9786160548286

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

แบบฝึกหัดท่ี 6 St Step 3 ขั้นปฏบิ ัติ
แหลละังสกราปุรปควฏาบิ มตั ริู้

1. หาพน้ื ทฐี่ านท้ังสองด้าน พื้นทผ่ี วิ ขา้ ง และพื้นที่ผิวของทรงกระบอกในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน ี้ 7. นักเรียนร่วมกันสรุปส่ิงท่ีเข้าใจเป็น
ความรรู้ ่วมกัน ดังน้ี
(กาำ หนด π ≈ 3.14)
• ทรงกระบอก คือ รูปเรขาคณิต
1) 3 ซม. สามมิติที่มีฐานเป็นวงกลมที่เท่ากัน
ทกุ ประการ และอยใู่ นระนาบทข่ี นานกนั
5 ซม. เ ม่ื อ ตั ด ท ร ง ส า ม มิ ติ ด้ ว ย ร ะ น า บ ท่ี
ขนานกับฐานแล้วจะได้รอยตัดเป็น
2) 6 ซม. วงกลมท่เี ท่ากนั ทกุ ประการกับฐาน
4 ซม.
• การหาพ้ืนที่ผิวของทรงกระบอก
3) 8 ซม. พ้นื ทผ่ี ิวของทรงกระบอก

10 ซม. = พ้นื ท่หี นา้ ตดั ทงั้ สอง
+ พน้ื ที่ผิวขา้ ง
2. แสดงวิธีทำา (กาำ หนด π ≈ 3.14) = 2πr2 + 2πrh
เมอ่ื r แทนรศั มขี องฐานของ
1) ทรงกระบอกสูง 20 เซนติเมตร รศั มขี องฐานยาว 3.5 เซนติเมตร พ้ืนทผี่ ิวของทรงกระบอก ทรงกระบอก
เป็นเทา่ ไร h แทนความสูงของทรงกระบอก
2) ทรงกระบอกสูง 9 เซนติเมตร เส้นผา่ นศูนย์กลางของฐานยาว 12 เซนติเมตร พืน้ ท่ีผวิ ขา้ ง
ของทรงกระบอกเปน็ เท่าไร ep 4
3) ทรงกระบอกสูง 20.6 น้ิว รัศมขี องฐานยาว 18 นวิ้ พืน้ ทผ่ี ิวของทรงกระบอกเปน็ เท่าไร
4) แท่งแกว้ ทรงกระบอกยาว 40 นวิ้ วดั ความยาวโดยรอบได ้ 22 น้วิ พน้ื ทผี่ วิ ข้างและพืน้ ทีผ่ ิว ขน้ั สอ่ื สารและนำ� เสนอ
ของแทง่ แกว้ นเ้ี ปน็ เทา่ ไร
5) กระปอ๋ งนมทรงกระบอกใบหนึ่งสงู 10 เซนติเมตร เสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางของฐานยาว 7 เซนติเมตร 8. ผแู้ ทนนกั เรยี น 4-5 คน ออกมาน�ำ เสนอ
จะตอ้ งใช้กระดาษตดั เป็นรปู สี่เหล่ียมผืนผา้ ที่มีความกวา้ งและความยาวกเี่ ซนติเมตร สาำ หรบั ผลงานหน้าชั้นเรียนพร้อมอธิบาย
ปิดรอบขา้ งของกระปอ๋ งนมใบนี้ ประกอบ โดยมีนักเรียนและครูร่วมกัน
ตรวจสอบความถกู ต้อง
พืน้ ท่ีผิวและปริมาตร 109

เสริมความรู้ ครูควรสอน

1. ถ้าตดั ทรงกระบอกในแนวขนานกบั ฐาน สว่ นทตี่ ัดออกยงั คงเปน็
รปู ทรงกระบอก
2. หนา้ ตดั ทงั้ สองหนา้ ของทรงกระบอกตอ้ งเปน็ วงกลม และมีขนาดเท่ากนั
3. พนื้ ทหี่ นา้ ตดั ของทรงกระบอกจะไมเ่ ปลยี่ นไปถา้ ความสงู ของทรงกระบอกนน้ั
เปลี่ยนไป

109 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขั้นคิดวเิ คราะห์
St

และสรุปความรู้ 3.2 ปรมิ าตรของทรงกระบอก

9. นักเรียนพิจารณาส่ือการเรียนรู้ ปริมาตรของทรงกระบอก = พืน้ ทฐ่ี าน × ความสูง
คณิตศาสตร์ชุด พ้ืนที่ผิวและปริมาตร = πr2 × h
ของทรงกระบอก ดังนี้ h = πr2h ลกู บาศกห์ นว่ ย
เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก
r h แทนความสูงของทรงกระบอก

นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน 1ตวั อย่างท่ี + --
โดยนักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันทำ�
กจิ กรรม ดงั นี้ เหยอื กนาำ้ ทรงกระบอกวัดเส้นผ่านศนู ย์กลางของฐานภายในได ้ 14 เซนติเมตร
วดั ส่วนสงู ได้ 15 เซนติเมตร เหยือกนาำ้ ใบน้จี นุ ้าำ ไดเ้ ทา่ ไร (กำาหนด π ≈ 3.14)
1) นั ก เ รี ย น วั ด ค ว า ม สู ง แ ล ะ วธิ ีทำา เหยอื กนา้ำ มรี ศั มีของฐานยาว 124 = 7 เซนติเมตร และสูง 15 เซนตเิ มตร
ความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของ ปรมิ าตรของทรงกระบอก = πr2h
สือ่ การเรียนรู้ ≈ 3.14 × 72 × 15
≈ 2,307.9 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร
2) นักเรียนวัดความยาวของรัศมี ตอบ เหยอื กน้าำ ใบน้ี จุนำ้าได้ประมาณ 2,307.9 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร
ยกกำ�ลังสอง แล้วคูณด้วยความสูง
และคณู ด้วยคา่ π 2ตัวอยา่ งที่ + --

(กำ�หนดให้ π ≈ 3.14) ถังทรงกระบอกมีปริมาตรประมาณ 39,250 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร
3) นักเรียนพิจารณาผลคูณจาก มเี ส้นผ่านศูนยก์ ลางยาว 50 เซนตเิ มตร ถังทรงกระบอกมคี วามสูงเท่าไร

ขอ้ 2) เปรยี บเทยี บกบั ปรมิ าตรของนา้ํ (กำาหนด π ≈ 3.14)
ในส่ือการเรียนรู้ที่ได้จากการเทนํ้า
ลงในบีกเกอร์ข้างต้น ว่ามีค่าเป็น ( ) วธิ ีทาำ ปริมาตรของทรงกระบอก = πr2h
อย่างไร
39,250 ≈ 3.14 × 520 2 × h
39,250 ≈ 3.14 × 252 × h
h ≈ 3 . 1349 ,×25 205 2
h ≈ 20 เซนตเิ มตร
ตอบ ถังทรงกระบอกมีความสงู ประมาณ 20 เซนตเิ มตร

จากนั้นใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิด 110 คณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 2 เลม่ 2

ของนักเรียน ดังนี้

• ฐานของสอื่ การเรียนรนู้ ้ี มีลักษณะ 10. นกั เรยี นรว่ มกนั แสดงความคดิ เหน็ โดยใชค้ �ำ ถามกระตนุ้ ความคดิ ของนกั เรยี น

อย่างไร ดังนี้

(หน้าตดั หรอื ฐานที่เป็นวงกลม) • การหาปริมาตรของทรงกระบอกใช้หลักการเดียวกันกับการหาปริมาตร

• จากกิจกรรมข้างต้น ผลคูณของ ของรูปทรงเรขาคณิตสามมิตชิ นิดใด (ปริซึม)

ความยาวของรัศมียกกำ�ลังสองกับ • ความสมั พนั ธท์ ไ่ี ดจ้ ากกจิ กรรมเกย่ี วกบั การหาปรมิ าตรของทรงกระบอก
ความสงู และค่า π มคี ่าเท่ากับปรมิ าตร นนั้ เปน็ อย่างไร
ของน้ําที่นักเรียนตวงได้ในบีกเกอร์ (ปรมิ าตรของทรงกระบอก = พืน้ ทฐี่ านของทรงกระบอก × ความสูง
= πr2 × h
ของแตล่ ะกลุ่มหรือไม่ (เทา่ กัน) = πr2h)

สุดยอดคู่มือครู 110

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

แบบฝึกหัดท่ี 7 St St ep 2 ขั้นคิดวิเคราะห์

และสรปุ ความรู้

11. นักเรียนพิจารณารูปทรงกระบอกที่ระบุ
1. หาปริมาตรของทรงกระบอกต่อไปนี้ (กำาหนด π ≈ 3.14) ค ว า ม ย า ว ข อ ง ด้ า น กำ � กั บ บ น ก ร ะ ด า น
แล้วผู้แทนนักเรียน 2 คน ออกมาร่วมกัน
1) 2) 3) 10 หาปริมาตรของทรงกระบอกน้ัน โดยมี

นั ก เ รี ย น แ ล ะ ค รู ร่ ว ม กั น ต ร ว จ ส อ บ
ความถกู ตอ้ ง
10 14 14
7 5 ep 3 ขั้นปฏบิ ัติ
และสรุปความรู้
หลังการปฏิบัติ

4) 5) 12. นักเรียนทำ�ใบงาน การหาปริมาตรของ

4 18 ทรงกระบอก จากนั้นสลับผลงานกับเพ่ือน
6 เพ่อื ร่วมกนั ตรวจสอบและแกไ้ ข
12 แบบฝกึ หัดที่ 14

แสดงวิธที ำ�
1. ปรมิ าตรของทรงกระบอกเป็น 72 ลกู บาศก์เซนติเมตร มีรัศมีของหน้าตัดเปน็ 3 เซนตเิ มตร

ความสงู ของทรงกระบอกเปน็ เท่าไร (กำาหนดให้ π ≈ 3.14)

วิธีท�ำ ปริมาตรของทรงกระบอก = πr2h
72 ≈ 3.14 × 32 × h
2. แสดงวิธที าำ (กำาหนด π ≈ 3.14) 72 ≈ 28.26 × h
h ≈ 287.226
1) แทง่ แกว้ ตนั ทรงกระบอกวดั โดยรอบแทง่ แกว้ ได ้ 132 นว้ิ มคี วามยาว 96 นว้ิ แทง่ แกว้ นม้ี ปี รมิ าตร h ≈ 2.55 เซนตเิ มตร
เทา่ ไร ดังนนั้ ทรงกระบอกมีความสูงประมาณ 2.55 เซนติเมตร
2) แกว้ นาำ้ ทรงกระบอกใบหนง่ึ วดั เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางภายในได ้8 เซนตเิ มตร มคี วามลกึ 12 เซนตเิ มตร
แก้วนำา้ ใบนี้จุนำ้าได้เทา่ ไร 2. ถังนำา้ ทรงกระบอกมเี ส้นผา่ นศนู ย์กลาง 5.25 ฟตุ มีความสงู 8 ฟุต อยากทราบว่าถงั นีจ้ นุ าำ้ ไดป้ ระมาณ
3) ปรมิ าตรของทรงกระบอกเปน็ 462 ลูกบาศก์เซนติเมตร รศั มีของหนา้ ตัดเป็น 3 เซนติเมตร กแี่ กลลอน (กาำ หนดให้ 1 ลูกบาศก์ฟุต = 7.5 แกลลอน และ π ≈ 272)
ความสูงของทรงกระบอกเป็นเท่าไร วธิ ีท�ำ ความจขุ องทรงกระบอก = πr2h
4) ถงั นาำ้ ทรงกระบอกมปี รมิ าตร 0.9 ลูกบาศกเ์ มตร เส้นผ่านศนู ย์กลางของถังนำ้ายาว 1.2 เมตร รัศมขี องถังน้าํ ทรงกระบอกยาว 5.225 = 2.625 ฟตุ และสูง 8 ฟตุ
ถงั นำ้านีม้ ีความสงู เท่าไร ความจุของถงั นาํ้ ทรงกระบอก ≈ 272 × (2.625)2 × 8
5) ต้เู ล้ียงปลาทรงกระบอกมีเสน้ ผ่านศูนยก์ ลางภายในยาว 55 เซนตเิ มตร ระดับนำ้าสูง 30 เซนติเมตร
จะมีปริมาตรของนำ้าในตูเ้ ป็นเท่าไร ≈ 173.25 ลูกบาศกฟ์ ตุ
เนื่องจาก 1 ลูกบาศก์ฟุต เท่ากับ 7.5 แกลลอน
พืน้ ท่ผี ิวและปริมาตร 111 173.25 ลกู บาศก์ฟตุ เท่ากบั 173.25 × 7.5 = 1,299.375 แกลลอน
ดงั น้ัน ถังน้จี ุนํา้ ได้ประมาณ 1,299.375 แกลลอน

3. ถังนา้ำ ทรงกระบอกมปี รมิ าตร 1,540 ลูกบาศกเ์ มตร มเี สน้ ผ่านศูนยก์ ลางของถังน้าำ ยาว 7 เมตร

ถังนา้ำ น้ีมคี วามสงู เปน็ เท่าไร (กำาหนดให ้ π ≈ 3.14)

วธิ ที ำ� ปริมาตรของทรงกระบอก = πr2h
รศั มีของถังนํ้าทรงกระบอกยาว 72 = 3.5 เมตร และมปี รมิ าตร 1,540 ลูกบาศก์เมตร
ปริมาตรของถงั นา้ํ ทรงกระบอก ≈ 3.14 × (3.5)2 × h
1,540 ≈ 38.465 × h
h ≈ 318,.544605
h ≈ 40 เมตร

ดงั นน้ั ถังน้าํ นมี้ ีความสูงประมาณ 40 เมตร

5ep ขั้นประเมินเพอื่ เพิม่ คณุ คา่ ep 4 พน้ื ท่ผี ิวและปริมาตรของปรซิ มึ และทรงกระบอก 169
บริการสังคม
และจติ สาธารณะ ขน้ั สอ่ื สารและนำ� เสนอ 13. นักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งที่เข้าใจเป็นความรู้
14. ผู้แทนนักเรียน 4-5 คน ออกมานำ�เสนอ รว่ มกนั ดังนี้
15. นักเรียนนำ�ความรู้ไปแนะนำ�เพื่อนท่ียัง
ไม่เข้าใจเกี่ยวกับพ้ืนที่ผิวและปริมาตร ผ ล ง า น ห น้ า ช้ั น เ รี ย น พ ร้ อ ม อ ธิ บ า ย • การหาปรมิ าตรของทรงกระบอก
ของทรงกระบอก ใหเ้ กิดความเขา้ ใจยิ่งขนึ้ ประกอบ โดยมีนักเรียนและครูร่วมกัน ปริมาตรของทรงกระบอก
St ตรวจสอบความถูกต้อง = พน้ื ทฐี่ านของทรงกระบอก × ความสูง
St = πr2 × h
= πr2h
เมือ่ r แทนรัศมขี องฐานของ
ทรงกระบอก
h แทนความสงู ของทรงกระบอก

111 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA

ตัวชว้ี ดั 4. การแกโ้ จทยป์ ัญหาเกย่ี วกับพ้ืนท่ผี ิวและปรมิ าตร

ค 2.1 ม.2/1 4.1 การแก้โจทยป์ ญั หาเกย่ี วกับพ้ืนที่ผวิ และปริมาตรของปริซมึ
ค 2.1 ม.2/2
ปรซิ ึม
ภาระงาน/ชิ้นงาน พื้นทผ่ี ิวของปรซิ ึม = พ้นื ท่ฐี านท้งั สอง + พื้นที่ผวิ ข้าง
ปริมาตรของปรซิ ึม = พ้ืนท่ฐี าน × ความสูง
การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับพื้นท่ีผิว
และปริมาตร เน่ืองจากฐานของปริซึมเป็นรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม และรูปหลายเหลี่ยม จึงควรจะศึกษา
สตู รการหาพืน้ ทใ่ี ห้เข้าใจ ดงั นี้

St St ep 1 ขน้ั สังเกต 1. พ้นื ทข่ี องรูปสามเหล่ยี ม == √12 43 × × ค (วคาวมายมายวาขวอขงอฐงาดน้า ×น )ค2 วามสงู
2. พืน้ ท่ีของรูปสามเหล่ียมด้านเทา่
รวบรวมข้อมลู
3. พ้นื ที่ของรูปส่เี หล่ียมจัตรุ สั   = (ความยาวของด้าน)2
1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
โดยใชค้ ำ�ถามกระต้นุ ความคิด ดังนี้ 4. พื้นท่ีของรปู สเ่ี หลีย่ มผนื ผา้ = ความกว้าง × ความยาว
5. พืน้ ทีข่ องรูปหกเหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เท่า = 32√3 × (ความยาวของดา้ น)2
• นักเรียนมีวิธีการอย่างไรในการ
แก้โจทย์ปัญหาเก่ียวกับพื้นที่ผิวและ ลาำ ดับข้นั ตอนของการแกโ้ จทยป์ ญั หา
ปรมิ าตรได้อย่างถูกตอ้ งและรวดเร็ว
4. ตรวจสอบ
2. นักเรียนศึกษา การแก้โจทย์ปัญหา 3. ดาำ เนินการตามแผน
เกี่ยวกบั พืน้ ทผี่ วิ และปริมาตร 2. วางแผน
1. ทาำ ความเขา้ ใจปญั หา
ep 2 ขน้ั คิดวิเคราะห์ • สง่ิ ทโี่ จทยบ์ อก
• ส่ิงที่โจทยถ์ าม
และสรปุ ความรู้
เม่อื เร่มิ ตน้ แกโ้ จทย์ปัญหาควรฝกึ วเิ คราะห์การแกป้ ัญหาตามลาำ ดับขน้ั ตอน แลว้ โยงไปสูว่ ธิ ีทำา
3. นกั เรยี นพิจารณาแถบโจทยป์ ญั หา ดังน้ี เมอื่ ชำานาญแลว้ กเ็ นน้ ในข้ันวางแผน

อู่รถยนต์มีรูปร่างและความยาวของ 1ตัวอย่างท่ี + -- 13 ฟตุ 13 ฟตุ
ด้านต่าง ๆ ดังรูป พื้นที่ด้านข้างและพื้นท่ี 24 ฟตุ 10 ฟตุ
หลงั คาของอู่รถยนตร์ วมกันเปน็ กี่ตารางฟุต โรงเรอื นปลกู พืชมรี ูปรา่ ง
และความยาวของดา้ นตา่ ง ๆ 22 ฟตุ
13 ฟตุ ดังรปู หาว่าพน้ื ที่ด้านข้าง
13 ฟุต พืน้ ทห่ี ลังคารวมกัน
เป็นก่ตี ารางฟุต

112 คณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 2 เลม่ 2

10 ฟตุ • จากโจทย์ปัญหาข้างต้น นักเรียนควรดำ�เนินการอย่างไรเป็นอันดับแรก (พิจารณา
โจทย์ ท�ำ ความเข้าใจ โดยแบง่ ส่ิงท่โี จทยก์ ำ�หนดและสง่ิ ท่ีโจทย์ตอ้ งการทราบออกเป็นสว่ น ๆ)

24 ฟตุ 22 ฟตุ • เมอ่ื นกั เรยี นพจิ ารณาโจทยแ์ ละแยกสงิ่ ทโี่ จทยก์ �ำ หนดใหแ้ ลว้ นกั เรยี นควรด�ำ เนนิ การ

อย่างไร (ด�ำ เนินการวางแผนแสดงความสมั พันธ์ของสงิ่ ที่โจทยก์ �ำ หนดและส่ิงที่โจทยถ์ าม)

จากน้ันใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิด • เมือ่ นักเรียนวางแผนแสดงความสัมพันธแ์ ล้วนกั เรยี นควรดำ�เนินการอย่างไร

ของนักเรยี น ดังนี้ (ดำ�เนนิ การตามแผนคิดคำ�นวณตามความสัมพันธท์ ี่วางแผนไว้)

• เมอื่ ได้ผลจากการคดิ ค�ำ นวณที่ด�ำ เนินการตามทวี่ างแผนไว้ นักเรยี นควรดำ�เนนิ การ

อย่างไร (ตรวจสอบค�ำ ตอบทีไ่ ดจ้ ากการคิดคำ�นวณ)

สุดยอดคู่มือครู 112 • คำ�ตอบทีไ่ ดเ้ ทา่ กบั ก่ีตารางฟุต (1,012 ตารางฟุต)

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด St รอบรู้อาเซียนและโลก

ลำาดับขน้ั ตอนการแก้โจทย์ปญั หา วิธที าำ ep 2 ขนั้ คิดวเิ คราะห์

และสรปุ ความรู้

1. ทาำ ความเขา้ ใจปญั หา 4. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
สิง่ ที่โจทย์บอก โรงเรอื นปลูกพชื โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ
โรงเรือนปลกู พืชมคี วามกวา้ ง 22 ฟุต นกั เรียน ดังนี้

มีความกวา้ ง 22 ฟตุ ความยาว 24 ฟุต • หากนักเรียนต้องการทราบว่าพื้นที่
ด้านข้างและพื้นท่ีหลังคาของอู่รถยนต์
ความยาว 24 ฟุต ค วามสูง 10 ฟตุ รวมกันเปน็ ก่ตี ารางหลา นกั เรียนจะหา
คำ�ตอบไดอ้ ย่างไร
ความสงู 10 ฟุต ส ว่ นลาดของหน้าจ่ัวยาว 13 ฟุต
(เปลี่ยนหน่วยของพ้ืนที่จากตารางฟุต
สว่ นลาดของหน้าจ่ัวยาว 13 ฟตุ
เป็นตารางหลา โดยใช้หลกั การหาร)
สิ่งท่ีโจทยถ์ าม พื้นท่ดี ้านข้าง + พ้ืนทหี่ ลังคา

2. วางแผน พ้ืนทห่ี ลังคา 2 แผ่น
= 2 × 13 × 22 ฟุต
พน้ื ที่ดา้ นข้าง 2 แผน่ เปน็ 2 × 10 × 22 ฟุต
พืน้ ที่ ผ ด้านท่ีมีจัว่ 2 แผ่น เป็น 2 × 10 × 24 ฟตุ
พ้นื ท่ ี จ ซ่ึงมีสว่ นลาด 13 ฟตุ
รวม 2 ด้าน
จะต้องหาความสูงของหน้าจ่ัว

13
12 12

3. ดำาเนนิ การตามแผน พื้นทีห่ ลงั คา 2 แผน่ เปน็ 2 × 13 × 22 = 572 ตารางฟุต
พื้นที่ด้านขา้ ง 2 แผน่ เป็น 2 × 10 × 22 = 440 ตารางฟตุ
พื้นท ี่ ผ ด้านที่มจี วั่ 2 แผ่นเปน็ 2 × 10 × 24
= 480 ตารางฟุต
พื้นที่ จ มสี ่วนลาด 13 ตารางฟุต

ส่วนสงู ของ จ = √132 - 122

= √169 - 144

= √25
= 5 ฟตุ

พืน้ ท่ีผิวและปรมิ าตร 113

เสริมความรู้ ครูควรสอน

ข้นั ตอนการแกโ้ จทย์ปัญหา

ขน้ั ท่ี 4 ขัน้ ท่ี 4 ตรวจสอบ

ขัน้ ท่ี 3 ขัน้ ท่ี 3 ด�ำ เนนิ การตามแผน

ขนั้ ท่ี 2 ขั้นที่ 2 วางแผน ส่งิ ท่โี จทยบ์ อก
ข้นั ท่ี 1 ขน้ั ท่ี 1 ท�ำ ความเข้าใจโจทย์ สิง่ ท่ีโจทยถ์ าม

113 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA

Step 2 ขน้ั คิดวเิ คราะห์

และสรปุ ความรู้ ล�ำ ดับขั้นตอนก�รแกโ้ จทย์ปญั ห� วธิ ีท�ำ

5. นกั เรยี นจบั คูก่ บั เพื่อนรว่ มกันพจิ ารณา 4. ตรวจสอบ พ้ืนที่ จ ทม่ี สี ว่ นลาด 2 ด้าน เป็น 2 × 12 × 24 × 5
ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเก่ียวกับพ้ืนที่ผิว = 120 ตารางฟตุ
และปรมิ าตรของปรซิ มึ จากนั้นรว่ มกัน
อภปิ รายและสรปุ เกยี่ วกบั ล�ำ ดบั ขน้ั ตอน รวมพืน้ ท่ีหลังคากบั พ้ืนที่ดา้ นข้างเป็น

572 + 440 + 480 + 120 = 1,612 ตารางฟุต

การแก้โจทยป์ ญั หา 2ตัวอย่างท่ี + --

ปรซิ มึ สเ่ี หลีย่ มขนมเปยี กปูนมเี ส้นทแยงมมุ ยาว 20 น้ิว และ 48 นว้ิ ตามลำาดบั
โดยมีความสูง 30 น้วิ พืน้ ที่ผิวข้างของปรซิ มึ เป็นเทา่ ไร

B

24 นว้ิ

E 10 นิ้วO 10 นิ้ว T

24 นว้ิ
30 นิ้ว

S

วิธที �ำ ให้ BEST เปน็ ฐานรูปสเี่ หลีย่ มขนมเปยี กปนู เสน้ ทแยงมุม BS และ ET
ตัดกันที่จดุ O และ BO ตง้ั ฉากกบั ET

ใน△ TOS จะได้ TS2 = OS2 + OT2 (ทฤษฎบี ทพที าโกรัส)

= 242 + 102
= 576 + 100
= 676
TS = 26 นว้ิ
ดังนั้น พืน้ ทผ่ี ิวข้างทั้งหมดเป็น 4 × 26 × 30 = 3,120 ตารางนวิ้

114 คณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 2 เลม่ 2

สุดยอดคู่มือครู 114

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

Step 2 ขั้นคดิ วิเคราะห์

แบบฝึกหดั ท่ี 8 และสรปุ ความรู้

แสดงวิธีทาำ 6. นักเรียนพิจารณาโจทย์ปัญหาเก่ียวกับ
พ้ืนท่ีิผิวและปริมาตรของปริซึม 1-2
1. ตู้กระจกเล้ียงปลาตู้หน่ึงมีขนาดภายในกว้าง 14 นิว้ ยาว 25 นวิ้ สงู 20 นิว้ ถ้าใสน่ า้ำ ในตู้กระจก ตวั อยา่ ง โดยใชก้ ารถาม-ตอบ ประกอบ
เทา่ กบั 34 ของต ู้ ปริมาตรของนาำ้ ในตู้กระจกเลย้ี งปลาเปน็ เทา่ ไร การอธบิ าย

2. 48 น ิว้ จากรูป เปน็ ขน้ั บนั ไดคอนกรตี แตล่ ะข้นั เปน็ ปรซิ ึมขนาดเทา่ กัน
8 นวิ้ หาปริมาตรของคอนกรตี ที่ใชท้ าำ ข้ันบันได 35 ขั้น
6 นว้ิ

3. ช่างตอ้ งการเคลือบผวิ แท็งกน์ า้ำ ฐานสี่เหลยี่ มจตั รุ ัสทม่ี ีปริมาตร 16 ลกู บาศก์เมตร เพ่อื ปอ้ งกนั
การผุกรอ่ นของโลหะ ถ้าแทง็ กน์ า้ำ มคี วามสงู 4 เมตร ชา่ งตอ้ งเคลือบดีบุกพ้ืนท่ีเทา่ ไร
(ไมค่ ิดฝาแท็งก)์
4. ไมก้ ระดานฟุตเปน็ ช้ินของไม้ที่เลอ่ื ยเป็นท่อน ๆ ยาว 1 ฟุต กว้าง 1 ฟุต หนา 1 นิ้ว ถ้ามีแผน่ ไม้
ยาว 10 ฟตุ กวา้ ง 8 นว้ิ หนา 34 นว้ิ จะทาำ ไมก้ ระดานฟตุ ไดก้ ่ีแผ่น

4.2 การแกโ้ จทย์ปัญหาเก่ยี วกบั พ้นื ทีผ่ ิวและปรมิ าตรของทรงกระบอก

พนื้ ทผ่ี ิวขา้ งของทรงกระบอก = ความยาวของเส้นรอบวง × ความสูง

= 2πrh
พ้นื ท่ีหนา้ ตดั ของทรงกระบอกทั้งสองด้าน = 2πr2

พืน้ ทผ่ี วิ ของทรงกระบอก = พืน้ ทีห่ น้าตัดทง้ั สองด้าน + พ้ืนท่ผี ิวข้าง

= 2πr2 + 2πrh
ปรมิ าตรของทรงกระบอก = πr2h

เมื่อ r เป็นรัศมีของทรงกระบอก
h เป็นความสูงของทรงกระบอก

พ้นื ทีผ่ ิวและปรมิ าตร 115

เสริมความรู้ ครูควรสอน

1. ถา้ ทราบรศั มขี องฐานทรงกระบอกเพยี งอย่างเดยี ว จะไม่สามารถหาพน้ื ท่ผี ิว
ของทรงกระบอกนนั้ ได้

2. พ้ืนที่ผิวข้างมีความเก่ียวข้องกับขนาดของรัศมีของฐานและความสูงของ
ทรงกระบอก

3. ถ้าต่อความยาวของทรงกระบอกให้เป็นสองเท่าของความยาวเดิม
พน้ื ทผ่ี วิ ข้างย่อมเปน็ สองเท่าของพ้นื ทผ่ี วิ ขา้ งเดิมด้วย

115 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขน้ั คดิ วิเคราะห์
St 1ตวั อย่างท่ี + --
และสรุปความรู้

7. นกั เรียนจับคู่กบั เพือ่ นร่วมกนั พจิ ารณา วารนิ ต้องการประดษิ ฐ์กระปอ๋ งออมสนิ ข้ึนเอง โดยนำากระปอ๋ งทรงกระบอกใบหนง่ึ
ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเก่ียวกับพ้ืนท่ีผิว สงู 20 เซนตเิ มตร เส้นผ่านศูนยก์ ลางของฐานยาว 12 เซนติเมตร วารินตอ้ งการ
และปริมาตรของทรงกระบอก จากนั้น ปิดกระดาษรอบขา้ งกระปอ๋ งออมสนิ จะต้องใช้กระดาษอย่างนอ้ ยเท่าไร
รว่ มกนั อภปิ รายและสรปุ ล�ำ ดบั ขนั้ ตอน
การแกโ้ จทย์ปัญหา (กาำ หนด π ≈ 3.14)

ลาำ ดับขนั้ ตอนการแก้โจทยป์ ญั หา วิธที ำา

1. ทาำ ความเข้าใจปญั หา
สง่ิ ท่ีโจทยบ์ อก วารนิ ต้องการประดษิ ฐ์ วารนิ ต้องการประดิษฐก์ ระปอ๋ งออมสนิ ทรงกระบอก
กระปอ๋ งออมสนิ สงู 20 เซนตเิ มตร เสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางของฐาน
ทรงกระบอก ยาว 12 เซนตเิ มตร
สูง 20 เซนติเมตร แตเ่ ส้นผา่ นศูนยก์ ลางของฐาน = 2r
และเสน้ ผา่ นศนู ย์กลาง r = 122
ของฐานยาว ดังนั้น = 6 เซนตเิ มตร
12 เซนติเมตร

สิ่งท่ีโจทยถ์ าม ใชก้ ระดาษปิดรอบ
ข้างกระป๋องออมสนิ
อย่างนอ้ ยเทา่ ไร
2. วางแผน
กระปอ๋ งออมสนิ เป็นทรงกระบอก พ้ืนทผ่ี ิวข้างของกระป๋องออมสนิ = 2πrh
ต้องหาพน้ื ทีผ่ วิ ขา้ งของทรงกระบอก
ซึ่งใชส้ ตู ร 2πrh
3. ดาำ เนนิ การตามแผน
แทนค่าส่งิ ที่กำาหนดให้ แทนค่า r = 6 และ h = 20
ดงั น้นั พ้ืนท่ีผวิ ข้างของกระปอ๋ งออมสนิ
≈ 2 × 3.14 × 6 × 20
≈ 753.6 ตารางเซนตเิ มตร
4. ตรวจสอบ
ลองคดิ ดอู กี ครัง้ หนงึ่ ว่าได้ทำาตามโจทย์ โจทย์ถามว่า ถ้าตอ้ งการปิดกระดาษรอบข้าง
ครบหรือไม่ เป็นคำาตอบทถี่ ูกต้องหรอื ไม่ กระปอ๋ งออมสนิ ซึ่งหาไดแ้ ลว้ วา่ จะต้องใชก้ ระดาษ
อย่างน้อยประมาณ 753.6 ตารางเซนตเิ มตร

จดุ ประกายโครงงาน
“สร้างบรรจภุ ณั ฑ์ทรงสามมติ ิ”
นักเรยี นออกแบบและสร้างบรรจุภัณฑท์ รงสามมติ ิ

116 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 เล่ม 2

สุดยอดคู่มือครู 116

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

2ตวั อยา่ งที่ + -- Step 2 ข้ันคิดวเิ คราะห์

และสรุปความรู้

ช่างดีบุกได้รบั ทำาทอ่ กลวงระบายความรอ้ นสาำ หรับใส่ที่เตา จาำ นวน 75 ท่อ 8. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างโจทย์ปัญหา
แต่ละท่อยาว 80 เซนติเมตร เสน้ ผา่ นศนู ย์กลางยาว 20 เซนตเิ มตร เขาจะตอ้ งใชด้ ีบกุ เก่ียวกับพื้นท่ีผิวและปริมาตรของ
ทรงกระบอก 4-5 ตัวอย่าง โดยใช้
เคลือบผวิ ทอ่ ก่ีตารางเมตร (กำาหนด π ≈ 3.14) การถาม-ตอบ ประกอบการอธบิ าย
วิธีทาำ 218000 0
ท่อกลวงยาว 80 เซนตเิ มตร = เมตร 9. นักเรียนร่วมกันอภิปรายและสรุป
เสน้ ผ่านศูนย์กลางยาว เซนติเมตร เก่ียวกับกระบวนการแก้โจทย์ปัญหา
รัศมียาว 10 เซนตเิ มตร = 20211 .π05×00r h3 .14 ตเ×มา ตร11าร0ง00เม ×ต ร18000 4 ขน้ั ตอน โดยเขยี นเป็นแผนภาพ ดงั นี้
พืน้ ท่ีผิวข้างของทรงกระบอก =
≈ ขัน้ ตอนการแกโ้ จทยป์ ญั หา
≈
แตล่ ะทอ่ ใชด้ บี กุ เคลอื บผิวท่อประมาณ 0.5 ตารางเมตร ขั้นที่ 4 ขั้นท่ี 4 ตรวจสอบ
ถา้ ทำาทอ่ ดบี กุ 50 ทอ่ จะใช้ดีบกุ เคลือบผิวทอ่ มพี ้นื ทีป่ ระมาณ
0.5 × 75 ≈ 37.5 ตารางเมตร
ดังนนั้ เขาจะต้องใช้ดีบุกเคลอื บผิวท่อประมาณ 37.5 ตารางเมตร

3ตัวอย่างที่ + -- ขน้ั ท่ี 3 ข้นั ที่ 3 ดาํ เนนิ การตามแผน

ท่อนไมท้ รงกระบอกมีพ้ืนที่ผวิ ขา้ ง 200.96 ตารางเซนตเิ มตร สูง 8 เซนตเิ มตร ข้ันท่ี 2 ขนั้ ท่ี 2 วางแผน ส่ิงท่ี
ข้ันที่ 1 ขั้นที่ 1 ทาํ ความเขา้ ใจโจทย์ โจทย์บอก
(กาำ หนด π ≈ 3.14)
สิ่งที่
หา 1) พ้นื ทผ่ี ิวของท่อนไม้ โจทยถ์ าม
2) ถา้ ตัดท่อนไม้ออกเปน็ สซ่ี ีกเทา่ ๆ กัน แต่ละซีกจะมปี รมิ าตร
ก่ีลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

วธิ ีทาำ 1) เน่อื งจาก 2πrh = พนื้ ที่ผิวข้างของทรงกระบอก

2 × 3.14 × r × 8 = 200.96
r = 4 เซนติเมตร

พน้ื ทีห่ น้าตดั ของทรงกระบอกสองหนา้ = 2πr2

≈ 2 × 3.14 × 42
≈ 100.48 ตารางเซนตเิ มตร
พน้ื ทผ่ี ิวของทอ่ นไม ้ = พื้นทีห่ น้าตดั สองหน้า + พ้นื ท่ผี วิ ข้าง
พืน้ ท่ผี วิ ของทอ่ นไม้ ≈ 100.48 + 200.96
≈ 301.44 ตารางเซนติเมตร
ดงั นั้น พืน้ ท่ีผิวของทอ่ นไมป้ ระมาณ 301.44 ตารางเซนติเมตร

พืน้ ที่ผิวและปรมิ าตร 117

117 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 3 ขน้ั ปฏิบัติ
St และสรุปความรู้

หลงั การปฏิบัติ 2) ปเมรื่อิมตาดัตทรขอ่ อนงไทมอ่ ้อนอไกมเป้แตน็ ล่ 4ะ ซซีกีก เท่า ๆ= ก ัน 41 แ×ต ่ลπะrซ2hกี มปี ริมาตร 14 ของไม้ทอ่ นเดมิ

10. นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน
นักเรียนแต่ละกลุ่มพิจารณาบัตร ≈ 41 × 3.14 × 42 × 8
≈ 100.48 ลกู บาศก์เซนติเมตร
โจทย์ปัญหาเก่ียวกับพ้ืนท่ีผิวและ ดังนั้น ทอ่ นไม้แต่ละซีกจะมปี รมิ าตรประมาณ 100.48 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

ปรมิ าตร กลมุ่ ละ 2 ขอ้ แลว้ แตล่ ะกลมุ่ 4ตัวอย่างที่ + --
ร่วมกันเขียนแสดงวิธีการหาคำ�ตอบ

ลงในกระดาษเปล่า จากน้ันสลับ ถังเก็บนำา้ ทรงกระบอกมีรัศมีภายในยาว 0.85 เมตร มคี วามสูงภายใน 1.5 เมตร
ผลงานกับกลุ่มอ่ืน เพื่อร่วมกัน
ตรวจสอบและแกไ้ ข ถงั เก็บนาำ้ ใบน้จี ุนาำ้ ไดก้ ่ลี ูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร (กำาหนด π ≈ 3.14)

วิธที ำา สามารถเขียนเปน็ รูปได ้ ดังนี ้

1.5 ม.
0.85 ม.

ปริมาตรของทรงกระบอก = πr2h

≈ 3.14 × (0.85)2 × 1.5
≈ 3.4 ลกู บาศกเ์ มตร
เนือ่ งจาก 1 ลกู บาศกเ์ มตร เท่ากบั 1,000,000 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร
จะได ้ 3.4 ลูกบาศก์เมตร เท่ากับ 3.4 × 1,000,000
= 3,400,000 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร
ดงั นั้น ถังเก็บนาำ้ ใบนจี้ นุ ้ำาไดป้ ระมาณ 3,400,000 ลกู บาศก์เซนติเมตร

ความร้เู พ่มิ เตมิ รศั มีวงกลมใหญ่ (R) รัศมีวงกลมเลก็ (r)
ความสูง (h)

ปริมาตรเน้ือท่อทรงกระบอก = ปริมาตรทรงกระบอกใหญ ่ - ปริมาตรทรงกระบอกเล็ก
118 คณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 2 เล่ม 2

สุดยอดคู่มือครู 118

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

5ตวั อยา่ งที่ + -- Step 3 ขน้ั ปฏบิ ัติ
และสรุปความรู้
หลังการปฏิบัติ

เจนรบต้องการหล่อท่อทรงกระบอกยาวท่อละ 1.4 เมตร ให้มรี ัศมภี ายใน 11. นักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งที่เข้าใจ
ยาว 1 เมตร รัศมภี ายนอกยาว 1.2 เมตร จาำ นวน 20 ท่อ เจนรบจะตอ้ งใชว้ สั ดุ เปน็ ความร้รู ่วมกนั ดังน้ี

ทาำ ทอ่ ทั้งหมดก่ีลกู บาศก์เมตร (กาำ หนด π ≈ 3.14) ลำ�ดับข้ันตอนของการแก้โจทย์-
ปัญหา คอื
วิธที ำา สามารถเขียนเป็นรูปได ้ ดงั น้ี
1) ท�ำ ความเขา้ ใจปญั หา
1.4 ม. • สง่ิ ทีโ่ จทยบ์ อก
• สิ่งทีโ่ จทยถ์ าม
1 ม. 2) วางแผน
1.2 ม. 3) ด�ำ เนินการตามแผน
4) ตรวจสอบ
ปรมิ าตรเนือ้ ทอ่ ทรงกระบอก = ปริมาตรทรงกระบอกใหญ่ – ปรมิ าตรทรงกระบอกเล็ก เมอื่ เรมิ่ ตน้ แกโ้ จทยป์ ญั หาควรฝกึ
≈ {3.14 × (1.2)2 × 1.4} – (3.14 × 12 × 1.4)
≈ 6.33024 – 4.396 วิ เ ค ร า ะ ห์ ก า ร แ ก้ ปั ญ ห า ต า ม ลำ � ดั บ
≈ 1.93 ลูกบาศก์เมตร ขน้ั ตอน แล้วเชื่อมโยงไปส่วู ธิ ที �ำ
เน่อื งจาก เจนรบตอ้ งการหลอ่ ทอ่ จำานวน 20 ทอ่
ดังนนั้ เจนรบจะตอ้ งใชว้ สั ดทุ าำ ทอ่ ทงั้ หมดประมาณ 20 × 1.93 ≈ 38.6 ลกู บาศกเ์ มตร

พน้ื ที่ผิวและปรมิ าตร 119

119 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA

St Step 4

ขนั้ สอ่ื สารและนำ� เสนอ แสดงวธิ ที ำา (กาำ หนด π ≈ 3.14) แบบฝึกหัดที่ 9

12. ผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่ม กลุ่มละ 1. b
2 คน ออกมานำ�เสนอผลงาน
หน้าช้ันเรียนพร้อมอธิบายประกอบ a
โ ด ย มี นั ก เ รี ย น แ ล ะ ค รู ร่ ว ม กั น
ตรวจสอบความถูกตอ้ ง จากรปู หาปรมิ าตรของทรงกระบอกทั้งหมด

5ep ขนั้ ประเมินเพอ่ื เพม่ิ คุณคา่ 2. ทรงกระบอกอันหนึ่งมีปริมาตร 6,280 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร สูง 20 เซนตเิ มตร รัศมขี อง
บริการสงั คม ทรงกระบอกอนั น้ียาวเทา่ ไร
และจิตสาธารณะ
3. ถงั นาำ้ ทรงกระบอกฐานมีรศั มียาว 1.50 เมตร ความสูงภายใน 3 เมตร ถังน้ำาใบน้จี นุ ำา้ ได้ก่ลี ิตร
13. นักเรียนนำ�ความรู้ไปแนะนำ�เพ่ือน
หรอื นอ้ ง ๆ ท่ียังไม่เขา้ ใจเกยี่ วกบั การ 4. ถงั นำ้าทรงกระบอกมเี ส้นผ่านศนู ยก์ ลาง 16 นิ้ว สงู 24 น้ิว บรรจุนาำ้ อยู่คร่ึงหน่ึงของถัง
แก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับพ้ืนที่ผิวและ ปรมิ าตรของนาำ้ ในถังจะตอ้ งเพ่มิ ขึน้ เท่าไร จงึ จะยกระดบั น้ำาได ้ 10 น้ิว
ปริมาตรให้เกิดความเขา้ ใจยง่ิ ขึน้
5. ถงั น้ำาทรงกระบอกมีปริมาตร 643.072 ลูกบาศกเ์ มตร ก้นถังมเี สน้ ผา่ นศูนย์กลาง 6.4 เมตร
ความสงู ของถงั น้าำ เป็นเท่าไร

120 คณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 เลม่ 2

แนวข้อสอบ O-NET/PISA (เฉลย 4 แนวคิด พืน้ ท่ผี ิวขา้ ง

พีระมดิ ฐานส่ีเหล่ยี มจตั ุรสั ทม่ี คี วามยาวด้านละ 12 เมตร หาสงู เอยี งของพรี ะมิด จะได้ว่า ( )= 4 × 21 ×12×10
และมีความสงู 8 เมตร มพี ื้นท่ีผิวข้างกีต่ ารางเมตร
1 96 ตารางเมตร ( )สูงเอยี ง = 122 2+82 = 240 ตารางเมตร)
2 120 ตารางเมตร
3 192 ตารางเมตร = 36 + 64
4 240 ตารางเมตร
= 100

= 10 เมตร

สุดยอดคู่มือครู 120

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด 1+ รอบรู้อาเซียนและโลก
3
3แบบฝึกหดั ทา้ ยหนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี ×2- ÷

1. หาพน้ื ท่ผี วิ และปรมิ าตร (กำาหนด π ≈ 3.14)

1) 2)

18 นว้ิ 9 ซม.
5 นว้ิ 4 ซม.

12 น้ิว 2 ซม.

+-÷ ×

3) 4)

5.7 หลา 4.5 ม.
5.7 หลา 12 ม.

5.7 หลา

+-÷ ×

5)

22 ซม.

10 ซม.

+-÷ ×

พนื้ ทผี่ ิวและปรมิ าตร 121

บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 121 สุดยอดคู่มือครู

นักเรยี นแบ่งกลมุ่ กลุ่มละ 4-5 คน นกั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ ร่วมกนั สร้างบตั รโจทย์
เกี่ยวกับการหาปริมาตรของทรงกระบอก กลุ่มละ 2 ข้อ นำ�มาใส่ลงในกล่อง
รวมกัน ผู้แทนนักเรียนออกมาสุ่มหยิบโจทย์ข้ึนมา 2 ข้อ ร่วมกันแสดงวิธี
การหาคำ�ตอบลงในกระดาษเปล่า จากน้ันสลับผลงานกับกลุ่มอื่น เพื่อร่วมกัน
ตรวจสอบและแกไ้ ข แลว้ ผแู้ ทนนกั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ กลมุ่ ละ 2 คน ออกมาแสดง
วิธีการหาคำ�ตอบหน้าชั้นเรียน โดยมีนักเรียนและครูร่วมกันตรวจสอบความ
ถกู ต้อง

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA

2. แสดงวธิ ที ำา (กาำ หนด π ≈ 3.14)

1) ห้องรปู สเี่ หลยี่ มผืนผา้ มดี า้ นกวา้ ง 4 เมตร ดา้ นยาว 10 เมตร ความสงู 5 เมตร
พ้ืนทีผ่ ิวท้งั หมดของหอ้ งเป็นเทา่ ไร
2) พื้นทผ่ี ิวทง้ั หมดของลูกบาศกเ์ ป็น 294 ตารางเซนตเิ มตร ดา้ นแต่ละด้านยาวเท่าไร
3) ปรซิ มึ สามเหลีย่ มมีฐานยาว 3 เซนติเมตร สูง 5.5 เซนตเิ มตร ยาว 14 เซนติเมตร
ปริซมึ นมี้ ีปริมาตรเท่าไร
4) ปริซึมสีเ่ หลี่ยมผืนผ้ามีฐานกว้าง 4 เซนตเิ มตร ยาว 8 เซนตเิ มตร สูง 12 เซนติเมตร
ปริซมึ น้ีมีปริมาตรเท่าไร
5) ความสงู ของทรงกระบอกเปน็ 25 เซนติเมตร เสน้ ผา่ นศูนย์กลางของหน้าตดั เป็น
12.4 เซนตเิ มตร พื้นทีผ่ ิวขา้ งของทรงกระบอกเป็นเท่าไร
6) ความสูงของทรงกระบอกเปน็ 16 เซนติเมตร รศั มขี องหนา้ ตัดเป็น 12 เซนติเมตร
พ้นื ทีผ่ ิวของทรงกระบอกเปน็ เทา่ ไร
7) กำาหนดใหท้ รงกระบอกยาว 69 เซนติเมตร เส้นผ่านศูนยก์ ลางของฐานเปน็ 81 เซนติเมตร
หา (1) พื้นที่ของฐานของทรงกระบอก
(2) พนื้ ที่ผิวขา้ งของทรงกระบอก
(3) พื้นท่ีผวิ ของทรงกระบอก
(4) ปรมิ าตรของทรงกระบอก
8) ปริซึมสามเหลย่ี ม มีด้านยาว 10, 24 และ 26 เมตร มคี วามสงู 0.2 เมตร พ้ืนท่ผี วิ และปรมิ าตร
ของปริซึมนี้เปน็ เทา่ ไร
9) ปรซิ มึ สามเหลย่ี มมมุ ฉาก มดี ้านประกอบมุมฉากของฐานยาว 3 และ 4 ฟตุ มคี วามสงู 5 ฟุต
พน้ื ที่ผิวและปริมาตรของปรซิ ึมนเ้ี ปน็ เทา่ ไร
10) ถงั รองน้ำาฝนทรงกระบอกฝาดา้ นบนเปิด มีเส้นผา่ นศูนย์กลางยาว 14 เมตร สงู 20 เมตร
พน้ื ที่ผิวและความจุของถงั รองนา้ำ ฝนใบนเ้ี ปน็ เทา่ ไร

122 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 2 เลม่ 2

เสริมความรู้ ครูควรสอน

1. ถ้าตดั ปรซิ ึมตรงตามแนวระดับของฐานจะมีพ้นื ทฐี่ านเหมือนเดมิ
2. ปริซึมซึง่ มฐี านเปน็ รปู เหลยี่ มทด่ี ้านทุกด้านเทา่ กัน เรยี กว่า ปรซิ มึ ปกติ
3. ลกู บาศก์เป็นปริซึมตรง ซึง่ มฐี านเป็นรูปสเี่ หล่ยี มจัตุรสั
4. ถ้าตดั ปรซิ ึมสามเหลีย่ มใหข้ นานกับฐานหนึ่งคร้งั จะได้ปริซึมทมี่ ีฐาน
เปน็ รปู สามเหล่ียมเพิม่ ขึน้ มลี ักษณะเหมอื นกบั ปรซิ มึ เดมิ

สุดยอดคู่มือครู 122

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

เปา้ หมายการเรยี นรู้

4หนหว่ นย่วกยากราเรียเรนยี รนูท้ ร่ี ู้ท่ี ความเทา่ กันทุกประการ มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 2.2
แผนผังสาระการเรยี นรู้ เขา้ ใจและวเิ คราะหร์ ปู เรขาคณติ สมบตั ขิ อง
รูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหว่าง
รูปเรขาคณิต และทฤษฎีบททางเรขาคณติ
และนำ�ไปใช้

1. ความเทา่ กันทุกประการ ความเท่ากัน สมรรถนะส�ำ คญั ของผู้เรยี น
ทุกประการ 1. ความสามารถในการสอื่ สาร
ความเท่ากันทุกประการ 2. ความสามารถในการคดิ
ของสว่ นของเสน้ ตรง 2. ความเทา่ กนั ทุกประการ 3. ความสามารถในการแก้ปญั หา
ความเทา่ กันทุกประการ ของรปู สามเหลยี่ มสองรูป 4. ความสามารถในการใช้ทกั ษะชีวิต
ของมมุ ท่ีมคี วามสัมพันธแ์ บบต่าง ๆ 5. ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี
ความเท่ากนั ทกุ ประการ
ของรปู สามเหลยี่ ม รปู สามเหลย่ี มสองรูปทม่ี ี คุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์
ความสัมพันธ์แบบ ใฝเ่ รยี นรู้
ดา้ น-มมุ -ด้าน (ด.ม.ด.) ตัวชี้วัดท่ี 4.1 ต้ังใจ เพียรพยายาม
รปู สามเหล่ยี มสองรปู ที่มี ในการเรยี นและเขา้ รว่ มกจิ กรรมการเรยี นรู้
ความสมั พนั ธ์แบบ มุ่งมน่ั ในการทำ�งาน
มมุ -ด้าน-มมุ (ม.ด.ม.) ตัวช้ีวัดท ่ี 6.1 ตั้ ง ใ จ แ ล ะ รั บ ผิ ด ช อ บ
รูปสามเหลี่ยมสองรูปท่มี ี ในการปฏิบตั ิหนา้ ที่การงาน
ความสมั พันธแ์ บบ ตัวชี้วัดท ่ี 6.2 ทำ�งานด้วยความเพียร
ดา้ น-ด้าน-ด้าน (ด.ด.ด.) พยายามและอดทนเพื่อให้งานสำ�เร็จ
ตามเป้าหมาย
ตัวชว้ี ัด

✪ เข้าใจและใช้สมบตั ิของรูปสามเหล่ยี มท่ีเท่ากนั ทกุ ประการในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์
และปญั หาในชีวิตจรงิ (ค 2.2 ม.2/4)

บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 ดุ ประกายโครงงาจน

นักเรียนจับคู่กับเพ่ือน ร่วมกันค้นคว้าเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมท่ีมีความสัมพันธ์กัน

แบบต่าง ๆ แลว้ เลือกมา 1 ความสมั พันธ์ เพอ่ื น�ำ มาจัดทำ�เปน็ สือ่ การเรยี นรเู้ กย่ี วกบั

ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหล่ียม โดยทำ�สื่อการเรียนรู้ให้มีความสวยงาม

น่าสนใจ เขา้ ใจง่าย และมคี วามถูกต้องตามหลกั การทางคณติ ศาสตร์ จากนั้นออกมา

น�ำ เสนอผลงานหนา้ ชน้ั เรยี น พรอ้ มแสดงวธิ ใี ช้ โดยมนี กั เรยี นและครรู ว่ มกนั ตรวจสอบ

ความถกู ตอ้ ง นกั เรยี นรว่ มกนั คดั เลอื กผลงานเพอ่ื น�ำ ไปใชป้ ระกอบการเรยี นการสอน

123 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA

ตัวชีว้ ดั 1. ความเทา่ กันทกุ ประการ

ค 2.2 ม.2/4 ในชีวิตประจ�าวันนักเรียนจะพบเห็นสิ่งของท่ีเท่ากัน เหมือนกันทั้งขนาดและรูปร่าง ซึ่งสิ่งต่าง ๆ
เหล่านอี้ าจเปน็ รปู เรขาคณิตหรอื ไมใ่ ช่รูปเรขาคณติ เช่น
ภาระงาน/ชน้ิ งาน

การตรวจสอบความเท่ากันทุกประการ
ของส่วนของเสน้ ตรง มมุ
และรูปสามเหล่ยี ม

St St ep 1 ข้นั สงั เกต ธนบตั รใบละ 1,000 บาท แตล่ ะใบมขี นาดเทา่ กนั และรปู รา่ งเหมือนกนั

รวบรวมข้อมูล ธนบัตรที่มีค่าเท่ากันจะมีขนาดเท่ากันและรูปร่างเหมือนกัน ธนบัตรใบละหน่ึงพันบาทเม่ือวาง
ซอ้ นกนั จะทบั กนั ไดส้ นทิ พอดี
1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
โดยใช้ค�ำ ถามกระตุน้ ความคดิ ดงั น้ี สง่ิ ของที่มีสีต่างกันแตม่ รี ูปรา่ งและขนาดเท่ากัน เชน่ ส่วนประกอบของดอกไมป้ ระดษิ ฐ์

• นักเรียนสามารถนำ�ความรู้เรื่อง รปู ที่ 1 รปู ท่ี 2
ความเทา่ กนั ทกุ ประการไปใชใ้ นเรอื่ งใด
รปู ท่ี 1 เปน็ สว่ นประกอบของดอกไมป้ ระดิษฐส์ เี หลือง
ไดบ้ า้ ง รปู ท่ี 2 เปน็ ส่วนประกอบของดอกไมป้ ระดิษฐ์สีฟา้
2. นกั เรยี นศกึ ษา ความเทา่ กนั ทกุ ประการ ถ้าน�ารูปท่ี 1 และรูปที่ 2 มาวางซ้อนกัน จะทับกันได้สนิทพอดี เม่ือน�าไปประกอบเป็นส่วน
ของดอกไม้ประดิษฐ์ จะไดด้ อกไมป้ ระดษิ ฐ์สีเหลืองและสฟี า้ ท่ีมีรูปรา่ งและขนาดเท่ากัน
ep 2 ขนั้ คิดวิเคราะห์
บทนิยาม
และสรปุ ความรู้ รปู สองรปู เท่ากนั ทุกประการ กต็ ่อเมอื่ น�ารูปหน่งึ ซ้อนทบั บนอกี รูปหนึง่ ไดส้ นิทพอดี

3. นักเรียนพิจารณาธนบัตรที่มีค่าเท่ากัน 124 คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 2 เล่ม 2
2 ใบ จากนน้ั ใชค้ �ำ ถามกระตนุ้ ความคดิ
ของนกั เรยี น ดังน้ี บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21

• ธนบัตรทัง้ สองใบมคี ่าเทา่ กัน นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันพิจารณา
หรอื ไม่ (มีค่าเทา่ กนั ) บัตรภาพรูปเรขาคณิตสองมิติ กลุ่มละ 1 ชุด นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกัน
เขียนแสดงความเท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิตสองมิติ โดยใช้สัญลักษณ์
• ธนบตั รทง้ั สองใบมีขนาดเทา่ กนั
หรือไม่ เพราะเหตใุ ด แสดงความเท่ากันทุกประการลงในกระดาษเปล่า จากนั้นผู้แทนนักเรียน
แต่ละกลุ่ม กลุ่มละ 2 คน ออกมานำ�เสนอผลงานหน้าชั้นเรียนพร้อมอธิบาย
(มขี นาดเทา่ กนั เพราะน�ำ มาวางทบั กนั ไดส้ นทิ ประกอบ โดยมีนักเรียนและครูรว่ มกนั ตรวจสอบความถกู ต้อง
พอดี)

• ธนบตั รทั้งสองใบน้ีเทา่ กัน
ทกุ ประการหรอื ไม่ (เทา่ กนั ทกุ ประการ)

สุดยอดคู่มือครู 124

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

Step 2 ขน้ั คิดวเิ คราะห์

บทนยิ ามข้างตน้ มคี วามหมายเชน่ เดยี วกับข้อความตอ่ ไปน้ี และสรุปความรู้
“ถ้ารูปสองรูปเท่ากันทุกประการแล้ว วางซ้อนทับกันได้สนิทพอดี หรือถ้ารูปสองรูปวางซ้อนทับกัน
ได้สนทิ พอดแี ลว้ รูปสองรูปเทา่ กนั ทกุ ประการ” 4. นักเรียนพิจารณาธนบัตรที่มีค่า
ไม่เท่ากัน 2 ใบ จากน้ันใช้คำ�ถาม

กระตนุ้ ความคิดของนกั เรียน ดังน้ี

• ธนบัตรท้ังสองใบมีค่าเท่ากัน

หรอื ไม่

ถา้ นา� ใบไมส้ องใบนม้ี าวางซ้อนกันได้ทับกนั สนทิ พอดี แสดงว่าใบไมส้ องใบน้ีเทา่ กนั ทุกประการ (มคี ่าไม่เทา่ กนั )
สญั ลกั ษณท์ ่ีใช้แสดงความเทา่ กนั ทุกประการ คอื  • ธนบัตรทั้งสองใบมีขนาดเท่ากัน

หรือไม่ เพราะเหตุใด

(มีขนาดไม่เท่ากัน เพราะนำ�มาวางทับกันได้

ไมส่ นิทพอดี)

รูป A รูป B • ธ น บั ต ร ทั้ ง ส อ ง ใ บ นี้ เ ท่ า กั น
ทกุ ประการหรอื ไม่ (ไมเ่ ทา่ กนั ทกุ ประการ)

รูป A และรูป B เทา่ กนั ทกุ ประการ จากนั้นนักเรียนพิจารณาเพิ่มเติม
เขยี นเป็นสัญลักษณไ์ ด้วา่ รูป A รปู B เกี่ยวกับความเท่ากันทุกประการและ
สัญลักษณ์ท่ีใช้แสดงความเท่ากัน
นักเรียนพจิ ารณารูปต่อไปนี้

1. ทุกประการ

C

AB D

2.

AB C D

ความเท่ากนั ทุกประการ 125

เสริมความรู้ ครูควรสอน

พจิ ารณารูปตอ่ ไปนี้

AB CD

นกั เรียนจะใชก้ ระดาษลอกลายลอกรูปแต่ละรปู และน�ำ ไปทบั กบั รปู ต่าง ๆ
หรือจะใชว้ ิธีตดั กระดาษนำ�ไปทบั กบั รปู ต่าง ๆ จะพบวา่
รปู A ซอ้ นทบั รปู C ไดส้ นิทพอดี แสดงว่า รูป A รปู C
รูป B ซอ้ นทับรูป D ไดส้ นทิ พอดี แสดงว่า รูป B รปู D
125 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขั้นคิดวเิ คราะห์
St

และสรปุ ความรู้ นกั เรยี นจะใช้กระดาษลอกลายลอกรูปแต่ละรูป และน�าไปทบั กับรูปต่าง ๆ หรือจะใช้วิธตี ดั กระดาษ
น�าไปทบั กบั รปู ต่าง ๆ จะพบวา่
5. นักเรยี นพจิ ารณาบตั รภาพของ AB และ CD
ที่มีขนาดเท่ากันบนกระดาน จากนั้นใช้ 1. รูป A ซ้อนทบั กับรปู C ได้สนิทพอดี แสดงวา่ รปู A  รปู C
2. รูป B ซอ้ นทบั กับรูป D ได้สนิทพอดี แสดงวา่ รูป B  รูป D

คำ�ถามกระตนุ้ ความคิดของนกั เรียน ดังน้ี 1.1 ความเทา่ กันทุกประการของส่วนของเสน้ ตรง

B เม่อื กา� หนด MN และ XY ท่ี MN = XY ดงั รูป

M NX Y

A CD ถ้าใช้กระดาษลอกลาย ลอก MN แลว้ น�าไปทบั XY ใหจ้ ดุ M ทบั จุด X
เนื่องจาก MN = XY จะได้จดุ N ทบั จุด Y
• ส่วนของเส้นตรง AB และส่วนของ ดงั น้ัน MN และ XY ทับกนั สนิทพอดี
เส้นตรง CD เท่ากันทุกประการหรือไม่ นัน่ คอื ถ้า MN = XY แลว้ MN  XY
เพราะเหตุใด ในทางกลับกนั ถา้ กา� หนด MN  XY ดงั รูป

(AB CD เพราะส่วนของเสน้ ตรงท้ังสอง M NX Y
ทบั กันไดส้ นทิ พอดี)
จากบทนิยามของความเทา่ กนั ทุกประการ จะสามารถเคลอื่ นที่ MN ทบั XY ไดส้ นทิ พอดี
6. นกั เรยี นพจิ ารณาบตั รภาพของ MN และ XY จะได้ MN และ XY ยาวเทา่ กัน
ท่ีมีความยาวเท่ากันบนกระดาน จากนั้น
ใช้ค�ำ ถามกระตุ้นความคดิ ของนกั เรียน ดงั น้ี นน่ั คือ ถา้ MN  XY แลว้ MN = XY

ความเทา่ กนั ทุกประการของส่วนของเส้นตรงเปน็ ไปตามสมบตั ิตอ่ ไปนี้

Y สว่ นของเสน้ ตรงสองเสน้ เทา่ กันทกุ ประการ ก็ต่อเม่อื ส่วนของเส้นตรงทง้ั สองเสน้ น้ันยาวเทา่ กนั

3 ซม. สมบัติข้างต้นมีความหมายเช่นเดยี วกับข้อความต่อไปนี้
ถา้ สว่ นของเสน้ ตรงสองเสน้ เทา่ กนั ทุกประการแลว้ ส่วนของเสน้ ตรงท้ังสองเส้นน้นั ยาวเท่ากนั และ
M 3 ซม. N X ถา้ ส่วนของเสน้ ตรงสองเส้นยาวเท่ากนั แลว้ ส่วนของเส้นตรงท้ังสองเส้นนนั้ เท่ากนั ทกุ ประการ

• สว่ นของเสน้ ตรง MN มคี วามยาวเทา่ ใด ถ้า MN XY แลว้ MN = XY และ
(3 เซนตเิ มตร) ถา้ MN = XY แลว้ MN XY
• สว่ นของเสน้ ตรง XY มคี วามยาวเทา่ ใด
(3 เซนติเมตร) 126 คณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 2 เลม่ 2
• MN วางทับ XY ได้สนิทพอดีหรือไม่
เสริมความรู้ ครูควรสอน
(ไดส้ นทิ พอดี) ส่วนของเสน้ ตรง
• MN เทา่ กันทุกประการกับ XY หรอื ไม่ • สว่ นของเส้นตรงระหวา่ งจดุ สองจุด ส่วนของเสน้ ตรงนน้ั จะมีความยาวคงที่
เสน้ ตรง
เพราะเหตุใด (MN XY เพราะมีความยาว • เสน้ ตรงเสน้ หนง่ึ จะต่อออกไปทั้งสองขา้ งโดยไมจ่ ำ�กดั
เทา่ กนั และทบั กันได้สนิทพอดี)

A B สว่ นของเสน้ ตรง AB หรือ AB
A B เสน้ ตรง AB หรือ AB

สุดยอดคู่มือครู 126

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

? นา่ คดิ -น่าลอง Step 2 ขั้นคดิ วิเคราะห์

นกั เรยี นตรวจสอบวา่ ส่วนของเส้นตรงที่ก�าหนดให้ตอ่ ไปน้ีมสี ่วนของเสน้ ตรงคู่ใดบา้ ง และสรุปความรู้
ฉซ
ทีเ่ ทา่ กนั ทกุ ประการ ข 7. ^นBกั ทเรี่มียีขนนพาดจิ าขรอณงมาบุมัตเทรภ่ากาพันบขอนงกรA^ะดแลานะ
ค จากนั้นใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ
งจ นักเรยี น ดังน้ี
ก ช

1.2 ความเท่ากันทกุ ประการของมุม

กา� หนด AB^C และ K^LM ท่ี m(AB^C) = m(K^LM) ดังรปู

AK AB

B CL M • A^ วางทับ ^Bไดส้ นิทพอดีหรอื ไม่

ถา้ ใชก้ ระดาษลอกลายหรือกระดาษบาง ๆ ลอก AB^C แลว้ นา� ไปทบั K^LM ให้จุด B ทบั จดุ L ^( Bไ•ดจ ะส้ หมนาขี ทิกนพวาดัอดขดเทน)ี า่ากดนัขอหงรอืA^ไแมล่ ะขนาดของ
โดยให้ BA ทบั LK

เน่อื งจาก m(AB^C) = m(K^LM) จะได้ BC ทบั LM (A^• จะA^มเขี ทนา่ ากดันเททา่กุ กปบั ร^Bะก)ารกับ ^B หรอื ไม่
ดงั นน้ั AB^C และ K^LM ทับกันสนิทพอดี
น่นั คอื ถ้า m(AB^C) = m(K^LM) แลว้ AB^C K^LM
ในทางกลบั กัน ถ้า AB^C  K^LM ดงั รูป เพราะเหตใุ ด
(A^ ^Bเพราะมขี นาดเทา่ กนั และวาง
AK
ทบั กันได้สนทิ พอด)ี
B CL M

จากบทนิยามความเท่ากนั ทุกประการ จะสามารถเคลอื่ นที่ AB^C ทบั K^LM ไดส้ นิทพอดี
จะได้ m(AB^C) = m(K^LM)
นัน่ คอื ถา้ AB^C  K^LM แล้ว m(AB^C) = m(K^LM)

ความเท่ากนั ทุกประการ 127

เสริมความรู้ ครูควรสอน

สว่ นของเสน้ ตรงทว่ี างซอ้ นกนั และทบั กนั ไดส้ นทิ พอดี แสดงวา่ มคี วามยาวเทา่ กนั
ดังนั้น สว่ นของเส้นตรงทีม่ ีความยาวเท่ากัน จะเทา่ กันทกุ ประการ
ให้ AB หรอื m(AB) แทนความยาวหรอื ขนาดของ AB
ให้ CD หรอื m(CD) แทนความยาวหรอื ขนาดของ CD
แสดงวา่ AB CD กต็ ่อเมื่อ m(AB) = m(CD)
หรือ AB CD กต็ ่อเมอ่ื AB = CD

127 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 3 ขัน้ ปฏบิ ตั ิ
St แหลละงั สกราุปรปควฏาบิ มัตริู้

ความเทา่ กันทุกประการของมุมเปน็ ไปตามสมบตั ิต่อไปนี้

8. นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน มุมสองมมุ เทา่ กันทุกประการ ก็ตอ่ เมอื่ มุมทง้ั สองน้นั มขี นาดเท่ากนั
นักเรียนแต่ละกลุ่มพิจารณาบัตรภาพ
ส่วนของเส้นตรง และมุม นักเรียน สมบตั ิข้างตน้ มีความหมายเช่นเดยี วกับขอ้ ความต่อไปน้ี
แต่ละกลุ่มเขียนส่วนของเส้นตรง
และมมุ ทเี่ ทา่ กนั ทกุ ประการกบั สว่ นของ ถ้ามมุ สองมมุ เท่ากันทกุ ประการ ถ้า A^ B^ แลว้ A^ = B^ และ
เส้นตรงและมุมน้ันอย่างละ 5 รูป แลว้ มุมสองมมุ นั้นมีขนาดเทา่ กัน และ ถา้ A^ = B^ แลว้ A^ B^
พ ร้ อ ม กั บ ตั้ ง ชื่ อ ส่ ว น ข อ ง เ ส้ น ต ร ง ถ้ามุมสองมุมมีขนาดเทา่ กัน
และมุมลงในกระดาษเปล่า จากน้ัน แลว้ มุมท้ังสองมุมนน้ั เทา่ กนั ทกุ ประการ
สลับผลงานกับกลุ่มอื่น เพ่ือร่วมกัน
ตรวจสอบและแก้ไข ความเทา่ กันทุกประการของรูปเรขาคณติ ที่กล่าวมาแล้วข้างตน้
เปน็ ไปตามสมบัตขิ องความเท่ากันทุกประการท่ีกล่าวว่า

ถ้ารูปเรขาคณิตสองรูปเท่ากันทุกประการ แล้วรูปเรขาคณิตท้ังสองรูปน้ันมีรูปร่างเหมือนกัน
และมขี นาดเท่ากัน

ในทางกลบั กนั ถา้ รปู เรขาคณติ สองรปู มรี ปู รา่ งเหมอื นกนั และมขี นาดเทา่ กนั แลว้ รปู เรขาคณติ
ทัง้ สองรปู น้นั เทา่ กนั ทุกประการ

แบบฝกึ หัดที่ 1

1. ใชก้ ระดาษลอกลายรปู แลว้ น�าไปซ้อนกนั แลว้ บอกว่ารูปคู่ใดเทา่ กนั ทุกประการ

1) A BC D

2) A BC D

3) B C D
C D
A

4) A B

128 คณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 2 เล่ม 2

เสริมความรู้ ครูควรสอน

มุมประกอบด้วยเส้นสองเส้นพบกันท่ีจุดจุดหน่ึง มุมวัดได้โดยหมุนเส้นหน่ึง
ไปรอบจดุ จดุ นน้ั ไปยงั ต�ำ แหนง่ ทต่ี อ้ งการของอกี เสน้ หนง่ึ ซงึ่ ขนาดของการหมนุ
น้วี ัดเปน็ องศา

สุดยอดคู่มือครู 128

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

Step 3 ข้นั ปฏบิ ัติ
และสรุปความรู้
2. ใช้กระดาษลอกลายเขียนรูปใหเ้ ทา่ กนั ทกุ ประการกับรปู ท่ีกา� หนด หลงั การปฏิบัติ

1) 2) 9. นักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งท่ีเข้าใจ

เป็นความรู้รว่ มกัน ดงั นี้

1) รูปสองรูปจะเท่ากันทุกประการได้

ก็ต่อเม่ือนำ�รูปหน่ึงซ้อนทับบนอีก

รปู หนงึ่ ไดส้ นิทพอดี

+-÷ × 2) สญั ลักษณ์แสดงความเทา่ กนั
ทุกประการ คอื “ „
3) 4)
3) ส่วนของเส้นตรงที่วางซ้อนกัน

และทับกันได้สนิทพอดี แสดงว่ามี

ขนาดความยาวเทา่ กนั ดงั นัน้ สว่ นของ

เส้นตรงที่มีขนาดยาวเท่ากันจะเท่ากัน

ทุกประการ เขียนสัญลักษณ์แทนได้

+-÷ × เช่น AB CD หมายถึงส่วนของ
เส้นตรง AB เท่ากันทุกประการกับ
5) 6)
ส่วนของเสน้ ตรง CD

4) ถา้ มมุ A มคี วามเท่ากนั ทกุ ประการ

กับมุม B แล้วจะนำ�มาวางซ้อนกัน

และทับกันได้สนิทพอดี โดยจะมี

ขนาดของมุม เท่ากนั

+-÷ × 5) ถ้าขนาดของมุม A และมุม B
เท่ากัน วางซ้อนกันทับกันได้สนิทพอดี

แล้วมุม A และมุม B จะเท่ากัน

ความเท่ากนั ทกุ ประการ 129 ทกุ ประการ

เสริมความรู้ ครูควรสอน

พิจารณามุมประชิดบนเสน้ ตรง
^1 และ^2 เปน็ มมุ ประชดิ กนั บนเสน้ ตรง เนอ่ื งจาก

1 2 ม มุ ตดรังงนมน้ั ีข น^1า+ด^218=0 ํ180 ํ
มุมประชิด คือ มุมสองมุมซึ่งมีจุดยอดร่วมกัน
และแขนของมุมร่วมกนั ด้านหนึ่ง

129 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA

Step 4

ขน้ั สอื่ สารและนำ� เสนอ 3. จากรปู ทีก่ า� หนด ตอบค�าถามต่อไปน้ี A

10. ผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่ม กลุ่มละ P
2 คน ออกมานำ�เสนอผลงาน
หน้าชั้นเรียนพร้อมอธิบายประกอบ Q1 R 23 B
โ ด ย มี นั ก เ รี ย น แ ล ะ ค รู ร่ ว ม กั น O C
ตรวจสอบความถูกตอ้ ง 1) ^1 มจี ุดยอดมมุ อยู่ทีจ่ ุดใด
2) แขนของ ^1 ประกอบด้วยรงั สีใดบา้ ง
3) ^1 เรยี กช่ือเปน็ ตัวอกั ษรวา่ มุมใด
4) ^2 เรียกชอ่ื เปน็ ตัวอกั ษรวา่ มุมใด
5) ^3 เรยี กชอ่ื เปน็ ตัวอกั ษรวา่ มุมใด
6) ^2 มขี นาดเลก็ กว่า ^3 หรือไม่
7) ^3 มขี นาดใหญ่กวา่ ^2 หรอื ไม่
8) ^2 และ ^3 มจี ุดยอดมุมร่วมกันคอื จดุ ใด
9) แขนร่วมของ ^2 และ ^3 คอื รังสีใด
10) ผลต่างของ ^2 และ ^3 คอื มุมใด

4. ถา้ AB ตัดกับ MN ทีจ่ ดุ O ดังรูป

AM

O

NB

ตอบค�าถามต่อไปนี้
1) AO^N + AO^M เท่ากับก่ีองศา
2) BO^N + BO^M เทา่ กับก่อี งศา
3) มมุ ใดบ้างที่มีขนาดเท่ากัน

130 คณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 2 เลม่ 2

เสริมความรู้ ครูควรสอน

พิจารณา AB ตดั กบั CD ทจ่ี ุด P

AC มมุ ตรงขา้ มเปน็ มมุ ทเ่ี กดิ จากเสน้ ตรงสองเสน้
P แขตนลดั ะากดนัAขแ^PอลDงะมอ=มุ ยเCทตู่ ^Pา่รกBงนขั า้ เมชกน่ นั จาซกงึ่ รมปู มุ Aตร^PงCขา้=มDจ^PะBมี

DB

สุดยอดคู่มือครู 130

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

Step 2 ข้นั คดิ วเิ คราะห์

1.3 ความเทา่ กนั ทุกประการของรปู สามเหลย่ี ม และสรปุ ความรู้

รปู สามเหล่ียม คอื รปู ปิดทม่ี ดี ้านสามด้าน มมี ุมสามมุม 11. นักเรียนพิจารณาบัตรภาพของ
พจิ ารณารูปสามเหลี่ยม ABC รูปสามเหล่ียมบนกระดาน จากน้ัน
ใ ช้ คำ � ถ า ม ก ร ะ ตุ้ น ค ว า ม คิ ด ข อ ง
B นักเรียน ดังน้ี

AC B

จากรูป 1. AB, BC และ AC เปน็ ด้านทงั้ สามของรูปสามเหล่ยี ม ABC AC
2. BA^C, AB^C, AC^B หรอื A^, B^, C^ เปน็ มุมทงั้ สามของรูปสามเหลีย่ ม ABC
3. การเรยี กชือ่ รปู สามเหลย่ี ม ให้เรียกชือ่ ตามอกั ษรเรียงกันไป เชน่ • รูปสามเหลยี่ มขา้ งต้น ประกอบด้วย
รูปสามเหล่ยี ม ABC หรือ เรยี กรูปสามเหล่ียม BCA ก็ได้ สว่ นของเส้นตรงกเ่ี สน้ (3 เส้น)

พจิ ารณารูปสามเหลี่ยม ABC และรปู สามเหลย่ี ม MON ซ่งึ เทา่ กนั ทกุ ประการ ดงั รปู ต่อไปน้ี • มจี ดุ ยอดกจี่ ดุ อะไรบ้าง
(3 จดุ คอื จดุ A จดุ B และจดุ C)
AM • ด้านของรูปสามเหล่ียมมีด้าน

B CO N ใดบ้าง (AB, BC และ AC)
• รูปสามเหลี่ยม ABC เขียนแทน
เม่อื ตรวจสอบความยาวของดา้ นค่ทู ่ีสมนยั กันจะไดว้ า่
AB = MO, BC = ON และ CA = NM ดว้ ยสัญลักษณไ์ ดอ้ ยา่ งไร ( ABC)
12. นักเรียนพิจารณาบัตรภาพของ
เม่ือตรวจสอบขนาดของมุมคู่ท่สี มนัยกนั จะไดว้ า่
m(AB^C) = m(MO^N), m(BC^A) = m(ON^M) และ m(CA^B) = m(NM^O) ABC และ XYZ บนกระดาน
จากนน้ั ใชค้ �ำ ถามกระตนุ้ ความคดิ ของ
โดยทั่วไป “ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ แล้วด้านคู่ที่สมนัยกันและมุมคู่ท ี่ นกั เรยี น ดงั นี้
สมนยั กนั ของรปู สามเหล่ียมทัง้ สองรปู น้นั มีขนาดเทา่ กนั เปน็ ค ู่ ๆ”
CZ

A BX Y

ความเท่ากันทกุ ประการ 131 • ABC วางทับ XYZ ได้
สนทิ พอดหี รอื ไม่ (ได้สนิทพอดี)
เสริมความรู้ ครูควรสอน
• ABC เท่ากันทุกประการกับ
สมบตั ขิ องรปู สามเหลีย่ มหน้าจ่ัว XYZ หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด
• มมี มุ ยอดหนึง่ มุม
• ขนาดของมุมที่ฐานเทา่ กัน ( ABC XYZ เพราะวางซ้อนทับกัน
• ด้านประกอบมุมยอดเทา่ กัน ได้สนิทพอดี มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสามมุม
• ถา้ ลากเส้นจากจุดยอดมาต้ังฉากกับฐานจะไดร้ ปู สามเหล่ยี มมุมฉากสองรูป มุมต่อมุม และมีด้านยาวเท่ากันสามด้าน
สมบัตขิ องรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดา้ นตอ่ ด้าน)
• มีมมุ ฉาก 1 มุม
• มมุ ทเ่ี หลอื ขนาดของมมุ รวมกนั ได้ 90 ํ 131 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

St บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA

ep 2 ขั้นคดิ วิเคราะห์ ในทางกลบั กัน เมื่อรูปสามเหล่ียม ABC และรูปสามเหล่ยี ม MON มดี ้านคทู่ ่ีสมนัยกันยาวเทา่ กัน

และสรปุ ความรู้ AB = MO, BC = ON และ CA = NM มมี ุมคทู่ ส่ี มนยั กนั มขี นาดเท่ากัน คือ
m(AB^C) = m(MO^N), m(BC^A) = m(ON^M) และ m(CA^ B) = m(NM^ O)
13. นักเรียนพิจารณาบัตรภาพของ

ABC และ DEF บนกระดาน A M
จากนั้นใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิด

ของนักเรียน ดังนี้ E

BD B CO N

AC F เม่ือตรวจสอบโดยการเคลื่อนที่ △ ABC ให้ทับกับ △ MON จะได้ว่า รูปสามเหล่ียมทั้งสองรูป
ทบั กันไดส้ นทิ พอดี น่นั คือ △ ABC  △ MON
• ABC DEF
มุมคูท่ ีส่ มนยั กนั มอี ะไรบ้าง โดยท่ัวไป “ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปมีด้านคู่ท่ีสมนัยกันและมุมคู่ท่ีสมนัยกันมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ
(A^ สมนัยกับ D^, แลว้ รปู สามเหลย่ี มทง้ั สองรูปนั้นเท่ากนั ทุกประการ”
^B สมนัยกบั ^Eและ
C^ สมนัยกับ F^) จากผลสรปุ ขา้ งต้นเปน็ ไปตามสมบัติดงั ตอ่ ไปน้ี
• ABC DEF
ด้านคู่ที่สมนัยกัน มีอะไรบา้ ง รูปสามเหลี่ยมสองรปู เทา่ กนั ทุกประการ กต็ ่อเมอ่ื ดา้ นคู่ท่ีสมนยั กนั และมมุ คู่ทส่ี มนยั กัน
(AB สมนัยกับ DE, ของรปู สามเหลยี่ มทงั้ สองรูปน้ันมขี นาดเทา่ กันเปน็ คู่ ๆ

BC สมนยั กบั EF และ เพือ่ ความสะดวกในการนา� ไปใช้ ตอ่ ไปนี้จะใช้ AB^C = MO^ N แทน m(AB^C) = m(MO^N) และ

CA สมนยั กบั FD) ในการเขยี นสญั ลกั ษณแ์ สดงรปู สามเหลย่ี มสองรปู ทเี่ ทา่ กนั ทกุ ประการ นยิ มเขยี นตวั อกั ษรเรยี งตามลา� ดบั

มมุ คู่ทส่ี มนยั กนั และด้านคู่ท่ีสมนยั กนั เช่น
จาก △ ABC  △ MON ขา้ งต้น
ด้านสมนยั คอื ดา้ นที่อยู่
เขยี นมุมคู่ท่ีสมนยั กนั และดา้ นคทู่ ่สี มนัยกันมีขนาดเท่ากัน ดงั นี้ ตรงขา้ มมมุ ที่สมนัยกนั

มมุ สมนัย CA^B = NM^ O ดา้ นสมนยั BC = ON
AB^C = MO^N CA = NM
BC^A = ON^M AB = MO

132 คณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 2 เล่ม 2

เสริมความรู้ ครูควรสอน

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสามด้าน และมีขนาดของมุมแต่ละมุม

ท้งั สามมมุ เทา่ กบั 60 ํ CCAA^^BB = AA^^BBCC = BBCC^^AA == 60 ํ
+ + 180 ํ
C

AB = BC = AC ความยาวของด้านท้งั สามเท่ากนั

รูปสามเหลีย่ มดา้ นเทา่ เป็นรูปสามเหลีย่ มหน้าจวั่

เพราะด้านประกอบมุมยอดยาวเท่ากัน และมมุ ทีฐ่ านมขี นาดเท่ากัน

AB

สุดยอดคู่มือครู 132

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

ep 3 ขนั้ ปฏิบัติSt
และสรปุ ความรู้
แบบฝึกหัดท่ี 2 หลงั การปฏิบตั ิ

1. กา� หนด AB, CD และ EF ตัดกันทจี่ ุด O ดงั รปู เขยี นมมุ ทม่ี ีขนาดเท่ากับมุมทกี่ า� หนด 14. นั ก เ รี ย น แ ต่ ล ะ ค น ย ก ตั ว อ ย่ า ง
การเท่ากันของรูปสามเหลี่ยมสองรูป
E 1) AO^E โดยใช้หลักการสมนัยกันของมุม
2) EO^D และด้าน คนละ 2-3 ตัวอย่าง ลงใน
A 3) AO^C กระดาษเปล่า จากน้ันสลับผลงาน
CO D 4) AO^ F กับเพ่ือน เพื่อร่วมกันตรวจสอบและ
B 5) FO^D แกไ้ ข

F 15. นักเรียนร่วมกันสรุปส่ิงที่เข้าใจ
เป็นความรูร้ ว่ มกนั ดงั นี้
2. กา� หนด △ RPQ △ UST เขยี นดา้ นค่ทู สี่ มนยั กันและมมุ คู่ทสี่ มนยั กัน

RU

P QS T • รูปสามเหล่ียมสองรูปจะเท่ากัน
ทุกประการก็ต่อเมื่อรูปสามเหล่ียม
3. กา� หนดรูปสามเหล่ียมสองรปู เทา่ กันทกุ ประการ เขียนชอื่ รปู สามเหล่ยี มทีเ่ ทา่ กนั ทกุ ประการ สองรูปวางซ้อนกันและทับกันได้สนิท
โดยใช้สญั ลกั ษณ์ พร้อมเขียนแสดงมมุ คู่ท่สี มนยั กนั และด้านค่ทู ส่ี มนัยกนั มขี นาดเทา่ กัน พอดี

1) P

MO

N +-÷ ×

2) M

KO N
L
+-÷ ×

ความเท่ากันทุกประการ 133

เสริมความรู้ ครูควรสอน

ถา้ รปู สามเหล่ยี มสองรูปเทา่ กนั ทุกประการ การเขียนชอ่ื ของรูปสามเหล่ยี มทัง้ สอง
จะเขยี นโดยเรยี งมมุ ทสี่ มนยั กนั

มมุ ท่สี มนยั กัน

ABC DEF

มมุ ทีส่ มนยั กนั 133 สุดยอดคู่มือครู
มมุ ท่สี มนัยกัน

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA

St St ep 4 3) B Y

ขนั้ สอ่ื สารและนำ� เสนอ A CX Z +-÷ ×

16. ผแู้ ทนนกั เรยี น 4-5 คน ออกมาน�ำ เสนอ 4) D C
ผลงานหน้าชั้นเรียนพร้อมอธิบาย
ประกอบ โดยมนี กั เรยี นและครรู ว่ มกนั AB +-÷ ×
ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
5) K
5ep ขนั้ ประเมนิ เพ่อื เพิ่มคุณคา่
บริการสังคม
และจิตสาธารณะ

17. นกั เรยี นน�ำ ความรไู้ ปชว่ ยแนะน�ำ เพอ่ื น
ท่ียังไม่เข้าใจเกี่ยวกับความเท่ากัน
ทุกประการ ให้เกิดความเข้าใจย่งิ ขน้ึ

NM

L +-÷ ×

เสริมความรู้ ครูควรสอน 134 คณิตศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2 เลม่ 2
ส่วนของเส้นตรงท่ีลากจากจดุ ยอดของ
รปู สามเหลีย่ ม 2) A 3) A
1) A
12

BDC BDC BDC

ถ้าลาก AD ให้แบง่ คร่งึ มมุ ยอด BAC ถจะ้าลไดาก้วา่ AADDใแหบ้มง่าคตรั้ง่ึงฉาBกA^กCับฐทาำ�นใหB้ ^C1 = ^2 ถจแะลา้ ลไะดาAกว้ า่DAADDใBแหCบ้ม่งา(คแAบรD^่งึ่งBคBร=A^่งึ ฐCAาD^นทCำ�BใหC=้ ^190= ํ)^2
มาท่ีฐาน BC จะได้วา่ และ AD แบง่ คร่ึงฐาน BC
AD BC และแบง่ ครึ่ง BC
ท�ำ ให้ BD = DC
ท�ำ ให้ BD = DC
สุดยอดคู่มือครู 134

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

2. ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหล่ยี มสองรปู ตวั ชว้ี ัด
ทมี่ ีความสมั พันธแ์ บบตา่ งๆ
ค 2.2 ม.2/4
จากที่กล่าวมาแล้ว การตรวจสอบความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปจะต้อง ภาระงาน/ชิน้ งาน
• รูปสามเหล่ียมที่มคี วามสมั พันธ์แบบ
ตรวจสอบการเท่ากันของความยาวของด้านท่สี มนัยกัน 3 คู่ และการเทา่ กันของขนาดของมุมค่ทู ีส่ มนัยกัน ดา้ น-มมุ -ด้าน
• รปู สามเหลี่ยมท่ีมคี วามสัมพนั ธ์แบบ
อกี 3 มุม มุม-ด้าน-มมุ
• รูปสามเหลีย่ มท่มี คี วามสัมพันธ์แบบ
2.1 รปู สามเหลี่ยมสองรปู ทม่ี ีความสมั พนั ธ์แบบ ดา้ น-มมุ -ดา้ น (ด.ม.ด.) ด้าน-ดา้ น-ดา้ น
• รปู สามเหลย่ี มที่มีความสัมพนั ธแ์ บบ
รูปสามเหล่ียมสองรูปในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี ก�าหนดใหม้ ีด้านคูท่ สี่ มนัยกนั ยาวเทา่ กัน 2 คู่ และ ตา่ ง ๆ

มุมคู่ท่สี มนัยกนั มีขนาดเท่ากัน 1 คู่ ใชก้ ระดาษลอกลายลอกรปู สามเหลี่ยม แลว้ สา� รวจวา่ รปู สามเหล่ยี ม

สองรปู ทก่ี า� หนดให้ในแตล่ ะข้อเท่ากนั ทกุ ประการหรือไม่

1. P R

M NO S ep 1 ขัน้ สงั เกต St St
D EC
รวบรวมขอ้ มูล
2.

1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น

โดยใชค้ �ำ ถามกระต้นุ ความคิด ดังนี้

• นกั เรียนน�ำ ความรู้เรื่อง ความเทา่ กนั

F OA B ทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูป

3. N 4. X ไปใชใ้ นเรือ่ งใดได้บ้าง
2. นักเรียนศึกษา ความเท่ากันทุกประการ

M ข อ ง รู ป ส า ม เ ห ลี่ ย ม ส อ ง รู ป ท่ี มี ค ว า ม
สัมพันธ์แบบตา่ ง ๆ
Y
P W ep 2 ขนั้ คิดวเิ คราะห์
LZ
และสรปุ ความรู้

ความเทา่ กันทกุ ประการ 135 3. นกั เรยี นพจิ ารณาสอื่ การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์

ชุ ด รู ป ส า ม เ ห ล่ี ย ม ส อ ง รู ป ที่ เ ท่ า กั น

• ดา้ นของรูปสามเหล่ียมด้านใดทยี่ าวเทา่ กัน ทุกประการแบบ ด้าน-มุม-ด้าน จากน้ัน

(AB = DE และ CA = FD) ใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของนักเรียน
• มมุ ของรูปสามเหลย่ี มมุมใดทมี่ ีขนาดเทา่ กัน (CA^B = FD^E)
• มมุ ท่มี ีขนาดเท่ากันท้ังสองสัมพนั ธ์กับดา้ นท่ียาวเทา่ กันอยา่ งไร ดงั นี้ A D

(เปน็ มุมในระหว่างดา้ นทย่ี าวเทา่ กัน มีขนาดเทา่ กนั ) BE
• ถ้านำ�รปู สามเหล่ยี มทัง้ สองมาวางทับกัน จะทบั กันสนทิ หรือไม่

(ทับกันสนทิ พอด)ี

• รูปสามเหลี่ยมทั้งสองเท่ากันทุกประการด้วยความสัมพันธ์แบบใด C F
(ดา้ น-มุม-ด้าน)

135 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

St บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA

ep 2 ข้นั คิดวิเคราะห์ 5. T
E
และสรปุ ความรู้

4. นกั เรยี นพจิ ารณาตวั อยา่ งรปู สามเหลยี่ ม P LB A
ท่ีมีความสัมพันธ์แบบ ด้าน-มุม-ด้าน
บนกระดาน 3-4 ขอ้ แลว้ ผแู้ ทนนกั เรยี น จากผลการส�ารวจ จะเหน็ วา่ รูปสามเหล่ียมสองรปู ที่ก�าหนดให้ในขอ้ 1.- 4. เทา่ กันทกุ ประการ
2 คน ออกมาเขียนด้านคู่ที่มีขนาด แต่ขอ้ 5. ไม่เท่ากนั ทกุ ประการ ดงั น้ี
เท่ากัน และมุมคู่ท่ีมีขนาดเท่ากัน
จนครบทุกข้อ โดยมีนักเรียนและครู 1. PM = RO, MN = OS และ PM^ N = RO^S
รว่ มกนั ตรวจสอบความถกู ต้อง
จะได้ △ PMN  △ ROS

2. ED = BA, DF = AC และ ED^F = BA^C

จะได้ △ EDF  △ BAC

3. NM = PM, ML = MO และ NM^ L = PM^ O

จะได้ △ NML  △ PMO

4. WY = WY, YX = YZ และ WY^X = WY^Z

จะได้ △ WYX  △ WYZ

5. EP = TB, LE = AT และ P^LE = B^TA

จะได้ △ PLE และ △ BAT ไมเ่ ท่ากนั ทุกประการ

ความเท่ากนั จะเห็นว่า ข้อ 1.- 4. เป็นการก�าหนดด้านคู่ที่สมนัยกันยาวเท่ากัน 2 คู่ และมุมคู่ที่สมนัยกัน
ทกุ ประการ มีขนาดเท่ากัน 1 คู่ โดยมุมคู่ท่ีเท่ากันนั้นเป็นมุมระหว่างด้านคู่ท่ียาวเท่ากัน เรียกรูปสามเหลี่ยม
สองรูปท่ีมีความสัมพันธ์กันแบบน้ีว่า ความสัมพันธ์แบบ ด้าน-มุม-ด้าน (ด.ม.ด.) และท�าให้เกิดผล
ท่ีตามมา คือ ด้านที่สมนัยกันท่ีเหลืออีก 1 คู่ จะยาวเท่ากัน และมุมคู่ท่ีสมนัยกันท่ีเหลืออีก 2 คู่
จะมีขนาดเท่ากันเปน็ คู่ ๆ

โดยทว่ั ไป รปู สามเหลย่ี มสองรปู ทมี่ คี วามสมั พนั ธก์ นั แบบ ดา้ น-มมุ -ดา้ น จะเทา่ กนั ทกุ ประการ
ซ่ึงเปน็ ไปตามสมบัตติ อ่ ไปน้ี

ถา้ รูปสามเหล่ียมสองรูปใด ๆ มีด้านที่สมนยั กนั ยาวเท่ากนั สองคู่ และมมี มุ ในระหว่างด้าน
คทู่ ี่ยาวเท่ากนั มขี นาดเทา่ กันแลว้ รูปสามเหลย่ี มสองรูปน้นั เทา่ กันทกุ ประการ

เป็นความสมั พนั ธแ์ บบ ดา้ น-มุม-ด้าน หรอื ด.ม.ด.

136 คณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 2 เลม่ 2

แนวข้อสอบ O-NET/PISA ABD CDB

ก�ำ หนดให้ ABCD เป็นรปู สี่เหลี่ยมด้านขนาน จะไดว้ า่
ข้อใดกลา่ วไมถ่ ูกต้อง
1 AB สมนัยกับ CD
2 BD สมนยั กับ DB
3 CA สมนยั กับ AC
4 DA สมนยั กบั BC

สุดยอดคู่มือครู 136

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

นักเรยี นพิจารณาตัวอยา่ งต่อไปน้ี Step 2 ขนั้ คดิ วเิ คราะห์

และสรปุ ความรู้

1ตวั อย่างที่ + -- 5. นกั เรยี นพจิ ารณารปู สามเหลยี่ มสองรปู
ที่มีความสัมพันธ์แบบ ด้าน-มุม-ด้าน
จากรปู ท่กี �าหนด พิสจู นว์ ่า △ KLM △ ONM 4 ตัวอย่าง โดยใช้การถาม-ตอบ
ประกอบการอธบิ าย
KN
6. นักเรียนพิจารณารูปสามเหล่ียม 5 คู่
ก�าหนดให้ M O บนกระดาน แล้วร่วมกันไตร่ตรอง
ต้องพิสจู น์วา่ L ด้วยเหตุผลว่ารูปสามเหล่ียมคู่ใด
พสิ จู น์ (กา� หนดให)้ เท่ากันทุกประการด้วยความสัมพันธ์
KM = OM และ LM = NM (มมุ ตรงกันขา้ มของเส้นตดั มีขนาดเทา่ กนั ) แบบ ด้าน-มุม-ด้าน โดยมีนักเรียน
(กา� หนดให้) และครูร่วมกันตรวจสอบความถกู ต้อง
△ KLM △ ONM (ด.ม.ด.)

1) KM = OM
2) KM^ L = OM^ N
3) LM = NM

4) △ KLM △ ONM

2ตวั อยา่ งท่ี + --
กา� หนด AD = CD และ AD^B = CD^B พิสจู น์ว่า AB = CB
A

DB

ก�าหนดให ้ C
ต้องพิสจู นว์ ่า
พิสจู น์ AD = CD และ AD^B = CD^B

AB = CB

1) AD = CD (ก�าหนดให)้
2) AD^B = CD^B (ก�าหนดให)้

3) BD = BD (BD เปน็ ดา้ นรว่ ม)
4) △ ABD △ CBD (ด.ม.ด.)
5) AB = CB (ด้านคทู่ ่ีสมนัยกันของรูปสามเหล่ยี ม

ทเี่ ทา่ กนั ทกุ ประการ จะยาวเท่ากนั )

ความเทา่ กนั ทุกประการ 137

(เฉลย 3 แนวคิด จะได้ว่า ABD CDB ด้วยความสัมพันธ์
B แบบ ด้าน-มุม-ด้าน จะได้ด้านคู่ท่ีสมนัยกันของ
A
รปู สามเหลย่ี มสองรปู ทเ่ี ท่ากนั ทกุ ประการ คอื
D AB สมนัยกบั CD
C BD สมนยั กับ DB
DA สมนัยกับ BC)

137 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ข้ันคิดวเิ คราะห์
St
และสรุปความรู้
3ตัวอย่างท่ี + --
ก�าหนด △ ABC และ △ XYZ มี BC = YZ, AZ = XC และ BC^A = YZ^X
7. นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน พิสจู น์ว่า △ ABC △ XYZ และ AB = XY
นักเรียนพิจารณาบัตรรูปสามเหลี่ยม

กลุ่มละ 1 ชุด ร่วมกันพิสูจน์ว่า B

รูปสามเหล่ียมท่ีกำ�หนดให้นี้มีความ AZ CX
สัมพันธ์แบบด้าน-มุม-ด้าน โดยผู้แทน
นักเรียนแต่ละกลุ่ม กลุ่มละ 2 คน

อ อ ก ม า แ ส ด ง วิ ธี ทํ า บ น ก ร ะ ด า น

พร้อมอธิบายประกอบ โดยมีนักเรียน Y

และครูร่วมกันตรวจสอบความถูกต้อง กา� หนดให ้ △ ABC และ △ XYZ มี BC = YZ, AZ = XC และ BC^A = YZ^X
ตอ้ งพสิ จู นว์ า่ △ ABC △ XYZ และ AB = XY

พิสจู น์ 1) BC = YZ (กา� หนดให)้
2) BC^A = YZ^X (ก�าหนดให้)
(กา� หนดให)้
3) AZ = XC (สมบตั กิ ารบวก)
(AZ + ZC = AC และ XC + CZ = XZ)
4) AZ + ZC = XC + CZ (ด.ม.ด.)
(ดา้ นคู่ท่สี มนัยกนั ของรปู สามเหล่ียม
5) AC = XZ ที่เท่ากันทกุ ประการ จะยาวเทา่ กนั )

6) △ ABC  △ XYZ

7) AB = XY

138 คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 เล่ม 2

สุดยอดคู่มือครู 138

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

ep 3 ขนั้ ปฏบิ ัติSt
และสรปุ ความรู้
4ตัวอย่างท่ี + -- หลงั การปฏบิ ตั ิ

ก�าหนด MNOP เป็นรูปสี่เหลย่ี มมมุ ฉาก ถ้า PW = MR 8. นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 3-4 คน
แต่ละกลุ่มจะได้รับแถบโจทย์เก่ียวกับ
พิสูจนว์ า่ 1) △ PWO △ MRN รปู สามเหลยี่ มสองรปู ทม่ี คี วามสมั พนั ธ์
2) △ OWN △ NRO แบบ ด้าน-มุม-ด้าน 2 ข้อ นักเรียน
รว่ มกนั แสดงการพสิ จู นว์ า่ รปู สามเหลย่ี ม
PO

W

สองรูปท่ีโจทย์กำ�หนดมีความสัมพันธ์
แบบด้าน-มุม-ด้าน หรือไม่ โดยเขียน
R แสดงการพิสูจน์ลงในกระดาษเปล่า

กา� หนดให้ MN จากน้ันสลับผลงานกับกลุ่มอื่น เพื่อ
ตอ้ งพสิ ูจน์ว่า ร่วมกันตรวจสอบและแก้ไข
MNOP เปน็ รูปสเ่ี หลีย่ มมุมฉาก และมี PW = MR

1. △ PWO △ MRN
2. △ OWN  △ NRO

พิสูจน์ 1) PW = MR (ก�าหนดให)้
2) OP^W = NM^ R = 90 � (เปน็ มุมของรปู สี่เหล่ยี มมุมฉาก)

3) PO = MN (เป็นด้านตรงข้ามของรปู ส่เี หลย่ี มมมุ ฉาก)
4) △ PWO △ MRN (ด.ม.ด.)
5) WO = RN (ด้านคูท่ ่สี มนยั ของรปู สามเหลี่ยมท่เี ท่ากนั

6) PO^W = MN^R ทุกประการ จะยาวเท่ากนั )
(มุมคูท่ ่สี มนัยกนั ของรปู สามเหลี่ยมทเ่ี ท่ากัน

ทุกประการ จะมขี นาดเท่ากนั )
7) PO^N = MN^O = 90 � (เป็นมมุ ของรูปส่ีเหล่ยี มมมุ ฉาก)
8) PO^ N - PO^W = MN^O - MN^R (สมบัตกิ ารเทา่ กันของการบวก)
9) WO^N = RN^O (PO^N - PO^W = WO^N และ
MN^O - MN^R = RN^O)

10) NO = NO (NO เปน็ ดา้ นร่วม)
11) △ OWN △ NRO (ด.ม.ด.)

ความเทา่ กนั ทุกประการ 139

139 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

St บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA

ep 3 ขน้ั ปฏบิ ตั ิ แบบฝึกหดั ที่ 3
แหลละงั สกราุปรปควฏาิบมัตริู้

9. นักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งที่เข้าใจเป็น 1. จากรูปสามเหลยี่ มสองรูปทกี่ �าหนดในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี มขี อ้ ใดบา้ งท่รี ปู สามเหลยี่ มสองรปู
ความร้รู ่วมกนั ดงั นี้ เทา่ กันทกุ ประการแบบ ด้าน-มมุ -ด้าน พร้อมเขียนสัญลักษณ์แสดงด้านค่ทู ี่สมนยั กันยาวเทา่ กัน
2 คู่ และมมุ คู่ท่ีสมนยั กนั มีขนาดเทา่ กนั 1 คู่
• รูปสามเหลี่ยมสองรูปใด ๆ ที่มี
ดา้ นยาวเทา่ กนั สองคู่ และมมุ ในระหวา่ ง 1) C D
ด้านที่ยาวเท่ากันมีขนาดเท่ากัน แล้ว
รูปสามเหล่ียมสองรูปนั้นจะเท่ากัน E
ทุกประการด้วยความสัมพันธ์แบบ
ด้าน-มมุ -ดา้ น A B F +-÷ ×

2) U Z

S T XY +-÷ ×

3) H 4) N M

GI +-÷ L
K
×
J

5) Z Y

W X +-÷ ×

140 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2 เล่ม 2

แนวข้อสอบ O-NET/PISA

ข้อใดเป็นรูปสามเหล่ียมสองรูปท่เี ท่ากนั ทุกประการ
1 รูปสามเหลย่ี มสองรูปทมี่ ีความสงู เทา่ กนั
2 รปู สามเหล่ียมสองรูปทมี่ พี ้ืนท่ีเท่ากัน
3 รปู สามเหล่ยี มสองรูปทีม่ ีความยาวรอบรปู เทา่ กัน
4 รูปสามเหลยี่ มสองรปู ท่ีมีดา้ นยาวเท่ากนั สามคู่

สุดยอดคู่มือครู 140

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

Step 4

2. จากรปู ท่กี า� หนด พสิ จู น์ว่า △ ABC △ DEF E ขนั้ สอื่ สารและนำ� เสนอ

AD 10. ผู้แทนนักเรียน 4-5 คน ออกมา
นำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อม
B อธบิ ายประกอบ โดยมนี กั เรยี นและครู
C รว่ มกนั ตรวจสอบความถูกต้อง

F

3. กา� หนด DO = BO และ CO = AO พสิ ูจน์วา่ △ DOC △ BOA

DC

O B

A

4. ก�าหนด CB = DB, CB^A = DB^A พิสจู นว์ ่า △ CBA △ DBA

C

AB

D

5. กา� หนด ABCD เปน็ รูปสี่เหลี่ยมผืนผา้ AC เป็นเส้นทแยงมุม พสิ จู นว์ ่า △ ADC △ CBA

AB

DC

ความเท่ากันทกุ ประการ 141

(เฉลย 4 แนวคิด D 2 A D
1 A

11 11

B1C E 3 F B1 C E1 F

ABC ไมเ่ ทา่ กนั ทุกประการกบั DEF ABC ไม่เท่ากนั ทกุ ประการกบั DEF

3 A D 4 A D

45 44 35 53

B 3C E 4 F B 4 CF 4 E 141 สุดยอดคู่มือครู

ABC ไมเ่ ทา่ กันทกุ ประการกับ DEF ABC เทา่ กันทุกประการกับ DEF)

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA

6. ก�าหนด ABCD เป็นรูปสีเ่ หลย่ี มดา้ นขนาน D C
มี AD = BC และ CA^ D = BC^A B

พสิ จู น์ว่า △ CAD △ BCA B
P
C A N
D
7. ก�าหนด BD = BE
และ AB = CB พสิ จู นว์ า่ AD = CE E
O
A
8. กา� หนด MNPR เป็นรูปสเ่ี หลี่ยมผนื ผ้า R
และ O เป็นจดุ ก่ึงกลางของ PR
M
พสิ ูจน์วา่ △ MRO △ NPO

9. ก�าหนด WXYZ เปน็ รูปสี่เหล่ียม W Z
ทม่ี ี XW = ZY และ XW^ Y = ZY^W
Y
พสิ จู นว์ า่ △ WXY △ YZW M

X

10. กา� หนด NO = WP, MO = MP
และ MO^P = MP^O พิสจู นว์ ่า MN = MW

เสริมความรู้ ครูควรสอน NO PW

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธ์แบบ 142 คณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 2 เลม่ 2
ด้าน-มมุ -ด้าน

CZ

A BX Y

C CA^AB == ZZXX^Y
AB = XY

ABC XYZ
ดว้ ยความสัมพันธ์แบบ ด้าน-มมุ -ดา้ น

สุดยอดคู่มือครู 142

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

Step 2 ขนั้ คดิ วิเคราะห์

2.2 รปู สามเหลยี่ มสองรปู ท่ีมีความสมั พนั ธ์แบบ มุม-ดา้ น-มุม (ม.ด.ม.) และสรุปความรู้

รูปสามเหล่ียมสองรูปในแต่ละข้อต่อไปนี้ ก�าหนดให้ด้านคู่ที่สมนัยกันยาวเท่ากัน 1 คู่ และ 11. นักเรียนพิจารณาส่ือการเรียนรู้
มุมคู่ท่ีสมนัยกันมีขนาดเท่ากัน 2 คู่ ใช้กระดาษลอกลายลอกรูปสามเหลี่ยม แล้วสา� รวจว่ารูปสามเหล่ียม
สองรปู ท่กี า� หนดให้ในแต่ละข้อเทา่ กันทุกประการหรือไม่ คณติ ศาสตรช์ ดุ รปู สามเหลยี่ มสองรปู

1. C O ทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการแบบ มมุ -ดา้ น-มมุ

จากนนั้ ใชค้ �ำ ถามกระตนุ้ ความคดิ ของ

นักเรยี น ดังน้ี D

A

A BM N

+-÷ ×

2. 3. C BF E

DE T S • มุมของรูปสามเหล่ียมมุมใดที่มี
F U ขนาดเทา่ กัน
+-÷ ×
GH V (CA^B = FD^E และ BC^A = E^FD)
• ด้านของรูปสามเหล่ียมด้านใด
4. H K +-÷ ×
ทยี่ าวเท่ากนั (CA = FD)
IJ ความเทา่ กันทกุ ประการ 143 • ด้านที่เท่ากันท้ังสองสัมพันธ์กับ

มุมทมี่ ีขนาดเทา่ กันอย่างไร
(เปน็ ดา้ นทเี่ ปน็ แนวรว่ มของมมุ สองมมุ ท่ีมี

ขนาดเทา่ กัน มมุ ตอ่ มุม)
• ถ้านำ�รูปสามเหลี่ยมท้ังสอง

มาวางทับกัน จะทับกันสนิทพอดี
หรือไม่
(ทับกนั สนิทพอด)ี
• รปู สามเหล่ยี มท้งั สองเท่ากัน
ทกุ ประการดว้ ยความสมั พนั ธแ์ บบใด

(มุม-ด้าน-มุม)

143 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขั้นคิดวเิ คราะห์
St 5. E
และสรุปความรู้

12. นักเรียนพิจารณารูปสามเหลี่ยมท่ีมี T
ความสัมพันธ์แบบ มุม-ด้าน-มุม
บนกระดาน 3-4 ข้อ แล้วผู้แทน O NC A
นกั เรยี น 2 คน ออกมาเขยี นดา้ นคู่ทีม่ ี
ขนาดเทา่ กัน และมุมคู่ทมี่ ขี นาดเทา่ กัน จากผลการส�ารวจ จะเห็นวา่ รปู สามเหล่ียมสองรปู ทก่ี า� หนดใหใ้ นขอ้ 1. - 4. เท่ากันทกุ ประการ
จนครบทุกข้อ โดยมีนักเรียนและครู แตข่ ้อ 5. ไม่เทา่ กนั ทกุ ประการ ดังนี้
ร่วมกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
1. AC^B = MO^N, AB^C = MN^O และ CB = ON
13. นักเรียนพิจารณารูปสามเหล่ียม 5 คู่
บนกระดาน แล้วร่วมกันไตร่ตรอง จะได้ △ ACB  △ MON
ดว้ ยเหตผุ ลวา่ รปู สามเหลยี่ มใดเทา่ กนั
ทุกประการด้วยความสัมพันธ์แบบ 2. DE^F = HG^F, DF^E = HF^G และ EF = GF
มุม-ด้าน-มุม โดยมีนักเรียนและ
ครูร่วมกนั ตรวจสอบความถูกตอ้ ง จะได้ △ DEF △ HGF

3. TS^U = VS^U, TU^S = VU^S และ US = US

จะได้ △ TSU △ VSU

4. IJ^H = KJ^H, J^I H = JK^H และ JH = JH

จะได้ △ IJH △ KJH

5. EO^N = TC^A, NE^O = TA^C และ ON = CA

จะได้ △ ONE และ △ CAT ไม่เท่ากนั ทุกประการ

จะเห็นว่า ข้อ 1. - 4. เป็นการก�าหนดมุมคู่ที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน 2 คู่ และด้านคู่ที่สมนัยกัน
ยาวเท่ากัน 1 คู่ โดยด้านคู่ที่ยาวเท่ากันน้ันเป็นด้านระหว่างมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน เรียกรูปสามเหลี่ยม
สองรปู ทมี่ คี วามสมั พนั ธก์ นั แบบนวี้ า่ ความสมั พนั ธแ์ บบ มมุ -ดา้ น-มมุ (ม.ด.ม.) และทา� ใหเ้ กดิ ผลทตี่ ามมา
คือ มุมคทู่ ี่สมนัยกนั ทเี่ หลอื อีก 1 คู่ จะมขี นาดเท่ากนั และด้านคทู่ สี่ มนัยกนั ทเี่ หลืออกี 2 คู่ จะมคี วามยาว
เทา่ กันเปน็ คู่ ๆ
ถ้ารูปสามเหล่ียมสองรูปใด ๆ มีมุมที่สมนัยกัน
โดยท่ัวไป รูปสามเหล่ียมสองรูปที่มี มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านซึ่งเป็นแขนร่วมของมุม
ความสมั พนั ธก์ นั แบบ มมุ -ดา้ น-มมุ จะเทา่ กนั ทั้งสองยาวเท่ากันแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากัน
ทุกประการ ซึ่งเป็นไปตามสมบัตติ ่อไปนี้ ทุกประการ

เปน็ ความสมั พนั ธแ์ บบ มมุ -ดา้ น-มมุ หรอื ม.ด.ม.

144 คณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 2 เลม่ 2

สุดยอดคู่มือครู 144

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

ep 2 ขน้ั คดิ วเิ คราะห์St

นกั เรียนพิจารณาตัวอย่างตอ่ ไปนี้ และสรุปความรู้

1ตัวอยา่ งท่ี + -- 14. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการพิสูจน์
รู ป ส า ม เ ห ลี่ ย ม ส อ ง รู ป ที่ มี ค ว า ม
ก�าหนด PS = OS และ S^PN = SO^M พิสูจนว์ ่า△ SPN △ SOM สมั พันธ์แบบ มุม-ดา้ น-มมุ 2 ตวั อยา่ ง

PO

MN โดยใช้การถาม-ตอบ ประกอบ

กา� หนดให ้ PS = OS และ S^PN = SO^MS การอธบิ าย
ต้องพิสจู น์ว่า △ SPS^NPN△= SOM 15. นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน
พสิ ูจน์ PPSS^N SO^M (ก�าหนดให้)
1) OOSS^M (กา� หนดให้) แตล่ ะกลมุ่ จะไดร้ บั บตั รรปู สามเหลย่ี ม
2) = (เป็นมุมร่วม) กลุ่มละ 1 ชดุ นกั เรียนรว่ มกันพิสูจน์
3) = (ม.ด.ม.) ว่า รูปสามเหล่ียมที่กำ�หนดให้น้ี
4) △ SPN  △ SOM มีความสัมพันธ์แบบ มุม-ด้าน-มุม

2ตัวอยา่ งที่ + -- โ ด ย ผู้ แ ท น นั ก เ รี ย น แ ต่ ล ะ ก ลุ่ ม
ก�าหนด AB^O = DC^O มี BO = CO ดงั รูป พสิ จู น์ว่า AB = DC กลุ่มละ 2 คน ออกมาแสดงวิธีทํา
BD บนกระดานพร้อมอธิบายประกอบ
โ ด ย มี นั ก เ รี ย น แ ล ะ ค รู ร่ ว ม กั น

O ตรวจสอบความถูกตอ้ ง

ก�าหนดให ้ AB^O = DC^O A C
ต้องพิสจู น์ว่า BO = CO
พิสูจน ์ AB A=B^OD=C (ก�าหนดให)้
1) DC^O (ก�าหนดให้)
2) BO = CO (มุมตรงกนั ขา้ มของเสน้ ตัดมขี นาดเท่ากัน)
3) BO^A = CO^D (ม.ด.ม.)
(ดา้ นคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหล่ยี ม
4) △ ABO △ DCO ท่เี ทา่ กันทุกประการ จะมีขนาดเทา่ กัน)
5) AB = DC

ความเทา่ กันทกุ ประการ 145

145 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

St บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA

ep 3 ขั้นปฏิบตั ิ แบบฝกึ หดั ท่ี 4
แหลละังสกราปุรปควฏาิบมตั ริู้

16. นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 3-4 คน 1. จากรปู ที่ก�าหนด พสิ ูจนว์ ่า △ BDA △ BDC A
แตล่ ะกลมุ่ จะไดร้ บั แถบโจทยเ์ กยี่ วกบั
รู ป ส า ม เ ห ลี่ ย ม ส อ ง รู ป ท่ี มี ค ว า ม B 42 � 80 � D
สัมพันธ์แบบ มุม-ด้าน-มุม 2 ข้อ 42 � 80 �
นักเรียนร่วมกันแสดงการพิสูจน์ว่า
รูปสามเหล่ียมสองรูปที่โจทย์กำ�หนด 2. ก�าหนดรปู สามเหลย่ี ม OMN C R
มีความสัมพันธ์แบบ มุม-ด้าน-มุม และรปู สามเหล่ยี ม ORW มี NM^O = WR^O, W O
หรือไม่ โดยเขียนแสดงการพิสูจน์ MO = RO และ ON = OW
ลงในกระดาษเปล่า จากน้ันสลับ M N
ผลงานกับกลุ่มอื่น เพ่ือร่วมกัน พิสจู น์วา่ △ MON △ ROW
ตรวจสอบและแก้ไข

3. กา� หนด BA^ D = AB^C A B
และ AB^D = BA^C D C

พสิ ูจนว์ า่ △ ABD △ BAC

DC

4. จากรปู ท่กี า� หนด

พสิ ูจน์ว่า △ ABC △ BAD

AB

146 คณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 2 เล่ม 2

สุดยอดคู่มือครู 146

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

5. ก�าหนด AD = BC, AD^B = BC^A A ep 3 ข้ันปฏิบัติSt St
และ BA^ D = AB^C
B แหลละงั สกราปุรปควฏาบิ มตั ริู้
พสิ จู นว์ ่า △ BAD △ ABC
17. นักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งท่ีเข้าใจเป็น
6. กา� หนด KLMN เปน็ รปู สเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน D C ความรรู้ ว่ มกนั ดงั นี้
จดุ P และจุด W เปน็ จุดกึ่งกลางด้าน ML N M
และดา้ น NK ตามล�าดบั NL และ WP • รปู สามเหลย่ี มสองรปู ใด ๆ ทมี่ ี
ตดั กันท่จี ุด O พิสจู น์วา่ WO = PO W OP ขนาดของมุมเทา่ กันสองคู่ และมดี ้าน
ซึ่งเป็นแขนร่วมของมุมทั้งสองมีขนาด
7. ก�าหนด △ WTX เปน็ รูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่วั K L เท่ากัน รูปสามเหล่ียมสองรูปน้ัน
W X จ ะ เ ท่ า กั น ทุ ก ป ร ะ ก า ร ด้ ว ย ค ว า ม
และ XW^ Z = WX^Y พสิ จู นว์ ่า สัมพันธแ์ บบ มุม-ดา้ น-มมุ
T
1) △ WTZ △ XTY Z ep 4
DY
2) WZ = XY X Y ขน้ั สอื่ สารและนำ� เสนอ

8. กา� หนด ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรสั C 18. ผู้แทนนักเรียน 4-5 คน ออกมา
มี AB^X = CB^Y พิสจู นว์ า่ BX = BY นำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อม
อธบิ ายประกอบ โดยมนี กั เรยี นและครู
A ร่วมกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
M
B

9. กา� หนด NM^ P = LM^ P, NK^P = LK^P N PL เสริมความรู้ ครูควรสอน
พิสูจนว์ ่า KLMN เปน็ รูปสเ่ี หลย่ี มรปู ว่าว

รูปสามเหลีย่ มสองรูปท่ีมคี วามสมั พันธ์แบบ

มุม-ดา้ น-มุม

K ความเทา่ กันทุกประการ 147 C Z

A BX Y

CA^B = ZX^Y
A A^BCB = XXYY^Z
=

ABC XYZ
ดว้ ยความสมั พนั ธแ์ บบ มุม-ดา้ น-มมุ

147 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขน้ั คดิ วิเคราะห์
St 2.3 รูปสามเหลีย่ มสองรูปที่มคี วามสมั พนั ธแ์ บบ ดา้ น-ดา้ น-ด้าน (ด.ด.ด.)
และสรุปความรู้
รูปสามเหล่ียมสองรูปในแต่ละข้อต่อไปนี้ ก�าหนดให้มีด้านคู่ท่ีสมนัยกันยาวเท่ากัน 3 คู่

19. นั ก เ รี ย น พิ จ า ร ณ า ส่ื อ ก า ร เ รี ย น รู้ ใช้กระดาษลอกลายลอกรูปสามเหลี่ยม แล้วส�ารวจว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปท่ีก�าหนดให้ในแต่ละข้อ
คณิตศาสตร์ชุด รูปสามเหล่ียมสองรูป เท่ากนั ทกุ ประการหรอื ไม่

ท่ีเทา่ กันทุกประการแบบ ดา้ น-ด้าน-ดา้ น 1. N P
จากน้ันใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ

นักเรยี น ดงั น้ี L

AD

ST

M +-÷ ×

B CE F 2. F

• ด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านใด D G E +-÷ ×
ท่ยี าวเทา่ กนั K J +-÷ ×
3.
(AB = DE, BC = EF และ CA = FD)
• ถ้านำ�รูปสามเหล่ียมทั้งสองมาวาง HI

ทับกันจะทับกันสนทิ พอดีหรอื ไม่ 148 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 2 เลม่ 2
(ทับกนั สนิทพอด)ี
• รูปสามเหล่ยี มท้งั สองเท่ากัน
ทกุ ประการดว้ ยความสมั พันธแ์ บบใด

(ด้าน-ดา้ น-ดา้ น)
20. นั ก เ รี ย น ร่ ว ม กั น แ ส ด ง ค ว า ม คิ ด เ ห็ น

โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิด ดงั นี้
• ถ้ารูปสามเหล่ียมที่มีมุมเท่ากัน

ทั้งสามมุม มุมตอ่ มุม จะเท่ากันทกุ ประการ
หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด
(ไม่เท่ากันทกุ ประการเพราะรปู สามเหลี่ยมทม่ี ี

ด้านเท่ากันท้ังสามด้าน จะมีมุมทุกมุมท่ีมี

ขนาดเท่ากัน เช่น รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มี

ความยาวด้านละ 1 เซนติเมตร จะไม่เท่ากัน

ทุกประการกับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มี

ความยาวด้านละ 3 เซนติเมตร แต่รูป-

สามเหลี่ยมท้ังสองมีมุมที่เท่ากันทั้งสามมุม

มมุ ตอ่ มุม)

สุดยอดคู่มือครู 148

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

Step 2 ข้นั คิดวิเคราะห์

4. S และสรุปความรู้

VT 21. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างรูปสามเหลี่ยม
ที่มีความสัมพันธ์แบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน
U บนกระดาน 3-4 ข้อ แลว้ ผ้แู ทนนักเรียน
2 คน ออกมาเขยี นดา้ นคทู่ มี่ ขี นาดเทา่ กนั
จากผลการส�ารวจ จะเห็นว่า รปู สามเหลย่ี มสองรูปทก่ี า� หนดให้ในแต่ละขอ้ เท่ากันทกุ ประการ และมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน จนครบทุกข้อ
ดังนี้ โดยมีนักเรียนและครูร่วมกันตรวจสอบ
ความถูกต้อง

1. NL = SP, LM = PT และ MN = TS

จะได้ △ NLM △ SPT

2. FD = FE, DG = EG และ GF = GF

จะได้ △ FDG  △ FEG

3. KH = IJ, HI = JK และ KI = KI

จะได้ △ KHI △ IJK

4. SV = ST, VU = TU และ SU = SU

จะได้ △ SUV  △ SUT

จะเห็นว่าทั้ง 4 ข้อ เป็นการก�าหนดด้านคู่ท่ีสมนัยกันยาวเท่ากันทั้ง 3 คู่ เรียกรูปสามเหลี่ยมสองรูป
ที่มีความสมั พนั ธก์ นั แบบน้ีวา่ ความสัมพันธ์แบบ ดา้ น-ดา้ น-ดา้ น (ด.ด.ด.) และทา� ให้เกิดผลท่ีตามมา คือ
มมุ คทู่ ่สี มนัยกันอีก 3 คู่ จะมขี นาดเท่ากันเปน็ คู่ ๆ

โดยท่ัวไป รูปสามเหล่ียมสองรูปท่ีมีความสัมพันธ์กันแบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน จะเท่ากันทุกประการ
ซ่งึ เป็นไปตามสมบัติต่อไปน้ี

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใด ๆ มีด้านที่สมนัยกันยาวเท่ากันสามคู่แล้ว รูปสามเหลี่ยม
สองรปู นี้เทา่ กันทกุ ประการ

เป็นความสัมพันธ์แบบ ด้าน-ดา้ น-ด้าน หรือ ด.ด.ด.

ความเท่ากนั ทกุ ประการ 149

แนวข้อสอบ O-NET/PISA

A C จากรูป ABDC มี AB = DC และ BD = CA ABD DCA
B ดว้ ยความสัมพนั ธ์แบบใด (เฉลย 3 แนวคิด
1 ด้าน-มมุ -ด้าน
2 มุม-ด้าน-มมุ พิสจู น์ 1) AB = DC (กำ�หนดให้)

D 3 ด้าน-ด้าน-ดา้ น 2) BD = CA (ก�ำ หนดให)้

4 มมุ -มมุ -มมุ 3) AD = AD (AD เปน็ ด้านรว่ ม)
4) ABD DCA (ด.ด.ด.))

149 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

St บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA

ep 2 ข้นั คิดวิเคราะห์ นกั เรียนพจิ ารณาตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี

และสรปุ ความรู้ 1ตัวอยา่ งที่ + --

22. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการพิสูจน์ ก�าหนด AD = BC และ BD = AC พสิ จู น์วา่ △ BAD △ ABC
รปู สามเหลย่ี มสองรปู ทม่ี คี วามสมั พนั ธ์
DC

แบบ ดา้ น-ดา้ น-ดา้ น 3 ตวั อยา่ ง โดยใช้

การถาม-ตอบ ประกอบการอธิบาย

23. นักเรียนพิจารณารูปสามเหล่ียม 3 คู่ AB

บนกระดาน แล้วร่วมกันไตร่ตรอง กา� หนดให ้ AD = BC และ BD = AC (ก�าหนดให)้
ด้วยเหตุผลว่า รูปสามเหลี่ยมคู่ใด ต้องพิสจู นว์ า่ (ก�าหนดให)้
เท่ากันทุกประการด้วยความสัมพันธ์ พสิ จู น์ △ BAD  △ ABC (AB เป็นด้านร่วม)
แบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน โดยมีนักเรียน (ด.ด.ด.)
และครรู ว่ มกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง 1) AD = BC
2) BD = AC
3) AB = AB

4) △ BAD △ ABC

24. นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน 2ตวั อยา่ งที่ + --
จากรปู ท่ีกา� หนด พิสจู นว์ า่ CB แบ่งครึง่ AB^D
แตล่ ะกลมุ่ จะไดร้ บั บตั รรปู สามเหลย่ี ม
กลุ่มละ 1 ชุด นักเรียนร่วมกันพิสูจน์ D

ว่ารูปสามเหล่ียมท่ีกำ�หนดให้นี้มีความ CB

สัมพันธ์แบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน โดย

ผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่ม กลุ่มละ ก�าหนดให้ A
2 คน ออกมาแสดงวิธีทําบนกระดาน ตอ้ งพิสจู น์วา่
พร้อมอธิบายประกอบ โดยมีนักเรียน พสิ ูจน ์ △ ABC และ △ DBC มี AB = DB และ AC = DC

CB แบง่ ครง่ึ AB^D

1) AC = DC (ก�าหนดให)้

และครรู ว่ มกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง 2) AB = DB (ก�าหนดให)้
3) CB = CB (CB เปน็ ดา้ นร่วม)
(ด.ด.ด.)
4) △ ABC △ DBC (มมุ ที่สมนยั กนั ของรูปสามเหลยี่ ม

5) AB^C = DB^C

ที่เทา่ กันทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน)
6) ดงั น้นั CB แบง่ ครง่ึ AB^D (AB^C = DB^C)

150 คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 2 เล่ม 2

สุดยอดคู่มือครู 150

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

3ตวั อย่างท่ี + -- Step 3 ขน้ั ปฏิบตั ิ
และสรปุ ความรู้
หลังการปฏิบตั ิ

ก�าหนด MNPO เปน็ รปู ส่เี หล่ยี มด้านขนาน พสิ ูจนว์ า่ เสน้ ทแยงมมุ MP 25. นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 3-4 คน
แบ่งรูปส่ีเหลีย่ ม MNPO ออกเปน็ รปู สามเหลย่ี มสองรปู ท่เี ท่ากนั ทกุ ประการ แต่ละกลุ่มจะได้รับแถบโจทย์เก่ียวกับ
และ MN^P = PO^M รปู สามเหลยี่ มสองรปู ทม่ี คี วามสมั พนั ธ์
แบบ ดา้ น-ดา้ น-ดา้ น นกั เรยี นรว่ มกัน
N

แสดงการพิสูจน์ว่า รูปสามเหลี่ยม

P สองรูปท่ีโจทย์กำ�หนดมีความสัมพันธ์
M แบบ ด้าน-ดา้ น-ดา้ น หรอื ไม่ โดยเขียน

แสดงการพิสูจน์ลงในกระดาษเปล่า

O จากนั้นสลับผลงานกับกลุ่มอ่ืน เพ่ือ

กา� หนดให้ MNPO เปน็ รปู สี่เหลยี่ มด้านขนาน ร่วมกนั ตรวจสอบและแกไ้ ข
ต้องพสิ จู นว์ า่
พิสจู น ์ △ MNP △ POM และ MN^P = PO^M

1) MN = PO (เป็นดา้ นตรงขา้ มของรูปส่ีเหล่ยี มด้านขนาน

ยอ่ มเทา่ กัน)

2) NP = OM (เป็นด้านตรงขา้ มของรปู ส่ีเหลยี่ มด้านขนาน

3) MP = MP ยอ่ มเท่ากนั )
(MP เปน็ ด้านร่วม)
4) △ MNP △ POM (ด.ด.ด.)
(มุมคทู่ ่ีสมนัยกันของรูปสามเหลยี่ ม
5) MN^P = PO^M

ทเี่ ทา่ กนั ทุกประการ จะมีขนาดเท่ากัน)

ความเทา่ กันทุกประการ 151

151 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

St บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA

ep 3 ขั้นปฏบิ ตั ิ แบบฝึกหัดท่ี 5
แหลละังสกราปุรปควฏาบิ มัตริู้

26. นั ก เ รี ย น ร่ ว ม กั น ส รุ ป ส่ิ ง ท่ี เ ข้ า ใ จ 1. จากรูปสามเหลย่ี มทก่ี า� หนด FO R
เปน็ ความรรู้ ว่ มกัน ดังนี้
B E X
• รูปสามเหล่ียมสองรูปใด ๆ ที่มี D
ด้านยาวเท่ากันสามคู่ ด้านต่อด้าน AC P
รูปสามเหล่ียมสองรูปนั้นจะเท่ากัน
ทุกประการด้วยความสัมพันธ์แบบ พิสจู น์วา่
ดา้ น-ด้าน-ดา้ น
1) △ ABC  △ FED
2) △ POX  △ PRX

2. จากรูปทกี่ า� หนด พสิ ูจนว์ า่ CA^ D = CB^D

C

ADB

3. ก�าหนด C และ D เปน็ จดุ บน AB โดยที่ AC = BD ถา้ BE = AF และ EC = FD

พสิ จู น์วา่ △ BCE △ ADF

E

AC DB

F

152 คณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 2 เล่ม 2

สุดยอดคู่มือครู 152

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก

Step 4

4. ก�าหนด MNOP เปน็ รปู สเ่ี หล่ียมรปู วา่ ว N ขน้ั สอ่ื สารและนำ� เสนอ
M
พิสจู น์วา่ △ NMP  △ NOP O 27. ผู้แทนนักเรียน 4-5 คน ออกมา
นำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อม
P อธบิ ายประกอบ โดยมนี กั เรยี นและครู

5. กา� หนด △ ABC และ △ ABD เป็นรปู สามเหลี่ยมหน้าจ่ัว C ร่วมกนั ตรวจสอบความถูกต้อง

โดยมี AC^B และ AD^B เปน็ มมุ ยอด ตามลา� ดับ D
B
พิสจู นว์ ่า △ ACD  △ BCD และ CA^ D = CB^D
W
6. ก�าหนด NOWR เป็นรูปส่ีเหล่ียมผืนผา้ A
ต่อ ON ออกไปท้ังสองขา้ ง R OP
ถึงจดุ M และจุด P ท�าให้ NM = OP
MN
พิสจู นว์ ่า △ MRO  △ PWN

7. กา� หนด △ KLN, △ LKM และ △ KOL NM
O
เป็นรูปสามเหลีย่ มหน้าจ่ัว โดยมี K^LN, LK^M
และ KO^L เป็นมุมยอด ตามล�าดับ KL
Z
ถา้ NO = MO พิสจู นว์ ่า △ KON  △ LOM
RW เสริมความรู้ ครูควรสอน
8. ก�าหนด △ XYZ เปน็ รูปสามเหล่ียมหน้าจัว่ X PY
รปู สามเหลย่ี มสองรูปทมี่ ีความสัมพันธ์แบบ
มี XZ^Y เปน็ มุมยอด ลาก ZP แบ่งครง่ึ มมุ XZY ดา้ น-ด้าน-ดา้ น
พบ XY ทีจ่ ดุ P ถ้าจุด R และจุด W เป็นจุดกงึ่ กลาง
ด้าน XZ และดา้ น YZ ตามล�าดบั CZ

พิสจู น์วา่ △ XPR  △ YPW

ความเท่ากนั ทกุ ประการ 153

A BX Y

AB = XY
BC = YZ
CA = ZX
ABC XYZ
ด้วยความสัมพันธ์แบบ ดา้ น-ดา้ น-ดา้ น

153 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้

บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
5ep ขัน้ ประเมนิ เพอื่ เพมิ่ คุณคา่
St บรกิ ารสังคม

และจิตสาธารณะ 9. จากรปู ท่กี �าหนด ตรวจสอบว่ารปู สามเหล่ยี มสองรปู เทา่ กนั ทุกประการหรือไม่

28. นักเรียนนำ�ความรู้ไปช่วยแนะนำ� ถา้ เท่ากนั ทกุ ประการให้บอกว่าเปน็ ความสัมพนั ธ์แบบใด O
เพื่อนท่ียังไม่เข้าใจเก่ียวกับความ 1) B 2)

เท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม D P

สองรูปท่ีมีความสัมพันธ์แบบต่าง ๆ A N

ให้เกดิ ความเขา้ ใจยิง่ ขึน้ M

△ ADC และ △ BDC C △ MNP และ △ OPN

+-÷ ×

3) N 4) W

R

YO
M

X S

△ XYO และ △ NMO △ PWR และ △ WPS P

+-÷ ×

10. C จากรปู มีรปู สามเหลย่ี ม
เทา่ กนั ทกุ ประการอย่สู ามคู่
DE B หาวา่ เป็นรปู สามเหลีย่ มคู่ใดบ้าง
พร้อมท้งั บอกความสมั พนั ธ์ของ
ความเท่ากนั ทกุ ประการของแต่ละคู่

A

154 คณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 2 เลม่ 2

สุดยอดคู่มือครู 154

A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด ×2-1+ รอบรู้อาเซียนและโลก
3
4แบบฝึกหัดทา้ ยหน่วยการเรียนรู้ที่ ÷

1. กา� หนดให้รูปสามเหล่ยี มสองรูปเท่ากนั ทุกประการ เขียนดา้ นคทู่ ่สี มนัยและมุมค่ทู สี่ มนยั กนั

1) A CO

B P R +-÷ ×
+-÷ ×
2) H J

E

FK

3) X Y Z

A B +-÷ ×
+-÷ ×
4) T

VX

WU
LN

5) M

O +-÷ ×

ความเท่ากนั ทุกประการ 155

บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21

นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน แต่ละกลุ่มจะได้รับบัตรรูปสามเหลี่ยม
กลุ่มละ 2 ชุด ร่วมกันพิสูจน์ว่า รูปสามเหลี่ยมที่กำ�หนดให้น้ีมีความสัมพันธ์
แบบต่าง ๆ ลงในกระดาษเปล่า จากนั้นสลับผลงานกับกลุ่มอ่ืน เพ่ือร่วมกัน
ตรวจสอบและแก้ไข แล้วผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่ม กลุ่มละ 2 คน ออกมา
นำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อมอธิบายประกอบ โดยมีนักเรียนและครู
รว่ มกันตรวจสอบความถูกต้อง

155 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA

2. จากรูปท่ีก�าหนด พสิ ูจนว์ ่า △ AOB △ XOZ Z
X
A R

O
B

3. กา� หนด PQ = RQ พสิ ูจน์วา่ PS = RS Q

P

S B

4. จากรปู ทก่ี า� หนด พสิ จู น์ว่า △ ABD △ CBD

A

DC K

5. กา� หนด IJ = IL พสิ จู นว์ ่า △ IJK △ ILK และ JK = LK

J
I

L

156 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2 เลม่ 2

แนวข้อสอบ O-NET/PISA CDB

ก�ำ หนดให ้ ABCD เปน็ รูปสี่เหล่ียมผืนผ้า จะได้ว่า ABD
ข2413้อใ ดCBADกD^^AB^^BลAADB่าว ไม่ถสสสสกูมมมมตนนนนอ้ัยยััยยั งกกกกบับบับัั BADCC^BD^^D^CBDC

สุดยอดคู่มือครู 156

A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า

pplying and Constructing the Knowledge

เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก

6. จากรปู ทก่ี า� หนด พิสจู นว์ า่ △ EFG  △ EHG

EF

HG

7. กา� หนด OE = OF และ ER = FR พิสูจนว์ ่า △ OER  △ OFR

E

OR

F

8. ก�าหนด PO⊥ OR, CR ⊥ OR, P^LO = OC^R และ OL = RC
พิสูจน์วา่ △PLO  △CRO
P

C

RL O A
B
9. ก�าหนด △ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มหนา้ จว่ั DC

มี BA^ C เปน็ มมุ ยอด ถ้าลากเสน้ ตรง ความเท่ากันทุกประการ 157
จากจุด A ซ่งึ เป็นมุมยอดของรูปสามเหลี่ยม
มาแบง่ ครึง่ ฐานท่ีจดุ D
พสิ จู น์ว่า BA^ D = CA^ D และ AD⊥ BC

(เฉลย 3 แนวคดิ B จะได้ว่า ABD CDB ด้วยความสัมพันธ์แบบ ด้าน-มุม-ด้าน
จะได้มมุ ค่ทู ่ีสมนยั กนั ของรปู สามเหล่ยี มสองรูปทีเ่ ท่ากนั ทกุ ประการ คือ
A A^BD สมนยั กบั CD^B
BD^A สมนัยกบั D^BC
D C DA^ B สมนัยกับ BC^D)

157 สุดยอดคู่มือครู

GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA

10. E จากรูป กา� หนด ABCD
เปน็ รูปส่ีเหล่ยี มดา้ นขนาน
DC มี CE = CA และ EC^D = AC^D
AB
พสิ จู นว์ า่ △ CDE  △ CDA
11. ก�าหนด AD = BC, AE = BE
และ DE^F = CE^F พิสจู นว์ า่ DC
F
△ DEF △ CEF และ DF = CF

12. N M AEB

P จากรปู ก�าหนด KLMN
เปน็ รูปส่เี หล่ียมจตั รุ ัส
KO L และ PK = OK

13. กา� หนด XZ = XY และ XZ^N = XY^M พิสูจน์วา่ △ PMN △ OML

พิสจู น์วา่ △ XZN △ XYM และ PM = OM

ZY
W

MN

X

158 คณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 2 เล่ม 2

เสริมความรู้ ครูควรสอน

ก�ำ หนดให้ ABC เป็นรูปสามเหล่ยี มหน้าจว่ั พสิ ูจนว์ ่า BX = YC

A พสิ ูจน์ 1) XA^B = YA^C (กำ�หนดให้)

2) A ^BAXB = AACC^ Y (เปน็ ด้านประกอบมมุ ยอดของรปู สามเหล่ียมหนา้ จั่ว)
3) = (เปน็ มมุ ทีฐ่ านของรปู สามเหลีย่ มหนา้ จ่ัว)

4) ABX ACY (ม.ด.ม.)

5) BX = YC (เป็นด้านคู่ท่สี มนยั กันของรปู สามเหลีย่ มสองรปู

BX YC ทเี่ ท่ากนั ทุกประการ)

สุดยอดคู่มือครู 158