L'incontournable en algèbre

Généralités sur les fonctions 150

Application 6
les courbes suivantes représentent une fonction numérique

2y 1234 x 4y
1 3
C2 2
0
-1 C5 1 1x
-2
-2 -1 0
-1

Application 7

Soit f la fonction définie sur IR par : f(x)  2x²  5x .

1°) Pour tout réel x, 2  x  5 2  25  2  x²  5x  25   25  f(x)
 2  2  4  2

2°) f admet un minimum en 5 .
2

Application 8

Soit f la fonction définie sur IR par : f(x)  2x .
x² 1

1°) Pour tout réel x, x² + 1 - 2x = (x – 1)² ≥ 0 alors x² + 1 ≥ 2x

2°) On a : Pour tout réel x, x² + 1 ≥ 2x alors pour tout réel x,

f(x) ≤ 1 = f(1) donc f admet un maximum en 1.
Application 9

Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = - 3x + 1.

f est décroissante sur IR
Application 10

Soit f la fonction définie par : f(x)  1 .
1 2x

Soient a et b deux réels de  1 ,   tels que a < b.
 2 

1 < a < b alors 0 > 1 – 2a > 1 – 2b alors 1  1
2 1 2a 1 2b

alors f(a) < f(b) donc f est strictement croissante sur  1 ,  .
 2

Application 11

1°) f est décroissante sur chacun des intervalles [- 2 , - 1] et [0 , 2] et

croissante sur chacun des intervalles [- 1 , 0] et [2 , 4]

2°) f admet un maximum en 0 égal à 4 et un minimum en 2
égal à – 1.

Généralités sur les fonctions 151

Application 12

a) f est paire.

b) f est paire

c) f est paire
d) f n’est ni paire ni impaire

Généralités sur les fonctions 152

Exercices intégratifs

Exercice 1

Déterminer le domaine de définition de f

a) f(x)  x²  3x e) f(x)  x x j) f(x)  x²  3x
x 1 x 1 x 1
x 2 1
b) f(x)  2x f) f(x)  1 2x k) f(x) 
x² 1 g) f(x)  6x  x² l) f(x)  3 x 1
h) f(x)  x²  4x  3
c) f(x)  x²  3x
2x²  5x  3

d) f(x)  x  2 i) f(x)  3x
x 1 x 1

Exercice 2

Soit f la fonction définie sur [-4 , 6], dont on donne le tableau de

variation est le suivant

x -4 - 1 0 13 6

58 4

Variations de f 0

0 -3

1°) Déterminer les extrema de f.

2°) Comparer f(- 2) et f(2).

3°) Encadrer f(x) pour x un réel de [0 , 3].

Exercice 3

Soit f une fonction telle que pour tout réel x, 2f(x) - f(-x) = x² -3x
1°) Déterminer l’image de zéro par f.

2a  b  2
2°)a) Résoudre dans IRxIR le système suivant : a  2b  4

b) En déduire que f(1) = 0 et f(- 1) = 2.
3°) Exprimer f(x) en fonction de x pour tout réel x.

Exercice 4
On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction f.

1°) Donner le domaine de définition de f.
2°) Déterminer graphiquement l’image de 0 par la f.
3°)a) Déterminer s’ils existent, les antécédents de 2 par f.

b) Déterminer s’ils existent, les antécédents de – 1.5 par f.
4°)a) Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 0

b) Résoudre graphiquement l’inéquation f(x) ≤ 0.

5°) Décrire les variations de la fonction f.

6°) Quels sont les extrema de la fonction f ?

Généralités sur les fonctions 153

3y

2

1
j
-2 -1 0 i 1 2 3 4 5 x
-1

Exercice 5

Compléter :

Egalité Traduction Interprétation graphique

fonctionnelle Cf passe par le point A(-1,2)

f(-1) = 2 2 est l’image de – 1 Cf passe par le point B(1,4)

par f La représentation graphique de la
fonction f coupe l’axe des ordonnées au
f(0) = - 3 point d’ordonnées 3.

2 est un antécédent
de – 1 par f

5 a pour image -4
par la fonction f

f(1)=f(3)=0

Exercice 6

Les courbes ci-contre
représentent deux fonctions

f et g définies sur [-3 , 6]
1°) Décrire les variations de
chacune des fonctions f et g.

2°) Résoudre graphiquement :
a) l’équation f(x) = g(x) ;
b) l’inéquation f(x)  g(x).

Généralités sur les fonctions 154

5y

Exercice 7 4
Le graphique ci-contre représente

une partie de la courbe 3 (C)
représentative d’une fonction f 2

définie sur [-4 , 4].

Compléter la courbe de f dans 1 5x
chacun des cas suivants : j

a) f est paire. -1 0 i 1 2 3 4
b) f est impaire.

Exercice 8 -1

1°) Tracer une courbe susceptible

de représenter une fonction f sachant que :
 f est définie sur l’intervalle [-3 ; 3] ;

 f est croissante sur [-3 ; -1] ;

 f est décroissante sur [-1 ; 3] ;

 pour tout x[-3 ; 3], -1  f(x)  3.

2°) Tracer une courbe susceptible de représenter la fonction g

sachant que :
 g est définie sur l’intervalle [-3 ; 4] ;

 g admet un minimum en -1 et un maximum en 2 ;

 les images de -3 et de 4 sont respectivement 2 et 1 ;

 0 a deux antécédents : - 2 et 0.

Exercice 9

Soit f la fonction définie par : f(x) = x²  1
4x

1°) Déterminer le domaine de définition de f.
2°)a) Etudier la parité de la fonction f.

b) Quelle propriété la courbe représentative de f possède-t-elle ?
3°)a) Etudier le sens de variation de f sur ]0, +∞[.

b) En déduire le sens de variation de f sur ]- ∞, 0[

Exercice 10
Soit f la fonction définie par : f(x)  2x  1

x 1
1°) Déterminer le domaine D de définition de f.
2°) Déterminer les réels a et b tels que pour tout x de D,

f(x)  a  b .
x 1

3°) Etudier le sens de variation de f sur chacun des intervalles ]-∞, -1[
et ]- 1 , +∞[.

Généralités sur les fonctions 155

Exercice 11 Le mur A
M et Mme X ont un chien. D
Ils veulent lui faire un enclos
rectangulaire contre le mur du jardin.
Pour cela ils disposent de 80m de
grillage.
Leur but et donc en utilisant la totalité
de ce grillage, d’obtenir l’enclos à la

surface la plus grande.

1°) Donner un exemple de mesure C B
possible pour les côtés AB et BC.

Soit x la mesure en m du côté AB.
2°) Déterminer l’ensemble des valeurs possibles de x.

3°) Le côté AB mesure x m, quelle est la mesure du côté BC ? et que
vaut l’aire du rectangle ainsi construit ?
4°) On pose f(x) l’aire du rectangle ABCD.

a) Vérifier que f(x)  80x  2x² .

b) Soient a et b deux réels de ]0, 40[.
Montrer que f(b) – f(a) = (b - a)(80 - 2b - 2a)

c) Etudier le sens de variation de f sur chacun des intervalles

]0, 20] et [20, 40[
5°) En s’aidant de toutes les réponses aux questions précédentes,
quel conseil sur les dimensions de l’enclos peut-on donner à M et

Mme X?

Exercice 12

1°) Soit f la fonction définie par : f(x) = x3 - 1
x

a) Donner l’ensemble de définition de f.

b) Etudier la parité de f.
c) Etudier le sens de variation de f sur ]0 ; +[
d) Que dire du sens de variation de f sur ] -  ; 0[ ?

2°) Soit g la fonction définie par g(x) = x² - 1
x²

a) Donner l’ensemble de définition de g.

b) Etudier la parité de g.
c) Etudier le sens de variation de g sur ]0 ; +[
d) Que dire du sens de variation de g sur ] -  ; 0[ ?

Exercice 13

Soit f une fonction définie sur IR par : f x  x2  x  4 .

4
1°)a) Déterminer l’image de 2 par f.

Généralités sur les fonctions 156

b) Montrer que pour tout réel x, f(x) – f(2) ≥ 0. Que peut-on déduire
pour la fonction f ?
2°) Soient a et b deux réels.

a) Montrer que f(b)  f(a)  (b  a)(b  a  1)
4

b) Montrer que si a  2 et b  2 alors a  b  1  0
4

c) Etudier les variations de f dans l’intervalle ]− ∞ ; 2] puis dans
l’intervalle [2 ; + ∞[

3°) On a représenté la restriction de f à
l’intervalle [- 2 , 8]. En utilisant le graphique
répondre aux questions suivantes.

a) Résoudre dans [-2 , 8] l’équation f(x) = 4
b) Résoudre dans [-2 , 8] l’inéquation f(x) ≥ 4
c) Résoudre dans [-2 , 8] l’équation :
x2  x  4  x  4
4

Exercice 14

On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = 2x²  1

1°) Montrer que f admet un minimum en x = 0

2°) Etudier la parité de f

3°)a) Etudier le sens de variation de f sur IR+.

b) En déduire le sens de variation de f sur IR-.

4°) On a représenté f. 4y
a) Déterminer à l'aide du graphique le

nombre de solutions de l'équation

f(x) = 3. 3
b) Résoudre algébriquement dans IR,

l'équation f(x) = 3. 2
1
x
5°) Soit g la fonction définie par g(x)   4

2
a) Tracer sur le graphique ci-contre la

courbe de g.

b) Résoudre graphiquement l'inéquation -3 -2 -1 0 1 2 3x
x

f(x)   4 .
2

Exercice 15

Généralités sur les fonctions 157

Un campeur dispose d'une bâche

carrée de 3 m de côté qu'il utilise

comme toile de tente.

On pose AH = x et on considère A
que le triangle ABC est isocèle.

Le but du problème est de

déterminer quelle hauteur x de piquet

choisir pour que le volume de la tente

soit maximum. B H C
1°) À quel intervalle x appartient-il ?

2°)a) Exprimer BH en fonction de x.

b) En déduire l'aire de ABC en fonction de x.

3°) On note f(x) le volume de la tente.

a) Vérifier que f(x)  x 9  x² .

b) Soient a et b deux réels de 0, 3  , vérifier que
2 

f(b)2  f(b)2  (b²  a²)(9  a²  b²).

c) En déduire le sens de variation de f. Conclure.

Généralités sur les fonctions 158

Solutions des exercices intégratifs

Exercice 1

a) Df = 1

b) Df = IR

c) Df =  1 , 3
 2 


d) Df = 1,1

e) Df = 0, 1

f) Df =  , 1 
2 

g) x ∈ Df signifie 6x – x²≥ 0 d’où Df = [0, 6]

h) x ∈ Df signifie x² + 4x + 3 ≥ 0 d’où Df  ,3  1, 

i) x ∈ Df signifie 3x  0
x 1

Df  ,1 0,

j) x ∈ Df signifie x² - 3x ≥ 0 et x ≠ 1
x² - 3x ≥ 0 signifie x ∈ ]-∞, 0] ∪ [3, +∞ [, 1  ]-∞, 0] ∪ [3, +∞ [

alors Df = ]-∞, 0] ∪ [3, +∞ [.
k) x ∈ Df signifie x  2  1 0 signifie x  2  1 signifie x + 2 ≥ 1

ou x + 2 ≤ -1 signifie x ∈ ]-∞, -3] ∪ [-1, +∞ [
Dj = ]-∞, -3] ∪ [-1, +∞ [

l) x ∈ Df signifie 3  x  1  0 signifie x  1  3

signifie -3 ≤ x + 1 ≤ 3 signifie -4 ≤ x ≤ 2 signifie Df = [-4, 2]
Exercice 2

Soit f la fonction définie sur [-4 , 6], dont on donne le tableau de

variation est le suivant

x -4 - 1 0 13 6

58 4

Variations de f 0

0 -3
1°) f admet un minimum en 1 égal à – 3 et un maximum en 0 égal à

8.

2°) f est décroissante sur [- 4, - 1] alors pour tout x[-4, - 1]
f(x) ≥ f(- 1) = 0 et f est croissante sur [1 , 3] alors pour tout x de [1 , 3]

f(x) ≤ f(3) = 0 donc f(- 2) ≥ 0 ≥ f(2).
3°)Pour tout x de [0 , 3], - 3 ≤ f(x) ≤ 8.

Généralités sur les fonctions 159

Exercice 3
Pour tout réel x, 2.f(x) – f(-x) = x² - 3x (1)
1°) Pour x = 0, 2.f(0) – f(0) = 0 alors f(0) = 0

2°)a) 2a  b  2 signifie 4a  2b  4
a  2b  4 a  2b  4

signifie 3a 0  4 signifie a  0
a  2b b  2

b) pour x = 1 on a : 2.f(1) – f(-1) = -2

pour x = -1, on a : 2.f(-1) – f(1) = 4

2.f(1)  f(1)  2
f(1)  2.f(1)  4

Alors f(1) = 0 et f(-1) = 2
3°) On a : pour tout réel x, 2.f(x) – f(-x) = x² - 3x alors pour tout x

2.f(-x) – f(x) = x² + 3x signifie –f(x) + 2.f(- x) = x² + 3x (2)

2 x (1) + (2) donne 3.f(x) = 3x² - 3x d’où pour tout réel x,

f(x) = x² - x.

Exercice 4
On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction f.

1°) Df = [-2 ,5]

2°) f(0) = 1.

3°)a) Les antécédents de 2 par f sont les abscisses des points
d’intersection de la courbe de f et la droite y = 2 donc les antécédents
de 2 par f sont – 2, (3,5) et 5

b) – 1.5 n’a pas d’antécédent par f .

4°)a) f(x) = 0 signifie x = - 1, x = 1 ou x = 3
b) f(x) ≤ 0 signifie x[1, 3]{- 1}.

5°) f est décroissante sur chacun des intervalles : [- 2 , - 1], [0, 2] et

[4,5].

f est croissante sur chacun des intervalles [- 1, 0] et [2, 4]
6°) f admet un minimum en 2 égal à – 1 et un maximum en 4 égal 3.

Exercice 5 Traduction Interprétation graphique
Egalité
fonctionnelle Cf passe par le point A(-1,2)
f(-1) = 2 Cf passe par le point E(0 , 3)
2 est l’image de – 1 Cf passe par le point F(2, -1)
f(0) = - 3 par f
-3 est l’image de 0
f(2) = - 1 par f

2 est un antécédent

Généralités sur les fonctions 160

f(1) = 4 de – 1 par f Cf passe par le point B(1,4)
f(5) = -4 1 est un antécédent
f(0) = 3 de 4 par f M(5 , - 4) est un point de Cf
5 a pour image -4 par
f(1)=f(3)=0 la fonction f La représentation graphique de la
0 a pour image 3 par fonction f coupe l’axe des ordonnées au
la fonction f point d’ordonnées 3.
Cf passe par les points I(1,0) et J(3 , 0)
1 et 3 sont des
antécédents de 0 par
f

Exercice 6
1°) °) f est croissante sur chacun des intervalles : [- 3 , 0] et [4,6].
f est décroissante sur [0, 4]
g est décroissante [- 3, 6]
2°)a) f(x) = g(x) signifie x = - 2 ou x = 2 ou x = 5

b) f(x)  g(x) signifie x[- 3 , - 2][2, 5]

Exercice 7

5y

4

3

2 (C)

1
j

-4 -3 -2 -1 0 i 1 2 3 4 x

a) -1 .

Généralités sur les fonctions 161

5y

4

3

2 (C)

1
j

-4 -3 -2 -1 0 i 1 2 3 4 x
-1

-2

-3

-4

b) -5
Exercice 8
(C)
1°)

3y
2

1
j
-3 -2 -1 0 i 1 2 3 x
-1

2°)

Généralités sur les fonctions 162

3y

(C)

2

1
j
-3 -2 -1 0 i 1 2 3 4 x
-1

Exercice 9

Soit f la fonction définie par : f(x) = x²  1
4x

1°) Df = IR*.

2°)a) Pour tout réel xIR*, - x IR* et f(-x) = f(x) alors f est paire .
b) Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

3°)a) Soient a et b deux réels strictement positifs distincts.

f(b)  f(a)  b²  1  a²  1  a(b²  1)  b(a²  1)  ab(b  a)  (b  a)
4b 4a

ba ba 4ab(b  a) 4ab(b  a)

 ab  1  0
ab

Donc f est strictement croissante sur ]0, +∞[ .

b) Soient a et b deux réels strictement négatifs.
a < b < 0 alors – a > - b > 0 et f est strictement croissante sur ]0, +∞[
alors f(- a) > f(- b) or f est impaire donc – f(a) > - f(b) d’où f(a) < f(b) et

par suite f est strictement croissante sur ]- ∞, 0[

Exercice 10

Soit f la fonction définie par : f(x)  2x  1
x 1

1°) Df = IR\{- 1}.

2°) Pour tout x de D, f(x)  2  3 .
x 1

3°) Soient a et b deux réels de Df tels
que a≠b.

sur chacun des intervalles ]-∞, -1[ et Le mur

]- 1 , +∞[.

Exercice 11 D A

CB

Généralités sur les fonctions 163

M et Mme X ont un chien.
Ils veulent lui faire un enclos rectangulaire contre le mur du jardin.
Pour cela ils disposent de 80m de grillage.
Leur but et donc en utilisant la totalité de ce grillage, d’obtenir l’enclos
à la surface la plus grande.
1°) Donner un exemple de mesure possible pour les côtés AB et BC.
Soit x la mesure en m du côté AB.
2°) Déterminer l’ensemble des valeurs possibles de x.
3°) Le côté AB mesure x m, quelle est la mesure du côté BC ? et que
vaut l’aire du rectangle ainsi construit ?
4°) On pose f(x) l’aire du rectangle ABCD.

d) Vérifier que f(x)  80x  2x² .

e) Soient a et b deux réels de ]0, 40[.
Montrer que f(b) – f(a) = (b - a)(80 - 2b - 2a)

f) Etudier le sens de variation de f sur chacun des intervalles
]0, 20] et [20, 40[

5°) En s’aidant de toutes les réponses aux questions précédentes,
quel conseil sur les dimensions de l’enclos peut-on donner à M et
Mme X?
Exercice 12
1°) Soit f la fonction définie par : f(x) = x3 - 1

x
e) Donner l’ensemble de définition de f.
f)Etudier la parité de f.
g) Etudier le sens de variation de f sur ]0 ; +[
h) Que dire du sens de variation de f sur ] -  ; 0[ ?
2°) Soit g la fonction définie par g(x) = x² - 1

x²
e) Donner l’ensemble de définition de g.
f)Etudier la parité de g.
g) Etudier le sens de variation de g sur ]0 ; +[
h) Que dire du sens de variation de g sur ] -  ; 0[ ?

Exercice 13

Soit f une fonction définie sur IR par : f x  x2  x  4 .

4
1°)a) Déterminer l’image de 2 par f.

b) Montrer que pour tout réel x, f(x) – f(2) ≥ 0. Que peut-on déduire
pour la fonction f ?
2°) Soient a et b deux réels.

a) Montrer que f(b)  f(a)  (b  a)(b  a  1)
4

Généralités sur les fonctions 164

b) Montrer que si a  2 et b  2 alors a  b  1  0
4

d) Etudier les variations de f dans l’intervalle ]− ∞ ; 2] puis dans
l’intervalle [2 ; + ∞[

3°) On a représenté la restriction de f à
l’intervalle [- 2 , 8]. En utilisant le graphique
répondre aux questions suivantes.

d) Résoudre dans [-2 , 8] l’équation f(x) = 4
e) Résoudre dans [-2 , 8] l’inéquation f(x) ≥ 4
f) Résoudre dans [-2 , 8] l’équation :
x2  x  4  x  4
4

Exercice 14

On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = 2x²  1

1°) Montrer que f admet un minimum en x = 0 4y
2°) Etudier la parité de f
3°)a) Etudier le sens de variation de f sur IR+.

b) En déduire le sens de variation de f sur IR-.
4°) On a représenté f.

c) Déterminer à l'aide du graphique le
nombre de solutions de l'équation

f(x) = 3. 3
d) Résoudre algébriquement dans IR, 2
1
l'équation f(x) = 3.
-3 -2 -1 0 1 2 3x
x
5°) Soit g la fonction définie par g(x)   4

2
c) Tracer sur le graphique ci-contre la

courbe de g.
d) Résoudre graphiquement l'inéquation

x
f(x)   4 .

2

Exercice 15 A
Un campeur dispose d'une bâche
carrée de 3 m de côté qu'il utilise
comme toile de tente.
On pose AH = x et on considère
que le triangle ABC est isocèle.
Le but du problème est de

BH C

Généralités sur les fonctions 165

déterminer quelle hauteur x de piquet choisir pour que le volume de
la tente soit maximum.
1°) À quel intervalle x appartient-il ?
2°)a) Exprimer BH en fonction de x.

b) En déduire l'aire de ABC en fonction de x.
3°) On note f(x) le volume de la tente.

d) Vérifier que f(x)  x 9  x² .

e) Soient a et b deux réels de 0, 3  , vérifier que
2 

f(b)2  f(b)2  (b²  a²)(9  a²  b²).

f) En déduire le sens de variation de f. Conclure.

Fonctions de référence 166

Résumé du cours

1°) Fonctions du type f(x) = a x² + b x + c ; a ≠ 0

Fonctions du type f(x) = a x² ; a ≠ 0

 Le plan est muni d’un repère orthogonal O,i, j .

Soit a un réel non nul. La courbe représentative de la fonction f
définie sur IR par : f(x) = a x², est une parabole de sommet O et d’axe
de symétrie la droite d’équation x = 0.

Application 1

Soit f la fonction définie par : f(x) =  1 x² et T sa courbe
 2 

 représentative dans un repère orthogonal O,i, j .

1°) Préciser la nature de T.

2°) Compléter le tableau suivant :

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x)

3°) Tracer T.

Application 2 4y
Associer chaque fonction à sa courbe

F(x) = - x² C1 3

G(x) = 2x² C2 2 C1
C2

H(x) = 1 x² 1
3
C3 -2 -1 0 1 2 3x

T(x) = -2x² C4 C4 -1
-2 C3

-3

Fonctions de référence 167

Fonctions du type f(x) = a (x - α)² ; a ≠ 0

Le plan est muni d’un repère orthogonal 4y

O,i, j .

Soit a un réel non nul et α un réel. 3
2
La courbe représentative de la fonction f 1

définie sur IR par : 0 1 2x
f(x) = a(x – α)², est une parabole de
sommet S(α, 0) et d’axe de symétrie la
droite d’équation x = α.
Application 3
Le plan est muni d’un repère orthogonal

O,i, j .

Déterminer le sommet et l’axe la parabole P dans chacun des cas

suivants :
a) P : y = 2(x – 1)² b) P : y = (x + 2)² c) P : y = (2x – 3)²

Fonctions du type f(x) = x² + β

 Le plan est muni d’un repère orthogonal O,i, j .

Soit β un réel.

La courbe représentative de la fonction f définie sur IR par :

f(x) = x² + β, est une parabole de sommet S(0, β) et d’axe de

symétrie la droite d’équation x = 0. 3y
Application 4

Soit f une fonction définie par : f(x) = x² +  2

et dont la courbe est donnée ci-contre 1

1°) Déterminer .

2°) Tracer la courbe de la fonction g -2 -1 0 1 2x

définie par : g(x) = 1 + f(x). -1

-2

Fonctions du type f(x) = ax² + bx

+c;a≠0

Soit a, b et c trois réels, avec a ≠ 0.
 Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = a x² + b x + c.
f(x) peut s’écrire sous la forme f(x) = a(x – α)² + β, où α et β

sont deux réels.

  Le plan est muni d’un repère orthogonal O,i, j .

La courbe représentative de la fonction f définie sur IR par

Fonctions de référence 168

f(x) = a (x – α)² + β, est une parabole de sommet S(α, β) et
d’axe de symétrie la droite d’équation x = α.
Application 5

 Le plan est muni d’un repère orthogonal O,i, j . Compléter :

Equation de la parabole P Sommet S et axe 
y = (x – 1)² + 1
y = (x – 2)² - 1

y = 3(x + 1)² - 2

y = x² - 4x

y = 2x² - x + 1

Application 6
On donne ci-dessous les représentations graphiques de six fonctions
que l'on peut considérer comme déduites de la fonction f : x 2x2 :

f1 : x 2x2 ; f2 : x 2  x  1 2 ; f3 : x 2x2  1 ;

f4 : x 2  x  2 2  3 ; f5 : x 2x2  x ; f6 : x 2x2  4x  3 .

1y y y

y

0 1x1 P...

P... 01 x P...

1 1

P...

0 1x 0 x1

yy

P... P...

1

1

0 1x

01 x

1°) Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond.

On notera P la parabole représentant f et Pi la parabole
représentant fi ,
2°) Quelle transformation géométrique permet de passer de la

parabole P à la parabole représentant chacune des fonctions f1 , f3 ,
f4 , f5 , f6 ?

Fonctions de référence 169

2°) Fonctions du type f(x) = x  b

  Le plan est muni d’un repère orthogonal O,i, j .

ci-contre, la courbe représentative de la fonction g définie sur

0,  par g(x) = x .

 La courbe représentative de la fonction f définie par :
f(x) = x  b est l’image par la translation de vecteur -b i de la

courbe de la fonction g définie sur 0,  par g(x) = x .

Application 7

Soit b un réel et fb la fonction définie par : fb(x)  x  b . On désigne

 par Cb la courbe de fb dans un repère orthogonal O,i, j .Déterminer b

dans chacun des cas suivants : 2y b=.....
2y Cb
Cb
1
1
j b=..... j

0 i 1 2 3 4 5x -2 -1 0 i 1 2 3 x

3°) Fonctions de type f(x) = ax  b c ≠ 0

cx  d
Fonctions du type f(x) = a ; a ≠ 0

x

  Le plan est muni d’un repère orthogonal O,i, j .

 Soit a un réel non nul.
 La courbe représentative de la fonction f définie sur IR* par

f(x) = a est une hyperbole de centre O et d’asymptotes les
x

droites d’équations x = 0 et y = 0.

Application 8

 Dans le plan muni d’un repère orthogonal O,i, j , tracer la courbe (H)

de la fonction f définie sur IR* par : f(x)  2
x

Fonctions de référence 170

Fonctions du type f(x) = 1 + β
x

  Le plan est muni d’un repère orthogonal O,i, j .

 Soit β un réel non nul.
 La courbe représentative de la fonction f définie sur IR∗ par

f(x) = 1 + β, est une hyperbole de centre I(0, β) et
x

d’asymptotes les droites d’équations x = 0 et y = β.
Application 9

 Le plan est muni d’un repère orthogonal O,i, j ,

Soit f la fonction définie sur IR* par: f(x)  2  1 et (C ) sa courbe
x

représentative.
1°) Tracer ( C ).

2°) Soit g la fonction définie sur IR* par : g(x)  2 1 et ( C’ ) sa
x

courbe représentative.
a) Montrer que g est paire.
b) Construire ( C’ ) à partir de (C ).

Fonctions du type f(x) = a ; a ≠0
x

  Le plan est muni d’un repère orthogonal O,i, j .

 Soit a un réel non nul et α un réel.
 La courbe représentative de la fonction f définie sur IR privé de

– α par f(x) = a est une hyperbole de centre I(-α, 0) et
x

d’asymptotes les droites d’équations x = -α et y = 0.

Fonctions du type f(x) = ax  b ;c≠0
cx  d

  Le plan est muni d’un repère orthogonal O,i, j .

 Soit a, b, c et d quatre réels, avec c non nul.

Fonctions de référence 171

 La courbe représentative de la fonction f définie sur IR privé de

d par : f(x) = ax  b est une hyperbole de centre I   d , a  et
c cx  d  c c 

d’asymptotes les droites d’équations x =  d et y = a .
cc

Application 10

 Le plan est muni d’un repère orthogonal O,i, j ,

Soit a et b deux réls tels que ab  1 et f la fonction définie sur IR{b}
par : f(x)  ax  1

xb

On désigne par  la courbe représentative de f.
1°) a) Quelle est la nature de  ?

b) Déterminer a et b sachant que I(3, 2) est le centre .
Pour la suite on prendra a = 2 et b = 3.
2°)a) Déterminer les points d’intersection de  avec les axes du
repère.

b) Préciser les asymptotes de . Tracer .

Fonctions de référence 172

Evaluation du degré d’assimilation du cours
Pour chacune des situations ci – dessous, relevez sur votre cahier les
numéros des propositions qui vous semblent vraies

Situation 1

La courbe de la fonction f définie par : f(x) = 2x² - 1 est une parabole
d’axe de symétrie la droite d’équation :

1°) x = 0 2°) x = 1 3°) x  1
2

Situation 2

 Le plan est muni d’un repère O,i, j . Soit f la fonction définie par :

f(x) = 4x² et  sa courbe représentative. Soit g une fonction de
courbe représentative ’.

1°) Si  '  t () alors pour tout réel x, g(x) = 4(x + 1)²
i

2°) Si  '  tj() alors pour tout réel x, g(x) = 4x² + 1

3°) Si  '  tij() alors pour tout réel x, g(x) = 4(x - 1)² - 1

Situation 3

f et g deux fonctions définies par : f(x) = 3x² et g(x) = 3(x + 1)².
La courbe Cg est l’image de Cf par la translation de vecteur :

1°) i 2°) - i 3°) 3 i 4°) j 4y

Situation 4

On considère la parabole P ci-contre 3
1°) P : y = (x – 1)² - 1

2°) P : y = (x + 1)² - 1 2
3°) P : y = 2(x – 1)² - 1

1

Situation 5 0 12 x
Le plan est muni d’un repère orthonormé -1

O,i, j .

Soit P la parabole d’équation y = ax² + b, de sommet S(0, -1) et
passant par le point A(1, 2)
1°) a = 1 et b = 2
2°) a = 2 et b = - 1
3°) a = 3 et b = - 1
Situation 6

 Le plan est muni d’un repère orthonormé O,i, j .

Soit P la parabole d’équation y = 2x² - x. Le sommet de P est :

Fonctions de référence 173

1°) S(2 , - 1)

2°) S  1 , 1 
 4 8 

Situation 7

 Le plan est muni d’un repère orthonormé O,i, j .

Soient f et g deux fonctions définies respectivement par :
f(x)  x et g(x)  x  1 . On désigne par  et ’ Les courbes

représentatives de f et g.
1°) ’ est l’image de  par la translation de vecteur i
2°) ’ est l’image de  par la translation de vecteur i
Situation 8

 Le plan est muni d’un repère O,i, j .

Soit f une fonction définie sur IR* par : f(x)  a ,a  0
x

1°) Si a >0 alors f est croissante sur l’intervalle ]0, +∞[.
2°) Si a < 0 alors f est croissante sur l’intervalle ]0, +∞[.

Situation 9

 Le plan est muni d’un repère O,i, j .

Soit f la fonction définie sur IR\{1} par : f(x)  2x  1
1 x

1°) La courbe de f est une hyperbole de centre I  1, 1 
2 

2°) La courbe de f est une hyperbole d’asymptotes les droites

d’équations x = 1 et y = - 2.

Situation 10 y

4

Pour tout n{1, 2, 3} et Cn est une 3

hyperbole d’équation : y  a . 2 C2 C3
x 1

1°) C1 : y  3 , C2 : y  3 et C3 : y  4 j
x x x

-2 -1 0 i 1 23 4x
-1 C1
2°) C1 : y  3 , C2 : y  4 et C3 : y  3
x x x -2

-3

-4

-5

Fonctions de référence 174

3°) C1 : y  3 , C2 : y  3 et C3 : y  4
x x x

Solutions des QCM

Situation 1 Situation 5 Fonctions de référence 175
°) °)
Situation 2 Situation 6 Situation 9
°) °) °)
Situation 3 Situation 7 Situation 10
°) °) °)
Situation 4 Situation 8 Situation 11
°) °) °)

Solutions des applications

Application 1

Soit f la fonction définie par : f(x) =  1 x² et T sa courbe
 2 

 représentative dans un repère orthogonal O,i, j .

1°) T est une parabole.
2°)

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) -8 -9/2 -2 -1/2 0 -1/2 -2 -9/2 -8
3°)

Application 2 .
F(x) = - x² C1

Fonctions de référence 176

G(x) = 2x² C2

H(x) = 1 x² C3
3

T(x) = -2x² C4

Application 3

 Le plan est muni d’un repère orthogonal O,i, j .

Déterminer le sommet et l’axe la parabole P dans chacun des cas

suivants :
a) P : y = 2(x – 1)² : parabole de sommet S(1, 0) et d’axe x = 1
b) P : y = (x + 2)² : parabole de sommet S(-2, 0) et d’axe x = -2
c) P : y = (2x – 3)² : parabole de sommet S(3/2, 0) et d’axe x = 3/2

Application 4
Soit f une fonction définie par :
f(x) = x² +  et dont la courbe est
donnée ci-contre
1°)  = f(0) = - 2 .
2°) Cg = t (Cf )

j

Application 5 Sommet S et
Equation de la axe 
parabole P
y = (x – 1)² + 1 S(1, 1) ; ∆ : x
=1
y = (x – 2)² - 1
S(2, -1) ; ∆ : x
y = 3(x + 1)² - 2 =2

y = x² - 4x S(-1, -2) ; ∆ :
x = -1
y = 2x² - x + 1
S(2, -4) ; ∆ : x
=2

S(1/4, 7/8) ;
∆ : x = 1/4

Application 6

Fonctions de référence 177

1°) fig 2 : f1 : x 2x2 ; fig 4 : f2 : x 2  x  12 ; fig6 :

f3 : x 2x2 1 ; fig3 : f4 : x 2 x  2 2  3 ; fig1 : f5 : x 2x2  x ;

fig5 : f6 : x 2x2  4x  3 .

2°) P1 = S(xx’)(P) ; P2 = t (P) ; P3 = t (P) ; P4 = t (P) ;
i j 2i3 j

P5 = t 1i 1 j(P) et P6 = t (P)
i j

48

Application 7

Fig 1 : b = -1 Fig2 : b = 2

Application 8 5y

4

3

2

1 Cf

j
-5 -4 -3 -2 -1 0 i 1 2 3 4 5 6 7 x

-1

-2

-3

-4

Application 9 -5

 Le plan est muni d’un repère orthogonal O,i, j ,

Soit f la fonction définie sur IR* par: f(x)  2  1 et (C ) sa courbe
x

représentative.
1°) (C ) est une hyperbole de centre I(0, -1) et d’asymptotes les
droites d’équations : x = 0 et y = - 1.

2°) Soit g la fonction définie sur IR* par : g(x)  2 1 et ( C’ ) sa
x

courbe représentative.

Fonctions de référence 178

a) Pour tout x non nul on a : - x est non nul et g(-x) = g(x) alors
g est paire.

b) g est paire alors l’axe des ordonnées est axe de symétrie de
(C’) et pour tout x >0, g(x) = f(x). Soit C1 la courbe de la restriction
de f à l’intervalle ]0, +∞[. C’ = C1∪S(Oy)(C1).

y

4

3

2

(C)

1

(C')

j

-4 -3 -2 -1 0 i 1 2 3 4 5 6 7 x
-1

-2

-3

-4

-5

Application 10

 Le plan est muni d’un repère orthogonal O,i, j ,

Soit a et b deux réls tels que ab  1 et f la fonction définie sur IR\{b}
par : f(x)  ax  1

xb
On désigne par  la courbe représentative de f.
1°) a)  est une hyperbole de centre I de coordonnées (b , a).

b) I(3, 2) est le centre  signifie b = 3 et a = 2.
2°)a) M(x , y)∈∩(yy’) signifie x = 0 et y = f(0)= 1/3
d’où ∩(yy’) = {A(0,1/3)}.
M(x , y)∈∩(xx’) signifie x ≠ 3 et y = 0 = f(x) signifie x = ½ et y = 0
d’où ∩(xx’) = {B(1/2,0)}.

b)  est une hyperbole d’asymptotes x = 3 et y = 2

Fonctions de référence 179

. c)

8y

7

6

5

4

3

2

(C)

1B
j

A
-2 -1 0 i 1 2 3 4 5 6 7 8 x

-1

-2

-3

-4

Exercices intégratifs

Exercice 1

 Le plan est muni d’un repère O,i, j .

Construire les courbes données ci-dessous.

a) C1 : y  (x  2)2  1 b) C2 : y  9  x2 d) C3 : y  0,5(x  4)2

e) C4 : y  x 1 2 f) C5 : y 1 1 g) C6 : y  x 1
x 2x  3

Exercice 2

Fonctions de référence 180

1°) Soit f la fonction définie sur IR par : f(x)   1 x²  2x et ( Cf ) sa
4

 courbe représentative dans un repère orthonormé O,i, j

a) Vérifier que f(x)   1  x  42  16 
4 

b) Tracer la courbe ( Cf ), en précisant sa nature.
c) Déterminer graphiquement le signe de f(x)

2°) Soit la fonction g définie sur IR par : g(x)  1 x2  2x et ( Cg ) sa
4

courbe représentative.
a) En utilisant la courbe de f, construire dans le même repère celle
de g.
b) Déduire le tableau de variation de g
c) Discuter graphiquement et suivants les valeurs du paramètre
réel m, le nombre de solutions de l’équation (Em ) : x²  8x  m

3°) Soit h la fonction définie sur IR par : h(x)   1 x²  x  3
4

a) Vérifier que h(x) = f( x + 2 )
b) On désigne par (Ch ) la courbe représentative de h.
Montrer que ( Ch ) est l’image de ( Cf ) par une translation que l’on
précisera.

Exercice 3
Soit A et B deux points tels que AB = 4. Sur la perpendiculaire en A à
(AB) on prend un point M quelconque distinct de A et on pose AM = x
La perpendiculaire en M à (BM) coupe (AB) en N. On pose f(x) = AN.
1°) Déterminer le domaine de définition de f.
2°) Expliciter f(x).
3°) Tracer, dans un repère orthonormé, la courbe de représentative
de f
Exercice 4
Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) 1x²

4
1°)a) Décrire les variations de f.

b) Tracer, dans un repère orthogonal O, i, j , la courbe

représentative (Cf) de f.

Fonctions de référence 181

2°) On considère les fonctions f et g définies sur IR par :

gx 1 x2 3 et h x 1x 2 2 . On désigne par Cg et Ch les
4 4

courbes représentatives respectivement de g et h.

a) Expliquer comment peut-on construire à partir de Cf, les courbes
Cg et Ch .

b) Tracer Cg et Ch dans O, i, j .

3°) Soit la droite m : y 3x m où m est un paramètre réel.
Expliquer comment on détermine graphiquement l’ensemble des

solutions de l’équation 1 x 2 2 3x m 0
4

Exercice 5
Soit f la fonction définie par : f(x)  1 x2  3 et  sa courbe

2

 représentative dans un repère orthogonal O,i, j

1°)a) Tracer  et la droite D : x – 2y = 0.

b) Résoudre graphiquement l’inéquation : 1 x2  3  1 x
22

2°) Soit g la fonction définie par : g(x)  f(x) et ’ sa courbe.

a) Expliquer comment peut-on construire ’ à partir de .
b) Construire ’

c) Dresser le tableau de variation de g.

d) En utilisant le tableau de variation de g, déterminer m pour que
l’équation g(x) = m admette exactement trois solutions.

Exercice 6
On considère les fonctions f et g définies par : f(x)  2x²  5x  3 et
g(x)  3  2 et on désigne par (P) et (H) leurs courbes

x

 représentatives dans le plan rapporté à un repère orthogonal O,i, j

Fonctions de référence 182

1°)a) Vérifier que pour tout réel x, f(x)  2  x  5 2  1
 4  8

b) Donner le sommet S et l’axe  de la parabole P.
c) Donner le centre I et les asymptotes de l’hyperbole (H)

d) Construire (P) et (H)

2°)a) Déterminer graphiquement les coordonnées du point I

intersection de (P) et (H).

b) Vérifier que pour tout réel non nul x on a :

f(x) = g(x) signifie 2x3  5x2  5x  3  0
c) Vérifier que 1.5 est un zéro du polynôme Q(x) = 2x3-5x²+5x-3.

Factoriser Q(x). Retrouver, par le calcul, le résultat de a.

3°)a) Résoudre graphiquement x  0 3  2x
2x²  5x  3  x

b) Hachurer l’ensemble E des points M(x, y) tels que :

1 x  3
2
f(x)  y  g(x)

Exercice 7
On considère la fonction f définie sur IR* par : f(x)  2x  1

x
et on désigne par (H) sa courbe représentative dans un repère
orthonormé.
1°)a) Montrer que pour tout x non nul on a : f(x) = 2 + 1 .

x

b) Etudier le sens de variation de f sur 0,  .

2°)a) Montrer que I(0 , 2) est le centre de symétrie de (H).
b) Construire (H) et ses asymptotes.

3°)a) Tracer, dans le même repère, la droite D d’équation
y 1x 3

22

b) Résoudre graphiquement l’inéquation : 2  1  1 x  3 .
x2 2

Exercice 8
On considère les fonctions f et g définies par :

Fonctions de référence 183

f(x) = x 12 1 et g(x) = x  1 . On désigne par Tf et Tg les
2 4 x  2

courbes représentatives respectivement de f et de g dans le plan

 rapporté à un repère orthogonal O,i, j .

1°)a) Préciser la nature et les éléments remarquables de chacune

des courbes Tf et Tg.
b) Tracer les courbes Tf et Tg .
c) Déterminer graphiquement le nombre de points d’intersection

des courbes Tf et Tg.
2°)a) Résoudre l’équation f(x) = g(x).

b) Résoudre graphiquement l’inéquation f(x) ≤ g(x).

3°) Soit h la fonction définie par : h(x) 1x et  sa courbe

2x

représentative.

a) Déterminer le domaine de définition de h.
b) Etudier la parité de h.
c) Expliquer comment peut-on construire  à partir de Tg .

Exercice 9
Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = 4x – x². On désigne par (C )

 sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,i, j

1°)a) Dresser le tableau de variation de f.
b) Déterminer les points d’intersection de (C ) avec les axes du

repère.

Tracer ( C ). y
2°) Soit M un point de ( C ) d’abscisse 3

x ]0 , 2[. 2
La parallèle en M à l’axe des abscisses

recoupe (C ) en N.

On pose g(x) = aire du triangle OMN. 1
a) Montrer que g(x) = (2 – x)(4x – x²).

b) On a représenté ci-contre la fonction g.

Déterminer graphiquement la valeur x pour j
laquelle l’aire est maximale.

0 i1 2x

Exercice 10

On considère la fonction f définie par : f(x)  x  a et soit Cf sa

 courbe représentative dans un repère orthonormé O,i, j .

Fonctions de référence 184

1°) Déterminer le réel a pour que la courbe Cf passe par le point
I(- 4, 0)
Dans la suite, on suppose que a = 4.
2°)a)Tracer la courbe Cf.
b)Tracer, dans le même repère, la droite ∆ d’équation : y  1 x  2 .

2

c)Résoudre graphiquement l’inéquation : x 4 1 x 2
2

3°) Soit M un point variable de Cf et N le milieu de [IM].
a) Donner une équation cartésienne de l’ensemble  des points N
lorsque M varie.

b) Représenter dans le même repère l’ensemble .

Exercice 11

 Le plan est rapporté à un repère orthonormé O,i, j

1°) Soit P une parabole d’équation y = ax² + bx + c, a0.

Pour chaque cas de figure déterminer le signe a, de b et de c.

y

y a.... 1y

b... a.... 1 01 x
b... j
1 c..... a...
c..... 0 i 1x b....
j
0 i1 c.....

x

2°) Soit f une fonction polynôme du second degré et dont la courbe

représentative est donnée ci-contre 3y Cf:y=ax²+bx+c
a) Déterminer a, b et c.

b) Résoudre graphiquement l’équation : 2

2[f(x)]² - [f(x)] - 3 = 0 .

Dans toute la suite on suppose que pour tout 1

réel x, f(x) = 2x² - 4x - 1 . j

3°) Soit g la fonction définie sur IR par : 0 i 1 2 3x
g(x)  2x²  4 x  1 -1

a) Montrer que g est paire

b) Tracer la courbe de la fonction g à partir -2

de celle de f. -3

Fonctions de référence 185

c) En déduire le tableau de variation de la fonction g.

d) Donner suivant les valeurs de m le nombre de solutions de
l’équation g(x) = m.

Exercice 12

 Le plan est rapporté à un repère orthonormé O,i , j . On considère

les fonctions f et g définies par : f(x)  1 x2 et g(x)  2 . On
2 x+2

désigne par ( Cf ) et ( Cg) les courbes représentatives de f et de g.
1°)a) Tracer ( Cf ) et ( Cg) en précisant la nature de chacune d’elles.

b) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de

l’équation 1 x2  2 .
2 x+2

2°) Soit m un réel non nul. A et B sont deux points de coordonnées
respectives (- 2 , 2) et (0 , 4). Soit Gm le barycentre des points

 pondérés A,m 3 et (B , m).

a) Déterminer les coordonnées du point G1 pour m = 1.
b) Vérifier que G1 est un point de ( Cg)
c) Montrer que pour tout réel non nul m, Gm appartient à (Cg)

Exercice 13

On considère la fonction f définie par : f(x)  2x  4 . (C) sa courbe
x3

 représentative dans un repère orthonormé O,i , j .

1°)a) Déterminer le domaine de définition Df de f.
b) Déterminer les coordonnées du centre I de ( C ).

2°)a) Vérifier que pour tout x de Df f(x)  2  2 .
x3

b) Dresser le tableau de variation de f.

c) Tracer ( C )

3°) Résoudre graphiquement chacune des inéquations suivantes :
i) f (x)  0 ii) f(x)  4 iii) f(x) ≤ x - 2

4°) On considère les points B et C de la courbe (C) d'abscisses
respectives −1 et 4 . Déterminer une équation de la droite (BC) et en

déduire la résolution de l'inéquation f(x)  1 x  2
2

Exercice 14

Fonctions de référence 186

Soit f la fonction définie par : f(x)  x-3 . On désigne par ( Cf ) la
x+2

 courbe représentative de f dans un repère orthonormé O,i , j

1°)a) Déterminer la nature et les éléments remarquables de ( Cf ).
b) Vérifier que pour tout xIR\{- 2}, f(x)  1 5 .
x2

c) Décrire les variations de f.
d) Tracer ( Cf )
2°) Soit g la fonction définie par : g(x) = x - 3 .

x+2

a- Expliquer comment peut – on construire la courbe ( Cg ) de g
à partir de ( Cf )

b- Tracer, dans le même repère, la courbe ( Cg ).

Exercice 15

Soit f la fonction définie par : f(x) x 1 et ( C ) sa courbe

 représentative dans un repère orthonormé O,i, j

1°)a) Déterminer le domaine de définition de f puis étudier le sens de
variation de f.

b) Construire ( C ).
c) Résoudre graphiquement l’équation x 1 x 1.

2°) Soit g la fonction définie par : g(x)  2 x  2 et (C’ ) sa courbe
2

représentative.
Montrer que ( C’) est l’image de (C ) par l’homothétie de centre O et
de rapport 2.
3°) Soit P la parabole d’équation : y 1 x² 2 x 1

33
a) Déterminer le sommet S et l’axe de symétrie de P.

 b) Construire P dans repère O,i, j

c) Résoudre graphiquement l’inéquation : x² 2x 3 3 x 1

Exercice 16

Soit un quart de cercle AB de centre O et de rayon 8. M étant un
point de l’arc AB , on désigne par H le projeté orthogonal de M sur le
segment [OB]. On se propose de déterminer les points M de l’arc AB
pour lesquels MA + MH est égal à un nombre réel positif m donné.

Fonctions de référence 187

Soit K le projeté orthogonal de M sur [OA].
1°) On note respectivement x et y les distances MA et MH.

a- Justifier que 0  x  8 2 .
b- Montrer que KM² = 64 – y² et KA² = (8 – y)².
c- Montrer que : y   1 x²  8

16
d- Exprimer alors MA + MH en fonction de x.
2°) On désigne par f la fonction de la variable réelle x définie sur
l’intervalle [0, 8 2 ] par :
f(x)   x²  x  8

16
a- Etudier les variations de la fonction f
et tracer sa courbe représentative (C)
dans un plan rapporté à un repère
orthogonal.
b- Déterminer les solutions ( si elles
existent ) de l’équation f(x) = m lorsque
m = 10 puis lorsque m = 11,7.
c- Discuter graphiquement, selon les
valeurs du paramètre m, l’existence et le nombre de solutions de
l’équation : f(x) = m.

Solutions des exercices intégratifs

Exercice 1

 Le plan est muni d’un repère O,i, j .

Construire les courbes données ci-dessous.
a) C1 : y  (x  2)2  1. C1 est une parabole de sommet S1(2 , 1) et

d’axe de symétrie 1 : x = 2.
b) C2 : y  9  x2 . C2 est une parabole de sommet S2(0 , 9) et d’axe

de symétrie 2 : x = 0
c) C3 : y  0,5(x  4)2 . C3 est une parabole de sommet S3(4 , 0) et

d’axe de symétrie 3 : x = 4
d) C4 : y  x  1  2

Fonctions de référence 188

e) C5 : y  1 1 . C5 est une hyperbole de centre I(2 , 1) et
x

d’asymptotes les droites D : x = 0 et D’ : y = 1

f) C6 : y  x 1 . C6 est une hyperbole de centre J  3 , 1  et
2x 3 2 2 

d’asymptotes les droites ∆ : x   3 et D’ : y  1
22

y

10

C3

C2 C1

j x 10
0i

4y

3

C6 2

1 C5 ....

j

-3 -2 -1 0 i 1 2 C4 -3--- 4 5 6 7 8 9 x

-1

-2

Exercice 2

Fonctions de référence 189

1°) Soit f la fonction définie sur IR par : f(x)   1 x²  2x et ( Cf ) sa
4

 courbe représentative dans un repère orthonormé O,i, j

a)  1  x  42  16    1 x²  8x  16  16   1 x²  2x  f(x)
4  4
4

b) ( Cf ) est une parabole de sommet S(4, 4) et d’axe x = 4

4y

Cf

3

2

1
j

-1 0 i 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-1

-2

c)

x -∞ 0 8 +∞

f(x) - 0 + 0 -

2°)a) g(x)  f(x) si x  0,8
f(x) si x  0,8

5y

4

Cg

3

2

1
j

-2 -1 0 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

b) 0 48 +∞
x -∞ 0 4 +∞
g(x) +∞
0

Fonctions de référence 190

b) x²  8x  m équivaut 1 x²  8x  m équivaut g(x)  m
44 4

Les solutions de cette équations, si elles existent, sont les
abscisses des points d’intersection de la courbe Cg et la doite

d’équation : y = m .
4

Remarque : les droites m : y  m sont des droites parallèles à
4

l’axe des abscisses

Si m < 0 alors l’équation n’a pas de solution.

Si m = 0 alors l’équation admet deux solutions.

Si 0 < m < 4 alors l’équation admet 4 solutions.

Si m = 4 alors l’équation admet 3 solutions

Si m > 4 alors l’équation admet 4 solutions

3°) Soit h la fonction définie sur IR par : h(x)   1 x²  x  3
4

a)

f(x  2)   1 (x  2)²  2(x  2)   1  x²  4x  4  2x  4

44

  1 x²  x  1  2x  4   1 x²  x  3  h(x)
44

b) On a : h(x) = f(x + 2).

Soit M(x+2, f(x+2)) un point de Cf et N(x ,g(x)) un point de Ch.

MN  xx2    2  signifie N est l’image de M par la
 g(x)  f(x)   0 
   

translation de vecteur 2i alors (Ch ) est l’image de Cf par la

translation de vecteur 2i .

Exercice 3
Soit A et B deux points tels que AB = 4. Sur la perpendiculaire en A à
(AB) on prend un point M quelconque distinct de A et on pose AM = x
La perpendiculaire en M à (BM) coupe (AB) en N. On pose f(x) = AN.

Fonctions de référence 191

1°) x est un réel du domaine de définition de f si et seulement si
f(x) = AN existe. Donc le domaine de définition de f est ]0 , +∞[
2°) On a : AM = x et f(x) = AN.

 ABM est un triangle rectangle en A alors
BM² = AM² + AB² = x² + 16.

 AMN est un triangle rectangle en A alors
MN² = AM² + AN² = x² + (f(x))².

 BMN est un triangle rectangle en M alors
NB² = BM² + MN² =x² + 16 + x² + (f(x))² ( 1 )

 A[NB] signifie NB = NA + AB alors
NB² = AN² + 2AN.AB + AB² = (f(x))² + 8f(x) + 16 (2)

 (1) et (2) impliquent f(x) = 1 x²
4

3°) Cf est une parabole de sommet O et d’axe de symétrie (O, j ).

3y

2 Cf

1
j

-3 -2 -1 0 i 1 2 3 x

-1

Exercice 4

Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) 1x²
4

1°)a) f est croissante sur ]- ∞, 0] et décroissante sur [0, +∞[.

b) Cf est une parabole de sommet O et d’axe de symétrie (O, j ).

Voir figure 2°)b)

2°) On considère les fonctions f et g définies sur IR par :

gx 1 x2 3 et h x 1x 2 2 . On désigne par Cg et Ch les
4 4

courbes représentatives respectivement de g et h.

a) On a pour tout réel x, g(x) = f(x) + 3 et h(x) = f(x + 2) alors Cg est

l’image de Cf par la translation de vecteur 3 j et Ch est l’image de Cf

par la translation de vecteur 2.i .

Fonctions de référence 192

3y

2 Cg----

1
j

-5 -4 -3 -2 -1 0 i 1 2 3 4 5 x

-1 Cf

-2

-3 Ch:....

b) -4

3°) Soit la droite m : y 3x m où m est un paramètre réel.

1 x 2 2 3x m 0 signifie h(x) 3x m
4

Donc les solutions de cette équation si elles existent sont les

abscisses des points d’intersection de la courbe Ch et m.

Exercice 5
Soit f la fonction définie par : f(x)  1 x2  3 et  sa courbe

2

 représentative dans un repère orthogonal O,i, j

Fonctions de référence 193

3y

2 D

1 2 3x
j
-3 -2 -1 0 i 1
-1

-2

1°)a)

b) 1 x2  3  1 x signifie f(x)  1 x . Les solutions de cette
22 2

inéquation sont les abscisses des points de  situés sur ou au

dessous de D. Donc SIR = ]- ∞, -3]∪[2, +∞[
2°) Soit g la fonction définie par : g(x)  f(x) et ’ sa courbe.

a) On a : g(x)  f(x) si f(x)  0 . Si on désigne par 1 la partie de
g(x)  -f(x) si f(x)  0

 située au dessus de l’axe des abscisses (xx’) et par 2 les deux
branches de  situées au dessous de (xx’) alors ’ = 1S(xx’)(2) où
S(xx’) est la symétrie d’axe (xx’).

y

3'

2

1
j

-3 -2 -1 0 i 1 2 3 x

b)

Fonctions de référence 194

c) f(x) = 0 signifie 1 x2  3  0 signifie x²  6 signifie x   6
2

x - -6 0 6 +

g(x) +∞ 3 +

00

d) g(x) = m admet exactement trois solutions si et seulement si

m=3

Exercice 6
On considère les fonctions f et g définies par : f(x)  2x²  5x  3 et

g(x)  3  2 et on désigne par (P) et (H) leurs courbes
x

 représentatives dans le plan rapporté à un repère orthogonal O,i, j

1°)a) Pour tout réel x,

2  x  5 2  1  2x²  5x  25  1  2x²  5x  3  f(x)
 4  8 8 8

b) P est une parabole de sommet S  5 ,  1  et d’axe  : x  5 .
 4 8  4

c) (H) est une hyperbole de centre I(0 , - 2) et d’asymptotes les

droites d’équations : x = 0 et y = - 2.

Fonctions de référence 195

d) 45 6x

5y (H)

4

3 (P)

2

1
j
-5 -4 -3 -2 -1 0 i 1 2 3
-1

-2

-3

-4

-5

-6

2°)a) Graphiquement les coordonnées du point I intersection de (P) et

(H) sont (1,5 ; 0)

b) Pour tout réel non nul x on a :

f(x) = g(x) signifie 2x²  5x  3  3  2 signifie x(2x² - 5x + 3) =3 – 2x
x

signifie 2x3  5x2  5x  3  0
Q(1,5) = 2(1,5)3- 5(1,5)² + 5(1,5) -3 1.5 = 0 (Calculatrice) donc 1,5
est un zéro du polynôme Q(x) = 2x3-5x²+5x-3.
Q(x) est un polynôme de degré 3 qui s’annule en 1,5 alors il existe

trois réels a, b et c tels que pour tout réel x,
Q(x) = (x – 1,5)(ax² +bx + c).

Il est évident que a = 2 et c = 2. Par identification on obtient c = -2

(x -1.5)(2x²- 2x +2)

Fonctions de référence 196

3°)a) Résoudre graphiquement x  0 3  2x
2x²  5x  3  x

b) Hachurer l’ensemble E des points M(x, y) tels que :

1 x  3
2
f(x)  y  g(x)

Exercice 7

On considère la fonction f définie sur IR* par : f(x)  2x  1
x

et on désigne par (H) sa courbe représentative dans un repère

orthonormé.

1°)a) Pour tout x non nul on a : 2 + 1 = 2x  1  f(x) .
xx

b) Soient a et b deux réels strictement positifs tels que a < b

si 0 < a < b alors 1  1 et 2  1  2  1 donc f(a) > f(b) et par
ba ba

suite f est décroissante sur ]0, +∞[

2°)a) (H) est une hyperbole de centre I(0 , 2) donc I(0 , 2) est le

centre de symétrie de (H).

5y

4 (H) D

3

2

1
j

-3 -2 -1 0 i 1 2 3 4 5 x
-1

b) -2
3°)a) Voir figure

b) ]- ∞, -1[∪]0 , 2[
Exercice 8

Fonctions de référence 197

On considère les fonctions f et g définies par :

f(x) = x 12 1 et g(x) = x  1 . On désigne par Tf et Tg les
2 4 x  2

courbes représentatives respectivement de f et de g dans le plan

 rapporté à un repère orthogonal O,i, j .

1°)a) Tf est une parabole de sommet S   1 , 1  et d’axe de symétrie
 2 4 

la droite D : x   1 . Tg est une hyperbole de centre I(-2 , 1) et
2

d’asymptotes les droites ∆ : x = - 2 et ∆’ : y = 1

y

5

4

3

P

(H) 2

1
j

-4 -3 -2 -1 0 i 1 2 3 x
-1

-2

b) -3

c) Trois points

2°)a) x 1 2 1 x 1 signifie x² x 1 x 1 signifie
2 4 x2 2 x2

(x² + x + 1 )(x + 2) = x + 1 et x ≠ - 2 signifie x3 + 3x² + 3 x = 0
22

et x ≠ - 2 signifie x(x2 + 3x + 3 ) = 0 et x ≠ - 2
2

Fonctions de référence 198

signifie x = 0 ou x2 + 3x + 3 et x ≠ - 2
2

signifie x = 0 ou x = 3  3 ou x = 3  3
22

SIR  0, 3  3 , 3  3 
 2 2 


b) SIR   3  3    3  3  .
 , 2  2 ,0
 2  


3°) Soit h la fonction définie par : h(x) 1x et  sa courbe

2x

représentative.
a) Dh = IR\{- 2 , 2}.
b) h est paire.
c) h est paire alors l’axe des ordonnées est un axes de symétrie

de .

D’autre part on a : pour tout x]-,0]\{- 2}, h(x) 1 x = g(x).
2x

On désigne par (C1) la courbe de la restriction de g à ]-,0]\{- 2}
 = C1  S(yy’)(C1).

Exercice 9
Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = 4x – x². On désigne par (C )

 sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,i, j

1°)a) f(x) = - (x – 2)² + 4 2 +
x -

f(x) 4

-∞ -

b) f(x) = 0 signifie x = 0 ou x = 4. Fonctions de référence 199
(C )(xx’) = {O(0, 0), A(4,0)}
f(0) = 0 alors (C )(yy’) = {O(0, 0)} 4y

( C ) est une parabole de sommet (C)
S(2, 4) et d’axe  : x = 2.
3

2M N

2°) Soit M un point de ( C ) 1 x
d’abscisse x ]0 , 2[. j
La parallèle en M à l’axe des
0 i1 2 3 4
abscisses recoupe (C ) en N. -1

On pose g(x) = aire du triangle

OMN.

a) g(x) = MNxMH où H est le -2
2

projeté orthogonal de M sur (xx’).

M et N sont symétriques par rapport à ∆ : x = 2 alors

MN = 2(2 - x). MH = y = f(x).
Donc g(x) = (2 – x)(4x – x²).
b) l’aire est maximale pour x = 0,8

Exercice 10

On considère la fonction f définie par : f(x)  x  a et soit Cf sa

 courbe représentative dans un repère orthonormé O,i, j .

1°) Déterminer le réel a pour que la courbe Cf passe par le point

I(- 4, 0)ϵCf signifie 4  a  0 signifie -4 + a = 0 signifie a = 4

y (Cf)

3D

2

1

j

-4 -3 -2 -1 0 i 1 2 3 4 5 x

2°)a)
b) Voir figure
c) Les solutions de cette inéquation sont les abscisses des points
de Cf situés au dessus de la droite D donc S = [-4 , 0]

3°) Soit M un point variable de Cf et N le milieu de [IM].
a) Soit M(X, f(X)) un point de Cf et N(x,y).