คณิตหลัก ม.5

คู่มือครู

Teacher Script

คณติ ศำสตร์ ม.5

ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 5

ตามมาตรฐานการเรียนรู้และตัวชวี้ ดั
กลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560)
ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551

ผ้เู รียบเรียงหนังสือเรยี น ผ้ตู รวจหนงั สือเรียน บรรณาธกิ ารหนังสือเรยี น
Dr.Yeap Ban Har นางจนิ ดา อย่เู ปน็ สุข นางสาวจนั ทรเ์ พ็ญ ชมุ คช
Asst. Prof. Dr.Choy Ban Heng นายรณชัย มาเจรญิ ทรัพย์
Dr.Joseph Yeo Boon Wooi นางสาวบรู นาถ เฉยฉิน
Mr.Teh Keng Seng
นายทวีศกั ด์ิ จันทรมณี บรรณาธิการคมู่ ือครู
นางสาวนุศรา ชมเชย
ผูเ้ รยี บเรยี งคมู่ ือครู นางสาววรรณทัศน ์ เลิศอภิสิทธิ
นางสาวจนั ทร์เพ็ญ ชุมคช
นางสาววลยั ลกั ษณ์ เพช็ รดี

พิมพครง้ั ท่ี 1
สงวนลขิ สิทธิ์ตามพระราชบญั ญตั ิ

รหสั สินคา 3546008

ค�ำแนะน�ำกำรใช้

คมู่ อื คร ู รายวชิ าพนื้ ฐาน คณติ ศาสตร ์ ม.5 เลม่ น ้ี จดั ทา� ขนึ้ สา� หรบั
ใหค้ รผู สู้ อนใชเ้ ปน็ แนวทางวางแผนการจดั การเรยี นการสอน เพอื่ พฒั นา
ผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนและการประกันคุณภาพผู้เรียนตามนโยบาย
ของส�านกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพ้ืนฐาน (สพฐ.)

เพิ่ม คาํ แนะนําการใช้ ช่วยสร้างความเข้าใจ เพื่อใช้คู่มือครูได้
อยา่ งถูกต้องและเกิดประสิทธภิ าพสูงสดุ
นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ โซน 1

เพิ่ม คําอธิบายรายวิชา แสดงขอบขา่ ยเนอ้ื หาสาระของรายวิชา ขนั้ นาํ (Deductive Method)
ซง่ึ ครอบคลมุ มาตรฐานการเรยี นรแู้ ละตวั ชวี้ ดั ตามทห่ี ลกั สตู ร
กาํ หนดขอบเขตของปญ หา
กา� หนด 1. ครูกระตุนความสนใจของนักเรียน โดยให

เพิ่ม Pedagogy ช่วยสร้างความเข้าใจในกระบวนการออกแบบ นักเรียนดูภาพหนาหนวยการเรียนรูท่ี 1 ใน
การจัดการเรียนการสอนแบบ Active Learning ได้อย่างมี หนังสือเรียน หนา 2 แลวรวมกันสนทนาใน
ประสทิ ธิภาพ ชัน้ เรียนถงึ ประโยชนของคารบอน-14 (C-14)
ในการคํานวณหาอายุของวัตถุโบราณ จากนนั้
ครูอธิบายเพิ่มเติมวา “ธาตุกัมมันตรังสี
นอกจากจะใชคารบอน-14 (C-14) ในดาน
ธรณวี ทิ ยาแลว ยงั สามารถนาํ มาใชป ระโยชนใ น
ชวี ติ จรงิ ไดห ลายดา น เชน การใชไ อโอดนี -131
(I-131) ในดานการแพทย การใชโ คบอลต-60
(Co-60) ในดา นการถนอมอาหาร”

เพม่ิ Teacher Guide Overview ช่วยให้เหน็ ภาพรวมของการ
จัดการเรียนการสอนท้ังหมดของรายวิชาก่อนท่ีจะลงมือ
สอนจริง

เพม่ิ Chapter Overview ชว่ ยสรา้ งความเขา้ ใจและเหน็ ภาพรวม
ในการออกแบบแผนการจัดการเรยี นร้แู ต่ละหน่วย

เพมิ่ ข้อสอบเน้นการคิด/ข้อสอบแนว O-NET เพื่อเตรียม เกร็ดแนะครู กิจกรรม เสรมิ สรางคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค
ความพร้อมของผเู้ รียนสกู่ ารสอบในระดับต่าง ๆ
การเรยี นการสอนของหนวยการเรียนรูที่ 1 เร่ือง เลขยกกาํ ลัง ครูควรเลอื ก ครูควรปลูกฝงใหนักเรียนมีระเบียบวินัย เชน การแตงกายมา
เพิ่ม กจิ กรรม 21st Century Skills กจิ กรรมที่จะชว่ ยพฒั นา ใชว ธิ กี ารถาม-ตอบนกั เรยี น และยกตวั อยา งสถานการณใ กลต วั หรอื สถานการณ โรงเรียนใหถูกระเบียบ และกอนเร่ิมเรียนช่ัวโมงแรกครูอาจสราง
ผู้เรียนให้มีทักษะที่จ�าเป็นส�าหรับการเรียนรู้และการด�ารงชีวิต ในชีวิตประจําวันของนักเรียนเปนกรณีศึกษา จนเกิดเปนความรู ความเขาใจ ขอตกลงกับนักเรียนเกี่ยวกบั ความมวี ินยั เชน การสงการบา นหรือ
ในโลกแห่งศตวรรษที่ 21 และนาํ ความรทู ีไ่ ดไ ปประยกุ ตใ ชใ นชีวติ ประจาํ วนั ช้ินงานควรสงตรงตามเวลาที่กําหนด หากใครสงไมตรงตามเวลา
อาจถูกตัดคะแนนความรับผิดชอบ (ครูและนักเรียนรวมกันสราง
ขอตกลงดงั กลา ว)

โซน 3

โซน 2

T4

โซน 1 ชว่ ยครจู ดั โซน 2 ช่วยครเู ตรียมสอน

กำรเรียนกำรสอน โดยประกอบด้วยองคป์ ระกอบตา่ ง ๆ ที่เป็นประโยชนส์ า� หรับ
แนวทางการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนให้ครูผู้สอน ครู เพือ่ น�าไปประยกุ ต์ใช้จัดกจิ กรรมการเรยี นร้ใู นชนั้ เรียน
โดยแนะนา� ขัน้ ตอนการสอน และการจดั กจิ กรรมอย่างละเอยี ด
เพอื่ ให้นักเรยี นบรรลุผลสัมฤทธติ์ ามตวั ช้วี ัด เกร็ดแนะครู

นำ� สอน สรปุ ประเมนิ ความรู้เสริมส�าหรับครู ข้อเสนอแนะ ข้อสังเกต แนวทางการจัด
กิจกรรมและอ่นื ๆ เพื่อประโยชน์ในการจดั การเรยี นการสอน

นักเรยี นควรรู้

ความรเู้ พมิ่ เตมิ จากเนอื้ หา สา� หรบั อธบิ ายเสรมิ เพมิ่ เตมิ ใหก้ บั นกั เรยี น

โดยใช ้ หนงั สือเรยี นรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร ม.5 และแบบฝกหดั คณิตศาสตร ม.5 ของบริษทั อักษรเจริญทศั น์
อจท. จ�ากดั เป็นสือ่ หลกั (Core Materials) ประกอบการสอนและการจดั กจิ กรรมการเรียนรู ้ เพือ่ ใหส้ อดคล้องกับมาตรฐาน
การเรยี นร้แู ละตวั ชี้วัดของกลุม่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษา
ขน้ั พื้นฐาน พทุ ธศักราช 2551 ซงึ่ คูม่ ือครูเลม่ นมี้ ีองค์ประกอบทง่ี า่ ยตอ่ การใชง้ าน ดงั น้ี

โซน 1 นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ โซน 3 ช่วยครเู ตรยี มนกั เรยี น

หนว่ ยกำรเรยี นรูท้ ี่ 1 ขนั้ นาํ ประกอบด้วยแนวทางส�าหรับการจัดกิจกรรมและ
เสนอแนะแนวขอ้ สอบ เพอ่ื อา� นวยความสะดวกใหแ้ กค่ รผู สู้ อน
เลขยกกำ� ลงั กาํ หนดขอบเขตของปญ หา
คาร์บอน-14 (C-14) เป็นธาตุกัมมันตรัง1สีท่ี 2. ครูใหนักเรียนยกตัวอยางการใชเลขยกกําลัง กิจกรรม 21st Century Skills
พบได้ในวตั ถตุ า่ ง ๆ เกือบทกุ ชนดิ บนโลก ซ่ึงมี
ท่ีพบเหน็ ในชวี ติ จริง กิจกรรมที่ให้นักเรียนได้ประยุกต์ใช้ความรู้ท่ีเรียนรู้มาสร้าง
(แนวตอบ นกั เรยี นสามารถตอบไดห ลากหลาย ช้ินงาน หรือท�ากิจกรรมรวบยอดเพ่ือให้เกิดทักษะท่ีจ�าเป็น
ตามพ้ืนฐานความรู เชน การคาํ นวณดอกเบีย้ ในศตวรรษท่ ี 21
ทบตน การเพ่มิ จํานวนของแบคทีเรยี )
หมายเหตุ : ครอู าจใหนักเรียนทําแบบทดสอบ ข้อสอบเนน้ การคิด
พื้นฐานกอ นเรยี น โดยการสแกน QR Code
ในหนงั สือเรียน หนา 3 ตัวอย่างข้อสอบท่ีมุ่งเน้นการคิด มีท้ังปรนัย-อัตนัย พร้อม
เฉลยอย่างละเอยี ด
ประโยชน์ทางด้านธรณีวิทยา สามารถน�ามา
คซ�าานกฟวณอสหซาิลอตาย่างุขอๆงวไัตดถ้ ุโโบดยรากณารใแชล้คะ่าอคารย่ึงชุขีวอ2ิตง ขอ้ สอบเน้นการคิดแนว O-NET
ซงึ่ คา� นวณไดจ้ ากสูตร
Nเร่ิมต้น ตัวอย่างข้อสอบที่มุ่งเน้นการคิดวิเคราะห์ และสอดคล้องกับ
Nเหลอื = 2 Tt21 แนวข้อสอบ O-NET มีทั้งปรนัย-อัตนัย พร้อมเฉลยอย่าง
ละเอียด
เมื่อ Nเหลือ = ปรมิ าณของกมั มนั ตรงั สที เี่ หลอื
Nเร่มิ ตน้ = ปรมิ าณของกมั มนั ตรงั สเี รม่ิ ตน้ กจิ กรรมเสริมสร้างคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์
T = เวลาทีใ่ ชใ้ นการสลายตัว
กิจกรรมท่ีมุ่งเน้นการพัฒนาคุณภาพผู้เรียนด้านคุณธรรม
t21 = ครง่ึ ชวี ติ จรยิ ธรรม ค่านยิ ม ตามทห่ี ลักสตู รกา� หนด

ตวั ชี้วัด กจิ กรรมทา้ ทาย
• เขา้ ใจความหมายและใชส้ มบัตเิ กยี่ วกับการบวก การคณู
เสนอแนะแนวทางการจดั กจิ กรรม เพอ่ื ตอ่ ยอดสา� หรบั นกั เรยี น
การเทา่ กัน และการไมเ่ ท่ากันของจา� นวนจริงในรูปกรณฑ์ ทเ่ี รยี นรไู้ ด้อยา่ งรวดเรว็ และตอ้ งการท้าทายความสามารถใน
และจา� นวนจริงในรูปเลขยกกา� ลังท่มี เี ลขชก้ี �าลงั เป็น ระดับท่ีสงู ขึ้น
จา� นวนตรรกยะ (ค 1.1 ม.5/1)
กิจกรรมสรา้ งเสริม
สำระกำรเรยี นรู้แกนกลำง Recall
• รากที่ n ของจ�านวนจริง เสนอแนะแนวทางการจัดกิจกรรมซ่อมเสริมส�าหรับนักเรียน
ที่ควรไดร้ ับการพฒั นาการเรียนรู้
เมือ่ n เปน็ จา� นวนนบั ทมี่ ากกว่า 1
• เลขยกกา� ลังทีม่ เี ลขชก้ี �าลัง เฉลยละเอยี ด

เป็นจา� นวนตรรกยะ หนังสอื เรียน คณติ ศาสตร์ ม.5
สามารถเขา้ ไปดาวน์โหลดไดท้ ี่
กิจกรรม 21st Century Skills นักเรียนควรรู
www.aksorn.com
ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-5 คน รวมกันสืบคนจาก 1 ธาตุกัมมันตรังสี (radioactive element) หมายถึง ธาตุท่ีสามารถ
อินเทอรเน็ตในหัวขอ “เลขยกกําลังที่พบเห็นในชีวิตจริง” มา แผรังสีออกมาไดเองเน่ืองดวยนิวเคลียสของอะตอมไมเสถียร และเปนธาตุท่ีมี
กลุมละ 1 เร่ือง จากน้ันใหนักเรียนแตละกลุมออกมานําเสนอ เลขอะตอมสูงกวา 82
หนาช้นั เรยี น โดยใชโปรแกรม Microsoft PowerPoint 2 คาคร่ึงชีวิต (half life) หมายถึง ระยะเวลาท่ีธาตุกัมมันตรังสีสลายตัว
หมายเหตุ : ครูควรจัดกลุมนักเรียนโดยคละความสามารถทาง จนเหลือคร่งึ หนง่ึ ของปรมิ าณท่ีมอี ยูเดมิ ใชสัญลกั ษณเปน t12
คณิตศาสตรของนักเรียน (ออน ปานกลาง และเกง) ใหอยูกลุม
เดยี วกนั

โซน 3

โซน 2

T5

บรู ณาการอาเซียน

ความรู้เสริมหรือการเชื่อมโยงในเรื่องท่ีเก่ียวข้องกับประชาคม
อาเซยี น

สือ่ Digital

แนะนา� แหล่งเรยี นรู้และแหลง่ ค้นคว้าจากสื่อ Digital ตา่ ง ๆ

แนวทางการวัดและประเมนิ ผล

เสนอแนะแนวทางการบรรลุผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนของนักเรียน
ตามมาตรฐานการเรยี นรแู้ ละตัวชว้ี ดั ท่ีหลักสตู รกา� หนด

ค�ำอธิบายรายวิชา

คณิตศาสตร ์ กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์
เวลาเรียน 80 ชว่ั โมง/ปี
ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 5

ศึกษาเก่ียวกับรากท่ี n ของจำ� นวนจริง เลขยกกำ� ลังที่มีเลขช้ีกำ� ลังเป็นจำ� นวนตรรกยะ ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
กราฟของความสมั พนั ธแ์ ละฟงั กช์ นั กราฟของสมการและอสมการและการนำ� ไปใช้ ฟงั กช์ นั เชงิ เสน้ ฟงั กช์ นั กำ� ลงั สอง ฟงั กช์ นั
เอกซโ์ พเนนเชยี ล ฟงั กช์ นั ขนั้ บนั ได ความหมายของลำ� ดบั การหาพจนท์ ว่ั ไปของลำ� ดบั จำ� กดั ลำ� ดบั เลขคณติ ลำ� ดบั เรขาคณติ
อนุกรมเลขคณิต อนกุ รมเรขาคณิต ดอกเบี้ยคงต้น ดอกเบย้ี ทบต้น มูลค่าของเงิน คา่ รายงวด
โดยการจัดประสบการณ์หรือสร้างสถานการณ์ในชีวิตประจ�ำวันท่ีใกล้ตัวให้ผู้เรียนได้ศึกษา ค้นคว้า ฝึกทักษะ
โดยการปฏบิ ัติจรงิ ทดลอง สรุป รายงาน เพอ่ื พฒั นาทกั ษะ กระบวนการในการคิดคำ� นวณ การแก้ปญั หา การให้เหตุผล
การส่อื ความหมายทางคณติ ศาสตร์และน�ำประสบการณด์ า้ นความรู้ ความคิด ทักษะและกระบวนการที่ไดไ้ ปใช้ในการเรียนรู้
สิ่งต่าง ๆ และใชใ้ นชวี ิตประจำ� วันอยา่ งสรา้ งสรรค์
เพ่ือให้เห็นคุณค่าและมีเจตคติท่ีดีต่อคณิตศาสตร์ สามารถท�ำงานได้อย่างเป็นระบบ มีระเบียบ รอบคอบ มีความ
รบั ผิดชอบ มีวิจารณญาณ มคี วามคิดริเริ่มสรา้ งสรรค์ และมีความเช่ือมน่ั ในตนเอง

ตัวชวี้ ดั
ค 1.1 ม.5/1 เข้าใจความหมายและใชส้ มบัตเิ กี่ยวกับการบวก การคณู การเทา่ กนั และการไมเ่ ท่ากันของจำ� นวนจรงิ
ในรปู กรณฑ์ และจำ� นวนจริงในรูปเลขยกกำ� ลังท่ีมเี ลขช้ีก�ำลังเป็นจ�ำนวนตรรกยะ
ค 1.2 ม.5/1 ใชฟ้ งั กช์ ันและกราฟของฟงั ก์ชนั อธบิ ายสถานการณ์ท่ีก�ำหนด
ค 1.2 ม.5/2 เขา้ ใจและน�ำความรเู้ ก่ียวกบั ลำ� ดบั และอนกุ รมไปใช้
ค 1.3 ม.5/1 เข้าใจและใชค้ วามร้เู กยี่ วกบั ดอกเบี้ยและมลู คา่ ของเงนิ ในการแกป้ ญั หา
รวม 4 ตัวชว้ี ดั

Pedagogy

คูม่ ือครู รายวิชาพ้ืนฐาน

คณ ิตศาสตร์ ม.5 รวมถงึ สอื่ การเรยี นรรู้ ายวชิ าพนื้ ฐาน คณติ ศาสตร์ ชนั้ ม.5 ผจู้ ดั ทำ� ไดอ้ อกแบบการสอน
(Instructional Design) อันเป็นวิธีการจัดการเรียนรู้และเทคนิคการสอนท่ีเปี่ยมด้วยประสิทธิภาพและมีความหลากหลาย
ใหก้ ับผู้เรียน เพือ่ ใหผ้ เู้ รียนสามารถบรรลผุ ลสัมฤทธต์ิ ามมาตรฐานการเรยี นรแู้ ละตัวชวี้ ดั รวมถงึ สมรรถนะและคณุ ลักษณะ
อันพึงประสงค์ของผู้เรียนที่หลักสูตรก�ำหนดไว้ โดยครูสามารถน�ำไปใช้ส�ำหรับจัดการเรียนรู้ในช้ันเรียนได้อย่างเหมาะสม
ส�ำหรบั Pedagogy หลกั ท่ีนำ� มาใชอ้ อกแบบกิจกรรมการเรยี นรปู้ ระกอบดว้ ย

รูปแบบการสอน Concept Based Teaching

ขน้ั การใช้ความร้เู ดมิ เชือ่ มโยงความรู้ใหม่ ขนั้ เขา้ ใจ

1 Prior Knowledge 2 Knowing 3 Understanding 4 Doing

ข้ันรู้ ขนั้ ลงมือทำ�

เลอื กใช้รปู แบบการสอนโดยยึดผ้เู รยี นเปน็ ศูนยก์ ลาง : Concept Based Teaching เน่ืองจากคณติ ศาสตร์เป็นวชิ า
ทีเ่ ปน็ เครอื่ งมือในการด�ำเนินชวี ิต โดยอาศัยหลกั การและความคิดรวบยอดตา่ ง ๆ เพือ่ ประยุกต์ใช้ ดงั น้ัน Concept Based
Teaching เป็นการจัดการเรียนการสอนท่ีน�ำพาผู้เรียน เพื่อให้เกิดความรู้ความเข้าใจ มีทักษะ และเกิดความคิดรวบยอด
ผลของการจัดการเรียนการสอนในลกั ษณะน้ี จะทำ� ใหผ้ ูเ้ รยี นได้ความรู้ และมที ักษะในการคน้ หาความคิดรวบยอด ซง่ึ จะเปน็
ทักษะสำ� คัญตดิ ตวั ผูเ้ รียนไปตลอดชวี ติ

วิธีสอน (Teaching Method)

เลือกใช้วธิ ีการสอนทห่ี ลากหลาย เชน่ อปุ นัย นิรนัย การสาธติ แบบสาธติ แบบแกป้ ญั หา แบบบรรยาย เพอื่ ส่งเสรมิ
การเรียนรู้และเกิดความเข้าใจในเน้ือหาคณิตศาสตร์อย่างถ่องแท้ โดยจะเน้นใช้วิธีสอนแบบอุปนัย (Inductive Method)
เน่อื งจากเปน็ การสอนท่ผี ู้เรียนจะไดค้ ้นหาสงิ่ ที่มีอยู่รว่ มกนั จากตัวอย่างสถานการณ์ต่าง ๆ ซงึ่ สนับสนุนกบั การจดั การเรียน
การสอนแบบ Concept Based Teaching ทท่ี �ำใหผ้ ู้เรยี นได้เรยี นรู้กระบวนการ ซึ่งท�ำให้ไดค้ วามคิดรวบยอดทสี่ ำ� คัญ

เทคนคิ การสอน (Teaching Technique)

เลอื กใชเ้ ทคนคิ การสอนทห่ี ลากหลายและเหมาะสมกบั เรอื่ งทเ่ี รยี น เชน่ การใชค้ ำ� ถาม การใชต้ วั อยา่ งกระตนุ้ ความคดิ
การใช้แผนภาพ และการใช้สื่อการเรียนรู้ที่น่าสนใจ เพื่อส่งเสริมวิธีการสอนและรูปแบบการสอนให้มีประสิทธิภาพในการ
จัดการเรียนรู้ให้มากย่ิงข้ึน ซ่ึงช่วยให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้อย่างมีความสุข และสามารถฝึกฝนทักษะการเรียนรู้ในศตวรรษ
ท่ี 21 ได้

Teacher Guide Overview

คณิตศาสตร์ ม.5

หนว่ ย ตวั ชว้ี ัด ทักษะทีไ่ ด้ เวลาท่ีใช้ การประเมิน สอ่ื ท่ใี ช้
การเรยี นรู้ เขา้ ใจความหมายและใช้สมบตั ิ
เก่ยี วกบั การบวก การคูณ - ทักษะการสังเกต - ตรวจใบงานท่ี 1.1-1.2 - หนงั สอื เรยี น
1 การเท่ากนั และการไม่เท่ากัน - ทักษะการระบุ - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ รายวิชาพนื้ ฐาน
ของจำ�นวนจรงิ ในรูปกรณฑ์ - ทักษะการเช่ือมโยง ในหนังสอื เรยี น คณิตศาสตร์ ม.5
เลขยกก�ำลัง และจำ�นวนจริงในรูปเลขยกกำ�ลัง - ทกั ษะกระบวนการคดิ
ทีม่ ีเลขช้ีกำ�ลงั เปน็ จำ�นวนตรรกยะ ตัดสินใจ
(มฐ. ค 1.1 ม.5/1) - ทกั ษะการวิเคราะห์ - ตรวจ Exercise ในแบบฝึกหดั - แบบฝกึ หัด
- ทักษะการให้เหตุผล คณิตศาสตร์ รายวชิ าพน้ื ฐาน
- ทกั ษะการนำ� ความรู้ไปใช้ - ประเมนิ การนำ� เสนอผลงาน คณติ ศาสตร์ ม.5
10 - ตรวจผังมโนทัศน์ - ใบงาน
หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1 เลขยกก�ำลงั
ชัว่ โมง

- สงั เกตพฤตกิ รรมการท�ำงาน
รายบุคคล
- สังเกตพฤติกรรมการทำ� งานกลมุ่
- สังเกตความมวี ินยั ใฝเ่ รยี นรู้
มุ่งมัน่ ในการทำ� งาน

2 ใชฟ้ ังก์ชันและกราฟของฟงั ก์ชัน - ทักษะการสงั เกต - ตรวจใบงานท่ี 2.1-2.5 - หนังสอื เรยี น
อธบิ ายสถานการณท์ กี่ ำ�หนด - ทักษะการระบุ - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ รายวิชาพื้นฐาน
ฟังก์ชนั (มฐ. ค 1.2 ม.5/1) - ทกั ษะการเช่อื มโยง ในหนงั สือเรียน คณติ ศาสตร์ ม.5
- ทกั ษะการเปรียบเทียบ
- ท ักษะการประยกุ ต์ใช้ - ตรวจ Exercise ในแบบฝึกหัด - แ บบฝกึ หัด
คณติ ศาสตร์ รายวชิ าพน้ื ฐาน
ความรู้ - ประเมนิ การนำ� เสนอผลงาน คณิตศาสตร์ ม.5
- ทักษะการวิเคราะห์ 30 - ตรวจผังมโนทัศน์ - ใบงาน
- ทักษะการพิสจู น์ความจรงิ หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 2 ฟงั ก์ชัน - QR Code
- ทกั ษะการนำ� ความรูไ้ ปใช้ ชั่วโมง

- สังเกตพฤติกรรมการทำ� งาน
รายบุคคล
- ส งั เกตพฤติกรรมการท�ำงานกลมุ่
- สังเกตความมีวนิ ยั ใฝเ่ รยี นรู้
มุง่ มัน่ ในการทำ� งาน

หน่วย ตัวช้ีวดั ทกั ษะท่ีได้ เวลาที่ใช้ การประเมนิ สือ่ ทใ่ี ช้
การเรียนรู้
เข้าใจและนำ�ความร้เู ก่ียวกบั ลำ�ดบั - ทักษะการสังเกต - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ - หนงั สอื เรียน
3 และอนุกรมไปใช้ - ทักษะการระบุ ในหนังสือเรยี น รายวชิ าพืน้ ฐาน
(มฐ. ค 1.2 ม.5/2) - ทกั ษะการหาแบบแผน - ตรวจ Exercise ในแบบฝึกหดั คณิตศาสตร์ ม.5
ล�ำดบั - ทกั ษะการคดิ วิเคราะห์ คณติ ศาสตร์ - แบบฝกึ หัด
และอนุกรม - ท ักษะการจ�ำแนก

ประเภท - ประเมินการนำ� เสนอผลงาน รายวชิ าพื้นฐาน
- ทกั ษะการเชอ่ื มโยง - ตรวจผังมโนทัศน์ คณติ ศาสตร์ ม.5
- ท ักษะการน�ำความรู้ 30 หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 3 ล�ำดบั - QR Code
ไปใช้ และอนุกรม
- ทักษะการประยุกต์ใช้ ชว่ั โมง
ความรู้
- ส งั เกตพฤติกรรมการท�ำงาน
รายบุคคล
- สังเกตพฤตกิ รรมการท�ำงานกลมุ่
- ส ังเกตความมีวนิ ัย ใฝ่เรยี นรู้
มุ่งมน่ั ในการท�ำงาน

4 เขา้ ใจและใช้ความรูเ้ กยี่ วกับดอกเบีย้ - ทักษะการสังเกต - ตรวจใบงานท่ี 4.1-4.2 - หนังสือเรียน
และมูลค่าของเงินในการแก้ปัญหา - ทกั ษะการตคี วาม - ตรวจแบบฝึกทักษะ รายวชิ าพืน้ ฐาน
ดอกเบยี้ และ (มฐ. ค 1.3 ม.5/1) - ทักษะกระบวนการคดิ ในหนงั สือเรียน คณิตศาสตร์ ม.5
มลู คา่ ของเงนิ ตดั สินใจ - ต รวจ Exercise ในแบบฝึกหัด - แ บบฝึกหัด

- ทกั ษะการเช่อื มโยง คณติ ศาสตร์ รายวชิ าพ้นื ฐาน
- ทักษะการเปรยี บเทยี บ - ประเมนิ การนำ� เสนอผลงาน คณิตศาสตร์ ม.5
- ทักษะการวิเคราะห์ 10 - ตรวจผังมโนทัศน์ - ใบงาน
- ทักษะการประยุกต์ใช้ หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 4
ความรู้ ชวั่ โมง ดอกเบี้ยและมลู คา่ ของเงนิ

- สงั เกตพฤติกรรมการท�ำงาน
รายบุคคล
- สงั เกตพฤติกรรมการท�ำงานกล่มุ
- สงั เกตความมีวนิ ัย ใฝ่เรยี นรู้
มงุ่ มน่ั ในการท�ำงาน

สารบัญ Chapter Teacher
Overview Script
Chapter Title T4 -T5
T2 -T3
หน่วยการเรยี นรู้ท ่ี 1 เลขยกกำ� ลงั T6 -T9
T44 -T47 T10 -T25
1.1 เลขยกก�ำลังท่ีมเี ลขชีก้ �ำลังเปน็ จำ� นวนเต็ม T26 -T39
1.2 รากท่ี n ของจำ� นวนจรงิ T136 -T139 T40 -T43
1.3 เลขยกก�ำลังทม่ี ีเลขชีก้ ำ� ลงั เปน็ จ�ำนวนตรรกยะ
ทา้ ยหนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1 T48 -T49

หน่วยการเรยี นรูท้ ่ี 2 ฟังกช์ ัน T50 -T82
T83 -T91
2.1 ความสัมพันธ์และฟงั ก์ชนั T92 -T117
2.2 ฟังก์ชันเชงิ เส้น T118 -T124
2.3 ฟงั ก์ชนั กำ� ลังสอง T125 -T128
2.4 ฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชยี ล T129 -T135
2.5 ฟังกช์ ันขั้นบันได
ทา้ ยหนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 2 T140 -T141

หน่วยการเรียนร้ทู ี่ 3 ลำ� ดบั และอนกุ รม T142 -T163
T164 -T184
3.1 ลำ� ดบั T185 -T189
3.2 อนุกรม T190 -T193
3.3 การหาพจน์ทัว่ ไปของล�ำดับ
ทา้ ยหน่วยการเรียนรทู้ ี่ 3

Chapter Title Chapter Teacher
Overview Script
หน่วยการเรยี นร้ทู ี่ 4 ดอกเบย้ี และมูลคำ่ ของเงิน T194-T195 T196-T197

4.1 ดอกเบีย้ T198-T211
4.2 มูลค่าของเงนิ T212-T218
4.3 คา่ รายงวด T219-T223
ทา้ ยหน่วยการเรียนรู้ที ่ 4 T224-T227

Math in Real Life T228-T229
อภธิ ำนศัพท์ T230-T231
บรรณำนกุ รม
T232

Chapter Overview

แผนการจัด ส่อื ที่ใช้ จุดประสงค์ วธิ สี อน ประเมนิ ทกั ษะที่ได้ คุณลกั ษณะ
การเรียนรู้ - หนังสือเรยี น อันพงึ ประสงค์
แผนฯ ท่ี 1 รายวชิ าพื้นฐาน
เลขยกกำ� ลัง คณติ ศาสตร์ ม.5 1. บอกความหมาย แบบนริ นัย - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 1.1 - ท ักษะการสังเกต 1. มีวนิ ยั
ท่มี เี ลขชกี้ ำ� ลัง - แบบฝกึ หัด ของเลขยกกำ� ลัง (Deductive - ตรวจ Exercise 1.1 - ท ักษะการระบุ 2. ใฝ่เรยี นรู้
เปน็ จ�ำนวนเต็ม ที่มีเลขช้กี ำ� ลงั Method) - การนำ� เสนอผลงาน - ทักษะการ 3. มุ่งมั่น
รายวชิ าพื้นฐาน เป็นจำ� นวนเตม็ ได้ (K) - สังเกตพฤตกิ รรม เช่ือมโยง ในการทำ� งาน
2 คณติ ศาสตร์ ม.5 2. บอกสมบัติของ การท�ำงานรายบคุ คล - ท กั ษะกระบวน
เลขยกกำ� ลัง - สงั เกตพฤตกิ รรม การคดิ ตัดสนิ ใจ
ช่ัวโมง - หนงั สือเรียน ท่มี ีเลขชีก้ ำ� ลงั การทำ� งานกลมุ่ - ท กั ษะการ
รายวชิ าพนื้ ฐาน เป็นจำ� นวนเตม็ ได้ (K) - สงั เกตความมีวินัย วิเคราะห์
แผนฯ ท่ี 2 คณติ ศาสตร์ ม.5 3. หาคา่ ของเลขยกกำ� ลัง ใฝเ่ รยี นรู้ มุ่งม่ันในการ
รากท่ี n ของ - แบบฝกึ หดั ทีม่ เี ลขช้กี ำ� ลัง ท�ำงาน
จำ� นวนจริง เป็นจำ� นวนเตม็ ได้ (K)
รายวชิ าพน้ื ฐาน 4. ใช้ความรู้ ทกั ษะ
2 คณติ ศาสตร์ ม.5 และกระบวนการ
- ใบงานท่ี 1.1 ทางคณติ ศาสตร์
ชว่ั โมง ในการแกป้ ญั หา
ได้อย่างเหมาะสม (P)
5. รับผิดชอบตอ่ หนา้ ท่ี
ทไ่ี ดร้ บั มอบหมาย (A)

1. บอกความหมายของ Concept - ตรวจใบงานที่ 1.1 - ทกั ษะการสังเกต 1. มีวินยั
รากที่ n ของจ�ำนวนจริง Based - ตรวจแบบฝกึ ทักษะ 1.2 - ทักษะการระบุ 2. ใฝ่เรียนร้ ู
และค่าหลกั ของรากท่ี n Teaching - การน�ำเสนอผลงาน - ทักษะการ 3. มุ่งมน่ั
ของจ�ำนวนจริงได้ (K) - สงั เกตพฤติกรรม เชื่อมโยง ในการทำ� งาน
2. บอกสมบัตขิ องรากที่ n การท�ำงานรายบุคคล - ทกั ษะกระบวน
ของจำ� นวนจรงิ ได้ (K) - สงั เกตพฤตกิ รรม การคิดตัดสนิ ใจ
3. หารากท่ี n ของ การทำ� งานกลุม่ - ท กั ษะการ
จำ� นวนจรงิ และค่าหลกั - สงั เกตความมวี นิ ัย วเิ คราะห์
ของรากที่ n ของ ใฝ่เรยี นรู้ มุ่งมัน่ ในการ
จำ� นวนจริงได้ (K) ท�ำงาน
4. เขียนจำ� นวนจริงใหอ้ ยู่

ในรูปอย่างง่ายโดยใช้
สมบัติของรากท่ี n
ของจ�ำนวนจรงิ ได้ (P)
5. สือ่ สาร สอื่ ความหมาย
ทางคณิตศาสตร์ และ
นำ� เสนอเกีย่ วกับ
รากท่ี n ของจ�ำนวนจรงิ
ได้ (P)
6. รบั ผิดชอบต่อหน้าที่
ทีไ่ ด้รับมอบหมาย (A)

T2

แผนการจดั สือ่ ที่ใช้ จดุ ประสงค์ วธิ สี อน ประเมิน ทกั ษะท่ีได้ คณุ ลักษณะ
การเรยี นรู้ - ห นงั สือเรียน อนั พงึ ประสงค์
แผนฯ ที่ 3 รายวชิ าพืน้ ฐาน
การหาผลบวก คณติ ศาสตร์ ม.5 1. บ อกสมบัติของรากท่ี n Concept - ตรวจแบบฝึกทักษะ 1.2 - ทักษะการสงั เกต 1. มวี นิ ัย
ผลต่าง ผลคูณ - แ บบฝกึ หดั ของจ�ำนวนจริงได้ (K) Based - ตรวจ Exercise 1.2 - ทกั ษะการระบุ 2. ใฝเ่ รยี นรู้
และผลหารของ - การนำ� เสนอผลงาน - ท กั ษะการ 3. มงุ่ ม่นั
จ�ำนวนจริงท่ีอยู่ รายวชิ าพน้ื ฐาน 2. หาผลบวก ผลต่าง Teaching - สังเกตพฤติกรรม เชื่อมโยง ในการทำ� งาน
ในรปู กรณฑ์ คณิตศาสตร์ ม.5 ผลคูณ และผลหาร การทำ� งานรายบุคคล - ทกั ษะการน�ำ
ของจำ� นวนจรงิ ท่อี ยู่ - สงั เกตพฤติกรรม ความรไู้ ปใช้
2 ในรปู กรณฑ์ได้ (K) การทำ� งานกลุม่ - ท กั ษะการ
3. เขยี นแสดงข้นั ตอน - สงั เกตความมวี ินยั วิเคราะห์
ช่ัวโมง การหาผลบวก ผลตา่ ง ใฝ่เรียนรู้ มุ่งมนั่ ในการ
ผลคูณ และผลหาร ท�ำงาน
ของจำ� นวนจริงทีอ่ ยู่
ในรูปกรณฑไ์ ด้ (P)
4. รับผดิ ชอบตอ่ หนา้ ท่ี
ทีไ่ ด้รับมอบหมาย (A)

แผนฯ ท่ี 4 - หนังสอื เรียน 1. บอกสมบตั ิของ Concept - ตรวจใบงานที่ 1.2 - ทักษะการสังเกต 1. มวี ินยั
เลขยกก�ำลงั ทมี่ ี รายวชิ าพน้ื ฐาน เลขยกกำ� ลังที่มี Based - ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะ 1.3 - ทกั ษะการระบุ 2. ใฝ่เรยี นร ู้
เลขชี้กำ� ลังเป็น คณติ ศาสตร์ ม.5 เลขชกี้ ำ� ลงั เปน็ จำ� นวน Teaching - ตรวจ Exercise 1.3 - ทักษะการ 3. ม่งุ มน่ั
จำ� นวนตรรกยะ - แบบฝึกหดั ตรรกยะและนำ� ไปใชไ้ ด้ - การนำ� เสนอผลงาน เชื่อมโยง ในการทำ� งาน
(K) - ต รวจแบบฝกึ ทักษะ - ทกั ษะการน�ำ
4 รายวชิ าพนื้ ฐาน 2. น�ำความรู้ เรอื่ ง สมบตั ิ ประจำ� หนว่ ยการเรียนรู้ ความรู้ไปใช้
คณิตศาสตร์ ม.5 ของเลขยกกำ� ลงั ที่ 1 - ท กั ษะการให้
ช่ัวโมง - ใบงานที่ 1.2

ท่ีมีเลขชกี้ ำ� ลงั เปน็ - ตรวจผังมโนทัศน์ เหตุผล
จำ� นวนตรรกยะไปใช้ หน่วยการเรยี นร้ทู ี่ 1 - ท ักษะการ
ในการแก้โจทยป์ ัญหาได้ เลขยกกำ� ลงั วิเคราะห์
(K) - สงั เกตพฤติกรรม
3. เขียนจำ� นวนทีอ่ ยใู่ นรูป การท�ำงานรายบุคคล
เลขยกกำ� ลังใหอ้ ยใู่ นรปู - สงั เกตพฤติกรรม
กรณฑ์ และเขยี น การทำ� งานกล่มุ
จำ� นวนทอ่ี ยู่ในรปู กรณฑ์ - สงั เกตความมวี นิ ัย
ใหอ้ ยใู่ นรูปเลขยกกำ� ลงั ใฝ่เรียนรู้ มุ่งมนั่ ในการ
ได้ (P) ท�ำงาน
4. เขียนแสดงขนั้ ตอน
การแก้สมการ
เลขยกกำ� ลังได้ (P)
5. เขียนแสดงขัน้ ตอน
การแก้โจทยป์ ญั หา
โดยใช้ความรู้ เร่ือง
สมบัตขิ องเลขยกกำ� ลัง
ที่มเี ลขชีก้ ำ� ลังเปน็
จำ� นวนตรรกยะได้ (P)
6. รบั ผิดชอบตอ่ หน้าท่ี
ทีไ่ ดร้ ับมอบหมาย (A)

T3

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั นาํ (Deductive Method)

กาํ หนดขอบเขตของปญ หา

1. ครูกระตุนความสนใจของนักเรียน โดยให
นักเรียนดูภาพหนาหนวยการเรียนรูที่ 1 ใน
หนังสือเรียน หนา 2 แลวรวมกันสนทนาใน
ชนั้ เรยี นถงึ ประโยชนของคารบ อน-14 (C-14)
ในการคาํ นวณหาอายขุ องวตั ถุโบราณ จากน้ัน
ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา “ธาตุกัมมันตรังสี
นอกจากจะใชคารบอน-14 (C-14) ในดาน
ธรณวี ทิ ยาแลว ยงั สามารถนาํ มาใชป ระโยชนใ น
ชวี ติ จรงิ ไดห ลายดา น เชน การใชไ อโอดนี -131
(I-131) ในดานการแพทย การใชโคบอลต-60
(Co-60) ในดานการถนอมอาหาร”

เกร็ดแนะครู กิจกรรม เสรมิ สรา งคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค

การเรียนการสอนของหนว ยการเรียนรูท่ี 1 เรอ่ื ง เลขยกกาํ ลงั ครคู วรเลอื ก ครูควรปลูกฝงใหนักเรียนมีระเบียบวินัย เชน การแตงกายมา
ใชว ธิ กี ารถาม-ตอบนกั เรยี น และยกตวั อยา งสถานการณใ กลต วั หรอื สถานการณ โรงเรียนใหถูกระเบียบ และกอนเร่ิมเรียนช่ัวโมงแรกครูอาจสราง
ในชีวิตประจําวันของนักเรียนเปนกรณีศึกษา จนเกิดเปนความรู ความเขาใจ ขอ ตกลงกับนักเรียนเกีย่ วกบั ความมีวนิ ยั เชน การสงการบา นหรือ
และนาํ ความรูท ่ีไดไปประยุกตใชใ นชีวติ ประจาํ วัน ช้ินงานควรสงตรงตามเวลาท่ีกําหนด หากใครสงไมตรงตามเวลา
อาจถูกตัดคะแนนความรับผิดชอบ (ครูและนักเรียนรวมกันสราง
ขอ ตกลงดงั กลา ว)

T4

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

หนว่ ยกำรเรียนรทู้ ่ี 1 ขน้ั นาํ

เลขยกกำ� ลงั กาํ หนดขอบเขตของปญ หา
คาร์บอน-14 (C-14) เป็นธาตุกัมมันตรัง1สีที่
พบได้ในวตั ถุต่าง ๆ เกือบทุกชนดิ บนโลก ซงึ่ มี 2. ครูใหนักเรียนยกตัวอยางการใชเลขยกกําลัง
ท่ีพบเหน็ ในชวี ติ จริง
(แนวตอบ นกั เรียนสามารถตอบไดหลากหลาย
ตามพน้ื ฐานความรู เชน การคาํ นวณดอกเบ้ยี
ทบตน การเพิ่มจํานวนของแบคทีเรยี )
หมายเหตุ : ครูอาจใหน กั เรียนทําแบบทดสอบ
พ้ืนฐานกอนเรียน โดยการสแกน QR Code
ในหนังสอื เรียน หนา 3

ประโยชน์ทางด้านธรณีวิทยา สามารถน�ามา
คซ�าานกฟวณอสหซาิลอตาย่างุขอๆงวไัตดถ้ ุโโบดยรากณารใแชล้คะ่าอคารยึ่งชุขีวอ2ิตง
ซ่ึงคา� นวณไดจ้ ากสูตร
Nเริม่ ต้น
Nเหลอื = 2 Tt21

เมอื่ Nเหลอื = ปรมิ าณของกมั มนั ตรงั สที เี่ หลอื
Nเริม่ ต้น = ปรมิ าณของกมั มนั ตรงั สเี รมิ่ ตน้
T = เวลาท่ีใชใ้ นการสลายตวั

t12 = ครึ่งชีวติ

ตัวช้ีวัด
• เขา้ ใจความหมายและใชส้ มบัตเิ ก่ยี วกับการบวก การคณู

การเท่ากนั และการไม่เท่ากันของจ�านวนจริงในรูปกรณฑ์
และจา� นวนจรงิ ในรูปเลขยกกา� ลงั ท่มี ีเลขชี้ก�าลงั เป็น
จา� นวนตรรกยะ (ค 1.1 ม.5/1)

สำระกำรเรยี นรู้แกนกลำง Recall
• รากที่ n ของจ�านวนจรงิ

เมือ่ n เป็นจา� นวนนับทมี่ ากกวา่ 1
• เลขยกก�าลังทมี่ ีเลขช้กี �าลงั

เป็นจ�านวนตรรกยะ

กิจกรรม 21st Century Skills นักเรียนควรรู

ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-5 คน รวมกันสืบคนจาก 1 ธาตุกัมมันตรังสี (radioactive element) หมายถึง ธาตุท่ีสามารถ
อินเทอรเน็ตในหัวขอ “เลขยกกําลังที่พบเห็นในชีวิตจริง” มา
กลุมละ 1 เรื่อง จากน้ันใหนักเรียนแตละกลุมออกมานําเสนอ แผรังสีออกมาไดเองเนื่องดวยนิวเคลียสของอะตอมไมเสถียร และเปนธาตุท่ีมี
หนาชัน้ เรียน โดยใชโ ปรแกรม Microsoft PowerPoint เลขอะตอมสูงกวา 82
หมายเหตุ : ครูควรจัดกลุมนักเรียนโดยคละความสามารถทาง
คณิตศาสตรของนักเรียน (ออน ปานกลาง และเกง) ใหอยูกลุม 2 คาคร่ึงชีวิต (half life) หมายถึง ระยะเวลาที่ธาตุกัมมันตรังสีสลายตัว
เดยี วกนั
จนเหลอื ครง่ึ หน่ึงของปริมาณทมี่ ีอยูเดิม ใชสญั ลักษณเปน t12

T5

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ นาํ

กาํ หนดขอบเขตของปญ หา

3. ครูทบทวนความรู เร่ือง เลขยกกําลังที่มีเลข 1.1 เลขยกกำ� ลงั ทมี่ เี ลขชก้ี ำ� ลงั เปน็ จำ� นวนเตม็
ชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม โดยครูกลาววา จาก
บทนยิ าม เรียก an วา เลขยกกําลงั เรยี ก a (Integer Indice)

วา ฐาน และเรยี ก n วา เลขชก้ี าํ ลงั จากนั้น ในระดับช้ันมัธยมศึกษาตอนต้น นักเรียนเคยศึกษาเร่ืองเลขยกก�าลังท่ีมีเลขช้ีก�าลังเป็น
ครูยกตัวอยางเพ่ิมเติมบนกระดาน แลวถาม จ�านวนเต็มมาแล้ว ในหัวข้อนี้นักเรียนจะได้ทบทวนความรู้เร่ืองเลขยกก�าลังท่ีมีเลขช้ีก�าลังเป็น
คําถามนักเรยี น ดังนี้ จ�านวนเต็ม ซงึ่ มบี ทนิยามและสมบัติของเลขยกก�าลงั ดังต่อไปนี้
• 23 มีฐานและเลขช้กี าํ ลังเปน เทาใด
(แนวตอบ มี 2 เปนฐาน และมี 3 เปน เลข
ชกี้ ําลัง) บทนิยาม ก�ำหนด a เป็นจ�ำนวนจริง และ n เป็นจ�ำนวนเต็มบวก
an = a • a • a • ... • a
• 20 มคี าเทา กับเทาใด
• ((12แแนนเววขตตียออนบบให12-)อ 1ย) ใู นรูปเลขยกกาํ ลังไดอ ยางไร n ตวั
a0 = 1 เมื่อ a ≠ 0
a-n = a1n เมื่อ a ≠ 0

4. ครูกลาวถึงสมบัติของเลขยกกําลัง จากน้ัน จากบทนิยาม เรียก an ว่า เลขยกกา� ลงั
เขยี นสมบตั ิของเลขยกกาํ ลงั บนกระดาน แลว เรยี ก a ว่า ฐาน
สุมนักเรียนออกมายกตัวอยางจํานวนเต็ม
ที่สอดคลองกับสมบัติของเลขยกกําลัง โดย และเรียก n วา่ เลขชี้กา� ลงั
นกั เรยี นสามารถตอบไดห ลากหลาย ขนึ้ อยกู บั
เลขยกกา� ลังทม่ี เี ลขช้ีกา� ลังเปน็ จา� นวนเต็มมสี มบตั ิ ดังน้ี

พื้นฐานความรู ดังน้ี สมบัติ ก�ำหนด a, b เป็นจ�ำนวนจริงที่ไม่เท่ำกับศูนย์ และ m, n เป็นจ�ำนวนเต็ม
• am • an = am + n
(แนวตอบ 35 • 34 = 35 + 4 = 39) 1) am • an = am + n
• (am)n = amn 2) (am)n = amn
(แนวตอบ (53)-4 = 53 ×(-4) = 5-12) 3) (ab)n = anbn
• (ab)n = anbn 4) (ba)n = bann
(แนวตอบ (-3 × 2)4 = (-3)424) 5) aamn = am - n
ba n = bann
• 43 2 = 3422 )
• (แนวตอบ = 56 - (-2)

(aaแmnนว=ตอaบm55--6n2 = 58) 4

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรา งเสริม

ครูควรอธิบายเพิ่มเติมเก่ียวกับเลขยกกําลังจะไมมีสมบัติการแจกแจง ครูใหนักเรียนจับคู แลวยกตัวอยางเลขยกกําลังท่ีมีเลขช้ีกําลัง
เปนจํานวนเต็ม ที่สอดคลองกับสมบัติเลขยกกําลังในแตละขอ
สาํ หรับเลขช้ีกาํ ลงั ท่มี ีฐานบวกหรือลบกนั อยู (a ± b)n an ± bn เชน พรอมทั้งแสดงวิธที าํ อยา งละเอียด
หมายเหตุ : ครคู วรใหน กั เรยี นเกง และนักเรียนออนจบั คกู นั
(3 + 5)2 32 + 52 เพราะ (3 + 5)2 = 82 = 64 แต 32 + 52 = 9 + 25 = 34

T6

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลักการ

ตวั อยางที่ 1 1. ครูอธิบายถึงการเขียนจํานวนในรูปอยางงาย
เปน การจดั รปู ของผลลพั ธท ไี่ ดจ ากการดาํ เนนิ -
ใหเ้ ขียนจำ� นวนต่อไปนีใ้ นรูปอยำ่ งงำ่ ย เมื่อ a, b และ c เปน็ จ�ำนวนจรงิ ท่ไี ม่เท่ำกับศูนย์ การของเลขยกกําลังใหอยูในรูปเลขยกกําลัง
2) (a-a2b3b4c2-1)-3 ที่มีเลขช้ีกําลังเปนจํานวนเต็มบวก และฐาน
1) (ab2c-1)2 ATTENTION ที่เปนจํานวนเดียวกัน จะมีแคนิพจนเดียว
4) a-2a--22-a-a1-1+ 1 จากน้ันครถู ามคําถามนกั เรยี น ดงั นี้
3) (a2bc4-3)4 (ac3-b14)-5

วิธที �ำ 1) (ab2c-1)2 = a2(b2)2(c-1)2 รูปอย่างงา่ ย เป็นการจัดรปู • (a-4)2 เขยี นใหอยใู นรูปอยางงายไดอ ยางไร
ของผลลัพธ์ที่ได้จากการ
= a2b4c-2 ดา� เนนิ การของเลขยกกา� ลงั • ((แaน3-2ว)ต3 อเบขยี a1น8ใ)หอยใู นรปู อยางงา ยไดอยางไร

=ac2b24 ให้อยู่ในรูปเลขยกก�าลังท่ี
= (a-2 - 3b4 - 2c-1)-3 มีเลขชี้ก�าลังเป็นจ�านวน
2) (a-a2b3b4c2-1)-3 = (a-5b2c-1)-3 เต็มบวก และฐานที่เป็น (แนวตอบ 3a6)
จ�าน1วนเดียวกัน aจ-3ะม×ีแค2a่ 1
• • a-3 เขียนใหอยูใ นรปู อยางงาย
นพิ จนเ์ ดยี ว เช่น (a-1)4
เขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
= (a-5)-3(b2)-3(c-1)-3 ไดเ้ ป็น a12 ไดอ ยางไร
= a15b-6c3 (แนวตอบ a-3 • a4 = a)

=a1b56c3 จากนั้นครูยกตัวอยางท่ี 1 ในหนังสือเรียน
หนา 5-6 บนกระดาน แลวครูและนักเรียน
3) (a2bc4-3)4 (ac3-b14)-5 =(a2()b4(4c)4-3)4 • (c-1)-5 รวมกันอภิปรายการเขียนจํานวนในแตละขอ
(a3)-5 (b4)-5 ใหอยูในรูปอยางงาย พรอมท้ังเปดโอกาสให
นกั เรียนซักถามเมือ่ เกิดขอสงสยั
=a8bc1-612 • a-15c5b-20

=a8 +b1156c--2102 + 5

=a2b3-c4-7

=a2c37b4

เลขยกก�าลัง 5

กิจกรรม ทาทาย นักเรียนควรรู

ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลมุ ละ 3-4 คน แลวชว ยกนั เขยี น 1 นพิ จน หมายถึง ขอความท่ีเขยี นอยใู นรปู สญั ลักษณ เชน 7, 3x5, x + 3,
-2 x2 - 3x + 9
3 aa-2-b5bc-34
a-1b2c ใหอยูในรปู อยา งงา ย เม่อื a, b และ c 2 a ในเรื่อง เลขยกกําลัง มีขอตกลงในทางคณิตศาสตรวา ตัวเลขที่ไมมี

เปนจํานวนจรงิ ที่ไมเ ทา กบั ศนู ย เลขชี้กําลัง หมายถึง เลขยกกําลังนั้นมเี ลขชี้กาํ ลังเปน 1

หมายเหตุ : ครูควรจัดกลุมนักเรียนโดยคละความสามารถทาง
คณิตศาสตรของนกั เรียน (ออน ปานกลาง และเกง) ใหอยกู ลมุ
เดียวกนั

T7

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขนั้ สอน 4) a-2a--22-a-a1-1+ 1 =(a-2(a--22-a-a1-1+)(a12))(a2)
=a-2 +a2-2-+ 22a--1a+-12++2 a2
แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลักการ =1 -12a- a+ a2
= a2-(-a2-a 1+) 1
2. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาตวั อยา งท่ี 2 ในหนงั สอื เรยี น = -(a(a--11)2)
หนา 6 จากน้ันครูถามคําถามนักเรียนวา
จากตัวอยางที่ 2 นักเรียนจะใชสมบัติของ = -(a - 1)2-1 เม่ือ a ≠ 1
เลขยกกําลังใดในการหาคาของ 816 • 644 • 6-23 = -(a - 1) เมื่อ a ≠ 1
= 1 - a เมอ่ื a ≠ 1
(แนวตอบ 1) am•an = am + n
2) (am)n = amn ลองทําดู
3) (ab)n = anbn)
ใหเ้ ขยี นจา� นวนตอ่ ไปนใี้ นรปู อยา่ งงา่ ย เมอ่ื a, b และ c เปน็ จา� นวนจรงิ
ใชท ฤษฎี หลักการ ทไี่ ม่เทา่ กบั ศูนย์
(a-a2a3a-b-525bc6-3-a73-)1a-2-+1 9 ฝกทําตอ
ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน 1) (a3b-2c4)3 2)
หนา 6 จากนัน้ ครสู มุ นักเรียนออกมาแสดงวิธที าํ 4) แบบฝก ทักษะ 1.1
บนกระดาน โดยครแู ละนกั เรยี นในชน้ั เรยี นรว มกนั 3) (aa-31cb-52 )3 (ab-22bc5-3)-4 ขอ 1, 3, 4
ตรวจสอบความถูกตอง
ตวั อยางที่ 2 ฝกทําตอ
ขนั้ สรปุ
ให้หำคำ่ ของ 816 • 644 • 6-23 แบบฝกทกั ษะ 1.1 ขอ 2
ตรวจสอบและสรปุ วธิ ีท�ำ 816 • 644 • 6-23 = (34)6 • (26)4 • (2 • 3)-23

ครูถามคาํ ถามนักเรียน เพ่อื สรุปความรู เรื่อง = 324 • 224 • 2-23 • 3-23
เลขยกกาํ ลังทมี่ เี ลขชีก้ ําลังเปน จาํ นวนเตม็ ดังนี้ = 324 - 23 • 224 - 23
= 3•2
ถากําหนดให a, b แทนจาํ นวนจรงิ ใดๆ และ =6

m, n แทนจํานวนเตม็ บวก ลองทําดู
• เลขยกกาํ ลงั คอื อะไร
(แนวตอบ การคณู จาํ นวนนั้นซ้าํ ๆ กัน) ใหห้ าค่าของ 1255 • 274 • 15-13

• “a ยกกําลัง n” มีความหมายวาอยางไร 6
(แนวตอบ an = a × a × a × … × a )

n ตวั

• am•an มีคาเทา กบั เทา ใด
(แนวตอบ am + n)

• (am)n มคี าเทา กบั เทา ใด
(แนวตอบ amn)

• (ab)n มีคา เทา กับเทา ใด
(แนวตอบ anbn)

เกร็ดแนะครู กิจกรรม 21st Century Skills

จแตาํ น ว3คน2ร4จูคร=วงิ รใอด31ธๆ6ิบแแาลลยะะเพคmิ่มว,เรตnเนิมแนเทกยนี่ยํ้าจวเลาํกนขับวยเลนกขเกตยําม็ กลบกังวทํากลี่มังแีเลวลาขว ช(ถี้กaาmํากล)nําังหเปนaนดmจใnําหเนช วนaน,(เ3ตb2็)ม4ศแ=ทูน3นย8 ครแู บง กลุม ใหน ักเรยี นปฏิบตั กิ ิจกรรมตามขน้ั ตอนตอ ไปนี้
• กลุมละ 3-4 คน แลวสืบคนโจทยเลขยกกําลังท่ีมีเลขช้ีกําลัง
เลขยกกาํ ลังนนั้ จะมคี าเทา กบั 1 เชน 50 = 1, -120 = 1
เปนจาํ นวนเต็ม ที่สอดคลอ งกับสมบตั เิ ลขยกกาํ ลงั
T8 • ใหนักเรียนนําโจทยท่ีสืบคนมาแสดงวิธีการหาคาของจํานวนให

อยใู นรปู อยา งงา ยและหาคา ของจาํ นวนนน้ั พรอ มทง้ั บอกสมบตั ิ
เลขยกกาํ ลังท่ใี ชใ นการหาคาํ ตอบ
• ใหแตละกลุมสงตัวแทนออกมานําเสนอขอมูลผานโปรแกรม
Microsoft PowerPoint หรือโปรแกรมนําเสนออ่ืนๆ ตามที่
นักเรียนถนดั
หมายเหตุ : ครูควรจัดกลุมนักเรียนโดยคละความสามารถทาง
คณิตศาสตรของนักเรียน (ออน ปานกลาง และเกง) ใหอยูกลุม
เดยี วกนั

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สรปุ
ตรวจสอบและสรปุ

แบบฝึกทกั ษะ 1.1 • ((aaแแbamnนนnววมตตมออีคีคบบา าเabทaเทnmnาา ก)-กnบั )บั เทเทา า ใใดด
•
ระดับพน้ื ฐาน

1. ให้เขียนจ�ำนวนตอ่ ไปนใี้ นรปู อยำ่ งงำ่ ย เม่ือ a, b และ c เปน็ จ�ำนวนจริงท่ไี ม่เท่ำกับศูนย์
3375 22--31
1) 25 • 30 • 2-4 2) •
•

3) 324 • 128-2 4) 23775 • 98-12-5 ฝก ปฏบิ ตั ิ
•
1. ครูใหนักเรียนจับคูทํากิจกรรม โดยใชเทคนิค
5) a2b4a-4b-2 6) (ab-7c5a-4b11c-3)-1
7) (a-c2-b2-1)3 8) (aa--35bc-65)-4 คูค ดิ (Think Pair Share) ดังน้ี
9) (a-b3b2c-12c8)5 (aa-21cb-14)-3 10) b-2b-+2 +4b2-1b-+1 4
• ใหนักเรียนแตละคนคิดคําตอบของตนเอง
2. ใหห้ ำคำ่ ของเลขยกกำ� ลังต่อไปน้ี 2) 492 • 272 • 21-5 จากแบบฝกทักษะ 1.1 ในหนังสือเรียน
1) 53 • 24 • 10-2 4) 1225470• 13-55-20 หนา 7
3) 16162• 285-56-4
• ใหนักเรียนจับคูกับเพ่ือน เพื่อแลกเปลี่ยน
ระดบั กลาง คําตอบกัน สนทนาซักถามจนเปนที่เขาใจ
รวมกนั
3. ให้เขียนจ�ำนวนต่อไปน้ใี นรปู อยำ่ งง่ำย เมอ่ื a, b และ c เป็นจำ� นวนจรงิ ทไ่ี ม่เทำ่ กบั ศนู ย์
aa64 - aa42 + a3 2) a-3 + 3aa-3-2++a3-2a-1 + 1 • ครูสุมนักเรียนออกมานําเสนอคําตอบหนา
- + a ชั้นเรยี น โดยครตู รวจสอบความถูกตอง

2. ครใู หน กั เรียนทํา Exercise 1.1 เปน การบาน

1) ขนั้ ประเมนิ

3) (a + 1)5(a - 1)4 4) (a + b)n + 2 • (aa+b-b1c)n3 1. ครตู รวจแบบฝก ทกั ษะ 1.1
(a4 - 1)2 a-3b2 2. ครูตรวจ Exercise 1.1
- 2 3. ครูประเมนิ การนาํ เสนอผลงาน
4. ครสู งั เกตพฤติกรรมการทาํ งานรายบุคคล
ระดับทา้ ทาย 5. ครสู งั เกตพฤตกิ รรมการทาํ งานกลมุ
6. ครูสงั เกตความมีวินัย ใฝเรยี นรู
4. ให้พจิ ำรณำวำ่ ข้อควำมต่อไปนีเ้ ปน็ จริงหรอื เท็จ เพรำะเหตุใด
1) am • an = am + n มุง ม่ันในการทํางาน
2) aamn = am - n
3) (ab)-n =(ab)n
4) ถา้ ax > 1 และ 0 < a < 1 แลว้ x > 0

เลขยกก�าลัง 7

ขอสอบเนน การคดิ แนวทางการวัดและประเมินผล
คา ของ 3(3(3(-3)-2)-3)-1 มีคา เทา กับขอใด
1. 13 2. 91 3. 217 4. 811 ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําแบบ
(เฉลยคําตอบ 3(3(3(-3)-2)-3)-1 = 3 3 3 (-13)2 -3 -1 ฝกทักษะ 1.1 ในข้ันฝกปฏิบัติ โดยศึกษาเกณฑการวัดและประเมินผลจาก
= 3 3 3 19 -3 -1 แบบประเมินของแผนการจดั การเรียนรใู นหนวยการเรียนรทู ่ี 1

แบบสังเกตพฤตกิ รรมการทางานกลมุ่

คาชี้แจง : ใหผ้ ู้สอนสังเกตพฤตกิ รรมของนักเรียนในระหวา่ งเรยี นและนอกเวลาเรยี น แลว้ ขีด ลงในชอ่ งท่ตี รงกบั
ระดับคะแนน

ลาดับ ช่อื – สกลุ การแสดง การยอมรับฟัง การทางาน ความมนี ้าใจ การมี รวม
ท่ี ของนักเรียน ความคดิ เห็น คนอ่นื ตามทีไ่ ดร้ ับ ส่วนร่วมใน 20
มอบหมาย การปรับปรุง คะแนน
ผลงานกลุ่ม

= 3 3 31 -3 -1 43214321432143214321

= 3 • 3-1 • ((3-1)-3)-1 ลงช่อื ...................................................ผ้ปู ระเมิน
= 3 • 3-1 • 3-3 ............/................./................
= 321-73 เกณฑก์ ารให้คะแนน
= ปฏบิ ตั ิหรือแสดงพฤตกิ รรมอยา่ งสมา่ เสมอ ให้ 4 คะแนน
ให้ 3 คะแนน
ปฏบิ ตั หิ รือแสดงพฤตกิ รรมบ่อยคร้ัง ให้ 2 คะแนน
ปฏิบัตหิ รอื แสดงพฤตกิ รรมบางครงั้ ให้ 1 คะแนน
ปฏบิ ัตหิ รอื แสดงพฤตกิ รรมน้อยคร้ัง

เกณฑ์การตดั สนิ คุณภาพ

ช่วงคะแนน ระดับคณุ ภาพ
18 - 20 ดีมาก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ตา่ กวา่ 10 ปรบั ปรงุ

ดังนนั้ คาํ ตอบ คือ ขอ 3.)

T9

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั นาํ (Concept Based Teaching) 1.2 (รnำกthทR ี่ no oขtอoงfจำ�Rนeวaนl จNรuงิ m ber)

การใชค วามรเู ดมิ ฯ (Prior Knowledge) ในระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้น นักเรียนทราบมาแล้วว่า การหารากที่สองของศูนย์และ
จา� นวนจรงิ บวกใด ๆ คือ การหาจา� นวนจริงท่ียกกา� ลังสองแล้วได้จา� นวนจรงิ นั้น
ครทู บทวน เรอื่ ง รากท่ี 2 และรากท่ี 3 โดยถาม
คําถาม ดังนี้ ในทา� นองเดยี วกนั การหารากทสี่ ามของจา� นวนจรงิ ใด ๆ คอื การหาจา� นวนจรงิ ทย่ี กกา� ลงั สาม
แลว้ ไดจ้ �านวนจรงิ นน้ั เช่น การหารากทีส่ ามของ 27 ทา� ไดโ้ ดยการหาจา� นวนจริงท่ยี กก�าลังสาม
• หาคารากที่ 2 ของ 16 แล้วได้ 27 ซึ่งจา� นวนนัน้ คอื 3 จงึ ไดว้ ่า 3 เปน็ รากท่ีสามของ 27 ในระดบั ชนั้ นน้ี ักเรียนจะได้ศกึ ษา
(แนวตอบ รากที่ 2 ของ 16 คอื -4 และ 4 เก่ียวกับรากที่ n ในระบบจ�านวนจริง
เพราะ (-4)2 = 16 และ 42 = 16)
1. รำกท ี่ n ของจำ� นวนจรงิ (nth Root of Real Number)
• หาคารากท่ี 3 ของ 8
(แนวตอบ รากที่ 3 ของ 8 คือ 2 เพราะ Investigation
23 = 8)
ใหน้ ักเรียนเติมคำ� ตอบลงในชอ่ งวำ่ งให้ถูกต้อง
• หาคารากที่ 3 ของ 5 1. 62 = .3..6.....ด...ัง...น...น้ั .....6.....เ.ป....น็ ...ร..า...ก...ท...่ี..2.....ข...อ...ง....3...6........................................................................................
(แนวตอบ รากที่ 3 ของ 5 คือ 3 5 เพราะ 2. (-6) =2 ..........................................................................................................................................................
( 3 5)3 = 5) 3. 3 =3 ..........................................................................................................................................................
4. (-3) =3 ..........................................................................................................................................................
ขนั้ สอน 5. 3 =4 ..........................................................................................................................................................
6. (-3) =4 ..........................................................................................................................................................
รู (Knowing) 7. 2 =5 ..........................................................................................................................................................
8. 2 =6 ..........................................................................................................................................................
1. ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา ในกรณีท่ัวไป นักเรียน 9. (-2) =6 ..........................................................................................................................................................
สามารถหาคารากท่ี n ของจํานวนจริงได 10. 1 =7 ..........................................................................................................................................................
เมอ่ื n เปน จาํ นวนเตม็ บวกทม่ี ากกวา 1 โดยให
แตละคนศึกษาและตอบคําถามจากกิจกรรม จาก Investigation จะเห็นว่า จ�านวนจริงใด ๆ เขียนในรูปเลขยกก�าลังที่มีเลขช้ีก�าลังเป็น
จา� นวนเตม็ บางจา� นวนสามารถจดั ไดท้ งั้ ฐานทเ่ี ปน็ จา� นวนบวกและฐานทเ่ี ปน็ จา� นวนลบ เชน่ 81 = 34
Investigation ในหนงั สือเรียน หนา 8 หรอื 81 = (-3)4 ซ่งึ จะเรียก 3 และ -3 วา่ เป็นรากท่ี 4 ของ 81 แต่บางจ�านวนจัดไดเ้ ฉพาะฐาน
ทเี่ ปน็ จ�านวนบวกหรือฐานทีเ่ ปน็ จา� นวนลบอยา่ งใดอยา่ งหน่งึ เท่าน้นั เช่น 27 = 33 เรยี ก 3 วา่
2. ครแู ละนกั เรยี นรว มกนั อภปิ รายและสรปุ ความรู เปน็ รากท่ี 3 ของ 27 หรอื -27 = (-3)3 ซงึ่ จะเรียก -3 ว่าเปน็ รากที่ 3 ของ -27

ทีไ่ ดรบั จากกิจกรรม Investigation 8

เฉลย Investigation
1. 62 = 36 ดงั น้นั 6 เปน รากที่ 2 ของ 36
2. (-6)2 = 36 ดงั น้ัน -6 เปน รากที่ 2 ของ 36
3. 33 = 27 ดังนน้ั 3 เปน รากท่ี 3 ของ 27
4. (-3)3 = -27 ดงั นั้น -3 เปนรากท่ี 3 ของ -27
5. 34 = 81 ดงั น้นั 3 เปนรากที่ 4 ของ 81
6. (-3)4 = 81 ดังนั้น -3 เปน รากที่ 4 ของ 81
7. 25 = 32 ดงั น้ัน 2 เปน รากที่ 5 ของ 32
8. 26 = 64 ดังน้ัน 2 เปนรากท่ี 6 ของ 64
9. (-2)6 = 64 ดงั นน้ั -2 เปนรากที่ 6 ของ 64
10. 17 = 1 ดังน้ัน 1 เปน รากที่ 7 ของ 1

เกร็ดแนะครู ขอสอบเนน การคิด

การเรียนการสอนในหัวขอนี้ ครูควรทบทวนความรู เร่ือง รากท่ีสองและ ขอ ใดตอไปน้ีถูกตอ ง
รากท่สี ามของจํานวนจรงิ ดงั น้ี 1. รากที่ 2 ของ 49 คือ 7
2. รากท่ี 3 ของ -8 คอื -2
ให a เปนจํานวนจรงิ ใดๆ 3. รากท่ี 4 ของ -16 คอื -2
- รากท่ีสองของ a คอื จาํ นวนจริงทีย่ กกาํ ลังสองแลวเทา กับ a 4. รากที่ 5 ของ 0.00032 คือ 0.02
(เฉลยคาํ ตอบ
เขยี นแทนดว ยสัญลกั ษณ a และ - a 1. ผดิ เพราะรากท่ี 2 ของ 49 คอื -7 และ 7
- รากทีส่ ามของ a คือ จํานวนจริงที่ยกกาํ ลงั สามแลวเทา กับ a 2. ถูก เพราะ (-2)3 = -8
3. ผิด เพราะไมม จี าํ นวนจริงใดทยี่ กกาํ ลังส่ีแลว ได -16
เขียนแทนดว ยสญั ลักษณ 3a 4. ผิด เพราะรากที่ 5 ของ 0.00032 คือ 0.2
ดังน้ัน คาํ ตอบ คอื ขอ 2.)

T10

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ในกรณที ัว่ ไป การหาคา่ รากอนั ดบั ทีต่ า่ ง ๆ ของจา� นวนจรงิ ใด ๆ ไดม้ กี ารกา� หนดบทนิยามไว้ ขน้ั สอน
ดงั น้ี
รู (Knowing)
บทนิยาม ก�ำหนด x, y เป็นจ�ำนวนจริง และ n เป็นจ�ำนวนเต็มท่ีมำกกว่ำ 1
y เป็นรำกที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ yn = x 3. ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา ในกรณีทั่วไปการหา
คารากอันดับที่ตางๆ ของจํานวนจริงใดๆ
ตัวอยา งท่ี 3 สามารถหาไดจากบทนิยาม ดงั นี้
“กําหนด x, y เปนจํานวนจริง และ n เปน
ใหห้ ำคำ่ ของ จํานวนเตม็ ทมี่ ากกวา 1 y เปนรากที่ n ของ x
1) รำกที่ 5 ของ -32 กต็ อ เมอ่ื yn = x”
2) รำกท่ี 6 ของ 64
4. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาตวั อยา งท่ี 3 ในหนงั สอื เรยี น
วิธที ำ� 1) เน่อื งจาก -32 = (-2)5 หนา 9 จากน้ันครูอธิบายตัวอยางที่ 3 ซํ้า
ดงั น้ัน รากท่ี 5 ของ -32 คือ -2 อกี ครัง้ เพอื่ ใหน ักเรียนเขาใจมากยงิ่ ข้นึ

2) เนอ่ื งจาก 64 = 26 และ 64 = (-2)6 เขา ใจ (Understanding)
ดงั น้ัน รากที่ 6 ของ 64 คือ 2 และ -2
ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 9 จากน้นั ครสู ุมนักเรียน 2 คน ออกมาเขียน
วิธคี ดิ บนกระดาน โดยครตู รวจสอบความถกู ตอง

ลองทําดู ฝกทําตอ

ใหห้ าค่าของ แบบฝก ทกั ษะ 1.2
1) รากท่ี 5 ของ 243 ขอ 1(1)-(2)
2) รากท่ี 6 ของ 729

2. คำ หลกั ของรำกท ่ี n ของจำ� นวนจรงิ
(Principle nth Root of Real Numbers)

พิจารณาเลขยกกา� ลังทก่ี า� หนด
• (-4)3 = -64 รากทีส่ ามของ -64 มเี พยี งหนึง่ คา่ คอื -4

เรยี ก -4 ว่าเปน็ คา่ หลกั ของรากทสี่ ามของ -64
• (-2)4 = 16 และ 24 = 16 รากท่สี ข่ี อง 16 มีสองคา่ คือ -2 กับ 2

เรียก 2 ว่าเปน็ คา่ หลักของรากท่ีส่ขี อง 16
• (-1)5 = -1 รากที่หา้ ของ -1 มีเพียงหน่ึงคา่ คอื -1

เรียก -1 วา่ เปน็ ค่าหลักของรากท่หี า้ ของ -1

เลขยกก�าลัง 9

กิจกรรม สรางเสรมิ เกร็ดแนะครู

ใหน ักเรียนปฏบิ ัติ ดงั นี้ ครูอธิบายเพ่ิมเติมเกี่ยวกับรากที่ n ของจํานวนจริงวา รากที่ n ของ x
ใหน กั เรียนจับคู แลว ชวยกันหาคาของ y เมือ่ กาํ หนด 3y = 243 เมอ่ื พจิ ารณา n เปน จาํ นวนคหู รอื จํานวนคี่ ดังน้ี

โดยใชบทนยิ ามของรากที่ n ของจํานวนจริง กรณี n เปน จาํ นวนคู
หมายเหตุ : ครคู วรใหน ักเรยี นเกง และนกั เรยี นออ นจบั คกู ัน 1. ถา x > 0 แลว รากท่ี n ของ x จะมีคาํ ตอบ 2 คา คอื จาํ นวนจริงบวก

กิจกรรม ทา ทาย และจํานวนจริงลบ
2. ถา x < 0 แลว ไมส ามารถหารากที่ n ของ x ไดใ นระบบจํานวนจรงิ
ครใู หน กั เรยี นแบง กลมุ กลมุ ละ 3-4 คน คละความสามารถทาง กรณี n เปน จาํ นวนคี่
คณติ ศาสตร แลว ชว ยกนั หาคา ของ m + n เมอ่ื กาํ หนด 5m = 3,125 1. ถา x > 0 แลว รากที่ n ของ x จะมีคําตอบเพียงคาเดียว คือ
และ 3n = 729 โดยใชบทนิยามของรากที่ n ของจํานวนจริง
จากน้ันเขียนแสดงข้ันตอนวิธีทําลงกระดาษ A4 แลวนําสงให จํานวนจรงิ บวก
ครตู รวจ 2. ถา x < 0 แลว รากที่ n ของ x จะมีคําตอบเพียงคาเดียว คือ

จํานวนจรงิ ลบ

T11

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน นกั เรียนจะเห็นวา่ ค่าหลักของรากที่ n ของจ�านวนจริงใด ๆ มเี พยี งหนึ่งคา่ เทา่ นนั้ ซึ่งอาจจะ
เป็นจา� นวนบวกหรือจา� นวนลบ ดงั บทนิยามตอ่ ไปน้ี
รู (Knowing)
บทนิยาม ให้ x และ y เป็นจ�ำนวนจริง และ n เป็นจ�ำนวนเต็มท่ีมำกกว่ำ 1 y เป็นค่ำหลักของรำกท่ี n
1. ครูเขียนโจทยบ นกระดาน เชน ของ x ท่ีเขียนแทนด้วย n x ก็ต่อเม่ือ
1) รากที่ 3 ของ -64 คอื -4
2) รากที่ 4 ของ 16 คือ -2 และ 2 1) y เป็นรำกท่ี n ของ x
3) รากที่ 5 ของ -1 คือ -1 2) xy ≥ 0
แลว ถามคาํ ถาม ดังน้ี ส�ำหรับ n x อ่ำนว่ำ กรณฑ์ที่ n ของ x หรือ ค่ำหลักของรำกที่ n ของ x
• ขอใดบางที่มีรากเปนอันดับคู และคําตอบ
ในแตล ะขอมกี ค่ี า จากบทนยิ ามอาจกลา่ วได้ว่า ถา้ y เป็นคา่ หลกั ของรากที่ n ของ x แล้ว xy จะมีผลคูณ
(แนวตอบ ขอ 2) มรี ากท่ี 4 เปนรากอนั ดับคู เปน็ จา� นวนบวกหรือศูนย์
และมีคาํ ตอบ 2 คา คอื -2 และ 2)
• ขอใดบางที่มีรากเปนอันดับค่ี และคําตอบ เชน่ คา่ หลกั ของรากที่ 3 ของ -8 คอื 3 -8 หรือ -2
ในแตละขอมีก่ีคา เพราะว่า (-8) × (-2) > 0
(แนวตอบ ขอ 1) และขอ 3) มีรากที่ 3 และ ค่าหลกั ของรากท่ี 4 ของ 81 คอื 4 81 หรอื 3
รากที่ 5 เปนรากอันดับค่ี และมีคําตอบ เพราะวา่ 81 × 3 > 0
เพียงคาเดยี ว คอื -4 และ -1 ตามลาํ ดับ) ค่าหลักของรากท่ี 5 ของ -15 คอื 5 -15
จากนั้นครูสรุปวา รากอันดับคูที่มีคําตอบ เพราะวา่ -15 × 5 -15 > 0
สองคาจะมีคาหลักเพียงคาเดียวเทานั้น คือ
คาท่ีเปนบวก นั่นคือ คาหลักของรากท่ี 4 ในกรณีท่วั ไปมขี อ้ สรปุ เกย่ี วกับค่าหลักของรากท่ี n ของจา� นวนจรงิ x หรอื n x ดงั น้ี
ของ 16 คือ 2 และรากอันดับค่ีที่มีคําตอบ 1. ถา้ x = 0 แล้ว n x = 0
เพียงคาเดียว ซ่ึงคําตอบท่ีไดจะเปนคาหลัก 2. ถ้า x > 0 แล้ว n x เปน็ จา� นวนจรงิ บวก
ของราก น่ันคือ คาหลกั ของรากท่ี 3 ของ -64 3. ถา้ x < 0 และ n เป็นจ�านวนค่ี แล้ว n x เปน็ จ�านวนจริงลบ
คือ -4 และคาหลักของรากที่ 5 ของ -1 คอื -1
ATTENTION และเรยี ก n วา่ อันดับท่ี
2. ครูใหนักเรียนเขียนบทนิยามคาหลักของราก
ท่ี n ลงในสมุด จากหนังสือเรียน หนา 10 แลว 1. สญั ลักษณ์ เรียกวา่ เคร่อื งหมายกรณฑ์ (radical sign)
ยกตัวอยางบนกระดาน เพ่ือใหสอดคลองกับ 2. รากที่ n เมอ่ื n เปน็ จา� นวนเตม็ ที่มากกว่า 1 เขียนแทนด้วย n
บทนยิ ามดังกลาว
หรอื ดชั นี (index) ของกรณฑ์
3. ครูอธิบาย เร่ือง สัญลักษณของเคร่ืองหมาย 3. กรณี กรณฑ์ที่ 2 (n = 2) เขียนแทนด้วย
กรณฑท่ีใชแสดงอันดับรากของจํานวนจริง
จาก ATTENTION ในหนังสอื เรียน หนา 10

10

สื่อ Digital ขอ สอบเนน การคดิ
คา ของ 81 + 30 - 3 - 2674 มีคา เทา กบั เทาใด
ครูอาจใหนักเรียนดูส่ือการเรียนรูผานทาง www.youtube.com โดยใช 81 + 3 0 - 3 - 2674 = 92 + 3 03 - 3 - 43 3
คําสบื คน ดงั น้ี (เฉลยคําตอบ = 9 + 0 - - 34
= 9 34 )
• คาหลักของรากท่ี n ของจาํ นวนจริง

• Principle nth Root of Real Number
เชน www.edltv.thai.net

T12

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตัวอยางท่ี 4 ขน้ั สอน

ใหห้ ำคำ่ ของ 2) 5 -243 รู (Knowing)
1) 4 16
4. ครูเขยี นตวั อยา งที่ 4 ในหนงั สือเรยี น หนา 11
วิธีทำ� 1) เนือ่ งจาก 24 = 16 และ 2 × 16 > 0 บนกระดาน และอธิบายวิธีทําอยางละเอียด
ดงั น้นั 4 16 = 2 เพื่อเนนยํา้ ใหนกั เรียนเขา ใจ

2) เนอ่ื งจาก (-3)5 = -243 และ (-3) × (-243) > 0 เขา ใจ (Understanding)
ดงั นัน้ 5 -243 = -3
1. ครูใหนกั เรียนจับคทู าํ “ลองทาํ ดู” ในหนังสอื -
ลองทําดู 2) 5 23423 ฝกทําตอ เรียน หนา 11 แลวตรวจสอบคําตอบกับคู
ของตนเอง โดยครูตรวจสอบความถูกตอง
ใหห้ าค่าของ แบบฝกทกั ษะ 1.2
1) 4 625 ขอ 1(3)-(6), 6 2. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกทักษะ 1.2 ขอ 1
ในหนังสอื เรยี น หนา 21 เปนการบาน
ตวั อยา งท่ี 5
รู (Knowing)
ใหห้ ำคำ่ ประมำณของ 3 63
วธิ ที ำ� ขนั้ ท่ี 1 หาจา� นวนเต็มทยี่ กกา� ลังสามแล้วใกลเ้ คยี งกับ 63 มากที่สดุ 1. ครูเฉลยการบา น โดยสมุ นักเรยี นออกมาเขียน
วิธีทําบนกระดาน โดยครูตรวจสอบความ
เนอ่ื งจาก 33 < 63 < 43 ถกู ตอง
3 27 = 3 และ 3 64 = 4
2. ครกู ลา วทบทวนเกยี่ วกบั รากที่ n ของจาํ นวนจรงิ
ดงั นั้น 3 63 มีค่าประมาณมากกวา่ 3 แต่ไม่ถึง 4 และคา หลักของรากที่ n ของจาํ นวนจรงิ ดังน้ี
ข้นั ท่ี 2 ประมาณค่าของ 3 63 - การหาคา รากอนั ดบั ทต่ี า งๆ ของจาํ นวนจรงิ
ใดๆ สามารถหาไดจากบทนิยาม ดังนี้
พิจารณาจาก 3.1, 3.2, 3.3, ..., 3.9 จะได้ว่า (3.9)3 = 59.319 กาํ หนด x, y เปนจาํ นวนจริง และ n เปน
ดงั นัน้ 3 63 มคี ่าประมาณมากกว่า 3.9 แตไ่ มถ่ ึง 4 จํานวนเต็มท่ีมากกวา 1 y เปนรากที่ n
พิจารณาจาก 3.91, 3.92, 3.93, ..., 3.99 ของ x ก็ตอ เม่อื yn = x
เนื่องจาก (3.95)3 ≈ 61.630 - จํานวนจริง y เปนคาหลักของรากที่ n
ของ x เขียนแทนดวย n x ก็ตอ เมือ่ y เปน
(3.96)3 ≈ 62.099 รากท่ี n ของ x และ xy ≥ 0
(3.97)3 ≈ 62.571
(3.98)3 ≈ 63.045 เขา ใจ (Understanding)
ดงั นน้ั 3.98 เปน็ คา่ ประมาณของ 3 63
1. ครูใหนักเรียนสุมตัวเลขที่ยกกําลังสามแลว
เลขยกก�าลัง 11 ใกลเ คยี งกบั 63 มากทส่ี ดุ โดยตอบเปน ทศนยิ ม
สองตําแหนง จากน้ันครูยกตัวอยางที่ 5 ใน
หนังสือเรยี น หนา 11 บนกระดาน แลว อธิบาย
การหาคาประมาณของ 3 63 แตละข้ันตอน
อยา งละเอยี ด

ขอสอบเนน การคดิ เกร็ดแนะครู
75 +2 50
ใหหาคาประมาณของ เม่ือกําหนด 2 ≈ 1.414 ครูอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับการหาคาประมาณของรากท่ี 2 และรากท่ี 3
และ 3 ≈ 1.732 โดยใชวิธกี ารเปด ตาราง ดงั นี้

(เฉลยคาํ ตอบ 75 +2 50 = 55(13.7+2325) 2 5(1.414) nn 3n n n 3n
+2 1 1.000 1.000 11 3.317 2.224
≈ 2 1.414 1.260 12 3.464 2.289
3 1.732 1.442 13 3.606 2.351
= 7.865) 4 2.000 1.587 14 3.742 2.410
5 2.236 1.710 15 3.873 2.466
6 2.449 1.817 16 4.000 2.520
7 2.646 1.913 17 4.123 2.571
8 2.828 2.000 18 4.243 2.621
9 3.000 2.080 19 4.359 2.668
10 3.162 2.154 20 4.472 2.714

เชน 15 ≈ 3.873 และ 3 10 ≈ 2.154 T13

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ลองทําดู ฝกทําตอ

เขา ใจ (Understanding) ให้หาคา่ ประมาณของ 3 8.1 แบบฝกทกั ษะ 1.2 ขอ 2

2. ครใู หนักเรียนจับคูทาํ “ลองทําด”ู ในหนังสือ- Journal Writing
เรยี น หนา 12 และแบบฝกทกั ษะ 1.2 ขอ 2.
ในหนงั สือเรยี น หนา 21 จากนัน้ ใหต รวจสอบ ตะวนั แสดงวิธีหาค�าตอบจากตัวอยา่ งท่ี 5 ดังน้ี
คําตอบกับคูของตนเอง โดยครูตรวจสอบ เนื่องจาก 3 27 = 3 และ 3 64 = 4
ความถูกตอ ง ดงั น้นั 3 63 มีค่าประมาณมากกวา่ 3 แต่ไม่ถงึ 4
เนอ่ื งจาก (3 +2 4)3 = (3.5)3 = 42.875
3. ครูใหนักเรียนจับคูทํากิจกรรม โดยใชเทคนิค ดังนนั้ 3 63 มคี ่าประมาณมากกว่า 3.5 แตไ่ มถ่ ึง 4
เนอ่ื งจาก (3.52+ 4)3 = (3.75)3 ≈ 52.734
คคู ิด (Think Pair Share) ดังนี้ ดงั นน้ั 3 63 มีคา่ ประมาณมากกวา่ 3.75 แต่ไมถ่ ึง 4
เนอ่ื งจาก (3.752+ 4)3 = (3.875)3 ≈ 58.186
• ใหนักเรียนแตละคนคิดคําตอบของตนเอง ดงั นัน้ 3 63 มีคา่ ประมาณมากกวา่ 3.875 แต่ไมถ่ งึ 4
เนื่องจาก (3.8752 + 4)3 = (3.9375)3 ≈ 61.047
กอน จากกิจกรรม Journal Writing ใน ดังนนั้ 3 63 มคี ่าประมาณมากกว่า 3.9375 แต่ไม่ถึง 4
เน่อื งจาก (3.93725 + 4)3 = (3.96875)3 ≈ 62.512
หนังสือเรียน หนา 12 ดงั นั้น 3 63 มีค่าประมาณมากกว่า 3.96875 แต่ไมถ่ ึง 4
• ใหนักเรียนจับคูกับเพ่ือน เพื่อแลกเปล่ียน เนอ่ื งจาก (3.968725 + 4)3 = (3.984375)3 ≈ 63.253
ดงั นัน้ 3 63 มีค่าประมาณมากกวา่ 3.96875 แตไ่ ม่ถึง 3.984375
คําตอบกัน สนทนาซักถามซ่ึงกันและกัน ดเนังื่อนงั้นจา3ก.9(736.596628575≈+23.39.898เ4ป3น็ 7ค5่า)ป3ร=ะม(3าณ.97ข6อ5ง63256)33 ≈ 62.882
จนเปนที่เขาใจรวมกัน นกั เรียนเห็นด้วยกบั วธิ ีการหาค�าตอบของตะวันหรือไม่ เพราะเหตุใด
• ครูสุมถามนักเรียน แลวใหนักเรียนรวมกัน
อภิปรายคาํ ตอบ ดงั น้ี IT CORNER
นักเรยี นสามารถใช้เครอื่ งคดิ เลขวทิ ยาศาสตร์ตรวจสอบคา่ ประมาณ 3 63 โดยกดปมุ
- จากกิจกรรม Journal Writing วิธีการ 3 63=

หาคาํ ตอบของตะวนั มกี ารแบง ชว งอยา งไร 12
(แนวตอบ แบงชวงจํานวนท่ีพิจารณาออก
เปน 2 ชวง)
- นักเรียนคิดวา วิธีใดที่ใหคําตอบที่เร็ว
กวา กนั เพราะเหตุใด
(แนวตอบ วธิ จี ากตวั อยา งท่ี 5 จะใหค าํ ตอบ
ทเี่ ร็วกวา เพราะมีการแบง ชว งที่พิจารณา
มากกวา 2 ชว ง)
4. ครูใหนักเรียนตรวจสอบคาประมาณของ 3 63
โดยใชเ คร่อื งคดิ เลขจาก IT CORNER

เฉลย Journal Writing
เหน็ ดว ย เพราะเปน การหาคา ประมาณทมี่ กี าร

แบงชว งจาํ นวนทพ่ี จิ ารณาออกเปน 2 ชวง แตอ าจ
จะไดผ ลลพั ธท ่ชี ากวาวิธีในตัวอยางท่ี 5

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคิด

ครูอธิบายเพิ่มเติมเก่ียวกับการตรวจสอบคาประมาณวา นอกจากจะใช คาประมาณของ 3 54 - 3 98 + 4 48 มคี า เทา กบั ขอ ใด
เครือ่ งคิดเลขในการตรวจสอบคา ประมาณแลว นกั เรยี นยงั สามารถใชโ ปรแกรม เมื่อกาํ หนด 2 ≈ 1.414, 3 ≈ 1.732 และ 32 ≈ 1.260

อนื่ ๆ ในการคาํ นวณ เชน Microsoft Excel โปรแกรมคาํ นวณออนไลน Wolfram- 1. 1.638
Alpha 2. 1.789
3. 1.798
4. 1.889
(เฉลยคาํ ตอบ
3 54 - 3 98 + 4 48 = 3 32 - 3(7 2) + 4(4 3)

= 3 32 - 21 2 + 16 3
≈ 3(1.260) - 21(1.414) + 16(1.732)
= 1.798
ดังน้นั คําตอบ คอื ขอ 3.)

T14

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

Investigation ขน้ั สอน

ใหน้ กั เรียนตอบค�ำถำมตอ่ ไปนี้ รู (Knowing)

1. ให้พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้วา่ เปน็ จรงิ หรือเท็จ 1. ครูใหนักเรียนศึกษากิจกรรม Investigation

1) 16 + 9 = 16 + 9 2) 16 - 9 = 16 - 9 ในหนังสอื เรียน หนา 13 แลวตอบคําถามจาก
กจิ กรรม
3) 16 × 9 = 16 × 9 4) 196 = 16 2. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปราย เพ่ือตอบ
9
2. จากข้อ 1. ให้นกั เรยี นพสิ จู น์ขอ้ ความทเ่ี ป็นจรงิ ส�าหรับกรณจี า� นวนจรงิ ใด ๆ คาํ ถามจากกจิ กรรม Investigation จนสามารถ

3. ใหห้ าค่าของ a × a สรุปเปนสมบัติของรากที่ n ของจํานวนจริง
ใดๆ ในหนงั สอื เรียน หนา 13
จาก Investigation นักเรยี นสามารถสรุปเปน็ สมบตั ไิ ด้ ดงั นี้ 3. ครูอธิบายเพิ่มเติมเก่ียวกับสมบัติของรากที่ n
ของจํานวนจริง จาก ATTENTION ดงั น้ี
สมบัติ ให้ a ≥ 0 และ b ≥ 0 จะได้ ATTENTION
a+b ≠ a+ b a+b a+ b
1. ab = a • b a-b ≠ a- b a-b a- b
กรณีท่ี a = b จะได้ว่ำ a • a = a เมอื่ a และ b > 0 เมอ่ื a และ b > 0
หรือ ( a )2 = a2 = a
เชน 4 + 5 4 + 5
2. ba = a เม่ือ b ≠ 0 4. ครถู ามคาํ ถามวา นกั เรยี นสามารถยกตวั อยา ง
b
ในกรณีท่ี a + b = a + b ไดหรือไม
(แนวตอบ ได เชน ให a = 1 และ b = 0 จะได

1 + 0 = 1 + 0)

จากสมบัตขิ ้างต้น สามารถน�ามาเขียนเปน็ สมบตั ิของรากท่ี n ในกรณที ว่ั ไปได้ ดังน้ี

สมบัติ สมบัติของรากที่ n
ให้ a และ b เป็นจ�ำนวนจริงที่มีรำกท่ี n และ n เป็นจ�ำนวนเต็มที่มำกกว่ำ 1

1. (n a )n = a เมื่อ n a เป็นจ�ำนวนจริง

a เมื่อ a ≥ 0
2. n an = a เมื่อ a < 0 และ n เปน็ จ�ำนวนคี่บวก

∙a∙ เมอ่ื a < 0 และ n เปน็ จำ� นวนคูบ่ วก

3. n ab = n a • n b

4. n ba = na เม่ือ b ≠ 0
nb

เลขยกก�าลัง 13

เฉลย Investigation

ขอ 1. 1) เปนเท็จ เพราะ 16 + 9 16 + 9 ขอ 2. จากขอ 4) ให a ≥ 0 และ b ≥ 0
2) เปน เท็จ เพราะ 25 4+3
5 7 จากขอ 3) ให a ≥ 0 และ b ≥ 0 จาก ba = a
16 - 9 จาก ab = a • b
16 - 9 1 ba 2 = ba2
7 ( ab)2 = ( a • b)2
ab = ( a • b)( a • b) b
3) เปนจริง เพราะ 16 × 9 = 16 × 9 ab = ( a • a)( b • b) ba = a a
144 = 4 × 3 ab = a2 • b2 •
12 = 12 ab = ab b b
ba = ab22
4) เปนจริง เพราะ 196 = 16 ba = ba
9
34 2 = 196
43 = 43 ขอ 3. เนื่องจาก a2 = a × a = ( a)2 = ͉a͉ T15
ดงั นั้น a × a = ͉a͉

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขนั้ สอน นักเรียนสามารถน�าสมบัติของรากท่ี n ไปใช้ในการจัดรูปของกรณฑ์ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
ดงั ตวั อย่างตอ่ ไปน้ี
เขา ใจ (Understanding)
ตวั อยา งที่ 6
1. ครูเขยี นตัวอยางที่ 6 ในหนงั สือเรยี น หนา 14
บนกระดาน แลวอธิบายวา ในแตละขอใช ให้เขยี นจำ� นวนตอ่ ไปนีใ้ นรูปอยำ่ งงำ่ ย 2) 18
สมบัตขิ องรากที่ n สมบตั ใิ ดในการหาคําตอบ 1) 2 • 8 4) 5 64 ÷ 5 2
3) 3 81 • 4 81
2. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 14 และแบบฝก ทกั ษะ 1.2 ขอ 3. ขอ 1)-3) วิธีทำ� 1) 2 • 8 = 2 × 8 = 16 = 4
ในหนังสือเรียน หนา 22 แลวสุมนักเรียน 2) 18 = 9 × 2 = 9 • 2 = 3 2
ออกมาเฉลยวิธีคิดบนกระดาน โดยครูและ 3) 3 81 • 4 81 = 3 27 × 3 • 4 34
นกั เรียนรว มกันตรวจสอบความถูกตอ ง = 3 33 × 3 • 4 34
= 333 × 3
ลงมอื ทาํ (Doing) = 933
4) 5 64 ÷ 5 2 = 5 32 × 2 ÷ 5 2
ครูใหนักเรยี นแบงกลมุ กลมุ ละ 3-4 คน โดย = 5 25 × 2 ÷ 5 2
คละความสามารถทางคณิตศาสตร ทําใบงาน = 252 ÷ 52
ท่ี 1.1 เร่ือง รากท่ี n ของจํานวนจริง แลวให =2
ตรวจสอบคําตอบของตนเองกับเพ่ือนในกลุม
จากน้ันใหสงตัวแทนกลุมออกมาแสดงวิธีคิด ลองทาํ ดู
หนาชั้นเรียน โดยมีครูคอยตรวจสอบความ
ถูกตอ ง ใหเ้ ขียนจ�านวนต่อไปน้ีในรปู อย่างง่าย ฝกทําตอ

ขนั้ สรปุ 1) 27 • 3 2) 12 แบบฝกทกั ษะ 1.2
3) 5 32 • 3 32 4) 4 10000 ÷ 3 1000 ขอ 3(1)-(3)
ครใู หน กั เรยี นสรปุ ความรรู วบยอด เรอื่ ง รากท่ี n
ของจาํ นวนจริง ลงในสมุด 3. กำรหำผลบวกและผลตำ งของจำ� นวนจรงิ ทอี่ ยใู นรปู กรณฑ
(Addition and Subtraction of Radicals)
ขนั้ ประเมนิ
นักเรียนสามารถหาผลบวกและผลต่างของจ�านวนท่ีมีเครื่องหมายกรณฑ์อันดับเดียวกัน
1. ครูตรวจใบงานท่ี 1.1 และมจี า� นวนภายในกรณฑ์เปน็ จ�านวนเดียวกันได้ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี
2. ครตู รวจสอบแบบฝกทักษะ 1.2
3. ครปู ระเมนิ การนาํ เสนอผลงาน 14
4. ครสู งั เกตพฤติกรรมการทํางานรายบุคคล
5. ครูสงั เกตพฤติกรรมการทาํ งานกลุม
6. ครูสงั เกตความมวี ินัย ใฝเ รียนรู

มงุ มน่ั ในการทาํ งาน

แนวทางการวัดและประเมินผล ขอ สอบเนน การคดิ
33872 • 125
ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําใบงาน เขียน 5 • 3 49 ในรูปอยางงา ยไดเทากับขอใด
ท่ี 1.1 เรอ่ื ง รากที่ n ของจาํ นวนจรงิ ในข้นั ลงมือทาํ โดยศึกษาเกณฑก ารวัด
และประเมินผลจากแบบประเมินของแผนการจัดกิจกรรมเรียนรูในหนวยการ 1. 103 7 2. 203 7
เรียนรูท่ี 1 3. 3107 4. 3207

แบบสงั เกตพฤติกรรมการทางานกลุ่ม (เฉลยคาํ ตอบ 33872 • 1525 • 3 49 = 3 (3273)2 • 1255 • 3 49
= 4 • 5 • 3 479
คาชี้แจง : ให้ผสู้ อนสังเกตพฤติกรรมของนักเรียนในระหว่างเรียนและนอกเวลาเรยี น แล้วขดี ลงในช่องท่ตี รงกบั = 20 3 7
ระดับคะแนน
ดงั นนั้ คาํ ตอบ คอื ขอ 2.)
ลาดบั ชือ่ – สกลุ การแสดง การยอมรบั ฟัง การทางาน ความมนี า้ ใจ การมี รวม
ที่ ของนักเรยี น ความคดิ เหน็ คนอ่ืน ตามท่ีไดร้ ับ ส่วนร่วมใน 20
มอบหมาย การปรับปรุง คะแนน
ผลงานกลุม่

43214321432143214321

เกณฑก์ ารให้คะแนน ลงชือ่ ...................................................ผู้ประเมนิ
ปฏบิ ัติหรือแสดงพฤตกิ รรมอยา่ งสม่าเสมอ ............/................./................

ปฏบิ ัติหรือแสดงพฤติกรรมบอ่ ยครง้ั ให้ 4 คะแนน
ปฏบิ ัติหรือแสดงพฤตกิ รรมบางครงั้ ให้ 3 คะแนน
ปฏิบัติหรือแสดงพฤติกรรมน้อยครง้ั ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑก์ ารตดั สนิ คณุ ภาพ

ชว่ งคะแนน ระดบั คุณภาพ
18 - 20 ดมี าก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ตา่ กวา่ 10 ปรับปรุง

T16

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

ตวั อยางที่ 7 ขนั้ นาํ (Concept Based Teaching)

ให้เขียนจ�ำนวนตอ่ ไปน้ีในรปู อยำ่ งงำ่ ย 2) 49x + 16x การใชค วามรเู ดมิ ฯ (Prior Knowledge)
1) 32 + 50 4) 4 81x + 4 16x5
3) 3 16 - 3 2 ครูทบทวนความรูเก่ียวกับรากท่ี n ของ
จํานวนจริง คา หลักของรากท่ี n ของจาํ นวนจรงิ
วิธีท�ำ 1) 32 + 50 = 16 × 2 + 25 × 2 ATTENTION และสมบตั ขิ องรากที่ n ของจํานวนจริง
= 16 • 2 + 25 • 2 p a + q a = (p + q) a
= 42+52 p a - q a = (p - q) a ขนั้ สอน
= 92
รู (Knowing)
2) 49x + 16x = 49 • x + 16 • x
1. ครูยกตัวอยางการหาผลบวกและผลตางของ
= 7x+4x จํานวนจริงท่ีอยูในรูปกรณฑ โดยถามคําถาม
ดงั นี้
= 11 x • 45 + 20 - 5 แตละพจนม ีเคร่ืองหมาย
กรณฑอนั ดบั เดยี วกนั หรือไม และมีจํานวน
3) 3 16 - 3 2 = 38×2-32 ภายในกรณฑเ ปน จาํ นวนเดยี วกันหรือไม
= 3 23 × 2 - 3 2 (แนวตอบ มเี ครอ่ื งหมายกรณฑอ นั ดบั เดยี วกนั
= 232 - 32 คือ อันดับสอง แตจํานวนภายในกรณฑ
= 32 ไมเ ปน จาํ นวนเดยี วกนั )
4) 4 81x + 4 16x5 = 4 34x + 4 (2x)4x • นกั เรียนสามารถจดั 45 + 20 - 5 ใหอยู
= 3 4 x + 2x 4 x ในรปู อยา งงายไดอยางไร
= (3 + 2x) 4 x (แนวตอบ 3 5 + 2 5 - 5)

ลองทาํ ดู 2. ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา จากตัวอยางที่กลาวมา
จะเห็นวา 3 5 + 2 5 - 5 มีเครื่องหมาย
ให้เขยี นจา� นวนต่อไปนใ้ี นรูปอย่างง่าย ฝกทําตอ กรณฑอันดับเดียวกัน คืออันดับสอง และมี
จํานวนภายในกรณฑเหมือนกัน คือ 5 และ
1) 75 + 108 2) 3 1458x - 3 54x แบบฝก ทกั ษะ 1.2 นักเรียนสามารถใชสมบัติการแจกแจงในการ
3) 10 4 768 + 4 243 4) 5 32x - 5 243x6 ขอ 5(1)-(8) ดึงตวั รว ม 5 ได ดังน้ี
3 5 + 2 5 - 5 = (3 + 2 - 1) 5 = 4 5
เลขยกก�าลัง 15
3. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 7 ในหนังสือ-
เรียน หนา 15 แลวครูอธิบายซ้าํ อกี คร้ัง เพอื่ ให
นักเรยี นเขาใจมากย่ิงขึ้น

เขา ใจ (Understanding)

ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 15 และแบบฝกทักษะ 1.2 ขอ 5. 1)-8)
ในหนังสือเรียน หนา 22 เพ่ือตรวจสอบความ
เขา ใจของนกั เรยี น โดยครตู รวจสอบความถกู ตอ ง

ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET เกร็ดแนะครู

นพิ จน 3 81x4 + 23 24x4 + 3 -375x4 เทา กบั เทา ใด ครูเนน ยาํ้ เรื่อง การหาผลบวกและผลตางของจาํ นวนจริงทอ่ี ยูในรปู กรณฑ
1. -73 3x จะตอ งมขี อ ตกลง คอื อนั ดบั ของกรณฑต อ งเปน อนั ดบั เดยี วกนั และจาํ นวนทอี่ ยู
2. 23 3x ภายใตก รณฑต อ งเปน จาํ นวนเดยี วกนั ซงึ่ จาํ นวนทนี่ าํ มาบวกลบกนั จะตอ งจดั ให
3. 12x3 3x อยูในรูปอยา งงา ยกอน เชน
4. 10x3 3x
5. 13x3 3x 3 5 + 3 625 - 3 40 = 3 5 + 3 54 - 3 23 × 5
(เฉลยคาํ ตอบ = 3 5 + 53 5 - 23 5
3 81x4 + 23 24x4 + 3 -375x4 = 3x3 3x + 2(2x)3 3x + (-5x)3 3x) = (1 + 5 - 2)3 5
= 3x3 3x + 4x3 3x + 5x3 3x = 43 5
= (3x + 4x + 5x) 3 3x
= 12x3 3x T17
ดังนัน้ คําตอบ คือ ขอ 3.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู (Knowing)

1. ครกู ลา ววา นอกจากการหาผลบวกและผลตา ง 4. กำรหำผลคณู และผลหำรของจำ� นวนจรงิ ทอ่ี ยใู นรปู กรณฑ
ของจํานวนจริงทีอ่ ยใู นรปู กรณฑแลว นักเรียน (Multiplication and Division of Radicals)
ยงั สามารถหาผลคณู และผลหารของจาํ นวนจรงิ
ทอี่ ยูใ นรปู กรณฑได โดยมีเงอื่ นไขวา จะตองมี กรณฑ์ที่จะนา� มาหาผลคูณและผลหาร จะต้องมีอันดับของกรณฑ์ที่เท่ากนั ก่อน โดยใช้สมบตั ิ
อันดับของกรณฑท่ีเทากันกอน แลวใชสมบัติ ของรากที่ n ดังตวั อยา่ งต่อไปนี้

ของรากท่ี n จากนนั้ ครยู กตวั อยา งบนกระดาน ตัวอยางท่ี 8

แลวถามคําถาม ดังนี้ ให้เขยี นจ�ำนวนตอ่ ไปนี้ในรูปอยำ่ งง่ำย

• 2 • 4 • 8 กรณฑที่จะนํามาคณู กนั มี 1) 2 • 3 • 6 2) 3 15 • 3 25 • 3 9
เคร่ืองหมายกรณฑอนั ดับเดียวกันหรือไม
(แนวตอบ มเี ครอื่ งหมายกรณฑอ นั ดบั เดยี วกนั 3) 3 -160 4) 5 128
3 20 54

คอื อนั ดับสอง) วิธีท�ำ 1) 2 • 3 • 6 = 2×3×6
• เ3ค63ร25อื่ 5งหกมราณยฑกทรณีจ่ ะฑนอ ําันมดาับหเาดรียกวนั กมนั ี หรือไม = 6×6
=6

(แนวตอบ มเี ครอ่ื งหมายกรณฑอ นั ดบั เดยี วกนั 2) 3 15 • 3 25 • 3 9 = 3 3 × 5 • 3 5 × 5 • 3 3 × 3
คอื อันดบั สาม) = 3 5×5×5•3 3×3×3
2. ครอู ธบิ ายเพม่ิ เตมิ วา การหาผลคณู และผลหาร = 5×3
ของจาํ นวนจรงิ ทอี่ ยใู นรปู กรณฑ สามารถหาคา = 15

ได โดยใชสมบัติของรากท่ี n ดังน้ี ให a และ 3) 3 -160 = 3 -12600
3 20 = 3 -8
b เปนจํานวนจริงที่มีรากที่ n และ n เปน = -2
จํานวนเต็มทมี่ ากกวา 1
1. n ab = n a • n b
ba na 4) 5 128 = 5 1428
2. n = เมอ่ื b 0 54 = 5 32
nb =2
3. ครูสุมนักเรียนออกมาแสดงวิธีหาผลลัพธของ
ตวั อยางขางตน
(แนวตอบ 2 • 4 • 8 = 2 × 4 × 8 ลองทาํ ดู

= 2×2×2×2×2×2 = 8 ให้เขียนจ�านวนตอ่ ไปน้ใี นรปู อยา่ งงา่ ย

= 3 625 = 3 6525 = 3 125 = 5) 1) 15 • 5 • 3 2) 3 6 • 3 4 • 3 9 ฝกทําตอ
35 3 270 5 2048
4. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาตวั อยา งท่ี 8 ในหนงั สอื เรยี น 3) 3 10 4) 52 แบบฝก ทักษะ 1.2
ขอ 3(4)-(6)
16
หนา 16 จากนนั้ ครูอธิบายตัวอยางที่ 8 อกี ครั้ง
เพ่อื ใหนกั เรียนเขา ใจมากยงิ่ ขน้ึ

เกร็ดแนะครู ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET

ครเู นน ยาํ้ เรอ่ื ง การหาผลคณู และผลหารของจาํ นวนจรงิ ทอ่ี ยใู นรปู กรณฑ วา นพิ จน 4 243x5 + 54 48x5 เทากับเทาใด
มีขอตกลง คือ อันดับของกรณฑตองเปนอันดับเดียวกัน โดยใชสมบัติของ 4 768x5
รากที่ n เชน 1. 123 2. 143 3. 125 4. 145 5. 147
3 25 • 3 25 254•025
3 40 = 3 (เฉลยคาํ ตอบ 4 243x5 + 54 48x5 = 4 (34)(3)x5 + 54 (24)(3)x5
4 768x5 4 (44)(3)x5
= 3 64205 4 (3x)43x + 54 (2x)43x
= 4 (4x)43x

= 3 1825 = 3x 4 3x4x+453(x2x)4 3x
= (3x 4+x1403xx)4 3x
= 3 5233 114433xx4433xx
= 52 =
=
T18
ดังน้ัน คําตอบ คือ ขอ 2.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตัวอยา งท่ี 9 ขนั้ สอน

ให้หำผลลัพธ์ของ 2) ( 3 + 1)2 SOPLRVOIBNLGETMIP เขา ใจ (Understanding)
1) (3 + 2)(4 - 2) นักเรียนสามารถหาผลลพั ธ์
โดยคูณตามลกู ศร ดงั รปู ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
วิธที �ำ 1) (3 + 2)(4 - 2) = 12 - 3 2 + 4 2 - 2 (3 + 2)(4 - 2) หนา 16 และแบบฝกทกั ษะ 1.2 ขอ 3. 4)-6) แลว
= 10 + 2 ครูสุมนักเรียนออกมาเฉลยคําตอบบนกระดาน
ฝกทําตอ โดยครตู รวจสอบความถูกตอ ง
2) ( 3 + 1)2 = 3 + 2 3 + 1
= 4+23 แบบฝก ทกั ษะ 1.2 รู (Knowing)
ขอ 5(9)-(12)
ลองทาํ ดู 2) (4 - 3 2)2 ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 9 ในหนังสือ-
4) (3 6 + 4 2)2 เรียน หนา 17 จากน้ันสุมนักเรียนออกมาแสดง
ให้หาผลลพั ธ์ของ วิธีหาผลลัพธในแตละขอ แลวครูอธิบายตัวอยาง
1) (7 + 2 3)(5 - 3) ท่ี 9 ซ้ําอกี ครัง้ เพื่อใหน กั เรยี นเขาใจมากยงิ่ ขนึ้
3) (3 + 2 5)(3 - 2 5)
เขา ใจ (Understanding)
Class Discussion
1. ครใู หนกั เรียนจับคูแลวทาํ กิจกรรมดงั น้ี
ให้นกั เรียนจับคู่ แลว้ ชว่ ยกนั ตอบค�ำถำมตอ่ ไปนี้ • ใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
1. จากลองท�าดูใต้ตวั อย่างท่ี 9 ขอ้ 1), 2) และ 4) ผลคูณของจา� นวนอตรรกยะ 2 จ�านวน หนา 17 และแบบฝก ทกั ษะ 2.1 ขอ 5. 9)-12)
ในหนงั สอื เรียน หนา 22
เปน็ จ�านวนอตรรกยะหรอื ไม่ และจากขอ้ 3) ผลคณู ของจ�านวนอตรรกยะ 2 จ�านวน
เป็นจา� นวนตรรกยะหรือไม่ และมีรูปแบบของผลคณู เป็นอย่างไร • ใหน กั เรยี นทาํ กจิ กรรม Class Discussion ใน
2. จากรปู แบบในข้อ 1. นกั เรยี นคดิ วา่ เงอ่ื นไขใดทท่ี า� ใหผ้ ลคณู ของจา� นวนอตรรกยะ
2 จา� นวน เปน็ จ�านวนตรรกยะ หนงั สอื เรยี น หนา 17 แลวตอบคําถามจาก
กิจกรรมในแตละขอ
จาก Class Discussion จะเหน็ วา่ ผลคณู ของจ�านวนอตรรกยะ 2 จา� นวน ทอี่ ยูใ่ นรูปการคณู 2. ครูขออาสาสมัครนักเรียนออกมาแสดงวิธีการ
ของ (p + q a)(p - q a) จะไดผ้ ลลัพธเ์ ปน็ จา� นวนตรรกยะ ซ่ึงจะเรียก p + q a วา่ เปน็ สงั ยุค หาผลลพั ธข อง “ลองทาํ ด”ู และแบบฝก ทกั ษะ
(conjugate) ของ p - q a และจะได้ว่า p - q a เปน็ สังยุคของ p + q a ด้วย 2.1 ในแตละขอ จากนั้นครูสุมนักเรียนตอบ

ให้ p, q และ a เป็นจา� นวนตรรกยะ โดยท่ี a > 0 จะไดว้ า่ (p + q a) และ (p - q a) คาํ ถามกิจกรรม Class Discussion
เปน็ สังยคุ ซง่ึ กันและกัน
3. ครแู ละนกั เรยี นรวมกนั สรุปกิจกรรมวา ผลคูณ
ATTENTION เลขยกก�าลัง 17 ของจํานวนอตรรกยะ 2 จํานวน ที่อยูในรูป

จากสงั ยุคทีก่ ล่าวมาขา้ งตน้ ถา้ a = 0 แลว้ จะได้จา� นวนตรรกยะ การคูณของ (p + q a)(p - q a) จะได
จ�านวนเดียว คือ p น่ันคือ p + q 0 = p หรือ p - q 0 = p ผลลัพธเ ปนจาํ นวนตรรกยะ ซึ่งเรียก p + q a
วาเปน สังยุค ของ p - q a และจะไดวา
p - q a เปน สงั ยุคของ p + q a ดว ย ดังนนั้
เมอื่ p, q และ a เปนจํานวนตรรกยะ โดยที่
a > 0 จะไดว า (p + q a) และ (p - q a)
เปนสังยุคซ่ึงกันและกัน ถา a = 0 จะได

จาํ นวนตรรกยะจาํ นวนเดยี วกัน คือ p น่นั คือ
p + q 0 = p หรือ p - q 0 = p

กจิ กรรม สรา งเสรมิ เฉลย Class Discussion

ครูใหน กั เรียนจบั คู แลวทํากจิ กรรมตอไปน้ี ขอ 1. จากขอ 1), 2) และ 4) ผลคูณของจํานวนอตรรกยะ 2 จํานวน
• หาสังยุคของจาํ นวนจริงมา 1 คู ท่ไี ดผลคณู เทา กับ 1 เปน จาํ นวนอตรรกยะ
• หาสงั ยคุ ของจาํ นวนจรงิ มา 1 คู ทีไ่ ดผ ลคณู เทา กบั 3 จากขอ 3) ผลคูณของจาํ นวน 2 จาํ นวน เปน จํานวนตรรกยะ และ
หมายเหตุ : ครูควรใหน กั เรียนเกงและนักเรียนออนจบั คกู นั
มรี ูปแบบของผลคณู อยูในรปู (p + q a)(p - q a) เมือ่ p, q และ
a เปน จํานวนตรรกยะ โดยที่ a > 0

ขอ 2. เงื่อนไขท่ที ําใหผ ลคูณของจํานวนอตรรกยะ 2 จาํ นวน เปน จาํ นวน
ตรรกยะ คอื จาํ นวนอตรรกยะ 2 จาํ นวน จะตอ งอยใู นรูปของสตู ร

ผลตางกําลังสอง นนั่ คอื (a + b)(a - b) = a2 - b2

T19

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู (Knowing)

1. ครูใหนกั เรยี นศึกษาตวั อยา งท่ี 10 ในหนังสอื - จากที่กล่าวมาข้างต้น นักเรียนสามารถเขียนจ�านวนให้อยู่ในรูปท่ีตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์ได้
เรียน หนา 18 การเขียนจํานวนใหอยูในรูป ดังตวั อยา่ งต่อไปนี้
อยางงา ยและตัวสว นไมติดกรณฑ โดยแนะนาํ
ใหนกั เรียนดูกรอบ PROBLEM SOLVING TIP ตัวอยางท่ี 10

เพื่อชวยในการทําโจทย ให้เขยี นจำ� นวนต่อไปน้ใี นรูปอยำ่ งง่ำยและตวั ส่วนไม่ติดกรณฑ์
2. ครูอธิบายตัวอยางท่ี 11 บนกระดานอยาง 1) 62 2) 2 +7 3
ละเอียด เพ่ือใหนักเรียนเขาใจโจทยท่ีตองใช วธิ ที �ำ 1) 62 = 62 • 22
สังยุคในการหาคําตอบ แลวสามารถใชสังยุค
ในการประยกุ ตใ ชก บั โจทยอ น่ื ๆ ไดด งั ตวั อยา ง = 622 = 32
= 2 +7
ท่ี นต12วััก-สเ1รว 4ยี นนจไสมาากต มนิดา้นักรครถณรเขถู ฑียาไมนดคอ1าํ 3ย2ถาาใงมหไนรอักยเใู รนยี รนูปดทงั ี่ นี้ 2) 2 +7 3 3 • 2 - 3
• 2 - 3
7(2 - 3) SOPLRVOIBNLGETMIP
= 22 - ( 3)2 2 + 3 และ 2 - 3
เปน็ สงั ยคุ ซง่ึ กันและกัน
(แนวตอบ 132 = 132 • 33 = 1233 = 4 3 ) = 144 -- 73 3
= 14 - 7 3
• สงั ยุคของ 5 + 3 เปนจํานวนใด
(แนวตอบ สงั ยุคของ 5 + 3 คือ 5 - 3 )
• นักเรยี นสามารถใชว ิธีใดในการแยก ลองทาํ ดู
ตวั ประกอบของ (3 - 5 )2
(แนวตอบ ใชวิธกี ําลังสองสมบรู ณ คือ ให้เขียนจ�านวนตอ่ ไปนใ้ี นรูปอยา่ งง่ายและตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์ ฝกทําตอ
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 1) 132 2) 4 2+2 5
แบบฝก ทกั ษะ 1.2
ขอ 4, 7, 11, 12

(3 - 5)2 = 32 - 2(3)( 5) + ( 5)2 ตวั อยางที่ 11
จัดรูป (4 - 6)2 - 3 -6 6 ให้อยใู่ นรปู ของ a + b 6
=9-6 5+5
= 14 - 6 5)
วธิ ีทำ� (4 - 6)2 - 3 -6 6 = [42 - 2(4)( 6) + ( 6)2] - 3 -6 6 • 3 + 6
3 + 6
362(3- + 66))2
= (22 - 8 6) - (

= (22 - 8 6) - 6(93 -+ 66)
= (22 - 8 6) - 6(3 3+ 6)
= (22 - 8 6) - 2(3 + 6)
= 16 - 10 6
18

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
ถา x = 2 - 1 แลว xx +- 11 มคี าเทาใด
ครูควรเนนยํ้าการทําตัวสวนของเศษสวนใหเปนจํานวนเต็ม โดยใชวิธีการ 1. 3 + 2 2. -2 + 2 3. 2 - 2
สงั ยคุ คอื ถา โจทยท ม่ี ตี วั สว นอยใู นรากท่ี 2 ใหใ ชว ธิ กี ารเอาสงั ยคุ ของจาํ นวนนนั้ 4. 1 - 2 5. -1 - 2
คูณทั้งตัวเศษและตัวสวน และครูควรทบทวนการแยกตัวประกอบของพหุนาม (เฉลยคําตอบ xx +- 11 (( 22 - 11)) + 11
= - -
โดยใชว ธิ กี ําลังสองสมบูรณ : a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 และใชว ธิ ีผลตา ง
กําลงั สอง : a2 - b2 = (a - b)(a + b) กอนอธิบายตัวอยา งท่ี 11 = 22-2 2
= 2- 2
T20 • 2+2
2+2
= 22()22 + 222)
( -
-2212++---2224222
ดงั นัน้ คําตอบ คอื ขอ 5.) =
=
=

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู (Knowing)

ลองทําดู ฝกทําตอ 3. ครูใหน กั เรียนศึกษาตัวอยา งท่ี 12 ในหนังสือ-
เรยี น หนา 19 จากนั้นครอู ธิบายอยางละเอยี ด
จัดรูป (2 + 5)2 + 3 -8 5 ใหอ้ ยใู่ นรูปของ a + b 5 แบบฝก ทักษะ 1.2 ขอ 8 อีกคร้ังหน่ึง เพื่อเนนยํ้าใหนักเรียนเขาใจมาก

ตวั อยางที่ 12 ยง่ิ ขนึ้
4. ครยู กตวั อยา งเพมิ่ เตมิ โดยใหน กั เรยี นแสดงวธิ ี
กำ� หนดสมกำร x 12 = x 7 + 3 มีคำ� ตอบของสมกำร คอื p +5 q หาคา ของ y ทีต่ วั สวนไมติดกรณฑ ดังนี้
เมื่อ p และ q เปน็ จ�ำนวนเตม็ ใด ๆ ใหห้ ำคำ่ ของ p และ q
• y 27 = y 6 + 3
วิธีท�ำ x 12 = x 7 + 3 (แนวตอบ y 27 = y 6 + 3
x 12 - x 7 = 3 y 27 - y 6 = 3
x( 12 - 7) = 3 y( 27 - 6) = 3

x = 123- 7 y= 3
x = 123- 7 • 1122 ++ 77 27 - 6
= 3 27 + 6
27 - 6• 27 + 6
x = 3( 12 + 7) 32(7)227- + 66)2)
( 12)2 - ( 7)2 = ( (

x = 3162+- 721 = 8217+- 618
x = 6 +5 21
ดังนั้น จะได้ p = 6 และ q = 21 = 9 +213 2 = 3 +7 2 )

ลองทําดู ฝกทําตอ เขา ใจ (Understanding)

กา� หนดสมการ x 8 = x 6 + 2 มีคา� ตอบของสมการ คือ p + q แบบฝก ทกั ษะ 1.2 ขอ 13 1. ครูใหนักเรียนจับคูทํากิจกรรม โดยใชเทคนิค
เมือ่ p และ q เปน็ จา� นวนเต็มใด ๆ ใหห้ าคา่ ของ p และ q
คคู ิด (Think Pair Share) ดงั นี้
ตัวอยางที่ 13
• ใหนักเรียนแตละคนคิดคําตอบของตนเอง
รปู สำมเหลยี่ มรปู หนง่ึ มพี นื้ ที่ 3 - 2 ตำรำงเมตร มคี วำมยำวฐำน จาก “ลองทาํ ด”ู ในหนงั สอื เรยี น หนา 18-19
2 - 1 เมตร ใหห้ ำควำมสงู ของรปู สำมเหลย่ี มน้ี และตอบในรปู
ของ a + b 2 เมตร เมือ่ a และ b เป็นจ�ำนวนตรรกยะใด ๆ • ใหนักเรียนจับคูกับเพื่อน เพ่ือแลกเปลี่ยน
คําตอบกัน สนทนาซักถามจนเปนท่ีเขาใจ
2 - 1 ม. รวมกนั

เลขยกก�าลัง 19 • ครูสุมนักเรียนออกมานําเสนอคําตอบหนา
ชั้นเรียน โดยครูและนักเรียนในช้ันเรียน
รวมกนั ตรวจสอบความถูกตอ ง

2. ครใู หน กั เรยี นทาํ แบบฝก ทกั ษะ 1.2 ในหนงั สอื -
เรียน หนา 22-23 ขอ 7.-8. เปนการบา น

ให a เปน จํานวนจริง ซึ่ง a, a + 3 และ a + 5 เปน ความยาวดา นทั้งสามของรปู สามเหลย่ี มมุมฉากรปู หน่ึง ขอ สอบเนน การคิด

พน้ื ท่ขี องรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉากรูปนี้ เทา กบั ขอ ใด

1. 15 + 7 5 ตารางหนวย 2. 15 + 3 5 ตารางหนวย 3. 10 + 3 5 ตารางหนวย 4. 15 + 5 ตารางหนวย

(เฉลยคําตอบ หาความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมแตละดาน โดยใชท ฤษฎบี ทพีทาโกรสั
จะได (a + 5)2 = (a + 3)2 + a2
a2 + 10a + 25 = a2 + 6a + 9 + a2 a
a2 - 4a - 16 = 0 a+5
a = 2±2 5 a+3
เนอื่ งจากความยาวตดิ ลบไมไ ด ดงั นน้ั a = 2 + 2 5
จะได คพวน้ื าทมขี่ยอาวงรแูปตสลาะมดเาหนลเีย่ทมา กมบัุมฉ2าก+เท2า ก5=,ับ52121+××2 5 และ 7+2 5
ดังน้ัน (2 + 2 5) × (5 + 2 5)
2(1 + 5) × (5 + 2 5)

ดังนัน้ คําตอบ คอื ขอ 1.) = (1 + 5)(5 + 2 5) = 15 + 7 5 ตารางหนวย

T21

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน วิธีท�ำ ให้รูปสามเหลี่ยมมีความสงู h เมตร
1221
รู (Knowing) และพืน้ ทขี่ องรปู สามเหลี่ยม = × ฐาน × สงู h
3- 2 = × ( 2 - 1) ×
ครใู หนกั เรียนศกึ ษาตวั อยา งท่ี 13 ในหนังสือ-
เรียน หนา 19-20 จากนั้นครูอธิบายอยาง 6 - 2 2 = ( 2 - 1) × h
ละเอียดอีกครั้ง เพื่อใหนักเรียนเขาใจมากยิ่งข้ึน 6-22
พรอมท้ังเปดโอกาสใหนักเรียนซักถามเม่ือเกิด h = 2 -1
ขอสงสยั
= 6 - 22 • 22 ++ 11
เขา ใจ (Understanding) 2 -1
6 2 + 62)-2 2 142 - 2 2
ครูใหนกั เรยี นจับคูทํา “ลองทําดู” ในหนงั สอื - = ( -
เรียน หนา 20 และแบบฝกทักษะ 1.2 ขอ 10.
หนา 23 เพ่ือตรวจสอบความเขาใจของนักเรียน = 22+-412
แลวครูสุมนักเรียนออกมาเฉลยคําตอบบน = 2+42
กระดาน โดยครตู รวจสอบความถกู ตอ ง
ดงั นน้ั รูปสามเหลยี่ มรปู นม้ี คี วามสูง 2 + 4 2 เมตร
ลงมอื ทาํ (Doing)
ลองทาํ ดู 5 + 3 ม. ฝกทําตอ
ครใู หน กั เรียนแบง กลุม กลมุ ละ 3-4 คน คละ
ความสามารถทางคณิตศาสตร แลวตอบคําถาม รูปส่เี หลี่ยมผืนผา้ รปู หน่ึงมีพน้ื ท่ี 7 - 3 ตารางเมตร แบบฝกทักษะ 1.2
“Thinking Time” ในหนงั สอื เรยี น หนา 20 จากนนั้ ถา้ รปู สเ่ี หลย่ี มรปู นม้ี ดี า้ นยาวเปน็ 5 + 3 เมตร ใหห้ า ขอ 10, 14
ครสู มุ นกั เรยี นออกมานาํ เสนอคาํ ตอบหนา ชน้ั เรยี น ด้านกว้างของรูปสี่เหล่ียมรูปน้ี และตอบในรูปของ
โดยครูตรวจสอบความถกู ตอ ง a + b 3 เมตร เมอื่ a และ b เปน็ จา� นวนตรรกยะใด ๆ

Thinking Time

ให้นกั เรียนตอบคา� ถามต่อไปน้ี
1. นกั เรยี นจะแกส้ มการ x2 - 3x + 2 = 0 โดยใช้วิธีใด และคา� ตอบที่ได้เปน็ จา� นวนตรรกยะ

หรอื จ�านวนอตรรกยะ
2. นกั เรียนจะแก้สมการ x2 + 2x - 1 = 0 โดยใช้วธิ ีใด และค�าตอบที่ไดเ้ ป็นจา� นวนตรรกยะ
3. ขหจาอรกืองสสจตูม�านรกควาา�นรตทออไี่ตดบรจ้ขระกอเยงปสะ็นมจกา� านรวกนา� ตลรังรสกอยงะหxร=ือจ-�าbน±วน2อba2ต-รร4กaยcะกใรหณ้อีใธดบิ ายวา่ คา� ตอบ
4. ค�าตอบทเี่ ป็นจ�านวนอตรรกยะท้งั สองคา� ตอบของสมการจะเป็นสงั ยคุ ซ่ึงกนั และกันหรอื ไม่

เพราะเหตุใด

20

เฉลย Thinking Time

ขอ 1. แกสมการ x2 - 3x + 2 = 0 ขอ 3. จากสตู รคาํ ตอบของสมการกาํ ลังสอง x = -b ± 2ba2 - 4ac
โดยใชว ิธกี ารแยกตัวประกอบพหุนามดีกรสี อง ดงั น้ี โดยท่ี a, b และ c เปนจาํ นวนตรรกยะใดๆ และ a 0
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0 ถา b2 - 4ac เปนจํานวนตรรกยะ
x = 1, 2 แลว x = -b ± 2ba2 - 4ac เปนจาํ นวนตรรกยะ
ถา b2 - 4ac เปน จาํ นวนอตรรกยะ
ขอ 2. แกสมการ x2 + 2x - 1 = 0 แลว x = -b ± 2ba2 - 4ac เปนจํานวนอตรรกยะ

T22 โดยใชส ูตร x = -b ± 2ba2 - 4ac ดังน้ี ขอ 4. เปน เพราะจากสูตรคาํ ตอบของสมการกําลังสอง
x = -2 ± 222(-1)4(1)(-1)
จะไดว า x = -b + 2ba2 - 4ac = 2-ba + b22-a4ac
x = -2 ±2 8 และ x = -b - 2ba2 - 4ac = 2-ba - b22-a4ac
x = -2 ±22 2 = -1 ± 2
ดังน้ัน คาํ ตอบของสมการ คอื -1 ± 2 ซ่งึ เปน จํานวนอตรรกยะ

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตัวอยา งท่ี 14 ขน้ั สอน

ให้หำเซตคำ� ตอบของสมกำร x2 + 3 = 2x รู (Knowing)

วิธีท�ำ เนื่องจากสมการทก่ี �าหนดมีอนั ดับกรณฑ์ คอื 2 จึงต้องนา� สมการมายกก�าลังสอง 1. ครูใหนกั เรยี นศึกษาตัวอยางท่ี 14 ในหนังสือ-
จะได้ ( x2 + 3)2 = (2x)2 เรียน หนา 21 จากนั้นครูอธิบายเพิ่มเติมวา
x2 + 3 = 4x2 คาของตัวแปรที่ไดจากการยกกําลังสอง
x2 - 1 = 0 บางคา อาจจะไมเ ปน คาํ ตอบของสมการ ดงั นน้ั
(x - 1)(x + 1) = 0 จึงจาํ เปน ตอ งตรวจคาํ ตอบเสมอ
x = 1, -1
ตรวจสอบค�าตอบของ x ใน x2 + 3 = 2x โดยการแทนคา่ x ด้วย 1 และ -1 ดังน้ี 2. ครใู หนกั เรยี นหาเซตคําตอบของสมการ
เมอ่ื x = 1 จะได้ (1)2 + 3 = 2(1)
2 =2 6x2 + 12 = 3x แลว ถามคาํ ถาม เพอ่ื ตรวจสอบ
สมการเป็นจรงิ แสดงวา่ 1 เป็นค�าตอบของสมการ ATTENTION
เม่ือ x = -1 จะได้ (-1)2 + 3 = 2(-1) คา่ ของตวั แปรท่ไี ดจ้ ากการ ความเขาใจของนกั เรยี น ดังนี้
ยกก�าลงั สองบางค่าอาจจะ
2 = -2 ไม่เป็นค�าตอบของสมการ • 6x2 + 12 = 3x มีอันดับกรณฑ คือเทาใด
สมการไม่เปน็ จรงิ แสดงว่า -1 ไม่เป็นคา� ตอบของสมการ ดงั น้ัน จงึ จา� เปน็ ต้อง
ดังน้นั เซตค�าตอบของสมการ คือ {1} ตรวจคา� ตอบเสมอ (แนวตอบ อันดบั กรณฑ คือ 2)

ลองทาํ ดู ฝกทําตอ • ( 6x2 + 12)2 = (3x)2 มคี า เทาใด

ใหห้ าเซตค�าตอบของสมการ 40 - x2 = 3x แบบฝก ทกั ษะ 1.2 ขอ 9 (แนวตอบ 9x2 - 6x2 - 12 = 3x2 - 12 = 0)
• 3x2 - 12 = 0 สามารถแยกตัวประกอบได
แบบฝึกทกั ษะ 1.2 2) รากท่ี 5 ของ -3125
4) 5 32 อยา งไร แลว x มีคา เทา ใด
ระดับพ้ืนฐาน 6) 3 343 (แนวตอบ 3x2 - 12 = 3(x2 - 4)

1. ใหห้ ำคำ่ ของ 2) 4 14 เลขยกก�าลัง 21 = 3(x - 2)(x + 2)
1) รากที่ 4 ของ 2401 4) 5 0.99 แลว x มีคา เทากับ -2 และ 2)
3) 4 1 • เมอื่ นําคา x = 2 ไปตรวจสอบคาํ ตอบของ
5) 3 -125
สมการ 6x2 + 12 = 3x จะเปน จริงหรือไม
2. ใหห้ ำค่ำประมำณของจ�ำนวนตอ่ ไปน้ี
1) 3 28 (แนวตอบ สมการเปนจรงิ เพราะ
3) 3 -124
6(2)2 + 12 = 3(2)

24 + 12 = 6
6 = 6)

• เมื่อนําคา x = -2 ไปตรวจสอบคําตอบของ

สมการ 6x2 + 12 = 3x จะเปน จรงิ หรอื ไม

(แนวตอบ สมการไมเปน จริง เพราะ

6(-2)2 + 12 = 3(-2)

24 + 12 = -6
6 = -6)

• เซตคาํ ตอบของสมการ 6x2 + 12 = 3x คือ

เทาใด
(แนวตอบ { 2 })

กิจกรรม สรา งเสริม เกร็ดแนะครู

ครใู หน กั เรียนจบั คู แลว เติมจาํ นวนลงในตารางใหถ ูกตอ ง ครคู วรทบทวนความรหู วั ขอท่ี 1.2 เร่อื ง รากที่ n ของจาํ นวนจริง กอนที่จะ
ใหนักเรยี นทาํ แบบฝก ทกั ษะ 1.2 ดังน้ี
จํานวนจริง รากท่ี 2 รากที่ 3 รากท่ี 4
8 - การเขียนเลขยกกาํ ลังใหอยใู นรปู อยางงา ย
16 - การหาผลบวก ผลตาง ผลคูณ และผลหารของจํานวนจริงท่ีอยูในรูป
81
-125 กรณฑ
-343 - การหาสังยุคของจาํ นวนจรงิ

หมายเหตุ : ครูควรใหน ักเรยี นเกง และนักเรยี นออ นจบั คูกัน

T23

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน 3. ให้เขียนจ�ำนวนตอ่ ไปนีใ้ นรปู อยำ่ งงำ่ ย

เขา ใจ (Understanding) 1) 2 • 32 2) 3 4 • 3 64

1. ครูใหนักเรียนจับคูทํากิจกรรม โดยใชเทคนิค 3) 5 1024 ÷ 4 16 4) 4 2 • 4 4 • 4 32

คคู ดิ (Think Pair Share) ดังน้ี 5) 5 27 • 5 27 • 5 81 6) 4 5184 ÷ 4 4

• ใหนักเรียนแตละคนคิดคําตอบของตนเอง 4. ใหเ้ ขยี นจ�ำนวนต่อไปนใี้ นรูปอยำ่ งงำ่ ยและตวั สว่ นไมต่ ดิ กรณฑ์
จาก “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน หนา 21 1) 35 2) 348
และแบบฝก ทักษะ 1.2 ขอ 9. ในหนงั สือ- 3) 2 +7 3 4) 8 -42 6
เรียน หนา 23
5. ใหห้ ำผลลพั ธข์ อง
• ใหนักเรียนแตละคูแลกเปลี่ยนคําตอบกัน
สนทนาซักถามจนเปนที่เขาใจรวมกัน 1) 112 + 28 2) 48 + 12 - 27

• ครูสุมนักเรียนออกมาแสดงวิธีการหาเซต 3) 81x + 25x 4) 50x + 18x - 2x
คาํ ตอบของสมการบนกระดาน โดยครูและ
นักเรียนในชั้นเรียนรวมกันตรวจสอบความ 5) 3 250 - 3 2 6) 5 729 + 5 486
ถูกตอง 7) 240 - 12 • 45 8) 24550-0 20
10) (3 + 2 6)2
2. ครูใหน ักเรยี นทาํ Exercise 1.2 ในแบบฝกหดั 9) (5 + 2)(6 - 3 2)
เปนการบาน 11) (9 - 2 5)(9 + 2 5) 12) (2 7 + 3 5)(2 7 - 3 5)

ลงมอื ทาํ (Doing) ระดับกลาง

ครูใหนักเรียนทํากจิ กรรม ดังนี้ 6. ใหห้ ำค่ำของ 2) 5 31125
• ใหนักเรียนแบง กลมุ กลุม ละ 3-4 คน คละ 1) 3 0.001

ความสามารถทางคณิตศาสตร 7. ให้เขียนจำ� นวนตอ่ ไปน้ใี นรูปอย่ำงงำ่ ยและตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์
• ใหนักเรียนแตละกลุมชวยกันทําแบบฝก- 1) 4 35- 2 2) 2 64+ 7
3) 2 5 3+ 8 4) 2 58+ 3 - 2 54- 3
ทักษะ ในหนงั สือเรยี น หนา 23 ขอ 11.-14.
โดยที่สมาชิกทุกคนตองเขาใจวิธีทําในขอ
น้ันๆ
• ครูสุมนักเรียนออกมาเฉลยคําตอบบน
กระดาน โดยครตู รวจสอบความถกู ตอง

5) 38 + 52 - 332 6) 247 - 148 + 43

22

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
ถา x2 + 5 = 2x - 1 แลว ͉x - 3͉ เทา กบั ขอใด
1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5. 5

(เฉลยคาํ ตอบ จากสมการ x2 + 5 = 2x - 1
ยกกําลงั สองท้ังสองขางของสมการ
จะได ( x2 + 5)2 = (2x - 1)2

x2 + 5 = 4x2 - 4x + 1
3x2 - 4x - 4 = 0
(3x + 2)(x - 2) = 0
น่ันคอื 3x + 2 = 0 หรอื x -2 = 0
x=- 23 หรือ 2 x=2

ตรวจคาํ ตอบนเขมอั่นื่องคสxอื ม=͉กxา--ร323จ͉ ะ=ได͉2ส -มก3า͉ ร=เป1นเท็จ เม่อื x = จะไดส มการเปน จริง

T24 ดงั น้นั คาํ ตอบ คอื ขอ 1.)

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

7) 23 ( 142 + 237) 8) 62 ( 38 - 1328) ขนั้ สรปุ
1 (324 42 10) 4 250 (4 800 + 4 200)
9) 32 - 3 32 ) ครถู ามคําถามนกั เรยี น เพือ่ สรุปความรู เรอื่ ง
การหาผลบวก ผลลบ ผลคูณ และผลหารของ
8. ก�ำหนด h = 3 + 2 ให้หำคำ่ ของ hh2 -+21 และตอบในรปู p + q 2 โดยที่ p และ q จํานวนจรงิ ทอี่ ยใู นรูปกรณฑ ดังนี้
เป็นจำ� นวนเตม็ ใด ๆ
ให p, q และ a เปน จาํ นวนตรรกยะ โดยท่ี
9. ใหแ้ กส้ มกำรต่อไปนี้ 2) 3x + 2 = 3x a>0
1) 11x2 + 45 = 4x
• p a + q a เทากับเทาใด
10. กรอบรูปส่ีเหล่ียมอันหนึ่งมีพ้ืนที่ด้ำนใน 24 ตำรำงฟุต 3- 6 (แนวตอบ (p + q) a )
ถำ้ ดำ้ นในของกรอบรปู สเ่ี หลย่ี มรปู นมี้ คี วำมกวำ้ ง 3 - 6 ฟตุ
ใหห้ ำควำมยำวดำ้ นในของกรอบรปู สเี่ หลย่ี มนี้ และตอบในรปู • p a - q a เทา กับเทาใด
a + b 6 ฟตุ เมื่อ a และ b เป็นจ�ำนวนเต็มใด ๆ (แนวตอบ (p - q) a )

ระดบั ทา้ ทาย • สามารถหาผลคูณและผลหารของ
จาํ นวนจรงิ ท่ีอยูในรปู กรณฑไดอ ยา งไร
11. ให้เขยี นจำ� นวนตอ่ ไปนีใ้ นรปู อยำ่ งงำ่ ยและตัวสว่ นไมต่ ิดกรณฑ์ 5 (แนวตอบ กรณฑท นี่ าํ มาคณู และหาร จะตอ ง
13 3 - มีอันดับของกรณฑท่ีเทากัน โดยใชสมบัติ
1) ( 3+ 4)2 2) ( 2 + 6)2 + ( 2 6)2 รากท่ี n)

3) 63+23- 26 12 11 +- aa 4) 4287-- 580 • สงั ยุคของ p + q a เทา กับเทาใด
(แนวตอบ p - q a )
12. กำ� หนด a = และ b = ใหห้ ำคำ่ ตอ่ ไปน้ี 1b
1) b 2) b - ขนั้ ประเมนิ

13. ให้แกส้ มกำร x 7 = x 2 + 32 และตอบในรูป a + 5b 14 เมอื่ a และ b เป็นจำ� นวนเต็ม 1. ครูตรวจแบบฝก ทักษะ 1.2
ใด ๆ 2. ครูตรวจ Exercise 1.2
3. ครูประเมนิ การนําเสนอผลงาน
14. กระป๋องทรงกระบอกมปี ริมำตร (6 + 2 3)π ลกู บำศกเ์ ซนตเิ มตร 4. ครูสงั เกตพฤติกรรมการทํางานรายบคุ คล
มรี ศั มที ฐ่ี ำนยำว 1 + 3 เซนตเิ มตร ใหห้ ำควำมสงู ของทรงกระบอก 5. ครสู ังเกตพฤติกรรมการทาํ งานกลุม
และตอบในรปู a + b 3 เซนตเิ มตร เมือ่ a และ b เป็นจ�ำนวนเต็ม 6. ครสู ังเกตความมีวนิ ยั ใฝเ รยี นรู
ใด ๆ
มุง มัน่ ในการทาํ งาน

h

เลขยกก�าลัง 23

กจิ กรรม สรางเสริม แนวทางการวัดและประเมินผล

ครูใหนักเรยี นจบั คู แลวชว ยกันหาจาํ นวนตอไปน้ี ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําแบบ
25, 46, 3 59, 4 612, 5 715 เมือ่ ทาํ เปนผลสําเร็จแลว มีกี่จาํ นวน ฝก ทกั ษะ 1.3 ขอ 11.-14. ในขน้ั ลงมอื ทาํ โดยศกึ ษาเกณฑก ารวดั และประเมนิ ผล
ท่เี ลขโดดในหลักสบิ เปนจํานวนคู จากแบบประเมนิ ของแผนการจัดการเรยี นรูในหนว ยการเรียนรูท ่ี 1
หมายเหตุ : ครคู วรใหน ักเรยี นเกงและนกั เรียนออนจบั คูกนั

แบบสงั เกตพฤติกรรมการทางานกลุม่

คาชแ้ี จง : ให้ผูส้ อนสังเกตพฤตกิ รรมของนักเรยี นในระหว่างเรียนและนอกเวลาเรยี น แลว้ ขดี ลงในช่องทีต่ รงกบั
ระดบั คะแนน

ลาดบั ชอ่ื – สกุล การแสดง การยอมรับฟัง การทางาน ความมีนา้ ใจ การมี รวม
ท่ี ของนักเรียน ความคดิ เหน็ คนอื่น ตามที่ได้รบั ส่วนรว่ มใน 20
มอบหมาย การปรับปรุง คะแนน
ผลงานกลุ่ม

43214321432143214321

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ลงชื่อ...................................................ผ้ปู ระเมิน
ปฏบิ ัตหิ รือแสดงพฤติกรรมอยา่ งสมา่ เสมอ ............/................./................

ปฏิบัตหิ รอื แสดงพฤติกรรมบ่อยครั้ง ให้ 4 คะแนน
ปฏิบัติหรือแสดงพฤติกรรมบางครงั้ ให้ 3 คะแนน
ปฏิบัติหรอื แสดงพฤติกรรมน้อยครัง้ ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑ์การตัดสินคณุ ภาพ

ช่วงคะแนน ระดบั คุณภาพ
18 - 20 ดีมาก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ตา่ กว่า 10 ปรับปรุง

T25

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ นาํ (Concept Based Teaching) 1.3 เลขยกกำ� ลงั ทมี่ เี ลขชก้ี ำ� ลงั เปน็ จำ� นวนตรรกยะ

การใชค วามรเู ดมิ ฯ (Prior Knowledge) (Rational Indice)

ครูทบทวนความรู เร่ือง เลขยกกําลังที่มี นักเรียนเคยศึกษาเลขยกก�าลังที่มีเลขชี้ก�าลังเป็นจ�านวนเต็มมาแล้ว ในหัวข้อน้ีจะกล่าวถึง
เลขช้ีกําลังเปนจํานวนเต็ม จากน้ันครูกลาววา
ในหัวขอน้ีจะเรียนเลขยกกําลังท่ีมีเลขช้ีกําลัง
เปน จํานวนตรรกยะ

ขน้ั สอน เลขยกก�าลังท่ีมีเลขช้ีก�าลังเป็นจ�านวนตรรกยะ น่ันคือ มีเลขช้ีก�าลังเป็น ab โดยท่ี a, b เป็น
จ�านวนเต็ม และ b ≠ 0
รู (Knowing)

1. ครใู หน กั เรยี นจบั คทู าํ กจิ กรรม Class Discussion Class Discussion
จากนั้นครูและนักเรียนสรุปเปนบทนิยามท่ีวา
“ถา a เปนจํานวนจริง n nเปแนลจว ําaนn1วน=เตn็มaท่ี ให้นกั เรยี นจับคู่ แล้วช่วยกันเติมคำ� ตอบลงในชอ่ งว่ำงต่อไปนี้
มากกวา 1 และ a มรี ากท่ี ก�าหนด p = 531
จะได้ p3 = 3
2. คขอรกูงลaา วแเลพะม่ิ จเะตไมิ ดววา า a(n1an1เป)nน =คaา หแลลกั วขยอกงตรัวาอกยทาี่ nง
= 5 ×3 (ใชส้ มบัติ (am)n = amn)
= 51
=5
•เ•พ(7่ือ-12ใ5ห)=13ส อ=7ด3คแ-ลล5อะงแ(กล7บัะ12)บ2[ท(=-น57ยิ31)า]3ม=ด-ัง5น้ี ดงั นัน้ p =
ในกรณนี ้ี จะมคี า่ p ท่เี ป็นไปได้เพยี งค่าเดยี ว
ดังนน้ั 513 =

เขา ใจ (Understanding) จาก Class Discussion จะเห็นว่า เลขยกก�าลังที่มีเลขช้ีก�าลังเป็นเศษส่วน โดยมีตัวเศษ
เท่ากับ 1 สามารถเขียนใหอ้ ยู่ในรปู กรณฑ์ได้ตามบทนยิ าม ดังน้ี
ครใู หน กั เรยี นคเู ดมิ ทาํ กจิ กรรม Thinking Time
บทนิยาม ถ้ำ a เป็นจ�ำนวนจริง n เป็นจ�ำนวนเต็มท่ีมำกกว่ำ 1 และ a มีรำกท่ี n แล้ว
เฉลย Class Discussion an1 = n a
กําหนด p = 531
จะได p3 = (513)3 จากบทนยิ าม จะเห็นวา่ a1n เป็นคา่ หลักของรากท่ี n ของ a และจะได้ว่า (a1n)n = a
เช่น 921 = 9 และ (921)2 = 9

(-8)13 = 3 -8 และ [(-8)31]3 = -8

= 5 13 × 3 (ใชสมบัติ (am)n = amn) Thinking Time
= 51
=5 ให้นักเรียนพิจารณาคา่ ของ a1n = n a ตามเงอ่ื นไขที่ก�าหนดตอ่ ไปนี้
ดังนัน้ p = 3 5 1. เมื่อ a < 0 2. เมอ่ื a = 0

ดในังกนรน้ั ณนี 5ี้ จ31 ะ=มคี า 3 p ทเี่ ปนไปไดเพียงคา เดยี ว 24
5

เฉลย Thinking Time ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET

ขอ 1. เมอื่ a < 0 และ n เปนจาํ นวนเต็มที่มากกวา 1 สามารถแบงได ถา a เปนจํานวนจริงบวก แลว 3 a3 a เทา กับขอใด

2 กรณี คือ 1. a31 2. a91
กรณี 1 n เปนจาํ นวนคูบวก จะไดว า ไมสามารถหารากที่ n
3. a29 4. a94
ของ a ได เพราะไมม ีจํานวนจริงใดๆ ทยี่ กกําลังคูบวก
5. a95 3 a3 a = [a(a) 31] 13
แลว จะไดจ ํานวนลบ = a31a 19
(เฉลยคําตอบ = a 13 + 19
กรณี 2 n เปนจํานวนค่บี วก จะไดวา รากที่ n ของ a = a 49

มีคา เปน จาํ นวนจริงลบ ดังนั้น คาํ ตอบ คือ ขอ 4.)

ขอ 2. เมื่อ a = 0 และ n เปนจาํ นวนเตม็ ท่ีมากกวา 1
จะไดวา an1 = 0n1 ไมม คี วามหมายทางคณติ ศาสตร

T26

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู (Knowing)

ตวั อยา งท่ี 15 ครูยกตัวอยา งที่ 15 และอธิบายการหาคา ของ
aเลn1ข=ยกnกaาํ ลจงั าเกพน่ือ้นั ใคหรสยู อกดตคัวลออ ยงากงบั เพบ่มิทเนตยิ ิมาบมน
ใหห้ ำคำ่ ของเลขยกก�ำลงั ตอ่ ไปน้ี
1) 1621 2) 27- 13
วิธที ำ� 1) 1621 = 16 3) (-125)- 13 กระดาน แลวใหนักเรียนหาคาของเลขยกกําลัง
ตอไปนี้
=4 25 12
2) 27- 31 = 21713 • (แนวตอบ 25 12
= 25 = 5)
64 31
= 1 • (แนวตอบ 64 31 = 3 64 = 4)
3 27
=31 -243 15
• (แนวตอบ -243 15 = 5 -243 = -3)

ลองทําดู เขา ใจ (Understanding)

ใหห้ า1ค)่าข36อ21งเลขยกกา� ลังตอ่ ไ2ป) น8ี้ - 31 ฝกทําตอ ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 25 จากนน้ั สมุ นกั เรยี น 3 คน ออกมาเขยี นวธิ ี
แบบฝก ทักษะ 1.3 หาคา ของเลขยกกําลังบนกระดาน เพ่ือตรวจสอบ
ขอ 3(1)-(4) ความเขาใจของนักเรียน โดยครูตรวจสอบความ
ถกู ตอ ง
Investigation

ใหน้ ักเรยี นจับคู่ แลว้ ช่วยกันเติมค�ำตอบลงในช่องว่ำง และตอบคำ� ถำมที่กำ� หนด
1. 532 = 52 × 1 2. 523 = 5 1 × 2
= (52) 1 = (5 1 )2 รู (Knowing)

3. = 52 การเขียน 523 = ( 5)2 และ 2. มคี วามสมั พนั ธก์ ันหรือไม่ 1. ครูใหน ักเรียนจับคทู าํ กิจกรรม Investigation
นักเรยี นคิดว่า ใหอ้ ยใู่ นรูปกรณฑ์ ในข้อ 1.
อย่างไร และตอบคาํ ถามจากกจิ กรรม แลว แลกเปล่ยี น
คําตอบกัน สนทนาซักถามจนเปนท่ีเขาใจ
จาก Investigation จะเหน็ วา่ 523 สามารถเขียนให้อยูใ่ นรปู กรณฑ์ไดเ้ ปน็ 3 52 หรือ (3 5)2 รวมกัน จากนั้นครูและนักเรียนรวมกัน
ส�าหรับในกรณีทัว่ ไปเลขยกก�าลังทม่ี เี ลขช้ีก�าลังเป็นจ�านวนตรรกยะซึง่ มีบทนยิ าม ดงั นี้ อภิปราย แลวสรุปเปนกรณีทั่วไปเลขยกกําลัง
ท่ีมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะจนนําไปสู
บทนิยาม ถ้ำ a เป็นจ�ำนวนจริง m, n เป็นจ�ำนวนเต็มที่ n > 1 และ mn เป็นเศษส่วนอย่ำงต�่ำ
และ an1 เป็นจ�ำนวนจริง จะได้ว่ำ อบเปยทน านจงิยตาํ าน่ํามวแทนลี่วเตะา็มa“ทถn1่ี าnเป>aนจ1เําปแนนลวจะนําจmนnรวงิ นเปจจนะรเิงไศดษวmสา,วนn
amn = (an1)m = (n a )m amn = (an1)m = (n a )m
amn = (am)n1 = n am amn = (am)n1 = n am
25
เลขยกก�าลัง จากน้ันครูสรปุ จากบทนยิ ามวา (n a )m = n am

ขอ สอบเนน การคิด เฉลย Investigation ขอ 2. 532 = 5 31 × 2
aa-1221 aa- 3122 ขอ 1. 532 = 52 × 13 = (5 13 )2
ถา a มีคาเทา กับ 1 - 3 แลว - มคี า เทา ใด = (52) 31 = 3 52
- = 3 52
aa32a21 12
(เฉลยคาํ ตอบ a121 - a32 aa1a2121a12-12 - a121
aa-1212 aa- 3221 a12 - a121
จาก - = = ขอ 3. มคี วามสมั พันธกัน เนือ่ งจาก 3 52 = 3 25
- และ (3 5)2 = 3 5 × 3 5 = 3 25
นัน่ คอื 3 52 = (3 5)2
1 - a2 ดงั นั้น 5 32 สามารถเขยี นใหอ ยูใ นรูปกรณฑไ ดเปน 3 52 หรอื (3 5)2
a 21
= a-1 = 1a --a12 = -(1a +- a12)

a 12
= -(aa2--11) = -(a -a1)-(a1 + 1) = -(a + 1)
เนื่องจาก a = 1 - 3)
จะได -[(1 - 3) + 1] = -(2 - 3) = -2 + 3)
T27

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

รู (Knowing)

2. ควaารจจอู ะาธตกบิ อบางยทไคนมวิยเาทามามรกขเู พับอม่ิ ง0เตเaมชิ mnนในถ0ก-าร51อ=บm(A0<T15T)E-01NT=IแOล0N-ว1 ATTENTION
จากบทนยิ ามของ amn ถา้ m < 0 แลว้ a ตอ้ งไม่เป็น 0 เชน่
= 01 จะไมม คี วามหมายทางคณิตศาสตร
3. ครใู หน ักเรยี นศึกษาตัวอยา งท่ี 16 ในหนังสอื - ให้ aamn==0,0-m31 = (-0131)-แ1ล=ะ n=3 10
จะได้ = (0)-1 =
เรยี น หนา 26 จากนนั้ ครยู กตัวอยา งเพิ่มเตมิ ซ่ึง 10
บนกระดาน แลว ใหน ักเรียนเขียนจาํ นวนทอ่ี ยู ไมม่ ีความหมายทางคณติ ศาสตร์
ในรูปกรณฑใหอยูในรูปเลขยกกําลัง ดังน้ี
ตวั อยา งท่ี 16 3) 4 165
• 6 6 12)
(แนวตอบ เขยี นในรปู เลขยกกาํ ลงั ไดเ ปน ใหเ้ ขียนจำ� นวนตอ่ ไปน้ีในรูปเลขยกก�ำลงั
• 3 55 1) 5 2) 3 22
(แนวตอบ เขยี นในรปู เลขยกกาํ ลงั ไดเ ปน 5 53)
• 5 123 วธิ ที �ำ 1) 5 เขยี นในรูปเลขยกก�าลังได้เป็น 521
2) 3 22 เขยี นในรปู เลขยกก�าลงั ได้เปน็ 223
3) 4 165 เขยี นในรูปเลขยกกา� ลังไดเ้ ปน็ 1645

1(แ2น53ว)ตอบ เขียนในรปู เลขยกกาํ ลงั ไดเปน ลองทําดู ฝกทําตอ
4. ครูใหนักเรยี นศกึ ษาตัวอยางท่ี 17 ในหนังสือ-
เรยี น หนา 26 จากนัน้ ครูยกตัวอยา งเพมิ่ เตมิ ใหเ้ ขยี นจา� นวนตอ่ ไปนีใ้ นรปู เลขยกกา� ลัง 3) 4 245 แบบฝก ทกั ษะ 1.3
1) 7 2) 3 32 ขอ 1(1)-(4)

บนกระดาน แลวใหนกั เรียนเขยี นจํานวนท่ีอยู ตวั อยา งที่ 17 ฝกทําตอ
ในรูปเลขยกกําลงั ใหอยใู นรปู กรณฑ ดังนี้
• 3441 ใหเ้ ขยี นจำ� นวนตอ่ ไปนใี้ นรปู กรณฑ์ แบบฝกทักษะ 1.3 ขอ 2
1) 4813 2) (-32)53 3) 1532
((แ-น56วต) 35อบ เขยี นในรูปกรณฑไดเ ปน 4 34) วธิ ที �ำ 1) 4831 =3 48 3) 3923
• (1แ1น52วตอบ เขียนในรูปกรณฑไ ดเ ปน 5 (-56)3) 2) (-32)35 = 5 (-32)3
• 3) 1523 = 153 = ( 15)3
(แนวตอบ เขียนในรปู กรณฑไดเปน
115 = ( 11)5) ลองทาํ ดู

เขา ใจ (Understanding) ให้เข1ยี )นจ5า�4น13วนต่อไปน้ีในรูป2ก)รณ(-ฑ75์ )35

ครใู หน กั เรียนทํา “ลองทําดู” ในหนงั สือเรยี น 26
หนา 26 และแบบฝกทกั ษะ 1.3 ขอ 1.-2. หนา
35 จากนัน้ ครสู มุ นกั เรยี นออกมาเฉลยคําตอบบน
กระดาน โดยครูตรวจสอบความถูกตอง

เกร็ดแนะครู กจิ กรรม สรา งเสริม

ครอู ธบิ ายความรเู พ่มิ เตมิ จากกรอบ ATTENTION วจาะไถดา amnn < 00-21 แลว a ครูใหนักเรียนจับคู แลวใหแตละคนเขียนจํานวน 2 จํานวน
และ n = -1 ท่ีอยูในรูปเลขยกกําลังและรูปกรณฑลงในกระดาษ จากน้ัน
ตองไมเ ปน 0 ดว ย เชน ให a = 0, m = 2 = = (02)-1 แลกเปลยี่ นกบั คขู องตนเอง แลว เขยี นจาํ นวนทอ่ี ยใู นรปู เลขยกกาํ ลงั
= 0-1 = 10 ซึง่ ไมมีความหมายทางคณิตศาสตร เชนเดยี วกับกรณี m < 0 ใหอยูในรูปกรณฑ และเขียนจํานวนที่อยูในกรณฑใหอยูในรูป
เลขยกกําลงั
หมายเหตุ : ครูควรใหนักเรยี นเกง และนกั เรยี นออนจับคกู ัน

T28

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตัวอยางท่ี 18 2) 3253 ขนั้ สอน

ใหห้ ำคำ่ ของเลขยกก�ำลังต่อไปนี้ SOPLRVOIBNLGETMIP รู (Knowing)
1) (-125)32 (-125)23 ราก
ตวั สว่ นของเลขชก้ี า� ลงั 1. ครูใหนักเรยี นศกึ ษาตวั อยางที่ 18 ในหนังสอื -
วิธที ำ� 1) (-125)23 = (-12513)2 จะเป็นค่ารากเสมอ เรียน หนา 27 แลว ครชู แี้ นะกรอบ PROBLEM
= (3 -125)2 SOLVING TIP ในการชวยทําโจทยวา เลข
= (3 (-5)3)2 ยก-กาํ ลงั ทม่ี เี ลขชกี้ าํ ลงั เปน จาํ นวนตรรกยะ ซง่ึ
= (-5)2 ตัวสวนของเลขช้ีกําลังจะเปนคารากเสมอ
= 25 จากนั้นครูเขียนแสดงวิธีทําอยางละเอียด
บนกระดาน พรอมทั้งบอกวาขั้นตอนใดใช
2) 3253 = (3215)3 บทนยิ ามใด
= (5 32)3
= (5 25)3 2. ครูยกตัวอยางท่ี 19 ในหนงั สอื เรียน หนา 27
= 23 บนกระดาน และอธบิ ายขนั้ ตอนอยางละเอยี ด
=8 จากน้ันกลาวเพ่ิมเติมวา การเขียนจํานวน
ท่ีอยูในรูปกรณฑใหอยูในรูปเลขยกกําลัง
ลองทาํ ดู ซึ่งมีฐานของเลขยกกําลังเปนตัวแปรจะใช
หลักการเดียวกันกับตัวอยางท่ี 18 ท่ีมีฐาน
ให้หาค่าของเลขยกกา� ลังตอ่ ไปนี้ ฝกทําตอ ของเลขยกกําลังเปนตวั เลข
1) 6432 2) 32- 52 3) 1001.5
แบบฝก ทักษะ 1.3 เขา ใจ (Understanding)
ขอ 3(5)-(6)
ครใู หนักเรยี นจับคูทาํ “ลองทาํ ด”ู ในหนังสอื -
ตวั อยา งท่ี 19 เรียน หนา 27 แลวแลกเปลี่ยนความรู สนทนา
ซกั ถามกัน จนเปน ท่เี ขา ใจรวมกนั จากนั้นครสู ุม
ให้เขียนจำ� นวนต่อไปนใ้ี นรปู เลขยกก�ำลัง เมอ่ื x เป็นจ�ำนวนจรงิ บวก นักเรียนออกมาเฉลยคําตอบบนกระดาน โดยครู
1) 5 x3 2) 1 และนักเรียนในชั้นเรียนรวมกันตรวจสอบความ
x-3 ถกู ตอง
วธิ ที ำ� 1) 5 x3 = x35
2) 1 = x1-23
x-3

= x32

ลองทาํ ดู

ใหเ้ ขยี นจา� นวนตอ่ ไปนใ้ี นรปู เลขยกกา� ลัง เม่อื x เป็นจ�านวนจริงบวก ฝกทําตอ
1) 3 x4 2) 1
5 x-2 แบบฝก ทกั ษะ 1.3
ขอ 1(5)-(6)
27
เลขยกก�าลัง

กิจกรรม สรา งเสริม เกร็ดแนะครู

(ห-า1ค2ค5า ร)ขูใ23หองนถเักาลเเขปรยียลกน่ียกนพําเิจลลางัขรช(ณ-ีก้ 1าาํ 2จล5าัง)กเ32ปตไน ัวดอห (ย-ร1าอื 2งไ5ทม)่ี  2318แลขวอนกั 1เร)ียนจาสกาโมจาทรถย ครูเนนยํ้าจากตัวอยางท่ี 18 ขอ 1) วา (-125) 32 เปนเลขยกกําลังที่มี
เพราะเหตุใด 3232เ35ปมนีเล53ขเชปก้ี นําเลลังขชซ้กี ่ึงําถลา ังพิจซา่งึ รถณาพาติจาวั รสณวนา
เลขชก้ี ําลังเปนจํานวนตรรกยะ และมี
หมายเหตุ : ครูควรใหน กั เรยี นเกง และนักเรียนออ นจบั คูกนั แลว จะมี 3 เปน คา ราก และจากขอ 2)
ตวั สว นแลว จะมี 5 เปน คา ราก

T29

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน Thinking Time

รู (Knowing) ใหน้ กั เรยี นเติมค�าตอบลงในช่องวา่ ง แลว้ ตอบคา� ถามทก่ี า� หนด
1. ให้ m, n เป็นจ�านวนตรรกยะ และ a, b เปน็ จ�านวนจรงิ ทีไ่ ม่เท่ากับ 0 และ am, an, bn
1. ครใู หน กั เรยี นจบั คศู กึ ษากจิ กรรม Thinking Time เปน็ จา� นวนจรงิ จะไดว้ า่
จากนั้นครูเฉลยคําตอบและสรุปวาสมบัติของ สมบัติ 1 am • an
เลขยกกาํ ลงั ทม่ี เี ลขชกี้ าํ ลงั เปน จาํ นวนตรรกยะ (aaamnm)n =................................
จะมสี มบตั เิ หมอื นกบั เลขยกกาํ ลงั ทมี่ เี ลขชกี้ าํ ลงั สมบตั ิ 2 = ................................
เปน จํานวนเตม็ สมบตั ิ 3 =................................
สมบตั ิ 4 an • bn =................................
2. ครยู กตัวอยา งที่ 20 บนกระดาน และอธิบาย สมบัติ 5 abnn
วิธีทําแตละข้ันตอน เพื่อใหสอดคลองกับ = ................................
สมบตั ิ 3 ของเลขยกกําลงั ในกจิ กรรม
Thinking Time

2. จากสมบัติ 3 นกั เรียนคดิ วา่ ถ้า a = 0 แล้วจะได้ผลลพั ธ์เปน็ อย่างไร

เฉลย Thinking Time 3. จากสมบตั ิ 5 นักเรียนคิดว่า ถา้ b = 0 แลว้ จะไดผ้ ลลัพธเ์ ป็นอยา่ งไร

ขอ 1. ให m, n เปน จํานวนตรรกยะ และ a, b 4. ให้นกั เรียนพจิ ารณาวิธพี สิ จู น์ดงั1ต่อไปนี้ (-1)21 ×2

เปนจํานวนจริงท่ีไมเทากับ 0 และ am, 1 = 1 = (-1) × (-1) = -1 • -1 = ( -1)2 = = -1

an, bn เปนจํานวนจริง จะไดว า จากวิธพี ิสจู นข์ า้ งต้น นักเรยี นคิดว่าขัน้ ตอนใดไมถ่ กู ต้อง เพราะเหตใุ ด

สมบัติ 1 am • an = a……………m…+…n……….. ตวั อยางท่ี 20
(aaamnm)n a= ……………m…-…n………..
สมบตั ิ 2 a= ……………m…×…n……….. ใหห้ ำคำ่ ของ [(243)51]2
สมบัติ 3 วิธีท�ำ [(243)51]2 = [(35)15]2
สมบตั ิ 4 an • bn a= …………(…b…)…n………..
สมบตั ิ 5 bann a= n = 32
=9
……………b……………..
ขอ 2. ถา a = 0 และ m = 0 จะไดวา ลองทําดู
(0m)n = 0 (0) × n = 00 หาคา ไมไ ด ฝกทําตอ
เนือ่ งจาก 00 ไมม ีความหมายทาง ใหห้ าคา่ ของ [(625)14]3
แบบฝก ทักษะ 1.3
ขอ 3(7)-(8)

ขอ 3. คณิตศาสตร 0ann = a0 n หาคา ตวั อยา งท่ี 21
ถา b = 0 จะไดวา
ไมมีความหมาย ให้เขียนจ�ำนวนต่อไปนี้ในรปู อย่ำงงำ่ ย 2) (913 • 8161)6
ทไมาไงดค ณเนติ ื่อศงาจสาตกรa0 1) 3221 • 865

ขอ 4. ขั้นตอน (-1) × (-1) = -1 • -1 28
ไมถูกตอ ง เพราะไมส ามารถหาคา -1
ท่เี ปน จาํ นวนจริงได

นักเรียนควรรู ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
ใหหาคาของ (6412)13 + ((1024)51)12 - 1
1 -1 ไมสามารถหาคารากท่ีเปนจํานวนจริงได ซึ่งคารากที่ไดจะอยูในรูป 1. 1 2. 3 3. 5
จาํ นวนเชิงซอ น 4. 7 5. 9

(เฉลยคาํ ตอบ (6412)31 + ((1024)15)21 - 1 = ((26)21)31 + (((210)15)12 - 1)
= (23)31 + (((22)21) - 1)
=2+2-1
=3

ดังนน้ั คาํ ตอบ คอื ขอ 2.)

T30

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู (Knowing)

วธิ ีทำ� 1) 3221 • 865 = (25)12 • (23)65 3. ครูใหนักเรียนจับคูศึกษาตัวอยางท่ี 21 ใน
= 252 • 2165 หนังสือเรียน หนา 28-29 จากนั้นครูถาม
= 225 • 225 คําถาม ดงั นี้
= 225 + 25 • จากตัวอยา งที่ 21 ใชสมบตั เิ ลขยกกําลังใด
= 25 ในการหาคําตอบ
(แนวตอบ สมบตั ิ (am)n = amn และสมบัติ
2) (913 • 8116)6 = [(32)31 • (34)61]6 am • an = am + n)
= (332 • 346)6 4. ครูยกตวั อยางท่ี 22 ในหนังสือเรียน หนา 29
= (323)6 • (364)6 บนกระดาน แลว ถามคําถาม ดังน้ี
• ขอ 1) ใชสมบัติเลขยกกําลังใดในการหา
= 34 • 34 คําตอบ
= 34+4
= 38 (แนวตอบ สมบตั ิ (am)n = amn และสมบตั ิ

ลองทาํ ดู a-1 = a1)
• ขอ 2) ใชสมบัติเลขยกกําลังใดในการหา
ใหเ้ ขยี นจ�านวนต่อไปนใี้ นรปู อย่างงา่ ย ฝกทําตอ คาํ ตอบ
1) 6431 • 1634 2) (2731 • 24353)3
แบบฝกทักษะ 1.3 ขอ 7 (แนวตอบ สมบตั ิ (ab)n = anbn

ตวั อยา งที่ 22 สมบตั ิ (am)n = amn
สมบตั ิ aamn = am-n และสมบัติ a-1 = a1)ç
ให้เขียนจ�ำนวนตอ่ ไปน้ใี นรปู อยำ่ งง่ำย เมอื่ m และ n เป็นจ�ำนวนจรงิ บวก
(mn)32
1) (m13 n-2)53 2) (m43 n31)2 เขา ใจ (Understanding)
วธิ ที �ำ 1) (m13 n-2)53 = (m13)53 (n-2)35
= m51 n- 65 1. ครูใหนักเรยี นจับคูทาํ “ลองทําดู” ในหนังสอื -
=mn6515 เรียน หนา 28-30 แลวแลกเปลย่ี นความรูกัน
(mn)32 = (mm34)232n(n2313)2 สนทนาซกั ถามจนเปนทเ่ี ขาใจรว มกัน จากนั้น
2) (m43 n13)2 ครสู มุ นกั เรยี นออกมาเฉลยคาํ ตอบบนกระดาน
โ ด ย ค รู แ ล ะ นั ก เ รี ย น ใ น ชั้ น เ รี ย น ร  ว ม กั น
= mm2323nn2323 ตรวจสอบความถกู ตอ ง

2. ครใู หน กั เรยี นทาํ แบบฝก ทกั ษะ 1.3 ขอ 3., 7.-11.
ในหนงั สือเรยี น หนา 35-36 เปนการบา น

เลขยกก�าลัง 29

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET เกร็ดแนะครู

กาํ หนดให A = 232, B = 323 และ C = 21616 ขอ ใดถกู ตอง ครูควรเนนยา้ํ เรอ่ื ง การใชสมบตั ิของเลขยกกําลงั ในตัวอยางท่ี 21 วาใช
1. A < B < C สมบัติ 1 และสมบัติ 3 ในการจัดใหอยูในรูปอยางงาย จากนั้นครูใหความรู
2. A < C < B เพ่ิมเติมวา ขอ 2) สามารถแสดงวธิ ที ําไดอกี วธิ ีหนึ่ง ดังนี้
3. B < C < A (931 • 8161)6 = (931)6 • (8116)6
4. C < B < A = 9 13 × 6 • 8116 × 6
5. B < A < C = 92 • 81 (สมบตั ิ 3)
(เฉลยคาํ ตอบ A = (223)6 = 29 = 512
B = (332)6 = 34 = 81 = (32)2 • 34
C = (21616)6 = 216 = 34 • 34
นั่นคือ B < C < A = 34 + 4 (สมบัติ 1)
ดังน้นั คาํ ตอบ คือ ขอ 3.) = 38

T31

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน = m23 - 23 n32 - 32
= m- 56
รู (Knowing) = m165

1. ครูยกตัวอยางสมการของเลขยกกําลังบน ลองทาํ ดู
กระดาน แลว ถามคําถามนักเรยี น ดงั น้ี
• 3x = 35 แลว x มีคา เทากบั เทาใด ใหเ้ ขียนจา� นวนแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ในรูปอยา่ งง่าย เมือ่ m และ n เป็นจา� นวนจรงิ บวก
(แนวตอบ x มคี า เทากับ 5) 2) (mm2-n13 -n13-)14-2
• 2y = 28 แลว y มคี า เทา กับเทา ใด 1) (m-3n5)-13 ฝกทําตอ
(แนวตอบ y มีคา เทากบั 8)
แบบฝก ทกั ษะ 1.3
2. ครูอธิบายวา สมการเลขยกกําลังดังกลาวใช ขอ 8, 11
หลกั การเทยี บสมการทงั้ สองขา ง โดยพจิ ารณา
ฐานและเลขช้ีกําลัง ถาฐานทงั้ สองขางเทากัน สมกำรเลขยกกำ� ลงั
แลวเลขชี้กําลังจะตองเทากันดวย ซ่ึงในกรณี ในกรณีทั่วไป การแก้สมการเลขยกก�าลังสามารถท�าได้โดยเปลี่ยนฐานของเลขยกก�าลังให้
ทวั่ ไป การแกส มการเลขยกกาํ ลงั สามารถทาํ ได เท่ากนั ดังน้ี
โดยเปล่ียนฐานของเลขช้ีกําลังท้ังสองขางให
ถ้า ax = an แลว้ x = n เมอ่ื a, n เป็นจ�านวนจริง โดยท่ี a > 0 และ a ≠ 1
เทากัน ดังน้ี ถา ax = an แลว x = n เมื่อ
a, n เปน จาํ นวนจริง โดยท่ี a > 0 และ a 1 ตัวอยางที่ 23

3. ครยู กตวั อยา งท่ี 23 ในหนงั สือเรยี น หนา 30 ใหห้ ำค่ำ x จำกสมกำรตอ่ ไปนี้ 2) 9x = 2143 3) (49)2x = 76249
บนกระดาน แลว ครูกลา ววา นกั เรียนสามารถ 1) 2x = 128
จดั ฐานใหเ ทา กนั โดยใชว ธิ กี ารแยกตวั ประกอบ
แลวเขยี นใหอ ยูใ นรูปเลขยกกําลงั ดังน้ี วธิ ีท�ำ 1) จาก 2x = 128
- ขอ 1) นักเรียนสามารถจัด 128 ใหเปน 2x = 27
ฐาน 2 นน่ั คือ 128 = 27 จะได้ x = 7
- ขอ 2) นักเรียนไมสามารถจัด 243 ใหเปน 3215413
ฐาน 9 ได แตส ามารถจัด 243 และ 2) จาก 9x =
9 ใหเปนฐาน 3 ได 32x =
นัน่ คอื 9 = 32 และ 243 = 35
- ขอ 3) กรณีท่ีฐานเปนเศษสวน นักเรียนจะ 32x = 3-5
ตองจัดฐานทั้งตัวเศษและตัวสวนท่ี จะได้ 2x = -5
ม762ีเ4ล9ขใชหกี้ เ าํปลน งั ฐเทานา ก94นั และสามารถจัด หรือ x = - 52
น่นั คอื 76249 = 49 3
30

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
ถา 2495 x+1 = 314235 2x-1 แลว 8x + 1 มีคา เทา ไร
ครคู วรเนน ย้าํ ใหนกั เรียนเขาใจถงึ การแกส มการเลขยกกําลัง ดงั น้ี 1. -1 2. 0 3. 1 4. 2 5. 3
2495 x + 1 = 134253 2x - 1
- ฐานเทากนั แตเ ลขช้กี ําลังไมเทากนั จะได ax = ay → x = y (เฉลยคาํ ตอบ 57 2 x + 1 = 57 3 2x - 1
โดยท่ี a > 0 และ a 1 57 2x + 2 = 57 6x - 3
75 2x + 2 = 57 3 - 6x
- ฐานไมเทากนั แตเ ลขช้ีกาํ ลงั เทากัน จะได ax = bx → x = 0 2x + 2 = 3 - 6x
โดยที่ a, b > 0 และ a, b 1 8x = 1
x = 18
T32 ดังน้ัน 8x + 1 = 8 81 +1=2

ดังนนั้ คาํ ตอบ คือ ขอ 4.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

3) จาก (49)2x = 76249 ขนั้ สอน
[(23)2]2x = (32)6
(32)4x = (32)6 เขา ใจ (Understanding)

จะได้ 4x = 6 1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หรือ x = 32 หนา 31 และใบงานที่ 1.2 เรอื่ ง เลขยกกาํ ลงั ทมี่ ี
เลขชก้ี ําลังเปน จาํ นวนตรรกยะ เปน รายบุคคล
ลองทาํ ดู 2) 49x = 3143 ฝกทําตอ แลว สมุ นกั เรยี นออกมาเฉลยวธิ คี ดิ บนกระดาน
4) (25)x = 0.16 โดยครตู รวจสอบความถูกตอ ง
ให้หาค่า x จากสมการตอ่ ไปน้ี แบบฝก ทกั ษะ 1.3
1) 5x = 625 ขอ 4 2. ครูใหน ักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละ
3) (49)3x = 2112887 ความสามารถทางคณติ ศาสตร แลว ทาํ กจิ กรรม
ดังนี้
Journal Writing
• ใหน กั เรยี นแตล ะกลมุ ศกึ ษากจิ กรรม Journal
1. นักเรียนได้ศกึ ษามาแล้วว่า ถา้ ax = an แล้ว x = n เมื่อ a, n เป็นจา� นวนจริง โดยที่
a > 0 และ a ≠ 1 ส�าหรบั กรณี ax = an เมื่อ a = 0 หรือ a = 1 นกั เรยี นคดิ วา่ x = n หรอื ไม่ Writing แลว ตอบคาํ ถามจากกจิ กรรม
ถา้ ไม่ ใหย้ กตัวอย่างประกอบ • ใหนักเรียนแตละกลุมรวมกันอภิปราย

2. ก�าหนด a > 0 และ x เปน็ จ�านวนจรงิ ใด ๆ นกั เรียนคิดวา่ ax มีค่าเปน็ 0 หรอื จา� นวน พรอมท้ังยกตัวอยางประกอบจากคําถาม
จรงิ ลบหรอื ไม่ ให้ยกตวั อยา่ งประกอบ ท้ังสองขอ
• นักเรียนรว มกนั สรุปกิจกรรม

Journal Writing

3. ครใู หนักเรยี นทาํ แบบฝก ทักษะ 1.3 ขอ 4. ใน
หนงั สอื เรยี น หนา 35 ลงในสมดุ เพอ่ื ตรวจสอบ
ความเขา ใจ

เฉลย Journal Writing

ขอ 1. ถา a = 0 หรอื a = 1 จะไดวา x
ไมจ ําเปนตอ งเทากับ n
จาก Journal Writing จะเห็นวา่ ถา้ ฐานของเลขยกกา� ลังมีค่าเปน็ จ�านวนจรงิ บวก แล้วคา่ ของ เชน ให x = 2, n = 11
เลขยกกา� ลังจะมีคา่ เปน็ จา� นวนจรงิ บวกดว้ ย ซ่ึงสามารถเขยี นในรปู กรณีท่วั ไปได้ ดังน้ี จะไดว า 02 = 011 = 0 แต 2 11
ให x = 5, n = 7
ถา้ a > 0 แลว้ ax > 0 เมื่อ x เปน็ จ�านวนจริงใด ๆ จะไดวา 15 = 17 = 1 แต 5 7

ขอ 2. ให a > 0 และ x เปนจาํ นวนจรงิ ใดๆ
จะได ax เปน จาํ นวนจรงิ บวกเสมอ
ดงั น้ัน ax มีคา ไมเทากับ 210 หรอื ax ไมเปน
เลขยกก�าลัง 31 จาํ นวนจรงิ ลบ เชน a = 0 และ
จะได ax = 12 2 = 41 > x=2

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET เกร็ดแนะครู

ผลบวกของคาํ ตอบของสมการ 22x-1 - 17(2x) + 8 = 0 เทากบั ครูควรอธิบายเพม่ิ เติมจากกิจกรรม Journal Writing ถา a < 0 แลวคา
เทาไร ของ ax จะพจิ ารณาได ดังน้ี
ถา a < 0 และ x เปนจํานวนค่ี คาของ ax < 0
1. -3 2. -2 3. 2 4. 3 5. 4
เชน ถา -2 < 0 แลว (-2)3 = -8
(เฉลยคําตอบ 22x - 1 - 17(2x) + 8 = 0 ถา -2 < 0 แลว (-2)-3 = (-12)3 = - 81
ให 2(2x)2 - 17(2x) + 8 = 0 ถา a < 0 และ x เปนจาํ นวนคู คา ของ ax > 0

2x = A, (2x)2 = A2 เชน ถา -2 < 0 แลว (-2)4 = 16
2A2 - 17A + 8 = 0
(2A - 1)(A - 8) = 0
A = 21, 8 ถา -2 < 0 แลว (-2)-4 = 1 = 116
2 x = 2-1, 23 (-2)4
x = -1, 3

นน่ั คอื (-1) + 3 = 2
ดังน้ัน คําตอบ คอื ขอ 3.)
T33

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน นกั เรยี นสามารถคา� นวณหาคา่ ตา่ ง ๆ ของเลขยกกา� ลงั โดยใชเ้ ครอื่ งคดิ เลขวทิ ยาศาสตร์ ดงั รปู

รู (Knowing) 1

ครใู หนักเรยี นแบง กลุม กลุมละ 3-4 คน คละ สว่ นประกอบหลักบนเคร่ืองคิดเลข
ความสามารถทางคณิตศาสตร แลวทํากิจกรรม 1. หนา้ จอแสดงผลการท�างาน
ตอ ไปนี้ 2. ปมุ เปดเคร่ือง
3. ปุม MODE/SETUP ใช้สา� หรบั เลือก
• ใหแตละกลุมนําเคร่ืองคิดเลขวิทยาศาสตร โหมดหรอื ตงั้ คา่ เครอื่ ง
มากลุมละ 1 เคร่ือง ใชรนุ เดยี วกัน ดังรปู 4 2 4. ปมุ SHIFT ส�าหรับเรียกใช้คา� สง่ั
ในหนังสอื เรยี น หนา 32 หรือรนุ ทใ่ี กลเ คียง ท่เี ป็นสีเหลือง แล้วตามดว้ ยปุม ค�าสง่ั
กนั 5 3 น้นั ๆ

• ครูอธิบายสวนประกอบตางๆ บนเครื่อง 7 6 5. ปุม ALPHA ส�าหรบั เรียกใชค้ า� สง่ั
คดิ เลขและกลา ววา เครอื่ งคดิ เลขวทิ ยาศาสตร ทเ่ี ป็นตัวอักษรสแี ดง แลว้ ตามดว้ ย
ถาย่ีหอหรือรุนที่ตางกัน จะมีปุมคํานวณ ปุมค�าสงั่ น้ัน ๆ
และวิธีการใชแตกตางกัน ใหนักเรียนดูใน 8 6. ปมุ ควบคมุ ทิศทาง ใชเ้ ลื่อนดูคา� ตอบ
กรอบ INFORMATION
หรอื แกไ้ ขการค�านวณ
• ใหน กั เรยี นแตล ะกลมุ ฝก กดปมุ เครอื่ งคดิ เลข 7. ปุมฟงั กช์ นั และสตู รการค�านวณ
วิทยาศาสตร โดยครูใชตัวอยางที่ 24 ใน 8. ปมุ ตวั เลข/เครอ่ื งหมายการดา� เนนิ การ
หนังสือเรียน หนา 32 สอนกดปุมเครื่อง
คิดเลข ซึ่งใหสมาชิกในกลุมฝกทําขอละ
1 คน จนครบทั้ง 4 ขอ

ตวั อยา งท่ี 24

ใหห้ ำคำ่ ของจำ� นวนต่อไปน้ี โดยใชเ้ ครอื่ งคิดเลข
1) 314 2) 2 -4 6
3) 3 71 4) 4 8 INFORMATION

วิธีทำ� 1) 314 = เคร่ืองคิดเลขวิทยาศาสตร์
กดปุม 3 x 1 4 ท่ียี่ห้อหรือรุ่นต่างกัน จะมี
ปุมค�านวณ และวิธีการใช้ท่ี
จะปรากฏผลลพั ธ์ 4782969 แตกตา่ งกนั เช่น 23 สามารถ
กดปมุ บนเครอื่ งคดิ เลขไดเ้ ปน็
2x 3=
หรอื 2 ∧ 3 =
หรือ 2 xy 3 =

32

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรา งเสริม

ครคู วรเนน ยํา้ การใชเคร่อื งคดิ เลขวิทยาศาสตรว า ฟงกชนั การคาํ นวณของ ครูใหน ักเรียนจับคู แลวชวยกันคํานวณหาคา ตอ ไปนี้
เครื่องคิดเลขแตละรุนไมเหมือนกัน นอกจากจะใชเคร่ืองคิดเลขวิทยาศาสตร • หา ( 2 + 3 + 5)2 และ 22 + 32 + 52 โดยใชเ ครื่องคดิ เลข
ในการคาํ นวณแลว นกั เรยี นยงั ใชโ ปรแกรมอนื่ ๆ ในการคาํ นวณได เชน โปรแกรม
และตอบเปนทศนิยมสองตาํ แหนง
Microsoft Excel โปรแกรม Calculator ในเคร่อื งคอมพวิ เตอร และโปรแกรม • ( 2 + 3 + 5)2 และ 22 + 32 + 52 เทา กันหรอื ไม
ออนไลน WolframAlpha
เพราะเหตใุ ด
• หา ( 2 × 3 × 5)2 และ 22 + 32 + 52 โดยใช

เคร่อื งคดิ เลข และตอบเปนทศนยิ มสองตําแหนง
• ( 2 × 3 × 5)2 และ 22 × 32 × 52 เทา กนั หรอื ไม

เพราะเหตุใด
หมายเหตุ : ครูควรใหน กั เรยี นเกง และนกั เรียนออ นจับคกู นั

T34

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

2) 2 -4 6 6 )÷4= ขน้ั สอน
กดปุม ( 2 -
เขา ใจ (Understanding)
จะปรากฏผลลพั ธ์ -0.1123724357
1. ครูใหนักเรียนแตละกลุมทํา “ลองทําดู” ใน
3) 3 71 ATTENTION หนังสือเรียน หนา 33 โดยใชเคร่ืองคิดเลข
แลวเขียนคําตอบท่ีไดลงในกระดาษ A4 เมื่อ
กดปุม SHIFT 71 = 3 เป็นคา� สัง่ ทเี่ ปน็ แตละกลุมเสร็จแลวใหนําคําตอบท่ีไดมา
สเี หลอื ง ดงั นนั้ ในการเรยี ก ตรวจสอบกับกลุมอ่ืนๆ โดยครูตรวจสอบ
จะปรากฏผลลพั ธ์ 4.140817749 ใชจ้ ะตอ้ งกดปุม SHIFT ความถกู ตอ ง
แลว้ ตามด้วย
4) 4 8 2. ครูใหนักเรียนแตละกลุมทําแบบฝกทักษะ
1.3 ขอ 5 ในหนังสอื เรียน หนา 35 จากนั้น
กดปมุ SHIFT x 4 ▲ 8= ครูสุมนักเรียนออกมาเฉลยคําตอบหนา-
ช้ันเรียน โดยครูและนักเรียนในช้ันเรียน
จะปรากฏผลลัพธ์ 1.681792831 รว มกนั ตรวจสอบความถกู ตอง

ลองทําดู

ให้หาคา่ ของจ�านวนต่อไปน้ี โดยใชเ้ คร่อื งคดิ เลข

1) 512 2) 13 9- 8 ฝกทําตอ
3) 3 46 4) 5 77
แบบฝกทักษะ 1.3 ขอ 5

ตกำวั รอเยคลาง่ือทน่ีท2ีข่ 5องอนภุ ำค1หน่งึ มีควำมสมั พนั ธร์ ะหว่ำงระยะทำง
ในแนวรำบและควำมสงู ในแนวด่งิ ซงึ่ คำ� นวณได้จำกสตู ร
h = 0.3 d + 1
เมอ่ื h แทนควำมสงู จำกพน้ื ดินมหี นว่ ยเปน็ เมตร h

ถำ้ อนภุ dำคแนทเี้ คนลระอ่ื ยนะททใ่ี ำนงแในนวแรนำวบร2เำปบน็ มรีหะยนะว่ ทยำเปงน็5เ.2ม5ตรเมตร d

ใหห้ ำควำมสงู ของอนภุ ำคนจ้ี ำกพน้ื ดนิ

วธิ ีทำ� เนอ่ื งจาก h = 0.3 d + 1
จะได้ h = 0.3 5.25 + 1
= 0.3 6.25
= 0.3(2.5)
= 0.75
ดังนน้ั อนภุ าคนจ้ี ะสงู จากพื้นดินในแนวดงิ่ เปน็ ระยะทาง 0.75 เมตร

เลขยกก�าลัง 33

กจิ กรรม สรางเสริม นักเรียนควรรู

ครูใหน ักเรยี นจบั คู แลว ทาํ กิจกรรมตอไปนี้ 1 อนุภาค เปนชิ้นหรือสวนท่ีมีขนาดเล็กมาก เชน ฝุนละออง อิเล็กตรอน
• จากตวั อยา งท่ี 25 ถา อนภุ าคนเ้ี คลอ่ื นทใ่ี นแนวราบเปน ระยะทาง นิวตรอน ซ่ึงในทางวิทยาศาสตรมักใชเรียกสวนท่ีมีขนาดเล็กกวาอะตอม เชน
อนุภาคแอลฟา อนภุ าคบีตา
4.76 เมตร ใหหาความสูงของอนภุ าคนี้จากพ้นื ดิน 2 เคล่ือนท่ีในแนวราบ เปนการเคลื่อนที่ของวัตถุขนานกับพ้ืนโลก เชน
• ถาอนุภาคน้ีมคี วามสูงจากพ้นื ดิน 1.05 เมตร ใหหาวาอนุภาค รถยนตทก่ี ําลงั แลน อยูบนถนน

เคลื่อนทีใ่ นแนวราบเปนระยะทางเทาใด
หมายเหตุ : ครูควรใหน ักเรยี นเกงและนักเรียนออนจับคกู ัน

T35

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู (Knowing)

1. ครอู ธบิ ายวา เรอ่ื ง เลขยกกําลงั สามารถนําไป ลองทาํ ดู
ใชก บั โจทยป ญ หาตางๆ ได เชน การเคล่อื นที่
ตางๆ การคํานวณดอกเบ้ียทบตน จากน้ัน วัตถุชนิดหนึง่ มีน�้าหนกั (m) เปน็ กรัม แปรผันตามความยาวของวตั ถุ (x) เป็นเซนติเมตร
วทัตส่ี ถาชุมนาริดถนค้ี า�เมน่อืวณกา� ไหดน้จาดกคสวูตามรยmาว=ขอ45งว5ัต1ถ1ุเxท่า+กับ1 ให้หานา�้ หนักของ
ครูยกตัวอยางท่ี 25 และ 26 บนกระดาน 22 เซนติเมตร ฝกทําตอ
และอธบิ ายวิธคี ิดอยา งละเอียด
แบบฝกทกั ษะ 1.3
ขอ 6, 12
2. ครถู ามคําถาม เพ่อื ตรวจสอบความเขาใจของ
นกั เรยี น ดังน้ี ตวั อยา งที่ 26

• จากตัวอยา งที่ 25 ใชบทนยิ ามใดในการแก นธิ ศิ ฝำกเงินไว้กับธนำคำรแห่งหนึ่งโดยมีขอ้ ตกลงว่ำ ถำ้ ฝำกเงินจ�ำนวน 500,000 บำท
ปญ หา ธนำคำรใหด้ อกเบ้ีย 3% ต่อปี ถ้ำนธิ ิศฝำกเงนิ โดยไม่มกี ำรถอนเงินจนครบ 7 ปี 6 เดอื น
อยำกทรำบวำ่ นธิ ศิ จะไดร้ ับเงนิ ทงั้ หมดเท่ำใด โดยก�ำหนดให้
(แนวตอบ ใชบทนิยามท่ีวา ถา a เปน A = P(1 + r)t
จาํ นวนจรงิ n เปnนแจลําว นaวนn1 เต=็มnทaี่ม)ากกวา 1
เมอ่ื A แทนจ�ำนวนเงนิ ตน้ พร้อมดอกเบยี้
และ a มีรากที่ P แทนเงินต้น
• จากตัวอยางท่ี 26 ใชบทนิยามใดในการ
แกปญหา r แทนอตั รำดอกเบยี้ ตอ่ ปี
(แนวตอบ ใชบทนิยามที่วา ถา a เปน t แทนจำ� นวนปีทฝี่ ำก

แจจลาําํ นนะววmนนnจจรรเปงิิงนจmเะศ,ไษดnสวเาว ปนaนอmnจยาํ า=นง(วตaน่าํ n1เแ)ตmลม็ ะ=ทa(่ี nnn1 >1 วิธที ำ� เน่ืองจาก A = P(1 + r)t
เปน P = 500,000
r = 5710.03500,=0=010205(.103+ 0.03)125
a )m) t =
A =
เขา ใจ (Understanding) จะได้ = 500,000( 1.03)15

1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน ≈ 500,000(1.24819)
หนา 34 ลงในสมุด เปนรายบุคคล เม่ือทํา = 624,095
เสร็จแลวใหตรวจสอบคําตอบ โดยการใช ดงั นั้น นิธศิ จะไดร้ ับเงินท้ังหมดประมาณ 624,095 บาท
เครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร โดยใหนักเรียน
นําสงครูตรวจสอบความถูกตองอีกครั้ง ลองทําดู

สมชายฝากเงินไว้กบั ธนาคารแหง่ หนง่ึ โดยมขี ้อตกลงว่า ถา้ ฝากเงินกับธนาคาร
2,000,000 บาท ธนาคารจ่ายดอกเบีย้ ให้ 2.5% ต่อป ถ้าสมชายฝากเงิน ฝกทําตอ
โดยไมม่ ีการถอนเงินจนครบ 5 ป 6 เดอื น อยากทราบว่าสมชายจะได้รับ แบบฝกทักษะ 1.3
เงนิ ทั้งหมดเทา่ ใด ขอ 9, 10

34

เกร็ดแนะครู กิจกรรม 21st Century Skills

ครูควรเนนย้ําจากตัวอยางท่ี 26 วา การหาดอกเบ้ียที่ไดจากการฝากเงิน ครใู หน กั เรียนทํากิจกรรมตอไปน้ี
เทา กบั เงนิ รวมทงั้ หมดลบออกดว ยเงนิ ตน ทง้ั หมด หรอื ดอกเบย้ี = เงนิ รวม - เงนิ ตน • ใหน กั เรียนแบง กลมุ กลมุ ละ 3-4 คน แลว สบื คน อัตราดอกเบี้ย
จะไดวา นธิ ศิ จะไดด อกเบี้ยในการฝากเงนิ ทัง้ หมดเทากบั 624,095 - 500,000
= 124,095 บาท ทีไ่ ดจากการฝากเงนิ ในปจ จบุ นั
• ใหน กั เรยี นแตล ะกลมุ กาํ หนดเงนิ ตน ทต่ี อ งการฝากและระยะเวลา
สื่อ Digital
ท่ีจะฝาก แลว นํามาคาํ นวณหาจาํ นวนเงนิ ทง้ั หมดทจ่ี ะไดร บั และ
ครูใหนักเรียนตรวจสอบคําตอบ “ลองทําดู” จากตัวอยางท่ี 26 โดยใช ดอกเบี้ยในการฝากเงิน
• ใหแตละกลุมสงตัวแทนออกมานําเสนอขอมูลผานโปรแกรม
โปรแกรม WolframAlpha คํานวณจาก https://www.wolframalpha.com Microsoft PowerPoint หรือโปรแกรมนําเสนออ่ืนๆ ตามท่ี
นกั เรียนถนัด
โดยพิมพ ดงั นี้ 2,000,000*(1.025)^(11/2) หมายเหตุ : ครคู วรแบง กลมุ โดยคละความสามารถทางคณติ ศาสตร
ของนกั เรยี น (ออน ปานกลาง และเกง) ใหอ ยูกลุมเดยี วกนั

T36

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

แบบฝกึ ทกั ษะ 1.3 r ขน้ั สอน

ระดับพนื้ ฐาน เลขยกก�าลัง 35 เขา ใจ (Understanding)

1. ให้เขียนจำ� นวนต่อไปนีใ้ นรปู เลขยกก�ำลงั 2) 3 52 2. ครูใหนกั เรียนทํากิจกรรมตอไปนี้
1) 10 4) 8 1217 • ใหนักเรยี นแบงกลุม กลมุ ละ 3-4 คน คละ
3) 5 256 1 ความสามารถทางคณติ ศาสตร
5) 4 x5 เมอื่ x > 0 6) 6x เม่อื x>0 • ใหนักเรียนแตละกลุมทําแบบฝกทักษะ ใน
หนงั สอื เรียน หนา 35 ขอ 6. และใหน กั เรียน
2. ใหเ้ ขยี นจ�ำนวนต่อไปนใ้ี นรูปกรณฑ์ 2) (-30)53 สืบคนโจทยปญหาที่เก่ียวกับเลขยกกําลัง
1) 2432 4) (32)45 หรอื รากที่ n ของจาํ นวนจรงิ ทางอนิ เทอรเ นต็
3) 8143 มากลุมละ 1 ขอ แลวแสดงวิธีทําอยาง
ละเอยี ด
3. ใหห้ ำค่ำของเลขยกก�ำลงั ต่อไปน้ี • ครสู มุ นกั เรยี นออกมาแสดงวธิ ที าํ บนกระดาน
1) 8121 โดยครตู รวจสอบความถูกตอง
3) -216- 31
5) 8- 53 2) 512- 31
7) [(256)81]2 4) 102415
6) (-1000)32
8) [(10000)14]3

4. ให้หำค่ำ x จำกสมกำรต่อไปน้ี 11821618
1) 11x = 1331 4x
3) 10x = 0.01 2) (23)x+2 =
4) =

5. ให้หำคำ่ ของจ�ำนวนต่อไปนี้ โดยใชเ้ ครอ่ื งคดิ เลข
1) 510 2) 316+ 13
3) 3 704 4) 4 22.2
96
5) 5 -244 6) 3 99

6. ถ้ำ r คือ ควำมยำวของรัศมีของทรงกลมมีหน่วยเป็นเซนติเมตร

และ V =คือ(34Vπป)ร13ิมถำต้ำทรขรงอกงลทมรงมกปี ลรมิมมำตีหรน่ว9ย7เ2ปπ็นลลูกกู บบำำศศกก์เเ์ ซซนนตติเิเมมตตรร
โดยที่ r

แลว้ ทรงกลมนี้จะมีรศั มยี ำวก่ีเซนตเิ มตร

ขอสอบเนน การคิด เกร็ดแนะครู

( 18 + 23 -125 - 34 4)3 มีคา เทา กบั ขอใด ครคู วรทบทวนสมบัตขิ องเลขยกกําลัง สมบตั ิของรากท่ี n การหาผลบวก
1. -1,000 ผลตาง ผลคูณ และผลหารของจํานวนจริงที่อยูในรูปกรณฑอันดับเดียวกัน
2. 1,000 การแกส มการเลขยกกาํ ลงั และโจทยก ารประยกุ ต กอ นทาํ แบบฝก ทกั ษะ 1.3 วา
3. 2 5 - 5 2 ในแตละขอตองใชสมบัติใด ครูอาจยกตัวอยางเพิ่มเติมแลวถาม-ตอบนักเรียน
4. 2 5 + 5 2 เพ่ือตรวจสอบความเขาใจของนักเรียน พรอมท้ังเปดโอกาสใหนักเรียนซักถาม
(เฉลยคําตอบ ( 18 + 23 -125 - 34 4)3 เมอื่ เกิดขอสงสัย
= ( 9 2 + 23 (-5)3 - 34 22)3
= (3 2 + 2(-5) - 3 2)3
= (-10)3
= -1,000
ดงั น้ัน คําตอบ คอื ขอ 1.)

T37

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ระดับกลาง

เขา ใจ (Understanding) 7. ให้เขียนจำ� นวนต่อไปนใ้ี นรูปอยำ่ งง่ำย 2) (2712 • 2443)13 • (913 • 1812)12
1) 5413 • 3221 • 8123
3. ครูใหนักเรียนแตละกลุมชวยกันทําแบบฝก- 4) (1021 • 1513)3 • (4531 • 5021)2
ทักษะ 1.3 ขอ 7-10 ในหนงั สือเรียน หนา 36 ( )3) 129126• 316631 2 (6016 • 3013)6
ลงในสมดุ จากน้นั ครสู ุม นกั เรียนออกมาเฉลย
คําตอบหนาชั้นเรียน โดยครูและนักเรียนใน 8. ใหเ้ ขยี นจ�ำนวนตอ่ ไปนใี้ นรูปอยำ่ งง่ำย เมื่อ x และ y เปน็ จำ� นวนจริงบวก
ชน้ั เรียนรวมกันตรวจสอบความถูกตอ ง 1) x45x-• 52x12 y110 • 15y-32
2) y-
4. ครใู หน กั เรียนทาํ Exercise 1.3 เปนการบา น
3) (x-3 y4)-12 4) (x23 y-45)23
ลงมอื ทาํ (Doing) 5) (x-2 y3)13 (x4 y-5)21 6) (x-3 y35)-2(x54 y-52)5
7) (xx2-13y-y31-)14-2 8) (x-225y2)-12
ครูใหนักเรียนจับคูทํากิจกรรม โดยใชเทคนิค
9) (4x4 y)21 ÷ 2x3 y-12 10) (x3 y-14)4 ÷ 5 32x4 y-8
คูค ิด (Think Pair Share) ดังน้ี
9. วทิ ยำฝำกเงนิ กบั ธนำคำรแห่งหน่ึงจำ� นวน 5,000 บำท ถำ้ เขำไปปิดบัญชีกับธนำคำรเมื่อฝำก
• ใหนักเรียนแตละคนคิดคําตอบของตนเอง ครบเปน็ 1เวลำ 5 ปี 6 เดอื น จะได้รับเงินทงั้ หมด 5,800 บำท อยำกทรำบว่ำธนำคำรจะให้
จากแบบฝกทักษะ 1.3 ในหนังสือเรียน
หนา 36 ขอ 11.-12. 10. ดวิโอรกจเนบก์ี้ยเู้ใงนนิ อ2จัตำรกำธปนีลำะคเทำรำ่ มใดำจำ� นวนหนง่ึ โดยจะตอ้ งจำ่ ยดอกเบีย้ เงนิ กู้ 4.2% ต่อปี ถำ้ วโิ รจน์
ตอ้ งจำ่ ยเงนิ ท้งั หมดจ�ำนวน 62,225 บำท เมอื่ ครบกำ� หนด 3 ปี 6 เดือน ใหห้ ำว่ำวโิ รจน์
• ใหนักเรียนแตละคูแลกเปลี่ยนคําตอบกัน กเู้ งนิ มำจำ� นวนเท่ำใด
สนทนาซักถามจนเปน ท่เี ขาใจรว มกนั

• ครสู มุ นกั เรยี นออกมาแสดงวธิ กี ารหาคาํ ตอบ
บนกระดาน โดยครแู ละนักเรยี นในชนั้ เรียน
รว มกนั ตรวจสอบความถกู ตอ ง

ระดบั ท้าทาย

11. ใหเ้ ขยี นจ�ำนวนแต่ละข้อต่อไปน้ใี นรูปอย่ำงง่ำย เม่ือ a, b, c และ d เปน็ จ�ำนวนจรงิ บวก
( ) ( )1) aa--324bb-311cc2161 3 aa531bb3254cc-5312 -4 ( )2) 684aa-3132bb4521cc--3534 3 ÷ (a8-a2bb-13 cc26)13
4) (a b+c2b)2n ÷ (a +abbc)n+23 เมือ่ n > 0
3) abbc2n × cc3ndd2n ÷ bcnn++32 เมอื่ n > 0
36

นักเรียนควรรู กิจกรรม สรา งเสริม

1 ดอกเบี้ย (intrerest) หมายถึง ผลตอบแทนท่ีผูฝากเงินไดรับจากการ ครใู หน ักเรยี นจับคู แลว ปฏบิ ัตติ ามขนั้ ตอนตอ ไปน้ี
นาํ เงนิ มาฝากไวกบั สถาบันการเงนิ หรือผลตอบแทนทีส่ ถาบนั การเงินไดร บั จาก • ตรวจสอบบัญชีออมทรัพยข องตนเองวามีเงนิ ตน ณ วนั เร่มิ ฝาก
ผูยืมเงนิ
2 กูเงนิ หมายถึง เงนิ ท่ยี ืมมาโดยมดี อกเบี้ย ซง่ึ ผูก ไู ดไ ปขอกเู งินจํานวนหนึ่ง จาํ นวนเทา ใด
กับผูใหกูและมีการทําสัญญากําหนดระยะเวลาที่จะชําระหน้ี โดยจะตกลงวา • คาํ นวณดอกเบ้ยี ทีไ่ ดจ ากอตั ราดอกเบยี้ ที่ธนาคารกาํ หนด
ผใู หก ูจ ะสามารถคิดดอกเบ้ียไดตามอตั ราท่ีตกลงกัน
ถาไมมีการถอนเงิน
• คํานวณหาดอกเบ้ียท่ไี ดแ ละจาํ นวนเงินทง้ั หมดท่ีจะไดรบั

เมอื่ เวลาผานไป 2 ป
หมายเหตุ : ครูควรใหนกั เรียนเกง และนักเรยี นออนจับคกู ัน

T38

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

12. ใลหกู ห้ บำำคศวก1ำห์ มนย่งึ ำมวปีขรอมิงเำสตน้ ร2ทaแยลงกู มบุมำ3ศdก์หโดนย่วตยอบดังในรูปรูปของ a ขนั้ สรปุ

d 1. ครถู ามคําถามนกั เรียน เพือ่ สรปุ ความรู เรอื่ ง
เลขยกกาํ ลงั ทมี่ เี ลขชกี้ าํ ลงั เปน จาํ นวนตรรกยะ
3 Self-Check • นักเรียนสามารถเขยี น รากท่ี 2 ของ 25 ใน
หลงั จำกเรยี นจบหน่วยแล้ว ใหน้ ักเรยี นบอกสญั ลกั ษณท์ ตี่ รงกบั ระดับควำมสำมำรถของตนเอง • น(รแูปกั นเเวลรตขียอนชบกี้สาํา2ลม5งัาไร=ดถอ2เข5ยยี า12นง)ไร(-64)32 ในรูปกรณฑ
ไดอ ยา งไร
ดี พอใช้ ควรปรบั ปรงุ (แนวตอบ (-64) 23 = (3 -64)2)

1. สามารถหารากท่ี n ของจา� นวนจรงิ ใด ๆ ได้ • นักเรยี นสามารถหาคา หลักของรากท่ี (-27)
2. สามารถหาค่าหลักรากที่ n ของจา� นวนจริงใด ๆ ได้ ของ 3 ไดอ ยางไร
3. สามารถหาผลบวกและผลตา่ งของจ�านวนจริงทีอ่ ยู่ใน (แนวตอบ [(ค-2า7ห)ล13]ัก3ข=อง-ร2า7ก) ที่ (-27) ของ 3
จะไดว า
รูปกรณฑ์ได้ • นกั เรียนสามารถแกสมการ 32x-2 = 272
4. สามารถหาผลคณู และผลหารของจ�านวนจริงทอี่ ยู่ใน ไดห รือไม อยางไร
(แนวตอบ สามารถแกสมการได โดยทํา
รปู กรณฑ์ได้ ฐานทั้งสองขางของสมการใหเทากัน แลว
5. สามารถหาคา่ ของเลขยกกา� ลงั ได้ เลขช้กี าํ ลงั จะเทา กนั
6. สามารถแกส้ มการเลขยกกา� ลังได้ จะได 32x - 2 = 272
7. สามารถค�านวณหาคา่ ตา่ ง ๆ ของเลขยกก�าลัง โดยใช้ 32x - 2 = (33)2
32x - 2 = 36
เครือ่ งคดิ เลขได้ 2x - 2 = 6
8. สามารถแกโ้ จทย์ปญั หาเกย่ี วกบั เลขยกก�าลงั ได้ x = 4)
• คา ของ x จากสมการ 3x = 21x เปน เทาใด
เลขยกก�าลัง 37 (แนวตอบ x = 0)

กจิ กรรม สรา งเสรมิ นักเรียนควรรู

ครใู หน ักเรียนจับคู แลวชว ยกนั หาคาของ x ที่ทําให 1 ลูกบาศก (cube) คือ ปริซึมซึ่งมีหนาตัดเปนรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสที่เทากัน
3 1825 4 = 61265 1x ทุกหนา
หมายเหตุ : ครคู วรใหน ักเรยี นเกง และนักเรียนออ นจับคูก นั 2 ปรมิ าตร (volume) คอื จาํ นวนทบ่ี อกขนาดของรปู 3 มติ ิ มหี นว ยมาตรฐาน
ตางๆ เชน ลติ ร ลกู บาศกเ มตร

3 เสนทแยงมมุ (diagonal) คือ เสน ตรงทลี่ ากจากมมุ หน่ึงไปยงั มมุ ตรงขา ม

T39

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขน้ั สรปุ สรปุ แนวคดิ หลกั

2. ครใู หน กั เรยี นแตล ะคนอา น “สรปุ แนวคดิ หลกั ” เลขยกกำ� ลงั
ในหนงั สอื เรยี น หนา 38-39
1. กา� หนด a เปน็ จา� นวนจรงิ และ n เป็นจา� นวนเต็มบวก
3. ครูถามคําถาม เพ่ือสรุปความรูรวบยอดของ an = a • a • a • ... • a
นักเรยี น ดงั น้ี n ตัว
• เลขยกกําลัง มคี วามหมายวาอยา งไร a0 = 1 เมื่อ a ≠ 0
(แนวตอบ เลขยกกําลัง หมายถึง การคูณ a-n = a1n เม่ือ a ≠ 0
จาํ นวนนนั้ ซํ้าๆ กัน)
• “3 ยกกําลงั 5” มีความหมายวา อยา งไร 2. ก�าหนด x, y เปน็ จา� นวนจรงิ และ n เปน็ จา� นวนเตม็ ท่ีมากกวา่ 1
(แนวตอบ 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 ) y เปน็ รากที่ n ของ x ก็ตอ่ เม่ือ yn = x
• คาหลักของรากท่ี 5 5ขตอัวง 12 เขียนในรูป
n x และอานไดอ ยา งไร 3. คา่ หลักของรากท่ี n ของ x เขียนแทนดว้ ย n x อา่ นวา่ กรณฑ์ท่ี n ของ x
(แนวตอบ เขยี นแทนดว ย 5 12 อา นวา กรณฑ 4. ให้ x และ y เป็นจา� นวนจริง และ n เป็นจา� นวนเตม็ ทีม่ ากกวา่ 1 y เป็นคา่ หลกั ของรากท่ี n
ท่ี 5 ของ 12)
ของ x เขียนแทนด้วย n x กต็ อ่ เมื่อ y เป็นรากท่ี n ของ x และ xy ≥ 0
• ให a เปน จาํ นวนจริง ทม่ี รี ากที่ n เมือ่ n
5. สมบตั ิของรากที่ n
เปนจํานวนเต็มท่ีมากกวา 1 แลวคาของ ให้ a และ b เป็นจา� นวนจริงทมี่ ีรากที่ n เมอื่ n เปน็ จา� นวนเต็มที่มากกว่า 1

n a เปนจํานวนจรงิ ลบเมือ่ ใด 1) (n a)n = a เมื่อ n a เป็นจ�านวนจรงิ
(แนวตอบ n a เปนจาํ นวนจริงลบ เม่ือ a < 0
a เมือ่ a ≥ 0
และ n = 3, 5, 7, 9, …) 2) n an = a เม่อื a < 0 และ n เปน็ จ�านวนค่ีบวก
• การหาผลบวกและผลตางของจํานวนท่ีมี ∙a∙ เม่ือ a < 0 และ n เป็นจา� นวนคู่บวก
3) n ab = n a • n b
เครื่องหมายกรณฑอันดับเดียวกันสามารถ 4) n ab n ab
ทาํ ไดอยา งไร = n เมอื่ b ≠ 0
(แนวตอบ การหาผลบวกและผลตางของ
จาํ นวนทมี่ เี ครอื่ งหมายกรณฑอ นั ดบั เดยี วกนั 6. การหาผลบวกและผลตา่ งของจา� นวนทีม่ เี ครือ่ งหมายกรณฑ์อนั ดับเดียวกนั จะตอ้ งมจี �านวน
จะตองมีจํานวนภายในกรณฑเปนจํานวน ภายในกรณฑ์เป็นจ�านวนเดียวกนั เช่น
เดียวกัน แลวใชสมบัติการแจกแจงในการ
ดึงตัวรวม จากนั้นนําตัวรวมมาบวกหรือ p n a + q n a = (p + q) n a
ลบกัน) p n a - q n a = (p - q) n a

38

สอื่ Digital ขอ สอบเนน การคดิ 3(x2) 39(44x)4เ.ทา4กับขอใด
หาคา x ที่สอดคลอ งกบั สมการ 3. 2 =
ครอู าจใหน กั เรยี นสบื คน ความรเู พม่ิ เตมิ ผา นทาง www.youtube.com โดย 1. -2 2. -4
ใชคาํ สืบคน ดังน้ี 3(x2) = 39(44x)
(เฉลยคาํ ตอบ
• เลขยกกําลงั
• สมบตั ขิ องรากที่ n 3(x2) = 33(48x)
• Exponent Number (3 21)(x2) = 3(4x) - 8
3 x22 = 34x - 8
T40 x22 = 4x - 8
x2 = 8x - 16
x2 - 8x + 16 = 0
(x - 4)2 = 0
x =4
ดงั น้ัน คําตอบ คือ ขอ 4.)

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

7. การหาผลคูณและผลหารของจ�านวนที่มีเครื่องหมายกรณฑ์อันดับเดียวกัน จะต้องมีอันดับ ขน้ั สรปุ
ของกรณฑ์ที่เทา่ กัน
• การหาผลคูณและผลหารของจํานวนท่ีมี
8. (p + q a) และ (p - q a) เปน็ สังยคุ ซง่ึ กนั และกนั โดยท่ี p, q และ a เปน็ จ�านวนตรรกยะ เคร่อื งหมายกรณฑสามารถทาํ ไดอยางไร
และ a > 0 (แนวตอบ การหาผลคูณและผลหารของ
จํานวนท่ีมีเครื่องหมายกรณฑตองมีอันดับ
9. ถา้ a เปน็ จา� นวนจริง n เป็นจ�านวนเตม็ ท่มี ากกวา่ 1 และ a มีรากที่ n
• จนขาํอกั นงเรกวียรนนณเตสฑม็าเมไทดาา รอกถยนั ทาแงําลไใรหว ใ ช2ส ม+2บตั 3ขิ อเปงนรากที่ n)
a1n = n a (แนวตอบ นําสังยคุ ของ 2 + 3 คณู ทง้ั
ตัวเศษและตัวสวน และสังยุคของ 2 + 3
10. แถลา้ ะaaเ1nป็นเปจน็ า� จน�าวนนวจนรจิงรmิง ,จnะไดเป้ว็นา่ จ�านวนเตม็ ท่ี n > 1 และ mn เป็นเศษส่วนอยา่ งตา่� คือ 2 - 3)

amn = ((aam1n ))m1n = (n a)m • ทถaา1nี่ nเaป>นเป1จนาํแจนลาํวะนนmวnจนรจงิเปรแนิงลเmศว ษ,(สnnวaเนป)อmนยจ=าํางนnตวaํ่านmแเตล็มะ
amn = = n am
หรอื ไม เพราะเหตใุ ด
11. การแก้สมการเลขยกกา� ลังสามารถทา� ได้โดยเปลี่ยนฐานของเลขยกกา� ลังใหเ้ ท่ากนั (แนวตอบ เทากัน เพราะ
น่ันคือ
ถา้ ax = an แล้ว x = n (n a )m = n am
(a1n)m = (am)1n
เม่ือ a, n เป็นจ�านวนจรงิ โดยที่ a > 0 และ a ≠ 1 amn = amn )

12. สมบัติของเลขยกก�าลงั • การแกสมการเลขยกกําลังสามารถทําได
ให้ m, n เปน็ จา� นวนตรรกยะ และ a, b เป็นจา� นวนจรงิ ทีไ่ มเ่ ท่ากับ 0 และ am, an และ bn อยา งไร
เปน็ จ�านวนจรงิ จะได้ว่า (แนวตอบ สามารถทําไดโ ดยเปลยี่ นฐานของ
เลขยกกําลงั ใหเ ทา กนั )

1) am • an = am + n
(aaamnm)n = am - n
2) = amn
3) = (ab)n
4) an • bn = (ba)n
5) abnn

เลขยกก�าลัง 39

กิจกรรม สรางเสริม เกร็ดแนะครู

ครูใหน กั เรียนจบั คู แลวชวยกันยกตัวอยา งจาํ นวนทส่ี อดคลอง ครูทบทวนความรูหนวยการเรียนรูที่ 1 โดยใหนักเรียนศึกษาจากสรุป
กับสมบตั เิ ลขยกกําลังตอ ไปนี้ พรอ มท้ังหาคําตอบ
แนวคิดหลักในหนังสือเรียน หนา 38-39 แลวเขียนเปน Mind Mapping
ให m, n เปนจํานวนตรรกยะ และ a, b เปนจํานวนจริง
ท่ีไมเ ทา กับศูนย และ am, an และ bn เปนจํานวนจรงิ ลงในสมดุ พรอมทง้ั ใหยกตัวอยางประกอบมาอยา งนอ ยหัวขอ ละ 1 ขอ จากน้ัน
ครอู าจตรวจสอบความรขู องนกั เรยี น โดยใหท าํ แบบทดสอบหลงั เรยี นเพอื่ ประเมนิ
• am • an ความเขาใจของเน้ือหาหนว ยนี้
• aamn
• (am)n T41
• an • bn
• bann

หมายเหตุ : ครคู วรใหนักเรียนเกงและนกั เรยี นออ นจบั คูกัน