L'incontournable en géométrie

π

1°) Soit r la rotation directe de centre O et d’ang le

2

• alors r(D) = A
donc r((DM)) est la perpendiculaire à (DM) qui passe par A : c’est (AP)

• d’autre part, on a r(A) = B et r(B) = C alors r([AB]) = [BC]
• on a (DM) ∩ [AB] = {M} alors r((DM)) ∩ r([AB]) = {r(M)}

alors (AP) ∩ [BC] = {r(M)} d’où {P} = {r(M)}
r(M) = P alors OM = OP et MÔP = 90°

2°) MÔP = 90° et I = M * P alors IO = IM = IP (1)

on a ABC = MB P = 90° et I = M * P alors IB = IM = IP (2)

De (1) et (2), on déduit que IO = IB par suite I est un point de la médiatrice de [OB].

Exercice 2

1°) On a: • PM B = AM B = AC B (deux angles inscrits

dont les sommets sont situés du même côté par rapport à
[AB])
• ABC est un triangle équilatéral

π
alors AC B = AM B = PM B =

3

et MB = MP
alors le triangle BMP est équilatéral

2°) D’après le sens choisi, la rotation r de centre B
qui transforme A en C est la rotation indirecte

π

de centre B et d’angle

3

le triangle BPM est équilatéral indirect signifie r(P) = M
r(P) = M et r(A) = C alors MC = AP

On a P ∈ [AM] signifie MA = MP + PA
= MB + MC ( on a: PA = MC et MB = MP).

Exercice 3

1°) • D’après la disposition fixée des points O, A et B, et du fait que
r(A) = B, on déduit que r est directe.

π
• ABC est un triangle équilatéral alors BC A =

3

• O est le centre de ABC
donc c’est le centre de son cercle circonscrit

2π
donc AÔB = 2. BC A =

3

100

2π

En résumé: r est la rotation directe de centre O et d’angle

3

2°) • ABC est un triangle équilatéral direct de cen tre O

π 2π

alors BÂC = et BÔC =

33

et vue la disposition des points O, B et C, on déduit que r(B) = C

D’autre part, on sait déjà que r(A) = B

d’où r([AB]) = [BC]

• Soit r(I) = I’, on a I∈ [AB] alors r(I) ∈ r([AB])
donc I’ ∈ [BC] et AI = BI’ ( la rotation conserve la distance)
d’autre part, on a: J ∈ [BC] et AI = BJ
ainsi I’ et J sont deux points de [BC] et tels que BI’ = BJ d’où I’ = J signifie r(I) = J.

3°) • ABC est un triangle équilatéral direct de cen tre O

π 2π
alors ABC = et AÔC =

33

et vue la disposition des points O, A et C, on déduit que r’(C) = A
• ABC est un triangle équilatéral direct de centre O

π 2π
alors BC A = et BÔA =

33

et vue la disposition des points O, B et A, on déduit que r’(B) = A
d’où r’([AB]) = [AC]

• Soit r’(I) = I’’, on a I∈ [AB] alors r’(I) ∈ r’([AB])

donc I’’ ∈ [CA] et AI = CI’’ ( la rotation conserve la distance)

d’autre part, on a: K ∈ [CA] et AI = CK

ainsi I’’ et K sont deux points de [CA] et tels que CI’’ = CK d’où I’’ = K signifie r’(I) = K.

4°) On a: • r’(I) = K signifie r(K) = I

r(K) = I

r(I) = J alors IJ = JK = IK donc le triangle IJK est équilatéral (1)

r(J) = K

• r(K) = I alors OK = OI

r(I) = J alors OI = OJ alors O est le centre du cercle circonscrit au triangle IJK (2)

I, O et J non alignés

(1) et (2) donnent O est le centre du cercle inscrit dans le triangle IJK.

Exercice 4

1°) • O est l’ image de A par le quart de tour indir ect r1 de centre I

101

π
signifie IO = IA, AÎO = et le triangle AOI est indirect.

2
• C est l’ image de B par le quart de tour direct r2 de centre O.

π
signifie OB = OC, BÔC = et le triangle BCO est direct

2

11
2°) a) M = h(B, − ) (A) signifie BM = − BA

33

11
M’ = h(C, − ) (B) signifie CM ' = − CB

33

b) • M = h(B,k)(A) signifie BM = k.BA

signifie BM − k.BM − k.MA = 0 signifie (1−k ).BM + k.AM = 0

signifie M est le barycentre des points pondérés (B, 1 - k) et (A, k)

• M’ = h(C,k)(B) signifie CM ' = k.CB signifie CM ' − k.CM ' − k.M ' B = 0 signifie (1−k ) CM ' + k.BM ' = 0

signifie M’ est le barycentre des points pondérés (C, 1 - k) et (B, k) (I)

ππ
• On a d’après 1°) IO = IA, AÎO = et I = A * B alors IB = IA = IO et BÎO =

22

ce qui nous permet aussi de déduire que les deux triangles AIO et BIO sont isocèles rectangles en I

d’où OÂI = OÂB = OBA = π donc π
AÔB =
42

ainsi, le triangle ABO est isocèles rectangles en O et il est direct (d’après la disposition des points)

signifie r2(A) = B

En résumé: r2(A) = B

r2(B) = C alors r2(M) est le barycentre des points
M est le barycentre des points pondérés (B, 1 - k) et (A, k) pondérés (C, 1 - k) et (B, k)

or on a montré que M’ est le barycentre des points pondérés (C, 1 - k) et (B, k) (I)

donc r2(M) = M’

toute rotation conserve le barycentre

3°)
L’idée consiste à établir un lien entre J et K.

• On a: {J} = (AJ) ∩ (BJ)
d’autre part J est un point de Γ qui a pour diamètre [AB].

alors le triangle AJB est rectangle en J
d’où (AJ) ⊥ (BJ) et on a (CK) // (AJ)
alors (BJ) ⊥ (CK) en K.

102

π
• r2 a pour angle et r2(A) = B

2

alors r2((AJ)) est la perpendiculaire à (AJ) qui passe par B:

c’est (BJ)

π
• r2 a pour angle et r2(B) = C

2

alors r2((BJ)) est la perpendiculaire à (BJ) qui passe par C: c’est (CK)

On a: {J} = (AJ) ∩ (BJ) (a) Parmi les méthodes aux quelles on peut
penser pour déterminer un lieu: c’est
alors { r2(J)} = r2 ((AJ)) ∩ r2 ((BJ)) d’essayer d’établir un lien entre un point
variable dont on connaît le lieu et le point
donc { r2(J)} =(BJ) ∩ (CK)
donc { r2(J)} = {K} donc r2(J) = K

• on a J ∈ Γ \ {A,O,B} alors r2(J) ∈ r2 (Γ \ {A,O,B}) qu’on a à chercher son lieu.

Γ est un demi-cercle de diamètre [AB] et qui passe par O

alors r2 (Γ) est un demi-cercle de diamètre r2 ([AB]) = [BC] et qui passe par r2 (O) = O (b)

D’près (a) et (b), le lieu Γ1 du point K est le demi-cercle de diamètre [BC] et qui passe par O privé des points B, O

et C.

4°) a) Voir figure ci-contre.

b) On a : r2(A) = B et r2(B) = C

alors OA = OB = OC et AÔC = π d’où O = A * C

et d’autre part, on a SO(B) = D signifie O = B * D
ainsi: A * C = B * D = O

π alors ABCD est un carré direct de centre O

ABC =

2

AB = AC

donc le triangle CDO est direct et isocèle rectangle en O
signifie r2(C) = D

c) On a : {E} = (AJ) ∩ [CD] alors { r2(E)} = r2 ((AJ)) ∩ r2([CD])
donc { r2(J)} =(BJ) ∩ [DA] (ABCD est un carré direct de centre O, on en déduit que r2(D) = A en

adoptant la démarche suivie en 4°) b))
{ r2(E)} = {F} donc r2(E) = F
alors le triangle EFO est rectangle en O par suite le point O qui est fixe se trouve sur le cercle de diamètre [EF]
D’autre part E ∈ [CD], F ∈ [AD] et A^DC est droit
alors le triangle EFD est rectangle en D par suite le point D qui est fixe se trouve sur le cercle de diamètre [EF]

Exercice 5

1°) Voir figure ci – contre
2°) a) • ABD est un triangle direct, isocèle et rec tangle en A
signifie r(B) = D (où r est le quart de tour direct de centre A)

103

• ACE est un triangle indirect, isocèle et rectangle en A
signifie AEC est un triangle indirect, isocèle et rectangle en A
signifie r(E) = C
r(B) = D et r(E) = C alors DC = BE
b) r(B) = D et r(E) = C alors r((BE) ) = (DC)
et puisque r est le quart de tour, on aura:

(DC) ⊥ (EB)
3°) a) F est le symétrique de E par rapport à A
alors (AF) = (AE) et AF = AE
d’autre part, on a (AC) ⊥ (AE) et AC = AE
alors (AC) ⊥ (AF) et AC = AF et vu la disposition des points A, C et F
on déduit que: r(C) = F
et sait déjà que: r(B) = D alors (BC) ⊥ (DF)
or on a aussi (BC) ⊥ (AH)
alors (DF) et (AH) sont parallèles.
b) Dans le triangle DEF, on a:
• (AH) passe par A = E * F (milieu d’un côté)
• (AH) est parallèle à un deuxième côté de ce
triangle: (DF)

alors deuxième côté de ce triangle coupe le
troisième côté de ce triangle [DE] en son milieu

Exercice 6

1°) a) Voir figure ci - contre
b) On a: D = SC(B) et E = SC(A)
signifie B * D = A * E = C
signifie ABED est un parallélogramme
de plus, on a: BD = 2.BC = 2.AC = AE
donc ABED est un rectangle

Un parallélogramme dont les diagonales
sont isométriques est un rectangle

2°) a) On a: r( A) = C alors I est un alors { I } = ∆1 ∩ ∆2
point de ∆1 médiatrice de [AC]

r( B) = D alors I est un point de ∆2 médiatrice de [BD]
A, B et C ne sont pas alignés

104

b) D’après la disposition des points I, A et C, on déduit que r est directe.

c) • ∆2 est la médiatrice de [BD] alors ∆2 est perpendiculaire à (BD) en C d’où ∆2 = (CI)

• ∆1 est la médiatrice de [AC] alors ∆2 passe par B d’où ∆2 = (BI) est la bissectrice de A^BC

ainsi dans le triangle BCI, on a: IBC = π et BC I = π alors BÎC = π
62 3

• r( B) = D alors le triangle IBD est isocèle en I

∆2 = (CI) est la médiatrice de [BD] alors (IC) est la bissectrice de BÎD
donc BÎD = 2. BÎC = 2. π est l’angle de r.

3

Résumé: r est la rotation directe de centre I tel que { I } = ∆1 ∩ ∆2 et d’angle 2. π

3

Exercice 7

1°) a) L’idée consiste à trouver une rotation qui transforme l’une de deux droites ((AM) et (BM))
en l’autre de plus et vu que (AM) et (BM) sont perpendiculaires, cette rotation doit avoir
pour angle π .

2

• Soit r la rotation indirecte de centre O et d’angle π r transforme : B en A, A en D et D en C
2

On a : {M} = (BM) ∩ [AD] alors {r(M)} = r((BM)) ∩ r([AD])
on a: r(B) = A et r a pour angle π

2
d’où r((BM)) est la perpendiculaire à (BM) qui passe par A: c’est (AN)
donc {r(M)} = (AN) ∩ [DC] = {N} ainsi r(M) = N

• r(B) = D et r(M) = N alors AM = DN

L’image de l’intersection par une
rotation est égale à l’intersection des
images

L’image d’un ensemble par une rotation est égale
à l’ensemble des images de ses éléments

b) L’idée consiste à trouver un point fixe qui reste équidistant de M et de N lorsque M varie.

On a: r a pour centre O et, r(M) = N
alors OM = ON ainsi, pour tout point M de [AD], O(qui est fixe) est équidistant de M et de N.

par suite: pour tout point M de [AD], la médiatrice de [MN] passe par O.

2°) • r(M) = N et r(C) = B alors r(( MC)) = (BN) (1)
alors (MC) ⊥ (BN) ainsi (MC) est la hauteur issue de M du triangle BMN.
• r(M) = N et r(B) = A alors r((BM)) = (NA) (2)
alors (BM) ⊥ (NA) ainsi (NA) est la hauteur issue de N du triangle BMN. (3)
• (NA) et (MC) se coupent en H

105

D’après (1), (2) et (3), on déduit que H est l’orthocentre du triangle BMN.

Trigonométrie et mesure des grandeurs

106

I) Sinus, cosinus, tangente et cotangente d’un angle compris entre 0 et π

1°) Définitions

( )Soit O, OA, OB un repère orthonormé du plan et A’ le symétrique de A par rapport à O.

Le demi-cercle ζ de diamètre [AA’] et passant par B est appelé demi-cercle trigonométrique.
Pour tout réel α de l’intervalle [0,π], il existe un seul point M de ζ tel que AÔM = α.
L’abscisse de M est appelée le cosinus de α. Il est noté: cos(α) ou cosα
L’ordonnée de M est appelée le sinus de α. Il est noté: sin(α) ou sinα

L’abscisse de M = cosα

α ∈ [0,π] M∈ζ

L’ordonnée de M = sinα

Si α ∈ ([0,π] \ { π }), le quotient sin α est appelé tangente de α. Il est noté: tg(α) ou tgα ou tanα
2 cos α

Si α ∈ ]0,π[ , le quotient cos α est appelé cotangente de α. Il est noté: cotg(α) ou cotgα ou cotα
sin α

Notons déjà que pour α ∈ (]0,π[ \ { π }), tgα et cotgα sont des inverses
2

2°) Lecture graphique de tg α et de cotgα

Soit ∆1 et ∆2 les deux tangentes à ζ respectivement en A et B, et notons U le point d’intersection de ∆1 et ∆2.

( ) ( )On munit ∆1 du repère A, AU et ∆2 du repère B, BU .

π π
0<α< <α<π

2 2

La demi-droite [OM) coupe ∆1 en T et ∆2 en C. La demi-droite [OM) coupe ∆2 en C.
On a alors: tgα = abscisse de T On pose M’ = SO(M). La demi-droite [OM’) coupe ∆1 en T
et cotgα = abscisse de C
On a alors: tgα = abscisse de T
et cotgα = abscisse de C

107

Application 1

( )Soit un repère orthonormé O,OI,OJ et le demi - cercle trigonométrique ζ.

1°) Construire les points A, B et C de ζ tels que: IÔA = π , IÔB = 2π et IÔC = 5π
6 3 6

2°) Représenter sur le même graphique - lorsque c’e st possible - le sinus, le cosinus, la tangente et la

cotangente de chacun des réels a = π , b = 2π et c = 5π .
63 6

Application 2

( )Soit un repère orthonormé O, OI, OJ , le demi - cercle trigonométrique ζ et un point quelconque C de

l’axe des abscisses.

( )1°) Déterminer selon la position de C sur O,OI , le nombre de points de ζ admettant C comme projeté

orthogonal sur cet axe.
2°) En déduire un encadrement de cos α où α est un réel de l’intervalle [0,π]
3°) Soit c un réel donné de l’intervalle [-1,1]. C ombien peut – on trouver de réels β appartenant à
l’intervalle [0,π] qui vérifient: cosβ = c (On dit qu’un angle est parfaitement défini à l’aide de son cos)

Application 3

( )Soit un repère orthonormé O, OI, OJ , le demi - cercle trigonométrique ζ et un point quelconque S de

l’axe des ordonnées.

( )1°) Déterminer selon la position de S sur O,OJ , le nombre de points de ζ admettant S comme projeté

orthogonal sur cet axe.
2°) En déduire un encadrement de sin α où α est un réel de l’intervalle [0,π]
3°) Soit s un réel donné de l’intervalle [0,1]. Co mbien peut – on trouver de réels β appartenant à l’intervalle
[0,π] qui vérifient: sinβ = s (Pour déterminer un angle, il ne suffit pas de connaître son sin)

108

Application 4

( )Soit un repère orthonormé O, OI, OJ , le demi - cercle trigonométrique ζ et un point T(1,t) où t est un réel

quelconque.
1°) Sur quelle droite remarquable est placé T ?
2°) Discuter suivant la valeur de t, le nombre de réels γ de l’intervalle [0,π] \ { π } qui vérifient: tanγ = t

2
3°) Représenter le (les) point(s) M de ζ associé(s) aux solutions de l’équation: tanγ = t dans chacun des
cas suivants:

a) t est un réel strictement positif donné
b) t est un réel strictement négatif donné
4°) Un angle est-il parfaitement défini à l’aide de sa tangente?

II) Relations fondamentales

1°) Relations entre les lignes d’un même angle

Pour tout α ∈ [0,π], on a: (sinα)² + (cosα)² = sin²α + cos²α = 1
Pour tout α ∈ [0,π] \ { π }, on a: 1 + (tgα)² = 1 + tg²α = 1

2 cos ²α
Pour tout α ∈ [0,π] \ {0,π}, on a: 1 + (cotgα)² = 1 + cotg²α = 1

sin ²α

Application 5
x est un réel de l’intervalle [0,π] tel que cosx = 1 .
3

1°) Au quel de deux intervalles [0, π ] ou [ π ,π] appartient x ?
22

2°) Utiliser votre calculatrice pour donner une val eur approchée de x à 10-3 près (en rad)
3°) Déterminer les valeurs exactes de sinx, tgx et cotgx.

2°) Angles complémentaires - Angles supplémentaires

Deux angles a et b sont complémentaires si et seulement si a + b = π
2

Le complémentaire de a est: ( π - a) et on a:
2

sin( π - a) = cosa cos ( π - a) = sin a
2 2

109

Deux angles a et b sont supplémentaires si et seulement si a + b = π sin(π - a) = sina
Le supplémentaire de a est: (π - a) et on a:

cos (π - a) = - cos a

Application 6

Dans la figure ci – contre ABCD est un trapèze rectangle de

bases [AD] et [BC]. On donne AB = 2 et BC = 4.

1°) Montrer que si deux angles α et β appartenant à l’ensemble

( ]0,π[ \ { π }) sont complémentaires alors on a tgα = cotgβ
2

2°) Calculer: a) cotg DAC b) sin DIC c) cos JIA

III) Formules pour calculer des longueurs, des angles, des aires et des

volumes d’objets géométriques

Dans toute la suite si ABC est un triangle, on désignera par:
• Â, B et C respectivement les angles: BÂC, ABC et ACB
• a, b et c respectivement les distances: BC, AC et AB
• S: l’aire du triangle ABC
• R : le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC

Résoudre un triangle ABC, c'est déterminer les longueurs des côtés a, b et c du triangle et les mesures des
angles Aˆ , Bˆ et Cˆ .

1°) Côtés et angles d’un triangle rectangle (rappe ls)

• Théorème de Pythagore: ABC est rectangle en A signifie a² = b² + c²

• Rapports trigonométriques: α étant l’un des angles autre que l’angle droit, on a:

sin α = côté opposé , cos α = côté adjacent , tgα = côté opposé et cotgα = côté adjacent
hypothénuse hypothénuse côté adjacent côté opposé

• Autres relations métriques: ABC est rectangle en A et H le projeté orthogonal de A sur [BC]
i) AB x AC = AH x BC ii) AH² = HB x HC iii) AB² = BH x BC iv) AC² = CH x BC

2°) Côtés et angles de tout type de triangles

a) Loi des sinus:

Dans tout triangle ABC on a: a = b = c
sin  sin Bˆ sin Cˆ

110

Application 7

ABC est un triangle rectangle en A. Montrer que sin² Â = sin² Bˆ + sin² Cˆ

Application 8

Placées en deux points P1 et P2 sur le bord d’un fleuve, deux
personnes surveillent – en s’aidant de leurs jumelles -
le mouvement d’un bateau.
Déterminer à 1m près la distance qui sépare le bateau placé en
B de chacune de deux personnes en tenant compte de données
consignées sur la figure ci – contre.

b) Théorème d’EL- Kashi (Loi du cosinus)

ABC est un triangle

a² = b² + c² - 2bc.cos Aˆ b² = a² + c² - 2ac.cos Bˆ c² = a² + b² - 2ab.cos Cˆ

Application 9
IJK est un triangle tel que IJ = 7, IK = 4 et Î = π

3
1°) Calculer la valeur exacte de JK
2°) Calculer la valeur exacte de sin J

Application 10 Bˆ = π et Cˆ = π
43
ABC est un triangle tel que a = 4,

1°) a) Montrer que 4 3 + 8 = 6 + 2
16 4

b) Sachant que cos 2x = 2.cos²x – 1, prouver que sin  = 6 + 2
4

2°) Déterminer les valeurs exactes de b et c.

3°) Formules de calcul d’autres grandeurs relatives à un triangle

111

ABC est un
triangle

S = 1 a.b.sin Cˆ R = a = a.b.c • I∈[BC] et AB = IB
2.sin  4.S AC IC
2
= b = c signifie (AI) est la
= 1 a.c.sin Bˆ 2.sin Bˆ 2.sin Cˆ bissectrice intérieure de Â.

2 (R: rayon du cercle • ABC non isocèle
circonscrit) J∈(BC)\[BC] et AB = JB
= 1 b.c.sin Â
AC JC
2 signifie (AJ) est la
(S:mesure de l’aire bissectrice extérieure de Â
de ABC)

Application 11 7 cm².
Un triangle IJK est tel que: IJ = 4 cm, IK = 2 cm et son aire S =

Calculer la (ou les) mesure(s) possibles du côté [JK].

Application 12
ABCD est un quadrilatère convexe tel que : AB = 2, AC = 4, CD = 3, BÂC = 60°et A Cˆ D = π

4
1°) Faire une figure
2°) Calculer l’aire de ABCD
3°) Déterminer de deux manières différentes le rayo n du cercle circonscrit à chacun de deux triangles ABC
et ACD.

Application 13

ABC est un triangle tel que AB = 5 et AC = 3.
1°) Construire les points:
a) I barycentre des points pondérés (B , 3) et (C , 5)
b) J barycentre des points pondérés (B , 3) et (C , - 5)
2°) Montrer que les droites (AI) et (AJ) sont perp endiculaires

4°) Triangles semblables

112

Chaque angle de
l’un d’eux est égal

à un angle de
l’autre

ABC et EFG
sont

semblables

AB = AC = BC Â=Ê
EF EG FG et

AB = AC
EF EG

Application 14
[AA’] est un diamètre d’un cercle ζ de rayon 5.
B et C sont deux points de ζ situés de part et d’autre de [AA’] et tels que AB = 8 et AC = 7.

H est le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).
1°) Montrer que les triangles ABA’ et AHC sont semb lables.
2°) Calculer AH de deux manières différentes
3°) Calculer l’aire S du triangle ABC de deux maniè res différentes

Application 15 (2ème expression du rayon du cercle circonscrit à un triangle)
Soit ζ(O,R) le cercle circonscrit à un triangle ABC. A’ est le point diamétralement opposé à A et H est le

pied de la hauteur issue de A.
1°) Montrer que les triangles AHB et ACA’ sont semb lables.

AB x AC
2°) Déduire que: R =

2.AH

113

Evaluation du degré d’assimilation du cours

Pour chacune des situations ci – dessous, relevez sur votre cahier les numéros des propositions qui vous semblent
vraies

Situation 1
t est une inconnue réelle de l’intervalle [0, π ]

P1: (E1): 3.sint + 2 = 1 possède au moins une solution
P2: (E2): 2.sint + 3 = 1 possède au moins une solution
P3: (E3): 2.sint - 3 = -2 possède au moins une solution

Situation 2

L’équation: 3.cos² t - 7.cos t – 6 = 0 possède:

P1: 1 solution P2: 0 solution P3: 2 solutions

Situation 3

L’ensemble de solutions de l’inéquation: 4.cos² t ≥ 1 est:

P1: [0, π ] ∪ [ 2π , π ] P2: [ π , 2π ] P3: ]- ∞ , - 1 ] ∪ [ 1 , + ∞ [
33 33 22

Situation 4

ABC est un triangle rectangle en A, alors on a:

P1: b = c P2: b = c P3: a = b Cˆ = c Cˆ
sin Bˆ cos Bˆ cos Bˆ sin Bˆ cos sin

Situation 5 - cos 2π - cos π
Soit S = sin π + sin 9π 5 10

10 10 P2: S = sin 9π + cos 9π = 1 P3: S = sin π − cos π
10 10 10 10
P1: S = 0

Situation 6

ABC et A’B’C’ sont deux triangles semblables et tels que: AB = AC = BC = k . On désigne par S et S’ les
A'B' A'C' B'C'

aires respectives de ces deux triangles alors:

P1: S = k.S’ P2: k
S = .S’ P3: S = k².S’

2

Situation 7

π 2π

ABC et A’B’C’ sont deux triangles tels que: Â = , Â’ = , AB = A’B’ = 5 et AC = A’C’ = 3 alors ces deux

33

triangles ont:
P1: la même aire et deux cercles circonscrits isométriques
P2: la même aire et deux cercles circonscrits non isométriques
P3: deux aires différentes et deux cercles circonscrits isométriques

114

Situation 8 P2: 2.sin² a – 1 P2: 1 – 2.cos² a

a ∈ [0, π], sin² a – cos² a =
P1: sin4 a – cos4 a

Situation 9

A, B et C sont trois points non alignés d’images respectives A’, B’ et C’ par une homothétie de rapport k, alors
P1: les triangles ABC et A’B’C’ sont semblables
P2: les triangles ABC et A’B’C’ ne sont pas semblables
P3: ça dépend du signe de k

Situation 10

Dans la figure ci – contre, les droites (CE) et (BD) sont parallèles et le
triangle BED est isocèle en B alors
P1: (EA) est la bissectrice de l’angle BÊC
P2: (EA) n’est pas la bissectrice de l’angle BÊC

115

Solutions des QCM

Situation 1

car sin t = − 1 < 0 1
P1: Fausse 3 P2: Fausse car sin t = -1 < 0 P3: Vraie car sin t = ∈ [0,1]

2

Situation 2

Cette équation a pour solutions cos t = − 2 ∈ [-1,1] et cos t = 3 ∉ [-1,1], donc:
32

P1: Vraie P2: Fausse P3: Fausse

Situation 3

Cette inéquation est équivalente à : cos t ≥ 1 ou 1

cos t ≤ - , donc:
22

P1: Vraie P2: Fausse P3: Fausse

Situation 4 a = b = c , Bˆ et Cˆ sont complémentaires donc sin Cˆ = cos Bˆ alors:
sin  sin Bˆ sin Cˆ
On a: la loi des sinus
P1: Vraie P2: Fausse P3: Vraie

Situation 5

2π = 4π est le complémentaire de π donc sin π - cos 2π = 0
5 10 10 10 5

π et 9π sont supplémentaires - cos π = cos 9π et sin 9π = sin π
10 10 10 10 10 10

alors: S = sin π + sin 9π - cos 2π - cos π = sin 9π - cos π = sin 9π + cos 9π ≠ 1
10 10 5 10 10 10 10 10

= sin π - cos π ainsi:
10 10

P1: Fausse P2: Fausse P3: Vraie

Situation 6 P2: Fausse P3: Vraie
P1: Fausse

Situation 7

Désignons par: S l’aire de ABC, R le rayon du cercle circonscrit à ABC, S’ l’aire de A’B’C’ et R’ le rayon du cercle

circonscrit à A’B’C’. On a:

• sin π = sin 2π alors 1 x5x3.sin π = 1 x5x3.sin 2π d’où S = S’
33 2 32 3

• 1 19 donc R = 19 = 2 57

BC² = 5² + 3² - 2 x 5 x 3 x = 19 alors BC =
2 33

2

116

1 donc R’ = 7 = 14 3
33
• B’C’² = 5² + 3² - 2 x 5 x 3 x (- ) = 49 alors B’C’ = 7
2
2 P3: Fausse

P1: Fausse P2: Vraie

Situation 8 P2: Vraie P3: Vraie
P1: Vraie

Situation 9

Toute homothétie conserve les angles géométriques alors ABC et A’B’C’ sont semblables

P1: Vraie P2: Fausse P3: Fausse

Situation 10

D’après Thalès: AB = AD = BD et puisque BE = BD, on aura: AB = AD = BD = EB
AC AE EC AC AE EC EC

d’où AB = EB donc: P2: Fausse
AC EC

P1: Vraie

117

Solutions des applications

Application 1

Remarque: pour ne pas encombrer la figure, on s’est contenté de représenter le sin, le cos, la tan ou la cot
de certains des réels a, b ou c.
Application 2

1°) D’après les trois cas de figure ci – joint:
i) si C appartient au segment [II’] :
ce qui revient à dire que l’abscisse de C appartient
à [-1,1]
alors il existe un seul point M de ζ admettant C comme
projeté orthogonal sur cet axe.

ii) si C n’appartient pas au segment [II’] :
ce qui revient à dire que l’abscisse de C n’appartient pas à [-1,1]
alors il n’existe aucun point de ζ admettant C comme projeté orthogonal sur cet axe.

2°) D’après la définition du cos et les résultats d e la question 1°), on déduit que:
pour tout α ∈ [0,π], on a: -1 ≤ cosα ≤ 1
118

3°) c ∈ [-1,1]
alors il existe un seul point C de l’axe des abscisses ayant c pour abscisse
alors il existe un seul point M de ζ ayant c comme abscisse
et vu qu’ à chaque réel β appartenant à l’intervalle [0,π] ne correspond qu’un seul point M de ζ
tel que IÔM = β
alors pour tout c ∈ [-1,1] il existe un seul réel β appartenant à l’intervalle [0,π] tel que cosβ = c
Application 3
1°) D’après les trois cas de figure ci – joint:
i) si S appartient au segment [OJ] \ {O,J} :
ce qui revient à dire que l’ordonnée de S appartient à ]0,1[
alors il existe deux points M1 et M2 de ζ admettant S comme
projeté orthogonal sur cet axe

ii) si S appartient à {O,J} : ce qui revient à dire que S =O ou S = J
alors il existe un seul point M de ζ admettant S comme projeté orthogonal sur cet axe.

iii) si S n’appartient pas au segment [OJ] :
ce qui revient à dire que l’ordonnée de S n’appartient pas à ]0,1]
alors il n’existe aucun point de ζ admettant S comme projeté orthogonal sur cet axe.

2°) D’après la définition du sin et les résultats d e la question 1°), on déduit que:
pour tout α ∈ [0,π], on a: 0 ≤ sinα ≤ 1

3°) s ∈ [0,1]
alors il existe un seul point S de l’axe des ordonnées ayant s pour ordonnée
alors il existe au moins un point M de ζ ayant s comme ordonnée
et vu qu’ à chaque réel β appartenant à l’intervalle [0,π] ne correspond qu’un seul point M de ζ
tel que IÔM = β
alors pour tout s ∈ ]0,1[ il existe deux réels distincts β1 et β2 appartenant à l’intervalle [0,π]
tel que: cosβ1 = cosβ2 = s

119

Application 4

1°) Tous les points T ont pour abscisse 1 alors il s sont situés

sur la parallèle à l’axe des ordonnées passant par I : c’est l’axe

sur lequel on lit les tangentes.

conclusion: T est sur l’axe des tangentes

2°) Pour tout réel t, la droite (OT) coupe ζ un seul point M tel

que IÔM = γ où γ ∈ [0,π] \ { π }
2

ainsi, pour tout réel t l’équation: tanγ = t possède une solution

unique γ0 ∈ [0,π] \ { π }.
2

3°) a) b)

4°) Puisqu’à chaque valeur prise par t il n’est possible de
trouver qu’un seul angle γ ∈ [0,π] \ { π }

2
tel que: tanγ = t alors un angle est parfaitement défini à l’aide de sa tangente

Application 5

1°) On a: cosx = 1 ≥ 0 alors x ∈ [0, π ]
32

2°) La démarche à suivre dépend du type de calculat rice qu’on possède; les étapes essentielles sont :

i) choisir le mode rad

1 SHIFT puis cos
ii) faire entrer le nombre

3
iii) activer la fonction cos-1 en appuyant successivement sur les touches

on obtiendra x = 1,231 rad
3°) 1ère méthode

On sait que: sin²x + cos²x = 1 et sinx ≥ 0 alors:

• sinx = 1- cos²x = 1- 1 = 8 = 2 2
993

22

• tgx = sinx = 3 =2 2
cosx 1

3

120

• cotgx = 1 = 1 = 2
tgx 2 2 4

2ème méthode

On a: cosx > 0, tgx a le même signe que cosx (car pour tout x ∈ [0,π], sinx > 0) et 1 + tg²x = 1
cos2x

alors:

1- cos²2 x 1- 1
cos2x 9
• tgx = = 1 = 8 =2 2

9

• tgx = sinx signifie sinx = tgx.cosx = 2 2 x 1 = 2 2
cosx 33

• cosx > 0, cotgx a le même signe que cosx (car pour tout x ∈ [0,π], sinx > 0) et 1 + cotg²α = 1
sin ²α

1-  2 2 2 1
 
1- sin2x 3 1= 2
alors cotgx = sin2x = = 9 = 84
 2 8
 2 2 
9
3

Application 6
1°) α et β étant complémentaires alors sinα = cosβ et cosα = sinβ

d’où tgα = sinα = cos β = cot gβ
cos α sin β

2°) a) On a DÂB = π et DÂC et CÂB sont adjacents
2

alors cotg DÂC = tg CÂB
Dans le triangle rectangle ABC, tg CÂB = CB = 4 = 2

AB 2
donc cotg DÂC = 2

b) • DÎC et DÎA sont supplémentaires alors sin DÎC = sin DÎA

d’autre part, on a: DÎA = IÂB (Deux angles alternes internes déterminés par deux parallèles et une

sécante)

d’où sin DÎC = sin IÂB (1)

BC (2)
• Dans le triangle rectangle CAB, sin CÂB = sin IÂB =
AC

Le triangle ABC est rectangle en B alors AC = AB2 + BC2 = 20 = 2 5 (3)

(1), (2) et (3) sin DÎC = 4 = 2 5
25 5

121

c) JÎA est le supplémentaire de AÎD alors cos JÎA = - cos AÎD = - cos IÂB (d’après b): DÎA = IÂB)
= − AB = − 2 = − 5
AC 2 5 5

Application 7

D’après la loi des sinus a = b = c
sin  sin Bˆ sin Cˆ

et dans ce cas, on a : sin  = 1 alors b = a.sin Bˆ et c = a.sin Cˆ

D’autre part, d’après Pythagore: a² = b² + c² = a².sin² Bˆ + a².sin² Cˆ d’où a² = a²(sin² Bˆ + sin²Cˆ )

d’où 1 = sin² Bˆ + sin²Cˆ et puisque sin  = 1, on aura: sin²  = sin² Bˆ + sin² Cˆ

Application 8

Dans le triangle BP1P2, on a : Bˆ = 180 – (135 + 15) = 30° = π rad
6

sin π sin 3π sin π
6 = 4 = 12
D’après la loi des sinus dans ce triangle: 500 BP2 BP1

sin π
12
d’où BP1 = 500 x sin π ≃ 65m

6

sin 3π
4
et BP2 = 500 x sin π = 500 2 ≃ 707m

6

Application 9 37
1

1°) D’après EL- Kashi: JK² = IJ² + IK² - 2.IJ.IK.cosÎ = 7² + 4² - 2 x 7 x 4 x = 37 donc JK =
2

2°) D’après la loi des sinus: sin ^J = sin ^I IK 4 x 3 = 2 111
alors sin^J = sinÎ =
IK JK JK 37 2 37

Application 10

2

6+ 2 = 6+ 2
1°) a) 4 3 + 8 = 2x2 3 + 6 + 2 = ( )2 2
16 4²
6 + 2 12 + 2 =
4² 4² 4

b) ABC est un triangle alors Aˆ = π - ( Bˆ + Cˆ ) = 5π donc sin Aˆ = cos π (1) (son complémentaire)
12 12

D’après la formule cos 2x = 2.cos²x – 1, on aura: cos π = 2 cos ² π −1
6 12

122

donc cos π = 1  cos π + 1 = 3 + 2 (2)
12 2  6 4

d’autre part, on a : 4 3 + 8 = 3 + 2 (3) 2
16 4 sin  = 6 +

les résultats: a), (1), (2) et (3) donnent: 4

2°) • D’après la loi des sinus sin  = sin^ B

4 AC

2

alors b = AC = 4x sin^ B = 4 2 = 8 2 = 4 3 − 4
sin  6+ 2 6+ 2

4

2 x 1 = 96 − 48

3 − 4 − 2x4
( ) ( )• D’après EL- Kashi:
c² = a² + b² - 2ab.cos Cˆ =16 + 4 4 3−4 2 3

donc c = 4 6 − 3 3

N.B: il est possible de déterminer c en appliquant la loi des sinus.

Application 11

On a: S = 1 .IJ.IK.sin Î d’où sin Î = 7 alors cos Î = 1− 7 cos π > 0 car π ∈  π
2 4 16 12 12 0, 2 

ou cos Î = − 1− 7
16

3 ou cos Î = − 3 (Î est obtus)
donc cos Î = (Î est aigu) 4

4

3 par suite JK = 2 2 cm
donc JK² = IJ² + IK² -2.IJ.IK.cos Î = 4² + 2² - 2 x 4 x 2 x = 20 – 12 = 8

4

ou JK² = IJ² + IK² -2.IJ.IK.cos Î = 4² + 2² - 2 x 4 x 2 x (- 3 ) = 20 + 12 =32 par suite JK = 4 2 cm
4

N.B: il vous est possible de faire la vérification avec un logiciel de géométrie dynamique.

Application 12

1°) Etapes de la construction:
i) [AB] tel que AB = 2
ii) [Ax) tel que BÂx = 60°
iii) C ∈) [Ax) tel que AC = 4

iv) [Cy) tel que A Cˆ y = 45°
v) D ∈ [Cy) tel que CD = 3

123

2°) L’aire S du quadrilatère ABCD est la somme deS 1 et S2 aires respectives des triangles ABC et ACD

S1 = 1 b.c.sin  = 1 x 2 x 4 x 3 =2 3
2
22

S2 = 1 CA.CB.sin Cˆ = 1 x 3 x 4 x 2 = 3 2
2 22

donc S = 2 3 + 3 2

3°) Soit R 1 et R2 les rayons des cercles circonscrits respectivement aux triangles ABC et ACD
BC

R1 = 2.sin Â
d’après EL-Kashi : BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cos 60 = 4 + 16 – 2 x 2 x 4 x 1 = 12 donc BC = 2 3

2

donc R1 = 2 3 = 2
3

2.
2

R2 = AD.AC.CD

4.S2

d’après EL-Kashi : AD² = AC² + DC² - 2.AC.DC.cos 45 = 16 + 9 – 2 x 4 x 3 x 2 2
= 25 - 12
2

donc BC = 25 − 12 2 par suite R2 = AD.AC.CD = 3x4x 25 − 12 2= 50 − 24 2
4.S2 4x3 2 2

Application 13

1°) a) I barycentre des points pondérés (B , 3) et (C , 5) signifie abs(I) = 5 selon le repère B, BC

( )8

b) J barycentre des points pondérés (B , 3) et (C , - 5) signifie abs(J) = 5 selon le repère B, BC

( )2

2°) • On a : 3.IB + 5.IC = O signifie 3.IB = − 5.IC

alors 3.IB = 5.IC alors IB = 5 = AB (1)
IC 3 AC

( )de plus on a: abs(I) = 5 < 1 selon le repère B, BC donc I ∈[BC] (2)
8
D’après (1) et (2): (AI) est la bissectrice intérieure de BÂC. (I)

• On a : 3.JB − 5.JC = O signifie 3.JB = 5.JC

alors 3.IB = 5.IC alors JB = 5 = AB (3)
JC 3 AC

( )de plus on a: abs(J) = 5 > 1selon le repère B, BC donc J∈((BC) \ [BC]) (4)
2
D’après (3) et (4): (AJ) est la bissectrice extérieure de BÂC. (II)
de (I) et (II), on déduit que les droites (AI) et (AJ) sont perpendiculaires

124

Application 14
1°) • [AA’] est un diamètre de ζ et B ∈ζ alors A Bˆ A’ = 90°

• H est le projeté orthogonal de A sur la droite (BC)
alors A^HC = 90° alors A Bˆ A’ = A^HC (1)

• A Cˆ B = AÂ’B (2) : deux angles inscrits, A’ et C

sont situés de même côté par rapport à (AB)

d’après (1) et (2), deux angles du triangle ABA’ sont

respectivement égaux à deux angles du triangle AHC

alors ces deux triangles sont semblables.
2°) 1ère méthode

Pour les deux triangles ABA’ et AHC, les couples des points

homologues sont: (A,A), (B,H) et (A’,C).

alors AH = AC alors AH = AB x AC = 8 x 7 = 5.6
AB AA ' AA ' 10

2ème méthode

Le cercle ζ est le cercle circonscrit au triangle ABC, son rayon R = 5. Soit S l’aire de ce triangle

alors R = AB.AC.BC = AB.AC.BC = AB.AC donc AH = AB.AC = 8 x 7 = 5.6
4.S 4. AH.BC 2.AH 2.R 2 x 5

2

3°) 1ère méthode

• Le triangle ACH est rectangle en H alors sin A Cˆ H = sin A Cˆ B = AH = 5.6 = 0.8
AC 7

donc cos A Cˆ H = 1− 0.64 = 0.6 d’où CH = AC. cos A Cˆ H = 7 x 0.6 = 4.2

• Le triangle ABH est rectangle en H alors sin A Bˆ H = sin A Bˆ C = AH = 5.6 = 0.7
AB 8

donc cos A Bˆ H = 1− 0.49 = 0.51 d’où BH = AB. cos A Bˆ H = 8 0.51

• H ∈ [BC] alors BC = CH + BH = 4.2 + 8 0.51
donc S = 1 AH.BC = 1 x 5.6 (4.2 + 8 0.51 ) = 11.76 + 22.4 0.51

22

2ème méthode

on a R = AB.AC.BC = AB.AC.BC = AB.AC alors S = AB.AC.BC = 8 x 7.BC
4.S 4. AH.BC 2.AH 4.R 20

2 = 2.8(4.2 + 8 0.51 ) = 11.76 + 22.4 0.51

125

Application 15

1°) • A^HB = A Cˆ A’ (deux angles droits)

• • A Bˆ H = AÂ’C (deux angles inscrits qui interceptent le

même arc)

••• BÂH = CÂA’

car A^HB + A Bˆ H + BÂH = A Cˆ A’ + AÂ’C + CÂA’ (somme des

angles d’un triangle)

d’après •), ••) et •••), on déduit que les triangles AHB et ACA’ sont

semblables

2°) Les couples des points homologues dans ces deux triangles sont: (H, C), (B , A’) et (A , A).

alors AH = AC alors AH = AC AB x AC
AB AA ' donc R =
AB 2.R 2.AH

126

Exercices intégratifs

Exercice 1

Résoudre dans [0,π]:

( )1°) (E): 2.cos²x - 1 − 3 cosx - 3

=0
2

( )2°) (I): 2cos²x - 1 − 3 cosx - 3

>0
2

Exercice 2

ABC est un triangle isocèle en A. H est le milieu de [BC] et K est le pied de la hauteur issue de B.

1°) Montrer que BÂH = C Bˆ K.

2°) On pose AB = c et BÂC = α.

a) Calculer BC, BK et BK en fonction de c et α.

AB

αα

b) En déduire que: sinα = 2.sin .cos

22

3π 3π 11π 11π
c) Déduire les valeurs exactes de cos , sin , tg et cotg .
8 8 12 12

3°) a)Calculer AK et CK.

b) En déduire que cosα = 1 − 2 sin2  α 
 2 

α

c) Exprimer cosα en fonction de cos

2

Exercice 3

ABCD est un quadrilatère convexe dont les diagonales [AC] et [BD] se
coupent en O et telles que DÔC = α.
Montrer que son aire S = 1 .AC.BD.sin α

2

Exercice 4

Dans la figure ci – contre, ABC est un triangle, [AD) est la bissectrice

de Â, I et J sont les projetés orthogonaux respectifs de B et C sur

(AD).

1°) a) Montrer que: AI = AJ
AB AC

b) Déduire que:

i) AI = AB ii) DI = BI = AB iii) AI x DJ = AJ x DI
AJ AC DJ CJ AC

2°) Dans ce cas de figure, en remarquant que AD = AJ + DJ, montrer

qu’ on a: AD.(AI + AJ) = 2.AI.AJ

127

2.AB.AC.cos Â
2
3°) Montrer alors que AD = (Expression de la longueur d’une bissectrice)
AB + AC

4°) Calculer AD sachant que: AB = 5, AC = 3 et  = 2π
3

Exercice 5
Deux forces concourantes F1 et F2 d’intensités respectives 250 N et 460 N sont représentées par les

vecteurs OA et OB avec AÔB = 50°.
1°) Construire le point C tel que OC soit un représentant de la résultante R de F1 et F2 .

2°) Déterminer l’intensité de la résultante R
3°) Déterminer AÔC en degré (à 10 -2 près)

Exercice 6

Placé en bas d’une chaîne montagneuse, un géomètre se propose
de calculer la distance entre deux cimes C1 et C2.

S’il est en un point A, il voit:
• les deux cimes C1 et C2 sous un angle de 36°(C 1 Â C2 = 36°)
• la cime C2 et un point B du sol sous un angle de 43°
(C2 Â B = 43°). On précise que AB = 8,6 m

S’il est en B, il voit:
• les deux cimes C1 et C2 sous un angle de 35° (C 1 Bˆ C2 = 35°).
• la cime C1 et le point A du sol sous un angle de 38°(C 1 Bˆ A = 38°)

Exercice 7

π
ABC est un triangle tel que: Â = rd , AB = 2 5 et AC = 3 10 .

4
1) Calculer BC puis le rayon R du cercle (ζ ) circonscrit au triangle ABC.

2) Calculer l'aire S du triangle ABC.

3) Soit H1 le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Calculer:

a) AH1 b) CH1 c) BH1

4) Soit I le centre de (ζ ). La droite (IB) coupe la droite (AH1) en un point D.

a) Montrer que les deux triangles DBH1 et CBI sont semblables.
b) Déduire que BD = 2.

c) Déterminer alors II' et CI'. (I' étant le projeté orthogonal de I sur (CD)).

128

Solutions des exercices intégratifs

Exercice 1

1°) • On se propose dans une première étape de déte rminer cos x

( )En posant cosx = t, 3
l’équation : (E) est équivalente à (E’): 2t² - 1 − 3 t-
= 0 qu’on va résoudre:
2

3 ) = 1 - 2. 3 + 3 + 4. 3 = 1 + 2. 3 + 3 = 1 + 2
( ) ( )∆ = [- 1 −
3 ]² - 4 x 2 x (- 2 3 >0

1− 3 +1+ 3=2=1 1− 3 −1− 3 = −2 3 = − 3
4 42 4 42
t1 = t2 =

donc cos x = 1 ou cos x = − 3

22

• Une fois cos x est déterminé et dans une deuxième étape, on détermine x:

π 5π π 5π
ainsi S[0,π] = { 3 , }
et puis que x ∈ [0,π], on aura x = ou x =
6
3 6

(2°) En procédant d’une manière analogue à 1°), l’in équation (I) est équivalente (I’): 2t² - 1 − )3 t - 3

2 étant strictement positif et cos x = t ∈ [-1 , 1] >0

2

alors (I’) aura pour ensemble de solutions: [-1 , − 31

[ ∪ ] , 1].
22

(les deux intervalles rouges de [-1,1] sur la figure ci – contre)

π 5π
et ainsi S[0,π] =[0, 3 [ ∪ ] , π]. (les deux arcs verts de ζ sur la figure

6

ci – contre)

Exercice 2

1°) • Le triangle ABC est isocèle en A alors A^BC = A ^CB (1)
• Le triangle ABH est rectangle en H alors

BÂH + A Bˆ H = BÂH + A Bˆ C = π (2)
2

• Le triangle ACK est rectangle en K alors

C Bˆ K + K Cˆ B = C Bˆ K + A Cˆ B = π (3)
2

(1), (2) et (3) donnent BÂH + A Bˆ C = C Bˆ K + A Cˆ B donc BÂH = C Bˆ K

2°) BC ?

• Le triangle ABC est isocèle en A et (AH) est perpendiculaire à (BC) en H

(AH) est la médiatrice de [BC]

alors H = B * C α

d’où BÂH = CÂH =

2

(AH) est la bissectrice de BÂC

129

BC α BC
• Dans le triangle rectangle ABH on a: sinBÂH = BH = 2 = BC = BC
d’où sin =
AB AB 2.AB 2.c
2 2.c

donc BC = 2c. sin α
2

• BK ?

Dans le triangle rectangle BCK on a: cosC Bˆ K = BK α
BC
d’où BK = BC.cos

2

ainsi BK = 2c. sin α . cos α
22

BK ?
•
AB

Dans le triangle rectangle ABK on a: [BK] est le côté opposé à BÄK et [AB] est l’hypoténuse de ce triangle

d’où sinα = BK = 2.c.sin α .cos α = 2.sin α .cos α
22

AB c 22

3°) a) Dans le triangle rectangle ABK on a: cos α = AK = AK d’où AK = c.cosα
AB c

D’autre part c = AB = AC = AK + CK donc CK = c – AK = c - c.cosα = c(1 - cosα) (I)

α αα α α
b) Dans le triangle rectangle BCK on a: CK = BC.sin = 2.c. sin . sin = 2.c. sin² (II) (BC = 2.c. sin .)
2 22 2 2

α d’où cosα = 1− 2 sin 2  α 
 2 
(I) et (II) donnent c(1 - cosα) = 2.c. sin²

2

c) cosα = 1 − 2 sin2  α  = 1 – 2[1 – cos² α ] = α
 2  2
2. cos² - 1

2

Exercice 3

• Soit S1, S2, S3 et S4 les aires respective des triangles AOB, AOD, COB et COD
alors S = S1 + S2 + S3 + S4 (1)

• On a: AÔB = AÔD = α (2 angles opposes par le sommet)

et AÔD = CÔB = π - α (2 angles opposes par le sommet et chacun d’eux est le supplémentaire d’un

angle égal à α)

alors sin AÔB = sin AÔD = sin AÔD = sin CÔB = sin α

S1 = 1 .OA.OB. sin α S2 = 1 .OA.OD. sin α S3 = 1 .OC.OB. sin α S4 = 1 .OC.OD. sin α
2 22 2

d’ après (1) S = 1 .OA.OB. sin α + 1 .OA.OD. sin α + 1 .OC.OB. sin α + 1 .OC.OD. sin α
2 222

= 1 OA(OB + OD) sin α + 1 OC(OB + OD) sin α
22

= 1 OA. BD sin α + 1 OC.BD sin α
22

= 1 (OA + OC )BD sin α
2

130

= 1 .AC.BD sin α
2

Exercice 4

1°) a) • ABI est un triangle rectangle en I alors AI = cos BÂD = cos  (1)
AB 2

• ACJ est un triangle rectangle en J alors AJ = cos CÂD = cos  (2)
AC 2

(1) et (2) donnent AI = AJ
AB AC

2°) i) On a d’après 1°): AI = AJ signifie AI = AB
AB AC AJ AC

ii) • [AD) est la bissectrice intérieure de  et D∈ [BC] alors DB = AB (I)
DC AC

• On a (BI) ⊥ (AD) et (CJ) ⊥ (AD) alors (BI) // (CJ) et (AD) est. une sécante commune

alors d’après Thalès: DB = DI = BI (II)
DC DJ CJ
a = c signifie a = b
(I) et (II) donnent DI = BI = AB bd cd
DJ CJ AC

iii) d’après i) et ii) AI = AB = DI d’où AI x DJ = AJ x DI
AJ AC DJ

2°) on a: AD.(AI + AJ) = (AJ + DJ) (AI + AJ) = AJ x AI + AJ² + DJ x AI + DJ x AJ
= AJ x AI + AJ² + AJ x DI + DJ x AJ ( iii): DJ x AI = AJ x DI)
= AJ x AI + AJ(AJ+ DJ + DI)
= AJ x AI + AJ x AI (A, J, D et I sont alignés dans cet ordre)
= 2.AI.AJ

3°) D’après 2°): AD = 2.AIx AJ = 2.AI = 2.AI (2°) i) AI = AB
AI + AJ AI +1 AB +1
)
AJ AC

AJ AC

= 2.AI.AC 2.AB.cos  .AC = 2.AB.AC.cos Â
=2 2

AB + AC AB + AC AB + AC

4°) On est. dans les conditions de l’application de la formule obtenue en 3°)

alors AD = 2x5x3x 1 = 15 = 1.875
2

5+3 8

131

Exercice 5 (où I = A* B)
1°) On a R = F1 + F2 . signifie OC = OA + OB

signifie OACB est un parallélogramme signifie C = SI(O)
2°) • on a: R = OC

• On a OÂC et AÔB sont deux angles consécutifs d’un parallélogramme
alors ils sont supplémentaires donc OÂC = 180 – 50 = 130°

• L’application d’EL-Kashi dans le triangle OAC nous mène à:
OC² = AO² + AC² - 2.AO.AC.cos OÂC = 250² + 460² - 2 x 250 x 460 x cos OÂC

= 274100 – 230000. cos OÂC

ainsi R = OC ≃ 651.92 N

3°) D’après la loi des sinus dans le triangle OAC, on aura

sin  = sin Ô d’où sin  = sin Ô
OC AC R F2

donc sin Ô = F2 .sin  = 460 x sin130 donc AÔC = 32.72°
R 651.92

Exercice 6

• L’application au triangle AC1Bde la règle concernant la somme
des angles d’un triangle nous permet de déduire que:

A Cˆ 1B = 180 – (36 + 43 + 38) = 63°

• L’application de la loi des sinus au même triangle, nous mène à:

AB = BC1 donc BC1 = AB. sin  = 8.6 x sin 79 = 9.475 m
sin Cˆ 1 sin  sin Cˆ 1 sin 63

• L’application au triangle AC2Bde la règle concernant la somme
des angles d’un triangle nous permet de déduire que:

A Cˆ 2B = 180 – (35 + 43 + 38) = 64°

• L’application de la loi des sinus au même triangle, nous mène à:

AB = BC2 donc BC2 = sin  = 8.6 x sin 43 = 6.526 m
sin Cˆ 2 sin  AB. sin Cˆ 2 sin 64

• L’application d’EL-Kashi au triangle C1C2B nous permet de déduire que:

C1C2² = C1B² + C2B² - 2. C1B.C2B.cos C1 Bˆ C2 = 9.475² + 6.526² - 2 x 9.475 x 6.526 x cos35 = 20.08

donc C1C2 = 5.573 m
Commentaire: On note d’après cet exercice comment est – ce que la connaissance des angles nous a

permis d’éviter d’être à la merci des distances qui sont parfois difficiles à relever !

132

Exercice 7

1°) • D’après EL-Kashi dans le triangle ABC :
BC² = AB² + BC² - 2.AB.AC.cos Â
d’où BC =

4 x 5 + 9 x10 − 2 x 2 5 x 3 10 2 = 5 2
2

• R = BC = 1 x 5 2 = 5
sin  2 2
2

2°) S = AB.AC.BC = 2 5 x 3 10 x 5 2 = 15
4.R 4 x 5

1

3°) a) Dans le triangle ABC, on a S = .AH1.BC

2
signifie AH1 = 2.S = 2 x15 = 3 2

BC 5 2

b) Le triangle AH1C est rectangle en H1, d’après Pythagore: CH1² = AC² - AH1² = 9x10 – 9x2 = 72

alors CH1 = 6 2

c) Le triangle AH1B est rectangle en H1, d’après Pythagore: BH1² = AB² - AH1² = 4x5 – 9x2 = 2

alors BH1 = 2

4°) a)

Eléments homologues Justification

^H1 = Î π

Bˆ = Bˆ Deux angles droits (Î est l’angle au centre associé à BÂC= )
^D = Cˆ
4

Opposés par le sommet

D’après la somme des angles d’un triangle

les deux triangles DBH1 et CBI ont leurs angles respectivement égaux alors ils sont semblables
b) les deux triangles DBH1 et CBI sont semblables et les couples des sommets homologues sont:

(H1 , I), (B , B) et (D , C) alors BD = BH1 d’où BD = 2 alors BD = 2
BC BI 52 5

c) • Le triangle ICD est rectangle en I d’où IC.ID = II’.CD alors II’ = IC . ID : (E)

CD

• Le triangle ICD est rectangle en I d’où CD = ID² + IC² = (5 + 2)² + 5² = 74 : (E’)

(E) et (E’) donnent II’ = 5 x 7 = 35 74
74 74

CI’ ?

Dans le triangle rectangle ICD, on a IC² = CI’.CD alors CI’ = IC² = 25 = 25 74
CD 74 74

133

Géométrie analytique

I) Rappels

1°) Vecteurs colinéaires
R1: (Deux vecteurs u et v sont colinéaires) si et seulement si (il existe un réel k tel que u = k. v )
R2: u , v et w étant trois vecteurs:

(Si u et v sont colinéaires et si v et w sont colinéaires) alors ( u et w sont colinéaires)
R3: 0 est colinéaire à tout vecteur u
R4: Etant donnés trois points O, A et B et deux vecteurs u et v tels que u = OA et v = OB
(les deux vecteurs u et v sont colinéaires) si et seulement si (les trois points O, A et B sont alignés)
R5: Etant donnés: quatre points A, B, C et D tels que trois parmi eux ne sont pas alignés

et deux vecteurs u et v tels que u = AB et v = CD
(les deux vecteurs u et v sont colinéaires) signifie (les deux droites (AB) et (CD) sont strictement

parallèles)

Application 1
Soit un triangle ABC. On désigne par I et J les milieux respectifs des côtés [AB] et [AC].

1°) Construire les points: B’ = S J(B), C’ = SI(C), B’’ = h(A, − 1 ) (B’) et C’’ = h(A, − 1 ) (C’).
22

2°) Montrer que les points A, B’’ et C’’ sont align és.

2°) Repère du plan – Base de V

R1: Etant donnés: un point O et deux vecteurs u et v
le triplet (O, u , v ) est un repère du plan signifie les deux vecteurs u et v ne sont pas colinéaires.
R2: le couple ( u , v ) est une base de V signifie les deux vecteurs u et v ne sont pas colinéaires.
R3: (O, u , v ) est un repère du plan si et seulement si ( u , v ) est une base de V

Application 2 C’ = h(A,2) (C).
Soit A, B et C trois points non alignés du plan.

1°) Construire les points: K = B * C, B’ = h (A,2) (B) et

( )2°) Montrer que K, BB',CC ' est un repère du plan.

3°) Coordonnées d’un vecteur de V selon une base donnée –Coordonnées d’un point du plan

selon un repère donné

R1: Si ß = ( i , j ) est une base de V alors pour tout vecteur u de V

il existe un couple unique de réels (x , y) tels que: u = x. i + y. j appelé couple de coordonnées (ou

composantes) de u selon la base ß x
et on note u  
 yß

134

Remarque 1: en écrivant u = x. i + y. j , on dit qu’on a exprimé u en fonction de i et j ou encore qu’on a

écrit u sous forme d’une combinaison linéaire de i et j

Remarque 2: s’il n’ya pas un risque de confusion, on n’est pas obligé de préciser à chaque fois le repère

(ou la base) selon lequel les coordonnées sont données.

R2: Etant donnés une base ß = ( i , j) de V, un vecteur x et un point O du plan alors le couple de
u 

 yß

réels (x , y) est aussi appelé le couple de coordonnées selon le repère ℜ = (O, i , j ) du point A qui vérifie

OA = u et on note A ( x, y)ℜ .

Plus généralement: M(α,ß) selon un repère (I, b , a ) signifie IM = α. b + ß. a

R3: Deux vecteurs de V sont égaux signifie leurs couples de coordonnées selon une même base sont

égaux
R4: Deux points du plan sont confondus signifie leurs couples de coordonnées selon un même repère
sont égaux

Application 3
Soit A, B et C trois points non alignés du plan. On notera: K = B * C, B’ = h(A,2) (B) et C’ = h(A,2) (C).

( )On admettra que K, BB',CC' est un repère du plan. (pour la démonstration: voir l’application 2)

( )1°) Montrer que AK = 1 AB + AC
2
2°) Déterminer alors les coordonnées:

( )a) du vecteur AK selon la base BB',CC'
( )b) du point A selon le repère K, BB',CC'

4°) Coordonnées du milieu d’un segment - Coordonn ées de quelques vecteurs particuliers

Dans toute la suite, les coordonnées des points sont données selon un repère ℜ = (O, i , j ) et les

coordonnées des vecteurs sont données selon la base associée ß = ( i , j ).

R1: Soient les points A(x , y) et B(x’ , y’) I = A * B si et seulement si I  x + x ' , y + y ' 
 2 2 

x' − x
R2: Soient les points A(x , y) et B(x’ , y’), I = A * B si et seulement si AB y ' − y 

R: Si u  x1  , v  x 2  et w =u+v alors w  x1 + x 2 
    alors  y1 + y 2 
 y1   y2   

a  α.a 
R4: Si α ∈ IR, u  b  et v = α.u v  α.b 

Application 4
2

On considère les points A(1,-3) et B(2,-2) et le vecteur u  -1 . Déterminer les coordonnées des points:

1°) A’ = tu (A) 2°) B’ = h (A,3)(B) 3°) C = S I(A) où I = A’ * B’

135

5°) Coordonnées du barycentre des points pondérés

R1: Etant donnés deux points A(xA , yA) et B(xB , yB) et deux réels α et ß tels que α + ß ≠ 0

Un point G est le barycentre des points pondérés (A, α) et (B, ß) signifie G  α.x A + β.x B , α.yA + β.yB 
 α + β α + β 

R2: Etant donnés trois points A(xA , yA), B(xB , yB) et C(xC , yC) et trois réels α, ß et γ tels que: α + ß + γ ≠ 0

Un point G est le barycentre des points pondérés (A, α), (B, ß) et (C, γ)

signifie G  α.xA + β.xB + γ.xC , α.yA + β.yB + γ.yC 
 α+β+ γ α+β+ γ 

Application 5
Démontrer le résultat de R2 ci – dessus concernant les coordonnées du barycentre de trois points
pondérés.

II) Equation d’une droite

1°) Condition analytique de colinéarité de deux vec teurs

R1: Le déterminant de deux vecteurs u  x1  et v  x 2  est le réel x1.y2 – x2.y1, et on note:
   
 y1   y2 

dét ( u, v ) = x1 x2 = x1.y2 – x2.y1
y1 y2

R2: Deux vecteurs u  x1  et v  x 2  sont colinéaires signifie dét ( u, v ) = x1.y2 – x2.y1 = 0
   
 y1   y2 

(ou encore: x1 = y1 lorsque les valeurs de x1, x2, y1 et y2 le permettent).
x2 y2

Application 6
1°) Relever les coordonnées des points A, B, D et E selon le
repère (O, i , j ) d’après la figure ci – contre.

2°) Montrer que ( AB , DE ) ne peut pas être une base de V

3°) a) Montrer que ( AD ,BE ) est une base de V.

b) Déterminer les coordonnées du vecteur AB selon cette
nouvelle base.

2°) Equation cartésienne d’une droite
R1: Un vecteur non nul u est un vecteur directeur d’une droite signifie on peut trouver deux points A et B
de cette droite tels que u = AB .
R2: Si u est un vecteur directeur d’une droite D alors tout vecteur non nul et colinéaire à u est aussi un
vecteur directeur de D. La droite D qui passe par A et de vecteur directeur u est notée: D(A, u )
R3: Un point M du plan appartient à la droite D(A, u ) signifie les vecteurs AM et u sont colinéaires
R4: Une équation d’un ensemble de points est une égalité telle que:

• les coordonnées de chaque point de cet ensemble vérifient cette équation

136

• • tout point du plan dont les coordonnées vérifient cette équation appartient à cet ensemble

Application 7

1°) Les vecteurs  3  et  −6 
u  v   sont – ils deux vecteurs directeurs d’une même droite ?
 −2  4 3

2°) Soit le point A(1, - 3 ). Le point B(4,-3 3 ) est – il un point de la droite D(A, u )?

Théorème: D est une droite si et seulement si son équation cartésienne est du type: a.x + b.y + c = 0
où a, b et c sont des réels donnés avec a et b non nuls à la fois et x et y les coordonnées d’un point
quelconque.

Application 8

Pour chacun des ensembles ci – dessous définis par leurs équations cartésiennes, dire s’il s’agit d’une

droite

1°) D 1: 2.x + 3.y - 5 = 0 2°) D 2: x + y + 2 = 0 3°) D 3 : 2.x - y = 0

4°) D 4: x + 5 = 0 5°) D 5: 2.y - 3 = 0 6°) D 6: -2 = 0

Application 9

1°) Déterminer une équation cartésienne de:

a) l’axe des abscisses 3
b) l’axe des ordonnées A(-2,1) et u  −2 

c) la droite D(A, u ) où

d) la droite (CD) où C(3, -1) et D(2,0)

2°) Déterminer – par ses coordonnées – un point de la droite (CD) distinct de C et D

3°) Représenter la droite D(A, u )

3°) Equation réduite d’une droite
R1: Soit une droite D d’équation (E): a.x + b.y + c = 0

Si b ≠ 0, l’équation (E) signifie y = − a .x − c : cette forme de (E) est appelée équation réduite de D
bb

Plus généralement, on appelle équation réduite d’une droite toute équation du type: y = m.x + p
m est appelé le coefficient directeur de D et p est son ordonnée à l’origine c’est l’ordonnée du point de D

d’abscisse 0 (c’est donc l’ordonnée du point où D coupe l’axe des abscisses)

Application 10
1°) Soit la droite ∆ : 3.x – 2.y + 4 = 0. Déterminer l’équation réduite, le coefficient directeur et l’ordonnée à
l’origine de ∆.
2°) Soit les points E(-3, -1) et F(2,1). Déterminer l’équation réduite de la droite (EF) puis une équation
cartésienne de cette droite.

III) Détermination de la position relative de deux droites du plan

1°) Détermination d’un vecteur directeur et du coe fficient directeur d’une droite à partir d’une
équation cartésienne

137

 -b 
R1: une droite D a pour équation (E): a.x + b.y + c = 0 signifie u  est un vecteur directeur de D
 a 

α  β est le coefficient directeur de D
R2: u  β  est un vecteur directeur de D signifie α

1
R2: m est le coefficient directeur de D signifie u  m  est un vecteur directeur de D

2°) Droites parallèles un vecteur directeur de l’une est colinéaire à un
R1: Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur
vecteur directeur de l’autre
R2: Deux droites sont parallèles si et seulement si

R3:

D: a.x + b.y +c = 0
et

D’: a’.x + b’.y + c’ = 0

a=b=c a=b≠c a≠ b
a' b' c' a' b' c' a' b'

signifie signifie signifie

D et D’ sont confondues D et D’ sont strictement D et D’ sont sécantes
parallèles

Application 11 3
1°) Soit les droites D 1: 2x + 3y - 5 = 0 et D(A, u ) où A(-2,1) et u  −2  . D1 peut – elle être l’image de D

par une translation ? u 3 ∆
A(-2,1) et   . peut – elle être l’image de D par
2°) Soit les droites ∆: y = 3x - 1 et D(A, u ) où  −2 

une homothétie?
3°) Soit les points A(3,-1), B(2,3), E(-4, -3) et F (-2,0). Montrer que les deux droites (AB) et (EF) sont
sécantes puis déterminer les coordonnées de leur point d’intersection

IV) Cas où le plan est rapporté à un repère orthonormé

Remarque:
Dans toute la suite, les coordonnées des points sont données selon un repère orthonormé ℜ = (O, i , j ) et

les coordonnées des vecteurs sont données selon la base orthonormée associée ß = ( i , j ).

138

Dans ce cas, tous les résultats des paragraphes précédents restent valables et seront complétés par les
règles ci – dessous.
1°) Distance entre deux points – Norme d’un vecteu r
Soit les points A(xA , yA) et B(xB , yB)

la distance entre les points entre A et B est le réel positif AB = BA = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2

la norme d’un vecteur AB est le réel positif noté: AB et défini par: AB = AB

x x2 + y2
la norme d’un vecteur u   est le réel positif noté: u et défini par: u =
y

Application 12

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé ℜ = (O, i , j ), on considère les points A(-2,1), C(3,4) et le

4
vecteur AB .
 −3 2 

1°) Vérifier que les points A, B et C ne sont pas a lignés
2°) Le triangle ABC est – il isocèle en A ? Justifi er.

2°) Condition analytique d’orthogonalité de deux dr oites

R1: Deux vecteurs u  x1  et v  x 2  sont orthogonaux si et seulement si x1.x2 + y1.y2 = 0
   
 y1   y2 

R2: Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur u de V

R3: Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur directeur de l’une est orthogonal à

un vecteur directeur de l’autre

R4: Deux droites D: y = m.x + p et D’: y = m’.x + p’ sont perpendiculaires si et seulement si m.m’ = -1

R5: un vecteur est normal à une droite D si et seulement si il est orthogonal à l’un de ses vecteurs

directeurs

(il est alors directeur pour toute droite perpendiculaire à D et normal à toute parallèle à D)

a
R6:Soit une droite D: a.x + b.y + c = 0 signifie le vecteur n   est un vecteur normal à D
b

Application 13

Dans un plan muni d’un repère orthonormé ℜ = (O, i , j ), on considère les points A(2,3), B(4,-1) et C(-1,0)
1°) Vérifier que:
a) la droite (AB) a pour équation réduite: y = -2.x + 7
b) A, B et C ne sont pas alignés
2°) Soit le point E(3,2). Montrer que la droite (CE ) porte la hauteur du triangle ABC issue de C.
3°) Déterminer l’équation réduite de la droite ∆ qui porte la hauteur du triangle ABC issue de A
4°) Déduire les coordonnées de l’orthocentre H du t riangle ABC

3°) Distance d’un point à une droite
R1: La distance d’un point A à une droite D qu’on note: d(A , D), est la distance de A à son projeté
orthogonal H sur D.
R2: Etant donnés un point A(xA , yA) et une droite D: a.x + b.y + c = 0

139

alors d(A , D) = a.xA + b.yA + c
a² + b²

Application 14
Dans un plan muni d’un repère orthonormé ℜ = (O, i , j ), on considère les points A(2,3), B(4,-1) et C(-1,0)

Calculer l’aire S du triangle ABC de deux manières différentes. (On admettra que (AB): y = -2.x + 7)

V) Equation cartésienne d’un cercle

1°) Equation cartésienne d’un cercle
R1:Un point M du plan appartient à un cercle ζ de centre A et de rayon R si et seulement si AM = R
R2: Un point M du plan appartient à un cercle ζ de diamètre [AB] si et seulement si les vecteurs AM et
BM sont orthogonaux
R3: Un point M(x,y) appartient à un cercle ζ de centre A(α,ß) et de rayon R

si et seulement si (x - α)² + (y - ß)² = R²
R4: Si ζ est un cercle alors son équation cartésienne est du type: x² + y² + a.x + b.y + c = 0
(attention!: la réciproque est fausse)
R5: Soit (E) un ensemble de points d’équation: x² + y² + a.x + b.y + c = 0

(E): x² + y² + a.x + b.y + c = 0

Si a² + b² - 4.c = 0 Si a² + b² - 4.c > 0 Si a² + b² - 4.c < 0
alors
alors alors (E) est le cercle de (E) = { }

(E) = { A  − a , − b  } centre A  − a ,− b 
 2 2   2 2 

et de rayon

R = a² + b² − 4.c
2

Application 15

Le plan est muni d’un repère orthonormé ℜ = (O, i , j ), on considère les points A(2,3),

1°) Déterminer l’équation cartésienne du cercle ζ de centre I(-1,2) et de rayon 2

2°) Déterminer la nature et les éléments caractéris tiques de chacun des ensembles:

a) (E1): x² + y² - 6.x + 2.y + 8 = 0 b) (E2): x² + y² + 2.x - 2.y + 5 = 0 c) (E3): x² + y² - 2.x - 4.y + 5 = 0

140

2°) Positions relatives d’une droite et d’un cercle

ζ est un cercle
de centre I et de rayon R

et D est une droite

Si d(I,D) < R Si d(I,D) = R Si d(I,D) > R
signifie signifie signifie

D est sécante à ζ D est tangente à ζ D est extérieure à ζ
(ils ont deux points (ils ont un seul point (ils n’ont aucun point

communs) commun) commun)

Application 16
Le plan est muni d’un repère orthonormé ℜ = (O, i , j )
1°) Représenter le cercle ζ d’équation: x² + y² - 4.x - 2.y = 0 et les droites D1: 3.x + 4.y – 22 = 0,

D2: y = -2.x + 8, D3: x + 2y = – 1
2°) Conjecturer – à partir de la figure - la positi on relative de ζ et chacune des droites D1, D2 et D3.
3°) Prouver vos conjectures.

VI) Résolution d’un problème à l’aide d’un repère caché.

Application 17

Dans la figure ci – contre, ABCD est un carré, E est un point du côté
[AB], G est le point de [AD] tel que
AE = DG et F est le point tel que le quadrilatère AEFG est un rectangle.
Montrer que les droites ((CF) et (EG) sont perpendiculaires.

141

Evaluation du degré d’assimilation du cours

Pour chacune des situations ci – dessous, relevez sur votre cahier les numéros des propositions qui vous
semblent vraies

Dans les situations de 1 jusqu’à 6, le plan est rapporté à un repère ℜ = (O, i , j ) quelconque.

Situation 1

   2 
v    
2 2  3
Soit les vecteurs u   , 3 et w 
 3  
 3 
2

P1: u et v sont colinéaires

( )P2: u , v est une base de V

( )P3: = 2 2 −3 3
dét u ,w 32

Situation 2
0 3

AB 3 et AC  0

( )P1: C, AB, AC est un repère du plan

P2: Les points A, B et C sont alignés

P3: les vecteurs AB et AC sont orthogonaux

Situation 3

5
On considère les points A(-2,3) et C(-12,5) et le vecteur AB  −1


P1: dét( AB , AC ) = 0

P2: sin BÂC = 0
P3: cos BÂC = -1

Situation 4

Le point A(1,-3) appartient à la droite:

P1: D1 : y = x - 4 P2: D2 : y = -3.x P3: D3 : y = 3.x - 6

Situation 5 P3: aucun de deux axes
P3: y = - 5.y + 13
La droite ∆ d’équation x + 3 = 0 est parallèle à:

P1: l’axe des abscisses P2: l’axe des ordonnées

Situation 6

Soit les points A(-2,3) et B(3,2). La droite (AB) a pour équation:

P1: x = - 5.y + 13 P2: - 2.x – 10.y + 26 = 0

142

Dans les situations 7, 8, 9 et 10, le plan est rapporté à un repère ℜ = (O, i , j ) supposé orthonormé

Situation 7

ABC est un triangle isocèle de sommet principal A, de entre de gravité G et de hauteur AH = 3. le cercle

de centre G est de rayon 1 est:

P1: tangent à (BC) P2: sécant à (BC) P3: disjoint avec (BC)

Situation 8

 −b 
 
a  −b  a² + b²  −w1 v = w2
On considère les vecteurs w1   , w   , v  a b²  u = a² + b² et a² + b² où a et
 b  2  a  
a² +


b sont deux réels non nuls

( )P1: w1, w2 est une base orthogonale

( )P2: I, u, v est une base orthonormée (I étant un point quelconque du plan)

P3: Les deux droites D et ∆ de vecteurs directeurs respectifs u et w2 sont perpendiculaires.

Situation 9
On considère les points A(0,5), B(2,2) et C( − 18 , 24 ) et la droite D: 2.x – y + 5 = 0

55

P1: D est la médiatrice de [BC]
P2: D est la médiane du triangle ABC issue de A
P3: Le triangle ABC est isocèle

Situation 10

(E) est l’ensemble de points du plan dont une équation cartésienne est: -2.x² - 2.y² + 4.x – 4.y + 6 = 0
P1: (E) est un cercle
P2: (E) est la réunion de deux droites
P2: (E) est l’ensemble vide

143

Solutions des QCM

Situation 1 2 ≠ 3 donc u et v ne sont pas colinéaires
23
P1: Fausse car
( )u et v ne sont pas colinéaires donc u , v est une base de V
P2: Vraie car

u , w = 2x 3 − 3x 2 = 2 ≠ 2 2 −3 3
23 32
( )P3: car dét 3−
Fausse

Situation 2

P1: Vraie car dét( AB , AC ) = - 9 ≠ 0 donc AB et AC ne sont pas colinéaires

( )alors C, AB, AC est un repère du plan

P2: Fausse car AB et AC ne sont pas colinéaires
P3: Fausse car on a bien 0 x 3 + 3 x 0 = 0 mais selon une base quelconque (non orthonormée)

Situation 3  −10 5
AC   et le vecteur AB  −1
P1: Vraie car on a A(-2,3) et C(-12,5) alors 
2

d’où AC = -2. AB donc AB et AC sont colinéaires donc dét( AB , AC ) = 0

alors A ∈ [BC] donc BÂC = π

P2: Vraie car AC = -2. AB donc AB et AC sont colinéaires et de sens opposés (-2 < 0)

alors A ∈ [BC] donc BÂC = π par suite sin BÂC = 0

P3: Vraie car BÂC = π par suite cos BÂC = -1

Situation 4

P1: Vraie car les coordonnées de A vérifient l’équation proposée
P2: Vraie car les coordonnées de A vérifient l’équation proposée
P3: Vraie car les coordonnées de A vérifient l’équation proposée

Situation 5
0

P1: Fausse car ∆ a pour vecteur directeur u  1  = j qui est un vecteur directeur de l’axe des ordonnées

P2: Vraie 0
car ∆ a pour vecteur directeur u   = j

1

P3: Fausse car ∆ est parallèle à l’axe des ordonnées

Situation 6

P1: Vraie car les coordonnées de A et de B vérifient l’équation proposée
P2: Vraie car les coordonnées de A et de B vérifient l’équation proposée
P3: Fausse car les coordonnées de A ne vérifient pas l’équation proposée

144

Situation 7
P1: Vraie car ABC étant isocèle en A, alors la médiane relative à [BC] est elle – même la hauteur issue
de A et par suite H est le projeté orthogonal de G sur (BC) et on a GH = 1 AH = 1 = rayon du cercle

3
ainsi d(G,(BC)) = rayon du cercle proposé donc ce cercle est tangent à ∆
P2: Fausse car ce cercle est tangent à ∆ (d’après P1)
P3: Fausse car ce cercle est tangent à ∆ (d’après P1)

Situation 8

( )P1: Vraie car on a: a.(-b) + b.a = 0 donc w1 et w2 sont orthogonaux alors w1, w2 est une base

orthogonale  −a   −b 
P2: Vraie car on a:    
 a² + b²   a² + b² 
u  v  a b² 
−b  et  on vérifie avec le calcul avec les coordonnées que:
a² +  a² +
 b² 

u et v sont orthogonaux et que u = v = 1

P3: Vraie car on a: u et w1 sont colinéaires et w1 et w2 sont orthogonaux alors u et w2 sont
orthogonaux donc les deux droites D et ∆ sont perpendiculaires

Situation 9

P1: Vraie car on a:

• B(2,2) et C( − 18 , 24 ) alors I( − 4 , 17 ) est le milieu de [BC]
55 55

• 2 x ( − 4 ) - 17 + 5 = 0 donc I ∈ D
55

2  − 28  − 14 .n
 5  5
• n  −1 est normal à D et BC   = donc BC est colinéaire à n
  14 
5

alors BC est normal à D et ainsi (BC) et D sont perpendiculaires

P2: Vraie car on a:
• A(0,5) ∈ D : 2.0 – 5 + 5 = 0 et B * C = I ∈ D
P3: Vraie car A(0,5) appartient à D qui est la médiatrice de [BC]

Situation 10 signifie x² + y² - 2.x + 2.y - 3 = 0
P1: Vraie car -2.x² - 2.y² + 4.x – 4.y + 6 = 0

signifie (x – 1)² + (y + 1)² = 5
donc (E) est un cercle
P2: Fausse d’après P1
P3: Fausse d’après P1

145

Solutions des applications

Application 1

1°) i) B’ = S J(B) signifie J = B * B’

ii) C’ = SI(C) signifie I = C * C’ − 1
2

iii) B’’ = h(A, − 1 ) (B’) signifie AB'' = - 1 AB'
2 signifie 2

iv) C’’ = h(A, − 1 ) (C’) AC'' = - 1 AC'
2 2

2°) • I = A* B = C * C’ signifie BCAC’ est. u n parallélogramme signifie BC = C'A = -AC'

donc AC' et BC sont colinéaires et on a AC' et AC'' sont colinéaires (d’après 1°) iv))

donc BC et AC'' sont colinéaires. (1)

• J = A* C = B * B’ signifie BCB’A est un parallélogramme signifie BC = AB'
donc AB' et BC sont colinéaires et on a AB' et AB'' sont colinéaires (d’après 1°) iii))
donc BC et AB'' sont colinéaires. (2)

D’après (1) et (2), AB'' et AC'' sont colinéaires signifie les points A, B’’ et C’’ sont alignés.

Application 2 signifie AB' = 2AB
1°) • B’ = h (A,2) (B) signifie AC' = 2AC

• C’ = h(A,2) (C)

2°) • AB' = 2AB alors B’ ∈ (AB)
alors BB' et AB sont colinéaires
• A, B et C non alignés donc AB et AC ne sont

pas colinéaires

alors BB' et AC ne sont pas colinéaires (1)
• AC' = 2AC alors C’ ∈ (AC) alors CC' et AC sont colinéaires (2)
(1) et (2) donnent BB' et CC' ne sont pas colinéaires

alors ( BB' , CC' ) est une base de V

( )de plus, on a K est un point du plan alors K, BB',CC ' est un repère du plan.

Application 3

( )1°) On a: AB + AC = AK + KB + AK + KC = 2.AK + KB + KC = 2.AK

( )d’où AK = 1 AB + AC
2

146

2°) a) On a: • B’ = h(A,2) (B) signifie AB ' = 2AB signifie B = A * B’ signifie AB = BB ' (1)

• C’ = h(A,2) (C) signifie AC ' = 2AC signifie C = A * C’ signifie AC = CC ' (2)

( )• AK = 1 AB + AC (3) (d’après 1°))
2

1
 
( )(1), (2) et (3) donnent AK = 1 BB ' + CC ' = 1 BB' + 1 CC ' signifie AK  2 
2 22
 1 (BB',CC
2 )

b) AK = 1 BB' + 1 CC ' signifie KA = − 1 BB' − 1 CC ' signifie A  − 1 , − 1 
22 22  2 2 (
K ,BB ',CC ')

Application 4
 x − 1

1°) • Soit A’(x,y) alors AA ' y + 3

• A’ = tu (A) signifie AA ' = u

d’où  x −1 = 2 donc A’(3 , -4)

y + 3 = −1

 x' − 1
2°) • Soit B’(x’,y’) alors AB ' y ' + 3

• B’ = h(A,3)(B) signifie AB ' = 3.AB

donc  x '−1 = 3 donc B’(4 , 0)

y '+ 3 = 3

3°) • Soit C(x’’, y’’) A’(3 , -4) et B’(4 , 0) alors I  7 , −2 
• On a: I = A’ * B’,  2 

• On a: I = A * C, A(1 , -3) et C(x’’ , y”) alors I  x '' + 1 , y '' − 3 
 2 2 

 x '' + 1 = 7
 2 2
alors  x '− 1 = 3  signifie  x '' = 6 d’où C(6 , -1)
 
y '+ 3 = 3  y '' − 3 y '' = −1
 2 = −2

Application 5
Soit G est le barycentre des points pondérés (A, α), (B, ß) et (C, γ) signifie α.GA + β.GB + γ.GC = 0
Posons G(xG , yG) et W = α.GA + β.GB + γ.GC

147

alors α.GA  α.x A − α.xG  ;  β.x B − β.xG  et γ.GC  γ.xC − γ.xG 
 α.yA − α.yG  β.GB  β.yB − β.yG   γ.yC − γ.yG 
    


donc W  α.x A − α.x G + β.x B − β.x G + γ.xC − γ.xG  donc α.x A + β.x B + γ.xC −(α + β + γ ) .x G = 0
 α.yA − α.yG + β.yB − β.yG + γ.yC − γ.yG   + β.yB + γ.yC −(α + β + γ ).yG = 0
  α.yA

 = α.xA + β.xB + γ.x C
xG α+β+γ
et ainsi  donc G  α.xA + β.xB + γ.xC , α.yA + β.yB + γ.yC 
 α+β+ γ α+β+ γ 
 y = α.yA + β.yB + γ.yC
 α+β+γ
G

Application 6

1°) D’après cette figure, A(-2 , 3), B(2 , -1), D(1 , 2) et E(3 , 0)

4 2
2°) D’après les coordonnées des points A, B, D et E , on aura AB −4  et DE  −2 

on remarque facilement que AB = 2.DE donc ces deux vecteurs sont colinéaires

et par suite ( AB , DE ) ne peut pas être une base de V
2ème méthode

4 2
AB −4  , DE  −2  et on a: 4 x (-2) – (-4) x 2 = - 8 + 8 = 0

donc ces deux vecteurs sont colinéaires et par suite ( AB ,DE ) ne peut pas être une base de V

AD 3 1
3°) a) D’après les coordonnées des points A, B, D e t E, on aura  −1 et BE  
 1

on a: 3 x 1 – (-1) x 1 = 3 + 1 = 4 ≠ 0 donc ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires

par suite ( AD , BE ) est une base de V.

b)

AD 3 AD = 3. i -j (1) 1
 −1(i,j) signifie et BE   signifie BE = i + j (2)

1(i,j)

(1) + (2) signifie i = 1 AD + 1 BE
44

(1) – 3 x (2) signifie AD − 3BE = − 4 j signifie j = − 1 AD + 3 BE
44

AB 4 AB = 4. i - 4. j =4( 1 AD + 1 BE ) – 4( − 1 AD + 3 BE )
d »autre part, on a: On a :   signifie
 −4 (i, 44 44
j)

2
donc AB = AD + BE + AD + 3. BE = 2. AD + 4.BE et ainsi AB 

 4 ( )AD,BE

148

Application 7 -6 3 x 4 3 − (-2) x (-6) = 12 −12 = 0 donc u et v sont
1°) On a u ≠ 0 , v ≠ 0 et dét ( u, v ) = 3 =

-2 43

colinéaires alors ces deux vecteurs sont deux vecteurs directeurs d’une même droite.

3
2°) A(1, - 3 ) et B(4,-3 3 ) alors AB ≠0
 −2 3 

3 3
dét ( u, AB ) =
= 3 x (−2) 3 − (-2) x3 = − 6 + 6 = 0
-2 -2 3

donc le point B appartient à la droite D(A, u ).

Application 8

1°) l’équation: 2.x + 3.y - 5 = 0 est du type a.x + b.y + c = 0 où a = 2 ≠ 0 alors D1 est une droite
2°) l’équation: x + y + 2 = 0 est du type a.x + b.y + c = 0 où a = 1 ≠ 0 alors D2 est une droite
3°) l’équation: 2.x - y = 0 est du type a.x + b.y + c = 0 où a = 2 ≠ 0 alors D3 est une droite (ici c = 0)
4°) l’équation: x + 5 = 0 est du type a.x + b.y + c = 0 où a = 1 ≠ 0 alors D4 est une droite (ici b = 0)
5°) l’équation: 2.y - 3 = 0 est du type a.x + b.y + c = 0 où b = 2 ≠ 0 alors D5 est une droite (ici a = 0)
6°) l’équation: -2 = 0 est du type a.x + b.y + c = 0 où a = b = 2 = 0 alors D6 n’est pas une droite

Application 9
1

1°) a) l’axe des abscisses est la droite D(O, i ) où O(0,0) est l’origine du repère et i  
0

x 1
Un point M(x,y) ∈ D(O, i ) signifie OM   et i   sont colinéaires

y 0

signifie x1 = 0 signifie 0.x – 1.y = 0 signifie – 1.y = 0 signifie y = 0 ainsi D(O, i ): y = 0

y0

0
b) l’axe des ordonnées est la droite D’(O, j ) où O(0,0) est l’origine du repère et j 

1

x 0
Un point M(x,y) ∈ D’(O, j ) signifie OM   et j  sont colinéaires

y 1

signifie x0 = 0 signifie 1.x – 0.y = 0 signifie x = 0 ainsi D’(O, j ): x = 0

y1

x +2  3 
c) Un point M(x,y) ∈ D(A, u ) signifie AM  y −1  et u  −2  sont colinéaires

signifie x+2 3 = 0 signifie -2(x + 2) – 3(y – 1) = 0 signifie -2.x – 3.y – 1 = 0

y -1 -2

signifie 2.x + 3.y + 1 = 0 ainsi D(A, u ): 2.x + 3.y + 1 = 0

d) la droite (CD) est la droite ∆(C, CD )

149