L'incontournable en algèbre

Calcul dans IR 1

Résumé de cours

1°) Ensembles des nombres

 LES ENTIERS NATURELS

 L’ensemble des entiers naturels : 0,1,2,3,...,291,... est noté IN.

 IN* = IN\{0} . 
 LES ENTIERS RELATIFS
 L’ensemble des entiers relatifs :

...,2000,... 2,1,0,1,2,3,...,2010,... est noté

 LES NOMBRES DECIMAUX

 Un nombre décimal est un nombre qui possède une écriture

fractionnaire de la forme a , où a est un entier et n un entier.
10n

 Un nombre décimal admet un nombre fini de chiffres après la

virgule
 L’ensemble des nombres décimaux est noté ID.   ID

 L’écriture scientifique d’un nombre décimal est de la forme
a.10n où a est un nombre décimal qui a un seul chiffre

différent de 0, avant la virgule et n un entier relatif.
Exemple : 3,1027 x10-2 est l’écriture scientifique de 0.031027.

-1,486 x103 est l’écriture scientifique de – 1486

 LES NOMBRES RATIONNELS
 Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la

forme a , où a et b sont des entiers, b étant non nul.

b

 Tout décimal est un rationnel.
 L’ensemble des entiers rationnels est noté .

Exemple : 9,12 = 228  , - 7 = 7  , 2  , 2  0.666.... ID
25 1 3 3

 LES NOMBRES REELS
 L’ensemble des nombres réels, noté IR, est formé par les

nombres rationnels et les nombres irrationnels.

   ID  

Calcul dans IR 2

 Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n’appartient pas
à tel que π et 2

Application 1
Compléter par  ou .

ID
39
-7,3

7

1

3,14
2,66…


2°) Pourcentages – Proportionnalités

Situation Exemple
Prendre 2% de 56 dinars c’est
Prendre t% de x c’est t.x 0.02x56=1,12

100 Un livre coûte 6D400 Si le prix
de ce livre augmente de 5%
Augmenter x de t% c’est alors le nouveau prix devient
6D720
1 t  x Un livre coûte 6D400 Si le prix
100  de ce livre diminue de 15%
alors le nouveau prix devient
Diminuer x de t% c’est 5D440

1 t  x
100 

 Pourcentage d’évolution : valeur finale - valeur initiale x100
valeur initiale

Calcul dans IR 3

Attention :
Une baisse de x% n’est Si un livre coûte 7D subit une baisse

pas compensée par une de 10% puis une hausse de 10% alors

hausse de x% son prix final est 6d930 et non 7D

 Soit a, b, c et d quatre réels non nuls, on dit que (a, b) et (c, d)

sont proportionnels s’il existe un réel k tel que : a  b  k
cd

k est appelé le rapport de proportionnalité.

Application 2

Dans chacun des cas suivants, préciser la bonne réponse :

1) Pour augmenter un nombre de 12%, on le multiplie par :

a) 0,88 b) 1,12 c) 0 ,12

2) Pour diminuer un nombre de 25%, on le multiplie par :

a) 0,25 b) 1,25 c) 0,75

3) Multiplier un nombre par 1,04 revient à l’augmenter de :

a) 10,4% b) 4% c) 40%

4) Multiplier un nombre par 0,92 revient à le diminuer de :

a) 92% b) 80% c) 8%

3°) Produits remarquables

Pour tous réels a et b on a :

 a  b2  a²  2ab  b² , a  b2  a²  2ab  b² ,
a  ba  b  a²  b²

 a  b3  a3  3a²b  3ab²  b3 , a  b3  a3  3a²b  3ab²  b3
 a3  b3  a  ba²  ab  b² , a3  b3  a  ba²  ab  b²

Application 3

Répondre par vrai ou faux.

   a) 3  2 5  11  1 2  1 2
32 5 b)  x  x    x  x   4 où x est un

réel non nul c) x  y2  4xy  (x  y)2

d) 2x  1 4x²  2x  1  8x3  1 yx

Utilisation de la calculatrice : Touche

37 = 2-5 =  2 4 =
 3 

Calcul dans IR 4

4°) Les fractions

 a, b et c 3 réels tels que b ≠ 0.

 a  a  a ,  a  c  a  c ,  a  c  a  c
b b b b b bb

 a, b, c et d 4 réels tels que b.d ≠ 0.

a  c  a  c , a  c  ad  bc , a x c  ac , a . c  ac
b b b b d bd b b b² b d bd

1

 a et b deux réels non nuls, 1  b, a  1
a a b ab

b

a

 a, bc et d des réels non nuls, b  ad
c bc

d

 a, b, c et d 4 réels tels que b.d ≠ 0, a  c  a.d  bc
bd

Application 4

Répondre par vrai ou faux.

a) 1  1 b) 2 c) 1  3  4 d) 2 4
24 2  3   4 5

6 32 5 1

10

e) 3  1  2  1  2
22 2

Application 5

Ecrire plus simplement : A   2  5  1 1 2 25

,B 5 ,C 3 2
3 6 12 3 2  1
3

5°) Les puissances

 a un réel non nul et n un entier , a0 = 1, a−n = 1
an.

 n et m deux entiers et a un réel non nul,

am × an = am + n, am = am – n , (am)n = am × n
an

Calcul dans IR 5

 a et b deux réels non nuls et n un entier, (ab)n = an bn ,

 a n = an Il n'y a pas de règle pour am + an
 b  bn

Application 6

Répondre par vrai ou faux.

a) 65  36x63 b)  3 4  9 c) 204 x(0.1)5  1, 6 d) 81502  3
 2  16
32009

Application 7

 Simplifier : A  215 x422 , B  0,0005 x2.102 , C  256.106 x49.105
72 x18 2 0.001 2,43.104 x16.107

6°) Les radicaux

 0  0 , 1  1, pour tout réel a, a²  a

 Pour tous réels positifs a et b on a :

2

a a,
    ab  a. b ,
a  b a  b ab

 Pour tous réels strictement positifs a et b on a : a  a ,

bb

1  a, Il n'y a pas de règle pour
aa

 Pour tous réels a et b tels que a.b  0, ab  a . b

a a
bb

Application 8 2 c) 1  2  3
Répondre par vrai ou faux. 2 3
2  18
x²  1  x  1 b) 8 

Application 9

Calcul dans IR 6

3

    Développer puis simplifier : A  1 2 , B  2  3 1 2 6

Factoriser : C  4x²  3 , D  x  x  2 , xIR+

7°) Valeurs absolues

 x  x si x ∈ IR+ et x  x si x ∈ IR-

 x  x , x.y  x . y , x  
 Si x ∈ IR et y ∈ IR* alors : x  x

yy

 Soit ∆ une droite munie d’un repère (O, I) soit A et B deux
points de ∆ d’abscisses respectives : xA et xB on a :
AB  xB  xA

 x  a (a ∈ IR+) équivaut à -a ≤ x ≤ a
 x  a (a ∈ IR+) équivaut à x ≤ - a ou x ≥ a

Application 10 c) x²  3  x²  3
Répondre par vrai ou faux.

8  3  8  3 b) 108  108

8°) Comparaison de nombres

 Comparer deux nombres, c’est dire s’ils sont égaux ou sinon

lequel est le plus grand.

 Pour comparer deux réels a et b on peut étudier le signe
de a – b.

 Pour comparer deux réels positifs on peut comparer leurs

carrés.

 Soient a et b deux réels non nuls et de même signe.

a < b équivaut à 1  1

ab

 Pour tous réels a et b on a : (a ≤ b) équivaut à (-b ≥ -a)
et (a≤ b) équivaut à (a+c ≤ b+c) avec (c ∈ IR)

 Si ( a ≤ b et c > 0) alors (ac ≤ bc)
Si ( a ≤ b et c < 0) alors (ac ≥ bc)

 Si a > 1 alors a <a< a² < a3. Si 0 <a<1 alors a > a > a² > a3.
Application 11

Calcul dans IR 7

a) Comparer 3 et 1 3 ; 1 et 2 1 ;  + 1 et 2  7 .
4 6 1 2

b) Soit x un réel non nul. Comparer  x  1. x 1 et 1
x² 

9°) Les Encadrements

 Pour tous réels a, b, c, d, x et y on a :

Si a  x  b
c  y  d alors a + c < x + y < b + d

 Pour tous réels positifs a, b, c, d, x et y on a :

Si a  x  b alors a.c  x.y  b.d
c  y  d

 a, b et x trois réels.
 Si 0 ≤ a ≤ x ≤ b alors a² ≤ x² ≤ b²

 Si a ≤ x ≤ b ≤ 0 alors b² ≤ x² ≤ a²
 Si a ≤ x ≤ b et ab < 0 alors 0 ≤ x² ≤ Sup(a² , b²)

Application 12

On cherche à encadrer x × y sachant que : 2 x 3

1y 4

Compléter le tableau suivant

x = -2 et y = 4 x = 3 et y = 1 x = -1 et y = 0 x = 3 et y = 4

x×y= x×y= x×y= x×y=

Peut-on multiplier membre à membre les 2 encadrements pour

encadrer x × y ? Dans quel cas peut-on le faire ?

Application 13

On cherche à encadrer x − y sachant que : 2 x 3

1y 4

Compléter le tableau suivant

x = -2 et y = 1 x = 3 et y = 4 x = -2 et y = 4 x = 3 et y = 1

x−y= x−y= x−y= x−y=

a) Peut-on soustraire membre à membre les 2 encadrements
pour encadrer x − y ?

b) Comment peut-on encadrer x – y ?

a  x  b  a  d  x  y  b  c 0  a  x  b  a  x  b
c  y  d 0  c  y  d d y c

Calcul dans IR 8

Application 14

On suppose que : -3 < x < -1 et 2 < y< 8

Encadrer x², x + y, x – y, xy et x
y

10°) Intervalle de IR

Application 15

Compléter :
a) L’intervalle [- 2 , 1] a pour centre…………., pour amplitude
………. Et pour rayon………

b) x 2,1  x  ...  ...

Application 16 En terme de En terme En terme

En terme valeur absolue d’encadrement graphique
d’intervalle

x]-1 , 3[

x3 1

1x2
2

Application 17

On appelle I l’intervalle  , 5  et on appelle J l’intervalle 2, 6
 2 

Déterminer IJ et IJ

11°) Ordre de grandeur – Valeurs approchées

 Soit n un entier.
 On dit que le nombre décimal a est une valeur approchée ou
une approximation du réel x à 10n prés signifie que x  a  10n .

 On dit que le nombre décimal a est une valeur approchée par
défaut du réel x à 10n prés signifie que a  x  a 10n .

 On dit que le nombre décimal a est une valeur approchée par
excès du réel x à 10n prés signifie que . a 10n  x  a

 Soit n un entier naturel. Un arrondi à 10-n est une valeur
approchée à 0,5.10-n près.
Exemple : Une calculatrice scientifique donne pour sin10°

0,173648177.

Calcul dans IR 9

On donne le tableau des approximations décimales de sin10°

obtenue par arrondi

Nombre de décimales (10-n) Arrondi

0 : à l’unité 0

1 : au dixième 0,2

2 : au centième 0,17

3 : au millième 0,174

4 : au dix millièmes 0,1736

Application 18

Compléter :
L’écriture scientifique de 385 est :
L’écriture scientifique de 3548x104 est :

Application 19

Traduire par une inégalité la phrase « le réel x a 7,403 pour valeur
arrondie à 10-4 près »

Application 20
Répondre par vrai ou par faux. Aucune justification n’est demandée,
1°) La somme des arrondis à l’unité de deux nombres est toujours
égale à l’arrondi à l’unité de leur somme.

2°) La différence entre un nombre et son arrondi au centième est

toujours inférieure ou égale à 0,005.

3°) Les nombres 3, 13752 et  ont le même arrondi au centième.
4°) Si un nombre appartient à l’intervalle ]0 ; 1[, son arrondi à l’unité

est 0.

Evaluation du degré d’assimilation du cours

Pour chacune des situations ci – dessous, relevez sur votre cahier les
numéros des propositions qui vous semblent vraies

Situation 1 :
1°) 2 est un nombre rationnel.
2°) 0,13 

Situation 2 :
Une personne place mille dinars au taux de 4% l’an
Après deux ans, elle aura :
1°) 1081d 600 2°) 1080 dinars

Calcul dans IR 10

Situation 3 :

Un peintre a ajouté 3 L de colorant à 24 L de peinture de base. Le

pourcentage de colorant ajouté par rapport à la peinture de base est

1°) 21% 2°) 3% 3°) 12,5% 4°) 8%

Situation 4 :

Deux hausses successives de 6% et de 4% équivalent à une hausse

globale de :

1°) 10% 2°) 10.24%

Situation 5 : 2 3 
1°) 2 – 3 + 3 1 1
4
4
2°) - 2

Situation 6 : 2
1°) c’est juste
35 35 8

2°) c’est faux

Situation 7 : 13 10
1°) c’est juste 10 3

2°) c’est faux

Situation 8
a, b et c sont des réels non nuls. On suppose que a + c ≠ 0.

1°) a  b  1 b , 2°) ab  a  b  1,

a  c 1 c ac c

3°) (a – 2a)² = a², 4°) 3a  3a  3 x 7a

8 42

Situation 9
Si x est un réel strictement négatif, alors x  1  1vaut
1) x – 2 2) – x – 2 3) 2 – x 4) - x

Situation 10 2°) c’est faux

Pour tout réels x, x3 + 3x ≥ 3x² + 1
1°) c’est juste

Situation 11

Calcul dans IR 11

La charge d’un électron vaut e  1,6x1019 C . L’intensité I ( I  n.e , où t

t

est en secondes et I en ampères) d’un courant continu qui

correspond au passage de n = 12x1024 électrons à travers une

section d’un fil conducteur pendant 120 secondes est :

1°) I  16000 A 2°) 1600 A

Solutions des QCM

Situation 1 Situation 5 Situation 9
2°) 2°) 4°)
Situation 2 Situation 6 Situation 10
1°) 1°) 1°)
Situation 3 Situation 7 Situation 11
2°) 1°) 2°)
Situation 4 Situation 8
2°) 2°), 3°), 4°)

Solutions des applications

Application 1

ID

39     

-7,3  

7   

1

3,14     
2,66…     

   
Application 2

1) b) 2) c) 3) b) 4) c)

Application 3

a) Faux b) Vrai c) Vrai d) Vrai
Application 4

Calcul dans IR 12

2
b) Faux  3   2 x 1  1 c) Faux 1  3  1x2  3x3  11
a) Vrai 6 36 9 3 2 3x2 2x3 6

2

d) Vrai 5  2 x 10  4 e) Vrai 3  1  2  3  1  2 2 2
1 51 22 2 22

10
Application 5

A  2  5  1  8  10  1  3 1 1  2 52 3x 1 1
5 5
 , B    
3 6 12 12 12 4 3 3 53 5

, C  25  4  15  11  11 x 3  11
32 6 6

2 1 61 7 6 7 14

33 3

Application 6

 a)Vrai b) Vrai c) Vrai d) Faux 81502  34 502  32008  1
32009 32009 32009 3

Application 7

 215 x422  35 x75 x22 x32 x72  22 x33 x73  37 x71,
72 x18 2 72 x22 x34 72 x22 x34
 A

B 0,0005 x2.102  5x104 x2.102  104 x103  102 ,
0.001 103 103

C 256.106 x49.105  256x49x10  16x16x7x7  16
2,43.104 x16.107 243x16x10 73 x16 7

Application 8
a) Faux b) Vrai c) Vrai

Application 9

 3

1) A  1 2  1 3x 2  3x2  2 2  7  5 2 ,

  B  2  3 1 2 6  2  4 6  3  6 2

Calcul dans IR 13

2

3  2x 
  2)
C  4x²  3  (2x)2  3 2x  3,

  D  x  x  2  x  1 x  1 x  1 x  1  x  1

  x 1 x  2

Application 10 c) Faux
a) Faux b) Faux

Application 11

a) * 3  1 3  3 3  2  2 3  3  2  0 alors < 3  1 3 .
4 6 12 12 46

 * 1 
1 2 1 2 2 1 ;

  1 2 1 2 1   1 

2

*  + 1 et 2  7 sont deux réels positifs alors comparer deux réels

positifs revient à comparer leurs carrés :

2

2  7  2  6  0 donc  + 1>
  12  2  7

b) x  1. x 1  x2 1  1
x²  x2

Application 12

x = -2 et y = 4 x = 3 et y = 1 x = -1 et y = 0 x = 3 et y = 4

x × y = -8 x×y=3 x×y=0 x × y = 12

Non, car si on multiplie membre à membre les 2 encadrements on
trouve que -2  x × y alors que pour x = -2 et y = 4 on a x×y = -8 < -2.

Dans le cas où tous les réels sont positifs

Application 13

x = -2 et y = 1 x = 3 et y = 4 x = -2 et y = 4 x = 3 et y = 1

x − y = -3 x − y = -1 x − y = -6 x−y=2

a) On ne peut pas soustraire membre à membre les 2
encadrements pour encadrer x − y .

b) On encadre x puis –y et enfin on fait la somme.

Application 14

x est encadrer par deux réels négatifs alors le sens des inégalités
change lorsqu’on passe au carré (-1)² < x² < (-3)² ce qui donne

Calcul dans IR 14

1 < x² < 9., , 3  x  1
- 8  y  2
3  x  1 11  x  y  3

 2y8 Encadrer d'abord - y

1  x  y  7 2  y  8 signifie 1  1  1
8y2
On additionne membre à membre

1 x  3 

 2y8   24  xy  2 ,

2  xy  24

1 x  3 

1  11   3  x  1
8  y2  2 y 8

1 x  3 
8 y 
2 

Application 15
a) L’intervalle [- 2 , 1] a pour centre – 0,5., pour amplitude 3 et

pour rayon 1,5

b) x  2,1  x    1   3
 2  2

Application 16

En terme En terme de En terme En terme
d’intervalle valeur absolue
d’encadrement graphique
x]-1 , 3[ x 1  2
1 x  3 ..........

1 3

x[-4 , - 2] x3 1 4  x  2 ..........

4 -2

x   1, 2 x5 3 1x2 ..........
 2 44 2
1 2
2

x]0 , 2] x  1  1et x0 0  x  2

Application 17

IJ =  2, 5  et IJ = , 6
 2 

Application 18

L’écriture scientifique de 385 est : 3,85x102

L’écriture scientifique de 3548x104 est : 3,548x107

Application 19

x  7,403  0,0001

Calcul dans IR 15

Application 20 4°) Vrai
1°) Faux. 2°) Vrai 3°) Vrai

Exercices intégratifs

Exercice 1

1°) Montrer que 1 3 x 1 3 est rationnel.
55

2

    2°) Montrer que 3 2  3 9 2  3 3 et 12  3 sont des entiers.

 5 7 2 est un rationnel
14 10 
3°) Montrer que 

Exercice 2
On considère les réels suivants :

22

      A  1 3 3  5  3 et B  2 1 3 2  1 3

1°) Développer puis simplifier les expressions A et B.
2°) Ecrire A sans radical au dénominateur.

B

Exercice 3
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Indiquer sa
référence.

1) La quantité 2 5 6 2 2 est égale à :

a) 1 2 b) 11 3 2 c) 11 3 2

2) L’équation x 1 4 a pour solution :

a) 5 et – 5 b) 5 et – 3 c) uniquement 5

3) L’intervalle [-2 ; 6] est l’ensemble des solutions de l’inéquation :

a) x 4 2 b) x 2 4 c) 2 x 6

4) Soit x un nombre réel. Alors 2x est égal à :

a) 2x b) -2x c) 2 x

Exercice 4
Soit x un nombre réel.
1°)a) Développer (1 – 2x)3.

b) Montrer que pour tout réel x, 1 2x3  1 6x  x² 12  8x

Calcul dans IR 16

2°) On suppose que x  1 .
2

a) Montrer que 12  8x  16

b) En déduire que 1 2x3  1 6x  16x²

c) Donner une valeur approchée de (0,9998)3 à 16.10-8 prés.

Exercice 5
Soit a, b et c trois réels strictement positifs.
1°) Comparer 3a  b et ab

12 3a  b

2°) En déduire que ab  bc  ca  1 a  b  c

3a  b 3b  c 3c  a 3

Exercice 6
Un commerçant achète une marchandise à un certain prix. Il la
revend à 24d 900 en réalisant un bénéfice de 20 % sur le prix d’achat.
Quel était son prix d’achat ?

Exercice 7
Le prix d’un article qui coûtait 750d augmente de 20%, puis baisse de
15%.
1) Combien coûte-t-il finalement ?
2) Quel est le pourcentage et le type d'évolution entre le prix initial et
le prix final ?

Exercice 8
Le prix d’un ordinateur portable baisse de 12% la première année,
puis de 8% la seconde.
1) De quel pourcentage aura baissé le prix de ce portable en deux

ans ?
2) Si le prix initial de ce portable est de 1650 dinars, déterminer son

prix après deux ans.

Exercice 9
Après une augmentation de t% suivie d’une baisse de 15%, on
obtient une hausse globale de 0,3%. Calculer t.

Exercice 10
Dans un lycée, 65% des élèves sont des filles et 40% des filles
portent des lunettes. Quel est le pourcentage des filles qui portent
des lunettes dans ce lycée.

Calcul dans IR 17

Exercice 11
Ahmed, Sabri et Marwa se partagent la fortune de leur oncle.
Ahmed reçoit les trois septième de la somme totale et Sabri le tier.
La part de Marwa est de 50 000 dinars
À combien s’élève la fortune de l’oncle ?

Solutions des exercices intégratifs

Exercice 1

1) 1 3 1 3  1 3  1 3  1 9  16  4 
55 5  5  25 25 5

  2) 3 2  3 9 2  3 3 = 54 – 9 = 45 ∈ IN

 2
12  3 = 12 + 2 36 + 3 = 27 ∈ IN.

Calcul dans IR 18

 5 7 2  5  2 5x7 7
 14 10  14 14 10 10

3) = 5  2 1  7

14 4 10
= 5  1 7  25  70  49  4  2 

14 10 70 70 35

Exercice 2

 1°) A  1 6 3  27  25  10 3  3  16 3

B  2  2  6  2 1 3  6  3  3

= 22 3

   2°) A 
16 3 8 3 8 3 1 3

 2  4 3 3
B 2  2 3 1 3

Exercice 3
1) c) 2) b) 3) b) 4) c)

Exercice 4
1°)a) 1 – 6x + 12x² - 8x3

1 2x3  1 6x  1– 6x  12x²  8x3 1 6x

b)
 12x²  8x3  x² 12  8x

2°)a)

x  1   1  x  1 équivaut à  4  8x  4  8  12  8x  16
22 2
alors 12  8x  16

b)

1 2x 3  1 6x  x² 12  8x  alors 1 2x3  1 6x  16x²

12  8x  16 

c) 0,9998 = 1 – 2x,0001 et |0,0001|≤ 0,5

1 2.(0,0001)3  (1 6x0,0001)  16x108
équivaut à 0,99983  0,9994  16x108 alors 0,9994 est une

valeur approchée de (0,9998)3 à 16.10-8 prés.

Exercice 5
Soit a, b et c trois réels strictement positifs.

Calcul dans IR 19

1°) 3a  b - ab = 3a  b2  12ab 3a  b2
12 123a  b  123a  b  0
3a  b

donc 3a  b ≥ ab
12 3a  b

2°)

ab  bc  ca  3a  b  3b  c  3c  a  4a  b  c  1 a  b  c
3a  b 3b  c 3c  a 12 12 12 12 3

Exercice 6
Soit x le prix d’achat de cette marchandise. Le prix de vente est :

x + 20 x = 24,900 d signifie 1,2 x = 24,900
100

D’où x = 24,900  249 = 20d 750.
1,2 12

Exercice 7
1) Après l’augmentation de 20 % le prix de l’article devient

750 + 750 * 0,2 = 750 + 150 = 900d
Après la baisse de 15 % le nouveau prix sera :
900 – 900 *0,15 = 900 – 135 = 765 d.
Donc finalement l’article coûte 765 d.
Attention : le prix final n’est pas : 750 * 1,05 = 787,500 d.

2) Le pourcentage d’évolution entre le prix final est : 765  750 = 0,02

750

soit 2%.

Exercice 8
1) Soit x le prix initial du portable après la 1ère baisse de 12% le prix
devient: x – 0,12x= 0,88x
Après les 2éme baisse de 8 % le prix devient :
0,88x – (0,88x) (0,08)= 0,8096x.

Le pourcentage de baisse en d’eux ans : 19,04 %.
2) Le prix après deux ans : 1650 – 1650 * 0,1904 = 1335d 840.

Exercice 9

x  x 1 0,01 t  x 0,85  0,0085 t
prix initial
augmentation de t% baisse de 15%

x 0,85  0,0085 t  1,02 x équivaut à 0,85  0,0085 t  1,02

équivaut à t  1,02  0,85  0,17  1700  20
0,0085 0,0085 85

Calcul dans IR 20

Exercice 10
Le pourcentage des filles qui portent des lunettes dans le lycée est :
65 x 40  0,26 Soit 26%
100 100

Exercice 11

Soit x la valeur de la fortune, en dinars.

La part de Ahmed est 3 x et la part de Sabri est 1 x alors la part de
73

Marwa en fonction de x est : x   3 x  1 x   5x
 7 3  21

Or la part de Marwa est de 50.000 d’où x = 210.000.

La fortune de l’oncle est de 210.000 dinars.

Problèmes du 1er degré et du second degré 21

Résumé du cours

1°) Problèmes du premier degré

 EQUATION DU PREMIER DEGRE

 On appelle équation du premier degré toute équation qui se
ramène à la forme : ax + b = 0 où a et b sont des réels
donnés tels que a 0 et x un réel inconnu qu’on cherche.

Exemple 1:

Les équations suivantes sont des équations du premier degré :

a) 2x – 3 = 2 , b) 3t  5 t, c) 2  x  3  5 x  9  4  x  1  0
2 4  3

 REGLES A CONNAITRE
 Lorsqu’on ajoute ou on retranche un même réel aux deux
membres d’une équation, on obtient une nouvelle équation qui

à exactement les mêmes solutions

Exemple 2:

2x  3  x  17 équivaut à 2x  3  3  x  17  3

équivaut à 2x  x  20 équivaut à 2x  x   x  20  x 

équivaut à x = 20

 Lorsqu’on multiplie ou on divise chaque membre d’une
équation, par un même réel non nul on obtient une nouvelle
équation qui à exactement les mêmes solutions

Exemple 3:

3 2x-3 =2 équivaut à 3 2x-3 .  4  =2.  4  équivaut à 2x-3= 8
4  3  3  3
4

équivaut à 2x-3+ 3= 8 + 3 équivaut à 2x = 17

33

équivaut à 2x .  1  = 17 .  1  équivaut à x= 17
2  3  2  6

Exemple 4:

Problèmes du 1er degré et du second degré 22

6x  32  0 3(4x  5)  2(6x  7) 4(x  2)  6x  2(x  4)

6x  32 12x  15  12x  14 4x  8  6x  2x  8

x  32  16 15  14 4x  8  4x  8
6 3
égalité fausse 00
S   16  S = { } ou S =  égalité vraie
 3 
  S = IR

 TRANSFORMER POUR RESOUDRE

 Dans le cas d’une équation où l’inconnue x apparaît au carré,

il faut le plus souvent, soit développer pour faire disparaître

les carrés, soit factoriser pour avoir une équation du type

« produit nul ».

Exemple 1 :

3 −2x2 = 1 − x(2x − 4) signifie 3 - 1= 4x signifie x = 1 . SIR  1
2  2 

Exemple 2 :

4(x-2)2 =9x2 équivaut à (2x-4)2-9x2=0

équivaut à (2x-4-3x)(2x-4+3x)=0 équivaut à (-4-x)(5x-4)=0

équivaut à -4-x=0 ou 5x - 4 = 0 équivaut à x = - 4 ou x = 5 .
4

SIR = -4, 5 
 4 


 CAS D’UNE EQUATION AVEC QUOTIENT
 Si l’inconnue ne figure pas au dénominateur, on réduit tous les

quotients au même dénominateur puis on multiplie les deux
membres de l’équation par le dénominateur commun.
 Si l’inconnue figure au dénominateur, on détermine les valeurs
interdites de l’équation ( celles qui annulent les dénominateurs ),

on réduit tous les quotients au même dénominateur dans chaque

membre, puis on utilise le fait que a  c équivaut à ad = bc
bd

Application 1

Résoudre dans IR :

a) 3x  4  5x  9  3x  2  x  4 . b) 3x  2  1
6 10 4 12 2x  1

Problèmes du 1er degré et du second degré 23

 INEQUATION DU PREMIER DEGRE
Signe de ax + b

a et b deux réels, avec a ≠ 0.

Le signe de ax + b suivant les valeurs du réel x est donné par le

tableau : x -∞ b +∞
a

ax + b sign(-a) 0 sign(a)
Application 2

Résoudre dans IR chacune des inéquations suivantes :

a) 2x – 3 < 0, b) 3t  5  2t , c) 2  x  3  5 x  9  4  x  1  0
2 4  3

Inéquations et interprétation graphique

Exemple : x -∞ 2 +∞
+
3x  3  x  1 équivaut à 2x  4  0 2x - 4 -0

Soit D la droite d’équation
y = 2x – 4.

M(x , y) est un point de D
signifie y = 2x – 4 signifie

M(x , 2x - 4).
Un point d’abscisse x de D
situé au dessous de l’axe des

abscisses a pour ordonnée
2x – 4 ≤ 0. Donc la partie en
gras de l’axe des abscisses

représente l’ensemble des réels x tels que 2x – 4 ≤ 0.
Signe d’un produit, d’un quotient

Exemple 1 :

On se propose de résoudre dans IR l’inéquation :

(2x – 6)(1 – 3x) >0 x -∞ 1 3 +∞
3
SIR   1 ,3  2x – 6 -0 +
 3  1 - 3x - - -

+0

(2x - 6)(1 - 3x) - 0 +0 -

Exemple 2 :
On se propose de résoudre dans IR l’inéquation : x  1  0

2x  4

x -∞ -1 2 +∞

x+1 -0 + +

2x - 4 - -0 +

+ 0- -

Problèmes du 1er degré et du second degré 24

Application 3

Résoudre dans IR : a) 2x  54  3x  0 . b) 2x  3  1

x2
 METHODE POUR RESOUDRE ALGEBRIQUEMENT UN PROBLEME A UNE INCONNUE

Problème 1:
Ma balance est en équilibre lorsqu’il y a 10 billes et 8 grammes
sur un plateau et 5 billes et 44 grammes sur l’autre plateau.
Déterminer la masse d’une bille.
Résolution
 Choix de l’inconnue : On désigne par x la masse en gramme

d’une bille,
 Ensemble auquel appartient l’inconnue : x est un réel

strictement positif.
 Mise en équation : 10x + 8 = 5x + 44.

 Résolution : 10x + 8 = 5x + 44 équivaut 10x – 5x = 44 – 8
équivaut 5x = 36 équivaut x  36  7,2
5

 Vérification : 7,2IR*+ et 10x7,2 + 8 = 80 = 5x7,2 + 44 .
 Conclusion : la masse d’une bille est 7,2 grammes.

Problème 2:

Sur la figure ci-contre :
 ABCD un carré
 AEFG est un carré
 Les points A, D et G sont alignés
 BE = DG = 4 cm.
 La surface coloriée a une aire de 40 cm²
Calculer la longueur en cm d’un coté du
carré ABCD

Résolution
 Choix de l’inconnue : On désigne par x la longueur en cm d’un
coté du carré ABCD
 Ensemble auquel appartient l’inconnue : x est un réel
strictement positif.
 Mise en équation :
L’aire du carré AEFG = L’aire du carré ABCD + 40
Signifie (x + 4)² = x² + 40

Problèmes du 1er degré et du second degré 25

 Résolution : (x + 4)² = x² + 40 signifie x² + 8x + 16 = x² + 40

Signifie 8x = 24 signifie x  24  3
8

 Vérification : (3 + 4)² = (7)² = 49.
(3)² + 40 = 49

Conclusion : la longueur en cm d’un côté du carré ABCD est 3.

2°) Problèmes du second degré

Trinôme du second degré

Définition : Un trinôme du second degré est une expression de la
forme T(x) = ax² + bx + c avec a≠0, b et c des réels.
Forme canonique d’un trinôme :

Soit a un réel non nul et b et c deux réels.

Pour tout réel x, ax²  bx c  a  x  b 2  b²  4ac 
2a  

4a² 

Forme canonique

Application 4
Déterminer la forme canonique de chacun des trinômes suivants :

T(x) = - 3x² + 4x + 7, P(x) = 2x² + x + 1, Q(x) = x²  2 3x  3 .

 Equations du second degré

Le nombre de solutions d'une équation du 2nd degré dépend de la

valeur d'un nombre  appelé discriminant et tel que = b² - 4 ac.

On distingue 3 cas en fonction de la valeur de 

 Si  > 0, l'équation a deux solutions distinctes :

x1  b   et x2  b  
2a 2a

 Si  = 0, l'équation a une solution double : x1  x2  b
2a

 Si  < 0, alors l'équation n'a pas de solution dans

Exemples :
 2x² - 5x - 3 = 0,  = (-5)² - 4x2 x(- 3) = 25 + 24 = 49 = 7² > 0

donc il y a deux solutions :

x1  (5)  49  57 3 ; x2  (5)  49 1
22 4 22 2

Problèmes du 1er degré et du second degré 26

 x² - 4x + 5 = 0,  = (- 4)² - 4x1x5 = 16 - 20 = - 4

 < 0 donc l'équation n'a pas de solution

 9x² + 6x + 1 = 0,  = 6² - 4x9x1 = 36 - 36 = 0

 = 0 l'équation a une solution double : x1  x2  6  1
29 3

Discriminant réduit Racines du trinôme ax2 + bx +c,  b '  b 
∆’ = (b’)² - ac  2 

∆’ < 0 Pas de racine dans IR

∆’ = 0 b'
Une seule racine : x0 = a (racine double)

Deux racines distinctes :

∆’ > 0 x1  b ' ' , x2  b ' '
Application 5 a a

Soit l’équation suivante : 4x2 - 20x - 11 = 0, xIR
 a=…
b = … b’ =… c =…

 ’ = …

 '… Conclusion ?.........................................

Remarques
 Dans l’équation ax² + bx + c = 0, si a.c < 0, il est certain que

l’équation admet deux solutions distinctes.
 Dans l’équation ax² + bx + c = 0, si b = 0 ou c = 0, il est inutile et

déconseillé d’utiliser .
Racines apparentes
 Si a + b + c = 0 alors l’équation ax² + bx + c = 0, a≠0, admet deux

solutions 1 et c .
a

 Si a - b + c = 0 alors l’équation ax² + bx + c = 0, a≠0, admet deux

solutions -1 et - c
a

Somme et produit des racines.
Si l’équation ax² + bx + c = 0, a≠0, admet deux solutions x’ et x’’

alors : x ' x "  b et x '.x "  c

aa

Problèmes du 1er degré et du second degré 27

Factorisation d’un trinôme

Soit T(x) = ax² + bx + c, a≠0 et  = b² - 4ac.

Condition sur  Résolution de T(x) = 0 Factorisation de T(x)

∆>0 Deux racines distinctes : T(x) =a(x – x1)(x -x2)

x1  b   , x2  b  
2a 2a

∆=0 1 solution double x0  b T(x) = a(x – x0)²
2a

∆<0 Pas de solution Pas de factorisation

Application 6
Factoriser chacun des trinômes suivants :
T(x) = 2x² - x – 1, P(x) = x² + x – 6 , Q(x) = 5x² + 2 5 x + 1

Transformer pour résoudre

 Equations bicarrées : Soit l’équation 4x4 – 37x² + 9 = 0.
Cette équation est du 4ème degré, mais elle peut être ramenée au
second degré par un changement d’inconnue. On pose t = x²,

l’équation devient : 4t² - 37t + 9 = 0.  = (-37)² - 4x4x9 =1225=35²>0

t’ = 37  35  1 et t’’ = 37  35  9
84 8

Donc x² = 1 ou x² = 9 d’où les solutions dans IR de l’équation sont :
4

1,- 1 , 3 et – 3. S   1 , 3, 1 ,3
2 2  2 2 

 Autre changement : Soit l’équation x  3 x  4  0

On pose t = x ≥ 0, l’équation devient t² - 3t – 4 = 0, t ≥ 0
(a – b + c = 0), donc t’ = - 1 ( impossible) et t’’ = 4.

x  4  x  16 . S = {16}

 Equation irrationnelle : Soit l’équation x  2x  1

Cette équation équivaut à x  2x  1 ²

2x  1 0

x  2x  1 ² équivaut à x  4x²  4x  1 équivaut à 4x²  5x  1 0

équivaut à x  1 ou x  1
4

2x – 1 ≥ 0 équivaut à x  1 .
2

Problèmes du 1er degré et du second degré 28

1 1 et 1  1 donc la solution est : S = {1} X  a  X  a²
2 42 a  0

3) Signe d’un trinôme et inéquation du second degré

Signe d’un trinôme

Soit T(x) = ax² + bx + c, a≠0.  = b² - 4ac.
 1er Cas :  < 0.

x -∞ +∞

Signe de T(x) Signe de a

 2ème Cas :  = 0. b +∞
x -∞
2a
Signe de T(x) signe de a
0 signe de a

 3ème Cas :  > 0. On désigne par x’ et x’’ les solutions de
T(x) = 0 et on suppose x’ < x’’

x -∞ x’ x’’ +∞

Signe de T(x) sign(a) 0 sign(- a) 0 sign(a)

Inéquations du second degré

Application 7

Résoudre dans IR chacune des inéquations suivantes :

a) 4x² + 3x – 1 ≥ 0 b) x² - 5x + 7 ≤ 0 c) x² - x + 1 > 0
4

Transformer pour résoudre

Application 8

Résoudre dans IR chacune des inéquations suivantes :

a) (2x – 1)² ≥ x² + 1 b) x  2  x c) 2x  4  x  1 d) x  1  2x

Tableau de signes

Application 9

Résoudre dans IR chacune des inéquations suivantes :

a) x3  3x²  2x b) x  2  0 c) 1  3  2
x² 1 x2 x

Problèmes du 1er degré et du second degré 29

Evaluation du degré d’assimilation du cours

Pour les situations suivantes, relevez sur votre cahier les numéros

des propositions qui vous semblent vraies

Situation 1

2x – 3 = 1 – 3x équivaut à

1°) – x – 2 = 0 2°) 2x = 1 3°) 5x = 4

Situation 2 2°) x = 6  3 3°) x  2
Si 3x  6 alors 5 5

5
1°) x  2

15

Situation 3

Le nombre tel que son triple moins 2 soit égal à son double plus 5

est : 1°) 3 2°) 7

Situation 4
1 2 x  x  1équivaut à

3

Problèmes du 1er degré et du second degré 30

1°) 2  x  2 x 2°) 2x = 1 3°) 5x = 4
3

Situation 5
Les solutions dans IR de l’équation : x² = 3x sont :

1°) seulement 3 2°) 0 et 3

Situation 6
Voici le tableau de signes d’une expression A(x) :

x -∞ 1 +∞

Signe de A(x) + 0-

1°) A(0) < 0 et A(5) > 0. 2°) A(0) > 0 et A(5) > 0

3°) A(0) < 0 et A(5) < 0 4°) A(0) > 0 et A(5) < 0

Situation 7

Soit l’équation 3x² - x - 1 = 0 et  le discriminant.

1°)  = - 13 2°)  = 13

Situation 8

On considère l’équation (E ): - 2x² + 3x + 2 = 0. On donne  = 25. Les

racines de (E ) sont :

1°) 2 et - 1 2°) - 2 et 1
2 2

Situation 9

Une solution de l'équation x² + 99 x-100 = 0 d'inconnue réelle x est :

1°) 99 2°) 100 3°) 1

Situation 10
Le trinôme ax² + bx – a, a ≠ 0, admet :

1°) deux racines positives 2°) deux racines négatives

3°) deux racines de signes contraires.

Situation 11
Si le trinôme T(x) = -2x² + bx + c admet 4 et – 5 pour racines alors :
1°) T(x) = - 2(x + 4)(x – 5) 2°) T(x) = -2(x - 4)(x + 5)

3°) T(x) = 2(x - 4)(x + 5)

Situation 12

On donne le tableau de signes du trinôme T(x) = -3x² - 3x + 6

X -∞ -2 1 +∞

Signe de T(x) -0 +0 -

L’ensemble des solutions de l’inéquation : - 3x² - 3x + 6 >0 est :

Problèmes du 1er degré et du second degré 31

1°) [- 2 , 1] 2°) ]-2 , 1[ 3°) ]- ∞ , - 2[∪ ]1 , +∞[

Situation 13

L’ensemble des solutions de l’inéquation : 3(x – 1)(x + 2) ≤ 0 est :

1°) [1 , 2] 2°) ]- ∞ , - 2]∪ [1 , +∞[ 3°) [- 2 , 1]

Situation 14
Voici le tableau de signes d’un trinôme T(x) = ax² + bx + c, a≠0

x -∞ -2 1 +∞
-0 +
Signe de T(x) +0
2°) a >0 , b > 0 et c < 0
1°) a >0 , b < 0 et c < 0

Situation 15

L’ensemble des solutions de l’inéquation : 1  1 est :
x

1°) [1 , +∞[ 2°) ]- ∞ , 0[∪ [1 , +∞[

Solutions des QCM

Situation 1 Situation 6 Situation 11
3°)
Situation 2 4°) 2°)
3°)
Situation 3 Situation 7 Situation 12
2°)
Situation 4 2°) 2°)
1°)
Situation 5 Situation 8 Situation 13
2°)
1°) 3°)

Situation 9 Situation 14

3°) 1°)

Situation 10 Situation 15

3°) 2°)

Problèmes du 1er degré et du second degré 32

Solutions des applications

Application 1

a) Le plus petit commun multiple de 6, 10, 4 et 12 est 120. On
multiplie les deux membres de l’égalité par 120 on obtient :
20(3x – 4) + 12(5x – 9) = 30(3x – 2) + 10(x – 4) signifie

120x – 188 = 100x – 100 signifie 20x = 88 signifie x = 22 .
5

SIR   22 
 
 5 

3x  2  1 équivaut à 3x  2  2x  1 et x  1
2x  1 2
b) équivaut à 5x  1 et x  1équivaut à x  1. 1

25 SIR  5 


Application 2

a) 2x – 3 < 0 signifie x  3 . SIR  , 3 
2 2 

b) 3t  5  2t équivaut à 3t  5  4t équivaut à 5  t. SIR  5, 
2

,

c)

Problèmes du 1er degré et du second degré 33

2x  3  5 x  9  4  x  1  0 équivaut à 2x  5x  4x  3+9+4  0
4  3 4 3

équivaut à 24x  15x  16x  120  0 équivaut à  7x  120  0

équivaut à  7x  120 équivaut à x  120  120 . SIR   , 120 
7 7 7 

Application 3

a) 2x  54  3x  0

x -∞ 45 +∞
2x – 5 - 32

-0 +

4 - 3x + 0- -

(2x - 5)(4 - 3x) - 0 + 0 -

SIR  , 4    5 ,  
3   2

b) 2x  3  1 équivaut à 2x  3  1  0 équivaut à x  5  0
x2 x2 x2

x -∞ - 2 5 +∞

x–5 - -0 +

x+2 + 0- -

(x - 5)/(x + 2) - +0 -
SIR = ]-2 , 5]

Attention : On n’a pas le droit de multiplier les deux membres de

l’inégalité 2x  3  1 par x + 2 car on ne sait pas le signe de x + 2.
x2

Application 4

T(x) = - 3x² + 4x + 7 = 3  x  2 2  25  ,
3  
9 

P(x) = 2x² + x + 1 = 2  x  1 2  7 .
4  

16 

2

 Q(x) = x²  2 3x  3 = x  3 .

Application 5

Soit l’équation : 4x2 - 20x - 11 = 0
 a = 4,
b = - 20, b’ = - 10, c = - 11.

 ’ = 144

 ' > 0

Problèmes du 1er degré et du second degré 34

 Conclusion : l’équation admet deux solutions

b '  '  10  12  1 et b '  '  10  12  11
a 42 a 42

Application 6

T(x) = 2x² - x – 1 = 2(x – 1)(x + 1 ),
2

P(x) = x² + x – 6 = (x + 3)(x - 2) ,

2

 Q(x) = 5x² + 2 5 x + 1 = 5x 1

Application 7
a) 4x² + 3x – 1 ≥ 0 . 4 – 3 – 1 = 0 alors le trinôme admet deux racines

– 1 et 1 de plus a > 0 ( a = 4). Donc SIR  ,1   1 ,  
4  4 

b) x² - 5x + 7 ≤ 0 .  = 25 – 28 = - 3 < 0, ce trinôme n’a pas de racine

et a > 0 (a = 1). Donc pour tout réel x, x² - 5x + 7 > 0. En

conséquence SIR   

c) x² - x + 1 > 0.  = 0, ce trinôme admet une racine double qui vaut
4

1 . Donc pour tout réel différent de 1 , x² - x + 1 >0.
2 24

En conséquence SIR  IR \ 1
 
 2 

Application 8

a) (2x – 1)² ≥ x² + 1 signifie 3x² - 4x ≥ 0. signifie x(3x – 4) ≥ 0.

SIR  ,0   4 ,  
 3 

b) x  2  x . Cette inéquation a un sens si et seulement si

x  0 soit x ≥ 0.
x  2  0

Pour x ≥ 0 : x  2  x équivaut à x  2  x² équivaut à x²  x  2 0

Le trinôme x² - x – 2 admet - 1 et 2 pour racines et a = 1>0.

Donc SIR  ,1  2,  0,  2,

c) 2x  4  x  1 cette inéquation a un sens si et seulement si x≥-2.

x -∞ -2 -1 +∞

x+1 - -0 +

Pour x∈[- 2 , -1], l’inégalité est vraie.

Problèmes du 1er degré et du second degré 35

Pour x > - 1,

2x  4  x  1 équivaut à 2x  4  x²  2x  1 équivaut à x²  3  0

équivaut à x   3, 3   1,  1, 3 

Conclusion : SIR  2, 3 

d) x  1  2x . Il faux que x soit positif.

Pour x ≥ 0 :

x  1  2x équivaut à  x  1 ²  4x² équivaut à 3x² 2x 1 0

Le trinôme 3x² + 2x – 1 admet – 1 et 1 pour racines et a = 3 >0.
3

Donc SIR   , 1   1 ,     0,   1 ,  
  3    3
 

Application 9

a) x3  3x²  2x équivaut à x x²  3x  2  0 . Le trinôme x² + 3x + 2

admet – 1 et – 2 pour racines et a = 1 > 0

x -∞ -2 -1 0 +∞

x -- - 0+

x² + 3x + 2 +0- 0 +

x(x² + 3x + 2) - 0 + 0 - 0 +

SIR  ,2 1,0

b) x  2  0 .
x² 1

x -∞ -2 -1 1 +∞

x+2 - 0+ + +

x² - 1 + +0 - 0 +

x2 - 0 + - +

x² 1

SIR  2,1  1,

1  3  2 équivaut à 1  3  2  0
x2 x x2 x
c) équivaut à x  3x  6  2x(x  2)  0

x(x  2)

équivaut à 2x²  8x  6  0 équivaut à x²  4x 3  0
x
xx  2 x  2

x -∞ -3 -2 -1 0 +∞
-0 ++
x² + 4x + 3 +0 -

Problèmes du 1er degré et du second degré 36

x(x + 2) + +0 - -0 +
+ -
x²  4x  3 0 +0 - +

xx  2

SIR  3,2 1,0

Méthode pour résoudre une inéquation qui contient une ou
plusieurs fractions rationnelles:
• Déterminer le domaine de définition de l'inéquation
• Transformer l'inéquation en une inéquation équivalente de la

forme A(x)  0 (ou < 0, ou ≥ 0, ou ≤ 0) en utilisant le plus petit

B(x)

dénominateur commun
ATTENTION : ne pas simplifier abusivement ...

Il s'agit d'obtenir une factorisation qui comprend des
expressions du premier ou du deuxième degré,
éventuellement de degrés supérieurs pour autant qu'on puisse

facilement en contrôler le signe
• Construire le tableau des signes de la fraction
• Lire la solution dans le tableau de signes et l'exprimer

si possible sous forme d'intervalle(s)

Exercices intégratifs

Exercice 1 Résoudre dans IR les équations suivantes :

a) 4(2x 1)2  (1 x)2  0 c) 1 x²  1  2x

b) x  3  4x  3  2  5x  2 d) 3x 1  x

23 4

Problèmes du 1er degré et du second degré 37

e) x  2  1 3x  4 f) x² = 2x

Exercice 2 Résoudre dans IR les inéquations suivantes :

a) 1 x  1  2  1 x c) x  1  x f) 1 x²  1  2x
x x 1 g) x  1  x
32
d) 3x 1  3
b) 4(2x 1)2  (1 x)2

e) x  2  1 3x  0

Exercice 3 Deux nombres entiers consécutifs ont un produit qui
surpasse leur somme de 19. Quels sont ces nombres ?

Exercice 4
Un père a 25 ans de plus que son fils et le produit de leurs âges est
116. Calculer les âges du père et du fils.

Exercice 5

Un train doit effectuer un trajet de 480 km. Au bout de 300 km, le
conducteur s’aperçoit que sa vitesse horaire a été inférieure de 5

km/h à la vitesse prévue. Le calcul lui indique que pour arriver à
l’heure, il doit au cours du reste du trajet rouler à une vitesse

dépassant de 10km/h la vitesse prévue.

1°) Calculer la vitesse réalisée sur chacune des parties du trajet.

2°) Déterminer le retard au moment du changement de vitesse.

Exercice 6

1°) Résoudre mentalement

a) x² - 4x + 3 = 0 d) 2x² = x
b) 7x² + x – 6 = 0 e) 8x² + 4 2 x + 1 = 0

c) 2x² -(1+ 3 )x – 1 + 3 = 0

2°)a) Résoudre dans IR, chacune des équations :

(E1) : 2x² + 11x - 30 =0 et (E2) : 2x² + 11x + 9 =0
b) Résoudre dans IR, l’équation : x² - 7x - 30 = 0

c) En déduire les solutions de l’équation :
(2x2 + 11x)2 - 21(2x2 + 11x) - 270 = 0

Exercice 7
1°)a) Vérifier que 2 est une racine de l'équation : 4x² - 9x + 2 = 0.

b) Déterminer l'autre racine sans calculer le discriminant.
2°) Ecrire une équation du second degré admettant les nombres 4
et - 5 pour racines et 3 pour coefficient du monôme du second degré.
3°) Existe-t-il deux nombres ayant pour somme 40 et pour produit

-624 ? si oui, les calculer.

Problèmes du 1er degré et du second degré 38

Exercice 8
Simplifier f(x) après avoir déterminé les valeurs de x pour lesquelles

cette simplification est légitime :

a) f(x)  x²  7x  6 b) f(x)  2x²  3x  2 c) f(x)  4x4  3x² 1
2x²  x 1 x²  x  6
x² 1

Exercice 9

Résoudre dans IR
1°) (a – b)²x² - (a² - b²)x + ab = 0, a et b deux réels a ≠ b

2°) x + 12 = x. 5°) x²  3x  x  1

3°) x4 + 3x² - 10 = 0 6°) 2x² - x 1 - 2 = 0

4°) 2x² - 3 x + 1 = 0. 7°) x²  5x  4  2x  2

Exercice 10

Montrer que pour tous réels a, b et c :
a²(b – c) + b²(c – a) + c²(a – b) = (a – b)(c – a)(c – b)

Exercice 11

1°) Déterminer deux réels dont la somme est 26 et le produit est 166.

2°) Résoudre dans IRxIR chacun des systèmes suivants :

a) x  y  5 b) x  y  7 c) x²  y²  4 d)  x 1 1  2y 2
 2 xy  8   x 2 1  10 y  6
x  y  6  3
xy  1  2


Exercice 12
Soit l’équation (E ) : 2x² - 3x – 4 = 0
Sans calculer le discriminant et sans résoudre l’équation, répondre

aux questions suivantes :
1°) Montrer que (E ) admet de deux racines distinctes x’ et x’’.

2°) Calculer : x’ + x’’ ; x’x’’ ; 1  1 ; x ' ²  x ''² et x '3  x ''3

x ' x ''

Exercice 13
Déterminer l’ensemble des réels m tel que pour tout réel x,

x² - 2mx + m + 2 > 0.

Exercice 14
1) a) Résoudre dans IR l’équation d’inconnue m : 3m²  7m  6  0.

b) Préciser le signe de 3m²  7m  6 selon les valeurs de m.
2) Soit (E) l’équation d’inconnue x :

(m  1)x²  4mx  m  6  0 , où m est un réel.

Déterminer m pour que (E) ne soit pas une équation du second
degré et résoudre alors (E).

Problèmes du 1er degré et du second degré 39

3) On suppose désormais que l’équation (E) est du second degré.

Déterminer m dans chacun des cas suivants :

a) 1 est une racine de (E).

b) (E) admet une racine double.
c) (E) n’admet pas de racines réelles.

d) Pour tout réel x, (m  1)x²  4mx  m  6  0 .

Exercice 15

Résoudre dans IR :

a) - 5x² +7x + 12 < 0 d) 1x g) 2x² - x 1 - 2 ≥ 0
b) – 5x4 +7x² + 12 > 0 x h) (2x  3) 1 4x2  0

c) x²  3x  4  0 e) 2  x  2
x 1
x²  3x  4

f) 5x²  1  x

3  2x

Exercice 16

La distance d’arrêt d d’un véhicule ( distance entre le moment où le
conducteur voit un obstacle et l’arrêt du véhicule), exprimée en

mètres est donnée, en fonction de la vitesse v, en km/h, du véhicule

par la relation : d = (0,007)v² + (0,8)v

1°) Calculer d lorsque v = 90 km/h, v = 120km/h
2°) Calculer la vitesse v pour la quelle la distance d’arrêt est 57,5 m,

108,8m.
3°) Calculer les vitesses pour lesquelles la distance d’arrêt est

comprise entre 57,5m et 108,8m

Exercice 17

Les élèves d'une classe vont visiter CARTAGE LAND. Ils ont à leur

charge le coût du transport en bus.

Le coût total du transport est 576 dinars. Deux élèves ne pouvant

payer, on répartit ce coût sur la somme à payer par les autres
participants. Le prix à payer par chacun augmente ainsi de 1d 200.

On note x le nombre d'élèves de la classe.

1°) Montrer que le prix à payer par élève peut s'écrire en fonction de

x de deux manières : 576 ou 576  1,200
x2 x

2°)a) Mettre le problème en une équation du second degré

b) Déterminer le nombre d'élèves de la classe et le prix du

transport à payer par élève.

Exercice 18

Un triangle rectangle est tel que la longueur de l'hypoténuse est

40 cm et la somme des longueurs des côtés de l'angle droit est

56 cm.

Problèmes du 1er degré et du second degré 40

Calculer les longueurs des côtés de l'angle droit.

Exercice 19

Soit un demi-cercle de diamètre AB = 2a, a>0 N

Une tangente au demi cercle en T coupe en M

et N les tangente en A et B. T
1°)a) Montrer que les triangles OAM et OTM M
sont isométriques

b) En déduire que MA = MT

c) Montrer que AM + BN = MN A OB

2°)a) Montrer que le triangle OMN est

rectangle en O.

b) En déduire que AM.BN = a²

3°) On suppose que le périmètre du trapèze ABNM est égal à 7a.

a) Déterminer, en fonction de a, la longueur du segment [MN]

b) Déterminer, en fonction de a, les cotés AM et BN

Exercice 20

Un automobiliste effectue un parcours de 360 km. Un second

automobiliste roule à 20 km/h de plus que le précédent et accomplit

le même trajet en 54 minutes de moins. Donner la vitesse de chacun
d’eux et le temps de parcours qui leur est nécessaire.

Solutions des exercices intégratifs

Exercice 1
a)

4(2x  1)2  (1 x)2  0 équivaut à (4x  2)2  (1 x)2  0

équivaut à  4x  2  1 x  4x  2  1 x   0 équivaut à  5x-3  3x-1=0

équivaut à 5x  3  0 ou 3x  1  0 équivaut à x  3 ou x  1. SIR   3, 1 
5 3  5 3 
 

b)

x  3  4x  3  2  5x  2 équivaut à 6 x  3   4 4x  3   24  3 5x  2 
23 4

équivaut à  10x  30  15x  30 équivaut à 5x  0 équivaut à x  0.

SIR   0

c) 1 x²  1  2x équivaut à x²  1  2x 1. Il faut que x  1.
2

Problèmes du 1er degré et du second degré 41

Pour x ≥ 1 ,
2

x²  1  2x  1 équivaut à x²  1  2x  1 ² équivaut à x²  1  4x²  4x  1

équivaut à 3x²  4x  0 équivaut à x(3x  4)  0

équivaut à x  0 à rejeter ou x = 4  1. SIR  4 
32  
 3 

d) 3x 1  x , il faut que x soit positif.

Pour x≥ 0,

3x  1  x équivaut à 3x 1  x ou 3x - 1 = - x équivaut à 2x  1 ou 4x = 1

équivaut à x  1 ou x = 1. SIR   21 , 1 
24 4 

e) x  2  1 3x  4

x -∞ - 2 1 +∞
3

x+2 -0 + +
x2 -x – 2 x + 2 x+2

1 – 3x + + 0-
1 3x 1 – 3x
1 – 3x - 1 + 3x

x  2 - 1 3x 2x – 3 4x + 1 -2x + 3

 Sur ]-∞ , - 2], l’équation est équivalente à 2x – 3 = 4 et par

conséquent x= 7  2 . Donc S1 =  
2

 Sur 2, 1  , l’équation est équivalente à 4x + 1 = 4 et par
3 

conséquent x= 3  2, 1 . Donc S2 = 
4 3 

 Sur  1 ,   , l’équation est équivalente à -2x + 3 = 4 et par
 3 

conséquent x= 1   1 ,   . Donc S3 = 
2  3 

Conclusion : SIR =  

f) SIR = {0 , 2}
Exercice 2

1 x 1 2  1 x équivaut à 2x  6  12  3(1 x) équivaut à 2x  6  9  3x

a) 3 2

équivaut à 15  x. SIR   15, 

Problèmes du 1er degré et du second degré 42

4(2x  1)2  (1 x)2 équivaut à (4x  2)2  (1 x)2
b)

équivaut à (4x  2)2  (1 x)2  0 équivaut à  5x  3  3x 1  0.

x -∞ 1 3 +∞   1 3 
3 5 +  3 5 
SIR ,
0
5x-3 - -
3x-1 -
(5x-3)(3x-1) + 0+ +

0 - 0+

x 1  x équivaut à x  1  x  0 équivaut à x  1 ²  x² 0

c) x x  1 x x 1 x(x  1)

équivaut à 2x  1  0
x(x  1)

x -∞ -1  1 0 +∞ SIR  , 1   1, 0
 2
2x + 1 - 2 + +
x - -0 + d)
- -0 + +
x+1 - - - + 3x  1  3 équivaut à 3x  1  3
0+
2x  1 +0
x(x  1)

SIR   ,  4    2 ,  
 3   3 

x  2  1 3x  0 équivaut à x  2  1 3x équivaut à(x  2)²  (1 3x)²

e) équivaut à (x  2)²  (1 3x)²  0 équivaut à 4x  12x  3  0

équivaut à x   1, 3  . SIR   1, 3 
 4 2   4 2 

f) 1 x² 1  2x équivaut à x² 1  2x 1 .

 Tout réel de l’intervalle  , 1  est une solution de cette
 2 

inéquation.

 Pour x ≥ 1 ,
2

x²  1  2x  1 équivaut à x²  1 4x²  4x  1 équivaut à 3x²  4x  0

équivaut à x(3x  4)  0 équivaut à x  0,4 
 3 

Problèmes du 1er degré et du second degré 43

 Conclusion : SIR   , 4 
3 

Exercice 3

Soit n un entier : n( n + 1) = n + n + 1 + 19 signifie n² + n = 2n + 20
signifie n² - n = 20 signifie n( n – 1) = 20. Donc n = 5

Exercice 4
Soit x l’âge du fils. L’âge du père est de x + 25
Mise en équation : x( x + 25) =116 Soit x² + 25x – 116 = 0

 = 25² - 4*(-116) = 625 + 464 = 1089 = 33²

x  25  33  29  ou x  25  33  8  4 
2 22

L’âge du fils est de 4. L’âge de père est de 29.

Vérification 29 = 4 + 25 et 29 * 4 = 116

Exercice 5

d = 480 km. Soit v la vitesse prévue.

1) 300  180  480
v  5 v  10 v

Signifie 300 v (v + 10) + 180 v ( v – 5) = 480 (v – 5) (v + 10)
Signifie 48 v² + 2100 v = 480 v² + 2400 v – 24000 signifie 300 v =

24000 signifie v = 80km/h.
Donc la vitesse réalisée sur la 1ére partie de 300 km est 75 km/h.
La vitesse réalisée sur la 2éme partie est 90 km/h.

2) Le retard au moment de changement de vitesse est de :

300  300 = 4h – 3h45 = 15 mn.
75 80

Exercice 6 :

1) a) a = 1, b = -4, c = 3.

a + b + c = 0 donc les solutions sont 1 et c  3
a

b) a = 7, b = 1, c = -6

a – b + c = 0 donc les solutions sont -1 et  c  6
a7

c) a = 2, b = -(1 + 3 ), c = - 1 + 3

a + b +c = 0 donc les solutions sont 1 et c   1 3
a2

d) 2x² = x signifie 2x² - x = 0 signifie x( 2x – 1 ) = 0

signifie x = 0 ou x = 1 . S  0, 1 
2  2 


Problèmes du 1er degré et du second degré 44

 e) 8x² + 4 2 x + 1 = 0 signifie 2 2x  1 ²  0 signifie 2 2 x + 1 = 0

signifie x  1   2 . S   2 
22 4  
4 

2°)a) (E1) : 2x² + 11x - 30 =0.
a = 2, b = 11, , c = - 30. ∆ = (11)² + 240 = 361 = 19² >0

x  11 19  15 ou x  11 19  2 . S   15 , 2
42 4  2 

(E2) : 2x² + 11x + 9 =0

a = 2, b = 11, , c = 9. a – b + c = 0. S  1, 9 
 2 


b) x² - 7x - 30 = 0
a = 1, b = - 7, c = - 30. ∆’ = 49 + 120 = 169 = 13²

x  7  13  3 ou x  7  13  10 . S  3,10

22
c) (2x2 + 11x)2 - 21(2x2 + 11x) - 270 = 0

On pose X = 2x²  11x

3

L’équation devient (3X)2 - 21(3X) - 270 = 0 qui est équivalente à ,

X² - 7X - 30 = 0 donc X = -3 ou X = 10

 X = -3 signifie 2x² + 11x = - 9 signifie 2x² + 11x + 9 = 0 signifie

x = -1 ou x = 9
2

 X = 10 signifie 2x² + 11x = 30 signifie 2x² + 11x - 30 = 0

signifie x = 2 ou x = 15
2

 Conclusion : S  1, 9 , 15 , 2
 2 2 

Exercice 7:

1°) a) 4x2² - 11x2 + 6 = 16 – 22 + 6 = 0 alors 2 est une solution de
l’équation 4x² - 11x + 6 = 0

b)Soit x’’ la seconde racine, 2x’’ = c  6  3  x "  3
a42 4

2°) 3  x  2   x  5 0
 3 

Soit (3x – 2) (x + 5) = 0 ou encore 3x² + 13x – 10 = 0.

3°) x  y  40
xy  624

 x + y = 40 signifie y = - x + 40

Problèmes du 1er degré et du second degré 45

 xy = - 624 signifie x(- x + 40) = - 624 signifie x² - 40x - 624 = 0
’ = 400 + 624 = 1024 = 32² > 0. Donc x  20  32  12 ou
x  20  32  52 . Donc il existe deux réels – 12 et 52 ayant pour 40 et
pour produit – 624.

Exercice 8

a) f(x)  x²  7x  6  x  1x  6 . pour x ≠ 1, f(x)  x  6 .
2x²  x 1 1  1  2x  1
2  x  x  2 

b) f(x)  2x²  3x  2
x²  x  6

On cherche à factoriser le numérateur et le dénominateur de ce

quotient. ∆ = 9 + 16 = 25 = 5² > 0.
 2x² + 3x – 2

Ce trinôme admet 3  5  2 et 3  5  1 pour racines.
4 42

Donc 2x² + 3x – 2 = 2(x + 2)  x  1 
 2 

 -x² + x + 6. ∆ = 1 + 24 = 25

Les racines de ce trinôme sont : 1 5  3 et 1 5  2 .
2 2

Donc –x² + x + 6 = -( x + 2) (x – 3).

2  x  2  x  1  2x  1 .
 2  x  3
Pour x ∈ IR 2,3 , f(x)  
x  2x  3

c) f(x)  4x4  3x²  1
x² 1

Pour tout réel x on a : 4x4 + 3x² - 1 = 4x²  1  x²  1
 4 

Pour tout réel x, x² + 1 ≠ 0. Donc pour tout réel x, f(x) = 4x² - 1.

Exercice 9
1°) (a – b)²x² - (a² - b²)x + ab = 0, a et b deux réels a ≠ b

 =(a² - b²)² - 4(a – b)²ab = (a – b)²(a + b)² - 4(a – b)²ab.
= (a – b)²[(a + b)² - 4ab] = (a – b)²(a – b)² = (a – b)4.

a²  b²  (a  b)² b , x ''  a²  b²  (a  b)²  a

x'   ab
2(a  b)² 2(a  b)² a b

SIR   a a b , a b b 
   
 

2°) x + 12 = x. On pose X = x IR 

Problèmes du 1er degré et du second degré 46

X + 12 = X² signifie X² - X – 12 = 0. ∆ = 1 + 48 = 49 = 7².

X  1 7  3 à rejeter ou X  1 7 4 . Donc SIR = {16}
2 2

3) x4 + 3x² - 10 = 0

On pose x = x².
L’équation devient x² + 3x – 10 = 0.
∆ = 9 + 40 = 49 = 7² > 0.

donc x = 3  7 = -5 < 0 à rejeter ou x = 3  7 = 2 ∈ IR+.
2 2

 X = 2 signifie x² = 2 signifie x = 2 ou x = - 2 . SIR=  2, 2 .

4) 2x² - 3 x + 1 = 0.

On pose t = x .
L’équation équivaut à 2t² - 3t + 1 = 0.
2 + (-3) + 1 = 0 donc t = 1 ou t = 1

2
t = 1 signifie x = 1 signifie x = 1 ou x = -1.

t = 1 signifie x = 1 ou x =  1 .
2 22

Conclusion : SIR   1 , 1, 1 ,1 .
 2 2 

5) x²  3x  x  1signifie x²  3x  1 x

Cette équation a un sens si x ∈ ,1

Pour x ∈ ,1 ,

x²  3x  1 x équivaut à x² - 3x = 1 – x ou x² - 3x = x – 1

équivaut à x² - 2x = 1 ou x² - 4x = -1

équivaut à (x – 1)² - 1 = 1 ou (x – 2)² - 4 = -1
équivaut à (x – 1)² = 2 ou (x – 2)² = 3.

x  1  2  1 x  2  3  1
 
équivaut à : ou ou ou

x = 1 - 2  1 x = 2 - 3  1

 SIR  1 2,2  3

6) 2x² - x  1 - 2 = 0.

 Sur l’intervalle , 1 on obtient : 2x² + (x + 1) – 2 = 0

2x² + x – 1 = 0 équivaut à x = -1 ≤ -1 ou x = 1 > -1.
2

Problèmes du 1er degré et du second degré 47

 Sur l’intervalle 1, 

2x² - x – 3 = 0 équivaut à x = -1 ou x = 3 ≥ -1.
2

Conclusion : S  1, 3  .
 2 


7) x²  5x  4  2x  2
Cette équation a un sens si : x² + 5x + 4 ≥ 0 et 2x – 2 ≥ 0.

Le trinôme x² + 5x + 4 admet -1 et -4 pour racines et a = 1 > 0.

Donc x² + 5x + 4 ≥ 0 si x ∈ ,4 1, par conséquent,

l’équation a un sens si x ∈ 1,  .

Pour x ≥ 1.

x²  5x  4  2x  2 équivaut à x² + 5x + 4 = 4x² - 8x + 4

équivaut à 3x² - 13x = 0 équivaut à x = 0 < 1 ou x = 13 ≥ 1.
3

Conclusion : S  13  .
 
 3 

Exercice 10

 Pour b ≠ c, a²(b – c) + b²(c – a) + c²(a – b) est un trinôme du
second degré en a qui s’annule en b et c, donc

a²(b – c) + b²(c – a) + c²( a – b) = (b – c) (a – b) (a – c)
= (a – b) (c – a) (c – b)

 Pour b = c.
a²(b – c) + b²(c – a) + c²(a – b) = 0 = (a – b) (c – a) (c – b).

Conclusion : Pour tout réel a, b et c.
a²(b – c) + b²(c – a) + c²(a – b) = (a – b) (c – a) (c – b).

Exercice 13

x² - 2mx + m + 2 est un trinôme de second degré et a = 1 >0.
Soit ∆’ le discriminant réduit de ce trinôme. ∆’ = m² - m – 2.

x² - 2mx + m + 2 > 0, pour tout réel x, si et seulement si ∆’ < 0 et a >0.
Le trinôme, en m, m² - m – 2 admet – 1 et 2 pour racines et admet 1

pour coefficient du monôme du second degré donc m² - m – 2 < 0

équivaut à m  1,2 .

L’ensemble des réels m tels que pour tout réels x, x² - 2mx +m +2 > 0

est 1,2

Exercice 15

a) a – b + c = 0 et a < 0 , S  ,1 12 ,  .
 5

Problèmes du 1er degré et du second degré 48

b) -5x4+ 7x² + 12 = 5x²  1  x²  12  .
 5 

-5x4 + 7x² + 12 > 0 signifie 5  x²  1  x²  12   0 signifie x² - 12 < 0
 5  5

 12   x  12   0 .  12 , 12  .
signifie  x  5   5  SIR =  5 5 



c) Le trinôme x² - 3x – 4 admet -1 et 4 pour racines et a = 1 > 0.

Le trinôme x² + 3x – 4 admet 1 et -4 pour racines et a = 1 > 0.

X -∞ -4 -1 1 4 +∞

x² - 3x – 4 + +0 - -0 +

x² + 3x – 4 +0- -0+ +

x²  3x  4 + -0+ -0+
x²  3x  4

S  ,4 1,1 4, .

d) 1  x signifie 1  x  0 signifie 1 x²  0 .
xx x

x -∞ -1 01 +∞

1 – x² - 0+ +0 -

x - - 0+ +

1 x² +0 - +0 -

x

S  1,0 1, .

e) 2  x  2 signifie 2  (x  1)(x  2)  0 signifie x²  3x  0 .
x 1 x 1 x 1

x -∞ 0 13 +∞
-
– x²+3x - 0+ +0

x-1 - - 0 + +

x²  3x +0 - +0 -

x 1

SIR = ,0 1,3 .

f) 5x²  1  x signifie 5x²  1  x  0 signifie 5x²  1 3x  2x²  0
3  2x 3  2x 3  2x

signifie 7x²  3x  1  0 .
3  2x

 Déterminons le signe du trinôme 7x² - 3x + 1.
∆ = 9 – 28 < 0 et a = 7 > 0. Donc x  , 7x² - 3x + 1 >0

Problèmes du 1er degré et du second degré 49

5x²  1  x signifie 7x²  3x  1  0 signifie 3 – 2x < 0 signifie x > 3 .
3  2x 3  2x 2

S   3 ,  .
 2

g) 2x² - x  1  2  0

 Sur l’intervalle , 1

2x² - x  1  2  0 équivaut à 2x² + x – 1 ≥ 0.

Le trinôme 2x² + x – 1 admet -1 et 1 pour racines et a = 2 > 0.
2

Donc 2x² + x – 1 ≥0 équivaut à x  ,1  1 ,  
 2 

alors S1  ,1

 sur l’intervalle 1, 

2x² - x  1  2  0 équivaut à 2x² - x – 3 ≥ 0.

Le trinôme 2x² - x – 3 admet -1 et 3 pour racines et a = 2 > 0

Donc 2x² – x -3 ≥0 équivaut à x ,1 3, alors S2  3, .

Conclusion : S  , 1 3,  .

h) 2x  3 1 4x²  0

 Condition : Cette inéquation a un sens si 1 – 4x² ≥ 0.

1 – 4x² ≥ 0 équivaut à x   1 , 1  .
2 2 

inéquation a un sens si x   1 , 1 
2 2 

 Résolution :  1 et 1 sont des solutions de cette inéquation.
22

Pour x    1 , 1  , l’inéquation est équivalente à 2x + 3 ≤ 0.
2 2 

C'est-à-dire x ≤  3 ce qui est impossible
2

Conclusion : S   1 , 1  .
 2 2 


Exercice 16 d = (0,007)*90² + (0,8)*90 = 128,7 m
1) Pour v = 90,

Pour v = 120 km/h, d = (0,007)*120² + 0,8*120 =196,8 m
2)