L'incontournable en algèbre

Suites arithmétiques 100

 Comment montrer qu’une suite est

arithmétique :
Pour montrer qu’une suite (Un) est arithmétique il suffit de montrer
que pour tout entier n, Un+1 – Un est une constante indépendante de
n.

Application 6

Soit (Un) une suite réelle.
Cocher la case qui correspond à la réponse exacte.

Suite arithmétique N’est pas une suite

arithmétique

Un1  1 Un

Un  n  22

Un1  3  1 Un  5 
 3 

Un  Un1  4  0

Application 7
En une période d’entraînement, un cycliste augmente chaque jour de
5 km la distance parcourue. Il parcourt 15 km le premier jour.
On note dn la distance parcourue le n-ème jour.
1°) Déterminer d1, d2 et d3.
2°) Montrer que la suite (dn) est arithmétique dont on précisera la
raison.
3°) a) Pour n≥2, Simplifier

(d2 – d1 ) + (d3 – d2) + (d4 – d5) +… + (dn – dn-1)
b) En déduire dn en fonction de n.

 Comment calculer un terme d’une suite
arithmétique :

On peut calculer n’importe quel terme d’une suite arithmétique
connaissant :

 Le 1er terme U0 et la raison r, grâce à la relation : Un = U0 + nr
 Un terme Up et la raison r, grâce à la relation : Un = Up + (n – p).r

Remarque
Si le premier terme de la suite est U1, on a : Un = U1 + ( n - 1 ) r.

Application 8
On considère une suite arithmétique de premier terme U0 = 68,2 et de
raison r = - 0,6.

Suites arithmétiques 101

a) Déterminer les 4 premiers termes de cette suite.
b) Calculer le 50ème terme de la suite (Un) .

Application 9
On considère une suite arithmétique telle que U10 = 9 et U20 = 22

a) Déterminer la raison et le premier terme U0 de cette suite.
b) Calculer le 100ème terme de la suite (Un) .

 Numération
 Combien y-a-t-il d’entiers naturels compris entre 13 et 43 ? 13

et 43 y compris.
Astuce : Commencer à compter à partir de 1.
13 – 12 = 1 et 43 – 12 = 31. Donc il y a 31 entiers naturels
compris entre 13 et 43.
 On se propose de déterminer le nombre des entiers multiples

de 3 et compris entre 100 et 200.
Soit (Un) la suite des entiers naturels multiples de 3.
1°)a) Compléter : U0 = 0, U1 = …, U2 = …, U3 = … et U4 = …

b) Exprimer Un en fonction de n.
2°)a) Déterminer les entiers naturels n tels que 100 ≤ Un ≤ 200

b) Conclure.

Application 10
a) Déterminer le nombre des entiers naturels pairs inférieurs ou
égaux à 100.
b) Déterminer le nombre des entiers naturels impairs
compris entre 100 et 1000.

 Comment peut-on déterminer le nombre de
termes dans une somme de nombres réels

 On définit une suite réelle (Un) telle que la somme
S  Up  Up1  Up2  ....  Uq .

 U0  U1  U2  ....  Up1  Up  Up1  Up2  ....  Uq donc le

p termes

(q + 1) termes

nombre de termes dans cette somme est q + 1 – p = q – p + 1

Application 11
On considère la somme S = 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +…..+ 201.
Déterminer le nombre de termes dans cette somme.

Suites arithmétiques 102

 Comment Calculer la somme de termes

consécutifs d’une suite arithmétique

Théorème :
 La somme des n premiers termes d’une suite arithmétique de

premier terme U0 et de raison r est :

U0  U1  ...  Un1  n U0  Un1  nU0  n(n  1) .r
2 2

 La somme des n premiers termes d’une suite arithmétique de

premier terme U1 et de raison r est :

U1  U2  ...  Un  n U1  Un   nU1  n(n  1) .r
2
2

Schéma à retenir

La somme S de termes consécutifs d’une suite
arithmétique est :

S = nombre de termes

(Un) une suite arithmétique.

Résultat à retenir par cœur
Pour tout entier naturel n, 1 + 2 + 3 + … + n = n(n  1)

2

Application 12
1°) Calculer la somme des entiers naturels de 1 à 100.
2°) Déterminer l’entier naturel n sachant que : 1 + 2 + …+ n = 406
Application 13
Calculer la somme des dix premiers termes d’une suite arithmétique
de 1er terme – 7 et de raison 5.

Suites arithmétiques 103

Evaluation du degré d’assimilation du cours

Pour chacune des situations ci – dessous, relevez sur votre cahier les
numéros des propositions qui vous semblent vraies

Situation 1

Soit (Un) la suite réelle définie sur IN par : Un = 2n² - n - 1.

Le premier terme de cette suite est :

1°) - 1 2°) 0 3°) 1

Situation 2

Soit (Un) la suite réelle définie sur IN par :
Son premier terme U0 et la relation de récurrence Un+1 = 2Un – 9.
Si Un = 4 alors Un+1 = …
2°) – 1
1°) 5 3°) 1

Situation 3

Soit (Un) la suite réelle définie sur IN par : Un = 7n - 1.

1°) Un + 2 = 7n + 1 2°) Un + 2 = 7n + 13

Situation 4

Soit E l’ensemble des entiers naturels multiples de 4 inférieurs à 121.

Suites arithmétiques 104

Le nombre des éléments de E est :

1°) 30 2°) 31

Situation 5

Soit (Un) une suite réelle. On pose S = U5 + U6 + U7 +…+U50.
Le nombre de termes dans la somme S est :

1°) 4 2°) 45 3°) 46

Situation 6

Soit (Un) suite arithmétique de premier terme U0 = 10 et de raison 1

Le quinzième terme de cette suite est :

1°) 24 2°) 25

Situation 7

Une suite arithmétique est telle que le sixième terme vaut 7 et le

onzième terme 5.

La raison r de cette suite est :

1°) 0,4 2°) – 0,4

Situation 8

Soit (Un) suite arithmétique de raison 2 et telle que U6 = 14,2.
U1 =

1°) 4,2 2°) 2,2

Situation 9
On pose S = 19 + 20 + 21 + 22 +…+ 31

1°) S = 325 2°) S = 300

Situation 10
On pose S = 6 + 9 + 12 + 15 +…+ 66

1°) S = 2196 2°) S = 2160 3°) S = 756

Situation 11

(Un) est une suite arithmétique de premier terme u0 = 5.
On sait que u0 + u1 + u2 + ... + u10 = 253.

1°) u10 = 41 2°) u10 = 45,6

Situation 12
Soit (Un) une suite réelle et Mn
les points de coordonnées
(n , Un) représentés ci-contre :

1°) Pour tout n, Un  n 1
2

2°) Pour tout n, Un  2n  2

Suites arithmétiques 105

Solutions des QCM

Situation 1 Situation 5 Situation 9
1°)
Situation 2 3°) 1°)
2°)
Situation 3 Situation 6 Situation 10
2°)
Situation 4 1°) 3°)
2°)
Situation 7 Situation 11

2°) 1°)

Situation 8 Situation 12

1°) 1°)

Solutions des applications

Application 1

Soit la suite (Un) dont les premiers termes sont : U0 = 1, U1 = 2, U2 = 5
U3 = 6, U4 = 9, U5 = 10, U6 = 11, U7 = 14, ….

a) On remarque que pour passer d’un terme d’indice pair au
terme suivant on ajoute 1 et pour passer d’un terme d’indice

impair au terme suivant on ajoute 3 alors U8 = U7 + 1 = 15.
b) U9 = 18 Quelle est le 7ème terme de la suite
c) U11 . U11 = 22
Application 2

Soit la suite (Un) définie sur IN par : Un = n²  3n
1°) Le premier terme de cette suite est U0. U0 = 0.
2°) U6 = 18
3°)

a) Un+1 = n  1 ²  3 n  1  n²  n  2

b) Un+2 = n  2 ²  3 n  2  n²  n  2

c) U2n+1 = 2n  1 ²  3 2n  1  4n²  2n  2

d) Un+1 – Un = 2n - 2
e) Un+1 + Un =2n² - 4n – 2.
f) U2n+1 – U2n = 4n² - 2n – 2 – (2n)² + 3x2n = 6n - 2

Application 3
Soit la suite (Un) définie sur IN par son premier terme U0 = 3 et la
relation de récurrence : Un+1 = 2Un – 5.
1°) Le deuxième terme de cette suite est : U1 = 1

Suites arithmétiques 106

2°) Pour connaître un terme de cette suite il suffit de connaître le
terme qui le précède.
3°) U6 = - 123.

Application 4
1°)a) U0 = 0.5, U1 = 1.1,

U2 = 1.7, U3 = 2.3, U4 = 2.9
2°)a) Pour tout entier naturel
n Un = (0.6)n + (0.5).

b) U100 = 60.5

Application 5 N’est pas une suite
arithmétique
On considère la suite
arithmétique : 3 ; 7 ; 11 ; 15, ……… x

a) U1 = 3. R = 4.
b) U2 = 7 et U3 = 11
c) U5 = 19, U6 = 23 et U8 = 31
Application 6

Soit (Un) une suite réelle.

Suite arithmétique

Un1  1 Un x
x
Un  n  22
x
Un1  3  1 Un  5 
 3 

Un  Un1  4  0

Application 7
En une période d’entraînement, un cycliste augmente chaque jour de

5 km la distance parcourue. Il parcourt 15 km le premier jour.

On note dn la distance parcourue le nième jour.

1°) d1 = 15, d2 = 20 et d3 = 25

2°) Pour tout entier naturel non nul n, on a : dn+1 - dn = 5 alors (dn) est

arithmétique de raison 5.
3°)a) (d2 – d1 ) + (d3 – d2) + (d4 – d5) +… + (dn – dn-1) = dn – d1.

b) (d2 – d1 ) + (d3 – d2) + (d4 – d5) +… + (dn – dn-1) = dn – d1.
Chaque facteur (dk+1 – dk) = 5 et de (d2 – d1 ) à (dn – dn-1) il y a
n – 2 + 1 = n – 1 facteurs. Donc
(d2 – d1 ) + (d3 – d2) + (d4 – d5) +… + (dn – dn-1) = 5(n – 1)

D’où pour tout n≥ 2, dn – d1 = 5(n – 1) c'est-à-dire pour tout n≥ 2,

Suites arithmétiques 107

dn = 5n + 10. Cette formule reste vraie pour n = 1, donc pour tout
entier n ≥ 1, dn = 5n + 10.
Application 8

(Un) une suite arithmétique de premier terme U0 = 68,2 et de raison
r = - 0,6.

a) U0 = 68,2. U1 = 67,6. U2 = 67 et U3 = 66,4.
b) U49 = 38,8
Application 9

(Un) une suite arithmétique telle que U10 = 9 et U20 = 22
a) r  U20  U10  22  9  1,3

20  10 10

U0 = U10 + (0 – 10).(1,3) = 9 – 13 = -4.
b) le centième terme de la suite est :

U99 = U0 + 99x1,3 = -4 + 128,7 = 124,7.
Application 10

a) Soit (Un) la suite des entiers naturels pairs Un = 2n.
0 ≤ Un ≤ 100 signifie 0 ≤ n ≤ 50

Donc il y a 51 entiers naturels pairs inferieurs ou égaux à 100.
b) Un nombre impair s’écrit sous la forme 2n + 1.

100 ≤ 2n + 1 ≤ 1000 signifie 99 ≤ n ≤ 999
22

signifie 49.5 ≤ n ≤ 499.5 signifie 50 ≤ n ≤ 499
donc il y a 499 – 50 + 1 = 450 nombres.
Application 11
S =7 + 9 + 11 + 13 + 15 +…+ 201=(2x3 +1) + (2x4 +1)+…+(2x100+1)
Donc S est une somme de 100 – 3 + 1= 98 termes consécutifs

d’une suite arithmétique de raison 2 alors S = 98 x 7  201 = 10192.
2

Application 12

1°) 1 + 2 + 3 +…+100 = 100x101 = 5050.
2

2°) 1 + 2 + …+ n = 406 signifie nn  1 = 406 signifie n2 + n = 812

2

signifie  n  1 2  1  812 signifie  n  1 2  3249   57 2
 2  4  2  4  2 

signifie n + 1 = 57 signifie n = 28.
22

Application 13
(Un) une suite arithmétique de premier terme U0 = – 7 et de raison 5.

On désigne par S la somme des dix premiers termes :

Suites arithmétiques 108

S = U0+ U1+…+ U9 = 10 x U0  U9 = 10 x 7  (7  45) = 155.
2 2
Exercices intégratifs

Exercice 1

Soit (Un) la suite réelle définie sur IN par : Un  2n  1
n2

1°) Calculer U0, U1, U8 et U20.
2°) Exprimer, en fonction de n, Un+1, Un-1 et U2n+1.

3°) Montrer que pour tout entier naturel n, Un1  Un  n  5  3

2n

Exercice 2

On considère une suite arithmétique (an) de raison r.
Montrer que les suites suivantes sont des suites arithmétiques :

1) (un) définie par un = 5an - 2

2) (vn) définie par vn = a2  an2
n1

Exercice 3

Soit (un) la suite arithmétique de raison 3 et de premier terme

u0 = - 1.
Calculer les sommes :

S1 = u0 + u1 + u2 + ... + u99
S2 = u50 + u51 + u52 + ... + u99
S3 = u0 + u3 + u6 + u9 + ... + u300
Exercice 4

Soit  un n0 la suite réelle définie par : U0 = 11 et pour tout entier

naturel n, Un = Un+1 + 5.

1°)a) Montrer que la suite (Un) est arithmétique et précisera sa raison.

2°) Exprimer le terme général de cette suite en fonction de n.
3°) Déterminer l’entier n tel que Un = - 84.

Exercice 5

Soit (Un) une suite arithmétique de raison 1,2 et telle que U10 = 8.
1°) Calculer le premier terme U0 de cette suite.
2°) Exprimer Un en fonction de n.
3°) Soit (Vn) la suite réelle définie sur IN par : Vn = U2n
a) Calculer les trois premiers termes de la suite (Vn).
b) Montrer que (Vn) est une suite arithmétique dont on précisera la

raison.

Exercice 6

Soit  un n0 une suite arithmétique telle que u 5  60 et u10  45 .

1°)a) Calculer la raison et le premier terme de cette suite.

b) En déduire un en fonction de n.

Suites arithmétiques 109

2°) Pour quelle valeur de n a – t – on : un  51 ?

4°) A partir de quel rang a-t-on un  2010 ?

5°) Calculer la somme S  u42  u43  ...  u695 .

Exercice 7

(Un)nIN est une suite arithmétique de raison 7.
Exprimer en fonction de U0, la somme

S   U1  1   U2  2    U3  3   ...   U10  10 

Exercice 8
Soit (Un) une suite arithmétique de raison r. les questions suivantes
sont indépendantes.
1°) On sait que U1 = 8, r = 12 et U1  U2  ....Un  2440 .
Déterminer n et Un
2°) On sait que pour tout entier naturel n,
U0  U1  ....Un  7n²  6n  1

a) Calculer U0 et U0 + U1. En déduire U1.
b) Déterminer la raison de cette suite puis son terme général.

Exercice 9

 On considère la suite Un définie par u0  4 et Un1  nUn  4 .
n1

1°)a) Calculer U1 , U 2 , U3 et U4 .

b) Sans calcul, conjecturer la valeur de U5 puis de Un.
2°) Soit (Vn) la suite réelle définie par : pour tout nIN, Vn = n.Un.

a) Montrer que (Vn) est une suite arithmétique.
b) Exprimer Vn en fonction de n.
c) La conjecture émise sur la valeur de Un est –elle correcte ?

Exercice 10

 Soit la suite U n définie par :

U0 1 et pour tout entier naturel n, Un1  Un .
1 2Un

1°)a) Calculer U1 et U2.

b) La suite (Un) est-elle arithmétique ?

2°) Soit (Vn) la suite réelle définie sur IN par : Vn  1 1 .
Un

a) Montrer que (Vn) est une suite arithmétique de raison r = 3

b) Exprimer Vn en fonction de n.

Suites arithmétiques 110

c) Calculer la somme S = V0 + V1 +….+ V10. En déduire la valeur

de la somme S'  1  1  ...  1
U0 U1 U10

Exercice 11

Soit (Un) une suite arithmétique telle que :
U10 + U11 +…+ U19 = -175, U10 x U19 = - 4250 et U19 < U10.
1°) Calculer U10 et U19.
2°) Déterminer la raison r de cette suite.

Exercice 12

Soit (Un) une suite arithmétique de raison 3 et telle que pour tout
entier naturel n, Un  0.

1°)a) Vérifier que pour tout entier naturel n, 1  1  3
Un Un1 Un.Un1

b) Calculer , en fonction de U0, la somme

S  1  1  ...  1
U0.U1 U1.U2 U9.U10

c) Montrer que pour tout entier naturel n,

1  1  ...  1  n  1
U0.U1 U1.U2 Un.Un1 U0.Un1

2°) Calculer la somme S '  1  1  1  ...  1
1x4 4x7 7x10 298x301

Exercice 13

On considère la suite réelle (Un) définie par : U0 = 5 et pour tout entier
naturel non nul n, Un  Un1  8n  8 .

1°) Calculer U1 , U2 et U3.
2°) Soit (Vn) la suite réelle définie sur IN* par : Vn = Un – Un-1.

a) Montrer que (Vn) est une suite arithmétique de raison 8 et de

premier terme V1 = 16.

b) Montrer que pour tout entier naturel non nul n,
V1 + V2 +…+ Vn = 4n² + 12n.

c) Sachant que n est un entier naturel non nul, simplifier la
somme (U1 – U0) + (U2 – U1) + (U3 – U2) + …+ (Un – Un-1).

d) En déduire que pour tout entier n, Un = 4n² + 12n + 5

Exercice n° : 14

Pour couvrir une façade
triangulaire d’une pyramide, le

carreleur dispose de faïences en
forme triangulaire.
En partant du bas.

Suites arithmétiques 111

La première ligne comporte 169 pièces
La deuxième ligne comporte 167 pièces.
La troisième ligne comporte 165 pièces
…et ainsi de suite en suivant la même progression.
1°) Quel est le nombre de pièces nécessaires pour la 30ème ligne ?
2°) Quel est le nombre de lignes ?
3°) Déterminer le nombre de pièces de faïences nécessaires pour
couvrir cette façade.

Solutions des exercices intégratifs

Exercice 1

Un 2n 1 pour tout n ∈ IN.
n2

2x0 1 1, U1 2x1 1 1, U8 2x8 1 15 3
1) U0 = 0 2 2 12 3 8 2 10 2

U20 2x20 1 39
20 2 22

2) Un 1 2(n 1) 1 2n 2 1 2n 1
n12 n3 n3

Un 1 2(n 1) 1 2n 2 1 2n 3
n12 n1 n1

U2n 1 2(2n 1) 1 4n 2 1 4n 1 3)
3) 2n 1 2 2n 3 n1

Un 1 2n 1 2n 1 (2n 1)(n 2) (2n 1)(n
Un n 3 n 2 (n 3)(n 2)

2n² 4n n 2 (2n² 6n n 3)

(n 3)(n 2)

5

(n 3)(n 2)

Exercice 2

Suites arithmétiques 112

(an) une suite arithmétique de raison r.
1) un+1 – un = 5(an+1 – an) = 5r alors (un) est une suite arithmétique de
raison 5r.

2) vn = a2  an2 = r(an+1 + an)
n1

vn+1 - vn = r.(an+2 – an) = 2.r² alors (vn) est une suite arithmétique

de raison 2.r².

Exercice 3

(Un) est une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme U0= -1
alors pour tout n, Un = U0 + nr = -1 + 3n. Donc U99 = -1 + 3x99 = 296.
Le nombre de termes est 100 alors la somme S1 est :

S1= 100x U0 U99 = 100x 1 296 = 14750.
2 2

Le nombre de termes dans la somme S2 est 99 – 50 + 1 = 50

S2 = 50* U50 2 U99 50x 149 296 11125 .
2

Pour calculer S3 on peut introduire la suite (Vn) définie sur IN par :
Vn = U3n
V0 = U0, V1 = U3, V2 = U6, V100 = U300. Vn = -1 + 3x3n = -1 + 9n.
Vn+1 - Vn = (-1 + 9(n+1)) – (-1 + 9n) = 9
Donc (Vn) est une suite géométrique de raison 9.

S3 = V0 + V1+…+ V100 = 101. V0 V100 = 101. 1 899 = 45349.
2 2

Exercice 4

1) On a : pour tout entier naturel n Un+1= Un- 5 alors (Un) est une suite
arithmétique de raison -5.

2) Un = U0 + nr = 11 – 5n.
3) Un = -84 signifie -5n + 11 = -84 signifie -5n = -95 signifie n = 19.

Exercice 5

(Un) est une suite arithmétique de raison 1, 2 et telle que U10 = 5.
1) U0= U10 + (0 – 10) r = 8 – 10 x 1,2 = 8 – 12 = - 4.
2) Un= U0 + nr = -4 + (1, 2) n.
3) Vn= U2n

a) V0 = U0 = - 4, V1 = U2 = -1,6, V2 = U4 = 0,8
b) Vn = U2n = -4 + (1, 2)x2n = - 4 + (2,4)n

Vn+1= - 4 + (2,4)( n +1) = -4 +(2, 4) + (2,4)n
Vn+1 - Vn = 2,4 alors (vn) est une suite arithmétique de raison 2,4.
Exercice 6

(un) une suite arithmétique telle que u5= 60 et u10=45.
1) a) soit r la raison de cette suite : u10 = U5 +(10 – 5)r d’où

r u10 u5 45 60 3
10 5 5

b) un= u5+ (n – 5)r = 60 + ( n – 5)x(-3) = -3n + 75

Suites arithmétiques 113

2) un = -51 signifie -3n + 75 = -51 signifie –n + 25 = -17

signifie n = 25 + 17 = 42.
3) Un ≤ -2010 signifie -3n + 75 ≤ -2010 signifie 3n ≥ 75 + 2010

signifie n ≥ 25 + 670 signifie n ≥ 695.

4) S = U42+ U43 + …+U695 = (695 – 42 + 1) u42 u695 = 654x
2

51 ( 2010) 673947 .
2

Exercice 7
S = (u1+1) + (u2+2)+…+(u10+10)
= (u1+ u2+ u3+…+u10) + ( 1 + 2 + 3 +…+ 10)

= 10. u1 u10 10 2 11 = 5( u0 + 7 + u0 + 10*7) + 55
2

= 10 u0 + 385 + 55 = 10 u0 + 440.

Exercice 8

1) U1 = 8, r = 12 et u1+ u2 +…+un= 2440

signifie nx u1 u1 2440
2

signifie nx u1 u1 (n 1) * 12 2440
2

signifie nx 2u1 12(n 1) 2440 signifie nx[u1 + 6(n-1)] = 2440
2

signifie n ( 8 + 6n – 6) = 2440 signifie n( 6n + 2) = 2440

signifie n( 3n + 1) = 1220 signifie 3n² + n = 1220

signifie n² + 1 n = 1220 signifie n² 1 n 1 1220 1
33 3 36 3 36

signifie n 1 2 14641 121 2 n + 1 est un réel positif
6 36 6 6

Donc n 1 121 d’où n 121 1 20
66 66

Exercice 9

 U n la suite réelle définie sur IN par U0 4 et Un1  nUn  4 .
n1

1°)a) U1  U01  0xU0  4  4 , U2  U11  1xU1  4  8  4
01 1 1 2

U3  U21  2xU2  4  12  4 et U4  U31  3xU3  4  16  4.
21 3 3 1 4

b) U5 = 4 et Un = 4
2°) (Vn) la suite réelle définie par : Pour tout nIN, Vn = n.Un.

Suites arithmétiques 114

a) Vn+1 = (n + 1)Un+1 = nUn + 4 = Vn + 4 alors (Vn) est une suite
arithmétique de raison 4 et de premier terme V0 = 0.

b) Pour tout nIN, Vn = 4n.

c) Pour nIN*, Un  Vn 4 et U0 = 4 donc pour tout n, Un = 4. La
n

conjecture est justifiée.

Exercice 10

1

1) a) u1 u0 1 u0 1, u2 u1 1 u1 3 1 1
1 2u0 3 1 2u1 12 32 5

3

b) u1 u0 11 2, u2 u1 1 1 35 2
3 3 5 3 15 15

U1- u0 ≠ u2- u1 alors la suite n’est pas arithmétique.

2) vn = 1 + 1 .
un

a) vn 1 1 1 1 1 2un 11 2 vn 2.
un 1 un un

Donc (vn) est une suite arithmétique de raison 2.

b) Vn = v0 + 2n = 1 + 1 + 2n = 2 + 2n.
u0

c) S est la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique.

alors S = 11x v0 v10 = 11x 2 22 = 11x12 = 132.
22

S’= 1 1 ... 1 = ( v0 – 1) + ( v1 – 1) + …+ ( v10 – 1)
u0 u1 u10

= ( v0 + v1+…+v10) – ( 1 + 1 +…+ 1) = 132 – 11 = 121.

Exercice 11

1) U10 + u11 +…+ u19 = - 175

signifie ( 19 – 10 + 1) u10 u19 175 signifie 5( u10 + u19) = -175
2

signifie u10 + u19 = -35 signifie u19 = -35 – u10 .
U10xu19 = - 4250 signifie u10( -35 – u10) = -4250
signifie -35u10 – u10²= - 4250 signifie u10² + 35u10 = 4250

signifie u10² + 35u10 + 35 2 = 4250 + 35 2
2 2

Suites arithmétiques 115

signifie u10 35 ² 18225 135 2
2 4 2

signifie u10 35 135 ou u10 35 135
2 2 2 2

signifie u10= 50 ou u10 = -85

U10 > u19 alors u10 = 50 et u19 = -85

2) U19 = u10 + 9r signifie r u19 u10 85 50 15
9 9

Exercice 12

1°)a) n ∈ IN, 1  1  Un1  Un  3 ..
Un Un1 Un.Un1 Un.Un1

b) S = 1  1  ...  1
U0.U1 U1.U2 U9 .U10

= 1 1 11 1  ...  1  1  = 1 1  1 
 U1 U1 U2 U9 U10   U10 
3  U0  3  U0 

= U10  U0 = 3.U0 30  30 = U0 10 30  .
3.U0 .U10
U0 .U0 

c) 1 1  ...  1 = 1 1 11 1  ...  1  1 
U0.U1 U1.U2 Un.Un1  U1 U1 U2 Un Un1 
3  U0 

= 1 1  1  = 1 . Un1  U0 = 3(n  1) = n1 .
 Un1  3 U0.Un1 3.U0 .Un1 U0 .Un1
3  U0 

2°) 1, 4, 7, 10, …, 298 = 1 + 3x 99, 301 = 3 x 100 +1 sont des termes

consécutifs d’une suite arithmétique de raison 3 donc

S’ = 100 = 100 .
1x 301 301

Exercice 13

(Un) la suite définie par : U0 = 5 et pour tout nIN*, Un  Un1  8n  8 .

1°) U1 = 21, U2 = 45 et U3 = 77
2°) (Vn) la suite réelle définie sur IN* par : Vn = Un – Un-1.

a) Vn = 8n + 8 alors Vn+1 = 8(n + 1) + 8 = 8n + 8 + 8 = Vn + 8

alors (Vn) est une suite arithmétique de raison 8 et de premier terme

V1 = 16.

b) (Vn) est une suite arithmétique alors pour tout nIN*,

V1 + V2 +…+ Vn = nx V1  Vn  nx 16  8n  8  n(4n  12) =4n² + 12n.
2 2

c) nIN*,
(U1 – U0) + (U2 – U1) + (U3 – U2) + …+ (Un – Un-1) = Un – U0.

Suites arithmétiques 116

d) On a : pour tout nIN*,
Un – U0 = (U1 – U0) + (U2 – U1) + (U3 – U2) + …+ (Un – Un-1)
= V1 + V2 +…+ Vn = 4n² + 12n.

Donc pour tout nIN*, Un = 4n² + 12n + 5.
Pour n = 0, U0 = 5 = 4x0² + 12x0 + 5

Conclusion pour tout nIN, Un = 4n² + 12n + 5.

Exercice 14

1°) On note Un le nombre de pièces au nième ligne.
On a : U1 = 169, U2 = 167, U3 = 165,….
Les Un sont des termes consécutifs d’une suite arithmétique de
raison 2 alors le nombre de pièces utilisées à la 30ème ligne est
U30 = U1 + 29x(-2) = 169 – 58 = 111.

2°) Le nombre de lignes est la valeur de n telle que Un = 1.
Un = 1 signifie 169 – 2n = 1 signifie n = 84.

3°) Le nombre de pièces de faïences nécessaires pour couvrir cette

façade est U1 + U2 + … + U84 = 84x 169  1 = 7140
2

Suites géométriques 117

Résumé du cours

Suites Géométriques

 Définition 1
Une suite géométrique est une suite de nombres construite à partir de son

premier terme et chaque terme est obtenu à partir du précédent en

multipliant toujours par un même nombre q , appelé raison de la

suite.

Exemple

1x 23 2 x 23 2 x 23 3 x 23 4 x 23 5…
3
        2 2 2 2
3 3 3 3

est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2
3

 Définition 2
On dit qu’une suite (Un) est géométrique s’il existe un réel q tel que,
pour tout entier naturel n on a : Un+1 = qUn.
Le nombre q est appelé la raison de la suite.

Application 1
On considère la suite géométrique : - 3 ; 6 ; -12 ; 24 ; - 48 ; 96 ;………

a) Quel est le premier terme U0 de cette suite. Donner sa raison q.
b) Déterminer la valeur de U2 et de U3.
c) Calculer U6, U7 et U8.

Remarques
Soit (Un) une suite géométrique de raison q.
 La raison q ne dépend pas de n.
 Si q = 1 alors tous les termes de la suite sont égaux. On dit que

la suite est constante.

 Comment montrer qu’une suite n’est pas

géométrique :
Pour montrer qu’une suite (Un) n’est pas géométrique il suffit de
trouver un terme de cette suite dont le carré est différent du produit
du terme qui le précède et qui le suit. (U1)2  U2 x U0)

 Comment montrer qu’une suite est géométrique :
Pour montrer qu’une suite (Un) telle que U0  0 est géométrique il

suffit de trouver la raison q = U1 puis de montrer que pour tout
U0

Suites géométriques 118

entier n, Un1  qUn  0 .
Si tous les termes de la suite sont non nuls alors montrer qu’elle est

géométrique revient à montrer que pour tout entier naturel n , le

quotient Un1 ne dépond pas de n.
Un

Exemple : Soit (Un) la suite réelle définie par :
Pour tout entier naturel n, Un = 32n+1. Montrons que (Un) est une suite
géométrique.

On a : pour tout n, Un  0 et Un1  32(n1)1  32 9. Donc (Un) est une
Un 32n1

suite géométrique de raison 9.

Application 2

Soit (Un) une suite réelle.

Cocher la case qui correspond à la réponse exacte.

Est une Suite N’est pas une

géométrique suite géométrique

U0 = 2 et Un1  Un 2

Un  5n

Un1  Un  6 Un
100

Un  10Un1  4Un

Application 3
Soit (Un) la suite géométrique de premier terme U0 = 1024
et de raison 1 .

2
1°) Déterminer les 4 premiers termes de cette suite.
2°) On donne U8 = 4. Calculer U9 et U10

 Comment calculer un terme d’une suite
géométrique :

On peut calculer n’importe quel terme d’une suite géométrique
connaissant :

 Le 1er terme U0 et la raison q0, grâce à la relation : Un = U0 x qn
 Un terme Up et la raison q0, grâce à la relation : Un = Upx qn-p

Remarque
Si le premier terme de la suite est U1, on a : Un = U1 x qn-1

Suites géométriques 119

Application 4

On considère une suite géométrique de premier terme U0 = 2 et de
raison q = - 2.

a) Déterminer les 4 premiers termes de cette suite.
b) Calculer le 10ème terme de la suite (Un) .

Application 5

(Un) est une suite géométrique de raison q.

1°) On sait que U0 = 64 et q  1 . Calculer U2, U3 et U8.
2

2°) On sait que U1 = 5 et q  3 .. Calculer U2, U3 et U5.
81

3°) On sait que U2 = - 2 et U7 = 2. Calculer q et U50

Application 6
On considère une suite géométrique telle que U1 = 1,1 et U4 = 1,4641

1°) Calculer (1,1)3
2°) Déterminer la raison et le premier terme U0 de cette suite.
3°) Exprimer Un en fonction de n.

Application 7
Un ouvrier est embauché dans une entreprise et son salaire annuel

est fixé à 2880 dinars. Il est augmenté de 3% à la fin de chaque
année

1°) Calculer son salaire annuel la deuxième année, la troisième.
2°) a) Quelle est la nature de la suite (Sn) des salaires annuels de cet
ouvrier.

b) Exprimer Sn en fonction de n.
c) Combien aura – t - il gagné la cinquième année ?
d) Combien aura – t - il gagné au bout de 5 ans ?

 Comment Calculer la somme des termes
consécutifs d’une suite géométrique

Théorème :
La somme des n premiers termes d’une suite géométrique de premier

terme U0 et de raison q est :

 Si q = 1, U0  U1  ...  Un  n  1U0 .

Suites géométriques 120

 Si q = 1, U0  U1  ...  Un  U0 1 qn1 .
1 q

Schéma à retenir
Soit S la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de

raison différente de 1 :

 S  1 (raison)Nombre de termes
premier terme x
1 (raison)

(Un) une suite géométrique de raison q  1. m et n deux entiers
naturels tels que m ≤ n,

Um  Um1  ...  Un  Um 1 qnm1
1 q

Résultat à retenir par cœur
Pour tout entier naturel non nul n et pour tout réel x différent de 1,

1 x  x²  x3  ...  xn  1 xn1
1 x

Application 8

Calculer les sommes :

S  22  23  24  ...  210 et S'  1 1  1  1  1 1
6561 19683
3 9 27

Application 9

Dans une citerne de 2 m3 de volume, on verse 1000 litres d’eau puis

500 litres puis 250 litres et ainsi de suite, on verse à chaque

nouvelle opération, la moitié de ce que l’on a versé à la précédente
1°) Exprimer en fonction de n le volume d’eau contenu dans la
citerne après la nième opération

2°) Peut-on remplir la citerne ?

Application 10
Factoriser : A(x) = x5 – 1, B(x) = x5 - a5

Suites géométriques 121

Evaluation du degré d’assimilation du cours

Pour chacune des situations ci – dessous, relevez sur votre cahier les
numéros des propositions qui vous semblent vraies

Situation 1

Soit (Un) une suite géométrique de premier terme U0 = 1
et de raison 2.

1°) U5 = 32 2°) U5 = 16
Situation 2

Soit (Un) une suite géométrique de premier terme U1 = 3

et de raison 1 . Pour tout entier naturel non nul n, Un =
2

1°) 3 2°) 6 3°) 3n1
2n 2n 2

Situation 3

On considère la suite géométrique (Un ) de raison q > 0 et telle que
U1 = 100 et U3 = 4

1°) q = 5 2°) q = 25 3°) q = 1 4°) q = 1
5 25

Situation 4

La suite : 2, 2 3, 6, 6 3, 18, 18 3,............. est :

Suites géométriques 122

1°) arithmétique 2°) géométrique 3°) ni arithmétique ni géométrique

Situation 5

(Un) est une suite géométrique de raison q = 0,1 telle que U3 = 0,4.

La valeur de son premier terme U0 est :

1°) 0,1 2°) 0,04 3°) 400

Situation 6

On considère une suite géométrique de premier terme

U0 = 1 et de raison 3.
4

alors U0 + U1 + U2 + .....+ U7 =

1°) 820 2°) 1093 3°) 3280
4

Situation 7

Soit (Un) une suite géométrique de premier terme 10 et de raison - 1.
On pose S = U5 + U6 + U7 +…+U50.

1°) S = 46 2°) S = - 460 3°) 0

Situation 8

Existe-t-il une suite qui soit à la fois arithmétique et géométrique ?

1°) oui 2°) non

Situation 9

Une marque de voiture perd chaque année 10% de sa valeur.
La valeur d’une voiture neuve de cette marque est de 100.000 dinars.

Quelle sera son coût après 5 ans.

1°) 50.000 2°) 59.049 dinars

Situation 10

Soit f une fonction affine et (Un) une suite réelle définie par : Un = f(n)

La suite (Un) est :
1°) arithmétique 2°) géométrique 3°) ni arithmétique ni géométrique

Situation 11

Soit f une fonction linéaire et (Un) une suite réelle définie par :
Un+1 = f(Un). La suite (Un) est :

1°) arithmétique 2°) géométrique 3°) ni arithmétique ni géométrique

Solutions des QCM

Situation 1 Situation 4 Situation 7
1°)
Situation 2 2°) 3°)
2°)
Situation 3 Situation 5 Situation 8
1°)
3°) 1°)

Situation 6 Situation 9

1°) 2°)

Suites géométriques 123

Situation 10 Situation 11
1°) 2°)

Suites géométriques 124

Solutions des applications

Application 1

a) U0 = -3, q = -2
b) U2 = - 12, U3 = 24
c) U6 = -2 U5 = -2 x 96 = -192

U7 = -2 U6 = -2 x (-192) = 384
U8 = -2 U7 = -2 x (384) = - 768
Application 2

(Un) une suite réelle. N’est pas une
suite géométrique
Est une suite
géométrique

U0 = 2 et Un1  Un 2 x

Un  5n x
x
Un1  Un  6 Un
100

Un  10Un1  4Un x

Application 3

(Un) une suite géométrique de premier terme U0 = 1024
et de raison 1 .

2

1) U0 = 1024, U1 = 1 U0 = 512, U2 = 1 U1 = 256 et U3 = 1 U2 = 128.
2 2 2

2) U8 = 4, U9 = 1 U8 = 2, U9 = 1 U8 = 1, U10= 1 U9 = 1.
2 2 2 2

Application 4

(Un) est une suite géométrique de premier terme U0 = 2
et de raison q = - 2.

a) U0 = 2, U1 = -2U0 = - 4 , U2 = -2U1 = 8 et U3 = -2U2 = - 16.
b) Le 10ème terme de la suite (Un) est U9 = U0.(- 2)9 = - 1024
Application 5

1) U2 = U0.q2 = 64 x 1 = 16. U3 = 1 .U2 =8
4 2

U8= U0 x q8 = 64 x  1 8 = 64
 2  256

2) U1 = 5 et q = -3. U2 = U1.q = - 5
81 27

U3 = U2.q = 5 x (-3) = 5, U5 = U1.q4 = 5 x (-3)4 = 5
27
9 81

Suites géométriques 125

3) U2 = -2 et U7 = 2

U7 = U2.q5 signifie q5 = U7 = -1 alors q = -1
U2

U50 = U2.q48 = (-2) x (-1)48 = -2.
Application 6

1) (1,1)3 = 1,331

2) U4 = U1.q3 signifie q3 = U4 = 1,331
U1

signifie q3 = (1,1)3 signifie q = 1,1.

U0 = U1.q-1 = 1
3) Un = U0.qn = (1,1)n.
Application 7

1) Le salaire annuel au cours de la deuxième année est de :

2880 x (1,03) = 2966 dinars 400 millimes.

Le salaire annuel au cours de la troisième année est de :

2966, 4 x 1,03 = 3055, 392 dinars.

2) a) (Sn) est une suite géométrique de raison 1,03 et de premier

terme S1= 2880.
b) Sn = 2880 x (1,03)n-1
c) S5 = 2880 x (1,03)4 ≅ 3241,465
d) S1 + S2 + S3 + S4+ S5 = 2880 + 2880 x (1,03) + 2880 x (1,03)2 +
2880 x (1,03)3 + 2880 x (1,03)4  15290,311

Application 8
S est la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de

raison 2 ≠ 1 donc : S  21 29  1022 .

1 2

S’ est la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de

1  1et 19683 = 39 donc 1  110 3 1 1 
 3  4 310 
raison 3 S '  
 1
1  3 

= 3 310 1  3 x 59048  14762
. 4 59049 19683
4 310

Application 9

On désigne par Vn le volume d’eau versé à la nième opération et Sn
le volume d’eau contenu dans la citerne après la nième opération.

1
1) (Vn) est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme

Suites géométriques 126

V1 = 1 (1m3 = 1000 litres). Vn = V1.  1 n1 = 1
 2  2n1

1   1 n 2.1 1  1
1  2  2n  2n1
Sn = V1+ V2+…+Vn = V1.  1  = 2  (m3).

2

2) Pour tout n ∈ IN*, Sn < 2 . Donc on ne peut pas remplir la citerne.

Application 10

Pour tout x 1 et pour tout n ∈ IN* :

1 + x + x² +…+ xn-1 = 1 xn alors pour tout x ∈ IR et pour tout n ∈ IN*
1 x

Xn – 1 = ( x – 1)(xn-1+…+ x + 1)

D’où A(x) = (x – 1)(x4 + x3 + x² + x + 1)

B(x) = a5  x 5  a5 x  1  x4  x3  x2  x 
 a   1 =  a  a4 a3 a2 a  1

 

= (x – a)(x4 + x3 + a². x² + a3. X + a4)

Exercices intégratifs

Exercice 1

1°) Soit (Un) une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme
U0 = 200.

a) Calculer U3 et U10.
b) Calculer S = U3 + U4 + ... + U10
2°) Soit (Vn) la suite définie par : Vn = (Un)².

a) Exprimer Vn en fonction de n.
b) Montrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera

la raison.

Exercice 2

Suites géométriques 127

Trouver trois nombres positifs a, b, c tels que a ≤ b ≤ c sachant que :

 a, b, c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une

suite arithmétique.
 a2, 8b et c2 sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs

d'une suite géométrique.

 a + b + c = 27.

Exercice 3

(Un)IN est une suite géométrique telle que U2 = -1
1°) Montrer que U1 et U3 sont inverses l’un de l’autre.
2°)a) Déterminer la raison q de cette suite sachant que q < 0 et

U3 = 2U1 + 1.
b) Donner l’expression explicite de Un en fonction de n.

Exercice 4

(Un) est une suite géométrique de raison q telle que :
U2 = 3, Um = 768 et U2 +…+ Um = 1533.
1°) Montrer que qm-2 = 256
2°) Exprimer U2 +…+ Um en fonction de q et de m.

3°) Déterminer alors q et m.

Exercice 5

Soit (Un ) la suite définie sur IN par : U0  2 1 (Un  2n  3).
Un1  2

1°) Calculer U1 , U2 et U3.

2°) Soit (Vn) la suite réelle définie sur IN par : Vn = 2Un+1 - Un.

Pour tout entier naturel non nul, on pose :
On pose Sn = V0 + V1 + …+ Vn-1.

a) Montrer que la suite (Vn) est arithmétique de raison – 2.

b) Vérifier que Sn = - n² - 2n .
c) Montrer que Sn = (U1 + U2 + …+ Un) + (Un – U0)

3°) Soit (Wn ) la suite définie par : Wn = Un + 2n - 1

a) Montrer que (Wn ) est une suite géométrique dont on donnera le

premier terme et la raison.
b) Exprimer Un puis la somme U0 + U1 + …+ Un en fonction de n.

Exercice 6
Au 1er janvier 2009 un lycée a acheté une photocopieuse au prix de

1200 DT. Cette machine se déprécie de 20 % par an. On note V0 la
valeur initiale de la machine et Vn sa valeur au 1er janvier 2009 + n
1°) Calculer V1, V2.
2°)a) Montrer que les nombres (Vn ) définissent une suite
géométrique dont on précisera la raison.

b) Exprimer Vn en fonction de n.

Suites géométriques 128

3°) Au bout de combien d’années la valeur de la machine devient-elle
inférieure à la moitié de sa valeur initiale ?

Exercice 7

Soit U la suite réelle définie sur IN par : U0 = 0 et pour tout nIN,

Un+1 = 1 - Un .
3 - 4Un

1°)a- Calculer U1 et U2
b- En déduire que U n’est ni arithmétique ni géométrique.

2°)a- Vérifier que pour tout nIN, Un+1 = 1  + 1
4 1 
 3 - 4Un 

b- Montrer que si 0  Un < 1 alors 0  Un+1 < 1.
2 2

On admet pour la suite que pour tout entier n, 0  Un < 1.
2

3°) Soit V la suite réelle définie par : pour tout nIN, Vn = 1 1 .
- 2Un

a- Montrer que V est une suite arithmétique de raison 2.

b- Exprimer Vn puis Un en fonction de n.
c- Déterminer l’entier naturel n tel que V2  V3  ...  Vn = 285

4°) Pour tout nIN*, on pose

Sn = 1 +  2 2 +  3 3 + ... +  n n .
3  5   7   2n + 1

Montrer que pour tout entier naturel non nul n, 1  Sn 1
3

Exercice 8

Soit (Un ) la suite réelle définie sur IN par : U0 = 1 et pour tout

n, Un+1 = 2 Un .
 Un

1°)a) Calculer U1 et U2
b) En déduire que la suite (Un) n’est ni arithmétique ni

géométrique.

2°) Soit (Vn ) la suite réelle définie sur IN par : Vn = 1  Un .
Un

a) Montrer que (Vn ) est une suite géométrique de raison 2.
b) Exprimer Vn puis Un en fonction de n.

3°) Pour tout entier naturel n, on pose Sn  U0  U1  ....  Un

Suites géométriques 129

a- Déterminer n connaissant que Sn = 254

b- Calculer la somme T  1  1  ....  1
U0 U1 U10

Exercice 9

Soit (Un) la suite définie sur IN par : U0= 0 et Un+1= 2Un  1 .
Un  2

1°) Montrer que si Un ≥ 0 alors Un+1 ≥ 0. Que peut-on conjecturer ?

2°)a) Calculer U1 et U2.

b) La suite U est - elle arithmétique ? est - elle géométrique ?

3°) On admet que pour tout n, Un ≥ 0.

Pour tout n ∈ IN, on pose : vn  Un 1.
Un 1

a) Montrer que la suite V est géométrique et préciser sa raison.

b) Exprimer vn en fonction de n.
c) En déduire l’expression de Un en fonction de n.

Exercice 10

Soit ( an ) une suite arithmétique définie sur IN par : a3 = - 3 et
a3  a4  ...  a30 = - 2352.

1°)a) Déterminer la raison de la suite (an).
b) Exprimer an en fonction de n.

2°) Soit U la suite réelle définie sur IN par :

U0 = 1 et Un+1 = 1 Un + n – 1. On pose bn = 4.Un + an.
3

a) Montrer que (bn) est une suite géométrique dont on précisera
la raison.

b) Exprimer bn puis Un en fonction de n.
c) Calculer U3  U4  ...  U30

Exercice 11

Soit (an) et (bn) les deux suites réelles définies sur IN par:

a0  2, b0  4
 1 1
 an1  4  an  3bn  et bn1  4 3an  bn 

On considère la droite réelle (Ox) afin d’y représenter les points An et
Bn d’abscisses respectives an, bn.
1) Placer les points A0, B0, A1, B1, A2, B2 sur la droite (Ox).
2) Soit (Un) la suite de terme général Un = an + bn.

a) Montrer que pour tout nIN, Un+1 = Un.
b) En déduire la valeur de Un. Que peut-on alors affirmer au sujet du
milieu du segment [AnBn]?

Suites géométriques 130

3)Soit (vn) la suite de terme général vn = an – bn.
a) De quel type du suite s’agit-il? (justifier)
b) Exprimer vn en fonction de n.
c) Exprimer an et bn en fonction de n.

Exercice 12
Pour creuser un puits, un agriculteur fait un appel d’offre à deux
sociétés de forage
La première propose le contrat suivant :

 15 dinars pour le premier mètre,

 20 dinars pour le deuxième mètre et chaque mètre
supplémentaire coûte 5 dinars de plus que le précédent
La deuxième propose :
 10 dinars pour le premier mètre,

 chaque mètre supplémentaire coûte 10% de plus que le
précédent.
1) Exprimer, en fonction de n, les coûts Cn et Cn' du forage d’un

puits profond de n mètres par chacune des sociétés
2) a) Quel est le contrat le plus avantageux (pour l’agriculteur) si
la profondeur de puits atteint 20 mètres ?
b) Même question si la profondeur de puits atteint 50 mètres ?

Exercice 13
A son ouverture, un lycée compte 800 élèves. Il évolue ainsi :

Chaque année, 25% quittent le lycée et 140 élèves le joignent
On note en le nombre des élèves au bout de n années.
1) Exprimer en+1 en fonction de en .
2) On pose Un= en – 560

a) Montrer que U est une suite géométrique.
b) Exprimer en en fonction de n . Calculer e16 et e22

Solutions des exercices intégratifs

Exercice 1

1) (Un) une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme

U0= 200.
a) U3 = U0. (0,5)3 = 200x (0,5)3 = 25

U10= U0. (0,5)10= 200x(0,5)10 = 25 .
128

Suites géométriques 131

b) b = U3 + U4+…+U10 est une somme de termes consécutifs d’une

1 ≠ 1 alors 1   1 1031
2  2 
suite géométrique de raison S  U3 . 1 1

2

1   1 8  50.1 1  6375
 2  20  128
S  25. 
1

2

2) Vn = Un2

a) On a : pour tout entier naturel n, Un  200.  1 n alors pour tout
 2 

entier naturel, Vn  200x 1 2  5²x 1 2  625
2n  2n3  22n6

b) n∈ IN, Vn1  625  625  1 vn donc (Vn) est une suite
22(n1)6 22n6 * 22 4

géométrique de raison 1 .
4

Exercice 2
a, b et c trois réels positifs tels que a ≤ b ≤ c
- a, b et c sons dans cet ordre trois termes consécutifs d’une suite

arithmétique signifie a + c = 2b (1)
- a² , 8b et c² sont dans cet ordre trois termes consécutifs d’une

suite géométrique signifie a²c² = 646² signifie ac = 8b (2) puisque

a, b et c sont des réels positifs

- a+ b + c = 27 (3)
(1) et (3) donnent 3b = 27 donc b = 9
a + c = 18 et ac = 72 signifie c = 18 –a et a( 18 – a) = 72
signifie c =18 – a et -a² + 18a =72 signifie c =18 – a et a² - 18a = -72
signifie c = 18 – a et (a – 9)² - 81 = -7²

signifie c = 18 – a et (a – 9)² = 9 signifie c = 18 – a et a  9  3

signifie c = 18 a et a – 9 = 3 ou c = 18 – a et a – 9 = -3
signifie c = 18 – a et a = 12 ou c = 18 – a et a = 6

signifie a = 12 et c = 6 ou a = 6 et c = 12
or a ≤ c donc a = 6 et c = 12

Conclusion : a = 6 , b = 9 et c = 12

Exercice 3

(Un) est une suite géométrique telle que U2= -1

Suites géométriques 132

1) U1.U3 = (U2)² = (-1)² =1 alors U1 et U3 sont des inverses

2)a) U3 = 2U1 + 1, U3 = qU2 = -q et U1= 1 U2   1
q q

U3 = 2U1 + 1 implique –q = 2 +1
q

Donc q² + q – 2= 0 comme q < 0 alors q = -2

b) Un = U2.qn-2 = -(-2)n-2

Exercice 4

(Un) est une suite géométrique telle que U2= 3, Um = 768 et
U2+…+Um = 1533.
1) Um = U2.qm-2 signifie 3 qm-2 = 768 signifie qm-2 = 256.

2) U2 +…+ Um = U2 1 qm1  3 1 qm1  3 1 256q
1 q 1 q 1 q

3) U2+…+Um= 1533 signifie 3( 1 – 256q) = 1533 ( 1 – q)
Signifie 3 – 768q = 1533 – 1533q signifie 765q = 1530 signifie

q = 1530  2
765

Um = 768 signifie U2.qm-2 = 768 signifie 2m-2 = 768 = 256 = 28
3

Donc m = 10

Exercice 5

U0 = 2 et Un+1 = 1 (Un – 2n – 3)
2

1) U1 = 1 (U0 – 3) = - 1
2 2

U2 = 1 (U1 – 2 – 3) = 1 (- 1 - 5) =  11
2 22 4

U3 = 1 (U2 – 7) = 1 (  11 - 7) =  39
2 24 8

2) Vn = 2Un+1 - Un
a) On a pour tout n ϵ IN, Vn = -2n – 3 et Vn+1 – Vn = - 2 alors (Vn) est

une suite arithmétique de raison - 2.
b) Sn est la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique

alors

Sn  n V0  Vn1  n 3  2(n  1)  3  n 2n  4  n(n  2)  n²  2n .
2 2 2

c) On pose an = Un+1 – U0.
Pour tout nIN*, a0 + a1 + … + an-1 = Un – U0 , Vn = Un+1 + an
et Sn = V0 + V1 + … + Vn-1
= U1 + a0 + U2 + a1 +…..+ Un + an-1

Suites géométriques 133

= (U1 + U2 +…+ Un) + (Un – U0).

3°)a) Wn = Un + 2n - 1
Wn+1 = Un+1 – 2(n + 1) + 1

 1 Un  2n  3  2n  1 1 Un  2n  3  4n  2
2 2

 1 Un  2n  1  1 Wn
2 2

Donc (Wn) est une suite géométrique de raison (0,5) et de premier

terme W0 = 1.

b) Un = Wn – 2n + 1 = W0  1 n  2n  1  1  2n  1.
 2  2n

(U1 + U2 +…+ Un) + (Un – U0) = Sn = - n² - 2n
Signifie (U0 + U1 + U2 +…+ Un) + (Un – 2U0) = - n² - 2n
Signifie U0 + U1 + U2 +…+ Un = - n² - 2n - Un + 2U0

 3  n²  1
2n

Cette somme reste vraie pour n = 0 donc elle est vraie pour tout n.

Exercice 6

1) V1 = 1200 x 0 ,8 = 960

V2 = V1 x 0,8 = 960 x 0,8 = 768

2) a) Vn+1 = 0,8 Vn alors (Vn) est une suite géométrique de raison 0,8

et de premier terme V0 = 1200.
b) Vn = V0. (0,8)n = 1200 x (0,8)n.

3) Vn ≤ 1 V0 signifie 1200 x (0,8)n ≤ 600 signifie (0,8)n ≤ 0,5
2

Pour n = 2, (0,8)2 = 0,64 > 0,5

Pour n = 3, (0,8)3 = 0,512 > 0,5

Pour n = 4, (0,8)4 = 0,4096 < 0,5

Au bout de 5 ans la valeur de la machine devient inferieure à la moitié

de sa valeur initiale.

Exercice 7

2

1) a) U1 = 1 U0 = 1 , U2 = 1 U1 = 3= 2
3  4U0 3 3  4U1 5
5

3

b) U1 – U0 = 1 , U2 – U1 = 21  1 ≠ U1 – U0 alors (Un) n’est pas
3 53 15

Arithmétique
U0.U2 ≠ U12 alors (Un) n’est pas géométrique

Suites géométriques 134

2)a) n ∈ IN,

1  1   1  3  4Un  1  = 1 . 4  4Un = 1 Un = Un+1.
4 1  4Un  4  3  4Un  4 3  4Un 3  4Un
 3   

b) Si 0 ≤ Un< 1 alors -2 < -4.Un ≤ 0 alors 1 < 3 – 4Un ≤ 3
2

alors 1 ≤ 1 < 1 alors 4 ≤ 1 1 < 2
3 3  4Un 3 3  4Un

alors 0 ≤ 1≤ 1   3 1  < 1 d’où 0 ≤ Un+1 < 1.
4 1  4Un  2 2
3  

3) Vn = 1 , n ∈ IN
1 2Un

a) Vn+1= 1 = 1 = 3  4.Un = 3  4.Un .
1 2.Un1 1 Un 3  4U  2  2Un 1 2.Un
1 2.
3  4.Un

Vn+1 – Vn = 3  4.Un  1= 2  4.Un  21 2.Un  = 2.
1 2.Un 1 2Un 1 2Un
1 2.Un

Donc (Un) est une suite arithmétique de raison 2.
b) Vn = V0 + 2n = 2n + 1

1 – 2.Un = 1 signifie 2.Un = 1 - 1
Vn Vn

Signifie Un  1  1  1 1 1  n.
2 1  2 2n  1
 Vn  2n  1

c) V2 + V3 +…+Vn = (n – 2 + 1) 5  2n  1 = (n – 1).(n + 3).
2

V2 + V3 +…+Vn = 285 signifie (n – 1).(n + 3) = 285
Signifie n2+ 2n -3= 285 signifie n² + 2n + 1= 289

Signifie (n + 1)² = 17² signifie n + 1 = 17 car n + 1 ∈ IN

signifie n = 16.

4) Sn  1   2 2   3 3  ...   n n  U1  U2 2  U3 3  ...  Un n .
3  5   7   2n  1

Or on a : pour tout n ∈ IN, 0 ≤ Un < 1 donc pour tout n ∈ IN
2

Suites géométriques 135

0 ≤ (Un)n ≤  1 n d’où pour tout n ∈ IN*,
 2 

1  1 2  1 3  1 n 1 1   1 n
2  2   2   2   2 
Sn     ...   .
2 1 1
2

Sn  1   1 n 1 d’autre part pour tout n ∈ IN*, Sn  1
 2  3

Conclusion : pour tout n ∈ IN* : 1 ≤ Sn ≤ 1
3

Exercice 8

1

1)a) U1= U0  1, U2  3 1 1.
2  U0 3  7
2
3

b) U1 – U0 = 1 -1= 2
3 3

U2 – U1= 11 = 4 ≠ U1 – U0 alors la suite n’est pas arithmétique
73 21

U0.U2 = 1 ≠ (U1)2 alors la suite n’est pas géométrique.
7

2) Vn = 1 Un , n ∈ IN
U1

a) Vn = 1+ 1
Un

Vn+1 = 1 + 1 = 1+ 2  Un = 1+ 2 + 1= 2  1  = 2.Vn .
Un1 Un Un 1 Un 
 

Donc (Vn) est une suite géométrique de raison 2.
b) Vn = V0.qn = 2 x (2)n = 2n+1

Vn = 1 + 1 signifie 1 = Vn – 1 signifie Un = 1 1 .
Un Un Vn  1 2n1  1

3) n ∈ IN, Sn = V0 + V1 +…+ Vn
a) Sn est la somme de termes consécutifs d’une suite

géométrique de raison 2 ≠ 1 alors :

Sn  V0 . 1 2n1  2.(2n1  1)
1 2

Sn = 254 signifie 2n+2 - 2 = 254 signifie 2n+2 = 256 = 28

Suites géométriques 136

signifie n + 2 = 8 signifie n = 6.

b) On a: 1  Vn 1
Un

Donc : T  V0  1  V1  1  V2  1  ...  V10 1

= V0 + V1 +…+V10 – 11 = 2 (211- 1) – 11 = 4083.

Exercice 9

U0= 0 et Un+1 = 2.Un  1
Un  2

1) Si Un ≥ 0 alors 2.Un+1≥ 0 et U1+2 ≥ 0 alors Un+1= 2.Un  1 ≥ 0
Un  2

On a : U0 = 0 ≥ 0 et si Un ≥ 0 alors Un+1 ≥ 0 donc pour tout

n ∈ IN, Un ≥ 0.

2) a) U1 = 1, U2  2.U2  1  2  4.
2 U1  2 12 5

2

b) 2.U1 ≠ U0 + U2 alors la suite n’est pas arithmétique.

U12  U0.U2 alors la suite n’est pas géométrique.

3) Vn  Un 1
Un 1

2.Un  1  1
Un1  1  Un  2 = 2.Un  1 Un  2 = Un  1
a) Vn+1 = Un1  1 2.Un  1  1 2.Un  1 Un  2 3.Un  3

Un  2

= 1 Vn . Donc (Vn) est une suite géométrique de raison 1
3 3

et de premier terme V0 = -1.

b) n ∈ IN, Vn = V0.qn = 1
3n

c) n ∈ IN, Vn  Un 1 1 2 signifie Vn – 1 = 2
Un  1 Un1 Un1

signifie Un + 1 = 2 signifie Un = - 1 - 2   Vn  1
Vn  1 Vn  1 Vn  1

donc pour tout n ∈ IN :

1  1 1 3n 3n 1.
3n 1 3n 3n 1
Un     
1
 3n 1

Suites géométriques 137

Exercice 10

(an) est une suite arithmétique telle que a3 = -3
et a3 + a4 + … + a30 = -2352.

1) a) a3  a4  ...  a30  30  3  1 a3  a30  28 a3  a3  27r
2 2

= 14 (-6 + 27r)

a3 + a4 +…+ a30 = -2352 signifie 14(-6 + 27r) = -2352
signifie 27r – 6 = -168 signifie 27r = -162 signifie r = -6.

b) an = a3 – 6(n – 3) = -3 – 6n + 18 = -6n + 15.

2) U0 = 1 et Un1  1 Un  n 1 et bn = 4Un + an
3

a) bn+1= 4Un+1 + an+1 = 4 Un + 4n – 4 – 6(n + 1) + 15
3

= 4 1  4Un  6n  15  1 bn
3 Un - 2n + 5 = 3 3

D’où (bn) est une suite géométrique de raison 1.
3

b) bn  b0 .  1 n , b0 = 4.U0 + a0 = 4 + 15 = 19, bn  19
 3  3n

Bn = 4.Un + an signifie Un  1 bn  an  signifie que
4

Un  1 19  6n  15 .
4  3n

c) U3 + U4 +…+ U30 = 1 b3  ...  b 30  a3  ...  a30 
4

 1   1 28 
  3  
= 1 b3 .  2352  1 19 . 328  1  
4 4  2.328 2352
 1 3   33




= 1  19 x 328  1    19 1 1   588 .
4  328 2352 216 328 
 54


Exercice 11

Suites géométriques 138

1) A0(2), B0 (4), A1  7  , B1  5  , A2  11 , B2  13 
 2   2   4   4 

2) Un = an + 6n

a) Un+1 = an+1 + bn+1 = 1 an  3bn  3an  bn  = 1  4an  4bn 
4 4

= an + bn = Un.

b) On a pour tout n ∈ IN, Un+1 = Un alors :
U0= U1= U2= U3=…= Un, d’où pour tout n ∈ IN, Un = 6.

L’abscisse du milieu de An.Bn  est an  bn 3 alors le
2

milieu est un point fixe.

3) Vn = an - bn

a) Vn+1 = an+1 + bn+1 = 1 an  3bn  3an  b3  = 1  2an  2bn 
4 4

= 1  an  bn   1 Vn
2 2

Alors (Vn) est une suite géométrique de raison 1
.
2

b) Vn = V0 .  1 n  2. 1n   1 n1
 2  2   2 

an  bn  6

c) On a :   bn   1 n1
an  2 

D’où an  3   1n et bn  3   1 n
 2   2 

Exercice 12
1) Cn est le coût du forage d’un puits profond de n mètres par la

première société
C’n est le coût du forage par la deuxième société

On désigne par :

Un le coût du nième mètre creusé par la première société
Vn le coût du nième mètre creusé par la deuxième société
(Un) est une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 15
d’où Un= 15 + 5(n – 1) = 5n + 10.
(Vn) est une suite géométrique de raison 1,1 d’où Vn = V1 (1,1)n-1 = 10
(1,1)n-1

Cn C1 C2 ... Cn n.15 5n 10 n 5n 25
2 2

Suites géométriques 139

C 'n C '1 C '2 ... C 'n 10.1 (1,1)n 100. 1,1 n 1
1 (1,1)

2)a) C20 = 10 x 125 = 1250
C’20 = 100 x ((1,1)20-1) ≅ 572,750
Le deuxième contrat est plus avantageux

b) C50 = 25 x 275 = 6875
C’20 = 100 x ((1,1)50-1) ≅ 11639,085

Le premier contrat est plus avantageux.
Exercice 13

1) en+1 = en – 0,25.en + 140 = 0,75.en + 140 = 3 .en + 140
4

2) Un = en – 560

a) Un+1 = en+1 – 560 = 3 .en + 140 – 560 = 3 .en – 420
4 4

= 3 .(en – 560) = 3 .Un
4 4

Donc (Un) est une suite géométrique de raison 3 .
4

3 n 1 3n 1 3 n 1
4 4
b) Un = U1. = (e1 -560). = 240. 4 .

3 n 1

en = Un + 560 = 240. 4 + 560.

e16 = 240. 3 15 560 ≅ 563. e22 = 240. 3 21 560 ≅ 560.

4 + 4 +

Généralités sur les fonctions 140

Résumé du cours

1°) Notion de fonction numérique

Définition :
Soit E une partie non vide de IR. Tout procédé (formule, graphique,
procédure de calcul) qui, à tout nombre réel de E associe au plus un
nombre réel noté f(x), définit une fonction de E dans IR notée f.
L’ensemble D des réels x pour lesquels f(x) existe est appelé
l’ensemble de définition de f ou le domaine de définition de f.

Vocabulaire et notations :

Soit E une partie de IR et f est une fonction de E dans IR :

 Si x est un nombre réel de E, le réel associé à x par f est appelé
l’image de x par f , il est noté f(x).

 Si un réel y est l’image d’un réel x de E, on dit que le réel x est

un antécédent de y par f.
 Pour indiquer que f est une fonction de E dans IR, on écrit :

f : E IR
x f(x)

 Dans la notation ci-dessus, x s'appelle la variable. X est une
lettre muette qu’on peut la remplacer par n’importe quelle autre

lettre (sauf par celle qui désigne la fonction).

Exemple 1: Fonction affine
Soit f la fonction affine définie sur IR par : f(x) = 2x – 1

 L’image de 0 par f est f(0) = 2x0 – 1= - 1.
 L’antécédent de 5 par f est 3 car f(3) = 5.

Exemple 2: Fonction polynôme
Soit f la fonction polynôme définie sur IR par : f(x) = x2 – 3x + 2

 L’image de - 1 par f est
2

f1 1 2 3x 1 2 1 3 2 15
2 2 2 42 4

 1 et 2 sont deux antécédents de 0 par f car f(1) = f(2) = 0.
Exemple 3: Fonction rationnelle

Soit f la fonction rationnelle définie par : f(x) x² 1
x3

Le réel – 3 n’a pas d’image par f et pour tout réel distinct de – 3,
x + 3 ≠ 0 alors l’ensemble de définition de f est ]-∞, - 3[∪]- 3, +∞[.

Généralités sur les fonctions 141

Application 1

Déterminer le domaine de définition de f dans chacun des cas

suivants :

a) f(x)  x d) f(x)  x  1
x 1 x²  3x  2

b) f(x)  x  1 e) f(x)  x²  3x  2

c) f(x)  x
x² 1

Application 2

Soit ABCD un rectangle tel que
AB = 6 et BC = 4.
Soit M un point du segment [BC]. La
parallèle à (AC) issue de M coupe
(AB) en N. On pose BM = x.
On désigne par f(x) l’aire de la partie
grise.
1°) Quel est le domaine de définition de f ?

2°) Vérifier que BN = 3 x
2

3°) Exprimer f(x) en fonction de x.

2°) Représentation graphique d’une fonction

Définition

 Le plan est muni d’un repère O,i, j .

Soit f une fonction définie sur un ensemble E.

On appelle représentation graphique de f, ou courbe représentative
de f, l’ensemble noté Cf des points M de coordonnées (x, f(x)), où x
appartient à E.

Soit M(x , y) un point du plan.
M(x , y) ∈ Cf si et seulement si (x ∈ E et y = f(x)).

Méthode

La courbe C ci-dessous est la représentation graphique d’une

fonction f définie sur [-2 ; 2]. y
 Pour lire graphiquement l’image 3

de -0,5 c’est à dire f(-0,5), on peut 2
procéder ainsi :

 on repère -0,5 sur l’axe des 1 1 2 3x
-2 -1 0
abscisses et on trace, par ce point,
la parallèle à l’axe des ordonnées ;

-1

-2

-3

Généralités sur les fonctions 142

 cette droite rencontre C en A ;

 on cherche ensuite l’ordonnée de A en traçant par ce point la
parallèle à l’axe des abscisses.
On obtient f(-0,5) = …….

 Recherche d’antécédents :
b est un réel. d est la droite parallèle à l’axe des abscisses passant

par le point (0 ; b).
1er cas : d ne rencontre pas C : cela signifie que b n’a pas
d’antécédent par f dans [-2 , 2]
2ème cas : d rencontre C en A(a ; b). Alors A est sur C donc f(a) = b

et a est un antécédent de b par f.

-2 est un antécédent de 1,5 par f
Application 3
Soit f la fonction affine définie par : f(x) = 3x – 1. On désigne par Cf la

 courbe de f dans un repère O,i , j .

1°) Quelle est la nature de Cf ? Tracer Cf.
2°) Compléter par  ou  : A(3 , -1)… Cf, B(0 , -1)… Cf,
C(10 , 29)… Cf
3°) Déterminer l’abscisse du point M de Cf d’ordonnée nulle.
4°) Déterminer l’ordonnée du point N de Cf d’abscisse 2.

Application 4
Traduire à l’aide d’écritures simples les phrases suivantes :
a) La courbe de la fonction f passe par le point A(3 ; −1).
b) L’ordonnée du point d’abscisse 2 de la courbe C de g vaut 1.
c) La représentation graphique de la fonction h coupe l’axe des
ordonnées au point d’ordonnée 3.
d) La courbe représentant la fonction k passe par l’origine.
e) La courbe C’ représentant la fonction m est au-dessus de l’axe
des abscisses entre les points d’abscisse −5 et 4.

Application 5 y
7
Soit f une fonction définie sur [- 1, 5] dont la 6
5
courbe représentative est donnée ci-contre. 4
3
En utilisant le graphique, répondre aux
2
questions : 1
1°) Quelle est l’ordonnée du point de la j
courbe Cf d’abscisse nulle ? -1 0 i 1 2 3 4
2°) Quelles sont les abscisses des points de -1
la courbe Cf d’ordonnée 3 ?
3°)a) Résoudre dans [- 1, 5] l’équation :

x

Généralités sur les fonctions 143

f(x) = 0.
b) Résoudre dans [- 1 , 5] l’inéquation :

f(x) ≥ 0.
4°)a) Résoudre dans [- 1, 5] l’équation :

f(x) = 3 - x.
b) Résoudre dans [- 1 , 5] l’équation : f(x) ≤ 3 - x.

REMARQUE

Toute courbe ne représente pas nécessairement une fonction.

Si une courbe représente une fonction alors toute droite parallèle à
l’axe des ordonnées coupe cette courbe au plus en un point.

Par exemple parmi les courbes suivantes certaines définissent une
fonction et d’autres pas.

1y

-1 0 1 2 3x
-1

« Ne définie pas une fonction » « Définit une fonction »

Application 6
Parmi les courbes suivantes déterminer celles qui représentent une
fonction numérique

Généralités sur les fonctions 144

y

1

1y C1

-2 -1 0 C41 2x
3x -1
-1 0 1 2

-1
-2

2y 3y
1 2
1
0 1234
-2 -1 0 1 2x
-1 C2 -1 C3
x
-2
-2
4y
3 -3
2

C5 1

-2 -1 0 1x
-1

2°) Maximum et minimum

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.
 La fonction f admet un minimum en a sur l’intervalle I, lorsque :

Pour tout réel x de I, f(x) ≥ f(a). Le réel f(a) est le minimum de f

sur I.
 La fonction f admet un maximum en a sur l’intervalle I, lorsque :

Généralités sur les fonctions 145

Pour tout réel x de I, f(x) ≤ f(a). Le réel f(a) est le maximum de f

sur I.
Application 7

Soit f la fonction définie sur IR par : f(x)  2x²  5x .

1°) Montrer que pour tout réel x, f(x)  2  x  5 2  25
 2  2

2°) En déduire que f admet un minimum que l’on déterminera.

Application 8

Soit f la fonction définie sur IR par : f(x)  2x .
x² 1

1°) Montrer que pour tout réel x, x² + 1≥ 2x
2°) En déduire que f admet un maximum en 1.

3°) Sens de variation

Définition

Soit f une fonction définie sur un ensemble E et I un intervalle inclus

dans E.
 La fonction f est croissante sur l’intervalle I si, pour tous réels a
et b de I tels que a ≤ b, f(a) ≤ f(b).
 La fonction f est décroissante sur l’intervalle I si, pour tous
réels a et b de I tels que a ≤ b, f(a) ≥ f(b).
 La fonction f est constante sur l’intervalle I si, pour tous réels a

et b de I, f(a) = f(b).
Application 9

Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = - 3x + 1.

Etudier le sens de variation de f.
Application 10

Soit f la fonction définie par : f(x)  1 .
1 2x

Etudier le sens de variation de f sur  1 ,  .
 2

Application 11

La courbe ci-contre représente une y
fonction définie sur [- 2, 4] 3
1) Déterminer le sens de variation de f.

2) Déterminer le maximum et le 2
1
minimum de f.

3°) Parité et symétrie

-2 -1 0 1 2 3 4x

-1

Généralités sur les fonctions 146

Définition
Soit f une fonction définie sur E.
On dit que f est paire si, pour tout réel x de E, on a :
– x ∈ E et f( - x) = f(x).
La courbe d’une fonction paire, dans un repère orthogonal est
symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Définition
Soit f une fonction définie sur E.
On dit que f est impaire si, pour tout réel x de E, on a :
–x ∈ E et f(-x)= - f(x).
La courbe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à
l’origine du repère.

Application 12
Etudier la parité de f dans chacun des cas suivants :

a) f(x) = 3x² - 2.
b) f(x) = x (x²  1)

c) f(x) = x(x²  1)

d) f(x) = x²  x

Généralités sur les fonctions 147

Evaluation du degré d’assimilation du cours

Pour chacune des situations ci – dessous, relevez sur votre cahier les
numéros des propositions qui vous semblent vraies

Situation 1

Soit f la fonction définie par : f(x) = x²  2x

1°) – 3 appartient au domaine de définition de f.

2°) La courbe de f passe par l’origine du repère.
3°) l’image de – 2 par f est 0

4°) – 2 est un antécédent de 0.

Situation 2

Soit f la fonction définie par : 2x  1 .
x²  3x

Le domaine de définition de f est :

1°) IR 2°) IR\{0} 3°) ,3  3,0  0,

Situation 3 y 1 2x
Dans le graphique ci-contre la parabole 2
( P ) est la courbe représentative d'une 1
fonction f : x ax²  b ,
1°) a = 1 et b = - 1 -2 -1 0
2°) a = 3 et b = - 1

2

Situation 4 -1

Soit f la fonction définie par : f(x)  1 x  1 .

1°) f admet un minimum en – 1 égal à 1.
2°) f admet un minimum en 1 égal à - 1.
Situation 5
Soit f une fonction impaire. Si f admet un maximum en a alors :
1°) f admet un minimum en – a
2°) f admet aussi un maximum en – a.
Situation 6
On considère une fonction f définie sur [-1 , 3] et telle que f(-1) = - 2
et f(3) = 5. Que peut-on dire des variations de f sur [-1 ; 3] ?
1°) f est croissante sur [-1 ; 3]
2°) f est décroissante sur [-1 ; 3]
3°) On ne peut rien dire
Situation 7
Si une fonction f est croissante sur un intervalle I alors
1°) f ² est nécessairement croissante sur I.
2°) On ne peut rien dire concernant le sens de variation de f².

Généralités sur les fonctions 148

Situation 8
Soit f une fonction croissante sur ]-∞, 2], décroissante sur [2, +∞[ et
f(2) = 3.
1°) Pour tout réel x, f(x) ≤ 3.
2°) Pour tout réel x, f(x) ≥ 3.
Situation 9
1°) La somme de deux fonctions croissantes est croissante.
2°) Le produit de deux fonctions croissantes est croissante
3°) L’opposée d’une fonction décroissante est une fonction croissante
Situation 10
Soit f une fonction paire et pour tout réel x, f(-x) ≤ 5.
1°) Pour tout réel x, f(x) ≤ 5.
2°) Pour tout réel x, f(x) ≥ - 5.
Situation 11
Soit f une fonction impaire et croissante sur [0, +∞[ alors
1°) f est décroissante sur ]-∞ , 0]
2°) f est croissante sur ]-∞ , 0]

Solutions des QCM

Situation 1 Situation 5 Situation 9
1°), 2°), 3°) et 4°) 1°) 1°) et 3°)
Situation 2 Situation 6 Situation 10
3°) 3°) 1°)
Situation 3 Situation 7 Situation 11
2°) 2°) 2°)
Situation 4 Situation 8
1°) 1°)

Généralités sur les fonctions 149

Solutions des applications

Application 1

Déterminer le domaine de définition de f dans chacun des cas

suivants :

a) Df = IR|{1} d) Df = IR|{-1, - 2}
b) Df = [-1, +[ e) Df = ]-,1][2 , +[
c) Df = IR|{-1 ,1}
Application 2

Soit ABCD un rectangle tel que

AB = 6 et BC = 4.

Soit M un point du segment [BC]. La

parallèle à (AC) issue de M coupe

(AB) en N. On pose BM = x.
On désigne par f(x) l’aire de la partie

grise.

1°) Df = [0, 4]
2°) Dans le triangle BAC on a : M[BC], N[BA] et (MN) // (AC)

d’après THALES BN  BM alors BN = 3 x
BA BC 2

3°) f(x) = aire du rectangle – aire du triangle BMN = 24 - 3 x² .
4

Application 3

Soit f la fonction affine définie par : f(x) = 3x – 1. On désigne par Cf la

 courbe de f dans un repère O,i , j .

1°) Cf est une droite d’équation : y = 3x - 1

2°) A(3 , -1)  Cf, B(0 , -1 Cf, C(10 , 29)  Cf
3°) Soit x l’abscisse du point M de Cf d’ordonnée nulle. f(x) = 0

signifie 3x – 1 = 0 signifie x  1
3

4°) Soit y l’ordonnée du point N de Cf d’abscisse 2. y = f(2) = 5

Application 4 d) k(0) = 0
a) f(3) = - 1. b) g(2) = 1 c) h(0) = 3
e) Pour tout x de [-5 , 4] m(x) ≥ 0.

Application 5

1°) L’ordonnée du point de la courbe Cf d’abscisse nulle est 3
2°) Les abscisses des points de la courbe Cf d’ordonnée 3 sont 0 et 4

3°)a) {1 , 3} b) [-1, 1]∪[3, 5]

4°)a) {0 , 3} b) [0, 3]