L'incontournable en algèbre

Problèmes du 1er degré et du second degré 50

 d = 57,5 signifie 0,007v² + 0,8v = 57,5
signifie (0,007)v² + (0,8)v – 57,5 = 0.

∆ = (0,8)² + 4*(0,007)*57,5 = 2,25 = 1,5²
v = 0,8  1,5 = 50 km/h.

0,014

 d = 108,8 m signifie (0,007)v²+ (0,8)v – 108,8 = 0.
∆ = (0,8)² + 4*(0,007)*(108,8) = 3,6864 = 1,92.
v = 0,8  1,92 = 80 km/h.

0, 014
3) 57,5 ≤ d ≤ 108,8 signifie d ≥ 57,5 et d ≤ 108,8
signifie (0,007)v² + 0,8v – 57,5 ≥ 0 et (0,007)v² + 0,8v – 108,8 ≤ 0
signifie v ∈ [50, +∞[ ∩ [0, 80] = [ 50, 80].
Exercice 17
1) * Le nombre d’élèves qui vont payer la somme 576 d est x – 2

alors le prix à payer par chacun est 576 .
x2

Si chaque élève de la classe paye sa part alors chacun doit

payer 576 comme 2 ne pouvant payer et que le prix à payer
x

augmente de 1,200 alors le prix à payer par chacun des x – 2

élèves est 576  1,2 .
x

2°)a) Pour x un entier naturel non nul et différent 2, on a :

576  576  1,2 signifie 576x = 576 (x – 2) + 1,2x ( x – 2)
x2 x

signifie 0 = -1152 + 1,2 x² - 2,4x signifie 1,2 x² - 2,4 x – 1152 = 0
signifie x² - 2x – 960 = 0
b) x² - 2x – 960 = 0 signifie x² - 2x + 1 = 961 signifie (x – 1)² = 31²
or x est un entier naturel non nul alors x = 32.
Le nombre d’élèves de cette classe est 32.

Le prix du transport à payer par élève est : 576  19d,200 .
30

Exercice 18

On désigne par x et y les longueurs des côtés de l’angle droit :

x²  y²  1600 .
56
xy

 x + y = 56 signifie y = 56 – x.
 x² + y² = 1600 signifie x² + (56 – x)² = 1600

Problèmes du 1er degré et du second degré 51

signifie 2x² - 112x + 1526 = 0

signifie x² - 56x + 768 = 0
∆’= 28² - 768 = 16 = 4² > 0.
x = 28 – 4 = 24 ou x = 28 + 4 = 32 :

si x = 24 alors y = 32 et si x = 32 alors y = 24
Les longueurs des côtés de l’angle droit sont 24 et 32.

Exercice 19

1°)a) OAM et OTM sont deux triangles rectangles respectivement en

A et T tels que OA = OT = a et OM côté commun alors ils sont

isométriques.

b) OAM et OTM sont isométriques de sommets correspondant :

OA  O alors MA = MT.
 T

M  M

c) T est un point du segment [MN] alors MT + TN = MN. (1)
d’après la question b et par analogie TN = BN. (2)

(1)et (2) impliquent AM + BN = MN.

2°)a)

OA  OT  alors OM  AT(1). OB  OT  alors ON  BT (2)
MA  MT  MB  NT 

O  M  O  N 
T appartient au demi cercle de diamètre [AB] alors AT  BT(3)

(1),(2) et (3) impliquent que les droites (OM) et (ON)

sont perpendiculaires.

Donc OMN est un triangle rectangle en O.

b) MN² = (AM + BN)² signifie OM² + ON² = AM² + BN² + 2AM.BN
signifie (AM² + a²) + (BN² + a²) = AM² + BN² + 2AM.BN
Signifie AM.BN = a²

3°)a) AB + BN + MN + MA = 7a signifie 2a + 2(BN + MA) = 7a

Signifie AM + BN = 5 a .
2

b) On pose x = AM et y = BN

on a : xy = a² et x + y = 5 a
2

 x + y = 5 a signifie y = 5 a - x
22

 xy = a² signifie 5 a x – x² = a² signifie x² - 5 a x + a² = 0
22

signifie 2x² - 5a x + 2a² = 0.
∆ = 25a² - 16a² = 9a² = (3a)²

Problèmes du 1er degré et du second degré 52

x = 5a  3a  1 a ou x = 2a
42

Si x = 1 a alors y = 2a et si x = 2a alors y = 1 a .
22

Donc AM = 1 a et BN = 2a ou AM = 2a et BN = 1 a .
22

Exercice 20
Soit v la vitesse du 1er automobiliste et t le temps mis.

 Mise en équation :

54mn = 9 h , vt = 360 et (v + 20)  t  9  = 360.
 10 
10

 Résolution :

 v  20  t  9   360  vt  20t  9 v - 18  360
 10  10

 20t  9 v - 18  0  v  200 t  20
10 9

vt = 360 signifie  200 t  20  t  360 signifie 200 t² - 20t = 360
 9 9

Signifie 20t² - 18t = 324 signifie 10t² - 9t – 162 = 0.
∆ = 81 + 6480 = 6561 = 81²

t = 9  81  9 = 4h 30mn et v = 200 t  20 = 100 – 20 = 80 km/h.
20 2 9

Donc la vitesse du second automobiliste est de 100km/h et le temps
qu’il a mis est de 4h30mn – 54 mn = 3h36mn

Notion de polynômes 53

Résumé du cours

1°) Notion de fonction

Définition :
 Une fonction est un procédé qui permet d’associer à tout réel

x au plus un réel noté f(x)
 Le nombre réel f(x) est appelé l’image de x par la fonction.
 x est appelé un antécédent de f(x) par la fonction f.
 L’ensemble des réels x tels que f(x) existe est appelé

l’ensemble de définition de la fonction f.
Remarque : L’image d’un réel x par une fonction f –si elle existe- est
unique alors qu’un nombre réel f(x) peut posséder plusieurs

antécédents.
Notation : Il est d’usage de noter une fonction sous la forme :

f : E  IR
où E est une partie de IR.

x  f(x)

Exemple :

Soit f la fonction définie par : f(x) = x - x
 x est un réel du domaine de définition de f si et seulement si

f(x) a un sens si et seulement si x est positif. Donc le domaine
de définition de f est l’intervalle [0 , +∞[ .
 L’image de 4 par f est : f(4) = 4 - 4 = 2
 Les antécédents de 0 par f sont : 0 et 1 car f(x) = 0

signifie x = x signifie x² = x et x positif signifie x = 0 ou x = 1.

Application 1 Domaine de définition Image de 2 Les antécédents de 1
Compléter :

f(x)  x 1
f(x)  x 1

x²  x
f(x)  2x²  3x 1

2°) Fonction polynôme

Définition :
Soient a0,a1,...,an1 et an des réels.

Notion de polynômes 54

La fonction f définie sur IR par : f(x)  anxn  an1xn1  ...  a1x  a0 est
appelée fonction polynôme.

Les réels an,an1,...,a1 et a0 sont appelés les coefficients de la fonction

polynôme.

Si an  0, n est appelé le degré du polynôme f. On écrit deg(P) = n.
Si tous les coefficients sont nuls, le polynôme est dit nul.
On convient que le polynôme nul n’a pas de degré.
Exemple :

Les fonctions suivantes sont des fonctions polynômes de degrés

respectifs 1 , 2 et 3.

f(x)  2x  3 , g(x)  1 x2  3 2x  1, h(x)  x3
34

Contre exemples :
Certaines fonctions ressemblent à des polynômes mais n’en sont

pas :

 f(x)  x²  3  5 car 1  x1 et – 1 n’appartient pas à IN
xx

 f(x)  3x3  x²  x  5 car x n’est pas de la forme xn avec

n entier naturel.

 f(x)  3x²  x , pour x0, f(x) = 3x – 1. Df = IR*IR
x

Vocabulaire :

Tout terme akxk, k∈IN, d’un polynôme est appelé monôme.
Soit le polynôme P(x) = -2x3 + 4x² - x + 5.

 L’expression – 2x3 est un monôme de degré 3, - 2 est le

coefficient du monôme de degré 3
 L’expression 4x2 est un monôme de degré 2, 4 est le

coefficient du monôme de degré 2
 L’expression - x est un monôme de degré 1, -1 est le

coefficient du monôme de degré 1
 5 est le terme constant du polynôme

Application 2 Q(x) = x5 +2x3 - 3x² + x -1
Compléter le tableau suivant

P(x) = -x3 – 2x + 1
Coefficient de x2

Coefficient du terme
de 3ème degré

Terme constant

Degré du polynôme

Notion de polynômes 55

Théorème : Tout polynôme non nul P a une écriture unique de la
forme P(x)  anxn  an1xn1  ...  a1x  a0 , avec an ≠ 0.

Egalité de deux fonctions polynômes :
Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont le même degré
et si les coefficients de leurs monômes de même degré sont égaux.
Exemple
Soit P(x) = 2x3 – x² + 3x + 1 et Q(x) = 2x3 – 3x² + x + 1. Ces deux
polynômes sont-ils égaux ?
Concernant le degré : degP = degQ = 3
Concernant les coefficients :
Regardons les monômes de degré 3 : Pour P il vaut 2x3 et pour Q il
vaut 2x3. Il est clair que 2 = 2, on passe donc au monôme suivant.
Regardons les monômes de degré 2: Pour P il vaut –x2 et pour Q il
vaut -3x2. Il est clair que - 1 ≠ - 3 , donc on a trouvé deux coefficients
différents. Conclusion : les deux polynômes ne sont pas égaux.
Application 3
Soit P(x) = 2x3 - 7x² + 4x + 4. Déterminer les réels a, b et c tels que
pour tout réel x, P(x) = (x – 2)(ax² + bx + c)

Opérations sur les polynômes
Définition :
Soit f et g deux polynômes et α un réel.

 On appelle somme de f et g le polynôme noté f + g et défini
par : pour tout réel x, (f + g) (x) = f(x) + g(x).

 On appelle produit du polynôme f par le réel α le polynôme
noté αf et défini par : pour tout réel x, (α f) (x)= α f(x).

 On appelle produit des polynômes noté f g et défini par :
pour tout x, (f. g) (x) = f(x) * g(x).

Exemple

Soit les polynômes P(x) = x3 - x² + 2 et Q(x) = 3x² - 2x + 1.

1°) Déterminons le polynôme S(x) = (P + Q)(x).

P(x) x3 -x² 2

Q(x) 3x² -2x 1 Conclusion : S(x) =P(x) + Q(x)
= x3 +2x²-2x+3
P(x) + Q(x) x3 2x² -2x 3

2°) Déterminons le polynôme R(x) = (P. Q)(x):

1ère Méthode
R(x) = (P.Q)(x) = P(x) Q(x) = (x3 - x² + 2)(3x² - 2x + 1)

= 3x5 – 2x4 + x3 – 3x4 + 2x3 – x² + 6x² - 4x + 2
= 3x5 - 5x4 + 3x³ + 5x²- 4x + 2 .

Notion de polynômes 56

2ème méthode

x3  x²  2
* 3x² - 2x + 1

. x3  x² 2

-2x4 + 2x3 - 4x Conclusion :
R(x) = 3x5 - 5x4 + 3 x³+ 5x²- 4x + 2 .
3x5 -3x4 + 6x²

3x5 - 5x4 + 3x3 + 5x² - 4x + 2

Application 4
Soit les polynômes P(x), Q(x) , S(x) = P(x) + Q(x) et R(x) = P(x).Q(x)
Compléter

P(x) Q(x) degP(x) degQ(x) degS(x) degR(x)

2x³ - x + 2 x4 – x³ + 3x² - 5

x³ - 2x – 1 -4x³ + x² - 1

3x5 + 2x - 4 -3x5 + x² + 5

Le degré d’une somme de plusieurs polynômes est inférieur ou égal

au degré de celui qui a le degré le plus élevé.

Application 5

Soit P(x) = x4 - 5x3 + 5x² + 5x - 6. Déterminer un polynôme Q tel que
pour tout réel x, P(x) = (x² – 1)Q(x)

A retenir :

Soit P et Q deux polynômes non nuls.

deg (PQ) = deg P + degQ. Deg(P + Q) ≤ degP + degQ

Racine et factorisation d’un polynôme :
Définition : On dit qu’un réel α est une racine ou un zéro d’un

polynôme f si f(α) = 0.

Théorème

Soit f un polynôme de degré n

 Pour n ≥ 1, si α est une racine de f alors
1. f est factorisable par x – α
2. Il existe un polynôme g de degré (n-1) tel que f(x)=(x- α) g(x).

 Pour n ≥ 2, si α et β sont des racines de f alors
1. f est factorisable par (x - α ) (x – β).
2. Il existe un polynôme g de degré (n – 2) tel que

f(x)=(x – α) (x – β) g(x).
 Plus généralement : Soit f un polynôme de degré n (n ≥3).

Notion de polynômes 57

On admet que si 1,2,3,...et k (avec k ≤ n) sont des racines

de f alors :

1. f est factorisable par x  1 x  2  x  3 ...x  k .

2. Il existe un polynôme g de degré (n – k) tel que
f(x)=(x – α1) (x – α2) (x – α3) …(x – αk) g(x)

Exemple 1
Soit P(x) = 2x4 - 5x² - x + 4

1 est une racine évidente car P(1) = 0.

Donc il existe un polynôme Q tel que P(x) = (x - 1)Q(x).

Déterminons Q.

Comme P est de degré 4, le polynôme Q est de degré 3.

On écrira donc Q(x) = a x³ + b x² +c x+ d où a, b, c, d sont 4 réels.

On développe l'égalité P(x)=(x - 1)Q(x), pour tout réel x. On obtient :
2x4 - 5x² - x + 4 = (x - 1)( ax³ + bx² + cx+ d )

= ax4 + (b - a) x³ + (c - b) x² + (d - c)x - d , pour tout x.

On en déduit alors le système suivant par identification des

a  2
bc
coefficients:  a  0
 b  5

d  c  1
d  4

On résout le système, qui admet pour unique solution : a = 2, b = 2,

c = - 3 et d = - 4.
Donc Q(x) = 2x³ + 2x² - 3x – 4 et P(x) = (x - 1)( 2x³ + 2x² - 3x – 4)

Exemple 2
Soit P(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2. On se propose de factoriser P(x).
 Vérifions que – 2 est un zéro de P(x).
P( - 2) =2(- 2)3 + 3(- 2)² - ( - 2) + 2 = - 16 + 12 + 2 + 2 = 0

 Déterminons le polynôme Q(x) tel que pour tout réel x,

P(x) = (x + 2)Q(x).

Comme P est de degré 3, le polynôme Q est de degré 2.

On écrira donc Q(x) = a x² + b x + c où a, b, c sont 3 réels.
Le monôme du plus haut degré de (x + 2)Q(x) est ax3 alors a = 2

Le terme constant de (x + 2)Q(x) est 2c = 2 alors c = 1

Le coefficient de x dans (x + 2)Q(x) est c + 2b = - 1 alors b = - 1

Donc Q(x) = 2x² - x + 1
Contrôle : (x + 2)(2x² - x + 1) = 2x3 + 3x2 – x + 2

Méthode de recherche de Q(x) :

Notion de polynômes 58

- Recherche (immédiate) du degré de Q(x)

- Recherche (immédiate) du coefficient du monôme de plus haut

degré de Q(x)

- Recherche (immédiate) du terme constant de Q(x)

- Recherche du coefficient de chacun des monômes constituant

Q(x)

- Contrôle des résultats en développant (x-a) Q(x) : obtient-on P(x) ?

Théorème
 Un polynôme de degré 3 admet au plus trois racines.
 Un polynôme de degré 4 admet au plus quatre racines.
 On admet qu’un polynôme de degré n(n≥2), admet au plus n

racines.
Application 6

Dans chacun des cas suivants, une réponse au moins est exacte : la

(ou les) cocher
1°) Le polynôme f(x) = 2x3 -7x2 + 7x - 2 est factorisable par :

x-2 x-1 x

2°) Le degré du polynôme g(x) = 4x2 + x3 - 2 est:

2 x3 4

3°) Le degré du polynôme (1 – 2x²)(4x3 + x – 2) est :

4 x5 6

4°) Pour tout réel x, 2x3 - x2 - 7x + 2 = (x - 2)( ax2 + bx + c ).

a=2, b= 3 et c= -1 a=2, b= -3 et c=-1 a=2, b=3 et c=1

Application 7
Soit P(x) = x3 + 2x2 - 11x + 6

a) 2 et 1 sont-ils racines du polynôme P(x)?
b) Déterminer un polynôme Q tels que pour tout réel x,

P(x) = (x – 2)Q(x)
c) Déterminer toutes les racines de P(x).

Application 8
1°) Déterminer les zéros des polynômes suivants :
P(x) = - 2x3 + 7x² + 4x et Q(x) = -2x3 + 9x2 - 3x - 4
2°) Résoudre dans IR, l’inéquation : Q(x) ≥ 0.
3°) Résoudre dans IR, l’inéquation : P(x) ≥ 0

Q(x)

3) Fonction rationnelle

Soit f et g deux fonctions polynômes.

Notion de polynômes 59

h : IR  IR

La fonction x f(x) est appelée fonction rationnelle.
g(x)

Remarque
Contrairement aux polynômes, les fractions rationnelles peuvent ne
pas être calculées pour certaines valeurs de la variable x ; c'est-à-
dire qu'il peut exister des valeurs de la variable pour lesquelles il n'est
pas possible de calculer la valeur de la fraction rationnelle.
Par exemple, il est possible de calculer la valeur de la fraction
rationnelle x²  2x lorsque x est égal à 2 (on trouve 8), mais il est

x 1
impossible de déterminer sa valeur lorsque x vaut 1 (car il faudrait
diviser 3 par 0, ce qui est impossible !).

Application 9

Déterminer le domaine de définition de la fonction f

a) f(x)  2x 1 b) f(x)  x3  2x  1 c) f(x)  x2  3x  1  1
x2 x2  2x 2x2  7x  9 x

Application 10

Soit f la fonction définie par : f(x)  2x²  3x  4
x 1

a) Déterminer le domaine de définition Df de f.
b) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de Df,

f(x)  ax  b  c
x 1

c) Montrer que pour tout réel x > 1, f(x) > 2x – 1.

Notion de polynômes 60

Evaluation du degré d’assimilation du cours

Pour chacune des situations ci – dessous, relevez sur votre cahier les
numéros des propositions qui vous semblent vraies
Situation 1
Soit f la fonction définie par : f(x)  x3  2x1  3
1°) f est une fonction polynôme. 2°) f n’est pas une fonction polynôme

Situation 2
1°) 2x3 – x – 1 est un trinôme du second degré.
2°) 5x2 + x4 – 3 est un polynôme du 4ème degré

Situation 3

On considère le polynôme P(x) = 5x3 + 2x – 3

Le coefficient du monôme de degré 2 est :

1°) 0 2°) 2

Situation 4
On considère le polynôme : f(x) = (1 – x )3 + (x + 1 )3

1°) f(x) est un polynôme de degré 3

2°) f(x) est un polynôme de degré 6

3°) f(x) est un trinôme de second degré.

Situation 5
1°) Si un polynôme est de degré 2, alors son cube est de degré 8.
2°) Si un polynôme est de degré 3, alors son cube est de degré 9.

Situation 6
Soit P et Q deux polynômes non nuls tels que degP = degQ = n.
1°) deg(P.Q) = n² 2°) deg(PQ) = n 3°) deg(PQ) = 2n

Situation 7

– 3 est un zéro d’un polynôme de 3ème degré P(x).

P(x) peut s’écrire sous la forme :

1°) P(x) = (x – 3)(ax² + bx + c) 2°) P(x) = (x + 3)(ax² + bx + c)

Notion de polynômes 61

Situation 8

1 et -1 sont des racines d’un polynôme Q(x) du 3ème degré.

Q(x) peut s’écrire sous la forme :

1°) Q(x) = (x² – 1)(ax + b) 2°) Q(x) = x²(ax + b)

Situation 9
On considère le polynôme f(x) = x3 - 4x² +3x + 2

1°) f(x) est factorisable par x - 1
2°) – 1 est un zéro de f(x).

3°) 2 est une racine de f(x)

Situation 10
On considère le polynôme P(x) = x5 – 2ax + 5.
Si – 1 est zéro de P(x) alors :

1°) a = - 2 2°) a = - 1 3°) a = 3

Situation 11
Pour tout réel x, on a : 2x4 + x3 – 6x² + 5x + 4 = (2x + 1) (x3 + ax + 4)

1°) a = - 3 2°) a = 3 3°) a = 5

Solutions des QCM

Situation 1 Situation 5 Situation 9
2°)
Situation 2 2°) 3°)
2°)
Situation 3 Situation 6 Situation 10
1°)
Situation 4 3°) 1°)
3°)
Situation 7 Situation 11

2°) 1°)

Situation 8

1°)

Solutions des applications

Application 1 Domaine de définition Image de 2 Les antécédents de 1

f(x)  x 1 [-1 , +∞[ 3 0
f(x)  x 1 1 2 et 1 2
,0  0,1  1, 3
x²  x
2

Notion de polynômes 62

f(x)  2x²  3x 1 , 1  1,  3 0 et 3
2 
Application 2 2
P(x) = -x3 – 2x + 1
Coefficient de x2 0 Q(x) = x5 +2x3 - 3x² + x -1

-3

Coefficient du terme -1 2
de 3ème degré

Terme constant 1 -1

Degré du polynôme 3 5

Application 3

a = 2, b = - 3 et c = - 2.
Application 4

Soit les polynômes P(x), Q(x) , S(x) = P(x) + Q(x) et R(x) = P(x).Q(x)

P(x) Q(x) degP(x) degQ(x) degS(x) degR(x)

2x³ - x + 2 x4 – x³ + 3x² - 5 3 4 4 7

x³ - 2x – 1 -4x³ + x² - 1 333 6

3x5 + 2x - 4 -3x5 + x² + 5 5 5 2 10

Application 5
Soit P(x) = x4 - 5x3 + 5x² + 5x - 6. Pour tout réel x, P(x) = (x² – 1)Q(x)

avec Q(x) = x² - 5x + 6

Application 6

1°) Le polynôme f(x) = 2x3 -7x2 + 7x - 2 est factorisable par :

x x-2 xx-1 x

2°) Le degré du polynôme g(x) = 4x2 + x3 - 2 est:

2 xx3 4

3°) Le degré du polynôme (1 – 2x²)(4x3 + x – 2) est :

4 xx 5 6

4°) Pour tout réel x, 2x3 - x2 - 7x + 2 = (x - 2)( ax2 + bx + c ).

x a=2, b= 3 et c= -1 a=2, b= -3 et c=-1 a=2, b=3 et c=1
Application 7

Soit P(x) = x3 + 2x2 - 11x + 6
a) 23 + 2x2² - 11x2 + 6 = 0 alors 2 est un zéro de P(x).

13 + 2x1² - 11 + 6 = - 2 alors 1 n’est pas un zéro de P(x).
b) Pour tout réel x, P(x) = (x – 2)Q(x) avec Q(x) = x² + 4x - 3

c) P(x) = 0 équivaut à x = 2 ou x² + 4x - 3 = 0.

x² + 4x – 3 = 0 équivaut (x + 2)² = 7 équivaut x = - 2 - 7 ou

Notion de polynômes 63

x=-2+ 7
Donc les racines de P(x) sont : 2 , - 2 - 7 et - 2 + 7

Application 8
1°) Déterminons les zéros du polynôme : P(x) = - 2x3 + 7x² + 4x

 Pour tout réel x, P(x) = x(- 2x2 + 7x + 4).

 P(x) = 0 équivaut à x = 0 ou – 2x² + 7x + 4 = 0

  49  32  81  9²

x '  7  9  4 et x'' = 7  9  1
4 4 2

 Les zéros de P(x) sont 0 , 4 et  1

2

Déterminons les zéros du polynôme Q(x) = -2x3 + 9x2 - 3x - 4

 1 est une racine évidente de Q(x).

 Il existe trois réels a, b et c tels que pour tout réel x,
Q(x) = (x – 1)(ax² + bx + c), a = - 2 , b = 7 et c = 4

 Q(x) = 0 équivaut à x = 1 ou – 2x² + 7x + 4 = 0.

 Les zéros de Q(x) sont 1 , 4 et  1

2

2°)

x -∞ 1 1 4 +∞
2
x–1 - 0+ +
– 2x² + 7x + 4 - - + 0-
0+

Q(x) + 0 - 0 + 0 -

SIR   ,  1  1, 4
2 

3°) Pour tout x  \  1 ,1, 4
 2 

P(x)   2x3  7x²  4x  x x( 2x2  7x  4)  x
Q(x) 2x3  9x2  3x 4  7x  4) x 1
- 1( 2x2

x -∞ 01 +∞
x -
x–1 - 0+ +
+
x - 0+

x 1 0- +

SIR   ,  1     1 ,0   1, 4  4, 
 2   2 

Notion de polynômes 64

Application 9

a) IR\{- 2} b) IR\{0, 2} c) IR \  9 ,0,1
Application 10  2 


Soit f la fonction définie par : f(x)  2x²  3x  4
x 1

a) x appartient au domaine de définition de f signifie que f(x) a un
sens signifie que x – 1 est différent de zéro. Donc Df = IR\{1}

b)

f(x)  ax  b  c , pour tout x  \ 1

x 1

équivaut à f(x)  ax²  (b  a)x  c  b , pour tout x  \ 1

x 1

a = 2, a = 2,
équivaut à b - a = - 3 équivaut à b = - 1
c - b = 4 c = 3

c) On a : pour tout x appartenant à Df, f(x)  2x 1 3 et pour
x 1
tout x > 1, x – 1 > 0 donc pour tout réel x > 1, f(x) > 2x – 1.

Exercices intégratifs

Exercice 1
Répondre par vrai ou faux
1°) Toute fonction polynôme admet au moins une racine réelle.
2°) La fonction polynôme P définie par P(x) = x4 - 3x3 + 7x² - x + 1 n’a
pas de racines négatives.
3°) Deux fonctions polynômes qui ont les mêmes racines sont égales.
4°) Si  est une racine de deux polynômes P et Q, alors,
Le polynôme P - Q est factorisable par x - .
5°) On considère la fonction polynôme f définie par :

f(x) = 6x3 - 29x2 - 6x + 5.

On admet que f(x) admet trois racines notées ,  et γ

Notion de polynômes 65

a) ∝ + + γ = - 29 b) 6∝. .γ = 5

Exercice 2 2(x2 +x+1)(x -3)
Sans développer, compléter le tableau suivant :

(x² + 2)(1- 2x3) (x - 3)(4x3 + 3x –1)

Degré

terme de plus haut
degré

Coefficient du monôme
de degré 2

terme constant

Exercice 3
Soit P la fonction définie sur IR par : P(x) = 2x3 - 7x2 – 5 x + 4.

1°)a) Déterminer une racine apparente de P(x).
b) Compléter : pour tout réel x, P(x) = (x + …)(…x² +…x + 4).

2°)a) Résoudre dans IR, l’inéquation : 2x3 + 4 ≥ 7x² + 5x.
b) En déduire les solutions dans IR de l’inéquation :

2x x  4  7x  5 x

Exercice 4
On considère le polynôme P(x) = 2x3 + 3x² - 18x + 8

1°) Montrer que le polynôme P(x) est factorisable par x - 2 et par x+4.

2°) Soit Q le polynôme tel que pour tout réel x,
P(x) = (x – 2)(x + 4)Q(x)

a) Quel est le degré de Q.

b) Vérifier que Q(0) = - 1 et Q(1) = 1.
c) Résoudre dans IR, l’inéquation : P(x) > 0

Exercice 5
Soit le polynôme P(x) = 6x4 + 7x3 – 12x² - 3x + 2

1°) Montrer que 1 et -2 sont deux zéros de P(x)

2°) Factoriser P(x)
3°) Résoudre dans IR, l’équation P(x) = 0.
4°) Résoudre dans IR, l’inéquation 6(x² - 1)² ≥ -7x3 + 3x + 4.

Exercice 6
On considère le polynôme f(x) = x3 – 2ax² + x + 4 + a, a est un réel.

1°) Déterminer a pour que P(x) soit factorisable par (x + 1).

Pour la suite, on prendra a = 2

2°)a) Déterminer le polynôme Q tel que pour tout réel x,

P(x) = (x + 1)Q(x).

b) Vérifier que pour tout réel x, Q(x) = Q(x)   x  5 2  1
 2  4

Notion de polynômes 66

c) Résoudre dans IR,
(E1) : x 3  4x²  x  6  0 et (E2) : 6x3  x²  4x 1  0

Exercice 7

On considère le polynôme P(x) = 2x4 – x3 – 3x2 + ax + b où a et b

sont des réels.

1°) Déterminer a et b pour que P(x) soit factorisable par : x2 - x - 2

2°) On prendra a = b = - 4.

Résoudre dans IR, a) P(x) ≤ 0 b) P  x  2  0

Exercice 8
On considère le polynôme P(x) = 8x4 – 14x3 – 69x² - 14x + 8

1°) Résoudre dans IR

a) (E1) : 8x² 14x  85  0 b) (E2 ) : x 1  17
x 4

2°)a) Vérifier que 0 n’est pas une racine de P(x).

b) Monter que si x0 est une racine de P(x) alors 1 est aussi une
x0

racine de P(x).
c) Vérifier que – 2 est une racine de P(x). En déduire une

seconde racine de P(x).

3°)a) Montrer que pour tout réel non nul x,

P(x)  8  x  1 2  14  x  1   85
x²  x   x 

b) Déterminer toutes les racines de P(x).

Exercice 9 Le tableau d’Horner

Soit le polynôme P(x) = ax4 + bx3 + cx² + dx + e, a  0.

On suppose que P(x) admet une racine notée x0.

1°)a) Quel est le degré du polynôme Q tel que pour tout réel x,
P(x) = (x – x0)Q(x).

b) Déterminer le coefficient du monôme du plus haut degré du

polynôme Q(x).

2°)a) Déterminer, en fonction de x0 et des coefficients du polynôme P,

les réels , , et  tel que pour tout réel x,

P(x) = (x – x0)(ax3 + x² + x + )
c) Compléter

Coefficients de P a b c de

Coefficients de Q a … + ax0 …. ….

Pour Déterminer les coefficients du polynôme Q(x), on donne le

tableau suivant appelé Tableau de Horner (Mathématicien Anglais)

Notion de polynômes 67

Coefficients de P a b c d
+ + +
Une racine évidente x0 ax 0 x0 x0 e

Coefficients de Q x a b + ax0 c+x0 d+x0 
x 0
  
ex0 0
reste

 On commence par reporter les coefficients du polynôme P(x) dans

la première ligne dans l'ordre des exposants décroissants.

 On place la racine évidente dans la case de gauche sur la

deuxième ligne.

 On reporte le premier coefficient dans la première case de la

troisième ligne. ( a )

 Ensuite, on répète les actions suivantes jusqu'à arriver à la

dernière case :
 Multiplier le nombre de la dernière ligne par la racine évidente.
 Reporter le résultat dans la case située à droite sur la

deuxième ligne
 Effectuer l'addition des chiffres de la première et la deuxième

ligne et reporter le résultat dans la troisième ligne.
3°) Application : Soit le polynôme P(x) = 3x4 – 7x³ + x + 6

a) Vérifier que 2 est un zéro de P(x).
b) Utiliser le tableau d’Horner pour factoriser P(x).

Exercice 10
On considère les polynômes P(x ) = 2x3 +11x² + 7x − 20

et Q(x ) = 3x4 − 51x2 + 48
1) a) Déterminer une racine apparente de P(x) puis le factoriser.

b) Résoudre dans IR : P(x) = 0
2°)a) Résoudre dans IR l’inéquation P(x) ≥ 0

b) Résoudre dans IR, l’équation : P(x) = x 1

3°) Soit f(x) = P(x)

Q(x)

a) Déterminer l’ensemble des réels x pour lesquels f(x) a un sens
b) Simplifier f(x)
c) Résoudre dans IR : f (x ) > 0

Exercice 11
Soit le polynôme P(x) = 2x3 + ( 1 + 2 3 )x² + ( 3 - 12)x – 6

Notion de polynômes 68

1°)a) Calculer P( 3 ) et P   1  .
 2 

b) Factoriser P(x)

2°) Soit la fonction rationnelle f déterminée par :

f(x)  2x3  ( 1  2 3)x²  ( 3  12)x – 6
2x²  3x  2

a) Déterminer le domaine de définition de f puis simplifier f(x).

b) Résoudre dans IR, 3  f(x)  3

Exercice 12
Soit la fonction rationnelle f déterminée par :
f(x)  x  2  2  10

x  3 x  2 x²  5x  6
a) Déterminer le domaine de définition,
b) Dresser le tableau de signes de f .

Solutions des exercices intégratifs

Exercice 1
1°) Faux. 2°) Vrai. 3°) Faux 4°) Vrai 5°) a) Faux b) Vrai

Exercice 2

Degré (x² + 2)(1- 2x3) (x - 3)(4x3 + 3x –1) 2(x2 +x+1)(x -3)

terme de plus haut 5 4 3
degré -2x5 4x4 2x3

Coefficient du monôme 1 3 -4
de degré 2
2 3 -6
terme constant

Exercice 3
Soit P la fonction définie sur IR par : P(x) = 2x3 - 7x2 – 5 x + 4.
1°)a) – 1 est une racine apparente de P(x).

b) Pour tout réel x, P(x) = (x + 1)(2x² - 9x + 4).
2°)a) 2x3 + 4 ≥ 7x² + 5x équivaut à P(x) ≥ 0

équivaut à (x + 1)(2x² - 9x + 4) ≥ 0.
Déterminons les zéros, s’ils existent, du trinôme 2x² - 9x + 4.

 = (- 9)² - 4x2x4 = 49 = 7².

Les zéros de 2x² - 9x + 4 sont x '  9  7  1 et x '  9  7  4
42 4

Notion de polynômes 69

x -∞ -1 1 4 +∞
2

x+1 - 0+ + +

2x² - 9x + 4 + +0- 0+

P(x) - 0 + 0 - 0 +

SIR  1, 1   4,
2 

3

   b) 2x x  4  7x  5 x équivaut à 2 x  4  7 x ²  5 x

équivaut à x  1, 1   4, équivaut à 0  x  1 ou x 4
2  2

équivaut à 0  x  1 ou x  16. SIR  0, 1   16, 
4 
4

Exercice 4
P(x) = 2x3 + 3x² - 18x + 8.

1) P(2) = 0 alors P(x) est factorisable par x – 2 .

P(-4) = 0 alors P(x) est factorisable par x + 4.
2) a) deg P = 3 et deg[(x – 2)(x + 4)] = 2 alors deg Q = 1.

b) P(0) = 8 signifie -8 Q(0) = 8 signifie Q(0) = -1

P(1) = -5 signifie -5 Q(1) = -5 signifie Q(1) = 1
c) Q(x) est un polynôme de degré 1 donc s’écrit sous la forme

Q(x) = ax + b.

Q(0) = -1 signifie b = -1. Q(1) = 1 signifie a + b = 1 donc a = 2
En fin Q(x) = 2x – 1.

Pour tout réel x, P(x) = (x – 2)(x + 4)(2x – 1). SIR  4, 1  2, .
2 

Exercice 5
P(x) = 6x4 + 7x3 – 12x² - 3x + 2.

1) P(1) = 6 + 7 – 12 – 3 + 2 = 0
P(-2) = 6*16 + 7*(-8) – 12*4 + 6 + 2 = 0

donc 1 et -2 sont des zéros de P(x).

2) 1 et -2 sont des zéros de P(x) alors P(x) est factorisable par
(x – 1)(x + 2) = x² + x – 2.

Donc il existe un polynôme du second degré Q(x) = ax² + bx + c

tel que pour tout réel x,
P(x) = (x² + x – 2) Q(x) = (x² + x – 2)(ax² + bx + c)

Le coefficient du monôme de degré 3 est a = 6

Le terme constant est -2c = 2 ce qui donne c = -1

Le coefficient du monôme de degré 1 est -2b + c = -3
donc 2b = c + 3 = 2 d’où b = 1.

Conclusion : Pour tout réel x, P(x) = (x² + x – 2)(6x² + x – 1)
3) P(x) = 0 signifie x² + x – 2 = 0 ou 6x² + x – 1 = 0

Notion de polynômes 70

 x² + x – 2 = 0 signifie x = 1 ou x = -2.
 Résolvons l’équation : 6x² + x – 1 = 0

∆ = 25. X’ = 1 5 = 1 et x’’ = 4  1. S2   1 , 1  .
12 2 12 3  2 3 


 S  2,  1 , 1 ,1
 2 3 

4°) 6(x2 – 1)2 ≥ - 7x3 + 3x + 4 équivaut à P(x) ≥ 0

x -∞ -2  1 1 1 +∞

23 +
+
x² + x - 2 + 0- - -0 +

6x² + x - 1 + +0-0 +

P(x) + 0 - 0 + 0 - 0

S  ,2  1, 1  1, 
2 3 

Exercice 6
On considère le polynôme f(x) = x3 – 2ax² + x + 4 + a, a est un réel.

1°) P(x) est factorisable par (x + 1) signifie que f(- 1) = 0 signifie a = 2.
2°)a) f(x) = x3 – 4x² + x + 6.

f(x) est factorisable par x + 1 et degf = 3 alors Q est un polynôme de

degré 2 soit Q(x) = ax² + bx + c.

Il est évident que a = 1 et c = 6. Le coefficient du monôme du premier

degré du polynôme f(x) est 6 + b = 1 donc b = - 5.

Pour tout réel x, Q(x) x² - 5x + 6.

b) Pour tout réel x,  x  5  ²  1  x²  5x  25  1  x²  5x  6  Q(x)
 2  4 4 4

c) Résolvons dans IR,

 (E1) :

x 3  4x²  x  6  0 équivaut à f  x   0 équivaut à  x 1Q  x   0

équivaut à x 1 0 ou  x  5 2  1  0 .
 2  4

impossible

 x  5 2  1  0 équivaut à x  5 = 1 ou x  5 =- 1
 2  4 22 22

équivaut à x = 3 ou x = 2 équivaut à x = -3 ou x = 3 ou x = - 2 ou x = 2

SIR = {- 3, - 2 , 2 , 3}
 (E2) : 6x3  x²  4x 1  0 . On remarque que 0 n’est pas une racine

de ( E2 ).

Notion de polynômes 71

6x3  x²  4x  1 0 équivaut à x3   1  4  1 2   1 3   0
 6 x  x   x  

équivaut à f  1   0 équivaut à 1  1 ou 1  2 ou 1 3
 x  x x x

équivaut à x  1 ou x  1 ou x  1 . SIR  1,2,3
23

Exercice 7
1) On a pour tout réel x, x² - x – 2 = (x + 1)(x – 2) donc P(x) est

factorisable par x² - x – 2 si et seulement si P(-1) = 0 et P(2) = 0
signifie –a + b = 0 et 12 + 2a + b = 0 signifie b = a et a = 12 + 3a = 0

signifie a = b = -4.
2) P(x) = 2x4 – x3 – 3x² - 4x – 4.

a) P(x) est factorisable par x² - x – 2 et deg P(x) = 4 alors il existe

un polynôme de degré 2, Q(x) = αx² + βx + γ tel que pour tout
réel x, P(x) = (x² - x – 2)(αx² + βx + γ).

Il est évident que  = 2 et γ = 2 donc -2β – 2 = -4 c'est-à-dire β = 1.
Donc pour tout réel x, P(x) = (x² - x – 2)(2x² + x + 2).

- Etudions le signe de 2x² + x + 2.
∆ = 1 – 16 = -15 < 0 et a = 2 >0 donc pour tout réel x, 2x²+x+2 > 0.
- Etudions le signe de x² - x – 2.

x -∞ -1 2 +∞

x² - x - 2 + 0-0+

P(x) ≤ 0 équivaut à x² - x – 2 ≤ 0 équivaut à – 1 ≤ x ≤ 2.

Conclusion : SIR = [-1, 2].

b) P  x  2  0 équivaut à -1 ≤ x - 2 ≤ 2 équivaut à 1 ≤ x ≤ 4

équivaut à x 4,1 1,4

SIR = [-4, -1] ∪ [1, 4].

Exercice 8
On considère le polynôme P(x) = 8x4 – 14x3 – 69x² - 14x + 8

1°)a) (E1) : 8x² 14x  85  0 . a = 8, b = - 14, b’ = - 7 et c = - 85

∆’ = (-7)² + 8*85 = 729 = 27². x’ = 7  27   5 et x’’ = 34  17
82 84

SIR   5 , 17 
 2 4 


b)(E2) : x  1  17 équivaut à 4x² - 17x + 4 = 0 et x  0 .
x4

∆ = (-17)² - 64 = 225 = 15². x’ = 17  15  1 et x‘’ = 4. SIR   1 , 4 .
8 4  4 


2°)a) P(0) = a  0 alors 0 n’est pas une racine de P(x)

Notion de polynômes 72

b) x0 est une racine de P(x) équivaut à P(x0) = 0
équivaut ax04 + bx03 + cx02 + bx0 + a = 0

comme x0  0 alors a + b. 1 + c. 1 + b. 1 +a. 1 =0
x0
x02 x 3 x04
0

c’est à dire P( 1 ) = 0 donc 1 est une racine de P(x)
x0 x0

c) P(- 2) = 8x(16) - 14x(- 8) - 69x4 – 14 x(- 2) + 8 = 0. Donc – 2

est une racine de P(x). Une seconde racine de P(x) est

1 1.
2 2
3°)a) Pour tout réel non nul x,

8  x  1 2  14  x  1  85  8  x²  2  1   14  x  1  85
 x   x   x²   x 

 8x²  16  8  14x  14  85  8x² 14x  69  14  8
x² x x x²

  1 8x4  14x3  69x²  14x  8  P(x)
x² x²

b) On sait que 0 n’est pas une racine de P(x) donc :

x est une racine de P(x) équivaut à P(x)  0 équivaut à
x²

8  x  1 2  14 x  1   85 = 0 équivaut à x  1  17 ou x 1  5
x  x  x4 x 2

L’équation x  1  17 admet pour racines 4 et 1 d’autre part – 2 et 1
x4 42

sont des racines de P(x). Or P(x) est un polynôme de degré 4 donc il

admet au plus 4 racines.

Conclusion : les racines de P(x) sont : 4, 1 , – 2 et 1
42

Exercice 9 Le tableau d’Horner
Soit le polynôme P(x) = ax4 + bx3 + cx² + dx + e, a  0.

On suppose que P(x) admet une racine notée x0.
1°)a) P(x) est un polynôme de degré 4 et x – x0 est un polynôme du
premier degré alors Q(x) est un polynôme de degré 3

b) Le coefficient du monôme du plus haut degré du polynôme Q(x)
est ax3.

2°)a) P(x) = (x – x0)(ax3 + x² + x + ) pour tout réel x équivaut à

Notion de polynômes 73

P(x) = ax4 + ( - ax0)x3 + ( - x0)x² + ( - x0)x - x0 pour tout réel x
Par identification on obtient :

  ax0  b   b  ax0

  x0  c équivaut à   c  b  ax0  x0
 x0  d   d  c  b  ax0  x0  x0

x0  e x0  e

b)

Coefficients de P a b c de

Coefficients de Q a b + ax0 c+(b+ax0)x0 d+[c+(b+ax0)x0]
3°) Application : Soit le polynôme P(x) = 3x4 – 7x³ + x + 6

a) P(2) = 3x16 – 7x8 + 2 + 6 =48 – 56 + 8 = 0 donc 2 est un

zéro de P(x).

Coefficients de P 3 -7 0 1
+ + +6

b) Une racine évidente 2 6 2 4
6

Coefficients de Q x  3  1  2  3 0
reste

Q(x) = 3x3 – x² - 2x – 3

Exercice 10
1°)a) P(x) = 2x3 + 11x² + 7x – 20.

P(1) = 0 alors 1 est une racine apparente de P(x)

Le degré de P(x) est 3 donc il existe trois réels a, b et c tels que
pour tout réel x, P(x) = (x – 1)(ax² + bx + c).

a = 2 et c = 20 donc b = 13.
Pour tout réel x, P(x) = (x – 1)( 2x² + 13x + 20)

b) P(x) = 0 équivaut à x = 1 ou 2x² + 13x + 20 = 0.
Résolvions l’équation : 2x² + 13x + 20 = 0. ∆ = 169 – 160= 9= 3².

x’ = 13  3 = - 4 et x’’= 13  3   5 . S1  4, 5  ,
4 42  2 


L’ensemble des solutions de l’équation P(x) = 0 est SIR  4, 5 ,1 .
 2 

2°)a) Résolvons, dans IR, l’inéquation P(x) ≥ 0.

x -∞ -4  5 1 +∞

2

x-1 - - - 0 +

2x² + 13x + 20 + 0 - 0 + +

Notion de polynômes 74

P(x) - 0 + 0 - 0 +

SIR  4,  5   1, 
2 

b)L’équation : P(x) = x 1 à un sens si et seulement si P(x) ≥ 0

si et seulement si x  4,  5   1,  .
2 

 Pour x   4,  5  . P(x) = x 1 équivaut à P(x) = -(x – 1)
2 

équivaut à (x – 1)( 2x² + 13x + 20) = - (x – 1)

équivaut à (x – 1)( 2x² + 13x + 21) = 0

équivaut à x = 1 ou 2x² + 13x + 21 = 0

= 1. x’ =  7  4,  5  et x’’ = - 3   4,  5 
2 2  2 

 Pour x 1, . P(x) = x 1 équivaut à P(x) = x – 1

équivaut à (x – 1)( 2x² + 13x + 20) = (x – 1)
équivaut à (x – 1)( 2x² + 13x + 19) = 0

équivaut à x = 1 ou 2x² + 13x + 19 = 0

= 17. x’ = 13  17  1 et x’’ = 13  17  1. SIR   7 ; 3  .
 2 
44

3°) f(x) = P(x)  2x3  11x²  7x – 20.
Q(x) 3x4  51x2  48

a) f(x) a un sens si et seulement si Q(x)  0.
Résolvons l’équation Q(x) = 0. On pose X = x².
L’équation devient 3x² - 51x + 48 = 0. a + b + c = 0 donc les solutions

dans IR de cette nouvelle équation sont : 1 et 16.

x = 1 équivaut à x = 1 ou x = - 1.

x = 16 équivaut à x = 4 ou x = - 4.
L’ensemble des réels x tels que f(x) à un sens est IR\{-4 , - 1 , 1 , 4}

b) Pour tout x de IR\{-4 , - 1 , 1 , 4},

f(x)  P(x)  2(x  1)(x  4)(x  5)  2x  5
2

Q(x) 3(x  1)(x  1)(x  4)(x  4) 3(x  1)(x  4)

c)

x -∞  5 -1 4 +∞

2

2x +5 - 0+ + +

3(x  1)(x  4) + +0 - 0+

2x  5 - 0+ - +
3(x  1)(x  4)

Notion de polynômes 75

SIR     5 , 1  4,    Df   5 , 1  4,
  2  2
 

Exercice 11
Soit le polynôme P(x) = 2x3 + ( 1 + 2 3 )x² + ( 3 - 12)x – 6
1°)a) P( 3 ) = 2x3 3 + ( 1 + 2 3 )x3 + ( 3 - 12) 3 – 6

= 6 3 + 3 + 6 3 + 3 - 12 3 - 6 = 0

P  1  1  1  3 3 660
 2  4 4 2 2

b) 3 et  1 sont des zéros de P(x) et degP = 3 alors il existe
2

deux réels a et b tel que pour tout réels x ,

P(x) = (x - 3 )(x + 1 )(ax + b).
2

Il est évident que a = 2 et  3 b  6 donc a = 2 et b = 4 3 .

2

Pour tout réel x, P(x) = (x - 3 )(x + 1 )(2x + 4 3 )
2

= (x - 3 )(2x + 1)(x + 2 3 ).

2°) Soit la fonction rationnelle f déterminée par :

f(x)  2x3  ( 1  2 3)x²  ( 3  12)x – 6
2x²  3x  2

a) x est un réel du domaine de définition de f si et seulement si

2x² - 3x - 2 ≠ 0.
Résolvons l’équation : 2x² - 3x - 2 = 0.

∆ = 9 + 16 = 25 = 5² > 0. x’ = 2 et x’’ = - 1 . Donc Df  IR \  1 , 2 .
2  2 

Pour tout réel x de Df  IR \  1 ,2 ,
 2 

f(x)  (x  3)(2x  1)(x  2 3)  (x  3)(x  2 3)  x²  3x  6

2x  1x  2 x2 x2

b) 3  f(x)  3 équivaut à 3  x²  3x  6  3 et x   1 .
x2 2

 x²  3x  6  3 équivaut à x²  ( 3  3)x  0 .
x2 x2

Notion de polynômes 76

x -∞ 0 3 3 2 +∞
+ 0- 0 + +
x²+( 3 -3)x
x–2 - - - 0+
-
x²  ( 3  3)x 0+ 0 - +

x2

 3  x²  3x  6 équivaut à x²  2 3  6  0 .
x2 x2

x -∞ - 6  2 3 62 3 2 +∞

x²+(2 3 -6) +0 - 0+ +
x–2
- - - 0+
x²  ( 3  3)x -0 + 0- +

x2

 SIR  ,0  3    1
3,2    6  2 3, 62 3   2,   IR \  
 2 

  6  2 3,0  3  3, 62 3 


Exercice 12

Soit la fonction rationnelle f déterminée par :

f(x)  x  2  2  10
x  3 x  2 x²  5x  6

a) f(x) a un sens si et seulement si x3, x2 et x²-5x+60

Df =IR\{2 , 3}

f(x)  x  2  2  10 x  2 x  2  2(x  3)  10


x3 x2 x²  5x  6 x²  5x  6
b) x²  2x

x²  5x  6

.

x -∞ -2 0 23 +∞

x² + 2x + 0-0 + + +

x² - 5x + 6 + + +0 - 0 +

f(x) + 0 -0 + - +

Arithmétique 77

Résumé du cours

1°) Raisonnements Mathématiques

En arithmétique, il arrive qu’on utilise certains types de raisonnement
particuliers, à titre d’exemples, on cite :

 Le raisonnement par l’absurde.
Ce raisonnement consiste à :

i) Supposer que la conclusion à laquelle on veut arriver est
fausse.
ii) Analyser cette supposition (Dégager des déductions à partir de
cette supposition)
iii) Aboutir à une contradiction soit avec les données de l’exercice
soit avec l’une des règles du cours.

Exemple 1 : Un de mes amis, m'avait dit : "Je passerai peut être

chez toi lundi après-midi. Si tu n'es pas là, je laisserai un mot dans la

boîte à lettres." Or, j'ai été obligé de sortir lundi après-midi. En

rentrant chez moi, je constate qu'il n'y a pas de mot dans la boîte à

lettres.

Si mon ami passe pendant mon 

absence, il laisse un mot dans 
 la boîte à lettres.  Ce qu'on sait : Hypothèses

Il n'y a pas de mot dans la boîte 

à lettres 

 Si mon ami était passé on suppose la conclusion fausse

alors il y aurait eu un mot dans 
la boîte à lettres or il n' y en avait
  on obtient une impossibilité
pas, ce qui est contradictoire. 

donc mon ami n' est pas passé 

 Donc mon ami n'est pas passé la conclusion

Exemple 2
Montrons que pour tout réel non nul x, le réel 2x  1est différent de 2.

x
 On suppose que la conclusion est fausse c'est-à-dire il existe au

moins un réel non x tel que le réel 2x  1 soit égal à 2.
x

 Analyse de la supposition : 2x  1= 2 équivaut à 1  0
xx

Arithmétique 78

 Contradiction : Il n’existe aucun réel dont l’inverse est nul. Donc
notre supposition est fausse.

 Conclusion : pour tout réel non nul x, 2x  1est différent de 2.
x

 Le raisonnement par disjonction des cas
Ce raisonnement consiste à discuter la solution selon la valeur prise
par la variable (n généralement)

Exemple :
Montrons que pour tout entier naturel n, n et n² ont la même parité.
Soit n un entier naturel quelconque. On distingue deux cas :
Soit n pair, soit n impair.
1er cas : n est pair. Auquel cas, il existe un entier k tel que
n = 2k. On en déduit que n2 = (2k)2 = 4k2, autrement dit n2 = 2(2k2),
avec (2k2) qui est un entier car k en est un. Par conséquent n2 est
pair, donc a la même parité que n.
2ème cas : soit n est impair. Auquel cas, il existe un entier k tel que
n = 2k + 1. On en déduit que n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1, autrement
dit n2 = 2(2k2 + 2k) + 1, avec (2k2 + 2k) qui est un entier car k en est
un. Par conséquent n2 est impair, donc a la même parité que n.
Conclusion : pour tout entier naturel n, n et n² ont la même parité.

Application 1
Montrer que pour tout entier naturel n, n3 - n est divisible par 3

2°) Division euclidienne

 a et b désignent deux entiers naturels tels que b est différent de
zéro.
On admet l’existence d’un couple unique (q, r) d’entiers naturels
tels que : a = b q + r avec 0 ≤ r < b.
 Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver le
couple (q, r) d’entiers naturels tel que :
a = b q + r avec 0 ≤ r < b.
a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste
Application 2
Compléter :
Division euclidienne dividende diviseur quotient reste
319 = 23x13 + 20
442 = 26x17

Application 3
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b

Arithmétique 79

a = 2010 et b = 17, a = 4352 et b = 8

Application 4
Le quotient d'une division euclidienne est 8 et le reste vaut 5. Si l'on
ajoute 43 au dividende le quotient devient 10 et le reste 4. Déterminer
le diviseur et le dividende.

2°) Divisibilité

Définition

Soient a et b deux entiers naturels tels que b soit non nul. On dit que :
b divise a ou b est un diviseur de a ou a est un multiple de b si et
seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est 0 c'est-
à-dire il existe un entier d tel que a = bd

Ceci se note b a

Propriétés

a, b et c sont des entiers naturels.
 Si a divise b et b divise a , alors a et b sont égaux
 Si a divise b et b divise c, alors a divise c
 Si c divise a et c divise b, alors c divise toute combinaison
linéaire de a et b (c'est-à-dire tout nombre de la forme au + bv
, u et v des entiers)

Application 5

Soit n un entier naturel.
Montrer que si l’entier naturel d divise 2n + 1 et n + 3 alors il divise 5.

Comment peut-on déterminer les entiers naturels n tels que deux
expressions faisant intervenir l’entier n soit l’une un diviseur de l’autre ?

Exemple 1: Déterminer les entiers naturels n tels que 2n – 5 divise 6.

Les diviseurs positifs de 6 sont 1 , 2 , 3 et 6.
2n – 5 divise 6 signifie que 2n – 5 {1 , 2, 3 , 6} .

Procédons par disjonction des cas :
2n – 5 = 1, 2n – 5 = 2, 2n – 5 = 3 ou 2n – 5 = 6.

Remarque :il nous était possible de réduire le nombre de cas en
remarquant que 2n – 5 est un entier impair.
Donc 2n – 5 = 1 ou 2n – 5 = 3 signifie que n = 3 ou n = 4
Vérification : pour n = 3, 2n – 5 = 1 et 1 divise 6

Pour n = 4, 2n – 5 = 3 et 3 divise 6.

Exemple 2
Déterminer les entiers naturels n tels que n – 1 divise n + 11.

Arithmétique 80

Méthode : On fait apparaître n – 1 dans n + 11 et on utilise les

propriétés de la divisibilité.
n + 11 = (n – 1) + 12. Donc n – 1 divise n + 11 si et seulement si n – 1

est un diviseur de 12 c'est-à-dire n – 1 {1 , 2, 3 , 4, 6, 12} .(Compléter)

Détermination des diviseurs d’un entier naturel différent de 0 et 1.

Exemple

Soit l’entier n = 23x3²x7.
a) Compléter l’arbre suivant :

diviseur

70 20.30.70
3300

71
2200 31

32

21

22

Si la décomposition d’un entier naturel n en produit de facteurs
23

b) Déterminer le nombre des diviseurs de n
Règle générale : si la décomposition d’un entier naturel n en produit
de facteurs premiers est : n  d1k1dk22 dk33 où d1, d2, ….dp sont des
nombres premiers et les k1, k2,…kp sont des entiers naturels.
Alors n admet (k1 + 1)(k2 + 1)(k3 + 1) diviseurs.

3°)Critères de divisibilité

Divisibilité par 2 et 5

 Un entier est divisible par 2 (respectivement par 5) si et seulement
si son chiffre des unités est divisible par 2 (respectivement par 5).

 Le reste de la division euclidienne d’un entier par 2
(respectivement par 5) est égal au reste de la division euclidienne
de son chiffre des unités par 2 (respectivement par 5).

Application 6

Arithmétique 81

Déterminer le reste de la division euclidienne du nombre
A= 9888888833347 par 5

Divisibilité par 4 et 25

 Un entier est divisible par 4(respectivement par 25), si et
seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est
divisible par 4 (respectivement par 25).

 Le reste de la division euclidienne d’un entier par 4
(respectivement par 25) est égal au reste de la division euclidienne
par 4 (respectivement par 25) du nombre formé par ses deux
derniers chiffres.

Application 7
Lequel de ces nombres est divisible par 4? 47386, 60418, 694552,

Application 8
Déterminer le chiffre a pour que le reste de la division euclidienne du
nombre 7458a par 25 soit 13

Divisibilité par 3 et 9

 Un entier est divisible par 3 (respectivement par 9) si et seulement
si la somme de ses chiffres est divisible par 3(respectivement par 9).
 Le reste de la division euclidienne d’un entier par 3
(respectivement par 9) est égal au reste de la division euclidienne de
la somme de ses chiffres par 3 (respectivement par 9).
Application 9

Quel est le reste de la division de 32323232 par 9 ?

Divisibilité par 8

 Un entier, supérieur ou égal à 100, est divisible par 8 si et
seulement si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est
divisible par 8.
 Le reste de la division euclidienne d’un entier par 8 est égal au
reste de la division euclidienne par 8 du nombre formé par ses trois
derniers chiffres.

Application 10
Cocher si le nombre de gauche est divisible par le nombre du haut.
est divisible par 2 par 3 par 4 par 5 par 8 par 9 par 25
146084
403956
356175

Arithmétique 82

Divisibilité par 11

Soit n un entier naturel, on désigne par S1 la somme de ses chiffres

de rangs impairs (de droite à gauche) et par S2 la somme de ses

chiffres de rangs pairs. Soit d = S1 - S2.
1er cas : d ≥ 0.

 n est divisible par 11 si et seulement si d est divisible par 11.
 Le reste de la division euclidienne de n par 11 est égal au reste

de la division euclidienne de d par 11.
2èmecas : d < 0

Soit p le plus petit entier naturel tel que d + 11p soit positif ou nul.
 n est divisible par 11 si et seulement si d + 11p est divisible par 11
 Le reste de la division euclidienne de n par 11 est d + 11p.

Application 11

Déterminer le reste de la division euclidienne de chacun des nombres

suivants par 11 :

a) 21564 b) 701281 c) 8736541.

Evaluation du degré d’assimilation du cours

Pour chacune des situations ci – dessous, relevez sur votre cahier les
numéros des propositions qui vous semblent vraies

Situation 1

On a : 1234567890 = 2540x486050 + 890.

Le reste de la division du nombre 12345678900 par 2540 est :

1°) 1280 2°) 64

Situation 2

1°) Si un entier naturel non nul divise 124, alors il divise 372

2°) Si un nombre est divisible par 9, alors il est divisible par 6

3°) Si un entier naturel est divisible par deux entiers naturels non

nuls, alors il est divisible par leur produit.

4°) Si un entier naturel non nul divise deux entiers, alors il divise leur

somme.

Situation 3

Les restes de la division euclidienne de a et b par 11 sont

respectivement 2 et 7.

Le reste de la division euclidienne du nombre axb par 11 est :

1°) 9 2°) 3

Situation 4

Étant donnés cinq entiers naturels consécutifs, on trouve toujours

parmi eux

Arithmétique 83

1°) au moins deux multiples de 2.

2°) au moins deux multiples de 3.

3°) exactement un multiple de 5.

Situation 5

Le reste de la division euclidienne de 4580091 par 8 est

1°) 3 2°) 11

Situation 6

a, b, c et d sont des entiers naturels non nuls

1°) Si a divise b et c, alors c² - 2b est multiple de a.

2°) Si a divise b + c et b - c, alors a divise b et a divise c.

3°) Si a est multiple de b et si c est multiple de d, alors a + c est

multiple de b + d.

4°) Si 4 ne divise pas axb , alors a ou b est impair.

5°) Si a divise b et b ne divise pas c , alors a ne divise pas c.

6°) Si 12 divise b², alors 4 divise b.

Situation 7

Soit a et b deux chiffres tels que le nombre 2a5b soit divisible par 9

1°) a + b = 2 2°) a + b = 2 ou a + b = 11

Situation 8

Parmi les nombres suivants il y a un seul divisible par 11 :
1°) 1111111112211 2°) 222233334444 3°) 1110 + 1

Situation 9

Soit n un entier naturel supérieur à 2. Si 7 divise n – 2 alors

1°) 7 divise n3 - 1 2°) 7 ne divise pas n3 - 1

Situation 10

Soit n un entier naturel.

Si le nombre 10n + 1 est divisible par 11 alors :

1°) n est impair 2°) n est pair.

Situation 11

Pour tout entier naturel n, le nombre N = n.(n + 1)(n + 2) est divisible

par :

1°) 2 2°) 3 3°) 4

Situation 12

Pour tout entier naturel n, le nombre N = n² + n est :

1°) pair 2°) impair

Situation 13

1°) Un nombre impair peut diviser un nombre pair.

2°) Un nombre pair peut diviser un nombre impair.
3°) un nombre pair – un nombre pair = un nombre pair.

4°) un nombre impair x un nombre impair = un nombre impair.

Arithmétique 84

Solutions des QCM

Situation 1 1°) Situation 10
1°)
Situation 2 Situation 6 1°)
1°) et 4°)
Situation 3 1°) et 4°) Situation 11
2°)
Situation 4 Situation 7 1°) et 2°)
1°) et 3°)
Situation 5 2°) Situation 12

Situation 8 1°)

2°) Situation 13

Situation 9 1°) , 3°) et 4°)

1°)

Solutions des applications

Application 1
Soit n un entier naturel. n3 – n = n(n – 1)(n + 1). Le reste de la

division euclidienne de n par 3 est soit 0 soit 1 soit 2.
Si le reste est 0 alors n3 – n est divisible par 3.
Si le reste est 1 alors n – 1 est divisible par 3 et conséquent n3 – n

est divisible par 3.

Si le reste est 2 alors n + 1 est divisible par 3 et par conséquent
n3 – n est divisible par 3.
Conclusion : pour tout entier naturel n, n3 – n est divisible par 3.

Application 2 dividende diviseur quotient reste
Division euclidienne 319 23 13 20
319 = 23x13 + 20 442 26 17 0
442 = 26x17 442 17 26 0
442 = 26x17

Application 3
 a = 2010 et b = 17. En tapant 2010 a bc 17 la calculatrice affiche
118 r 4 r 17 alors le quotient est 118 et le reste est 4
 a = 4352 et b = 12. En tapant 4352 a bc 12 , une calculatrice

scientifique affiche 362 r 2 r 3 alors le quotient est 362 et le reste
est 2x4 = 8

Application 4
Soit a le dividende et b le diviseur.

Arithmétique 85

a  8b  5  4 équivaut à a  8b  5
a  43  10b 8b  5  43  10b  4

a  8b  5 a  181
équivaut à 44  2b équivaut à b  22

Application 5

Soit n un entier naturel.

Si d divise n + 3 alors d divise 2n + 3 et si n divise aussi 2n + 1 alors
n divise (2n + 6) –( 2n + 1) = 5.

Application 6

Le reste de la division euclidienne du nombre 9888888833347 par 5
est égal au reste de la division de 7 par 5 c’est 2

Application 7
86 n’est pas divisible par 4 donc 47386 n’est pas divisible par 4.
18 n’est pas divisible par 4 donc 60418 n’est pas divisible par 4.

52 est divisible par 4 donc 694552 est divisible par 4.

Application 8
7458a -13 =74575 +5 +a -13 = 74575 + a – 8.

74575 est divisible par 25.

Le reste de la division euclidienne du nombre 7458a par 25 est 13
signifie a – 8 est divisible par 25 signifie a = 8.

Application 9
Le reste de la division de 32323232 par 9 est 2

Application 10 par 2 par 3 par 4 par 5 par 8 par 9 par 25
est divisible x x x x
146084 x x x X
403956 x x
356175

Application 11 b) 9 c) 0.
a) 4

Arithmétique 86

Exercices intégratifs
Exercice 1
Si on divise 593 et 371 par un même entier naturel non nul b on
obtient respectivement 8 et 7 pour restes. Déterminer b.
Exercice 2
Le quotient d'une division euclidienne est 8 et le reste vaut 5.
Si on conserve le diviseur et si on ajoute 43 au dividende le quotient
devient 10 et le reste 4. Déterminer le diviseur et le dividende de
cette division euclidienne.
Exercice 3
Convertir 278322 secondes en jours, heures, minutes et secondes
Exercice 4
1°) Déterminer les chiffres x et y pour que le nombre 4y7x5 soit
divisible par 3 et 25.
2°) Montrer que pour tout chiffre x le nombre 92x17x9 est divisible
par 11
Exercice 5
Montrer que la somme de trois cubes consécutifs est un multiple
de 9.
Exercice 6
Soit N  20092009...2009 où n est entier naturel non nul.

n fois 2009

Déterminer la plus petite valeur non nulle de n pour laquelle N est
divisible par 11
Exercice 7
Nous étions mardi 1er septembre 2009. Quel jour de la semaine
serons-nous le 1er septembre 2010 ?
Exercice 8

Arithmétique 87

Soient a et b deux entiers naturels tels que a > b.
1°) Montrer que a + b et a – b sont de même parité.
2°) Déterminer les entier naturels a et b tels que a² - b² = 24.

Exercice 9
Soit n un entier naturel impair.
1°)a) Montrer que n² - 1 est divisible par 8.

b) En déduire que n4 – 1 est divisible par 16
2°) Montrer que si a et b sont deux entiers naturels impairs alors
Le nombre N = a4 + b4 + 30 est divisible par 16.
Exercice 10

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1000.
1°) Justifier pourquoi n peut – il s’écrire sous la forme n = 1000.a + b
où a est un entier naturel et b est le nombre formé de trois derniers
chiffres de n.
2°) Montrer que pour tout a  IN, on a: (1000.a) est divisible par 8.
3°) Notons u le chiffre des unités de b, d son chiffre des dizaines et c
son chiffre des centaines.
a) Utiliser l’écriture de b dans la base 10, pour montrer que l’entier:

[b – (4.c + 2.d + u)] est divisible par 8.
b) En déduire que n et (4.c + 2.d + u) ont le même reste dans la
division euclidienne par 8.
4°) Montrer que:
a) Si c est pair alors n et (2.d + u) ont le même reste dans la division
euclidienne par 8.
b) Si c est impair alors n et (2.d + u + 4) ont le même reste dans la
division euclidienne par 8.

Exercice 11
Soit n un entier naturel non nul.
1°) Montrer que 3n + 4 est divisible par 17 si et seulement si le reste
de la division euclidienne de n par 17 est 10.
2°) Soit d un entier naturel non nul.

a) Montrer que si d divise 3n + 4 et 9n − 5 alors d divise 17.
b) Montrer que si 17 divise 3n + 4 alors il divise 9n – 5.
c) En déduire l’ensemble des entiers naturels n tels que 3n + 4 et

9n – 5 soient premiers entre eux.

Exercice 12
1°) Montrer que si n est un entier impair alors n² - 1 est divisible par 8
2°) Montrer que si 49 divise 23n - 7n – 1 alors 49 divise 23n+3 - 7n – 8

Exercice 13

Arithmétique 88

La combinaison d’un coffre comporte cinq chiffres.
 Le premier chiffre est pair .
 La somme des deux premiers chiffres est 15.
 Le troisième est la différence des deux premiers.
 Tous les chiffres sont différents.
 Le nombre est divisible par 9.
 Le premier chiffre est le produit du troisième par le quatrième.

Sauriez-vous l’ouvrir ?

Exercice 14

Soit n un entier naturel non nul.
1°)a) Montrer que 5n3 – n = (n + 2)(5n² - 10n + 19) - 38

b) Déterminer l’ensemble des entiers naturels non nuls n tels que
5n3 – n soit divisible par n + 2.
2°)a) Montrer que le PGCD de 5n3 – n et n + 2 est égal au PGCD de

n + 2 et 38.

b) Quelles sont les valeurs possibles de ce PGCD.
c) Déterminer les entiers n tels que PGCD( 5n3 – n ; n + 2 ) = 19

Exercice 15

1) Soit n un entier naturel
a) Montrer que n3 - n = (n + 2)(n² - 2n + 3) - 6

b) En déduire les valeurs de n pour que n3  n soit un entier

n2

2)a) Soit n un entier naturel. Compléter le tableau suivant

Restes de la division de n par 6 012345

Restes de la division de 2n + 1 par 6

Restes de la division de 7n + 1 par 6

Restes de la division de n(2n + 1)(7n +1) par 6

b) En déduire que pour tout entier naturel n, n(2n +1)(7n +1) est

divisible par 6

Exercice 16 « Lycée pilote Gabes »

1) Soit x et n deux entiers naturels non nuls.
On pose P (x) = x – 1 et Q (x) = 1 + x + x² + x3+…………..+ xn-1

a) Vérifier que Q (4) est un entier naturel

b) Développer et réduire P (x).Q (x)
c) En déduire que 3 divise 4n - 1

2) Pour tout réel x différent de – 3, on pose : R(x)  x²  3x  12 .
x3

a) Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x ≠ -3,

R(x) = ax + b + c .
x3

Arithmétique 89

b) En déduire les entiers naturels n, pour lesquels R(n) est un

entier.

3) Soit n un entier naturel

a) Montrer que n (n+1) est pair.

b) En admettant que si deux entiers premiers entre eux divisent un

entier c alors leur produit divise b et en utilisant les résultats des

questions précédentes, Montrer que nn  1 2n  1 est un entier.

6

4) Soit n un entier naturel non nul.

On pose N= 2n + 3, N’= 5n – 2 et d = pgcd (N, N’)
Montrer que si N et N’ ne sont pas premiers entre eux alors leurs

pgcd est 19.

Exercice 17 « Lycée pilote Kairouan »
x, y, z et t sont des chiffres et p = xyzt , q = tzyx deux entiers naturels
tels que p > q.
On pose A = p + q, B = p + (x + 10y + z + 10t),

C = p – q, D = p - (x + y + z + t)
1) Montrer que A et B sont divisibles par 11.

2) Montrer que C et D sont divisibles par 9.

Exercice 18
1°) En utilisant l’algorithme d’EUCLIDE, déterminer le plus grand

commun diviseur de 2125 et 168.
2°) Déterminer deux entiers naturels u et v tels que 2125u – 168v = 1.

Exercice 19
Déterminer tous les couples (a, b) d’entiers naturels tels que :

a  b  48 ppcm(a,b)  168
1°) p gcd(a,b)  8 2°) p gcd(a,b)  8

Solutions des exercices intégratifs

Exercice 1
Le reste de la division euclidienne de 593 par b est 8 signifie que
593 – 8 = 585 est divisible par b et b > 8
Le reste de la division euclidienne de 371 par b est 7 signifie que
371 – 7 = 364 est divisible par b et b > 7.

Arithmétique 90

Donc b est un diviseur commun de 585 et 364.
585 = 3²x5x13 et 364 = 2²x7x13. Comme b > 8 alors b = 13
Exercice 2
Soit a le dividende et b le diviseur.
On a : a = 8b + 5 et a + 43 = 10b + 4. Donc 8b + 5 + 43 = 10b + 4
Ce qui nous donne b = 22.
Conclusion a = 181 et b = 22.
Vérification : ………………………………………………….
Exercice 3
278322 = 4638x60+42.
278322 secondes = 4638 minutes et 42 secondes.
4638 = 77x60+18.
4638 minutes = 77 heures et 18 minutes
77 = 24x3 + 5.
77 heures = 3 jours et 5 heures.
278322 secondes = 3 jours, 5 heures, 18minutes et 42secondes.
Exercice 4
4y7x5 est divisible par 25 si est seulement si le nombre x5 est
divisible par 25 si et seulement x est égal à 2 ou 7.
Pour x = 2.
4y725 est divisible par 3 si et seulement si 4 +y +7 + 2 +5 le soit
c'est-à-dire y = 0 ou y = 6 ou y = 9.
Pour x = 7.
4y775 est divisible par 3 si et seulement si 4 +y +7 + 7 +5 le soit
c'est-à-dire y = 1 ou y = 4 ou y = 7.

Conclusion : (x , y) {(2 , 0) , (2 , 6) , (2 , 9), (7 , 1) , (7 , 4) , (7 , 7)}
Exercice 5
Soit un entier naturel non nul.
(n – 1)3, n3 et (n + 1)3 sont trois cubes consécutifs.
S = (n – 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 + 6n =3n(n² + 2).

Restes de la division de n par 3 012

Restes de la division de n² + 2 par 3 2 0 0

Restes de la division de n(n² + 2) par 3 0 0 0

Pour tout entier naturel n, n(n² + 2) est divisible par 3.
Donc la somme S de trois cubes consécutifs est un multiple de 9.
Exercice 6
N  20092009...2009 où n est entier naturel non nul.

n fois 2009

N est divisible par 11 si et seulement si nx(9 + 0) – n(0 + 2) = 7n est
divisible par 11.
Donc 11 est la plus petite valeur non nulle de n pour laquelle N est
divisible par 11

Arithmétique 91

Exercice 7

2010 est une année non bissextile donc février compte 28 jours.
Du 1er septembre 2009 au 31 Août 2010 il y a 365 jours.

365 = 7x52 + 1.
Le 1er septembre 2010 sera mercredi

Exercice 8

Soient a et b deux entiers naturels tels que a > b.
1°) Si a et b sont de même parité alors a + b et a – b sont pairs.
Si a et b sont de parités différentes alors a + b eyt a – b sont impairs
Donc quelque soit la parité de a et de b, a + b et a – b sont de même

parité.

2°) * Les diviseurs positifs de 24 sont : 1 , 2 , 3 , 4, 6, 8, 12 et 24.
 a² - b² = (a – b) (a + b).
 a + b et a – b sont de même parité

a  b  12 a  b  6 a  7 a  5
Donc a  b  2 ou a  b  4 équivaut à b  5 ou b  1

Exercice 9

n un entier naturel impair signifie n = 2k + 1, kIN

1°)a) n² - 1 = 4k( k + 1). k et k + 1 sont deux entiers consécutifs donc
l’un d’eux est pair alors k(k + 1) est un multiple de 2

Conclusion : n² - 1 = 4k(k + 1) est divisible par 8.

b) n4 – 1=(n² + 1)(n² - 1). n² - 1 est divisible par 8 et n² + 1 est
divisible par 2 car n² + 1 = 2(2k² + 2k + 1). Donc n4 – 1 est divisible

par 16.
2°) a et b sont deux entiers naturels impairs alors a4 – 1 et b4 – 1

sont divisible par 16
Le nombre N = a4 + b4 + 30 = (a4 – 1) + (b4 – 1) + 32, donc N est

divisible par 16.

Exercice 10
n un entier naturel, n ≥ 1000.
1°) n ≥ 1000 alors il existe deux entiers naturels a et b tels que
N = 1000a + b , tel que 0 ≤ b < 1000.

a est le quotient et b est le reste de la division de n par 1000.

b est le reste de la division de n par 1000 alors b est le nombre formé

de trois derniers chiffres de n.

2°) 1000 = 8x125 donc pour tout entier naturel a, 1000a est divisible

par 8..

3°)a) b = cdu = 100c + 10d + u.
[b – (4.c + 2.d + u)] = 100c + 10d + u - (4.c + 2.d + u) = 96c + 8d
= 8(12c + d). Donc [b – (4.c + 2.d + u)] est divisible par 8

Arithmétique 92

b) [b – (4.c + 2.d + u)] est divisible par 8 alors b et (4.c + 2.d + u) ont
le même reste dans la division euclidienne par 8. (1)
n – b = 1000a est divisible par 8 alors n et b ont le même reste dans
la division euclidienne par 8. (2).

(1) et (2) impliquent n et (4.c + 2.d + u) ont le même reste dans la
division euclidienne par 8.

4°)a) n - (2.d + u) = 1000a + 100c +10d + u – 2d – u
= 1000a + 100c +8d

Si c est pair alors 100c est divisible par 8 et par suite n - (2.d + u) est
divisible par 8.
Donc si c est pair alors n et (2.d + u) ont le même reste dans la
division euclidienne par 8.
b) n - (2.d + u + 4) = 1000a + 100c +10d + u – 2.d - u - 4
= 1000a + 100c +8d – 4 = 8(125a + d) + 4(25c – 1)
Si c est impair alors 4(25c – 1) = 100(2k + 1) – 4= 200k - 96
= 8(25k – 12), kIN est divisible par 8 et par suite n - (2.d + u + 4) est
divisible par 8.
Donc si c est impair alors n et (2.d + u + 4) ont le même reste dans la
division euclidienne par 8.

Exercice 11
Soit n un entier naturel non nul.
1°) 3n + 4 est divisible par 17 équivaut à 3n + 4 = 17k, kIN
équivaut à 11x(3n + 4) = 11x17k, kIN
équivaut à 33n + 44 = 11x17k, kIN
équivaut à 34n - n + 34 + 10 = 11x17k, kIN
équivaut à n - 10 = 17(2n + 2 – 11k), kIN
donc le reste de la division euclidienne de n par 17 est 10.
Réciproquement : Si n = 17q + 10 alors 3n + 4 = 17( 3q + 2)
donc 3n + 4 est divisible par 17.
2°) Soit d un entier naturel non nul.

a) Si d divise 3n + 4 et 9n − 5 alors d divise 3(3n + 4)– (9n – 5)= 17.
b) Si 17 divise 3n + 4 alors 17 divise 3(3n + 4) - 17 = 9n – 5.
c) 3n + 4 et 9n – 5 soient premiers entre eux si et seulement si

3n + 4 n’est pas divisible par 17 si et seulement si n  17k + 10.
Conclusion : ……………………………………………………
Exercice 12
1) Hypothèse : n est impair c'est-à-dire n = 2k + 1, k ∈ N
Conclusion : n² - 1 est divisible par 8.
n² - 1 = (2k + 1)² - 1 = 4k² + 4k = 4k (k + 1)
k(k + 1) est pair c'est-à-dire k (k + 1) = 2p, p ∈ N donc n² - 1= 8p
d’où n² - 1 est divisible par 8.

Arithmétique 93

Conclusion : si n est impair alors n² - 1 est divisible par 8.

2) Hypothèse : 49 divise 23n – 7n – 1
Ce qu’on veut démontrer : 49 divise 23n+3 – 7n – 8
23n+3 – 7n – 8 = 8(23n - 7n - 1) + 49n
49 divise 23n – 7n – 1 alors 49 divise (23n – 7n – 1)x8

D’autre part 49 divise 49n
Donc 49 divise 8(23n - 7n - 1) + 49n = 23n+3 – 7n – 8

Exercice 13

Soit N = abcde le code du coffre, a b , c, d et e sont des chiffres.

 a est pair.  Tous les chiffres a + b + c + d + e est
divisible par 9.
 a + b = 15 alors b sont différents.  a = cxd

est impair.  N est divisible par 9

 c = a – b ou c= b – a signifie

 a  cxd  alors c >1 et d > 1 donc a  6
Les chiffres 
sont distincts 

 Comme a est pair alors a = 6 ou a = 8

 Si a = 6 alors b = 9 donc c = 3 et par suite d = 2 et e = 7
d’où N = 69327

 Si a = 8 alors b = 7 donc c = 1 impossible car c > 1 sinon on obtient

a=d

Conclusion : Le code est : 69327

Exercice 14

Soit n un entier naturel non nul.
1) a) (n + 2)(5n² - 10n + 19) – 38 =

5n3- 10n² + 19n + 10n² - 20n + 38 – 38 = 5n3 – n.
b) n + 2 divise (n + 2) ( 5n² - 10n + 19) donc n + 2 divise 5n3-n

signifie n + 2 divise 38 signifie n + 2 ∈ {1, 2, 19, 38}

signifie n ∈ {0, 17, 36}.
2) a) Soit δ = pgcd ( 5n3 - n, n + 2) et δ = pgcd ( n + 2, 38)

d divise 5n3 - n  n  2  5n² - 10n  19 – 38alors d divise 38
d divise n  2 

d divise 38 et d divise n + 2 alors d divise δ. (1)

δ divise n + 2 et δ divise 38

alors δ divise (n + 2)( 5n² - 10n +19) - 38 = 5n3 - n
δ divise 5n3- n et δ divise n + 2 alors δ divise d. (2)

(1) et (2) impliquent δ =d.

b) les valeurs possibles du pgcd sont les diviseurs positifs de 38
c’est ta dire 1, 2, 19 et 38.

c) pgcd (5n3-n, n + 2)= 19 signifie pgcd (n + 2, 38) = 19

19 divise n + 2 signifie n = 19k – 2, k ∈ IN*.

pgcd (19k, 38)= 19 signifie pgcd(k, 2) = 1 signifie k est impair.

Arithmétique 94

Les entiers naturels n tels que pgcd (5n3-n, n + 2) = 19 sont :
n = 19k – 2 où k est un entier naturel impair
n = 19(2p + 1) – 2 = 38p + 17 , p ∈ IN.

Exercice 15

1) Soit n un entier naturel

a) Développer puis simplifier (n + 2)(n² - 2n + 3) - 6

b) n3  n  (n  2)(n²  2n  3)  6  n²  2n  3  6
n2 n2 n2

n3  n est un entier équivaut à 6 est un entier
n2 n2

équivaut à n + 2 est diviseur positif de 6
L’ensemble cherché est : {1,4}

2)a) n un entier naturel.

Restes de la division de n par 6 012345

Restes de la division de 2n + 1 par 6 135135

Restes de la division de 7n + 1 par 6 123450

Restes de la division de n(2n + 1)(7n +1) par 6 0 0 0 0 0 0
b) d’après a) Pour tout entier naturel n, le reste de la division de

n(2n +1)(7n +1) par 6 est 0 alors pour tout entier naturel n,

n(2n +1)(7n +1) est divisible par 6.

Exercice 16 « Lycée pilote Gabes »
1°) Un nombre s’écrit sous la forme x5619 où x est un chiffre non
nul. x5619 est divisible par 11 si et seulement si (9 +6 + x) – (1 + 5)

est divisible par 11 si et seulement si 9 + x est divisible par 11.

Donc x = 2

2°) Soit x et n deux entiers naturels non nuls.
On pose P (x) = x – 1 et Q (x) = 1 + x + x² + x3+…………..+ xn-1

a) Q (4) = 1 + 4 + 4² +….+ 4n-1 est une somme finie d’entiers

naturels donc Q(4) est un entier naturel.
b) P (x).Q (x) =(x – 1)(1 + x + x² + x3+…………..+ xn-1)

=……………………………………………………..
= xn – 1.
c) 4n – 1 = (4 – 1) Q (4) = 3 x Q (4), Q (4)IN alors 3 divise 4n - 1

3°) Pour tout réel x différent de – 3, on pose : R(x)  x²  3x  12 .
x3

a) a = 1, b = 0 et c = 12. Pour tout x ≠ -3, R(x) = x + 12 .
x3

b) nIN. R(n) est un entier si et seulement si n + 3 est diviseur

de 12 si et seulement si n{0 , 1, 3, 9}

Arithmétique 95

4°) Soit n un entier naturel non nul.

a) n ou n + 1 est pair alors n(n + 1) est pair.

b) n(n + 1) est pair alors n(n + 1)(2n + 1) est divisible par 2.

Montrons que n(n + 1)(2n + 1) est divisible par 3.

Restes de la division de n par 3 012

Restes de la division de n + 1 par 3 120

Restes de la division de 2n + 1 par 3 102

Restes de la division de n(n + 1)(2n +1) par 3 0 0 0

Donc n(n + 1)(2n + 1) est divisible par 3.

n(n + 1)(2n + 1) est divisible par 2 et par 3 et 2 et 3 sont premiers

entre eux alors n(n + 1)(2n + 1) est divisible par 2x3 = 6

donc Pour tout entier n, nn  1 2n  1 est un entier.

6

c) N = 2n + 3, N’= 5n – 2.
d = pgcd (N, N’) alors d divise N et N’ donc d divise 5N – 2N’ = 19

par conséquent d = 1 ou d = 19.

D’où si N et N’ ne sont pas premiers entre eux alors leurs pgcd est

19.

Exercice 17 « Lycée pilote Kairouan »

1) A = p + q = xyzt + tzyx =

=1000x + 100y + 10z + t + 1000t + 100z + 10y + x

= 1001x + 110y + 110z + 1001t = 1001 (x + t) + 110 (y + z)

= 11 [91 (x + t) + 10 (y + z)]

Donc A est divisible par 11.

B = p + ( x + 10y + z + 10t) = 1001x + 110y + 11z + 11t

= 11(91x + 10y + z + t).

Donc B est divisible par 11.
2) C = p – q = (1000x + 100y + 10z +t)-(1000t + 100z + 10y + x)

= 999x – 99y – 99z – 999t = 9(111x + 11y – 11z – 111t)

Donc C est divisible par 9.
D = p – ( x + y + z + t) = 999x + 99y + 9z = 9( 111x + 11y + z)

Donc D est divisible par 9.

Exercice 18
1°) 2125 = 168x12 + 109

168 = 109x1 + 59
109 = 59x1 + 50

59 = 50x1 + 9
50 = 9x5 + 5
9 = 5x1 + 4
5 = 4x1 + 1
Pgcd (2125, 168) = 1

2°) 1 = 5 – 4x1 Arithmétique 96
= 5 - [9 – 5x1]x1
= 50 x13 – 59 x11
= 5 – 9x1 + 5x1 = (109 – 59x1)x13 – 59x11
= 5x2 – 9x1 = 109x13 – 59x24
= 109x13 – (168 – 109x1)x24
= (50 – 9x5)x2 – 9x1 = 109x37 – 168x24
= 50x2 – 9 x11 = (2125 – 168x12)x37 – 168x24
= 50x2 – (59 – 50x1)x11 = 2125x37 – 168x468.
Donc u = 37 et v = 468
= 50x2 – 59x11 + 50x11

Exercice 19
1) Pgcd (a, b) = 8 alors il existe deux entiers naturels a’ et b’ tels
que a = 8a’, b = 8b’ et pgcd (a’, b’)=1
a + b = 48 signifie 8a’ + 8b’ = 48 signifie a’ + b’ = 6.

Donc (a’, b’) ∈ {(1, 5), (5, 1)} d’où l’ensemble des couples (a, b)
d’entiers naturels tels que a + b = 48 et pgcd (a, b) = 8 est

{(8, 40), (40, 8)}.

2) On pose m = ppcm (a, b) et d = pgcd (a, b).
Il existe deux entiers naturels premiers entre eux a’ et b’ tels que
a = da’, b = db’ et pgcd (a’, b’) = 1

On a : ab = md.
m = 168 signifie md = 168d signifie ab = 168d signifie a’b’d² = 168d

signifie a’b’ = 21 signifie (a’, b’) ∈ {(1, 21), (21, 1), (3, 7), (7, 3)}.
Conclusion : l’ensemble des couples (a , b) d’entiers naturels tels

que ppcm(a,b)  168 est 8,168,168,8,24,56,56,24
p gcd(a,b)  8

Suites arithmétiques 97

Résumé du cours

I) Suites réelles

 Première définition :

Une suite réelle est une liste de nombres réels.

Exemples :
 La liste des entiers naturels : 0, 1, 2, 3,… est une suite réelle.
 La liste des entiers naturels impair : 1, 3, 5, 7,… est une suite

réelle.
 La liste des nombres : 1, - 1, 1, - 1,………est une suite réelle.

 La liste des nombres : 2 , - 2 , 2 , - 2 , 2 , est une suite
réelle. 2 4 8 16

 Exemple et Notation
On considère la liste des nombres suivants : - 2, 1, 4, 7, 10, 13, 16,...

On note U1 le premier terme de la liste, U2 le deuxième terme, U3 le
troisième,… et Un le nième terme (n entier supérieur ou égal à 1).

a) Compléter : U1 = - 2, U2 = …, U3 = …, U4 = …, U5 = …, U6 =…
b) Donner la valeur de U8 et de U10
c) On donne U99 = 292. Déterminer U100.
La suite se note (Un)n≥1 ou (Un).

 Deuxième définition :
Soit n0 un entier naturel. Lorsqu’à tout entier naturel n supérieur ou
égal à n0 on peut associer un unique réel U(n) on dit que l’on a défini
une suite de nombres réels.
Le réel U(n) s’appelle le terme général de la suite et se note Un et on
lit « U indice n).

La suite se note (Un)n≥n0 ou (Un).
Exemple :

Soit (Un) la suite réelle qui à tout entier n associe le réel
Un = n² + 3n
1°) Calculer : U0 =…… (premier terme de la suite ).

U1 =…… (deuxième terme de la suite).
U2 =…… (troisième terme de la suite).
U3 =…… (quatrième terme de la suite).
U10 =…… (11ème terme de la suite).
2°) Exprimer, en fonction de n, les termes : Un+1, Un+2, U2n et U2n+1.
Application 1

Soit la suite (Un) dont les premiers termes sont : U0 = 1, U1 = 2, U2 = 5
U3 = 6, U4 = 9, U5 = 10, U6 = 11, U7 = 14.

a) Conjecturer la valeur de U8.

Suites arithmétiques 98

b) Comment nomme-t-on le terme d’indice 9 de la suite (Un) ?
Quelle est sa valeur ?

c) Quelle est le 7ème terme de la suite ?

d) Comment nomme-t-on le terme de la suite qui suit U10 ?
Quelle est sa valeur ?

Application 2

Soit la suite (Un) définie sur IN par : Un = n²  3n

1°) Quelle est le premier terme de cette suite ? Quelle est sa valeur ?
2°) Quelle est la valeur du 7ème terme de la suite ?

3°) Exprimer, en fonction de n,

a) Un+1 c) U2n+1 e) Un+1 + Un.
b) Un+2 d) Un+1 – Un. f) U2n+1 – U2n.

 Troisième définition :
Une suite est définie par une relation de récurrence lorsqu'on

dispose du premier terme et d'une formule permettant de calculer
chaque terme de la suite à partir du terme précédent.
Exemple : Soit (Un) la suite réelle définie par son premier terme
U0 = 5 et la relation de récurrence Un+1 = 3Un - 4.
 On connait U0 = 5 donc on peut calculer U1.

En remplaçant n par 0 dans la relation de récurrence
Un+1 = 3Un - 4 on obtient U0+1 = 3U0 – 4 = 3x5 – 4 = 11
donc U1 = 11.
 On connaît maintenant U1 alors on peut calculer U2. On remplace
dans la relation de récurrence n par 1, on obtient
U1+1 = 3U1 – 4 = 3x11 – 4 = 29 donc U2 = 29.
 Ainsi on peut calculer les termes de cette suite un par un.
Application 3
Soit la suite (Un) définie sur IN par son premier terme U0 = 3 et la
relation de récurrence : Un+1 = 2Un – 5.
1°) Quelle est la valeur du deuxième terme de cette suite?

2°) Compléter : Pour connaître un terme de cette suite il suffit de
connaître …………………………….
3°) Sachant que le sixième terme de cette suite vaut – 59 déterminer
la valeur de U6.

Application 4

 Dans le plan rapporté à un repère O , i , j , on donne la droite D

d’équation : y = (0,6)x + 0,5.

Suites arithmétiques 99

On définit, sur IN, la suite réelle (Un) comme suit : Un est l’ordonnée
du point Mn de la droite D d’abscisse n, nIN.
1°)a) Représenter la droite D.

b) Calculer les cinq premiers termes de la suite (Un).
2°)a) Exprimer Un en fonction de n.

b) Calculer U100.

2°) Suites Arithmétiques

 Définition 1
Une suite arithmétique est une suite de nombres construite à partir de son
premier terme en ajoutant ou en soustrayant successivement un même
nombre appelé la raison.
Exemples
 12  3 2  5 2  7 2  9 2 112 13 …
est une suite arithmétique de raison 2.
 4 3 13  2 3  5 3  8 3  113  14 ...

est une suite arithmétique de raison – 3

 Définition 2
On dit qu’une suite (Un) est arithmétique s’il existe un réel r tel que,
pour tout entier naturel n on a : Un+1 = Un + r.
Le nombre r est appelé la raison de la suite.

Application 5
On considère la suite arithmétique : 3 ; 7 ; 11 ; 15, ………

a) Quel est le premier terme U1 de cette suite. Donner sa raison r.
b) Identifier U2 et U3.
c) Calculer U5, U6, U8.

Remarque
Soit (Un) une suite arithmétique.
 La raison d’une suite arithmétique ne dépend pas de n.
 Pour tout entier naturel n,

U1  U0  U2  U1  U3  U2  ...  U20  U19  ...  Un1  Un

 Comment montrer qu’une suite n’est pas
arithmétique :

Pour montrer qu’une suite (Un) n’est pas arithmétique il suffit de
trouver un terme de cette suite dont le double est différent de la
somme du terme qui le précède et du terme qui le suit. (2U1  U2 +U0)