9786160548286

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

14. M NO จากรูป กา� หนด M^LN = K^LN
และ MN^O = KN^O
L พสิ จู น์วา่ NM^ L = NK^L

K

15. กา� หนด △ POW เปน็ รปู สามเหลย่ี มหน้าจั่ว W P

มี PO^W เปน็ มุมยอดมขี นาด 90 � MN
และ OM = ON พิสจู น์วา่ O

1) △ ONW  △ OMP
2) △ PNW  △ WMP

16. A B จากรูป ก�าหนด AD ตัด BC ที่จดุ E
D BA^ E = CD^E และ AE = DE
E
C พสิ ูจนว์ ่า △ ABE △ DCE

เสริมความรู้ ครูควรสอน ความเท่ากนั ทกุ ประการ 159
รปู สามเหล่ยี มสองรปู ทีม่ ีความสมั พนั ธ์แบบ มมุ -มมุ -ด้าน

CF

A CAA^B^CB BDF^D^EEF D E

พสิ ูจน์ 1) = (กำ�หนดให)้
2) = (กำ�หนดให้)

3) B C^BAC = EE^FF D ((กCำ�A^หBนด=ใFห^D)้ E และ A^BC = D^EF มมุ ท่ีเหลือของรูปสามเหล่ยี มยอ่ มเทา่ กัน)
4) =

5) ABC = DEF (ม.ด.ม.)

กล่าวคือ รปู สามเหล่ียมสองรูปที่มีความสมั พันธแ์ บบ มุม-มมุ -ดา้ น จะเท่ากันทุกประการ 159 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA

เป้าหมายการเรียนรู้

มาตรฐานการเรยี นรู้ 5หน่วหยกนา่วรยเกรยีารนเรู้ทยี ่ีนรู้ที่ การแปลงทางเรขาคณิต
มาตรฐาน ค 2.2
เขา้ ใจและวเิ คราะหร์ ปู เรขาคณติ สมบตั ขิ อง แผนผังสาระการเรียนรู้
รูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหว่าง
รปู เรขาคณิต และทฤษฎีบททางเรขาคณิต
และน�ำ ไปใช้

สมรรถนะสำ�คัญของผู้เรียน 1. การเล่อื นขนาน 2. การสะทอ้ น
1. ความสามารถในการสือ่ สาร (Translation) (Reflection)
2. ความสามารถในการคดิ
3. ความสามารถในการแกป้ ัญหา 4. การน�าความรเู้ กย่ี วกบั การแปลง
4. ความสามารถในการใช้ทักษะชวี ติ การแปลงทางเรขาคณิต ทางเรขาคณิต
5. ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี ไปใช้ในการแกป้ ัญหา
3. การหมุน
คณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์ (Rotation)
ใฝเ่ รยี นรู้
ตวั ช้วี ัดท่ี 4.1 ต้ังใจ เพียรพยายาม ตวั ชีว้ ัด
ในการเรยี นและเขา้ รว่ มกจิ กรรมการเรยี นรู้
มงุ่ มัน่ ในการทำ�งาน ✪ เขา้ ใจและใชค้ วามร้เู ก่ียวกบั การแปลงทางเรขาคณติ ในการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์
ตัวชว้ี ดั ท่ี 6.1 ตั้ ง ใ จ แ ล ะ รั บ ผิ ด ช อ บ และปัญหาในชีวิตจริง (ค 2.2 ม.2/3)
ในการปฏิบตั ิหน้าทกี่ ารงาน
ตัวชว้ี ดั ท ่ี 6.2 ทำ�งานด้วยความเพียร
พยายามและอดทนเพื่อให้งานสำ�เร็จ
ตามเปา้ หมาย

บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21

นักเรียนแต่ละคนออกแบบการเล่ือนขนาน การสะท้อน และการหมุน โดยใช้
ความรู้เรือ่ ง การแปลงทางเรขาคณติ ลงในกระดาษเปลา่ แล้วตกแต่งใหส้ วยงาม
จากนั้นออกมานำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อมอธิบายประกอบ นักเรียน
ร่วมกันคัดเลือกผลงานท่ีสวยงามมาจัดแสดงเป็นป้ายนิเทศหน้าชั้นเรียน
เพ่ือให้ความร้กู ับนกั เรียนชนั้ อ่ืน ๆ

สุดยอดคู่มือครู 160

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

ในชีวิตประจำาวันมักจะพบเห็นการเคล่ือนท่ีของส่ิงต่าง ๆ จากตำาแหน่งหนึ่งไปยังอีกตำาแหน่งหน่ึง St St ตวั ชว้ี ดั
เช่น การเลื่อนตู้เส้ือผ้าจากตำาแหน่งหน่ึงไปยังอีกตำาแหน่งหน่ึง ภาพของเราท่ีเกิดข้ึนขณะส่องกระจก
การหมุนของพัดลม การหมุนของล้อรถยนต์ เงาสะท้อนของต้นไม้ในสระนำ้า การเคลื่อนที่ที่ทำาให้เกิด ค 2.2 ม.2/3
การเปลี่ยนแปลงในเรื่องตำาแหน่งของวัตถุน้ัน ๆ ในทางเรขาคณิตเรียกว่า การแปลง โดยเรียกรูป ภาระงาน/ช้ินงาน
กอ่ นการแปลงวา่ รปู ต้นแบบ และรปู ทีไ่ ด้หลงั การแปลงวา่ ภาพทไี่ ดจ้ ากการแปลง การเลอื่ นขนานของรปู ต้นแบบ
การแปลงทเ่ี ปน็ การเคลอื่ นทคี่ งรปู จะสมั พนั ธก์ บั การเทา่ กนั ทกุ ประการ คอื จะมรี ะยะหา่ งระหวา่ งจดุ
ตลอดจนมีรูปร่างลักษณะและขนาดเท่าเดิมกับรูปต้นแบบ โดยการแปลงท่ีมีลักษณะดังกล่าว ได้แก่ ep 1 ขน้ั สงั เกต
การเลื่อนขนาน (Translation) การสะท้อน (Reflection) และการหมนุ (Rotation)
ส่วนการแปลงที่เกี่ยวกับการเปล่ียนขนาด เช่น การย่อหรือการขยาย การแปลงในลักษณะน้ี รวบรวมขอ้ มลู
จะสัมพันธ์กับความคล้าย ในท่ีน้ีจะกล่าวเฉพาะการแปลงที่เป็นการเคล่ือนที่คงรูปเท่าน้ัน ซ่ึง
นักเรียนสามารถพบเห็นได้ในชีวิตประจำาวัน และในงานศิลปะต่าง ๆ เช่น การออกแบบลวดลาย 1. นกั เรยี นรว่ มกนั แสดงความคดิ เหน็ โดยใช้
ของลายผา้ ลายกระเบื้อง ลายเหล็กดัด คำ�ถามกระต้นุ ความคดิ ดังน้ี

ลายผ้า ลายกระเบอื้ ง ลายเหลก็ ดัด • กิจกรรมใดบ้างที่นักเรียนใช้ความรู้
เรือ่ ง การเล่อื นขนาน
กำาหนด△ ABC เปน็ รปู ต้นแบบ และ△ A′B′C′ เปน็ ภาพท่ีไดจ้ ากการแปลง
จากรูป จุด P เป็นจุดจุดหน่ึงบนรูปต้นแบบ 2. นกั เรียนศึกษา การเลอ่ื นขนาน
B B′ และจุด P′ เป็นภาพที่ได้จากการแปลง จุด P เป็น (Translation)
A A′ รปู ต้นแบบของจุด P′ และจุด P′ เป็นภาพทีไ่ ด้จาก
การแปลงของจุด P เรียกจุด P และจุด P′ ว่าเป็น ep 2 ขั้นคิดวเิ คราะห์
P P′ จุดท่ีสมนัยกัน ซ่ึงแต่ละจุดบนรูปต้นแบบจะมีจุด
ทสี่ มนยั กนั เพยี งจดุ เดยี วเทา่ นน้ั กบั แตล่ ะจดุ บนภาพ และสรปุ ความรู้

C C′ ที่ได้จากการแปลง และแต่ละจุดบนภาพท่ีได้จาก 3. นักเรียนจับคู่กับเพื่อนวาดรูปเรขาคณิต
การแปลงจะมีจุดที่สมนัยกันเพียงจุดเดียวเท่านั้น สองมิติ 1 รูป แล้วนักเรียนรับกระดาษ
ลอกลายคนละ 1 แผ่น นักเรียนลอก
กบั แตล่ ะจุดบนรูปตน้ แบบ รปู เรขาคณติ สองมติ นิ นั้ จากนนั้ ใชค้ �ำ ถาม
กระตนุ้ ความคดิ ของนักเรยี น ดงั นี้
เมื่อพจิ ารณารูปการแปลงขา้ งตน้ จะมจี ุดทีส่ มนัยกัน ดังน้ี
จุด A สมนยั กบั จุด A′ หรือ จดุ A′ สมนัยกบั จุด A • รูปทั้งสองมีลักษณะและขนาด
จุด B สมนยั กับจดุ B′ หรอื จดุ B′ สมนยั กบั จดุ B เปน็ อย่างไร
จดุ C สมนยั กบั จดุ C′ หรือ จุด C′ สมนยั กับจุด C
(ลกั ษณะและขนาดเทา่ กัน)
การแปลงทางเรขาคณติ 161 • เม่ือวางกระดาษลอกลายในลักษณะ

รูปแบบของการแปลง ต่าง ๆ จะเป็นอย่างไร
แบบท่ีหน่งึ การแปลงที่เป็นการเคลื่อนที่คงรูป (Rigid Motion) สัมพันธ์กับ (ลกั ษณะและขนาดยังคงเทา่ กนั เช่นเดมิ )
ความเทา่ กนั ทกุ ประการ การแปลงแบบนรี้ ปู ทเ่ี กดิ ขน้ึ จะยงั คงรกั ษาภาวะรว่ มเสน้ ตรง 4. นักเรียนพิจารณาเพิ่มเติมเก่ียวกับ
(Collinearity) คือ ระยะห่างระหวา่ งจุด ตลอดจนมรี ูปร่างลกั ษณะและขนาดเทา่ เดิม
กับรูปต้นแบบ เรียกการแปลงแบบนี้ว่า สมมิติ (Isometry) การแปลงท่ีมีสมบัติ รูปแบบของการแปลงและขอบเขตของ
ดังกล่าว ได้แก่ การเลือ่ นขนาน (Translation) การสะท้อน (Reflection) และการหมุน การแปลง ดงั น้ี
(Rotation)
แบบทส่ี อง การแปลงที่เกี่ยวกับการเปล่ียนขนาด (Dilation) อาจย่อหรือขยายภาพ 161 สุดยอดคู่มือครู
การแปลงแบบนีส้ มั พันธ์กับความคลา้ ย

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขัน้ คิดวเิ คราะห์
St

และสรปุ ความรู้ 1. การเลอ่ื นขนาน (Translation)

5. นักเรียนพิจารณาบัตรภาพแสดงความ การเล่ือนขนานเป็นการแปลงทางเรขาคณิตท่ีจับคู่จุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุด
สมั พนั ธข์ องการเลอ่ื นขนานบนกระดาน ของภาพท่ไี ดจ้ ากการเลื่อนขนาน การเล่ือนจะตอ้ งไปในทิศทางใดทิศทางหนึง่ ในระยะทางทกี่ าำ หนด
แล้วใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ
นักเรียน ดังนี้ AM

A′ B N

B′ C′ C O
A รปู ตน้ แบบ ภาพทีไ่ ด้จากการเลอ่ื นขนาน

B C 45 ํ จากรูป AM = BN = CO เพมิ่ ความเข้าใจ

• รูปตน้ แบบคอื รปู ใด จะพบว่า AM // BN // CO นักเรียนสามารถศกึ ษาเกี่ยวกับการเลอื่ นขนาน
( ABC )
• ภาพที่ได้จากการเล่ือนขนานคือ รปู สามเหล่ียมด้วยเวกเตอร ์ ผ่านไฟล ์ .GSP
เปิดด้วยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
รปู ใด ได้จาก bit.ly/2BGeK0I
( A′B′C′)
• ภาพจากการเลื่อนขนานข้างต้น สมบตั ิของการเลอื่ นขนาน
1. ภาพทไี่ ดจ้ ากการเลอื่ นขนานกับรปู ต้นแบบจะเทา่ กันทุกประการ
มคี วามสัมพันธก์ นั อย่างไร 2. จดุ แต่ละจดุ ที่สมนัยกนั บนภาพทไ่ี ดจ้ ากการเลื่อนขนานกับรปู ต้นแบบจะมีระยะห่างเท่ากนั
(AA′ = BB′ = CC′, 3. ภายใต้การเลอ่ื นขนานจะไมม่ ีการเปลยี่ นแปลงรูปร่างและขนาดของรปู ตน้ แบบ
AA′ = BB′ = CC′ และ 4. การเลื่อนขนานจะตอ้ งมีทศิ ทาง
ABCเทา่ กนั ทกุ ประการกบั ( A′B′C′)
การเล่อื นขนานในระบบพิกดั ฉาก

ตวั อย่างการเล่อื นขนาน △ ABC ขนานกับแกน X ไปทางขวา 5 หนว่ ย

Y

A 5 A′ เพิ่มความเข้าใจ
4
C 23 C′ นักเรียนสามารถศึกษาเกย่ี วกับการเล่ือนขนาน
B1 B′ รูปสามเหลย่ี มในระบบพิกัดฉาก ผ่านไฟล์ .GSP
-5 -4 -3 -2 -1-10 123 45 X เปดิ ด้วยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
ไดจ้ าก bit.ly/2ScZRIP

162 คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 2 เล่ม 2

ทากงาเรรขแาปคลณง ิต เสริมความรู้ ครูควรสอน

การเล่ือนขนานเป็นการสะท้อนสองคร้งั ทต่ี อ่ เน่ืองกัน โดยผ่านเส้นสะท้อน
สองเสน้ ท่ขี นานกัน

สุดยอดคู่มือครู 162

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

Y St ep 2 ข้ันคดิ วิเคราะห์

7 และสรปุ ความรู้
6
5 รูปต้นแบบ 6. นักเรียนพิจารณาบัตรภาพแสดงการ
4 เลอ่ื นขนานในระบบพกิ ดั ฉากบนกระดาน
3 ภาพที่ได้จากการเลือ่ นขนาน แลว้ ใชค้ �ำ ถามกระตนุ้ ความคดิ ของนกั เรยี น
2 ดังน้ี
1 1 2 3 4 5 6 7 8 X

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1- 10 Y

-2 7
-3 A6

รูป ซ่ึงเป็นรูปต้นแบบมีพิกัดของจุด เพิม่ ความเขา้ ใจ 5 A′
เป็น (2, 3) เม่ือเลื่อนขนานตามแนวแกน Y 4
ลงมา 1 หนว่ ย และเล่ือนขนานตามแนวแกน X นักเรยี นสามารถศึกษาเกีย่ วกับการเลื่อนขนานจุด 3 B′ C′
ไปทางขวา 4 หน่วย จะได้ภาพมีพิกัดของจุด ผา่ นไฟล์ .GSP เปดิ ดว้ ยโปรแกรม The Geometer’s B C2 1234567
เปน็ (6, 2) Sketchpad ได้จาก bit.ly/2E6uKtt 1

ตัวอยา่ ง + -- 7 6 5 4 3 2 1 0 X
1
จุด A มพี ิกัดของจดุ เป็น (2, 4) เมอื่ เล่ือนจุด A ขนานกบั แกน X ไปทางขวา 3 หนว่ ย
2
และขนานกับแกน Y ข้นึ ไป 1 หนว่ ย จะไดจ้ ดุ A′ มพี ิกดั ของจดุ เปน็ เท่าไร

วิธที า� เลื่อนจุด A ขนานกับแกน X ไปทางขวา 3 หนว่ ย และขนานกบั แกน Y • รปู ตน้ แบบคอื รปู ใด และมพี กิ ดั อยทู่ ี่
ขึน้ ไป 1 หนว่ ย จะได้จดุ A′ มพี กิ ัดของจดุ เป็น (5, 5) จุดใด

Y ( ABC มพี ิกดั คอื A(-2, 6),

7 A′(5, 5) X B(-5, 2) และ C(-2, 2))
6 A 3 หน่วย 1 หน่วย • ภาพทไี่ ดจ้ ากการเลอ่ื นขนานคอื รปู ใด
5
4 1 2 3 4 5 6 7 8 และมพี กิ ดั อยทู่ ่ีจดุ ใด
3 ( A′B′C′มพี กิ ดั คอื A′(5, 6),
2 B′(2, 2) และ C′(5, 2))
1 • ภาพจากการเล่ือนขนานข้างต้น

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1- 1 0

-2
-3

เพ่มิ ความเข้าใจ การแปลงทางเรขาคณติ 163 มคี วามสัมพันธ์กนั อย่างไร
(AA′ = BB′ = CC′,
นกั เรยี นสามารถศกึ ษาเกีย่ วกบั การเลือ่ นขนานด้วยเวกเตอร์ AA′ = BB′= CC′ และ
ในระบบพกิ ดั ฉาก ผา่ นไฟล์ .GSP เปิดด้วยโปรแกรม ABC เท่ากนั ทกุ ประการกับ A′B′C′)
The Geometer’s Sketchpad ได้จาก bit.ly/2BJguGF

• จากการเล่ือนขนาน เป็นการ

จากน้ันกำ�หนดให้เล่ือนขนานกับแกน X ไปทางขวา 5 หน่วย เลอื่ นขนานท่ีมลี ักษณะอยา่ งไร
และขนานกับแกน Y ลงมา 2 หน่วย แล้วผู้แทนนักเรียน (เล่อื นขนานกับแกน X ไปทางขวา 7 หนว่ ย)
ครงั้ ละคนออกมาเขยี นพกิ ดั ของ A′′B′′C′′ จนครบทงั้ 3 พกิ ดั
โดยมนี ักเรียนและครรู ว่ มกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง

7. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการเล่ือนขนานในระบบพิกัดฉาก

เพ่ิมเติม โดยใช้การถาม-ตอบ ประกอบการอธบิ าย

163 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 3 ขน้ั ปฏิบตั ิ
St แหลละังสกราปุรปควฏาิบมตั ริู้

แบบฝึกหัดท่ี 1

8. นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน 1. เขียนภาพท่ไี ด้จากการเลือ่ นขนานของรูปสามเหลยี่ ม ABC ท่กี ำาหนดต่อไปนี้

แ ต่ ล ะ ก ลุ่ ม พิ จ า ร ณ า รู ป ต้ น แ บ บ 1) เล่อื นขนานกับแกน Y ขนึ้ ไป 3 หน่วย 2) เล่อื นขนานกบั แกน X ไปทางซ้าย 4 หน่วย

บนกระดาน แล้วพิจารณาบัตรโจทย์ Y Y
นักเรียนแต่ละกลุ่มสร้างภาพที่ได้จาก 6
การเลอ่ื นขนาน 2 ขอ้ ลงในกระดาษเปล่า 6 5
จากน้ันสลับผลงานกับกลุ่มอ่ืน เพื่อ 5 4
ร่วมกนั ตรวจสอบและแกไ้ ข 4 3A
9. นักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งที่เข้าใจเป็น 3 2
ความรรู้ ่วมกนั ดงั นี้ 2 1C
1 -5 -4 -3 -2 -1-10 B1 2 3 4 5 6
-2 -1-10 A X -2 X
1 2 3 4 5C 6 7
-2 B
-3

1) รูปต้นแบบกับภาพที่ได้จากการ 2. จุด A มพี ิกัดของจุดเป็น (5, 2) เม่อื เล่อื นขนานจุด A ตามข้อกาำ หนดในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี
เลอ่ื นขนานจะเทา่ กนั ทุกประการ
หาพิกัดของภาพทไี่ ดจ้ ากการเลือ่ นขนานของจดุ A
2) ระยะห่างระหว่างจุดท่ีสมนัยกัน 1) เลื่อนขนานกับแกน X ไปทางขวา 3 หน่วย และขนานกับแกน Y ขึ้นไป 2 หน่วย
ของรูปต้นแบบกับภาพท่ีได้จากการ 2) เลื่อนขนานกบั แกน X ไปทางขวา 4 หน่วย และขนานกับแกน Y ลงมา 2 หน่วย
เลอ่ื นขนานจะเท่ากนั 3) เล่ือนขนานกับแกน X ไปทางซา้ ย 4 หนว่ ย และขนานกับแกน Y ข้ึนไป 3 หนว่ ย
4) เลื่อนขนานกับแกน X ไปทางซา้ ย 4 หน่วย และขนานกบั แกน Y ลงมา 3 หน่วย
3) ส่ ว น ข อ ง เ ส้ น ต ร ง ที่ ส ม นั ย กั น
ของรูปต้นแบบกับภาพท่ีเกิดจากการ 3. จดุ A มพี กิ ดั ของจดุ เป็น (-2, -3) เมอื่ เล่อื นขนานจุด A ตามขอ้ กำาหนดในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี
เล่อื นขนานจะเทา่ กันและขนานกนั
หาพกิ ัดของภาพท่ีไดจ้ ากการเล่อื นขนานของจุด A
4) การเลื่อนขนานในระบบพิกัดฉาก 1) เลือ่ นขนานกบั แกน X ไปทางขวา 3 หนว่ ย และขนานกบั แกน Y ขน้ึ ไป 2 หน่วย
จะเป็นการเล่ือนของจุดแต่ละจุด โดย 2) เลื่อนขนานกบั แกน X ไปทางขวา 4 หนว่ ย และขนานกับแกน Y ลงมา 2 หนว่ ย
กำ�หนดแต่ละจุดของรูปต้นแบบกับภาพ 3) เลอ่ื นขนานกบั แกน X ไปทางซา้ ย 4 หนว่ ย และขนานกบั แกน Y ขน้ึ ไป 3 หน่วย
4) เลือ่ นขนานกบั แกน X ไปทางซา้ ย 4 หน่วย และขนานกับแกน Y ลงมา 3 หนว่ ย
5) เลอื่ นขนานกับแกน Y ลงมา 4 หน่วย

ทไ่ี ดจ้ ากการเลอื่ นขนานมคี วามสมั พนั ธก์ นั

โดยแต่ละจุดจะมีระยะในการเล่ือนไป

ตามแนวแกน X หรือตามแนวแกน Y

เท่ากนั

5) การเล่อื นขนานจะต้องมที ศิ ทาง 164 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 เลม่ 2

แนวข้อสอบ O-NET/PISA (เฉลย 1 แนวคดิ

Y

จุด A มีพกิ ัด (2, 3) พกิ ดั ของภาพท่ีได้จากการเลอื่ นขนาน 4 A(2, 3)
จดุ A เลอ่ื นขนานกบั แกน X ไปทางซา้ ย 3 หนว่ ย และขนาน 1234
กบั แกน Y ลงมา 2 หนว่ ย คอื ขอ้ ใด 3
1 A′ (-1, 1)
2 A′ (-1, 5) 2
3 A′ (5, 1)
4 A′ (5, 5) A( 1, 1) 1 X

4 3 2 1 0
1

2

3

4

สุดยอดคู่มือครู 164 จุด A′ มีพกิ ดั คอื (-1, 1))

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

St Step 4

4. เลอื่ นขนานรูปสีเ่ หลี่ยม ABCD ขนานกบั แกน X ไปทางซ้าย 6 หนว่ ย และขนานกับแกน Y ขนั้ สอื่ สารและนำ� เสนอ
ลงมา 2 หน่วย
10. ผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่ม กลุ่มละ
Y D(6, 7) 2 ค น อ อ ก ม า นำ � เ ส น อ ผ ล ง า น
C(6, 3) หน้าชั้นเรียนพร้อมอธิบายประกอบ
7 โดยมีนักเรียนและครูร่วมกันตรวจสอบ
6 ความถูกต้อง
5
4 A(2, 4) 5ep ขนั้ ประเมินเพอ่ื เพมิ่ คณุ ค่า
บริการสังคม
3 และจิตสาธารณะ
2
1 B(2, 2) 11. นักเรียนนำ�ความรู้ไปช่วยแนะนำ�
เ พื่ อ น ที่ ยั ง ไ ม่ เ ข้ า ใ จ เ ก่ี ย ว กั บ ก า ร
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 5 6 7 8 X เล่อื นขนาน ให้เกิดความเข้าใจยง่ิ ขึน้
-2

5. กำาหนดรูปสามเหล่ยี ม ABC มจี ดุ ยอด A(1, -1), B(3, 2) และ C(-4, 4) เลื่อนขนาน
รูปสามเหล่ยี ม ABC ขนานกับแกน X ไปทางซา้ ย 3 หน่วย และขนานกับแกน Y ลงมา 2 หน่วย

พรอ้ มท้งั บอกพิกัดของจุดยอดรูปสามเหล่ียม A′B′C′ที่เปน็ ภาพที่ไดจ้ ากการเลอื่ นขนานของ
รูปสามเหลย่ี ม ABC

Y

7
6
5
C 4

3 B
2
1
X
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1- 10 1 2 3 4 5 6 7 8
A
-2
-3
-4
-5
-6
-7

การแปลงทางเรขาคณิต 165

แนวข้อสอบ O-NET/PISA (เฉลย 3 แนวคดิ

จดุ B′มีพกิ ัด (-2, -3) ซ่ึงเปน็ ภาพที่ได้จากการเลอ่ื นขนาน Y
รปู ตน้ แบบขนานกบั แกน X ไปทางซา้ ย 4 หนว่ ย และขนาน
กบั แกน Y ลงมา 2 หน่วย พิกดั ของรูปต้นแบบคือข้อใด 4
1 (-6, -1) 3
2 (-6, -5) 2
3 (2, -1) 1
4 (2, -5)
4 3 2 1 0 1234 X
1 B(2, 1)

2

B( 2, 3) 3
4

พิกัดของรปู ตน้ แบบคือ (2, -1)) 165 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA

ตวั ชวี้ ดั 2. การสะทอ้ น (Reflection)

ค 2.2 ม.2/3 นักเรยี นพจิ ารณาการแบง่ รูปเรขาคณิตต่อไปน้ี

ภาระงาน/ชิ้นงาน

การสะทอ้ นของรปู ต้นแบบ

St St ep 1 ขนั้ สงั เกต ถ้านักเรียนพับรูปเรขาคณิตแต่ละรูปตามแนวเส้นประ จะพบว่ารูปเรขาคณิตจะทับกันสนิท
รูปเรขาคณิตจะเท่ากันทุกประการ หรือกล่าวอีกอย่างหน่ึงว่า รูปเรขาคณิตข้างหนึ่งของเส้นประเป็นภาพ
รวบรวมขอ้ มลู ทีไ่ ดจ้ ากการสะท้อนของรูปเรขาคณติ อกี ขา้ งหนง่ึ โดยมแี กนสมมาตรเป็นเสน้ สะท้อน

1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น แกนสมมาตร หมายถึง เส้นตรงหรอื เสน้ ประที่ลากผา่ นรูปเรขาคณิต แล้วทำาใหเ้ กดิ
โดยใชค้ ำ�ถามกระต้นุ ความคิด ดังนี้ รปู เรขาคณิตสองรปู ที่เท่ากันทกุ ประการ และรปู สองรูปทีเ่ ท่ากันทกุ ประการน้ี เรยี กว่า
รปู สมมาตร
• กิจกรรมใดบ้างที่นักเรียนใช้ ตัวอย่างรูปท่ีสามารถหาเส้นสะท้อนได้ เมื่อพับครึ่งตามแนวเส้นสะท้อนรูปข้างหนึ่ง
ความรูเ้ ร่ือง การสะท้อน ของรอยพบั เปน็ ภาพท่ีไดจ้ ากการสะทอ้ นของรปู อกี ข้างหนึ่ง

2. นกั เรียนศกึ ษา การสะท้อน ? นา่ คิด-นา่ ลอง
(Reflection)
นกั เรียนยกตัวอยา่ งส่งิ ของทีส่ ามารถหาเส้นสะท้อนได้มาอกี 3 ตัวอย่าง
ep 2 ขน้ั คิดวิเคราะห์ 166 คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2 เลม่ 2

และสรปุ ความรู้

3. นกั เรยี นแตล่ ะคนจะไดร้ บั กระดาษเปลา่
นักเรียนพับคร่ึงกระดาษนั้น แล้ว
ใช้กรรไกรตัดกระดาษเป็นรูปต่าง ๆ
แลว้ คลีก่ ระดาษออก จากน้ันใชค้ ำ�ถาม
กระตุ้นความคิดของนักเรยี น ดังน้ี

• รูปทั้งสองด้านของแนวกระดาษ
ที่พับนน้ั มลี ักษณะอยา่ งไร

(รปู ทง้ั สองจะเปน็ การสะทอ้ นซงึ่ กนั และกนั )
• รอยพับของกระดาษท่ีทำ�ให้

รูปท้ังสองเท่ากันทุกประการน้ีเรียกว่า
อะไร (แกนสมมาตร)

สุดยอดคู่มือครู 166

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

Step 2 ขั้นคิดวิเคราะห์

แบบฝึกหัดที่ 2 และสรุปความรู้

1. เขยี นแกนสมมาตรของรปู ต่อไปนี้ 4. นักเรียนพิจารณากระดาษที่เป็น
1) 2) รปู เรขาคณติ สองมติ ชิ นดิ ตา่ ง ๆ 4-5 ชน้ิ
แล้วผู้แทนนักเรียนคร้ังละคนออกมา
3) 4) พับกระดาษรูปเรขาคณิตสองมิตินั้น
โดยให้รูปท่ีได้จากการพับมีขนาด
5) 6) เท่ากนั อาจใชก้ ารพบั ได้มากกว่า 1 วิธี
แ ล้ ว ใ ช้ คำ � ถ า ม ก ร ะ ตุ้ น ค ว า ม คิ ด
7) 8) ของนกั เรยี น ดังน้ี

• เมื่อพับรูปเรขาคณิตสองมิติ
แล้วพบว่ามีขนาดเท่ากัน รอยพับนั้น
เรยี กว่าอะไร (แกนสมมาตร)

• รูปเรขาคณิตสองมิติรูปใดมี
แกนสมมาตรมากกวา่ 1 แกน

(รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

วงกลม)
จากน้ันนักเรียนพิจารณาเพิ่มเติม

เกี่ยวกบั รปู สมมาตร

การแปลงทางเรขาคณติ 167

เสริมความรู้ ครูควรสอน

เสน้ สะทอ้ นแบง่ ครึ่งและตงั้ ฉากกบั ส่วนของเสน้ ตรงท่เี ชื่อมระหวา่ ง
จุดแต่ละจุดของรปู ต้นแบบกับจดุ แต่ละจดุ บนภาพสะท้อน

สมนัยกัน ไมส่ มนัยกนั
เปน็ ภาพสะท้อน ไม่เปน็ ภาพสะทอ้ น

167 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขน้ั คิดวิเคราะห์
St

และสรุปความรู้ 2. ลอกรปู แล้วทาำ ใหเ้ ป็นรปู สมมาตรโดยมเี สน้ ประเปน็ แกนสมมาตร

5. นักเรียนพิจารณารูปเรขาคณิตสองมิติ 1) 2)
บนกระดาน 4-5 รูป ผู้แทนนักเรียน 3) 4)
ครั้งละคนออกมาเขียนเส้นสมมาตร
ทำ�เช่นนี้จนครบทุกรูป โดยมนี ักเรียน
และครรู ่วมกนั ตรวจสอบความถูกต้อง

6. นักเรียนร่วมกันอภิปรายและสรุป
ว่าแกนสมมาตร คือ เส้นตรงหรือ
เ ส้ น ป ร ะ ท่ี ล า ก ผ่ า น รู ป เ ร ข า ค ณิ ต
แล้วทําให้เกิดรูปเรขาคณิตสองรูป
ท่ีเท่ากันทุกประการ และรูปสองรูป
ทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการเรยี กวา่ รปู สามมาตร

3. กาำ หนดตวั อกั ษรภาษาอังกฤษ

ตอบคาำ ถามตอ่ ไปนี้
1) ตวั อักษรใดบา้ งทมี่ ีแกนสมมาตรในแนวนอน
2) ตัวอักษรใดบา้ งที่มีแกนสมมาตรในแนวต้งั

168 คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 เลม่ 2

เสริมความรู้ ครูควรสอน

ในชีวิตประจำ�วันเมื่อนักเรียนยืนส่องกระจก จะพบว่าภาพของนักเรียน
ทเี่ กดิ ขนึ้ เปน็ ภาพทเี่ กดิ จากการสะทอ้ น เมอ่ื นกั เรยี นเคลอ่ื นตวั เขา้ ไปใกลก้ ระจก
ก็เห็นภาพของนักเรียนเคลื่อนใกล้เข้ามา และเมื่อนักเรียนถอยห่างออกไปก็เห็น
ภาพของนักเรียนถอยห่างออกไปเช่นเดียวกัน นักเรียนจะพบว่า ขอบกระจก
ซ่ึงเป็นแนวเสน้ ตรงเปน็ เสน้ แบ่งระหวา่ งตวั ของนักเรียนและภาพของนกั เรียน

สุดยอดคู่มือครู 168

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

Step 2 ข้ันคิดวเิ คราะห์

การสะทอ้ นรปู ตน้ แบบขา้ มเสน้ สะทอ้ นเปน็ การแปลงทางเรขาคณติ ทมี่ กี ารจบั คกู่ นั ระหวา่ งจดุ แตล่ ะจดุ และสรปุ ความรู้
บนรปู ตน้ แบบกบั จดุ แตล่ ะจุดบนภาพทีไ่ ด้จากการสะท้อน และการสะท้อนจะตอ้ งมเี ส้นสะทอ้ นเสมอ
7. นักเรียนพิจารณาบัตรภาพแสดง
เสน้ สะทอ้ น ค ว า ม สั ม พั น ธ์ ข อ ง ก า ร ส ะ ท้ อ น
บนกระดาน แล้วใช้คำ�ถามกระตุ้น
A A′ ความคดิ ของนักเรยี น ดงั นี้

C C′



B B′ A A′
รูปต้นแบบ ภาพท่ีไดจ้ ากการสะท้อน
จากรปู จะพบว่า B B′
ระยะห่างจากจุด A ถึงเสน้ สะทอ้ น เทา่ กับระยะห่างจากจดุ A′ถงึ เสน้ สะทอ้ น C C′
ระยะหา่ งจากจุด B ถงึ เส้นสะท้อน เท่ากบั ระยะหา่ งจากจดุ B′ ถงึ เส้นสะทอ้ น
ระยะห่างจากจุด C ถึงเสน้ สะท้อน เท่ากับระยะห่างจากจดุ C′ถงึ เสน้ สะท้อน

เพ่มิ ความเข้าใจ • รปู ต้นแบบคือรปู ใด ( ABC)
• ภาพที่ได้จากการสะทอ้ นคือรปู ใด
นกั เรยี นสามารถศึกษาเกี่ยวกับการสะทอ้ นภาพ ผ่านไฟล ์ .GSP เปิดด้วยโปรแกรม ( A′B′C′)
The Geometer’s Sketchpad ได้จาก bit.ly/2GAn9qF • ภาพจากการสะทอ้ นขา้ งตน้ มคี วาม

ตวั อย่างการสะท้อน △ABC ข้ามเสน้ สะทอ้ น เพิม่ ความเขา้ ใจ สมั พนั ธ์กันอย่างไร
(ระยะจากจดุ Aถึงเท่ากบั ระยะจากจุดA′
เสน้ สะท้อน นกั เรยี นสามารถศึกษาเก่ียวกบั การสะท้อน
B B′ สว่ นของเสน้ ตรงด้วยส่วนของเสน้ ตรง ถงึ ,
ผ่านไฟล ์ .GSP เปดิ ดว้ ยโปรแกรม ระยะจากจดุ B ถึง  เทา่ กับระยะจากจุด B′
The Geometer’s Sketchpad ไดจ้ าก bit.ly/2EkJyGc
ถึง ,
A A′ เมอ่ื ลากเสน้ ประตอ่ จดุ A และจดุ A′ จะได้ AA′ตง้ั ฉาก ระยะจากจดุ C ถงึ  เทา่ กบั ระยะจากจุด C′
กับเส้นสะท้อน และจุด A, A′ ห่างจากเส้นสะท้อนเป็น
C ระยะเท่ากัน ในทำานองเดียวกันระยะห่างจากเส้นสะท้อน ถึง 
ของจดุ B กบั จุด B′ จะเท่ากนั และระยะหา่ งจากเส้นสะทอ้ น และ  แบ่งครงึ่ และตั้งฉากกบั AA′ , BB′
ขอ้ สังเกต C′
ของจุด C กบั จดุ C′ จะเท่ากัน จะได ้ △ A′B′C′ เปน็ ภาพที่ และ CC′)
ได้จากการสะท้อน △ ABC ขา้ มเสน้ สะทอ้ น

1. △ ABC △ A′B′C′ เพ่ิมความเข้าใจ

2. เสน้ สะทอ้ นจะแบ่งครงึ่ และ นักเรยี นสามารถศกึ ษาเก่ยี วกบั การสะทอ้ นรปู สามเหลย่ี ม
ตั้งฉากกบั AA′, BB′ และ CC′ ด้วยเสน้ ตรง ผา่ นไฟล ์ .GSP เปดิ ด้วยโปรแกรม
The Geometer’s Sketchpad ไดจ้ าก bit.ly/2BJgG8R

การแปลงทางเรขาคณติ 169

169 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขัน้ คดิ วเิ คราะห์
St
และสรปุ ความรู้
สมบตั ิของการสะทอ้ น
1. ภาพท่ไี ดจ้ ากการสะทอ้ นมีขนาดและรปู รา่ งเท่ากบั รปู ต้นแบบ หรอื เทา่ กันทกุ ประการ
8. นั ก เ รี ย น พิ จ า ร ณ า บั ต ร ภ า พ แ ส ด ง กบั รปู ต้นแบบ
2. ภาพท่ีได้จากการสะทอ้ นกบั รปู ตน้ แบบห่างจากเสน้ สะท้อนเท่ากัน
การสะทอ้ นในระบบพกิ ดั ฉากบนกระดาน
แ ล้ ว ใ ช้ คำ � ถ า ม ก ร ะ ตุ้ น ค ว า ม คิ ด การสะทอ้ นในระบบพกิ ดั ฉาก
ของนกั เรยี น ดังน้ี การสะทอ้ นในระบบพกิ ัดฉาก เปน็ การสะท้อนท่มี ีเส้นสะท้อนเป็นแกน X และแกน Y

Y การสะท้อนข้ามแกน X (Reflection over the X-axis) หมายถงึ การสะท้อนท่มี ีแกน X
ทาำ หนา้ ที่เป็นเส้นสะท้อน
7 A′
A B 6 B′ 1ตัวอยา่ งที่ + --

เขียนภาพสะท้อนท่ีได้จากการสะท้อนของรปู สามเหลี่ยม ABC ทม่ี ีพิกัด
5 A(4, 7), B(1, 2) และ C(6, 1) ขา้ มเสน้ สะท้อนบนแกน X

4

3

2

C1 C′ A
1234567
7 6 5 4 3 C′′2 1 0 X
1

2 B
3 C
4 C
5
A′′ B′′ 6 B
7

• รูปต้นแบบคือรูปใด และมีพิกัด A

อยทู่ ่จี ดุ ใด

( ABC มพี กิ ัด คือ A(-4, 6),

B(-1, 6) และ C(-2, 1)) วธิ ที �า หาพิกัดของภาพทีไ่ ดจ้ ากการสะทอ้ นของรูปตน้ แบบ
A(4, 7) คือ A′(4, -7)
• ภาพที่ได้จากการสะท้อนโดยมี B(1, 2) คือ B′(1, -2) เพิ่มความเข้าใจ
C(6, 1) คือ C′(6, -1)
แกน Y เป็นเส้นสะท้อนคือรูปใด และ นกั เรยี นสามารถศึกษาเกยี่ วกับการสะท้อนรปู
จะได ้△ A′B′C′ เปน็ ภาพท่ีไดจ้ าก ดว้ ยแกน X ผา่ นไฟล์ .GSP เปิดดว้ ยโปรแกรม
มีพกิ ดั อยู่ทจ่ี ุดใด The Geometer’s Sketchpad
การสะท้อนของรูปตน้ แบบ △ ABC ไดจ้ าก bit.ly/2V9U8VX
( A′B′C′มีพกิ ัด คอื A′(4, 6),
B′(1, 6) และ C′(2, 1)) 170 คณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 2 เลม่ 2

• ภาพท่ีได้จากการสะท้อนโดยมี

แกน X เป็นเส้นสะท้อนคือรูปใด และ

มพี กิ ัดอยู่ที่จุดใด จากน้ันกำ�หนดให้แกน Y = 1 และ
( A′′B′′C′′ มพี กิ ัด คอื A′′ (-4, -6), แกน X = -1 เป็นเส้นสะท้อน แล้วผู้แทน
B′′ (-1, -6) และ C′′(-2, -1)) นักเรียนคร้ังละคนออกมาเขียนพิกัดของ
• พกิ ดั ของรปู ตน้ แบบกบั พกิ ดั ของภาพ
A′B′C′ และเขยี นพกิ ดั ของ A′′B′′C′′
ท่ีได้จากการสะท้อนมีความสัมพันธ์กัน จนครบ โดยมีนักเรียนและครูร่วมกัน
ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
อยา่ งไร (จะมีระยะจากเส้นสะทอ้ นเท่ากนั )

สุดยอดคู่มือครู 170

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

ep 2 ขั้นคดิ วิเคราะห์St

การสะท้อนข้ามแกน Y (Reflection over the Y-axis) หมายถึง การสะท้อนที่มีแกน Y และสรปุ ความรู้
ทำาหน้าทเ่ี ป็นเส้นสะท้อน
9. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการสะท้อน
2ตวั อยา่ งท่ี + -- ในระบบพิกัดฉากเพ่ิมเติม โดยใช้
การถาม-ตอบ ประกอบการอธบิ าย
เขยี นภาพสะท้อนท่ไี ดจ้ ากการสะท้อนของรปู สามเหลี่ยม DEF ท่ีมีพิกดั
D(6, 8), E(2, 1) และ F(8, 3) ข้ามเสน้ สะท้อนบนแกน Y

DD

F F
EE

วิธีท�า หาพิกัดของภาพทไี่ ดจ้ ากการสะทอ้ นของรปู ตน้ แบบ
D(6, 8) คอื D′(-6, 8)
E(2, 1) คือ E′(-2, 1)
F(8, 3) คอื F′(-8, 3)

จะได ้ △ D′E′F′ เปน็ ภาพทีไ่ ดจ้ ากการสะท้อนของรปู ตน้ แบบ △ DEF

เพมิ่ ความเข้าใจ

นกั เรียนสามารถศึกษาเก่ียวกับการสะทอ้ นรูปด้วยแกน Y
ผา่ นไฟล ์ .GSP เปดิ ด้วยโปรแกรม
The Geometer’s Sketchpad ได้จาก bit.ly/2EhOFqj

การแปลงทางเรขาคณติ 171

171 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 3 ขน้ั ปฏบิ ัติ
St แหลละังสกราปุรปควฏาิบมัตริู้

3ตวั อยา่ งที่ + --
จดุ A มพี กิ ดั (-5, 4) จดุ B มีพกิ ัด (-2, 1) และจุด C มีพกิ ดั (-1, 5)
10. นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน เขียนภาพท่ีไดจ้ ากการสะท้อนของรปู สามเหล่ียม ABC โดยมแี กน Y เป็นเส้นสะทอ้ น
นักเรียนแต่ละกลุ่มพิจารณารูปต้นแบบ
บนกระดาน แต่ละกลุ่มจะได้รับ วิธีทา� ลากเส้นประจากจุด A มาต้ังฉากกับแกน Y พบว่ามีระยะห่าง 5 หน่วย แล้วลาก
บั ต ร โ จ ท ย์ แ ล้ ว นั ก เ รี ย น ร่ ว ม กั น เส้นประท่ีตั้งฉากกับแกน Y ต่อไปอีก 5 หน่วย จะได้จุด A′ ที่สะท้อนข้ามแกน Y
สร้างภาพที่ได้จากการสะท้อน 2 ข้อ ลากเส้นประจากจุด B มาต้ังฉากกับแกน Y พบว่ามีระยะห่าง 2 หน่วย แล้วลาก
ลงในกระดาษเปล่า จากน้ันสลับผลงาน เส้นประที่ตั้งฉากกับแกน Y ต่อไปอีก 2 หน่วย จะได้จุด B′ ที่สะท้อนข้ามแกน Y
กับกลุ่มอ่ืน เพื่อร่วมกันตรวจสอบ ลากเส้นประจากจุด C มาต้ังฉากกับแกน Y พบว่ามีระยะห่าง 1 หน่วย แล้วลาก
เส้นประท่ีตั้งฉากกับแกน Y ต่อไปอีก 1 หน่วย จะได้จุด C′ ท่ีสะท้อนข้ามแกน Y
ดังรปู

และแกไ้ ข Y

7
6
C 5 C′(1, 5) A′(5, 4)
A4
3
2
B 1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1- 10 B′(2, 1) X
1 2 3 4 5 6 7 8

-2
-3

จะได ้ △ A′B′C′ เปน็ ภาพท่ไี ด้จากการสะทอ้ นของ △ ABC

โดยมแี กน Y เป็นเส้นสะทอ้ น

แนวข้อสอบ O-NET/PISA

Y

7 172 คณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 2 เลม่ 2
6
5 จากรูป พกิ ัดของภาพท่ีได้จากการสะท้อนของ ABCD
4 โดยมีแกน X = 1 เปน็ เสน้ สะทอ้ น คอื ขอ้ ใด
3 X 1 A′(2, 2), B′(4, 2), C′(4, -2) และ D′(1, -2)
A B2 2 A′(4, 2), B′(2, 2), C′(1, -2) และ D′(4, -2)
1 3 A′(4, 2), B′(6, 2), C′(6, -2) และ D′(3, -2)
4 A′(6, 2), B′(4, 2), C′(3, -2) และ D′(6, -2)
7 6 5 4 3 2 1 0 1234567
1

D C2
3

4

5

6

7

สุดยอดคู่มือครู 172

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

Step 3 ขั้นปฏบิ ตั ิ
แหลละงั สกราปุรปควฏาิบมตั ริู้
แบบฝึกหัดท่ี 3
11. นั ก เ รี ย น ร่ ว ม กั น ส รุ ป สิ่ ง ที่ เ ข้ า ใ จ เ ป็ น

1. เขียนภาพท่ไี ดจ้ ากการสะทอ้ นของรปู ต้นแบบทกี่ าำ หนดให้ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ ความรรู้ ่วมกัน ดงั นี้

1) เส้นสะท้อน 1) การสะท้อนเป็นการแปลงที่มีการ
จบั คกู่ นั ของสว่ นตา่ ง ๆ ของวตั ถทุ สี่ ะทอ้ น

แบบหน่ึงต่อหนึ่งที่สมนัยกันระหว่างจุด

ต่าง ๆ บนรูปต้นแบบและภาพที่ได้

จากการสะทอ้ น

2) ระยะระหวา่ งจดุ บนรปู ตน้ แบบถงึ เสน้

สะท้อนกับระยะจากเส้นสะท้อนถึงจุด

2) เส้นสะท้อน บนภาพที่ได้จากการสะท้อนท่ีสมนัยกับ
จดุ บนรูปต้นแบบมีความยาวเท่ากนั

3) ภาพที่เกิดจากการสะท้อนเหมือน

รูปต้นแบบ และเท่ากนั ทกุ ประการ

4) เสน้ สะทอ้ นจะแบง่ ครงึ่ และตง้ั ฉากกบั

ส่วนของเส้นตรงที่เช่ือมระหว่างจุด

แต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุด

บนภาพทีไ่ ด้จากการสะทอ้ นท่ีสมนยั กัน

3) 5) จดุ ตา่ ง ๆ บนเสน้ สะทอ้ น เปน็ จดุ คงที่

ไม่เปล่ยี นต�ำ แหนง่ เมอ่ื ทำ�การสะทอ้ น

6) การสะท้อนบนระนาบพิกัดฉากจะมี

เสน้ สะทอ้ น เส้นสะท้อนหลัก 2 เส้น คือ แกน X
และ Y โดยการสะทอ้ นบนระนาบพกิ ดั ฉาก

จุดบนระนาบพิกัดฉากของรูปต้นแบบ

และจุดบนระนาบพิกัดฉากของภาพ

(เฉลย 4 แนวคิด Y การแปลงทางเรขาคณิต 173 สะท้อนจะมีระยะจากเส้นสะท้อนเท่ากัน
7 โดยจุดพิกัดฉากของรูปต้นแบบและ
6 X=1 ภาพสะท้อนจะเท่ากันเสมอ

5

4

3 B′(4, 2) A′(6, 2)
A B2

1

7 6 5 4 3 2 1 0 1234567 X
1

D C2 C′(3, -2) D′(6, -2) A′B′C′D′เปน็ ภาพทไ่ี ด้จากการสะทอ้ น
3 ABCD โดยมแี กน X = 1 เปน็ เสน้ สะทอ้ น)

4

5

6

7

173 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA

Step 4

ขน้ั สอ่ื สารและนำ� เสนอ 2. กาำ หนด รปู สเี่ หล่ียม ABCD เขียนภาพทไ่ี ดจ้ ากการสะท้อนของรูปสี่เหล่ียม ABCD
โดยมีแกน Y เปน็ เส้นสะทอ้ น
12. ผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่ม กลุ่มละ
2 คน ออกมานำ�เสนอผลงาน Y
หน้าช้ันเรียนพร้อมอธิบายประกอบ
โ ด ย มี นั ก เ รี ย น แ ล ะ ค รู ร่ ว ม กั น 6C
ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง 5
43D
2B
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 A X
1 23 4 5 6

-2

3. กำาหนด รปู หลายเหลย่ี ม GHIJKL เขยี นภาพที่ไดจ้ ากการสะท้อนของรูปหลายเหลีย่ ม GHIJKL
โดยมีแกน X เป็นเส้นสะทอ้ น

Y

5 LK
4
3 G J

2
1H I
-2 -1-10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
-2
-3
-4
-5

4. เขียนภาพท่ีได้จากการสะท้อนของรปู ตน้ แบบท่ีกาำ หนดให้ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้

1) 2) m
m

แนวข้อสอบ O-NET/PISA 174 คณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2 เลม่ 2

จุด A′ มีพิกัด (3, -2) ซึ่งเป็นภาพท่ีได้ Y พิกัดของรปู ตน้ แบบ คอื (3, 4))
จากการสะท้อนข้ามแกน Y = 1 พิกัด
ของรปู ต้นแบบคอื ขอ้ ใด 7 X
1 (3, 2) 6
2 (3, 4) 5
3 (-3, -2) 4 A (3, 4)
4 (-3, -4) 3
(เฉลย 2 แนวคดิ 2
1 Y=1
สุดยอดคู่มือครู 174
7 6 5 4 3 2 1 0 1234567
1 A (3, 2)

2

3

4

5

6

7

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด St รอบรู้อาเซียนและโลก

3) 4) m 5ep ขั้นประเมนิ เพอ่ื เพิม่ คณุ คา่
m บรกิ ารสังคม
และจิตสาธารณะ

13. นักเรียนนำ�ความรู้ไปช่วยแนะนำ�

เ พ่ื อ น ท่ี ยั ง ไ ม่ เ ข้ า ใ จ เ กี่ ย ว กั บ ก า ร

สะทอ้ น ให้เกดิ ความเขา้ ใจย่งิ ขึน้

5) 6)

mm

การแปลงทางเรขาคณติ 175

175 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA

ตัวชวี้ ัด 3. การหมุน (Rotation)

ค 2.2 ม.2/3 การหมุนต้องมีจุดหมุน จุดหมุนจะอยู่ภายนอกหรือบนรูปต้นแบบก็ได้ การหมุนจะต้องหมุน
ภาระงาน/ชน้ิ งาน ทวนเข็มหรือตามเขม็ นาฬกิ า ตามขนาดของมุม โดยท่ัวไปถ้าไม่ระบุทิศทางการหมนุ จะถอื วา่ เป็นการหมนุ
การหมุนของรปู ตน้ แบบ ทวนเข็มนาฬกิ า
การหมุนเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่ได้จากการจับคู่ของจุดแต่ละคู่ระหว่างรูปต้นแบบกับภาพ
ep 1 ขั้นสังเกต ทไ่ี ดจ้ ากการหมุน

St St รวบรวมขอ้ มูล A

ภาพท่ไี ดจ้ ากการหมุน C′

1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น A′ รูปตน้ แบบ
โดยใชค้ ำ�ถามกระตุน้ ความคิด ดงั นี้
B′
• กิจกรรมใดบ้างท่ีนักเรียนใช้ความรู้
เรอ่ื ง การหมุน 90 ำ B
90 ำ
2. นักเรียนศกึ ษา การหมนุ (Rotation) 90 ำ C

ep 2 ขน้ั คิดวิเคราะห์ O

และสรุปความรู้ O เป็นจุดหมุนรูปสามเหลย่ี ม ABC ทวนเข็มนาฬิกาเปน็ มุม 90 ำ รูปสามเหลีย่ ม A′B′C′
เปน็ ภาพท่ไี ดจ้ ากการหมุน

3. นั ก เ รี ย น พิ จ า ร ณ า บั ต ร ภ า พ แ ส ด ง ขอ้ สงั เกต เพิม่ ความเข้าใจ

△ ABC △ A′B′C′ นกั เรยี นสามารถศึกษาเก่ียวกับการหมนุ ทวนเขม็ นาฬิกา
ผา่ นไฟล ์ .GSP เปดิ ด้วยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
ไดจ้ าก bit.ly/2DYag5I

ความสัมพันธ์ของการหมุนบนกระดาน สมบตั ขิ องการหมุน
1. ภาพทไ่ี ดจ้ ากการหมนุ กับรูปตน้ แบบจะเท่ากนั ทกุ ประการ
แ ล้ ว ใ ช้ คำ � ถ า ม ก ร ะ ตุ้ น ค ว า ม คิ ด 2. จุดแตล่ ะจุดบนรปู ตน้ แบบเคลือ่ นทร่ี อบจดุ หมนุ ด้วยขนาดของมมุ ทกี่ ำาหนด
3. จุดหมนุ เปน็ จดุ คงท่ี
ของนกั เรยี น ดงั นี้ A
เพ่ิมความเขา้ ใจ
C′
นักเรียนสามารถศึกษาเก่ียวกับการหมนุ ตามเข็มนาฬกิ า
A′ ผ่านไฟล์ .GSP เปดิ ดว้ ยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
ได้จาก bit.ly/2BI32mn
B′ B
176 คณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 2 เลม่ 2
90 ํ C
90 ํ
90 ํ

O

• รูปตน้ แบบคือรูปใด ( ABC)

• ภาพท่ีไดจ้ ากการหมุนคอื รปู ใด เสริมความรู้ ครูควรสอน
( A′B′C′)
• ภาพจากการหมุนข้างต้นมีความ การหมุนเปน็ การสะท้อนสองคร้งั ท่ตี ่อเนื่องกนั โดยผ่านเสน้ สะทอ้ นสองเสน้ ท่ีตดั กัน

สัมพนั ธก์ ันอยา่ งไร ดังรูป B B 1
A B′
(เป็นการหมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุม 90 ํ A
รอบจุด O โดยท่ี AO ทำ�มุม 90 ํ กับ A′O,
BO ทำ�มุม 90 ํ กับ B′O และ CO ทำ�มุม 90 ํ P

กับ C′O และ AO = A′O, BO = B′O และ A′ A′′A′
CO = C′O) B′ B′′
2

สุดยอดคู่มือครู 176

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
การหมนุ ในระบบพกิ ัดฉาก
St ep 2 ขน้ั คดิ วิเคราะห์

และสรปุ ความรู้

ตัวอย่าง + -- 4. นกั เรยี นพจิ ารณาบตั รภาพแสดงการหมนุ

จดุ A มีพกิ ดั (-5, 2) จุด B มีพกิ ัด (-2, 2) และจุด C มีพกิ ัด (-1, 6) ในระบบพิกัดฉากบนกระดาน แล้วใช้
เขียนภาพทไ่ี ดจ้ ากการหมุนของรูปสามเหลย่ี ม ABC รอบจดุ O ตามเขม็ นาฬกิ า
เปน็ มมุ ขนาด 90 องศา ค�ำ ถามกระตนุ้ ความคดิ ของนกั เรยี น ดงั น้ี

วธิ ที า� ลากเสน้ ประผ่านพิกดั ของจุด A มายังจุด O ใช้ O เป็นจุดศนู ย์กลางของการหมุน Y
หมนุ จุด A ตามเขม็ นาฬิกาเป็นมุม 90 องศา จะได้จุด A′ โดยท ่ี AO = OA′
ลากเส้นประผา่ นพิกดั ของจุด B มายงั จุด O ใช้ O เปน็ จดุ ศนู ย์กลางของการหมุน 7
หมนุ จดุ B ตามเขม็ นาฬิกาเป็นมมุ 90 องศา จะได้จดุ B′ โดยท่ ี BO = OB′
ลากเสน้ ประผ่านพกิ ัดของจุด C มายังจุด O ใช้ O เป็นจุดศูนยก์ ลางของการหมุน 6
หมุนจุด C ตามเข็มนาฬิกาเป็นมุม 90 องศา จะได้จุด C′ โดยท ่ี CO = OC′ ดงั รูป A5

4

3

Y B C2
1
P
8 0 X
7 6 5 4 3 2 1 1 1234567
7 CB
C 6 A′(2, 5) 2
A
5 3
4
3 4

A B 90 ำ 2 B′(2, 2) C′(6, 1) 5
1
X 6

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1O 1 2 3 4 5 6 7 8 7
-2
-3 • รูปต้นแบบคือรูปใด และมีพิกัดอยู่
ที่จดุ ใด
จะได้ △ A′B′C′ เป็นภาพท่ไี ด้จากการหมนุ ของ △ ABC
( ABC มพี กิ ดั คือ A(-4, 5)
รอบจุด O ตามเขม็ นาฬิกาเป็นมมุ ขนาด 90 องศา

เพม่ิ ความเข้าใจ B(-6, 2) และ C(-2, 2))

นกั เรยี นสามารถศกึ ษาเกี่ยวกับการหมุนทวนเข็มนาฬกิ าในระบบพกิ ดั ฉาก • ภาพที่ได้จากการหมุนโดยมีจุด P
ผา่ นไฟล ์ .GSP เปิดด้วยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad เป็นจุดหมุนคือรูปใด และมีพิกัดอยู่ท่ี
ไดจ้ าก bit.ly/2EjgkHA จดุ ใด

เพิ่มความเขา้ ใจ ( A′B′C′ มีพกิ ัด คือ A′(4, -5),
B′(6, -2) และ C′(2, -2))
นักเรยี นสามารถศกึ ษาเก่ยี วกบั การหมุนตามเขม็ นาฬิกาในระบบพิกดั ฉาก
ผา่ นไฟล์ .GSP เปิดดว้ ยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad
ไดจ้ าก bit.ly/2DTAYww

การแปลงทางเรขาคณติ 177 • ขนาดของการหมนุ มลี กั ษณะอยา่ งไร

(หมนุ ตามเข็มนาฬกิ าเป็นมมุ 180 )ํ

จากน้ันกำ�หนดขนาดของการหมุน
5. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการหมุน เป็นการหมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุม 90 ํ
ในระบบพิกัดฉากเพิ่มเติม โดยใช้ แล้วผู้แทนนักเรียน 2 คน ออกมา
การถาม-ตอบ ประกอบการอธบิ าย ร่วมกันเขียนพิกัดของ A′′B′′C′′

จนครบทั้ง 3 พิกัด โดยมีนักเรียน

และครรู ว่ มกันตรวจสอบความถกู ต้อง

177 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

St บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA

ep 3 ข้ันปฏิบตั ิ แบบฝึกหดั ท่ี 4
แหลละังสกราุปรปควฏาบิ มัตริู้

6. นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน 1. เขยี นภาพทีไ่ ด้จากการหมนุ ของรูปต้นแบบทกี่ าำ หนดใหใ้ นแต่ละข้อตอ่ ไปนี้
นกั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ พจิ ารณารปู ตน้ แบบ 1) AB รอบจดุ O ทวนเขม็ นาฬกิ าเป็นมุมขนาด 90 องศา
บนกระดาน แต่ละกลุ่มจะได้รับ
บัตรโจทย์ แล้วนักเรียนร่วมกัน AB
สร้างภาพท่ีได้จากการหมุน 2 ข้อ
ลงในกระดาษเปลา่ จากนน้ั สลบั ผลงาน O
กับกลุ่มอื่น เพ่ือร่วมกันตรวจสอบ
และแก้ไข

2) AB รอบจดุ O ตามเขม็ นาฬิกาเป็นมุมขนาด 100 องศา

B
O

A

แนวข้อสอบ O-NET/PISA

Y

7 178 คณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 2 เลม่ 2

6

5

4

3

2 จากรูป พิกัดของรูปต้นแบบท่ีหมุนรอบ
1 จดุ กำ�เนิด ตามเขม็ นาฬกิ าเปน็ มมุ 180 ํ ของ

7 6 5 4 3 2 1 0 1234567 X A′B′C′ คอื ข้อใด
1 1 A(2, 5), B(5, 5) และ C(5, 2)
A2

3

4 2 A(2, 5), B(2, 2) และ C(5, 2)
B C5 3 A(5, 2), B(5, 5) และ C(2, 5)
4 A(5, 2), B(2, 2) และ C(2, 5)
6
7

สุดยอดคู่มือครู 178

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

ep 3 ข้ันปฏบิ ัติSt
แหลละังสกราปุรปควฏาบิ มตั ริู้
2. กำาหนด △ ABC เขยี นภาพท่ไี ด้จากการหมุนของ △ ABC รอบจุด O ทวนเขม็ นาฬกิ า
7. นักเรียนร่วมกันสรุปส่ิงที่เข้าใจเป็น
เป็นมุมขนาด 90 องศา

C

ความรู้รว่ มกนั ดงั น้ี
B 1) การหมนุ (Rotation) เปน็ การสะทอ้ น

ต่อกันสองครั้งผ่านเส้นสองเส้นตัดกัน

A หรอื การหมุนรอบจดุ ๆ หน่งึ
2) การหมนุ รอบจดุ จดุ เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลาง
O
ของการหมนุ (Center of the Rotation)
3. เขยี นภาพที่ไดจ้ ากการหมนุ ของ △ ABC รอบจุด O ทวนเขม็ นาฬิกาเปน็ มมุ ขนาด 60 องศา หรือจุดหมุน และเรยี กมมุ ทห่ี มุนทกุ มมุ

ว่า ขนาดของการหมุน (Magnitude of
C Rotation) หรือขนาดของมุมทหี่ มุน

3) การหมุนบนระนาบพิกัดฉากจะ

O A B หมุนได้ 2 ลักษณะรอบจุดหมุน คือ
หมุนตามเข็มนาฬิกา และหมุนทวน

4. เขยี นภาพที่ไดจ้ ากการหมนุ ของ △ PQR รอบจดุ Q ทวนเขม็ นาฬิกาเปน็ มมุ ขนาด 180 องศา เขม็ นาฬิกา

P

QR

(เฉลย 3 แนวคดิ การแปลงทางเรขาคณติ 179

Y พิกัดของรูปต้นแบบ ABC คือ A(5, 2), B(5, 5)
และ C(2, 5))
7

6
5 C ( 2, 5) B ( 5, 5)

4

3

2 A ( 5, 2)
1
P
0 X
7 65 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5 6 7
A 180˙
2

3

4

B C 5
6

7

179 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA

St Step 4

ขนั้ สอื่ สารและนำ� เสนอ 5. เขยี นภาพที่ไดจ้ ากการหมนุ ของ △ ABC รอบจุดกาำ เนิด

8. ผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่ม กลุ่มละ 1) ทวนเข็มนาฬิกาเป็นมมุ ขนาด 90 องศา
2 ค น อ อ ก ม า นำ � เ ส น อ ผ ล ง า น 2) ตามเข็มนาฬิกาเปน็ มมุ ขนาด 90 องศา
หน้าชั้นเรียนพร้อมอธิบายประกอบ
โดยมนี กั เรยี นและครรู ว่ มกนั ตรวจสอบ Y
ความถูกต้อง
8
5ep ข้ันประเมินเพอื่ เพ่มิ คุณค่า 7
บริการสังคม 6 C
และจิตสาธารณะ 5 B
4
9. นักเรียนนำ�ความรู้ไปช่วยแนะนำ�เพื่อน 3
ที่ยังไม่เข้าใจเกี่ยวกับการหมุน ให้เกิด 2
ความเขา้ ใจยง่ิ ขนึ้ 1 A

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-10 12345678 X
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8

6. กาำ หนด △ ABC และจุด O เขียนภาพทไี่ ด้จากการหมุนของ △ ABC รอบจุด O โดยหมนุ
ทวนเข็มนาฬกิ าคร้งั ละ 120 องศา แล้วทาำ ให้ภาพท่ีไดจ้ ากการหมุนทับ △ ABC ได้สนทิ พอดี

A

B
OC

(เฉลย 3 แนวคิด

Y

7

180 คณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 2 เลม่ 2 6
5
B ( 3, 4) 4

แนวข้อสอบ O-NET/PISA 3
2

AB มพี กิ ัดของจดุ A คอื (-5, 1) และมีพกิ ัดของจุด B A ( 5, 1) 4 3 90˙ 1 1234567 X
คือ (-3, 4) ภาพท่ีได้จากการหมุน AB รอบจุดกำ�เนิด 765 21 P0
ทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุม 90 ํ คอื ขอ้ ใด 1

B ( 4, 3) 2
3

1 A′(-5, -1) และ B′(-3, -4) 4
2 A′(-3, -4) และ B′(-4, -3)
3 A′(-1, -5) และ B′(-4, -3) A ( 1, 5) 5
6

7

3 A′(-4, -3) และ B′(-1, -5) A′B′ เป็นภาพทไ่ี ด้จากการหมนุ AB รอบจดุ กำ�เนดิ

สุดยอดคู่มือครู 180 ทวนเข็มนาฬกิ าเป็นมมุ 90 )ํ

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

4. การนำาความรู้เกยี่ วกับการแปลงทางเรขาคณติ St St ตัวชี้วดั
ไปใช้ในการแกป้ ัญหา
ค 2.2 ม.2/3
นักเรียนสามารถนำาความรู้เกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตแปลงรูปต้นแบบต่อ ๆ กัน จนเกิดรูป
ท่เี ป็นลวดลายต่าง ๆ โดยไม่ให้เกิดช่องว่างและไมซ่ อ้ นทับกันระหว่างรูป ภาระงาน/ชนิ้ งาน
ตวั อย่างการแปลงรูปหกเหล่ยี มใหเ้ ป็นลวดลาย
การแปลงทางเรขาคณติ
นักเรียนปฏิบตั ิกิจกรรมตอ่ ไปนี้
1. นาำ รปู เรขาคณติ สองมติ ทิ น่ี กั เรยี นสนใจ (อาจจะเปน็ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ รปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ep 1 ขัน้ สังเกต
รปู สีเ่ หล่ยี มผนื ผา้ รปู สี่เหล่ยี มขนมเปียกปนู ฯลฯ) มาแปลงเป็นแบบรูปลงบนกระดาษ A4
2. วาดรูปเรขาคณิตสองมิติเพียงรูปเดียว เช่น รูปสามเหล่ียมด้านเท่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือ รวบรวมขอ้ มูล
รปู หกเหลย่ี มดา้ นเทา่ วาดหลาย ๆ รปู แลว้ นาำ มาวางลงบนกระดาษ A4 โดยการใชก้ ารแปลงทางเรขาคณติ
ในเรือ่ ง การเลื่อนขนาน การสะทอ้ น และการหมุน จาำ กดั บนพืน้ ท่เี ตม็ หนา้ กระดาษ A4 1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
โดยใชค้ ำ�ถามกระตุน้ ความคิด ดังนี้
3. นกั เรยี นยกตวั อยา่ งสงิ่ ตา่ ง ๆ ทน่ี กั เรยี นพบเหน็ ทใ่ี ชก้ ารแปลงทางเรขาคณติ เชน่ พนื้ กระเบอ้ื ง
ในห้องรับแขก กอ้ นอิฐบนทางเท้า • นกั เรยี นสามารถน�ำ ความรเู้ กยี่ วกบั
การแปลงทางเรขาคณติ ไปใชใ้ นเรอ่ื งใด
การแปลงทางเรขาคณิต 181 ได้บ้าง

2. นักเรียนศึกษา การนำ�ความรู้เกี่ยวกับ
การแปลงทางเรขาคณิตไปใช้ในการ
แกป้ ญั หา

ep 2 ขั้นคิดวเิ คราะห์

และสรปุ ความรู้

3. นักเรียนพิจารณารูปเรขาคณิตสองมิติ
เช่น รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า
บนกระดาน จากน้ันใช้คำ�ถามกระตุ้น
ความคิดของนกั เรยี น ดงั นี้

• นักเรียนสามารถนำ�รูปหกเหลี่ยม
ดังกล่าวไปสร้างสรรค์เป็นผลงานทาง
ศิลปะไดห้ รอื ไม่ อยา่ งไร

(ได้ โดยใช้ความรู้เกี่ยวกับการแปลง
ทางเรขาคณิต ได้แก่ การเล่ือนขนาน
การสะท้อน และการหมุน นำ�มาสร้างสรรค์
เปน็ ผลงานทางศลิ ปะ)

181 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ข้ันคดิ วิเคราะห์
St

และสรุปความรู้ การนำารูปที่ได้จากการแปลงทางเรขาคณิตแบบการเลื่อนขนาน การสะท้อน การหมุนมาต่อกัน

4. นักเรียนเตรียมกระดาษขนาด A4 โดยไมใ่ ห้เกดิ ช่องวา่ งและไมท่ ับซ้อนกนั ดังตวั อย่างต่อไปน้ี
แลว้ นกั เรยี นแตล่ ะคนวาดรปู เรขาคณติ
1. การนำารปู มาแปลงเป็นลวดลาย เช่น

ให้เต็มหน้ากระดาษ โดยใช้ความรู้

เ กี่ ย ว กั บ ก า ร แ ป ล ง ท า ง เ ร ข า ค ณิ ต

จากนัน้ สุ่มผลงานของนกั เรยี น 4-5 คน

แล้วร่วมกันบอกว่าเป็นรูปที่ได้จากการ

แปลงทางเรขาคณิตหรือไม่ จากน้ัน

นักเรียนพิจารณาเพิ่มเติมเกี่ยวกับ ลวดลายนใี้ ช้การแปลงทางเรขาคณติ ในเรื่อง การเลื่อนขนานและการสะทอ้ น

ลักษณะและตัวอย่างของรูปที่ได้จาก 2. การนาำ รูป มาแปลงเปน็ ลวดลาย เช่น
การแปลงทางเรขาคณิต

ลวดลายนใ้ี ชก้ ารแปลงทางเรขาคณติ ในเรื่อง การเลอ่ื นขนาน การหมุน และการสะทอ้ น
3. การนำารูป มาแปลงเป็นลวดลาย เชน่

ลวดลายนีใ้ ช้การแปลงทางเรขาคณติ ในเรอื่ ง การเลอ่ื นขนานและการหมุน
182 คณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 เลม่ 2

สุดยอดคู่มือครู 182

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

Step 2 ขั้นคดิ วเิ คราะห์

4. การนาำ รปู และ มาแปลงเปน็ ลวดลาย เช่น และสรุปความรู้

ลวดลายนี้ใชก้ ารแปลงทางเรขาคณิตในเร่อื ง การเล่ือนขนาน การสะทอ้ น และการหมนุ 5. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการนำ�รูป
ท่ีได้จากการแปลงทางเรขาคณิตมา
5. การสร้างลวดลายจากรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เขียนขอบของรูปด้านซ้าย แล้วใช้การเลื่อนขนาน ต่อกันเป็นรปู หรอื ลวดลาย 2-3 ตัวอย่าง
เลื่อนขอบด้านซ้ายไปยังขอบด้านขวา เขียนขอบของรูปด้านบน แล้วใช้การเล่ือนขนานเล่ือนขอบด้านบน โดยใช้การถาม-ตอบ ประกอบการ
ไปยงั ขอบดา้ นลา่ ง รกั ษาขอบของรปู ตน้ แบบไว้ แลว้ ตดั ขอบของรปู ดา้ นซา้ ยเหมอื นกบั ขอบของรปู ดา้ นขวา อธบิ าย
และด้านบนเหมือนกับด้านล่าง จากน้ันตัดรูปที่ได้หลาย ๆ รูปนำามาวางต่อกัน ซึ่งการสร้างนี้ใช้การสร้าง
ทางเรขาคณติ ในเรือ่ ง การเลื่อนขนาน 6. นักเรียนพิจารณาลวดลายต่าง ๆ ท่ีได้
จากการแปลงทางเรขาคณติ แลว้ รว่ มกนั
จําแนกว่าลวดลายท่ีได้เกิดจากการ
แปลงทางเรขาคณิตใด โดยมีนักเรียน
และครรู ว่ มกันตรวจสอบความถกู ตอ้ ง

7. นักเรียนร่วมกันอภิปรายและสรุปว่า
การนํารูปปิดที่เท่ากันทุกประการกับ
รู ป ต้ น แ บ บ ม า ปิ ด พ้ื น ที่ ท่ี ต้ อ ง ก า ร
โดยไม่ให้เกิดช่องว่าง และไม่ให้มีการ
ซอ้ นทบั กัน เรยี กว่า เทสเซลเลชัน

6. การสร้างรูปดอกไม้ โดยเร่ิมจาก
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สร้างกลีบดอกทางด้านซ้าย
ใหเ้ หมอื นกบั ดา้ นขวา และดา้ นบนใหเ้ หมอื นกบั
ด้านล่าง ตัดรูปที่ได้นำามาเรียงต่อกัน ซึ่งเป็น
การประยกุ ตใ์ ชก้ ารแปลงทางเรขาคณติ ในเรอ่ื ง
การเลอื่ นขนานเชน่ เดียวกัน

การแปลงทางเรขาคณติ 183

183 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 3 ข้นั ปฏบิ ัติ
St แหลละงั สกราปุรปควฏาบิ มตั ริู้

7. การสรา้ งลวดลายจากรูปสามเหลีย่ มด้านเทา่

8. นกั เรยี นท�ำ ใบงานการแปลงทางเรขาคณติ สร้าง △ ด้านเท่า หมนุ เสน้ ตน้ แบบ แบง่ คร่งึ ด้านท่เี หลอื ซอ่ นเส้นโครงรา่ ง
จากน้ันสลับผลงานกับเพื่อน เพื่อ
ร่วมกันตรวจสอบและแก้ไข สรา้ งเสน้ ต้นแบบ
บนดา้ นหน่ึง
1. เขียนภาพแสดงการสะท้อน 60 องศา หมนุ 180 องศา
1)
2)

 โดยมี ☉ เป็นจุดศูนยก์ ลางของการหมุน

 นาำ รูป มาเรียงตอ่ กันเป็นลวดลายบนระนาบ ดังรูป

2. เขยี นแสดงการสะทอ้ นบนแกนระนาบพิกดั ฉาก แลว้ ลงพกิ ัดของจุดทร่ี ูปตน้ แบบและภาพสะท้อน
พร้อมทง้ั บอกแกนสะท้อน (ตวั อย่างคำาตอบ)

Y

(-7, 6) (-5, 6) 6 (5, 6) (7, 6)
4 (4, 5) (8, 5)
(-8, 5) (-4, 5)

(-8, 2) (-6, 2) (-4, 2) 2 (4, 2) (8, 2)
(6, 2)

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 X

-2

-4 แกน Y
เป็นแกนสะท้อน

-6

33.. เเขขยียี นนแภสาพดแงกสาดรงเกลาือ่ รนเลขือ่นนานขนไปาในนตท่อศิ ไปททที่ าาำ งมขมุ ว 6า0 ำ กับแนวระดบั 217 ซึ่งการนำารูปปิดท่ีเท่ากันทุกประการกับรูปต้นแบบมาปิดพ้ืนท่ีท่ีต้องการ โดยไม่ให้เกิดช่องว่าง
1) และไม่ให้มีการซอ้ นทับกัน เรียกวา่ เทสเซลเลชัน (Tessellation)
เทสเซลเลชันปกติ (Regular Tessellation) คือ เทสเซลเลชันที่ได้จากรูปหลายเหล่ียมด้านเท่า
Aʹ Bʹ การแปลงทางเรขาคณติ มุมเท่าชนิดใดชนิดหนึ่งเพียงชนิดเดียว ได้แก่ รูปสามเหล่ียมด้านเท่า หรือรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส หรือ
รปู หกเหล่ยี มด้านเทา่ เทา่ น้นั
Dʹ Cʹ

2) B
A

60 ํ O O O
DC
5. เขยี นภาพแสดงการหมนุ โดยผ่านเส้นสะทอ้ นสองเส้นตดั กนั
4. 3เ)ขียนแสดงการเล่ือนขนานบนระนาบพิกัดฉาก แล้วลงพิกัดของจุดที่รูปต้นแบบและภาพที่ได้จาก
การเลือ่ นขนาน 2

เล่อื นไปทางทศิ ตะวันออกเฉยี งเหนอื 1
Y Aʹ
Cʹ Cʹʹ
218 คณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2 เล่ม 1 8 Aʹ(4, 7) Eʹ(6, 7) Dʹ(8, 7)
6 184 คณติ ศาสAตร์ ชน้ัB มBธั ʹยมศึกษาปที ่ี 2 Aเʹลʹ ม่ 2

4 Bʹ(4, 4) Cʹ(8, 4) Bʹʹ

2 C

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 X
-2

A(-8, -4) E(-6, -4) D(-4, -4) -4 6. ใชค้ วามรูใ้ นเร่อื ง การสะท้อน การเลอ่ื นขนาน การหมุน สร้างเทสเซลเลชนั (ตัวอยา่ งคาำ ตอบ)

B(-8, -7) C(-4, -4) -6
-8

5. เขียนภาพแสดงการหมนุ โดยผา่ นเส้นสะทอ้ นสองเส้นตดั กัน

1 2 การแปลงทางเรขาคณิต 219
A Aʹʹ
Aʹ Cʹ Cʹʹ
Bʹ
B

Bʹʹ

C

6. ใชค้ วามรใู้ นเรอื่ ง การสะท้อน การเลือ่ นขนาน การหมุน สรา้ งเทสเซลเลชัน (ตวั อย่างคาำ ตอบ) 220 คณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 เล่ม 1

สุดยอดคู่มือครู 184

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

ep 3 ขนั้ ปฏบิ ตั ิSt
และสรุปความรู้
คีปเลอร์ (Kepler) ชาวกรีก ได้ศึกษาวิธีที่จะใช้รูปหลายเหล่ียมด้านเท่าหลาย ๆ แบบมาสร้าง หลังการปฏบิ ตั ิ
เทสเซลเลชนั ดงั ตวั อยา่ ง
9. นักเรียนร่วมกันสรุปส่ิงที่เข้าใจเป็น
ความรรู้ ่วมกัน ดงั นี้

• การแปลงทางเรขาคณิตเป็นการ

นำ � ลั ก ษ ณ ะ ข อ ง ก า ร เ ลื่ อ น ข น า น

การสะท้อน และการหมุน มาใช้ใน

การสรา้ งลวดลายต่าง ๆ

เทสเซลเลชนั ที่เกดิ จากรูปสามเหลยี่ มด้านเท่า รูปส่เี หลย่ี มจตั ุรสั และรปู หกเหล่ียมด้านเท่า

นอกจากเทสเซลเลชันปกติดังกล่าวแล้ว ยังมีเทสเซลเลชันรูปแบบอ่ืน ๆ ท่ีได้จากการนำา
รปู หลายเหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ หรอื รปู หลายเหลย่ี มใด ๆ หรอื รปู ใด ๆ มาปดิ พนื้ ทท่ี ต่ี อ้ งการ ดงั ตวั อยา่ ง

การแปลงทางเรขาคณติ 185

185 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA

Step 4

ขนั้ สอื่ สารและนำ� เสนอ และยังมเี ทสเซลเลชันซ่งึ เกิดจากรูปห้าเหลี่ยมด้านไม่เทา่ รปู หกเหล่ียมดา้ นไม่เท่า ดงั ตัวอย่าง

10. ผู้แทนนักเรียน 4-5 คน ออกมา
นำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อม
อธบิ ายประกอบ โดยมนี กั เรยี นและครู
ร่วมกนั ตรวจสอบความถูกต้อง

ในการสรา้ งเทสเซลเลชนั เพอื่ ใหม้ ลี วดลายตา่ ง ๆ นกั เรยี นสามารถใชส้ มบตั กิ ารแปลงทางเรขาคณติ
หลาย ๆ แบบ เช่น การเล่ือนขนาน การสะท้อน และการหมุน มาช่วยในการดัดแปลงรูปเรขาคณิตให้มี
สว่ นโค้งตามท่ีต้องการ

186 คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 2 เล่ม 2

เสริมความรู้ ครูควรสอน การสะท้อน
การเลื่อนขนาน
การสะท้อนและการเลอ่ื นขนาน

สะท้อนผา่ น
เสน้ สะทอ้ น 1 เส้น
รูปตน้ แบบ

สะทอ้ นผ่าน
เสน้ สะท้อน 2 เสน้

สุดยอดคู่มือครู 186

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

St5ep ข้นั ประเมินเพื่อเพิ่มคุณคา่
บริการสงั คม
แบบฝกึ หัดที่ 5 และจติ สาธารณะ

1. ออกแบบเทสเซลเลชนั จากรูปทก่ี าำ หนดตามจินตนาการ 11. นกั เรยี นน�ำ ความรไู้ ปชว่ ยแนะน�ำ เพอ่ื น
1) 2) ที่ยังไม่เข้าใจเกี่ยวกับการนำ�ความรู้
เก่ียวกับการแปลงทางเรขาคณิต
3) 4) ไปใช้ในการแก้ปัญหา ให้เกิดความ
เข้าใจย่ิงข้นึ

5) 6)

2. ออกแบบเทสเซลเลชันจากรปู เรขาคณิตตอ่ ไปน้ี

3. ออกแบบเทสเซลเลชันตามความคดิ ของนกั เรียนมา 1 ตวั อยา่ ง
การแปลงทางเรขาคณิต 187

187 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA ×2-1+
3
5แบบฝึกหดั ท้ายหนว่ ยการเรยี นรูท้ ี่ ÷

1. เขียนภาพท่ไี ดจ้ ากการสะทอ้ นจากรูปต้นแบบตอ่ ไปน้ี
1)

เสน้ สะทอ้ น

2) เสน้ สะท้อน

3) เส้นสะทอ้ น

188 คณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 2 เลม่ 2

เสริมความรู้ ครูควรสอน จากรปู จะเหน็ ว่า 1 เปน็ เส้นสะท้อนเสน้ ทห่ี น่ึง
ภ า พ ข อ ง ช า ย ท่ี น่ั ง เ ก้ า อี้ จึ ง หั น ห น้ า เ ข้ า ห า
1 2
ชายคนนั้น แต่ภาพซึ่งสะท้อนคร้ังที่หน่ึงไป
การเลอ่ื นขนาน
สะท้อนโดย 2 ซ่ึงเป็นเส้นสะท้อนเส้นที่สอง
จึงทำ�ให้เห็นภาพชายคนน้ัน หันหน้าไปใน

ทิศทางเดียวกบั ชายท่นี ่ังเก้าอ้ี

สุดยอดคู่มือครู 188

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

4) เส้นสะทอ้ น

5)

เสน้ สะทอ้ น

2. กำาหนด △ PWM ซึง่ มีพิกดั ของจุด P(-4, -3), W(-4, 0) และ M(-1, -3) เล่อื นขนาน △ PWM

ขนานกบั แกน X ไปทางขวา 6 หน่วย และขนานกบั แกน Y ขึ้นไป 5 หน่วย พรอ้ มทง้ั บอกพกิ ัด

ของ P′, W′และ M′ของ△ P′W′M′ท่เี ปน็ ภาพทไ่ี ดจ้ ากการเลื่อนขนาน△ PWM

3. จุด O มีพิกดั ของจดุ เปน็ (-2, 3) เมอ่ื เลื่อนขนานจดุ O ตามข้อกำาหนดในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี
หาพกิ ดั ของภาพที่ไดจ้ ากการเลอื่ นขนานของจุด O

1) เลือ่ นขนานกับแกน X ไปทางขวา 5 หนว่ ย และขนานกบั แกน Y ลงมา 2 หน่วย
2) เลอื่ นขนานกบั แกน X ไปทางขวา 4 หน่วย และขนานกบั แกน Y ขนึ้ ไป 4 หนว่ ย
3) เลอ่ื นขนานกบั แกน X ไปทางซ้าย 2 หนว่ ย และขนานกบั แกน Y ขน้ึ ไป 6 หน่วย
4) เลื่อนขนานกบั แกน X ไปทางซา้ ย 1 หนว่ ย และขนานกบั แกน Y ลงมา 2 หนว่ ย
5) เลื่อนขนานกบั แกน X ไปทางขวา 2 หน่วย

การแปลงทางเรขาคณิต 189

บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21

นักเรียนแบ่งกลมุ่ กลุ่มละ 4-5 คน นักเรยี นแตล่ ะกลุ่มพิจารณาภาพทไี่ ดจ้ าก
การหมุนของรูปต้นแบบ แล้วร่วมกันเขียนรูปต้นแบบน้ันลงในกระดาษเปล่า
จากนน้ั สลบั ผลงานกบั กลมุ่ อน่ื เพอ่ื รว่ มกนั ตรวจสอบและแกไ้ ข ผแู้ ทนนกั เรยี น
แต่ละกลุ่มออกมานำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อมอธิบายประกอบ
โดยมนี กั เรียนและครูรว่ มกันตรวจสอบความถูกตอ้ ง

189 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA

4. จากรูปท่กี าำ หนด เขียนภาพท่ไี ด้จากการสะทอ้ น โดยมีแกน X และแกน Y เป็นเส้นสะท้อน
ตามลาำ ดบั

Y X

7
6
5
4
3
2
1

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1- 10 1 2 3 4 5 6 7 8

-2
-3
-4
-5
-6
-7

5. จากรปู ที่กาำ หนด เขยี นภาพท่ีได้จากการเล่อื นขนานของ ABCD ขนานกับแกน X ไปทางขวา
3 หน่วย และขนานกับแกน Y ขึน้ ไป 4 หน่วย พร้อมทั้งบอกพกิ ัดของ A′B′C′D′ที่เป็นภาพ

ที่ไดจ้ ากการเลอ่ื นขนาน ABCD

Y

8
7
6
5
4 A(0, 4)
3
2
D(-2, 0) 1
B(2, 0) X
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1- 10 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-3
-4
-5 C(0, -4)

-6
-7
-8

แนวข้อสอบ O-NET/PISA

Y

7 190 คณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 2 เล่ม 2

6

5

4
3B

2 จากรูป เป็นพิกัดของภาพที่ได้จากการ
1 สะท้อนข้ามแกน X = -1 พิกัดของ

7 6 5 4 3 2 1 0 1234567 X ABC คอื ข้อใด
1 AC 1 A(-2, -1), B(-2, 4) และ C(-5, -1)

2

3

4 2 A(-5, -1), B(-2, 4) และ C(-2, -1)
5
6 3 A(-4, -1), B(-4, 4) และ C(-7, -1)
7 4 A(-7, -1), B(-4, 4) และ C(-4, -1)

สุดยอดคู่มือครู 190

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

6. กาำ หนด รปู สามเหลย่ี ม D′E′F′ซง่ึ มพี กิ ดั ของจุด D′(-2, 3) พิกดั ของจุด E′(1, -4)
และพิกัดของจุด F′(3, -2) เปน็ ภาพทีไ่ ดจ้ ากการเล่อื นขนานของรูปสามเหลยี่ ม DEF

ขนานกับแกน X ไปทางขวา 5 หน่วย และขนานกับแกน Y ขึน้ ไป 2 หน่วย หาพิกดั ของ

จดุ ยอดของรูปสามเหล่ียม DEF Y

7
6
5
4 E′

D′ 3
2
1
X
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1- 10 1 2 3 4 5 6 7 8

-2 F′
-3
-4
-5
-6
-7

7. หาพกิ ดั ของภาพท่ไี ด้จากการหมนุ รอบจุดกาำ เนดิ ของพกิ ดั ต่อไปนี้
1) A(1, 2) หมุนตามเข็มนาฬกิ าเป็นมุมขนาด 90 องศา
2) B(0, 4) หมุนตามเขม็ นาฬิกาเป็นมุมขนาด 180 องศา
3) C(-4, 3) หมนุ ตามเขม็ นาฬิกาเปน็ มมุ ขนาด 270 องศา
4) D(-3, -2) หมุนทวนเขม็ นาฬิกาเปน็ มุมขนาด 270 องศา
5) E(2, -1) หมนุ ทวนเขม็ นาฬิกาเป็นมุมขนาด 90 องศา

8. เขยี นภาพท่ไี ดจ้ ากการหมนุ รอบจุด A ตามทศิ ทางและขนาดของมุม

1) หมนุ ตามเข็มนาฬกิ าเปน็ มมุ ขนาด 90 องศา 2) หมนุ ตามเขม็ นาฬกิ าเปน็ มุมขนาด 180 องศา

AA

(เฉลย 3 แนวคดิ การแปลงทางเรขาคณติ 191
Y
พิกัดของรปู ต้นแบบ ABC คอื
X = 1 7 A(-4, -1), B(-4, 4)
6 และ C(-7, -1))

B ( 4, 4) 5 B ( 2, 4)
4
1234567
3 A ( 2, 1) C ( 5, 1)

2

765 432 1 X
C ( 7, 1) A ( 4, 1) 1 P0

1
2

3

4

5

6

7

191 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA

3) หมนุ ทวนเข็มนาฬิกาเปน็ มุมขนาด 90 องศา 4) หมนุ ทวนเข็มนาฬิกาเปน็ มุมขนาด 270 องศา

AA

9. จากรปู ท่กี าำ หนด เขียนภาพทไ่ี ด้จากการหมุนของ △ PQS รอบจดุ กำาเนิด ตามเขม็ นาฬิกาเป็นมุม

ขนาด 90 องศา และหาพกิ ดั ของ P′, Q′และ S′

Y

7
6
5
4

3

2
1

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -10 1 2 3 4 5 6 7 8 X
P S-2
-3
-4
-5
Q -6
-7

แนวข้อสอบ O-NET/PISA

Y 192 คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 2 เลม่ 2

7 จากรูป เปน็ พิกดั ของภาพทไี่ ด้จากการเลือ่ นขนาน
6 ของ ABC ขนานกับแกน X ไปทางขวา 6 หนว่ ย
5 X และขนานกบั แกน Y ลงมา 6 หน่วย ข้อใดไม่เป็น
4 พิกัดของ ABC
3 1 (-5, 1)
2 2 (-2, 0)
1 3 (-2, 1)
4 (-2, 5)
7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4C 5 6 7
1 AB

2

3

4

5

6

7

สุดยอดคู่มือครู 192

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

10. เขยี นภาพทีไ่ ด้จากการหมุน A′B′C′D′เป็นภาพท่ไี ดจ้ ากการหมนุ ของรูป ABCD
ตามเข็มนาฬกิ าเปน็ มมุ ขนาด 270 องศา รอบจุดกาำ เนิด หารปู ตน้ แบบ ABCD

และหาพิกัดของ A, B, C และ D

Y

7
6
5
4

3

2
1

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -10 1 2 3 4 5 6 7 8 X
B′ C′-2
-3
D′-4
-5

A′ -6
-7

11. หาพนื้ ทสี่ ่วนทร่ี ะบายสโี ดยประมาณของรูปที่กำาหนด
1) Aʹ

A
B

Bʹ

(เฉลย 2 แนวคดิ การแปลงทางเรขาคณิต 193
Y

7

6 พิกัดของรูปต้นแบบ ABC คอื A(-5, 1), B(-2, 1)
C ( 2, 5) 5

4 และ C(-2, 5))
3

2

A ( 5, 1) B ( 2, 1) 1 X
P
0
7 6 5 4 3 2 1 1 1234567
C ( 4, 1)
2

3

4

5 A ( 1, 5) B ( 4, 5)
6

7

193 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA

2) Aʹ Cʹ Dʹ Eʹ Fʹ
A

B

C DE F
Bʹ

12. สรา้ งเทสเซลเลชนั ปกติมา 1 แบบ ลงในกรอบรปู สี่เหล่ยี มขนาด 10 × 10 ตารางเซนตเิ มตร
โดยใชค้ วามรู้เก่ยี วกับการแปลงทางเรขาคณิต
13. ออกแบบรูปต้นแบบโดยใชก้ ารแปลงทางเรขาคณิตทีเ่ รียนมาหน่งึ แบบ แลว้ นาำ ไปสรา้ ง
เทสเซลเลชันในพ้นื ทข่ี นาด 12 × 15 ตารางเซนติเมตร
14. ออกแบบโดยใชค้ วามรู้เกยี่ วกบั การแปลงทางเรขาคณิตสรา้ งลวดลายของสง่ิ ของต่าง ๆ
ในชวี ติ ประจำาวนั ตามความคิดของนักเรียน

194 คณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 2 เล่ม 2

บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21

นักเรียนแตล่ ะคนออกแบบและสร้างเทสเซลเลชนั โดยใช้ความรู้เร่ือง การแปลง
ทางเรขาคณิต โดยใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ช่วยในการสร้าง แล้วนำ�เสนอ
ผลงานกับเพ่ือน ๆ ในชั้นเรียน และเผยแพร่สู่สังคมออนไลน์ให้กับผู้อ่ืนได้รับ
ความรู้ตอ่ ไป

สุดยอดคู่มือครู 194

ภาคผนวก
ตารางแสดงก�าลังสอง ก�าลังสาม
รากทส่ี อง และรากทส่ี ามที่เป็นบวกของจา� นวนเต็มต้ังแต่ 1 ถึง 100

1 - 20

n n2 n3 √n √3 n
1 1 1 1.000 1.000
2 4 8 1.414 1.260
3 9 27 1.732 1.442
4 16 64 2.000 1.587
5 25 125 2.236 1.710
6 36 216 2.449 1.817
7 49 343 2.646 1.913
8 64 512 2.828 2.000
9 81 729 3.000 2.080
10 100 1,000 3.162 2.154

11 121 1,331 3.317 2.224
12 144 1,728 3.464 2.289
13 169 2,197 3.606 2.351
14 196 2,744 3.742 2.410
15 225 3,375 3.873 2.466
16 256 4,096 4.000 2.520
17 289 4,913 4.123 2.571
18 324 5,832 4.243 2.621
19 361 6,859 4.359 2.668
20 400 8,000 4.472 2.714

ภาคผนวก 195

195 สุดยอดคู่มือครู

ภาคผนวก

21 - 40

n n2 n3 √n √3 n

21 441 9,261 4.583 2.759
22 484 10,648 4.690 2.802
23 529 12,167 4.796 2.844
24 576 13,824 4.899 2.884
25 625 15,625 5.000 2.924
26 676 17,576 5.099 2.962
27 729 19,683 5.196 3.000
28 784 21,952 5.292 3.037
29 841 24,389 5.385 3.072

30 900 27,000 5.477 3.107

31 961 29,791 5.568 3.141
32 1,024 32,768 5.657 3.175
33 1,089 35,937 5.745 3.208
34 1,156 39,304 5.831 3.240
35 1,225 42,875 5.916 3.271
36 1,296 46,656 6.000 3.302
37 1,369 50,653 6.083 3.332
38 1,444 54,872 6.164 3.362
39 1,521 59,319 6.245 3.391

40 1,600 64,000 6.325 3.420

196 คณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 2 เลม่ 2
สุดยอดคู่มือครู 196

ภาคผนวก

41 - 60

n n2 n3 √n √3 n
41 1,681 68,921 6.403 3.448
42 1,764 74,088 6.481 3.476
43 1,849 79,507 6.557 3.503
44 1,936 85,184 6.633 3.530
45 2,025 91,125 6.708 3.557
46 2,116 97,336 6.782 3.583
47 2,209 103,823 6.856 3.609
48 2,304 110,592 6.928 3.634
49 2,401 117,649 7.000 3.659
50 2,500 125,000 7.071 3.684

51 2,601 132,651 7.141 3.708
52 2,704 140,608 7.211 3.733
53 2,809 148,877 7.280 3.756
54 2,916 157,464 7.348 3.780
55 3,025 166,375 7.416 3.803
56 3,136 175,616 7.483 3.826
57 3,249 185,193 7.550 3.849
58 3,364 195,112 7.616 3.871
59 3,481 205,379 7.681 3.893
60 3,600 216,000 7.746 3.915

ภาคผนวก 197

197 สุดยอดคู่มือครู

ภาคผนวก

61 - 80

n n2 n3 √n √3 n
61 3,721 226,981 7.810 3.936
62 3,844 238,328 7.874 3.958
63 3,969 250,047 7.937 3.979
64 4,096 262,144 8.000 4.000
65 4,225 274,625 8.062 4.021
66 4,356 287,496 8.124 4.041
67 4,489 300,763 8.185 4.062
68 4,624 314,432 8.246 4.082
69 4,761 328,509 8.307 4.102
70 4,900 343,000 8.367 4.121

71 5,041 357,911 8.426 4.141
72 5,184 373,248 8.485 4.160
73 5,329 389,017 8.544 4.179
74 5,476 405,224 8.602 4.198
75 5,625 421,875 8.660 4.217
76 5,776 438,976 8.718 4.236
77 5,929 456,533 8.775 4.254
78 6,084 474,552 8.832 4.273
79 6,241 493,039 8.888 4.291
80 6,400 512,000 8.944 4.309

198 คณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 เล่ม 2

สุดยอดคู่มือครู 198

ภาคผนวก

81 - 100

n n2 n3 √n √3 n
81 6,561 531,441 9.000 4.327
82 6,724 551,368 9.055 4.344
83 6,889 571,787 9.110 4.362
84 7,056 592,704 9.165 4.380
85 7,225 614,125 9.220 4.397
86 7,396 636,056 9.274 4.414
87 7,569 658,503 9.327 4.431
88 7,744 681,472 9.381 4.448
89 7,921 704,969 9.434 4.465
90 8,100 729,000 9.487 4.481

91 8,281 753,571 9.539 4.498
92 8,464 778,688 9.592 4.514
93 8,649 804,357 9.644 4.531
94 8,836 830,584 9.695 4.547
95 9,025 857,375 9.747 4.563
96 9,216 884,736 9.798 4.579
97 9,409 912,673 9.849 4.595
98 9,604 941,192 9.899 4.610
99 9,801 970,299 9.950 4.626
100 10,000 1,000,000 10.000 4.642

ภาคผนวก 199

199 สุดยอดคู่มือครู

บรรณานุกรม

กฤษฎี ไกรสวัสด์ิ. ชุดกิจกรรมพัฒนาการคิด คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.2 เล่ม 1. กรุงเทพฯ :
พัฒนาคุณภาพวิชาการ (พว.), 2561.

ยุพิน พพิ ธิ กลุ และสิริพร ทิพยค์ ง. ชุดกิจกรรมพฒั นาการคดิ คณิตศาสตร์ ม.2 เลม่ 1. กรงุ เทพฯ :
พฒั นาคุณภาพวิชาการ (พว.), 2561.
. ชุดกจิ กรรมพฒั นาการคดิ คณิตศาสตร์ ม.2 เลม่ 2. กรงุ เทพฯ : พัฒนาคุณภาพวิชาการ
(พว.), 2561.
. ชุดกจิ กรรมพฒั นาการคดิ คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 1. กรงุ เทพฯ : พฒั นาคณุ ภาพวชิ าการ
(พว.), 2561.

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, กระทรวงศึกษาธิการ. หนังสือเรียนรายวิชา
พนื้ ฐาน คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2. พมิ พค์ รง้ั ที่ 9. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค.
ลาดพรา้ ว, 2559.
. หนงั สอื เรียนรายวชิ าพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 3. พมิ พ์ครง้ั ท่ี 8.
กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว, 2559.

สำานักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน, กระทรวงศึกษาธิการ. ตัวช้ีวัดและสาระการเรียนรู้
แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตร
แกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ชุมนุมสหกรณ์-
การเกษตรแห่งประเทศไทย, 2560.

สาำ นักงานราชบณั ฑิตยสภา. พจนานกุ รมศัพท์คณิตศาสตร์ ฉบบั ราชบัณฑิตยสภา. พิมพ์ครง้ั ที่ 11.
กรงุ เทพฯ : สาำ นกั งานราชบัณฑิตยสภา, 2559.

200 คณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2 เลม่ 2

สุดยอดคู่มือครู 200



หลักสตู รใหม่ กลมุ่ สาระการเรยี นรู้

(ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) วทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

ตามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษา • จดั กลุม่ สาระการเรยี นรใู้ หม่
ขน้ั พนื้ ฐาน พุทธศกั ราช ๒๕๕๑ • เปลยี่ นชื่อสาระการเรียนรูใ้ หม่
• เพ่ิมเตมิ เนื้อหาดา้ นตา่ งๆ ทม่ี คี วามทนั สมัย
สอดคล้องตอ่ การดำ�รงชีวิตในปัจจุบันและอนาคต
• เลือ่ นไหลบางเนอื้ หาให้มีความเหมาะสม
• เพิ่มเตมิ สาระท่ี ๔ เทคโนโลยี

กลุ่มสาระการเรยี นรู้

คณิตศาสตร์

• จดั กลมุ่ สาระและมาตรฐานการเรียนรใู้ หม่
• ปรบั โครงสรา้ งรายวิชาใหม่
• เพ่มิ สาระการเรยี นร้ทู ี่มคี วามจำ�เป็น
• เล่อื นไหลเน้ือหาให้มคี วามเหมาะสม
• ตดั เนอ้ื หาท่ีมคี วามซ้�ำ ซอ้ นกบั เนื้อหา
กลุ่มสาระการเรียนรูอ้ ่ืน

กลุ่มสาระการเรยี นรู้

สงั คมศกึ ษา ศาสนา
และวฒั นธรรม สาระภูมศิ าสตร์

• การเรียนรูภ้ มู ิศาสตร์​(Geo-literacy)
โดยมีองคป์ ระกอบ ๓ สว่ น คอื ความสามารถ
ทางภมู ิศาสตร์ กระบวนการทางภูมิศาสตร์
และทกั ษะทางภูมิศาสตร์
• ปรับตัวชวี้ ดั และสาระการเรียนรู้
แกนกลางสาระภมู ศิ าสตร์

สถาบนั พัฒนาคณุ ภาพวิชาการ (พว.) ISBN : 978-616-05-4828-6
ส�ำ นกั พิมพ์ บริษทั พฒั นาคณุ ภาพวิชาการ (พว.) จ�ำ กดั
๑๒๕๖/๙ ถนนนครไชยศรี แขวงถนนนครไชยศรี เขตดสุ ติ กรงุ เทพฯ ๑๐๓๐๐
โทร. ๐-๒๒๔๓-๘๐๐๐ (อตั โนมัติ ๑๕ สาย), ๐-๒๒๔๑-๘๙๙๙
แฟกซ์ : ทุกหมายเลข, แฟกซอ์ ัตโนมัติ : ๐-๒๒๔๑-๔๑๓๑, ๐-๒๒๔๓-๗๖๖๖
สงวนลิขสทิ ธ์ิ หนงั สือเลม่ นไ้ี ด้จดทะเบียนลขิ สทิ ธ์ิถกู ต้องตามกฎหมาย website : 9 786160 548286

www.iadth.com