คณิตหลัก ม.5

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขนั้ สรปุ 3แบบฝกึ ทกั ษะประจ�ำ หนว่ ยก�รเรยี นรทู้ ่ี
ค�ำชี้แจง : ใหน้ กั เรียนตอบคำ� ถำมตอ่ ไปนี้
ฝก ปฏบิ ตั ิ
1. ใหเ้ ขยี นห้าพจน์แรกของลา� ดบั ตอ่ ไปน้ี 2) aann == 5(n-n1 3+) n + +5 1n - 2
ครใู หนกั เรยี นทํากิจกรรม ดังน้ี 1) an = 3n2 - 1 4)
• ใหนกั เรียนแบง กลุม กลุมละ 3-4 คน คละ 3) an = 34nn +- 31

ความสามารถทางคณิตศาสตร (ออน 2. ใหห้ าพจนท์ ว่ั ไปของลา� ดบั ต่อไปน้ี
ปานกลาง และเกง ) ใหอ ยกู ลุมเดยี วกัน
• ครูใหนักเรียนแตละกลุมเขียนผังมโนทัศน 1) -1, 2, 7, 14, … 2) 0, 7, 26, 63, …
หนวยการเรียนรูที่ 3 ลําดับและอนุกรม 3) 0, 1, 2 , 3 , … 4) 51 , 72 , 13 , 141 , …
ลงในกระดาษ A4
• ใหนักเรียนแตละกลุมสงตัวแทนออกมา 3. ใหเ้ ขยี นหา้ พจนแ์ รกของลา� ดบั เลขคณติ ทกี่ า� หนดตอ่ ไปน้ี
นําเสนอผังมโนทศั นของกลุมตนเอง
• ครูใหนักเรียนแตละกลุมทําแบบฝกทักษะ 1) a1 = -2, d = 2 2) aa11 == -4 ,34 d, d= =-1 - 14
ประจาํ หนว ยการเรยี นรทู ่ี 3 แลว แลกเปลยี่ น 3) a1 = 10, d = -5.5 4)
ความรูภายในกลุม สนทนาซักถามจนเปน
ทีเ่ ขา ใจรว มกนั 4. ใหเ้ ขยี นหา้ พจนแ์ รกของลา� ดบั เรขาคณติ ทก่ี า� หนดตอ่ ไปนี้
• ครูสุมนักเรียนออกมาเฉลยคําตอบหนา
ช้ันเรียน โดยครูและนักเรียนในช้ันเรียน
รวมกนั ตรวจสอบความถูกตอง

1) a1 = 1, r = 3 2) aa11 == -1 0710 ,, rr == -1 27.2
3) a1 = 21, r = -3 4)

5. ใหห้ าพจนท์ ี่ 12 ของล�าดบั เลขคณิตทีม่ ี a5 = 5a1 และ a1 = 8

6. ถ้า 10, a, b, c, 30 เป็นจา� นวนจรงิ ซ่งึ เรียงกันเป็นล�าดับเลขคณิต ให้หา a + b - c

7. จ�านวนเตม็ ทอี่ ย่รู ะหว่าง 30 ถึง 300 ที่หารด้วย 9 ลงตัวมที ง้ั หมดก่จี า� นวน

8. จ �านวนเต็มต้ังแต่ 10 ถึง 500 ที่หารด้วย 3 และ 4 ลงตัว แต่หารด้วย 7 ไม่ลงตัว
มที ง้ั หมดก่ีจา� นวน

9. ให้หาพจนท์ ี่ 20 ของล�าดับเรขาคณิตท่มี ี a6 = 128 และ a4 = 32

10. ผ ลบวกของสามพจน์แรกของล�าดับเรขาคณิตล�าดับหนึง่ เป็น 35 และผลคูณของสามพจน์น้ี
เป็น 1,000 ให้หาสามพจน์แรกของลา� ดับเรขาคณิตนี้

182

เกร็ดแนะครู ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET
พจนท ่ี 10 ของลําดบั เรขาคณติ 3, 6, 2 3, ... มีคา เทา ไร
ครูควรเปดโอกาสใหนักเรียนไดทําความเขาใจกับแบบฝกทักษะประจํา 1. 8 3 2. 16 3 3. 16 6
หนวยการเรียนรูท่ี 3 จากนั้นครูขออาสาสมัครนักเรียนออกมาแสดงวิธีการ 4. 32 3 5. 32 6
หาคาํ ตอบในแตล ะขอ แลว เนน ยาํ้ กบั นกั เรยี นเกยี่ วกบั สญั ลกั ษณแ ละสตู รในการ
หาลําดบั และอนกุ รมในหนว ยการเรียนรนู ้ี (เฉลยคําตอบ
จากโจทย a1 = 3 และ r = 63 = 2
จะไดว า a10 = 3 ( 2)10 - 1
3 ( 2)9
=
= 3 (16 2)
นนั่ คอื a10 = 16 6)

ดังนัน้ คาํ ตอบ คือ ขอ 3.)

T192

นาํ สอน สรปุ ประเมิน

11. ถา้ 10, x, y, 80 เป็นจา� นวนจรงิ 4 จา� นวน ซ่ึงเรยี งกนั เปน็ ลา� ดบั เรขาคณิต แลว้ x + y ขน้ั ประเมนิ
มีค่าเทา่ ใด
1. ครูตรวจแบบฝกทกั ษะ 3.3
12. ใหห้ าผลบวกของอนกุ รมต่อไปน้ี 2) Σi2=51 (i3 + 10) 2. ครูตรวจ Exercise 3.3
1) Σi2=01 (5i2 - 10i + 1) 3. ครูตรวจแบบฝกทักษะประจาํ หนว ยการเรยี นรู

3) kΣ=3100  (2k + 6)2 4) kΣ=3105  (2k3 - 3k + 1) ท่ี 3
4. ครตู รวจผังมโนทัศนห นว ยการเรียนรทู ่ี 3
13. อนุกรมเลขคณติ อนุกรมหนง่ึ ถา้ S12 มีคา่ มากกว่า S11 อยู่ 40 และพจนแ์ รกเทา่ กับ 7
ใหห้ าผลบวก 30 พจน์แรกของอนุกรมนี้ ลําดบั และอนกุ รม
5. ครูประเมนิ การนําเสนอผลงาน
14. อนุกรมเลขคณิตอนกุ รมหนึง่ มีผลบวก 5 พจน์แรกเปน็ 150 และพจน์ท ี่ 7 ของอนกุ รมน ี้ 6. ครูสังเกตพฤติกรรมการทํางานรายบคุ คล
คือ 70 ให้หาผลบวก 12 พจน์แรกของอนุกรมน้ี 7. ครูสังเกตพฤตกิ รรมการทาํ งานกลมุ
8. ครูสงั เกตความมวี นิ ัย ใฝเ รียนรู

มุงมน่ั ในการทาํ งาน

15. ถ้า x - 4, 2x, 4x - 1 เปน็ สามพจนแ์ รกของลา� ดบั เลขคณติ ล�าดบั หน่งึ ให้หาผลบวก 25
พจนแ์ รกของลา� ดับนี้

16. ใหห้ าผลบวก 15 พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต 10 + 20 + 40 + … + 10(2)n - 1 + …

17. ใหห้ าผลบวก 20 พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณติ 625 + 125 + 25 + … + 625 (51)n - 1 + ...
18. อนุกรมเรขาคณติ 9 + 18 + 36 + … ต้องบวกกนั กี่พจน์ถงึ จะได้ผลบวกเปน็ 1,143

19. อนกุ รมเรขาคณติ 3 + (-9) + 27 + … ตอ้ งบวกกนั กี่พจนถ์ งึ จะได้ผลบวกเปน็ 1,641
20. พอ นจุนกร์ทมี่ 3เร ขใหา้หคาณผิตลอบนวุกกขรมอหง น5ึ่ง มพีพจนจ์แนร์แกรขกอเปงอ็นน กุ 51ร มแนล้ี ะพจน์ท่ี 4 มีค่าเป็น 10 เท่าของ

21. จา� นวนจรงิ 6 จ�านวนเรียงกนั เป็นล�าดบั เรขาคณิต มีจ�านวนท่ีนอ้ ยท่สี ุด คอื 7 และจา� นวน
ทมี่ ากทสี่ ุด คอื 224 ให้หาผลบวกของจา� นวนทง้ั 6 จา� นวน

ล�ำดับและอนุกรม 183

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET แนวทางการวัดและประเมินผล
ถาผลบวกของ n พจนแ รกของอนุกรมหนง่ึ คือ Sn = 3n2 + 2
แลว พจนท ่ี 10 ของอนุกรมน้มี ีคา เทา กบั ขอใด ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําผัง
1. 57 2. 82 3. 117 มโนทัศน หนว ยการเรียนรูท ี่ 3 ลาํ ดับและอนุกรม ในข้นั ฝกปฏิบัติ โดยศึกษา
4. 272 5. 307 เกณฑการวัดและประเมินผลจากแบบประเมินของแผนการจัดการเรียนรูใน
หนว ยการเรียนรูท ่ี 3

(เฉลยคําตอบ S10 = 3(10)2 + 2 = 302
S9 = 3(9)2 + 2
การประเมนิ ช้ินงาน/ภาระงาน (รวบยอด) แผนฯ ท่ี 7

แบบประเมนิ ผังมโนทัศน์
คาช้แี จง : ใหผ้ ู้สอนประเมินชน้ิ งาน/ภาระงานของนักเรยี นตามรายการทกี่ าหนด แลว้ ขีด  ลงในช่องที่ตรงกับระดับคะแนน

= 245 ลาดบั ที่ รายการประเมิน ระดับคะแนน
4321

เนอื่ งจาก S10 - S9 = a10 1 ความสอดคล้องกบั จุดประสงค์
นนั่ คอื a10 = 302 - 245 2 ความถกู ต้องของเนือ้ หา
3 ความคิดสรา้ งสรรค์
= 57 4 ความตรงต่อเวลา

รวม

ลงช่อื ...................................................ผปู้ ระเมิน
............/................./................

เกณฑ์การประเมินผังมโนทัศน์

ประเด็นท่ปี ระเมนิ ระดับคะแนน

ดงั นัน้ คาํ ตอบ คือ ขอ 1.) 1. ความสอดคล้อง 4 3 2 1
กบั จุดประสงค์ ผลงานสอดคลอ้ งกับ ผลงานสอดคล้องกบั ผลงานสอดคล้องกบั ผลงานไม่สอดคลอ้ งกับ
จุดประสงค์ทุกประเด็น จุดประสงค์เปน็ ส่วนใหญ่ จดุ ประสงค์บางประเดน็ จุดประสงค์
2. ความถูกตอ้ งของ เนอ้ื หาสาระของผลงาน เนื้อหาสาระของผลงานไม่
เน้อื หา เน้อื หาสาระของผลงาน เน้อื หาสาระของผลงาน ถูกตอ้ งบางประเดน็ ถูกต้องเปน็ สว่ นใหญ่
ถกู ต้องครบถ้วน ถกู ต้องเปน็ ส่วนใหญ่ ผลงานมคี วามนา่ สนใจ แต่ ผลงานไม่มคี วามน่าสนใจ และ
3. ความคดิ ผลงานแสดงถึงความคิด ผลงานแสดงถงึ ความคดิ ยังไม่มีแนวคดิ แปลกใหม่ ไมแ่ สดงถึงแนวคิดแปลกใหม่
สรา้ งสรรค์ สรา้ งสรรค์ แปลกใหม่ สร้างสรรค์ แปลกใหม่ แต่
และเปน็ ระบบ ยงั ไม่เป็นระบบ สง่ ชนิ้ งานชา้ กว่าเวลาท่ี สง่ ชิน้ งานช้ากวา่ เวลาทก่ี าหนด
4. ความตรงต่อเวลา กาหนด 2 วนั 3 วนั ขน้ึ ไป
ส่งชิน้ งานภายในเวลาท่ี ส่งช้ินงานชา้ กวา่ เวลาท่ี
กาหนด กาหนด 1 วนั

เกณฑ์การตดั สนิ คุณภาพ

ช่วงคะแนน ระดบั คณุ ภาพ

14 - 16 ดมี าก
11 - 13 ดี
8 - 10
พอใช้

ตา่ กวา่ 8 ปรบั ปรงุ

T193

Chapter Overview

แผนการจัด ส่ือท่ีใช้ จุดประสงค์ วิธีสอน ประเมิน ทักษะที่ได้ คณุ ลักษณะ
การเรียนรู้ - หนังสอื เรียน อันพงึ ประสงค์
แผนฯ ที่ 1 รายวิชาพื้นฐาน
ดอกเบยี้ คณติ ศาสตร์ ม.5 1. บอกความหมาย แบบนิรนัย - ตรวจแบบฝึกทักษะ 4.1 - ท ักษะการ 1. มวี นิ ัย
- แ บบฝกึ หดั ของดอกเบ้ียคงต้น (Deductive - ตรวจ Exercise 4.1 สังเกต 2. ใฝเ่ รยี นรู้
4 และดอกเบ้ียทบต้นได้ Method) - การนำ� เสนอผลงาน - ทักษะการตคี วาม 3. มงุ่ มั่น
รายวชิ าพนื้ ฐาน (K) - สังเกตพฤติกรรม - ทกั ษะกระบวน ในการทำ� งาน
ช่วั โมง คณิตศาสตร์ ม.5 2. ห าเงนิ รวม เงินต้น การทำ� งานรายบุคคล การคดิ ตดั สนิ ใจ
- สงั เกตพฤติกรรม - ทกั ษะการ
แผนฯ ท่ี 2 - ห นังสือเรยี น อัตราดอกเบี้ยได้ (K) การท�ำงานกลุ่ม เช่อื มโยง
มลู ค่าของเงิน รายวิชาพ้ืนฐาน 3. ห าระยะเวลาแบบ - สงั เกตความมีวนิ ยั - ท กั ษะการ
คณติ ศาสตร์ ม.5 ใฝเ่ รียนรู้ ม่งุ มัน่ ในการ เปรยี บเทยี บ
3 - แบบฝึกหัด อตั ราดอกเบีย้ คงต้น ท�ำงาน - ท กั ษะการ
และดอกเบี้ยทบต้นได้ วิเคราะห์
ชั่วโมง รายวิชาพ้ืนฐาน (K)
คณิตศาสตร์ ม.5 4. น ำ� ความรู้เก่ียวกบั
- ใบงานท่ี 4.1 ดอกเบยี้ คงตน้ และ
ดอกเบี้ยทบตน้ ไปใช้
ในการแกป้ ญั หาได้ (K)
5. เขียนขน้ั ตอนแสดง
การหาเงนิ รวม เงนิ ต้น
อัตราดอกเบยี้ แบบ
คงต้นและทบตน้ ได้ (P)
6. รบั ผิดชอบตอ่ หนา้ ท่ี
ทไ่ี ด้รับมอบหมาย (A)

1. บอกความหมาย Concept - ตรวจใบงานที่ 4.1 - ท กั ษะการ 1. มีวินัย
ของมูลค่าของเงินได้ Based - ตรวจแบบฝึกทักษะ 4.2 สังเกต 2. ใฝเ่ รยี นรู ้
(K) Teaching - ตรวจ Exercise 4.2 - ท กั ษะการตคี วาม 3. ม่งุ ม่ัน
2. บอกความหมาย - การนำ� เสนอผลงาน - ท ักษะกระบวน ในการทำ� งาน
ของมูลค่าปจั จุบนั - สังเกตพฤตกิ รรม การคิดตัดสินใจ
และมูลคา่ อนาคตได้ (K) การท�ำงานรายบุคคล - ทกั ษะการ
3. ห ามลู คา่ ปัจจุบันและ - สงั เกตพฤติกรรม เชือ่ มโยง
การท�ำงานกลุ่ม - ทักษะการ
มลู ค่าอนาคตได้ (K) - สงั เกตความมวี นิ ัย เปรียบเทียบ
4. นำ� ความรเู้ กย่ี วกับ ใฝเ่ รยี นรู้ มุ่งมน่ั ในการ - ทักษะการ
มลู ค่าของเงนิ ท�ำงาน วิเคราะห์
เปรียบเทยี บค่าเงนิ - ทักษะการ
ในเวลาทตี่ า่ งกนั ได้ (K) ประยกุ ตใ์ ชค้ วามรู้
5. นำ� ความรู้เกย่ี วกับ

มูลคา่ ปัจจบุ ันและ
มลู ค่าอนาคตไปใช้
แกโ้ จทยป์ ญั หาได้ (K)
6. เ ขียนขัน้ ตอนแสดง
การหามูลค่าปจั จุบนั
และมูลค่าอนาคตได้ (P)
7. รับผดิ ชอบตอ่ หน้าท่ี
ที่ได้รบั มอบหมาย (A)

T194

แผนการจัด สือ่ ท่ีใช้ จุดประสงค์ วธิ ีสอน ประเมนิ ทักษะท่ีได้ คุณลกั ษณะ
การเรียนรู้ - ห นังสือเรียน อันพงึ ประสงค์
แผนฯ ที่ 3 รายวิชาพ้นื ฐาน
ค่ารายงวด คณติ ศาสตร์ ม.5 1. บอกความหมาย Concept - ตรวจใบงานท่ี 4.2 - ท กั ษะการ 1. มวี ินัย
- แบบฝกึ หดั ของคา่ รายงวดได้ (K) Based - ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะ 4.3 สังเกต 2. ใฝเ่ รียนรู้
3 2. บอกความหมาย Teaching - ตรวจ Exercise 4.3 - ทักษะกระบวน 3. มุ่งมั่น
รายวิชาพ้ืนฐาน ของค่ารายงวดกรณี - การนำ� เสนอผลงาน การคิดตดั สินใจ ในการทำ� งาน
ชัว่ โมง คณิตศาสตร์ ม.5 ตน้ งวดและปลายงวดได้ - ตรวจแบบฝกึ ทักษะ - ท ักษะการตีความ
- ใบงานท่ี 4.2 (K) ประจำ� หน่วยการเรยี นรู้ - ท กั ษะการ
3. หาเงนิ รวมทั้งหมดจาก ที่ 4 เชอื่ มโยง
- ตรวจผงั มโนทศั น์ - ท กั ษะการ
ค่ารายงวดกรณตี น้ งวด หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 4 เปรียบเทียบ
ได้ (K) ดอกเบี้ยและมูลค่า - ทักษะการ
4. ห าเงินรวมทง้ั หมด ของเงิน วิเคราะห์
จากคา่ รายงวดกรณี - สังเกตพฤติกรรม - ทักษะการ
ปลายงวดได้ (K) การท�ำงานรายบุคคล ประยกุ ต์ใช้ความรู้
5. น�ำความรเู้ กยี่ วกับ - สงั เกตพฤติกรรม
คา่ รายงวดกรณีตน้ งวด การท�ำงานกลุม่
และปลายงวดไปใช้ - สงั เกตความมีวินัย
แก้โจทยป์ ญั หาได้ (K) ใฝ่เรยี นรู้ ม่งุ มั่นในการ
6. เขยี นขน้ั ตอนแสดง ท�ำงาน
การหาเงินรวมทัง้ หมด
จากค่ารายงวดกรณี
ตน้ งวดได้ (P)
7. เขยี นขนั้ ตอนแสดง
การหาเงนิ รวมทง้ั หมด
จากคา่ รายงวดกรณี
ปลายงวดได้ (P)
8. รับผิดชอบต่อหน้าที่
ทีไ่ ด้รบั มอบหมาย (A)

T195

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั นาํ (Deductive Method)

กาํ หนดขอบเขตของปญ หา

1. ครูกระตุนความสนใจของนักเรียน โดยให
นักเรียนดูภาพหนาหนวยการเรียนรูที่ 4 ใน
หนังสือเรียน หนา 184 แลวรวมกันสนทนา
ในช้นั เรยี น

2. ครใู หน กั เรยี นยกตวั อยา งสถานการณท เ่ี กยี่ วขอ ง
กบั การเงิน
(แนวตอบ นกั เรียนสามารถตอบไดหลากหลาย
ตามพนื้ ฐานความรู เชน การฝากเงนิ กบั ธนาคาร
การยืมเงิน การกูเงนิ กับธนาคาร)

เกร็ดแนะครู กิจกรรม เสริมสรางคุณลักษณะอันพึงประสงค

การเรยี นการสอนของหนว ยการเรยี นรทู ่ี 4 เรอ่ื ง ดอกเบยี้ และมลู คา ของเงนิ ครูควรปลูกฝงใหนักเรียนมีระเบียบวินัย เชน การแตงกายมา
ครูควรยกตัวอยางสถานการณใกลตัว หรือสถานการณในชีวิตประจําวันของ โรงเรียนใหถูกระเบียบ และกอนเร่ิมเรียนชั่วโมงแรกครูอาจสราง
นักเรียนเปนกรณีศึกษา จนเกิดเปนความรูความเขาใจและนําความรูท่ีได ขอ ตกลงกบั นักเรียนเกย่ี วกบั ความมวี ินยั เชน การสงการบานหรอื
ไปประยกุ ตใ ชใ นชีวติ ประจําวนั ชิ้นงานควรสงตรงตามเวลาท่ีกําหนด หากใครสงไมตรงตามเวลา
อาจถูกตัดคะแนนความรับผิดชอบ (ครูและนักเรียนรวมกันสราง
ขอ ตกลงดังกลา ว)

T196

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

หนว ยการเรียนรทู ี่ 4 ขน้ั นาํ

ดอกเบยี้ และ กาํ หนดขอบเขตของปญ หา
มลู คา ของเงนิ
3. ครูกลาวถึงการฝากเงินหรือการกูยืมเงินกับ
ในปจั จบุ นั สนิ คำ้ อปุ โภค1และบรโิ ภค2มรี ำคำสงู ขน้ึ ธนาคารในชีวิตประจําวัน ซ่ึงการฝากเงินหรือ
ปัจจัยหนึ่งเป็นเพรำะมูลค่ำของเงินลดลงไป การยืมเงิน ผูใหยืมจะไดรับผลตอบแทนจาก
เร่ือย ๆ ตำมกำลเวลำ กล่ำวคอื มูลคำ่ ของเงนิ เงินท่ีใหยืมไปและผลตอบแทนนั้น เรียกวา
ย่อมเปล่ียนแปลงไปตำมระยะเวลำ เช่น เงิน ดอกเบ้ีย ซ่ึงดอกเบ้ียจะขึ้นอยูกับขอตกลง
100 บำท ในวันน้ีจะมีมูลค่ำมำกกว่ำเงิน ระหวา งผใู หย ืมกบั ผขู อยืม
1ข0อ0ง เงบินำจทะ ถใูกนลอดนลำงคไตป ตเำพมรอำัตะรมำูลเคงิน่ำทเฟ่ีแอท3 ้จซรึ่ิงง
ท�ำให้มูลค่ำท่ีแท้จริงของเงินจ�ำนวนท่ีเท่ำกัน 4. ครูถามนักเรียนวา นักเรียนคิดวาดอกเบ้ียที่
ในอนำคตย่อมไม่เท่ำกับมูลค่ำของเงินใน นกั เรยี นเคยไดศึกษามามีกป่ี ระเภท อะไรบา ง
ปจั จุบัน (แนวตอบ ดอกเบ้ียมี 2 ประเภท ไดแ ก ดอกเบยี้
คงตน (simple interest) และดอกเบี้ยทบตน
(compound interest)
หมายเหตุ : ครอู าจใหนกั เรยี นทําแบบทดสอบ
พ้ืนฐานกอ นเรยี น โดยสแกน QR Code ใน
หนังสือเรยี น หนา 185

ตวั ช้ีวดั
• เข้ำใจและใชค้ วำมรู้เกี่ยวกับดอกเบยี้ และมูลคำ่ ของเงิน

ในกำรแกป้ ญั หำ (ค 1.3 ม.5/1)

สาระการเรยี นรแู กนกลาง Recall
• ดอกเบ้ยี
• มูลคำ่ ของเงิน
• ค่ำรำยงวด

กิจกรรม สรางเสรมิ นักเรียนควรรู

ครใู หนักเรยี นจับคแู ลว ชว ยกนั ยกตัวอยางสถานการณใกลต วั 1 อปุ โภค คอื การนํามาใชใหเกิดประโยชน
หรอื สถานการณใ นชวี ติ ประจาํ วนั ทเี่ กยี่ วขอ งกบั ดอกเบยี้ พรอ มทงั้ 2 บรโิ ภค คือ บรโิ ภคอาหารสําหรับการกนิ หรอื บริโภคเส้ือผาสําหรบั ใชส อย
อภิปรายหนาชนั้ เรยี น
หมายเหตุ : ครูควรใหน กั เรยี นเกงและนักเรียนออนจบั คูกัน 3 เงินเฟอ (inflation) หมายถึง ภาวะทางเศรษฐกิจที่ปริมาณเงินหมุนเวียน

ในประเทศมากเกนิ ไป ทาํ ใหร าคาสินคาแพงและเงินเส่ือมคา

T197

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน 4.1 ดอกเบย้ี (Interest)

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ ในชีวิตประจ�ำวัน นักเรียนอำจพบเห็นสถำนกำรณ์ท่ีเก่ียวข้องกับกำรเงิน เช่น กำรฝำกเงิน
กับธนำคำร กำรยืมเงินเพ่ือมำลงทุนท�ำธุรกิจ ซึ่งกำรฝำกเงินหรือกำรยืมเงิน ผู้ให้ยืมจะได้รับ
1. ครูกลาววาในหัวขอน้ีนักเรียนจะไดศึกษาวิธี ผลตอบแทนจำกเงนิ ทใี่ หย้ มื ไปและผลตอบแทนดงั กลำ่ ว เรยี กวำ่ ดอกเบย้ี ซง่ึ ดอกเบย้ี จะขนึ้ อยกู่ บั
การหาดอกเบ้ยี 2 ประเภท คือ ดอกเบ้ยี คงตน ขอ้ ตกลงระหว่ำงผใู้ ห้ยมื กับผู้ขอยมื ในหวั ข้อนีจ้ ะศกึ ษำวธิ กี ำรคิดดอกเบ้ยี 2 ประเภท คือ ดอกเบี้ย
และดอกเบยี้ ทบตน คงตน้ (simple interest) และดอกเบยี้ ทบต้น (compound interest)

2. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาดอกเบยี้ คงตน ในหนงั สอื - 1. ดอกเบย้ี คงตน้ (Simple Interest)
เรียน หนา 186 จากนน้ั ครถู ามคาํ ถามนักเรยี น
ดงั น้ี ดอกเบย้ี คงตน้ คือ ดอกเบี้ยทก่ี �ำหนดให้เงนิ ต้นมคี ำ่ คงทต่ี ลอดระยะเวลำของกำรฝำกเงินหรือ
• ดอกเบีย้ คงตน มคี วามหมายวา อยางไร กำรกู้ยมื เงนิ ซึ่งดอกเบี้ยดังกลำ่ วจะมคี ำ่ เท่ำกันทุกป ี โดยสำมำรถคำ� นวณไดจ้ ำก
(แนวตอบ ดอกเบี้ยคงตน คือ ดอกเบ้ียที่
กําหนดใหเงินตนมีคาคงท่ีตลอดระยะเวลา ดอกเบย้ี คงต้น = เงนิ ตน้ × อตั รำดอกเบีย้ × ระยะเวลำ
ของการฝากเงิน หรอื การกยู มื เงนิ ) จำก เงนิ รวม = เงนิ ต้น + ดอกเบี้ย
• ดอกเบย้ี คงตน สามารถหาไดอ ยางไร A = P + I
(แนวตอบ ดอกเบ้ยี คงตน หาไดจ าก = P + (P × r × t)
เงนิ ตน × อัตราดอกเบย้ี × ระยะเวลา)
• เงินรวมสามารถหาไดอ ยา งไร ดังนน้ั A = P(1 + rt)
(แนวตอบ เงินรวม = เงนิ ตน + ดอกเบี้ย)
• สูตรทีใ่ ชห าดอกเบี้ยคงตน โดยท ี่ A แทนเงินรวมทัง้ หมด (total amount)
(แนวตอบ สตู รดอกเบี้ยคงตน A = P(1 + rt) P แทนเงนิ ตน้ (principle)
โดยท่ี A แทนเงินรวมทง้ั หมด I แทนดอกเบยี้ (interest)
P แทนเงนิ ตน r แทนอัตรำดอกเบย้ี ตอ่ ปี (annual interest rate)
r แทนอัตราดอกเบี้ยตอ ป t แทนจำ� นวนระยะเวลำเป็นปี (time)
t แทนจํานวนระยะเวลาเปน ป)

หมายเหตุ : ใ นหนว่ ยกำรเรยี นรนู้ ี้ กำรฝำกเงนิ กบั ธนำคำรใหถ้ อื วำ่ ฝำกเงนิ จนครบกำ� หนดเวลำ
โดยไมม่ ีกำรถอนเงนิ ออกมำก่อน

186

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรางเสริม

ครูอธิบายเพ่ิมเติมเก่ียวกับดอกเบี้ยคงตน (simple interest) หรือเรียก ใหน ักเรียนเติมคําตอบใหถ ูกตอ ง
อีกอยางวา ดอกเบยี้ เชิงเดยี ว เปน การคิดดอกเบ้ียจากเงนิ ตนท่ีเวลาเรม่ิ ตนคูณ กาํ หนดใหเวลา t = 3 ป

กับอัตราดอกเบี้ยเทานั้น ทําใหดอกเบี้ยเทาเดิมเสมอ เชน เงินตน 100 บาท เงนิ ตน ดอกเบย้ี เงนิ รวม
อัตราดอกเบ้ีย 3% ตอป 1,500 2.5%
13,025 ........................................
100 บาท 103 บาท 106 บาท r = 0.03 ............................ บาท
ปท ี่ 1 2 3 ........................................ 0.002 15,300
6,500
ตน ปท ี่ 1 ส้นิ ปท ่ี 1 หรอื ตน ปท่ี 2 ส้ินปที่ 2 หรือตนปท ่ี 3
เงินตน
100 บาท เงินตน 100 1บ30า0ท× 100 = 3 เงินตน 100 1บ30า0ท× 100 = 3
ดอกเบยี้ = ดอกเบ้ีย =

เงนิ รวม = 100 + 3 = 103 บาท เงนิ รวม = 103 + 3 = 106 บาท

T198

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตวั อยา่ งท ่ี 1 ขนั้ สอน

คมสันต์ฝากเงนิ ที่ธนาคารแหง่ หนึง่ เปน็ จ�านวน 10,000 บาท ธนาคารให้ดอกเบี้ย 1.5% ตอ่ ปี แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ
โดยคดิ ดอกเบยี้ แบบคงตน้ ใหห้ าวา่ เมอื่ สน้ิ ปที ่ี 3 คมสนั ตจ์ ะมเี งนิ ฝากในธนาคารเปน็ เงนิ ทง้ั หมด
เทา่ ใด 3. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาตวั อยา งท่ี 1-2 ในหนงั สอื -
เรียน หนา 187 จากน้ันครยู กตวั อยา งเพ่ิมเติม
วธิ ที า� จำกโจทย์ จะได ้ P = 10,000, r = 0.015 และ t = 3 แลวถามคําถาม ดังน้ี

และจำกสูตรดอกเบ้ียคงต้น A = P(1 + rt) กลว ยฝากเงนิ ที่ธนาคารแหง หนึง่
เปนเงนิ จาํ นวน 50,000 บาท ธนาคารให
จะได ้ เมือ่ สิ้นปีที ่ 3 คมสันต์จะมเี งินฝำก คอื 10,000[1 + (0.015)(3)] ดอกเบ้ยี 1.2% ตอป โดยคดิ ดอกเบย้ี
แบบคงตน ใหหาวา เมอื่ สน้ิ ปที่ 5 กลว ย
= 10,000(1.045) จะมเี งินฝากในธนาคารเปนเงนิ ทงั้ หมด
เทา ใด
= 10,450 บำท
• จากโจทย กําหนดคา ใดบา ง
ดงั นน้ั เมอ่ื ส้นิ ปีท่ี 3 คมสันตจ์ ะมีเงินฝำกในธนำคำรเป็นเงินทัง้ หมด 10,450 บำท (แนวตอบ จากโจทย กาํ หนดคา P = 50,000
r = 0.012 และ t = 5)
ลองทําดู ฝกทําตอ
• จากโจทย ใหห าคา ของอะไร
ณเดชนฝ์ ำกเงนิ ท่ธี นำคำรแห่งหน่ึงเปน็ จำ� นวน 20,000 บำท ธนำคำร แบบฝก ทักษะ 4.1 (แนวตอบ จากโจทย ใหหาคาของ A คือ
ใหด้ อกเบย้ี 1.25% ตอ่ ป ี โดยคดิ ดอกเบยี้ แบบคงตน้ ใหห้ ำวำ่ เมอื่ สน้ิ ปี ขอ 1 เงินรวม)
ที ่ 5 ณเดชน์จะมีเงินฝำกในธนำคำรเป็นเงินทัง้ หมดเท่ำใด
• กลว ยไดร บั เงนิ พรอ มดอกเบย้ี เปน เงนิ ทง้ั หมด
ตวั อย่างท ่ี 2 เทาใด
(แนวตอบ กลวยไดรับเงินพรอมดอกเบี้ย
นิธิศฝากเงินกับธนาคารเป็นเงนิ จา� นวนหนงึ่ ธนาคารใหด้ อกเบ้ีย 1.3% ต่อป ี โดยคิดดอกเบ้ีย เปนเงินท้ังหมด 53,000 บาท)
แบบคงต้น เม่ือสิ้นปีท่ี 5 นิธิศได้รับเงินพร้อมดอกเบี้ยทั้งหมดเป็นเงินจ�านวน 8,520 บาท
อยากทราบวา่ นธิ ศิ ฝากเงินไวก้ บั ธนาคารเปน็ เงินจ�านวนเทา่ ใด • นกั เรยี นสามารถหาดอกเบย้ี ทกี่ ลว ยจะไดร บั
อยา งไร
วิธที า� จำกโจทย์ จะได ้ A = 8,520, r = 0.013 และ t = 5 (แนวตอบ เงนิ รวม - เงนิ ตน = ดอกเบย้ี )

และจำกสตู รดอกเบยี้ คงตน้ A = P(1 + rt) • กลว ยไดรับดอกเบี้ยทงั้ หมดกบี่ าท
(แนวตอบ 3,000 บาท)
จะได้ 8,520 = P[1 + (0.013)(5)]
ใชท้ ฤษฎี หลกั การ
8,520 = 1.065P
ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
P = 8,000 หนา 187 และแบบฝก ทกั ษะ 4.1 ขอ 1. ในหนงั สอื -
เรยี น หนา 198 จากนน้ั ครสู มุ นกั เรยี นออกมาเฉลย
ดังนน้ั นิธิศฝำกเงนิ ไว้กับธนำคำรเป็นเงินจำ� นวน 8,000 บำท คาํ ตอบบนกระดาน โดยครแู ละนกั เรยี นในชนั้ เรยี น
รวมกันตรวจสอบความถูกตอง
ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน 187

กจิ กรรม สรา งเสริม เกร็ดแนะครู

ครใู หน กั เรยี นจบั คู แลว ชว ยกนั คาํ นวณเงนิ ฝากจากสถานการณ ครอู าจอธบิ ายเพม่ิ เตมิ เกยี่ วกบั การฝากเงนิ กบั ธนาคารเมอ่ื ครบกาํ หนดเวลา
ตอไปน้ี กจ็ ะไดร บั ดอกเบย้ี (interest) เปน ผลตอบแทน ในขณะเดยี วกนั การกยู มื เงนิ จาก
ธนาคารกต็ อ งจา ยดอกเบยี้ เปน คา ใชจ า ยในการกยู มื เงนิ ซง่ึ การคดิ ดอกเบยี้ จะมี
เมธีฝากเงินกับธนาคารเปนเงินจํานวน 24,000 บาท ธนาคาร
ใหดอกเบีย้ 0.75% ตอป โดยคดิ ดอกเบีย้ แบบคงตน การกําหนดอัตราดอกเบ้ีย (interest rates) ไวกอนการฝากหรือการกูยืมเงิน

• เมอื่ ครบ 1 ป เมธจี ะเงนิ ฝากในธนาคารเปน เงนิ ทง้ั หมดเทา ใด จากธนาคาร โดยคดิ จากจาํ นวนเงนิ ทนี่ าํ ไปฝากหรอื จาํ นวนเงนิ ทกี่ ยู มื มา เรยี กวา
• เมอื่ ครบ 5 ป เมธจี ะเงนิ ฝากในธนาคารเปน เงนิ ทง้ั หมดเทา ใด
เงินตน (principal) ซึ่งจํานวนเงินตนรวมกับดอกเบี้ยจะเปนเงินรวม (total
(ไมมกี ารถอนเงินระหวา งฝาก) amount) ทีจ่ ะไดร บั หรอื ตอ งชาํ ระเงินคนื
หมายเหตุ : ครคู วรใหนักเรียนเกงและนกั เรยี นออนจับคกู นั

T199

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ลองทําดู ฝกทําตอ

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ ปริญฝากเงินกับธนาคารเปนเงินจ�านวนหน่ึง ธนาคารให้ดอกเบี้ย แบบฝก ทกั ษะ 4.1
0.75% ต่อปี โดยคดิ ดอกเบ้ียแบบคงต้น เมื่อสนิ้ ปีที่ 6 ปรญิ ไดร้ บั เงนิ ขอ 2(1)
1. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางท่ี 3 ในหนังสือ- พร้อมดอกเบีย้ ทั้งหมดเปนเงินจ�านวน 15,675 บาท อยากทราบว่า
เรยี น หนา 188 ปริญฝากเงนิ ไว้กบั ธนาคารเปนเงนิ จ�านวนเทา่ ใด

2. ครอู ธบิ ายซํ้าอกี ครง้ั แลวถามคําถาม ดงั นี้ ตวั อยางที่ 3
• จากตัวอยา งที่ 3 โจทยใหห าคาของอะไร
(แนวตอบ หาคา ของ t คอื เวลา) น�้ำทิพย์กู้เงินจำกธนำคำรเปน็ เงินจ�ำนวน 300,000 บำท เพอ่ื ไปลงทุนเปด รำ้ นอำหำร ธนำคำร
• จากตัวอยางท่ี 3 นักเรียนตองรูคาใดบาง คิดดอกเบี้ย 9% ต่อปี โดยคิดดอกเบ้ียแบบคงต้น ธนำคำรแจ้งว่ำเมื่อครบก�ำหนดที่น้�ำทิพย์
ในการหาคา t ได้ตกลงไว้กบั ธนำคำร น�ำ้ ทิพย์จะต้องช�ำระเงนิ ทง้ั หมด 435,000 บำท อยำกทรำบว่ำนำ้� ทพิ ย์
(แนวตอบ ในการหาคา t ตอ งรูคา A, P, r) กเู้ งินจำกธนำคำรเป็นเวลำเทำ่ ใด
• ถานํ้าทิพยกูเงินจากธนาคาร โดยธนาคาร
คิดดอกเบยี้ รอ ยละ 3 ตอป ภายในเวลา 6 ป วิธีท�ำ จากโจทย์ จะได้ A = 435,000, P = 300,000 และ r = 0.09
ตอมา ธนาคารแจงวานํ้าทิพยตองจายเงิน และจากสูตรดอกเบยี้ คงต้น A = P(1 + rt)
590,000 บาท นํา้ ทพิ ยก ูเงนิ เปนเงนิ จาํ นวน จะได้ 435,000 = 300,000[1 + (0.09)t]
เทา ใด 0.09t = 0.45
(แนวตอบ จากโจทย จะได A = 590,000 t=5
r = 0.03 และ t = 6 ดงั นน้ั นา้� ทิพย์กู้เงินจากธนาคารเปน เวลา 5 ปี
จากสูตร ดอกเบยี้ คงตน
A = P(1 + rt) ลองทาํ ดู ฝกทําตอ
590,000 = P[1 + 0.03(6)]
P = 500,000 นิภากู้เงินจากธนาคารเปนเงินจ�านวน 250,000 บาท เพ่ือไปลงทุน แบบฝกทักษะ 4.1
ดังน้นั นาํ้ ทพิ ยก เู งนิ จากธนาคารเปน จาํ นวน ทา� ธุรกิจ ธนาคารคิดดอกเบี้ย 8.5% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบคงต้น ขอ 3
500,000 บาท) ธนาคารแจ้งว่าเม่ือครบก�าหนดที่นิภาได้ตกลงไว้กับธนาคาร นิภา
จะต้องช�าระเงนิ ท้ังหมด 377,500 บาท อยากทราบวา่ นิภากเู้ งนิ จาก
ใชท้ ฤษฎี หลกั การ ธนาคารเปน เวลาเท่าใด

ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 188 และแบบฝก ทกั ษะ 4.1 ขอ 3. ในหนงั สอื -
เรยี น หนา 198 จากนนั้ ครสู มุ นกั เรยี นออกมาเฉลย
คาํ ตอบบนกระดาน โดยครแู ละนกั เรยี นในชนั้ เรยี น
รวมกันตรวจสอบความถกู ตอง

188

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรา งเสรมิ

ครอู ธบิ ายเพ่ิมเตมิ เกีย่ วกับตวั อยา งที่ 3 โดยใหนักเรยี นอภปิ รายวาคาํ ตอบ ครใู หนกั เรยี นจับคู แลวตอบคาํ ถามตอ ไปนี้
ที่ไดส มเหตุสมผลหรอื ไม ใหน ักเรียนตรวจคําตอบ โดยการแทนคา P = 300,000 วริ ยิ ะกเู งนิ จากธนาคารเปน จํานวนเงนิ 25,000 บาท ธนาคาร
r = 0.09 และ t = 5 ในสูตร A = P(1 + rt)
คดิ ดอกเบ้ยี 7.5% ตอ ป วริ ิยะจะตอ งชําระเงินท้ังหมดเทาไร
จะได A = 300,000[1 + 0.09(5)] • เมือ่ เวลาผานไป 1, 2, 3, 4 และ 5 ป
= 300,000(1.45) • จากสถานการณขางตน นักเรียนคิดวา A และ t มีความ
= 435,000 สัมพันธก นั อยางไร

ซ่ึงตรงกับทโี่ จทยก ําหนด แสดงวา การคาํ นวณถูกตอ ง หมายเหตุ : ครูควรใหนกั เรียนเกงและนักเรยี นออ นจบั คกู นั

T200

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ

ตวั อยา่ งท ี่ 4 1. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 4 ในหนังสือ-
เรยี น หนา 189
สนิ ฝี ากเงนิ กบั ธนาคารเปน็ เงนิ จา� นวน 20,000 บาท ธนาคารใหด้ อกเบย้ี 0.1% ตอ่ เดอื น โดยคดิ 2. ครอู ธิบายซา้ํ อีกคร้งั แลวถามคาํ ถาม ดงั น้ี
ดอกเบยี้ แบบคงตน้ ใหห้ าวา่ เมอื่ สน้ิ ปที ่ี 2 สนิ จี ะมเี งนิ ฝากในธนาคารเปน็ เงนิ จา� นวนทงั้ หมดเทา่ ใด • จากตัวอยาง เพราะเหตุใดดอกเบ้ียจึงตอง

วธิ ีท�า จำกโจทย ์ จะได้ P = 20,000 และ t = 2 คูณ 12
(แนวตอบ เพราะธนาคารให r เปนอัตรา
เนอ่ื งจำกธนำคำรใหด้ อกเบ้ีย 0.1% ตอ่ เดอื น ดงั นั้น r = 0.001 × 12 = 0.012 ดอกเบ้ียตอเดือน แตระยะเวลาในการฝาก

และจำกสูตรดอกเบีย้ คงตน้ A = P(1 + rt) เงินเปนป จึงตองทําใหคา r เปนอัตรา

จะได ้ A = 20,000[1 + (0.012)(2)] ดอกเบี้ยตอ ป)

A = 20,480 3. ครูกลาววาจากตัวอยางท่ี 4 โจทยกําหนดให

ดงั น้นั เม่อื สิ้นปที ่ี 2 สินีจะมเี งนิ ฝำกในธนำคำรเป็นเงินทง้ั หมด 20,480 บำท r เปนอัตราดอกเบ้ียตอเดือน และ t เปน

ลองทําดู ระยะเวลาเปนป จึงตองทาํ ใหคา r เปน อตั รา
ดอกเบ้ียตอ ป เพอื่ ใหสมั พนั ธกับคา t จากน้ัน
สุนีย์ฝำกเงินกับธนำคำรเป็นเงินจ�ำนวน 50,000 บำท ธนำคำรให้ ครถู ามคําถามนักเรยี น ดังน้ี
ดอกเบย้ี 0.15% ต่อเดอื น โดยคิดดอกเบยี้ แบบคงตน้ ใหห้ ำวำ่ เม่อื ฝกทําตอ • ถาคา t มีหนว ยเปน เดอื น สามารถทําใหมี
ส้นิ ปีท่ ี 3 สุนีย์จะมเี งินฝำกในธนำคำรเปน็ เงนิ จ�ำนวนทัง้ หมดเทำ่ ใด หนวยเปน ปไดอยา งไร
แบบฝกทักษะ 4.1
ขอ 7

จำกตวั อยำ่ งท ่ี 4 จะเหน็ ว่ำ โจทยก์ ำ� หนด r เปน็ อัตรำดอกเบี้ยตอ่ เดือน และ t เป็นระยะเวลำ (แนวตอบ คา t มหี นว ยเปน เดอื น สามารถทาํ
เป็นป ี จึงต้องท�ำใหค้ ่ำ r เปน็ อตั รำดอกเบ้ยี ตอ่ ปี เพื่อใหส้ มั พนั ธ์กบั คำ่ t โดยท่ัวไป จะมกี ำรก�ำหนด ใหมีหนว ยเปน ปได คือ t = จาํ นว1น2เดอื น )
ค่ำ r เปน็ อตั รำดอกเบยี้ ต่อป ี ดงั นน้ั ในกำรคำ� นวณดอกเบ้ยี จึงนยิ มใหค้ ่ำ r และ t มีหนว่ ยเปน็ ปี • ถาคา t มีหนวยเปนวัน สามารถทําใหมี
ซง่ึ กำรท�ำให้ค่ำ t มหี นว่ ยเปน็ ปสี ำมำรถทำ� ได้ ดังนี ้ หนวยเปนปไ ดอ ยา งไร
กรณที ี่ 1 คำ่ t มีหนว่ ยเปน็ เดอื น สำมำรถท�ำใหห้ นว่ ยเป็นปไี ด้ ดังน้ี (แนวตอบ คา t มหี นว ยเปน วนั สามารถทาํ ให
จาํ นวนวัน
t = จำ� นว1น2เดอื น มหี นว ยเปน ปไ ด คอื t = จํานวนวันใน 1 ป )

กรณที ่ี 2 คำ่ t มหี น่วยเปน็ วัน สำมำรถทำ� ให้หนว่ ยเปน็ ปไี ด้ ดงั น้ี ใชท้ ฤษฎี หลกั การ

t = จ�ำนจวำ� นนววันนใวนนั 1 ปี ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 189 และแบบฝก ทกั ษะ 4.1 ขอ 7. ในหนงั สอื -
ดอกเบ้ียและมูลค่าของเงิน 189 เรยี น หนา 199 จากนน้ั ครสู มุ นกั เรยี นออกมาเฉลย
คาํ ตอบบนกระดาน โดยครแู ละนกั เรยี นในชน้ั เรยี น
รวมกนั ตรวจสอบความถูกตอ ง

กจิ กรรม สรางเสริม เกร็ดแนะครู

ครูใหน กั เรยี นจับคู แลว ชว ยกนั หาวา ถาวไิ ลกเู งินจากธนาคาร ครอู าจจะอธบิ ายเพมิ่ เติมจากตวั อยางที่ 4 วา การคดิ อตั ราดอกเบ้ีย
เปนจํานวนเงิน 25,000 บาท ธนาคารคิดดอกเบ้ีย 7.5% ตอป ตอ 3 เดือน และการคดิ อัตราดอกเบ้ียตอ 6 เดอื น ดงั น้ี
วิไลจะตองชําระเงินทั้งหมดเทาใด โดยใหนักเรียนใชโปรแกรม
ธนาคารใหอตั ราดอกเบี้ย 1.2% มกี ารคดิ อัตราดอกเบย้ี r = 0.012 × 4
WebMATH ตรวจสอบคําตอบจาก http://www.webmath. ตอ 3 เดอื น ทง้ั หมด 4 คร้ัง = 0.048
ธนาคารใหอตั ราดอกเบย้ี 1.2% มกี ารคิดอัตราดอกเบ้ีย
com/simpinterest.html พรอมท้ังอภิปรายวาคําตอบสมเหตุ ตอ 6 เดือน ท้งั หมด 2 คร้งั r = 0.012 × 2
สมผลหรือไม = 0.024

หมายเหตุ : ครคู วรใหน ักเรยี นเกงและนักเรยี นออ นจบั คกู ัน T201

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน โดยที่จ�ำนวนวันใน 1 ปี สำมำรถก�ำหนดได้ 2 แบบ คอื

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ 1) การคิดดอกเบ้ียแบบธรรมดา (ordinary interest) ซึ่งจะสมมติให้จ�ำนวนวันใน 1 ปี
มี 365 วนั
1. ครใู หน ักเรยี นศกึ ษาการนับจํานวนวนั ใน 1 ป
ในหนังสือเรียน หนา 190 จากนั้นครูถาม ควำม2เ)ป ็นกจารรคงิ ิดนดนั่ อคกอื เบ1ี้ยแปบี บมแี 3ท6้จ5ริงวัน(eหxรaือct36in6teวreนั stใ)นปซอี ึ่งธจกิะสสุรมทมนิ ต1ิให้จ�ำนวนวันใน 1 ปี ตำม
คาํ ถามนกั เรียน ดังน้ี
• การคดิ ดอกเบี้ยของจํานวนวันใน 1 ป และจ�ำนวนวนั สำมำรถนบั ได้ 2 วิธี คอื
สามารถกาํ หนดไดก ีแ่ บบ
(แนวตอบ 2 แบบ คอื (1) การนบั จ�านวนวนั แบบแท้จรงิ (exact time) เป็นกำรนบั จำ� นวนวันตำมท่เี ป็นจริง ซึง่
1) การคิดดอกเบ้ียแบบธรรมดา จะรวมวนั แรกหรอื วนั สดุ ทำ้ ยวนั ใดวนั หนง่ึ เชน่ กำรนบั จำ� นวนวนั แบบแทจ้ รงิ ของกำรฝำกเงนิ ตง้ั แต่
2) การคิดดอกเบ้ียแบบแทจริง) วันที่ 10 มีนำคมถึงวันท่ี 25 พฤษภำคม ซึง่ นับได้ ดงั น้ี
• การคดิ ดอกเบ้ียแบบธรรมดาจะมีจาํ นวนวัน
ใน 1 ป ก่ีวัน มีนำคม 21 วนั (วันที่ 10 ถึงวันที่ 31)
(แนวตอบ 360 วัน)
• การคิดดอกเบ้ียแบบแทจริงจะมีจํานวนวัน เมษำยน 30 วัน
ใน 1 ป ก่ีวนั
(แนวตอบ นบั ตามความเปน จรงิ พฤษภำคม 25 วัน
น่ันคือ 1 ป มี 365 วัน หรอื 366 วัน
ในปอ ธกิ สรุ ทนิ ) รวมทั้งหมด 76 วนั

2. ครูกลาววา การคดิ ดอกเบย้ี แบบแทจ รงิ (2) การนบั จา� นวนวันแบบกะประมาณ (approximate time) เปน็ กำรนบั จำ� นวนวนั โดย
สามารถนับจํานวนวันได 2 วิธี คือ การนับ กำ� หนดให้ 1 เดอื น มี 30 วนั เทำ่ กนั ทกุ เดอื น เชน่ กำรนบั จำ� นวนแบบกะประมำณของกำรฝำกเงนิ
จํานวนวันแบบแทจริง เปนการนับจํานวนวัน ต้งั แตว่ ันที่ 10 มีนำคมถึงวันท่ี 25 พฤษภำคม ซงึ่ นับได้ 2 วิธี ดงั น้ี
ตามทเี่ ปน จรงิ ซงึ่ จะรวมวนั แรกหรอื วนั สดุ ทา ย
วนั ใดวนั หนง่ึ แลว ครถู ามวา ถา นกั เรยี นฝากเงนิ วธิ ีท่ี 1 มนี ำคม 20 วัน (วันท่ี 10 ถึงวันท่ี 30)
ตง้ั แตว นั ท่ี 12 พฤษภาคม ถงึ วนั ท่ี 20 กรกฎาคม เมษำยน 30 วัน
นกั เรยี นสามารถนบั วันแบบแทจ ริงไดอยา งไร พฤษภำคม 25 วนั
(แนวตอบ พฤษภาคม 19 วัน (วนั ที่ 12 รวมทั้งหมด 75 วนั
ถงึ วนั ที่ 31)
มถิ นุ ายน 30 วัน วธิ ีท่ี 2 วนั ท่ี 10 มีนำคม ถึง 10 พฤษภำคม เปน็ ระยะเวลำ 2 เดอื น เท่ำกับ 60 วัน
กรกฎาคม 20 วนั วนั ท่ี 11 มนี ำคม ถึง 25 พฤษภำคม เปน็ ระยะเวลำ 15 วัน
รวมทัง้ หมด 69 วนั ) รวมทง้ั หมด 75 วัน

190

นักเรียนควรรู กจิ กรรม สรางเสรมิ

1 ปอ ธิกสรุ ทนิ (leap year) คอื ป 366 วัน โดยเพ่ิมวนั ท่ี 29 กุมภาพนั ธ ครูใหนักเรียนจับคู แลวชวยกันหาวา ค.ศ. เกิดของนักเรียน
และเพื่อนทีจ่ บั คู เปน ปอ ธิกสรุ ทินหรอื ไม
ข้ึนมาอีกหน่ึงวัน การใหมีปอธิกสุรทิน เพราะโลกหมุนรอบดวงอาทิตยหน่ึง หมายเหตุ : ครูควรใหน ักเรียนเกง และนักเรยี นออ นจับคกู ัน
รอบใชเวลา 365.24218... วัน ดังน้ัน จึงตองมีการปรับใหจํานวนวันตอป
ไมคลาดเคลื่อนกับวิถีการโคจร เพ่ือใหหลักการของปอธิกสุรทินมีความชัดเจน
จงึ กําหนดเปน สูตรไว ดังนี้

1. ใหเ ดอื นกมุ ภาพนั ธม ี 29 วนั ทกุ ๆ 4 ป โดยนาํ เอาป ค.ศ. หารดวย 4 ลงตวั ถือวา เปน ปอธิกสุรทนิ
2. ใหป รบั โดยถา ปห ารดว ย 100 ลงตัวใหเปน ปป กติ
3. ถาปหารดว ย 400 ลงตวั ใหป รับไปเปน ปอ ธิกสรุ ทินอีก

จากกฎเกณฑนี้ ป ค.ศ. 2000 เปน ปอ ธกิ สรุ ทิน มี 366 วัน ป ค.ศ. 1900
และ 2100 เปนปป กตทิ ีม่ ี 365 วนั

ท่ีมา : https://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/knowledge_math/
leapyear.htm

T202

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ

กำรคำ� นวณดอกเบย้ี โดยก�ำหนดให้ t มีหน่วยเปน็ วัน สำมำรถท�ำได ้ 4 แบบ ดังนี้ 3. ครกู ลา ววา การนบั จาํ นวนวนั แบบกะประมาณ
แบบที ่ 1 กำรคิดดอกเบ้ียแบบธรรมดำและกำรนับจ�ำนวนวันแบบแท้จริง ซึ่งค�ำนวณ เปนการนบั จาํ นวนวัน โดยกาํ หนดให 1 เดือน
มี 30 วัน เทากันทุกเดือน แลวครูถามวา
ได้จำก ถา นกั เรียนฝากเงินตั้งแตวนั ที่ 12 พฤษภาคม
t = จ�ำนวนวนั3แ60บบแท้จรงิ ถึงวันท่ี 20 กรกฎาคม นกั เรยี นสามารถนับวัน
แบบที่ 2 ก ำรคดิ ดอกเบยี้ แบบธรรมดำและกำรนบั จำ� นวนวนั แบบกะประมำณ ซงึ่ คำ� นวณ แบบกะประมาณไดอ ยางไร
(แนวตอบ พฤษภาคม 18 วนั (วันท่ี 12
ไดจ้ ำก ถงึ วันที่ 30)
t = จ�ำนวนวันแ3บ6บ0กะประมำณ มิถนุ ายน 30 วนั
กรกฎาคม 20 วนั
แบบท่ ี 3 ก ำรคิดดอกเบี้ยแบบแท้จริงและกำรนับจ�ำนวนวันแบบแท้จริง ซึ่งค�ำนวณ รวมท้งั หมด 68 วนั )
ได้จำก 4. ครูใหนักเรียนศึกษาการคํานวณดอกเบ้ีย
t = จ�ำนวนวนั3แ65บบแท้จรงิ หรือ t = จำ� นวนวนั3แ66บบแทจ้ รงิ โดยกาํ หนดให t มหี นว ยเปน วนั ในหนงั สอื เรยี น
หนา 191 จากนน้ั ครูถามคําถาม ดงั น้ี
แบบท่ี 4 ก ำรคดิ ดอกเบยี้ แบบแทจ้ รงิ และกำรนบั จำ� นวนวนั แบบกะประมำณ ซงึ่ คำ� นวณ • การคิดดอกเบี้ยแบบธรรมดาและการนับ
ไดจ้ ำก จํานวนวันแบบแทจริง สามารถคํานวณ
• ไก(แดานจรวาคตกิอดอบดะอtไรก=เบจ้ีํายนแวบนบวธัน3รแ6ร0บมบดแาทแจลระงิ ก)ารนับ
t = จ�ำนวนวันแ3บ6บ5กะประมำณ หรอื t = จำ� นวนวนั แ3บ6บ6กะประมำณ จาํ นวนวนั แบบกะประมาณ สามารถคาํ นวณ
กไ(แดานจรวาคตกอิดอบดะtอไร=กเจบําี้ยนแวบนบวแันทแ3บจ6บร0กิงะแปลระะกมาารณนั
ตัวอยา่ งท่ ี 5 • )
บ
ณภทั รกเู้ งนิ จากธนาคารจา� นวน 100,000 บาท เพือ่ นา� ไปลงทนุ ท�าธรุ กจิ เมอ่ื วันที่ 15 มถิ นุ ายน จํานวนวันแบบแทจริง สามารถคํานวณ
พ.ศ. 2560 โดยมกี า� หนดชา� ระคนื ในวนั ท่ ี 10 มกราคม พ.ศ. 2561 และธนาคารคดิ ดอกเบยี้ แบบ ไดจ ากอะไร
คงตน้ ในอัตรา 7.5% ต่อป ี ใหห้ าจ�านวนดอกเบ้ียทณ่ี ภัทรตอ้ งจา่ ยให้กบั ธนาคารโดยวธิ ี จt าํ=นจวนํานวันว3นแ66วบันบ3แ6แ5บทบจ แรทงิ จ) รงิ
1) คิดดอกเบี้ยแบบธรรมดาและนบั จา� นวนวันแบบแทจ้ รงิ (แนวตอบ
2) คดิ ดอกเบยี้ แบบธรรมดาและนบั จา� นวนวันแบบกะประมาณ หรือ t =
3) คิดดอกเบ้ียแบบแทจ้ ริงและนับจ�านวนวนั แบบแท้จริง
4) คิดดอกเบีย้ แบบแทจ้ รงิ และนบั จ�านวนวนั แบบกะประมาณ • การคิดดอกเบี้ยแบบแทจริงและการนับ
จาํ นวนวนั แบบกะประมาณ สามารถคาํ นวณ
ดอกเบ้ียและมูลค่าของเงิน 191 ไดจากอะไร
tจาํ=นจวนํานวันวนแว3บ6ันบ6แก3บะ6บป5กระะมปารณะม)าณ
(แนวตอบ
หรอื t =

กิจกรรม 21st Century Skills ส่อื Digital

ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถ ครอู าจใหน กั เรยี นตรวจสอบคาํ ตอบในการคาํ นวณดอกเบย้ี โดยใชโ ปรแกรม
ทางคณติ ศาสตร (ออน ปานกลาง และเกง ) แลวทํากิจกรรม ดังนี้
WebMATH จาก http://www.webmath.com/simpinterest.html
• ใหนกั เรียนแตละกลมุ สบื คนขอมลู เพม่ิ เติมเกยี่ วกบั
สถานการณในชวี ิตประจาํ วัน เรอ่ื ง การคิดดอกเบี้ยคงตน

• ใหนักเรียนแตละกลุมนําขอมูลที่ไดมาสรางเปนโจทยปญหา
พรอมท้งั แสดงวิธีทาํ อยางละเอียด

• สง ตวั แทนกลมุ ออกมานาํ เสนอขอ มลู ผา นโปรแกรม Microsoft
PowerPoint หรอื โปรแกรมนาํ เสนออนื่ ๆ ตามทน่ี กั เรยี นถนดั

T203

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน วธิ ที ำ� จากโจทย์ จะนบั จ�านวนวันแบบแท้จรงิ ได้ ดังนี้

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ พ.ศ. 2560 มถิ ุนายน 15 วัน (วันท่ี 15 ถึงวันที่ 30)

5. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางท่ี 5 ในหนังสือ- กรกฎาคม 31 วนั
เรยี น หนา 191-193 แลว ยกตัวอยา งเพ่ิมเติม สิงหาคม 31 วัน
บนกระดาน ดังน้ี
กรองแกว ฝากเงนิ กับธนาคารจาํ นวน กันยายน 30 วนั
150,000 บาท เมอ่ื วนั ท่ี 10 สิงหาคม ตลุ าคม 31 วนั
พ.ศ. 2560 โดยจะถอนเงนิ ทงั้ หมดออก
ในวนั ที่ 25 กมุ ภาพันธ พ.ศ. 2561 และ พฤศจิกายน 30 วนั
ธนาคารคิดอัตราดอกเบยี้ แบบคงตน ธันวาคม 31 วัน
ในอตั รา 4.5% ตอ ป
จากนน้ั ครสู มุ นกั เรยี น 2 คน ออกมาหาจาํ นวน พ.ศ. 2561 มกราคม 10 วัน
วนั แบบแทจ รงิ และจาํ นวนวนั แบบกะประมาณ รวมทั้งหมด 209 วัน
(แนวตอบ จาํ นวนวนั แบบแทจ รงิ เทา กบั 199 วนั
จาํ นวนวนั แบบกะประมาณเทากบั 195 วนั ) และจากโจทย์ จะนบั จา� นวนวันแบบกะประมาณได้ ดังนี้

6. ครถู ามคําถามนักเรยี น ดงั นี้ พ.ศ. 2560 มถิ นุ ายน 15 วัน (วนั ท่ี 15 ถงึ วันที่ 30)
• จากโจทยท กี่ าํ หนด นกั เรยี นทราบคา ใดบา ง
(แนวตอบ เงนิ ตน P = 150,000 บาท และ กรกฎาคม 30 วัน
อัตราดอกเบย้ี r = 0.045) สงิ หาคม 30 วัน
• ใชสตู รใดในการหาดอกเบีย้ แบบคงตน
(แนวตอบ I = P × r × t ) กันยายน 30 วัน
ตุลาคม 30 วนั

พฤศจกิ ายน 30 วัน

ธันวาคม 30 วัน
พ.ศ. 2561 มกราคม 10 วัน

รวมทั้งหมด 205 วนั

1) คดิ ดอกเบ้ียแบบธรรมดาและนับจ�านวนวนั แบบแทจ้ รงิ
จากโจทย์ จะได้ P = 100,000, r = 0.075 และ t = 320690
และจากสตู ร I = P × r × t
จะได้ I = 100,000 × 0.075 × 326090
I ≈ 4,354.17
ดงั นั้น ณภทั รต้องจา่ ยดอกเบ้ียให้กับธนาคารประมาณ 4,354.17 บาท

192

สอื่ Digital กจิ กรรม สรางเสริม

ครูอาจใหนักเรียนคํานวณจํานวนวันท่ีแทจริง โดยใชโปรแกรมคํานวณวัน ครูใหน ักเรยี นจบั คู แลวชวยกนั หาวา ต้งั แตวันที่ 23 มนี าคม
พ.ศ. 2560 ถึง 14 กรกฎาคม พ.ศ. 2561 มที ง้ั หมดกี่วนั โดยใช
(Between Date Calculator) จาก http://www.thaifranchisecenter.com/ วิธีการนับวันท่ีแทจริง พรอมท้ังชวยกันตรวจสอบคําตอบที่ได
calculator/betweendate.php
โดยใชโปรแกรมคํานวณวัน (Between Date Calculator)

หมายเหตุ : ครคู วรใหน ักเรยี นเกงและนกั เรยี นออนจบั คูกนั

T204

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ

2) คิดดอกเบยี้ แบบธรรมดำและนับจำ� นวนวนั แบบกะประมำณ 7. ครใู หน กั เรยี นแบง กลมุ 4 กลมุ กลมุ ละเทา ๆ กนั
คิดดอกเบีย้ ทกี่ รองแกว จะไดรับ ดังนี้
จำกโจทย ์ จะได้ P = 100,000, r = 0.075 และ t = 320605 • กลุมที่ 1 คิดดอกเบ้ียแบบธรรมดาและ
และจำกสูตร I = P × r × t
236050 นับจาํ นวนวันแบบแทจริง
จะได้ I = 100,000 × 0.075 × (แนวตอบ I = 150,000 × 0.045 × 136909
I ≈ 4,270.83 = 3,731.25 บาท)
ดงั น้นั ณภัทรต้องจำ่ ยดอกเบี้ยให้กับธนำคำรประมำณ 4,270.83 บำท
• กลุมที่ 2 คิดดอกเบ้ียแบบธรรมดาและ
3) คดิ ดอกเบยี้ แบบแท้จรงิ และนับจ�ำนวนวนั แบบแท้จริง นับจํานวนวันแบบกะประมาณ
320695 (แนวตอบ I = 150,000 × 0.045
จำกโจทย์ จะได้ P = 100,000, r = 0.075 และ t = = 3,656.25 บาท) × ≈139605
และจำกสูตร I = P × r × t
230659
จะได้ I = 100,000 × 0.075 × • กลุมที่ 3 คิดดอกเบี้ยแบบแทจริงและ
I ≈ 4,294.52
ดงั นนั้ ณภัทรต้องจำ่ ยดอกเบยี้ ใหก้ บั ธนำคำรประมำณ 4,294.52 บำท นับจํานวนวันแบบแทจ รงิ
(แนวตอบ I = 150,000 × 0.045 × ≈139695
4) คดิ ดอกเบีย้ แบบแทจ้ รงิ และนบั จำ� นวนวันแบบกะประมำณ ≈ 3,680.14 บาท)
326055
จำกโจทย์ จะได้ P = 100,000, r = 0.075 และ t = • กลุมที่ 4 คิดดอกเบี้ยแบบแทจริงและ
และจำกสตู ร I = P × r × t
326055 นบั จํานวนวนั แบบกะประมาณ
จะได ้ I = 100,000 × 0.075 × (แนวตอบ I = 150,000 × 0.045 × ≈136955
I 4,212.33 ≈ 3,606.16 บาท)
≈

ดงั นน้ั ณภทั รตอ้ งจ่ำยดอกเบี้ยให้กับธนำคำรประมำณ 4,212.33 บำท

ลองทําดู ใชท้ ฤษฎี หลกั การ

วิทยำกเู้ งินจำกธนำคำรจ�ำนวน 200,000 บำท เพอ่ื น�ำไปดำวนห์ อ้ งชุดหอ้ งหนึง่ เมอื่ วนั ท่ ี 7 ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
กรกฎำคม พ.ศ. 2560 โดยมีกำ� หนดชำ� ระคืนในวนั ท่ ี 20 มนี ำคม พ.ศ. 2561 และธนำคำร หนา 193 และแบบฝก ทกั ษะ 4.1 ขอ 4. ในหนงั สอื -
คดิ ดอกเบยี้ แบบคงตน้ ในอตั รำ 12% ตอ่ ป ี ใหห้ ำจำ� นวนดอกเบย้ี ทวี่ ทิ ยำตอ้ งจำ่ ยใหก้ บั ธนำคำร เรยี น หนา 198 จากนน้ั ครสู มุ นกั เรยี นออกมาเฉลย
โดยวธิ ี คาํ ตอบบนกระดาน โดยครแู ละนกั เรยี นในชนั้ เรยี น
1) คดิ ดอกเบี้ยแบบธรรมดำและนับจ�ำนวนวนั แบบแทจ้ ริง รวมกันตรวจสอบความถกู ตอ ง

2) คิดดอกเบย้ี แบบธรรมดำและนบั จำ� นวนวันแบบกะประมำณ ฝกทําตอ
3) คิดดอกเบีย้ แบบแท้จริงและนบั จำ� นวนวันแบบแทจ้ รงิ
4) คดิ ดอกเบยี้ แบบแทจ้ ริงและนับจำ� นวนวนั แบบกะประมำณ แบบฝกทกั ษะ 4.1
ขอ 4

ดอกเบ้ียและมูลค่าของเงิน 193

กจิ กรรม สรา งเสริม บูรณาการอาเซียน

ครใู หนักเรยี นจับคู แลว ชวยกนั วเิ คราะหส ถานการณ ดงั น้ี การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในหนวยการเรียนรูที่ 4 ดอกเบ้ียและ
ถา กเู งนิ จาํ นวน 500,000 บาท กบั ธนาคารเพือ่ ลงทนุ ทําธรุ กิจ มูลคาของเงิน ครูสามารถเช่ือมโยงบูรณาการความรูกบั กลุมประเทศอาเซยี นได
เมื่อวนั ที่ 15 กันยายน พ.ศ. 2560 โดยครบกาํ หนดชาํ ระคืนในวนั ที่ โดยใหนักเรียนสืบคนขอมูลที่แสดงใหเห็นถึงการนําดอกเบี้ยและมูลคาของเงิน
25 ตุลาคม พ.ศ. 2561 คิดอัตราดอกเบ้ียแบบคงตน 8% ตอป มาประยุกตใชท่ีเก่ียวของกับอาเซียน เชน อัตราเงินฝากประจํา 12 เดือน
ใหหาดอกเบ้ียทีต่ อ งจา ยใหก ับธนาคารโดยวธิ ี ของบัญชเี งินฝากเงินตราตางประเทศ
• คดิ ดอกเบี้ยแบบธรรมดาและนับจํานวนวนั แบบแทจ รงิ
• คิดดอกเบย้ี แบบธรรมดาและนับจํานวนวันแบบกะประมาณ สงิ คโปรม อี ตั ราเงนิ ฝากประจาํ 6 เดอื น สาํ หรบั บคุ คลธรรมดา เทา กบั 0.20%
• คิดดอกเบ้ยี แบบแทจ รงิ และนบั จํานวนวันแบบแทจ รงิ สงิ คโปรม อี ตั ราเงนิ ฝากประจาํ 12 เดอื น สาํ หรบั บคุ คลธรรมดา เทา กบั 0.25 %
• คิดดอกเบี้ยแบบแทจริงและนบั จํานวนวันแบบกะประมาณ ถา นกั เรียนเปน นักลงทุนจะเลอื กฝากประจํา 6 เดือน หรอื 12 เดอื น
พรอมทั้งวิเคราะหวา การคิดดอกเบี้ยท้ัง 4 แบบนั้น แบบใด เพราะเหตุใด
เปนประโยชนต อ ผูก แู ละผูใ หกูมากทีส่ ดุ
หมายเหตุ : ครูควรใหนักเรียนเกง และนักเรยี นออนจับคกู นั ที่มา : https://kasikornbank.com/th/rate/FCDHistory/FCD_

17072018.pdf

T205

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน 2. ดอกเบยี้ ทบตน้ (Compound Interest)

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ ดอกเบยี้ ทบตน้ คือ ดอกเบี้ยท่ีกำ� หนดให้มกี ำรน�ำเอำดอกเบย้ี ท่ีเกิดข้ึนในแต่ละครง้ั ทมี่ กี ำรคดิ
ดอกเบยี้ ไปรวมกบั เงนิ ตน้ เพอื่ นำ� มำเปน็ เงนิ ตน้ ของงวดถดั ไป กลำ่ วคอื ถำ้ มกี ำรคดิ ดอกเบยี้ ทบตน้
1. ครูกลาววา ดอกเบ้ียทบตน คือ ดอกเบี้ยท่ี ไปเร่อื ย ๆ จะท�ำให้เงินต้นของงวดตอ่ ไปมจี ำ� นวนมำกข้ึน
กําหนดใหมีการนําเอาดอกเบี้ยท่ีเกิดขึ้นใน
แตละครั้งทมี่ กี ารคดิ ดอกเบย้ี ไปรวมกับเงินตน Investigation
เพ่ือนํามาเปนเงินตนของงวดถัดไป กลาวคือ
ถามีการคิดดอกเบี้ยทบตนไปเรื่อยๆ ทําให ใหน้ ักเรยี นตอบค�าถามตอ่ ไปน้ี
เงินตนของแตละงวดจะเพิม่ มากขึ้น ปงิ ปองตอ้ งกำรฝำกเงนิ จำ� นวน 10,000 บำท เปน็ ระยะเวลำ 3 ป ี โดยมขี ้อเสนอจำกธนำคำร

2. ครูใหนกั เรียนตอบคําถาม Investigation ใน สองแหง่ ดงั นี้

หนังสือเรียน หนา 194 จากนั้นใหนักเรียน ธนาคารอกั ษรไทยให้ดอกเบ้ีย 2% ตอ่ ป ี โดยคิดดอกเบี้ยแบบคงต้น
ธนาคารสยามไทยใหอ้ ตั ราดอกเบี้ย 2% ต่อป ี โดยคดิ ดอกเบ้ยี ทบตน้ ตอ่ ปี
รวมกันเฉลยคาํ ตอบ Investigation

1. ใหห้ ำดอกเบ้ยี และเงนิ รวมทงั้ หมดทไี่ ดร้ ับจำกธนำคำรอกั ษรไทย เมื่อฝำกครบ 3 ปี
2. ใหห้ ำดอกเบย้ี และเงนิ รวมทัง้ หมดที่ไดร้ บั จำกธนำคำรสยำมไทย เม่ือฝำกครบ 3 ปี ดงั นี้

สน้ิ ปีที ่ 1 : เงินต้น P1 = 10,000
ดอกเบ้ีย I1 = 10,000 × 2% = ...................................................
จำ� นวนเงินรวมทง้ั หมดเม่ือส้ินปีท่ี 1, A1 = P1 + I1

= 10,000 + .............................

= 10,200

สน้ิ ปีที ่ 2 : เงนิ ตน้ P2 = A1 = 10,200
ดอกเบี้ย I2 = ............................. × 2% = ...................................................
จำ� นวนเงินรวมทั้งหมดเมื่อสน้ิ ปีที่ 2, A2 = P2 + I2
= 10,200 + .............................

= ...................................................

ส้นิ ปที ่ ี 3 : เงินตน้ P3 = A2 = .............................
ดอกเบยี้ I3 = ............................. × 2% = ...................................................
จ�ำนวนเงินรวมทั้งหมดเม่อื ส้นิ ปีท่ ี 3, A3 = P3 + I3
= ...................................................

3. ธนำคำรไหนใหด้ อกเบ้ียมำกกว่ำกัน และมำกกว่ำอยู่เท่ำใด

194

เฉลย Investigation สิ้นปท ี่ 2 : เงินตน P2 = A..1..1.0...,=.2...0..1.0.0...,2×002% = ......2...0...4.......
1. จากโจทย จะได P = 10,000, r = 0.02 และ t = 3 ดอกเบีย้ = = P2 + I2
I2 = 10,200
และจากสตู รดอกเบ้ยี คงตน A = P(1 + rt) จาํ นวนเงนิ รวมทง้ั หมดเมื่อสิ้นปท ี่ 2, A2
จะได เม่ือส้นิ ปท ี่ 3 ปงปองจะมเี งินฝาก คอื 10,000[1 + (0.02)(3)] + ...2..0...4.......
= ..1...0...,.4...0...4....
= 10,000(1.06) สนิ้ ปท่ี 3 : เงินตน P3 = A..1..2.0...,=.4...0.....4.1.....0....,.×4...0..2.4..%..
= 10,600 บาท ดอกเบย้ี = = ...2...0..8......0..8....
และจะไดดอกเบ้ยี ทง้ั หมดเทากับ 10,600 - 10,000 = 600 บาท I3
ดังน้ัน ปงปองไดร ับดอกเบี้ยทง้ั หมด 600 บาท และไดร ับเงินท้งั หมด จาํ นวนเงนิ รวมทงั้ หมดเม่ือส้ินปที่ 3, A3 = P.1..03...,..+4..0...I4..3...+.....2...0...8.....0...8..
10,600 บาท =

2. สน้ิ ปท ่ี 1 : เงนิ ตน P1 = 10,000 = .1..0...,..6..1...2.....0...8..................
ดอกเบ้ีย = 10,000 × 2% = ...2...0...0....
I1 P1 + I1 3. ปง ปองไดรบั ดอกเบี้ยจากธนาคารอักษรไทยเปน เงิน 600 บาท
จาํ นวนเงินรวมท้งั หมดเม่อื ส้ินปที่ 1, A1 = 10,000 และไดรบั ดอกเบี้ยจากธนาคารสยามไทยเปนเงิน 612.08 บาท
= + ...2...0..0..... ดังนน้ั ปงปองไดรับดอกเบย้ี จากธนาคารสยามไทยมากกวา
= 10,200 และมากกวาอยู 612.08 - 600 = 12.08 บาท

T206

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ

จำก Investigation จะเห็นว่ำ สำมำรถค�ำนวณเงินรวมในสำมปแี รกได ้ ดังนี้ 3. ครกู ลา ววา จาก Investigation สามารถเขียน
รปู แบบของเงินรวมในแตละปถึงสิน้ ปท่ี n ใน
เงนิ รวมในส้ินปีท ่ี 1 คือ A1 = P11001 ,,00+00 I001( 1+ +(1 01,02000)0 × 1020) กรณีทว่ั ไปได ดังนี้
= เม่อื สิ้นปท ี่ 1 จะไดเ งนิ รวม A1 = P(1 + i)
เมือ่ ส้นิ ปท่ี 2 จะไดเงินรวม A2 = A1(1 + i)
=
= P(1 + i)2
เงนิ รวมในสนิ้ ปีที่ 2 คือ A2 = P2 + I2 เมือ่ ส้นิ ปท ่ี 3 จะไดเ งินรวม A3 = AP(21(1++i)i3)
111000,,,000000000(((111 +++ 111000222000)))( 21+ +[1 01,02000)0(1 + 1200) × 1200] =
=
= เมื่อส้ินปท ่ี n จะไดเงินรวม An = An-1(1 + i )
= = P(1 + i)n

เ งนิ ร ว มในสิน้ ปที ่ ี 3 คอื A3 ==== 111 P000,,,3000 +000000 I(((3111 +++ 111022002000)))232 (1+ +[1 01,02000)0(1 + 1200)2 × 1020] จากน้ันครูถามนักเรียนวา สามารถเขียนสูตร
การหาเงินรวมแบบดอกเบ้ียทบตนไดอยา งไร
(แนวตอบ A = P(1 + i)n
โดยที่ A แทนเงินรวมท้ังหมด

ในกรณีท่วั ไป สำมำรถเขยี นรูปแบบของเงินรวมในแต่ละปีถึงสน้ิ ปที ่ี n ได้ ดงั น้ี P แทนเงนิ ตน
i แทนอตั ราดอกเบี้ยตองวด
เมือ่ สิน้ ปีที ่ 1 จะไดเ้ งินรวม A1 = P(1 + i) n แทนจาํ นวนงวดทค่ี ดิ ดอกเบยี้ ทบตน )
เม่ือสิ้นปที ี่ 2 จะไดเ้ งนิ รวม A2 = A1(1 + i) = P(1 + i)2
เมือ่ ส้นิ ปีที ่ 3 จะไดเ้ งินรวม A3 = A2(1 + i) = P(1 + i)3

︙ ︙ ︙

เม่ือสนิ้ ปีที ่ n จะได้เงินรวม An = An -1(1 + i) = P(1 + i)n

สำมำรถเขยี นเป็นสูตรกำรหำเงินรวมแบบดอกเบ้ยี ทบต้นได้ ดงั น้ี

A = P(1 + i)n

โดยท่ ี A แทนเงนิ รวมทั้งหมด (total amount)
P แทนเงนิ ตน้ (principle)
i แทนอัตรำดอกเบีย้ ตอ่ งวด (periodic interest rate)
n แทนจำ� นวนงวดทีค่ ดิ ดอกเบย้ี ทบต้น (number of periods)

ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน 195

กจิ กรรม สรางเสรมิ เกร็ดแนะครู

ครูใหนักเรียนจับคู แลวชวยกันพิจารณาสูตรการหาเงินรวม ครอู ธบิ ายเพ่ิมเตมิ เก่ียวกบั ดอกเบี้ยแบบทบตน จากสูตร A = P(1 + i)n
แบบดอกเบีย้ ทบตน A = P(1 + i)n นกั เรยี นคดิ วา ถาเขยี นกราฟ สามารถหาดอกเบยี้ I = A - P
ของความสัมพนั ธโ ดยให n อยใู นแกน X และ A อยใู นแกน Y
จะไดก ราฟของความสมั พันธเปนแบบใด = P(1 + i)n - P
หมายเหตุ : ครคู วรใหนักเรียนเกงและนักเรยี นออนจบั คูก นั
= P[(1 + i)n - 1]

T207

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ตวั อยา่ งท ี่ 6

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ บุษบาฝากเงินท่ธี นาคารแหง่ หนึ่งเป็นจ�านวน 50,000 บาท เป็นเวลา 3 ปี ธนาคารใหด้ อกเบยี้
1.6% ตอ่ ปี
4. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 6 ในหนังสือ- 1) ให้หาเงนิ รวมทง้ั หมด โดยธนาคารคิดดอกเบ้ยี ทบต้นตอ่ ปี
เรียน หนา 196 แลว ถามคาํ ถาม ดังน้ี 2) ให้หาเงินรวมทัง้ หมด โดยธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน
• จากตวั อยา ง โจทยใ หน กั เรยี นหาคา ของอะไร
(แนวตอบ 1) ใหหาเงนิ รวมท้ังหมด วิธีท�า 1) จำกโจทย์ จะได ้ P = 50,000, i = 0.016 และ n = 3
โดยธนาคารคิดดอกเบีย้ ทบตน ตอ ป และจำกสตู รดอกเบีย้ ทบตน้ A = P(1 + i)n
2) ใหห าเงนิ รวมทง้ั หมด A = 50,000(1 + 0.016)3
โดยธนาคารคดิ ดอกเบย้ี ทบตน ทกุ 3 เดือน) ดังนั้น A = 50,000(1.016)3
• จากตัวอยาง ในการหาเงินรวมท้ังหมด
โดยธนาคารคิดดอกเบี้ยทบตนตอป โจทย
กําหนดคาอะไรบา ง
(แนวตอบ โจทยกาํ หนดคา P = 50,000 A ≈ 52,438.60
i = 0.016 และ n = 3)
• จากตวั อยา ง ใชส ตู รอะไรในการหาดอกเบยี้ ดงั น้ัน เมือ่ สิ้นปที ่ี 3 บุษบำจะมีเงนิ รวมทั้งหมดประมำณ 52,438.60 บำท
ทบตน
(แนวตอบ ใชสูตร A = P(1 + i)n) 2) เนอื่ งจำกธนำคำรคดิ ดอกเบ้ียทบตน้ ทกุ 3 เดอื น

5. ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา การคิดดอกเบี้ยทบตน จะได้ว่ำ ในเวลำ 1 ป ี จะมกี ำรคดิ ดอกเบี้ยทบตน้ ทงั้ หมด 4 ครง้ั
ทกุ 3 เดอื น แสดงวา ในเวลา 1 ป มีการคิด
ดอกเบยี้ ทบตนทั้งหมด 4 คร้ัง ดงั น้นั ในเวลา ดงั นั้น ในเวลำ 3 ปี จะมีกำรคดิ ดอกเบี้ยทบต้นท้งั หมด 12 ครั้ง
3 ป จะมีการคิดดอกเบ้ียทบตน ทง้ั หมด 3 × 4 จะได้ n = 12 และ i = 0.0416 = 0.004
= 12 ครั้ง นักเรยี นคดิ วาถา ในระยะเวลา 10 ป ดังนน้ั A = 50,000(1 + 0.004)12
จะมีการคิดดอกเบี้ยก่ีครง้ั
(แนวตอบ ในเวลา 1 ป มีการคิดดอกเบ้ีย A ≈ 52,453.51
ทบตนทั้งหมด 4 ครั้ง ดังนน้ั ในเวลา 10 ป
จะมกี ารคดิ ดอกเบ้ียทบตน ทงั้ หมด 10 × 4 = ดงั น้ัน เมื่อสิ้นปีท่ี 3 บุษบำจะมเี งนิ รวมทั้งหมดประมำณ 52,453.51 บำท
40 ครั้ง)
ลองทําดู
ใชท้ ฤษฎี หลกั การ
นำ� โชคฝำกเงนิ ทธ่ี นำคำรแหง่ หนงึ่ เปน็ จำ� นวน 100,000 บำท เปน็ เวลำ
ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 196 และแบบฝก ทักษะ 4.1 ขอ 5. และขอ 9. 5 ป ี ธนำคำรใหด้ อกเบี้ย 1.65% ตอ่ ป ี ฝกทําตอ
ในหนังสือเรยี น หนา 199 จากนั้นครูสุมนกั เรยี น
ออกมาเฉลยคําตอบบนกระดาน โดยครูและ 1) ให้หำเงนิ รวมท้งั หมด โดยธนำคำรคดิ ดอกเบ้ียทบต้นต่อปี แบบฝกทักษะ 4.1
นกั เรยี นในชนั้ เรยี นรว มกนั ตรวจสอบความถกู ตอ ง 2) ใหห้ ำเงนิ รวมทง้ั หมด โดยธนำคำรคดิ ดอกเบย้ี ทบตน้ ทกุ เดอื น ขอ 5, 9-10

196

สอื่ Digital กิจกรรม 21st Century Skills

ครอู าจใหน กั เรยี นใชโ ปรแกรมคาํ นวณดอกเบย้ี จาก http://www.money- ครใู หน กั เรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถทาง
คณติ ศาสตร แลว ทาํ กิจกรรม ดงั นี้
chimp.com/calculator/compound_interest_calculator.htm หาคําตอบ
• ใหนักเรียนแตละกลุมสืบคนขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับดอกเบี้ย
ตัวอยา งตอไปน้ี เงนิ ฝากประจําของแตละธนาคาร พรอ มทงั้ วิเคราะห
ฐานวุ ชั รต องการฝากเงินจาํ นวน 200,000 บาท เปนระยะเวลา 5 ป โดย ผลตอบแทนของแตล ะธนาคาร

ธนาคารใหอัตราดอกเบ้ีย 0.25% ตอป และคิดดอกเบี้ยทบตนตอป เมื่อครบ • ใหนักเรียนแตละกลุมนําขอมูลที่ไดมาสรางเปนโจทยปญหา
กําหนด ฐานุวัชรจะไดรับเงนิ รวมเทา ใด พรอมท้ังแสดงวิธีทําอยางละเอยี ด

• สง ตวั แทนกลมุ ออกมานาํ เสนอขอ มลู ผา นโปรแกรม Microsoft
PowerPoint หรอื โปรแกรมนาํ เสนออนื่ ๆ ตามทน่ี กั เรยี นถนดั

T208

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตวั อยางที่ 7 ขนั้ สอน

ตะวนั ฝากเงินกบั ธนาคารเปน เงินจาํ นวนหนงึ่ ธนาคารใหด อกเบีย้ 1.5% ตอ ป โดยคิดดอกเบย้ี แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ
แบบทบตน ตอ ป เมอ่ื สนิ้ ปท ี่ 2 ตะวนั ไดร บั เงนิ พรอ มดอกเบย้ี ทงั้ หมดเปน เงนิ จาํ นวน 103,022.50
บาท อยากทราบวา ตะวันฝากเงินไวก ับธนาคารเปน เงินจํานวนเทา ใด 1. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 7 ในหนังสือ-
วธิ ีทาํ จากโจทย จะได A = 103,022.50, i = 0.015 และ n = 2 เรยี น หนา 197 จากนน้ั ครถู ามคาํ ถามเพม่ิ เตมิ
วา ถาตะวันฝากเงินไวกับธนาคารเปนเงิน
และจากสตู รดอกเบี้ยทบตน A = P(1 + i)n จาํ นวนหน่งึ ธนาคารใหด อกเบยี้ รอยละ 5 ตอป
จะได 103,022.50 = P(1 + 0.015)2 โดยคดิ ดอกเบ้ียแบบทบตน ตอป เม่ือสน้ิ ปที่ 3
ตะวันจะไดรับเงินพรอมดอกเบี้ยเปนเงิน
103,022.50 = (1.015)2P จํานวน 92,610 บาท ตะวันฝากเงินไวกับ
103,022.50 = 1.030225P ธนาคารเปนเงนิ จาํ นวนเทา ใด
• จากโจทย ใหหาคาของอะไร
P = 100,000 (แนวตอบ จากโจทย ใหหาคาของเงินตน
ดังน้นั ตะวันฝากเงนิ ไวก ับธนาคารเปน เงินจํานวน 100,000 บาท หรอื คา P)
• จากโจทย ธนาคารใหดอกเบ้ียท้ังหมด
ลองทาํ ดู ฝกทําตอ กีเ่ ปอรเซน็ ตต อป
(แนวตอบ ธนาคารใหดอกเบี้ยทั้งหมด 5%
มานะฝากเงินกับธนาคารเปนเงินจํานวนหน่ึง ธนาคารใหดอกเบี้ย แบบฝกทักษะ 4.1 ตอป)
0.5% ตอป โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบตนตอป เมื่อส้ินปท่ี 3 มานะ ขอ 8 • จากโจทย นกั เรียนทราบคาอะไรบาง
ไดรับเงินพรอมดอกเบ้ียท้ังหมดเปนเงินจํานวน 57,881.25 บาท (แนวตอบ โจทยก ําหนดคา A = 92,610 บาท
อยากทราบวา มานะฝากเงินไวก ับธนาคารเปนเงินจาํ นวนเทา ใด i = 0.05 และ n = 3)
• จากโจทย ตะวันฝากเงินไวกับธนาคารเปน
ตัวอยางท่ี 8 เงนิ จาํ นวนทงั้ หมดเทาใด จงแสดงวธิ ที ํา
(แนวตอบ จากโจทย จะได A = 92,610
อาทิตยกูเงินจากธนาคารเปนเงินจํานวน 1,000,000 บาท เพ่ือไปลงทุนเปดรานกาแฟ โดย i = 0.05 และ n = 3
ธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบทบตน เมอื่ ครบกาํ หนด 10 ปท ่อี าทิตยไดต กลงชําระหนไี้ วก ับธนาคาร จากสตู ร A = P(1 + i)n
อาทิตยจะตองชําระเงินท้ังหมด 2,158,925 บาท อยากทราบวาธนาคารคิดอัตราดอกเบ้ีย 92,610 = P(1 + 0.05)3
รอ ยละเทา ใดตอป 92,610 = P(1.05)3
วธิ ที ํา จากโจทย จะได A = 2,158,925, P = 1,000,000 และ n = 10 1.9125,7661025 = P
P = 80,000 บาท
และจากสูตรดอกเบีย้ ทบตน A = P(1 + i)n ดงั น้ัน ตะวันฝากเงนิ ไวก บั ธนาคารเปนเงิน
จะได 2,158,925 = 1,000,000(1 + i)10 จาํ นวนทงั้ หมด 80,000 บาท)

2.158925 = (1 + i)10
i ≈ 0.08

ดงั นน้ั ธนาคารคดิ อัตราดอกเบี้ยรอ ยละ 0.08 ตอป

ดอกเบ้ียและมูลคาของเงิน 197

กจิ กรรม สรา งเสรมิ เกร็ดแนะครู

ครูใหน กั เรียนจับคู แลว วิเคราะหส ถานการณตอ ไปนี้ ครกู ลา วเพิ่มเติมในตวั อยา งท่ี 8 เกีย่ วกบั การแกสมการ
เอมม่ีกูเงินจากธนาคารจํานวน 300,000 บาท เพ่ือนําเงินไป 2.158925 = (1 + i)10 โดยแสดงใหน ักเรียนดอู ยางละเอยี ด ดังนี้
(1 i+)10i))11100 = (2((222.1...11155558888999922225555)))111111000
ลงทุนโดยธนาคารคิดดอกเบ้ียแบบทบตนตอป เม่ือครบกําหนด ((1 + 1+i =
8 ป เอมมี่ตองชําระเงินท้ังหมดประมาณ 643,076.64 บาท =
อยากทราบวา ธนาคารคดิ อตั ราดอกเบ้ยี รอ ยละเทาใดตอป i = - 1
หมายเหตุ : ครคู วรใหน กั เรยี นเกง และนักเรยี นออนจับคูกนั ≈ 0.08

T209

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ณลอิชงากทู้เาํ งดิน1ู จากธนาคารเปน็ เงินจ�านวน 5,000,000 บาท โดยธนาคาร ฝกทําตอ
คิดดอกเบ้ียแบบทบต้น เม่อื ครบก�าหนด 7 ปท ่ณี ิชาไดต้ กลงชา� ระหนี้
แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ ไว้กับธนาคาร ณิชาจะต้องช�าระเงินทั้งหมด 9,140,196 บาท แบบฝกทกั ษะ 4.1
อยากทราบวา่ ธนาคารคดิ อตั ราดอกเบ้ียร้อยละเทา่ ใดต่อป ขอ 6
2. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางท่ี 8 ในหนังสือ-
เรียน หนา 197 จากน้ันครูอธิบายซ้ําอีกคร้ัง แบบฝกทักษะ 4.1
เพือ่ ใหนกั เรียนเขาใจมากย่งิ ขน้ึ
ระดบั พน้ื ฐาน
ใชท้ ฤษฎี หลกั การ
1. นธิ ศิ ฝำกเงนิ กบั ธนำคำรแหง หนงึ่ เปน จำ� นวน 30,000 บำท เปน เวลำ 5 ป  ธนำคำรใหด อกเบย้ี
1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน 1.25% ตอป โดยคิดดอกเบ้ยี แบบคงตน
หนา 197-198 และแบบฝกทักษะ 4.1 ขอ 6. 1) ใหห้ าเงนิ รวมทง้ั หมด
และขอ 8. ในหนังสือเรียน หนา 199 จากน้ัน 2) ใหห้ าดอกเบ้ยี ทไี่ ดร้ ับในเวลา 5 ป
ครสู มุ นกั เรยี นออกมาเฉลยคาํ ตอบบนกระดาน
โดยครแู ละนกั เรยี นในชน้ั เรยี นรว มกนั ตรวจสอบ 2. มิกกฝ้ี ำกเงินกับธนำคำรเปนเงินจำ� นวนหน่งึ ธนำคำรใหด อกเบ้ยี 0.5% ตอ ป เมอื่ ส้ินปที่ 4
ความถกู ตอ ง มิกกไี้ ดร บั เงินพรอ มดอกเบยี้ ทง้ั หมดเปน เงินจ�ำนวน 10,150.75 บำท
1) ให้หาเงนิ ตน้ เมือ่ ธนาคารคิดดอกเบยี้ แบบคงต้น
2. ครูใหน ักเรียนทํา Exercise 4.1 เปนการบา น 2) ใหห้ าเงินต้น เมอ่ื ธนาคารคิดดอกเบ้ยี แบบทบต้นต่อป

ขน้ั สรปุ 3. พ ีระกูเงินจำกธนำคำรเปนเงินจ�ำนวน 75,000 บำท ธนำคำรคดิ ดอกเบย้ี 5% ตอป โดยคดิ
ดอกเบ้ียแบบคงตน ธนำคำรแจงวำเมือ่ ครบก�ำหนดท่พี รี ะไดต กลงไวกับธนำคำร พีระจะตอ ง
ตรวจสอบและสรปุ ชำ� ระเงนิ ท้งั หมด 93,750 บำท อยำกทรำบวำ พีระกูเ งนิ จำกธนำคำรเปน เวลำเทำใด

ครูถามคาํ ถามนักเรยี น เพื่อสรปุ ความรู เรอ่ื ง 4. ร พีกเู งินจำกธนำคำรจำ� นวน 500,000 บำท เมอ่ื วนั ท่ ี 22 สงิ หำคม พ.ศ. 2561 โดยมกี ำ� หนด
ดอกเบย้ี ดงั นี้ ชำ� ระคนื ในวนั ท่ี 16 เมษำยน พ.ศ. 2562 และธนำคำรคดิ ดอกเบีย้ แบบคงตน ในอตั รำ 6.5%
ตอป  ใหหำจ�ำนวนดอกเบย้ี ทรี่ พตี อ งจำยใหก บั ธนำคำรโดยวธิ ี
• ดอกเบย้ี คงตนเปน การคิดดอกเบ้ยี 1) คิดดอกเบ้ียแบบธรรมดาและนบั จ�านวนวนั แบบแท้จริง
ลักษณะใด 2) คดิ ดอกเบี้ยแบบธรรมดาและนบั จ�านวนวันแบบกะประมาณ
(แนวตอบ เปนการคิดดอกเบ้ียท่ีกําหนด 3) คดิ ดอกเบ้ยี แบบแทจ้ รงิ และนับจ�านวนวนั แบบแท้จริง
เงินตนมีคาคงที่ตลอดระยะเวลาของการ 4) คิดดอกเบี้ยแบบแทจ้ รงิ และนับจ�านวนวนั แบบกะประมาณ
ฝากเงินหรือกูยืมเงิน ซ่ึงดอกเบ้ียเทากัน
ทกุ ป) 198

• สตู รการคํานวณดอกเบ้ยี คงตนคอื อะไร
(แนวตอบ A = P(1 + rt)
โดยที่ A แทนเงนิ รวมท้งั หมด
P แทนเงินตน
r แทนอตั ราดอกเบี้ยตอป
t แทนจาํ นวนระยะเวลาเปน ป)

นักเรียนควรรู กจิ กรรม สรา งเสริม

1 กเู งนิ เปน สญั ญาอยา งหนง่ึ ซง่ึ เกดิ จากบคุ คลใดบคุ คลหนง่ึ ซงึ่ เรยี กวา “ผกู ”ู ครูใหนักเรียนจบั คู แลว ปฏิบัตติ ามขัน้ ตอนตอ ไปน้ี
มคี วามตอ งการจะใชเ งนิ แตต นเองมเี งนิ ไมพ อ หรอื ไมม เี งนิ ไปขอกยู มื จากบคุ คล • ปน ปน กเู งนิ จากธนาคารจาํ นวน 1,000,000 บาท เพอื่ ขยายกจิ การ
อกี คนหนงึ่ เรยี กวา “ผใู หก ”ู และผกู ตู กลงจะใชค นื ภายในกาํ หนดเวลาใดเวลาหนงึ่
การกยู มื จะมผี ลสมบรู ณก ต็ อ เมอื่ มกี ารสง มอบเงนิ ทย่ี มื ใหแ กผ ทู ย่ี มื ในการกยู มื น้ี โดยธนาคารคดิ ดอกเบ้ียแบบคงตนรอ ยละ 8 ตอ ป ใหนักเรียน
ผูใหก จู ะคดิ ดอกเบีย้ หรือไมกไ็ ด หาดอกเบ้ียที่ปนปนตองจายใหธนาคารในเวลา t = 1, 2, 3,
…, 10 ป
ตวั อยา ง นายดําตองการจะซอ้ื รถราคา 650,000 บาท แตนายดําไมมเี งิน
นายดําจึงไปขอยืมเงินจากนายแดง โดยตกลงจะใชคืนภายใน 1 ป นับตั้งแต t ป 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
วนั ทีก่ ูยมื ดังนั้น เม่อื ครบกาํ หนด 1 ปแ ลว นายดํา (ผูกู) ตองใชเ งินคืนใหแก A (บาท)
นายแดง
• นาํ ขอ มลู ทไ่ี ดจ ากขอ 2 วาดกราฟแสดงความสมั พนั ธร ะหวา ง A
และ t พรอ มทัง้ อภปิ รายแนวโนมของขอมูล

หมายเหตุ : ครูควรใหนกั เรียนเกง และนักเรียนออนจบั คูกัน

T210

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

5. วนั เฉลิมฝำกเงินกบั ธนำคำรแห่งหนึง่ เป็นเงิน 250,000 บำท เปน็ เวลำ 2.5 ปี ธนำคำรให้ ขนั้ สรปุ
ดอกเบ้ยี 0.8% ตอ่ ปี
1) ใหห้ าเงินรวมทัง้ หมด ถ้าธนาคารคดิ ดอกเบ้ียทบตน้ ตอ่ ปี ตรวจสอบและสรปุ
2) ให้หาเงินรวมทัง้ หมด ถา้ ธนาคารคิดดอกเบีย้ ทบตน้ ทกุ 3 เดอื น
• ดอกเบ้ยี ทบตนเปนการคิดดอกเบย้ี
6. ยุวดีกู้เงินจำกธนำคำรเป็นเงินจ�ำนวน 400,000 บำท โดยธนำคำรคิดดอกเบ้ียแบบทบต้น ลักษณะใด
ธนำคำรแจ้งว่ำเม่อื ครบก�ำหนดทย่ี วุ ดไี ดต้ กลงไวก้ บั ธนำคำร 6 ปี ยวุ ดจี ะตอ้ งชำ� ระหน้เี ปน็ เงนิ (แนวตอบ เปนการคิดดอกเบ้ียจากงวดกอน
ทงั้ หมด 600,292 บำท อยำกทรำบว่ำธนำคำรคดิ อตั รำดอกเบ้ยี ร้อยละเทำ่ ใดตอ่ ปี รวมกับเงินตนของงวดตอไป และจะมี
การคิดดอกเบี้ยจากเงินตนงวดใหม นั่นคือ
ระดับกลาง ถามีการคิดดอกเบี้ยทบตนไปเรื่อยๆ จะ
ทาํ ใหเ งนิ ตน ของงวดตอ ไปมจี าํ นวนมากขน้ึ )
7. ปกรณฝ์ ำกเงินกับธนำคำรเปน็ เงนิ จ�ำนวน 55,000 บำท เป็นระยะเวลำ 4 ปี โดย 3 ปแี รก
ธนำคำรให้ดอกเบีย้ 0.5% ตอ่ ปี และในปีสดุ ท้ำยธนำคำรให้อตั รำดอกเบี้ยพเิ ศษ 1.2% ต่อปี • สูตรการคํานวณดอกเบี้ยทบตน คืออะไร
โดยคดิ ดอกเบยี้ แบบคงตน้ อยำกทรำบวำ่ เมอื่ สนิ้ ปที ่ี 4 ปกรณจ์ ะไดร้ บั เงนิ ฝำกเปน็ เงนิ ทง้ั หมด (แนวตอบ A = P(1 + i)n
เท่ำใด โดยที่ A แทนเงนิ รวมทง้ั หมด
P แทนเงินตน
8. ส มจิตรต้องกำรใช้เงิน 10,000,000 บำท ในอีก 5 ปีข้ำงหน้ำ จึงน�ำเงินไปฝำกธนำคำร i แทนอัตราดอกเบีย้ ตองวด
แห่งหนึง่ ซ่งึ ให้ดอกเบ้ีย 1.75% ตอ่ ปี โดยคดิ ทบต้นทกุ 6 เดือน อยำกทรำบวำ่ สมจิตรตอ้ ง n แทนจํานวนงวดท่ีคดิ ดอกเบ้ยี
นำ� เงนิ ไปฝำกธนำคำรจ�ำนวนเท่ำใด ทบตน)

9. ชูใจต้องกำรเก็บเงินเพ่ือดำวน์ห้องชุดในอีก 3 ปีข้ำงหน้ำ เป็นเงินจ�ำนวน 300,000 บำท ฝก ปฏบิ ตั ิ
โดยฝำกเงินกับธนำคำร 250,000 บำท เป็นเวลำ 3 ปี ธนำคำรให้ดอกเบ้ีย 1.3% ต่อปี
โดยคิดทบต้นทุก 3 เดือน อยำกทรำบว่ำเม่ือครบก�ำหนด 3 ปี ชูใจจะมีเงินพอท่ีจะดำวน์ ครใู หน กั เรยี นจบั คทู าํ แบบฝก ทกั ษะ 4.1 ขอ 10.
ห้องชุดหรือไม่ ในหนังสอื เรยี น หนา 199 จากนน้ั ครสู มุ นักเรยี น
ออกมาเฉลยคําตอบบนกระดาน โดยครูและ
ระดับทา้ ทาย นกั เรยี นในชนั้ เรยี นรว มกนั ตรวจสอบความถกู ตอ ง

10. จันจติ อ้ งกำรน�ำเงนิ 200,000 บำท ไปลงทนุ เปน็ เวลำ 4 ปี โดยมีบรษิ ัท A และบรษิ ัท B ขนั้ ประเมนิ
ยื่นขอ้ เสนอ ดงั น้ี
บรษิ ัท A : ให้อัตราดอกเบี้ย 4.5% ตอ่ ปี โดยคดิ ดอกเบี้ยทบตน้ ทุก 3 เดือน 1. ครตู รวจแบบฝก ทักษะ 4.1
บรษิ ทั B : ใหอ้ ัตราดอกเบ้ีย 4.6% ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบย้ี ทบตน้ ทกุ 6 เดือน 2. ครตู รวจ Exercise 4.1
1) จนั จิควรจะลงทุนกบั บรษิ ทั ใดทใ่ี ห้ผลตอบแทนมากกวา่ กนั 3. ครปู ระเมินการนําเสนอผลงาน
2) เมอ่ื ลงทนุ ครบ 4 ปี บรษิ ัททัง้ สองแห่งจะใหด้ อกเบี้ยต่างกนั เทา่ ใด 4. ครสู งั เกตพฤติกรรมการทํางานรายบคุ คล
5. ครูสังเกตพฤติกรรมการทํางานกลมุ
ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน 199 6. ครสู ังเกตความมีวนิ ัย ใฝเรยี นรู

มุงมั่นในการทํางาน

ขอสอบเนน การคิด แนวทางการวัดและประเมินผล

สาวทิ ยนาํ เงนิ 200,000 บาท ไปลงทนุ กับบรษิ ทั แหง หน่งึ โดย ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําแบบฝก
บริษัทคิดดอกเบ้ียแบบทบตนทุกไตรมาส เม่ือส้ินปท่ี 4 สาวิทย ทักษะ 4.1 ขอ 10. ในขั้นฝกปฏิบัติ โดยศึกษาเกณฑการวัดและประเมินผล
ไดร บั เงนิ พรอ มดอกเบย้ี ทงั้ หมด 918,995 บาท อยากทราบวา บรษิ ทั จากแบบประเมินของแผนการจัดการเรยี นรใู นหนวยการเรียนรทู ี่ 4
คิดดอกเบีย้ ก่ีเปอรเซ็นตตอ ป

(เฉลยคาํ ตอบ จากโจทย A = 918,995, P = 200,000 แบบสังเกตพฤติกรรมการทางานกลุ่ม

คาชแี้ จง : ให้ผู้สอนสงั เกตพฤติกรรมของนักเรยี นในระหว่างเรยี นและนอกเวลาเรียน แล้วขีด ลงในช่องทตี่ รงกับ
ระดบั คะแนน

และ n = 16 ลาดบั ช่ือ – สกุล การแสดง การยอมรบั ฟงั การทางาน ความมีนา้ ใจ การมี รวม
ท่ี ของนักเรยี น ความคดิ เหน็ คนอ่นื ตามทไ่ี ด้รบั สว่ นรว่ มใน 20
มอบหมาย การปรับปรงุ คะแนน
ผลงานกลุ่ม
A = P(1 + i)n
จากสตู ร 43214321432143214321

918,995 = 200,000(1 + i)16
4.594975 = ((14.5+94i)91675)116 - 1
i = เกณฑ์การใหค้ ะแนน ลงช่อื ...................................................ผูป้ ระเมนิ
ปฏบิ ัติหรือแสดงพฤตกิ รรมอยา่ งสม่าเสมอ ............/................./................

ปฏิบตั ิหรอื แสดงพฤตกิ รรมบ่อยครัง้ ให้ 4 คะแนน
ปฏบิ ัติหรอื แสดงพฤติกรรมบางครงั้ ให้ 3 คะแนน
ปฏบิ ัตหิ รือแสดงพฤติกรรมนอ้ ยครง้ั ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

≈ 0.1 เกณฑ์การตดั สนิ คณุ ภาพ

ดงั นน้ั บรษิ ัทคดิ ดอกเบี้ย 0.1 × 100 = 10% ตอป) ชว่ งคะแนน ระดับคุณภาพ
18 - 20 ดีมาก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ตา่ กวา่ 10 ปรับปรงุ

T211

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ นาํ (Concept Based Teaching) 4.2 มลู คา่ ของเงนิ (Value of Money)

การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge) ในชวี ติ ประจำ� วนั กำรวำงแผนเกย่ี วกบั กำรเงนิ เปน็ เรอื่ งทสี่ ำ� คญั เชน่ กำรวำงแผนเกบ็ เงนิ เพอ่ื
ซอ้ื ท่ีอยอู่ ำศยั กำรวำงแผนเก็บเงินเพ่อื ลงทุนท�ำธรุ กจิ กำรวำงแผนชวี ติ หลงั เกษียณ แต่เน่อื งจำก
ครูกลาววา ในปจจุบันการวางแผนเกี่ยวกับ มลู คำ่ ของเงนิ มกี ำรเปล่ียนแปลงตำมเวลำ ดงั นนั้ นกั เรยี นจึงตอ้ งศกึ ษำและทำ� ควำมเขำ้ ใจ เพอื่ ให้
การเงินเปนเรื่องสําคัญ เพราะมูลคาของเงิน สำมำรถน�ำไปใชว้ ำงแผนและตัดสินใจในอนำคตได้
มกี ารเปลย่ี นแปลงตามเวลา จากนน้ั ครใู หน กั เรยี น
ศึกษาเสนเวลา ในหนังสือเรียน หนา 200 แลว 1. เสน้ เวลา (Time Line)
ถามคําถาม ดงั นี้
ในกำรศกึ ษำเรอื่ งมลู คำ่ ของเงนิ ตำมเวลำ จะใหเ้ สน้ เวลำเปน็ เครอ่ื งมอื เพอื่ แสดงใหเ้ หน็ วำ่ มลู คำ่
• เสนเวลาเปนเครื่องมือแสดงใหเห็นมูลคา ของเงินในอนำคตจะเกดิ ขึน้ เม่ือใด และจำ� นวนเท่ำใด ซ่งึ เสน้ เวลำจะมีตวั เลขก�ำกับอยู่ดำ้ นบนและ
ของอะไร ด้ำนล่ำง ดงั รูป
(แนวตอบ เสนเวลาเปนเครื่องมือแสดงให
เห็นวา มูลคาของเงินในอนาคตจะเกิดขึ้น สิน้ ปที ี ่ 0 หรอื ตน้ ปที ี่ 1
เมอื่ ใด และจํานวนเทาใด) ส้ินปที ่ี 1 หรอื ตน้ ปที ี่ 2
สิน้ ปที ี่ 2 หรอื ต้นปีท ่ี 3
• จากรปู ตวั เลขดา นบนของเสน เวลา ณ เวลา 0 สนิ้ ปที ่ ี 3 หรอื ต้นปที ี่ 4
หมายถึงอะไร
(แนวตอบ เวลา 0 หมายถึง เวลาปจ จุบนั ) เวลำ 0 1 2 3 4 . . . n
1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 . . . 1,000
• จากรปู ตวั เลขดา นบนของเสน เวลา ณ เวลา 1
หมายถงึ อะไร จำกรูป ตัวเลขด้ำนบนของเส้นเวลำแสดงถึงจุดสิ้นสุดเมื่อเวลำท่ีเกี่ยวข้อง เช่น เวลำ 0
(แนวตอบ เวลา 1 หมายถึง เวลา 1 งวด หมำยถงึ ปจั จบุ ัน เวลำ 1 หมำยถึง เวลำ 1 งวดจำกปัจจบุ ัน และเวลำ 2 หมำยถงึ เวลำ 2 งวด
จากปจจบุ นั ) จำกปัจจุบัน โดยทั่วไป งวดเวลำจะเป็นปี หรือเดือน หรือวัน เช่น ถ้ำงวดเวลำเป็นปีจะได้ว่ำ
เวลำ 1 หมำยถึง สิ้นปีที่ 1 นับจำกปัจจุบัน หรือต้นปีท่ี 2 และตัวเลขด้ำนล่ำงของเส้นเวลำ
• ถา งวดเวลาเปนป เวลา 1 หมายถงึ อะไร แสดงถงึ มูลคำ่ ของเงินท่ีเกดิ ข้นึ ณ เวลำต่ำง ๆ
(แนวตอบ งวดเวลาเปน ป เวลา 1 หมายถงึ
สิน้ ปที่ 1 นับจากปจจุบนั หรอื ตน ปที่ 2)

200

เกร็ดแนะครู กจิ กรรม สรา งเสริม

ครูกลาวเพิ่มเติมเก่ียวกับความหมายของมูลคาของเงิน โดยยกตัวอยาง ครใู หน กั เรยี นจบั คู แลว ชว ยกนั วาดเสน เวลาแสดงมลู คา ของเงนิ
การลงทุนในหุน ใชแนวคิดที่วาเงินท่ีจะไดรับในวันนี้มีมูลคานอยกวาเงินท่ีจะ โดยมีสถานการณ ดังน้ี
ไดรับในอนาคต เพราะเราสามารถสรางผลตอบแทนไดจากเงินท่ีไดรับในวันน้ี
เชน เงิน 100,000 บาท ในวนั น้ี หากนําไปลงทนุ ในหนุ ไดผ ลตอบแทน 5% ตอ ป นักเรียนฝากเงิน 1,000 บาท ไวกับธนาคาร โดยธนาคารคิด
ในอกี 1 ปข า งหนา เราก็จะไดร บั เงนิ ท้งั สนิ้ 105,000 บาท แนวคดิ เรื่องมูลคา ดอกเบ้ียแบบทบตนรอ ยละ 1.5 ตอ ป เมือ่ ครบ 3 ป นกั เรยี นจะได
ของเงินตามระยะเวลาจะชวยใหเราสามารถเปรียบเทียบมูลคาของเงินในเวลา รับเงนิ รวมเทาใด
ที่แตกตา งกันไดอ ยางเหมาะสม หมายเหตุ : ครูควรใหน กั เรยี นเกงและนักเรียนออนจบั คกู นั

T212

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

2. มลู คา่ ของเงนิ (Value of Money) ขน้ั สอน

มูลค่ำของเงินจะมีกำรเปลี่ยนแปลงไปตำมระยะเวลำ ดังนั้น กำรเปรยี บเทยี บคำ่ เงนิ ณ เวลำ รู้ (knowing)
ทต่ี ำ่ งกนั สำมำรถท�ำได้โดยกำรแปลงจ�ำนวนเงนิ นัน้ ๆ ให้กลบั มำเปน็ คำ่ เงินปจั จบุ ัน แลว้ จึงท�ำกำร
เปรียบเทียบคำ่ เงนิ ณ ปจั จุบนั 1. ครูใหน ักเรยี นตอบคาํ ถาม Investigation ใน

Investigation หนงั สือเรยี น หนา 201

ใหน้ ักเรยี นตอบคา� ตอบต่อไปนี้ 2. ครูใหนักเรียนรวมกันเฉลย Investigation
ตะวนั น�ำเงิน 10,000 บำท ไปลงทุนกบั บรษิ ัท A โดยได้รับผลตอบแทนเป็นดอกเบีย้ แบบ
ทบตน้ 2% ตอ่ ป ี ในเวลำ 1 ปี ดังน้ี แลว ถามคําถามนักเรียน ดังน้ี
• เงนิ 10,000 บาท จะเรียกวาอะไร
ปี เงินตน้ ณ ต้นปี ดอกเบย้ี ของปี เงินรวม
10,000 (แนวตอบ เงนิ 10,000 บาท เรียกวา มูลคา
0 10,000 0 10,200 ปจ จุบัน)
• เงิน 10,200 บาท จะเรยี กวาอะไร
1 10,000 200 (แนวตอบ เงนิ 10,200 บาท เรยี กวา มูลคา
ในอนาคต)
คำ่ เงนิ 10,000 บำท ณ ปจั จบุ ัน กับค่ำเงนิ 10,200 บำท เมือ่ เวลำผ่ำนไป 1 ปี นกั เรยี น 3. ครูกลา ววา มูลคา อนาคต คอื มลู คา ของเงิน
คิดวำ่ เงินสองจ�ำนวนนม้ี คี ่ำเท่ำกนั หรือไม่ เพรำะเหตุใด ในอนาคตภายใตช ว งเวลา หรอื อตั ราตอบแทน
ท่ีไดกําหนดไว ซ่ึงมีกระบวนการเริ่มจากเงิน
จำก Investigation จะเห็นว่ำ เม่ือน�ำเงินต้น 10,000 บำท ไปฝำกธนำคำรจะได้เงินรวม จํานวนหนึ่ง ณ ปจจุบัน มีคาเพิ่มมากขึ้นใน
ทงั้ หมด 10,200 บำท ในอกี 1 ปขี ้ำงหนำ้ จงึ สำมำรถเปรียบเทียบไดว้ ำ่ เงนิ 10,200 บำท ในอกี อนาคต จะเรยี กวา การทบตนของคาเงนิ ดว ย
1 ปขี ำ้ งหนำ้ จะมคี ำ่ เทำ่ กบั 10,000 บำท ณ ปจั จบุ นั ซงึ่ เงนิ 10,000 บำท จะเรยี กวำ่ มลู คา่ ปจั จบุ นั ดอกเบ้ียท่ีไดรับ จากนั้นครูถามนักเรียนวา
(present value) และเงนิ 10,200 บำท จะเรียกวำ่ มลู คา่ อนาคต (future value) มูลคาของเงินในอนาคตจะมีคามากหรือนอย
ขึน้ อยกู บั ตัวแปรใด
1) มลู ค่าอนาคต (Future Value) (แนวตอบ ขนึ้ อยกู บั ตวั แปรสองตวั แปร คอื อตั รา
ผลตอบแทน และระยะเวลา)
มูลค่ำอนำคต คือ มูลค่ำของเงินในอนำคตภำยใต้ช่วงเวลำ หรืออัตรำผลตอบแทนท่ีได้
ก�ำหนดไว้ โดยมีกระบวนกำรเร่ิมจำกเงินจ�ำนวนหนึ่ง ณ ปัจจุบัน มีค่ำเพ่ิมมำกข้ึนในอนำคต เฉลย Investigation
จะเรียกว่ำ กำรทบตน้ ของค่ำเงนิ ดว้ ยดอกเบี้ยทไ่ี ด้รบั (compounding) ซ่งึ มลู คำ่ ของเงินในอนำคต เงนิ 10,200 บาท ในอกี 1 ปข างหนา จะมีคา
จะมคี ำ่ มำกหรอื นอ้ ยขึน้ อยกู่ บั ตัวแปรสองตวั คือ อตั รำผลตอบแทน และระยะเวลำ เทากับเงิน 10,000 บาท ณ ปจ จุบัน เพราะตอง
นาํ เงนิ ตน 10,000 บาท ไปลงทนุ เปน เวลา 1 ปเ ตม็
ดอกเบ้ียและมูลค่าของเงิน 201 จึงจะไดร ับเงนิ 10,200 บาท

กจิ กรรม สรางเสริม

ครใู หน ักเรียนจบั คู แลวชว ยกันอธิบายถึงมลู คาอนาคต
จากภาพ ดังน้ี

ที่มา : https://thaipublica.org/2018/03/kkp-financial-
literacy-07/

หมายเหตุ : ครูควรใหนักเรียนเกง และนักเรยี นออ นจบั คกู ัน

T213

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน การคา� นวณมลู คา่ อนาคต

รู้ (knowing) FV = PV(1 + i)n

4. ครกู ลา ววา สตู รทีใ่ ชในการคํานวณมลู คา โดยที่ FV แทนมูลค่ำในอนำคต (future value)
อนาคต FV = PV(1 + i)n PV แทนมลู ค่ำปจั จุบนั ของเงนิ จ�ำนวนหนง่ึ (present value)
โดยที่ FV แทนมูลคาในอนาคต i แทนอตั รำดอกเบย้ี ต่องวด (periodic interest rate)
PV แทนมูลคาปจ จบุ นั ของเงนิ n แทนจำ� นวนงวดเวลำ (number of periods)
จาํ นวนหน่ึง
i แทนอตั ราดอกเบ้ียตองวด ตวั อย่างที ่ 9
n แทนจํานวนงวดเวลา
วนั วสิ าฝากเงนิ กบั ธนาคารจา� นวน 100,000 บาท ธนาคารคดิ ดอกเบยี้ 1.5% ตอ่ ป ี โดยคดิ ดอกเบย้ี
5. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 9 ในหนังสือ- แบบทบตน้ ตอ่ ป ี อยากทราบว่าเมอ่ื ส้ินปที ่ี 5 วันวสิ าจะได้รับเงินตน้ พรอ้ มดอกเบ้ียทัง้ หมดเทา่ ใด
เรยี น หนา 202 จากนั้นครูยกตวั อยางเพม่ิ เติม วธิ ที า� พิจำรณำโดยใช้เสน้ เวลำ ดังน้ี
แลว ถามคาํ ถามนักเรยี น ดงั น้ี
0 1 2 3 4 5 i = 0.015
สมศรีฝากเงินกบั ธนาคารจาํ นวน
200,000 บาท โดยธนาคารคิดดอกเบีย้ 2% PV = 100,000
ตอ ป ธนาคารคิดดอกเบย้ี แบบทบตน ตอป
อยากทราบวา เม่ือสิ้นปท ี่ 3 สมศรีจะได จำกโจทย์ จะได้ PV = 100,000, i = 0.015 และ n = 5
รบั เงนิ พรอ มดอกเบีย้ ท้งั หมดเทา ใด และจำกสตู ร FV = PV(1 + i)n
จะได้ FV = 100,000(1 + 0.015)5
• จากโจทย กําหนดคาใดบา ง FV ≈ 107,728.40
(แนวตอบ จากโจทย กําหนดคา ดงั นน้ั เมื่อสิ้นปที ี่ 5 วนั วิสำจะได้รับเงนิ ตน้ พรอ้ มดอกเบ้ยี ประมำณ 107,728.40 บำท
PV = 200,000, i = 0.02 และ n = 3)
ลองทาํ ดู
• จากโจทย ใชสูตรใดในการหาคา ของมลู คา
ในอนาคต วนำลีฝำกเงนิ กบั ธนำคำรจำ� นวน 250,000 บำท ธนำคำรคิดดอกเบยี้ ฝกทําตอ
(แนวตอบ จากโจทย ใชส ูตร 1.25% ต่อปี โดยคิดดอกเบย้ี แบบทบตน้ ต่อป ี อยำกทรำบวำ่ เมื่อสิ้นปี
FV = PV(1 + i)n) ท่ี 7 วนำลจี ะไดร้ บั เงนิ ต้นพร้อมดอกเบยี้ ทั้งหมดเท่ำใด แบบฝก ทกั ษะ 4.2
ขอ 1
• สมศรีจะไดรับเงินพรอมดอกเบี้ยทั้งหมด
เทาใด 202
(แนวตอบ สมศรีจะไดรับเงินพรอมดอกเบ้ีย
ทั้งหมด 212,241.6 บาท)

เขา้ ใจ (Understanding)

ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 202 และแบบฝก ทกั ษะ ขอ 1. ในหนงั สือ-
เรียน หนา 205 จากน้ันครูสุมนักเรียนออกมา
แสดงวิธีทําบนกระดาน โดยครูและนักเรียนใน
ชน้ั เรียนรวมกันตรวจสอบความถูกตอง

เกร็ดแนะครู กจิ กรรม สรางเสรมิ

ครูควรอธิบายถงึ ความสัมพนั ธร ะหวางคาของ FV กับ n วามีความสมั พนั ธ ครใู หน ักเรียนจบั คู แลวชวยกนั วาดเสนเวลาและหามลู คา
แบบเอกซโ พเนนเชยี ล ของเงนิ โดยมีสถานการณ ดงั น้ี

ฟง กชันเอกซโพเนนเชยี ล f = { (x, y)∊R × R+ ͉ y = ax, a > 0, a 1 } เดชฝากเงินกับธนาคารจํานวน 150,000 บาท ธนาคารคิด
ดอกเบี้ย 0.25% ตอป โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบตนตอป อยาก
ขอ สงั เกต ฐานของเลขยกกาํ ลงั ตองมากกวา 0 และไมเ ทากบั 1 ทราบวา เมอ่ื ครบปท่ี 4 เดชจะไดรับเงนิ ตน พรอมดอกเบี้ยท้ังหมด
โดเมน (คา ของ x) เปน จํานวนจริง เทาใด
เรนจ (คา ของ y) เปนจํานวนจริงบวก หมายเหตุ : ครูควรใหนักเรยี นเกงและนักเรียนออนจับคกู ัน

T214

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

2) มลู ค่าปจั จบุ ัน (Present Value) ขนั้ สอน

มลู ค่ำปจั จุบนั คือ มลู คำ่ ของเงิน ณ ปัจจุบนั ท่ีเกิดขนึ้ ในอนำคต และมคี ำ่ เท่ำกบั จำ� นวน รู้ (knowing)
เงินจ�ำนวนหนึ่ง ณ ปัจจุบัน ซึ่งกำรหำค่ำเงินปัจจุบันมีกระบวนกำรคิดตรงกันข้ำมกำรคิดทบต้น
ซึ่งจะเป็นกำรค�ำนวณเอำดอกเบี้ยออกไปเพื่อให้เหลือเงินเริ่มต้น จะเรียกว่ำ กำรคิดลดค่ำเงิน 1. ครูใหนักเรียนศกึ ษามลู คาปจ จุบัน ในหนังสอื -
(discounting) เช่น กำรเปรียบเทยี บว่ำเงิน 1,000 บำท ณ สิ้นปที ่ี 3 กับเงนิ 1,200 บำท ณ ส้ินปี เรยี น หนา 203 แลวถามคําถามนกั เรียน ดังน้ี
ท ่ี 5 เงนิ จำ� นวนใดมคี ำ่ มำกกวำ่ กนั ซงึ่ สำมำรถคำ� นวณไดจ้ ำกกำรคดิ ลดคำ่ เงนิ เพอ่ื หำมลู คำ่ ปจั จบุ นั • มูลคา ปจจบุ นั มคี วามหมายวาอยา งไร
ของเงนิ ท้งั สองจำ� นวน แลว้ จึงน�ำมำเปรยี บเทยี บกนั (แนวตอบ มลู คา ปจ จบุ นั คอื มลู คา ของเงนิ ณ
ปจ จบุ นั ทเ่ี กดิ ขนึ้ ในอนาคต และมคี า เทา กบั
การคา� นวณมลู คา่ ปัจจบุ ัน FV = PV(1 + i)n จาํ นวนเงนิ จาํ นวนหนง่ึ ณ ปจ จบุ นั ซง่ึ การหา
จำก คา เงนิ ปจ จบุ นั มกี ระบวนการคดิ ตรงกนั ขา ม
กับการคิดทบตน ซ่ึงจะเปนการคํานวณ
นำ� (1 + i)n หำรทัง้ สองข้ำงของสมกำร เอาดอกเบ้ียออกไปเพื่อใหเหลือเงินเริ่มตน
จะเรียกวา การคิดลดคาเงิน)
จะได ้ (1 F+V i)n = P(V1( 1+ +i) ni)n • นักเรียนใชสูตรใดในการคํานวณหามูลคา
ปจ จบุ ัน
PV = (1 F+V i)n (แนวตอบ ในการคํานวณมลู คาปจ จุบนั
ดงั น้นั จะใชส ูตร PV = FV(1 + i)-n หรอื (1 F+Vi)n
โดยท่ี PV แทนมูลคา ปจ จุบันของเงนิ
จํานวนหนง่ึ
หรอื PV = FV(1 + i)-n FV แทนมลู คา ในอนาคต
i แทนอัตราดอกเบี้ยตองวด
ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งมูลคา่ ปัจจุบันและมลู คา่ อนาคต n แทนจํานวนงวดเวลา)
มลู ค่าอนาคต
Future Value 2. ครูเขียนความสัมพันธระหวางมูลคาปจจุบัน
และมูลคาอนาคตบนกระดานเพ่ือใหนักเรียน
0 1 2 3 ... n เขาใจมากย่ิงข้ึน

3. ครยู กตวั อยางท่ี 10 ในหนังสือเรยี น หนา 204
บนกระดาน

มูลค่าปัจจบุ ัน
Present Value

ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน 203

กจิ กรรม สรา งเสริม เกร็ดแนะครู

ครูใหนักเรยี นจับคู แลวชว ยกันวิเคราะหความสัมพนั ธร ะหวา ง ครคู วรทบทวนเกีย่ วกบั สมบตั ขิ องเลขยกกําลงั เพื่อใชใ นการพสิ จู น
มลู คา ปจ จบุ นั และมลู คา อนาคต พรอ มทง้ั ยกตวั อยา งสถานการณจ รงิ PV = FV(1 + i)-n ดังนี้
หมายเหตุ : ครคู วรใหนกั เรยี นเกงและนกั เรียนออนจับคกู ัน สมบัติเลขยกกาํ ลงั
1) am × an = am + n 2) am ÷ an = am-n เม่ือ a 0
3) (am)n = amn 4) (ab)n = an • bn 0
ba n baa1nnn
5) a-n = n am เมื่อ b 0 6) a0 = 1 เมอ่ื a
7) amn = 0
9) = เมื่อ a 8) an1 = n a

T215

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ตวั อย่างที ่ 10

รู้ (knowing) สมใจต้องการใช้เงนิ 5,000,000 บาท ในอีก 8 ปีข้างหนา้ อยากทราบวา่ ณ ปจั จุบัน สมใจ
ต้องฝากเงนิ กับธนาคารเปน็ เงนิ จ�านวนเท่าใด ถา้ ธนาคารใหด้ อกเบ้ีย 3% ตอ่ ป ี โดยคดิ ดอกเบีย้
4. ครูยกตัวอยา งเพมิ่ เตมิ แลว ถามคาํ ถาม ดงั นี้ ทบตน้ ตอ่ ปี

สมหมายตองการใชเ งนิ 10,000,000 บาท วธิ ีท�า พิจำรณำโดยใชเ้ สน้ เวลำ ดังน้ี
ในอกี 10 ปข างหนา จงึ นําเงนิ ไปฝาก
ธนาคาร ซึ่งธนาคารใหดอกเบย้ี 2.5% ตอป 0 1 2 3 4 5 6 7 8 i = 0.03
โดยคิดดอกเบ้ยี ทบตน ตอ ป อยากทราบวา PV FV
ณ ปจ จุบนั สมหมายตอ งนําเงนิ ไปฝาก
ธนาคารเปนจาํ นวนเทาใด = 5,000,000

• จากโจทย นักเรียนสามารถเขียนเสนเวลา จำกโจทย ์ จะได ้ FV = 5,000,000, i = 0.03 และ n = 8
ไดอยา งไร และจำกสูตร PV = (1 F+V i)n
(แนวตอบ
จะได ้ PV = (51, 0+0 00,.00030)8
0 1 2 3 ... 8 9 10 i = 0.025
PV ≈ 3,947,046.17 บำท
PV = 10,F0V00,000 )
• จากโจทย นักเรยี นทราบคา ใดบาง ดงั นั้น สมใจตอ้ งน�ำเงนิ ประมำณ 3,947,046.17 บำท ไปฝำกธนำคำรเพอื่ ให้ได้เงิน

(แนวตอบ FV = 10,000,000, i = 0.025 5,000,000 บำท ในอกี 8 ปีขำ้ งหนำ้
และ n = 10)
• นักเรียนสามารถหาเงินท่ีสมหมายตองนํา IT CORNER
มาฝากธนาคารไดจากสูตรใด จำกตวั อย่ำงท่ี 10 สำมำรถคำ� นวณ โดยใชโ้ ปรแกรม Microsoft Excel ดงั น้ี
(PแVนว=ตอFบV(P1V+=i)-(n1)F+Vi)n หรอื 1. เลอื ก Formulas
• สมหมายตองนําเงินไปฝากธนาคารเปน 2. เลือก Financial
จาํ นวนเทาใด 3. เลอื กฟังกช์ นั PV
(แนวตอบ ประมาณ 7,811,984 บาท) โดยกำ� หนด rate = 0.03, nper = 8, pmt = 0, FV = 5,000,000 และ Type = 1
5. ครูกลา ววา การหามูลคา ปจจุบัน นกั เรยี น
สามารถใชโ ปรแกรม Microsoft Excel คาํ นวณ ลองทาํ ดู
ไดตามขั้นตอนในหนงั สอื เรียน หนา 204
โชคชยั ตอ้ งกำรใชเ้ งนิ 1,000,000 บำท ในอกี 5 ปขี ำ้ งหนำ้ อยำกทรำบวำ่ ฝกทําตอ
เขา้ ใจ (Understanding) ณ ปัจจุบัน โชคชัยต้องฝำกเงินกับธนำคำรเป็นเงินจ�ำนวนเท่ำใด
แบบฝกทกั ษะ 4.2
ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน ถ้ำธนำคำรให้ดอกเบย้ี 2.75% ต่อปี โดยคดิ ดอกเบยี้ ทบต้นตอ่ ปี ขอ 2-4
หนา 204 และแบบฝก ทักษะ ขอ 2.-4. ในหนงั สือ-
เรียน หนา 206 จากน้ันครูสุมนักเรียนออกมา 204
เฉลยคําตอบบนกระดาน โดยครตู รวจสอบความ
ถูกตอ ง

สือ่ Digital ขอสอบเนน การคิด

ครูอาจใหนักเรียนตรวจสอบคําตอบในการคํานวณมูลคาปจจุบันโดยใช พรรณีตองการผลตอบแทนจากการลงทุน 200,000 บาท
ในอีก 4 ปขางหนา ถาธนาคารคิดดอกเบ้ีย 5% ตอป โดยคิด
โปรแกรมชวยคํานวณ จาก https://www.calculator.net/present-value- ดอกเบยี้ ทบตน ทกุ 4 เดอื น อยากทราบวา ณ ปจ จุบัน พรรณตี อง
calculator.html ลงทุนครงั้ นี้เปน จาํ นวนเงินเทาใด

T216 (เฉลยคาํ ตอบ จากโจทย จะได FV = 200,000, i = 0.05
และ n = 4 × 3 = 12
PV = (1 F+Vi)n
จากสตู ร = (12+000,0.0050)12

≈ 111,367.48

ดงั น้นั พรรณตี อ งลงทุนครง้ั นเี้ ปนจาํ นวนเงนิ ประมาณ
111,367.48 บาท)

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู้ (knowing)

ตวั อย่างท ี่ 11 ครูใหน กั เรียนศึกษาตัวอยางที่ 11 ในหนังสือ-
เรียน หนา 205 จากนัน้ ครถู ามคําถาม ดงั นี้
ถ้าพัชรตี อ้ งการผลตอบแทนในการลงทุนจ�านวน 1,000,000 บาท ในระยะเวลา 5 ปีขา้ งหนา้ • ถาการลงทุนครั้งนี้ไดผลตอบแทนแบบ
โดยการลงทนุ ครั้งน้ีได้ผลตอบแทน 6% ต่อปี แบบทบต้นทุก 3 เดอื น อยากทราบวา่ พชั รจี ะตอ้ ง ทบตน ทกุ เดอื น อยากทราบวา พชั รจี ะตอ งใช
ใชเ้ งนิ ลงทนุ ในปัจจุบันเทา่ ใด เงินลงทนุ ในปจ จุบนั เทา ใด
(แนวตอบ FV = 1,000,000, i
วิธที �า พจิ ำรณำโดยใช้เส้นเวลำ ดงั น้ี และ n = 5 × 12 = 60 = 01.026 = 0.005

01234 ︙ 20 i = 0.015

PV FV ดงั น้ัน พชั รีจะตองใชเงนิ ลงทนุ ในปจ จุบัน
= 1,000,000 ประมาณ 741,372.20 บาท)

จแำลกะจโจำทกยส์ ูตจระ ได้ FV =P 1V, 00=0 ,0(010 F+,V i i)=n 0 .40 6 = 0.015 และ n = 5 × 4 = 20 เขา้ ใจ (Understanding)

1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
จะได้ PV = (11 ,+0 000.0,01050)20 หนา 205 และแบบฝกทักษะ ขอ 5.-6. ใน
PV ≈ 742,470.42 หนังสือเรียน หนา 206 จากน้ันครูสมุ นักเรยี น
ออกมาเฉลยคําตอบบนกระดาน โดยครู
ดงั นน้ั พัชรจี ะต้องใชเ้ งนิ ลงทนุ ในปัจจุบนั ประมำณ 742,470.42 บำท ตรวจสอบความถูกตอง

ลองทําดู 2. ครใู หน ักเรียนทํา Exercise 4.2 เปน การบาน

ถำ้ รสิ ำตอ้ งกำรผลตอบแทนในกำรลงทุนจำ� นวน 3,500,000 บำท ใน ลงมอื ทาํ (Doing)
ระยะเวลำ 4 ปีข้ำงหน้ำ โดยกำรลงทุนครั้งนี้ได้ผลตอบแทน 7.5%
ตอ่ ปี แบบทบตน้ ทกุ 6 เดอื น อยำกทรำบวำ่ รสิ ำจะต้องใช้เงนิ ลงทุน ฝกทําตอ ครใู หน กั เรยี นจบั คทู าํ ใบงานที่ 4.1 และแบบฝก
ในปัจจุบันเท่ำใด ทักษะ ขอ 7. ในหนงั สอื เรียน หนา 206 จากนน้ั
แบบฝก ทกั ษะ 4.2 ครูสุมนักเรียนออกมาเฉลยคําตอบบนกระดาน
ขอ 5-7 โดยครตู รวจสอบความถกู ตอ ง

แบบฝก ทกั ษะ 4.2 ขน้ั สรปุ

ร ะดับพื้นฐาน ครถู ามคําถามนกั เรยี น เพือ่ สรุปความรู เร่อื ง
มลู คา ของเงนิ ดงั นี้
1. วิโรจน์ฝากเงินกบั ธนาคารจ�านวน 55,000 บาท ธนาคารคดิ ดอกเบ้ีย 0.75% ต่อปี โดยคิด
ดอกเบ้ียแบบทบต้นต่อปี อยากทราบว่าเม่ือส้ินปีที่ 3 วิโรจน์จะได้รับเงินต้นพร้อมดอกเบี้ย • มูลคาอนาคตคอื อะไร
ทงั้ หมดเทา่ ใด (แนวตอบ มูลคาของเงินในอนาคตภายใต
ชวงเวลา หรืออตั ราตอบแทนที่ไดก าํ หนดไว
ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน 205 โดยมีกระบวนการเร่ิมจากเงินจํานวนหนึ่ง
ณ ปจจุบัน มีคาเพ่ิมมากขึ้นในอนาคตจะ
เรียกวา การทบตนของคาเงินดวยดอกเบ้ีย
ทีไ่ ดร ับ)

กิจกรรม สรางเสริม เกร็ดแนะครู

ครใู หน กั เรยี นจับคู แลวชวยกันใชโ ปรแกรม Microsoft Excel ครูควรเนนยํ้ากับนักเรียนวา โจทยในตัวอยางที่ 11 กําหนด i เปนอัตรา
หาคําตอบจากโจทยตอ ไปนี้ ดอกเบยี้ ตอป แบบทบตนทกุ 3 เดือน
จะไดว า ในเวลา 1 ป จะมกี ารคดิ ดอกเบย้ี ทบตนทง้ั หมด 4 ครงั้
สาวิตรีตองการใชเงิน 6,000,000 บาท ในอีก 10 ปขางหนา ในเวลา 5 ป จะมกี ารคิดดอกเบีย้ ทบตนทง้ั หมด 5 × 4 = 20 ครั้ง
อยากทราบวา ณ ปจจุบัน สาวิตรีตองฝากเงินกับธนาคารเปน 0.406
จํานวนเงินเทาใด ถาธนาคารคิดดอกเบี้ย 2.5% ตอป โดยคิด ดังนนั้ อตั ราดอกเบีย้ ตอ งวดเทากับ = 0.015 และจํานวนงวดเวลา
ดอกเบยี้ ทบตน 3 เดอื น เทากับ 20 งวด
หมายเหตุ : ครคู วรใหน ักเรียนเกง และนกั เรยี นออนจบั คูกัน

T217

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขน้ั สรปุ ใชข้ ้อมลู ตอ่ ไปน้ีตอบค�าถามขอ้ 2. - 4.

ครูถามคําถามนกั เรยี น เพื่อสรุปความรู เรอ่ื ง ธนำคำรสยำมไทยให้ดอกเบ้ีย 2.5% ตอ่ ป ี โดยคดิ ดอกเบีย้ ทบตน้ ตอ่ ปี
มูลคา ของเงนิ ดังนี้
2. เงนิ 30,000 บาท ในอกี 5 ปขี ้างหนา้ เทยี บไดก้ บั ค่าเงินปจั จบุ นั เป็นจ�านวนเทา่ ใด
• มูลคาปจจบุ ันคืออะไร 3. เงนิ 50,000 บาท ในอีก 7 ปีข้างหน้า เทยี บได้กับค่าเงนิ ปจั จุบนั เปน็ จ�านวนเทา่ ใด
(แนวตอบ มลู คา ของเงนิ ณ ปจ จบุ นั ทเี่ กดิ ขนึ้ 4. นติ ิตอ้ งการใชเ้ งิน 100,000 บาท ในอีก 3 ปีขา้ งหนา้ ให้หาคา่ เงนิ ปัจจุบนั ท่ีนติ ติ อ้ งน�าไป
ในอนาคตและมีคาเทากับจํานวนเงิน
จํานวนหน่ึง ณ ปจจุบัน ซึ่งการหาคาเงิน ฝากธนาคาร โดยไม่มกี ารถอนจนกว่าจะครบ 3 ปี
ปจจุบันมีกระบวนการคิดตรงกันขามกับ 5. จ ากขอ้ 4. ถา้ ธนาคารให้ดอกเบย้ี 2.25% ต่อป ี โดยคิดดอกเบี้ยทบตน้ ทกุ 6 เดอื น
การคิดทบตน ซ่ึงจะเปนการคํานวณเอา ใหห้ าคา่ เงนิ ปจั จุบนั ท่นี ติ ิจะน�าไปฝาก
ดอกเบี้ยออกไปเพ่ือใหเหลือเงินเริ่มตน
จะเรยี กวา การคิดลดคา เงิน) ระดบั กลาง

• การคาํ นวณมลู คา อนาคต จะคาํ นวณโดยใช 6. สชุ าตไิ ดร้ บั คา่ จา้ งจากการแสดงคอนเสริ ต์ เปน็ เงนิ 500,000 บาท และตอ้ งการนา� เงนิ ไปลงทนุ
สูตรใด กบั บรษิ ัท A ซงึ่ ให้ผลตอบแทน 7% ต่อปี โดยคดิ ดอกเบีย้ ทบตน้ ทกุ 3 เดือน อยากทราบวา่
(แนวตอบ สตู ร FV = PV(1 + i)n) ในอีก 20 ปขี ้างหนา้ เขาจะมเี งนิ รวมทัง้ หมดเท่าใด

• การคาํ นวณมลู คา ปจ จบุ นั จะคาํ นวณโดยใช ร ะดบั ท้าทาย
สูตรใด
(แนวตอบ สตู ร PV = FV(1 + i)-n 7. ส มชายและสมหญิงต้องการน�าเงินไปลงทุนกับสองบริษัท โดยสมชายเลือกลงทุนบริษัท A
หรือ PV = (1 F+Vi)n) และสมหญงิ เลอื กลงทุนบรษิ ทั B ซ่งึ ทง้ั สองบรษิ ัทมขี อ้ เสนอ ดงั นี้

• i และ n แทนความหมายวาอยา งไร อัตรำดอกเบี้ยต่อปี บริษทั A บรษิ ทั B
(แนวตอบ i แทนอตั ราดอกเบีย้ ตอ งวด กำรคิดดอกเบยี้ ทบต้น 3% 2%
n แทนจาํ นวนงวดเวลา)
ระยะเวลำ ทบตน้ ทกุ 3 เดือน ทบต้นทกุ 6 เดือน
ขนั้ ประเมนิ เงินรวมที่ได้รับท้งั หมด 5 ปี 4 ปี

1. ครตู รวจใบงานที่ 4.1 116,118.41 บำท 113,699.95 บำท
2. ครูตรวจแบบฝกทักษะ 4.2
3. ครตู รวจ Exercise 4.2 อยากทราบวา่ จา� นวนเงินตน้ ของใครมีคา่ มากกวา่ กนั
4. ครปู ระเมนิ การนําเสนอผลงาน
5. ครสู งั เกตพฤติกรรมการทํางานรายบุคคล 206
6. ครสู ังเกตพฤตกิ รรมการทาํ งานกลุม
7. ครสู งั เกตความมวี นิ ัย ใฝเรยี นรู

มงุ มั่นในการทาํ งาน

แนวทางการวัดและประเมินผล ขอสอบเนน การคิด

ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําใบงาน อําไพตองการผลตอบแทนจากการลงทุน 500,000 บาท
ท่ี 4.1 เรื่อง มูลคาของเงิน โดยศึกษาเกณฑการวัดและประเมินผลจากแบบ ในอกี 10 ปข า งหนา ถา ธนาคารคดิ ดอกเบี้ย 3% ตอ ป โดยคิด
ประเมนิ ของแผนการจดั การเรยี นรใู นหนวยการเรยี นรูท่ี 4 ดอกเบีย้ ทบตนทุก 3 เดอื น อยากทราบวา ณ ปจ จุบนั อาํ ไพตอ ง
ลงทนุ ครง้ั นเ้ี ปน จาํ นวนเงินเทาใด

แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการทางานกลมุ่ (เฉลยคาํ ตอบ จากโจทย จะได FV = 500,000, i = 0.03
และ n = 10 × 4 = 40
คาชีแ้ จง : ใหผ้ ูส้ อนสังเกตพฤติกรรมของนักเรยี นในระหวา่ งเรยี นและนอกเวลาเรียน แลว้ ขีด ลงในช่องที่ตรงกบั
ระดบั คะแนน

ลาดับ ชอื่ – สกลุ การแสดง การยอมรบั ฟงั การทางาน ความมนี า้ ใจ การมี รวม
ท่ี ของนกั เรียน ความคดิ เหน็ คนอ่นื ตามท่ีได้รบั ส่วนรว่ มใน 20
มอบหมาย การปรบั ปรงุ คะแนน
ผลงานกลุ่ม

43214321432143214321 PV = (1 F+Vi)n
= (15+000,0.0030)40
จากสตู ร

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ลงชือ่ ...................................................ผปู้ ระเมิน ≈ 153,278.42
ปฏบิ ัตหิ รอื แสดงพฤตกิ รรมอยา่ งสมา่ เสมอ ............/................./................

ปฏิบัติหรอื แสดงพฤตกิ รรมบอ่ ยครง้ั ให้ 4 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงพฤตกิ รรมบางครงั้ ให้ 3 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรอื แสดงพฤตกิ รรมนอ้ ยครั้ง ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑก์ ารตัดสนิ คณุ ภาพ

ช่วงคะแนน ระดับคณุ ภาพ ดังนัน้ อาํ ไพตองลงทนุ ครงั้ นีเ้ ปนจาํ นวนเงนิ ประมาณ
18 - 20 ดมี าก 153,278.42 บาท)
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ตา่ กวา่ 10 ปรับปรงุ

T218

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

4.3 คา่ รายงวด (Annuity) ขนั้ นาํ (Concept Based Teaching)

ค่ำรำยงวด หมำยถงึ กำรจำ่ ยเงนิ หรอื ฝำกเงนิ เปน็ งวด ๆ ตดิ ตอ่ กันหลำยงวด โดยกำรจำ่ ยเงิน การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge)
แต่ละงวดมีระยะเวลำห่ำงเท่ำ ๆ กัน เช่น กำรซื้อสินค้ำเงินผ่อน กำรออมเงินแบบฝำกประจ�ำ
กบั ธนำคำร 1. ครูถามนักเรียนวา นักเรียนพบอัตราดอกเบี้ย
มูลคำ่ ในอนำคตของเงินงวดสำมำรถแบง่ ได้เปน็ 2 กรณี คอื ในชีวติ ประจําวนั อะไรบา ง
1. เงินงวดเกดิ ขน้ึ ณ วันปลำยงวด (ordinary annuities) หมำยถงึ มลู คำ่ รวมในอนำคตของ (แนวตอบ ฝากเงินในธนาคาร กยู มื เงนิ
เงนิ งวด ซ่งึ เทำ่ กับผลรวมของเงนิ งวดแต่ละงวดทบตน้ ด้วยดอกเบี้ยตำมระยะเวลำ ผอนสินคา)
2. เงินงวดเกิดข้ึน ณ วนั ตน้ งวด (annuities due) หมำยถึง มูลค่ำรวมในอนำคตท่เี กดิ ข้นึ ณ
วนั ตน้ งวด โดยแต่ละงวดจะเกิดขน้ึ เร็วกวำ่ กรณีทีเ่ กิด ณ วนั ปลำยงวด ซึ่งมีผลท�ำให้เงนิ งวดแตล่ ะ 2. ครูอธิบายวา ในการผอนสินคาหรือฝากเงิน
งวดมกี ำรทบต้นดอกเบีย้ เพ่ิมขึ้นอกี 1 งวด ทำ� ให้มลู ค่ำรวมมคี ่ำมำกกว่ำกรณปี ลำยงวด จะมีการกําหนดจายเงินเปนงวดๆ เราจะ
เรียกวา คา รายงวด และมลู คาในอนาคตของ
Investigation เงินงวด สามารถแบงไดเปน 2 กรณี คือ
• เงินงวดเกิดขึ้น ณ วันปลายงวด หมายถึง
ใหน้ กั เรยี นตอบค�าตอบตอ่ ไปน้ี มูลคา รวมในอนาคตของเงินงวด ซึ่งเทา กับ
ชำญชัยต้องกำรออมเงินโดยกำรฝำกประจ�ำกับธนำคำรแห่งหนึ่ง โดยมีเง่ือนไขว่ำจะต้อง ผลรวมของเงินงวดแตละงวดทบตนดวย
ฝำกเงิน เดือนละ 1,000 บำท เท่ำ ๆ กันทุกเดือน และฝำกต่อเน่ืองเป็นระยะเวลำ 1 ปี โดย ดอกเบย้ี ตามระยะเวลา
ไม่มีกำรถอนเงินออก ซึ่งธนำคำรจะให้ดอกเบ้ีย 1.2% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นต่อเดือน • เงนิ งวดเกดิ ขน้ึ ณ วนั ตน งวด หมายถงึ มลู คา
อยำกทรำบวำ่ เมื่อครบกำ� หนด 1 ปี ชำญชยั จะไดร้ ับเงินรวมท้งั หมดเท่ำใด ถ้ำพิจำรณำกรณี รวมในอนาคตทเ่ี กดิ ขึ้น ณ วนั ตนงวด โดย
แตละงวดจะเกิดข้ึนเร็วกวากรณีท่ีเกิด ณ
1) กรณเี งนิ งวดเกดิ ข้นึ ณ วันปลำยงวด วนั ปลายงวด ซง่ึ มผี ลทาํ ใหเ งนิ งวดแตล ะงวด
2) กรณีเงินงวดเกิดข้นึ ณ วนั ต้นงวด มกี ารทบตน ดอกเบย้ี เพมิ่ ขนึ้ อกี 1 งวด ทาํ ให
มลู คา รวมมีคา มากกวากรณปี ลายงวด

จำก Investigation ขอ้ 1) จะเห็นว่ำ ชำญชยั ฝำกเงินท้ังหมด 12 งวด ณ วันปลำยงวด
โดยแตล่ ะงวดสำมำรถค�ำนวณได ้ ดงั นี้
0123 . . . 10 11 12 i = 1.2% ต่อปี
1,000 1,000 1,000 = 11.22 = 0.1% ตอ่ เดือน
1,000 1,000 1,000
1,000(1 + 0.001)0
1,000(1 + 0.001)1
1,000(1 + 0.001)2
••• •••

1,000(1 + 0.001)9
1,000(1 + 0.001)10
1,000(1 + 0.001)11

ดอกเบ้ียและมูลค่าของเงิน 207

เฉลย Investigation 2) พิจารณากรณีฝากเงนิ ตนงวด ตชอ าปญ ชจัยะฝเทาากกเงับนิ เ11ด.22อื น=ล0ะ.11%,00ต0อเบดาือทน
1) พ12จิ าเดรณอื นากจราณกฝี ดาอกกเงเบนิ ้ียปล1า.2ย%งวตดอ ชปา ญจะชเยั ทฝาากกบั เงนิ11.เ22ดอื =น0ล.ะ1%1,0ต0อ0เดบือาทน 12 เดอื น จากดอกเบีย้ 1.2%

เงนิ ปลายงวดที่ 1 คดิ ดอกเบย้ี ทบตน 11 คร้ัง จะไดเงินรวมเทา กบั เงินตน งวดท่ี 1 คดิ ดอกเบย้ี ทบตน 12 ครัง้ จะไดเ งนิ รวมเทา กบั
1,000(1 + 0.001)11 1,000(1 + 0.001)12
เงนิ ตนงวดท่ี 2 คิดดอกเบ้ียทบตน 11 ครง้ั จะไดเงนิ รวมเทา กับ
เงนิ ปลายงวดท่ี 2 คดิ ดอกเบย้ี ทบตน 10 คร้งั จะไดเงินรวมเทากับ 1,000(1 + 0.001)11
1,000(1 + 0.001)10
เงนิ ตนงวดท่ี 12 คดิ ดอกเบี้ยทบตน 1 ครัง้ จะไดเงนิ รวมเทากบั
เงินปลายงวดที่ 12 คิดดอกเบยี้ ทบตน 0 ครั้ง จะไดเงนิ รวมเทา กับ 1,000(1 + 0.001)1
1,000(1 + 0.001)0 ดงั นั้น เงนิ รวมท้งั หมด เทา กับ
1,000(1 + 0.001)12 + 1,000(1 + 0.001)11 + ... + 1,000(1 + 0.001)1
ดังนั้น เงนิ รวมท้งั หมด เทา กบั = 1,000(1 + 0.001)[(1 + 0.001)11 + (1 + 0.001)10 + ... + 1]
1,000(1 + 0.001)11 + 1,000(1 + 0.001)10 + … + 1,000 = 1,000(1 + 0.001) (1 + 00.0.00011)12 - 1
= 1,000[(1 + 0.001)11 + (1 + 0.001)10 + … + 1] ≈ 12,078.29 บาท T219
= 1,000 (1 + 00.0.00011)12 - 1
≈ 12,066.22 บาท

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน เงินปลายงวดท่ี 1 คดิ ดอกเบย้ี ทบต้น 11 คร้ัง จะไดเ้ งนิ รวมเท่ากับ 1,000(1 + 0.001)11
เงินปลายงวดที่ 2 คดิ ดอกเบย้ี ทบต้น 10 คร้ัง จะไดเ้ งนิ รวมเท่ากบั 1,000(1 + 0.001)10
รู้ (knowing)
︙
1. ครใู หน กั เรยี นตอบคาํ ถามใน Investigation ใน
เงนิ ปลายงวดที่ 12 คิดดอกเบี้ยทบต้น 0 คร้ัง จะไดเ้ งินรวมเทา่ กบั 1,000(1 + 0.001)0
หนังสือเรยี น หนา 207 จากนั้นครูสุมนักเรยี น ดังน้นั เงิน1รว,0ม0ท0งั้(1หม+ด0(.0F0V1A)102)+เท1,่า0ก0บั0(1 + 0.001)1 + … + 1,000(1 + 0.001)11
ออกมาเฉลยคําตอบหนาชน้ั เรียน
2. ครูใหนักเรียนรวมกันสรุป เงินงวดเกิดข้ึน = 1,000[1 + (1 + 0.001) + (1 + 0.001)2 + … + (1 + 0.001)11]
ณ วันปลายงวด ในกรณีทั่วไป ถาฝากเงิน
A บาท และฝากตอ เน่อื งเปนจาํ นวน n งวด = 1,000[1(11 -- ((11 ++ 00..000011))12)]
โดยมีอตั ราดอกเบยี้ ทบตน ในแตละงวดเทา กบั = 1,000[(1 + 00.0.00011)12 - 1]
i สามารถคํานวณหาเงินรวมทั้งหมด (FVAn)
เม่ือส้ินงวดที่ n สามารถคํานวณมูลคารวม ≈ 12,066.22
ในอนาคตของเงินงวดปลายงวดไดจากสูตร ในกรณีทัว่ ไป ถา้ ฝากเงนิ A บาท และฝากต่อเนื่องเปน็ จา� นวน n งวด โดยมีอัตราดอกเบี้ย
FVAn = A (1 + ii)n - 1 ทบต้นในแตล่ ะงวดเทา่ กับ i สามารถค�านวณหาเงินรวมทั้งหมด (FVAn) เมอ่ื ส้นิ งวดท่ี n สามารถ
ค�านวณมลู ค่ารวมในอนาคตของเงินงวดปลายงวดได้ ดังนี้

FVAn = A [(1 + ii)n - 1]

จาก Investigation ข้อ 2) จะเห็นว่า ชาญชัยฝากเงินท้ังหมด 12 งวด ณ วันต้นงวด

โดยแต่ละงวดสามารถคา� นวณได้ ดังน้ี 10 11 i = 1.2% ตอ่ ปี
0123 1,000 1,000 12 = 11.22 = 0.1% ตอ่ เดอื น
...

1,000 1,000 1,000 1,000 1,000(1 + 0.001)1
1,000(1 + 0.001)2

••• •••

1,000(1 + 0.001)11
1,000(1 + 0.001)12

เงนิ ต้นงวดท่ี 1 คดิ ดอกเบีย้ ทบตน้ 12 คร้ัง จะได้เงนิ รวมเท่ากบั 1,000(1 + 0.001)12
เงินตน้ งวดท่ี 2 คิดดอกเบี้ยทบต้น 11 ครงั้ จะไดเ้ งินรวมเทา่ กบั 1,000(1 + 0.001)11

︙

เงนิ ตน้ งวดที่ 12 คดิ ดอกเบ้ียทบตน้ 1 ครง้ั จะได้เงินรวมเทา่ กบั 1,000(1 + 0.001)1

208

เกร็ดแนะครู กิจกรรม 21st Century Skills

ครคู วรพสิ ูจนท ีม่ าของสูตร FVAn = A (1 + ii)n - 1 ดงั น้ี ครูใหน ักเรียนแบง กลมุ กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถทาง
เนือ่ งจาก FVAn = A(1 + i) + A(1 + i)2 + A(1 + i)3 + ... + A(1 + i)n คณิตศาสตร แลวทํากิจกรรม ดังน้ี

= A[(1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + ... + (1 + i)n] • ใหนักเรียนแตละกลุมสืบคนขอมูลเพิ่มเติมเก่ียวกับคาเงิน
= A[((11 ++ ii))n--11] รายงวด (Annuity)
= A (1 + ii)n - 1
• ใหนักเรียนแตละกลุมนําขอมูลท่ีไดมาสรางเปนโจทยปญหา
พรอมท้ังแสดงวิธที ําอยางละเอียด

• สง ตวั แทนกลมุ ออกมานาํ เสนอขอ มลู ผา นโปรแกรม Microsoft
PowerPoint หรอื โปรแกรมนาํ เสนออน่ื ๆ ตามทน่ี กั เรยี นถนดั

T220

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู้ (knowing)

ดังนน้ั เงินรวมท้ังหมด (FVA12) เทา่ กบั + 0.001)2 + … + 1,000(1 + 0.001)12 3. ครูใหนักเรียนรวมกันสรุปเงินงวดเกิดข้ึน
1,000(1 + 0.001) + 1,000(1 ณ วันตนงวด ในกรณีทั่วไป ถาฝากเงิน
= 1,000(1 + 0.001)[1 + (1 + 0.001) + … + (1 + 0.001)11] A บาท และฝากตอ เน่ืองเปนจาํ นวน n งวด
= 1,000(1 + 0.001)[1(11 -- ((11 ++ 00..000011))12)] โดยมีอตั ราดอกเบีย้ ทบตนในแตละงวดเทากบั
= 1,000(1 + 0.001)[(1 + 00.0.00011)12 - 1] i สามารถคํานวณหาเงินรวมทั้งหมด (FVAn)
≈ 12,078.29 เมื่อสิ้นงวดท่ี n สามารถคํานวณมูลคารวม
ในอนาคตของเงินงวดตนงวดได จากสูตร
ในกรณีทวั่ ไป ถ้าฝากเงนิ A บาท และฝากต่อเน่ืองเป็นจา� นวน n งวด โดยมอี ัตราดอกเบีย้ FVAn = A(1 + i) (1 + ii)n - 1
ทบตน้ ในแต่ละงวดเท่ากบั i สามารถคา� นวณหาเงินรวมท้งั หมด (FVAn) เม่ือสิ้นงวดท่ี n
4. ครูใหนักเรียนศกึ ษาตัวอยางท่ี 12 ในหนังสือ-
สามารถคา� นวณมลู ค่ารวมในอนาคตของเงนิ งวดตน้ งวดได้ ดงั นี้ เรียน หนา 209 จากนน้ั ครูถามคําถาม ดงั นี้

FVAn = A(1 + i)[(1 + ii)n - 1] • จากตัวอยาง โจทยก าํ หนดคาใดบา ง
i(แ=นว0ต.10อ22บ4โจ=ท0ย.0ก0าํ 2หนแลดะคาn A = 6,000
= 5 × 12 = 60)

ตวั อยา่ งท่ ี 12 • จากตวั อยาง ตัวแปร n มคี วามหมายวา
อยา งไร
สมศกั ดฝิ์ ากเงินกบั ธนาคารโดยฝากประจ�าทุกเดือน เดือนละ 6,000 บาททุกปลายงวดเป็นเวลา (แนวตอบ ตวั แปร n หมายถงึ จํานวนงวด
5 ปี ธนาคารใหด้ อกเบย้ี 2.4% ตอ่ ปี โดยคดิ ดอกเบย้ี ทบตน้ ทกุ เดอื น เมอื่ ครบก�าหนด 5 ปี เวลา)
สมศกั ดิจ์ ะได้รับเงนิ ทงั้ หมดเท่าใด

วิธีทา� พจิ ารณาโดยใช้เส้นเวลา ดงั น้ี • จากตัวอยาง ตวั แปร A มีความหมายวา
อยา งไร
0 1 2 3 4 . . . 60 i = 0.002 (แนวตอบ ตวั แปร A หมายถงึ เงินฝาก
6,000 6,000 6,000 6,000 . . . 6,000 แตล ะงวด)

จากโจทย์ จะได้ A = 6,000, i = 0.10224 = 0.002 และ n = 5 × 12 = 60 • จากตัวอยาง ใชสูตรใดในการคํานวณหา
เงนิ รวมทั้งหมด
และจากสตู ร FVAn = A [(1 + ii)n - 1] (แนวตอบ ใชสูตร FVAn = A (1 + ii)n - 1 )

จะได้ FVA60 = 6,000 [(1 + 00.0.00022)60 - 1]
FVA60 ≈ 382,085.22
ดังน้ัน เมื่อครบก�าหนด 5 ปี สมศักด์ิจะไดร้ บั เงนิ ทง้ั หมดประมาณ 382,085.22 บาท

ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน 209

กิจกรรม สรางเสริม เกร็ดแนะครู

ครูใหนักเรียนจับคู แลวพิจารณาวา ถานักเรียนฝากเงินกับ ครูอาจใหความรูเพ่ิมเติมเกี่ยวกับการฝากเงินประจํา คือ การฝากเงินเขา
ธนาคารโดยฝากประจําทกุ เดือน เดือนละ 1,000 บาท เปน เวลา บญั ชขี องตนเอง โดยจะฝากคร้ังละเทา ๆ กัน ตามท่ีเราไดตกลงฝากกับธนาคาร
4 ป ธนาคารใหดอกเบ้ีย 2.5% ตอป โดยคิดดอกเบ้ียทบตน เชน ฝากเดือนละ 10,000 บาท ก็ตองฝากเดอื นละ 10,000 บาท ทกุ ๆ เดือน
ทกุ เดอื น ถานักเรียนฝากเงินปลายงวดจะไดร บั เงินทัง้ หมดเทา กบั ไปเร่ือยๆ ตามเง่ือนไขทีท่ างธนาคารไดก ําหนดเอาไว เงินฝากประจาํ มขี อดอี ยู
การฝากเงนิ ตนงวดหรอื ไม อยางไร หลายอยา ง เชน ดอกเบ้ยี สูงกวา เงนิ ฝากปกติ อีกทั้งยงั ชว ยใหเรารจู กั ประหยดั
หมายเหตุ : ครูควรใหนักเรียนเกง และนักเรียนออนจบั คูกัน อดออม เพราะเงินฝากประจําไมสามารถถอนไดจ นกวาจะครบกําหนด

T221

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ตวั อยางที่ 13

รู้ (knowing) นําชัยฝากเงินกับธนาคารโดยฝากประจําทุกเดือน เดือนละ 1,500 บาททุกตนงวด เปนเวลา
2 ป ธนาคารใหด อกเบยี้ 1.8% ตอป โดยคดิ ดอกเบี้ยทบตนทกุ เดือน เมื่อครบกําหนด 2 ป
5. ครูใหนักเรยี นศึกษาตัวอยางท่ี 13 ในหนังสอื - นําชัยจะไดรับเงนิ ทั้งหมดเทา ใด
เรียน หนา 210 จากนั้นยกตัวอยางเพ่ิมเติม
แลวถามคาํ ถาม ดังน้ี วธิ ที าํ พจิ ารณาโดยใชเสน เวลา ดังน้ี 4 23 24 i = 0.0015
ถานําชัยฝากเงนิ กับธนาคารโดยฝากเงนิ
ประจําทุกเดอื น เดือนละ 2,000 บาท 0123
ทุกตนงวดเปน เวลา 2 ป ธนาคารให
ดอกเบย้ี 2.4% ตอ ป โดยคิดดอกเบี้ย 1,500 1,500 1,500 1,500 1,500 1,500
ทบตนทกุ เดือน เม่อื ครบกําหนด 2 ป
นาํ ชัยจะไดรับเงินทง้ั หมดเทาใด จากโจทย จะได A = 1,500, i= 1A0,(.51100210+8(1i=) +(01.00+.0010ii)51n5-แ)ล1(ะ1 n = 2 × 12 = 24
• จากตวั อยา ง โจทยกาํ หนดคา ใดบาง = 36,682.83 บาท + 00.0.0001155)24 - 1
(แนวตอบ โจทยก าํ หนดคา A = 2,000 และจากสตู ร FVA24 =
i = 0.10224 = 0.002 และ n = 2 × 12 = 24) จะได FVA24
• จากตัวอยาง ใชสูตรใดในการคํานวณหา ดงั นัน้ เมอ่ื ครบกําหนFดV2A2ป4 ≈
เงินรวมทัง้ หมด
(แนวตอบ ใชส ูตร นําชัยจะไดรบั เงนิ ทง้ั หมดประมาณ 36,682.83 บาท
FVAn = A(1 + i) (1 + ii)n - 1 )
• เม่ือครบกําหนด 2 ป นําชัยจะไดรับเงิน ลองทาํ ดู
ท้ังหมดกบี่ าท
(แนวตอบ นาํ ชยั จะไดร บั เงนิ ทงั้ หมดประมาณ 1) สุชาติฝากเงินกับธนาคารโดยฝากประจําทุกเดือน เดือนละ 7,500 บาททุกปลายงวด
49,218.60 บาท) ธนาคารใหดอกเบีย้ 1.2% ตอ ป โดยคดิ ดอกเบีย้ ทบตนทกุ เดอื น เมอ่ื ครบกาํ หนด 4 ป
สุชาติจะไดรับเงินทงั้ หมดเทา ใด
เขา้ ใจ (Understanding) 2) ธานนิ ฝากเงนิ กบั ธนาคารโดยฝากประจาํ ทกุ เดอื น เดอื นละ 2,000 บาททกุ ตน งวด เปน เวลา
3 ป ธนาคารใหด อกเบย้ี 2.4% ตอ ป โดยคดิ ดอกเบยี้ ทบตน ทกุ เดอื น ฝกทําตอ
1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน เมอื่ ครบกาํ หนด 3 ป ธานินจะไดรับเงินทง้ั หมดเทา ใด แบบฝก ทักษะ 4.3
หนา 210 จากน้ันครูสมุ นักเรียนออกมาเฉลย
คําตอบหนาช้ันเรียน โดยครูตรวจสอบความ แบบฝกทกั ษะ 4.3
ถกู ตอง
ระดบั พ้ืนฐาน
2. ครใู หนักเรียนทาํ Exercise 4.3 เปนการบาน
ใชขอ มลู ตอ ไปนีต้ อบคาํ ถามขอ 1. - 2.
ธนาคารอักษรไทยใหดอกเบย้ี 3% ตอ ป โดยคดิ ดอกเบย้ี ทบตนทุกเดอื น

1. เจมสฝ ากเงนิ ทกุ เดอื น เดอื นละ 1,200 บาททกุ ตน งวด เปน เวลา 2 ป ใหห าจาํ นวนเงนิ ทง้ั หมด
ท่ีเจมสจะไดร บั เม่อื ส้ินปท่ี 1 และสนิ้ ปท ี่ 2

210

ขอสอบเนน การคดิ
นพดลฝากเงินไวก บั ธนาคาร A และธนาคาร B เปน เวลา 3 ป โดยมเี งอื่ นไขตอไปน้ี
ธนาคาร A : ฝากเงนิ จํานวน 72,000 บาท ธนาคารใหด อกเบ้ีย 2.5% โดยคิดดอกเบีย้ ทบตน ทกุ 3 เดือน
ธนาคาร B : ฝากประจําทุกเดือน เดอื นละ 2,000 บาท ทุกตน งวด ธนาคารใหด อกเบ้ยี 1.5% โดยคดิ ดอกเบ้ยี ทบตนทกุ เดอื น
เมอื่ ครบกําหนด นพดลจะไดรับเงินพรอมดอกเบีย้ กบั ธนาคารใดมากกวา กนั และมากกวาเทาใด
จากโจทย ธนาคาร B จะได A = 2,000, i = 0.10215 = 0.00125
(เฉลยคาํ ตอบ จากโจทย ธนาคาร A จะได PV = 72,000 และ n = 3 × 12 = 36
0.0425 = จากสูตร FVA36 = A(1 + i) (1 + ii)n - 1
i = จากสูตร 0.00625 และ n = 3 × 4 = 12 = 2,000(1 + 0.00125) (1 + 00.0.000112255)36 - 1 ≈ 73,690
FV = PV(1 + i)n
= 72,000(1 + 0.00625)12
≈ 77,590
น่ันคือ เมอ่ื ครบกาํ หนด 3 ป นพดลจะไดรับเงนิ ทั้งหมด น่ันคือ เม่ือครบกาํ หนด 3 ป นพดลจะไดรบั เงินทงั้ หมดประมาณ
ประมาณ 77,590 บาท 73,690 บาท

T222 ดงั น้ัน เมอื่ ครบกําหนด 3 ป นพดลจะไดรับเงินพรอมดอกเบีย้ กบั ธนาคาร A มากกวาธนาคาร B
เทา กับ 77,590 - 73,690 = 3,900 บาท)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

2. เจมส์ฝากเงนิ ทุกเดอื น เดอื นละ 2,000 บาททกุ ปลายงวด เปน็ เวลา 3 ปี เขาจะได้รับเงนิ ขนั้ สอน
ทั้งหมดเทา่ ใด
ลงมอื ทาํ (Doing)
ร ะดับกลาง
ครูใหนกั เรยี นทํากิจกรรมตอ ไปนี้
3. ต ะวนั ฝากเงนิ กบั ธนาคารแหง่ หนงึ่ ทกุ ตน้ เดอื น เปน็ เวลา 12 ป ี ธนาคารใหด้ อกเบยี้ 3.6% ตอ่ ปี 1. ใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละ
โดยคิดดอกเบ้ียทบต้นทกุ เดอื น ถ้าสนิ้ ปีท ่ี 12 ตะวนั อยากมีเงนิ รวมทง้ั หมด 200,000 บาท
เขาจะตอ้ งฝากเงนิ เดือนละเท่าใด ความสามารถทางคณติ ศาสตร
2. ใหนักเรียนแตละกลุมชวยกันทําใบงานที่ 4.2
ระดับทา้ ทาย
และแบบฝกทักษะ 4.3 ในหนงั สอื เรียน หนา
4. นศุ ราทา� สญั ญาเช่าตึกแถวเป็นรายป ี เป็นเวลา 5 ปี โดยมีค่าเช่างวดละ 180,000 บาท อตั รา 210-211 แลวแลกเปลี่ยนความรูภายในกลุม
ดอกเบีย้ เทา่ กับ 5% ต่อป ี ทบตน้ ทกุ ปี และสนทนาซกั ถามจนเปน ท่ีเขาใจรวมกัน
3. ครูสุมนักเรียนออกมาแสดงวิธีทําบนกระดาน
1) ถา้ มกี ารกา� หนดใหจ้ า่ ยคา่ เชา่ งวดแรกทนั ทที ม่ี กี ารทา� สญั ญา นน่ั คอื จา่ ยทกุ ตน้ งวด ใหห้ า โดยครแู ละนกั เรยี นในชน้ั เรยี นรว มกนั ตรวจสอบ
คา่ เช่ารวมท้งั หมด ความถกู ตอง

2) ถา้ มกี ารกา� หนดใหจ้ า่ ยคา่ เชา่ ในวนั ครบกา� หนดสญั ญาของทกุ ป ี นนั่ คอื จา่ ยทกุ ปลายงวด
ใหห้ าค่าเช่ารวมทงั้ หมด

3) ถา้ นกั เรยี นเปน็ ผเู้ ชา่ นกั เรยี นจะเลอื กจา่ ยคา่ เชา่ วธิ ใี ด และถา้ นกั เรยี นเปน็ ผใู้ หเ้ ชา่ นกั เรยี น
จะเลือกเก็บค่าเชา่ วิธีใด

3 Self-Check
หลงั จากเรยี นจบหน่วยนแ้ี ลว้ ให้นักเรยี นบอกสญั ลักษณท์ ตี่ รงกบั ระดับความสามารถของตนเอง

ดี พอใช้ ควรปรับปรงุ

1. ส ามารถหาเงนิ รวมทงั้ หมด เงนิ ตน้ อตั ราดอกเบยี้
ระยะเวลาแบบอตั ราดอกเบยี้ คงตน้ และดอกเบยี้ ทบตน้ ได้

2. สามารถหามูลค่าปจั จบุ นั และมลู ค่าอนาคตได้
3. สามารถเปรียบเทยี บคา่ เงินในเวลาที่ตา่ งกันได้
4. สามารถหาเงนิ รวมทงั้ หมดจากคา่ รายงวดกรณตี น้ งวดและ

ปลายงวดได้

ดอกเบ้ียและมูลค่าของเงิน 211

กจิ กรรม สรางเสรมิ เกร็ดแนะครู

ครใู หน ักเรียนจบั คู แลว ชวยกนั ตอบคําถามจากโจทยตอไปน้ี ครอู ธบิ ายเพม่ิ เตมิ เกยี่ วกบั การซอื้ สนิ คา เงนิ ผอ น คอื ผซู อื้ สนิ คา กจ็ ะสามารถ
ทวีศักดิ์วางแผนเก็บเงินเพ่ือใหมีเงินจํานวน 400,000 บาท ทยอยชําระเงินคาสินคาทีละงวด ไดทําใหผูซื้อไมตองเสียเงินจํานวนมากใน
ครั้งเดียว สวนผูขายสินคาก็จะไดรับผลประโยชนจากการทยอยชําระเงิน
ในอีก 5 ปข างหนา โดยฝากเงินกบั ธนาคารทกุ เดอื น ทางธนาคาร คา สินคา ดว ยการคิดดอกเบ้ียกบั ผซู ื้อ
จะใหดอกเบ้ียรอยละ 6 ตอป และคิดดอกเบ้ียทบตนทุกเดือน
อยากทราบวาทวีศักดิ์ควรฝากเงินกับธนาคารเดือนละเทาใด
เพือ่ ใหมเี งนิ ครบตามจํานวนทีต่ องการ
หมายเหตุ : ครูควรใหน ักเรียนเกง และนักเรยี นออ นจับคกู ัน

T223

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขน้ั สรปุ สรปุ แนวคดิ หลกั

1. ครูใหนักเรียนศึกษา “สรุปแนวคิดหลัก” ใน ดอกเบย้ี และมลู คา ของเงนิ
หนังสือเรียน หนา 212 จากน้ันใหนักเรียน
นําความรูที่ไดมาเขียนเปนผังมโนทัศนหนวย 1. ดอกเบยี้ คงตน้ คือ ดอกเบี้ยที่กำ� หนดใหเ้ งนิ ต้นมคี ่ำคงทีต่ ลอดระยะเวลำของกำรฝำกเงนิ
การเรียนรูท่ี 4 ดอกเบี้ยและมูลคาของเงิน หรือกำรก้ยู ืมเงนิ ซึ่งดอกเบ้ียดังกล่ำวจะมคี ำ่ เท่ำกนั ทุกปี โดยสำมำรถคำ� นวณได้จำก
ลงในกระดาษ A4 ตกแตง ใหส วยงาม เมื่อทํา A = P(1 + rt)
เสร็จแลว นําสงครูเพอ่ื ตรวจสอบความถกู ตอง
โดยที ่ A แทนเงนิ รวมท้งั หมด (total amount)
P แทนเงนิ ตน้ (principle)
I แทนดอกเบย้ี (interest)
r แทนอตั รำดอกเบี้ยตอ่ ป ี (annual interest rate)
t แทนจำ� นวนระยะเวลำเป็นปี (time)
2. กำรค�ำนวณดอกเบยี้ โดยกำ� หนดให ้ t มหี นว่ ยเปน็ วัน สำมำรถทำ� ได้ 4 แบบ ดังน้ี
แบบท ่ี 1 กำรคิดดอกเบย้ี แบบธรรมดำและกำรนบั จ�ำนวนวนั แบบแท้จริง ซึ่งค�ำนวณไดจ้ ำก

t = จา� นวนวนั3แ60บบแทจ้ รงิ
แบบท ี่ 2 กำรคิดดอกเบ้ียแบบธรรมดำและกำรนับจ�ำนวนวันแบบกะประมำณ ซ่ึงค�ำนวณได้

จำก
t = จ�านวนวันแ3บ6บ0กะประมาณ

แบบท ่ี 3 กำรคดิ ดอกเบี้ยแบบแทจ้ ริงและกำรนบั จำ� นวนวนั แบบแทจ้ รงิ ซึ่งค�ำนวณไดจ้ ำก
t = จ�านวนวนั3แ65บบแท้จริง หรือ t = จา� นวนวนั3แ66บบแทจ้ รงิ
แบบท ่ี 4 กำรคดิ ดอกเบยี้ แบบแทจ้ รงิ และกำรนบั จำ� นวนวนั แบบกะประมำณ ซง่ึ คำ� นวณไดจ้ ำก
t = จ�านวนวันแ3บ6บ5กะประมาณ หรือ t = จา� นวนวนั แ3บ6บ6กะประมาณ

212

บูรณาการอาเซียน ขอสอบเนน การคดิ

การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในหนวยการเรียนรูที่ 4 ดอกเบ้ียและ นักลงทุนรายหนึ่งซื้อหุนกูอายุ 10 ป โดยท่ีนักลงทุนตองการ
มลู คา ของเงิน ครูสามารถเชอื่ มโยงบูรณาการความรูกับกลมุ ประเทศอาเซยี นได ผลตอบแทนคืนทั้งหมดเม่ือครบกําหนด 10 ป เปนจํานวนเงิน
โดยใหนักเรียนสืบคนขอมูลที่แสดงใหเห็นถึงการนําดอกเบ้ียและมูลคาของเงิน 450,000 บาท ถาผูออกหุนกูใหผลตอบแทน 5% ตอป โดยคิด
มาประยุกตใชท่ีเกี่ยวของกับอาเซียน เชน ธนาคารในประเทศไทยแหงหน่ึง ดอกเบี้ยแบบคงตน นักลงทุนควรจะลงทุนซื้อหุนกูเปนจํานวน
ใหอ ัตราดอกเบยี้ บญั ชีเงินฝากเงินตราตา งประเทศ (รอ ยละตอป) ของนิตบิ ุคคล เทา ใด
ที่อยใู นประเทศไทย ของสกุลเงินประเทศอนิ โดนเี ซีย ดังนี้
(เฉลยคาํ ตอบ จากโจทย จะได A = 450,000, r = 0.05
ฝากประจํา อัตราดอกเบ้ีย และ t = 10 ตองการหาคาของ P
ทุกเดือน 1.15
1.25 จากสตู ร ดอกเบี้ยคงตน A = P(1 + rt)
3 1.4 450,000 = P[1 + 0.05(10)]
6 1.5 450,000 = P(1.5)
9 1.6 P = 300,000
12
ดังนนั้ นกั ลงทุนควรจะลงทนุ ซอ้ื หนุ กเู ปน จํานวน
ทีม่ า : https://www.scb.co.th/content/dam/scb/personal-banking/ 300,000 บาท)

Trates-fees/foreign-cash-deposit/fcd-rates/fcd-rates.pd

224

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

3. ดอกเบย้ี ทบตน้ คอื ดอกเบยี้ ทกี่ า� หนดใหม้ กี ารนา� เอาดอกเบยี้ ทเี่ กดิ ขน้ึ ในแตล่ ะครง้ั ทม่ี กี ารคดิ ขนั้ สรปุ
ดอกเบย้ี ไปรวมกบั เงินต้นเพื่อน�ามาเปน็ เงินตน้ ของงวดถัดไป โดยสามารถค�านวณไดจ้ าก
A = P(1 + i)n 2. ครูถามคําถามเพื่อสรุปความรูรวบยอดของ
โดยที่ A แทนเงนิ รวมทง้ั หมด (total amount) นักเรยี น ดังนี้
P แทนเงนิ ต้น (principle) • ดอกเบ้ียคงตนกับดอกเบ้ียทบตนมีความ
i แทนอัตราดอกเบีย้ ตอ่ งวด (periodic interest rate) แตกตา งกันอยา งไร
n แทนจ�านวนงวดท่ีคิดดอกเบี้ยทบตน้ (number of periods) (แนวตอบ ดอกเบ้ียคงตนจะมีเงินตนเปน
คา คงทตี่ ลอด แตด อกเบยี้ ทบตน จะมเี งนิ ตน
4. มูลค่าอนาคต คือ มูลค่าของเงินในอนาคตภายใต้ช่วงเวลา หรืออัตราผลตอบแทนที่ได้ ของงวดตอ ไปมีจํานวนมากขน้ึ )
ก�าหนดไว้ โดยมกี ระบวนการเรม่ิ จากเงินจ�านวนหนึ่ง ณ ปัจจบุ นั มีคา่ เพิ่มมากข้ึนในอนาคต • มูลคา อนาคตคืออะไร
จะเรียกวา่ การทบตน้ ของคา่ เงินด้วยดอกเบี้ยท่ีได้รับ โดยสามารถค�านวณไดจ้ าก (แนวตอบ มูลคาของเงินในอนาคตภายใต
FV = PV(1 + i)n ชว งเวลา หรอื อตั ราตอบแทนทไ่ี ดก ําหนดไว
โดยท่ี FV แทนมลู ค่ารวมในอนาคต (future value) ซึ่งมีกระบวนการเริ่มจากเงินจํานวนหนึ่ง
PV แทนมลู ค่าปัจจุบนั ของเงนิ จา� นวนหน่ึง (present value) ณ ปจจุบัน มีคาเพ่ิมมากข้ึนในอนาคตจะ
i แทนอัตราดอกเบ้ยี ตอ่ งวด (periodic interest rate) เรียกวา การทบตนของคาเงินดวยดอกเบ้ีย
n แทนจา� นวนงวดเวลา (number of periods) ทีไ่ ดร บั )
• มลู คาปจ จุบันคืออะไร
5. มูลคา่ ปจั จุบนั คอื มูลคา่ ของเงิน ณ ปจั จบุ นั ทเี่ กิดข้นึ ในอนาคตและมคี ่าเทา่ กับจา� นวนเงนิ (แนวตอบ มลู คา ของเงนิ ณ ปจ จบุ นั ทเี่ กดิ ขน้ึ
จ�านวนหน่งึ ณ ปจั จบุ ัน ซึ่งการหาค่าเงนิ ปัจจบุ นั มีกระบวนการคิดตรงกนั ขา้ มการคดิ ทบตน้ ในอนาคตและมีคาเทากับจํานวนเงิน
ซง่ึ จะเปน็ การคา� นวณเอาดอกเบย้ี ออกไปเพอื่ ใหเ้ หลอื เงนิ เรมิ่ ตน้ จะเรยี กวา่ การคดิ ลดคา่ เงนิ จํานวนหน่ึง ณ ปจจุบัน ซ่ึงการหาคาเงิน
โดยสามารถคา� นวณไดจ้ าก ปจจุบันมีกระบวนการคิดตรงกันขามกับ
PV = (1 F+V i)n หรือ PV = FV(1 + i)-n การคิดทบตน ซ่ึงจะเปนการคํานวณเอา
โดยที่ FV แทนมูลคา่ รวมในอนาคต (future value) ดอกเบ้ียออกไปเพ่ือใหเหลือเงินเร่ิมตน
PV แทนมลู คา่ ปจั จบุ ันของเงนิ จา� นวนหน่งึ (present value) จะเรียกวา การคดิ ลดคาเงิน)
i แทนอตั ราดอกเบ้ยี ต่องวด (periodic interest rate) • การคาํ นวณมลู คา อนาคต จะคาํ นวณโดยใช
n แทนจา� นวนงวดเวลา (number of periods) สูตรอะไร
(แนวตอบ สตู ร FV = PV(1 + i)n)
ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน 213 • การคาํ นวณมลู คา ปจ จบุ นั จะคาํ นวณโดยใช
สตู รอะไร
(แนวตอบ =สตู FรV(P1V+=i)-(n1) F+Vi)n
หรือ PV

ขอ สอบเนน การคดิ เกร็ดแนะครู

นาย ก ฝากเงินกับธนาคาร 300,000 บาท โดยธนาคาร ครูอาจอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับการลงทุนทางการเงิน (fifinancial invest-
ใหดอกเบ้ีย 12% ตอป และคิดดอกเบี้ยทบตนทุก 3 เดือน
อยากทราบวาเมอ่ื สนิ้ ป นาย ก จะไดเ งนิ ตน พรอ มดอกเบ้ียเปน เงนิ ments) หมายถงึ การทผ่ี ลู งทนุ นาํ เงนิ ทม่ี อี ยไู ปซอ้ื หลกั ทรพั ยต า งๆ ซงึ่ หลกั ทรพั ย
เทาใด ดงั กลา วกอ ใหเ กดิ รายไดก บั ผลู งทนุ นนั้ ซง่ึ การลงทนุ ทางการเงนิ โดยทว่ั ไปมกั จะ
ทําผา นกลไกของตลาดการเงนิ วัตถุประสงคข องการลงทนุ ทางการเงนิ เพอ่ื จะ
(เฉลยคาํ ตอบ จากโจทย จะได P = 300,000, r = 0.03 ไดรับผลตอบแทนจากการลงทุนในรูปแบบของดอกเบ้ีย (interest) เงินปนผล
และ n = 4 ตองการหาคาของ A
dividend) กําไรจากการซื้อขายหุน (capital gain) และสิทธิพิเศษอื่นๆ
จากสูตร ดอกเบ้ยี ทบตน A = P(1 + i)n
= 300,000(1 + 0.03)4 กลาวโดยสรุปก็คือ มุงผลตอบแทนจากการใชทุนในรูปแบบของผลตอบแทน
= 300,000(1 + 0.03)4
≈ 337,652.64 ทางการเงิน (monetary return)

ดงั น้ัน เมื่อสิน้ ป นาย ก จะไดเ งนิ ตน พรอ มดอกเบี้ยเปนเงิน T225
ประมาณ 337,652.64 บาท)

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขนั้ สรปุ 6. เ งินงวดเกดิ ข้นึ ณ วนั ปลำยงวด (ordinary annuities) หมำยถึง มลู ค่ำรวมในอนำคตของ
เงนิ งวด ซง่ึ เทำ่ กบั ผลรวมของเงนิ งวดแตล่ ะงวดทบตน้ ดว้ ยดอกเบยี้ ตำมระยะเวลำ โดยสำมำรถ
• คางวดหมายถึงอะไร ค�ำนวณได้จำก
(แนวตอบ การจายเงินหรือฝากเงินเปน
งวดๆ ตดิ ตอกนั หลายงวด โดยการจายเงิน FVAn = A [(1 + i)in - 1]
แตละงวดมีระยะเวลาหา งเทาๆ กนั )
โดยท่ ี FV แทนมูลคำ่ รวมในอนำคต ณ งวดที่ n (Future Value of Annuity at n periods)
• เงินงวดเกิดข้ึน ณ วันปลายงวด หมายถึง A แทนเงินงวดแตล่ ะงวด (Annuity)
อะไร i แทนอตั รำดอกเบี้ยต่องวด (periodic interest rate)
(แนวตอบ เงินงวดเกิดข้ึน ณ วันปลายงวด n แทนจำ� นวนงวดเวลำ (number of periods)
หมายถึง มูลคารวมในอนาคตของเงินงวด
ซึ่งเทากับผลรวมของเงินงวดแตละงวด 7. เงินงวดเกิดข้นึ ณ วันตน้ งวด (annuities due) หมำยถึง มูลคำ่ รวมในอนำคตทเ่ี กิดข้ึน ณ
ทบตน ดวยดอกเบี้ยตามระยะเวลา) วนั ต้นงวด โดยแต่ละงวดจะเกิดข้นึ เรว็ กว่ำกรณที เ่ี กดิ ณ วนั ปลำยงวด ซง่ึ มผี ลทำ� ใหเ้ งนิ งวด
แตล่ ะงวดมกี ำรทบตน้ ดอกเบย้ี เพม่ิ ขนึ้ อกี 1 งวด ทำ� ใหม้ ลู คำ่ รวมมคี ำ่ มำกกวำ่ กรณปี ลำยงวด
• เงินงวดเกดิ ข้ึน ณ วันตนงวด หมายถงึ อะไร โดยสำมำรถค�ำนวณได้จำก
(แนวตอบ เงินงวดเกิดขึ้น ณ วันตนงวด
หมายถึง มูลคารวมในอนาคตท่ีเกิดขึ้น ณ FVAn = A(1 + i) [(1 + i)in - 1]
วันตนงวด โดยแตละงวดจะเกิดข้ึนเร็วกวา
กรณีที่เกิด ณ วันปลายงวด ซึ่งมีผลทําให โดยที่ FV แทนมูลคำ่ รวมในอนำคต ณ งวดท่ ี n (Future Value of Annuity at n periods)
เงินงวดแตละงวดมีการทบตนดอกเบ้ีย A แทนเงินงวดแต่ละงวด (Annuity)
เพิ่มขึ้นอีก 1 งวด ทําใหมูลคารวมมีคา i แทนอัตรำดอกเบีย้ ต่องวด (periodic interest rate)
มากกวากรณปี ลายงวด) n แทนจ�ำนวนงวดเวลำ (number of periods)

• การคํานวณมูลคารวมในอนาคตของเงิน
ณ วันปลายงวดควรใชส ูตรใด
(แนวตอบ FVAn = A (1 + ii)n - 1 )

• การคํานวณมูลคารวมในอนาคตของเงิน
ณ วันตน งวดควรใชส ูตรใด
(แนวตอบ FVAn = A(1 + i) (1 + ii)n - 1 )

214

กจิ กรรม สรางเสรมิ

ครใู หน กั เรยี นจบั คู แลว ชว ยกนั ตอบคาํ ถามจากโจทย กาํ หนดให
อัตราดอกเบีย้ 6% ตอป คดิ ดอกเบี้ยทบตนทุก 6 เดือน

• เงิน 20,000 บาท ในอีก 2 ปขางหนา เทียบไดกับเงิน
ณ ปจ จุบันเปนจาํ นวนเงนิ เทาใด

• เงิน 20,000 บาท ในอกี 2 ปขางหนา กับเงนิ 30,000 บาท
ในอีก 10 ปขา งหนา เงนิ จาํ นวนใดมีคามากกวากนั

• นาย ก ตอ งการใชเงิน 200,000 บาท ในอกี 4 ปข า งหนา
จงหาจํานวนเงินปจจุบันท่ีนาย ก ตองนําไปฝากธนาคาร
โดยจะไมมีการถอนจนกวาจะครบ 4 ป

หมายเหตุ : ครูควรใหนักเรยี นเกง และนกั เรียนออนจับคูก นั

T226

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

4แบบฝก ทกั ษะประจาํ หนว ยการเรยี นรทู ่ี ขนั้ สรปุ

คําชแ้ี จง : ใหน ักเรยี นตอบคาํ ถามตอไปน้ี 3. ครูใหนักเรียนแบงกลุม ออกเปน 7 กลุม
1. ตะวนั ฝากเงินกับธนาคารแหง หนง่ึ เปนจํานวน 40,000 บาท เปนเวลา 3 ป โดยธนาคารให กลุมละเทาๆ กัน จากน้ันสงตัวแทนออกมา
จับสลากโจทยปญหาจากแบบฝกทักษะ
ดอกเบ้ีย 1.2% ตอ ป ประจําหนวยการเรียนรูที่ 4 ในหนังสือเรียน
1) ใหห าเงินรวมทงั้ หมดและดอกเบ้ยี ท่ีไดรบั ถาธนาคารคดิ ดอกเบยี้ แบบคงตน หนา 215 เมอื่ ทาํ เสรจ็ แลว ใหน กั เรยี นแตล ะกลมุ
2) ใหหาเงนิ รวมทั้งหมดและดอกเบ้ยี ท่ไี ดรบั ถาธนาคารคดิ ดอกเบ้ียทบตนตอ ป สง ตวั แทนออกมานาํ เสนอคาํ ตอบหนา ชน้ั เรยี น
3) ใหห าเงินรวมทง้ั หมดและดอกเบย้ี ท่ไี ดร ับ ถา ธนาคารคิดดอกเบี้ยทบตนทกุ 3 เดือน โดยครูตรวจสอบความถูกตอ ง
2. ชะเอมนาํ เงนิ ไปฝากธนาคารเปน เงนิ 50,000 บาท เมอ่ื 3 ปท แ่ี ลว ปจ จบุ นั ชะเอมตรวจสอบ
เงนิ ในบญั ชปี รากฏวามเี งิน 51,209.63 บาท อยากทราบวาธนาคารจะใหดอกเบย้ี เงนิ ฝาก
รอยละเทาใด ถา ธนาคารคดิ อัตราดอกเบย้ี ทบตน ตอป
3. สดใสกูเงินจากเพือ่ นจาํ นวน 10,000 บาท โดยมีเง่ือนไขวาจะตองจายดอกเบย้ี 10% ตอ ป
โดยคิดดอกเบยี้ ทบตน ตอ ป ถา สดใสจายเงนิ เพ่อื นทัง้ หมดเปนเงนิ จํานวน 16,105.10 บาท
อยากทราบวา เขาจะกูเงินมาเปน เวลากป่ี 
ใชข อ มูลตอ ไปนีต้ อบคําถามขอ 4. - 6.

ธนาคารอกั ษรไทยใหดอกเบย้ี 1.8% ตอป โดยคดิ ดอกเบ้ยี ทบตนตอ ป

4. เงนิ 15,000 บาท ในอกี 3 ปข า งหนา เทียบไดกบั คา เงนิ ปจ จุบนั เปนจาํ นวนเทา ใด
5. ถา ตอ งการใชเ งิน 100,000 บาท ในอกี 10 ปขางหนา ใหห าคาเงินปจจุบันทตี่ อ งนาํ ไปฝาก

ธนาคาร โดยไมมีการถอนจนกวา จะครบ 10 ป
6. ยุทธฝากเงนิ ทกุ เดือน เดอื นละ 2,000 บาททกุ ปลายงวด เปนเวลา 4 ป ใหหาจาํ นวนเงิน

ท้งั หมดที่ยทุ ธจะไดรับเม่อื ส้นิ ปท ี่ 3 และส้ินที่ป 4
7. นธิ ศิ ลงทนุ กบั บรษิ ัทแหง หนึ่งทุกตนเดือน เปน เวลา 5 ป ไดร บั ผลตอบแทน 6% ตอป โดย

คิดอัตราดอกเบี้ยทบตน ทุกเดือน ถา สน้ิ ปท ่ี 5 นธิ ิศอยากมีเงินรวมทงั้ หมด 100,000 บาท
เขาจะตอ งลงทนุ เดอื นละเทา ใด

ดอกเบี้ยและมูลคาของเงิน 215

เกร็ดแนะครู

ครคู วรแนะนําการใชต าราง FVA ใหน กั เรียนเพ่อื ชว ยในการคํานวณ

T227

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขน้ั สรปุ A (B C) Math in

4. ครูใหนักเรียนจับคูทํากิจกรรมโดยใชเทคนิค Real Life คณิตศาสตรในชีวิตจริง

คคู ดิ (Think Pair Share) ดังนี้ อตั ราคา่ โดยสาร

• ใหนักเรียนแตละคนคิดคําตอบของตนเอง ในปจจุบันกรุงเทพมหานคร มีระบบ
การขนส่งสาธารณะที่ได้มาตรฐานและทันสมัย
จาก “Math in Real Life” คณิตศาสตร มที ง้ั เสน้ ทางบกและเสน้ ทางนา้� ไดแ้ ก ่ รถแทก็ ซี่
มิเตอร รถโดยสารประจา� ทาง รถจักรยานยนต
ในชวี ติ จรงิ เรอื่ ง อตั ราคา โดยสาร ในหนงั สอื - รบั จา้ ง รถสามลอ้ รถไฟ รถไฟฟา บที เี อส (BTS)
เรียน หนา 216-217 รถไฟฟาใตด้ ิน (MRT) และเรือด่วน ซึง่ ในการ
• ใหนักเรียนจับคูกับเพื่อนเพ่ือแลกเปลี่ยน เดินทางต่างก็มีอัตราค่าโดยสารที่แตกต่างกัน
คําตอบกัน สนทนาซักถามจนเปนที่เขาใจ ขึ้นอยู่กับความสะดวกของผู้ใช้บริการ เช่น
รวมกนั อัตราค่ารถแท็กซ่ีมิเตอรและอัตราค่าโดยสาร
• ครูสุมนักเรียนออกมานําเสนอคําตอบหนา รถประจ�าทางปรับอากาศ
ชั้นเรยี น โดยครตู รวจสอบความถกู ตอง
5. ครูใหนักเรียนแตละคนสํารวจระยะทางจาก อตั ราค่าโดยสารรถแท็กซี่มเิ ตอร์
บานมาโรงเรยี น แลวนาํ มาคาํ นวณคาโดยสาร
ระยะทาง (กิโลเมตร) ค่าโดยสาร (บาท)
ตามอัตราคา โดยสารของขอมลู Math in Real
กโิ ลเมตรแรก 35
Life ดงั นี้
• เดินทางโดยสารรถแทก็ ซมี่ เิ ตอร
• เดนิ ทางโดยสารรถประจาํ ทางปรบั อากาศ
• กําหนดเสนทางเดินทางโดยสารรถแท็กซี่

มเิ ตอรแ ละโดยสารรถประจาํ ทางปรบั อากาศ
ท่ีคาใชจายนอ ยทสี่ ดุ

เกนิ กว่า 1 กโิ ลเมตรถงึ 10 กโิ ลเมตร กิโลเมตรละ 5.50

เกินกว่า 10 กโิ ลเมตรถงึ 20 กโิ ลเมตร กิโลเมตรละ 6.50

เกินกวา่ 20 กิโลเมตรถงึ 40 กิโลเมตร กโิ ลเมตรละ 7.50

เกินกว่า 40 กโิ ลเมตรถึง 60 กโิ ลเมตร กโิ ลเมตรละ 8

เกนิ กว่า 60 กิโลเมตรถงึ 80 กโิ ลเมตร กโิ ลเมตรละ 9

เกนิ กวา่ 80 กโิ ลเมตรขึน้ ไป กโิ ลเมตรละ 10.50

ที่มา : www.thaipublic.org

216

เฉลย Math in Real Life 2. คา โดยสารรถประจําทางปรบั อากาศสาย 80 เปนระยะทาง
22 กโิ ลเมตร
1. คาโดยสารรถประจําทางปรบั อากาศสาย 80 เปนระยะทาง 30 กิโลเมตร
จะตองจายคา โดยสาร 25 บาท และคาโดยสารรถแท็กซี่มเิ ตอร ระยะทาง (กิโลเมตร) คาโดยสาร (บาท)
เปนระยะทาง 12 กโิ ลเมตร 4 กิโลเมตรแรก 13
กิโลเมตรที่ 5-8 2
ระยะทาง (กิโลเมตร) คา โดยสาร (บาท) กิโลเมตรท่ี 9-12 2
กิโลเมตรแรก 35 × 1 = 35 กโิ ลเมตรท่ี 13-16 2
กโิ ลเมตรที่ 2-10 5.50 × 9 = 49.50 กิโลเมตรที่ 17-20 2
กิโลเมตรที่ 11-12 6.50 × 2 = 13 กิโลเมตรท่ี 21-22 2

รวม 97.50 รวม 23

ดงั นนั้ นกั เรียนจะตองจา ยคา โดยสารท้ังหมดเทา กบั
25 + 97.50 = 122.50 บาท

T228

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

อตั ราคา่ โดยสารรถประจําทางปรบั อากาศ ขน้ั ประเมนิ
ในเขตกรงุ เทพมหานครและจงั หวดั ทีม่ ีสายตอ่ เนอ่ื ง
หมวดท่ี 1 สายท่ี 80 ชื่อเสน้ ทาง โรงเรยี นศึกษานารีวทิ ยา–สนามหลวง 1. ครตู รวจใบงานที่ 4.2
2. ครูตรวจแบบฝก ทักษะ 4.3
ส�าหรับการเดินรถช่วง วดั ศรนี วลธรรมวิมล-สนามหลวง 3. ครตู รวจ Exercise 4.3
อัตราคา่ โดยสารรถประจา� ทางปรับอากาศใหม่ (ชนดิ EURO I และ EURO II) ดังน้ี 4. ครตู รวจแบบฝก ทักษะประจําหนวยการเรียนรู

อตั ราค่าโดยสารรถประจา� ทางปรบั อากาศ ท่ี 4
5. ครตู รวจผังมโนทศั นห นว ยการเรียนรูท่ี 4
ระยะทาง (กิโลเมตร) ค่าโดยสาร (บาท)
ดอกเบีย้ และมูลคาของเงิน
4 กโิ ลเมตรแรก 13 6. ครูประเมนิ การนําเสนอผลงาน
7. ครสู ังเกตพฤติกรรมการทาํ งานรายบุคคล
ทกุ ๆ 4 กโิ ลเมตรต่อไป เก็บเพ่ิมอีก 2 บาท 8. ครูสังเกตพฤติกรรมการทํางานกลุม
9. ครูสงั เกตความมีวนิ ยั ใฝเ รียนรู
เกนิ 26 กิโลเมตรข้นึ ไป 25
มงุ ม่ันในการทํางาน

ทีม่ า : www.bmta.co.th

จากขอมลู ขางตน

1. ถ า้ นักเรียนโดยสารรถประจ�าทางปรบั อากาศสาย 80 เป็นระยะทางท้งั หมด 30 กิโลเมตร และ
โดยสารดว้ ยรถแทก็ ซมี่ เิ ตอรต อ่ ไปอกี 12 กโิ ลเมตร นกั เรยี นจะตอ้ งจา่ ยคา่ โดยสารทงั้ หมดเทา่ ใด

2. ถ ้านักเรยี นต้องการเดินทางซ่ึงมีระยะทางทัง้ หมด 22 กโิ ลเมตร อยากทราบวา่ ถ้าโดยสารด้วย
รถแท็กซี่มิเตอรจ ะต้องจา่ ยค่าโดยสารมากกว่ารถประจ�าทางปรบั อากาศสาย 80 เท่าใด

3. ใ นการเดนิ ทางทมี่ รี ะยะทางทงั้ หมด 56 กโิ ลเมตร นกั เรยี นโดยสารดว้ ยรถประจา� ทางปรบั อากาศ
สาย 80 เป็นระยะทาง 1 ใน 4 ของระยะทางทั้งหมด โดยระยะทางทีเ่ หลือจะโดยสารดว้ ยรถ
แท็กซ่มี เิ ตอร  นกั เรียนจะต้องจา่ ยค่าโดยสารรวมทัง้ หมดเท่าใด

4. บา้ นของนกั เรียน A และ นกั เรยี น B มรี ะยะทางห่างจากโรงเรียน 24 กิโลเมตร เป็นระยะทาง
เทา่ กัน โดยมเี สน้ ทางในการเดนิ ทาง ดงั น้ี

เสน้ ทางที ่ 1 15 กิโลเมตรแรกโดยสารด้วยรถประจ�าทางปรับอากาศสาย 80
และระยะทางทเ่ี หลอื โดยสารด้วยรถแทก็ ซม่ี ิเตอร์

เส้นทางท่ ี 2 7 กิโลเมตรแรกโดยสารด้วยรถแทก็ ซ่มี ิเตอร ์ และระยะทางทเี่ หลอื
โดยสารด้วยรถประจา� ทางปรับอากาศสาย 80

ถ ้านกั เรยี น A เลือกเส้นทางท่ี 1 และนกั เรียน B เลือกเสน้ ทางท่ ี 2 นกั เรียนคนใดจะต้องจา่ ย
ค่าโดยสารมากกวา่ กนั และมากกวา่ อยเู่ ท่าใด

217

คา โดยสารรถแท็กซม่ี เิ ตอร เปน ระยะทาง 22 กโิ ลเมตร 3. จากโจทย จะตอ งเดนิ ทางระยะทางทงั้ หมด 56 กิโลเมตร จะตอ งเดนิ ทาง
ดว ยรถโดยสารปรับอากาศสาย 80 เปนระยะ 1 ใน 4 ของระยะทางทงั้ หมด
ระยะทาง (กโิ ลเมตร) คา โดยสาร (บาท) นน่ั คือ เจอทีกะาตเกปอ ับน งรเ5ดะ46ินยะท=ทา1งา4ดงว ก5ยโิ6รลถ-เมโ1ดต4ยรส=แาล4ร2ปะเรกดับโินิ อลทาเมากงตาตศรอ สดาวยย8ร0ถแเปทน็กซระีม่ ยิเตะทอราง
กิโลเมตรแรก 35 × 1 = 35 คาโดยสารรถประจําทางปรบั อากาศสาย 80 เปน ระยะทาง 14 กโิ ลเมตร
กโิ ลเมตรที่ 2-10 5.50 × 9 = 49.50
กโิ ลเมตรท่ี 11-12 6.50 × 10 = 65 ระยะทาง (กิโลเมตร) คา โดยสาร (บาท)
กิโลเมตรที่ 21-22 7.50 × 2 = 15 4 กโิ ลเมตรแรก 13
กโิ ลเมตรท่ี 5-8 2
รวม 164.50 กโิ ลเมตรที่ 9-12 2
กิโลเมตรที่ 13-14 2
ดังนัน้ ถาโดยสารดวยรถแท็กซีม่ เิ ตอรจ ะตองจายคา โดยสารมากกวา
รถประจําทางปรับอากาศสาย 80 เปนเงิน รวม 19
164.50 - 23 = 141.50 บาท

T229

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

อภิธานศัพท

หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 เรอื่ ง เลขยกกาํ ลงั

จา� นวนตรรกยะ สจำ�ำนมวำนรถทเเี่ขขียยี นนจไดำ� นใ้ นวรนปู ต รbaร กโดยยะทใน ี่ aร ปูแทละศ นb ิยเมปน็ไดจ ้ำ� แนลวะนเปเต็นม็ ท แศลนะิย มb ซำ้� 0
(rational number)

เลขยกก�าลงั จำ� นวนจรงิ ท่เี ขียนอยใู่ นรูป xn โดยท่ ี x เป็นจ�ำนวนจรงิ ใด ๆ ที่ไม ่
(power) เทำ่ กบั ศูนย ์ และ n เปน็ จ�ำนวนนับใด ๆ

หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 2 เรื่อง ฟงั กช์ ัน

ความสัมพันธ์ ควำมสัมพันธ์ r จำกเซต A ไปยังเซต B คอื เซตย่อยของผลคูณ
(relation) คำร์ทเี ซียนของเซต A กบั เซต B

โดเมน โดเมนของ r คอื เซตของสมำชกิ ตัวแรกของคอู่ ันดบั ทัง้ หมดท่ีเป็น
(domain) สมำชกิ ของ r

ผลคูณคารท์ เี ซยี น ผลคณู คำร์ทีเซยี นของเซต A และเซต B เขียนแทนดว้ ย A × B
(Cartesian product) คอื เซตของคู่อันดับ (x, y) ท้งั หลำยซ่ึง x เปน็ สมำชิกของเซต A
และ y เปน็ สมำชกิ ของเซต B

ฟังกช์ นั ควำมสมั พนั ธ์ซง่ึ สำ� หรับคูอ่ นั ดับใด ๆ ในควำมสัมพันธน์ ้ัน สมำชกิ
(function) ตวั แรกต้องจับคกู่ ับสมำชกิ ตัวหลังเพยี งตวั เดียวเทำ่ นั้น

ฟงั กช์ ันกา� ลงั สอง ฟงั กช์ นั คำ่ จรงิ ของจำ� นวนจรงิ ทอี่ ยใู่ นรปู f(x) = ax2 + bx + c โดยที ่
(quadratic function) a, b และ c เปน็ คำ่ คงตวั และ a 0

ฟงั ก์ชนั เอกซโ์ พเนนเชียล ฟังก์ชนั ค่ำจริงของจำ� นวนจรงิ ท่เี ขยี นได้ในรูป f(x) = ax เมอื่ a > 0
(exponential function) และ a 1 เรยี ก a วำ่ ฐำน (base) และเรยี ก x ว่ำ เลขชก้ี �ำลัง
(exponent)

ฟังกช์ นั ขน้ั บนั ได ฟังก์ชันค่ำจริงที่มีโดเมนเป็นช่วงและค่ำของฟังก์ชันเป็นค่ำคงตัว
(step function) ในแต่ละช่วงย่อย โดยท่ียูเนียนของช่วงย่อยเหล่ำนั้นเท่ำกับโดเมน
และแต่ละคขู่ องช่วงยอ่ ยไม่มสี มำชกิ รว่ มกัน

ฟังก์ชันเชิงเสน้ ให้ f เป็นฟังก์ชันค่ำจริงของจ�ำนวนจริง f เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น
(linear function) ก็ตอ่ เมือ่ ค่ำของฟังก์ชัน f ท่ ี x เขยี นไดใ้ นรูป f(x) = ax + b โดยท่ ี
a, b เป็นค่ำคงตวั

เรนจ์ เรนจข์ อง r คอื เซตของสมำชกิ ตวั หลงั ของคู่อันดบั ท้งั หมดทีเ่ ปน็
(range) สมำชกิ ของ r

218

คาโดยสารรถแท็กซ่ีมเิ ตอร เปนระยะทาง 42 กโิ ลเมตร 4. คาโดยสารเสน ทางท่ี 1 ของนกั เรยี น A
คาโดยสารรถประจําทางปรบั อากาศสาย 80 เปนระยะทาง 15 กโิ ลเมตร
ระยะทาง (กโิ ลเมตร) คา โดยสาร (บาท)
กโิ ลเมตรแรก 35 × 1 = 35 ระยะทาง (กโิ ลเมตร) คาโดยสาร (บาท)
กโิ ลเมตรที่ 2-10 5.50 × 9 = 49.50 4 กิโลเมตรแรก 13
กโิ ลเมตรที่ 11-20 6.50 × 10 = 65 กโิ ลเมตรท่ี 5-8 2
กโิ ลเมตรท่ี 21-40 7.50 × 20 = 150 กิโลเมตรที่ 9-12 2
กิโลเมตรท่ี 41-42 8 × 2 = 16 กิโลเมตรที่ 13-15 2

รวม 315.50 รวม 19

ดังนนั้ จะตอ งจา ยคา โดยสารทง้ั หมด 19 + 315.50 = 334.50 บาท

T230