เอกสาร “สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย ฉบับ ADMISSIONS”

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 98

25. กาหนดให้ A = {z |z= x และ 6log(x – 2y) = log x3 + log y3} ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต A
y

มคี า่ เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี (A-NET50)

1. 3

2. 4*

3. 5

4. 6

26. ผลบวกของรากทัง้ หมดของสมการ log3(31/x + 27) = log34 + 1 + 1 เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี (A-NET51)
2x
1. 0

2. 1/2

3. 3/4*

4. 1

27. ผลบวกของคาตอบทั้งหมดของสมการ log3x = 1 + logx9 อยใู่ นชว่ งใดต่อไปนี้ (PAT1 ม.ี ค. 52)
1. [4, 0)
2. [4, 8)
3. [8, 12)*
4. [12, 16]

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 99

28. คาตอบของสมการ log (4 – x) = log2(9 – 4x) + 1 อยู่ในช่วงใดต่อไปน้ี (PAT1 ก.ค. 52)

1. [-10, -6) 2

2. [-6, -2)

3. [-2, 2)*

4. [2, 6)

29. กาหนด logyx + 4logxy = 4 แลว้ logyx3 มคี า่ เทา่ ใด (PAT1 ต.ค. 52) (6)

30. ถ้า log[x + 27log32 ] = 1 แล้ว x มีคา่ เท่ากับเท่าใด (ขอ้ สอบ 7 วชิ าสามญั คณิตศาสตร์ 54) (2)

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 100
31. รากท่ีมีค่านอ้ ยท่สี ดุ ของสมการ 2log(x – 2)2log(x – 3) = 2log2 มีคา่ เท่าใด (PAT1 ต.ค. 52) (4)

32. ถา้ A เป็นเซตคาตอบของสมการ 32x + 2 – 28(3x) + 3 = 0 และ
B เปน็ เซตคาตอบของสมการ log x + log(x – 1) = log(x + 3)

แล้วผลบวกของสมาชกิ ท้ังหมดในเซต AB เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (PAT1 ก.ค. 53)
1. 1
2. 2*
3. 3
4. 4

33. ให้ แทนเซตของจานวนจรงิ ถา้ A = {x | 32x – 34(15x – 1) + 52x = 0} และ
1
B = {x | log5(51/x+125) = log56+1+ 2x } แล้วจานวนสมาชิก A B เทา่ กับเท่าใด (PAT1 ม.ี ค.54) (4)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 101

34. ให้ A เป็นเซตคาตอบของสมการ log( x +1 +5) = log x และ B เป็นเซตคาตอบของสมการ log2(3x) +
log4(9x) + log8(27x) = 3 + 2log64(x) ผลคณู ของสมาชิกท้งั หมดในเซต A B เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี
12
1. 9 (PAT1 มี.ค.55)

2. 16
9
32
3. 9 *

4. 96
9

35. กาหนดให้ A เป็นเซตคาตอบของสมการ x2log4(x2 + 2x – 1) + xlog1/2(x2 + 2x – 1) = 2x – x2 และให้
B = {x2 | xA} ผลบวกของสมาชกิ ทง้ั หมดในเซต B เท่ากบั เท่าใด (PAT1 ต.ค.55) (10.5)

 36. ถ้า a, b และ c เปน็ รากของสมการ x3 + kx2– 18x + 2 = 0 เม่อื k เป็นจานวนจริง แล้ว log271+1 + 1
a b c

เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (ต.ค. 53) (PAT1 ต.ค. 53)
1
1. 9

2. 1
3
2
3. 3 *

4. 1

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 102

37. เซตคาตอบของสมการ log32x – log27x3 = 6 ตรงกบั เซตคาตอบของสมการในข้อใดต่อไปน้ี (PAT1 ต.ค. 53)

1. log1log1log1 3 9x2 - 1 + 29 = 0 *
244x
432
2. 2log2(x + 1) – log2(x2 – 14x + 41) = 1

3. 31+ x2-8x-5 + 32- x2-8x-5 = 28
4
4. log3x3 + log273x + 3 =0

38. ให้ แทนเซตของจานวนจริง และ ถ้า B = {x | log2(-x2 + 7x – 10) + 3 cos( x2 +7 ) -1 = 1}
แลว้ ผลบวกของสมาชิกในเซต B เท่ากบั เทา่ ใด (PAT1 ต.ค. 53) (3)

39. กาหนดให้ a, b, c และ d เป็นจานวนจรงิ ทีม่ ากกว่า 1 ถ้า (logba)(logdc) = 1 แล้วคา่ ของ
a(logbc-1)b(logcd-1)c(logda-1)d(logab-1) เท่ากบั เทา่ ใด (PAT1 ต.ค. 53) (1)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 103

40. กาหนดให้ x > 1, a > 1, b > 1 และ c > 1 พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้
ก. ถา้ b2 = ac แลว้ (logax)(logbx - logcx) = (logcx)(logax - logbx)
ข. ถา้ c > b+ 1 และ a2 + b2 = c2 แลว้ log(c+b)a + log(c–b)a = 2(log(c+b)a)(log(c–b)a)

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถูกต้อง (PAT1 ม.ี ค.55)
1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก*
2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

41. กาหนดให้ a, b, c > 1 ถ้า logad = 30, logbd = 50 และ logabcd = 15 แล้วค่าของ logcd เท่ากับข้อใด
ตอ่ ไปนี้ (PAT1 ก.ค. 52)
1. 75*
2. 90
3. 120
4. 150

42. กาหนดให้ x และ y เป็นจานวนจริงบวกและ y ≠ 1 ถ้า logy2x = a และ 2y = b แล้ว x มีค่าเท่ากับข้อใด
ตอ่ ไปนี้ (PAT1 ม.ี ค. 53)
1
1. 2 (log2b)a*

2. 2(log2b)a
a
3. 2 (log2b)

4. 2a(log2b)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 104

43. กาหนดให้ x เปน็ จานวนจรงิ บวกทส่ี อดคลอ้ งกบั สมการ 35x9x2 = 27 และ y = ((lloogg24 33))((lloogg46 55))((lloogg86 7)
7)

คา่ ของ xy เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี (PAT1 ก.ค. 53)
1
1. – 8

2. 1 *
8
3. -27

4. 27

44. กาหนดให้ A, B และ C เป็นเซตจากัด โดยที่ n(P(A)) = log 4 , n(P(B)) = ( 5)log5256 และ

2
n(P(AB)) = 32log932 เมื่อ P(S) แทนเพาเวอรเ์ ซตของเซต S จงหาค่าของ n(P(A)P(B)) (PAT1 ม.ี ค.54) (18)

45. ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ถี ูก (A-NET49)
1. log73 < log53 < log710*
2. log53 < log73 < log710
3. log73 < log710 < log53
4. log710 < log53 < log73

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 105

46. จานวนเต็มท่ีสอดคลอ้ งกับอสมการ log1/2[log3(x + 1 )] > -1 มีจานวนเท่ากับข้อใดต่อไปน้ี (A-NET49)
1. 6
2. 7*
3. 8
4. มากกวา่ 8

47. พิจารณาข้อความต่อไปน้ี    ข.3 1
log2 8 < log3 2
34

ก. 22 < 33

ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู (PAT1 ก.ค. 53)
1. ก. ถกู และ ข. ถูก*
2. ก. ถกู และ ข. ผิด
3. ก. ผิด และ ข. ถูก
4. ก. ผิด และ ข. ผิด

48. ถ้า A = {x | a < x< b} เป็นเซตคาตอบของอสมการ log2(2x – 1) – log4(x2 + 1 ) < 1 แล้ว a + b มีค่า
2 2
เท่าใด (A-NET51) (2.5)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 106

49. ถา้ A แทนเซตคาตอบของ 2(log3x – 1)1/2 + log1/3x3 + 4 > 0 แลว้ เซต A เป็นสับเซตของชว่ งใดตอ่ ไปนี้
1. (0, 3) (PAT1 มี.ค.54)

2. (1, 4)

3. (2, 5)

4. (2, 9)*

50. ถา้ S1 = {x | log1/2(x + 1) + 2log1/4(x + 2) – log1/2(9x – 3)  0} และ S2 = {x | x เปน็ จานวนเตม็ ซึง่
-10  x  10} แลว้ S1  S2 มจี านวนสมาชิกเทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี (ข้อสอบ 7 วิชาสามญั คณติ ศาสตร์ 55)
1. 5
2. 6
3. 7*
4. 8
5. 9

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 107

ฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ิ
(Trigonometry)

1. ให้ T(x) = sin x–cos2x+sin3x–cos4x+sin5x–cos6x+... แลว้ ค่าของ 3T(  ) เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (PAT 1 ต.ค. 53)

1. 4 3 – 1 3

2. 5 3 – 1

3. 6 3 – 1*

4. 7 3 – 1

2. กาหนดให้ f( x )= 1 เมื่อ x≠0 และ x≠1 ถา้ 0<  <  แลว้ f(sec2  ) เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี (PAT 1 ม.ี ค. 53)
x -1 x
1. sin2  * 2

2. cos2 
3. tan2 
4. cot2 

3. กาหนดให้ a เป็นจานวนจรงิ และสอดคลอ้ งกับสมการ 5 (sin a + cos a) + 2 sin a cos a = 0.04 ค่าของ
125 (sin3a + cos3a) + 75 sin a cos a เทา่ กับเทา่ ใด (PAT 1 ต.ค. 53) (1)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 108

4. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คอื ช่วงเปิด (  ,  ) พิจารณาข้อความตอ่ ไปนี้

4 2
ก. คา่ ความจรงิ ของ x [(cos x)sin x < (sin x)cos x] เป็นจริง
ข. คา่ ความจรงิ ของ x [(cos x)sin x < (sin x)cos x] เปน็ เท็จ

ขอ้ ใดต่อไปนี้ถูกต้อง (PAT1 มี.ค.54)

1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ *

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

5. กาหนดให้ 0๐ <  < 45๐ และให้ A = (sin  )tan  , B = (sin  )cot  , C = (cot  )sin  , D = (cot  )cos 
ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถูกตอ้ ง (PAT1 มี.ค.55)
1. A < B < C < D
2. B < A < C < D*
3. A < C < D < B
4. C < D < B < A

6. ถ้า sin 15° และ cos 15° เป็นคาตอบของสมการ x2 + ax + b = 0 แล้ว ค่าของ a4 – b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
(PAT 1 ก.ค. 53)
1. -1
2. 1
3. 2*
4. 1 + 3 2

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 109

7. คา่ ของ log2 (1 + tan 1°) + log2 (1 + tan 2°) + ... + log2 (1 + tan 44°) เท่ากับเทา่ ใด (PAT 1 มี.ค. 54) (22)

8. จงหาค่าของ 2sin260๐(tan5๐ + tan85๐) – 12sin70๐ (PAT1 มี.ค.55) (6)

9. ค่าของ  sin30๐  cos30๐  เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี (PAT 1 ก.ค. 52)
 sin10๐ cos10๐ 
 

1. -1

2. 1

3. 2*

4. -2

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 110

10. ค่าของ cos36๐ cos72๐ เท่ากับเทา่ ใด (PAT 1 ม.ี ค. 53) (0.5)
sin36๐ tan18๐  cos36๐

11. จงหา tan20๐  4sin20๐ (PAT1 ธ.ค.54) (8)
sin20๐ sin40๐ sin80๐

12. กาหนดให้ (sin 1°)(sin 3°)(sin 5°)...(sin 89°) = 1 ค่าของ 4n เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT 1 ต.ค. 53) (178)
2n

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 111

13. ถ้า 1 – cot 20o = x แล้ว x มีคา่ เท่าใด (PAT 1 ต.ค. 52) (2)
1- cot25๐

44 n๐ 44 n๐

cos sin
n=1 n=1
14. คา่ ของ 44  44 เท่ากบั เทา่ ใด (PAT1 ก.ค. 53) (2)
n๐ n๐
 sin cos

n=1 n=1

15. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง และให้ f : RR เป็นฟังก์ชันท่ีมีสมบัติสอดคล้องกับ f(x) = 0x -1 ,x = -1
 x +2 ,x -1


ถา้ A = {xR | (f ๐ f)(x) = cot 75๐} แลว้ ขอ้ ใดไมเ่ ป็นเซตว่าง (PAT 1 ธ.ค. 54)

1. A (-3, -2)

2. A (-4, -3) *

3. A (2, 3)

4. A (3, 4)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 112

16. ให้ A, B, C เป็นจุดยอดมุมของรูปสามเหลี่ยม ABC และ Aˆ <Bˆ < Cˆ โดยที่ tan A tan B tan C = 3 + 2 3

พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้

ก. tan C = 2 + 3
5
ข. Cˆ = 12

ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถกู (A-NET51)

1. ก. ถูก และ ข. ถูก*

2. ก. ถูก และ ข. ผดิ

3. ก. ผิด และ ข. ถกู

4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ

17. ให้ ABC เป็นรปู สามเหลยี่ ม โดยท่ี sinA = 3 และ cosB = 5 ค่าของ cos C เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี (PAT 1 มี.ค. 54)
5 13
16
1. 65 *

2. - 16
65
48
3. 65

4. - 33
65

18. กาหนดให้ x เป็นจานวนจริง ถ้า sin x + cos x = a และ sin x – cos x = b แล้วค่าของ sin 4x เท่ากับข้อ

ใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 53)
1
1. 2 (a3b – ab3)

2. 1 (ab3 – a3b)
2
3. ab3 – a3b*
4. a3b – ab3

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 113

19. ถา้ sec  + cosec  = 1 แลว้ sin 2  มีค่าเทา่ กบั ข้อใดต่อไปนี้ (A-NET49)
1. 2(1 – 2 )*
2. 2( 2 – 1)
3. 1 – 3
4. 3 – 1

20. ถา้ cos  – sin  = 5 แลว้ คา่ ของ sin 2  เท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 ม.ี ค. 52)
3
4
1. 13

2. 9
13
4
3. 9 *

4. 13
9

21. ให้  เป็นจานวนจรงิ ซง่ึ สอดคล้องกับสมการ 1 + 1 + 1 + 1 = 7 แล้ว tan2  มีค่า
tan2 cot2 sin2 cos2
เท่ากบั เท่าใด (A-NET51) (8)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 114

   22. กาหนดให้ a, b a ถ้า cos 4 sin 4 sin2 แล้วจงหาค่าของ
และ tan  = b a b = ab(a2 +b2
 +

3 2 )

   3a+ b (PAT1 ธ.ค.54) (27.25)
b 2a

 23. กาหนดให้ 180๐<  <270 ถ้า 3(2)sin4 cos2 แล้วจงหาค่าของ 3tan2  –2sin3  (PAT 1 ธ.ค. 54)
9
=2(3)sin 

1. 1
2. 3*
3. 7
4. 9

24. สาหรับ 0  x  2 กาหนดให้ A = {x | log2(-3cos x) = 1+2log2sin x และ B = {sec3x–cos2x | xA}
จงหาค่าของผลบวกของสมาชกิ ทั้งหมดทอี่ ยู่ใน B (PAT1 ธ.ค.54) (1.5)

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 115

25. ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ถูกต้อง (PAT1 ต.ค.55)
1. cos75๐ = (2 – 3 )cos15๐*
2. cos10๐ + sin 40๐ = cos20๐
tan3A cos2A +cos4A
3. ถา้ A เปน็ จานวนจริงใด ๆ แล้ว cotA = cos2A -cos4A

4. ถ้า A และ B เปน็ จานวนจริงใด ๆ แลว้ sin2A + cos2B = 2sin(A – B)cos(A + B)

26. พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้
3 1
ก. cos  + cos 5 + cos  = 2

5 3
7 8
ข. tan 16 – tan = cosec 

ข้อใดต่อไปนี้ถกู ต้อง (PAT1 ต.ค.55) 8

1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก

2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผดิ

3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู *

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

27. ให้  เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ ถา้ a และ b เป็นค่ามากสุดของ cos4 – sin4 และ 3sin  + 4cos 
ตามลาดับ แล้ว a + b เท่ากับเทา่ ใด (PAT 1 ต.ค. 55) (6)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 116

28. ให้ A เป็นเซตคาตอบของ cos x = cos( x ) จานวนสมาชกิ ในเซต A  (0, 24  ) เท่ากับเทา่ ใด (PAT 1 ม.ี ค. 54) (20)
4

29. sin(arctan 2 + arctan 3) เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ (A-NET49)
1
1. - 2

2. - 1
2
1
3. 2 *

4. 1
2

tan arccos 1  arccot 1  arctan 7 
5 3 9 
30. ค่าของ เท่ากับเทา่ ใด (PAT 1 ต.ค. 53) (1)
arcsin153 arcsin1132 
sin  

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 117

31. ค่าของ sec2(2arctan 1 + arctan 1 ) เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT 1 ต.ค. 55) (2)
3 7

32. ค่าของ cot (arccot 7 + arccot 13 + arccot 21 + arccot 31) เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (PAT 1 มี.ค. 54)
11
1. 4

2. 13 *
4
9
3. 2

4. 25
2

33. ถา้ (sin  + cos  )2 = 3 เมอื่ 0 ≤  ≤  แล้ว arccos (tan 3  ) มคี า่ เท่าใด (PAT 1 ต.ค. 52) (0)
2
4

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 118

34. ให้ -1≤x≤1 เปน็ จานวนจรงิ ซง่ึ arccos x – arcsin x =  แลว้ ค่าของ sin(  ) เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้

1. 2x 2552 2552 (PAT 1 ม.ี ค. 52)
2. 1 – 2x2*
3. 2x2 – 1

4. -2x

35. ให้  และ  เป็นมุมแหลมของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก โดยท่ี tan  = a/b
a a
ถา้ cos(arcsin( a2 +b2 )) + sin(arccos( a2 +b2 )) = 1 แล้ว sin  มคี า่ เท่ากับเทา่ ใด (PAT 1 มี.ค. 53) (0.5)

36. กาหนดให้ x เปน็ จานวนจรงิ ถ้า arcsin x =  แลว้ ค่าของ sin(  + arccos(x2) อยใู่ นชว่ งใด (PAT 1 ก.ค. 53)

1 4 15
2
1. (0, )

2. ( 1 , 1 )
2 2

3. ( 1 , 3)
2

4. ( 3 , 1)*
2

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 119

37. ถา้ arcsin (5x) + arcsin (x) =  แลว้ คา่ ของ tan (arcsin x) เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี (PAT 1 ก.ค. 52)

1 2
5
1. *

2. 1
3
1
3. 3

4. 1
2

38. กาหนดให้ c=arcsin 3 +arccot 5 –arctan 8 ถ้า A เป็นเซตคาตอบของสมการ arccot 1 +arccot 1 =c
5 3 19 2x 3x
จงหาผลคูณของสมาชิกใน A (PAT1 ธ.ค.54)
1
1.  4

2. 1
4
1
3.  6

4. 1 *
6

39. ให้ A เป็นเซตคาตอบของสมการ arccos(x) = arccos(x 3 ) + arccos( 1- x2 ) และให้ B เป็นเซต
คาตอบของสมการ arccos(x) = arcsin(x) + arcsin(1 – x) จานวนสมาชิกของเซต P(A – B) เท่ากับเท่าใด
เมอ่ื P(S) แทนเพาเวอรเ์ ซตของเซต S (PAT1 ม.ี ค.55) (1)

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 120

40. ถา้ arcsec x = arcsin 1 – 2arccos 2 แล้ว cot(  + arcsec x) เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี (PAT1 ต.ค.55)
17 5
2

1. 193
13
2. 9

3. 1136
13
4. 16 *

41. จงพจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้
ก. tan14๐ + tan76๐ = 2cosec28๐
4 1
ข. ถา้ x > 0 และ sin(2arctan x) = 5 แลว้ x( 3 , 3)

ข้อใดต่อไปน้ีถกู (A-NET50)

1. ก. ถกู และ ข. ถกู *

2. ก. ถูก และ ข. ผิด

3. ก. ผดิ และ ข. ถกู

4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ

42. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม A เท่ากับ 60°, BC = 6 และ AC = 1 ค่าของ cos2B เท่ากับข้อ

ใดต่อไปน้ี (PAT 1 ม.ี ค. 52)
1
1. 4

2. 1
2
3
3. 2

4. 3 *
4

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 121

43. ให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียม ดังรูป ถ้ามุม ABC = 30°, BAC = 135° และ AD และ AE แบ่งมุม BAC ออกเป็น
EC
3 ส่วนเทา่ ๆ กนั แลว้ BC มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี (PAT 1 ต.ค. 53)

1. 1 *
3

2. 3
1
3. 2

4. 2

44. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมซ่ึงมีด้านตรงข้ามมุม A, B, C ยาว 2a, 3a, 4a ตามลาดับ ถ้า sin A = k

แลว้ cot B + cot C มคี า่ เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี (A-NET50)
1
1. 6k

2. k
6
1
3. 3k *

4. k
3

45. ให้ ABC เปน็ รปู สามเหลี่ยม โดยที่มี a, b, c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A, B C ตามลาดับ ถ้ามุม C= 60๐,
b = 5 และ a – c = 2 แลว้ ความยาวของเสน้ รอบรปู สามเหลี่ยม ABC เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (PAT1 ม.ี ค.55)
1. 25
2. 29
3. 37
4. 45*

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 122

46. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน AB ยาว 2 หน่วย ถ้า BC3 + AC3 = 2BC + 2AC แล้ว cot C

มคี ่าเทา่ กบั เทา่ ใด (PAT 1 ต.ค. 52)
1
1. 3 *

2. 1
2
3. 1

4. 3

47. ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A มุม B และมุม C ตามลาดับ
1 1 1
แลว้ a cos A + b cos B + c cos C เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี (PAT 1 ก.ค. 53)

1. a2 +b2 + c2 *
2abc
(a+b +c)2
2. abc

3. (a+b +c)2
2abc
a2 +b2 +c2
4. abc

48. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียมใดๆ มีความยาวตรงข้ามมุม A, B และ C เป็น a, b และ c หน่วย
ตามลาดับ ถ้า a2 + b2 = 31c2 แลว้ คา่ ของ 3tan C (cot A + cot B) เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT 1 ม.ี ค. 54) (0.2)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 123

49. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ียม และ D เป็นจุดก่ึงกลางด้าน BC ถ้า AB = 4 หน่วย, AC = 3 หน่วย และ
5
AD = 2 หน่วย แลว้ ด้าน BC ยาวเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 52)

1. 3

2. 4

3. 5*

4. 6

50. กาหนดใหร้ ูปสามเหลยี่ ม ABC มดี ้านตรงข้ามมุม A, B, C ยาว a, b, c ตามลาดบั และ
(sinA–sinB+sinC)(sinA+sinB+sinC) = 3sinAsinC จงหาคา่ ของ 3cosec2B+3sec2B (PAT1 ธ.ค.54) (4)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 124

เวกเตอร์ในสามมิติ
(Vector in 3D)

1. กาหนดจุด A(3, 0), B(3 + 3 , 1) และ C(a, b) โดยที่ C อยู่ในจตุภาคที่ 4 AB กับ AC ทามุมกัน 60° และ
| AC | = 2 3 | AB| จงหาคา่ ของ a2 + b2 (PAT 1 ธ.ค. 54) (93)

2. กาหนดให้ A, B, C เปน็ จุดยอดของรปู สามเหล่ียม P เป็นจุดกึ่งกลางของ AC, Q อยู่บน AB ทาให้ AQ : QB = 1 : 2
ถ้า AB=6 i -3 j และ BC=2 i +3 j จงหา PQ (PAT 1 ธ.ค. 54)
1. - i -2 j *
2. 2 i + j
3. -2 i - j *
4. i +2 j

3. กาหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหล่ียมด้านขนาน M เป็นจุดบนด้าน AD ซ่ึง AM = 1 AD และ N เป็นจุดบนเส้น
5
1
ทแยงมุม AC ซง่ึ AN = 6 AC ถา้ MN = a AB + b AD แล้ว a + b เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 52)

1. 2 *
15
1
2. 5

3. 1
3
4. 1

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 125

4. กาหนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหลี่ยมท่ีมี D เปน็ จุดบนดา้ น AC และ F เป็นจุดบนดา้ น BC ถ้า AD = 1 AC ,
4
1 a
BF = 3 BC และ DF = a AB + bBC แลว้ b มีคา่ เทา่ ใด (PAT 1 ต.ค. 52) (9)

5. กาหนดให้ A(a, b), B(4, -6) และ C(1, -4) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า P เป็นจุดบนด้าน AB ซ่ึงอยู่
3
ห่างจากจุด A เท่ากับ 5 ของระยะระหว่าง A และ B และเวกเตอร์ CP= i +2 j = i + 2 j แล้ว a + b

เทา่ กบั เท่าใด (PAT 1 มี.ค. 54) (3)

6. กาหนดให้ u =3 i +4 j ถ้า w=a i +b j โดยที่ w มีทิศเดียวกันกับ u และ | w | = 10 แล้ว a + b มีค่า
เท่ากับเทา่ ใด (A-NET49) (14)

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 126

7. กาหนดให้ A, B และ C เป็นจุดยอดของรูปสามเหลยี่ มใด ๆ พิจารณาขอ้ ความต่อไปน้ี
ก. AB+ BC+ CA =0
ข. BC2  CA2 + AB2

ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู ตอ้ ง (ENT คณติ ศาสตร์ 1 ต.ค.48)
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด*
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

8. กาหนดให้ u =2 i -5 j และ v = i +2 j ให้ w เป็นเวกเตอร์ โดยท่ี u  w = -11 และ v  w = 8 ถ้า 
เป็นมุมแหลมทเ่ี วกเตอร์ w ทามมุ กบั เวกเตอร์ 5 i + j 5 i + j แลว้ tan + sin 2 เท่ากับเท่าใด (PAT 1 ก.ค. 53) (2)

9. ให้ a และ b เป็นเวกเตอร์ กาหนดโดย a= i + 1 j - 3p k และ b = -2p i +2 j +pk เม่ือ p เป็นจานวน
2
จรงิ ถา้ a ตง้ั ฉากกบั b และขนาดของ b เท่ากับ 3 แล้ว ค่าของ p อย่ใู นช่วงขอ้ ใดต่อไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 53)
3
1. (-3, - 2 )

2. (- 3 , 0)*
2
3
3. (0, 2 )

4. ( 3 , 3)
2

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 127

10. กาหนดให้ u และ v เปน็ เวกเตอร์ซึ่ง | u  v | ≠ | u || v | ถ้า a( v – 2 u ) + 3 u = b(2 u + v ) แล้วค่า

ของ a อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 52)
1
1. [0, 2 )

2. [ 1 , 1)*
2
3
3. [1, 2 )

4. [ 3 , 2)
2

11. กาหนดให้ u และ v เป็นเวกเตอรท์ มี่ ขี นาดหนึง่ หน่วย ถ้าเวกเตอร์ u + 2 v ตั้งฉากกับเวกเตอร์ 2 u + v

แล้ว u  v เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ (PAT 1 ม.ี ค. 52)
4
1. - 5 *

2. 0
1
3. 5

4. 3
5

12. กาหนดให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ทมี่ ขี นาดหน่งึ หนว่ ย ถ้าเวกเตอร์ 3 u + v ตง้ั ฉากกับเวกเตอร์ u + 3 v
แล้วเวกเตอร์ 5 u – v มขี นาดเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 52)
1. 3 หน่วย

2. 3 2 หนว่ ย
3. 4 หนว่ ย

4. 4 2 หนว่ ย*

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 128

13. กาหนดให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ท่ีไม่เท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ซ่ึง u ต้ังฉากกับ v และ u + v ต้ังฉากกับ
u – v พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี
ก. | u | = | v |
ข. u + 2 v ต้งั ฉากกบั 2 u – v
ขอ้ ใดต่อไปน้ีเปน็ จรงิ (PAT 1 ต.ค. 52)
1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู *
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผดิ

14. ให้ u , v และ w เป็นเวกเตอร์ กาหนดโดย u = i +2 j +3k , v =2 i -d j + k , w=a i +b j +ck

เม่ือ a, b, c และ d เป็นจานวนจริง ถ้า u  w = 2, u ( v + w ) = 3, v + w= i +q j +r k เม่ือ q, r เป็น
2 1 1
จานวนจรงิ และ w ขนานกับ  3 i + 2 j + 3 k แล้วค่าของ a + 4b + 2c เทา่ กบั เท่าใด (PAT 1 มี.ค. 53) (3)

15. กาหนด u และ v เป็นเวกเตอร์ โดยท่ี u = i + 3 j , | v | = 3 และ | u – v | = 4 ค่าของ | u + v |
เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี (PAT 1 ก.ค. 53)
1. 6
2. 10 *
3. 13
4. 4

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 129

16. กาหนดให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใด ๆ โดยท่ี | u | = 1, | v | = 3 และ u ทามุม 60° กับ v ค่าของ
|u+ v |
2u - v เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54)

1. 13
19

2. 13 *
7

3. 1

4. 7
19

17. กาหนดให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ท่ีทามุมกัน  , | u | = 1 และ | v | = 2 มุมระหว่าง u + v และ

3

u − v เท่ากับเท่าใด (ข้อสอบ 7 วชิ าสามญั คณิตศาสตร์ 53) (arccos(- 3 ))
7

18. กาหนดให้ A = a และ B =  1 โดยท่ี b3 และ A เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ถ้ามุมระหว่าง A กับ
b 
 3 


B เท่ากบั 60° แล้ว a มีคา่ เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้ (ขอ้ สอบสมาคมคณติ ศาสตร์ 55)

1. - 3
2
1
2. - 2 *

3. 1
2
3
4. 2

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 130

19. กาหนดให้ u , v และ w เป็นเวกเตอร์ในระนาบและ x, y เป็นจานวนจริง โดยที่ u = x i - y j ,
v =4 i -3 j และ w =2 i + j ถ้า | u – v |2 = | u |2 + | v |2 และ 5x + 5y = 21 แล้วค่าของ u  w

เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 ต.ค. 53)
1. 5
2. 6*
3. 10
4. 14

20. ให้ A, B และ C เป็นเวกเตอร์ ซ่ึง | A | = 3, | B | = 2 และ | C | = 1 ถ้า A + B +4C = 0 แล้ว

A  B + B  C + C  A มคี า่ เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ (A-NET51)
5
1. - 2 *

2. -1

3. 0
1
4. 2

21. พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

ก. ให้เวกเตอร์ w=a i +b j +ck เม่อื a, b และ c เปน็ จานวนจรงิ

และให้เวกเตอร์ u = i +2 j + k และ v = i - j + k

ถ้าเวกเตอร์ w ตง้ั ฉากกบั เวกเตอร์ u และเวกเตอร์ v

แล้ว a + b + c = 1

ข. ให้เวกเตอร์ u =2 i + j และ v =a i +b j
3
เป็นเวกเตอรใ์ นระนาบ ถา้ | v | = 5 และ

u  v = 3 แล้วเวกเตอร์ u ทามมุ 60° กับเวกเตอร์ v

ข้อใดต่อไปน้ีถูกต้อง (PAT 1 ม.ี ค. 56)

1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก

2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผดิ

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถกู

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด*

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 131

22. กาหนดให้ a, b และ c เป็นเวกเตอรบ์ นระนาบซงึ่ กาหนดโดย a=x i + 12 j , b=6 i +yj และ
5
c=2 i + j เมื่อ x และ y เป็นจานวนจริง ถ้า | b - c | = 5 เวกเตอร์ a ตั้งฉากกับเวกเตอร์ b และ a  c > 0
แล้วค่าของ |5 a + b |2 เทา่ กับเท่าใด (PAT 1 ม.ี ค. 56) (200)

23. กาหนดให้ u , v และ w เป็นเวกเตอร์ในระนาบ ซ่ึง u + v - w=0 , u w=8 และ v w=-2 ถ้า

เวกเตอร์ w ทามุม arcsin 1 กับเวกเตอร์ u และเวกเตอร์ w ทามุม  –arcsin 2 กับเวกเตอร์ v
3 3
แล้วค่าของ | u |2 + | v |2 เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี (PAT 1 ต.ค. 55)

1. 6

2. 10

3. 14

4. 18*

24. กาหนดให้ u , v และ w เป็นเวกเตอร์ท่ีสอดคล้องกับสมการ u + 5 v − 2 w = 0 โดยที่ u =3 i +4 j

และ u ตง้ั ฉากกับ v ถ้า  เป็นมมุ ระหวา่ ง u และ w แล้ว คา่ ของ |w|cos  เทา่ กับเทา่ ใด
(ENT คณิตศาสตร์ 1 มี.ค.48) (2.5)

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 132

25. กาหนดให้ u และ v เปน็ เวกเตอรใ์ ด ๆ ซงึ่ ไมใ่ ช่เวกเตอร์ศูนย์ พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้
ก. | u – v | < | u |2 – | v |2
ข. ถ้า u ตัง้ ฉากกับ v แล้ว | u – v |2 = | u |2 + | v |2

ข้อใดตอ่ ไปน้ีถกู ต้อง (PAT 1 มี.ค.55)
1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก*
4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

26. กาหนดให้ u , v และ w เป็นเวกเตอรใ์ นระนาบ ข้อใดต่อไปน้ีถกู ต้อง (PAT 1 ต.ค. 53)
1. ( u  v )2 ≥ ( u u )( v  v )
2. ถา้ ( u  v )2 = (| u || v |)2 แลว้ u ตั้งฉากกับ v
3. ถ้า u + v + w = 0, | u | = 3, | v | = 4 และ |w| = 7 แล้ว u  v = 12*
4. | u – v |2 = | u |2 – | v |2

27. กาหนดให้จุด A(-1, 1), B(2, 5) และ C(2, -3) เป็นจุดยอดของรูปสามเหล่ียม ABC ให้ L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด

A และจดุ B ลากส่วนของเสน้ ตรง CD ต้งั ฉากกบั เสนตรง L ทจ่ี ุด D แลว้ เวกเตอร์ ADเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
7
1.  25 (3 i -4 j) (PAT 1 มี.ค.55)

2. 7 (3 i -4 j)
25
7
3.  25 (3 i + 4 j) *

4. 7 (3 i +4 j)
25

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 133

28. จากรูป a+b+c=0 ข้อใดถูกตอ้ ง (PAT 1 ธ.ค. 54)

1. | a | cosec35๐ =| c |  1+ cot20๐  2. | a | cosec20๐ =| c |  1+ cot35๐ 
 cot35๐   cot20๐ 
   

3. | a | cosec35๐ =| c |  1+ tan20๐  4. | a | cosec20๐ =| c |  1+ tan35๐  *
 tan35๐   tan20๐ 
   

29. กาหนดให้ P(-8, 5), Q(-15, -19), R(1, -7) เป็นจุดบนระนาบ ถ้า v =a i +b j (a, b เป็นจานวนจริง) เป็น
a
เวกเตอรซ์ ่งึ มีทิศทางขนานกบั เส้นตรงซ่งึ แบง่ คร่งึ มุม QPˆR แล้ว b มคี ่าเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี (A-NET50)

1. 2

2. -2
2
3. 11

4. - 2 *
11

30. กาหนดให้ u = i +3k , v =2 j + xk และ w= -3 i + j - k เมื่อ x เป็นจานวนจริง ถ้า u , v และ w

อยู่บนระนาบเดยี วกัน แล้ว x มคี า่ เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี (A-NET49)
1. -12
2. -8
3. 8
4. 16*

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 134

31. กาหนดให้ u =a i +b j +2k และ v =2a i -3b j โดยท่ี a, b เป็นจานวนเต็มบวก และ  เป็นมุม
1
ระหว่าง u และ v และ cos  = 3 แล้ว uxv มคี า่ เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี (A-NET50)

1. 6 i +8 j -10k *

2. -6 i -8 j +10k

3. 12 i +4 j -10k

4. -12 i -4 j +10k

32. กาหนดให้ u และ v เป็นเวกเตอร์สามมิติซึ่งทามุมป้านต่อกัน และพื้นท่ีของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้าน
ประกอบมมุ เป็น u และ v มคี า่ เท่ากบั 3 ตารางหน่วย ถ้า u และ v มีขนาด 1 และ 5 หน่วย ตามลาดับ
แล้ว (2u + v)(u - v) มีคา่ เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ (ข้อสอบ 7 วชิ าสามญั คณติ ศาสตร์ 55)
1. -27
2. -19*
3. 0
4. 19
5. 27

33. ถา้ u = 2 i + j - 3 k และ v w = i + 2 j + 4 k แลว้ ค่าของ (v  u)w เทา่ กับเท่าใด (ขอ้ สอบ 7 วชิ าสามญั คณติ ศาสตร์ 56) (8)

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 135

34. กาหนดทรงสีเ่ หลยี่ มหนา้ ขนาน มีจดุ ยอดอยู่ที่จุดO(0, 0, 0), A(1, 5, 7), B(2a, -b, -1) และ C(a, 3b, 2) โดยที่

a และ b เป็นจานวนเตม็ ถ้า OA ตงั้ ฉากกบั ฐานทปี่ ระกอบด้วย OB และ OC และ  เป็นมุมระหว่าง OB

และ OC แลว้ ข้อใดตอ่ ไปน้ถี กู (A-NET51)
5
1. sin  = 3 7

2. | OB| | OC | = 21

3. พนื้ ทีฐ่ านของทรงส่เี หลี่ยมหนา้ ขนาน เท่ากบั 53 ตารางหน่วย
2
4. ปริมาตรของทรงสีเ่ หลี่ยมหนา้ ขนาน เท่ากับ 75 ลูกบาศก์หน่วย*

35. กาหนดให้ A, B และ C เป็นจดุ ในระบบพกิ ัดฉาก 3 มติ ิ จงพจิ ารณาข้อความ 4 ข้อความต่อไปนี้
ก. AB+ BC+ CA =0
ข. | ABBC|| AB||BC|
ค. ABBC  CABA
ง. AB(BCCA)  CA(ABBC)

จานวนข้อความทถี่ ูกตอ้ งเท่ากับข้อใดต่อไปน้ี
(ขอ้ สอบ 7 วิชาสามัญ คณติ ศาสตร์ 56)
1. 0
2. 1
3. 2
4. 3*
5. 4

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 136

จานวนเชิงซอ้ น
(Complex number)

1. ให้ z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซ้อน ถ้า z1-1 = 3  4 i = 5 เม่ือ i2 = -1 และ 5z1 + 2z2 = 5 แล้ว z2 เท่ากับ
5 5
ข้อใดต่อไปน้ี (PAT 1 ก.ค. 53)

1. 3 – 2i

2. 3 + 2i

3. 1 - 2i

4. 1 + 2i*

2. ให้ z1, z2, z3, ... เป็นลาดับของจานวนเชิงซ้อน โดยที่ z1 = 0, zn+1 = zn2 + i สาหรับ n = 1, 2, 3, ... เม่ือ i = -1
ค่าสัมบรู ณ์ของ z111 เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ (PAT 1 ม.ี ค. 53)
1. 1
2. 2 *
3. 3
4. 110

3. ถา้ (1 + bi)3 = -107 + ki เมือ่ b, k เปน็ จานวนจริง และ i = -1 แล้ว |k| เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT 1 ต.ค. 53) (198)

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 137

4. พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี

ก. ถา้ z เปน็ จานวนเชงิ ซ้อนทีส่ อดคล้องกบั สมการ
2+i 3 + 4i 5 + 15i
z2 = 2-i + 1 + 2i + 3-i เม่ือ i = -1

แล้วคา่ สัมบูรณ์ของ z เท่ากบั 37

ข. ถา้ x และ y เป็นจานวนจริงท่สี อดคล้องกับสมการ
-5 + 2i 10
x + yi = i(i +1)(i + 2)(i + 3)(i + 4) แล้วคา่ ของ x + y = 15

ขอ้ ใดต่อไปนี้ถกู ตอ้ ง (PAT 1 ต.ค. 53)

1. (ก) ถกู และ (ข) ถูก

2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผดิ แต่ (ข) ถูก*

4. (ก) ผิด และ (ข) ผดิ *

5. ให้ z1 และ z2 เปน็ จานวนเชงิ ซอ้ นใด ๆ และ z2 แทนสังยคุ (Conjugate) ของ z2 ถ้า 5z1 + 2z2 = 5 และ
z2 = 1 + 2i เม่ือ i2 = -1 แลว้ ค่าของ |5z1-1 | เท่ากบั เท่าใด (PAT 1 ม.ี ค. 53) (5)

6. กาหนดให้ z เป็นจานวนเชงิ ซอ้ นทีส่ อดคล้องกบั สมการ 2|z+1| = |z+4| คา่ ของ | z | เท่ากบั เทา่ ใด (PAT 1 ต.ค. 55) (2)

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 138

 7. กาหนดให้ z = i  i 1 -1
+2
จงหาคา่ ของ |16z2 – 8z + 3 – 8i| (PAT 1 ธ.ค. 54) (5)

8. กาหนดให้ A เป็นเซตของจานวนเชิงซอ้ น z ทัง้ หมดทส่ี อดคลอ้ งกบั 2|z| – 3z = 9i – 2 และ
(1 + i)z
B = {|w|2 | w = 2+i เมื่อ zA} เมื่อ i2 = -1 ผลบวกของสมาชิกทัง้ หมดในเซต B เท่ากับเทา่ ใด (PAT 1 มี.ค. 55) (10)

9. ถ้า z เป็นจานวนเชิงซ้อนท่ีสอดคล้องกับสมการ z|z| + 2z + I = 0 แล้วส่วนจินตภาพของ z มีค่าเท่ากับข้อใด
ต่อไปนี้ (A-NET51)
1. -1
2. 2
3. 2 – 1
4. 1 – 2 *

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 139

10. กาหนดให้ z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซ้อนซึ่ง |z1 + z2|2 = 5 และ |z1 – z2|2 = 1 ค่าของ |z1|2 + |z2|2 เท่ากับ
ข้อใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 ม.ี ค. 52)
1. 1
2. 2
3. 3*
4. 4

11. กาหนดให้ z1, z2 เป็นจานวนเชิงซ้อนซึ่ง |z1 + z2| = 3 และ z1z2 = 3 + 4i ค่าของ |z1|2 + |z2|2 เท่ากับข้อใด
ต่อไปน้ี (PAT 1 ก.ค. 52)
1. 3*
2. 4
3. 5
4. 6

12. กาหนดให้ z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซ้อน โดยที่ |z1 + z2| = 3 และ |z1 – z2| = 1 (เมื่อ |z| แทนค่าสัมบูรณ์
ของจานวนเชงิ ซอ้ น z) ค่าของ |z1|2 + |z2|2 เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT 1 ม.ี ค. 55) (5)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 140

13. กาหนดให้ z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซ้อน โดยที่ |z1| = |z1 + z2| = 3 และ |z1 – z2| = 3 3 ค่าของ
|11z1 | -|5z2 |
| z1 z2 + z1z2 | เทา่ กับเท่าใด ( z แทนสังยุค (Conjugate) ของ z) (PAT 1 มี.ค. 54) (2)

14. ถา้ z เปน็ จานวนเชิงซอ้ นที่อยู่ในจตภุ าค (quadrant) ทห่ี นึ่งบนระนาบเชงิ ซ้อน โดยที่ (z +1)(1+i) =1
z(1+i) +5+i

และ |z| = 65 แลว้ ผลบวกของส่วนจริงและส่วนจนิ ตภาพของ z เท่ากบั เทา่ ใด (PAT 1 ม.ี ค. 56) (11)

15. กาหนดให้ a, b และ z เป็นจานวนเชิงซ้อน โดยที่ |a| ≠ |b|, |a| ≠ 1 และ |b| ≠ 1 ถ้า |az + b| = | b z + a |
แล้ว |z| เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54)
1. 1*
2. 2
3. 3
4. 4

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 141

16. กราฟของจุด z ทัง้ หมดในระนาบเชงิ ซอ้ นทีส่ อดคลอ้ งกับสมการ (z + i)( z –i) = 1 เป็นรูปใดตอ่ ไปน้ี

1. เส้นตรง (A-NET49)

2. วงกลม*

3. วงรี

4. -ไฮเพอร์โบลา

17. ให้ z1, z2 เป็นจานวนเชิงซ้อน ซึ่ง z1z2 = 2i และ z1-1 = cos   isin  แล้ว | z1 + 3 z2 |2 มีค่าเท่ากับ
2
ขอ้ ใดต่อไปน้ี (A-NET50) 6 6

1. 4

2. 5

3. 7*

4. 8

18. กาหนดให้ w, z เป็นจานวนเชิงซ้อนซ่ึง w = z – 2i และ |w|2 = z + 6 ถ้าอาร์กิวเมนต์ของ w อยู่ในช่วง

[0,  ] และ w =a+ bi เมือ่ a, b เปน็ จานวนจรงิ แล้ว a + b มคี ่าเทา่ ใด (PAT 1 ต.ค.52) (4)

2

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 142

19. ถ้า z เป็นจานวนเชิงซ้อนซ่ึงมี Im(z) > 0 และสอดคล้องกับสมการ  z + 3 2 =  1 แล้ว z8 เท่ากับ
 2  4

เทา่ ใด (ข้อสอบ 7 วิชาสามญั คณิตศาสตร์ 55)

1.  3  1 i
2 2
3 1
2.  2  2 i

3. 1
2
1 3
4.  2  2 i

5.  1  3 i *
2 2

20. ถ้า n เปน็ จานวนเตม็ บวกท่ีนอ้ ยท่สี ุดทที่ าให้  2 + i 2 n = 1 เมอื่ i2 = -1 แลว้ n มีค่าเทา่ กบั เท่าใด
 2 2 

(PAT 1 ก.ค. 53) (8)

21. กาหนดให้ z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซ้อนท่สี อดคล้องกับสมการ z2 – 3z + 4 = 0
1 1
คา่ ของ (|z1|2 + |z2|2)( z1 + z2 ) เทา่ กบั เท่าใด (PAT 1 ต.ค. 55)

1. 3

2. 4

3. 5

4. 6*

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 143

22. ให้ z1, z2 เป็นคาตอบทไี่ ม่ใชจ่ านวนจรงิ ของสมการ ( z +1 )3 =8 แล้ว z1z2 มคี า่ เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้
z -1
1. 3 (A-NET51)
3
2. 7 *

3. -3
3
4. - 7

23. ให้ z1, z2, z3 เปน็ คาตอบของสมการ 1 + (1+ 1 )3 =0 แล้ว Re(z1 + z2 + z3) มคี ่าเท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้
z
1. 1 (A-NET50)

2. -1
3
3. 2

4. - 3 *
2

24. กาหนดให้ z1, z2 และ z3 เป็นรากของสมการ (z + 2i)3 = 8i จงหาค่าของ |z1| + |z2| + |z3| (PAT 1 ธ.ค. 54)
1. 6
2. 8*

3. 6 + 2 3
4. 24

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 144

25. กาหนดให้ z เปน็ จานวนเชงิ ซอ้ นทส่ี อดคล้องกับสมการ z4 + 1 = 0 ค่าของ | z+ 1 |2 เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี
z
1. 1 (PAT 1 ก.ค. 52)

2. 2*

3. 3

4. 4

26. จานวนเชิงซ้อน z = 1 + i เปน็ คาตอบของสมการในข้อใดตอ่ ไปนี้ (A-NET49)
1. z4 – 2z2 + 4z = 0*
2. z4 – 2z2 – 4z = 0
3. z4 + 2z2 – 4z = 0
4. z4 + 2z2 + 4z = 0

27. กาหนดให้ S เป็นเซตคาตอบของสมการ z2 + z + 1 = 0 เม่ือ z เป็นจานวนเชิงซ้อน เซตในข้อใดต่อไปน้ี
เท่ากบั เซต S (PAT 1 ม.ี ค. 52)
1. {-cos 120° - i sin 60°, cos 60° + i sin 60°}
2. {cos 120° + i sin 60°, -cos 60° + i sin 60°}
3. {-cos 120° - i sin 120°, -cos 60° + i sin 60°}
4. {cos 120°+ i sin 120°, -cos 60° + i sin 60°}*

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 145

28. กาหนดให้ z เป็นจานวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับ z3 – 2z2 + 2z = 0 และ z ≠ 0 ถ้าอาร์กิวเมนต์ของ z อยู่
z4
ในช่วง (0,  ) แล้ว (z )2 มคี ่าเท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี (PAT 1 ต.ค. 52)

2

1. -2i*
2. 1 – i
3. 1 + i
4. 2i

29. ถ้า x – 1 + i เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x) = x3 + ax3 + 4x + b เมื่อ a และ b เป็นจานวนจริง แล้วค่า
ของ a2 + b2 เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54)
1. 17
2. 13*
3. 8
4. 4

30. ให้ (x – 1 + i) และ (x + 2) เป็นตัวประกอบของฟังก์ชัน f(x) = x3 + ax2 + bx + c แล้ว (x – 3) หาร f(x)
เหลอื เศษเท่าไร (A-NET50) (25)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 146

31. กาหนดให้ P(x) = 2x3 + ax2 + bx + 12 เมือ่ a และ b เป็นจานวนจริง ถา้ 2i เปน็ คาตอบของสมการ
P(x) = 0 แลว้ P(1) มคี ่าเท่ากับเท่าใด (ขอ้ สอบ 7 วิชาสามัญ คณิตศาสตร์ 56) (25)

32. กาหนดให้ P(x) เป็นพหุนามดีกรี 4 ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจานวนจริงและสัมประสิทธ์ิของ x4 เท่ากับ 1 ถ้า z1
และ z2 เป็นรากท่ี 2 ของ 2i และเปน็ คาตอบของสมการ P(x) = 0 ด้วย แล้ว P(1) มีคา่ เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้
1. 3 (ขอ้ สอบ 7 วชิ าสามัญ คณิตศาสตร์ 56)
2. 5*
3. 7
4. 9
5. 10

33. ให้ a1, a2, a3, …, a6 เป็นรากที่ 7 ของ 1 ที่ไม่ใช่ 1 แล้วค่าของ (1–a1)(1–a2)(1–a3)(1–a4)(1–a5)(1–a6) มีค่า
เทา่ กับเท่าใด (ขอ้ สอบ 7 วิชาสามญั คณิตศาสตร์ 53) (7)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 147

ความนา่ จะเป็น
(Probability)

1. ในการโยนลูกเตา๋ 2 ลูก หน่งึ คร้ัง ความนา่ จะเป็นที่จะได้แต้มรวมเป็น 7 โดยที่มีลูกเต๋าลูกหนึ่งข้ึนแต้มไม่น้อยว่า

4 เท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ (PAT 1 ต.ค. 52)
1 1 1 1
1. 3 2. 4 3. 6 * 4. 12

2. ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อม ๆ กัน ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของหน้าลูกเต๋าท้ังสองเท่ากับ 7 หรือผลคูณของ

หนา้ ลกู เตา๋ ท้ังสองเทา่ กบั 12 เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 53)
1 1 2 4
1. 18 2. 6 3. 9 * 4. 9

3. โยนเหรียญบาท (เที่ยงตรง) หน่ึงเหรียญ จานวน 10 คร้ัง ความน่าจะเป็นท่ีได้หัวอย่างน้อย 2 คร้ังติดกันเท่ากับ

ข้อใดต่อไปน้ี (PAT 1 มี.ค. 54) 9 55
193 314 64 64
1. 512 2. 512 3. 4. *

4. ในการทอดลูกเต๋าสองลกู พรอ้ มกัน ความนา่ จะเปน็ ท่ีหน้าลูกเต๋าลูกหน่ึงขึ้นแต้ม a และหน้าลูกเต๋าอีกลูกหน่ึงข้ึน
1 1 1
แตม้ b โดยท่ี a + b = 2 เท่ากับข้อใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 ต.ค. 55)

1. 1 2. 1 3. 1 4. 1 *
9 6 18 12

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)