เอกสาร “สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย ฉบับ ADMISSIONS”

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 48

4. กาหนดให้ X เป็นเมทริกซ์ท่ีสอดคล้องกับสมการ 41 -32 + 4X = 2 1 -2 -133 412 แล้วค่าของ
0 1 3 

det(2Xt(X + Xt)) เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT1 ต.ค.53) (396)

5. กาหนดให้ A = 00 11 , B = 01 01 และ C = 01 -21 ค่าของ det(2At + BC2 + BtC) เท่ากับข้อใด

ตอ่ ไปน้ี (PAT1 ก.ค.53)
1. -1
2. 0
3. 2*
4. 6

6. กาหนดให้ a, b, c, d, x และ y เปน็ จานวนจริง และ A = 1y -x1 , B = ca bd , C = -01 01 และ
I = 10 01 ถ้า A2 = I และ AB = 2C แล้วค่าของ det(B–1) เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ (PAT1 ม.ี ค.55)

1. 0.25*
2. 0.5
3. 2
4. 4

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 49

7. กาหนดให้ A, B และ C เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (nonsingular matrix) มิติ 3x3 และ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์

a b fc เม่ือ a,b,c,d,e,f,g,h,i เปน็ จานวนจริง และ BtC= -2-3adg -3h -3i  ,
การคณู มิติ 3x3 ถา้ A= dg e i -b -c 
h  2e 2f 

A3 = 2I และdet(C–1) = 4 แล้ว det(B) เทา่ กับเท่าใด (PAT1 มี.ค.55) (48)

a b c และ det(A)=2 ถา้ B=  3-ax 3-by 3-cz  แล้ว det(2B) มคี า่ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้
8. กาหนด A= px qy zr  1q 

  1 p 2 1 r 
 2 2 

1. -24*

2. -12

3. 12

4. 24

5. 36

 0 x 0  -1 
 03 2 2  
9. ถ้า det  2 1 5   = 1 แลว้ x มคี ่าเท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี (PAT1 ต.ค.52)
  x -1

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 50

10. กาหนดเมทริกซ์ A และ B ดังน้ี A =  x2 -2 x 2 , B = -22 -40x โดยที่ x เป็นจานวนจริง ถ้า
2 2 

det(2A) = -76 แลว้ เมทรกิ ซ์ C ในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี ที่ทาให้ค่าของ det(BC) อยใู่ นช่วง (-100, -50) (A-NET 51)

1. C = 11 -21 *

2. C = -11 21

3. C = -21 41

4. C = 23 -11

11. กาหนดให้ A เป็นเมทริกซ์ท่มี ีมิติ 3x3 และ det(A)  0 พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) (det(A))3 = det(adj(A))
(ข) ถ้า A2 = 2A แลว้ det(A) = 2

ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี กู ต้อง (PAT1 ต.ค.55)
1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด*

12. ถา้ A เมตรกิ ซ์ 3×3 ซง่ึ det(A) = 2 แลว้ det(adj(adjA)) เท่ากับเทา่ ใด (16)

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 51

13. กาหนดให้ A, B และ C เปน็ เมทริกซท์ ี่มีมติ ิ 3x3 โดยท่ี det(B)  0 ถ้า A = -1 2 -3 และ
2 1 1
 3 -1 0 
 
det(BtCB–1) = -4 แลว้ det(CtAC) เทา่ กับเทา่ ใด (PAT1 ต.ค.55) (320) (ข้อสอบ 7 วิชาสามญั คณิตศาสตร์ 53)

1 3 2 เมื่อ x และ y
14. กาหนดให้ A และ B เป็นเมทริกซท์ ีม่ ีมติ ิ 3x3 โดยที่ det(A) = 2 และ B = 00 -1 x เป็น
-2 y 


จานวนจรงิ ถ้า AB + 3A = 2I เม่อื I เป็นเมทริกซเ์ อกลักษณ์ท่ีมีมติ ิ 3x3 แลว้ x + y เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี

1. 0 (PAT1 มี.ค.56)

2. -1

3. -2

4. -2.5*

15. ถ้า A = 1+aa 1--aa เมื่อ a เป็นจานวนจรงิ และ I = 01 10 แล้ว

det[(A– 2 I)(A– 3 I)(A– 5 I)(A– 7 I)] มคี า่ เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (ขอ้ สอบ 7 วิชาสามญั คณติ ศาสตร์ 55)
1. 48 – 13a
2. (a– 2 )(a– 3 )(a– 5 )(a– 7 )
3. 17a
4. 17
5. 48*

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 52
(16)
x 1 1
16. กาหนด A = 3x 1 -11 ถ้า C12(A) = 4 แล้ว det(2A) มคี ่าเทา่ ใด (A-NET 50)
0

1 2 -1 ถ้า C11(A) = 13 และ C21(A) = 9
17. กาหนดให้ A = 22 x 2 โดยท่ี x และ y เป็นจานวนจริง แล้ว
1 y 


det(A) เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (PAT1 มี.ค.52)

1. -33

2. -30

3. 30

4. 33*

2 x 1
18. กาหนดเมทริกซ์ A = 1--1x 0 21x โดยท่ี x เป็นจานวนจริง ถ้า C22(A) = 14 แล้ว det(adj(A)) มีค่า
2

เทา่ ใด (A-NET 51) (36)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 53

19. กาหนดให้ A เปน็ เมทริกซ์ท่ีมีมิติ 2x2 และ det(A) = 4 ถ้า I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์และ A – 3I เป็นเมทริกซ์
เอกฐาน แลว้ det(A + 3I) เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (PAT1 ก.ค.52)
1. 0
2. 6
3. 13
4. 26*

20. กาหนดให้ A= 11 -11 และ B= yx yz ถา้ A–1BA= -02 40 แล้วค่าของ xyz เท่ากับเท่าใด (PAT1 ต.ค.53)

1. -3*

2. -1
3. 0

4. 1

21. ถ้า A และ B เป็นเมทริกซ์ซ่ึง 2A – B = 33 46 และ A + 2B = -41 -22 แล้ว (AB)–1 คือเมทริกซ์ในข้อ

ใดต่อไปน้ี (PAT1 ก.ค.52)

1. - 1 0
 14 -1

2. -1 0
1 - 41

3. 1 1
0 -41

4. 1 -1 *
0 - 41

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 54

22. ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ท่ีมีขนาด 2x2 โดยที่ 2A – B = -54 -64 และ A – 2B = -45 -08 ค่าของ

det(A4B–1) เท่ากบั เทา่ ใด (PAT1 มี.ค.53) (32)

23. กาหนดให้ At=  -2 2 3 สมาชกิ ในแถวท่ี 2 และหลักท่ี 3 ของ A–1 เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (PAT1 มี.ค.52)
 1 -1 40
 0 1

1. -2/3

2. -2

3. 2/3*

4. 2

1 2 4 สมาชิกในแถวที่ 3 และหลักท่ี 1 ของ A–1 เทา่ กับเทา่ ใด (PAT1 ต.ค.52) (0.2)
24. กาหนดให้ A = -13 8 -01
2

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 55

25. กาหนดให้ x เป็นจานวนเต็มและ A = 2xx 1x เป็นเมทริกซ์ท่ีมี det(A) = 3 ถ้า B เป็นเมทริกซ์มีมิติ 2x2
โดยท่ี BA + BA–1 = 2I เมอ่ื I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์การคูณมิติ 2x2 แล้วคา่ ของ det(B) อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้

1. [1, 2] (PAT1 ม.ี ค.54)

2. [-1, 0]

3. [0, 1]*

4. [-2. -1]

26. กาหนดให้ A = 0a b3 , a  0 B เป็นเมทริกซ์มิติ 2x2 และ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์มิติ 2x2 ถ้า A2B = I

และ 2A–1 – 3B = I แลว้ จงหาค่าของ 2a + 3b (PAT1 ธ.ค.54)
1. 4*
2. 3
3. 2
4. 1

27. กาหนดให้ A = 2x 1 0 และ det(I – A–1) = 0, x > 0 จงหาคา่ ของ det[ 1 A–1(3I – 2At)]
0 -1 3 2
 0 0 -x 
 

(PAT1 ธ.ค.54) (5)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 56

28. ให้ a, b, c, d, t เป็นจานวนจริง ถ้า A = ca bd โดยที่ det(A) = t  0 และ det(A + t2A–1) = 0 แล้วค่า

ของ det(A – t2A–1) เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT1 ก.ค.53) (4)

29. กาหนด A = -1 0 301 และ B = bca ถ้า (adj(A))2A3B = 9 215 แล้วค่าของ a + b+ c มีค่าเท่ากับ
0 1
 3 2


ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

1. 5/3

2. 2*

3. 7/3

4. 8/3

5. 3

30. กาหนด ABI เปน็ เมทริกซข์ นาด 3×3 ซ่ึงมสี มบตั ิ A(adj(A)) = AB + I แลว้ ข้อความใดผดิ (ข้อสอบ 7 วิชาสามญั คณิตศาสตร์ 54)
1. ถ้า |A| > 0 แล้ว B เป็นเมทริกซไ์ ม่เอกฐาน*
2. ถา้ |A| < 0 แลว้ B เปน็ เมทรกิ ซไ์ ม่เอกฐาน
3. ถ้า |B| > 0 แล้ว B เป็นเมทรกิ ซ์ไมเ่ อกฐาน
4. ถา้ |B| < 0 แล้ว B เปน็ เมทริกซไ์ ม่เอกฐาน
5. A เป็นเมทริกซ์ไมเ่ อกฐาน หรอื B เปน็ เมทริกซ์ไมเ่ อกฐาน

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 57

4 -2 7
31. ให้ S เปน็ เซตของจานวนจรงิ x ทงั้ หมดทที่ าใหเ้ มทริกซ์ 2x -1 3x เป็นเมทรกิ ซเ์ อกฐานและให้ y เท่ากับ
0

 ผลบวกของสมาชกิ ทง้ั หมดในเซต S ถา้ A = -y1 1y แลว้ ค่าของ det  (At )-1 t -1 เทา่ กบั เท่าใด



(PAT1 ม.ี ค.56) (2)

32. ถ้า x, y, z สอดคล้องกบั ระบบสมการ 2x – 2y – z = -5
x – 3y + z = -6
–x + y – z = 4

ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู (PAT1 ม.ี ค.52)
1. x2 + y2 + z2 = 6*
2. x + y + z = 2
3. xyz = 6
4. xy/z = –2

33. ถา้ x, y, z เปน็ จานวนจริงซ่ึงสอดคล้องกับระบบสมการเชงิ

2x – 2y – z = 1

x – 3y + z = 7

1 2 –x + y – z = -5
x y 3
แล้ว + + z เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (PAT1 ก.ค.52)

1. 0*

2. 2

3. 5

4. 8

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 58

34. กาหนดให้ X = yzx สอดคล้องกับสมการ AX = C เม่อื A = 1 2 1 1 -1 0
-02 0 12 , B = 12 0 -01 และ
1 4

C = -232 ถ้า (2A + B)X = bca แลว้ a + b + c มคี า่ เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (PAT1 ต.ค.52)

1. 3

2. 6

3. 9*

4. 12

35. กาหนดให้ x, y, z เปน็ จานวนจรงิ ท่สี อดคลอ้ งกับระบบสมการ
2x + 3y + 3z = 28
2x + y + z = 12
x + y + z = 10

ถ้า S = {(a, b, c) | (a, b, c) เป็นจานวนเต็มท่สี อดคล้องกบั ระบบสมการขา้ งตน้ และมีค่าอยใู่ นชว่ ง [-10, 10]}
แล้วจานวนสมาชกิ ของเซต S เทา่ กับเทา่ ใด (ขอ้ สอบ 7 วิชาสามัญ คณติ ศาสตร์ 56) (13)

36. กาหนด A = 1 2 3 , B = 2 3 4 , C = -12 และ X เป็นเมทริกซท์ มี่ ีสมบัติว่า AX = C แล้ว BX
4 5 6 3 4 5

เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี (ขอ้ สอบ 7 วชิ าสามญั คณติ ศาสตร์ 54)

1. -01 * 2. -01

3. 01 4. 10

5. -11

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 59

37. ถา้ x, y, z สอดคลอ้ งกบั ระบบสมการ 2x + y + 2z = a
x + y – 2z = b

3x + 2y – 2z = c
2 -1 -2
โดยท่ีดเี ทอรม์ แิ นนต์ 2 2 4 = 24 แล้ว x มีคา่ เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ (ขอ้ สอบ 7 วชิ าสามัญ คณติ ศาสตร์ 55)
ab c

1. -4
2. -4/5
3. 0
4. 4/5
5. 4*

38. กาหนดให้ A เป็นเมทริกซ์มีมิติ 3x3 และ AXi = Bi เมื่อ i = 1, 2, 3 ถ้า X1 = 015 , X2 = 215 , X3 = 131 ,

B1 = 010 , B2 = 100 , B3 = 100 แลว้ det(A) เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี (ขอ้ สอบ 7 วิชาสามัญ คณติ ศาสตร์ 55)

1. -8
2. -1/8*
3. 1/8
4. 1
5. 8

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 60

3 x 3
39. กาหนด A = 12 0 29 เมื่อ x เป็นจานวนจริง
1

3 x 3 1 0 0 1 0 0 9 5 -36
ถ้า 21 0 90 1 0 00 1 0 -5 -3 21 แลว้ x มีค่าเท่ากับเทา่ ใด (A-NET 49) (4)
1 20 0 1  0 1 -2 -1 8 
 

40. ถ้า x, y, z สอดคล้องกับระบบสมการ x + 2y – 2z = -2

2x + y + 2z = 5 แนะ ใช้การดาเนนิ การตามแถว
x – 3y – 2z = 3
2 1 -3
แล้ว ดีเทอร์มิแนนต์ -2 2 -2 มีค่าเทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี (A-NET 49)
x +2y 2x + y x - 3y

1. 60*

2. 75

3. 90

4. 105

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 61

ความสัมพนั ธ์และฟังกช์ นั
(Relation and Function)

1. กาหนดให้ A = {1, 2, {1,2}, (1, 2)} เมื่อ (1,2 ) หมายถึงคู่อันดับ และ B = (AXA) – A จานวนสมาชิกของเซต
B เท่ากบั เท่าใด (A-NET49) (15)

2. กาหนดให้ A = [-2, -1]∪ [1, 2] และ r = {(x, y)A×A | x – y = -1} ถ้า a, b > 0 และ aDr, bRr แลว้
a + b เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี (PAT1 ม.ี ค. 52)
1. 2.5
2. 3*
3. 3.5
4. 4

3. กาหนดให้ I แทนเซตของจานวนเต็ม และให้ f(x) = x4 - 2x2 +a2x - 75 เม่อื a, bI ถ้า A = {(a, b)I×I |

x5 +b2x - 270

f(3)=0} และ B = {(a, b)I×I | a2 -2ab+b2 < 3} แลว้ จานวนสมาชกิ ของเซต A B เท่ากบั เท่าใด

(PAT1 มี.ค. 54) (8)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 62

4. กาหนด r1 = {(x, y) | y  x2 } และ r2 = {(x, y) | y < 2x + 3 } และให้ S = r1 r2 จงหา DS RS
(ขอ้ สอบ 7 วชิ าสามญั คณิตศาสตร์ 54) ([0, 3))

5. กาหนดให้ r = {(x, y)R×R | y= 5- 1 - x | } เมอื่ R แทนเซตของจานวนจริง จงหาโดเมนของ r (PAT1 ธ.ค.54)
|3
1. {xR | -2 < x < 8}*
2. {xR | -6 < x < 3}
3. {xR | 0 < x < 3}
4. {xR | x < 8}

6. กาหนดให้ r = {(x, y)  x | x2 + y2 = 16} และ s = {(x, y)  x | xy2 + x + 3y2 + 2 = 0} เซตใน
ข้อใดตอ่ ไปน้ีเปน็ สับเซตของ Dr – Ds (A-NET50)
1. [-4, -1]
2. [-3, 0]
3. [-2, 1]
4. [-1, 2]*

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 63

7. กาหนดให้ r = {(x, y) | (x – 2)(y – 1) = 1} และ s = {(x, y) | xy2 = (y + 1)2} เซตในข้อใดต่อไปนี้ไม่เป็นสับ
เซตของ Rr Rs (A-NET51)
1. (-  , -1)
2. (-2, -1/2)
3. (1/2, 2)*
4. (1,  )

8. กาหนดให้ r = {(x, y) I x I | y = 2x2 -8 } เมอ่ื I แทนเซตของจานวนเตม็ จานวนสมาชิกของ Dr – Rs ข้อใด
x2 +1
ต่อไปน้ี (PAT1 ต.ค.55)

1. 2

2. 4*

3. 5

4. 7

9. ให้ A และ B เป็นเซต โดยที่จานวนสมาชิกของเซต A และ B เท่ากับ 4 และ 5 ตามลาดับ และจานวนสมาชิก
ของเซต AB เทา่ กบั 7 พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี
ก. ความสมั พนั ธ์ใน AB มี 4 ความสมั พันธ์
ข. ความสมั พนั ธ์จาก A – B ไป B – A มี 64 ความสัมพนั ธ์
ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ ูกต้อง (PAT1 มี.ค.56)
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก*
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 64

10. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจรงิ กาหนดให้ r = {(x, y)RxR | 12- | x | + y +1 = 3}

พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี
ก. Dr Rr  (–1, 8)
ข. Dr – Rr = {xR | 8 < x  12}

ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู ต้อง (PAT1 มี.ค.56)
1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ *

11. กาหนดให้ r = {(x, y) | x[-1, 1] และ y = x2} พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี
ก. r–1 = {(x, y) | x[0, 1] และ y = ± | x | }
ข. กราฟของ r และกราฟของ r–1 ตัดกบั 2 จุด

ขอ้ ใดต่อไปน้ถี ูก (PAT1 ก.ค. 52)
1. ก. ถกู และ ข. ถูก*
2. ก. ถกู และ ข. ผิด
3. ก. ผิด และ ข. ถกู
4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ

12. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง ความสมั พันธ์ข้อใดต่อไปนเ้ี ปน็ ฟังกช์ ัน (PAT1 ต.ค. 53)
1. ความสัมพนั ธ์ r1 = {(x, y)R×R | x = 4 - y2 และ xy ≥ 0}
2. ความสัมพันธ์ r2 = {(x, y)R×R | x2 + y2 = 4 และ xy > 0}*
3. ความสมั พันธ์ r3 = {(x, y)R×R | ||x| - |y|| = 1}
4. ความสมั พนั ธ์ r4 = {(x, y)R×R | |x - y| = 1}

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 65

13. กาหนดให้ r = {(x, y)R×R | 25x4 + 16y2 + 2 = 10x2 + 8y} เม่ือ R แทนเซตของจานวนจริง
พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
ก. r ไมเ่ ปน็ ฟังก์ชัน
ข. Dr ≠ Rr
ขอ้ ใดต่อไปน้ถี กู ต้อง (PAT1 มี.ค. 54)
1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู *
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

14. กาหนด R แทนเซตของจานวนจรงิ ให้ r = {(x, y)R×R | |x|y + y – x – 1 = 0} พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
ก. r เป็นความสมั พันธ์ทีม่ โี ดเมน Dr = {xR | x ≠ –1}
ข. ความสัมพนั ธ์ r–1 เป็นฟังกช์ ัน

ข้อใดต่อไปนถ้ี ูกต้อง (PAT1 ม.ี ค.55)
1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ *

15. กาหนดให้ f(x) = x2 + x + 1 และ a, b เป็นคา่ คงตวั โดยท่ี b≠0 ถ้า f(a + b) = f(a – b) แล้ว a2 อยู่ในช่วงใด
ต่อไปนี้ (PAT1 ก.ค. 52)
1. (0, 0.5)*
2. (0.5, 1)
3. (1, 1.5)
4. (1.5, 2)

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 66

16. กาหนดให้ f(x) = x2 – 1 เมอ่ื x(-∞, -1]∪ [0, 1] และ g(x) = 2x เม่ือ x(-∞, 0] ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถกู
(PAT1 ม.ี ค. 52)
1. Rg  Df*
2. Rf  Dg
3. f เป็นฟงั กช์ นั 1-1
4. g ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1

17. ให้ f และ g เป็นฟงั กช์ นั จากเซตของจานวนจริงไปยังเซตของจานวนจรงิ โดยที่ f(x) = x -1 และ

g(x) = f(x) – x -1 จงพิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้ x2 -4

ก. Dg = (2, ∞) ข. ค่าของ x > 0 ทท่ี าให้ g(x) = 0 มีเพียง 1 คา่ เทา่ นน้ั

ขอ้ ใดต่อไปนถ้ี ูกตอ้ ง (PAT1 ม.ี ค. 53)

1. ก. ถูก และ ข. ถูก

2. ก. ถูก และ ข. ผิด

3. ก. ผดิ และ ข. ถูก

4. ก. ผดิ และ ข. ผิด*

18. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง และให้ f : R→R เป็นฟังก์ชันท่ีมีสมบัติสอดคล้องกับ f( 1-x ) = x สาหรับทุก
1+ x
จานวนจรงิ x ≠ -1 ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี กู ต้อง (PAT1 มี.ค. 54)

1. f(f(x)) = -x สาหรบั ทุกจานวนจรงิ x
1+ x
2. f(-x) = f( 1-x ) สาหรบั ทุกจานวนจรงิ x ≠ 1

3. f( 1 ) = f(x) สาหรับทกุ จานวนจริง x≠0
x
4. f(-2 – x) = -2 – f(x) สาหรบั ทุกจานวนจรงิ x ≠ -1*

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 67

-1+ 1 + 4x 2 ,x  0 2
 2x ,x=0 ถ้า f–1(a) = 3
19. กาหนดให้ f(x) =  แลว้ a มีค่าเทา่ กบั เท่าใด (A-NET49) (0.5)

0

20. กาหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน ซึ่งนิยามโดย f(x) = x -1 ,x<0 และ g(x) = x2 + 4x + 13 ถ้า a เป็น
x3 -1 ,x  0

จานวนจริงบวก ซง่ึ g(a) = 25 แลว้ f–1(-2a) + f–1(13a) มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (A-NET 51)

1. 0*

2. 2

3. 4

4. 6

21. กาหนดให้ f(x) = 3x–1 และ g–1(x) = x2 , x  0 คา่ ของ f–1(g(2)+g(-8)) เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี (PAT1 มี.ค. 52)
-x2, x 0
<

1. 1- 2 *
3
1+ 2
2. 3

3. 1- 2
-3
1+ 2
4. -3

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 68

22. จงหา f–1(x) เม่อื f(x) = 10x +10-x (ข้อสอบ 7 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ 54) ( 1 log x +1 )
10x -10-x 2 x -1

23. กาหนดให้ h(x) = |1–x5| และ g(x) = x5 ถ้า f เปน็ ฟงั ก์ชนั ซึง่ f(g(x)) = h(x) แล้ว f(5) มคี า่ เทา่ ใด (A-NET49) (4)

24. กาหนดให้ f, g เป็นฟังก์ชันซ่ึง f(x) = (x – 1)3 + 3 และ g–1(x) = x2 – 1, x  0 ถ้า g๐f–1(a) = 0 แล้ว a2 อยู่
ในเซตใดต่อไปน้ี (A-NET50)
1. [10, 40]*
2. [40, 70]
3. [70, 100]
4. [100, 130]

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 69

25. กาหนดให้ f(x) = 3x + 5 และ h(x) = 3x2 + 3x – 1 ถ้า g เป็นฟังก์ชัน ซ่ึงทาให้ f๐g = h แล้ว g(5) มีค่า
เทา่ ใด (A-NET50) (28)

26. กาหนดให้ R เป็นเซตของจานวนจริง บทนิยาม ให้ f : R→R และ g : R→R เป็นฟงั กช์ นั ใด ๆ กาหนดการ
ดาเนินการ ⊕ ของ f และ g ดังน้ี (f⊕ g)(x) = f(g(x)) – g(f(x)) สาหรับทกุ จานวนจรงิ x ถา้ f(x) = x2 – 1
และ g(x) = 2x + 1 สาหรับทกุ จานวนจรงิ x และ (f⊕ g)(1) เทา่ กบั เท่าใด (PAT1 ม.ี ค. 53) (7)

27. กาหนดให้ f และ g เปน็ ฟงั กช์ นั ซึง่ นยิ ามโดย f(x) = x2 + 1 และ g(x) = ax เม่ือ a(0, 1)
1
ถา้ k เปน็ จานวนจริงท่ีทาให้ (f๐g)(k) = (g๐f)(k) แลว้ (f๐g–1)( k2 ) มคี ่าเทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี (A-NET 51)

1. 1

2. 2*

3. 3

4. 4

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 70

28. ถ้า f(x) = 1 และ g(x) = 2f(x) แล้ว gof(3) + fog–1(3) มีคา่ เท่าใด (PAT1 ต.ค. 52) (7.5)
x

29. ให้ f และ g เป็นฟังกช์ ัน ซงึ่ มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตจานวนจรงิ โดยที่ f(x) = x+3 และ
x+6
-6x
(f–1g)(x) = ถ้า g(a) = 2 แล้ว a อยใู่ นชว่ งใดต่อไปน้ี (PAT1 ก.ค. 53)
x -1
1. [-1, 1)

2. [1, 3)

3. [3, 5)*

4. [5, 7)

30. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง ให้ f = {(x, y)R×R | y = 3x - 5} และ g = {(x, y)R×R | y = 2x + 1} ถ้า
aR และ (g–1of–1)(a) = 4 แล้ว (fog)(2a) เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT1 ต.ค. 53) (262)
ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 71

31. กาหนด f(x) = |1 – 3x| และ S เป็นเซตของจานวนจริง x ท้ังหมด ท่ีสอดคล้องกับสมการ (fof)(x) = x จงหา
ผลบวกของสมาชกิ ใน S (PAT1 ธ.ค.54) (1.35)

32. กาหนดให้ R เป็นเซตของจานวนจริง ถ้า f : R→R โดยท่ี f(x) = ax + b เม่ือ a, b เป็นจานวนจริง ถ้า f เป็น
ฟังกช์ ันลดและ f(f(f(f(x)))) = 16x + 45 แลว้ คา่ ของ a + b เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (PAT1 ก.ค. 53)
1. -11*
2. -5
3. 11
4. 5

33. ให้ R แทนเซตของจานวนจรงิ ถา้ f1, f2, f3, f4, g และ h เป็นฟังกช์ นั จาก R ไปยัง R โดยที่
f1(x) = x + 1, f2(x) = x – 1, f3(x) = x2 + 4, f4(x) = x2 – 4
(f1og)(x) + (f2oh)(x) = 2 และ (f3og)(x) – (f4oh)(x) = 4x
ค่าของ (goh)(1) เท่ากบั เทา่ ใด (PAT1 ก.ค. 53) (1)

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 72

34. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง กาหนด g(x) = x2 + x + 3 สาหรับทุกจานวนจริง x ถ้า f : R→R เป็น
ฟงั กช์ นั และสอดคลอ้ งกับ
(fog)(x) + 2(fog)(1 – x) = 6x2 – 10x + 17 และ 2(fog)(x) + (fog)(1 – x) = 6x2 – 2x + 13
ค่าของ f(383) เท่ากับเท่าใด (PAT1 มี.ค.55) (763)

35. ให้ R แทนเซตของจานวนจรงิ

พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ความสมั พันธ์ {(x, y)RxR | x2 + y2 = 4, xy > 0} เปน็ ฟงั ก์ชนั
x - 2 , x  0
ข. ถา้ f(x) = x2 , x > 0 และ g(3x – 1) = 2x2 + 3x สาหรบั ทกุ xR แล้วค่าของ (gof–1)(25) = 14

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถูกตอ้ ง (PAT1 มี.ค.56)

1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู *

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

36. ถ้า f (x) = 3 x และ g(x) = x แล้ว (f–1 + g–1)(2) มีค่าเท่าใด (PAT1 ต.ค. 52) (6)
1+
x

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 73

37. กาหนดให้ f (x) = x – 5 และ g(x) = x2 ถ้า a เป็นจานวนจริงซ่ึง gof(a) = fog(a) แล้ว (fg)(a) มีค่าเท่ากับข้อ
ใดต่อไปนี้ (PAT1 ก.ค. 52)
1. -25
2. -18*
3. 18
4. 25

38. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง และให้ I แทนเซตของจานวนเต็ม ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันจาก R ไป R
โดยที่ f(x + 5) = x3 – x2 + 2x สาหรับทุกจานวนจริง x และ g–1(2x – 1) = x + 4 สาหรับทุกจานวนจริง x
พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี
ก. (f – g)(0) < -169
ข. {xI | (gof)(x) + 5 = 0} เป็นเซตวา่ ง
ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถกู ต้อง (PAT1 ต.ค.55)
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ *

39. กาหนด f(x) = 2x3 − 9x2 + 14 ข้อใดต่อไปน้ีถกู ต้อง (ข้อสอบ 7 วิชาสามญั คณิตศาสตร์ 54)
ก. ถา้ x > 0 แล้ว f(x) > 0
ข. ถ้า x < 0 แล้ว f(x) < 0
ค. ถ้า x1<x2 แลว้ f(x1) > f(x2)
ง. ถา้ 0 < x1 < x2 แลว้ f(x1) < f(x2)
จ. ถา้ x1 < x2 < 0 แล้ว f(x1) < f(x2)*

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 74

40. กาหนดให้ n เป็นจานวนนับ ถ้า f : {1, 2, ..., n}→{1, 2, ..., n} เป็นฟังก์ชัน 1-1 และท่ัวถึง ซึ่งสอดคล้องกับ
เงื่อนไข f(1) + f(2) + ... + f(n) = f(1)f(2)...f(n) แล้วค่ามากท่ีสุดที่เป็นไปได้ของ f(1) – f(n) เท่ากับข้อใด
ตอ่ ไปน้ี (PAT1 ก.ค. 52)
1. 2*
2. 5
3. 8
4. 11

41. กาหนดให้ y = f(x) = x +1 เม่ือ x เป็นจานวนจริงท่ีไม่เท่ากับ 1 และ y2 = f(y1), y3 = f(y2), ... yn = f(yn–1)
x -1
สาหรบั n = 2, 3, 4, ... แลว้ y2553 + y2010 เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (PAT1 ม.ี ค. 53)
x -1
1. x +1

2. x2 +1 *
x -1

3. x2 +1
2x

4. 1+2x - x2
x -1

42. ให้ I แทนเซตของจานวนเตม็ และให้ f : I→I เปน็ ฟังกช์ นั โดยท่ี f(n + 1) = f(n) + 3n + 2 สาหรับ nI
ถา้ f(-100) = 15,000 แล้ว f(0) เท่ากบั เท่าใด (PAT1 ต.ค. 53) (50)

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 75

43. กาหนดให้ I แทนเซตของจานวนเตม็ ถา้ f : I→I เปน็ ฟังกันที่มีสมบัตดิ งั น้ี
ก. f(1) = 1
ข. f(2x) = 4f(x) + 6
ค. f(x + 2) = f(x) + 12x + 12

แลว้ ค่าของ f(7) + f(16) เทา่ กับเทา่ ใด (PAT1 มี.ค. 54) (911)

44. กาหนดให้ f : N→N สอดคล้องกับสมการ f(x + y) = f(x) + f(y) + 4xy โดยที่ f(1) = 4 จงหาคา่ ของ f(20)
(PAT1 ธ.ค.54) (840)

45. ให้ f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e เมื่อ a, b, c, d, e เปน็ จานวนจรงิ ถา้ กราฟ y = f(x) ตดั กราฟ
y = 3x + 2 ที่ x = -1, 0, 1, 2 แล้วคา่ ของ f(3) – f(-2) เทา่ กับเท่าใด (PAT1 ม.ี ค.55) (135)

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 76

เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย
(Analytic geometry and conic section)

เรขาคณติ วิเคราะห์

1. จดุ A(-3, 1), B(1, 5), C(8, 3) และ D(2, -3) เปน็ จุดยอดของรปู ส่เี หลย่ี ม ABCD ข้อใดตอ่ ไปนี้ผดิ (PAT1 มี.ค. 53)

1. ดา้ น AB ขนานกบั ดา้ น DC

2. ผลบวกความยาวของดา้ น AB กับ DC เทา่ กบั 10 2 หนว่ ย

3. ระยะตงั้ ฉากจากจดุ A ไปยงั เสน้ ตรงท่ผี ่านจุด C และจดุ D มคี า่ เท่ากับ 9 2 หนว่ ย
2
9
4. ระยะตง้ั ฉากจากจดุ B ไปยงั เส้นตรงทผ่ี า่ นจดุ C และจดุ D มคี ่าเทา่ กบั 2 หน่วย*

2. กาหนดให้เส้นตรง l1 และ l2 สัมผัสวงกลม (x – 5)2 + y2 = 20 ที่จุด P และ Q ตามลาดับ และจุดศูนย์กลาง
ของวงกลมอยูบ่ นเสน้ ตรงทผี่ า่ นจุด P และ Q ถ้า l1 มีสมการเป็น x – 2y + 5 = 0 แล้วจุดในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้อยู่บน
เสน้ ตรง l2 (PAT1 ก.ค. 52)
1. (0, 5/2)
2. (8, -1)
3. (1, -8)
4. (15, 0)*

3. กาหนดให้ ABCD เป็นรูปส่ีเหล่ียมท่ีมีจุดยอดเป็น A(-2, 3) B(2, 8) C(4, 4) และ D(0, -3) พ้ืนท่ีของรูปสี่เหล่ียม
ABCD เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี (PAT1 ต.ค. 53)
1. 16 ตารางหน่วย
2. 32 ตารางหนว่ ย*

3. 10 13 ตารางหนว่ ย

4. 26 10 ตารางหนว่ ย

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 77

4. กาหนดให้ ABCD เป็นรูปสามเหลี่ยมท่ีมี A(0, 0) และ B(2, 2) เป็นจุดยอดและ C(x, y) เป็นจุดยอดในจตุภาค
(quadrant) ที่ 2 ท่ที าให้ดา้ น AC ยาวเทา่ กบั ด้าน BC ถ้าพ้ืนท่ีของสามเหลี่ยม ABC มีค่าเท่ากับ 4 ตารางหน่วย
แล้วจุด C อยบู่ นเสน้ ตรงในขอ้ ใดต่อไปนี้ (PAT1 มี.ค. 53)
1. x - y + 4 = 0*
2. 4x + 3y - 1 = 0
3. 2x - y - 3 = 0
4. x + y - 5 = 0

5. ถ้าวงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลางคือ C(h, k) อยู่บนเส้นตรง x + y + 4 = 0 และวงกลมน้ีผ่านจุด A(-5, -2) และ
จดุ B(-2, 5) แล้วพื้นท่ขี องรปู สามเหลย่ี ม ABC เท่ากบั เทา่ ใด (PAT1 ต.ค.55) (14.5)

6. รูปสามเหล่ียม ABC มีมุม B เป็นมุมฉาก และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 10 หน่วย ถ้าพิกัดของจุด A และจุด B
คือ (-4, 3) และ (-1, 2) ตามลาดบั แลว้ สมการเส้นตรงในข้อใดผ่านจดุ C (PAT1 ก.ค. 53)
1. x + 8y -27 = 0
2. 8x + y - 27 = 0*
3. 4x - 5y + 3 = 0
4. -5x + 4y + 3 = 0

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 78

7. จุด A(1, 0) และ จุด B(b, 0) เมื่อ b > 1 เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมวงหนึ่ง ถ้าเส้นตรง L
ผา่ นจุด (-1, 0) และสัมผัสกับวงกลมวงนี้ มคี วามชันเท่ากบั 4/3 แลว้ b เทา่ กับเทา่ ใด (PAT1 ต.ค. 53) (17)

8. กาหนดให้ L1 เปน็ เสน้ ตรงซ่ึงมสี มการเปน็ 4x–3y+10 = 0 และ L2 เป็นเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง y = x2–8/3x+7/4
ถา้ L2 ขนานกับ L1 แลว้ ระยะหา่ งระหว่างเส้นตรง L2 และ L1 เท่ากบั เทา่ ใด (7 วชิ าสามญั คณติ ศาสตร์ 55) (3)

9. กาหนดให้ a > tan60o และ A(a, 3), B(7, 8) และ C(-4, 9) เป็นจุดยอดของรูปสามเหล่ียมท่ีมีมุม A เป็น
มุมฉาก ให้ L เป็นสมการเส้นตรงท่ีผ่านจุด A และจุด B จงหาจานวนเต็มบวก k ที่น้อยท่ีสุดที่ทาให้พาราโบลา
ky = x2 + 2k มีจดุ ร่วมกบั เสน้ ตรง L เพยี งจดุ เดยี ว (PAT1 ม.ี ค. 54) (4)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 79

10. กาหนดให้ วงกลมรูปหนงึ่ มีจดุ ศนู ยก์ ลางอยู่ท่จี ุด (2, 1) ถา้ เสน้ สมั ผัสวงกลมท่ีจุด x = 1 เสน้ หนึ่งมคี วามชัน

เท่ากับ 1/ 3 แลว้ จดุ ในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้อย่บู นวงกลมทีก่ าหนด (มี.ค. 52)
1. (0, 1)*
2. (0, 2)
3. (1, 0)
4. (3, 0)

11. ให้ P เป็นจุดบนวงกลม x2 + y2 + 2x – 4y -15 = 0 ท่ีอยู่ใกล้จุด A(1, 3) มากที่สุด จงหาระยะระหว่างจุด P
กับเส้นตรง 3y – 4x = 15 (PAT1 ธ.ค.54)
1. 3*
2. 3.2
3. 3.4
4. 3.5

12. ให้ a, b และ c เป็นจานวนจริง ถ้าวงกลม x2 + y2 + ax + by + c = 0 มีจุดศูนย์กลางที่ (2, 1) และมี
เสน้ ตรง x – y + 2 = 0 เป็นเสน้ สมั ผสั วงกลม แลว้ |a + b + c| เทา่ กบั เท่าใด (PAT1 ต.ค. 52) (5.5)

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 80

13. กาหนดวงกลมรูปหน่ึงมีจุดปลายของเสน้ ผ่านศูนย์กลางอย่บู นจดุ ศูนย์กลางและจุดโฟกัสดา้ นหน่ึงของ
ไฮเพอร์โบลา 9x2 – 16y2 – 90x + 64y + 17 = 0 แล้ววงกลมดงั กล่าวมพี ้ืนท่ีเท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (PAT1 ก.ค. 53)
1. 25 /4 ตารางหนว่ ย*
2. 25 /2 ตารางหนว่ ย
3. 4  ตารางหน่วย
4. 5  ตารางหนว่ ย

14. กาหนดให้ A = {(x, y) | x2 + y2 = 1} และ B = {(x, y) | x2 + y2 – 10x – 10y + 49 = 0} ถ้า p ∈ A และ
q ∈ B แล้ว ระยะทางมากสดุ ที่เป็นไปไดร้ ะหวา่ งจดุ p และ q เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี (PAT1 ต.ค. 52)

1. 5 2 หน่วย
2. 2+5 2 หนว่ ย*
3. 2 5 หน่วย
4. 5+2 5 หนว่ ย

15. ถ้าเสน้ ตรงหน่ึงผ่านจุดกาเนดิ และจุดยอดของพาราโบลา y2 – 4y + 4x = 0 และตัดเสน้ ไดเรกตริกซท์ จี่ ดุ
(a, b) แลว้ a + b มีคา่ เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (PAT1 มี.ค. 52)
1. 4
2. 5
3. 6*
4. 7

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 81

16. ระยะทางจากโฟกัสของพาราโบลา y2 = -8x ไปยังเส้นตรง 2x + y = 6 เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี (PAT1 ก.ค. 52)
1. 2 5 หนว่ ย*
2. 5 2 หนว่ ย
3. 2 /5 หนว่ ย
4. 2/ 5 หนว่ ย

17. พาราโบลามีจุดยอดที่ (-1, 0) และมีจุดกาเนิดเป็นโฟกัส ถ้าเส้นตรง y = x ตัดพาราโบลาท่ีจุด P และจุด Q
แล้ว ระยะทางระหวา่ งจุด P กับจดุ Q เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT1 ต.ค. 52) (8)

18. กาหนดให้พาราโบลามีจุดยอดที่ (-3, -2) ผ่านจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา 5x2 – 4y2 – 16y + 4 = 0 จงหา
สมการไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา (PAT1 ธ.ค.54)
1. 4y + 15 = 0
2. 4y + 9 = 0
3. 4x + 9 = 0
4. 4x + 15 = 0*

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 82

19. ให้เส้นตรง x – y + 2 = 0 ตัดกับวงกลม x2 + y2 + 6x – 4y + 4 = 0 ท่ีจุด A และจุด B ถ้า (a, b) เป็นจุด
โฟกัสของพาราโบลาซ่ึงมีเส้นตรง y = 2 เป็นแกนของพาราโบลาและพาราโบลาน้ีผ่านจุด A และจุด B แล้ว
a + b เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี (PAT1 ม.ี ค. 54)
1. 11/4
2. 9/4
3. 7/4
4. 5/4*

20. พาราโบลารูปหน่ึงมีจุดยอดอยู่ท่ี A(-3, 2) มีแกนสมมาตรขนานแกน X และโฟกัส F อยู้บนเส้นตรง L ซึ่งมี
สมการเป็น 4x – 3y + 14 = 0 ถ้าพาราโบลาน้ีตัดเส้นตรง L ท่ีจุด B(a, b) โดยที่ a > 0 แล้วผลคูณขิง

เวกเตอร์ AFFB เทา่ กับเท่าใด (PAT1 ต.ค.55) (3)

21. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้
ก. x2 + y2 + 6x – 4y = 23 เป็นสมการวงกลมที่สมั ผสั กับเสน้ ตรง ซงึ่ มีสมการเป็น 21x + 20y + 168 = 0
ข. y2 + 16x – 6y = 71 เป็นสมการของพาราโบลาท่มี จี ดุ ยอดท่ี (-5, 3) และจุดโฟกสั ท่ี (-1, 3)
ข้อใดต่อไปนี้ถกู ตอ้ ง (PAT1 ต.ค. 53)
1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด*

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 83

22. วงกลม C มีจุดศนู ย์กลางท่ีจุดกาเนิด และผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลาซึ่งมีสมการเป็น (x – 2)2 = 8y โดยเส้น
ไดเรกตรกิ ซ์ของพาราโบลาตดั วงกลม C ทีจ่ ุด P และจุด Q ถ้าจุด R อยู่บนพาราโบลาและอยู่ห่างจุดโฟกัสเป็น
ระยะทาง 4 หน่วย แล้ว รูปสามเหล่ียม PQR มพี ้ืนทีเ่ ทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ (A-NET 50)
1. 8 ตารางหน่วย*
2. 9 ตารางหน่วย
3. 10 ตารางหน่วย
4. 12 ตารางหนว่ ย

23. พาราโบลาที่มีจุดโฟกัส F อยู่ที่จุดศูนย์กลางวงกลม x2 + y2 – 6x + 4y + 4 = 0 และมีจุดยอด V อยู่ท่ีจุดตัด
ของวงกลมกับแกน Y ถ้า A และ B เป็นจุดบนพาราโบลาซึ่งส่วนของเส้นตรง AB ผ่านจุดโฟกัส F และตั้งฉาก
กับแกนของพาราโบลา แล้วพ้ืนทขี่ องรปู สามเหล่ียม VAB เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี (PAT1 ม.ี ค.55)
1. 9 ตารางหน่วย
2. 12 ตารางหนว่ ย
3. 18 ตารางหน่วย*
4. 36 ตารางหน่วย

24. กาหนดให้วงรี E มีโฟกัสท้ังสองอยู่บนวงกลม C ซง่ึ มีสมการเป็น x2 + y2 = 1 ถา้ E สมั ผสั กบั C ที่จดุ
(1, 0) แล้ว จดุ ในขอ้ ใดตอ่ ไปน้อี ยบู่ น E (PAT1 ก.ค. 52)
1. (1/2, 3/2)
2. (1/2, 5/2)
3. (1/3, 2/3)
4. (1/3, 4/3)*

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 84

25. กาหนดให้ วงรีรูปหน่ึงมีโฟกัสอยู่ท่ีจุด (±3, 0) และผ่านจุด (2, 21 /2) จุดในข้อใดต่อไปน้ีอยู่บนวงรีที่
กาหนด (PAT1 ม.ี ค. 52)
1. (-4, 0)*

2. (0, 5 2 /2)
3. (6, 0)

4. (0, -3 2 )

26. ถ้า k, l, m เป็นจานวนจริงที่ทาให้วงรี kx2 + ly2 – 72x – 24y + m = 0 มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (4, 3) และ
สมั ผัสแกน Y แล้วขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีผดิ (A-NET 50)
1. ความยาวแกนเอกเท่ากบั 12 หนว่ ย
2. ความยาวแกนโทเทา่ กบั 8 หนว่ ย

3. ระยะหา่ งระหว่างจดุ โฟกัสทั้งสองเท่ากบั 4 5
4. จุด (2, 6) อยู่บนวงรี*

27. วงรที ีม่ แี กนเอกอยบู่ นแกน X แกนโทอยู่บนแกน Y ระยะระหวา่ งจุดโฟกสั ท้ังสองเท่ากบั 12 หน่วย ถ้าความ
ยาวของคอรด์ ทผี่ า่ นจุดโฟกสั หน่งึ และตั้งฉากกับแกนเอกของวงรี เทา่ กบั 10 หนว่ ย แล้วสมการวงรี คือใด
ต่อไปน้ี (PAT1 มี.ค.55)
1. 5x2 + 9y2 = 405*
2. 9x2 + 5y2 = 81
3. 5x2 + 9y2 = 225
4. 9x2 + 5y2 = 20

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 85

28. กาหนดให้วงรีมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ที่ (0, 0) และมีโฟกัส F1 และ F2 อยู่บนแกน X จุด A(4, 1) เป็นจุดบนวงรีโดย

ท่ีผลบวกระยะทางจากจุด A(4, 1) ไปยังจุดโฟกัสท้ังสองมีค่าเท่ากับ 6 2 ให้เส้นตรง L ตัดแกน X ที่จุด
(4.5, 0) และสัมผัสกับวงรีที่จุด A(4, 1) ถ้า d เป็นระยะห่างระหว่างจุด (0, 0) กับเส้นตรง L แล้วค่าของ
d2|AF1||AF2| เทา่ กับเท่าใด (PAT1 มี.ค.56) (162)

29. วงกลมวงหน่ึงมีจุดศูนย์กลาง อยู่ท่ีจุดศูนย์กลางของวงรีท่ีมีสมการเป็น 9x2 + 4y2 – 36x – 24y + 36 = 0 ถ้า
วงกลมนส้ี ัมผัสกบั เส้นตรงท่ีผ่านจดุ (1, 3) และ (5, 0) แลว้ รศั มีของวงกลมวงน้เี ทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี (A-NET 49)
1. 3/5*
2. 4/5
3. 7/8
4. 9/13

30. ให้ E เปน็ วงรีท่ีมีแกนเอกขนานกับแกน X, มีจุดศูนย์กลางที่ (-2, 1), กาสัมผัสเส้นตรง x = 1 และ y = 3 โดย
มี F1 และ F2 เปน็ จดุ โฟกสั ของ E ให้ C เปน็ วงกลมที่มี F1F2 เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้าวงรี E ตัดวงกลม C ท่ี
จดุ P, Q, R และ S แล้วพน้ื ทีร่ ปู สีเ่ หล่ียม PQRS มีค่าเทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี (A-NET 51)
1. 12/5 ตารางหนว่ ย
2. 24/5 ตารางหนว่ ย
3. 36/5 ตารางหนว่ ย
4. 48/5 ตารางหนว่ ย*

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 86

31. กาหนดให้ E เปน็ วงรที ีม่ โี ฟกสั อยู่ทีจ่ ุดยอดของไฮเพอร์โบลา x2 – y2 = 1 ถา้ E ผ่านจดุ (0, 1) แลว้ จดุ ในข้อใด
ตอ่ ไปน้ีอย่บู น E (PAT1 ต.ค. 52)

1. (1, - 2 /2)*

2. (1, 2 )
3. (1, - 1/2)

4. (1, 3 /2)

32. แกนเอกของวงรเี ป็นสว่ นของเสน้ ตรงท่เี ช่อื มระหวา่ งจุดตดั ของวงกลม x2 + y2 = 25 กบั วงกลม
x2 + y2 + 6y – 7 = 0 และโฟกัสจุดหน่ึงของวงรีอยู่บนเส้นตรง x + 2 3 = 0 แล้วสมการของวงรีตรงกับ
ข้อใดตอ่ ไปน้ี (PAT1 ต.ค.55)
1. x2 + 4y2 – 8x = 0
2. x2 + 4y2 + 24y + 20 = 0*
3. 4x2 + y2 + 6y – 7 = 0
4. 4x2 + y2 – 32x + 48 = 0

33. กาหนดให้ H เป็นไฮเพอร์โบลาที่มีสมการ 9x2 – 72x – 16y2 – 32y = 16 ถ้า E เป็นวงรีซ่ึงมีจุดยอดอยู่ท่ีโฟกัส

ของ H และมคี วามเยอ้ื งศนู ย์กลางเทา่ กบั 1/ 5 แล้ว E คือสมการในขอ้ ใดต่อไปนี้ (7 วิชาสามัญ คณติ ศาสตร์ 55)
(x - 4) 2 (y +1) 2
1. 25 + 16 = 1

2. (x + 4) 2 + (y -1) 2 = 1
25 16
(x - 4) 2 (y +1) 2
3. 25 + 20 = 1*

4. (x + 4) 2 + (y -1) 2 = 1
25 20
(x - 4) 2 (y +1) 2
5. 16 + 9 = 1

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 87

34. ถ้าเส้นกากับของไฮเพอร์โบลา 16x2 – 9y2 + 32x + 36y = 164 ตัดแกน X ที่จุด x1, x2 แล้ว ระยะระหว่าง
x1, x2 ยาวกห่ี นว่ ย (A-NET 50) (3)

35. กาหนดให้ H เป็นไฮเพอรโ์ บลาท่ีมีสมการ 16x2 – 9y2 – 144 = 0 ถา้ จดุ A(6, k) เม่อื k > 0 เป็นจดุ อยู่บนเส้น
กากับของ H และ F1, F2 เป็นโฟกัสของ H แลว้ พ้นื ที่ของรูปสามเหล่ยี ม AF1F2 เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี (A-NET 49)
1. 37/2 ตารางหน่วย
2. 45/2 ตารางหน่วย
3. 30 ตารางหนว่ ย
4. 40 ตารางหนว่ ย*

36. กาหนดให้ M(a, b) เป็นจดุ ก่งึ กลางของเส้นตรงท่ีเช่ือมจุดตัดไฮเพอร์โบลา xy = 6 กับเส้นตรง x – y – 1 = 0
จงหาระยะระหวา่ งจุด M กบั เสน้ ตรง 6x – 8y + 13 = 0 (PAT1 ธ.ค.54) (2)

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 88

37. กาหนดใหว้ งรรี ูปหน่ึงมสี มการเป็น 25x2 + 21y2 + 100x – 42y – 404 = 0 แล้วไฮเพอรโ์ บลาที่มีจดุ ยอดอยู่

ทจ่ี ดุ โฟกสั ทงั้ สองของวงรแี ละผา่ นจดุ (-3, 1 + 8 ) มสี มการตรงกบั ข้อใดต่อไปน้ี (PAT1 ม.ี ค. 53)
1. 5y2 – 4x2 – 10 8y – 32x – 25 = 0
2. 3y2 – 2x2 – 6 8y – 8x + 15 = 0
3. y2 – 4x2 – 2y – 16x – 19 = 0*
4. y2 – 7x2 – 2y – 28x – 28 = 0

38. พิจารณาข้อความต่อไปน้ี
ก. ไฮเพอรโ์ บลา 4x2 – 25y2 + 24x – 100y – 164 = 0 มจี ดุ ยอดอยู่ท่จี ุดยอดของวงรี
4x2 + 25y2 + 24x + 100y + 36 = 0 และมีแกนสงั ยคุ ยาวเท่ากบั แกนโทของวงรี
ข. วงรี 4x2 + 25y2 + 24x + 100y + 36 = 0 มจี ดุ ยอดจุดหนึ่งอยู่บนพาราโบลา y2 + 4y – 4x + 12 = 0
ข้อใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง (PAT1 ม.ี ค. 54)
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก*
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

39. ให้ A และ B เป็นจุดยอดของไฮเพอร์โบลา 4x2 – y2 – 24x + 6y + 11 = 0 สมการของพาราโบลาท่ีมี AB
เปน็ เลตัสเรกตมั และกราฟอยเู่ หนือแกน X คือสมการในข้อขอ้ ใดต่อไปนี้ (A-NET 51)
1. (x – 3)2 = 4(y – 2)*
2. (x – 3)2 = 8(y – 1)
3. (x – 2)2 = 4(y – 2)
4. (x – 2)2 = 8(y – 1)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 89

40. กาหนดให้ 9x2 – 18x – 16y2 + 64y – 199 = 0 เป็นสมการไฮเพอร์โบลา ถ้าพาราโบลารูปหนึ่งมีแกน
สมมาตรขนานแกน Y ตดั แกน X ทจ่ี ดุ (1, 0) และผา่ นจดุ ยอดทัง้ สองของไฮเพอร์โบลาที่กาหนดให้ แล้ว จุดใน
ข้อใดไม่อยูบ่ นพาราโบลา (PAT1 มี.ค.56)
1. (2, 1/8)
2. (-1, 1/2)
3. (3, 1/2)
4. (4, 1/4)*

41. กาหนดให้ A = {a | เส้นตรง y = ax ไม่ตัดกราฟ y2 = 1 + x2} และ B = {b | เส้นตรง y = x + b ตัดกราฟ
y2 = 1 - x2 สองจดุ } เซต {d | d = c2 , c∈B – A} เทา่ กับชว่ งในข้อใดตอ่ ไปนี้ (PAT1 มี.ค. 52)
1. (0, 1)
2. (0, 2)
3. (1, 2)*
4. (0, 4)

42. กาหนดให้ S = {(x, y) | x2 + y2 ≤17}
A = {(x, y) | x2 - y2 = 1}
B = {(x, y) | y2 - x2 = 1}

ถา้ p⊂S∩ A และ q∈S∩ B แล้วระยะทางน้อยสุดท่ีเปน็ ไปได้ระหว่างจดุ p และ q เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี

1. 3 2 – 4* (PAT1 ก.ค. 52)

2. 3 2 – 2

3. 2 2 – 2

4. 2 2 – 3

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 90

ฟงั กช์ นั เอกซ์โพแนนเชยี ลและลอการิทึม
(Exponential and logarithmic function)

1. กาหนด a = 248 , b = 336 และ c = 524 ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถกู ต้อง (PAT1 ก.ค. 53)
1 1 1
1. b > c > a

2. 1 > 1 > 1
a b c
1 1 1
3. b > a > c

4. 1 > 1 > 1 *
a c b

2. กาหนดให้ A = 7(77 ) , B = 777 , C = 777 และ D = (777)7 ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกต้อง (PAT1 ม.ี ค. 53)
1. B<A<C<D

2. B<C<A<D
3. C<B<D<A*
4. C<A<D<B

3. กาหนดให้ a = 7+4 3 , b = 2 2 2 2... และ c = 2 + 3 ข้อใดตอ่ ไปน้ีถกู ตอ้ ง (PAT1 มี.ค.55)

1. 1 > 1 > 1
c a b
1 1 1
2. c > b > a

3. 1 > 1 > 1
b a c
1 1 1
4. b > c > a *

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 91

4. ถา้ x และ y เป็นจานวนจริงบวกทีต่ า่ งกัน ซง่ึ สอดคล้องกับสมการ xy = yx แล้ว ข้อใดตอ่ ไปนี้ผิด (A-NET49)
1. y(x/y) = x
2. x(y/x) = y
3. (xy)y = x(x+y)*
4. (x/y)y = y(x–y)

5. กาหนดให้ x, y > 0 ถ้า xy = yx และ y = 5x แล้ว คา่ ของ x อยูใ่ นช่วงใดต่อไปน้ี (PAT1 ก.ค. 52)
1. [0, 1)
2. [1, 2)*
3. [2, 3)
4. [3, 4)

6. ถ้า S = {x | 3x +1 + x -1 = 7x +1 } เมอื่ แทนเซตของจานวนจริง แลว้ ผลบวกของสมาชิกใน S
เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT1 ม.ี ค. 53) (5)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 92

7. ให้ แทนเซตของจานวนจริง ถา้ S = {x | x +1 + 3x -1 = 7x -1 } และ
T = {y | y = 3x + 1, xS} แลว้ ผลบวกของสมาชกิ ใน T เท่ากับเท่าใด (PAT1 ก.ค. 53) (2)

8. ให้ แทนเซตของจานวนจรงิ และ ถ้า A = {x | 2x2 – 2x + 9 – 2 x2 - x +3 = 15} แล้ว ผลบวกของ
กาลงั สองสมาชิกในเซต A เทา่ กับเทา่ ใด (PAT1 ต.ค. 53) (13)

9. ให้ A แทนเซตคาตอบของสมการ 3x +2+2 3x +1 + 3x +10+6 3x +1 =14 และให้ B แทนเซต

คาตอบของสมการ 2x2 – 6x + 11 +2 x2 -3x +5 = 25 ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน A B เท่ากับ
เท่าใด (PAT1 ต.ค. 55) (11)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 93

10. ให้ แทนเซตของจานวนจริง และให้ C = {x | (3x2 – 11x + 7)(3x2 + 4x +1) = 1} จานวนสมาชิกของ
เซต C เท่ากบั เท่าใด (PAT1 ต.ค. 53) (5)

11. ถ้า 4x – y = 128 และ 32x + y = 81 แลว้ ค่าของ y เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี (PAT1 มี.ค. 52)
1. -2
2. -1*
3. 1
4. 2

12. ถ้า x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x + 3 แลว้ ค่าของ x อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้ (PAT1 ต.ค. 52)
1. [0, 1)
2. [1, 2)*
3. [2, 3)
4. [3, 4)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 94

13. กาหนดให้ A แทนเซตคาตอบของสมการ 3(1+2x) + 9(2–x) = 244 แลว้ A เป็นสับเซตของชว่ งในขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. (-1, 4)* (PAT1 ต.ค. 55)

2. (-2, 0.5)

3. (0, 5)

4. (-3, 0)

14. ผลบวกของคาตอบท้ังหมดของสมการ 3x + 32–x = 4 3 มคี ่าเทา่ กบั เท่าใด (7 วชิ าสามัญ คณิตศาสตร์ 54) (2)

15. ถ้า x, y และ z เป็นจานวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ x + y + z = 16, yx+z = x2(x+z) และ 3y = 3(9z) แล้ว
ผลคูณของ xyz เท่ากับเท่าใด (PAT1 ต.ค.55) (108)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 95

16. ให้ แทนเซตของจานวนจรงิ ถา้ A = {x | 23x+1 – 17(22x) + 2x+3 = 0} และ
B = {x | |x2 – 3x – 8| = x2 + 3x} แล้ว ผลบวกของสมาชิกใน A B เทา่ กบั เท่าใด (PAT1 ธ.ค.54) (4)

   17. กาหนดสมการ4x 9 x
25 25
+ =1 จงพจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี

ก. ถา้ a เปน็ คาตอบของสมการ แล้ว a > 1

ข. ถ้าสมการมีคาตอบ แลว้ คาตอบจะมีเพียงคาตอบเดยี ว
ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู (PAT1 ม.ี ค. 52)
1. ก. ถูก และ ข. ถูก
2. ก. ถูก และ ข. ผิด
3. ก. ผิด และ ข. ถกู *
4. ก. ผิด และ ข. ผดิ *

   18. ถ้าสมการ1x 1 x-1 มีคาตอบเป็นจานวนจริงบวก แล้วค่าของ a ท่ีเป็นไปได้อยู่ในช่วง ข้อใด
4 2
+ +a=0

ต่อไปนี้ (PAT1 ม.ี ค. 53)

1. [-  , -3)
2. (-3, 0)*
3. (0, 1)
4. (1, 3)

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 96
แทนเซตของจานวนจริง จงหาจานวนสมาชิก
19. กาหนดให้ A = {x | 22x – 2x+2 > 2x+1/2 – 32 } เมอ่ื
ทเ่ี ปน็ จานวนเตม็ ของ – A (PAT1 ธ.ค.54)
1. 1
2. 2*
3. 3
4. 4

20. เซตคาตอบของอสมการ 72x + 72 < 23x + 3 + 32x + 2 เปน็ สับเซตของชว่ งใดตอ่ ไปน้ี (PAT1 ม.ี ค. 53)
1. (log87, log98)
2. (log98, log89)*
3. (log89, log78)
4. (log910, log89)

3 5x2 -23x+3 5 x+5
5 3
> แล้ว A เป็น
   21. ให้
แทนเซตของจานวนจริง ถ้า A เป็นเซตคาตอบของอสมการ

สบั เซตในขอ้ ใดต่อไปนี้ (PAT1 ม.ี ค.55)

1. {x | (5x – 1)(x – 3) < 0}
2. {x | (4x – 1)(x – 4) < 0}*
3. {x | (2x – 1)(x – 5) < 0}
4. {x | | x – 1 | < 2}

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 97

22. ถ้า A แทนเซตคาตอบของอสมการ (x – 2)x2+2 < (x – 2)2x +10 เม่ือ x > 2 แล้ว A เป็นสับเซตของช่วงใน
ขอ้ ใดต่อไปนี้ (PAT1 ต.ค. 55)
1. (2, 3)
2. (3.5, 5)
3. (2.5, 4)*
4. (4, 7)

1 2x2 +3x+7 1 2x+11 x 2 - 6x + 5
2 4 x +1
< }, B = {x
   23. ให้ | 0
แทนเซตของจานวนจริง ถ้า A = {x |  }

แล้ว BA เป็นสบั เซตในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (PAT1 ม.ี ค.54)
1. {x∈ | -1≤ x < 0}
2. {x∈ |-1≤ x < 2}*
3. {x∈ | 0 ≤ x < 1}
4. {x∈ | 0 ≤ x < 3}

24. ถา้ log23 = 1.59 แล้ว ค่าของ x ซง่ึ สอดคล้องสมการ 22x+132x+2 = 122x เทา่ กับเทา่ ใด (A-NET50) (2.09)

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)