คณิตศาสตร์

94 2. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงา ตัวเลขที่เขียนกํากับไวถือวาเปนความยาวของดานและมีหนวยความยาวเปนเมตร ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

95 2.6 พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม การหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ใชวิธีแบงรูปหลายเหลี่ยม เปนรูปสี่เหลี่ยมยอยๆ แลว หาพื้นที่ของรูป แตละรูปนําผลลัพธมารวมกัน แตบางครั้งอาจใชวิธีตอเติมรูปเพื่อใหเกิดรูปเหลี่ยมใหมแลวนํามาหักลบกัน ดังตัวอยาง ตัวอยาง จงหาพื้นที่รูปเหลี่ยมที่แรเงา วิธีทํา ลากตอ EF และ HG ทําใหเกิดเปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากยอย 3 รูป คือ DEJC, FGKJ, ABKH พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = พ.ท. DEJC + พ.ท. FGKJ+ พ.ท. ABKH = ( 26) + (14) + (310) = 12 + 4 + 30 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนติเมตร 2.7 พื้นที่รูปวงกลม การหาพื้นที่ของรูปวงกลมโดยวิธีแบงออกเปนสวนเล็กๆ แลวนําแตละสวนมาสลับกัน ดังรูป จากรูป EJ = 6 เซนติเมตร FJ = 4 เซนติเมตร

96 จะเห็นไดวา ถายิ่งแบงสวนยอยใหมีจํานวนมากขึ้นรูปสี่เหลี่ยมที่ไดจะมีรูปใกลเคียงกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผา โดยมีสวนสูงใกลเคียงกับรัศมีของวงกลม ความยาวของฐาน ใกลเคียงกับครึ่งหนึ่งของเสนรอบวง หรือ 2r r 2 1 จากสูตร พื้นที่ ผืนผา = ฐาน สูง = r r = 2 r สูตร พื้นที่วงกลม = 2 r เมื่อ 7 22 หรือ 3.14 โดยประมาณ r แทนความยาวรัศมี ตัวอยาง จงหาพื้นที่วงกลมที่มีรัศมียาว 7 เซนติเมตร วิธีทํา พื้นที่วงกลม = 2 r = 7 7 7 22 ตารางเซนติเมตร พื้นที่วงกลม = 154 ตารางเซนติเมตร

97 แบบฝกหัดที่5 1. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงา ตัวเลขที่เขียนกํากับดานมีหนวยเปนเซนติเมตร และจุด O แทน จุดศูนยกลางของวงกลม 1

98 สรุปสูตรการหาพื้นที่

99

100 เรื่องที่ 4 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับพื้นที่ในสถานการณตางๆ ตัวอยาง ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 12 เมตร ยาว 20 วา ตองการทําถนนในที่ดินกวาง 1 วา โดยรอบถนนจะ มีพื้นที่กี่ตารางวา วิธีทํา ตัวอยาง หองๆ หนึ่ง 6.5 เมตร กวาง 4 เมตร ตองการปูกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีความกวางดานละ 25 เซนติเมตร จะตองใชกระเบื้องกี่แผน วิธีทํา หองหนึ่งมีความยาว 6.5 เซนติเมตร = 650 เซนติเมตร ความกวาง 4 เมตร = 400 เซนติเมตร พื้นที่หอง = 400 650 = 260,000 เซนติเมตร พื้นที่กระเบื้อง = 25 25 = 625 ตารางเซนติเมตร ตองใชกระเบื้อง = 416 625 260,000 แผน ดังนั้น ตองใชกระเบื้อง 416 แผน พื้นที่ทั้งหมด = 12 20 = 240 ตารางวา พื้นที่รูปใน = 10 18 = 180 ตารางวา พื้นที่ถนน = 240 –180 พื้นที่ถนน = 60 ตารางวา

101 แบบฝกหัดที่6 1. แผนผังบานหลังหนึ่งมีลักษณะและขนาดดังรูป ถาบริเวณที่แรเงาตองการเทปูนซีเมนต โดยเสียคาใชจายตาราง เมตรละ 250 บาท จะตองเสียคาใชจายทั้งหมดกี่บาท กําหนดความยาวมีหนวยเปนเมตร 2. ตองการตัดเสื้อตัวหนึ่งมีลักษณะดังรูป จะตองใชผากี่ตารางเมตร (ไมคิดตะเข็บ) ความยาวที่กําหนดมี หนวยเปนเซนติเมตร

102 เรื่องที่ 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด น้ําหนัก ในชีวิตประจําวันบางครั้งเราอาจตองการทราบรายละเอียดเกี่ยวกับเวลา ระยะทาง ขนาด หรือ น้ําหนัก ของสิ่งตางๆ แตไมสะดวกที่จะวัดสิ่งตางๆ เหลานั้น เนื่องจากมีขอจํากัดบางประการ ตัวอยางเชน ตองการวัดความยาว และความกวางของสนามฟุตบอลของโรงเรียน แตไมมีอุปกรณที่เหมาะสม ทําใหตองมี กี่ประมาณอยางคราวๆ ซึ่งในบางครั้งอาจจะถูกตอง หรืออาจผิดไปจากความเปนจริงบาง เราเรียกวิธีการ ประมาณในลักษณะนี้วา การคาดคะเน การคาดคะเนปริมาณตางๆ เชน ชวงเวลา ระยะทาง ขนาด และน้ําหนักของสิ่งตางๆ ผูคาดคะเนมัก ใชสายตารวมกับประสบการณของผูคาดคะเนเอง ซึ่งในการคาดคะเนแตละครั้งอาจถูกตองพอดี หรืออาจมี ขอผิดพลาดเกิดขึ้นบางก็ได เราเรียกขอผิดพลาดนี้วา ความคลาดเคลื่อนและความคลาดเคลื่อนคํานวณไดจาก ผลตางของปริมาณที่คาดคะเนไวกับปริมาณที่วัดไดจริง เชน คะเนวาหนังสือเรียนกวาง 15 เซนติเมตร ยาว 20 เซนติเมตร และหนา 1 เซนติเมตร แตเมื่อวัดจริง พบวาหนังสือเรียนกวาง 14.6 เซนติเมตร ยาว 20.9 เซนติเมตร และหนา 1 เซนติเมตร ดังนั้นคะเนความกวาง และความยาวของหนังสือเรียนคลาดเคลื่อนไป 0.4 และ 0.9 ตามลําดับ (15.0 เซนติเมตร –14.6 เซนติเมตร = 0.4 เซนติเมตร และ 20.9 เซนติเมตร –20 เซนติเมตร =0.9 เซนติเมตร สวนความหนาคาดคะเนไดถูกตองไม คลาดเคลื่อนเลย ) หมายเหตุ บางครั้งอาจพบการใชสัญลักษณ ตามความคลาดเคลื่อน เชน เครื่องบรรจุน้ําไดขวด ละ 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 5 ลูกบาศกเซนติเมตร หมายความวา โดยปกติแลวน้ําดื่มที่บรรจุขวดโดย เครื่องนี้จะมีปริมาตร 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร แตอาจจะมีบางขวดที่มีปริมาตรมากกวาหรือนอยกวา 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร ซึ่งปริมาตรที่คลาดเคลื่อนนี้ไมเกิน 5 ลูกบาศกเซนติเมตร นั่นคือ น้ําดื่มที่บรรจุขวดจะมี ปริมาตรตั้งแต 995 ลูกบาศกเซนติเมตร ถึง 1,005 ลูกบาศกเซนติเมตร

103 แบบฝกหัดที่7 1. จงคาดคะเนเวลาหรือชวงเวลาใหเหมาะสมกับสถานการณตอไปนี้ 1) ฟาใกลสวาง อากาศเย็นสบาย ไกตัวผูตีปกและสงเสียงขัน มีน้ําคางจับตามยอดหญา นาจะเปน เวลาประมาณ...................นาฬิกา 2) เมื่ออยูกลางแจงดวงอาทิตยอยูตรงศีรษะพอดี เงาของตัวเองอยูบนพื้นที่ยืนอยูพอดี นาจะเปนเวลา ประมาณ...................นาฬิกา 3) ในจังหวัดทางภาคเหนือเปนเวลาเชาตรู ฟาสวางแลว แตยังไมเห็นพระอาทิตย ทองฟาขมุกขมัวอากาศ หนาวเย็นจัด นาจะเปนฤดู....................และควรจะเปนชวงเดือน..................... 2. จงวงกลมลอมรอบขอที่เหมาะสมที่สุด สําหรับใชหนวยในการคาดคะเน ระยะทาง น้ําหนัก หรือ ขนาดของสิ่งตอไปนี้ 1) ความยาวของคัตเตอร ก. 1.5 มิลลิเมตร ข. 15 เซนติเมตร ค. 15 เมตร 2) น้ําหนักของมะพราว 1 ผล ก. 1 กรัม ข. 1 กิโลกรัม ค. 1 ตัน 3) ปริมาณของนม 1 กลอง ก. 4 512 เซนติเมตร3 ข. 4 512 ฟุต3 ค. 4 512 เมตร3 4) รถกระบะ 4.1 มีน้ําหนัก ก. 10 กิโลกรัม ข. 100 กิโลกรัม ค. 1 ตัน 4.2 ความกวาง ก. 160 เซนติเมตร ข. 16 ฟุต ค. 16 เมตร 4.3 ความยาว ก. 5 ฟุต ข. 5 เมตร ค. 5 วา 4.4 ความสูง ก. 160 มิลลิเมตร ข. 1,600 มิลลิเมตร ค. 16,000 มิลลิเมตร 5) เกาอี้นั่ง 5.1 กวาง ยาว สูง ก. 40 5080 มิลลิเมตร3 ข. 40 5080 เซนติเมตร3 ค. 4 58 เมตร3 5.2 น้ําหนัก ก. 10 กิโลกรัม ข. 100 กิโลกรัม ค. 1 ตัน

104 3. ทางหลวงสายพหลโยธินกรุงเทพฯ-แมสาย ยาว 952 กิโลเมตร รถประจําทางปรับอากาศวิ่งบนทางหลวง สายนี้ตลอดเสนทางดวยอัตราเร็ว 80-100 กิโลเมตรตอชั่วโมง (1) รถประจําทางปรับอากาศใชเวลาวิ่งตลอดเสนทางนานเทาไร (2) ถารถออกจากกรุงเทพฯ ประมาณ 18.00 นาฬิกา จะถึงแมสายในชวงใด (3) ถาตองการใหถึงแมสายประมาณเที่ยงวันที่ 16 กันยายน จะตองออกจากกรุงเทพฯ เวลาเทาไร 4. ลิฟตของโรงแรมแหงหนึ่งบรรทุกผูโดยสายไดเที่ยวละไมเกิน 10 คน (600 กิโลกรัม) บางครั้งมี ผูโดยสารเขาลิฟตเพียง 8 คน ลิฟตจะมีเสียงเตือน บางครั้งมีผูโดยสาร 12 คน ลิฟตไมมีเสียงเตือนยังใชงาน ไดเปนเพราะเหตุใด จงอธิบาย 5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรุงเทพฯ-บานคลองพราน จังหวัดนราธิวาส) 1,352กิโลเมตร ทางหลวงสาย มิตรภาพ (กรุงเทพฯ-จังหวัดหนองคาย) 508 กิโลเมตร ทางหลวงสายสุขุมวิท (กรุงเทพฯ-จังหวัดตราด) 400 กิโลเมตร (1) ถาขับรถจากบานคลองพรานตามทางหลวงสายเพชรเกษมผานกรุงเทพฯ แลวมุงสูจังหวัด หนองคายตามทางหลวงสายมิตรภาพ ดวยอัตราเร็วในชวง 90-100 กิโลเมตรตอชั่วโมง จะใชเวลาประมาณกี่ ชั่วโมง (2) ถาเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปตามทางหลวงสายเพชรเกษม เวลา 12.00 นาฬิกา วันนี้ จะถึงจังหวัด นราธิวาสเมื่อใด โดยใชอัตราความเร็ว 100 กิโลเมตรตอชั่วโมง (3) ถาตองการเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปจังหวัดตราดทางหลวงสายสุขุมวิท และถึงจังหวัดตราด ประมาณเที่ยงวัน จะตองออกจากกรุงเทพฯ เวลาใด เมื่อใชอัตราความเร็ว 80 กิโลเมตรตอชั่วโมง (4) ใหนักเรียนเปรียบเทียบความยาวของทางหลวงทั้งสามสาย

105 บทที่ 6 ปริมาตรและพื้นที่ผิว สาระสําคัญ การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของ ปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม จําเปนจะตองรู กระบวนการคิด และการใชสูตร เพื่อสะดวกในการคํานวณอันจะเปนประโยชนตอการนําไปใชในชีวิตจริง ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. อธิบายลักษณะและสมบัติของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม หาปริมาตรและ พื้นที่ผิวของปริซึมได 2. สามารถหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอกได 3. สามารถหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลมได 4. เปรียบเทียบหนวย ความจุ หรือหนวยปริมาตรในระบบเดียวกันหรือตางระบบ และเลือกใช หนวยการวัดเกี่ยวกับความจุหรือปริมาตรไดอยางเหมาะสม 5. ใชความรูเกี่ยวกับปริมาตรและพื้นที่ผิวแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได 6. ใชการคาดคะเนเกี่ยวกับปริมาตรและพื้นที่ผิวในสถานการณตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 ลักษณะสมบัติและการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม เรื่องที่ 2 การหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก เรื่องที่ 3 การหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลม เรื่องที่ 4 การเปรียบเทียบหนวยปริมาตร เรื่องที่ 5 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับปริมาตรและพื้นที่ผิว เรื่องที่ 6 การคาดคะเนปริมาตรและพื้นที่ผิว

106 เรื่องที่ 1 ลักษณะสมบัติและการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม พื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหนาตัด (ฐาน)ทั้งสองเปนรูปหลายเหลี่ยมที่เทากันทุกประการและ อยูในระนาบที่ขนานกันมีหนาขางเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน เรียกวาปริซึม สวนตางๆ ของปริซึมมีชื่อเรียกดังนี้ เราเรียกชื่อปริซึมชนิดตาง ๆ ตามลักษณะของฐานของปริซึมดังตัวอยาง ปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผา ปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมู ปริซึมหาเหลี่ยม ปริซึมหกเหลี่ยม สูตร การหาพื้นที่ผิวของปริซึม = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ผิวหนาตัด ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง

107 ตัวอยาง 1 จงหาพื้นที่ผิวของปริซึมตอไปนี้ กําหนดความยาวที่หนวยเปนเซนติเมตร วิธีทํา ตัวอยาง 2 จงหาปริมาตรของปริซึมตอไปนี้ (ความยาวที่กําหนดใหมีหนวยเปนเมตร) วิธีทํา แบบฝกหัดที่ 1 จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึมตอไปนี้ ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง = (4x 5) x 8 = 160 ลูกบาศกเมตร พื้นที่ผิวดานขาง 4 ดาน = 2(3 x5) + 2 ( 4x 5) = 70 ตารางเซนติเมตร พื้นที่หนาตัด = 2 ( 3x4) = 24 ตารางเซนติเมตร พื้นที่ผิวของปริซึม = 70 +24 = 94 ตารางเซนติเมตร

108 เรื่องที่ 2 การหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก ทรงกระบอก คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลมที่เทากันทุกประการ และอยูในระนาบที่ขนาน กัน ซึ่งเมื่อตัดทรงสามมิตินี้ดวยระนาบที่ขนานกับฐานแลวจะไดรอยตัดเปนวงกลมที่เทากันทุกประการกับ ฐานเสมอ พื้นที่ผิวของทรงกระบอก เมื่อคลี่ผิวขางของทรงกระบอกใด ๆ พบวา จะเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาที่มีความยาวเทากับเสนรอบ ฐานวงกลม และสวนสูงเทากับความสูงของทรงกระบอก สูตร พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ฐานทั้งสอง = 2 2rh 2r เมื่อ r แทน รัศมีของฐานของทรงกระบอก h แทน ความสูงของทรงกระบอก

109 ปริมาตรทรงกระบอก จาก ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง ปริมาตรทรงกระบอก = r h 2 สูตร ปริมาตรทรงกระบอก = r h 2 ตัวอยางที่ 5 กระปองทรงกระบอกใบหนึ่งมีรัศมี 7 เซนติเมตร และสูง 10 เซนติเมตร ก) ตองการปดกระดาษรอบขางและปดฝาทั้งสองจะตองใชกระดาษกี่ตารางเซนติเมตร ข) กระปองใบนี้มีความจุกี่ลูกบาศกเซนติเมตร วิธีทํา ข) ปริมาตร = พื้นที่ฐาน x สูง = r h 2 = 7 7 10 7 22 = 1,540 ลูกบาศกเซนติเมตร ดังนั้น ก. ตองใชกระดาษ 748 ตารางเซนติเมตร ข. กระปองมีความจุ 1,540 ลูกบาศกเซนติเมตร ก) พื้นที่ฐานทั้งหมด = 2 2 r = 7 7 7 22 2 = 308 ตารางเซนติเมตร พื้นที่ผิวขาง = ความยาวรอบฐาน x สูง = 2r h = 7 10 7 22 2 = 440 ตารางเซนติเมตร พื้นที่ผิวกระปอง = 308 + 440 = 748 ตารางเซนติเมตร

110 แบบฝกหัดที่ 2 1. จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกสูง 10 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ............................................................................................ 2. จงหาปริมาตรของทรงกระบอกใบหนึ่งที่มีรัศมีของฐาน 3.5 นิ้ว และสูง 5 นิ้ว .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ............................................................................................ 3. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของถังเก็บน้ํารูปทรงกระบอกใบหนึ่งที่มีรัศมีที่ฐาน 3 เมตร สูง 4 เมตร 90 เซนติเมตร .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................

111 เรื่องที่ 3 การหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลม 3.1 พื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด พีระมิด คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลม ซึ่งไมอยูในระนาบเดียวกับฐาน และหนาทุกหนาเปนรูปสามเหลี่ยม ที่มีจุดยอดรวมกันที่ยอดแหลม ลักษณะของพีระมิดตรง 1. หนาของพีระมิดตรงเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 2. สันของพีระมิดตรงจะยาวเทากันทุกเสน 3. ความสูงเอียงของพีระมิดตรง ดานเทา มุมเทา จะยาวเทากันทุกเสน 4. ปริมาตรของพีระมิด เปนหนึ่งในสามของปริมาตร ปริซึมที่มีฐานเทากับพีระมิด และมีสวนสูง เทากับพีระมิด สูตร พื้นที่ผิวขางของพีระมิด = 2 1 ความยาวรอบฐาน x สูงเอียง พื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิด = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ฐาน ปริมาตรของพีระมิด = 3 1 พื้นที่ฐาน x สูง

112 ตัวอยางที่ 3 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผา กวาง 10 เซนติเมตร ยาว 18 เซนติเมตร และความสูงของพีระมิดเปน 12 เซนติเมตร จงหาความสูงเอียงของพีระมิดทั้งสองดาน 1. ความสูงเอียงดานกวาง 2. ความสูงเอียงดานยาว ตัวอยางที่ 4 พีระมิดแหงหนึ่งมีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวดานละ 6 เมตร สูงเอียง 5 เมตร และสูงตรง 4 เมตร จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด วิธีทํา พื้นที่ผิวขางของพีระมิด = 2 1 ความยาวรอบฐาน x สูงเอียง = 2 1 (6x4) x5 = 60 ตารางเมตร พื้นที่ฐาน = 6 x6 = 36 ตารางเมตร ดังนั้นพื้นที่ผิวของพีระมิด = 60 + 36 =96 ตารางเซนติเมตร ปริมาตรของพีระมิด = 3 1 พื้นที่ฐาน x สูง = 3 1 36 x 4 = 48 ลูกบาศกเมตร 2 2 2 a 12 9 =144 + 81 225 2 a a 15เซนติเมตร 2 2 2 c 5 12 = 25 + 144 = 169 c = 13 เซนติเมตร

113 แบบฝกหัดที่ 3 1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิดที่สูง 6 เซนติเมตร ฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวดานละ 16 เซนติเมตร .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 2. จงหาพื้นที่ผิวเอียงของพีระมิดฐานรูปหกเหลี่ยมดานเทา มุมเทา ยาวดานละ 4 เซนติเมตร สูงเอียง 7.5 เซนติเมตร .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................

114 3.2 พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกรวย กรวย คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไมอยูบนระนาบเดียวกับฐาน และเสนที่ ตอระหวางจุดยอดกับจุดใด ๆ บนเสนรอบวงของฐาน เรียกเสนตรงนี้วา “สูงเอียง” พื้นที่ผิวของกรวย การหาพื้นที่ผิวเอียงของกรวย ทําไดโดยตัดกรวยตามแนวสูงเอียงแลวคลี่แผออกจะเกิดเปนรูป สามเหลี่ยมฐานโคง สูตร พื้นที่ผิวของกรวย = 2 rl r เมื่อ r เปนรัศมีของฐานกรวย l เปนความยาวของสูงเอียง ปริมาตรของกรวย ความสัมพันธของปริมาตรของกรวยกับทรงกระบอก จะเหมือนกับความสัมพันธของปริซึมกับ พีระมิด ที่มีสวนสูงและพื้นที่ฐานเทากัน นั่นคือ สูงตรง สูงเอียง h

115 ปริมาตรของกรวย เปน 3 1 ของปริมาตรของทรงกระบอก ที่มีพื้นที่ฐานและสวนสูงเทากับกรวย สูตร ปริมาตรของกรวย = 3 1 r h 2 เมื่อ r แทน รัศมีของฐานกรวย h แทน ความสูงของกรวย ตัวอยางที่ 6 จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย ซึ่งสูง 24 เซนติเมตร และเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร วิธีทํา พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ฐาน = 550 + 154 = 704 ตารางเซนติเมตร ปริมาตรของกรวย = 3 1 r h 2 = 7 7 24 7 22 3 1 = 1,232 ลูกบาศกเซนติเมตร พื้นที่ผิวทั้งหมด 704 ตารางเซนติเมตร ปริมาตรของกรวย 1,232 ลูกบาศกเซนติเมตร รัศมี = 7 2 14 เซนติเมตร หาความสูงเอียง (l)จาก ABO 2 2 2 l 24 7 = 576 + 49 = 625 l = 25 เซนติเมตร พื้นที่ผิวขาง = rl = 7 25 7 22 = 550 ตารางเซนติเมตร พื้นที่ฐาน = 2 r = 7 7 7 22 = 154 ตารางเซนติเมตร

116 แบบฝกหัดที่ 4 1. จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูง 24 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ............................................................................................ 2. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูงเอียง 5 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 8 เซนติเมตร (ตอบในรูป ) .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... 3. จงหาปริมาตรจรวดทรงกระบอกมีปลายเปนกรวย มีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร ความยาว ทรงกระบอก 30 เซนติเมตร ความสูงยอดกรวย 12 เซนติเมตร .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................

117 3.3 พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม ทรงกลม คือ ทรงสามมิติที่มีผิวโคงเรียบ และจุดทุกจุดอยูบนผิวโคงอยูหางจากจุดคงที่จุดหนึ่งเปน ระยะเทากัน จุดคงที่ เรียกวา จุดศูนยกลางของทรงกลม ระยะที่เทากัน เรียกวา รัศมีของทรงกลม พื้นที่ผิวของทรงกลม พื้นที่ผิวของทรงกลม เปนสี่เทาของพื้นที่วงกลม ซึ่งมีรัศมีเทากับรัศมีของทรงกลม จาก พื้นที่ของรูปวงกลม = 2 r ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 2 r สูตร พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 2 r ปริมาตรของทรงกลม ปริมาตรของทรงกลมอาจหาไดจากการทดลองหาความสัมพันธระหวางปริมาตรของครึ่งวงกลมกับ ปริมาตรของกรวย ขอกําหนด 1) ครึ่งของทรงกลมที่มีรัศมี r หนวย 2) กรวยที่มีรัศมีเทากับครึ่งทรงกลม r หนวย และสวนสูงของกรวย (h) เปน 2 เทาของรัศมี ฐานของกรวย คือ 2r หนวย

118 สูตร ปริมาตรของทรงกลม = 3 3 4 r เมื่อแทน r รัศมีของทรงกลม ตัวอยางที่ 7จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของลูกโลกพลาสติก ซึ่งมีรัศมียาว 7 เซนติเมตร วิธีทํา พื้นที่ผิวของทรงกลม = 616 ตารางเซนติเมตร ปริมาตรของทรงกลม = 1,437.3 ลูกบาศกเซนติเมตร พื้นที่ผิวทรงกลม = 4 2 r = 7 7 7 22 4 = 616 ตารางเซนติเมตร ปริมาตรทรงกลม = 3 3 4 r = 7 7 7 7 22 3 4 = 3 4,312 = 1,437.3 ลูกบาศกเซนติเมตร

119 แบบฝกหัดที่ 5 1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลมซึ่งมีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 2. ทรงกลมมีปริมาตร 38,808 ลูกบาศกเซนติเมตร จงหารัศมีและพื้นที่ผิว .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 3. ทรงกลมมีพื้นที่ผิว 616 ตารางนิ้ว จงหาปริมาตรของทรงกลม .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 4. โลหะกลมลูกหนึ่ง รัศมีภายนอก 21 เซนติเมตร รัศมีภายใน 7 เซนติเมตร จงหาปริมาตรเนื้อโลหะ .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................

120 เรื่องที่ 4 การเปรียบเทียบหนวยปริมาตร การตวง คือ การนําสิ่งที่ตองการหาปริมาตรใสในภาชนะที่ใชสําหรับตวง หนวยการตวงที่นิยม และใชกันมากคือ ลิตร เมื่อเทียบกับหนวยปริมาตร หนวยการตวงในมาตราไทย เปนหนวยการตวงที่นิยมใชกันมาก คือ 1 ลิตร = 1,000 มิลลิลิตร 1,000ลิตร = 1 กิโลลิตร 1 ลิตร = 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 10 มิลลิลิตร = 1 ลูกบาศกเซนติเมตร 1 ลูกบาศกเมตร= 1,000 ลิตร 1 ลูกบาศกเมตร = 1,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 1 ถัง = 20ลิตร(ทะนานหลวง) 1เกวียน = 100 ถัง 1 เกวียน = 2 ลูกบาศกเมตร 1 เกวียน = 2,000 ลิตร 1 แกลลอน = 4.546 ลิตร 1 ลูกบาศกนิ้ว = 16.103235 ลูกบาศกเซนติเมตร 1 ลูกบาศกนิ้ว = 0.0164 ลิตร 1 ลูกบาศกฟุต = 1.728 ลูกบาศกนิ้ว 1 ลูกบาศกฟุต = 28.32 ลิตร 1 บารเรล = 158.98 ลิตร

121 ตัวอยางที่1อางน้ําทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใบหนึ่งกวาง30 เซนติเมตร ยาว50 เซนติเมตรและสูง40 เซนติเมตร 1. อางใบนี้จุน้ํากี่ลิตร 2. ถามีน้ําบรรจุเต็มอางและน้ํา1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก1 กรัม จงหาน้ําหนักของน้ําในอาง ใบนี้ วิธีทํา1. ปริมาตรของอางน้ํา = ความกวางความยาวความสูง แทนคา ปริมาตรของอางน้ํา = 30 50 40 = 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร เมื่อเทียบกับหนวยปริมาตร 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 1 ลิตร 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 1,000 60,000 = 60 ลิตร 2.น้ํา 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก1กรัม น้ํา 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก60,000 กรัม 1,000 60,000 = 60 กิโลกรัม ตอบ 60 กิโลกรัม ตัวอยางที่ 2 ถังเก็บน้ําฝนทรงกระบอกเสนผานศูนยกลางภายใน 3 เมตรสูง 5 เมตรคิดเปนปริมาตรของน้ํา กี่ลิตร วิธีทํา ปริมาตร = r 2 h = 1.5 1.5 5 7 22 = 35.36 ลูกบาศกเมตร = 35.36 X 1,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตร เนื่องจาก 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 1 ลิตร ดังนั้น 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 1,000 35,360,000 = 35,360 ลิตร

122 แบบฝกหัดที่ 6 1. สระแหงหนึ่งเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผากนสระกวาง 5 วา ลึก 3 เมตร ยาว 15 เมตร ถาใชเครื่องสูบน้ําออกจาก สระไดนาทีละ 9,000 ลิตร จะตองใชเวลาสูบน้ําเทาไร ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 2. อางเลี้ยงปลาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 90 เซนติเมตร ยาว 1.2 เมตร จุน้ํา 540 ลิตร ตองการปูกระเบื้อง ภายในอางดวยแผนกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวดานละ 10 เซนติเมตร ตองใชกระเบื้องอยางนอยที่สุด เทาไร ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 3. น้ํายาบวนปากขวดหนึ่งปริมาตรสุทธิ 700 มิลลิลิตร ใชอมปวนปากครั้งละ 10 มิลลิลิตร วันละ 2 ครั้ง จะ ใชไดกี่วัน ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 4. ถังน้ําทรงลูกบาศกยาวดานละ 2 เมตร จุน้ําไดกี่ลิตร ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 5. ถังทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากวัดภายในกวาง 90 เซนติเมตร ยาว1.50 เซนติเมตร สูง 1.20 เมตร บรรจุน้ําเต็มถัง ถาตองการตวงน้ําจากถังใสแกลอนซึ่งมีความจุ 4.5 ลิตร จะไดน้ําทั้งหมดกี่แกลอน ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

123 เรื่องที่ 5 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับปริมาตรและพื้นที่ผิว ตัวอยางลังกระดาษบรรจุกลองซีดี วัดความยาวภายในไดกวาง 12 เซนติเมตร บรรจุ ยาว 14 เซนติเมตร และสูง 15 เซนติเมตร และบรรจุกลองซีดีเต็มลังพอดี ลังกระดาษนี้มีปริมาตรเทาไร และถาหยิบกลองซีดีออกมา 1 กลอง ซึ่งมีปริมาตร 270 ลูกบาศกเซนติเมตร กลองซีดีจะหนาเทาไร วิธีทํา ลังกระดาษมีปริมาตร = พื้นที่ฐาน x สูง = (12 x14) x15 = 2, 520 ลูกบาศกเซนติเมตร กลองซีดี 1 กลอง มีปริมาตร = พื้นที่ฐาน x หนา 270 = (12 x15) x หนา หนา = 12 15 270 กลองใสซีดีมีความหนา = 1.5 เซนติเมตร ลังกระดาษมีปริมาตร 2,520 ลูกบาศกเซนติเมตร ตัวอยาง น้ําขันครึ่งวงกลมรัศมี 3 นิ้ว ตักน้ําใสถังทรงกระบอกที่มีรัศมี 10 นิ้ว และสูง 27 นิ้ว กี่ครั้งน้ําจึงจะ เต็มถัง วิธีทํา ปริมาตรน้ํา 1 ขัน = 2 1 ของปริมาตรของทรงกลม = 3 3 4 2 1 r = 3 3 3 3 4 2 1 = 18 ลูกบาศกนิ้ว ปริมาตรถังทรงกระบอก = r h 2 = 10 27 2 = 2,700 ลูกบาศกนิ้ว จะตองตักน้ํา = 18 2,700 ครั้ง = 150 ครั้ง ตอบ 150 ครั้ง

124 แบบฝกหัดที่ 7 1. ถังเก็บน้ํามันของปมแหงหนึ่งเปนรูปทรงกลม มีเสนผานศูนยกลาง 7 เมตร ตองการทาสีครึ่ง ทรงกลมบน โดยเสียคาทาสีตารางเมตรละ 40 บาท ตองเสียคาทาสีกี่บาท .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 2. หินออนทรงลูกบาศกมีขนาดดานละ 2.1 เมตร ถาตองการกลึงใหเปนรูปทรงกลมใหมีขนาดเสนผาน ศูนยกลางเทากับความยาวของดานลูกบาศก จงหาวาจะตองกลึงหินออกไปปริมาตรเทาใด .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 3. นําแทงตะกั่วทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 8 นิ้ว ยาว 11 นิ้ว หนา 5 นิ้ว ไปหลอมเปนลูกปนทรงกลมขนาด รัศมี 1 นิ้ว จะหลอมไดกี่ลูก .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................

125 เรื่องที่ 6 การคาดคะเนเกี่ยวกับปริมาตรและพื้นที่ผิว การคาดคะเนพื้นที่ เปนการประมาณพื้นที่อยางคราวๆ จากการมองโดยอาศัยประสบการณและ ความรูเกี่ยวกับขนาดและความยาวมาชวยในการเปรียบเทียบและตัดสินใจ เพื่อใหใกลเคียงกับพื้นที่จริงมาก ที่สุด หนวยพื้นที่ที่นิยมใช คือ ตารางเซนติเมตร(ซม. 2 ) ตารางเมตร(ม. 2 ) และตารางวา(วา2 ) การคาดคะเนพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม ตัวอยาง จงคะเนหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมตอไปนี้

126 วิธีคิด ในบางครั้งการหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมตางๆ ที่ไมไดระบุหนวยความยาว เราอาจจะใชวิธีการสราง หนวยตาราง 1 หนวย คลุมพื้นที่ดังกลาว โดยกําหนด แทนพื้นที่ 1 หนวย หรือ แทนพื้นที่ 1 ตารางเซนติเมตร หรือ แทนพื้นที่ 1 ตารางเมตร หรือ แทนพื้นที่ 1 ตารางวา จากรูปภาพนับรูป ได 22 รูป ซึ่งแทนพื้นที่ 22 ตารางหนวย ดังนั้นพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม = 22 ตารางหนวย

127 บทที่ 7 คูอันดับและกราฟ สาระสําคัญ คูอันดับ เปนการจับคูระหวางสมาชิกสองตัวจากกลุม เพื่อนําไปจัดทํากราฟบนระนาบพิกัด หา ปริมาณ ความเกี่ยวของของปริมาณสองชุด ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. อานและอธิบายความหมายคูอันดับได 2. อานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพิกัดฉากที่กําหนดใหได 3. เขียนกราฟแสดงความเกี่ยวของของปริมาณสองชุดที่กําหนดใหได ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 คูอันดับ เรื่องที่ 2 กราฟของคูอันดับ เรื่องที่ 3 การนําคูอันดับและกราฟไปใช

128 เรื่องที่ 1 คูอันดับ คูอันดับ (Ordered pairs) เปนการจับคูระหวางสมาชิกสองตัวจากกลุม 2 กลุมที่มีความสัมพันธ ภายใตเงื่อนไขที่กําหนด เขียนแทนดวยสัญลักษณ (a , b) อานวา คูอันดับเอบี เรียก a วา สมาชิกตัวหนา หรือสมาชิกตัวที่หนึ่ง และเรียก b วา สมาชิกตัวหลัง หรือสมาชิกตัวที่สองดังแผนภาพ เขียนเปนคูอันดับไดดังนี้ (1, 12), (2,24), (3,36), (4,48) หมายเหตุ คูอันดับ (1,a) (a,1) ถากําหนด ( a , b) และ ( x , y) เปนคูอันดับ 2 คูใดๆ จะไดวา ( a , b ) = ( x , y) ก็ตอเมื่อ a = x และ b = y เชน 1. ( x , y) = (5 , 12) ดังนั้น x = 5 และ y = 12 2. (x –3, y –2 ) = (0,0) วิธีทํา x –3 = 0 และ y –2 = 0 ดังนั้น x = 3 และ y = 2

129 แบบฝกหัดที่ 1 1. จงเขียนคูอันดับจากแผนภาพที่กําหนดใหตอไปนี้ 1) ..................................................................................................................................................................... 2) ..................................................................................................................................................................... 3) ..................................................................................................................................................................... 2. จงหาคา xและ y จากเงื่อนไขที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้ 1). (x,y) = (4,3) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………….

130 2). (x,y)= (y,2) ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. 3). (x,0)= (6,y) ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. 4). (x+1,y) = (5,4) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………….

131 เรื่องที่2 กราฟของคูอันดับ กราฟของคูอันดับเปนแผนภาพที่แสดงความสัมพันธระหวางสมาชิกของกลุมหนึ่งกลับสมาชิกของ อีกกลุมหนึ่งโดยใชเสนจํานวนในแนวนอนหรือแนวตั้ง ใหตัดกันเปนมุมฉาก ที่ตําแหนงของจุดที่แทนศูนย (0) ซึ่งเราเรียกวา จุดกําเนิด ดังภาพ เสนจํานวนในแนวนอน หรือแกน X และเสนจํานวนในแนวตั้ง หรือแกน Y อยูบนระนาบเดียวกัน และแบงระนาบออกเปน 4 สวนเรียกวา จตุภาค (Quadrant) การอานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพิกัดฉากที่กําหนดให

132 ตําแหนงของจุด A คือ (1, 2) ตําแหนงของจุด B คือ (-2, 3) ตําแหนงของจุด C คือ (-3,2) ตําแหนงของจุด D คือ (2, -4) เรียกจุดที่แทนตําแหนงคูอันดับวากราฟของคูอันดับ และเรียกตําแหนงของคูอันดับวา พิกัด ตัวอยาง กําหนด A = (-4, 6), B =(3, -5), C =(2, 2), D = (-1, -2) จุด A, B, C, D อยูในจุดภาคใด วิธีทํา จุด A = (-4,6) อยูในจตุภาคที่ 2 จุด B = (3,-5) อยูในจตุภาคที่ 4 จุด C =(2,2) อยูในจตุภาคที่ 1 จุด D = (-1,-2) อยูในจตุภาคที่ 3

133 แบบฝกหัดที่ 2 1.จงหาพิกัดของจุด A, B, C, D ในแตละขอ 1.1 .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 1.2 .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................

134 2. จงเขียนกราฟของคูอันดับในแตละขอ 1). (1, 2), (-2, 4), (3, -6), (4, 0) 2). (5, -1), (2, 2), (-4, 3), (-2, 0)

135 เรื่องที่ 3 การนําคูอันดับและกราฟไปใช เราสามารถนําคูอันดับและกราฟไปใชในชีวิตประจําวันได ซึ่งจะกลาวในตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 1 กราฟที่แสดงปริมาณน้ํามัน (ลิตร) และราคาน้ํามัน (บาท)ของวันที่ 5 เดือนมีนาคม ป 2552 ซึ่งมีราคา ลิตรละ 19 บาท วิธีทํา ตัวอยางที่ 2 จากกราฟในตัวอยางที่ 1จงตอบคําถามตอไปนี้ (1) น้ํามัน 9 ลิตร ราคาเทาใด (2) เงิน 209 บาทซื้อน้ํามันไดกี่ลิตร วิธีทํา ราคาน้ํามัน (บาท) ปริมาณน้ํามัน (ลิตร)

136 (1) จากตําแหนงแสดงปริมาณน้ํามัน 9 ลิตรลากเสนตรงใหขนานกับแกนตั้งไป ตัดกราฟและจากจุดที่ตัดกราฟลากเสนตรงขนานแกนนอนไปตัดแกนที่แสดงราคาน้ํามันเปนเงิน 171 บาท ดังนั้น น้ํามัน 9 ลิตร เปนราคา 171 บาท (2)จากตําแหนงแสดงราคาน้ํามัน 209 ลิตรลากเสนตรงใหขนานกับแกนนอนไปตัดกราฟและจากจุดที่ตัด กราฟลากเสนตรงขนานแกนตั้งไปตัดที่แกนแสดงจํานวนน้ํามันเปนปริมาณ 11 ลิตร ดังนั้น เงิน 209 ลิตร จะซื้อน้ํามันได 11 ลิตร แบบฝกหัดที่ 3 กราฟขางลางแสดงการเดินทางของอนุวัฒนและอนุพันธ

137 จงใชกราฟที่กําหนดใหตอบคําถามตอไปนี้ 1.อนุวัฒนออกเดินทางกอนอนุพันธกี่ชั่วโมง 4.อนุวัฒนออกเดินทางนานเทาไรจึงจะหยุดพัก ................................................................. ................................................................. 2.อนุพันธใชเวลาเดินทางกี่ชั่วโมงจึงทันอนุวัฒน 5.ตําแหนงที่อนุวัฒนหยุดพักหางจากตําแหนงที่ อนุพันธออกเดินทางกี่กิโลเมตร ................................................................. ................................................................. 3. อนุพันธเดินทางทันอนุวัฒนเมื่อทั้งสอง เดินทางไดกี่กิโลเมตร .................................................................

138 บทที่ 8 ความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ สาระสําคัญ รูปเรขาคณิตสองมิติ และสามมิติ มีความสัมพันธกันเปนอยางมาก เหมาะที่จะนําไปใชในการ ประดิษฐเปนรูปลูกบาศกและใชประโยชนในชีวิตประจําวัน ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. อธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิติจากภาพสองมิติที่กําหนดใหได 2. ระบุภาพสองมิติที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง ดานบน ของรูปเรขาคณิตสามมิติที่ กําหนดใหได 3. วาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณิตที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศกเมื่อกําหนดภาพสองมิติที่ไดจากการ มองทางดานหนา ดานขาง หรือดานบนได ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมิติที่เกิดจากการคลี่รูปเรขาคณิตสามมิติ เรื่องที่ 2 ภาพสองมิติที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง หรือดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติ เรื่องที่ 3 การวาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณิตที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศก

139 เรื่องที่ 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมิติที่เกิดจาการคลี่รูปเรขาคณิตสามมิติ รูปเรขาคณิตมีสวนเกี่ยวของสัมพันธกับชีวิตประจําวันมนุษยตั้งแตอดีตจนถึงปจจุบัน สิ่งแวดลอม ตางๆที่อยูรอบตัวเราลวนเปนไปดวยวัตถุรูปเรขาคณิต นอกจากนี้เราใชเรขาคณิตเพื่อทําความเขาใจหรือ อธิบายสิ่งตางๆรอบตัว เชน ในการสํารวจพื้นที่ สรางผังเมือง เปนตน ภาพของรูปเรขาคณิต รูปเรขาคณิต เปนรูปที่ประกอบดวย จุด ระนาบ เสนตรง เสนโคง ฯลฯ อยางนอยหนึ่งอยาง ตัวอยางภาพเรขาคณิตสองมิติ ตัวอยางรูปเรขาคณิตสามมิติ จะเห็นวา รูปเรขาคณิตสามมิติ หรือทรงสามมิติ มีสวนประกอบของรูปเรขาคณิตหนึ่งมิติและสอง มิติ

140 รูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติ รูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติ หรือทรงสามมิติใดๆ เปนรูปเรขาคณิตสองมิติที่สามารถนํามา ประกอบกันแลวไดทรงสามมิติ พิจารณาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความกวาง ความยาว และความสูง 1 หนวย เทากัน ซึ่งเราเรียกทรง สี่เหลี่ยมมุมฉากนี้วา “ลูกบาศก”

141 แบบฝกหัดที่ 1 1. จงบอกชนิดของรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีรูปคลี่ดังตอไปนี้ 1. ……..………………………...…. 2. ….………………………………. 3. …….…………………………….. 4. …..……………………………….

142 2. จงเขียนรูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติในแตละขอตอไปนี้

143 เรื่องที่ 2 ภาพสองมิติที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง หรือดานบนของ รูปเรขาคณิตสามมิติ โดยทั่วไปการเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติ ในการอธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิติ นิยมเขียน 3 ภาพ ซึ่งประกอบดวย ภาพที่ไดจากการมองทางดานหนา ดานขาง และดานบน ดังตัวอยาง ตัวอยางจงแรเงาพรอมทั้งเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติสวนที่เปนดานบน ดานหนา และดานขางของทรงสาม มิติที่กําหนดใหตอไปนี้