A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
ep 2 ขัน้ คดิ วเิ คราะห์St
น่นั คือ พ้ืนท่ีของรูปส่ีเหล่ียมจตั รุ สั ABUT เท่ากับผลบวกของพนื้ ทีข่ องรูปสี่เหล่ียมจตั ุรัส และสรุปความรู้
BCOP และพื้นท่ีของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส ACRS นั่นคือ เมื่อ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
a และ b เป็นความยาวของดา้ นประกอบมมุ ฉาก จะได้ c2 = a2 + b2 5. นักเรียนร่วมกันอภิปรายและแสดง
เรียกความสมั พันธด์ ังกล่าวขา้ งต้นวา่ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความคิดเห็นเก่ียวกับการหาพื้นท่ีและ
ความยาวด้านของรูปสี่เหล่ียมคางหมู
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส จ า ก น้ั น ผู้ แ ท น นั ก เ รี ย น อ อ ก ม า
ส�าหรับรปู สามเหลย่ี มมุมฉากใด ๆ พ้ืนทขี่ องรปู สเ่ี หลีย่ มจตั ุรสั ของดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก แ ส ด ง วิ ธี ก า ร คำ � น ว ณ บ น ก ร ะ ด า น
เท่ากับผลบวกของพ้นื ทข่ี องรปู สเี่ หล่ยี มจตั ุรัสบนดา้ นประกอบมมุ ฉาก โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส โดยมี
นักเรียนและครูร่วมกันตรวจสอบ
นกั เรียนพจิ ารณาตัวอยา่ งต่อไปน้ี ความถกู ต้อง
1ตัวอยา่ งที่ + --
☐ABCD เปน็ รปู ส่เี หลี่ยมคางหม ู ทมี่ ี CD ขนานกับ BA ดงั รูป หาคา่ ของ x
D 12 C
12 x
วธิ ีท�า เจปา็นกรรปูปู สทAา่ีโจมทเหยลก์ ่ีย�ามหมนุมดฉ จาากก จทุด่ีม2 8ี CC E^ลBาก เ ปCน็ Eม ใุมหฉต้ างั้ กฉากกBบั AB ทจี่ ุด E จะได ้ △ CEB
D 12 C
12 12 x
A 12 E 16 B
พจิ ารณา △ CEB เปน็ รูปสามเหล่ียม ท่ีมี CE^B เปน็ มมุ ฉาก
ดา้ น EB ยาว 28 - 12 = 16 หน่วย และด้าน EC ยาว 12 หน่วย
จะได้ x2 = 122 + 162
= 144 + 256
= 400
x = 20
ดงั น้นั x เท่ากับ 20 หน่วย
ทฤษฎีบทพีทาโกรสั และบทกลับ 59
59 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
ep 2 บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
St ขั้นคิดวเิ คราะห์
และสรปุ ความรู้ 2ตัวอย่างที่ + --
6. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการหาพ้ืนท่ี จากรูปทกี่ �าหนด รปู สามเหลยี่ ม BAC มี BA ^ C เปน็ มมุ ฉาก AD ตัง้ ฉากกบั BC
ของรูปสามเหลี่ยมโดยใช้ทฤษฎีบท- ด้าน AB ยาว 12 เซนติเมตร ด้าน BD ยาว 9.6 เซนตเิ มตร และด้าน AC ยาว
9 เซนตเิ มตร หาความยาวของ DC
พีทาโกรัส 3 ตัวอย่าง โดยใช้การ
ถาม-ตอบ ประกอบการอธิบาย A
7. นักเรียนร่วมกันอภิปรายและสรุปว่า 12 ซม. 9 ซม.
สําหรับรูปสามเหล่ียมมุมฉากใด ๆ
พื้ น ที่ ข อ ง รู ป ส่ี เ ห ล่ี ย ม จั ตุ รั ส ข อ ง B 9.6 ซม. D C
ด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวก
ของพ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบน วธิ ีท�า เนื่องจาก △ ADB เป็นรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก ท่มี ี A D^ B เปน็ มมุ ฉาก
ดา้ นประกอบมมุ ฉาก นน่ั คอื c2 =a2 +b2
โดยที่ a, b เป็นความยาวของด้าน จากความสัมพันธร์ ะหวา่ งความยาวของดา้ นของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ประกอบมมุ ฉาก
c เป็นความยาวของด้าน จะได ้ AB2 = BD2 + AD2
ตรงข้ามมมุ ฉาก
เมื่อ a, b และ c เป็นจํานวนนับใด ๆ 122 = (9.6)2 + AD2
เรียกความสัมพันธ์นี้ว่า ทฤษฎีบท
พที าโกรสั ซง่ึ เราสามารถนาํ ไปประยกุ ต์ AD2 = 144 - (9.6)2
ใชก้ บั การหาความยาวรอบรปู หรอื พนื้ ท่ี
ของรูปหลายเหลี่ยมบางรูปท่ีมีรูป = 144 - 92.16
สามเหลย่ี มมมุ ฉากเปน็ สว่ นประกอบได้
= 51.84
ในท�านองเดียวกัน △ ADC เป็นรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก ทมี่ ี A D^ C เปน็ มมุ ฉาก
จะได ้ DC2 = AC2 - AD2
= 92 - 51.84
= 81 - 51.84
= 29.16
DC = 5.4
ดังนั้น ความยาวของ DC เป็น 5.4 เซนตเิ มตร
60 คณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 2 เลม่ 2
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน แต่ละกลุ่มพิจารณาบัตรโจทย์การหาพ้ืนท่ี
รูปสามเหล่ียมโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส กลุ่มละ 1 ข้อ ร่วมกันแสดงวิธี
การหาค�ำ ตอบลงในกระดาษเปลา่ จากนั้นสลบั ผลงานกบั กลุ่มขา้ ง ๆ เพ่ือร่วมกัน
ตรวจสอบและแก้ไข แล้วผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่ม กลุ่มละ 2 คน ออกมา
นำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อมอธิบายประกอบ โดยมีนักเรียนและครู
ร่วมกันตรวจสอบความถูกตอ้ ง
สุดยอดคู่มือครู 60
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
3ตวั อยา่ งท่ี + -- St ep 3 ขนั้ ปฏบิ ัติ
แหลละังสกราุปรปควฏาบิ มตั ริู้
จากรูปทีก่ า� หนด รปู สามเหล่ยี มหน้าจ่ัว ABC มีฐาน BC ยาว 10 เซนติเมตร 8. นักเรียนทำ�ใบงาน การหาพื้นท่ีและ
ดา้ นประกอบมุมยอด AB และ AC ยาวดา้ นละ 13 เซนติเมตร
ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม
รปู สามเหลี่ยมหนา้ จั่ว ABC สูงเทา่ ไร
วิธที �า A โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากน้ัน
สลับผลงานกับเพื่อน เพ่ือร่วมกัน
13 ซม. 13 ซม. ตรวจสอบและแก้ไข
แบบฝึกหัดท้ายหนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 2
B D C 1. รปู สามเหลยี่ ม DEF เป็นรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉากทมี่ ี DE ^F เปน็ มุมฉาก DE ยาว 12 หน่วย
10 ซม. และ EF ยาว 16 หนว่ ย หาความยาวของด้านทเ่ี หลอื
ลากสว่ นสูง AD ให้ต้ังฉาก BC ทีจ่ ุด D วิธีทำ� D DF2 = DE2 + EF2
12 = 122 + 162
จะได้ DC ยาว 10 ÷ 2 = 5 (ส่วนของเสน้ ตรงทีล่ ากจากจุดยอดของ = 144 + 256
= 400
รูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่ัวมาตง้ั ฉากกบั ฐาน E 16 F DF = 20
ดังน้ัน ด้านที่เหลือยาว 20 หนว่ ย
เส้นตรงนั้นจะแบ่งครงึ่ ฐานของรปู สามเหลีย่ มนนั้ )
เนอื่ งจาก △ ADC เปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ท่มี ี AD^ C เปน็ มมุ ฉาก
ม ี AC = 13 เซนติเมตร และ DC = 5 เซนตเิ มตร 2. พจิ ารณาวา่ รปู สามเหลีย่ ม ABC ทีม่ ีความยาวของดา้ น 1.6, 3 และ 3.4 หน่วย ตามลาำ ดบั
เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่
จะได้ AC2 = AD2 + DC2
วิธีท�ำ A
132 = AD2 + 52
AD2 = 132 - 52 1.6 3.4
= 169 - 25
= 144 B3 C
AD = 12 กาำ หนดให้ AB2 = (1.6)2 = 2.56
BC2 = 32 = 9
ดงั นั้น รูปสามเหลยี่ มหนา้ จว่ั ABC สูง 12 เซนติเมตร AC2 = (3.4)2 = 11.56
แต ่ 11.56 = 2.56 + 9
นัน่ คือ AC2 = BC2 + AB2
3 1. 10รถูป้า สPคาQณมิต ยเศหาาวสลต ี่ย2รม์4ชด ้ันหPงั มนQนธั ย้ันR่วม ย ศร เกึูปปแษสล็นาาะปรม ีทูปPเี่ ห2สRลเา ลย่ยีม่มามเ1วห Aล3B่ี0ย มCหม นเุมป่วฉ็นยาร กหูป าสซคา่ึงมวมาเหมี PลยาQี่ย^วมRขม อเมุ ปงฉ ็นQามกSุม แฉลาะกค วQาSม ยาว เPสR้น รทอี่จบุดร ูปS
ของรปู สามเหล่ยี ม PQR
วธิ ีท�ำ Q
24
R S P
30
ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั และบทกลบั 61 PR2 = QR2 + PQ2
302 = QR2 + 242
QR2 = 302 - 242
= 900 - 576
= 324
QR = 18
ดงั นั้น ความยาวเสน้ รอบรูปของรปู สามเหลย่ี ม PQR เทา่ กบั 24 + 30 + 18 = 72 หนว่ ย
2121
พน้ื ทีข่ องรูปสามเหลี่ยม PQR = × PQ × QR
= × 24 × 18
= 216
211221××63 P30×0R 2×× QQ SS
หรอื พื้นทข่ี องรูปสามเหล่ยี ม PQR =
216 =
QS =
QS = 14.4
นนั่ คอื QS ยาว 14.4 หนว่ ย และมคี วามยาวเสน้ รอบรปู ของรปู สามเหลยี่ ม PQR
ยาว 72 หนว่ ย
ทฤษฎีบทพีทาโกรสั 111
61 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 3 ข้ันปฏบิ ตั ิ
St และสรปุ ความรู้
หลงั การปฏิบัติ 4ตัวอย่างที่ + --
9. นักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งที่เข้าใจเป็น รูปสี่เหล่ียมคางหม ู MNOP มีดา้ น PO ขนานกับด้าน MN ดา้ น PO ยาว 35 นว้ิ
ความร้รู ว่ มกนั ดงั นี้ ด้าน MN ยาว 61 น้ิว ด้าน ON ยาว 29 นวิ้ ดา้ น WN ยาว 21 นว้ิ และมี OW
เปน็ ส่วนสูงของรูปสี่เหล่ยี มน ้ี รูปสเ่ี หล่ยี มคางหมู MNOP มีพ้นื ทีเ่ ทา่ ไร
ทฤษฎบี ทพที าโกรสั
c2 = a2 + b2 P 35 นวิ้ O
โดยท่ี a, b เป็นความยาวของ
ดา้ นประกอบมมุ ฉาก 29 นวิ้
c เป็นความยาวของ
ด้านตรงขา้ มมุมฉาก M WN
เมอ่ื a, b และ c เป็นจ�ำ นวนนบั ใด ๆ 21 นิว้
61 นิว้
วิธที �า เนือ่ งจาก △ OWN เป็นรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ที่มี OW^ N เป็นมมุ ฉาก
จะได ้ ON2 = OW2 + WN2
OW2 = ON2 - WN2
= 292 - 212
= 841- 441
= 400
OW = 20
ดงั นนั้ ความสูงของรปู สเี่ หลย่ี มคางหมูเท่ากับ 20 น้วิ
เนอื่ งจาก พน้ื ทีข่ องรปู สเ่ี หล่ียมคางหมู = 12 × ผลบวกของความยาวของ
ด้านคู่ขนาน × ความสูง
= 12 × (35 + 61) × 20
= 960
นัน่ คือ รูปส่เี หลี่ยมคางหมู MNOP มีพืน้ ท่ ี 960 ตารางนวิ้
62 คณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 เลม่ 2
สุดยอดคู่มือครู 62
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
Step 4
5ตัวอยา่ งที่ + -- ขนั้ สอ่ื สารและนำ� เสนอ
จากรูปทกี่ า� หนด รปู สี่เหล่ยี ม ABCD มพี ้นื ทเี่ ทา่ ไร 10. ผู้แทนนักเรียน 4-5 คน ออกมา
นำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อม
D อธิบายประกอบ โดยมีนักเรียนและ
A ครรู ่วมกันตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
12
B 16 C
วธิ ที �า เนื่องจาก △ ABC เป็นรปู สามเหลีย่ มมุมฉาก ท่มี ี A^BC เปน็ มุมฉาก
จะได ้ AC2 = AB2 + BC2
= 122 + 162
= 144 + 256
= 400
AC = 20
ดงั นน้ั ดา้ น AC และดา้ น CD ยาวด้านละ 20 หนว่ ย
122121
เนื่องจาก พนื้ ท่รี ูปสามเหลีย่ ม = × ความยาวของฐาน × ความสูง
จะได้ พ้นื ท่ีรปู สามเหลี่ยม ABC = × BC × AB
= × 16 × 12
= 96
1212
และจะได้พน้ื ที่รปู สามเหล่ยี ม ACD = × CD × AC
= × 20 × 20
= 200
เนอื่ งจาก พื้นทีร่ ูปสีเ่ หล่ยี ม ABCD เท่ากบั ผลบวกของพืน้ ทร่ี ปู สามเหล่ยี ม ABC
และพนื้ ทร่ี ูปสามเหลี่ยม ACD
พ้นื ท่รี ูปส่ีเหลีย่ ม ABCD = 96 + 200
= 296
นั่นคอื รปู สี่เหลี่ยม ABCD มพี ้ืนท่ ี 296 ตารางหน่วย
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลบั 63
63 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
St บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
5ep ขัน้ ประเมินเพื่อเพ่ิมคุณคา่ แบบฝึกหัดท่ี 2
บริการสงั คม
และจติ สาธารณะ
11. นักเรียนนำ�ความรู้ไปแนะนำ�เพ่ือน 1. รปู สามเหล่ียมมุมฉาก มดี ้านประกอบมมุ ฉากยาว a และ b หนว่ ย และดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากยาว
ท่ียังไม่เข้าใจเกี่ยวกับทฤษฎีบท- c หน่วย
พีทาโกรสั ให้เกิดความเข้าใจยิง่ ข้นึ 1) ก�าหนดให ้ a = 16, b = 12 หาคา่ ของ c
2) ก�าหนดให้ a = 2.5, c = 6.5 หาค่าของ b
3) ก�าหนดให ้ b = 8, c = 10 หาค่าของ a
4) ก�าหนดให ้ a = 7, c = 25 หาคา่ ของ b
2. จากรูปทกี่ า� หนด หาคา่ ของ a
1) 2) A
A
25 a 29 35
B 7 D 32 C B a D 28 C
3. จากรูปที่ก�าหนด หาความยาวของ AB 17 8 E
A D
2
B7 C
4. จากรปู ท่ีก�าหนด ตัวเลขหรือตวั อกั ษรทก่ี า� กบั ด้านแสดงความยาวของดา้ น
หาความยาวรอบรูปของ △ABC
A
x 20
B 30 D 12 C
64 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 2 เล่ม 2
แนวข้อสอบ O-NET/PISA จากรูป รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC มีพื้นท่ี
A ก่ีตารางนิว้
1 50.70 ตารางน้วิ
16.9 นิ้ว 2 101.40 ตารางนวิ้
3 131.82 ตารางน้ิว
B 15.6 นวิ้ C 4 263.64 ตารางนิ้ว
สุดยอดคู่มือครู 64
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
5. กา� หนดให้ △ ABC เปน็ รูปสามเหล่ียมหนา้ จ่วั มดี า้ นประกอบมุมยอดยาว 52 หน่วย
และมสี ว่ นสูงเปน็ 48 หน่วย รปู สามเหลย่ี ม ABC มพี นื้ ทเ่ี ท่าไร
C
APB
6. กา� หนดให ้ ☐ KLMN เป็นรปู สี่เหลีย่ มด้านขนาน NO ต้งั ฉากกบั KL ทจ่ี ุด O MN ยาว 15 น้ิว
KN ยาว 13 นว้ิ และ KO ยาว 5 นิ้ว หาพนื้ ที่ของรูปสเ่ี หลย่ี ม KLMN
N 15 นิว้ M
13 น้ิว
K 5 นิว้ O L
7. ก�าหนดให้ ☐ ABCD เป็นรูปสเี่ หล่ยี มผืนผา้ และ ☐ MBCN เป็นรูปสี่เหล่ยี มคางหมู
AM และ ND ยาว 5 หน่วย MB และ NC ยาว 13 หนว่ ย และ BC ยาว 17 หน่วย
หาพ้นื ท่ขี องรูปสเี่ หลี่ยม ABCN
A 5M N5D
13 13
B 17 C
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับ 65
(เฉลย 1 แนวคดิ AC2 = AB2 + BC2
(16.9)2 = AB2 + (15.6)2
AB2 = (16.9)2 - (15.6)2
= 285.61 - 243.36
= 42.25
= 6.5 Ö 6.5
AB = 6.5
พดงัน้ื นทน้ั ่ีข อ งพ ้นื ทA่ขี อBงCรปู =ส ามเ21หลÖย่ี 1ม5ม.6ุมฉÖา6ก.5A B =C 5เท0่า.ก7บั0 5 ต0า.ร7า0งนติว้ ารางนวิ้ )
65 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ตัวชวี้ ดั 3. บทกลบั ของทฤษฎบี ทพที าโกรัส
ค 2.2 ม.2/5 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส กล่าวว่า ส�าหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ก�าลังสองของความยาวของ
ด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของก�าลังสองของความยาวด้านของด้านประกอบมุมฉาก
ภาระงาน/ชิ้นงาน จากทฤษฎบี ทดงั กล่าว ถา้ แยกข้อความจะมีสว่ นทีเ่ รยี กวา่ “เหตุ” และส่วนที่เรยี กว่า “ผล” ดงั น้ี
เหตุ : มรี ูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากรปู หนงึ่
การตรวจสอบรปู สามเหลีย่ มที่กำ�หนด ผล : ก�าลงั สองของความยาวของด้านตรงขา้ มมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกา� ลังสองของ
ดา้ นทง้ั 3 ดา้ นมาให้ วา่ เปน็ รปู สามเหลย่ี ม- ความยาวของด้านประกอบมมุ ฉากของรูปสามเหล่ียม
มุมฉากหรอื ไม่ เมื่อนา� ผลข้างต้นมาเปน็ เหต ุ และเหตุมาเปน็ ผล จะได้บทกลับของทฤษฎบี ทพีทาโกรสั ดงั น้ี
St St ep 1 ขั้นสงั เกต ส�าหรับรูปสามเหล่ยี มใด ๆ ถา้ กา� ลงั สองของความยาวของด้านดา้ นหนึ่งเท่ากบั ผลบวกของ
ก�าลังสองของความยาวของดา้ นอีกสองด้านแล้ว รปู สามเหล่ยี มน้นั เปน็ รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก
รวบรวมขอ้ มลู
สามารถพสิ จู น์บทกลบั ของทฤษฎบี ทพที าโกรสั ได้ ดงั นี้
1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
โดยครูใช้คำ�ถามกระตุน้ ความคดิ ดังนี้ กา� หนดให้ △ ABC มดี า้ น AB ยาว c หน่วย, ดา้ น BC ยาว a หน่วย,
ด้าน AC ยาว b หน่วย และ c2 = a2 + b2
• ถ้ากำ�หนดความยาวทงั้ 3 ด้านของ
รูปสามเหล่ียมมาให้ นักเรียนจะมี A
วิธีการตรวจสอบว่ารูปสามเหลี่ยมน้ัน
เปน็ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ bc
2. นกั เรียนศกึ ษา บทกลับของทฤษฎบี ท- Ca B
พที าโกรัส
ต้องการพสิ จู น์ว่า △ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ทีม่ ี AC^B เปน็ มมุ ฉาก
ep 2 ขน้ั คดิ วิเคราะห์
และสรปุ ความรู้
3. นักเรียนพิจารณาความยาวท้ัง 3 ด้าน
ของรูปสามเหลี่ยม คือ 9 เซนติเมตร
12 เซนติเมตร และ 15 เซนติเมตร 66 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 เล่ม 2
บนกระดาน แลว้ ผ้แู ทนนักเรียน 2 คน
ออกมาร่วมกันวาดรูปสามเหลี่ยมจาก
ความยาวดา้ นที่กำ�หนด พรอ้ มก�ำ หนด • จากความยาวของดา้ นของรูปสามเหลยี่ มทก่ี �ำ หนดให้ ด้านใดเปน็
จุดยอดมุม โดยมีนักเรียนและครู ดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก เพราะเหตุใด
รว่ มกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง จากนน้ั (ดา้ นท่ยี าว 15 เซนตเิ มตร เพราะด้านตรงขา้ มมุมฉาก จะเปน็ ดา้ นทมี่ คี วามยาวมากทีส่ ุด)
ใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของนักเรียน • นักเรยี นมีวิธีตรวจสอบว่ารูปสามเหล่ยี มน้ีเป็นรปู สามเหล่ยี มมุมฉากอยา่ งไร
ดังนี้ (ใชค้ วามสมั พันธ์ของทฤษฎีบทพที าโกรสั ในการตรวจสอบ)
• รปู สามเหลย่ี มนีเ้ ป็นรปู สามเหล่ียมมุมฉากหรือไม่ เพราะเหตใุ ด
(เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เพราะด้านท่ียาวท่ีสุดยกกำ�ลังสองมีค่าเท่ากับด้านท่ีเหลือ
ยกกำ�ลังสองแลว้ รวมกัน ซึ่งสอดคล้องกบั ทฤษฎีบทพีทาโกรสั )
สุดยอดคู่มือครู 66
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
Step 2 ขั้นคิดวิเคราะห์
แนวคดิ ในการพิสูจน์ สร้างรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ORP อีกรูปหน่ึง โดยการลอกรูป △ ABC และสรปุ ความรู้
โดยใชก้ ระดาษลอกลายใหด้ า้ นประกอบมมุ ฉาก RP และ OP ยาว a หนว่ ย 4. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ
และ b หน่วย ตามล�าดับ แล้วแสดงให้เห็นว่า △ ORP และ△ ABC นกั เรียน ดงั น้ี
เทา่ กนั ทุกประการ • รูปสามเหล่ียมท่ีมีด้านที่ยาว
พิสจู น์ สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ORP มี OP^R เป็นมุมฉาก และมีด้านประกอบมุมฉาก น้อยท่ีสุดสองด้านยกกำ�ลังสอง แล้ว
บวกกันเท่ากับค่ายกกำ�ลังสองของ
RP และ OP ยาว a หนว่ ย และ b หน่วย ตามล�าดบั โดยใช้การลอกรปู △ ABC
โดยใช้กระดาษลอกลาย ดงั รูป
O
ด้านทีเ่ หลอื เปน็ รูปสามเหล่ียมมุมฉาก
b หรอื ไม่
(เปน็ รปู สามเหลี่ยมมุมฉากเสมอ)
Pa R
เน่อื งจาก RP = BC = a และ OP = AC = b (จากการสร้าง)
พิจารณา △ ORP จะได ้ OR2 = a2 + b2 (ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั )
พจิ ารณา △ ABC จะได ้ c2 = a2 + b2 (กา� หนดให้)
ดังนนั้ OR2 = c2 (สมบัตกิ ารเท่ากนั )
OR = c
เมอื่ ลอกรปู △ ABC โดยใชก้ ระดาษลอกลาย แลว้ ไปวางซอ้ นทบั △ ORP
พบวา่ △ ABC ทบั กบั △ ORP ได้สนิทพอดี
แสดงว่า AC^B = O^PR = 90 �
ดงั นั้น △ เปน็ รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ท่ีมี AC^B เปน็ มุมฉาก
การพิสจู น์โดยใชส้ มบตั ิการเท่ากนั ทุกประการ
นักเรียนจะไดเ้ รยี นรูใ้ นหน่วยการเรียนรทู้ ่ี 4
นกั เรียนพจิ ารณาตวั อย่างตอ่ ไปน้ี
แนวข้อสอบ O-NET/PISA ทฤษฎบี ทพที าโกรสั และบทกลบั 67
X
5.6 20 จ1าก ร4ูป.8ค า่หขนอว่ งย 4x เ ทา่ กับกีห่ น2่วย 5.6 หนว่ ย
3 9.6 หน่วย 4 19.2 หน่วย
Y xZ = 368.64
= 19.2 Ö 19.2
(เฉลย 1 แนวคิด XZ2 = XY2 + YZ2
202 = (5.6)2 + x2 x = 19.2
ดคงั่าขนอนั้ ง ค4xา่ ขอ=ง149x4.2เท่า=ก ับ 44.8.8 หหนน่วว่ยย)
x2 = 202 - (5.6)2
= 400 - 31.36 67 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขั้นคดิ วเิ คราะห์
St
และสรปุ ความรู้ 1ตวั อย่างที่ + --
5. นักเรียนพิจารณาเกี่ยวกับการพิสูจน์ กา� หนดความยาวดา้ นของรปู สามเหลยี่ ม ABC ดังตอ่ ไปนี ้ หาว่า △ ABC
บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส และ
ย ก ตั ว อ ย่ า ง เ กี่ ย ว กั บ บ ท ก ลั บ ข อ ง เปน็ รปู สามเหล่ยี มมมุ ฉากหรือไม่ โดยใช้บทกลบั ของทฤษฎบี ทพีทาโกรัส
ทฤษฎีบทพที าโกรัส 3 ตัวอยา่ ง โดยใช้
1) a = 14, b = 48 และ c = 50
2) a = 18, b = 24 และ c = 30
3) a = 30, b = 15 และ c = 35
การถาม-ตอบ ประกอบการอธบิ าย วธิ ที า� 1) เนอื่ งจาก a = 14, b = 48 และ c = 50
6. นักเรียนพิจารณาแถบโจทย์ความยาว จะได้ a2 = 196, b2 = 2,304 และ c2 = 2,500
ทั้ง 3 ด้าน ของรปู สามเหล่ียมท่ีกาํ หนด a2 + b2 = 196 + 2,304
ให้ 5 ข้อ แล้วร่วมกันจําแนกว่ารูป = 2,500
สามเหล่ียมในข้อใดเป็นรูปสามเหลี่ยม ดงั นั้น c2 = a2 + b2
มุมฉาก โดยมีนักเรียนและครูร่วมกัน
ตรวจสอบความถูกตอ้ ง นน่ั คือ △ ABC เปน็ รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก
ตัวอย่าง
2) เนือ่ งจาก a = 18, b = 24 และ c = 30
จะได ้ a2 = 324, b2 = 576 และ c2 = 900
a2 + b2 = 324 + 576
1) 0.6 เซนติเมตร 0.8 เซนติเมตร = 900
1 เซนตเิ มตร ดงั นน้ั c2 = a2 + b2
(เปน็ รปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก)
2) 15 เซนตเิ มตร 20 เซนติเมตร นน่ั คือ △ ABC เป็นรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก
30 เซนติเมตร
(ไมเ่ ปน็ รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก) 3) เนือ่ งจาก a = 30, b = 15 และ c = 35
จะได้ a2 = 900, b2 = 225 และ c2 = 1,225
a2 + b2 = 900 + 225
= 1,125
ดังนั้น c2 ≠ a2 + b2
น่ันคอื △ ABC ไม่เปน็ รูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก
ดังนนั้ 1) รปู สามเหลย่ี ม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
2) รูปสามเหล่ยี ม ABC เป็นรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก
3) รูปสามเหล่ยี ม ABC ไมเ่ ปน็ รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก
68 คณิตศาสตร์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2 เล่ม 2
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
นกั เรยี นแบง่ กลมุ่ กลุ่มละ 4-5 คน แตล่ ะกลมุ่ พิจารณาบตั รภาพรูปสามเหลี่ยม
นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันเขียนแสดงการพิสูจน์บทกลับของทฤษฎีบท-
พีทาโกรัส เพ่ือพิสูจน์ว่าเป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉากหรือไม่ลงในกระดาษเปล่า
จากนั้นสลับผลงานกับกลุ่มอื่น เพื่อร่วมกันตรวจสอบและแก้ไข แล้ว
ผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่ม กลุ่มละ 2 คน ออกมานำ�เสนอผลงานหน้าชั้นเรียน
พร้อมอธิบายประกอบ โดยมนี กั เรยี นและครูรว่ มกันตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
สุดยอดคู่มือครู 68
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
2ตวั อย่างท่ี + -- Step 3 ขนั้ ปฏบิ ัติ
แหลละังสกราุปรปควฏาบิ มัตริู้
กา� หนดความยาวดา้ นของรูปสามเหลี่ยม ABC ดงั รูป 7. นกั เรยี นจบั คกู่ บั เพอ่ื น นกั เรยี นแตล่ ะคู่
พิจารณาความยาวด้านสามด้านของ
แสดงวา่ △ ABC เป็นรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก รูปสามเหล่ียม แล้วร่วมกันเขียน
แสดงความสัมพันธ์ระหว่างด้านยาว
วธิ ีทา� เน่อื งจาก △ ABD เปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ของรูปสามเหล่ียม และตรวจสอบว่า
จะได้ AB2 = BD2 + AD2 รู ป ส า ม เ ห ลี่ ย ม ที่ กำ � ห น ด ใ ห้ เ ป็ น
B รูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ ลงใน
302 = 242 + AD2 กระดาษเปล่า จากน้ันสลับผลงาน
กับคู่อ่ืน เพื่อร่วมกันตรวจสอบและ
30 24 40 AD2 = 302 - 242 แก้ไข
= 900 - 576
C
AD = 324
AD = 18
เนื่องจาก △ BDC เป็นรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก
จะได้ BC2 = BD2 + DC2
402 = 242 + DC2
DC2 = 402 - 242
= 1,600 - 576
= 1,024
DC = 32
แต ่ AC = AD + DC
= 18 + 32
= 50
พิจารณา △ ABC มีดา้ น AB ยาว 30 หนว่ ย, ดา้ น BC ยาว 40 หนว่ ย
และดา้ น AC ยาว 50 หนว่ ย
จะได้ AB2 = 900, BC2 = 1,600 และ AC2 = 2,500
และ AB2 + BC2 = 900 + 1,600
= 2,500
จะได ้ AC2 = AB2 + BC2
ดงั นั้น △ ABC เปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ท่ีม ี AB^C เป็นมุมฉาก
นัน่ คอื รูปสามเหลย่ี ม ABC เปน็ รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก
ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั และบทกลับ 69
69 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 3 ขน้ั ปฏบิ ตั ิ
St แหลละงั สกราุปรปควฏาบิ มัตริู้
3ตัวอยา่ งที่ + --
△ ABC เปน็ รูปสามเหลีย่ มรปู หน่งึ AD ตั้งฉากกบั BC มี AB ยาว 10 เซนตเิ มตร
8. นักเรียนร่วมกันสรุปส่ิงที่เข้าใจเป็น AD ยาว 8 เซนตเิ มตร และ BC ยาว 21 เซนติเมตร △ ABC เปน็ รูปสามเหลย่ี ม-
ความรู้ร่วมกนั ดงั นี้
มมุ ฉากหรือไม่
A
• ถ้า c2 = a2 + b2 แลว้ รปู สามเหลีย่ ม
จะเป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก โดยมี c 10 8
เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
B D 21 C
เรียกความสัมพันธ์ของรูปสามเหลี่ยม
นว้ี า่ “บทกลับของทฤษฎบี ทพีทาโกรัส” วธิ ที า� เนอ่ื งจาก △ ABD เป็นรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก
ซึ่งบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได ้ AB2 = BD2 + DA2
นำ�ไปใช้ประโยชน์ในการตรวจสอบว่า BD2 = AB2 - DA2
รูปสามเหลี่ยมที่กำ�หนดความยาว = 102 - 82
ของด้านท้ังสามด้านเป็นรูปสามเหล่ียม-
มมุ ฉากหรือไม่
= 100 - 64
= 36
BD = 6
จะได ้ CD = BC - BD
= 21 - 6
= 15
เนอ่ื งจาก △ ADC เปน็ รูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก
จะได้ AC2 = AD2 + CD2
= 82 + 152
= 64 + 225
= 289
พจิ ารณา △ ABC มี AC2 = 289, AB2 = 100 และ BC2 = 441
AC2 + AB2 = 289 + 100
= 389
จะได ้ BC2 ≠ AC2 + AB2
ดังนั้น △ ABC ไมเ่ ป็นรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก
นนั่ คอื รูปสามเหล่ยี ม ABC ไม่เป็นรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก
70 คณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 2 เล่ม 2
แนวข้อสอบ O-NET/PISA จากรปู BD ยาวเทา่ กบั กี่หนว่ ย
A 1 7.5 หน่วย
2 9 หน่วย
15 20 3 10.5 หน่วย
4 12 หน่วย
B D 16 C
สุดยอดคู่มือครู 70
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
Step 4
แบบฝกึ หดั ท่ี 3 ขน้ั สอื่ สารและนำ� เสนอ
1. ตวั เลขในแต่ละขอ้ เป็นความยาวดา้ นทงั้ สามของรูปสามเหล่ียม หาว่ารปู สามเหล่ียมในแต่ละขอ้ 9. ผู้แทนนักเรียน 4-5 คู่ ออกมา
เปน็ รปู สามเหล่ียมมมุ ฉากหรือไม่ นำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อม
1) 12, 16, 20 2) 18, 81, 85 อธิบายประกอบ โดยมีนักเรียนและครู
3) 9, 12, 15 4) 26, 10, 24 รว่ มกนั ตรวจสอบความถูกตอ้ ง
5) 13, 16, 20 6) 21, 29, 20
7) 30, 21, 22 8) 3.9, 3.6, 1.5
9) 1.2, 1.4, 1.5 10) 7.5, 18, 19.5
2. แสดงวา่ △ XYZ ในแต่ละข้อตอ่ ไปนี ้ เปน็ รูปสามเหล่ียมมุมฉาก
1) X
6 8 +-÷ ×
Y Z
2)
10 6
X
2.5
Y 6.5 Z +-÷ ×
X
3)
8 15
Z 17 Y +-÷ ×
ทฤษฎบี ทพที าโกรสั และบทกลบั 71
(เฉลย 2 แนวคิด พ จิ ารณา ADC เป็นรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก พจิ ารณา ABD เปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก
จะได ้ AC2 = AD2 + DC2
202 = AD2 + 162 จะได ้ AB2 = BD2 + AD2
AD2 = 202 - 162
= 400 - 256 152 = BD2 + 122
= 144
= 12 Ö 12 BD2 = 152 - 122
AD = 12
= 225 - 144
= 81
= 9 Ö 9
BD = 9
ดงั นัน้ BD ยาวเท่ากบั 9 หนว่ ย) 71 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
5ep ข้นั ประเมนิ เพ่อื เพิ่มคุณค่า
St บริการสงั คม
และจติ สาธารณะ 4) X
10. นักเรียนนำ�ความรู้ไปแนะนำ�เพ่ือน 21 20
ท่ียังไม่เข้าใจเก่ียวกับบทกลับของ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ให้เกิดความ Y 29 Z +-÷ ×
เข้าใจยิง่ ขน้ึ X
5)
12
Y9 16 Z +-÷ ×
X
6)
60
Y 144 D 25 Z +-÷ ×
3. รปู สามเหลยี่ ม ABC ม ี AC ยาว 15 หน่วย, BC ยาว 20 หนว่ ย และ AB ยาว 25 หนว่ ย
CD ยาวเทา่ ไร
C
15 20
A D 25 B
72 คณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 2 เล่ม 2
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ขอ้ ใดไม่เปน็ รูปสามเหล่ียมมมุ ฉากเมอ่ื ก�ำ หนดความยาวของด้านทัง้ สาม
ของรปู สามเหลีย่ มมาให้
1 2.5, 6.5 และ 6
2 8.4, 11.6 และ 8
3 15.6, 6.5 และ 14.4
4 16.5, 13.2 และ 9.9
สุดยอดคู่มือครู 72
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
4. ก�าหนดรปู สีเ่ หล่ยี ม ABCD ดงั รูป รปู สเี่ หลีย่ ม ABCD มพี ืน้ ที่เทา่ ไร
D 20 C
26 26
A EF B
68
5. ก�าหนดรูปสเ่ี หล่ียม ABCD ม ี AB = AD = 9 เซนตเิ มตร และ BC = DC = 12 เซนติเมตร
เสน้ ทแยงมุม AC ยาว 15 เซนตเิ มตร รูปสามเหลี่ยม ACD เป็นรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากหรอื ไม่
A
9
BD
15
12
? น่าคดิ -น่าลอง C
B ก�าหนดใหร้ ปู สามเหลีย่ ม ABC ทมี่ ี AC^B เป็นมมุ ฉาก
ac ดา้ นประกอบมุมฉากยาว a และ b หนว่ ย ตามล�าดบั
ด้านตรงขา้ มมุมฉากยาว c หน่วย
CbA จากทฤษฎบี ทพีทาโกรสั จะได ้ c2 = a2 + b2
1. ถา้ รูปสามเหลย่ี ม DEF มคี วามยาวแตล่ ะด้านเป็น 23 เท่าของความยาวดา้ นของ
รูปสามเหล่ียม ABC แล้วรปู สามเหลี่ยม DEF เปน็ รปู สามเหล่ยี มมมุ ฉากหรือไม่
2. ถ้ารปู สามเหล่ียม KLM มีความยาวแตล่ ะด้านเปน็ 2 เท่าของความยาวด้านของ
รปู สามเหลย่ี ม ABC แลว้ รปู สามเหลี่ยม KLM เปน็ รูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากหรือไม่
ทฤษฎีบทพีทาโกรสั และบทกลับ 73
(เฉลย 3 แนวคดิ 1 a = 2.5, b = 6 และ c = 6.5 2 a = 8, b = 8.4 และ c = 11.6
a2 = 6.25, b2 = 36 และ c2 = 42.25 a2 = 64, b2 = 70.56 และ c2 = 134.56
a2 + b2 = 6.25 + 36 = 42.25 a2+ b2 = 64 + 70.56 = 134.56
ดังนัน้ c2 = a2 + b2 ดงั น้ัน c2 = a2 + b2
น่ันคอื เป็นรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก น่นั คือ เปน็ รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก
3 a = 6.5, b = 14.4 และ c = 15.6 4 a = 9.9, b = 13.2 และ c = 16.5
a2 = 42.25, b2 = 207.36 และ c2 = 243.36 a2 = 98.01, b2 = 174.24 และ c2 = 272.25
a2 + b2 = 42.25 + 207.36 = 249.61 a2 + b2 = 98.01 + 174.24 = 272.25
ดงั น้นั c2 ≠ a2 + b2 ดังนั้น c2 = a2 + b2
นน่ั คอื ไมเ่ ปน็ รูปสามเหลีย่ มมุมฉาก นน่ั คอื เปน็ รูปสามเหลีย่ มมุมฉาก)
73 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
St St ตวั ช้วี ดั 4. การนำาไปใช้
ค 2.2 ม.2/5 นักเรียนสามารถน�าทฤษฎีบทของพีทาโกรัสไปใช้ประยุกต์หาความยาวของรูปเรขาคณิตได้
ภาระงาน/ชน้ิ งาน ดังตัวอยา่ งตอ่ ไปนี้
การนำ�ความรเู้ รอื่ ง
ทฤษฎบี ทพีทาโกรัสไปใช้ 1ตัวอย่างท่ี + --
ep 1 ขน้ั สังเกต บันไดยาว 10 เมตร วางพาดอยู่กับผนังบ้าน โดยมีปลายบันไดจรดขอบหน้าต่าง
ดา้ นลา่ งพอด ี ถา้ เชงิ บนั ไดอยหู่ า่ งผนงั บา้ น 6 เมตร ความสงู จากพน้ื ดนิ ถงึ ขอบหนา้ ตา่ ง
รวบรวมข้อมูล ด้านลา่ งเป็นเท่าไร
1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น โดยใช้ A
ค�ำ ถามกระตุ้นความคิด ดงั นี้ 10 เมตร
• ถ้านักเรียนไม่มีความรู้เรื่อง ทฤษฎีบท- C 6 เมตร B
พีทาโกรสั และบทกลบั จะส่งผลตอ่ การเรียน
และชีวิตประจำ�วนั อยา่ งไร วิธีทา� AB แทนความยาวของบนั ได
AC แทนความสงู จากพนื้ ดินถึงขอบหน้าต่างดา้ นล่าง
2. นกั เรียนศกึ ษา การนำ�ไปใช้ BC แทนระยะหา่ งระหวา่ งเชงิ บันไดกับผนังบ้าน
เนอื่ งจาก △ ACB มี AC^B เปน็ มุมฉาก
ep 2 ข้ันคิดวิเคราะห์ จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั จะได้ว่า
AB2 = AC2 + BC2
และสรปุ ความรู้ 102 = AC2 + 62
AC2 = 102 - 62
3. นักเรียนพิจารณาแถบโจทย์ปัญหาการนำ� = 100 - 36
ทฤษฎีบทของพีทาโกรัสไปใช้บนกระดาน = 64
จากน้ันใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ AC = 8
นักเรยี น ดงั น้ี ดงั นน้ั ความสงู จากพื้นดนิ ถงึ ขอบหน้าต่างดา้ นล่างเทา่ กับ 8 เมตร
74 คณิตศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2 เลม่ 2
ไม้ไผ่ยาว 15 ฟตุ ต้องการวางพาดรมิ กำ�แพง • จากโจทย์ สิ่งที่โจทย์กำ�หนดให้ เม่ือวาดรูปแสดงความสัมพันธ์รูปที่ได้จะมีลักษณะ
ให้โคนไม้ไผอ่ ยู่ห่างจากกำ�แพง 5 ฟุต อย่างไร (เปน็ รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก)
ควรวางไม้ไผ่สงู จากพื้นดินเท่าไร
• จากโจทย์ โจทย์ตอ้ งการหาสิ่งใด (ความสูงของไม้ไผจ่ ากปลายถึงพื้นดิน)
สุดยอดคู่มือครู 74 • จากรูปท่ไี ด้ ความสูงจากปลายไมไ้ ผถ่ งึ พ้ืนดนิ เป็นสว่ นใดของรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก
(เปน็ ด้านประกอบมมุ ฉากของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก)
• นักเรยี นสามารถนำ�ความสมั พนั ธจ์ ากทฤษฎบี ทพที าโกรสั มาใช้หาความสงู จากโจทย์
ไดห้ รอื ไม่ (ได)้
• นักเรียนเขียนความสัมพันธ์จากท่ีโจทย์กำ�หนดได้อย่างไร (เนื่องจากความยาวของไม้ไผ่
เท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉาก ระยะห่างของกำ�แพงกับไม้ไผ่และความสูงเท่ากับด้านประกอบมุมฉาก
จะได้ความสัมพนั ธ์ คอื 152 = (ความสงู )2 + 52)
• ควรวางไม้ไผ่สงู จากพนื้ ดนิ เท่าไร (ประมาณ 14.14 ฟุต)
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
ep 2 ขนั้ คิดวเิ คราะห์St
2ตัวอยา่ งท่ี + -- และสรุปความรู้
ลกู เสือออกเดนิ ทางจากโรงเรยี นไปทีพ่ กั แรม โดยจะต้องเดินทางไปทางทศิ ตะวันตก 4. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการนำ�
19 กิโลเมตร แล้วลงไปทางทิศใต้ 9 กิโลเมตร จากน้ันเลี้ยวไปทางทิศตะวันตก ความรู้เร่ือง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
อีก 21 กโิ ลเมตร จงึ ถึงทีพ่ กั แรม อยากทราบว่าท่พี ักแรมห่างจากโรงเรียน ไปใช้แก้โจทย์ปัญหาในสถานการณ์
ตา่ ง ๆ 3 ตัวอยา่ ง โดยใชก้ ารถาม-ตอบ
เป็นระยะทางเท่าไร ประกอบการอธิบาย
วธิ ที �า
N
WE B 19 A
S
9
D 21 C
ให ้ A แทนทต่ี ง้ั โรงเรยี น
D แทนท่ีพักแรม
AB แทนระยะทางจากโรงเรยี นไปทางทศิ ตะวนั ตก 19 กิโลเมตร
BC แทนระยะทางจากจุด B ไปทางทิศใต้ 9 กิโลเมตร
CD แทนระยะทางจากจุด C ไปทางทศิ ตะวนั ตก 21 กิโลเมตร
AD แทนระยะห่างจากโรงเรียนถึงทีพ่ กั แรม
ตอ่ DC ไปทางจดุ C พบเสน้ ตรงทีล่ ากจากจุด A ขนานกบั BC ท่จี ุด E
จะไดร้ ูปสีเ่ หล่ียมมุมฉาก BCEA และรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ADE
N
WE B 19 A
S
9 9
D 21 C E
เน่ืองจาก AE = BC = 9
และ CE = BA = 19
แต่ DE = DC + CE
= 21 + 19
= 40
ทฤษฎีบทพที าโกรสั และบทกลับ 75
75 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 3 ขนั้ ปฏบิ ตั ิ
St แหลละังสกราุปรปควฏาิบมตั ริู้ จากรูปสามเหลยี่ ม ADE เปน็ รปู สามเหล่ียมมุมฉาก ทม่ี ี A E^ D เปน็ มมุ ฉาก
จะได้ AD2 = AE2 + ED2
30 ซม. = 92 + 402
30 ซม.5. นักเรียนทำ�ใบงาน การนำ�ความรู้ = 81 + 1,600
เรอื่ ง ทฤษฎีบทพที าโกรสั ไปใช้ จากนัน้ = 1,681
AD = 41
สลับผลงานกับเพื่อน เพ่ือร่วมกัน ดังน้นั ท่พี กั แรมหา่ งจากโรงเรยี นเป็นระยะทาง 41 กิโลเมตร
ตรวจสอบและแกไ้ ข
แบบฝึกหัดท่ี 3
1. เสาธงสงู 40 ฟุต นกั เรยี นยนื เชญิ ธงชาติโดยถอื ธงสูงจากพน้ื ดนิ 3 ฟุต และยนื อยหู่ ่างจากเสาธง
9 ฟุต เชือกยาวกฟี่ ุต
วิธที C�ำ CE = CA - EA 3ตวั อย่างท่ี + --
= 40 - 3 กล่องทรงลูกบาศก์ยาวด้านละ
24 เซนตเิ มตร เส้นทแยงมมุ AB
= 37 ฟตุ จะยาวประมาณก่ีเซนติเมตร 24 B
CD2 = CE2 + ED2 (ตอบเป็นจา� นวนเต็ม) 24
40 ฟุต CD2 = 372 + 92
C 24
= 1,369 + 81
= 1,450
CD = 5√58
≈ 5 × 7.616
E 3 ฟุต D ≈ 38.08 ฟตุ
A 9 ฟตุ B ดังนน้ั เชอื กยาวประมาณ 38.08 ฟุต
2. บันไดยาว 10 เมตร พาดรมิ กำาแพง และอยหู่ ่างจากกาำ แพง 6 เมตร กำาแพงสงู ก่เี มตร AD
วิธที �ำ AB2 = BC2 + AC2 วิธที า� ใน △ ACD ม ี A D^ C เปน็ มมุ ฉาก จะได ้ AC2 = AD2 + CD2
B 102 = BC2 + 62
BC2 = 102 + 62 = 242 + 242
10 ม.
= 2 × 242
C 6 ม. A = 100 - 36 ใน △ ABC มี A C^ B เป็นมมุ ฉาก จะได ้ AB2 = AC2 + BC2
= 64 = (2 × 242) + 242
BC = 8 เมตร
= (2 + 1) × 242
ดังน้นั กำาแพงสงู 8 เมตร
= 3 × 242
3. รถยนต์ของวายยุ าว 4.6 เมตร และมีความกว้าง 1.7 เมตร และระยะหา่ งรทะฤหษวฎา่ีบงทรพถีทยานโกตร์ทัสีจ่ อดอ1ย0 ู่3 = 3 × 576
30 เซนติเมตร อยากทราบวา่ วายจุ ะนำารถยนตข์ องตนทจี่ อดอยูต่ รงกลางออกจากทจี่ อดรถได้หรือไม่
เพราะเหตใุ ด (กำาหนดให้ √6 ≈ 2.449) = 1,728
AB ≈ 42
1.7 ม. ดังน้ัน เส้นทแยงมุม AB ยาวประมาณ 42 เซนตเิ มตร
4.6 ม. 76 คณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 เลม่ 2
วิธที ำ� ก�ำ หนดให้ MN เปน็ คว�มย�วของเสน้ ทแยงมมุ รถยนตข์ องว�ยุ
MN2 = MO2 + ON2
N = (4.6)2 + (1.7)2
1.7 ม. 4.6 ม. = 21.16 + 2.89
O ≈ 24
M MN ≈ 2√6
≈ 2 × 2.449
≈ 4.9 เมตร
แต่ระยะห�่ งระหว่�งรถยนตค์ นั ทหี่ นง่ึ กับคนั ทส่ี �มย�วประม�ณ
4.6 + 0.3 + 0.3 = 5.2 เมตร
ดงั น้นั ว�ยุส�ม�รถนำ�รถยนต์ของตนออกจ�กทจี่ อดรถได้ เน่อื งจ�กเส้นทแยงมุม
ของรถยนตข์ องว�ยุย�วประม�ณ 4.9 เมตร ซ่งึ น้อยกว�่ ระยะห่�ง
ระหว�่ งรถยนตค์ นั ท่ีหนึ่งกบั คันท่สี �ม
104 คณิตศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 2 เล่ม 1
สุดยอดคู่มือครู 76
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
Step 3 ขัน้ ปฏบิ ัติ
และสรุปความรู้
แบบฝึกหัดที่ 4 หลงั การปฏบิ ัติ
1. กา� หนดให้ทรงส่เี หลี่ยมมุมฉากมีดา้ น AB ยาว 8 เซนตเิ มตร ด้าน AC ยาว 10 เซนตเิ มตร 6. นักเรียนร่วมกันสรุปส่ิงท่ีเข้าใจเป็น
ความรูร้ ว่ มกัน ดงั นี้
และดา้ น AF ยาว 24 เซนตเิ มตร หาความยาวของ BC และ FC
• ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถ
E GD นำ�ไปประยุกต์ใช้ในการคำ�นวณ เพ่ือ
F
ตรวจสอบและคำ�นวณหาเก่ียวกับ
24 ความสูง ความยาว และความกวา้ งของ
1H0 C สงิ่ ตา่ ง ๆ โดยไมต่ อ้ งมกี ารวดั ในบางกรณี
A8B
2. หาความยาวของเส้นทแยงมุม DC ของกล่องทรงลูกบาศก์ทมี่ ีความยาวดา้ นละ 8 เซนตเิ มตร
ดังรูป (ตอบเปน็ จา� นวนเต็ม)
D
8
C
AB
3. กา� หนดให้ ABCE เปน็ รปู สี่เหลยี่ มผนื ผา้ มพี ้ืนที ่ 240 ตารางฟุต ดา้ น AB ยาว 20 ฟตุ ตอ่ BC ไปทาง
จุด C ตัดกับ AD ที่จดุ D และด้าน AD ยาว 52 ฟุต รูปสามเหลย่ี ม ECD มพี ืน้ ท่ีเท่าไร
AE
20 52
BC D
ทฤษฎบี ทพที าโกรสั และบทกลบั 77
รอบรู้อาเซียนและโลก
เมอ่ื ประมาณ 4,000 ปีมาแล้ว หลังจากผลงานของพที าโกรสั ชาวบาบิโลเนยี น
ได้เขียนจำ�นวนสามจำ�นวน (Pythagorean triples) บนแผ่นดินเหนียว ได้แก่
45 60 และ 75 ในเวลาตอ่ มามีการคดิ คน้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในสามมิติ
เมื่อ a, b, c, d เป็นจำ�นวนเตม็ บวกใด ๆ จะไดว้ า่ a2 + b2 + c2 = d2
เช่น 22 + 32 + 62 = 72
และ 52 + 62 + 302 = 312
77 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
St Step 4
ขนั้ สอื่ สารและนำ� เสนอ 4. กา� หนดให้ ☐PORS เปน็ รูปสเี่ หลีย่ มผนื ผ้า RS = 8 หนว่ ย และ RO = 6 หน่วย จดุ A, B, C และ D
7. ผู้แทนนักเรียน 4-5 คน ออกมา เป็นจดุ ก่งึ กลางด้าน RS, SP, PO และ OR ตามลา� ดบั หาความยาวเส้นรอบรปู ของรูปสี่เหลีย่ ม ABCD
นำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อม
อธิบายประกอบ โดยมนี กั เรยี นและครู S A8 R
ร่วมกันตรวจสอบความถกู ต้อง
B D6
5ep ขัน้ ประเมนิ เพอื่ เพม่ิ คณุ คา่
บรกิ ารสงั คม PC O
และจิตสาธารณะ 5. รปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ ABCD มีดา้ น BC ยาว 24 เซนติเมตร และมพี ื้นท่ี 480 ตารางเซนติเมตร
ถา้ ดา้ น EC ยาว 27 เซนตเิ มตร ด้าน AE ยาวเทา่ ไร
E
AD
8. นักเรียนนำ�ความรู้ไปแนะนำ�เพ่ือน B 24 C
ที่ยังไม่เข้าใจเกี่ยวกับการนำ�ความรู้
เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับ 6. ก�าหนดให้ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีด้าน MN ยาว 5.2 เซนติเมตร ด้าน NS ยาว 1.5 เซนติเมตร
ไปใช้ในสถานการณ์ต่าง ๆ ให้เกิด และดา้ น ST ยาว 3.6 เซนติเมตร ด้าน MT ยาวเท่าไร
ความเขา้ ใจยง่ิ ขึ้น
N 5.2 M P
1.5 R
SO
3.6
TW
7. รปู สามเหลย่ี ม ABC มี A^BC เปน็ มุมฉาก ดา้ น AC ยาว 20 เซนติเมตร และดา้ น AB ยาว 12 เซนติเมตร
กา� หนดให ้ D เป็นจดุ บน BC และอย่หู า่ งจากจุด C 11 เซนติเมตร ด้าน AD ยาวเท่าไร
8. รปู สีเ่ หล่ยี มมุมฉากรูปหน่ึงมดี า้ นกวา้ งยาว 5 เซนตเิ มตร และมเี สน้ รอบรปู ยาว 34 เซนติเมตร
หาความยาวของเส้นทแยงมุมของรปู สีเ่ หลยี่ มนี้
9. ก�าหนดให้ △ XYZ เป็นรูปสามเหลี่ยมท่ีมีมุม XZY เป็นมุมฉาก มีด้าน XY ยาว 15 หน่วย
และดา้ น XZ ยาว 12 หน่วย หาความยาวของเส้นรอบรปู ของรูปสามเหลี่ยม XYZ
78 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 2 เลม่ 2
สุดยอดคู่มือครู 78
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด 1×2- + รอบรู้อาเซียนและโลก
3
2แบบฝึกหัดท้ายหนว่ ยการเรียนรู้ท่ี ÷
1. จา� นวนทีก่ า� หนดในแต่ละข้อต่อไปนี้ เปน็ ความยาวของด้านประกอบมมุ ฉาก
ของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก หาความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉาก
1) 11, 61 2) 9, 12
3) 0.3, 0.4 4) 1.2, 1.6
5) 4, 8 6) 10, 30
2. รปู สามเหล่ยี มมุมฉากที่ก�าหนดในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ ี ตัวเลขท่กี �ากบั ด้านแสดงความยาวของด้าน
หาคา่ ของ x
1) 2) 15
15 x 39 x
8 +-÷ ×
3) 4) 27
61 x x
60 45
5) 6) +-÷ ×
x 2.9 0.4
2.1 0.2 x
+-÷ ×
ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั และบทกลับ 79
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
นกั เรยี นแบง่ กลมุ่ กลมุ่ ละ 4-5 คน แตล่ ะกลมุ่ พจิ ารณาบตั รโจทยป์ ญั หาเกย่ี วกบั
การน�ำ ทฤษฎบี ทพที าโกรสั ไปใชใ้ นสถานการณต์ า่ ง ๆ นกั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ รว่ มกนั
เขียนแสดงวธิ ีการหาคำ�ตอบลงในกระดาษเปลา่ จากน้ันสลับผลงานกบั กล่มุ อ่ืน
เพื่อร่วมกันตรวจสอบและแก้ไข แล้วผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่ม กลุ่มละ 2 คน
ออกมานำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อมอธิบายประกอบ โดยมีนักเรียนและ
ครูรว่ มกันตรวจสอบความถูกต้อง
79 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
3. จากรปู สามเหล่ียมมมุ ฉากทก่ี �าหนด หาคา่ ของ x และความยาวรอบรปู
1) 2) 9
5x x 15
12 +-÷ ×
3) 3 0 4) 6.5 2.5
6.5
34 x x +-÷ ×
4. จากรปู ทกี่ า� หนด AC ยาวเทา่ ไร
A
5
B 3 D 12 C
5. รูปสามเหลยี่ ม XYZ เป็นรปู สามเหล่ียมหนา้ จว่ั มดี ้านประกอบมมุ ยอดยาว 10 เซนตเิ มตร
และมสี ว่ นสูงเป็น 8 เซนตเิ มตร รปู สามเหลี่ยม XYZ มพี ้นื ท่ีเทา่ ไร
Y
X O Z
80 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 2 เลม่ 2
เสริมความรู้ ครูควรสอน
ความสัมพนั ธ์ของทฤษฎบี ทพที าโกรสั
เมอื่ ทราบความยาวดา้ น c และด้าน b แลว้ ต้องการทราบความยาวดา้ น a
a2 = c2 – b2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส b2 = c2 – a2
c2 = a2 + b2
เมือ่ ทราบความยาวด้าน c และดา้ น a แล้วตอ้ งการทราบความยาวด้าน b
สุดยอดคู่มือครู 80
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
6. กา� หนดความยาวดา้ นทงั้ สามของรปู สามเหลี่ยมตา่ ง ๆ ดงั นี ้ แสดงว่ารปู สามเหลี่ยม
ในแตล่ ะข้อเปน็ รปู สามเหล่ียมมุมฉากหรอื ไม่
1) 3, 5, 9
2) 5, 12, 13
3) 4, 6, 8
4) 24, 32, 40
5) 0.8, 1.5, 1.7
6) 0.8, 1.0, 1.2
7. B
65 60
AD 144 C
จากรปู รูปสามเหล่ยี ม ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มมุมฉากหรอื ไม ่ พร้อมอธบิ ายประกอบ
8. รปู สามเหลี่ยม ABD มี AD^B เปน็ มมุ ฉาก AB ยาว 10 เซนตเิ มตร และ AD เปน็ ความสงู
ของรูปสามเหลยี่ ม ABC ซึ่งต้งั ฉากกับ BC ทา� ให ้ BD ยาว 6 เซนตเิ มตร และ DC ยาว
9 เซนติเมตร หาพนื้ ท่ขี อง
1) รูปสามเหล่ยี ม ADB
2) รูปสามเหลยี่ ม ADC
3) รูปสามเหลย่ี ม ABC
9. อานัสใชล้ วดผกู กับเสาธงซ่ึงห่างจากจดุ ยอด 1 ฟุต แล้วดึงลวดมาผกู ทหี่ ลักซึ่งอยหู่ ่างจาก
โคนเสา 15 ฟตุ ถา้ เสาธงสูง 21 ฟตุ อานสั ตอ้ งใช้ลวดยาวอยา่ งน้อยเท่าไร
10. วีระถีบจักรยานจากบ้านไปทางทิศเหนือ 1 กิโลเมตร แล้วเล้ียวไปทางทิศตะวันออก 0.5 กิโลเมตร
จากน้ันไปทางทิศเหนอื อกี 0.2 กโิ ลเมตร อยากทราบว่าเขาอย่หู า่ งจากบ้านกก่ี ิโลเมตร
11. รปู สีเ่ หล่ียมผนื ผ้ารปู หน่งึ มีด้านกวา้ งยาว 11 เมตร และเสน้ ทแยงมุมยาว 61 เซนตเิ มตร
หาความยาวของด้านยาวและพน้ื ทข่ี องรูปสเี่ หลยี่ มผืนผ้ารูปน้ี
ทฤษฎบี ทพที าโกรสั และบทกลบั 81
เสริมความรู้ ครูควรสอน
การตรวจสอบรปู สามเหลยี่ มที่ทราบความยาวดา้ นทัง้ สามดา้ นว่าเปน็ รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉากหรอื ไม่
หาค่ายกกำ�ลงั ของความยาวท้ังสามดา้ นของรปู สามเหลีย่ ม
เทา่ กัน พิจารณาก�ำ ลงั สองทีม่ คี ่า ไม่เทา่ กนั
เปน็ รปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก มากที่สดุ วา่ เท่ากับผลบวกของ ไม่เปน็ รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก
กำ�ลงั สองอกี สองด้าน
หรอื ไม่
81 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
12. N
โรงเรยี น WE
S
1.5 กโิ ลเมตร
บา้ นพัก 0.8 กิโลเมตร ตลาด
จากแผนทีแ่ สดงการเดินทางของครกู านดาเปน็ จุดยอดของรปู สามเหล่ยี ม โดยตอนเชา้ ครูกานดา
เดินทางจากบา้ นพกั ไปตลาดทางทิศตะวนั ออกเป็นระยะทาง 0.8 กโิ ลเมตร และเดินทางจากตลาด
ไปโรงเรียนทางทิศเหนอื เป็นระยะทาง 1.5 กโิ ลเมตร ตอนเยน็ ครูกานดาเดนิ ทางกลับบ้านพกั
โดยไมผ่ า่ นทางตลาด อยากทราบวา่ ครูกานดาเดินทางเปน็ ระยะทางท้ังหมดกี่กิโลเมตร
13. ลกู เสอื คนหนงึ่ เดินทางจากจุดตง้ั ตน้ ไปทางทศิ ใต้ 100 เมตร แล้วเดนิ ไปทางทศิ ตะวนั ออก 120 เมตร
จากนน้ั เดนิ ไปทางทศิ เหนือ 260 เมตร จงึ ถึงที่หมาย เขาอยูห่ ่างจากจุดตั้งตน้ ก่ีเมตร
14. นักเรยี นคนหนง่ึ สงู 1 เมตร ยนื ห่างจากเสาธง 6 เมตร ถ้าเสาธงสงู 9 เมตร ศีรษะของนกั เรียนคนนี้
อย่หู า่ งจากยอดเสาธงก่เี มตร
9 เมตร
1 เมตร
6 เมตร
15. บันไดยาว 6.5 เมตร วางพงิ ผนังตึก ถ้าปลายบนของบนั ไดอยสู่ งู จากพ้นื 6 เมตร
อยากทราบว่าเชิงบันไดห่างจากผนงั ตกึ กเี่ มตร
เสริมความรู้ ครูควรสอน 82 คณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 เลม่ 2
เม่ือก�ำ หนดกล่องทรงสี่เหล่ยี มมุมฉาก ABCDHEFG จะไดส้ ามเหล่ียมมมุ ฉาก BDH และ ABD โดยท่ี
HG BH2 = DH2 + BD2
= DH2 + (AD2 + AB2)
E FC นัน่ คือ BH2 = AB2 + AD2 + DH2
D
(ความยาวของเส้นทแยงมุมของกล่อง)2
AB = (ความยาว)2 + (ความกวา้ ง)2 + (ความสูง)2
AB = ความยาวของกล่อง
AD = ความกวา้ งของกลอ่ ง เมอื่ ก�ำ หนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหลยี่ มใด ๆ ทมี่ ดี า้ น
DH = ความสงู ของกลอ่ ง ทงั้ สามยาว a, b และ c หนว่ ย ถา้ ให้ S = a + b2 + c
BD = ความยาวของเสน้ ทแยงมมุ ของก้นกล่อง จะไดว้ ่า
BH = ความยาวของเสน้ ทแยงมมุ ของกล่อง
(พื้นท่ี ABC)2 = S(S – a)(S – b)(S – c)
82
สุดยอดคู่มือครู
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
เป้าหมายการเรยี นรู้
3หนห่วนย่วกยากราเรยีเรนยี รนทู้ รี่ ู้ท่ี พน้ื ทผ่ี วิ และปริมาตร มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 2.1
แผนผงั สาระการเรยี นรู้ เข้าใจพ้ืนฐานเกี่ยวกับการวัด วัดและ
ค า ด ค ะ เ น ข น า ด ข อ ง ส่ิ ง ท่ี ต้ อ ง ก า ร วั ด
1. พน้ื ทแี่ ละปรมิ าตร 2. พื้นท่ผี วิ และปรมิ าตร และนำ�ไปใช้
ของปรซิ มึ
พนื้ ทผี่ วิ สมรรถนะส�ำ คัญของผูเ้ รยี น
และปริมาตร 1. ความสามารถในการส่อื สาร
2. ความสามารถในการคดิ
3. ความสามารถในการแก้ปัญหา
4. ความสามารถในการใชท้ กั ษะชวี ิต
5. ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี
4. การแก้โจทย์ปญั หาเก่ยี วกบั 3. พ้ืนทีผ่ ิวและปริมาตร คุณลักษณะอันพงึ ประสงค์
พนื้ ท่ผี วิ และปริมาตร ของทรงกระบอก ใฝเ่ รยี นรู้
ตัวชวี้ ัดที ่ 4.1 ต้ังใจ เพียรพยายาม
ในการเรยี นและเขา้ รว่ มกจิ กรรมการเรยี นรู้
ตัวชวี้ ัด มงุ่ มั่นในการท�ำ งาน
ตัวช้ีวดั ท่ี 6.1 ตั้ ง ใ จ แ ล ะ รั บ ผิ ด ช อ บ
1. ประยกุ ตใ์ ช้ความรู้เรื่องพ้ืนทีผ่ วิ ของปริซึมและทรงกระบอกในการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์ ในการปฏิบตั หิ น้าทกี่ ารงาน
ตัวช้วี ดั ที ่ 6.2 ทำ�งานด้วยความเพียร
และปญั หาในชวี ิตจรงิ (ค 2.1 ม.2/1) พยายามและอดทนเพื่อให้งานสำ�เร็จ
ตามเป้าหมาย
2. ประยกุ ตใ์ ชค้ วามรู้เร่อื งปริมาตรของปรซิ ึมและทรงกระบอกในการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์
และปญั หาในชีวติ จริง (ค 2.1 ม.2/2)
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 จดุ ประกายโครงงาน
นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันค้นคว้า
เก่ียวกับการหาที่มาของสูตรพ้ืนที่ผิวและปริมาตร โดยจัดทำ�เป็นสื่อการเรียนรู้
ให้ดูสวยงาม น่าสนใจ และมีความถูกต้องตามหลักการทางคณิตศาสตร์
จากนั้นผู้แทนแต่ละกลุ่มออกมานำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อมอธิบาย
ประกอบ โดยมีนกั เรียนและครูรว่ มกนั ตรวจสอบความถูกต้อง นกั เรียนรว่ มกัน
คัดเลือกผลงานของกลุ่มที่น่าสนใจมาจัดแสดงหน้าชั้นเรียน เพื่อให้ความรู้
กบั นักเรียนชั้นอืน่ 83 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ตัวช้วี ดั
ค 2.1 ม.2/1 1. พ้ืนทแี่ ละปริมาตร
ค 2.1 ม.2/2
1.1 พนื้ ท่ี
ภาระงาน/ช้นิ งาน
นักเรียนเคยศึกษาเร่ืองพ้ืนท่ีมาแล้ว การหาพ้ืนที่ของรูปต่าง ๆ มีประโยชน์มากในชีวิต-
การเปรียบเทียบหน่วยปริมาตรและ ประจำาวัน พืน้ ทีม่ หี นว่ ยวัดเป็นตารางหนว่ ย พ้ืนท ี่ 1 ตารางหนว่ ย หมายถึง พื้นที่ภายในรปู ส่เี หล่ียมจตั รุ สั
หน่วยความจุ ท่มี ดี ้านยาวด้านละ 1 หน่วย
ep 1 ขัน้ สงั เกต 1 หน่วย
St St รวบรวมขอ้ มูล 1 หน่วย
1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น 1 ตารางหน่วย
โดยใชค้ ำ�ถามกระตุน้ ความคดิ ดังน้ี
ความยาวแต่ละดา้ นยาว 1 หน่วย จะมพี ื้นท ี่ 1 ตารางหน่วย
• รู ป เ ร ข า ค ณิ ต ส อ ง มิ ติ แ ล ะ หน่วยของพื้นท่ี “ตารางหน่วย” หรือ “หน่วย2” จะเป็นหน่วยอะไรน้ันขึ้นอยู่กับหน่วยการวัด
รูปเรขาคณิตสามมิติมีความแตกต่าง ความยาวของดา้ น เช่น
กนั อยา่ งไร
1 ม.
2. นักเรียนศึกษา พื้นทแ่ี ละปริมาตร 1 น้ิว
ep 2 ขน้ั คิดวเิ คราะห์ 1 ซม. 1 นว้ิ 1 ม.
1 ซม.
และสรุปความรู้ 1 ตารางน้วิ 1 ตารางเมตร
1 ตารางเซนติเมตร
1 วา
3. นักเรียนพิจารณารูปแสดงการหาพื้นที่
ดังนี้ 1 ม. 1 วา
1 นว้ิ
1 ซม. 2 1 นวิ้ 3 1 ม. 1 ตารางวา
1 1 ซม. 1 ตารางน้วิ 1 ตารางเมตร 84 คณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 2 เลม่ 2
1 ตารางเซนติเมตร
1 วา
4 1 วา • รูปที่ 1 หาพื้นทไี่ ดอ้ ยา่ งไร (1 × 1 = 1 ตารางเซนติเมตร)
1 ตารางวา • รูปที่ 2 หาพื้นท่ีไดอ้ ย่างไร (1 × 1 = 1 ตารางนิว้ )
จากนั้นใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิด • รปู ที่ 3 หาพ้ืนทไ่ี ดอ้ ยา่ งไร (1 × 1 = 1 ตารางเมตร)
• รูปท่ี 4 หาพน้ื ทีไ่ ด้อย่างไร (1 × 1 = 1 ตารางวา)
ของนกั เรยี น ดังนี้
• รูปท้ัง 4 รูป เป็นรูปเรขาคณิต • หน่วยของพื้นทม่ี ีการใช้หนว่ ยอย่างไร (ใชห้ นว่ ยการวัดความยาวของด้าน)
สองมติ ชิ นิดใด
(รูปสี่เหล่ียมมุมฉากหรือรูปสี่เหลี่ยม-
จตั รุ ัส)
สุดยอดคู่มือครู 84
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
ep 2 ข้ันคดิ วิเคราะห์St
หน่วยวัดพื้นท่ีในระบบเมตริกเป็นหน่วยวัดพ้ืนท่ีที่ใช้กันมาก เช่น ตารางเซนติเมตร และสรุปความรู้
ตารางเมตร ตารางกโิ ลเมตร และหนว่ ยวดั มาตราไทย เชน่ ตารางวา งาน และไร ่ ตอ้ งเลือกใชใ้ ห้เหมาะสม
กับขนาดพ้นื ทท่ี วี่ ดั เช่น 4. นักเรียนร่วมกันอภิปรายและสรุป
พน้ื ที่ของหนงั สอื ใช้หนว่ ย ตารางเซนติเมตร เกี่ยวกับการหาพื้นที่ของรูปส่ีเหล่ียม-
พื้นทห่ี ้องสมดุ ใช้หนว่ ย ตารางเมตร มุมฉากและหนว่ ยของพ้ืนที่
พ้ืนทีป่ ระเทศไทย ใช้หน่วย ตารางกิโลเมตร 5. นักเรียนพิจารณาแถบความสัมพันธ์
พืน้ ที่ทดี่ นิ ใช้หน่วย ตารางวา งาน หรือ ไร่ ของหนว่ ยวดั พนื้ ทมี่ าตราไทยและความ
สัมพันธ์ของหน่วยวัดพื้นท่ีมาตราไทย
ความสมั พันธข์ องหน่วยวดั พืน้ ที่ กับมาตราเมตริกบนกระดาน จากน้ัน
1 ไร่ เท่ากบั 4 งาน ใชค้ �ำ ถามกระตนุ้ ความคดิ ของนกั เรยี น
1 งาน เท่ากบั 100 ตารางวา ดังน้ี
1 ไร ่ เทา่ กบั 400 ตารางวา • หน่วยการวัดพื้นที่ท่ีใช้กันมากคือ
1 ไร่ เทา่ กับ 1,600 ตารางเมตร หน่วยการวัดมาตราใด
1 ตารางวา เท่ากบั 4 ตารางเมตร (มาตราเมตรกิ )
625 ไร ่ เท่ากบั 1 ตารางกโิ ลเมตร
สูตรการหาพ้ืนทข่ี องรูปเรขาคณติ สองมติ ิ มีดงั น้ี
1. พื้นทข่ี องรปู สามเหลยี่ ม = 21 × ความสงู × ความยาวของฐาน
2. พน้ื ที่ของรูปส่เี หล่ยี มจตั ุรสั = ความยาวของด้าน × ความยาวของดา้ น
หรอื 12 × ผลคูณของความยาวของเสน้ ทแยงมุม
3. พื้นทข่ี องรูปส่เี หลี่ยมผนื ผา้ = ความกว้าง × ความยาว
4. พ้นื ทีข่ องรปู ส่เี หลย่ี มดา้ นขนาน = ความยาวของฐาน × ความสูง
5. พ้นื ทีข่ องรูปสเี่ หลี่ยมคางหมู = 12 × ความสูง × ผลบวกของความยาวของด้านค่ขู นาน
6. พ้ืนที่ของรปู ส่ีเหลย่ี มใด ๆ = 12 × ความยาวของเสน้ ทแยงมมุ × ผลบวกของความยาว
ของเสน้ กิ่ง
พน้ื ท่ีผิวและปริมาตร 85
เสริมความรู้ ครูควรสอน
ความสมั พันธ์ของหน่วยพ้ืนทีข่ องมาตราไทย
1 ไร่ = 4 งาน
1 ไร่ = 400 ตารางวา หน่วยพน้ื ท่ี 1 งาน = 100 ตารางวา
ของมาตราไทย
1 ไร่ = 1,600 ตารางเมตร 1 ตารางวา = 4 ตารางเมตร
85 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขนั้ คดิ วิเคราะห์
St
และสรปุ ความรู้ 7. พ้นื ทีข่ องรูปส่เี หลยี่ มขนมเปยี กปนู = ความยาวของฐาน × ความสูง
ห21ร×อื ผ21ล×ค ณูผลขคอูณงคขวอางมคยวาาวมขยอางวเสขน้อทงเแสย้นงทมแุมยงมุม
6. นักเรียนร่วมกันอภิปรายและสรุป
8. พืน้ ทีข่ องรปู ส่ีเหล่ยี มรูปว่าว =
เกี่ยวกับพ้ืนที่ของรูปเรขาคณิตสองมิติ
9. พื้นที่ของวงกลม = πr2 (r = รศั ม)ี
ที่จะต้องนำ�มาใช้หาพื้นที่ ได้แก่ พื้นที่
ของรูปสามเหล่ียม รูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 1ตวั อยา่ งที่ + --
รูปส่ีเหล่ียมผืนผ้า รูปส่ีเหล่ียม-
ด้านขนาน รูปส่ีเหล่ียมคางหมู พ้ืนที่ สนามเด็กเล่นมลี ักษณะเป็นรปู สเ่ี หลยี่ มคางหม ู สามารถเขยี นเปน็ แผนผงั ได้
ดงั รปู สนามเด็กเลน่ มีพน้ื ท่กี ไี่ ร่
ของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ โดยมีนักเรียน 5 ซม.
และครรู ว่ มกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง 2 ซม.
7. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการหาพื้นที่
ของรปู เรขาคณิตสองมติ ิ 1-2 ตวั อย่าง 7 ซม.
โดยใช้การถาม-ตอบ ประกอบการ
อธิบาย มาตราส่วน 1 ซม. : 10 วา
วิธที าำ มาตราสว่ น 1 ซม. : 10 วา
แสดงวา่ ความยาวในแผนผัง 1 เซนติเมตร เท่ากับความยาวจริง 10 วา
พ้นื ทีร่ ปู สเ่ี หลีย่ มคางหม ู = 12 × ความสูง × ผลบวกของความยาวของด้านค่ขู นาน
ผลบวกของความยาวของด้านคขู่ นานจากแผนผัง 7 + 5 = 12 เซนติเมตร
ดังน้ัน ผลบวกของความยาวของดา้ นคู่ขนานของสนามเดก็ เล่น
10 × 12 = 120 วา
ความสูงของแผนผงั 2 เซนตเิ มตร
ดงั นั้น ความสงู ของสนามเดก็ เลน่ เปน็ 10 × 2 = 20 วา
แทนคา่ พืน้ ทีข่ องสนามเดก็ เลน่ = 12 × 20 × 120 ตารางวา
= 1,200 ตารางวา
พ้ืนท ่ี 1 ไร ่ เท่ากับ 400 ตารางวา
14,20000 ไร่
นนั่ คอื พ้ืนทสี่ นามเดก็ เลน่ เปน็ = 3
ตอบ สนามเด็กเล่นมพี น้ื ท่ี 3 ไร่
86 คณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 เลม่ 2
สุดยอดคู่มือครู 86
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
ep 3 ขน้ั ปฏบิ ตั ิ
St แหลละงั สกราุปรปควฏาบิ มตั ริู้
2ตัวอยา่ งท่ี + -- แบบฝกึ หดั ท่ี 1
8. นกั เรยี นท�ำ ใบงาน การหาพืน้ ที่ จากนั้น 2. 11เป)) ล ีย่พนืน้ หทนี่ 5่ว2ย0 พต้ืนา ทราี่ทง ่ีกเมาำ หต นรด ให้มีหน่วยเท เป่า็นกบัต า 1ร า3ง0ว 2าต)แาลระางไรว่า เทา่ กบั 0.325 ไร่
ปราณีซ้ือกระดาษแข็งที่มีด้านกว้าง 15 เซนติเมตร ด้านยาว 20 เซนติเมตร มาพับ 1. หาพ้ืนทข่ี องรูปเรขาคณติ ท่กี ำาหนดให้ตอ่ ไปน้ ี
เปน็ กลอ่ ง โดยตดั มมุ กระดาษออกเป็นรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสยาวด้านละ 4.5 เซนติเมตร
พ้นื ทฐี่ านของกลอ่ งเป็นเท่าไร สลับผลงานกับเพ่ือน เพื่อร่วมกัน2)
3)
พน้ื ท่ี 68,,582.22500 ซตตมาา. รราางงเเซมนต2ตร ซิเมม.ตร เทา่ กับ 1,705 ตารางว3า. 5 ซม.เท่ากับ 4.2625 ไร่ 4 ซม.
พ้ืนท่ี เท่ากบั 0.213 ตารางวา เทา่ กบั 0.0005325 ไร่
ตรวจสอบและแกไ้ ข4) พ้นื ที่ 20,000 ตารางเซนติเมตร เท่ากับ 0.5 ตารางวา เท่ากับ 0.00125 ไร่
2. เปล่ียนหนว่ ยพ้ืนท1.่ีท5 ่ีกซำามห. นด ใหม้ ีหน่วแยเบปน็บตฝารึกาหงเมัดตทร่ี 1
วิธีทาำ 20 ซม. 5 ซม.
4.5 ซม. 21ห))าพพพื้นน้ืื้นทททีข่ ี่ี่ อ32105ง.ร5ตงูปาาตนเรราาขร2งาา8วงคาเตณซานิตรตาทงเิ ี่กมวาำาตหรนดให้ตเเททอ่ ่าา่ไปกกับับน ้ี 81,4101 ต2 าตราารงาเมงเตมรต1ร7.5
1. 13) พน้ื ที่ 6 ไร ่ 1 งาน เท ่ากับ 1 0,020)0 ตารางเมตร ตารางเซนตเิ มตร
15 ซม. 3 ซม.
4. 4ท)ด่ี ินพแื้นปทลี่ ง3หไ2นร.5่ึง่2 ซมมงีขา.นน1.า53ด ซ0 ดมต.งั 2าร รซปู าม งท.วด่ีานิ แปเลทง่านก้มีบั พี 5ื้น,7ท2ก่ี 0่ีต ตารา3าร งซาวงมาเ.ม3.ต5 รซม. 4 ซม.
พนื้ ท่ฐี านของกล่อง = ความกวา้ ง × ความยาว 2. 3421เ1ป))))) ล ี่ยพพพพนนืื้นน้ืื้น้ หททททน่่่ีีีี่ 86251ว่12,0,658ย.,05 .220พ8000ตตื้น0ตา าตตทร1ารตาาา.รี่ทา5รราง ง ่กีาารเงซเ7มงงซาาำเม เเซงหซตน 5มซ.เนมนตรซนซต.ตนิเมดต รมิเ.ต มเิ ใตมิเหตรมตรม้ ตรีหร3น.3่ว 6ยเเเเซทททท เซมปม่า่าาา่่.น็กกกก. บับัับับต า 1001ร1 า3.,.0527ง01 0วซ ต23มาต5)าแ .ารตตลรา2าาะาง.รรงไ5วาารวาซงง่า มวว า.า 17.155เเเเ7ทททท 3ตซต าา่่่า่าามซกกกการม.2ราับบับับั ..าง5 มงเ 04001ซเซาซ ....นซตม3200นมต.0062รต.าเิ1520มิเส255 ม31ตไว่ 35 ตร ไนรซซ2 ่รรไมม5่1ร.. ่ ไซรม่ . 3 ซม.
: 10 วา
กระดาษกว้าง 15 เซนติเมตร 2. 15เว ป))ิธ ล ที ่ียพ �ำนื้นส หท่ว นนี่ 3ว่ท5มพยี่ราตพื้นะตบาทื้นรราข่ีทาายองส่ที ส1วง่วกี่.มีาร5นำา ูปีพซ ห1สม้นื น เี่.ทซหดเ่ีมล ทใ.ีย่ห่า :ไมม้ ร1รหี 0ูปน เวล่วาเย็ก ท เจ ป ่าะกน็ ไบัดต ้ า1ร 4า ง0เ ม6ต )ตารร4า3ง0 ซเ ม×มต. 2ร5 =
2 ) พ น้ื ท ่ี 20พง้นื าทนขี่ 2อ8งรต7ปู าซรสมาีเ่.งหวลาี่ยมรปู 3ใ.3ห เซญทม่า .กบั 8, 112 ต6าร01า 0ง× มเ ม5. ต0 ร =
กระดาษยาว 20 เซนติเมตร 1,000 8 ตตมาา.1รร ซาามงงวว. าา
3,000
ตดั มมุ กระดาษยาวดา้ นละ 4.5 เซนติเมตร 3 ) พ น้ื ท ี่ 6ดไรงั ่น1้นั ง าทน่ดี นิ แปลงนี้มีพ้ืนทเ ่ี ท1,า่ 0ก0บั 0 1+0 ,30,00 0ต =า ร4า,ง0เ0ม0ต ตรารางวา 1 ซม.
3 ซม.
ดังนนั้ ความกว้างของฐานกลอ่ ง 15 - 4.5 - 4.5 = 6 เซนติเมตร 4) พน้ื ท่ี 3 ไร่ 2 งาน 303 ตซมาร. างวา เทา่ กับ 5,720 ตารางเมตร
43.. ทรปู ่ดี สินี่เแหปลล่ียงมหจนัตงึุ่รมัสขีบนรราดจุล ดงังใรนปู ว งทก่ีดลินมแ ซป่ึงลมงเีนส้มี ้นีพผนื้่านทศีก่ ูนต่ี ยาร์กาลงาวงา
ยาว 30 เซน1ต6.ิเ8มตตราไรดางพ้ เอซนดตี ริเปูม7ส ตซีเ่รมห.ลี่ยมจัตรุ สั มพี 1้นื 0ทซี่ ม. 3 ซม.
17 ตารางเซนติเม14ต รม.
ความยาวของฐานกล่อง 20 - 4.5 - 4.5 = 11 เซนตเิ มตร 450 ตารางเซนตเิ มตร หาพืน้ ท่สี ่วนที่ระบายสี (กาำ หนดให้ π ≈ 3.14)
5ว) ิธ ีทำ� ส ่ว นทพ่รี ะื้นบทาี่ขยอสงมี วพี ง5กนื้ ซลทมมีเ่ .ท า่ ไร = π r2 6) 2.5 ซม.
แทนคา่ พ้นื ที่ฐานของกล่องเป็น 6 × 11 = 66 ตารางเซนตเิ มตร 125 .6 ตาร างเ ซนต เิ มต≈ร 3.14 × 152 ตาร2า.51ง0เซซ มมน.. ตเิ มต9ร6 ตารางเม8ต รม.
≈ 706.5
ตอบ พ้นื ที่ฐานของกลอ่ งเทา่ กบั 66 ตารางเซนติเมตร มรดาปูังตนสร่ีเ้ันาห สสล่วว่่ียนนม 3ท1จ ซ ตัี่รซมะรุ ม.บสั .าม ย:ีพ ส1ืน้ มี0ท พี ว ่ี ืน้า6 ทซจ ี่ปมะ ไ. ร4ดะ5้ม0า ณ พ ืน้ 7ทต0ผี่ า6ิวร.แ5าลง ะ-เปซ ร4นมิ 5ตา0ติเ มร=ขตอ 2รงป5ร6ซิ .มึ5แม ตลาะาตทรรราางงสกเรซว่ ะนนบตอ1กิเซมมต.ร:11207วา
ว ธิ ีท �ำ
41. 28สถ า้นถาน มคนณหกติ ญศว้าาา้ รสพพดงปูตังื้นื้น3รสน์ททเชีเ่ั้นมหีขี่่ขนั้ ตออมลทรธังง่ียีด่ ยรรมจมนิปปูู ะผศแสสเนืึกหปเี่ีเ่ษผหหลลาา้ือลลปง7กพ่ยีย่ี นที ซว่ีมมนื้ี้มมา้2งรร.พีทเลปูปู 3ที่นื้ม่ เใ2ี่เทลหป1เ็กี่ มญ็น1 ต ,ส ่ 0รน0ย า0าม ว+ห 6 ญ30,้าเ0 มก0ต่ีต046าร ร00=ทา ง4××าำ เถ, ม025นต005นร0 ผ ต==่า านรส31า,,นง00วา00าม00ท ั้งสอตตงาา1ดรร4าาา้ มงงน.ววดาาังรปู
3. รูปสเ่ี หลย่ี มจ1ตั 2ุร5สั .6บรตราจรุลางงเใซนนวตงเิ กมลตมร ซ่ึงมเี สน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง 96 ตารางเมตร
4ย5าว0 3ต0า รเซางนเซตนิเมตติเมรไตดรพ้ หอาดพี รน้ื ูปทสีส่ ีเ่ ห่วนลี่ยทมี่รจะัตบุราัสยสมี พี (กืน้ ำาพทหน้ื ี่ นที่ผดวิ ใแหล้ะπปร≈ิมา 3ต.ร1ข4อ)งปรซิ มึ และทรงกระบอก
127
วิธที ำ� พนื้ ท่ีของวงกลม = πr2
วธิ ที ำ� ส นา มม พี น้ื ทีท่ ง้ั หม ด ≈ 3 .14 × 15 2 32 × 60 = 1,920 ตารางเมตร
พ ืน้ ท ่ีที่ใ ช้ท �าถน นส ายท ่ ี 1≈ 7 06 .5 ต า3ร ×าง 6เซ0น ต เิ ม=ต ร 180 ตารางเมตร
พิ้นื ทรปู ท่ี ส่ใี ชีเ่ ห้ทลา� ่ยีถมนจนัตสุราัสยมทีพี ่ 2ืน้ ท ี่ 4 50 ต า3ร ×าง 2เซ9น ต ิเม=ต ร 87 ตารางเมตร
รวมดพัง้ืนนท้ัน่ที สใ่ี ่วชน้ทท�าถีร่ ะนบนาสยอสงมี สีพาย้ืน ทป่ี ระ มาณ 710860.5 + - 8 475 0 == 25266.75 ตา รางตเาซรนาตงเเิ มมตตรร
ดังนั้น จะเหลือพนื้ ที่ที่เป็นสนามหญา้ 1,920 - 267 = 1,653 ตารางเมตร
128 คณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 2 เล่ม 1
พ้นื ท่ีผิวและปรมิ าตร 7. ห้องครัวเป็นรูปสี่เหล่ียมมมุ ฉาก กวา้ ง 3.5 เมตร ยาว 6.5 เมตร อนรุ กั ษต์ ้องการปูกระเบ้ืองขนาด
87 15 × 15 เซนตเิ มตร จะต้องใชก้ ระเบอ้ื งอยา่ งน้อยท่สี ุดก่แี ผ่น
วธิ ีท�ำ กว้าง 3.5 เมตร เท่ากบั 350 เซนตเิ มตร และยาว 6.5 เมตร เท่ากบั 650 เซนตเิ มตร
พื้นทห่ี ้องครวั = ความกว้าง × ความยาว
= 350 × 650
= 227,500 ตารางเซนตเิ มตร
กระเบ้อื ง 1 แผน่ มีพื้นท่ ี = ความยาวของด้าน × ความยาวของดา้ น
= 15 × 15
= 225 ตารางเซนตเิ มตร
ดงั นน้ั จะต้องใชก้ ระเบื้อง 227,500 ÷ 225 ≈ 1,011.11 แผน่
น่ันคอื จะตอ้ งใช้กระเบ้อื งอยา่ งนอ้ ยทส่ี ดุ 1,012 แผน่
พ้ืนทีผ่ วิ และปรมิ าตรของปรซิ มึ และทรงกระบอก 129
87 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 3 ขนั้ ปฏิบตั ิ
St แหลละงั สกราปุรปควฏาิบมตั ริู้
แบบฝึกหดั ที่ 1
9. นักเรียนร่วมกันสรุปส่ิงท่ีเข้าใจเป็น 1. หาพน้ื ทขี่ องสว่ นทรี่ ะบายสตี ่อไปน ้ี (กาำ หนด π ≈ 3.14) 6 ซม.
ความรรู้ ว่ มกนั ดงั นี้ 1) 2)
• พ้ืนที่มีหน่วยการวัดเป็นตาราง- 3 ซม. 5 ซม. 2.4 ซม. 2.5 ซม.
หน่วย พ้ืนท่ี 1 ตารางหน่วย คือ พน้ื ที่
ภายในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสท่ีมีด้านยาว 4 ซม. +-÷ ×
ด้านละ 1 หน่วย หน่วยพื้นท่ีที่นิยม
ใช้กันมาก คือ หน่วยวัดพื้นท่ีในระบบ 3) 4) 2.5 ซม.
เมตริก
2.5 ซม. 11 ซ ซมม. .
2 ซม. 1.2 ซม. 1 ซม. 2 ซม.
6.5 ซม. 1 ซม. 1.5 ซม.
1.5 ซม. 2.5 ซม.
2 ซม.
5) 6) 2.5 ซม. +-÷ ×
10 ซม.
1 ซม. 3 ซม. 8 ซม.
2 ซม.
14 ซม.
88 คณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 2 เลม่ 2
+-÷ ×
สุดยอดคู่มือครู 88
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
Step 4
2. เปลย่ี นหนว่ ยพืน้ ทท่ี ก่ี ำาหนด ใหม้ ีหน่วยเป็นตารางวาและไร่ ขนั้ สอ่ื สารและนำ� เสนอ
1) พ้นื ที ่ 400 ตารางเมตร 2) พื้นท ่ี 6,400 ตารางเมตร
3) พื้นท ่ี 7,400 ตารางเซนติเมตร 4) พ้ืนท่ี 45,000 ตารางเซนตเิ มตร 10. ผู้แทนนักเรียน 4-5 คน ออกมา
นำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อม
3. เปลีย่ นหน่วยพ้ืนทท่ี ่ีกาำ หนด ให้มหี นว่ ยเป็นตารางเมตร อธบิ ายประกอบ โดยมีนกั เรียนและครู
1) พน้ื ที ่ 50 ตารางวา 2) พื้นท่ ี 12 งาน 34 ตารางวา รว่ มกันตรวจสอบความถกู ต้อง
3) พน้ื ที่ 5 ไร ่ 2 งาน 4) พน้ื ท่ ี 4 ไร ่ 3 งาน 20 ตารางวา
4. ท่ดี ินแปลงหน่ึงมีขนาดดังรูป ท่ีดินแปลงนม้ี ีพื้นทก่ี ่ีตารางวา
10 ซม.
3 ซม.
5 ซม.
7 ซม. มาตราสว่ น 1 ซม. : 10 วา
5. หาพน้ื ทสี่ ่วนที่ระบายส ี (กำาหนด π ≈ 3.14)
10 ซม.
7 ซม.
6 ซม.
6. หอ้ งนอนเปน็ รูปสี่เหลี่ยมมมุ ฉาก กว้าง 4 เมตร ยาว 6 เมตร เมธีตอ้ งการปกู ระเบื้อง
ขนาด 20 × 20 เซนติเมตร เมธจี ะตอ้ งใช้กระเบอ้ื งอย่างนอ้ ยท่ีสดุ ก่แี ผ่น
พน้ื ทผี่ วิ และปรมิ าตร 89
89 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขั้นคิดวเิ คราะห์
St
และสรปุ ความรู้
1.2 ปริมาตร
รูปเรขาคณิตสามมิติชนิดต่าง ๆ ได้แก่ ทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก ทรงกระบอก ทรงกลม กรวย
11. นักเรียนพิจารณารูปลูกบาศก์หน่วย
การหาปริมาตรหรอื ความจขุ องรปู เรขาคณิตสามมิติมีหนว่ ยเป็นลกู บาศกห์ น่วย
และลูกบาศก์เซนติเมตร จากน้ันใช้ ลูกบาศก์หน่วย หมายถึง ปริมาตรหรือความจุของทรงส่ีเหลี่ยมมุมฉากที่มีความกว้าง
คำ�ถามกระตุ้นความคิดของนักเรียน ความยาว และความสงู 1 หนว่ ยเท่ากนั
ดังน้ี
• จากรูปลูกบาศก์หน่วย มีความ 1 หน่วย แทน ปริมาตร 1 ลกู บาศกห์ นว่ ย
กว้าง ความยาว และความสงู เท่าใด 1 หน่วย 1 หน่วย หรือ ปริมาตร 1 หนว่ ย3
(กวา้ ง1หนว่ ยยาว1หนว่ ยและสงู 1หนว่ ย) ลูกบาศก์หนว่ ยน้ีจะใชห้ น่วยใดข้นึ อยู่กบั การเลือกใชห้ น่วยความยาวของด้าน เช่น
• จากรูปลูกบาศก์เซนติเมตร มี
ความกว้าง ความยาว และความสูง
เทา่ ใด
(กวา้ ง1เซนติเมตรยาว1เซนติเมตร และ 1 ม.
สูง 1 เซนตเิ มตร) 1 มม. 1 ซม. 1 นิ้ว 1 ม.
1 มม.1 มม. 1 ม.
• จากรูปลูกบาศก์หน่วย หา 1 ซม. 1 น้ิว
ปรมิ าตรไดอ้ ยา่ งไร 1 ลกู บาศก์มลิ ลิเมตร 1 ซม. 1 นว้ิ 1 ลูกบาศก์เมตร
(1 × 1 × 1 = 1 ลกู บาศก์หนว่ ย) 1 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร 1 ลูกบาศก์นิ้ว
• จากรูปลูกบาศก์เซนติเมตร
ปรมิ าตรของทรงสีเ่ หลี่ยมมมุ ฉาก
หาปรมิ าตรไดอ้ ยา่ งไร พิจารณาทรงส่เี หลย่ี มมุมฉากตอ่ ไปน้ี
(1 × 1 × 1 = 1 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร)
• หนว่ ยของปรมิ าตรมกี ารใชห้ นว่ ย ความกวา้ ง 2 หน่วย
ความยาว 3 หนว่ ย
อย่างไร ความสงู 1 หน่วย
(ใช้หน่วยการวัดความยาวของด้าน) นบั จำานวนลูกบาศก์ได ้ 6 ลกู บาศกห์ นว่ ย
ดงั นั้น ปรมิ าตรของทรงสเี่ หลี่ยมมุมฉากเทา่ กับ 6 ลูกบาศก์หน่วย
90 คณิตศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 2 เลม่ 2
สุดยอดคู่มือครู 90
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
ความกวา้ ง 2 หนว่ ย ep 2 ข้นั คิดวเิ คราะห์St
ความยาว 3 หน่วย
ความสงู 4 หนว่ ย และสรุปความรู้
นับจำานวนลูกบาศก์ได้ 24 ลูกบาศกห์ นว่ ย
12. นักเรียนพิจารณารูปทรงส่ีเหลี่ยม-
มมุ ฉากบนกระดาน ดังนี้
ดงั นน้ั ปรมิ าตรของทรงสเี่ หลย่ี มมมุ ฉากเทา่ กบั 24 ลกู บาศกห์ นว่ ย จะเหน็ วา่ ปรมิ าตรไดม้ าจาก
2 × 3 × 4 = 24 ลูกบาศกห์ น่วย
ปริมาตรของทรงสเ่ี หลี่ยมมุมฉากหาได้จากสตู ร ดังน้ี
ปรมิ าตรของทรงส่ีเหล่ยี มมุมฉาก = ความกว้าง × ความยาว × ความสงู รูปที่ 1
หรอื ปรมิ าตรของทรงสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก = พืน้ ท่ีฐาน × ความสูง
สูง
พน้ื ที่ฐาน = ความกวา้ ง × ความยาว รปู ที่ 2
หน่วยของปริมาตร จากนนั้ ใชค้ �ำ ถามกระตนุ้ ความคดิ ของ
นักเรยี น ดงั นี้
หน่วยของปริมาตร คือ ลูกบาศก์หน่วย จะใช้หน่วยใดขึ้นอยู่กับหน่วยวัดความยาว
ความกว้าง ความสูงของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากน้ัน ๆ ซ่ึงจะเป็นหน่วยวัดระบบเมตริกหรือระบบอังกฤษ • รูปที่ 1 มีความกว้าง ความยาว
การแปลงหน่วยปรมิ าตรจากหนว่ ยหนึ่งไปอกี หน่วยหนง่ึ สามารถทำาได้โดยการแปลงหน่วยวดั ความยาว และความสูงเท่าไร
1 ม. เชน่ 1 เมตร เท่ากบั 100 เซนติเมตร (กว้าง 2 หน่วย ยาว 2 หน่วย และสูง
1 ม. 1 ม. ดังนนั้ 1 ลกู บาศก์เมตร เทา่ กบั 100 × 100 × 100 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร
เท่ากบั 1,000,000 ลกู บาศก์เซนติเมตร 1 หนว่ ย)
• รูปท่ี 1 มปี ริมาตรเท่าไร
100 ซม. นอกจากนย้ี ังมหี นว่ ยปริมาตรท่คี วรรู้จกั อีก ดังนี้ 1 มิลลลิ ิตร (2 × 2 × 1 = 4 ลกู บาศก์หน่วย)
1 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร เทา่ กับ • รูปท่ี 2 มีความกว้าง ความยาว
100 ซม.
100 ซม. 1 ลิตร เท่ากบั 1,000 มิลลิลิตร และความสูงเท่าไร
(กว้าง 3 หน่วย ยาว 4 หน่วย และสูง
1 ลิตร เท่ากับ 1,000 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร
2 หน่วย)
1 ฟตุ เท่ากับ 30 เซนติเมตร • รปู ที่ 2 มปี ริมาตรเทา่ ไร
(3 × 4 × 2 = 24 ลกู บาศกห์ น่วย)
1 ลกู บาศกฟ์ ุต เทา่ กับ 30 Ö 30 Ö 30 ลูกบาศก์เซนติเมตร • จากรูปที่ 1 และรปู ท่ี 2 นกั เรยี น
เทา่ กับ 27,000 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร หาปริมาตรของทรงส่ีเหลี่ยมมุมฉาก
ได้อย่างไร
1 ลกู บาศกฟ์ ตุ เท่ากบั 7.5 แกลลอน (จากการนับจำ�นวนลูกบาศก์หรือใช้
1 แกลลอน เทา่ กบั 3,600 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร ความสัมพันธ์ในการหาปริมาตรของ
พื้นทผ่ี ิวและปริมาตร 91 ทรงส่เี หลีย่ มมุมฉากเท่ากับ
ความกว้าง × ความยาว × ความสูง)
91 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
St บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ข้นั คดิ วิเคราะห์ แบบฝกึ หัดที่ 2
และสรุปความรู้
13. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการหา 1. หาปรมิ าตรของทรงส่ีเหลย่ี มมมุ ฉากต่อไปน้ี 45 ซม.
ปริมาตรของทรงส่ีเหล่ียมมุมฉาก 1) 2) 30 ซม. 50 ซม.
1-2 ตัวอย่าง โดยใช้การถาม-ตอบ
ประกอบการอธิบาย 2 ม.
1.2 ม. +-÷ ×
1.5 ม.
3) 4)
8
4 +-÷ ×
4 +-÷ ×
5)
2. ตอบคาำ ถามต่อไปนี้
1) เปลี่ยนหน่วยปริมาตรต่อไปน้ ี ให้มหี น่วยเปน็ ลิตร
(1) ปริมาตร 4,000 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร
(2) ปรมิ าตร 20,000 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร
(3) ปรมิ าตร 8,000 มลิ ลลิ ิตร
(4) ปริมาตร 40,000 มลิ ลลิ ิตร
(5) ปรมิ าตร 5 ลูกบาศก์เมตร
92 คณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 2 เลม่ 2
สุดยอดคู่มือครู 92
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
Step 3 ขนั้ ปฏบิ ตั ิ
แหลละังสกราุปรปควฏาิบมัตริู้
2) เปลย่ี นหน่วยปริมาตรต่อไปน ้ี ใหม้ ีหน่วยเป็นลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร
(1) ปรมิ าตร 2,500 มิลลิลิตร 14. นักเรียนทำ�ใบงาน การหาปริมาตร
(2) ปรมิ าตร 4 ลติ ร
(3) ปรมิ าตร 6 ลกู บาศกเ์ มตร จากน้ันสลับผลงานกับเพื่อน เพื่อ
(4) ปริมาตร 2.5 ลิตร
(5) ปริมาตร 0.75 ลูกบาศก์เมตร รว่ มกันตรวจสอบและแกไ้ ข
3) เปล่ียนหน่วยปริมาตรตอ่ ไปน้ ี ใหม้ หี นว่ ยเปน็ แกลลอน
(1) ปริมาตร 9 ลกู บาศก์ฟุต แบบฝกึ หดั ท่ี 2
(2) ปริมาตร 72,000 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร
(3) ปริมาตร 108,000 มิลลิลติ ร 1. หาปริมาตรของรปู เรขาคณติ ท่ีกำาหนดให้ตอ่ ไปน้ี
(4) ปริมาตร 10 ลูกบาศกฟ์ ุต
(5) ปริมาตร 45,000 ลกู บาศก์เซนติเมตร 1) 2)
7 ม.
1ตัวอยา่ งท่ี + --
9 ม. 2.5 ซม. 8.5 ซม.
มาโนชตอ้ งการขดุ สระน้ำาทรงส่เี หลย่ี มมมุ ฉากทม่ี ขี นาดกวา้ ง 20 เมตร ยาว 35 เมตร 12 ม.
ลึก 1.7 เมตร มาโนชจะขดุ ดนิ ได้กีล่ ูกบาศกเ์ มตร 10 ซม.
วธิ ีทาำ ปริมาตรทรงส่ีเหล่ยี มมุมฉาก = ความกว้าง × ความยาว × ความสงู (หรือลึก) 756 ลูกบาศก์เมตร 212.5 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร
ดังนัน้ ปริมาตรของดินท่ีขุดได ้ 20 × 35 × 1.7 = 1,190 ลกู บาศกเ์ มตร
ตอบ มาโนชจะขุดดินได ้ 1,190 ลกู บาศกเ์ มตร 3) 4)
2 ม.
2ตวั อยา่ งที่ + -- 30 ซม.
18 ซม.
แทง็ ก์น้ำาทรงส่เี หลยี่ มมมุ ฉากมีความกวา้ ง 3 ฟตุ ความยาว 4 ฟตุ และความสงู
5 ฟตุ แท็งก์นาำ้ นีจ้ ุนำา้ ได้ก่แี กลลอน 1.51ม.5. ม. 4 ม. 10 ซม.
วธิ ีทำา ปริมาตรทรงสเี่ หล่ียมมมุ ฉาก = ความกว้าง × ความยาว × ความสูง 6 ม. 20 ซม.
แท็งกน์ ำา้ มปี ริมาตร 3 × 4 × 5 = 60 ลกู บาศก์ฟตุ
1 ลูกบาศก์ฟุต เทา่ กับ 7.5 แกลลอน 10 ม. 14 ซม.
60 ลกู บาศก์ฟตุ เทา่ กับ 60 × 7.5 = 450 แกลลอน
ดงั นน้ั แทง็ กน์ าำ้ จนุ า้ำ ได้ 450 แกลลอน 168 ลูกบาศก์เมตร 10,440 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร
ตอบ แทง็ กน์ ้ำาจุนำา้ ได้ 450 แกลลอน
2. บ่อน้ำาแหง่ หนึ่งกว้าง 25 เมตร ยาว 40 เมตร ลึก 20 เมตร มนี ้ำาอยูใ่ นบ่อวดั ปรมิ าตรได้
พ้ืนท่ีผวิ และปรมิ าตร 93 14,000 ลกู บาศกเ์ มตร อยากทราบวา่ ผวิ น้าำ อยู่ลึกจากปากบอ่ เทา่ ไร
วธิ ีทำ� กา� หนดให้ น�้าลึก x เมตร
ปริมาตรของน้า� = ความกวา้ ง × ความยาว × ความลกึ
จะได้ 14,000 = 25 × 40 × x
x = 2154×,00400 {20 - x{ 20 ม.
x 25 ม.
x = 14 เมตร 40 ม.
ดงั น้นั น้�าลกึ 14 เมตร
ผวิ นา้� อยู่ลึกจากปากบ่อ = ความลึกของบอ่ - ความลึกของนา�้
= 20 - 14
= 6 เมตร
ดงั น้นั ผวิ นา�้ อยู่ลกึ จากปากบอ่ 6 เมตร
31. 36วานิชคซณื้อติ ไศมาสก้ ตรระ์ ชดั้นามนัธขยนมศากึดษกาวป้าที งี่ 214เล ่มเซ1นตเิ มตร หนา 1.5 เซนติเมตร ยาว 5 เมตร จาำ นวนท้ังหมด
200 แผน่ ไมก้ ระดานมีปรมิ าตรทงั้ หมดก่ีลูกบาศกเ์ มตร
วธิ ที �ำ ไม้กระดานหนง่ึ แผน่ กว้าง 14 เซนตเิ มตร เท่ากับ 0.14 เมตร
หนา 1.5 เซนตเิ มตร เทา่ กบั 0.015 เมตร
ยาว 5 เมตร
ไมก้ ระดานหน่งึ แผ่นมปี รมิ าตร = 0.14 × 0.015 × 5
= 0.0105 ลูกบาศก์เมตร
ดังนนั้ ไมก้ ระดานมีปริมาตรทัง้ หมด 200 × 0.0105 = 2.1 ลกู บาศกเ์ มตร
4. กล่องทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัสใบหน่ึงมีปริมาตร 343 ลูกบาศก์เมตร กล่องใบนี้มีความยาวด้านละ
เท่าไร
วธิ ที �ำ กา� หนดให้ กล่องมีความยาวด้านละ x เมตร
จะได้ ปรมิ าตรของกลอ่ งทรงส่เี หลยี่ มจตั ุรสั เทา่ กับ x × x × x ลูกบาศก์เมตร
343 = x3
x = 3√ 343
x = 7 เมตร
ดังนน้ั กล่องใบน้ีมคี วามยาวดา้ นละ 7 เมตร
5. แท่งแก้วทรงส่ีเหลี่ยมมุมฉากมีหน้าตัดกว้าง 5.3 เซนติเมตร และยาว 8 เซนติเมตร ถ้าแท่งแก้ว
มีปริมาตร 636 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร แท่งแกว้ นส้ี ูงเทา่ ไร
วธิ ที ำ� ปริมาตรของแท่งแกว้ = ความกวา้ ง × ความยาว × ความสูง
636 = 5.3 × 8 × ความสูง
ความสูง = 5.633 ×6 8
ความสงู = 15 เซนติเมตร
ดังนัน้ แท่งแก้วน้ีสงู 15 เซนติเมตร
พื้นทผี่ ิวและปรมิ าตรของปริซึมและทรงกระบอก 137
93 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 3 ขั้นปฏิบัติ
St และสรุปความรู้
หลังการปฏิบัติ 3ตัวอย่างที่ + --
15. นักเรียนร่วมกันสรุปส่ิงท่ีเข้าใจเป็น ถังใส่น้ำาทรงสี่เหลยี่ มมุมฉากใบหนง่ึ มขี นาดกวา้ ง 25 เซนติเมตร ยาว 30 เซนตเิ มตร
ความรู้รว่ มกนั ดงั นี้ สูง 50 เซนตเิ มตร ถ้าบรรจุน้าำ ไว้เตม็ ถงั และใชน้ าำ้ ไป 7.5 ลติ ร
จะเหลือน้ำาอยูใ่ นถังสูงเท่าไร
• ปริมาตรเป็นความจุของรูป-
เรขาคณิตสามมิติ ปริมาตรของ วธิ ที ำา ปริมาตรทรงสเ่ี หล่ยี มมุมฉาก = ความกว้าง × ความยาว × ความสงู
รูปเรขาคณิตสามมิติมีหน่วยเป็น ถงั นำา้ มีปรมิ าตร 25 × 30 × 50 = 37,500 ลกู บาศก์เซนติเมตร
ลูกบาศกห์ นว่ ย ใชน้ ำา้ ไป 7.5 ลติ ร
แต ่ 1 ลติ ร เท่ากับ 1,000 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร
ลกู บาศกห์ นว่ ย หมายถงึ ความจุ ใชน้ าำ้ ไป เท่ากับ 7.5 × 1,000 = 7,500 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร
ของทรงสเี่ หลยี่ มมมุ ฉากทมี่ คี วามกวา้ ง เหลือนำ้าในถัง เท่ากบั 37,500 - 7,500 = 30,000 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร
ความยาว และความสูง 1 หนว่ ยเท่ากัน ปริมาตรน้ำาที่เหลือ = ความกวา้ ง × ความยาว × ความสงู
แทนคา่ 30,000 = 25 × 30 × ความสูง
สตู ร ปริมาตรทรงสี่เหล่ียมมมุ ฉาก ดงั น้นั 25 × 30 × ความสูง = 30,000
= ความกวา้ ง × ความยาว × ความสงู
หรอื = พ้นื ท่ีฐาน × ความสูง ความสูง = 2350 ,×0 0300
= 40 เซนติเมตร
จะเหลือนำ้าอยใู่ นถงั สงู 40 เซนตเิ มตร
ตอบ จะเหลือนำา้ อยใู่ นถงั สูง 40 เซนตเิ มตร
94 คณิตศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 2 เล่ม 2
สุดยอดคู่มือครู 94
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
St Step 4
แบบฝกึ หดั ท่ี 3 ขน้ั สอื่ สารและนำ� เสนอ
1. หาปรมิ าตรของรูปเรขาคณติ สามมิตติ ่อไปนี้ 2) 3 ซม. 16. ผู้แทนนักเรียน 4-5 คน ออกมา
1) นำ�เสนอผลงานหน้าชั้นเรียนพร้อม
อธิบายประกอบ โดยมีนกั เรยี นและครู
6 ซม. ร่วมกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
7.5 ซม. 5ep ข้นั ประเมินเพือ่ เพม่ิ คุณค่า
บริการสังคม
5 ซม. 12 ซม. +-÷ × และจติ สาธารณะ
4 ซม.
4) 17. นักเรียนนำ�ความรู้ไปแนะนำ�เพ่ือน
3) 1.5 ซม. หรือน้อง ๆ ท่ียังไม่เข้าใจเกี่ยวกับ
พ้ืนที่และปริมาตรให้เกิดความเข้าใจ
1.5 ซม. ยง่ิ ข้นึ
4 ซม. 5 ซม.
2 ซม.
5 ซม. 3 ซม. 8 ซม.
10 ซม.
15 ซม. +-÷ ×
2. นริ ุตกับอาคมช่วยกันวางไมก้ ระดานขนาดกว้าง 14 เซนตเิ มตร หนา 3 เซนตเิ มตร ยาว 5 เมตร
ซ้อนทบั กันจำานวน 150 แผน่ ปรมิ าตรของไมก้ ระดานทง้ั หมดเปน็ เทา่ ไร
3. บ่อนำ้าแห่งหนง่ึ กวา้ ง 25 เมตร ยาว 50 เมตร ลึก 8 เมตร มีน้ำาอยู่ในบ่อวดั ปริมาตรได ้
8,750 ลูกบาศกเ์ มตร อยากทราบว่าผวิ นา้ำ อยู่ลกึ จากปากบ่อเท่าไร
4. กล่องใส่ขวดนาำ้ ปลาทรงสเ่ี หลีย่ มจตั รุ สั ใบหนง่ึ มีปริมาตร 15,625 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร
กล่องใบนย้ี าวดา้ นละเทา่ ไร
5. ดินนำ้ามันปั้นเป็นทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีหน้าตัดกว้าง 3.5 เซนติเมตร ยาว 10 เซนติเมตร
ถ้าดินนำ้ามันมีปริมาตร 147 ลูกบาศก์เซนติเมตร ดินนำ้ามันก้อนนี้สูงเท่าไร
6. ถงั นำา้ ทรงสเี่ หล่ียมผนื ผ้ายาว 18 เซนติเมตร มีนาำ้ รว่ั ออกจากถงั 1,260 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ทำาใหร้ ะดับนาำ้ ลดลงจากปากถงั 5 เซนตเิ มตร ถังนาำ้ มคี วามกวา้ งเทา่ ไร
7. กล่องนมสดทรงส่เี หลย่ี มมมุ ฉาก ฐานเปน็ รูปสี่เหลีย่ มจตั รุ ัสยาวด้านละ 4.5 เซนติเมตร
สงู 16 เซนติเมตร กลอ่ งนมสดใบนจ้ี ุนมได้ก่ลี ิตร
8. วีระตอ้ งการสรา้ งอ่างเก็บนำ้าใหฐ้ านเปน็ รูปสเ่ี หลย่ี มผืนผา้ กวา้ ง 15 เมตร ยาว 25 เมตร
ลกึ 2.5 เมตร ใหจ้ ุนำ้าไดก้ ่แี กลลอน
พ้ืนท่ีผวิ และปริมาตร 95
95 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
St St ตัวช้ีวดั 2. พื้นท่ผี ิวและปรมิ าตรของปริซมึ
ค 2.1 ม.2/1 ปรซิ มึ เปน็ รปู เรขาคณติ สามมติ ิ จะมลี กั ษณะแตกตา่ งกนั ไปตามลกั ษณะของฐานหรอื หนา้ ตดั ซงึ่ เปน็
ค 2.1 ม.2/2 รปู หลายเหลยี่ มทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ ผวิ ขา้ งของปรซิ มึ แตล่ ะรปู เปน็ รปู สเี่ หลย่ี มมมุ ฉาก ปรซิ มึ มชี อื่ เรยี กตาม
ลักษณะของฐาน
ภาระงาน/ชิ้นงาน ปริซึมตรงจะมีผิวข้างต้ังฉากกับฐาน แต่ถ้าปริซึมเอียงผิวข้างจะไม่ต้ังฉากกับฐาน พิจารณารูป
ต่อไปน้ี
• การหาพ้ืนทผี่ ิวของปริซึม
• การหาปรมิ าตรของปรซิ มึ ส่วนสูง (h)
ep 1 ข้นั สังเกต ปริซมึ ตรง ปรซิ มึ เอียง
รวบรวมข้อมลู การเรียกชอื่ ปริซึมจะเรยี กชอ่ื ตามลักษณะของฐานหรือหนา้ ตดั
1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น ฐานหรอื หนา้ ตัด ฐานหรือหน้าตดั ฐานหรอื หนา้ ตัด
โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิด ดงั น้ี
ปรซิ ึมสามเหลีย่ ม ปริซึมส่ีเหล่ียม ปรซิ มึ ห้าเหล่ียม
• นักเรียนมีวิธีการอย่างไรในการหา
พนื้ ทผ่ี วิ และปรมิ าตรของปรซิ มึ ไดอ้ ยา่ ง ปริซึมปกติ เป็นปริซึมตรงซ่ึงมีฐานเป็นรูปหลายเหล่ียมปกติ ลูกบาศก์ เป็นปริซึมตรงซ่ึงมี
ถูกต้องและรวดเรว็ หน้าทัง้ หมดเปน็ รูปสีเ่ หลย่ี มจตั รุ สั
2. นักเรียนศึกษา พ้ืนที่ผิวและปริมาตร ปริซมึ หกเหล่ยี มปกติ ลกู บาศก์ ปริซมึ ส่ีเหลยี่ มผืนผา้ ปริซมึ สามเหลย่ี ม
ของปริซมึ
ep 2 ข้นั คดิ วเิ คราะห์
และสรุปความรู้
3. นักเรียนพิจารณาสื่อการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ชุด พ้ืนท่ีผิวของปริซึม
ดังน้ี
96 คณติ ศาสตร์ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 2 เล่ม 2
• พน้ื ทผ่ี วิ ของปริซึมประกอบด้วยอะไรบา้ ง
(หน้าตดั หรอื ฐาน 2 ดา้ น และดา้ นข้าง)
ผู้แทนนักเรียน 3 คน ออกมา • พืน้ ทผ่ี ิวของปรซิ มึ สีเ่ หลยี่ มมมุ ฉากหาได้อยา่ งไร
แสดงการคลี่ไส้ในของปริซึมทีละคน (หาพ้นื ที่ของหน้าตัดหรอื ฐาน 2 ด้าน รวมกับหาพืน้ ท่ีของดา้ นข้าง 4 ดา้ น)
วดั ความยาวของดา้ นตา่ ง ๆ แล้วเขียน • ปริซึมมีหน่วยของความยาวแต่ละด้านเป็นเซนติเมตร จะมีหน่วยพื้นที่ผิว
แสดงความยาวของด้านต่าง ๆ นั้น เป็นอยา่ งไร (ตารางเซนตเิ มตร)
บนกระดาน จากน้ันใช้คำ�ถามกระตุ้น • ปริซึมมีหน่วยของความยาวแต่ละด้านเป็นเมตร จะมีหน่วยพื้นท่ีผิว
ความคิดของนักเรียน ดงั น้ี เปน็ อยา่ งไร (ตารางเมตร)
สุดยอดคู่มือครู 96
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
ep 2 ข้ันคดิ วเิ คราะห์St
จากรปู ท่ีแสดงขา้ งตน้ จะเหน็ วา่ รูปเรขาคณิตสามมติ มิ ีฐานหรือหน้าตัดเป็นรปู หลายเหลี่ยมสองรปู และสรุปความรู้
ที่เท่ากันทุกประการและอยู่บนระนาบท่ีขนานกัน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดมุมที่สัมผัสกัน เป็นส่วนของ
เส้นตรง เรียกวา่ สัน และเรยี กรูปเรขาคณติ สามมิตนิ ้นั วา่ ปริซมึ 4. นักเรียนพิจารณารูปปริซึมพร้อมกับ
ในหนังสือเลม่ นี้จะกลา่ วถึงเฉพาะปริซึมตรงเท่านั้น ระบคุ วามยาวของดา้ นก�ำ กบั บนกระดาน
B C พิจารณารูปตอ่ ไปน ้ี แล้วตอบคำาถาม แล้วผู้แทนนักเรียน 2 คน ออกมา
A D 1) ฐานของปรซิ ึม ไดแ้ กอ่ ะไรบา้ ง ร่วมกันหาพ้ืนท่ีผิวปริซึมน้ัน โดยมี
2) พ้ืนทผี่ ิวข้างของปรซิ มึ ได้แก่อะไรบ้าง นักเรียนและครูร่วมกันตรวจสอบ
3) สันของปริซมึ ได้แก่อะไรบ้าง ความถูกตอ้ ง
Bʹ Cʹ
Aʹ Dʹ
2.1 พ้ืนที่ผิวของปรซิ ึม 2
นกั เรียนทำากจิ กรรม ดงั น้ี 2
1. สร้างปริซึมดงั รูป 4
1.5 2
1.5
2 2
2
2. คล่ีออก หาพนื้ ท่ที ้งั หมด
2
1.5 42
1.5
2
1.5
1.5 รปู ที่ 2
2 1.5
1.5 พน้ื ท่ีผิวและปริมาตร 97
รปู ท่ี 1
พ้ืนท่ผี วิ
และปริมาตร
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 97 สุดยอดคู่มือครู
นกั เรียนแบง่ กลุ่ม กลมุ่ ละ 4-5 คน นักเรียนแตล่ ะกล่มุ รว่ มกันสรา้ งบัตรโจทย์
เก่ียวกับการหาพื้นที่ผิวของปริซึม กลุ่มละ 2 ข้อ นำ�มาใส่ลงในกล่องรวมกัน
ผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่มออกมาสุ่มหยิบโจทย์ขึ้นมา 2 ข้อ และร่วมกัน
แสดงวิธีการหาคำ�ตอบลงในกระดาษเปล่า จากนั้นสลับผลงานกับกลุ่มอื่น
เพอ่ื ร่วมกนั ตรวจสอบและแกไ้ ข แล้วผู้แทนนกั เรยี นแตล่ ะกลุ่ม กลมุ่ ละ 2 คน
ออกมาแสดงวิธีการหาคำ�ตอบหน้าชั้นเรียน โดยมีนักเรียนและครูร่วมกัน
ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ข้นั คิดวเิ คราะห์
St พิจารณาจากรูปท ี่ 1
พนื้ ทผ่ี ิวของปริซึม = พื้นทฐี่ านท้งั สอง + พน้ื ท่ผี วิ ข้าง
และสรุปความรู้ = 2(1.5 × 2) + {2(1.5 × 2) + 2(1.5 × 1.5)}
= 6 + (6 + 4.5)
5. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการหา = 6 + 10.5
พ้ืนท่ีผิวของปริซึม 4-5 ตัวอย่าง = 16.5 ตารางหน่วย
โดยใช้การถาม-ตอบ ประกอบ
การอธบิ าย
พ้ืนทีผ่ วิ ของปริซมึ = พ้ืนทฐี่ านทัง้ สอง + พืน้ ท่ผี วิ ข้าง
1ตัวอย่างที่ + --
หาพน้ื ที่ผวิ ของปรซิ ึม
D
EA 16 F
C
7 12
B 20
พื้นท่ีผิวของปริซึม = พน้ื ทีฐ่ านทงั้ สอง + พื้นท่ีผวิ ข้าง
= (พ้นื ที่△ ABC + พืน้ ที่△ DEF) + (พืน้ ท ี่ ABED
+ พื้นที่ ACFD + พื้นท ี่ BCFE)
{( ) ( )} = 12 × 12 × 16 + 12 × 12 × 16 + {(12 × 7) + (16 × 7)
+ (20 × 7)}
= (96 + 96) + (84 + 112 + 140)
= 192 + 336
= 528 ตารางหนว่ ย
98 คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เลม่ 2
เสริมความรู้ ครูควรสอน
ปริซึมตรง right prism
ปริซมึ ส่ีเหลีย่ ม guadrangular prism
ปรซิ มึ สเี่ หลี่ยมมุมฉาก rectangular prism
ปรซิ ึมเอียง oblique prism
สุดยอดคู่มือครู 98
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
2ตัวอยา่ งที่ + -- St ep 3 ขน้ั ปฏบิ ตั ิ
แหลละังสกราปุรปควฏาบิ มัตริู้
หาพื้นทีผ่ ิวของปรซิ มึ 6. นักเรียนทำ�ใบงาน การหาพ้ืนท่ีผิวของ
ปริซึม จากน้ันสลับผลงานกับเพ่ือน
เพ่ือร่วมกนั ตรวจสอบและแกไ้ ข
แบบฝกึ หัดที่ 6
8 ซม.
แสดงวิธที �ำ
6 ซม. 1. พ้ืนท่ีผิวของปริซึมเป็น 210 ตารางเซนติเมตร ฐานของปริซึมเป็นรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสยาวด้านละ
5 เซนติเมตร ความสงู ของปริซึมเป็นเท่าไร
4 ซม. วธิ ที �ำ พื้นทผี่ ิวของปริซึม = พื้นทฐี่ านท้งั สอง + พื้นท่ผี วิ ข้าง
210 = 2(5 × 5) + 4(5 × ความสงู )
แยกส่วนประกอบของปริซมึ ส่เี หล่ยี มมุมฉากได้ ดงั น้ี 210 = 50 + (20 × ความสงู )
ความสงู = 2102 -0 50
ความสูง = 8 เซนตเิ มตร
ดังน้ัน ปรซิ มึ สูง 8 เซนตเิ มตร
2. พื้นท่ีผิวของปริซึมเป็น 2,500 ตารางเซนติเมตร พ้ืนท่ีผิวข้างทั้งหมดเป็น 2,000 ตารางเซนติเมตร
พื้นที่ฐานทง้ั สองของปริซมึ เป็นเทา่ ไร
วิธีท�ำ พน้ื ที่ผวิ ของปรซิ มึ = พืน้ ทฐ่ี านท้งั สอง + พื้นทีผ่ ิวข้าง
2,500 = พ้นื ท่ีฐานท้ังสอง + 2,000
พืน้ ทีฐ่ านทัง้ สอง = 2,500 - 2,000
พ้ืนที่ฐานทง้ั สอง = 500 ตารางเซนติเมตร
ดงั น้นั พ้ืนทีฐ่ านทั้งสองของปรซิ มึ เท่ากับ 500 ตารางเซนตเิ มตร
3. พ้ืนท่ผี วิ ของปริซมึ ลกู บาศก์เป็น 150 ตารางเซนติเมตร ความยาวของดา้ นของลกู บาศกเ์ ป็นเทา่ ไร
วิธีทำ� พื้นทผ่ี ิวของปรซิ ึม = พ้ืนทฐ่ี านทงั้ สอง + พนื้ ทีผ่ วิ ข้าง
150 = 2(ความยาวของดา้ น × ความยาวของด้าน) +
4(ความยาวของด้าน × ความยาวของดา้ น)
8 ซม. 8 ซม. 150 = 2(ความยาวของดา้ น2) + 4(ความยาวของดา้ น2)
6 ซม.
150 = 6(ความยาวของดา้ น2)
ความยาวของดา้ น2 = 1650
ความยาวของดา้ น2 = 25
ความยาวของดา้ น = 5 เซนติเมตร
ดังนนั้ ลูกบาศก์มีความยาวด้านละ 5 เซนติเมตร
4 ซม. 4 ซม. 6 ซม. 4. พ้นื ที่ผิวขา้ งของปรซิ มึ ลกู บาศก์เปน็ 196 ตารางเซนติเมตร ความยาวของด้านของลูกบาศก์เปน็ เทา่ ไร
วิธที ำ� พ้ืนท่ผี วิ ของปริซึม = 4(ความพย้ืนาทวผ่ี ขิวอแลงะดป้ารนิม า×ต รคขอวงาปมรยิซามึ วแขละอทงรดงา้กนระ)บอก 149
พ้ืนที่ฐาน พ้ืนทีด่ า้ นข้าง พ้ืนท่ีดา้ นขา้ ง 196 = 4(ความยาวของดา้ น2)
ความยาวของด้าน2 = 1496
พนื้ ท่ีผวิ ของปรซิ มึ = พื้นท่ฐี านทัง้ สอง + พ้ืนผิวขา้ ง ความยาวของด้าน2 = 49
= 2(4 × 6) + {2(4 × 8) + 2(6 × 8)}
= 48 + (64 + 96) ความยาวของดา้ น = 7 เซนตเิ มตร
= 48 + 160 ดังนน้ั ลูกบาศกม์ คี วามยาวดา้ นละ 7 เซนตเิ มตร
= 208 ตารางเซนติเมตร
5. ความยาวรอบรูปของฐานของปริซึมส่ีเหลี่ยมจัตุรัสเป็น 12 เซนติเมตร ความสูงเป็น 6 เซนติเมตร
พื้นทีผ่ วิ ขา้ งเปน็ เทา่ ไร
วิธีท�ำ ความยาวรอบรูปของฐานของปริซมึ = 4 × ความยาวของดา้ น
12 = 4 × ความยาวของดา้ น
ความยาวของด้าน = 142
ความยาวของดา้ น = 3 เซนติเมตร
ดงั นน้ั ปริซึมส่เี หลยี่ มจัตุรสั มีฐานยาวดา้ นละ 3 เซนติเมตร
พน้ื ทผ่ี วิ ข้างของปริซึม = 4 × (ความยาวของดา้ น × ความสงู )
พ้ืนท่ีผวิ และปรมิ าตร 99 = 4 × (3 × 6)
= 4 × 18
= 72 ตารางเซนตเิ มตร
ดงั น้ัน ปรซิ มึ ส่ีเหลยี่ มจัตุรัสมีพืน้ ท่ีผวิ ข้าง 72 ตารางเซนตเิ มตร
เสริมความรู้ ครูควรสอน 6. เส้นรอบรูปของฐานของปริซึมส่ีเหลี่ยมจัตุรัสเป็น 60 เซนติเมตร และความสูงของปริซึม
ทรงสเ่ี หลี่ยมมมุ ฉากเปน็ ทรงตนั (solid) ทีม่ คี วามกว้าง ความยาว และ เป็น 6 เซนตเิ มตร พ้นื ที่ผวิ ข้างเปน็ เท่าไร
ความสูง หน้าตรงข้ามกันในแต่ละคู่เป็นรูปส่ีเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากัน
ทุกประการ วิธีท�ำ ความยาวเสน้ รอบรูปของฐานของปรซิ มึ = 4 × ความยาวของด้าน
60 = 4 × ความยาวของด้าน
ความยาวของด้าน = 640
ความยาวของด้าน = 15 เซนตเิ มตร
ดงั นนั้ ปรซิ ึมสเี่ หล่ยี มจตั รุ ัสมฐี านยาวด้านละ 15 เซนตเิ มตร
พ้นื ทีผ่ วิ ขา้ งของปรซิ ึม = 4 × (ความยาวของดา้ น × ความสงู )
= 4 × (15 × 6)
= 4 × 90
= 360 ตารางเซนตเิ มตร
ดังนั้น ปริซึมสเ่ี หล่ียมจตั รุ สั มีพ้ืนท่ีผวิ ขา้ ง 360 ตารางเซนติเมตร
150 คณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2 เลม่ 1
99 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
St บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 3 ข้ันปฏบิ ตั ิ แบบฝกึ หัดที่ 4
แหลละังสกราปุรปควฏาบิ มตั ริู้
7. นักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งท่ีเข้าใจเป็น 1. หาพน้ื ทฐี่ านและพื้นท่ีผิวข้างของปรซิ มึ ต่อไปนี้
ความรรู้ ว่ มกัน ดงั นี้
1) 8 ซม. 6 ซม.
• ปริซึมเป็นรูปเรขาคณิตสามมิติ
มลี กั ษณะทแ่ี ตกตา่ งกนั ไปตามลกั ษณะ 10 ซม.
ของฐาน ผิวข้างของปริซึมแต่ละรูป 10 ซม.
เป็นรูปสี่เหล่ียมผืนผ้า ปริซึมจะมี
ช่ือเรียกตามลักษณะของฐานปริซึม 2)
นนั้ ๆ
3 ม.
• การหาปรมิ าตรของปริซึม
พนื้ ที่ผิวของปรซิ ึม 4 ม. 5 ม.
= พ้ืนทฐี่ านทั้งสอง + พื้นท่ผี วิ ข้าง 7 ฟุต
3)
การระบุหน่วยของพื้นที่ของปริซึม
ใช้หน่วยตามหน่วยวัดของความยาว
ท่ีกำ�หนด แต่เป็นหน่วยตาราง เช่น
ตารางเซนติเมตร ตารางเมตร
2 ฟตุ
4) 4 นว้ิ 9 ฟตุ
4 นว้ิ
3 น้ิว
100 คณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 2 เลม่ 2
เสริมความรู้ ครูควรสอน
ปริซึมเป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหน้าแต่ละหน้าเป็นรูปหลายเหล่ียมและ
มหี นา้ อยา่ งนอ้ ยสองหนา้ เปน็ รปู หลายเหลย่ี มทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการทอ่ี ยใู่ นระนาบ
ท่ีขนานกัน หนา้ สองหน้า เรยี กว่า ฐาน และมหี นา้ อ่ืน ๆ เป็นรูปสเ่ี หลี่ยมมมุ ฉาก
หรือรูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน เรียกว่า ผิวข้าง ซึ่งมีลักษณะแตกต่างกันไปตาม
ลักษณะของฐานและเรยี กชอ่ื ปรซิ มึ ตามลกั ษณะของฐาน
สุดยอดคู่มือครู 100
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
Step 4
2. หาพนื้ ที่ผวิ ของปรซิ ึมต่อไปน้ี 13 ม. ขน้ั สอ่ื สารและนำ� เสนอ
1) 2) 12 ม.
8. ผแู้ ทนนกั เรยี น 4-5 คน ออกมาน�ำ เสนอ
9 ฟุต 10 ม. 7.6 ม. +-÷ × ผลงานหน้าชั้นเรียนพร้อมอธิบาย
ประกอบ โดยมีนักเรียนและครรู ่วมกัน
12 ฟตุ ตรวจสอบความถกู ต้อง
18 ฟตุ
3) 4)
16 หลา
20 หลา 3 ม. 10 ม.
24 หลา 3 ม.
+-÷ ×
12 หลา
12 นวิ้
5) 6)
5 ม.
1.5 ม. 6 นิว้ +-÷ ×
1.5 ม. 10 นิ้ว
3. แสดงวธิ ที าำ
1) พ้ืนทผี่ ิวของปรซิ มึ เป็น 448 ตารางเซนติเมตร ฐานของปริซมึ เปน็ รูปสเี่ หล่ยี มจัตุรัสยาวดา้ นละ
8 เซนติเมตร ความสงู ของปรซิ มึ เปน็ เท่าไร
2) พน้ื ที่ผวิ ของลูกบาศก์เปน็ 29.04 ตารางเซนติเมตร ความยาวของด้านของลูกบาศก์เป็นเท่าไร
3) เส้นรอบรูปของฐานของปรซิ มึ สเี่ หลย่ี มจตั ุรสั ยาว 72 เซนตเิ มตร ความสงู ของปริซึมเปน็
12 เซนติเมตร พื้นท่ีผิวขา้ งเป็นเท่าไร
4) เส้นรอบรูปของฐานของปริซึมส่เี หล่ียมจตั รุ สั ยาว 10 เมตร ความสงู ของปรซิ มึ เปน็ 5 เมตร
พ้นื ท่ผี ิวขา้ งเป็นเทา่ ไร
5) ในการตดั กระดาษทาำ กล่องทรงสีเ่ หล่ยี มมมุ ฉาก ฝากล่องเป็นรูปส่ีเหลยี่ มผืนผ้ากวา้ ง
12 เซนติเมตร ยาว 16 เซนตเิ มตร ให้กล่องมคี วามสูง 35 เซนติเมตร จะตอ้ งใช้กระดาษ
ทาำ กลอ่ งอยา่ งนอ้ ยเท่าไร
6) สระนา้ำ คอนกรีตทรงสีเ่ หลยี่ มมุมฉากสระหนงึ่ วดั ภายในยาว 20 เมตร กวา้ ง 16 เมตร
ลึก 2.50 เมตร ถา้ ตอ้ งการปกู ระเบื้องภายในกน้ สระและด้านข้างของสระดว้ ยกระเบ้ือง
รูปสีเ่ หลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 20 เซนติเมตร จะตอ้ งใช้กระเบ้ืองอยา่ งน้อยท่สี ุดกี่แผน่
พ้ืนทีผ่ วิ และปริมาตร 101
เสริมความรู้ ครูควรสอน
ความสัมพันธ์ของพ้นื ท่ีผิวของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
2(ความกว้าง × ความยาว) พน้ื ท่ขี องฐาน
บนและล่าง
ผลรวมของพื้นที่ของทุกดา้ น พ้ืนท่ผี วิ ของ
ความยาวของเสน้ รอบรูป พ้นื ทดี่ า้ นข้าง ของทรงส่เี หลี่ยมมุมฉาก ทรงสเ่ี หลยี่ มมมุ ฉาก
ของฐาน × ความสูง
101 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขั้นคดิ วิเคราะห์
St 2.2 ปริมาตรของปริซมึ
และสรุปความรู้ พิจารณารูปตอ่ ไปนี้
จากรูป จะเห็นว่าเปน็ ปรซิ มึ ฐานสเี่ หลย่ี ม
9. นักเรียนพิจารณาส่ือการเรียนรู้ ความกว้าง 3 หนว่ ย
คณิตศาสตร์ชุด ปริมาตรของปริซึม ความยาว 8 หน่วย
ความสูง 6 หน่วย
ปรมิ าตรของปริซมึ สี่เหลี่ยม = ความกวา้ ง × ความยาว × ความสูง
จากนนั้ ใชค้ �ำ ถามกระตนุ้ ความคดิ ของ = 3 × 8 × 6
นกั เรยี น ดงั น้ี = 144 ลูกบาศกห์ น่วย
จากตวั อย่างข้างต้นจะได้ว่า ปรมิ าตรของปริซมึ = พ้นื ทฐี่ าน × ความสูง
• ป ริ ซึ ม แ ต่ ล ะ อั น จ ะ มี วิ ธี ก า ร 1ตัวอยา่ งท่ี + --
เรียกชอ่ื อย่างไร
ปรซิ ึมสี่เหลย่ี มผนื ผ้ามีความกวา้ ง 3 หน่วย ความยาว 4 หนว่ ย ความสงู
(เรยี กตามลักษณะของฐานปริซึมน้นั ๆ) 7 หน่วย หาปรมิ าตรของปรซิ ึมส่ีเหล่ียมน้ี
• ปริซึมมีหน่วยของความยาว
วธิ ที ำา ปริมาตรของปรซิ ึม = พ้ืนทฐี่ าน × ความสูง
แต่ละด้านเป็นเซนติเมตร เป็นเมตร 7 = (3 × 4) × 7
จะมีหน่วยปริมาตรเปน็ อย่างไร = 84 ลกู บาศก์หน่วย
ดงั น้นั ปรมิ าตรของปริซึมสเ่ี หล่ยี มเทา่ กบั 84 ลกู บาศกห์ นว่ ย
(ลูกบาศก์เซนติเมตร ลูกบาศก์เมตร
3
ตามลำ�ดับ) 4
• ถ้าความสูงของปริซึมแต่ละอัน
2ตัวอยา่ งที่ + --
เท่ากัน แล้วปริมาตรของปริซึม
แ ต่ ล ะ อั น จ ะ แ ต ก ต่ า ง กั น ห รื อ ไ ม่ ปรซิ มึ สามเหล่ยี มมีปริมาตร 60 ลูกบาศก์เซนติเมตร ความสูง 5 เซนติเมตร
ถ้าแตกตา่ งกนั ข้ึนอยู่กับสิ่งใด พนื้ ท่ีฐานเป็นเท่าไร
(แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน วิธีทำา ปรมิ าตรของปรซิ ึม = พื้นที่ฐาน × ความสงู
60 = พน้ื ทีฐ่ าน × 5
ของปรซิ มึ แตล่ ะอัน) พื้นทฐ่ี าน = 650
10. นักเรียนพิจารณารูปปริซึมท่ีระบุ พนื้ ที่ฐาน = 12 ตารางเซนตเิ มตร
ความยาวของด้านกำ�กับบนกระดาน ดังนั้น พนื้ ท่ฐี านเทา่ กับ 12 ตารางเซนติเมตร
แล้วผู้แทนนักเรียน 2 คน ออกมา
ร่วมกันหาปริมาตรของปริซึมน้ัน 102 คณิตศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 2 เล่ม 2
โ ด ย มี นั ก เ รี ย น แ ล ะ ค รู ร่ ว ม กั น
ตรวจสอบความถูกตอ้ ง
สุดยอดคู่มือครู 102
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
3ตัวอยา่ งท่ี + -- Step 2 ขั้นคดิ วเิ คราะห์
และสรุปความรู้
ปริซมึ สเ่ี หลยี่ มจตั รุ ัสกว้างด้านละ 9 เซนตเิ มตร มปี รมิ าตร 11. นักเรียนพิจารณาการหาปริมาตร
1,215 ลกู บาศก์เซนติเมตร ความสงู ของปรซิ ึมเป็นเทา่ ไร ของปริซึม 4-5 ตัวอย่าง โดยใช้
การถาม-ตอบ ประกอบการอธิบาย
วธิ ีทำา ปรมิ าตรของปรซิ มึ = พื้นทีฐ่ าน × ความสูง
1,215 = (9 × 9) × ความสูง
1,215 = 81 × ความสูง
ความสงู = 1,82115
ความสงู = 15 เซนติเมตร
ดังน้นั ความสงู ของปรซิ มึ เท่ากับ 15 เซนติเมตร
4ตัวอยา่ งที่ + --
อ่างเล้ยี งปลาทรงสเ่ี หลี่ยมมมุ ฉากกว้าง 60 เซนติเมตร ยาว 90 เซนตเิ มตร
สูง 40 เซนติเมตร เมื่อเทน้าำ ใสล่ งไป 135 ลติ ร ระดบั น้าำ จะอยู่ตำ่ากว่าขอบบน
ของอ่างเลี้ยงปลาเท่าไร
วิธที ำา เทนำ้าใสล่ งอา่ งเล้ียงปลาทรงสเี่ หลยี่ มมุมฉาก 135 ลิตร
เนอ่ื งจาก 1 ลิตร เทา่ กับ 1,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร
จะได ้ 135 ลติ ร เทา่ กับ 135 × 1,000 = 135,000 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร
หาความสงู ของระดับนำา้ เมื่อเทนำ้าใสล่ งอา่ งเล้ยี งปลาทรงสีเ่ หลี่ยมมมุ ฉาก 135 ลิตร
หรือ 135,000 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร
ปริมาตรของปริซึม = ความกวา้ ง × ความยาว × ความสงู
135,000 = 60 × 90 × ความสงู
216530 5 × ,เ0 ซ90น00ต เิ ม ตร
ความสูง =
ความสูง =
เมื่อเทน้าำ ใสล่ งอ่างเล้ยี งปลาทรงสเ่ี หล่ยี มมุมฉาก 135 ลิตร ระดบั น้ำาจะสงู 25 เซนติเมตร
อา่ งเล้ียงปลาทรงสี่เหล่ียมมมุ ฉาก 40 เซนติเมตร
ดงั นั้น ระดับนาำ้ จะอยูต่ ำ่ากว่าขอบบนของอา่ งเล้ยี งปลา 40 - 25 = 15 เซนตเิ มตร
พืน้ ทีผ่ ิวและปริมาตร 103
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันสร้างบัตรโจทย์เก่ียวกับการหาปริมาตรของปริซึม กลุ่มละ
2 ขอ้ นำ�มาใส่ลงในกลอ่ งรวมกัน ผ้แู ทนนักเรยี นแตล่ ะกล่มุ ออกมาสุ่มหยิบโจทยข์ น้ึ มา 2 ข้อ ร่วมกนั แสดงวธิ กี ารหาค�ำ ตอบ
ลงในกระดาษเปล่า จากน้ันสลับผลงานกับกลุ่มอ่ืน เพื่อร่วมกันตรวจสอบและแก้ไข แล้วผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่ม
กลุ่มละ 2 คน ออกมาแสดงวิธีการหาคำ�ตอบหนา้ ชน้ั เรียน โดยมีนกั เรียนและครูรว่ มกันตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
103 สุดยอดคู่มือครู
ตวั อยา่ งที่ 1 แทง็ กน์ ้ําทรงสีเ่ หลี่ยมมมุ ฉาก วัดความกว้าง ความยาว และความสูงได้ 6 ฟตุ 8 ฟุต และ ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
GPAS 5 Steps 12 ฟุต ตามลําดบั แทง็ กน์ ้ําน้ีจนุ าํ้ ได้กแี่ กลลอน (1 ลูกบาศกฟ์ ุต เทา่ กับ 7.5 แกลลอน)
วธิ ที ำา ปริมาตรของแทง็ ก์นา้ํ ทรงสเี่ หลี่ยมมมุ ฉาก = ความกว้าง × ความยาว × ความสงู
แท็งกน์ ้ํานี้จนุ ํา้ ได ้ = 6 × 8 × 12
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 = 576 ลูกบาศกฟ์ ุต
ep 3 ขั้นปฏบิ ตั ิ เนอื่ งจาก 1 ลูกบาศกฟ์ ตุ เทา่ กับ 7.5 แกลลอน
St
จะได้ 576 ลกู บาศก์ฟตุ เท่ากบั 576 × 7.5 = 4,320 แกลลอน
ดังนน้ั แทง็ ก์น้ํานี้จนุ า้ํ ได ้ 4,320 แกลลอน
และสรปุ ความรู้
หลงั การปฏิบัติตัวอย่างที่ 2 ตกู้ ระจกเลี้ยงปลาต้หู นึ่งมขี นาดภายในกว้าง 18 น้วิ ยาว 20 น้ิว สงู 15 น้ิว แบบฝกึ หดั ที่ 5
ถา้ ใส่น้ําในตกู้ ระจกเทา่ กบั 34 ของตู ้ ปริมาตรนํ้าในต้กู ระจกเลี้ยงปลาเปน็ เท่าไร 1. หาพนื้ ทฐี่ านและปริมาตรของปริซึมตอ่ ไปนี้
วิธีทาำ ปริมาตรของตู้กระจกเลย้ี งปลา = ความกวา้ ง × ความยาว × ความสูง 1)
= 18 × 20 × 15
12. นกั เรยี นท�ำ ใบงาน การหาปรมิ าตรของ = 5,400 ลูกบาศก์นวิ้
34 ของตู้
× 5,400 =
ปริซึม จากน้ันสลับผลงานกับเพื่อน
แต่ในตู้กระจกเล้ียงปลามีนา้ํ เปน็ 4,050 ลกู บาศก์น้ิว
เทา่ กับ 43
เพอ่ื ร่วมกันตรวจสอบและแก้ไข ดังนั้น นาํ้ ในต้กู ระจกเล้ียงปลามีปริมาตร 4,050 ลกู บาศก์นวิ้
แบบฝึกหัดท่ี 9
แสดงวธิ ีทำ� 6 ซม.
1. หาปริมาตรของปรซิ มึ ซึง่ มพี ้ืนท่ฐี าน 24 ตารางเซนตเิ มตร และความสงู 8 เซนติเมตร
วธิ ีทำ� ปรมิ าตรของปริซึม = พืน้ ทฐ่ี าน × ความสูง 1.5 ซม.
= 24 × 8 4 ซม.
= 192 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร
4.5 ซม.
ดังนนั้ ปริซมึ มปี รมิ าตร 192 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร
2)
3)
2. ปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมูมีความสูง 25 เซนติเมตร ซึ่งฐานคู่ขนานของปริซึมส่ีเหล่ียมคางหมูยาว 30
และ 90 เซนติเมตร ตามลำาดับ ความสูงของพสนื้ ี่ทเหผี่ ิวลแ่ียละมปคริมางาตหรมขอูเงปป็นริซ มึ1แ5ล ะเทซรนงกตริเะมบอตกร ปร1ิม5า5ตร
ของปริซึมส่เี หล่ียมคางหมูเปน็ เท่าไร
วธิ ที ำ� ปริมาตรของปรซิ ึม = พืน้ ทฐ่ี าน × ความสูง
2121
{ }
( )
= × 15 × (30 + 90) × 25
= × 15 × 120 × 25
= 900 × 25
= 22,500 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร 3.5 ซม.
ดงั นั้น ปริซมึ สีเ่ หลีย่ มคางหมมู ปี รมิ าตร 22,500 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร 6 ซม.
2.5 ซม.
3. ปรซิ มึ สามเหลยี่ มมมุ ฉากมีความสงู 14 เซนติเมตร ฐานเป็นรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ซึง่ มดี ้านตรงข้าม
มมุ ฉากยาว 17 เซนติเมตร และอีกด้านหนึง่ ยาว 15 เซนตเิ มตร ปรมิ าตรของปริซมึ สามเหลยี่ มมุมฉาก
เปน็ เท่าไร
วธิ ีท�ำ จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได ้ 28 ซม.
ความยาวของด้านตรงขา้ มมุมฉาก2 = ความยาวของดา้ นประชดิ มุมฉากด้านหน่ึง2 +
ความยาวของดา้ นประชดิ มมุ ฉากอกี ดา้ นหนึ่ง2 10 ซม.
172 = 152 + ความยาวของด้านประชดิ มมุ ฉากอีกด้านหนึ่ง2 8 ซม.
ความยาวของดา้ นประชิดมมุ ฉากอีกดา้ นหนงึ่ 2 = 172 - 152 14 ซม.
= 289 - 225 20 ซม.
ความยาวของด้านประชดิ มมุ ฉากอกี ดา้ นหนงึ่ = 8 เซนติเมตร 4)
ดงั นัน้ ดา้ นประชิดมุมฉากอกี ด้านหน่งึ ยาว 8 เซนตเิ มตร
ปริมาตรของปริซมึ = พื้นท่ีฐาน × ความสูง
= 21 × 8 × 15 × 14
( )
= 840 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร
ดงั นน้ั ปรซิ มึ สามเหลี่ยมมุมฉากมีปรมิ าตร 840 ลกู บาศก์เซนติเมตร
156 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 2 เลม่ 1 104 คณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 2 เลม่ 2
13. นกั เรียนรว่ มกนั สรุปส่งิ ทีเ่ ข้าใจเป็นความรูร้ ว่ มกัน ดงั นี้
• การหาปรมิ าตรของปรซิ มึ
ปรมิ าตรของปริซมึ = พน้ื ทฐ่ี าน × ความสงู
การระบุหน่วยของปริมาตรของปริซึมใช้หน่วย
ตามหน่วยวัดของความยาวที่กำ�หนดแต่เป็นหน่วย
ลูกบาศก์ เชน่ ลูกบาศก์เซนตเิ มตร ลูกบาศกเ์ มตร
สุดยอดคู่มือครู 104
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
St Step 4
2. หาปริมาตรของปริซมึ ต่อไปนี้ ขนั้ สอ่ื สารและนำ� เสนอ
1) 2)
14. ผู้แทนนักเรียน 4-5 คน ออกมา
2 ฟตุ นำ�เสนอผลงานหน้าชั้นเรียนพร้อม
อธิบายประกอบ โดยมีนักเรียนและครู
8 ฟตุ 15 นิ้ว 9 น้ิว 20 นว้ิ ร่วมกนั ตรวจสอบความถูกตอ้ ง
12 นว้ิ
+-÷ × 5ep ขนั้ ประเมินเพ่อื เพ่ิมคุณค่า
3 ฟตุ บริการสงั คม
1.2 ม. และจติ สาธารณะ
3)
15. นกั เรยี นน�ำ ความรไู้ ปชว่ ยแนะน�ำ เพอื่ น
6 ม. ท่ียังไม่เข้าใจเกี่ยวกับพื้นท่ีผิวและ
ปรมิ าตรของปรซิ มึ ใหเ้ กดิ ความเขา้ ใจ
5 ม. +-÷ × ยิ่งขึ้น
3. แสดงวิธีทำา
1) หาปรมิ าตรของปรซิ มึ ซง่ึ มีพ้นื ทฐี่ านเป็น 80 ตารางเซนตเิ มตร ความสูงเป็น 18 เซนตเิ มตร
2) ปรซิ มึ สามเหลย่ี มมมุ ฉากมคี วามสงู 16 นว้ิ ฐานเปน็ รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ซง่ึ มดี า้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก
ยาว 17 นว้ิ และอีกดา้ นหนงึ่ ยาว 15 นวิ้ ปรมิ าตรของปริซมึ สามเหล่ียมมุมฉากเป็นเท่าไร
3) ปีบบรรจนุ ้ำาตาลทรงสี่เหลยี่ มมมุ ฉาก ก้นถงั เปน็ รปู สี่เหลีย่ มจตั ุรสั ยาวด้านละ 13 เซนตเิ มตร
สูง 25 เซนตเิ มตร จะบรรจุน้าำ ตาลไดก้ ล่ี กู บาศก์เซนติเมตร
4) ปริซึมแกว้ สามเหล่ียมแท่งหน่งึ ยาว 9 เซนติเมตร ฐานและสูงของหนา้ ตัดยาว 6 เซนตเิ มตร
และ 3 เซนติเมตร ตามลำาดับ ปริซึมแท่งนีม้ ปี ริมาตรเทา่ ไร
5) กล่องน้ำาผลไม้ทรงส่เี หลยี่ มมุมฉากกว้าง 1.5 น้ิว ยาว 3 นว้ิ สูง 4 นิว้ จะจุนา้ำ ผลไม้ไดเ้ ท่าไร
6) อา่ งเลยี้ งปลาทรงส่เี หลยี่ มมมุ ฉากกวา้ ง 0.40 เมตร ยาว 0.80 เมตร สงู 0.50 เมตร
ตอ้ งการใส่นำา้ ในอ่างเล้ยี งปลา 0.096 ลกู บาศก์เมตร ระดบั น้ำาจะสงู จากกน้ อ่างเท่าไร
พ้ืนท่ีผวิ และปรมิ าตร 105
แนวข้อสอบ O-NET/PISA (เฉลย 1 แนวคดิ
ปริมาตรของปริซึมส่ีเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ 144 ลูกบาศก์เมตร ปรมิ าตรของปริซมึ = พ้นื ทฐี่ าน × ความสูง
โดยมีความสูง 12 เมตร และความกว้าง 3 เมตร ความยาว = ความกวา้ ง × ความยาว × ความสูง
ยาวกว่าความกว้างกเ่ี มตร 144 = 3 × ความยาว × 12
ความยาว = 13464
1 1 เมตร 2 2 เมตร = 4 เมตร
3 3 เมตร 4 4 เมตร
ดงั นนั้ ความยาวยาวกว่าความกว้าง 4 - 3 = 1 เมตร)
105 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ตวั ช้ีวดั 3. พืน้ ที่ผวิ และปริมาตรของทรงกระบอก
ค 2.1 ม.2/1 ทรงกระบอกเป็นรูปเรขาคณิตสามมิติ ซึ่งมีหน้าตัดหัวท้ายเป็นวงกลมท่ีเท่ากันทุกประการ
ค 2.1 ม.2/2 ทงั้ ทรงกระบอกตรงและทรงกระบอกเอยี ง พิจารณารปู ต่อไปน้ี
ภาระงาน/ชนิ้ งาน รัศมี (r) พนื้ ที่หน้าตดั
• การหาพืน้ ท่ีผิวของทรงกระบอก สูงตรง (h) แกน แกน สูงตรง
• การหาปริมาตรของทรงกระบอก
St St หนา้ ตดั เปน็ วงกลม หนา้ ตดั เป็นวงกลม
ความ ูสงep 1 ขน้ั สังเกต
ทรงกระบอกตรง ทรงกระบอกเอยี ง
รวบรวมข้อมูล
ในท่ีนจี้ ะกล่าวถึงเฉพาะทรงกระบอกตรงเทา่ นน้ั และจะใช้คาำ ว่า “ทรงกระบอก”
1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
โดยใชค้ ำ�ถามกระตนุ้ ความคิด ดังนี้ เส้นรอบวง เส้นรอบวง (2πr)
• นักเรียนมีวิธีการอย่างไรในการหา พนื้ ท่ีผวิ ข้าง ความสงู (h)
พ้ืนท่ีผิวและปริมาตรของทรงกระบอก
ไดอ้ ย่างถกู ต้องและรปวรดซิ ึมเรส็วามเหลีย่ ม รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นวงกลมท่ีเท่ากันทุกประการ และอยู่ในระนาบที่ขนานกัน เมื่อ
ตัดทรงสามมิตินี้ด้วยระนาบท่ีขนานกับฐานแล้ว จะได้รอยตัดเป็นวงกลมท่ีเท่ากันทุกประการกับฐาน
2. นักเรียนศึกษา พ้ืนที่ผิวและปริมาตร เรียกวา่ ทรงกระบอก
ของทรงกระบอก
3.1 พื้นทผ่ี วิ ของทรงกระบอก
ep 2 ข้นั คิดวิเคราะห์
ก่อนท่ีจะกล่าวถึงพื้นท่ีผิวของทรงกระบอก จะต้องทราบความยาวของเส้นรอบวงกลมและ
และสรุปความรู้ พ้ืนที่ของวงกลมเสยี ก่อน นกั เรียนเคยเรยี นมาแล้วเกยี่ วกบั การหาความยาวของเสน้ รอบวงกลมและพน้ื ท่ี
ของวงกลม
3. นักเรียนพิจารณาสื่อการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ชุด พื้นท่ีผิวและปริมาตร 106 คณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 2 เลม่ 2
ของทรงกระบอก ดังนี้
ผู้แทนนักเรียน 1 คน ออกมา • พ้นื ท่ผี วิ ของทรงกระบอกประกอบดว้ ยอะไรบ้าง
แสดงการคล่ีไส้ในของทรงกระบอก (หน้าตัดหรือฐาน 2 ด้าน และดา้ นข้าง)
วดั ความยาวของดา้ นต่าง ๆ แล้วเขยี น • เม่อื คลไ่ี ส้ในของทรงกระบอก หน้าตัดหรอื ฐานจะเป็นรูปใด
แสดงความยาวของด้านต่าง ๆ นั้น (วงกลม 2 รูป)
บนกระดาน จากนั้นใช้คำ�ถามกระตุ้น • เมื่อคลี่ไส้ในของทรงกระบอก ด้านขา้ งจะเปน็ รูปใด
ความคดิ ของนกั เรียน ดังน้ี (รปู สี่เหลี่ยมมมุ ฉาก 1 รปู )
สุดยอดคู่มือครู 106
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
Step 2 ขนั้ คิดวเิ คราะห์
ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลม = 2πr และสรปุ ความรู้
พื้นที่ของวงกลม = πr2
4. นกั เรยี นพจิ ารณารปู ทรงกระบอกทรี่ ะบุ
การหาพ้นื ท่ีผิวของทรงกระบอก ความยาวของด้านกำ�กับบนกระดาน
อาจทดลองได ้ ดงั นี้ แล้วผู้แทนนักเรียน 2 คน ออกมา
วสั ดุ : แกนกระดาษชาำ ระ กระดาษกราฟ ดนิ สอ กรรไกร รว่ มกนั หาพนื้ ทผ่ี วิ ของทรงกระบอกนนั้
• ลากเส้นรอบฐานของแกนกระดาษชำาระบนกระดาษกราฟ โดยมนี กั เรยี นและครรู ว่ มกนั ตรวจสอบ
แลว้ ตัดออกเป็นวงกลม ความถกู ตอ้ ง
• วัดความสูงของแกนกระดาษชำาระ แล้วตัดกระดาษกราฟ 5. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการหา
ให้มีความสูงเท่ากับความสูงของแกนกระดาษชำาระ แล้ว พ้ืนทผ่ี ิวของทรงกระบอก 4-5 ตัวอย่าง
พันรอบแกนกระดาษชำาระใหร้ มิ จดกันพอด ี คลกี่ ระดาษกราฟ โดยใช้การถาม-ตอบ ประกอบ
ออกมา จะไดร้ ปู สเ่ี หลยี่ มผนื ผา้ นบั ดพู น้ื ทว่ี า่ มกี ตี่ ารางหนว่ ย การอธิบาย
• นาำ กระดาษกราฟมาประกอบเป็นทรงกระบอก
จะได้ว่า พน้ื ท่ผี วิ ขา้ งของทรงกระบอกเม่ือคล่อี อกจะได ้ ดังนี้
2πr 107 สุดยอดคู่มือครู
h
พื้นทผ่ี ิวขา้ งของทรงกระบอก = ความยาวของเส้นรอบวง × ความสูง
= 2πr × h
= 2πrh
พื้นทีฐ่ านท้ังสองของทรงกระบอก = 2πr2
พ้ืนทผ่ี วิ ของทรงกระบอก = พนื้ ท่หี นา้ ตดั ทงั้ สอง + พื้นทผ่ี วิ ขา้ ง
= 2πr2 + 2πrh
เม่ือ r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก
h แทนความสูงของทรงกระบอก
พ้นื ท่ีผิวและปริมาตร 107
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันสร้างบัตรโจทย์
เก่ียวกับการหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอก กลุ่มละ 2 ข้อ นำ�มาใส่ลงในกล่อง
รวมกัน ผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่มออกมาสุ่มหยิบโจทย์ขึ้นมา 2 ข้อ ร่วมกัน
แสดงวิธีการหาคำ�ตอบลงในกระดาษเปล่า จากนั้นสลับผลงานกับกลุ่มอ่ืน
เพื่อร่วมกันตรวจสอบและแก้ไข แล้วผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่ม กลุ่มละ 2 คน
ออกมาแสดงวิธีการหาคำ�ตอบหน้าช้ันเรียน โดยมีนักเรียนและครูร่วมกัน
ตรวจสอบความถกู ต้อง
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 3 ขน้ั ปฏิบัติ
St และสรปุ ความรู้
หลงั การปฏิบัติ 1ตัวอยา่ งที่ + --
6. นักเรียนทำ�ใบงาน การหาพ้ืนท่ีผิวของ กระป๋องออมสินทรงกระบอกใบหนง่ึ สงู 15 เซนติเมตร เสน้ ผา่ นศนู ย์กลางของฐาน
ยาว 6 เซนตเิ มตร ตอ้ งการปิดกระดาษรอบข้างของกระปอ๋ ง จะตอ้ งใชก้ ระดาษ
ทรงกระบอก จากนั้นสลับผลงานกับ อยา่ งนอ้ ยเท่าไร (กำาหนด π ≈ 3.14)
เพือ่ น เพ่อื ร่วมกนั ตรวจสอบและแกไ้ ข วิธที ำา เนือ่ งจาก พนื้ ทผี่ วิ ขา้ งของทรงกระบอก = 2πrh ......................(1)
แบบฝกึ หัดที่ 12 เสน้ ผ่านศูนยก์ ลางของฐาน = 2r
ดังน้นั r = 26
แสดงวธิ ที �ำ (กำ�หนดให้ π ≈ 3.14) = 3 เซนติเมตร
แทนค่า r = 3 และ h = 15 ในสมการ (1) จะได้
1. ทรงกระบอกสูง 8 เซนตเิ มตร มีรศั มีของฐานยาว 5 เซนติเมตร พ้นื ทผ่ี ิวของทรงกระบอกเป็นเท่าไร พน้ื ทผ่ี ิวขา้ งของทรงกระบอก ≈ 2 × 3.14 × 3 × 15
≈ 282.6 ตารางเซนติเมตร
วธิ ที ำ� พืน้ ท่ผี วิ ของทรงกระบอก = 2πr2 + 2πrh ตอบ จะตอ้ งใชก้ ระดาษอย่างนอ้ ยประมาณ 282.6 ตารางเซนติเมตร
≈ (2 × 3.14 × 52) + (2 × 3.14 × 5 × 8)
≈ 157 + 251.2
≈ 408.2 ตารางเซนตเิ มตร
ดังนน้ั ทรงกระบอกมพี ื้นทีผ่ ิวประมาณ 408.2 ตารางเซนติเมตร
2. ทรงกระบอกสูง 10 เซนตเิ มตร มเี สน้ ผา่ นศูนยก์ ลางของฐานยาว 18 เซนตเิ มตร พน้ื ทผี่ ิวข้างของ 2ตวั อยา่ งท่ี + --
ทรงกระบอกเปน็ เท่าไร
วิธที ำ� พ้นื ทีผ่ วิ ข้างของทรงกระบอก = 2πrh หาพ้นื ทฐี่ านของทรงกระบอกตนั ซง่ึ มีเสน้ ผ่านศูนยก์ ลางของฐานยาว 12 เซนติเมตร
≈ 2 × 3.14 × 128 × 10 (กาำ หนด π ≈ 3.14)
≈ 565.2 ตารางเซนตเิ มตร
ดงั นั้น ทรงกระบอกมพี ้นื ทผ่ี วิ ข้างประมาณ 565.2 ตารางเซนตเิ มตร
วิธีทาำ พ้ืนทฐี่ านของทรงกระบอก = 2πr2
พแท้ืนนทค่ีฐา่า น rข อ=ง ท 1ร22ง ก =ร ะ 6บ อ จกะตไนัด ้ ≈
3. ทรงกระบอกสูง 20 เซนติเมตร มีรศั มีของฐานยาว 10 เซนติเมตร พน้ื ท่ีผวิ ของทรงกระบอกเป็นเทา่ ไร 2 × 3.14 × 62
วิธที �ำ พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2πr2 + 2πrh ≈ 226.08 ตารางเซนติเมตร
≈ (2 × 3.14 × 102) + (2 × 3.14 × 10 × 20) ตอบ พ้ืนที่ฐานของทรงกระบอกตนั ประมาณ 226.08 ตารางเซนตเิ มตร
≈ 628 + 1,256
≈ 1,884 ตารางเซนติเมตร 3ตัวอยา่ งท่ี + --
ดงั นน้ั ทรงกระบอกมพี ื้นทีผ่ ิวประมาณ 1,884 ตารางเซนตเิ มตร
หาพืน้ ทผี่ ิวของทรงกระบอกตนั รัศมยี าว 3 เซนตเิ มตร สูง 13 เซนติเมตร
(กาำ หนด π ≈ 3.14)
วธิ ที ำา พื้นทผ่ี ิวของทรงกระบอก = 2πrh + 2πr2
≈ (2 × 3.14 × 3 × 13) + (2 × 3.14 × 32)
≈ 244.92 + 56.52
41. 64ทรงกครณะติ บศอากสตสรงู ์ ช1น้ั 9ม.ธั0ย5ม เศซึกนษตาปเิ มีทตี่ 2รเ ลมม่ รี 1ัศมขี องฐานยาว 3.175 เซนตเิ มตร พนื้ ที่ผิวข้างและพน้ื ทผ่ี วิ ≈ 301.44 ตารางเซนตเิ มตร
ของทรงกระบอกเปน็ เท่าไร ตอบ พื้นท่ีผวิ ของทรงกระบอกตันประมาณ 301.44 ตารางเซนติเมตร
วธิ ที �ำ พ้นื ท่ีผวิ ขา้ งของทรงกระบอก = 2πrh 108 คณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 2 เล่ม 2
≈ 2 × 3.14 × 3.175 × 19.05
≈ 379.84 ตารางเซนติเมตร
พ้นื ท่ผี วิ ของทรงกระบอก = 2πr2 + 2πrh
≈ {2 × 3.14 × (3.175)2} + 379.84
≈ 63.31 + 379.84
≈ 443.15 ตารางเซนตเิ มตร
ดังน้ัน ทรงกระบอกมพี นื้ ที่ผวิ ขา้ งประมาณ 379.84 ตารางเซนตเิ มตร
และพ้นื ท่ผี วิ ประมาณ 443.15 ตารางเซนติเมตร
5. ทรงกระบอกสูง 16 เซนตเิ มตร มีเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานยาว 5 เซนติเมตร พืน้ ท่ีผิวข้างและ
พื้นทีผ่ ิวของทรงกระบอกเป็นเทา่ ไร
วธิ ีท�ำ พน้ื ท่ผี ิวข้างของทรงกระบอก = 2πrh
≈ 2 × 3.14 × 2.5 × 16
≈ 251.2 ตารางเซนตเิ มตร
พน้ื ท่ีผวิ ของทรงกระบอก = 2πr2 + 2πrh
≈ {2 × 3.14 × (2.5)2} + 251.2
≈ 39.25 + 251.2
≈ 290.45 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้น ทรงกระบอกมพี ้ืนที่ผวิ ขา้ งประมาณ 251.2 ตารางเซนตเิ มตร
และพืน้ ท่ีผิวประมาณ 290.45 ตารางเซนติเมตร
พื้นทผี่ ิวและปรมิ าตรของปรซิ ึมและทรงกระบอก 165
สุดยอดคู่มือครู 108
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
9786160548286
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search