9786160548286

คมู่ อื ครูใช้คูก่ บั หนงั สอื เรียน
มาตรฐานสากล
๒ ๒ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี
๒๑ 5ศตวรรษที่ เล่ม
BBL Steps

ใช้กระบวนการ

GPAS

เนน้ การท�ำ งานของสมอง

BBL & PBL

จัดการเรียนรตู้ ามแนวทาง

Backward

Design

เพมิ่ ผลสัมฤทธิ์ดว้ ย
NT/O-NET/PISA

โทคักรษงะงศาตนวรบรรู ษณท่ีา๒กา๑ร

สอู่ าเซียนและโลก

เฉลยคำ�ตอบ

ละเอยี ดทกุ ข้อ

QคCวOาRDมEรนส้คู ววอื่ าัตมเกสเขรร้ารใมิ มจ

สถาบันพัฒนาคุณภาพวิชาการ (พว.)

แผนผังสาระการเรียนรู้

หนังสอื เรยี นรายวชิ าพืน้ ฐาน คณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 2 เล่ม 2 กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 1 จำ�นวนจริง หนว่ ยการเรยี นร้ทู ี่ 2 ทฤษฎบี ทพที าโกรสั และบทกลับ
(ค 1.1 ม.2/2) (ค 2.2 ม.2/5)

จ�ำ นวนตรรกยะ สมบตั ขิ องรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก
จำ�นวนอตรรกยะ ทฤษฎบี ทพที าโกรสั
รากท่สี อง บทกลบั ของทฤษฎบี ทพที าโกรัส
รากทส่ี าม การนำ�ไปใช ้
การน�ำ ความรูเ้ ก่ยี วกบั จ�ำ นวนจรงิ
ไปใช้ในการแกป้ ัญหา คณิตศาสตร์ หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 3 พ้ืนท่ีผิวและปริมาตร
ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 2 (ค 2.1 ม.2/1, ม.2/2)
หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 5 การแปลงทางเรขาคณติ
(ค 2.2 ม.2/3) เล่ม 2

การเล่อื นขนาน (Translation) พื้นทแ่ี ละปรมิ าตร
การสะทอ้ น (Reflection) พืน้ ที่ผวิ และปรมิ าตรของปริซมึ
การหมนุ (Rotation) พน้ื ทีผ่ วิ และปรมิ าตรของทรงกระบอก
การน�ำ ความรู้เก่ยี วกบั การแปลงทางเรขาคณติ การแก้โจทยป์ ญั หาเกี่ยวกบั พ้ืนทผ่ี ิวและปริมาตร

ไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา

หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 4 ความเทา่ กันทุกประการ
(ค 2.2 ม.2/4)

ความเทา่ กนั ทุกประการ
ความเท่ากนั ทกุ ประการของรปู สามเหลี่ยมสองรปู

ท่ีมีความสมั พนั ธแ์ บบต่างๆ

c2 = a2 + b2 a
c

b

คมู่ อื ครูใช้คู่กับหนงั สือเรยี น ๒ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่

คณติ ศาสตร์ เล่ม ๒

ตามมาตรฐานการเรียนรู้และตวั ชว้ี ดั
กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐)
ตามหลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาขนั้ พ้ืนฐาน พทุ ธศักราช ๒๕๕๑

สงวนลขิ สิทธ์ิ
สำ�นกั พิมพ์ บริษทั พัฒนาคณุ ภาพวชิ าการ (พว.) จ�ำ กดั
พ.ศ. ๒๕๖๔
สถาบันพฒั นาคุณภาพวชิ าการ (พว.)
๑๒๕๖/๙ ถนนนครไชยศรี แขวงถนนนครไชยศรี เขตดสุ ิต กรุงเทพฯ ๑๐๓๐๐
โทร. ๐-๒๒๔๓-๘๐๐๐ (อัตโนมตั ิ ๑๕ สาย), ๐-๒๒๔๑-๘๙๙๙
แฟกซ์ : ทกุ หมายเลข, แฟกซอ์ ัตโนมตั ิ : ๐-๒๒๔๑-๔๑๓๑, ๐-๒๒๔๓-๗๖๖๖

website : www.iadth.com

พเิ ศษ

การพฒั นาคุณภาพผู้เรียนทสี่ อดคล้องกับ

G PA S S t e p s เสริมสรา้ งศกั ยภาพการเรียนรูต้ าม

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA

การอธบิ ายเปา้ หมาย St St เป้าหมายการเรยี นรู้ 4. การนาำ ไปใช้
การเรียนรู้ และการทำ�
ชน้ิ งานทผ่ี เู้ รียนจะได้ ระบเุ ปา้ หมายการเรยี นรใู้ นหลกั สตู รตามแนวทาง นักเรียนสามารถน�าทฤษฎีบทของพีทาโกรัสไปใช้ประยุกต์หาความยาวของรูปเรขาคณิตได ้
คะแนนอยา่ งชัดเจน ทำ�ให้ผู้เรียน Backward Design ซง่ึ ประกอบดว้ ย ดังตวั อย่างตอ่ ไปน้ี
เห็นทศิ ทางในการเรยี น เปน็ การ - มาตรฐานการเรยี นรแู้ ละตวั ชว้ี ดั
ขจัดความกงั วลใจ และสรา้ ง - สมรรถนะส�ำ คญั ของผเู้ รยี น 1ตวั อยา่ งท่ี + --
ความรู้สกึ เชิงบวกให้แก่ผเู้ รียน - คณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์
การใชค้ ำ�ถาม 55%บันไดยาว 10 เมตร วางพาดอยู่กับผนังบ้าน โดยมีปลายบันไดจรดขอบหน้าต่าง
หรอื ก�ำ หนดปัญหา ภาระงาน/ชน้ิ งาน
ทีผ่ เู้ รียนตอ้ งพบในชวี ติ กำ�หนดภาระงานหรือชิ้นงานของผู้เรยี น ดา้ นลา่ งพอด ี ถา้ เชงิ บนั ไดอยหู่ า่ งผนงั บา้ น 6 เมตร ความสงู จากพนื้ ดนิ ถงึ ขอบหนา้ ตา่ ง
(Problem Based Learning: PBL) ซงึ่ เป็นหลกั ฐานแสดงความเข้าใจ ดา้ นลา่ งเปน็ เทา่ ไร
เพอื่ สร้างความรสู้ กึ ตน่ื เต้นทา้ ทาย
กระตนุ้ อารมณ์ให้ผู้เรยี นสนใจ ep 1 A
อยากเรียนรู้ อยากสบื สอบ 10 เมตร
ซึ่งส่งผลต่อการเรยี นรทู้ ีด่ ี ขน้ั สงั เกต
รวบรวมข้อมลู C 6 เมตร B
การรวบรวมข้อมูล
จากสงิ่ แวดลอ้ ม 1. ต้งั คำ�ถาม ต้งั สมมุติฐาน เพ่ือกระต้นุ วิธีท�า AB แทนความยาวของบันได
และแหล่งเรียนรู้ ประสบการณใ์ หผ้ ้เู รยี นเกิดการเรยี นรู้ AC แทนความสูงจากพื้นดินถึงขอบหน้าตา่ งดา้ นล่าง
อย่างหลากหลาย ผา่ นระบบ BC แทนระยะห่างระหวา่ งเชิงบนั ไดกบั ผนังบา้ น
ประสาทสมั ผสั (ways of knowing) 2. สงั เกตและรวบรวมขอ้ มลู จากแหลง่ เรียนรู้ เน่ืองจาก △ ACB มี AC^B เปน็ มุมฉาก
ทั้งการเหน็ (ทางตา) การได้ยิน อย่างหลากหลาย เพื่อใหผ้ เู้ รียนรู้จกั จากทฤษฎบี ทพที าโกรัส จะไดว้ ่า
(ทางหู) การสัมผัส (ทางกาย) เลอื กข้อมลู ทีต่ ้องการ AB2 = AC2 + BC2
การได้กล่ิน (ทางจมกู ) 102 = AC2 + 62
การรับรส (ทางปาก) ท�ำ ใหส้ มอง ep 2 AC2 = 102 - 62
เกดิ การเรยี นรแู้ ละมพี ัฒนาการ = 100 - 36
เพราะสงิ่ แวดล้อมคือตัวกระตุ้น ขัน้ คิดวเิ คราะหแ์ ละสรุปความรู้ = 64
พฒั นาการสมอง และส่งิ แวดลอ้ ม AC = 8
ทหี่ ลากหลายทำ�ให้สมองเรยี นรูไ้ ดด้ ี 3. จดั กระท�ำ ขอ้ มลู ดว้ ยการคิดวิเคราะห์ ดงั น้ัน ความสงู จากพนื้ ดินถึงขอบหนา้ ต่างดา้ นล่างเทา่ กบั 8 เมตร
การจดั ขอ้ มลู ของสมอง (จ�ำ แนก จัดหมวดหมู่ หาความสัมพนั ธ์
จะใช้การคิดหา เปรียบเทยี บ ฯลฯ) โดยใชแ้ ผนภาพจดั 74 คณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 เล่ม 2
ความสมั พนั ธ์เช่ือมโยงกบั ความคดิ อย่างเปน็ ระบบ สรุปสาระส�ำ คัญ
ประสบการณเ์ ดิม เปรียบเทียบ สงั เคราะหเ์ ปน็ ความคิดรวบยอด กจิ กรรมเสริมสรา้ งศักยภาพการเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21
จดั กลุม่ และสรุปเปน็ หลักการ แนวข้อสอบ NT/O-NET/PISA
ของตนเอง กจิ กรรมที่เน้นการคิด 4. คิดประเมินเพ่ือเพ่ิมคุณค่าโดยเช่ือมโยงกับ
จึงทำ�ใหส้ มองเกดิ การเรยี นรู้ หลกั คณุ ธรรม จรยิ ธรรม คา่ นยิ ม หลกั ปรชั ญา และสารประโยชนม์ ากมายส�ำ หรบั ครู
และครูต้องฝึกให้ผเู้ รียนใช้ ของเศรษฐกิจพอเพียง เพื่อสร้างความเป็น
แผนภาพความคิด พลเมืองไทยและพลโลกที่มีคุณภาพ
(Graphic Organizers) แล้วสรปุ เป็นความคิดรวบยอด
เพือ่ จดั ขอ้ มูลอย่างเปน็ ระบบ
สร้างการคิดอยา่ งมแี บบแผน 5. สรา้ งทางเลอื กโดยออกแบบหรอื คดิ สรา้ งสรรค์
แนวทางอย่างหลากหลาย แล้วตัดสินใจ
เลือกแนวทางท่ีดีท่ีสดุ

6. วางแผนขน้ั ตอนการปฏบิ ตั งิ านทมี่ ปี ระสทิ ธภิ าพ
เพอ่ื นำ�ไปสู่ความส�ำ เรจ็

การคิดประเมนิ เพ่ือเพ่มิ คณุ คา่ ทำ�ใหผ้ ู้เรียนเหน็ ความส�ำ คญั ของส่ิงนั้น
ขอ้ มูลทีม่ ีความส�ำ คัญมีความหมายต่อชวี ติ สมองจะสนใจและตอบสนอง
จงึ ส่งขอ้ มลู เหล่านัน้ เขา้ สู่กระบวนการเรยี นรู้ โดยเชื่อมโยงกบั ความรู้
และทักษะทีม่ ีอย่เู ดิม สร้างความหมายใหม้ ากยิง่ ขึน้

สุดยอดคู่มือครู 2

พเิ ศษ

การเรยี นรู้ของสมอง (Brain Based Learning)

มาตรฐานสากลในศตวรรษท่ี 21

Apขpั้นlปyฏiิบnัตgิแลanะสdรCุปoคnsวtาruมcรtiู้หngลังthกeารKปnoฏwิบlัeตdิ ge A ขั้นส่ือสารและน�ำเสนอ ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying the Communication Skill

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

2ตัวอย่างท่ี + -- St St St asean

3ep ขนั้ ปฏหบิ ลัตงั กแิ าลระปสฏรบิปุ ัตควิ ามรู้

ลูกเสอื ออกเดนิ ทางจากโรงเรยี นไปท่ีพกั แรม โดยจะตอ้ งเดินทางไปทางทศิ ตะวันตก 7. เขียนขั้นตอนการปฏิบตั งิ านจรงิ และ
19 กิโลเมตร แล้วลงไปทางทิศใต้ 9 กิโลเมตร จากน้ันเลี้ยวไปทางทิศตะวันตก
อกี 21 กิโลเมตร จงึ ถึงทีพ่ ักแรม อยากทราบวา่ ทพ่ี ักแรมหา่ งจากโรงเรียน ลงมอื ปฏบิ ตั ติ ามแผน ประเมนิ ความส�ำ เรจ็

เป็นระยะทางเทา่ ไร ของงานและประเมนิ การท�ำ งานเชิงระบบ

วิธีท�า D เพอ่ื ปรับปรงุ และแก้ปัญหา แล้วสรุป การเคล่ือนไหวและ
21 เป็นความคิดรวบยอด การลงมอื ปฏบิ ตั ิทำ�ให้
N
WE ให้ A แทนทตี่ งั้ โรงเรยี นB 19 A สมองพัฒนาท้ังสองด้าน

S 55% D แทนที่พกั แรม 9 8. น�ำ ความเขา้ ใจทเี่ กดิ จากการปฏิบัติ เมือ่ ผู้เรยี นนำ�หลักการจากศาสตร์
C
มาสรา้ งองค์ความรู้ หรอื สรปุ เปน็ หลกั การ แขนงตา่ ง ๆ ไปปฏิบัตหิ รอื ลงมือ
แก้ปญั หามากขึ้น ความร้จู ะยิง่ ถกั ทอ
ขยายกว้างขนึ้ เกิดทกั ษะการคิด
AB แทนระยะทางจากโรงเรยี นไปทางทศิ ตะวันตก 19 กิโลเมตร รเิ รม่ิ สรา้ งสรรค์ (creative thinking)
ep 4 การคิดแก้ปัญหา (problem solving
BC แทนระยะทางจากจุด B ไปทางทิศใต ้ 9 กิโลเมตร

CD แทนระยะทางจากจุด C ไปทางทิศตะวนั ตก 21 กิโลเมตร

AD แทนระยะห่างจากโรงเรียนถึงที่พักแรม ขัน้ สือ่ สารและนำ� เสนอ thinking) การคดิ อยา่ งมวี จิ ารณญาณ

ตอ่ DC ไปทางจดุ C พบเสน้ ตรงท่ลี ากจากจดุ A ขนานกับ BC ที่จุด E (critical thinking) ผ้เู รียนไดพ้ ฒั นา
ความคดิ ท้งั ระบบ และสามารถ
จะได้รูปสเี่ หล่ยี มมมุ ฉาก BCEA และรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ADE 9. สอื่ สารและน�ำ เสนอผลงานหรอื ความส�ำ เรจ็
เพอื่ ขยายความรู้ในรูปแบบการอภิปราย
N

WE การรายงาน น�ำ เสนอด้วยแผงโครงงาน สร้างองค์ความรไู้ ปพร้อม ๆ กัน

S B 19 A PowerPoint Presentation เป็นตน้ เกิดความเข้าใจท่ลี ่มุ ลึกและเป็น

9 9 ความเข้าใจท่ีคงทน สามารถน�ำ ไป
D 21 C E ประดษิ ฐผ์ ลงาน สรา้ งผลิตภัณฑ์

เนอ่ื งจาก AE = BC = 9 จดั ท�ำ โครงงาน (Project Based
และ CE = BA = 19 Learning: PBL) พัฒนาพหปุ ัญญา
แต่ DE = DC + CE และขยายผลสู่สงั คมตามมาตรฐาน
= 21 + 19 ep 5 สากลและวสิ ัยทัศนใ์ นศตวรรษท่ี 21
= 40 ขนั้ ประเมินเพอื่ เพิม่ คุณคา่
บรกิ ารสังคมและจิตสาธารณะ
ทฤษฎีบทพที าโกรสั และบทกลับ 75

กิจกรรมเสริมสร้างศักยภาพการเรยี นรใู้ นศตวรรษท่ี 21 10. เชื่อมโยงความรู้ไปสู่การทำ�ประโยชน์ให้กับ
แนวขอ้ สอบ NT/O-NET/PISA ท้องถ่ิน สังคม สิ่งแวดล้อม ในระดับ
ประเทศ อาเซียน และโลก ตามวุฒิภาวะ
และสารประโยชนม์ ากมายสำ�หรับครู ข อ ง ผู้ เ รี ย น แ ล้ ว ป ร ะ เ มิ น ค่ า นิ ย ม
นสิ ยั แหง่ การคดิ การกระท�ำ

Active Learning

3 สุดยอดคู่มือครู

พเิ ศษ

GPAS กระบวนการเรียนรู้ BBL อย่างแท้จรงิ
Steps ตามมาตรฐานสากลและวิสยั ทศั นใ์ นศตวรรษที่ ๒๑

Step 1

ข้นั สงั เกต รวบรวมข้อมูล (Gathering)

rาuมcรtiู้หngลังtกheาร นKปnา่ ฏoสิบwนัตlใeกิจdาgทรeรำ�วใหบ้สรมวมอขงต้อื่นมตูลAวัเพพpื่อรp้อสlมรy้าเขiรงnยีั้นฐgนสา่ือรนtู้hสกซeาา่งึ รมรCแเoี ลร๒mีะยนmวน�าธิuรเีnสู้ดiนกcังaอรนtะiี้ oตnุ้นSอkาilรl มณ์ต่ืนเต้นข้ันสSปรeร้าlะงfเคม-Rวินาeเพมg่ือรuู้เสพlึaกิ่มเtคชinุณิงบgคว่าก สนุกสนาน

วธิ ที ่ี ๑ ตัวกชาี้วรัดใชค้ ำ�ถามหรือกำ�หนดปญั หาทีผ่ เู้ รียนตอ้ งพรบอใบนรชู้อวี ิตาเซียนและโลก
วิธีท่ ี ๒ ให้ผู้เรียนอยู่ในสิ่งแวดล้อมท่ีเอ้ือต่อการเรียนรู้ โดยใช้ระบบประสาทสัมผัสรับรู้ข้อมูล เรียนรู้
จากของจรงิ ส่ิงใกล้ตัว ภาพ บัตรคำ� ฯลฯ รวมท้ังไดตส้ วั บื ชคี้วน้ดั จากแหลง่ เรยี นรูต้ า่ งๆ ดว้ ยตนเอง

วกบั การแปลงทางเรขาคณิต ค 2.2 ม.2/3Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�าuเnสiนcaอtion Skill
ญหา A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

ก่ียวกับการแปลงทางเรขาคณิตแปเสลริมงควรามูปรู้ ตครูค้นวรแสอบนบต่อ ๆ กัน จตัวนช้ีวเัดกิดรูป ภาระงาน/ชิ้นงานรอบรู้อาเซียนและโลก

ชอ่ งว่างและไม่ซอ้ นทับกนั ระหวา่ 4ง.รปู ก า รนำาความรูเ้ กย่ี วกับการแปลงทางเรขาคณติ ค 2.2ก ม.า2ต/รวั3ชแีว้ ดั ปลงทางเรขาคณติ
ไปใช้ในการแกป้ ัญหา
ยมให้เป็นลวดลาย ภาระงาน/ชิ้นงาน
นักเรียนสามารถนำาความรู้เกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตแปลงรูปต้นแบบต่อ ๆ กัน จนเกิดรูป การแปลงทางเรขาคณิต

ทีเ่ ป็นลวดลายต่าง ๆ โดยไม่ให้เกดิ ชอ่ งวา่ งและไมซ่ ้อนทับกันระหวา่ งรปู

ตัวอย่างการแปลงรูปหกเหลี่ยมใหเ้ ป็นลวดลาย

St Step 1ep 1 ข้นั สังเกต
รวบรวมข้อมูล
นกั เรยี นปฏบิ ตั กิ จิ กรรมต่อไปน้ี
1. นาำ รปู เรขาคณติ สองมติ ทิ น่ี กั เรยี นสนใจ (อาจจะเปน็ รปู สามเหลยี่ มดา้ นเทา่ รปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั ขนั้ สังเกต1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
รปู ส่ีเหลยี่ มผืนผ้า รปู ส่ีเหล่ียมขนมเปยี กปูน ฯลฯ) มาแปลงเปน็ แบบรูปลงบนกระดาษ A4 รวบรวมข้อมลูโดยใชค้ าำ ถามกระตนุ้ ความคิด ดังนี้
2. วาดรูปเรขาคณิตสองมิติเพียงรูปเดียว เช่น รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัส หรือ • นกั เรยี นสามารถนาำ ความรเู้ กย่ี วกบั
รปู หกเหลย่ี มดา้ นเทา่ วาดหลาย ๆ รปู แลว้ นาำ มาวางลงบนกระดาษ A4 โดยการใชก้ ารแปลงทางเรขาคณติ
ในเร่อื ง การเลือ่ นขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ จาำ กดั บนพ้ืนท่เี ตม็ หน้ากระดาษ A4 การแปลงทางเรขาคณติ ไปใชใ้ นเรอ่ื งใด า เ ห็ น
1. นักเรียนร่วมได้บ้าง กั น แ สด ง ค ว ม คิ ด

2. นักเรียนศึกษา การนำาความรู้เก่ียวกับ
ปน้ี แกการป้ แัญปหโลางดทายงเรใขาชคณ้คิตไำาปใถช้ในากมาร กระต้นุ ความคดิ ดังนี้
ทน่ี กั เรยี นสนใจ (อาจจะเปน็ รปู สามเหลยี่ มดา้ นเทา่ รปู สเี่ หลยี่ มจตั รุ สั ep2 •ขัน้ คดิ วนเิ ครากัะห์เรยี นสามารถนาำ ความรเู้ กยี่ วกบั
มเปยี กปูน ฯลฯ) มาแปลงเปน็ แบบรปู ลงบนกระดาษ A4 3. นกั เรยี นยกตวั อยา่ งสงิ่ ตา่ ง ๆ ทน่ี กั เรยี นพบเหน็ ทใี่ ชก้ ารแปลงทางเรขาคณติ เชน่ พนื้ กระเบอื้ ง และสรุปความรู้St

ในหอ้ งรับแขก ก้อนอิฐบนทางเท้า 3. นักเรียนกพิจาารรณแารูปปเรขลาคณงิตทสองามงิติ เรขาคณติ ไปใชใ้ นเรอื่ งใด
ไดบ้ ้างเช่น รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า
ติเพียงรูปเดียว เช่น รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปสี่เหล่ียมจัตุรัส หรือ
รปู แลว้ นาำ มาวางลงบนกระดาษ A4 โดยการใชก้ ารแปลงทางเรขาคณติ บนกระดาน จากน้ันใช้คำาถามกระตุ้น
ความคดิ ของนักเรียน ดังน้ี

น และการหมนุ จาำ กัดบนพืน้ ท่เี ต็มหน้ากระดาษ A4 2. นักเรียนศึกษา การนำาความรู้เกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณติ 181
• นักเรียนสามารถนำารูปหกเหล่ียม
ดังกล่าวไปสร้างสรรค์เป็นผลงานทาง

การแปลงทางเรขาคณิตไปใช้ในการ ศิลปะไดห้ รอื ไม ่ อยา่ งไร

(ได้ โดยใช้ความรู้เก่ียวกับการแปลง
ทางเรขาคณิต ได้แก่ การเล่ือนขนาน

แก้ปัญหาการสะท้อน และการหมุน นำามาสร้างสรรค์

เป็นผลงานทางศลิ ปะ)

ตา่ ง ๆ ทนี่ กั เรยี นพบเหน็ ทใี่ ชก้ ารแปลงทางเรขาคณติ เชน่ พน้ื กระเบอ้ื ง Step 2

สุดยอดคู่มือครู 4 181 สุดยอขดคู่มั้นือครคู ิดวเิ คราะห์
และสรุปความรู้

3. นักเรียนพิจารณารูปเรขาคณิตสองมิติ

พเิ ศษ

ep 2
St
ขนั้ คดิ วิเคราะหแ์ ละสGรPAปุ Sคว5ามStรeู้ps(Processing) ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
St St
สมองจะเกิดการบูรเณรียากนารรทู้ทักันษทะศีเตมวรื่อรปษทรี่ะ2เ1มินได้ว่า เรื่องที่กำ�ลังเรียนมีคแนววาขม้อสหอมบาOย-แNEลTะ/สPIำ�SAคัญต่อการดำ�เนินชีวิต
St St
ดังนั้น ในกตาัวรชส้วี ัดอนควรให้ผู้เรียนคิดประเมินเพื่อสร้างความหมายของความรู้ในมิติคุณธรรม จริยธรรม และ
คในา่ กนภกคายิ าาร2มรผ.นค2ะหเำาู้งิดมคราล.มวยีน2ักา/น/าม5กรชจ๑เู้ ้นิขะร๒อ่ืงกึ้นงารปนสะรตมะอือกรงาอืจบรูรระณนใ้GชาPเกA้กมาSราอื่ ท5รรักคSา่ษtะงeดิ ศpกตหsาวารยรคไษดวทาี่เ้ 2คม1ลส ดอ่ื มั ังน4ตพัว.ไอันหนยักา่ธวงเกตรข์ ขมียา่ออั้นไนรสีปสสงนนังว่าสGาำ้ีเมกนไ่ิงาตaปรรตtถใรว่h่านวชมe�าบง้ทrรใiฤๆวนnษมgกฎขเี้อบพจิ ทมก่อื ูลขรอเแงปนรพวมรีทขียาก้อโสกบาอรรเัสบทเไรปOยี ยใี-ชNบน้ปEรขTรจะ้ัน/ู้ยดัคทPุกIิดกS�ตำ วA์หลใิPเคหาrมุ่รคoาส้วcะาแหมeม์แลsยอลsาะะงiวสnสขพรgอุปรฒังคา้รวูปงนาเเมราปขราู้มน็คณศีหิตกั ลไยดัก้ ภกาาพรSt St
ของทตฤนษเฎอีบงทพโดที ายโตกใัวรชชัส้แว้ีไปัดผในช้ ภาพมาช่วยจัดความคิดเตหัวลอย่า่านงทใ้ี ี่ ห1เ้ ป+ น็ -- ระบบชดั เจน
4. การนาำ บไันปไใดชย้ าว 10 เมตร วางพาดอยู่กับผนังบ้าน โดยมีปลายบันไดจรดขอบหน้าต่าง
ค 2.2 ม.2/5 ดา้ นลา่ งพอด ี ถา้ เชงิ บนั ไดอยหู่ า่ งผนงั บา้ น 6 เมตร ความสงู จากพนื้ ดนิ ถงึ ขอบหนา้ ตา่ ง
1epกภาารรนะำางคาวนา/มรรวชูเ้ขบิน้รน้ั่อืงรงสาวนังมเขกอ้ตมูล ด ังตวั อนย ขักา่ ้ันงเสตรังียอ่Gเ กไนตปaสtนราhวี้มeดบrารา้iรวnนถมgลขน้อ่า�างมทเูลปฤแน็ษนวเฎทขีบ้อา่ สทไอรขบอOง-พNีทEขTาั้น/โคกPIิดSรวAัสิPเคไrรปoาใcะหชe์แ้ปsลsระiสnะรgยุปุกควตา์หมราู้ ความยาวของรูปเรขาคณิตได ้
GPAS 5 Steps 21
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี

1ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั ไปใตชวั้ ชวี้ ัด 4ต. ัวนอักเกยร ียาา่ นรงสนทาำาม ี่ ไาปรถในช�าดบ้ท+า้ันฤนษ--ไลฎดีบา่ ยงทาพขวออ งด1พี0ท ี ถา โา้เกเมชรตัสงิ ไบรป นัใวชไ้ปาดงรอะพยยาุกหู่ดตา่์หองายผAคู่กวนาับงัมบยผาา้ นวนขัง อ6บง รเ้ามูป1นเ0ตร ขรโเามด คคตยณวรมิตามไีปดสล ้ งู าจยาบกันพไน้ื ดดจนิ รถดงึ ขขออบบหหนน้าา้ ตต่าา่ งง

11 . นพค•ัาำกที ถเาราโeถมียกp้ารกนนสัรรักแะ่วเตลรมียนุ้ะกบนคันทไรวแภคทกมวกาาฤสาข2มบ่มรลษร.นด2้นัะฎคีครำาับงมบีคงสวาิดว.ทวนค2งัมจาพา//มเ5ดวมขะทีกรชาา้เูสอ้ัง้ินตรรโมกือ่นงมงู่้เรงราผคัสูล้ีนื่อไลิดปงใตเชห้ท่อ็นฤกษาโรฎดเรีบยียทในช-้
ดัง ตัวอยา่ งต อ่ ไปนี้ ดา้ นล่างเป็นเท่าไร

ตวั อย่างที่ 1 + -- โดยมCีปลายบัน6ไ ดเมจรตดรขอบหน้าBต่าง

2. นแ1ลัก.ะเรชนคียีวัำากนิตถเศรปามียึกรกนะษรรจาะ่วำาตกมวุ้นนัากรคันอeนpวแยาำา1สา่มไงดปคไงใรดิ คชรดว้ วาขบังมนั้นรสวคี้งัมเิดขก้อตเมหลู ็น โดยใช้ บันไดยาว 10 เมตร วางพาดอยู่กับผนังบ้าน

ดา้ นลา่ งพอด ี ถา้ เชงิ บนั ไดอยหู่ า่ งผนงั บา้ น 6 เมตร Aความสงู จากพนื้ ดนิ ถงึ ขอบหนา้ ตา่ ง

วธิ ีทด�าา้ น ล่างเป็นAเท่าBไร แทนความยาวของบันได 10 เมตร
AC แทนความสูงจากพ้นื ดนิ ถงึ ขอบหน้าตา่ งดา้ นลา่ ง
2 • ถ้านักเร1ีย. นนไักมเร่มียนีครว่วมามกันรแู้เสรด่ืองงควทามฤคษิดเฎห็นีบโทด-ยใช้ A
ep นพแลกัที ะเารชโยีกีวนรติ แขสัศปลแัน้กึระละษคส ะจดิาร บำาวคแพกวุปทล•ำาทีิเันาถะคกาครชาโอถรวมกลนวี ้ายรกิตานาับำาัสรปะา่ักมไแะรงเหปตจลระรไีย้นุะจะใ์รู้บนำาคชสวทไวนั้มง่กาอม่มผลยคีคบั ล่าิดวงจาตไดมะรส่องัรน่งู้เกรผี้ ื่อลางรตท่อเรฤกยีษารฎนเรีบียทน-
BC แทนระยะห1่า0ง เมรตะรหว่างเชงิ บนั ไดกับผนังบ้าน
2. เนอื่ งจาก △ ACB มี CAC^B6 เปมตน็ รมุมฉBาก

ว ธิ ที า�ว ิธีทา�BAเAน CCBื่อ งจแแแาทททกนนน AเBA△นรคคCะ จCววBือ่ยาาAา มมะ งCกหสยจแแแBาู่งาทงาวจ ทททมรกขา ฤะี กนนนอAห พงษ△วรคคCบ^น้ื่าะCนัBฎงววดเยไ นิาาชAเบีด ปงิมมะถ็นบCทงึ6หสยมันข เBพ่ามอุมไูงาดงตบฉวจ ีทกรมรหาAA ขาบักนะาี 1กอผAา้หCBโ0ตพนงกBวCา่2งั22บ^งื้นบ ร ่าดันB้างสัดา้นเนไ === นิชเดลจปงิ ่าถะงน็บงึ ไมนัขA1Aดอมุไ0ว้CCดบ2ฉ่า ก22ห-า บัก++น 6ผ า้ 6B2ตน2C่างั งบ2ด้า้านนล่าง

2. นักเรยี นศึกษา การนาำ ไปใช้
3. นทจัาฤกกษเeรนฎpีย้ันีบน2ใทพชขิจ้คอาำางรถพณแขาีลท้นัามeะแาpคสโกิดถ2รกวรบุปริเะคคโัสรจวตไาาแทขุ้นปะมล้นั หะยใครคสิด์์ชปรู้ ววุป้บิเัญคคารวนามาหะมกหรคา์ู้รกิดะาดขรอานนงำา

น3ัก.เรนทียัฤกนษเรดฎียงัีบนนทพี้ ขิจอ3า.งรพนนจทณัักาฤกีทกเาษเรรนแาียฎียั้นโนีบถนกใทพดบชขรงัิจ้คนอโัสาำาจ้ีงรถไพณทปาีทามยแาใโกถ์ชปกรบร้บัญะโัสจตนไทุ้หนปกยใคา์ชปรวก้บัญาะนามหดกรคารานกิดะนาำดขารอานนงำา
จ าก ท ฤษฎ จบี า ทกพทีทA ฤา1Bโ0กษ22 ร ฎสั == ีบจ ะทไAAด พ้วCCา่ที22 A ++า Bโ6Bก2C 2 ร2 ัส= จ ะไ==Aด ว้Cา่ 2 61 +40 0B C-2 36



ดังน A Cั้น2 ค=== ว611า 400ม20 -สA - 1 6ูง3C206จ 22Aา กC==พ นื้ =ดA10 ินC2ถ 2-8 ึง+ ข6 62อ2บหน้าตา่ งดา้ นลา่ งเทา่ กับ 8 เมตร



จากน้ันใช้คำาถามกระตุ้นความคิดของ ด งั น้นั ค วา มสูงจ AากCพ ้ืน=ด ินถ8งึ ขอ บ หนา้ ตา่ งด==า้ นลา่61ง40เท0า่ ก -ับ 83 เ6มตร


นักเรียน ดงั นี้ 747 4 คณติ ศาคสณตร์ติ ช น้ัศมาัธสยมตศ ึกรษ์ าชป้ันีท่ี ม2 เัธลม่ย2มศ ึกษาป AีทC่ี 2 เล=ม่ 2 8

ดังน้ัน ความสงู จากพ้นื ดินถึงขอบหนา้ ตา่ งด้านล่างเท่ากับ 8 เมตร

อ•ย• ่างจไาจรก(าโเจปกทน็ โรยปูจ์ สสทา่ิงมทเยห่ีโจล์ ท่ยี สมยมิ่์งกุมำาทฉหานี่โกจด) ใทห้ยเม์กื่อวำาาหดรนูปแดสใดหงค้ วเามมส่ือัมวพันาธด์รูปรทูป่ีไดแ้จสะมดีลังกษคณวะามสัมพันธ์รูปท่ีได้จะมีลักษณะ
อย• า่ จ7งา4กไโรจท(ยเ ์คป โณจน็ ิตทรศยปูา์ตสอ้สตงราก์ มาชรัน้เหหมาธัสลยิง่ มใยี่ ดศมกึ(คษมวามุ าปมฉที สี่งูา2ขกอเลง)่มไม2ไ้ ผจ่ ากปลายถึงพ้ืนดิน)
(เ••ปน็ ดจ้าาจนกปารรูปกะทกโอไี่ จดบ้มทคมุ วยฉาาม ์ก สขโงูอจจงราทูปกสปยาลม์ตาเยหอ้ไลม่ียง้ไมผกมถ่มุางึฉรพากห้ืน)ดาินสเปิ่งน็ ใสดว่ นใ(ดคขอวงารมปู สสาูงมขเหอลง่ียไมมมมุ้ไฉผาจ่กากปลายถงึ พ้ืนดิน)
(อไเด•••ปย•ห้ น็า่รนนงอืดจจกัักไไเเมา้ารารร่กนียียก((ไนนปโดรเสเจป)้ขรปูาียทมน็ะทนากรยรคปูอไี่ถ์วนดสบาสำามา้คม่ิงสคมวทัมุมาเวหพม่ีโฉาสันจลาัมมธทีย่กพ์จสมยาขันกมูงอธ์กท์จจมุงี่โำาาจรกาฉหททปูกายนฤกสป์กษด)ำาาฎลหใมบีนาหทเดยหพ้ไดไเทีลม้อมายี่โย่ือก้ไ่มารงผวสัมไารมถ่ มุดา(ใงึ ฉเชรนพ้หื่อูปาางกื้นคจแ)าวดสกาคมดินวสางูงเมจปคยาาก็นววโขาจอสทมง่วไยมส์น้ไัมผใ่ พดันขอธ์รงูปรปูทส่ีไดาม้จะเหมลีลย่ีักมษณมุมะฉาก
ไม้ไผย่ าว 15 ฟตุ ต้องการวางพาดริมกำาแพง ไเ(ไเจทดทเดะ••••••ป่าไ่า้หกด้หกน็ ับค้ครรดัดนจจบนนววอืาร้อืา้าาามักดนัักกวนไกกสไตาเ้มางเมัเปมรรรโรไนรพงจ่มรยีูปข่(ยีันียตะ้ไ้ทา(ไนธทผมกไนน์ดรยม่สคสอไ่ีดุมง)ู้งสือเ ์ดาบจฉ )้ขขโมา1า้าม้าจกีค5ยกมามุม2พทวรนา=ร้ืนฉมะายถรดคย(ามุมคต์ถนินะกหววสฉเ้อขาำนท่าาามงูงอค่าางขสำามไจกงอกรวูงครงา)สา(าก2ูปกวปมร+ำาัรมรแสปาหะ5สะพมพมา2ยลางัม)ามณกสสาันะเพับยหห1ิง่มัไธ4ันมใไล่า.พ์จ้ด1ไมงธย่ีผ4าขไ้่แนัจ์มฟ(กลผอาคตุมธะกถ่ทง)คมุวจ์ กวทึงาี่โฉาามพำมาจฤกาสแสกทืน้ษูงทพูง)เดยทฎขฤง่าอนิบี์กกกษับงเทำาับไดปฎหม้าพไ็นนบีไ้นมปีทสผรท้ไดาะ่จว่ กผโพานไอกก่แบดทีใรปมลดสั้อุามละขฉโมยาคกาอยาก่าวรงใถงชราสัึงไมูป้หพรมสสานื้ าคาู(งดใมเวเชนินทาเห้)ห่ือม่ากาลงสคจับ่ียูงาวจดมกาา้มาคมกนมุ โวสปจฉาูงรมทาจะกยยกาา์กอวโขบจอมทงุมไยฉม์ ้ไาผก่
ให้โคนไมไ้ ผอ่ ยูห่ า่ งจากกาำ แพง 5 ฟุต จะ•ไดน้คักวาเรมียสนมั เพขีันยธน์คควอื าม1ส5ัม2พ=ัน(ธค์จวาากมทสี่โงูจ)ท2ย+์ก5ำา2ห)นดได้อย่างไร (เนื่องจากความยาวของไม้ไผ่
ควรวางไมไ้ ผส่ งู จากพน้ื ดินเทา่ ไร เท•่ากับคดว้ารนวตารงงไขม้า้ไมผมุส่มฉูงจากากรพะย้ืนะดห่นิางเขทอ่างไกรำาแ(พปงรกะัมบาไณม้ไ1ผ4่แล.1ะ4คฟวาุตม)สูงเท่ากับด้านประกอบมุมฉาก

ไม้ไผย่ าว 15 ฟตุ ต้องการวางพาดรมิ กาำ แพง จะได้ความสมั พันธ์ คอื 152 = (ความสงู )2 + 52)
ให้โคนไม้ไผ่อยสู่หุดยา่ องดจคาู่มือกคกรู ำาแ7พ4ง 5 ฟตุ
ควรวไามงไ้ไผม่ยไ้ ผาวส่ 1งู 5จาฟกุตพต้นื อ้ ดงกินาเรทวา่ าไงรพาดริมกำาแพง

ใหโ้ คนไมไ้ ผอ่ ยู่หา่ งจากกาำ แพง 5 ฟุต

สุดยอดคู่มือคครูวรวา7งไม4้ไผส่ งู จากพนื้ ดนิ เทา่ ไร

สุดยอดคู่มือครู 74 • ควรวางไมไ้ ผ่สูงจากพนื้ ดินเท่าไร (ประมาณ 14.14 ฟตุ ) 5 สุดยอดคู่มือครู

พเิ ศษ

ep 3

ขั้นปฏบิ ตั แิ ละสรปุ ความร้หู ลังการปฏบิ ัติ (Applying and Constructing the Knowledge)
St
St การน�ำ หลักการท่สี รา้ งข้ึนไปปฏบิ ัติ ลงมือทำ� ลงมอื แก้ปัญหา ท�ำ ใหส้ มองต่อยอดความรทู้ ่มี ีอยเู่ ดิม เกิดความรู้
ทซ่ี บั ซอ้ นขนึ้ ยงิ่ ปฏบิ ตั เิ ปน็ ประจ�ำ จะเกดิ ความช�ำ นาญ กลายเปน็ ความเขา้ ใจทคี่ งทน ซง่ึ เรยี กวา่ องคค์ วามรู้ หรอื ปญั ญา
St
GPASG5PASSt5eSptseps G Pข้ันสังขGเกั้นตaสtรhังวeเบกrรiตaวnมgtขรh้อวeมบูลrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnขรgุปั้นคควิาดมวริเู้ คrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

ep 3 ep 3ข้ันปฏิบบแลตัูรขะณสิ้นั รปปุาฏคกิบบวตัูราามณิรรทาู้ กักาษรทะักศษตะศวตรวรรรษษทที่ี่ 2211 แนวข้อสอบ Oแ-นNวETข/้อPIสSAอบ O-NET/PISA

และสรปุ คหวลาังมกรารู้ ปฏบิ ตั ิ แบบฝกึ หดั ที่ 1
8. นหักลเรงั ียกนารแปบฏ่งบิกลัตุ่มิ กลุ่มละ 4-5 คน
แบบฝกึ หดั ท่ี 11. เขยี นภาพทไ่ี ดจ้ ากการเล่อื นขนานของรปู สามเหลย่ี ม ABC ทีก่ าำ หนดต่อไปนี้

8. นักเรีย นกแลนบแบุ่ มักนต่งเ่กพลรกรียะิละจนกดุ่มแาลาตน ุ่รม่ล กณะพแกลลิ จลุ้่วามาุ่มพรรลสิจูณประา้ารา งตณรภ4ู้ านปา-บพ5ตัแตท้ นรี่ไบคโดแจ้จนบบทา บยก์ 1. 1) เขเลีย่ือนYนภขนาาพนกทบั ีไ่ แดก้จนา Yก ขกนึ้ าไรปเ ล3 ่ือหนนว่ ขยน า2น) ขอเลงอื่รนปู ขสนาานมกเบัหแลกี่ยน มX ไAปทBาCงซ า้ทยกี่ 4 าำ หหนน่วยดตอ่ ไปนี้
แ ต่ ล ะ
1) 6 เล่อื นขนานกบั แกน Y ขึน้ ไป 3 หน่วย 2) 6 Y เล่อื นขนานกับแกน X ไปทางซ้าย 4 หนว่ ย
5
บนกระดากนา รเแลือ่ลน้วขนพาินจ า2 รขณ้อ ลางบในัตกรระโดจาษทเปยล์ า่ 4 5
กนาักรเเรลียื่อนน9ขแ. นตรนจว่า่ัาลกมนกเะกนร นักี2ยั้นต นลสขรรลุ่วมอ้่วจับ สสมผลอกรลงบั้นางใแงสนาลนภระกุแกปารกับสพะไ้ ่ิกงขดททลาี่่ีุ่เไมษขดอ้าเื่น้ใจปจ าลเเกปพ่า็ ่ืนอ 3 Y 4 Y
จากน้ันสลคับวาผมรลรู้ ว่งมากนันก ดับงั นก้ี ลุ่มอ่ืน เพื่อ 3A 6
9. รน่วักมเกรนัียตน รรว่1เ2วจล)) ่อืสมรรนอูกะปขบยนัตนาแะ้นนสหลแจ่าระะบงเุแปทรบกา่ะกสกห้ไับันิ่งขวทภ่ทากุางี่เปพจขรุดทะ้า่ีทกไใด่ีาสรจ้จมเานปกัยก็นกาั นร 2 6 X 2 X5
ความรู้ร่วมกขอันง รดูปังตน้นี้ แบบกับภาพที่ได้จากการ 1 1 54A2 3 4 5C 6 7 1C 4
1เล) อื่ รนูปขนตา ้นนแจ3เขล)อะบ อื่ งเสนทบร่ขวูป่านกนกตาัน้บขนนั จแอทภะบงเกุทาบเ่าปสพกก้ัรนบนั ทะภต่ีกไารพดางรท้ทจ่ีเ่ีกสาิดกมจนกาักยากกราั นร -2 -1-10 -5 -4 -3 -2 -1-10 B1 2 3 4 5 6 3
-2 B3 -2
-3 2 A

2. จห21))ุดา พ Aิกเเ ัดลลม-ขือ่อื่พี2อนนิกงขข-ดัภนน1---ขาาา1พ312อ0นนงทกกจไี่บับั ุดBดแแเ1จ้ ปกกา็นAนนก2 ก(XX5า ,ร ไไ2เ3ปปล)ทท ื่อเมาาน4งงื่อขขขเนววล5าาาือ่C น34นข ขหห6อนนนงาจ่ว่วน7ุดยยจ Aแแดุ ลล AXะะขข ตนนาาามนนขกกอ้ บับั กแแาำ กกหนนน ดYYใ นขล้ึนงแมตไ-ปา5่ล 2ะ2- ข ห4หอ้ นนต-่วว่่อย3ยไป-น2 ี้ 2 B1 2 3 4 C 6 X
1 5
-1-10
-2


3) เลือ่ นขนานกบั แกน X ไปทางซ้าย 4 หนว่ ย และขนานกบั แกน Y ขน้ึ ไป 3 หนว่ ย

2) ระยะหเ่ลาื่องนรขะนาหนวจะ่าเทงา่ จกนัุดแทละี่สขนมานนกัยัน กัน 3 .2 . 4จห)ดุา พ หจAิกเดุ าัดลมพข่อื พี Aอนิกกิ งข ดัดัภมนขาขาพีพอนองทกกิจงไ่ีบัุดัดดภแเ้จปขกาาน็นพอก กง(Xท-าจ 2รไี่ไุด,เปด ล-ทเ่อืจ้3ปาน)าง น็ขเซกมนา้ ก่อืย(า5เน าล4,ขรอื่ หอ2เนลงน)ขจ ว่อื่นเุดยมาน นAแอ่ื ขจลเุดนะล ขาAือ่นน นาตนขาขกอมนบัขงแ้อาจกกนุดนำาจห YAดุน ดล Aใงนม แาต ต3าล่ หมะนขขว่อ้ อ้ ยตกอ่ ไำาปหนนี้ ดในแต่ละข้อต่อไปนี ้
1) 1)เล อ่ื นขเลน่อืานนกขับแนกานน Xก ไับปแทกางนขว าX 3 ไหปนทว่ ยา งแลขะวขาน า3น กหบั นแ่วกยน Yแ ขล้นึ ะไขป น2 าหนนก่วยับแกน Y ขน้ึ ไป 2 หนว่ ย
ขเลอ่อื งนรขูปนตา น้นจ4จกแ)ะำาะ หเบเกปทนา็นบดา่รกแกเกลาตนััรื่บอ่ลเนละภจื่อขุดานนขพขาอนอทงงใรจนี่ไูปุดรดตะแ้น้จบตแ่บลาบะพกบจิกกกุดัดับ าฉภโรดาาพ ยก 2) 23))เเเลลล ื่่ืือออ่ นนนขขขเเลลนนนอ่ืื่อาาานนนนนกกกขขับับับแแแนนกกกาานนนนน XXXกก ไไไบบัั ปปปแแทททกกาาางงงนนซขซว้าา้ ยยาXX 444 ไไหหหปปนนนทท่วว่ว่ ยยยาา งงแแแลซขลละะะวา้ ขขขยานนน า4าา4นนน กหกกหับบับันนแแแว่ก่วกกยนนนย Y YYแแ ลลลขลง้ึนงะะมมไขขาปา น 2น33 า หาหหนนนนน่วก่วกว่ ยยยับับแแกกนน YY ลขงนึ้ มไาป 23 หหนน่วว่ ยย
3)
4)

3) ส่ ว น ขทอไ่ี ดงจ้ เากสก้ นารเตลอื่ รนขงนทานี่ มสคี มวามนสั ยมั พกนั ัธนก์ นั 5) 4)เล ื่อนขเลนือ่านนกขับแนกานน Yก ลบั งแมกา 4น ห Xนว่ ยไปทางซ้าย 4 หนว่ ย และขนานกับแกน Y ลงมา 3 หน่วย
ขเลออ่ื งนรขูปนตาน้นจโตเแทดะา่าบยมเกทแแบนั ตนา่ ก่กลวัแะบันจกภแุดนลจ าXะะพม ขหทีรนะร่ีเยือากนะติดใากนมจันกแาานรกวเลแกื่กอานนรไ ปY
3. จดุ A มีพิกัดของจุดเป็น (-2, -3) เมอ่ื เล่อื นขนานจดุ A ตามขอ้ กำาหนดในแต่ละข้อต่อไปนี้

หาพกิ ดั ของภาพท่ไี ดจ้ ากการเล่ือนขนานของจดุ A
1) เลื่อนขนานกบั แกน X ไปทางขวา 3 หนว่ ย และขนานกับแกน Y ข้นึ ไป 2 หนว่ ย

ท4จก)ะำไ่ีา ดหเกปจ้นา็านดกรกแเก ลาตารื่รอ่ล5เเ)นลละ จ่ือ่ืกอขาุดนนนรเขขลขานอื่อนอนางงใขนรจนูมปาุดรนคีตะแจว้นะบตาตแม่บ้อลบงสะพมบมัจจจีทิกดดุุกพศิุด ัAดAับทนั า เฉภธโมงลดก์ีพอ่ืาแานนพิกนัยกวขัด ขน ้อ(า2สน, อก3บ)บั พแOิกก-1ดันN6ข 4E XTอ /ไงปภPคIทณาS3452พิตาA))))ศง ทาซสไ่ีตา้ ดรยเเเเลลลล์ จ้ช 3่ออ่ื่ืื่ออืน้ัา มกหนนนนัธกยนขขขขมานนนนว่ศรึกยาาาาเษนนนนล าแป่ือกกกกลที นบบััับบัี่ะ2ขขแแแแเลนนกกกกม่ าานนนน2นน XXXY ลไไไปปปง(มทททเฉาาาาล งงง4ขซซย วหา้า้ ยยาน1 4ว่44 ย หหหแนนนน่ววว่ว่ คยยย324ดิ Y แแแลลละะะขขขนนนAาาา(2นนน, 3กกก) ับบับั แแแกกกนนน YYY ลขลง้ึนงมมไาปา 233 หหหนนน่ว่วว่ ยยย
โตดายมแแตน่ลวแะจกุดนจ Xะม หีระรืยอะตใานมกแานรวกเ12ับลแแ ่ืกอกAAนนน′′ ((ไ Y--ปY 11ล,, ง51ม))า 2 หนว่ ย คอื ขอ้ ใด
A( 1, 1) 1 X

4 3 2 1 0 1234
1

เท่ากัน 3 A′ (5, 1) 2

5) การเลอ่ื นขนานจะต้องมีทศิ ทา4ง A′(5, 5) 3

164 คณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 2 เลม่ 2 4

สุดยอดคู่มือครู 164 แนวข้อสอบ O-NET/PISA จดุ A′ มพี กิ ดั ค(อื เฉ(-ล1,ย1)) 1 แนวคดิ

Y

สุดยอดคู่มือครู 6 จุด A มพี กิ ัด (2, 3) พิกัดของภาพที่ได้จากการเล่อื นขนาน 4
จดุ A เลอื่ นขนานกบั แกน X ไปทางซา้ ย 3 หนว่ ย และขนาน 3 A(2, 3)
2
กับแกน Y ลงมา 2 หน่วย คอื ข้อใด
A( 1, 1) 1

พิเศษ

St ep 4

ขน้ั สอื่ สารและนำ� เสนอ (Applying the Communication Skill)

การถ่ายทอดความรู้ ความคิด ความรู้สึก โดยใช้ภาษา แสดงถึงความสามารถในการสื่อสารหรือปัญญา
ด้านภาษา กระบวนการนที้ ำ�ให้ผ้เู รยี นไดแ้ ลกเปลยี่ นความรู้ ทศั นคติซ่งึ กนั และกัน ถา้ นำ�เสนอโดยใชค้ อมพวิ เตอร์
หรอื สื่ออเิ ล็กทรอนกิ ส์ ผู้เรยี นกจ็ ะได้พฒั นาทักษะด้านเทคโนโลยีด้วย

การสื่อสารและนำ�เสนอเป็นการสร้างอารมณ์เชิงบวกได้อย่างดี เมื่อผู้อื่นช่ืนชอบผลงานของตน ช่ืนชม
ความส�ำ เร็จของตน ผเู้ รยี นจะเกดิ ความภาคภมู ใิ จ เกดิ แรงบันดาลใจท่ีจะสร้างสรรค์ผลงานต่อๆ ไป

บัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ ขั้นสื่อสารและน�าเสนอ ขั้นประเมินเพื่อเพ่ิมคุณค่า
ng Applying Self Regulatingand Constructing the KnowledgeAppขั้นlyปiฏnิบgัตaิแnลdะสCรoุปnคsวtrาuมcรtiู้หngลังtกheารKปnฏoิบwัตleิ dge
มรู้ ครูควรสอน เสริมความรู้ ครูควรสอนตัวช้ีวัด Apptlhyขien้ันgสCื่อthสoeารmCแoลmmะนm�าuuเnสniนciaอctioantSikoilรlnอบSรู้อkาiเlซรlียอนขแ้ันSบลปะeรโรลlะfเกู้อม-Rินาeเพgเ่ือซuเพlียa่ิมtนคinุณแgคล่า ะโลก-
ตัวช้ีวัด ep 4ep 4
ขน้ั สอ่ื สารและนา� เสนอ
2. หาปริมาตรของปริซมึ ตอ่ ไปน้ี St St

A ขั้นป ฏิบ ัติแล ะสร ุปคว ามร ู้หล ังกา รปฏ 2ิบ) ัต ิ A pp lyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�าuเnสiนcaอ1ti4o.n ผSkู้แillทนนักเรียขน้ันSปeร4lะ-fเม-5Rินeเคพg่ือนuเพlaอิ่มtอคinุณกgมค่าา

pplying and Construct2in ฟgุต the Knowledge นำารเสอนบรอู้อผาเลซงียานนแลหะนโล้ากช้ันเรียนพร้อม

20 น้วิ epรอว่ธ4มิบกายนั ปตรระวกจอสบอบโดคยวมามีนถักเกู รตียอ้นงและครู
องปริซมึ ต่อไปนี้ 1)

14. ผู้แทนขนนั้ ักสอื่เรสีายรนและ4น-า� เ5สนคอ น ออกมา
8 ฟุต 2) เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด
8 ฟุต
2 ฟุต 15 นวิ้ 9 นว้ิ

6 ม. 2. หาปรมิ าตรของปริซึมตอ่ ไปนี้ 12 น้วิ St St นำาเสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อมขน้ั สอ่ื สารและนา� เสนอ
5 ม. 1) 3 ฟ ุต
2) +-÷ × 14.epผ5ู้แทนขน้ั ปักรเะรเมียนิ นเพอื่ 4เพ-มิ่5คณุ คค่าน ออกมา
3) 15 นิว้
2 ฟตุ 20 นิว้ 15. นนอรว่ธกัำามิบเเรสกายียนนั อรนปอตนรว่ผธระาำแวลคกมลิบบจะงอวรจสาาบกาติกิ อมนาสยรบโราหนั สดธไู้คังานปปยครวตม้าณชมารชว่มีนะร้ันยะถักแวเเูกกรรนตียจียะออ้นนนสงแพาำบเลพอระ้ออื่คบโมนรดู คยวมามีนถักเกู รตีย้อนงและครู
8 ฟุต ที่ยังไม่เข้าใจเกี่ยวกับพ้ืนที่ผิวและ
9 นวิ้ ep 5epปยง่ิร5ขมิ ึ้นาตขรัน้ ขปอรงะบเปมรรกิินาซิเพรมึสอ่ื ังเใคพหมิ่มเ้ คกณุ ดิ คคา่ วามเขา้ ใจ
และจติ สาธขาร้นัณะประเมนิ เพอื่ เพมิ่ คณุ ค่า
15 น้วิ 20 นิ้ว91 .น2 ิว้ ม.
15. นกั เรยี นนาำ ความรไู้ ปชว่ ยแนบะนราำ ิกเพาอ่ื รนสงั คม
3 ฟุต 12 น้ิว 6 ม. 12 นิว้ St St

3) 5 ม. - ++--÷÷ ××
3. แสดงวิธีทำา + ÷ ×1.2 ม.

1) หาปริมาตรของปรซิ ึมซ่ึงมพี ื้นทีฐ่ านเปน็ 80 ตารางเซนตเิ มตร ความสูงเปน็ 18 เซนตเิ มตร

2) ปรซิ มึ สามเหลย่ี มมมุ ฉากมคี ว6า มม.สงู 16 นว้ิ ฐานเปน็ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก ซงึ่ มดี า้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ที่ยังไม่เข้าใจเก่ียวกับพแ้ืนลทะี่ผจิวติ แสลาะธารณะ

ยสปูงาีบว บ2 15ร7 รเ จซนุนนิ้วา้ำต ตแิเมลาลตะทอรกีร จงดะสา้บเี่นหรหลรนจ่ียุนงึ่มยำ้ามตาุมวา5 ฉล 1มไา5.ดก นก้ ก1้วิ่ลี ้น .กูป2ถบร ังมิามเศปา.ตกน็ เ์รรซขปู นอสตงีเ่ หปิเมลรติซ่ยี รมึมสจาตั มุรเัสหยลาี่ยวมดม้านุมลฉะา ก1เ3ป เ็นซ+เนท-ตา่ ไ÷เิ รมต×ร ปรมิ าตรของปรซิ มึ ใหเ้ กดิ ความเขา้ ใจ

3) 1ย5ิง่ .ขึ้น นกั เรยี นนาำ ความรไู้ ปชว่ ยแนะนาำ เพอ่ื น


3. 4แ)ส ดงปวริธิซีทึมำาแกว้ สามเหล่ยี มแท่งหน่ึงยาว 9 เซนตเิ มตร ฐานและสูงของหนา้ ตัดยาว 6 เซนติเมตร ที่ยังไม่เข้าใจเกี่ยวกับพ้ืนที่ผิวและ
1) แหลาปะ ร3มิ เาซตนรตขเิอมงตปรร ซิตึมามซลงึ่ มำาดพี บั นื้ ทปฐ่ีราิซนมึ เแปท็นง่ 8น0มี้ ตปี ารริมาางตเซรนเทตา่ ิเไมรตร ความสูงเปน็ 18 เซนตเิ มตร

52)) กปลรซิ่อมึงนสาำา้ มผเลหไลมยี่ ท้ มรมงสมุ ่ีเฉหาลกยี่ มมคี มวมุามฉสางูก 1ก6ว า้นงวิ้ 1ฐ.า5น นเป้วิ น็ ยราปู วส 3า มนเห้ิว ลสย่ี ูงม 4ม นมุ ิ้วฉ าจกะ จซนุงึ่ มำ้าผดี ลา้ นไมตไ้รดงขเ้ ทา้ มา่ ไมรมุ ฉาก ปรมิ าตรของปรซิ มึ ใหเ้ กดิ ความเขา้ ใจ
6 ) อยา่ งวเ ล1ีย้7 งนปวิ้ ล แาทลระงอสกี ีเ่ ดห้าลนี่ยหมนมึ่งมุ ยฉาวาก 1ก5ว น้างวิ้ 0ป.4ร0ิม าเมตรตขรอ ยงาปวร ิซ0.มึ 8ส0 าเมเตหรล ยี่สมูง ม0.ุม5ฉ0 าเกมเตปรน็ เท่าไร ยง่ิ ข้ึน
3) ตปอ้ีบงบกรารรจใุนสา้ำน่ ตา้ำ าใลนทอรา่ งงเสลเ่ี ้ยีหงลปีย่ ลมาม 0ุม.0ฉ9า6ก ลกกู ้นบถาังศเปก็น์เมรตูปรส ีเ่รหะลดย่ีบั มนจ้ำาัตจะรุ สสั งูยจาาวกดกา้ ้นนอล่าะง 1เท3า่ เไซรนตเิ มตร

+ -÷ × สูง 25 เซนติเมตร จะบรรจุนำ้าตาลไดก้ ี่ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร
4) ปรซิ มึ แกว้ สามเหลีย่ มแทง่ หนง่ึ ยาว 9 เซนตเิ มตร ฐานและสงู ของหนา้ ตัดพยืน้ ทาวผ่ี วิ 6แ ลเซะปนรตมิ ิเามตตรร 105

และ 3 เซนตเิ มตร ตามลาำ ดับ ปรซิ ึมแท่งน้ีมปี รมิ าตรเท่าไร

5) กล่องนำ้าผลไม้ทรงสเี่ หลยี่ มมมุ ฉากกวา้ ง 1.5 นวิ้ ยาว 3 นว้ิ สูง 4 นิ้ว จะจนุ ำา้ ผลไมไ้ ด้เท่าไร

าาตมรเหขลอย่ี งปมมรซิ มุ มึ ฉซากึง่ มมีพคี ้ืนวาทม่ฐี สางูน 1เป6 ็นน ปโวิ้ 8ด 6 ร0ฐ)ยิม ามตาอตนตีคา่้อางเงรเวรปกลแขาาี้ยนารน็อมงวงใปงสขรสเล่นป้อซปูาูงำา้ ทรสในนรสิซอ1งอตสึมบา2า่ ี่เงมหสิเเOลเลม่ีเเมี้ย-ย่ีหหงNตมตปลมลEลรรี่ยุมTายี่/ฉ ม0คแาP.มก0มIล9วSกมุม6ะAวา ้าลฉคมุงมกู าว0บฉส.กา4าศ0ามเงู ทกกเเกมเ์ ่ามปต วกซตร้็นาร ับง่ึย งรา มะว11ด3 ดี08บั4.8น4เ า้0มำ้าเน จซเลมตะตสตนูกรูงรรบจ ตสาคงากงู เิ ศขกว0มพน้.กาื้นา้5อตท0มม์เา่ผ่ี มเงยิวรมมเแทตตาลา่ะรมุวรไป ร ร ฉิมาาต(ปรกเรฉิมลา1ยต05รข1องปแนรซิวคึมดิ = พ้นื ที่ฐาน × ความสูง
= ความกว้าง × ความยาว × ความสงู
นว้ิ และอีกดา้ นหนง่ึ ยาว 15 นิ้ว ยปารวกมิ วาา่ ตควราขมอกงวป้างรกซิีเ่ มมึ ตสรามเหล่ยี มมมุ ฉากเป็นเท่าไร 144 = 3 × ความยาว × 12
จุน้ำาตาลทรงสี่เหลย่ี มมมุ ฉาก ก้น13ถังเ31ป เเ็นมมแนรตตวูปรรข ส้อสี่เ อหบล Oี่ย-มN EจT/ตั PรุISัสAยา24วด42้า น เเมมลตตะรร 13 เซ น ตเิ มตร ความยาว = 13464
ซนติเมตร จะบรรจุน้าำ ตาลได้กลี่ ปูกรบิมาาศตรกขเ์ อซงนปตริซิเมึ สต่ีเรหล่ียมมุมฉากเท่ากับ 144 ลูกบาศก์เมตร (เฉลย 1 แนวคดิ = 4 เมตร
ก้วสามเหลีย่ มแทง่ หนึ่งยาว 9 เซโยนดาตวยกมเิ มวีค่าตควาวรมา มฐสกาูงวน1้าแง2กลเ่ีเมะมตสตรงูรขแอลงะหคนวาา้ มตกดั ว้ายงาว3 6เม เตซรนคตวเิ ามมตยราว ดปังรนมิ นั้าตครวขาอมงยปารวซิ ยึมาวกว=่าควาพม้ืนกวท้าฐี่ งา4น-×3ค=วา1มสเมูงตร) × ความสูง
3ค×วาคมวกาวมา้ ยงา×วค×ว1า1ม20ย5าว
144 = สุดยอดคู่มือครู
=
ซนตเิ มตร ตามลาำ ดับ ปรซิ มึ แท่งน1้ีม1ีป รเมิมตารต รเ ทา่ ไร 2 2 เมตร ความยาว = 13464
าผลไมท้ รงสีเ่ หลย่ี มมมุ ฉากกว้าง 31.53 น เม้วิ ต ยร าว 3 นว้ิ สูง 4 นว้ิ 4 จะ4จ นุเม้ำาตผรลไมไ้ ดเ้ ทา่ ไร = 4 เมตร 7 สุดยอดคู่มือครู

งปลาทรงส่ีเหลี่ยมมมุ ฉากกวา้ ง 0.40 เมตร ยาว 0.80 เมตร สงู 0.50 เมตร ดังนนั้ ความยาวยาวกวา่ ความกว้าง 4 - 3 = 1 เมตร)

รใสน่ าำ้ ในอา่ งเล้ียงปลา 0.096 ลกู บาศก์เมตร ระดบั นา้ำ จะสูงจากก้นอ่างเทา่ ไร 105 สุดยอดคู่มือครู

พเิ ศษ

ep 5

ข้ันประเมินเพอื่ เพ่มิ คณุ ค่าบรกิ ารสังคมและจิตสาธารณะ (Self-Regulating)
St
St St
เม่ือสมองของผู้เรียนได้รับการเสริมแรงเชิงบวกอย่างสมํ่าเสมอจากสิ่งท่ีทำ� จะกระตุ้นให้คิดสร้างสรรค์
สงิ่ ทเี่ ป็นประโยชนเ์ พม่ิ ขนึ้ อีก หลอ่ หลอมเป็นนสิ ัยแหง่ การคิดการกระทำ�ในตัวผู้เรียน สามารถขยายผลไปสู่สงั คมได้
ตามมาตรฐานสากลและวิสัยทัศน์ในศตวรรษท่ี ๒๑

ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ ข้ันสื่อสารและน�าเสนอ Sขั้นประเมินเพ่ือเพ่ิมคุณค่า

Applying and ConstructinAgppขth้ันlyปeiฏnิบKgัตnaิแonลdะwสCรloุปenคdsวtgrาuมecรtiู้หngลังtกheารKปnฏoิบwัตleิ dge pplyingApplythขinั้นegสื่อCthสoeาmรCแoลmmะนmu�าunเnสiiนccaอatitoinoSnkilSl kill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมetคilnุณfg-คR่า egulating
ริมความรู้ ครูควรสอน เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด ตัวชี้วัด รอบรรู้ออาเบซียรนู้อแลาะโเลซกียนและโลก
5epe5p ข้ันประบเขมรกิินน้ั าเพรปสื่องัรเคพะมมิ่ เคมณุ ินคา่เพอื่ เพม่ิ คุณคา่
แบบฝึกหัดที่ 5 และจติ สาธารณบะรกิ ารสังคม
แบบฝกึ หดั ท่ี 51. ออกแบบเทสเซลเลชนั จากรปู ที่กาำ หนดตามจินตนาการ
11. นกั เรยี นน�ำ คว�มรไู้แปลชะว่ จยติ แนสะานธา�ำ เรพณอ่ื นะ

อกแบบเทสเซลเลชันจากรปู ท่ีก ำาหน1) ดต ามจ นิ ต นาก าร 2) 11.เท กี่ย่ียนังวไกัมก่เัเบขร้ก�ยีใ�จรนเแกนป่ีย�ำวลคกงับทวก��ง�มรเรนรขำ�ไู้ค�ปคว�ณชมิว่ตรู้ยแนะน�ำ เพอื่ น

2) เไขป้�ใเทใชจก้ี่ใยยน่ีย่ิงังกขึ้นวไ�รมกแ่กเับข้ปัญ้ก�ให�จ�ร เใแกห้เปี่ยกิดวลคกงวับ�ทมก�ง�รเรนขำ�ค�คว�ณมิตรู้

3) 4)

ไปใช้ในก�รแก้ปัญห� ให้เกิดคว�ม

5) 4) 6) เข�้ ใจยิง่ ข้ึน

2. ออกแบบเทสเซลเลชันจากรูปเรขาคณิตตอ่ ไปนี้

6)

3. ออกแบบเทสเซลเลชันตามความคดิ ของนกั เรยี นมา 1 ตวั อยา่ ง

อกแบบเทสเซลเลชนั จากรปู เรขาคณิตตอ่ ไปน้ี

การแปลงทางเรขาคณิต 187

อกแบบเทสเซลเลชนั ตามความคิดของนักเรียนมา 1 ตัวอยา่ ง

187 สุดยอดคู่มือครู

การแปลงทางเรขาคณติ 187

สุดยอดคู่มือครู 8

พิเศษ

ค�ำช้ีแจงในการใช้หนังสือเรียน

ท่ีได้รับการออกแบบให้สอดคล้องกับการเรียนรู้ของสมอง

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ๒ เล่ม ๒ เล่มนี้ ได้จัดทำ�ขึ้นตามมาตรฐานการเรียนรู้
และตัวชี้วัด กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน
พุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมีเนื้อหา กิจกรรม และแบบทดสอบที่เหมาะสมกับพัฒนาการของผู้เรียน กระตุ้นกระบวนการคิด
วิเคราะห์และพัฒนาทักษะทางคณิตศาสตร์ให้กับผู้เรียน ซึ่งสอดคล้องกับการเรียนรู้ของสมอง (Brain Based Learning)

5หน่วหยกนาว่ รยเกรียารนเรู้ทยี ่ีนรู้ที่ การแปลงทางเรขาคณิต

แผนผังสาระการเรียนรู้ แผนผังสาระการเรียนรู้
เป็นหัวข้อท่ีผเู้ รียนจะได้เรยี น
ในหน่วยการเรียนรู้น้ี 1. การเล่ือนขนาน 2. การสะท้อน
(Translation) (Reflection)
ตัวช้ีวัด
เป็นเปา้ หมายในการพัฒนาผเู้ รียน 4. การน�าความร้เู กยี่ วกับ การแปลง
ท่ผี เู้ รยี นจะไดร้ บั และปฏิบตั ิได้ การแปลงทางเรขาคณิต ทางเรขาคณิต
ในหน่วยการเรียนร้นู ้ี ไปใช้ในการแกป้ ญั หา
3. การหมุน
(Rotation)

ตวั ชี้วดั

✪ เข้าใจและใชค้ วามรู้เกีย่ วกบั การแปลงทางเรขาคณิตในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์
และปัญหาในชวี ิตจริง (ค 2.2 ม.2/3)

9 สุดยอดคู่มือครู

พิเศษ

ความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลม = 2πr เนอ้ื หา
พน้ื ท่ีของวงกลม = πr2
การหาพนื้ ที่ผวิ ของทรงกระบอก ครบตามตัวช้วี ดั และ
สาระการเรียนรูแ้ กนกลาง
อาจทดลองได ้ ดงั นี้ กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์
วสั ดุ : แกนกระดาษชาำ ระ กระดาษกราฟ ดินสอ กรรไกร (ฉบบั ปรบั ปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐)
• ลากเส้นรอบฐานของแกนกระดาษชำาระบนกระดาษกราฟ ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษา
แลว้ ตัดออกเปน็ วงกลม ขั้นพื้นฐาน พทุ ธศักราช ๒๕๕๑
• วัดความสูงของแกนกระดาษชำาระ แล้วตัดกระดาษกราฟ เหมาะสมกบั ระดับช้นั ของผู้เรียน
ให้มีความสูงเท่ากับความสูงของแกนกระดาษชำาระ แล้ว เนน้ การน�ำเสนอเนื้อหาจาก
พนั รอบแกนกระดาษชำาระใหร้ ิมจดกนั พอดี คลี่กระดาษกราฟ รูปธรรมไปสนู่ ามธรรม
ออกมา จะไดร้ ปู สเ่ี หลยี่ มผนื ผา้ นบั ดพู นื้ ทว่ี า่ มกี ตี่ ารางหนว่ ย
• นาำ กระดาษกราฟมาประกอบเปน็ ทรงกระบอก 1. การเลอ่ื นขนาน (Translation)
จะไดว้ า่ พื้นทผี่ วิ ข้างของทรงกระบอกเม่อื คลอี่ อกจะได ้ ดังน้ี
การเล่ือนขนานเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่จับคู่จุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุด
2πr ของภาพที่ไดจ้ ากการเล่อื นขนาน การเลื่อนจะตอ้ งไปในทิศทางใดทิศทางหนึง่ ในระยะทางทีก่ าำ หนด
h
AM
พื้นท่ผี วิ ข้างของทรงกระบอก = ความยาวของเสน้ รอบวง × ความสงู
= 2πr × h B N
= 2πrh C O
พน้ื ที่ฐานทง้ั สองของทรงกระบอก = 2πr2
พน้ื ทผ่ี วิ ของทรงกระบอก = พื้นที่หน้าตดั ทงั้ สอง + พน้ื ท่ีผวิ ขา้ ง รูปต้นแบบ ภาพทีไ่ ด้จากการเลือ่ นขนาน
= 2πr2 + 2πrh
เม่อื r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก จากรปู AM = BN = CO เพิม่ ความเข้าใจ
h แทนความสูงของทรงกระบอก
จะพบว่า AM // BN // CO นกั เรยี นสามารถศกึ ษาเกีย่ วกบั การเล่อื นขนาน
พ้นื ที่ผวิ และปริมาตร 107
รูปสามเหล่ียมดว้ ยเวกเตอร ์ ผา่ นไฟล์ .GSP
QR Code เพ่ิมความสนใจ เปิดดว้ ยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
เป็นการใชเ้ ทคโนโลยชี ่วย ได้จาก bit.ly/2BGeK0I
ในการเรยี นคณิตศาสตร์
อยา่ งสร้างสรรค์ สมบัติของการเลื่อนขนาน
1. ภาพที่ไดจ้ ากการเลอ่ื นขนานกบั รูปต้นแบบจะเท่ากนั ทุกประการ
สุดยอดคู่มือครู 10 2. จดุ แต่ละจุดที่สมนัยกันบนภาพที่ไดจ้ ากการเลอ่ื นขนานกับรูปต้นแบบจะมรี ะยะห่างเทา่ กนั
3. ภายใต้การเลอ่ื นขนานจะไม่มกี ารเปล่ยี นแปลงรปู รา่ งและขนาดของรูปต้นแบบ
4. การเลอ่ื นขนานจะตอ้ งมีทศิ ทาง

การเลอื่ นขนานในระบบพิกัดฉาก

ตวั อย่างการเลอ่ื นขนาน △ ABC ขนานกบั แกน X ไปทางขวา 5 หนว่ ย

Y

A 5 A′ เพม่ิ ความเขา้ ใจ
4
3 C′ นักเรียนสามารถศึกษาเกยี่ วกับการเลอ่ื นขนาน
C 2 B′ รปู สามเหลย่ี มในระบบพกิ ดั ฉาก ผ่านไฟล์ .GSP
123 45 เปดิ ดว้ ยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
B1 X ได้จาก bit.ly/2ScZRIP
-5 -4 -3 -2 -1-10

162 คณิตศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 2 เลม่ 2

พเิ ศษ

5. E

T

O NC A สรปุ

จากผลการส�ารวจ จะเห็นวา่ รปู สามเหลี่ยมสองรปู ท่กี �าหนดใหใ้ นข้อ 1. - 4. เท่ากันทุกประการ เป็นการสรปุ สาระส�ำคัญ
แต่ข้อ 5. ไม่เทา่ กันทุกประการ ดงั นี้ ของเร่ืองทเ่ี รียนในแต่ละหัวข้อ

1. AC^B = MO^N, AB^C = MN^O และ CB = ON

จะได้ △ ACB  △ MON

2. DE^F = HG^F, DF^E = HF^G และ EF = GF

จะได้ △ DEF △ HGF

3. TS^U = VS^U, TU^S = VU^S และ US = US

จะได้ △ TSU △ VSU

4. IJ^H = KJ^H, J^I H = JK^H และ JH = JH

จะได้ △ IJH △ KJH

5. EO^N = TC^A, NE^O = TA^C และ ON = CA

จะได้ △ ONE และ △ CAT ไม่เท่ากนั ทุกประการ

จะเห็นว่า ข้อ 1. - 4. เป็นการก�าหนดมุมคู่ที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน 2 คู่ และด้านคู่ที่สมนัยกัน
ยาวเท่ากัน 1 คู่ โดยด้านคู่ที่ยาวเท่ากันนั้นเป็นด้านระหว่างมุมคู่ท่ีมีขนาดเท่ากัน เรียกรูปสามเหล่ียม
สองรปู ทม่ี คี วามสมั พนั ธก์ นั แบบนว้ี า่ ความสมั พนั ธแ์ บบ มมุ -ดา้ น-มมุ (ม.ด.ม.) และทา� ใหเ้ กดิ ผลทตี่ ามมา
คอื มมุ คทู่ สี่ มนัยกันท่ีเหลอื อกี 1 คู่ จะมขี นาดเท่ากัน และด้านค่ทู ีส่ มนยั กันท่ีเหลืออกี 2 คู่ จะมคี วามยาว
เทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ

ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปใด ๆ มีมุมที่สมนัยกัน
โดยท่ัวไป รูปสามเหลี่ยมสองรูปท่ีมี มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านซ่ึงเป็นแขนร่วมของมุม
ความสมั พนั ธก์ นั แบบ มมุ -ดา้ น-มมุ จะเทา่ กนั ทั้งสองยาวเท่ากันแล้ว รูปสามเหล่ียมสองรูปนั้นเท่ากัน
ทุกประการ ซงึ่ เป็นไปตามสมบัตติ อ่ ไปน้ี ทุกประการ

เปน็ ความสมั พนั ธแ์ บบ มมุ -ดา้ น-มมุ หรอื ม.ด.ม.

144 คณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 2 เล่ม 2

11 สุดยอดคู่มือครู

พเิ ศษ

3. รำกทีส่ อง

พิจารณารูปสามเหลีย่ มมุมฉากตอ่ ไปนี้
A

2

B3 C

จากรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก ABC จะได้ว่า บทนิยาม
AC2 = AB2 + BC2
= 22 + 32 การใชค้ �ำจ�ำกดั ความทางคณิตศาสตร์
= 4 + 9 ท่ถี ูกตอ้ งตามหลักวิชาการ
= 13
เน่อื งจากความยาวตอ้ งเปน็ จา� นวนบวกเสมอ
ดังนัน้ AC = √13
เรยี ก √13 ว่า รากท่สี องทเี่ ปน็ บวกของ 13

บทนยิ ำม

ให้ a เป็นจ�านวนจรงิ บวกใด ๆ หรือศูนย ์ รากทสี่ องของ a คอื จ�านวนจริงท่ยี กก�าลังสอง
แล้วได ้ a

นักเรยี นพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ กิจกรรม
1. 62 = 36 และ (-6)2 = 36
รากทสี่ องของ 36 คือ 6 และ -6 เป็นแบบฝึกหดั ที่พฒั นาทักษะทางคณติ ศาสตร์
6 เปน็ รากท่สี องทเ่ี ป็นบวกของ 36 มีจ�ำนวนข้อและความยากงา่ ยเหมาะสม
-6 เป็นรากที่สองทเ่ี ปน็ ลบของ 36 ในการเรยี นรู้

2. 112 = 121 และ (-11)2 = 121
รากทส่ี องของ 121 คือ 11 และ -11
11 เปน็ รากทส่ี องทเี่ ปน็ บวกของ 121
-11 เป็นรากท่ีสองที่เปน็ ลบของ 121

จา� นวนจริง 17

4. ก�าหนดรปู สเี่ หลย่ี ม ABCD ดงั รปู รูปส่เี หลีย่ ม ABCD มีพื้นทเ่ี ทา่ ไร
D 20 C

26 26

A EF B
68

5. ก�าหนดรูปสีเ่ หลี่ยม ABCD มี AB = AD = 9 เซนตเิ มตร และ BC = DC = 12 เซนติเมตร
เส้นทแยงมมุ AC ยาว 15 เซนตเิ มตร รูปสามเหล่ยี ม ACD เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉากหรือไม่

A
9

BD
15
12

นา่ คดิ -นา่ ลอง ? นา่ คดิ -นา่ ลอง C
เปน็ กจิ กรรมเสริม เพอื่ พัฒนา
ทกั ษะทางคณติ ศาสตร์ B กา� หนดให้รูปสามเหล่ียม ABC ที่มี AC^B เป็นมมุ ฉาก
ac ดา้ นประกอบมมุ ฉากยาว a และ b หน่วย ตามล�าดับ
สุดยอดคู่มือครู 12 ด้านตรงขา้ มมมุ ฉากยาว c หนว่ ย
CbA จากทฤษฎีบทพที าโกรัส จะได้ c2 = a2 + b2

1. ถ้ารูปสามเหลยี่ ม DEF มีความยาวแต่ละดา้ นเปน็ 23 เทา่ ของความยาวดา้ นของ
รูปสามเหลีย่ ม ABC แล้วรูปสามเหลยี่ ม DEF เป็นรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉากหรอื ไม่

2. ถ้ารูปสามเหลย่ี ม KLM มคี วามยาวแต่ละดา้ นเป็น 2 เท่าของความยาวด้านของ
รูปสามเหล่ียม ABC แล้วรปู สามเหลยี่ ม KLM เปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉากหรอื ไม่

ทฤษฎบี ทพีทาโกรัสและบทกลับ 73

แบบฝกึ หดั ท่ี 4 พิเศษ

1. หาพื้นท่ีฐานและพื้นท่ีผิวขา้ งของปรซิ ึมตอ่ ไปนี้ แบบฝึกหัด
เป็นแบบฝึกเพื่อให้ผู้เรียนเกิดทักษะ
1) 8 ซม. 6 ซม. ทางคณิตศาสตร์ตรงตามหัวข้อท่ีเรียน
และตรงตวั ชวี้ ดั
10 ซม.
10 ซม.

2)

3 ม.

4 ม. 5 ม.

3) 7 ฟตุ
2 ฟตุ
4) 4 นิ้ว
9 ฟุต
3 นว้ิ 4 นิ้ว

100 คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 2 เล่ม 2

2) ปเมร่อื มิ ตาัดตทรข่ออนงไทม่อ้อนอไกมเปแ้ ตน็ ล่ 4ะ ซซีกกี เทา่ ๆ= ก ัน 41 แ×ต ่ลπะrซ2hกี มีปรมิ าตร 41 ของไมท้ ่อนเดมิ


≈ 14 × 3.14 × 42 × 8
≈ 100.48 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร
ดงั น้ัน ทอ่ นไมแ้ ต่ละซกี จะมีปริมาตรประมาณ 100.48 ลกู บาศก์เซนติเมตร

ตัวอยา่ ง 4ตวั อย่างที่ + --
เปน็ แนวทางในการท�ำแบบฝึกหัด
ถงั เกบ็ นำา้ ทรงกระบอกมีรศั มีภายในยาว 0.85 เมตร มคี วามสงู ภายใน 1.5 เมตร

ถงั เก็บนำา้ ใบนี้จุน้ำาไดก้ ีล่ ูกบาศก์เซนติเมตร (กำาหนด π ≈ 3.14)

วิธที าำ สามารถเขียนเป็นรปู ได ้ ดังน้ ี

1.5 ม.
0.85 ม.

ปรมิ าตรของทรงกระบอก = πr2h

≈ 3.14 × (0.85)2 × 1.5
≈ 3.4 ลกู บาศกเ์ มตร
เนอ่ื งจาก 1 ลูกบาศกเ์ มตร เท่ากบั 1,000,000 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร
จะได้ 3.4 ลูกบาศก์เมตร เท่ากับ 3.4 × 1,000,000
= 3,400,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ดังนนั้ ถังเก็บนำา้ ใบนจี้ นุ ้าำ ไดป้ ระมาณ 3,400,000 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

ความรเู้ พมิ่ เติม รัศมวี งกลมใหญ ่ (R) รศั มีวงกลมเลก็ (r)
ความสงู (h)

ปรมิ าตรเนอื้ ทอ่ ทรงกระบอก = ปริมาตรทรงกระบอกใหญ ่ - ปรมิ าตรทรงกระบอกเลก็
118 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 2 เลม่ 2

13 สุดยอดคู่มือครู

พเิ ศษ

สุดยอดคู่มือครู 14
แนวค�ำ ตอบของหนงั สอื เรยี น 2. 1เข)ียน0ในจนหท.¶2ะาาำำ้ศไ11นด00ยิ้ 00ม,0คซ0ูณํ้า0ตNจ1อ่คาำ0ไณูน0ป=วNจนนำาใ้ี นทน0=วัง้.ร¶2สนูปอทเ1ศงง้ั 2ขษส.้า3อสง4งขว่ 5ขนอ3้างง4(สหข5มอ3นก4งา้ ส5า1ร.ม.1.ก) าร นนาำ าำ 1010,ค0ณู00จาำคนูณวนจทาำ น้งั สวอนงทขง้ั า้ สงขอองงขส้ามงขกอารงสมการ 3. จาํ นวนในนแาำต่ล1ะ0ข0้อคตณูอ่ ไจปำานน้ีเปวน็ ทจําัง้ นสวอนงตขรา้ รงกขยอะงหสรมอื กไมาร ่ เพราะเหตุใด (หน้า 11) 4. (หน้า 11)
ร�ยวิช�พนื้ ฐ�น คณติ ศ�สตร์ ม.2 เล่ม 2 2 1) 1540---9108.75391).0¶55จดจสให.ะะมงั0คคคเเเเเเเ้ไไนปปปปปกปป¶2ดดอือือื ¶น้ั1็น็น็็นน็็น็นา้้ ร-จจจจจจจ1541าำำาาำาำาำำาำา10=1639นนนนนนน2030.ววววววว504¶5นนนนนนนลN7¶1+ตตตตตตตบ09รรรรรรร-=ด009รรรรรรร.้วNNกกกกกกกNN03ยยยยยยยย¶2สะะะะะะะ+¶1===N=มเเเเเเเพพพพพพพ94ก79รรรรรรราาาาาาาา(4=4ร94ะะะะะะะ477=97สเสสเสเ7ปปป.1าาาา4.็น็น็น40มมมม737.เเเาาาา40ศศศ49รรรร47¶2ษษษถถถถ797¶41เเเเสสส4ขขขข7ว่่ว่ว7ียียียยี.นนน..นนนน...ใใใใ)หหหห-อ้้ออ้้อ(ยยยย0่ใูใู่ใู่่ใู .นนนน4รรรร7ูปปูปูปู4เเเเ7ศศศศ4ษษษษ7สสสส..่ว่ว่ว่ว.)นนนนไไไไดดดด้้้้
จจะไะดได้ ้ 100N = 106,40.60406N464.=.. 2143.4343... 2 3 2 1) แตล่ ะคนต้
สสมมกการาร2 3ลบลดบว้ ดยว้ สยมสกมารกา1ร 2 2) 2) ในทางปฏบิ ั
หนว่ ยก�รเรยี นร้ทู ่ี 1 จ�ำ นวนจรงิ ดจงั ะนไั้นด้ 100N,00=0N 0=.2221.2..345.345345345... 13 จจะไะดได้ ้ 1010N0,0-0N0N =- 10(604N.646=464(..2.)1-43(0.4.6344634..6.4).-..)(21.4343...) ทศนยิ มซา้ำ
นสาำ ม1ก0าคร ูณ3จาำลนบวดนว้ ทยงั้ สสมอกงขาร้างข2องสมการ 1 3) 3) (ตวั อยา่ งคำ
1. จ�ำ นวนตรรกยะ จจะะไไดด้ ้ 1100N,000=N -2.120202N = (12345.345345345...) - (212.345345345...) 0สดในจจนดห2ดจนดใ.ะะมงัาาำำงั6ห.้ไไะนนงัางัำ¶ก7911ดด้ไนนนั้นั้¶¶8,03า1ด้้0รน้ัน้ั00ค1้ =0,0ณูค30.10ค06ณู¶จ02ล0.14ูณ¶ำา2NNNจNบ0น+19จาำNNNดว=¶49นำา0น้ว¶NN====น3ว.ยท9ว69น===¶ส3ัง้น49=ท006=6=สมท9..7.ง้ัอก667,งั้ 8419009สง¶778าส.6,,0...ขร96อ¶877890อ99340า้49788¶ง56333งงN2NN877ขข1033ข788า้้า3.อ87..งง...ง.8ข.ข.===.ส...ออ.ม.งงกสส21492ามม,,,,ร11909กก22650า2า2ร010ร 4) ให้ 2 คน จ่
5)
น่าคิด-นา่ ลอง (หน้า 10) สมการ 2 ลบดว้ ย9ส9ม,9ก0า0รN1 = 12,333 2. จำ�นวนอตรรก
00ดสดนจใใจดจด00ดดสดจในนจจใหห..ะะะมงัำังงาัังหห14¶..ะะะมงังัาำงาัำ้้ไไไนนนน66¶ก23้้ไไไดดดนนน1ก4¶114¶นั้ัั้น้น้นั¶3ดดด¶7า้้้ั้นั้น้ัน,00าร40้้้ ร0¶50ค0NN0201ค00N1ูณ3..111¶420¶..01ูณค,,610ลNจ00300ล==ณู¶420บ¶00จ7=ำาNNNN=¶3Nบน-00าำดจ94น=ดNNว=ำา้ว92NNNN00N9¶-5วนนว้=0===ย..9-11นย1.วท942ส994¶6=220นสท059Nั้งN93N======ม¶4¶33NNNN0066สมทงั้79ก44...4ส19อกัง้¶66455า.92อส=00(==4ง92ร4444า¶32N,,====ข..3รงอ444439¶44.ข7า้244.ง510333.ง.้า2(42ข...34930¶7474ข..ง=(5232459้า.4.394363ขอ8ง.75890597374.7อขง..74.)..สงอ4419.43-สม4ง39237สม47,,ก(74390.ม4กา3.30..3ร2ก7า)307ร2า-42ร3(..67.)..4..4)4-..(.0) .437412131327437...) 6) แบบฝกึ หัดท่ี 2 (ห
1เ3ข..ยี น01ท..45¶ศ¶7¶5นิยม==ซํา้ ต194่อ95+ไป0น.5ใี้¶7นรปู เศษสว่ น 2. 0.6¶3 = 36+39-00.624¶53¶= 9507 6) 1 7) 1. จํานวนตอ่ ไปนี้
4. 3.24¶5¶3 = 8) เพราะเหตใุ ด (
= 1 + 579-0 5 = 3 + 2,495,390-024 4) 21
= 1 + 5902 = 3 + 92,,942009 2) 32 03--061..5195242¶.+03¶57¶8¶1+นสจจจนดด×72ะะะมาำำางััง01คคคคคเเเเไไไนน5ปกปปป.116ดดด3ืออืืออืือ้ันั้นน็น็็น็น,0า้้้0ร0192จจจจคคเเ12940ค93ปป94าำำาำาำา81891อืือ05น็น็นนนนูณ093,0.--จจววววค0จ0นนนนาำำา111ล¶2ณู8ำานน0807ตตตต¶1บ0นNวว7011จรรรรดวนน,รรรรำา=0-น้วตตกกกก1น90ย0ยยยยทรรว9105รรNสะะะะ0้งัน0NกกNNNสมN+Nเเเเทยยพพพพอกงั้ะะ9รรรรงา2สาาาา9เเ=======ขร1พพะะะะอ0้าสสสสรรงง2าาาาาาขข=52(200มมมม9ะะ2า้2อ11..สส9าาาา3ง0211รรรรง.0าา537ข221.ถถถถมมส20อ1123เเเเาาม1ขขขขง221รร732ยีียยียีกส112ถถ01นนนนา221มเเ2ขขรใใใใ11.ก.1ียียหหหห...า...นน้ออ้้ออ้...ร.ใใยยยย)หหใูู่่ใใู่ใู่ -นนนน้ออ้ ยยรรรร(0ปูปูปูปู่ใูู่ใ.นนเเเเ2ศศศศรร1ษษษษปููป2สสสเเส1ศศว่่ว่ว่ว2ษษนนนน1สสไไไไ.ดดดด่ว่ว..นน้้้้) ไไดด้้ 1 1) 0
= 15920 = 3 92,,940209 8) 2 2) 3.789789..
5. 0.4¶319¶ = 4,391,999-0 4 6. 21.¶34¶8 = 21 + 0.¶34¶8 3) 9) 3 3) 1.0101101
= 49,,931905 = 21 + 939498 5) จนะไำาด1้ 010,0ค00ณู Nจ-ำาน1ว0นNทง้ั =สอง(ข67้าง8ข.7อ8ง7ส8ม78ก..า.ร) - (6.787878...) 10) 4) 6.6161161
จะได้ 100N99=0N 9=3.33637.2.. 3 11) 5) -0.3737...
79)3). 0ดใจนดห3ดใสจ.ะำาังังจ2ห.้ไะมนนัง1าํ4¶1ด้ไนน้นัั้น4ก0¶7¶ด้ ัน้¶03วา้ นรค=10ใ0.ูณ2น6310¶3.7แจN90NN¶8ต¶าำล3+0นN่ลNบ=ว0ะ====ดน.ข-4¶ว้=้อท1172¶ย1916NN002ต้ัง0ส250..1ส+่อ22N.NNN0มอไ114ป==.11ง443ก¶4¶ขน45¶343า7¶้า====43้ีเรปง69113.=ข.็น7961..2.อ0252.จ(89811ง29าํ4ส0544น311ม.ว543กน3าต3รร..ร.)ก-ยะ(ห9ร.3ือ3ไ3ม. ่ .เ.พ)รา21ะเหตุใด (หน้า 11) 12) 6) √3
= 18,96938 = 21 + 313163 13) 7) 3.414
แบบฝกึ หดั ท่ี 1 (หน้า 11) = 21311363

1. เขยี นเศษส่วนตอ่ ไปน้ีในรปู ทศนยิ ม (หน้า 11) = 5.¶2
1) 341 2) 497 = 3.¶92307¶6
3) -4112 = 7.75 4) 1531 = -0.075 ดงั นั้น N = 0.646464... 1 14) 7.967 ÷ 3.1 เป็นจำานวนตรรกยะ เพราะสามารถเขยี นใหอ้ ยูใ่ นรูปเศษส่วน 8) 272
5) 2792 = -3.¶8¶1 6) -430 ได้ คือ 73,,190607
= 3.5¶9¶0

2. 1เข)ียน0ในนจหท.ะ¶2ำาำา้ศไ11ดน00้ ยิ00ม,0คซ0ณู า้ํ0ตNจ1ค่อาำ0ณูนไ0ป=วNจนนำา้ใีนทน0=วง้ั .ร¶ส2นูปอท1เงั้งศ2ขสษ.้า3องส4งขว่5ขอน3า้ งง4ส(ข5หมอ3นก4ง้าส5าร.1ม..1ก)าร 2 นาำ 100 คณู จำานวนทั้งสองขา้ งของสมการ ด1ัง)น5้ัน.1 เNปน็ จ=ำานวน0.ต4ร7ร4ก7ย4ะ7เ.พ..ราะสามารถเขยี นให้อยูใ่ นรูปเศ1ษส่วนได้ 4. (หนา้ 11) 2347 82.¶3
ดจังะนได้ัน้ 100N,000=N 0=.2221.2..345.345345345... 13 จจนสะะมำาไไก1ดดจนจส0า324้้ะะมำาร0)))ไไก11ดดค2-00า-19้้8ูณร7050.ลN10จค12¶05บาำ09ูณ-0นด09ลNคคเเเจวว้NNN1ปปปบำานอือืย09น็น็็น-นด09สท-จจจ51ว้วNNN===ม้งัาำาำำา016นย9นนนส3ก0สทวววอ5านนน===(44มั้งร4ส77ตตตขก7.อา้รรร1า4.งรรร(444รง74ขกกก777ข47อยยย.4า้174.งะะะ7447ขส47เเเ74พพพอ7ม4.7..รรร7งก.4.าาาส.47า)ะะะ7มรเ.สเ-ปป..ก.า..น็น็(มา)0เเรา-ศศ.ร4ษษถ(70เสส4ข.่วว่74ยี นน47น74ใ.7ห..4อ้ )7ย.ใู่.น.)รปู เศ2ษส2่วนได้ 1) แต่ละคนตอ้ งจ่ายเงนิ จาำ นวน
จะได้ 100N = 64.646464... 2 10) 105ในดดห).ำาังัง0้นน¶215ใดนด¶้นัั้น1095786ห.ำงาังั0)))))้คนน¶21=3ณู¶น้ัน้ั0403-10..91394¶45¶จค=7¶8¶าำ3ูณ+น.=4¶5จว07¶คคคเเเเเำาน.N+ปปปปป0น3อือืือท¶น็น็็น็นน็=2ว0+¶ง้ั101จจจจจ241น.9N=NNส0ำาำำาาำาำา83ทนนนนน94อ¶297+¶วววววั้ง1นนนนน=NNส==ข9494ตตตตตอ=า้7979งรรรรรงขรรรรร==00ข943กกกกกอ..=้า970049ยยยยยง¶2297ขสะะะะะ00¶113อม..เเเเเ200พพพพพ49งก1¶2297สรรรรร¶า211าาาาามร12ะะะะะกสเสสส.1ป.าาาา.า2็นมมมมร1เาาาา.ศรรรร..ษถถถถเเเเสขขขข่วยีียยียี นนนนนใใใใหหหห้ออ้อ้้อยยยย่ใู่ใูใูู่่ในนนนรรรรูปปููปูปเเเเศศศศ1ษษษษสสสสว่่ว่วว่ 1นนนนไไไไดดดด้้้้ = บาท
นำา 1น0าำ,0100ส0,ม0คก0ูณ0ารจคาำ2ณู นจวลำานบนทดวั้ง้วนสยทอสงั้มสขกอา้ างรงขขอ1้างขสอมงกสามรการ จนะำาไ1ดจน,0้0ะาำ )0ไ1ด00,้0.ค20¶5ูณ0¶1จคำาณูคเน1ปือ0จวน็ Nำานจ94น1ำา89ท0นว้ังNวนสน=ทอต้ังรสขร=0อา้ก.ง2งยข1ขะ0อ2้า.เง12พขส21รอ1ม2า.ง1ะก.ส.2าา1มรม.ก.า.ารรถเขียนใหอ้ ย่ใู นรปู เศ2ษส2่วนได้
จะไดจ้ะไดจ้ ะได้ 11000,N0100-0,N0N00N== (6=241.46324.614436344.34...3.).4-3.(.0..646464...) 3 3 จจสะะมไไกดด111จสจา123้้ะะมร)))ไไก1ดด3--,า61้้0ร5250.+ล031703,บ+N×0271ด0,ล001คคเ-0ว้5ป9.บ603Nอืือย19็น10ด,ส0029จNคเเ10-ว้3ปปNมN949Nาำ10อื ยน็็นน9091ก0ส-จจว00NานNาำาำ====ม1NNร8นน8ตก0วว7ร2านนร====2(29ร22ตตก11911ยรร.022.รระ2(2291กก221119เ211ยยพ.2012.ะะร1221า2เเ112พพะ12ส.1รร..1า.2.าา.2มะะ1)1สสา.-ร..าา..ถมม.()0เาาข-รร.2ียถถ(1นเเ0ขข2ใ.ยีียห12นน21้อ12ใใยหห.1ู่ใ.นอ้อ้.2)ยยร1ปูใูู่่ใ..นนเ.ศ)3รรษปูปู สเเศศ3ว่ ษษนสสได่ว่วนน้ ไไดด้้ 2) ในทางปฏิบตั ิแต่ละคนจะจ่ายเงินสดไม่ได้จรงิ เพราะในหลกั สตางค์เปน็
ดงั น1ดั้น4งั )น5นั้7..09¶265¶71.0÷¶2=3¶1.15ค=N+เไือปด5็น-9้ 2ค9Nจ=11+1อื 0ำา70น109732ว9==5,,1น190360ต57307ร=50ร33ก73537ย00ะ373เพ0ราะสามารถเขียนให้อยู่ในรปู เศษสว่ น
ทศนิยมซา้ำ แบบไมร่ จู้ บ

นสาำม1ก0ารคณู 3จลาำ นบวดน้วทยง้ัสสมอกงาขรา้ ง2ของสมการ 1 สมกสามรก3ารล3บดลว้ บยดส้วมย9ก9สาNมรก2า=ร 264 3) (ตัวอยา่ งคาำ ตอบ) ใชก้ ารประมาณคา่ ของทศนยิ มใหเ้ ปน็ จำานวนเตม็ เช่น
82ดใจห).ะัง9้ไน¶3ด2ดจใัน้ ห6.้ะงั9=)้ไน¶3ด01้ัน0ดใจนนด2้.0ห=2.ะังำาาำงั,6+10้ไนน¶70111Nด¶402ั้นน้ั¶80,0.0¶้0032.,+0คN910N=¶003¶40ูณ=0.1¶-03ค96¶.จ0N9,4ูณ¶1ำาN=149NN0¶3=น0,,0.จ-0999ว=00าำ¶653,นN1===นN1490NN10ท0,,0ว.699090ง้ัน049¶56300=6สNNทNN====01...อ667ั้งง¶778สข69¶878อ====(21492า้49278ง,,,,ง11871099ขข27824650า้อ(214928.ง231002.ง,,,,.ข.1.11099.ส4.อ224560ม3ง2230104กส.34ามร.3ก..4า)3ร-...()2-1.(42314.34.3..4)3...)
จจะะไไดด้้ 10100,N000=N -21.20202N = (12345.345345345...) - (212.345345345...) ให้ 2 คน จ่ายเงินคนละ 82 บาท และอกี 1 คนทเี่ หลือจ่ายเงนิ 83 บาท

0ใจสด0ดนดให.หะม.งั4งัำางั¶6้ไน้นนก34¶ด1ัน้¶7าน้ัั้น0้ รค020ณู1..¶201จลN2ำาNNบ=¶3น-ด49ว¶5้ว92NNNNน==ย9ท=ส9ั้ง,====ม00ส9ก..091อ66092าง44¶0(229รNN,,ข2439.¶4.้า40321ง3.032ข.¶==7.2อ.ง..ส)191ม2-29,,,ก3(930า303ร.303222...) 2. จ�ำ นวนอตรรกยะ

6= 5907 แบบฝกึ หดั ที่ 2 (หน้า 16)
.24¶53¶ 1. จาํ นวนต่อไปนจ้ี าํ นวนใดเปน็ จํานวนตรรกยะ จํานวนใดเปน็ จาํ นวนอตรรกยะ
4) 1 เพราะเหตใุ ด (หน้า 16)
,495,390-024 2) 2 1) 0 เป็นจาำ นวนตรรกยะ เพราะสามารถเขียนใหอ้ ยู่
,,940290 1 8) 2) 3.789789... ในรปู เศษสว่ นได้ คือ 10
09 3) 3) 1.010110111... เป็นจำานวนตรรกยะ เพราะสามารถเขียนใหอ้ ยู่
0.¶34¶8 5) ดจังะนได้นั ้ 10N N= =6.4404.4..3.7437437 12 สจนนจจดะะะมำาาังำ ไไไนก11ดดดจดจนนจสนั้00า7้้้ะะะมงัำาำาร0)ไไไคนก11ดดดค1ูณ้ัน300า10จสดจใด้้้01ณูรห00.ะะมจงังัค002ล0้ไไนนจาำกค1NN1Nูณดด3Nบ1น้นันั้ำา4¶า01ณู้้0นรดจ¶3ว00ล11-0จวาำนว้NNN===,,0Nบ3น00าำนย1ท9.00นด6ว0สท0งั้-ล¶007วน้วNN===NNN099สมงั้NN¶8บนย1ท..39สอก93ด0สท.0-อั้ง=333าว้9===NNN099ส===ม้ังขร333ย19.3.สขอา้ก33.9300ส11..งอ้า2ง..N.333าN61NN060มข..ง===(8ขรง98..33325..79ขกอ422ขา้403.383อ.11างา้2....====.ร447ข¶..สง(8398..9¶833ขสอ4ม3042347อมง3ก6(691183.6สง.37ก9716า7..7ส.ม.32ร20258.า)8ม3รก..-.7..กา.8.(รา)97ร-8.37(3893....3..).3)-3.(.6.).787321878123..1.) 3 ในรูปเศษสว่ นได้ คอื 39,79896
นนาำำา 110,000ค0ูณคจูณำาจนาำ วนนวทนั้งทสงั้ อสงอขง้าขง้าขงอขงอสงมสกมากราร เปน็ จาำ นวนอตรรกยะ เพราะไม่สามารถเขยี นให้อยู่
จจะะไไดด้้ 110,00N00N= =64.444347...4.37437437 23
939498 สสมมกกาารร 23 ลลบบดด้วว้ ยยสสมมกกาารร 12 ในรูปทศนยิ มซำ้าหรอื เศษส่วนได้
313136
63 จจะะไไดด้้ 110,000N0N- 1-0NN == ((46347.4.44347.4..3) 7-4(367.4..4.)4-...()0.437437437...) 4) 6.6161161116... เป็นจาำ นวนอตรรกยะ เพราะไม่สามารถเขยี นใหอ้ ยู่

==0090..9.94211¶694909522¶4N39N¶NNN339744¶55==3===454394542953439895807579... ในรูปทศนิยมซา้ำ หรอื เศษสว่ นได้

0ดใ0ดห..งั1งั6¶้นน24¶ัน้¶3น้ั 4¶50N0..4¶63¶4=¶7 5) -0.3737... เป็นจำานวนตรรกยะ เพราะสามารถเขียนให้อยู่
ดใหังน้ ้นั NN == 6) √3 ในรปู เศษส่วนได้ คือ -3997
เป็นจำานวนอตรรกยะ เพราะไมส่ ามารถเขยี นให้อยู่

ในรปู ทศนิยมซำา้ หรือเศษสว่ นได้

1 93ดให).งั4¶้น7¶3ดใัน้ ห.งั4¶=้น7¶2นั้ จน3.9ะ=าำ ¶3+ไ21Nด03.0้9=0.¶3+4¶N=ค172¶00ณู=0.+4¶จN=N072¶ำา.11น4¶54+7¶ว=N0=น.11=4¶ท547¶2ง้ั=111ส2=54.อ114ง45311ข2454า้311ง.54ข..องสมการ 2 7) 3.414 เปน็ จาำ นวนตรรกยะ เพราะสามารถเขยี นใหอ้ ยู่
8) 272 ในรูปเศษสว่ นได้ คือ 31,,041004
ดงั น้ัน N = 0.646464... 1 เป็นจำานวนตรรกยะ เพราะเปน็ เศษส่วน

9)

ดังนด้นั งั น้นั N N= =0.4704.744774.7..47... 11

2. ข้อความในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนเ้ี ป็นจรงิ หรือเทจ็ (หน้า 16) 93) ) 7ดเเด1159นน4เดร8515ังงันื่อ่อืา,,นนัง36กอื่งงนัน้้ัน64จจงท้นั59จาาสี่ กการรอกไไาารงมมกกไาขม√่ม่มกทท8อ8่มจีเีทสี่่สี,งศ,6ำาจี6ส่ีออ4ษน84าำงงอ9,นสว9ขข6งนว่วออ4ขนนเ9งงอตใ==เง7คม็ต11ด5514อืใม็ทด,คใ9√3่ียคทด9อื36กอื 3ีย่ท5ก×√ก่ีย×7าำค11กล95กอื 1593าำังกแล3ส√ำาลแงั4อละสล,งงั3=อแะ-ส6งล√อ5-แ7ว้ งแ9ล5ไ11แ3ดลว้15ลไเ้ะว้ทดไ-า่เ้ ดทก√4เ้า่ับทก,3า่บั116ก515ับ754,365 14)2) ร7า22ก9,4ท0ีส่71อ7ง7ข22อ,934ง403712=9 27 × 27 155,6,72756 ==5 ×25××25××25××25××159 × 19 ดังนัน้
1) เป็นจรงิ 2) เปน็ เทจ็ 3) เปน็ จรงิ 104) ) คอื ==1252 × 122×5 19 × 2 × 2 × 19 ประมาณ
5) เปน็ เท็จ 6) เปน็ จริง 7) เป็นเทจ็ 4) เป็นเท็จ 11) รากทีส่ องข=อง 1756,6×2576 คือ √15,625 = √125 × 125 = 125 จะได้ (7
9) เป็นจริง 10) เปน็ จรงิ 8) เป็นจริง √772949 = √27 × 27 = 27 รากทสี่ องของ 5,776 และคือ-√15√,56,27576 = =-√1√2756××17265 == -71265
และ -√7297= -√27 × 27 = -27 (7
ด2งั น,4้ัน01 รา=กทีส่7อ×งข7อ×ง 72×9 ค7อื 27 และ -27 ดงั นัน้ รากทสี่ องของ 15,62แ5ลคะือ-1√255,7แ7ล6ะ -=125-√76 × 76 = -76 (7
4. หารากดทงั ่ีสนอ้นั งขอรงาจกําทนสี่ วอนงตข่อไงป5น,7้ ี (7ข6อ้ ค1)ือ-67) 6ตอแบลเะป-็น7ท6ศนิยมหน่งึ ตําแหนง่ ดังน้นั √
3. ร�กทสี่ อง 15) 13.69 = 49 × 49 ข้อ5 )7)-61,05)6 ต1อบเป็นทศนยิ มสองตําแหน่ง) (หน้า 30) พจิ ารณา

แบบฝึกหัดที่ 3 (หนา้ 29-30) รากท่ีส1อ3ง.6ข9อง 2=,4031.7 ค×ือ3.7 √2,401 = √49 × 49 = 49 1) 15 ท33ท่ี ำา62ให,,15้ 86x172 = แสดงว่า √
และ -√89,64=9 3=× 3-√93 × 93 = -93 รากท่สี องของ 13.69 คอื และ -√2,401 = -√49 × 49 = -49 หา ดังนนั้ ร
1. จาํ นวนต่อไปนี้เปน็ รากท่สี องของจํานวนใด (หน้า 29) ร0แแดา.ลล33ดงั1กน,,ะะงั622ทนน้ั44ส่ี ั้น99--33√อ1√√√1ร9ง00103าข===31ร...3ก.111าอ,,6.0236ทก666ง948169ส่ีท53303991อ7ีส่.××=====1งอ×6ข13งอข59ค×0--√√ง7ออื30.×√√4ง11..3047339..×247.××,6××40××9030.1141ค..309974..อืค47อื3.479====แแลละ30--ะ-..3074-3..47.479 x 15 3) 66
เรนเดา11นก่อื 73งั อื่ทงนจงสี่น้ั จาอกางกไรขมไาอมม่กง59่มจีทำาีเีส่95ศน=อษวคงนสือขเ่วอต3นงม็ ใ×58ใดด,36ทท4ย่ี ยี่9กกคกก=อืำาำาลล9ังัง3ส√ส35อแองลงแะแลล-ว้ ว้ 9ไไ3ดด้เเ้ ททา่่ากกบัับ 5 หา x ท่ีทำ
1) 4 2) 36 3) 0.49 4) 1.69 5) แดลงัะนน้ั ร-าก59ท่ีส=องข-อง3 ×115733คือ =1173-แ√ล35ะ - 1137 1173 3) จะได้ (3√157)229= 15 และ (-√15)2 = 15 จะได้ (√
5) 11 6) 18 7) 76 8) 153 16) เน่อื งจาก 3 32243= 9 และ 42 = 16 เนือ่ งจาก
2. หารากทีส่ องของจาํ นวนต่อไปน ้ี (หน้า 29) ดังน้ัน 33 8<1 √15 < 4 ดังน้ัน
ประมาณ √315 เ2ป7็นทศนยิ มหนึง่ ตาำ แหน่ง ประมาณ
1) 441 6)ดพแจะสงัิจ1รด6ไนดาา5,ดงัร5้ันงก,น้ณ66วทน้ั21า่5า่สี((√(5√3331อ1...5=1ร=987ง53า5)))110ขอ222กอ,55.อย26ทย.83ง21-2ู่ร93===ู่ใ1ส่ี1ะ5×6ก1อห<×,-4ล53งว.111้6ข841่า30×5431ง451อ.....95264ง336941ม.แค6==8×า,ลอื 5กก3ะ6กบั001×ว..352า่ค.613√-93อื6√×.,8685,316516×แ1ล3ะ×==-831√-8√181××8181 จะได้ (8
6) ดแดร7ดเแ7ร5น240เดด0เดรแาา2ล1ล2ังงังั นน,99ก่อืกา..9ลนนน46ังงััง9ะะ06ก่อืื่อทงทนนน0ะั้นัน้ั้น307จทงงส่ี1สี่ ้นั้นัน้ั5จจาีส่ออ7กาา-รรร-อง1งกก77√ไ29าาารรรขข√6งม72-,กกกไไ55าาา537อข4อ424มม49่ม2กกกททท22420419องง199999ม่ม่ีจ99ททท93ส่ี่สีส่ี9=1967ง675ำาทีที ่สีีส่่สีอออ42น21====9ศศ=งงงอออ=999ว6ขขข==34งงงนนนคอออคขขขคยิิย×-เ2√-2งงงืออออือต7มมือ27√3-2งงง7347ม็5272ซซ3459734×2300×7ใค1า้ำ้าำ9××3499ด..ใใ×ค6×2อื06×ดด2ท×2ือ7730ค2ค334√7ทท272ีย่537ือ743ค3√อื7่ียยี่ ก3ค5ือแกก2ก347อื ล3กกแ==าำ√==ล==ะแ0ลาำำาแ√ลลัง.ละ-62-0ลสงังั-ะ√270.2-ะ7-อสส0732743-7แ3ง√ออ-433334แ55ลงง27ลแแะ3แว้ลลล-ไ้ว้วะ√ดไไ0้เดด-ท.6√เ้้เ่าทท00ก.า่่า0ับกก3ับับ75
441 = 21 × 21 12) 0.035 (8
0.60 (8
รากท่สี องของ 441 คอื 7) ดังนน้ั √
13) พจิ ารณา
√441 = √21 × 21 = 21 = 81
8) = -81 แสดงวา่ √
และ -√441 = -√21 × 21 = -21 142)) ดรังานก้ันท่ีสรอางกขทอีส่ งอ3ง,ข2อ4ง9 0.ค16ือ คือ 0√.34,2แ4ล9ะ -0=.4 √57 × 57 = 57 ดังน้นั ร

ดงั น้ัน รากทส่ี องของ 441 คือ 21 และ -21 3. หารากท่สี องของจํานวนต่อไแปลนะี้ โดย-ก√3าร,2แ4ย9กตวั =ประ-ก√5อ7บ×(ห5น7้า 2=9) -57

2) 676 1) 1,ด5งั2น1ั้น รากทสี่ องของ 3,249 คอื 57 และ -57

676 = 26 × 26 4) 5,7736 1,521 รากที่สองของ 1,521 คือ

รากท่สี องของ 676 คอื 23 55,0776 √1,521 = √39 × 39 ดงั นน้ั ร5ากท3,ีส่ 1อ2ง5ของ 15 ประมาณ 3.9 และ -3.9
√676 = √26 × 26 = 26 1,52112231===92211,,16843733339846129××84192×1333×9×133 = 39
2) 50 5 625
และ -√676 = -√26 × 26 = -26 และ -√1,521 = -√39 × 39 หา x ทที่ าำ 5ให้ 1x22 5= 50
ดงั นน้ั รากที่สองของ 676 คอื 26 และ -26 × 13 = -39 จะได้ (√505)2 2=5 50 และ (-√50)2 = 50
× 13 เนอื่ งจาก 72 =5 49 และ 82 = 64
3) 4,365 ดังนนั้ รากที่สองของ 1,521 คอื
39 และ -39
เป็นเท็จ 9) เ7น5ือ่ งจากไมม่ จี ำานวนเต็มใดที่ยกกาำ ลงั สองแลว้ ได้เทา่ กบั 4,365 5,ร17า57ก,66ท2ส่ี 5===อง==ข722อ156ง××2×1×52255×7,××66×211252595×××ค252ือ×××1529√×1××55,6112995 = √125 × 125 = 125 ดงั นนั้ 7 < √50 < 8
เป็นจรงิ ดเนัง่อื นงัน้ จากรไามก่มทจี ส่ี ำาอนงวขนอเงต็ม4,ใ3ด6ท5่ียคกือกาำ√ล4ัง,3ส6อ5งแล้วะไ-ด√้เท4,่า3ก6บั 575 4 . 5)ขห1)อ้าร6ดร 7า,1หดจดเงัา5กน)กน5ะาังงั6-ทอื่ไ1ทนนั้น133ดง0ีส่x่ีส้ันัน้ จ)3้3อ อาต26รท3งกงา,,รอขี่ท(15ข72กา√บอำา682อ4ก81ทใงเ17931งท5ปห33สี่ จ5)2ส่ี้็นอ2xํา,<อ7นทง2==ง7ขวศข√=6อนน1อง195ตยิง155ม่อ51<,ไสแค75แปแแ,7อลอื 6ล4น6ลลงะ2ะต้ ีะะ5(คขํา--√ือคแอ้√5√หือ5 (41,71-7,น25167)√7-,ง่27166=6แ)5652)ล ()5ตแห12ะอล6น===-บะ=า้ 7เ1-3ป6√-510-น็7√2)√67ท5162ศ×5น×7ิย×6ม71ห62น5==ึ่งต=าํ 7-แ67ห-6น12่ง 5
4) ด8,ัง6น4น้ั9 รากทีส่ องของ 75 คอื √75 และ -√75 ประมาณ √50 เป็นทศนยิ มหน่ึงตาำ แหน่ง
ดเรเแดเด7ร0ดเแรเดด11511159นนนนน49าาา.ลล512งังังั637ังงััง09กกกอื่อื่อ่ื่ือ่อืนนนนนน9ะะ3ทงงงททงงั้นน้ัั้นนั้นั้น้ั5จจจจจี่สี่สส่ี าาาาาอออ1กกกกก9รรรรรรง6งง-ไไไไไาาาาาาขขขมมม-มมกกก√√กกก5อ81ออ488่ม่ม่ม9ม่ม่ททท2ททท=,ง956959งง9,,6จีเีจี9สี่่สี่ีสที6ีเ6ีส่่สีสี่ศศ48ำาำา441อออศ59อออ9ษนน9,ษ====996งงง=634งงงนสววคขขขส4ขขขคิยนน×ว่ออออืว่9อออมน3-อืเเ2งงงน===งงงตต7ค433ใซ3×ใ3347็ม็ม11ด08อื11ดำ้า59×551×.,ใใ×ใคท57339√-06ทดดดค39ือยี่334√ค่ยี32ค34ทททือ37959กือ3×√กอืี่ย่ยี่ยี3ก×7คค√กกก3ก9าำ×5ืออืแาำ11กก9ล3ก11==ลล153=แ9าำำาัง9าำ73ัง√ลละส3ลล3ส0แังังแอังะ--.อ√แสสล==ส30ลง√5-√43งลออแะ337อะ5แะงง5√ลง-3-ลแแ59-แว้-แ้วลล39ไ11ล911ลได้ว้ว351้ว373ดะไไ้เไทดด้เด-ท่า้เ้เ√้เทท่ากท0ก่าา่ับ.า่ กกับ0กับบั311ับ1155157370.035 ประมา3ณ √2175 เป็นทศนยิ มหนึ่งตำาแหน่ง จะได้ (7.0)2 = 49
10) ด2งั ,4น0น้ั 1 ร=ากท7ส่ี ×อง7ขอ×ง772×97คอื 27 และ -27 จะได้ 3(3.79)2 = 13.69
15) 13.69 = 49 × 49 (7.1)2 = 50.41
11) รากทีส่ 1อ3ง.ข6อ9ง 2=,4013.7ค×ือ3.7 √2,401 = √49 × 49 = 49 (3.83)2 = 14.44 (7.2)2 = 51.84
5) รากที่สองของ 13.69 คอื และ -√2,401 = -√49 × 49 = -49
ดงั นั้น√1ร3า.6ก9ทส่ี อ=งขอ√3ง.72,×4031.7คอื 49=และ3.-749 ดังนนั้ √50 อยู่ระหวา่ ง 7.0 กับ 7.1
6) พจิ ารณา 50 - 49 = 1
172))
13) 50.41 - 50 = 0.41
0.41 < 1

3) แ3ล,2ะ49-√13.69 = -√3.7 × 3.7 = -3.7 แสดงวา่ √50 อยใู่ กล้ 7.1 มากกว่า 7.0
ดังน้นั 3 ร3า,ก2ท4ี่ส9องของ 13.69 คือ 3.7 และ -3.7
16) 0.16 3 1,083 ดงั นั้น รากท่สี องของ 50 ประมาณ 7.1 และ -7.1
รากที่ส1อ9ง0ข.1อ361ง910.=16 0.4 × 0.4 3) 66
คอื
3. หารแดาร3กลังา,2นทะก4น้ัท่ีส9ส่ี-อ√√องร00===ขงา..กขอ11อ6ทง6533จง่สี 7ํา××อ3น==×,ง2ว13ข459นอ×97√-ตง×0√1่อ0.039แค4ไ..1ป4ลอื×××6นะ×11ค0ี้ โ99.0อืด4.-√4ย0√3ก.3,4า2,ร24แแ4==9ล9ยะก-0-ต0==.0วั4..ป44ร-√ะ5√ก75อ7×บ×5(ห757น้า==29)5-757 หา x ที่ทาำ ให้ x2 = 66
6,561 =(3.93)2× 3=× 315×.231 × 3 × 3 × 3 × 3
จะได้ (√66)2 = 66 และ (-√66)2 = 66
เนอ่ื งจาก 82 = 64 และ 92 = 81

ราดพกงัิจทนาี่สรัน้ ณอ=งา√ข1อ58ง11อ65ย×,5-ู่ร6ะ811ห14ว.4่าคง4ือ3.=8 กับ 3.9 = √81 × 81 = 81 ดงั น้นั 8 < √66 < 9
รากท10ี่ส5.อ2.21ง1ข<อ-ง10แ65.,ล556ะ6=1 √06.5,5661 -81
ค-0ือ√.2681,156แ1ละ = -√81 × 81 = ประมาณ √66 เปน็ ทศนยิ มหน่ึงตำาแหน่ง
ดังน้ัน -81 จะได้ (8.1)2 = 65.61

(8.2)2 = 67.24
(8.3)2 = 68.89

ดงั นน้ั √66 อยู่ระหวา่ ง 8.1 กับ 8.2
พิจารณา 66 - 65.61 = 0.39

67.24 - 66 = 1.24
0.39 < 1.24

แสดงว่า √66 อยู่ใกล้ 8.1 มากกวา่ 8.2
ดงั นน้ั รากทีส่ องของ 66 ประมาณ 8.1 และ -8.1
พเิ ศษ

15 สุดยอดคู่มือครู
1) 1ด,5งั 2น1น้ั รากทีส่ องของ 3,249 คอื 57 และ -57 6) 15ห5แดจ,0ะสางั6ไนด25ดx55ัน้ง้ ว551ทา่ 535ร(่ที √√า,,15ำา1661กใ5022222ทห)55555อ2ีส่้ xยอ2=ใู่งกข=ลอ5้ง5300.195แมปลารกะะกมวาา่(ณ-3√.358.09)2แล=ะ
รแาลกะทีส่ อง-ขอ19ง6 5429=9 ค-อื 43 × 34 = - 43 4) 5,7736 1,521 รากทีส่ องของ 1,521 คอื 2)
1,521222113392===2515,,1,784370167833346127396894192×××1333×9×133 √1,521 = √39 × 39 -3.9
ดงั นัน้ รา5ก42ท99ีส่ อ=งของ271396×ค27ือ3 34 แ=ละ2-7343 = 39 50
8) แด0ดเน.ลงััง6่ือนนะ0ง้นั้ันจาก-รรไาามกก54ม่ท2ท99่สีีทีส่ อศอ=งงนขขิยออม-งงซ520ำา้4723.ใ969ด×0ทคค2่ีย7ือ3ือก2ก√730าำ=ล.แ6ัง0ลส-ะแอ27-ลง3แะ27ล3-้ว√ไ0ด.6เ้ ท0า่ กบั 0.60
× 13 และ -√1,521 = -√39 × 39 เนื่องจาก 752 = 49 และ 82 = 64
× 13 = -39

ดังน้นั รากทส่ี องของ 1,521 คือ
39 และ -39

4) 97 พปจิจะราไะรดมณ้ าาณ((66√..874011))5.5522266เ5ป.-2==็น<51ท-5ศ24431.น46.275..ยิ42866ม94ห==นง่ึ ต02าำ ..แ2254หนง่ ปจะรพไะดมจิ ้ าาณรณ((22√..า66787.2))22เ0ป22.==044็น433ท8.77-0ศ1..4น112828<ิย41282ม94-.0ส7.อ3226ง46ต433าำ6แห==นง่ 00ซ..่ึง20อ64ย3861ูร่ ะหว่าง 2.6 กับ 2.7 25. . ห12ต1)า))อค3บ√่าค√-ขค18า่อํา3ปงถรจ≈าะาํมนม3ต.าว6อ่ ณน0ไ=6ปตข่ออนไง√ ้ี ปโร(ด-านก2ย้ ี )เ ทป(×ห่สี ดิ นอ(ต-า้งา2ข3ร)อ8า×ง)งใ6(น-02ภค)าคือผ7น.=7ว4ก6ท-แ2า้ ลยเะล-ม่ 7(.ห74น6้า 30)
หา x ที่ทำาให้ x2 = 97 แสดงวา่ √(61.596)2อย=ู่ใกล4้ 172.6.51 มากกว่า 12.4 แสดง(ว2า่ .6√92)423=อย7ใู่ ก.2ล3้6115.59 มากกว่า 15.58
จะได้ (√97)2 = 97 และ (-√97)2 = 97 ดดงั ังนนน้ั ั้น ร6าก.7ท่สี<อง√ข4อ5ง<1566.8ประมาณ 12.5 และ -12.5
เนอ่ื งจาก 92 = 81 และ 102 = 100 6) 3หจป2าะ1รไะxดม้ ทา(ณ่ีท6.ำา7√ใ04ห)5้2 xเป2=น็ =ทศ43น42.ิย18ม9สองตำาแหน่ง ซ่ึงอย่รู ะหวา่ ง 6.7 กบั 6.8 10)ดพงัิจ3ดนา,ังรั้น9นณ6ัน้7า√7.ร2า7กอ.ทย2รู่ีส่ -ะอห7ง.วข1่าอ8ง2ง242.6483=กปับร0ะ2.ม0.61า97ณ6 15.59 และ -15.59
จะได้ ((6√.37211)2)2 == 34251.02แ4ล1ะ (-√321)2 = 321 หา x ท่ที าำ7ใ.ห23้ 6x12 -=7.32,96=7 0.0361
ดงั น้นั 9 < √97 < 10 เนื่องจาก(6.721)722 == 24859.15แ8ล4ะ 182 = 324 จะได้ (0√3.0,917667)2< =0.0336,9167 และ (-√3,967)2 = 3,967
ดดังงันนน้ั นั้ √4157อย<รู่ ะ√ห3ว2่า1ง <6.7108กบั 6.71
ประมาณ √97 เปน็ ทศนิยมหนึ่งตาำ แหน่ง ปพริจะมาราณณา√321 เ4ป5็น-ทศ44น.ยิ8ม9หน=ึง่ ต0าำ แ.1ห1นง่ แสเดนงอ่ื วงา่ จ√า7ก.2 อยู่ใ6ก2ล2้ 2.=68 ม3า,8ก4ก4วา่ 2แ.6ล9ะ 632 = 3,969
จะได้ (9.7)2 = 94.09 จะได้ (17.84)25.0=24311-6.4854 = 0.0241 ดังดนงัน้ นัน้ รากทสี่ องข62อง<7.2√3ป,ร9ะ6ม7าณ< 26.368 และ -2.68
พเิ ศษ 4) -2,197
(9.8)2 = 96.04 (17.90)2.02=4132<0.04.111 เนอื่ งจา
(9.9)2 = 98.01สุดยอดคู่มือครู 16 แสดงว(่า1√84.05)2อย=ู่ใกล3้264.71 มากกวา่ 6.70
ดดงั งันนน้ั ัน้ √ร3า2ก1ทอสี่ ยอูร่ งะขหอวงา่ ง4517ป.ร9ะกมับาณ186.0.71 และ -6.71 23)) -ค3√-่าข1อ25ง n ค=ือ 28-3√แ(ล-5ะ)-×28(-5) × (-5) = -(-5) = 5 ดังนัน้
ดังน้นั √97 อยรู่ ะหวา่ ง 9.8 กับ 9.9 8) พ7จิ .2ารณา 321 - 320.41 = 0.59 -3 nnจ353ะ2=614ไ1=432ด8้5√,n77=6==√แ7ล63-้ว≈78n418×=×.77814716×8× 87 = 87 5) 3,375
พิจารณา 97 - 96.04 = 0.96 หา x ทีท่ ำาให้ 3x224=- 372.21 = 3 34) ) 14 = -41
จะได้ (√70.2.5)29 =< 37.2 และ (-√7.2)2 = 7.2 45) ) เนอ่ื งจา
98.01 - 97 = 1.01 แเสนด่อื งงวจา่าก√32122อย=ู่ใกล4้ 17.9แลมะากกว3า่2 1=8.09
0.96 < 1.01 ดดังังนนน้ั ้ัน รากท2่สี อ<งข√อ7ง.232<1 ป3ระมาณ 17.9 และ -17.9 56)) -n3√2-0=.076,9421=แล-ว้ 3√n(-=0.849) × (-0.4) × (-0.4) = -(-0.4) = 0.4 ดังนั้น
7) 4หปจ5าะรไะxดม้ ทาณท่ี (2ำา√ใ.67ห).้22xเ2ป=น็ =ท6ศ4.5น76ยิ มหนง่ึ ตำาแหน่ง 6) - 32,8768
แสดงว่า √97 อยู่ใกล้ 9.8 มากกว่า 9.9 จะได้ (√(24.57))22 == 475.29และ (-√45)2 = 45 6) 3√จ-ะ0ไ.0ด2้ √7n ==√893√≈(-09.34)3×4 (-0.3) × (-0.3) = -0.3
ดังนั้น รากท่ีสองของ 97 ประมาณ 9.8 และ -9.8 เนอื่ งจาก(2.86)22 == 376.84และ 72 = 49 เน่อื งจา
5) 156 ดดงั งันนั้น้ัน 2.66<<√√74.25 <<27.7 3. ห7า)รา2ก√ท5สี่ 0ามข≈องจ2ําน×ว7น.0ต7อ่ 1ไปน ้ี (ใชว้ ิธีการแยกตัวประกอบ) (หน้า 38) = 32
หา x ท่ที ำาให้ x2 = 156 9) 24ป3ระมาณ √3,967 เปน็ ทศนยิ มหนึ่งตำาแหนง่ 1) 0 ≈ 14.142
จะได้ (√156)2 = 156 และ (-√156)2 = 156 หาจะxไดท้ ีท่ ำา(ใ6ห2้ .8x)22 ==243,943.84 (= 3 -
เนือ่ งจาก 122 = 144 และ 132 = 169 จะได้ (√2(4632).29)=2 =243,9แ5ล6.ะ41(-√243)2 = 243 8) เน√7อ่ื 5ง0จาก ≈ √53√0× 5=× 33√00 × 0 × 0
เน่อื งจาก (6135.20)=2 =2253,9แ6ล9ะ 162 = 256 ≈ 5√30 = 3√03 (= 3 -
ดงั นั้น 12 < √156 < 13 ≈ 5 × 5.4=770 (= 3 -
ดงั ดนังน้ นั้น 621.59 << √√234,396<7 <1663.0
ประมาณ √156 เปน็ ทศนยิ มหนง่ึ ตำาแหนง่ ดงั นน้ั รา=กที่ส27าม.3ข8อ5ง 0 คอื 0 = -322
จะได้ (12.4)2 = 153.76 ปรปะมระามณาณ√24√3,เ9ป6็น7ทเปศน็ ยิทมศหนนิยงึ่มตสาำ อแงหตนาำ ่งแหน่ง ซึ่งอยู่ระหว่าง 62.9 กบั 63.0 2) -3 ดงั น้ัน
จะจไดะไ้ ด้(15.(56)22.9=7)2 240=.253,965.2209 3√-3 = 3√(3√-3) × (3√-3) × (3√-3)
(12.5)2 = 156.25 (15.(6)22.9=8)2 243=.363,966.4804 4. ร�กเนท่อืี่สง�จมาก = 3√(3√-3)3
(12.6)2 = 158.76
(15.(76)22.9=9)2 246=.493,967.7401 แบบฝึกหดั ที่ 4 (หนา้ 38) = 3√-3
ดังน้นั √156 อยู่ระหว่าง 12.4 กบั 12.5 1. หารดางั กนทัน้ ส่ี ารมาขกอทง่สี จาํามนขวอนงต-อ่ 3ไคปอืน ้ี3√(ห-3นา้ 38)
พปิจารระณมาาณ √14556เป-น็ 1ท5ศ3.น7ิย6มห=นึง่ ต2.าำ 2แ4หน่ง ดังดนัง้นน้ัน15.√53,9<67√2อ4ย3่รู ะ<หว1่า5ง.662.98 กับ 62.99
จะได้ (6.175)26.2=5 - 4145.689 = 0.25 ปรพะมจิ าณรณ√า243 เ3ป,9็น6ท7ศ-นิย3,ม9ส6อ6.ง4ต8าำ 0แ4หน่ง=ซงึ่ อ0ย.5ู่ร1ะ9ห6วา่ ง 15.5 กบั 15.6 31)) 512 2) 3√35 3) -8
จะได้ (15.57)23,96=7.7420412.-4234,967 = 0.7401 33√√881-3.×11908 6) 3√25
(6.08.)225 =< 24.264.24 4) เน3√่ือ2ง5จ0าก 3√512 =5) × 8 9) 3√0.07
แสดงวา่ √(165.96)2อยู่ใ=กล้4172..651มากกวา่ 12.4 (15.58)02.519=6 <2402..77430614 7) 0.5 =8)
ดังดนงั ั้นนั้นรา6ก.7ที่ส<อง√ข4อ5ง 1<566.ป8ระมาณ 12.5 และ -12.5 แสดง(ว1่า5.√539,9)267 อ=ยู่ใก2ล4้36.20.49881มากกว่า 62.99 =8
6) 32ป1ระมาณ √45 เป็นทศนิยมสองตาำ แหน่ง ซ่งึ อยรู่ ะหวา่ ง 6.7 กับ 6.8 ดงั ดนังน้ั นัน้ √24ร3ากอทยส่ี ูร่ อะหงขวอา่ งง 135,9.5687กปบั ระ1ม5า.5ณ9 62.98 และ -62.98 10) -0.3
หาจะxไดท้ (ีท่ 6ำา.ใ7ห0้)2x2 == 34241.89 5. 2. ต1)อห1บ)า√คค13√่าาํ3-ขถ≈8อามง3จต.าํ6่อน0ไว6ปนน=ต้ ี โ่อดไ√ยป(เ-ปน2ิด้ ี ) (ต×หาน(ร-้าา2ง3)ใ8น×)ภ(-าค2)ผนวก=ท้าย-เ2ล่ม (หนา้ 30) ดงั นั้น รากทส่ี ามของ 512 คือ 8
จะได้ (√63.721)22 == 32415.0แ24ล1ะ (-√321)2 = 321 2)2)คา่-ป3√ร-ะ1ม2า5ณขอ=งรา-ก3√ท(-ี่ส5อ)ง×ขอ(ง-56)0×ค(ือ-57).74=6 แล-ะ(--57) .74=6 5
เนอื่ งจาก(6.7127)22 == 28495.1แ58ล4ะ 182 = 324 10) แ3หพดจเแดพปจดน,ะสางัะสจิรงังั9จิอ่ืไนไดนนะาด6าดงดxรมั้นร7งนั้น้ังจ้ณ้ณวาวาทณ่าา่กาาร((√(ร่ีท(√√2227าา√√2าำ7...กก.36667ใ24.ท2ท,ห897.003922727อ)))..่ีสส่ี้อ600.2224.4อยเ226อxอ7ย143ป3ย3ู่ร22งง)7-8===.ู่ใ็น2ะ6-02ู่ใขขก61หกท=174ออล2.7778ลวศ==ง<ง-1<4้ ...1่า23้น82112712ง7.,2823-ิย.06.9504.7223342682.86ม..3032.,,52941ป7689ส3ม6496ป846ร6==4อ33าร47ะม1กกง6ะมาตกับมกา00าำว==ณาแแก2แ..า่ณ00.ลลหว61322า่ะะน97600.1.66611..ง่520985.ซ645.6(แ538ึ่ง9-3ลอ861√2แะย3ล,รู่=-9ะะ26ห.-376ว1,)89่า25ง6.=5929.63,ก9ับ672.7 543)))34))nnค2า่-3=ข=353อ86415ง1432,7n7ค6ือแล2==8้ว 4) -2,197
ดังดนงั ัน้ ัน้ √4157อ<ยรู่ √ะ3ห2ว1่าง<6.7108กบั 6.71 แ3ละ78 -×2788× 78 = 87 เนอ่ื งจาก 3√-2,197 = 3√(-13) × (-13) × (-13)
ปรพะิจมาารณณา√321 เป4น็5ท-ศ4น4ยิ.8ม9หน=่งึ ตาำ 0แ.ห11น่ง n-=147×641 × 14 = -41 = 3√(-13)3
จะได้ (17.8)425.=0243116-.8445 = 0.0241 = -13
5)จะ-ไ3√ด-้ 0√n.06=4√7=6 ≈-83√.(7-108.4) × (-0.4) × (-0.4) = -(-0.4) = 0.4 ดงั นัน้ รากทีส่ ามของ -2,197 คือ -13
(17.9)02.0=24132<0.401.11 6)6)n23√=-07.0,92271 แล=้ว n3√(=-08.93) × (-0.3) × (-0.3) = -0.3
แสดงว(า่18√.405)2อย=ู่ใก3ล2้ 64.71 มากกวา่ 6.70 5) 3,375
ดังดนงั ั้น้นั √3ร2า1กทอ่ีสยอู่ระงหขอวงา่ ง4157ป.9ระกมับาณ18.60.71 และ -6.71 9) ด24งั น3นั้ 62 < √3,967 < 63 3. หาจระาไกดท้ √สี่ nาม=ข√อ8ง9จํา≈น9ว.น4ต34่อไปน้ ี (ใชว้ ิธกี ารแยกตวั ประกอบ) (หนา้ 38) เนื่องจาก 3√3,375 = 3√3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
8)พ7จิ .า2รณา 321 - 320.41 = 0.59 7)1)2√050 ≈ 2 × 7.071 = 3√3 × 5 × 3 × 5 × 3 × 5
หา x ที่ทำาให้3x224 -=372.12 = 3 = 3√(3 × 5)3
จะได้ (√70..25)92 =< 37.2 และ (-√7.2)2 = 7.2 ปหราะมxาณท่ีท√าำ 3ให,9้ 6x72เป=น็ 2ท4ศ3นยิ มหน่งึ ตาำ แหน่ง เนือ่ งจา≈ก 14.13√402 = 3√0 × 0 × 0 = 3√153
แสเนดอื่ งงวจา่ า√ก3212อ2ยู่ใ=กล้417.9แมลาะกกว3า่ 21=8.09 จเจนะะอ่ืไไดดงจ้้ าก(((66√2224..19835)))2222 == 234,9343แ.8ล4ะ 8) √750 ≈ √5 × 5 ×=30 3√03 = 15
ดังดนงั ้นั น้ั รากทส่ี2อ<งขอ√ง7.3221<ป3ระมาณ 17.9 และ -17.9 == 232,9556แ.4ล1ะ (-√243)2 = 243 ดังนนั้ รากทสี่ ามของ 3,375 คอื 15
7) 45ประมาณ √7.2 เป็นทศนิยมหนงึ่ ตำาแหนง่ 162 = 256 ≈ 5√30 = 0
หาจะxไดท้ ที่ (าำ 2ใ.ห6้)2x2 == 465.76 ดงั น้ัน (63.01)52 <= √234,9369< 16 ดงั นั้น≈ราก5ท×ี่ส5าม.4ข7อ7ง 0 คอื 0 6) - 32,8768
จะได้ (√(425.7)2)2 == 457.2แ9ละ (-√45)2 = 45 2) -3 = 27.385 เน่อื งจาก 3 -32,8768
เน่อื งจาก (2.682)2 == 367.8แ4ละ 72 = 49 เน่อื งจาก 3√-3 = 3√(3√-3) × (3√-3) × (3√-3)
ดังดนงั ้ันัน้ 2.66 << √√74.52 < 27.7 ดปงัรนะม้ันาณ62√.2943<เป√น็ 3ท,9ศ6น7ยิ <มห6น3.งึ่ 0ตำาแหน่ง = 3 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2(-×2)2××(-22×) ×2(×-22) × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
ปจระะไดม้าณ(1√53.,59)62 7=เปน็24ท0ศ.2น5ยิ มสองตาำ แหนง่ ซงึ่ อยู่ระหว่าง 62.9 กบั 63.0
จะได้ ((1652.6.9)72 )=2 2=43.3,6965.2209 = 3√(3√-3)3 ( ) ( ) ( )= 3 -2 × 2 × 22 × 2 × 2 × -2 × 2 × 22 × 2 × 2 × -2 × 2 × 22 × 2 × 2
((1652..79)82 )=2 2=46.34,9966.4804 4. ร�กที่ส�ม = 3√-3
( ) ( ) ( )= 3 -322 × -322 × -322
ดังน้ัน 1(56.25.9<9)2√24=3 <3,1956.76.7401 แบบฝึกหัดดทงั นี่ 4ัน้ (หรนาก้าท3ี่ส8า)มของ -3 คอื 3√-3 ( )= 3 -322 3
1. หา3ร)าก5ท12สี่ ามของจํานวนตอ่ ไปนี้ (หนา้ 38)
ดปงัรนะมั้นาณ√3√,294637เอปย็นรู่ ทะศหนวิย่างม6ส2อ.ง9ต8ำากแหบั น6่ง2.ซ9ึ่ง9อยู่ระหว่าง 15.5 กบั 15.6 1) 1 เน่อื งจาก 3√512 2)= 3√33√85 × 8 × 8 3) -8 = -322
พจะจิ ไาดรณ้ า(15.537,)9267 -=3,926462..44820449 = 0.5196 6) 3√25 ดงั นั้น รากท่สี ามของ - 32,8768 คือ -322
(15.538,)9267.7=40124-23.7,93674 = 0.7401 4) 3√250 5)= -3√19803 9) 3√0.07

(15.509.5)2196 =< 02.4734.01481 7) 0.5 8)= 18.1
10) -0ด.3ังนั้น รากที่สามของ 512 คอื 8
แดสังดนง้นั ว่า√√234,396อ7ยอรู่ ะยห่ใู กวา่ลง้ 6125..9588มกาับก1ก5ว.่า5962.99

ดงั น้ัน รากทสี่ องของ 3,967 ประมาณ 62.98 และ -62.98

7) 17,02090 54. ใตหอล้บกู คบำ�ถาศ�มกตม์ ่อคี ไปวานม ี้ โยดายวเดปา้ิดนตล�ระ� ง ใxน ภ �เคซผนนตวเิ มกตทร�้ ย เลม่ (หนา้ 38) 9.7 . พจลนน้ื าูกาำทกมบ่รี ขาปูาหอ้ศส ลกา6อม.ล์ มเลกู หรกูใลวหบ่ยีมญามกศม่ นักAีปจ์ลBระกู มิCไเดลา ต้ล็กรกู===ม บ ีป าร3ศ2121มิ กา×× ต์ใ ห3Aรม B × ่ม ×2ปี 37รB42มิ C39า ต รลล กููกบบาาศศกกเ์เ์ ซซนนตตเิิเมมตตรร เคนวอื่ างมจายกา วเสA้นDรCอ บเปวน็ งรเทูปา่สกามบั เ ห2ลπย่ี rม มเมุมตฉราก ม ี AD^C เป็นมุมฉาก
เนอ่ื งจาก 3 17,02090 = 3 32 × 23 × 23 × 35 × 53 × 35 พ1)นื้ ท3√ผ่ี92วิ แ ≈ต ล่ 4ะ.5ด1า้ 4นเทา่ กับ x2 ตารางเซนติเมตร จ จาะกไทดฤ้ ษฎคบี วทามพยีทาาวโกเสรสั้นรอบวง = 2πr
ล2)กู บ3√า9ศ0ก-ม์ 3√ีท-ัง้ 4ห5มด= 64 ด.4า้ 8น1 ด-ัง(น-้นั3. 5พ5ื้น7ท) ผี่ =ิวล4กู.4บ8า1ศ+ก3 ์ เ.ท5่า5ก7บั = 6x82. ต03า8รางเซนติเมตร จะได ้ AC2 = 134A662D +=≈≈+-2 D+1D6 CC522D27 2C××.62 1227722 ดัง
D 36C622 === 13.
( )= 3 32 × 53 × 32 × 53 × 23 × 53 เ3น) อ่ื งnจ3า=ก 2ล1ูก3บ=าศ9ก,์ม26ีพ1ื้นทผี่ ิวทงั้ หมด 96 ตารางเซนตเิ มตร พ จิ า รณ า AB C จ า ก 3ท4ฤ3ษ +ฎ บี72ท9พ ที =าโ ก ร1ัส, 0จ7ะ2ไ ด ้ ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร × √84 (√84 ≈ 9.165)
จ7465))))ะ ไดn333 √√√n1- ้3 ,7 2 =9≈ 9 6 6≈21 = . 45-,2143√02. 6 25 9จ× 1ะจ ไ6 ะด ไ× 6 ้ ด xxxnxx6้ 222 n=× ======16 6 8=541√993√61666(66)3 × 6 = 63√6 ≈ 6 × 1.817 ≈ 10.902 ให้ลูกบาศก์ใหมม่ คี AวาCม2ย าว=ด า้ นAลBะ2 +x B Cเ2ซนติเมตร × 9.165
= 3 23 × 53 3
จ ะ ได้ A C2 = x3 32=+ 221,072 1 2. เดน งั ่อื น งั้นจ า กต อ้ งAใชB ้เCชือ เก ป Dอ็นDCยรC่า2ูป ง สน==า้อม ยเ2√หป20ลร0ะี่ยมมามณุม ฉ 5า7ก.6 ม1 ี AเมB^ตCร เปน็ มมุ ฉาก x
( )= 3 190 3 A C2 = x 9 += 4 3√1,072
A C2 = x 13≈ 10.23
= 190 8 . พใดปจืน้ หะรังท ้กไนมิ ี่รดล้นัูปา ้ตอ่ส รงาล ใกมบกูลเ หแบ่อ รลางกศ่ียใ บมมก แีคใ์ Aห รว AกCมา มเม่CDท ยคี ่าา กว ว าับ==≈= ดม xา้ ยน3 √า121212ล1วะ×××3=4ข ,อ 03A√ง91.xC46ด360, ้า 0××6น9 เลป×6C9ซูกรนD9บะตมาเิศาม(ณก√ต1เ์ดรซ3า้น ≈นต ล3เิ มะ.6 ต100ร6.)23 เซนติเมตร ด จงัานกนั้ท ฤ ษฎบี ทพ ีทาโ ก DรสัC ≈ 4.472
ดงั น้ัน รากท่สี ามของ 17,02090 คอื 190 เจนะื่อไงดจ ้าก BACC 2 = =B DA +B D2 C+ BC2
5. กปารริมนาำาตครวขาอมงรล้เู กกู ่ยี บวากศับกจ ์ าำ น วนจ=ร ิงไxป3ใชใ้ นการแกป้ ญั หา BACC 2≈ =3 +7 42.+4724 2= 7.472(AH = BC)
8) -0.125 แบบ ฝ ึกห ัดท ี่ 5 ( หนา้ 41- 42) = 43
1. จาำ นว นน ั้นคอื 15 และ -15 = 64 ดงั
เนื่องจาก 3√-0.125 = 3√(-0.5) × (-0.5) × (-0.5) 2. ดจำางั นนวน้ั น นลน้ั กูคบอื า 8ศก์น้ีมีความยาวดา้ นละ 4 เซนตเิ มตร และมีปริมาตร รพ ปู ืน้ สทา รี่มปู เหส ลามีย่ เมห ลAีย่ Bม C A มB ีฐ AACAานCC C ย22 า==ว ===7. 11224 7××64√2 692 B7ห25.C+4น57 ่ว×52ย 7 A× 6แ Dล4 ะ มคี ว(าBมCส งู≈ 47 .ห4น72่ว)ย
= 3√(-0.5)3

= -0.5 ≈ x 16=.2273√4,096

ดงั นัน้ รากท่ีสามของ -0.125 คือ -0.5 3. ให ้ x แท6น4 คลวกู าบมายศากวด์เซา้ นสตเี่ิ หมลตย่ี รมจตั รุ สั พ ืน้ ท ร่ี ูปสีเ่ หล่ยี ม A BC D = x พ ืน้ =ท ่ี 1A6 BC + พืน้ ท่ ี ACD

9) 0.000216 6 . ใเนหือ่ล้ งกู จบากาศ พก์ล้ืนูกทเส่ี ลเ่ี หก็ ลมย่ีคมวจามตั ยรุ สัาวมดีพา้ ื้นนทล ี่ ะ 1 9 6 xเซ น เตซเิ นมตเิรมตร ใ ห ้กล่อ งใบ ทีส่ อ งม ีควา มยา≈ว ดา้ 3น +ล ะ1 6 .227y เซนตเิ มตร ด เนัง นือ่ ้นัง จ า พก น้ื ท ่ขีA อFง Gร ูป เส ปาน็ ม Aรเ หปู Cลส ย่ี≈ามม = เA1ห 4Bล.2C9ย่ี 5 มป มร ะุม มฉาาณก 1ม4ี .A9 ^FตGาร าเงปหน็ นม่วมุยฉาก
เน่ืองจาก 3√0.000216 = 3√0.2 × 0.2 × 0.2 × 0.3 × 0.3 × 0.3 เจนะอื่ไดงจ้ าก ลxกู 2บา=ศกล์19กู 6เล็กมปี รมิ าตร 343 ลูกบาศก์เซนติเมตร
= 3√0.2 × 0.3 × 0.2 × 0.3 × 0.2 × 0.3 4 . ลจ ดใถหะกูงััง ้ถนไนบด ัง ้ำาั้นานท ้ ศ า้ำรกท ร ง ล์ปูลรงกูกูสลxxบี่เเ หล ูกา ล ก็บศ ==่ยีxมากxx3ศ มคีจ์ กจุนว1√ัต์ม===าำ้า14ไมุรีค9 ดัส6ยว้ ม733า√ า5ม4ว3คี 13ยด4ว23าาา้,วม0นด0ยล0้าาะน ว ล ลด7กูะา้ น บ เxซลา ศนะ เ กตซ1์เน4ิเซม ตนเตซเิตมนริเตตมริเตมรตร ป ร มิ าต รกล อ่ งใ บท ีส่ อง เท่าก=ับ 19 . 2 2 72 ,1ต9า7รา งหลนกู ่วบยาศก์เซนตเิ มตร
= 3√(0.2 × 0.3)3 ลจะกู ไบดา ้ ศก ์ล ูกxใ3หญ=ม่ คี 5ว1า2ม,0ย0า0วดา้ นยาวกว่าความยาวของลกู เลก็ อย ู่ 2 เซนตเิ มตร เดนงั จ่อื นะงั้นไจด า ้กร ปู สA่เี หB ลD่ยี เม ป A็นรB ูปCสDา ม ม เ หีพyyลนื้3 ยี่ทมป่ี==มร ะมุ ม23ฉ√,2าา1ณ,ก91 7 9ม179 ี A.2D^2B7 เตปา็นรมางุมหฉนา่วกย 1 1. ใจหะ้วไงดก ้ ลม มีรัศ ม ี A G2 = rA F2 เ+ม ตFรG2
= 3√(0.06)3 จ ะ ได ้ ลกู บxา ศ=ก ล์ กู 3√ใ5ห1ญ2,่ม00ีค0วามยาวดา้ นละ 7 + 2 = 9 เซนติเมตร 10 . ว งก ล มมีพ ื้นท ี่ A G2 =2642 02 +ตา2ร4า2งเมตร (AH = FG)
ปริมxา ตร=ล กู 3บ√8า0ศ3ก์ลูกใหญ่ = x3 จา ก ทฤ ษฎ ีบทพ ที าโ กรัส y = 13 จเ รจ นะปูะ อื่ ไไสดง ด จา ้ ้มากเ ห ล พี่ย ม้นื ท Aวี่ Gงก Dล ม AAAAเAป เทGDDGน็G27า่22222รก ปู บั× π ส ===== rrrrาr 222 2 π ม rเ49(A√2ห√ =====9709Gล 7607ี่ย626+2282√ต ม+8)6466า2ม54 444รG+7าุม×ง6Dฉเ7ม222า7ต2กร มี AG^(ADB เป=น็ GมุมDฉ) าก
= 0.06 x = 8 0 = 93 จะดไังดน ้ ้ัน 1ด6้า น-ข 1อ 3ง ก =ล A อ่ 23Bง55 ใเ2 2บซ นท===ตีส่ เิอ มงBBBตสDDDรัน้ 222ก +++ว า่ 1A4ด62D้าน2 ของกลอ่ งใบแรกอย ู่
ดงั นั้น รากทสี่ ามของ 0.000216 คือ 0.06
10) -0.343
เนอ่ื งจาก 3√-0.343 = 3√(-0.7) × (-0.7) × (-0.7)
= 3√(-0.7)3 BD2 = 25 - 16
BD2 = 9
= -0.7
ดงั น้นั รากที่สามของ -0.343 คือ -0.7
ดงั น ัน้ ถ งั น้าำ นี้มีค วาม ยาว ดา้ น ละ 80 เซ=น ต7เิ ม2ต9 ร BD = √9 AD2 = 976 + 49
BD = 3
4. ตอบค�ำ ถ�มต่อไปน้ ี โดยเปิดต�ร�งในภ�คผนวกท�้ ยเล่ม (หน้า 38) ดงั นัน้ โลหะลกู บาศกล์ กู ที่มีขนาดใหญจ่ ะมปี ริมาตร 729 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร เน่ืองจาก ADC เป็นรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก มี AD^C เปน็ มุมฉาก AD2 = 1,025
5. ให้ล1ูก)บา3√ศ9ก2 ม์ ≈ีค ว 4า.ม5ย14าวด้านละ x เซนติเมตร 79. จนลพากูาำนื้ กมบทขาาีร่ ห้อศปู ลก6สอ.ล์า มลมูกรูกเใหวหบลมญาีย่กศ่มมนักปี จล์ AระูกมิไBเดลาCตล้็ก รกูม บีป=== า รศมิ 3ก2121า ต์ใ××หร ม A3 ่มB×ปี ×237ร42มิ B39าC ต รลล กููกบบาาศศกก์เ์เซซนนตติเิเมมตตรร
พนื้ ท2่ผี) วิ 3√แ9ต0่ล-ะด3√-้าน45เท่า=กับ4. 4 81 - (-x32 . 5 ต57าร)า=งเซ4น.4ต8ิเ1มต+ร3.557 = 8.038 คว ามย จาากวเทสฤ้นษรฎอีบบทวพงเีททาา่โกกรบั ัส 2πr เมตร AD = √1,025
จะ ได้ จะคไดว้ าม ยาว เส้น รอบ AวCง6 22 == 1234A52226062D7π ××++-.2r6 D+11D22776 C22CD22C××29√8.1465 AD ≈ 32.02
ลูกบ3า)ศกn์ม3 ที =ง้ั ห2ม13ด =6 ด9า้ ,น26 ด1งั นน้ั พื้นทผี่ วิ ลกู บาศก ์ เทา่ กับ 6x2 ตารางเซนติเมตร =====≈≈
เจนะ ื่อไดง7456 จ))))้ ากn333√√√ -1n3 ,7ล 2 =9≈กู9 6 บ 6≈2า1 =.ศ 45-ก,2143√0ม์ 2.6 25 พี 9 จ× 6ื้น 1ะ จxxxไ6xทะ222ด ีผ่ไ× ้ด ิวn6====้ ท n =×ง้ั ห=11√9696ม 616668=6ด53 √ 9(66) 3 ต×า6ราง=เซ6น3√ต6เิ ม≈ต 6ร × 1.817 ≈ 10.902 ดงั น้ัน AC ยาว 25 เซนตเิ มตร และ AD ยาวประมาณ 32.02 เซนตเิ มตร
พจิ า รณา A BC จ า3ก4ท3ฤ +ษ ฎ72บี 9ท พ =ที า โก1ร,0ัส7 จ2ะ ได ้ ลกู บาศก์เซนติเมตร DD 3CC 622
ใหล้ ูกบาศกใ์ หม่มีควาAมCย2า วด=้า น ลAะB 2 x+ BCเซ2นตเิ มตร 13. A ใรหปู ้ปสลามายเหบลนั ่ยี ไมด อAยB่สู Cูงจ เาปก็นพรื้นูปดสินาม เxห ล ฟี่ยตุ มมมุ ฉาก ม ี AB^C
จ ะ ได ้ AC2 =x3 3=2 + 12,2072 (√84 ≈ 9.165)

8 . AC2 =x 9=+ 43√1,072 เป็นมมุ ฉาก AC ยาว 15 ฟุต และ BC ยาว 4 ฟตุ
AC2 =x 1≈3 10.23
5 . ก ารน ำาคว ามร เู้ กีย่ ว กบั xจ าำ น=วน จ4รงิ ไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา ใดปจ พหะรังน้ื ก้ไนมิ ทด ลน้ัาร่ี้ ตอ่ ปู รงส ลใกาบกูลมแบอ่เ รหางกศใลบมกยี่ แคี์ใมหรว Aกม า มเAC่มทยีคCDา่ า กว ว าบั ดม =≈==x้า ยน3 าลว√122112ะ=4ข1 ,อ××× 3 0ง 93√Ax4ด61., า้C6 03น09 เล××6ปซูก ร×นC9บะตDม9าิเศามณกต(์เ√ดรซ1้าน3นต ≈ลิเมะ 3 ต1.60ร0.26)3 เซนตเิ มตร ดเนัง ่ือนง้ันจ ด า ังก ตน อ้ัน้ ง Aใช B้เCชือ เกปอ็น ยรา่ปู ง สน าDDอ้ มCCยเหป ลร=≈ะยี่ ม ม า4√มณ2.ุม40 7ฉ 25า7ก.6 ม1ี AเมB^ตCร เปน็ มมุ ฉาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได้
จา กทฤเนษ่อื ฎงบีจาทกพ ที า โกร ัส BC = BD + DC x 15 ฟ ตุ AC2 = AB2 + BC2
ปแบริมบาฝตึกรหขดั อทงี่ล5กู (บหานศ้าก4 ์ 1- 42) = x3 12. จะ ได ้ AC 2 BC= ≈A B32 + 4B.C4722 = 7.472
1. จ ำานว นนัน้ คอื 15 และ -15= 43 รพปู นื้ สทา่ีรมูป เหสลามยี่ เมห ลA ยี่AAABมCCCC A 222มBฐี Cา===น ยา==467ว 922 75++.12214275××427 27B6ห.C4น7 ว่×2ย A× แ Dล4(A ะ มHคี =ว(าBมBCสC งู≈) 47 .ห4น72่ว)ย 152 = x2 + 42
2. จ ำานว นนัน้ คือ 8 = 64 225 = x2 + 16
ด3.ัง นในั้ ห ้ xล ูก แบทานศคกว์นาม้ี ยีคาววาดมา้ ยนาสว่เี ดห้าลน่ยี ลมะจ ัต4 ุรเัสซนตเิ มตร และมปี ริมาตร B 4 ฟ ตุ C x2 = 225 - 16
เ นอ่ื ง6จ4า กล กู พบื้นาทศี่สกเ่ีเ์ หซลนย่ี ตมเิ มจัตตรุรัสมีพน้ื ท่ ี 196 เซนติเมตร ≈x 1=6.223√74,096 x2 = 209
พ้นื ท รี่ ูปส ่ีเหล ี่ยม AB CD =x พ=้นื ท1 ่ี 6ABC + พืน้ ท ่ี ACD
× 0.3 × 0.3 ใ หล้ จกู ะบไาดศ้ กล์ กู เxล2็กม=คี วา1ม96ยาวด้านละ x เซนติเมตร x = √209
× 0.2 × 0.3 6. จเ 4 น.ะ อ่ืไดง ใด หจ้ ัง ถ้านก งั้ัน น ลำ้าท ร ูก ปู รบ ง ส าลxxxีเ่ ศxห กู3 ก ลบ==์ล่ยีา==ศ ูกม กเจล1√ัตม์ 1334√็กุรคี943มัส63ว4ปีมา3มรีคิมยวาาาวมตดยร้า า นว 3ลด4ะา้ 3น xล ะ ลเ ซ1กู น4บ ตเาซิเศมนกตตเ์ รซิเมนตตริเมตร ใ ห ก้ ลอ่ ง ใบท ่สี อง มคี วาม ยาว≈ด ้าน3ล +ะ 1 6.22y7 เซนตเิ มตร AC = ≈√6 2154.9 x ≈ 14.46

ป ร มิ าตร กลอ่ งใบ ท่สี องเท ่ากับ= 1 9 . 2 22,71 9ต7า ร างลหูกนบ่วายศก์เซนตเิ มตร เน 1ื่อ1ง .จ ดใาหังก ้วน งน้ั ก Aล พมFมน้ืG รีท ศัเี่ขปมอ็น ีง AรรูปูปCส ส าามมเ= เหห ล ลีย่ 2่ยี ม5ม A ม Bมุ rC ฉ าปกรเ ะมมมตี าAรณ^F 1G4 .เ9ป ต็นามรุมางฉหานก่วย ดงั น้ัน ปลายบันไดอยูส่ ูงจากพ้นื ดินประมาณ 14 ฟุต
1 0. ดจ จจ เดนาะะงััง อื่กไไนนดดงท ้ัน้ันจ้ ้ฤ าษก ร 1ด ฎ ูป6้าบี สน-Aท ี่เข หพB1อล3Dทีง ี่ย กา เ=มโลปก อ่A็น ร 3Aง สัรB 2ใเูปB55บซCส2 2นท D า ต ส่ีม ม===yเิอเyyมหพี3 ง ตสลืน้ BBBร่ียัน้ท===DDDมกปี่ 222มวร 123+++า่√ะมุ ด3,2ม ฉ141A,า้า91า62นณDก79ข27 มอ19ี งA.ก2D^ล2B่อ7 ง เตใปบา็นรแมารงมุกหฉอนายว่ กู่ ย
พิเศษ

17 สุดยอดคู่มือครู
จะ ได้ วง กลม มีพน้ื ท่ ี AG 2 = AF22 6+4 FG2ตารางเมตร
ถ ังนำ้า ทรง ลกู บxา ศก=์จ ุนา้ำ7ได ้ 512,000 ลกู บาศก์เซนติเมตร รจ ูปะ ไสด า ้ม จเนเะห ื่อไดลง จ้ ีย่ า มก A G พDน้ื ท AAAAเAีว่ปGDGGงน็Gก 2222ร ลูปมส===== เทา2 7มา่ 2ก เ249A√ หบั× 9070π G ล 7602rrrrr 2ี่ย22622π+ + ม+r22ม5 =====G47มุ 26Dฉ2282ต√2า86466าก4444ร าม×ง(เ ีAมA27ต2HG^รD= เFปG็น)มุมฉาก
ล กู บจาะศไดก้ ล์ ูก เ ล ็กxม3 ีคว=ามย51า2ว,ด0้า0น0ละ 7 เซนตเิ มตร
ล กู บ าศ ก ล์ กู ใหญx ่มคี =ว าม3√ย5า1ว2ด,0า้ 0น0ยาวกว่าความยาวของลกู เล็กอย่ ู 2 เซนติเมตร
จ ะได ้ ลูกบ าศxก ์ลูก=ใ หญ3√8ม่ 0คี 3วามยาวด้านละ 7 + 2 = 9 เซนตเิ มตร BD2 = 25 - 16
ปรมิ าตรxล กู =บ าศ8ก0ล์ ูกใหญ่ = x3
ด ังนน้ั ถ ังนำา้ นี้มีค วาม ยาว ด้าน ละ 8=0 เซ9น3 ตเิ มตร BD2 = 9

= 729 BD = √9 AD2 = (√976)2 + 72 (AB = GD)
BD = 3
ดังน้นั โลหะลกู บาศก์ลูกท่มี ขี นาดใหญ่จะมีปรมิ าตร 729 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร AD2 = 976 + 49

AD2 = 1,025

7) 9,604 6. ห�ร9�)กท2่สี0,อ4ง4ท9ีเ่ ปน็ บวกของจ�ำ นวนต่อไปนี้ โดยก�รประม�ณ เน่อื ง
พเิ ศษ ดงั นั้
ประ
สุดยอดคู่มือครู 18 จะไ
แบบฝกึ หดั ท้ายหน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 (หน้า 43-45) 4. จ�ำ น วนตรอ่ าไกปทนส่ี ีเ้ อปง็นขรอ�งก ท1สี่,4อ4ง4ข องคจอืำ�น ว √น1ใ,ด44 (4หน้า 4=3) √38 × 38 = 38 5) 6,0842 9,604 1( ต) อ บปจดจเ1หน5ะะเราังปือ่7ไไคนะ ร2ดดงน็ม่า้นัา0จ้ ้ กทา, า4 ณทศ 1ก4 ( x11น√ี่ส 9 1 1อยิท15 มง(√11(===32่ ี711 ข122ส01x)22อ522 ,,2อ .. 4 111871ง<54 ง1=41415 6 ==)) ตเ 2239 39 9ป2√×× �ำ 1 0น็111แ×==4,55115ทห447711374ศน 11 49 ××นง่<553แ )ยิ 63ล 11 (..มแค1ะ3127ห3ล หอื56น ××1ะน า้ 3 ึง่ 11 42√-ต3342=√ำา)02แ,01ห4,64น4994่ง9
1) -4 เปน็ รากท ส่ี อ งข อง 16แ ละ -√12,)4 404.11= -เป√3็น8รา×ก3ท8ส่ี อง=ของ- 03.80121 รร76 7ดดาา,,, ร191รดงังั202กกาา5,5นนงั2826กกทท 2 55,,2นน้ั้ัน3545130312ทที่สีส่ 277้นั3 3747222 ออี่ส่สี3617663 71==== ร==รงง 1ออ,,,1,7,24าา20425ขข10== =ร51375งงกก,,884201164ออา2483ขข,,,,ทท94557 585722739998623กงง10044ออ5832ส่ีสี่6 847ท21 ××××==7=29239 งง12184766ออ××8ี่ส ××,, 1523งง2091อ×ขข87728 122×××,527ง58ออ6542×,ข9 ××งง03××113 48อ 47753 ×22ง76×77 6××× แแคค,, ××203×× 91ลลอือื 28112แคค,2×ะะ 325467772 4ล× ืออื1 0 1× √√--××ะ คค43376× √√ ืออื 2,,7767 -××02ค√√2 ,,28 ×√20××9187อื11459×28,55833 63,7745 , 603912 แแ0478××4ลล6 ==== ะะแ33 ล 11--√√--==ะ=8787√√ 588758 --√58√××99√1××89887288578×485××989==18247=-=87==88-=-5899581824 ดังนั้
1. 1เข)ียน13เ9ศษส่วน=ต่อ6ไ.ป¶3นใ้ี นรูปทศนยิ ม (ห2)น้า14 400310) 3 -23)1 .73ด 5,ัง0 น2เเนั้5ปป ็นน็ รราากกทที่สี่สอองงขขอองง 3941.,0464245 คอื 46 )) 38-√ 1 0แ3.2ล ะ -เเปป38็น็นรราากกททีส่ส่ี อองงขขอองง 01.304 ประ
3) -74 4) 161 = 4.01 3) จะไ
5) -2 13 6) -2115 = 1.8¶3 5)
= 2.¶2¶7 5. 917ห)))�ร 1-√�ก4,√2.0ท22.ร35ส่ี555า, 0อก52ง17ท5เเ5ข1,ปป่ีส2215อน็็น2อ443ง===5รรง59,จ0าาข16ำ�กก220อ1น5ทท555151งว5 ่ีสสี่ ××น 3ออ×ต,51งง0อ่51ขข2×ไ5ออ5×ปงง1 น 5140ี ้ ..โ××ค25ด5 ือย11 ก11 � √ ร 31แ,800ย))2ก 5ต--ัวป9375ร=ะ กอ√เเปป5บ5น็็น (รร×หาานกก5้า5ทท 4ส่สี่ี 4ออ)งง=ขขอองง5 53597 ดังน้ั
= -1.75 พจิ า
= - 37 = -2.¶3
2. เขยี นทศนิยมซ�ำ้ ต่อไปนี้ในรปู เศษส่วน (หน้า 43)
1) 0.¶7 97 2) -0.2¶8 = -4135 = √143 × 143 = 143 แสด
3) 0.¶3¶6 = 141 4) -0.¶2¶5 = 9259 6 8 ) ) = -√143 × 143 = -143 ดังนั้
5) 0.¶12¶8 = 919289 6) -0.¶41¶7 = -949179
7) 0.5¶64¶ = 599509 8) -0.9¶9¶4 = - 119987 ดงั น้ัน ร(1าก2.ท6่ีส)2อง=ขอ1ง5 82.07,6449 คือ 143 และ -143 3) 3,52
9) 2.¶24¶8 = 2 929489 10) -5.¶67¶8 = -5322336 หาค่
11) 0.12¶04¶4 = 234,,090785 12) -2.98¶1¶3 = -2 11,,998403 7 และ -√3,025 = -√55 × 55 = -55 1 0ด) งั น2้นั9, 24 1 12.5 < √157 < 12.6 จะไ
= ประมาณ3 2√91,25471 เปน็ ทศนยิ มสองตำาแหน่ง ซง่ึ อยู่ระหว่าง 12.5 กับ 12.6 เนอ่ื ง
1,22ด5ังน=้ัน ร5า×กท5่สี ×อง7ข×อง7 3,025 คือ 55 และ -55 จะได้ 3 (91,27.4572)2 = 156.7504 ดงั น้ั
4) 5,62=5 5 × 7 × 5 × 7 3 (31,22.4593)2 = 157.0009 ประ
รดางั กนท นั้ ี่ส อ55= รงาข5กอ551ท 3ง3,,6152่สี 12242อ×,55595 2ง2ข355อ ง คแ ล1อื ,ะ 2 25-√ 1 √ค,12อื,22 5 2355 แล==ะ -√-33√5355××3535 แ1พดด,สังังจิ2นนด ร2า4 รั้นั้นา90งณกว, 2 ่าท า4 √ 3 ่สี 111 อ59 7ง1(0√√11===1ข 115.5,อ0203อ5577ย0.186 77. ง513300-ู่ร931 47≈อ09 ะ××)2110 หย2 <9519ใู่ว33×6, 2ก2า่0-..××ง74ล.51 2= 5113้ 71134105 1299 247×.6.1แค5×552ล3อื37 3ะ ก×.ม== 2ับ × า -51√ ก11√93200ก6229..××ว2.90,52่า4,03211 940149961921.52== จะไ
3. จ�ำ นวนตอ่ ไปนจ้ี �ำ นวนใดเปน็ จำ�นวนตรรกยะ และจ�ำ นวนใดเปน็ จำ�นวนอตรรกยะ = 35
(หน้า 43) = -35

1) √7 เปน็ จำานวนอตรรกยะ 2) 0.4222... เปน็ จาำ นวนตรรกยะ
-54 2) 1,444 3
3) 2.645 เปน็ จาำ นวนตรรกยะ 4) 1 เป็นจำานวนตรรกยะ
21-.3260.51 ¶¶250 4¶ -2.48 52,6215,44=4 5 × 5 × 5 × 5 × 3 × 3 2)
5) เปน็ จำานวนตรรกยะ 6) เป็นจำานวนตรรกยะ 2 72=2 3 × 5 × 5 × 3 × 5 × 5 √171 × 171 = 171
7) เปน็ จาำ นวนตรรกยะ 8) เปน็ จำานวนตรรกยะ 19,4,64ร ด04า14งั ก9นท===้ันสี่ 3 1อ6=ร9232ง1าข8××กอ×ท7 ง125่ีส 39 ×5อ8×× ,ง61ข72 295อ5××ง 11599คแ,6ลือ2ะ 5 √-ค5√ือ,56 ,2 675255 แล==ะ -√-77√5755××7575 -√171 × 171 = -171
9) เปน็ จาำ นวนตรรกยะ
= 75 หาคดา่ ัง น น้ั x รทา่ี ก xท2่สี อ=งขอ1ง,2 4209,241 คือ 171 และ -171
10) 4.131331333... เปน็ จาำ นวนอตรรกยะ = -75 และ -√15,376 = -√124 × 124 = -124
7)
4. จ�ำ นวนต่อไปน้ีเปน็ ร�กท่สี องของจำ�นวนใด (หนา้ 43) ดังน้ัน รากที่สองของ 15,376 คอื 124 และ -124 จะได้ (√1,240)2 = 1,240

-45) 1) -4ร า กทสี่ เปอง็นขรอากง ท 1ี่ส,4อ4ง4ข อง ค16อื √ 1,4424) 0.1=1 √3เ8ป×็นร3า8กท่สี อ=งขอ3ง8 0.0121 5) 62,0849,604 6. 9ห)�ร2�0ก,ท44ี่ส9องที่เปน็ บวกของจำ�นวนตอ่ ไปน ี้ โดยก�รประม�ณ เนื่องจาก 352 = 1,225 และ 362 = 1,296

53 3) 32 เป็นรา กทส่ี อ งของ แ49ละ -√1,44)4-0=.2 -√เ3ป8น็ ×รา3ก8ทสี่ อ=งขอ-ง3 80.04 2 24,860,2084 1( ต) อร2บปจจดเ1หนา05ะะเรางักป,อ่ื7ไไคนะ4ทดด1ง็นม4่า้นั จ11ส่ี ้ ้ 9ทา า1อ ณ1ศก ( xง===32น√ ข011 ยิทอ5,,ม41118√11(1ง ี่71 114411225ส6 x)2 53292 39922อ .×× 7<4 0ง×= ==) ,ตเ112 4 ป√ 311�ำ41็น111แ4=94××555ทห3 4777 ศน11 1 ค 13นง่<5แอื)ยิ3ล ×× (.ม1ะ7ห 113 ห6√น 3312นา้ 30 ง่ึ 42,ต44=ำา4)แ91ห6น9ง่ = √143 × 143 ดงั นั้น 35 < √1,240 < 36
1997
9978 5) -1ด.7งั 5น ้นั เปร็นารกาทกี่สทอี่สงอขงอขงอ ง1 ,34.4046 2 ค5 อื 63)8 √แ1ล3ะ -3เ8ปน็ รากท่ีสองของ 13 7 22,430,1042 ประมาณ √1,240 เปน็ ทศนิยมหน่งึ ตำาแหนง่
232363 จะได้ (35.2)2 = 1,239.04
11,,994803 7)3)-√30,.052 5เปน็ รากที่สองของ 0.5 8) - 53 เป็นรากทีส่ องของ 53 73 314,3521 (35.3)2 = 1,246.09
น็ จำ�นวนอตรรกยะ 9) √4.25 5 เ5ป3็น,06ร20า55กที่สองของ 4.25 10) - 79 เป็นรากที่สองของ 79 6 ร191รด)าา5,5งั6กก,,นรร 767ด ด3032ทท าา,,,ั้น747ังัง222022กกส่ีี่ส3นน66 282 ทท1ออ 5 51นั้นั้545711== =ร1ีสสี่่375งง73 3า ขข,,,,ออ9971863ก==== ร==ร4อองง,,326847ทาา2 ==7=2922459ขข1งง121846กก84280116ี่สออ ×× ทท9557 27585237991งงอ×85่ีสส่ี 212,527ง×××× 667ออ2,ข9××××03×× ,,43152งง8อ0247ขข787 8222ง××××77 685ออ 45× ××งง×× 113 91 357แคค,2 ×23676274ลือือ×××1แแคค0,,×203××ะ ลล4อือื×28 211 × ะะ 2 547777 - × ค√√2 ×1√ √√××91--อืคค933×76,5√√ 63ืออื,,,7767 ,××02603921 ,,82 0024788711××544286 5833 45 แ33 แแล11==ลละ=====ะะ -√- √--√√--99√18787√√89828578858×485××××××987898517885824 ====
จำานวนตรรกยะ (35.4)2 = 1,253.16
จาำ นวนตรรกยะ
จำานวนตรรกยะ 5. 1ห)�ร1�ก,23ท2,05ี่ส52อ551ง171ข,22อ===244ง1559จ21�ำ55511น5××ว×น5115ต×5่อ×1ไป51น××ี้ โ11ด11ยก�รแยกตวั ประกอบ (หนา้ 44) ดังนนั้ 35.2 < √1,240 < 35.3
จาำ นวนตรรกยะ
= 143 ประมาณ √1,240 เป็นทศนยิ มสองตำาแหน่ง ซ่งึ อยูร่ ะหว่าง 35.2 กับ 35.3
จะได้ (35.20)2 = 1,239.04
(12.5 )2 = 1แ5ล6ะ.2 5-√20,449 = -√143 × 143 = -143 (35.21)2 = 1,239.7441
8 ) 7--9879888 ดงั นนั้ รากท(1่ีส2อ.6ง)ข2อง= 2105,484.796 คือ 143 และ -143 (35.22)2 = 1,240.4484

รากทส่ี องข7อง 3,025 คือ √3,025 = √55 × 55 = 55 = 85 10 ) 2ด9ัง,น24ัน้ 1 12.5 < √157 < 12.6 ดงั น้นั √1,240 อยรู่ ะหวา่ ง 35.21 กับ 35.22
== 1-2845
1,2 25 = 5 × 5 × 7 × 7และ -√3,025 = -√55 × 55 = -55 ประ3มาณ29 ,24√157 เปน็ ทศนิยมสองตำาแหนง่ ซึง่ อยู่ระหวา่ ง 12.5 กบั 12.6 พิจารณา 1,240 - 1,239.7441 = 0.2559

ดงั นั้น =รา5กท×่สี 7อง×ข5อง× 37,025 คือ 55 และ -55 จะได3 ้ 9,74(172.52)2 = 156.7504 1,240.4484 - 1,240 = 0.4484

4) 5,625= 35 × 35 3 3,24(192.53)2 = 157.0009 0.2559 < 0.4484
ร2 แพดดา9สงังัิจก,นน2ดาท 4ร้นั้นัง3ส่ีณ11ว อ 9า่ า √ ง1=== 1 ข,503อ71861(0√√1ง1331 931115.5 อ072 5577××2ย0.177. 5900-รู่ 334×,อ≈09ะ2)10 หย××2 4<1519ู่ใว176 213กา่0 -1..9 ง7ล.5×2= ค513 ้1×41053อื292473. 6.1×5 5 5×23 17 √ ก392ม.==2บั9า5×× ,ก11200ก11624..99ว2.105่า403 901692=.52√171
รากทีส่ 5อง5ข,อ6ง2 51,225 คือ √1,225 = √35 × 35 = 35 แสดงว่า √1,240 อยูใ่ กล ้ 35.21 มากกวา่ 35.22
1 1ด,,งั44ร5นา44,62 กน้ั4412ท 5295่สี1= =ร5,อา54173===กง341,261ข2ท49 222124อ2ส่ี 57335××595งอ5 ×× 12ง5×ข9,55×6อ7×2 ××ง1 55แ 29 55 ล1 ××,ะ××2 ค21135599ือ- ×× √ ค 153√อื,52×× , 263535255 แล=ะ= --3√√35755
× 35 = -35 ดังน้ัน √1,240 ≈ 35.21
× 75 = 75 3) 3,523
2) หาค่า x ที ่ x2 = 3,523
จะได้ (√3,523)2 = 3,523
เนอ่ื งจาก 592 = 3,481 และ 602 = 3,600

× 171 = 171 ดังนัน้ 59 < √3,523 < 60

2) 1,24 0 และ -√29,241 = -√171 × 171 = -171 ประมาณ √3,523 เปน็ ทศนยิ มหนึ่งตาำ แหน่ง
จะได ้ (59.2)2 = 3,504.64
และ -√15,376 = -√124 × 124 = -124 ดหังานค้ันา่ ร าxก ทส่ี อx2งขอ=ง 12,92,42041 คอื 171 และ -171 (59.3)2 = 3,516.49

= 38 × 3 8 และ -√5,625 = -√75 × 75 = -75 ดังนั้น รากทีส่ องของ 15,376 คอื 124 และ -124 จะได ้ (√1,240)2 = 1,240 (59.4)2 = 3,528.49
ดงั น้นั รากทสี่ องของ 5,625 คือ 75 และ -75

ดังนั้น 59.3 < √3,523 < 59.4 8ดพ แ,สงัิจ2 6 นดา0) ร ้ัน0งณว 1ดปหจเา่นา7ะ ราัง ือ่,ไค นะ8ดงมา่นั้0จ้ √√440า2 า44,,.ณ221ก,, (22563 √ 559021x99 .47 1-1√1 ,ท≈อ7 8133<42ยี่ 0 733, 692ใู่2x, 2581 ก 5)2<- ..028ล=21 2.467 ้ 8==6√ ,2เ16215ป97757.11น็269,,76768ท,8, 088มศ==9200าน 22 ก กยิ<01กับม ..ว 11 1หา่ 3713 น22634495งึ่ 4.ต22ำา7แ=หน17่ง,956 22)) --√14,8000= -√4 × 4 × 3 10. ให6ร้ )ูปส-เี่ 0ห.ล00่ยี 8มมีความยาวดา้ นละ x เซนตเิ มตร x2
ประมาณ √3,523 เป็นทศนิยมสองตาำ แหน่ง ซ่งึ อยูร่ ะหวา่ ง 59.3 กับ 59.4 เนอื่ งจา=ก - (3√4-×1,√030)0 = 3√(-2) × (-2) × (-2) × 5 × 5 × 5 จพะ้ืน ไทดรี่้ เปู นส ่อื ่เี งห จxลา2่ียกม =จ ตั ุร3√3ัส-,0เ0ท2.0่า5ก08บั 3,30√(2-50 .2ต) า×รา(-งเ0ซ.2น)ต×เิ ม(ต-0ร.2) x
จะได ้ (59.34)2 = 3,521.2356 x = √3,025 = ความ
≈ -(4 × 1.732) = 3√(-2) × 5 × (-2) × 5 × (-2) × 5 3√(-0.2)3 ความ
(59.35)2 = 3,522.4225 = -0.2
(59.36)2 = 3,523.6096 ≈ -6.928 = 3√{(-2) × 5}3 = 13. ให้ x
ดงั น้นั √3,523 อยรู่ ะหวา่ ง 59.35 กับ 59.36 3) 5√2 + 8√2 + 18 ≈ 5(=1.413√4()- +1 08)(31.414) + 18 ดงั นน้ั x รา=ก ทส่ี 5า5มของ -0.008 คอื -0.2 จะได ้
พิจารณา 3,523 - 3,522.4225 = 0.5775 5) ≈ 7.=07 +- 1110.312 + 18 คว7า)มย1า5ว.6ร2ปู 5ส่เี หลย่ี มมคี วามยาวดา้ นละ 55 เซนติเมตร
3,523.6096 - 3,523 = 0.6096 หา ค่า จะxไ ด ้ท่ี x 2 (1=33.83,)2200= 17,768.89
0.5775 < 0.6096 จะได้ (√8,200)2 (1=33.84,)2200= 17,795.56 ดังน นั้ ราก ท่ีส ามข≈อ ง 3 -61.3,08020 คอื -10 ร จดูปะัง ไนสด า้นั ้ ม ดเ นเหงั5รค่อื นปู5ลวงัน้ ยี่สาจ+ม มเ่ีา หก5ยมรล5 าามุ ว่ยีก +ฉรมท อ3า√5ร่สี ก1บ5ปูา5 รมAน+.ูป6ขี้ม B2ข5อคีC55องว ง ม า=ส1ม ี===ีเ่5 Aห ย.26B^ลา22วีย่233C√√05ร.2( ม 5 2อเ .เเป5ค.ซบท5น็ือน×ร)่า3 มูปกต 22บัุมเเิ .ท.ม55 ฉ่าตา×กรกับ2 .2520 เซนติเมตร
4 จ3)ำ�) น √วเ13นน,63อื่ต33 ง ่อ1+จไปา√ กน7 5เ้ี ป ็น 3√ร1�≈≈≈=,ก3 ท31(211ี่ส1197�1..√ม07 3×ข51 +22===อ1 ง.+57จ√ 3�ำ8133√√32น.1116)ว 116+น3× (ใ5ด1 ×1(ห 1×น.7้า1 34124))
เน่อื งจาก 902 = ( 183,120.05 ) 2แล=ะ 91172,8=22.82,2581 ดังนัน้
แสดงวา่ √3,523 อยใู่ กล ้ 59.35 มากกว่า 59.36 ดัง น น้ั ด ังน้ัน9 0 < 1√83,32.040 < < √ 9117,802 < 133.5
14. ให้กล่
ดงั นน้ั √3,523 ≈ 59.35 ปร ะม าปณร ะม√า8ณ,2 00√ เ1ป7น็ ,8ท0ศ2น เิยปม็นหทนศ่ึงนติยาำ แมหสนอง่ งตาำ แหน่ง ซ่งึ อยรู่ ะหว่าง 133.4 8. 11 . กลอ่ ง
เนอ่ื ง
4) 4,259 จะ ได ้ (90 .4)2กับ= 183,31.752.16 เ-น2 ื่อ,7ง94จ 4าA 6ก2C2 5522 3 = AB2 + BC2 จะได้
-==2 ,79AA44BB22 ++=7492 3
หาคา่ x ท ี่ x2 = 4,259 จะได้ (90 .5)2(1=33.84,21)920.2=5 17,800.8964 ( ) 1 ) ( ) ( ) ( ) จะ8ไ)ด้
24))
3 ) เนื่อง
4) จะได ้
จะได้ (√4,259)2 = 4,259 (90.6)2(1=33.84,32)028.3=6 17,803.5649 5) ----034เด3.น02711 401ัง ..10อ่ื2345 น ง0 น้ั จ า เเเเเเกปปปปปปร น็น็น็็นาน็น็ กรรรรรรทาาาาาา กกกกกก ี่ส3ททททททา่สี่สีส่ี่ีส่สีีส่ม3าาาาาา41ขมมมมมม3อขขขขขขงออออออ งงงงงง1 ===, 30----326.3101741103343. 17,,01 033.ค710281703025อื×10043 8171 1× 3 -2,7944 × 3 -2,7944 × 3 -2,7944
6)
เน่ืองจาก 652 = 4,225 และ 662 = 4,356 ดังนนั้ 90.5 <( 1 √383,.24040)2 < = 90.617,806.2336 17 ( ) AB2 = 625 -=49
AB2 = 576 เมื่อนำ

ดังนนั้ 65 < √4,259 < 66 ปร ะม าดณัง น√8้ัน,2 0√01 เ7ป,8็น0ท2ศ อนยยิ ู่รมะสหอวง่าตงาำ 1แ3ห3น.4่ง 2ซ ่ึงกอับย 1ูร่ ะ3ห3.ว4า่ 3ง 90.5 กบั 90.6 3 3 -2,7944 3

ประมาณ √4,259 เปน็ ทศนยิ มหนึ่งตาำ แหนง่ จะ ได ้ พ ิจารณ(90า .5 4)127,=8028 ,-19177.,4890106.8964 = 1.1036 ค ว าม ยดางั วนรั้นอ บ รAAรปู าBBกข ทองส่ี == า มAข2√อ5B4ง7C 6 -ค=2ือ, 79A434B- +2ค ,B7ือ94C 43 +- A2,C794 4=
จะได้ (65.1)2 = 4,238.01
(65.2)2 = 4,251.04 (90.55)127,=8038.,5169499.3-02157,802 = 1.5649
(65.3)2 = 4,264.09 (90 .56)12.1=0368 , 2<0 11..15163469
7 .พ ดแด สงังัิจ 1(ก นนดหา)�ำ ร น้ัน้ังนหณว า้ด√แ นา่ า5 ส 4 √ัง ด1 8น4ดใ2,)้ันห2ง880√√ว0 ้ ,,.88 0่า226√,, == 009222อ10700ย≈.5001-ู่ร1√√√ 1 อ≈1ะ2116<83ห.ย 77√,4 9×61 ใู่ว,,2110889ก่า-4.1.009ง1ล5 622 .8แ15 ้939 ,ล3×002อ≈06ะ.20ย. 5151 50ู่ใ5√653ก3 ก3มล==≈.ับ4า้ 1 ก219301ก.037..ว61.3.5่า49126 7329 ห56 0ม.�5าคก6่�กปวร่าะ 1ม3�3ณ.4ข3องจ�ำ นวนต่อไปน ี้ 9 . 1ห 5))�ร-�ด9ก5,ัง21ทน26ีส่ นั้1� ม รขาอกงทจี่สำ�นามวนขอตงอ่ ไ ป341น3้ ี โดยคกอื � ร 71แยกตวั ประกอบ (หนา้ 44) 24 + 7 + 25
ดงั น้ัน 65.2 < √4,259 < 65.3
ประมาณ √4,259 เปน็ ทศนิยมสองตาำ แหนง่ ซ่ึงอย่รู ะหว่าง 65.2 กับ 65.3 = 56 หน่วย
จะได ้ (65.25)2 = 4,257.5625
===เเนน่ือื่อง333√√√งจ(({จ--า(-าก28ก2)) 3) × 3×√ -( -( 5- 213√2)29)×,×2(6-(1-22))×}3===(-2333)√√√33×(3××(×-2737)××)×3 33(-××2)77×××(-372)×××77(-2) × (-2) ดงั นน้ั ความยาวรอบรูปของ ABC เทา่ กับ 56 หน่วย
(65.26)2 = 4,258.8676
(65.27)2 = 4,260.1729 12. AC2 = AB2 + BC2
ดงั นัน้ √4,259 อย่รู ะหว่าง 65.26 กบั 65.27 ≈ 16 × 1.414 = -8 = 3√213 202 = (3x)2 + (5x)2

400 = 9x2 + 25x2
400 = 34x2
พิจารณา 4,259 - 4,258.8676 = 0.1324 ≈ 22.624 ดังน้นั รากทีส่ ามของ -51=2 ค2อื 1 -8 x2 43040
วา่ ง 59.3 กับ 59.4 6) 17,802 4,260.1729 - 4,259 = 1.1729 x2 = 11.76
ว่าง 65.2 กบั 65.3 ห าคา่ 0 .x1 3 ท24ี ่ x <2 1=.171279,802 2) -√48 = -√4 × 4 × 3 10. ใ หร้ ปู สีเ่ หดลัง่ียนมนั้ ม คี รวาากมทย่ีสาาวมดขา้ อนงล ะ9 ,261x คอืเซ น2ต1เิ มตร ≈
พื้นทร่ี6ูป) ส-ีเ่ ห0.ล0ีย่0ม8จัตรุ ัสเทา่ กับ 3,025 ตารางเซนติเมตร
แ สดจงะวไดา่ ้ (√41,72,5890 2อ)ย2ู่ใก=ล้ 1675,.82062 มากกว่า 65.27 2) -1,000 = -(4 × √3) จ ะได ้ เ น อื่xง2จา=ก 3 , 03√2-50.008 = 3√(-0.2) × (-0.2) × (-0.2) x ≈ 3.43
เน อ่ื งจาก ≈ 3√ --1(,400×01.7=32) 3√(-2) × (-2) × (-2) × 5 × 5 × 5
ด งั นเนนั้ ่ือ ง จาก√ 4,215393 2≈ =65 .1276,689 กบั 1342 = 17,956 3 4 ด))ัง น5 √ ้นั3√62 3 +ร +า8ก√√≈ ท27 ส่ี5 +า - ม168.ข9 ≈= อ2ง 8 ≈1≈(≈-11==== 11√, 30×7530.(6 +333-0√√√11.0731.{((.54 -7(-8 0 -+√1ค3122324 20 อื)1)) )) × 1 3+× +.-3 5 81(51 5(0×}21 3× .+4( -11 124.78))3 ×+2 )15 8× ความยาวดา้ น AB = 3x = 3(3.43) = 10.29 เซนตเิ มตร
(-2) × 5
5) 8 ,2ด00ังนน้ั 133 < √17,802 < 134 x = √3,025 = 3√(-0.2)3 ความยาวดา้ น BC = 5x = 5(3.43) = 17.15 เซนตเิ มตร
ห าคปา่ ร ะมxา ณท ่ี x√217,8=02 8เ,ป2น็00ทศนยิ มหน่ึงตำาแหนง่
จ ะไจดะ้ ได(้ √8, 200()12 33=.3)28,2=0017,768.89 x = 55 = -0.2 13. ให ้ x แทนจำานวน ซ่งึ x3 = -0.001331
จะได ้ x3 = -0.001331
เนอื่ งจาก 902 ( 1=3 3 8.4,1)020 = แล1ะ7 ,971925.=568,281 ค วาม ยาวดรังูปนสัน้ ่เี ห ลรี่ยากมทมี่สคาวมาขมอยงา ว-ด0า้.0น0ล8ะ ค 5ือ5 -เซ0น.2ตเิ มตร
จะได7 ้ ) ค1ว5า.ม62ย5าวรอบรูปของสีเ่ หลีย่ มเท่ากับ
ดังนน้ั 90 (<1 3 √28.5,2)200 = < 1 971,822.25 5เ5น +ื่อง 5จ5า ก+ 5 5 3 √+1 55.56 2 =5 2=20 3เ√ซ2น.5ต×เิ ม2ต.ร5 × 2.5 x = 3√-0.001331
พจจปปดด ะะรรังงัจิ ไไนนะะา จดปพด ดดมมรั้น้นัะรังังจิ ้้ ณาาไนน ะา ณณด มราัน้ัน้ √ ้ ณ า 8 √ ณ,8า2 √ 8, ((√9(((( 021 999999,800207000000,. 002,5......ก((1(√111อ85456551110 0 1773.ยเบั 04)))6513330ป<2227,,3-)))2รู่ 88033 3222็น, 1.เะ 8 0043...ป8อ===3√444ทห032 6,น็8ย===3 3412ศว2. <,.5ท9- )))ูร่2า่ 8885น<222 เ96งะศ0 ,,,888ป1ิย √112 .4ห0 9,,,น371น็1097ม1219 ว===00,ิย .7802990ท8ส<5า่.2-,...ม57190งอ6ศ13285 5... ห 014665ง04319111น1 .ต7น9190ก2077738ิย=,123 .าำึ่งบั,,,3986 ม888แ656ต<.6 000049หสาำ04 203620 แนอ.1...6. ห8525ง่งก39==ต 6396น3ับ7ซ436.าำ่ง5ง่ึ 5แ6941อ113หย..315นรู่ .06ะ4่ง34ห 3ซ69วงึ่ ่าองย 9่รู 0ะ.5ห วก่าับง 9103.36.4 x = 3√(-0.11) × (-0.11) × (-0.11)
3) 1, 33 1 ≈ 19.052 + 8.66 ดงั นน้ั รูปสเ่ี หลีย่ มรูปนี้มคี วามยา=วรอ3√บ(2ร.ูป5เ)ท3 า่ กับ 220 เซนติเมตร x = 3√(-0.11)3
เน ื่อ งจาก 3√1 ,331≈ 27=.7132√11 × 11 × 11 11. รปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC ม ี AB^=C เ2ป.5น็ มมุ ฉาก x = -0.11
8. จ�ำ นวนตอ่ ไปนีเ้ ปน็ ร�กทส่ี =�มข3√อ1งจ1�ำ3นวนใด (หน้า 44)
1) -7 เปน็ รากท่ีสามข=อง 1 1-343 จ ะได ้ ดงั น A้ันC 2ร าก=ท ส่ี าAมBข2อ ง+ B15C.62 25 คือ 2.5 ดงั น้ัน จาำ นวนน้นั คอื -0.11
- 2,7942452 = AB2 + 72
2ด)ัง น0ั้น.0 2 รากเทปน็่สี ารมากขทอสี่ งา ม1ข,3อ3ง1 ค0.อื0 0 010108 8) เนื่อ ง6จ2า5ก 14. ให้กลอ่ งใบแรกมีความยาวดา้ นละ x เซนติเมตร
AB2
( ) ( ) ( )
4) 453เ3น)))41อ่ื 3--43ง20จ ..า54ก 0 เป็นรากที่สามของ 6274 =3 - 6A22,B79542-4+4499= 3 3 -2,7944 × 3 -2,7944 × 3 -2,7944 กลอ่ งใบทีส่ องมคี วามยาวดา้ นละ y เซนติเมตร
เเปป ็็นน 3รร3าากก41ทท3่สีี่สาามมขข=อองง 3 --7110×.31.287152×4 17 =
( ) ( ) AB2 = 576 = 3 3 -2,7944 3 เน่อื งจาก กล่องใบแรกมปี รมิ าตร 15,625 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร
6) -1101 เป็นรากทส่ี ามข=อง 3 -71113,,033010 AB = √576 จะได ้ x3 = 15,625
AB = 24
= 3 - 2,7944 x = 3√15,625
x = 25
พิเศษ

19 สุดยอดคู่มือครู
แสดงวา่ 8,20√11.71,183062 -อ8ย,่ใู2ก0ล0 ้ 1=33.412.1 1ม3า6กกวา่ 133.43 9. 1 หด9เน),�งั2ื่อรน6==เ-�งน้ัน1ก5จ่อื 1ทา ง2รก33√√ีส่ จา({ �-า (ก -มก2 ท2 ข) ี่ส) ×อ3√3×√าง9-ม(จ-,(5ข2ำ�-21น6อ2)21)วง× ×น (3ต-(41-=อ่=232ไ)ป)×}3น3√ค71(3้ ี-อืโ2ด× ) ย71×3ก�×(ร-แ23ย)×ก×ต7(ัว-ป×2ร)7ะ×ก×(อ-7บ2) (×หน(-้า 24)4×) (-2) ค ว าม ยา วดรังอน บ้ันร ูป ขรอากง ท่ีสAา มBขCอ งค ือ - A2,B79 4 +4 B คCือ + 3A-C 2 , 794==4 24 + 7 + 25 เนือ่ งจาก กล่องใบทส่ี องมีปรมิ าตร 10,648 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร
ด งั นัน้ 0.69√7157 , 8<0 21 .≈11 13363.42 56 หนว่ ย จะได้ y3 = 10,648
7 . (กหดแำ�นสหังนดา้ น ั้นง4ดว 4ใา่)ห ้ √√√288≈,,22 00100.4 ≈อ14ย 9 ู่ใแ0กล.ล5ะ5 ้ 9√03.5≈5 1ม.า7ก3ก2 วหา่ �9ค0่�.ป56ระม�ณของจำ�นวนตอ่ ไปน ้ี 5 )
ดงั น้ัน ความยาวรอบรปู ของ ABC เทา่ กบั 56 หนว่ ย y = 3√10,648
y = 22
1) √512 = √2 × 16 × 16 12. AC2 = AB2 + BC2
= 16√2 = 3√(-8)3 = 3√3 × 7 × 3 × 7 × 3 × 7 202 = (3x)2 + (5x)2
เมื่อนำากลอ่ งสองใบมาวางซอ้ นกนั จะสูง x + y = 25 + 22
≈ 16 × 1.414 = -8 = 3√(3 × 7)3 400 = 9x2 + 25x2
ดงั น้ัน รากท่ีสามของ = -513√22 1 ค3ือ -8 = 47 เซนติเมตร
≈ 22.624 400 = 34x2
x2 = 43040
= 21

ดงั นน้ั รากที่สามของ 9,261 คือ 21

พเิ ศษ 5. (หน้า

สุดยอดคู่มือครู 20
หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ทฤษฎีบทพที าโกรัสและบทกลับ 5ใ)ช ้สxม2 บ =ัต ิข อ(4ง.ร5ูป)2ส +า ม62เ ห ลี่ยม มุม ฉา กข้า6ง)ต ้นx2 เ ข=ีย น(แ2.ส1ด)2ง+ค (ว7า.2ม)2สัมพันธ์ระหว่าง 4. ตวั 2เล. ขทีก่ฤาำษกฎบั บีดา้ทนพขที อางโรกปู รสสั ามเหลี่ยมมมุ ฉากทีก่ าำ หนด แสดงความยาว 42.. (จหานกรา้ ปู 6ท4)ี่ก าำ หนด หาค่าของ a (หนา้ 64)
ค วา มยา วขอ=ง ด2า้ น0.ท25ัง้ ส+า ม36ด า้ น เ มือ่ ก าำ ห นดค วาม ยา=ว แ ต4่ล.4ะ1ด +้า น5 1(.ห8น4 ้า 5 2) ข 1)อ แ1 ง.บ ด ้าบ1แรนx0ฝูปล22 หกึ ะสาหดาค==ัดม้า่า น ทขเหตอx1ี่ ล202งร 2่ยี+งx(ม-ขห 8 มา้(น82หม2มุ า้นมฉา้ 6ุม า54ฉก6- 6า)มก5ีดย)า้านว ปcร ห2 ะ)นก อว่ 2ยบx5 ม(22ห ุม นฉา้ า== ก6 4ย)x2าว52 2 +a - 2แ 42ล24 ะ2 b หนว่ ย จ1)า ก AAB2D C= จ ะBไดD้ 2 + AD2 AC2 = AD2 + DC2
1. สมบัตขิ องรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก 1. c2 == 5a62.2+5 b 2 2 . p=2 =56 .2q52 + r2 252A C=2 7=2 + AD22 + DC2 a2 = 242 + 322
3. x3 02= = 7m.5 2 + 2 42 4x. c=2 =7. 5 92 + 122 AD2 20=2 2=5 2 -A 7D2 2 + 122 = 576 + 1,024 A
นกั เรียนพิจารณารปู สามเหลี่ยมมุมฉากตอ่ ไปนี้ และบอกชอื่ ด้านแต่ละดา้ นของ
รปู สามเหล่ยี มในแตล่ ะรูป (หน้า 47) 1แ 3 ..บ บตหด1 ใสแฝน)วั้าสาา นคเึกมแลด xตวหตเขง2หาร ดัคท่ลม งลวท==ี่กะขยยี่าาา้าำี่ ข มมมว1ก้อขสม11บัม(ต24อมมุัุมดห42่อง้า พฉฉน +ดไน+าานัา้ป้า กแ 3กน1ธนสย55 ,ทร์(225าดี้ หะ2่เีวเ-งหมน5ห5 ค7ล6 ื่อา้วว.ือ) 5ตา่า5 งมห 5 ัว(คย)หนอวาน่วักวาย้าษมข 5อยร5 งาท-วด5ี่กข้า6น2 ำาดอ))ก้าขง นับดอ ตงา้ดนรร้3าปูงทนx4ขส22ง้ัา้เ ปา สมม==็นมาเ มหุม คขลฉวx3อ่ียา42า กมง2ม+รยม- ยป3ูา มุ า30วสฉว02 7 าข2า.มก5อทเ หงห่ีกดลนำา้ายี่ว่หนยมนขมดอมุ งฉราูปก 1) = c12 0 0= - 6a42 + b2 = 625 - 576 A D=2 6=2 5 -2 0429- 1 22 = 1,600 เน่ื
1) x 2 == 1y,326+9 z2 2 ) b2 == 1c,21 +56 a -2 900 = c32 6 = 1 62 + 122 = 49 ดั
รูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก ด้านประกอบมมุ ฉาก 3) ox2 == 3m7 2 + n 2 4 ) p2 == 2q526+ r2 x = 6 = 2 56 + 144 x = 7 = 5=7 6 400 - 144 a = 40 นั่
2 . ดจำาา้ นนทว่เีนหทล่กีอื ยาำ หาวน 3ด7ใ นหนแ่วตย่ล ะข้อต่อไปนี้ เป น็ ค วามxย าว=ข อ1ง6ดา้ นประกอบมมุ ฉาก ดงั น้ัน a เทา่ กบั 40 หนว่ ย
DEF DF DE และ FE ของรปู สามเหล่ียมมุมฉาก หาความยาว ขอดง้าดนา้ ทน่เี ตหรลงือขยา้ มว ม1ุม6 ฉหานกว่ ย (หนา้ 55) 3 ) ดงั นx2น้ั x ด = งัเท น ่าc้ัน1ก 2 บั c2 == 6+เท ห 9่าน224ก่ว00บั ย 0 2 0 ห นว่ ย ดงั นน้ั x เทา่ กับ 7 หนว่ ย AD = 2=4 256
MNO MO MN และ ON 4) x2 = 182 + 242
PRQ PQ PR และ QR 2) AC2 A =D A=D 2 1+6 D C2 AB2 = BD2 + AD2
XYZ XZ XY และ ZY 2) = c12 44= + 8a12 + b2 = 324 + 576 จ าก รูป3 52 A D= B AจะDไ2ด +้ 282 292 = a2 + 212
AD2A B=2 3=5 2 -A 2D822 + BD2 a2 = 292 - 212
(6=. 5 )22 2 5= ( 2.5 )2 + b2 = 900 x=2 1=,2 25A -D 27 8+4 3 02 = 841 - 441
x = b12 5 = ( 6.5)2 - (2.5)2 x = 30
ดงั น้ัน x เทา่ ก บั =15 ห4น2่ว.2ย5 - 6.25 ดังน้นั x เทา่ กับ 30 หน่วย = 4=4 1 162 + 302 = 400
1. (หนา้ 50-51) 31) xx22 == (17.22 +)2 +2 4(02 .9)2 24) ) x 2 2=52 2 =0 2 x+2 2+1 722 5) 10 x022 ด ==ัง น bน้ั x1 02 b 0+== 2 เ8ท - 0 ่า8263ก0 6ับ2 6 หน ว่ ย 6. (หนา้
1) c = 5 เซนตเิ มตร 2) c = 7.5 เซนตเิ มตร == 14.494 + + 507.861 =x2 4=4 02 +5 24-4 172 6) x2 = 122 + 122 AD = 2=1 256 + 900 ดังน้ัน a เท่ากบั 20 หน่วย
3) c = 5.3 เซนติเมตร 4) c = 10 เซนติเมตร = 144 + 144
5) c = 13 เซนติเมตร == 26.2255 = 8=4 1625 - 49 3 A. จ ด(หางั กนนร า้ ้ันปู 6 ท 5คกี่)ว าำ าหม xนย ด1า 7 ว==หร าอ ค บ31วร4,า1ปู ม 5 ย6าวA ขBอCง A เทBจา่ าก(กหบั รน ูป3า้ A 4 61A F4+7E)22 32 0 ==+ = 1 21A 7A +F2 F22– +20 1+ ( 57=F2 +E 9 286) 2หน ว่ ย
5.
2. (หนา้ 52) xx == 12.55 x = 2=9 576 3) = c12 0,0=0 0 -a 26+,4b002 = 288
=1 032 , 6 0=0 a 2 + 82 x = √288
ขอ้ a b c a2 b2 c2 a2 + b2 ( )
1) 3 4 5 9 16 25 25
2) 2.1 7.2 7.5 4.41 51.84 56.25 56.25
3) 2.8 4.5 5.3 7.84 20.25 28.09 28.09 ดด้า้านนทตเ่ีรหงลขือ้ายมามวุม 1ฉ.5า กหยนา่ววย 2 5 หน่วย ด4 6 )้า )น x xต ด( 6 2ร ้า. งน1====ขx)ทx2า้2 ่เี ม ห ม111=====ล27252ุม ือ .6.2ยฉ52 23x3(.+า625า4672วก. 5 .1++ 12ย2) 21 24(า11 2- ว-4ห. 1 4(2น11) 92.่ว.21 ยห1)2 น่วย 4 . (จ ดหาังนก นx้า ัน้ 6 x A4= เ)Dท a่าC6ก2 0บั จ ===ะ6 ไ0 ด ห131้ น060่ว20ย -- 8624 x = √12×12×2 1 3 น้วิ
4) 6 8 10 36 64 100 100 x = 12√2
5) 5 12 13 25 144 169 169 5 3)) 2 x xx9 222 ======== 1162x28407069442 1216 02+ -+ -+2 20 24 50204 72026 ดังน้ัน x เทา่ กบั 12√2 หนว่ ย F 2 B C CD 2 8 จาEกรปู =B C22 8=9 – C22P52 + PB2
7 =5 226 4= 482 + PB2
4) ด ัง2AAนc52aัน้CD220 222a === เท === ่า a76ก 22ับ2AA++ 06DD 2bb 22ห-22 ++น 1 ่ว2D1ย22C22 AF =P B28 = 522 – 482

= 2,704 – 2,304 K 5
เนือ่ ง จ5า2ก A B4 8 = 52 A F + FB

ดา้ น xต รงข=้า ม 2ม1มุ ฉาก ยาว 26 หน ่วย ด า้ นต รงขx้า ม=ม มุ ฉ6ากยาว 12.5 หน่วย b2 = = 2 5420-0 7-2 144 AB = 8 + 2 = 10 หน่ว ย = 400 เนอื่ งจ
จะได้
ดา้ นที่เหลอื ยาว 21 หนว่ ย ดา้ นท่ีเหลอื ยาว 6 หน่วย จ าก ร ูป ด งั นAAbั้นDD bB === เจท == ะา่ 256ไ กด472ับ21 65้ 56 2-6 4 4ห 9น ่วย ดังAน ้ัน ค วาม Pยาว ของ A BB เท่ากบั 10 ห นว่ ย PB = 20 ดังน้นั

ทกลับ ค วาม1ใช.ย ้สาcมว2 5ขบ ) อ ัต=งิข xด 2อ า้ งaน===ร2ท ูป+ งั้ สส(52b4า60า.2ม..ม5 22 )เด552ห า้++ลน ี่ย63 เ2ม6ม ม อ่ื ุมกฉาำ ห านกด ข ้าคงวต า2้นม. ย 6เ)าขp วีย2แ xน2ต= แ ่ล ===สะ ดดq งา้245(2นค+.64. .ว112(r)าห 522+มน+ ส5้า (ั ม175..พ8224))ัน2 ธ์ร ะห ว่าง 4. ตัวเลขท่กี ำากบั ดา้ นของรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉากท่กี าำ หนด แสดงความยาว เนอ่ื งจาก AB = AP + PB = 20 + 20 = 40 หน่วย
3. 30 2 =x m=2 +7 .254 2 4. c2 x = = 9 27 +.5 122 ของด้าน หาค่าของ x (หนา้ 56) AABBCC เท=า่ ก12บั 9×6 400 ต ×าร 4า8ง ห น=่ว ย960 ตารางหนว่ ย
แต่ละด้านของ 1) 102 = x2 + 82 2) 252 = x2 + 242 ดังน้ัน พืน้ ที่ของ
2 . ท ฤษ ฎบีx2ท พ=ที า โ1ก0ร2สั - 82 x2 = 252 - 242 2 . จ 1 )า กร ปูAA2AทDB5B่กีx222 22ำา ห ====น===== ด 672B ห252121AAD า52+65,2DDค1 - 62 -+5A ่า 22 + 7ข 6+ 4++DA2 อ9 3 92Dง 3B00 022Da02 (2ห น้า 64) นั่นคอื พื้นทข่ี อง
อบมมุ ฉาก
ละ FE แบบฝ กึ หดัดา้ ทน่ี ต1รง(หขา้นม้าม5มุ 5ฉ-า5ก6ย)าว 7.5 หนว่ ย ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากยาว 7.5 หนว่ ย แ บบ ฝกึ ห ัดท ี่ 2 =(ห น1้า006 -4 -654 ) = 625 - 576 AC2 = AD2 + DC2
ละ ON 1 . ร ปู ส า มเห ล่ยี=ม ม3มุ 6ฉ า ก ม ดี ้าน ประกอบม ุมฉ ากย าว =a แล49ะ b หน่วย a2 = 242 + 322
ละ QR 1. แส3.ด งตควั วเาลมขสทมั่ีกพาำ กนั บั ธดร์ า้ ะนหแวสา่ ดงงคคววาามมยยาาววขของดา้ นทของ้ั งสราปู มสขาอมงเรหปู ลสย่ี มามเุมหฉลายี่กมทมกี่ มุำาหฉนากด แ ละ ดา้ นxต รง=ข า้ ม6 มมุ ฉา กยาว c หน่วย (หน ้า 6x4 ) = 7 = 576 + 1,024 6. (หนา้ 65)
ละ ZY ใน แตห่ลาะคขว้อามตย่อาไวปขนองี้ ดเม้านื่อทตีเ่ัวหอลักอื ษ (รหทน่ีกา้ ำา5ก5ับ-5ด6้า) นเป็นความยาวของด้านของรูป = 1,600
สา มเห1)ล ยี่ xม2ม ุม=ฉ า1ก2 2( ห+น 3า้ 5 52 5) 2) 342 = x2 + 302 1 3)) ด ังนxcc2นั้ 22 x = ===เท า่ 1กa122ับ6522 266++ +ห+9b น 2121่ว24ย24 ดงั นั้น x เทา่ กบั 7 หน่วย จากรปู KN2 = KO2 + NO2
ิเมตร 4) x2 = 182 + 242 x == 57364 N 1 5 น ิ้ว M 132 = 52 + NO2
เิ มตร 1) x2 = y=2 + 1z42 4 + 1 ,225 2) b2 = x 2 c2= + a3242 - 302 a = 40
จข3)าำอ นงoวร2ูป ดน ้าสทน=าี่ก ท xมาำ เ่ี เหหmห==ลนล2 ือด ่ีย+ยใม13าน,7nมว3 แ2 6ุม3 ต97ฉ ล่ าหะ ก นข ว่หอ้ ยตา ค่อวไาป มนยี ้ าเ ปวขน็ อค4ง)ว ด า้ามpนย2 ด ตา ้าว=รนขง ท xอข่ีเ qงา้หมด2===ลม้า+ ือ นมุยr121ปฉา265,ว1รา6 5ะก16ก6 -อ(หห บน9น0มว่ า้0ยุม 5ฉ5า)ก ดังน ้นั คAวาDม ยา=ว ร อ2บ4 รูป ABC เท่ากบั 34 ด+ัง 3น0น้ั + a 1เท2 ่า+ก บั2 04 0 = ห น9ว่6ย หน่วย NO2 = 132 – 52
2 a2 + b2 == 144040 + 81 = 324 + 576 1 3 นิว้ = 169 – 25
5 25 2. = 144
25 56.25 c == 2205 = 900 2) AC2 = AD2 + DC2 AB2 = BD2 + AD2 NO = 12
09 28.09 ด งั นx้ัน c= เ ท ่า1ก5 ับ 20 หนว่ ย x = 30 352 = AD2 + 282 292 = a2 + 212
0 100 2 ) ด (1 6ัง0.นx05bc22้ัน) 222 x == ====เท ่า x1กa((402บั 26 220+.. .5512+ 285))-5220b ห 8+-2-20น (2b6ว่ 2.2ย.25 5)2 ดังนน้ั x เท่ากบั 30 หนว่ ย AD2 = 352 - 282 a2 = 292 - 212
9 169 1) x2 3 ) == x 2 74==92 + + (1 215.44.72246 ) 2 + + 0 (.08.19 )2 2) x2 4 )== 42240x50222 ++ = =24 1 4 2x2152 2+ - 7 72 2 5) = 1,225 - 784 = 841 - 441
= 441 = 400
6) x2 = 122 + 122 AD = 21 ดงั นน้ั a เท่ากับ 20 หนว่ ย K 5 นว้ิ O L
= 144 + 144
= 6=2 5 2.25 = 841 = 625 - 49 == 1306,000 - 6,400 = 288 เนอื่ งจาก KL = NM = 15 นิ้ว (ด้านของรูปส่ีเหลย่ี มดา้ นขนาน)
x = √288 จะได ้ พน้ื ทีข่ อง KLMN = 15 × 12 = 180 ตารางนว้ิ
x = x 2=5 1.5 x = 29 = 576 b == 36,6 00 ดงั นั้น พ้ืนท่ขี อง KLMN เทา่ กับ 180 ตารางน้วิ

( )ด้า นตดรง้านข้าทม่เี หมลมุ ือฉยาากวย 1า.ว5 2ห5น ว่หยน ว่ ย ด้านตร งข้า มมุมxฉ า=ก ย า2ว4 29 หน่วย ด งั นx้ัน b= เ ท 6า่ ก0 บั 6 ห นว่ ย x = √12×12×2 3. จากรปู ท่ีกำาหนด หาความยาวของ AB (หนา้ 64)
3) x2 = 102 + 242 4) x2 6)== (ด 6า้1.น1722)ท2.22 ่เี ห+5 = ล +1 ือ 2 ย12xา42ว 4+ 2 4(1 ห. 1น)2ว่ ย 3 ) ดงั นcั้น2 x =เท ่า กaับ2 6+0b ห2นว่ ย x = 12√2 A จากรปู AE2 = AF2 + FE2
5) =2 921 0=0 +x 52 7+6 2 0 2 102 = a2 + 82 ดังนัน้ x เทา่ กับ 12√2 หนว่ ย 17 172 = AF2 + (7 + 8)2
= x 2 67=6 29 2 - 2 02 = 15x62 .2=5 (6.1)2 - (1.1)2 a2 = 102 - 82
x = 26= 84 1 - 4 00 x = 12.5 = 37.21 - 1.21 = 100 - 64 AF2 = 172 – 152
ดา้ นต รงข า้ มมมุ=ฉ า4ก4ย1า ว 26 ห นว่ ย ด้านตร งข้า มมุมฉ า=ก ย า3ว6 12.5 หนว่ ย = 36 F 2 D 8 E
a = 6 2 = 289 – 225
x = 21 x = 6 ดังน้ัน a เทา่ กบั 6 หน่วย
4) c2 = a2 + b2 B 7 C = 64
252 = 72 + b2
ด้านทเี่ หลือยาว 21 หนว่ ย ดา้ นทเ่ี หลือยาว 6 หนว่ ย AF = 8

เนอื่ งจาก AB = AF + FB

b2 = 252 - 72 AB = 8 + 2 = 10 หน่วย
= 625 - 49
= 576 ดังน้ัน ความยาวของ AB เทา่ กับ 10 หน่วย

b = 24
ดงั นั้น b เทา่ กับ 24 หนว่ ย

7. (หน้า 65) 3. 5 บ) ทเกนล่ือับงจขาอกง ทฤษฎบีa.ท พ=ที าโ1ก3ร, ัส b = 16 และ c = 20 39) เเนนอื่ อ่ื งงจจาากก XY.a . == 151,. 2 , X Z b= =8 1.4แ ล ะ แYลZะ =c 1=7 1.5 3. (หน้า 72) XY2 = 225, XZ2 = 400 และ YZ2 = 625 4. (หน้
XY2 + XZ2 = 225 + 400
A 5M N5D แบ บฝึก หัดที่ 3 (หน้า 7a12- 73=) 169, b2 = 256 และ c2 = 400 XY2a 2 == 2215.4, 4, X Z2 b=2 =6 4 1.9แ6ล ะ แYลZะ2 =c2 2=8 92.25 = 625 C จาก
13 1. ตวั เ ลขในแตล่ ะaข2อ้ +เปbน็ 2ค ว=า มย1า6ว9ด า้ +น ท25งั้ 6สามของรปู สามเหลยี่ ม หาวา่ รปู สามเหลย่ี ม XY 2 a+2X+Zb2 2 == 2215.4 +4 +64 1.96 ดงั นนั้ YZ2 = XY2 + XZ2
13 ในแ ตล่ ะขอ้ เ ปน็ รูปสา ม=เห ลยี่4ม25มมุ ฉากหรือไม่ (หน้า 71) == 2839.4
1) ดเังนนอ่ื น้ั ง จากc 2 ≠ a2 +ab2= 12, b = 16 และ c = 20 ดดงั ังนนัน้ ัน้ c Y2 Z≠2 a 2=+ Xb2Y2 + XZ2 น่นั คอื XYZ เปน็ รูปส1า5มเหลี่ยมมมุ ฉาก 20
6) X หาค
น ัน่ คือ ไ ม เ่ ป็นรูปaส2 าม=เ หล1ย่ี44ม,ม ุมฉ ากb2 = 256 และ c2 = 400 นนนั่ ัน่ คคือือ ไมเ่XปYน็ Zร ปู เปส็นามรปูเหสลามีย่ เมหมลมุีย่ ฉมามกมุ ฉาก
6 2) ) เน ด นเนื่อัง่นั ่อืงนคจงน้ั ือจา ก าก c เaป2a2 ็น=2+ร +aปูbaa2bส22.a +2า ม====b===เ 2ห ล2844่ีย4110400048,100ม 04, , ม + +ุม 4 ฉ 24า 51ก6bbb 2 A D 25 B
= 21 และ c = 29 140)) เเนนอ่ื อื่ งงจจาากก XY.a . == 217,. 5 , X Z b= =2 0 18แ ล ะ แYลZะ =c 2=9 19.5
= 441 และ c2 = 841 XY2a 2 == 44516,. 25,X Z2 b=2 =4 003 2แ4ล ะ แYลZะ2 =c2 8=4 1380.25
B 17 C จากรูป เนอื่ งจาก AC = 15, BC = 6020 และ AB = 25
= 81 และ c = 85 นด ดน ่ันงั ังนั่ นคนค ั้นอืนั้ อื X Yเ c 2ป Y2a+ ็นZ=X22รX +Y a ปู Z Z=2bส2 + 2าเ ป ม==Xb็น==เ Y2หร 2ลปู84+่ีย44ส351186ามXม 0.ม+2Z.เ25 หุม245 ลฉ+0ยี่0า 3กม2ม4ุมฉาก
จากรปู BM2 = AB2 + AM2 Y AC2 = 225, BC2 = 4D00 25และZ AB2 = 625 ดงั
AC2 + BC21 44= 225 + 400
132 = AB2 + 52 ด ังนัน้ c 2 = a2 +a2b 2= 324, b2 = 6,561 และ c2 = 7,225
น่นั
AB2 = 132 – 52 น ่ันคอื เ ป ็นaร2ปู +สbาม2 เห=ล ่ีย3ม2ม4ุม +ฉ า6ก,561 จ ากร ูป หา ความยาวขอ ง X=Y 625

= 169 – 25 7 ) เน ื่องจาก a. == 261,8 85 b = 22 และ c = 30 5) X Y ZX ในแ ต ่ละข อ้ ต่อ ไปจนา้ี กเปร็นปู รหปู าสคาวมามXเหยYลา2ว่ีย ขมอ=มง ุม Xฉ9Yา2ก + (1ห2น2 ้า 71-72) ดงั น้นั AB2 = AXCY22 += B C6202 + 1442
2. แสดงวา่
= 144 ดังนน้ั c2 ≠ aa22 +=b 2 441, b2 = 484 และ c2 = 900 น่นั คือ A B C เปน็ รปู =ส าม3,เ6ห0ล0ี่ย +ม 2ม0มุ ,7ฉ3า6ก

AB = 12 น่นั คอื ไaม2เ่ +ปน็ bร2 ปู ส=า มเ4ห4ล1ีย่ +ม 4ม8ุม4ฉาก 1) เดนังอ่ื น ง9 ้นั จ าX ก Y 2 Y+Z1X2X2X YZ Y= 22 X====Y 2 +163310,666 X 0, +Z 62 4XXZZ 2 == 86 4 แแลล==ะะ YY28ZZ2125 + ==1 4411000 หจพพะริจ้ืนไือา เ ห ทดน ร าขี่ว้่ือณคอ่าง ว างจ าก าม21กา ยร× A าห ว ABAา ข พCC1อCXXXXX้ืน5 ง ZY YZ× Y× ทX ×22..== ีข่C BZB 2อ========CDC0ง 1122 12×54A 6,A3B3CC6 × BC
Z XY = 15 2×5 2A +B 6 ×02 CD
เน่ืองจาก AN + ND = 17 8 3) ) ดเนน ดเังั่นนือ่ นังคอื่งนั้นอืจงั้น จ า กาก ไ c ม c 2 ≠2เ่ a ป=2aน็ +2aร a+2ูปbaa. +bส22. 2==าbม==== 2เ ห19ล9288.25ีย่,2115 ,5 , ม + ม 1ุม 4ฉ 4ากbbb 2 === 12 และ c = 15 Y 61264====2545,2 56,32, 35+A211 26 553 ,B × , 2 6×× 5×0A XX20C BC0ZZD D 2× ==C D 645,2 2 5
144 และ c2 = 225
จะได ้ AN + 5 = 17 3.6 และ c = 3.9

AN = 17 – 5 = 12 หนว่ ย
2211
ดงั น้ัน พ น้ื ทขี่ อง ABCN = × (AN + BC) × AB นน่ั คอื เ ป็นรูปaส2 าม=เ หล2ี่ย.2ม5ม, ุมฉ าก b2 = 12.96 และ c2 = 15.21 หนาน่ัคควาือม ย าวขอXงY XZZ เป็นรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก
= × (12 + 17) × 12 2) เนอื่ งจา ก XZX2Y === 1142242. 5 ++, 126526XZ = 6 และ YZ = 6.5

= 174 ตารางหน่วย 4) เนอ่ื งจาก a2 + b2a . == 21.205, + 12 .96b = 24 และ c = 26 และ YZ = 169
และ YZ2 = 28,561
น่ันคือ พน้ื ทีข่ อง ABCN เท่ากับ 174 ตารางหนว่ ย a 2 == 1150.201, b2 = 576 และ c2 = 676 XY 2 == 4060.25, XZ2 = 36 และ YZ2 = 42.25

3. บทกลบั ของทฤษฎบี ทพีทาโกรัส ด ังนน้ั c 2 =a2 a+2 +b2b 2= 100 + 576 XY 2 +XXZZ 2= = 206.25 + 36 XY 2 + XZ2 C=D 2=4 ,33162 + 4,225
เน อ่ื ง จาก XY == 154,2 .25XZ = 20 และ YZ = 25
แบบฝึกหดั ที่ 3 (หนา้ 71-73) น น่ั คือ เป ็นรปู สาม เห=ล ่ีย6ม7ม6ุมฉาก ดังนนั้ +YXXZXYZ2Y 22=Z เ== ปX น็ Y22ร222ูป+55ส, +าXม Z4เXห02 0ลZย่ี2 มม= มุ ฉ4า0ก0 ดงั น ั้น CD ม คี วามส งู = 1 2 2เซ8,น5ต61เิ มตร
9) 3) เ นดนอื่เงั่ันนงนคื่อจ้ันืองา จก า Xกc เYป 2 2็น =+ร aูปXXaaX2สY2Y.Z +า2.2 ม== bเ ===2ห ล11ี่ย..12224ม522,4 ,55ม, , ุม +ฉ 6าXX4กZZbb 2 2 ==== 8611 4..94 6 แแลลแแะะลล ะะYY ZZcc2 2 ==== 122178..9255 (หน ้า 7 2) นัน่ คอื X Y 2 และ YZ2 = 625 4. (หนนด้าน่ังั 7นค3น้ั ือ) YZ2 = XY2 + XZ2
1. 5ต) วั เลนขอ่ื ใงนจแาตกล่ ะขอ้ เปaน็ .ค ว=า มย1า3ว,ด า้ นท ง้ั สาbม ขอ=งร ปู 1ส6า ม เหลแยี่ มล ะห าวcา่ ร ปู =ส าม2เห0ลยี่ ม 3. XYZ เปน็ รปู สามเหลี่ยมมุมฉาก
ในแ ตล่ ะขอ้ เ ป็นรปู สaา2 ม=เห ลยี่1ม69ม,มุ ฉา กหรbอื2 ไม= ่ (ห2น5า้ 6 7 1) และ c2 = 400
1) เนอ่ื งจาก a2 + b2a == 11629, + 25 6 b = 16 และ c = 20 = 625 D 20 C
a2 + b2 = = 1.24849 + 1.96 ดังนน้ั YZ2 = XY2 + XCZ2
a 2 == 412454, b2 = 256 และ c2 = 400 ดังนัน้ YZ2 == X3Y.24+ XZ2 น่นั คอื XYZ เปน็ รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก 26 26
ด งั น้นั c 2 ≠a 2a+2 +b2b 2= 144 + 256 ดังนน่ั้ ค อื c 2 ≠ aX2Y+Zb เ2ปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก 6) 15 20 X
6 2 ) ) นเน ดเนั่นน่ืองััน่ คือ่งนคอืจงัน้ อืจ า ก าก ไ มc เaป2เ่ 2 ป็น=+็นร aูปรbaa2ปูสa22.a +ส2า ม===าbม===เ 2หเ หล244ล่ยี431000่ยี028,00ม 04,, มม +, ม ุม 4มุฉ 4ฉา 1กากbbbb 2 2 ====
21 และ c = 29 4)น ่นั เคนอ่ืือง จาไ กม เ่ ป น็ XรูปYส. าม=เ หล2่ยี 1ม, มมุ ฉXาZก = 20 และ YZ = 29 A B A EF B
48411 แแลละ ะ cc2 == 88451 10) เนื่องจาก XaY. 2 = = 7.454, 1, XZb2 == 41080 แลแะล ะY Zc2 == 81491.5 D 25 60 68
6,561 และ c2 = 7,225
XY2 + aX2Z 2= = 564.4215 ,+ 400b2 = 324 และ c2 = 380.25 จากรปู เน่อื งจาก AC = 15, BC = 20 และ AB = 25 จากรูป AE + EF + FB = 68
a2 + b2 = = 568.4215 + 324
a2 + b 2 == 834214 + 6,561 ดังนั้น YZ2 = = XY328+0.2X5Z2 Y AC2 = 212445, BC2 = 400 แDละ2 5 ABZ2 = 625 2AE + 20 = 68 (AE = FB)

ด งั น้นั c 2 = a2 + b 2= 6,885 ดังน่นั้ ค อื c 2 = aX2 Y+Zb เ2ปน็ รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก จาก AรCูป2 ห +า คBวCาม2 ยา=วข อ2ง2 X5 Y+ 400 2AE = 48

นดั่นังคนือั้น เปc็น2 ร≠ปู aส2า+มเbห2ลี่ยมมุมฉาก 1แ)ส 5ด)นเ งน่ันว ่อื คา่ ง อืจ าXกY เป Z ็น รใXปูนXXY1สแY22าต มล่ เ==ะห ขลอ้ ่ีย63ตม,6 ่อ,ม ไ ุมป ฉนาXX้ ี กเ จปZZาน็ 2ก รร ปูปู== ส หาา86มค 4เวห าลม X ย่ีแแยYมลลา2มวะะ ข ุมอ===YฉYง Zา ZXก2 289 Y 212(== ห5 ++ น 11า้ 112 47002410-72) X Y2 = =6 26502 + 1442 AE = 24
2.
7 ) เนนื่อัน่ งคจอืาก ไมเ่ ป็นaร. ูปส=า มเ2ห1ล, ี่ย มม มุ ฉาbก = 22 และ c = 30 ดงั น้ัน A B2 = AC 2 + BC2 = 3,600 + 20,736 หาความยาวของ DE

3) เนือ่ งจาก a2a . == 494,1 , bb2 == 41824 แแลละ ะ cc2 == 91050 นน่ั คอื AB C เป น็ รูปสาม เห=ล ่ีย2ม4ม,3ุม3ฉ6าก AD2 = AE2 + DE2

ด น ดนงัน่ั นงั่ันคนัน้คือนั้ อื ไ c ม เ c 2aป ≠2่เ2a ป็น=+2aน็ร +2aูปร b+2ูปbสa2 +bส22า ม2==าbม===เ 2ห เ หล94ลีย่28824ี่ย21151ม5, มม ++ มมุ 14มุฉ48ฉา 44กาก b2 = 144 และ c2 = 225 พจิ ารณ าก ารห าพ้ืน ท ขี่ องX Y A=B C156 262 = 242 + DE2
จหพะร้นื ไอื ทด ่ขี้ว อ่า ง 21 ห า×A ค วBAาCCม ย ×า==ว Bข CอX1221ง Z X2××= Z AA=== CB12 624×××25, 2 52CBA2 +5CD+B 63 0×,62 0C0D
XY2 + XZ2 = 36 + 64 XY = 15 DE2 = 262 – 242

Y 9 = 10016 Z = 676 – 576

ดังหนาน้ั ค วา มยYาZวข2 อ =ง X XZY2 + XZ2 = 100

84) ) เนเน่อื ือ่งจงจากาก aa. . == 11.50,, bb == 32.64 แแลละ ะ cc == 32.96 DE = 10
พิเศษ

21 สุดยอดคู่มือครู
aa2 2 == 21.2050,, bb2 2 == 1527.966 แแลละ ะ cc2 2 == 1657.261 น่ันคอื XYXZZ 2เ ปน็ =ร ูปส12าม2 +เห 1ล6ย่ี 2มมุมฉาก AC × BCX Z.= = A6B5 × CD ดังนั้น พ้ืนทขี่ อง ABCD = 2112 ×× ((2D0C + + 6 A8)B ×) ×1 0DE
=
aa2 2++bb2 2 == 21.2050 ++ 1527.696 2) เน อ่ื งจ าก XY = = 2.154, 4 + X25Z6 = 6 และ YZ = 6.5 เน่อื งจ1าก5 × 2X0 Y.= = 251 5×6 ,C D XZ = 65 และ YZ = 169
XY2 = = 6.42050, XZ2 = 36 และ YZ2 = 42.25 X Y 2 CC+DDXX YZ22== === 11 52 222 4482×,,,5335 23360661, + 4X,2Z225 = 4,225 และ YZ2 = 28,561
== 1657.261 XY 2 + XXZZ2 = = 6.2205 + 36 = 440 ตารางหน่วย
เน ่อื งจ าก X Y = = 421.52,5 XZ = 20 และ YZ = 25
ดดังนงั น้ันน้ั cc 2 2= = a a2 2++bb2 2 ดังนัน้ YZ2 = XY2 + XZ2 นั่นคอื พนื้ ทีข่ อง ABCD เท่ากบั 440 ตารางหนว่ ย
นน่นั ่ันคคืออื เ ป เป็นน็ รปูรปูสสามามเหเหลลี่ย่ียมมมมมุ ุมฉฉากาก
ดงั นนั้ CดDัง มนั้นีค วา มสYูงZ 12 2 = เ ซ XนYต2ิเ+มตXรZ 2

นน่ั คือ XYZ เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก น่นั คือ XYZ เป็นรปู สามเหลีย่ มมุมฉาก

7.5. (ห(หนนา้ ้า 778) A 9. (หนา้ 788) . (หนา้ 78)
พน้ื ทขี่ อง ABCD = 480 ED + DC = EC
XA
พเิ ศษ5. (หน้า 73)3.2. (หจนาา้ก7 7c)2 = a2 + b2 B 3) x2

สุดยอดคู่มือครู 22
A หาคคณู ว า4ม ทยา้งั วสขอองงขา้BงDของสมการ เนอื่ งจาก AB × BC = 240
จะไAดD ้ 2 4c=2 AB=2 +4BaD2 +2 4b2 20 × BC = 240 BC × DC = 480 20ED + 20 = 27 x
9 24 ×12DC = 480 ED = 7
BD 522 (2=c)2 20=2 + B(2Da2)2 + (2b)2 BC = 12 5 5 5) x2
12 15
15 ดังนBัน้D 2 รปู =สาม52เห2 ล–ย่ี 2ม0 2KLM เป็นรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก DC = 20
12
= 2,704 – 400 เนอื่ งจาก BC + CD = 48 หาความยาวของBAE D 11 C DC x
4. การนำาไปใ=ช้ 2,304 AE2 = AD2 + ED2
12 + CD = 48 จากรูป A=BC2 ม42ี A+^B7C2 เป็นมมุ ฉาก
2. รูปสามเ
แบบฝึกBหDดั ท่ี 4= (ห4น8า้ 77-78) 1212 CD = 36 Z ให ้ ABCD เป็นรปู ส่เี หลี่ยมมมุ ฉาก Y แสดงคว
1. ดงั(หนน้ั ้า 7พ7ืน้) ทขี่ อง ECD 1) x2
C หาความยาวของ BC = × CD × EC จดะงัไนด ้ัน้ AE ควา===ม AB2ยCC0265าว725222 ด56 า้ +น====4A 9 E4A12เ020ทB022า่ 2 ก+- -+บั 1B 1B22C452C42เ2ซนตเิ มตร จากรปู XY Z จAะDได ้ = BC = 5 เซนติเมตร และ AB = DC
= × 36 ห×า2ค0วา(AมยBา=วขEอCง F=C20) เXนY่อื 2ง จา=ก XคZ2ว+ามZยYา2วเสน้ รอบรปู ยาว 34 เซนติเมตร
จากรูป เนอ่ื งจาก AD = 9, DC = 12 และ AC = 15
AC2 = AB2 + BC2= 3 60 ตา รางฟ ุตFC2 = AC2 + AF2 จ1ะ5ไ2ด ้ = 12 2 3+4Z Y2= 2AD + 2DC x
AD2 = 81, DC2 = 144 และ AC2 = 225 น่นั คอื 1พ0ืน้2 ท่ขี=อ ง82 +E CBDC2เ ท่าก ับ 360 ตา รางฟ ุตFC2 = 102 + 242
Z Y2 = 15 2 3-4 1 22 = (2 × 5) + 2DC 3) x2
AD2 + DC2 = 81 + 144 ( ) ( )4. (ห นา้ 7 B8C) 2 = 102 – 82 = 100 + 576 6. จแห(าลหกาะนคร ้าวูปRา7 มT8 ย)2 Aาว===Bข DอBBBงS(4DCD 3จ0TR. ะ6 2Tไ)+2ด=====+S้ A R( 5D2.1512B22665C) 2=6 - - A1 D1BC2 +ห BาDคว2 าMMมยTTา2วข=====อง ด คงัวนาม ั้นย า ควเวสา้นม ร ZรยูปอYา บว เรสAปู ้น===เDท ร Cอ่ากบ982 มบั 12ร 2 25DDปู ีDD A Xส-CCCCาD ^Z1 ม 4C+เ4ห Z====เลปYย่ี น็ ม+ม3212 2X442X4มุ Y Yฉ-Z า 1 =กเ0ท ่า1ก2บั + 3 96 +ห น15ว่ ย = 36 หน่วย
หา ( ห ดหคางั นวคนAาAา้ A ว้ัน ม BาB7BC ยม27C2Bาย) ว=====Cาขว ======อขย งS295อา265วBงA61A863+ 240266A2BB 1+ 0 +++เC26 ซ –S +8 น6 282A 64 ตB42 2ิเC ม 2ต ร แ ละ FนดเCน ห น่ััง ือ่นยาคงคัน้าอืจวว า า2กDม 6FยC Cเาซ===คAค2ว น ววBขAAาาต=====อมม5A2=BBเิ ง0มยยCBC+ BDตาาหDD686A2ว+Cว5Cรน4726เเ D สเส+B 6 ่ว=+ท+ ้น2น้ยC า่5 C1ร+รก1 +2อ+อD 2บั A8บบ8C52=CรรD0ูปูป2Dขห+ขAอนอDงงว่ Aย
= 225 MT
RT2 + MR2 x
ดังนน้ั AC2 = AD2 + DC2 40 + (1.5)2
2. 40 + 2.25 5) x2
นัน่ คอื ACD เปน็ รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก 42.25
6.5
นา่ คดิ -น่าลอง (หน้า 73) แบจบะฝไดึก้ ห ัด ทา้ ยAหCน2่ว ยก=า ร เรAยี Dน2ร +ทู้ ่ีD2C(ห2 นา้ 79-82)
1. จาก c2 = a2 + b2 ดงั น ้ัน ความ ยาว ของ=M T1เ2ท2า่ +กับ 562.5 เซนติเมตร x
= 144 + 25 1. 1จข)ำาอ นง วรปูน xสท2 า่ีก ม==าำ เห ห น11ล12ดยี่ 12ใม +น+ม แ 6มุ3ต1ฉ, ่ล72 า 2ะก1ข ห ้อ AตาคD่อ วไ าป ม นย=้ี ===าเป ว ข็นอ5121ค2ง3562)ว ด9 า+ +้าม น 1ย1ตxา24ว2ร2 4ข ง==อข งา้ มด9812ม้า น +มุ+ป ฉ 11รา24ะก24 ก (อหบนม้า มุ79ฉ)าก
คณู 49 ทงั้ สองข้างของสมการ
5. (ห นา้ 78) = 128 = 192 = 169
( ) ( ) ( ) จะได ้ 49c2 = 49a2 + 49b2
พ ้ืนทีข่ อง A BC D = 4 80 E D + D CDC= ≈E C14 AD = 13
3. (หนา้ 77) 32 c 2 = 32 a 2 + 32 b 2
หดาคงั นว้ันาม ยราปู วสขอามงเBหDล่ียม DEF เป็นรูปสาเนมือ่เหงลจย่ีากมมมุ AฉBาก× BC = 240 ดังนนั้ ดา้ น AD ยาว 13 เซนตเิ มตร = ด3,งั 8น4้ัน2 เสน้ ท แย งม มุ ม คี ว าม ยา ว 1=3 เ2ซ2น5ติเมตร
2. จากA cD22 = = a2A+Bb22+ BD2 ดงั นัน้ DCB Cยา×วปDรCะมา=ณ 148 เ0ซนตเิ มตEรD + 20 = 27
20 × BC = 240

คูณ 45 2ท2ัง้ ส=องข2้า0งข2 อ+งBสDมก2 าร BC = 12 7. (หนา้ 78) A 24 × DC = 480 ED = 7 8. (หน้า 78) x = √3,842 x = 15
จะไดB ้D24c=2 52=2 –42a022 + 4b2 DC = 20 9. (หน้า 78) A
B 3) x2 = (0.3)2 + (0.4)2 4) x2 = (1.2)2 + (1.6)2

(2c=)2 2,=70 4(2–a4)200+ (2b)2 เนื่องจาก BC + CD = 48 หาความยาวของ AE X = 0.09 + 0.16 = 1.44 + 2.56
ดงั นั้น รปู =สาม2เ,ห3ล0ย่ี4ม KLM เป็นรูปสามเหลีย่ มมุม1ฉ2าก+ CD = 48 1A2E2 = AD2 + ED22 0
BD = 48 CD = 36 = 242 + 72 55 = 0.25 = 4

4. ดกังานรัน้ นาำ ไพปืน้ ใชท้ีข่ อง ECD = 1221 × CD × EC = 576 + 49 12 15 x = 0.5 x = 2
แบบฝึกหัดที่ 4 (หนา้ 77-78) = × 36 × 20 (AB = 625 D D
= EC = 20) B 11 C C 5) x2 = 42 + 82 6) x2 = 102 + 302

( ) ( )1.นห(ห (( หหด า่ันหหนาาังคคนนคน้าวือA้าา้ AA ววน้ัา A7B าาB1ม77BCC 8CมมB077พCย)222B22ยย)) านื้ Cาาว=====ทววข =========ข่ีขยอ ออางS295วงง2661A18A8635BA +4002266BA2BB 2B 02 ++C1+เ+C+22E –ซ 6– ++8B C น6S 82 C6428 DAตBB24 2ิเ2 CC 2ม เ ท22ต =่ารก ับ แ 3ล366ะ0 0 FตตCนดเา ห ห นา นั่ังรรยาา่อืนาาคคคางงงัน้วอืววจฟฟ าาา2ุตุตDมมก FF6FยยCCC Cเาาซ222วว===Aคค น ขขววBตAA========ออาาเิมมA52 งง=BBม 0ยยCBCFD+ตBาา6861A1A2หCDDCรว+Cว5470026น DC เเ 602 +สเส+B+ ว่=ท22 +น้ ้น+ยC 1++่า51 Cร ร ก22 25+อ+อAAD84ับ87บบ2CFC652=รร2D20ปููปDขห+ข AอนอDงง่วAย จแจจาาะลกกไะดรร ปูปู ้ 6 . AดB งัACนCั้น มA2 ี EAคว^B=า=Cม ย เA2าปว5B็นด2ม้า น+ุม AฉBEาCกเ2ท่ากับ = 16 + 64 = 100 + 900
ห(ห าBนคB2C้าว0CRา722 มT8 ย)2 า=====ว===ข อง12412S4(3065002TR.660222T ) +-+2- + 1SB12R(C45224.22)2
BD = BC - DC 25 เซนติเมตร ใหZ้ ABCD เป็นรูปสเ่ี หลี่ยมมุมฉาก Y = 80 = 1,000
4 . ด งั นัน้ คว=าม ย1าว6ข -อ ง1M1 T เทา่ กบั AD = BC = 5 เซนตเิ มตร และ AB = DC
= 15 BD = 5 หาความยาวของ x = √80 x = √1,000
2 = 225 ABD จะได ้ AD2 = AB2 + BD2 MT2 =
= 122 + 52 = จาเนกร่อื ูปง จ ากX YZค จวะาไมดย้ าวเส้นรอบรปู ยาว 34 เซนตเิ มตร = 4√5 = 10√10
=
= MT ด ค รจ ังวนปูาะม ้ันไ ดย า ้A ควเวDส า้นCม ZX1ZรยY Y5อมY 2 2 า222บDD ว ีDD 33A เรCCสCC44ูปD^้น ====== เทCร อา่ ก======บเ98211Xปับ 1252ร Z็น522ูป 2 +-Xสม321(2-2+2 2442Aา Z14ุมZ1 มZ 2× Y4Dฉ-+เ2Y4ห 2า 512Z+ลก)0Y ยี่ +2 ม+D 2 XCXDYYCZ =เท า่1ก2บั + 3 96 +ห น15่ว ย = 36 หน่วย 2. รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากทีก่ าำ หนดในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี ้ ตวั เลขที่กาำ กับด้าน
MT = RT2 + MR2 แสดงความยาวของดา้ น หาคา่ ของ x (หน้า 79)
2. 40 + (1.5)2 1) x2 = 152 + 82 2) x2 = 392 + 152
6.5 เซนตเิ มตร 40 + 2.25
42.25 = 225 + 64 = 1,521 + 225
6.5
= 289 = 1,296

x = 17 x = 36

3) x2 = 612 - 602 4) x2 = 452 - 272

จะได ้ แ บบฝ AึกCห2 ัด ทา้==ย ห5Aน2ว่D +ย2 ก1+า2 รD2เCรยี 2 นรทู้ ่ี = 3,721 - 3,600 = 2,025 - 729

2 (หน้า 79-82) = 121 = 1,296

= 128 = 192 = 144 + 25 1 . จาำ นวน ที่กาำ หนด ในแต ล่ ะ=ข ้อต2่อ5ไป +น 1้ ี เป44็นความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก x = 11 x = 36
ขอ งรปู สาม เหลยี่ มมมุ ฉาก= ห าค16วา9มยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก (หน้า 79)
DC ≈ 14 = 169 5) x2 = (2.9)2 + (2.1)2 6) x2 = (0.4)2 + (0.2)2

ดังนนั้ DC ยาวประมาณ 14 เซนติเมตร AD = 13 1) x2 = 11 2A +D 6 1 2 = 1 3 2) x2 = 92 + 122 = 8.41 + 4.41 = 0.16 + 0.04

ดงั น้นั ด้าน AD ยาว 13 เซนตเิ มตร ดังน ้นั =เ ส1น้ 2ท1 แ+ย 3ง,ม72มุ 1ม คี ว าม ยาว 13 เซนติเม=ต ร8 1 + 144 = 4 = 0.2

= 3,842 = 225 x = 2 x = √0.2

x = √3,842 x = 15

3. จากรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากทกี่ าำ หนด หาคา่ ของ x และความยาวรอบรปู (หนา้ 80) 64.. (หจนากา้ ร8ปู 1ท) ก่ี าำ หนด AC ยาวเทา่ ไร (หนา้ 80) จาก5ร)ปู เน ่ืองจAาCก = aA.D =+ D0C.8, b = 1.5 และ c = 1.7 98. (หน้า 811)) 11. (หน้า 81)
1) x2 = 52 + 122 1จ) ากเนรูปอ่ื ง จาAกDB จะไaด. ้ =AD32, = ABb2 - B=D2 5 และ c = 9 = a225 += 1440.64, b2 = 2.25 และ c2 = 2.89 A Aจากรปู BCD เป็นรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก
a 2 = 9, = 52b-2 32= 25 และ c2 = 81 BDACC เปน็a=2ร +ูปสb1า26ม9เห ==ล ย่ี 20ม..ม8649มุ ฉ+า2ก. 2ม5 ี B^DC เปน็ มุมฉาก BC = AC - AB A
= 25 + 144 a2 + b 2 = 9 + 2=5 25 - 9 จากรปู 1B = 21 - 1
= 169 11
x = 13 = 34 = 16 จะได้ ด งั นนั้ BCc2 2 ==a 2 +BDb22 + DC2 10 = 20
ความยาวรอบรปู เทา่ กับ 5 + 12 + 13 = 30 จะได ้ BD2 = BC2 + CD2 B
ด งั นั้น c 2 ≠ a2 + b2 AD = 4 น ่นั คือ เป น็ =รูป สา6ม02เห +ล 1ย่ี 4ม4ม2มุ ฉาก = 202 + 152
จากนร่ันูปค อื AไDมCเ่ ป จน็ ะรไปู ดส้ ามเAหCลี่ย2 มม=ุม ฉAาDก2 + DC2 6 ) เน อื่ งจาก = a3.,60=0 + 02.08,,736 b = 1 และ c = 1.2 จากรูป
2) x2 = 152 - 92 2 ) เน อ่ื งจ าก a . = 5, = 42 b+ 12=2 12 และ c = 13 = a224,3=36 0.64, b2 = 1 และ c2 = 1.44 21 = 400 + 225 จะได้ A
= 225 - 81 D 9 = 625
= 144 a 2 = 25 , = 16b 2+ 1=44 144 และ c2 = 169 BC a=2 + b1256= 0.64 + 1 B 6 C B

x = 12 a2 + b 2 = 25 +=1 44160 พจิ ารณา AC2 = 1692= =1 .6248,561 1) จากรูป ADB จะได้ A B2 = AD 2 B+D B D=2 25
ความยาวรอบรูปเท่ากับ 15 + 9 + 12 = 36 102 = AD2 + 62
= AC16 9 = √160 ด ังน้นั ABc2 2 ≠=a 2 +65b2 2 = 4,225 C 15 AD2 = 102 - 62D นั่นคอื ด้
ด ังนั้น c 2 = a2 + b2 = 4√10 พื้
3) x2 = 342 - 302 น ่นั คือ เป น็ ร ูปสา มเหล่ยี มม มุ ≈ฉ าก12.65 น น่ั คือBCไ2ม เ่ ป=น็ รูป1ส5า6ม2 เ ห=ล ่ยี ม2ม4,ุม3ฉ3า6ก ด งั นน้ั อ านัส ตอ้ ง ใช้ล วดยาวอยา่ งน อ้ ย= 251 ฟ00ตุ - 36
= 1,156 - 900 3ด) งั นเนน้ั อ่ื งจAาCก ยาว 4√a1.0 ห=รือ4 ,12.65 b = 6 7 . AB2 + BC2 B= 4 ,225 + 24,336 = 28,561 ดงั นนั้ ค
= 256 และ c = 8 ดังนนั้ AC2 = AB2 + BC2 1 0. (หน า้ 81 ) = 64
A พ้ืนที่ A รูปDสB า มเห== =ล Dย่ี 0B21221.ม24 ××A B6D DAมตจBB×ะ อ่ี E D×Cม8ไ ด Dย พีE^A้ าBDนื้=วD ท อDเ1ป ่ีอE 28ก็นก4Cิโมไ ล ตปเุมเปาทมฉร็นาตาางรกงรดูปเ ซลา้ซสนนาึ่งาก มตCB เเิC EหมถE ลตงึ = ย่ีจรใ ุดมห 0 ้ขมE.น5ุม โาฉแดนาลย กAะทBี่
x = 16 5 จจ พ จ. าะาจิ54กกไ ด พ (เจใ)า)ดนหรรน ระัง้ืนูปปู ้นอื่ณไ นเดดนเน ทนดนง ้า ้ันงงัันน่ั่ัาจ รี่ ือ่้ Y่ือ8 นน ปูคคาBงงO0ันั้้นกสือือจจ ร XD)AXA BBูปาาาAAZBCกมก CCCสBccไเมCCCXป เม 22า=2222เหี ป Yน็มY่เaa ≠= ลป น็Zร22เO^2ห่ยี===========น็ aูปa++ร XเลมX2 2รูปสปbba+ูปยี่aaa a+ Oาสเน็X 22222..ปมมส213211B61A6า bรbY 55,465560็นาเ มDD=6ูป2Xห2มZ 6,69922=========มเ03+ 2 ส ลห 22Y+ เ +03 มุห+2 าย่ี ลZ1 6 ม ฉ1ล +Dม×4่ยี===D00 1515512===4เมายี่ 4หม.. C66727,4ม 2ก4C 866มีพ66,,ลุม0ม2,4 0+2ม,224นื้,ี่ย4 12จ=12ฉ,0+มุ748,มุ38ทะ ม 2า3ฉ×× ,,61ไฉก ี่3521ห64ดา , 2365า1X0กน8 ้กbbb6122 b Z b้าต2ม22 4จ× XXา×X ี่วัXB 1ร8OO Y0==าO===Y^Dง2222OC เ ซ 12133นเป..======,6252ต0็น 52เิ มม4163X1Xตุม060OOรฉแแแแแ0222 ลลลลล-า -++ก ะะะะะ 86 2Y842Occccc2222 = 64 นั่นคือ ABC เป็นรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก
ความยาวรอบรูปเทา่ กบั 34 + 30 + 16 = 80 8. (หนา้ 81) 6 5 60
= 40 A 0 .5
4) x2 = (6.5)2 - (2.5)2 = 1,600 AD 144 C ดงั นนั้
= 42.25 - 6.25
= 36 = 1.7 จากรปู รปู สามเหล่ียม ABC เปน็ รูปสามเหลี่ยมมมุ ฉากหรอื ไม่ พร้อมอธิบาย 2) พื้นที่ AA รรปูปูDBสสCC าา มมเเหห======ลล Eี่ยย่ี 6321112122มม60 ××××AA 8DA9BD CCจD ด CD××ะงั E ม×(8ม×ไน6 ด ีพ พี นั้ =AB้ +น้ื นื้ CD ท9ทDCเ ข)C ่ี ่ีBD63าD อ062+ ย ตต Bู่หาาE่ารร=====งาา จ งง=าเเ1(0C1ซซ ก0 ...น0นEบ263.5.ต95ต2า้2)น 2 +ิเเิ+ +มม +1 Dตต1 1.(3.รEร 14 .=2ก42 โิ) 2ล1เ.ม2ตร
= 2.89 ประกอบ (หน้า ม81ี A) ^D1B0
x = 6 จากรปู ADB เป็นมมุ ฉาก
ความยาวรอบรปู เทา่ กบั 6.5 + 2.5 + 6 = 15 = 1.2 จะได้ AB2 = AD2 + BD2 1 ดังนนั้
= 1.44 พน้ื ที ่
รปู (หนา้ 80) 4. จากรูปทกี่ ำาหนด AC ยาวเท่าไร (หน้า 80) BA6D522 = 6A65D2 2-+60620D2 3)
จากรูป ADB จะได้ AD2 = AB2 - BD2 = 9 C
ดังนัน้
= 52 - 32 1) จากรปู ADB = จะไ4ด, ้2 25A-B32, 6 0=0 AD2 + BD2
6 . (ห นา้ 81) = 25 - 9 = 625 102 = AD2 + 62 C
1 ) เน อื่ ง จาก a . = 3, = 16b = 5 และ c = 9
a 2 =AD9, = 4b2 = 25 และ c2 = 81 AB2 + BC2 a2=+ b2 4,2=25 +0 .2644,3+326. 2 5= 28,561 9. 1A(หB น้า 81) AD = 25 AD2 = 102 - 62 11. (หนา้ 81)
จากรูป ADCa 2จ+ะไbด2 ้ =AC92 + =25 AD2 + DC2 พน้ื ท ี่ AA รปูDDสBC า มเห=== ==ล ่ีย212122121ม4 ××××A DB69D DACB×× D×ม×88 จจ พี ะาBAAกไ้ืน===CดDDร ทปู ้ ่ี 2186== =404 B B 0ตBC D-า 22ADD2ร 10 3C า 6-เงป=====-เ ซ1 ็นAนร4262BBตปู 0025Cิเส052ม 2า + ต+ม+ ร เ1 2หC52ล2D5ย่ี 2มมุมฉาก
= 34 = 42 + 122 และ c = 13 ดงั นั้น AC2 = AB2 + B=C22.89 AD
ด ังนนั้ c 2 ≠ a2 + b2 = 16 + 144 และ c2 = 169
น ่ันคือ ไ ม่เป น็ รูป สามเหลี่ย มม=มุ ฉ1า6ก0 น่นั คือด งั นAนั้ BCc2 เ=ปน็ aร2 ูป+สbา2มเหลยี่ มมมุ ฉาก
2 ) เน ื่อง จาก a . =AC5, = √1b60 = 12 นนั่ คือ เป็นรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก 21 ดังนั้น 11 61
a 2 = 25 , = 4√b120 = 144 2) พ้ืนท่ ี
a2 + b 2 = 25 +≈1 4412.65 6) เนือ่ งจาก a. = 0.8, b = 1 และ c

a2 = 0.64, b2 = 1 และ c2

a2 + b2 = 0.64 + 1 BC

ดังน้ัน AC ยาว 4√10 ห=รือ 1 1629.65 = 1.64 จากรปู ABC ม ี A^BC เปน็ มมุ ฉาก
จะได้ AC2 = AB2 + BC2
5. (ใหนน ดน้าังน่ั Y8นคO0น้ั ือ)X cเมป2 ี ็นY=รO^aูปX2ส +าเปมb็นเ2หมลุม่ยี ฉมามกมุ จฉะาไกด ้ XY2 ดังน้นั c2 ≠ a2 + b2 = 36 612 = 112 + BC2
BC2 = 612 - 112
= XO2 + YO2 น่นั คอื ไมเ่ ปน็ รูปสามเหล่ียมมุมฉาก C ดังนน้ั รูปสามเห1ล5ย่ี ม ADC มีพืน้ ท่ ี 36 ตารDางเซนตเิ มตร = 3,721 - 121
7. B = 3,600
3 ) เน อื่ ง จาก a . = 4, b 10=2 6= XOแ2ล +ะ 82 c = 8 ด(ห 3งั น)น นั้า้ ดพ 8งั้นื1อ0น)ท.า 5ั้น น ี่ สั Aต รปู้อBงสCใ าช มล้ เหว===Dดล 0Bย่ยี.261212ามว0 ××อAย 8ABมจBตา่ CงD×ะอ่ Eี นCไ มด(D×อ้ยE^6พี ้ย าB DB+ว นื้ 2 CอD เ1ท95ปอE ) ่ี ก็นกฟ6Cิโมไ0ุตล ป เมุ ตเปทมฉาน็ าตรางรกราดูปง ล้าซสเซนา่งึานก มCB ตเC EหถิเEม ลงึ = ตี่ยจใ ุดมหร 0 ข้มE.น5มุ โาฉแดนาลย กAะทB ี่ BC = 60
a2 = 16, b2 XO=2 3=6 102แ-ล ะ82 c2 = 64 10 . น่ันคือ ด้านยาวของรปู ส่ีเหลย่ี มมีความยาว 60 เซนตเิ มตร
a2 + b 2 = 16 + 36 = 100 - 64 65 60 พน้ื ทสี่ ่เี หลย่ี ม ABCD = กวา้ ง × ยาว

= 52 XO2 = 36 = 11 × 60
ด งั นน้ั c 2 ≠ a2 + b2 XO = 6 A = 660 ตารางเซนตเิ มตร
AD 144 C ดงั นน้ั ความยาวดา้ นยาวเทา่ กบั 60 เซนตเิ มตร และมพี น้ื ท ่ี660 ตารางเซนตเิ มตร

เนอ่ื นงัน่จาคกือ ไXมYเ่ ปZน็ เรปูปน็ สราปู มสเหามลเี่ยหมลมี่ยุมฉหานกา้ จว่ั จากรูป รูปสามเหลย่ี ม ABC เป็นรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉากหรือไม่ พรอ้ มอธิบาย
4จ)ะไเดน ้ือ่ งXจาZก = 2 XaO. == 2 ×2 46, = 12 b = 32 และ c = 40
พิเศษ==5577 66,2121+ ××1 ,1X0b2Z 24× × 8 Y=O 1,024ประกอบ(หน้าม81ี A) ^DB
จากรูป ADB
23 สุดยอดคู่มือครู
พืน้ ท่ีรูปสามเหลยี่ มa X2 YZ= และ c2 = 1,600 เปน็ มมุ ฉาก DE = DB + BE = 0.2 + 1 = 1.2
a2 + b 2 = จะได ้ CD2 = CE2 + DE2
จะได้ AB2 = AD2 + BD2 1 = (0.5)2 + (1.2)2
= =1, 60408
ดงั นด้ันงน ัน้ รปู สcา2ม=เหaล2 ่ีย+มb X2 YZ มพี น้ื ท ่ี 48 ตารางเซนตเิ มตร 652 = AD2 + 602 = 0.25 + 1.44
AD2 = 652 - 602
นน่ั คอื เปน็ รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก = 4,225 - 3,600 = 1.69
CD = 1.3
= 625 ดงั นนั้ เขาอยู่หา่ งจากบ้าน 1.3 กโิ ลเมตร
AD = 25
CE

พเิ ศษ12. (หนา้ 82) ห1น4.ว่ ย(หกนา้าร 8เ2ร) ีย นร้ทู ี่ 3 2.
5)
สุดยอดคู่มือครู 24 1. พนื้ ทแี่ ละปรมิ าตร C
C จากรปู ABC มมี มุ B เปน็ มุมฉาก พนื้ ทใหี่ผ ้วิAแCล แะทปนรระิมยาะตหา่รงระหวา่ งศรี ษะของนกั เรยี น เปดลงั นย่ี นั้ หนพว่้ืนยทพส่ี ้ืน่วนทท่ี ่รีกะำาบหานยดส ทีใหัง้ หม้ มหี ดน่วยเปน็ ตารางวาและไร ่ (หน้า 89) 1,6100 ตตาารรางางวเามตร = 4= ต1ารางไเรม่ ตร 5. หาพนื้ ที่สว่
กบั ยอดเสาธง DE = AB = 6, BE = AD = 1 1) 4 =ตารพาน้ืงเทมี่สตเี่ รหลยี่ มรปู ใหญ=่ 3 1รูป -ตาพรื้นางทวส่ี าี่เหลี่ยมรูปเล็กรูปท่ี 1 4. ท่ีดนิ 1ดดแ,ัง9ปงัน2นล4ั้น0น้ัง.5หพตนหพตาื้น่ึงราร้ืนทมราือทงาขีี่ งวี่4น0เา4ม.า05ไดตร0,0ดร่20งั380ร1ปู งไ=ตา รทนา่ ่ดีร4าิน2ง=0×แเซป1ตนล,1าต9งร4,2ิเน6า.ม050งีม้ ตว0พี าร=นื้ =คคทิด7ดิก่ี เ,เี่ต06ปป.8าน็0น็ร00า27ง18,วต.611าา82ร(0ห5างนตไเตม้าราา่ตร8รา9ราง)งเมวาตร พน้ื ท่ีสเี่ หลี่ย
จะได้ AC2 = AB2 + BC2 แ4ล0ะ0=1ต,6าร1-0า80พง.7เ้ืนมต5ทตา-รสี่รา2่ีเงห.เ2มล5ี่ยต-มรร0ปู.5เล==็กรูป11ท×่ี 24ไ4ร0่ 0 = 100 ตารางวา 3. เปล่ยี นหน่วยพ้นื ท่ที ีก่ ำาหนด ให10้มซหี มน. ่วยเปน็ ตารางเมตร (หนา้ 89) พน้ื ที่ครึ่งวง
= (0.8)2 + (1.5)2 2ใพ)หนื้ ้ ดrท6แงัว่ี,4นงท0ก้ันน=40ลรมศั4ตตพ10ขมาาืน้60นวีรรทาาางตตดงงี่กเเาาก4ลมมรร0ลมตตาา0างงขรรงเเนซมตานตาดรตรเาิเลง===มก็เตมแรต===4ππลรπRะ×21ค11Rต21ิดา×2×แ,รเ6ตปทา6440งา็นน,00เ4รซ0ร0าศัน1ง00วมต0าวีิเ==มงตตการล01รม.,า26ขง50วน0าาดหไตกรราล่อืราางง0ว.2า5 ดงั นัน้ พ้ืน
1.5 = 0.64 + 2.25 1.1 พน้ื ท่ี และ CB = AE - BE 1) 1 ตารางวา = 4 ตารางเมตร
= 9 - 1 6. หอ้ งนอนเป็
= 2.89 แบบฝึกหดั ที ่ 1 (หน้า 88-89) 50 ตารางวา = 4 × 50 = 200 ตารางเมตร3 ซม. ปูกระเบื้องข
1. AD21ห))1าพพพื้น้ืนน้ื ทททขี่ ่ีส่รี อปูีเ่ งหส6สลาว่ ี่ยมนมเหทดลี่รา้ ยี่ะนบมขานยEาสBนตี 9===อ่ ไป===61212นี ้××จจ (ก16คตะา4คกำา4ไาว×หด.วรร า×4าามนปู้ 2 งม3ย. ดเ4ยซ A า πตาAวนACวขาตC≈ขBรอ2= เิ อา มCง3 งงฐ.ต เ1ฐมาซ===8==ร4านน ี น) Aต×(ห^×Bเิ613A1มคนC6020คB ตว0 า้+ +ว2เาร 8 ปาม +868ม็น2ส )4สCมูงูงBมุ 2ฉาก กีแ่ ผน่ (หนา้
A 0.8 B AC = 1.7 ไร่ 5 ซดม.ังนนั้ พนื้ ท่ี 50 ตารางวา คิดเปน็ 200 ตาร3าซงมเม. ตร
ไร่ 2) 1 งาน = 100 ตารางวา พน้ื ที่หอ้ งนอ
ความยาวเส้นรอบรูปสามเหล่ียมเทา่ กับ AB + BC + AC = 0.8 + 1.5 + 1.7 = 4 พนื้ แทลีว่ ะงก1ล,ม6ข00นาตดาเลร็กางเมตร = =πr21 ไร่
ดังนน้ั ครูกานดาเดนิ ทางเปน็ ระยะทางทัง้ หมด 4 กโิ ลเมตร 12 งาน = 12 × 100 = 1,200 ตารางวา 2 ซม. กระเบอื้ งแต่
นั่นคอื ตอ้ ง
13. (หนา้ 82) D จากรูป ลาก AE ต้งั ฉากกับ DC ทาำ ให้ AED 3) ดพงั นืน้ ัน้ท ี่สีเ่ ศหรีลษ่ยี ะมขใอดงๆนักเรยี นคนนอ้ี ยหู่ า่ งจากเสาธง 10 เมตร ดงั น้ัน6,4พ0ืน้0ทตี่ า6ร,4าง0เ0มตตราร==างเ=มππต×ร1ต1าค2×1ริด,า66งเ0,ปเ40ซน็0น0ต1เิ,=ม60ต0ร4 ไร่ หรอื 4 พ้ืนท่ี 12 งาน 34 ตาร7าซงมว. า คดิ เป็น 1,200 + 34 = 1,234 ตารางวา ดังน้นั เมธี
เป็นสามเหล่ียมมุมฉาก ซึง่ AE = BC = 120, 3ด)งั น1นั้0,00พ0ื้นทตส่ี าว่รนางทเซ่ีระนบตาเิ ยมสตี ร = 1 ตารางเมตร ตารางวา มาตราสว่ น1 1ตซามรา.ง:ว1า0 วา = 4 ตารางเมตร 1.2 ปริมาต
A EC = AB = 100 และ DE = DC - EC จะได1้ ,234 ตาร1า0งวาซม. == 1010,234 ×วา4 = 4,936 ตารางเมตร แบบฝกึ หัดท ่ี 2
100 = 260 - 100 15. ====(หนA1้า122211 08.×××42)6ค6 ..ว55ตาา××มรยา(32าง.ว2เ+ซขนอ1ตง.2เเิ สม) น้จใจตหทะารก ้ไแBดรยCปู้ ง มแ ุมAทAน×CBร2ผC ะ ยล มบ=ะ ีหว Aก่า^BงAขรCอBะง ห2เค ป+ววน็า่ าBงมมเCชุมยิง2ฉาบวาขันกอไงดเกสบั้นกผงิ่นงั ตึก 7,40===04 433พตตตππาาานื้×รรรท-าาา3งงง่วี .πเเเ1งมมซก4นตตลตรรมเิ ขมนตารดกล===าง -170พ,,40ืน้000ท0ว่ี งกล=มขน0า.7ด4เลก็ ตารางเมตร 1. หาปรมิ าตร
0.7≈4 1 ตารางวา ตารางวา ดงั นน้ั พ้นื ท5ี่ 1ซ2มง.าน =34 5ต0ารางววาาคิดเป็น 4,936 ตารางเมตร 1) ปริมาตร
B 120 260 = 160 0.474 = 0.185 3) 1 ไร่ =7 ซ1ม,6.00 =ตาร7า0งเมตรวา
E จะได้ AD2 = AE2 + DE2 6) พื้นท1สี่ ,0ีเ่6ห.07≈ล04่ยี ม9ตต.คาา4รรา2าางงงหเเมมตูตตารรรา=งเซน21ต×เิ==มคตวร1า10ม,.6ส70งู4ไ0ร×่ ผลบ=วกข0อ.ง0ค0ว0า4ม6ย2าวดไร้าน่ คขู่ นาน
4) พน้ื ทส่ี ีเ่ หล่ียมรปู ใหญ่ = 2 .5 ×(62.5)2 = 62 + BC2 5 ไร่ =3 ซ5ม×. 1,6=00 30= 8,0ว0า0 ตารางเมตร
= 1202 + 1602 6 6.5 = 6 .25 BC2 = (6.5)2 - 62 1 งาน =2 ซ1ม0.0 =ตาร2า0งวา วา
= 14,400 + 25,600 ดงั นัน้ หพตราืน้ รือทางี่ 0เ7ซ.0,น400ต00เิ4ม==6ตต2ารรไ2211ารง่××เ=ซ88นต××1เิ ม2(14ต0ตรา+รคา1งดิ4เ)เมปตน็ ร 0.185 ตารางวา พ้นื ท2่ีสเี่ หลงาย่ี นมรปู ใ=หญ่2 × 10=0 ค=วาม2ก0ว0้าง × คตวางามรายงาววา
C = 40,000 พน้ื ท่สี เี่ หล่ยี มรปู ใหญ่ 3 ร ปู = 3 × 6.2 5 = 42.25 - 36 10,000 นั่นคอื 200 ตารางวา == 5020×01×004 = 800 ตารางเมตร
AD = 200 = 1 8.75 ต=าร าง6เซ.2น5ต ิเมตร
พB้ืนทส่ี ีเ่ หลี่ยมรปู เลC็กรูปที่ 1 = 1 . 5B×C1 .5= 2.5 4) จะได้ พ้นื ที่ 5 ไร่ 2 งาน= คิด5,เ0ป0็น0 8,ต0า0ร0าง+ว8า00 = 8,800 ตารางเมตร
ดงั น้นั เขาอยหู่ า่ งจากจุดตั้งตน้ 200 เมตร 45,000 ตารางเซนติเม=ตร96 =ตารา14ง50เ,,ซ00น0000ติเมตร= 4.5 ตารางเมตร พ4้นื) ทพส่ี ่ีเนื้ หทล่ี ีย่ ม4รูปเลไรก็ ่ คิดเป=น็ 204 × 3400 = 1,600 ตารางวา
=ดงั น2.น้ั 2 5 เชงิ ตบานั รไาดงเหซา่นงตจเิ ามกตผรนังตกึ 2.5 เมตร
14. (หนา้ 82) 4 ตารางเมตร = 1 ตารางวา พ้ืนที่ 3 งาน คิดเป=น็ 6030× 10ต0าราง=วา 300 ตารางวา
ุมฉาก ให ้ AC แทนระยะหา่ งระหวา่ งศรี ษะของนกั เรยี น พ้ืนที่สีเ่ หล่ียมรูปเล็กรปู ที่ 2 = 1 × 0.5 ดังนัน้ นั่นพคน้ือท่ขีพอนื้ งที่ด4ินไแรป่ 3ลงนาน้ี 2=0 ตพาน้ื รทางส่ี วี่เหาลคยี่ ดิ มเรปูป็นให1ญ,6่ -00พ+นื้ ท3ี่ส0เี่0ห+ล่ยี 2ม0รปู เล็ก
C2 C กับยอดเสาธง DE = AB = 6, BE = AD = 1 = 44.5
(1.5)2 = 0.5 ตารางเซนติเมตร 4.5 ตารางเมตร = 1.125 ตารางวา = 5,000 - 600 = 1,920 ตารางวา
.25 = 4,400 ตารางวา

.5 + 1.7 = 4 หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 3 แพลนื้ ะ ท Cี่ผBิว แล=ะ ปAรEมิ -า ตBรE 2. เปลีย่ดนงั นหั้นนว่ ยพพนื้ ืน้ ทที่สที่่วนกี่ ทาำ หร่ี ะนบดา ยใหสม้ีทหีัง้ หนม่วดยเป็นตารางวาและไร ่ (หนา้ 89) 1,6001 ตตาราราางงเมวาตร = =4 1ตารไารง่เมตร 5. หาพนื้ ท่สี ่วนท่ีระบายส ี (กาำ หนด π ≈ 3.14) (หน้า 89)
= 9 - 1 1) 4 ตา=รางพเม้ืนตทรี่ส่เี หลีย่ มรูปใ=หญ1่ 3 รตูปาร-าพงว้ืนาทีส่ เ่ี หลย่ี มรปู เลก็ รปู ที่ 1 4. ทีด่ ดนิ ด1งั แ,นงั94ปนั้น2.ล5น้ั0งหหพตพตนรา้ืนราื้นือึ่งทราทมางี่ 0งีขี่เ4ม.ว4น05าต0,า0ไร2ด0ร8ด่01ัง3รไตูปรงา=่า รทนาี่ดง=4เนิ2ซ0×แนป1ต1ต,4ล,ิเ6า9.มงร052นตา00งีม้รวีพ=า=ค้ืนิดคทเิด07กี่ป.เ,0ี่ต6ป็น08าน็ 2ร018า.7ง11,วต26าา58ร(0หาไตงรนตาเ่ มา้ราาตร8งา9รวง)เามตร
าำ ให้ AED 1. พ้ืนท่แี ละปรมิ าตร 400 ตาราง-เมพต้ืนรทส่ี ่เี หล่ียมร=ูปเลก็1ร×ปู 4ท40ี่ 20 = 100 ตารางวา พน้ื ท่สี ีเ่ หลี่ยมผนื ผา้ = ความกวา้ ง × ความยาว
BC = 120, และ 1,6=00 1ต8า.7ร5าง-เม2ต.2ร5 - 0=.5 1 ไร่
DC - EC 9 AB=C ม8ี A^BC เป็นมมุ ฉาก = 7 × 10
260 - 100 จากรูป
160 1.1 พน้ื ที่ = 70 ตารางเซนติเมตร
1122 πr2
2 แบบฝกึ หัดท ่ี 1 (หนา้ 88-89) จะได ้ AC2 = AB2 + CB2 พใด6หนื้ัง,้4นrท0้ันแ่วี40งทก4น=ตตพ0ลราา้ืน0มศัรรท1ขาามตงงี่6นวีเเา4มมางร0ตดกตตา0ากงลรรรเลมมาตางขตางเนรซราานงดตเเมเิล===มต===็กตรแร4ππ1ลค11πR1ะิด×××2,เ6Rตต2ป6440า2า็นแ,00ร4รท0า0าง1นง0เ0วซร0าัศน==มตตวีเิ าม01งรตก.,า26รลง50วม0าขนหไตารราด่ือรกางล0วา.2าง5 3. เปล่ยี นหน่วยพืน้ ท่ีทก่ี ำาหนด ใหม้ 1หี 0 นซมว่ .ยเป็นตารางเมตร (หนา้ 89) พนื้ ทค่ี ร่งึ วงกลม = × 3.14 72 72
1) 1 ตารางวา = 4 ตารางเมตร =
5,600 A 1. หาพนื้ ที่ของส่วนที่ระBบายสีต่อ ไปน ้ี (กำา หนด π =≈ 3.6124 )+( ห8น2 า้ 88) 5) ไร่ × ×
= 62121 × ค วาม ยาว=ข อง3ฐ6าน +× 64ความสงู 2) 50 ตารางวา = 4 × 50 = 200 ตารางเมตร 3 ซม.
1 1) พน้ื ท่รี ปู สามเหล่ียม = × 4 × 3 = 100 ≈ 19.23 ตารางเซนตเิ มตร
D 6E = ตา รAาCงเ ซนต=ิเ มต1ร0 5ดซังมน.้ัน พื้นท่ี 50 ตารางวา คดิ เป็น 200 ตาราง3เมซมต. ร
2) 1 งาน = 100 ตารางวา ดงั นัน้ พน้ื ที่สว่ นท่ีระบายสปี ระมาณ 70 + 19.23 ≈ 89.23 ตารางเซนตเิ มตร
6. ห้องนอนเปน็ รูปส่ีเหลี่ยมมุมฉาก กวา้ ง 4 เมตร ยาว 6 เมตร เมธตี อ้ งการ
พแลืน้ ะท่ีว1ง,ก6ล00มขตนาารดาเงลเม็กตร == ππ11r×2×1,ไ166ร20,่4000 = 12 งาน = 12 × 100 = 1,200 ตารางวา 2 ซม. ปกู ระเบื้องขนาด 20 × 20 เซนติเมตร เมธจี ะต้องใช้กระเบ้ืองอยา่ งน้อยที่สดุ
ดัง2น)้ัน พศน้ื รีทษี่สะเ่ี หขลอี่ยงนมกัดเา้ รนยี ขนนคานน้ีอย=หู่ ่างคจวากามเสยาาธวงข อ1ง0ฐ เามนต×ร ความสงู 6,400 ตารางเมตร == 4 ไร่ ก่แี ผน่ (หน้า 89)
พืน้ ที่ 12 งาน 34 ตารา7งวซมา. คิดเปน็ 1,200 + 34 = 1,234 ตารางวา
15. (หนา้ 82) = 6 × 2.4 ดังนน้ั พื้นท่ี 6,400 ตารางเ=มตรπ คติดาเปรา็นงเซ1น,6ต0เิ0มตตรารางวา หรอื 4 ไร่ มาตราส1ว่ นต1ารซามงว. า: 10 วา = 4 ตารางเมตร พื้นทห่ี อ้ งนอน = 4 × 6
จะไ1ด,2้ 34 ตาราง1ว0า ซม. == 11,20034 × ว4า = 4,936 ตารางเมตร
3)A =พ==ื้นท211221่สี 6ีเ่×××ห.5ล6ค6..ี่ยว55มา××มใดย3(2า.ๆว2+ขจ ใจอ1หะาง.ก2 ้ไเBสด)ร ้นCูป้ ท แ (แ=6AทBยA.นCC5งB)มร1222C ะ4 มุ ย. 4ม×===ะ ีห Aผา่ ^ลBตง(A66รบC2าB. ะรว5+ หา2เก) ปง2+Bวขเน็-ซา่ CอBง มนง62เCคชุมต2 ิง2วเิฉมบาามตนักยรไดาวกขบั อผงเนสงั้นตกึกง่ิ 3) ด10ัง,น0นั้00 พตน้ื าทราี่สง่วเซนนทตีร่ ะิเมบตายรสี = 1 ตารางเมตร = 24 ตารางเมตร
6 ดงั นนั้ พน้ื ท่ี 152 ซงมาน. 34= ต5า0รางวา วคาดิ เปน็ 4,936 ตารางเมตร = 24 × 10,000 ตารางเซนติเมตร
พ1ด071ืน้ัง,,,00นท046..้ัน00077่ีส000444เี่ ห≈==≈=หตพลตตตตตราน้ื่ยีาาาาารอื รรรรรทม9433พาาาาาางี่.ππค้นืงงงงง04×เ7เเเเเซา2.ท-มมซมม0,ง3น4ว่ีน0หตตตต.π0ต1ง0ตมรรรร0ก4เิ4ตเิูมล6มาตต2มรตารา===ขรรงไนาเรซงา่ เดน122112======ซกตน×××ลิเตม11111าค0880ิเ7ตง,0ม.ว4.6,7××7,ร4า-ต0044ตตไม002(0รรพ01าสา40่ รร0น้ืูงคาาท+×งงิดวเี่วเมผ1าปง===4ตลก็น)บรลวม0000กข....1701ขน8408อา505งด4คเ6ตวลตต2าาก็ มาารรรายาาไงางงรววเว่ามดาา้ตนรคู่ขนาน 3) 1 ไร่ = 71,ซ6ม00. ต=ารา7ง0เมตร วา = 240,000 ตารางเซนตเิ มตร
กระเบอ้ื งแตล่ ะแผน่ มีขนาด = 20 × 20
5 ไร่ = 35ซ×ม1.,60=0 =30 8,000วา ตารางเมตร = 400 ตารางเซนติเมตร
1 งาน = 210ซ0ม. ต=ารา2ง0วา วา นนั่ คอื ตอ้ งใชก้ ระเบื้อง = 24400,0000
4) = 10.4 ตารางเซน ตเิ ม ตร = 42.25 - 36 พ้นื 2ทสี่ ี่เงหาลนย่ี มรปู=ใหญ2 ×่ 100 = =ควา2ม0ก0วา้ ง ×ตาคงวรามงวยาาว
B พ้นื ทส่ี เ่ี หล่ยี มCรปู ใหญ ่ = 2.5 × 2.=5 6.25 นนั่ คอื 200 ตารางวา == 25000××1400 = 800 ตารางเมตร
= 6 .B25C = 2.5 6) จะได้ พื้นท่ี 5 ไร่ 2 งาน =คิดเ5ป,็น0080,00ต0าร+าง8ว0า0 = 8,800 ตารางเมตร = 600 แผ่น
4) ดงั น้ัน เมธตี ้องใช้กระเบือ้ งอย่างนอ้ ยท่ีสุด 600 แผน่
พน้ื ทีส่ เ่ี หล่ยี มรปู ใหญ ่ 3 ดรูปังน=ั้น เ3ช×ิงบ6ัน.2ไ5ดหา่ งจากผนังตึก 2.5 เมตร 4)พนื้ พทน้ื ส่ี ทีเ่ ห่ี ล่ีย4มรูปไรเล่ ็ก คิดเปน็ = 420××40300 = 1,600 ตารางวา 1.2 ปริมาตร
= 18.75 ตารางเซนติเมตร พนื้ ท่ี 3 งาน คิดเป็น= 360×0100 ตาร=างวา300 ตารางวา
แบบฝกึ หัดที่ 2 (หนา้ 92-93)
พื้นทส่ี ี่เหล่ียมรูปเลก็ รปู ท่ี 1 = 1.5 × 1.5 ดงั นัน้่ คอืพนื้ พทนื้ขี่ อทงี่ ท4ีด่ ไริน่แ3ปงลางนน2ี้ 0=ตาพรา้นื งทวส่ีาเ่ี คหลิด่ยีเปม็นรูป1ให,6ญ00่ -+พ3ืน้ 0ท0ี่ส+่ีเหล20ีย่ มรปู เล็ก 1. หาปริมาตรของทรงสเี่ หล่ยี มมุมฉากตอ่ ไปน้ี (หนา้ 92)
45,000 ตารางเซนติเมตร= 9=6 ต14า50ร,,า00ง00เ00ซนตเิ ม=ตร4.5 ตารางเมตร
= 2.25 ตารางเซนติเมตร 4 ตารางเมตร = 1 ตารางวา 1) ปริมาตรทรงส่เี หล่ยี มมุมฉาก = ความกว้าง × ความยาว × ความสงู
= 5,000 - 600 = 1,920 ตารางวา = 1.5 × 1.2 × 2
พ้นื ที่ส่เี หลีย่ มรูปเล็กรปู ที่ 2 = 1 × 0.5 = 44.5 = 4,400 ตารางวา = 3.6 ลกู บาศก์เมตร
4.5 ตารางเมตร = 1.125 ตารางวา
= 0.5 ตารางเซนติเมตร

2) ปริมาตรทรงส่ีเหลยี่ มมมุ ฉาก = ความกว้าง × ความยาว × ความสูง (35) เ1ปลลยี่ ูกนบหาศนก่วเ์ยมปตรริมาตรต=อ่ ไป1,น0ี้0ใ0ห,0้ม0ีห0นว่ลยกู เบปา็นศแกก์เซลนลตอิเมนตร(หนา้ 93) 3. แใหบ้บฝhึกหแทัดนทค่ี 3ว า(มหลนึก้าจ า9ก5ก)้นบ่อถงึ ผวิ นาํ้ 6. ให้ถปงั รนมิ ้ําามตคี รวามกวา้ ง3,60a0 ลเูกซบนาตศิเมก์เตซรนติเมตร = 1 แกลลอน พ้ืนที่ฐาน
= 45 × 30 × 50 1ดน. งัา้ํ ในน21ห้นั ))บาปอ่ ปปปมรรรรมิปี มิมิมิ ราาาาติมตตตรารตรรขนขขรอา้ํอองใงงน888รรร,,,ูปบ777ปููป่อ555เhรเเ000รรขขขาาา==ล==คคคกูณณณบิตค1218าิตติ ,5สวศ,,227าา5×ก55มม0์เ00มก5====hม0วตติ ้าร×ติงค14คอ่h×2วว×ไ0าาปคมม5วนกกา× ้ีมวว(ลห้า้าย6งงกูนาวบ××า้ า×9คคศ5คววก)าาว์เมมซามนยยสตาางูววิเม××ตคครววาามมสสูงูง ควาปมรสมิ ูงาขตอรงร9ะ3ด7ับ,5น0า้ํ0ท,0ร่ี 0วั่ 0ออลกกู เทบ่ากศบัก์เซนต5เิ มตเซรนตเิ ม=ตร 9373,5,60000,000
= 67,500 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร 5((,5120))0ล01ดกู,,300งั บ0,0น6า0091ั้นศ00กลล์เลล9กููกมลบบูกกูตกู ลาาบบรบศศูกาาากกศศบศ์เ์เกกาซซกศ์ฟ์ฟนนเ์ ==กซตตตุตุ ์ฟนิเิเมมุตต55ตต,เิ 0มรร×ค0ติด01ร,,เ00==1ป00===็น00,07=961ล505.57,×ูก0,00.1บ05107ล0า10.ติศ,5,แ00รกแแก0ล0์เกก0ล0ติซลลลนร×=ลลอต1ออนิเมนน6ต7ร.5 ความยาวของถังน้ําเทา่ กับ 18 เซนติเม=ตร 260,416.67 แกลลอน พ้นื ทีผ่ วิ ข้า
3) ปริมาตรทรงสเี่ หลย่ี มมมุ ฉาก = ความกวา้ ง × ความยาว × ความสูง แกลลอน 4. เดเในนหงั ่ืออ่ืก้น3งงล้นั จจ)่อาางกกปใบรผกบนิมวิลอ่ ้มีานอ่นตคี ้าํงํา้ รอวใมขสายคี มอ่ข่ลู วยวงึกาดรามจวปูนาลดhเกํา้ กึร้าปปขนลา8าล=กาคะมบเณมีปอ่ 7ตรติxมิร8าเ-ตซ====รน7ต1=5เิ (ค21ม,1672ตว1020าร×5ม×เมก7ล5ต.ว5ูกรล×า้ บง×ูก4าบ×ศ3)าก+คศเ์ วซก(1านเ์ มซ.ต5นยิเ×มตาวตเิ5มร××ตคร1ว.5าม) สงู
จะได้ ปรมิ าตรกลอ่ งทรงสเ่ี หลีย่ มจ=ัตุรสั 20=0 +x13 1.25 นจะํา้ ไทดดี่รงั ้วั่นมนั้ ปปี รรมิอิมา่าางตตเรกรน็บา้ํ นาํ้ จ=นุ า้ํ ไคดวป้ ามระกมวา้าณง1×,22ค6600ว,า4ม1ลย6ูกา.6บว7า×ศแกคกเ์วซลานมลตอสเินงู มตร 4) พ้ืนทฐี่ าน
= 4×8×4 =15,622151.2=5 ลx3ูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร
= 128 ลูกบาศก์หน่วย 4) ปริมาตรของรปู เรขาคณิต = ควxามก=ว้าง3√×15ค,6ว2า5มยาว × ความสูง พ้ืนทีฐ่ าน
4) ปริมาตรทรงส่ีเหลี่ยมมมุ ฉาก = ความกว้าง × ความยาว × ความสงู = (1x5 ×=8 ×235) + (5 × 8 × 2) 2. พ้ืนท่ผี ิวแล1ะ,2ป6ร0มิ าต=รขaอง×ป1ร8ิซมึ× 5
ดังนัน้ กลอ่ งใบนยี้ าวดา้ นละ 25 เซน=ตเิ มต3ร60 + 80 แ1 ปจปปแดดกจปอ.บ ะะล่าลรรรรงงัั บงไไนนมิมิมิิมะ321ห2อ่ ดดเฝม))).ก้ั้นันาาาางา1้้ตตตตึกนีคพบ็ พพพพพหพพพพรรรรมวนืน้ ปกถปดัน้ืาน้ืนื้้ืนน้ืื้นื้นนื้มนื้ํา้ทลงัรร9มกทททททททททฐีทนมิมิ3่ีฐอ่สวี่ าฐ่ี่ีฐผี่่ฐีีฐ่่ีผฐ่ีฐี่17ผ่ีํ้าาาาง4งูนา้1าา,าาาามตนต.วิวินวิ0ง 35นน,นนนน1ยขข(คี2รรขแ0ม2หทททา6้าา้กอ10ว4ลอลลนวงงนaaง้ั0้งัง้ั่า5ลางะกูกูดีบ้สสสงม้าปอ่พบบเ้าลลรอ ออเกกงรน1มน้ืารา===กูกูงงงนวซิบ็ศศ0จลตทบบา้ม0ึมนนุกกะงรี่ผาา-119า้ํ์เเ์มศศ1ิวมม,4901===============ย==20ไกกขตต0a======4ด61า4์เเ์้า1รรวซซ0)้.ง56เ26951(422426(422นน0ข12ซ31==3ค4=ค192342004084.ตตอ×××××น032.35×50ว×ว5ง+เิเิ+247ตมมาา×67252×ป64.×ม4ม99เ1เเเิ131054ตตซซมมร)633,กก2×500รรนน4ิซลตต)77+5ตตตตตตต0วว0.+ตติต,.+8ึมลลรร5้าา้55า0าาาาาา×(+ิเิเงรงกูกูรตรรรรรร30,1มม×(0×แาาาาาาา1บบอ่022××8×ตต0งงงงงงง===ล0,.1ไ0าา1ฟเเเเเเ005+รรปคคะมมมศซศซซ65,×0ุต0ลนนนนวว)ตตตกก101ล00กึ1าา1+ตตต5เ์เ์รรรี ้ .03มกูม(ซม,03ห0เิิเิเ,2(นบมมม)ยยต22003น4ลล+.40ตาาตาตตร05าู้กิต×ศวว0ิเรรร(มบร1ก8××เ4ล0มตา์เ)×ิตซศ0คครต+น)รกววร1ต์เ(าา0ซ3มมเิ)มนสส×ตตูงงู 5ริเม) ตร พื้นทีผ่ ิวขา้
= 5×4×4 2) เ(ป1)ล่ีย2ดด(,น3งังั5นน)ห0ัน้ัน้น017ด1ว่20ังย,81นม5ม20ป,,,ั้นลิิล0005รล00ลล00มิ กู00ิลิล0า7บติติลต2มมามรรกูร,ศิล0ลิตลิบก0ลลอ่ลาเ์0ลิ==ไมิลศลิ ปิตติตกิตลนรรรเ์ร1ูก2้ีซใ,คบนคห5ิด0า้มดิตลศ10เหีเิปกู ปมก==×นบ็น็นต์เว่ซา1รศย2น511เก,,ตป5=,00เ์00็นซ8ิเ00ม0น,0=ล002ตกูต10ล,ลร5บเิ,0กูม0ิต0ล7าบ00×ตคศร2กู 0าร,กดิ3บศ01เ์,ลเา0,ก6ซป0ศูก00น์เ0น็ซบก0ต×0นา์เิเซศ2ตม1น0กเิตมตเ์รซ=ตแเิ (นมรกหตตล2นเิ0ลรา้มอต9แ3นรก) ลลอน
= 80 ลูกบาศกห์ น่วย 5. ให้ดินน้าํ มันมคี วามสูง h เซนติเมตร= 440 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร 2. หาพ้ืนทผี่ ิวขอ
5) ปรมิ าตรทรงสเ่ี หลีย่ มมุมฉาก = ความกว้าง × ความยาว × ความสงู 2ด.นิ นไม้ําม้กันรมะีปดราิมนา1ตรแผ่น14ม7ปี รลิมูกาบตารศก์เซ=นต1เิ ม4ต×ร 3 × 500 1) พน้ื ท่ผี ิวข
= 12 × 3 × 2 จะได้ ปรมิ าตรดินน้ํามัน = ความก=วา้ ง2×1,0ค0ว0ามลยูกาวบา×ศคกวเ์ ซามนสตงู เิ มตร =
= 72 ลกู บาศก์หนว่ ย ไม้กระดาน 150 แ1ผ47น่ ม=ีปริม3า.5ตร×=10 ×15h0 × 21,000 7. =
ดังนน้ั ไมก้ ระดา1น4ทh7้งั ห==มดม31354ปี 5h7รมิ =าตร3,31,5105,00,00000ลลกู ูกบบาศาศกก์เซ์เซนนตติเมเิ มตตรร 8. =
2. ตอบคำาถามตอ่ ไปนี ้ (หนา้ 92-93) (2) 1 ลิตร = 1,000 =ลกู 1บ0า8ศ,ก0์เ0ซ0นตเิ มลตูกรบาศกเ์ ซนติเมตร h = 4.2 2) พ้ืนทผ่ี ิวข
1) เปลี่ยนหน่วยปรมิ าตรตอ่ ไปนี้ ใหม้ ีหน่วยเปน็ ลิตร (หน้า 92) =
(3) ดงั น641ัน้ 1ด0ัง83นล4ลล,,กูิกูตนั้06ลบบ0ร0ติ00าา1ศศร0ลกกล8คเ์เ์กููกมม,ดิ0บบตตเ0=าปารร0ศศ็นกกม==4์เ์เ4ซลิซ,×0นลน10611ตลิต,0,0×ิตเิ0ิเม0ม0ลร01ต0ตกู,,00รรค1บ00=ิดา00ศเ,0ป===กล40น็เ์ ,ูก0ซ0นบ013130าต000ศเิ8มก3แแ,ลแต0์เ,กกูกซ6ก0รลลน0บล00ลลตาล×ศออิเอมกนน1นต์เซรนติเมตร =
(1) 1,000 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร = 1 ลิตร (4) 1 ลกู บาศกฟ์ ุต = 6,0=00,070.50 ลแูกกบลาลศอกน์เซนตเิ มตร =
4,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 4,010,000×0 1 = 4 ลิตร 3) พื้นที่ผวิ ข
ดังนนั้ 4,000 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร คดิ เป็น 4 ลติ ร (4) ดงั นน้ั110ล6ลิตลูกรกูบบาศา=ศกกฟ์ ์เ1มุต,ต00ร0คิดลเูกป=บน็ าศ61ก,00เ์ ซ0×น01,ต07เิ0.ม50ตรล=กู บาศ75กเ์ ซแนกตลิเลมอตนร =
=
(2) 1,000 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร = 1 ลติ ร =
20,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 20,10,00000× 1 = 20 ลติ ร
ดงั นัน้ 20,000 ลกู บาศก์เซนติเมตร คดิ เป็น 20 ลติ ร
(3) 1,000 มลิ ลลิ ติ ร = 1 ลิตร
= 8,010,000×0 1 = 8 ลติ ร ด(5ัง2น).5น้ั ด3ัง,นล26.ิตัน้05ร0ล1ติล0รกู=บลคาูกิด2ศบ.เก5ปา์เศน็×ซก1น12์ฟ,ต,05ุตเิ00ม00ตครดิลูกเ=ปบ็นา=ศ27ก,55์เ01ซ0นแตกแลิเลมกกู ลตลบอรลานศอกน์เซนตเิ มตร
8,000 มลิ ลลิ ิตร (5) 0.75145,ลล0ูกูก0บบ0าาศศลกกกู ์เเ์ บมมาตตศรรก์เ==ซนต10,ิเ.0ม705ต0ร×,00110,0==0ล0กู,0บ104า205ศ.,53ก0,0เ์6ซ00น0แ×ตกิเ1มลตลรอน
แบบฝ3.กึ หนใดดัหา้ํัง้ใทนน ่ีั้นhดบ3 งั่อ(นแ0มห.ท้ันีป7นน5รา้ คิม 4ล9วา5ตูกา5,ม)0บรล0าศ0กึ8กจ,7ลาเ์ 5มก=กู0ตกบรน้ าล7บศค5กู ่อก0ดิบถ,์เเ0าซงึปศ0ผนน็0กิวตเ์นมิเ7มา้ํ 5ตลต0รกู,ร0บ0คา0ศิดกลเ์เปกู ซบ็นนาตศ1เิ กม2เ์.ตซ5รนแตกเิ มลตลรอน
ดงั น้นั 8,000 มิลลิลติ ร คิดเป็น 8 ลติ ร
(4) 1,000 มลิ ลิลติ ร = 1 ลติ ร
= 40,10,00000× 1 = 40 ลติ ร ดังนนั้ ดนิ นํา้ มันกอ้ นนี้สงู 4.2 เซนติเมตร
40,000 มิลลลิ ิตร
6. คคใหววปปถ้าามมรรังนมิมิยส้ําาางูามตตวขขรรคีอองว9รงาถะ3มด7ังก,นับ5ว้ําน0้าเง03ทํ้า,ท,่า06กีร่00วั่บั00aออลลกกููกเซเบบทนาาา่ ตศศกเิกกับมเ์เ์ ตซซรนน1ตต58เิิเมมตตเเรรซซนนตติเิเมม==ตตรร1937แ3,5ก,60ล00ล0,0อ0น0
ดังน้นั 40,000 มลิ ลิลติ ร คิดเปน็ 40 ลิตร
3) เปลยี่(5น)หน1่วยลกูปบริมาศากต์เรมตตอ่ รไปนี้ ใ=หม้ หี 1น,0ว่0ย0,เ0ป0น็ 0แกลลูกลบอาศนก์เ(ซหนนตา้ เิ ม9ต3)ร
าว × ความสูง (1) 7ด23งั ,,น065ด91น้ั00,5ัง000น0ล้นัลล901ลลกู,,กูกู00ูกูกบลบบ005บบากู00าาศาาศศบลศศกลลกูกกาเ์กกศกููกมบฟ์ฟ์ ์เเ์ บบกตาซซตุตุ ศาา์ฟรนนศศกตุตตกกเ์ มเิิเเ์์เมมซซคตตตนนรดิ ==ตรตรเ==คปิเเิ มมดิ็น55ตตเ,0ป=7ร=ร×960.น็ 5701×.1,,5100751700,2===.0005แ,300,แแก,00061ล5กก05ล00,กู0,ลลล0ล00×=บติ0ลล0อล0า1ร0ออน1ติศ,,นน00ร6ก0ล07=เ์ 00ติซ.5นร×2ต01ิเมแแตกกรลลลลออนน 1. หาปรดิมังนาต้ันรขปอรงิมราูปตเรรนขา้ําใคนณบิต่อสาม=มติ คิตว่อาไมปกนว้าี้ (งห×นา้ค9ว5าม) ยาว × ความสงู = 126 ตารางฟุต
ติเมตร (2)
าว × ความสูง 1) ปรมิ าตรของรปู เรขาค8,ณ75ิต0 == 25คว×าม50ก×วา้ hง × ความยาว × ความสูง น้ําทีร่ ัว่ มีปรมิ าตร 1,260 ลูกบาศ=กเ์ ซ2น6ต0เิ,ม41ต6ร.67 แกลลอน พ้นื ที่ผวิ ข้าง = (9 × 2) + (7 × 2) + (9 × 2) + (7 × 2)
ย
าว × ความสงู 8,750 == 1,425×0h5 × 6 จะดไดัง้นน้ั ปรอมิ า่ างตเกรนบ็ ้าํน้ําจ=ุนํา้ ไคดวป้ ารมะกมวาา้ณง ×26ค0ว,า4ม1ย6.า6ว7×แคกวลาลมอสนูง = 18 + 14 + 18 + 14
ย h == 181,,27255000 ลูกบาศก์เซนติเมตร
าว × ความสูง 2. พ้ืนที่ผิวแล11ะ,,ป2266ร00มิ าต==รขอ9aง0×ปaร1ซิ 8ึม× 5 = 64 ตารางฟุต
ย แ บบ2ฝ.1กึ หพดั้ืนทท่ ี ผ่ี 4วิ (ขหอนaaงา้ป ร1==ิซ00ึม-11,0492106)0
) 2) ปริมาตรของรปู เรขาคณิตh == 7ความกวา้ ง × ความยาว × ความสงู 4) พืน้ ทีฐ่ าน = 4×4

ลติ ร เน่ืองจาก บ่อนา้ํ มีความลกึ 8=เมต1ร2 × 7.5 × 3 = 16 ตารางนิ้ว

20 ลิตร 2) ดเปังลนยี่ ัน้ นห7น2่ว,ย0ป0ร0ิมาลตูกรบตา่อศไปกนเ์ ซ้ี ในหต้มิเหีมนตว่ รยเคปดิ็นเลปกู น็ บาศ20กเ์ ซแนกตลเิ ลมอตนร (หนา้ 93) ดงั นัน้ ผิวน้าํ อยู่ลกึ จากปาก=บอ่ 2870- 7 =ลูก1บเามศตกรเ์ ซนตเิ มตร พน้ื ทฐี่ านทัง้ สอง = 2 × 16
ร
34). ปปเจดในรรหะงั ิมิม่ือก้ไนดงาาลัน้ จตต้ ่อารรงกกขขใบออลปกนงอ่งรลรรมี้งิมอู่ปปูใีคาบงเเตวใรรนสารขขยี้มข่กาาายวลคควดาอ่ณณดวนง้าดติติทา้ํน้าปรลนงละลสา======ะมี่เ2หปี5ลรx(ค22(คย่ี มิเ1110ซมวว50า10เนาาจตซ.มม××ตตั2ร+1นกกิเ5ุร5ต851ม1ัส,วว56เิต1××มา้า้,2ล.6งงรต25xx=234กู ××5ร5))บ++คคx===าลศ3วว((ูก51าากบมม.2x์เ5×3√5า3ซยย1ศ×น8าา5กววต,5×6เ์ ซเิ××2ม×น25ตคค)ต1รววิเ.ม5าามมต) รสสงูงู 1.ด งั หนาั้นพ้ืนถทงั ่ฐีนา้ํ นมแคี ลวะามพกน้ื วทา้ ผ่ีงิว1ข4า้ งขเซอนงตปเิ รมิซตึมรตอ่ ไปนี ้ (หนา้ 100) = 32 ตารางนวิ้
ลติ ร 4)
(3) (1)1,0001 มมลิ ลิ ลิลลิ ิติตรร == 1 1,0ล0ูก0บาศลกกู ์เซบนาศตกิเมเ์ ตซนร ติเมตร 7. กล1่อ)งนพมนื้ มทฐี ฐี่าานนยาวด้านละ = 41.256124× 6เซ×น8ติเมตร พืน้ ทีผ่ วิ ข้าง = (4 × 3) + (4 × 3) + (4 × 3) + (4 × 3)
0 ลติ ร ลมลกูม4ลล2ิลกู ,ติิตบลิลบ5ลรรล0ลิาาิตศ0ศิลิตรกิตกรมรเ์์เคซซิลิดนนลเตลิต===ปิตเิ==ิเน็มมรต12ต44,,คร1ร105,×0ดิ000000118018เ0ป,,,==0×00น็ 01ล0ล010,00กูกู 2011บบ,0×5==0าา008ศศ103แล,กก,0,420กกู6เ์์เ0ล,,0ซซลบ0500ูก0นน00ลาบ00×ตตศอาเิิเกนศมม1ลล์เกตตซูกูกเ์รรนซบบตนาาศศติเมกกิเมตเ์์เซซตรนนรตติเเิ มมตตรร และมคี วามสูง = เซนตตารเิ มางตเซรนตเิ มตร
1082,0,50000 = 12 + 12 + 12 + 12
ดังน้นั
จะได้ พปื้นรทิม่ีฐาาตนรทก้ังลสอ่ องงนม == 2ค×ว2าม4กว้าง × ความยาว × ความสูง = 48 ตารางน้วิ
1(20)83ด,,06ัง00น0041ัน้
== 484.5 × 4ต.า5ร×าง1เซ6นติเมตร 2. หาพ้ืนทผ่ี วิ ของปรซิ ึมตอ่ ไปน้ี (หนา้ 101)
1) พื้นทีผ่ วิ ของปรซิ มึ = พ้นื ทฐ่ี านทั้งสอง + พนื้ ที่ผิวข้าง
พน้ื ที่ผิวขา้ ง == (1302×4 6) +ลกู(1บ0าศ×ก1เ์ 0ซ)น+ติเ(ม8ต×ร10)
= (2 × 18 × 12) + {(18 × 9) + (12 × 9) + (18 × 9) + (12 × 9)}
ปริมาตร 1,000 ลูกบาศ=กเ์ ซ6น0ต+เิ ม1ต0ร0 + 8=0 1 ลติ ร
ปริมาตร 324 ลกู บาศ=กเ์ ซ2น4ต0ิเมตรตาราง=เซนต13,ิเ02ม04ต0ร = 432 + 540
(3) 1 ลกู บาศกเ์ มตร = 1,0=00,30000แลกูกลบลาอศนกเ์ ซนตเิ มตร 5. ให้ดินนํ้ามนั มีความสูง h เซ=นต3ิเม6ต0ร+ 80
(4) ด1งั นลน้ั กู บ61า0ศ8กล,0ูกฟ์ 0บุต0าศมกลิเ์ มลติลรติ=ร==7ค.ิด566,เ0ป×0แ็น01ก,,00ล1300ล000อ,0แนล0กูก0ลบลาอศนกเ์ ซนติเมตร 2) พ้นื ที่ฐาน = 4 × 5 = 0.324 ลิตร = 972 ตารางฟุต
ดนิ น้าํ มันมีปริมาตร 147 ล=ูกบา4ศ4ก0์เซนตลิเมูกตบราศก์เซนติเมตร
2. ไมก้ รจะะดไดาน้ 1ปแริมผา่นตรมดปี นิ รนิมา้ํ ามตันร == ค1ว4าม×กว3้า×ง ×50ค0วามยาว × ความสูง ดงั นนั้ กล่องนมน้บี รรจุนม=ได้ 200.324 ลตติารางเมตร ( )2) พน้ื ท่ผี วิ ของปรซิ มึ = พน้ื ทีฐ่ านทงั้ สอง + พืน้ ทผี่ วิ ขา้ ง
8. อ่างเก็บพน้ืนาํ้ ทกี่ฐวา้ นงท1งั้ 5สอเมง ตร =ยาว2 2×520เมตร และลึก 2.5 เมตร = 2 × 12 × 10 × 12 + {(10 × 7.6) + (7.6 × 13) + (7.6 × 13)}
(5) 14ด((45053งั)),,น06ดดลนั้00ังังกู002นนบ.5้นัน้ั111าลล0ศูกกู กล6ลล2บบล.ิติตูก์ฟ5าากูลบรรศศตุ บกู ลากกาศบติ ์เ์เศากซซร==ศก์เนนมกฟ์คตตต์เิดตุ12มเิเิรมม,.เ=ต05ปตตค0รน็×=0รริด1ค11เ2ป0,ดิ ล1,05็นเ,ูก0×0ป0==10บ00น็ 770า.5ศ,ล51064กูก0,=50แเ์0บซ,03ก0าแ=น0,ศล0ล26ก,ต00ลก,0ูกล5เิ00์เอม7บ0×ลซ05น0ตานอศ1รลตนแกูกลเิ กเ์มบูกซลตานบศลรตากอศเิ ม์เนกซต์เนซรตนิเตมิเตมรตร 147 == 3.251×,0010 ×ลกู hบาศกเ์ ซนติเมตร จะได้ ปริมาตรอ่างเกบ็ นํ้า== 40ความกตวา้ รงา×งเมคตวรามยาว × ความสูง = 120 + 76 + 98.8 + 98.8
ดังนั้น0.7455,0ล0ูก0บาลศกูกบ์เมาตศรกเ์ ซ==นต70เิ 5ม.=70ต5,0ร×010ค211.,ิด50เ0ปล0ูกน็,0แบ0กา10ศล2ก.ล5์เอซนนแกติเลมลตอรน
พิเศษ

25 สุดยอดคู่มือครู
ไม้กระดาน 150 แผ่น มีปร1ิม47าตร== 351h50 × 21,000 พืน้ ทีผ่ วิ ขา้ ง == (31×5 ×4)2+5(×3 ×2.55) + (3 × 4) + (3 × 5) = 393.6 ตารางเมตร
ดังน้นั ไมก้ ระดานทงั้ หมดมhhีปริม===าต41ร3.3425,731,5105,00,00000ลลูกูกบบาศาศกกเ์ ซเ์ ซนนตตเิ มเิ มตตรร
== 1293+7.155 +ล1ูก2บา+ศ1ก5เ์ มตร ( )3) พ้ืนท่ผี วิ ของปริซึม = พ้นื ทีฐ่ านท้งั สอง + พื้นท่ผี ิวข้าง
ปริมาตร 1 ลกู บาศกเ์ ม=ตร54= 1,0ต0า0ร,า0ง0เ0มตลรูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร = 2 × 12 × 12 × 16 + {(12 × 24) + (24 × 16) + (20 × 24)}
ดงั น้นั ดินน้าํ มนั ก้อนนสี้ งู 4.2 เซนติเมตร ปร3ิม)าตพร้ืน9ท3่ฐี 7า.น5 ลกู บาศก์เม=ตร9=× 7937.5 × 1,000,000 = 192 + 288 + 384 + 480

= 63= 93ต7,า5ร0า0ง,ฟ0ุต00 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร = 1,344 ตารางหลา

ดังนนั้ 0.75 ลูกบาศก์เมตร คิดเปน็ 750,000 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

พเิ ศษ 3) พ้นื ท่ีฐา

สุดยอดคู่มือครู 26
4) พืน้ ทผี่ ิวของปริซมึ = พ้ืนท่ีฐานท้ังสอง + พืน้ ทผี่ วิ ข้าง 25)) ใกหล้ ่อxงมแีคทวนามควกาวม้ายงา1ว2แตเซล่ นะตดเิา้ มนตขอรงยลาูกวบ1า6ศกเซ์ นติเมตร และสงู 35 เซนติเมตร 2. หา2ป.2ร ิม ปาตรรมิ ขาอตงรปขรอซิ งึมปตรอ่ิซไึมปน ี้ (หน้า 105) 3. พ3)น้ื ทปผี่ รวิ มิ แาลตะรปขรอิมงาปตีบรของทรง=กระพบนื้อกทีฐ่ าน × ความสูง

= (2 × 3 × 3) + {(3 × 10) + (3 × 10) + (3 × 10) + (3 × 10)} ลนเดนพูกัน่ัง่ือ้ืนนบคงัน้ทาอืจ==ศีผ่ากกิว์มก23พพี(8ล61นื้้นื4อ่2ดททง+้า่ผี×ีผ่ นิว4=วิ 1ลแ2ข6กู0ตอ2)บงล่ ++พลาะศูกด5น้ื{กบ(6า้ท1น์ท0า2่ีฐศม้งั +าหก×พีน6ม์4xื้น3ด+22ท50่ี)พ===++ืน้ ท5(12266ี่ผ699xx0ิว..22×00ข44า้ 3ง5ตตต) าาา+รรราาา(งงง1เเเ2ซซซนนน×ตตต3เิิเเิ มมม5ตตต) +รรร (16 × 35)} แบ1บ) ฝปกึ รหมิ ัดาตทรี ่ 5ป ร(ิซหึมน้า 104=-10พ5น้ื) ทีฐ่ าน × ความสงู 3.1 พ้ืนทีผ่ ิวของทรงกระบอก= (13 × 13) × 25

= 18 + 30 + 30 + 30 + 30 ( )1. 2)1ห)าปพรปพมินื้ ร้นืาทิมตทฐ่ี ารีฐ่ าตปานรรนแขิซลอึมงะปปรรซิมิ มึ=====าตร===พ4(1ข3128,ื้นอ0×8×งทพ3210ปฐ่ี2นื้1×)าร2ทน×ิซลล4ฐ่ี×มึกูกู×8า×บบตน9ตคาา่อ1าว×ศศ×ไ.รา5กกปมาค2ฟ์์นงน0สวเิ้วตุี ้ซูงา(มหนสนตงูา้เิ ม1ต0ร4) แบบฝกึ หัดที่ 6 (หนา้ 109) = 4,225 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร พื้นท่ผี วิ

= 138 ตารางเมตร 1. หาพ้ืนดังทนฐี่ ัน้านทจั้งะสบอรงรดจาุ้นนา้ํ ต พาื้นลทได่ีผ้ วิ 4ข,้า2ง2 5แลละกูพบ้นื าทศ่ีผกวิ ์เขซอนงตทิเมรงตกรระบอก พ้ืนทผ่ี ิว

5) พื้นท่ีผวิ ของปริซมึ = พืน้ ที่ฐานทัง้ สอง + พ้นื ท่ีผวิ ขา้ ง = 2ต,้อ3ง4ใ4ชก้ ตระาดราางษเซอนยต่างิเนมxx2้อ2ตยร==2,3424.9846.404ตารางเซนตเิ มตร ( ) ใ4น)แตป่ลระมิ ขาอ้ตตร่อขไอปงนปร้ี (ซิกมึำาหแนกว้ด π= ≈พ3.นื้14ท)ฐ่ี (าหนน×้า 1ค0ว9า)มสูง 2. แสดงวิธีทำา (
ดังนน้ั 1) พนื้ ทผี่ วิ
= (2 × 1.5 × 1.5) + {(5 × 1.5) + (5 × 1.5) + (5 × 1.5) + (5 × 1.5)} 1) พื้นที่ฐานทั้งสองด้าน = ≈=8211 2×πr62 × 3 × 9
= 2 × 3ล.1กู 4บ×าศ3ก2เ์ ซนติเมตร ดังนั้น
= 4.5 + 7.5 + 7.5 + 7.5 + 7.5 2) ทรงกระ

= 34.5 ตารางเมตร 6) พน้ื ท่ีก้นสระ = 16 × 20 x ต=ารา2ง.เ2มตร 3) ปรมิ าตรปรซิ มึ { }= =พ้นื ท3ฐ่ี ×าน6× ความสงู 5) พดปน้ื รังทนมิ ่ผี้ันาติวรขปกา้ งรลิซ่อึมงแนท้ําผง่ นลม้ีไมปี ้ ร=มิ าต≈=ครว25า8ม6π1.rก5hลว2้าูกงบต×าาศรคกาวงเ์ ซาเซมนนยตตาิเวิเมมต×ตรรความสงู ดังนัน้
2) พื้นที่ฐาน
6) พ้นื ทีผ่ วิ ของปรซิ มึ = พน้ื ที่ฐานท้งั สอง + พ้นื ท่ีผิวขา้ ง ดังนน้ั ความยาวข=องด3้า2น0ของลูกบาตศการเ์ ทาง่าเกมับตร2.2 เซนตเิ มตร = ==3129.621×.851.×2ลกู×3บ.ล(5า5ูกศ+บกาเ์6มศ)ตก×รเ์ ซ6นตเิ มตร ดังน้ัน
= 3) พื้นท่ผี วิ
= (2 × 10 × 6) + {(10 × 12) + (6 × 12) + (10 × 12) + (6 × 12)} 3) ใพห้ืน้ ทxผ่ี ิวแขทา้นงคสวราะม=ยาวด(1้า6นข×อ2ง.ฐ5า0น)ป+ร(ิซ2ึม0ส×ี่เห2ล.5่ีย0ม)จ+ัตุร(1ัส6 × 2.50) + (20 × 2.50) พพพใปดดสนื้น้ื้นื รังงั ่นทททคนนิม้าํฐี่ี่ผผ่ีวั้น้ันาใ00ตาาวิิวนน..มรขข00อกรทนสอา้99า่ะลง้งัูง66้าํงงดส่อทเับลองรย้ีนนงง=====ดกงา้ํ้าํ ผปอรา้ นะยลลค000บ0ู่สาไ0....มวอ343งู.03า0กจม้029ม2.า6คี0==××กก9วกว60คา≈≈≈≈≈≈≈≈===้าน้ม.ว11ง8ลอจา.805×มกูาุ่212912221251×งส×บ54506πππค8×××0.00.ูงrrrาค25ว0322hล...ศ3337742า.ว+3ลกู×ก...ม228า111+ูกบ์เมย2444ม4ตตตตเบาม9πสา××ต×าาาศาว4าrูงตรรรรศรhก.344าาาา×2รก์นงงงง2××เเเเคน์ิ้วซซซซว้วิ65นนนนาตตตตมเเิิเิิเสมมมมงูตตตตรรรร
จนคดะวนั่ งัไาคดนมอื้ั้นยาฐวารพนอนื้ ขบทอฐที่งาปนง้ั รขห==ซิอมึมงดปย41ทรา80วซิต่ี 0ด+มึ ้อ4า้ xงx5นก0ลาะ+ร===ป14กูต80747ร4าx22+ะเรซเาบน5งเ=ซ0เต้อื มนเิง1มตต8ตรเิ มรเตซรนติเมตร
= 120 + 120 + 72 + 120 + 72 ปรซิ ึมมคี ว=ามส3งู 201+2 1เซ8น0ติเมตรตารางเมตร 3. แสดงวิธีทำา (หน้า 105) = 8.75 ตารางเซนติเมตร

= 504 ตารางน้ิว 1) ปรปมิ รามิตารตขรอขงปอรงิซปึมริซึม= =พืน้ ทพฐ่ีื้นาทนี่ฐ×านคว×ามคสวูงามสงู

3. แสดงวิธีทำา (หนา้ 101) = =80 ×8.7158 × 4.5
1) ให้ h แทนความสงู ของปรซิ มึ
= =1,44309.3ล7ูก5บลาูกศบกา์เซศนกตเ์ ซิเมนตตริเมตร 6)
ปริซมึ มีฐานเป็นรูปสเี่ หล่ยี มจตั ุรสั ยาวดา้ นละ 8 เซนติเมตร 3)ดังพน้ืน้นั ท่ีฐปารนมิ าตรของปริซ=มึ เท1า่4ก×บั 61,440 ลูกบาศก์เซนติเมตร 2)
2) จใหะป้ไดรxิม้ าตแทรขนอด1งา้ 7xปน22รปิซรึมะ==กอ==บ1175ม22มุ8พ+-4ฉนื้ 1xาทก52่ีฐ2อากี นตดาา้×นราคงวเซามนสตูงิเมตร
จะได้ พ้นื ท่ีฐานทั้งสอง = 2 × 8 × 8 พน้ื ทีผ่ ิวขา้=งขอ5ง0ป0รซิ ึม = 4 ×ต(า1ร8าง×เม12ต)ร
= =2898-4 2×2528
= 128 ตารางเซนตเิ มตร = 500 × 10,=000864ตารตาางรเาซงนเซตนเิ ตมเิตมรตร x2 = =64 2,352 ลูกบาศก์เซนติเมตร

พ้ืนทผ่ี วิ ข้างของปริซึม = (8 × h) + (8 × h) + (8 × h) + (8 × h) ดงั นั้น พ=้ืนทีผ่ 5ิว,0ข0า้ ง0ข,0อ0ง0ปรซิ ึมเทต่าากรบั าง8เซ64นตตเิ ามรตางรเซนตเิ มตร

= 32h ตารางเซนตเิ มตร 4) ใกหร้ ะxเบื้อแงทน1คแวผาน่มยมาวีพด้นื ้าทนี่ของฐ=านป2ร0ิซึม×ส2ีเ่ ห0ลี่ยมตจาัตรุราัสงเซนตเิ มตร

เน่ืองจาก พื้นทผี่ ิวท้งั หมดของปรซิ ึม = 448 ตารางเซนติเมตร ความยาวรอบฐานของปรซิ ึม === 415412102,40x.0050,540เ000เ=มม0,0ต0ต0ร2ร0.5 ตารางเซนตเิ มตร
จะได้ 4x
จะได้ 448 = 128 + 32h จะต้องใช้กระเบื้องท้ังหมดx == แเผม่นตร 4) พนื้ ที่ฐาน x = =8 20 × 8
แผน่
32h = 448 - 128 นนั่ คอื ความยาวอีกดา้ น=ขอ1งส60ามเหลตี่ยามรมางมุ เซฉนากตเิเทม่าตกรบั 8 นว้ิ พน้ื ทีผ่ วิ ของทรงกระบอก = 2πr2 + 2πrh

32h = 320 น่นั คอื ฐานของปรซิ มึ ยาวดา้ นล=ะ ( )แ 13..บ 3บแ1 3)3หใพ..ฝนบ. าน้ื1ดปปกึบแพ 3หใพทรงัรห ตฝนปืน้.พนมิิมาผี่้ืน1ัดล่ึกแรพท น้ัานื้าวิทะทห มิตตตีฐ่้ืนแพขท่ีผี ่ัดล่าารรล6ท้อผี่ื้นวิตปนะทขข ะตฐี่แิวข(ทรรออท่ี ปหา่อลข6มิอ้ขผ่ีงงง้ันรนไ ะอปปตอาสวิมิป(ทปงต้าหอ่รงบีขอาน ทัง้รรปซินไตอ1งสิมร้ ีปขมึ0รด(งา้รงอกอาน ท9ิซข้ากต1งำาง)นรมึ้ี อร===ห0ด(ปรงก ะง9พข้านรกทบำา)นซิอ===น้ืรหดอ9พ===ร ึมะงพ ท21น6งกπ้นืทบสก0ผ่ีน้ืด×อท11พราร4(พิว≈ ทมง,16ก่ฐีπะน้ื,ข61น้ืก23่ผี0เา3บ0้า5ทห2รนทิว.≈งล×อ0×15ะล่ฐีข×่ฐี ูก4ก×แ3บาี่ยา้1า1)บ.ลน8งนอ3ม1ล0คล( ะา)4กหแมูกูก×วศ×พ×)×ลนามุบบกนื้(มะคค้า1หฉ2าา์นพท6สวศวศ15นา้ิวาีผ่น้ืูง0ากกกา้ มม9ิวเท์เ์เ1ทซส)ขซสผ่ี0นาู่งอนงู9วิกตง)ตขับทเิอเิมรมง9ตงทต6กร0รรรงะลกบกูรอะบกบาศอกกน์ ิ้ว ≈ 100.48 + 150.72
h = 33220
ดังน้ัน ปจริซะตมึ มอ้ คีงใวชา้กมรสะงู เบ้อื งอย่างนอ้ 5ย เ1ม2ต,5ร00 แผน่ ≈ 251.20 ตารางเซนติเมตร
5) กล่อดงงั มนีค้ันวาปมรกิซวมึ ้างมคี12วาเมซสนูงตhเิ1ม0ต=เรซยน1าต0วิเม1ต6รเซนตเิ มตร และสูง 35 เซนติเมตร แบบ2ฝ.ดพ2ึก งัื้นห นปทดั้ันผ่ีรทิมวิ ่ี ขพา5า้ตืน้ ง(รทขหขอ่ีผนองวิ ้าปงข ปร้า1ซิงร0ขึมิซ4อึม-ง1ป0=ร5ิซ)มึ4เ×ทา่ (ก2ับ.5 × 5) = 50 ตารางเมตร
2พ)้ืนใทหผี่ ้ วิ xกลแ่อทงน=ควา2มพย้ืนาวทแีฐ่ตาล่ นะด+้านพขน้ื อทงีผ่ลกูิวบขา้าศงก์ 50 ตารางเมตร 3) 3พ)น้ื ทพีฐ่น้ื าทน่ฐี ทาัง้นสทอ้ังงสดอ้างนดา้ น = =2πr22πr2 ดงั นน้ั
≈ ≈2 ×23×.143.×144×2 42
12.. 1ห1ห))าาพปพปืน้รร้ืนิมทิมทา่ฐี าต่ีฐตารานรขนปแอรลงซิปะึมปริซริมมึ ตาตอ่ ===รไ==ปขนอ4(พ3ง3 ้ี821(้นืปห×ท×รน่ฐี2ิซ้า4)าึม1น×ล×0ตตูก×58อ่ 1บา)ไค.รา5ปาวศงนากเม้ี ซฟ์(สหนตุ งู นตา้เิ ม1ต0ร4)
+ (3 × 10)} ล=กู บา2ศ(1ก2ม์ ี×6 ด16า้ น) +แต{(่ล1ะ2ด×า้ น3ม5พี )้ืน+ท(ี่ 16 × 3x52 ) + (ต1า2รา×งเ3ซ5น)ต+เิ ม(ต1ร6 × 35)} ≈ ≈1001.4080.4ต8ารตางาเรซานงเตซเินมตตเิ รมตร
.5) + (5 × 1.5)} = =2πr2hπrh
2) + (6 × 12)} ด=ังน้นั 384 +พื้น4ท2ีผ่0วิ +ลกู5บ6า0ศ+กท์ 4ง้ั2ห0ม+ด 56=0 6x2 ตารางเซนติเมตร พนื้ ทพ่ีผ้ืนิวทข่ีผ้าวิงข้าง

× h) + (8 × h) เน=อ่ื งจ2า,3ก44พ้ืนทต่ผีารวิ าขงอเซงลนกู ตบิเมาศตกร์ = 29.04 ตารางเซนติเมตร ≈ ≈2 ×23×.143.×144××41×0 10
ตร 6) พดังื้นนนทั้นั่นีก่ ค้นอืตส้อระงใชก้ ==ระด31าษ260อ×ย2า่ 0งนอ้ ย6ตตxxxx2าา222รร,าา3====งง4เเ4มมตต2242ต.9.9รร286า..040ร44างเซนตเิ มตร
นติเมตร ( )2) ปปรริมมิ าาตตรรปขรอิซงึมปรซิ ึม == พพื้นื้นททีฐ่ ่ฐีานาน××ควคาวมาสมงู สูง 1)ด1งัพ)นื้นน้ั ทพีฐ่น้ื าจทนะฐี่ ทบา้ังรนสรทอจั้งงนุ สด้ําอต้างนาดล้าไนด้ 4,2=25=2ลπูกr22บπาrศ2 ก์เซนติเมตร ≈ ≈2512.2501.2ต0ารตางาเรซานงเตซเินมตตเิ รมตร
พื้นดทงัผ่ี นวิ ั้นข้างคสวราะมย=าวข(1อ6งด×้าน2ข.5อ0ง)ล+กู (บ2า0ศ×กเ์ 2ท.่า5ก0บั) +2(.126เ×ซน2ต.5ิเม0)ต+ร (20 × 2.50) พน้ื ทพผี่นื้ วิทท่ีผรวิ งทกรรงะกบรอะกบอก= =2πr22π+r22+πr2hπrh
ปริมาตรของปริซมึ แก้ว =
=
== 11312,08×8×0612ล×ลูกูกบ9บาศ×ากศ2น์ก0้ิวเ์ ซนติเมตร ( )4) พ21≈≈้นื ×ท≈≈ฐ่ี5266า×น.×52532×63×..15ค43×2ตว.×า1า9ร4มต3าสง×า2เรงู ซ3านง2เตซิเนมตติเรมตร ≈ ≈1001.4080.+482+512.2501.20
==
พื้นทพีผ่้ืนิวทขผ่ี า้ ิวงขา้ ง = 8=1 =2πrล2hูกπบrhาศก์เซนตเิ มตร ≈ ≈3513.6581.6ต8ารตางาเรซานงเตซิเนมตตเิ รมตร

3) ให้ x แทนค=วาม4ย0าว+ดา้5น0ข+อง4ฐ0าน+ป5ริซ0ึมสเ่ี หลีย่ มจัตรุ ัส { }23) พปรืน้ มิ ทาฐ่ี ตารนปริซมึ == พ2ืน้ .5ที่ฐ×าน3.5× ความสูง ดังนนั้ ปรซิ มึ แทง่ นมี้ ีปริมาตร≈81≈2 ล×2กู 3บ×.1า4ศ3.ก×1์เ4ซ3×น×ต35ิเม×ต5ร 2. 2แ. สดแงสวดิธงที วาำธิ (ที กำาำา ห(กนาำ หด นπด≈ π3.≈143).1(4ห)น(า้ห1น0า้ 91)09)
== 821.7×51.2ต×า(ร5าง+เซ6น) ต×ิเม6ตร 1) 1พ)้นื ทพ่ผี้นื วิทขผ่ี อวิ งขทอรงงทกรรงะกบรอะกบอก= =2πr2hπ+rh2+πr22πr2
ปรมิ าตรของปริซมึ == 3พ9.้ืน6ที่ฐาลนูกบ×าคศกวาเ์ มตสรงู 5) ปริมาตรกล่องนํา้ ผลไม้ = ค≈วาม≈9ก4ว.2้า9ง4.×2ตคาวรตามงาเรยซาานงวเตซ×ิเนมตคตเิวรมาตมรสูง ≈ ≈(2 ×(23×.143.×143×.53×.52×0)2+0)(2+×(23×.143.×143×.53×.53×.5)3.5)
ความยาวรอบฐ=านข1อ8ง0ปรซิ ึม ต=ารา4งxเมตเซรนติเมตร พ้นื ทพี่ผ้ืนวิทข่ผี อิวงขทอรงงทกรรงะกบรอะ=กบอก1=.5 ×=23πr×22π+4r22+πr2hπrh
ดังนจั้นะได=พ้ นื้ ท3ีท่20ัง้ ห+ม1ด8ท0ี่ต้องกาต4รxxาปรูกาง==รเะมเตบ7742รือ้2ง = 18 เซนตเิ มตร 3. แสดงวิธที ำา (หนา้ 105) = 8.75 × 4.5 ≈ ≈4394.639+.67+6.9736.93
นพปรน่ัน้ื ซิ คทึมอื่ีผ===มวิ ีคขฐว้าา555งนา,00มข0ข00อ0สอ0×งงูงป,ป01ร1ร00ิซ2ิซ0,มึ ึม0เ0ยซ0าน==วตดตตตเิ า้ม84นาาาต6รรรล×4ราาาะงงง(1เเเซซมต188นนตา×รตตราเ1ซเิิเงมม2เนซ)ตตตนรริเตมิเตมรตร = 1≈8 ≈56.ล552ูก6.บ+5า29ศ+4ก.2์น94้ิว.2
1) ปรมิ าตรของปรซิ ึม == พ3ืน้ 9ท.3ี่ฐ7า5น ล×ูกคบวาาศมกส์เูงซนติเมตร ≈ ≈5165.5136.53ตารตางาเรซานงเตซเินมตตเิ รมตร
กระดเบังนือ้ นั้ ง 1พแน้ื ผทน่ ีผ่ วิมขพี า้ ง้นื ขทอ่ี งปริซ=ึมเท2่า0กับ× 28064 ตตาราารงาเงซเนซตนิเตมิเตมรตร
3) พ้นื ท่ีฐาน == 8104××168 ดงั น้ัน กลอ่ งนํ้าผลไม้มคี วาม≈จุ 1≈815ล0กู1.7บ520า.ศ7ตก2า์นรตา้วิ งาเรซานงเตซเินมตติเรมตร ดงั นดั้นังนนั้พ้ืนทพี่ผนื้ วิทขผี่ อิวงขทอรงงทกรรงะกบรอะกบปอรกะปมราะณมาณ5165.5136.5ต3ารตางาเรซานงเตซเินมตตเิ รมตร
6)2)ใส2พ)น่ ้นื ํา้ ทพใน่ฐีนื้ อาทนา่ ีฐ่งทาเง้ัลนส้ยีทอง้ังงปสดลอา้ างนด0้า.น096 ล=กู บ=2าπศrก22πเ์ มr2ตร
2) ปดใจหะรงั ้ไิมนดนั้าx้ตรแปขทรอิมนงาปดต1า้ร7รนซิ 2ขปึมอรงะ==ป===กรอิซบ11มึ 8พ8,5ม4เ442้นืทมุ4+×่า0ทฉกีฐ่xา2บั กา2ล8นอตกู 1ีกบา×,4ดรา4าค้าศ0งนวกเซา์เลซมนูกนสตบตูงเิ ามเิ ศมตกตร์เรซนติเมตร 2) 2ท)รงทกรรงะกบรอะกบมอีเกสมน้ เี ผสา่้นนผศา่ ูนนยศก์ูนลยาก์ งลขาองงขฐอางนฐยาานวยาว 12 1เซ2นเตซเินมตตเิ รมตร

ปริมาตรนํา้ = ความกว้าง≈× ค≈2ว×าม23ย×.1า4ว3.×144ค×2วา4ม2สูง ดงั นดั้นังนัน้รศั มรีขศั อมงีขฐอางนฐขาอนงขทอรงงทกรรงะกบรอะกบยอากวยาว 6 เซ6นเตซิเนมตตเิ รมตร
พนื้ ทพผ่ีน้ื ิวทขี่ผา้ วิงขา้องงขทอรงงทกรรงะกบรอะกบอก = =2πr2hπrh
0.096 = 0.40 × 0.8≈0 ×≈1ค0ว01า.40ม80ส.4ตูง8ารตางาเรซานงเตซเินมตตเิ รมตร ≈ ≈2 ×23×.143.×146××69× 9
พนื้ ทพ0ผี่.้ืน0วิท9ข6่ีผ้าิวงข้า=ง 0.32 × คว=ามส=2ูงπr2hπrh
4) ให้ x แทนความยาวด้านข=องฐ4า0น0ปริซมึ สเี่ หตลย่ีารมาจงตัเซรุ นัสติเมตร x2 == 127,23-52152ลูกบาศก์เซนตเิ มตร = 00..03926 ≈ ≈2 ×23×.143.×144××46× 6 ≈ ≈3393.1329.1ต2ารตางาเรซานงเตซเินมตตเิ รมตร
ความสงู = 0.3 ≈ ≈1501.7520.7ต2ารตางาเรซานงเตซเินมตตเิ รมตร
จดะงั ตนจคนอ้ั้นะวน่ั งไาคดใมือชจ้ยก้ะาตฐรวาะร้อนอเงบขบใ้อือชฐงง้กาปทนรรขงั้ะิซหอเบึมงมป้ือยดรงาวิซอดึมย==4า้ ่าxxนงลน15ะ้อ===2,0ย,5400004121140x0.0,0520,0เ5เ=ม0ม0ต0ตแแร2ร.ผผแ5น่่นผน่เมตร ดงั นดัน้ งั น้ันพืน้ ทพผี่้ืนวิทขีผ่ า้ วิงขา้องงขทอรงงทกรรงะกบรอะกบปอรกะปมราะณมา3ณ393.1329.ต12ารตางาเรซานงเตซิเนมตติเรมตร
4) พ้นื ท่ีฐาน == 22809 ×- 2825 3) 3พ)นื้ ทพ่ผี้ืนวิทข่ีผอิวงขทอรงงทกรรงะกบรอะกบอก= =2πr22π+r22+πr2hπrh
x2 == 61460 ตารางเซนตเิ มตร ดงัพนนื้ น้ั ทพ่ผีื้นริวทะขี่ผดอิวบังขทนอรํา้งงอทกยรรู่สงะกูงบจรอะากบกอน้กอ=่าง=20π.r322π+เrม22ต+πรr2hπrh
≈ ≈1001.4080.+481+501.7520.72 ≈ ≈(2 ×(23.×143.×1418××1818×)1+8()2+×(23.×143.×1418××1820×.62)0.6)
( )ปนปรรั่นมิิมคาาือตตรรคขขวออางงมปปยรราซิ ซิ xวมึ ึมอีก====ด===า้ น89พข11พ26นื้อ,60ื้น6×ทง00ทสี่ฐ10×าีฐ่า5มนาล1นเ×ลกูห0×ูกบล×8คบยี่าควศ×มาาวกศมม1าน์กุม6สมว้ิเ์ฉูงซสานงู กตเทิเมา่ กตับร 8 นิ้ว
≈ ≈2512.2501.2ต0ารตางาเรซานงเตซิเนมตตเิ รมตร ≈ ≈2,0324,0.7324.+722+,3228,3.62284.624

ปรซิ มึ มีความสงู 5 เมตร ≈ ≈4,3643,3.3643.34ตารตางานราิ้วงน้วิ

พืน้ ที่ผวิ ขา้ งของปริซึม = 4 × (2.5 × 5) = 50 ตารางเมตร ดังนด้ันงั นน้ัพ้นื ทพี่ผื้นิวทข่ผี อวิ งขทอรงงทกรรงะกบรอะกบปอรกะปมราะณมาณ4,3643,3.3643.3ต4ารตางานราิว้ งนว้ิ

ดังนั้น พ้ืนทผี่ ิวขา้ งของปริซึมเทา่ กับ 50 ตารางเมตร ดงั นั้น ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมมุ ฉากเทา่ กบั 960 ลูกบาศกน์ ิว้

4) ความยาวรอบฐาน = 2πr 23).2 ค ปวรามิ ยาตาวรเขสอ้นงผทา่รนงศกนูระยบ์กอลกาง = 8 เซนตเิ มตร จะได้ ปริมาตรนาํ้ ใaน2ตูป้ =ลา 146 == π4r2h 2. ปร5ิม.าตปรถรศังัขรนมิมองํ้าาขี ทมตอรเีรงสงขถก6น้ อัง4รผนงะ366ถา่บ้ํา.,,น022งั อ7น88ศกrr20022้าํูนย์ก=≈≈≈=≈≈ลา16π3ง6=3π602.,r.r122120.284h.84h8r660×22×..44r32 .×เ=2ม2×ต03ร3.2.2 2. แสดงวิธที าำ
22 ≈ 2 × 3.14 × r แบบฝกึ หัดท่ี 7 (หนา้ 111) 2r = 8 a = 2 ≈ 3.14 × 27.5 × 27.5 × 30 3. 1) พืน้ ท่ีผิ
1. 3321(ห))))นปดป้าปปปรรงัรรร1นิมมิมิมิิม1้นัาา1าาาตตตตต) รรรรรแขขขขขกอออออ้วงงงงงทนททททรรํ้ารรรมงงงงงกกคีกกกรรรรรวะะะะะาบบมบบบ44ออจอออ66กกh2ุป2กกกระrม≈≈≈=≈≈≈≈≈≈===าณ≈≈2=3=π2333111πππ48.8r...,,,61rrr11100562..222024h24443992hhhπ6328266899×0.r.×××h18.2264h83.575=8×222×8ล×××4ูก34ลลลล111บ××กููกกูกู044าบบบบ4ศเhซาาาาก×นศศศศเ์ ซตกกกก1น์ห์์หห2เิ์เมซตนนนนตเิ่ววว่่ มตรยยยตเิ มรตร เมตร
22 ≈ 6.28r แทง็ กน์ ํา้ มีฐานยาวด้านละ 2 เมตร ≈ 71,238.75 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร ×h ดังนัน้
r ≈ 62.228 4) ปริมาตรของทรงกระบอก ≈= 1π6r.23h เซนตเิ มตร พพ้ืน้นื ทท่ีผ่ีฐดาวิ นังขน้างัน้ ทงั้ หนมาํ้ ใดนตู้ปล==ามีป42ร××มิ (2า2ต×ร=ป4ร) ะ4มาณตาร7าง1เ,ม2ต38ร.75 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร 2) ใหด้ า้ น
พ้ืนท่ีผวิ ข้างของทรงกระบอก = ≈ 3.5 4. การแก้โจทย์ปญั หาเกย่ี =วก3ับ2พ้ืนท่ผี ตวิารแาลงะเมปตรรมิ าตร 643.072r ≈≈ 1302.1536h
2πr × h 41แ . .บดพคบป4งัว้ืนฝ.นาร1ทมกึิม้ัน ่ีทยห าั้งกาตัดหชวารทมา่รนงแี่ 1ดต8ํ้ากเ้อ ฟตโ้(งหจุต็มเคทนตลย้าู้ อื ์ป=1บัญ1ด=5ห==1บี )2าุกทพเ34นป่เี น้ื6กว้ิน็+ทีย่พ3ฐี่วื้น2ากทนบัตี่ พ×า3ร6ื้นาคงทตวเมผี่าามรตวิ าสรแงูงเลมะตปรรมิ าตรของปรซิ มึ เน่อื งจา
≈ (2 × 3.14 × 3.5) × 40 ลกู บาศ
ดงั น้นั ทรงกระบอกมีรศัhมีย≈าวปร36ะ24ม3.1า.50ณ732610 เซนติเมตร พนื้ ที่ผิ
≈ 879.2 ตารางน้ิว ปรมิ าตรของถงั น้าํ = πr2h≈ 20 เมตร
พ้ืนที่ฐานทรงกระบอก = 2πr2 ดงั นั้น ถังนํ้า≈มีค3ว.า1ม4ส×งู ป1.ร5ะ0ม×าณ1.5200× เ3มตร ดังนนั้
≈ 2 × 3.14 × 3.5 × 3.5 3) ปรมิ าต
≈ 21.195 ลกู บาศกเ์ มตร
≈ 76.93 ตารางนิว้ ดังน้นั ไมก้ ระดานฟุต =ยาว(114ฟ×ุต25=) ×1220 นิ้ว ดงั น้ัน
ปรมิ าตร 1 ลกู บแาศบกบเ์ มฝตึกรหดั ทา้ ย=หน1,่ว0ย00ก,0า0ร0เรยี นรลู้ทกู บ ี่ 3าศ (กห์เนซนา้ ต1เิ ม21ต-ร122) 4) ปริมาต
พื้นท่ผี ิวทรงกระบอก ≈ 880 + 76.93 ( )2. แด4ใดปด.ลงั2สนะรงังั น่ นนิม้ันกา้ํน้นัั้าาใตรนปแปจแระผรรตปปขกทมิิม่นู้เรรอ้โทาําาไจมิิมงไตตม่าทมขาากรร้มตตย้ก้ันแไบัคีมป์รรรบผวะนน้กญั ่นนั าด34รํํ้าา้มไหไาใใะมดยนากนน=ขด้เาไวอตตาก1วดน้าง่ยีู้้ปูง้ข1ต7ฟวลน้ั01,ู้กตุ0า17ฟฟับ0เ42==ท0พุตตุ40า่ ื้นกทล5ับ=======34,่ผีกู 2×ิวบ55=1=1=11175แ,0า72204222ศล,50400ะ××ก0นแพล10ป×น์12ผ11้วิ,0กูรื้น1ล822ิ้วน่มิบ5×ทลลกู ××า2าูกกูฐี่บต6ศบบา134รา=กน×าาศขลศศ์นอูกก×8กกิ้วง1บน์ ์นน์ทค2×า้วิ ้ิวว้ิร0วศงา4กกนม8์นริว้สะว้ิ ูงบอก
ปรมิ าตร 21.195 ลูกบาศก์เมตร = 21.195 × 1,000,000 ดังนน้ั
≈ 956.93 ตารางนิว้ แ13.บ.บดจปฝปนใดะรงั หกึไนิมร่นังั ดหฐ้นมิน้ัาค้ตาดั้นัาือนรตทปปขข่ี รรรอ9อปปขมิิม งงรรอ(ทาาแหมิิมงตตรทนแาารรงตต็งทา้กขขก รรออง็ร1น์ขขกะงง2บททออ้าํน์0ยองงรร)ํา้ คขงงากกกวัน้อดรรบนะะ้า==ันกบบนไรออลดีตกกะπ3ททท.3r12้ัง้งั่ใี 4hขหหช=aaน้ัท้มม2bดดําขพเ==เมทัน้ ื้นลตา่ บทกูก==ร33นับบัฐี่,4×ไาาด5ศน411162เก2×ท,×..1์ห55่า356น6คลก.2aa่ว1กูวบั 224ยbาบbaม3า2สศbล,4ลงูกูก5ูกบ์น6บา้ิวาศลศกูกก์หบ์หนนาว่ ศว่ยยกน์ ้ิว
52. ดปปรถัศรงัังรนิมนมิม้ันาํ้าาขี ตมตอรีเรทงขสขถรอ66้นองัง4ง4ผกนงท33ถรา่.ํ้าร.0นะ0งัง7บ7นกศ2h2อร้าํูนะก66ยบม,,22ก์=≈≈≈อรี 88ลกศัrr00r22ามง=33π63ีย.242r1≈=≈≈≈≈า2.3.ว41h111.66ป550662×..116π3ร3736446002.ะ,662r31222ม0.h84h.==8เ=28าr0มณ×2×ต3r4(ร2a31.a2×.02×22เ×aเซ0ม)นhต×ตริเ4มตร 1. หาพนื้ ที่ผวิ และปริมาตร =(กำาห21น,1ด9 5π,0≈003.14)ล(ูกหบนา้าศ1ก2เ์ ซ1น) ติเมตร
ดงั นั้น พืน้ ท่ผี วิ ข้างของแทง่ แก้วทรงกระบอกประมาณ 879.2 ตารางนว้ิ ดังนั้น ทรงกระบอกมีความส≈งู ปร3ะ.1ม4าณ× 4126×.312เซนติเมตร ปรมิ าต1ร)1,พ00้ืน0ทล่ีผกู วิ บขาอศงกป์เซรนิซตึมิเมตร = 600= 12ลต1กู,า11ลรบ,90าติ 5าง0รศ,น00ก0ิ้ว0์นิ้ว
ปริมาตร 21ป,1ร9มิ 5า,ต00ร0ขอลูกงปบราศิซกึม์เซนติเม=ตร540=
และพ้นื ทผี่ ิวของแทง่ แกว้ ทรงกระบอกประมาณ 956.93 ตารางนิว้ 4) เส้นผ่านศนู ย์กลางถงั น้ํายาว ≈1.2602เ.ม88ตร ลกู บาศก์หน่วย
2. 51แ))สดปรปคงัศรรววิมมิมาธิ มาขีาที ตตยอำารงรา (ขวถขกอเอังสาำ นงงห้นถทํ้านรยงั00รอนดา..ง9h9บวกา้ํ π1ฐร3าะ≈=≈≈≈น2บ3อ.1กπ311=≈4..r.11)01234h(.39ห≈≈=2200×π4น4×1hrา้02.31π23.16.,r.15112×42h14=6)×0×.0.6904r2.×6×hเลม6ูกตบราศก์หนว่ ย
5) เส้นผา่ นศูนยก์ ลางของฐานยาว 7 เซนติเมตร ถดังังนนํ้าั้นม2เี ส)ถน้ังนผพปํ้า่ารืน้ นนมิ ทจ้ีศาี่ผุนนูตวิํา้ยรไขข์กดออลป้ งงารปงปะรมรซิ ซิา1ึมณึม6 2น1วิ้,19==5 ล1ิต27ร42= 21ต,า1ร9า5งเซลนติ ตริเมตร
72 h13≈2 0≈.8 6.28เมr ตร ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร
จะได้ รัศมีของฐานยาว = 3.5 เซนติเมตร 5) เดปสงัร้นนิมผ้ันาา่ตนรถศขังูนอนยงํา้แก์ มทลีค่งาวแงาขกมอ้วrสงงูตปปู้ =≈รละามπ6า1ณ.=r3222h805.85≈เมเซต2น1รตเิ นมวิ้ตร 4.
พ้ืนท่ีผวิ ข้างของทรงกระบอก = 2πr × h จระะดมับรี ัศน3มํา้ )สี ูงปพขนึ้ร้ืนมิ ทา1ผี่ ต0วิ รขข1นอ2อ6ว้ิงงปป=รรซิ ิซมึ ึม8 น้วิ = 194.94 ตารางหลา
จดะรรังดพพแไะัศนงัทดน้ืืน้ดมั้นนง็้ททับขีน้ัก่ีผี่ฐนอ์นปนาิว้ํางํ้านขรํา้แสตมใิม้าทงูฐีู้ปนงาา่งทลตตนแั้งาปู้รยกหนลาม้วว้ําามดดใมปีน้าปี นรตรมิลู้ปิมะา===ลาต≈≈ตารaรป34a222ป2ร13××ระ.33=ะ1เ===≈≈(2ม20ม2ม4,าต9า×ณ×ณรต3=2เ15π734ซ2456า5.12r1น)ร.21,10724าh4ต34ง13×==2เิ×เ,8มม,229.ตตต2374132า7ร85รร57ล..×า57..ูก0ง5ล59×เ4บมูก6าลต2บเลศซกู7ราูกนก.ศบ5บ์นตกาา×้วิเิศ์เมศซก3ตกนเ์0ซรน์ตนิ้วเิ มตติเมรตร =
≈ (2 × 3.14 × 3.5) × 10

≈ 21.98 × 10 185.193 ลูกบาศก์หลา

เน่ืองจาก รูปสีเ่ หล่ยี มผนื ผา้ มคี วามกว้าง h เซนติเมตร จะได้ 4)ปริมพา้ืนตทรผี่ขอิวงขนอํา้ งทท่ีเพรงม่ิ กขร้ึนะบ≈อก 3.14=× 846×6.82×9 10 ตารางเมตร
และยาว 2πr เซนตเิ มตร ปรมิ าตรของทรงกระบ≈อก2,00=9.6763ล.กู0บ2าศก์นล้ิวกู บาศกเ์ มตร

ดงั นั้น รปู สีเ่ หลยี่ มผืนผ้ามคี วามกวา้ ง 10 เซนติเมตร และมคี วามยาว ดังน้ัน 5)ปรพมิ านื้ ตทรผี่นิวาํ้ ใขนอถงังทตร้องงกเพระมิ่ บขอึ้นก2,00=9.6 8ล4กู7บ.8าศก์น้วิ ตารางเซนตเิ มตร

21.98 เซนตเิ มตร ปรมิ าตรของทรงกระบอก = 1,727 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

3.2 ปรมิ าตรของทรงกระบอก 2. แสดงวธิ ีทำา (กาำ หนด π ≈ 3.14) (หน้า 122)
แบบฝึกหัดที่ 7 (หนา้ 111) 1) พืน้ ทีผ่ วิ ทง้ั หมดของหอ้ ง = พื้นทฐ่ี านทง้ั สอง + พ้นื ท่ผี ิวขา้ ง
1. 2(ห)น้าคว1า1ม1ย) าวเส้นผ่านศนู ย์กลาง = 8 เซนติเมตร = (2 × 4 × 10) + {2(10 × 5) + 2(4 × 5)}
1) ปริมาตรของทรงกระบอก2r = ==3π.r124h828× 7=2 ×410 เซนตเิ มตร = 80 + 100 + 40
r≈ = 220
ปรมิ าตรของทรงกระบอก ≈ =1,53π8r.26h ลกู บาศกห์ น่วย ดังนัน้ พน้ื ท่ีผวิ ท้ังหมดของห้องเทา่ กบั 220 ตารางเมตร
2) ปริมาตรของทรงกระบอก = ≈πr2h3.14 × 4 × 4 × 12
≈ ≈3.1460×25.828× ล1กู4บาศก์เซนติเมตร 4. การแกพ้โจ้ืนททยี่ทป์้ังหัญมหดาเก่ียวกบั พืน้==ทผี่ 34วิ6+แล32ะปตรามิราางตเมรตร 2) ใหด้ ้านแตล่ ะดา้ นของลกู บาศก์ยาว x เซนติเมตร
ปดปปรงัรรนิมิมิมน้ัาาาตตตรรรแขขขกอออว้งงงนทททรา้ํรรมงงงกกกคี รรรวะะะาบบบม44อออจ66กhกก2ุป2ระม≈≈≈=≈≈≈≈==าณ23π23311ππ48.8..,,r6rr1110062.22.024h24499hh226699×××.h8835422×ล××กู3ลล11บ×กูกู 42าบบศhาากศศเ์ กกซน์ห์หตนนิเว่ว่ มยยตร 4.1 กดารงั แนั้นกโ้ จชท่ายงตป์ ้อัญงเหคาลทือเี่ บกดยี่ ีบวกุกเบั ปพน็ พืน้ ื้นททผี่ ี่ วิ 3แ6ละตปารรามิ งาเมตตรรของปริซึม 3. ปริมาตรของถงั นํา้ =≈ πr220h เมตร เน่ืองจาก ดา้ นแต่ละด้านของลูกบาศกม์ ีขนาดเทา่ กนั = x2 ตารางเซนติเมตร
33)) แบบฝึก4.หดั คทว ่ีา8ม ย(หาวนา้1 1ฟ1ตุ5) = 12 นิว้ ดงั นัน้ ถังน้าํ มคี วา≈มสงู3ป.1ร4ะ×มา1ณ.502×0 1เ.ม50ต×ร 3
4) 1. ปรมิ าตดรังนนา้ํ ้ันเตม็ ไมต้กู้ ระด=านฟพุต้ืนทย่ฐี าาวน1×ฟคตุ วา=มสูง12 นว้ิ ลูกบาศกม์ ที ้งั หมด 6 ดา้ น ดงั น้ัน
≈ 21.195 ลกู บาศกเ์ มตร
ปริมาตรแ1บลบกู บฝาึกศหก์เดัมทตร้ายหนว่ =ยก1า,ร0เ0ร0ีย,0น00รทู้ ี่ 3 ล(หกู บนา้าศ 1ก2เ์ ซ1น-1ต2เิ 2ม)ตร พ้นื ท่ีผวิ ท้ังหมดของลูกบาศก์ = 6x2

= (14ก×ว้า2ง51) ×ฟตุ 20 = 12 นว้ิ 1. ปหราิมพา้ืนตทร ่ผี21วิ .แ1ล95ะปลรูกมิบาาตศรก เ์ (มกตาำ รหน==ด π2211≈,.11399.551,40×)010(ห,0น00้า,ล01กู02บ01า)ศก์เซนติเมตร 294 = 6x2
ป1)รมิ าพตื้นรท1ี่ผ,0วิ 0ข0อลงกูปบราซิ ศมึ ก์เซนติเ=มตร600 ต=ารา1งนวิ้ ลติ ร x2 = 2964
.2 ตารางนิว้ ปรมิ าต=รไมก้7ร,0ะ0ด0านฟลตุกู บาศก=์นวิ้ 12 × 12 × 1 x2 = 49
.93 ตารางนิว้ ( )2. นดปใดดสร่นัังงังั ่นแ1นนนิมค.บํ้าน้ัั้นั้นาือใตบนแจ4ดปฝร.ะลรงัตปปปป2ขกึไนมิะ เู้รรรรดอห ทั้นากมิมิิมิม้งตดัา่ าขาาาากรทรตตตต้ันปแปจขับแี ่ ะผรรรรรรอบ9กทมิขนขนมิ ่นงนั ้โ(าํทออ34าา้าํ้ําไหจไไตตใใมงงรทดมนนนขรรคขง้มยก้้ากอแขตต้ัน1อีค ป์รอผรง1ูู้้ปบนวะขัญะตง่น2าดลันกบทั้น0ู้มไหาาไรอร)มยนเาดีตงก==ท้เาไกกทวดา่3ร่ียก่ใี้ะ1ขชว5ับ==34บ0ก้นั,ท้ 712อฟับ×าํ4255กข=พ====π3ตุ40,0ท72.นั้rืน้1,2ั้ง50บ4hหท0=====พ331ล0aนัมี่ผ12,,20ูก้นื41×ไbลดิวบด55×ท11157แกู 16220า42เฐ่ีลบทล,6ศ0401าะ×ูกาา่==แกน5×ป×ศลลกบผ12น์รกููกกบั×า828น่ิมว้ิศล41ลบบ์น×าค2กูกูก3×าา×ว้ิต.วศศ์หบบ,543ร4=3า46นาากกข5ม.ศศ8aว่1อ์นน์62สกก4ยงb1วิ้ิ้วงูaน์์นท2ล2้วิิว้ร0bูกงลบกนกู ราว้ิบศะาบกศอ์นกกวิ้์หนว่ ย
≈≈ 1660.23.88 เซนตลิเูกมบตารศกห์ นว่ ย ปริมาปตรริม2า1ต,ร1ข95อ,ง0ป00รซิ ลมึ กู บาศกเ์=ซนต5เิ4ม0ตร ล=กู บา2ศ1ก,11์น,90ว้ิ50,0000 x =7
10 5) ดปังรนมิ ้นัาตรทขรองงกทรระงบกอรกะบมอคี กวามส=ูงปรπะrม2hาณ 16.3 เซนติเมตร
4) เส้นผา่ นศนู ย์กลางถงั น้าํ ยาว ≈1.23.14เม×ต9ร2 × 6 2) พ้นื ท่ผี ิวของปริซมึ = 124 ต=ารา2ง1เซ,1น9ต5ิเมลตติ รร ดงั นัน้ ลูกบาศก์มีความยาวด้านละ 7 เซนติเมตร
ะมีความยาว
รัศมขี องถงั นา้ํ ยาว ≈=3.1π4r)2h(ห≈น1้า2.121,5121=6) .004.6 เลมูกตบราศก์หนว่ ย 4. ดังนน้ัปรมิ ถาังตนรํา้ นขอ้จี ุนงป้ําไรดิซ้ปมึ ระมาณ=21,17925 ลิตลรูกบาศก์เซนติเมตร ( )3) ปริมาตรของปริซมึ ฐานสามเหลย่ี ม = พ้ืนที่ฐาน × ความสูง
แสดปงรวิมธาที ตำาร (ขกอาำ งหถนงั ดน ํ้าπ จถ3ะัง)มนีร้ําปพมัศร้ืนเีมมิสที น้า่ีผตผิวรา่ ขขนออศงงูนปปยรร์ก1ิซิซ2ล6ึมึมาง= 16= น้ิว194.94 = 12 × 3 × 5.5 × 14
2. 1) ความยาวเส้นร0อ.9บฐา≈น 3=.142×πr0.6 × 0.6 × h 8= น้ิว185.193 ตารางหลา = 115.5
ลกู บาศก์หลา
0.913≈2 1≈.13204×h3.14 × r ดจร54ะะ))งั ดไนดับัน้พปพ้ นรนื้้นื ้าํมิ ปปททสารรีผ่ีผู่งติมมิขิววิ รึน้าาขขขตตอออรรงง1นขงทท0ทอาํ้ รรใงรนงงนงนกกถกาํ้ ิ้วทรรงัรตะะีเ่ะพบบอ้บ่ิมงอออเขกกพกน้ึ ่ิมข≈≈น้ึ === 223,,.87400146600479369×.....68026298ล×กู ลบ8ูกาบ×ตลตศาูกาาก1ศรรบ0น์ กาาวิ้างงน์ ศเเว้ิซมกนต์เมตรติเมรตร
ปรมิ าตรของทรงกระบอก = 1,727 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร ดังนั้น ปรซิ ึมมปี รมิ าตร 115.5 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร
4) ปรมิ าตรของปริซมึ สี่เหล่ยี มผนื ผ้า = 4 × 8 × 12

= 384 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร
ดังน้ัน ปรซิ มึ มีปรมิ าตร 384 ลกู บาศก์เซนติเมตร
พิเศษ

27 สุดยอดคู่มือครู
5) เดรปดสศั ังรงั น้ นนมมิ ผ้นันั้ีขาา่ตอนรงถแศขตงัทนูอปู้ นง่งยลา้ํแแก์ามกทลีค้วง่ าhhวมแง1ากขปี 3มอว้ร≈≈2rสงมิ งูตาปูป้ต0≈≈=≈≈1รล.ร.8ะ01ปาม.3ร96π1361า0ะ..3.rณ==342122ม2284h8เ,ามr9ณ0×35ต5.285552ร≈.110เ34ม×เ=2ซ2ต,29น1ร132ต5ล7×ิเน.ม.กู05ิ้ว9ต4บ6ราเลศซูกกนบน์ตาว้ิเิ ศมกต์นรว้ิ 3. ใหฐ้ านดขงัอนง้ันแท็งปกร์นิมา้าํ ตยราขวอดง้าทนรลงะกระaบอกเมทง้ัตหรมดเทา่ กับ 12.56a2b ลกู บาศกห์ น่วย
ปริมาตรของแทง็ ก์นา้ํ = พื้นที่ฐาน × ความสูง

ระดับนา้ํ สงู 30 เซนตเิ มตร 16 = (a × a) × 4
16 = 4a2

พเิ ศษ

สุดยอดคู่มือครู 28
5) เนอื่ งจาก พน้ื ทผี่ ิวข้างของทรงกระบอก = 2πrh (1) 9()3) ใพหน้ื ้ ทxผ่ี วิ ขแอทงนทดรงา้ นกรตะรบงอขกา้ มมมุ=ฉา2กπขrอ2 ง+ฐ2านπrh หน่วยดกงั นา้นัรเรพีย้ืนนทผ่ีรวิทู้ ข่ี อ4งถงั ควา≈มเ1ท5่า3ก.8นั6ท+ุก8ป79ร.2ะการ 32. จใชาก้ รปูะดทาก่ี ษาำ ลหอนกดล ตายอเบขคียนาำ ถราูปมใตห่อ้เทไป่ากนันี้ (หทนุกา้ป1ร3ะ0ก)ารกับรปู ทกี่ ำาหนด (หน้า 129) 3. กำาหนดรู
จะได้ x2 = 32 ≈+ 4210,300.77 + 17,549.46 เท่ากนั ทุ
เสน้ ผา่ นศูนย์กลางของฐาน = 2r 1. ความเท่ากันทปุกรปิมราะตกราขรองถงั ≈ 1,033.06 ตารางเมตร 1) APQQ^O^RC 2) 2AQ) OP^Bและ QR ด้านคู่ที่
ดังน้ัน r = 122.4 = πr2h 31)) 4)
= 9 +≈1627,850.23 ตารางเซนติเมตร 5) 1) OPMM^P^PO^
= 6.2 เซนตเิ มตร (4) ปรมิ าตรของทรงxก2ระบ=อก25= πr2h 6) ใช่ PM
1.1 ความเท่ากนั ทุกประการของสว่ ≈นขอ3ง.เ1ส4น้ ×ตร7ง× 7 × 20 PO
แทนค่า r = 6.2 และ h = 25 ในสมการ (1) จะได้ x = 5 ≈ 3.14 × 40.5 × 40.5 × 69 นา่ คดิ -นา่ ลอง (หน้า 127) 7) ใช่ 8) OBO^C MO
≈ 3,077.2 ลกู บาศก์เมตร 9) OA 10)
พ้ืนทผี่ ิวขา้ งทรงกระบอก ≈ 2 × 3.14 × 6.2 × 25 นั่นคอื พน้ื ที่ผิวข้างของปริซ≈มึ 35=5,37(36.×5655) +ล(5กู บ×าศ5)ก+เ์ ซน(4ต×ิเม5ต)ร ••1.2 คคกดขวงงัาแแนมลลเัน้ ะทะา่ชจกแพซฉนัลน้ื ยยทะทาปาุกว่ีผวรปเเิวทมิทรขา่าะ่าอกตกกงนันัราถรขังขอรององถงมังนุมรํ้าอฝงนนปํา้ ฝระนมปารณะมา1ณ,0333.,00677.ต2ารลาูกงเบมาตศรกเ์ มตร 2) LOKK^O^^LKL
8) เน่ืองจาก 262 = 676, 242 = 576=, 10125=+ 12050+ 20 KO
≈ 973.4 ตารางเซนติเมตร 4. ถา้ AB ตดั กบั MN ทจ่ี ุด O OL
จะได้ 262 = 242 + 102 = 60 ตารางฟุต LK
ดงั นน้ั พ้นื ทีผ่ ิวข้างทรงกระบอกประมาณ 973.4 ตารางเซนตเิ มตร ตอบคาำ ถามต่อไปนี้ (หน้า 130)
6) พ้ืนทผี่ ิวของทรงกระบอก = 2πr2 + 2πrh ( () ( ) )พพแสืน้้นื ดททดงผ่ีฐี่ังวานิว่านข้ันท้าแปงัง้ 6ลรสพปพ7ิซะอรื้นื้น6สมึงมิ ททงูมา=ฐี่ี่ผ2ีฐตา4าิวรนน===5ขเขมเ7ทอปอ6ตัง้งน็ง(22สร2ป+ป4ร×4อร0ูปร1งิซ×ิซส0มึ210ึมาต0ม.×า2เรห)า1ลง+0เีย่ ม×(=====ม2ต6ม2ร4ุม×2พ61ฉ21020้ืน×า.ก+×2ท)ต่ีฐม1214+าา2ฐี รน××(าา1น=ง×034ยฟ××คา7ตุ×วว2031า5.2ม0ต)สเามรูงตางรฟุต 3) ACBCA^^B^A
= 4.8 + 5.2 + 2= 30 ลูกบาศกฟ์ ุต แบบฝึกหดั ที่ 1 (หน้า 128-130) 13)) AA18OO^^0MNองศ==า MNO^O^BB 2) 41) 80 องศา AB
ดังนั้น พืน้ ทผี่ ิว=ของ1ป2ริซึมเทา่ กับ 72 ตารางฟุต และปริมาตรของปรซิ ึม 3) BC
≈ (2 × 3.14 × 12 × 12) + (2 × 3.14 × 12 × 16) 1. ใชก้ ระดาษลอกลายรปู แลว้ นาำ ไปซอ้ นกนั แลว้ บอกวา่ รปู คใู่ ดเทา่ กนั ทกุ ประการ CA

≈ 904.32 + 1,205.76 (หนา้ 128) 1.3 ความเท่ากันทกุ ประการของรูปสามเหลีย่ ม

≈ 2,110.08 ตารางเซนติเมตร แบบฝึกหดั ที่ 2 (หนา้ 133-134)
1. กาำ หนด AB, CD และ EF ตัดกันที่จดุ O เขยี นมุมท่มี ขี นาดเท่ากับมมุ ท่กี ำาหนด
ดงั นนั้ พืน้ ทผี่ ิวของทรงกระบอกประมาณ 2,110.08 ตารางเซนติเมตร 1) A และ D เทา่ กนั ทกุ ประการ

7) เสน้ ผ่านศูนยก์ ลางฐานของทรงกระบอก = 81 เซนติเมตร 32451(5ห))))))น้าAEAFAOO1^OOO^^^^3DDEC3F)
= 821 = 40.5 เซนตเิ มตร
รัศมีของทรงกระบอก 2) A = CDCEFOO^OOO^^^^BBFEB
=
(1) พนื้ ท่ีฐานของทรงกระบอก = πr2 ดงั นัน้ พ้ืนทเทผี่ า่ิวกทบัั้งหม30ด ลูกบ=าศ2ก4์ฟ0ุต+ 12 และ C เทา่ กนั ทกุ ประการ = 6)
≈ 3.14 × 40.5 × 40.5 =
=
≈ 5,150.385 ตารางเซนติเมตร 10) เส้นผา่ นศนู ย์กลางถงั == 25124 เมตารรางเมตร 3) B และ D เท่ากันทุกประการ
พ12=1้ืน24×ท่ฐี π1า=0rน2××72ค4วเาม×มต0สร.ูง2
พื้นที่ฐานท้งั สอง ≈ 2 × 5,150.385 ( )ปรมิ จาะตมรรีขศัอมงปี ริซึม==

≈ 10,300.77 ตารางเซนตเิ มตร จะได้ พ้ืนท่ฐี านของถัง= 2. กำาหนด RPQ UST เขยี นดา้ นคู่ท่ีสมนัยกันและมุมคู่ที่สมนัยกัน
(2) พื้นทีผ่ วิ ข้างของทรงกระบอก = 2πrh
≈ 2 × 3.14 × 40.5 × 69 = 24≈ 3.1ล4ูกบ×า7ศ2ก์เมตร 4) B และ C เทา่ กนั ทุกประการ QR(PหQ^P^R^นQRP้า 13===3) TUS^T^US^UTS
ดังนน้ั พน้ื ทผ่ี วิ ของปริซึมเทา่ กับ 2≈52 1ต5า3ร.า8ง6เมตตารรแางลเะมปตรริมาตรของปรซิ ึม
≈ 17,549.46 ตารางเซนติเมตร หนว่ แยลกะเาทรา่ กเพับร้นื ยี ท2น4ี่ผวิรลขทูู้กา้ บง่ี า4ศก์เมตคร=วาม2เπทrhา่ กันทุกประการ RP = US
2. ใชก้ ระดาษลอกลายเขยี นรปู ให้เท่ากนั ทุกประการกับรูปทก่ี ำาหนด (หนา้ 129) PQ = ST
(1) (3) พ้ืนท่ีผิวของทรงกระบอก = 2πr2 + 2πrh QR = TU
≈ 10,300.77 + 17,549.46 1. ความเท่ากนั ทุกประการ ≈ 2 × 3.14 × 7 × 20 1) 2)
ตเิ มตร ≈ 879.2 ตารางเมตร 3. จากรปู ทีก่ ำาหนด ตอบคำาถามต่อไปน ้ี (หนา้ 130) 3. กาำ หนดรูปสามเหลย่ี มสองรปู เทา่ กนั ทุกประการ เขยี นชอ่ื รปู สามเหลีย่ มที่
5 9) จใ(หะ4้ไ)ดxป้ รมิ แาทตนรขดอ้างนxท2ตรรงงก=ขร้าะมบ3มอ2 กุม+ฉ4า2ก=≈ขอπ2ง7rฐ2,า8hน50.23 ตารางเซนตเิ มตร
เิ มตร 1.1ด คังวนา้นั มเทพา่ ้ืนกันทที่ผุกิวขปอระงกถางั รของส≈ว่ นข1อ53งเ.8ส6น้ ต+ร8ง79.2 1) APQQ^O^RC 2) QAOP^Bและ QR เทา่ กันทกุ ประการ โดยใช้สญั ลกั ษณ์ พรอ้ มเขียนแสดงมมุ ค่ทู ส่ี มนัยกันและ
ตเิ มตร นา่ คดิ -น่าลอง (หนา้ 127) 3) 4)
4 × 12 × 16) 8) นเจน่ันะ่ือคไดงอื จ้ ากพ้ืนท6227่ีผ66622วิ xขx2===้างข562===อ774ง662ป,+529+ร521+ิซ1400มึ21206=≈≈=573365.(,13541,×30×72564).=05+.6515(×500×4ล05ูก.5)บ×+าศ6(ก49์เซ×น5ต)ิเมตร ≈ 1,033.06 ตารางเมตร 5) ดา้ นคูท่ ี่สมนยั กันมขี นาดเทา่ กัน (หนา้ 133-134)
• กข และปจรฉมิ ายตารวขเทอา่ งกถันงั =
เซนตเิ มตร •1.2 คควงาแมลเะทา่ชกซนั ยทาุกวปเทรา่ะกกันารของม≈≈ุม πr2h 6) ใช่ 1) OPMM^P^PO^MMOPO=== MONNMN^O^^MMONO
เซนตเิ มตร 3.14 × 7 ×
3,077.2 7 × 20 7) ใช่ 8) OBO^C
ิเมตร ลกู บาศกเ์ มตร 9) OA 10) 4)
เิ มตร 1แ.บ บ(ใหฝชนก้กึ ดรา้หงั ะดั1นด2ท้นั า8่ ีษ)1ล พแ(อหลื้นกะนทลป้า่ีผา รย1ิวิมร2ขาปู 8อต -แง1รถล3ขงัว้0อรน)งอาำถงไังปนรซํ้าอฝอ้งนนนปาํ้กฝรนั ะน แมปลารว้ณะบมอา1กณ,0ว3า่ ร33ปู.,00ค67ใู่7ด.ต2เทารา่ลากกูงนั เบมทาตกุศรปกรเ์ มะกตารร 4. ถ3้า ) AB ตัดกบั MN ทีจ่ ุด O
69 ตอบคำาถามตอ่ ไปน้ี (หน้า 130) PM = NM
นติเมตร แสดงวา่ ปรซิ มึ มฐี านเป็นรูปสามเ=หลย่ี 1ม5ม+มุ ฉ2า5ก+ม2ีฐา0นยาว 10 เมตร
= 60 ตารางฟตุ 1) AA18OO^^0NMองศ==า NMO^O^BB 2) 180 องศา PO = NO
และสงู 24 เมตร 3)
12 × 4 × 3 MO = MO
( () )พื้นทีฐ่ านพทื้น้ังทสีฐ่อางนท้ัง=สอง2 × ตารางฟตุ
= 240
12ต×าร==า1ง0เม×21ต2×2ร4 1) A และ D เท่ากันทุกประการ 1.3 ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลยี่ ม 2) LOKK^O^^LKOLKOL NOMNMO^N^^OMNOM

ดพังื้นทั้น่ีผวิ พข้าืนงทีผ่ ิวของ=ปริซ(2มึ 4 × 0.2=) + (6206+× 102.2)=+ (7120 ×ตา0ร.2า)งฟุต 2) A แบบฝึกหดั ท ่ี 2 (หน้า 133-134) =
=
( )ปรมิ าตรของ=ปริซ4มึ.8 + 5.2=+ 2พ้ืนที่ฐาน × ความสงู และ C เท่ากนั ทกุ ประการ 1. ก5าำ ห) นด AB, CD และ EF ตัดกนั ที่จดุ O เ6ข)ียนมมุ ทีม่ ขี นาดเทา่ กบั มมุ ทีก่ ำาหนด =
= 12 = +321012×ล4กู ×บา3ศก×์ฟ5ุต 4235(1ห))))) นา้AEFAAOO1^OOO^^^^3DDEC3F)
ดังนัน้ พน้ื ท่ีผวิ ทั้งหมด = 2=40 = DECCFOO^OOO^^^^BBFBE KO = NO
=
ดังนนั้ พน้ื ที่ผวิ ของปรซิ มึ เท=่ากับ25272 ตตารารางางฟเมตุ ตแรละปริมาตรของปริซมึ 3) B และ D เท่ากนั ทุกประการ = OL = OM
4) B และ C เทา่ กันทกุ ประการ =
( )10) เสปน้รมิผาา่ ตนรเศขทูนอ่างกยปบั์กรลิซ3ามึ ง0ถงัลูกบ=าศก==1์ฟ4ุตพ21เ้ืนม×ทต่ีฐร1า0น××2ค4วา×ม0ส.งู 2 = LK = MN
จจดะะงัไมนดรี ้นั้ศั มพเพี ทน้ื้นื ่าททกบัี่ผี่ฐาิวนข24อขงอปลงรูกถิซบังมึ า=ศเทกา่=์เก≈=1ม2บั4ต2ร3π24=5.r12247ต×าลร7ูกเาม2บงตเามศรตกรเ์ มแตลระปรมิ าตรของปรซิ ึม
2. กาำ หนด RPQ UST เขียนดา้ นคู่ทสี่ มนยั กนั และมุมค่ทู ่ีสมนยั กนั 3) BACCA^^B^AACBBC=== ZXYZY^ZX^^YXYZX
Q(RPหQ^P^R^นQRPา้ 133) AB = ZY
และ พื้นที่ผวิ ขา้ ง ≈ 153.86 ตารางเมตร = TSU^T^US^UTS RP = US BC = YX
= 2πrh = PQ = ST CA = XZ
= QR = TU
≈ 2 × 3.14 × 7 × 20

≈ 879.2 ตารางเมตร

4) BADD^A^B^DADBAB=== DCBBC^^^DBCDBCD 5.4) (หNนKา้ =14L1M) , KM = MK และ NM^ K = LK^M 8. 2(ห.2น ร้าปู 1ส4า2ม) เหลยี่ มสองรูปทม่ี ีความสมั พนั ธ์แบบ มุม-ดา้ น-มมุ (ม.ด.ม.) 4. ตพก(หาำอ้ิสนหงจู า้นพ11น1ด098761ิส์ 4))))))ใูจ43216หน)))))MMMNWN้ ์วDMW่าDDDDNNNN^^^^A^^AAAB^W^^OWLC/=A/BACC===KL-=B+=+=PLKPCMCKCCL^^CCL^BL^N^B^ONA^^AB^DPALDBBแ=Bล=ะAK(CD^CDL^BA^PA^DCB-(K((((+มมดสM+LK=^ม((มุุมา้ DCกกN^^นPLบตแD^BาำาำA^WขNยัตรหห-^BAอBงง้ิกนนAKงข-มา=ดดรLา้^รีขM(ปู(มใใDสเสนNหหทสขมNAม^า^้))้่าเี่อ=ดบหบกBLงเัตลนััตรPทแ=กิย่ีปู^)ิกLา่ลามกWสาOะรรนัเ่ีดเ)หCNบ^ท)้าล^วBOนา่ กี่ยกDขแันม)น+ลขดาะอนDา้ งน)^BกขAานร=าบนวC)ก^B)A) 8. (หนา้ 1
DA = BC 5) ตกจZาำอ้ ะหWงไนพด=ดิส้ ใจูYหนNX้ ์วM,่าKWAXBACD=DCLXKเWปM็นรแCูปลสBะีเ่AZหW^ลีย่ Xม=ผืนYผX^้าWAC เป็นเสน้ ทแยงมมุ 1231แ90...บ.. บตพก(ก(จ(พต(ตพตพพกกก(หหหฝหหาำาำาอ้าำาำำาิสสิ้ออ้อ้สิิสสินนนกกึหหนนหหหงงจููจงงูจูจูจา้า้้ารหนนพ้า้าพนนนพพนนนนนูปดั111ดด11สิดดดิสิสิส์์์์์ท44444ทใใจูใใใูจจูจู44332211433224666111ีก่2หห2หหห ี่นนนน))))))))))))))))))))))4าำ้้้้้์วว์์วว์NBNห ่าา่่าา่(AMBMANWRMXMXNAนO^หMM^MDOWOWW^DB^MBMMWด^นOO^YRR^D^=ODMMWBNDONNX=้า==YORXพ==O=W== APYRXO===O1WYิสNB==P==WNRPZR=ZAO4YูจNODCCPW,NYM6PZORนYเB^MWเปDB-^^ปY^^PO1ว์R^^WCน็DOBน็OW4า่O^WBZONร7รRแ===RYYDปูN=,)ปูPRลOZBWสMMC8สP4OะO9WW่ีเD02ีเ่O0PหOหAWAำำลำแลB^=ย่ีลย่ี Dมะม(((((((((ROดกดมกกดด((((((((ผM=OกมดกกกมมำาำาำาXา้าุ้ม..นืมมBหหหเนนาำาำาำำามุ้า..ขปWOB^ดดผหหหหแน..Dนนนรตตดดอ็นA..ล^้าPนนนนว่รดดดCมมรงร..=จม่ว))ะแงดดดดรCใงใใ..=ุดม))ข)หหหูปลขZใใใใOกา้หห)หหMา้้)้))้ะสYมNม่ึง้)้)้))้่เี Oกขห^Pแม=อลลOลขีเงปา่ียะOนรงน็มXขาูปWจดผอสW^ดุเนืงเี่ทหกผYP่าล่งึ า้Rกก=ีย่)ัน)ลมZ)าผYง^นืขWอผง้า)PR กาำ หนด
AB = CD พจิสะจู ไดน้ ์ 21Z)) WAAXDD^C==CYCBXB^WA = (ด้านตรงขา้ มของรูปส่ีเหลีย่ มผนื ผา้ ) ตอ้ งพิสู
BD = DB 2. (หนา้ 141) A3)B =DCDE=, ABAC = DF 90 ำ (มุมของรปู สเ่ี หลี่ยมผนื ผ้า) พต้อสิ งจู พนสิ ์ จู 3214532น))))์ว่าAABMMMMA^BB^OOOO^^^DAD=P=NNB==AMD==BBPAMMMA^B^P^OC^P^CONPBA=CM^PN(((สกก(((+กกกมำาำาหหาำาำาำMบหหหนนัต^PนนนดดกิOดดดใใาหหใใใร=หหห้)้)บ้))้้)1ว8ก0) ำ (ขนาดของมุมตรง) พสิ จู น์
กำาหนดให้ และ BA^(Cดา้ =นตEรD^งFขา้ มของรปู สี่เหล่ยี มผนื ผา้ )
5) NKMNM^K^K^MNKNM=== MNLN^LM^L^NMNLM ต้องพสิ จู นว์ 4า่ ) AABCDC DECFBA (ด.ม.ด.) 9. (หนา้ 1
KN = LN 6.พิส(กูจหำานนห์ ้าน211ด))4ใ2หBA)้ A^BC=A=DBEECD^DFเปน็ รปู ส((กกเี่ หาำำาหหลนนย่ี ดดมใใดหหา้ )้้)นขนาน AD = BC และ CA^ D = BC^A กำาหนด
KM = LM 12)5) WABNO= AB PLO (ม(.ดด.า้ มน.ร)่วม) ตอ้ งพิสู
NM = NM 13)6)WOB=APDO ABC (ด(า้ มน.ทด่สี.มม.น) ยั กันของรูปสามเหลีย่ ม พสิ จู น์
ตอ้ งพ3ิส) จู Aนว์C่า= DCFAD BC(กAำาหนดให้) 7. 5.ตก(หำาอ้ พ(กตนหหงำา้อ้าิสนพนหงจู1ดิสา้นพน4ใูจ1ดสิ7ห์น4)ใูจ้17ว์หน))่า้ ์วWAา่BDTA1^X)=BDเABป=CD็นWA,รAูปTB^สZD^CาBAมเB=หCลBXี่ยCT^มทYAหเ่ี (ทนกแ่าา้ลำากจหะัน่ัวนBทแดAุก^ลใปหะDร)้ Xะ=Wก^AารZB^ม=CีคWวาX^มยYาวเท่ากนั )
พสิ จู น4)์ ACABAD^CD= =BCBDC^EAF (ด.ม.ด.)(กาำ หนดให)้
3. (หนา้ 141) 1) (กาำ หนดให)้
2)
7.พกตาำอ้สิ ห(งจูหนพนนดสิ ์ ้าใจู 21ห1น))้4์วD432่าDD))O)OO^=ADC=COBC=BOCA=OBDแOA^ลACะ BCOOBAC=A(กAำาOหนดใ((ดดหา้.)้ มน.รดว่ .ม) )
2. ความเทา่ กันทกุ ประการของรปู สามเหลย่ี มสองรปู ทีม่ คี วามสมั พันธ์แบบตา่ ง ๆ (มุมตรงขา้ มของเส้นตดั มีขนาดเทา่ กัน) พิสูจน์ 1)32))ZT^AAW2DD^)B==W=YBT^ZCBXC^=AXY (กาำ หนดให้)
(มุมตร(งกขาำ ้าหมนมดีขในหา)้ ดเทา่ กัน)
2.1 รูปสามเหล่ยี มสองรูปทีม่ คี วามสมั พนั ธแ์ บบ ดา้ น-มมุ -ดา้ น (ด.ม.ด.) กาำ หน3ด) ใหC้ OBD==ABOE และ AB(ก=าำ หCนBดให)้ 6. ด(กหาำ้านหนา้นMด125344ใ))))L4ห7)แ)้WXXXลWWW^^^TะดKZTZB=า้LA==-นXMDXTWWNNWK^XX^^เ,ปTTY็นNA=รLปูBWสCแX่เี^ล(((หมดกะYลมุา้ำานยี่หWท-ปมนฐ่ี PWราด(ดมนะา้ใX^กตข.นหดออTดัข้).งบมนกรม.าันปู )นมุ สทย(าจจี่สมอุดดุมเดหPบขOลัตอแย่ี งิกลมระาหปู รจนสเดุ ทา้าจม่าWวั่กเหมันเขลีปนยี่็นามจดหดุ เทนกา่า้ึ่งกจกนัวั่ล))าง
แบบฝกึ หัดท ี่ 3 (หน้า 140-142)
1. จากรปู สามเหลย่ี มสองรปู ทก่ี าำ หนดในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน ้ีมขี อ้ ใดบา้ งทรี่ ปู สามเหลยี่ ม ต้องพ4ิส) จู นว์Dา่ OACD = CBEOA (ด.ม.ด.)
4. (หนพ้าสิ 1ูจ4น1์) 1) =AAD^BBBD=แ=CลBCะ B^CEB^A (กาำ หนดให้)
สองรูปเทา่ กันทุกประการแบบ ดา้ น-มุม-ด้าน พรอ้ มเขียนสัญลกั ษณ์แสดงดา้ นคู่ กาำ หนดให้ C2)B = DB^A (มุมรว่ ม)
1ท)สี่ มAนBยั ก=ันDยEาว,เทC่าBกนั= 2F Dคู ่ แแลละะมAุมคC^ู่ทB่ีส=มนE^Fยั กDนั มขี นาดเทา่ กนั 1 ค ู่ (หน้า 140)
ต้องพิสูจน์ว3่า) BCDBA= BE DBA (กาำ หนดให)้ พตอ้ิสงจู พน6ิส์ )จู 21น))Tว์ Wา่^NNWZKW^O=/O/ TM==X^PLLYO^PO W(X((XW^ดม^Yุมา้Zนแ--ขยWอ้งXงมXW^ร^ีขูปTTนสาี่เ=ข=ดหอเลTTทงยี่WX^กา่^มกาYZรันด)บ)า้แนวลกขะ)นาน)
พิสูจน์ 45CC)) BB^A=DA=DB=BDDB^CAE CBE(กำาหนดใ(ดห.้)ม.ด.)
จะได้ ABC และ EFD ไม่เทา่ กนั ทกุ ประการ 1) (กาำ หนดใ(ดหา้)นค่ทู ่ีสมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม
2)
2) US = ZY, ST = XY และ UST = ZYX (ด้านร่วมท)เี่ ทา่ กนั ทกุ ประการ จะมคี วามยาวเทา่ กนั ) 46) AMBODN BMAPCW (ด(ม.ม.ด.ด.ม.).)
3) AB = AB
พ(ตก(ก345(ตกหหห)าำำา))อ้าำ้อสิ นนนหหหงงจู า้้าHจจ้าจNนนZจพนพนะะะะ11W1ดดดGสิKิส์ไไไไ444ใใใจููจดดดด4321=121หหห==นน้้้้)))))))้้้ L์วว์AJYา่G่าMUNZDAAXBHAAWS,MCDD^A,,G=TABBAGCXDKKWI==DCCBIDMC=XBECCDD=CA,CB==GเเZAJปปB^YLMIXGYC็น็นKXACXWIแKรรMDW=CลBปูปู=EะDแAสสBแF9ลี่เ่ีเHFลA0หหะะGแลลำ NZลIี่ยย่ี MWะ=ม^ม^((((BดผดJดมดXKAG^้าืน้าาุ้ม.น=ม=นนผCIขข.ตตLา้ดYอน=รรK^งX.^A)างงรEMนWCขขปู D^า้า้ สAมเมFปีเ่ Dขขห็นออล=เงงสยี่ รรBน้มูปปู Cทผสสแืนแ่ีเีเ่ หหยผลลลงะา้ มย่ี่ยี)CุมมมA^ผผืนืนDผผ=า้้า))BC^A (หน้า 1467)) MN = MW (ด้านคู่ที่สมนัยกนั ของรูปสามเหลี่ยม 7)3) WNKTZ= MLXTY (ม(.ดด.า้ มน.ต) รงข้ามของรปู สีเ่ หลี่ยมดา้ นขนาน)
5. 82..2( หรนปู ้าส4า1)ม42เห) ลC่ียBมAสองรDปู BทAี่มคี ว(าดม.มส.มัดพ.) นั ธ์แบบ มุม-ด้าน-มมุ (ม.ด.ม.) 4. กำาหนดให้ DA^C = C^BD CA^Bท=เ่ี ทD่า^BกAันทุกประการ จะมีความยาวเทา่ กัน) 8)4)WNZW= X=YWK (ด(า้ Wนทเส่ีปมน็ นจัยดุ กกันงึ่ กขลอางงรปู NสKา)มเหล่ียมทีเ่ ทา่ กัน
62.. แบบฝกึ กหาำ หดั นทด่ี 4ใ ห(้หนM้า 1N4P6R-1เ4ป7็น)รูปสีเ่ หลย่ี มผืนผ้า และ O เป็นจดุ กึ่งกลางของ PR และ
(หนตา้ อ้ 1ง4พ6ิส)ูจนว์ ่า MRO NPO (หนา้ 147)5) LP = PM ทุก(Pปรเปะกน็ าจรดุ มกขี ึง่ นกาลดางเทM่ากLัน))
1. พจาสิ กพูจรนสิ ปู จู์ทน321ีก่ ์)))ำา3241ห))))ABAนD^DB^ดRMMDB=OพM^RR==ิสBO=R=จูDCCO=PนNDB^^O์วNPDBา่ ^P==ONB84=PD02OA9ำำ 0 ำ (((กดก((((BOดมดาำำา้าหหนD้าุม.มเนนนรขCป.่วตดดดอ็นมรง.ใใจ)งรหห)ดุขปู ้)้)ก้าสมึ่งเี่ กขหอลลงา่ยี รงมขูปผอสนืงเ่ี หผPล้าR่ยี))มผืนผา้ ) 5. ตพ(กหาำ้อิสนหงูจา้นพน11111ดสิ ์098723614ใูจ))))))))4326517หน)))))))้ ว์MMMNWWNAา่DDDADMWWDNNNON^^^^^AAAB^B^^BWOWNL=A/==BACCA/=O=B=BDKPL-+==+=ACCOPLKPMCKCCCB,L^^L^BLA^^^AABN^^ONADPBBPDL^ALBB==BOA(C=KCDD^^BLAB^DPCC^-+A(K((((((+มมดดสMม((((LK^DCมกดกมแุมมุ้าา้.ดN^^นนPL^Bลำาำาบา้.Aตแ^ด.หหนWขทNะมAยตัร-B.อนนร่สีงม.้งิกB)K่วง=ข-ดดมม.าAร^ม)L้า^(รใใขีนDM(ปูสมหห)สเนDNยัทAมส^ขม้))้Nา^กา่ีเ่อบB==ดบหกLันงตัเตัลแนัAรPขท=กิิกลียู่ป^)อLา่B^าาะมกWสงOรรCรนั่เีดCบเ)หNปู^ท)า้^วBลสOน่ากDกยี่าข)มแนัม+นลเขดาหDะอนา้ ล^Bงน)ี่ยกAขมานร=าบนCว)^BกA) ) 8. กำาหนดให้ ABCD เปน็ รูปสเ่ี หล่ยี มจตั รุ สั มี AB^X = CB^Y

พตอ้สิ งจู พนิส์ จู 1น)ว์ า่XBA^XB==BYYC^B = 90 ำ (มุมของรปู สเี่ หลยี่ มจตั รุ ัส)
2) AABB^X= =CBCB^Y (ด้านของรูปสี่เหล่ยี มมุมฉาก)
2. 190ตพ(ก(กตพ..หหำาำาอ้้อิสิสนนหห(ตพพตก(กงงจููจหหา้้านนพพำาาำอ้อ้นนิสิสนนหห11ดดงงิสิสูจจู์์้าา้44นนพพใใูจูจนน44332211661หห1ดดิสสินน์์))))))))))44้้ใใูจจู์วว์BN43542321122หหนน่าา่)))))))))AMAMBN))A^้้Mว์์วN^A^BB^BMMOO่า่า^WMMXMXNMD^OODMADDNM=WOWWOWOO^YOOO=^=^^=ABO==WNN=AX==YPX=DNN=R==WANWYBXBWYAOR==M=B^WPZW==ZA^YOB^P,R^^CYPMMZYCMMMเO^CWBOปY^WRแP^ROBOD^็นP^W,RลOZOAMรCNP=ะYOYWปู CZ=WOMAWสW่เีB^PMห=Dแล^PRลยี่((((((((N=Oกมกกกกมมะม((((((((ดกสกกกกดาำำาาำำาาำมุ..+BดดMหหหหหแมาำำาำาาำาำX้า.ตมหหหหหA..นล^นนนนนMบมมWO^ร.นนนนนระดดดดดดัตCง..^PP่ว))ดดดดดข.ใใใใใOิก=Oม)หหหหหใใใใใ้า=าNห)หหหหมZร)้)้้)้))้=M)้้))้้))้บมY=1วขี ^Pแ8กOนOล0)าWะดำ Xเ(ทขW^า่นกาYันด)=ขอZงY^มมุWตรง) 3) (กาำ หนดให้)
3.
พตพอ้ิสสิ งูจูจพนนสิ ์์ จู 21321น))) ว์ า่ABACAA^CBAD^CCD===A=D=DBDEEFCBD^C^FA BCA(กำาหนดให้) 4) XAB YCB (ม.ด.ม.)
(กำาหน(กดำาใหหน้) ดให้)
(กำาหน(กดำาใหหน)้ ดให)้ 5) BX = BY (ด้านท่ีสมนยั กันของรปู สามเหลยี่ ม

(หพตนอ้สิ ้างจู พ1น4ิส์7จู 1)น) ์ว่าBA^BDA=DAB^CABC ทเ่ี ท่ากนั ทกุ ประการ มขี นาดเท่ากัน)

34) AACB=CAC DEF (ด.ม.(ดด.า้)นรว่ ม) 7. ท่ีเท่ากันทกุ ประการ มคี วามยาวเท่ากัน) 9. (หน้า 147) NM^ LM^ P, NK^P = LK^P
3. (หนา้ 1441) CAD BCA (ด.ม.ด.) (กาำ หนดให้) กำาหนดให้
P =
กต(พพพ(ตตกกหหำา้อาำำา้อ้อิสิสสินนหหหงงงจููจจู า้้านพนนพพนนน11ดดดสิสิสิ ์์์ 44ใใใจูจูจู 4325142321121หหหนนน)))))))))))))้้้ ์์วว์วDCB่า่าา่DDCCCBAAADOBAOOOBDB^^D^BDBA===ADCDCOD=B=====DBOBBC=D==D=BABBCAOCECBDOEBOCBCEแแแB^O^EลB^ลลAAะEะBะCCDOBCABB^OBAOEBAAA===((((((กกกมกดACDำาาำำาาำุม.OBมหหหหตB^.นนนน((((ท(ดรAกดกมดดดดดเี่ง.าำาำทา้มุ.)ขใใใใมหหนา่หหหหร้า.นนกคมว่ด)้้)้)้)นัมดดทู่ข.)อท)ใใีส่ หหงกุมเ)้้)ปสน้นรยั ะตกกดัันามขรีขอจนงะรามดปู คี เสทวาา่ามมกเนัยหา)ลวีย่ เทมา่ กนั ) ตกาำอ้ หงนพดิสใูจหน32้ ์ว))่าWAATDD^1X)B=เ=ปBน็CBWรC^ูปTAสZามเหลXีย่ TมYห((กกนำาาำ ้าหหจนนั่วดดแใใลหหะ้)้) XW^ Z = WX^Y
7. 6. พพตด(กิสหำาอ้้าสิจู นหนงนจู ้านพนM์ ด1สิ ์5264314ใLจู ))))))43142ห7น)))))แ)้ ว์XWTXXZล่าNNNNT^WWWWะ^^^^TWดWKKWKWB^2ZZTZ=้าLA)O/=นO=M/====-XDM=MWN=XYNTTWWWKTPLX^W^LZL^เXXK^^,ปOXY^PT=TYน็ NOAรX=LูปBYWสCแีเ่ลหX^W(((((ะมดXกมลY((((มุา้ดดมWาำXุมW่ยี^W^นหท-้าุ้ามตมYปZนPนนฐี่เแด(รWปรามด-ขตงย้าน-ะ็นต.อขนใรX^กง้ดWขหจX้าดังงขมออT.มขรุด)้มนXกW^งีขบ^ูปา้มรก.าันนTมม)ปสูTนีขง่ึทามุขส่เีนกดจห=่จียอข=(าลาสุดเมดุลอองดทTามTรเดีย่งPงหเ่าOWปูบX^ทก^ขมกลNแสตัอาา่YนัดยZี่ลรกKงเี่กิ)ม)้าหบะรนัแ)นาหจปูลวร)ลขนุดสก่ียเะนทา้า)มWจมา่าดว่ันกเหมเา้ัน)ปนขลี ็นนย่ีขจามนดดุ หาเกนทน่งึ า)่า้ กกจลนัวั่ า))ง ตพอ้สิ งจู พนสิ ์ จู 1น)์วา่NM^KPL=MLNM^เปPน็ รปู สเี่ หล(่ียกมำาหรปูนวดา่ใวห)้
นั ธ์แบบตา่ ง ๆ 4. 2) NMK^KP==MLKK^P (ด้านรว่ ม)
(ด.ม.ด.) 3) (กำาหนดให)้

ทร่ี ปู สามเหลยี่ ม 4) NMK LMK (ม.ด.ม.)
ษณ์แสดงดา้ นคู่
1 ค่ ู (หนา้ 140) 5) NK = LK (ดา้ นทีส่ มนยั กนั ของรูปสามเหลี่ยม

ทเ่ี ทา่ กันทุกประการ มีขนาดเทา่ กัน)
พิเศษ
6) NM = LM (ด้านทีส่ มนัยกันของรูปสามเหลย่ี ม
29 สุดยอดคู่มือครู
4) 6) ABMDON BAMCPW (ม(ด.ด.ม.ม.ด.).) ท่ีเทา่ กนั ทุกประการ มีขนาดเท่ากนั )

7) MN = MW (ดา้ นคทู่ ส่ี มนยั กันของรปู สามเหลีย่ ม 7) KLMN เป็นรูปสีเ่ หลย่ี มรูปวา่ ว (ดา้ นทอ่ี ยตู่ ดิ กนั มขี นาดเทา่ กนั

3) AB = AB (ดา้ นร่วม) ทเี่ ท่ากันทกุ ประการ จะมีความยาวเท่ากนั ) สองคู่)

4) CBA DBA (ด.ม.ด.) 7)5) LWPT=ZPM XTY (ม(P.ดเ.ปมน็.)จดุ กง่ึ กลาง ML)

8) WZ = XY (ดา้ นท่ีสมนยั กันของรปู สามเหลย่ี มท่ีเท่ากัน

ทกุ ประการ มีขนาดเทา่ กนั )

พเิ ศษ 7. (หนา้ 153) 9. (หนา้ 154)

สุดยอดคู่มือครู 30
2.3 รูปสามเหลย่ี มสองรูปท่ีมคี วามสมั พันธ์แบบ ด้าน-ดา้ น-ดา้ น (ด.ด.ด.) 3) AD =6. BC(ห น ้า 1 53) (AC + CD = AD และ กาำ หนดให้ KLN1,) ตL้อKงMพิสแูจลนะ์ว่า KAODLCเปน็ รูปBสDามCเหลย่ี มหนา้ จัว่ แบบฝึ
แบบฝกึ หัดท่ ี 5 (หนา้ 152-154) กำาห นด ให ้ NOBWDR + เDปCน็ ร=ูป BสCเ่ี ห) ลี่ยมผืนผ้า, NM = OP
1. 1) (หนา้ 152) 4) AF = BEต้องพสิ ูจน ว์ า่ M(กRำาOหนดให)้ PWN ตพอ้สิ งจู พนิส์ จู 1น)์วา่NLK=OKNLพสิ จู นL์ O21))M(AAดDD^า้ นC=ป=รBะDBกD^อCบมมุ ยอดของ((กมรปูำาุมหสฉนาามดกเใ)หหล้)ย่ี มหนา้ จวั่ 1. กำาหนดให้รูปส
ตอ้ งพสิ จู นว์ า่ ABC  FED ตก( หำา้อนหงา้ นพ 1ดิส5ใจู 653หน)))้ ์วา่D MFA N=DNM FOCPPEพ เปิส็นูจB รนCNูป ์EสO4321่ีเ หP)))) ลีย่ MMONม NM^NNร^^ูปRRR((ว=กดา่==+ำา.วOดหNPO.PนดOO^^ดN^.)WใWRห)้ == และมมุ คูท่ สี่ ม
พสิ จู น์ 1) AB = EF (กำาหนดให้) 4. (กาำ หนดให้) 3) ยD่อCม=เทD่ากCนั ) (ด้านร่วม)
1) AC = PR
2) BC = EF (กำาหนดให้) P90O^ำW + NO^W (มมุ ของรปู ส่เี หล่ยี มผนื ผ้า) 2) KL = KM 4) (ดAา้ นDปCระกอบBมDมุ Cยอดของ(ดรปู.มส.าดม.)เหลย่ี มหนา้ จว่ั AB = P
3) AC = DF (กำาหนดให)้ (ขนาดของมุมตรง) NKKK^NOLOKKNLO===32NN=))LLMMOMตพตพO้อ้อสิสิK^งงูจูจLพพMนนLสิสิO์์Kจูจู 44332211MLนน)))))))) ์วว์ ่า่าทย((((((PXMYPXยมดกดดดNM่อXี่เOY^MXม่อาุ้ำาNท..า้ มดมนหOนXMมYทา่===N=เ..ป=นกทYฐ่ีOเดดทN=ทPPNรNนัาดNีส่O..า่OะนNP))า่กMMทมใOOกกPขหันกุนอันอN^้))ปัยบง)ONรรกมOปูNะMนัมุ OPกสMยขNOาาPออมรONดงเยหรขูปอ่ลอมย่ีสง((((((((ดกกกกกดดรมาเทปูาำำาาำาำำาม้า..หดมหหหหหนา่สเน..หกนนนนนราดดา้ว่มนัลดดดดดจ..ม))เ่ยี)ใใใใใว่ัหห)หหหหมยล)้้))้)้)้ อ่ยี่ มมเหทนา่ กา้ จนั ว่ั ) BC = O

4) ABC  FED (ด.ด.ด.) (สมบัติการเทา่ กนั สาำ หรับการบวก) 2) HE = K
2) (หนา้ 152) FE = JE
พสิ ูจน์ 1) MN = ON 5) R(Nดา้ =นทWี่ตดิOกันของรูปสี่เหลยี่ มรปู (ดว่าา้ วนตรงข้ามของรูปส่เี หลยี่ มผืนผ้า 3) HF = JK
ต้องพสิ จู น์วา่ POX  PRX มขี นาดเท่ากัน) ย่อมเท่ากัน) 4)
5) 3) XY = Z
พิสจู น ์ 1) OX = RX (กำาหนดให)้ 2) MP = OP 6) (ดMา้ นNทRตี่ ิดกนั ขPอOงรWูปสเ่ี หลีย่ มรูป(ดวา่.วม.ด.) AY = B
2) OP = RP (กำาหนดให้) 7) RมMขี น=าดWเทPา่ กนั ) 6) AX = B
3) NP = NP (ดา้ นร่วม) (ด้านทส่ี มนยั กันของรปู สามเหลี่ยม 7)
3) XP = XP (ด้านร่วม) 4) TW = T
4) NMP  NOP8) R(Oด.ด=.ดW.)N ที่เท่ากนั ทุกประการ มีขนาดเทา่ กัน) 8) TX = T
4) POX  PRX (ด.ด.ด.) 5. (หนา้ 153) WX = U
2. ต(หอ้ นง้าพ 1ิส5จู 2น)ว์ า่ CA^ D = CB^D กำาหนดให ้ ABC และ (เส้นทแยงมมุ ของรูปสีเ่ หลี่ยมผืนผา้
ตอ้ งพิสูจน์วา่ ACD  5) LM = N
พสิ จู น ์ 1) AB = BC (กำาหนดให้) ABBC1D09D ))เ (ปแด็นลา้MMนะรปปูONCรสAะ^า=+กมDอเPNหบ=NOมลCี่ยมุ =มยB^อหDPดนOขา้ อจ+งั่วรปูOสNามเหลย((ยี่ Mสมอ่ มหมNบนเทัตา้+จา่ิกว่ัNกานัรOเ)ท=่ากMนั O) และ 8. (หน้า 153) 4) ต้องพิสูจนว์ า่ PWR  WPS LO = N
2) AD = BD (กำาหนดให้) พสิ ูจน์ 1) AD = BD PO + ON = PN) MO = M
3) CD = CD (กาำ หนดให)้ มีขนาดเท่ากนั )
2) AC = BC 11)(ดา้ นปMระRกOอบมมุ ยอPดWขอNงรปู สามเหล(ย่ี ดม.หดน.ดา้ จ.)ว่ั กตำา้อหงนพดิสใูจหน้ ์ว่าXYXZPเRปพน็ริสปูจนสYา์ Pม21Wเ))หลRR่ียWW^มPห=น=S้าPSจ^Pว่ั W (กาำ หนดให้)
ต(พ หอ้ิสนงูจา้ พน 61สิ ์ .5ูจ4152 32น))))))ตพก( ว์หำา้อ่าสิA CA Aนห งูจACC^DA้านพนB DC 1ด=+=สิ ์C5D ใูจ=BCB4321E3หน DC))))D)C้ว์ B^=า่MMOND BNBNM^NN^^ADCMOR RRD D=+WRF==+ ODO R NPCOPเOO^ ^Nป^ WWน็Rร((((ทB(=P=ปูกสมดA่เีDWมำาสท.ุมPC9ดห บ่าท่เี+0ON ^.หนก+ดัตสี่ DนัำWดล .ิกมC)ทใCยี่านหDรุก+ มยั=)้บ ป=ผก วNรB ันนืกAะCO(^ข)กผสD)อWา ม้า งรแ,ร บลมNปู ัตะีขสM กินา(((มาาขกมด=รเนำาุมหเเหททาOลขดนา่่าย่ีอPกกขดมงันนัอรใ)หูปงสม)้สาำ หุมเี่ หรตลับรีย่กง )มารผบ ืนวผก ้า)) CD AC^A C D7=.D D= Cตพ(กCห ำาอ้B^ิสนห งจูDา้BนพนC1ดสิ ์ 5Dใูจ13หน))้(ท((ม์วดดดเ่ีีข่าNทา้้า.Kนดนนา่Lา.LกทรดดKว่Nันี่ส=.เม)Oทมท,)K่าุกนNกLปัยนัLรก)KะันกMขาอรLง แมรOลูปขี Mะนสาาย(มดด่อKเเา้ หทมนOลา่ เปกทีย่Lรันม่าะเ)กปกนั น็อ)บรปูมสมุ ายมอเดหขลอีย่ งมรปูหสนา้ามจเัว่หลยี่ มหนา้ จวั่ (กาำ หนดให้)
4) AF = B5E) RN = W O (กาำ หนดให้) (ดา้ นตรงข้ามของรปู สเี่ หลย่ี มผนื ผา้ 3)
3. 4) พสิ จู น์ 1) XZ = YZ 3) (Wดา้Pน=ปรWะกPอบมมุ ยอดของ(ดรปูา้ นสราว่มมเห)ลยี่ มหนา้ จว่ั
5) 4) ย่อPมWเทR่ากนั ) WPS (ด.ม.ด.)
2) X1R0. =(หYนWา้ 154) (R และ W เป็นจุดกงึ่ กลางด้าน XZ
จากรปู มรี ปู สามแเหลละีย่ ดมา้ เนท่าYกZนั )ทกุ ประการอยสู่ ามคู่ หาว่าเป็นรปู สามเหลยี่ ม
RXXP^P=คต=อูใ่YดบPWบY้า^งP1)พรอ้ มAทE((มZัง้ BบมุPอทตกฐ่ี ง้ัาคฉนวCาขากอEมแงBสรลัมปู ะพส(แดนัาบม.ธดง่ เข์หค.ดอลร.งงึ่ยี่)คมXวหาYนม)า้เทจว่ั่ากยนั อ่ ทมกุ เทปา่รกะนัก)ารของแต่ละคู่
า้ น-ด้าน-ดา้ น (ด.ด.ด.) 2) KL = KM (ดา้ นประกอบมมุ ยอดของรปู สามเหลยี่ มหนา้ จวั่ 3)
4)
ห้) ย่อมเทา่ กนั ) 5) XPR  1Y)PWDA(ดE.ม.ด.) DCE (ด.ม.ด.)
ห้) 3) K^LN = MK^L (มมุ ทฐี่ านของรปู สามเหลยี่ มหนา้ จวั่ ยอ่ มเทา่ กนั ) 3) DCB  DAB (ด.ด.ด.)
ห้)
5) DF = CE (กำาหนดให)้ ย่อมเท่ากนั ) 4) KL9N. (หนา้ M15K4L) (ด.ม.ด.) แบบฝึกหัดทา้ ยหนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 4 (หน้า 155-159)
ห้) 6) ADF6) BMCNER  P(OดW.ด.ด.) (ด.ม.ด.) 5) KN = LM1) ต้องพิสจู (นดว์้าา่นทส่ีAมDนCัยกนั ขอBงDรCูปสามเหลีย่ ม
ห)้ 4. (หน้า 153) 7) RM = WP
) (ด้านทส่ี มนัยกนั ของรูปสามเหลยี่ ม พิสูจน์ 21ท(ก))่ีเำาทหAAา่ นกDD^นัดC=ทให=กุB)้ ปDBรD^ะCการ ย่อมเท(่ากกำาันห)นดให)้ 1. กาำ หนดให้รปู สามเหลยี่ มสองรูปเท่ากนั ทกุ ประการ เขียนด้านค่ทู ส่ี มนยั
พ กตำาอ้ิสหงจู นพนดิส ์ ใูจ1 หน)้ ์วา่M MNN N =MO 8OPP )N เป R น็ OรNูป= สO่เีWหP ลN่ยี ม(มดรีขาู้ปนนวาท่าดวตี่ เทดิ ่ากกนั ันข)องรูปยท(เสสอ่่ีเี่เทหน้มา่ ลทเกท่ยี แนั ่ามยกทรงนัปูกุ มว)ปมุา่ รวขะอกงารรปู มสีขเี่ หนลาดี่ยเมทผา่ กนื นัผ)้า NO = MO (มุมฉาก)
ห้) 6) และมมุ คทู่ สี่ มนยั กนั (หนา้ 155) ABCA^B^C^ACB OPR^RO^^POPR
ห)้ 1) AC = PR
ห้) 7) KO = LO 3(ด) า้ นDปCระ=กDอบCมมุ ยอดของรปู (สดา้ามนเหร่วลมยี่ )มหนา้ จวั่ =
ยั กันของรูปสามเหลีย่ ม AB = PO =
กุ ประการ มีขนาดเทา่ กัน) 4ย) อ่ มเAทD่ากCนั ) BDC (ด.ม.ด.) BC = OR =

ห)้ 2) MP = O9)P M N + N O(=ด้าPนOทต่ี +ิดกOันNของรูป(สสมเ่ี หบลัตยี่ มิกราูปรเวทา่ ว่ากัน) 8) KON 2) ตL้อOงพMิสูจ(นด์ว.ด่า.ด.M) NP  OPN HFEE^H^^FHFE KJEE^^JK^KEJ
รบวก) 8. (กพตหาำอ้สิ นหงูจ้านพน1ดิส์ 5ใจู 24313หน)))))้ ์ว่าXRXXXXRPZ^YPX=Z==P=YYYเRปPWWZ34็น))Y^รปูPตพตพสอ้อ้ิสิสYางงูจูจPมพพนนWเสิสิห์์ จููจล44332211ยแ((((นนมดRZ))))))))ย่ีล่อว์ว์มุา้Pมะมแน่า่าXPYMXPทดหลตเปNMXฐOY่ี^ทXMา้Nนะ้ังราOนา่PXYฉนะ==า้=N=Wก=WจกYOาขY=ันPPN่วักNอNอOORZเN)บแMMงปOOP)รลม็นปNู^ะมุ จสOแยNุดาOบอNมWกMPง่ดเM่งึหคPNOขกลSรOอล่งึย่ีงามรXงปูหดY((((((((สนกดกกกกดดา้ )านา้ำาาำาำาำาำ้า..มดมจหหหหหนXเว่ั..นนนนนหรดดZว่ลยดดดดด..ม))ยอี่่ใใใใให)หหหหมม)้)้้))้้)เหทนา่ กา้ จนั วั่ )
10 ) M O = P N มขี นาดเทา่ กนั ) (MN + NO = MO และ 2) HE = KE =
3) NP = NP (ด้านรว่ ม) PO + ON = PN) FE = JE =
4) NM1P1) MNORPO  (ด.PดW.ดN.) HF = JK =
5. (หน้า 153) (ด.ด.ด.)

กาำ หนดให้ ABC และ ABBCDD เ ปแ็นละรปู CสA^ามDเห=ลCีย่ มB^หDนา้ จ่ัว 3) XY = ZY YXAA^Y^X^XAY = ZYB^YBZ^^BZY
ตอ้ งพิสูจน์ว่า ACD  AY = BY =
พสิ จู น์ 1) AD = BD AX = BZ =
(ดา้ นประกอบมมุ ยอดของรปู สามเหลยี่ มหนา้ จว่ั WTXWT^^X^WXT TUVU^VT^^VUT

มีขนาดเท่ากัน) 4) TW = TU =
TX = TV =
2) AC = BC (ดา้ นประกอบมมุ ยอดของรปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั WX = UV =

มขี นาดเท่ากัน)

3) DC = DC (ดา้ นรว่ ม) 5) XPR  พYิสPจูWน์ 21(ด)) .มRR.WWด^.P)==SPS^PW (กำาหนดให้) 5) LM = NM LMOM^^LO^MOL = MMON^NO^^MON
(กำาหนดให)้ LO = NO =
4) CA^ACDD=CB^ BCD (ด.ด.ด.) MO = MO =
5) D (ดา้ นที่สมนัยกันของรปู สามเหลีย่ ม 3) WP = WP (ดา้ นรว่ ม)

ทเ่ี ทา่ กันทกุ ประการ มขี นาดเทา่ กนั ) 4) PWR  WPS (ด.ม.ด.)

10. (หน้า 154)
จากรปู มีรปู สามเหล่ยี มเทา่ กันทกุ ประการอยสู่ ามคู่ หาวา่ เปน็ รูปสามเหล่ยี ม

คใู่ ดบ้าง พรอ้ มทง้ั บอกความสัมพนั ธข์ องความเท่ากนั ทุกประการของแตล่ ะคู่

2. ต้องการพิสูจนว์ ่า AOB  XOZ (หน้า 156) 5. ตอ้ 9ง. กาตรอ้ พงสิกาจู รนพว์ สิ ่าจู นIว์ J่าK B^AD =I LCK^A Dแล แะล JะK A =D L⊥KB (Cหน(ห้าน1้า5165) 7) 11. พตอ้ สิ งจู กน1า3์ร.พ321 พต)))สิ อ้ สิจู ADAงูจนกA^นEDว์า์า่รE== พ321=B)))BิสDECCูจZXXEนB^X^ZZF^์วENN่า= ==XXYYXCZX^^YENMMF แ(((กกเลปาำำาะน็หห XDมนนYมุFดด Mฉใใ=หห(((า มกกCก()้้)หาำาำมุF)หหนร (นน่ว้าหมดดน1)ใใ5้าหห81้)้))58) 4)
พิสูจน์ 1) AAOO^B==XXOO^Z (กาำ หนดให้) พิสจู นพ์ ิส21จู))นJI์ J^I1=K) I=ALLB^I=KAC (ก(ดาำ า้หนนปดรใะหกอ)้ บมมุ ฉากของรปู สามเหลยี่ มหนา้ จวั่ 5)
2) (มมุ ตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน) (กยาำ่อหมนเทด่าใกหนั ้)) 6)

3) OB = OZ (กำาหนดให)้ 3) IK2)= IBKD = CD (ด(กา้ ำานหรน่วดมใ)ห้ จุด D แบง่ คร่ึงฐาน BC) 4) DA4E)  XZCNBE X(YดM.ม.ด.) (ม.ด.ม.) 7)
8)
4) AOB  XOZ (ด.ม.ด.) 4) 3I)JKAD =ILAKD (ด(ด.ม้าน.ดร.่ว)ม) 12. ต้องก1า4ร. พ8765พต))))สิ ้อิสูจงEDDจู นกนFEE^Dว์า์Fร=Eา่=พ 34251F=E)))))Cสิ PFCEจู LLMLMMนE^NNN^^^N^ว์FNL^KMMCา่ NO NE===F==M^1L18OKKL8N^0MN0^L^=Kำ -Lำ ONN-((ท((แKดกดดK^Mี่เลาำทา้า้.NL^มะหนนN่า^O .นกรคP(ดOหว่นัดู่ทM.ม)นทใ่ีส ((((()ห้า=Mกกุขกขม้) 1นนปำาำานON5หห^าารัยM9ดดนนะOก)กขข ดดนั(ออาห=ใใขรหหงงนอKมม)้)้จา้ งมุมุNะ^ร1ยตตปู5Oารร8สว)งง)าเ))ทมา่เหกลนั ี่ย) ม
9)
3. ตอ้ งการพสิ จู น์วา่ PS = RS (หนา้ 156) 5) JK4)= LKABD  ACD(ด(ดา้ .นดท.ดีส่ .ม) นัยกนั ของรปู สามเหลี่ยม 16. ตอ้ งการพสิ ู
พิสูจน์ 1) PPQQ^S==RQRQ^S = 90 ำ (กาำ หนดให้) 5) BA^ D = CA^ D ท(ม่เี ทุมา่ คกูท่นั ่สีทมุกนปัยรกะกันาขรอยงร่อปู มสเาทม่าเกหันล)ยี่ ม
2) (กาำ หนดให้) พิสูจน์ 1)
6. พตอ้ สิ งจู กนา์รพ1)สิ ูจEนF6ว์ )=่า BGD^EHAFG=CD^ AEHG (ทหเ่ีนท้าา่ ก15นั 7ท)กุ ประการ มีขนาดเท่ากัน) 2)
3) QS = QS (ดา้ นรว่ ม) (ก(มาำ หมุ คนทู่ด่ีสใหม)้นัยกนั ของรปู สามเหล่ียม 3)
(กทำา่ีเทหา่นกดนั ใทหกุ)้ ประการ มีขนาดเทา่ กนั )
4) PQS  RQS (ด.ม.ด.) 2) EGG87FE))F==GBBEEDD^^HGAA =+ECCHDD^^GAA = 18(ด0า้ำ น(รข่วนมา)ดของมุมตรง) พิสจู น์ 1) PK ==-76O))PLKKKL=NNLM=KLL-NOK N(((KดกสLมำา้าหนบนขัตอดกิ งใา(ร(หรดมปู )้เ้า.ทสดนา่เี่.รหกมว่ ลนั.ม)ี่ยข)มองจกตั ารุ รสั บ)วก) 4)
5) PS = RS (ดา้ นทีส่ มนัยกนั ของรปู สามเหลี่ยม 3) = 90(ดำ .ด.(ดจ.า)กขอ้ 6) และข้อ 7)) 2) NK
ทเี่ ท่ากนั ทกุ ประการ ยอ่ มเทา่ กัน) 3) NK
4) 9) AD⊥ BC

4. พต้อสิ งูจกนา์รพ1)ิสจู AนD^ว์ B่า =ACBD^DB  CBD (หนา้ 156) 7. พต้อิส1ง0ูจก.น าพต์ ร้อสิ พ4321งูจ))))ิสกนจูาOEO์ รนRพ4321REO์ว))))ิส่า=E== ูจRDECFนOOCCE^ CRO์วRFDD่าE== ER=CDOCAACFDC^REDC ODFAR C(((( ดกกด(Dหาำำา้า.ดนAหหน.้านน((((รด(ดกกดว่ห1ดด.าำำาา้.ม)5นมหหใใน7)หหา้.นนรด))้้)ว่1ดด.ม5)ใใ8)หห))้้) 15.451())ห)นNP้าตN^P้อ1M5ง=ก9L=)ารOOพ^Lสิ ูจMนว์ ่า (NK - PK = NP และ LK - OK = LO)
5. (กำาหนดให)้ ON(WมุมของรOูปMส่เี Pหล่ียมจตั รุ สั มีขนาด 90 ำ)

6. 2) ADBB^D= =DBC^BD (ดา้ นรว่ ม) 6พ) สิ NูจนM์ =1)LMOP = OW (ด้านของร(ดูปา้ สน่ีเปหรละี่ยกมอจบัตมรุ มุัสย) อดของรปู สามเหลยี่ ม-
3) (กำาหนดให)้ 7) PMN  O^POM= LNO^W((ดด้า.มน.คดทู่.)่ีส(หมเทนนา่้าัยกจกับัว่ ันย9ขอ่0อม)ำงเรทปู ่าสกาันม)เหล่ยี ม
8) PM =2)OM
4) ABD  CBD (ม.ด.ม.)

พตอ้ ิสงูจ9กน.า ์รพตพ21อ้))สิิสงูจูจกJIนJน^Iา์ร์ว=Kพ1า่ I )=สิLจูLAIน^JIBKว์K่า= BA^ACDIL=K C แ^Aล((Dกกะ ำาำา แ(JหหดลKนนา้ะ น=ดด Aป ใใLDรหหKะ⊥้))้ ก (อหBบนCม้า(มุ ห1ฉ5นา6้าก)ข1อ57งร)ปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั 8. พตอ้ ิส1ง1จู ก.น าพต์รอ้ ิสพ321งูจ)))สิกนาูจPOP์รน^OLพ^321L์ว)))OิสLา่= จู ADA==นRA^EDPOO์วCL่าE==C^R^ OC=RBBDECC=EB^9FE0Cำ ROC ((( กPก(EหOาำาำFนหห ⊥แ(((้านนกกเลปดด1Oำาาำะ็น5หหใใ R7หหDมนน))้้)ุมFแดด ลฉใใ=หหะา Cก้)้)CF)R (ห⊥นO้า R15)8) 3) OM = ON ท่เี ท่ากันท(ุกปำาหรนะกดาใรหจ้) ะยาวเทา่ กนั )
4) OMP  ONW (ด.ม.ด.)

3) IK = IK (ด้ายนอ่ รมว่ เมท)า่ กนั ) 2) ต้องการพิสูจน์ว่า PNW  WMP (หนา้ 159)
พสิ จู น์ 1) OP = OW
4) IJ2K) BDI=LKCD (ด.(มก.ำาดห.)นดให้ จดุ D แบง่ ครึง่ ฐาน BC) 4) 4P)LO DAECROCBE (ม.ด.(มด.)ม.ด.) (ดา้ นประกอบมมุ ยอดของรปู สามเหลย่ี ม-

5) JK =3)LKAD = AD (ดา้ (นดทา้ น่สี รม่วนมยั )กนั ของรูปสามเหล่ียม 5) DE = CE (ด้านคทู่ ีส่ มนยั กนั ของรปู สามเหล่ยี ม 2) MO^P = NO^W หน้าจัว่ ย่อมเทา่ กัน)
(เทา่ กับ 90 )ำ
4) ABD  ACทDเ่ี ท(ด่าก.ดนั .ดท.กุ )ประการ ยอ่ มเท่ากนั ) ทเี่ ทา่ กันทกุ ประการ จะยาวเทา่ กนั )
ต้องการพิสจู นว์ า่5 ) BEAF^GD= CA^EDHG =XXZ^YNM((ดกำาา้ หนXนรY่วดมMใ)ห(ก)้(หาำ หนน้าด1ใ5ห8)้) 3) OM = ON (กาำ หนดให)้
(((((91ดกกดห08ำาำา้า.น0ดทท((หหนำมม้าเ่ีี่เ.ำนนรดททมุมุ 1่วดด่าา่.คค((5ม)จขกกใใูท่ทู่7นา)หหนััน)ก่ีสสี่ า้)้)ททขมมดุกกุ้อนนขปปอยััย6รรงกก)ะะมแันนักกมุลขขาาตะรรออขรงงมมง้อรรขีีข)ปููป7นนสส)าา)าาดดมมเเเเททหหา่า่ ลลกกย่ี่ียันนั มม)) 13.76 พต)) ้อสิ EDงูจกFE^นาF=์รพ1=E)ิสFCจู XE^นZ^Fว์ Nา่
พสิ จู น์ 1) EF =6=) GEBHHD^A 4) OMP  ONW (ด.ม.ด.)
2) GF
= CD^ A 12. ตพ้อสิ งูจกนา์รพ81))สิ จู PนKDว์ =Eา่ 432FO)))PKMZXX^ZNXCNZ=EN=XFYYOX^MMLX((YแกดลMำา.มะห .นPดดM.)ใ ห(((=มกม)้ Oาำุม.ดหMร.นว่ม มด(.ห))ในหา้้) 158) 5) WW^PPN= =WPPW^ M (ดา้ นร่วม)
6) (มุมทฐี่ านของรปู สามเหลย่ี มหน้าจั่ว

ามเหล่ยี ม 3) EGEF87=))GEBBGDD^^AAE=+HCCGDD^^ A = มขี นาดเทา่ กัน)
เท่ากนั ) 4) A =
7) OP - ON = OW - OM (สมบตั กิ ารเท่ากนั )

7. ต้องการพิสจู น์วา่9 ) OAEDR⊥BC OFR (หนา้ 157) 14. 3425พต))))้อิสงNNNPจู กN^นKPKาM์ร==-พ321PL)))=Lสิ KOKูจOLMMน=N^L^^์วNL^MLM่าNOK N=-==M^1OKKL8KN0^L^=ำ ONN-((((ดNมสK^Mมา้มุLKนบNข^-ขอ(ตัOหองPิกนงรKาร(((ูปา้รกขกูปส=เ1นาำาำทสเี่5หหาหNา่ี่เ9ดหนนกล)Pขลดดันีย่ อยี่แใใขมหหงลมอจม)้)้ะงจัตุมกตัLุรตาุรKัสรรัสมบง-)ีขว)Oนก)าKด=90LO)ำ ) 8) NP = MW (OP - ON = NP และ

พิสูจ1น0์. พต321)))อ้ ิสงจู OEOกนาRRE์รพ21===))ิสFOOจู ECRนRFCE^ว์ D่า= =CCAADC^ED ((กกCำาาำ หหDนนAดด((กใใหหหาำ นห้)้)้าน1ด5ใ8ห)้) OW - OM = MW)
(ด้านร่ว(มก)าำ หนดให้)
9) PNW  WMP (ด.ม.ด.)

4) O3E)R DC =ODFCR (ด.ด.ด.()ดา้ นรว่ ม) 6) NMPM=45N))LMLLNN^^KMO=M=1LL8N^0Kำ -((ดดKา้.N^มน.Oขดอ.)งร((Mขปู นสN^า่ีเดหOขลอ=่ยี งมKมจมุN^ัตตรุOรสั )ง)) 16. พตอ้ สิ งจู กนา์รพ1)ิสูจBนA^ว์ E่า =ACBD^EE DCE (หนา้ 159)
7) (กำาหนดให้)

2) AAEE^B==DDEE^C (กำาหนดให้)
3) (AD ตดั BC ทจ่ี ดุ E ทาำ ใหม้ มุ ตรงขา้ ม
พิเศษCCRODA (หน้า 1(ด57.ม).ด.)
(กำาหนดให)้
31 สุดยอดคู่มือครู
8. พต้อสิ งูจกนา์รพ1)ิสูจPน^Lว์ Oา่4 )= POLCC^ODRE 8) PM =6)OMLN = LN N(ทKด่เี Lท้าน่ากคนั่ทู ทีส่ ((กุมดมปนา้.ดนรัย.ะรมกก่วนั.ม)าขร)อจงะรยูปาสวาเทม่าเหกลนั ยี่) ม มขี นาดเทา่ กนั )
7) NML 
2) POO^LL==ROC^RC = 90 ำ (กำาหนดให)้ 4) ABE  DCE (ม.ด.ม.)
3) (PO⊥ OR และ CR⊥ OR) 15. (หนา้ 159)
1) ตอ้ งการพสิ จู น์ว่า ONW  OMP
4) PLO  CRO (ม.ด.ม.) พสิ ูจน์ 1) OP = OW
(ดา้ นประกอบมมุ ยอดของรปู สามเหลยี่ ม-

2) MO^P = NO^W หน้าจว่ั ยอ่ มเทา่ กนั )
(เท่ากบั 90 ำ)

3) OM = ON (กาำ หนดให)้

พเิ ศษ

สุดยอดคู่มือครู 32
หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 5 การแปลงทางเรขาคณิต 4. แเลล่อื ะนขขนนานานกรับูปแสก่ีเนห ลYยี่ ลมง Aมแ2Bา.บ C2บ Dหกฝ านขึกรนว่ หสยาะัด น ท(ทกห้อี่ับน2นแา้ ก(1(หRน6น5 eX)้าfl ไe1ปc6tท7ioา-nง1ซ)68า้ ย) 6 หนว่ ย 2. ลอกรปู แล้วทาำ ใหเ้ ป็นแรบปู บสฝมกึ มหาตัดรทโ่ี ด3ย(มหีเนส้า้นป17ร3ะ-เ1ป7็น5แ) กนสมมาตร (หนา้ 168) 2. กำาหนด รูปสี่เหลี่ยม A
1) 1. เขียนภาพท่ีได2้จ)ากการสะท้อนของรูปต้นแบบที่กำาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ ABCD โดยมีแกน Y เป็
1. การเลอ่ื นขนาน (Translation) (หน้า 173)
1. เขียนYแกนสมมาตรของรูปตอ่ ไปนี้ (หนา้ 167) 1) เส้นสะทอ้ น C
แบบฝกึ หดั ที่ 1 (หนา้ 164-165) 1) 7 D(6, 7) 2)
1. เขยี นภาพท่ไี ดจ้ ากการเลือ่ นขนานของรปู สามเหลย่ี ม ABC ทกี่ าำ หนดต่อไปน้ี B′
(หน้า 164) 6 D′(0, 5) A′
5 A(2, 4)
1) เล่ือนขนานกบั แกน Y ข้ึนไป 2) เลื่อนขนานกับแกน X ไปทางซ้าย 4 -6 -5 -4 -3 -2
3 C(6, 3)
3 หน่วย 4 หนว่ ย A′(-4, 2) 2 B(2, 2) 678 3. กาำ หนด รูปหลายเหลย่ี ม
B′(-4, 0) 1 C′(0, 1) ของรูปหลายเหลยี่ ม GH
Y Y -8 -7 -6 -5 -4 -3 4 5 X
-2 3-)1--210 123 Y
6 3) 4) 5
5 6 4) 2) เสน้ สะท้อน 4
5 3
4 A′ 4 2
3 A′ 3 A 5. กำาหนดรปู สามเหลย่ี ม ABC มจี ุดยอด A(1, -1), B(3, 2) และ C(-4, 4) เล่อื นขนาน 1
2 C′ รูปสามเหลี่ยม ABC ขนานกับแกน X ไปทางซ้าย 3 หน่วย และขนานกับ -2 -1-10
1 B′ A 2 แกน Y ลงมา 2 หนว่ ย พร้อมท้งั บอกพิกัดของจุดยอดรูปสามเหลีย่ ม A′B′C′ -2
-1-10 12 1 C′ ท่เี ป็นภาพทีไ่ ดจ้ ากการเลอื่ นขนานของรูปสามเหลย่ี ม ABC (หน้า 165) -3
-2 3 4 5C 6 7 X C X -4
-5
-2 B -5 -4 B-′3 -2 -1-10 B1 2 3 4 5 6
-3 -2
5) Y 6)
7
2. จดุ A มพี ิกัดของจุดเป็น (5, 2) เมอื่ เลอ่ื นขนานจุด A ตามขอ้ กาำ หนดในแต่ละขอ้ 6
ตอ่ ไปนี้ (หนา้ 164) 5
1) A′(8, 4) 2) A′(9, 0) C 4 3. ตอบคาำ ถามต่อไปน้ี (หนา้ 168)
1) ตวั อักษรใดบา้ งทีม่ ีแกนสมมาตรในแนวนอน
3) A′(1, 5) 4) A′(1, -1) C′(-7, 2) 3 B ตอบ ตวั อักษร D C 3X) E H B
2 2) ตวั อกั ษรใดบา้ งทมี่ ีแกนสมมาตรในแนวต้งั
1 ตอบ ตวั อกั ษร A X T H
3. จุด A มพี ิกดั ของจดุ เปน็ (-2, -3) เมื่อเลอื่ นขนานจุด A ตามข้อกำาหนดใน -8 -7 -6 -5 -4 -3 B′(0, 0) 3 4 5 6 7 8 X 8)
-2 7-)1-10 1 2
A
แต่ละขอ้ ต่อไปนี้ หาพิกดั ของภาพทไ่ี ดจ้ ากการเลื่อนขนานของจดุ A (หน้า 164) -2
A′(-2, -3)--43
1) (1, -1) 2) (2, -5) -5 เส้นสะทอ้ น

3) (-6, 0) 4) (-6, -6) -6

5) (-2, 1) -7

รขาคณิต 4. เล่อื นขนานรปู สเี่ หลีย่ ม ABCD ขนานกับแกน X ไปทางซ้าย 6 หนว่ ย (มจี า� นวนมากมายนบั ไมถ่ ว้ น)
และขนานกับแกน Y ลงมา 2 หนว่ ย (หนา้ 165) 2. 1ล)อกรูป แลว้ ทาำ ให้เปน็ ร1แปู.บ สบ(เมขหฝียมนึกนา้าหตภัด1รา7ทโพ3ด่ี )ท3ย่ีไม(2ดหเี)ส้จนาน้ ้ากปก1รา7ะร3เส-ป1ะ็น7ท5แ้อ)กนนขสอมงมรูปาตตร้นแ(หบนบ้าท1่ีก6ำา8ห)นดให้ในแต่ละข้อต่อไปน้ี
2. กำาหนด รูปสี่เหล่ียม ABCD เขียนภาพที่ได้จากการสะท้อนของรูปส่ีเหล่ียม
2. การสะทอ้ นY (Reflection) 1) เส้นสะทอ้ น ABCD โดยมีแกน Y เป็นเส้นสะท้อน (หนา้ 174)
A-B′6′((---44,5แ1,20.-)บ) 4บ1เ-ขฝ)3ียึกน-ห2แดั -กท1-น5746213ี่102สDCมA′(′(((ห01ม20,B,,น5า4(12))2ต)้า, ร21)ข36อ74ง-ร1ูป658Dต()66่อ,Cไ7(ป)67,น3)8้ี
ย่ี ม ABC ทีก่ าำ หนดตอ่ ไปน้ี (หน้า 167) Y
2) C′ 6 C
ขนานกบั แกน X ไปทางซ้าย 5
่วย X B′ 243DD′

-8 -7 A′ 1 B
-6 -5 -4 -3 -2 -1-10
Y A X
1 23 4 5 6
6 -2

5 -2
4
3A 5. กรูปำาหสนาดมรเหปู ลส่ียามมเ หAลB่ียมC Aข3Bน)Cา นมกจี ุดับยแอกดน A X(1 , ไ-ป1)ท, าBง(ซ3,้า 2ย) แ3ล หะ นC่ว(-ย4 , แ44ล) )ะเลขื่อนนาขนนกาับน 3) 4)
2 2) เสน้ สะทอ้ น
1
1-10 C′ 3 4 C 6 X แกน Y ลงมา 2 หน่วย พรอ้ มท้งั บอกพิกดั ของจุดยอดรูปสามเหล่ียม A′B′C′ 3. กาำ หนด รูปหลายเหลี่ยม GHIJKL เขียนภาพที่ไดจ้ ากการสะท้อน
B1 2 5 ทเ่ี ป็นภาพท่ไี ด้จากการเลือ่ นขนานของรปู สามเหลยี่ ม ABC (หน้า 165) ของรูปหลายเหล่ยี ม GHIJKL โดยมแี กน X เป็นเส้นสะทอ้ น (หน้า 174)

-2 Y

ตามขอ้ กำาหนดในแต่ละข้อ 7 Y

6 5
5 LK
C5) 4 6) 4 G J
3 8) 3
C′(-7, 2) 2 B 2
) 1H I
ุด A ตามข้อกำาหนดใน 1 B′(0, 0) X 3. ตอบคาำ ถามต่อไปน้ี (หน้า 168) -2 -1-10 H′1 2 3 4 5 6 7 8 9I′ 10 X
นขนานของจดุ A (หนา้ 164) -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-10 A1 2 3 4 5 6 78 1) ตตอัวอบกั ตษวั รอใดกั บษ้ารงDท่มี Cแี กXน3)สEมมHาตรBในแนวนอน
2) ตัวอกั ษรใดบา้ งทมี่ ีแกนสมมาตรในแนวตงั้
-2 ตอบ ตวั อกั ษร A X T H -2
-3)--43
7A)′(-2, -5 -3 G′ L′ K′ J′
-4
-5
-6
-7
เส้นสะทอ้ น

4. เขยี นภาพที่ไดจ้ ากการสะท้อนของรปู ต้นแบบท่กี าำ หนดให้ในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ 4) 6) m 2) A′ 3. เขียนภาพท่ีไดจ้ ากการหมนุ ของ ABC รอบจุด O ทวนเข็มนาฬิกา 5. เขยี น
(หนา้ 174) เปน็ มมุ ขนาด 60 องศา (หน้า 179B)
1) m -
O
1)
C′ B′ เ

m C 2)
เ
2) 5) A B′ A′
m
60 �

2. กาำ หนด ABC เขยี นภาพทไ่ี ดจ้ ากการหมุนของ O ABC60 ร� อบจดุ AO B
ทวนเขม็ นาฬกิ าเป็นมมุ ขนาด 90 องศา (หนา้ 179)
3. การหมุน (Rotation)
4. เเปขีย็นนมภมุ าขพนทาี่ไดด 1้จ8าก0 กอางรศหCาม (หุนนข้าอ1ง 79)PQR รอบจุด Q ทวนเขม็ นาฬิกา
แบบฝกึ หดั ที่ 4 (หนา้ 178-180) B′
1. เขยี นภาพทไ่ี ด้จากการหมุนของรูปตน้ แบบทก่ี าำ หนดให้ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี
(หน้า 178) P
3) m A′ B
m 1) B′
C′

AB R′ 9090� � 180 �
90 �
A Q18Q0′� R

O O

P′

6) m A′ 5. เขยี นภาพทไี่ ดจ้ ากการหมนุ ของ ABC รอบจุดกำาเนดิ (หนา้ 180)

ให้ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี 4) 3. เขียนภาพทไ่ี ด้จากการหมุนของ ABC รอบจดุ O ทวนเข็มนาฬกิ า Y
2) เปA′็นมมุ ขนาด 60 องศา (หน้า 179)

B 8
7
C′ O B′ C′ B′ 6 C
B
5
4
m C 3
A′ 2 A
A′ 1 90 �

A 60 � -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-10 1 902A� ′′3 4 5 6 7 8 X
-2 B′′ C′′
5) B′ 60 � A B -3
-4
O -5
2. กำาหนด ABC เขียนภาพที่ได้จากการหมุนของ ABC รอบจุด O -6
ทว4น. เข็มเขนยี าฬนิกภาาเปพ็นทมไ่ี ุมดข้จนาากดก 9า0ร อหงมศานุ (ขหนอา้ง 179P)QR รอบจุด Q ทวนเข็มนาฬิกา -7
3. การหมนุ (Rotation) เป็นมมุ ขนาด 180 องศา (หนา้ 179) C -8

แบบฝึกหัดที่ 4 (หน้า 178-180) B′ P
1. เขียนภาพทไ่ี ด้จากการหมนุ ของรูปตน้ แบบทีก่ าำ หนดใหใ้ นแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี
พิเศษ(หนา้ 178)
1) m A′ B
33 สุดยอดคู่มือครู
B′ C′ 9090� � 180 � 1) A′B′C′ เปน็ ภาพทีไ่ ด้จากการหมุน ABC ทวนเขม็ นาฬิกา
90 � เปน็ มุมขนาด 90 องศา
AB R′ Q18Q0 ′� R
P′ O 2) A′′B′′C′′ เปน็ ภาพที่ไดจ้ ากการหมุน ABC ตามเข็มนาฬิกา
A เปน็ มมุ ขนาด 90 องศา

O

A′

6. กำาหนด ABC และจดุ O เขยี นภาพทไี่ ด้จากการหมุนของ ABC รอบจดุ O 2)
โดยหมุนทวนเข็มนาฬิกาครง้ั ละ 120 องศา แลว้ ทำาให้ภาพท่ีไดจ้ ากการหมนุ ทบั 3)
4)
ABC ไดส้ นิทพอดี (หนา้ 180) 5)
พเิ ศษ
A
สุดยอดคู่มือครู 34
B′
C′

A′ 120 �
B

O C
120 � 120 �

C′′

B′′
A′′

4. การนำาความรู้เก่ียวกับการแปลงทางเรขาคณิตไปใช้ในการแก้ปญั หา
แบบฝกึ หดั ที่ 5 (หน้า 187)
1. ออกแบบเทสเซลเลชนั จากรปู ท่กี าำ หนดตามจนิ ตนาการ (หนา้ 187)

1)

6)

2. ออกแบบเทสเซลเลชันจากรปู เรขาคณติ ตอ่ ไปน ้ี (หน้า 187) แบบฝึกหดั ท้ายหนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 5 (หนา้ 188-194)
(ตัวอยา่ งค�าตอบ)
1. เขยี นภาพท่ไี ดจ้ ากการสะท้อนจากรปู ต้นแบบต่อไปน ้ี (หนา้ 188)
1) เส้นสะท้อน

3. ออกแบบเทสเซลเลชนั ตามความคิดของนกั เรยี นมา 1 ตัวอยา่ ง (หนา้ 187)
(ตัวอยา่ งค�าตอบ)

2) เสน้ สะทอ้ น

3)

เส้นสะท้อน

พเิ ศษ

35 สุดยอดคู่มือครู

พเิ ศษ2. (หน้า 189)

สุดยอดคู่มือครู 36
4) เสน้ สะทอ้ น Y
5)
7
6
5 W′(2, 5)
4
3 P′(2, 2) M′(5, 2)
2 12 345 678
W1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-10 X

-2
-3
P M -4

-5
-6
-7

เส้นสะทอ้ น 3. จุด O มีพิกัดของจดุ เปน็ (-2, 3) เมอ่ื เล่ือนขนานจุด O ตามข้อกาำ หนดในแตล่ ะขอ้
ตอ่ ไปน ี้ หาพกิ ัดของภาพทไี่ ดจ้ ากการเลื่อนขนานของจดุ O (หน้า 189)

1) (3, 1)
2) (2, 7)
3) (-4, 9)
4) (-3, 1)
5) (0, 3)

4. (หนา้ 190) 5. (หน้า 190) Y

Y 8 A′
7
7 6
A 6 A′′(5, 6) 5
4 AD(0′, 4) B′
5 (2B,′′3) D′′(7, 4)
D4 C′′(4, 1) 3
B3
2 12345678 X 2
D(-2, 0) 1
C1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-10 1 2B(23, C0)′4 5 6 7 8 X

-8 -7 -6 -5 -4 C-′3(--42, --1)1-10 -2
(-2B,′-3---)342 -3
-5 -4
(-7D,′-4) -5 C(0, -4)

-6 -6
-7 -7
A′(-5, -6) -8

เมอ่ื A′B′C′D′ เป็นภาพทไี่ ด้จากการสะท้อน ABCD ขา้ มเส้นสะทอ้ น พิกดั ของ A′B′C′D′ คอื (3, 8), (5, 4), (3, 0) และ (1, 4) ตามลา� ดบั
บนแกน X
และ A′′B′′C′′D′′ เปน็ ภาพทไี่ ด้จากการสะทอ้ น ABCD ขา้ มเส้นสะท้อน
บนแกน Y

พเิ ศษ

37 สุดยอดคู่มือครู

6. (หนา้ 191) 8. เขยี นภาพทไ่ี ด้จากการหมนุ รอบจุด A ตามทศิ ทางและขนาดของมุม (หนา้ 191)
พเิ ศษ1) หมุนตามเขม็ นาฬกิ าเป็นมมุ ขนาด 90 องศา
Y
สุดยอดคู่มือครู 38 A
7
6 2) หมุนตามเขม็ นาฬกิ าเป็นมมุ ขนาด 180 องศา
5
4 E′ A

D E D′ 3
2
1 X

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-10 12345 678
-2 F′
-3
-4
F -5

-6
-7

พกิ ัดของ DEF คอื (-7, 1), (-4, 2) และ (-2, -4) ตามลาำ ดบั

7. หาพิกัดของภาพทไ่ี ดจ้ ากการหมุนรอบจดุ กำาเนิดของพกิ ดั ตอ่ ไปน ้ี (หน้า 191)
1) (2, -1)
2) (0, -4)
3) (-3, -4)
4) (3, 4)
5) (1, 2)

3) หมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุมขนาด 90 องศา 9. จากรปู ท่กี าำ หนด เขยี นภาพทีไ่ ดจ้ ากการหมุนของ PQS รอบจดุ กาำ เนิด
ตามเขม็ นาฬกิ าเปน็ มมุ ขนาด 90 องศา และหาพกิ ดั ของ P′, Q′และ S′(หนา้ 192)
A
Y
4) หมุนทวนเขม็ นาฬิกาเป็นมุมขนาด 270 องศา
P′(-2, 7) 7
A
6

5

4

(-Q6,′3) 3

90 � 2
S′(-2, 1) 1

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 12345678 X
-1
P S -2

-3

-4

-5

Q -6
-7

พเิ ศษ

39 สุดยอดคู่มือครู

1100. . ( ห(หนนา้ ้า119933)) พเิ ศษ

สุดยอดคู่มือครู 40
YY 111. . หหาาพพ้ืนนื้ ทท่ีสีส่ ว่ ่วนนททร่ี ี่ระะบบาายยสสโี ีโดดยยปปรระะมมาาณณขขอองงรรปู ูปทที่กก่ี าำ ำาหหนนดด ( ห(หนน้าา้ 119933-1-19944))
11)) 22ตตาารราางงหหนนว่ ่วยย
77 227700� � 22)) 1199ตตาารราางงหหนนว่ ว่ยย
66 11 22 33 44 55 66 77 88
AA 55 1122. . สสรร้า้างงเทเทสสเซเซลลเลเลชชนั นั ปปกกตตมิ มิ าา 1 1 แ แบบบบ ล ลงงใในนกกรรออบบรรปู ูปสส่เี หเ่ี หลล่ยี ยี่มมขขนนาาดด
44 1100 × × 1 100 ต ตาารราางงเซเซนนตติเมเิ มตตรร โ โดดยยใใชชค้ ้คววาามมรรเู้ กเู้ กย่ี ่ยีววกกับับกกาารรแแปปลลงงททาางงเรเรขขาาคคณณติ ติ
BB 33
(ห(หนน้า้า119944))
22 (ต(ตาามมปปรระะสสบบกกาารรณณก์ ์กาารรเรเรยี ียนนรรขู้ ูข้ อองงผผเู้ รเู้ รยี ียนน))
DD CC 11 1133. . ออออกกแแบบบบรรูปูปตต้นน้ แแบบบบโโดดยยใใชช้กก้ าารรแแปปลลงงททาางงเรเรขขาาคคณณิตติ ทที่เร่ีเรยี ยีนนมมาาหหนน่ึง่งึแแบบบบ
แแลล้วว้ นนำาำาไไปปสสรร้า้างงเทเทสสเซเซลลเลเลชชันนั ใในนพพื้นน้ื ททีข่ ขี่ นนาาดด 1 122 × × 1 155 ต ตาารราางงเซเซนนตตเิ มเิ มตตรร
--88 --77 --66 --55 --44 --33 --22 --11--1010 XX (ห(หนน้า้า119944))
BB′′ CC′-′-22 (ต(ตาามมปปรระะสสบบกกาารรณณ์ก์กาารรเรเรียยี นนรรู้ขู้ขอองงผผู้เรเู้ รยี ยี นน))
--33 1144. . ออออกกแแบบบบโโดดยยใใชช้ค้คววาามมรรู้เกู้เก่ียี่ยววกกับับกกาารรแแปปลลงงททาางงเรเรขขาาคคณณิติตสสรร้า้างงลลววดดลลาายยขขอองง
DD′-′-44 สสงิ่ ง่ิขขอองงตต่า่างง ๆ ๆ ใ ในนชชวี วี ิตติ ปปรระะจจำาาำววันนั ตตาามมคคววาามมคคิดดิ ขขอองงนนกั ักเรเรยี ยีนน ( ห(หนน้าา้ 119944))
--55 (ต(ตาามมปปรระะสสบบกกาารรณณก์ ์กาารรเรเรียยี นนรรู้ขู้ขอองงผผู้เรเู้ รียยี นน))

A′A′ --66
--77

พพกิ กิ ัดดั ขขอองง AABBCCDDคคืออื (-(-66,,55),),(-(-22,,33),),(-(-22,,11))แแลละะ(-(-44,,11))ตตาามมลลา� �าดดบั บั

หนงั สอื เรยี นรายวิชาพ้นื ฐาน

คณติ ศาสตร์๒ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ เลม่ ๒

ตามมาตรฐานการเรียนรู้และตวั ชวี้ ดั กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐)
ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาข้นั พนื้ ฐาน พทุ ธศกั ราช ๒๕๕๑

ผู้เรยี บเรียง

อาจารย์วัฒนา นิธศิ ดิลก
อาจารย์เจรญิ ราคาแก้ว

ผ้ตู รวจ

ดร.กิตติปกรณ์ อ้มเถ่ือน
อาจารยว์ ฒุ ิชยั ภูดี
อาจารย์ปาณิตา อาจวงษ์

บรรณาธกิ าร

ผศ.ดร.วรี ยทุ ธ นิลสระคู

สงวนลิขสทิ ธิ์
สาำ นกั พมิ พ์ บรษิ ทั พัฒนาคุณภาพวชิ าการ (พว.) จาำ กัด
พ.ศ. ๒๕๖๔
พมิ พ์ครั้งที่ ๒ จำานวน ๒๐,๐๐๐ เลม่
สถาบนั พัฒนาคุณภาพวชิ าการ (พว.)
๑๒๕๖/๙ ถนนนครไชยศรี แขวงถนนนครไชยศรี เขตดสุ ติ กรงุ เทพฯ ๑๐๓๐๐
โทร. ๐-๒๒๔๓-๘๐๐๐ (อัตโนมัติ ๑๕ สาย), ๐-๒๒๔๑-๘๙๙๙
แฟกซ์ : ทกุ หมายเลข, แฟกซอ์ ัตโนมัติ : ๐-๒๒๔๑-๔๑๓๑, ๐-๒๒๔๓-๗๖๖๖

website : www.iadth.com

หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 2 เล่ม 2 น้ี เป็นหนังสือที่
จดั ทาำ ขน้ึ ตามตวั ชว้ี ดั และสาระการเรยี นรแู้ กนกลาง กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร ์ (ฉบบั ปรบั ปรงุ
พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 โดยเนื้อหาใน
หนังสอื เรยี นคณติ ศาสตรเ์ ล่มนี้ มที ั้งหมด 5 หนว่ ยการเรยี นรู้ ไดแ้ ก่ จาำ นวนจริง ทฤษฎีบทพที าโกรสั
และบทกลับ พนื้ ทีผ่ วิ และปรมิ าตร ความเท่ากนั ทกุ ประการ และการแปลงทางเรขาคณติ

เน้ือหาในแตล่ ะหนว่ ยการเรยี นรปู้ ระกอบดว้ ย เนื้อหา ความคดิ รวบยอด ตัวอยา่ ง เกรด็ ความรู้
และแบบฝึกหัด ท่ีมีความเหมาะสมและเข้าใจง่าย เพื่อท่ีจะมุ่งส่งเสริมพัฒนาความรู้ความเข้าใจ
ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร ์ การให้เหตผุ ล การแก้ปญั หา สง่ เสรมิ การเรียนรู้ด้วยวิธีการ
ท่ีหลากหลายและพัฒนาคุณภาพของผู้เรียนตามศักยภาพ เพ่ือให้ครูและนักเรียนสามารถนำาไปใช้
ประกอบการเรียนการสอนต่อไป

ผู้เขียนหวังเป็นอย่างยิ่งว่า หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 2
เล่ม 2 นี้ จะเป็นประโยชน์ต่อการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ส่งเสริมพัฒนานักเรียน
ให้รักและมีความสุขในการเรียนรู้คณิตศาสตร์ และเป็นพ้ืนฐานสำาคัญในการเรียนรู้คณิตศาสตร์
ชน้ั สูงต่อไปได้เปน็ อยา่ งดี

อาจารยว์ ฒั นา นธิ ิศดิลก
อาจารยเ์ จรญิ ราคาแกว้

สถาบันพัฒนาคุณภาพวชิ าการ (พว.)

หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 จำานวนจริง 5

1. จำานวนตรรกยะ 6
2. จำานวนอตรรกยะ 12
3. รากที่สอง 17
4. รากที่สาม 31
5. การนำาความรู้เกี่ยวกับจำานวนจริงไปใช้ในการแก้ปัญหา
39
หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับ
46
1. สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
2. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 47
3. บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส 57
4. การนำาไปใช้ 66
74
หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 พื้นที่ผิวและปริมาตร
83
1. พื้นที่และปริมาตร
2. พื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม 84
3. พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก 96
4. การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่ผิวและปริมาตร 106
112

หน่วยการเรียนรู้ที่ 4 ความเท่ากันทุกประการ 123

1. ความเท่ากันทุกประการ 124
2. ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ์แบบต่าง ๆ 135

หน่วยการเรียนรู้ที่ 5 การแปลงทางเรขาคณิต 160
162
1. การเลื่อนขนาน (Translation) 166
2. การสะท้อน (Reflection) 176
3. การหมุน (Rotation) 181
4. การนำาความรู้เกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตไปใช้ในการแก้ปัญหา
195
ภาคผนวก 200

• ตารางแสดงกำาลังสอง กำาลังสาม รากที่สอง และรากที่สามที่เป็นบวก
ของจำานวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 100

บรรณานุกรม

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

เป้าหมายการเรยี นรู้

1หน่วยการเรยี นรู้ที่ จำ�นวนจริง มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 1.1
แผนผงั สาระการเรียนรู้ เข้าใจความหลากหลายของการแสดง
จำ�นวน ระบบจำ�นวน การดำ�เนินการของ
จำ�นวน ผลที่เกิดข้ึนจากการดำ�เนินการ
สมบัติของการด�ำ เนินการ และนำ�ไปใช้

1. จ�ำนวนตรรกยะ สมรรถนะส�ำ คัญของผู้เรยี น
1. ความสามารถในการส่อื สาร
5. กำรน�ำควำมรู้เก่ียวกบั 2. จ�ำนวนอตรรกยะ 2. ความสามารถในการคดิ
จำ� นวนจรงิ ไปใช้ 3. ความสามารถในการแก้ปญั หา
ในกำรแก้ปัญหำ จ�ำนวนจริง 4. ความสามารถในการใช้ทักษะชีวติ
5. ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี

4. รำกท่ีสำม 3. รำกท่ีสอง คณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์
ใฝ่เรียนรู้
ตัวชีว้ ดั ตวั ช้วี ัดที่ 4.1 ตั้งใจ เพียรพยายาม
ในการเรยี นและเขา้ รว่ มกจิ กรรมการเรยี นรู้
✪ เขา้ ใจจ�านวนจรงิ และความสัมพนั ธ์ของจ�านวนจริง และใช้สมบตั ขิ องจา� นวนจริง มงุ่ มัน่ ในการทำ�งาน
ในการแก้ปญั หาคณติ ศาสตรแ์ ละปัญหาในชีวติ จริง (ค 1.1 ม.2/2) ตวั ชว้ี ดั ท่ี 6.1 ตั้ ง ใ จ แ ล ะ รั บ ผิ ด ช อ บ
ในการปฏบิ ัติหนา้ ท่ีการงาน
ตวั ชว้ี ดั ท ี่ 6.2 ทำ�งานด้วยความเพียร
พยายามและอดทนเพ่ือให้งานสำ�เร็จ
ตามเปา้ หมาย

บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 จำ�นวนจริง

นักเรียนแต่ละคนทำ� pop up เก่ียวกับจำ�นวนอตรรกยะ โดยจัดทำ�รูปแบบ 5 สุดยอดคู่มือครู
ให้ดูน่าสนใจ สวยงาม และมีความถูกต้องตามหลักการทางคณิตศาสตร์
จากนั้นออกมานำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียน โดยมีนักเรียนและครูร่วมกัน
ตรวจสอบความถูกต้อง นกั เรยี นร่วมกันคดั เลือกผลงานของนักเรยี น 4-5 คน
มาจัดแสดงหน้าชัน้ เรียน เพ่อื ใหค้ วามรูก้ ับนักเรียนชน้ั อนื่ ต่อไป

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA

ตวั ชว้ี ดั 1. จ�ำนวนตรรกยะ

ค 1.1 ม.2/2 โbด ≠ย ท0ี่ b จดเ ช�าัง≠นน่น ว0 ้ัน น0 ,ตจ �าร2นร, กว-นย2เะ.ต8 ็ม,เ ปท-็นุก1จ9จ0�า�า น นแววลนนะทเ ปี่ส1 6็นา7 ม จา�ารนถวเนขตียรนรอกยยู่ใะน รเพูป ราbaะจ ไ�าดน้ วเนมเ่ือต ็มaส แามละาร bถ เขเปีย็นนจอ�ายนู่ใวนนรเูปต ็มba แ ลไดะ ้

ภาระงาน/ชิ้นงาน

การเขยี นเศษสว่ นในรปู ทศนยิ ม
การเขยี นทศนยิ มซา้ํ ในรูปเศษสว่ น

จา� นวนตรรกยะ เป็นจ�านวนท่สี ามารถเขยี นอยใู่ นรูป ba โดยที ่ a และ b เป็นจา� นวนเต็ม
และ b ≠ 0
ep 1 ขน้ั สงั เกต
St St เป็นจ�านทวศนนเยิตม็มท แกุ ลจะา� นbว น≠ก เ็0ป น็ซ่ึงจนา� นักวเรนียตนรไรดก้ศยึกะษ เาพมราาแะลท้วศในนยิ ชมั้นสมาัธมยามรถศเึกขษียานปอีทย่ี ่ใู 1น รแูปล ะbเaศ ษโดสย่วนทกี่ a็ส าแมลาะร ถb
รวบรวมขอ้ มลู เขยี นให้อย่ใู นรปู ทศนิยมได้

1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น นักเรยี นพิจารณาการเขียนเศษส่วนในรูปทศนิยมต่อไปนี้
โดยใช้ค�ำ ถามกระต้นุ ความคดิ ดงั น้ี 1 . 1 45
4 11 253..0750
• นักเรียนมีวิธีการหรือหลักการ
ในการตรวจสอบว่าจำ�นวนใดเป็น 30
จำ�นวนตรรกยะหรือไม่ อยา่ งไร
28
2. นกั เรียนศึกษา จำ�นวนตรรกยะ 20
20
0
+-÷ ×
ep 2 ขัน้ คดิ วเิ คราะห์ ดังนน้ั 1 45 = 3.75

และสรุปความรู้ 2. 98 9 708..8208080.0. . ทศนยิ มไมร่ ้จู บแบบซ้าํ
สามารถเขยี นในรปู เศษส่วนได้

จงึ เปน็ จํานวนตรรกยะ
80
3. นักเรียนพิจารณาจำ�นวนตรรกยะ 72
9 จ�ำ นวน บนกระดาน ดงั นี้ 80
72
98 = 0.888 ... 8 .
2, 4, 012.248, 190, 1105, -0.8, 0.55, ดงั น้นั �
0.34, หรอื � 89 = 0.8 +-÷ ×

0.8 อ่านว่า ศนู ยจ์ ดุ แปดแปดซา้�

จากนั้นใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิด 6 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 เลม่ 2

ของนักเรยี น ดงั นี้

• จากจำ�นวนข้างต้น มีลักษณะ
อยา่ งไร 4. ผู้แทนนกั เรยี น 3 คน ออกมาเขยี นเศษส่วน 2142, 190 และ 1105 ในรปู ทศนยิ ม

(เปน็ จ�ำ นวนทสี่ ามารถเขยี นในรปู เศษสว่ นได)้ โดยวธิ ตี ้ังหาร จากนัน้ ใชค้ ำ�ถามกระตุ้นความคิดของนกั เรยี น ดังนี้
• จำ�นวนที่สามารถเขียนในรูป • 2142 เขียนในรูปทศนยิ มได้อย่างไร (0.50...)
เ ศ ษ ส่ ว น ไ ด้ น้ั น เ รี ย ก ว่ า จำ � น ว น ใ ด • 190 เขยี นในรูปทศนิยมได้อยา่ งไร (0.90...)
• 1105 เขียนในรูปทศนิยมได้อยา่ งไร (1.50...)
(จ�ำ นวนตรรกยะ)

สุดยอดคู่มือครู 6

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

30..87.5 เสปาน็ มทารศถนเิยขมียนซ้า�ใ นรูปทศนยิ มซ�้าได ้ คือ 3.750. อ่านวา่ สามจุดเจด็ ห้าศูนยศ์ ูนยซ์ า้� ep 2 ขัน้ คดิ วเิ คราะห์St

และสรุปความรู้

5. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
นัน่ คือ สามารถเขยี นเศษส่วนในรูปทศนิยมซา้� ได ้ ตวั อย่างทศนยิ มซา�้ อื่น ๆ เชน่ โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ
-31115234 3215 91 21 5 หรือ 0.40. นกั เรยี น ดังน้ี
1. = 0.40... หรอื 0.750. อา่ นว่า ศูนยจ์ ดุ สีศ่ นู ยศ์ ูนย์ซ�า้
2. = 0.750... หรอื -1.6. อ่านว่า ศูนย์จุดเจด็ หา้ ศนู ยศ์ ูนย์ซ้�า • ทศนิยมซ้ําทุกจำ�นวนเป็นจำ�นวน
3. = -1.666... หรอื 0.3.6. อา่ นวา่ ลบหน่งึ จดุ หกหกซ�า้ ตรรกยะหรือไม่ (เป็นจำ�นวนตรรกยะ)
4. = 0.363636... หรอื 1.369 อ่านว่า ศนู ย์จดุ สามหกสามหกซ้า�
5. = 1.369369... อา่ นว่า หน่งึ จุดสามหกเก้าสามหกเก้าซ�า้ 6. นักเรียนพิจารณาเก่ียวกับทศนิยม
ซํ้าศูนย์และทศนิยมซ้ําท่ีไม่ใช่ทศนิยม
ในทางกลับกัน สามารถเขียนทศนิยมซ�้าในรูปเศษส่วนได้ ซึ่งนักเรียนเคยเขียนทศนิยมซ�้าศูนย์ ซํ้าศนู ย์ โดยใช้การถาม-ตอบ ประกอบ
การอธบิ าย
ในรูปเศษส่วนมาแลว้ เชน่
0-0..035.7 2 =5 =9 1 5=1030 7 0- 1 2 ,05 090
1.
2.
3.

ส�าหรบั ทศนยิ มซา�้ ทไ่ี ม่ใชท่ ศนยิ มซ้า� ศูนย์ สามารถเขยี นในรูปเศษสว่ นได ้ ดงั ตัวอย่างตอ่ ไปนี้

1ตวั อยา่ งที่ + --

เขียน 0.4. ในรปู เศษสว่ น

วธิ ที ำ� ให ้ N = 0.4.

ดงั นัน้ N = 0.444... . . . . . . . . . 1

นา� 10 คูณจ�านวนทั้งสองขา้ งของสมการ 1

จะได้ 10N = 4.444... . . . . . . . . . 2

สมการ 2 ลบดว้ ยสมการ 1

จะได ้ 10N - N = (4.444...) - (0.444...)

9N = 4
9494
N =
ดังน้ัน 0.4. =

จา� นวนจรงิ 7

เสริมความรู้ ครูควรสอน

ผลบวกของจำ�นวนตรรกยะเป็นจำ�นวนตรรกยะ
ให้ a และ b เป็นจ�ำ นวนตรรกยะ
ตจะอ้ ไงดก ้ ารแaส=ดmงnว่าแ ลaะ+bb= เปqpน็ จเมำ�นอื่ วmนต, รnร,กpยแะล ะนั่นqคเปอื น็ aจ�ำ +นวbน สเตาม็มารถเขยี น
ในรูปเศษส่วนของจ�ำ นวนเต็มได้
ดังนนั้ a + b เป==็น จmm�ำnนqว+nน+qตqpnรpรก ย (ะเข ียนในรูปเศษส่วนของจำ�นวนเต็มได้)
b 7 สุดยอดคู่มือครู
นน่ั คอื a +

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ข้นั คดิ วิเคราะห์
St

และสรปุ ความรู้ 2ตวั อย่างที่ + --
เขยี น 0.6.5. ในรูปเศษสว่ น
7. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างวิธีเขียน
ทศนิยมซํ้าในรูปเศษส่วน 3 ตัวอย่าง วิธีทำ� ให้ N = 0.6.5.
โดยใช้การถาม-ตอบ ประกอบการ
ดังนัน้ N = 0.656565... . . . . . . . . . 1

อธบิ าย นา� 100 คูณจ�านวนทงั้ สองขา้ งของสมการ 1

จะได้ 100N = 65.656565... . . . . . . . . . 2

8. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น สมการ 2 ลบดว้ ยสมการ 1

โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ จะได้ 100N - N = (65.656565...) - (0.656565...)
นกั เรียน ดังนี้
• นักเรียนมีวิธีการหรือหลักการใด 99N = 65
อีกหรือไม่ในการเขียนทศนิยมซํ้า 96969595
ด ัง นน้ั 0.6.N5. =
=

ในรูปเศษสว่ น 3ตวั อย่างที่ + --
(มี โดยใชก้ ารสงั เกตตวั เศษและตวั สว่ นของ
เขยี น 0.25.3. ในรูปเศษส่วน
เศษส่วนทีไ่ ด้ท่ีสัมพนั ธ์กบั ทศนยิ มซา้ํ น้ัน)
9. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการเขียน วธิ ีทำ� ให ้ N = 0.25.3.

ท ศ นิ ย ม ซํ้ า ใ น รู ป เ ศ ษ ส่ ว น โ ด ย ใ ช้ ดงั นั้น N = 0.2535353... . . . . . . . . . 1

นา� 1,000 คณู จา� นวนทั้งสองขา้ งของสมการ 1

การสังเกตตัวเศษและตัวส่วนของ จะได้ 1,000N = 253.535353... . . . . . . . . . 2
เศษส่วนที่ได้ท่ีสัมพันธ์กับทศนิยมซ้ํา
นั้น โดยใช้การถาม-ตอบ ประกอบ นา� 10 คณู จ�านวนทงั้ สองขา้ งของสมการ 1

จะได้ 10N = 2.535353... . . . . . . . . . 3

สมการ 2 ลบด้วยสมการ 3

การอธบิ าย จะได้ 1,000N - 10N = (253.535353...) - ( 2.535353...)

990N = 251
295901
N = 925901
ดงั น้ัน 0.25.3. =

8 คณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2 เลม่ 2

เสริมความรู้ ครูควรสอน

ผลคณู ของจำ�นวนตรรกยะเป็นจำ�นวนตรรกยะ
ให้ a และ b เปน็ จ�ำ นวนตรรกยะ
ตจะ้อไงดก้ า รแaส=ดmงnวา่ แaลbะ เbป็น=จำ�qpน ว เนมตอ่ื รmรก,ยnะ, p และ q เปน็ จ�ำ นวนเต็ม
เศษส่วนของจ�ำ นวนเต็มได้ นั่นคือ ab สามารถเขยี นในรูป

สุดยอดคู่มือครู 8 ดงั น้ัน aa bb เ==ป ็นจmmnnำ�qนpÖว นqpต รรก(เยขียะนในรปู เศษส่วนของจำ�นวนเตม็ ได)้

นั่นคือ