L'incontournable en géométrie

Application 4
1°) On a

(¨SK) ⊥ P alors (SK) ⊥ D

D⊂P 

d’où

(SK) ⊥ D 

(SH) ⊥ D 
¨(SH) et (SK) : deux droites sécantes du (SHK)

alors D ⊥ (SHK) signifie (AH) ⊥ (SHK)
alors (AH) ⊥ (HK) donc AHK est droit.

2°) Pour tout choix de la droite D dans P, les points A,S et K sont fixes et l’angle AHK est droit
alors H varie sur le cercle de diamètre [AK].

Application 5
Soit P le plan du triangle ABC et Q le plan médiateur de [BC]
• I = B * C alors IC = IB alors I∈ Q (a)
• ABC est un triangle équilatéral alors AB = AC

alors A ∈ Q (b)
• On a (SA) ⊥ P et (AC) ⊂ P alors (SA) ⊥ (AC)
donc le triangle SAC est rectangle en A
alors son hypoténuse SC = SA² + AC²
• On a (SA) ⊥ P et (AB) ⊂ P alors (SA) ⊥ (AB)
donc le triangle SAB est rectangle en A
alors son hypoténuse SB = SA² + AB² = SC (AB = AC)

donc S ∈ Q (c)
• (SA) ⊥ P et I ∈ P et I ≠ A alors S, A et I ne sont pas
alignés. (d)
De (a), (b), (c) et (d) on déduit que (SAI) est le plan médiateur
du segment [BC]

Application 6

Un tétraèdre est régulier
si et seulement si

ses quatre faces sont des triangles
équilatéraux isométriques.

200

1°) Soit Q le plan médiateur de [OΩ]
• SAB et ABC sont deux triangles équilatéraux isométriques

alors SA = BC alors 1 SA = 1 BC donc ΩI = OI alors I ∈ Q.
22

et SC = AB alors 1 SC = 1 AB donc ΩJ = OJ alors J ∈ Q.
22

• SAC et SBC sont deux triangles équilatéraux isométriques
alors SA = BC alors 1 SA = 1 BC donc ΩK = OK alors K ∈ Q.
22

• SAC et SAB sont deux triangles équilatéraux isométriques
alors SC = AB alors 1 SC = 1 AB donc OL = ΩL alors L ∈ Q.
22

2°) Soit R le plan médiateur de [IK]

• ABC et SBC sont deux triangles équilatéraux isométriques
alors SB = AC alors 1 SB = 1 AC donc JK = JI alors J ∈ R.
22

• ABC et SAC sont deux triangles équilatéraux isométriques
alors SA = BC alors 1 SA = 1 BC donc OK = OI alors O ∈ R.
22

• SBC et SAB sont deux triangles équilatéraux isométriques
alors SA = BC alors 1 SA = 1 BC donc ΩK = ΩI alors Ω ∈ R.
22

• On a J et O sont deux points de (ABC)
supposons que Ω est aligné avec J et O alors Ω ∈ (ABC)
alors (BΩ) ⊂ (ABC) donc S ∈ (ABC): impossible car SABC est un tétraèdre
ainsi J, O et Ω ne sont pas alignés et puisque J ∈ R, O ∈ R et Ω ∈ R

on aura R = (JOΩ)

Remarque: on démontre d’une manière analogue que L est aussi un point de R

Application 7

1°)

• ABC triangle équilatéral alors (SI) est la médiatrice de[BC] dans le plan (SBC)
I = B*C 

donc (SI) ⊥ (BC) (a)

• ABC triangle équilatéral alors (AI) est la médiatrice de[BC] dans le plan (ABC)
I = B*C 

donc (AI) ⊥ (BC) (b)

201

D’après (a) et (b), (BC) est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan (SAI) alors (BC) ⊥ (SAI)
donc (BC) est orthogonale à (SH) ((SH) ⊂ (SAI) ) (1)
d’autre part, on a (AI) ⊥ (SH) (2)

D’après (1) et (2), (SH) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (ABC) alors (SH) ⊥ (ABC)

2°) Soit D l'axe du cercle circonscrit au triangle ABC

alors D ⊥ (ABC) = SC) alors D = (SH)
et S ∈ D (SA = SB

Application 8

1°) Soit P le plan médiateur de [BC]
SABC est un tétraèdre régulier alors toutes les arêtes sont isométriques

I = B * C alors I ∈ P 


alors SB = SC alors S ∈ P  donc P = (SAI)
AB = AC alors A ∈ P

2°)

( AIS) étant le plan médiateur de[BC] alors(BC) ⊥ ( AIS) alors (AIS) ⊥ (ABC)
d’autre part (BC) ⊂ (ABC)


Application 9

1°) On a I = A * B alors I ∈ (AB) alors I ∈ (ABJ)

donc ¨(IJ) ⊂ (ABJ) = Q alors Q ⊥ P

et de plus (IJ) ⊥ P

2°)

On a (EF) ⊂ (EFI) alors J ∈ (EFI)

et J ∈ (EF) 

donc (IJ) ⊂ (EFI) 
 alors (EFI) ⊥ P
d 'autre part (IJ) ⊥ P

On a de plus, (AB) ⊂ P

alors

(AB) ⊥ (EFI) 
 alors (EFI) est le plan
et I = A * B ∈ (EFI)

médiateur de [AB].

3°) • On a: (AB) ⊥ (EFI)  (EFI) ⊥ (ABE)
 alors
et (AB) ⊂ (ABE)

• On a: (AB) ⊥ (EFI)  (EFI) ⊥ (ABF)
 alors
et (AB) ⊂ (ABF)

202

Application 10
a) On a:
• (IA) ⊥ P, (AD) ⊂ P et (AB) ⊂ P
alors le triangle ADI est rectangle et isocèle en A

(AI = AD = a) d’où ID = a 2
• [BD] est une diagonale du carré ABCD

d’où BD = a 2

ainsi

BD = ID 

BO = IO (O = B * I)  alors (AOD) est le plan médiateur de [BI]
BA = IA =a 

A, D et O nonalignés

donc (AOD) ⊥ (IB)

b) On a:

¨(AI) ⊥ (AD) 
(AB) ⊥ (AD) 
 alors (AD) ⊥ (ABI)
(AI) et (AB) deux droites sécantes de (ABI)

ainsi (AD) ⊥ (ABI) 
 alors (AOD) ⊥ (ABI)
ët (AD) ⊂ (AOD)

c) On a:
(IB) ⊂ (BCI) et d’après a), (IB) ⊥ (AOD) alors (BCI) ⊥ (AOD)
Remarque: la méthode suivie en c) est valable pour b) et la méthode suivie en b) est valable pour c).

Application 11
1°) Les trois côtés du triangle ACH sont isométriques: ce sont les
diagonales de trois carrés isométriques
alors le triangle ACH est équilatéral
donc HÂC= 60°
2°) On a (BC) ⊥ (CDH) et (CH) ⊂ (CDH)
alors (BC) ⊥ (CH)
donc le triangle BCH est rectangle en C

et on a CH = a. 2

le triangle BCH est rectangle en C alors BH = BC2 + CH2 = a2 + 2.a2 = a 3
et on a CH = a 2 

3°) • O = B * H donc OB = OH = a. 3
2

• (AB) // (HG) alors A, B, H et G sont coplanaires

203

de plus on a AB = HG alors ABGH est un parallélogramme
donc A * G = B * H = O
et on a: AG = BC2 + CH2 = a2 + 2.a2 = a 3 = BH

• (AD) // (FG) alors A, D, F et G sont coplanaires
de plus on a AD = FG alors ADGF est un parallélogramme
donc A * G = D * F = O
et on a: DF = FG2 + GD2 = a2 + 2.a2 = a 3 = BH

• (BC) // (EH) alors B, C, E et H sont coplanaires
de plus on a BC = EH alors BCHE est un parallélogramme
donc B * H = C * E = O
et on a: CE = BC2 + BE2 = a2 + 2.a2 = a 3 = DF
Résumé: les quatre diagonales du cube sont isométriques et ont le même milieu
alors ses huit sommets appartiennent à une même sphère S de centre O et de rayon a. 3

2

Application 12
1°)

Un tétraèdre étant une pyramide à base
triangulaire alors son volume se calcule
en appliquant la même formule.

Le volume V d’une pyramide est V = 1 B.h
3

où B est l’aire de sa base et h est sa hauteur.

• Il est plus pertinent de prendre:
le triangle ABC pour base
et alors la hauteur sera la distance de O à son projeté orthogonal sur le plan P qui est A car [AO) est
perpendiculaire à P en A.

le triangle ABC est rectangle en C et
d’hypoténuse AB = a

d’où AC = AB. cos = a. 3
2

et BC = AB. sin = a
2

d’autre part, on a OA = a

donc V = 1 x 1 .a. 3 . a .a = a3 3
32 22 24

204

2°) On a (OA) ⊥ P et D = (BM) ⊂ P
alors (OA) et (BM) sont orthogonales

de plus, on a (OM) ⊥ (BM)
donc (BM) ⊥ (OAM)
donc (AM) ⊥ (BM)
par suite le point M varie sur le cercle de diamètre [AB]

Application 13

1°) a) • (OA) ⊥ (ABC) alors (OA) ⊥ (AB)
donc le triangle OAB est rectangle en A
de plus, on a AB = AO = a

alors OB = AO2 + AB2 = a2 + a2 = a. 2

• (OA) ⊥ (ABC) alors (OA) ⊥ (AC)
donc le triangle OAC est rectangle en A
de plus, on a AC = AO = a

alors OC = AO2 + AC2 = a2 + a2 = a. 2

• BC = a (par hypothèse)

b) • En appliquant El-Kashi dans le triangle OBC, on aura:

BC² = OB² + OC² - 2.OB.OC.cos BÔC

donc cos BÔC = BC2 − OB2 − OC2 = a2 − 2.a2 − 2.a2 = 3
2.OB.OC − 2x2.a2 4

de plus BÔC est aigu alors BÔC = 41° 41

•D’après a) OBC est isocèle en O alors OBC = OCB = 180 − 41.41 = 69° 295 ≃ 69° 30
2

2°) a) • S = 1 .OB.OC.sin Ô = 1 .a 2.a 2 x 0.66 = 0.66.a²
22

• r = OB.OC.BC = a 2.a 2.a = 0.38.a²
4.S 4 x 0.66.a²

b) Soit H le projeté orthogonal de B sur (OC) alors la distance de B
à la droite (OC) est BH
1ère méthode
BH est une hauteur du triangle OBC (si l’on prend OC comme base)
ainsi S = 1 x OC.d(B, (OC)) alors d(B, (OC)) = 2.S = 2 x 0.66.a² = 0.94.a

2 OC a. 2
2ème méthode

Le triangle BHC est rectangle en H et on a BC = a et BCO = BCH ≃ 69°30

donc BH = BC.sin BCH = a.sin69°30 = 0.94.a

205

Application 14

Figure 1
Un plan qui contient deux
points contient la droite
(en particulier le segment)
qui passe par ces points

Figure 3
• (IJK) contient (JK) donc il contient le point P: intersection

de (JK) avec (LG)

• (ABC) // (EFG) alors (IJK) les coupe suivant
deux droites parallèles
donc (EFG) contient la parallèle à (IJ) qui passe par P et
coupe [FG] en Q et [BF] en R.

(ABF) // (DCG) alors (IJK) les coupe suivant
deux droites parallèles
donc (ABF) contient la parallèle à (IJ) qui passe par R
et coupe [AB] en S.
ainsi la section est l’hexagone IJKQRS.

Figure 6
Deux droites sécantes contenues dans deux plans distincts

se coupent en un point de la droite d’intersection de ces
deux plans.

• (KJ) ⊂ (KJF) alors (KJF) contient la parallèle à (JF)
qui passe par K: (KR)

• (KJF) contient (RF) qui coupe (JK) en S
alors S est un point de (IJK) et par suite (IJK) contient (IS)
qui coupe (BF) en T
donc on aura [IT] ⊂ (IJK) et [JT] ⊂ (IJK)

• (AEL) et (BGF) sont parallèles alors (IJK) les coupe
suivant deux droites parallèles
donc (IJK) contient la parallèle à (JT) qui passe par K
et qui coupe [AD] en U
donc (IJK) contient [IU]

206

• (ABC) et (EFG) sont parallèles alors (IJK) les coupe
suivant deux droites parallèles
donc (IJK) contient la parallèle à (IU) qui passe par J
et qui coupe [LG] en V
de plus, (IJK) contiendra [KV]

ainsi la section est l’hexagone ITJVKU.

Figure 4

Application 15 (1)

• (AB) ⊂ (SAB) et (IJ) ⊂ (SAB)
alors (AB) ∩ (IJ) = {M} ⊂ (SAB)
et d’autre part M ∈ (IJK) ∩ (ABC)

• (BC) ⊂ (SBC) et (JK) ⊂ (SBC)
alors (BC) ∩ (JK) = {N} ⊂ (SBC)

et d’autre part N ∈ (IJK) ∩ (ABC) (2)

D’après (1) et (2) (IJK) ∩ (ABC) = (MN)

alors les deux points L et H définis par:
[AD] ∩ (MN) = {H} et [DC] ∩ (MN) = {L}

appartiennent au plan (IJK).
donc la section cherchée est le pentagone HIJKL

207

Exercices intégratifs

Exercice 1
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. La perpendiculaire à (HF) issue de E coupe [HG] en K et la
perpendiculaire à (HF) issue de G coupe [EF] en I.
Montrer que les plans (AEK) et (CGI) sont parallèles.

Exercice 2
Dans un plan P, on considère un triangle ABC rectangle en B. O est un point de la perpendiculaire à P en B.
Q est le plan passant par B et orthogonal à (CD). Le plan Q coupe (CD) en E et (AD) en F.
Montrer que les points A, B, C, E et F appartiennent à une même sphère de centre O.

Exercice 3
Dans un plan P, on considère un triangle ABC rectangle en B et un point D de la perpendiculaire au plan P
en A (D est distinct de A).
1°) Montrer que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (DAB).
2°) Soit Q le plan qui passe par A et perpendiculaire à (DC). Q coupe (DC) en E et (DB) en F. Montrer que
(AF) est perpendiculaire au plan (BCD).
3°) Montrer que les points A, B, C, E et F sont sur une même sphère.

Exercice 4
On considère un triangle ABC isocèle et rectangle en A. on note I = B * C, J = A * C et ∆ la droite passant
par I et perpendiculaire au plan (ABC).
1°) Montrer que ∆ est l’axe du cercle ζ circonscrit au triangle ABC.
2°) Montrer que (IJ) est perpendiculaire à ∆
3°) Soit E un point de ∆ tel que EB = AB. Montrer que le triangle EBC est isocèle et rectangle en E.
4°) Montrer que les plans (AIE) et (ABC) sont perpendiculaires.
5°) Déterminer le plan médiateur de [AC].
6°) Déduire que les plans (ACE) et (EIJ) sont perpendiculaires.

Exercice 5
On considère un cube ABCDEFGH de centre O et d’arête 1. On désigne par I un point de [AB] distinct de

A et de B et on pose AI = x.
On sectionne ce cube par le plan P qui passe par I et parallèle au plan (BDG).
1°) a) Montrer que P contient la droite (d1) parallèle à (DG) qui passe par I.
b) (d1) coupe [BF] en J. Montrer que P contient la droite (d2) parallèle à (BG) qui passe par J.
c) (d2) coupe [FG] en K. Montrer que P contient la droite (d3) parallèle à (BD) qui passe par K.
d) On admet que la section plane du cube ABCDEFGH par le plan P est l’hexagone IJKLMN. Justifier la
détermination des points L, M et N respectivement sur [GH], [DH] et [AD].
2°) a) Déterminer – en fonction de x - la mesure de la longueur de chaque côté de l’hexagone IJKLMN.
b) Montrer que son périmètre est indépendant de la position de I sur [AB].

Exercice 6
ABC est un triangle équilatéral de côté a. On désigne par:

• I et J les milieux respectifs de [AC] et [AB]
• D la perpendiculaire au plan
(ABC) passant par A

208

• M un point quelconque de D et O le centre du cercle circonscrit à ABC.
• E et F sont les pieds des hauteurs du triangle MBC issues respectivement de B et C.
1°) a) Montrer que la droite (BI) est perpendiculaire au plan (ACM).
b) En déduire que (BI) et (CE) sont orthogonales.
c) Montrer que la droite (CE) est perpendiculaire au plan (BIE).
d) Déterminer alors sur quel ensemble varie le point E lorsque M décrit D.
2°) Utiliser une démarche analogue à celle qui est suivie en 1°) pour montrer que lorsque M varie sur D, le
point F décrit le cercle de diamètre [BJ].
Exercice 7

On considère un cube ABCDEFGH de centre O et d’arête a. On désigne par I, J, K, L, M et N les milieux
respectifs de [AB], [BF], [FG], [HG], [DH] et [AD].
1°) Montrer que les points I, J, K, L, M, N et O sont coplanaires.
2°) Déterminer l’intersection des plans (IJK) et (BDH).
3°) a) Calculer les distances ML et JL.
b) Montrer que MJ = HF. En déduire MJ.
c) Montrer que IJLM est un rectangle.
d) En déduire que OIJ est un triangle équilatéral.
4°) a) Montrer que le polygone IJKLMN est un hexagone régulier.
b) Montrer que la droite (CE) est l’axe du cercle circonscrit à cet hexagone.
c) Déterminer le volume V de la pyramide CIJKLMN (dont la base est l’hexagone IJKLMN) en fonction
de a.

209

Solutions des exercices intégratifs

Exercice 1

Dans le plan ( EFG ) , ona :

(IG) ⊥ (HF)  alors (IG) / / (EK)

(EK) ⊥ (HF)

(IG) / / (EK)  (1)
 alors(EK) / / (CGI)

et (IG) ⊂ (CGI) 

• (EA) et (CG) sont deux arêtes opposées

donc (EA) / / (CG)  (2)
 alors(EA) / / (CGI)
et (CG) ⊂ (CGI) 

• (EK) et (EA) sont deux droites sécantes du plan (AEK) (3)

de (1), (2) et (3), on déduit que les plans (AEK) et (CGI) sont parallèles.

Exercice 2

• ABC triangle rectangle en A et O = B * C
alors OA = OB = OC (1)

• (CD) ⊥ Q et (BE) ⊂ Q alors (CD) ⊥ (BE)
en E
donc le triangle BCE est rectangle en E et O = B * C
alors OE = OB = OC

•

ABC triangle rectangle en A alors (AC) ⊥ (AB) 
¨(BD) ⊥ P et (AC) ⊂ P alors (AC) ⊥ (BD) 

(AB) et (BD) sont deux droites sécantes de (ABD)

alors (AC) ⊥ (ABD)

(AC) ⊥ (ABD) ( BF )
 alors(AC) orthogonale à
( BF) ⊂ (ABD) 

d’autre part, on a (CD) orthogonale à (BF)

(car (CD) ⊥ Q et (BF) ⊂ Q
donc (BF) ⊥ (ACD)
et puisque (FC) ⊂ (ACD) on aura:
(BF) ⊥ (FC) en F
ainsi le triangle BCF est rectangle en F

210

alors OF = OB = OC (3)

D’après (1), (2) et (3): OA = OB = OC = OE = OF et puisque ces points ne sont pas alignés, ils se
trouveront sur une même sphère de centre O.

Exercice 3
1°) • Le triangle ABC est rectangle en B alors (AB) ⊥(BC)
• (AD) est perpendiculaire au plan (ABC) et (BC) est incluse dans (ABC) alors (AD) est orthogonale à (BC)
• (AB) et (AD) sont deux droites sécantes du plan (ABD)
alors la droite (BC) est perpendiculaire au plan (DAB).
2°) • On a (BC) ⊥ (DAB) et (AF) ⊂ (DAB)
alors (BC) et (AF) sont orthogonales.
• On a (DC) ⊥ Q et (AF) ⊂ Q
alors (DC) et (AF) sont orthogonales.
• (DC) et (BC) sont deux droites sécantes de (BCD)
alors (AF) est perpendiculaire au plan (BCD).
3°) • le triangle ABC rectangle en B alors B est un point de la sphère de diamètre [AC]
• (AE) ⊥ (DC) en E alors E est un point de la sphère de diamètre [AC]
• (AF) ⊥ (BCD) et (CF) ⊂ (BCD)
donc (AF) ⊥ (CF) en F
alors F est un point de la sphère de diamètre [AC]
Résumé: A , B, C, E et F sont des points de la sphère de diamètre [AC].

Exercice 4

1°) ABC est un triangle rectangle en A et I = B * C

alors I est le centre du cercle ζ circonscrit au triangle ABC
 alors ∆ est
∆ la droite passant par I et perpendiculaire au plan ( ABC ) 

l’axe du cercle ζ.

2°) • On a I ∈ (ABC) et J ∈ (ABC) alors (IJ) ⊂ (ABC)

211

et on a ∆ perpendiculaire au plan (ABC) alors ∆ est perpendiculaire à (IJ).
3°) • E est un point de ∆ qui est l’axe de ζ et on a B et C appartiennent à ζ alors EB = EC
donc le triangle EBC est isocèle en E.

• Soit a = AB alors AB = AC = EB = EC = a

le triangle ABC étant rectangle en A alors BC = a. 2
donc EB² + EC² = a² + a² = 2.a² = BC²
et ainsi le triangle EBC est rectangle en E.

4°) Le plan (AIE) contient la droite (EI) = ∆ et ∆ est perpendiculaire au plan (ABC)
alors les plans (AIE) et (ABC) sont perpendiculaires.

5°) Soit Q le plan médiateur de [AC]. On a:

J = A * C alors J ∈ Q 

. I est le centre de ζ alors IA = IC alors I ∈ Q donc Q = (IJE) (les points (I,J et E ne sont pas alignés)
E ∈ ∆ alors EA = EC alors E ∈ Q 

6°) On a: (EIJ) est le plan médiateur de [AC] alors (AC) est perpendiculaire à (EIJ)
d’autre part (AC) est incluse dans le plan (ACE) alors les plans (ACE) et (EIJ) sont perpendiculaires.

Exercice 5
1°) a) • P // (BDG) et (BDG) coupe (CDG) suivant (DG) alors P coupe (CDG) suivant une droite (d4)
parallèle à (DG)
• (ABF) // (CDG) et P coupe (CDG) suivant une droite (d4) alors P coupe (ABF) suivant une droite (d1)
parallèle à (d4)
On a (d4) // (DG) alors (d1) // (DG) et on a I ∈ P ∩ (ABF)
alors P contient la (d1) parallèle à (DG), passant par I et et qui coupe [BF] en J.
b) • (d1) coupe [BF] en J alors P ∩ (ABFE) = [IJ]
• P // (BDG) et (BDG) coupe (BFG) suivant (BG) alors P coupe (BFG) suivant une droite (d2)
parallèle à (BG)
d’autre part J ∈ P ∩ (BFG) donc la droite (d2) passe par J.
c) • (d2) coupe [FG] en K alors P ∩ (BFGC) = [JK]
• P // (BDG) et (BDG) coupe (ABC) suivant (DB) alors P coupe (ABC) suivant une droite (d6)
parallèle à (DB)
• (ABC) // (EFG) et P coupe (ABC) suivant (d6) alors P coupe (EFG) suivant une droite (d3) parallèle à
(d6)
et on a (d6) est parallèle à (BD) alors (d3) parallèle à (BD)
et puisque K ∈ P ∩ (EFG) alors P contient la (d3) parallèle à (BD), passant par K et qui coupe [HG] en L.
d) • (d3) coupe [HG] en L alors P ∩ (EFGH) = [KL]
• on sait déjà que P coupe (CDG) suivant une droite (d4) parallèle à (DG) (d’après 1°) a))
et puisque L ∈ P ∩ (CDG) donc la droite (d4) passe par L et coupe [DH] en un point qu’on notera M
alors P ∩ (CGHD) = [ML]

• (ADH) // (BFG) et P coupe (BFG) suivant (JK) alors P coupe (ADH) suivant une droite (d5) parallèle
à (JK), passant par M et coupe [AD] en un point qu’on notera N
. alors P ∩ (ADHE) = [MN]
• en fin P ∩ (ABCD) = [IN]

Résumé: la section plane du cube ABCDEFGH par le plan P est l’hexagone IJKLMN.

212

2°) a) ■ • Dans le triangle ABF, on a (IJ) // (AF) alors d’après Thalès : BI = BJ = IJ alors BI = IJ
BA BF AF BA AF

alors 1 − x = IJ donc IJ = 2 (1 − x)
12

• BI = BJ alors BJ = BI = 1 – x alors FJ = x
BA BF

■ • Dans le triangle BFG, on a (JK) // (BG) alors d’après Thalès : FJ = FK = JK alors FJ = JK
FB FG BG FB BG

alors x = JK donc JK = x. 2
12

• FJ = FK alors FJ = FK = x et par suite GK = 1 - x
FB FG

■ • Dans le triangle ABD, on a (IN) // (BD) alors d’après Thalès : AI = AN = IN alors AI = IN
AB AD BD AB BD

alors x = IN donc IN = x. 2
12

• AI = AN alors AI = AN = x et par suite DN = 1 - x
AB AD

■ • On a (MN) // (BG) et (BG) // (AH) alors (MN) // (AH)

• Dans le triangle ADH, on a (MN) // (AH) alors d’après Thalès : DN = DM = NM alors DN = NM
DA DH AH DA AH

alors 1 − x = MN donc MN = (1 –x). 2
12

• DN = DM alors DN = DM = 1 - x et par suite MH = x
DA DH

■ • Dans le triangle DHG, on a (LM) // (DG) alors d’après Thalès : HM = HL = ML alors HM = ML
HD HG DG HD DG

alors x = ML donc ML = x. 2
12

• HM = HL alors HM = HL = x et par suite GL = 1 - x
HD HG

■ le triangle GKL est rectangle et isocèle en G et on a GK = GL = 1 – x alors KL = (1 –x). 2

213

b) Le périmètre de cet hexagone est: IJ + JK + KL + LM + MN + IN

= 2 (1 − x) + x. 2 + (1 –x). 2 + x. 2 + (1 –x). 2 + x. 2

= 3. 2 : c’est indépendant de x
donc le périmètre de cet hexagone est indépendant de la position de I sur [AB].

Exercice 6

1°) a) •ABC est un triangle équilatéral et I est le milieu de [AC] alors (BI) est la médiatrice de [AC] dans

le plan (ABC)

alors

on a (BI) ⊂ ( ABC ) et ( AM ) ⊥ (BI) ⊥ (AC) et ( AM ) sont 
(ABC)alors (BI) 
orthogonales

(AC) et (AM) sont deux droites sécantes duplan (ACM)

donc la droite (BI) est perpendiculaire au plan (ACM).

b) E est le pied de la hauteur du triangle MBC issue de B alors E est un point de (MC) donc du plan (ACM)

et ainsi (CE) est incluse dans le plan ( ACM ) ) alors (BI) et (CE) sont orthogonales
d’après a) (BI) est perpendiculaire au plan (ACM

c) E est le pied de la hauteur du triangle MBC issue de B

alors

(BE) ⊥ (CE) 
et d’après b) (BI) est orthogonale à (CE)  d 'où (CE) ⊥ (BIE)
(BE) et (BI) sont deux droites sécantes du plan (BIE)

d) (CE) ⊥ (IE) donc E varie sur le cercle de diamètre [CI]
car de plus (CE) et (IE) sont incluses dans le plan fixe perpendiculaire à (ABC) et contenant (AC)
par contre le plan (BCE) est variable (ça n’exclut pas qu’on peut répondre par la sphère de diamètre [BC])

2°) a) •ABC est un triangle équilatéral et J est le milieu de [AB] alors (CJ) est la médiatrice de [AB] dans

le plan (ABC)

alors

on a (CJ) ⊂ ( ABC ) et ( AM ) ⊥ (CJ) ⊥ (AB) et ( AM ) sont 
(ABC)alors (CJ) 
orthogonales

(AB) et (AM) sont deux droites sécantes duplan (ABM) 

donc la droite (CJ) est perpendiculaire au plan (ABM).

b) F est le pied de la hauteur du triangle MBC issue de C alors F est un point de (MB) donc du plan (ACM)

et ainsi (BF) est incluse dans le plan ( ABM )  alors (CJ) et (BF) sont orthogonales
d’après a) (CJ plan (ABM
) est perpendiculaire au )

c) F est le pied de la hauteur du triangle MBC issue de C
alors

214

(BF) ⊥ (CF) 
et d’après b) (CJ) est orthogonale à (BF) 
 d 'où (BF) ⊥ (CFJ)
(CF) et (CJ) sont deux droites sécantes du plan (CFJ)

d) (BF) ⊥ (JF) donc F varie sur le cercle de diamètre [BJ]
car de plus (BF) et (JF) sont incluses dans le plan fixe perpendiculaire à (ABC) et contenant (AB)

Exercice 7

Le centre d’un cube est le point
d’intersection de ses quatre diagonales.

De plus il est le milieu de chacun de ces
quatre segments.

1°) • [BI] et [HL] sont parallèles et isométriques
donc BIHL est un parallélogramme
d’où B * H = I * L = O
• [BJ] et [HM] sont parallèles et isométriques
donc BJHM est un parallélogramme
d’où B * H = J * M = O
• I, J et L sont trois points non alignés, désignons par P le plan (IJL)
I * L = O alors O ∈ P et J * M = O avec J ∈ P alors M ∈ P
• [AN] et [GK] sont parallèles et isométriques

215

donc ANGK est un parallélogramme
d’où A * G = N * K = O
• BFG est un triangle, J = B * F et K = G * F alors (JK) // (BG) (1)
• [BI] et [GL] sont parallèles et isométriques
donc BILG est un parallélogramme d’où (BG) // (IL) (2)
d’après (1) et (2), (JK) // (IL) donc K ∈ (IJL) = P
et puisque O∈ P, SO(K) = N ∈ P
Résumé: O, K, M et N appartiennent à (IJL) donc les points I, J, K, L, M ,N et O sont coplanaires.
2°) • (BDH) contient la parallèle à (DH) qui passe par B: c’est (BF)
J ∈ [BF] et [BF] ⊂ (BDH) alors J ∈ (BDH)
et on a M ∈ [DH] et [DH] ⊂ (BDH) alors M ∈ (BDH) donc (JM) ⊂ (BDH)
• d’autre part, (JM) ⊂ (IJK) et on a (BDH) et (IJK) sont deux plans distincts
donc l’intersection de (IJK) et (BDH) est la droite (JM).

3°) a) • HLG triangle rectangle isocèle en H alors ML =  a 2 +  a 2 = a2
 2   2  2

• La droite (LG) est perpendiculaire au plan (BCF) et (GJ) est une droite de ce plan

alors (LG) ⊥ (GJ) donc le triangle LGJ est rectangle en G.

d’où JL² = LG² +GJ² =  a 2 +  +  a 2  = 3.a² donc JL = a. 3
 2  a²  2   2 2
 

b) • On a [FJ] et [HM] sont parallèles et isométriques
donc FJMH est un parallélogramme d’où MJ = FH

• [FH] est une diagonale d’un carré de côté a alors MJ = FH = a. 2
c) • D’après 1°), on a I * L = O = J * M alors IJLM est un parallélogramme de centre O.
• d’autre part, ML² + LJ² = a² + 3.a² = 2.a² = MJ² donc MLJ est droit

22
ainsi IJLM est un parallélogramme de centre O qui a un angle droit alors c’est un rectangle de centre O.

d) IJLM est un rectangle de centre O alors ses diagonales sont isométriques d’où MJ = IL

donc 1 MJ = 1 IL = a. 2 = OI = OJ
22 2

d’autre part, on a IJLM est un parallélogramme donc IJ = ML = a. 2
2

donc le triangle OIJ est équilatéral

4°) a) • IJLM est un rectangle de centre O alors les deux triangles OLM et OIJ sont isométriques
et puisque OIJ est équilatéral, il est de même pour OLM
ainsi OI = OJ = OL = OM
• On a NK = AF = 2.IJ = 2.OI
et O = N * K alors ON = OK = OI et à l’aide de la symétrie centrale SO, on prouve que les triangles OKJ et
ONM sont isométriques et équilatéraux
par suite les angles et les côtés de l’hexagone IJKLMN sont isométriques donc il est régulier.

216

b) • L’hexagone IJKLMN étant régulier et de centre O alors il est inscrit dans un cercle de centre O donc
appartient à l’axe de ce cercle.
• [CL], [CK], [CJ], [CI], [CN] et [CM] sont isométriques: chacun d’eux est l’hypoténuse d’un triangle
rectangle de côtés a et a

2
alors C appartient à l’axe de ce cercle et ainsi l’axe de ce cercle est la droite (CO)
et vu que O = C * E (donc C, O et E son alignés), l’axe de ce cercle est la droite (CE)
c) (CO) est l’axe du cercle circonscrit l’hexagone IJKLMN alors la pyramide CIJKLMN a pour:
hauteur h = CO
et pour base B l’aire de l’hexagone IJKLMN donc B = 6.A où A est l’aire de chacun de six triangles
équilatéraux qui couvrent l’hexagone

a2
d’où V = 1 .h.B = 1 .CO.6.A = 1 x a 3 x 6 x 1 x a 2 x 2 x 3 = 3.a3
33 32 22 2 8

217

Statistique

I) Population, échantillon, individu et caractère statistique

1°) Définitions
La population est l'ensemble des éléments à observer: (touchés ou concernés par l'étude)
Chaque partie de la population est appelée un échantillon
Chaque élément de la population est appelé un individu, une unité statistique ou une
observation
Un caractère (ou une variable) statistique est toute propriété observée ou mesurée sur les
individus d'une population
L’effectif d’une valeur(ou une classe ou une modalité) est le nombre d’individus pour lesquels le
caractère a pris cette valeur

Exemples:

La population ensemble des élèves d’un lycée au cours de l’année scolaire 2008 - 2009
un individu chaque élève de ce lycée

un échantillon une classe de ce lycée, les filles de ce lycée, les élèves de toutes les
2èmes année de ce lycée, les élèves de ce lycée qui ont eu au 1er
Un caractère statistique trimestre une moyenne générale comprise entre 12 et 13, les élèves de ce

lycée qui prennent le bus pour y aller…
Les moyennes, la taille, profession du père, moyen de transport, collège

d’origine…

2°) Types de caractères statistiques

Série chronologique: on appelle ainsi toute série qui décrit une variable dans le temps

Application 1
Un statisticien a réalisé des études portant sur:

1) une série de notes des élèves d’une classe d’un professeur X
2) la répartition des ménages d’une ville A selon le nombre des pièces dont ils disposent

218

3) la répartition des ménages d’un pays P selon le revenu mensuel total du ménage
4) la répartition de la population tunisienne par tranche d'âge
5) la répartition des touristes qui ont visité la Tunisie en 2006 par nationalité
Pour chacune de ces études, préciser:
a) la population
b) une unité statistique
c) le caractère étudié
d) la nature du caractère
e) quelques modalités du caractère

3°) Taille d’une population – effectif d’une valeu r du caractère – fréquence d’une valeur du

caractère

Application 2

Ci – dessous, la liste des nombres de pièces de vingt appartements d’un immeuble :

1, 3, 7, 2, 3, 5,1, 3, 2, 4, 4, 5, 3, 3, 4, 1,3,4, 2, 6

Compléter le tableau ci dessous

Nombre de

pièces : valeurs 1 2 3 4 5 6 7 Total

du caractère (xi)

Nombre de

logements : N = 20
effectif

correspondant (ni)
Fréquence de

cette valeur:

ni 1
20
fi =

4°) Effectif cumulé croissant – Effectif cumulé déc roissant - Fréquence cumulée croissante
Fréquence cumulée décroissante

k

∑l’effectif cumulé croissant jusqu’à la k-ième valeur est : Ek ր = ni : c’est le nombre d’individus
i=1

aux quels correspond une valeur au plus égale à xk

k−1 p

∑ ∑l’effectif cumulé décroissant jusqu’à la k-ième valeur est: Ek ց = N − ni = ni : c’est le
i=1 i=k

nombre d’individus qui leur correspond une valeur au moins égale à xk (p étant le nombre total
des valeurs prises par le caractère)

k

∑la fréquence cumulée croissante jusqu’à la k-ième valeur est: Fk ր = fi
i=1
k −1 p

∑ ∑la fréquence cumulée décroissante jusqu’à la k-ième valeur est: Fk ց = 1 − fi = fi
i=1 i=k

Application 3
On considère la série statistique définie dans l’application 2 ci – dessus. Utiliser le tableau obtenu pour
déterminer:

219

1°) le nombre d’appartements de cet immeuble qui co ntiennent:
a) au plus trois pièces
b) au moins quatre pièces

2°) la fréquence d’appartements de cet immeuble qui contiennent:
a) au plus deux pièces
b) au moins six pièces

II) Représentations graphiques

A chaque type de caractères convient un type (ou plus) de représentations graphiques

Type de Type de Principe à respecter
caractères graphiques
A chaque modalité i, on associe un angle au centre αi proportionnel
Qualitatif Diagramme
circulaire à la fréquence fi : αi = 360
Quantitatif discret fi
Diagramme
Quantitatif continu à barres A chaque valeur xi, on associe une bande de largeur arbitraire et de
Série hauteur ni (ou fi)
Diagramme
chronologique A bâtons A chaque valeur xi, on associe un segment de hauteur ni (ou fi)

Histogramme A chaque classe i, on associe un rectangle dont l’une de
dimensions est l’amplitude de la classe et l’aire est proportionnelle à
Chronogramme
ni (ou fi)
A chaque date ti, on associe un point Mi(ti , xi) puis on relie chaque

deux points consécutifs par un segment de droite

Application 4

Représenter chacune de séries ci-dessous par un diagramme adéquat:

1°) Le tableau ci-dessous représente le chiffre d’affaires trimestriel (en milles dinars) d’une entreprise

durant les années 2007 et 2008

Date 1er tri 2è tri 3è tri 4è tri 1er tri 2è tri 3è tri 4è tri
2007 2007 2007 2007 2008 2008 2008 2008

Ch. 335 370 205 440 370 470 240 460
d’affaire

2°) Le tableau ci-dessous donne la répartition de 200 ouvriers suivant leurs domaines d’activité

Domaine Commerce Industrie Artisanat Agriculture Autres

Effectif 30 45 15 90 20

3°) Le tableau ci-dessous représente le nombre d’appels de secours reçus quotidiennement par la
protection civile durant un mois

Nombre d’appels 0 1 2 3 4 5 6
Nombre de jours 2 5 6 10 4 2 1

4°) Le tableau ci-dessous représente la répartition de soixante personnes selon leurs tailles
220

Tailles en cm Moins de 160 [160 , 165[ [165, 170[ [170 , 175[ 175 et plus

Effectif (ni) 3 10 18 25 4

5°) Le tableau ci-dessous représente la répartition de soixante personnes selon leurs tailles

Tailles en cm Moins de 160 [160 , 165[ [165, 170[ [170 , 180[ [180 , 200[

Effectif (ni) 1 8 18 29 4

III) Les paramètres statistiques

Ce sont des valeurs numériques qui donnent une idée sur les caractéristiques d’une série statistique.
Dans ce paragraphe, on considère une série à p valeurs (classes ou modalités) classées dans l’ordre
croissant et on désigne par :
nk: l’effectif de la k-ième valeur (classe ou modalité)
fk: la fréquence de la k-ième valeur (classe ou modalité)
ck: le centre de la k-ième classe

1°) Les paramètres de position

a) Le mode

i) Rôle
Il indique la valeur (ou les valeurs) la plus fréquente du caractère. Il est exprimé en la même unité que les
valeurs du caractère.
ii) Détermination

Cas d'une série statistique quantitative à valeurs isolées:

C’ est la valeur du caractère qui lui correspond le plus grand effectif: c'est la valeur la plus fréquente de
la série.
Cas d'une série statistique quantitative continue:

1. si toutes les classes ont la même amplitude.

c’est la classe du caractère qui lui correspond la plus grande fréquence (ou le plus grand effectif) :

2. si les classes n’ont pas la même amplitude.

c’est la classe k du caractère pour laquelle la fréquence (ou l'effectif ) par unité d'amplitude

(la densité dk = nk ) est la plus élevée.
ak

Cas d'une série statistique qualitative

C’ est la modalité du caractère qui lui correspond le plus grand effectif: c'est la modalité la plus fréquente
de la série

Remarques: une série statistique peut être multimodale.

Application 5
Déterminer le(s) mode(s) de chacune de deux séries suivantes
1°) Les résultats de 50 lancers d’un dé dont les f aces sont numérotées: 1, 2, 3, 4, 5 et 6 sont consignés
dans le tableau ci – dessous:

Face obtenue 1 2 3 4 5 6
Effectif 6 11 11 8 5 9

2°) Une enquête portant sur l’ancienneté des salari és d’une entreprise a conduit aux résultats ci -dessous
221

Ancienneté [0,10[ [10,15[ [15,20[ [20,30[ [30,40[

Effectif 16 16 25 8 5

b) La moyenne
i) Rôle

• Elle permet d’avoir une idée sur le centre de la série. Elle est notée: x .
• Elle est exprimée en la même unité que les valeurs du caractère.

ii) Détermination

Cas d'une série statistique quantitative à p valeurs isolées:
p
x= 1 = ∑ fk xk
k =1
( )N
n1x1 + n2x2 + n3x3 +.....+ npxp

Cas d'une série statistique quantitative continue:

x= 1 p
= ∑ fkck
( )N
n1c1 + n2c2 + n3c3 +.....+ npcp k =1

Cas d'une série statistique qualitative
On ne peut pas en parler: ça n’a pas de sens

iii) Propriétés
Effet d’une application affine:

Etant donnés deux réels a et b et une série statistique de taille N, de moyenne X et ayant pour valeurs:

( ) ( )x1 ,x2 , x3 ,.....,xp +b
alors la série y1 ,y2 , y3 ,.....,yp telle que pour tout indice i on a: yi = ax
i
aura pour moyenne: y = ax + b

( )Si une série statistique de taille N et ayant pour valeurs: x1 ,x2 , x3 ,.....,xp est obtenue en

réunissant plusieurs séries d’effectifs respectifs: n ,n 2 , n3 , .....,n p et de moyennes
1
respectives y1 ,y 2 , y 3 ,.....,y p alors sa moyenne est:

k
∑
i=1 ni yi

x = k

∑ ni
i=1

Remarque: La moyenne est l’un des paramètres les plus utilisés. Elle résume convenablement la série

mais elle présente l’inconvénient d’être sensible aux valeurs extrêmes ou aberrantes: pour remédier à cet

inconvénient, on calcule la moyenne de la série obtenue par suppression des valeurs extrêmes de la série

initiale: c’est la moyenne élaguée

Application 6

Les recettes d’un grossiste selon ses 75 clients au cours du mois de Janvier sont données par la

distribution suivante:

Recette en D [215,235[ [235,255[ [255,275[ [275,295[ [295,315[ [315,235[ [335,355[ [355,375[

Effectif 4 6 13 22 15 6 5 4

1°) Déterminer le mode de cette série

222

2°) Déterminer la moyenne R de cette série. Interpréter le résultat
3°) Ce grossiste décide de solder ses articles et a insi un client qui a à payer une facture de montant M
n’en paiera que M’ = 7 .M + 20 . Quelle sera la moyenne R ' de la nouvelle série?

8
4°) Le tableau ci – dessous résume durant un semest re la moyenne des recettes et l’effectif de ses clients
au cours de chaque mois.

Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin
290D.600 270D.000 280D.800 295D.000 310D.000 300D.400
Moyenne Ri
0.15 0.2 0.25 0.23 0.17 0.1
Fréquence fi

Quelle est alors la moyenne RS de cette série et quelle est sa signification ?

Application 7
L’histogramme ci – contre
représente la répartition de vingt
élèves d’une 4 Math d’un lycée
pilote selon leurs moyennes en
mathématiques au cours du 2ème
trimestre.
1°) Déterminer l’effectif de chaque
intervalle
2°) Calculer la moyenne de cette
classe en mathématiques
3°) Recalculer cette moyenne en
remplaçant:
l’intervalle [12,14[ par [11,14[
et l’intervalle [18,20[ par [18,19[
Noter la sensibilité de la moyenne
aux valeurs extrêmes.

c) La médiane
i) Rôle
Elle permet d’avoir une idée sur la valeur du caractère qui partage la population en deux échantillons de
même taille (ou presque). Elle est notée: Me (la série étant supposée rangée dans un ordre croissant)
Elle est exprimée en la même unité que les valeurs du caractère

ii) Détermination
Cas d'une série statistique quantitative à k valeurs isolées:
• Si l'effectif total N est impair (N = 2p + 1) alors Me est la valeur du caractère prise par le

( p+1) - ème individu: Me = xp+1

• Si l'effectif total N est pair (N = 2p) alors Me est la moyenne des valeurs du caractère prises
par le p - ième et le( p+1) - ième individus: Me = xp + xp+1

2

223

Application 8 Classe A
Les deux tableaux ci – dessous résument les résultats de fin d’année
de deux classes d’un institut d’enseignement supérieur où un étudiant Moyenne 11 12 14 16
ne passera d’une classe à la classe supérieure que si sa moyenne est Effectif 3 5 2 1
supérieure ou égale à la médiane de la série des moyennes de la classe.

Déterminer pour chacune de ces deux classes, la valeur minimale de Classe B
la moyenne d’un étudiant pour passer à la classe supérieure Moyenne 7 8 9 12 14

Effectif 1 2 3 5 1

Cas d'une série statistique quantitative continue:

• on détermine la classe à laquelle appartient Me:
c'est la classe au bout de laquelle l'effectif cumulé

croissant atteint ou dépasse la moitié de l'effectif total (ou la
fréquence cumulée croissante atteint ou dépasse 50 %)

• on suppose qu'à l'intérieur de cette classe, la
répartition est uniforme et par suite on déterminera Me par
interpolation linéaire. 0n a alors Me − bi = 0.5 − FCi

bs − bi FCs − FCi
bi : borne inférieure de la classe; bs : borne supérieure de
la classe;

FCi : fréquence cumulée associée à la borne inférieure de la classe

FCs: fréquence cumulée associée à la borne supérieure de la classe

Cas d'une série statistique qualitative

On ne peut pas en parler: ça n’a pas de sens

Application 9

L’histogramme ci – contre représente la répartition de le 30
élèves d’une classe suivant le temps (en heure) qu’ils
réservent à la révision l’une des matières.

1°) Résumer ce graphique par un tableau
2°) Compléter ce tableau par la ligne des fréquence s

cumulées croissantes sous forme de rationnels
3°) a) Déterminer alors la classe qui contient la m édiane

b) Déterminer la médiane par le calcul
4°) a) Calculer l’aire totale des rectangles de l’h istogramme
b) Déterminer l’équation de la droite D parallèle à l’axe des

ordonnées qui partage cet histogramme en deux
histogrammes de même aire

224

Méthodes graphiques

Me est l’abscisse du point d’intersection de:
Courbe des E.C.C et celle des E.C.D
Courbe des F.C.C et celle des F.C.D
Courbe des F.C.C et la droite d’équation y = 0.5
Courbe des F.C.D et la droite d’équation y = 0.5

Application 10

Une série statistique est résumée par le tableau ci – dessous:

Classe [0,100[ [100,250[ [250,500[ [500,1000[ [1000,1500[

Effectif 65 83 22 18 12

1°) Tracer selon un même repère le polygone des fré quences cumulées croissantes et celui des
fréquences cumulées décroissantes
2°) En déduire la médiane de cette série.
3°) Retrouver la médiane de cette série par le calc ul

iii) Propriétés
Effet d’une application affine:

Etant donnés deux réels a et b et une série statistique de taille n, de médiane Me et ayant pour valeurs:

( ) ( )x1 ,x2 , x3 ,.....,xp alors la série y1 ,y2 , y3 ,.....,yp telle que pour tout indice i on a: yi = axi + b

aura pour médiane: Me’ = a.Me + b.

Elle est exprimée en la même unité que le caractère
Elle n’est pas affectée par les valeurs extrêmes (cas des classes indéterminées)
Elle est plus fiable que la moyenne dans les cas où:

• le nombre d’observations est réduit
• la répartition est dissymétrique

iv) Interprétation de l’écart entre moyenne et médiane
Si dans une série:
• la moyenne et la médiane sont très proches, on dira que cette série est "centrée".
• la moyenne est supérieure à la médiane, on dira que cette série est plus "étalée à droite".

Application 11
On a ajouté (-30) à la valeur prise par chaque individu de la population de la série présentée dans
l’application 10: on définit ainsi une nouvelle série.
Déterminer la médiane de cette nouvelle série.

d) Les quartiles
i) Rôle
• Les quartiles sont les trois réels Q1, Q2 et Q3 qui partagent la population - d’après ses valeurs classées
dans l’ordre croissant (ou décroissant) - en quatre séries de même effectif (ou presque).
Remarque: Q2 = Me.
• L'intervalle interquartile est l'intervalle [Q1, Q3]. Son amplitude est appelée l'écart interquartile.

ii) Détermination

Cas d'une série statistique quantitative à k valeurs isolées d’effectif N:
225

Une série statistique
quantitative à valeurs

isolées
d’effectif N = 4.p + r

(r: reste de la division de N par 4)

Si r = 0 Si r ≠ 0
Q1= xp+1 et Q3 =x3p+1
• Q1 peut être tout réel de

[xp , xp+1]

• Q3 peut être tout réel de
[x3p , x3p+1]

Cas d'une série statistique quantitative continue d’effectif N = 4.p + r (r: reste de la division de N par
4)

• on détermine la classe à laquelle appartient Q1: c'est la classe au bout de laquelle l'effectif cumulé

croissant atteint ou dépasse le quart de l'effectif total N (ou la fréquence cumulée croissante atteint ou
dépasse 25 %)

• on suppose qu'à l'intérieur de cette classe, la répartition est
uniforme et par suite on déterminera Q1 par interpolation
linéaire.

0n a alors Q1 − bi = 0.25 − FCi
bs − bi FCs − FCi

bi : borne inférieure de la classe; bs : borne supérieure de la
classe;

FCi : fréquence cumulée associée à la borne inférieure de la
classe

FCs: fréquence cumulée associée à la borne supérieure de la classe

Méthodes graphiques D’après la signification de l’aire de
l’histogramme, Q1, Me et Q3 sont
Q1 est l’abscisse du point d’intersection de: les trois valeurs qui coupent
Courbe des F.C.C et la droite d’équation y = 0.25 l’histogramme en quatre parties
Courbe des F.C.D et la droite d’équation y = 0.25 de même aire

226

Remarque: on adoptera la même démarche pour déterminer Q3
et en tenant compte des changements nécessaires

Cas d'une série statistique qualitative

On ne peut pas en parler: ça n’a pas de sens

iii) Propriétés de Q1 et Q3
Ils ont les mêmes propriétés que la médiane

Remarque: pour l’effet d’une application affine, il faut tenir compte du signe de a.

Ils ne sont pas significatifs lorsque la taille de la population est faible

Ils ne sont pas pertinents lorsque toutes les valeurs ont le même effectif (ou presque)

iv) Interprétation de certaines valeurs

L’écart inter - quartile permet de caractériser la nature de la série:

Si Q3 − Me = Me − Q1 alors la série est relativement symétrique
Si Q3 − Me > Me − Q1 alors la série est dissymétrique avec un étalement à droite
Si Q3 − Me < Me − Q1 alors la série est dissymétrique avec un étalement à gauche

v) Diagramme en boîte (ou à moustaches)
Ce diagramme permet de visualiser
la valeur minimale de la série, son
1er quartile, sa médiane, son 3ème
quartile et sa valeur maximale
La largeur de la boîte qui
représente 50% (ou presque) de
l’effectif total est arbitraire.
De cette boîte s’étirent deux moustaches représentées par deux segments jusqu’aux valeurs minimale et
maximale

Application 12

Le tableau ci – dessous résume la répartition des accidents de la route dans un pays durant une année

selon les heures de la journée.

Période de la journée [0,3[ [3,6[ [6,9[ [9,12[ [12,15[ [15,18[ [18,21[ [21,24[

Effectif 4550 3230 8220 9050 12040 16040 16820 10050

1°) Déterminer le 1 er quartile de cette série
2°) a) Représenter le polygone des fréquences cumul ées croissantes

b) En déduire Q3 et Me.

c) Interpréter les valeurs obtenues pour Q1, Me et Q3.
3°) Caractériser cette série d’après les valeurs tr ouvées pour Q1, Me et Q3.

4°) Illustrez vos résultats par un diagramme en boî te

2°) Les paramètres de dispersion

Les paramètres de position sont insuffisants pour caractériser une série. Deux séries de même moyenne
ne se répartissent pas nécessairement de la même manière autour de cette moyenne: l’introduction de
nouveaux paramètres qui mesurent la dispersion des valeurs s’impose
a) L’étendue (ou intervalle de variation)
Détermination

• L'étendue d'une série statistique à valeurs isolées est la différence entre la valeur maximale et la
valeur minimale du caractère

227

• L'étendue d'une série statistique continue est la différence entre la borne supérieure de la dernière
classe (contenant les plus fortes valeurs du caractère) et la borne inférieure de la première classe
(contenant les plus faibles valeurs du caractère)

b) L’écart interquartile
Détermination
C’est la différence entre le 3ème quartile et le 1er quartile de la série étudiée : Q3 - Q1

c) La variance

Détermination

La variance qu'on note: V est la moyenne des carrés des écarts des valeurs du caractère par

rapport à leur moyenne:  
  −
1 k 2 k 2 1 ∑=k 1nixi2 x2
N ∑= 1ni = i ∑=1fi N
( ) ( )V = =
xi − x xi − x
i i

Dans le cas d’un caractère continu, on remplacera dans les formules ci – dessus les xi par les ci:

centres de différentes classes

Propriétés
La variance est toujours exprimée par un nombre positif
La variance mesure la dispersion autour de la moyenne

Effet d’une application affine:

Etant donnés deux réels a et b et une série statistique de taille n, de variance V et ayant pour valeurs:

( ) ( )x1 ,x2 , x3 ,.....,xp alors la série y1 ,y2 , y3 ,.....,yp telle que pour tout indice i on a: yi = axi + b

aura pour variance : V’ = a².V.
Elle n’est pas exprimée en la même unité que le caractère: si le caractère est le salaire en dinars
alors sa variance sera exprimée en D² !: c’est pourquoi on préfère recourir à sa racine carrée qui est
exprimée en la même unité: c’est l’écart type

d) L’écart - type

Détermination

L'écart - type qu'on note: σ est la racine carrée de la variance.

σ= V=  1 ∑=k 1nix2i  − x2
 N 
i

Dans le cas d’un caractère continu, on remplacera dans la formules ci – dessus les par les :

centres de différentes classes

Propriétés
Il tient compte de toutes les observations
Il exprime fidèlement la dispersion d’une série car il est peu sensible aux fluctuations
d’échantillonnage
Effet d’une application affine:

Etant donnés deux réels a et b et une série statistique de taille n, d’écart – type σ et ayant pour valeurs:

( ) ( )x1 ,x2 , x3 ,.....,xp alors la série y1 ,y2 , y3 ,.....,yp telle que pour tout indice i on a: yi = axi + b

aura pour d’écart – type : σ’ = a σ

228

Interprétation
L'écart – type permet de comparer la dispersion de deux séries de même ordre de grandeur

Attention: si deux séries statistiques n’ont pas le même ordre de grandeur alors celle qui prend
les plus grandes valeurs aura le plus grand écart – type mais cela ne signifie pas que ses valeurs
sont plus dispersées (Pour faire des comparaisons il faut définir un autre paramètre qui est hors
programme)

Application 13

L’aîné et le cadet d’une famille sont deux élèves du lycée où le barème du Benjamin 3 5 7
contrôle continu contient vingt points. Le benjamin est encore à l’école primaire où Cadet 5 10 15
on est noté suivant un barème de dix points. Aîné 8 10 12
Le tableau ci-contre résume les résultats de trois premiers devoirs de chacun de

ces enfants.

On désignera par X, Y et Z les séries des notes respectives du benjamin, cadet et l’aîné.

1°) Calculer la moyenne de chacune de ces trois sér ies

2°) Classer – si c’est possible - ces trois frères par ordre de grandeur croissant d’irrégularité du travail

IV) Séries chronologiques

L’ensemble des observations ordonnées en fonction du temps d’un caractère quantitatif constitue

une série chronologique. La variable étudiée est notée habituellement Y et prend les valeurs: y1, y2 •

• • yN.

Le temps est noté habituellement t et prend les valeurs: t1 < t2 < t3 < • • • <tN.

Les données peuvent être présentées dans un tableau 2 lignes - n colonnes ou n lignes - 2

colonnes.

La série obtenue peut être représentée par les points de coordonnées (tk , yk) que nous relierons par

des segments

Le coefficient multiplicateur qui permet de passer d’un temps (une date) ti à un temps tj est le réel C

défini par C = yj où yi et yj sont les valeurs prises par la variable Y aux temps respectifs ti et tj.
yi

L'indice I d'une variable statistique est le rapport entre la valeur de cette variable au cours d'une

période ti et sa valeur au cours d'une période tk prise comme base.
Il mesure la variation relative de la valeur entre la période de base et la période ti.
Souvent, on multiplie le rapport par 100 et on dit : indice base 100 à telle période. On a: I = C x 100
Les indices permettent de calculer et de comparer facilement les évolutions de plusieurs variables
entre deux périodes données.

Application 14
Le tableau ci-dessous décrit l’évolution du prix d’un litre de carburant au cours de trois années

Date Mars 2007 Mars 2008 Mars 2009

Prix (en Mi) 1250 1300

Indice 100 98.4

1°) a) Vérifier que l’indice du prix d’un litre de carburant au mois de Mars 2008 est 104.
2°) Pour chacune des propositions ci-dessous, indiq uer si elle est vraie ou fausse en écrivant ‘’oui’’ ou
‘’non’’ dans la case correspondante du le tableau ci-dessous :

229

Proposition Vraie Fausse
Le prix d’un litre de carburant a augmenté de 98.4 Mi au mois de Mars 2009
Le prix d’un litre de carburant a augmenté de 1.6% au mois de Mars 2009

Le prix d’un litre de carburant a diminué de 1.6% au mois de Mars 2009
Le prix d’un litre de carburant a diminué de 1.6 Mi au mois de Mars 2009
Le prix d’un litre de carburant a diminué de 5.6% (5.6 = 4 + 1.6) au mois de Mars 2009

par rapport à ce qu’il était en Mars 2008

3°) Déterminer le prix d’un litre de carburant au m ois de Mars 2009
4°) a) Compléter le tableau ci-dessous en tenant co mpte de données et résultats précédents.

Date Mars 2007 Mars 2008 Mars 2009

Indice 100

b) En déduire une justification de votre réponse à la dernière proposition citée dans le tableau de la
question 2°).

230

Evaluation du degré d’assimilation du cours

Pour chacune des situations ci – dessous, relevez sur votre cahier les numéros des propositions qui vous semblent
vraies

Situation 1

Si on lance six fois un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 alors la moyenne de série statistique
obtenue sera 3.5
P1: oui
P2: non

Situation 2

Le mode d’une série statistique est affecté par les valeurs extrêmes
P1: oui
P2: non

Situation 3

Dans le cas d’une distribution symétrique, le mode, la médiane et la moyenne sont tels que :
P1: Mo = Me = X
P2: Me > X > Mo

Situation 4

Une série statistique – comme elle a plus qu’un mode – peut avoir plus qu’une médiane
P1: oui
P2: non

Situation 5

La moyenne est préférée à la médiane pour les séries qui sont approximativement symétriques
P2: oui
P3: non

Situation 6
Si la représentation graphique d’une série est étalée est plus étalée vers la droite alors on a Mo < X < Me

P1: non
P2: oui

Situation 7

L’écart interquartile regroupe 50% de la population
P1: non
P2: oui

Situation 8

Dans une série statistique, on a Si Q3 − Me < Me − Q1 alors la série est dissymétrique avec un
étalement à droite

P1: oui
P2: non

231

Situation 9
Soit une série statistique de valeurs (x1, x2, •, •, •, xn) de moyenne X , de 1er quartile Q1 et de 3ème quartile
Q3 . X ' , Q1' et Q3' désignent respectivement la moyenne, le 1er quartile et le 3ème quartile de la série

statistique de valeurs (-3.x1 + 2, -3.x2 + 2, •, •, •, -3.xn + 2).

P1: X ' = 3 . X + 2, Q3' = -3.Q3 + 2 et Q1' = 3.Q1 + 2
P2: X ' = - 3 . X + 2, Q3' = -3.Q1 + 2 et Q1' = - 3.Q3 + 2
Situation 10

On garde les données de la situation 9 et on note σ l’écart-type de la 1ère série et σ’ celui de la 2ème série.
P1:. σ’ = - 3 .σ + 2
P2: σ’ = 3 .σ + 2

232

Solutions des QCM

Situation 1

P1: Fausse
P2: vraie

Situation 2

P1: Fausse
P2: Vraie

Situation 3

P1: Vraie
P2: Fausse

Situation 4

P1: Fausse
P2: Vraie

Situation 5

P1: Vraie
P2: Fausse

Situation 6

P1: Vraie
P2: Fausse car on doit avoir Mo < Me < X

Situation 7

P1: Fausse

P2: Vraie

Situation 8

P1: Vraie
P2: Fausse

Situation 9

P1: Fausse ( toutes les valeurs sont fausses)
P2: Vraie

Situation 10

P1: Fausse
P2: Fausse

233

Solutions des applications

Application 1

N°de La population Un individu Le caractère Nature du Quelques
l’étude caractère modalités
élèves de ce un parmi ces Note obtenue en un quantitatif discret
1 professeur élèves devoir 12 ; 7.5 ; 19 …
Les ménages de quantitatif discret
2 un parmi ces Nombre de pièces du 2 ; 4 ; 3 ;…
la ville A ménages logement du ménage quantitatif continu
3 Les ménages du [300 , 350[ ;
un parmi ces Montant du revenu quantitatif continu [750 , 800[….
4 pays P ménages mensuel du ménage
Population Un citoyen [30,35 [ ;
5 tunisienne tunisien Age de chaque [15,20[….
les touristes qui ont visité citoyen Française,
la Tunisie en 2006 un parmi ces allemande, …
touristes La nationalité qualitatif

Application 2

Nombre de pièces:

valeurs du caractère 1 2 3 4 56 7 Total

(xi)

Nombre

d’appartements: 3 6
effectif correspondant 3 4 21 1 20

(ni)

Fréquence de cette

valeur: fi = ni 0.15 0.15 0.30 0.20 0.10 0.05 0.05 1
20

Commentaire: la collecte de données se fait de façon individuelle: cas des énoncés de l’exercice. On

commence par les présenter sous forme groupée en suivant les étapes suivantes:

• classer les valeurs prises par le caractère dans l’ordre croissant (ou décroissant)

la k-ième valeur sera désignée par xk
si les valeurs sont groupées par intervalles, le centre du k-ième intervalle sera désigné par ck

• associer à chacune de ces valeurs son effectif: le nombre d’individus qui leur correspond la valeur

considérée du caractère

l’effectif de la k-ième valeur (ou k-ième intervalle) sera notée: nk

∑p

N = nk est l’effectif total de la population (p étant le nombre de valeurs prises par le caractère)

k =1

• au cas de besoin: la fréquence de la k-ième valeur qu’on désigne par fk est fk = nk
N

Application 3
Reprenons le tableau de l’application 2:

234

xi 1 2 3 4 6 7 Total
3 3 6 5 2 1 20
ni
0.15 0.15 0.30 0.25 0.10 0.05 1
fi = ni
20

D’après ce tableau:
1°) a) on a: 3 est la 3 ème valeur prise par le caractère donc x3 = 3 et n3 = 6

( )le nombre d’appartements qui contiennent au plus trois pièces est: E3 ր = Ek ր ou Fk ր n1 + n2 + n3 =

3 + 3 + 6 = 12

cette somme est l’effectif cumulé croissant jusqu’à la valeur 3
b) on a: 4 est la 4ème valeur prise par le caractère donc x4 = 4 et n4 = 5
le nombre d’appartements qui contiennent au moins quatre pièces est: E4 ց = n4 + n5 + n6 = 5 + 2 + 1 = 8

cette somme est l’effectif cumulé décroissant jusqu’à la valeur 4

2°) a) on a: 2 est la 2 ème valeur prise par le caractère donc x2 = 2 et f2 = 0.15
la fréquence d’appartements qui contiennent au plus trois pièces est: F2 ր = f1 + f2 = 0.15 + 0.15 = 0.3

cette somme est la fréquence cumulée croissante jusqu’à la valeur 2
b) on a: 6 est la 5ème valeur prise par le caractère donc x5 = 6 et f5 = 0.10

la fréquence d’appartements qui contiennent au moins six pièces est: F5 ց = f5 + f6 = 0.10 + 0.05 = 0.15

cette somme est la fréquence cumulée décroissante jusqu’à la valeur x5 = 6
Dans la pratique, on peut procéder comme suit:

i) E.C.C et F.C.C

xi 1 2 3 4 6 7 Total

ni 33 6 5 21 20

+ + + ++

( )Ek ր ou Fk ր 36 12 17 19 20

ii) E.C.D et F.C.D

xi 1 2 3 4 6 7 Total
0.15 0.15 0.30 0.25 0.10 0.05 1
fi
+ + + + +
Fk ց (ou Ek ց )
1 0.85 0.70 0.40 0.15 0.05

Application 4

Date Ch. D'affaire Co. Multip Co Indice
tri 1 07 335 370/370 1.00 100 1°) Cette série est chronologique alors on la
tri 2 07
tri 3 07 représentera par un chronogramme séquentiel
tri 4 07
tri 1 08 370 370/335 1.10 110 et pour étudier son évolution on peut ajouter le
tri 2 08 205 205/335 0.61 61 diagramme des indices
tri 3 08 440 440/335 1.31 131
tri 4 08
370 370/370 1.00 100

470 470/370 1.27 127

240 240/370 0.65 65

460 46O/370 1.24 124

235

2°) cette série est qualitative, on la représentera par un diagramme circulaire

Modalité Effectf Angle αi Répartition de 200 ouvriers
Commerce 30 54°
Industrie 45 81° Industrie : 22.50 %

Artisanat 15 27°

Agriculture 90 162°
36°
Autres 20 Artisanat : 7.50 % 81° Commerce : 15.00 %
Autres : 10.00 %
Total 200 360° 27°

54°

36°

162°

3°) cette série est quantitative discrète, on la Agriculture : 45.00 %

représentera par un diagramme à bâtons 4°) cette série est quantitative continue, on la

représentera par un histogramme

N.B: les classes ont la même amplitude alors chacune

d’elles aura une hauteur égale à son effectif

236

5°) Cette série est quantitative continue, on la représentera par un histogramme

Ce qui est particulier dans ce cas est

que les classes n’ont pas la même

amplitude, on procédera alors à une

correction d’amplitude:

On choisit parmi les amplitudes

de différentes classes une qu’on

appellera amplitude de référence

et qu’ on notera a (en général:

c’est la plus faible)

• l’effectif corrigé de la k-ième

classe est n 'k = nk a où nk et
a'

a’ sont respectivement l’effectif

réel et l’amplitude de cette classe

On prendra 5 comme amplitude de référence

Tailles en cm Moins de 160 [160 , 165[ [165, 170[ [170 , 180[ [180 , 200[
Effectif (nk)
1 8 18 29 4

Effectif corrigé (n’k) 1 8 18 14.5 1

Points méthode :si les classes n’ont pas la même amplitude

1ère méthode
On choisit parmi les amplitudes de différentes classes une qu’on appellera amplitude de référence

et qu’on notera a (en général: c’est la plus faible)

On porte les amplitudes sur l’axe des abscisses et les effectifs corrigés sur l’axe des ordonnées

à chaque classe d’amplitude a, on associe un rectangle dont les dimensions sont a et l’effectif de

cette classe

à chaque classe d’amplitude a’ kdixfféaare' nte de a, on associe un rectangle dont les dimensions sont a’
et son effectif corrigé n 'k = n où nk est l’effectif réel de la classe

2ère méthode

Tailles en cm Moins de 160 [160 , 165[ [165, 170[ [170 , 180[ [180 , 200[

Effectif (nk) 1 8 18 29 4

Densité (dk) 1 = 0.2 8 = 1.6 18 = 3.6 29 = 2.9 4 = 0.2
5 5 5 10 20

237

• Pour chaque k-ième classe, on

calcule sa densité dk définie par

dk = nk où ak et nk sont
ak

respectivement l’amplitude et

l’effectif de la k-ième classe

On porte les amplitudes sur l’axe

des abscisses et les densités sur

l’axe des ordonnées

• à chaque classe d’amplitude a,
on associe un rectangle dont les

dimensions sont ak et dk
• L’aire du rectangle associé à

chaque classe est égal à l’effectif

de cette classe

Application 5
1°) La valeur 2 lui correspond le plus grand effect if donc c’est un mode, mais il n’est pas le seul à avoir cet
effectif : il y a aussi la valeur 3.
Il s’agit alors d’une série bimodale; ses modes sont 2 et 3.
2°) Il s’agit d’une série statistique quantitative continue dont les classes n’ont pas la même amplitude. On
déterminera alors la densité de chacune d’elles

Ancienneté [0,10[ [10,15[ [15,20[ [20,30[ [30,40[

Effectif (nk) 16 16 14 24 15

Densité (dk) 1.6 3.2 2.8 2.4 1.5

D’après ce tableau, la classe modale est la classe [10,15[ car c’est elle qui lui correspond la plus grande

densité

Commentaire: les deux premières classes ont le même effectif mais la densité de la deuxième est double

de celle de la première: on dit que les individus de la classe [10,15[ sont deux fois plus ‘’serrés’’ que ceux

de la classe [0,10[

Application 6

1°) Il s’agit d’un caractère quantitatif continu où toutes les classes ont la même amplitude; donc la classe

modale de cette série est celle qui lui correspond le plus grand effectif : c’est la classe [275,295[

∑2°) R = 1 8 (nkx ck ) = 1 (4x225 + 6x245 +13x265 + 22x285 +15x305 + 6x325 + 5x345 + 4x365)
On a N k =1
75

= 290D.600

Dire que R = 290D.600 revient à dire comme si chacun des 75 clients a payé une somme de 290D.600 à

grossiste au cours du mois de Janvier

238

3°) Cette remise correspond à l’application d’une application affine sur chaque valeur prise par l’un des

individus de la population donc la moyenne de la nouvelle série sera R ' = 7 x 290.600 + 20 = 274D.275
8

4°) Cette question revient à calculer la moyenne de s moyennes

∑6

RS = fi x Ri = 0.15 x 290.6 + 0.2 x 270 + 0.25 x 280.8 + 0.23 x 295 + 0.17 x 310 + 0.1 x 300.4

i=1

= 290D.894
De ce résultat, on déduit que c’est comme si durant ce semestre chaque client a payé une facture de

montant RS = 290D.894

Application 7

1°) D’après cet histogramme, on relève le tableau s uivant:

Moyenne [12,14[ [14,15[ [15,16[ [16,17[ [17,18[ [18,20[
1 6 1.5
Densité (dk) 1.5 1 6
1x1=1 6x1=6 1.5 x 2 = 3
Effectif (nk) 1.5 x 2 = 3 1 x 1= 1 6 x 1 = 6

2°) Soit M la moyenne de cette série alors

M= 1 x 6 n k .ck = 1 (3 x13 +1x14.5 + 6 x15.5 +1x16.5 + 6 x17.5 + 3 x19) = 16.25
N ∑ 1
k= 20

3°) Soit M ' la moyenne de la nouvelle série alors

M'= 1 6 1nk .ck = 1 (3 x12.5 +1x14.5 + 6 x15.5 +1x16.5 + 6 x17.5 + 3 x18.5) = 16.10
N x∑
20
k=

Application 8 Classe A
Classe A

L’effectif total de cette série est impair N = 11 = 2 x 5 + 1

alors sa médiane Me = x5+1 = x6
or d’après la ligne des effectifs cumulés croissants le 6ème individu a une moyenne égale à 12

donc pour qu’un étudiant de la classe A passe à la classe supérieure sa moyenne doit être supérieure ou
égale à 12

Classe B Classe B

L’effectif total de cette série est pair N = 12 = 2 x 6 alors sa alors sa Moyenne 7 8 9 12 14
médiane Me = x6 + x7 Effectif 1 2 3 5 1
Ek ր 1 3 6 11 12
2

or d’après la ligne des effectifs cumulés croissants le 6ème individu a une
moyenne égale à 9 le 7ème individu a une moyenne égale à 12

donc Me = 9 +12 = 10.5 donc pour qu’un étudiant de la classe B passe à Moyenne 11 12 14 16
2 Effectif 3 5 2 1

la classe supérieure sa moyenne doit être supérieure ou égale à 10.5

Ek ր 3 8 10 11

239

Application 9

1°)
Durée (en h) [0,1[ [1,2[ [2,3[ [3,4[ [4,5[

Effectif 68664

2°)

Durée (en h) [0,1[ [1,2[ [2,3[ [3,4[ [4,5[

Effectif 68664

68664
Fréquence

30 30 30 30 30

Fk ր 6 14 20 26 30
30 30 30 30 30

3°) a) La classe qui contient la médiane est la cla sse qui contient la fréquence cumulée 50 c’est alors la

classe [2,3[ (d’après 2°))

b) L’application de la formule Me − bi = 50 − FCi conduit à Me − 2 = 15 − 14
bs − bi FCs − FCi 3−2 30
20 − 30
14

30 30

alors Me − 2 = 1 signifie Me = 2h 10mn
6

Ce qui s’interprète comme suit: la moitié de cette classe consacre plus que 2h 9mn par semaine pour

réviser cette matière et l’autre moitié consacre moins que 2h 9mn par semaine pour réviser cette

même matière

4°) a) Soit A l’aire cherchée et Ri l’aire du i - ème rectangle de l’histogramme

c’est la somme des aires de 5 rectangles de l’histogramme

alors A = R1 +R2 +R3 +R4+R5 = +1 x 6 + 1 x 8 +1 x 6 +1 x 6 +1 x 4 = 30

b) on a A = 15 et R1 +R2 = 14 alors il nous faut en plus une partie d’aire 1 du 3ème rectangle
2

puisque la droite D cherchée parallèle à l’axe des ordonnées et le 3ème rectangle a pour longueur 6, on en
1 1 13

prendra alors un rectangle de même longueur et de largeur donc D a pour équation x = 2 + =
6 66

Conclusion: la droite D: d’équation x = 13 partage l’histogramme en deux histogrammes de même aire
6

Remarquons l’égalité Me = x qui n’est pas par hasard.

240

Application 10 le polygone des fréquences cumulées
décroissantes est une ligne brisée
1°) Commençons par rappeler que: joignant les points dont :
• l’abscisse est la borne inférieure de
le polygone des fréquences la classe
cumulées croissantes est une ligne • l’ordonnée est la fréquence cumulée
brisée joignant les points dont :
• l’abscisse est la borne supérieure décroissante de la classe
de la classe
• l’ordonnée est la fréquence
cumulée croissante de la classe

Classe [0,100 [ [100,250[ [250,500[ [500,800[ [800,1200[
Effectif (nk) 65 83 22 18 12
Fréquence (fk en %) 32.5 41.5 11 9 6
32.5 74 85 94 100
Fk ր (%)
Fk ց (%) 100 67.5 26 15 6

2°) D’après cette représentation,
l’abscisse du point d’intersection des
polygones des fréquences cumulées est
163 donc cette série a pour médiane
163

3°) La classe qui contient la médiane est la cla sse qui contient la fréquence cumulée 50 c’est alors la classe

[100,250[ (d’après le tableau dressé en 1°))

L’application de la formule Me − bi = 50 − FCi conduit à Me − 100 = 50 − 32.5
bs − bi FCs − FCi 250 − 100 74 − 32.5

alors Me = 100 +150 x 17.5 signifie Me = 100 + 63.25 = 163.25
41.5

Application 11

Désignons par :
• Me : la médiane de la série présentée dans l’application 10 alors Me = 163.25

241

• Men : la médiane de la nouvelle série
• xi : une valeur prise par l’un quelconque des individus de la population dans le cas de la série présentée
dans l’application 10
• yi : la valeur prise par cet individu dans le cas de la nouvelle série
alors yi = xi - 30 donc yi se déduit de xi par l’application affine: xi ֏ xi − 30

donc Men = Me - 30 = 163.25 – 30 = 133.25

Application 12 [0,3[ [3,6[ [6,9[ [9,12[ [12,15[ [15,18[ [18,21[ [21,24[
4550 3230 8220 9050 12040 16040 16820 10050
1°) 5.7 10.3 11.3 15.1 21.1 12.5
Période de la journée 4 20
Effectif 5.7 20 31.3 46.4 87.5 100
Fréquence 9.7 66.4
Fk ր

D’après ce tableau, la fréquence cumulée

croissante 25% se trouve dans la classe [9,12[.

En appliquant la règle d’interpolation linéaire:

Q1 − bi = 25 − FCi on aura Q1 − 9 = 25 − 20
bs − bi FCs − FCi 12 − 9 31.3 − 20

alors Q1 = 9 + 3 x 0.44 = 10.33 = 10h 20mn

2°) a) Voir la représentation ci – contre
b) D’après la représentation ci – contre et en tenant
compte de l’unité de graduation:

Me = 5.18 x 3 = 15.54 = 15h 32mn

Q3 = 6.41 x 3 = 19.23 = 19h 14mn
c) On a:

• Q1 = 10h 20mn donc un quart des accidents se

produit entre 0h et 10h 20mn

• Me = 15h 32mn donc la moitié des accidents se

produit entre 0h et 15h 40mn

• Q3 = 19h 14mn donc les trois quart des accidents se produit entre 0h et 19h 14mn

3°) On a: Q 3 – Me = 19h 14mn - 15h 32mn = 3h 42mn

et Me – Q1 =15h 32mn - 10h 20mn = 5h 12mn

donc Q3 – Me < Me – Q1 alors la série est dissymétrique avec un étalement à gauche

4°) Diagramme en boîte (ou à moustache) REPARTITION DES ACCIDENTS

Ce diagramme illustre la dissymétrie de la
série et son
étalement à gauche

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x

242 Q1 Med Q3

Application 13

1°) X = 3 + 5+ 7 = 5 Y = 5 +10 +15 = 10 Z = 8 +10 +12 = 10
3 3 3

2°) a)

xi 3 5 7 donc VX = 1 (9 + 25 + 49) − 25 = 8 donc σX = 8 ≃ 1.63
ni.xi 3 5 7 3
ni.xi² 9 25 49 33

b) donc VY = 1 (25 +100 + 225) −100 = 50 donc σY = 50 ≃ 4.08
3
yi 5 10 15 33
ni.yi 5 10 15
ni.yi² 25 100 225

c) donc VZ = 1 (64 +100 +144) −100 = 8 donc σZ = 8 ≃ 1.63
3
zi 8 10 12 33
ni.zi 8 10 12
ni.zi² 64 100 144

Comparaison
• La série X (notes sur 10) n’a pas le même ordre de grandeur que Y et Z (notes sur 20) par suite on
ne peut pas comparer sa dispersion à celles de Y et Z.
• Les deux séries Y et Z ont le même ordre de grandeur donc on peut comparer leurs dispersions

puisque σY = 50 ≃ 4.08 > σZ = 8 ≃ 1.63 les valeurs de y sont plus dispersées autour de la moyenne
3 3

que celles de Z

ainsi les résultats de l’aîné sont moins irréguliers que ceux du cadet ce qui revient à dire que l’aîné est
plus régulier que le cadet

Application 14 Vraie Fausse
1300 non oui
non oui
1°) Soit I 1 l’indice à chercher, donc I1 = 100 x 1250 = 104 oui non
2°) non oui

Proposition non oui
Le prix d’un litre de carburant a augmenté de 98.4 Mi au mois de Mars 2009
Le prix d’un litre de carburant a augmenté de 1.6% au mois de Mars 2009

Le prix d’un litre de carburant a diminué de 1.6% au mois de Mars 2009
Le prix d’un litre de carburant a diminué de 1.6 Mi au mois de Mars 2009
Le prix d’un litre de carburant a diminué de 5.6% (5.6 = 4 + 1.6) au mois de Mars 2009

par rapport à ce qu’il était en Mars 2008

3°) Soit P 2009 le prix d’un litre de carburant au mois de Mars 2009 alors 98.4 = 100 x P2009
1250

243

98.4 x1250
donc P2009 = 100 = 1230 Mi.

4°) a)
Date Mars 2007 Mars 2008 Mars 2009
Indice 96.15 100 94.62

b) L’indice du mois de Mars 2009 est 94.62 donc le prix d’un litre de carburant a diminué de 5.38
(100 - 94.62) au mois de Mars 2009 par rapport à ce qu’il était en Mars 2008 pour cela la proposition est
fausse.

244

Exercices intégratifs

Exercice 1

Le tableau ci – dessous résume la distribution de 2210 familles selon le nombre d’enfants

Nombre d’enfants xi 1 2 3 4 5 6 7 8 et plus

Effectif ni 175 240 375 400 520 312 108 80

1°) Représenter cette série par un diagramme circul aire
2°) Déterminer sa moyenne , son mode et sa médiane
3°) Interpréter l’écart entre la moyenne et la médi ane ?

Exercice 2

Dans une usine de conserves, on remplit les boîtes à l'aide d'un système automatisé. Pour en vérifier le
réglage, on prélève au hasard 80 boîtes et on pèse leur contenu (masse nette). Le tableau ci-dessous
indique la répartition, en classes d'amplitude 10 g.

Masse (en g) [480,490[ [490,500[ [500,510[ [510,520[ [520,530[ [530,540[ [540,550[

Nombre de boîtes 4 8 45 18 3 1 1

1) Déterminer la classe modale et la classe médiane. Calculer la médiane. Interprétez ce résultat par une
phrase.
2) Quel est le pourcentage de boîtes dont la masse nette est supérieure ou égale à 500 grammes ?

Exercice 3

Le tableau ci-dessous récapitule les moyennes trimestrielles au cours de la 1ère, 2ème et 3ème années

d’étude en un lycée pilote.

Période (ti) 1ère Année 2ème Année 3ème Année
Moyenne(yi) t1=tr1 t2= tr2 t3=tr3 t4=tr1 t5= tr2 t6=tr3 t7=tr1 t8= tr2 t9=tr3
16.36 17.05 16.58 16.57 16.90 17.18 16.36 16.95 17.19

1°) Déterminer le coefficient multiplicateur (à 10 -2 près) qui permet de passer de t1 (1ère Année, 1er
trimestre) à chacun des autres trimestres.

2°) En déduire l’indice I i de chaque moyenne trimestrielle à partir de la base 100 en t1
3°) a) Interpréter I 5 et I7
b) Compléter le tableau ci-dessous:

1ère Année 2ème Année 3ème Année 4ème Année

Période (ti) t1=tr1 t2= t3=tr3 t4=tr1 t5= t6=tr3 t7=tr1 t8= t9=tr3 t10=tr1 t11= t12=tr3

tr2 tr2 tr2 tr2

Moyenne(yi) 16.36 17.05 16.58 16.57 16.90 17.18 16.36 16.95 17.19

Indice Ii 100 107 106 109

4°) représenter la courbe d’évolution des indices d urant ses quatre années d’étude en un lycée .
5°) Comparer l’évolution de la moyenne de cet élève du 1er au 2ème trimestre durant les quatre années.

245

Exercice 4
I) La série suivante qu’on désignera par X donne le nombre de jours de neige par année, à Paris de 1900

à 1948:
1, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 16, 17 , 17, 17,
18, 18, 18, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 23, 26, 29, 29, 31, 32, 32, 34.

1°) Calculer (au dixième près) le nombre moyen X de jours de neige par année, à Paris, sur cette période.
2°) Déterminer la médiane et le 1 er et le 3ème quartile de cette série
II) Les nombres de jours de neige par an, à Paris ont également été relevés de 1949 à 1997. Le tableau ci-

dessous résume les caractéristiques de la nouvelle série statistique qu’on désignera par Y

Minimum 1er quartile Q1' Médiane M’e 3ème quartile Q3' Maximum Moyenne X '

17 12 18 36 13.3

1°) Donner l’écart interquartile de chacune de deux séries X et Y.
2°) Construire le diagramme en boîte de chacune de ces deux séries. Commenter ces deux diagrammes.
3°) On notera σX et σY les écarts-types respectifs des séries X et Y et on admettra que
σX = 7.82 et σY = 8.01. Comment interpréter le fait que σX < σY ?

Exercice 5

Les listes L1 et L2 ci-dessous donnent les notes des élèves d’une classe respectivement en math et en
physique.
L1 : 12, 4, 8, 10, 9, 10, 11, 15, 8, 8, 6, 9, 9, 13, 12, 9, 10, 14, 10, 7, 16, 13, 14, 12
L2 : 12, 4, 14, 10, 9, 10, 12, 7, 15, 10, 8, 14, 6, 4, 15, 1, 18, 10, 11, 7, 11, 20, 16, 14
On se propose de comparer de deux manières la dispersion des notes en math et en physique.
I) En utilisant les quartiles

1°) Calculer la médiane Me et les quartiles Q1 et Q3 en math.

2°) Calculer la médiane M’e et les quartiles Q' et Q' en physique
13

3°) représenter les diagrammes en boîte des notes e n math et en physique. Interpréter.
II) En utilisant les écarts-types

1°) Calculer les moyennes M des notes en math et M ' des notes en physique. Interpréter.

2°) Calculer l’écart-type σ des notes en math et l’écart-type σ’ des notes en physique. Interpréter
Remarque: Ces deux
séries sont comparables car
les notes en math et en
physique ont le même ordre
de grandeur.

Exercice 6

L'histogramme ci- contre est
une représentation
graphique de la répartition
de cent ménages d'un
village selon le montant de
leurs factures d'électricité
au cours du premier
trimestre de 2006.

246

1) Compléter le tableau ci – dessous:

Montant en dinars [10, 30[ [30 , 40 [ [40 , 60 [ [60 , 70 [ [70 , 90[

Effectif (ni)

Fréquence (fi)
Fréquences

Cumulées croissantes

2) Déterminer la classe modale ainsi que la moyenne x . Interpréter les résultats.

3) Déterminer le montant M en dinars tel que 75 % des ménages payent une facture inférieure à M.

4) Déterminer la fréquence des factures dont le montant appartient à [ x - σ , x + σ ] où σ est l'écart type de

cette série.

Exercice 7

Lors d’un contrôle dans une usine de fabrication, on a relevé les nombres d’allumettes contenues

respectivement dans vingt boîtes. On a recueilli les résultats suivants: 40, 42, 32, 38, 40, 48, 30, 38, 36,

40, 34, 40, 34, 40, 38, 40, 42, 44, 36, 42.

1°) Tracer le diagramme à barres de cette série qu’ on désignera par X.

2°) Calculer sa moyenne x , sa médiane Me, son 1er quartile Q1, son 3ème quartile Q3 et son écart-type σ.

3°) Ranger les observations en classe d’intervalle 4 allumettes (borne supérieure exclue). Calculer la

moyenne et l’écart-type de la série ainsi obtenue et qu’on désignera par Z.
( )4°) Soit telle que pour tout indice i on a: yi = xi - x
Y la série ayant pour valeurs: y ,y , y ,.....,y p σ
12 3

Calculer sa moyenne y et son écart-type σY .

247

Solutions des exercices intégratifs

Exercice 1 Distribution de 2210 familles selon le nombre d'enfants

1°) 3 : 16.97 %
2 : 10.86 %
Nombre Effectif Angle αi (en °)
d’enfants xi ni 4 : 18.10 %
175 x 360 = 28.50
1 175 2210 1 : 7.92 %

2 240 240 x 360 = 39.10 8 & PLUS : 3.62 %
2210 7 : 4.89 %
3 375 61.10
4 400 65.20 5 : 23.53 % 6 : 14.12 %
5 520 84.70
6 312 50.80
7 108 17.60
8 et plus 80 13

2°) Cette série a pour: Nombre Effectif Fréquence Fk ր
mode Mo = 5
On a (2210 = 2 x 1105 : c’est pair d’enfants xi ni fi (en %) 7.92 Ek ր
18.78
alors la médiane Me = x1105 + x1106 = 4 + 4 = 4 1 175 7.92 35.75 175
22 2 240 10.86 53.85 415
3 375 16.97 77.38 790
Les valeurs x1105 = 4 et x1106 = 4 sont déduites de 4 400 18.10 91.5 1190
96.39 1710
la colonne des Ek ր du tableau ci - contre 5 520 23.53 100 2022
6 312 14.12 2130
8 7 108 4.89 2210
moyenne M = ∑ fk x k 8 et plus 80 3.61
k =1
= 1 (175x7.92 + 240x10.86 + 375x16.96 +

100

400x18.10 + 520x 23.53 + 312x14.12 + 108x4.89 + 80x3.61)

= 4.18

3°) la moyenne et la médiane sont très proches (4.18 et 4) alors cette série est "centrée".

Exercice 2

1°) • Toutes les classes ont la même amplitude donc la classe modale est celle qui a le plus grand effectif :
c’est la classe [500,510[.
• La classe médiane est la classe qui contient l’effectif cumulé croissant 40 ( N = 80 )

22

248

Masse (en g) [480,490[ [490,500[ [500,510[ [510,520[ [520,530[ [530,540[ [540,550[

Nombre de boîtes 4 8 45 18 3 1 1

Effectif cumulé 4 12 57 75 78 79 80
croissant

Fréquence cumulée 80 =100 76 = 95 68 = 85 23 =28.75 5 =6.25 2 =2.5 1 =1.25
décroissante (%) 80 80 80 80 80 80 80

donc la classe médiane est la classe [500,510[

• Calcul de la médiane Me
On suppose que dans la classe [500,510[, la distribution est linéaire d’où : Me − 500 = 510 − 500

40 −12 57 −12
donc Me = 506.22 g: ça signifie que la moitié des boîtes prélevées pèse 506.22 g ou plus et l’autre moitié

pèse 506.22 g ou moins.
2°) Le pourcentage de boîtes dont la masse nette es t supérieure ou égale à 500 grammes est la fréquence
cumulée décroissante jusqu’à la valeur 500: c’est 85%.

Exercice 3

1°) Pour tout i on a C i = yi
y6

Période (ti) 1ère Année 2ème Année 3ème Année
t1=tr1 t2= tr2 t3=tr3 t4=tr1 t5= tr2 t6=tr3 t7=tr1 t8= tr2 t9=tr3
16.57 16.90 17.18 16.06 16.95 17.19
Moyenne(yi) 16.36 17.05 16.58 1.01 1.03 1.05 0.98 1.04 1.05

Coef. multi Ci 1 1.04 1.01

2°) Pour tout i on a I i = 100 x Ci

Période (ti) 1ère Année 2ème Année 3ème Année
t1=tr1 t2= tr2 t3=tr3 t4=tr1 t5= tr2 t6=tr3 t7=tr1 t8= tr2 t9=tr3
16.57 16.90 17.18 16.36 16.95 17.19
Moyenne(yi) 16.36 17.05 16.58 101 103 105
98 104 105
Indice Ii 100 104 101

3°) a) On a I 5 = 103, on en déduit que la moyenne trimestrielle au cours du 2ème trimestre de la 2ème Année
(t5) représente 103% de la moyenne trimestrielle au cours du 1er trimestre de la 1ère Année (t1): c'est-à-dire
qu’au 2ème trimestre de la 2ème Année, il ya eu une amélioration de 3% par rapport au 1er trimestre de la 1ère

Année.
• I7 = 98, on en déduit que la moyenne trimestrielle au cours du 1er trimestre de la 3ème Année (t7)
représente 98% de la moyenne trimestrielle au cours du 1er trimestre de la 1ère Année (t1): c'est-à-dire
qu’au 1er trimestre de la 3ème Année, il ya eu une régression de 1% par rapport au 1er trimestre de la 1ère

Année.

b) • t10 = t1 x107 = 16.36 x107 =17.51 • t11= t1 x106 = 16.36 x106 = 17.34
100 100 100 100

• t12= t1 x109 = 16.36 x109 = 17.83
100 100

1ère Année 2ème Année 3ème Année 4ème Année

Période (ti) t1=tr1 t2= t3=tr3 t4=tr1 t5= t6=tr3 t7=tr1 t8= t9=tr3 t10=tr1 t11= t12=tr3

Moyenne(yi) tr2 tr2 tr2 tr2
Indice Ii
16.36 17.05 16.58 16.57 16.90 17.18 16.36 16.95 17.19 17.51 17.34 17.83

100 104 101 101 103 105 98 104 105 107 106 109

249