เอกสาร “สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย ฉบับ ADMISSIONS”

MATH

Series

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่
วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)
ชอ่ื

คานา

เอกสาร “สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เตมิ เตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย
ฉบับ ADMISSIONS” เล่มนี้ถือเป็นเอกสารแบบฝึกทักษะทางคณิตศาสตร์พื้นฐานและเพ่ิมเติมระดับช้ัน
มธั ยมศกึ ษาตอนปลายอีกทางเลอื กหน่งึ ซง่ึ อาจจะเป็นประโยชน์ตอ่ นกั เรยี นที่สนใจเพื่อเตรียมตัวและเตรียม
ความพร้อมในการทดสอบความถนัดทางวิชาการและวิชาชีพ หรือที่รู้จักกันในชื่อย่อว่า PAT ท่ีย่อมาจาก
Professional and Academic Aptitude Test เพอ่ื นาผลคะแนนไปเปน็ องค์ประกอบหน่ึงในการคัดเลือก
บุคคลเข้าศึกษาต่อระดับอุดมศึกษาด้วยระบบรับกลาง ซ่ึงจัดสอบโดยสถาบันทดสอบทางการศึกษา
แห่งชาติ (องค์การมหาชน) หรือท่ีเราเรียกกันว่า สทศ. โดยรวบรวมจากข้อสอบ PAT 1 ความถนัดทาง
คณิตศาสตร์ ต้ังแต่ปี พ.ศ. 2552 – 2556 รวมทั้งหมด 5 ปี พ.ศ. เพื่อเป็นแนวทางในการเตรียมตัวสอบ
และใหน้ ักเรยี นไดใ้ ชป้ ระโยชน์อยา่ งสงู สดุ

สาหรับการเรียนในหอ้ งเรียน นกั เรยี นจะได้เรยี นรู้ถงึ หลกั การและวิธีการทางคณิตศาสตร์แล้วทา
การฝึกทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ผ่านการทาแบบฝึกหัดโดยนาความรู้ในหลักการและวิธีการ
ทางคณิตศาสตร์มาใช้ และจานวนแบบฝึกหัดในหนังสือเรียนเป็นส่ิงที่ดีที่จะช่วยให้นักเรียนได้ฝึกฝนจน
เกิดความเขา้ ใจและความชานาญมากย่ิงข้ึน แต่นักเรียนอีกหลายคนยังต้องการแบบฝึกหัดเพ่ิมเติมเพื่อใช้
ในการฝึกฝนให้เกิดความรู้ ความเข้าใจและความชานาญมากย่ิงขึ้น และความสามารถในการเรียนรู้วิชา
คณิตศาสตรข์ องนักเรียนแตล่ ะคนมคี วามแตกต่างกันนักเรียนหลายคนสามารถทาความเข้าใจได้มากและ
เข้าใจได้เร็ว ขณะท่ีนักเรียนหลายคนอาจต้องใช้เวลาไม่น้อย อย่างไรก็ตามการฝึกฝนและการทบทวน
บอ่ ย ๆ กม็ สี ่วนช่วยให้สามารถเขา้ ใจไดถ้ ่องแท้มากย่ิงขึ้น

จงึ หวังเป็นอย่างย่ิงวา่ เอกสาร “สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ช้ัน
มธั ยมศึกษาตอนปลาย ฉบับ ADMISSIONS” เล่มนจี้ ะมปี ระโยชน์ต่อนักเรียนทมี่ ีสว่ นช่วยเพ่ิมพูนความรู้
และทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ และคุณค่าและประโยชน์ของเอกสารเล่มนี้ ผู้เรียบเรียงขอมอบ
เปน็ เคร่ืองบูชาพระคณุ บิดามารดา ครู อาจารยท์ ุกทา่ นท่ไี ดป้ ระสทิ ธป์ิ ระสาทวชิ าความรใู้ ห้แกผ่ ู้เรียบเรยี ง

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่
วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สารบัญ หนา้

1. เซต 1
2. ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น 11
3. ระบบจานวนจรงิ 23
4. ทฤษฎจี านวนเบอื้ งตน้ 37
5. เมทริกซ์ 47
6. ความสมั พันธ์และฟงั ก์ชนั 61
7. เรขาคณิตวเิ คราะห์และภาคตดั กรวย 76
8. ฟงั ก์ชันเอกซ์โพแนนเชยี ลและฟังกช์ ันลอการทิ ึม 90
9. ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ 107
10. เวกเตอรใ์ นสามมติ ิ 124
11. จานวนเชงิ ซ้อน 136
12. ความนา่ จะเปน็ 147
13. การวเิ คราะห์ขอ้ มลู เบอื้ งตน้ 160
14. การแจกแจงปกติ 173
15. ความสมั พนั ธเ์ ชงิ ฟังกช์ นั ระหว่างข้อมลู 185
16. ลาดบั อนันตแ์ ละอนกุ รมอนันต์ 195
17. แคลคูลสั เบอ้ื งต้น 211
18. กาหนดการเชงิ เส้น 226
19. การคดิ และแกป้ ญั หาเชิงคณิตศาสตร์ 234

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 1

เซต (Set)

1. กาหนดให้ A = { , 1, {1}} ขอ้ ใดต่อไปนี้ผดิ (PAT 1 ม.ี ค. 52)
1.   A
2.   A*
3. {1, {1}}  A
4. {{1}, {1, {1}}}  A

2. กาหนดให้ A = {1, 2, {1, 2}, {1, 2, 3}} ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ผดิ (PAT 1 ก.ค. 52)
1. {1, 2}A
2. {1, 2, 3}A
3. {1, 2}  A
4. {1, 2, 3}  A*

3. กาหนดให้ A = {x | x เป็นจานวนคู่บวก และ x  100} และ B = {x | xA และ 3 หาร x ลงตัว} จานวน
สมาชิกของเซต P(B) เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 52)
1. 216*
2. 217
3. 218
4. 219

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 2

4. ให้ A = {1, {1}} และ P(A) เป็นเพาเวอรเ์ ซตของเซต A ข้อใดตอ่ ไปนี้ผดิ (PAT 1 มี.ค. 53)
1. จานวนสมาชิกของ P(A) – A เท่ากับ 3
2. จานวนสมาชิกของ P(P(A)) เทา่ กับ 16
3. {{1}}P(A) – A
4. { , A}P(A) *

5. ให้ A = {  , {  }, {  , { }}} และ P(A) เป็นเพาเวอร์เซตของเซต A ข้อใดตอ่ ไปน้ีถูกต้อง (PAT 1 ก.ค. 53)
1. จานวนสมาชกิ ของ P(A) เทา่ กบั 16
2. จานวนสมาชกิ ของ P(A) – { , { }} เทา่ กับ 7
3. {  , {  , {  }}}  P(A) – {  , {  }}
4. { , {  }, {{  }}}  P(A)*

6. กาหนดให้ A = {0, 1, 2, {0, 1, 2}} และ P(A) แทนเซตกาลังของ A พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี
ก. A  P(A) = {0, 1, 2}
ข. n(A – P(A)) < n(P(A) – A)

ขอ้ ใดต่อไปนีเ้ ป็นจริง (PAT 1 ต.ค. 52)
1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก*
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 3

7. กาหนดเซต A = { , {0, 1}}, B = { , {0}} ข้อใดตอ่ ไปน้ีถูกต้อง (ขอ้ สอบ 7 วิชาสามญั คณิตศาสตร์ 54)
1. A  { } = { , {0, 1}}
2. n[P(A  B)] = 4
3. n[P(A)  P(B)] = 2*
4. n[P(A)  P(B)] = 2

8. ถ้า A = { , 0, 1, {1}, {1, 2}, {3}} และ P(A) เป็นเพาเวอร์เซตของ A แล้ว จานวนสมาชิกของเซต P(A) − A
เทา่ กบั เท่าใด (ENT คณิตศาสตร์ 2 มี.ค.48) (62)

9. กาหนดให้ U เปน็ เอกภพสมั พัทธแ์ ละให้ A, B, C เป็นสับเซตของ U ถา้ 20% ของสมาชิกในเซต A เป็นสมาชิก
ในเซต B, 25% ของสมาชิกในเซต B เป็นสมาชิกในเซต A และจานวนสมาชิกของ (A–B) (B–A) เท่ากับ 112
แลว้ จานวนสมาชกิ ของ A  B เท่ากบั เทา่ ใด (PAT1 ต.ค.55) (128)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 4

10. กาหนดให้ A และ B เป็นเซตจากัด โดยที่ A  B   สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 2 ตัว มีทั้งหมด 10 ตัว และ
สบั เซตของ B ท่มี สี มาชกิ 2 ตัว มีท้ังหมด 6 ตัว ถ้าจานวนสมาชิกของ P(P(A B)) เท่ากับ 16 เม่ือ P(S) แทน
เพาเวอร์เซตของเซต S แลว้ จานวนสมาชิกของเซต A  B เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT1 ม.ี ค.56) (7)

11. ถ้า A = { , { }, 0, {1}, {1, 2}} และ P(A) เป็นเพาเวอร์เซตของ A แล้ว จานวนสมาชิกของเซต
(P(A) − A)  (A − P(A)) เทา่ กบั เทา่ ใด (ENT คณติ ศาสตร์ 2 ต.ค.47) (33)

12. สาหรับเซต X ใด ๆ ให้ P(X) แทนเพาเวอร์เซตของ X ให้ A และ B เป็นเซต ซึ่งจานวนสมาชิกของ A B และ B
เท่ากับ 7 และ 12 ตามลาดับ ถ้าจานวนสมาชิกของ P(A B) เท่ากับ 643 แล้ว จานวนสมาชิกของ Ax(A – B)
เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ (ENT คณิตศาสตร์ 2 มี.ค.47)
1. 60
2. 66
3. 72
4. 78*

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 5

13. ถ้า A = {a, b, {c}, {a}, {a, b}, {b, c}} และ P(A) เป็นเพาเวอร์เซตของ A แล้ว จานวนสมาชิกของ P(A) A
เท่ากับเทา่ ไร (ENT คณติ ศาสตร์ 2 ต.ค.46) (2)

14. สาหรับเซต X เปน็ เซตใด ๆ ให้ n(X) หมายถงึ จานวนสมาชกิ ของ X ให้ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ ซ่ึง n(U) = 10
และ A, B, C เป็นสับเซตของ U ซ่ึง A  B  C = U ถ้า n(A) = n(B) = n(C) = 5 และ n(A B) =
n(A  C) = n(B  C) = 2 แล้วข้อใดตอ่ ไปน้ถี ูกต้อง (ENT คณติ ศาสตร์ 2 ม.ี ค.46)
1. n(A – (B  C)) = 3
2. n((A – B)  C) = 3
3. n((A  B) – C) = 2
4. n(A – (B  C)) = 2*

15. ให้ A, B, C เป็นเซต ซ่ึง A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} และ C = {3, 6, 9, 12, 15}
สาหรับเซต X ใด ๆ ให้ n(X) หมายถึงจานวนสมาชิกของ X และ P(X) เป็นเพาเวอร์เซตของ X ข้อใดต่อไปนี้
ถูกตอ้ ง (ENT คณติ ศาสตร์ 2 ต.ค.45)
1. n[(A  B)  C)] = 2
2. n[A  (B  C)] = 2
3. n[P(A – B)] = 16
4. n[P(B – C)] = 32*

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 6

16. กาหนดให้ A, B, C เป็นเซต โดยที่ A  B = {6, 8}, A  B = {4, 6, 7, 8, 9}, A  C = {6, 7} และ A  C =

{4, 5, 6, 7, 8} แล้ว B − C คือเซตในข้อใดตอ่ ไปน้ี (ENT คณติ ศาสตร์ 2 ม.ี ค.47)

1. {8} 2. {9}* 3. {8, 9} 4. {4, 8}

17. กาหนดให้ A, B, C เป็นเซต โดยท่ี A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {x | x = 1 – 1 เมื่อ yA},
y
y
C = {x |x = y +1 เมอื่ yA} ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี ูกตอ้ ง (ENT คณิตศาสตร์ 2 ต.ค.46)

1. B  C = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 2. BC = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }*
2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6
6
3. B – C = { 7 } 4. C – B = {0}

18. กาหนดเซตและจานวนของสมาชิกตามตารางต่อไปนี้

เซต A B C A  B B  C A  C (A  B)  C

จานวนของสมาชกิ 15 17 22 23 29 32 28

จานวนสมาชกิ ในเซต A  B  C เท่กับเทา่ ใด (PAT 1 ต.ค. 52) (33)

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 7

19. กาหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ ถ้า n(A B C) = 91, n(A B´ C´) = 11, n[(B–A) (B–C)] = 15,
n(A  B C) = 20, n[(A  B) (A C) (B C)] = 47 และ n(C) = 59 แล้ว n(A´  B´  C) เท่ากับ
เทา่ ใด (PAT 1 ม.ี ค. 53) (18)

20. ในการสารวจความเห็นของนักเรยี นชัน้ มัธยมศึกษาตอนปลายจานวน 880 คน เพอื่ สอบถามข้อมูลเกยี่ วกับ
การศึกษาต่อ ปรากฏผลดังนี้ มีผู้ต้องการศึกษาต่อ 725 คน มีผู้ต้องการทางาน 160 คน มีผู้ต้องการศึกษาต่อ
หรือทางาน 813 คน ผ้ทู ต่ี อ้ งการศึกษาตอ่ และทางานด้วยมจี านวนเทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 52)
1. 67 คน
2. 72 คน*
3. 85 คน
4. 90 คน

21. กาหนดให้ A และ B เป็นเซตจากัด โดยท่ีจานวนสมาชิกของ P(A) เป็นสองเท่าของจานวนสมาชิกของ P(B)
จานวนสมาชิกของ P(A  B) = 8 และจานวนสมาชิกของ P(A  B) = 256 จงหาจานวนสมาชิก P(A –B)
(PAT1 ธ.ค.54)
1. 2
2. 4
3. 8*
4. 16

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 8

22. ในการสอบวิชาภาษาไทย วิชาภาษาอังกฤษ และวิชาคณิตศาสตร์ ของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนเข้าสอบ
ทง้ั หมด 66 คน ปรากฏวา่ มนี กั เรยี นท่สี อบตกท้ังสามวชิ าจานวน 13 คน นักเรยี นท่ีสอบได้ทั้งสามวิชามีจานวน
17 คน นักเรียนท่ีสอบได้วิชาภาษาไทยและวิชาภาษาอังกฤษ แต่สอบตกวิชาคณิตศาสตร์มีจานวน10 คน
นักเรียนที่สอบได้วิชาภาษาไทย และวิชาคณิตศาสตร์แต่สอบตกวิชาภาษาอังกฤษ 11 คน นักเรียนท่ีสอบได้
เพียงวิชาเดียว มีจานวน 6 คน จานวนนักเรียนที่สอบได้วิชาภาษาอังกฤษและวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับเท่าใด
(PAT 1 ก.ค. 53) (26)

23. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนจานวน 750 คน พบว่ามีนักเรียนจานวน 30 คน ไม่เล่นกีฬาเลย นอกน้ันเล่นกีฬา
อย่างน้อยหน่ึงประเภทคือ ปิงปอง แบดมินตัน เทนนิส จากการสารวจเฉพาะกลุ่มนักเรียนที่เล่นกีฬา พบว่ามี
นกั เรียนจานวน 630 คน เล่นกีฬาเพยี งประเภทเดยี วเท่าน้ัน มีนักเรียนจานวน 30 คน เล่นเทนนิสและปิงปอง
มีนักเรียน 50 คน เล่นปิงปองและแบดมินตัน มีนักเรียน 40 คน เล่นเทนนิสและแบดมินตันมีนักเรียนไม่เล่น
เทนนิสจานวน 250 คน จงหาวา่ มนี ักเรยี นก่คี นทีเ่ ลน่ เทนนสิ เพยี งอย่างเดยี ว (PAT 1 ม.ี ค. 54) (415)

24. กาหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ ถ้า n(A) + n(B) + n(C) = 301 และ n(A B C) = 102 แล้ว
n(A  B  C) มคี ่าอย่างน้อยเท่ากบั เทา่ ใด (PAT 1 ต.ค. 53) (97)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 9

25. กาหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ ที่ไม่ว่าง ถ้า n(U) = 44, n(B) = 19, n(A B C) = 2, n[(A C) – B]
= 3, n[A  (B C)´] = 6 และ n(A´  B´  C´) = 9 จงหา n[(A C) – B] (PAT 1 ธ.ค. 54) (16)

26. ในการสารวจสโมสรแหง่ หนง่ึ มีสมาชิกจานวน 100 คน พบว่าชอบอ่านนวนิยายหรือหนังสือพิมพ์หรือนิตยสาร
อยา่ งน้อย 1 รายการ และมี 75 คนชอบอ่านนวนิยาย มี 70 คนชอบอ่านหนังสือพิมพ์ และมี 80 คนชอบอ่าน
นติ ยสาร มสี มาชิกอย่างนอ้ ยกคี่ นท่ชี อบอ่านทงั้ สามรายการ (PAT1 ม.ี ค.55) (25)

27. นักเรียนชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งมี 400 คน ในจานวนนี้ มีผู้ลงทะเบียนเรียนวิชาคณิตศาสตร์

225 คน และลงทะเบียนเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 240 คน ถ้ามีนักเรียนท่ีไม่ลงทะเบียนเรียนวิชาคณิตศาสตร์

และไม่ลงทะเบียนเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 50 คน แล้ว จานวนนักเรียนท่ีลงทะเบียนเรียนวิชาคณิตศาสตร์ และ

ไมล่ งทะเบียนเรียนวิชาภาษาองั กฤษ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ (ENT คณิตศาสตร์ 2 ม.ี ค.48)

1. 110 คน* 2. 115 3. 120 4. 125

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 10

28. กาหนดให้ U เป็นเอกภพสัมพทั ธแ์ ละให้ A, B, C เป็นสับเซตของ U ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี ูกต้อง (PAT1 ต.ค.55)
1. A – (B  C) = (A – B)  (A – C)
2. (A  B) – C) = (A – C)  (B – C)*
3. A – (B – C) = A  (B´  C´)

4. (A  B) – C) = A  (B – C)

29. กาหนดให้ U เป็นเอกภพสัมพทั ธ์และให้ A, B, C เปน็ สบั เซตของ U พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้
ก. A – [(A  B)  (A  B C)] = A – B
ข. เพาเวอร์เซตของเซต A – (B  C) เทา่ กบั เพาเวอร์เซตของเซต (A – B) – C
ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง (PAT1 ม.ี ค.56)
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก*
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

30. กาหนดให้ A เปน็ เซตซงึ่ สอดคลอ้ งกบั เงือ่ นไขตอ่ ไปน้ี

ก. 1A ข. ถ้า xA แลว้ 1/xA ค. xA ก็ต่อเมือ่ 2xA

จานวนในข้อใดต่อไปน้เี ป็นสมาชิกของ A (PAT 1 ต.ค. 52)

1. 1/2 2. 1/8 3. 1/16* 4. 1/32

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 11

ตรรกศาสตรเ์ บื้องตน้
(Logic)

1. ให้ p, q, r เป็นประพจน์ ถ้าประพจน์ p (q r) มีค่าความจริงเป็นจริง และ p (q r) มีค่าความจริงเป็น
เทจ็ แลว้ ประพจนใ์ นข้อใดตอ่ ไปนมี้ คี ่าความจรงิ เปน็ เท็จ (A-NET 49)
1. ∼ q  (p r)
2. ∼ p (∼ p  q)

3. (q r)  ∼ p (q r)

4. [(∼ q) ( ∼ r)] [p (q r)*

2. กาหนดให้ p, q, r เปน็ ประพจน์ พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี
ก. ถา้ q r มคี า่ ความจริงเป็นจริง แล้ว p และ p [(q r) p] มีคา่ ความจริงเหมือนกนั
ข. ถา้ p มคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็ แล้ว r และ (pq) r มีค่าความจรงิ เหมอื นกัน
ขอ้ ใดต่อไปน้ีเป็นจริง (PAT 1 ต.ค. 52)
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก*
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

3. กาหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ ที่ประพจน์ (p q)(r s) มีค่าความจริงเป็นเท็จ และประพจน์
p r มคี ่าความจรงิ เปน็ จริง ประพจน์ในขอ้ ใดมีคา่ ความจริงเปน็ จริง (PAT 1 ก.ค. 53)
1. (q p) (q r)
2. q [p (q ∼ r)]*
3. (p s) (r q)
4. (r s) [q (p r)]

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 12

4. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์โดยท่ี p (q r), r ∼ p และ p มีค่าความจริงเป็นจริง ประพจน์ใน

ข้อใดตอ่ ไปนมี้ ีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ (PAT 1 ม.ี ค. 54)
1. [p (q ∼ r)] ∼ (q  r)
2. [p (r q)] [(r p) q]
3. [p ∼ (r q)] [r (p  q)]*

4. [p ∼ (q r)] [r (p q)]

5. กาหนดให้ p, q, และ r เปน็ ประพจน์ใด ๆ โดยที่ ∼ pq มีค่าความจรงิ เป็นเทจ็ พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
ก. (p r) [(p r) q] มคี า่ ความจรงิ เปน็ เทจ็
ข. (p r) [∼ q p] มคี ่าความจริงเป็นจรงิ

ข้อใดสรปุ ใดถกู ตอ้ ง (PAT1 ธ.ค.54)
1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ *

6. กาหนดให้ P แทนประพจน์ “ถ้า A C B C แล้ว A B เม่ือ A, B, C เป็นเซตใด ๆ” และให้ Q แทน
ประพจน์ “ถ้า C A B แลว้ C A และ C B เมอื่ A, B, C เป็นเซตใด ๆ” พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี
ก. ประพจน์ [(P Q) ∼ Q] P มีค่าความจรงิ เป็นจรงิ
ข. ประพจน์ (P Q) (∼ P ∼ Q] มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็
ข้อใดต่อไปนี้ถกู ตอ้ ง (PAT 1 ม.ี ค. 56)
1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ *
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 13

7. กาหนดประพจน์ (p ∼ q) ∼ (p r) มีคา่ ความจรงิ เป็นจริง ประพจน์ใดต่อไปน้ีเป็นเท็จ
1. p (∼ q r)
2. (p ∼ r) q*
3. p q
4. (q r) p
5. (p q) (q r)

8. กาหนดให้ p, q, และ r เปน็ ประพจน์ ถา้ ประพจน์ (p q) (p q) มคี ่าความจริงเป็นเท็จ แล้วประพจน์ใน
ขอ้ ใดต่อไปน้ีมคี า่ ความจริงเป็นจริง (ENT คณติ ศาสตร์ 2 มี.ค.47)
1. p ∼ q
2. p ∼ q
3. (p q) r
4. ∼ q (p r)*

9. กาหนดให้ A แทนประพจน์ (p q) (r s) และ B แทนประพจน์ ((p r)s)q ถ้าประพจน์
p (q (r s)) มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้ว ค่าความจริงของประพจน์ A, B ในข้อใดต่อไปน้ีถูก (ENT
คณิตศาสตร์ 2 ต.ค.46)
1. A เปน็ จริง และ B เปน็ จรงิ *
2. A เปน็ จริง และ B เปน็ เท็จ
3. A เปน็ เทจ็ และ B เปน็ จริง
4. A เปน็ เทจ็ และ B เป็นเท็จ

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 14

10. พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้
ก. ถ้า p, q และ r เป็นประพจน์โดยที่ p (q r) มีค่าความจริงเป็นจริง แล้ว r [(pq) (∼ pr)]

มคี ่าความจริงเป็นจริง
ข. เอกภพสัมพัทธ์คือ {x | x2  2x + 3} เม่ือ คือเซตของจานวนจริง แล้ว x [3x + 6 = 33–x] มีค่า

ความจรงิ เปน็ จรงิ
ขอ้ ใดต่อไปนีถ้ ูกต้อง (PAT 1 ต.ค. 55)
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก*
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

11. พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
ก. ถ้าประพจน์ (A (X Y)) X มีค่าความจริงเป็นเท็จ เม่ือ A, X, Y เป็นเซตใด ๆ แล้ว ประพจน์
(A Y) X มีค่าความจริงเปน็ จรงิ
ข. ถ้าเอกภพสมั พทั ธ์ คือชว่ ง (−1, 0) แลว้ ขอ้ ความ x [−x2 > x ] มคี ่าความจริงเปน็ จรงิ
ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ ูกตอ้ ง (ENT คณติ ศาสตร์ 2 มี.ค.48)
1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก*
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

12. พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้
ก. ถ้าประพจน์ p ∼ q และ q r มีค่าความจริงเป็นเท็จท้ังคู่ แล้ว ประพจน์ (p q)∼ (q ∼ r) มีค่า
ความจรงิ เปน็ จริง
ข. ถ้าประพจน์ (p r) (q ∼ r) มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้ว ประพจน์ ∼ q  (∼ p r) และ p มีค่า
ความจรงิ เป็นจริงท้งั คู่ หรือเปน็ เทจ็ ทั้งคู่
ขอ้ ใดต่อไปนถี้ ูกต้อง (ENT คณติ ศาสตร์ 2 ต.ค.47)
1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ *

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 15

13. กาหนดให้ p, q, r เปน็ ประพจน์ จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ประพจน์ p (p (q r)) สมมลู กบั ประพจน์ p (q r)
ข. ประพจน์ p (q r) สมมลู กบั ประพจน์ (q p) ∼ (p ∼ r)

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู (PAT 1 มี.ค. 52)
1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด*
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

14. กาหนดให้ p และ q เปน็ ประพจนใ์ ด ๆ ข้อใดตอ่ ไปนีม้ ีคา่ ความจริงเป็นเท็จ (PAT 1 มี.ค. 53)
1. (p q) p
2. (∼ p  q) q
3. [(p q) p] q
4. (∼ p q) ( ∼ p  ∼ q)*

15. กาหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ใด ๆ ประพจน์ [(p ∼ q) ∼ p] [(r s) (r ∼ s)] สมมูลกับ
ประพจน์ในข้อใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 55)
1. p r
2. q r
3. (p r) (q r)*
4. (q r) (q s)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 16

16. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ประพจน์ (p q) r สมมลู กบั ประพจนใ์ นข้อใดต่อไปน้ี

1. (p q) ∼ r (ENT คณิตศาสตร์ 2 มี.ค.47)

2. ∼ (p q) r

3. (p r) (q r)*

4. (p r) (q r)

17. กาหนดให้ p, q, และ r เปน็ ประพจน์ ประพจน์ (p r) (qr) สมมลู กับประพจนใ์ นขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. (∼ p ∼ q) r* (ENT คณติ ศาสตร์ 2 ต.ค.46)

2. (∼ p  ∼ q) r

3. (p q) r

4. (p q) r

18. กาหนดให้ A, B และ C เป็นประพจน์ใดๆ ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู ตอ้ ง (PAT 1 ต.ค. 53)
1. ถา้ A B มีคา่ ความจรงิ เปน็ จริง แลว้ (B C) ( ∼ A C) มคี า่ ความจริงเป็นเทจ็

2. ประพจน์ A [(A B) (B C)] เป็นสจั นิรนั ดร์
3. ประพจน์ [(A B) C] [(A B) (A C)] เป็นสัจนริ ันดร์*
4. ประพจน์ (A C) (B C) สมมลู กับประพจน์ (A B) C

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 17

19. กาหนดให้ p และ q เปน็ ประพจน์ ประพจนใ์ นข้อใดต่อไปนีเ้ ป็นสัจนิรนั ดร์ (PAT 1 ต.ค. 55)
1. (p q) (q p)
2. (∼ p  ∼ q) (p q)
3. [(p  ∼ q)  ∼ p] (p q)*
4. [(p q) ∼ q] (p q)

20. ประพจน์ในข้อใดไม่เป็นสจั นริ นั ดร์ (มข. 53)
1. ∼ (p q)  ∼ (p  q)
2. [(p q) p] p
3. ∼ (p q) q*
4. [∼ p (p q)] q

21. จงพิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
(1) ประพจน์ [(p q) (q ∼ q)] [(∼ p q) (r ∼ r)]
(2) ประพจน์ (p ∼ q) (r q)] สมมลู กับ (∼ p r) q

ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถกู ต้อง (สมาคมคณติ ศาสตร์ 46)
1. ข้อ (1) และ (2) เป็นจริง*
2. ขอ้ (1) เท่านน้ั เป็นจรงิ
3. ขอ้ (2) เท่านั้นเป็นจรงิ
4. ขอ้ (1) และ (2) เป็นเทจ็

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 18

22. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

ก. ถา้ (p q) r และ (q r) s มีค่าความจริงเป็นเท็จ แลว้ (p q) (r s) มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ

ข. การอ้างเหตุผลขา้ งลา่ งน้ีสมเหตสุ มผล

เหตุ 1) ∼ p ∼ (q r) 2) q s 3) ∼ r

ผล s p

ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู (A-NET 51)

1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก

2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู *

4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

23. พิจารณาการอา้ งเหตุผลตอ่ ไปน้ี ข. เหตุ 1. P(x) ∼ Q(x)
ก. เหตุ 1. p q
2. Q(x) R(x)
2. (q r) (s p) ผล P(x) R(x)
3. p ∼ r

ผล s ∼ r

ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี ูก (ENT คณิตศาสตร์ 1 ต.ค.46)
1. ก และ ข สมเหตสุ มผลท้ังคู่*
2. ก สมเหตสุ มผล แต่ ข ไม่สมเหตสุ มผล
3. ก ไมส่ มเหตุสมผล แต่ ข สมเหตสุ มผล
4. ก และ ข ไม่สมเหตสุ มผลท้งั คู่

24. กาหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจนใ์ นการอา้ งเหตผุ ล
ถ้า “เหตุ” คือ (1) (p q) (r s)
(2) r ∼ s

แลว้ ประพจนใ์ นขอ้ ใดตอ่ ไปน้เี ปน็ “ผล” ทที่ าให้การอ้างเหตผุ ลมีความสมเหตุสมผล (ENT คณติ ศาสตร์ 1 ม.ี ค.46)
1. p
2. q
3. ∼ p  ∼ q*
4. ∼ p q

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 19

25. กาหนดให้ เหตุ (1) ∼ p ∼ q
(2) p (r  s)
(3) q t
(4) ∼ t

ผลในขอ้ ใดต่อไปน้ที าให้การอ้างเหตุผลน้ี สมเหตสุ มผล (ENT คณิตศาสตร์ 1 ม.ี ค.43)
1. s r
2. s ∼ r
3. r ∼ s
4. ∼ r s

26. กาหนดเหตุให้ดังน้ี 1. เอกภพสมั พัทธ์ไม่เปน็ เซตวา่ ง
2. x [P(x) Q(x)]
3. x [Q(x) R(x)]
4. x [∼ R(x)]

ขอ้ ความในขอ้ ใดต่อไปนเี้ ปน็ ผลที่ทาให้การอา้ งเหตุผลสมเหตุสมผล (A-NET 50)
1. x [P(x)]
2. x [Q(x)]
3. x [P(x)]
4. x [Q(x)]*

27. กาหนดใหเ้ อกภพสัมพทั ธ์คอื U = {-3, -2, -1, 1, 2, 3} ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็ (A-NET 49)
1. xy [x + y < y]
2. xy [x – y2 < y]
3. xy [xy2 = x]*
4. xy [x2y = y]

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 20

28. กาหนดให้ U = {nI+ | n < 10} ประโยคในขอ้ ใดตอ่ ไปนม้ี ีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ (PAT 1 ก.ค. 52)
1. xy [(x2 = y2) (x = y)]
2. xy [(x ≠ 1) (x > y2)]
3. xy [xy < x + y]
4. xy [(x – y)2 ≥ (y2 + 9xy)]*

29. กาหนดให้เอกภพสมั พทั ธค์ ือ U = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ข้อใดต่อไปน้ีถกู (PAT 1 มี.ค. 52)
1. xy [x  y ≠  ]*
2. xy [x  y = U]
3. xy [y ≠ x y  x]
4. xy [y ≠ x y  x]

30. กาหนดใหเ้ อกภพสัมพทั ธค์ ือเซต {-2, -1, 1, 2} ประโยคในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีมคี า่ ความจรงิ เป็นเท็จ (PAT 1 ต.ค. 52)
1. xy [x ≤ 0  |x| = y +1]
2. xy [x ≤ y  -(x + y) ≥ 0]
3. xy [x + y = 0  x – y = 0]
4. xy [|x| < |y|  |x| > |y|]*

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 21

31. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คอื {-1, 0, 1} ข้อใดต่อไปน้ีถูกต้อง (PAT 1 ก.ค. 53)
1. xy [x + y + 2 > 0] มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ
2. xy [x + y ≥ 0] มีค่าความจรงิ เป็นเท็จ
3. xy [x + y = 1] มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็ *
4. xy [x + y > 1] มีค่าความจรงิ เป็นเท็จ

32. พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
ก. ให้เอกภพสมั พทั ธ์คอื เซตของจานวนเฉพาะบวก ข้อความ xy [x2+x+1 = y] มีคา่ ความจริงเปน็ จริง
ข. นเิ สธของข้อความ x [P(x) [Q(x) R(x)]] คอื x [P(x)  ∼ Q(x)  ∼ R(x)]

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู (A-NET 50)
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู *
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

33. กาหนดให้ P(x) และ Q(x) เป็นประโยคเปิด ประโยค x [P(x)]  x [∼ Q(x)] สมมูลกับประโยคในข้อใด
ตอ่ ไปน้ี (PAT 1 ก.ค. 52)
1. x [∼ P(x)]  x [Q(x)]
2. x [Q(x)]  x [ ∼ P(x)]*
3. x [P(x)]  x [Q(x)]
4. x [∼ Q(x)]  x [P(x)]

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 22

34. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนจริง และ P(x) แทน (x +1)2 = x + 1, Q(x) แทน x+1 > 2

ขอ้ ใดต่อไปน้ีมคี ่าความจรงิ ตรงข้ามกับประพจน์ x [P(x)]  x [Q(x)] (PAT 1 ต.ค. 53)
1. x [∼ P(x)]  x [ ∼ Q(x)]

2. x [P(x)]  x [Q(x)]*
3. x [P(x) Q(x)]  x [P(x)]
4. x [P(x) Q(x)]  x [Q(x)]

35. กาหนดให้ P(x) และ Q(x) เป็นประโยคเปิด ถ้า x [P(x)]  x [ ∼ Q(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง แล้ว

ประพจน์ในขอ้ ใดมคี า่ ความจริงเป็นเทจ็ (PAT1 ธ.ค.54)
1. x [P(x) Q(x)]*
2. x [∼ P(x) ∼ Q(x)]

3. x [P(x) ∼ Q(x)]
4. x [P(x) ∼ Q(x)]

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 23

ระบบจานวนจริง
(Real number system)

1. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี
ก. ถ้า a เป็นจานวนตรรกยะ และ b เป็นจานวนอตรรกยะ แล้ว a  b เปน็ จานวนอตรรกยะ
ข. ถา้ a เป็นจานวนตรรกยะท่ีไม่ใชศ่ ูนย์ และ b เปน็ จานวนอตรรกยะ แล้ว ab เปน็ จานวนอตรรกยะ

ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง (มอ. 51)
1. ถกู ทัง้ สองข้อ*
2. ขอ้ ก. ถกู และขอ้ ข. ผดิ
3. ขอ้ ก. ผดิ และข้อ ข. ถูก
4. ผิดท้ังสองขอ้

2. ให้ P(x) = x3 + ax2 + bx + 10 เมื่อ a, b เป็นจานวนเต็ม และ Q(x) = x2 + 9 ถ้า Q(x) หาร P(x) เหลือเศษ 1
แลว้ P(a) + P(b) มคี ่าเท่าใด (A-NET 51) (922)

3. ให้ a และ b เปน็ จานวนจริง ถา้ ax5+bx+4 หารด้วย (x–1)2 ลงตัว แล้ว a–b เทา่ กับเท่าใด (PAT 1 ม.ี ค. 55) (6)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 24

4. กาหนดให้ P(x) เป็นพหุนามดีกรี 3 ถ้า x – 1, x – 2 และ x – 3 ต่างก็หาร P(x) แล้วเหลือเศษ 1 และ x – 4
หาร P(x) ลงตัว แลว้ P(5) มคี า่ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (ขอ้ สอบ 7 วชิ าสามญั คณติ ศาสตร์ 54) (6)
1. -3*
2. -1
3. 0
4. 1
5. 3

5. กาหนดให้ S เป็นเซตคาตอบของสมการ 2x3 – 7x2 + 7x – 2 = 0 ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของ S เท่ากับข้อ
ใดต่อไปน้ี (PAT 1 ม.ี ค. 52)
1. 2.1
2. 2.2
3. 3.3
4. 3.5*

6. กาหนดให้ A เปน็ เซตคาตอบของสมการ x3 + x2 – 27x – 27 = 0 และ B เป็นเซตคาตอบของสมการ
x3 + (1– 3 )x2– (36+ 3 )x – 36 = 0 แลว้ AB เป็นสับเซตของชว่ งในขอ้ ใดต่อไปน้ี (PAT 1 ต.ค. 52)

1. [-3 5 , -0.9]*
2. [-1.1, 0]

3. [0, 3 5 ]

4. [1, 5 3 ]

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 25
แทนเซตของจานวนจริง แล้วผลบวกของ
7. ถ้า S = {x | 3x +1 + x -1 = 7x +1 } เม่ือ
สมาชิกใน S เท่ากบั เทา่ ใด (PAT 1 ม.ี ค. 53) (5)

8. ให้ แทนเซตของจานวนจรงิ ถา้ S = {x | x +1 + 3x -1 = 7x -1 } และ
T = {y | y = 3x + 1, xS} แล้ว ผลบวกของสมาชิกใน T เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT1 ก.ค. 53) (2)

9. ให้ A เป็นเซตคาตอบของสมการ 3x +2+2 3x +1 + 3x +10+6 3x +1 =14 และให้ B เป็นเซต

คาตอบของสมการ 2x2 -6x +11+2 x2 -3x +5 = 25 ผลบวกของสมาชิกท้ังหมดในเซต AB เท่ากับ

เทา่ ใด (PAT 1 ต.ค. 55) (11)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 26

10. กาหนดให้ In = (0, 1)  ( 1 , 2)  ( 2 , 3)  …  ( n-1 , n) เมื่อ n เป็นจานวนนับ ค่าของ n ที่น้อยท่ีสุดที่
2 3 n
2551 2553
ทาให้ In  ( 2554 , 2552 ] (PAT 1 ต.ค. 52) (852)

1. 2554

2. 2552

3. 1277

4. 1276*

11. กาหนดให้ A = {x | (2x + 1)(x – 1) < 2} และ B = {x | 16 – 9x2 > 0} แล้ว AB เป็นสับเซตของช่วงใน
ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (A-NET 50)
1. (-2/3, 7/3)
2. (-1, 5/3)*
3. (-4/3, 5/4)
4. (-5/3, 1)

12. กาหนดให้ A เปน็ เซตคาตอบของอสมการ (2x -1)(x -1) 0 และ B เปน็ เซตคาตอบของอสมการ
2-x
2x2 – 7x + 3 < 0 ถา้ AB = [c, d) แล้ว 6c – d เท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 52)

1. 4*

2. 5

3. 6

4. 7

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 27

13. กาหนดให้ S เป็นเซตคาตอบของอสมการ x4 - 13x2 + 36  0 ถ้า a เป็นจานวนที่มีค่าน้อยท่ีสุดในเซต
x2 + 6
+ 5x
S (2,  ) และ b เป็นจานวนลบที่มีคา่ มากที่สดุ ซง่ึ bS แลว้ a2 – b2 เทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี (PAT 1 ก.ค. 52)

1. -9

2. -5

3. 5*

4. 9

14. กาหนดให้ A = {x | (x2 – 1)(x2 – 3)  15} ถ้า a เป็นสมาชิกค่าน้อยท่ีสุดในเซต A และ b เป็นสมาชิกค่า
มากทีส่ ดุ ในเซต A แล้ว (b – a)2 เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี (PAT 1 ก.ค. 52)
1. 24*
2. 16
3. 8
4. 4

15. กาหนดให้ S = {x | x2 - x + 2  x+2 } ชว่ งในข้อใดตอ่ ไปนเ้ี ปน็ สับเซตของ S (PAT 1 ต.ค. 52)

1. (- , -3) 3x x2 -1

2. (-1, 0.5)*

3. (-0.5, 2)

4. (1,  )

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 28

16. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง ถ้า A เป็นเซตคาตอบของอสมการ logx( 2 )  1 แล้ว A เป็นสับเซตในข้อใด
x -1
ต่อไปน้ี (PAT 1 ม.ี ค. 56)
1. {xR | |x2 + 2x – 3| = 3 – 2x – x2}

2. {xR | |2x + 5| > 9}

3. {xR | 0  |x + 3|  5}
4. {xR | x3 > 3x2}

17. ให้ I แทนเซตของจานวนเต็ม ให้ A = {xI | 2- 5 + (x 3 <0} และ B = {xI | (x – 1)2  9 } และ
x -1 -1)2

S = AB จงหา n(S) (ขอ้ สอบ 7 วชิ าสามัญ คณติ ศาสตร์ 54) (0)

18. กาหนดให้ I เป็นเซตของจานวนเต็ม ถ้า S = {xI | 2x2 – 9x – 26 0 และ |1 – 2x| 3} แล้วผลบวกของ
สมาชิกใน S เท่ากับเทา่ ใด (A-NET 49) (17)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 29

19. ถ้าเซตคาตอบของอสมการ |x2 + x – 2| < x + 2 คอื ชว่ ง (a, b) แล้ว a + b มคี า่ เทา่ ใด (A-NET 50) (2)

20. กาหนดให้ A เป็นเซตคาตอบของอสมการ |x2 + x – 2| |x2 – 4x + 3| และ B = A – {1} ถ้า a เป็นสมาชิก

ของ B ซง่ึ a – b  0 ทุก bB แล้วพิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้

ก. (4/3)a เป็นจานวนคู่ ข. 5/a เปน็ จานวนคู่

ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู (A-NET 51)

1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู *

4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ

21. กาหนดให้ A = {x | x2 + 2x – 3 < 0} และ B = {x | x + 1  2|x|} ถ้า A – B = (a, b) แล้ว 3|a + b| มีค่า
เทา่ ใด (A-NET 51) (10)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 30
4. {x | x4 = x}
22. กาหนดให้ S = {x | |x|3 = 1} เซตในข้อใดตอ่ ไปนเ้ี ทา่ กับเซต S (PAT 1 มี.ค. 52)
1. {x | x3 = 1} 2. {x | x2 = 1}* 3. {x | x3 = -1}

23. กาหนดให้ A = {x | |x – 1|  3 – x} และ a เปน็ สมาชิกคา่ มากท่ีสุดของ A คา่ ของ a อย่ใู นช่วงใดต่อไปนี้

1. (0, 0.5] (PAT 1 มี.ค. 52)

2. (0.5, 1]

3. (1, 1.5]

4. (1.5, 2]*

24. กาหนดให้ A = {x | x2 -6x +9  4 } เม่ือ แทนเซตของจานวนจรงิ ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง (PAT 1 มี.ค. 53)
1. A´ = {x | |3 – x| > 4}*

2. A´ (-1, ∞)

3. A = {x | x  7}
4. A {x | |2x – 3| < 7}

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 31

25. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง ถ้า A = {x  | |1- x | -2 >1} และ A  [0, 1) เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้
x+ | x | -3
1. (1/3, 2/3)
2. (1/3, 1) (PAT 1 ก.ค. 53)
3. (2/3, 1)*
4. (2/3, 3/2)

26. กาหนดให้ I แทนเซตของจานวนเต็ม และ P(S) แทนเพาเวอร์เซตของเซต S ให้ A = {xI | |x2 – 1| < 8}
และ B = {xI | 3x2 + x – 2  0} ข้อใดตอ่ ไปน้ีถกู ต้อง (PAT 1 ต.ค. 53)
1. จานวนสมาชิก P(A – B) เท่ากบั 4
2. จานวนสมาชกิ P(I – (AB)) เทา่ กบั 2
3. P(A – B) = P(A) – P(AB)
4. P(A – B) – P(AB) = {{0}}*

27. ให้ A แทนเซตของจานวนเต็มท้ังหมด ที่สอดคล้องกับอสมการ 3|x – 1|–2x > 2|3x + 1| และ B แทนเซต
คาตอบของอสมการ x(x + 2)(x + 1)2 < 0 แล้วข้อใดต่อไปนี้ถกู ต้อง (PAT 1 มี.ค. 55)
1. เซต A – B มสี มาชิก 5 ตวั *
2. AB = A
3. เซต AB มีสมาชกิ 1 ตวั
4. (A – B)(B – A) = B

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 32

28. กาหนดให้ a, b, c และ d เป็นจานวนจริง ถ้ากราฟ y = -|x – 1 – a| + b และกราฟ y = |x – c| – d ตัดกัน
ท่ีจดุ (2, 5) และ (8, 3) แลว้ คา่ ของ a + b + c + d เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT 1 ม.ี ค. 55) (15)

29. กาหนดให้ I แทนเซตของจานวนเต็ม ให้ A = {xI | |2x + 7|  9 และ B = {xI | |x2 – x – 1| > 1

พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

ก. จานวนสมาชิกของเซต AB เทา่ กบั 7 ข. A – B เป็นเซตว่าง

ข้อใดต่อไปน้ถี ูกตอ้ ง (PAT 1 ต.ค. 55)

1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด*

3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก

4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

30. กาหนดให้ P(x) แทน x-2 < 2 และให้ Q(x) แทน |2x + 1| > x – 1 เอกภพสัมพัทธ์ในข้อใด ท่ีทาให้
x+2

ข้อความ x [Q(x)]  x [P(x)] มีค่าความจรงิ เปน็ เท็จ (PAT 1 ม.ี ค. 56)

1. (-  , -4)

2. (-5, -1)*

3. (-3, 2)

4. (-1,  )

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 33

31. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง ให้ A = {xR | |2x – 5| + |x|  7} และ B = {xR | x2 < 12 + |x|}

พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี

ก. AB {xR | 1  x < 4} ข. A – B เป็นเซตจากดั (finite set)

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู ต้อง (PAT 1 มี.ค. 56)

1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู

2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู *

4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

32. ให้ N แทนเซตของจานวนนับ กาหนดให้ a * b = ab สาหรับ a, b  N พิจารณาข้อความต่อไปนี้ สาหรับ a,

b, c  N

ก. a * b = b * a ข. (a * b) * c = a * (b * c)

ค. a * (b + c) = (a * b) + (a * c) ง. (a + b) * c = (a * c) + (b * c)

ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถกู ต้อง (PAT 1 ม.ี ค. 53)

1. ถกู 2 ขอ้ คือ ข และ ค

2. ถูก 2 ขอ้ คือ ค และ ง

3. ถกู 1 ข้อคอื ค

4. ก, ข, ค, ง ผดิ ทุกขอ้ *

33. สาหรบั a, b เป็นจานวนเต็มบวกใด ๆ กาหนดให้ ab เปน็ จานวนจริงทม่ี ีสมบัตดิ งั ไปนี้ b) a +b
a (a + b
ก. aa = a + 4 ข. ab = ba ค.  b =

คา่ ของ (85)100 เท่ากับเทา่ ใด (PAT 1 ก.ค. 53) (208) a

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 34

34. ให้ N แทนเซตของจานวนนบั กาหนดให้ a * b = a+b สาหรับ a, b  N พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้
ก. (a * b) * c = a * (b * c) สาหรบั a, b, c  N
ข. a * (b + c) = (a * b) + (a * c) สาหรบั a, b, c  N

ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู ตอ้ ง (PAT 1 ต.ค. 53)
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด*

35. ให้ N แทนเซตของจานวนนบั สาหรับ a, b  N

a, a > b b, a > b
ab = a, a = b และ a b = a, a = b

b, a < b a, a < b

พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ สาหรบั a, b, c  N

ก. a  b = b  a ข. a  (b  c) = (a  b)  c

ค. a (b  c) = (a b)  (a c)

ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี ูกต้อง (PAT 1 ต.ค. 53)

1. ถูก 1 ขอ้ คอื ข้อ ก.

2. ถกู 2 ขอ้ คอื ข้อ ก. และ ข.

3. ถูก 2 ขอ้ คือ ข้อ ก. และ ค.

4. ถกู 3 ข้อ คือ ขอ้ ก. ข. และ ค.*

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 35

36. กาหนดให้ a, b, และ c เป็นจานวนจริง นิยาม x * y = ax2 + by2 + cxy สาหรับจานวนจริง x, y ใด ๆ ถ้า
1 * 2 = 3, 2 * 3 = 4 และมีจานวนจรงิ d > 0 โดยที่ x * d = x สาหรบั ทกุ จานวนจริง x แลว้
ค่าของ a + 2b + 3c + 4d เท่ากบั เท่าใด (PAT 1 มี.ค. 54) (8: ไม่มคี าตอบ)

37. กาหนดให้ x * y = (x + 1)(y + 1) – 1 ข้อใดตอ่ ไปน้ีผดิ (PAT 1 ธ.ค. 54)
1. (x – 1) * (x + 1) = (x * x) – 1
2. x * (y + 2) = (x * y) + (x * 2)*
3. x * (y * 2) = (x * y) * 2
4. x * (x * y) = (x + 1)(x * y) + x

38. นยิ าม a * b = ab สาหรบั a และ b เป็นจานวนจรงิ บวกใด ๆ ถ้า a, b, และ c เป็นจานวนจริงบวก แล้วข้อใด
ต่อไปน้ถี ูกตอ้ ง (PAT 1 ม.ี ค. 55)
1. a * (b * c) = (a * c) * b
2. (a * b) * c = a * (bc)*
3. a * (b * c) = (a * b) * c
4. (a + b) * c = (a * c) + (b * c)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 36

39. สาหรับ x และ y เปน็ จานวนจริงใด ๆ กาหนดให้ x * y เป็นจานวนจริงบวก ท่ีมสี มบัติต่อไปนี้

(1) x * (xy) = (x * x)y (2) x * (1 * x) = 1 * x (3) 1 * 1 = 1

ค่าของ 2 * (5 * (5 * 6)) เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT 1 มี.ค. 56) (6)

40. กาหนดให้ P(x) และ Q(x) เป็นพหุนามดกี รี 2551 ซ่ึงสอดคล้องกับ P(n) = Q(n) สาหรับทุก n = 1, 2, …, 2551
และ P(2552) = Q(2552) + 1 ค่าของ P(0) – Q(0) เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี (PAT 1 ม.ี ค. 52)
1. 0
2. 1
3. -1*
4. หาค่าไม่ได้เพราะข้อมลู ไม่เพียงพอ

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 37

ทฤษฎีจานวนเบ้ืองต้น
(Number Theory)

1. สาหรับ a และ b เปน็ จานวนเตม็ บวกใด ๆ นิยาม a * b หมายถงึ a = kb สาหรับบางจานวนเตม็ บวก k
ถ้า x, y และ z เป็นจานวนเตม็ บวก แลว้ ขอ้ ใดต่อไปนี้เปน็ จรงิ (PAT 1 ต.ค. 53)
1. ถา้ x * y และ y * z แล้ว (x + y) * z*
2. ถา้ x * y และ x * z แล้ว x * (yz)
3. ถา้ x * y และ x * z แลว้ x * (y + z)
4. ถา้ x * y แลว้ y * x

2. กาหนดให้ a, b  {0, 1, 2, ..., 9} และ 1a5, 6b9 เป็นจานวนสามหลัก ถ้า 6b9 - 1a5 = 454 และ 6b9 หาร
ดว้ ย 9 ลงตัว แลว้ a + b เท่ากบั เทา่ ใด (PAT 1 ม.ี ค. 54) (11)

3. ถ้า a, b, c  {1, 2, 3, ..., 9} และสอดคล้องกับ (56xa) + (7xb) + c = 416 แล้ว a + b + c เท่ากับเท่าใด
(PAT 1 ต.ค. 55) (13)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 38

4. ถ้า S เป็นเซตของจานวนเต็ม m ที่มีสมบัติดังนี้ 50 ≤ m ≤ 100 และ 7 หาร m3 เหลือเศษ 6 แล้ว จานวน
สมาชกิ ของ S เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (ENT คณติ ศาสตร์ 1 ม.ี ค.48)
1. 7
2. 14
3. 18
4. 21*

5. ถ้า A = {p | p เป็นจานวนเฉพาะบวก และ p | (980 − p)3} แล้ว ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน A มีค่าเท่าใด
(ENT คณิตศาสตร์ 1 ม.ี ค.42) (14)

6. กาหนดให้ n เป็นจานวนนับใดๆ และ r เป็นเศษเหลือจากการหาร n2 ด้วย 11 จานวนในข้อใดต่อไปนี้เป็นค่า
ของ r ไมไ่ ด้ (PAT 1 มี.ค. 52)
1. 1
2. 3
3. 5
4. 7*

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 39

7. ถา้ d เปน็ จานวนเต็มบวกท่ีมากกว่า 1 และ จานวน 3456, 2561 และ 1308 หารด้วย d มีเศษเหลือเท่ากันคือ
r แล้ว d + r เท่ากบั เทา่ ใด (PAT 1 ม.ี ค. 54) (234)

8. ให้ S = {0, 1, 2, …, 7} และ นิยาม a * b = เศษเหลือจากการหารผลคูณ ab ด้วย 6 ทุก a, bS พิจารณา

ข้อความตอ่ ไปนี้

(1) x * 1 = x ทกุ xS (2) {4 * x | xS} = {0, 2, 4}

ข้อใดตอ่ ไปนี้เป็นจริง (ENT คณติ ศาสตร์ 1 ม.ี ค.43)

1. (1) ถูก และ (2) ถกู

2. (1) ถกู แต่ (2) ผดิ

3. (1) ผดิ แต่ (2) ถกู

4. (1) ผิด และ (2) ผิด

9. กาหนดให้ m เป็นจานวนเตม็ บวก และ n เป็นจานวนเฉพาะ ถ้า m หาร 777 และ 910 แล้ว เหลือเศษ n แล้ว
m − n มคี ่าเทา่ กับเท่าใด (ENT คณติ ศาสตร์ 1 ต.ค.47) (2)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 40

10. ถา้ a เป็น ห.ร.ม. ของ 403 และ 465 และ b เป็น ห.ร.ม. ของ 431 และ 465 และ a – b มคี า่ เท่าใด
(PAT 1 ต.ค. 52) (30)

11. มีกองลูกหนิ สีดาจานวน 221 ลกู และกองลกู หนิ สีขาวจานวน 260 ลูก ตอ้ งการแบง่ ลูกหนิ ทัง้ สองกองน้ี

ออกเปน็ กองเล็ก ๆ โดยท่ี 1) แต่ละกองมีสีเดยี วกนั 2) ลกู หินแตล่ ะกองมีจานวนเทา่ กนั

ถ้าต้องการให้จานวนลูกหนิ ในกองเลก็ ๆ เหลน่ ้ีมจี านวนมากทสี่ ุด แล้วจะแบ่งได้กองกีก่ อง (PAT 1 ม.ี ค. 53) (37)

12. ถ้า d เป็นจานวนเตม็ บวกทม่ี ากกวา่ 1 และจานวน 1059, 1417 และ 2312 หารด้วย d มีเศษเหลือเท่ากันคือ
r แลว้ d + r เทา่ กับเทา่ ใด (PAT 1 ม.ี ค. 55) (343)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 41

13. กาหนดให้ n เป็นจานวนเตม็ บวกทมี่ คี ่ามากทส่ี ุด ซึง่ มสี มบตั ิวา่ n หาร 551 และ 731 เหลือเศษ r เท่ากัน และ
r -1
n หาร 1093 เหลือเศษ r + 2 แลว้ n มคี ่าเทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี (A-NET 51)

1. 1/17

2. 1/18*

3. 1/19

4. 1/20

14. ถ้า a, b, q1, q2 เป็นจานวนเต็มบวก ซ่ึง a = bq1 + 231 และ b = 231q2 + 226 แล้ว ห.ร.ม. ของ a, b
เทา่ กบั เทา่ ใด (ENT คณิตศาสตร์ 2 มี.ค.45)

15. กาหนดให้ x, y และ z เป็นจานวนจริงบวกที่สอดคล้องกับระบบสมการ xyz = 2, x + 1/z = 32, y + 1/x = 81
และ z + 1/y = p/q เม่อื p และ q เปน็ จานวนเตม็ บวกโดยท่ี ห.ร.ม. ของ p และ q เท่ากับ 1 แลว้
คา่ ของ |p – q| เท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 ม.ี ค. 54)
1. 3,925
2. 4,832
3. 4,951*
4. 5,182

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 42

16. กาหนดให้ a, b เป็นจานวนเต็มบวก ซ่ึง ab – 25a – 25b = 1575 ถ้า ห.ร.ม (a, b) = 5 แล้ว |a – b| มีค่า
เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี (ข้อสอบ 7 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ 55)
1. 15*
2. 45
3. 90
4. 210
5. 435

17. กาหนดให้ a, b เป็นจานวนเต็ม ซ่ึง a เป็น ห.ร.ม. ของ b และ 216 ให้ q1, q2 เป็นจานวนเต็มบวก โดยท่ี
216 = bq1 + 106 และ b = 106q2 + 4 ถ้า f(x) = x3 + ax2 + bx − 36 แล้ว เมื่อหาร f (x) ด้วย x − a ได้
เศษเทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (ENT คณิตศาสตร์ 1 ต.ค.45)
1. 192
2. 200
3. 236
4. 272

18. กาหนดให้ S = {nI+ | n ≤ 1000, ห.ร.ม. ของ n และ 100 เทา่ กบั 1} จานวนสมาชกิ ของเซต S เท่ากับ
เทา่ ใด (ENT คณติ ศาสตร์ 1 มี.ค.45)

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 43

19. สาหรับจานวนเต็ม a, b ใดๆ ให้ (a, b) = ห.ร.ม. ของ a และ b ให้ A = {1, 2, 3, . . . , 400} จานวนสมาชิก
ของเซต {xA | (x, 40) = 5} มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (ENT คณิตศาสตร์ 1 ต.ค.42)
1. 30
2. 40*
3. 60
4. 80

20. ให้ a เป็นจานวนเต็มบวก ซ่ึง 3 | a และ 5 | a ถ้า ห.ร.ม. ของ a และ 7 เท่ากับ 1 แล้ว ห.ร.ม. ของ a และ
105 เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (ENT คณิตศาสตร์ 2 ต.ค.44)
1. 5
2. 15
3. 35
4. 105

21. ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยที่สุด ซ่ึง 3 | (n − 2) และ 7 | (n − 6) แล้ว ห.ร.ม. ของ n และ (n + 4)
มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ (ENT คณิตศาสตร์ 2 ต.ค.45)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 44

22. ให้ a เป็นจานวนคูบ่ วก และ b เปน็ จานวนคบี่ วก ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู ตอ้ ง (A-NET 49)
1. a และ b เป็นจานวนเฉพาะสมั พัทธ์
2. a + b เป็นจานวนเฉพาะ
3. ห.ร.ม.ของ a และ b เทา่ กบั ห.ร.ม. ของ a และ 2b
4. ค.ร.น.ของ a และ b เทา่ กบั ค.ร.น.ของ a และ 2b*

23. ถ้า x เปน็ จานวนเตม็ บวกที่นอ้ ยทีส่ ดุ ซง่ึ 9, 12 และ 15 หาร x ลงตัว และ 11 หาร x เหลือเศษ 7 แล้ว x มีค่า
เท่าใด (A-NET 49) (1800)

24. กาหนดให้ n เป็นจานวนเต็มบวกทม่ี คี ่าน้อยทีส่ ดุ ซ่ึงหารด้วย 7 แล้วมีเศษเหลือเท่ากับ 4 ถ้า 9 และ 11 ต่างก็
หาร n – 2 ลงตัว แลว้ n คอื จานวนใด (A-NET 50) (200)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 45

25. ถา้ S เป็นเซตของจานวนนับ n ซึ่ง ค.ร.น.ของ 720 และ n มีค่าเท่ากับ 10800 แล้วสมาชิกของ S ที่มีค่าน้อย
ทสี่ ดุ มีคา่ เท่ากบั เทา่ ใด (ขอ้ สอบ 7 วชิ าสามญั คณติ ศาสตร์ 55) (675)

26. กาหนดให้ a เป็นจานวนเต็มบวก โดยที่ ห.ร.ม.ของ a กับ 2520 คือ 60 และ ค.ร.น.ของ a กับ 420 คือ 4620
แล้วคา่ a มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด (ข้อสอบ 7 วิชาสามญั คณิตศาสตร์ 56) (660)

27. ถา้ n เปน็ จานวนเต็มบวก ซงึ่ มีสมบัตดิ งั น้ี 100 ≤ n ≤ 1000, 45 และ 75 หาร n ลงตวั , 7 หาร n เหลือเศษ 3
แลว้ n มคี ่าเท่ากบั เทา่ ใด (ENT คณิตศาสตร์ 1 ม.ี ค.48) (675)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 46

28. ข้อความในข้อใดต่อไปน้ีผดิ (ENT คณิตศาสตร์ 1 ต.ค.47)
ก. ถา้ a, b, n เป็นจานวนเตม็ บวก ซง่ึ n | a และ n | b แล้ว จะไดว้ า่ n หาร ห.ร.ม. ของ a, b ลงตวั ดว้ ย
ข. ถา้ a, b, n เปน็ จานวนเตม็ บวก ซง่ึ a | n และ b | n แลว้ จะได้วา่ ค.ร.น. ของ a, b หาร n ลงตัวดว้ ย
ค. ถา้ a, m, n เป็นจานวนเตม็ บวก และ a | mn แลว้ จะได้ว่า a | m หรอื a | n
ง. ถ้า d และ c เป็น ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจานวนเต็มบวก m, n แลว้ จะไดว้ า่ dc = mn

29. ให้ n เปน็ จานวนเตม็ บวก ซง่ึ ห.ร.ม. ของ n และ 42 เท่ากับ 6 ถา้ 42 = nq0 + r0, 0 < r0 < n และ
n = 2r0 + r1, 0 < r1 < r0 และ r0 = 2r1 โดยที่ q0, r0, r1 เป็นจานวนเต็ม แล้ว ค.ร.น. ของ n และ 42 มีค่า
เทา่ กบั เท่าใด (ENT คณติ ศาสตร์ กข ต.ค.40) (210)

30. กาหนดให้ a, b เป็นจานวนเต็มบวก ซึ่ง a < b, 5 หาร a ลงตัว และ 3 หาร b ลงตัว ถ้า a, b เป็นจานวน
เฉพาะสมั พัทธ์ และ ค.ร.น.ของ a, b เท่ากับ 165 แล้ว a หาร b เหลือเศษเท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้
1. 1 (ENT คณิตศาสตร์ กข ต.ค.41)
2. 2
3. 3*
4. 4

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 47

เมทริกซ์ (Matrix)

1. ให้ x, y, z และ w สอดคล้องกับสมการ -11 w0 0x -y1 = 2zy -21 -11 w0

คา่ ของ 4w – 3z + 2y – x เท่ากับเท่าใด (PAT1 มี.ค.53) (6)

2. ให้ a, b, c, d เป็นจานวนจริง ถ้า 3 5a b =  5a 6 + 4 5a +b แล้วค่าของ b + c เท่ากับ
2c d d-1 3 2c 2d 

เทา่ ใด (PAT1 ก.ค.53) (4)

3. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนจริง และ A = 11 ba , B = 12 -33 ถ้า (A+B)2 – 2AB = A2 + B2 แล้ว

det(A) เท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้ (A-NET 50)
1. 0.5
2. 1.5
3. 3.5*
4. 4.5

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)