เอกสาร “สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย ฉบับ ADMISSIONS”

สาระข้น ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 198

10. “บทนิยาม ให้ {an} เป็นลาดบั ของจานวนจริง “เรยี กพจน์ an วา่ พจนค์ ู่ ถา้ n เป็นจานวนคู่ และเรียกพจน์ an
ว่า พจน์ค่ี ถ้า n เป็นจานวนคี่” กาหนดให้ {an} เป็นลาดับเลขคณิต โดยที่มีจานวนพจน์เป็นจานวนคู่และ
ผลบวกของพจน์คี่ทั้งหมด เท่ากับ 36 และผลบวกของพจน์คู่ท้ังหมด เท่ากับ 56 ถ้าพจน์สุดท้ายมากกว่าพจน์
แรก เป็นจานวนเทา่ กับ 38 แล้วลาดบั เลขคณิต {an} นม้ี ีท้ังหมดกพี่ จน์ (PAT1 ต.ค. 53) (20)

11. พิจารณา ลาดับ an และ bn ซง่ึ

an = 22,nn2+1, n100 
n>100 2,
bn = n100

 2nn2+1,
  n>100

ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ ูก (A-NET49)
1. an และ bn เปน็ ลาดับลเู่ ข้า
2. an และ bn เป็นลาดบั ลู่ออก
3. an เปน็ ลาดบั ลู่เขา้ และ bn เปน็ ลาดับลอู่ อก*
4. an เป็นลาดับลอู่ อก และ bn เป็นลาดับล่เู ขา้

12. ถ้า {an} เป็นลาดับของจานวนจริงท่ี an = 2+4 +6+...+2n สาหรับจานวนเต็มบวก n แล้ว lim an มีค่า
n2
n

เท่ากบั เทา่ ใด (PAT1 มี.ค. 53) (1)

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 199

13. ถา้ A = nlim 2nk  มคี า่ เป็นจานวนจริงบวก แล้วคา่ ของ A เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (PAT1 ก.ค. 52)
1+ 8 + 27 + ... + n3 


1. 0

2. 2

3. 4

4. 8*

14. nlim 3n +12n + 27n + ...3n3  มีค่าเท่ากับข้อใด (PAT1 ต.ค. 52) (4)
1 + 8 + 27 + ... + n3 


15. กาหนดให้ an = 1 [1 + (2+ 2) + (3 + 3 + 3) + … + (n+n+...+n )] โดยท่ี k เป็นค่าคงตัวท่ีทาให้
nk n ตัว

lim an = L, L > 0 แล้ว 6(L + k) มคี า่ เทา่ ใด (A-NET51) (20)

n

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 200

16. กาหนดให้ an เป็นลาดับเลขคณิตท่ีสอดคล้องกับเงื่อนไข lim an - a1 =5 ถ้า a9 + a5 = 100 แล้ว a100
n n
เทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี (PAT1 ก.ค. 52)

1. 500

2. 515*

3. 520

4. หาคา่ ไม่ไดเ้ พราะข้อมูลไม่เพยี งพอ

17. ถ้า an เป็นลาดบั เลขคณิตซงึ่ lim an2+1 - an2 =4 แล้ว a17 - a9 มคี ่าเท่าใด (PAT1 ต.ค. 52) (2 4 2 )
n n 2

18. กาหนดให้ B เป็นจานวนจรงิ และให้ {an} เปน็ ลาดบั ของจานวนจรงิ ทน่ี ยิ ามโดย an = Bn - 7
n+2
สาหรบั n = 1, 2, 3, … ถา้ ผลบวก 9 พจนแ์ รกทีค่ามากกว่าผลบวก 7 พจนแ์ รกของลาดับ {an} เปน็ จานวน
เทา่ กบั a108 แลว้ nliman มีค่าเท่ากบั เท่าใด (PAT1 ก.ค. 53) (2)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 201

19. ให้ {an} เป็นลาดับของจานวนจริง โดยท่ี a1+a2+a3+ … +an = n2an สาหรับ n = 1, 2, 3, … ถ้า a1 = 100
แล้ว nlimn2an มคี า่ เท่ากบั เท่าใด (PAT1 ก.ค. 53) (200)

 20. กาหนดให้ {an} เป็นลาดบั ของจานวนจรงิ โดยที่ a1 = 2 และ an = n+1 (a1 +a2 +...+an-1)
n-1

n
a1 +a2 +...+an
 สาหรบั n = 2, 3, … แลว้ ค่าของ lim เท่ากับเท่าใด (PAT1 ต.ค. 53) (0)
n

21. กาหนดให้ {an} เป็นลาดับของจานวนจริง โดยท่ี a1 = 1 และ an + 1 an+1 และ an+5 an + 5

สาหรับ n = 1, 2, 3, … แลว้ ค่าของ lim 1 n +6 -k)  เท่ากบั เทา่ ใด (PAT1 ม.ี ค.54) (6)
n  
n (ak

k=1

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 202

22. กาหนดให้ tn = 2n เม่ือ n = 1, 2, 3, . . . และ an = 5tn +5-tn เม่ือ n = 1, 2, 3, . . . ค่าของ
an+1
lim a1a2 ...an เทา่ กับเท่าใด (PAT1 ม.ี ค.55) (24.96)

n

23. กาหนดให้ 12 +22 +32 +...+n2 = 231 จงหาคา่ n (PAT1 ธ.ค.54) (115)
1(2) +2(3) +3(4) +...+ (n-1)n 228

24. กาหนดแบบรูป 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ... จานวนในพจน์ท่ี 5060 ของรูปแบบนี้มีค่า
เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี (PAT1 ม.ี ค. 52)
1. 1
2. 10*
3. 100
4. 1000

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 203

25. ถ้าลาดับเลขคณิตชุดหนึ่งมีผลบวก 10 พจน์แรกเท่ากับ 205 และผลบวกอีก 10 พจน์ถัดไปเท่ากับ 505 แล้ว
ผลบวก 55 พจน์แรกของลาดับเลขคณิตน้ีเทา่ กับเท่าใด (PAT1 ต.ค.55) (4840)

26. กาหนดอนุกรมเลขคณิต a1 + a2 + a3 + … + a201 ถ้า a1 + a3 + a5 + … + a201 = 303 แล้ว จงหาค่าของ
a2 + a4 + a6 + … + a200 (PAT1 ธ.ค.54)
1. 287
2. 290
3. 297
4. 300*

27. ลาดบั เรขาคณิตชดุ หนง่ึ มอี ัตราสว่ นร่วมเป็นจานวนจริงบวก ถา้ ผลบวกของสองพจน์แรก เทา่ กับ 20 และ
ผลบวกของสพี่ จน์แรก เทา่ กบั 65 แลว้ ผลบวกของหกพจน์แรก เทา่ กับเท่าใด (PAT1 มี.ค.55) (166.25)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 204

 28. 1000 -1k 20 2 100  1 k
2
กาหนดใหอ้ นุกรมต่อไปน้ี A =  , B = k , C =  k , D = 2 คา่ ของ A + B + C + D

k=1 k=3 k=1 k=1
เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (PAT1 ก.ค. 53)

1. 7917*

2. 7919

3. 7920

4. 7922

29. ถา้ 1 + 1 + a + a2 + ... เปน็ อนุกรมเรขาคณติ ซึ่งมีผลบวกเท่ากบั 4 แล้ว a มีคา่ เท่าใด (A-NET49) (1.5)
a 3 32 33 3



30. ถ้า a1, a2, a3, … เป็นลาดบั เรขาคณติ ซงึ่ an = 4 แลว้ คา่ มากทีส่ ุดทเี่ ป็นไปไดข้ อง a2 เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี
n=1
1. 4 (PAT1 มี.ค. 52)
2. 2
3. 1*
4. หาคา่ ไม่ได้ เพราะ a2 มคี า่ มากไดอ้ ยา่ งไม่มขี ีดจากัด

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 205

31. ผลบวกของอนกุ รม 3+ 11 + 33 + ... + 3n + 2n -2 +... เทา่ กับข้อใด (PAT1 มี.ค. 53)
4 16 4n-1

1. 20
3
29
2. 3

3. 31
3
40
4. 3 *

32. จงหาค่า x >0 ทที่ าให้ 1+ 6 x + 15 2 + 28 3 + ... = 27 (PAT1 ธ.ค.54) (2)
1+ (1+ x) (1+ x) 4

33. ถ้า lim n2b +1 =1 แล้วผลบวกของอนุกรม n=1 ab n เทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี (PAT1 มี.ค. 52)
2n2a -1 a2 +b2
n

1. 1
3
2
2. 3 *

3. 1

4. หาค่าไมไ่ ด้

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 206

k(n5 + n) + 3n4 + 2 12 2 n-1
(n+2)5 5 5
 34.ให้ lim +... จงหาค่า k (PAT1 ก.ค. 53) (25)
k เปน็ คา่ คงตัวและถา้ =15+ 6 + +...+15
n

35. กาหนดให้ an เป็นลาดับท่ีสอดคล้องกับ an+2 =2 สาหรับทุกจานวนนับ n ถ้า 10 แล้ว 2552
an
an = 31  an

n=1 n=1

เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (PAT1 ม.ี ค. 52)
1. 21275 – 1
2. 21276 – 1*
3. 22551 – 1
4. 22552 – 1

36. กาหนดให้ an = sin(n  –  )–cosn  เมอ่ื n = 1, 2, 3, ... และ bn = 6cos(2n  –  ) เมอ่ื n = 1, 2, 3, ...

2 3
a1 a2 2 a3 3 an n
b1 b2 b3 bn
+ + ... + +... เทา่ กับเท่าใด (PAT1 ต.ค.55)
     ผลบวกของอนุกรม+

1. 2/5

2. -2/5

3. 2*

4. -2

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 207

37. กาหนดให้ an = 2n+1 + 3n-1 และ bn = 1 
4n 1 + 2 + 3 + ... + n
ถ้า A และ B เป็นผลบวกของอนุกรม an
n=1



และ bn ตามลาดบั แลว้ A + B เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (A-NET50)
n=1
1. 4.5

2. 5*

3. 5.5

4. 6

38. พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้ an +bn a2 +b2
(a + b)n ab
ก. สาหรบั a และ b เปน็ จานวนเต็มบวก จะไดว้ า่  =



n=1

ข. ถ้า a1, a2, a3, … เป็นลาดับเรขาคณิตของจานวนจริง โดยที่ a1 a1 + a2 + ... + an = n2 สาหรับ
+a2 +a3 + ... + am m2

จานวนเต็มบวก n และ m ทแ่ี ตกต่างกัน แล้ว aamn = 2m - 1
2n - 1

ข้อใดตอ่ ไปน้ีถูกต้อง (PAT1 ม.ี ค.55)

1. (ก) ถูก และ (ข) ถกู *

2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด

3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู

4. (ก) ผดิ และ (ข) ผิด

39. พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี



ก. ถา้ ลาดับ an ลู่เขา้ แล้วอนุกรม an ลเู่ ขา้
n=1
 ข.
ถ้าอนกุ รม  ลเู่ ข้า แลว้ อนุกรม  1 + an ลู่เขา้
2n
an 

n=1 n=1
ข้อใดตอ่ ไปนี้เป็นจรงิ (PAT1 ต.ค. 52)

1. ก. ถูก และ ข. ถกู

2. ก. ถูก และ ข. ผดิ

3. ก. ผดิ และ ข. ถกู

4. ก. ผดิ และ ข. ผดิ *

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 208

40. กาหนดให้ {an} เปน็ ลาดับของจานวนจริง โดยที่ a1 = 1 และ an = (-1)n(logn 1 )(logn–1 1 )…(log2 1 ),
2 3 n
 n > 1 bn = n
k จงหาค่า c ที่ทาให้ nlim(an +cbn ) =4 (PAT1 ธ.ค.54) (10)
 k4 +k2 +1

k=1

41. สาหรับ n = 1, 2, 3, . . . กาหนดให้ an = 2 + 4 + 6 + . . . + 2n และ bn = a1 + a2 + a3 + … + an ค่า
2 3 4 n+1
ของ lim  b1 + b2 + b3 + ... + bn  เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT1 ต.ค.55) (2.25)

n

42. ถา้  1 = A แล้ว  1 มีค่าเทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (PAT1 ก.ค. 52)
- n2 n2
 n4 

n=2 n=2
1. 3 + A
4
5
2. 4 + A

3. 3 - A *
4
4. 5 - A
4

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 209

43. กาหนดให้ Sk = 13 + 23 + 33 + … + k3 สาหรับ k = 1, 2, 3, …

คา่ ของ nlim 1 + 1 + 1 + ... + 1  เท่ากับเท่าใด (PAT1 ต.ค. 53) (2)
S1 S2 S3 Sn 

44. กาหนดให้ {an} เปน็ ลาดบั ของจานวนจรงิ โดยท่ี an = n (2k - k2 + 1) สาหรบั n = 1, 2, 3, …
1)(2k

16
n k=1

lim an เท่ากบั ข้อใดต่อไปนี้ (PAT1 ต.ค. 53)

n

1. 4*
16
2. 3

3. 8

4. 16

45. กาหนดให้ Sn = kn=1 1 k +1  สาหรับทกุ n = 1, 2, 3, … คา่ ของ lim Sn เท่ากับข้อใด
k (k +1) +k 
n

(PAT1 ม.ี ค. 53) (1)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 210

46. คา่ ของ 9999 1 เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT1 ต.ค. 53) (9)
 n+1)( 4
( n+ n+4 n+1)
n=1

47. จงหาค่าของ lim 1  1+ 1 + 1 + 1+ 1 + 1 + ... + 1+ 1 + 1  (PAT1 ม.ี ค.55) (1)
n  12 22 22 32 n2 (n + 1)2 
n

   48. กาหนดให้ an=1+ 1+ 1 2 1+ 1- 1 2 สาหรับ n = 1, 2, 3, … จงหาคา่ ของ 1 + 1 + ... + 1
n n a1 a2 a20
+

(PAT1 ก.ค. 53) (7)

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 211

แคลคลู ัสเบ้ืองตน้
(Calculus)

1. ค่าของ xlim0- x3 +x2 +x เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54)
x2
1
1.  2 *

2. 1
2
3. -1

4. 1

2. คา่ ของ xlim1+ |1+ x - 2x2 | เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี (PAT 1 ต.ค. 55)
x+3 -2

1. -12

2. 0

3. 12*

4. หาค่าไม่ได้

3. จงหาค่าของ lim 3 x x-8 (PAT 1 ธ.ค. 54) (6)
x+8+ 3
x0

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 212

4. จงหาคา่ ของ lim (cot3x -1)cosec2x (PAT 1 มี.ค. 55) (3)
1+cos2x - 2sin2x
x4

 x3 x +3 , x  3 โดยท่ี a เปน็ จานวนจริง ถ้า f เป็นฟงั กช์ นั ตอ่ เนือ่ งทจี่ ดุ
 2x +10 
5. กาหนดให้ f(x) = 
a, x = 3

x = 3 แล้ว a เท่ากับเทา่ ใด (PAT 1 ม.ี ค. 54) (8)

6. กาหนดให้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ และ f เป็นฟังก์ชัน ซึ่งกาหนดโดย f(x) =
ถา้ f เปน็ ฟงั กช์ นั ตอ่ เนอื่ งบนเซตของจานวนจรงิ แล้ว ค่าของ a2 + b2 เท่ากบั เท่าใด (PAT 1 มี.ค. 53) (53)

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 213

7. กาหนดให้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ และให้ f เปน็ ฟังกช์ ัน โดยที่ f(x) =

ถา้ f เป็นฟงั ก์ชนั ต่อเนื่องบนชว่ ง (-1, ∞) แลว้ คา่ ของ ab เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี (PAT 1 ก.ค. 53)
5
1. 4

2.  7
4
3. 15

4. -10*

8. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง ให้ f :  เป็นฟังก์ชันตอ่ เนอ่ื ง ที่ x = 1 และ ให้ g เปน็ ฟังกช์ นั ที

 x+3 2 ,x >1
 x 1
กาหนดโดย g(x) =  x 1 ถ้าฟงั ก์ชนั g มีความตอ่ เน่ืองท่ี x = 1 แล้วคา่ ของ (gof)(1) เท่ากบั
 f(x)
 | x | +7 ,

ข้อใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 ต.ค. 53)

1. 2 – 3

2. 2

3. 2 – 7

4. 7 – 2*

9. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง ถ้า f :  , g :  และ h :  เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ทุก
อนั ดบั โดยท่ี h(x) = x2+4, g(x) = h[f(x)–1] และ f(x) = g(x) =1 แล้วค่าของ f(1) เทา่ กับเทา่ ใด (PAT 1 ม.ี ค. 55)

1. 2
2. 1.5*
3. 1
4. 0.5

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 214

10. ถ้า f, g และ h สอดคล้องกับ f(1) = g(1) = h(1) = 1 และ f(1) = g(1) = h(1) = 2 แล้วค่าของ

(fg+h)(1) เทา่ กบั ข้อใดต่อไปน้ี (PAT 1 ก.ค. 52)

1. 1
2. 2
3. 4
4. 6*

11. กาหนดให้ f(x) = ax2 + b x เม่ือ a และ b เป็นจานวนจริงที่ b≠ 0 ถ้า 2 f(1) = f(1) แล้ว f(4) มีค่า
f(9)
เท่าใด (PAT 1 ต.ค. 52) (12)

12. ฟังก์ชัน f, g, h มีสมบัติว่า (fog)(x) = 3x – 14, f( x + 6 ) = x – 2, h(2x – 1) = 6g(x) + 12 จงหาค่าของ
3
h(0) (PAT 1 ธ.ค. 54) (3)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 215

13. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง ถ้า f :  และ g :  เป็นฟังก์ชัน โดยที่ f(x) = 3x2/3,
2
g(1) = 8 และ g(1) = 3 คา่ ของ (fog)(1) เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 ม.ี ค. 53)

1. 1
3
2
2. 3 *

3. 1
4
4. 3

14. ถา้ f(x) = 1  1 + 1  แล้วค่าของ lim f(1+h) - f(1) เท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (PAT 1 ม.ี ค. 52)
2  x 
  h0 f(4 +h) - f(4)
 x3 

1. 1
16
2. 5 *

3. 7
5
1
4. 5

15. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง ถ้า f :  และ g :  เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุก x
โดยที่ g(x) = x2–2x+5, (gof)(x) = x6+2x4–2x3+x2–2x+5 และ f(0) = 0 ค่าของ (fog)(1) + (gof)(0)
เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT 1 ม.ี ค. 54) (1)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 216

16. กาหนดให้ แทนเซตของจานวนจริง ให้ g :  เป็นฟังก์ชันกาหนดโดย g(x) = 1 เมื่อ x ≠ - 3
2x +3 2
1
ถ้า f :  เปน็ ฟงั กช์ นั ที่ (fog)(x) = x สาหรบั ทุกจานวนจรงิ x แลว้ f  2  เท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54)

1
1. - 2

2. 1
2
3. -8

4. 8*

17. ให้ f เป็นฟังก์ชัน ซ่ึงมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจานวนจริง โดยท่ี f(2x + 1) = 4x2 + 14x ค่า
ของ f(f(f(2553))) เทา่ กับเท่าใด (PAT 1 ต.ค. 53) (120)

18. กาหนดให้ f(x) = x3–26x2+bx–216 เม่อื b เป็นจานวนจริง ถ้า a1, a2, a3 เป็นจานวนจริงสามจานวนเรียงกัน
แบบลาดับเรขาคณิต และเป็นคาตอบของสมการ f(x) = 0 แล้วคา่ ของ f(1) เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี (PAT 1 ต.ค. 55)
1. 211
2. 107*
3. 101
4. 85

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 217

19. ให้ แทนเซตของจานวนจริง ให้ f :  , g :  และ h :  เป็นฟังกช์ นั โดยท่ี
f(x), x  2
f(x) = ax +1 เม่ือ a เป็นจานวนจริง g(x) = (x2 + 1) f(x) และ h(x) = g(x), x < 2 ถ้าฟังก์ชัน h ต่อเนื่อง
x2 +1

ท่ี x = 2 แล้ว ค่าของ 2h(-2) – h(2) เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี (PAT 1 ม.ี ค. 55)

1. 0.6

2. 0.8

3. 1

4. 3*

20. เสน้ ตรงซง่ึ ตดั ต้งั ฉากกับเสน้ สัมผัสของเสน้ โค้ง y = 2x3– 1 ท่ีจดุ x = 1 คือ เสน้ ตรงในข้อใดต่อไปน้ี (PAT 1 ก.ค. 52)
x
1. 13x - 2y - 11 = 0

2. 13x + 2y - 15 = 0

3. 2x - 13y + 11 = 0

4. 2x + 13y - 15 = 0*

21. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจรงิ กาหนดให้ f :  เป็นฟังกช์ ันที่มอี นุพนั ธ์ทุกอนั ดับ โดยที่

f(x) = 2x +1 และ f(2) = 2 สมการของเส้นตรงท่ีต้ังฉากกับเสน้ สัมผัสเสน้ โค้ง y = f(x) ทจี่ ดุ (1, 3) คอื ข้อใด

ต่อไปน้ี (PAT 1 มี.ค. 55)
1
1. y =  2 x + 2

2. 1 x + 5 *
2 2
1 5
3.  2 x + 2

4. 1 x + 2
2

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 218

22. กาหนดให้ f :  โดยท่ี f(x) = x2/3 ถา้ N เป็นเสน้ ตรงทตี่ ้ังฉากกบั เส้นสัมผัสกราฟของ f(x) ที่จุด (a, f(a)),
5
a > 0 และ N มรี ะยะตดั แกน Y เท่ากับ 2 หน่วย แลว้ ขอ้ ใดเปน็ พกิ ดั ของจดุ บนเส้นตรง N (PAT 1 ธ.ค. 54)

1. (-2, 7)

2. (-1, 4)*

3. (2, -4)

4. (3, -5)

23. กาหนดให้ f(x) = x4 – 3x2 + 7 แล้ว f เป็นฟงั กช์ ันเพ่ิมบนเซตในขอ้ ใดต่อไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 52)
1. (-3, -2)U(2, 3)
2. (-3, -2)U(1, 2)
3. (-1, 0)U(2, 3)*
4. (-1, 0)U(1, 2)

24. โรงงานผลิตตุ๊กตาแห่งหนึ่ง มีต้นทุนในการผลิตตุ๊กตา x ตัว โรงงานจะต้องเสียค่าใช้จ่าย x3–450x2+60,200x+
10,000 บาท ถา้ ขายตกุ๊ ตาราคาตัวละ 200 บาท โรงงานจะตอ้ งผลติ ตุ๊กตาก่ีตวั จึงจะไดก้ าไรมากทีส่ ดุ
(PAT 1 ก.ค. 53) (200)

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 219

25. กาหนดให้ P(x) เป็นพหนุ ามโดยที่ P(0) = 1 และสอดคล้องกับ
3hx +2h
lim P(x + h + 2) +P(h+2) -P(x + 2) - P(2) =1 คา่ ของ P(12) เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT 1 ต.ค. 55) (157)

h0

26. ถา้ f(x) = 3x2 + x – 5 และ f(0) = 1 แลว้ 1 มคี ่าเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (PAT 1 ก.ค. 52)

5 -1 f(x)dx
3
1.

2. 7
3
2
3. 3 *

4. 1
3

27. ถา้ f(x) = x2 – 1 และ 1 f(x)dx = 0 แลว้ |f(1)| มคี ่าเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (PAT 1 ต.ค. 52) (0.25)

0

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 220

28. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนจริง และให้ f เป็นฟังก์ชันพหุนาม โดยท่ี f(x) = x4 + 2x3 – x2 + ax + b ถ้า
1
มีฟังกช์ นั พหนุ าม Q(x) โดยท่ี f(x) = (Q(x))2 แล้วค่าของ เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้ (PAT 1 ต.ค. 53)
0 f(x)dx
71
1. 30

2. 31
30
11
3. 30 *

4. 1
30

29. กาหนดให้ f :  และ f(x) = 0 ทุก ๆ จานวนจริง ถ้า f(0) = 23 และ f(1) = 103 แล้ว จงหาค่าของ

1

0 f(x)dx (PAT 1 ธ.ค. 54) (63)

30. ให้ แทนเซตของจานวนจริง ให้ f :  และ g :  เป็นฟังก์ชัน โดยท่ี f(x) = 2x + 3 และ
6
(gof)(x) = 8x3+44x2+80x+48 สาหรบั ทุกจานวนจรงิ x แลว้ ค่าของ f(g(x))dx เท่ากับขอ้ ใดต่อไปน้ี (PAT 1 ม.ี ค. 55)
0

1. 2

2. 1.5*

3. 1

4. 0.5

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 221

31. กาหนดให้ f(x) เป็นพหุนามกาลังสอง โดยที่ f(0) = 1 และ f(x+ 1) = f(x – 1) + x + 1 สาหรับจานวนจริง x
1
ใด ๆ ค่าของ f(x)dx เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี (PAT 1 ต.ค. 55)
-2
1. 3*

2. 2
2
3. 3

4. 1
3

32. กาหนดให้ P(x) เป็นพหุนามท่ีสอดคล้องกับ P(x2 + 3) = 3x4 + 24x2 + 40 และให้ f(x) = x f(t)dt ค่าของ

0

lim P(x) - f(x) เทา่ กบั เทา่ ใด (PAT 1 ต.ค. 55) (3)
x2

33. กาหนดให้ f(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามกาลังสอง ถ้าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ท่ีจุด (1, 2) มีค่า
2
เท่ากับ 4 และ f(x)dx = 12 แล้ว f(-1) + f(1) มคี า่ เท่ากบั เท่าใด (PAT 1 ก.ค. 53) (18)
-1

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 222

34. กาหนดให้ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า f :  เป็นฟังก์ชัน โดยท่ี f(x) = 6x + 4 สาหรับทุก x
และความชนั ของเสน้ สัมผัสเสน้ โค้ง y = f(x) ทจี่ ุด (2, 19) เท่ากบั 19 แล้ว คา่ ของ f(1) เท่ากับเทา่ ใด (PAT 1 มี.ค. 53) (7)

35. กาหนดใหเ้ ส้นโค้ง y = f(x) สมั ผสั กับเส้นตรง 2x – y + 3 = 0 ทจ่ี ดุ (0, 3) และ 2 f(x)dx = -3

0

ถ้า g(x) = x +2f(x) และ g(2) = 0 แลว้ f(2) เทา่ กับเทา่ ใด (PAT 1 มี.ค. 54) (8)

36. กาหนดให้ f(x) = x3 + ax + b เมอ่ื a และ b เป็นจานวนจริงท่ีแตกต่างกัน และให้ L1 และ L2 เป็นเส้นสัมผัส
เส้นโค้งที่ x = a และ x = b ตามลาดบั
9h 2
ถา้ L1 ขนานกบั L2 และ lim f(1+ h) - f(1) =1 แล้วค่าของ f(x)dx เท่ากบั เท่าใด (PAT 1 ม.ี ค. 55) (4)
0
h0

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 223

37. กาหนดให้ แทนเซตของจานวนจริง ถ้า f :  เป็นฟังก์ชัน โดยท่ี f(x) = 3 x + 4 สาหรับทุก
f(x2 ) 
x และ f(1) = 5 แล้วค่าของ lim f(x) 2 เทา่ กบั เท่าใด (PAT 1 ม.ี ค. 53) (6)

x4

38. กาหนดให้ y = f(x) เป็นฟังก์ชันซึ่งมีค่าสูงสุดที่ x = 1 ถ้า f(x) = -4 ทุก x และ f(-1) + f(3) = 0 แล้ว f มี
ค่าสงู สดุ เท่าใด (PAT 1 ต.ค. 52) (8)

39. กาหนดให้ f เป็นฟังก์ชันพหุนามท่ีมี f(x) = ax + b เมื่อ a และ b เป็นจานวนจริง ถ้า f(0) = 2 และกราฟ
ของ f มจี ดุ ต่าสดุ สัมพัทธ์ท่ี (1, -5) แล้ว 2a + 3b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54)
1. -12
2. 20
3. 42*
4. 48

ครคู รรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 224

40. กาหนดให้ h(x) = f(x)g(x) โดยท่ีความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) ท่ีจุด (x, y) เท่ากับ 2 – 2x และเส้น
สัมผัสเส้นโค้ง y = f(x) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 5 ถ้า g เป็นฟังก์ชันพหุนาม ซ่ึงมีสมบัติ g(2) =g(2) = 5

แล้ว h(2) มคี ่าเท่ากับเทา่ ใด (PAT 1 ก.ค. 53) (10)

41. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง ให้ f : R →R เป็นฟงั กช์ นั โดยท่ี
1. (fg)(x) = 2x + 3 สาหรับทุกจานวนจริง x
2. ฟงั กช์ ัน f และ g มอี นุพันธ์ทุกอันดับสาหรบั ทุกจานวนจริง x
3. ฟงั กช์ นั f มีคา่ สงู สดุ สัมพทั ธเ์ ท่ากับ 2 ท่ี x = 1
4. g(x) = 2 สาหรบั ทกุ จานวนจริง x

ฟังก์ชัน g มีค่าตา่ สุดสมั พทั ธเ์ ทา่ กบั เทา่ ใด (PAT 1 ต.ค. 55) (2.25)

42. กาหนดให้ A แทนพ้นื ที่ของอาณาบริเวณท่ีปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 1 – x2 และแกน X และ B แทนพื้นท่ีของ

อาณาบรเิ วณทใ่ี ตเ้ ส้นโคง้ y = x2 เหนอื แกน X จาก x = -c ถึง x = c ค่าของ c ท่ีทาให้ A = B เท่ากับข้อใด
4
ตอ่ ไปนี้ (PAT 1 ม.ี ค. 52)

1. 2

2. 2*

3. 2 2

4. 4

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 225

43. กาหนดให้ A(0, 0), B(1, 0) และ c( 1 , 3 ) เป็นจุดยอดของรูปสามเหล่ียม ABC ถ้ากราฟของ f(x) = ax2 +
2 2
bx + c ผา่ นจุด A(0, 0), B(1, 0) โดยท่ี AC และ BC เส้นเสนสัมผัสกราฟของ f ท่ี A(0, 0), B(1, 0) ตามลาดับ

แล้วพ้นื ท่ที ป่ี ิดล้อมด้วยกราฟของ f และเส้นตรง AB มีค่าเทา่ ใด (PAT 1 ธ.ค. 54)

1. 3 *
6

2. 3
3

3. 3
2

4. 23
3

44. ให้ L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด (0, 10) และมีความชันมากกว่า -1 แต่น้อยกว่า 0 ถ้าพ้ืนที่ของอาณาบริเวณท่ีถูก
ปิดล้อมด้วยเส้นตรง L กับแกน X จาก x = 0 ถึง x = 6 มีค่าเท่ากับ 51 ตารางหน่วย แล้ว จงหาพื้นท่ีของ
อาณาบรเิ วณท่ีถกู ปิดลอ้ มด้วยเสน้ ตรง L กบั แกน X จาก x = 0 ถงึ x = 3 (PAT 1 ธ.ค. 54) (27.75)

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 226

กาหนดการเชงิ เสน้
(Linear programming)

1. ในการผลติ สนิ คา้ ตามโครงการ OTOP ของตาบลหน่ึง ในแต่ละวันผลิตผ้าฝ้ายได้ x ชิ้น และผลิตผ้าไหมได้ y ช้ิน
มีอสมการข้อจากัดคือ 2x+y  12, x+y  8, x  0 และ 0  y  6 ถ้าผ้าฝ้ายและผ้าไหมมีราคาขายช้ินละ 90
บาท และ 300 บาท ตามลาดบั แลว้ โครงกานจี้ ะขายสินคา้ ได้เงนิ มากทสี่ ุดตอ่ วนั เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี (A-NET49)
1. 1,560 บาท
2. 1,800 บาท
3. 1,980 บาท*
4. 2,400 บาท

2. กาหนดฟังก์ชันจุดประสงค์และอสมการข้อจากัดเป็นดังน้ี C = 40x + 32y, 6x + 2y  12, 2x + 2y  8,
4x + 12y  24 คา่ ต่าสุดของ C เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (A-NET50)
1. 108*
2. 112
3. 136
4. 152

3. กาหนดฟังก์ชันจุดประสงค์และอสมการข้อจากัดเป็นดังน้ี C = 6x + 2y, x + y  2, x + 3y  9, 0 x y
ค่าสงู สดุ ของ C เท่ากบั เท่าใด (A-NET51) (18)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 227

4. ถ้า C เป็นปริมาณท่ีมีค่าข้ึนกับค่าของตัวแปร x และ y ด้วยความสัมพันธ์ C = 3x + 5y เม่ือ x, y เป็นไปตาม
เงื่อนไข 3x + 4y  5, x + 3y  3, x  0 และ y  0 แล้วค่าต่าสุดของ C ตามเงื่อนไขข้างต้น มีค่าเท่ากับ
ข้อใดตอ่ ไปน้ี (PAT 1 มี.ค. 52)
1. 21/5
2. 29/5*
3. 25/4
4. 27/4

5. ถ้า P = 5x + 4y เมื่อ x, y เป็นไปตามเง่ือนไข x + 2y  40, 3x + 2y  60, x  0 และ y  0 แล้ว
คา่ สงู สุดของ P เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 52)
1. 90
2. 100
3. 110*
4. 115

6. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนจริงบวกซึ่ง a < b ถ้าค่ามากสุดและค่าน้อยสุดของ P = 2x + y เม่ือ x, y
เปน็ ไปตามเง่อื นไข a  x + 2y  b, x  0 และ y  0 มีค่าเท่ากับ 100 และ 10 ตามลาดับ แล้ว a + b มี
คา่ เทา่ ใด (PAT 1 ต.ค. 52) (70)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 228

7. จงหาผลคณู ของค่าสูงสดุ และคา่ ตา่ สดุ ของฟังก์ชัน f(x, y) = x + y + 2 ภายใต้เงือ่ นไขขอ้ จากัดตอ่ ไปนี้

ก. x + 2y  8 ข. 5x + 2y  20 ค. x + 4y  22

ง. x  1 จ. 1  y  8 (PAT 1 มี.ค. 54) (157.5)

8. ร้านค้าผลิตถุงแบบ A วันละ x ชิ้น และแบบ B วันละ y ชิ้น โดยท่ี 40  2x+y  60, 105  2x+3y  150,
x  0 และ y  0 ถ้าถุง A ขายช้ินละ 40 บาท ในแต่ละวันขายถุงทั้ง 2 แบบ ได้เงินมาสุด 750 บาท แล้ว
ขายถุง B ชน้ิ ละก่ีบาท (PAT 1 ธ.ค. 54) (1.25)
1. 5
2. 10
3. 15
4. 20

9. กาหนดสมการจุดประสงค์ คือ P = 3x + 2y โดยมีอสมการข้อจากัด ดังนี้ x+2y  6, 2x+y  8, -x + y  1,
x  0 และ 0  y  2 ค่าของ P มคี า่ มากสดุ เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี (PAT 1 มี.ค. 55)
1. 10
2. 12
3. 38/3*
4. 18

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 229

10. กาหนดให้ P = 3x + 4y เป็นฟังก์ชันจุดประสงค์ โดยมีอสมการข้อจากัด ดังนี้ 2x + 3y  6, 2x – y  10
และ 0  y  x พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี
ก. P มีค่ามกสดุ เท่ากบั 70
ข. ถ้าจดุ (a, b) ท่ีทาให้ P มีค่าตา่ สุด แลว้ จดุ (a, b) สอดคล้องกบั สมการ x – y = 3
ข้อใดต่อไปน้ีถูกต้อง (PAT 1 ต.ค. 55)
1. ก.ถกู และ ข.ถกู
2. ก.ถกู แต่ ข.ผดิ *
3. ก.ผิด แต่ ข.ถูก
4. ก.ผิด และ ข.ผิด

11. กาหนดให้ P = a(x + y) + 6y เปน็ ฟังกช์ นั จดุ ประสงค์ โดยมีอสมการข้อจากัด ดังนี้ 3x+4y 48, x+2y  22,
3x + 2y  42, x  0 และ y  0 ถ้า P มีค่ามากสุดเท่ากับ 288 แล้วค่ามากที่สุดของ a ท่ีเป็นจานวนเต็ม
บวกเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 ม.ี ค. 56)
1. 20
2. 18*
3. 16
4. 14

12. กาหนดสมการจุดประสงค์ z = ax + by โดยที่ a > 0, b > 0 และมีอสมการข้อจากัดคือ x−2y  0, x+y  3,
2x + y  4, x  0, y  0 เมื่อ z = 0 จะได้เส้นตรง ax + by = 0 มีความชันเท่ากับ -3/2 ถ้า z มีค่าน้อย
ทส่ี ดุ ท่จี ุด (x0, y0) แล้ว ค่าของ x0 − y0 เท่ากบั ข้อใดต่อไปน้ี (ENT คณติ ศาสตร์ 1 มี.ค.48)
1. -4
2. -1*
3. 1
4. 3

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 230

13. ถ้าสมการจุดประสงค์คือ P = 35x − 25y และอสมการข้อจากัดคือ 2x + 3y  15, 3x + y  12, x  0,
y  0 แลว้ คา่ สงู สดุ ของ P เท่ากับเทา่ ใด (ENT คณิตศาสตร์ 1 ต.ค.47) (140)

14. กาหนดให้สมการจุดประสงค์ คือ P = a2x+ay โดยท่ี a เป็นจานวนจริงบวก และอสมการข้อจากัดคือ 2x+y 8,
x + y  6, x > 0, y > 0 ถ้าค่ามากท่สี ุดของ P เทา่ กับ 70 แลว้ a เปน็ จริงตามขอ้ ใด (ENT คณติ ศาสตร์ 1 มี.ค.47)
1. 1  a < 4
2. 4  a < 7*
3. 7  a < 10
4. a  10

15. กาหนดสมการจุดประสงค์ คือ P(x, y) = (a2 – 1)x + ay โดยที่ เป็นจานวนจริงบวก ซ่ึง a2 − a – 1  0
และมีอสมการข้อจากัดคือ 2  x  4, y  1 และ x + y  7 ถ้าค่าสูงสุดของ P(x, y) เท่ากับ 41 แล้ว a
มีค่าอยูใ่ นชว่ งใดต่อไปน้ี (ENT คณติ ศาสตร์ 1 ต.ค.46)
1. [2, 2.5)
2. [2.5, 3)
3. [3, 3.5)*
4. [3.5, 4)

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 231

16. กาหนดสมการจุดประสงค์คือ P = 3x + 2y โดยมีสมการข้อจากัด คือ 0  x  4 และ 6  x + y  7
ค่าสูงสดุ ของ P เท่ากบั เทา่ ใด (ENT คณิตศาสตร์ 1 มี.ค.46) (18)

17. กาหนดให้ สมการจุดประสงค์คือ P=2ax+3ay โดยท่ี a > 0 อสมการข้อจากัดคือ 2x+y 1,000, x+3y 900,
x  0, y  0 ถ้าค่าสูงสุดของ P คือ 33,000 แลว้ a เป็นจรงิ ตามขอ้ ใดต่อไปน้ี (ENT คณติ ศาสตร์ 1 ต.ค.45)
1. 10 < a  20
2. 20 < a  30*
3. 30 < a  40
4. 40 < a  50

18. นา้ มันดีเซล 100 ลติ ร ราคาตน้ ทุนลิตรละ 12 บาท และน้ามันปาล์ม 120 ลิตร ราคาต้นทุนลิตรละ 8 บาท ถ้า
จะผสมน้ามันสองชนิดน้ีรวมกัน ให้มีจานวนไม่น้อยกว่า 150 ลิตร และขายน้ามันผสมน้ีในราคาลิตรละ 11
บาทใหไ้ ดก้ าไรมากทีส่ ุดแลว้ กาไรทไ่ี ด้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (ENT คณิตศาสตร์ 1 มี.ค.45)
1. 230 บาท
2. 260 บาท
3. 330 บาท*
4. 460 บาท

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 232

19. คา่ ของ x, y ท่ีทาให้ P = 2x + 3y มคี า่ สงู สุดตามเงอ่ื นไขข้อจากัดท่ีกาหนดให้ต่อไปนี้ x + y 4, 3x+2y  10,
2x − y  1, x  0, y  0 สอดคลอ้ งขอ้ ใดต่อไปน้ี (ENT คณิตศาสตร์ 1 ต.ค.44)
1. x + y = 5*
2. x + y = 4
3. x + y = 39/8
4. x + y = 33/8

20. กาหนดให้ P = ax + 2y และเงื่อนไขข้อจากัดดังนี้ 2x + y  50, x + 2y  70, x  0 , y  0 ถ้า
ค่าสูงสุดของ P เท่ากับ 100 แลว้ a เท่ากับค่าในขอ้ ใดต่อไปน้ี (ENT คณิตศาสตร์ 1 ม.ี ค.44)
1. 1
2. 2
3. 4*
4. 6

21. บริษัทแห่งหนึ่งผลิตเก้าอ้ีโยกมีกาไร 50 บาทต่อตัว และผลิตเก้าอ้ีน่ังธรรมดามีกาไร 30 บาทต่อตัว ถ้าบริษัท
ผลิตเก้าอ้ีโยก x ตัวต่อวัน และเก้าอี้น่ังธรรมดา y ตัวต่อวัน แล้วจะมีเง่ือนไขการผลิตดังน้ี 6x + 3y  900
และ 3x + 4y  600 แล้ว บรษิ ัทจะมีกาไรมากที่สดุ เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี (ENT คณติ ศาสตร์ 1 ต.ค.43)
1. 4,500 บาทตอ่ วนั
2. 7,500 บาทตอ่ วนั
3. 7,800 บาทต่อวนั
4. 9,500 บาทต่อวนั

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 233

22. แม่ค้าคนหน่ึงทาขนมขายส่งสองชนิด โดยขายขนมชนิดแรกราคาช้ินละ 12 บาท ชนิดที่ 2 ราคาชิ้นละ 10 บาท

ถ้าแมค่ ้าทาขนมชนดิ แรก x ช้ิน และชนิดที่สอง y ชิ้น โดยมีอสมการข้อจากัด ดังนี้ x 0, y 0, 5x+6y 15000,

3x + 2y  6000 แล้ว แมค่ ้าจะขายขนมได้เงินสงู สุดเม่ือขายขนมท้ังสองชนิดรวมกนั เท่ากับข้อใดต่อไปน้ี

1. 2575 ชิน้ (ENT คณติ ศาสตร์ 1 ม.ี ค.43)

2. 2625 ชิ้น*

3. 2875 ชน้ิ

4. 3205 ชิ้น

23. โรงงานแห่งหน่ึงต้องการผลิตสินค้า A และ B โดยท่ีมีราคาขายต่อช้ินเป็น 10 และ 15 บาท ตามลาดับ ถ้าโรงงาน
นี้ผลิตสินค้า A ได้ x ช้ิน และผลิตสินค้า B ได้ y ชิ้น โดยมีอสมการข้อจากัดดังนี้ x 0, 0 y 5, x+y 10,
2x+y 16 แล้ว โรงงานจะขายสินค้าได้เงินมากทสี่ ดุ เป็นจานวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (ENT คณติ ศาสตร์ 1 ต.ค.42)
1. 120
2. 125*
3. 130
4. 150

24. กาหนดสมการจุดประสงค์ P = 7x + 5y และอสมการข้อจากัด คือ 2x + y  40, 2x + 3y  60, 0 x 24,

y  0 ถ้า (a, b) เป็นจดุ มมุ ทไี่ ด้จากอสมการขอ้ จากดั และให้ค่า P นอ้ ยทสี่ ุด แล้ว a + b เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1. 20* (ENT คณิตศาสตร์ 1 ม.ี ค.42)

2. 24

3. 25

4. 28

ครคู รรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความร้เู ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 234

ข้อสอบการคิดและแกป้ ัญหา
เชิงคณิตศาสตร์

1. ในการจัดคน 5 คนยนื เขา้ แถวหน้ากระดาน พบว่า “นาย ก. ไม่ยืนข้างนาย ข.” “นาย ค. ยืนริม” “นาย ง. ยืน
อยู่ขา้ งนาย จ.”และไม่ยนื อยกู่ ลางแถว ขอ้ ใดต่อไปน้เี ป็นไปได้ (B-PAT51)
1. นาย ค. ยืนขา้ ง นาย จ.
2. นาย จ. ยนื อยรู่ ิมด้านหน่งึ
3. นาย ก. ยืนอยู่ตรงกลาง
4. นาย จ. ยืนอย่ตู รงกลาง*

2. จากโจทยข์ อ้ ท่ี 1 ถ้านาย ข. ยืนอย่รู ิมด้านหน่ึง แลว้ ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีผดิ (B-PAT51)

1. นาย ค. ยืนติดนาย ก. 2. นาย ก. ยนื อย่ตู รงกลาง*

3. นาย จ. ยืนอย่ตู รงกลาง 4. นาย ง. ยืนตดิ นาย ข.

3. รถคู้โดยสารคันหนึ่งมีท่ีน่ังสาหรับผู้โดยสาร 5 แถว แถวที่ 1 ถึงแถวที่ 5 โดยแต่ละแถวมี 2 ท่ีน่ัง ผู้โดยสาน 6
คนคือนาย ก, ข, ค, ง, จ และ ฉ ขึ้นรถในเวลาเดียวกันและนั่งตามเง่ือนไขต่อไปน้ี “นาย ก ไม่นั่งแถวเดียวกับ
นาย ข และนาย จ” “นาย ข น่ังแถวท่ี 3 หรือแถวท่ี 4” “นาย ค ไม่น่ังคนเดียวในแถว” “นาย ง ไม่นั่งแถว
เดียวกับคนอ่ืน และจะน่ังหลังแถวท่ีว่างเสมอ” ถ้านาย ข น่ังแถวหลังถัดจากแถวของนาย ค และนาย ก นั่งแถว
หลังถดั จากแถวของนาย ข แลว้ ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีไม่เป็นจรงิ (B-PAT51)
1. นาย ก. นงั่ แถวที่ 5
2. นาย ข. นั่งแถวท่ี 4
3. นาย จ. นัง่ แถวที่ 3
4. นาย ฉ. นง่ั แถวที่ 1*

4. จากโจทยข์ อ้ ท่ี 3 พิจารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

ก. นาย ก และนาย ฉ ไมไ่ ดน้ ั่งคนเดยี วในแถว

ข. นาย ข และนาย จ ไมไ่ ด้น่งั คนเดียวในแถว

ข้อใดต่อไปน้ีถกู ตอ้ ง ((B-PAT51)

1. ก.ถูก และ ข.ถกู 2. ก.ถูก แต่ ข.ผดิ 3. ก.ผดิ แต่ ข.ถกู 4. ก.ผิด และ ข.ผดิ *

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 235

5. ชาย 6 คน นาย ก, ข, ค, ง, จ และ ฉ ยืนเข้าแถวตอน ตามลาดับ โดยมีเงื่อนไขดังนี้ “นาย ฉ ไม่ยืนติดกับนาย
ข” “นาย ฉ ยืนอยู่ในลาดับก่อนนาย ก” “นาย ก ยืนติดนาย ง” “นาย จ ยืนอยู่ลาดับท่ี 4” ถ้านาย ฉ ยืนติด
และอยหู่ ลงั นาย ค แลว้ คนทมี่ ีโอกาสอยใู่ นลาดับท่ี 5 ได้แก่ชายในขอ้ ใดต่อไปน้ี (PAT 1 มี.ค. 52)
1. นาย ข
2. นาย ค
3. นาย ง*
4. นาย ฉ

6. จากเงอ่ื นไขโจทย์ขอ้ ท่ี 5 ขอ้ ความใดตอ่ ไปน้จี รงิ (PAT 1 มี.ค. 52)

1. นาย ง ยืนอย่ใู นลาดบั ท่ี 2 2. นาย ค ยนื อยู่ในลาดับที่ 3

3. นาย ง ยนื อยหู่ ลงั นาย ข* 4. นาย ข ยนื อยหู่ ลังนาย จ

7. นกั วง่ิ 5 คนคอื ก, ข, ค, ง และ จ ว่ิงแข่งขันกัน 6 คร้ัง โดยผลการแข่งขันท้ัง 6 คร้ังเป็นดังน้ี “นาย ข เข้าเส้นชัย
ก่อนนาย ค ทกุ ครั้ง” “นาย ก เข้าเส้นชัยเป็นลาดับที่ 1 หรือ 5 เสมอ” “นาย จ เข้าเส้นชัยเป็นลาดับท่ี 1 หรือ 5
เสมอ” ถา้ ครัง้ หน่งึ นาย ง เขา้ เส้นชัยเป็นลาดบั ท่ี 3 แล้วในคร้ังนั้น ขอ้ ความใดตอ่ ไปนี้จรงิ (PAT 1 ก.ค. 52)
1. นาย ก เขา้ เส้นชัยเปน็ ลาดบั ที่ 1
2. นาย ข เขา้ เส้นชัยเปน็ ลาดับที่ 2*
3. นาย ค เขา้ เสน้ ชัยเปน็ ลาดบั ท่ี 2
4. นาย จ เขา้ เสน้ ชยั เป็นลาดบั ที่ 1

8. จากเง่ือนไขโจทย์ข้อที่ 7 กาหนดให้ ผู้ท่ีเข้าเส้นชัยเป็นลาดับท่ี 1 ได้ 10 คะแนน, ลาดับท่ี 2 ได้ 8 คะแนน,

ลาดบั ที่ 3 ได้ 6 คะแนน, ลาดับที่ 4 ได้ 4 คะแนน และลาดับท่ี 5 ได้ 2 คะแนน ถ้านาย ง เข้าเส้นชัยลาดับที่ 2

เพยี ง 2 ครั้ง แลว้ คะแนนรวมนอ้ ยทส่ี ดุ ท่ีเป็นไปไดข้ องนาย ข จากการแข่งขนั ทั้ง 6 ครง้ั เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้

1. 38 คะแนน (PAT 1 ก.ค. 52)

2. 40 คะแนน

3. 44 คะแนน*

4. 48 คะแนน

ครคู รรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทกุ ความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 236

9. นาย ก, ข, ค, ง, จ และ ฉ นั่งเก้าอ้ี 6 ตัวที่มีหมายเลข 1 ถึง 6 เรียงแถวหน้ากระดานจากซ้ายไปขวา โดยมี
เงื่อนไขดังต่อไปนี้ “นาย ค นั่งเก้าอี้หมายเลข 1 หรือ 6” “นาย จ ไม่น่ังติดกับนาย ค” “นาย จ ไม่น่ังติดกับ
นาย ข” “นาย ฉ น่ังติดด้ายซ้ายของนาย จ”ถ้านาย ค น่ังเก้าอี้หมายเลข 1 และนาย ข น่ังเก้าอ้ีหมายเลข 5
แล้วข้อใดต่อไปน้เี ป็นจริง (PAT 1 ต.ค. 52)
1. นาย ก น่งั เก้าอ้หี มายเลข 4
2. นาย ก นงั่ เกา้ อหี้ มายเลข 6
3. นาย ฉ นั่งเกา้ อี้หมายเลข 2*
4. นาย ง น่ังเกา้ อี้หมายเลข 6

10. จากขอ้ ที่ 9 ถ้ากาหนดเงือ่ นไขเพิ่มเตมิ ให้มีคนนั่งคั่นกลางระหว่างนาย ข และ ค อยู่ 3 คน แล้ว จานวนวิธีของ

การน่งั ท้งั หมดเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี (PAT 1 ต.ค. 52)

1. 1 วิธี 2. 2 วธิ ี 3. 3 วิธี 4. 4 วิธี*

11. นายชดั แจ้งได้ทราบข้อมลู ของคน 5 คน คอื A, B, C, D และ E ดงั น้ี A บอกว่า “C และ D พูดโกหก”, B บอกว่า
“A และ C เปน็ คนพูดจริง”, C บอกว่า “D พูดโกหก”, D บอกว่า “E พูดโกหก”, E บอกว่า “B พูดโกหก” จาก
ขอ้ มูลดังกล่าวทา่ นจะช่วยนายชดั แจ้งค้นหาว่าใครบ้างเปน็ คนพดู จริงและใครบา้ งเป็นคนพูดเท็จ (PAT 1 มี.ค. 53)
1. A, B, D พดู เท็จ C และ E พูดจริง*
2. B และ D พดู เท็จ A และ C พดู จริง
3. A, B และ C พูดเทจ็ D และ E พูดจรงิ
4. B และ E พูดเท็จ A และ C พดู จริง

12. ถ้าในปีหนึ่ง เดือนสิงหาคมมีวันจันทร์เพียง 4 วัน และวันศุกร์เพียง 4 วันเท่านั้น แล้ววันท่ี 20 สิงหาคมในปีน้ี
จะตรงกับวนั อะไร (PAT 1 ม.ี ค. 53) (7)
(วันจันทร์ให้ระบายตัวเลข 1, วันอังคารให้ระบายตัวเลข 2, วันพุธให้ระบายตัวเลข 3, วันพฤหัสบดีให้ระบาย
ตัวเลข 4, วนั ศกุ รใ์ หร้ ะบายตัวเลข 5, วนั เสาร์ใหร้ ะบายตัวเลข 6, วนั อาทิตย์ให้ระบายตวั เลข 7)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทกุ ความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 237

13. จานวนต่อไปน้ี เรยี กว่า “จานวน PAT” 16325, 34721, 12347, 52163, 90341, 50381
จานวนตอ่ ไปน้ีไม่เป็นจานวน PAT 2564, 12345, 854, 12635, 34325, 45026
ข้อใดต่อไปนีเ้ ปน็ จานวน PAT (PAT 1 ม.ี ค. 53)
1. 75401
2. 13562
3. 72341*
4. 83051

14. กาหนดให้ A, B และ C เป็นจานวนนับท่ีมีค่าไม่เกิน 100 ถ้า A + B = C และ B + C = 2A แล้วค่ามากที่สุดที่
เปน็ ไปได้ของ B อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 52)
1. [0, 40]*
2. [45, 60]
3. [75, 80]
4. [90, 100]

15. ถา้ a, b, c, d เป็นเลขโดท่ีแตกตา่ งกนั ที่ทาให้จนวนเต็ม 4 หลกั dcba เท่ากบั 9 เทา่ ของ abcd แลว้ b
เท่ากับเท่าใด (PAT 1 มี.ค. 53) (0)

16. พจิ ารณาการบวกของจานวนตอ่ ไปน้ี
เมอื่ A, B, C, D, E, F, G แทนเลขโดดทีแ่ ตกต่างกนั โดยที่ F = 0 และ
{A, B, C, D, E, G} = {1, 2, 3, ,4 ,5 , 6} ถ้าจานวนสองหลัก AB เป็นจานวนเฉพาะ
แล้ว A + B มคี ่าเทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี (PAT 1 ต.ค. 53)

1. 4
2. 5
3. 7*
4. 9

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์

สาระข้น ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 238

17. กาหนดให้ ab เปน็ จานวนสองหลกั โดยที่ a, b{1, 2, …, 9} และ a เท่ากบั สองเทา่ ของ b
ถา้ (310 x ab) – (465 x ba) = 2790 แลว้ a + b เท่ากบั เทา่ ใด (PAT 1 มี.ค. 55) (9)

18. กาหนดให้ a, b{0, 1, 2, …, 9} และ 1a5, 6b9 เปน็ จานวนสามหลกั ถา้ 6b9 – 1a5 = 454 และ 6b9 หาร
ดว้ ย 9 ลงตวั แล้ว a + b เทา่ กบั เท่าใด (PAT 1 ม.ี ค. 54) (11)

19. ถ้า a, b, c{1, 2, 3, …, 9} และสอดคล้องกับ (56 x a) + (7 x b) + c = 416 แล้ว a + b + c เท่ากับ
เท่าใด (PAT 1 ต.ค. 55) (13)

20. กาหนดให้ a, b, c และ d เป็นจานวนเต็มบวก โดยท่ี a < 2b, b < 5c, c < 6d และ d < 100 ค่าของ a มีค่า
มากท่ีสดุ เท่ากับเท่าใด (PAT 1 ม.ี ค. 56) (5927)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 239

21. ถา้ a, b, c{1, 2, 3, …, 9} จงหาจานวน 3 หลัก abc ทม่ี คี า่ มากสดุ โดยที่สอดคล้องกบั สมการ
abc = ab + ba + ac + ca + bc + cb (หมายเหตุ abc แทนจานวน 3 หลัก และ ab, ba, ac, ca, bc, cb
แทนจานวน 2 หลัก) (PAT 1 ม.ี ค. 56) (396)

22. กาหนดให้ x, y, และ z เปน็ จานวนจริงบวกที่สอดคล้องกับระบบสมการ xyz = 2, x + 1 = 32, y + 1 = 81
z x
1 p
และ z + y = q เมื่อ p และ q เป็นจานวนเต็มบวกโดยท่ี ห.ร.ม.ของ p และ q เทา่ กับ 1 แลว้

ค่าของ |p – q| เทา่ กบั ข้อใดตอ่ ไปนี้ (PAT 1 ม.ี ค. 54)

1. 3,925

2. 4,832

3. 4,951*

4. 5,182

23. กาหนดให้ a, b, c, d, e, f เป็นจานวนเต็มบวก โดยท่ี a < b < c < d < e < f ถ้าผลบวกของสองจานวนท่ี
แตกต่างกันในเซต { a, b, c, d, e, f } มีท้ังหมด 15 จานวนคือ 37, 50, 67, 72, 80, 89, 95, 97, 102, 110,
125, 132, 147 และ 155 แลว้ คา่ ของ c + d เท่ากบั เท่าใด (PAT 1 ต.ค. 53) (102)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคดิ “คณิตศาสตร์” ห น้ า | 240

24. กาหนดให้ S เป็นเซตของ (a, b, c) โดยที่ a, b, cI+ ทมี ีสมบัติสอดคล้องกับ a + 2b + 3c  50,
a a b b
b + c +1 = 10( c + a +1) จงหาจานวนสมาชกิ ของ S (PAT 1 ธ.ค. 54)

1. 24*

2. 26

3. 29

4. 30

25. กาหนดให้ A = {1, 2, 3, …, k} เม่ือ k เป็นจานวนเต็มบวก ให้ B = {(a, b)A x A | 0 < b – a  7} ค่า
ของ k เทา่ กบั เทา่ ใดทท่ี าใหจ้ านวนสมาชิกของเซต B เทา่ กบั 714 (PAT 1 ต.ค. 55) (106)

26. ให้ x แทนจานวนสามหลกั abc และ y แทนจานวนสามหลัก cba โดยท่ี a, b, c{1, 2, 3, …, 9} และ a, b, c
แตกต่างกันท้ังหมด ถ้า S เป็นเซตของ x ทั้งหมด โดยที่ x – y มีค่ามากสุด แล้ว ผลบวกของสมาชิกในเซต S
ทั้งหมดเท่ากบั เท่าใด (PAT 1 ต.ค. 55) (6657)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร)์

สาระขน้ ความรเู้ ข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 241

27. ถ้า  เป็นมุม ซ่ึง 0๐    180๐ แล้ว จากเวลาเที่ยงวันถึงบ่ายโมง เข็มยาวและเข็มสั้นของนาฬิกาจะทามุม

เท่ากับ  เปน็ ครง้ั แรกเมือ่ เวลาผา่ นไปก่ีนาที (PAT 1 ต.ค. 52)
2
1. 13 นาที

2. 2 นาท*ี
11
3. 2 นาที
9
2
4. 7 นาที

28. กาหนดให้ M(x, y) = x, x  y และ m(x, y) = -M(-x, -y) ถา้ a = 3,b= 2 , c = sin54๐ และ
y, y > x

d = 2( 2+ 6) แล้ว M(M(c, m(d, b)), m(a, m(c, b))) เท่ากบั เทา่ ใด (PAT 1 ธ.ค. 54) (4)
3 2+ 3

29. กาหนดให้ a(n, m) = a(n, m – 1) + a(n – 1, m – 1), a(1, 1) = 10, a(2, 1) = 5, a(4, 1) = 4 และ
a(4, 4) = 50 จงหา a(3, 1) (PAT 1 ธ.ค. 54) (7)

ครูครรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 242

30. สาหรับ x, y{0, 1, 2, 3, …} กาหนดให้ F(x, y) เป็นจานวนเต็มบวก โดยท่ี

F(1, y -1) , x =0, y  0
F(x, y) = x +1
, y=0

F(F(x -1, y),y -1) , x  0, y  0

ค่าของ F(1, 2) + F(3, 1) เทา่ กับเท่าใด (PAT 1 ม.ี ค. 56) (10)

31. ให้เติมจานวนเตม็ บวก 1, 2, 3, 4, 5 ลงในชอ่ งว่างในตาราง 5X5 ต่อไปน้ี โดยที่
แต่ละแถวตอ้ งมีจานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 แต่ละหลักต้องมีจานวนเต็ม
บวก 1, 2, 3, 4 และ 5 จานวน x ในตารางเท่ากบั เท่าใด (PAT 1 ก.ค. 53) (3)

32. จากตารางทกี่ าหนดให้ มีชอ่ งวา่ งท้ังหมด 9 ช่อง ดังรูป ให้เติมจานวนเต็มบวกลง
ในช่องส่ีเหลี่ยมช่องละ 1 จานวน โดยให้ผลบวกของจานวนในแต่ละแถว ในแต่
ละหลัก และในแต่ละแนวทแยงมุมมีค่าเท่ากัน ถ้าเติมจานวนเต็มบวก 3, 7, 10
ดงั ปรากฏในตารางแลว้ จานวน x ในตารางเทา่ กบั เท่าใด (PAT 1 ต.ค. 53) (4)

33. ให้เติมจานวนเต็มบวกลงในชอ่ งสีเ่ หล่ียมโดยใหผ้ ลรวมของจานวนในช่องส่ีเหล่ยี มสามชง่ิ ทีต่ ิดกันเท่ากับ 18

คา่ ของ x เท่ากบั เทา่ ใด (PAT 1 ก.ค. 53) (3)

ครคู รรชติ แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณติ ศาสตร์)

สาระขน้ ความรูเ้ ข้ม เติมเต็มทุกความคดิ “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 243

34. ให้เตมิ จานวน 0, 1, 2, 3 ลงในตาราง 4 x 4 ต่อไปนี้ (ช่องละ 1 จานวน) โดยท่ี แต่ละแถวต้องมีจานวนเต็ม 0,

1, 2 และ 3 แต่ละหลกั ตอ้ งมีจานวนเต็ม 0, 1, 2 และ 3 พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี

ก. ถา้ a < c แล้ว b < d ข. ถา้ a > b แล้ว b < d

ค. ถ้า b < d แลว้ c < d ข. a + b = c + d

ข้อใดตอ่ ไปน้สี รุปได้ถูกต้อง (PAT 1 ต.ค. 55)

1. ก. – ง. ถูกเพียง 1 ขอ้ 2. ก. – ง. ถกู เพียง 2 ข้อ

3. ก. – ง. ถกู เพยี ง 3 ขอ้ * 4. ก. – ง. ถกู ทกุ ขอ้

35. พิจารณารูปต่อไปนี้ ให้เติมจานวนเต็มบวก 1, 2, 3, .., 11 ลงในช่องสี่เหล่ียม
ช่องละ 1 จานวน โดยให้ผลบวกของจานวนในแนวต้ังเท่ากับ 43 และผลบวก
ของจานวนในแนวนอน เท่ากับ 28 จานวน x ในช่องรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ
เทา่ ใด (PAT 1 ม.ี ค. 53) (5)

36. จากตารางท่ีกาหนดให้ มีช่องว่างท้ังหมด 16 ช่อง ดังรูป ให้เติมจานวนเต็มบวก
1, 2, 3, …, 16 ลงในช่องส่ีเหลี่ยมช่องละ 1 จานวน โดยให้ผลบวกของจานวน
ในแตล่ ะแถว ((ก) และ (ข)) และในแต่ละหลัก ((ค) และ (ง)) มีค่าเท่า ๆ กัน ถ้า
เติมจานวนเต็มบวก 1, 5, 13 ดังปรากฏในตารางแล้ว จานวน x ในตาราง
เท่ากับเท่าใด (PAT 1 ก.ค. 53) (9)

ครูครรชิต แซโ่ ฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระขน้ ความรู้เข้ม เติมเตม็ ทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 244
37. พจิ ารณาการจดั เรียงลาดบั ของจานวน 2, 3, 4, 5, 6, … ในตารางดงั ต่อไปนี้

จานวน 2400 อยใู่ นแถวท่เี ทา่ ใด (PAT 1 มี.ค. 53) (2)

38. พจิ ารณาการจดั เรียงลาดับของจานวนคี่ 1, 3, 5, 7, 9, … ในตารางดงั ตอ่ ไปน้ี

จากตารางจะเห็นว่า จานวน 15 อยู่ตาแหน่งท่ี 2 (จากซ้าย) ของแถวที่ 4 อยากทราบว่า จานวน 361 จะอยู่
ตาแหน่งใดในแถวท่ีเทา่ ใด (PAT 1 ก.ค. 53)
1. ตาแหน่งท่ี 9 (จากซ้าย) ของแถวที่ 18 2. ตาแหน่งท่ี 10 (จากซ้าย) ของแถวที่ 19*
3. ตาแหนง่ ท่ี 11 (จากซ้าย) ของแถวที่ 20 4. ตาแหน่งที่ 12 (จากซ้าย) ของแถวท่ี 21

ครูครรชิต แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร์)

สาระข้น ความรเู้ ข้ม เติมเต็มทุกความคิด “คณติ ศาสตร์” ห น้ า | 245
39. พจิ ารณาการจัดเรียงลาดับของจานวน 2, 5, 8, 11, 14, … ในตารางดงั ตอ่ ไปน้ี

แล้วจานวน 2912 อย่ใู นหลักทเ่ี ทา่ ใด (PAT 1 ก.ค. 53) (2)

40. กาหนดจุด 10 จุด โดยที่ระยะห่างระหว่างจุดเท่า ๆ กัน ดังรูปจะต้องลบจุดออก
จากภาพอย่างน้อยท่ีสุดก่ีจุด เมื่อลบออกจากภาพแล้วไม่มีสามจุดใด ๆ (ท่ีเหลือ)
เปน็ จดุ ยอดสามเหลี่ยมดา้ นเท่า (PAT 1 ก.ค. 53) (4)

ครูครรชติ แซ่โฮ่ วท.บ. วท.ม. (คณิตศาสตร)์