L'incontournable en géométrie

4°)

5°) Pour k ∈{1, 2, 3, 4} désignons par:

• t1k le 1er trimestre de la k-ème année
• t2k le 2ème trimestre de la k-ème année

• y1k la moyenne au cours de t1k

• y2k la moyenne au cours de t2k

On va calculer l’indice I2k de y2k rapporté à la base 100 en t1k (c'est-à-dire que l’indice de y1k est 100)

y

y21on trouve: I21 = 100 x = 100 x 17.05 = 104

16.36

11

y

22I22 = 100 x = 100 x 16.90

y = 102

16.57

12

y

23I23 = 100 x = 100 x 16.95

y = 104

16.36

13

y

24I24 = 100 x = 100 x 17.34

y = 99

17.51

14

Conclusion: au cours de sa:
• 1ère Année et du 1er trimestre au 2ème, l’élève a fait une progression de 4%
• 2ème Année et du 1er trimestre au 2ème, l’élève a fait une progression de 2%
• 3ème Année et du 1er trimestre au 2ème, l’élève a fait une progression de 4%
• 4ème Année et du 1er trimestre au 2ème, l’élève a fait une régression de 1%

250

Exercice 4

I) Pour faciliter la tâche, on commence par résumer la série X par le tableau ci-dessous:

Nombre 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 23 26 29 31 32 34
de jours
neigeux
effectif 1 1 3 3 2 1 2 3 4 3 4 1 1 3 4 2 3 1 1 2 1 2 1

Ek ր 1 2 5 8 10 11 13 16 20 23 27 28 29 32 36 38 41 42 43 45 46 48 49

1°) On a X =  1 23 i xi  = 15.4
 49 ∑n 
 i =1 

2°) • L’effectif total N = 49 = 2 x 24 + 1 alors la médiane Me de X et la valeur qui correspond au 25ème

individu qui est 14 (d’après la ligne des effectifs cumulés croissants du tableau ci-dessus)
• L’effectif total N = 49 = 4 x 12 + 1 alors 1er quartile Q1 = x12+1 =x13 = 10
et le 3ème quartile Q3 = x3x12+1 = x37 = 19

II) 1°) Soi E et E’ les écarts interquartiles respectif s de X st Y, alors

E = Q3 - Q1 = 19 – 10 = 9 et E’ = Q3' - Q1' = 18 – 7 = 11

2°)

Commentaire: la boîte associée à la série X est plus serrée que celle qui correspond à la série Y.
donc l’écart interquartile - qui regroupe la zone centrale – de la série X est inférieur à l’écart
interquartile de la série Y: ça traduit l’homogénéité relative de X par rapport à Y.
3°) Le fait que σX est inférieur à σY laisserait penser que la série Y est plus dispersée que la série X
c'est-à-dire que dans la période 1900 – 1948, les nombres des jours où il neige sont plus proches
que ceux de la période 1949 - 1997

Exercice 5
I) En utilisant les quartiles

251

1°) • La série définie par L 1 est résumée par le tableau 1 ci – dessous: 16
tableau 1 1

Note (xk) 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Effectif (nk) 1 1 1 3 4 4 1 3 2 2 1

Pour calculer les paramètres de la série des notes en math, on complètera ce tableau:

Note (xk) 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Effectif (nk) 1 1 1 3 4 4 1 3 2 2 1 1

Ek ր 1 2 3 6 10 14 15 18 20 22 23 24

• L’effectif total de cette série est N = 24 = 2 x 12 donc Me = x12 + x13 = 10 +10 = 10
22

• L’effectif total de cette série est N = 24 = 4 x 6 donc Q1 = x6 + x7 = 8 + 9 = 8.5
2 2

et Q3 = x18 + x19 = 12 +13 = 12.5
2 2

2°) • La série définie par L 2 est résumée par le tableau 2 ci – dessous:

tableau 2
Note 1 4 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 18 20

Effectif 1 2 1 2 1 1 4 2 2 3 2 1 1 1

Pour calculer les paramètres de la série des notes en physique, on complètera ce tableau:

Note 1 4 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 18 20
Effectif 1 2 1 2 1 1 4 2 2 3 2 1 1 1
Ek ր 1 3 4 6 7 8 12 14 16 19 21 22 23 24

• L’effectif total de cette série est N = 24 = 2 x 12 donc M’e = x12 + x13 = 10 +11 = 10.5
22

• L’effectif total de cette série est N = 24 = 4 x 6 donc Q' = x6 + x7 = 7 + 8 = 7.5
12 2

et Q' = x18 + x19 = 14 +14 = 14
32 2

3°) • Diagramme en boîte des notes en math

252

• Diagramme en boîte des notes en physique

• Me étant proche de M’e donc les deux séries ont la même médiane –presque- c'est-à-dire que la
proportion d’élèves qui a eu plus que (ou moins que) 10 (ou 10.5) est la même –presque- en math et en
physique.

• On a: l’interquartile des notes en math est: Q 3 - Q1 = 12.5 – 8.5 = 4

et l’interquartile des notes en physique est: Q' - Q' = 14 – 7.5 = 6 .5
31

donc Q 3 - Q1 < Q' - Q' donc la zone centrale (qui n’est pas influencée par les valeurs extrêmes)
31

comprenant 50% des notes est plus concentrée (moins dispersée) en math qu’en physique.
Par suite cette classe est plus homogène en math qu’en physique.
Graphiquement: la boîte (le rectangle) des notes en math est plus serrée que la boîte (le rectangle) des
notes en physique.

• On a de plus, l’étendue des notes en math est 16 – 4 = 12
et l’étendue des notes en physique est 20 – 1 = 19

II) En utilisant les écarts-types

1°) • M = 1 x(4x1+ 6x1 +7x1 + 8x3 + 9x4 + 10x4 + 11x1 +12x3 + 13x2 + 14x2 + 15x1 + 16x1) = 10.375

24

• M ' = 1 x(1x1 + 4x2 + 6x1 +7x2 + 8x1+ 9x1 + 10x4 + 11x2 + 12x2 + 14x3 + 15x2 + 16x1 + 18x1 + 20x1)

24
= 10.75
C’est comme si chaque élève de cette classe a eu 10.37 en math et 10.75 en physique

Le fait que M ont M ' des valeurs très proches donne l’impression que le niveau de cette classe en

physique est presque identique à ce qu’il est en math.

2°) • On a V=  1 12 xi2  − x2 al ors σ= V = 2.87
 N i ∑=1ni 
 

 1 14 xi2  x2
• V' =  N i ∑=1ni  − alors σ’ = V ' = 4.50
 

σ’ étant supérieur à σ alors la série de notes de physique est beaucoup plus dispersée que celle de notes
de math, par suite cette classe est plus homogène en math qu’en physique.

253

Exercice 6

1°)

Montant en dinars [10, 30[ [30 , 40 [ [40 , 60 [ [60 , 70 [ [70 , 90[

Effectif (ni) 8 30 40 20 2

Fréquence (fi) 0.08 0.3 0.4 0.2 0.02

Fréquences 0.08 0.38 0.78 0.98 1

Cumulées croissantes

Remarque: les classes [10, 30[, [40 , 60 [ et [70 , 90[ ont une amplitude double de celle des autres, pour
respecter le principe de proportionnalité des aires des rectangles aux effectifs, les effectifs réels seront
alors doubles de ce qu’on lit sur l’histogramme: d’où les résultats.
2°)

Montant en dinars [10, 30[ [30 , 40[ [40 , 60 [ [60 , 70 [ [70 , 90[

Effectif (ni) 8 30 40 20 2
Effectif par unité d’amplitude 0.4 3 2 2 0.1
0.08 0.3 0.4 0.2 0.02
Fréquence (fi) 1.6 10.5 20 13 1.6
fi .ci

Puisque les classes de cette série n’ont pas la même amplitude alors sa classe modale est celle qui a
le plus grand effectif par unité d’amplitude, c’est alors la classe [30,40[
Interprétation: au cours du premier trimestre de 2006, le nombre de ménages qui payent une facture dont

le montant est dans la classe [30,40[ est supérieur au nombre de ménages qui payent une facture dont le
montant est dans n’importe quelle autre classe .

∑5 (on utilisera une

La moyenne de cette série est x = fi.ci = 1.6 + 10.5 + 20 + 13 + 1.6 = 46.700

i=1

calculatrice au mode ‘’Stat’’)

Interprétation: c’est comme si chaque ménage de ce village a payé au cours du premier trimestre de
2006 une facture dont le montant est 46D700.

3°) Le montant M - tel que 75 % des ménages payent une facture inférieure à M - correspond au 3ème

quartile de cette série.

D’après le tableau dressé en 1°), la fréquence cumu lée croissante se trouve dans la classe [40 , 60 [

• on suppose qu'à l'intérieur de cette classe, la répartition est uniforme et par suite on déterminera Q3 par
interpolation linéaire.

0n a alors Q3 − bi = 0.75 − FCi signifie Q3 − 40 = 0.75 − 0.38 signifie Q3 = 58D500 = M
bs − bi FCs − FCi 60 − 40 0.78 − 0.38

Conclusion: 75 % des ménages payent une facture inférieure à 58D500

 ∑=5 1fici2  x2 254
  −
i

4°) On a la variance V = = 2x0.08² + 35x0.3² + 50x0.4² + 65x0.2² + 80x0.02² - 46.700²

alors σ = V = 13 ,84 (on utilisera une calculatrice au mode ‘’Stat’’)

ainsi [ x - σ , x + σ ] = [46.700 – 13.840 , 46.700 + 13.840] = [32.860 , 60.540]

• Soit F1 la fréquence cumulée croissante qui correspond à la valeur 32.860; cette valeur se

trouve dans la classe [30 , 40[ où on suppose que la répartition est uniforme et par suite on

déterminera F1 par interpolation linéaire. D’où:

32.860 − 30 = F1 − 0.08 alors F1 = 0.17 c'est-à-dire 17% des ménages payent une facture dont
40 − 30 0.38 − 0.08

le montant est inférieur à 32D860.

• Soit F2 la fréquence cumulée croissante qui correspond à la valeur 60.540; cette valeur se

trouve dans la classe [60 , 70 [ où on suppose que la répartition est uniforme et par suite on

déterminera F1 par interpolation linéaire. D’où:

60.540 − 60 = F2 − 0.78 alors F2 = 0.79 c'est-à-dire 79% des ménages payent une facture dont le
70 − 60 0.98 − 0.78

montant est inférieur à 60D540.

Conclusion: la fréquence des factures dont le montant appartient à [ x - σ , x + σ ] est (79 – 17)% = 62%

Exercice 7

1°) Commençons par résumer ces données dans un tabl eau récapitulatif.

Nombre d’allumettes par boîte 30 32 34 36 38 40 42 44 48

Effectif 112236311

2°)

Nombre d’allumettes par boîte 30 32 34 36 38 40 42 44 48

Effectif 112236311

Ek ր 1 2 4 6 9 15 18 19 20

255

On a N = 20 = 2 x 10 = 4 x 5 alors

• la médiane Me = x10 + x11 = 40 + 40 + 40
22

• le 1er quartile Q1 = x5 + x6 = 36 + 36 = 36
2 2

• le 3ème quartile Q3 = x15 + x16 = 40 + 42 = 41
2 2

∑x 1 9 ∑et 1 9 n .x 2 − x2
= 38.7 σ= 20 i=1 i = 4.11
= ni.xi i

20 i=1

3°)

Classes [30,34[ [34,38[ [38,42[ [42,46[ [46,50[

Effectif 2 4 9 4 1

∑• La moyenne de la série Z est 1 5
z= 20
ni.ci = 39.6

i=1

∑• son écart-type est σZ = 1 5 ni .c2 − z2 = 3.98
20 i=1 i

Commentaire: il est important de remarquer la différence entre x et z malgré que ce sont les moyennes

de deux séries qui décrivent le même phénomène.
Ceci est dû au fait que la moyenne avec un regroupement en classes n’est pas aussi précise que la ‘’vraie’’
moyenne (par données individuelles)
Un regroupement en classes permet des calculs rapides au dépend de la précision des résultats.

4°) Pour tout y i on a: yi = xi - x = 1 .xi − x c’est de la forme yi = a. xi + b
σ σ σ

donc y = a. x +b = 1 .x − x =0 et son écart-type σY = a .σ = 1 .σ = 1
σ σ σ

Commentaire: la série Y ainsi définie est appelée la variable centrée réduite associée à X.

256