144 วิธีทํา
145 แบบฝกหัดที่ 2 จงเขียนภาพดานบน ดานหนา และดานขางของรูปเรขาคณิตสามมิติที่กําหนดให
146
147 เรื่องที่ 3 การวาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณิตที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศก พิจารณารูปเรขาคณิตสามมิติที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศกตอไปนี้ จะเห็นวา เมื่อเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติ แสดงภาพที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง และดานบน ดังภาพ จะเห็นวาการเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติ เพื่อแสดงรูปเรขาคณิตสามมิติที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศก เราสามารถเขียนจํานวนลูกบาศกกํากับไวในตารางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในดานที่มองทั้งสามดานดังภาพ ตอไปนี้
148 ตัวอยาง จงเขียนภาพที่ไดจากการมองทางดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปสามมิติที่กําหนดให พรอม ทั้งเขียนตัวเลขแสดงจํานวนลูกบาศกกํากับไวในตาราง เขียนแสดงภาพทั้งหมดไดดังนี้
149 แบบฝกหัดที่ 3 จงจับคูภาพดานหนา ดานขาง และดานบน ในแตละขอตอไปนี้กับรูปเรขาคณิตสามมิติที่กําหนดให ทางขวามือ โดยเลือกตัวอักษรที่กํากับไวในรูปเรขาคณิตสามมิติ เขียนเติมลงในชองวางบนขวาของแตละ ขอ
150
151 2. จงเขียนภาพดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติตอไปนี้ พรอมทั้งเขียนจํานวน ลูกบาศกกํากับไวในตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัส
152 บทที่ 9 สถิติ สาระสําคัญ 1. ขอมูลเบื้องตนของสถิติ จะชวยใหทราบขอเท็จจริงที่ชัดเจนถูกตอง ซึ่งจะเปนประโยชน สําหรับ การวางแผนการดําเนินงาน และตัดสินใจปรับปรุงการดําเนินงานตามผลที่ไดนําเสนอขอมูลไว 2. การนําเสนอขอมูล มีความมุงหมายเพื่อแสดงใหเห็นรายละเอียดของขอมูลไดงาย ชัดเจน และ รวดเร็ว สามารถนําขอมูลไปใชประโยชนไดทันที ฉะนั้นการเลือกใชวิธีการนําเสนอขอมูลตองใหเหมาะสม กับลักษณะของขอมูลและการใชประโยชนเปนสําคัญ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. สามารถจัดเก็บรวบรวมขอมูลที่เหมาะสมได 2. สามารถนําเสนอขอมูลในรูปแบบที่เหมาะสมได 3. หาคากลางของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ 4. เลือกและใชคากลางของขอมูลที่กําหนดใหไดอยางเหมาะสม 5. อาน แปลความหมาย และวิเคราะหขอมูลจากการนําเสนอขอมูลที่กําหนดใหได 6. อภิปรายและใหขอคิดเห็นเกี่ยวกับขอมูลขาวสารทางสถิติที่สมเหตุสมผลได ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 การรวบรวมขอมูล เรื่องที่ 2 การนําเสนอขอมูล เรื่องที่ 3 การหาคากลางของขอมูล เรื่องที่ 4 การเลือกใชคากลางของขอมูล เรื่องที่ 5 การใชสถิติขอมูลและสารสนเทศ
153 เรื่องที่ 1 การรวบรวมขอมูล 1.1 สถิติ คําวา สถิติ (Statistics) มาจากภาษาเยอรมันวา Statistik มีรากศัพทมาจาก Stat สถิติหมายถึงขอมูลหรือสารสนเทศ หรือตัวเลขแสดงจํานวนหรือปริมาณของสิ่งตาง ๆ ที่ได รวบรวมไว สถิติหมายถึงวิธีการที่วาดวยการเก็บรวบรวมขอมูล การนําเสนอขอมูล การวิเคราะหขอมูลและ การตีความหมายขอมูล สถิติในความหมายนี้เปนทั้งวิทยาศาสตรและศิลปศาสตร เรียกวา "สถิติศาสตร” สรุป สถิติ หมายถึง ศาสตรที่วาดวยการเก็บรวบรวมขอมูล การนําเสนอขอมูล และการวิเคราะห ขอมูล 1.2 การรวบรวมขอมูล (Data Collection) การรวบรวมขอมูล หมายถึงการนําเอาขอมูลตางๆที่ผูอื่นไดเก็บไวแลว หรือรายงานไวในเอกสาร ตางๆ มาทําการศึกษาวิเคราะหตอ 1.3 ประเภทของขอมูล ขอมูล หมายถึง ขอเท็จจริงเกี่ยวกับตัวแปรที่สํารวจโดยใชวิธีการวัดแบบใดแบบหนึ่ง โดยทั่วไป จําแนกตามลักษณะของขอมูลไดเปน 2 ประเภท คือ 1) ขอมูลเชิงปริมาณ (Quantitative Data) คือ ขอมูลที่เปนตัวเลขหรือนํามาใหรหัสเปนตัวเลข ซึ่ง สามารถนําไปใชวิเคราะหทางสถิติไดเชน อายุ น้ําหนัก สวนสูง 2) ขอมูลเชิงคุณภาพ (Qualitative Data) คือ ขอมูลที่ไมใชตัวเลข ไมไดมีการใหรหัสตัวเลขที่จะ นําไปวิเคราะหทางสถิติ แตเปนขอความหรือขอสนเทศเชน เพศ ระดับการศึกษา อาชีพ 1.4 แหลงที่มาของขอมูล แหลงขอมูลที่สําคัญ ไดแก บุคคล เชน ผูใหสัมภาษณ ผูกรอกแบบสอบถาม บุคคลที่ถูกสังเกต เอกสารทุกประเภท และขอมูลสถิติจากหนวยงาน รวมไปถึง ภาพถาย แผนที่ แผนภูมิ หรือแมแตวัตถุ สิ่งของ ก็ถือเปนแหลงขอมูลไดทั้งสิ้น โดยทั่วไปสามารถจัดประเภทขอมูลตามแหลงที่มาได 2 ประเภท คือ
154 1) ขอมูลปฐมภูมิ (Primary Data) คือ ขอมูลที่ผูวิจัยเก็บขึ้นมาใหมเพื่อ ตอบสนอง วัตถุประสงคการวิจัยในเรื่องนั้นๆ โดยเฉพาะการเลือกใชขอมูลแบบปฐมภูมิ ผูวิจัยจะสามารถเลือกเก็บ ขอมูลไดตรงตามความตองการและสอดคลองกับวัตถุประสงค ตลอดจนเทคนิคการวิเคราะห แตมีขอเสีย ตรงที่สิ้นเปลืองเวลา คาใชจาย และอาจมีคุณภาพไมดีพอ หากเกิดความผิดพลาดในการเก็บขอมูลภาคสนาม 2) ขอมูลทุติยภูมิ (Secondary Data) คือ ขอมูลตางๆ ที่มีผูเก็บหรือรวบรวมไวกอนแลว เพียงแตนักวิจัยนําขอมูลเหลานั้นมาศึกษาใหม เชน ขอมูลสํามะโนประชากร สถิติจากหนวยงาน และ เอกสารทุกประเภท ชวยใหผูวิจัยประหยัดคาใชจาย ไมตองเสียเวลากับการเก็บขอมูลใหม และสามารถศึกษา ยอนหลังได ทําใหทราบถึงการเปลี่ยนแปลงและแนวโนมการเปลี่ยนแปลงของปรากฏการณที่ศึกษา แตจะมี ขอจํากัดในเรื่องความครบถวนสมบูรณ เนื่องจากบางครั้งขอมูลที่มีอยูแลวไมตรงตามวัตถุประสงคของเรื่อง ที่ผูวิจัยศึกษา และปญหาเรื่องความนาเชื่อถือของขอมูล กอนจะนําไปใชจึงตองมีการปรับปรุงแกไขขอมูล และเก็บขอมูลเพิ่มเติมจากแหลงอื่นในบางสวนที่ไมสมบูรณ 1.4 วิธีการเก็บรวบรวมขอมูล อาจแบงเปนวิธีการใหญๆ ได 3 วิธี คือ 1) การสังเกตการณ (Observation) ทั้งการสังเกตการณแบบมีสวนรวม และการ สังเกตการณแบบไมมีสวนรวม หรืออาจจะแบงเปนการสังเกตการณแบบมีโครงสราง และการสังเกตการณ แบบไมมีโครงสราง 2) การสัมภาษณ (Interview) นิยมมากในทางสังคมศาสตร โดยเฉพาะการสัมภาษณโดยใช แบบสอบถาม การสัมภาษณแบบเจาะลึก หรืออาจจะจําแนกเปนการสัมภาษณเปนรายบุคคล และการ สัมภาษณเปนกลุม เชน เทคนิคการสนทนากลุม ซึ่งนิยมใชกันมาก 3) การรวบรวมขอมูลจากเอกสาร เชน หนังสือ รายงานวิจัย วิทยานิพนธ บทความ สิ่งพิมพ ตางๆ เปนตน 1.5 ขั้นตอนการเก็บรวบรวมขอมูล 1. การสัมภาษณบุคคลที่เกี่ยวของ 2. การบันทึกขอมูลจากบันทึกหรือเอกสารของหนวยงานตางๆ 3. การอานและศึกษาคนควา 4. การคนหาขอมูลจากอินเทอรเน็ต 5. การเขารวมในเหตุการณตางๆ 6. การฟงวิทยุและดูโทรทัศน
155 แบบฝกหัดที่ 1 1. ใหผูเรียนพิจารณาขอความตอไปนี้แลวเขียนเครื่องหมาย ลงในชองที่ตรงกับความคิดเห็นของผูเรียน ขอที่ ขอความ ขอมูลสถิติ เปน ไมเปน 1 แดงสูง 163 เซนติเมตร 2 นางสาวิภาวีมีสวนสัดเปน 35-24-36 3 น้ําหนักของนักเรียนทุกคนที่เรียนชุดการเรียนทางไกล 4 อุณหภูมิที่จังหวัดปทุมธานีวันนี้วัดได 25 องศาเซลเซียส 5 สมศรีไดคะแนน 15 คะแนน 6 ในการโยนเหรียญ 10 ครั้ง เกิดหัว 6 ครั้ง เกิดกอย 4 ครั้ง ได อัตราสวนที่จะเกิดหัว 10 6 7 อาจารยศุภราเงินเดือน 23,000 บาท 8 ความสูงเฉลี่ยของประชาชนที่เปนชาย 162เซนติเมตร 9 คน 6 คน เปนชาย 4 คน เปนหญิง 2 คน ที่อยูในบานวิชัย 10 จํานวนคดีอาชญากรรมในป 2551 ซึ่งรวบรวมมาจากบันทึกคดี อาชญากรรมแตละวันในแตละสถานีตํารวจ 2.ใหผูเรียนพิจารณาขอมูลในแตละขอตอไปนี้ แลวเขียนเครื่องหมาย ลงในชองที่ตรงกับความคิดเห็น ขอที่ ขอความ ขอมูลสถิติ ขอมูล คุณภาพ ขอมูล ปริมาณ 1 สถิติคนไขแยกตามเชื้อโรคของโรงพยาบาลแหงหนึ่ง 2 จํานวนครั้งของการโทรศัพททางไกลจากแตละเครื่องใน สํานักงาน 10 เครื่อง ในวันหนึ่ง 3 ผูจัดการถูกสัมภาษณถึงจํานวนเปอรเซ็นตของเวลาทํางานที่ใชใน การประชุม 4 เครื่องสําอางโดยเฉพาะสีของสีทาปาก ซึ่งแตละบริษัทใน 10 บริษัท ไดระบุวามียอดขายมากที่สุด
156 3. ใหผูเรียนพิจารณาขอความตอไปนี้ แลวเติมคําตอบลงในชองวางตามความคิดเห็นของผูเรียนวาเปนขอมูล ปฐมภูมิ หรือทุติยภูมิ 1) รายงานประจําปของหนวยงานตางๆ ……………………………………………………………………………………………………… 2) สํานักงานสถิติแหงชาติ ตองการเก็บสถิติผลผลิตขาวทั่วประเทศโดยการไปสัมภาษณชาวนา ……………………………………………………………………………………………………… 3) ศิรินภาไปขอขอมูลเกี่ยวกับจํานวนคนเกิด ตาย และยาย ซึ่งสํานักงานเทศบาลแหงหนึ่งได รวบรวมไว ……………………………………………………………………………………………………… 4) บรรณารักษหองสมุดโรงเรียนแหงหนึ่ง ไดสังเกตและบันทึกการใชหองสมุดของนักเรียน แตละวัน ……………………………………………………………………………………………………… 5) ครูคนหนึ่งตองการทราบวาหองสมุดของโรงเรียนมีนักเรียนใชมากหรือนอยเพียงใดในแตละวัน จึงไปขอลอกขอมูลจากบรรณารักษ ………………………………………………………………………………………………………
157 เรื่องที่ 2 การนําเสนอขอมูล การนําเสนอขอมูลเปนการนําขอมูลที่เก็บรวบรวมมาจากแหลงตาง ๆ ซึ่งยังไมเปนระบบ มาจัดเปน หมวดหมูใหมีความสัมพันธเกี่ยวของกันตามวัตถุประสงค เพื่อสะดวกแกการอาน ทําความเขาใจ การ วิเคราะห และแปลความหมาย เพื่อประยุกตใชในชีวิตประจําวันตอไป การนําเสนอขอมูลแบงออกเปน 2 ประเภท ไดแก 1. การนําเสนอขอมูลอยางไมมีแบบแผน (informal presentation) หมายถึงการนําเสนอขอมูลที่ไมมี กฎเกณฑ หรือแบบแผนที่แนนอนตายตัวเปนการอธิบายลักษณะของขอมูลตามเนื้อหาขอมูล ที่นิยมใชมีสอง วิธีคือการนําเสนอขอมูลในรูปบทความหรือขอความเรียง และการนําเสนอขอมูลในรูปบทความกึ่งตาราง -การนําเสนอขอมูลในรูปขอความ นิยมใชกับขอมูลที่มีจํานวนไมมากนัก เชน ในปงบประมาณ 2552 กศน.บานแพว ไดอนุมัติใหนักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนตนจบการศึกษาจํานวน 480 คน คิดเปน รอยละ 92 อนุมัติใหนักเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนปลายจบการศึกษาจํานวน 372 คน คิดเปนรอยละ 95 -การนําเสนอขอมูลในรูปขอความกึ่งตาราง (Semi –tabular arrangement) คือการนําเสนอขอมูล โดยแยกตัวเลขออกจากขอความเพื่อตองการใหเห็นตัวเลขที่ชัดเจนและเปรียบเทียบความแตกตางไดสะดวก ยิ่งขึ้นตัวอยาง เชน บริษัทคอมพิวเตอรแหงหนึ่งมีจํานวนยอดขายประจําเดือนมกราคม 2553 ของลูกคา จําแนกตามภาคตาง ๆ ดังนี้ ภาค จํานวนยอดขาย ( พันเครื่อง) เหนือ 210 กลาง 398 ตะวันออก 135 ตะวันออกเฉียงเหนือ 102 ใต 170 2. การนําเสนอขอมูลอยางมีแบบแผน เปนการนําเสนอขอมูลที่มีกฎเกณฑ โดยแตละแบบจะตอง ประกอบดวยชื่อเรื่อง สวนของการนําเสนอ และแหลงที่มาของขอมูล การนําเสนอขอมูลอยางมีแบบแผน ประกอบดวย การนําเสนอขอมูลในรูปตาราง แผนภูมิรูปภาพ แผนภูมิวงกลม (แผนภูมิกง) แผนภูมิแทง กราฟเสน และตารางแจกแจงความถี่ 2.1 การนําเสนอขอมูลในรูปตาราง การนําเสนอในรูปตาราง (Tabularpresentation)ขอมูลตางๆที่เก็บรวบรวมมาไดเมื่อทําการ ประมวลผลแลวจะอยูในรูปตาราง เปนการนําเสนอขอมูลที่งาย และนิยมใชกันอยางแพรหลาย เพราะมี ความสะดวกและงายแกการนําไปวิเคราะหและแปลความหมายทางสถิติ
158 เปรียบเทียบการปรับราคาน้ํามันป 2521-2523 (ราคา : บาท /ลิตร) ชนิดน้ํามัน 2521 2522 2523 10 มี.ค. 31 ม.ค. 22 มี.ค. 13 ก.ค. 20 ก.ค. 9 ก.พ. 20 มี.ค. เบนซินพิเศษ 4.98 5.60 - 7.84 - 9.80 - เบนซินธรรมดา 4.98 5.12 - 7.45. - 9.26 - น้ํามันกาด 2.68 3.06 - 5.12 4.20 6.71 5.70 ดีเซลหมุนเร็ว 2.64 3.03 - 4.88 - 7.39 6.50 ดีเซลหมุนชา 2.50 2.93 - 4.71 - 7.12 6.27 น้ํามันเตา 450 1.52 - - - - - - น้ํามันเตา 600 1.66 1.86 1.90 3.04 - 3.78 - น้ํามันเตา1,200 1.62 1.79 1.83 2.93 - 3.64 - น้ํามันเตา1,500 1.61 1.77 1.81 2.90- - 3.61 - ที่มา:ภาวะการคาของประเทศไทยป 2522 สภาหอการคาแหงประเทศไทย 2.2 การนําเสนอขอมูลดวยแผนภูมิรูปภาพ แผนภูมิรูปภาพ คือแผนภูมิที่ใชรูปภาพแทนจํานวนของขอมูลที่นําเสนอ เชน แผนภูมิรูปภาพคน รูปภาพคน 1 คนแสดงประชากรที่นําเสนอ 1 ลานคน เปนตน การเขียนแผนภูมิรูปภาพอาจกําหนดใหรูปภาพ 1 รูปแทนจํานวนสิ่งของ 1 หนวย หรือหลายหนวยก็ได รูปภาพแตละรูปตองมีขนาดเทากันเสมอ แผนภูมิแสดงงานอดิเรกของนักเรียนชั้น ป. 6 ของโรงเรียนแหงหนึ่ง (สํารวจเมื่อวันที่ 19 มกราคม 2548) ปลูกตนไม อานหนังสือ วาดรูป เลี้ยงสัตว เลนกีฬา หมายเหตุ 1 ภาพ แทนจํานวนนักเรียน 15 คน
159 2.3การนําเสนอดวยแผนภูมิแทง(Bar chart) ประกอบดวยรูปแทงสี่เหลี่ยมผืนผาซึ่งแตละแทงมี ความหนาเทาๆ กัน โดยจะวางตามแนวตั้งหรือแนวนอนของแกนพิกัดฉากก็ได แผนภูมิแทงแบบทางเดียว เปนการนําขอมูลเพียงขอมูลเดียวมานําเสนอในรูปแบบของแทง สี่เหลี่ยม ตัวอยาง แผนภูมิแทงแสดงการสงออกไกไปตางประเทศ แผนภูมิแทงแสดงการเปรียบเทียบเปนการนําขอมูลตั้งแต 2 ชุดขึ้นไปที่เปนเรื่องเดียวกัน นํามาเขียน บนแกนคูเดียวกัน แลวระบายสีแทงสี่เหลี่ยมใหตางกันเพื่องายตอการดู แลวอธิบายวาสีใดแทนอะไร ตัวอยาง แผนภูมิแสดงการเปรียบเทียบยอดการขายแตละเดือนของบริษัทหนึ่ง ปริมาณ (ตัน) ประเทศ จํานวน (ลานบาท)
160 2.4การนําเสนอดวยกราฟเสน (Line graph) เปนแบบที่รูจักกันดีและใชกันมากที่สุดแบบ หนึ่ง เหมาะสําหรับขอมูลที่อยูในรูปของอนุกรมเวลาเชน ราคาขาวเปลือกในเดือนตางๆ ปริมาณสินคา สงออกรายป เปนตน จากตาราง นําเสนอขอมูลดวนกราฟเสน ดังนี้ 2.5การนําเสนอดวยรูปแผนภูมิวงกลม (Pie chart) เปนการแบงวงกลมออกเปนสวนตางๆตาม จํานวนชนิดของขอมูลที่จะนําเสนอ ตัวอยาง แผนภูมิวงกลมแสดงการใชที่ดินที่ถือครอบ เพื่อการเกษตร พ.ศ. 2518
161 2.6 การนําเสนอขอมูลในรูปตารางแจกแจงความถี่ ขอมูลที่เก็บรวบรวมมาไดนั้นถามีจํานวนมากหรือซ้ํากันอยูมาก เมื่อมาเรียงกันหรือจัดใหอยูเปน หมวดหมูแลวจะชวยใหเราบอกรายละเอียดตางๆ หรือสรุปผลเกี่ยวกับขอมูลไดสะดวกและรวดเร็วขึ้น เชน ในการชั่งน้ําหนักของนักเรียน 40 คน หนวยเปนกิโลกรัมปรากฏผลดังนี้ 57 44 46 41 48 50 51 42 43 45 45 43 42 40 50 41 47 60 50 52 46 42 42 53 46 55 45 41 50 42 44 41 40 45 59 44 49 50 39 42 ในทางสถิติเรียกวา ขอมูลดิบ หรือคะแนนดิบ หรือคาจากสังเกต เมื่อนํามาจัดเรียงใหมใหเปนระบบ โดยอาจเรียงจากมากไปหานอยหรือจากนอยไปหามาก แลวบันทึกรอยขีด แสดงจํานวนครั้งของขอมูลที่ เกิดขึ้นซ้ํากันในตาราง จํานวนรอยขีดที่นับไดเรียกวา ความถี่ของแตละขอมูล ตารางที่นําเสนอขอมูลในรูปแบบนี้เรียกวา ตารางแจกแจงความถี่และวิธีการจําแนกขอมูลโดยการ บันทึกรอยขีดเพื่อหาคาความถี่เรียกวา การแจกแจงความถี่ การสรางตารางแจกแจงความถี่ ในกรณีที่ขอมูลที่เก็บรวบรวมมามีจํานวนมากๆ และไมคอยซ้ํากัน ถาจะเรียงลําดับจะเปนการ เสียเวลาและสิ้นเปลืองมาก จึงกําหนดขอมูลเปนชวงๆ และหาความถี่ของชวงขอมูลนั้นๆ วิธีการสรางตารางแจกแจงความถี่ โดยจัดเปนอันตรภาคชั้นใหทุกๆชั้นมีความกวางเทากัน มีวิธีการ ดังนี้ 1. หาพิสัยของขอมูล พิสัย =ขอมูลที่มีคาสูงสุด –ขอมูลที่มีคาต่ําสุด
162 2. กําหนดจํานวนชั้นหรือกําหนดความกวางของอันตรภาคชั้นขึ้นมา - ถากําหนดจํานวนชั้นก็ใหหาความกวางของอันตรภาคชั้น ความกวางของอันตรภาคชั้น = พิสัย จํานวนอันตรภาคชั้น (เศษเทาไรปดขึ้นเสมอ) -ถากําหนดความกวางของอันตรภาคชั้นก็หาจํานวนชั้นไดจาก จํานวนอันตรภาคชั้น = พิสัย ความกวางของอันตรภาคชั้น (เศษเทาไรปดขึ้นเสมอ) 3. เขียนอันตรภาคชั้นโดยเรียงคาจากนอยไปมากหรือจากมากไปนอย ถาเรียงคาจากนอยไปมากตองให ขอมูลที่มีคาต่ําสุดในอันตรภาคชั้นแรกและขอมูลที่มีคาสูงสุดอยูในอันตรภาคชั้นสุดทาย 4. นําขอมูลดิบมาใสในตารางโดยใชรอยขีด 5. รวมความถี่ตามรอยขีด ตัวอยางจากขอมูล 72 74 49 50 62 43 44 54 46 54 45 53 63 67 65 57 65 50 66 69 80 77 60 55 52 56 61 61 82 74 48 66 71 81 51 59 48 68 70 63 จงหา 1. พิสัย 2. จงสรางตารางแจกแจงความถี่ ใหมีทั้งหมด 6 ชั้น 3. จงสรางตารางแจกแจงความถี่ใหมีความกวางของอันตรภาคชั้นทุกชั้นเปน 8 ทุกชั้น
163 วิธีทํา 1. ขอมูลที่มีคาสูงสุดเปน 82 ขอมูลที่มีคาต่ําสุดเปน 43 ดังนั้นพิสัย = 82 –43= 39 ตอบพิสัยเปน 39 2. โจทยกําหนดใหสรางตารางแจกแจงความถี่ทั้งหมด 6 ชั้น จํานวนอันตรภาคชั้น = พิสัย ความกวางของอันตรภาคชั้น จํานวนชั้น = 6 39 = 6.5 7 ดังนั้นความกวางของอันตรภาคชั้นเปน 7 เขียนอันตรภาคชั้นโดยเรียงคาจากนอยไปมากหรือจากมากไปนอยถาเอาขอมูลที่มีคาต่ําสุดเปนตัวเริ่มตน และใหมีความกวางของอันตรภาคชั้นเปน 7 จัดไดดังนี้ อันตรภาคชั้น รอยขีด ความถี่ 43-49 //// // 7 50-56 //// //// 9 57-63 //// /// 8 64-70 //// /// 8 71-77 //// 5 78-84 /// 3 รวม 40 จากตารางแจกแจงความถี่ขางตน มีคาตางๆ ที่ผูเรียนควรทราบอีก คือ 1. ขอบลาง = คาที่นอยที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้น + คาที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ต่ํากวาหนึ่งชั้น 2 หรือ ขอบลาง = คาที่นอยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่เราตองการ - 0.5 เชน ขอบลางของอัตรภาคชั้น 50-56 ไดแก 49.5
164 2. ขอบบน = คาที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้น + คาที่นอยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่สูงกวาหนึ่งชั้น 2 หรือ ขอบบน = คาที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่เราตองการ + 0.5 เชน ขอบบนของอันตรภาคชั้น 50- 56= 56.5 2 56 57 หรือ ขอบบน = 56 + 0.5 = 56.5 3. จุดกึ่งกลางชั้น = ขอบลาง + ขอบบน (ของอันตรภาคชั้น) 2 เชน อันตรภาคชั้น 50 –56 มีขอบบน และขอบลาง ไดแก 49.5 และ 56.5 ตามลําดับ ดังนั้น จุดกึ่งกลางชั้น = 53 2 49.5 56.5
165 แบบฝกหัดที่ 2 1. แผนภูมิรูปวงกลมแสดงรายไดของหางสรรพสินคาแหงหนึ่งโดยเฉลี่ยตอวัน จําแนกตามแผนกตางๆ จากแผนภูมิจงตอบคําถามตอไปนี้ 1) รายไดจากแผนกเสื้อผาบุรุษ และแผนกเสื้อผาสตรีรวมกันมากกวาหรือนอยกวารายไดจากแผนกเครื่อง เขียน แบบเรียนอยูกี่เปอรเซ็นต ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2) รายไดจากแผนกใดนอยที่สุด และคิดเปนรอยละเทาไรของรายไดจากแผนกที่รายไดมากที่สุด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3) รายไดจากแผนกเสื้อผาสตรีคิดเปนรอยละเทาไรของรายไดจากแผนกเครื่องเขียน แบบเรียน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4) แผนกใดที่มีรายไดมากเปนอันดับสอง และรายไดนั้นคิดเปนรอยละเทาไรของรายไดทั้งหมด ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................
166 2. จากการสอบถามงบประมาณที่แตละกลุมสาระการเรียนรูไดมาจากการจัดสรรงบประมาณของทาง โรงเรียน เปนดังนี้ กลุมสาระการเรียนรู งบประมาณ (บาท) จํานวนเปอรเซ็นต ขนาดของมุมที่จุดศูนยกลาง ของรูปวงกลม (องศา) คณิตศาสตร 35,000 100 10.29 340000 35000 360 37.06 340000 35000 วิทยาศาสตร 100,000 ภาษาตางประเทศ 48,000 ภาษาไทย 34,500 ศิลปะ 18,500 การงานอาชีพและเทคโนโลยี 40,500 สุขศึกษาและพลศึกษา 29,500 สังคมศึกษา ศาสนา และ วัฒนธรรม 34,000 รวม 340,000 3. จงเขียนแผนภูมิรูปวงกลมโดยใชจํานวนเปอรเซ็นตและขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางของรูปวงกลมที่ คํานวณไดจากตารางขางตน
167 4. ใหผูเรียนพิจารณากราฟเสนตอไปนี้ จากกราฟเสน จงตอบคําถามตอไปนี้ 1) ใน พ.ศ. ใดบางที่ปริมาณไมสักที่ผลิตไดมีมากกวาไมประดู ............................................................................................................................................................. 2) ในพ.ศ. ใดที่ปริมาณของไมสักและไมประดูที่ผลิตไดตางกันมากที่สุด และตางกันประมาณกี่ลูกบาศก เมตร ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................
168 3) ในชวง พ.ศ. 2531 –2533 ปริมาณไมสักและไมประดูที่ผลิตไดมีลักษณะการเปลี่ยนแปลงเปนอยางไร และชนิดใดมีการเปลี่ยนแปลงมากกวา ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4) ใน พ.ศ. 2532 ปริมาณไมสักที่ผลิตไดคิดเปนกี่เปอรเซ็นตของปริมาณไมประดูที่ผลิตไดในปเดียวกัน (ตอบเปนคาประมาณของจํานวนเต็มหนวย) ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 5) ปริมาณไมประดูในปที่ผลิตไดมากที่สุดและในปที่ผลิตไดนอยที่สุดแตกตางกันประมาณกี่ลูกบาศกเมตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ...............................................................................................................................................
169 4. ตารางแสดงรายจับ –รายจายของนาย ก ในรอบ 6เดือนแรกของป พ.ศ. 2546เปนดังนี้ จากตารางจงนําเสนอขอมูลดวยกราฟเสน
170 เรื่องที่ 3 การหาคากลางของขอมูล การหาคากลางของขอมูลที่เปนตัวแทนของขอมูลทั้งหมดเพื่อความสะดวกในการสรุปเรื่องราว เกี่ยวกับขอมูลนั้นๆจะชวยทําใหเกิดการวิเคราะหขอมูลถูกตองดีขึ้นการหาคากลางของขอมูลมีวิธีหาหลายวิธี แตละวิธีมีขอดีและขอเสียและมีความเหมาะสมในการนําไปใชไมเหมือนกันขึ้นอยูกับลักษณะขอมูลและ วัตถุประสงคของผูใชขอมูลนั้นๆ คากลางของขอมูลที่สําคัญมี 3 ชนิด คือ 1. คาเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean)คือ คาที่ไดจากผลรวมของขอมูลทั้งหมด หารดวยจํานวนขอมูล ทั้งหมด ใชสัญลักษณคือ x N x x x x x n ... 1 2 3 X แทน ขอมูล N แทน จํานวนขอมูล ตัวอยางจากการสอบถามอายุของนักเรียนกลุมหนึ่งเปนดังนี้14 , 16 , 20, 25, 30 วิธีทํา คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้ คือ 5 14 16 20 25 30 = 5 105 = 21 ตัวอยาง จากขอมูล 4, 8, 4, 5, 8, 5, 6, 8 วิธีทํา คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้ คือ 8 4 8 4 5 8 5 6 8 = 8 48 = 6
171 2. มัธยฐาน (Median) คือคาที่มีตําแหนงอยูกึ่งกลางของขอมูลทั้งหมด เมื่อไดเรียงขอมูลตามลําดับไมวาจากนอยไปมาก หรือจากมากไปนอยใชสัญลักษณMed หลักการคิด 1) เรียงขอมูลที่มีอยูทั้งหมดจากนอยไปมาก หรือมากไปนอยก็ได 2) ตําแหนงมัธยฐานคือ ตําแหนงกึ่งกลางขอมูล ดังนั้นตําแหนงของมัธยฐาน = 2 N 1 เมื่อ N คือจํานวนขอมูลทั้งหมด ตัวอยาง จงหามัธยฐานจากขอมูลตอไปนี้ 3, 10, 4, 15, 1,24, 28, 8, 30, 40, 23 วิธีทํา 1. เรียงขอมูลจากนอยไปหามาก หรือมากไปหานอย จะได 1, 3, 4, 8, 10, 15, 23, 24, 28, 30, 40 2. หาตําแหนงของขอมูล จาก 2 N 1 จะได 6 2 11 1 ดังนั้น มัธยฐานอยูตําแหนงที่ 6 มีคาเปน 15 ถาขอมูลชุดนั้นเปนจํานวนคู จะใชคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลคูที่อยูตรงกลางเปนมัธยฐาน ตัวอยาง จงหามัธยฐานจากขอมูลตอไปนี้ 25, 3, 2, 10, 14, 6, 19, 22, 30, 8, 45, 36, 50, 17 วิธีทํา 1. เรียงขอมูลจากนอยไปหามาก หรือมากไปหานอย จะได 2, 3, 6, 8, 10, 14, 17, 19, 22, 25, 30, 36, 45, 50 2. หาตําแหนงของขอมูล จาก 2 N 1 จะได 7.5 2 14 1 มัธยฐานอยูระหวางตําแหนงที่ 7 และ 8 ดังนั้น มัธยฐาน คือ 18 2 17 19
172 3. ฐานนิยม (Mode) ฐานนิยมของขอมูลชุดหนึ่ง คือ ขอมูลที่มีความถี่สูงสุดในขอมูลชุดนั้นหรืออาจกลาววาขอมูลใด การซ้ํากันมากที่สุด(ความถี่สูงสุด)ขอมูลนั้นเปนฐานนิยมของขอมูลชุดนั้นและฐานอาจจะไมมี หรือมี มากกวา 1 คาก็ได ตัวอยาง จากขอมูล 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 8, 6, 4, 6, 7 จงหาฐานนิยม วิธีทํา จากขอมูลจะเห็นวา มี 2 อยูหนึ่งตัว มี 3 อยูสองตัว มี 4 อยูสามตัว มี 5 อยูหนึ่งตัว มี 6 อยูสามตัว มี 7 อยูหนึ่งตัว มี 8 อยูหนึ่งตัว ขอมูลที่มีความถี่สูงสุดในที่นี้มี 2 ตัวคือ 4 และ 6 ซึ่งตางก็มีความถี่เปน 3 ดังนั้น ฐานนิยมของขอมูลชุดนี้ คือ 4 และ 6
173 แบบฝกหัดที่ 3 1. จากขอมูล 2, 6,1, 5, 13, 6, 16 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน คาเฉลี่ยเลขคณิต = ………………………………………………….\ มัธยฐาน = …………………………………………………. ฐานนิยม = …………………………………………………. เรียงขอมูลจากมากไปหานอยหรือนอยไปหามาก คาเฉลี่ยเลขคณิต = …………………………………………………. มัธยฐาน คือ = …………………………………………………. ฐานนิยม คือ = …………………………………………………. 2. จากขอมูล 24, 16,18, 36, 7, 28, 6, 36, 12 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน คาเฉลี่ยเลขคณิต = ………………………………………………….\ มัธยฐาน = …………………………………………………. ฐานนิยม = …………………………………………………. เรียงขอมูลจากมากไปหานอยหรือนอยไปหามาก คาเฉลี่ยเลขคณิต = …………………………………………………. มัธยฐาน คือ = …………………………………………………. ฐานนิยม คือ = …………………………………………………. 3. จากขอมูล 10.1, 13.8, 15.6, 4.5, 18.6, 8.4 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน คาเฉลี่ยเลขคณิต = ………………………………………………….\ มัธยฐาน = …………………………………………………. ฐานนิยม = …………………………………………………. เรียงขอมูลจากมากไปหานอยหรือนอยไปหามาก คาเฉลี่ยเลขคณิต = …………………………………………………. มัธยฐาน คือ = …………………………………………………. ฐานนิยม คือ = ………………………………………………….
174 เรื่องที่ 4 การเลือกใชคากลางของขอมูล ในการที่จะเลือกใชคากลางคาใดนั้น ขึ้นอยูกับจุดประสงคของผูใช ซึ่งคากลางทั้งสามมีสมบัติที่ แตกตางกันดังนี้ คาเฉลี่ยเลขคณิต ขอเสีย 1. ถาขอมูลมีบางคาต่ําเกินไปหรือสูงเกินไป จะมีผลตอคาเฉลี่ยเลขคณิต จึงไมเหมาะสมที่จะใช เชน รายไดของพนักงาน 5 คน เปนดังนี้ 7,000 บาท 9,000 บาท 13,500 บาท 18,000 บาท 80,000 บาท 2. ถาขอมูลแจกแจงความถี่ชนิดปลายเปด เชน นอยกวาหรือเทากับ มากกวาหรือเทากับ จะ คํานวณหาคาเฉลี่ยเลขคณิตไมได 3. ใชไดกับขอมูลเชิงปริมาณเทานั้น ขอดี 1. มีประโยชนในการใชขอมูลจากตัวอยางอางอิงไปสูประชากร 2. สามารถคํานวณไดงายโดยใชคาที่ไดมาทุกจํานวน 3. มีการนําไปใชในสถิติชั้นสูงมากกวาคาเฉลี่ยแบบอื่น ๆ 4. สามารถเปรียบเทียบกับขอมูลชุดอื่นไดงาย ฐานนิยม ขอเสีย 1. บางครั้งหาฐานนิยมไมได 2. การคํานวณฐานนิยมไมไดใชคาของขอมูลทุกตัว จึงไมเปนตัวแทนที่ดีนัก 3. คาฐานนิยมไมคอยนิยมใชในสถิติชั้นสูง ขอดี 1. เขาใจงายและคํานวณงาย 2. สามารถคํานวณจากกราฟได 3. เปนคากลางที่ใชไดกับขอมูลเชิงคุณภาพ 4. เมื่อมีขอมูลบางตัวเล็กหรือใหญผิดปกติจะไมกระทบฐานนิยม 5. ใชไดดีเมื่อจุดประสงคมุงที่จะศึกษาสิ่งที่เกิดขึ้นบอย หรือลักษณะที่คนชอบมากหรือมีคะแนน สวนใหญรวมกันอยู ณ คาใดคาหนึ่ง 6. กรณีที่ขอมูลแจกแจงความถี่ชนิดปลายเปดสามารถหาฐานนิยมได
175 มัธยฐาน ขอเสีย 1. ใชไดกับขอมูลเชิงปริมาณเทานั้น 2. สําหรับขอมูลที่แจกแจงความถี่หรือขอมูลที่จัดกลุมมัธยฐานที่คํานวณไดจะไมใชคาขอมูลจริง ขอดี 1. คํานวณไดงายสําหรับขอมูลไมจัดกลุม 2. ขอมูลบางคามีคาสูงหรือต่ําเกินไป ไมกระทบกระเทือนตอมัธยฐาน จึงเหมาะที่จะใชมัธยฐานมาก ที่สุด 3. กรณีที่ขอมูลแจกแจงความถี่ชนิดปลายเปดก็สามารถหามัธยฐานได แบบฝกหัดที่ 4 1. จากตารางใหนักเรียนหาความถี่สะสม โดยเติมลงในชองความถี่สะสม
176 2. จากตารางในขอ 1 ฐานนิยม คือ ........................................................................................ มัธยฐาน คือ ....................................................................................... หาคาเฉลี่ยเลขคณิต ใหนักเรียนเติมคาตางๆ ลงในชองวางใหสมบูรณ คาเฉลี่ยเลขคณิต = …………………………………………….. = …………………………………………….. ดังนั้นคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ .......................................................
177 3. ตอไปนี้เปนตารางแจกแจงความถี่ของน้ําหนัก (หนวยเปนกิโลกรัม) ของนักเรียน 60 คน
178 2) ฐานนิยมของน้ําหนักอยูในชวงใด ............................................................................................................................................................. 3) โดยสวนใหญนักเรียนหนักอยูในชวงใด ............................................................................................................................................................. 4) ถาเรียงน้ําหนักนอยที่สุดไปยังน้ําหนักมากที่สุด จงหาตําแหนงของมัธยฐาน ............................................................................................................................................................. 5) นักเรียนคิดวามัธยฐานของน้ําหนักอยูในชวงใด ............................................................................................................................................................. 6) หาคาเฉลี่ยเลขคณิต ใหนักเรียนเติมคาตางๆ ลงในชองวางใหสมบูรณ
179 คาเฉลี่ยเลขคณิต = …………………………………………….. = …………………………………………….. ดังนั้นคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ .......................................................
180 เรื่องที่ 5 การใชสถิติ ขอมูลสารสนเทศ 5.1 สถิติในชีวิตประจําวัน ในชีวิตประจําวันของคนเรานั้น สถิติมีสวนเกี่ยวของอยูเสมอ เชน ในเรื่องเกี่ยวกับตัวนักเรียน อาจจะมีการหาความสูงโดยเฉลี่ย หรือหาน้ําหนักโดยเฉลี่ย หรือหา คะแนนเฉลี่ย หรือหาสวนสัดโดยเฉลี่ยของนักเรียนทั้งหองเรียน เปนตน ในเรื่องเกี่ยวกับครู-อาจารย ก็มีสถิติเกี่ยวกับจํานวนครู-อาจารย ระดับผลการเรียนของนักเรียน จํานวนนักเรียนที่ติด 0, ร. มส. จํานวนนักเรียนที่สอบเขามหาวิทยาลัยไดในแตละรุน แตละปและสถิติการ ทํางานในสถานที่ตางๆ ของนักเรียนที่จบการศึกษาในแตละรุน เปนตน ในเรื่องของขาวสาร สารสนเทศ จะเห็นวาในหนังสือพิมพ หรือในโทรทัศนจะมีตัวเลข แสดงให เห็นขอเท็จจริงตางๆ เชน สถิติเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงราคาหุน อาจจะนําเสนอในรูปแบบตางๆ เชน นําเสนอในรูปตาราง นําเสนอในรูปแผนภูมิแทง นําเสนอในรูปแผนภูมิวงกลม หรือนําเสนอในรูปกราฟเสน เปนตน ในเรื่องของแรงงาน ก็มีสถิติเกี่ยวกับจํานวนคนในกําลังแรงงานเปอรเซ็นตของคนวางงาน รายได และสวัสดิการที่คนงานไดรับ เปนตน ในเรื่องเกี่ยวกับการกสิกรรม จะเห็นวาเกษตรกรตองมีการพัฒนาอยูเรื่อยๆ เชน การศึกษา ผลผลิต ขาวพันธุใหมเทียบกับพันธุเดิม หรือการทดลองปลูกออยในที่ดินลักษณะตางๆ การปลูกมันสําปะหลังแบบ ใดจึงจะเหมาะกับสภาพดินของตนเอง หรือการปลูกหมอนเลี้ยงไหมพันธุไหนดีกวากัน จึงจะไดใบหมอนที่ มีคุณภาพทั้งยังเปนการประหยัดเวลาและแรงงาน ซึ่งสถิติมีสวนในการวางแผนการทดลองและการวิเคราะห ขอมูล ในเรื่องของการประกันชีวิต บริษัทประกันก็ตองมีสถิติของพนักงานหรือตัวแทน หรือผูจัดการแต ละฝาย หรือตําแหนงที่สูงกวา หรือสถิติยอดขายในแตละเดือน หรือการปรับอัตราการชําระเบี้ยประกันที่มี การปรับปรุงเปลี่ยนแปลงอาจจะแยกตามเพศ ตามอายุ ตามวงเงิน การกําหนดอัตราเบี้ยประกัน จะตองอาศัย ขอมูลที่ผานมา สถิติมีสวนในการคํานวณเบี้ยประกันตามวิธีของการประกันภัย พรอมทั้งมีการเสนอใน รูปแบบตางๆ โดยเฉพาะแบบตาราง เปนตน ในเรื่องเกี่ยวกับธุรกิจการคา บริษัทหางรานหรือสรรพสินคาตางๆ ก็มีสถิติเกี่ยวกับยอดขายสินคาใน แผนกตางๆ สถิติแสดงปริมาณสินคาที่ขายประเภทตางๆ สถิติยอดขายของพนักงานแตละคนนอกจากนี้สถิติ ยังไปเกี่ยวของกับการรับประกันอายุใชงานของสินคา สถิติชวยในการกําหนดวิธีเก็บรวบรวมขอมูลและการ วิเคราะหขอมูล นอกจากนี้สถิติก็ยังมีสวนเกี่ยวของกับการควบคุมคุณภาพสินคาที่ผลิตดวย
181 ในวงการแพทยก็มีสถิติเกี่ยวกับจํานวนแพทย พยาบาล จํานวนผูปวย จําแนกโรคตางๆ สถิติการ ผลิตและจํานวนยาประเภทตางๆ จํานวนคนตายจําแนกตามสาเหตุของการตาย จํานวนผูบริจาคเลือดในแต ละป เปนตนนอกจากนี้สถิติยังไมเกี่ยวของในการออกแบบ และการวางแผนการทดลอง การเก็บรวบรวม ขอมูล การวิเคราะหขอมูลเพื่อหาขอสรุป เกี่ยวกับการทดสอบประสิทธิผลของยารักษาโรคชนิดตางๆ อีก ดวย ในเรื่องของการบริหารงานขององคกรตางๆ อาทิ องคกรของรัฐ เชน ระดับอําเภอก็มีสถิติเกี่ยวกับ ประชากรในแตละหมูบาน ในแตละตําบล สถิติเกี่ยวกับอาชีพตาง ๆ ผลผลิตแตละป การศึกษาของคนในแต ละชุมชนเปนอยางไร จะจัดสรรงบประมาณไปใหแตละแหงมากนอยเพียงใด สถิติมีสวนเกี่ยวของมาก นอกจากที่กลาวมาแลวขางตน สถิติยังไปเกี่ยวของกับชีวิตประจําวันอีกหลายอยาง เชน การสํารวจ ความคิดเห็นหรือโพล การรวมแสดงความคิดเห็นโดยการสง sms ซึ่งคิดออกมาในรูปรอยละเห็นดวยไมเห็น ดวย นําเสนอผานหนาจอโทรทัศนเปนประจํา สถิติเกี่ยวกับน้ําทวม ไรนาเสียหายไปกี่ไร จะมีมาตรการ อยางไรที่จะแกไข ในปตอไปซึ่งตองมีการเก็บรวบรวมขอมูลจากปที่ผานๆ มา หรือสถิติคนใชบริการรถ โดยสารในชวงเทศกาลตางๆ สถิติการเกิดอุบัติเหตุบนทองถนน ซึ่งขอมูลเหลานี้ลวนแตเกี่ยวของกับสถิติ ทั้งสิ้น แบบฝกหัดที่ 1 ใหนักศึกษาอภิปรายหาขอมูลสารสนเทศที่เคยมีประสบการณ มา 4 –5 ชนิด
182 5.2 การใชขอมูลสารสนเทศ การเลือกใชขอมูลในการตัดสินใจ เปนสิ่งที่มีประโยชนมาก เพราะในการดํารงชีวิตของคนเรามัก เกี่ยวของกับเหตุการณตางๆ มากมาย จึงจําเปนตองอาศัยการตัดสินใจอยางมีระบบระเบียบ มีหลักมีเกณฑ และมีเหตุผล โดยนําปจจัยตางๆ มาพิจารณากอนที่จะตัดสินใจ เพื่อใหไดทางเลือกที่ดีที่สุด ซึ่งตองอาศัยทั้ง ความรูประสบการณ ขอมูล ขาวสารตางๆ เปนสวนประกอบ เพื่อไมใหเกิดความผิดพลาดหรือโอกาสที่จะ ผิดพลาดมีนอยที่สุด เชน การเลือกสิ่งตาง ๆ การตัดสินใจ การเลือกซื้อสินคาอยางหนึ่ง 1. คุณภาพดี 2. ราคาไมแพงเกินไป 3. มีคนนิยมมาก 4.จําเปนตองใช 5. ชอบเปนชีวิตจิตใจ การเลือกธนาคารเพื่อการออม 1. ธนาคารของรัฐบาล 2. ธนาคารใกลบาน 3. ธนาคารใกลที่ทํางาน 4. ใหผลประโยชนมาก 5. การไปมาสะดวก 6. ธนาคารที่มีความมั่นคงไม สั่นคลอน หรือ ไมมีขาวออกมา ในทางไมสูดีอยูเสมอๆ การลงทุนในกิจการอยางใดอยางหนึ่ง 1. เงินลงทุน 2. ผลผลิตที่ได 3. คุมคาแรงงานหรือไม 4. เปนที่นิยมหรือเปลา การเลือกชมรายการโทรทัศนชองตางๆ 1. รายการโปรด 2. เนื้อหาสาระดี 3. ใหความบันเทิง 4. การนําเสนอทันสมัย 5. มีประโยชนสามารถนําไป ประยุกตใชได 6. เพื่อการลงทุน เชน หุน
183 การเดินทาง รายงานขาวบอกวามีรถติดที่ถนนใดบาง 1. อาจหลีกเลี่ยงเสนทางดังกลาว 2. รอจนกวาจะเดินรถสะดวกกอน เทศกาลตางๆ รถจะแนน เมื่อเดินทาง 1. อาจไมกลับในชวงเทศกาล ไปตางจังหวัด 2. อาจเลือกกลับหลังเทศกาล 1 –2 วัน เปนตน นอกจากนี้การตัดสินใจยังมีความสําคัญในการประกอบธุรกิจตางๆ ทั้งธุรกิจขนาดเล็กและธุรกิจ ขนาดใหญ นักธุรกิจอาจพบปญหาในดานตางๆ มากมายที่จะตองตัดสินใจอยูเสมอ เชน ปญหาดานการตลาด ปญหาดานการขยายการลงทุน ปญหาแรงงาน ปญหาในดานการกําหนดราคา ปญหาพนักงาน คาครองชีพ ปญหาดานการเงิน ซึ่งนักธุรกิจจะใชประสบการณหรือคําสั่งสอนอบรมจากพอแม บรรพบุรุษมาแกปญหา อยางเดียวไมไดอาจจะเกิดความผิดพลาดได ดังนั้น นักธุรกิจควรใชขอมูลและวิธีการทางสถิติมาชวยใน การตัดสินใจ สําหรับในระดับนี้การเลือกใชขอมูลในการตัดสินใจอาจจะเกี่ยวกับคากลางที่กลาวมาแลวดวย เชน ถา ตองการกะประมาณรายไดของประชากรทั้งประเทศ ควรใชคากลาง คือ คาเฉลี่ยเลขคณิต หรือประมาณจํานวน พลเมืองที่ชอบดูทีวีสีชอง 7ควรเลือกใชคากลางฐานนิยม หรือถาขอมูลมีคาต่ําและคาสูงแตกตางกันมากควร ตัดสินใจเลือกใชคากลางมัธยฐาน เปนตน ในเรื่องนี้ผูเรียนจะไดเรียนละเอียดในชั้นสูงตอไป
184 บทที่ 10 ความนาจะเปน สาระสําคัญ 1. การนับจํานวนผลลัพธที่เกิดจากการทดลองใด ๆ 2. ความนาจะเปน แสดงใหทราบวา เหตุการณใดเหตุการณหนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นมากนอยเพียงใด อันจะมีประโยชนตอการตัดสินใจในการดําเนินงานนั้น ๆ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. หาความนาจะเปนของเหตุการณจากการทดลองสุมที่ผลแตละตัวมีโอกาสที่จะเกิดขึ้นเทา ๆ กัน 2. ใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนในการคาดการณไดอยางสมเหตุสมผล 3. ใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนประกอบการตัดสินใจ ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 การทดลองสุมและเหตุการณ เรื่องที่ 2 ความนาจะเปนของเหตุการณ เรื่องที่ 3 การนําความนาจะเปนของเหตุการณตางๆ ไปใช
185 เรื่องที่ 1 การทดลองสุม และเหตุการณ 1.1 การทดลองสุม คือการกระทําที่เราทราบผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดแตเราไมทราบวาผลลัพธใดจะเกิดขึ้นเชน 1. โยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง ผลที่เกิดขึ้นไดมีสองอยาง คือ “ออกหัว” หรือ “ออกกอย”จะไดวาผล ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นคือ หัวและกอย 2. ทอดลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง ผลที่เกิดขึ้น คือ การขึ้นแตมของหนาใดหนาหนึ่งของลูกเตา ซึ่งมีทั้งหมด 6 หนา ไดแก 1, 2 , 3, 4, 5,6 ตัวอยางจงเขียนผลที่อาจเกิดขึ้นไดทั้งหมดในการโยนเหรียญสิบบาท 1 อัน และเหรียญหาบาท 1 อัน พรอม กัน วิธีทํา ในการโยนเหรียญ 1 อัน ผลที่อาจเกิดขึ้นคือ หัวและกอย ถาให H แทนหัว ให T แทนกอย ในการหาผลที่อาจจะเกิดขึ้นไดทั้งหมด จากการโยนเหรียญสิบบาท และโยนเหรียญหาบาทอยางละ 1 อัน อาจใชแผนภาพชวยไดดังนี้ H ผลที่อาจจะเกิดจาก ผลที่อาจจะเกิดจาก ผลที่อาจเกิดจากการ การโยนเหรียญบาท การโยนเหรียญ โยนทั้งสองเหรียญ หาสิบสตางค
186 จากแผนภาพจะเห็นวา ถาเหรียญสิบบาทออกหัว เหรียญหาบาทจะออกหัวหรือออกกอยก็ได จึง ไดผลที่อาจเกิดจากการโยนทั้งสองเหรียญเปน H,H กับ H,T ในทํานองเดียวกัน ถาเหรียญสิบบาทออกกอย เหรียญหาบาทอาจจะออกหัวหรือออกกอยก็ไดจึง ไดผลที่อาจเกิดจากการโยนเหรียญทั้งสองเปน T,H กับ T,T ฉะนั้น ถาเราใชคูอันดับเขียนผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได โดยใหสมาชิกตัวที่หนึ่งของคูอันดับแทน ผลที่อาจเกิดขึ้นจากเหรียญสิบบาท สมาชิกตัวที่สองของคูอันดับแทนผลที่อาจเกิดขึ้นจากเหรียญหาบาท จะ ได ผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้น คือ (H,H), (H,T), (T,H), (T,T) เราอาจเขียนแสดงผลในรูปตารางไดดังนี้
187 แบบฝกหัดที่ 1 1. ใหผูเรียนพิจารณาการทดลองสุมตอไปนี้วาผลจากการทดลองสุมอาจเปนอยางไรบาง 1). โยนเหรียญสิบบาท 1 อัน ……………………………………………………………………………………………... 2). โยนเหรียญสิบบาทสองอันพรอมกัน ……………………………………………………………………………………………... 3). หยิบลูกปงปอง 2 ลูกพรอมๆกัน จากกลองที่มีลูกปงปองสีเหลือง 3 ลูก สีแดง 1 ลูก ……………………………………………………………………………………………... 2.จงเขียนผลที่อาจจะเกิดขึ้นไดทั้งหมดจากการหมุนแปนวงกลมที่มีหมายเลข 1 และ2 แลวมาโยนเหรียญ บาท 1 อัน ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………. 3. จงเขียนผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดจากการหยิบสลาก 1 ใบ จากสลากที่เขียนหมายเลขตั้งแต 10 ถึง 20 ไว ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………. 1.2 เหตุการณ ในการทดลองสุมโยนเหรียญบาท 1 เหรียญและเหรียญหาสิบสตางค 1 เหรียญ นักเรียนทราบแลว วาผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดคือ(H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T) ถาเราสนใจผลที่จะเกิดกอยอยาง นอย 1 เหรียญ จะไดวา ผลที่จะเกิดกอยอยางนอย 1 เหรียญ คือ (H, T), (T, H) และ (T, T) เราเรียกผลที่ เราสนใจจากการทดลองสุมวา เหตุการณ พิจารณาการหลับตาหยิบลูกบอล 1 ลูกจากถุงซึ่งมีลูกบอลสีเขียว 4 ลูก คือ ข1, ข2, ข3 และ ข4 ดังนั้น
188 จากการทดลองสุมครั้งนี้จะเห็นไดวาจะหยิบลูกบอลครั้งใดก็จะไดลูกบอลสีเขียวเสมอ ซึ่งผลทั้งหมด ที่อาจจะเกิดขึ้นไดคือ ข1, ข2, ข3 และ ข4 และถาสนใจเหตุการณ"หยิบไดลูกบอลสีเขียว” จะไดวาเหตุการณคือข1, ข2, ข3 และ ข4 จะเห็นวา ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได และเหตุการณที่จะหยิบไดลูกบอลสีเขียวเปนผลชุดเดียวกันเรา เรียกเหตุการณ "หยิบไดลูกบอลสีเขียว" จากการทดลองสุมครั้งนี้วา "เหตุการณที่แนนอน" และจากการทดลองสุมครั้งนี้จะเห็นวาเราไมอาจที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดงไดเลย เราเรียกเหตุการณ "หยิบไดลูกบอลสีแดง" จากการทดลองสุมครั้งนี้วา "เหตุการณที่เปนไปไมได” ตัวอยางเหตุการณ ตัวอยางที่ 1 หลับตาหยิบลูกบอล 1 ลูกจากกลองที่มีลูกบอลสีแดง 1 ลูก สีขาว 1 ลูก และสีน้ําเงิน 1 ลูก จงหาความนาจะเปนของเหตุการณตอไปนี้ (1) หยิบไดลูกบอลสีแดง (2) หยิบไดลูกบอลที่ไมใชสีแดง วิธีทํา ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นไดจากการทดลองสุมคือ แดง ขาว และน้ําเงิน ดังนั้นจํานวนทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดเปน 3 (1) เหตุการณที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดง คือ แดง จํานวนผลที่เกิดในเหตุการณนี้เปน 1 ฉะนั้นความนาจะเปนของเหตุการณหยิบไดลูกบอลสีแดงเปน 3 1 (2) เหตุการณที่จะหยิบไดลูกบอลที่ไมใชสีแดง คือ หยิบไดขาว และ น้ําเงิน จํานวนผลที่เกิดขึ้นในเหตุการณเปน 2 ฉะนั้นความนาจะเปนของเหตุการณหยิบไดลูกบอลที่ไมใชสีแดงเปน 3 2
189 แบบฝกหัดที่ 2 1. ทอดลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง จงเขียน 1) ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้น …………………………………………………………………………………………… 2) เหตุการณที่ไดแตมไมเกิน 5 …………………………………………………………………………………………… 3) เหตุการณที่ไดแตมเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว …………………………………………………………………………………………… 2. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน 1 ครั้งจงเขียน 1) ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้น …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2) ผลรวมของแตมเปน 8 …………………………………………………………………………………………… 3) ผลรวมของแตมมากกวา 9 …………………………………………………………………………………………… 4) ผลรวมของแตมนอยกวา 4 …………………………………………………………………………………………… 5) ผลรวมของแตมหารดวย 2 ลงตัว …………………………………………………………………………………………… 6) ผลรวมของแตมนอยกวา 2 …………………………………………………………………………………………… 3. จากการสอบถามถึงปกรายงานที่ผูเรียนชอบ 2 สี ในจํานวน 5 สี คือ สีขาว สีฟา สีชมพู สีเขียวและ สีเหลือง จงเขียน 1) ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้น …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2) เหตุการณที่นิตยาจะชอบสีฟาหรือสีชมพู …………………………………………………………………………………………
190 เรื่องที่ 2ความนาจะเปนของเหตุการณ พิจารณาการทดลองสุมและเหตุการณที่สนใจ ทอดลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้น คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ซึ่งมีทั้งหมด 6 จํานวน 1). ถาเหตุการณที่สนใจ คือ แตมหงายบนหนาลูกเตาเปนจํานวนคู ซึ่งไดแก 2, 4, 6 จะเห็นไดวามี 3 จํานวน นั่นคือ จํานวนผลที่จะเกิดในเหตุการณ เปน 3 เรากลาววาความนาจะเปนของเหตุการณที่แตมหงายบนหนาลูกเตาเปนจํานวนคู คือ 6 3 หรือ 2 1 2). ถาเหตุการณที่สนใจ คือ แตมที่หงายบนหนาลูกเตา เปนจํานวนที่นอยกวา 3 ซึ่งไดแก 1, 2 จะเห็นวามีทั้งหมด 2 จํานวน นั่นคือ จํานวนผลที่จะเกิดในเหตุการณเปน 2 เรากลาววาความนาจะเปนของเหตุการณที่แตมหงายบนหนาลูกเตาเปนจํานวนคู คือ 6 2 หรือ 3 1 จากทั้ง 2 เหตุการณที่กลาวมาเราสามารถเขียนใหอยูในรูปของตารางได ดังนี้ จากตัวอยางที่กลาวมาแลวขางตน อาจจะสรุปเปนสูตรการหาความนาจะเปนของเหตุการณไดดังนี้ จํานวนผลของเหตุการณที่สนใจ จํานวนเหตุการณทั้งหมดของการทดลองสุม ความนาจะเปน =
191 ขอควรจํา 1. เหตุการณที่แนนอน คือ เหตุการณที่มีความนาจะเปน = 1เสมอ 2. เหตุการณที่เปนไปไมได คือ เหตุการณที่มีความนาจะเปน = 0 3. ความนาจะเปนใด ๆ จะมีคาไมต่ํากวา 0และ ไมเกิน 1เสมอ 4. ในการทดลองหนึ่งสามารถทําใหเกิดผลที่ตองการอยางมีโอกาสเทากันและมีโอกาสเกิดได N สิ่ง และเหตุการณ A มีจํานวนสมาชิกเปน n ดังนั้นความนาจะเปนของ A คือ P(A) = N n
192 แบบฝกหัดที่ 3 1. มีสลาก 10 ใบ เขียนเลข 1-10 แลวมวนใสกลอง ความนาจะเปนที่จะหยิบไดสลากที่เปน จํานวนคี่เทาไร ……………………………………………………………………………………………………… 2. ใสลูกเตา 1 ลูกลงในถวยแกว เขยาแลวเทออก จงหาความนาจะเปนของเหตุการณที่ขึ้นแตม 6 ……………………………………………………………………………………………………… 3. ถุงใบหนึ่งมีลูกกวาดสีแดง 5 เม็ด สีเหลือง 2 เม็ด แมวหยิบขึ้นรับประทาน 1 เม็ดโดยไมไดดู จงหาความนาจะเปนที่แมวจะหยิบไดลูกกวาดสีแดง ……………………………………………………………………………………………………… 4. ความนาจะเปนที่จะหยิบไดไพ K โพแดง จากไพ 1 สํารับเปนเทาไร ……………………………………………………………………………………………………… 5. ความนาจะเปนที่จะหยิบไดไพสีดําจากไพ 1 สํารับ เปนเทาไร ……………………………………………………………………………………………………… 6. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน ความนาจะเปนที่จะทอดไดแตมรวมกันเปน 7 คือขอใด ……………………………………………………………………………………………………… 7. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน ความนาจะเปนที่จะทอดไดแตมรวมกันไมเกิน 1 คือขอใด ……………………………………………………………………………………………………… 8. ถาตองการถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัวแนๆ จะตองซื้อสลากกินแบงรัฐบาลกี่ใบ ……………………………………………………………………………………………………… 9. จากการทดลองโยนเหรียญหนึ่งอัน 3 ครั้ง ความนาจะเปนที่ออกหัว 1 ครั้ง เปนเทาไร ……………………………………………………………………………………………………… 10. ถาทอดลูกเตาที่สมดุล 1 ลูกจงหาความนาจะเปนที่แตมบนลูกเตาจะเปนแตมคู ………………………………………………………………………………………………………
193 เรื่องที่ 3 การนําความนาจะเปนของเหตุการณตางๆไปใช ในชีวิตประจําวันคนเราไดนําประโยชนจากความนาจะเปนมาใชอยูตลอดเวลา เพียงแตไมได เรียกวาความนาจะเปนเทานั้น เชน ในเรื่องการซื้อหวย หรือสลากกินแบงรัฐบาล จะเห็นวาโอกาสที่จะถูก เลขทาย 2 ตัวมีคาเปน 1 ใน100 และโอกาสที่จะถูกรางวัลอื่นๆ ยิ่งนอยลงตามลําดับ นอกจากนี้ยังมีการคํานวณคาความนาจะเปนเพื่อประมาณคาอัตราการเกิดอุบัติเหตุ ในแตละลักษณะ ของการกําหนดเบี้ยประกันภัยรถยนต หรือการคาดหมายผลการเลือกตั้ง การพยากรณตางๆ ทางธุรกิจ การ ทดสอบคุณภาพผลิตภัณฑใหมจากโรงงาน ฯลฯ ซึ่งความนาจะเปนมีบทบาทสําคัญมาก ผูเรียนจะไดเห็น ประโยชนชัดเจนขึ้นเมื่อเรียนตอในระดับสูงขึ้นไป แบบฝกหัดที่ 4 จากโจทยตอไปนี้ใหนักเรียนตอบวาใครไดเปรียบ 1. ใหนักเรียนทําลูกบาศกหนึ่งลูกแลวเขียนเลข 1 ที่หนาหนึ่งของลูกบาศก เขียนเลข 2 ที่หนาอีกสองหนา สวนอีกสามหนาที่เหลือเขียน 3 ใชกติกาตอไปนี้ตัดสินการแพ ชนะ เสมอ ในการโยนลูกบาศกที่ทําขึ้นนี้ คนละครั้ง 1) ผูเลนคนที่หนึ่งชนะถาเขาโยนลูกบาศกแลวหนาที่เขียนเลข 3 หงายขึ้น และคูแขงขันไดเลข 3 ดวย ผูเลนคนที่สองชนะถาไดเลขที่ต่ํากวา 3 และผูแขงขันไดเลขที่ต่ํากวา 3 กรณีอื่น ๆ ถือวาเสมอกัน 2) ผูเลนคนที่หนึ่งถาเขาโยนลูกบาศกแลวหนาที่เขียนเลข 1 หงายขึ้น และคูแขงขันไดเลขที่ต่ํากวา 3 ผูเลนคนที่สองชนะ ถาเขาโยนลูกบาศกหงายหนาที่เขียนเลข 3 และคูแขงขันไดเลขสูงกวา 1 กรณีอื่นถือ วาเสมอกัน