44 4.11 การนําความรูเรื่องทศนิยมไปใชในการแกโจทยปญหา ตัวอยางที่ 1 เหล็กเสนกลมขนาดเสนผานศูนยกลาง 1.75 เซนติเมตร ยาว 1 เมตร จะหนัก 3.862 กิโลกรัม ถาเหล็กเสนขนาดเดียวกันนี้ยาว 1.25 เมตร จะหนักกี่กิโลกรัม วิธีทํา เหล็กเสนกลมมีขนาดเสนผานศูนยกลาง 1.75 เซนติเมตร และยาว 100 เซนติเมตร หนัก 3.862 กิโลกรัม ถายาว 1 เซนติเมตร หนัก 0.03862 100 3.862 กิโลกรัม ดังนั้น เหล็กเสนขนาดเดิมแตยาว 125 เซนติเมตร หนัก 0.03862125 = 4.8275กิโลกรัม เหล็กเสนขนาดเดิมยาว 1.25 เมตร หนัก 4.8275 กิโลกรัม ตัวอยางที่ 2 รูปสี่เหลี่ยมผืนผารูปหนึ่งมีพื้นที่ 11.3364 ตารางเซนติเมตร ถาดานยาวเทากับ 4.23 เซนติเมตร ดานยาวยาวกวาดานกวางเทาไร วิธีทํา พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง × ยาว 11.3364 = กวาง × 4.23 ดังนั้น กวาง = 4.23 11.3364 = 2.68เซนติเมตร ดานยาวยาวกวาดานขาง = 4.232.68 = 1.55เซนติเมตร ดานยาวยาวกวาดานกวาง = 1.55เซนติเมตร
45 แบบฝกหัดที่ 10 1. ใหนักศึกษาแกปญหาโจทยตอไปนี้ 1) เชือกยาว 17.25 เมตร นําอีกเสนหนึ่งยาว 5.2 เมตร มาผูกตอกันทําใหเสียเชือกตรงรอยตอ 0.15 เมตร นําเชือกที่ตอแลวมาวางเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา ใหดานกวางยาวดานละ 1.5 เมตร ดานยาวจะ ยาวดานละกี่เมตร ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………………… 2. น้ําตาลถุงหนึ่งหนัก 9.35 กิโลกรัม จํานวน 16 ถุง ใชทําขนมเฉลี่ยแลววันละ 4.4 กิโลกรัม จะใช น้ําตาลไดทั้งหมดกี่วัน ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………………… 3. หองรูปสี่เหลี่ยมผืนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร นํากระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 32 ตาราง เซนติเมตร มาปูหองจะตองใชกระเบื้องกี่แผน ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………………… 4. มีทองคําแทงหนึ่งหนัก 12.04 กรัม ซื้อเพิ่มอีก 25.22 กรัม แบงขายไปสองครั้ง หนักครั้งละ 8.02 กรัม ที่เหลือนําไปทําแหวน 5 วง หนักวงละ 3.45 กรัมเทาๆ กัน จะเหลือทองอีกกี่กรัม ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ………………………………………………………………………………………………………
46 บทที่ 3 เลขยกกําลัง สาระสําคัญ สัญลักษณของการเขียนแทนการคูณจํานวนเดียวกันซ้ํา ๆ หลาย ๆ ครั้ง เขียนแทนดวย n a อานวา a ยกกําลัง n และการเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรได ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. บอกความหมายและเขียนเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มแทนจํานวนที่กําหนดใหได 2. บอกและนําเลขยกกําลังมาใชในการเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรได 3. อธิบายการคูณและหารของเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกัน และเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มได ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 ความหมายและการเขียนเลขยกกําลัง เรื่องที่ 2 การเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร เรื่องที่ 3 การคูณและการหารเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกันและเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม
47 เรื่องที่ 1 ความหมายและการเขียนเลขยกกําลัง เลขยกกําลัง หมายถึง การใชสัญลักษณ เขียนแทนจํานวนที่เกิดขึ้นจากการคูณ ซ้ําๆ กัน หลายๆ ครั้ง เชน 3333 สามารถเขียนแทนไดดวย 4 3 อานวา สามยกกําลังสี่ซึ่งมีบทนิยาม ดังนี้ บทนิยามถา aแทนจํานวนใด ๆ และ n แทนจํานวนเต็มบวก “a ยกกําลัง n” หรือ “a กําลังn” เขียนแทนดวย n a = n a a a ...... a เรียก n a วาเลขยกกําลังที่มี a เปนฐานและ n เปนเลขชี้กําลัง เชน 5 4 แทน 4 × 4 × 4 × 4 × 4 5 4 มี 4 เปนฐาน และมี 5 เปนเลขชี้กําลัง สัญลักษณ 5 4 อานวา “สี่ยกกําลังหา” หรือ “สี่กําลังหา” หรือกําลังหาของสี่ 6 2 แทน 2× 2× 2× 2× 2× 2 6 2 มี 2 เปนฐาน และมี 6 เปนเลขชี้กําลัง ในทํานองเดียวกันสัญลักษณ 6 2 อานวา “ลบสองทั้งหมดยกกําลังหก” หรือกําลังหกของ ลบสอง จงพิจารณาตารางตอไปนี้ เลขยกกําลัง ฐาน เลขชี้กําลัง เขียนในรูปของการคูณ แทนจํานวน 3 3 3 3 333 27 5 4 4 5 44444 1,024 4 2 -2 4 (-2)(-2)(-2)(-2) 16 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 4 1 y x x y x x x...( y ครั้ง) x x x...( y ครั้ง) ตัวอยาง จงตอบคําถามตอไปนี้ 1. 3 8 อานวาอยางไร วิธีทํา 1. 3 8 อานวา 8 ยกกําลัง 3 2. 3 10 มีจํานวนใดเปนฐาน 2. 3 10 มี 10 เปนฐาน 3. 5 11 มีจํานวนใดเปนเลขชี้กําลัง 3. 5 11 มี 5เปนเลขชี้กําลัง 4. 3 5 มีความหมายอยางไร 4. 3 5 มีความหมายเทากับ 5 55 5. 5 5 อานวาอยางไร 5. (-5) 5 อานวา (-5) ลบหาทั้งหมดยกกําลังหา
48 แบบฝกหัดที่ 1 1. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 พรอมทั้งบอกฐาน และเลขชี้กําลัง 1.1 25 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง 1.2 64= ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง 1.3 169= ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง 1.4 729 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง 1.5 -32 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง 1.6 -243 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง 1.7 0.125 = ……………………………….=………………………….. มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง 2. จงเขียนจํานวนที่แทนดวยสัญลักษณตอไปนี้ 2.1 8 2 =…………………………………=……………………………… 2.2 4 3 =…………………………………=……………………………… 2.3 5 0.3 =…………………………………=……………………………… 2.4 6 0.02 =…………………………………=……………………………… 2.5 3 3 1 =…………………………………=……………………………… 2.6 3 7 2 =…………………………………=……………………………… 2.7 4 5 =…………………………………=……………………………… 2.8 3 2 =…………………………………=……………………………… 2.9 5 10 1 =…………………………………=……………………………… 2.10 6 0.5 =…………………………………=………………………………
49 เรื่องที่ 2 การเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร การเขียนจํานวนที่มีคามากๆ ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร มีรูปทั่วไปเปน A × n 10 เมื่อ 1 A <10 และ n เปนจํานวนเต็ม พิจารณาการเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรตอไปนี้ 1. 2,000 = 2 × 1,000 = 2 × 3 10 2. 800,000 = 8 × 100,000 = 8 × 5 10 ตัวอยางที่ 1 จงเขียน 600,000,000 ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร วิธีทํา 600,000,000 = 6 × 100,000,000 = 6 × 8 10 ตอบ 6 × 8 10 ตัวอยางที่ 2 จงเขียน 73,200,000 ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร วิธีทํา 73,200,000 = 732 × 100,000 = 7.32 × 100 × 100,000 = 7.32 × 2 10 × 5 10 = 7.32 × 7 10 ตัวอยางที่ 3 ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร จงเขียนใหอยูในรูปสัญกรณ วิทยาศาสตร วิธีทํา ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร 113,000,000 = 113 × 1,000,000 = 113 × 100 × 1,000,000 = 1.13 × 2 10 × 6 10 = 1.13 × 8 10 ตอบ 1.13 × 8 10 เมตร
50 แบบฝกหัดที่ 2 1. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร 1. 400,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 2. 23,000,000,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3. 639,000,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 4. 247,500,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 2. ดาวเสารอยูหางจากดวงอาทิตยประมาณ1,430,000,000 กิโลเมตร จงเขียนใหอยูในรูปสัญกรณ วิทยาศาสตร 1,430,000,000 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3. สัญกรณวิทยาศาสตรในแตละขอตอไปนี้แทนจํานวนใด 3.1 2 × 6 10 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3.2 4.8 × 13 10 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3.3 4.03 × 9 10 =……………………………………………………………… =………………………………………………………………
51 3.4 9.125 × 5 10 =……………………………………………………………… =……………………………………………………………… 3. การคูณและการหารเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกัน และเปนเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม 3.1 การคูณเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม พิจารณาการคูณเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันตอไปนี้ 3 2 × 4 2 = 2 2 2 2 2 2 2 = 2 × 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 2 = 7 2 หรือ 3 4 2 2 3 3 3 = 33333 = 3 × 3 × 3 × 3 ×3 = 5 3 หรือ 2 3 3 3 2 3 1 3 1 = 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 = 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 = 5 3 1 หรือ 3 2 3 1 การคูณเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวกเปนไปตาม สมบัติของการคูณเลขยกกําลังดังนี้ เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ m และ n แทนจํานวนเต็มบวก m n a a = m n a
52 แบบฝกหัดที่ 3 1. จงเขียนจํานวนที่แทนดวยสัญลักษณตอไปนี้ 1.1 5 6 2 2 =……………………………=………………………………… 1.2 5 2 2 3 =……………………………=………………………………… 1.3 3 2 3 =……………………………=………………………………… 1.4 2 0.75 =……………………………=………………………………… 1.5 2 2 3 3 1 =……………………………=………………………………… 1.6 3 3 2 =……………………………=………………………………… 1.7 =……………………………=………………………………… 1.8 6 5 2 7 7 1 =……………………………=………………………………… 1.9 4 3 2 1 0.5 =……………………………=………………………………… 1.10 2 3 11 11 =……………………………=………………………………… 2. จงเขียนผลคูณของจํานวนในแตละขอตอไปนี้ในรูปเลขยกกําลัง 2.1 2 3 7 2 2 2 =……………………………=………………………………… 2.2 3 5 3 3 3 =……………………………=………………………………… 2.3 5 × 625 × 2 5 =……………………………=………………………………… 2.4 121 × 11 × 2 11 =……………………………=………………………………… 3 4 2 5 5 2
53 2.5 4 3 7 3 3 3 =……………………………=………………………………… 3.2 การหารเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม การหารเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและฐานไมเทากับศูนยมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม บวกในรูปของ m a n a จะพิจารณาเปน 3 กรณี คือ เมื่อ m > n ,m = n และ m < nดังนี้ กรณีที่ 1 m a n a เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m,n แทนจํานวนเต็มบวก และ m > n พิจารณาการหารเลขยกกําลังตอไปนี้ 1. 2 5 2 2 = 2 2 2 2 2 2 2 = 2 2 2 = 3 2 หรือ 5 2 2 2. 7 5 3 3 = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 2 3 หรือ 7 5 3 3. 3 8 5 5 = 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 5 55 5 5 = 5 5 หรือ 8 3 5 จากการหารเลขยกกําลังขางตนจะเห็นวา ผลหารเปนเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดิมและเลขชี้ กําลังเทากับเลขชี้กําลังของตัวตั้งลบดวยเลขชี้กําลังของตัวหาร ซึ่งเปนไปตามสมบัติของการหารเลขยก กําลังดังนี้ เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m ,n แทนจํานวนเต็มบวก และ m > n m n a a = m n a m n = mn
54 ตัวอยางที่ 1 จงหาผลลัพธ 10 4 5 5 วิธีทํา 4 10 5 5 = 10 4 5 = 6 5 ตอบ 6 5 ตัวอยางที่ 2 จงหาผลลัพธ 6 3 0.2 0.2 วิธีทํา 3 6 0.2 0.2 = 6 3 0.2 = 3 0.2 = 0.20.20.2 = 0.008 ตอบ 0.008 กรณีที่ 2 m n a a เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m , n แทนจํานวนเต็มบวก และ m = n พิจารณา 4 4 5 5 ถาใชบทนิยามของเลขยกกําลังจะได 4 4 5 5 = 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1 ถาลองใชสมบัติของการหารเลขยกกําลัง m n a a = m n a , a o ในกรณีที่ m = n จะได 4 4 5 5 = 4 4 5 = 0 5 แตจากการใชบทนิยามของเลขยกกําลังดังที่แสดงไวขางตน เราไดวา 5 5 1 4 4 ดังนั้น เพื่อใหสมบัติของการหารเลขยกกําลัง m n a a = m n a ใชไดในกรณีที่ m = n ดวยจึง ตองให 5 1 0 ในกรณีทั่ว ๆ ไปมีบทนิยามของ 0 a ดังนี้ บทนิยาม เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย 1 0 a
55 จะเห็นวา m n a a = m n a , a o เปนจริงในกรณีที่ m = n ดวย ตัวอยางที่ 1จงหาผลลัพธ 8 3 5 7 7 7 วิธีทํา 8 3 5 7 7 7 = 8 3 8 7 7 = 8 8 7 7 = 8 8 7 = 0 7 = 1 ตอบ 1 กรณีที่ 3 m n a a เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m , n แทนจํานวนเต็มบวก และ m < nพิจารณา 5 8 2 2 ถาใชบทนิยามของเลขยกกําลัง จะได 8 5 2 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 2 2 1 = 3 2 1 ถาลองใชสมบัติของการหารเลขยกกําลัง m n a a = m n a , a 0 ในกรณีที่ m < nจะได 8 5 2 2 = 5 8 2 = 3 2 แตจากการใชบทนิยามของเลขยกกําลังขางตน เราไดวา 5 8 2 2 = 3 2 1 ดังนั้นเพื่อใหสมบัติของ การหารเลขยกกําลัง m n a a = m n a ใชไดในกรณีที่ m < n ดวยจึงตองให 3 3 2 1 2 ในกรณีทั่ว ๆ ไปมีบทนิยามของ n a ดังนี้ บทนิยาม เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนยและ n แทนจํานวนเต็มบวก n a = n a 1
56 ตัวอยางที่ 1 จงหาผลลัพธ 13 3 2 6 4 7 11 11 11 11 11 11 ในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนบวก วิธีทํา 13 3 2 6 4 7 11 11 11 11 11 11 = 13 3 2 6 4 7 11 11 = 18 17 11 11 = 17 18 11 = 1 11 = 11 1 ตอบ 11 1
57 แบบฝกหัดที่ 4 1. จงหาผลลัพธ 1.1 9 2 2 2 1.2 3 3 6 1.3 3 6 11 11 1.4 4 2 5 1 5 1 1.5 5 4 0.03 0.03 1.6 7 5 5 4 0.8 1.7 3 4 7 5 5 5 1.8 6 4 7 7 7 1.9 2 4 5 13 13 13 1.10 6 7 4 m m m เมื่อ m 0 2. จงหาผลลัพธตอไปนี้ในรูปที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก 2.1 3 4 5 5 2.2 2 8 6 3 3 3 2.3 4 4 6 2.4 0 6 1 2 2 2 2.5 3 2 1.5 1.5 2.6 2 5 x x เมื่อ x 0 2.7 3 0 5 a a a a เมื่อ a 0 2.8 5 7 m m เมื่อ m 0
58 บทที่ 4 อัตราสวนและรอยละ สาระสําคัญ 1. อัตราสวนเปนการเปรียบเทียบปริมาณ 2 ปริมาณขึ้นไป จะมีหนวยเหมือนกัน หรือตางกันก็ได 2. รอยละเปนอัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณหนึ่ง ตอ 100 ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. บอกและกําหนดอัตราสวนได 2. สามารถคํานวณสัดสวนได 3. สามารถหาคารอยละได 4. สามารถแกโจทยปญหาในสถานการณตางๆ เกี่ยวกับอัตราสวน สัดสวน และรอยละได ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 อัตราสวน เรื่องที่ 2 สัดสวน เรื่องที่ 3 รอยละ เรื่องที่ 4 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับอัตราสวน สัดสวน และรอยละ
59 เรื่องที่ 1 อัตราสวน อัตราสวน (Ratio) ใชเปรียบเทียบปริมาณ 2 ปริมาณหรือมากกวาก็ได โดยที่ปริมาณ 2 ปริมาณที่ นํามาเปรียบเทียบกันนั้นจะมีหนวยเหมือนกัน หรือตางกันก็ได บทนิยาม อัตราสวนของปริมาณ a ตอ ปริมาณ b เขียนแทนดวย a : b หรือ b a เรียก a วา จํานวนแรกหรือจํานวนที่หนึ่งของอัตราสวน เรียก bวา จํานวนหลังหรือจํานวนที่สองของอัตราสวน (อัตราสวน a : b หรือ b a อานวา a ตอ b ) การเขียนอัตราสวน มี 2 แบบ 1. ปริมาณ 2 ปริมาณมีหนวยเหมือนกัน เชน โตะตัวหนึ่งมีความกวาง 50 เซนติเมตร ยาว 120 เซนติเมตร เขียนเปนอัตราสวนไดวา ความกวางตอความยาวของโตะ เทากับ 50 : 120 2. ปริมาณสองปริมาณมีหนวยตางกัน เชน นมเปรี้ยว 4 กลอง ราคา 23 บาท เขียนเปนอัตราสวนไดวา อัตราสวนของนมเปรี้ยวเปนกลองตอราคาเปนบาท เปน 4: 23 ตัวอยางเชน ถาเปนปริมาณที่มีหนวยเหมือนกัน อัตราสวนจะไมมีหนวยเขียนกํากับ เชน มานะหนัก 25 กิโลกรัม มานีหนัก 18 กิโลกรัม จะกลาววาอัตราสวนของน้ําหนักของมานะตอมานีเทากับ 25: 18 หรือ 18 25 ถาเปนปริมาณที่มีหนวยตางกันอัตราสวนจะตองเขียนหนวยแตละประเภทกํากับดวย เชน สุดาสูง 160 เซนติเมตร หนัก 34 กิโลกรัม อัตราสวนความสูงตอน้ําหนักของสุดา เทากับ 160 เซนติเมตร : 34 กิโลกรัม
60 แบบฝกหัดที่ 1 1. จงเขียนอัตราสวนจากขอความตอไปนี้ 1). ระยะทางในแผนที่ 1 เซนติเมตร แทนระยะทางจริง 100 กิโลเมตร ……………………………………………………………………………………………... 2). รถยนตแลนไดระยะทาง 200 กิโลเมตร ในเวลา 3 ชั่วโมง ……………………………………………………………………………………………... 3). โรงเรียนแหงหนึ่งมีครู 40 คน นักเรียน 1,000 คน ……………………………………………………………………………………………... 4). อัตราการเตนของหัวใจมนุษยเปน 72 ครั้งตอนาที ……………………………………………………………………………………………... 2. สลากกินแบงรัฐบาลแตละงวดเปนเลข 6 หลัก เชน 889748 ซึ่งมีหมายเลขตางกันทั้งหมด 1,000,000 ฉบับ ในจํานวนทั้งหมดนี้มีสลากที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัวทั้งหมด 10,000 ฉบับ ถูกรางวัลเลขทาย 3 ตัว 4,000 ฉบับ และถูกรางวัลที่ 1 อีก 1 ฉบับ จงเขียนอัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบจํานวนตอไปนี้ 1) จํานวนที่ถูกรางวัลที่ 1 ตอทั้งหมด ……………………………………………………………………………………………... 2) จํานวนที่ถูกรางวัลเลขทาย 3 ตัวตอทั้งหมด ……………………………………………………………………………………………... 3) จํานวนที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัวตอทั้งหมด ……………………………………………………………………………………………... 4) อัตราสวนของสลากที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัว ตอเลขทาย 3 ตัว ……………………………………………………………………………………………... 3. พอคาจัดลูกกวาดคละสีขนาดเทากันลงในขวดโหลเดียวกัน โดยนับเปนชุดดังนี้ “ลูกกวาดสีแดง 3 เม็ด สี เขียว 2 เม็ด สีเหลือง 5 เม็ด”จงหา 1) อัตราสวนจํานวนลูกกวาดสีแดงตอลูกกวาดทั้งหมด ……………………………………………………………………………………………... 2) อัตราสวนของจํานวนลูกกวาดสีแดงตอลูกกวาดสีเหลือง ……………………………………………………………………………………………... 3) ถาสุมหยิบลูกกวาดขึ้นมาจากโหลจํานวน 5 เม็ด นาจะไดลูกกวาดสีใดมากที่สุด เพราะเหตุใด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...
61 อัตราสวนที่เทากัน การหาอัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนดใหทําไดโดยการคูณหรือหารอัตราสวนทั้งตัวแรก และตัวที่สองดวยจํานวนเดียวกัน ตามหลักการ ดังนี้ หลักการคูณ เมื่อคูณแตละจํานวนในอัตราสวนใดดวยจํานวนเดียวกัน โดยที่จํานวนนั้นไมเทากับศูนย จะไดอัตราสวนใหมที่เทากับอัตราสวนเดิม นั่นคือ b d a d b c a c b a เมื่อ c 0 และ d 0 หลักการหาร เมื่อหารแตละจํานวนในอัตราสวนใดดวยจํานวนเดียวกัน โดยที่จํานวนนั้นไมเทากับศูนย จะไดอัตราสวนใหมเทากับอัตราสวนเดิม นั่นคือ b d a d b c a c b a เมื่อ c 0 และ d 0 ตัวอยาง จงหาอัตราสวนอีก 3 อัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนด วิธีทํา 3 : 4 หรือ 4 3 16 12 4 4 3 4 4 3 36 27 4 9 3 9 4 3 44 33 4 11 3 11 4 3 ดังนั้น 16 12 , 36 27 , 44 33 เปนอัตราสวนที่เทากับอัตราสวน 3 : 4 การตรวจสอบการเทากันของอัตราสวนใดๆ ทําไดโดยใชลักษณะการคูณไขวไดโดยใชวิธีดังนี้ เมื่อ a , b, c และ d เปนจํานวนนับ 1) ถา ad bc แลว d c b a
62 2) ถา ad bc แลว d c b a ตัวอยาง จงตรวจสอบวาอัตราสวนในแตละขอตอไปนี้เทากันหรือไม 1) 4 3 และ 6 5 2) 30 26 และ 45 39 1) พิจารณาการคูณไขวของ 4 3 และ 6 5 เนื่องจาก 36 = 18 45 = 20 ดังนั้น 36 45 นั่นคือ 4 3 6 5 2) พิจารณาการคูณไขวของ 30 26 และ 45 39 เนื่องจาก 2645 = 1,170 3039 = 1,170 ดังนั้น 2645 = 3039 นั่นคือ 30 26 = 45 39 แบบฝกหัดที่ 2 1. ถาอัตราการแลกเปลี่ยนเงินดอลลารตอเงินหนึ่งบาทเทากับ 1 : 43 จงเติมราคาเงินในตาราง 2. จงเขียนอัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนดใหตอไปนี้มาอีก 3 อัตราสวน 1) 3 2 = ............................................................................................................................... 2) 9 5 = ...............................................................................................................................
63 3. จงตรวจสอบวาอัตราสวนตอไปนี้เทากันหรือไม อัตราสวนที่กําหนดไว พิจารณาการคูณไขว ผลการตรวจสอบ 1) 6 5 กับ 12 10 5 12 = 10 6 เพราะ 60 = 60 6 5 = 12 10 2) 4 3 กับ 5 4 3 5 4 4 เพราะ 15 16 4 3 5 4 3) 8 6 กับ 9 7 4) 10 12 กับ 15 18 5) 10 0.3 กับ 200 6 4. จงทําใหอัตราสวนตอไปนี้มีหนวยเดียวกันและอยูในรูปอยางงาย ตัวอยาง อัตราสวนความกวางตอความยาวของโตะเปน 50 เซนติเมตร : 1.2 เมตร มีความหมายเหมือนกับ 50 เซนติเมตร : 1.2 x 100เซนติเมตร ดังนั้น อัตราสวนความกวางตอความยาวของโตะเปน 50: 120 หรือ 5 : 12 1) อัตราสวนของจํานวนวันที่นาย ก. ทํางาน ตอชั่วโมงที่นาย ข. ทํางาน เปน 2 วัน : 10 ชั่วโมง ดังนั้น อัตราสวนเวลาที่นาย ก. ทํางาน ตอเวลาที่นาย ข. ทํางานเปน ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2) อัตราสวนของระยะทางจากบานไปตลาด ตอระยะทางจากบานไปโรงเรียนเปน 200 เมตร : 1.5 กิโลเมตร ดังนั้น อัตราสวนของระยะทางจากบานไปตลาด ตอระยะทางจากบานไปโรงเรียนเปน ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...
64 อัตราสวนตอเนื่อง(อัตราสวนของจํานวนหลายๆจํานวน) ในสถานการณจริงที่เกี่ยวกับชีวิตประจําวัน เรามักจะพบความสัมพันธของจํานวนหลาย ๆ จํานวน เชน ขนมผิงบานคุณยาย ใชสวนผสมดังนี้ แปงขาวเจา 3 ถวยตวง น้ํากะทิเขมขน 1 ถวยตวง น้ําตาลมะพราว 2 1 ถวยตวง นั่นคือ อัตราสวนของจํานวนแปงขาวเจาตอน้ํากะทิเปน 3 : 1 หรือ 6: 2 อัตราสวนของจํานวนน้ํากะทิตอน้ําตาลมะพราวเปน 1 : 2 1 หรือ 2 : 1 อัตราสวนของจํานวนแปงขาวเจาตอน้ําตาลมะพราวเปน 3 : 2 1 หรือ 6 : 1 หรือเขียนในรูปอัตราสวน ของจํานวนหลาย ๆ จํานวน ดังนี้ อัตราสวนของแปงขาวเจาตอน้ํากะทิ ตอน้ําตาลมะพราว เปน 3 : 1 : 2 1 หรือ 6 : 2 : 1 ตัวอยาง หองเรียนหองหนึ่งมีอัตราสวนของความกวางตอความยาวหองเปน 3 : 4 และความสูงตอความยาว ของหองเปน 1: 2จงหาอัตราสวนของความกวาง : ความยาว : ความสูงของหอง วิธีทํา อัตราสวนความกวาง : ความยาวของหอง เทากับ 3 : 4 อัตราสวนความสูง :ความยาวของหอง เทากับ 1 : 2 หรือ 1 x 2 : 2 x 2 เทากับ 2 : 4 นั่นคือ อัตราสวนความกวางตอความยาว ตอความสูงของหอง เทากับ 3: 4 : 2
65 แบบฝกหัดที่ 3 1. พอแบงเงินใหลูกสามคนโดยกําหนด อัตราสวนของจํานวนเงินลูกคนโต ตอคนกลาง ตอคนเล็กเปน 5 : 3 : 2จงหาอัตราสวนตอไปนี้ 1) อัตราสวนจํานวนเงินที่ลูกคนโตไดรับตอลูกคนเล็ก ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2) อัตราสวนจํานวนเงินที่ลูกคนเล็กไดรับตอลูกคนกลาง ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 3) อัตราสวนจํานวนเงินที่ลูกคนกลางไดรับตอเงินทั้งหมด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 4) อัตราสวนจํานวนเงินที่ลูกคนเล็กไดรับตอเงินทั้งหมด ……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 2. เศรษฐีคนหนึ่งไดเขียนพินัยกรรมไวกอนจะเสียชีวิตวา ถาภรรยาที่กําลังตั้งครรภคลอดลูกเปนชายใหแบง เงินในพินัยกรรมเปนอัตราสวนเงินของภรรยาตอบุตรชายเปน 1:2 แตถาคลอดลูกเปนหญิงใหแบงเงินใน พินัยกรรมเปนอัตราสวนเงินของภรรยาตอบุตรหญิงเปน 2 : 1เมื่อเศรษฐีคนนี้เสียชีวิตลงปรากฏวาภรรยา คลอดลูกแฝด เปนชาย 1 คน หญิง 1 คน จงหาอัตราสวนของเงินในพินัยกรรมของภรรยาตอบุตรชาย ตอบุตร หญิง ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................
66 เรื่องที่ 2 สัดสวน สัดสวนเปนการเขียนแสดงการเทากันของอัตราสวนสองอัตราสวน เชน a : b = c : d หรือ d c b a อานวา เอตอบี เทากับซีตอดี ตัวอยางที่ จงหาคาm ในสัดสวน 12 3 5 m วิธีที่ 1 12 3 5 m 5 3 12 5 3 5 3 m (ทําเศษใหเทากับ 3 โดยคูณดวย 5 3 ) 7.2 3 3 m ดังนั้นm มีคาเทากับ 7.2 วิธีที่ 2 12 3 5 m 12 3 5 m (คูณไขว) m 5 3 12 ดังนั้น m= 7.2 แบบฝกหัดที่ 4 1. จงเขียนสัดสวนจากอัตราสวนตอไปนี้ 1) 3 ตอ 4 เทากับ 6 ตอ 8 …………………………………………………….. 2) A ตอ 7 เทากับ 9 ตอ 27 …………………………………………………….. 3) 12 ตอ 10 เทากับ B ตอ 5 …………………………………………………….. 4) 5 ตอ 4 เทากับ 65 ตอ D …………………………………………………….. 2. จงหาคาตัวแปรจากสัดสวนที่กําหนดใหตอไปนี้ 1) 15 12 3 A ……………………………………………………..……………………………………………… 2) 28 3 21 B ……………………………………………………..………………………………………………
67 การแกโจทยปญหาโดยใชสัดสวน ในชีวิตประจําวันเราจะพบสถานการณที่ตองแกไขปญหาโดยการใชหลักการคิดคํานวณ เชน กําหนดอัตราสวนของเครื่องดื่มโกโกสําเร็จรูป 1 ถวย ตอผงโกโก 2 ชอนโตะ ตอน้ําตาล 1 ชอนโตะ ตอน้ําตมสุก 1 ถวย เทากับ 1 : 2 : 1 : 1 ถามีผงโกโกทั้งหมด 30 ชอนโตะ สมมติวา ชงเครื่องดื่มได A ถวย ใชน้ําตาล B ชอนโตะ ครีมเทียม C ชอนโตะ และน้ําตมสุก D ถวย ดังนั้น อัตราสวนของจํานวนถวยโกโกที่ชงไดตอจํานวนผงโกโก เทากับ 1 ถวย ตอ 2 ชอนโตะ หรือ A ถวย ตอ 30 ชอนโตะ นั่นคือ 1 : 2 = A : 30 หรือ 2 1 = 30 A จะไดวา 1 x 30 = A x 2 A = 15 ดังนั้น ผงโกโก 30 ชอนโตะ จะชงเครื่องดื่มได 15 ถวย ตัวอยางซื้อสมโอมา 3 ลูก ราคา 50 บาท ถามีเงิน 350 บาท จะซื้อสมโอในอัตราเดิมไดกี่ลูก วิธีทํา สมมติ มีเงิน 350 บาท ซื้อสมโอได A ลูก ราคาของสมโอ 50 บาท ซื้อได 3 ลูก จะไดวา A 50 = 3 350 50 A 50 = 50 3 350 A = 21 จะซื้อสมโอได 21 ลูก
68 แบบฝกหัดที่ 5 1. ขายมะละกอ 3 ผล ราคา 50 บาท ถาขาย มะละกอ 15 ผล จะไดเงินเทาไร ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… 2. กศน.แหงหนึ่งมีนักศึกษาทั้งหมด 400 คน มีจํานวนนักศึกษาหญิงตอจํานวนนักศึกษาชาย เปน 5: 3จงหาวา มีนักศึกษาชายกี่คนและนักศึกษาหญิงกี่คน ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… 3. พอแบงมรดกใหลูกสองคน โดยอัตราสวนของสวนแบงของลูกคนโตตอสวนแบงลูกคนเล็ก เปน 7: 3ถาลูกคนโตไดเงินมากกวาลูกคนเล็ก 80,000 บาท จงหาสวนแบงที่แตละคนไดรับ ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..……………………………………………… ……………………………………………………..………………………………………………
69 เรื่องที่ 3 รอยละ ในชีวิตประจําวันผูเรียนจะเห็นวาเราเกี่ยวของกับรอยละอยูเสมอ เชน การซื้อขาย กําไร ขาดทุน การลดหรือการเพิ่มที่คิดเปนรอยละ การคิดภาษีมูลคาเพิ่ม ฯลฯ คําวา รอยละ หรือ เปอรเซ็นต เปนอัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณหนึ่ง ตอ 100 เชน รอยละ 50 หรือ 50% เขียนแทนดวย 50:100 หรือ 100 50 รอยละ 7 หรือ 7% เขียนแทนดวย 7:100 หรือ 100 7 การเขียนอัตราสวนใดใหอยูในรูปรอยละ จะตองเขียนอัตราสวนนั้นใหอยูในรูปที่มีจํานวนหลัง อัตราสวนเปน 100 ดังตัวอยางตอไปนี้ 80 100 80 5 4 % 20 100 20 10 2 0.2 % การเขียนรอยละใหเปนอัตราสวนทําไดโดยเขียนอัตราสวนที่มีจํานวนหลังเปน 100 ดังตัวอยาง ตอไปนี้ 33%= 100 33 25.75 % = 400 103 10000 2575 100 25.75 ตัวอยาง จงเขียน 7 3 ใหอยูในรูปรอยละ วิธีทําวิธีที่ 1 ทําใหอัตราสวน 7 3 โดยมีจํานวนหลังของอัตราสวนเปน 100 7 3 = 7 100 7 7 100 3 = 100 7 300 ดังนั้น 7 3 คิดเปนรอยละ 7 300 หรือ 7 300 % วิธีที่ 2 สมมติ 7 3 = รอยละ A หรือ 100 A 3 x 100 = A x 7 A = 7 300 7 3 100
70 การคํานวณเกี่ยวกับรอยละ ผูเรียนเคยคํานวณโจทยปญหาเกี่ยวกับรอยละมาแลวโดยไมไดใชสัดสวนตอไปนี้จะเปนการนําความรู เรื่องสัดสวนมาใชคํานวณเกี่ยวกับรอยละ ซึ่งจะพบใน 3 ลักษณะ ดังตัวอยางตอไปนี้ 1. 25% ของ 60 เทากับเทาไร หมายความวา ถามี 25 สวนใน 100 สวน แลวจะมีกี่สวน ใน 60 สวน ใหมี a สวนใน 60 สวน เขียนสัดสวนไดดังนี้ 100 25 60 a จะได a100 6025 100 60 25 a ดังนั้น a 15 นั่นคือ 25% ของ 60 คือ 15 2. 9 เปนกี่เปอรเซ็นตของ 45 หมายความวา ถามี 9 สวนใน 45 สวน แลวจะมีกี่สวน ใน 100 สวน ให 9 เปน x% ของ 45 x% หมายถึง 100 x เขียนสัดสวนไดดังนี้ 45 100 9 x จะได 9100 45 x 45 9100 x ดังนั้น x 20 นั่นคือ 9 เปน 20% ของ 45 3. 8 เปน 25% ของจํานวนใด หมายความวา ถามี 25 สวนใน 100 สวน แลวจะมี 8 สวนในกี่ สวน ให 8 เปน 25% ของ y เขียนสัดสวนไดดังนี้ 100 8 25 y จะได 8100 y 25 25 8100 y ดังนั้น y 32 นั้นคือ 8 เปน 25% ของ 32
71 แบบฝกหัดที่ 6 1. จงแสดงวิธีหาคําตอบ 1) 15% ของ 600 เทากับเทาไร ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...……………………… ……………………………………………………………………... 2) 120% ของ 40 เทากับเทาไร ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...……………………… ……………………………………………………………………... 3) 28 คิดเปนกี่เปอรเซ็นต ของ 400 ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...……………………… ……………………………………………………………………... 4) 1.5 เปนกี่เปอรเซ็นตของ 6 ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...……………………… ……………………………………………………………………... 5) 180 เปน 30 % ของจํานวนใด ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...……………………… ……………………………………………………………………... 6) 0.125 เปน 25% ของจํานวนใด ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...……………………… ……………………………………………………………………...
72 เรื่องที่ 4 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับอัตราสวน สัดสวน และรอยละ ใหนักเรียนพิจารณาตัวอยางโจทยปญหาและวิธีแกปญหาเกี่ยวกับรอยละ โดยใชสัดสวน หรือ อัตราสวน ตอไปนี้ ตัวอยาง 1 ในหมูบานแหงหนึ่งมีคนอาศัยอยู 1,200 คน 6% ของจํานวนคนที่อาศัยอยูในหมูบานทํางานใน โรงงานสับปะรดกระปอง จงหาจํานวนคนงานที่ทํางานในโรงงานแหงนี้ วิธีทํา ใหจํานวนคนที่ทํางานในโรงงานสับปะรดกระปอง เปน s คน อัตราสวนของจํานวนคนที่ทํางานในโรงงานตอจํานวนคนทั้งหมด เปน 1,200 s อัตราสวนดังกลาวคิดเปน 100 6 6% เขียนสัดสวนไดดังนี้ 100 6 1,200 s จะได s 100 1,200 6 100 1,200 6 s ดังนั้น s 72 นั่นคือ จํานวนคนงานที่ทํางานในโรงงานสับปะรดกระปองเปน 72 คน ตอบ 72 คน ตัวอยางที่ 2 โรงเรียนแหงหนึ่งมีนักเรียน 1,800 คน นักเรียนคนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัมมีอยู 81 คน จงหาวา จํานวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม คิดเปนกี่เปอรเซ็นตของจํานวนนักเรียนทั้งหมด วิธีทํา ใหจํานวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม เปน n% ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด เขียนสัดสวนไดดังนี้ 1,800 81 100 n จะได n1,800 10081 1,800 100 81 n ดังนั้น n 4.5 นั่นคือ จํานวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัมคิดเปน 4.5% ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด ตอบ 4.5 เปอรเซ็นต
73 แบบฝกหัดที่ 7 จงแสดงวิธีหาคําตอบ 1. นักศึกษา กศน. 500 คน สอบไดเกรด 4 จํานวน 25% ของทั้งหมด จงหาจํานวนนักศึกษาที่สอบได เกรด 4 ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………... 2. โรงเรียนแหงหนึ่งมีนักเรียน 2,000 คน เปนชาย 40% ของทั้งหมด ในจํานวนนี้มาจากตางจังหวัด รอยละ60 จงหา 1) จํานวนนักเรียนหญิง ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………... 2) จํานวนนักเรียนชายที่ไมไดมาจากตางจังหวัดทั้งหมด ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………... 3. รานคาแหงหนึ่งประกาศลดราคาสินคาทุกชนิด รอยละ 20 ถาคุณแมซื้อเครื่องแกวมาไดรับสวนลด 250 บาท จงหาวารานคาปดราคาขายผลิตภัณฑนั้นกอนลดราคาเทาไร ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………...
74 4. แผนผังสนามหญาแหงหนึ่งกวาง 5 เซนติเมตร ยาว 8 เซนติเมตร ใชมาตราสวน 1 เซนติเมตร : 50 เมตร จงหาวาสนามหญาแหงนี้มีพื้นที่เทาไร ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 5. นกนอยฝากเงินไวกับธนาคารเปนเวลา 2 ป อัตราดอกเบี้ยรอยละ 3 ตอป คิดดอกเบี้ยทบตนทุก 12 เดือนและถูกหักภาษีดอกเบี้ย 15% ถานกนอยฝากเงินไว10,000 บาท ครบ 2 ป จะมีเงินในบัญชี เทาไร ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………... 6. วีระซื้อรถยนตมาคันหนึ่งราคา 200,000 บาท นําไปขายตอไดกําไรรอยละ 20 ตอมาเอาเงินทั้งหมด ไปเลนหุนขาดทุนรอยละ 20 วีระจะมีเงินเหลือจากการเลนหุนเทาไร ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...……… ……………………………………………………………………………………...
75 บทที่ 5 การวัด สาระสําคัญ 1. การวัดความยาวพื้นที่ ที่มีหนวยตางกันสามารถนํามาเปรียบเทียบกันได 2. เครื่องมือการวัด ตองเลือกใชใหเหมาะสมกับสิ่งที่จะวัด 3. การคาดคะเนเกิดจากประสบการณของผูสังเกตเปนสําคัญ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. บอกการเปรียบเทียบหนวยความยาวพื้นที่ในระบบเดียวกันและตางระบบได 2. เลือกใชหนวยการวัดเกี่ยวกับความยาวและพื้นที่ไดอยางเหมาะสม 3. แสดงการหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตได 4. สามารถแกโจทยปญหาเกี่ยวกับพื้นที่สถานการณตาง ๆ ในชีวิตประจําวันได 5. อธิบายวิธีการคาดคะเนและนําวิธีการไปใชในการคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด น้ําหนัก ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 การเปรียบเทียบหนวยความยาวและพื้นที่ เรื่องที่ 2 การเลือกใชหนวยการวัด ความยาวและพื้นที่ เรื่องที่ 3 การหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต เรื่องที่ 4 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับพื้นที่ในสถานการณตาง ๆ เรื่องที่ 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด น้ําหนัก
76 เรื่องที่ 1 การเปรียบเทียบหนวยความยาวและพื้นที่ การวัด การวัดเปนเรื่องที่มีความสําคัญ และจําเปนตอชีวิตประจําวันอยางมากในทุกยุคทุกสมัย ในแตละถิ่น ฐานแตละประเทศ จะมีหนวยการวัดที่แตกตางกันออกไป และเมื่อโลกเจริญกาวหนาทั้งดานเทคโนโลยีและ การสื่อสาร จึงมีความจําเปนที่ตองมีความชัดเจนของการสื่อสารความหมายเกี่ยวกับปริมาณของการวัด หนวยการวัด เพื่อใหเกิดความสะดวกในการนํามาเปรียบเทียบ และเพื่อประโยชนในการใชงาน โดยทั่วไปคนเรามักจะคุนเคยกับการวัด หมายถึง การชั่ง การตวง การวัดความยาว การจับเวลา เปน ตน ในความเปนจริงนั้นการวัดมีหลายอยางเชน 1. การวัดความยาว มีหนวยเปน มิลลิเมตร เซนติเมตร นิ้ว ฟุต เมตร กิโลเมตร 2. การวัดพื้นที่ มีหนวยเปน ตารางวา ตารางเมตร งาน ไร 3. การชั่ง มีหนวยเปน กรัม ขีด ปอนด ตัน 4. การตวง มีหนวยเปน ลูกบาศกเซนติเมตร ลิตร ถัง 5. การวัดอุณหภูมิ มีหนวยเปน องศาเซลเซียส องศาฟาเรนไฮต 6. การวัดเวลา มีหนวยเปน วินาที นาที ชั่วโมง วัน ป 7. การวัดความเร็วหรืออัตราเร็ว มีหนวยเปน กิโลเมตร/ชั่วโมง 1.1 การเปรียบเทียบการวัดความยาว หนวยการวัดความยาวที่นิยมใชกันในประเทศไทย หนวยการวัดความยาวในระบบอังกฤษ 12 นิ้ว เทากับ 1 ฟุต 3 ฟุต เทากับ 1 หลา 1,760 หลา เทากับ 1 ไมล หนวยการวัดความยาวในระบบเมตริก 10 มิลลิเมตร เทากับ 1 เซนติเมตร 100 เซนติเมตร เทากับ 1 เมตร 1,000 เมตร เทากับ 1 กิโลเมตร หนวยการวัดความยาวในมาตรไทย 12 นิ้ว เทากับ 1 คืบ 2 คืบ เทากับ 1 ศอก
77 4 ศอก เทากับ 1 วา 20 วา เทากับ 1 เสน 400 เสน เทากับ 1 โยชน กําหนดการเทียบ 1 วา เทากับ 2 เมตร หนวยการวัดความยาวในระบบอังกฤษเทียบกับระบบเมตริก ( โดยประมาณ ) 1 นิ้ว เทากับ 2.54 เซนติเมตร 1 หลา เทากับ 0.9144 เมตร 1 ไมล เทากับ 1.6093 กิโลเมตร ตัวอยาง การเปรียบเทียบหนวยการวัดในระบบเดียวกันและตางระบบกัน 1. สุดาสูง 160 เซนติเมตรอยากทราบวาสุดาสูงกี่เมตร เนื่องจาก 100 เซนติเมตร เทากับ 1 เมตรและสุดาสูง 160 เซนติเมตร ดังนั้น สุดาสูง 160 = 1.60 เมตร 100 2. ความกวางของรั้วบานดานติดถนนเปน 1.05 กิโลเมตร อยากทราบวาความกวางของรั้วบานดาน ติดกับถนนเปนกี่เมตร เนื่องจาก 1 กิโลเมตร เทากับ 1,000 เมตร และรั้วบานกวาง 1.05 กิโลเมตร ดังนั้น ความกวางของรั้วบานเปน 1.05 x 1,000 = 1,050 เมตร 1.2 การเปรียบเทียบการวัดพื้นที่ หนวยการวัดพื้นที่ที่สําคัญ ที่ควรรูจัก หนวยการวัดพื้นที่ในระบบเมตริก 1 ตารางเซนติเมตร เทากับ 100 หรือ 102 ตารางมิลลิเมตร 1 ตารางเมตร เทากับ 10,000 หรือ 104 ตารางเซนติเมตร 1 ตารางกิโลเมตร เทากับ 1,000,000 หรือ 106 ตารางเมตร หนวยการวัดพื้นที่ในระบบอังกฤษ 1 ตารางฟุต เทากับ 144 หรือ 122 ตารางนิ้ว 1 ตารางหลา เทากับ 9 หรือ 3 2 ตารางนิ้ว 1 เอเคอร เทากับ 4, 840 ตารางหลา 1 ตารางไมล เทากับ 640 เอเคอร หรือ 1 ตารางไมล เทากับ 1, 7602 ตารางหลา
78 หนวยการวัดพื้นที่ในมาตราไทย 100 ตารางวา เทากับ 1 งาน 4 งาน เทากับ 1 ไร หรือ 400 ตารางวา เทากับ 1 ไร หนวยการวัดพื้นที่ในมาตราไทยเทียบกับระบบเมตริก 1 ตารางวา เทากับ 4 ตารางเมตร 1 งาน เทากับ 400 ตารางเมตร หรือ 1 ไร เทากับ 1, 600 ตารางเมตร 1 ตารางกิโลเมตร เทากับ 625 ไร หนวยการวัดพื้นที่ในระบบอังกฤษกับระบบเมตริก ( โดยประมาณ ) 1 ตารางนิ้ว เทากับ 6.4516 ตารางเซนติเมตร 1 ตารางฟุต เทากับ 0.0929 ตารางเมตร 1 ตารางหลา เทากับ 0.8361 ตารางเมตร 1 เอเคอร เทากับ 4046.856 ตารางเมตร ( 2. 529 ไร ) 1 ตารางไมล เทากับ 2.5899 ตารางกิโลเมตร ตัวอยาง 1. ที่ดิน 12.5 ตารางกิโลเมตร คิดเปนกี่ตารางเมตร เนื่องจากพื้นที่ 1 ตารางกิโลเมตร เทากับ 106 ตารางเมตร ดังนั้นพื้นที่ 12.5 ตารางกิโลเมตร เทากับ 12.5 x 106 = 1.25 x 107 ตารางเมตร ตอบ 1.25 x 107 ตารางเมตร 2. พื้นที่ชั้นลางของบานรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 6 วา ยาว 12 วา ผูรับเหมาปูพื้นคิดคาปูพื้นตาราง เมตรละ 37 บาท จะตองเสียคาปูพื้นเปนเงินเทาไร พื้นที่ชั้นลางของบานมีความกวาง 6 วา ความยาว 12 วา ดังนั้น พื้นที่ชั้นลางของบานมีพื้นที่เปน 6 x 12 = 72 ตารางวา พื้นที่ 1 ตารางวา เทากับ 4 ตารางเมตร ถาคิดพื้นที่เปนตารางเมตร พื้นที่ชั้นลางของบานมีพื้นที่เปน 72 x 4 = 288 ตารางเมตร ดังนั้น เสียคาปูพื้นเปนเงิน 288 x 37 = 10, 656 บาท ตอบ 10, 656 บาท
79 แบบฝกหัดที่ 1 1. จงเติมหนวยความยาวหรือหนวยพื้นที่ใหเหมาะสมกับขอความตอไปนี้ 1) ไมอัดชนิดบางมีความหนาแผนละ 4......................................................................................... 2) สมุดปกออนมีความกวาง 16.5 .....................ยาว 24......................หนา 4................................ 3) จังหวัดเชียงใหมและจังหวัดเลยอยูหางกันประมาณ 1,600 ...................................................... 4) สนามฟุตบอลแหงหนึ่งมีความกวาง 45 …………… มีความยาว 90 ..................... และถาวิ่ง รอบสนามแหงนี้สามรอบ จะไดระยะทาง 1 ............................... 5) แผนดิสกมีความกวาง 9................... ยาว 9.4 ........................... และหนา 3......................... 6) กระดาษ A4 มีพื้นที่ประมาณ 630 ......................................... 7) หองเรียนมีพื้นที่ประมาณ 80 ................................................ 9) การวัดความยาวของที่ดินในประเทศไทยนิยมใชหนวยเปน ................... หรือ.................... และอาจบอกจํานวนพื้นที่ของที่ดินตามมาตราไทยเปน ..........................หรืออาจบอกโดยใช มาตรเมตริกเปน ........................ ก็ได 10) แมน้ําโขงชวงจังหวัดมุกดาหารมีความกวางประมาณ 200............................ 2. จงเติมคําลงในชองวางที่กําหนดใหถูกตอง 1) พื้นที่ 1ไร เทากับ ..................................... ตารางเมตร 2) พื้นที่17 ตารางเมตร คิดเปนพื้นที่ .................................. ตารางเซนติเมตร 3) ที่ดิน 3,119 ตารางวา เทากับที่ดิน ............................... (ตอบเปนไร งาน ตารางวา) 4) กระดาษแผนหนึ่งมีพื้นที่ 720 ตารางนิ้ว กระดาษแผนนี้มีพื้นที่ ............................ ตารางฟุต 5) พื้นที่ 2 ตารางกิโลเมตร คิดเปนพื้นที่ .................... ตารางเซนติเมตร (ตอบในรูป n A10 เมื่อ 1 A 10 และ nเปนจํานวนเต็ม) 6) สวนสาธารณะแหงหนึ่งมีพื้นที่ 5 ไร 2งาน 22 ตารางวา แลวสวนสาธารณะแหงนี้จะมีพื้นที่ .................... ตารางวา 7) ที่นา 2,900,000 ตารางเมตร เทากับที่นา ................................ ตารางกิโลเมตร 8) โลหะแผนหนึ่งมีพื้นที่ 3 ตารางฟุต โลหะแผนนี้จะมีพื้นที่ ................... .. ตารางนิ้ว 9) พื้นที่ 9.5 ตารางวา จะเทากับ .......................... ตารางเมตร 10) ลุงสอนมีที่ดินอยู 2งาน 68 ตารางวา คิดเปนพื้นที่ ..................... ตารางเมตร แลวถาลุงสอน ขายที่ดินไป ตารางเมตรละ 875 บาท ลุงสอนจะไดรับเงิน ...................... บาท แสดงวาที่ดิน ของลุงสอน ราคาไรละ......................... บาท
80 3. จงตอบคําถามตอไปนี้ พรอมแสดงวิธีทํา 1) สวนแหงหนึ่งมีพื้นที่ 4,800 ตารางเมตร คิดเปนพื้นที่กี่ไร 2) พื้นที่ 25 ตารางฟุต คิดพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร 3) ลุงแดงแบงที่ดินใหลูกชาย 3คน โดยแบงใหลูกชายคนโตได 2 ไร ลูกชายคนกลาง 850 ตารางวา และลูกชายคนเล็กได 3,000 ตารางเมตร อยากทราบวาใครไดสวนแบงที่ดินมากที่สุด 4) พื้นที่ 5,625 ไร คิดเปนพื้นที่ กี่ตารางกิโลเมตร 5) สมเกียรติซื้อโลหะแผนชนิดหนึ่ง 3 ตารางเมตร ราคา 456 บาท สมนึกซื้อโลหะแผนชนิดเดียวกัน 4 ตารางหลา ราคา 567บาท อยากทราบวาใครซื้อไดถูกกวากัน ตารางเมตรละกี่บาท (กําหนด 1 หลา =90 เซนติเมตร) เรื่องที่ 2 การเลือกใชหนวยการวัดความยาวและพื้นที่ การวัดความยาว หรือการวัดพื้นที่ ควรเลือกใชหนวยการวัดที่เปนมาตรฐาน และเหมาะสมกับสิ่งที่ ตองการวัด เชน - ความหนาของกระเบื้องหรือความหนาของกระจก ใชหนวยวัดเปน "มิลลิเมตร" - ความยาวของกระเปาหรือความสูงของนักเรียน ใชหนวยวัดเปน "เซนติเมตร" - ความยาวของถนน ความสูงของตึก ใชหนวยวัดเปน "เมตร" - ระยะทางจากรุงเทพฯ ถึงนครศรีธรรมราช ใชหนวยวัดเปน "กิโลเมตร" แบบฝกหัดที่2 1.จงเติมหนวยการวัดที่เหมาะสมลงในชองวาง 1.ความยาวของรั้วโรงเรียน ………………………………… 2.ความหนาของหนังสือ …………………………………. 3. ระยะทางจากกรุงเทพฯ ถึงเชียงใหม…………………………….. 4. น้ําหนักของแตงโม ………………………………………….. 5. เวลาที่นักเรียนใชในการวิ่งแขงในระยะทาง 100 เมตร…………………….. 6. อุณหภูมิหอง ..................................... 7. พื้นที่สวน ...................................... 8. ปริมาณของน้ํา 1 เหยือก ...................................... 9. สวนสูงของนักเรียน ..................................... 10. น้ําหนักของขาวสาร 1 ถุง ....................................
81 เรื่องที่ 3การหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต 1. รูปสามเหลี่ยม รูปสามเหลี่ยม คือ รูปปดที่มีดานสามดาน มุมสามมุม เมื่อกําหนดใหดานใดดานหนึ่งเปนฐานของ รูปสามเหลี่ยม แลวมุมที่อยูตรงขามกับฐานจะเปนมุมยอด และถาลากเสนตรงจากมุมยอดมาตั้งฉากกับฐาน หรือสวนตอของฐานจะเรียกเสนตั้งฉากวาสวนสูง จากรูปสามเหลี่ยม ABC ใหกําหนด BC เปนฐาน เรียก A วา มุมยอด เรียก AD วา สวนสูง จากรูปที่ 1รูปที่ 2 รูปที่ 3 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา ABCD แตละรูปเทากับ 12 ตารางหนวย และพื้นที่ สามเหลี่ยมแตละรูปเทากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา จากสูตร พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา = ฐาน x สูง ดังนั้น พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = 2 1 ฐาน สูง
82 ตัวอยางรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งพื้นที่ 40 ตารางเซนติเมตร และมีฐานยาว 8 เซนติเมตร จะมีความสูงกี่ เซนติเมตร วิธีทํา ดังนั้น ความสูงของสามเหลี่ยมเทากับ 10เซนติเมตร แบบฝกหัดที่3 1. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงาของรูปตอไปนี้ ตัวเลขที่เขียนกํากับดานไวถือเปนความยาวของดาน และมีหนวย เปนหนวยความยาว ............................................................................. ................................................................. ............................................................................ .................................................................. ............................................................................ .................................................................. ....................................................................... .................................................................... ........................................................................... ................................................................... ........................................................................... ................................................................... ..................................................................... ......................................................................... ใหความสูงของสามเหลี่ยม h เซนติเมตร สูตร พื้นที่ = 2 1 ฐาน สูง 40 = 8 h 2 1 h 8 40 2 10 = h
83 2. รูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปมีพื้นที่ 90 ตารางเซนติเมตร มีฐานยาว 12เซนติเมตร จะมีความสูง กี่เซนติเมตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม BAC เปนมุมฉาก และกําหนดความยาวของดานดังรูป จงหาความยาวของ ดาน A ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................
84 4. จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงาของไมฉากรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีขนาดตามรูป (ความยาวที่กําหนดมีหนวยเปน เซนติเมตร) 30 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. รูปสี่เหลี่ยม 2.1 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมแตละมุมเปนมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากมี 2 ชนิด คือ ก) รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีดานทุกดานยาวเทากัน ข) รูปสี่เหลี่ยมผืนผา เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีดานตรงขามยาวเทากัน
85 ถาแบงรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากออกเปนตาราง ๆ โดยแบงดานกวางและดานยาวออกเปนสวนๆ เทาๆ กัน แลว ลากเสนเชื่อมจุดแบงดังรูป จากรูปตารางเล็กๆ ที่เกิดจากแบงแตละรูป จะมีความกวาง 1 หนวย และยาว1 หนวย คิดเปน พื้นที่ 1 ตารางหนวย การหาพื้นของสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1 สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1 มีดานกวาง 3 หนวย ดานยาว 3หนวย เมื่อแบงแลวไดจํานวนตาราง 9 ตาราง หรือมีพื้นที่ 9 ตารางหนวย สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 2 มีดานกวาง 3 หนวย ดานยาว 4 หนวย เมื่อแบงแลวไดจํานวนตาราง 12 ตาราง หรือมีพื้นที่ 12 ตารางหนวย การหาพื้นที่ดังกลาว สามารถคํานวณไดจากผลคูณของดานกวางและดานยาว นั่นคือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ดานกวาง x ดานยาว ในกรณีที่เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะมีดานกวางเทากับดานยาว นั่นคือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ดาน x ดาน หรือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = (ดาน) 2 ตัวอยางจงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมตอไปนี้
86 วิธีทํา (ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง xยาว = 5 x 8 = 40 ตารางหนวย ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 40 ตารางหนวย ตอบ (ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = ดานx ดาน = 4x 4 = 16ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 16ตารางเซนติเมตร ตอบ (ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = (2x3) + (4x7) = 6+28 = 34ตารางนิ้ว ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 34ตารางนิ้ว ตอบ 2.2 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานตรงขามขนานกันสองคู
87 การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ถารูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD กําหนด aแทนความยาวของดาน AB และ b แทนความสูง DE จากรูปที่ 1ลากเสนทแยงมุม BD และลาก DE ใหตั้งฉากกับ AB ดังรูปที่ 2เราสามารถใชพื้นที่ ของรูปสามเหลี่ยมหาสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD ไดดังนี้ พื้นที่ของ ABCD เทากับผลบวกของพื้นที่ ABD และพื้นที่ CDB เนื่องจาก พื้นที่ ABD เทากับ พื้นที่ CDB ดังนั้น พื้นที่ ABCD =2 เทาของพื้นที่ ABD = a b 2 1 2 สูตรพื้นที่ รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน = ความยาวของฐาน xความสูง รูปสี่เหลี่ยมดานขนานที่มีดานทุกดานยาวเทากันและมุมไมเปนมุมฉาก เรียกวา รูปสี่เหลี่ยมขนม เปยกปูน ในกรณีเปนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน ถาลากเสนทแยงมุม แบงรูปสี่เหลี่ยมออกเปนรูปสามเหลี่ยม สองรูป และไดสูตรดังนี้ สูตรพื้นที่ ขนมเปยกปูน = 2 1 ผลคูณของเสนทแยงมุม ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD วิธีทํา
88 รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน = ฐาน สูง = AB AB = 10 7 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD =70 ตารางเซนติเมตร ตอบ 2.3 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีดานขนานกันหนึ่งคูเทานั้น รูปสี่เหลี่ยมทั้งสามรูป แตละรูปมีดานขนานกันเพียง 1 คูเทานั้น รูปสามเหลี่ยมทั้งสามรูปจึงเปน สี่เหลี่ยมคางหมู รูปสี่เหลี่ยมรูปที่ 2 มีดานที่ไมขนานกัน 1 ดาน ตั้งฉากกับดานคูขนาน เรียกรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้วา สี่เหลี่ยมคางหมูมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยมรูปที่ 3 มีดานที่ไมขนานกันยาวเทากัน เรียกรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้วา สี่เหลี่ยมคางหมูหนา จั่ว รูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD มีดาน AB ขนานกับดาน CD ลาก CE ใหตั้งฉากกับ AB และ ลากเสนทแยงมุม AC ดังรูปที่ 2 กําหนด aแทนความยาวของดาน AB b แทนความยาวของดานCD c แทนความสูง เราสามารถใชพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหาสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ไดดังนี้
89 พื้นที่ ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่ ABC และพื้นที่ ACD จากพื้นที่ ABC = a c 2 1 พื้นที่ ACD = b c 2 1 ดังนั้น พื้นที่ ABCE = a e b e 2 1 2 1 = ( ) 2 1 c a b สูตร พื้นที่ คางหมู = 2 1 สูง ผลบวกดานคูขนาน ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD วิธีทํา พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD = 2 1 สูง ผลบวกดานคูขนาน = DE AB DC 2 1 = 6 12 8 2 1 = 3 20 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร 2.4 พื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปวาว บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานประชิดกันยาวเทากันสองคู เมื่อลากเสนทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมรูปวาว จะพบวา เสนทแยงมุมตัดกันเปนมุมฉาก และแบงครึ่ง ซึ่งกันและกัน
90 การหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว เราสามารถใชพื้นที่รูปสามเหลี่ยมหาสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD ไดดังนี้ พื้นที่ ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่ ACD และพื้นที่ ABC จาก ABC = a b 2 1 2 1 ADC = a b 2 1 2 1 ดังนั้น พื้นที่ ABCD = a b a b 2 1 2 1 2 1 2 1 พื้นที่ ABCD= a b b 2 1 2 1 2 1 = 2 2 2 1 b b a = a b 2 1 สูตร พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปวาว = 2 1 ผลคูณของเสนทแยงมุม รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD มี AB AD และ BC CD กําหนด a แทนความยาวของเสนทแยงมุม AC b แทนความยาวของเสนทแยงมุม BD เสนทแยงมุม AC และ BD ตัดกันที่จุด E ทําให DE ตั้งฉากกับ AC BE ตั้งฉากกับ AC
91 ตัวอยาง จงหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD ที่มี BD 10 เซนติเมตร และ AC 12เซนติเมตร วิธีทํา พื้นที่รูปวาว = 2 1 ผลคูณของเสนทแยงมุม = AC BD 2 1 = 12 10 2 1 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร 2.5 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ รูปสี่เหลี่ยมใดๆ เปนรูปสี่เหลี่ยมที่ไมเขาลักษณะของรูปสี่เหลี่ยมขางตน การหาพื้นที่อาจทําไดโดย ลากเสนทแยงมุม แลวหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้น พื้นที่ ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่ ABCและพื้นที่ ADC จากพื้นที่ ABC = AC BE 2 1 พื้นที่ ABD = AC DF 2 1 ดังนั้น พื้นที่ ABCE = AC BE AC DF 2 1 2 1 = AC BE DF 2 1 จากรูปสี่เหลี่ยม ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมใดๆ จากเสนทแยงมุม AC จากจุด B ลากเสน BEใหตั้งฉากกับ AC D ลากเสน DF ใหตั้งฉากกับ AC ซึ่งเสน BE และ DF เรียกวา เสนกิ่ง
92 สูตร พื้นที่สี่เหลี่ยมใดๆ = 2 1 ความยาวของเสนทแยงมุม ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD มี AC = 10 เซนติเมตร เสนกิ่ง DF = 7 เซนติเมตร และ EB = 5 เซนติเมตร วิธีทํา พื้นที่ ABCD = 2 1 เสนทแยงมุม ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง = AC BE DF 2 1 = 10 7 5 2 1 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ ABCD =60 ตารางเซนติเมตร แบบฝกหัดที่4
93