33

• P=I*J signifie IP = 1 .IJ (III)
2

(I), (II) et (III) donnent OA = IP signifie OI = AP signifie t (A) = P

ii) on a: t (A) = K signifie OJ = AK signifie OA = JK OI
signifie OI + IA = JB + BK
OJ

signifie OI = BK (d’après i) on a AB = IJ )

signifie t (B) = K

OI

b) On a:

• B est un point de la droite (OA)

alors O, A et B sont alignés

alors t (O) , t (A) et t (B) sont alignés
OI OI OI

d’où I, P et K sont alignés

donc K est un point de la droite (IP) (a)

• P=I*J

donc J est un point de la droite (IP) (b)

(a) et (b) donnent I, J et K sont alignés.

Application 9

1°)
• G est le barycentre de (A, -2) et (B,3)

signifie t (A) = G
AG

• On a t (A) = G donc t ((AC)) est la
AG AG

parallèle à (AC) passant par G
alors on a ∆ // (AC) et G ∈ ∆

2°) 1ère méthode
on a (AC) ∩ (BC) = {C}

alors tAG ((AC)) ∩ tAG ((BC)) = {tAG (C)} : c’est

un singleton ( l’image d’un point par une translation est un point )
alors l’ensemble ∆ ∩ (BC) est formé d’un seul point

donc ∆ et (BC) sont sécantes

2ème méthode

• ABC est un triangle alors (BC) coupe (AC) (1)

• t ((AC)) = ∆ alors ∆ // (AC) (2)
AG

(1) et (2) donnent ∆ et (BC) sont sécantes.

Application 10

Considérons la translation t , on a :
OO '

d’une part :
• t (O) = O’

OO '

• [Ou) et [O’u’) sont parallèles et situés
dans le même demi – plan de frontière
(OO’)

alors t ([Ou)) = [O’u’) (1)
OO '

34

d’autre part :
• t (O) = O’

OO '

• [Ov) et [O’v’) sont parallèles et situés dans le même demi – plan de frontière (OO’)
alors t ([Ov)) = [O’v’) (2)

OO '

(1) et (2) donnent t ( uÔv) = u’Ô’v’ d’où uÔv = u’Ô’v’
OO '

Application 11

1°) I est le barycentre de (A,-2) et (B,3)

signifie AI = 3.AB

2°) a) −2.A ' A + 3.A 'B + 2A 'C = 0

( )signifie −2.A ' A + 3.A 'B + 2A 'C = 0

signifie 3.A 'I + 2.A 'C = 0

signifie A’ est le barycentre des points pondérés
(I,3) et (C,2)

d’où l’alignement des points A’, I et C.

b) AA ' = BB ' = CC'

3°) On a :

• t (A) = A’ et t (B) = B’ alors t ((AB)) = (A’B’)
AA ' AA ' AA '

• t (C) = C’ alors t ((IC)) est la parallèle à (IC) qui passe par C’ d’où t t ((IC)) = ∆
AA ' AA ' AA ' AA '

• { I } = (AB) ∩ (IC) alors { t (I) } = t ((AB)) ∩ t ((IC)) = (A’B’) ∩ ∆ = {J}
AA ' AA ' AA '

ainsi t (I) = J
AA '

on a I est le barycentre de (A,-2) et (B,3)

alors t (I) est le barycentre de ( t (A),-2) et ( t (B),3)
AA ' AA ' AA '

alors J est le barycentre de (A’,-2) et (B’,3)

Application 12 d’où E ∈ t (∆)
AB
1°) a) Figure ci – contre.
b) On a

• ABEF est un parallélogramme

signifie AB = FE signifie t (F) = E
AB
• F ∈ ∆ alors t (F) ∈ t (∆)
AB AB

2°) D’après l’analyse faite en 1°) b):
• le point U appartient à la droite D’2 image de la droite D2 par la translation de vecteur JO

35

et puis que D1 et D2 sont sécantes, U est alors l’intersection de D1 et D’2.

• JOUE est un parallélogramme signifie JO = EU

signifie JE = OU signifie E = t (J)
OU

Etapes de la construction et exécution
On construit successivement:
la droite D’2 image de la droite D2 par la
translation de vecteur JO
le point U intersection de D1 et D’2.

le point E image du point U E = t (J) par
OU

la translation de vecteur OJ

Discussion de
Dans les conditions de l’exercice, toutes les étapes
la construction sont possibles. Notre problème
possède toujours une solution qui est unique.

Application 13

1°)
L’étape expérimentale de la démarche

de résolution de ce type d’exercices nous conduit
à conjecturer que l’ensemble cherché est un
cercle

AB = AC et I = B * C
alors (AI) est la médiatrice de [BC]
alors le triangle AIB est rectangle en I
par suite l’ensemble des points I est le cercle de
diamètre [AB] privé de A et B qu’on notera : (ζ)
2°) On a K = A * C = I * J
signifie le quadrilatère ABIJ est un
parallélogramme

d’où AB = JI signifie BA = IJ signifie t (I) = J
BA

On a I ∈ ζ signifie t (A)
BA

signifie J varie sur l’image de ζ par la translation t : c’est le cercle de diamètre [AA’] privé des points A et A’
BA

( A= t (B) et A’ = t (A) )
BA BA

36

Exercices intégratifs

Exercice 1

Le sommet C du triangle ABC ci – contre se trouve hors de la
feuille.
Construire le triangle A’B’C’ image du triangle ABC par la translation
de vecteur BE .
(Les étapes de la construction doivent être justifiées)

Exercice 2

ABCD est un quadrilatère convexe. On pose I = A * B, J = C * D, E = SI(D) et F = SJ(D).
1°) Faire une figure.
2°) Démontrer que le triangle BCD est l’image du tr iangle EFA par une translation que l’on définira.

Exercice 3

I) A et B sont deux points donnés, f est l’application qui à chaque point M du plan associe le point M’ défini par:
AM' = 2 .AM + 1.BM . Montrer que f est une translation que l’on définira.
33

II) [AB] est un diamètre d’un cercle (ζ) de centre O. E est un point fixe sur (ζ) distinct de A et de B, M est un point
variable sur ζ / {A,B} et H désigne l’orthocentre du triangle AME.
1°) Quelle est la nature du quadrilatère MHEB.
2°) Quel est l’ensemble des points H lorsque M vari e?

Exercice 4

Deux cercles (C1) et (C2) de même rayon et de centres respectifs I et J sont sécants en deux points A et B. Une droite
∆ passant par A et distincte de (AB) recoupe (C1) en E et (C2) en F. La parallèle à (IJ) passant par E et la
perpendiculaire à ∆ en F se coupent en un point M. On pose: A’ = SI(A) et A" = SJ(A)

1°) Montrer que t (A ') = A ''
2.IJ

2°) Déterminer les images des droites (EM) et (EA’) par la translation de vecteur 2.IJ

3°) En déduire que t (E) = M
2.IJ

4°) Soit G le point tel que J soit le milieu de [GB] . Montrer que : A " G = A " J + A 'I (Calcul vectoriel)

Exercice 5

Soit un segment [AB] de milieu O.
1°) Construire le point I barycentre des points pon dérés (A,3) et (B,1).
2°) C est un point tel que le triangle ABC soit rect angle en C. Sur quelle ligne fixe ( Γ ) se déplace le point C ?
3°) Dans toute la suite, on considèrera en plus que : BÂC > 60°.
a) Construire le point K barycentre des points pondérés (A,-2) et (C,1) et (I,2).
b) Montrer que AO = CK
c) En déduire l’ensemble ( Γ’ ) décrit par le point K lorsque C varie.
4°) Construire un point P sur la demi – droite [BC) et un point Q sur ( Γ ) tel que AO = PQ

Exercice 6 ii) ∆1: la perpendiculaire à (EF) issue de P

EFG est un triangle quelconque d’orthocentre H. 37
1°) Construire : i) un point P sur [EF) / [EF]

iii) D: la perpendiculaire à (FG) en G iv) {A} = ∆1 ∩ D v) B = t (A)
GF
vi) ∆2: la perpendiculaire à (EG) issue de B iiv) {Q} = ∆2 ∩ (EG)
iix) {C} = ∆1 ∩ ∆2

2°) Montrer que ABFG est un rectangle.

{ }t (C) = {H} t (A) = G
3°) a) Montrer que t (∆1) = (GH) BF CH
BF
AG = CH

b) Déterminer t (∆2 )
BF

c) En déduire t (A)
CH

4°) Montrer que lorsque P varie, le point C reste su r une ligne fixe qu’on déterminera.

Exercice 7

Soit une corde [AB] d’un cercle (ζ) de centre O (O ∉ [AB]).

1°) a) Construire le point O’ = t (O)
AB

b) Déterminer et construire l'ensemble (ζ') image de (ζ) par t
AB

c) Montrer que B est un point de (ζ')
2°) La droite (AB) recoupe ( ζ’) en B’

a) Montrer que t (B) ∈ (AB) ∩ (ζ ')
AB

b) Déterminer t (B)
AB

c) Déduire que AB ' = 2.OO '

3°) Soit Δ la médiatrice du segment [AB] et Δ' la médiatrice du segment [BB’]
a) Montrer que Δ // Δ’

b) Déterminer t (∆)
AB

38

Solutions des exercices intégratifs

Exercice 1

On a :

t (B) = B' signifie A ' = t (A) BE = BB' signifie B’ = E
BE BE

on applique la définition pour construire le point A ' = t (A)
BE

soit ∆1 = t ((AC)) alors ∆1 est la parallèle à (AC) qui passe par A’ et ∆2 = t ((AB)) alors ∆2 est la parallèle
BA BA

à (AC) qui passe par A’

{C} = (AC) ∩ (AB) alors t ({C}) = t ((AC)) ∩ t ((AB)) donc {C’} = ∆1 ∩ ∆2
BE BE BE

Exécution

Exercice 2

1°) Voir la figure

2°) On a :
J=A*C=D*F

signifie ADCF est un parallélogramme
signifie AD = FC

signifie t (A) = D (1) et t (F) = C (2)
AD AD

I=A*B=D*E
signifie ADBE est un parallélogramme
signifie AD = EB

signifie t (E)= B t (E)= B (3)
AD AD

de plus D, B et C ne sont pas alignés
(1), (2) et (3) donnent le triangle BCD est l’image du triangle EFA par t

AD

Exercice 3 signifie 3.AM' = 2.AM + 1.BM

1ère méthode
Pour tout point M du plan, on a:

f(M) = M’ signifie AM' = 2 .AM + 1.BM
33

signifie 3.AM' =3.ΩM ( Ω est le barycentre de (A,2) et (B,1))

signifie AM' =ΩM signifie AΩ =M'M signifie ΩA =MM'

signifie t (M) =M' d’où f = t
ΩA ΩA

39

2ème méthode

Soit M et N deux points quelconques du plan d’images respectives M’ et N’ par f

d’où AM' = 2 .AM + 1.BM (1) et NN' = MM' AN' = 2 .AN + 1.BN (2)
33 33

( ) ( )(1) - (2) signifie AM' − AN' = 2 . AM − AN + 1. BM − BN
33

signifie N'M' = 2 .NM + 1.NM signifie N'M' = NM d’où f est une translation
33

Pour déterminer son vecteur, on reprendra la 1ère méthode

II) 1°) On a :
• Dans le triangle AME, (MH) est une hauteur
alors (MH) ⊥ (AE) (1)
• [AB] est un diamètre de (ζ) et B ∈ ( ζ / {A,B})
alors le triangle ABE est rectangle en E
alors (BE) ⊥ (AE) (2)

(1) et (2) donnent (MH) // (BE) (I)
• Dans le triangle AME, (EH) est une hauteur
alors (AM) ⊥ (EH) (3)
• [AB] est un diamètre de (ζ) et M ∈ ( ζ / {A,B})
alors le triangle ABM est rectangle en M
alors (BM) ⊥ (AM) (4)

(3) et (4) donnent (EH) // (BM) (II)
(I) et (II) donnent : le quadrilatère MHEB est un parallélogramme.

2°) le quadrilatère MHEB est un parallélogramme si gnifie BE = MH = t (A)= A ' signifie t (M)= H
BE BE

On a M ∈ ( ζ / {A,B}) signifie t (M) ∈ t (ζ / {A,B}) signifie H ∈ t (ζ / {A ,B})
BE BE BE

donc l’ensemble Γ des points H est l’image d’un cercle par une translation c’est alors le cercle de diamètre [A’E] privé

des points E et A’ (où A’ = t (A) )
BE

Exercice 4 alors A ' A '' = 2.IJ signifie t (A ') = A ''
2.IJ
1°) On a A’ = SI(A) signifie I = A * A’
et A" = SJ(A) signifie J = A * A’’

et A, A’ et A’’ non alignés

2°) On a :

(EM) parallèle à (IJ) alors 2.IJ est un vecteur directeur

de (EM) alors t ((EM)) = (EM)
2.IJ

t (A ') = A '' alors l’image de (EA’) par t est la
2.IJ 2.IJ

parallèle à (EA’) qui passe par A’’. (I)
A’ = SI(A), I est le centre de (C1) et A est un point de
(C1) alors [AA’] est un diamètre de (C1)
• d’autre part E est un point de (C1) alors (EA’)
est perpendiculaire à (EA) = ∆ (1)
A’’ = SJ(A), J est le centre de (C2) et A est un point de (C2) alors [AA’’] est un diamètre de (C2)
• d’autre part F est un point de (C2) alors (FA’’) est perpendiculaire à (FA) = ∆ (2)

40

(1) et (2) donnent (EA’) et (FA’’) sont parallèles: ce résultat et le résultat (I) ci – dessus nous permettent de

conclure que : t2.IJ ((EA ')) = (FA '') .

3°) On a:
• d’après (2), (FA’’) est perpendiculaire à ∆
• par hypothèse, (FM) est perpendiculaire à ∆
alors (FM) = (FA’’) ( deux droites parallèles et ont
un point commun)

on a: (EM) ∩ (EA ') = {E} alors

{ }t ((EM)) ∩ t ((EA ')) = t (E)
2.IJ 2.IJ 2.IJ

alors (EM) ∩ (FA '') = { }t (E)
2.IJ

{ }d’où (EM) ∩ (FM) = = t (E) ainsi t (E) = M
2.IJ 2.IJ

4°) On a

• IA = JA et IB = JB alors (AB) est la médiatrice de
[IJ] d’où (AB) ⊥ (IJ) (3)

• AA’A’’ est un triangle, I = A * A’ et J = A * A’’ alors (A’A’’) // (IJ) (4)
d’après (3) et (4), on déduit que (AB) ⊥ (A’A’’)

• AA’ = AA’’ alors le triangle AA’A’’ est isocèle en A et (AB) passe par son sommet principal A et elle est
perpendiculaire à sa base [A’A’’]
alors (AB) est la médiatrice de [A’A’’] d’où BA’ = BA’’ (I)

• Le triangle AA’B est rectangle en B alors (BA’) est perpendiculaire à (BA) en B (5)
• Le triangle ABA’’ est rectangle en B alors (BA’’) est perpendiculaire à (BA) en B (6)

d’après (5) et (6), on déduit que A’, B et A’’ sont alignés (II)

d’après (I) et (II), on déduit que B = A’ * A’’ d’où A 'B = 1.A ' A '' = IJ signifie A 'I = BJ
2

on a J = B * G signifie BJ = JG alors A 'I = JG

En résumé: A '' J + A 'I = A ''J + JG = A " G

Exercice 5

1°) I est le barycentre des points pondérés (A,3) et (B,1)

signifie AI = 1 .AB = 1 .AO signifie I = A * O
42

2°) A et B sont fixes et ABC étant un triangle rectang le en C alors C décrit le
cercle de diamètre [AB] privé des points A et B, ainsi ( Γ ) est le cercle de
diamètre [AB] privé des points A et B

3°) a) K est le barycentre des points pondérés (A,- 2) et (C,1) et (I,2).
signifie −2.AK + CK + 2.IK = 0 signifie
−2.AK + CA + AK + 2.IA + 2.AK = 0

( )signifie AK = AC + 2.AI signifie K(1,2) selon le repère A , AC, AI

b) D’après a), on a eu: AK = AC + 2.AI signifie CK = AO
de plus, on a I = A * O signifie 2.AI = AO
signifie AK = AC + AO signifie AK − AC = AO

41

c) CK = AO signifie t (C) = K et on a :
AO
• C ∈ ( Γ) signifie
t (C) ∈ t ((Γ))
AO AO

signifie K ∈ t ((Γ))
AO
• ( Γ) est le cercle de diamètre
[AB] privé des points A et B

• t (A) = O et
AO
t (O) = B (O=A*B)
AO

alors t ((Γ)) = ( Γ’) est le cercle de
AO

centre B et qui passe par O privé des
points O (image de A) et B’ (image de B)
Commentaire: on est dispensé de traiter
le deuxième sens (La réciproque) vu
qu’une translation est une bijection.

4°) On a :

• t (B) = B ' et t (C) = K
AO AO

alors t AO([BC)) = [B 'K) (1)

• AO = PQ signifie t (P) = Q (2)
AO

• P ∈ [BC)

signifie t (P) ∈ t AO([BC)) (3)

AO

• (1), (2) et (3) donnent Q ∈ [B 'K)

d’autre part, on a Q est un point de ( Γ )

donc Q ∈ [B 'K) ∩ (Γ)

Construction de P:

on a t (P) = Q signifie t (Q) = P
AO OA

Etapes de la construction
la demi – droite [B’K)

un point Q tel que Q ∈ [B 'K) ∩ (Γ)

le point P tel que t (Q) = P
OA

Discussion
Le nombre de solutions de cette question dépend de l’existence ou non du
point Q
donc de l’intersection du cercle ( Γ ) avec la demi – droite [B’K)

Exercice 6

1°) Voir figure ci - contre
2°) On a :

• B = t (A) signifie AB = GF signifie ABFG est un
GF
parallèlogramme

• D: la perpendiculaire à (FG) en G et A est un point de D

42

alors l’angle A^GF est droit
par suite le quadrilatère ABFG est un rectangle
3°) a) on a :

• AB = GF signifie AG = BF signifie t (A) = (G)
BF

• ∆1 passe par A et perpendiculaire à (EF) alors t (∆1) est la parallèle à ∆1 qui passe par G
BF

• (GH) est la hauteur issue de G dans le triangle EFG

d’où (GH) ⊥ (EF) et on a ∆1 ⊥ (EF)

donc (GH) est la parallèle à ∆1 qui passe par G et ainsi t (∆1) = (GH)
BF

b) on a :

• t (B) = (F)
BF

• ∆2 passe par B et perpendiculaire à (EG) alors t (∆2 ) est la
BF

parallèle à ∆2 qui passe par F
• (FH) est la hauteur issue de F dans le triangle EFG

d’où (FH) ⊥ (EG) et on a ∆2 ⊥ (EG)

donc (FH) est la parallèle à ∆2 qui passe par F et ainsi t (∆2 ) =
BF

(FH)

{ }c) On a: {C} = ∆1 ∩ ∆2 (∆1 (∆2
signifie t (C) = t ) ∩ t )
BF BF BF

signifie {t (C)} = (GH) ∩ (FH)
BF

signifie {t (C)} = {H} signifie t (C) = H
BF BF

d’où BF = CH et d’après a), on a AG = BF d’où AG = CH signifie t (A) = G
CH

4°) On a AG = CH

alors (AG) // (CH) d’où D // (CH) et on a D ⊥ (FG)
or (AG) = D donc (CH) ⊥ (FG)

d’autre part (EH) ⊥ (FG) alors (EH) // (CH) donc E, C et H sont alignés donc C est un point de la hauteur (EH).

Exercice 7

1°) a) Voir figure ci – contre
b) ζ étant un cercle alors son image par une translation
est un cercle de même rayon et dont le centre est
l’image du centre de ζ par la même translation

c’est : O’ = t (O)
AB

donc ζ’ est le cercle de centre O’ et de rayon OA

c) On a t (A) = B
AB

et A ∈ ζ alors t (A) ∈ t (ζ) donc B ∈ ζ’
AB AB

2°) a) On a :

AB est un vecteur directeur de (AB) donc tAB ((AB)) = (AB)

A ∈ (AB) ∩ ζ alors t (A) ∈ t ((AB)) ∩ t (ζ) d’où t (B) ∈ (AB) ∩ (ζ ')
AB AB AB AB

b) On a t (B) ∈ (AB) ∩ (ζ ') d’où t (B) ∈ {B , B’} donc t (B) = B ou t (B) = B’
AB AB AB AB

AB étant non nul alors t (B) ≠ B ainsi t (B) = B’
AB AB

43

c) On a O’ = t (O) signifie AB = OO ' et t (B) = B’ signifie AB = BB ' d’où OO ' = BB '
AB AB

ainsi AB ' = AB + BB ' = OO ' + OO ' = 2.OO '
3°) a)

• t (B) = B’ signifie AB = BB '
AB

signifie B = A * B’ alors (AB) = (BB’) (1)

• Δ est la médiatrice du segment [AB]
alors ∆ ⊥ (AB) (2)

• Δ' la médiatrice du segment [BB’]
alors ∆’ ⊥ (BB’) (3)

(1), (2) et (3) donnent ∆ // ∆’

b) ζ
•
A et B sont deux points du cercle qui a pour
•
• centre O alors O est un point de ∆
A’ et B’ sont deux points du cercle ζ’ qui a pour centre O’ alors O’ est un point de ∆’

O’ = t (O) et O est un point de ∆ alors t (∆) est la parallèle à ∆ qui passe par O’: c’est ∆’
AB AB

44

Homothétie

I) Définition

1°) Enoncé

Etant donnés un point I et un réel non nul k, on appelle homothétie de centre I et de rapport k, l’application notée :

h(I , k) définie par :

h(I,k) : P → P h(I , k) (M) = M’ signifie IM' = k.IM
M ֏ M'

k <0 0 < k ≤1 k≥1

M’ décrit ( (IM)\ [IM)) M’ décrit ( [IM] \ {I} ) M’ décrit ( (IM) \ ]MI) )

2°) Méthodes de définition d’une homothétie

Une homothétie sera parfaitement définie, si on connaît:
son centre et son rapport
son centre et un point et son image
son rapport et un point et son image
deux points distincts et leurs images.

Application 1

O et O’ sont deux points distincts donnés. Déterminer et construire le centre Ω de l’homothétie h de rapport -2 et qui
transforme O en O’.

II) Comment reconnaître si une application est une homothétie

1°) En appliquant la définition

Une application f définie dans le plan est une homothétie

si et seulement si

il existe un point fixe I et un réel non nul k tels que :

pour tout point M d’image M’ par f on a : IM' = k.IM
45

Application 2

Dans un plan P, on considère deux points fixes A et B et l’application f définie par :

f:P→P
M ֏ M' tel que MM' = 2.AM - 5.BM

1°) Marquer trois points E, F et G non alignés puis construire leurs images respectives E’, F’ et G’ par f.
2°) a) Vérifier graphiquement que les droites (EE’), (FF’) et GG’) sont concourantes. Noter I leur point de concours.

IE' IF' IG'
b) Evaluer graphiquement chacun des quotients : , et . (en prenant des mesures avec une règle)

IE IF IG
c) Exprimer alors : IE' en fonction de IE , IF' en fonction de IF et IG' en fonction de IG

3°) Montrer que f est une homothétie qu’on caractér isera.

2°) En appliquant la propriété caractéristique

Une application f définie dans le plan est une homothétie distincte de l’identité du plan

si et seulement si

il existe un réel k non nul et différent de 1 tel que :

pour tout point M et tout point N d’images respectives M’ et N’ par f on a : M'N' = k.MN

Application 3

Dans un plan P, on considère deux points fixes A et B et l’application f définie par :

f:P→P
M ֏ M' tel que MM' = 2.AM - 5.BM

Montrer que f est une homothétie qu’on caractérisera.

3°) A l’aide de ses expressions analytiques

( )Le plan étant rapporté à un repère O, i, j .

Sens direct
une application f définie dans le plan est une homothétie de centre I(a,b) et de rapport k
alors
à tout point M(x,y), f associe le point M’(x’,y’) telque :

x’ = k.x + a(1- k) ce système est une définition analytique de f
y’ = k.y + b(1- k)

Réciproquement

Une application f définie dans le plan, associant à tout point M(x ,y) le point M’(x’,y’)

x’ = k.x + a’

tel que : où k est un réel donné différent de 1 et a et b sont des réels donnés.

y’ = k.y + b’

alors

f est l’homothétie de rapport k et de centre I1−a 'k , b' 
1− k

46

Commentaires

Ces deux théorèmes ne faisant pas partie du programme de la deuxième année, par suite lors de résolution
des exercices faisant intervenir les expressions analytiques et qui offrent une occasion pour la maîtrise du
calcul vectoriel, on essayera – dans les mesures du possible – de se ramener à la démarche suivante – qui
n’est pas unique- :
• déterminer les coordonnées du point invariant I par f: s’il existe et il est unique, il sera le centre de f, si non, f
n’est pas une homothétie
• montrer que f est une homothétie et déterminer son rapport en établissant l’une de deux égalités :

M'N' = k.MN ou IM' = k.IM

où M et N sont deux points quelconques du plan d’images respectives M’ et N’

La définition analytique d’une application définie dans le plan consiste à exprimer - selon un repère donné -
les coordonnées de l’image en fonction de celles de l’antécédent.

Application 4

On considère dans le plan, l’application f qui à tout point M(x,y), associe le point M’(x’,y’) tel que :
x’ = -3.x + 8
y’ = -3.y - 20

1°) Déterminer les coordonnées du
a) point A’ image du point A(-1, 3)
b) point B antécédent du point C(2, - 2)

2°) Montrer que f est une homothétie qu’on caractér isera.

III) Interactions avec d’autres notions

1°) Avec Thalès

h(O, k) : A ֏ B h(O, k’) : A ֏ B
A’ ֏ B’ A’ ֏ B’

2°) Avec le barycentre de deux points pondérés ( )hI,−ba  A = B

I est le barycentre de points pondérés (A , a) et (B , b) équivaut à

3°) Avec les triangles semblables

Proportionnalité - Agrandissement - Réduction

47

IV) Configurations qui laissent penser à une homothétie

1°) Trois points alignés

L’un quelconque de ces trois points peut être le centre d’une homothétie qui
transforme l’un de deux points restants en l’autre.
Dans ce cas de figure, on peut parler – à titre indicatif – de trois
homothéties:

h(O, k1) (A) = B
h(A, k2) (O) = B
h(B, k3) (A) = O

2°) Deux droites sécantes coupées par deux parallèl es

h(O, k) : A ֏ B h(O, k’) : A ֏ B
A’ ֏ B’ A’ ֏ B’

3°) Les médianes d’un triangle

h(G, −1 ) : A ֏ A’ h(G, -2) : A’ ֏ A
2 B’ ֏ B
C’ ֏ C
B ֏ B’
48
C ֏ C’

4°) Dans un trapèze

h(O, k) : A ֏ C
B ֏D
I ֏J

k = − CD
AB

h(O’, k’) : A ֏ D
B ֏C
I ֏J

k ' = CD
AB

5°) Deux cercles non isométriques

Il existe deux homothéties distinctes h et h’ qui transforment ζ(O , r) en ζ’(O’,r’) :

h a pour centre I barycentre de points h’ a pour centre I’ barycentre de points

pondérés (O’, r) et (O, - r’) et pour rapport pondérés (O’ , r) et (O , r’) et pour rapport

k= r' k'=−r'
r r

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