L'incontournable en géométrie

Un point M(x,y) ∈ ∆(C, CD ) x −3  −1
signifie CM   et CD   sont colinéaires
 y +1   1

signifie x - 3 -1 = 0 signifie 1(x - 3) – (-1)(y + 1) = 0 signifie x + y – 2 = 0

y +1 1

ainsi (CD): x + y – 2 = 0
2°) • Soit E(-3 , y) un point de (CD)
signifie -3 + y - 2 = 0 signifie y = 5
ainsi E(-3 , 5)

• Soit F(x , 2) un point de (CD)
signifie x + 2 - 2 = 0 signifie x = 0
ainsi F(0 , 2)
3°) On représente le point A(-2,1) puis le point B tel que

3 Pour déterminer un point d’une droite dont on
AB = u  −2  connaît une équation, il suffit de fixer l’une de
ainsi la droite D(A, u ) = (AB) ses coordonnées et de trouver l’autre par le
calcul : ça revient à déterminer une solution

d’une équation du 1er degré à deux

inconnues

Application 10

1°) 3.x – 2.y + 4 = 0 signifie - 2.y = - 3.x − 4 signifie y = 3 .x + 2
2

donc l’équation réduite de ∆ est y = 3 .x + 2 par suite son coefficient directeur est 3 et l’ordonnée à
22

l’origine est 2.

2°) l’équation réduite de la droite (EF) est y = m. x + p

E(-3, -1) ∈ ∆ signifie -3m + p = -1 et F(2 , 1) ∈ ∆ signifie 2m + p = 1

d’où le système: −3m + p = −1  = 2
 2m + p = 1 m 5
signifie
1
 p = 5


donc l’équation réduite de (EF) est: y = 2 x + 1 signifie 2 x − y + 1 = 0 : c’est une équation
55 55

cartésienne de(EF) qu’on peut écrire: (EF) : 2.x − 5. y + 1 = 0

150

Application 11

1°) On a D 1: 2x + 3y - 5 = 0 alors  −3 est un vecteur directeur de D1. On remarque que v = −u
v  2 

donc v et u sont colinéaires alors D1 et D sont parallèles et par suite D1 peut être l’image de D par une

translation.

Remarque: si on s’est pas rendu compte que v = −u , on justifiera leur colinéarité en calculant leur

déterminant

u 3 −2 alors que ∆ a pour
2°)   est un vecteur directeur de D alors son coefficient directeur est 3
 −2 

coefficient directeur 3≠ −2 alors D1 et D ne sont pas parallèles (elles sont sécantes)
3

et par suite ∆ ne peut pas être l’image de D par une homothétie.

1
2ème méthode: ∆ a pour coefficient directeur 3 alors w  3 est un vecteur directeur de ∆

( )dét u, w = 3 x 3 – (-2) x 1 = 9 + 2 = 11 ≠ 0 donc u et w ne sont pas colinéaires d’où la conclusion.

3°) • A(3,-1) et B(2,3) alors  −1 2
AB  , E(-4, -3) et F(-2,0) alors EF 
 4  3

( )d’où dét AB, EF = (-1) x 3 – 2 x 4 = -11 ≠ 0 alors les droites (AB) et (EF) sont sécantes

• Soit I(x,y) le point d’intersection de (AB) et (EF) donc les coordonnées de I vérifient l’équation de (AB) et

celle de (EF)
 −1

• On a: AB  alors (AB): 4x + y + c = 0 et A(3,-1) ∈ (AB) d’où 4 x 3 + (-1) + c = 0 donc c = -11
4

donc (AB): 4x + y - 11 = 0

2
• On a: EF  alors (EF): 3x - 2y + c’ = 0 et F(-2,0) ∈ (EF) d’où 3 x (-2) - 2 x 0 + c’ = 0 donc c’ = 6

3
donc (EF): 3x - 2y + 6 = 0

donc  4x + y − 11 = 0 donc I  16 , 57 
les coordonnées de I sont les solutions du système:   11 11 
3x − 2y + 6 = 0

Application 12 4 5
5 dét ( AB, AC ) = = 12 + 15 2 ≠ 0 donc A, B et C ne sont pas alignés

1°) On a AC   alors -3 2 3
3

( )2°) On a AB = AB = 4² + −3 2 ² = 16 +18 = 34

et AC = (3 − (−2)) ² + (4 −1) ² = 25 + 9 = 34 = AB

donc le triangle ABC est isocèle en A

151

Application 13

1°) a) • En remplaçant les coordonnées de A dans l’ équation proposée, on obtient 3 = -2 x 2 + 7 : c’est

vérifiée

• En remplaçant les coordonnées de B dans l’équation proposée, on obtient -1 = -2 x 4 + 7 : c’est vérifiée

ainsi les coordonnées de deux points distincts vérifient l’équation proposée donc cette équation est celle de

(AB)

b) En remplaçant les coordonnées de C dans l’équation de (AB), on obtient -1 = -2 x 0 + 7 : ce n’est pas

vérifiée

donc C n’appartient pas à la droite (AB) et par suite A, B et C ne sont pas alignés.

2°) On a 4 alors la droite (CE) a pour coefficient directeur 2 = 1
CE  
2 4 2

et d’après son équation (AB) a pour coefficient directeur -2 et puis que: -2 x 1 = -1, (CE) est
2

perpendiculaire à (AB) et passe par C donc c’est le support de la hauteur du triangle ABC issue de C.

3°) La droite ∆ qui porte la hauteur du triangle ABC issue de A est perpendiculaire à (BC) donc elle admet
 −5

BC   pour vecteur normal donc ∆: -5.x + y + c = 0
1

A(2,3) est un point de ∆ donc -5 x 2 + 3 + c = 0 donc c = 7
donc ∆: -5.x + y + 7 = 0 signifie ∆: y = 5.x - 7

4°) • H(x,y) étant l’orthocentre du triangle ABC d onc c’est l’intersection des hauteurs (CE) et ∆
donc ses coordonnées vérifient le système formé par les équations de ces deux droites

• (CE) a pour coefficient directeur 1 donc (CE): y = 1 .x + p et
22

C(-1,0) ∈ (CE) alors 0 = 1 x (-1) +c
2

donc c = 1 et par suite (CE): y = 1 .x + 1
2 22

d’où le système:  y = 5.x − 7 d’où H  5 , 4 
 1 .x + 1  3 3 
y = 2 2

Application 14
1ère méthode

ABC a pour:

base: AB = (4 − 2) ² + (−1− 3) ² = 20 = 2 5

hauteur: d(C , (AB)) 2x(−1) + 0 − 7 = 9 = 9 5
2² +1² 55

alors S = 1 x 2 5 x 9 5 = 9
25

2ème méthode

CH  x +1 
Soit H le projeté orthogonal de C sur (AB) alors H(x , -2.x + 7) et   est normal à (AB)
 −2.x + 7

152

CH  x +1  u 1 ( u est directeur pour (AB))
alors   est orthogonal à  
 −2.x + 7  −2 

alors (x+1) x 1 -2 x (-2.x + 7) = 0 signifie 13 9 13 9
ABC a pour: x = d’où y = ainsi H( , )

5 5 55

base: AB = (4 − 2) ² + (−1− 3) ² = 20 = 2 5

hauteur: CH =  13 + 2 +  9 2 = 405 = 9 5
 5 1  5  55

alors S = 1 x 2 5 x 9 5 = 9
25

Application 15 x et y étant deux réels
1°) Un point M(x,y) ∈ ζ signifie IM = 2 signifie IM² = 4 positifs

x = y signifie x² = y²

signifie (x + 1)² + (y – 2)² = 4 signifie x² + 2.x + 1 + y² - 4.y + 4 = 4
d’où ζ: x² + y² + 2.x - 4.y + 1 = 0
2°) a) 1ère méthode
(E1): x² + y² - 6.x + 2.y + 8 = 0
signifie x² - 6.x + y² + 2.y + 8 = 0 signifie (x - 3)² - 9 + (y + 1)² - 1 + 8= 0
signifie (x - 3)² + (y + 1)² = 2

donc (E1) est le cercle de centre I1(3, -1) et de rayon 2

2ème méthode

L’équation x² + y² - 6.x + 2.y + 8 = 0 est du type: x² + y² + a.x + b.y + c = 0

et on a: a² + b² - 4.c = (-6)² + 2² - 4 x 8 = 8 > 0

alors (E1) est le cercle de centre A  − a , − b  = A(3, - 1)
 2 2 

et de rayon R = a² + b² − 4.c = 8 = 2 2 = 2
2 22

b) (E2): x² + y² + 2.x - 2.y + 5 = 0 est du type: x² + y² + a.x + b.y + c = 0
L’équation x² + y² + 2.x - 2.y + 5 = 0

et on a: a² + b² - 4.c = 2² + (-2)² - 4 x 5 = -12 < 0

alors (E2) est l’ensemble vide

c) (E3): x² + y² - 2.x - 4.y + 5 = 0
L’équation x² + y² - 2.x - 4.y + 5 = 0 est du type: x² + y² + a.x + b.y + c = 0

et on a: a² + b² - 4.c = (- 2)² + (- 4)² - 4 x 5 = 0

alors (E3) est l’ensemble { A  − a , − b  = A (1, 2) }
 2 2 

Remarque: La 1ère méthode utilisée en a) est aussi applicable en b) et c) et conduit aux mêmes résultats.

153

Application 16
1°) • ζ: x² + y² - 4.x - 2.y = 0

signifie (x²- 4.x) + (y² - 2.y) = 0
signifie (x - 2)² - 4 + (y - 1)² - 1 = 0

2

signifie (x - 2)² + (y - 1)² = 5

donc ζ est le cercle de centre A(2,1) et de rayon 5

• D1: 3.x + 4.y – 22 = 0 passe par les points:
x62
y14

• D2: y = -2.x + 8 passe par les points: x 1 -1
x12 y -1 0
y64

• D3: x + 2y = – 1 passe par les
points:

2°) D’après la figure, on conjecture que:
• D1 est extérieur à ζ donc D1 ∩ ζ = { }
• D2 est sécant à ζ donc D2 ∩ ζ = { I , J }
• D3 est tangente à ζ donc D3 ∩ ζ = { K }

3°) • ζ est le cercle de centre A(2,1) et de rayon 5 et D1: 3.x + 4.y – 22 = 0

donc d(A, D1) = 3 x 2 + 4 x1 – 22 = 12 > 5 alors D1 ∩ ζ = { }
3² + 4² 5

•• ζ est le cercle de centre A(2,1) et de rayon 5 et D2: y = -2.x + 8 signifie 2.x + y - 8 = 0

donc d(A, D2) = 2 x 2 + 1 – 8 = 3 < 5 alors D2 et ζ sont sécants
2² +1² 5

2ème méthode (qui permet en plus de déterminer les coordonnées des points communs

 y = − 2.x + 8  y = − 2.x + 8
Un point M(x,y) ∈ D2 ∩ ζ signifie  signifie 
x² + y² − 4.x − 2.y =0
5.x² − 32.x + 48 = 0

• (I) 5.x² − 32.x + 48 = 0

∆’ =(-16)² - 5 x 48 = 16 > 0 alors

16 − 4 = 12 12 16
x1 = 5 5 alors y1 = -2 x 5 +8=
5

et x2 = 16 + 4 = 4 alors y2 = -2 x 4 + 8 = 0
5

12 16
donc ∈ D2 et ζ se coupent aux points M1( 5 , 5 ) et M2(4,0)

••• ζ est le cercle de centre A(2,1) et de rayon 5 et D3: x + 2y = – 1 signifie x + 2.y + 1 = 0

donc d(A, D3) = 2 + 2 x1 + 1 = 5 = 5 alors D3 et ζ sont tangents
1² + 2² 5

154

Le point de tangence de D3 et ζ aura pour coordonnées les solutions du système:

 x + 2y = – 1  x = - 2y – 1 signifie x =1
 signifie  
x² + y² − 4.x − 2.y = 0 5.y² + 10.y + 5 = 0  y= -1

alors D3 et ζ sont tangents au point T(1, - 1)

Application 17

( )ABCD étant un carré alors ℜ = A, AB, AD est un repère

orthonormé du plan.
Selon ce repère: A(0,0), B(1,0), C(1,1) et D(0,1)
Soit AE = e ∈[0,1] alors AG = 1 - e
et par suite E(e , 0), G(0 , 1 – e) et F(e , 1 – e)

 −e 
• EG 1− e  est un vecteur directeur de (EG)

CF  e −1
•   est un vecteur directeur de (CF)
 − e 

• -e.(e – 1) + (-e)(1 – e) = -e.(e – 1 + 1 - e) = 0

donc les vecteurs EG et CF sont orthogonaux et par suite les deux droites (EG) et (CF) sont

perpendiculaires

155

Exercices intégratifs

Exercice 1

( )Dans un plan muni d’un repère orthonormé O, i, j , on considère les points I(-1,-1), B(3,3), C(8,2) et E(2,0).

1°) Soit h l’homothétie de centre I et qui transfor me E en C. Déterminer le rapport k de h.

2°) Déterminer les coordonnées du vecteur u de la translation t qui transforme B en C.

3°) Déterminer les coordonnées du point A = S I(B)
4°) La droite coupe la droite (AC) en un point F.
a) Déterminer de deux manières différentes les coordonnées de F

b) En déduire que I = t−12u (F)

Exercice 2

( )Dans un plan muni d’un repère quelconque O, i, j , on considère le point A(2,-1) et une droite D de

direction variable et qui passe par A. on désignera par m son coefficient directeur.

1°) a) Donner l’équation réduite de D.

b) Déterminer m sachant que h(B, - 2)(D) = D où B(1, 3)

c) Déterminer m sachant que tw (D) = D w 2
où  
 −3 

2°) Soit ∆ la droite dont une équation est (2.m + 1).x – 2.y + 3 = 0

a) Montrer que pour tout m ∈IR, D et ∆ sont sécantes.

b) Déterminer les coordonnées du point Im intersection de D et ∆ en fonction de m.

v m u un
3°) Soit le vecteur  −1 et vecteur directeur de D.


( )Montrer que pour tout m ∈IR, A, u, v est un repère du plan.

Exercice 3

( )Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i, j . On considère un réel α ∈ [0,π] et M le point du demi –

cercle trigonométrique (ζ) tel que AÔM = α.

1°) Déterminer les coordonnées de M.

2°) Soit T la tangente à ( ζ) en M. Montrer que T a pour équation x.cosα + y.sin α – 1 = 0

3°) Pour tout α ≠ π , T coupe l’axe des abscisses en un point C.
2

a) Montrer que C  1 α , 0 
 cos 

b) Déterminer sur quelle partie de l’axe des abscisses varie C lorsque α ∈ [0,π] \ { π }.
2

4°) Pour tout α ∈ ]0,π[, T coupe l’axe des ordonnées en un point S.

a) Montrer que S  0, 1 α 
 sin 

b) Déterminer sur quelle partie de l’axe des ordonnées varie S lorsque α ∈ ]0,π[.

156

Exercice 4

( )Dans un plan muni d’un repère orthonormé O, i, j , on considère les points A(-1,1), B(3,4) et C(5,1).

1°) Montrer que les points A, B et C ne sont pas al ignés.
2°) a) Déterminer BÂC et A^CB à 10 -2 près de degré
b) Utiliser la loi des sinus et les résultats de a) pour déterminer A^BC
3°) Déterminer de deux manières différentes le rayo n du cercle circonscrit au triangle ABC.
4°) Calculer de deux manières différentes l’aire S du triangle ABC: l’une des méthodes fait appel à des
règles du chapitre trigonométrie

Exercice 5

( )Dans un plan muni d’un repère orthonormé O, i, j , on désigne par (Em) l’ensemble de points d’équation:

x² + y² + 2(m + 1).x – 4my = 0 (m étant un paramètre réel)
1°) Montrer que pour tout réel m, (E m) passe par deux points fixes qu’on déterminera.
2°) Montrer que pour tout réel m, (E m) est un cercle dont on précisera le centre et le rayon
3°) Caractériser l’ensemble ∆ des centres des cercles (Em) quand m varie dans IR

Exercice 6

( )Dans un plan muni d’un repère orthonormé O, i, j , on considère le cercle (ζ) d’équation:

x² + y² - 4.x + 2.y – 4 = 0
1°) Déterminer son centre I et son rayon r.
2°) a) Déterminer les coordonnées des points d’inte rsection A et B du cercle (ζ) avec (xx’) (A étant le point
d’abscisse négative)
b) Déterminer les équations des droites TA et TB les tangentes à (ζ) respectivement en A et B.
c) Déterminer les coordonnées du point C intersection de TA et TB. Justifier l’appartenance des points I, A,
C et B à un même cercle qu’on caractérisera.

1
3°) Déterminer les équations des tangentes à ( ζ) ayant pour vecteur directeur u  

2
4°) On admettra que du point G(6,1) on peut mener d eux tangentes à (ζ).
a) Déterminer les coordonnées du point de contact de chacune de ces deux tangentes avec (ζ).

Exercice 7

Dans la figure ci – contre, ABCD est un carré et les
triangles ABE et BFC sont équilatéraux.
Montrer que les points D, E et F sont alignés.

157

Solutions des exercices intégratifs

Exercice 1 3.k  d’où 9 = 3.k donc k = 3
9 et k.IE    3=k

1°) On a h(E) = C signifie IC = k.IE , IC   1.k 
3

2°) On a t(B) = C

signifie u = BC
5

et puisque BC  −1

u 5
on aura  −1


3°) On a A = S I(B)
signifie I = A * B.

En posant A(x,y),

3 + x = −1
 2
on aura 
3 + y
 2 = −1

signifie x = −5

y = −5

d’où A(-5,-5)
4°) a) 1ère méthode

On a h (E) = C signifie

IC = 3.IE signifie EI = 1 .CI
3

et puisque I est le milieu du côté [AB] du triangle ABC, E est alors le centre de gravité du triangle ABC

donc (BE) porte la médiane issue de B donc elle coupe [AC] en son milieu

donc F = A * C et par suite  −5 + 8 , −5 + 2  alors F  3 , − 3 
F  2 2   2 2 

2ème méthode

 −1
• B(3,3) et E(2,0) alors BE  −3 donc (BE): - 3.x + y + c = 0

E(2,0) ∈ (BE) alors - 6 + c = 0 donc (BE): - 3.x + y + 6 = 0 signifie (BE): y = 3.x - 6

x +5 13
• A(-5,-5) et C(8,2), un point M(x,y) ∈ (AC) signifie AM  y + 5 et AC  7  sont colinéaires

signifie dét ( AM , AC ) = 0 signifie 7(x + 5) – 13(y + 5) = 0 donc (AC): 7.x – 13.y – 30 = 0

158

{F(x,y)} = (AC) ∩ (BE) si et seulement si  y = 3.x − 6 signifie  y = 3.x − 6
 
7.x – 13.y – 30 = 0  – 32.x + 48 = 0

 x = 3
 2
signifie  alors F  3 , − 3 
-3  2 2 
 y = 2


ABC triangle alors IF = 1 .BC signifie FI = − 1 .u signifie I = t−12u (F)
 2 2

b) I = A * B 
F = A *C 

Exercice 2

1°) a) D a m comme coefficient directeur alors D : y = m.x + p de plus A(2,-1) ∈ D

alors -1 = m.2 + p signifie p = - 2.m - 1 alors D : y = m.x - 2.m - 1

b) h(B, - 2)(D) = D signifie B(1, 3) ∈ D signifie 3 = m.1 - 2.m - 1 signifie m=-4

c) tw (D) = D w 2
signifie   est un vecteur directeur de D
 −3 

donc D admet − 3 pour coefficient directeur ainsi m = − 3
22

2°) a) ∆: (2.m + 1).x – 2.y + 3 = 0 alors a pour coefficient directeur 2.m +1
2

et D a pour coefficient directeur m

D et ∆ seront parallèles si et seulement si m = 2.m +1 signifie 0 = 1 : impossible
2

donc pour tout m ∈IR, D et ∆ sont sécantes

b) Im(x,y) ∈ D ∩ ∆  y = m.x − 2.m − 1  x = - 4.m − 5
signifie 
signifie (2.m + 1).x – 2.y + 3 = 0 y = - 4.m2 − 7.m −1

donc Im( - 4.m − 5 , - 4.m2 − 7.m −1)

k m
3°) u étant un vecteur directeur de D alors u  k.m  où k est un réel non nul et v  −1

k = 0 : impossible
donc dét ( u , v ) = -k – k.m² = -k (1 + m²) = 0 signifie  ou
 m2 +1 = 0 : impossible

( )donc dét ( u , v ) ≠ 0 pour tout m ∈IR par suite A, u, v est un repère du plan.

Exercice 3

1°) M est un point du demi – cercle trigonométriqu e (ζ) et AÔM = α alors M(cos α , sin α)
159

2°) T la tangente à ( ζ) en M OM  cos α 
alors   est un vecteur normal à T
 sin α 

d’où T: x.cosα + y.sin α + c = 0 et on a M(cos α , sin α) ∈T

alors x.cosα + y.sin α + c = 0 donc cos² α + sin² α + c = 0 donc c = -1
M(cos α, sin α) ∈ T 

d’où T: x.cosα + y.sin α - 1 = 0  y=0 alors C  1 , 0 
3°) a) Soit C(x,y) ∈ T ∩ (xx ') alors   cos 
x.cosα + y.sin α − 1 = 0 α

b) on a α ∈ [0,π] \ { π } alors cos α ∈ [-1,0[ ou cos α ∈ ]0,1]
2

• cos α ∈ [-1,0[ donc 1 ∈ ]−∞, −1]
cos α

• cos α ∈ ]0,1] donc 1 ∈ [1, +∞[
cos α

Résumé: lorsque α ∈ [0,π] \ { π }, C varie sur l’axe
2

des abscisses privé du segment [AA’] où A’ = SO(A)
4°) a) Soit S(x,y) ∈ T ∩ (yy ') alors

 x=0 alors S  0, 1 
  sin 
x.cosα + y.sin α − 1 = 0 α

b) on a α ∈ ]0,π[ alors sin α ∈ ∈ ]0,1] donc 1 ∈ [1, +∞[
sin α

donc lorsque α ∈ ]0,π[, S varie sur l’axe des ordonnées privé de la demi – droite [BO)

Exercice 4

4 6 d’où dét ( AB , AC ) = - 24 ≠ 0
1°) A(-1,1), B(3,4) et C(5,1) alors AB   et AC  
 3   0 

d’où AB et AC ne sont pas colinéaires par suite les points A, B et C ne sont pas alignés
4

2°) a) AB  alors AB = 3² + 4² = 5,
3

6
AC  0 alors AC = 6² + 0² = 6

2
BC   alors BC = 2² + 3² = 13

3

D’après El-Kashi :
• BC² = AB² +AC² - 2.AB.AC.cos BÂC signifie 13 = 25
+ 36 – 2 x 5 x 6. cos BÂC

160

d’où cos BÂC = 48 = 4 donc BÂC = 36.86°
60 5

• A B² = AC² +BC² - 2.AC.BC.cos A^CB

signifie 25 = 36 + 13 – 2 x 13 x 6. cos A^CB

d’où cos A^CB = 24 = 2 donc A^CB = 56.31°
12 13 13

b) D’après la loi des sinus sin  = sin^ B
dans le triangle ABC :
BC AC

AC 6 1 −  4 2 = 0.99846 alors A^BC = 86.82° ou A^BC = 180 - 86.8 2 = 93.18°
donc sin^B = sin  = 13  5 

BC

or d’après la somme des angles d’un triangle, A^BC = 86.82°

3°) 1ère méthode

∆1 AB 4 ∆1 ∆1 :
• Soit la médiatrice de [AB] alors   est normal à d’où 4.x + 3.y + c = 0
 3 

5 15 donc c= − 23 d’où ∆1 : 4.x + 3.y − 23 = 0
on a A * B = I1(1, 2 ) ∈∆1 d’où 4 + + c = 0 2 2

2

∆2 AC 6 ∆2 ∆2 :
• Soit la médiatrice de [AC] alors   est normal à d’où 6.x + c’ = 0
 0 

on a A * C = I2(2,1) ∈∆2 d’où 12 + c’ = 0 donc c’ = - 12 d’où ∆2 : x - 2 = 0

• Les coordonnées x et y du point I centre du cercle circonscrit au triangle ABC sont alors les solutions du

 x − 2 = 0  x = 2 7
système :  3.y − 23 signifie  y=7 d’où I(2, )
4.x + 2 =0  6
6

donc le rayon est IA = 3² + 1 5 13
=
36 6

2ème méthode
Désignons par R le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC

alors R = BC = 13 = 13 = 5 13
2.sin  2 1− 0.8² 2x 0.6 6

4°) 1ère méthode

Soit H le projeté orthogonal de B sur (AC) alors on prendra BH pour hauteur et AC pour base pour le

1 (1)
triangle ABC et ainsi S = .BH.AC
2

x −3 6
• Soit H(x , y), on a (BH) et (AC) sont perpendiculaires alors BH  y − 4  est orthogonal à AC  0

d’où 6(x – 3) + 0(y – 4) = 0 signifie x = 3

161

•• H(x , y) est un point de la droite (AC)
6

AC   est un vecteur directeur de (AC) alors (AC): - 6.y + c = 0 ; A(-1, 1) ∈ (AC) alors – 6 + c = 0
0

donc c = 6 alors (AC): - 6.y + 6 = 0 signifie (AC): y = 1

H(3,y) étant un point de (AC) alors H(3,1) alors BH = (3 − 3)2 + (4 −1)2 = 3 et on sait déjà que AC = 6

11
d’où S = .BH.AC = x 3 x 6 = 9

22
2ème méthode

Dans le triangle ABC, on a S = AB.AC.BC = 5 x 6 x 13 = 6 x 6 = 9
4.R 4 x 5 13 4

6

Exercice 5

1°) M(x,y) ∈ (Em) signifie x² + y² + 2(m + 1).x – 4my = 0 signifie x² + y² + 2.x + m(2.x – 4y) =0
Pour que cette égalité soit vérifiée indépendamment de m, il suffit de prendre 2.x – 4y =0 et alors on aura

x² + y² + 2.x = 0 d’où le système

 2.x – 4y = 0  x = 2.y ( x = 0  = − 8
 signifie  y = 0 x 5
signifie ou )
x² + y² + 2.x = 0 5.y² + 4.y = 0 4
y = − 5

donc pour tout m ∈IR, (Em) passe par les points O(0,0) et A( − 8 , −4)
5 5

2°) (E m): x² + y² + 2(m + 1).x – 4my = 0 signifie [x + (m + 1)]² - (m + 1)² + (y – 2m)² - 4m² = 0
[x + (m + 1)]² + (y – 2m)² = (m + 1)² + 4m²

puisque pour tout m ∈IR, (m + 1)² + 4m² > 0, (Em) est un cercle de centre Im(-m – 1, 2m) et de rayon

r = 5m² + 4m +1

x = −m – 1 m = −x – 1
3°) I m(x , y) ∈ ∆ signifie  signifie  signifie y = - 2.x – 2 : c’est
 y = 2m  y = 2m

l’équation réduite d’une droite donc quand m varie dans IR, Im varie sur la droite ∆ : y = - 2.x – 2

Exercice 6

1°) ( ζ): x² + y² - 4.x + 2.y – 4 = 0
signifie (x – 2)² + (y + 1)² = 9

donc (ζ) a pour centre I(2,-1) et rayon r = 3

2°) a) M(x,y) ∈ (ζ) ∩ ( xx ')

 y=0
signifie 
x² + y² − 4.x + 2.y – 4 = 0

signifie  y =0 (1)

x² − 4.x – 4 = 0 (2)

l’équation (2) a pour solution x1 = 2 - 2 2 et x2 = 2 + 2 2
d’où A(2 - 2 2 , 0) et B(2 + 2 2 , 0) 162

b) • TA est tangente à (ζ) en A donc elle admet IA  −2 2  comme vecteur normal
 
1

donc TA : - 2 2 x +.y + c = 0 et puisque A(2 - 2 2 , 0) ∈ TA on aura c = 4 2 - 8

d’où TA : - 2 2 x +.y + 4 2 - 8 = 0

•• TB est tangente à (ζ) en B donc elle admet  2 2  comme vecteur normal
IB  
1

donc TB : - 2 2 x +y + c’ = 0 et puisque B(2 + 2 2 , 0) ∈ TB on aura c’ = - 4 2 - 8

d’où TB : 2 2 .x + y - 4 2 - 8 = 0 (1)
c) • C(x,y) ∈ TA ∩ TB (2)

signifie - 2 2.x + y + 4 2 − 8 = 0
 2 2.x + y − 4 2 − 8 = 0

(1) + (2) signifie y = 8 alors (1) donne x = 2 d’où C(2,8)
•• A et C sont deux points de TA alors le triangle ACI est rectangle en A donc son cercle circonscrit est
le cercle de diamètre [CI]
B et C sont deux points de TB alors le triangle BCI est rectangle en B donc son cercle circonscrit est le
cercle de diamètre [CI]
ainsi les points A, B, C et I appartiennent au cercle de diamètre [CI]

1
3°) Soit T une tangente à (ζ) ayant pour vecteur directeur u   alors T: 2.x – y + c = 0

2

d’autre part on a d(I,T) = 3 d’où 2 x 2 +1+ c = 3 signifie 5 + c = 3 5
2² +1²

signifie c = 3 5 − 5 ou c = - 3 5 − 5

1 T1: 2.x – y + 3 5−5= 0
donc il existe deux tangentes à (ζ) de vecteur directeur u   :
2

et T2: 2.x – y - 3 5 − 5 = 0

4°) Notons T 1 et T2 et G1 et G2 leurs points de contact respectifs avec (ζ)
alors les triangles GG1I et GG2I sont rectangles et ont la même hypoténuse [IG]
par suite G1 et G2 appartiennent au cercle (ζ’) de diamètre[IG]

ainsi on aura:{G1, G2} = (ζ) ∩ (ζ ')

Exercice 7

( )ABCD étant un carré alors ℜ = A, AB, AD est un repère

orthonormé du plan.
Selon ce repère: A(0,0), B(1,0), C(1,1) et D(0,1)
• E’ est le projeté orthogonal de E sur (AB) et ABE est

équilatéral alors E’ = A * B donc E’( 1 , 0) (1)
2

163

E’’ est le projeté orthogonal de E sur (AD) alors le triangle AEE’’ est rectangle et EÂE’’ = π
6

donc AE’’= AE. cos EÂE’’ = 3 donc E’’(0 , 3 ) (2)
22

D’après (1) et (2), 1 3
E( , )
22

• F1 est le projeté orthogonal de F sur (BC) et BFC est équilatéral alors F1 = C * B

et F’’ est le projeté orthogonal de F1 sur (AD) donc F’’ = A * D 1 (3)
alors F’’(0, )

2

F’ est le projeté orthogonal de F sur (AB) alors le triangle BFF’ est rectangle et F^BF’ = π
6

3 donc F’(1 + 3 (4)
donc BF’= BF. cos F^BF’ = , 0)
22

D’après (3) et (4), F(1 + 31
,)
22

 3  1
1+   
En résumé: D(0,1), E( 1 , 3 ) et F(1 + 3 ,1 ) alors DF 2  DE  2 
et
22 22  −1   3 
 2   2 −1

d’où dét( DE , DF ) = 1 1+ 3 = − 1  3   3  = − 1 −  3 −1 =
2 2 4 − 1+ 2   2 −1 4  4
3 −1
2 −1
2

= −1 −  3 −1 = − 1 −  − 1  = 0
4  4 4  4 

donc les deux vecteurs DE et DF sont colinéaires et par suite les points D, E et F sont alignés.

↶

164

Droites et plans de l’espace
Parallélisme dans l’espace

I) Droites et plans de l’espace

1°) Pré requis

Par deux points distincts passe une seule droite:
on dit que toute droite de l’espace peut être déterminée
par deux points distincts.
Si trois points (ou plus) de l’espace appartiennent à une même droite, on dit qu’ils sont alignés.
Par trois points non alignés passe un seul plan:
on dit que tout plan de l’espace peut être déterminé par
trois points non alignés.
Si quatre points (ou plus) de l’espace appartiennent à un
même plan, on dit qu’ils sont coplanaires.
Si un plan (P) contient deux points distincts A et B
alors il contiendra tous les points de la droite (AB) :
Si A ∈ (P) et B ∈ (P) alors (AB) ⊂ (P).

Si deux plans distincts (P) et (Q) ont un point commun alors
ils se couperont suivant une droite qui passe par ce point.

Il existe une infinité de plans qui contiennent une
droite D donnée.

165

Tous les résultats de la géométrie plane sont applicables dans chaque plan de l’espace.
Conséquence: en plus de la deuxième parmi les règles citées ci-dessus, un plan de l’espace peut être
déterminé par:

• une droite et un point extérieur à cette droite
• deux droites sécantes
• deux droites strictement parallèles

Application 1

A, B, C et E sont quatre points non coplanaires.

Montrer que trois quelconques d’entre eux ne sont pas alignés.

2°) Positions relatives de deux droites de l’espace

Deux droites D et D’de l’espace peuvent être:

• Coplanaires

Deux droites D Coplanaires
et D’
Parallèles sécantes
de l’espace Sécantes
peuvent être

Confondues Strictement parallèles

Illustration
graphique

L’intersection D = D’ L’ensemble vide Ensemble formé d’un seul
point

• Non coplanaires

Leur intersection est vide

Application 2
D et D’ sont deux droites non coplanaires de l’espace. A et B sont deux points distincts de D et A’ et B’ sont
deux points distincts de D’.
Montrer que les droites (AA’) et (BB’) ne sont pas coplanaires.

166

3°) Positions relatives d’une droite et d’un plan de l’espace

Une droites D et un plan P de l’espace peuvent être:

une droite D et Parallèles sécants
un plan P D est sécante à P
de l’espace
peuvent être

D ⊂ P (D a au moins 2 D est strictement parallèle à
points dans P) P

Illustration
graphique

L’intersection D L’ensemble vide Ensemble formé d’un seul
point

Application 3

Deux droites D et D’ d’un plan P sont sécantes en un point O. Une troisième droite ∆ non incluse dans P est
sécante avec D et D’.
Montrer que ∆ est sécante à P en O.

4°) Positions relatives de deux plans de l’espace

Deux plans P et Q de l’espace peuvent être:

Deux plans P et Parallèles sécants
Q de l’espace P et Q sont sécants
peuvent être P et Q sont confondus

Illustration P et Q sont strictement
graphique parallèles

L’intersection P=Q L’ensemble vide Une droite D

Application 4
ABCD est un parallélogramme d’un plan P et E est un point extérieur au plan P.

Déterminer l’intersection des plans (MAC) et (MBD).

167

Application 5
Dans la figure ci-contre ABCD est un tétraèdre. E est un point de

l’arête [BD] et F est un point de l’arête [BC].
1°) Montrer que les plans (ACE) et (ADF) sont sécants.
2°) Déterminer la droite d’intersection de ces deux plans.

Application 6
A et B sont deux points distincts d’un plan P et C est un point de l’espace n’appartenant pas à P.
1°) Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2°) Soit Q le plan (ABC). Déterminer l’intersection de P et Q.
3°) Soit E un point du plan Q tel que la droite (CE) ne soit pas parallèle à P et soit F le point
d’intersection de P et (CE). Que peut-on dire des points A, B et F ?

Application 7
Dans la figure ci-contre SABCD est une pyramide dont la base ABCD est
un trapèze de bases [AB] et [CD]. I est le milieu de l’arête [SA].
1°) a) Montrer que le point I appartient à l’intersection des plans(SAD) et
(BCI).

b) Montrer que les plans (SAD) et (BCI) ne sont pas confondus.
c) Déduire la nature de l’intersection D de ces deux plans.
2°) Prouver que chacun des plans(SAD) et (BCI) est sécant au plan (ABC)
suivant une droite qu’on déterminera.
3°) Déduire une construction de D.

II) Parallélisme dans l’espace

1°) Droites parallèles

Deux droites de l’espace sont parallèles équivaut à elles sont coplanaires et en plus elles sont
parallèles dans ce plan (soit confondues soit leur intersection est vide).
Par un point de l’espace, ne passe qu’une seule droite parallèle à une droite donnée.
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite parallèle à l'une d’elles est parallèle à l'autre.
Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'une d’elles coupera l'autre.

Application 8
A, B, C et D sont quatre points non coplanaires. I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [AB],

[BC], [CD] et [AD].
1°) Montrer que les quatre points I, J, K et L sont coplanaires.
2°) Montrer que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme.

Application 9
K et L sont deux points sur les arêtes [EH] et [EF] du parallélépipède rectangle ABCDEFGH

Les droites (AK) et (DH) se coupent en M. Les droites (AL) et (BF) se coupent en N.
Comment doivent être placés les points K et L pour que les droites (KL) et (MN) soient parallèles ?

168

2°) Droite et plan parallèles

Une droite D et un plan P sont parallèles signifie D ⊂ P ou D ∩ P = Φ

Pour qu’une droite D soit
parallèle à un plan P il faut et
il suffit que D soit parallèle à
une droite de P

Si deux droites sont parallèles
alors tout plan parallèle à l’une
d’elles sera parallèle à l’autre

Si deux plans sécants sont
parallèles à une même droite D
alors leur intersection est
parallèle à D.

Si une droite est parallèle à un
plan P alors elle sera parallèle
à l’intersection de P avec tout
plan Q qui la contient.

Si deux droites sont parallèles alors tout plan qui coupe l’une d’elles coupera l’autre.

Application 10
D et D’ sont deux droites parallèles d’un plan P et A et B sont deux points de l’espace extérieurs à P tels
que les plans Q = (A , D’) et R = (B , D) soient sécants suivant une droite qu’on notera ∆.
Montrer que ∆ est parallèle à P.

Application 11
Deux plans P et P’ se coupent suivant une droite D1. Par un point I fixé en dehors de P et P’, on mène la
parallèle D2 à D1 et une droite D3 qui coupe P en A et P’ en A’.
En désignant par : Q le plan défini par D2 et D3 ; D la droite d’intersection de P et Q et par D’ la droite
d’intersection de P’ et Q, montrer que D et D’ sont parallèles.

3°) Plans parallèles

Deux plans P et Q sont parallèles signifie P = Q ou P ∩ Q = Φ
Deux plans P et Q sont parallèles si et seulement si l’un d’eux contient deux droites sécantes
parallèles à l’autre.
Par un point donné de l’espace, ne passe qu’un seul plan parallèle à un plan donné.
Si deux plans sont parallèles à un même troisième alors ils sont parallèles.
Si deux plans sont parallèles alors tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection
sont parallèles.
Si deux plans sont parallèles alors toute droite parallèle à l’un d’eux est parallèle à l’autre. En
particulier, toute droite de l'un de ces plans est parallèle à l'autre.

169

Lorsque deux plans sécants sont parallèles à une droite D alors leur intersection est parallèle à D.
Si P ∩ Q = ∆ , R // ∆, P ∩ R = D et R ∩ Q = D’ alors D // D’

Application 12
Sur la figure ci–contre (IJ) est l'intersection des
plans (ACG) et (BDH).
Démontrer que (IJ) est parallèle à (AE).
Application 13
On considère un plan P et un parallélogramme ABCD situé en dehors de P. Les parallèles menées de A, B,
C et D à une droite donnée ∆ coupent P respectivement en A, B’, C’ et D’. (Le quadrilatère A’B’C’D’ ainsi
obtenu est appelé projection du parallélogramme ABCD sur P dans la direction de ∆.)
1°) Que peut – on dire des plans (ABA’) et (CDC’) ?
2°) Montrer que A’B’C’D’ est un parallélogramme.

3°) Quelques points méthodes

Pour démontrer que deux droites non parallèles ne sont pas coplanaires, on peut démontrer qu'elles
sont situées dans deux plans strictement parallèles.
Application 14
Dans le parallélépipède rectangle ci–contre, la droite (AE) est incluse
dans le plan (ADE) et la droite (FG) est incluse dans le plan (BCF).
Montrer que ces deux droites ne sont pas parallèles.

170

Pour démontrer que trois points sont alignés, on peut démontrer que ces points sont dans deux plans
sécants.

Application 15
On considère un cube ABCDEFGH et les points I, J, K et L les milieux respectifs des arêtes [AE], [AB],
[BC] et [CG].
1°) Montrer que les droites (IL) et (JK) sont parallèles.
2°) En déduire que les droites:
a) (IJ) et (KL) sont coplanaires.
b) (IJ) et (KL) sont sécantes en un point qu’on notera O.
3°) Montrer que les points B, F et O sont alignés.

III) Perspective cavalière

La perspective cavalière est une façon de représenter sur papier (donc sur un plan) des objets en volume
(donc des éléments non tous coplanaires: droites, points…).
Cette manière de représenter les objets de l’espace est gérée par un certain nombre de règles dont:

• Des points alignés sont représentés par des points alignés.
• Deux droites (ou segments) parallèles sont représentées par des droites (ou segments) parallèles.
• Dans le plan frontal (plan de face), les angles et les segments sont représentés en vraie grandeur.
• Dans un plan fuyant (non frontal):
• les angles et les segments ne sont plus représentés en vraie grandeur
• les longueurs des segments sont multipliés par un certain coefficient k (généralement on prend k = 1 )

2
• les proportions sur les segments et les rapports de longueurs sur les segments parallèles sont conservés: en
particulier il y a conservation du barycentre (donc du milieu).

• Les droites (ou segments) cachées sont dessinées en
pointillés.

Exemple
Ci-contre, la représentation en perspective cavalière d'un cube
ABCDEFGH.
Essayons de mettre en évidence les règles utilisées. Un cube a
six faces carrées.
• La face CDHG du cube est donc un carré, pourtant sa
représentation en perspective cavalière a la forme d'un
parallélogramme qui n'est pas un carré.
• L'angle EAB est droit sur le cube mais aigu sur la figure.
• Les arêtes [AB] et [BF] ont même longueur sur le cube mais
on les a représentées par des segments de longueurs différentes.

Attention: les dessins peuvent nous induire en erreur
• Deux segments qui se chevauchent ne représentent pas forcement des droites sécantes.
Exemple: [BD] et [EG] ne sont pas sécants.

• Deux traits parallèles ne représentent pas forcement deux droites parallèles.
171

• Les angles ne sont pas respectés (sauf dans un plan de face).
Exemple: [BF] et [BC] sont perpendiculaires dans la réalité mais ils ne le sont pas sur le dessin.
• Deux segments isométriques dans la réalité ne sont pas toujours représentés par des segments isométriques
( sauf dans un plan de face).
Exemple: [BF] et [BC] sont les côtés d'un même carré, pourtant sur le dessin ils ne sont pas isométriques.
Application 16
La figure ci - contre est le début du travail d’un élève voulant représenter en
perspective cavalière un prisme où le triangle ABC est une base et le segment
[AE] est une arête latérale.
Achever cette représentation en vous servant d’une règle et d’un compas.

172

Evaluation du degré d’assimilation du cours

Pour chacune des situations ci – dessous, relevez sur votre cahier les numéros des propositions qui vous
semblent vraies

Situation 1

D et ∆ sont deux droites de l’espace dont l’intersection est vide.

P1: D et ∆ sont parallèles P2: D et ∆ sont non coplanaires P3: D et ∆ ne sont pas sécantes

Situation 2

Si deux droites de l’espace sont parallèles alors toute droite sécante à l’une d’elles peu être:

P1: parallèle à l’autre P2: sécante à l’autre P3: non coplanaire avec l’autre

Situation 3
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle et I est un point de
l’arête [CG].
P1: les droites (AD) et (EF) sont sécantes .
P2: Les droites (AE) et (CG) sont parallèles.
P3: Les points A, E, C, G sont coplanaires .
P4: Les droites (AD) et le plan (EGH) sont sécants.

Situation 4

On reconsidère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH de la situation 3.
P1: Les droites (AG) et (BH) sont coplanaires
P2: Les droites (AG) et (EI) sont coplanaires
P3: Les droites (BH) et (EI) sont coplanaires
P4: Le point I appartient au plan (EGB)

Situation 5
P1: Une droite parallèle à deux plans sécants est parallèle à leur intersection.
P2: Deux plans parallèles à une même droite sont parallèles entre eux.
P3: Deux droites parallèles à un même plan sont parallèles entre elles.

Situation 6
Si une droite est parallèle à un plan alors elle est
P1: parallèle à toute droite de ce plan.
P2: parallèle à certaines droites de ce plan.
P3: sécante à toutes les droites de ce plan.

Situation 7
P et Q sont deux plans sécants suivants une droite D
P1: il est impossible de trouver une droite D1 (≠D) de P et une droite D2 (≠D) de Q qui sont coplanaires.
P2: on peut trouver une droite D1 (≠D) de P et une droite D2 (≠D) de Q qui sont parallèles.

173

P3: on peut trouver une droite D1 de P et une droite D2 de Q qui sont parallèles entre elles et sécantes à D
Situation 8

Si l’intersection E de trois plans: P, Q et R n’est pas vide (E = P ∩ Q ∩ R ≠ φ ) alors
P1: E est toujours une droite.
P2: E peut être formé d’un seul point.
P3: E est un segment
Situation 9
P est un plan ; A, B, C sont trois points non alignés qui n’appartiennent pas à P. On suppose que (AB) coupe
P en C’, que (AC) coupe P en B’ et que (BC) coupe P en A’.
P1: les points A’, B’ et C’ sont alignés
P2: les points A’, B’ et C’ ne sont pas coplanaires.
P3: (ABB’) ∩ (ACC’) = (AB)
Situation 10
Soit un plan P et un triangle ABC tels que (AB) et (AC) sont parallèles à P.
P1: les plans (ABC) et P sont parallèles
P2: (BC) est parallèle à P.
P3: la médiane du triangle ABC issue de A, est parallèle à P.

174

Situation 1 Solutions des QCM P3: Vraie

P1: Fausse P2: Fausse

Situation 2 P2: Vraie P3: Vraie

P1: Fausse P2: Vraie P3: Vraie P4: Fausse

Situation 3 P2: Vraie P3: Fausse P4: Fausse

P1: Fausse P2: Fausse P3: Fausse

Situation 4 P2: Vraie P3: Fausse

P1: Vraie P2: Vraie P3: Fausse

Situation 5 P2: Vraie P3: Fausse
P2: Fausse P3: Vraie
P1: Vraie
P2: Vraie P3: Vraie
Situation 6

P1: Fausse

Situation 7

P1: Fausse

Situation 8

P1: Fausse

Situation 9

P1: Vraie

Situation 10

P1: Vraie

175

Solutions des applications

Application 1
Supposons que parmi ces quatre points il y en a trois qui sont alignés. Pour simplifier la rédaction et sans
perdre de généralité supposons que ce sont: A, B et C et notons D la droite qui les contint
il y a alors deux cas possibles:
1er cas: E ∈ D
alors A, B, C et E sont alignés D sont coplanaires: ce qui contredit les hypothèses
2ème cas: E ∉ D
alors E est extérieur à D et par suite ils définissent un plan donc les quatre points sont coplanaires: ce qui
contredit les hypothèses
Conclusion: chacune de deux éventualités nous mène à une contradiction avec les hypothèses donc la
supposition est fausse et ainsi trois quelconques parmi ces quatre points ne sont pas alignés.

Application 2

Supposons que les droites (AA’) et (BB’) sont coplanaires et soit Q un plan qui les contient.

alors A, A’, B et B’ sont des points de Q

A, B ∈ Q alors ((AAB'B)')==DD⊂' ⊂QQ alors D et D’ sont coplanaires:
¨ A', B' ∈ Q alors

c’est absurde: ça contredit les hypothèses, donc la supposition est fausse et par suite (AA’) et (BB’) ne
peuvent pas être coplanaires.

Application 3

Supposons que ∆ coupe D et D’ en deux points distincts qu’on désignera respectivement par A et A’
alors ∆ = (AA’) (1)

A∈D et D ⊂ P alors AA∈' ∈PP  alors (AA ') ⊂ P (2)
A∈D' et D ' ⊂ P alors

d’après (1) et (2), on déduit que ∆ ⊂ P: c’est absurde: ça contredit les hypothèses, donc la supposition est

fausse et par suite ∆ ne peut couper D et D’ qu’en leur point commun: O.

Application 4

ABCD étant un parallélogramme

alors ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu qu’on notera O

ainsi

M et O sont deux points distincts de ( MAC)donc(MO) ⊂ (MAC)  alors (MAC) ∩ (MBD) = (MO)
(MBD)donc(MO) ⊂(MBD) 
et M et O sont deux points distincts de 

d’autre part (MAC)et (MBD)sont deux plans distincts

176

Application 5

1°) • A est un point commun à ces deux plans donc ils ne peuvent

pas être strictement parallèles.

• C appartient à l’un de ces plans sans appartenir à l’autre donc ces

plans sont distincts

ainsi (ACE) et (ADF) ne sont ni strictement parallèles ni

confondus

donc ils ne sont pas parallèles par suite ils sont sécants.

2°) • (DF) et (CE) sont deux droites sécantes du plan (BCD). Soit

O leur point d’intersection.

O ∈ (DF) et (DF) ⊂ (ADF) donc O ∈ (ADF)  alors (ADF) ∩ (ACE) = (AO)
O ∈ (CE) et (CE) ⊂ (ACE) donc O ∈ (ACE) 

de plus part A ∈ (ADF) ∩ (ACE)

Application 6

1°)

on a: A, B ∈ P et A ≠ B alors (AB) ⊂ P (  alors C ∈ P: c’est absurde: ça contredit les
Supposons que A, B et C sont alignés C ∈
alors AB)

hypothèses, donc la supposition est fausse et par suite A, B et C ne peuvent pas être alignés.

2°)

On a: C ∈Q et C ∉ P alors P ≠ Q
A, ⊂
B ∈ Q alors (AB)  alors P∩ Q = ( AB)

Q

(AB) ⊂ P 

3°)

F ∈ (CE) et (CE) ⊂ Q alors F ∈ Q alors F∈ P ∩Q
F∈P



donc F ∈ (AB) par suite les points A, B et F sont alignés

Application 7
1°) a)

177

I = S*A alors I ∈ (SA) alors I ∈ (SAD) 
et on a  
(SA) ⊂ (SAD)   alors I∈ (SAD) ∩ (BCI)

d’autre pate I ∈ (BCI) 

b) Supposons que (SAD) et (BCI) sont confondus alors B et C
appartiennent à (SAD)

donc (SAD) = (SBC) : il s’agit de deux faces opposées de la
pyramide.

donc la supposition est fausse et par suite les plans (SAD) et (BCI) ne
sont pas confondus.

c) Les plans (SAD) et (BCI) sont deux plans distincts qui ont au moins
un point commun
alors ils sont sécants et leur intersection D est une droite qui

passe par I.

2°) Remarquons que le plan (ABC) = (ABCD)

S ∈ (SAD) et S ∉ (ABC) alors (SAD) ≠ (ABC)

• d 'autrepart (AD) ⊂ (SAD) alors (SAD) est sécant à (ABC) suivant la droite (AD)

et (AD) ⊂ (ABC)

I ∈ (BCI) et I ∉ (ABC) alors (BCI) ≠ (ABC)
d 'autrepart (BC) ⊂ (BCI) 
•  alors (BCI) est sécant à (ABC) suivant la droite (BC)

et (BC) ⊂ (ABC)

3°) • (AD) et (BC) sont les droites qui portent les deux côtés du trapèze ABCD autres que les bases

alors elles sont sécantes, soit J leur point d’intersection.

• J ∈ (AD) et (AD) ⊂ (SAD) alors JJ∈∈((BSCAID) ) alors J ∈ (SAD) ∩ (BCI) =D
J ∈ (BC) et (BC) ⊂ (BCI) alors

Résumé: D passe par les deux points distincts I et J

donc D = (IJ)

Application 8

1°) On sait que tous les résultats de la géométrie

plane sont applicables dans chaque plan de l’espace.

• dans le plan (ABC), on a

A, B et C non alignés  alors (IJ) / / (AC) (a)

I = A * B et J = B * C

• dans le plan (ADC), on a

178

A, D et C non alignés 
 alors (KL) / / (AC) (b)
L = A * B et K = D * C

On déduit d’après (a) et (b), que (IJ) et (KL) sont parallèles donc I, J, K et L sont coplanaires

2°) • dans le plan (ABD), on a

A, B et D non alignés  (c)
 alors (IL) / / (BD)
I = A * B et L = A * D

• dans le plan (BCD), on a

D, B et C non alignés  alors (JK) // (BD) (d)

K = D * C et J = B * C

D’après (c) et (d), on déduit que (IL) et (JK) sont parallèles et puis qu’on a déjà (IJ) et (KL) sont parallèles

le quadrilatère IJKL est alors un parallélogramme.

Application 9
• Les sécantes (AM) et (AN) sont coupées par les parallèles (KL) et (MN). D’après Thalès (dans le plan
(AMN)): NL = MK (1)

NA MA

• Dans le plan (ADM) = (ADH), les sécantes (AM) et
(DM) sont coupées par les parallèles (HK) et (AD).
D’après Thalès : MH = MK = HK (2)

MD MA AD

• Dans le plan (ABN) = (ABF), les sécantes (BN) et
(AN) sont coupées par les parallèles (EF) et (AB).
D’après Thalès : NF = NL = FL (3)

NB NA AB
(1), (2) et (3) donnent HK = FL signifie

AD AB
HK = AD
FL AB
donc K et L doivent vérifier HK = AD

FL AB

Application 10

On a D’ / / D
 alors D’ / / R
et D ⊂ R


179

D’ / / R 


D’⊂ Q  alors D’ / / ∆
Q ∩ R = ∆
d’autre part D’ // P alors ∆ // P

Application 11

• ¨D2 / / D1  alors D2 // P'
D1 ⊂ P ' 


D2 / / P ' 

• D2 ⊂ Q  alors D2 / / D' (1)
∩ P' =D '
Q

• ¨D2 // D1  alors D2 // P
D1 ⊂ P 


D2 / / P 

• D2 ⊂Q  alors D2 // D (2)
Q∩ P = D

de (1) et (2), on déduit que D et D’ sont parallèles.

Application 12
On a (AE) // (DH) et (DH) ⊂ (BDH) alors (AE) // (BDH)
d’autre part (AE) ⊂ (ACG) et (ACG) ∩ (BDH) = (IJ) alors (AE) // (IJ)

(d’après la règle: si une droite D est parallèle à un plan P alors tout plan Q qui contient D et sécant à P
coupera P suivant une droite D’ parallèle à D)

Application 13

1°) • ABCD est un parallélogramme

alors (AB) // (CD)

et on a (AB) ⊂ (ABA’)

alors (CD) // (ABA’) (1)

• d’autre part (AA’) // (CC’)

et on a (AA’) ⊂ (ABA’)

alors (CC’) // (ABA’) (2)

• (CC’) et (CD) sont deux droites sécantes du plan (CDC’) (3)

D’après (1), (2) et (3), on déduit que (ABA’) et (CDC’) sont parallèles.

180

2°) • ABCD est un parallélogramme

alors (BC) // (AD)

et on a (AD) ⊂ (ADA’)

alors (BC) // (ADA’) (a)

• d’autre part (AA’) // (BB’)

et on a (AA’) ⊂ (ADA’)

alors (BB’) // (ADA’) (b)

• (BC) et (BB’) sont deux droites sécantes

du plan (BCB’) (c)

D’après (a), (b) et (c), on déduit que

(ADA’) et (BCB’) sont parallèles.

On a (ADA’) // (BCB’) 

P ∩ (ADA ') = (A ' D ') alors (A ' D ') / / (B 'C ')

P ∩ (BCB ') = (B 'C ') 

On a (ABA’) // (CDC’) 

P ∩ (ABA ') = (A ' B ') alors (A ' B ') / / (C 'D ')
P ∩ (CDC ') = (C ' D ') 

Résumé: (A’B’) // (C’D’) et (A’D’) // (B’C’) alors le quadrilatère A’B’C’D’ est un parallélogramme.

Application 14

(AE) / / ( B(BFF) ) alors (FG) n 'est pas parallèle à 
(AE)
(FG) coupe

( AE ) ⊂ ( AED )   alors (FG) et (AE) ne sont pas coplanaires
( FG ) ⊂ ( BCF)  
 
(AED) / / (BCF)

Application 15

1°)

ACGE est un rect an gle 
 alors (IL) // (AC) et IL = AC 
I= A*E et L = C*G  

Dans leplan (ABC), J = A * B et K = B * C alors (JK) / /(AC) d 'où (IL) / /(JK)
et JK = 1 AC 
2 

181

2°) a) Les droites (IL) et (JK) étant parallèles

alors elles sont coplanaires

donc les points I, J, K et L sont coplanaires

par suite les droites (IJ) et (KL) sont aussi coplanaires

b)

Supposons que (IJ) // (KL) 
 alors IJKL est un parallé log ramme
et on a (IL) / / (KJ) 

alors JK = IL
d’autre part, on a JK = 1 AC et IL = AC

2

donc 1 AC = AC: c’est impossible alors la supposition est fausse et ainsi (IJ) et (KL) sont sécantes.
2

3°) On a B ∈ (ABF) ∩ (BCF) (a) et F ∈ (ABF) ∩ (BCF) (b)

O ∈ (IJ) et ((IKJ)L⊂) ⊂(A(BBFC)Fa)laolrosrsOO∈∈(A(BBFC)F) donc O ∈ ( ABF) ∩ ( BCF) (c)
O ∈ (KL) et

de (a), (b) et (c), on déduit que B, O et F sont alignés.

Application 16

Ce prisme étant à base triangulaire alors sa surface latérale est formée de trois parallélogrammes.
Désignons ce prisme par ABCEFG.

• La face ABFE est un parallélogramme
donc la demi – droite [BF) est portée par la parallèle à (AE) qui passe par B et située du même côté que
[AE] par rapport au plan (ABC)

• Le cercle de centre B et de rayon AE coupe cette demi – droite en un point : c’est F.

La face ACGE est un parallélogramme
donc A * G = C * E et par suite G est le symétrique de A par rapport à I = C * E.

D’après la disposition des points de départ, ABFE est dans un plan frontal donc ses côtés seront en
traits continus ; par contre l’arête [CG] est cachée alors elle sera tracée en traits discontinus.

182

Exercices intégratifs

Exercice 1
Dans la figure ci-contre, ABCDEFGH est un prisme dont la
base est le trapèze ABCD.
I et J sont deux points pris de façon aléatoire respectivement
sur les arêtes [EH] et [FG] (distincts des extrémités).
Les droites (HE) et (GF) se coupent en un point K et (AD) et
(BC) se coupent en un point L.
1°) Déterminer l’intersection des plans (ADE) et (BCF).
2°) Les droites (DI) et (CJ) sont-elles coplanaires? Justifier.

Exercice 2
Trois droites non coplanaires D1, D2 et D3 sont concourantes en un point I. S est un point donné de l’espace
et Q est le plan passant par S et parallèle à D1 et D2.
Déterminer la position relative de D3 et Q.

Exercice 3
Soit un tétraèdre SABC. On désigne par: I le point de [AB] tel que AI = 1 AB et par J le point de [SB] tel

4
que SJ = 1 SB. La droite passant par I et parallèle à (AC) coupe [BC] en K.

4
1°) Montrer que la droite (IJ) est parallèle à (AS).
2°) Montrer que les plans (SAC) et (IJK) sont parallèles.
3°) Déterminer la position relative des droites (JK) et (SC).

Exercice 4
SABCD est une pyramide de sommet S et dont la base ABCD est
un parallélogramme. On considère un point M de l’arête [SC]. La
parallèle à (BC) passant par M coupe l’arête [SB] en N.
1. Démontrer que les droites (AD) et (MN) sont parallèles.
2. Dans le plan (ADMN), on note O le point d’intersection des
droites (AN) et (DM).
a) Démontrer que le point O appartient à chacun des plans (SAB) et
(SDC). Quelle est alors l’intersection des plans (SAB) et (SDC).

b) En déduire que (SO) est parallèle à (AB) et à (CD).
3°) E et F sont deux points tels que SDAE et SDCF soient des
parallélogrammes. Montrer que les plans (SAC) et (BEF) sont
parallèles.

Exercice 5
ABCDEFGH est un cube. I, J, K, M, N et O sont les milieux respectifs de [AB], [EF], [HG], [GA], [GB] et
[AC].
1°) Préciser en justifiant les intersections :
a) du plan (CBG) et du plan (GAB).

183

b) du plan (GBD) et du plan (GAC).
c) de la droite (GO) et du plan (BAD).
d) de la droite (DN) et de la droite (GO).
2°) Démontrer que la droite (MN) et la droite (CD) sont parallèles. En déduire l'intersection des plans
(ABG) et (CMD).
3°) Démontrer que la droite (MN) et le plan (ABC) sont parallèles.
4°) a) Montrer que la droite (HI) est parallèle à la droite (KB).
b) En déduire que la droite (HI) est parallèle au plan (JKC).
Exercice 6
SABCD est une pyramide de sommet S et dont la base ABCD est un parallélogramme.
On note S’ l’image de S par la translation de vecteur DC dans le plan (SDC).
1°) Montrer que les droites (AB) et (SS’) sont parallèles.
2°) Montrer que les plans (ADS) et (BCS’) sont parallèles.
3°) Montrer alors que les droites (AS) et (BS’) sont parallèles.
Exercice 7
ABCDEFGH est un cube. I, J, L, M et N sont les milieux respectifs de [BC], [CG], [HG], [AE] et [AB].
1°) Montrer que les droites (LJ) et (MN) sont parallèles.
2°) Montrer que les droites (IJ) et (LN) sont parallèles.
3°) Déterminer alors la position relative de la droite (IJ) et le plan (LMN).
4°) Déduire que les points I, J, L, M et N sont coplanaires.

184

Solutions des exercices intégratifs

Exercice 1

1°)

• K ∈ (HE) et (HE) ⊂ (ADE) alors K ∈ (ADE)
K ∈ (FG) et (FG) ⊂ (BCF) alors K ∈


(BCF) 

alors K ∈ (ADE) ∩ (BCF)

L ∈ (DA) et (DA) ⊂ (ADE) alors L ∈ (ADE)
• 
L ∈ (BC) et (BC) ⊂ (BCF) alors L ∈ (BCF) 

alors L ∈ (ADE) ∩ (BCF)

¨K ∈ (ADE) ∩ (BCF)

• L ∈ (ADE) ∩ (BCF)  alors (ADE) ∩ (BCF) = (KL)

(ADE) ≠ BCF) 

2°) Supposons que les droites (DI) et (CJ) sont coplanaires et soit R le plan qu’elles déterminent.

EFGH est la face opposée à la base ABCD du prisme

alors les plans (EFG) et (ABC) sont parallèles alors (IJ) / / (CD)
∩(EFG) =
d’autre part, on a : R (IJ) 

et R ∩(ABC) = (CD)

de plus, on a (CD) // (HG) (les faces d’un prisme sont des parallélogrammes)
d’où dans le plan(EFG), on a (IJ) est parallèle à (HG) et à (EF)
D’après l’application du théorème de Thalès dans le trapèze: IE = JF ce qui contredit le choix aléatoire de

IH JG
I sur [EH] et de J sur [FG]
donc la supposition est fausse et par suite (DI) et (CJ) sont non coplanaires.

Exercice 2

• Soit P : le plan contenant les sécantes D1 et D2 alors D3 est
sécante à P (si non D1, D2 et D3 seraient coplanaires). (1)
••

Q contient une parallèle à D1 alors D1 est parallèle à Q

Q contient une parallèle à D2 alors D2 est parallèle à Q
D1 et D2 sont deux droites sécantes de P 

donc P / / Q (2)
de (1) et (2), on déduit que D3 est sécante à Q.

185

Exercice 3

Lorsque deux plans sécants sont
parallèles à une droite D alors leur
intersection est parallèle à D.

1°) On a I ∈ [AB] et AI = 1 AB alors BI = 3 AB
44

et J ∈ [SB] et SJ = 1 SB alors BJ = 3 BS
44

donc BI = BJ  alors (IJ) / / (AS) (d’après la réciproque de Thalès)
BS 
BA 
I∈ [AB] 

J ∈ [SB] 



2°) • (IJ) // (AS) et (IJ) ⊂ (IJK) alors (AS) // (IJK) (1)

• (IK) // (AC) et (IK) ⊂ (IJK) alors (AC) // (IJK) (2)
• (AS) et (AC) sont deux droites sécantes du plan (SAC) (3)

de (1), (2) et (3) on déduit que les plans (SAC) et (IJK) sont parallèles.

3°)

(SBC) ∩ (SAC) = ((JSKC)) alors (SC) // (JK)
(SBC) ∩ (IJK) = 

(SBC) / / (IJK)

Exercice 4
1°) On a la base ABCD est un parallélogramme alors (AC) et (BD) sont parallèles et (MN) et (BD) sont

parallèles ainsi les droites (AD) et (MN) sont parallèles. (deux droites parallèles à une même troisième)
2°) a) • On a N est un point de (SB) et (SB) est incluse dans (SAB) alors N appartient à (SAB)
donc (AN) est incluse dans (SAB) par suite O qui est un point de (AN) appartient à (SAB).
• On a M est un point de (SC) et (SC) est incluse dans (SDC) alors M appartient à (SDC)
donc (DM) est incluse dans (SDC) par suite O qui est un point de (DM) appartient à (SDC).
• On a S ∈ (SAB) ∩ (SDC) et O ∈ (SAB) ∩ (SDC) donc (SAB) ∩ (SDC) = (SO)

b)

(AB) // (CD) et (CD) ⊂ (SDC) alors (AB) // (SCD)

(AB) // (SAB)  alors (SO) / / (AB)

(SAB) ∩ (SCD) = (SO)

et d’autre part, on a (AB) // (CD)
donc (SO) est parallèle à (AB) et à (CD).
3°) • SDAE est un parallélogramme alors AE = DS et (AE) // (DS) (1)
SDCF est un parallélogramme alors CF = DS et (CF) // (DS) (2)
(1) et (2) donnent AE = CF et (AE) // (CF)
alors AEFC est un parallélogramme donc (AC) // (EF)

186

d’autre part, on a (AC) ⊂ (SAC) alors (EF) // (SAC) (I)
• SDAE est un parallélogramme alors AD = ES et (AD) // (ES) (a)
ABCD est un parallélogramme alors AD = BC et (AD) // (BC) (b)
(a) et (b) donnent ES = BC et (ES) // (BC)
alors ESCB est un parallélogramme donc (SC) // (EB)
d’autre part, on a (SC) ⊂ (SAC) alors (EB) // (SAC) (II)
•(EF) et (EB) sont deux droites sécantes du plan (BEF) (III)
de (I), (II) et (III), on déduit que les plans (SAC) et (BEF) sont parallèles.

Exercice 5
1°) a) Les plans (CBG) et (GAB) se coupent suivant la droite (BG)
b) On a ABCDEFGH est un cube alors le quadrilatère ABCD est un
parallélogramme donc A * C = B * D = O
donc O ∈ (AC) ∩ (BD) par suite O ∈ (GAC) ∩ (GBD)
de plus, on a G ∈ (GAC) ∩ (GBD) et O ≠ G
donc (GAC) ∩ (GBD) = (GO)

c) Le plan (BAD) = (BADC) contient le point O = B * D
donc (BAD) ∩ (GO) = {O}

d)

BGD triangle 

O = B * D donc (GO) est une médiane 
N = B * G donc (DN) est une médiane

alors les droite (DN) et (GO) se coupent au centre de gravité du triangle BDG

2°) •

ABG triangle 
 
M = A*G  alors ( MN ) // ( AB )  alors (MN) // (CD)
N = B * G  

¨(CD) / / (AB) (ABCD est un parallé log ramme)

•• On a (MN) // (CD) et M ∉ (CD) alors N ∈ (CMD)
donc (MN) ⊂ (CMD)
d’autre part, on a (MN) ⊂ (ABG) ainsi (ABG) ∩ (CMD) = (MN)

3°) On a (MN) // (AB) et (AB) ⊂ (ABC) alors (MN) // (ABC)

4°) a) On a:

• K = H * G alors (HK) = (HG) et HK = 1 HG (1)
2

• I = A * B alors (IB) = (AB) et IB = 1 AB (2)
2

• AB = BG et (AB) // (HG) (3)

de (1), (2) et (3), on déduit que IB = HK et (IB) // (HK)

alors le quadrilatère BIHK est un parallélogramme alors (HI) // (KB)

b) On a :

• EFGH est un carré K = H * G et J = F * E alors (JK) // (FG)

187

et JK = FG (a)
• FGCB est un carré alors (BC) // (FG) et BC = FG (b)
de (a) et (b), on déduit que BC = JK et (BC) // (JK)
donc (KB) ⊂ (JKC)
et puisqu’on a (HI) // (KB), on déduit que la droite (HI) est parallèle au plan (JKC).

Exercice 6

1°) ABCD est un parallélogramme alors (AB) et (CD) sont parallèles.

t (S) = S' alors (SS’) et (CD) sont parallèles
DC

ainsi (AB) et (SS’) sont parallèles (elles sont parallèles à une même

troisième).

2°) • ABCD est un parallélogramme alors (AD) et (BC) sont parallèles

et on a (AD) ⊂ (ADS) alors (BC) est parallèle à (ADS). (a)

• t (S) = S' alors (CS’) et (DS) sont parallèles
DC

et on a (DS) ⊂ (ADS) alors (CS’) est parallèle à (ADS). (b)

•(CS’) et (BC) sont deux droites sécantes du plan (BCS’) (c)

De (a), (b) et (c) on déduit que les plans (ADS) et (BCS’) sont parallèles.

3°) • On a d’après 1°), (AB) et (SS’) sont parallèles alors elles définissent le plan (ABSS’).

• les plans (ADS) et (BCS’) sont parallèles
• (ABSS’) ∩ (ADS) = (AS) et (ABSS’) ∩ (BCS’) = (BS’)

alors les droites (AS) et (BS’) sont parallèles. (Si deux plans alors tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et

les droites d’intersection sont parallèles)

Exercice 7

1°) • Dans le triangle GHC, on a J = G * C et L = G * H

alors (JL) // (CH) (1)

• Dans le triangle AEB, on a M = A * E et N = A * B

alors (MN) // (BE) (2)
• On a (BEH) ∩ (ABE) = (BE), (BEH) ∩ (GCH) = (CH)

et les plans (ABE) et (GCH) sont parallèles alors (BE) // (CH) (3)

d’après (1), (2) et (3), on déduit que les droites (LJ) et (MN) sont parallèles.

2°) • On a LG = BN et (LG) // (BN) alors LGBN est un parallélogramme

alors (BG) // (LN) (a)

• Dans le triangle BCG, on a J = G * C et I = B * C

alors (IJ) // (BG) (b)

d’après (a) et (b), on déduit que les droites (IJ) et (LN) sont parallèles.

3°) (IJ) // (LN) et (LN) ⊂ (LMN) alors (IJ) // (LMN)

4°)

d’après 1°), on a (LJ) / / (MN) donc J ∈ ( LMN )  donc (IJ) ⊂ (LMN)
et (IJ) / /
d’après 3°), ( LMN ) 

alors les points I, J, L, M et N sont coplanaires.
Commentaire: le pentagone IJLMN est appelé la section du cube ABCDEFGH par le plan (LMN).

188

Droites orthogonales
Droites et plans perpendiculaires

I) Droites orthogonales

Deux droites D1 et D2 de l’espace sont orthogonales si et seulement si les parallèles D’1 et D’2
respectives à D1 et D2 menées par un point quelconque de l’espace sont perpendiculaires.

Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes.

D’un point donné de l’espace passe une infinité de droites orthogonales à une droite donnée.

Application 1
On considère un parallélépipède rectangle ABCDEFGH.
1°) Montrer que les droites (DH) et (FG) sont orthogonales.
2°) Proposer quatre autres droites (dans ce cas de figure) orthogonales à (DH).

Si deux droites sont orthogonales alors toute parallèle à l’une est orthogonale à l’autre.

II) Droite perpendiculaire à un plan

Une droite est perpendiculaire à un plan signifie qu’elle est orthogonale à toute droite de ce plan.

Enoncés et illustration Enoncés et illustration

189

Une droite est perpendiculaire à un plan Si deux droites sont perpendiculaires à un même
signifie qu’elle est orthogonale à deux plan alors elles sont parallèles

droites sécantes de ce plan.

D’un point donné de l’espace, passe un seul plan perpendiculaire à une droite donnée.

Si deux droites sont parallèles alors tout plan perpendiculaire à l’une d’elles est perpendiculaire à

l’autre.

Si deux plans sont parallèles alors toute Si deux droites sont orthogonales alors tout

droite perpendiculaire à l’un d’eux est plan perpendiculaire à l’une d’elles est

perpendiculaire à l’autre. parallèle à l’autre.

Application 2
Dans un plan P, on considère un point O, une droite D ne passant pas par O et le point A projeté

orthogonal de O sur D. Soit ∆ la droite perpendiculaire à P et passant par O.
Montrer que pour tout point M de ∆, la droite (MA) est orthogonale à D.

Application 3
Soit dans un plan P, un triangle ABC rectangle et isocèle en A. D est la droite perpendiculaire à P en A.

Montrer que pour tout point M de D, le triangle BCM est isocèle.

Application 4

190

Soit dans un plan P, une droite D passant par un point A. Soit S un point n’appartenant pas à P.
La perpendiculaire à D issue de S coupe D en H et la perpendiculaire à P issue de S coupe P en K.
1°) Montrer que l’angle AHK est droit.
2°) Sur quel ensemble varie le point H lorsque D pivote autour de A ?

Plan médiateur d’un segment

Propriétés Illustration

Le plan médiateur d’un segment est le plan
perpendiculaire à ce segment en son milieu.

Le plan médiateur d’un segment est l’ensemble
des points de l’espace équidistants des
extrémités de ce segment.

Pour montrer qu’un plan P est le plan médiateur d’un segment, on peut montrer que P contient au
moins trois points non alignés et équidistants des extrémités de ce segment.

191

Application 5
ABC est un triangle équilatéral d’un plan P. On désigne par I le

milieu du côté [BC] et par S un point de la droite perpendiculaire à P
en A distinct de A.
Montrer que le plan (SAI) est le plan médiateur du segment [BC]

Application 6
SABC est un tétraèdre régulier. On désigne par I, J, K, L, O et Ω les
milieux respectifs des arêtes [AB], [BC], [CS], [AS], [AC] et [BS].
1°) Montrer que I, J, K et L appartiennent au plan médiateur de [OΩ].
2°) Quel est le plan médiateur de [IK] ?

Axe d’un cercle

L’axe d’un cercle est la droite qui passe par le centre
de ce cercle et qui est perpendiculaire à son plan.

L’axe d’un cercle est l’ensemble des points de
l’espace équidistants de tous les points de ce cercle.

Pour montrer qu’une droite D est l’axe d’un cercle,
on peut montrer que D passe par deux points distincts
et tel que chacun d’eux est équidistant de trois points
de ce cercle.

Pour montrer qu’une droite D est l’axe d’un cercle,
on peut montrer que D est l’intersection des plans
médiateurs de deux côtés d’un triangle inscrit dans
ce cercle.

Application 7

On considère un tétraèdre régulier SABC.
Soit I le milieu du segment [BC] et H le pied de la hauteur du triangle AIS issue du sommet S.
1°) Montrer que la droite (SH) est perpendiculaire au plan (ABC).
2°) Quel est alors l'axe du cercle circonscrit au triangle ABC?

III) Plans perpendiculaires Enoncés et illustration

Enoncés et illustration Si deux plans sécants R et Q sont
perpendiculaires à un même troisième plan P
Deux plans sont perpendiculaires si et
seulement si l’un d’eux contient une alors leur droite d’intersection D est
perpendiculaire à P.
droite perpendiculaire à l’autre

192

Si P ⊥ P’ et P ∩ P’ = D  alors D' ⊥ P '
et si D ' ⊂ P et D ' ⊥ D 


Si deux plans sont perpendiculaires Si deux plans sont perpendiculaires alors
alors toute droite perpendiculaire à tout plan perpendiculaire à l’un d’eux est

l’un d’eux est parallèle à l’autre. parallèle à l’autre

Si deux plans sont parallèles alors tout plan
perpendiculaire à l’un d’eux est
perpendiculaire à l’autre

Application 8
On considère un tétraèdre régulier SABC.
Soit I le milieu du segment [BC] et H le pied de la hauteur du triangle AIS issue du sommet S.
1°) Montrer que (AIS) est le plan médiateur de [BC].
2°) En déduire que les plans (AIS) et (ABC) sont perpendiculaires

Application 9
Soit dans un plan P, un segment [AB] de milieu I. J est un point de la perpendiculaire à P en I.
1°) Montrer que le plan (ABJ) qu’on désignera par Q est perpendiculaire à P.

193

2°) Soit E un point - distinct de J - de la perpendiculaire à Q en en J et F son symétrique par rapport à J.
Montrer que le plan (EIF) est le plan médiateur de [AB].
3°) Montrer que (EFI) est perpendiculaire à chacun des plans (ABE) et (ABF).

Application 10
A, B, C et D sont quatre points d’un plan P tels que le quadrilatère ABCD est un carré de côté a. I est un
point de la droite perpendiculaire à P en A tel que AI = a. On désigne par O le milieu de [IB].
Montrer que le plan (AOD) est perpendiculaire:
a) à la droite (IB).
b) au plan (ABI)
c) au plan (BCI)

IV) Mesure de grandeurs – Recherche d’un lieu

Rappel d’une règle essentielle :

Toutes les règles vues en géométrie plane sont valables dans chaque plan de l’espace.

Application 11
Soit un cube ABCDEFGH d’arête a. Déterminer:
1°) l’angle HÂC.
2°) la longueur de la diagonale [AG].
3°) Soit O le milieu de la diagonale [AG].
Montrer que les huit sommets du cube ABCDEFGH appartiennent à une sphère S de centre O: cette sphère
est appelée sphère circonscrite au cube.

Application 12
Dans un plan P, on considère un segment [AB] de longueur a. Sur une demi - droite [Ax) perpendiculaire à

P, on considère le point O tel que AO = AB = a.
1°) Soit C un point du plan P tel que BÂC = 30° et ACB = 90°. Calculer le volume de la pyramide OABC.
2°) Soit D une droite variable dans P et passant par le point fixe B. On désigne par M le projeté orthogonal
de O sur D. Sur quel ensemble varie le point M ?

Application 13
ABC est un triangle équilatéral de côté a. O est un point de la perpendiculaire à (ABC) en A tel que OA = a.
1°) Déterminer:
a) les mesures des côtés du triangle OBC en fonction de a.
b) les angles de ce triangle.
2°) a) Exprimer l’aire S du triangle OBC ainsi que le rayon r de son cercle circonscrit en fonction de a.
b) Déterminer de deux manières la distance de B à la droite (OC).

194

V) Section plane d’un solide

La section d'un solide est la surface obtenue lorsqu’on coupe un solide par un plan. Cela nécessite la
détermination de l’intersection de chaque face du solide avec ce plan.

1°) Section plane d’un cube

Application 14
Pour chacun de cas ci – dessous, déterminer la section plane du cube ABCEDEFGH par le plan (IJK).

I ∈ (ADL), J ∈ (ABC), K ∈ (BCG)

2°) Section plane d’une pyramide

Application 15
Dans la figure ci – contre, SABCD est une pyramide
quelconque dont la base ABCD est un quadrilatère convexe.
Déterminer sa section plane par le plan(IJK).

195

3°) Section plane d’une sphère

La section d'une sphère par un plan
un cercle (ou un point si le plan est tangent à la sphère)
• Si le plan passe par le centre de la sphère le cercle
est appelé grand cercle.

4°) Section plane d’un cône

La section d'un cône par un plan
parallèle à la base est un disque qui est
l’image du disque de base par l’homothétie
dont le centre est le sommet du cône et le
rapport h où H est la hauteur du cône et

H
h est la distance du sommet au plan de coupe.

196

Evaluation du degré d’assimilation du cours

Pour chacune des situations ci – dessous, relevez sur votre cahier les numéros des propositions qui vous
semblent vraies

Situation 1

D et ∆ sont deux droites de l’espace dont l’intersection est vide.

P1: D et ∆ sont parallèles P2: D et ∆ sont non coplanaires P3: D et ∆ ne sont pas sécantes

Situation 2

Si deux droites sont orthogonales alors toute droite orthogonale à l’une d’elles est:

P1: orthogonale à l’autre P2: parallèle à l’autre P3: on ne peut rien confirmer

Situation 3

Dans le cas du cube ABCDEFGH ci – contre, que peut-on dire du triangle FDH ?

P1: FDH est isocèle en F. P2: FDH est rectangle en F. P3: FDH est rectangle en D.

Situation 4
Dans le cas du cube ABCDEFGH ci – contre:
P1: (CH) est orthogonale à (AD).
P2: (BG) est orthogonale à (AD).
P3: (CF) est orthogonale à (AD).

Situation 5
Dans le cas du cube ABCDEFGH ci – contre:
P1: (AH) est perpendiculaire au plan (EBC).
P2: (DG) est perpendiculaire au plan (EBC).
P3: (CF) est perpendiculaire au plan (EBC).

Situation 6
La figure ci – contre représente un prisme droit ABCDEF. Le triangle
ABC est rectangle en A. M est le milieu de [BC].
P1: le triangle AMD est rectangle en M.
P2: le triangle AMD est isocèle en D.
P3: le triangle AMD est rectangle en A

Situation 7
P1: Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.
P2: Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre eux.
P3: Deux plans perpendiculaires à un même troisième sont parallèles entre eux.

Situation 8
Les plans médiateurs de deux côtés d’un triangle quelconque ABC se coupent suivant une droite ∆.
P1: Le plan médiateur du troisième côté du triangle ABC contient ∆.

197

P2: ∆ est l’axe du cercle circonscrit au triangle ABC.
P3: ∆ est orthogonale à l’axe du cercle circonscrit au triangle ABC.

Situation 9

La section d’un cube par un plan contenant deux arêtes opposées parallèles est toujours:

P1: un rectangle non carré P2: carré P3: un rectangle qui peut être carré

Situation 10

La section plane d’un tétraèdre peut être:

P1: un triangle P2: un quadrilatère P3: un pentagone

Solutions des QCM

Situation 1 P2: Fausse P3: Vraie
P2: Fausse P3: Vraie
P1: Fausse

Situation 2

P1: Fausse

Situation 3 P2: Vraie ((DF) ⊥ (EFG)) P3: Fausse
P3: Vraie ((AD) ⊥ (CDF))
P1: Fausse P3: Fausse ((CF) // (EBC))

Situation 4 P2: Fausse P3: Vraie
P3: Vraie
P1: Fausse P3: Fausse

Situation P2: Vraie

P1: Vraie ((AH) ⊥ (EB) et (AH) ⊥ (BC))

Situation 6 P2: Fausse

P1: Fausse

Situation 7 P2: Vraie

P1: Fausse

Situation 8 P2: Vraie

P1: Vraie

198

Situation 9 P2: Fausse P3: Fausse
P2: Vraie P3: Fausse
P1: Vraie

Situation 10

P1: Vraie

Solutions des applications

Application 1

1°) On a (FG) // (EH)

et dans le plan (ADE), (EH) et (DH) sont deux droites perpendiculaires en H

alors (DH) et (FG) sont orthogonales.

2°) Chacune des droites (AB), (BC), (EF) et (HG) est orthogonale à (DH).

Application 2

• Pour M = O, on a (MA) = (OA) ⊥ D

• Pour M ≠ O, on a ∆ = (OM)

ainsi (OM) ⊥ P et puisque D ⊂ P

on aura D orthogonale à (OM)

D orthogonale à (OM) 
et ona D orthogonale à (OA) 
(OA) et (OM) sont deux droites sécantes

alors D est orthogonale au plan (OAM)

donc D est orthogonale à toute droite de ce plan et ainsi D est orthogonale à (AM).

Application 3

• Pour M = A, le triangle ABC est rectangle et isocèle (par hypothèse)

• Pour M ≠ A

• D ⊥ P alors D = (AM) ⊥ P alors (AM) ⊥ (AB)
et on a (AB) ⊂ P 


donc le triangle (ABM) est rectangle en A
et son hypoténuse BM = AM² + AB²

• et (AM) ⊥ P  alors (AM) ⊥ (AC)
on a (AC) ⊂ 
P

donc le triangle (ACM) est rectangle en A
et son hypoténuse

CM = AM² + AC² = AM² + AB² = BM

ainsi le triangle BCM est isocèle.

199