L'incontournable en algèbre

Fonctions de référence 200

IN  1 IM signifie x  4  1X  4 .
2 
y 2 4
 1 f(X)  1 X 

22

 : y  1 2x  8
2

b)  est l’image de Cf par l’homothétie de centre O et de rapport 1
2

Voir figure.

Exercice 11

 Le plan est rapporté à un repère orthonormé O,i, j

1°) 1ère figure : a > 0, b > 0 et c = 1 > 0.
2ème figure : a < 0, b < 0 et c = 1 > 0.
3ème figure : a < 0, b > 0 et c = 0.

2°) Soit f une fonction polynôme du second degré et dont la courbe

représentative est donnée ci-contre

a) Cf passe par le point A(0, -1) donc c = -1.
Cf passe par le point B(1.5, -2,5) donc 2,25a + 1,5b – 1 = -2,5
signifie 1.5a+ b = - 1 (1)

∆ : x = 1 est l’axe de Cf alors b  1signifie b = - 2a. (2).
2a

De (1) et (2) on déduit que a = 2 et b = - 4.Donc a = 2, b – 4 et c = - 1.

b) 2[f(x)]² - [f(x)] - 3 = 0 signifie f(x) = - 1 et f(x) = 3 .
2

f(x) = - 1 signifie x = 0 ou x = 2. f(x) 3y
= 3 signifie x = -0.5 ou x = 2.5.
(Cg)
2
SIR = {0, 2, -0.5, 2.5} 2

3°) Soit g la fonction définie sur IR 1 2x
j
par : g(x)  2x²  4 x  1 -2 -1 0 i 1
-1
a) Pour tout réel x, - xIR et
g(-x) = g(x).Donc g est paire -2
b) On a : g est paire et pour tout x ≥
0, g(x) = f(x). -3
Si on désigne par C1 la courbe
représentative de la restriction de f à
[0, +[ alors Cg = C1S(yy’)(C1)

Fonctions de référence 201

c) 1 +
x - - 1 0 +
-3
g(x) +∞ -1 +
-1 2
-3 43

d)

m - -3
2
Nombre de solutions 0

Exercice 12

 Le plan est rapporté à un repère orthonormé O,i , j . On considère

les fonctions f et g définies par : f(x)  1 x2 et g(x)  2 . On
2 x+2

désigne par ( Cf ) et ( Cg) les courbes représentatives de f et de g.
1°)a) ( Cf ) est une parabole de sommet O et d’axe (O, j ), ( Cg) est
une hyperbole de centre I(- 2, 0) et d’asymptotes les droites
d’équations : x = - 2 et y = 0.

y

4

Cg

3

2 Cf 4x

1 23
j
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 i 1
-1

-2

-3

-4

b) La courbe Cf coupe Cg en un seul point alors l’équation admet
une seule solution.

Fonctions de référence 202

2°) Soit m un réel non nul. A(- 2 , 2) et B(0 , 4). Soit Gm le barycentre

 des points pondérés A,m 3 et (B , m).

 a)  2 3 23 4 
G1  1 3 , 1 3   3  3,1 3.

 b) g 3  3  2  3  1 donc G1 est un point de ( Cg)
1 3

 2m 3 2m 3  4m 
 m 1 3 m 1 3 
     c)Gm ,   3  3,1  3  G1
 

donc pour tout réel non nul m, Gm appartient à (Cg)

Exercice 13

On considère la fonction f définie par : f(x)  2x  4 . (C) sa courbe
x3

 représentative dans un repère orthonormé O,i , j .

1°)a) Df = IR\{3}.
b) I(3, 2)

2°)a) Pour tout x de Df 2  2  2 x  3   2  2x  4  f(x) .
x3 x3 x3

b)

x - 3 +

g(x) 2 +

- 2

Fonctions de référence 203

c)

y

5

4

3

2

1 Cf

j

-1 0 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
-1

-2

3°) i) f (x)  0. Les solutions de cette inéquation sont les abscisses
des points de Cf situés sur ou au dessus de l’axe des abscisses donc

S = ]-∞, 2]∪]3, +∞[

ii) f(x)  4. Les solutions de cette inéquation sont les abscisses des

points de Cf situés sur ou au dessous de la droite D : y = 4 donc

S = ]3, 4]
iii) f(x) ≤ x - 2. Les solutions de cette inéquation sont les abscisses

des points de Cf situés sur ou au dessous de la droite D’ : y = x - 2
donc S = [2, 3[∪[5,+∞[

4°) B(- 1, 3/2), C(4, 4) et BC  5 / 2  donc (BC) : y=1/2 x + 2
 5 
 

L’ensemble des solutions de l'inéquation f(x)  1 x  2 est :
2

[- 1, 3[∪[4, +∞[.

Exercice 14

Soit f la fonction définie par : f(x)  x-3 . On désigne par ( Cf ) la
x+2

 courbe représentative de f dans un repère orthonormé O,i , j

1°)a) ( Cf ) est une hyperbole de centre I(- 2 , 1) et d’asymptotes les
droites d’équations : x = - 2 et y = 1.

Fonctions de référence 204

b) Pour tout xIR\{- 2}, 1 5  x  2  5  x  3  f(x) .
x2 x2 x2

c) Soient a et b deux réels de IR\{-2} tels que a < b.
Si a < b < - 2 alors a + 2 < b + 2 < 0 alors 1  1 alors

b2 a2
5  5 alors f(a) < f(b) d’où f est croissante sur ]-∞, - 2[
a2 b2
Si – 2 <a < b alors 0< a + 2 < b + 2 alors 1  1 alors

b2 a2
5  5 alors f(a) < f(b) d’où f est croissante sur ]-2 , +∞[
a2 b2

d) Voir figure
2°) Soit g la fonction définie par : g(x) = x - 3 .

x+2

g(x)  f(x) si x < -2
a) On a : g(x)  f(x) si x > -2 . On désigne par C1 la courbe

de la restriction de f à ]-∞, - 2[ et par C2 la courbe de la
restriction de f à ]- 2 , +∞[.
Cg = S(xx’)(C1)∪C2. S(xx’) désigne la symétrie d’axe (xx’)

Fonctions de référence 205

y
4

3

2

1
j

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 i 1 2Cf 3 4 5 6 7 x

-1

-2

Cg -3

-4

-5

-6

-7

-8

b)

Exercice 15
Soit f la fonction définie par : f(x) x 1 et ( C ) sa courbe

 représentative dans un repère orthonormé O,i, j

1°)a) Df = [- 1, +∞[. Soient a et b deux réels de Df tels que a < b,
On a : 0< a +1 < b + 1 alors a  1  b  1 donc f(a)< f(b) et f est
croissante sur Df = [- 1, +∞[.

b) Voir figure (3°b)
c) S = {3}.
2°) Soit g la fonction définie par : g(x)  2 x  1 et (C’ ) sa courbe

2
représentative.
Soient M(x, y) et M’(X , Y) deux points du plan. M’ est l’image de M
par l’homothétie de centre O et de rapport 2 si et seulement si
X  2x
Y  2y
M(x,y) ϵ( C ) signifie x ≥ - 1 et y = f(x)

Fonctions de référence 206

signifie 2x ≥ - 2 et 2y = 2 x 1 = 2 2x 1
2

signifie X ≥ - 2 et Y = 2 X 1 g X
2

Donc ( C’) est l’image de (C ) par l’homothétie de centre O et de
rapport 2.

3°) Soit P la parabole d’équation : y 1 x² 2 x 1
33

a) y 1 x² 2 x 1 1 x 1 2 2 . S 1, 2 et l’axe ∆ :x = 1
33 3 33

y

3 y=x-1
P

2 Cf

1 7x
j

-2 -1 0 i 1 2 3 4 5 6

b)
c) x² 2x 3 3 x 1 signifie P(x) ≤ f(x). S = [0 , 2]

Exercice 16
1°) On note respectivement x et y les distances MA et MH.

a) x est un réel positif tel que x² = AK² + KM².

0 ≤ AK ≤ 8 et 0 ≤ KM ≤ 8 alors 0 x²  2x64 donc 0≤x≤ 8 2 .

b) Dans le triangle OHM on a : OM² = OH² + MH²
signifie OH² = OM² - MH² = 64 – y² or OH = KM d’où KM² = 64 – y².
KA² = (OA – OK)² = (8 – y)².
c) Dans le triangle AKM ona : AM² = KA² + KM² signifie
x² = (8 – y)² +64 – y² signifie x² = 64 – 2y + y² + 64 – y² signifie

y   1 x²  8
16

d) MA + MH = x +  1 x²  8   1 x²  x  8
16 16

2°) x∈ [0, 8 2 ] , f(x)   x²  x  8
16

Fonctions de référence 207

a) x∈ [0, 8 2 ] , f(x)   x²  x  8   1 x  82  12 .

16 16

f est croissante sur ]-∞ , 8] et décroissante sur [8, +∞[.

x0 8 82

f(x) 12

8 82

12y

11 (Cf)

10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
j

-2 --110 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x

c- f(x) = 10 signifie  x²  x  8  10 et x∈ [0, 8 2 ]
16

signifie x² 16x  32  0 et x∈ [0, 8 2 ]

signifie x  8 ²  32 et x∈ [0, 8 2 ]

signifie x  8  32  8  4 2  0,8 2  ou x  8  4 2  0,8 2 

 S  8  4 2

c-

m - 8 82 12 +

Nbre de solutions 0 1 1 2 21 0

Statistique 208

Résumé du cours

I) Population, échantillon, individu et caractère statistique

1°) Définitions
La population est l'ensemble des éléments à observer:
(touchés ou concernés par l'étude)
Chaque partie de la population est appelée un échantillon
Chaque élément de la population est appelé un individu, une
unité statistique ou une observation
Un caractère (ou une variable) statistique est toute
propriété observée ou mesurée sur les individus d'une
population
L’effectif d’une valeur(ou une classe ou une modalité) est
le nombre d’individus pour lesquels le caractère a pris cette
valeur

Exemples: ensemble des élèves d’un lycée au cours de
l’année scolaire 2008 - 2009
La population
un individu chaque élève de ce lycée

un échantillon une classe de ce lycée, les filles de ce lycée,
les élèves de toutes les 2èmes année de ce
Un caractère lycée, les élèves de ce lycée qui ont eu au
statistique
1er trimestre une moyenne générale
comprise entre 12 et 13, les élèves de ce
lycée qui prennent le bus pour y aller…

Les moyennes, la taille, profession du père,
moyen de transport, collège d’origine…

2°) Types de caractères statistiques

Statistique 209

Série chronologique: on appelle ainsi toute série qui décrit une
variable dans le temps

Application 1
Un statisticien a réalisé des études portant sur:

1) une série de notes des élèves d’une classe d’un professeur X
2) la répartition des ménages d’une ville A selon le nombre des
pièces dont ils disposent
3) la répartition des ménages d’un pays P selon le revenu mensuel

total du ménage
4) la répartition de la population tunisienne par tranche d'âge

5) la répartition des touristes qui ont visité la Tunisie en 2006 par
nationalité
Pour chacune de ces études, préciser:

a) la population
b) une unité statistique

c) le caractère étudié
d) la nature du caractère
e) quelques modalités du caractère

3°) Taille d’une population – effectif d’une valeur du caractère –
fréquence d’une valeur du caractère

Application 2
Ci – dessous, la liste des nombres de pièces de vingt appartements
d’un immeuble :

1, 3, 7, 2, 3, 5,1, 3, 2, 4, 4, 5, 3, 3, 4, 1,3,4, 2, 6

Compléter le tableau ci dessous

Nombre de

pièces : valeurs 1 2 345 6 7 Total
du caractère

(xi)

Nombre de

logements :

effectif N = 20

correspondant

(ni)

Fréquence de

cette valeur:

ni 1
20
fi 

Statistique 210

4°) Effectif cumulé croissant – Effectif cumulé décroissant -

Fréquence cumulée croissante Fréquence cumulée

décroissante
l’effectif cumulé croissant jusqu’à la k-ième valeur est :

k

Ek
 ni : c’est le nombre d’individus qui leur

i1

correspond une valeur au plus égale à xk
l’effectif cumulé décroissant jusqu’à la k-ième valeur est:

k1 p

 Ek  N  ni  ni : c’est le nombre d’individus qui
i1 ik

leur correspond une valeur au moins égale à xk (p étant le

nombre total des valeurs prises par le caractère)
la fréquence cumulée croissante jusqu’à la k-ième valeur est:

k

Fk   fi
i1

la fréquence cumulée décroissante jusqu’à la k-ième valeur

est: Fk k 1 p

 1  fi  fi
i1 ik

Application 3
On considère la série statistique définie dans l’application 2 ci –

dessus. Utiliser le tableau obtenu pour déterminer:
1°) le nombre d’appartements de cet immeuble qui contiennent:

a) au plus trois pièces

b) au moins quatre pièces
2°) la fréquence d’appartements de cet immeuble qui contiennent:

a) au plus deux pièces

b) au moins six pièces

2°) Représentations graphiques

A chaque type de caractères convient un type (ou plus) de
représentations graphiques

Type de Type de Principe à respecter
caractères graphiques
A chaque modalité i, on associe
Qualitatif Diagramme un angle au centre i
circulaire
proportionnel à la fréquence fi : i

Statistique 211

Quantitatif Diagramme 360
discret à barres =

Quantitatif Diagramme fi
continu A bâtons
A chaque valeur xi, on associe
Série Histogramme une bande de largeur arbitraire et
chronologiqu
Chronogramme de hauteur ni (ou fi)
e A chaque valeur xi, on associe un

segment de hauteur ni (ou fi)

A chaque classe i, on associe un
rectangle dont l’une de

dimensions est l’amplitude de la
classe et l’aire est proportionnelle

à ni (ou fi)

A chaque date ti, on associe un
point Mi(ti , xi) puis on relie

chaque deux points consécutifs
par un segment de droite

Application 4

Représenter chacune de séries ci-dessous par un diagramme

adéquat:

1°) Le tableau ci-dessous représente le chiffre d’affaires trimestriel

(en milles dinars) d’une entreprise durant les années 2007 et 2008

Date 1er tri 2è tri 3è tri 4è tri 1er tri 2è tri 3è tri 4è tri
2007 2007 2007 2007 2008 2008 2008 2008

Ch. 335 370 205 440 370 470 240 460
d’affaire

2°) Le tableau ci-dessous donne la répartition de 200 ouvriers
suivant leurs domaines d’activité

Domaine Commerce Industrie Artisanat Agriculture Autres

Effectf 30 45 15 90 20

3°) Le tableau ci-dessous représente le nombre d’appels de secours
reçus quotidiennement par la protection civile durant un mois

Nombre d’appels 0 1 2 3 4 5 6

Nombre de jours 2 5 6 10 4 2 1

4°) Le tableau ci-dessous représente la répartition de soixante
personnes selon leurs tailles

Statistique 212

Tailles en Moins 160 , 165 165, 170 170 , 175 175 et
cm de 160 plus
10 18 25
Effectif (ni) 3 4

5°) Le tableau ci-dessous représente la répartition de soixante

personnes selon leurs tailles

Tailles en Moins 160 , 165 165, 170 170 , 180 180 , 200
cm de 160

Effectif (ni) 1 8 18 29 4

3°) Les paramètres statistiques

Ce sont des valeurs numériques qui donnent une idée sur les
caractéristiques d’une série statistique.
Dans ce paragraphe, on considère une série à p valeurs (classes ou
modalités) classées dans l’ordre croissant et on désigne par :
nk: l’effectif de la k-ième valeur (classe ou modalité)
fk: la fréquence de la k-ième valeur (classe ou modalité)
ck: le centre de la k-ième classe

1°) Les paramètres de position

a) Le mode
i) Rôle
Il indique la valeur (ou les valeurs) la plus fréquente du caractère. Il
est exprimé en la même unité que les valeurs du caractère.
ii) Détermination

Cas d'une série statistique quantitative à valeurs isolées:

C’ est la valeur du caractère qui lui correspond le plus grand
effectif: c'est la valeur la plus fréquente de la série.
Cas d'une série statistique quantitative continue:

1. si toutes les classes ont la même amplitude.

c’est la classe du caractère qui lui correspond la plus grande
fréquence (ou le plus grand effectif) :

2. si les classes n’ont pas la même amplitude.

c’est la classe k du caractère pour laquelle la fréquence (ou l'effectif )
par unité d'amplitude

(la densité dk  nk ) est la plus élevée.
ak

Cas d'une série statistique qualitative

Statistique 213

C’ est la modalité du caractère qui lui correspond le plus grand
effectif: c'est la modalité la plus fréquente de la série

Remarques: une série statistique peut être multimodale.

Application 5
Déterminer le(s) mode(s) de chacune de deux séries suivantes
1°) Les résultats de 50 lancers d’un dé dont les faces sont
numérotées: 1, 2, 3, 4, 5 et 6 sont consignés dans le tableau ci –
dessous:

Face obtenue 1 2 3 4 5 6
Effectif 6 11 11 8 5 9

2°) Une enquête portant sur l’ancienneté des salariés d’une

entreprise a conduit aux résultats ci -dessous

Ancienneté [0,10[ [10,15[ [15,20[ [20,30[ [30,40[

Effectif 16 16 25 8 5

b) La moyenne
i) Rôle
• Elle permet d’avoir une idée sur le centre de la série. Elle est notée:

x.
• Elle est exprimée en la même unité que les valeurs du caractère.

ii) Détermination

Cas d'une série statistique quantitative à p valeurs isolées:
p
= x1   fk xk
N n1x1+ n2x2 +n3x3 +.....+npxp
k =1

Cas d'une série statistique quantitative continue:

= x1 p
N n1c1 + n2c2 + n3c3 +.....+ npcp =  fkck

k =1

Cas d'une série statistique qualitative
On ne peut pas en parler: ça n’a pas de sens

iii) Propriétés
 Effet d’une application affine:

Statistique 214

Etant donnés deux réels a et b et une série statistique de taille N, de

 moyenne x et ayant pour valeurs: x1 ,x2 , x3 ,.....,xp
 alors la série y1 ,y2 , y3 ,.....,yp telle que pour tout indice i on a:

aura pour moyenne: y  ax  b
 Si une série statistique de taille N et ayant pour valeurs:

 est obtenuxe1e,xn2ré, xu3ni,s.s..a..,nxtpplusieurs séries d’effectifs

respectifs: n ,n2 ,n3 ,.....,np et de moyennes
1

respectives y1 ,y2 ,y3 ,.....,yp alors sa moyenne est:

k

i=1 n i yi

x = k

Remarque:i=L1anmi oyenne est l’un des paramètres les plus utilisés. Elle

résume convenablement la série mais elle présente l’inconvénient

d’être sensible aux valeurs extrêmes ou aberrantes: pour remédier à

cet inconvénient, on calcule la moyenne de la série obtenue par
suppression des valeurs extrêmes de la série initiale: c’est la

moyenne élaguée

Application 6

Les recettes R en dinars d’un grossiste selon ses 75 clients au cours

du mois de Janvier sont données par la distribution suivante:

R [215,235[ [235,255[ [255,275[ [275,295[ [295,315[ [315,235[ [335,355[ [355,375[

E 4 6 13 22 15 6 54

1°) Déterminer le mode de cette série

2°) Déterminer la moyenne R de cette série. Interpréter le résultat
3°) Ce grossiste décide de solder ses articles et ainsi un client qui a
à payer une facture de montant M n’en paiera que M’ = 7 .M  20 .

8

Quelle sera la moyenne R ' de la nouvelle série?
4°) Le tableau ci – dessous résume durant un semestre la moyenne

des recettes et l’effectif de ses clients au cours de chaque mois.

Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin
Moyenn
290D.6 270D.0 280D.8 295D.0 310D.0 300D.4
e Ri 00 00 00 00 00 00

Statistique 215

Fréquen 0.15 0.2 0.25 0.23 0.17 0.1
ce fi

Quelle est alors la moyenne RS de cette série et quelle est sa
signification ?

Application 7

L’histogramme ci – contre représente la répartition de vingt élèves
d’une 4 Math d’un lycée pilote selon leurs moyennes en
mathématiques au cours du 2ème trimestre.
1°) Déterminer l’effectif de chaque intervalle
2°) Calculer la moyenne de cette classe en mathématiques
3°) Recalculer cette moyenne en remplaçant:
l’intervalle [12,14[ par [11,14[
et l’intervalle [18,20[ par [18,19[
Noter la sensibilité de la moyenne aux valeurs extrêmes.

c) La médiane
i) Rôle
Elle permet d’avoir une idée sur la valeur du caractère qui partage la
population en deux échantillons de même taille (ou presque). Elle
est notée: Me (la série étant supposée rangée dans un ordre
croissant)
Elle est exprimée en la même unité que les valeurs du caractère

Statistique 216

ii) Détermination

Cas d'une série statistique Moyenne 11 12 14 16
quantitative à k valeurs isolées: Effectif 3 5 2 1

• Si l'effectif total N est

impair (N = 2p + 1) alors Me est la valeur du caractère prise par le

( p+1) - ème individu: Me = xp+1

• Si l'effectif total N est pair (N = 2p) alors Me est la
moyenne des valeurs du caractère prises

par le p - ième et le( p+1) - ième individus: Me = xp  xp1
2

Application 8

Les deux tableaux ci – dessous résument les résultats de fin

d’année Classe A

de deux classes d’un institut d’enseignement supérieur où un

étudiant
ne passera d’une classe à la classe supérieure que si sa moyenne

est supérieure ou égale à la médiane de la série des moyennes de la

classe.

Déterminer pour chacune de ces deux classes, la valeur minimale
de Classe B

la moyenne d’un étudiant pour Moyenne 7 8 9 12 14
passer à la classe supérieure Effectif 1 2 3 5 1

Cas d'une série statistique
quantitative continue:

• on détermine la classe
à laquelle appartient Me: c'est la
classe au bout de laquelle l'effectif
cumulé

croissant atteint ou dépasse la
moitié de l'effectif total (ou la
fréquence cumulée croissante atteint
ou dépasse 50 )

Statistique 217

 on suppose qu'à l'intérieur de cette classe, la répartition
est uniforme et par suite on déterminera Me par interpolation
linéaire. 0n a alors Me  bi  0.5  FCi

bs  bi FCs  FCi
bi : borne inférieure de la classe; bs : borne supérieure de la
classe;

FCi : fréquence cumulée associée à la borne inférieure de la classe

FCs: fréquence cumulée associée à la borne supérieure de la classe

Cas d'une série statistique qualitative

On ne peut pas en parler: ça n’a pas de sens

Application 9
L’histogramme ci – contre représente la répartition de le 30 élèves

d’une classe suivant le temps (en heure) qu’ils réservent à la
révision l’une des matières.
1°) Résumer ce graphique par un
tableau
2°) Compléter ce tableau par la
ligne des fréquences
cumulées croissantes sous
forme de rationnels
3°) a) Déterminer alors la classe
qui contient la médiane
b) Déterminer la médiane par
le calcul
4°) a) Calculer l’aire totale des
rectangles de l’histogramme
b) Déterminer l’équation de la
droite D parallèle à l’axe des
ordonnées qui partage cet
histogramme en deux histogrammes de même aire

Méthodes graphiques

Me est l’abscisse du point d’intersection de:
 Courbe des E.C.C et celle des E.C.D
 Courbe des F.C.C et celle des F.C.D
 Courbe des F.C.C et la droite d’équation y = 0.5
 Courbe des F.C.D et la droite d’équation y = 0.5

Statistique 218

Application 10
Une série statistique est résumée par le tableau ci – dessous:

Classe [0,100[ [100,250[ [250,500[ [500,1000[ [1000,1500[

Effectif 65 83 22 18 12

1°) Tracer selon un même repère le polygone des fréquences
cumulées croissantes et celui des fréquences cumulées
décroissantes
2°) En déduire la médiane de cette série.
3°) Retrouver la médiane de cette série par le calcul

iii) Propriétés
 Effet d’une application affine:

Etant donnés deux réels a et b et une série statistique de taille n,

de médiane Me et ayant pour valeurs:

 pxo1u,rxt2ou,txi3nd,i.c..e..,ixopn alors la série telle que
a:
 y1 ,y2 , y3 ,.....,yp
aura pour médiane: Me’ = a.Me + b.

 Elle est exprimée en la même unité que le caractère
 Elle n’est pas affectée par les valeurs extrêmes (cas des

classes indéterminées)
 Elle est plus fiable que la moyenne dans les cas où:

• le nombre d’observations est réduit

• la répartition est dissymétrique

iv) Interprétation de l’écart entre moyenne et médiane
Si dans une série:
• la moyenne et la médiane sont très proches, on dira que cette série

est "centrée".
• la moyenne est supérieure à la médiane, on dira que cette série est

plus "étalée à droite".

Application 11
On a ajouté (-30) à la valeur prise par chaque individu de la
population de la série présentée dans l’application 10: on définit
ainsi une nouvelle série.
Déterminer la médiane de cette nouvelle série.

Statistique 219

d) Les quartiles
i) Rôle
• Les quartiles sont les trois réels Q1, Q2 et Q3 qui partagent la
population - d’après ses valeurs classées dans l’ordre croissant (ou
décroissant) - en quatre séries de même effectif (ou presque).
Remarque: Q2 = Me.
• L'intervalle interquartile est l'intervalle Q1, Q3. Son amplitude est

appelée l'écart interquartile.

ii) Détermination
Cas d'une série statistique quantitative à k valeurs isolées
d’effectif N:

Une série statistique quantitative à
valeurs isolées

d’effectif N = 4.p + r
(r: reste de la division de N par 4)

Si r = 0

Q1 peut être tout réel de [xp , xp+1] Si r 0

Q3 peut être tout réel de [x3p , Q1= xp+1 et Q3 =x3p+1
x3p+1]

Cas d'une série statistique quantitative continue d’effectif N =
4.p + r (r: reste de la division de N par 4)

• on détermine la classe à laquelle appartient Q1: c'est la classe au

bout de laquelle l'effectif cumulé croissant atteint ou dépasse le quart

de l'effectif total N (ou la fréquence

cumulée croissante atteint ou

dépasse 25 )

 on suppose qu'à l'intérieur de
cette classe, la répartition est
uniforme et par suite on
déterminera Q1 par
interpolation linéaire.

Statistique 220

0n a alors Q1  bi  0.25  FCi bs : borne supérieure de la
bs  bi FCs  FCi

bi : borne inférieure de la classe;
classe;

FCi : fréquence cumulée associée à la borne inférieure de la classe

FCs: fréquence cumulée associée à la borne supérieure de la classe

Méthodes graphiques

Q1 est l’abscisse du point d’intersection de:
 Courbe des F.C.C et la droite d’équation y = 0.25
 Courbe des F.C.D et la droite d’équation y = 0.25

Remarque: on adoptera la même démarche pour déterminer Q3
et en tenant compte des changements nécessaires

Cas d'une série statistique qualitative
On ne peut pas en parler: ça n’a pas de sens

iii) Propriétés de Q1 et Q3
 Ils ont les mêmes propriétés que la médiane

Remarque: pour l’effet d’une application affine, il faut tenir compte du

signe de a.

 Ils ne sont pas significatifs lorsque la taille de la population

est faible
 Ils ne sont pas pertinents lorsque toutes les valeurs ont le

même effectif (ou presque)

iv) Interprétation de certaines valeurs
 L’écart inter - quartile permet de caractériser la nature de la

 Sséi rieQ:3  Me  Me  Q1 alors la série est relativement

 sSyi mQét3riquMee  Me  Q1 alors la série est dissymétrique avec

 un éQta3lemMeent àMde roQite1 alors la série est dissymétrique avec
Si

un étalement à gauche

v) Diagramme en boîte (ou à moustaches)

Ce diagramme permet de visualiser la valeur minimale de la série,
son 1er quartile, sa médiane, son 3ème quartile et sa valeur maximale

Statistique 221

La largeur de la boîte qui
représente 50% (ou
presque) de l’effectif total
est arbitraire.
De cette boîte s’étirent deux
moustaches représentées
par deux segments jusqu’aux valeurs minimale et maximale

Application 12
Le tableau ci – dessous résume la répartition des accidents de la

route dans un pays durant une année selon les heures de la journée.
Période

de la [0,3[ [3,6[ [6,9[ [9,12[ [12,15[ [15,18[ [18,21[ [21,24[
journée
Effectif 4550 3230 8220 9050 12040 16040 16820 10050

1°) Déterminer le 1er quartile de cette série
2°) a) Représenter le polygone des fréquences cumulées croissantes

b) En déduire Q3 et Me.
c) Interpréter les valeurs obtenues pour Q1, Me et Q3.
3°) Caractériser cette série d’après les valeurs trouvées pour Q1, Me
et Q3.
4°) Illustrez vos résultats par un diagramme en boîte

2°) Les paramètres de dispersion

Les paramètres de position sont insuffisants pour caractériser une
série. Deux séries de même moyenne ne se répartissent pas
nécessairement de la même manière autour de cette moyenne:
l’introduction de nouveaux paramètres qui mesurent la dispersion
des valeurs s’impose
a) L’étendue (ou intervalle de variation)
Détermination

 L'étendue d'une série statistique à valeurs isolées est la
différence entre la valeur maximale et la valeur minimale du
caractère
 L'étendue d'une série statistique continue est la différence entre
la borne supérieure de la dernière classe (contenant les plus fortes
valeurs du caractère) et la borne inférieure de la première classe
(contenant les plus faibles valeurs du caractère)

b) L’écart interquartile
Détermination

Statistique 222

C’est la différence entre le 3ème quartile et le 1er quartile de la série
étudiée : Q3 - Q1

c) La variance

Détermination
 La variance qu'on note: V est la moyenne des carrés des

écarts des valeurs du caractère par rapport à leur moyenne:

1 k caxra2ctèriekc1ofnitinxui ,oxn2remplaN1ceirka 1dnaixnis2  x2
   VN  1ni xi les

i
Dans le cas d’un

formules ci – dessus les xi par les ci: centres de différentes

classes

Propriétés

 La variance est toujours exprimée par un nombre positif

 La variance mesure la dispersion autour de la moyenne
 Effet d’une application affine:

Etant donnés deux réels a et b et une série statistique de taille n,
 de variance V et ayant pour valeurs:y1 ,y2 , y3 ,.....,yp
 x1 ,x2 , x3 ,.....,xp alors la série
telle que

pour tout indice i on a:

aura pour variance : V’ = a².V.

 Elle n’est pas exprimée en la même unité que le caractère: si le

caractère est le salaire en dinars alors sa variance sera exprimée
en D² !: c’est pourquoi on préfère recourir à sa racine carrée qui est
exprimée en la même unité: c’est l’écart type

d) L’écart - type
Détermination

 L'écart - type qu'on note:  est la racine carrée de la variance.

 V  1 k 1nix2i   x2
 N 
i

 Dans le cas d’un caractère continu, on remplacera dans la

formules ci – dessus les par les : centres de différentes

classes

Propriétés
 Il tient compte de toutes les observations

Statistique 223

 Il exprime fidèlement la dispersion d’une série car il est peu

sensible aux fluctuations d’échantillonnage
 Effet d’une application affine:

Etant donnés deux réels a et b et une série statistique de taille n,

 x1d’,éxc2ar,tx–3ty,.p..e..,xpet ayant pour valeurs:
 alors la série

pour tout indice i on a:
y1 ,y2 , y3 ,.....,yp telle que

aura pour d’écart – type : ’ = a 

Interprétation
L'écart – type permet de comparer la dispersion de deux séries
de même ordre de grandeur

Attention: si deux séries statistiques n’ont pas le même ordre
de grandeur alors celle qui prend les plus grandes valeurs
aura le plus grand écart – type mais cela ne signifie pas que
ses valeurs sont plus dispersées (Pour faire des comparaisons il
faut définir un autre paramètre qui est hors programme)

Application 13

L’aîné et le cadet d’une famille sont deux Benjamin 3 5 7
Cadet 5 10 15
élèves du lycée où le barème du contrôle Aîné 8 10 12

continu contient vingt points. Le benjamin
est encore à l’école primaire où on est noté

suivant un barème de dix points.

Le tableau ci-contre résume les résultats de trois premiers devoirs de

chacun de ces enfants.

On désignera par X, Y et Z les séries des notes respectives du
benjamin, cadet et l’aîné.

1°) Calculer la moyenne de chacune de ces trois séries

2°) Classer – si c’est possible - ces trois frères par ordre de grandeur
croissant d’irrégularité du travail

4°) Séries chronologiques

L’ensemble des observations ordonnées en fonction du temps
d’un caractère quantitatif constitue une série chronologique. La

variable étudiée est notée habituellement Y et prend les valeurs:
y1, y2 • • • yN.

Le temps est noté habituellement t et prend les valeurs: t1 < t2 <
t3 < • • • <tN.

Statistique 224

Les données peuvent être présentées dans un tableau 2 lignes -

n colonnes ou n lignes - 2 colonnes.

La série obtenue peut être représentée par les points de

coordonnées (tk , yk) que nous relierons par des segments
Le coefficient multiplicateur qui permet de passer d’un temps

(une date) ti à un temps tj est le réel C défini par C = yj où yi
yi

et y j sont les valeurs prises par la variable Y aux temps

respectifs ti et tj.
L'indice I d'une variable statistique est le rapport entre la valeur

de cette variable au cours d'une période ti et sa valeur au cours
d'une période tk prise comme base.
Il mesure la variation relative de la valeur entre la période de

base et la période ti.
Souvent, on multiplie le rapport par 100 et on dit : indice base

100 à telle période. On a: I = C x 100

Les indices permettent de calculer et de comparer facilement les

évolutions de plusieurs variables entre deux périodes données.

Application 14
Le tableau ci-dessous décrit l’évolution du prix d’un litre de carburant

au cours de trois années

Date Mars 2007 Mars 2008 Mars 2009

Prix (en Mi) 1250 1300

Indice 100 98.4

1°) a) Vérifier que l’indice du prix d’un litre de carburant au mois de

Mars 2008 est 104.

2°) Pour chacune des propositions ci-dessous, indiquer si elle est
vraie ou fausse en écrivant ‘’oui’’ ou ‘’non’’ dans la case

correspondante du le tableau ci-dessous :

Proposition Vraie Fausse
Le prix d’un litre de carburant a augmenté de 98.4

Mi au mois de Mars 2009
Le prix d’un litre de carburant a augmenté de 1.6%

au mois de Mars 2009

Statistique 225

Le prix d’un litre de carburant a diminué de 1.6%

au mois de Mars 2009
Le prix d’un litre de carburant a diminué de 1.6 Mi

au mois de Mars 2009
Le prix d’un litre de carburant a diminué de 5.6%

(5.6 = 4 + 1.6) au mois de Mars 2009 par rapport à
ce qu’il était en Mars 2008

3°) Déterminer le prix d’un litre de carburant au mois de Mars 2009
4°) a) Compléter le tableau ci-dessous en tenant compte de données
et résultats précédents.

Date Mars 2007 Mars 2008 Mars 2009

Indice 100

b) En déduire une justification de votre réponse à la dernière
proposition citée dans le tableau de la question 2°).

Evaluation du degré d’assimilation du
cours

Pour chacune des situations ci – dessous, relevez sur votre cahier les
numéros des propositions qui vous semblent vraies

Situation 1
Si on lance six fois un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6
alors la moyenne de série statistique obtenue sera 3.5
P1: oui
P2: non

Situation 2
Le mode d’une série statistique est affecté par les valeurs extrêmes
P1: oui
P2: non

Situation 3
Dans le cas d’une distribution symétrique, le mode, la médiane et la
moyenne sont tels que :
P1: Mo = Me = X
P2: Me > X > Mo

Statistique 226

Situation 4
Une série statistique – comme elle a plus qu’un mode – peut avoir
plus qu’une médiane

P1: oui

P2: non

Situation 5
La moyenne est préférée à la médiane pour les séries qui sont
approximativement symétriques
P2: oui
P3: non

Situation 6
Si la représentation graphique d’une série est étalée est plus étalée

vers la droite alors on a Mo < X < Me
P1: non
P2: oui

Situation 7
L’écart interquartile regroupe 50% de la population
P1: non
P2: oui

Situation 8

Dans une série statistique, on a Si Q3  Me  Me  Q1 alors la
série est dissymétrique avec un étalement à droite

P1: oui
P2: non
Situation 9

Soit une série statistique de valeurs (x1, x2, •, •, •, xn) de moyenne X ,

de 1er quartile Q1 et de 3ème quartile Q3 .X', Q1' et Q ' désignent
3

respectivement la moyenne, le 1er quartile et le 3ème quartile de la

série statistique de valeurs (-3.x1 + 2, -3.x2 + 2, •, •, •, -3.xn + 2).

P1: X'= 3 .X + 2, Q ' = -3.Q3 + 2 et Q1' = 3.Q1 + 2
3

P2: X'= - 3 .X + 2, Q ' = -3.Q1 + 2 et Q1' = - 3.Q3 + 2
3

Situation 10
On garde les données de la situation 9 et on note  l’écart-type de la
1ère série et ’ celui de la 2ème série.

Statistique 227

P1:. ’ = - 3 . + 2
P2: ’ = 3 . + 2

Situation 1 Solutions des QCM

P1: Fausse P1: Vraie
P2: vraie P2: Fausse car on doit
avoir Mo < Me < X
Situation 2
Situation 7
P1: Fausse P1: Fausse
P2: Vraie
P2: Vraie
Situation 3
Situation 8
P1: Vraie
P2: Fausse P1: Vraie
P2: Fausse
Situation 4
Situation 9
P1: Fausse
P2: Vraie P1: Fausse ( toutes les
valeurs sont fausses)
Situation 5
P2: Vraie
P1: Vraie
P2: Fausse Situation 10

Situation 6 P1: Fausse
P2: Fausse

Statistique 228

Solutions des applications

Application 1

N° de La Un Le Nature du Quelques
l’étude population individu caractère caractère modalités
un parmi quantitatif
1 élèves de ce Note 12 ; 7.5 ;
professeur ces obtenue en discret 19 …
2 élèves un devoir
Les Nombre de quantitatif 2 ; 4 ; 3 ;…
3 ménages de un parmi pièces du discret
ces logement [300 ,
4 la ville A du ménage quantitatif 350[ ;
ménages Montant du continu [750 ,
5 Les 800[….
ménages du un parmi revenu quantitatif
ces mensuel continu [30,35 [ ;
pays P du ménage [15,20[….
ménages Age de qualitatif
Population chaque Française,
tunisienne Un citoyen allemande,
citoyen
les touristes tunisien La …
qui ont visité nationalité
la Tunisie en un parmi
ces
2006
touristes

Application 2

Nombre de

pièces: valeurs du 1 2 3 4 5 6 7 Total

caractère (xi)

Nombre

d’appartements: 3 3 6 4 2 1 1 20
effectif

correspondant (ni)
Fréquence de

cette valeur:

ni 0.15 0.15 0.30 0.20 0.10 0.05 0.05 1
20
fi 

Statistique 229

Commentaire: la collecte de données se fait de façon individuelle:
cas des énoncés de l’exercice. On commence par les présenter sous

forme groupée en suivant les étapes suivantes:
 classer les valeurs prises par le caractère dans l’ordre croissant

(ou décroissant) la k-ième valeur sera désignée par xk
si les valeurs sont groupées par intervalles, le centre du k-ième

intervalle sera désigné par ck

 associer à chacune de ces valeurs son effectif: le nombre
d’individus qui leur correspond la valeur considérée du caractère

l’effectif de la k-ième valeur (ou k-ième intervalle) sera notée: nk

p

N  nk est l’effectif total de la population (p étant le nombre de
k 1

valeurs prises par le caractère)
 au cas de besoin: la fréquence de la k-ième valeur qu’on désigne

par fk est fk  nk
N

Application 3
Reprenons le tableau de l’application 2:

xi 1 2 3 4 6 7 Total
3 3 6 5 2 1 20
ni
0.15 0.15 0.30 0.25 0.10 0.05 1
fi  ni
20

D’après ce tableau:
1°) a) on a: 3 est la 3ème valeur prise par le caractère donc x3 = 3 et

n3 = 6
le nombre d’appartements qui contiennent au plus trois pièces est:

 E3  Ek
ou Fk n1 + n2 + n3 = 3 + 3 + 6 = 12

cette somme est l’effectif cumulé croissant jusqu’à la valeur 3

b) on a: 4 est la 4ème valeur prise par le caractère donc x4 = 4 et n4 =

5

le nombre d’appartements qui contiennent au moins quatre pièces

est: E4  n4 + n5 + n6 = 5 + 2 + 1 = 8

cette somme est l’effectif cumulé décroissant jusqu’à la valeur 4

Statistique 230

2°) a) on a: 2 est la 2ème valeur prise par le caractère donc x2 = 2 et
f2 = 0.15
la fréquence d’appartements qui contiennent au plus trois pièces est:

F2  f1 + f2 = 0.15 + 0.15 = 0.3

cette somme est la fréquence cumulée croissante jusqu’à la valeur 2
b) on a: 6 est la 5ème valeur prise par le caractère donc x5 = 6 et f5 =

0.10
la fréquence d’appartements qui contiennent au moins six pièces est:

F5  f5 + f6 = 0.10 + 0.05 = 0.15
cette somme est la fréquence cumulée décroissante jusqu’à la valeur

x5 = 6
Dans la pratique, on peut procéder comme suit:

i) E.C.C et F.C.C

xi 1 2 3 4 6 7 Total

ni 33 6 5 21 20

+ + + ++

 Ek ou Fk 36 12 17 19 20

ii) E.C.D et F.C.D 1 2 3 4 6 7 Total
0.15 0.15 0.30 0.25 0.10 0.05 1
xi
+ + + + + 0.05
fi
1 0.85 0.70 0.40 0.15
Fk ou Ek 

Application 4

Date Ch. D'affaire Co. Multip Co Indice 1°)
tri 1 07 335 370/370 1.00 100
tri 2 07 370 370/335 1.10 110 Cette
tri 3 07 205 205/335 0.61 61 série
tri 4 07 440 440/335 1.31 131 est
tri 1 08 370 370/370 1.00 100 chron
ologi

tri 2 08 470 470/370 1.27 127 que

tri 3 08 240 240/370 0.65 65 alors

tri 4 08 460 46O/370 1.24 124 on la

repré

sentera par un chronogramme séquentiel et pour étudier son évolution on

peut ajouter le diagramme des indices

Statistique 231

2°) cette série est qualitative, on la représentera par un diagramme

circulaire

Modalité Effectf Angle i

Commerce 30 54°

Industrie 45 81°

Artisanat 15 27°

Agriculture 90 162°

Autres 20 36°

Total 200 360°

Répartition de 200 ouvriers

Industrie : 22.50 %

Artisanat : 7.50 % 81° Commerce : 15.00 %
27° Autres : 10.00 %
54°
162° 36°

Agriculture : 45.00 %

Statistique 232

3°) cette série est quantitative discrète, 4°) cette série est quantitative

on la représentera par un diagramme à continue, on la représentera par

bâtons un histogramme

N.B: les classes ont la même

amplitude alors chacune d’elles
aura une hauteur égale à son
effectif

5°) Cette série est quantitative continue, on la représentera par un
histogramme

Ce qui est particulier dans ce cas est que les classes n’ont pas la
même amplitude, on procédera alors à une correction d’amplitude:
 On choisit

parmi les

Statistique 233

amplitudes de différentes classes une qu’on appellera amplitude
de référence et qu’ on notera a (en général: c’est la plus faible)

 l’effectif corrigé de la k-ième classe est n 'k  nk a où nk et a’
a'

sont respectivement l’effectif réel et l’amplitude de cette classe

On prendra 5 comme amplitude de référence

Tailles en cm Moins de 160 , 165, 170 , 180 ,
160 165 170 180 200

Effectif (nk) 1 8 18 29 4
1
Effectif 8 18 14.5 1
corrigé (n’k)

Points méthode :si les classes n’ont pas la même amplitude

1ère méthode

 On choisit parmi les amplitudes de différentes classes une

qu’on appellera amplitude de référence et qu’on notera a (en

général: c’est la plus faible)

 On porte les amplitudes sur l’axe des abscisses et les effectifs

corrigés sur l’axe des ordonnées

 à chaque classe d’amplitude a, on associe un rectangle dont

les dimensions sont a et l’effectif de cette classe

 à chaque classe d’amplitude a’ différente de a, on associe un
edsot nl’teflfeesctdifimréeennl 'sdkieonlasnckslaoxsnstaaea' ’
rectangle et son effectif corrigé
où nk

2ère méthode

Tailles en Moins de 160 , 165, 170 , 180 ,
cm 160 165 170 180 200

Effectif 1 8 18 29 4
(nk)
1  0.2 8  1.6 18  3.6 29  2.9 4  0.2
Densité 5 5 5 10 20
(dk)

Statistique 234

 Pour chaque k-ième

classe, on calcule sa

densité dk définie par

dk  nk où ak et nk
ak

sont respectivement

l’amplitude et l’effectif de la k-ième classe
 On porte les amplitudes sur l’axe des abscisses et les densités

sur l’axe des ordonnées

 à chaque classe d’amplitude a, on associe un rectangle dont

les dimensions sont ak et dk

 L’aire du rectangle associé à chaque classe est égal à
l’effectif de cette classe

Application 5
1°) La valeur 2 lui correspond le plus grand effectif donc c’est un
mode, mais il n’est pas le seul à avoir cet effectif : il y a aussi la

valeur 3.
Il s’agit alors d’une série bimodale; ses modes sont 2 et 3.
2°) Il s’agit d’une série statistique quantitative continue dont les
classes n’ont pas la même amplitude. On déterminera alors la densité
de chacune d’elles

Ancienneté [0,10[ [10,15[ [15,20[ [20,30[ [30,40[

Effectif (nk) 16 16 14 24 15

Densité (dk) 1.6 3.2 2.8 2.4 1.5
D’après ce tableau, la classe modale est la classe [10,15[ car c’est

elle qui lui correspond la plus grande densité

Commentaire: les deux premières classes ont le même effectif mais

la densité de la deuxième est double de celle de la première: on dit
que les individus de la classe [10,15[ sont deux fois plus ‘’serrés’’ que

ceux de la classe [0,10[

Statistique 235

Application 6

1°) Il s’agit d’un caractère quantitatif continu où toutes les classes ont

la même amplitude; donc la classe modale de cette série est celle qui
lui correspond le plus grand effectif : c’est la classe [275,295[

2°) R  1 8 
On a N
(nkx ck )

k 1

1 4x225  6x245 13x265  22x285 15x305  6x325  5x345  4x365

75

= 290D.600

Dire que R = 290D.600 revient à dire comme si chacun des 75 clients
a payé une somme de 290D.600 à grossiste au cours du mois de

Janvier
3°) Cette remise correspond à l’application d’une application affine
sur chaque valeur prise par l’un des individus de la population donc la

moyenne de la nouvelle série sera R ' = 7 x 290.600  20 = 274D.275
8

4°) Cette question revient à calculer la moyenne des moyennes

6

RS = fi x Ri = 0.15 x 290.6 + 0.2 x 270 + 0.25 x 280.8 + 0.23 x
i1

295 + 0.17 x 310 + 0.1 x 300.4
= 290D.894

De ce résultat, on déduit que c’est comme si durant ce semestre

chaque client a payé une facture de montant RS = 290D.894

Application 7
1°) D’après cet histogramme, on relève le tableau suivant:

Moyenne [12,14[ [14,15[ [15,16[ [16,17[ [17,18[ [18,20[

Densité 1.5 1 6 1 6 1.5
(dk) 1.5 x 2 1 x 1= 6 x 1 = 1 x 1 = 6 x 1 =
1.5 x 2
Effectif =3

(nk) = 3 1 6 1 6

2°) Soit M la moyenne de cette série alors

Statistique 236

M= 1 6 1nk .ck =
N x

k

1 3 x13 1x14.5  6 x15.5  1x16.5 6 x17.5 3 x19 = 16.25

20

3°) Soit M ' la moyenne de la nouvelle série alors

M'= 1 x 6 1nk .ck 
N 

k

1 3 x12.5 1x14.5  6 x15.5  1x16.5 6 x17.5 3 x18.5 = 16.10

20

Application 8
 Classe A
Classe A

L’effectif total de cette série est impair N = 11 = 2 x 5 + 1

alors sa médiane Me = x5+1 = x6
or d’après la ligne des effectifs cumulés croissants le 6ème individu a
une moyenne égale à 12

donc pour qu’un étudiant de la classe A passe à la classe supérieure
sa moyenne doit être supérieure ou égale à 12

 Classe B
Classe B

L’effectif total de cette série est Moyenne 7 8 9 12 14
pair N = 12 = 2 x 6 alors sa alors sa Effectif 1 2 3 5 1
médiane Me = x6  x7 Ek 1 3 6 11 12

2

or d’après la ligne des effectifs

cumulés croissants le 6ème individu a une moyenne égale à 9 le 7ème

individu a une moyenne égale à 12

donc Me = 9 12  10.5 donc pour qu’un étudiant de la classe B
2

passe à la classe supérieure sa moyenne doit être supérieure ou
égale à 10.5

Moyenne 11 12 14 16

Effectif 3 5 2 1

Ek 3 8 10 11

Statistique 237

Application 9
1°)

Durée (en h) [0,1[ [1,2[ [2,3[ [3,4[ [4,5[

Effectif 68664

2°)

Durée (en h) [0,1[ [1,2[ [2,3[ [3,4[ [4,5[

Effectif 68664

68664
Fréquence

30 30 30 30 30

Fk 6 14 20 26 30
30 30 30 30 30

3°) a) La classe qui contient la médiane est la classe qui contient la
fréquence cumulée 50 c’est alors la classe [2,3[ (d’après 2°))

b) L’application de la formule Me  bi  50  FCi conduit à
bs  bi FCs  FCi

Me  2  15  14
32 30
20  30
14

30 30

alors Me  2  1 signifie Me = 2h 10mn
6

Ce qui s’interprète comme suit: la moitié de cette classe consacre

plus que 2h 9mn par semaine pour réviser cette matière et
l’autre moitié consacre moins que 2h 9mn par semaine pour

réviser cette même matière

4°) a) Soit  l’aire cherchée et i l’aire du i - ème rectangle de

l’histogramme

c’est la somme des aires de 5 rectangles de l’histogramme

Statistique 238

alors  = 1 +2 +3 +4+5 = +1 x 6 + 1 x 8 +1 x 6 +1 x 6 +1

x 4 = 30

le polygone des b) on a 2  15 et 1 le polygone des fré
décroissantes est u
fréquences cumulées +2 = 14 alors il nous joignant les points
• l’abscisse est la b
croissantes est une ligne faut en plus une partie la classe
d’aire 1 du 3ème • l’ordonnée est la f
brisée joignant les points rectangle décroissante de la

dont : [800,1200[
• l’abscisse est la borne
12
supérieure de la classe
• l’ordonnée est la 6

Classe [0,100 [100,250[ [250,500[ [500,800[
[

Effectif (nk) 65 83 22 18

Fréquence 32.5 41.5 11 9
(fk en %)

puisque la droite D cherchée parallèle à l’axe des ordonnées et le
3ème rectangle a pour longueur 6, on en prendra alors un
rectangle de même longueur et de largeur 1 donc D a pour
6
équation x = 2 + 1 = 13
66

Conclusion: la droite D: d’équation x = 13 partage l’histogramme en
6

deux histogrammes de même aire

Remarquons l’égalité Me = x qui n’est pas par hasard.

Application 10
1°) Commençons par rappeler que:

Fk (%) 32.5 74 85 Statistique 239
Fk (%) 100 67.5 26
94 100
15 6

2°) D’après
cette
représentation, l’abscisse du point d’intersection des polygones des
fréquences cumulées est 163 donc cette série a pour médiane 163

3°) La classe qui contient la médiane est la classe qui contient la
fréquence cumulée 50 c’est alors la classe [100,250[ (d’après le
tableau dressé en 1°))

Statistique 240

L’application de la formule Me  bi  50  FCi conduit à
bs  bi FCs  FCi

Me  100  50  32.5
250  100 74  32.5

alors Me  100 150 x 17.5 signifie Me = 100 + 63.25 =
41.5

163.25

Application 11

Désignons par :
• Me : la médiane de la série présentée dans l’application 10 alors

Me = 163.25
• Men : la médiane de la nouvelle série
• xi : une valeur prise par l’un quelconque des individus de la
population dans le cas de la série présentée dans l’application 10
• yi : la valeur prise par cet individu dans le cas de la nouvelle série
alors yi = xi - 30 donc yi se déduit de xi par l’application affine:

xi xi  30
donc Men = Me - 30 = 163.25 – 30 = 133.25

Application 12

1°)

Période [0, [3, [6, [9,1 [12,1 [15,1 [18,2 [21,2
de la 3[ 6[ 9[ 2[ 5[ 8[ 1[ 4[

journée

Effectif 45 32 82 905 1204 1604 1682 1005
50 30 20 00 0 0 0

Fréque 5.7 4 10. 11. 15.1 20 21.1 12.5
nce 3 3

Fk 5.7 9.7 20 31. 46.4 66.4 87.5 100
3

Statistique 241

D’après ce tableau, la
fréquence cumulée
croissante 25% se
trouve dans la classe
[9,12[.
En appliquant la règle
d’interpolation linéaire:
Q1  bi  25  FCi on
bs  bi FCs  FCi

aura
Q1  9  25  20
12  9 31.3  20

alors Q1 = 9 + 3 x 0.44 =
10.33 = 10h 20mn

2°) a) Voir la
représentation ci –

contre
b) D’après la
représentation ci – contre et en tenant compte de l’unité de

graduation:

Me = 5.18 x 3 = 15.54 = 15h 32mn

Q3 = 6.41 x 3 = 19.23 = 19h 14mn

c) On a:
• Q1 = 10h 20mn donc un quart des accidents se produit entre 0h
et 10h 20mn
• Me = 15h 32mn donc la moitié des accidents se produit entre 0h
et 15h 40mn
• Q3 = 19h 14mn donc les trois quart des accidents se produit
entre 0h et 19h 14mn
3°) On a: Q3 – Me = 19h 14mn - 15h 32mn = 3h 42mn

et Me – Q1 =15h 32mn - 10h 20mn = 5h 12mn
donc Q3 – Me < Me – Q1 alors la série est dissymétrique avec un

étalement à gauche

4°) Diagramme en boîte (ou à moustache)

Ce diagramme REPARTITION DES ACCIDENTS
illustre la
dissymétrie de la
série et son

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x
Q1 Med Q3

Statistique 242

étalement à gauche

Application 13

1°) X  357 5 Y  5 10 15 10
3 3

Z  8 10 12  10
3

2°) a)

xi 3 5 7 donc VX = 1 9  25  49  25  8
ni.xi 3 5 7
ni.xi² 9 25 49 33

donc X  8 1.63
3

b)

yi 5 10 15 donc VY = donc
ni.yi 5 10 15
ni.yi² 25 100 225 1 25 100  225 100  50

33

Y  50 4.08
3

c) 8 10 12 donc VZ = 1 64 100 144 100  8
8 10 12
zi 64 100 144 33
ni.zi
ni.zi² Z  8
3
donc 1.63

Comparaison
 La série X (notes sur 10) n’a pas le même ordre de grandeur
que Y et Z (notes sur 20) par suite on ne peut pas comparer
sa dispersion à celles de Y et Z.

 Les deux séries Y et Z ont le même ordre de grandeur donc
on peut comparer leurs dispersions

Statistique 243

puisque Y  50 4.08 > Z  8 1.63 les valeurs de y sont
3 3

plus dispersées autour de la moyenne que celles de Z
ainsi les résultats de l’aîné sont moins irréguliers que ceux du cadet
ce qui revient à dire que l’aîné est plus régulier que le cadet
Application 14

1°) Soit I1 l’indice à chercher, donc I1 = 100 x 1300 = 104
1250

2°)

Proposition Vraie Fausse
Le prix d’un litre de carburant a augmenté de 98.4 non oui
non oui
Mi au mois de Mars 2009 oui non
Le prix d’un litre de carburant a augmenté de 1.6% non oui

au mois de Mars 2009
Le prix d’un litre de carburant a diminué de 1.6% au

mois de Mars 2009
Le prix d’un litre de carburant a diminué de 1.6 Mi

au mois de Mars 2009
Le prix d’un litre de carburant a diminué de 5.6%

(5.6 = 4 + 1.6) au mois de Mars 2009 par rapport à non oui
ce qu’il était en Mars 2008

3°) Soit P2009 le prix d’un litre de carburant au mois de Mars 2009
alors 98.4 = 100 x P2009

1250
98.4 x1250
donc P2009 = 100 = 1230 Mi.
4°) a)

Date Mars 2007 Mars 2008 Mars 2009
Indice 96.15 100 94.62
b) L’indice du mois de Mars 2009 est 94.62 donc le prix d’un litre de
carburant a diminué de 5.38
(100 - 94.62) au mois de Mars 2009 par rapport à ce qu’il était en
Mars 2008 pour cela la proposition est fausse.

Statistique 244

Exercices intégratifs

Exercice 1

Le tableau ci – dessous résume la distribution de 2210 familles selon

le nombre d’enfants

Nombre d’enfants 8 et
xi 1 2 3 4 5 6 7 plus

Effectif ni 175 240 375 400 520 312 108 80

1°) Représenter cette série par un diagramme circulaire
2°) Déterminer sa moyenne , son mode et sa médiane
3°) Interpréter l’écart entre la moyenne et la médiane ?
Exercice 2
Dans une usine de conserves, on remplit les boîtes à l'aide d'un
système automatisé. Pour en vérifier le réglage, on prélève au hasard
80 boîtes et on pèse leur contenu (masse nette). Le tableau ci-
dessous indique la répartition, en classes d'amplitude 10 g.

Mass [480,4 [490,5 [500,5 [510,5 [520,5 [530,5 [540,5
e (en 90[ 00[ 10[ 20[ 30[ 40[ 50[

g) 4 8 45 18 3 1 1

Nom
bre
de
boîte
s

1) Déterminer la classe modale et la classe médiane. Calculer la
médiane. Interprétez ce résultat par une phrase.
2) Quel est le pourcentage de boîtes dont la masse nette est
supérieure ou égale à 500 grammes ?
Exercice 3

Le tableau ci-dessous récapitule les moyennes trimestrielles au
cours de la 1ère, 2ème et 3ème années d’étude en un lycée pilote.

Période 1ère Année 2ème Année 3ème Année
(ti) t1=tr t2= t3=tr t4=tr t5= t6=tr t7=tr t8= t9=tr

Moyenne 1 tr2 3 1 tr2 3 1 tr2 3

16.3 17.0 16.5 16.5 16.9 17.1 16.3 16.9 17.1

Statistique 245

(yi) 6 5 8 7 0 8 6 5 9

1°) Déterminer le coefficient multiplicateur (à 10-2 près) qui permet de
passer de t1 (1ère Année, 1er trimestre) à chacun des autres
trimestres.
2°) En déduire l’indice Ii de chaque moyenne trimestrielle à partir de la
base 100 en t1
3°) a) Interpréter I5 et I7
b) Compléter le tableau ci-dessous:

1ère Année 2ème Année 3ème Année 4ème Année

t1

Périod t1= t2= t3= t4= t5= t6= t7= t8= t9= t10 1 t12
tr2 tr3 tr1 tr2 tr3 tr1 tr2 tr3 =tr =tr
e (ti) tr1 =

1 tr 3

2

16 17 16 16 16 17 16 16 17
Moye

.3 .0 .5 .5 .9 .1 .3 .9 .1
nne(yi) 6 5 8 7 0 8 6 5 9

Indice 10 10 1 10
Ii 0 7 0 9
6

4°) représenter la courbe d’évolution des indices durant ses quatre
années d’étude en un lycée .
5°) Comparer l’évolution de la moyenne de cet élève du 1er au 2ème

trimestre durant les quatre années.

Exercice 4
I) La série suivante qu’on désignera par X donne le nombre de jours
de neige par année, à Paris de 1900 à 1948:
1, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13,
13, 14, 14, 14, 14, 15, 16, 17 , 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 20, 20,
20, 23, 26, 29, 29, 31, 32, 32, 34.

1°) Calculer (au dixième près) le nombre moyen X de jours de neige
par année, à Paris, sur cette période.
2°) Déterminer la médiane et le 1er et le 3ème quartile de cette série
II) Les nombres de jours de neige par an, à Paris ont également été
relevés de 1949 à 1997. Le tableau ci-dessous résume les
caractéristiques de la nouvelle série statistique qu’on désignera par Y

Statistique 246

Minimum 1er Médiane 3ème Moyenne
quartile M’e quartile Maximum X '
Q1' Q3'

1 7 12 18 36 13.3
1°) Donner l’écart interquartile de chacune de deux séries X et Y.

2°) Construire le diagramme en boîte de chacune de ces deux séries.
Commenter ces deux diagrammes.

3°) On notera X et Y les écarts-types respectifs des séries X et Y
et on admettra que

X = 7.82 et Y = 8.01. Comment interpréter le fait que X < Y ?

Exercice 5
Les listes L1 et L2 ci-dessous donnent les notes des élèves d’une
classe respectivement en math et en physique.
L1 : 12, 4, 8, 10, 9, 10, 11, 15, 8, 8, 6, 9, 9, 13, 12, 9, 10, 14, 10, 7, 16,
13, 14, 12
L2 : 12, 4, 14, 10, 9, 10, 12, 7, 15, 10, 8, 14, 6, 4, 15, 1, 18, 10, 11, 7,
11, 20, 16, 14
On se propose de comparer de deux manières la dispersion des
notes en math et en physique.
I) En utilisant les quartiles

1°) Calculer la médiane Me et les quartiles Q1 et Q3 en math.

2°) Calculer la médiane M’e et les quartiles Q' et Q' en physique
13

3°) représenter les diagrammes en boîte des notes en math et en
physique. Interpréter.
II) En utilisant les écarts-types

1°) Calculer les moyennes M des notes en math et M ' des notes

en physique. Interpréter.
2°) Calculer l’écart-type  des notes en math et l’écart-type ’ des
notes en physique. Interpréter
Remarque: Ces deux
séries sont comparables
car les notes en math et
en physique ont le même
ordre de grandeur.
Exercice 6
L'histogramme ci- contre
est une représentation
graphique de la
répartition de cent
ménages d'un village

Statistique 247

selon le montant de leurs factures d'électricité au cours du premier

trimestre de 2006.
1) Compléter le tableau ci – dessous:

Montant en [10, 30[ 30 , 40  40 , 60  60 , 70  [70 , 90[
dinars

Effectif (ni)

Fréquence
(fi)

Fréquences
Cumulées
croissantes

2) Déterminer la classe modale ainsi que la moyenne x . Interpréter

les résultats.
3) Déterminer le montant M en dinars tel que 75  des ménages
payent une facture inférieure à M.
4) Déterminer la fréquence des factures dont le montant appartient à

 x -  , x +   où  est l'écart type de cette série.

Exercice 7
Lors d’un contrôle dans une usine de fabrication, on a relevé les
nombres d’allumettes contenues respectivement dans vingt boîtes.

On a recueilli les résultats suivants: 40, 42, 32, 38, 40, 48, 30, 38,

36, 40, 34, 40, 34, 40, 38, 40, 42, 44, 36, 42.
1°) Tracer le diagramme à barres de cette série qu’on désignera par

X.

2°) Calculer sa moyenne x , sa médiane Me, son 1er quartile Q1, son

3ème quartile Q3 et son écart-type .
3°) Ranger les observations en classe d’intervalle 4 allumettes (borne
supérieure exclue). Calculer la moyenne et l’écart-type de la série
ainsi obtenue et qu’on désignera par Z.

y ,y , y ,.....,y

 4°) Soit Y la série ayant pour valeurs: 1 2 3 p telle que

pour tout indice i on a:

Calculer sa moyenne y et son écart-type Y .

Statistique 248

Solutions des exercices intégratifs

Exercice 1
1°)

Nombre Effectif Angle i (en °)
d’enfants xi ni

1 175 N1o7m5bxre360 E2ff8e.c5ti0f Fréquence Fk
d’enfa2n2t1s0xi ni Ek
2 fi (en %)
175
3 240 240 x 360  3197.510 7.92 7.92 415
4 1 790
5 22210 240 1190
6 10.86 18.78 1710
7 375 3 61.10 375 16.97 35.75 2022
8 et plus 400 4 65.20 400 18.10 53.85 2130
520 5 84.70 520 23.53 77.38 2210
312 6 50.80 312 14.12 91.5
108 7 17.60 108
80 8 et plus 13 80 4.89 96.39

3.61 100

Distribution de 2210 familles selon le nombre d'enfants

3 : 16.97 %

2 : 10.86 %

4 : 18.10 %

1 : 7.92 %

8 & PLUS : 3.62 %
7 : 4.89 %

5 : 23.53 % 6 : 14.12 %

2°) Cette série a pour:

mode Mo = 5
On a (2210 = 2 x 1105 : c’est pair

Statistique 249

alors la médiane Me = x1105  x1106  4  4 = 4
22

Les valeurs x1105 = 4 et x1106 = 4 sont déduites de la colonne des
Ek du tableau ci - contre

8
moyenne M =  fk x k
= 1 (175x7.92 + 240x1k0.=816 + 375x16.96 + 400x18.10 + 520x 23.53
100
+ 312x14.12 + 108x4.89 + 80x3.61)
= 4.18
3°) la moyenne et la médiane sont très proches (4.18 et 4) alors
cette série est "centrée".
Exercice 2
1°) • Toutes les classes ont la même amplitude donc la classe
modale est celle qui a le plus grand effectif : c’est la classe
[500,510[.
• La classe médiane est la classe qui contient l’effectif cumulé
croissant 40 ( N  80 )

22

Masse [480,4 [490,5 [500,5 [510,5 [520,5 [530,5 [540,5
40[ 50[
(en g) 90[ 00[ 10[ 20[ 30[ 1 1

Nombre 4 8 45 18 3 79 80
de
2 1
boîtes 80 80
=2.5 =1.25
Effectif

cumulé 4 12 57 75 78
croissan

t

Fréquen 23

ce 80 76 = 68 = 80 5
cumulée 80 80 =28.7
décroiss 80 95 85 80
=100 5 =6.25
ante

(%)

donc la classe médiane est la classe [500,510[
• Calcul de la médiane Me