A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
การเปลย่ี นทศนยิ มซ้�าให้อยใู่ นรูปเศษสว่ นมวี ธิ กี าร ดงั นี้ แทนทศนยิ มซา้� ด้วย N แล้วน�า 10, 100, St St ep 2 ขน้ั คดิ วิเคราะห์
1,000, ... มาคูณเพื่อให้ได้ความสัมพันธ์ของ N กับทศนิยมซ้�า แล้วใช้การแก้สมการเพื่อหาค่า N
และสรปุ ความรู้
จะได้ทศนิยมซ�า้ ในรปู เศษส่วน 10. นักเรียนร่วมกันอภิปรายและสรุป
เก่ียวกับจํานวนตรรกยะ โดยร่วมกัน
จะเห็นได้ว่าสามารถเปลี่ยนทศนิยมซ้�าให้อยู่ในรูปเศษส่วน โดยท่ีตัวเศษและตัวส่วนเป็นจา� นวนเต็ม เขยี นเป็นแผนผงั ดงั น้ี
และตวั สว่ นไม่เท่ากับศูนย์ น่ันคอื ทศนิยมซ้�ำเป็นจำ� นวนตรรกยะ
จากตวั อย่างที่ 1 และ 2 นกั เรียนสังเกตหรอื ไม่วา่ ทศนยิ มซาํ้ ทเ่ี ริม่ ซา้ํ ตงั้ แตท่ ศนยิ มตาํ แหนง่ ท่หี นง่ึ
เช่น ถ้าเป็นทศนิยมซํ้าหนึ่งตําแหน่ง ตัวส่วนจะเป็น 9 และตัวเศษ คือ เลขโดดหลังจุดทศนิยม ถ้าเป็น จํานวนตรรกยะ
ทศนิยมซํ้าสองตําแหน่ง ตัวส่วนจะเป็น 99 และตัวเศษ คือ เลขโดดหลังจุดทศนิยมท้ังสองตําแหน่ง
ถ้าเป็นทศนิยมซ�้าสามต�าแหน่ง เช่น 0.789 นักเรียนคิดว่าจะเขียนในรูปเศษส่วนได้อย่างไร นักเรียน จํานวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะที่ไมใ่ ช่
คดิ ว่าใช ่ 799899 หรือไม่
ถ้าให้นักเรียนเขียนทศนิยมซ�้าต่อไปน้ีในรูปเศษส่วน จํานวนเตม็
0.7. , 0.7.8. และ 0.784 นักเรียนสามารถ จาํ นวนเตม็ ลบ ศูนย์ จาํ นวนเตม็ บวก (เศษสว่ น ทศนยิ มร้จู บ
ทศนยิ มไม่รจู้ บแบบซํ้า)
3ต อบไดแท้ ลันะทจวีาก่า ต79ัว,อ 97ย98่า ง ทแล ี่ 3ะ น 79กั 98เร49ีย ตนาคมดิ ลวา� ่าดจบั ะเขียน 0.78, 0.83, 1.47 และ 3.243 ซงึ่ เปน็ ทศนิยมทีไ่ มไ่ ด้ซ�้า
ep ขั้นปฏิบตั ิ
ตั้งแต่ทศนิยมต�าแหน่งทหี่ น่งึ ในรูปเศษสว่ นไดอ้ ยา่ งไร
โพดจิ ยาเรขณียนาวเค่าจราำ่ือนงหวนมทายก่ี ำา✓หน ลดงใใหนต้ชอ่่อไงปวา่นง้ีเ ปพแ็นหรจ้อลลาำมนะใังหวสนกเ้ หรตาตรุปผุรรลกปคยะวหฏารบิ ือมจตั าำรนิู้วนอตรรกยะ
จำ�นวน จ�ำ นวน
ข้อสงั เกต จ1�ำ น1ว.น การเขียเหนตผุเลศษส่วน
นักเรตรียรกนยะทำ�ใอตบรรงกยาะน
1. 4 ในรปู ท✓✓ศนยิ มและกจจำ��ำ นนาววรนนเนเตบัข็มเลปยี บ็นเจนป�ำ น็นทจวำ�นนศตวรนนรตกรยยิ ระกมยะซาํ้
การเขยี นทศนยิ มซ้�าในรปู เศษส่วนมีข้อสังเกต ดังนี้ 2. -5 ในรูป✓เศษส่วน จเาป็นกทศนนิยั้นมซสำ�้ ลับผลงาน
3. 0.009• กับเพื่อน เพ่ือ✓ร่วมไมกส่ �มัน�รตถเขรียนวในจรูปสเศอษสบ่วนแได้ละ
ตัวเศษ หาไดจ้ ากจ�านวนท่ีอยู่หลังจุดทศนยิ ม ลบด้วยจา� นวนท่ีไม่ใชท่ ศนิยมซา�้ 4. √11
ตวั สว่ น ประกอบด้วย 9 และ 0 เรียงต่อกนั
แก้ไข5. -√5
โดยจา� นวนของ 9 หาไดจ้ าก จ�านวนของเลขโดดหลงั จุดทศนิยมทีซ่ า้� เชน่ แบบฝึกหดั ทา้ ยห✓นว่ ยกาไรมเส่ ร�มีย�นรถรเู้ทขยี ี่ น1ในรูปเศษสว่ นได้
ถ้าหลงั จดุ ทศนยิ มมจี า� นวนเลขโดดซา�้ 1 ตัว จะมตี วั ส่วนเปน็ 9 1. เข6ยี. น เ-ศ 82ษสว่ นต่อไปน้ใี ห้อยใู่ นร✓ูปทศนิยม -82 = -4 ซึง่ เป็นจำ�นวนตรรกยะ
ถ้าหลังจดุ ทศนยิ มมีจา� นวนเลขโดดซ�้า 2 ตวั จะมีตัวสว่ นเปน็ 99 17). -329 2 0.6• ✓ 2) 250- 9 2 = -81 ซึ่งเป0น็ .2จ5�ำ นวนตรรกยะ
ถา้ หลังจุดทศนิยมมีจ�านวนเลขโดดซา้� 3 ตวั จะมีตัวสว่ นเป็น 999 38). -√3 574 -1.75 ✓ 4) 9349ไ50ม ่ส�ม�รถเขยี น0ใ.น3ร4•ปู 8•เ ศษสว่ นได้
และจ�านวนของ 0 หาได้จาก จา� นวนของเลขโดดหลงั จุดทศนิยมทีไ่ ม่ซ�า้ เช่น 5) -76467 -11.31• 8•
22.. 17953เเขข413265))))) ))))))ยีีย นนทท5010(5140-322..5.ศศ.3.30234.•• 70.5•นน •..Ö8. 3 • 23 51+8 •1 •2•ิย ยิ 2 • 74•5 0• ม+ม 094-.•• 6 ซ .3ซ• 74 •22า้ำ• า้ำ . 3ตต.•7 • 8อ่อ่ • )ไไ ปป-นน456ใี้51ี้ใ-943323131.หห551789•4239943 76อ้อ้839 92×54039+45,ย29ย ,072ู่ใ9ใู่ 69792น-น72 7รร5132==ปููป7397เเ5 ศศ32+4=ษษ954×สส 39+่วว่ 32981นน345=5593 -29=9416 08246-597))))) 442=4579300--679...1029698 •8. 250399••=. 1845 •• -651•• 0264•1 679 1 =
( )
ถ้าหลังจุดทศนยิ มมจี า� นวนเลขโดดทไี่ ม่ซ้า� 1 ตวั จะมีเลขโดด 0 จา� นวน 1 ตวั ตอ่ จาก 9 -18-3-4434439956,,3590109297385109985
ถา้ หลงั จุดทศนิยมมีจ�านวนเลขโดดที่ไม่ซา�้ 2 ตวั จะมเี ลขโดด 0 จา� นวน 2 ตัว ต่อจาก 9 343
ถ้าหลังจุดทศนิยมมจี า� นวนเลขโดดทไี่ ม่ซ�า้ 3 ตวั จะมเี ลขโดด 0 จ�านวน 3 ตวั ต่อจาก 9
จ�านวนจริง 9
( ) 10 7) ค(ณ12ิต.ศ6า7ส ต÷ร ์3ช.้นั 2•ม) ัธÖย ม2ศ.5•ึก ษาปที 1่ี 22เ1ล60่ม701 ÷ 329 × 259 = 322,,970003 × 259 = 1021,94010
( ) ( ) ( ) 8) 2.8• 5• Ö 152 - 3 29895 × 152 - 3 = 29859 × -53 = -1111658
3. พจิ ารณาผลลพั ธ์ต่อไปน้ีวา่ เปน็ จำานวนอตรรกยะหรือไม่ เพราะเหตุใด
1) 13.67 - 9.02 ไมเ่ ปน็ จำ�นวนอตรรกยะ เพร�ะผลลพั ธ์ส�ม�รถเขียนในรปู เศษสว่ นได้ คือ 9203
2) 0.5• Ö 12 ไมเ่ ป็นจ�ำ นวนอตรรกยะ เพร�ะผลลัพธ์ส�ม�รถเขยี นในรูปเศษสว่ นได้ คอื 158
3) 3.1• 7• - 0.4 ไม่เป็นจ�ำ นวนอตรรกยะ เพร�ะผลลัพธส์ �ม�รถเขียนในรูปเศษส่วนได้ คือ 2439852
4) 2√2 + 3√2 เปน็ จ�ำ นวนอตรรกยะ เพร�ะผลลัพธ์ 5√2 ไมส่ �ม�รถเขียนในรูปเศษสว่ นได้
5) 0.12• 5• - 0.12125• ไม่เป็นจำ�นวนอตรรกยะ เพร�ะผลลพั ธส์ �ม�รถเขยี นในรปู เศษสว่ นได้ คือ 331,03,10090
60 คณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 2 เลม่ 1
9 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 3 ขนั้ ปฏบิ ตั ิ
St แหลละังสกราปุรปควฏาบิ มัตริู้
ผลลัพธท์ ่ีได้ต้องทา� เปน็ เศษสว่ นอย่างต�่า ตวั อยา่ งเช่น
12. นักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งที่เข้าใจเป็น เขียน 0.43521 ในรูปเศษส่วน
ความรรู้ ว่ มกนั ดงั น้ี วิธที ำ� 0.43521 = 4 3 ,9592,19 0-0 4 3 จ�านวนทอ่ี ยู่หลงั จุดทศนิยม
= 9439,,497080
1) จ�ำ นวนทส่ี ามารถเขยี นในรปู เศษสว่ น จ�านวนที่ไม่ใช่ทศนิยมซ�้า
หลงั จุดทศนยิ มมีจา� นวนเลขโดดซ�า้ 3 ตัว
aแbลโะดbยท≠่ี = 4219,,975309 หลังจุดทศนิยมมีจา� นวนเลขโดดทไ่ี ม่ซ้า� 2 ตัว
a และ b เป็นจำ�นวนเต็ม ดงั น้นั 0.43521 = 4291,,793590
0 เรยี กวา่ จำ�นวนตรรกยะ
2) การเขียนทศนิยมซํ้าให้อยู่ในรูป จากข้างต้น นกั เรียนสามารถตอบได้วา่ 0.78 = 9710 , 0.83 = 7905 , 1.47 = 19430
เศษสว่ นทำ�ได้ ดงั นี้ และ 3.243 = 3 924910
เขยี นแผนผังจ�านวนตรรกยะได ้ ดังนี้
• ทศนิยมซ้ํา ซึ่งซํ้าตั้งแต่ตำ�แหน่ง
ท่ีหน่ึงถึงตำ�แหน่งใดก็ตาม เม่ือเขียน
ให้อยู่ในรูปเศษส่วนจะได้ตัวเศษเป็น
ชุดของเลขโดดที่ซํ้ากันทั้งหมด และ จ�ำนวนตรรกยะ
ตัวส่วนประกอบด้วยตัวเลขโดด 9 จ�านวนเตม็ จา� นวนตรรกยะทีไ่ มใ่ ชจ่ า� นวนเต็ม
โดยมจี �ำ นวนเทา่ กบั จ�ำ นวนของตวั เลข จ�านวนเตม็ ลบ ศูนย์ จ�านวนเต็มบวก (เศษส่วน ทศนยิ มร้จู บ
ที่ซํ้ากันในหนึ่งชุด ทศนิยมไม่รจู้ บแบบซ้า� )
• ทศนิยมซ้ํา เม่ือเขียนให้อยู่ในรูป
เศษส่วนจะได้ตัวเศษซึ่งหาได้จาก
ผลตา่ งของจ�ำ นวนทอ่ี ยหู่ ลงั จดุ ทศนยิ ม ? นำ่ คิด-น่ำลอง
ลบด้วยจำ�นวนที่ไม่ใช่ทศนิยมซํ้า
ตัวส่วนประกอบด้วย 9 และ 0 โดย 1เข. ียนท0.ศ4.น5.ิย มซ้�าต ่อไป น้ใี นร ปู เศษ ส่วน 2. 032..162.433..54. 38..
จำ�นวนของ 9 เท่ากับจำ�นวนเลขโดด
ทซี่ ้ํา และจำ�นวนของ 0 เทา่ กบั จ�ำ นวน 3. 10..5473. 1 9. 4.
เลขโดดทไี่ ม่ซา้ํ 5. 6.
10 คณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 เลม่ 2
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
0.2¶4¶8 เขียนให้อยใู่ นรูปเศษสว่ นไดต้ ามขอ้ ใด
921451 0 912462915 (เฉลย 4 แนวคดิ 0.24¶¶8 ===== 14612912925464949491)5608609÷0ö- 266
1 2
3 4
ดังน้ัน 0.24¶¶8
สุดยอดคู่มือครู 10
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
St Step 4
แบบฝกึ หดั ที่ 1 ขนั้ สอ่ื สารและนำ� เสนอ
1. เขียนเศษส่วนตอ่ ไปนี้ในรปู ทศนิยม 2) 497 13. ผู้แทนนักเรียน 4-5 คน ออกมา
1) 341 4) 1531 นำ�เสนอผลงานหน้าชั้นเรียนพร้อม
3) - 1421 6) -430 อธิบายประกอบ โดยมีนักเรียนและครู
5) 2792 2) 0.4.37. รว่ มกนั ตรวจสอบความถูกต้อง
2. เขียนทศนยิ มซ�้าตอ่ ไปนใี้ นรูปเศษสว่ น 4) 0.64.
1) 0.2. 6) 0.67.8. 5ep ข้ันประเมินเพอ่ื เพ่ิมคุณคา่
3) 0.123.45. 8) 2.93. บรกิ ารสงั คม
5) 0.6.4. 10) 5.02.1. และจิตสาธารณะ
7) 0.214.3.
14. นักเรียนนำ�ความรู้ไปแนะนำ�เพื่อน
9) 3.4.7. ท่ียังไม่เข้าใจเก่ียวกับจำ�นวนตรรกยะ
ให้เกดิ ความเขา้ ใจย่ิงข้นึ
3. จ�านวนในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนเ้ี ป็นจ�านวนตรรกยะหรือไม่ เพราะเหตใุ ด
1) 5.1 2) -7.05.
3) 91 4) - 85
5) 4 6) -93
30.912 5.1.
7) 0 8)
9) 0.4.8. 10)
11) 61 + 72 12) - 2530 + 156
13) -5.7 × 0.3 14) 7.967 ÷ 3.1
4. แดง ดา� และขาว รับประทานอาหารกลางวนั รว่ มกัน ต้องจา่ ยคา่ อาหารกลางวนั มอื้ น้ีรวมกัน
เปน็ เงิน 247 บาท ถา้ ต้องเฉลย่ี จ่ายคนละเท่า ๆ กัน ตอบคา� ถามต่อไปนี้
1) แตล่ ะคนต้องจา่ ยเงินจา� นวนเท่าไร
2) ในทางปฏบิ ตั ิแตล่ ะคนจะจา่ ยเงนิ สดได้จริงตามจ�านวนในข้อ 1) หรือไม ่ เพราะเหตใุ ด
3) ทงั้ สามคนจะแก้ปัญหาอย่างไร
จา� นวนจริง 11
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
นักเรียนพิจารณาบัตรทศนิยมซ้ํา คนละ 1 บัตร แล้วนักเรียนเขียนแสดง
ทศนิยมซํ้านั้นในรูปเศษส่วนท้ัง 2 วิธี ลงในกระดาษเปล่า จากนั้นสลับผลงาน
กับเพ่ือน เพื่อร่วมกันตรวจสอบความถูกต้อง แล้วออกมานำ�เสนอผลงาน
หน้าชั้นเรียนพร้อมอธิบายประกอบ โดยมีนักเรียนและครูร่วมกันตรวจสอบว่า
วธิ ีท้งั 2 น้นั ได้ค�ำ ตอบเหมอื นกนั หรอื ไม่
11 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ตวั ช้ีวัด 2. จำ� นวนอตรรกยะ
ค 1.1 ม.2/2 จา� นวนจริงทีไ่ มใ่ ชจ่ �านวนตรรกยะ เรยี กวา่ จ�านวนอตรรกยะ เช่น π มคี ่าประมาณ 3.1415926...
หรอื ประมาณ 272
ภาระงาน/ชิ้นงาน
π = ความยาวของเสน้ รอบรูปวงกลม
จ�ำ นวนอตรรกยะ ความยาวของเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางของวงกลม
St St ep 1 ขั้นสงั เกต เสน้ ผา่ นศูนยก์ ลาง
รวบรวมข้อมลู ความยาวของเสน้ รอบรูปวงกลม
1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น π เป็นอัตราส่วนระหว่างความยาวของเส้นรอบรูปวงกลมกับความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง
โดยใช้ค�ำ ถามกระตนุ้ ความคิด ดงั น้ี ของวงกลม
• นักเรียนมีวิธีการหรือหลักการ ในสมัยโบราณมีผู้สามารถพิสูจน์ได้แล้วว่า ไม่อาจแทนค่า π ด้วยทศนิยมซ�้าหรือเศษส่วนได้
ในการตรวจสอบว่าจำ�นวนใดเป็น แต่สามารถหาจุดหรือค่าของ π บนเส้นจ�านวนได้ ถ้าก�าหนดวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 1 หน่วย
จำ�นวนอตรรกยะหรือไม่ อย่างไร สามารถวัดความยาวของเส้นรอบรปู วงกลมนบ้ี นเส้นจา� นวนได ้ โดยกลง้ิ วงกลมบนเสน้ จ�านวน ดงั รูป
2. นักเรยี นศกึ ษา จำ�นวนอตรรกยะ
ep 2 ขั้นคิดวเิ คราะห์ 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
และสรปุ ความรู้
3. นกั เรยี นพจิ ารณาบตั รภาพรปู สามเหลยี่ ม- ความยาวของเสน้ รอบรปู วงกลมทม่ี เี สน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางยาว 1 หนว่ ย บนเสน้ จา� นวนนเี้ ปน็ คา่ π ทมี่ คี า่
มมุ ฉาก ทม่ี คี วามยาวของดา้ นประกอบ- ประมาณ 3.142 หรอื ประมาณ 272
มุมฉากกำ�กับบนกระดาน แล้วผู้แทน รำกทสี่ องของจำ� นวนบำงจำ� นวน เปน็ จา� นวนทเี่ ขยี นแทนดว้ ยจา� นวนตรรกยะไมไ่ ด ้ แตส่ ามารถแสดง
นักเรียน 2 คน ออกมาร่วมกันหา ไดด้ ว้ ยจดุ บนเส้นจา� นวนเช่นเดยี วกบั คา่ π เชน่ √2, √3, √5, √6
ความยาวของด้านท่ีเหลือ นั่นคือ
ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก 12 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 เล่ม 2
จากน้ันใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ
นกั เรียน ดงั น้ี
A • นักเรียนใชห้ ลักการหรือวิธีใดในการหาความยาวของดา้ น AC
1
B1C (ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส)
• นักเรียนสามารถหาความยาวของด้าน AC เป็นจำ�นวนเต็ม ทศนิยมซ้ํา
หรือเศษส่วนได้หรอื ไม่ (ไม่สามารถหาได)้
• ถา้ หาความยาวของดา้ น AC ไปเรอ่ื ย ๆ จ�ำ นวนนนั้ จะมลี ักษณะอย่างไร
(เป็นทศนิยมทไ่ี มส่ ิน้ สุด โดยไม่สามารถเขียนในรูปทศนยิ มซํา้ หรือเศษส่วนได)้
• ความยาวของดา้ น AC เขียนเปน็ สญั ลักษณ์ได้อยา่ งไร (√2 )
• จ�ำ นวนทไ่ี มส่ ามารถเขยี นในรปู เศษสว่ นไดเ้ รยี กวา่ จ�ำ นวนใด(จ�ำ นวนอตรรกยะ)
สุดยอดคู่มือครู 12
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
พิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านสามด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC 1 หน่วย ep 2 ข้ันคิดวเิ คราะห์
โดยท่ีมีด้านประกอบมุมฉาก คือ AB และ BC ยาวด้านละ 1 หน่วย และด้านตรงข้ามมุมฉาก คือ AC
ยาว m หน่วย St และสรปุ ความรู้
m หนว่ ย C 4. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างของจำ�นวน
อตรรกยะเพ่ิมเติม 5-10 จำ�นวน
A 1 หนว่ ย จากทฤษฎบี ทของพที าโกรัส จะได้ โดยใช้การถาม-ตอบ ประกอบ
การอธบิ าย
AC2 = AB2 + BC2
1 หน่วย m2 = 12 + 12
m × m = 2 ตารางหนว่ ย
ซ่งึ นักเรยี นจะได้เรียนในหน่วยการเรยี นรู้
B ต่อไป
รปู สเี่ หลี่ยมจัตุรัสบนด้าน AC มพี น้ื ทเี่ ทา่ กับ m × m ซ่ึงเท่ากบั 2 ตารางหนว่ ย
นกั เรียนสามารถวดั ความยาวของ AC บนเส้นจา� นวนได ้ ดังรูป
C
m หนว่ ย
-1 A 1 หน่วย 1 B D 2
0
1.4 1.5
จากรูป ก�าหนดให้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC บนเส้นจ�านวนมี AB ยาว 1 หน่วย ให้ A เป็น
จุดศูนยก์ ลาง กางวงเวยี นรัศมี AC ยาว m หนว่ ย เขียนส่วนโคง้ ตัดเส้นจา� นวนท่จี ดุ D
จะได ้ AD = AC
ดังนั้น AD = m หนว่ ย
วัดความยาวของ AD จะพบว่า มีค่าประมาณ 1.41 แต่ถ้าขยายเส้นจ�านวนให้มีหน่วยละเอียดขึ้น
จะพบว่า จุด D อยรู่ ะหวา่ ง 1.4 และ 1.5 หนว่ ย
จา� นวนจรงิ 13
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ข้อใดเป็นจำ�นวนอตรรกยะ 027.2123123...
1 3 .14 2
3 0 .10203... 4
(เฉลย 3 แนวคิด ทศนยิ มทไี่ มส่ น้ิ สดุ ไม่สามารถเขยี นใหอ้ ยูใ่ นรปู เศษสว่ นทเ่ี ป็น
จำ�นวนเต็มทีต่ ัวสว่ นไมเ่ ท่ากบั ศูนย์ได้ ดงั นั้น 0.10203...
เปน็ จ�ำ นวนอตรรกยะ)
13 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ข้นั คดิ วเิ คราะห์
St
และสรุปความรู้
5. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น AD
โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ 0 1 1.4 1. 5 2
นักเรยี น ดงั นี้
m แทนความยาวของ AD โดยที ่ m2 = 2
• นักเรียนคิดว่าสามารถเขียนแสดง พิจารณาคา่ m ที่เป็นไปได้
จ�ำ นวนอตรรกยะดว้ ยจดุ บนเสน้ จ�ำ นวน ถา้ m = 1.41 จะได ้ m2 = 1.9881
ได้หรอื ไม่ (ได้) ถ้า m = 1.42 จะได ้ m2 = 2.0164
แต ่ m2 = 2 ดงั นนั้ 1.41 < m < 1.42
• จำ�นวนตรรกยะและจ�ำ นวน ถ้านักเรียนสมมุติค่า m ที่อยู่ระหว่าง 1.41 และ 1.42 ไปเรื่อย ๆ เพื่อให้ได้ m2 = 2 โดยใช้
อตรรกยะรวมกนั จะเปน็ จ�ำ นวนใด เครือ่ งค�านวณหรอื วธิ ใี ด ๆ กต็ าม จะพบวา่ คา่ m ตัวต่อไปเป็นทศนยิ มในตา� แหน่งท่ ี 3 และสามารถหา
(จ�ำ นวนจริง) ในลกั ษณะเดยี วกนั น้ีต่อไปได้ จะไดท้ ศนยิ มค่าของ m ไม่สนิ้ สดุ ดงั น้ี
1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 ...
ทศนิยมแบบน้ีไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษส่วน จึงไม่สามารถหาจ�านวนท่ีแทนค่า m ได้ด้วย
เศษส่วนใด ๆ จึงจา� เปน็ ต้องสรา้ งจา� นวนชนดิ ใหม่ขนึ้ มาเพ่อื ใช้แทน m โดยใชส้ ัญลักษณ ์ √2
m2 = 2 C
m = �√2
แต ่ m เป็นความยาวของด้านของ 2 หนว่ ย 1 หน่วย
รูปสามเหลี่ยมมมุ ฉากซึง่ ต้องเปน็ จา� นวนบวก
ดงั นัน้ m = √2 หนว่ ย A 1 หนว่ ย B
√2 อา่ นวา่ รากทส่ี องที่เปน็ บวกของ 2 ใชแ้ ทนจา� นวนบวกท่ยี กก�าลังสองแล้วได ้ 2
ดังน้ัน (√2)2 = 2
แต ่ (-√2)2 = 2
-√2 ใหเ้ ป็นรากที่สองทเ่ี ป็นลบของ 2 ใชแ้ ทนจ�านวนลบทีย่ กกา� ลังสองแลว้ ได้ 2
14 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 2 เลม่ 2
สุดยอดคู่มือครู 14
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
St ep 3 ข้ันปฏิบัติ
และสรปุ ความรู้
สามารถหาความยาวของ -√2 บนเสน้ จา� นวนไดเ้ ชน่ เดยี วกับ √2 หลงั การปฏบิ ัติ
12 21 6. นักเรียนทำ�ใบงาน จำ�นวนอตรรกยะ
จ า ก นั้ น ส ลั บ ผ ล ง า น กั บ เ พื่ อ น
เพ่อื ร่วมกนั ตรวจสอบและแก้ไข
-2 - 2 -1 2 0 2 1 2 2 พิจารณาว่าจำานวนท่ีกาำ หนดใหต้ อ่ ไปนี้เปน็ จำานวนตรรกยะหรอื จาำ นวนอตรรกยะ
โดยเขียนเครื่องหมาย ✓ ลงในชอ่ งว่าง พร้อมใหเ้ หตผุ ล
นอกจาก √2 และ -√2 แล้ว ยังมีจ�านวนอีกมากมายท่ีไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของ จ�ำ นวน จำ�นวน จำ�นวน เหตุผล
จ�านวนเตม็ 1. 4 ตรรกยะ อตรรกยะ
✓ จ�ำ นวนนบั เป็นจำ�นวนตรรกยะ
เชน่ 1) √3 รากทสี่ องที่เป็นบวกของ 3 2. -5 ✓ จำ�นวนเตม็ ลบเปน็ จ�ำ นวนตรรกยะ
-√3 รากทีส่ องทเ่ี ปน็ ลบของ 3 3. 0.009• ✓ เป็นทศนิยมซำ�้
(√3)2 = 3
(-√3)2 = 3 4. √11 ✓ ไมส่ �ม�รถเขียนในรปู เศษส่วนได้
2) √5 รากท่ีสองที่เปน็ บวกของ 5 5. -√5 ✓ ไมส่ �ม�รถเขยี นในรูปเศษส่วนได้
-√5 รากท่ีสองท่ีเป็นลบของ 5 6. - 28 ✓ -28 = -4 ซง่ึ เปน็ จำ�นวนตรรกยะ
(√5)2 = 5 7. -92 ✓ -92 = -81 ซึ่งเป็นจำ�นวนตรรกยะ
(-√5)2 = 5 ✓ ไมส่ �ม�รถเขยี นในรปู เศษส่วนได้
สามารถหาความยาวของ √3, √5 บนเสน้ จา� นวนได้เชน่ เดยี วกับ √2 8. √3 5
2. เขยี นทศนิยมซาำ้ ต่อไปนี้ให้อยู่ในรปู เศษสว่ น
7. นักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งท่ีเข้าใจเป็น 1) 0.75• 45-33142939437685403954,,70292775-18-3-4434439596,,3591090927385019958
11 1 2) 0.65•
23 2 3) 1.0• 8• 4) -0.345•
6) 0.92• 5 •
5 1 ความรรู้ ว่ มกัน ดงั นี้ 5) -0.15• 8) 3.2• 01•
10) -18.86• 04•
7) 43.374•
เ1ศ) ษจสำ�่วนนวนbaที่ไโมด่สยาทม่ี าaรถแเลขะียนbในเปร็ูนป 9) 53.249• 3 2•
จำ�นวนเต็ม และ b ≠ 0 เรียกว่า10 คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 เลม่ 1
1 จำ�นวนอตรรกยะ
2
3 5 2) จำ�นวนที่ไม่สามารถเขียนแทน
ได้ด้วยเศษส่วนของจำ�นวนเต็มหรือ
ทศนิยมซ้ําจำ�เป็นต้องสร้างจำ�นวน
จา� นวนจรงิ 15 ชนดิ ใหมข่ นึ้ มา โดยใช้สญั ลกั ษณ์ √
เช่น √2 และ √3
เสริมความรู้ ครูควรสอน
เราสามารถหา √3 , √5 , √7 ดว้ ยจุดบนเส้นจ�ำ นวนไดเ้ ช่นเดียวกับ √2 ดงั น้ี
11 1
1
52 3 2
1 235
15 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
St Step 4
ขน้ั สอ่ื สารและนำ� เสนอ จ�ำนวนตรรกยะและจ�ำนวนอตรรกยะรวมเรยี กว่ำ จ�ำนวนจรงิ
เขยี นแผนผังแสดงโครงสร้างของจา� นวนจรงิ ได้ ดงั นี้
8. ผแู้ ทนนกั เรยี น 4-5 คน ออกมาน�ำ เสนอ
ผลงานหน้าชั้นเรียนพร้อมอธิบาย จ�ำนวนจริง
ประกอบ โดยมีนักเรยี นและครรู ่วมกนั
ตรวจสอบความถกู ต้อง จา� นวนตรรกยะ จา� นวนอตรรกยะ
5ep ขัน้ ประเมินเพื่อเพ่ิมคณุ คา่ จา� นวนเตม็ จา� นวนตรรกยะทไ่ี ม่ใชจ่ า� นวนเตม็
บรกิ ารสังคม
และจติ สาธารณะ จา� นวนเตม็ ลบ ศูนย์ จา� นวนเต็มบวก
9. นักเรียนนำ�ความรู้ไปแนะนำ�เพื่อน แบบฝึกหดั ท่ี 2
ทยี่ งั ไมเ่ ขา้ ใจเกย่ี วกบั จ�ำ นวนอตรรกยะ
ใหเ้ กดิ ความเขา้ ใจยง่ิ ขน้ึ 1. จา� นวนต่อไปน้ีจา� นวนใดเป็นจา� นวนตรรกยะ จ�านวนใดเปน็ จ�านวนอตรรกยะ เพราะเหตใุ ด
1) 0 2) 3.789789...
3) 1.010110111... 4) 6.6161161116...
5) -0.3737... 6) √2732
7) 3.414 8)
2. ขอ้ ความในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนเี้ ป็นจรงิ หรอื เทจ็
1) 1.3434... เป็นจา� นวนตรรกยะ
2) 0.7676676667... เป็นจา� นวนตรรกยะ
3) 0 เป็นจา� นวนตรรกยะ
4) จา� นวนทเี่ ขยี นได้ในรปู ทศนิยมซา�้ เป็นจา� นวนอตรรกยะ
5) -83 เป็นจ�านวนอตรรกยะ
6) 1.732 เป็นจา� นวนตรรกยะ
7) มีจ�านวนตรรกยะบางจา� นวนเป็นจา� นวนอตรรกยะ
8) จ�านวนตรรกยะบวกจ�านวนตรรกยะเป็นจ�านวนตรรกยะ
9) ถา้ จา� นวนจรงิ ใด ๆ เป็นจ�านวนตรรกยะแล้ว จา� นวนน้ันต้องไมเ่ ป็นจ�านวนอตรรกยะ
10) จ�านวนเตม็ ลบทีม่ ากท่สี ุด คอื -1
16 คณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2 เล่ม 2
เสริมความรู้ ครูควรสอน
แจำ�ลนะวbนท≠่ีส0ามเราียรถกเวขา่ ียจน�ำ ในหว้อนยตู่ในรรรกูปยเศะษแสล่วะนจำ�นbaวโนดทย่ไี ทมี่่ใaช่จแำ�ลนะวนbตเรปร็นกจยำ�ะนเวรนียเกตว็มา่
จำ�นวนอตรรกยะ
สุดยอดคู่มือครู 16
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
3. รำกที่สอง ตัวชีว้ ัด
พจิ ารณารปู สามเหล่ยี มมมุ ฉากตอ่ ไปนี้ ค 1.1 ม.2/2
A ภาระงาน/ชิ้นงาน
2 สมบัติของรากท่สี อง
B3 C ep 1 ขัน้ สงั เกต
จากรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก ABC จะได้ว่า St St รวบรวมข้อมูล
AC2 = AB2 + BC2
= 22 + 32 1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
= 4 + 9 โดยใชค้ ำ�ถามกระต้นุ ความคดิ ดังน้ี
= 13
เนื่องจากความยาวตอ้ งเป็นจา� นวนบวกเสมอ • นกั เรียนจะนำ�ความร้เู รอ่ื ง
ดังน้นั AC = √13 รากที่สอง ไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา
เรยี ก √13 ว่า รากทสี่ องทเ่ี ป็นบวกของ 13 ในเรื่องใดไดบ้ ้าง
2. นกั เรยี นศึกษา รากทสี่ อง
บทนิยำม
ep 2 ขั้นคดิ วิเคราะห์
ให้ a เป็นจา� นวนจรงิ บวกใด ๆ หรือศนู ย ์ รากที่สองของ a คอื จา� นวนจรงิ ท่ียกกา� ลงั สอง
แล้วได ้ a และสรปุ ความรู้
นักเรยี นพิจารณาตวั อยา่ งตอ่ ไปนี้ 3. นกั เรยี นพจิ ารณาบตั รภาพรปู สามเหลยี่ ม-
1. 62 = 36 และ (-6)2 = 36 มมุ ฉาก ทม่ี คี วามยาวของดา้ นประกอบ-
รากท่ีสองของ 36 คอื 6 และ -6 มุมฉากกำ�กับบนกระดาน แล้วผู้แทน
6 เปน็ รากทส่ี องท่ีเปน็ บวกของ 36 นักเรียน 1 คน ออกมาแสดงวิธีการ
-6 เป็นรากทส่ี องทเ่ี ปน็ ลบของ 36 หาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
จากนั้นใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ
2. 112 = 121 และ (-11)2 = 121 นักเรียน ดังนี้
รากท่สี องของ 121 คือ 11 และ -11
11 เป็นรากทีส่ องที่เป็นบวกของ 121
-11 เปน็ รากท่สี องทเี่ ปน็ ลบของ 121
จ�านวนจริง 17
• นกั เรยี นใช้หลักการหรือวิธีใดในการหาความยาวของดา้ น AC A
(ทฤษฎีบทพที าโกรัส) 2
• จำ�นวนใดทย่ี กก�ำ ลังสองแลว้ ได้เทา่ กับ 8 (√8) B2C
• นอกจาก √8 แลว้ ยงั มีจ�ำ นวนอน่ื อีกหรอื ไม่ ถ้ามี คอื จ�ำ นวนใด
(มี จำ�นวนนนั้ คอื - √8 )
• เรยี กจำ�นวนที่ยกกำ�ลังสองแล้วได้เท่ากับ 8 วา่ จำ�นวนใด
(รากทีส่ องของ 8)
17 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขน้ั คิดวเิ คราะห์
St ( ) ( )3. 12 2 = 41 และ -12 2 = 14
และสรุปความรู้
4. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น รากท่ีสองของ 14 คือ 12 และ -21
โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ -2112 เเปป็็นนรราากกทท่ส่ีีสอองงททเีเ่ี่ ปปน็็นลบบวกขขออง ง14 41
นักเรยี น ดังนี้
• จำ�นวนใดที่ยกกำ�ลังสองแล้วได้
เท่ากบั a (√a และ - √a) 4. (0.5)2 = 0.25 และ (-0.5)2 = 0.25
รากท่สี องของ 0.25 คอื 0.5 และ -0.5
0.5 เปน็ รากที่สองทีเ่ ปน็ บวกของ 0.25
• เรียกจำ�นวนท่ียกกำ�ลังสองแล้วได้ -0.5 เป็นรากท่ีสองที่เปน็ ลบของ 0.25
เท่ากบั a ว่าจำ�นวนใด (รากทสี่ องของa) บทนิยำม
5. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างรากท่ีสอง ถ้า a เป็นจ�านวนจรงิ บวก รากท่สี องของ a มสี องราก คือ
ท่ีเป็นจ�ำ นวนบวก และรากท่ีสองที่เป็น รากที่สองทเ่ี ปน็ จา� นวนบวกของ a ซ่งึ แทนด้วยสัญลักษณ ์ √a
จ�ำ นวนลบของจำ�นวนเตม็ 2-3 จำ�นวน รากที่สองที่เปน็ จ�านวนลบของ a ซ่งึ แทนดว้ ยสัญลักษณ ์ -√a
โดยใช้การถาม-ตอบ ประกอบ
การอธบิ าย จากบทนยิ าม จะได ้ (√a )2 = a และ (-√a )2 = a
จากบทนิยาม สามารถเขยี นแทนรากทสี่ องของ 36 ดว้ ย √36 และ -√36
จะได ้ √36 = √6 × 6 = 6
6. นักเรียนพิจารณาจำ�นวน 6 จำ�นวน -√36 = -√6 × 6 = -6
บนกระดานแลว้ ผแู้ ทนนกั เรยี นทลี ะคน
ออกมาเขียนว่าจำ�นวนดังกล่าวนั้น 1ตัวอยา่ งท่ี + --
เป็นรากที่สองของจำ�นวนใด พร้อมทั้ง
อธิบายประกอบ โดยมนี กั เรียนและครู หารากที่สองของจา� นวนต่อไปน้ี
รว่ มกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง 1) 225 2) 361
3) 0.0036 4) 225896
1) 225
วิธีทำ� 225 = 15 × 15
รากท่ีสองของ 225 คือ
√225 = √15 × 15
= 15
และ -√225 = -√15 × 15
= -15
ดังนน้ั รากทสี่ องของ 225 คือ 15 และ -15
18 คณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 2 เล่ม 2
เสริมความรู้ ครูควรสอน
ถา้ a = 0 แล้วรากทส่ี องของ a จะมีเพยี งจำ�นวนเดยี ว คอื 0 เน่ืองจาก 02 = 0
ถ้า a > 0 รากทส่ี องของ a
จะมี 2 จำ�นวน
รากทส่ี องทีเ่ ปน็ จ�ำ นวนบวกของ a รากทสี่ องทีเ่ ป็นจ�ำ นวนลบของ a
เขยี นแทนดว้ ย √a เขยี นแทนด้วย –√a
สุดยอดคู่มือครู 18
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
ep 2 ข้ันคดิ วิเคราะห์St
2) 361 และสรุปความรู้
วธิ ีทำ� 361 = 19 × 19 7. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการหา
รากท่สี องของ 361 คือ รากทสี่ องของจ�ำ นวนโดยการน�ำ จ�ำ นวน
√361 = √19 × 19 ท่ียกกำ�ลังสองแล้วได้จ�ำ นวนน้ัน โดยใช้
= 19 การถาม-ตอบ ประกอบการอธิบาย
และ -√361 = -√19 × 19
= -19 8. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
ดงั นนั้ รากทส่ี องของ 361 คือ 19 และ -19 โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ
นกั เรียน ดังนี้
3) 0.0036
• นกั เรยี นคดิ วา่ หากจ�ำ นวนทตี่ อ้ งการ
วธิ ที ำ� 0.0036 = 0.06 × 0.06 หารากท่ีสองเป็นจำ�นวนที่มีค่ามาก ๆ
รากท่ีสองของ 0.0036 คือ นักเรียนจะสามารถหารากท่ีสองของ
จำ�นวนน้ันได้อย่างถูกต้องและรวดเร็ว
√0.0036 = √0.06 × 0.06 หรือไม่
= 0.06 (ไม่สามารถหารากท่ีสองของจำ�นวนนั้น
และ -√0.0036 = -√0.06 × 0.06 ได้อยา่ งถูกตอ้ งและรวดเร็ว)
= -0.06
ดงั น้นั รากทส่ี องของ 0.0036 คอื 0.06 และ -0.06
4) 228596
วธิ ีท�ำ 228596 = 1176 ×× 1176
รากท่สี องของ 225896 คอื
228569 = 1176 ×× 1167
11117616
=
=
และ - 225896 = - 1176 ×× 1167
ดังนน้ั ร าก ที่สองของ 22==85 96 ค--ือ1111 76116 1 1 6 แล ะ -1 116
จ�านวนจริง 19
เสริมความรู้ ครูควรสอน
รากทสี่ องของจ�ำ นวนจรงิ บวก จะเปน็ จ�ำ นวนตรรกยะหรอื จ�ำ นวนอตรรกยะกไ็ ด้
อยา่ งใดอย่างหน่ึง
19 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
ep 2 บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
St ข้นั คิดวิเคราะห์
และสรปุ ความรู้
ส�าหรับการหารากที่สองของจ�านวนที่มีค่ามาก ๆ สามารถใช้การแยกตัวประกอบหรือหาจ�านวน
9. นกั เรยี นพจิ ารณาจ�ำ นวน 441 บนกระดาน มาหาร เพอ่ื จัดให้อยู่ในรูปของจ�านวนทีย่ กก�าลังสองแล้วไดเ้ ทา่ กบั จา� นวนทนี่ า� มาหารากทส่ี อง ดงั ตัวอยา่ ง
จากนั้นผู้แทนนักเรียน 2 คน ออกมา ต่อไปน้ี
2ตวั อยา่ งท่ี + --
ร่วมกันแยกตัวประกอบของ 441 โดย หารากท่ีสองของจา� นวนตอ่ ไปน้ี
วิธีการหาร โดยมีนักเรียนและครู 1) 1,296 2) 8,649
3) 11,025 4) 48,400
ร่ ว ม กั น ต ร ว จ ส อ บ ค ว า ม ถู ก ต้ อ ง
1) 1,296
ดังตัวอย่าง วิธีทำ� หาจ�านวนทีน่ า� มาหาร 1,296 จะได้
3 441 441 = 3 Ö 3 Ö 7 Ö 7 4 1,296
3 147 = 3 Ö 7 Ö 3 Ö 7 4 324
9 81
7 49 = 21 Ö 21 9
7 1,296 = 4 × 4 × 9 × 9
= 4 × 9 × 4 × 9
จากน้ันใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ = 36 × 36
นกั เรียน ดงั น้ี รากทีส่ องของ 1,296 คือ √1,296 = √36 × 36 = 36
และ -√1,296 = -√36 × 36 = -36
• จำ�นวน 441 แยกตวั ประกอบ ดงั นัน้ รากทสี่ องของ 1,296 คือ 36 และ -36
ได้อยา่ งไร 2) 8,649
(441 = 3 Ö3 Ö7Ö7) วิธที ำ� หาจา� นวนท่นี �ามาหาร 8,649 จะได้
• 3 Ö 3 Ö 7 Ö 7 จัดใหอ้ ยใู่ นรปู ของ 3 8,649
3 2,883
จำ�นวนท่ียกกำ�ลังสองแล้วได้เท่ากับ 31 961
441 ไดอ้ ยา่ งไร 31
(441 = 3 Ö 3 Ö7Ö7 8,649 = 3 × 3 × 31 × 31
= 3 Ö7 Ö3 Ö7 = 3 × 31 × 3 × 31
= 93 × 93
= 21 Ö 21) รากทส่ี องของ 8,649 คือ √8,649 = √93 × 93 = 93
• รากท่ีสองท่ีเป็นจำ�นวนบวกของ และ -√8,649 = -√93 × 93 = -93
ดังนน้ั รากทส่ี องของ 8,649 คือ 93 และ -93
441 เป็นจำ�นวนใด
(√441 = √21 Ö 21 = 21) 20 คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 2 เล่ม 2
• รากท่ีสองทเี่ ปน็ จ�ำ นวนลบของ 441
เป็นจ�ำ นวนใด • การหารากทส่ี องโดยวธิ กี ารแยกตวั ประกอบสามารถทำ�ได้อยา่ งไร
(-√441 = -√21 Ö 21 = -21) (ทำ�ได้โดยเขียนจำ�นวนท่ีต้องการหารากท่ีสองให้อยู่ในรูปการคูณกันของจำ�นวนเฉพาะ
จากน้ันหาจำ�นวนเฉพาะหรือผลคูณของจำ�นวนเฉพาะที่ยกกำ�ลังสองแล้วได้เท่ากับจำ�นวน
ที่ต้องการหารากท่ีสอง จะได้ว่าจำ�นวนเฉพาะหรือผลคูณของจำ�นวนเฉพาะเป็นรากที่สอง
ของจำ�นวนนั้น ๆ)
สุดยอดคู่มือครู 20
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
ep 2 ขัน้ คดิ วเิ คราะห์St
3) 11,025 และสรปุ ความรู้
วิธที ำ� หาจ�านวนทน่ี า� มาหาร 11,025 จะได้
5 11,025 10. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการหา
5 2,205 รากท่ีสองของจำ�นวนโดยใช้การ
21 441 แยกตัวประกอบ 4 จำ�นวน โดยใช้
21 การถาม-ตอบ ประกอบการอธบิ าย
11,025 = 5 × 5 × 21 × 21
= 5 × 21 × 5 × 21
= 105 × 105
รากทีส่ องของ 11,025 คอื √11,025 = √105 × 105 = 105
และ -√11,025 = -√105 × 105 = -105
ดังนัน้ รากที่สองของ 11,025 คือ 105 และ -105
4) 48,400
วธิ ีท�ำ หาจา� นวนทน่ี �ามาหาร 48,400 จะได ้
2 48,400
2 24,200
11 12,100
11 1,100
10 100
10
48,400 = 2 × 2 × 11 × 11 × 10 × 10
= 2 × 10 × 11 × 2 × 10 × 11
= 220 × 220
รากที่สองของ 48,400 คอื √48,400 = √220 × 220 = 220
และ -√48,400 = -√220 × 220 = -220
ดงั นน้ั รากที่สองของ 48,400 คือ 220 และ -220
จา� นวนจรงิ 21
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
นักเรยี นแต่ละคนเขยี นโจทยเ์ ก่ยี วกบั การหาคา่ รากท่ีสอง โดยทำ�เป็นสลากโจทย์
แล้วนำ�ไปใส่ในกล่อง จากน้ันนักเรียนทีละคนออกมาหยิบสลากโจทย์คนละ
1 ข้อ แล้วแสดงวิธีการหาคำ�ตอบตามวิธีท่ีตนเองถนัดมากท่ีสุดพร้อมอธิบาย
ประกอบ ท�ำ เชน่ นจ้ี นครบตามจ�ำ นวนขอ้ โดยมนี กั เรยี นและครรู ว่ มกนั ตรวจสอบ
ความถกู ตอ้ ง
21 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขัน้ คิดวิเคราะห์
St
และสรุปความรู้
จ�านวนบางจ�านวนไม่สามารถหาจ�านวนตรรกยะที่ยกก�าลังสองแล้วได้เท่ากับจ�านวนท่ีน�ามาหา
รากที่สอง ดงั ตวั อยา่ งต่อไปนี้
11. นักเรียนพิจารณาจำ�นวนท่ีไม่สามารถ
หาจ�ำ นวนทยี่ กก�ำ ลงั สองแลว้ ไดเ้ ทา่ กบั 3ตวั อยา่ งท่ี + --
จำ�นวนนั้น เช่น 0.05, 11, 15
บนกระดาน จากนนั้ ใชค้ ำ�ถามกระต้นุ หารากทสี่ องของจา� นวนต่อไปน้ี
ความคิดของนักเรยี น ดงั นี้ 1) 0.02 2) 5 3) 163
1) 0.02
• รากทีส่ องของ 0.05 หาได้อย่างไร วธิ ีทำ� เนือ่ งจากไม่มที ศนยิ มซา�้ ใดทีย่ กกา� ลังสองแลว้ ได้เทา่ กบั 0.02
รากท่ีสองของ 0.02 คอื √0.02 และ -√0.02
(ไมส่ ามารถหาทศนยิ มทยี่ กก�ำ ลงั สองแลว้ ดังน้ัน รากท่สี องของ 0.02 คอื √0.02 และ -√0.02
ได้เท่ากับ 0.05 จึงเขียนแทนรากท่ีสอง 2) 5
วธิ ที ำ� เน่ืองจากไมม่ จี �านวนเตม็ หรือจ�านวนตรรกยะใดท่ียกกา� ลงั สองแลว้ ได้เทา่ กับ 5
ของ 0.05 คอื √0.05 และ -√0.05) รากท่ีสองของ 5 คอื √5 และ -√5
• รากที่สองของ 11 หาได้อย่างไร
ดงั น้ัน รากที่สองของ 5 คือ √5 และ -√5
(ไม่สามารถหาทศนิยมที่ยกกำ�ลังสอง
3) 163 163
แล้วได้เท่ากับ 11 จึงเขียนแทนรากที่สอง วธิ ีทำ� เนอ่ื งจากไมม่ เี ศษส่วนหรอื จา� นวนตรรกยะใดทยี่ กก�าลังสองแล้วได้เทา่ กบั
ของ 11 คือ √11 และ -√11) รากทส่ี องของ 163 คอื 163 และ - 163
• รากท่ีสองของ 15 หาได้อย่างไร ดงั น้นั รากทส่ี องของ 163 คือ 163 และ - 163
(ไม่สามารถหาทศนิยมที่ยกกำ�ลังสอง
แล้วได้เท่ากับ 15 จึงเขียนแทนรากท่ีสอง ในการหารากที่สองของจ�านวนจริงท่ีไม่สามารถหาจ�านวนตรรกยะที่ยกก�าลังสองแล้วได้เท่ากับ
ของ 15 คอื √15 และ -√15) จ�านวนท่ีน�ามาหารากท่ีสองนั้น สามารถหาค่ารากที่สองโดยการประมาณ การเปิดตาราง และการใช้
เครอื่ งคา� นวณ ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปนี้
22 คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 เล่ม 2
สุดยอดคู่มือครู 22
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
4ตวั อยา่ งที่ + -- Step 2 ขนั้ คดิ วิเคราะห์
และสรุปความรู้
หารากทส่ี องทเ่ี ปน็ บวกของจ�านวนตอ่ ไปน ้ี โดยการประมาณ 12. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
(ตอบเป็นทศนิยมสองตา� แหนง่ ) โดยใช้ค�ำ ถามกระตุ้นความคดิ ดงั นี้
1) 5 2) 8 3) 378
• นักเรียนจะมีวิธีการหาค่าของ
1) 5 จำ � น ว น ที่ ไ ม่ ส า ม า ร ถ ห า จำ � น ว น ที่
วธิ ีทำ� หาค่า x ท ี่ x2 = 5 ยกกำ�ลังสองแล้วได้เท่ากับจำ�นวนน้ัน
จะได ้ (√5 )2 = 5 ไดอ้ ย่างไร
เน่อื งจาก 22 = 4 และ 32 = 9
ดงั นัน้ 2 < √5 < 3 (หารากท่ีสองของจ�ำ นวนน้ัน
ประมาณ √5 เป็นทศนิยมหนง่ึ ต�าแหนง่ โดยการประมาณ การเปดิ ตาราง
จะได ้ (2.1)2 = 4.41 หรือการใช้เครอ่ื งค�ำ นวณ)
(2.2)2 = 4.84
(2.3)2 = 5.29
ดังนนั้ 2.2 < √5 < 2.3
ประมาณ √5 เปน็ ทศนิยมสองต�าแหน่ง ซึ่งอยู่ระหว่าง 2.2 กับ 2.3
จะได้ (2.22)2 = 4.9284
(2.23)2 = 4.9729
(2.24)2 = 5.0176
ดงั นั้น √5 อย่รู ะหว่าง 2.23 กับ 2.24
พิจารณา 5 - 4.9729 = 0.0271
5.0176 - 5 = 0.0176
0.0176 < 0.0271
แสดงวา่ √5 อยูใ่ กล้ 2.24 มากกวา่ 2.23
ดงั นั้น √5 ≈ 2.24
จา� นวนจรงิ 23 23 สุดยอดคู่มือครู
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
นกั เรยี นพิจารณาแถบโจทย์เกีย่ วกับการหาค่ารากทส่ี องบนกระดาน ดังนี้
√52 √(-17)2 -√1112 √(-121)2
√(-1.5)2 √x4 √(35.04)2 √a8b10
นกั เรียนจบั คู่กบั เพอ่ื น คดั ลอกโจทยแ์ ละแสดงวธิ กี ารหาคำ�ตอบลงในกระดาษเปล่า
จากน้นั ผูแ้ ทนนักเรียนทลี ะคอู่ อกมารว่ มกันแสดงวธิ ีการหาค�ำ ตอบหน้าชัน้ เรยี น
พร้อมอธิบายประกอบ ทำ�เช่นน้ีจนครบตามจำ�นวนข้อท้ังหมด โดยมีนักเรียน
และครูรว่ มกนั ตรวจสอบความถกู ต้อง
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขน้ั คดิ วิเคราะห์
St
และสรปุ ความรู้ 2) 8
วิธีทำ� หาคา่ x ท่ ี x2 = 8
13. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการหา จะได ้ (√8)2 = 8
เนอื่ งจาก 22 = 4 และ 32 = 9
รากทสี่ องของจ�ำ นวนโดยการประมาณ ดังน้นั 2 < √8 < 3
2-3 จำ�นวน โดยใช้การถาม-ตอบ ประมาณ √8 เปน็ ทศนยิ มหนึง่ ตา� แหนง่
ประกอบการอธบิ าย จะได้ (2.7)2 = 7.29
(2.8)2 = 7.84
(2.9)2 = 8.41
ดงั นั้น 2.8 < √8 < 2.9
ประมาณ √8 เปน็ ทศนิยมสองตา� แหนง่ ซงึ่ อย่รู ะหว่าง 2.8 กับ 2.9
จะได ้ (2.81)2 = 7.8961
(2.82)2 = 7.9524
(2.83)2 = 8.0089
ดงั น้ัน √8 อย่รู ะหวา่ ง 2.82 กบั 2.83
พิจารณา 8 - 7.9524 = 0.0476
8.0089 - 8 = 0.0089
0.0089 < 0.0476
แสดงว่า √8 อยู่ใกล้ 2.83 มากกว่า 2.82
ดงั นั้น √8 ≈ 2.83
24 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 2 เลม่ 2
สุดยอดคู่มือครู 24
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
ep 2 ขั้นคิดวิเคราะห์St
3) 378 และสรุปความรู้
วธิ ที �ำ หาคา่ x ที ่ x2 = 378
จะได้ (√378)2 = 378 14. นักเรียนพิจารณาจำ�นวน 2 จำ�นวน
เนื่องจาก 192 = 361 และ 202 = 400 บนกระดาน แล้วผู้แทนนักเรียนทีละ
2 คน ออกมาแสดงวธิ กี ารหารากทส่ี อง
ดังนนั้ 19 < √378 < 20 ของจำ�นวน โดยการประมาณเป็น
ประมาณ √378 เป็นทศนิยมหนึง่ ต�าแหนง่ ทศนยิ ม 1 ต�ำ แหนง่ และประมาณเปน็
จะได ้ (19.3)2 = 372.49 ทศนิยม 2 ต�ำ แหนง่ พรอ้ มทง้ั อธบิ าย
(19.4)2 = 376.36 ประกอบ โดยมีนักเรียนและครู
(19.5)2 = 380.25 ร่วมกนั ตรวจสอบความถกู ต้อง
ดงั น้ัน 19.4 < √378 < 19.5 15. นกั เรยี นรว่ มกนั แสดงความคดิ เหน็ วา่
ประมาณ √378 เปน็ ทศนยิ มสองตา� แหน่ง ซงึ่ อยู่ระหว่าง 19.4 กบั 19.5 การหารากที่สอง โดยการประมาณ
จะได ้ (19.43)2 = 377.5249 มขี ้อเสยี อย่างไร
(19.44)2 = 377.9136 (ตอ้ งทําหลายขนั้ ตอน ทําใหใ้ ชเ้ วลานาน)
(19.45)2 = 378.3025
ดงั นัน้ √378 อยู่ระหว่าง 19.44 กับ 19.45
พจิ ารณา 378 - 377.9136 = 0.0864
378.3025 - 378 = 0.3025
0.0864 < 0.3025
แสดงวา่ √378 อย่ใู กล้ 19.44 มากกว่า 19.45
ดังน้ัน √378 ≈ 19.44
จากตัวอย่างท่ี 4 จะเห็นว่าการหารากท่ีสองโดยการประมาณต้องท�าหลายข้ันตอน ใช้เวลามาก
วิธีหารากที่สองที่สะดวกและรวดเร็วกว่าการประมาณ คือ การเปิดตารางและการใช้เครื่องค�านวณ
ดังน้ี
จ�านวนจรงิ 25 25 สุดยอดคู่มือครู
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ขอ้ ใดกล่าวถกู ตอ้ ง
1 รากท่สี องของ 3 คอื 9 และ -9 2 รากที่สองของ 7 คอื 49 และ -49
3 รากที่สองของ 16 คอื 8 และ -8 4 รากที่สองของ 25 คือ 5 และ -5
(เฉลย 4 แนวคดิ รากทสี่ องของ 25 คือ
√25 = √5 Ö 5 = 5
และ -√25 = -√5 Ö 5 = -5
ดงั นนั้ รากที่สองของ 25 คือ 5 และ -5)
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขน้ั คิดวเิ คราะห์
St
และสรุปความรู้
กำรหำรำกที่สองโดยกำรเปิดตำรำงและกำรใช้เครือ่ งคำ� นวณ
กำรหำรำกท่สี องจำกตำรำงรำกท่ีสอง
16. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการหา วธิ หี น่ึงในการหารากทีส่ องของจ�านวนเตม็ ที่สะดวกและรวดเรว็ คอื การเปิดตาราง
ตัวอยำ่ ง ตารางแสดงรากท่ีสองทีเ่ ป็นจ�านวนบวก มีดงั น ้ี (ดูตารางในภาคผนวกท้ายเลม่ )
รากทส่ี องของจ�ำ นวนโดยการเปดิ ตาราง
n... n...2 √...n
2-3 จำ�นวน โดยใช้การถาม-ตอบ
ประกอบการอธิบาย 21 441 4.583
22 484 4.690
23 529 4.796
24 576 4.899
2...5 62...5 5.0...00
จากตาราง เมอ่ื ค่าของ √n ไม่เปน็ จา� นวนเต็ม คา่ ทแ่ี สดงไวใ้ นช่อง √n จะเปน็ คา่ ประมาณของ
จา� นวนอตรรกยะ
1ตวั อยา่ งท่ี + --
หาค่าของ 222 และ 232
วธิ ีทำ� จากตาราง ท ี่ n = 22 จะได ้ 222 = 484
ดังนน้ั 222 = 484
จากตาราง ท่ี n = 23 จะได ้ 232 = 529
ดงั นนั้ 232 = 529
2ตัวอยา่ งที่ + --
หาค่าของ √21, √24 และ √25
วธิ ีท�ำ จากตาราง ที ่ n = 21 จะได้ √21 ≈ 4.583
ดังนั้น √21 ≈ 4.583
จากตาราง ท ี่ n = 24 จะได้ √24 ≈ 4.899
ดังนนั้ √24 ≈ 4.899
จากตาราง ท ี่ n = 25 จะได ้ √25 = 5.000
ดงั นนั้ √25 = 5.000 หรือ √25 = 5
26 คณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 2 เลม่ 2
สุดยอดคู่มือครู 26 เสริมความรู้ ครูควรสอน
การใชต้ ารางหาคา่ รากทสี่ องของ a เม่อื a เปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวก สามารถท�ำ ได้ ดงั น้ี
1. ถา้ 1 a 100 ให้ทำ�ดงั นี้
• หาค่า n ในชอ่ งแรกของตารางโดยท่ี n = 2
• หาคา่ √n ในชอ่ งทสี่ องตรงกับค่าบวกของ n ในชอ่ งแรก คา่ ทไี่ ด้จะเป็น
คา่ รากท่ีสองที่เป็นบวกของ a
2. ถา้ a > 100 ใหท้ �ำ ดังน้ี
• พจิ ารณาชอ่ งท่ีสอง หาคา่ n2 ซง่ึ n2 = a
• คา่ ของ n ในช่องแรกจะเป็นรากทีส่ องทีเ่ ปน็ บวกของ a
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
3ตัวอย่างท่ี + -- Step 2 ขนั้ คิดวเิ คราะห์
และสรปุ ความรู้
หาค่าของ n เมอ่ื 17. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
1) √n ≈ 4.796 2) √n ≈ 4.690 โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ
นกั เรียน ดงั นี้
วิธที �ำ 1) จากตาราง ท่ี √23 ≈ 4.796 ได้จาก แทน n = 23 ใน √n
ดังนนั้ n = 23 • การหารากที่สองโดยการเปิด
2) จากตาราง ท ี่ √22 ≈ 4.690 ได้จาก แทน n = 22 ใน √n ตาราง มีวิธกี ารอย่างไร
ดงั นัน้ n = 22
(แทนคา่ ของจ�ำ นวนทต่ี อ้ งการหารากทส่ี อง
4ตัวอย่างท่ี + -- ได้จาก แทน n = 25 ใน n2
ลงในตาราง n, √n หรือ n2 แล้วจึงอ่าน
หาคา่ ของ n เมอื่ n2 = 625
คา่ ที่ไดต้ ามตาราง)
วธิ ีท�ำ จากตาราง ที ่ 252 = 625 18. นักเรียนร่วมกันอภิปราย และสรุปว่า
ดงั น้นั n = 25
การหารากท่ีสอง โดยการเปิดตาราง
5ตวั อยา่ งที่ + -- ทําได้ง่าย แต่ไม่สามารถใช้หาราก
ทส่ี องของจาํ นวนจรงิ บวกไดท้ กุ จาํ นวน
หาค่าประมาณของ √n เมือ่ n2 = 441 แ ล ะ ไ ม่ ส า ม า ร ถ ห า เ ป็ น ท ศ นิ ย ม
หลายตาํ แหน่งไดต้ ามตอ้ งการ
วิธที �ำ จากตาราง ท่ี 212 = 441 ได้จาก แทน n = 21 ใน n2
และแทน n = 21 ใน √n จะได ้ √21 ≈ 4.583
ดังนัน้ √n ≈ 4.583
6ตัวอย่างท่ี + --
หาค่าประมาณของ 3√22
วิธีทำ� 3√22 = 3 × √22
≈ 3 × 4.690 (√22 ≈ 4.690)
≈ 14.07
ดงั นั้น 3√22 ≈ 14.07
ถึงแม้ว่าการหารากท่ีสองโดยการเปิดตารางจะท�าได้ง่าย แต่ไม่สามารถใช้หารากที่สองของ
จา� นวนจรงิ บวกได้ทุกจ�านวน และไมส่ ามารถหาเป็นทศนยิ มหลายต�าแหน่งไดต้ ามตอ้ งการ
จา� นวนจรงิ 27
27 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ข้นั คดิ วิเคราะห์
St St กำรหำรำกท่สี องโดยใช้เครอื่ งค�ำนวณ
และสรุปความรู้ เป็นวิธีหารากท่ีสองท่ีสามารถใช้ได้กับทุกจ�านวนจริงบวก และสามารถหาเป็นทศนิยมได ้
19. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างและ หลายต�าแหนง่ และสะดวกกว่าการเปิดตาราง
การสาธติ การหารากทส่ี องของจ�ำ นวน การหารากท่ีสองโดยใช้เคร่ืองค�านวณเป็นวิธีที่สะดวกและรวดเร็ว แต่เคร่ืองค�านวณม ี
โดยการใช้เคร่ืองคำ�นวณ 5 จำ�นวน หลากหลายชนิด แต่ละชนิดอาจมีวิธีใช้แตกต่างกันจึงต้องศึกษาคู่มือการใช้งานของเครื่องน้ัน ๆ
โดยใช้การถาม-ตอบ ประกอบ กอ่ นใช้
ตวั อยา่ ง + --
การอธบิ าย หารากท่ีสองของ 2
20. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น ทเ่ี คร่อื งคา� นวณ ใหก้ ด ( 1 ) และตามดว้ ย ( 2 )
โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ จากนน้ั กด ( 3 ) เพื่อให้เคร่ืองค�านวณหารากที่สองของ 2 ดังนี้
นักเรียน ดังน้ี
• ข้อควรระวังในการหารากท่ีสอง
√2
ของจำ�นวนโดยการใช้เครื่องคำ�นวณ 1
คืออะไร (เคร่ืองคำ�นวณมีหลากหลายชนิด
ควรศึกษาวิธีการใช้งานจากคู่มือก่อน
การนำ�ไปค�ำ นวณหารากที่สอง) 23
ep 3 ขั้นปฏบิ ัติ จหะาเกหตน็ อ้ ไงดก้วาา่ ร ผ เคลรลื่อพั งธคเ์ �าปน็นวทณศจนะิยแมส ดใหงรก้ าดก ท ส่ี องขอ ง (24 เป)น็ √2
แหลละงั สกราปุรปควฏาบิ มตั ริู้
เคร่อื งจะคา� นวณหารากท่สี องของ 2 เป็นทศนิยม ดงั น้ ี
21. นกั เรยี นท�ำ ใบงานสมบตั ขิ องรากทส่ี อง
จากนั้นสลับผลงานกับเพ่ือน เพ่ือ 2. หาค่าของจาำ นวนต่อไปนี้ โดยวธิ เี ปดิ ตาราง 1.414213562
ร่วมกนั ตรวจสอบและแก้ไข
1) √17 จากการเปดิ ตาราง ที่ n = 17 จะได้ √17 ≈ 4.123 4
แบบฝึกหดั ท่ี 4 ดงั นั้น √17 ≈ 4.123
1. หารากที่สองของจาำ นวนต่อไปน้ี โดยวธิ กี ารแยกตวั ประกอบ
1) 324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 2) √33 จากการเปดิ ตาราง ท่ี n = 33 จะได้ √33 ≈ 5.745
= 22 × 34 ดังนน้ั √33 ≈ 5.745
= (2 × 32)2
= 182
รากทสี่ องของ 324 คอื √182 = 18 และ -√182 = -18 3) √41 จากการเปิดตาราง ที่ n = 41 จะได้ √41 ≈ 6.403
ดงั นั้น รากทีส่ องของ 324 คอื 18 และ -18 (ดหังนมน้ั าย√เ4ห1 ≈ต6 ุ .4:0 3เคร่ืองที่ใช้ค�านวณ คือ
4) √44 CจดาังAกนกั้นาSรเIป√Oิด4ต4 า ≈รรา6งุ่น.6ท 3่ี 3nfx= -494 9จ1ะไEด้ √S4 4P≈L6U.63S3 )
2) 576 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 26 × 32
= (23 × 3)2 5) √68 จากการเปดิ ตาราง ที่ n = 68 จะได้ √68 ≈ 8.246
= 242
รากทสี่ องของ 576 คือ √242 = 24 และ -√242 = -24 28ดงั นน้ั ค√ณ68ิต≈ศ8า.2ส4ต6 ร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 2 เลม่ 2
ดังนั้น รากที่สองของ 576 คือ 24 และ -24
6) √80 จากการเปดิ ตาราง ที่ n = 80 จะได้ √80 ≈ 8.944 3. หาคา่ ประมาณของจาำ นวนต่อไปน ้ี
3) 625 = 5 × 5 × 5 × 5 2. หา ค ่าของจำานวดนงั ตน่อั้นไปน√ี้ โ8ด0ยว≈ิธีเ8ป.ดิ94ต4าราง
= 52 × 52
= (5 × 5)2 11)) √√1867 จจาากกกกาารรเเปปดดิิ ตตาารราางง ทที่ี่ nn == 1876 จจะะไไดด้ √้ √8167≈≈ 4.192.2374 1) √192 192 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 252 ดดงังั นนั้นัน้ √√1867 ≈≈ 94..217243 = 26 × 3
รากทสี่ องของ 625 คอื √252 = 25 และ -√252 = -25 √192 = √(23)2 × 3
22)) √√3923 จจาากกกกาารรเเปปดิิดตตาารราางง ทท่ีี่ nn == 9323 จจะะไไดด้้ √√9323 ≈≈ 95..579425
28 ดังนน้ั รากทสี่ องของ 625 คือ 25 และ -25 ดดังังนนั้นั้น √√9332 ≈≈ 95..579425 ( ) = 23 × √3
สุดยอด ค ู่มือ ครู 33)) √√44411 จากการเปิดตาราง ที่ n2==4414จ1ะจไะดไ้ ด√้4n1=≈261.403 ≈ 8 × 1.732 √3 ≈ 1.732
4) 784 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7 ดงั นนั้ √√4141≈=6 .√42013 × 21 = √212 = 21 ≈ 13.856
= 24 × 72 ดงั นนั้ √192 ≈ 13.856
= (22 × 7)2
44)) √√14,41 5 6 จจาากกกกาารรเเปปดิดิ ตตาารราางง ทท่ีี่ nn2==414,1จ5ะ6ไจดะ้ √ได4้4n≈=63.4633 2) √512 512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 28 × 2
ดดงัังนนน้ันั้ √√144,1≈566=.6 33 √34 × 34 = √342 = 34 √512 = √(24)2 × 2
55)) √√628,2 09 จจาากกกกาารรเเปปิดิดตตาารราางง ทที่่ี nn2==628,2จ0ะ9ไดจ้ ะ√ไ6ด8้ n≈=8.42746
ดดังังนนนั้น้ั √√26,820≈98=.2 46√47 × 47 = √472 = 47 ( ) = 24 × √2
≈ 16 × 1.414 √2 ≈ 1.414
≈ 22.624
66)) √√680,8 89 จจาากกกกาารรเเปปิดิดตตาารราางง ทท่ี่ี nn2==860,8จ8ะ9ไดจ้ ะ√ไ8ด0้ n≈= 838.944 ดังนน้ั √512 ≈ 22.624
ดดังงั นน้ันั้น √√68,088≈98=.9 44 √83 × 83 = √832 = 83
1) √86 จากการเปิดตาราง ที่ n = 86 จะได้ √86 ≈ 9.274 จ�ำ นวนจริง 3) √720 720 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
43 = 24 × 32 × 5
ดังนนั้ √86 ≈ 9.274 √720 = √(22)2 × 32 × 5
( ) = 22 × 3 × √5
2) √92 จากการเปดิ ตาราง ที่ n = 92 จะได้ √92 ≈ 9.592
ดังนน้ั √92 ≈ 9.592 ≈ 12 × 2.236 √5 ≈ 2.236
≈ 26.832
3) √441 จากการเปดิ ตาราง ท่ี n2 = 441 จะได้ n = 21 ดังน้ัน √720 ≈ 26.832
ดงั นั้น √441 = √21 × 21 = √212 = 21
4) √1,875 1,875 = 5 × 5 × 5 × 5 × 3
4) √1,156 จากการเปิดตาราง ท่ี n2 = 1,156 จะได้ n = 34 = 54 × 3
√1,875 = √(52)2 × 3
ดงั นั้น √1,156 = √34 × 34 = √342 = 34
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
Step 3 ข้นั ปฏิบตั ิ
แหลละังสกราุปรปควฏาิบมตั ริู้
แบบฝึกหัดที่ 3
1. จ�านวนตอ่ ไปนเี้ ป็นรากทสี่ องของจ�านวนใด 22. นักเรียนร่วมกันสรุปสิ่งท่ีเข้าใจเป็น
ความรู้รว่ มกัน ดังน้ี
1) 2 2) -6
3) 0.7 4) 1.3 1) ให้ a แทนจ�ำ นวนจริงบวกใด ๆ
รากท่ีสองของ a คอื จ�ำ นวนที่
5) √11 6) -√18 ยกก�ำ ลังสองแล้วไดเ้ ทา่ กับ a
7) 67 8) - 153 ถ้า a แทนจำ�นวนจรงิ บวกใด ๆ
แลว้ √a และ -√a เป็นรากท่สี องของ a
2. หารากท่สี องของจ�านวนตอ่ ไปนี้ โดย √a เปน็ รากทส่ี องทเี่ ป็นบวกของ a
และ -√a เปน็ รากท่ีสองท่ีเป็นลบของ a
1) 441 2) 676 2) การหารากที่สองของจ�ำ นวนใด ๆ
3) 4,365 4) 8,649 โดยวธิ กี ารแยกตวั ประกอบ ท�ำ ไดโ้ ดย
1119673 เขยี นจ�ำ นวนทต่ี อ้ งการหารากทสี่ องให้
5) 6) 0.035 อยใู่ นรปู การคณู กนั ของจ�ำ นวนเฉพาะ
7) 8) 0.60 จากน้ันหาจำ�นวนเฉพาะหรือผลคูณ
10) 1151 ของจำ�นวนเฉพาะที่ยกกำ�ลังสองแล้ว
9) 75 12) 7 ไดเ้ ทา่ กบั จ�ำ นวนทตี่ อ้ งการหารากทส่ี อง
59542 99 14) 729 จะไดว้ า่ จ�ำ นวนเฉพาะหรอื ผลคณู ของ
11) จำ�นวนเฉพาะเป็นรากที่สองของ
13) จ�ำ นวนนน้ั ๆ
3) ในการหารากท่ีสองโดยการเปิด
15) 13.69 16) 0.16 ตารางนั้น ทำ�ได้โดยการแทนค่าของ
จำ�นวนท่ีต้องการหารากท่ีสองลงใน
3. หารากทส่ี องของจา� นวนต่อไปน้ีโดยการแยกตัวประกอบ ตาราง n, √n หรือ n2 แล้วจึงอา่ นค่า
1) 1,521 2) 2,401 ท่ีไดต้ ามตาราง
3) 3,249 4) 5,776
5) 6,561 6) 15,625
จา� นวนจรงิ 29
29 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
St Step 4
ขน้ั สอื่ สารและนำ� เสนอ 4. หารากท่ีสองของจา� นวนตอ่ ไปน ้ี (ข้อ 1) - 6) ตอบเปน็ ทศนยิ มหน่ึงต�าแหนง่
ขอ้ 7) - 10) ตอบเป็นทศนิยมสองตา� แหน่ง)
23. ผู้แทนนักเรียน 4-5 คน ออกมา
นำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อม 1) 15 2) 50
อธิบายประกอบ โดยมีนักเรียนและครู
รว่ มกันตรวจสอบความถกู ตอ้ ง 3) 66 4) 97
5ep ขั้นประเมนิ เพอ่ื เพิ่มคณุ ค่า 5) 156 6) 321
บริการสงั คม
และจิตสาธารณะ 7) 45 8) 7.2
24. นักเรียนนำ�ความรู้ไปแนะนำ�เพื่อน 9) 243 10) 3,967
ที่ ยั ง ไ ม่ เ ข้ า ใ จ เ ก่ี ย ว กั บ ร า ก ที่ ส อ ง
ใหเ้ กดิ ความเขา้ ใจยิง่ ข้นึ 5. ตอบคา� ถามตอ่ ไปน้ี โดยเปิดตารางในภาคผนวกท้ายเลม่
1) หาคา่ ประมาณของ √13
2) หาคา่ ประมาณของรากที่สองของ 60
3) หาคา่ ของ n เมื่อ n2 = 784
4) หาค่าของ n เมอื่ √n ≈ 2.828
5) หาค่าประมาณของ √n เม่ือ n2 = 5,776
6) หาคา่ ประมาณของ √n เมอ่ื n2 = 7,921
7) หาค่าประมาณของ 2√50
8) หาคา่ ประมาณของ √750
30 คณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี 2 เลม่ 2
สุดยอดคู่มือครู 30
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
4. รำกทีส่ ำม ตัวชว้ี ดั
การหารากท่ีสองของศูนย์และจ�านวนจริงบวกใด ๆ คือ การหาจ�านวนจริงที่ยกก�าลังสองแล้ว ค 1.1 ม.2/2
ได้จ�านวนจริงนั้น ในท�านองเดียวกันการหารำกที่สำมของจ�านวนจริงใด ๆ ก็คือ การหาจ�านวนจริงท ี่ ภาระงาน/ชิ้นงาน
ยกกา� ลงั สามแล้วได้จา� นวนจรงิ น้นั ดังตวั อยา่ ง
การหาค่ารากทส่ี าม
การหารากท่สี ามของ 27 ท�าไดโ้ ดยการหาจ�านวนจรงิ ทีย่ กกา� ลงั สามแล้วได ้ 27 จ�านวนนัน้ คือ 3
เพราะวา่ 33 = 27 ดงั น้นั 3 เป็นรากทสี่ ามของ 27 St Step 1 ขัน้ สงั เกต
บทนิยำม
รวบรวมข้อมูล
ให้ a แทนจา� นวนจรงิ ใด ๆ รากท่ีสามของ a คอื จา� นวนจรงิ ท่ียกก�าลังสามแลว้ ได้ a
รากท่ีสามของ a เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ ์ 3 √ a 1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
สัญลกั ษณ์ 3 √ a อ่านว่า รากทส่ี ามของ a โดยใช้คำ�ถามกระต้นุ ความคดิ ดงั นี้
จากบทนยิ ามจะได ้ (3 √ a)3 = a • นักเรียนจะนำ�ความรเู้ ร่อื ง
รากทส่ี าม ไปใช้ในการแก้ปญั หา
นักเรียนสามารถหารากท่ีสามของจ�านวนจริงใด ๆ โดยใชบ้ ทนิยามได้ ดังตวั อยา่ ง ในเร่อื งใดไดบ้ า้ ง
2. นักเรยี นศึกษา รากที่สาม
1ตัวอย่างที่ + --
หารากที่สามของจา� นวนตอ่ ไปน้ี
1) 8 2) 125
3) -343 4) 0.216 ep 2 ขั้นคดิ วเิ คราะห์
5) 0 6) 59
และสรุปความรู้
วิธที ำ� 1) เน่อื งจาก 23 = 8
ดังน้นั รากท่สี ามของ 8 คอื 2 หรอื 3 √ 8 = 2 3. นักเรยี นพิจารณาจ�ำ นวนเตม็ ไดแ้ ก่ 8,
2) เน่อื งจาก 53 = 125
ดังนัน้ รากทีส่ ามของ 125 คือ 5 หรือ 3 √ 125 = 5 -8 บนกระดาน แล้วผู้แทนนักเรียน
3) เนอ่ื งจาก (-7)3 = -343 ทีละ 2 คน ออกมาแสดงวิธีการ
ดงั นั้น รากทสี่ ามของ -343 คอื -7 หรือ 3 √ -343 = -7 แยกตัวประกอบ จากนั้นใช้คำ�ถาม
4) เน่ืองจาก (0.6)3 = 0.216 กระตุ้นความคดิ ของนกั เรยี น ดงั น้ี
• จำ�นวนใดที่ยกกำ�ลังสามแล้วได้
ดังนัน้ รากทีส่ ามของ 0.216 คอื 0.6 หรอื 3 √ 0.216 = 0.6
จ�านวนจริง 31 เท่ากับ 8 (2)
• เรียกจำ�นวนท่ียกกำ�ลังสามแล้วได้
4. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น โดยใช้ เทา่ กับ 8 วา่ จำ�นวนใด (รากที่สามของ 8)
ค�ำ ถามกระตนุ้ ความคดิ ของนกั เรยี น ดงั นี้ • จำ�นวนใดท่ียกกำ�ลังสามแล้วได้
• จำ�นวนใดที่ยกก�ำ ลงั สามแล้วได้เทา่ กับ a
เทา่ กับ -8 (-2)
((3√a )3 = a)
• เรียกจำ�นวนท่ียกกำ�ลังสามแล้วได้
• เรียกจำ�นวนที่ยกกำ�ลังสามแล้วได้เท่ากับ a เท่ากับ -8 ว่าจำ�นวนใด (รากท่ีสามของ
ว่าจ�ำ นวนใด (รากทสี่ ามของ a)
-8)
31 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขน้ั คดิ วิเคราะห์
St
และสรุปความรู้ 5) เนื่องจาก 03 = 0
5. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการหา ดังนัน้ รากทส่ี ามของ 0 คือ 0 หรอื 3 √ 0 = 0
ร า ก ที่ ส า ม ข อ ง จำ � น ว น โ ด ย ก า ร นำ � 6) เน่ืองจากไม่มีจ�านวนเต็มหรอื จ�านวนตรรกยะใดทยี่ กกา� ลงั สามแล้วเท่ากับ 59
จ�ำ นวนทยี่ กก�ำ ลงั สามแลว้ ไดจ้ �ำ นวนนนั้ ดังนั้น จึงเขียน 3 √ 59 แทน รากทีส่ ามของ 59
โดยใช้การถาม-ตอบ ประกอบ 3 √ 59 เป็นจา� นวนอตรรกยะ
การอธบิ าย
2ตัวอย่างท่ี + -- = 3 √ 6 × 6 × 6
6. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น = 3 63
โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ หาค่าของ 3 √ 216 = 6
นักเรยี น ดังน้ี
วธิ ีท�ำ เน่ืองจาก 3 √ 216
• ถ้าจำ�นวนที่ต้องการหารากที่สาม
เป็นจำ�นวนที่มีค่ามาก ๆ นักเรียนจะ
สามารถหารากท่ีสามของจำ�นวนนั้นได้ ดงั นั้น 3 √ 216 = 6
อย่างถูกต้องและรวดเร็วหรือไม่
3ตัวอยา่ งที่ + --
(ไม่สามารถหารากที่สามของจำ�นวนนั้น
หาคา่ ของ 3 √ -64
ไดอ้ ย่างถูกต้องและรวดเร็ว)
วิธีทำ� เน่อื งจาก 3 √ -64 = 3 √ (-4) × (-4) × (-4)
= 3 (-4)3
= -4
ดงั นั้น 3√ -64 = -4
4ตัวอยา่ งที่ + --
หาคา่ ของ 3 12275
วธิ ีท�ำ เนอ่ื งจาก 3 12275 = 3 53 × 53 × 35
( ) = 3 35 3
= 35
ดังนน้ั 3 12275 = 35
32 คณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 2 เล่ม 2
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ข้อใดกล่าวไม่ถกู ตอ้ ง
1 3√219 = 7 2 3√792 = 9
3 3√-1,331 = 11 4 3√-2,197 = -13
(เฉลย 3 แนวคิด 11 1,331 3√-1,331 = 3√(-11) × (-11) × (-11)
11 121 ➟ = 3√(-11)3
11 = -11
ดงั นนั้ 3√-1,331 = -11)
สุดยอดคู่มือครู 32
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
5ตวั อยา่ งท่ี + -- Step 2 ขนั้ คดิ วเิ คราะห์
และสรุปความรู้
หาค่าของ 3 √ 63 7. นักเรียนพิจารณาจำ�นวน 3,375
บนกระดาน จากน้ันผู้แทนนักเรียน
วธิ ีท�ำ เนอ่ื งจากไมม่ ีจ�านวนตรรกยะใดท่ียกก�าลังสามแล้วเทา่ กบั 63 2 คน ออกมาร่วมกันแยกตัวประกอบ
ดงั น้นั จงึ เขยี น 3 √ 63 แทนรากทีส่ ามของ 63
6ตัวอยา่ งท่ี + -- ของ 3,375 โดยวิธีการหาร แล้วเขียน
หาค่าของ 3 1251 ใหอ้ ยใู่ นรปู ยกก�ำ ลงั สาม และหารากทส่ี าม
1215 โดยมนี กั เรยี นและครรู ว่ มกนั ตรวจสอบ
วิธที �ำ เนอ่ื งจากไม่มจี า� นวนตรรกยะใดทย่ี กกา� ลงั สามแลว้ เทา่ กบั ความถกู ต้อง
ดงั นน้ั จึงเขียน 3 1215 แทนรากท่สี ามของ 2115 ดงั ตัวอย่าง
ข้อสงั เกต 3 3,375 3,375 = 3 Ö 3 Ö 3 Ö 5 Ö5Ö5
จากตวั อยา่ งทย่ี กมาท้งั หมด จะพบวา่ รากท่ีสามของจ�านวนจริงใด ๆ 3 1,125 = 3 Ö 5 Ö 3 Ö 5 Ö 3 Ö 5
มเี พียงรากเดียว เช่น 3 √ 27 = 3 3 375 = (3 Ö 5)3
3 √ -27 = -3 5 125 = 153
การหารากที่สามของจ�านวนจริงใด ๆ อาจท�าได้โดยการแยกตัวประกอบ แล้วเขียนให้อยู่ในรูป 5 25
ยกก�าลังสาม แล้วหารากทส่ี าม ดงั ตวั อย่างตอ่ ไปน้ี 5 3,375 = 3√3 Ö3 Ö3 Ö5Ö5Ö5
= 3√3Ö5Ö3Ö5Ö3Ö 5
1ตวั อย่างที่ + -- = 3√(3 Ö 5)3
= 3√(15)3
หาค่าของ 3 √ 27,000 = 15
วธิ ที ำ� เนื่องจาก 3 √ 27,000 = 3 √ 3 × 3 × 3 × 10 × 10 × 10 จากนั้นใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิด
= 3 √ 3 × 10 × 3 × 10 × 3 × 10 ของนักเรียน ดงั นี้
= 3 (3 × 10)3
= 3 (30)3 • จำ�นวน 3,375 แยกตัวประกอบ
= 30 ไดอ้ ยา่ งไร
ดังนน้ั 3 √ 27,000 = 30
จ�านวนจริง 33 (3,375 = 3 Ö 3 Ö 3 Ö 5 Ö 5 Ö 5)
• จัด 3 Ö 3 Ö 3 Ö 5 Ö 5 Ö 5 ให้อยู่
• รากท่สี ามของ 3,375 เป็นจ�ำ นวนใด ( 3√3,375 = 3√153 = 15) ในรปู ของจ�ำ นวนทยี่ กก�ำ ลงั สามแลว้ ได้
• การหารากท่ีสามโดยวิธีการแยกตัวประกอบสามารถทำ�ได้อย่างไร เท่ากับ 3,375 ไดอ้ ย่างไร
(ทำ�ได้โดยเขียนจำ�นวนที่ต้องการหารากท่ีสามให้อยู่ในรูปการคูณกันของ (3,375 = 3 Ö 3 Ö 3 Ö 5 Ö 5 Ö 5
จำ�นวนเฉพาะ จากนั้นหาจำ�นวนเฉพาะหรือผลคูณของจำ�นวนเฉพาะที่ยกกำ�ลังสาม = 3 Ö 5 Ö 3 Ö 5 Ö 3 Ö 5
แล้วได้เท่ากบั จำ�นวนท่ตี อ้ งการหารากท่สี าม จะได้ว่าจ�ำ นวนเฉพาะหรือผลคณู ของ = (3 Ö 5)3
= 153)
จ�ำ นวนเฉพาะเปน็ รากทีส่ ามของจ�ำ นวนนัน้ ๆ)
33 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขั้นคดิ วเิ คราะห์
St
และสรปุ ความรู้ 2ตวั อยา่ งที่ + --
8. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการหา หาคา่ ของ 3 √ -35,937
ร า ก ท่ี ส า ม ข อ ง จำ � น ว น โ ด ย ใ ช้ ก า ร
แยกตัวประกอบ 4 จำ�นวน โดยใช้ วธิ ที ำ� เนอ่ื งจาก 3 √ -35,937 = 3 √ (-3) × (-3) × (-3) × 11 × 11 × 11
การถาม-ตอบ ประกอบการอธบิ าย = 3 √ (-3) × 11 × (-3) × 11 × (-3) × 11
9. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น = 3 {(-3) × 11}3
โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ = 3 (-33)3
นกั เรยี น ดังนี้ = -33
ดงั น้ัน 3 √ -35,937 = -33
• นักเรียนจะมีวิธีการหาค่าของ
จำ � น ว น ท่ี ไ ม่ ส า ม า ร ถ ห า จำ � น ว น ท่ี 3ตวั อย่างที่ + -- = 3 35 ×× 53 ×× 53 ×× 74 ×× 74 ×× 47
ยกกำ�ลังสามแล้วได้เท่ากับจำ�นวนน้ัน = 3 35 × 53 × 53 × 74 × 74 × 74
ได้อยา่ งไร หาคา่ ของ 3 89,,206001 = 3 35 × 74 × 35 × 74 × 53 × 47
วิธที ำ� เนือ่ งจาก 3 98,,200610
(หารากที่สามของจ�ำ นวนน้นั โดยการ ( )= 3 35× 47 3
( )= 3 2210 3
เปิดตาราง หรือการใชเ้ คร่ืองค�ำ นวณ)
= 2201
ดงั นนั้ 3 98,,020601 = 2201
4ตัวอย่างที่ + --
หาคา่ ของ 3 √ -1.331
วธิ ที �ำ เน่อื งจาก 3 √ -1.331 = 3 √ (-1.1) × (-1.1) × (-1.1)
= 3 (-1.1)3
= -1.1
ดงั น้ัน 3 √ -1.331 = -1.1
34 คณิตศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 2 เล่ม 2
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
นกั เรยี นแตล่ ะคนเขยี นโจทยเ์ กยี่ วกบั การหาคา่ รากทสี่ าม โดยท�ำ เปน็ สลากโจทย์
แลว้ น�ำ ไปใสใ่ นกลอ่ ง จากนน้ั นกั เรยี นทลี ะคนออกมาหยบิ สลากโจทยค์ นละ 1 ขอ้
แลว้ แสดงวธิ กี ารหาค�ำ ตอบตามวธิ ที ตี่ นเองถนดั มากทส่ี ดุ พรอ้ มอธบิ ายประกอบ
ท�ำ เชน่ นจ้ี นครบตามจ�ำ นวนขอ้ ทต่ี อ้ งการ โดยมนี กั เรยี นและครรู ว่ มกนั ตรวจสอบ
ความถกู ต้อง
สุดยอดคู่มือครู 34
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
กำรหำรำกทีส่ ำมโดยกำรเปดิ ตำรำงและกำรใช้เคร่อื งคำ� นวณ Step 2 ขนั้ คดิ วิเคราะห์
กำรหำรำกท่ีสำมจำกตำรำงรำกที่สำม และสรุปความรู้
วิธหี นงึ่ ในการหารากทส่ี ามของจ�านวนเตม็ ทสี่ ะดวกและรวดเร็ว คือ การเปิดตาราง
ตัวอย่ำง ตารางแสดงรากทีส่ ามของจ�านวนเตม็ บวก มีดงั น ้ี (ดตู ารางในภาคผนวกทา้ ยเล่ม) 10. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการหา
ร า ก ท่ี ส า ม ข อ ง จำ � น ว น โ ด ย ก า ร
n... n...3 3 √...n เปิดตารางและการใช้เครื่องคำ�นวณ
47 103,823 3.609 2-3 จำ�นวน โดยใช้การถาม-ตอบ
48 110,592 3.634 ประกอบการอธบิ าย จากนน้ั ใชค้ �ำ ถาม
49 117,649 3.659 กระตนุ้ ความคดิ ของนักเรยี น ดงั น้ี
50 125,000 3.684
5...1 132...,651 3.7...08 • การหารากทส่ี ามโดยการเปดิ ตาราง
มีวิธกี ารอย่างไร
จากตาราง เมอ่ื คา่ ของ 3 √n ไมเ่ ป็นจา� นวนเต็ม ค่าทีแ่ สดงไว้ในชอ่ ง 3 √n จะเปน็ คา่ ประมาณของ
จา� นวนอตรรกยะ (แทนคา่ ของจ�ำ นวนทตี่ อ้ งการหารากทสี่ าม
1ตวั อยา่ งที่ + -- ลงในตาราง n, 3√n หรือ n3 แล้วจงึ
หาค่าของ 483 และ 493 อา่ นคา่ ท่ไี ด้ตามตาราง)
11. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
วธิ ที ำ� จากตาราง ที ่ n = 48 จะได ้ 483 = 110,592
ดงั น้นั 483 = 110,592 โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ
จากตาราง ท ี่ n = 49 จะได ้ 493 = 117,649 นักเรยี น ดงั นี้
ดังนั้น 493 = 117,649 • ข้อควรระวังในการหารากท่ีสาม
2ตวั อยา่ งท่ี + -- ของจำ�นวนโดยการใช้เครื่องคำ�นวณ
คืออะไร (เครื่องคำ�นวณมีหลากหลายชนิด
หาค่าของ 3 √ 47, 3 √ 50 และ 3 √ 51
วธิ ที �ำ จากตาราง ท ี่ n = 47 จะได ้ 3 √ 47 ≈ 3.609 ควรศึกษาวิธีการใช้งานจากคู่มือก่อน
ดงั นน้ั 3 √ 47 ≈ 3.609
จากตาราง ที ่ n = 50 จะได ้ 3 √ 50 ≈ 3.684 การน�ำ ไปคำ�นวณหารากที่สาม)
ดงั นนั้ 3 √ 50 ≈ 3.684
จากตาราง ท่ ี n = 51 จะได้ 3 √ 51 ≈ 3.708
ดงั นน้ั 3 √ 51 ≈ 3.708
จ�านวนจรงิ 35
35 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 3 ข้ันปฏบิ ตั ิ
St แหลละงั สกราุปรปควฏาิบมัตริู้
3ตัวอยา่ งที่ + --
12. นกั เรยี นท�ำ ใบงาน การหาคา่ รากทสี่ าม หาคา่ ของ n เมอื่
1) 3 √n ≈ 3.684 2) 3 √n ≈ 3.634
จากนั้นสลับผลงานกับเพ่ือน เพ่ือ วิธีท�ำ 1) จากตาราง ท่ี 3 √ 50 ≈ 3.684 ได้จาก แทน n = 50 ใน 3 √ n
ดังน้นั n = 50
ร่วมกันตรวจสอบแบแบลฝะึกหแัดกที่้ไ6ข 2) จากตาราง ที่ 3 √ 48 ≈ 3.634 ไดจ้ าก แทน n = 48 ใน 3 √ n
1. หาค่าของจำานวนต่อไปนี้ แบบฝกึ หัดที่ 6 ดังน้นั n = 48
1. ห1า)ค า่ 3√ขอ64ง จาำ น วน=ต อ่ ไปนี้ 4 2) 3√3 43 = 7 4ตวั อย่างที่ + --
13) 3√6-43 43 = -47 24) 3√31 ,4732 8 = 172
35) 3√-13,4732 8 = --127 46) 3√1 ,372381 = 112 หาคา่ ของ n เมอ่ื n3 = 132,651
2 . ห57าค) ่าข3√อ2-ง,1จ1,ำา97น72 ว8น ต=่อ ไปนี้ -132 86) 3√1- ,23,3119 7 = -113 วธิ ีทำ� จากตาราง ท ี่ 513 = 132,651 ไดจ้ าก แทน n = 51 ใน n3
ดังน้นั n = 51
119791) )) 333√√ 31 22128 ,77351,,8009 0702400 = == 33 25 ×× 25 3231××4300 52 = 33 25 33 11 2080)) =33√√ --1 224425,,19916191 7373 = -137
= -2137 5ตวั อย่างท่ี + --
2 . 1ห21)า )ค า่ 33√ข3 3อ16 443ง3,จ8าำ 2น4ว =น =ต ่อไ33ป 47น ××ี้ 47 2××4 74 = 33 74 33 1 2) =3√ 1 274,16 7 = 23 หาคา่ ประมาณของ 3 √n เม่ือ n3 = 117,649
32 ..5 4หห383544 2163841831 7 5764225))))))าา)))))))))))))))))) คค ค่าา่ถ ถ 33333ดดจจ33333333ณ33333ขข3 3 33 3333 3 3้าา้ 33 12 3357าา - 33 งััง- 53333 1331 2121 7755-- 7ิตออ 33--3 5511กก ,,112 - 277นน66,nn133,072288,,,,111212ศ2-- 22448,งง,,011,,229077012กก22443,88,, 004ัน้้ันา55922922931122จจ337033,,5==400467997ส33าา7740055266772ำาำา077 0044ต5 รร22√√23300นน 83855รเเ88nn75ปป์ววช ======นนดิดิั้นแ ================ แ ≈≈ม ตต ล ตต ลธั ่อ่อ้วาายว้43รร ไไม 3 ..333333333 ปปาา 3√ 33ศ 3√3 3 3333333333333333333 3 งง((111981 9( 3 นนกึ93 n -- n((4477((-840111111 02255899811 99((ษ 3327ทท 5 ี้ี้ ×× × ---- 36 โ --880440 001 า 3 55××××××××××××××่ี่ี ด× ) ป)33เเ66 ×2 11nn98339 ทท1×××××××× ย ีท )) ))) ××22× ×11 147741 25259889599่าา่11ว่ี××5 ==×))40280×× ××1111× กก 1111 ิธ55 (××××(×××××××55 × × ×4004เ8800ับบั89×× 38×× กี-9-ล×× ((((( ×× ××่ม75เเ447755229889า361 ××××---99-- ××××5ทท11(( ร11 ) )5 11336611 จจ--04า่า่ 55เ8 0 1111 ป11112×))ใใ×))55ะะ×11 0440ดด88 00) ไไดิ 22×××× ××( (ดด ==== 1ต×))-- ้้5 (( ((า===11√ 336××ร----(√3 55 ))8-==า====33333333 33663 ((5 ง1 ))))774472255 33 3333--2 3333333315118191≈) 3333 3333333 ≈38334022 =5115=81981119 333 ))433883 33330404 . == == 3 33. 3333 3 = 9= 3=3 3 3 7 3(( 2 ====== == 33 ==133 -- 9 33 30= 31633(((( 113 5 311 3)--8()-- 0499 3-33 300==331166174742552 111133 55 331 33))588((89))0044 2=33--33311 ) 11558998 3==7522==33 )) =33==== 7575--- ==691113 025------ 6996111111 33 005252 == วธิ ีท�ำ จากตาราง ที ่ 493 = 117,649 ได้จาก แทน n = 49 ใน n3
- 23 และแทน n = 49 ใน 3 √n จะได้ 3 √ 49 ≈ 3.659
ดงั นั้น 3 √n ≈ 3.659
= - 3232
= - 6ตัวอยา่ งที่ + --
- -54 หาคา่ ประมาณของ 53 √ -48
= -- --5544 วิธที ำ� 53 √ -48 = 5 × 3 √ -48
= ≈ 5 × (-3.634) (3 √ 48 ≈ 3.634)
≈ 18.17
3) ถา้ n3 = 91,125 แลว้ คา่ ของ n เทา่ กบั เท่าใด ดงั น้ัน 5 3 √ -48 ≈ 18.17
จากการเปิดตาราง ท่ี n3 = 91,125 จะได้ n = 45 กำรหำรำกทส่ี ำมโดยใช้เครอ่ื งค�ำนวณ
ดงั นนั้ √3 91,125 = √3 45 × 45 × 45 การหารากที่สามโดยใช้เครื่องค�านวณเป็นวิธีท่ีสะดวกและรวดเร็ว แต่เคร่ืองค�านวณมี
= √3 453 หลากหลายชนิด แต่ละชนิดมีวิธีการใช้แตกต่างกัน จึงต้องศึกษาคู่มือการใช้งานของเคร่ืองนั้น ๆ
54 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี =2 เลม่ 415 กอ่ นใช้เช่นเดยี วกับการหารากท่ีสองโดยใชเ้ คร่อื งคา� นวณ
54 คนณ่ันติ คศือาสnตร=์ ช้ัน4ม5ธั ยมศึกษาปีที่ 2 เล่ม 1 36 คณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 2 เลม่ 2
4) ถ้า n3 = 493,039 แลว้ ค่าของ n เทา่ กับเทา่ ใด
จากการเปดิ ตาราง ที่ n3 = 493,039 จะได้ n = 79
ดังนั้น √3 493,039 = √3 79 × 79 × 79
= √3 793
= 79
นนั่ คอื n = 79
5) ถ้า n = 18 แล้ว 3√n + 3√144 เท่ากบั เทา่ ใด
จากการเปดิ ตาราง ท่ี n = 18 จะได้ √3 18 ≈ 2.621
จะได้ √3 n + √3 144 = √3 18 + √3 144
= √3 18 + √3 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= √3 18 + √3 23 × 2 × 3 × 3
= √3 18 + √3 23 × 18
( ) = √3 18 + 2 × √3 18
= √3 18 + (1 + 2)
= √3 18 × 3
≈ 2.621 × 3
≈ 7.863
น่ันคอื √3 n + √3 144 ≈ 7.863
จ�ำ นวนจรงิ 55
สุดยอดคู่มือครู 36
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
1ตวั อย่างท่ี + -- Step 3 ขน้ั ปฏบิ ตั ิ
แหลละังสกราุปรปควฏาบิ มัตริู้
หารากทส่ี ามของ 5 ( 2 ) 13. นักเรียนร่วมกันสรุปส่ิงที่เข้าใจเป็น
ความรู้รว่ มกนั ดังน้ี
ที่เคร่ืองคา� นวณ ใหก้ ด ( 1 ) และตามด้วย
1) ให้ a แทนจ�ำ นวนใด ๆ รากทีส่ าม
เพอื่ เรยี กฟงั กช์ นั การค�านวณหารากที่สาม ของ a หมายถงึ จ�ำ นวนทยี่ กก�ำ ลงั สาม
จากนน้ั กด ( 3 ) และกด ( 4 )
เพอ่ื ให้เครือ่ งค�านวณหารากที่สามของ 5 ดังนี้
1.709975947 แ3√ลa้วไจดะ้ไดa ้ เ(ข3√ียaน)3แ=ท น aด้วยสัญลักษณ์
1 2) ก า ร ห า ร า ก ท่ี ส า ม โ ด ย วิ ธี
2 แยกตวั ประกอบ ท�ำ ไดโ้ ดยเขยี นจ�ำ นวน
(หมายเหต ุ : เคร่ืองที่ใช้ค�านวณ คือ 3 ท่ีต้องการหารากท่ีสามให้อยู่ในรูป
CASIO รุ่น fx-991ES PLUS) 4 การคณู กนั ของจ�ำ นวนเฉพาะ จากนนั้
2ตวั อยา่ งที่ + -- หาจำ�นวนเฉพาะหรือผลคูณของ
จำ�นวนเฉพาะที่ยกกำ�ลังสามแล้วได้
หารากท่ีสามของ -5 เท่ากับจำ�นวนที่ต้องการหารากที่สาม
จะได้ว่าจำ�นวนเฉพาะหรือผลคูณ
ท่เี ครอ่ื งค�านวณ ใหก้ ด ( 1 ) และตามดว้ ย ( 2 ) ของจำ�นวนเฉพาะเป็นรากท่ีสาม
ของจ�ำ นวนน้ัน ๆ
เพ่ือเรียกฟังกช์ นั การค�านวณหารากทีส่ าม 3) ในการหารากที่สามโดยการ
เปิดตารางน้ันทำ�ได้โดยการแทนค่า
จากนั้นกด ( 3 ) แล้วกด ( 4 ) และกด ( 5 )
เพือ่ ให้เคร่ืองค�านวณหารากทีส่ ามของ -5 ดังน้ี
-1.709975947
(หมายเหต ุ : เคร่ืองที่ใช้ค�านวณ คือ 1 ของจำ�นวนที่ต้องการหารากท่ีสาม
CASIO รนุ่ fx-991ES PLUS) 2 ลงในตาราง n, 3√n หรือ n3 แล้วจึง
3 อา่ นค่าท่ีได้ตามตาราง
4
5
จา� นวนจริง 37
37 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
St Step 4
ขนั้ สอ่ื สารและนำ� เสนอ แบบฝึกหัดที่ 4
14. ผู้แทนนักเรียน 4-5 คน ออกมา 1. หารากที่สามของจ�านวนตอ่ ไปนี้
นำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อม
อธบิ ายประกอบ โดยมนี กั เรยี นและครู 1) 1 2) 35
ร่วมกันตรวจสอบความถูกตอ้ ง
3) -512 4) 250
5ep ข้ันประเมินเพือ่ เพิม่ คุณค่า 5) 1-,702090 6) 58
บริการสังคม 7) 0.125 8) 1.331
และจติ สาธารณะ
9) 0.07 10) -0.027
15. นักเรียนนำ�ความรู้ไปแนะนำ�เพ่ือน
ท่ี ยั ง ไ ม่ เ ข้ า ใ จ เ ก่ี ย ว กั บ ร า ก ท่ี ส า ม 2. หาคา่ ของจา� นวนตอ่ ไปน้ี
ใหเ้ กดิ ความเข้าใจยิ่งข้ึน
1) 3 √ -8 2) -3 √ -125
3) 3 354132 4) -3 614
5) -3 √ -0.064 6) 3 √ -0.027
3. หารากท่ีสามของจ�านวนตอ่ ไปน้ี (ใชว้ ิธกี ารแยกตัวประกอบ)
1) 0 2) -3
3) 512 4) -2,197
6) -32,8768
5) 3,375 8) -0.125
7) 17,02090
9) 0.000216 10) -0.343
4. ตอบค�าถามตอ่ ไปน ี้ โดยเปดิ ตารางในภาคผนวกทา้ ยเล่ม
1) หาค่าประมาณของ 3 √ 92
2) หาคา่ ประมาณของ 3 √ 90 - 3 √ -45
3) หาค่า n3 เม่อื n = 21
4) หาค่า n เมอื่ 3 √n ≈ 2.520
5) หาค่า n เม่อื n3 = 614,125
6) หาคา่ ประมาณของ 3 √ -79
7) หาค่าประมาณของ 3 √ 1,296
38 คณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 2 เลม่ 2
สุดยอดคู่มือครู 38
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
5. กำรนำ� ควำมร้เู ก่ยี วกับจ�ำนวนจริงไปใช้ในกำรแกป้ ญั หำ ตัวช้วี ัด
การใช้ความรู้เก่ียวกับรากที่สองและรากที่สามมาแก้ปัญหา เช่น การหาความยาวด้านของ St St ค 1.1 ม.2/2
รปู สี่เหลี่ยมมมุ ฉาก การหาความยาวรัศมีของวงกลม การหาปรมิ าตร ดังตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี ภาระงาน/ชน้ิ งาน
1ตวั อยา่ งท่ี + -- การแกโ้ จทยป์ ญั หาโดยน�ำ ความรเู้ กยี่ วกบั
จำ�นวนจรงิ ไปใช้ในการแกป้ ัญหา
เส้นทแยงมุมของรูปส่เี หลย่ี มจตั ุรัสรปู หนึ่งยาว 6 เซนตเิ มตร หาความยาวดา้ น
ep 1 ข้ันสงั เกต
ของรปู สเ่ี หล่ียมจตั ุรัสโดยประมาณ (ตอบเปน็ ทศนิยมสองตา� แหนง่ )
รวบรวมขอ้ มูล
วธิ ที �ำ D C ก�าหนดให้ ☐ABCD เป็นรูปสเี่ หลย่ี มจตั รุ สั
1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
ท่ีมดี ้าน AC ยาว 6 เซนตเิ มตร โดยใช้ค�ำ ถามกระตนุ้ ความคดิ ดงั น้ี
6 เน่อื งจาก △ ABC ม ี AB^C เป็นมุมฉาก และ AB = BC • นักเรียนจะนำ�ความรู้เก่ียวกับ
จำ � น ว น จ ริ ง ไ ป ใ ช้ ใ น ก า ร แ ก้ ปั ญ ห า
A B จากทฤษฎบี ทพีทาโกรัส ในเรอ่ื งใดได้บา้ ง
จะได ้ AC2 = AB2 + BC2
62 = AB2 + AB2 (แทน BC ด้วย AB) 2. นักเรียนศึกษา การนำ�ความรู้เกี่ยวกับ
36 = 2AB2 จำ�นวนจรงิ ไปใช้ในการแก้ปญั หา
AB2 = 326
AB2 = 18 ep 2 ข้ันคิดวิเคราะห์
AB = √18 และสรปุ ความรู้
AB ≈ 4.243 (√18 ≈ 4.243) 3. นักเรียนพิจารณาแถบโจทย์ปัญหา
เ กี่ ย ว กั บ ก า ร นำ � ค ว า ม รู้ เ ก่ี ย ว กั บ
ดังน้นั ความยาวด้านของรูปส่ีเหลย่ี มจัตรุ ัสประมาณ 4.24 เซนตเิ มตร จำ�นวนจริงไปใช้ในการแก้ปัญหา
บนกระดาน พร้อมใช้คำ�ถามกระตุ้น
2ตัวอย่างที่ + -- ความคิดของนักเรยี น ดังน้ี
รปู สเี่ หลีย่ มจัตุรัสสองรปู รูปแรกมพี นื้ ที ่ 36 ตารางเซนตเิ มตร รูปท่สี องมพี น้ื ที ่
10 ตารางเซนติเมตร รปู สีเ่ หลย่ี มจัตุรัสรูปแรกมีดา้ นยาวกวา่ ด้านของรปู สี่เหลยี่ มจตั รุ ัส
รูปที่สองก่เี ซนตเิ มตร (ตอบเป็นทศนยิ มสองตา� แหน่ง เมอื่ กา� หนดให้ √10 ≈ 3.162)
วิธีทำ� ก�าหนดให้ x เปน็ ความยาวของดา้ นของรูปสีเ่ หลี่ยมจัตรุ สั รูปแรก
และ y เป็นความยาวของด้านของรูปสเ่ี หลี่ยมจัตรุ ัสรปู ที่สอง
เน่ืองจาก รปู ส่ีเหลยี่ มจัตรุ สั รปู แรกมีพ้นื ท่ี 36 ตารางเซนตเิ มตร
จะได้ x2 = 36
x = √36
x = 6
รปู สเี่ หล่ยี มจัตรุ สั รูปแรกมดี ้านยาว 6 เซนตเิ มตร จ�านวนจรงิ 39
• จากโจทย์ นักเรียนคิดว่าใชค้ วามรูเ้ ร่ืองใดในการหาค�ำ ตอบ ถ้ารูปส่ีเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีพื้นท่ี
(พนื้ ทขี่ องรูปสี่เหลี่ยมมมุ ฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และรากท่สี องของจำ�นวนเตม็ ) 18 ตารางเซนติเมตร โดยมีความยาว
• จากโจทย์ นักเรียนมีวิธกี ารหาคำ�ตอบอยา่ งไร ของด้านกว้างยาว 3 เซนติเมตร
เสน้ ทแยงมมุ ของรปู สเี่ หลยี่ มมมุ ฉาก
(ใช้ความสัมพันธ์ของรูปส่ีเหลี่ยมมุมฉากเพ่ือหาความยาวของด้านยาวก่อน จากนั้นใช้ รูปน้ียาวประมาณกี่เซนติเมตร
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหาความยาวของเส้นทแยงมุมที่ยกกำ�ลังสอง แล้วถอดรากท่ีสอง (ตอบเป็นทศนยิ มสองตำ�แหน่ง)
ของเส้นทแยงมุมท่ยี กกำ�ลังสอง จะไดค้ วามยาวของเสน้ ทแยงมมุ ตามที่โจทยต์ อ้ งการ)
• จากโจทย์ ค�ำ ตอบที่โจทยต์ ้องการทราบเขียนแสดงไดอ้ ยา่ งไร
(เสน้ ทแยงมุมของรูปสเ่ี หลี่ยมมุมฉากรูปน้ยี าวประมาณ 6.71 เซนตเิ มตร)
39 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
Step 2 ขนั้ คดิ วิเคราะห์
และสรปุ ความรู้ เน่ืองจาก รูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัสรปู ที่สองมพี ืน้ ท ่ี 10 ตารางเซนติเมตร
จะได้ y2 = 10
4. นกั เรยี นพจิ ารณาตวั อยา่ งการน�ำ ความรู้ y = √10
y ≈ 3.162 (√10 ≈ 3.162)
รูปสเ่ี หล่ยี มจตั ุรสั รปู ทส่ี องมีด้านยาวประมาณ 3.16 เซนตเิ มตร
เกย่ี วกบั จ�ำ นวนจรงิ ไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา ดังนนั้ รูปสีเ่ หล่ยี มจตั รุ ัสรูปแรกมดี า้ นยาวกว่าประมาณ
ในสถานการณ์ต่าง ๆ 3-4 ตัวอย่าง 6 - 3.16 = 2.84 เซนตเิ มตร
โดยใช้การถาม-ตอบ ประกอบ นน่ั คือ รูปสี่เหลย่ี มจตั รุ ัสรูปแรกมีดา้ นยาวกว่าด้านของรูปสเี่ หลย่ี มจัตุรสั
รูปทส่ี องประมาณ 2.84 เซนติเมตร
การอธบิ าย
3ตวั อยา่ งที่ + --
ลูกบาศก์สองลกู ลูกท่ีมขี นาดใหญ่มีปริมาตร 729 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร ลูกท่มี ี
ขนาดเลก็ มปี ริมาตร 216 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร ลกู บาศก์ลูกทีม่ ีขนาดใหญม่ ีดา้ น
แต่ละด้านยาวกว่าลกู บาศก์ลูกที่มีขนาดเล็กก่เี ซนตเิ มตร
วิธีท�ำ กา� หนดให้ ความยาวด้านของลกู บาศก์ลูกท่ีมีขนาดใหญเ่ ป็น x เซนตเิ มตร
ความยาวด้านของลกู บาศก์ลูกทม่ี ีขนาดเล็กเปน็ y เซนติเมตร
เนื่องจาก ลกู บาศกล์ กู ท่ีมขี นาดใหญม่ ีปริมาตร 729 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร
จะได้ x3 = 729
x = 3 729
x = 3 93
x = 9
ลกู บาศก์ลูกทม่ี ีขนาดใหญ่มีดา้ นยาวดา้ นละ 9 เซนตเิ มตร
เนอื่ งจาก ลูกบาศกล์ ูกที่มีขนาดเล็กมปี ริมาตร 216 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร
จะได้ y3 = 216
y = 3 216
y = 3 63
y = 6
ลูกบาศกล์ กู ท่ีมีขนาดเลก็ มีด้านยาวด้านละ 6 เซนตเิ มตร
ดงั นัน้ ลกู บาศก์ลกู ที่มขี นาดใหญม่ ดี ้านยาวกว่าลูกบาศกล์ ูกท่มี ขี นาดเลก็
9 - 6 = 3 เซนตเิ มตร
น่ันคอื ลกู บาศก์ลูกทม่ี ีขนาดใหญ่มีด้านยาวกว่าลูกบาศก์ลกู ท่ีมขี นาดเลก็
3 เซนตเิ มตร
40 คณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2 เลม่ 2
สุดยอดคู่มือครู 40
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
4ตัวอยา่ งที่ + -- Step 3 ขนั้ ปฏิบตั ิ
แหลละังสกราปุรปควฏาบิ มัตริู้
วงกลมวงหนึ่งมพี ื้นท ่ี 88 ตารางเซนติเมตร วงกลมวงนม้ี ีรศั มยี าวประมาณ 5. นักเรียนจับคู่กับเพ่ือน ร่วมกันสร้าง
กีเ่ ซนตเิ มตร กา� หนดให้ ใช้ 272 เปน็ คา่ ประมาณของ π ( ตอบเปน็ จา� นวนเตม็ ) โจทย์ปัญหาการนำ�ความรู้เก่ียวกับ
จำ�นวนจริงไปใช้ในการแก้ปญั หา 1 ขอ้
วิธีทำ� กา� หนดใหร้ ศั มขี องวงกลมยาว r เซนติเมตร พร้อมแสดงวิธีการหาคำ�ตอบลงใน
เน่ืองจาก พนื้ ทีข่ องวงกลมเท่ากบั πr 2 ตารางเซนติเมตร กระดาษเปล่า จากนั้นสลับผลงาน
πr2 = 88 กับเพ่ือนคู่อ่ืน เพ่ือร่วมกันตรวจสอบ
จะได ้ 272 × r2 และแกไ้ ข
r2
≈ 88 6. นักเรียนร่วมกันสรุปส่ิงท่ีเข้าใจเป็น
≈ 8 8 2 ×2 7 ความรู้ร่วมกนั ดังน้ี
r2 ≈ 28 • เราสามารถนำ�ความรู้เกี่ยวกับ
จำ�นวนจริงไปใช้ในการแก้ปัญหาใน
r ≈ √28
ดังน้ัน วงกลมมรี ศั มยี าว √28 เซนติเมตร
เนื่องจาก 52 = 25 และ 62 = 36
จะได้วา่ 28 มคี ่าใกล้เคยี ง 25 มากกวา่ 36
ดงั น้นั วงกลมมรี ัศมียาวประมาณ 5 เซนติเมตร
แบบฝกึ หัดท่ี 5 การคำ�นวณเก่ียวกับการหาความยาว
ข อ ง ด้ า น ข อ ง รู ป สี่ เ ห ล่ี ย ม มุ ม ฉ า ก
1. ก�าลงั สองของจ�านวนจ�านวนหน่งึ คือ 225 จา� นวนนั้นเป็นจ�านวนใด หรือการคำ�นวณทางเรขาคณิตต่าง ๆ
2. ก�าลังสามของจ�านวนจา� นวนหน่ึงคอื 512 จ�านวนนั้นเป็นจา� นวนใด โดยไมต่ อ้ งใชก้ ารวัด
3. รูปสี่เหลี่ยมจตั ุรสั มพี ืน้ ท ่ี 196 ตารางเซนตเิ มตร จะมคี วามยาวของดา้ นเปน็ เทา่ ไร
4. ถังนา้� ทรงลกู บาศก์จนุ �า้ ได้ 512,000 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร ถังนา้� นม้ี คี วามยาวดา้ นละเทา่ ไร
5. ลูกบาศกล์ ูกหนึง่ มพี นื้ ทผี่ ิว 96 ตารางเซนตเิ มตร ลูกบาศก์นมี้ คี วามยาวของดา้ นเปน็ เท่าไร
และมีปริมาตรเทา่ ไร
6. โลหะทรงลูกบาศก์สองลูก ลูกที่มีขนาดเล็กมีปริมาตร 343 ลูกบาศก์เซนติเมตร ลูกที่มีขนาดใหญ่
มีความยาวของดา้ นยาวกวา่ ความยาวของดา้ นของลกู ท่มี ีขนาดเลก็ อยู่ 2 เซนตเิ มตร โลหะลูกบาศก ์
ลูกทม่ี ขี นาดใหญ่จะมปี รมิ าตรเทา่ ไร
7. จากข้อ 6. ถ้าน�าโลหะลูกบาศก์ลูกท่ีมีขนาดเล็กและลูกบาศก์ลูกท่ีมีขนาดใหญ่มาหลอมรวมกัน
เพอื่ ทา� ลกู บาศกล์ กู ใหม่หน่ึงลูก ลกู บาศก์ลกู ใหมจ่ ะมีความยาวของดา้ นประมาณเท่าไร
จ�านวนจรงิ 41
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
นกั เรยี นแบง่ กลมุ่ กลมุ่ ละ 4-5 คน นกั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ พจิ ารณาบตั รโจทยป์ ญั หา
การนำ�ความรู้เกี่ยวกับจำ�นวนจริงไปใช้ในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่าง ๆ
นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันเขียนแสดงวิธีการหาคำ�ตอบลงในกระดาษเปล่า
จากน้ันสลับผลงานกับกลุ่มข้าง ๆ เพื่อร่วมกันตรวจสอบและแก้ไข แล้ว
ผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่มออกมานำ�เสนอผลงานหน้าชั้นเรียนพร้อมอธิบาย
ประกอบ โดยมีนักเรียนและครรู ่วมกนั ตรวจสอบความถูกตอ้ ง
41 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
St Step 4
ขน้ั สอ่ื สารและนำ� เสนอ 8. กลอ่ งทรงลกู บาศก์สองใบมีความจุ 4,096 และ 2,197 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร ตามลา� ดบั
ด้านของกลอ่ งใบท่ีสองสั้นกวา่ กล่องใบแรกอยูเ่ ท่าไร
7. ผู้แทนนักเรียน 4-5 คู่ ออกมา
นำ�เสนอผลงานหน้าช้ันเรียนพร้อม 9. A D กา� หนดรูปสี่เหล่ยี ม ABCD ตัวอกั ษร
อธิบายประกอบ โดยมีนักเรียน a 9 หรือตัวเลขท่ีก�ากบั ดา้ นเปน็ ความยาวของด้าน
และครูร่วมกนั ตรวจสอบความถูกตอ้ ง 3 พ้ืนท่ีของรูปสี่เหลยี่ ม ABCD เปน็ เทา่ ไร
2C
B
5ep ขน้ั ประเมินเพอื่ เพ่ิมคณุ ค่า 10. A กา� หนดรูปสามเหลยี่ ม ABC มี AB, AC
บรกิ ารสังคม และ AD ยาว 5, 6 และ 4 หนว่ ยตามลา� ดบั
และจติ สาธารณะ 5 4 6 AD เป็นส่วนสงู ของรปู สามเหลยี่ ม
พนื้ ที่ของรปู สามเหลี่ยม ABC เปน็ เทา่ ไร
8. นักเรียนนำ�ความรู้ไปแนะนำ�เพ่ือน B D C (ตอบเป็นทศนยิ มหนึง่ ตา� แหน่ง)
ท่ียังไม่เข้าใจเก่ียวกับการนำ�ความรู้
เกยี่ วกบั จ�ำ นวนจรงิ ไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา 11. สนามหญา้ วงกลมมพี ืน้ ท่ี 264 ตารางเมตร ถา้ ต้องการใชเ้ ชอื กขงึ รอบสนามจะต้องใชเ้ ชอื กยาว
ใหเ้ กดิ ความเข้าใจยงิ่ ข้นึ อย่างนอ้ ยกเี่ มตร ก�าหนดให้ ใช้ 272 แทนค่าประมาณของ π (ตอบเป็นทศนิยมสองต�าแหนง่ )
CD
12. กา� หนดทรงสเ่ี หลย่ี มมุมฉาก ABEFHCDG
H G ม ี AH ยาว 24 เซนติเมตร, AB ยาว 7 เซนติเมตร
24 B E และ AF ยาว 20 เซนติเมตร AC และ AD ยาวเท่าไร
7 (ตอบเปน็ ทศนิยมสองต�าแหนง่ )
A 20 F
13. บนั ไดอันหน่ึงยาว 15 ฟตุ นา� มาวางพงิ อาคาร โดยใหเ้ ชงิ บันไดอยู่ห่างจากอาคาร 4 ฟุต
ปลายบันไดดา้ นบนอยู่สงู จากพนื้ ดินเท่าไร (ตอบเป็นจา� นวนเตม็ )
42 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 2 เลม่ 2
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
กำ�ลังสองของผลบวกของจำ�นวนนับสามจำ�นวนท่ีเรียงต่อกันเท่ากับ 576
จำ�นวนนับทมี่ ีคา่ น้อยท่ีสุดคือจำ�นวนในขอ้ ใด
1 6
2 7
3 8
4 9
สุดยอดคู่มือครู 42
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด 1+×2- รอบรู้อาเซียนและโลก
3
1แบบฝึกหัดทำ้ ยหน่วยกำรเรียนรู้ท่ี ÷
1. เขียนเศษสว่ นต่อไปนี้ในรปู ทศนยิ ม 2) 410010
1) 139 4) 161
3) -47 6) -2115
5) -213
2) -0.28
2. เขียนทศนิยมซ้า� ตอ่ ไปนใ้ี นรูปเศษส่วน 4) -0.25
1) 0.7 6) -0.417
3) 0.36 8) -0.994
5) 0.128 10) -5.678
7) 0.564 12) -2.9813
9) 2.248
11) 0.12044
3. จา� นวนต่อไปน้ีจ�านวนใดเป็นจ�านวนตรรกยะ และจา� นวนใดเปน็ จ�านวนอตรรกยะ
1) √7 2) 0.4222...
3) 2.645 4) - 54
5) 132 6) 1
7) 2.052 8) -2.48
9) -6.1504 10) 4.131331333...
4. จ�านวนตอ่ ไปน้เี ปน็ รากท่ีสองของจ�านวนใด
1) -4 2) 0.11
3) 23 4) -0.2
5) -1.75 6) √13
7) -√0.5 8) - 53
9) √4.25 10) - 79
จ�านวนจรงิ 43
(เฉลย 2 แนวคดิ กำ�หนดให้ จำ�นวนนับทีม่ คี ่าน้อยท่ีสุดเปน็ x จำ�นวนนบั สามจ�ำ นวนที่เรยี งตอ่ กัน คือ x, x + 1, x + 2
ก�ำ ลงั สองของผลบวกของจำ�นวนนบั ท่ีเรยี งต่อกันสามจ�ำ นวนเท่ากบั 576
จะไดส้ มการ {x + (x + 1) + (x + 2)}2 = 576
(3x + 3)2 = 576
3x + 3 = √576
3x + 3 = 24
3x = 24 - 3
3x = 21
7231
x =
x =
ดงั น้ัน จำ�นวนนับที่มคี า่ น้อยที่สดุ คอื 7) 43 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
5. หารากที่สองของจ�านวนตอ่ ไปนี ้ โดยการแยกตวั ประกอบ
1) 1,225 2) 1,444
3) 3,025 4) 5,625
5) 6,084 6) 7,225
7) 9,604 8) 15,376
9) 20,449 10) 29,241
6. หารากทีส่ องทเี่ ป็นบวกของจ�านวนต่อไปน ้ี โดยการประมาณ
(ตอบเปน็ ทศนยิ มสองตา� แหนง่ )
1) 157 2) 1,240
3) 3,523 4) 4,259
5) 8,200 6) 17,802
7. กา� หนดให ้ √2 ≈ 1.414 และ √3 ≈ 1.732 หาคา่ ประมาณของจา� นวนตอ่ ไปน้ี
1) √512 2) -√48
3) 5√2 + 8√2 + 18 4) √363 + √75
8. จ�านวนต่อไปนเ้ี ปน็ รากที่สามของจ�านวนใด
1) -7 2) 0.02
3) 34
5) -2.40 4) -0.5
6) -1110
9. หารากท่สี ามของจ�านวนต่อไปนี้ โดยการแยกตวั ประกอบ
1) -512 2) -1,000
3) 1,331 4) 3413
5) 9,261 6) -0.008
7) 15.625 8) - 2,7944
10. ป้ายรูปสเ่ี หลี่ยมจตั รุ ัสมพี ้นื ที่ 3,025 ตารางเซนติเมตร รูปสี่เหลย่ี มรปู น้ีมคี วามยาวรอบรปู
กเ่ี ซนตเิ มตร
44 คณิตศาสตร์ ชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 2 เล่ม 2
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
1451 เขยี นใหอ้ ย่ใู นรูปทศนยิ มได้ตามข้อใด
1 0000....¶2124¶¶14¶54¶
2
3
4
สุดยอดคู่มือครู 44
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
11. A
25
B 7C
ก�าหนดรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC มีด้าน BC ยาว 7 หน่วย และ AC ยาว 25 หน่วย
หาความยาวรอบรูปของ △ ABC กา� หนด AC2 = AB2 + BC2
12. B
3x 5x
A 20 ซม. C
จากรูป หาความยาวด้าน AB และ AC โดยใช้ความสมั พนั ธ ์ AC2 = AB2 + BC2
(ตอบเป็นทศนิยมสองต�าแหนง่ )
13. กา� ลงั สามของจ�านวนจ�านวนหนึ่งมีค่าเท่ากบั -0.001331 จา� นวนนั้นเปน็ จา� นวนใด
14. กลอ่ งทรงลูกบาศกส์ องใบ ใบแรกมปี ริมาตร 15,625 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร ใบทส่ี องมปี รมิ าตร
10,648 ลกู บาศก์เซนติเมตร เม่ือนา� กลอ่ งทั้งสองใบมาวางซ้อนกันจะมีความสูงเทา่ ไร
จา� นวนจรงิ 45
(เฉลย 2 แนวคิด 45 ) 101..0204040... 45 สุดยอดคู่มือครู
90
200
1 80
200
180
ด ังน้ัน 4 151 = 0.2¶42)¶¶¶0
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
เปา้ หมายการเรยี นรู้
มาตรฐานการเรยี นรู้ 2หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลบั
มาตรฐาน ค 2.2
เข้าใจและวิเคราะห์รูปเรขาคณิต สมบัติ แผนผังสาระการเรียนรู้
ของรูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหว่าง
รปู เรขาคณติ และทฤษฎบี ททางเรขาคณติ
และน�ำ ไปใช้
สมรรถนะส�ำ คัญของผ้เู รยี น 1. สมบัตขิ อง 2. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
1. ความสามารถในการสอ่ื สาร รปู สามเหลี่ยมมุมฉาก
2. ความสามารถในการคิด
3. ความสามารถในการแก้ปญั หา ทฤษฎีบท
4. ความสามารถในการใชท้ ักษะชวี ิต พีทาโกรัส
5. ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี และบทกลับ
คุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ 4. การน�าไปใช้
ใฝ่เรียนรู้
ตัวชี้วัดท ่ี 4.1 ต้ังใจ เพียรพยายาม 3. บทกลับของ
ในการเรยี นและเขา้ รว่ มกจิ กรรมการเรยี นรู้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
มงุ่ มน่ั ในการทำ�งาน
ตวั ช้ีวดั ท่ ี 6.1 ตั้ ง ใ จ แ ล ะ รั บ ผิ ด ช อ บ ตัวชวี้ ดั
ในการปฏิบัตหิ น้าท่ีการงาน
ตวั ชว้ี ดั ท่ี 6.2 ทำ�งานด้วยความเพียร ✪ เข้าใจและใชท้ ฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับในการแกป้ ัญหาคณิตศาสตรแ์ ละปญั หาในชีวิตจรงิ
พยายามและอดทนเพื่อให้งานสำ�เร็จ (ค 2.2 ม.2/5)
ตามเป้าหมาย
สุดยอดคู่มือครู 46 บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21
นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน แต่ละกลุ่มร่วมกันศึกษาค้นคว้าเก่ียวกับ
วิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส กลุ่มละ 1 วิธี โดยจัดทำ�ในรูปแบบ
ของใบความรู้ขนาดกระดาษ A4 พร้อมตกแต่งให้สวยงาม น่าสนใจ และมี
ความถูกต้องตามหลักการทางคณิตศาสตร์ จากนั้นผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่ม
กลุม่ ละ 2 คน ออกมาน�ำ เสนอผลงานหน้าช้นั เรยี นพรอ้ มอธบิ ายประกอบ โดยมี
นกั เรยี นและครรู ว่ มกนั ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง นกั เรยี นรว่ มกนั คดั เลอื กผลงาน
ของแตล่ ะกลมุ่ ไปจดั แสดงหนา้ ชน้ั เรยี น เพอ่ื ใหน้ กั เรยี นชนั้ อน่ื ๆ ไดศ้ กึ ษาตอ่ ไป
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวชี้วัด รอบรู้อาเซียนและโลก
1. สมบัตขิ องรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ตวั ช้ีวัด
ก�าหนด ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ท่ีม ี AC^B เป็นมุมฉาก ค 2.2 ม.2/5
B ภาระงาน/ชนิ้ งาน
การหาความสัมพนั ธ์ของดา้ นของ
รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก
CA St St ep 1 ข้ันสังเกต
เรียก AB วา่ ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก รวบรวมขอ้ มลู
เรยี ก AC และ BC ว่า ดา้ นประกอบมุมฉาก
จะเห็นว่า ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากเปน็ ดา้ นที่ยาวทสี่ ุด 1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
นักเรียนพิจารณารูปสามเหล่ียมมุมฉากต่อไปน้ี และบอกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม โดยใช้ค�ำ ถามกระตนุ้ ความคดิ ดงั น้ี
ในแตล่ ะรปู
• นักเรียนมีวิธีการหรือหลักการ
M ในการหาความสัมพันธ์ของทฤษฎีบท-
F พีทาโกรัสระหว่างความยาวของด้าน
ต่าง ๆ ของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก
D EN O ไดอ้ ยา่ งไร
P QX Y 2. นักเรียนศึกษา สมบัตขิ อง
รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก
R
ep 2 ขนั้ คิดวิเคราะห์
Z
และสรปุ ความรู้
ทฤษฎีบทพีทาโกรสั และบทกลับ 47
3. นั ก เ รี ย น พิ จ า ร ณ า บั ต ร ภ า พ
• ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มชนิดใด (รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก) รูปสามเหลี่ยมมุมฉากบนกระดาน
• ความยาวด้านตรงขา้ มมมุ ฉากคอื ดา้ นใด (ดา้ น AB) แล้วใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ
• ความยาวดา้ นประกอบมุมฉากคือดา้ นใด (ด้าน AC และด้าน BC) นักเรียน ดงั นี้
A
bc
Ca B
47 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ข้นั คดิ วิเคราะห์
St ให ้ △ ABC เป็นรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ที่ม ี AC^B เปน็ มุมฉาก มี BC ยาว 5 หน่วย
และสรุปความรู้
AC ยาว 12 หน่วย และ AB ยาว 13 หน่วย
4. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ สรา้ งรปู สเ่ี หลีย่ มจัตรุ สั ABIH รปู สเ่ี หลยี่ มจัตุรสั BCED และรูปส่ีเหลย่ี มจัตรุ สั ACGF
บนดา้ น AB ดา้ น BC และดา้ น AC ตามลา� ดบั ดังรูป
I
นกั เรยี น ดงั นี้
• ถ้านักเรียนต้องการทราบพ้ืนที่
ของรูปสามเหลี่ยม ABC แต่นักเรียน H
ทราบแค่ความยาวของด้าน a และ c
หรือทราบแค่ความยาวด้าน b และ c
นั ก เ รี ย น จ ะ ส า ม า ร ถ ห า พื้ น ท่ี รู ป - BD
A CE
สามเหลยี่ มไดห้ รอื ไม ่ อยา่ งไร
(ได้ โดยใชท้ ฤษฎีบทพีทาโกรัส)
FG
จากรปู จะเหน็ ไดว้ า่
พน้ื ท่ีของรปู สเี่ หล่ยี มจตั ุรัส ABIH เท่ากบั 13 × 13 = 169 ตารางหน่วย
พน้ื ทีข่ องรปู ส่ีเหลี่ยมจตั ุรสั BCED เทา่ กบั 5 × 5 = 25 ตารางหน่วย
พื้นที่ของรปู สเ่ี หลี่ยมจตั ุรัส ACGF เทา่ กบั 12 × 12 = 144 ตารางหนว่ ย
ซ่งึ 169 = 25 + 144
ดงั น้นั พืน้ ทีข่ องรปู ส่ีเหล่ียมจตั รุ สั ABIH เทา่ กบั ผลบวกของพื้นท่ีของ
รูปส่ีเหล่ยี มจตั ุรสั BCED และพน้ื ที่ของรปู ส่ีเหลยี่ มจตั รุ สั ACGF
48 คณติ ศาสตร์ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2 เลม่ 2
สุดยอดคู่มือครู 48
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
Step 2 ขน้ั คิดวิเคราะห์
นน่ั คือ พ้นื ทข่ี องรูปสเี่ หลยี่ มจตั ุรสั บนด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก เท่ากบั ผลบวกของพื้นทีข่ อง และสรุปความรู้
รูปส่เี หลี่ยมจตั รุ ัสบนดา้ นประกอบมุมฉาก
5. นักเรียนพิจารณาบัตรภาพแสดง
แตพ่ ้ืนทขี่ องรปู ส่ีเหล่ียมจัตุรสั หาได้จาก ดา้ น × ด้าน ความสัมพันธ์ของรูปสามเหลี่ยม-
นกั เรียนจะเหน็ ว่า 13 × 13 = 132 = 169 มุมฉากกับพ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
5 × 5 = 52 = 25 ของแต่ละด้านของรูปสามเหล่ียม-
และ 12 × 12 = 122 = 144 มุมฉากบนกระดาน จากนั้นใช้คำ�ถาม
กระตนุ้ ความคิดของนกั เรยี น ดังนี้
จาก 169 = 25 + 144
จะได้ 132 = 52 + 122
ให้ △ DEF เปน็ รูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ทีม่ ี DF^E เป็นมมุ ฉาก ม ี EF ยาว 3 หนว่ ย FD ยาว 4 หน่วย
และ DE ยาว 5 หน่วย
สร้างรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัส DEAB รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัส EFMN และรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส FDXY
บนดา้ น DE ดา้ น EF และด้าน FD ตามลา� ดบั ดงั รปู A
NE B bc
a
MF D
• รปู สเ่ี หลยี่ มจัตรุ ัสดา้ น a หาพืน้ ที่
ไดอ้ ยา่ งไร (a Ö a หรอื a2)
จากรูป จะเหน็ ได้วา่ Y X • รปู สเี่ หลีย่ มจัตุรัสดา้ น b หาพื้นที่
ไดอ้ ยา่ งไร (b Ö b หรือ b2)
พื้นทขี่ องรปู สเี่ หลย่ี ม DEAB เทา่ กบั 5 × 5 = 25 ตารางหนว่ ย • รปู ส่ีเหล่ียมจตั รุ สั ดา้ น c หาพ้นื ที่
พ้นื ท่ขี องรปู ส่ีเหล่ียม EFMN เทา่ กับ 3 × 3 = 9 ตารางหน่วย ไดอ้ ยา่ งไร (c Ö c หรอื c2)
พ้ืนท่ขี องรูปส่ีเหลย่ี ม FDXY เทา่ กบั 4 × 4 = 16 ตารางหน่วย
ทฤษฎีบทพีทาโกรสั และบทกลับ 49 • นักเรียนสามารถเขียนแสดง
ความสมั พนั ธข์ องพนื้ ทข่ี องรปู สเี่ หลย่ี ม-
6. นักเรียนร่วมกันแสดงความคดิ เหน็ โดยใชค้ ำ�ถาม จัตุรัสบนด้าน a, b และ c ได้อย่างไร
กระตุ้นความคดิ ของนกั เรยี น ดงั น้ี
(c2 = a2 + b2)
• ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำ�ลังสอง
มีค่าเท่ากับผลบวกของด้านประกอบมุมฉาก
ยกกำ�ลังสองหรือไม่
(มคี ่าเท่ากนั )
49 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขั้นคดิ วิเคราะห์
St
และสรุปความรู้
ดงั นัน้ พน้ื ทีข่ องรูปสเ่ี หล่ยี มจัตรุ สั DEAB เทา่ กับผลบวกของพืน้ ทข่ี อง
รปู สเ่ี หลี่ยมจัตุรัส EFMN และพ้ืนท่ขี องรูปสเี่ หล่ียมจตั ุรสั FDXY
นน่ั คอื พ้นื ที่ของรปู ส่เี หล่ยี มจตั รุ สั บนดา้ นตรงข้ามมุมฉาก เทา่ กบั ผลบวกของพื้นทขี่ อง
7. นั ก เ รี ย น พิ จ า ร ณ า บั ต ร ภ า พ รปู ส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนดา้ นประกอบมุมฉาก
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 5 รูป ที่มี แตพ่ นื้ ท่ีของรปู สเ่ี หลี่ยมจตั รุ ัสหาได้จาก ดา้ น × ดา้ น
ความยาวของด้านประกอบมุมฉาก นกั เรียนจะเหน็ ว่า 5 × 5 = 52 = 25
กำ�กับบนกระดาน แล้วผู้แทนนักเรียน 3 × 3 = 32 = 9
ครั้งละ 2 คน ออกมาแสดงการวัด และ 4 × 4 = 42 = 16
จาก 25 = 9 + 16
จะได้ 52 = 32 + 42
ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
จากรูปสามเหล่ียมมุมฉากข้างต้น กล่าวได้ว่า ก�าลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของ
แลว้ บันทึกผลทไ่ี ด้ลงในตาราง ทำ�เชน่ นี้ ก�าลังสองของด้านประกอบมุมฉาก เพ่ือให้นักเรียนเข้าใจความสัมพันธ์น้ีมากขึ้น นักเรียนปฏิบัติกิจกรรม
จนครบทัง้ 5 ขอ้ โดยมนี กั เรยี นและครู ตอ่ ไปนี้
ร่วมกันตรวจสอบความถูกต้อง 1. กา� หนดรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉากมดี ้านตรงข้ามมุมฉากยาว c เซนตเิ มตร ด้านประกอบมุมฉาก
ยาว a และ b เซนติเมตร ในแต่ละข้อต่อไปน้ี เม่ือก�าหนดค่า a และ b ให้ดังรูป วัดความยาวของ
ด้านตรงข้ามมุมฉาก และหาค่าของ c แล้วตรวจสอบความสัมพันธ์วา่ c2 = a2 + b2 หรอื ไม่
1)
c 4 ซม.
3 ซม. +-÷ ×
+-÷ ×
a = 3 เซนตเิ มตร และ b = 4 เซนติเมตร c ยาวก่เี ซนติเมตร
2)
2.1 ซม. c
7.2 ซม.
a = 2.1 เซนติเมตร และ b = 7.2 เซนติเมตร c ยาวกเี่ ซนติเมตร
50 คณติ ศาสตร์ ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 2 เลม่ 2
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21
นักเรียนแต่ละคนเขียนแสดงความสัมพันธ์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสระหว่าง
ความยาวของด้านต่าง ๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คนละ 2 ข้อ จากนั้น
สลับผลงานกับเพื่อนข้าง ๆ เพ่ือร่วมกันตรวจสอบความถูกต้อง แล้วผู้แทน
นักเรียน 4-5 คน ออกมานำ�เสนอผลงานหน้าชั้นเรียน โดยมีนักเรียนและครู
ร่วมกันตรวจสอบความถูกต้อง
สุดยอดคู่มือครู 50
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgส่ือthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
Step 2 ข้ันคดิ วิเคราะห์
3) c และสรุปความรู้
2.8 ซม. 4.5 ซม. 8. นั ก เ รี ย น พิ จ า ร ณ า บั ต ร ภ า พ
รูปสามเหล่ียมมมุ ฉากอีก 4 รูป ที่เขยี น
a = 2.8 เซนตเิ มตร และ b = 4.5 เซนตเิ มตร c ยาวกเ่ี ซนตเิ มตร +-÷ × ด้านกำ�กับ จากน้ันผู้แทนนักเรียน
2 คน ออกมาเขียนแสดงความสัมพันธ์
4) ข อ ง ท ฤ ษ ฎี บ ท พี ท า โ ก รั ส ร ะ ห ว่ า ง
ความยาวของด้านต่าง ๆ ของ
c รูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น โดยมี
นักเรียนและครูร่วมกันตรวจสอบ
8 ซม. ความถกู ต้อง
6 ซม.
a = 6 เซนติเมตร และ b = 8 เซนติเมตร c ยาวกเ่ี ซนตเิ มตร +-÷ ×
5)
5 ซม. c
12 ซม. +-÷ ×
a = 5 เซนตเิ มตร และ b = 12 เซนติเมตร c ยาวกี่เซนตเิ มตร
ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั และบทกลบั 51
เสริมความรู้ ครูควรสอน จะได ้ yz2 = xz2 – xy2
พจิ ารณาตวั อยา่ งการหาความยาวของดา้ น yz2 = 102 – 62
ของรปู สามเหลี่ยมมุมฉากตอ่ ไปน้ี = 100 – 36
x = 64
yz2 = √64
6 10 yz = 8
เน่ืองจาก ความยาวตอ้ งเป็นจ�ำ นวนบวก
yz ดังน้นั yz = 8 หนว่ ย
ในการหาความยาวของดา้ นของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากอาจใชห้ ลกั การหารากทส่ี องของจ�ำ นวนจรงิ
วธิ ีทำ� จาก c2 = a2 + b2 แล้วตอบเป็นจำ�นวนบวก เนือ่ งจากความยาวตอ้ งเปน็ จำ�นวนบวกเทา่ นนั้
xz2 = xy2 + yz2
51 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ข้ันคดิ วเิ คราะห์
St
และสรปุ ความรู้ 2. เตมิ ค่า c ที่ได้จากขอ้ 1. และคา่ อ่ืน ๆ ที่ก�าหนดลงในตารางใหส้ มบรู ณ์ ลอกตารางลงในสมดุ
9. นั ก เ รี ย น พิ จ า ร ณ า บั ต ร ภ า พ ขอ้ a b c a2 b2 c2 a2 + b2 แล้วสังเกต
รูปสามเหล่ียมมุมฉากบนกระดาน 1) 3 4 ความสัมพนั ธ์
2) 2.1 7.2
จากนั้นใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิด 3) 2.8 4.5
ของนกั เรียน ดงั น้ี 4) 68
5) 5 12
B
ผลทไ่ี ดจ้ ากกจิ กรรมขา้ งตน้ นกั เรยี นจะเหน็ วา่ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งความยาวของดา้ นทง้ั สาม
ของรูปสามเหล่ียม จะมีค่า a2 + b2 ใกล้เคียงกับ c2 ย่ิงนักเรียนวัดความยาวได้แม่นย�าเที่ยงตรงเท่าไร
ไมว่ า่ จะสร้างรปู สามเหล่ยี มมุมฉากใด ๆ จะไดว้ า่ c2 = a2 + b2
เม่ือ c แทน ความยาวของด้านตรงข้ามมมุ ฉาก
15 a และ b แทน ความยาวของด้านประกอบมมุ ฉาก
A8C สมบตั ขิ องรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก
รูปสามเหลี่ยมมมุ ฉากใด ๆ กา� ลงั สองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เทา่ กบั ผลบวก
• เป็นการแสดงความยาวของด้าน ของก�าลังสองของความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก
ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้านใด
ใช้สมบัติของรูปสามเหล่ียมมุมฉากข้างต้น เขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความยาว
(แสดงความยาวของด้านประชิดมุมฉาก ของด้านทัง้ สามด้าน เมือ่ ก�าหนดความยาวแตล่ ะดา้ น ดงั นี้
ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คือ ด้าน AC 1. a 2. p
qr
ยาว 8 หน่วย และด้าน BCยาว 15 หน่วย) cb
• ด้ า น ต ร ง ข้ า ม มุ ม ฉ า ก ข อ ง
3. 4. 9c
รูปสามเหล่ียมนี้คอื ดา้ นใด (ด้าน AB) 12
• นักเรียนจะใช้ความสัมพันธ์ใด 30
m 24
ในการหาความยาวของดา้ น AB
(ใช้ทฤษฎบี ทพที าโกรสั ) 52 คณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 2 เลม่ 2
จากน้ันนักเรียนพิจารณาขั้นตอน
ในการหาความยาวของด้านตรงข้าม-
มุมฉากของรูปสามเหลี่ยม โดยใช้
การถาม-ตอบ ประกอบการอธิบาย
สุดยอดคู่มือครู 52
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ขั้นSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
ep 2 ข้นั คดิ วเิ คราะห์St
นักเรียนสามารถหาความยาวของด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ต้องการทราบได ้ และสรุปความรู้
เม่ือทราบความยาวของด้านอีกสองด้านของรูปสามเหลี่ยมน้ัน โดยใช้สมบัติของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก
ดังตัวอย่างตอ่ ไปนี้ 10. นักเรียนพิจารณาตัวอย่างการหา
1ตวั อยา่ งท่ี + -- ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม-
มุมฉากเพ่ิมเติม 6 ตัวอย่าง โดยใช้
จากรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากท่กี า� หนด หาค่าของ c การถาม-ตอบ ประกอบการอธบิ าย
11. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
9c
12 โดยใช้คำ�ถามกระตุ้นความคิดของ
นกั เรยี น ดังนี้
วธิ ที า� จากความสมั พันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก • ความยาวด้าน AC มีค่าเปน็
จะได ้ c2 = 92 + 122 จ�ำ นวนบวกหรือจำ�นวนลบ
= 81 + 144 เพราะเหตใุ ด (มคี า่ เป็นจำ�นวนบวก
= 225
c = 15 เพราะความยาวไม่สามารถเป็นค่าลบได้)
ดงั นนั้ c เท่ากบั 15 หนว่ ย
2ตัวอย่างท่ี + --
จากรูปสามเหล่ียมมุมฉากทก่ี �าหนด หาคา่ ของ b
17
b 15
วิธีทา� จากความสมั พันธ์ระหวา่ งความยาวของดา้ นของรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก
จะได ้ 172 = 152 + b2
b2 = 172 - 152
= 289 - 225
= 64
b = 8
ดงั นนั้ b เทา่ กับ 8 หน่วย
ทฤษฎีบทพที าโกรัสและบทกลับ 53
แนวข้อสอบ O-NET/PISA
A b B จากรูป ขอ้ ใดกลา่ วไม่ถูกตอ้ ง
1 a2 = b2 + c2 2 c2 = a2 + b2
3 b2 = a2 – c2 4 c2 = a2 – b2
(เฉลย 2 แนวคิด เนอ่ื งจาก ABC เปน็ รปู สามเหล่ียมมุมฉาก
a c และจากทฤษฎีบทพที าโกรสั
จะได ้ AC2 = AB2 + BC2
a2 = b2 + c2
หรือ b2 = a2 - c2
C หรอื c2 = a2 - b2) 53 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ข้ันคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 3 ข้นั ปฏิบตั ิ
St และสรปุ ความรู้
หลังการปฏบิ ัติ 3ตัวอย่างที่ + --
12. นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 4-5 คน จากรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉากที่ก�าหนด หาค่าของ a
แตล่ ะกลุ่มรับบัตรโจทย์ กลุ่มละ 2 ข้อ a
แ ล้ ว นั ก เ รี ย น แ ต่ ล ะ ก ลุ่ ม ร่ ว ม กั น 10 6
แสดงวิธีการหาความยาวด้านของ
รู ป ส า ม เ ห ล่ี ย ม ห รื อ รู ป ส่ี เ ห ล่ี ย ม วิธที า� จากความสัมพนั ธ์ระหวา่ งความยาวของด้านของรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก
ท่ีกำ�หนดลงในกระดาษเปล่า จากน้ัน จะได้ 102 = a2 + 62
สลับผลงานกับกลุ่มอื่น เพ่ือร่วมกัน a2 = 102 - 62
ตรวจสอบและแก้ไข = 100 - 36
13. นักเรียนร่วมกันสรุปส่ิงที่เข้าใจเป็น = 64
ความรรู้ ่วมกัน ดังนี้ a = 8
ดังน้ัน a เทา่ กบั 8 หนว่ ย
• รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากใด ๆ พื้นท่ี 4ตัวอย่างท่ี + --
ของรปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั บนดา้ นตรงขา้ ม-
มุมฉากเท่ากับผลบวกของพื้นท่ีของ จากรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากท่ีก�าหนด หาคา่ ของ c
รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบ- 3.2 2.4
มุมฉาก
ทฤษฎบี ทพที าโกรัส c
c2 = a2 + b2
โดยท่ี a, b เป็นความยาวของ วธิ ที า� จากความสมั พนั ธ์ระหวา่ งความยาวของดา้ นของรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก
ด้านประกอบมุมฉาก จะได้ c2 = (3.2)2 + (2.4)2
c เป็นความยาวของ = 10.24 + 5.76
ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก = 16
c = 4
ดังนนั้ c เท่ากับ 4 หนว่ ย
เม่ือ a, b และ c เปน็ จ�ำ นวนจริงบวก
ใด ๆ
54 คณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 2 เล่ม 2
แนวข้อสอบ O-NET/PISA จากรูป ความยาวรอบรูปของรูปสามเหล่ียม
A ABC เท่ากบั เท่าใด
1 25.8 เซนติเมตร
9.6 ซม. 12 ซม. 2 26.8 เซนติเมตร
3 27.8 เซนตเิ มตร
4 28.8 เซนติเมตร
สุดยอดคู่มือครู 54 BC
A ขั้นปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขinั้นgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพgื่อuเพlaิ่มtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
Step 4
แบบฝกึ หัดท่ี 1 ขน้ั สอ่ื สารและนำ� เสนอ
1. แสดงความสมั พนั ธร์ ะหว่างความยาวของดา้ นทั้งสามของรปู สามเหลีย่ มมุมฉากในแตล่ ะข้อ 14. ผู้แทนนักเรียนแต่ละกลุ่ม กลุ่มละ
ต่อไปนี ้ เมื่อตวั อักษรท่ีกา� กับดา้ นเปน็ ความยาวของดา้ นของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก 2 คน ออกมานำ�เสนอผลงาน
หน้าช้ันเรียนพร้อมอธิบายประกอบ
1) 2) โ ด ย มี นั ก เ รี ย น แ ล ะ ค รู ร่ ว ม กั น
ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
xy ca
z b +-÷ ×
3) 4) p
o
mn qr
+-÷ ×
2. จ�านวนทก่ี �าหนดในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี เป็นความยาวของด้านประกอบมมุ ฉาก
ของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก หาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
1) 7, 24 2) 20, 21
3) 10, 24 4) 72, 12
5) 4.5, 6 6) 2.1, 7.2
3. ตัวเลขทกี่ า� กบั ดา้ นแสดงความยาวของดา้ นของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉากทก่ี �าหนด
หาความยาวของดา้ นที่เหลือ
1) 2) 30
12 35
34
+-÷ ×
ทฤษฎีบทพที าโกรสั และบทกลับ 55
(เฉลย 4 แนวคิด AC2 = AB2 + BC2
122 = (9.6)2 + BC2
BC2 = 122 - (9.6)2
= 144 - 92.16
= 51.84
= 7.2 Ö 7.2
BC = 7.2
ดังนน้ั ความยาวรอบรูปของ ABC = 9.6 + 7.2 + 12 = 28.8 เซนตเิ มตร)
55 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ข้ันสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษท่ี 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
5ep ขั้นประเมินเพอื่ เพิ่มคุณคา่
St บริการสงั คม
และจติ สาธารณะ
3) 4)
15. นักเรียนนำ�ความรู้ไปแนะนำ�เพื่อน 1.2 7
ที่ยังไม่เข้าใจเก่ียวกับสมบัติของ 25
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้เกิดความ +-÷ ×
เขา้ ใจยง่ิ ขึน้ 0.9
+-÷ ×
5) 6) 6.1
20 1.1
29
4. ตัวเลขทีก่ �ากับดา้ นของรปู สามเหลี่ยมมุมฉากที่กา� หนด แสดงความยาวของด้าน หาค่าของ x
1) 2) 2 4
8 10
25 x
แนวข้อสอบ O-NET/PISA x +-÷ ×
+-÷ ×
ค่าของ x ในขอ้ ใดมีคา่ น้อยท่ีสดุ 3) 4)
1 A
x9 18 x
7 25 24
12
Bx C 5) x 6) 12
x
2 D 100 80 12
x 29 +-÷ ×
E 20 F 56 คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เลม่ 2
G
3 10 (เฉลย 2 แนวคิด 1 x2 = 252 - 72 2 x2 = 292 - 202
= 625 - 49 = 841 - 400
26 = 576 = 441
= 24 Ö 24 = 21 Ö 21
Ix H x = 24 x = 21
J 3 x2 = 262 - 102 4 x2 = 302 - 182
4 = 676 - 100 = 900 - 324
x = 576 = 576
30 = 24 Ö 24 = 24 Ö 24
x = 24 x = 24
L 18 K ดงั นัน้ x = 21 มคี า่ น้อยทีส่ ุด)
สุดยอดคู่มือครู 56
A ข้ันปฏิบัติและสรุปความรู้หลังการปฏิบัติ Applyขin้ันgสื่อthสeารCแoลmะนm�ำuเnสiนcaอtion Skill ข้ันSปeรlะfเม-Rินeเพg่ือuเพla่ิมtคinุณgค่า
pplying and Constructing the Knowledge
เสริมความรู้ ครูควรสอน ตัวช้ีวัด รอบรู้อาเซียนและโลก
2. ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส ตวั ชีว้ ัด
นกั เรยี นปฏบิ ัติกิจกรรมต่อไปนี้ ค 2.2 ม.2/5
1. กา� หนดรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC ทมี่ ี AC^B เปน็ มมุ ฉาก
ภาระงาน/ชน้ิ งาน
B
การหาพ้ืนท่ีและความยาวด้านของ
รปู สามเหลยี่ ม โดยใชท้ ฤษฎบี ทพที าโกรสั
CA St St ep 1 ขนั้ สงั เกต
2. สร้างรปู สีเ่ หล่ยี มจตั ุรสั ABUT รูปสี่เหลีย่ มจตั ุรสั BCOP และรูปสี่เหลย่ี มจัตุรสั ACRS รวบรวมขอ้ มูล
บนดา้ น AB ด้าน BC และดา้ น AC ตามลา� ดบั ดังรูป
1. นักเรียนร่วมกันแสดงความคิดเห็น
U โดยใชค้ �ำ ถามกระตุ้นความคิด ดังนี้
PB T • นักเรียนจะนำ�ความรู้เรื่อง การหา
OC A พนื้ ทขี่ องรปู สามเหลยี่ มและรปู สเ่ี หลย่ี ม
โดยใช้ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั ไปประยุกต์ใช้
RS ในเรอื่ งใดไดอ้ ีกบา้ ง
ทฤษฎีบทพีทาโกรสั และบทกลบั 57 2. นักเรียนศกึ ษา ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั
ep 2 ขั้นคิดวิเคราะห์
และสรุปความรู้
3. นกั เรยี นพจิ ารณาตวั อยา่ งสอื่ การเรยี นรู้
คณิตศาสตร์ ชุด กระดานไม้และ
ตั ว เ ล่ น แ ผ่ น ไ ม้ แ ส ด ง ท ฤ ษ ฎี บ ท -
พีทาโกรัส จากน้ันใช้คำ�ถามกระตุ้น
ความคดิ ของนักเรียน ดงั น้ี
• จากส่ือ ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากกับความยาวของด้านประกอบ-
มมุ ฉากของรปู สามเหลี่ยมมุมฉากมคี วามสัมพนั ธก์ นั อย่างไร
(ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำ�ลังสองมีค่าเท่ากับผลบวกของกำ�ลังสองของ
ด้านประกอบมมุ ฉากทั้งสองด้าน)
ทฤษฎบี ทพที าโกรสั
และบทกลับ
57 สุดยอดคู่มือครู
GPAS 5 Steps ขั้นสังGเกตatรhวeบrรiวnมgข้อมูล ขั้นคิดวิPเคrรoาcะหe์แsลsะiสnรgุปความรู้
บูรณาการทักษะศตวรรษที่ 21 แนวข้อสอบ O-NET/PISA
ep 2 ขั้นคดิ วเิ คราะห์
St
และสรปุ ความรู้ 3. ใช้กรรไกรตดั รปู สเ่ี หล่ียมจตั ุรัส BCOP และรปู ส่ีเหล่ียมจตั ุรัส ACRS แยกออกมา แลว้ ตดั
รปู สีเ่ หลีย่ ม ACRS ตามรอยเสน้ ประ จะได้กระดาษ 5 ชิ้นสว่ น
4. นกั เรยี นพจิ ารณาตวั อยา่ งสอื่ การเรยี นรู้ U
คณติ ศาสตร์ ชดุ กระดานไมก้ ลวงบรรจุ
เม็ดทรายละเอียด แสดงทฤษฎีบท-
พีทาโกรัส จากนั้นใช้คำ�ถามกระตุ้น PB T
ความคดิ ของนกั เรยี น ดังนี้
1
O C 2A
35
4
RS
• จากสอื่ ความยาวของดา้ นตรงขา้ ม- 4. น�าชิ้นส่วนที่ 1 , 2 , 3 , 4 และ 5 วางบนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ABUT นักเรียนคิดว่า
มมุ ฉากกบั ความยาวของดา้ นประกอบ- ชิน้ ส่วนท้ังห้าชนิ้ วางบนรปู สี่เหล่ยี มจัตรุ สั ABUT ได้พอดีหรอื ไม่
มุมฉากของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก 5. ถ้าชิ้นส่วนท้ังห้าชิ้นวางบนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABUT ได้พอดี นักเรียนคิดว่าเป็นการยืนยัน
มีความสัมพันธ์กันอย่างไร (ความยาว สมบตั ขิ องรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากได้หรอื ไม่
เมอ่ื วางช้นิ ส่วนทงั้ หา้ บนรปู ส่เี หลี่ยมจตั ุรัส ABUT จะเปน็ ดังนี้
ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากยกก�ำ ลงั สองมคี า่ เทา่ กบั
U
ผลบวกของกำ�ลังสองของด้านประกอบ-
5
มมุ ฉากท้งั สองดา้ น)
จากน้ันนักเรียนร่วมกันพิจารณา 2 1 4T
B
เพ่ิมเติมเกี่ยวกับความสัมพันธ์ข้างต้น
ว่าเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส 3
A
58 คณติ ศาสตร์ ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 2 เลม่ 2
สุดยอดคู่มือครู 58
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
9786160548286
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search